Catedra Pedagogia Învățămîntului Primar Ludmila Ursu Note de curs la DIDACTICA MATEMATICII (sinteze) 3 Tema 1. Concepția didactică a cursului primar… [612392]

Licență

Catedra Pedagogia Învățămîntului Primar Ludmila Ursu Note de curs la DIDACTICA MATEMATICII (sinteze) 3 Tema 1. Concepția didactică a cursului primar… [612392]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Universitatea Pedagogică de Stat „Ion Creangă” din mun.Chișinău

Catedra Pedagogia Învățămîntului Primar

Ludmila Ursu

Note de curs
la DIDACTICA MATEMATICII (sinteze)

3 Tema 1. Concepția didactică a cursului primar de matematică

1. Prevederi curricul are
2. Orientări strategice în metodica predării matematicii în clasele primare

1. Predarea -învățarea matematicii în clasele primare are scop ul să
asigure pentru toți elevii formarea capacităților de bază: calcul aritmetic,
noțiuni elementare intuitive de ge ometrie, noțiuni elementare vizînd
măsurarea și măsurile.
Curriculum -ul la matematică vizează formarea de structuri ale
gîndirii specifice matematicii cu următoarele accente în:
– abordarea conținuturilor : trecerea de la o aritmetică teoretică la o
varietate de contexte problematice gener alizate de aritmetic ă;
– pregătirea elevilor : trecerea de la aplicarea unor algoritmi rezolutivi
la utilizarea de strategii în rezolvarea de probleme;
– învățare : reamplasarea accentului de pe memorare repetată pe
explorare -inves tigare;
– predare : trecerea de la subiectivismul și rigiditatea în aprecierea cu
note la transformarea evaluării într -un mijloc de autoapreciere și
stimulare a elevului.
Toate acestea obligă învățătorul să -și schimbe fundamental
orientarea în activitatea la clasă, să facă efort sistematic pentru a cunoaște
cît mai bine posibilitățile elevilor și, pe această bază, să proiecteze și să
aplice în mod creator, potrivit celui mai bun efect așteptat, soluțiile
individualizatoare menite să asigure dezvoltarea persona lității integrale a
fiecărui elev.
Obiectivele cadru prevăzute curricular pentru instruirea matematică
primară sînt:
– însușirea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;
– dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și rezolvare de
probleme;
– formarea unor capacități de comunicare, utilizînd limbajul
matematic;
– formarea motivației personale și a unor atitudini pozitive față de
matematică în contexte variate.
Alături de limba română, matematica este una din tre disciplinele de
bază, care se studiază în clasele primare.
În planul -cadru de învățămînt al ciclului primar, studiului
matematici i la clasele I – IV îi sînt rezervate c ăte 4 ore obligatorii și o oră
opțională pe săptămînă în fiecare clasă . Importanț a ce se acordă

4 matematicii poziționează acea stă disciplină ca una fundamentală, a cărei
studiere sistematică și temeinică servește cu certitudine însuș irii altor
discipline școlare.
2. Specifice predării -învățării matematicii în clasele primare sînt
strategia inductivă și strategia analogică . Ca tip special de abordare a
realității matematice în maniera inductivă , învățătorul și elevii întreprind
explorări și investigări asupra situației date sau în cadrul ei, efectuînd
acțiuni cu obiecte concrete sau ideale (noțiuni). Pe baza observărilor
făcute, pr ovocate de acțiun ile întreprinse, elevii sînt conduși progresiv
spre conceptualizări. De exem plu, în rezolvările de probleme care folosesc
abordările inductive, elevul gîndește analitic prin probe și, treptat, ajunge
la o concluzie. Acest tip de activitate constituie o premisă a construirii
ulterioare a raționamentului specific matematic .
Strategia analogică are ca temei o primă și esențială caracteristică a
gîndirii matematice, anume relevanța ei logic -analogică. Vom întîlni
analogii între noțiuni, între i dei, între domenii și chiar între analogii.
Punctul de plecare rezidă în faptul că analogia reprezintă forma principală
sub care se manifestă procesele de abstracție.
Modernizarea pedagogiei învățămîntului matematic, în special din
perspectiva apropierii f ormării gîndirii logice a elevilor, încă din pr imele
clase, de logica științei matematice propriu -zise, impune organizarea și
desfășurarea acesteia într -o manieră nouă:
– conștientizarea complexității actului de predare -învățare;
– metode active și participati ve;
– diferențierea învățămîntului;
– cultivarea interesului pentru studiu ș.a.
Prin toate acestea se urmărește sporirea eficienței formative a
învățămîntului matematic primar.

Tema 2. Structura sistemului de exerciții și probleme

1. Caracteristica generală a s istemelor de exerciții și probleme l a
matematică în clasele primare
2. Principii de structurare a sistemelor de exerciții și probleme

1. Un sistem de exerciții și probleme pentru o unitate de învățare în
clasele primare comportă o dublă valență:
– formează rep rezentări și noțiuni matematice;
– fixează, antrenează și dezvoltă capacități specifice matematice.

5 Sistemele de exerciții și probleme sînt structurate pe două pagini
pentru fiecare unitate de învățare (o oră de predare, o oră de consolidare).
Pentru ora de predare sistemul de exerciții și probleme se
structurează în felul următor :
– un context problematic care servește drept punct de plecare în
descoperirea noii achiziții cognitive;
– exerciții și probleme pentru asigurarea retenției și a transferului.
Pentru or a de consolidare sistemul de exerciții și probleme se
structurează pe trei niveluri, fiecare asigurînd atingerea obiectivelor ce
vizează unul din domeniile cognitive:
– nivelul 1, de fixare: domeniul cunoaștere și înțelegere ;
– nivelul 2, de antrenare: domeniu l aplicare ;
– nivelul 3, de dezvoltare: domeniul integrare .
Astfel, învățătorul are posibilitatea să lucreze diferențiat cu elevii
care demonstrează nivel uri diferit e de performanță.
Sistemele de exerciții și probleme din manualele de matematică
pentru clase le primare nu trebuie abordate rigid. Învățătorul trebuie să le
adapteze nivelului real și necesităților clasei concrete de elevi. Pentru
aceasta el trebuie să valorifice întregul bagaj metodologic acumulat, să
cunoască profund ritmul de învățare și nivelu l clasei, să utilizeze creativ
literatura metodico -matematică și să acționeze în conformitate cu
principiile specifice de structurare.
2. Sistemul de exerciții și probleme care conține sarcini de același
tip se numește stereotipic . Stereotipictatea are efe ct:
– pozitiv : asigură formarea de capacități aplicative trainice;
– negativ : scade atenția și interesul ; gîndirea, treptat , devine mecanică ;
sporește riscul comiterii greșelilor.
Pentru a păstra efectul pozitiv și a anihila efectul negativ al
stereotipicități i, se recomandă a folosi și alte principii de structurare a
sistemelor stereotipice.
Conform principiului repetării continue , în sistemul stereotipic se
includ sarcini din repetare. Scopul acestor includeri rezidă în sporirea
atenției, activizarea elevilor , anihilînd astfel efectul negativ al
stereotipicității. Tot odată se realizează repetarea continuă a conținuturilor
învățate anterior. Astfel, sistemul primește structura:
T1, T2, T3, R 1, T4, T5, R 2, T6, T7 … , unde prin T sînt notate sarcinile
stereotipi ce la tema nouă, iar prin R – sarcinile din repetare.
Cerințele metodologice față de un asemenea sistem sînt:

6 – gruparea sarcinilor stereotipice la tema nouă cîte 2 -3, ceea ce permite
elevilor mai slabi să însușească noua capacitate, iar elevilor mai buni
să nu-și piardă definitiv atenția și interesul;
– sarcinile din repetare se aleg aparent asemănătoare cu cele la tema
nouă, pentru a stimula gîndirea conștientă a elevilor.
Principiul con fruntă rii presupune alternarea exercițiilor și
problemelor care tind să fie confundate de către elevi sau care se află
într-o legătură strînsă pe care vrem s -o evidențiem.
De exemplu, elevii confund semnificația sintagmelor “cu … mai
mic /mare” și “de … ori mai mic/mare”. De aceea se creează exerciții și
probleme în care ace ste sintagme apar simultan , în confruntare, și elevii
sînt puși în situația să aleagă conștient operați a de rezolvare.
Aceeași situație se creează la problemele:
– de aflare a două numere după sum a și raport ul acestora și de aflare a
două numere după sum a și diferența acestora ;
– de aflare a unei fracții dintr -un întreg și de aflare a întregului după o
fracție a sa.
Dacă, d e exemplu, ne interesează să evidențiem legătura dintre
adunare și scădere, aceste noțiuni se introduc simultan, în con frunta re,
descoperind asemănările, deosebirile și relațiile lor în rezolvări de exerciții
și probleme.
Prin contraexemplu didactic se înțelege orice exercițiu sau
problemă care, provocînd elevii să greșească, permite elucidarea și
prevenirea greșelilor de înțelegere . Contraexe mplele se alcătuiesc de către
învățător în urma observării și analizei greșelilor comise de elevi în cadrul
evaluării. Această activitate necesită o dirijare atentă de către învățător, de
aceea se realizează în clasă și nici într -un caz nu se recomnadă pentru
lucru independent.
Contraexemplul didactic este văzut de către copii ca un joc și
permite educ area atenției elevilor.
De exemplu, formînd capacitatea de a împărți cu rest numere
naturale (cl.II) propunem elevilor exerciții rezolvate, unele conținînd
greșeli:
34 : 8 = 4, rest 2
36 : 5 = 6, rest 6
28 : 3 = 7, rest 4
22 : 4 = 5, rest 2.
Elevii analizează exercițiile propuse, descoperă greșelile, le
corectează argumentat.

7 Se spune că sistemul de exerciții și probleme respectă principiul
plenitudinii , dacă s e asigură însușirea conținutului de învățare și se
exclude formarea unor asociații eronate.
Alegînd din manual exercițiile și problemele, învățătorul trebuie să
fie atent ca să nu încalce principiul plenitudinii. Încălcările pot fi:
– vădite : dacă nu prezent ăm elevilor, de exemplu, probleme de un
anumit tip, atunci ei nu vor învăța să le rezolve;
– ascunse : de exemplu: 1) dacă elevilor li s -a demonstrat pătratul doar
cu laturile în poziția vertical -orizontală, atunci văzînd pătratul cu
laturile oblice, elevii p ot să nu -l recunoască; 2) dacă sistemul nu va
conține contraexemple didactice, atunci, la moment, greșeli pot să nu
fie comis e, însă, în timp, aceste greșeli vor ieși la iveală și va fi mult
mai dificil de a le combate.

Tema 3. Elemente pregătitoare pent ru formarea conceptului de
număr natural
1. Premise psiho -pedagogice ale formăr ii conceptului de număr natural
2. Prevederi curriculare

1. Copiii de vîrstă școlară mică se găsesc în stadiul operațiilor
concrete. Ei învață prin intuiție și manipulare directă a o biectelor concrete,
iar activitatea matematică reproduce, între anumite limite, spațiul fizic în
care se dezvoltă copiii. De aceea cunoașterea și modelarea obiectelor din
spațiul fizic reprezintă ideea esențială în învățarea matematicii atît în
preșcolarit ate, cît și în clasa întîi.
Premisele psiho -pedagogice ale formării conceptului de număr
natural sînt:
– în jurul vîrstei de 3 -4 ani copiii devin capabili să localizeze un set de
obiecte într -un sistem de relații spațial e;
– la vîrsta de 4 -5 ani se formează in tuitiv noțiunile figurative de
interior/exterior, închis/deschis;
– după vîrsta de 5 ani copiii devin capabili să reproducă o anumită
ordine spațială simplă;
– începînd cu vîrsta de 6 -7 ani copiii pot organiza în mod concret
spațiul fizic: înțeleg și pot expli ca anumite proprietăți ale figurilor
geometrice, sînt capabili să noteze grafic deplasările unui corp, să
construiască mulțimi de obiecte după anumite proprietăți ale
elementelor sale, apar primele semne ale formării noțiunii de măsură;

8 – la începutul vîrste i școlare mici se dezvoltă primele operații logice
elementare: conjuncția, disjuncția și negația;
– la vîrsta de 6 -7 ani apar primele reprezentări despre invaria nța
cantității: copii sînt capabili să stabilească corespondența între
elementele a două mulțimi și să exprime rezultatul acestei activități
prin cuvintele mai puțin/tot atît/mai mult .
2. Perioada pregătitoare prevede 14 ore la începutul clasei I și este
extrem de importantă sub raportul obiectivelor pe care le pune:
– adaptarea copilului la noua sa fun cție socială;
– formarea competențelor elementare de învățare;
– actualizarea și sistematizarea cunoștințelor și capacităților specifice
matematicii dobîndite în preșcolaritate;
– dezvoltarea raționamentului și limbajului specifice matematicii.
Conținutuirle înv ățării prevăzute curricular pentru perioada
pregătitoare se constituie din:
 exerciții pentru organizarea spațiului fizic și geometric :
– cu ajutorul noțiunilor aproape/ departe, înăuntru/afară,
interior/exterior, pe/sub/între, în față/în spate, înainte/înapo i, sus/jos,
stînga/dreapta, scurt/lung, scund/înalt, subțire/gros, îngust/lat, ușor/greu,
puțin/mult, mic/mare ;
– notarea grafică a deplasării unui corp, a distanței dintre două obiecte;
– cunoașterea formelor spațiale (sferă, cub) și plane (cerc, pătrat,
triunghi, dreptunghi);
 exerciții de formare și clasificare a mulțimilor după 1, 2, 3
dintre proprietățile: formă, mărime, culoare, întrebuințare , utilizînd
cuvintele și, sau, nu ;
 exerciți i pentru de sprinderea ideii de corespondență între
mulțimi prin comparare a și egali zarea mulțimilor de obiecte cu utilizarea
noțiunilor mai puțin /tot atît /mai mult .
Activitățile recomanda te sînt
– manipularea obiectelor concrete,
– jocurile logico -matematice,
– jocuri de formare a mulțimilor.
Activitățile de punere în coresponde nță a două mulțimi se pot
desfășura în două direcții:
– stabilirea echivalenței a două mulțimi de obiecte prin realizarea
corespondenței element cu element;
– construirea unei mulțimi echivalente cu o mulțime dată.
Corespondența dintre două mulțimi poate fi in dicată:

9 – printr -o linie de unire a elementelor corespondente;
– prin alăturare sau suprapunere a elementelor corespondente;
– suprapunerea și egalizarea rigletelor.
Activitățile de stabilire a corespondenței element cu element a
mulțimilor urmăresc să dezvolte la copil înțelegerea conținutului esențial
al noțiunii de număr natural ca o clasă de echivalență a mulțimilor finite
echipotente cu o mulțime dată .
În activitățile matematice învățătorul trebuie să ofere elevilor un
model de exprimare corectă, clară, pe î nțelesul și la nivelul pregătirii
elevilor. Dacă elevii formulează raționamentele matematice în esență
corect, dar într -un limbaj nesigur, învățătorul îi va aprecia pozitiv,
subliniind partea corectă a răspunsului și ajutîndu -i să-și corecteze
exprimarea.
În practica școlară se remarcă tendința unor învățători de a restrînge
perioada pregătitoare și de a trece mai rapid la conținutul propriu -zis a l
cursului de matematică. Însă, chiar dacă nivelul de pregătire a clasei este
avansat, numărul de ore rezervate perioadei pregătitoare nu trebuie scăzut
din motivul că valențele formative ale acesteia sînt multiaspectuale .

Tema 4. Metodologia formării conceptului de număr natural în clasa
întîi

1. Dinamica formăr ii conceptului de număr natural
2. Metodologia formării co ncep tului de număr natural cardinal
3. Metodologia formării conceptul ui de număr natural ordinal

1. Primele zece numere constituie fundamentul pe care se va
dezvolt a ulterior întregul edificiu al gîndirii matematice a copilului.
Acesta este primul contact al copiilor cu matematica, cînd aceștia încep să
utilizeze cuvinte pentru a denumi numere și cifre pentru a le scrie.
Proiectul tematic de perspectivă la matematică pentru clasa I
prevede pentru predarea fiecărui număr al primei zeci cîte două ore. La
prima lecție se dezvăluie aspectul cardinal al numărului natural, iar la
lecția a doua se dezvăluie relația de ordine a numărului respectiv cu
numerele învățate anterior.
În formarea conceptului de număr natural acțiunea precede intuiția,
modelul didactic presup unînd următoarea dinamica:
 activități și acțiuni cu mulțimi de obiecte (faza concretă);
 schematizarea acțiunii și reprezentarea grafică a mulțimilor (faza
reprezentărilor);

10  traducerea simbolică a acțiunilor (faza abstractă).
Raportul dintre aceste etape se schimbă treptat pe parcursul
evoluției de la intuitiv la logic, de la concret la abstract. La început se va
acorda prioritate activităților concrete, după care, treptat, se vor utiliza, cu
precădere, corespondențele grafice pe tablă și pe fișe individuale .
2. Modelul metodologic al formării conceptului de număr natural
cardinal prevede următoarele e tape.
– Se construiește o mulțime care are tot atîtea elemente cîte indică
numărul învățat anterior și o mulțime cu un singur element.
– Se reun esc cele două mulți mi și învățătorul denumește mulțimea nou
formată. De exemplu, s -a obținut o mulțime nouă care are patru
elemente și încă un element . Despre o astfel de mulțime spunem că
are cinci elemente.
– Se construiesc mulțimi care au tot atîtea elemente ca și mulțimea nou
formată, folosind corespondența “unu la unu” (formarea perechilor de
elemente ). Învățătorul subliniază faptul că numărul arată cîte elemente
are fiecare din mulțimile construite. Activitățile de stabilire a
corespondenței “unu la unu” între elementele diferitor mulțimi conduc
elevii spre detașarea treptată a conceptului de număr natural ca o
clasă de echivalență a mulțimilor finite echipotente cu mulțime a dată.
Esențial este ca elevii să înțeleagă că există o infinitate de mulțimi
echivalente cu mulțime a dată , toate avînd același număr de ele mente .
– Se continue cu acțiuni concrete care relevează toate posibilitățile de
compunere a numărului învățat. Trecerea de la acțiunea concretă la
reprezentarea iconică se face solicitînd elevilor să deseneze pe caiete
ceea ce au efectuat cu obiectele concrete pe bancă.
– Asigurîndu -se ca toți elevii au realizat saltul calitativ de la acțiune a
concretă la reprezentarea iconică, învățătorul trece la învățarea scrierii
cifrei respective. Scrierea numerelor ridică dificultăț i psihologice,
unele chiar mai mari decît la scrierea literelor: elevul trebuie să
realizeze o legătură triplă reversibilă între conceptul numeric,
exprimarea sa verbală și semnul grafic. O atenție sporită trebuie
acordată procesului de înțelegere a semnif icației cifrei zero, deoarece
aceasta reprezintă pentru copil o dublă abstracție: ea nu exprimă ceva
concret, fiind simbolul clasei de mulțimi vide. Se atenționează asupra
distincției dintre noțiunea de număr și noțiunea de cifră ca simbol
grafic al număru lui.
– Se repetă verbal toate posibilitățile de compunere și descompunere a
numărului respectiv simultan cu reprezentarea grafică prin diagrame.

11 Acesta este momentul optim de construcție a micromodelelor mintale
cu care copilul va opera ulterior în procesul de adunare și scădere a
numerelor naturale. Elevul rezolvă exercițiile de compunere /des-
compunere a numărului natural prin încercări sau pe cale
probabilistică pînă ajunge la soluție.
3. Pentru a stabili relația de ordine a numărului dat cu numerele
învăț ate anterior se recomandă a se proceda astfel (de exemplu, la
predarea -învățarea aspectului ordinal al numărului 5):
– se construiește o mulțime cu 4 elemente și alta cu 5 elemente;
– se pun în corespondență “unu la unu” elementele acestor mulțimi și se
găseșt e că prima mulțime are cu un element mai puțin decît cea de a
doua mulțime;
– se introduce semnul “<” care se citește “ mai mic ”, apoi semnul “>”
care se citește “ mai mare ”; se atenționează că vîrful semnului indică
numărul mai mic;
– se scriu numerele învățate în ordine crescătoare și descrescătoare,
folosind semnele corespunzătoare:
1 < 2 < 3 < 4 < 5, 5 > 4 >3 >2 >1 .
Se efectuează exerciții vizînd:
– completarea șirului numere lor 0-10 cu numerele ce lipsesc;
– determinarea vecinilor numărului dat (predecesor și succesor);
– stabilirea relației de ordine între numere care nu sînt consecutive;
copiii vor compa ra numere fără a utiliza obiect e concrete , după locul
pe care îl ocupă aceste numere în șirul 0 -10;
– ordonarea mai multor numere în șir crescător sau descres cător.
Elevii trebuie să înțeleagă că relația de ordine pe mulțimea
numerelor naturale nu este dată de denumirile numerelor, care de multe
ori se învață mecanic, ci de relațiile “ mai mic ” sau “ mai mare ” care se
stabilesc între numere și corespund relațiilo r “mai puțin” sau “mai mult”
între mulțimile ce reprezintă numerele date.

Tema 5. Metodologia studierii numerației numerelor naturale

1. Organizarea studiulu i numerației numerelor naturale
2. Noțiunile noi în fiecare concentru
3. Materiale didactice recomandate

1. Numerația este conținutul central al cursului primar de
matematică. În legătură cu numerația se proiectează studiul celorlalte
compartimente ale cursului.

12 Conținutul studiului numerației este organizat, în principal, după un
model liniar, cu sensibile o rientări spre constituirea de modele spiralate.
Se efectuează extinderea treptată a numerelor naturale în cadrul numerelor
pînă la 10, apoi pînă la 20, la 30, 100, 1 000, 1 000 000, 1 000 000 000. O
asemenea organizare concentrică de repartizare a materiei de studiu
asigură:
 gradare a judicioasă a dificultăților;
 condiții le necesare și reale pentru reluarea și întărirea cunoștințelor în
sisteme integrative, cu accent pe structură și relații logice.
Predarea -învățarea numerației prevede:
 o etapă de conștienti zare: introducerea conceptul ui de număr natural
pe baza mulțimilor, ideea de sistem zecimal de numerație, scrierea
pozițională, noțiunile de ordin și clasă, compararea și ordonarea
numerelor, estimări și rotunjirea numerelor;
 o etapă de învățare -interioriz are cu finalitate operatorie automatizată
(numărare);
 o etapă de generalizare -aplicare și transfer matematic.
Aceste etape nu sînt distincte, ci se împletesc pe parcursul învățării.
În clasa I se învață numerele pînă la 100, într -a II-a – numerele pînă
la 1000, în clasa a III -a – numerele pînă la 1 000 000, în clasa a IV -a –
numerele mai mari decît 1 000 000. În clasa a IV -a se sistematizează și se
adîncesc noțiunile aferente conceptului de număr natural.
2. În concentrul 0 -10 se introduc noțiunile : număr, cifră; mai mic/
egal / mai mare; predecesor /succesor; ordine crescătoare / descrescă –
toare; număr par / impar; axa numerelor.
În concentrul 0 -20 se introduce noțiunea de “ zece” cu o dublă
semnificație:
 o nouă unitate de numerație : cu zecile se poate număra la fel ca și cu
unitățile;
 o nouă unitate de ordin : 10 unități formează o “ zece”, iar cifra zecilor
se scrie la stînga cifrei unităților; paralel se introduce noțiunea despre
număr de două cifre.
În concentrul 0 -100 se introduc noțiunile : numere consecutive,
numere precedente, numere următoare, se antrenează compunerea
/descompunerea numerelor în termeni de ordin (zeci și unități) .
În concentrul 0 -1000 se introduce noțiunea de număr de 3 cifre, se
antrenează compunerea/des compunerea numerel or în termeni de ordin
(sute, zeci, unități) și descompunerea canonică (în sume de produse),

13 estimarea și rotunjirea numerelor la cea mai apropiată zece sau sută (prin
lipsă/prin adaos).
În concentrul 0 – 1 000 000 se introduce noțiunea de ordin (locul
cifrei în scrierea numerelor de la dreapta spre stînga) și clasă (un grup de
trei ordine consecutive începînd cu ordinul 1), se continuă activitățile de
compunere/descompunere, de estimare și rotunjire a numerelor.
În concentrul 0 – 1 000 000 000 se formează reprezentări despre
sistemul zecimal de numerație (cifrele arabe și regulile de folosire a
acestora la citirea și scrierea numerelor naturale) și despre proprietățile
acestui sistem :
 zecimal : zece unități de orice ordin formează o unitate de ordin
imediat superior;
 pozițional : valoarea cifrei depinde de poziția acesteia în scrierea
numărului.
Se introduce noțiunea de ordin de mărime a numărului (ordin
superior), scrierea pozițională a numărului (de exemplu, numărul de 3
cifre se notează abc, unde a poate p rimi valori de la 1 la 9, iar b și c pot
primi orice valori cuprinse între 0 și 9).
Se formează capacitatea de a utiliza cifre romane pentru scrierea
numerelor ordinale.
Elevii sînt conduși progresiv la înțelegerea infinității șirului
numerelor naturale. L a denumirile cunoscute ale claselor unităților, miilor
și milioanelor se adaugă denumirile claselor miliardelor, trilioanelor,
cvadrilioanelor, cvintilioanelor, sextilioanelor etc.
3. Materialul didactic potrivit pentru predarea -învățarea numerației
poate fi:
 bețișoarele, care se leagă cîte 10 în mănunchiuri;
 rigletele;
 cubulețele -unități care se asamblează în ba re cîte 10, în plăci de 100 și
în cuburi cîte 1000;
 numărătoarea cu bile;
 numărătoarea de poziționare cu tije la fiecare ordin , pe care se
aranjeaz ă cel mult 10 bile;
 abacul;
 tabelul ordinelor și claselor.
Rolul materialelor didactice concrete este sporit în clasa întîi și
scade treptat către clasa a I I-a, iar în clasele a III-IV-a ne bazăm mai mult
pe un suport iconic.

14 Se impune dozarea judicioasă a intuiției ca suport material, fiind la
fel de periculos abuzul de intuiție ca și insuficiența acesteia.

Tema 6. Metodologia formării noțiunii de adunare a numerelor
naturale

1. Introducerea noțiunii de adunare a numerelor naturale
2. Proprietăț ile adunării nu merelor naturale
3. Predarea -învățarea tablei adunării în clasa I

1. Noțiunea de adunare se prevede a fi introdusă la elevii claselor
întîi după ce ei și-au însușit conceptul de număr natural, au construit
progresiv șirul 0 -10 și au cercetat și memorat conșt ient toate posibilitățile
de compunere /descompunere a numerelor 0 -10. Anume acestea din urmă
constituie baza predării -învățării adunării numerelor naturale 0 -10.
Pentru formarea noțiunii de adunare se parcurg următoarele trei
faze:
 faza concretă (acțiuni concrete cu obiecte concrete), scopul căreia
constă în dirijarea elevilor spre înțelegerea sensului concret al
adunării : rezultatul adunării a două numere este cardinalul reuniunii
a două mulțimi disjuncte finite care au fiecare atîtea elemente cîte
coresp und numerelor care se adună ;
 faza semiabstractă (a reprezentărilor) în care obiectele concrete se
reprezintă prin simboluri practice, abstractizant -intuitive: elevii
desenează pe caiete mulțimi cu astfel de simboluri sau folosesc
riglete;
 saltul la concept ul matematic de adunare prin care elevii scriu cu
cifre și semne (+ , =) operația de adunare și denumesc numerele la
adunare (termeni și sumă).
Etapa reprezentărilor este foarte importantă în procesul cognitiv și
comportă valențe importante , inclusiv pentru înțelegerea proprietății de
simetrie a relației de egalitate (3 + 4 = 7 și 7 = 3 + 4). Această proprietate
exprimă faptul că un număr poate fi descompus ca sumă a două numere și
se va utiliza ulterior în cadrul diverselor tehnici de calcul.
Limbajul matem atic aferent operației de adunare se îmbogățește
progresiv prin traducerea simbolică cu ajutorul adunării a unor operații
concrete, exprimate verbal prin “măresc cu”, “adaug”, “în total”, “la un
loc” etc., operații care se exprimă tot prin reuniunea de mul țimi disjuncte
finite.

15 Pentru a motiva necesitatea efectuării operației de adunare este
necesar să se folosească compunerea și rezolvarea de probleme simple cu
context uzual (probleme simple de aflare a sumei și de mărire a unui
număr cu cîteva unități).
2. Proprietatea co mutativă a adunării numerelor naturale se
descoperă în clasa I în b aza unei strategii inductive, în clasa a II -a
ajungîndu -se la formularea propoziției matematice “ Dacă schimbăm
termenii cu locul, suma rămîne aceeași ”. În clasele III -IV co mutativitatea
adunării se for malizează prin scrierea literală a + b = b + a .
Proprietatea asociativă a adunării se descoperă în clasa a II -a, de
asemenea, în baza unui raționament inductiv, abordînd în trei moduri
diferite calculul unei sume de trei numere : "Oricum am asocia numerele
la adunare, suma rămîne aceeași ". În clasele a III-IV-a, asociativitatea
adunării se formalizează prin scrierea literală (a + b) + c = a + (b + c) și
se antrenează prin asocierea optimă a numerelor în cadrul adunării de mai
multe numere.
Înțelege rea proprietăților adunării stă la baza formării ulterioare a
diverselor tehnici de calcul.
3. Tabla adunării se învață în clasa I conform următoarei dinamici:
 cazurile + 1, + 2, + 3, + 4, + 5 se dezvăluie în baza sensului concret al
adunării;
 cazurile + 6, +7, + 8, + 9, + 10 se bazează pe utilizarea comutativități
adunării;
 cazul + 0 relevă proprietatea adunării de a avea element neutru pe
mulțimea numerelor naturale (0) și se cercetează în baza înțelegerii
sensului concret al adunării.
Tabla adunării nu se învață pe de rost, dar se ajunge la o memorare
conștientă în urma unui sistem de activități speciale:
– rezolvarea de exerciții și probleme simple cu sau fără suport intuitiv;
– rezolvarea de ecuații implicite (exerciții de adunare în car e un număr
este înlocuit printr -un simbol abstractizant -intuitiv: *, □, ? etc.);
– jocuri didactice; concursuri pe echipe și individuale.

Tema 7. Formarea capacităților de calcul legate de adunarea
netabelară a numerelor naturale

1. Conținuturile de învățare legate de adunarea netabelară a numerelor
naturale
2. Procedee de adunare netabelară

16 1. Formarea capacităților de calcul legate de adunarea netabelară
prevăd următoarea dinamică:
– procedee fără trecere peste ordin;
– procedee cu trecere peste ordin.
Mai întîi se învață procedeele de calcul oral, apoi procedeele de
calcul scris , punînd accentul pe calcul oral. Capacitatea de calcul se
formează conform următorului itinerariu metodologic:
– familiarizarea cu procedeul de calcul oral și scris (în contextul unei
probl eme simple de adunare);
– formarea priceperii de calcul prin aplicarea procedeului respectiv în
rezolvarea de exerciții și probleme;
– formarea deprinderii de calcul prin transferul priceperii respective în
diverse contexte și situații noi.
Familiarizarea cu p rocedeele de calcul legate de adunarea
netabelară a numerelor naturale se organizează după principiul concentric:
– cl.I: concentrele 0 -20, 0 -30, 0 -100 neobligatoriu ;
– cl.II: concentrele 0 -100, 0 -1000 neobligatoriu ;
– cl.III: concentrul 0 -1000;
– cl.IV: concentre le 0-1 000 000, 0 -1 000 000 000 neobligatoriu.
2. Să exemplificăm prin metodologia familiarizării cu procedeele
orale de adunare netabelară în concentrul 0 -20.
1) Procedeu fără trecere peste ordin
ZU + U Adunarea unui număr format din zeci și unități cu un
număr format numai din unități.
De exemplu: 12 + 5 =(1z + 2) + 5 = 1z + (2+5) = 1z + 7 = 17
Descompunem pe 12 în 1zece și 2 unități.
Adunăm unitățile: 2+5 = 7.
Formăm numărul 17.
În acest procedeu de calcul oral s -a folosit:
– proprietatea de simetrie a relației de egalitate, cînd am descompus pe
12 în suma termenilor de ordin 1z ece și 2 un ități;
– asociativitatea adunării, cînd am asociat unitățile între ele:
(1z + 2) + 5 = 1z + (2 + 5);
– tabla adunării: 2 + 5 = 7;
– cunoașterea componenței zecimale a nume relor 0 -20, cînd dintr -o
zece și 7 unități am format numărul 17.
2) Procedeu cu trecere peste ordin
U + U Adunarea a două numere formate din unități.
De exemplu: 7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 1z + 2 = 12

17 Descompunem pe 5 în suma termenilor potriviți 3 și 2 pent ru a-l
completa pe 7 pînă la 10.
Transformăm 10 unități într -o zece (trecerea peste ordin) .
Formăm numărul 12.
În acest procedeu de calcul oral s -a folosit:
– proprietatea de simetrie a relației de egalitate și cunoașterea
componenței numerelor 0 -10, cînd am descompus pe 5 în suma
termenilor potriviți 3 și 2;
– asociativitatea adunării, cînd am asociat convenabil pe 7 cu 3 pentru a
obține 10: 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2;
– înțelegerea zecii ca o nouă unitate de ordin: 10 unități = 1 zece;
– cunoașterea componenței zecimale a numerelor 0 -20, cînd cu o zece
și 2 unități am format numărul 12.
Același procedeu poate fi realizat descompunînd numărul 7 în suma
termenilor potriviți 2 și 5 pentru a -l completa pe 5 pînă la 10:
7 + 5 = (2 + 5) + 5 = 2 + (5 + 5) = 2 + 10 = 2 + 1z = 1 z + 2 = 12.
Pentru a familiariza elevii cu aceste procedee vom întreprinde mai
întîi activități concrete cu obiecte concrete. De exemplu, pentru a aduna
12 + 5, vom lua un mănunchi de 10 bețișoare (1 z) și încă 2 b ețișoare, apoi
vom mai lua încă 5 bețișoare. Obținem, în total, 1 mănunchi de 10
bețișoare și încă 7 bețișoare, ceea ce reprezintă numărul 17.
Pentru a aduna 7 cu 5, alăturăm la 7 bețișoare 5 bețișoare. Începem
a număra bețișoarele. Cînd ajungem la 10 beți șoare, le legăm într -un
mănunchi și spunem că am format o zece de bețișoare (trecerea peste
ordin). Mai avem încă 2 bețișoare. În total avem 12 bețișoare.
Procedeele de adunare netabelară în concentrul 0 -100 se cercetează
în mod analog:
1) Z + Z fără trecere peste ordin ;
De exemplu: 40+30= 4z + 3z = 7 z = 70 (analogi c cu adunarea unităților);
2) ZU + U fără trecere pe ste ordin;
De exemplu: 42 + 5 = (4z + 2) + 5 = 4z + (2 + 5) = 4z + 7 = 47.
3) ZU + Z fără trecere peste ordin ;
De exemplu: 42+30 = (4z + 2) + 3z = (4z + 3z) + 2 = 7z + 2 = 72.
4) ZU + ZU fără trecere peste ordin ;
De exemplu: 42+36 = (4z + 2)+(3z + 6) = (4z + 3z)+(2 + 6) = 7z + 8 = 78.
5) ZU +U cu trecere peste ordinul unităților;
De exemplu: a) 86+7 = (8z + 6) + 7 = 8z + (6 + 7) = 8z + 13 =
= 8z + (1z + 3) = (8z + 1z) + 3 = 9z + 3 = 93;
b) 86+7 = 86 + (4+3) = 90 +3 = 93;

18 c) 86+7 = (3+83) + 7 = 3 + (83+7) = 3 + 90 = 93.
6) ZU + ZU cu trecere peste ordinul unităților.
De exemplu: a) 24+37 = (2z + 4) + (3z + 7) = (2z + 3z) + (4+7) =
= 5z + 11 = 5z + (1z + 1) = (5z + 1z) + 1 = 6z + 1 = 61;
b) 24+37 = 24 + (6+31) = (24+6) + 31 = 30 +31 = 61;
c) 24+37 = (21+3) + 37 = 21 + (3+37) = 21 + 40 = 61.
În cadrul conc entrului 0 -1000 d evine mai import ant calculul scris,
în care unitățile se scriu sub unități, zecile sub zeci, sutele sub sute.
După ce se învață procedeul fără trecere peste ordin, care nu
trezește dificultăți pentru elevi , se trece la cercetarea procedeelor cu
trecere peste ordin.
1) SZU + SZU cu trecere peste ordinul unităților;
De exemplu:
246+
139
385
Pasul 1. Adunăm unitățile: 6 + 9 = 15 sau 1 zece și 5 unități. Scriem
cifra 5 la unitățile sumei, iar 1 zece o memorăm pentru a o aduna la suma
zecilor.
Pasul 2. Adunăm zecile: 4 z + 3 z = 7 z. Adunăm zecea memorată:
7z + 1 z = 8z. Scriem cifra 8 la zecile sumei.
Pasul 3 . Adunăm sutele: 2s + 1s = 3 s. Scriem cifra 3 la sutele
sumei.
Pasul 4 . Citim suma : 385.
2) SZU + SZU cu trecere peste ordinul zecilor.
De exemplu:
264+
193
457
3) SZU + SZU cu trecere peste ordinele unităților și zecilor.
De exemplu:
268+
195
463
4) Cazuri speciale cînd suma se scrie cu zerouri.
De exemplu: 135+ 173+ 264+ 264+
245 435 536 736
380 605 800 1000

19 Familiarizarea cu procedeele de adunare netabelară a numerelor mai
mari ca 1000 urmează o dinamică analogică și, în ca zul formării unor
deprinderi trainice de adunare a numerelor 0 -1000, nu prezintă dificult ăți
pentru elevi.

Tema 8. Metodologia formării noțiunii de scădere a numerelor
naturale

1. Introducerea noțiunii de scădere a numerelor naturale
2. Predarea -învăț area tablei scăderii în clasa I

1. Noțiunea de scădere a numerelor naturale se introduce paralel cu
noțiunea de adunare după ce s-a constru it progresiv șirul numeric 0 -10.
Formarea noțiunii de scădere parcurge următoarea dinamică:
– faza concretă (reprezentare acțională după J.Bruner), scopul căreia
constă în dirijarea elevilor spre înțelegerea sensului concret al
operației de scădere a numerelor naturale , care, pe planul mulțimilor
prezintă diferența dintre o mulțime și o submulțime a sa , adică, la
baza operației de scădere stă conceptul de mulțimi complementare ;
– faza semiabstractă , în care se introduce semnul grafic al scăderii ( – )
și se denumesc numerele la scădere (descăzut, scăzător,
diferență/rest).
Prin exemple și contraexemple se scoate în evidență faptul că
descăzutul nu poate fi mai mic decît scăzătorul .
Ca și la adunare, pentru a motiva necesi tatea efectuării operației de
scădere se rezolvă probleme simple (de aflare a restului și de micșorare a
unui număr cu cîteva unități).
Limbajul matematic al elevului se va îmbogăți treptat cu formele
verbale care se traduc concret prin operația de scădere : mai puțin cu , dăm
la o parte , separăm , rămîn etc.
2. Tabla scăderii se învață paralel cu tabla adunării, urmînd
dinamica:
– cazurile -1, -2, -3, -4, -5 se dezvăluie în baza sensului concret al
scăderii;
– cazurile -6, -7, -8, -9, -10 se dezvăluie în baza cun oașterii
componenței numerelor 0 -10 și legăturii adunării cu scăderea.
De exemplu , 9 – 6 = (3+6) – 6 = 3. Numărul 9 se descompune ca
suma numerelor 3 și 6. Dacă din sumă scădem un termen, rămîne celălalt
termen.

20 Cazul – 0 relevă proprietatea scăderii de a avea element neutru pe
mulțimea numerelor naturale (0) și se dezvăluie în baza înțelegerii
sensului concret al scăderii.
Tabla scăderii nu se învață pe de rost, ci se urmărește o memorare
conștientă în urma unui sistem de activități:
– rezolvarea de exerciț ii și probleme simple cu sau fără suport intuitiv;
– rezolvarea de ecuații implicite;
– jocuri didactice;
– concursuri pe echipe și individuale.

Tema 9. Formarea capacităților de calcul legate de scăderea
netabelară a numerelor naturale

1. Conținuturile de învăța re legate de scăderea netabelară a numerelor
naturale
2. Procedeele de scădere netabelară

1. Formarea capacităților de calcul legate de scăderea netabelară
urmează dinamica:
– procedee fără trecere peste ordin;
– procedee cu trecere peste ordin (cu împrumut).
Mai întîi se învață procedeele de calcul oral, apoi procedeele de
calcul scris , punînd accentul pe calcul oral. Capacitatea de calcul se
formează conform următorului itinerariu metodologic:
– familiarizarea cu procedeul de calcul oral și scris (în contextul unei
probleme simple de scădere);
– formarea priceperii de calcul prin aplicarea procedeului respectiv în
rezolvarea de exerciții și probleme;
– formarea deprinderii de calcul prin transferul priceperii respective în
diverse contexte și situații noi.
Familiar izarea cu procedeele de calcul legate de scăderea netabelară
a numerelor naturale se organizează după principiul concentric:
– cl.I: concentrele 0 -20, 0 -30; 0 -100 neobligatoriu;
– cl.II.: concentr ele 0 -100, 0 -1000 neobigatoriu ;
– cl.III: concentrul 0 -1000;
– cl.IV : concentrel e 0-1 000 000, 0 -1 000 000 000 neobligatoriu.
2. Să exemplificăm prin metodologia familiarizării cu procedeele
orale de scădere netabelară în concentrul 0 -20.
1) ZU – U Scăderea unui număr de o cifră dintr -un număr de 2 cifre fără
trecere peste ordin.

21 De exemplu: 17 – 5 = (1z + 7) – 5 = 1z + (7 – 5) = 1z + 2 = 12.
Descompun em pe 17 în zeci și unități: 1zece și 7 un ități.
Scădem unitățile între ele: 7 – 5 = 2.
Formăm diferența: 1 zece și 2 unități formează numărul 12.
În acest procedeu de calc ul s-a folosit:
– proprietatea de simetrie a relației de egalitate, cînd am descompus
descăzutul în suma termenilor de ordin;
– regula s căderii unui număr dintr -o sumă (pentru a scade un număr
dintr -o sumă, putem să -l scădem dintr -un termen al sumei, iar
diferența obținu tă s-o adunăm la celălalt termen)
(1z + 7) – 5 = 1 z + (7 – 5);
– tabla scăderii: 7 – 5 = 2;
– cunoașterea componenței zecimale a numerelor 0 -20, cînd am format
diferența: 1z + 2 = 12.
2) ZU – ZU: Scăderea a două numere formate din zeci și unități fără
trecere peste ordin.
De exemplu: 17 – 12 = (1z + 7) – (1z + 2) = (1z – 1z) + (7 – 2) = 5.
În acest procedeu ne -am bazat pe regula scăderii a două sume, cînd
am scăzut zecile între ele și unitățile între ele.
3) ZU – U cu trecere peste ordin (cu împrumut la ordinul zecilor).
De exemplu: a) 12 – 5 = 12 – (2+3) = (12 – 2) – 3 = 10 – 3 = 7;
b) 12 – 5 = (1z + 2) – 5 = (10 + 2) – 5 = (10 – 5) + 2 = = 5 + 2 = 7;
c)12 – 5 = (7 + 5) – 5 = 7.
Procedeu l a) are la bază scăderea un ei sume dintr -un număr și se
efectuează descompunînd scăzătorul în suma termenilor potriviți , care
apoi se scad succesiv din descăzut. Acest procedeu poartă denumirea de
scădere pe părți .
Procedeu l b) are la bază scăderea unui număr dintr -o sumă și se
efectuează descompunînd descăzutul în suma termenilor de ordin . Apoi
urmează transformarea zecii descăzutului în 10 unități, scăderea
scăzătorului din 10, adun area diferenț ei obținute cu unitățile descăzutului.
Procedeul c) are la bază cunoașterea componențe i numerelor 0 -20 și
legătura dintre adunare și scădere (dacă dintr -o sumă scădem un termen,
rămîne celălalt termen) și se efectuează descompunînd descăzutul în suma
termenilor potriviți .
Pentru a familiariza elevii cu aceste procedee vom întreprinde mai
întîi activități concrete cu obiecte concrete. De exemplu, pentru a scade
12 – 5, vom lua un mănunchi de zece bețișoare ( 1 zece) și încă 2
bețișoare. Dăm mai întîi la o parte cele 2 bețișoare separate. Pentru a mai

22 scoate încă 3 bețișoare (pînă la 5), dezl egăm mănunchiul (trecem peste
ordin) și luăm 3 bețișoare. Ne rămîn 7 bețișoare.
Procedeele de scădere netabelară în concentrul 0 -100 se cercetează
în mod analog:
1) Z – Z fără trecere peste ordin ;
De exemplu: 70 – 40 = 7z – 4z = 3z = 30 (analog cu scăderea zecilor ;
înțelegînd zecea ca o nouă unitate de numerație , putem opera cu ze cile la
fel ca și cu unitățile).
2) ZU – U fără trecere peste ordin ;
De exemplu: 78 – 2 = (7z + 8) – 2 = 7z + (8 – 2) = 7z + 5 = 75 .
3) ZU – Z fără trecere peste ordin ;
De exemplu : 78 – 20 = (7z + 8) – 2z = (7z – 2z) +8 = 5z + 8 = 58 .
4) ZU – ZU fără trecere peste ordin ;
De exemplu: 78 – 26 = (7z + 8)–(2z + 6) = (7z – 2z)+(8 – 6) = 5z + 2 = 52 .
5) ZU – U cu trecere peste ordin (cu împrumut la ordinul zecilor) ;
De exemplu:
42–6 = (4z +2)–6 = (3z +1z +2)–6 = (3z+12) –6= 3z+(12– 6)=3z+6 =36.
6) ZU – ZU cu trecere peste ordin (cu împrumut la ordinul zecilor) .
De exemplu: 42 – 16 = (4z + 2) – (1z + 6) = (3z + 1z + 2) – (1z+ +6)=
= (3z + 12) – (1z + 6) = (3z – 1z) + (12 – 6) = 2z + 6 = 26.
În cadrul concentrului 0 -1000 devine mai important calculul scri s,
în care unitățile se scriu sub unități, zecile sub zeci, sutele sub sute.
Scăderea fără trecere peste ordin nu prezintă dificultăți pentru elevi,
de aceea ne vom opri doar la procedeele cu trecere peste ordin.
1) SZU – SZU cu împrumut la ordinul zecilor .
De exemplu:
684 –
259
415
Pasul 1 . Nu putem scade unitățile (4<9). De aceea împrumutăm
1 zece și o transformăm în 10 unități. Avem, în total, 14 unități. Scădem
unitățile: 14 – 9 = 5. Scriem cifra 5 la unitățile diferenței.
Pasul 2. Ne-au rămas 7 zeci. Scădem zecile: 7z – 5z = 2z. Scriem
cifra 2 la zecile diferenței.
Pasul 3 . Scădem sutele: 6s – 2s = 4s. Scriem cifra 4 la sutele
diferenței.
Pasul 4 . Citim diferența: 415.
2) SZU – SZU cu împrumut la ordinul sutelor.
De exemplu:

23 948 –
295
653
3) SZU – SZU cu împrumut la ordinele zecilor și sutelor .
De exemplu:
642 –
385
257
4) Cazuri speciale cînd:
– descăzutul conține zerouri:
640 – 218 = 422, 306 – 124 = 182, 500 – 248 = 252;
– restul conține zerouri:

643 – 562 –
238 469
404 93 (zero la sute nu putem scrie).
Familiarizarea cu procedeele de scădere netabelară a numerelor mai
mari c a 1000 urmează o dinamică analogică și, în cazul formării unor
deprinderi trainice de scădere ne tabelară a numerelor 0 -1000, nu prezintă
dificultăți pentru elevi.

Tema 10. Metodologia formării noțiunii de înmulțire a numerelor
naturale

1. Introducerea operației de înmulțire în clasa a II-a
2. Proprietățile înmulțirii
3. Cazuri speciale
4. Tabla înmulțirii

1. În formarea noțiunii de înmulțire intuiția nu mai are un rol
predominant (ca la adunare), deoarece elevii au dobîndit cunoștințele și
capacități le aferente adunării și învățătorul se va baza pe acestea în
predarea noii operații. Însă nu se va renunța com plet la mijloacele
intuitive.
Dinamica introducerii operației de înmulțire prevede:
– exersarea adunării repetate, accentuînd modalitatea de verbalizare:
2+2+2 se citește de 3 ori cîte 2 ;
– înlocuirea adunării repetate cu înmulțirea: pentru adunările repetate se
poate folosi o altă scriere, de exemplu, 2 + 2 + 2 = 3 x 2. Se exersează
scrierea adunărilor repetate prin înmulțiri și invers, accentuînd

24 semnificația numerelor la înmulțire : primul factor arată de cîte ori
se repetă al doilea factor ca termen al adună rii repetate . Se introduce
și denumirea rezultatului înmulțirii – produsul.
2. De la primele lecții de predare a înmulțirii se urmărește scoaterea
în evidență a proprietății de comutativitate a înmulțirii. Din punct de
vedere metodic, descoperirea acestei proprietăți se organizează treptat, pe
parcursul a cîteva lecții, în cadrul unei strategii inductive. Se va ajunge,
progresiv, la formularea propoziției matematice: “ Dacă schimbăm locul
factorilor, produsul rămîne neschimbat ”. Această proprietate se va fol osi
ulterior în predarea -învățarea tablei înmulțirii. În clasele a III-IV-a
comutativitatea înmulțirii se formalizează prin scrierea litera lă
a x b = b x a.
Proprietatea asociati vă a înmulțirii se descoperă pri ntr-un
raționament inductiv, calculînd produ sul a trei numere prin asocierea
diferită a factorilor. Se formulează: “ Oricum am asocia 3 numere la
înmulțire, produsul rămîne același ”. În clasele a III-IV-a asociativitatea
înmulțirii se formalizează prin scrierea literală ( a x b) x c = a x (b x c).
Com utativitatea și asociativitatea înmulțirii stau la baza predării
procedeelor de înmulțire netabelară.
3. a) a x 1 = 1+1+…+1 = a;
a x 0 = 0+0+ …+0 = 0 .
Aceste cazuri se descoperă în cadrul unui demers logico -euristic
inductiv, bazîndu -se pe sensul în mulțirii ca o adunare repetată.
b) 1 x a, 0 x a sînt excepții din definiția înmulțirii.
Primul factor arată cîți termeni are adunarea repetată. O adunare
trebuie să aibă cel puțin 2 termeni, deci, primul factor nu poate fi egal cu 0
sau cu 1.
Pentru a asi gura accesibilitatea vîrstei elevilor, aceste cazuri se
predau în legătură cu comutativitatea înmulțirii:
1 x a = a x 1 = a, 0 x a = a x 0 = 0.
4. O lecție de predar e a înmulțirii cu un factor dat (de exemplu, 4)
trebuie să parcurgă o dinamică progresivă.
Etapa I . Actualizarea cazurilor de înmulțire învățate anterior:
2 x 4 = 4 x 2 = 8, 3 x 4 = 4 x 3 = 12.
Etapa II . Descoperirea produselor cu 4 pe locul factorului al doilea:
4 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4 = 1 2 + 4 = 16;
3 x 4 = 12

5 x 4 = 4+4+4+4+4 = 16 + 4 = 20.
4 x 4 = 16

25 Cazurile 6 x 4, 7 x 4, 8 x 4, 9 x 4, 10 x 4 se cercetează analog.
Etapa III . Folosirea comutativității înmulțirii pentru cazurile noi:
4 x 5 = 5 x 4 = 20, 4 x 6 = 6 x 4 = 24, …, 10 x 4 = 4 x 10 = 40.
Etapa IV . Scrierea completă a tablei înmulțirii c u un factor 4.
În cadrul lecțiilor, prin activități variate, învățătorul trebuie să
conducă elevii către memorarea tablei înmulțirii. Este o greșeală
metodologică gravă învățarea pe de rost a tablei înm ulțirii. Trebuie să
asigurăm o memorare conștientă, recurgîndu -se cît va fi nevoie la calculul
produsului prin adunare repetată , dar stimulînd memorarea prin diverse
activități atractive .

Tema 11. Formarea capacităților de calcul legate de înmulțirea
netabelară

1. Conținuturile de învățare a procedeelor de înmulțire netabelară
2. Algoritmi pentru procedee orale și scrise
3. Reguli folosite
4. Procedee de înmulți re rapidă

1. Conținuturile de învățare a proce deelor de înmulțire netabelară prevăd:
a) clasa a III -a (con centrul 0 -1000):
– înmulțirea cu 10 și 100 (2 x 1 0, 2 x 100, 40 x 10, 43 x 10);
– înmulțirea cu numere formate din zeci sau din sute întregi, fără trecere
peste ordin (4 x 20, 3 x 200, 20 x 30);
– înmulțirea fără trecere peste ordin a unui număr mai mic decît 10 cu
un număr scris cu cel mult trei cifre (2 x 34, 2 x 134, cazuri speciale
2 x 340, 2 x 304);
– înmulțirea cu trecere peste ordin a unui număr mai mic decît 10 cu un
număr scris cu două cifre (cu trecere peste ordinul unităților 3 x 26, cu
trecere peste o rdinul zecilor 3 x 40, cu trecere peste ordinele unităților
și zecilor 3 x 45);
– înmulțirea cu trecere peste ordin a unui număr de o cifră cu un număr
scris cu trei cifre (cu o trecere peste ordin 3 x 128, 2 x 354, cu două
treceri peste ordin 4 x 237);
b) clasa a IV -a (numere mai mari decît 1000):
– înmulțirea cu 1000;
– înmulțirea fără trecere peste ordin cu un număr de o cifră;
– înmulțirea cu trecere peste ordin cu un număr de o cifră;
– înmulțirea fără trecere peste ordin cu un număr de 2 cifre (12 x 34,
12 x 342, 12 x 1342);

26 – înmulțirea cu trecere peste ordin cu un număr de 2 cifre;
– înmulțirea cu un număr de 3 cifre (extindere).
Metodele didactice principale recomandate pentru predarea
procedeelor de înmulțire netabelară sînt problematizarea și descoperirea în
baza unui demers logico -euristic inductiv.
Pentru formarea și antrenarea capacităților de calcul se recomandă
dictări matematice, jocuri și concursuri de calcul rapid organizate frontal
sau în grupuri, contraexemple, compuneri și rezolvări de probleme etc.
2. Să aducem cîteva exemple:
1) 2 x 300 = 300 + 300 = 600 (în baza definiției înmulțirii ca o adunare a
repetată);
2) 20 x 30 = (2 x 10) x (3 x 10) = (2 x 3) x (10 x 10) = 6 x 100 = 600 (în
baza asociativității înmulțirii);
3) 43 x 20 = (40 + 3) x 20 = 40 x 20 + 3 x 20 = 800 + 60 = 860 (în baza
distributivității înmulțirii în raport cu adunarea);
4) 2 x 327 = 2 x (300+20+7) = 2 x 300 + 2 x 20 + 2 x 7 =
= 600 + 40 + 14 = 654 (procedeul oral se bazează pe distributivitatea
înmulțirii în raport cu adunarea) .
327 x
2
654
Procedeul scris se bazează la fel pe distributivitatea înmulțirii în
raport cu adunarea, dar și pe înțelegerea proprietății sistemului de
numerație de a fi zecimal: fiecare 10 unități de un anumit ordin formează
o unitate de ordin superior.
Pasul 1 : Înmulțim 2 cu unitățile: 2 x 7 = 14 sau 1 zece și 4 unități.
Scriem 4 la unitățile produsului, iar 1 zece o memorăm pentru a o aduna la
produsul zecilor.
Pasul 2 : Înmulțim 2 cu zecile: 2 x 3 = 6z. Adunăm zecea memorată:
6z + 1z = 7z. Scriem 7 la zecile pr odusului.
Pasul 3 : Înmulțim 2 cu sutele: 2 x 3s = 6s . Scriem 6 la sutele
produsului.
Pasul 4 : Citim produsul obținut: 654.
5)12 x 640 = 12 x (64 x 10) = (12 x 64) x 10. Din asociativit atea
înmulțirii rezultă că cifra 0 poate fi neglijată la înmulțirea în c oloniță,
coborînd -o doar, la dreapta produsului obținut.
640 x
12
128 ← (zeci) primul produs parțial

27 64 ← (sute) al doilea produs parțial
7680 ← produs final

Al doilea produs parțial se începe a scrie sub zeci, iar sub u nități se
subînțelege cifra 0.
3. Pe parcursul formării capacităților de înmulțire netabelară, elevii
descoperă și folosesc următoarele reguli:
a) pentru a înmulți un număr cu o sumă, distribuim numărul la fiecare
termen al sumei (distributivitatea înmulțirii în raport cu adunare a);
b) pentru a înmulți un număr cu 10/100/1000, scriem la dreapta numărul
1/2/3 cifre de zero;
c) pentru a înmulți două numere care se termină cu zerouri, procedăm
astfel:
– înmulțim numerele neglijînd zerourile;
– scriem la dreapta produsului obținut atîtea zerouri cîte au, în total,
ambii factori.
4. În cadrul formării tehnicilor de calcul rapid elevii descoperă și
folosesc următoarele procedee .
a) Asociativitatea înmulțirii care permite asocierea conve nabilă a
factorilor .
De exemplu, 7 x 4 x 5 = 7 x (4 x 5) = 7 x 20 = 7 x (2 x 10) = (7 x 2) x 10 =
= 14 x 10 = 140.
b) Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea și scăderea.
De exemplu:
– înmulțirea rapidă cu 11:
17 x 11 = 17 x (10+1) = 17 x 10 + 17 = 170 + 17 = 187;
– înmulțirea rapidă cu 9:
17 x 9 = 17 x (10 – 1) = 17 x 10 – 17 = 170 – 17 = 153.
c) Înmulțirea cu un cît:
 32 x 5 = 32 x (10 : 2) = (32 x 10) : 2 = 320 : 2 = 160 sau
32 x 5 = 32 x (10 : 2) = 32 : 2 x 10 = 16 x 10 = 160;
 32 x 25 = 32 x (100 : 4) = (32 x 100) : 4 = 3200 : 4 = 800 sau
32 x 25 = 32 x (100 : 4) = (32 : 4) x 100 = 8 x 100 = 800;
 32 x 50 = 32 x (100 : 2) = (32 x 100) : 2 = 3200 : 2 = 1600 sau
32 x 50 = 32 x (100 : 2) = (32 : 2) x 100 = 16 x 100 = 1600.

Tema 12. Metodologia formării noțiunii de împărțire a numerelor
naturale

1. Generalități

28 2. Introducerea noțiunii de împărțire
3. Tabla împărțirii
4. Cazuri speciale de împărțire

1. Operația de împărțire se introduce în clasa a II -a. Predarea
înmulțirii și împărțirii poate fi organizată și desfășurată în baza a două
accepțiuni metodologice: separat sau paralel.
Conform manualelor școlare de bază aceste operații se predau
separat. Această alegere este mai indicată întrucît elevii învață operațiile
de înmulțire și împărțire pentru prima da tă, iar esențiale pentru ei sînt
legăturile dintre înmulțire și adunare repetată, împărțire și scădere
repetată, dar nu legătura dintre înmulțire și împărțire. Învățarea separată a
înmulțirii și împărțirii permite elevilor să se concentreze asupra operație i
noi, pătrunzînd mai profund în esența acesteia.
2. Operația de împărțire a numerelor natural e se introduce după ce
la elevi s-a format conceptul de înmulțire și ei au însușit tabla înmulțirii.
Împărțirea se introduce conform conținuturilor contextelor pr oblematice
concrete legate de împărțire:
– împărțirea în părți egale;
– împărțirea prin cuprindere.
Împărțirea în părți egale este mai accesibilă înțelegerii copilului.
Exprimarea ei verbală este în concordanță cu procesul gîndirii care are
loc, iar justificar ea operației nu prezintă dificultăți pentru elevi.
Sensul concret al împărțirii în părți egale constă în clasificarea
unei mulțimi finite date, clasele reprezentînd submulțimi echivalente. Se
știe cîte clase se formează, iar prin împărțire se află cîte ele mente conține
fiecare clasă.
Metoda principală de introducere a împărțirii în părți egale este
bazată pe acțiuni concrete cu obiecte concrete . De exemplu, 12 creioane
se împart în mod egal la 3 elevi:
– se iau 3 creioane și se împart cîte unul la fiecare di ntre cei trei elevi ; la
tabla se scrie operația efectuată 12 – 3;
– se con tinuă analog, pînă se termină creioanele.
La tabla se obține șirul de scăderi repetate:
12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0.
de 4 ori
În concluzie, împărțind 12 creioane în mod egal la 3 elevi se obțin
cîte 4 creioane la fiecare elev . Se explică elevilor că această scădere
repetată se poate scrie 12 : 3 = 4.

29 Se introduce simbolul operației de împărțire (:) și denumirile
numerelor la împărțire: deîmpărțit, împărțitor, cît. Este esențial c a elevul
să înțeleagă semnificația cîtului: cîtul arată de cîte ori putem sca de
împărțitorul din deîmpărțit.
Împărțirea prin cuprindere se introduce în con frunta re cu
împărțirea în părți egale, adică simultan cu aceasta, conducînd progresiv
elevii la unifi carea celor două procedee de împărțire.
Sensul concret al împărțirii prin cuprindere constă, de asemenea,
în clasificarea mulțimii finite date în submulțimi echivalente. Însă, de
această dată, se cunoaște numărul de elemente în fiecare clasă, iar
numărul claselor trebuie aflat.
Se acționează, iarăși, în plan concret . De exemplu, 12 creioane
trebuie împărțite cîte 3 elevilor:
– din 12 creioane se iau 3 și se dau primului elev. La tablă se scrie
operația efectuat ă 12 – 3;
– se con tinue analog pînă se termină cre ioanele. Scriind toate scăderile
se obțin e exercițiul:
12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0.
de 4 ori
În concluzie, 12 creioane pot fi împărțite cîte 3 la 4 elevi.
Această scriere elevii au întîlnit -o anterior la împărțire a în părți
egale și o vor scrie la fel 12 : 3 = 4.
Astfel se atinge unificarea celor două procedee de împărțire, în părți
egale și prin cuprindere, înțelegînd că, indiferent de procedeul efectuat,
cîtul arată de cîte ori putem scade împărțitorul din deîmpărțit.
Totuși , împărțirea prin cuprindere prezi ntă un grad de dificultate
sporit în raport cu împărțirea în părți egale, deoarece justificarea
operațiilor și ilustrarea concretă sînt mai dificile .
Terminologia aferentă “în părți egale” și “prin cuprindere” se
introduce abia în clasa a III -a, fără a acc entua folosirea acesteia.
Prin contraexemple se va scoate în evidență proprietatea:
deîmpărțitul nu poate fi mai mic decît împărțitorul.
3. Tabla împărțirii se predă și se învață în baza înțelegerii și
aplicării legăturii dintre înmulțire și împărțire.
De exemplu , din împărțirea 3 x 4 = 12 se obțin două împărțiri
12 : 3 = 4 și 12 : 4 = 3.
Tabla împărțirii se memorează conștient, aplicînd un sistem bine
gîndit de activități speciale : dictări matematice, jocuri și concursuri ,
ecuații implicite ș.a.

30 4. Cazurile speciale ale împărțirii se descoperă în baza unei strategii
inductive.
a) Împărțirea la 1 . A afla cîtul împărțirii lui 3 la 1 înseamnă a calcula de
cîte ori putem scădea 1 din 3:
3 – 1 – 1 – 1 = 3 , deci 3 : 1 = 3 .
de 3 ori
După cercetarea a cîteva cazuri particulare se ajunge la
generalizarea “cîtul împărțirii unui număr la 1 este egal cu acel număr” și
formalizarea prin scrierea literală a : 1 = a.
b) Împărțirea la ace lași număr . Se descoperă , în mod analog, printr -o
strategie inductiv ă că numărul poate fi scăzut din sine însuși o singură
dată, deci a : a = 1.
c) Împărțirea lui 0 . Se cercetează , de asemenea, cîteva cazuri particulare,
de exemplu 0 : 2, 0 : 3 etc., observîn d că orice număr poate fi scăzut
din 0 de 0 ori, deci, 0 : a = 0, a ≠ 0.
Acest caz special se ilustrează în manualul de clasa a II -a printr -o
problemă -glumă: “Doi ciobănași vor să împartă în mod egal perele
dintr -un brad. Cîte pere va primi fiecare cio bănaș?”
d) Împărțirea la 0 . Acest caz special se abordează din două perspective.
– Împărțirea ca o scădere repetată . Se încearcă a scrie împărțirea 7 : 0
ca o scădere repetată 7 – 0 – 0 – 0 … și se observă că este imposibil
de a afla cîtul (numărul scăderilor repetate pînă la restul zero) ,
deoarece niciodată nu se va ajunge la restul 0.
– Legătura dintre înmulțire și împărțire . A împărți 7 la 0 înseamnă a
găsi un număr care înmu lțit la 0 ne dă 7, ceea ce este imposibil . Elevii
ajung la cocnluzia: împărțirea la 0 nu are sens.

Tema 13. Metodologia formării noțiunii de împărțire cu rest a
numerelor naturale

1. Introducerea operației de împărțire cu rest
2. Descope rirea probei împărțirii cu rest
3. Cazuri speciale
4. Formarea tehnicii de calcul la împărțirea cu rest a numerelo r naturale

1. Operația de împărțire cu rest se introduce în clasa a III -a în
confrunta re cu împărțirea exactă, conducînd elev ii la înțelegerea faptului
că împărțirea exactă este un caz particular al împărțirii cu rest (cînd restul
este nul ).
Se pornește d e la o situație -problemă comună, de exemplu : pentru
împodobirea pomului de Crăciun, copiii au confecționat steluțe colorate.

31  Împărțirea cu rest se introduce în contextul împărțirii prin
cuprindere: “Într -o cutie încap 4 steluțe. Cîte cutii poate completa D an cu
cele 14 steluțe confecționate ?” (problema 1)
Problema poate fi abordată în plan concret sau urmări nd imaginile
din manual. Se iau cîte 4 steluțe din cele 14 și se pun într -o cutie,
completînd, astfel, 3 cutii și rămînînd 2 steluțe. Se scr ie operația efectuată
mai întîi prin scăderi repetate 14 – 4 – 4 – 4 = 2, apoi prin împărțire
14 : 4 = 3, rest 2. Se introduce denumirea noi i componente, restul,
atenționînd semnificația numerelor obținute în rezultatul împărțirii cu rest:
– cîtul arată de cîte ori po ate fi scăzut împărțitorul din deîmpărțit;
– restul reprezintă rezultatul ultimei scăderi.
 Împărțirea exactă se abordează, în continuare, în contextul
împărțirii în părți egale: “Doina vrea să repartize ze cele 8 steluțe în mod
egal pe 4 ramuri ale pomului. C îte steluțe va pune pe fiecare ram ?”
(problema 2)
La fel putem acționa în mod concret sau urmărind imaginile din
manual. Operația se scrie mai întîi ca o scădere repetată 8 – 4 – 4 = 0, apoi
ca o împărțire 8 : 4 = 2.
În concluzie, se pun cîte 2 steluțe pe fiecare ram și nu rămîne nici
o steluță. Deci, se împarte exact 8 la 4 și se obține cîtul 2 și restul 0. Se
accentuează semnificația cîtului și restului, în mod analog problemei
precedente.
2. Pentru a descoperi proba împărțirii cu rest se direcționează
cercetarea elevilor pe două direcții.
 Problema 1 abordată anterior se verifică, pornind de la situația
obținută spre cea inițială, dată în problema.
În urma rezolvării concrete a problemei 1 s -au obținut 3 cutii cu cîte
4 steluțe și încă 2 steluțe. Această s ituație se descrie prin exercițiul
3 x 4 + 2, care se verbalizează denumind numerele ca la împărțirea cu rest,
obținînd propoziția matematică cu formula C x I + R = D.
 Se propune elevilor a observa relația de comparație între rest și
împărțitor î n cadrul împărțiri lor cu rest cu același împărțitor și cu
deîmpărțitele reprezentînd numere consecutive.
De exemplu:
7 : 3 = 2, rest 1
8 : 3 = 2, rest 2
9 : 3 = 3
10 : 3 = 3, rest 1
11 : 3 = 3, rest 2

32 12 : 3 = 4
13 : 3 = 4, rest 1
14 : 3 = 4, rest 2
15 : 3 = 5
Se observă faptul că restul este întotdeauna mai mic decît
împărțitorul: R<I.
Pentru a consolida înțelegerea acestei proprietăți, se propun
contraexemple. De exemplu, se cere de a corecta exercițiile:
31 : 6 = 4, rest 7; 18 : 4 = 3, rest 6 etc.
Astfel se ajunge la proba împărțirii cu rest C x I + R = D, R < I.
3. a) Împărțirea la 0 a fost cercetată anterior, în cadrul predării –
învățării operației de împărțire exactă în clasa a II -a. Se actualizează faptul
că împărțirea la zero nu are sens, extrap olînd acest caz special al împărțirii
exacte asupra împărțirii cu rest nenul .
b) Un alt caz special al împărțirii cu rest îl constituie cazul cîn d
deîmpărțitul este mai mic decît împărțitorul.
Acest caz se abordează în contextul unei situații -problemă: “Ma ti
are 5 steluțe. Poate să le împartă în mod egal pe cele 8 ramuri ale pomului
de Crăciun?” Răspunsul este , evident, negativ. Exercițiul corespunzător
este 5 : 8. Nu putem nici o dată să scădem 8 din 5, deci, cîtul acestei
împărțiri este 0. Ne rămîn rest c ele 5 steluțe. Astfel, 5 : 8 = 0, rest 5.
Generalizînd și formalizînd acest proc edeu, obținem scrierea literală
dacă D < Î, atunci C = 0 și R = D .
4. Vom exemplifica algoritmul împărțirii cu rest prin exercițiul 27 : 6.
Pasul 1 : Estimăm de cîte ori 27 îl cuprinde pe 6: de 4 ori.
Deci, cîtul este 4.
Pasul 2 : Aflăm produsul dintre 4 și 6: 4 x 6 = 24.
Pasul 3 : Aflăm restul: 27 – 24 =3.
Pasul 4 : Verificăm dacă R < Î: 1< 3.
Scriem : 27 : 6 = 4, rest 3.
Proba : 4 x 6 + 3 = 27, 1< 3.
Efectuare a corectă a operației de împărțire cu rest reprezintă
fundamentul formării capacităților de împărțire netabelară.

Tema 14. Formarea capacităților de calcul legate de împărțire a
netabelară

1. Conținuturile predării -învățării proc edeelor de împărțire netabel ară
2. Algoritmi pentru procedee orale și scrise

33 3. Reguli folosite
4. Procede e de împărțire rapidă

1. a) Clasa a III -a:
– împărțirea exactă a numerelor care se termină cu zero (40 : 10,
400 : 100, 400 : 10, 420 : 10, 40 : 2, 40 : 20, 400 : 2, 400 : 200, 400 : 20 );
– împărțirea unui număr de două cifre la un număr de o cifră, cînd
zecile deîmpărțitului se împart exact la împărțitor (68 : 2 ; cazul cu rest
49 : 4; caz special 62 : 3, cînd cîtul conține zero);
– împărțirea unui număr de două cifre la un număr de o cifră, cînd
zecile deîmpărțitului nu se împart exact la împărțitor (78 : 2 ; cazul cu
rest 78 : 5 ; cazul special 80 : 3 cînd deîmpărțitul conține zero );
– împărțirea unui număr de trei cifre la un număr de o cifră, cînd sutele
și zecile deîmpărțitului se împart exa ct la împărțitor (686 : 2 ; cu rest
285 : 2 ; cazuri speciale: a) cînd la cît se obține zero 692 : 3 = 230, rest
2; b) cînd deîmpărțitul are zero la zeci 805 : 4 = 201, rest 1; c) cînd
deîmpărțitul se termină cu zero: 480 : 2 = 240);
– împărțirea unui număr de trei cifre la un număr de o cifră cînd
numărul zecilor nu se împarte exact la împărțitor (984 : 3; cu rest
498 : 4; cazuri speciale: a) cînd deîmpărțitul conține cifra zero 860 : 4;
b) cînd cîtul conține cifra zero 538 : 5 = 107, rest 3);
– împărțirea unu i număr de trei cifre la un număr de o cifră, cînd
numărul sutelor nu se împarte exact la împărțitor (536 : 3 cînd
numărul sutelor este mai mare decît împărțitorul; 235 : 3, cînd
numărul sutelor este mai mic decît împărțitorul; cazuri speciale: a)
cînd deî mpărțitul conține zerouri 205 : 3, 240 : 5; b) cînd cîtul conține
zerouri 321 : 4 = 80, rest 1; c) cînd și deîmpărțitul și cîtul conțin
zerouri 500 : 2 = 250).
b) Clasa a IV -a:
– împărțirea unui număr mai mic decît 1 000 000 la un număr de o cifră
(658 : 2, 1865 : 9);
– împărțirea cînd împărțitorul este scris du două cifre (6625 : 53; cazuri
speciale: a) cînd deîmpărțitul conține zerouri 200348 : 39; b) cînd
cîtul conține zerouri: 2575 : 25 = 103; c) cînd și deîmpărțitul și cîtul
conțin zerouri: 9430 : 46 = 205 ; d) cînd deîmpărțitul și împărțitorul se
termină cu zerouri 51640 : 40 = 1291).
2. Metodele didactice principale recomandate pentru predarea –
învățarea procedeelor de împărțire netabelară sînt problematizarea și
desco peririi în baza unui demers logico -euristic inductiv.

34 Pentru formarea și antrenarea capacităților de calcul se recomandă
dictări matematice, jocuri și concursuri, contraexemple, compuneri și
rezolvări de probleme etc.
Să aducem cîteva exemple:
1) În baza legăturii dintre împărțire și înmulțire se cercetează
cazurile :
40 : 10 = 4, deoarece 40 = 4 x 10;
600 : 300 = 2, deoarece 600 = 2 x 300;
900 : 30 = 30, deoarece 900 = 30 x 30;
240 : 10 = 24, deoarece 240 = 24 x 10.
2) În baza distributivității împărțirii în raport cu adunarea se
cercetează caz urile:
a) 68 : 2 (descompunerea deîmpărțitului în suma termenilor de
ordin):
Procedeu oral: 68 : 2 = (60 + 8) : 2 = 60 : 2 + 8 : 2 = 30 + 4 = 34.
Procedeu scris:
Pasu l pregătitor : Determin cu cîte cifre va fi scris cîtul.
Pot împărți zecile deîmpărț itului la împărțitor (6 > 2), deci, cîtul va
conține zeci. Scriu două puncte la cît: pentru cifra zecilor și pentru cifra
unităților.
Pasul 1. Aflu cifra zecilor la cît :
– împart zecile: 6 îl cuprinde pe 2 de 3 ori. Scriu 3 la zecile cîtului;
– înmulțesc și aflu cîte zeci am împărțit: 2 x 3z = 6z. Scriu 6 sub zecile
deîmpărțitului;
– scad și aflu restul zecilor: 6z – 6z = 0z. Nu pot scrie zero la zeci, de
aceea nu scriu nimic sub linia de scădere.
Pasul 2 . Aflu cifra unităților la cît:
– cobor cifra unităților și
împart : 8 îl cuprinde pe 2 de 4 ori. Scriu 4 la zecile cîtului;
– înmulțesc și aflu cîte unități am împărțit: 2 x 4 = 8;
– scad și aflu restul unităților: 8 – 8 = 0. Scriu 0 sub linia de scădere.
Dacă se obține un rest nenul, acesta se compară mai întîi cu
împărțitorul ( R < Î) și apoi se continuă împărțirea.
Procedeul scris se verbalizează la început în forma extinsă, apoi
treptat se restrînge.
b) 78 : 2 (descompunerea deîmpărțitului în termeni potriviți).
Procedeu oral: 78 : 2 = (60 + 18) : 2 = 60 : 2 + 18 : 2 = 30 + 9 = 39.

35 3. În procesul învățării procedeelor de împărțire netabelară elevii
vor fi dirijați spre descoperire a și antrenați ulterior în aplicarea
următoarelor reguli:
– pentru a împărți exact la 10/100/1000 un număr care se termină cu
zerouri, se elimină 1/2/3 de zero de la dre apta numărului;
– pentru a împărți exact două numere ce se termină cu zerouri,
eliminăm la deîmpărțit și împărțitor același număr de zerouri, apoi
continuăm împărțirea.
4. În cadrul formării capacităților de împărțire rapidă se descoper ă
și se aplică următoarele procedee:
a) împărțirea succesivă (împărțirea la un produs) :
56 : 14 = 56 : (7 x 2) = (56 : 7) : 2 = 8 : 2 = 4;
b) împărțirea la un cît:
 130 : 5 = 1 30 : (10 : 2) = (130 : 10) x 2 = 13 x 2 = 26 sau
135 : 5 = 135 : (10 : 2) = (135 x 2) : 10 = 270 : 10 = 27;
 700 : 25 = 700 : (100 : 4) = (700 : 100) x 4 = 7 x 4 = 28 sau
700 : 25 = 700 : (100 : 4) = (700 x 4) : 100 = 2800 : 100 = 28 ;
 4250: 50 = 4250 : (100 : 2) = (4250 x 2) : 100 = 8500 : 100 = 58 sau
4200: 50 = 4200 : (100 : 2) = (4200 : 100) x 2 = 42 x 2 = 84;
c) distributivitatea împărțirii în raport cu adunarea:
4202 : 2 = ( 4200 + 2) : 2 = 2100 + 1 = 2101;
d) distributivitatea împărți rii în raport cu scăderea:
4198 : 2 = (4200 – 2) : 2 = 2100 – 1 = 2099.

Tema 15. Metodologia studierii legăturii dintre operațiile aritmetice

1. Orientări ge nerale
2. Aplicarea legăturii dintre operații pentru descoperirea și efectuarea
probelor operațiilor
3. Activitatea de rezolvare a ecuațiilor

1. Legătura dintre cele patru operații aritmetice o putem sintetiza
prin următoarele propoziții:
– adunarea și scăderea sînt operații inverse;
– înmulțirea și împărțirea sînt operații inverse;
– înmulțirea este o adunare rep etată:
a + a + … + a = b x a ;
de b ori
– împărțirea este o scădere repetată:
dacă c – a – a … – a = 0, atunci c : a = b și c : b = a.
de b ori

36 – înmulțirea și împărțirea sînt distribut ive în raport cu a dunarea și
scăderea:
a) a x (b + c) = (b + c) x a = b x a + c x a;
a x (b – c) = (b – c) x a = b x a – c x a;
b) (a + b) : c = a : c + b : c;
(a – b) : c = a : c – b : c, dacă a și b se împart exact la c.
Aceste legături se descoperă în clasele a II-III-a, fiind pregătite în
clasa I, și se utilizează în cadrul formării capacităților de calcul tabelar și
netabelar, la efectuarea probelor operațiilor și la rezolvarea de ecuații.
2. a) În clasa întîi, elevii formează blocuri de 4 exerciții, două de
adunare ș i două de scădere, cu același numere. De exemplu,
3 + 2 = 5
2 + 3 = 5
5 – 3 = 2
5 – 2 = 3.
Prin asemenea blocuri, copiii se familiarizează cu legătura dintre
adunare și scădere. Mișcîndu -se mintal în acest bloc: a) de sus în jos : ei
observă că primul exer cițiu, adunarea, poate fi probat prin celelalte trei
exerciții; b) de jos în sus, ei observă că ultimul exercițiu, scăderea, poate fi
probat prin celelalte trei exerciții.
În clasa a II -a se descoperă probele adunării și scăderii .
Să exemplificăm prin adun are: 3 + 2 = 5.
– Se citesc numerele: 3 – termen, 2 – termen , 5 – suma.
– Se scriu celelalte exerciții din bloc, citind numerele așa ca anterior și
se obțin probele adunării :
2 + 3 = 5 – proba adunării în baza comutativității adunării:
5 – 3 = 2, 5 – 2 = 3 – proba adunării prin scădere: “Dacă din sumă
se scade unul dintre termeni, se obține celălalt termen”.
În mod analog se descoperă probele scăderii :
– Pentru a afla descăzutul, se adună restul cu scăzătorul;
– Pentru a a fla scăzătorul, se scade restul din de scăzut.
b) În clasa a II -a se începe studierea legăturii dintre înmulțire și
împărțire pornind de la un bloc analog (de exemplu : 3 x 2 = 6, 2 x 3 = 6,
6 : 3 = 2, 6 : 2 = 3) și descoperind:
 Probele înmulțirii (3 x 2 = 6) :
– în baza comutativității înmulțiri i (2 x 3 = 6);
– prin împărțire: dacă împărțim produsul la un factor obținem celălat
factor ( 6 : 3 = 2, 6 : 2 = 3) .
 Probele împărțirii (6 : 3 = 2) :

37 – prin înmulțire: pentru a afla deîmpărțitul, înmulțim cîtul la împărțitor
(6 = 2 x 3);
– prin împărțire: pentru a afla împărțitorul împărțim deîmpărțitul la cît
(3 = 6 : 2).
În clasa a III -a blocurile descrise anterior se formalizează:

adunarea – a + b = c
b + a = c
c – a = b
c – b = a – scăderea

înmulțirea a x b = c
b x a = c
c : a = b
c : b = a – împărțirea

c) Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea se descoperă în
clasa a III -a comparînd exercițiile de rezolvare a unei probleme pri n două
metode .
Problema : La tombola de la carnaval, Andrei a cîștigat 3 colecții cu
cîte 4 mașinuțe roșii și cîte 2 mașinuțe albastre. Cîte mașinuțe a cîștig at, în
total, Andrei la tombolă?
Metoda I : 3 x (4 + 2) = 3 x 6 = 18.
Metoda II : 3 x (4 + 2) = 3 x 4 + 3 x 2 = 12 + 6 = 18.
În concluzie se formulează regula: pentru a înmulți un număr cu o
sumă, distribuim numărul la fiecare termen al sumei .
În mod analog se descoperă distributivitatea înmulțirii în raport cu
scăderea.
Pentru a descoperi distributivit atea împărțirii în raport cu adunarea
se procedează analog , în baza unei probleme, ca: “La un concurs de
canotaj participă 42 băieți și 18 fete. Dacă în fiecare barcă se așează cîte
6 concurenți, cîte bărci sînt necesare?”
Metoda I : (42 + 18) : 6 = 60 : 6 = 10.
Metoda II : (42 + 18) : 6 = 42 : 6 + 18 : 6 = 7 + 3 = 10.
În concluzie, se obține regula: dacă fiecare termen al unei sume se
împarte exact la un număr, atunci putem împărți suma la numărul dat,
împărțind fiecare termen la acel număr și adunînd cîtu rile .
Se verifică prin calcul distributivitatea împărțirii în raport cu
scăderea. probele scăderii probele adunării
probele împărțirii
probele înmulțirii

38 Este foarte impor tant să aducem contraexemple :
80 : (8+2) = 80 : 8 + 80 : 2 = 10 + 40 = 50 .
Efectuînd proba: 50 x (8 + 2) = 500, 500 ≠ 80 , elevii vor înțelege că
regula de scoperită nu se poate transfera asupra împărțirii unui număr la o
sumă.
3. Dinamica formării capacităților de rezolvare a ecuațiilor pornește
de la ecuațiile implicite, în care necunoscuta se înlocuiește printr -un
simbol abstractizant -intuitiv (pătrățel li ber, asterisc, semn de întrebare
etc.).
Ecuațiile implicite se abordează în baza:
 cunoașterii componenței numerelor naturale 0 -10.
3 + ? = 5; ? + 2 = 5; 5 – ? = 3; ? – 3 = 5.
 cunoașterii tablei înmulțirii și împărțirii:
3 x ? = 6; ? x 3 = 6; 6 : ? = 3; ? : 3 = 6.
Următoarea etapă prevede rezolvarea ecuațiilor explicite simple
(a ± x = b, x ± a = b, x x a = b, a x x = b, a : x = b, x : a = b), în baza
probelor operațiilor. De exemplu, x – 2 = 6.
Avem o scădere, la care c unoaștem scăzătorul 2, restul 6 și nu
cunoaștem descăzutul x. Pentru a afla descăzutul x, adunăm restul 6 cu
scăzătorul 2 :
x = 6 + 2.
Calculăm x = 8.
Verificăm 8 – 2 = 6, adevărat (A).
În continuare, în clasa a III -a ecuațiile devin mai complexe:
a) partea dreaptă a ecuației reprezintă o expresie matematică simplă, de
exemplu x x 2 = 42 : 7;
b) partea stîngă a ecuației reprezintă o expresie matematică compusă:
– fără paranteze: 3 x x + 15 = 75;
– cu paranteze: (3 + x) x 5 = 15.
Aceste ecuații se a bordează prin metoda mersului invers . De exemplu :
(3+x) x 5 = 15:
– se determină ordinea ef ectuării operațiilor în expresia din partea stîng ă
a ecuației (ultima operație este înmulțirea);
– se marchează componentele ultimei operații:
(3 + x) x 5 = 15
F1 F2 P
– se stabilește component a necunoscută 3 + x ;
– se continuă judecînd în baza probei înmulțirii:
(3 + x) = 15 : 5
F1 P F 2

39 Astfel s -a reușit diminuarea gradului de dificultate a ecuației.

Tema 16. Metodologia studierii ordinii efectuării operațiilor

1. Orientări generale
2. Ordinea efectuării operații lor în exerciții fără paranteze
3. Ordinea efectuării operaț iilor în exerciții cu paranteze

1. Ordinea efectuării operațiilor se cercetează începînd cu clasa a
III-a. În clasele I -II, exercițiile și problemele se alcătuiesc în așa mod,
încît să nu se ridice întrebări legate de ordinea efectuării operațiilor.
Procedeul cercetării se bazează pe rezolvarea cu plan a probleme lor
cu două operații și observarea ordinii efectuării operați ilor.
Mai întîi se abordează exercițiile care nu conțin paranteze, apoi
exercițiile cu paranteze. Pentru înțelegerea temei, este foarte eficientă
metoda contraexemplului, cînd elevilor li se propune să corecteze greșelile
în exerciții rezolvate incorect. D e exemplu: 4 + 3 x 5 = 7 x 5 = 35.
În clasa a IV -a se abordează exercițiile în care apar mai multe
paranteze, efectuînd mai întîi operațiile din parantezele rotunde ( ) , apoi
din cele drepte [ ], apoi din cele figurative { } .
2. Se abordează probleme ce necesită efectuarea operațiilor de grad
diferit (înmulțirea/împărțirea și adunarea/scăderea), de exemplu: “Adriana
avea 5 creioane. Ea mai primește încă 3 cutii cu cîte 6 creioane. Cîte
creioane are, în total, Adriana?”
– Se rezolvă problema cu plan, efectuî nd mai întîi înmulțirea
3 x 6 = 18, apoi adunarea 5 + 18 = 23 .
– Se sintetizează rezolvarea printr -un exercițiu: 5 + 3 x 6 = 23.
– Se observă că, mai întîi s -a efectuat înmulțirea, apoi adunarea.
Exercițiile în care apar operații de același grad (înmulțirea și
împărțirea sau adunarea și scăderea) se abordează prin observare și
analiză, de exemplu:
48 : 8 x 3 = 6 x 3 = 18
25 + 15 – 30 = 40 – 30 = 10.
În concluzie, se formulează regulile:
– într-un exercițiu fără paranteze efectuăm mai întîi înmulțirea și
împărți rea, apoi adunarea și scăderea;
– într-un exercițiu fără paranteze, în care apar numai adunări și
scăderi sau numai înmulțiri și împărțiri, efectuăm operațiile în
ordinea în care sînt scrise.

40 3. Exercițiile cu paranteze se abordează analog prin probleme, de
exemplu: “Victor are 24 de creioane, 6 simple și restul colorate.
Creioanele colorate sînt aranjate în mod egal în 3 cutii. Cîte creioane
colorate sînt în fiecare cutie?”
Se rezolvă problema cu plan, efectuînd mai întîi scăderea
26 – 6 = 18 , apoi împărțir ea 18 : 3 = 6. Se s intetizea ză rezolvarea printr -un
exercițiu ( 24 – 6) : 3 = 6, observînd că , mai întîi , s-a efectuat operația
dintre paranteze.
Este important contraexemplu l: “Tic a uitat să scrie paranteze și a
obținut exercițiul 24 – 6 : 3. Ce răspuns a primit Tic? Oare rezolvarea lui
este corectă?”
În concluzie se formulează regula: în exercițiile cu paranteze
efectuăm mai întîi operația din paranteze.

Tema 17. Metodologia studierii mărimilor și unităților de măsură

1. Prevederi curriculare
2. Cerințe metod ologice generale
3. Transf ormări ale unităților de măsură
4. Probleme de comparație

1. Studiul mărimilor și a unităților de măsură în școala primară
urmărește ca, pe baza observărilor și reprezentărilor intuitive, elevii să ia
cunoștință cu unele mărimi și unit ăți de măsură uzuale, necesare omului.
De asemenea, se urmărește formarea deprinderii de măsurare, de utilizare
a unor instrumente de măsură, formarea capacității de a estima unele
măsuri, precum și a înțelege nece sitatea ado ptării unităților standard de
măsură.
Cunoașterea unităților de măsură și formarea capacităților de
utilizare a acestora dezvoltă la elevi rigurozitatea raționamentului, precizia
și exactitatea. Operațiile cu unitățile de măsură și transformările lor duc
simultan la dezvoltarea gîndirii active și operaționale.
Conținuturile învățării la tema “Măsuri și măsurări” prevăzute
currciular sînt:
– lungimea : unitatea standard metrul ( m); submultiplii milimetrul (mm),
centimetrul ( cm), decimetru ( dm); multiplii decametru ( dam),
hectometru ( hm), kilometru ( km);
– capacitatea : unitatea standard litru ( l); submultiplii ml, cl, dl ; multiplii
dal, hl, kl ;

41 – masa : unitatea standard: kilogramul (kg); submultiplii mg, cg, dg, g,
dag, hg ; multiplii qintalul ( q), tona ( t);
– timpul : unitatea de măsură standard secu nda ( s); multiplii ora (h),
ziua, săptămîna, luna, anul, deceniul, secolul, mileniul.
Se învață unitățile monetare, folosite pentru măsurarea valorii
obiectelor în țara noastră: leul și banul ; formele de circulație a acestora:
bancnotele și monedele . În le gătură cu acestea se formează noțiunile de:
– cost: exprimă valoarea mărfii;
– preț: arată costul unei unități de marfă.
În clasa a III -a se cercetează relația dintre cantitatea unităților de
marfă, prețul și costul mărfii: cantitatea x prețul = costul . Aceast ă
dependență se antrenează în rezolvarea problemelor cu mărimi
proporționale.
Mărimile perimetru al poligonului și arie a suprafeței unei figuri
geometrice se studiază în legătură cu elementele de geometrie și se prevăd
pentru clasa a IV -a. Aceste mărimi s înt derivate ale lungimii.
Instrumentele folosite pentru măsurarea:
– lungimilor: rigla, ruleta, metrul croitorului;
– capacităților: cana de 1 l, păharul;
– masei: cîntarul cu arc, balanța, cîntarul electronic etc.;
– timpului: ceasul mecanic și electronic, cale ndarul.
2. A măsura o mărime înseamnă a c ompara această mărime cu o
alta, luată ca unitate de măsură. Măsurarea este un proces mai complicat
decît numărarea, numărarea fiind o componentă a procesului de măsurare.
Încă din preșcolaritate, copiii își formeaz ă capacități de măsurare a unei
mărimi cu unități nestandarde. Observînd, că dacă se măsoară aceeași
mărime cu diferite unități se obțin rezultate diferite, elevii ajung să
înțeleagă necesitatea introducerii mă surilor standard . Este foarte
important să se dea cîteva date istorice legate de măsurări în țara noastră ș i
în alte țări, din care să se vadă că în procesul intensificării schimbărilor
economice și științifice a rezultat necesitate a unific ării unităților de
măsură.
Sub aspect metodologic, predarea -învățarea mărimilor și
măsurărilor se bazează pe o practică activă în clasă și în afara ei. Se
impune o conștientizare a legăturii dintre factorii care trebuie l uați în
considerare:
– compararea mă surilor ace eiași mărimi ;
– tehnica de măsurare;
– necesitatea unei unități standard;

42 – necesitatea unei medii a înregistrărilor rezultatelor măsurării.
3. Transformările unităților de măsură se învață conform dinamicii:
a) transformări simple (ale unităților de măsură aflate în raport 1 : 10 sau
10 : 1):
70 dam = ? m 70 dm = = m
1 dam = 1 m x 10 1 dm = 1 m : 10
70 dam = 70 m x 10 = 700 m 70 dm = 70 m : 10 = 7 m

b) transformări compuse, care se reduc la o succesiune de transformări
simple:
70 km = ? m 700 cm = ? m
1 km = 1 m x 1000 1 cm = 1 m : 100
70 km = 70 m x 100 0 = 70000 m 700 cm = 700 m : 10 = 7 m

Progresiv se vor detașa (în cl.III) regulile: pentru a transforma în
unități de măsură mai mici (mai mari), efectuăm înmulțirea (împărțirea ).
4. În legătură cu compartimentul “Unități de măsură”, în clasa a
III-a se introduc problemele de comparație, rezolvabile prin metoda
eliminării unei mărimi prin reducere.
Exemplu: “La un magazin s -au adus 2 saci cu făină și 6 saci cu
orez, în total 580 kg. La un alt magazin s -au adus 2 saci cu făină și 4 saci
cu orez, cîntări nd la un loc 440 kg. Cît cîntărește un sac cu făină ? Dar un
sac cu orez ?”
Este importantă organizarea enunțului în schemă:
Făină Orez Masa totală
I m. 2 s. 6 s. 580 kg
II m. 2 s. 4 s. 440 kg

Pasul 1 : Se scad rîndurile termen cu termen.
Pasul 2 : Se află masa unui sac cu orez (reducerea la unitate).
Pasul 3 : Se înlocuiește masa aflată a unui sac cu orez în una dintre
relațiile din schema problemei.
Pasul 4 : Se află masa a 2 saci cu făină.
Pasul 5 : Se află masa unui sac cu făină (reducerea la unitate) .
Pasul 6 : Se verifică răspunsul înlocuind măsurile aflate în ambele
relații etalate în schema problemei.
Treptat, se introduc probleme care necesită egalarea datelor prin
amplificarea sau simplificarea relațiilor intre datele problemei.
Exemplu:

43
12 ur cioare 10 bidoane 106 lei
15 ur cioare 25 bidoane 220 lei

Se observă că fiecare termen din primul rînd poate fi împărțit la 2,
iar fiecare termen din rîndul al doilea – la 5. Astfel, se egalează datele din
coloana a doua și putem reduce o mărime (capacitat ea bidonului).
Problemele de comparație (de eliminare a unei mărimi prin
reducere) constituie o bază pentru formarea ulterioară a capacităților de
rezolvare a sistemelor de ecuații liniare. Scrierea rezolvării acestor
probleme cu plan sau cu justificări pu ne elevii în situația de a aborda
conștient și a argumenta operațiile cu unitățile de măsură. Se atenționează
la scrierea unităților de măsură în exerciții, ceea ce consolidează sensul
operațiilor aritmetice. De exemplu: 3 m + 2 m = 5 m; 2 x 4 lei = 8 lei;
9 lei : 3 = 3 lei, 9 kg : 3 kg = 3 (ori).

Tema 18. Metodologia predării -învățării fracțiilor în clasa a IV -a

1. Introducerea noțiunii de fracție
2. Compararea fracțiilor
3. Operații cu fracții
4. Probleme cu fracții

1. Noțiunea de fracție se introduce în clasa a IV -a, după ce în clasa a
II-a, în cadrul studierii operației de împărțire, s -au format și ulterior au
fost dezvoltate reprezentările despre unitatea fracționară (jumătate, a doua
parte ; treime, a treia parte ; sfert etc.). Elevii ajung să înțeleagă faptul că:
– pentru a afla a n-a parte dintr -un număr , se împarte acel număr la n;
– a n-a parte dintr -un număr este de n ori mai mică decît acel număr.
În clasa a IV -a aceste reprezentări se generalizea ză, conducînd
progresiv elevii la înțelegerea noțiunii de fracție. În acest scop se va folosi
un material intuitiv bogat și sugestiv, se vor utiliza metode didactice care
vor activiza conduita intelectuală a elevilor. Procesul introducerii noțiunii
de frac ție urmează dinamica:
1) o fază acțională în care:
 întregul se concretizează printr -un obiect real (măr, foaie de hîrtie), iar
operația de fracționare a întregului este, de asemenea, concretă
(tăierea mărului , decuparea s au plierea foii de hîrtie în părți egale);
 întregul se concretizează printr -o mulțime de obiecte concrete ( de
exemplu, cuburi), iar operația de fracționare a întregului constă în

44 clasificarea mulțimii în submulțimi echivalente (formarea de
stîlpușoare din același număr de cuburi);
2) o fază semiabstractă (a reprezentărilor), în care:
 întregul se reprezintă prin figuri geometrice (segment, dreptunghi
etc.), iar operația de fracționare a întregului se reprezintă prin trasare
de linii care împart figura în părți egale și hașurarea sau colora rea
părților luate în considerare;
 întregul se reprezintă printr -o mulțime de figuri geometrice, iar
operația de fracționare a întregului se reprezintă prin încercuirea
submulțimilor echivalente în care se clasifică mulțimea de figuri;
3) o fază abstractă , în care întregul c onstituie un număr natural, iar
operația de fracționare a întregului se înțelege ca împărțirea acelui număr
în părți egale.
De fiecare dată se atenționează elevii la:
 numărul de părți egale în care a fost împărțit întregul: numitorul
fracț iei;
 numărul de părți egale luate în considerare în fracție: numărătorul
fracției.
Definiție: m părți luate din întregul împărțit în n părți egale se
numește fracție
nm , m și n sînt numere naturale, n diferit de 0 .
Pentru a compara fracțiile este necesar să se descopere, mai întîi,
proprietatea fundamentală : Mărimea fracție i depinde de mărimea
întregului . Această descoperire se organizează în baza unui demers
logico -euristic inductiv, comparînd mărimea unei și aceleiași fracții luate
din doi întregi de mărimi diferite. De exemplu, se observă că jumătatea
unui măr mare constituie mai mult decît jumătatea unui măr mic.
Cunoscînd și înțelegînd această proprietate , în continuare, pentru a
compara două fracții, acestea se vor cerceta în ba za întregilor de aceeași
mărime.
Compararea fracțiilor se desfășoară conform următoarei dinamici:
a) introducerea noțiunii de fracții egale (echivalente);
b) compararea fracțiilor cu întregul;
c) compararea fracțiilor cu același numitor și a fracțiilor cu același
numărător.
a) Intuitiv, se formează reprezentarea despre fracții egale, apoi se
formulează definiția: două sau mai multe fracții se numesc egale dacă
fiecare reprezintă aceeași parte din întreg . Se antrenează capacitatea de a
obține fracții egale înmulțind/ împărțind numitorul și numărătorul unei

45 fracții la același număr (amplificarea/simplificarea fracțiilor), înțelegînd
că se pot obține o infinitate de fracții egale cu cea dată.
b) Revenind asupra faptului că un întreg poate fi exprimat printr -o
fracție în care numitorul este egal cu numărătorul, se definește fracția
echiunitară ca orice fracție egală cu un întreg. Apoi se introduc noțiunile
de fracție subunitară (numărătorul este mai mic decît numitorul) și fracție
supraunitară (numărătorul este mai mare d ecît numitorul). Se antrenează
reprezentarea prin desen a fracțiilor echiunitare și supraunitare analog
reprezentării anterioare a fracțiilor subunitare.
Copiii sînt dirijați spre observarea faptului că:
– orice fracție subunitară este mai mică decît un înt reg;
– orice fracție supraunitară este mai mare decît un întreg;
– orice fracție subunitară este mai mică decît orice fracție echiunitară
sau su praunitară.
c) În baza reprezentărilor acționale și iconice, elevii ajung la
concluzia că:
– dintre două fracții cu același numitor este mai mare fracția care are
numărătorul mai mare;
– dintre două fracții cu același numărător, este mai mare fracția care are
numitorul mai mic.
Elevii sînt antrenați în exerciții de ordonare crescătoare și
descrescătoare a șirurilor de fra cții care au același numitor sau același
numărător. Ordonarea șirurilor de fracții cu același numitor este mai
dificilă pentru copii, deoarece ea se face în sens invers ordonării
numărătorilor.
3. În clasa a IV -a se studiază adunarea și scăderea fracțiilor cu
același numitor. Introducerea acestor operații necesită un suport intuitiv pe
același întreg. În baza descoperirii inductive, elevii vor fi conduși
progresiv spre descoperirea regulilor:
– la adunarea/scăderea a două fracții cu același numitor se obține o
fracție cu numărătorul egal cu suma/diferența numărătorilor fracțiilor
date, iar numitorul egal cu cel a fracțiilor date.
4. Probleme le cu fracții abordate în clasa a IV -a:
a) aflarea unei fracții dintr -un întreg;
b) aflarea întregului după o parte a sa;
c) probl eme din rest în rest.
Probleme de tipul a) se rezolvă prin împărțire, iar cele de tipul b) –
prin înmulțire, însă enunțurile lor se aseamănă. Din acest motiv, elevii tind
să le confunde și să ghicească operația de rezolvare, dar să nu o aleagă

46 conștient. P entru a preveni această situație, problemele de tipurile a) și b)
se introduc prin con frunta re, concomitent, cerînd elevilor să justifice de
fiecare dată alegerea operației.
Exemple:
a)
83 din 24 elevi ai clasei sînt băieți. Cîți băieți învață în acea clasă ?
Rezolvare: 24 : 8 x 3 = 9 (băieți ).
b)
83 din elevii clasei sînt băieți. Cîți elevi învață în acea clasă, dacă
băieți sînt 9 ?
Rezolvare:
83 din x = 9
x = 9 : 3 x 8
x = 24
Verificare:
83 din 24 = 24 : 8 x 3 = 9 (A)
Problemele din rest în rest se rezolvă prin metoda mersului invers și
se bazează pe tipurile a) și b).
Exemplu: Să se determine un număr natural, dacă scăzînd o tre ime
din el, apoi un sfert din rest se obține 75.
Este foarte importantă organizarea enunțului într -o schemă
figurativă:

75
Rezolvare:
1) 75 : 3 x 4 = 100 – R1;
2) 100 : 2 x 3 = 150 – numărul căutat.

Tema 19. Metodologia predării -învățării elementelor de geometrie

1. Prevederi curriculare R1
R2

47 2. Cerințe metodologice generale
3. Metode și procedee de formare a raționamentului specific geometric la
elevii de vîrstă școlară mică

1. Predarea -învățarea elementelor de geometrie în școala primară
are drept obiectiv major dezvoltarea reprezentărilor spațiale la copil,
necesare pentru însușirea ulterioară a cursului sistematic de geometrie,
deci, asigurarea unei baze reale și trainice pentru dezvoltarea
raționamentului despre fenomenele spațiale ale materiei.
Geometria comportă pentru școlarul de vîrstă mică valențe
educaționale pronunțate, contribuind la:
– dezvoltarea spiritului de observație;
– rafinarea operațiilor de analiză și sinteză în baza descoperirii
legăturilor dintre proprietățile figurilor și detașarea treptată a relațiilor
speciale în structura figurilor;
– formarea unei conduite rezolutive vizînd c onstrucția unor noi căi de
rezolvare a problemelor sau de verificare a adevărurilor geometrice;
– adăugarea unor elemente care pregătesc formarea concepției științifice
despre lume (de exemplu, faptul că școlarul începe să gînde ască
spațiul înconjurător ca nesfîrșit și înțelege că spațiul poate fi cercetat
pe zone oricît de m ici).
Obiectivele generale predării -învățării geometriei în clasele
primare pot fi sintetizate ca:
– dobîndirea de cunoștințe științifice : formele anumitor obiecte ale
lumii reale, mărim i și diverse proprietăți ale acestora, pozițiile relative
dintre obiete și diverse relații de mărime dintre aceste obiecte sau
dintre elemente ale aceluiași obiect;
– dezvoltarea capacității de a aplica cunoștințele de geometrie: prin
rezolvarea de probleme c u conținut geometric și soluționarea unor
situații -problemă variate din cotidian sau alte disciplini;
– dezvoltarea raționamentului specific geometric și a motivației
favorabile acestuia: se urmărește dezvoltarea rigurozității
raționamentului, bazat pe strat egii de tip structural -spațial,
concomitent cu educarea unor trăsături psihice pozitive (motivație și
interes , gust estetic etc.).
Conținuturile predării -învățării elementelor de geometrie în clasele
primare prevăd următoarele noțiuni:
– forme plane : punct, linie dreaptă, linie curbă, linie frîntă, segment,
semidreapta, unghi, poligon, triunghi, pătrat, dreptunghi, romb, trapez,
paralelogram , cerc;

48 – forme spațiale : sferă, cub, prismă, cilindru, con, piramidă;
– poziții al e dreptelor pe plan : oblic, vertical, or izontal;
– poziții reciproce ale dreptelor pe plan : paralel e, concurente,
perpendiculare;
– unghiuri : ascuțite, drepte, obtuze.
Problemele cu conținut geometric pot urmări:
– construcția (desenul) figurilor geometrice sau modelarea corpurilor
geometrice;
– aflarea perimetrului unui poligon sau/și a ariei suprafeței unei figuri
geometrice;
– aprecierea valorii de adevăr a unei propoziții referitoare la noțiuni
geometrice.
2. Cerințele metodice generale în predarea -învățarea elementelor
de geometrie în școala primară p ot fi sintetizate ca:
– învățarea noțiunilor geometrice prin procese in tuitive și formarea lor
inițială pe calea inductivă;
– respectarea rigurozității geometriei în condițiile accesibilității vîrstei
elevilor;
– asigurarea funcționalității cunoștințelor geometr ice.
Aceste cerințe metodice sugerează următoarea dinamică a
formării conceptelor geometrice :
– intuirea obiectelor care evidențiază materializat noțiunea, cu dirijarea
atenției elevilor către observarea proprietăților esențiale ale acesteia;
– evidențierea pr oprietăților caracteristice noțiunii respective;
– transferul cunoștințelor dobîndite pe un material didactic care
reprezintă iconic noțiunea;
– reprezentarea prin desen a noțiunii, indicînd elementele stabilite prin
observarea directă, făcînd notații și evide nțiind din nou proprietățile
caracteristice;
– formularea unei definiții sau descrieri explicative (în funcție de
accesibilitatea vîrstei elevilor) și a propozițiilor care exprimă
proprietățile caracteristice (intră în conținutul noțiunii) într -un limbaj
specific geometric;
– identificarea figurii în alte situații din mediul înconjurător;
– construirea materializată a noțiunii (folosind carton, hîrtie etc.);
– clasificarea formelor geometrice care fac parte din volumul noțiunii;
– utilizarea noțiunii în rezolvarea pr oblemelor specifice și transferul
acesteia în situații geometrice noi.

49 Reușita în atingerea obiectivelor predării -învățării geometriei în
școala primară depinde de un complex de factori, printre care metodele
didactice au un rol predominant. Cuplul de meto de care trebuie să dețină
cea mai mare pondere este problematizarea și învățarea prin descoperire ,
prin care elevii sînt conduși spre descoperirea unor adevăruri geometrice
necunoscute lor prin eforturi proprii. Astfel, vom contribui în mare măsură
la dezv oltarea spiritului de investigare, a imaginației și creativității
elevilor.
3. Unul din procedee principale care urmărește formarea
raționamentului specific geometric este contraexemplul : acesta reprezintă
un germene a l demonstrației de la absurd cu care e levii vor fi familiarizați
în clasele gimnaziale.
De exemplu, se cere să se aprecieze valoarea de adevăr a
propoziției: “Poligonul care are laturile opuse paralel e între ele este un
paralelogram”. Schițarea unui contraexemplu, a unui hexagon regulat,
condu ce elevii la următorul raționament:

– este un poligon și are laturile paralele două cîte
două.

– însă nu este un paralelogram, deoarece are 6, dar nu 4
laturi.
– deci, propoziția dată este falsă.
Se evidențiază eroarea (co misă intenționat de învățător) în
formul area propoziției. Se corectează propoziția: “patrulaterul care are
laturile opuse paralele două cîte două este un paralelogram”. Propoziția
corectă se ilustrează prin exemple, desenînd toate formele
paralelogramului (incluzînd dreptunghiul, pătratul, rombul).
Asemenea, activități (cl.IV) se organizează în scopul rafinării
raționamentului specific geometric și al educației rigurozității în utilizarea
limbajului aferent. Greșelile comise intenționat în formularea propoz ițiilor
pot viza genul proxim al noțiunii (a vedea în exemplu de mai sus) sau
diferența ei de specie, de exemplu: “Patrulaterul care are 2 laturi paralele
este un paralelogram” (aici drept contraexemplu servește trapezul).
O al tă activitate vizează cerința ca o propoziție geometrică
riguroasă să conțină strictul necesar de informa ție, elevii avînd tendința sa
sporească conținutul informațional în detrimentul stricteții logice și
geometrice. De exemplu (cl.IV), se pune în discuție “definiția” eronată a
patru laterului: “Paralelogramul cu toate laturile de lungimi egale se

50 numește pătrat”. În cadrul cercetării, elevii vor fi dirijați să înțeleagă
faptul că este suficient să stipulăm egalitatea lungimilor a două laturi
consecutive (celelalte două vor avea aceeaș i lungime, deoarece laturile
opuse ale unui paralelogram sînt de lungimi egale).
Un alt context didactic oportun rafinării raționamentului specific
geometric îl constituie problemele de construcție , în care fiecare pas
trebuie argumentat prin formularea un ui adevăr geometric.
De exemplu , se cere să se construiască un romb cu diagonalele de
4 cm și 6 cm (cl.IV).
Pasul 1 . Construim un segment AC = 4 cm.
Pasul 2 . Știm că diagonalele rombului sînt concurente și se împart
în punctul de intersecție în jumătate. De aceea, împărțim segmentul AC în
jumătate și obținem punctul O.
Pasul 3 . Știm că diagonalele rombului sînt reciproc perpendiculare,
de aceea trasăm prin punctul O o dreaptă BD perpendiculară pe AC.
Pasul 4. Știm că punctul O reprezintă mijlocul diagonale i BC, de
aceea depunem pe dreapta BD două segmente
OB = OD = 6 cm : 2 = 3 cm.
Pasul 5 . Unim prin segmente consecutive punctele A, B, C și D.
Problemele de identificare a figurilor și corpurilor geometrice
obligă, de asemenea efectu area unui raționament geometric riguros.
De exemplu, se cere de a determina numărul de dreptunghiuri în
figura (cl.II -IV):

A B C D

H G F E
Pentru a găsi toate dreptunghiurile, 6 la număr, ( ABGH, ACFH,
BCFG, CDEF, BDEG, ADEH ) elevul trebuie să -și activ izeze spiritul de
observație și cunoștințele geometrice aferente.

Tema 20. Metodologia predării -învățării pe rimetrului poligonului și
ariei suprafeței

1. Formarea noți unii de perimetru a l poligonului
2. Formare a noțiunii de arie a suprafeței
3. Descoperirea formulelor pentru aria pă tratului și aria dreptunghiului

51
1. Noțiunea de perimetru ca suma lungimilor laturilor un ui
poligon se prevede a fi introdusă în clasa a IV -a. Elevii sînt dirijaț i pe o
cale inductivă, bazîndu -se pe o intuiție activă, către descoperirea
formulelor pentru perimetrul pătratului și al dreptunghiului.
P□ = a + a + a + a = 4 x a
P = l + L + l + L = 2 x l + 2 x L = 2 x ( l + L).
2. Învățarea -formarea noțiunii de arie urmează dinamica:
– formarea reprezentărilor despre suprafață : prin observarea și
cercetarea (activizînd simțul tactil) corpuril or din mediul înconjurător .
Detașînd, progresiv, suprafețele plane și cele curbe, elevii vor fi
conduși spre înțelegerea suprafeței ca ceea ce desparte un corp de
mediul înconjurător;
– compararea prin suprapunere a două figuri plane (congruente)
identice, care se deosebesc pr in proprietăți neesențiale (formă,
culoar e, material); elevii vor fi dirijați spere înțelegerea propoziției
“spunem că figurile care coincid la suprapunere, au aceeași arie”;
– compararea prin suprapunere a două figuri de aceeași formă
(omotetice), dar de mărimi evident inegale, concluzionînd: “chi ar dacă
figurile au aceeași formă, ele pot delimita suprafețe de arii diferite”;
– compararea prin suprapunere a două figuri geometrice de forme
diferite alese astfel, încît să delimiteze suprafețe cu aceeași arie; de
exemplu, un pătrat cu latura 4 cm și un dreptunghi cu l = 2 cm, iar
L = 8 cm. Elevii sînt chemați să încerce a demonstra că aceste figuri
delimitează suprafețe la fel de mari, indiferent de faptul că au forme
diferite. Se decupează din dreptunghiul dat un dreptunghi mai mic cu
l = 2 cm și L = 4 cm și se demonstrează că, acum, figurile pot fi făcute
să coincidă prin suprapunere. Deci, într -adevăr, figurile date
delimitează suprafețe de aceeași arie.
– compararea prin suprapunere a figurilor de formă diferită, care
delimitează suprafețe de mărim i inegale, dirijînd elevii spre
înțelegerea faptului că dacă figurile au forme diferite, ele pot delimita
suprafețe de arii diferite
– Aceste activități vor conduce elevii la înțelegerea faptului că
suprapunerea nu oferă informații suficiente pentru determin area ariei
suprafeței. Astfel, se va contura necesitatea unui procedeu care să
permită soluționarea unor asemenea situații. Cum elevii au confruntat
o situație analogică la noțiunea de lungime a segment ului, vor stabili
cu ușu rință că metoda potrivită este măsurarea. În lu mina acestei idei,

52 necesitatea stabilirii unei unități de măsură pentru arii devine un
imperativ.
– Treptat , elevii vor fi conduși spre a deprinde tehnica de măsurare a
ariei, acoperind suprafața figurii date cu diverse figuri geometrice de
aceeași mărime (triunghiuri echilaterale, h exagoane regulate,
dreptunghiuri, pătrate etc.). Se va înțelege, că a măsura aria suprafeței
unei figuri înseamnă a stabili cîte unități de măsură a ariei încap în
suprafața dată.
– Se prezintă unitatea standard pe ntru măsurarea ariilo r: pătratul cu
latura de 1 m, confecționat din carton, hîrtie etc. Elevii vor intui vizual
și tactil -motric această figură materializa tă, familiarizîndu -se și cu
notația 1 m2.
– Se prezintă submultiplii 1 dm2 și 1 cm2, descoperind pron procese
intuitive, pe o cale inductivă, relațiile
1 m2 = 100 dm2, 1 dm2 = 100 cm2, 1 m2 = 10 000 cm2.
– Antrenarea tehnicii de măsurare a ariilor folosind un pătrat
materializat din carton sau utilizînd rețeaua de pătrățele din caiet.
– Se introduc multiplii 1 ar = 100 m2, 1 ha = 100 ari = 10 000 m2. Elevii
sînt antrenați în transformări ale unităților de măsură a ariilor.
3. a) Pentru a descoperi formula pentru aria dreptunghiului ne vom
baza pe o intuiție activă și vom organiza o strategie inductivă. Materi ale
didactice necesare: cîte un pătrat cu aria 1 cm2 și cîte un set din 3
dreptunghiuri, toate avînd lungimea de 6 cm, iar lățimile, respectiv, 1 cm,
2 cm și 3 cm.
– Elevii depun pe primul dreptunghi cele 6 pătrate mici, fiecare cu aria
1 cm2 și determină ar ia suprafeței acestuia, 6 cm2.
– Se manipulează dreptunghiul cu aria de 6 cm2 și se stabilește în aria
celui de al doilea dreptunghi 2 x 6 cm2 = 12 cm2. Amintind
dimensiunile dreptunghiului , se observă că 2 x 6 cm2 = l x L.
– Se continu ă în mod analog, găsind aria celui mai mare dreptunghi:
3 x 6 cm2 = 18 cm2. Se observă, că 3 x 6 cm2 = l x L. Astfel, elevii sînt
conduși pe o cale inductivă, în baza int uiției active, către formularea
concluziei: aria unui dreptunghi cu dimensiunile l și L, măsurate cu
aceeași unitate de măsură, se ca lculează prin formula l x L.
b) Aria pătratului se va stabili printr -o strategie deductivă.
– Știm că pătratul este un dreptunghi la care lungimea este egală cu
lățimea l = L = a.
– Substituim a în formula pentru aria dreptunghiului . Obținem formula
pentru aria pătratului: A□ = a x a.

53 c) Pentru a consolida înțelegerea importanței formulelor de calcul a
ariilor, precum și pentru stimularea imaginației geometrice este indicat să
fie abordate anumite situații -problemă cerute sau puse de calculul ariilor
unor figuri exprimate grafic. În rezolvare se vor implica compuneri sau
descompuneri bazate pe dreptunghiuri, astfel, încît să se poată calcula
dimensiunile dreptunghiurilor care apar și, de aici, aria figurii date în
problemă.

Tema 21. Metodologia activității de rezolvare a problemelor simple

1. Introducerea probleme lor simple la elevii claselor I
2. Clasificarea problemelor simple
2.1. Matricea problemelor simple de adunare și de scădere
2.2. Matricea problemelor simp le de înmulțire și de împărțire
3. Greșeli tipice în rezolvarea problemelor simple. Metode și procedee
pentru pr evenirea și combaterea acestora

1. Etimologiă cuvîntului problemă (din limba greacă veche ) pro-
balleim – peste barieră.
Definiție : Problema de matematică reprezintă transpunerea un ei
situații practice (sau a unui complex de situații practice) în relații
cantitative, în care se cere determinarea unor valori necunoscute în baza
unor valori cunoscute și a unor relații date între acestea.
Pentru a -i face pe copii să conștientizeze încă din clasa I necesitat ea
rezolvării de probleme, este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că,
în cotidian, întîlnim frecvent situații care impun găsirea de răspunsuri la
diverse întrebări.
În această perioadă de început, primele probleme simple se introduc
sub formă de joc, au un caracter acțional sînt bazate pe un material
ilustrativ bogat și variat. În f aza incipientă, activitatea rezolutivă este
foarte aproape de cea de calcul, avînd drept unul dintre obiective formarea
capacității de transpunere a acțiunilor concrete în relații matematice.
Elevii se familiarizează cu terminologia aferentă: problemă, condiție,
întrebare, rezolvare, răspuns.
Activitatea de rezolvare a problemelor simple parcurge itinerariul
metodologic: probleme acționale, probleme ilustrate prin simboluri
abstractizant -intuitive, probleme schematizate logic și rezolvate fără
suport intuitiv.
2.1. Matricea p robleme lor simple de adunare și scădere (vezi anexa 1)

54 2.2. Matricea problemelor simple de înmulțire și împărțire (vezi
anexa 2)
3. În general , problemele simple sînt ușor înțeles e și rezolvate de
către copii. Totuși, există dificultăți , cele mai frecvente fiind de tipul:
– neglijarea întrebării;
– includerea răspunsului în enunț;
– neglijarea unei date;
– alegerea greșită a operației de rezolvare;
– schematizarea greșită, deci, înțelegerea eronată a structurii logice a
problemei;
– scrierea greșită a unităților de măsură în exercițiul de rezolvare;
– formularea greșită a răspunsului etc.
Pentru depășirea acestora se recomandă:
– rezolvarea unui număr suficient de probleme, structurate metodologic
corect într -un sistem optim;
– abordarea unei varietăți mari de tematici pentru enunțuri;
– analiza temeinică a fiecărei probleme;
– activități de compunere a problemelor : modificarea întrebării sau a
condiție i, completarea enunțului cu date plauzibile, alcătuirea de
probleme după desen, schemă, dialog etc.
Pentru a evita greșeli în schematizarea logică a enunțului problemei
simple , cel mai important este a descoperi corect cuvintele -cheie ale
problemei. Aceste a nu întotdeauna sînt evidente și pentru a le descoperi se
recomandă a repovesti problema, aranjînd succesiv în timp evenimentele
descrise în enunț.
De exemplu: Ce rest primește Ionel din 10 lei, cumpărînd un pix de
3 lei?
Repovestim problema, punîndu -ne în locul lui Ionel și aranjînd
evenimentele succesiv în timp: “Ionel s -a pornit la cumpărături. El avea
10 lei. Cumpărînd un pix, el a cheltuit 3 lei. Cîți lei i-au rămas lui Ionel?”
Obținem schema:
Avea – 10 lei
A cheltuit – 3 lei
I-au rămas – ? lei
Rezolvarea problemei se face scriind unitățile monetare în exercițiu:
10 lei – 3 lei = 7 lei, dar nu 10 – 3 = 7 (lei). Această scriere corectă
contribuie la conștientizarea operațiilor cu numere concrete.
O altă greșeală frecventă este confundarea p roblemelor de aflare a
unui termen necunoscut cu problemele de aflare a scăzătorului.

55 De exemplu: Într-un buchet sînt 5 flori roșii și galbene. Cîte flori
roșii sînt în buchet, dacă galbene sînt 2 ? (tipul: de aflare a unui termen
necunoscut).
Schema logic ă a acestei probleme este:
Roșii – ? f.
Galbene – 2 f.
Frecvent, putem întîlni o schematizare eronată:
Erau – 5 f.
Roșii – ? f.
Galbene – 2 f.
Această schemă nu permite înțelegerea structurii logice a
problemei, nu evidențiază op erația de rezolvare.
De fapt, se urmăre ște nu învățarea problemelor, dar formarea
capacităților de a domina varietatea lor, care este foarte mare. De
exemplu, problemele de egali zare nu se includ în mod evident în matricea
problemelor simple de adunare și scădere.
De exemplu: Pe masă sînt 8 pahare. Cîte pahare mai trebuie puse
pentru a putea servi cu suc 10 persoane? În această problemă trebuie
făcut ă corespondența biunivocă între mulțimile de 10 persoane și de 10
pahare necesare. Atunci, evident, problema, se tipizează ca o problemă de
comparare prin scădere și are schema:
Păhare – 8
cu ?
Persoane – 10

Rezolvarea de probleme simple este unul din primii pași orientați
spre exersarea flexibilităț ii și fl uidității gîndirii. Prin rezolvarea lor, elevii
ajung să opereze în mod real cu numere abstracte și concrete, să compună
și să descompună numere, să folosească strategii mintale anticipative.

Tema 22. Metodologia activității de rezolvare a problem elor compuse

1. Introducerea problemelor compuse
2. Etapele de luc ru asupra unei probleme compuse
3. Activități de postrezolvare

1. Problemele, pentru rezolvarea cărora sînt necesare două sau mai
multe operații se numesc probleme compuse.
O problemă compusă se structurează într-o succesiune de probleme
simple. Însă, dificultatea principală nu o constituie rezolvarea acestor 5 f.

56 probleme simple, dar stabilirea legăturii dintre aceste probleme simple,
adică, construirea raționamentului rezolutiv. De aceea este necesară o
perioadă de tranziție de la problemele simple la cele compuse.
Se începe cu rezolvarea de probleme simple în lanț. Acestea pot fi
ambele de adunare (ex.1) sau una de adunare și alta de scădere (ex.2).
Ex.1. a ) Ion are 3 mere, iar Ana cu 2 mere mai multe. Cîte mere are
Ana ?
b) Ion are 3 mere, iar Ana are 5 mere. Cîte mere au copii, în total?
În sinteză se obține problema: Ion are 3 mere, iar Ana cu 2 mere
mai multe. Cîte mere au copiii, în total?
Ion – 3 mere
? mere
Ana – ? mere, cu 2 mere mai mult

Formula de rezolvare: a + (a + b).
Ex.2.a ) În autobus erau 8 pasageri. La stație au mai urcat 2
pasageri. Cîți pasageri sînt acum în autobus?
b) În autobus erau 10 pasageri. Cîți au rămas după ce au coborît 3
pasageri?
În sinteză se obține problema: În autobus erau 8 pasageri. La stație
au mai urcat 2 și au coborît 3 pasageri. Cîți pasageri sînt acum în
autobus?
Erau – 8 p.
Au urcat – 2 p.
Au coborît – 3 p.
Au rămas – ? p.
Formula de rezolvare: a + b – c.
2. Etapele de lucru asupra unei probleme compuse sînt:
1. Citirea și înțelegerea enunțului . În cadrul acestei etape elevii separă
condiția și întrebarea problemei și evidențiază cuvintele principale,
care stau la baza înțelegerii struct uri logice a problemei.
2. Schematizarea enunțului trebuie să prezinte structura logică a
problemei, valorile cunoscute, cele necunoscute și relațiile dintre
acestea. O schemă corectă va ajuta elevul să planifice rezolvarea
problemei.
3. Planificarea rezolvării problemei poate fi organizată printr -un
raționament sintetic, analitic sau unul analitico -sintetic. Fiecare dintre
aceste raționamente urmărește descompunerea problemei date în
probleme simple care, prin rezolvare succesivă, duc la găsirea soluției

57 finale. Deosebirea dintre aceste raționamente constă în punctul de
plecare. Sinteza pornește de la datele problemei spre întrebare, iar
analiza pornește de la întrebarea problemei spre datele acesteia.
În practică, s -a demonstrat că raționamentul sintetic este ma i
accesibil, dar nu solicită prea mult gîndirea elevilor. Mai mult, există
pericolul ca elevii să fie tentați să afle niște mărimi care nu sînt necesare
în rezolvarea problemei.
Raționamentul analitic pare mai dificil, dar solicită mai mult
gîndirea și per mite o privire de ansamblu asupra problemei, fiind
permanent în atenție întrebarea probleme i.
Exemplu: 1 balon cu heliu costă 9 lei. Pentru împodobirea sălii
s-au cumpărat 5 baloane roșii și 8 baloane albastre. Cît a costat
cumpărătura?
1 balon 9 lei
? (5 și 8) baloane ? lei
Raționament sintetic
– Ce putem afla din datele problemei? (Putem afla cîte baloane au fost
cumpărate, în total.)
– Prin ce operație vom afla? (Prin adunare: 5 + 8.)
– Dacă vom ști cîte baloane au fost cumpărate în total, ce putem afla în
continuare? (Putem răspunde la întrebarea problemei, adică, putem
afla costul cumpărăturii).
– Prin ce operație vom afla costul total? (Prin înmulțire: înmulțim
numărul total de baloane cu prețul acestora).
Rațio nament analitic
– Ce trebuie să cunoaște m pentru a răspunde la întrebarea problemei?
(numărul total de baloane cumpărate și prețul acestora ).
– Cunoaște m aceste valori ? (Știm prețul, dar nu știm numărul total de
baloane).
– Ce trebuie să știm pentru a afla numă rul total de baloane? (Numărul
total de baloane roșii și de baloane albastre).
– Avem aceste date ? (Da).
– Ce operație vom face cu ele ? (Adunarea: 5 + 8).
– Ce vom efectua în continuare ? (Vom înmulți această sumă cu prețul
baloanelor).
Raționament analitic o – sintetic
– Putem răspunde direct la întrebarea problemei ? (Nu)
– De ce ? (Fiindcă nu știm cîte baloane s -au cumpărat în total )

58 – Dar putem să aflăm direct din condiițiile problemei cîte baloane s -au
cumpărat în total ? (Da)
– Cum ? (Adunînd 5 cu 8)
– Cum vom proceda în continuitate ? (Vom înmulți numărul total de
baloane cu prețul acestora)
4. Scrierea rezolvării se poate efectua:
– cu plan , cînd formulările pașilor de rezolvare se scriu prin propoziții
depline, enunțiative și intero gative;
– prin exerciți u, care sintetizează operațiile de rezolvare a problemei;
– cu justificări , cînd după operație se scrie o scurtă explicație.
5. Verificarea rezolvării problemei se poate efectua prin:
– substituția soluției în condiția problemei;
– alcătuirea și rezolvarea unei probleme inverse (este aplicabilă doar în
cazul unei probleme simple, în alt caz această metodă de verificare
este prea solicitantă);
– rezolvarea problemei printr -o altă metodă.
6. Scrierea răspunsului poate fi realizată printr -o propoziție enunțiativă
deplină sau prescurtat ă. Dacă ultima operați e este însoțită de
justificare sau rezolvarea s -a scris cu plan, atunci răspunsul se scrie
prescurtat.
Pentru a facilita scrierea răspunsului, vom reveni la întrebarea
problemei.
3. În scopul cultivăr ii creativității, a inteligenței, a imaginației
elevilor, se organizează diverse activități de postrezolvare .
Acestea, în primul rînd, țin de formarea capacităților de compunere
a problemelor și pot viza:
– compunerea de probleme avînd ca suport: tablou sau imagine;
schem ă; exercițiu, formul ă sau operații de rezolvare; tipu l problemei;
tematica sau mărimile date;
– modificarea condiției sau întrebării problemei;
– crearea liberă de probleme.
Activitățile de postrezolvare mai pot viza:
– rezolvarea problemei printr -o altă metodă;
– o altă modalitate de scriere a rezolvării (de exemplu, prin exerciu) ;
– alcătuirea și re zolvarea de probleme inverse etc .
Este necesar ca în activitatea de compunere a problemelor
învățătorul să contribuie la exprimarea corectă a copiilor, ora lă și în scris,
atît din punct de vedere matematic, cît și gramatical. Compunerea de
probleme constituie o premisă reală pentru sporirea rolului formativ al

59 instruirii matematice primare în strînsă corelație cu celelalte discipline de
îvățămînt.

Tema 23. Metodologia activității de rezolvare a problemelor prin
metoda figurativă

1. Descrierea generală
2. Aplicare a la rezolvarea problemelor -tip
2.1. Probleme de aflare a două numere necunoscute după suma și diferența
acestora
2.2. Probleme de aflare a două numere necunoscute după suma și cîtul
(raportul) acestora
2.3. Probleme de aflare a două numere necunoscute după diferența și cîtul
(raportul) acestora
2.4. Probleme de eliminare a unei mărimi prin substituție

1. Deseori, pentru a înțelege mai bine datele problemei și relațiile
comp ortate în enunț, rezolv itorul simte nevoia să figureze toate acestea
într-un desen, o schemă, un model etc. Cu cît rezolv itorul are o vîrstă mai
mică, cu atît aceasta figurare este mai detaliată, mai apropiată de concret.
Odată cu înaintarea în vîrstă și d ezvoltarea gîndirii logice, figurarea
devine mai abstractă, evidențiind doar esențialul.
Anume această figurare a enunțului problemei printr -o modalitate
mai intuitivă sau mai abstractă , caracterizează metoda figurativă.
2.1. Să luăm cazul general: “ Să se afle două numere x și y, dacă se
cunoaște suma lor S = x + y și diferența d = s – y”.
Figurăm enunțul într -o schemă pornind de la numărul mai mic, y.

x d x d
sau S
y y

x+y

Rezolvare
I metodă (egalarea după numărul mai mic):
1) Egalăm numerele S – d
2) Aflăm pe y (S – d) : 2
3) Aflăm pe x y + d sau S – y
II metodă (egalarea după numărul mai mare):

60 1) Egalăm numerele S + d
2) Aflăm pe x (S +d) : 2
3) Aflăm pe y x – d sau S – x.
Verificare x + y = S, x – y = d .
Exemplu: Într-o clasă sînt 21 elevi. Cîte fete și cîți băieți învață în această
clasă, dacă se știe că fete sînt cu 3 mai multe?
2.2. Să se afle două numere necunoscute x și y, dacă se cunoaște
suma lor S = x + y și cîtul R = x : y.
x …
de R ori S
y

Rezolvare:
1) Aflăm numărul mai mic, y :
S : (R + 1) (în total, avem R + 1 segmente de lungimi egale);
2)Aflăm numărul mai mare, x :
R x y sau S – y
Exemplu: Ana este de 3 ori mai tînără ca mama. Cîți ani are fiecare, dacă,
în total, Ana și mama au 40 ani ?
Aceste două tipuri de probleme se introduc în clasa a III -a, folosind
procedeul contrapunerii. Adică, ele se introd uc simultan, la aceeași lecție
și se alternează în sistemul de probleme. Această metodă de predare este
motivată prin faptul că elevii tind să confundă semnificația sintagmelor
“cu … mai mult/puțin” și “de … ori mai mult /puțin”. Con frunta rea acestor
două tipuri de probleme impune elevilor o alegere conștientă a operațiilor
și o figurare conștientă a enunțului în schemă.
2.3. Să se afle două numere x și y, dacă se cunoaște diferența lor
d = x – y și cîtul R = x – y.

d

x …
de R ori
y

Observăm că d cuprinde (R – 1) segmente de lungimea y.
Rezolvare:
1) Aflăm numărul mai mic, y: d : (R – 1)
2) Aflăm numărul mai mare: y + d sau R x y

61 Acest tip de probleme se introduce la sfîrșitul clasei a III -a, cînd s -a
format deprinderea de a rezolva problemele de cele 2 tipuri descrise
anterior.
Exemplu: Ion a rezolvat cu 15 probleme mai mult decît Dan. Cîte
probleme a rezolvat fiecare dacă se știe că Dan a rezolvat de 4 ori mai
puține probleme decît Ion?

2.4. În clasa a IV -a se introduc problemele de eliminare a unei
mărimi prin substituție, de exemplu: “ Trei rucsacuri și 2 mingi costă, în
total, 120 lei. Cît costă un rucsac și cît costă o minge, dacă se știe că un
rucsac costă cît 2 mingi? ”
o minge __ _
un rucsac ___ _ ____ ___ _
total __ _ _ _ _ __ __ _ __ _ __ _ __ _ __ _
120 lei
Observăm c ă cei 120 lei cuprind de 8 ori prețul mingii, deci:
120 lei : 8 = 15 lei – prețul mingii.
Atunci putem afla prețul rucsacului:
2 x 15 lei = 30 lei.
Verificăm: 30 lei : 12 lei = 2 (A)
3 x 30 lei + 2 x 15 lei = 120 lei (A)
În continuare, metoda figurativă se va antrena la rezolvarea
problemelor ce comportă tipurile descrise anterior ca elemente ale
enunțul ui.

Tema 24. Metodologia activității de rezolvare a problemelor cu
mărimi proporționale

1. Orientări genera le
2. Aspecte metodologice
2.1. Probleme de aflare a celei de a patra părți proporționale
2.2. Probleme de î mpărțire în părți proporționale
2.3. Probleme de aflare a două numere necunoscute după două diferențe

1. Definiție : Două mărimi, care depind una de alta în așa fel î ncît
raportul a două valori arbitrare ale primei mărimi este egal cu raportul
valorilor corespunzătoare ale mărimii a doua se numesc mărimi direct
proporționale .
Adică, dacă mărimea X ia valorile x 1, x2, x3, …, x n, iar mărimea Y
ia valorile y 1, y2, y3, …y n și dacă x 1 : x2 = y 1 : y2 sau x 2 : x3 = y 2 : y3;, …;
xn-1 : xn = y n-1 : yn, rezultă că mărimile x și y sînt direct proporționale.

62 Proprietate : Dacă mărimile x și y sînt direct proporționale, atunci la
mărirea/micșorarea uneia dintre mărimi de un anumit număr de ori
raportul acestora nu se schimbă.
Adică
, …
22
11kxy
xy
xy
nn unde k  Q+.
Conform acestei proprietăți, dependența direct proporțională poate
fi exprimată prin formula y = kx , unde x este variabila independentă, y
variabila dependentă , k est e un număr rațional pozitiv.
Exemple de dependențe direct proporționale, utilizate în cadrul
problemelor de matematică în școala primară:
– cantitatea x prețul = costul ;
– timpul x viteza = drumul ;
– timpul de muncă x productivitatea muncii = volumul de muncă etc.
Se mai cunosc și dependenț e invers proporțional e, care pot fi
exprimat e prin formula
xky , unde x este variabila independentă, iar y
este variabila dependentă, iar k Q+.
Exemple de dependențe invers proporționale utilizate în cadrul
problemelor de matematică în clasele primare:
– V = S : t, t = S : V;
– cantitatea = costul : preț, prețul = costul : cantitate;
– dimensiunile unui dreptunghi de o arie dată: L = A : l, l = A : L etc.
Pentru a forma cu succes capacitățile de rezolvare a problem elor cu
mărimi proporționale este necesar, în primul rînd, să formăm la elevi
reprezentări despre aceste mărimi și despre dependență între ele. Acest
lucru se poate realiza prin rezolvarea de probleme simple cu mărimi
proporționale, organizînd datele în ta bel. De exemplu:

Cantitate Preț Cost
a) maiouri 4 6 lei ? lei
b) pixuri ? 3 lei 15 lei
c) mingi 6 ? lei 48 lei

a) 1 maiou ……… 6 lei
4 maiouri …….. ? lei
Rezolvare: 4 x 6 lei = 24 lei

63 b) 1 pix ………3 lei
? pixuri …….15 lei
Rezolvare: 15 lei : 3 lei = 5 (pixuri)

c) 6 mingi ……. 48 lei
1 minge ………? lei
Rezolvare: 48 lei : 6 = 8 lei.

Problema c) se rezolvă prin procedeul reducerii la unitate care, mai
tîrziu, va deveni baza rezolvării problemelor compuse cu mărimi
proporționale prin regula de trei simplă .
2.1. În problemele de aflare a celei de a pa tra părți proporționale sînt
date trei mărimi direct sau invers proporționale, dintre care una este
constantă, iar două sînt variabile. Se cunosc două valori ale uneia dintre
mărimile variabile și o valoare corespunzătoare a celeilalte mărimi
variabile. Se întreabă cea de a doua valoare corespunzătoare. (vezi anexa
3).
Se observă că problemele 1 -4 comportă dependențe direct
proporționale, iar problemele 5 -6 comportă dependențe invers
proporționale. Elevii vor fi familiarizați cu ambele metode de rezolvare și
vor fi îndrumați să o aleagă pe cea mai facilă pentru ei. Atenționăm, că
metoda proporțiilor ajută elevii să conștientizeze mai bine dependența
dintre mărimile problemei și cere un spirit practic dezvoltat.
2.2. Matricea problemelor de împărțire în părți proporționale (doar
cu mărimi direct proporționale) (vezi anexa 4).
2.3. Matricea problemelor de aflare a 2 numere necunoscute după 2
diferențe (vezi anexa 5).

Tema 25. Evaluarea rezultatelor școlare la matematică în clasele
primare

1. Orientări generale
2. Metodologia or ganizării dictărilor matematice
3. Metodologia elaborării unui test st andardizat de evaluare sumativă

1. Problema evaluării rezultatelor școlare la matematică în c lasele
primare este subordonată preocupărilor generale de evaluare a eficienței
procesului de predare -învățare, constituind un obiect de studiu al
didacticii. Conceptul de evaluare, particularizat la disciplina matematica
păstrează caracteristicile general e ale evaluării, dar implică note specifice.

64 Evaluarea rezultatelor școlare la matematică se realizează în următoarele
scopuri :
a) Evaluarea inițială : diagnosticarea stadiului inițial de la care se
pleacă în abordarea unei secvențe de instruire , în vederea pr oiectării și
realizării eficiente a noii activități de învățare.
Evaluarea inițială se organizează la începutul studierii unui capitol,
temă, semestru, an școlar. Pentru aceasta s e rezervează 5 -7 minute din
lecție . Aprecierea rezultatelor se poate face pri n calificative sau note,
trecînd în registru doar notele 8 -10. Scopul evaluării inițiale este
diagnosticul situației cognitive și elaborarea de programe individuale și
diferențiate: de reînvățare -recuperare, de ameliorare -dezvoltare.
Elaborînd itemii pentr u probele de evaluare inițială ne vom limita la
domeniul cognitiv cunoaștere și înțelegere . Metodele de evaluare inițială
pot fi diverse: examinarea orală sau proba scrisă , dictare matematică, joc
etc. M odurile de organizare a clasei, de asemenea, pot fi d iferite: frontal,
individual sau în grupuri.
b) Evaluarea formativă : stabilirea nivelului la care a ajuns
fiecare elev în procesul formării setului de capacități implicat în
obiective .
Evaluarea formativă se organizează pe parcursul studierii unei
unități de învățare, rezervîndu -i-se cel mai mult 20 min ute la sfîrșitul sau
începutul unei lecții. Rezultatele nu se notează. Scopul evaluării formative
este racord area procesului de predare de că tre învățător cu procesul
învățării elevului. Învățătorul are șansa de a corecta procesul predării în
funcție de ritmul însușirii elevilor și erorile de comprehensiune comise.
Elevii își vor stimula capacitățile de autoevaluare și încrederea în forțele
proprii. Lipsa notării va favoriza motivația extrisecă pentru învățare și va
face să dispară stresul legat de evaluare.
Metodele de evaluare formativă, la fel ca și modurile de organizare
a clasei, pot și trebuie să fie diverse.
c) Evaluarea sumativă : confirmarea atingerii obiectivelor
propuse pentru o anumită unitate didactică
În proiectul tematic de perspectivă pentru un an de studiu la
matematică în clasele primare, evaluării sumative i se rezervează cîte 2
ore: prima pentru evaluarea propriu -zisă, a doua – pentru analiza
rezultatelor. Analiza rezultatelor evaluării sumative pe rmite sporirea
performanțelor elevilor prin elaborarea și administrarea unor sarcini
diferențiate: de reînvățare -recuperare sau de ameliorare -dezvoltare. Este
important să precizăm că în sistemul evaluării matematice pentru clasele

65 I-IV se conturează o con duită evaluativă a învățătorului, care satisface
prioritar cel puțin trei criterii de apreciere (nu de măsurare propriu -zisă) și
anume:
– prin raportare la o normă impusă de cerințele curriculare (definește
condițiile de eficacitate ale predării și învățării ): evaluarea
normativă ;
– prin raportare la nivelul real atins de elevii clasei (definește condițiile
de eficiență ale predării -învățării): evaluare criterială ;
– prin raportare la posibilitățile fiecărui elev, aceasta fiind o evaluare
de progres .
2. Dictarea matematică este o metodă des utilizată pentru evaluarea
inițială și evaluarea formativă.
Dictarea matematică se proiectează ca un sistem de exerciții și
probleme care se propun elevilor oral, aceștia scriind în caiete doar
răspunsurile.
Cerințele metodolog ice generale față de o dictare matematică sînt:
– sistemul de sarcini să fie structurat conform principiilor generale –
stereotip icitate, repetare continuă, confrunta re, includerea sarcinilor ce
reprezintă contraexemplu l didactic (provoacă elevii la greșeli și
permit e elucidarea greșelilor tipice);
– nivelul de dificultate trebuie să fie mediu, deoarece toate operațiile de
calcul și rezolvare a se vor face oral;
– numărul de sarcini trebuie să corespundă timpului în car e majoritatea
elevilor de vîrsta respectivă s înt capabili să -și mențină atenția
concentrată;
– în formularea sarcinilor se va utiliza un limbaj matematic bogat și
corect; dacă sarcinile sînt stereotipice, formularea lor trebuie să fie
diferită. De exemplu, “Calculați și scrieți corect suma numerelor 3 și
2; măriți cu 4 numărul 5; primul termen este 3, al doilea termen șase,
scrieți suma”;
– dictarea se va finisa printr -o sarcină de postrezolvare; de exemplu: în
șirul de numere obținut subliniați numerele pare;
– evaluarea rezultatelor se va face frontal, el evii vor exprima acordul
sau dezacordul cu fiecare răspuns rostit de un elev. Dacă se observă
greșeli, acestea vor fi analizate.
3. Testul standardizat este constituit din următoarele elemente
componente:
– matricea de specificații;
– itemii;

66 – baremul de corect are și notare;
– scara sau tabelul de conversie a punctajului acumulat în note.
Matricea de specificații etalează capacități ce urmează a fi evaluate,
structurate pe domeniile cognitive (cun oaștere și înțelegere, aplicare ,
integrare) conform conținuturilor d e învățare supuse evaluării. Pentru
fiecare element structural se prezintă și pondere a cantitativă și
procentuală.
De exemplu:
Conținut de
învățare
Domenii
cognitive C1 C2 C3 C4 Total
Cunoaștere și
înțelegere I4, I6 2 itemi (20%)
Aplica re I2, I3 I5 I7 I10 5 itemi (50%)
Integrare I1 I8, I9 3 itemi (30%)
Total 2 itemi
(20%) 4 itemi
(40 %) 1 item
(10 %) 3 itemi
(30 %) 10 itemi
(100%)

Baremul de corectare și notare se structurează:

Nr.
item Punctaj maxim Răspuns
corect Acordarea
punctajului Observații
Pentru a face conversia punctajului în note poate fi aplicată formula
10maxim punctajacumulat punctajnota  
.
Itemii din care se constituie testul trebuie să fie diverși:
1) obiectivi :
– cu alegere duală (A sau F, Da sau Nu etc.)
De exemplu: Ci tește cu atenție propoziția de mai jos. Dacă o
consideri adevărată încercuiește litera A, iar dacă o consideri falsă
încercuiește litera F.
“Predecesorul numărului 100 este 101”
A F
– cu alegere multiplă:
De exemplu: Care din tre numerele de mai jos se citește două sute
doi? Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect.
A 22 B 220 C 202 D 222
– tip-pereche:

67 De exemplu: Asociază exercițiile cu același răspuns:
16 – 6 + 7 15 + 2 – 3
15 + 3 – 4 12 + 4 + 1
13 + 5 + 0 14 + 5 – 7
3 + 16 – 1
Notă: Numărul elementelor de intrare trebuie să fie diferit de
numărul elementelor de ieșire, pentru a a sigura alegerea conștientă a
fiecărei perechi.
2) semiobiectivi :
– cu răspuns deschis:
De exemplu: Completează propoziția de mai jos cu numărul
potrivit.
Dacă micșorăm cu ș numărul 9, obținem numărul 7.
– întrebări structurale :
De exemplu:
baloane stegulețe coifuri
Ana 12 3 5
Nicu 7 13 12
Calculează și completează propozițiile:
Ana a pregătit, în total ____ obiecte decorative;
Ana și Nicu au pregătit, în total, ___ stegulețe;
Nicu a pregătit cu ___ coifuri mai mult decît Ana.
3) cu răspuns deschis: tip – rezolvare de probleme .
Observarea sistematică a comportamentului cognitiv al elevului la
orele de matematică, a modului de realizare a temelor pentru acasă,
sprijinită de analiza rezultatelor evaluărilor poate oferi o imagine
completă a nivelului de per formanță atins de elev.

68 Bibliografie selectivă

1. Gh. Das călu ș.a. „Metodica predării matematicii în clasele
primare”, Editura „Lumina”, Chișinău, 1996.
2. Gh. Herescu, A. Dumitru, I. Aron „ Matematica pentru învățători”,
E.D.P., București, 1996 .
3. M. Bulboacă, M. Alecu „Metodica activităților matematice în
grădiniță și în clasa I”, editura „Sigma”, București, 2000.
4. D. Bell, E. R. Huges, J. Rojers „Arie, masă, volum. Îndrumarea și
încurajarea formării și dezvoltării acestor concepte la copii”,
E. D. P., Buc urești, 1970.
5. G. Polya „Cum rezolvăm o problemă?”, E. D. P. , București, 1965.
6. Curriculum școlar clasele I -IV, Editura „Lumina”, 2003.
7. Standarde educaâionale. Învățămînt primar. Editura Lumina,
Chișinău, 2004
8. V. Pâslaru, V. Cabac ș. a. „Evaluarea în învăță mînr. Orientări
conceptuale”, Chișinău, 2002
9. Matematica, manuale pentru clasele I -IV, ghiduri pentru învățători
și părinți, Editura „Prut Internațional”2002 – 2004.
10. Ursu L. „Patrulatere speciale”, editura Lyceum, Chișinău, 2000
11. Ursu L. „Teste de evaluare sumativă”, clasele I -IV, Editura „Prut
Internațional, 2003 -2004

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Catedra Pedagogia Învățămîntului Primar Ludmila Ursu Note de curs la DIDACTICA MATEMATICII (sinteze) 3 Tema 1. Concepția didactică a cursului primar… [612392] (ID: 612392)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Catedra Pedagogia Învățămîntului Primar Ludmila Ursu Note de curs la DIDACTICA MATEMATICII (sinteze) 3 Tema 1. Concepția didactică a cursului primar… [612392]

Copyright Notice

Deși omul nu este făcut să trăiască singur, pare că vremurile noastre sunt cele în care ne însingurăm tot mai mult. [306534]

Modulul III: CONTABILITATE DE GESTIUNE [613255]

Aceasta lucrare ofera o imagine de ansamblu a si – [624065]

Asociația Q -Professionals [619586]

https://en.wikipedia.org/wiki/Romania 1/57Romania România (Romanian) Flag Coat of arms Anthem: „Deșteaptă-te, române!” (English: „Awaken thee,… [619861]

Calculatoare și tehnologia informației [603871]

Copyright Notice

Similar Posts