Cele mai cunoscute noțiuni din cunoștințele umane sunt Materia, mișcarea, spațiul și timpul . MMaatteerriiaa este categoria filozofică care… [613547]

Dorel STOICA

MECANICĂ.
TEORIE ȘI APLICAȚII

Loc casetă tehnică

3
I. INTRODUCERE
Cele mai cunoscute noțiuni din cunoștințele umane sunt Materia,
mișcarea, spațiul și timpul .
MMaatteerriiaa este categoria filozofică care desemnează realitatea obiectivă
existentă în afară, independent de conștiința umană, dar care este
reflectată de aceasta și este percepută de om prin simțurile sale.
Substanța este p rima modalitate de existență a materiei sesizată de
cunoașterea umană , aspectul ei cantitativ fiind masa. Substanța este
formată din ansambluri stabile relativ, denumite corpuri, și este constituită
din particule (electroni, protoni, neutroni) .
Câmpul fizic (gravitațional, electromagnetic) este și el o formă de
existență a mater iei, conceput ca un mediu material continuu , iar aspectul
cantitativ este reprezentat de intensitatea câmpului .
MMiișșccaarreeaa, alt mod de existență a materiei , înglobează toate
schimbările, transformările și procesele care au loc în univers. Ea este
concepută în spațiu și timp care sunt forme fundamentale, universale și
obiective de existență a materiei.
SSppaațțiiuull este o reprezentare generalizată a dimensiunilor corpurilor și
a distanțelor dintre ele.
TTiimmppuull reprezintă imaginea generalizată a intervalelor dintre
evenimente și a duratei fenomenelor.
Mecanica – știința care studiază mișcarea sau echilibrul corpurilor sub
acțiunea forțelor exercitate asupra lor – apare în epoca creării primelor
mijloace de producție, odată cu acumularea și generalizarea experienței În
primul rând a apărut Static a – care se referă la echilibrul forțelor, la starea
de nemișcare a corpurilor –, iar dezvoltarea ei s-a datorat încă din
antichitate apariției construcțiilor.
Arhitas din Tare nt (430 – 365 î.H) , filozof din școala lui Platon , este cel
care s-a ocupat de primele probleme teoretice ale mecanicii; lui îi sunt
atribuite atât descoperirea scripetelui , cât și a șurubului.

4
Aristotel (384 – 322 î.H) a făcut multe observații juste asupr a Staticii,
mai ales asupra echilibrului . A fost preocupat deopotrivă de problema
relativității mișcării și de problema căderii verticale a corpurilor grele . Deși
pe aceasta din urmă a tratat -o metafizic, a elaborat totuși o teorie conform
căreia „ corpul t inde spre locul său din natură” .
Arhimede (287 – 212 î.H), mare geometru și mecanician grec, este cel
care a întemeiat de fapt Statica. A fost cel care, în lucrările sale, a putut
conceptualiza aproape toate problemele mecanice ale său. Astfel, „ Despre
pârghii”, „Cartea reazemelor” și „Despre echilibrul suprafețelor” el lansează
teoria pârghiilor, rezolvă echilibrul sistemului format din două greutăți
suspendate pe o bară care se poate roti în jurul unui punct, elaborează
regulile compunerii și descompunerii forțelor paralele, dă definiția centrului
de greutate, stabilește unele legi de bază ale hidrostaticii și face referiri la
ceea ce mult mai târziu va fi numit momentul forțelor.
În timpul Renașterii, odată cu înflorirea artelor și a celorlal te științe,
Mecanica ia un avânt considerabil, făcându -se saltul de la Statică la
Dinamică – cea care studiază micirea și mai ales forțele .
Leonardo da Vinci (1452 – 1518) este cel care a lansat multe idei
originale și îndrăznețe , care au trasat căile de d ezvoltare în viitor ale
Mecanicii . Acest mare învățat efectuează primele cercetări experimentale
referitoare la căderea liberă a unui corp greu, tot el introduce noțiunea de
„moment ” (sub denumirea de „momento” ) sau cea de pârghie potențială.
Leonardo da V inci a intuit principiul deplasărilor virtuale, legile echilibrului,
egalitatea acțiunii cu reacțiunea, tot el fiind cel care a studiat ciocnirile și a
stabilit unele reguli privitoare la frecare.
N. Copernic (1473 – 1543) este cel care a revoluționat conc epția de
până atunci despre univers, lansând și demonstrând principiile despre
sistemului heliocentric .
În aceeași perioadă Johan Kepler (1571 – 1630) își publică lucrările
despre mișcarea planetelor în jurul Soarelui – cunoscute până în prezent
sub denum irea de „ celebrele trei legi ale lui Kepler ”.
Galileo Galilei (1564 – 1642) este cel care domină întreaga epocă a
Renașterii prin lucrările lui. Adversar declarat al scolasticii și a învățăturii
geocentriste, el a căutat și a descoperit multe legi ale Meca nicii clasice.
Acest mare învățat a formulat principalele noțiuni ale Cinematicii (viteza și
accelerația=, stabilind cu ajutorul lor formula căderii corpurilor; tot el a
introdus noțiunea de Forță ca agent mecanic, emițând ideea relativității
mișcării. În ceea ce privește Dinamica , el este cel care formulează legea
inerției – care este aproape identică cu cea studiată astăzi – precum și:
teoria mișcării unui corp greu pe un plan înclinat; legea mișcării corpului

5
lansat etc. Este cel care a lansat „ regula de aur” a Mecanicii despre
mașinile mecanice, observând și demonstrând că, cât se câștigă din forță,
se pierde în viteză.
Cr. Huygens (1629 – 1695) a intuit și a reușit să formuleze – sub o
formă incipientă –, primele noțiuni referitoare la accelerați a centrifugă,
accelerația centripetă și la momentul de inerție. Este cel care a studiat
mișcările oscilatorii, centrul de oscilație al pendulului fizic, ciocnirea
corpurilor elastice.
Isaac Newton (1643 – 1727) în celebra sa lucrare „Principiile
matematice ale fi lozofiei naturale” a formulat cele trei principii
fundamentale ale Mecanicii clasice pe baza cărora se pot studia mișcările
tuturor corpurilor – chiar și a corpurilor cerești. Newton descoperă legea
atracției universale, a aprofundat studiul forțelor, a st udiat și descoperit
legile fundamentale ale opticii, a pus bazele calculului infinitezimal
(diferențial și integral).
V. Varignon (1654 – 1722) este cunoscut prin metodele sale geometrice
aplicate în mecanică, prin definirea completă a noțiunii de moment și prin
teorema momentelor.
L. Euler (1707 – 1783) a dezvoltat dinamica punctului material utilizând
calculele analitice și diferențiale. El este creatorul Mecanicii corpului solid,
studiind primul, metoda mișcării corpului solid, în special a solidului cu un
punct fix, cu ajutorul celor trei unghiuri cunoscute sub numele de unghiurile lui
Euler. El este fondatorul Hidrodinamicii și al Teoriei stabilității barelor elastice .
M. L. Lomonosov (1711 – 1765) formulează principiul conservării energiei,
studiază p roblema interacțiunii între corpuri, propagarea căldurii etc.
P. Maupertuis (1698 – 1759) emite „ Principiul minimei acțiuni” (1744),
cu aplicații în legile reflexiei și refracției luminii și în teoria ciocnirilor.
Demonstrația matematică a acestui principi u a fost dată însă de Euler, iar
generalizarea a fost făcută într -o primă formă de Lagrange și în formă
completă de Jukovski.
C. A. Coulomb (1736 – 1806) a elaborat legile experimentale ale frecării
de alunecare și rostogolire ; după ce a analizat torsiunea firelor , a formulat
legile torsiunii.
Spre mijlocul secolului al XVIII -lea încep să fie formulate și principiile
variaționale ale Mecanicii.
J. d’Alembert (1717 – 1783) publică „Traité de Dynamique” , carte în
care formulează celebra sa metodă cinetostatic ă – cu aplicabilitate la
rezolvarea problemelor de dinamică.
J. L. Lagrange (1736 – 1813) , în lucrarea sa „Mecanica analitică” , a
extins partea teoretică a Mecanicii, punând bazele Mecanicii analitic e pe
baza principiului deplasărilor virtuale . A încercat să demonstreze analitic –
pe cât era posibil în acea perioadă – Principiul deplasărilor virtuale și

6
Principiul d’Alembert , cu ajutorul căruia a rezolvat problema oscilațiilor mici
ale unui sistem de corpuri.
M. V. Ostrogradski (1801 – 1861) a analizat legăturile dependente de
timp, introducând noțiunea de legături exprimate analitic prin inegalități ,
după care a aplicat pentru acest tip de legături, principiul deplasărilor
virtuale. Tot el este cel care a dat o nouă formă ecuației generale a
Dinamicii ; în u rma integrării acestei ecuații în raport cu timpul , s-a ajuns la
cea mai generală a Principiului Hamilton -Ostrogradski .
W. R. Hamilton (1805 – 1865) aplică calculul variațional în Mecanică și
formulează principiul care -i poartă numele.
Din nevoia de a ex plica numeroase fenomene care în Mecanica clasică
apăreau ca inexplicabile, în secolul al XX -lea se reexaminează multe dintre
tezele și principiile Mecanicii newtoniene. Ca o consecință apar: Mecanica
relativistă, Mecanica cuantică, Mecanica ondulatorie, M ecanica statistică .
Numele savanților A. Einstein, Max Plank, L. de Broglie, Fok, Vasilov etc.
sunt legate de aceste mecanici noi.
Albert Einstein (1879 – 1955) a arătat că se poate construi o teorie
fizică, perfect consecventă , pornind de la rezultatul ex perienței lui
Michelson (constanta vitezei de propagare a luminii în vid, indiferent de
sistemul de referință) și considerându -l principiu – ceea ce presupunea
renuanțarea la noțiunile de spațiu absolut și timp absolut , aflate la baza
mecanicii newtoniene . În cadrul Teoriei Relativității , lansate de Einstein,
distanțele și duratele erau relative, depinzând de sistemul de referință în
care erau măsurate. Totul se petrece ca și cum s -ar desfășura într -o
varietate cu patru dimensiuni, trei dimensiuni fiind spațiale și una
temporală, cunoscută sub numele de univers ul lui Minkowski , matematician
lituanian care a dat această interpretare geometrică, teoriei relativității.
Unul dintre rezultatele teoriei relativității îl reprezintă legea de variație a
masei în funcție de viteză.
20
)c/v(1mm

(1.1)
unde: m0 este masa de repaus, v este viteza și c reprezintă viteza de
propagare a luminii în vid.
Teoria relativității a generat multe discuții filozofice, putându -se
concluziona că, dacă masa este o măsură a materie i – așa cum postulase
Newton –, conform te oriei lui Einstein materia se pu tea forma sau distruge
în funcție de creșterea sau descreșterea vitezei corpurilor .
În consecință, definiția lui Newton a necesitat o corectură, și anume că
masa este doar o măsură a inerției corpului, nu a cantității de materie. S -a

7
putut observa însă că, chiar dacă ecuațiile mecanicii relativiste diferă de
ecuațiile mecanicii newtoniene totuși se apropie de acestea atunci când se
neglijează vitezele relative ale corpurilor în rapor t cu viteza de propagare a
luminii în vid.
În țara noastră, trebuie să menționăm pentru activitatea lor, în
domeniul Mecanicii teoretice, pe Spiru Haret (1851 – 1912), Andrei
Ioachimescu (1868 – 1913) și Dimitrie Pompei (1873 – 1954) , iar în cel al
Mecanicii aplicate pe Anghel Saligny (1854 – 1925), Ion Ionescu (1870 –
1946), G. E. Filipescu (1885 – 1937), valoroși ingineri care au executat
importante lucrări inginerești și au lăsat studii de seamă în domeniul
mecanicii teoretice și a plicate.

Atunci când mișcarea mecanică se raportează la un sistem de
referință fix poartă denumirea de mișcare absolută , iar atunci când se
raportează la un sistem de referință mobil poartă denumirea de mișcare
relativă . Având în vedere că în univers nu există corpuri (repere) fixe, se
prezum ă că mișcarea mecanică este relativă.
Repausul este definit ca fiind starea unui corp sau a unor sisteme de
corpuri a căror poziții, față de un sistem de referință , rămân neschimbate.
Se consideră că repausul este un caz particular al mișcării , având, ca și
mișcarea, un caracter relativ.
Găsirea unor sisteme de referință s -a dovedit foarte dificilă. De
exemplu: sistemul geocentric propus de Ptolemeu considera că Pământul
este fix; sistemul heliocentric propus de Copernic propunea Soarele ca
element fix. Ceva mai târziu a fost adoptat un nou sistem de referință –
acceptat și în prezent – conform căruia sistemul de referință absolut și -ar
avea originea în centrul de masă al galaxiei d in care face parte Soarele, Mișcarea mecanică se definită ca fiind modificare a
poziției unui corp sau a unei părți a ac estuia în raport cu un
alt corp considerat reper sau sistem de referință . Mecanica este ramura fizicii care studiază una din
cele mai simple forme de mișcare a materiei , cunoscută sub
numele de mișcare mecanică.

8
având axele orientate către stele extrem de îndepărtate; în raport cu care
legile mecanicii se verifică experimental.
Newton a fost cel care, în lucrarea sa „ Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica” (publicată în 1686) a definitivat primul model al
mecanicii, cunoscut astăzi ca fiind mecanica clasică sau mecanica
newtoniană , cea care studiază mișcarea corpurilor materiale macroscopice
cu viteze mici în comparație cu viteza luminii.
Se consideră că spațiul, timpul și masa sunt noțiunile fundamentale
ale mecanicii clasice ; ele sunt considerate și analizate complet independent ,
iar proprietățile lor sunt absolute.
SSppaațțiiuull este o reprezentare generalizată a dimensiunilor corpurilor,
ținând seama de a poziții le lor reciproce și de distanțel e dintre ele.
Mecanica clasică consideră că spațiul este tridimensional , infinit, continuu ,
omogen (diferite porțiuni ale sale nu se deosebesc între ele) și izotrop
(proprietățile după diferitele direcții care pleacă din același punct nu se
deosebesc între ele ).
TTiimmppuull este o dimensiune a materiei , o formă obiectivă de existență .
Noțiunea de timp în mecanica clasică reflectă în mod obiectiv , cuantificabil,
timpul real existent . În accepțiunea mecanic ii clasic e, timpul este nelimitat ,
continuu , omogen și ireversibil (se scurge într -un singur sens).
MMaassaa este considerată o mări me fizică scalară , strict pozitivă, care
înglobează două proprietăți importante ale materiei, existentă sub formă de
substanță: inerția și câmpul atracției universale (sau câmpul gravitațional).
IInneerrțțiiaa este proprietatea materiei de a -și conserva starea de mișcare
mecanică pe care o are la un moment dat.
CCââmmppuull aattrraaccțțiieeii uunniivveerrssaallee se formează între două corpuri materiale
și se manifestă prin forța gravitației universale care .

Datorită faptului că între mărimile fizice există o serie de relații, există
posibilitatea de a fi alese doar mărimile fundamentale – care se vor
exprima prin unități de măsură fundamentale –, urmând ca în func ție de
acestea să fie exprimate și mărimile derivate – care vor fi exprimate prin
unități de măsură derivate ..
În România se utilizează :
Sistemul internațional de unități de măsură [SI] care are 7 unități
fundamentale :

9
 metrul (m), pentru lungime ;
 kilogramul (kg), pentru masă ;
 secunda (s), pentru timp ;
 amperul (A), pentru intensitatea curentului electric ;
 kelvinul (K), pentru temperatura termodinamică ;
 candela (cd), pentru intensitatea luminoasă ;
 molul (mol), pentru cantitatea de substanță.
Unitățile de măsură fundamentale utilizate în mecanică sunt: metrul,
kilogramul și secunda .
Metrul este lungimea egală cu 1 650 763, 73 lungimi de undă în vid ale
radiației care corespunde tranziției atomului de kripton 86 între nivelele sale
2p10 și d 5.
Kilogramul este masa prototipului internațional de platină iradiată
adoptat în anul 1889 de Conferința Generală de Măsuri și Greutăți și păstrat
la Sèvre în Franța.
Principalele unități de măsură derivate , utilizate în mecanică sunt:
 Pentru forță: Newtonul (N), reprezentând forța care imprimă
unei mase de 1 kg, o accelerație de 1 m/s2.;
 Pentru lucru mecanic: Joule-ul (J), reprezentând lucrul mecanic
efectuat de o forță de 1 N care se depl asează cu 1 m pe propriul
său suport ;
 Pentru putere: Wattul (W), reprezentând lucrul mecanic de 1 J
efectuat într -o secundă ;
 Pentru presiune : Pascalul (Pa), reprezentând presiunea
exercitată de 1 N pe 1 m2.
Având în vedere că mărimile fundamentale utilizate în mecanică sunt
lungimea (L), masa (M) și timpul (T), mărimile derivate se deduc din
acestea folosind ecuația de dimensiuni :
TMLD][
(1.2)
unde , ,  sunt numere pozitive, negative, întregi, fracționare sau nule .

Principalele mărimi utilizate în mecanică sunt date în Tabelul 1. 1

10

Mărimea Sim-
bolul Ecuația de
definiție Dimensiuni
în SI Unitatea de
măsură
în SI
Lungimea l – L m
Masa m – M kg
Timpul t – T s
Aria A A = l2 L2 m2
Volumul V V = l3 L3 m3
Unghiul plan   = l/R – -(rad)
Perioada T T = 2/ T s
Frecvența f f = 1/T T-1 Hz
Viteza v
rv LT-1 m/s
Accelerația a
ra LT-2 m/s2
Viteza unghiulară 
 T-1 s-1
Accelerația
unghiulară 
 T-2 s-2
Masa specifică   = m/V L-3M kg/m3
Greutatea specifică   = G/V
L-2MT-2 N/m3
Momentul de inerție J
2
iilm J
L2M kgm2
Forța F
amF LMT-2 N
Momentul forței M
FxrM L2MT-2 Nm
Impulsul H
vmH LMT-1 kgm/s
Momentul cinetic K
HxrK L2MT-1 kgm2/s
Energia cinetică E E = mv2/2 L2MT-2 J
Lucrul mecanic L
 rdF L
L2MT-2 J
Puterea P P = dL/dt L2MT-3 W
Percuția P
dtF P
LMT-2 Ns
Presiunea p F/A L-1MT-2 Pa

11
II. NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL .
OPERAȚII CU VECTORI
Mărimile fizice pot fi :
 mărimi scalare (scalari ), complet determinate prin valoarea lor
numerică, urmată de unitatea de măsură.
Exemple : distanta între două punc te, intervalul de timp,
temperatura, energia, etc.
 mărimi vectoriale (vectori ), sunt complet determinate prin
valoarea lor numerică , prin direcția și sensul lor. Spre deosebire
de scalari, vectorii sunt mărimi orientate (dirijate).
Un vector reprezentat printr -un segment de dreaptă orientat se
numește vector liber .
Exemple : deplasarea și viteza unui corp în mișcare de trans lație.
Atunci când se impune și precizarea punctului de aplicație , vectorul
va purta denumirea de vector aplicat sau legat.
Exemplu : forța care acționează asupra unui punct material.
Dacă se consideră necesar ă și precizarea suportului, atunci vectorul
va purta denumirea de vector alunecător sau glisant .
Exemplu : forța care acționează asupra unui rigid.


Vectorii liberi se notează fie printr-o literă având deasupra ei o bară ,
fie prin două litere având fiecare dintre ele câte o bară deasupra. În cel de
al doilea caz, prima literă va arăta originea vectorului, iar a doua literă
extremitatea sa.
Exemplu :
a,
F ,
BA .
În concluzie, vectorul este de fapt un segment orientat caracterizat
prin patru elemente (fig. 2.1) :

12

 origine sau punct de aplicație A;
 direcție sau dreaptă suport ,;
 sens;
 modul v (mărime, intensitate, urmă) .

Versorul este vectorul de modul unitar și este dat de relația 2.1:
vv
vvu
(2.1)
Componentele pe axele
Ox ,
Oy și
Oz ale versorului sunt definite
conform relației 2.2 astfel:
upriOx
;
uprjOy ;
uprkOz . (2.2)
Un vector oarecare poate fi scris în funcție de compone ntele pe axe
ale versorului său , astfel:
kvjvivvz y x
(2.3)
unde:
vprvOx x
;
vprvOy y ;
vprvOz z (2.4)
1. Adunarea a doi vectori
Se presupune există doi vectori ,
a și
b, care au același punct de
origine O. Suma (rezultanta ) celor doi vectori este vectorul
c , care va fi
definit ca valoare numerică, direcție și sens de diagonala OC a
paralelogramului format din cei doi vectori
a și
b ca laturi (fig.2.2.a).

13

bac (2.5)
Se constată că modulul vectorului
c este:
cos22 2ab ba c 
(2.6)

Expresia analitică. Dacă considerăm că vectorii
a și
b definesc planul
Oxy, atunci și vectorul rezultant
c va fi situat în același plan . Dacă se face
proiecția celor trei vectori în sistemul de axe menționat , se constatpăââă că
(fig.2.2.b):
jciccjbibbjaiaay x y x y x  ; ;
(2.7)
Conform relației ( 2.5) putem scrie:
) () ( jbibjaiajcicy x y x y x 
(2.8)
Rezultă componentele pe axe ale vectorului rezultant
c :
y y y x x x bacbac  ;
(2.9)
Vectorul rezultant va fi:
2 2 2 2) () (y y x x y x ba ba cc c 
(2.10)
Direcția este dată de unghiul  format între suportul vectorului rezultant
și axa Ox:
x xy y
xy
baba
cctg
(2.11)
Dacă se extinde Regula paralelogramului pentru compunerea unui
număr oarecare de vectori concurenți
1V ,
2V ,….
nV , va rezulta o

14
construcție grafică denumită regula poligonului vectorilor , cu laturi
reprezentând vectorii din sistem.
O latură Vi a poligonului se obține prin construirea unui vector
echipolent cu vectorul
iV având ca origine, extremitatea vectorului
1iV și
ca extremitate, originea vectorului
1iV .
Rezultanta sistemului de vectori este suma vectorială a vectorilor
iV ,

n
ii n V V VVV
12 1 …
(2.12)
Construcția grafică va fi segmentul de dreaptă care unește originea
vector ului
1V, cu extremitatea vector ului
nV (fig. 2.2a).
În cazul particular de compunere a doi vectori concurenți, regula
poligonului, are denumirea de Regula triunghiului (fig.2.2b).

Expresia analitică . Datorită faptului că supor turile vectorilor sunt
orienta te în spațiu, componentele pe axe ale vectorilor vor fi exprimate
într-un sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz. (fig.2.2c). Notând proiecțiile
pe axe ale vectorului
iV cu Vix, Viy, Viz și ale vectorului rezultant
V , cu Vx, Vy,
Vz, conform relației ( 2.12) se va putea scrie :

n
iiz iy ix z y x kVjViV kVjViV
1) (
(2.13)

Analog, se procedează și cu valorile componentelor pe axe ale
vectorului rezultant:

15


n
iix x V V
1,

n
iiy y V V
1 ,

n
iiz z V V
1 (2.14)
Rezultă mărimea vectorului rezultant , care este:
2 2 2
z y x VVV V 
(2.15)
Direcția este exprim ată prin cosinusurile directoare:
VVxcos
,
VVycos ,
VVzcos . (2.16)

2. Produsul scalar a doi vectori
Se presupune că avem doi vectori
a și
b. Produsul acestora este ,
conform definiției , un scalar obținut din multiplicarea modulelor celor doi
vectori cu cosinusul unghiului dintre ei :
cosbaba
(2.17)
Dacă vectorul
a este definit prin componentele
kajaiaaz y x
și vectorul
b este definit prin componentele
kbjbibbz y x , produsul
scalar dintre cei doi vectori va fi dat (2.17):
zz yy xx babababa 
(2.18)
Se observă că:
1 kkjjii
;
0 ikkjji
Din definiție rezultă următoarele o proprietăți ale produsului scalar :
 este comutativ ;
ba ab abab    cos ) cos(
(2.19)
 pentru doi vectori
a și
b diferiți de zero condiția de
orgonalitate este:
0ba
(2.20)
 cu ajutorul produsului scalar se poate scrie proiecția unui vector
a
pe o axa . Fiind dată o ax ă () orientată de versorul
u și
un vector
a , proiecția acestui vector și versorul axei (fig. 2.4):

16

ua aapr cos
(2.21)
 este distributiv față de adunare
 cbcacba 
(2.22)

3. Produsul vectorial a doi vectori liberi
Se presupune că avem doi vectori
a și
b. Produsul vectorial este,
conform definiției, un vector
c normal pe planul definit de cei doi vectori ,
presupuși aplicați în același punct O, având ca valoare numerică aria
paralelogramului construit cu ajutorul celor doi vectori, iar sensul astfel
încât vectorii
a ,
b,
c să formeze în această ordine un triedru drept (fig.
2.5).

bac
;
sin bac (2.23)
Produsul vectorial este egal cu aria paralelogramului determinat de
cei doi vectori (fig.2.6).

17

11sin22
2 sintr
par trA a h a b
A A a b
ab
     
     
 (2.24)
unde:
Atr – reprezintă aria triunghiului determinat de cei doi vectori;
Apar – reprezintă aria paralelogramului determinat de cei doi vectori

Conform definiției , proprietățile produsul ui vectorial sunt:
 Anticomutativ itatea, adică:
abba
(2.25)
 vectori sunt coliniari dacă
a și
bsunt diferiți de zero , iar
produsul lor vectorial este egal cu zero :
0a
;
0b și
0ba (condiția de coliniaritate) (2.26)
 Distributivitatea față de adunare :
 cbcacba 
(2.27)
Dacă vectorul
a este definit prin componentele
kajaiaaz y x
și vectorul
b este definit prin componentele
kbjbibbz y x rezultă că
produsul vectorial dintre vectorii
a și
b va fi (2.28.):
z y xz y x
bbbaaakji
bac
(2.28)
din dezvoltarea acestuia rezultă componentele pe cele trei axe ale
vectorului
c :


xy yx zzx xz yyz zy x
babacbabacbabac
(2.29)
Se observă că:
0 kkjjii
;
kji

18
4. Produsul mixt a trei vectori
Se presup une că avem trei vector,
a ,
b și
c. Produsul mi xt va fi
mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector și produsul
vectorial al celorlalți doi.
acbbaccbacbacbaw  ,, ,,
(2.30)
Analizând din punct de vedere geometric produsul mixt , se constată
că reprezintă volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori
(fig.2.7)

  VH A av vavacbawpar   cos cos
(2.31)
unde V reprezintă volumul paralelipipedului.

Expresia analitică a produsului mixt a trei vectori este dată de relația 2.32 .

z y xz y xz y x
cccbbbaaa
cba
(2.32)
5. Dublu produs vectorial a trei vectori liberi
Se consideră trei vectori liberi
a ,
b și
c. Produsul vectorial este
reprezentat de vectorul
d egal cu produsul vectorial dintre vectorul
a și
produsul vectorial
cb . Vom scrie:
cbad
(2.33)
Din definiți a de mai sus s e deduce faptul că dublul produs vectorial
este un vector situat în planul vectorilor
b și
c, existând relația:

19

cbabcacba  (2.34)
Fiind dați trei vectori
a ,
b și
c subzistă identitatea:
0 bacacbcba
. (2.35)

6. Descompunerea unui vector după trei direcții
Notând cu
 ,
 și
 unghiurile pe care un vector
V le face cu
axele
xO ,
yO și
zO (fig.2.8) ale unui triedru ortogonal
xyzO , proiecțiile
sale sunt:
cosVX
;
cosVY ;
cosVZ . (2.36)
Prin urmare, vectorul
Vse poate scrie s ub forma:
kZjYiXV 
(2.37)
în care
i ,
j și
k sunt versorii axelor
xO ,
yO și
zO .

În baza teoremei proiecțiilor
potrivit căreia proiecția pe o axă a
rezultantei
R a unui sistem de
vectori liberi este egală cu suma
proiecțiilor, rezultă pentru proiecțiile
rezultantei pe axele
xO ,
yO și
zO
expresiile:

iX X
;
iY Y ;
iZ Z (2.38)
unde
iX ,
iY,
iZ sunt proiecțiile pe aceste axe ale unui vector
iV .
Modulul rezultantei va fi
2 2 2ZYX R  , iar direcția și sensul
ei vor fi date prin cosinusurile directoare:
2 2 2cos
ZYXX

,
2 2 2cos
ZYXY
 ,
2 2 2cos
ZYXZ
 .

20
III. STATICA PUNCTULUI . PUNCTUL MATERIAL
SUPUS LA LEGĂTURI
Se spune despre un punct material că este liber atunci când el poate
ocupa orice poziție în spațiu, nefiind stânjenit de nici o obligație
geometrică ; pozițiile ocupate de punctul material sunt determinate numai
de forțele care acționează asup ra lui. În general, poziția punctului se
definește prin trei parametrii scalari, independenți între ei, spre exemp lu
coordonatele carteziene x, y, z ale punctului. Prin urmare , punctul material
liber are trei grade de libertate.
Dacă un punct material este obligat geometric să ocupe numai
anumite poziții în spațiu , se spune că este supus la legături. De exemplu ,
punct ul material poate fi obligat să rămână pe o suprafață, pe o curbă sau
într-un punct fix în spațiu.
Un punct material obligat să rămână pe o suprafață are două grade
de libertate, deoarece , așa cum este cunoscut din geometria diferențială,
sunt necesari doi parametri pentru a -i defini poziția: coordonatele sale
curbilinii; un punct material obligat să rămână pe o curbă are un singur
grad de libertate, iar un punct material obligat să rămână într -un punct fix
din spațiu nu are nici un grad de libertate.

Pentru ca un punct material liber aflat în repaus (sau în mișcare
rectilinie uniformă) să -și păstreze această stare mecanică atunci când un
sistem de forțe concurente acționează asupra lui, adică să rămână în
echilibru, este necesară și sufic ientă condiția ca rezultanta
R dintre forțele
concurente să fie nulă.
Condiția de mai sus se deduce din aplicarea principiilor inerției și
acțiunii forței ; condiția de echilibru se scrie sub forma ecuației vectoriale:
0R
(3.1)

21
Sub formă scalară, ecuațiile de echilibru se scriu:
 în spațiu:
0ixF
;
0iyF ;
0izF (3.2)
 în plan:
0ixF
;
0iyF (3.3)
Din punct de vedere grafic , condiția de echilibru este satisfăcută
doar dacă poligonul forțelor se închide . Problemele de echilibru ale
punctului material tratează două variante, și anume:
a) fie se dau forțele care acționează asupra unui punct și se cere
poziția acestuia;
b) fie se dă poziția punctului și se cer forțele care îl acționează.

Problema 3.1. : Punctul material M este
acționat de forțele:
PF1 ,

23
2PF ,
P F F 24 3
, coplanare ( fig. 3.1 ).
Cunoscându -se unghiurile:
601 și
 454 3
, se cere să se determine
rezultanta acestor forțe (modul și direcția).

Rezolvare
Se cunoaște că:
4 3 2 1 F F FFR 
Considerând sistemul de referință din figură, proiecțiile rezultatei
sunt:
4
1 1 3 3 4 4
11 2 2cos cos cos 2 22 2 2 2x ix
iPR F F F F P P P   
          

2223
22222223sin sin sin 24 4 3 3 1 14
1
P P P P PF F F F F R
iiy y



22
Modulul rezultatei ( fig. 3.1.a ) este:
3322 2 PRR Ry x

iar unghiul φ este:
  8024 arctgRRarctg
xy

Problema 3.1.2.
Se consideră un punct material M solicitat de trei forțe:
P F21 ,
22P F
,
P F 23 , ca în figura 3.2 . Să se determine o forță
4F astfel
încât rezultanta forțelor să fie nulă.

Rezolvare
Se consideră forța cerută
4F de forma:
jFiF Fy x 4 4 4

unde
xF4 ,
yF4 reprezintă proiecțiile pe
axele Mx și My ale forței cerute.
Proiecțiile forțelor
1F ,
2F,
3F sunt:
iP F21
,
jPiPj Pi P F  45sin2 45cos22

jPiPj Pi P F 3 60sin2 60cos23 

Punând condiția ca rezultata celor patru forțe să fie nulă:
13 00
44
4 3 2 14
11
 P FFFFFFF R
yx
i
,
Deci,
j PF 134
și
134PF

23
Problema 3.1.3.
Punctul material M este acționat de sistemul de forțe concurente din
fig. 3.3 cu modulele forțelor
P F F 24 1 ,
P F542 ,
293P F ,
1325P F
. Poziția în spațiu a forțelor este precizată cu ajutorul unui
paralelipiped de muchii
a MA 2 ,
a MB 3 ,
a MC 4 .
Să se determine rezultata
R (modul și
direcție).
Rezolvare
Se cunosc modulele forțelor
1F ,
2F,
3F
,
4F ,
5F și direcțiile lor
MA ,
MH ,
ME
,
MB ,
MD . Se scriu vectorii forțelor
folosind versorii
1u ,
2u,
3u,
4u,
5u.
iP
aiaP
MAMAP uFF  2
222 2
21 1 1

kPiP
a akaiaP
MHMHP uF F 
 8 4
4 24 254 54
2 22 2 2
kPjPiP
a a akajaiaP
MEMEPuFF 
 4 3 2
4 3 24 3 229 29
2 2 23 3 3
,
jP
ajaP
MBMBP uF F  2
332 2
24 4 4
,
jPiP
a ajaiaP
MDMDP uFF 
 6 4
3 23 2132 132
2 25 5 5

Rezultanta este:

5 4 3 2 15
11 FFFFFF R
i

kP jPiP R  12 11 12
,
409PR .
Direcția rezultantei este dată de cosinusurile directoare:
40912cos 
RRx
;
40911cos
RRy ;
40912cos
RRz

24
Problema 3.1.4.
Un punct material M de greutate
neglijabilă, este atras în plan vertical de
punctele
0,0A ;
0,aB și




23,2aaC .
Forțele de atracție sunt proporționale cu
distanțele de la M la A, B și C, cu coeficienții de
proporționalitate k1, k2, k3. Se cere să se afle
poziția de echilibru a lui M față de sistemul de
referință dat.

Rezolvare
Se notează forțele de atracție
AF ,
BF,
CF , corespunzătoare
punctelor A, B, C și se consideră punctul
yxM, cu x, y necunoscute.
Condiția de echilibru este:
0 03
1
C B A
ii FFF F

Rezultă:
jyixk MAkFA 1 1
,

jyixak MBkFB 2 2








 jyaixak MCk FC23
23 3

Coordonatele punctului M aflat în echilibru sunt:

3 2 13 2
22
kkkkkax
și
2 1 33
23
kkkaky

25

Dacă se consideră un punct material aflat în echilibru pe o suprafață
(S) asupra căruia acționează forțele exterioare a căror rezultantă este
R
(fig.3.5) , atunci se observă că în acest punct nu se mai poate aplica aceeași
ecuație de echilibru (
0R ) ca în cazul punctul ui material liber .
Aceasta este o consecin ță a
existenței legăturilor, care exercită asupra
punctului respectiv anumite constrângeri
mecanice reprezentate prin forța de
legătură (reacțiunea). Pentru rezolvarea
problemei punctului material supus la
legături este necesar a fi folosită axioma
legăturilor .
Conform ac estei axiome , orice
legătură poate fi suprimată și înlocuită cu
elemente mecanice (forțe, momente)
corespunzătoare. Ca urmare corpul
considerat este liber și , în consecință ,
echilibrul său se studiază cu ecuațiile sta bilite pentru corpul liber.
Pentru punctul material legătura va fi înlocu ită cu reacțiune
R .
Condiția necesară și suficientă ca un punct material supus la legături să fie
în echilibru este ca rezultanta forțelor direct aplicate și a forței de legătură
să fie nulă, adică:
0RR
(3.4)
Sau proiectat pe axe:
0x xRR
;
0x yRR ;
0z zRR . (3.5)
Analizând relația (3.4), se consta tă că rezultanta
R a forțelor direct
aplicate și rezultanta
R a forțelor de legătură trebuie să fie egale și de
semn contrar. Legăturile punctului sunt rezemarea pe o suprafață,
rezemarea pe o curbă (în spațiu și în plan) și prinderea cu fire, care poate fi
conside rată echivalentă cu o legătură unilaterală pe o sferă a cărei rază
este tocmai lungimea firului respectiv.
Legăturile punctului pot fi :

26
 legături cu frecare (aspre) , atunci când suprafața sau curb a de
reazem aparține unor corpuri reale și care se opun mișcării
punctului material , apărând astfel forțe de frecare ;
 legături fără frecare (lucii, ideale) , atunci când se presupune că
suprafața sau cur ba sunt corpuri ideale, perfect lucioase ,
neexistând deci forțe de frecare .
În realitate astfel de legături nu există dar, dar atunci când forța de
frecare este mică și neglijabilă (suprafețe lucii) , forțele de frecare pot fi
aproximate la zer o.

În legături ideale, fără frecare,
0T . Așa cum am specificat și mai
sus, aceste tipuri de legături nu există în realitate , dar sunt întâlnibile
suprafețe la care forța de frecare poate fi neglijată într -o primă
aproximație. În cazul acestor legături
NR , cu alte cuvinte reacțiunea
este normală. Dacă se analizează o suprafață , reacțiunea are direcția
normalei la suprafață, iar dacă se analizează o curbă, reacțiunea va avea o
direcție oarecare în planul normal la curbă.
Condiția de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală va fi :
0NR
(3.6)
Proiectată pe axe , ea va arăta astfel :
0x xNR
;
0y yNR ;
0z zNR . (3.7)
Considerând că în punctul curent parametri directori ai normalei la o
suprafață sunt dați de :
0 ,,zyxf
(3.8)
Și sunt
zf
yf
xf


,, , atunci ecuațiile (3.6) și (3.7) se pot scrie:
0



 kzfjyfixfR

0 ;0 ;0 zfRyfRxfRz y x   
(3.9)

27
Analog, în cazul unui punct material M re zemat pe o curbă (C) (fig.
3.6) acționează forțele
R și
R care, în cazul echilibrului , sunt egale și
opuse. Rezultanta
R a forțelor direct aplicate se descompune în
componenta tangențială
TR dirijată după tangenta la curbă în M și în
componenta normală
NR dirijată după dreapta  ce rezultă din intersecția
planului ( ), normal la curba C în M cu planul determinat de tangenta în M
la curbă și forța
R . Reacțiunea
R se descompune după aceleași dir ecții în
reacțiunea normală
N și în forța de frecare
T .
Ca și în cazul punctului material
rezemat pe o suprafață, forța normală
NR
caută să se îndepărteze punctul M de
curbă și este anihilată de reacțiunea
normală
N . Deci, pentru echilibrul
aceste două forțe
NR și
N , trebuie fie
egale și de sens opus.
În cazul unor legături fără frecare,
forța de frecare
T nu poate să apară și
în consecință pentru echilibru în acest
caz, este necesar ca
0TR .
În cazul legăturii cu frecare forțele
TR
și
T trebuie să fie egale și de semn
contrar. Pentru ca un punct material sub acțiunea unui sistem de forțe să
rămână în echilibru pe o curbă fără frecare , este necesar ca:
 rezultanta forțelor exterioare
R să fie cuprin să în planul normal
la curbă în punctul respectiv;
 reacțiunea este o forță
N situată în același plan normal.
Ecuația de echilibru se scrie:
0NR
(3.10)
Dacă ecuațiile curbei sunt :
0 ,,1zyxf
;
0 ,,2zyxf (3.11)
atunci se poate considera că planul normal la curbă este determinat
de normalele celor două suprafețe date prin ecuațiile (3.11), luate fiecare
separat. În acest caz ecuația (3.10) devine :

28

02 2 2
21 1 1
1 







 kzfjyfixfkzfjyfixfR  
Dacă se proiec tează pe cele trei axe, se obține sistemul:




000
2
21
12
21
12
21
1
zf
zfRyf
yfRxf
xfR
zyx

(3.12)
În cazul în care curba este dată prin ecuațiile parametrice:
)(txx
,
)(tyy ,
)(tzz (3.13)
atunci condiția de echilibru se exprimă prin relația de ortogonalitate
dintre rezultanta forțelor exterioare
R (cuprinsă în planul normal) și
tangentă, ai cărei parametrii directori, sunt
dtdx ,
dtdy,
dtdz, adică:
0dtdzRdtdyRdtdxRz y x
(3.14)
Acestea sunt relațiile cu ajutorul cărora poate fi determinată poziția
de echilibru.
Problemele c are pot să apară în studiul echilibrului punctului
material supus la legături fără frecare sunt centralizat e în tabelul 3.1 .
Se observă că problemele sunt static determinate.

Felul
legăturii Necunoscute Ecuații de
echilibru Referitoare la
poziție Referitoare la
reacțiune
Rezemare
pe o
suprafață 2 (coordonatele
u, v) 1 (scalarul reacțiunii) 3 ecuații





000
zyx
FFF

29
Felul
legăturii Necunoscute Ecuații de
echilibru Referitoare la
poziție Referitoare la
reacțiune
Rezemare
pe o curbă
în spațiu 1 (coordonata
curbilinie s) 2 (scalarul și direcția
reacțiunii sau 2
componete ale
reacțiunii în planul
normal 3 ecuații





000
zyx
FFF

Rezemare
pe o curbă
în plan 1 (coordonata
curbilinie s) 1 (scalarul reacțiunii) 2 ecuații



00
yx
FF

Punct fix Niciuna 3 (proiecțiile reacțiunii
pe trei direcții în spațiu 3 ecuații





000
zyx
FFF

Spre deosebire de legăturile ideale, unde componenta tangențială T
și reacțiunea
R erau neglijate, î n cazul curbelor și suprafețelor aspre
acestea nu pot fi neglijate.
S-a constatat din practică, că modulul componentei tangențiale T
(care poartă numele de forță de frecare de alunecare ) este limitat.
În fig. 3.7. a este realizată o experiență, r edusă la forma cea mai
simplă: un corp asimilabil cu un punct material de greutate
G este așezat
pe un plan orizontal și acționat cu o forță orizontală
F , care poate varia
continuu. Se constată că până la o anumită valoare
maxF a forței
orizontale , corpul nu se pune în mișcare.

30

Se dovedește astfel că reacțiunea
R formează un unghi  față de
normală , așadar poate fi descompusă în două componente : reacțiunea
normală
N și forța
T , cea din urmă purtând numele de forță de frecare
de alunecare (fig. 3.7,b). Forța de frecare de alunecare acționează în planul
tangent cu suprafața de reazem , opunându -se tendinței de mișcare. În
figura 3.7,c este prezentat caz ul la limită, și anume atunci când forțele
F
și
T iau valori limită și unghiul  capătă la rândul lui valoarea limită
 ,
numit unghi de frecare . Forța de frecare poate varia între valorile zero și
cea limită
maxT .
Din figura 3.7 rezultă :
tgNT

și la limită
tgN Tmax

și cum
 formula se poate simplifica :
tgNT
(3.15)
Cele mai celebre experiențele făcute asupra forțelor de frecare de
alunecare sunt cele ale lui Coulomb, de unde au rezultat de altfel legile
frecării uscate , și anume:
1. valoarea forței maxime de frecare nu depinde de mărimea
suprafeței în contact dintre cele două corpuri (în cazul experienței,
suprafața dintre corp și planul orizontal) iar dacă se produce mișcarea,
forța de frecare nu depinde nici de viteza relativă;

31
2. valoarea forței maxime de frecare depinde de natura corpurilor și
a supraf ețelor în contact (de exemplu gradul de prelucrare);
3. valoarea forței maxime de frecare este proporțională cu modul
N
al reacțiunii normale.
Conform legilor de mai sus , forța de frecare de alunecare este:
N Tmax
(3.16)
sau:
N T
(3.17)
unde  este coeficientul de frecare de alunecare (mărime
adimensională c are depinde de natura și starea suprafețelor în contact ).
Comparând relațiile (3.15) și (3.17) se observă că:
tg
(3.18)
În opinia lui Coulomb , forțele de frecare își au originea în existența
la suprafața corpurilor a unor asperități care , în cazul a două corpuri în
contact , se întrepătrund.
Atunci când unul di ntre corpuri se pune în mișcare aceste asperități
sunt strivite, iar forța de frecare de alunecare este cea care se opune
acestor striviri.
Extinzând domeniul experiențelor făcute de Coulomb , se constată că
coeficientul de frecare la alunecare  variază invers proporțional în funcție de
viteză: el scade atunci când viteza crește. Valoarea coeficientului de frecare
pentru corpurile în repaus (coeficientul de aderență 0) este mai mare (fig.
3.8) decât pentru cele în mișcare ( coeficientul de frecar e dinamic ).
De asemenea, dacă
N ia valori
mari, mărimea forței de frecare de
alunecare
T nu mai variază liniar cu
mărimea reacțiunii
N .
Dacă se reduc înălțimile
asperităților, conform teoriei lui Coulomb ,
forța de frecare de alunecare va scădea .
În realitate însă, forța de frecare de
alunecare creștere la un moment dat ,
influențată fiind de alte fenomene, ca de
exemplu fi forțele de adeziune
intermoleculare (care în acest caz devin
importante ).

32
Analizând din nou experiența prezentată în fig. 3.7, se poate deduce
aspectul geometric al problemei echilibrului punctului material cu frecare.
Considerând punctul rezemat pe o suprafață și schimbând direcția
forței
F în planul tangent, reacțiunea
R , respectiv rezultanta
R , vor
descrie în acest caz un con, numit con de frecare, care are vârful în punctul
considerat, axa de simetrie este normala Mn la suprafață și unghiul la vârf
2 (fig. 3.9).
Punctul material se află în echilibru atunci când reacțiunea
R este în
interiorul sau la limită pe mantaua conului . În cazul punctului material
rezemat cu frecare (ca în cazul rezemării pe o suprafață), generatoarele
extreme vor descrie conuri complementare de frecare. Aceste conuri (fig.
3.10) au ca axă de simetrie tangenta la curbă în punctul respectiv și
unghiul la vârf

22 .
Punctul material se află în echilibru când reacțiunea
R se găsește
în afara conurilor complementare de frecare sau la limită pe mantaua
acestora.

În problemele de echilibru cu frecare ale punctului material rareori
soluția este unică . În consecință, la fel ca în cazul echilibrului fără frecare ,
problemele de echilibru cu frecare se exprimă printr -o inegalitate.
În cazul punctului pe o suprafață, st udiul analitic se face prin exprimarea
unghiul dintre rezultanta
R și vectorul
1n , coliniar cu versorul normalei
n în
punctul considerat. Suprafața este dată prin ecuația
0),,(zyxf . Astfel :

33

11cosnRnR (3.19)
unde vectorul
1n este:




 kzfjyfixfn1 1
. (3.20)
Pentru simplificare , alegem
11 .
Pentru echilibru este necesar ca
 , adică
cos cos
(3.21)
Dar
.
11
11cos
2 2


tg
(3.22)

Deci rezultă condiția de echilibru:
211
11
nRnR

respectiv
2 2 2 2
2 2 211








zf
yf
xfR R RzfRyfRxfR
z y xz y x
(3.23)
Dacă punctul se află pe o curbă , pentru a stabili o expresie analitică,
se presupune o curba dată prin ecuațiile parametrice:
)(txx
,
)(tyy ,
)(tzz (3.24)
Un vector
1u dirijat după tangentă are expresia:
kdtdzjdtdyidtdxu 1
(3.25)
Unghiul dintre rezultanta
R și vectorul
1u este dat de:

34

11cosuRuR. (3.26)
Pentru echilibru s -a văzut că este necesar ca
2 , adică
2cos cos
(3.27)
sau
sin cos .
Dar
.
1 1sin
2 2



tgtg
(3.28)
Deci condiția de echilibru este:
211
1
uRuR

respectiv
2 2 2 2
2 2 2 1


dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
z y xz y x
(3.29)
Problema 3.3.1.
Un punct material de greutate
G poate aluneca fără frecare pe un
cerc. Asupra punctului acționează forța orizontală
F (figura 3.11 ). Să se
determine poziția de echilibru a punctului și reacțiunea cercului.
Rezolvare
Se eliberează punctul material de legătura sa cu cercul și se
introduce reacțiunea normală
N . Se proiectează ecuația vectorială de
echilibru.
0 NGF

35
Pe axele de coordonate se obțin:

 0 sin 00 cos 0


G N FNF F
yx

de unde rezultă:


G NF N
sincos
Calculând raportul dintre cele două relații
de mai sus, se obține:
FGtg
;
2 2F G N
Discuție:
 când
F ;
0tg ;
0 ;
 când
0F ;
tg ;
2 ;
 când
GF ;
1tg ;
4 ;
Problema 3.3.2
O roată de rază R și greutate
G , se află în fața unui prag de
înălțime h (figura 3.12 ). Să se determine înclinarea dată de unghiul α,
pentru ca roata să treacă peste prag.
Rezolvare
Se eliberează roata de legături, forțele
care acționează asupra sa fiind: greutatea
G ,
reacțiunile
AN și
BN . În momentul în care
roata începe să se rostogolească peste prag,
reacțiunea
BN este nulă. Se proiectează ecuația
vectorială de echilibru.

0G NA
pe axele de coordonate:

 0 cos sin 00 sin cos 0


G N FG N F
A yA x

RhRsin
Se elimină
AN între aceste două ecuații și se obține:
2 2tg tg ctg tg

36
Problema 3.3.3
Un punct M de greutate
G , care se
reazemă cu frecare de coeficient μ pe o
suprafață cilindrică, este prins prin intermediul
unui fir ce se reazemă fără frecare, un corp de
greutate
P (figura 3.13 ). Poziția de echilibru a
punctului este dată de unghiul α.
Se cere să se determine valoarea lui P
pentru echilibru.

Rezolvare:
Se izolează punctul M și se scriu relațiile
de echilibru ( figura 3.13.a ):

 0 cos 00 sin 0


QN FQPT F
yx

N T

Determinând pe T și N din cele două ecuații și înlocuind în condiția
de frecare, rezultă:

  cos sinQP
Luând în considerare ambele tendințe de modificare a echilibrului,
se obține:
   cos sin cos sin QP Q

Problema 3.3.4.
Pe un cadru circular de rază R, dispus
într-un plan vertical se află un inel M de
greutate
G . De inel, prin intermediul a două
fire, sunt prinse greutățile P și Q.
Firele trec peste doi scripeți situați în
centrul cercului, respectiv pe cerc ( figura 3.14 ).
Să se determine unghiul θ pe care îl fac
firele de legăt ură între ele pentru poziția de
echilibru a inelului.

37
Rezolvare
Se eliberează inelul de legături ( fig.
3.14.a ), si notează cu
N reacțiunea normală,
iar cu
1S și
2S tensiunile din fire:

PS1
QS2
Se scrie ecuația vectorială de echilibru:

0 2 1 NSSG
Se proiectează această ecuație în
sistemul de axe ales (tangenta și normala la
cerc);


 02cos sin 00 2sin cos 0
22 1


G S FN G SS F
yx
Ținând cont că
QS2 și
2sin212cos , din a doua ecuație se
determină unghiul θ. Se obține astfel o ecuație de gradul al II -lea:

0 sin sin22 G Q G

GG Q Q
48sin2 2 ;
Deoarece
0 sin 90  (în cadranul II).
În acest caz, soluția este:

GG Q Q
48sin2 2

GQG Q
48arcsin2

Problema 3.3.5.
Un corp M de greutate
G se reazemă cu frecare pe un plan ABCD
înclinat față de planul orizontal cu unghiul α, fiind prins cu un fir de punctul
A al planului ( fig. 3.15 ). Asupra corpului acționează și forța Q, conținută
într-un plan paralel cu planul înclinat, forță ce este orientată după linia de
cea mai mare pantă a planului.
Să se determine valoarea minimă a forței Q pentru echilibru, dacă
coeficientul de frecare dintre planul înclinat și corp este μ, iar unghiul pe
care firul AM îl face cu latura AB a planului este β.

38
Rezolvare
Se eliberează punctul M de legături (fig.3.15 a si fig.3.15.b) si se
introduc următoarele notații:
N
– reacțiunea planului înclinat,
S
– tensiunea din fir,
maxT
– valoarea maximă a forței de frecare

Se proiectează ecuația vectorială de echilibru:
0 maxmin T QSNG
pe axele de coordonate, se obține:


 0 cos 00 sin sin cos 00 cos sin 0
maxmax min


GN FG S T FS T Q F
zyx

N Tmax

Din ecuațiile de mai sus se
determină valorile reacțiunii normale N, a
tensiunii de fir S și a forței Qmin.




sin cossincos sincos
max minmax
T S QT GSGN

Ținând cont de valoarea reacțiunii
normale și de condiția de frecare, rezultă:
  

sin cos cos cos sinsincos cos sin
min G ctg G G QG GS

39
Problema 3.3.6
O sferă de greutate
G este suspendată printr -un fir de un punct
situat pe linia de intersecție a doi pereți verticali, care formează un unghi
de 90°, fiind rezemată pe aceștia ( figura 3. 16 ). Să se determine tensiunea
în fir și reacțiunile celor doi pereți, dacă firul face cu verticala unghiul α.

Rezolvare
Se eliberează sfera de legături și
se notează cu
1N și
2N reacțiunile celor
doi pereți, iar cu
S tensiunea din fir.
De asemenea, se notează cu
sin1SS
proiecția tensiunii în planul
xOy (figura 3. 16.a ).
Se scrie ecuația vectorială de
echilibru:
0 2 1 SNNG

și se proiectează această ecuație pe cele trei axe de coordonate:



 0 cos 00 45sin 00 45cos 0
21


G S FSN FSN F
zyx




0 cos0 45sin sin0 45cos sin
21
G SSNSN
Din primele două ecuații se
determină valorile reacțiunilor normale N1 și N2.

 sin22
2 1 S NN ,
iar din cea de a treia ecuație, valoarea tensiunii din fir S:
cosGS

În final, se obține:
 Gtg N N22
2 1

40
Problema 3.3.7
Pe un plan înclinat cu unghiul α
față de orizontală, este rezemată o sferă
M de greutate P. Bila este legată prin
intermediul a două fire AM și BM, care fac
unghiul β cu planul vertical și unghiul γ
între ele ( figura 3.17 ). Să se determine
reacțiunea planului înclinat și tensiunile în
cele două fire.

Rezolvare
Se eliberează sfera de legături și
se notează cu
N reacțiunea planului înclinat,
1S și
2S tensiunile din fire.
Acestea se pot observa mai bine în proiecțiile din figura 3.18. În
acest caz, ecuația vectorială de echilibru a sferei se va scrie:

0 2 1 NSSP

Se proiectează ecuația vectorială pe cele trei axe:


 
 0 sin 90cos 00 90sin cos2cos2cos 002sin2sin 0
2 11 2
 

P N FN P S S FS S F
zyx
De asemenea, rezultanta tensiunilor se poate scrie:

2cos21S R
Din ecuațiile de proiecție se obține:

41



sinsin2 1
PNSS
Tensiunile din fire vor fi:




  cossinsincos
2cos21
2 1PP SS





 tgP sincos
2cos2

Problema 3.3.8
Un inel M de greutate G, alunecă
fără frecare pe un cerc de rază r, fiind
respins de extremitatea A a diametrului
orizontal și atras de extremitatea B a
diametrului vertical, cu forțe
proporționale cu distanțele respective.
Să se determine poziția de
echilibru a punctului pe cerc și reacțiunea
cercului ( figura 3.19 ).
Rezolvare
Ecuația vectorială de echilibru este :

0 NGFF B A
Se obțin ecuațiile de echilibru proiectate pe axele sistemului de
referință:

0 cos24cos2cos    G F FB A (a)

0 sin24sin2sin  G F FNB A (b)
unde:

2sin2kr FA ,
24sin2kr FB (c)
Din relațiile (a) și (c) se deduce:

1krGtg (d)

42
Din relațiile (b) și (c) se deduce:

  cos sin kr krGN (e)
Din relația (d) se obține:

22 2sin
rk krGkrG
 ,
22 2cos
rk krGkr

Reacțiunea normală N este:
2 2 2' rk krG N 

Problema 3.3.9
Inelul M de greutate G,
alunecă cu frecare pe o bară situată
într-un plan înclinat cu unghiul α, care
face cu dreapta de intersecție a
planelor înclinat și orizontal unghiul β
(figura 3.20 ). De inelul M este legat cu
un fir care trece prin capătul A al
barei, printr -un inel fără frecare. La capătul firului este o greutate Q. Se
cere reacțiunea normală N și valoarea coeficientului de frecare μ între inelul
M și bara AB, pentru echilibru.

Rezolvare
Se consideră planul înclinat care
conține bara AB și se notează forțele
care apar pe axele sistemului x1My1
(fig.3.20.a ). Rezultă:
0 sin sin ;0  GFQ Ff xi
(a)
0 cos sin ;02  GN Fyi
(b)
N T
(c)
Se realizează o secțiune verticală
prin cele două planuri și inelul M și,
alegând sistemul de referință x2My2 (fig.
3.20.b ), se scriu ecuațiile proiecțiilor de
forțe pe sistemul ales:
0 sin sin sin;0  G T Q Fxi
(d)
0 cos ;01  GN Fyi
(e)

43
unde:
2
22
1N N N
(f)

Din (b), (e) și (f) rezultă:
2 2 2cos sin cosGN

Din (a) și (c) rezultă:

2 2 2cos sin cos sin sin G GQ


2 2 2cos sin cossin sin
GGQ
 Q G GQ
G
 sin sin;sin sin max
cos sin cos1
2 2 2

Problema 3.3.10
Pe semielipsa de ecuație
1422
22
ay
ax
0y aflată într -un plan
vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului
acționează o forță orizontală F (figura 3.21 ). Să se determine valoarea
forței F și reacțiunea normală N pentru
echilibr u în cazul în care
3ay .
Rezolvare
Se scrie relația vectorială:
0 VFG

unde:
jG G
;
iFF ;
n N
se cunoaște că:
jyyxfixyxfn, ,
;
 14.22
22
ay
axyxf .
Rezultă:

 jayiaxN2 22
2 .
Înlocuind în relația vectorială, se obține:

44





0202
22
ayGaxF
Pentru
3ay din ecuația elipsei, rezultă:
234ax . Înlocuind în
relația anterioară, se obține:

yaG22
 .
Rezultă:

i G F 2 ;
ji Gjyix
yGN  3 22 2
Problema 3.4.1
O sferă de greutate
P se sprijină în
punctele A și B pe două plane fixe, înclinate
cu unghiurile α și β față de orizontală. Să se
determine reacțiunile în punctele A și B
(figura 3.22 ).

Răspuns :
sinsinP NA ;
sinsinP NB
Problema 3.4.2
O bilă de greutate
P se reazemă pe un
plan înclinat față de orizontală cu unghiul α.
Bila este legată de punctul A printr -un fir
inextensibil care face cu verticala unghiul β
(figura 3.23 ).
Să se determine tensiunea în fir și
reacțiunea planului înclinat.

Răspuns :
sinsinPS
  cossinsincosPPN

45

Problema 3.4.3
Inelul M, de greutate neglijabilă,
alunecă fără frecare pe semielipsa
1322
22
ay
ax

0y , aflată într -un plan
vertical. De inelul M sunt prinse două fire
care trec fără frecare prin inelele A și B (AB
aparține semiaxei orizontale a elipsei) și au la capete greutățile P și Q
cunoscute ( figura 3.24 ). Să se determine reacțiunea N a semielipsei asupra
inelului în momentul în care
ax .

Răspuns :
j iQ Pjayiax Q PN 


 


  61414
52323 1414
5236

Problema 3.4.4
Printr -un inel M de greutate
neglijabilă, care se reazemă cu frecare de
coeficient μ pe un cerc de rază r, sunt prinse
două fire ce trec fără frecare prin două inele
fixe A și B (figura 3.25 ). La capetele firelor
sunt legate două corpuri cu greutățile G1
respectiv G2.
Să se determine raportul
21
GG , astfel
încât punctul M să rămână în repaus în
poziția dată de unghiul θ, considerat
cunoscut.

Răspuns:
Condiția finală de echilibru este:
2sin2cos24sin24cos
2sin2cos24sin24cos
21


GG

46
Problema 3.4.5
Pe semielipsa de ecuație
1422
22
ay
ax
0y aflată într -un plan
vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului
acționează o forță orizontală F (figura 3.26 ). Să se determine valoarea
forței F și reacțiunea normală N pentru echilibru în cazul în care
3ay .
Răspuns :
i G F 2
.
ji Gjyix
yGN  3 22 2