Catedra Informatică și Matematică [613216]
MINISTERUL EDUCAȚIEI AL REPUBLICII MOLDOVA
UNIVERSITATEA PEDAGOGICĂ DE STAT „ION CREANGĂ” DIN CHIȘINĂU
Facultatea Știițe ale Educației
Catedra Informatică și Matematică
Specialitate Matematica didactică
MAXIME ȘI MINIME PENTRU CURSUL ȘCOLAR
TEZĂ DE MASTER
Autor : Dimitraș Tatiana
Conducător științific : Sergiu Port, dr. conf. univ.
CHIȘINĂU – 2020
2
CUPRINS
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 3
CAPITOLUL 1 . OPTIMIZAREA ALGEBRICĂ ………………………….. ………………………….. …. 7
1.1. Intervale de numere reale, șiruri mărginite ………………………….. ………………………….. 7
1.2. Inegalități remarcabile în algebra elementară ………………………….. ………………………. 9
1.3. Probleme rezolvate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 10
CAPITOLUL 2. APLICAȚIILE CALCULUI DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL LA
PROBLEMELE DE OPTIMIZARE ………………………….. ………………………….. ………………….. 24
2.1. Teoreme fundamentale ale analizei matematice ………………………….. ………………….. 25
2.2. Rolul primei derivate în studiul funcțiilor ………………………….. ………………………….. 30
2.4. Probleme rezolvate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 39
CAPITOLUL 3. OPTIMIZARE GEOMETRICĂ ………………………….. ………………………….. . 51
3.1. Metode de rezolvare a problemelor geometrice ………………………….. …………………… 51
3.2. Prin cipii și teoreme pentru găsirea maximilor și minimilor …………………………… …. 55
3.2. Probleme rezolvate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 62
Concluzii ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………. 68
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 69
3
Introducere
„Matematica este ca urcușul la munte. Efortul este răsplătit de priveliști mărețe. Ca
și pe munte, ascensiunile în matematică sunt frumoase dacă nu ești obsedat doar de locul
unde vrei să ajungi și dacă ești în stare să savurezi tot ceea ce întâlnești pe parcurs.“
(Solomon Marcus – „Șocul matematicii“)
Actualitatea și importanța problemei abordate.
Matematica participă cu mijloace proprii la modelarea personalității atât sub aspect
intelectual cât și sub aspect estetic și moral.
Din punctul de vedere al dezvoltării intelectuale, învățarea matematicii formează
spiritul științific obiectiv și stimulează dorința de cercetare.
Sub aspect estetic este exprimată prin form ule, relații, figuri, demonstrații, cultivă
calități ale exprimării gândirii (claritate, ordine, conciziune, eleganță .
Din punct de vedere moral, matematica formează deprinderi de cercetare și
investigare, e stimulată perseverența.
Deci, s tudiul matematicii urmărește totuși să participe pentru a de zvolta capacit atea
elevilor în cotidian , să formuleze și să rezolv e probleme pe baza cunoștințelor din diferite
domenii, precum și la înzestrar ea cu competențe a elevilor într -o integrare profeion ală optimă.
Rezolvarea problemelor , în toate cazurile, face parte din învățare și din viață.
Problemele pot avea dimensiuni sociale, culturale, politice și personale, pot să fie simple sau
complicate. La unele pot exista zeci de soluții, în timp ce altele pot avea doar o singură soluție.
Ceea ce pentru o persoană reprezintă o problemă serioasă, pentru o altă persoană , poate să nu
fie deloc o problemă .
Abordarea p robleme lor de maxim și minim geometric oferă soluții practice în multe
domenii: la reducerea costului lucrărilor, la trasări de drumuri, căi ferate etc.
Cercetarea unei funcții, aflarea punctelor de exter m și a extremelor funcției cu
ajutorul derivatei ne permit rez olvarea multor probleme de optimizare din diferite domenii:
algebră, geometrie, fizică, economie, etc., a căror rezolvare nu este întotdeauna posibilă, dacă
sunt aplicate doar metodele algebrei sau geometriei elementare.
Probleme de minim și maxim ce pot fi rezolvate cu ajutorul analizei matematice
prezintă un interes deosebit în activități practice, în construcții, în industrie sau în agricultură.
Unele problem e conduc prin rezolvarea lor la economii de materii prime sau materieale, altele
ne dau timpul minim pentru executarea unei lucrări.
4
Scopul lucrării : elaborarea problemelor de maxim și minim repre zentate prin
diferite metode și procedee . Această lucrare poate fi un material util și anume în cursul liceal,
elevilor, deoarece se regăsesc metode algeb rice, analiză matematică, geometrie pentru aflarea
unor soluții optime, și aplica rea în diferite domenii.
Obiectivele de bază ale lucrării sunt:
1. Optimizarea algebrică.
1.1. Intervale de numere reale, șiruri mărginite.
1.2. Inegalități remarcabile în algebra elementară.
1.3. Probleme rezolvate.
2. Aplicațiile calcului diferențial și integral la probleme de optimizare.
2.1. Teoreme fundamentale ale ale analizei matematice.
2.2. Rolul primei derivate în studiul funcțiilor.
2.3. Probleme rezolvate.
3. Optimizare geometrică.
3.1. Metode de rezolvare a problemelor geometrice.
3.2. Principii și teoreme pentru găsirea maximilor și minimilor.
3.3. Probleme rezolvate.
Importanța teoretică a lucrării. Dezvoltarea matematici ca știință a fost generată
de progresul în sfera tehnicii de calcul, tehnologiilo r informaționale. Scopurile de bază ale
acestei științe sunt elaborarea metodelor de soluționare a problemelor complicate de cercetare
și de calcul. Deci este dificil de a înțelege, a învăța și consolida matematica numai prin
însușirea unor conoștințe teor etice, fără apl icarea acestora. Teoria se fixează și se
aprofundează numai prin rezolvarea unui număr cât mai mare de exerciții și probleme.
Aprofundarea cunoștințelor de matematică presupune demonstrații, folosirea teoremelor
învățate în soluționarea unor probleme practice.
Metodologia de cercetare. Instrumentele matematice permit rezolvarea problemelor
atât prin metode analitice, cât și prin metode de simulare. Dar, rezolvarea oricărei probleme
în matematică se divide în mai multe etape, fiecare din ele având același grad de importanță.
Analiza problemei inițiale . La această etapă este studiată problema reală. Sunt
separate datele inițiale, se determină ce trebuie de obținut, care sunt relațiile dintre datele
inițiale și rezultat. Tot aici sunt determinate restricțiile suplim entare asupra datelor inițiale și
rezultatului.
5
Crearea modelului problemei . Se căută diferite probleme pentru ca elevul să aibă
posibilitatea de -a aplica practic cunoștințele teoretice, dobândite prin învățare. Și de aceea se
aplică aceste subcompetențe ca:
– aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferențial în rezolvarea unor probleme și
cercetarea unor procese reale și/sau modelate;
– analiza rezolvării unei probleme, situații -problemă ce țin de utilizarea derivatelor,
diferențialelor în contextul corectitudinii, al simplității, al clarității și al semnificației
rezultatelor;
– aplicarea derivatelor în studiul proceselor fizice, sociale, economice prin intermediul
rezolvării unor probleme de maxim și/sau mini ;
Elaborarea algoritmului . În cazul rezolvării unei probleme , algoritmul conține
metoda de rezolvare a problemei și relațiile dintre diferite etape de rezolvare. Pentru a rezolva
o problemă de maxim și minim, este necesar de a determina valoarea maximă sau m inimă a
unei mărimi. Pentru aceasta, valorea dată, o exprimăm printr -o funcție și apoi se studiază
variația funcției obținute cu ajutorul derivatei. Anume algoritmul divizează modelul
matematic în pași elementari și stabilește ordinea de efectuare a calc ulelor la fiecare pas.
Rezolvarea problemei . Pentru a rezolva o problem ă de maxim sau minim în limbajul
matematic cu ajutorul unei funcții de o singura variabilă se folos ește următorul algoritm:
– Se alege un parametru convenabil (de exemplu 𝑥) și se exprim ă mărimele din această
problemă prin 𝑥;
– Pentru mărimea, ce trebuie să atingă valoarea maximă sau minimă, se alcătui ește o funcție
de variabila 𝑥;
– Se găsește intervalul pe care funcția trebuie să atingă valoarea maximă (sau minimă) ;
– Cu ajutorul der ivatei se determin ă punctele de maxim sau minim pe intervalul obținut ;
– Se află mărimea necunoscută din problem ă și dacă se cere și valoarea maximă sau minimă ;
Nu întotdeauna e convinabil de -a nota prin 𝑥 mărimea necunoscută a problemei. Se notează
prin 𝑥 acea mărime, pentru care funcția obținută să fie ușor de cercetat cu ajutorul derivatei.
Soluția problemei . Deci, este important dacă intervalul este deschis (𝑥
(𝑎,𝑏)) și
pe acest interval funcția are un număr finit de puncte de maxim (sau minim), atunci valoarea
cea mai mare (sau cea mai mică ) funcția o atinge într -un punct de maxim ( sau punct de
minim).
6
Prezentarea structurii lucrării . Teza este structurată pe trei capitole.
Capitolul I „OPTIMIZAREA ALGEBRICĂ ” oglingește minime și maxime în
algebră și include noțiuni despre intervale, mulțimi și șiruri mărginite și nemărginite , teoreme
de mărginire ale acestora, inegalități remarcabile în algebră, valori extreme ale funcțiilor
elementare și expuse câteva probleme rezolvat e privitoare la noțiuni date. Cu ajutorul
inegalităților remarcabile prezente, se pot găsi anumite va lori minime sau maxime a unor
expresii care depind de două sau mai multe variabile reale, sau se pot demostra alte inegalități
care oferă anumite valori ex treme necesare.
Capitolul II „APLICAȚIILE CALCULUI DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL LA
PROBLEME DE OPTIMIZARE ” aplică noțiunile de valori extreme în analiza matematică
și include anume proprietăți de bază ale derivatei, rolul derivatelor întâi și a doua în studiul
funcțiilor.
Capitolul III „OPTIMIZARE GEOMETRICĂ ” sunt prezentate probleme de
maxim și minim geometric , rezolvate, cu ajutorul unor inegal ități sau cu ajutorul derivatei.
Aceste probleme se aplică în geometrie care se rezolvă algebric și cu ajutorul analizei
matematice.
Sructura acestor capitole se încheie cu un paragraf în care sunt expuse o serie de
probleme rezolvate ce subliniază necesitatea studierii problemelor de maxim și minim,
probleme cu mare aplicabilitate î n viața cotidiană
“Problemele de maxim și minim idealează
o înclinație a naturii și a noastră înșine de a obține
efecte optime cu eforturi, cheltuieli minime. ”
(G. Polya)
7
CAPITOLUL 1. OPTIMIZAREA ALGEBRICĂ
Numită axa numerelor reale , mulțimea numerelor reale, notate cu R, are ca
reprezentare geometric ă o dreaptă . Deoarece este numită dreapta reală între elementele lui R
și mulțimea punctelor pe o dreaptă se poate stabili o corespondență bijectivă, mulțimea
numerelor reale, iar numerele reale se mai numesc puncte.
1.1. Intervale de numere reale, șiruri mărginite
Dacă c,d R, c<d, atunci următoarele submulțimi se numesc intervale:
(c, d) ={x R / c < x< d} interval deschis;
[c, d] ={x R / c x d} interval închis;
[c, d) ={x R / c x < d} interval închis la stânga și deschis la dreapta;
(c, d] ={x R / c < x d} interval deschis la stânga și închis la dreapta;
(c, +) ={x R / x > c} interval nemărginit la dreapta și deschis la stânga;
[c,) ={x R / x c} interval închis la stânga și nemărginit la dreapta;
(- , c) ={x R / c < x} interval deschis la dreapta și nemărginit la stânga;
(- , c] ={x R / x c} interval închis la dreapta și nemărginit la stânga;
(- , +) = R mulțimea numerelor reale;
Intervalele ( c, d), [c, d], [c, d), (c, d], se numesc intervale mărginite, a, b se numesc
extremitățile intervalului, a extremitatea dreaptă. Intervalul [ c,d] se numește compact (închis
și deschis). Dreapta reală și semitreptele sunt intervale nemărginite.
Se numește șir de numere reale orice fu ncție f : N R, f(n) = x n se numește rangul
acestuia. [3]
Exemple:
(cn)n0: c,c,c,… șir constant, are toți termenii egali cu c;
(dn)n0: dn= n șirul numerelor naturale;
(fn)n0: f0=f1=1, f n+1=f1+fn+1, f 1 șirul lui Fibonaci.
Definiție:
Un șir de numere (xn)n0 este mărginit superior dacă ( ) d R astfel încât
xn b, ∀ n N*.
Observații:
1) Numărul d din definiție este un majorant pentru termenii șirului.
2) Șirul ( xn) n0 este mărginit superior dacă și numai dacă mulțimea
Mx = {xn|n N*} este mulțime majorată.
8
Un șir de numere ( xn) n0 este mărginit inferior dacă c R astfel încât
a xn, ∀ n N*.
1) Numărul c din definiție este un minorant pentru termenii șirului.
2) Șirul ( xn) n0 este mărginit inferior dacă și numai dacă mulșimea
Mx = { xn|n N*} este mulțime minorată.
Definiție:
Un șir de numere ( xn) n0 este mărginită dacă există numerele reale a și b astfet încât
a xn b, ∀ n N*.
Observație:
Șirul ( xn) n0 este mărginit dacă și numai dacă mulțimea Mx = { xn|n N*} este
mulțime mărginită.
Teoremă:
Spunem că șirul ( xn) n0 este mărginit dacă și numai dacă ( ) M > 0 astfel încât |x n|
M, ∀ n N*.
Demontrație:
Dacă șirul ( xn) n1 este mărginit atunci există c,d R astfel încât c xn d, ∀ n N*.
Luăm M = max {|c|, |d|}> 0 și atunci este clar că |x n| M, ∀ n 1.
c xn d
Presupunem că ( ) M > 0 astfel încât | xn| M, ∀ n N*. Rezultă că – M xn M, ∀
n N* și deci șirul este mărginit.
Definiție:
Un șir care nu este mărginit se numește nemărginit.
Observații:
1) Un șir este nemărginit dacă nu se poate găsi un interval de forma [ c,d] în care să se afle
toți termenii șirului. Deci, conform teoremei, un șir ( xn) n1 este nemărginit dacă ( ) M >
0, (∀) xn astfel |x n|>M.
2) Dacă șirul ( xn) n1 nu este mărginit superior și ( yn) n1 este un șir cu y xn, ∀ n (sau n 𝑛0,
𝑛0 dat) atunci șirul ( yn ) n1 este deasemenea nemărginit superior.
3) Dacă șirul ( xn) n1 nu este mărginit inferior și ( yn) n1 este un șir cu yn xn , ∀ n(sau n 𝑛0,
𝑛0 dat) atunci șirul ( yn ) n1 este deasemenea nemătginit inferior.
9
Exemple:
Șirul ( xm) m1, xm =
21
m este mărginit deoarece este descrescător cu termeni pozitivi.
1) Șirul ( xm) m1, 𝑥𝑚
sin1mm m, m N este mărginit, deoarece este suma a două șiruri
mărginite. [5]
1.2. Inegalități remarcabile în algebra elementară
Inegalitățile prezentate în continuare sunt foarte des utilizate în cursul liceal. Cu
ajutorul lor se pot determina valorile extreme ale unor expresii care depind de anumite
variabile, se pot demonstra alte inegalități pornind de la acestea. [3]
Inegalitatea mediilor
min ( b1, b2, … , bn) mh mgmi ml max ( b1, b2, … ,b n) sau
min(b1, b2,… , b n)
nb bbb bb
b b bnnn
n
n
…,…,,1…1 12 1
2 1
2 1
nb b bn2 2
22
1 … max ( b1, b2,… , b n) (1.1)
Inegalitatea lui Cabâșev
n n i in
iin
iin
iii
d d dссn i dсnd
nc
ndс
… , … ,,1, ,)(, *2 1 11 1 1R
(1.2)
Inegalitatea lui Bernouli
(1+z)r 1+rz, (∀) z,r R, z -1, r 0 (1.3)
Inegalitatea lui Holder
111,1,,,1, ,)(, .1
11
1 1,
qpqpn i dc d c dci iqn
iq
ipn
ip
in
iii R
(1.4)
Inegaliatatea lui Cauchy – Buniakowski – Schwarz
n i dс dс dci in
iin
iin
iii ,1, ,)(,
12
122
1
R
(1.5)
Inegalitatea lui Jeansen
Fie I R, interval și f : I R, convexă . Atunci ( ∀)ci ,di I,
n ii ,1,0 avem :
10
f
n
iin
ii i
n
iin
iii xf x
11
11)(
(1.6)
Inegalitatea lui Minkowski
1 ,,1, , ,1
11
11
1
pn i dс d с dсi ipn
ip
ipn
ip
ipn
ip
i i R
(1.7)
1.3. Probleme rezolvate
Problema 1 :
Să se determine valoarea maximă și valoarea minimă a expresiei:
,121
22
x xx x
dacă x > 0.
Soluție:
Se observă , că valoarea expresiei este egală cu 1, dacă x =0 și este mai mică ca 1,
dacă x > 0. Deci valoarea cea mai mare ymax= 1, dacă x = 0.
Mai mult ca atât:
.2111
2111 2112112 1212
1 212
121
22 2 22
22
22
xx
xxxx
x xxx xx
x xx
x xx x
x xx x x
x xx x
Dacă x = 1, atunci ymin=
.43
41111111
Teorema 1. Dacă suma adouă variabile pozitive este constantă, atunci produsul
acestor variabile este cel mai mic, dacă au ambii factori, se primește aceeași valoare.
Demonstrare. Fie x și y două variabile positive și x+z =c unde C – este constant.
Aplicân d inegalitatea dintre media aritmetică și media geometrică primim:
xyyx
2
sau
xyC2 sau
42Cxy
deci, ymax =
42C dacă 𝑥=𝑦.
11
Teorema 2. Dacă suma a 𝑛 variabile pozitive este constantă, atunci produsul acestor
variabile primește valoarea cea mai mare, când toate aceste variabile sunt egale.
Demontrare. Fie 𝑥1𝑥2𝑥3, …, x n –variabile pozitive. Fie 𝑥1+𝑥2+𝑥3 + … + =𝑐,
unde c- constantă. După teorema lui Cauchy despre media aritmetică și geometrică avem:
n
nnx xxxnx xxx……
3 2 13 2 1
.
De aici rezultă :
1x
2x…
nx
n
nc
această egalitatea este adevărată numai atunci dacă,
x1=x2= x 3=…=x n . Deci ymax =
n
nc
, dacă 𝑥1=𝑥2=𝑥3=𝑥𝑛.
Problema 2 :
Să se determine valoarea cea mai mare a funcției f(x)=x4(32 – x4).
Soluție:
Dacă , x4(32 – x4) > x4 > 0,
x R, 32 – x4 >0 ⇒x4 < 32 ⇒x <
432 .
Deci, dacă x >
432 atunci, f (x) > 0, iar dacă x >
432 atunci, f(x) < 0.
Deaceea cea mai mare valoare trebuie de căutat printre x <
432 .
Dacă x <
432 atunci, ambii factori x4 și (32 – x4) sunt pozitivi și suma lor este
constantă. Deci, ymax se determină punând condiția:
.2 16 16 32 2 324 4 4 4 4 x x x x x
Răspuns: Dacă x= 2, ymax= 256.
Problema 3 :
Să se determine valoarea maximă a funcției f(x)=3×2-2×3 dacă 0< x<
23 .
Soluție:
1) Determinăm de ce valorile lui x sunt limitate 0 < x <
23 . Dacă presupunem
că, x< 0 atunci, funcția nu va avea cea mai mare valoare, deoarece ea va fi crescătoare pentru
orice valoare negativă a lui x.
Dacă x = – 1000 atunci, valoarea acestei funcții va fi:
3⋅(−1000 )2+2(−1000 )3=3⋅100 02−2⋅100 03=100 02(3−2000 )<0
12
Dacă pentru toate valorile lui x
23;0 valorile funcției vor fi pozitive.
2) Dacă f(x)= 3×2 – 2×3 vom prezenta sub forma x3(3-2x) atunci, observăm că,
suma factorilor x2 și (3-2x) nu este constantă, deci o reprezentăm ca produsul a trei factori:
x
)23( x x
)23( 2 32 3 2x xx x
x
)23( x x
Deci, suma factorilor 𝑥+𝑥+3−2𝑥 este o constantă.
Funcția va avea cea mai mare valoare dacă 𝑥 = 𝑥 =3 − 2𝑥, adică 𝑥 = 3 − 2𝑥
⇒ 3𝑥 = 3 și 𝑥= 1.
Deci, dacă 𝑥=1 atunci, 𝑦𝑚𝑎𝑥 =1.
Problema 4 :
Să se determine cea mai mică valoare a funcției f :R
.121)(,22
x xxxxfR
Soluție:
1. Aducem numărătorul la un pătrat perfect
43
21141
41
212 12
2 2 x x x xx
2. f(x) are forma :
f(x)=
22
143
21
xx
Dacă x=1 funcția nu are sens. Funcția primește numai valori pozitive, deci și cea mai mică
valoare a funcției va fi pozitivă.
3. Descompunem funcția în sumă de termeni:
2 2 22 2 22
22
22
11
111
11
111121111 2 1212
1 21 2
1 21
x x x xxx xx
x xx
x xx x
x xx x x
x xx x
Notăm fracția
ux11 și funcția va avea forma:
13
43
21
11
43
2111212 2
2
22
xu uux xxx
Valoarea ymin =
43 , dacă:
11
0)1(20 10)1(210)1(21 2021
11
xx
xx
xx
xx
x
Răspuns: Funcția nu are valoare cea mai mică.
Teorema 2. Funcția f: R
xaxxfR )(, 0 unde a>0 și x >0 area cea mai mică
valoare ymin=
a2 . Această valoare are loc dacă x=
a .
Aplicând inegaliatea dintre media aritmetică și media geometrică avem:
xaxxaxxaxxax
22
(1.8)
inegalitatea are sens dacă și numai dacă x=
.2a x axxa Din inegalitatea (1.8) se
observă că ymin=2
a dacă
.a x
Problema 5 :
Să se determine ymin= pentru funcția f(x)= x+
216
x , dacă x >2 [11]
Soluție:
x+
22162216 xxx , de aici rezultă că valoarea căutată se primește pentru x –
2=
16 , pentru x=6.
Răspuns: ymin=
102 162 .
Problema 6 :
Să se determine valoarea cea mai mică a expresiei
xx x 4 1 , dacă x>0,
14
Soluție:
54 4 5 )4(12
xxxx x
xx x
Cea mai mică valoare a expresiei se primește dacă x= 2.
Răspuns: ymin=9.
Problema 7 :
Să se arate că șirul ( xn)n1 definit prin xn=
2 11
4321
3211
n nn ,
n1, este mărginit. [11]
Soluție:
Este evident că xn> 0,∀ n 1. Se observă că:
.2 33
41
)2 )(1(3
41
)2 )(1(1
21
21)2 )(1(1
)1(1
431
321
321
211
21)2 )(1(1
)1(1
21
431
321
21
321
211
21
22 2
n nn n
n nn nxn nxn n nnxn n nnx
n nnn
Dar,
233
22
n nn n <1,∀n1,deci
233
41
22
n nn n <
41, de unde se deduce
că xn
41
Am obținut că 0 < xn <
1 ,41n și rezultă că șirul ( xn)n1 este mărginit.
Problema 8 :
Să se studieze mărginirea șirului de numere reeale ( xn)n1, unde
11.2 , ,1,1
21
11 *
pNp n
n n n nxp p p p p pn
Soluție:
Se observă că
.2 , ,1,,1 ,1 *
2
pNp nn k
k np Atunci și xn>0 în aceleași
condiții. Arătăm că șirul este mărginit superior. Pentru aceasta putem scrie:
15
.1
111111
11
11
11 1
21
11
p
pp
pp p p p p p p p p p p p p pn
nn
nnnn n n n n n n nx
Deci xn<1. Am arătat că șirul este mărginit inferior de 0 și mărginit superior de 1.
Deducem că șirul este mărginit.
Problema 9 :
Arătați că dacă a, b, c >0, avem inegalitatea:
𝑏+𝑐
2𝑎+𝑏+𝑐+𝑎
𝑎+2𝑏+𝑐+𝑎+𝑏
𝑎+𝑏+2𝑐≥3
2.[𝟏]
Soluție:
Notăm b+c=x>0, c+a=y>0, a+b=z>0 și rezultă:
23 yxz
zxy
zyx
Amplificăm prima fracție cu x, a doua cu y și a treia cu z:
232 2 2
yzxzz
yzxyy
xzxyx
Folosind inegalitatea Cauchy – Buniakowski – Schwarz putem scrie:
22 2 2
zyx yzxzyzzyxzxyyzxzz
yzxyy
xzxyx
) (22 2 22
2 2 2 2 2 22 2 2 2
xzyz xyxz yz xy z y x
yzxzz
yz xyy
xzxyxxzyz xyzyx
yzxzz
yz xyy
xzxyx
(1.9)
Dar,
,
222
2 2 2
2 22 22 2
xzyz xy zy x
zx xzyz zyxy y x
atunci din relația (1.9) obținem:
16
,23
2323
) (2) (3) (22 2 2
2 2 22 2 2
yxz
zxy
zyx
yz xzz
yz xyy
xz xyxxz yz xyxz yz xyxz yz xyxz yz xy xz yz xy
yz xzz
yz xyy
xz xyx
și revenind la notațiile inițiale avem:
23
2 2 2
c baba
cb aac
bacb , ceea ce trebuia
demontrat.
Problema 10 :
Să se determine valoarea cea mai mare funcției f(x)=
121
22
x xxx și să se
construiască graficul ei.[9]
Soluție:
1) Funcția dată o transformăm analytic sub altă formă. Numărătorul îl
transformăm într -un pătrat perfect.
43
21
41141
212 121
21
22 12
22 2
2 2 x x xxx x x
, deci
funcția va avea forma :
22
121
)(
xx
xf
2) Funcția dată nu are sens pentru x= -1. Deci se observă că cea mai mică
valoare a fucției o să fie un număr pozitiv. Deaceea efectuăm niște transformări pentru a aduce
funcția la altă formă:
121
22
x xxx
=
1212
22
x xx x x
1211 -112 121
2 2 22
x xx
x xx
x xxx
.)1(1
111
11
)1(112 2 2
x x x xx
Notăm fracția
vx11 și atunci funcția va avea forma:
17
43
21
11
43
2111212 2
2
22
xv vvx xxx.
43
21141
41
212 12
2 2v v v vv
.
Valoarea cea mai mică este egală cu
43 dacă
.1 021
11xx Deci dacă x = 1,
ymin =
43 .
3) Construim graficul acestei funcții:
Alcătuim tabelul de valori:
x -3 -2
23 -1
21 0 1 2 3
f(x)
47 3 7 x 3 1
43
97
1613
x= -1 este o asimptotă verticală
22
1 11lim
xxx
x
Determinăm limita funcției când x
xlim
11
121lim111lim
121111
lim121
22
2222
22
xxxx
xxxxxx
x xxx
xx
x
Deci dacă x, atunci y 1
Problema 11 :
Să se determine valoarea lui x pentru care funcția
4 27 100)( x x xf pe segmentul
7100,0
prpimește valoarea cea mai mare. [1]
Soluție:
xxxxx x x x7100
33327771007 7 1003 4 2
Răspuns: ymax se primește pentru x=
7510
18
Notă metodică: Dacă f(x)0 nu este posibilă determinarea valorii maxime și minime
a funcției atunci, problema dată se poate realiza prin determinarea valorii maxime și minime
a funcției
2)(xf , adică pătratul funcției date.
Problema 12 :
Să se determine valoarea cea mai mare și valoarea cea mai mică a expresiei
2 2y x ,
având condiția:
0 4 12 2 222 2 yxyx yx .
Soluție :
Expresia dată o transformăm în altă formă:
2 2 222 24 1 3 x yx yx
Notăm:
,4 132 2 2 2x t ttyx deci
032t t – aducem expresia la pătratul perfect
.25 3
25 3sau 25 3
25 325
23
25
45
23045
23149
49
232
2 22 2
2
y x tt t t t t
Răspuns: ymin =
.25 3iar ,25 3
m axy
Problema 13 :
Să se demonstreze, că dacă a și b sunt numere naturale, atunci valoarea cea mai mică
a expresiei ax + by sunt numere întregi, este egală cu cel mai mare divisor comun al numerelor
a și b.
Soluție :
1) Fie a=35 și b=28. Atunci expresia va avea forma 35 x+28y, unde x și y sunt numere
întregi.
yx y x 457 28 35
Valoarea cea mai mică a expresiei date nu poate fi mai mică decât 1. Însă expresia
. 4141 unde , 41
451t xxt txxxxy
Deci,
.15541 t t tx y
Dacă considerăm, că t =0, atunci x=1 și t=1, dar expresia 35 x + 28 y primește cea mai mică
valoare pozitivă egală cu 7. Deci, 7 și este cel mai mare divizor comun al numerelor 35 și 28.
19
Problema 14 :
Să se determine valoarea cea mai mare a funcției
x x xf 16 2 )( .
Soluției:
1) Domeniul de definiție al funcției date:
16 2162
0 1602
xxx
xx
2) Dacă x=2 și x= 16, funcția primește numai valori pozitive, deci cea mai mare valoare a
funcției trebuie de căutat pentru a cea valoare a argumentului care este cuprinsă între 2 și 16.
Reprezentăm funcția dată sub formă pătra tică:
) 16)(2(2 14 16) 16(2 22) 16() 16)(2(2 2 16 2 )(222
x x x x x xx x x x x x xf
Factorii x-2 și 16 – x sunt pozitivi și în sumă se primește 14, adică o constantă.
Deci valoarea cea mai mare a funcției o putem determina dacă avem condiția
x-2=16 -x
x=9
28721477214)916)(29(214)(2xf
Răspuns: fmax(x)=
28 .
Problema 15 :
Să se determine valoarea cea mai mare a funcției:
, cos sin cos cos2 2 2 2x ax x ax
dacă a >0.[1]
Soluție:
Aducem funcția dată sub formă pătratică:
.) cos )(sin sin (cos2 1) cos )(sin sin (cos2) cos (sin) sin (coscos sin) cos )(sin sin (cos2 sin cos )(
2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
x ax x ax ax ax x ax x x ax xx ax x ax x ax x ax xf
Cea mai mare valoare a funcției se poate compara cu cea mai mare valoare a expresiei de sub
radical.
Conform teoremei 2 cea mai mare valoare a produsului (cos2x + a sin2x)
) cos (sin2 2x ax
se primește dacă punem condiția :
20
x ax x ax2 2 2 2cos sin sin cos sau
.00 2cos0)1(2cos0 2cos 2cos 2cos 2cos sin cos sin cos2 2 2 2
axa xx ax x ax x ax ax x
. ,22,22 0 2cos Zkk x Zkk x x
Deci valoarea cea mai mare a axpresiei de sub radical este:
)1(22cos4sin4sin4cos2 2 2 2a a a
Dacă a=1 atunci, funcția ne reprezintă o constantă egală cu 2.
Notă metodică. Forma generală a polinomului sub forma:
P(x;y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F.
1) Dacă am transforma polinomul sub forma:
P(x;y)=p(ax+by+c )2+q(a1x+b 1y+c1)2+m,unde p 0, q 0,
atunci cea mai mare valoare a funcției ar fi egală cu m și s-ar primi dacă am avea condiția că:
ax+by+c= 0 și a1x+b 1y+c1=0.
2) Dacă am reprezenta polinomul sub forma:
P(x;y)= M – p(ax+by+c )2 – q(a1x+b 1y+c1)2, unde p0, q0, atunci cea mai mare valoare a
polinomului ar fi egală cu M care s -ar primi dacă am avea condiția:
ax+by+c= 0 și a1x+b 1y+c1=0.
De aici facem concluzia:
a) Dacă în polinom coeficienții A>0 și C>0, atunci el are cea mai mare valoare.
b) Dacă în polinom coeficienții A<0 și C<0, atunci el are cea mai mică valoare.
c) Dacă A și C au semne diferite, atunci polinomul a are nici cea mai mare valoare nici
cea mai mică valoare.
Problema 16 :
Să se determine cea mai mică valoare a polinomului:
P(x;y)= x2-2x+6y2-12x – 2y+45.
Soluție:
Este nevoie de determinat de două ori pătratul polinomului:
x2-2(y+6)x+6y2+2y+45=[ x-(y+6)]2-(y+6)2+6y+2y+45=( x-y-6)2+5y2-
21
-10y+9=
591 1 5 6592 5 62 2 2 2y yx y y yx
=
4)1(5)6 (2 2 y yx .
Cea mai mică valoare se primește pentru y=1 și x= 7. ymin=4.
Problema 17 :
Să se determine cea mai mare valoare a polinomului:
P(x;y)=-x2+2xy-4y2+2x+10y-3
Soluție:
P(x;y)=-(x2-2xy+4y2-2x-10y+3)= -[x2-2(y+1)x+4y2-10y+3]= -[(x-y-1)2-(y+1)2+
+4y2-10y+3]=[( x-y-1)2+3y2-12y+2]= –
324 3 12 2y y yx -[(x-y-1)2 +
+3(y-2)2-10]=10 -(x-y-1)2-3(y-2)2.
Dacă y=2 și x=3 atunci ymax=10.
Problema 18 :
Să se determine cea mai mare și cea mai mică valoare a expresiei
. sin cos sin cos2 2x cx x bx a
Soluție :
Expresia dată este polinomul omogen de ordinal doi în dependență de cos x și sin x.
1) Determinăm valoarea cea mai mare și valoarea cea mai mică a polinomului
omogen de rândul întâi și anume Acosx + Bsin x ,
Acosx + Bsinx =
x
B ABx
B AAB A sin cos
2 2 2 22 2 =
=
x B A x x B A sin sin cos cos sin2 2 2 2
Deci cea mai mică valoare o să fie egală cu –
2 2B A , iar cea mai mare cu
2 2B A .
Facem legătura dintre polinomul de gradul întâi și cel de gradul doi.
22cos1cos2 x
și
22cos1sin2 xx
Într-adevăr :
2cos1
22sin
22cos1sin cos sin cos2
2 2 xcxbxax cx x bx a
22
=
x bx cacba 2sin 2cos21 .
De aici rezultă, că valoarea cea mai mică este egală cu
,212 2
b ca cba iar cea
mai mare este egală
.212 2
b ca cba
Problema 18 :
Să se studieze mărginirea șirului de numere reale ( xn)n1, unde
.2, ,1,1
21
11*
kNk n
nn n nx
k k k k k kn
11
Soluție :
Se observă că
.2, ,1,,1 ,01*
kNk nn m
mnk k Atunci și xn > 0 în
aceleași condiții. Arătăm că șirul este mărginit superior. Pentru aceasta putem scrie:
.1
111
1111
11
11 1
21
11
k
kk
kk k k k k k k k k k k kn
n nnnn n n nn n nx
Deci xn < 1. Am arătat că șirul este mărginit inferior de 0 și mărginit superior de 1.
Deducem că șirul este mărginit.
Problema 20 :
Să se demonstreze că pentru orice numere reale strict pozitive a,b,c este adevărată
inegalitatea.
.12 2 2 acc
cbb
baa
[11]
Soluție :
Prelucrăm relația din enunț astfel:
,12 2 222 2 23222
22
22222
22
22
aca
cbc
bab
aca
cbc
babacaac
cbccb
babba
acc
cbb
baa
(1.10)
relație ce trebuie demonstrată.
23
Amplificăm prima fracție cu b, a doua cu c și a treia cu a:
12 2 222
22
22
aca
cbc
bab
, relație ce trebuie demontrată.
Îmulțim membru stâng cu expresia
2 2 22 2 2 aac cbc bab , care
reprezintă un număr strict pozitiv și apicăm inegalitatea Cauchy – Buniakowski – Schwarz:
22
22
22
2 2 2 a aca
cbcc
b abb
2 2 22 2 2 aac cbc bab
2cba
12 2 212 2 2 2 2 2
22
22
22
222 2 22
22
22
22
a aca
c bcc
b abb
cbacbaac bc ab c b acba
a aca
c bcc
b abb
24
CAPITOLUL 2. APLICAȚIILE CALCULUI DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL
LA PROBLEMELE DE OPTIMIZARE
La sfârșitul secolului XVII , calculul diferențial a fost fondat de către Newton și Leibniz .
Este uimitor faptul că Arhimede, cu mult înainte, nu mai că a rezolvat problema construirii
tangentei , cum este spirala , la o curbă atât de complicată, dar a și reușit să afle maximul funcției
𝑣(x)=x2(c – x).
Tangentă la curbă fiind o n oțiune (noțiunea de der ivată) se întâlnește adesea în lucrările
matematicianul N. Tartaglia (Tartalia). De unde și a ici tangenta apare pe parcursul studierii
problemei și anume la unghiul de înclinare a țevei tunului, care asigură o distanță maximă de
zbor a proiectului. J. Kepl era studiat tangenta, și pe parcursul rezolvării problemei despre aflarea
volumul maxim al unui paralelipiped înscris într -o sferă de raza dată.
Despre tangentă și normală (așa se numește dreaptă perpendiculară la tangenta dusă în
punctul de tangență) pe parcursul studierii prorietăților optice ale lentilelor a apărut la Descartes.
Cu ajutorul metodelor geometrice analitice și a metodei coeficienților nedeterminați , a reușit să
rezolve multe probleme, Descartes , despre construirea normalei la diferite curbe inclusiv și la
elipsă.
Renumitul P. Fermat , în anul 1629 a formulat regulile de aflare a extremelor
polinoamelor. De fapt , demonstrând aceste reguli , Fermat , a aplicat activ trecerea la limită,
dispunând numai de condițiile diferențiale de maxim și m inim. În dezvoltarea matematicii ,
Fermat a jucat un rol important . Numele lui de merit îl poartă după creațiile geometriei analitice .
Cauza apariți ei metodei noi și entuziasmul , a contribuit la dezvoltarea analizei în sec.
XVIII și perm itea rezolvarea încă a multor probleme. Dar spre finele acestui secol problemele,
deveneau din ce în ce mai acute , în fața cal culului diferențial și integral . Principala dificultate
constă în faptul, că definițiile exacte , lipseau , ale unor noțiuni – cheie cum ar fi: limita,
continuitatea, numărul real .
Conform stricteței standaritzate, nu corespundea însă matematica nouă, după modelele
clasice ale matematicienilor greci , care era ceva obișnuit pentru învățații educați. O caracteristică
integrantă a științei matematice este intuiția, atât de necesară matematicienilor, care depășea cu
mult logica. Intuiția genială a unor savanți așa ca Newton, Leibniz, Euler, le ajuta să evite
greșelile. Însă erau necesare baze logice dure.
În secolul XVII apar două păreri caracteristice. Matem atician ul M. Rolle scria, că noua
metodă de calcul poate fi o colecție de greșeli geniale. Cunoscutul gânditor francez Voltaire a
remarcat, că nu poate fi demonstră aceste calcule , reprezentând o artă de a calcula și a măsura
exact lucrurile.
25
Matematicia nul francez A. Cauchy a creat u n pas decisiv spre un fundament durabil al
analizei, care a propus pentru no țiunea de limită a funcției și șirului numeric definițiile riguroase,
și a demonstrat multe teoreme fundamentale din analiză pe baza lor . [2]
2.1. Teoreme fundamentale ale analizei matematice
Teorema lui Lagrange
Fiind o teoremă de generalizare simplă a teoremei lui Rolle pentru care funcția 𝑣 nu mai ia valori
egale la capetele c și d ale intervalului considerat.
Considerând funcția 𝑣 : [c,d]→𝑅, c, d ∈𝑅, c < d.
Dacă:
1) 𝑣 este o funcție pe intervalul închis [ c,d];
2) 𝑣 este derivabilă pe intervalul deschis ( c,d);
Atunci există cel puțin un punct e din intervalul deschis ( c, d), e ∈(𝑐,𝑑) pentru care
𝑓(𝑑)−𝑓(𝑐)=(𝑑−𝑐)𝑓′(𝑒).
Demonstrație:
Se numește formula lui Lagrange , egalitatea care apare în teoremă .
Se consideră funcția 𝑡:[𝑐,𝑑]→𝑅, 𝑡(𝑥)=𝑣(𝑥)−𝑛𝑥, unde 𝑛∈𝑅. Evident funcția t
este continuă pe [ c, d], este derivabilă pe ( c,d) și 𝑡′(𝑥)= 𝑣′(𝑥)−𝑛.
Se determină numărul real 𝑛 din cerința 𝑡(𝑐)=𝑡(𝑑) și obținem:
𝑣(𝑐)−𝑛𝑐=𝑣(𝑑)−𝑛𝑑⟺𝑛𝑑−𝑛𝑐=𝑣(𝑑)−𝑣(𝑐)⟹𝑛=𝑣(𝑑)−𝑣(𝑐)
𝑑−𝑐
Atunci funcția t va avea forma:
𝑡(𝑥)=𝑣(𝑥)−𝑣(𝑑)−𝑣(𝑐)
𝑑−𝑐𝑥.
Acum funcția g i se poate aplica teorema lui Rolle. Deci există 𝑒∈(𝑐,𝑑) astfel încât 𝑡′(𝑒)=0,
adică 𝑣′(𝑒)=𝑣(𝑑)−𝑣(𝑐)
𝑑−𝑐, relație echivalentă cu 𝑣(𝑑)−𝑣(𝑐)=(𝑑−𝑐)𝑣′(𝑒), ceea ce trebuia
demonstrat.
Interpretarea geometică:
Formula lui Lagrange scrisă sub forma 𝑣(𝑑)−𝑣(𝑐)
𝑑−𝑐= 𝑣′(𝑒), exprimă faptul că există pe
graficul funcției 𝑣 cel puțin un punct ( e, v (e)), diferit de extremități, în care panta tangentei
(𝑣′(𝑒)) să fie egală cu panta coardei determinate de punctele K( c, v (c)), M( d, v (d)), cea ce
înseamnă că această tangentă este paralelă cu coarda K M. (fig. 2.3)
26
Fig. 2.3
Corolar: Fie o funcție definită într -o vecinătate 𝑇 a punctului 𝑥0, derivabilă pe T∖{0} și continuă
în 𝑥0. Dacă există limita 𝜇=lim
𝑥→𝑥0𝑣′(𝑥), atunci 𝑣′(𝑥0) există și 𝑣′(𝑥0)=𝜇.
Dacă limita 𝜇 este finită, atunci v este derivabilă în 𝑥0. [6]
Teorema lui Cauchy
Fie 𝑣,𝑡: [c, d]→𝑅,𝑐<𝑑 două funcții cu proprietățile:
1) 𝑣,𝑡 sunt continue pe intervalul închis [ c,d];
2) 𝑣,𝑡 sunt derivabile pe intervalul deschis ( c, d);
3) 𝑡′(𝑥)≠0,∀𝑥 ∈(𝑐,𝑑), atunci 𝑡(𝑐)≠𝑡𝑡(𝑑) și exustă cel puțin un punct
𝑒∈(𝑐,𝑑) astfel încât să avem: 𝑣(𝑑)−𝑣(𝑐)
𝑡(𝑑)−𝑡(𝑐)=𝑣′(𝑒)
𝑡′(𝑒) (formula lui Cachy ).
Demonstrație:
Probăm ca 𝑡(𝑐)≠𝑡(𝑑). Dacă prin absurd 𝑡(𝑐)==𝑡(𝑑), atunci g verifică pe [ c, d]
condițiile teoremei lui Rolle și deci există 𝑐∈(𝑐,𝑑) astfel încât 𝑡′(𝑒′)=0. Rămâne deci
𝑡(𝑐)≠𝑡(𝑑).
Pentru demontrarea folmulei lui Cauchy se consideră funcția 𝑗:[𝑐,𝑑]→𝑅,
𝑗(𝑥)=𝑣(𝑥)−𝑚𝑡(𝑥),∀𝑥∈[𝑐,𝑑], unde 𝑚 este o constantă real ă care determină din cerința
j(c)= j(d) și deci se obține:
𝑣(𝑐)−𝑚𝑡(𝑐)=𝑣(𝑑)−𝑚𝑡(𝑑),
iar de aici :
𝑚𝑣(𝑑)−𝑣(𝑐)
𝑡(𝑑)−𝑡(𝑐).
Acum funcția 𝑗 verifică ipotezele teoremei lui Rolle. Așa dar există 𝑒∈(𝑐,𝑑) pentru
care 𝑗′(𝑒)=0. Deoarece 𝑗′(𝑥)=𝑣′(𝑥)−𝑚𝑡′(𝑥) și 𝑗′(𝑒)=𝑣′(𝑒)−𝑚𝑡′(𝑒), rezultă că K M E y
x O c e d
27
𝑣′(𝑒)−𝑚𝑡′(𝑒)=0 sau m = 𝑣′(𝑒)
𝑡′(𝑒) și egalând cele două valori ale lui 𝑚 se obține formula lui
Cauchy.
Observație:
Formula lui Lagrange este caz particular al formulei lui Cauchy pentru 𝑗(x)= x când
𝑗(𝑥)=1. [2]
Teorema lui Fermat
Fie 𝑣:𝐷→𝑅,𝐷 interval iar 𝑥0 un punct extern din interiorul intervalului. Dacă funcția
v este derivabilă în 𝑥0, atunci 𝑓′(𝑥0)=0.
Demonstrație: Presupunem că 𝑥0 este un punct de maxim local (în caz contrar înlocuim
v cu -𝑣′). Prin urmare există o vecinătate 𝑇∈𝑇𝑥0 și deci un număr 𝜎>0 astfel încât
(𝑥0−𝜎,𝑥0+𝜎)⊂𝑇∩𝐷 pentru care v (x)≤𝑣(𝑥0),∀𝑥∈(𝑥0−𝜎,𝑥0+𝜎).
Fie 𝑥∈(𝑥0−𝜎,𝑥0). Atunci 𝑣(𝑥)−𝑣 (𝑥0)
𝑥−𝑥0 ≥ 0 (deoarece 𝑣(𝑥)≤𝑣(𝑥0),𝑥<𝑥0).
Cum v este derivabilă în 𝑥0, există:
lim𝑥→𝑥0
𝑥<𝑥0𝑣(𝑥)−𝑣(𝑥0)
𝑥−𝑥0=𝑣′(𝑥0) în plus, 𝑣′(𝑥0)≥0. (2.1)
Luăm acum 𝑥∈(𝑥0,𝑥0+𝜎) pentru care 𝑣(𝑥)−𝑣(𝑥0)
𝑥−𝑥0 ≤0.
Raționând ca mai sus deduce că lim𝑥→𝑥0
𝑥<𝑥0𝑣(𝑥)−𝑣(𝑥0)
𝑥−𝑥0=𝑣′(𝑥0)≤0. (2.2)
Din (2.1) și (2.2) rezultă 𝑣′(𝑥0)=0, cee ace trebuia demonstrat.
Interpretare geometrică:
Din 𝑣′(𝑥0)=0, rezultă că tangenta la graphic în punctul ( 𝑥0, 𝑣 (𝑥0)) este paralelă cu
axa Ox (fig. 2.1)
Fig.2.1
Teorema lui Fermat spune că: graficul unei funcții derivabile care are tangentă paralelă
cu axa Ox în punctele sale de extrem (de maxim sau de minim) care nu coincide cu extremitățile
graficului. O 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 x y
28
Observații:
1) Teorema lui Fermat are un caracter local.
2) Dacă punctul 𝑥0∈𝐷=[𝑐,𝑑] n-ar fi din interiorul intervalului, atunci concluzia
teoremei lui Fermat nu mai este adevărată pentru 𝑣(𝑥) nu ar fi fost definite pentru 𝑥<𝑐,
respectiv pentru 𝑥>𝑑.
3) Reciproca teoremei lui Fermat, nu este adevărată, adică derivata unei funcții se poate
anula într -un punct, fără ca aceasta să fie punct d e extrem. De exemplu funcția 𝑣:𝑅→𝑅, 𝑣(𝑥)=
𝑥3 pentru care 𝑣′(𝑥)=3𝑥2 și deci 𝑣′(0)=0, 𝑥0=0 nu este punct de extrem pentru 𝑣.
4) Un punct 𝑥0 ∈𝐷 poate fi punct de extrem 𝑣 fară să existe 𝑣′(𝑥0). Așa este funcția
𝑣:𝑅→𝑅, 𝑣 (x) = |𝑥|, pentru care 𝑥0= 0 este punct de minim, dar știm că 𝑓 nu este derivabilă în
𝑥0 = 0.
5) Dacă 𝑣:𝐷→𝑅 este o funcție derivabilă pe un interval deschis D, atunci zerourile
derivatei 𝑣′ sunt numite puncte critice ale lui 𝑣 pe E.
Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcții derivabile 𝑣 sunt
primite punctele critice, adică punctele de extrem local ale lui 𝑣 sunt printre soluțiile ecuației
𝑣:(𝑥)=0.
Exemplu:
Dacă c, d >0, 𝑐𝑥+𝑑𝑥≥2, ∀𝑥∈𝑅, atunci cd = 1.
Soluție:
Se consideră funcția 𝑣:𝑅→𝑅, v (x) = 𝑐𝑥+𝑑𝑥, pentru care 𝑣 (0)= 2. Cum din ipoteză
𝑣(x)≥𝑣(0), ∀𝑥∈𝑅 se deduce că 𝑥0 = 0 este un punct de minim pentru 𝑣 și 0 ∈𝑅. Conform
teoremei lui Fermat rezultă 𝑣′(0)=0. Dar 𝑣′(𝑥)= 𝑐𝑥ln𝑐+𝑑𝑥ln𝑑. Așa dar ln𝑐+ln𝑑=0
sau ln(𝑐𝑑)=0, adică cd =1. [6]
Teorema lui Rolle
Fie o funcție 𝑣:[𝑐,𝑑]→𝑅,𝑐,𝑑∈𝑅,𝑐<𝑑.
Dacă:
1) 𝑣 este continuă pe intervalul închis [𝑐,𝑑];
2) 𝑣 este derivabilă pe intervalul deschis ( c,d);
3) 𝑣 are valori egale la capetele intervalului 𝑣 (c)= 𝑣 (d), atunci există cel puțin un punct e
din intervalul deschis ( c,d), e ∈(𝑐,𝑑), în care derivata se anulează, 𝑣′(𝑒)=0.
Demostrație:
Se analizează cazurile:
1) Funcția 𝑣 este constantă pe [ c,d]. În acest caz 𝑣′(𝑥)=0, ∀𝑥 ∈(𝑐,𝑑) și deci orice
29
punct e ∈(𝑐,𝑑) răspunde concluziei teoremei.
2) Funcția 𝑣 nu este constantă. Cum 𝑣 este continuă pe un compact [ c,d], atunci 𝑣 este
mărginită, adică (∃)𝑥𝑛, 𝑥𝑁∈ [𝑐,𝑑] astfel încât 𝑣(𝑥𝑛)=𝑛, 𝑣(𝑥𝑁)=𝑁, unde N= sup 𝑣(x), n=inf
𝑣(x) sunt marginea superioară și inferioară a lui 𝑣 . Deoarece 𝑣 nu este constantă rezultă n < N.
Dacă punctul de minim 𝑥𝑚 se află în interiorul intervalului [ c,d], atunci conform teoremei lui
Fermat, 𝑣′(𝑥𝑛)=0. Deci lu ând e =𝑥𝑛 teorema este demonstrată. Dacă 𝑥𝑛∈ {𝑐,𝑑}, deci xn
coincide cu unul din capetele intervalului [ c,d], atunci 𝑣 (c) = 𝑣 (d) = 𝑓 (xn) = n < N = 𝑓 (xN). În
acest caz este clar că 𝑥𝑁, punctul de maxim a lui 𝑣 , se află în interiorul [ c,d]. Din nou aplicând
teorema lui Fermat se deduce 𝑣′(𝑥𝑁)=0. Deci e = 𝑥𝑁și teorema este demonstrată.
Corolar:
Fie 𝑣:[𝑐,𝑑]→𝑅, continua pe [𝑐,𝑑] derivabilă pe ( c, d) și 𝑣 (c) = 𝑣(d) = 0
(c,d sunt rădăcini pentru 𝑣 ). Atunci există cel puțin un punct 𝑒∈(𝑐,𝑑) astfel încât 𝑣(𝑒)=0.
Deci între două rădăcini ale funcției 𝑓 se află cel puțin o rădăcină a derivatei 𝑣′.
Interpretarea geometrică:
Teorema lui Rolle are o interpretare geometrică simplă. Din 𝑣′(𝑒)=0 rezultă că
tangenta la graficul funcției 𝑣 în punctul ( e,𝑣 (e)) este paralelă cu axa Ox (fig. 2.2). Deci dacă
cerințele teoreme lui Rolle sunt îndeălinite, atunci pe graficul funcției 𝑣 există cel puțin un punct
(e, 𝑣 (e)) în care tangenta este paralelă cu axa Ox.
Fig. 2.2
Observații:
1) Teorema lui Rolle este o teoremă de existență.
2) Toate cele trei cerințe din teorema lui Rolle sunt esențiale pentru ca teorema să fie
adevărată. Dacă una din cele trei ipoteze nu se verifică, atunci concluzia teoremei nu mai are loc.
3) Nu trebuie să se tragă concluzia că derivata unei funcții nu se anulează în nici un
punct dacă acea funcție nu satisface una din condițile teoremei lui Rol le. [6]
Teorema lui Darboux
Dacă 𝑣 este o funcție derivabilă pe un interval D, atunci derivata 𝑣′ are proprietatea lui
Darboux pe D, adică ∀𝑐,𝑑∈𝐷,𝑐<𝑑 și ∀𝜏∈(𝑣′ (𝑐),𝑣′ (𝑑)) sau ∀𝜏∈(𝑣′ (𝑑),𝑣′ (𝑐)), există
𝑥𝜏∈(𝑐,𝑑) astfel încât 𝑣′ (𝑥𝜏)=𝜏.
f(c)=f(d)
O c e d y
x
30
Demonstrație:
Fie funcția 𝑡:𝐽→𝑅,𝑡(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝜏𝑥, care evident, este derivabilă pe 𝐽 și 𝑔′(𝑐)=
𝑓′(𝑐)−𝜏<0,𝑡′(𝑑)=𝑓′(𝑑)−𝜏>0 . Vom arătacă există 𝜔>0 astfel încât
𝑡(𝑥)<𝑡(𝑐),∀𝑥∈(𝑐,𝑐+𝜔). Întradevăr, deoarece 𝑡′(𝑐)=lim
𝑥→𝑐𝑡(𝑥)−𝑡(𝑐)
𝑥−𝑐, funcția :
𝑣(𝑥)={𝑡(𝑥)−𝑡(𝑐)
𝑥−𝑐,𝑥≠𝑐
𝑡′(𝑐),𝑥=𝑐
este continuă în x = c .
Cum 𝑣(c)=𝑡′(𝑐)<0 se deduce că există 𝜔<0 astfel încât acestă expresie va fi 𝑣(x)
<0,∀𝑥∈(𝑐,𝑐+𝜔) adică 𝑡(𝑥)𝑡(𝑐)
𝑥−𝑐 <0,∀𝑥∈(𝑐,𝑐+𝜔) și cum 𝑥−𝑐>0 rezultă că 𝑡(𝑥)−
𝑡(𝑐),∀𝑥∈(𝑐,𝑐+𝜔). Deci funcția t nu-și atinge maximulîn d.
Cum t este continuă pe [c, d], conform teoremei lui Werierstrass avem că există un pun ct
𝑥𝜏∈(𝑐,𝑑) în care funcția t își atinge minimul. Conform teoremei lui Fermat funcția 𝑡′(𝑥𝜏)=0
adică 𝑓′(𝑥𝜏)=𝜏.
Corolar:
1) Fie 𝑡:𝐽→𝑅 o funcție derivabilă. Dacă 𝑡′ ia semen de contrare în două puncte
c,d din 𝐽, atunci derivata 𝑡′ se anulează cel puțin într -un punct cuprins între c și d.
2) Dacă derivata 𝑡′ a funcției 𝑡 nu se anulează pe un interval 𝐼⊆𝐽, atunci derivata
𝑡′ păstrează același semn pe I. [2]
2.2 Rolul primei derivate în studiul funcțiilor
Consecințe ale teoremei lui Lagrange
Consecința I. Funcții cu derivata nulă
Dacă o funcție are derivata nulă pe un interval, atunciea este constantăpe acest interval.
Demonstrație:
Fie 𝑡:𝐷→𝑅, o funcție derivabilă în interiorul lui D și continuă pe D, D este interval și
𝑐∈𝐷 un element fixat. Dacă 𝑥∈𝐷 este arbitrar, atunci conform teoremei lui Langrage aplicată
funcției f pe intervalul [ c,x] sau [ x, c] există un punct 𝑒∈(𝑐,𝑥) sau 𝑒∈(𝑥,𝑐) astfel încât 𝑡(𝑥)−
𝑡(𝑐)=(𝑥−𝑐)𝑡′(𝑒).
Cum 𝑡′(𝑒)=0, avem 𝑡(𝑥)=𝑡(𝑐),∀𝑥∈𝐷, ceea ce arată că 𝑡 este constantă pe D.
Observații:
1. Afirmația reci procă a consecinței 1 este determinată . Dacă o funcție este constantă
31
pe un interval , atunci derivata acesteia este nulă pe interval.
2. Consecința 1 ne se arată că o funcție definită pe un interval este constantă. Calculăm
derivata acesteia și dacă 𝑡′= 0, atunci există o oarecare constantă 𝑚∈𝑅 astfel încât 𝑡(x)= 𝑚.
Pentru determinarea constantei se allege o valoare particulară 𝑥0 din intervalul pentr care f(𝑥0)
are o formă câ t mai simplă. Alteori dacă intervalul are forma ( c, d), atunci pentru determinarea
constantei se apelează la calculul lim𝑥→𝑐
𝑥>𝑐𝑡(𝑥) sau lim𝑥→𝑑
𝑥>𝑑𝑡(𝑥).
Consecința II. Funcții cu derivate egale.
Dacă două funcții pot avea derivate egale pe un interval, doar atunci și numai atunci
când ele diferă printr -o constantă pe acel interval.
Demonstrație:
Fie 𝑣,𝑡∶𝐷→𝑅, derivabile pe interiorul lui D și continue pe D, D fiind inteval cu
𝑣′(𝑥)= 𝑡′(𝑥),∀𝑥∈𝐷.
Această condiție scrisă sub forma (𝑣−𝑡)′(𝑥)=0,∀𝑥∈𝐷 arată că se poate aplica de fapt
consecința I. Deci exită o constantă 𝑚∈𝑅 astfel 𝑣(𝑥)−𝑡(𝑥)=𝑚,∀𝑥∈𝐷, astfel spus, cele
două funcții diferă printr -o constantă pe intervalul D.
Observații:
1) Cerința ca D să fie interval este esențială. Următoru l exemplu ilistrează ce este de
fapt.
Fie 𝑣,𝑡∶(−1,1)∪(3,4)→𝑅,𝑣(𝑥)={1,𝑥∈(−1,1)
−1,𝑥∈(3,4),𝑡(𝑥)=1,∀𝑥∈𝐷.
Evident 𝑣′(𝑥)= ,∀𝑥∈𝐷, fără ca diferența 𝑣(𝑥)−𝑡(𝑥)={0,𝑥∈(−1,1)
−2,𝑥∈(3,4) să fie o constantă.
Dar 𝑣- 𝑡 este contantă pe fiecare interval ( -1, 1), (3, 4) egală cu 0 și respectiv -2. Deci 𝑣- 𝑡 diferită
prin câte o constantă pe fiecare interval.
2) Formulele de la trigonometrie poate fi demonstrate utilizând această consecință.
Spre exemplu să arătăm că sin2𝑥=2sin𝑥cos𝑥,∀𝑥∈𝑅.
Se consideră funcțiile 𝑣,𝑡:𝑅→𝑅,𝑓(𝑥)= sin2𝑥,𝑡(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥 pentru care
𝑣′(𝑥)=2cos2𝑥 și 𝑣′(𝑥)=2|cos2𝑥− sin2𝑥|=2cos2𝑥. Deci 𝑣′(𝑥)=𝑡′(𝑥),∀𝑥∈𝑅.
Așa dar există 𝑚∈𝑅 astfel încât 𝑣(𝑥)−𝑡(𝑥)=𝑚,∀𝑥∈𝑅. Luăm x= 0 când acestea
𝑣(0)- 𝑡(0)=0. Deci 𝑚 = 0 și formula este stabilă.
Un alt rezultat important pentru o funcție derivabilă pe un interval este furnizat de
semnul derivatei. Aceasta va fi utilizat pentru determinarea intervalelor de monotoni e. Mai precis
are loc următoarea consecință:
32
Consecința III. Intervale de monotonie.
Fie 𝑣:𝐷→𝑅,𝐷 interval, o funcție derivabilă.
1) Dacă 𝑣′(𝑥)≥0,∀𝑥∈𝐷, atunci v este crescătoare pe D.
2) Dacă 𝑣′(𝑥)≤0,∀𝑥∈𝐷, atunci v este descrescătoare pe D,
sau
1) Dacă 𝑣′(𝑥)>0,∀𝑥∈𝐷, atunci 𝑣 este strict crescătoare pe D.
2) Dacă 𝑣′(𝑥)<0,∀𝑥∈𝐷, atunci 𝑣 este strict descrescătoare pe D.
Demonstrație:
Fie 𝑥1,𝑥2∈𝐷,𝑥1<𝑥2 și 𝑣′(𝑥)≥0,∀𝑥∈𝐷. Se aplică teorema lui Lagrange pe
intervalul [𝑥1,𝑥2].
Prin urmare există 𝑑∈(𝑥1,𝑥2) astfel încât 𝑣(𝑥2)≤𝑓(𝑥1)=(𝑥2−𝑥1)𝑓′(𝑑)≥0, ceea
ce arată că v (𝑥1)≤𝑣(𝑥2), cee ace demonstrează că f este crescătoare pe D.
Acum este clar că 𝑣′<0, atunci am fi obținut 𝑣 (𝑥1)<𝑣(𝑥2), cee ace conduce la 𝑣
strict crescătoare pe D.
Analog dacă 𝑣′(𝑥)≤0,∀𝑥∈𝐷 se obține că 𝑣(𝑥2)−𝑣(𝑥1)=(𝑥2−𝑥1)𝑣′(𝑏)≤0,
adică 𝑣(𝑥1)≥𝑣(𝑥2).
Deci pentru 𝑥1<𝑥2,𝑥1,𝑥2∈𝐷 rezultă 𝑣(𝑥1)≥𝑣(𝑥2), cee ace înseamnă că v este
descrescătoare pe D.
Dacă 𝑣′(𝑥)<0,∀𝑥∈𝐷, atunci găsim 𝑣(𝑥1)>𝑣(𝑥2) și prin urmare 𝑣 este strict
descrescătoare.
Observații:
1) Monotonia unei funcții se evidențiază utilizând semnul derivatei care se aplică în
tabele cele ce urmează:
Tabel 2.1 Tabel 2.2
x D x D
𝑣(𝑥) ++++++++ 𝑣′(𝑥) – – – – – – – –
𝑣(𝑥)
𝑣(𝑥)
unde în rândul corespunzător lui 𝑣 am indicat printr -o săgeată orientată în sus faptul că 𝑣 este
(strict) crescătoare pe D sau o săgeată orientată în jos pentru a marca că 𝑣 este (strict)
descrescătoare pe D.
2) Pentru adetermina intervalele de monotonie ale unei funcții derivabile 𝑣:𝐷→𝑅,𝐷
nu neapărat interval din R se procedează astfel:
a) Se calculează derivata 𝑣′ a funcției;
b) Se rezolvă în R ecuația 𝑣′(𝑥)=0,𝑥∈𝐷;
33
c) Se deter mină intervalele în care 𝑣′ păstrează același semn;
d) Se ține seama de consecința III și se stabilesc intervalele de monotonie.
Următorul rezultateste important pentru că permite să decidem dacă o funcție este derivabilă într –
un punct. Condiția suficientă ca acest lucru să se întâmple este dată de:
Consecința IV. Derivata unei funcții într -un punct.
Fie 𝑣:𝐷→𝑅,𝐷 interval și 𝑥0∈𝐷. Dacă:
1. 𝑣 este continuă în 𝑥0;
2. 𝑣 este derivabilă pe E – {𝑥0};
3. există lim
𝑥→𝑥0𝑣′(𝑥)=𝑝∈𝑅, atunci 𝑣 are derivată în 𝑥0 și 𝑣′(𝑥0)=𝑝.
Dacă 𝑝∈𝑅, atunci 𝑣 este derivabilă în 𝑥0 și 𝑣′(𝑥)=𝑝.
Demonstrație: Se aplică teorema lui Lagrange funcției 𝑣 pe un interval [𝑥,𝑥0],𝑥<𝑥0
și avem 𝑣(𝑥)−𝑣(𝑥0)
𝑥−𝑥0 = 𝑣′(𝑐), cu 𝑥<𝑐𝑥 < 𝑐0.
De aici 𝑣𝑆′(𝑥0)=lim𝑥→𝑥0
𝑥<𝑥0𝑣(𝑥)−𝑣(𝑥0)
𝑥−𝑥0 = lim𝑥→𝑥0
𝑥<𝑥0𝑣′(𝑐𝑥)=𝑝, deoare ce 𝑐𝑥→𝑥0 , dacă 𝑥→
𝑥0,𝑥<𝑥0. Analog 𝑣𝑆′(𝑥0) există și este egală cu 𝑝. Deci f are derivată în 𝑥0 și 𝑣𝑆′(𝑥0)=𝑝.
Observații:
1. Această consecință pentru studiul derivabilității unei funcții într -un punct, permite
să calculăm derivatele laterale într -un punct.
2. Consecința a IV -a a teoremei lui Lagrange dă o condiție suficientă pentru existenta
derivatei unei funcții într -un punct. Condiția nu este și necesară, după cum se poate vedea prin
exemplu următor.
Fie 𝑣:𝑅→𝑅,𝑣(𝑥)={𝑥2sin1
𝑥,𝑥≠0
0,𝑥=0 , derivabilă în origine și 𝑣′(0)=0, dar nu există
lim
𝑥→0𝑣′(𝑥), unde 𝑣′(𝑥)=2𝑥sin1
𝑥−cos1
𝑥 , întrucât se știe că nu există lim
𝑥→0cos1
𝑥.
3. Dacă una din condițiile consecinței nu -i verificată, concluizia nu este adevărată.
Spre exemplu funcția 𝑣:[0,1]→𝑅,𝑣(𝑥)={0,𝑥∈[0,1)
1,𝑥=1 este derivabilă pe [0,1) și lim𝑥→1
𝑥<1𝑣′(𝑥)=
0 și totuși v nu este derivabilă în 𝑥=1, nefiind continuă în acest punct. Dacă nu este exclusă
posibilitatea ca o funcție discontinuă într -un punct să aibă totuși derivată în acest pun ct. De
exemplu 𝑣:𝑅→𝑅,𝑣(𝑥)={𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1
𝑥,𝑥≠0
0,𝑥=0 este discontinuă în 𝑥=0 și totuși 𝑣′(0)=∞,
derivată calculată folosind definiția.
4. În condițiile consecinței IV , putem spune despre ea , dacă v este derivabilă în 𝑥0,
34
O O
O O va rezulta că 𝑣 este continuă în 𝑥0 . [𝟏𝟑]
2.3 . Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor
Convexitate și concavitate
Putem spune că î n paragraful 2.2. am observat că s emnul primei derivate crează
monotoniei funcției, iar zerourile primei derivate sunt eventuale puncte de extrem. Aceste
informații și altele se utilizează în trasarea graficului unei funcții, doar ca sunt necesare și
informații suplimentare în anumite cazuri, care să le cuprindă pe cele furnizate de prima derivată.
Spre exemplu , poate fi strict crescătoare , o funcție derivabilă în două moduri, după cum
tangenta la grafic se află sub grafic (Fig. 2.4.a) sau deasupra graficului (Fig. 2.4.b). Analog poate
fi strict descrescătoare o funcție derivabilă în două moduri după poziția tangentei la grafic în
raport cu aceasta: sub grafic (Fig. 2.5.a) sau deasupra graficului (Fig. 2.5.b).
Fig. 2.4
Fig. 2.5
Definiție:
1. O funcție 𝑣:𝐷→𝑅,𝐷⊆𝑅 interval, se numește convexă pe intervalul D dacă
∀𝑥1,𝑥2∈𝐷,∀𝑙∈[0,1] are loc inegalitatea:
𝑣((1−𝑝)𝑥1+𝑝𝑥2)≤(1−𝑝)𝑣(𝑥1)+𝑝𝑣(𝑥2).
2. O funcție 𝑣:𝐷→𝑅,𝐷⊆𝑅 interval, se numește concavă pe intervalul D dacă
∀𝑥1,𝑥2∈𝐷,∀𝑝∈[0,1] are loc inegalitatea:
𝑣((1−𝑝)𝑥1+𝑝𝑥2)≥(1−𝑝)𝑣(𝑥1)+𝑝𝑣(𝑥2). y
x y
x
y
x y
x
35
Obervații:
1. Dacă , inegalitățile sunt stricte , în definiția precedentă , atunci spunem că funcția v
este strict convexă și respactiv strict concavă.
2. Putem spune că funcția v este concavă pe D dacă ( -𝑣 ) este convexă pe D.
Interpretarea geometrică
Se consideră punctele 𝑀(𝑥1,𝑣(𝑥1)),𝑁(𝑥2,𝑣(𝑥2)),𝑥1≠𝑥2 aparținând graficului funcției 𝑣 și
punctul 𝑥𝑝=(1−𝑝)𝑥1+𝑝𝑥2,𝑝∈[0,1], care aparține segmentului de capete 𝑥1,𝑥2 (se verifică
imediat dubla inegalitate 𝑥1≤𝑥𝑝≤𝑥2) (Fig. 2.6).
Fig. 2.6
Coarda 𝑀𝑁 are ecuația 𝑦=𝑣(𝑥2)+ 𝑣(𝑥2)−𝑣(𝑥1)
𝑥2−𝑥1 (𝑥−𝑥2) și ordonată punctului 𝐾 pe abcisa 𝑥𝑝
de pe această coardă va fi:
𝑦𝑒=𝑣(𝑥2)+ 𝑣(𝑥2)−𝑣(𝑥1)
𝑥2−𝑥1 (𝑥𝑝−𝑥2)=(1−𝑝)𝑣(𝑥1)+𝑝𝑣(𝑥2) .
Dacă 𝑣 este convexă, atunci 𝑣(𝑥𝑝)≤𝑦𝑝.
Punctul H aparținând graficului are coordonatele ( 𝑥𝑝,𝑣(𝑥𝑝)). Semnificația inegalității
𝑣(𝑥𝑝)≥𝑦𝑒, cazul funcției convexe, este aceea că graficul funcției 𝑣 este situat sub orice coardă
dacă unim două punc te situate pe graficul funcției , cu abcisele aparținând lui D. Analog,
semnificația inegalității 𝑣(𝑥𝑝)≥𝑦𝑒, cazul funcției concave, este că graficul funcției 𝑣 este situat
deasupra coardei determinate de orice două puncte situate pe graficul funcției, cu abcisele
aparținând lui D. Dacă în fiecare punct graficul funcției admite o tangentă unică, atunci
inegalitatea 𝑣(𝑥𝑝)≥𝑦𝑒 este echivalentă cu faptul că în fiecare punct (𝑥,𝑣(𝑥)),𝑥∈[𝑥1,𝑥2]
tangenta la graficul lui 𝑣 este situată sub graficul lui 𝑣 .
Pentru această inegalitate 𝑣(𝑥𝑝)≥𝑦𝑒, putem spune că interpretatrea este analoagă. [𝟐]
x x1 y
x𝑝
x22 O M N
K
36
Condiție suficientă de convexitate (concavitate)
Teoremă:
Fie 𝑡: [𝑐,𝑑]→𝑅,𝑐<𝑑 o funcție de două ori derivabilă pe [𝑐,𝑑].
1) Dacă 𝑡′′(𝑥)≥0,∀𝑥∈(𝑐,𝑑) , atunci funcția 𝑡 este convexă pe intervalul [𝑐,𝑑].
2) Dacă 𝑡′′(𝑥)≤0,∀𝑥∈(𝑐,𝑑) , atunci funcția f𝑡 este concavă pe intervalul [𝑐,𝑑].
Demonstrație:
1. Fie 𝑐≤𝑥1<𝑥2≤𝑑. Pentru fiecare punct 𝑥∈(𝑥1,𝑥2) se aplică teorema lui Lagrange
funcției 𝑡 pe intervalele [𝑥1,𝑥],[𝑥,𝑥2] și deci există 𝑒∈(𝑥1,𝑥),𝑒2∈(𝑥,𝑥2) astfel încât
𝑡(𝑥)−𝑡(𝑥1)
𝑥−𝑥1=𝑡(𝑒1),𝑡(𝑥2)−𝑡(𝑥)
𝑥2−𝑥=𝑡′(𝑒2).
Cum 𝑒1< 𝑒2 rezultă 𝑡′(𝑒1)≤ 𝑡′(𝑒2), adică 𝑡(𝑥)−𝑡(𝑥1)
𝑥−𝑥1≤ 𝑡(𝑥2)−𝑡(𝑥)
𝑥2−𝑥.
Din 𝑥∈(𝑥1,𝑥2), putem spune că aceasta este echivalentă cu scrierea: 𝑥=(1−𝑗)𝑥1+
𝑗𝑥2,∀𝑗∈(0,1). Înlocuind pe x în egalitatea de mai sus rezultă 𝑡(𝑥)≤(1−𝑗)𝑡(𝑥1)+𝑗𝑡(𝑥2), cee
ace arată că 𝑡 este convexă pe [𝑐,𝑑].
2. Se demonstrează în mod analog.
Interpretare geometrică
Derivata a doua 𝑡′′, fiind derivate primei derivate, din 𝑡′′≥0 se deduce că 𝑡′ este o
funcție crescătoare, ceea ce înseamnă că pentru un graphic convex, panta tangentei la graphic
crește când punctul de tangență se deplasează spre dreapta (fig. 2.7).
O interpretare analoagă se poate da dacă 𝑡′′≤0.
Fig. 2.7
Teorema dată ne permite să găsim interval de convexitate și concavitate pentru o funcție ,
din semnul celei dea doua derivată.
Pentru determinarea intervalelor de convexitate (concavitate) se parcurg etape le:
1. Se caculează 𝑡′′;
2. Se rezolvă ecuația 𝑡′′=0;
y
x O
37
3. Cu ajutorul rădăcinilor derivatei a doua se determină intervalele pe care derivata a doua
păstrează același semn;
4. Dacă 𝑡′′>0 pe un interval, atunci 𝑡 este convexă pe acel interval, iar dacă 𝑡′′<0 pe un
interval, atunci 𝑡 este concavă pe acel interval.
Faptul că pe un interval [𝑥1,𝑥2],𝑡 este convexă sau concavă se marchează într -un tabel de forma:
Tabel 2.3
x 𝑥1 𝑥2
𝑡′′(𝑥) + + + + + + + + + + + + +
𝑡(𝑥)
a. funcția convexă
Tabel 2.4
x 𝑥1 𝑥2
𝑡′′(𝑥) – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
𝑡(𝑥)
b. funcția concavă
Condiție suficientă pentru un punct de inflexiune
Teoremă:
Fie 𝑣:𝐻→𝑅 și 𝑥0 un punct din intervalul H. Dacă 𝑣 este două ori derivabilă într -o
vecinătate L a lui 𝑥0 și dacă există două numere 𝜆,𝜇∈𝐿 astfel îcât:
1. 𝜆<𝑥0<𝜇;
2. 𝑣′′(𝑥0)=0;
3. (𝑣′′<0 pe (𝜆,𝑥0) și 𝑣′′>0 pe (𝑥0,𝜇)) sau (𝑣′′>0 pe (𝜆,𝑥0) și 𝑣′′<
0 pe (𝑥0,𝜇)), atunci 𝑥0 este punct de inflexiune pentru 𝑣 .
Punctul K (𝑥0,𝑣(𝑥0)) se numește punctul de inflexiune al graficului.
Observații:
1) Condiția 𝑣′′(𝑥0)=0 nu implică automat 𝑥0 punct de inflexiune. Întradevăr fie
𝑣:𝑅→𝑅,𝑣(𝑥)=𝑥4 penrtu care 𝑣′(𝑥)=4𝑥3 și 𝑣′′(𝑥)=12𝑥3. Ecuația 𝑣′′(𝑥0)=0 are soluția
𝑥0=0, care însă nu este punct de inflexiune pentru 𝑣 deoarece 𝑣′′(𝑥)>0, atât pentru 𝑥<0 cât
și 𝑥>0.
38
2) Condiția ca 𝑣 să fie continuă în 𝑥0 este importantă.
Fie 𝑣:𝑅→𝑅,𝑣(𝑥)={−𝑥2+1,𝑥≤0
−√𝑥, 𝑥>0 are 𝑣′′(𝑥)={−2, 𝑥<0
1
4√𝑥, 𝑥>0, care ce înseamnă că
pentru. Intervalul ( −∞;0), 𝑣′′<0, adică 𝑣 este concavă, iar pe ( 0; ∞), 𝑣′′>0, adică 𝑣 este
convexă. Dar 𝑥0=0 nu este punct de inflexiune, funcție nefiind continuă în acest punct.
3) De asemenea dacă 𝑣 nu are derivată (finită sau infinită) în 𝑥0, atunci 𝑥0 nu este punct de
inflexiune pentru 𝑓.
Fie 𝑣:𝑅→𝑅,𝑣(𝑥)={𝑥2, 𝑥≤0
√𝑥, 𝑥>0 , atunci 𝑣′(𝑥)={2𝑥, 𝑥<0
1
2√𝑥, 𝑥>0 și 𝑣′′(𝑥)={2, 𝑥<0
−1
4√𝑥3, 𝑥>0.
Se constată că 𝑣 este continuă în 𝑥0=0 și 𝑣𝑠′(0)=0, 𝑣𝑑′(0)=∞.
Deci 𝑓 nu are derivată în 𝑥0=0. Acest punct este punct ungiular pentru 𝑣, deși 𝑣′′>0 dacă
𝑥<0 și 𝑣′′<0 pentru 𝑥>0 .
4) Pentru ca 𝑥0 să fie punct de inflexitate pentru funcția 𝑣(îndeplinind condițiile teoremei)
trebuie să avem una din situațiile de mai jos:
Tabel 2. 5
𝑥 𝑥0
𝑣′(𝑥) +++++++++++++++ 0 – – – – – – – – – – – – – – – – –
𝑣(𝑥) 𝑣(𝑥0)
a.
Tabel 2. 6
𝑥 𝑥0
𝑣′(𝑥) – – – – – – – – – – – – – – – – -0+++++++++++++++
𝑣(𝑥) 𝑓(𝑥0)
b.
De exemplu, este funcția 𝑣: 𝑅→𝑅,𝑣(𝑥)=𝑥3−𝑥+2. Avem 𝑣′(𝑥)=3𝑥2−1 și
𝑣′′(𝑥)=6𝑥. Funcția 𝑣′′(𝑥)=0 are soluția 𝑥=0. Cum 𝑣′′ (𝑥)<0 și 𝑣′′(𝑥)>0
39
dacă 𝑥>0 rezultă că 𝑥=0 este punct de inflexiune pentru 𝑣, iar în punctul (0, 2)
este punctul de inflexiune pentru graficul funcției.
Condiție suficientă pentru un punct de extrem
Pentru studiea semnului derivatei întâi de o parte și de alta a unui punc t de extrem,
se precizează punctul de maxim sau de minim. În concluzie se poate spune și de semnul
derivatei a doua într -un punct de extrem.
Teoremă:
Fie 𝑡:(𝑐,𝑑) →𝑅 o funcție de două ori derivabilă și 𝑥0 un punct de extrem pentru 𝑡 .
a) Dacă 𝑡′′(𝑥0)>0, atunci 𝑥0 este punct de minim local pentru 𝑡.
b) Dacă 𝑡′′(𝑥0)<0, atunci 𝑥0 este punct de maxim local pentru 𝑡.
Demonstrație:
Din 𝑡′′(𝑥0)>0, există 𝛽>0 astfel încât pe ( 𝑥0−𝛽,𝑥0+𝛽), 𝑡′ este crescătoare.
Dar din ipoteză 𝑡′(𝑥0)=0. Atunci ∀𝑥∈(𝑥0−𝛽,𝑥0) avem 𝑡′(𝑥)≤𝑡′(𝑥0)=0, adică pe
intervalul ( 𝑥0−𝛽,𝑥0) funcția 𝑡 este descrescătoare. Și invers dacă 𝑥 ∈(𝑥0,𝑥0+𝛽), atunci 0
= 𝑡′(𝑥0)≤𝑡(𝑥) și prin urmare 𝑡 este crescătoare pe intervalul (𝑥0,𝑥0+𝛽). De aici se deduce că
𝑥0 este un punct de minim pentru 𝑡.
Observație: Dacă 𝑡′′(𝑥0)<0, tangenta la grafic în punctul ( 𝑥0,𝑡(𝑥0)) se află deasupra
graficului, iar dacă 𝑡′′(𝑥0)>0 această tangentă este sub grafic. [13]
2.4. Probleme rezolvate
Problema 1 :
Calculați valorile extreme ale funcției 𝑣 pe domeniul indicat: [4]
a) 𝑣(𝑥)=2𝑥3−9𝑥2−24𝑥+5,𝑥∈[−2;0]
Soluție:
Calculăm derivata întîi a funcției date: 𝑣′(𝑥)=6𝑥2−18𝑥−24=6(𝑥2−3𝑥−4). Aflăm
punctele criticeale funcției, rezolvând ecuația 𝑣′(𝑥)=0,𝑥2−3𝑥−4=0,𝑥1=−1,𝑥2=4.
Observăm, că puctul 𝑥2=4 nu aparține segmentului dat [ -2;0]. Alcătuim următorul tabel:
Tabel 2. 7
𝑥 −2 −1 0
𝑣(𝑥) 1 18 5
Funcția are valoare minimă, egală cu 1, în punctul 𝑥=−2, iar cea maximă, egală cu 18 în punctul
𝑥1=−1. Deci, minim 𝑣(𝑥)=𝑣(−2)=1; max 𝑣(−1)=18.
40
b) 𝑣(𝑥)= 1
2cos2𝑥+sin𝑥,𝑥∈[0;𝜋
2].
Soluție:
Avem 𝑣′(𝑥)=−1
2sin2𝑥(2𝑥)′+cos𝑥. Rezolvăm ecuația 𝑣′(𝑥)=0. Deci
−sin2𝑥+cos𝑥=0, −2sin𝑥cos𝑥+cos𝑥=0, cos𝑥(1−2sin𝑥)=0,
[cos𝑥=0,
1−2sin𝑥=0; [𝑥=𝜋
2+𝑢𝜋, 𝑢∈Ζ
𝑥=(−1)𝑛∙𝜋
6+ 𝜋𝑡,𝑡∈Ζ .
Intervalului (0;𝜋
2) îi aparține o singură soluție 𝑥=𝜋
6. Construim tabelul :
Tabel 2. 8
𝑥 0 𝜋
6 𝜋
2
𝑣(𝑥) 0,5 0,7 1
Răspuns: min 𝑣(𝑥)=𝑣(0)=0,5; max 𝑣(𝑥)=𝑣(𝜋
2)=1.
Problema 2 :
De găsit așa un număr strict pozitiv, care să fie mai mare decât pătratul său cu o valoare
maximă posibilă. [4]
Soluție:
Fie că acest număr este 𝑥, atunci pătratul său va fi 𝑥2, iar diferența ( 𝑥−𝑥2). Pentru
diferență am obținut o funcție 𝑑(𝑥)=𝑥−𝑥2, unde 𝑥∈(0,+∞).
1) Aflăm 𝑔′(𝑥)−?
𝑔′(𝑥)=−2𝑥+1
2) Rezolvăm ecuația 𝑔′(𝑥)=0⟺−2𝑥+1=0⟺𝑥=1
2
Deoarece 𝑔′(𝑥) trecând prin 1
2 își schimbă semnul de la + la – rezultă, că 𝑥=1
2 este unicul punct
de maxim pe interval (0,+ ∞). Deci diferența își ajunge valoarea maximă în punctul 𝑥=1
2 , iar
diferența minimă dintre 𝑥 și pătratul său este g (1
2)=1
4 . +
– 1
2
41
Răspuns: numărul maxim este 1
2 , iar diferența maximă este 1
4 .
Problema 3:
Dacă 𝑎,𝑏,𝑐 >0,𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐𝑥, ∀𝑥 ∈𝑅, atunci 𝑎𝑏𝑐 =1. [3]
Soluție:
Se consideră funcția 𝑓:𝑅→𝑅,𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐𝑥,pentru care 𝑓(0)=3. Cum din ipoteză
𝑓(0)≥3 = 𝑓(0),∀(𝑥)∈𝑅, se deduce conform definiției unui punct de minim, că 𝑥0=0 este
punct de minim 𝑓 și 0∈𝑅. Con form teoremei lui Fermat, derivata în acest punct este nulă, adică
𝑓′(0)=0.
Dacă 𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥ln𝑎+𝑏𝑥ln𝑏+𝑐𝑥ln𝑐 și așa dar ln𝑎+ln𝑏+ln𝑐=0 sau
ln(𝑎𝑏𝑐)=0 de unde rezultă că 𝑎𝑏𝑐 =1 .
Problema 4:
Să se arate că există un număr real 𝑎,𝑎>0 cu proprietatea: 𝑎𝑥≥𝑥+1,(∀)𝑥 ∈𝑅. [2]
Soluție:
Fie funcția 𝑓(𝑥)= 𝑎𝑥−(𝑥=1).
Din ipoteză avem 𝑓(𝑥)≥0,(∀)𝑥∈ 𝑅. Cum 𝑓(0)=0 𝑓(𝑥)≥𝑓(0) adică 0 este punct de minim
al funcției 𝑓.
Aplicând teorema lui Fermat rezultă că 𝑓′(0)=0, dar 𝑓′(𝑥)=𝑎𝑥ln𝑎−1, deci
𝑓′(0)=ln𝑎−1=0 ⇒𝑎=𝑡.
În acest caz 𝑓(𝑥)=𝑡𝑥−(𝑥+1), derivata este 𝑓′(𝑥)=𝑡𝑥−1 și are rădăcina 𝑥=0.
Tabelul de variație al funcției este:
Tabel 2 .9
𝑥 −∞ 0 +∞
𝑓′(𝑥) – – – – – – – – – – – – – – – – – 0 + + + + + + + + + + +
𝑓(𝑥)
Deci 𝑥=0 este punctul de minim pentru funcția dată, adică 𝑓(𝑥)≥𝑓(0),∀𝑥∈𝑅, ceea
ce înseamnă că 𝑡𝑥≥𝑥+1,∀𝑥∈𝑅, de unde rezultă că 𝑎=𝑡 verifică condițiile problemei.
Problema 5 :
Aflați intervalele de cocavitate și convexitate ale următoarelor funcții:
42
a) 𝑓(𝑥)=ln(𝑥2+4). [9]
Soluție:
Observăm , că domeniul de definiție al funcției este întreaga axă numerică.
𝑓′(𝑥)=(𝑥2+4)′
𝑥2+4=2𝑥𝑥
𝑥2+4; 𝑓′′(𝑥)=2∙ (𝑥
𝑥2+4)′
=2𝑥′(𝑥2+4)−𝑥(𝑥2+4)′
(𝑥2+4)2 =2𝑥2+4−2𝑥2
(𝑥2+4)2=
−2𝑥2+4
(𝑥2+4)2=−2 (𝑥−2)(𝑥+2)
(𝑥2+4)2 .
Pe intervalele ( -∞,−2) ⋃ (2, + ∞) funcția 3 este convexă, pe intervalul ( -2; 2) – concavă.
Punctele 𝑥=±2 sunt puncte de infle xiune (fig. 2.8) .
fig. 2.8
b) 𝑓(𝑥)=8𝑥−4+2cos2𝑥
Soluție:
𝑓′(𝑥)=8−4sin2𝑥; 𝑓′′(𝑥)= −8cos2𝑥. Rezolvăm inecuația 𝑓′′(𝑥)>0; avem
−8cos2𝑥 >0,cos2𝑥<0, 𝜋
2+2𝑘𝜋 <2𝑥<3𝜋
2+2𝑘𝜋, 𝜋
4+𝑘𝜋<𝑥<3𝜋
4+𝑘𝜋, 𝑘∈Ζ .
(fig. 2.9)
(𝜋
4+𝑘𝜋,3𝜋
4+𝑘𝜋),𝑘∈Ζ – intervale de concavitate ;
(−𝜋
4+𝑘𝜋,𝜋
4+𝑘𝜋),𝑘∈Ζ – intervale de convexitate;
𝑥=𝜋
4+𝑘𝜋
2 puncte de inflexiune. (fig. 2.9.)
Fig. 2.9 .
Problema 6:
Aflați puctele critice ale fucției 𝑓(𝑥)= √𝑥2−7𝑥+10 . [7]
Soluție: 2
Domeniul de definiție al funcției 𝑓 este determinat în inecuația 𝑥2−7𝑥+10≥0. –
+
–
y
x 3𝜋
4
7𝜋
4 5𝜋
4 𝜋
4
43
(𝑥−2)(𝑥−5)≥0. (fig. 2.10.)
Fig. 2.10.
𝐷(𝑓)=(−∞;2]∪[5;+∞).
Calculăm derivata funcției 𝑓′(𝑥)=(√𝑥2−7𝑥+10)′=1
2√𝑥2−7𝑥+10∙(𝑥2−7𝑥+10)′=
2𝑥−7
2√𝑥2−7𝑥+10 . Deci 𝑓′(𝑥)=0 pentru 𝑥=3.5 punct ce nu aparține domeniului de definiție al
funcției 𝑓. Mai departe, 𝑥=2,𝑥=5 sunt puncte de discontinuitate ale derivatei. Ele sunt
punctele critice ale funcției date.
Problema 7 :
De găsit un număr pozitiv 𝑥, pentru care diferența dintre 𝑥 și cubul său 𝑥3 să fie
maximă. De aflat difereența maximă. [6]
Soluție:
Fie că acest număr este 𝑥 atunci cubul său va fi 𝑥3, diferența (𝑥−𝑥2). Pentru diferență
am obținut o funcție 𝑑(𝑥)=𝑥−𝑥2, unde 𝑥∈(0,+∞) . Pentru a afla valoarea lui 𝑥, unde
diferența își atinge valoarea maximă, vom cerceta această funcție cu ajutorul derivatei.
1) Aflăm 𝑑′(𝑥)-?
𝑑′(𝑥) = -3𝑥2+1
2) Rezolvăm ecuația 𝑑′(𝑥)=0 ⇔−3𝑥2+1=0⇔𝑥2=1
3 [𝑥=√3
3
𝑥=−√3
3 (fig.2.11)
Fig.2.11
Deoarece 𝑑′(𝑥) trecând prin √3
3 își schimbă semnul de la + la – rezultă, că 𝑥=√3
3 este
unicul punct de maxim pe intervalul (0, + ∞). Deci diferența își atinge valoarea maximă în
punctul 𝑥=√3
3 , iar diferența maximă dintre 𝑥 și cubul său este:
+
– +
2 5
–
+
–
−√3
3 √3
3 0
44
𝑑(√3
3)=√3
3−(√3
3)3
= 2√3
9
Răspuns: Numărul este √𝟑
𝟑, iar diferența maximă este 2√𝟑
𝟗 .
Problema 8 :
Fie că înălțimea piramidei 𝐻=𝑉𝑂=𝑥, atunci 𝑅=√1−𝑥2. Deoarece ăntr -un
hexagon regulatlungimea laturii este egală cu 𝑅⇒|𝐴𝐵|=𝑎6=𝑅=√1−𝑥2. Fig. (2.12)
Fig. (2.12)
Volumul piramidei este egal cu:
𝑉𝑉𝐴𝐵𝐶𝐷𝐹 =1
3∙𝐴𝑏𝑎𝑧𝑒𝑖 ∙𝐻=1
3∙𝑎2√3
4∙6𝑥=1
3∙3𝑎2√3
2∙𝑥=√3
2(𝑥−𝑥3) .
Deci am obținut funcția 𝑉(𝑥)=√3
2(𝑥−𝑥3) ,unde 𝑥∈(0,1).
Cercetăm această funcție cu ajutorul derivatei:
1) Calculăm 𝑉′(𝑥)=√3
2(𝑥−𝑥3).
2) Rezolvăm ecuația 𝑉′(𝑥)=0 ⇔√3
2(𝑥−𝑥3)=0⇔𝑥2=1
3 ⇔[𝑥=√3
3
𝑥=−√3
3 (fig. 2.13)
Fig. 2.13
Deoarece 𝑉′(𝑥) trecând prin √3
3 își schimbă semnul de la + la – rezultă, că 𝑥=√3
3 este unicul
punct de maxim pe intervalul (0,1). Deci piramida va avea volumul maxim pentru 𝑥=√3
3 , iar
volumul maxim va fi 𝑉(√3
3)=√3
2(√3
3−(√33)3)=√3
2∙2√3
9=3
9=1
3
Însă 𝐻=𝑥, deci înălțimea piramidei este de √3
3 și putem afla lungimea laturei bazei A B C
D
E F O F
–
+
–
−√3
3 √3
3 0
45
𝑎6=𝑅=√1−𝑥2=√1−(√3
3)2
=√2
3
Răspuns : Lungimea laturii bazei este de √2
3 , iar volumul maxim este de 1
3 .
Problemă 9 :
Într-un triunghi dreptunghic cu lungimea ipotezei de 24 cm și măsura unui unghi ascuțit
de 60𝑜 este înscris un drepunghi, baza căruia se află pe ipotenuză (fig. 2.14). Care sunt lungimile
laturilor dreptunghiului, pentru ca aria dreptunghiului să fie maximă. [4]
Se dă:
△𝐴𝐵𝐶 – dreptunghic;
𝑚(<𝐵)=60𝑜;
𝑚(<𝐴)=90𝑜;
|𝐵𝐶|=24 𝑐𝑚;
𝑀𝑁𝑄 − dreptunghi scris în △𝐴𝐵𝐶
𝐴𝑀𝑁𝑃𝑄 − maximă
|𝑀𝑁|−? |𝑁𝑃|−?
Soluție:
Deoarece △𝐴𝐵𝐶 – dreptunghic
𝑚(<𝐵)=60𝑜⇒𝑚(<𝐶)=30𝑜 |𝐴𝐵|=12 𝑐𝑚
|𝐴𝐶|=12√3 𝑐𝑚
Fie |𝑀𝑁|=|𝑃𝑄|=𝑥⇒|𝑃𝐶|=2𝑥, iar |𝐶𝑄|=|𝑃𝐶|∙cos30𝑜=2𝑥∙√3
2=𝑥√3
Cercetăm △𝐵𝑀𝑁 – dreptunghic .
𝑀𝑁 =𝑥⇒|𝑀𝑁 |
|𝐵𝑀|=𝑡𝑔60𝑜⇒𝑥
|𝐵𝑀|=√3⇒|𝐵𝑀|=𝑥
√3 .
Deci |𝐵𝐶|=24𝑐𝑚
|𝐵𝑀|=𝑥
√3
|𝐶𝑂|=𝑥√3 }⇒|𝑀𝑄|=24−|𝐵𝑀|−|𝐶𝑄|=24−𝑥
√3−𝑥√3
Atunci 𝐴𝑀𝑁𝑃𝑄 =𝑀𝑁 ∙𝑀𝑄 =𝑥(24−𝑥(1
√3+√3))=𝑥(24−4
√3𝑥)=−4
√3𝑥2+24 .
Am obținut: 𝑎(𝑥)=−4
3𝑥2+24𝑥 , unde 𝑎− funcție de gradul II .
Deoarece 𝑥>0, 𝑥<|𝐴𝐾|, |𝐴𝐾|=12∗12√3
24 = 6 √3 ⇒𝑥∈ (0;6√3);
1. Aflăm 𝑎′(𝑥)−?
𝑎′(𝑥)=−8
√3𝑥+24 A
B
C N P
Q M K x x
60𝑜
30𝑜
Fig. 2.14.
46
2. Rezolvăm ecuația 𝑎′(𝑥)=0 ⇔−8
√3𝑥+24=0 ⇔𝑥=24∙√3
8 ⇔𝑥=3√3
3. Construim:
Deoarece 𝑎′(𝑥) trecând prin 3√3 își scimbă semnul de la + la – rezultă, că 𝑥=3√3 este unicul
punct de maxim pe intervalul (0;6√3) . Deci 𝑎′(𝑥) își atinge valoarea maximă în punctul
𝑥=3√3 , iar aria maximă a dreptunghiului va fi 𝑎(3√3)=36√3 .
Deci |𝑀𝑁|= 3√3 cm
|𝑀𝑄|=24−3√3
√3−3√3∙√3=24−3−9=12 .
Răspuns: Laturile dreptunghiului sunt de 3√3 𝑐𝑚 și 12 𝑐𝑚, iar aria maximă a dreptunghiului
este de 36 √3 𝑐𝑚2.
Problema 10 :
Îtr-un trapez isoscel, laturile sunt congruente cu baza mică a trapezului, lungimea căruia
este 𝑎(𝑚). Care este lungimea bazei mari a trapezului, pentruca aria trapezului să fie maximă.
(fig. 2.14)
Se dă:
𝐴𝐵𝐶𝐷 −trapez isoscel
|𝐴𝐵|=|𝐵𝐶|=|𝐶𝐷|
|𝐵𝐶|=𝑎(𝑚)
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 −maximă -?
𝐴𝐷−?
Fig. 2.1 5
Soluție:
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 =1
2(|𝐵𝐶|+|𝐴𝐷|)∙ℎ; |𝐴𝐷|−? ℎ−?
Fie ℎ=𝑥⇒|𝐴𝑀|=√𝑎2−𝑥2⇒|𝐴𝐷|=2√𝑎2−𝑥2+𝑎
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷 =1
2(𝑎+2√𝑎2−𝑥2+𝑎)∙𝑥=(𝑎+√𝑎2−𝑥2)∙𝑥=𝑥√𝑎2−𝑥2+𝑎𝑥 , unde 𝑥∈
(0;𝑎)
Cercetăm funcția 𝐴(𝑥)=𝑥√𝑎2−𝑥2+𝑎𝑥 pe intervalul 𝑥∈(0;𝑎). +
– O 3√3 6√3
A B C
D
M N a
a a
47
𝐴′(𝑥)=√𝑎2−𝑥2+𝑥∙1
2∙(−2𝑥)
√𝑎2−𝑥2+𝑎=𝑎2−𝑥2−𝑥2
√𝑎2−𝑥2+𝑎=𝑎2−2𝑥2+𝑎√𝑎2−𝑥2
√𝑎2−𝑥2 .
𝐴′(𝑥)=0⇒{𝑎2−2𝑥2+𝑎√𝑎2−𝑥2=0
𝑎2−𝑥2≠0
√𝑎2−𝑥2=2𝑥2−𝑎2
𝑎2∙(𝑎2−𝑥2)=(2𝑥2−𝑎2)2
𝑎2∙(𝑎2−𝑥2)=4𝑥4−4𝑥2𝑎2+𝑎4
𝑎4-𝑎2𝑥2=4𝑥4−4𝑥2𝑎2+𝑎4
4𝑥4−3𝑥2𝑎2=0
𝑥2(4𝑥2−3𝑎2)=0⟺[𝑥=0
4𝑥2−3𝑎2=0 .
4𝑥2−3𝑎2=0 ⇔4𝑥2=3𝑎2 ⇔𝑥2=3
4𝑎2⇔𝑥=±𝑎√3
2 .
𝑥=𝑎√3
2este unicul punct de maxim pe intervalul (0;a)⇒h=𝑎√3
2 ⇒𝐴(𝑎√3
2)=3√3𝑎2
4
reprezintă aria maximă a trapezului,
iar |𝐴𝐷|=2√𝑎2−𝑥2+𝑎=𝑎√𝑎2−3𝑎2
4+𝑎=2√𝑎2
4+𝑎=2𝑎
2+𝑎=2𝑎
Răspuns: |𝐴𝐷|=2𝑎,𝐴(𝑎√3
2)=3√3𝑎2
4 – aria maximă a trapezului.
Problema 11 :
De descompus numărul 180 în sumă de 3 termeni, în așa fel ca raportul a 2 termeni să
fie 1: 2 , iar produsul lor să fie maxim. [4]
Soluție:
Fie termenii 𝑎,𝑏 și 𝑐, astfel încât 𝑎+𝑏+𝑐=180,
Fie 𝑎
𝑏=1
2⟺𝑎
1=𝑏
2=𝑥⇒{𝑎=𝑥
𝑏=2∙𝑥⇒𝑐=180 −3𝑥
Produsul va fi funcția 𝐻′(𝑥)=𝑥∙(2𝑥)∙(180 −3𝑥)=360 𝑥2−6𝑥3.
Deci am obținut funcția 𝐻′(𝑥)= -180𝑥2+720 𝑥=−180 𝑥(𝑥−40).
𝐻′(𝑥)=0⇔{𝑥=0
𝑥=40
𝑥=0∉(0:180 )⇒𝑥=40 unicul punct critic pe intervalul (0;180). (fig. 2.17.)
+ +
–
−𝑎√3
2 𝑎√3
2 0 –
Fig. 2.16
48
Fig. 2.17.
Deoarece derivata 𝐻′(𝑥) își schimbă semnul de la + la -𝑥=40 este unicul punct de maxim pe
intervalul (0;180) ⇒𝑃(40)=192000 valoarea maximă a produsului.
Deci, 𝑎=40⇒𝑏=2𝑥=80;𝑐=180 −120 =60.
Verificare: 40+80+60=180.
Răspuns: Numerele sunt: 40; 80; 60.
Problem a 12:
Într-o prismă triunghiulară regulate, distanța de la centrul bazei până la un vârf al
celeilalte bazate este 𝑙. Care este lungimea înălțimei prismei, volumul căreia este maxim
(fig. 2.18).
Soluție: 𝑉𝒑𝒓𝒊𝒔𝒎𝒆𝒊 =𝐴𝒃𝒂𝒛𝒆𝒊 ∙ℎ
Fie |𝑂𝑂′|=|𝐴𝐴′|=ℎ=𝑥
|𝐴′𝑂′|=𝑅=√𝑙2−𝑥2⇒𝑎3=|𝐴𝐵|=𝑅√3⇒𝑎=√3∙√𝑙2−𝑥2⇒.
𝐴=𝑎2√3
4=3(𝑙2−𝑥2)∙√3
4 ⇒𝑉(𝑥)=3√3
4 ∙(𝑙2𝑥−𝑥3), 𝑥∈(0,𝑙)
Cercetăm funcția 𝑉′(𝑥) cu ajutorul derivatei
1) Calculăm 𝑉′(𝑥)−?
𝑉′(𝑥)=3√3
4(𝑙2𝑥−𝑥3)
2) Rezolvăm ecuația (fig.2.18. și fig. 2.19 )
–
Fig.2.18.
Fig.2.1 9.
Răspuns: Lungimea înălțimei prismei este de 𝑙
√3 , iar volumul maxim este de 𝑙3
2.
+
– 40 180 0
A 𝐴1
C
B 𝑙
O 𝑂1 𝐶1
𝐵1 – +
−𝑙
√3 𝑙
√3 𝑙
49
Problema 13 :
Să dă o sferă cu raza R, ( Fig. 2.20 ) în care e înscris un cilindru cu aria suprafeței laterale
maxime. De aflat înălțimea cilindrului . [2]
Soluție:
Fie |𝐴𝐸|=𝑥, atunci |𝑂𝐸|=√𝑅2−𝑥2⇒|𝐸𝐸′|=|𝐴𝐷|=𝐻=2√𝑅2−𝑥
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛 =2𝜋∙2√𝑅2−𝑥, unde 𝑥 ∈(0,𝑅).
Fig. 2.20
Cercetăm funcția 𝐴(𝑥) cu ajutorul derivatei :
1. Calculăm 𝐴′(𝑥)−?
𝐴′(𝑥)=4𝜋(√𝑅2−𝑥2+𝑥∙−2𝑥
2√𝑅2−𝑥2)=4𝜋∙𝑅2−𝑥2−𝑥2
√𝑅2−𝑥2= 4𝜋∙𝑅2−2𝑥2
√𝑅2−𝑥2
𝐴′(𝑥)=0⟺{𝑅2−2𝑥2=0
𝑅2−𝑥2≠0⟺{𝑥2=𝑅2
2
𝑥2≠𝑅2⟺𝑥2=𝑅2
2⟺𝑥=±𝑅2
√2
Deoarece 𝐴′(𝑥) trecând prin punctul 𝑅
√2 își schimbă semnul de la + la – cea ce rezultă, că 𝑥=𝑅
√2
este unicul punct de maxim pe intervalul (0, 𝑅). Deci cilindru va avea aria suprafeței laterale
maximă pentru 𝑥=𝑅
√2⇒𝐻=2√𝑅2−𝑅2
2=2∙𝑅
√2=𝑅√2.
Aria suprafeței laterale maximă va fi de: 𝐴(𝑥)=2𝜋∙𝑅
√2∙𝑅√2=2𝜋𝑅2.
Răspuns: Lungimea înălțimii cilindrului este d e 𝑅√2, iar aria suprafeței laterale maxime este de
2𝜋𝑅2.
–
+
– −𝑅
√2 0 +𝑅
√2
Fig. 2.2 1
50
Problem a 14:
Într-o sferă e înscris un con cu volumul maxim. De aflat raportul dinrte raza sferei și
înălțimea conului. (Fig. 2.20)
Fig.2.2 1
Soluție: Fie raza sferei 𝑅 , iar |𝐴𝑂1|=𝑥⇒|𝑂𝑂1|=√𝑅2−𝑥2⇒𝐻𝑐𝑜𝑛𝑢𝑙𝑢𝑖 =|𝑉𝑂1|=
=√𝑅2−𝑥2+𝑅. Atunci volumul conului va fi:
𝑉𝑐𝑜𝑛=1
3𝐴𝑏𝑎𝑧𝑒𝑖 ∙𝐻=1
3𝜋𝑥2∙(√𝑅2−𝑥2+𝑅)=1
3𝜋∙𝑥2∙(√𝑅2−𝑥2+𝑅),
unde 𝑥∈(0;𝑅).
Cercetăm funcția 𝑉(𝑥) cu ajutorul derivatei:
1) Calculăm 𝑉′(𝑥)-?
𝑉′(𝑥)=1
3𝜋(𝑥2√𝑅2−𝑥2+𝑥2𝑅)′=1
3𝜋(2𝑥√𝑅2−𝑥2+𝑥2∙−2𝑥
2√𝑅2−𝑥2+2𝑥𝑅)=
=1
3𝜋(2𝑥(𝑅2−𝑥2)−𝑥3
√𝑅2−𝑥2+2𝑥𝑅)=1
3𝜋∙2𝑥𝑅2−2𝑥3−𝑥3+2𝑥𝑅√𝑅2−𝑥2
√𝑅2−𝑥2=
=1
3𝜋2𝑥𝑅2−3𝑥3+2𝑥𝑅√𝑅2−𝑥2
√𝑅2−𝑥2=1
3𝜋𝑥2𝑅2−3𝑥3+2𝑅√𝑅2−𝑥2
√𝑅2−𝑥2
2) Rezolvăm ecuația 𝑉′(𝑥)=0⟺{2𝑅2−3𝑥2+2𝑅√𝑅2−𝑥2=0
𝑥2≠𝑅2 .
2𝑅√𝑅2−𝑥2=3𝑥2−2𝑅2⟺4𝑅2(𝑅2−𝑥2)=(3𝑥2−2𝑅2)2⟺
4𝑅4−4𝑅2𝑥2=9𝑥4−12𝑥2𝑅2+4𝑅4⟺9𝑥4−8𝑥2𝑅2=0⟺
𝑥2(9𝑥2−6𝑅2)=0⟺[𝑥=0
𝑥2=8𝑅2
9⟺[𝑥=0
𝑥=±2𝑅√2
3
Deci 𝑥=2𝑅√2
3 – punct de maxim, 𝐻=√𝑅2−8𝑅2
9+𝑅=√𝑅2
9+𝑅=√𝑅2
9+𝑅=𝑅
3+𝑅=4
3𝑅
Luăm raportul : 𝑅
𝐻=𝑅
4
3𝑅=3
4 .
Răspuns: 𝑅
𝐻=3
4
51
CAPITOLUL 3. OPTIMIZARE GEOMETRICĂ
O strategie de rezolvare a unei probleme reprezintă un ansamblu de reguli extrase din
volumul de cunoștințe însușite anterior.
La rezolvarea problemelor geometrice de optimizare există situații în care regulile
concrete ale rezolvării nu sunt cunoscute de elev (student), nefiind încă descoperite. În aceste
cazuri este necesar de a găsi un algoritm, bazat pe metode și procedee didactice
Pentru r ezolvarea problemelor de maxim și minim pe cale geometrică elemntară, nu se
pot da reguli și metode așa de generale și precise cum se întâlnesc ăn algebră și mai ales în
analiză. În schimb, modele geometriei elementare dezvoltă puterea de observație, intui ția
geometrică, iar soluțiile pe care le dă geometria elementară unor probleme de maxim și de minim
sunt uneori foarte simplpe pe când modele analitice duc deseori la soluții lungi obositoare.
Pentru a găsi maximele și minimele pe cale geometrică, transfmă m problema propusă
în alta mai simplă, care să ne ușureze să găsim mai ușor soluția căutată, sau care să ne ducă la o
propietate sau la o teoremă cunoscută. Deseori suntem nevoiți să facem mai multe transformări,
până să putem ajunge la o formă sau la o pr poblemă a cărei soluție să apară imediat, în baza unor
principii, teoreme sau probleme cunoscute de mai înainte.
3.1. Metode de rezolvare a problemelor geometrice
Se spune că o problemă se trasează direct când, punând funcția sub o anumită formă,
putem să vedem ușor cum variază acea funcție atunci când variabila sa independentă trece prin
diferitele ei valori.
Problemele care se pot rezolva pe această cale sunt puține și dintre cele mai simple . Sunt
însă și probleme care nu se pot trata decât num ai direct pentru a le găsi soluții. Astfel sunt acele
probleme care nu conduc la funcții continue, ale căror variații să se poată studia cu înlesnire.[10]
Exemple de probleme propuse:
Problema 1 :
Fiind date 𝑛 punct e răspândite oric um pe un plan, să se construiască cercul minim care
să nu lase în afară nici un punct dat.
Soluție:
Dacă se dau trei puncte unite între ele care formează un triunghi ascuțitunghi, cercul
este – evident cercul circumscris triunghiului. Dacă triunghiul este obtuzunghi, cercul c ăutat are
are ca diametru latura opusă unghiului obtuz.
52
Dacă se dau mai multe pucte, alegem dintre ele un număr oarecare astfel ca unindu -le
să formăm un poligon convex care să nu lase în afară nici un punct dat.
Luăm apoi un centru oarecare 𝑂 (Fig. 3.1.) și un cerc cu o rază destul de mare ca să
cuprindă toate vârfurile 𝐴,𝐵,𝐶,…,𝐾,𝐿. Raza acestui cerc o reducem apoi treptat, până când
cercul
trece prin unul din punctele date, de exemplu prin 𝐴. Ducem dreapta 𝑂𝐴 pe care luăm un centru
𝑂1, însp re 𝐴, din care descriem cercul trecând prin 𝐴.
Fig. 3.1
Micșorăm necontenit distanța 𝑂1𝐴, până când acest cerc trece printr -un al doilea punct,
de exemplu 𝐵. Din această poziție a lui 𝑂1, ducem perpendiculara 𝑂1𝑃 pe 𝐴𝐵. Pe 𝑂1𝑃 înspre 𝑃,
luăm un a lt centru 𝑂2, pe care îl mișcăm de la 𝑂1 înspre 𝑃 și ducem cercuri care să treacă prin 𝐴
și 𝐵 și care sunt din ce în ce mai mici. Se pot întâmpla două cazuri:
1) Ajungem la centrul 𝑂2 până la 𝑃 fără a lăsa în afară vre -un punct dat. Cercul cu
diametru 𝐴𝐵 este atunci cel căutat.
2) Înainte de a ajunje cu centrul 𝑂2 până la 𝑃, cercul 𝑂2 trece print -un al treilea punct
𝐶, dintre cele date. Dacă triunghiul 𝐴𝐵𝐶 este ascuțitunghi, cercul lui crcumscris rezolvă
problema: într -adevăr, orice alt cerc, ca re trece prin două vârfuri ale acestui triunghi și are raza
mai mică decât a celui circumscris, lasă înafară vârful al treilea. Dacă 𝐴𝐵𝐶 este un
triunghiotuzunghi, atunci apropiem centrul cercului circumscris de latura cea mai mare, să zicem
de 𝐵𝐶, mișcându -l de-a lungul mediatoarei acesteia. În cazul când ajungem la mijlocul lui 𝐵𝐶
fără a lăsa în afara cercului nici un puct dat, cercul cu diametrul 𝐵𝐶 rezolvă problema; în caz
contrar, continuăm ca mai sus, până când găsim un cerc. Având ca diametru una din distanțele
dintre vârfuri, care să le conțină pe toate, sau ajungem la un cerc circumscris unui triunghi
ascuțitunghi care să nu lase în afar cercul ui nici un alt vârf . [10]
A
C
O .
. .
.
. . . . .
. O1
O2 P
B
53
Problema 2:
Raportul celor două mediane ale catetelor unui triunghi dreptunghic poate avea un
maxim sau un minim? [8]
Soluție:
În triunghiu 𝐴𝐵𝐶 (Fig. 3.2.) în care 𝐴=90𝑜 iar medianele sunt 𝐵𝐵′ și 𝐶𝐶′, să
presupunem 𝐴𝐶=𝑏 și 𝐴𝐵=𝑐. Este suficient de a găsi expresia raportului 𝐵 𝐵′
𝐶𝐶′ ca funcție de o
variabilă și a -i urmări apoi varația. Pentru aceasta, observăm că putem scrie:
𝐵𝐵′2=𝑐2+(𝑏
2)2
=1
4(𝑏2+4𝑐2);
𝐶𝐶′2=𝑏2+(𝑐
2)2
=1
4(𝑐2+4𝑏2);
(𝐵𝐵′
𝐶𝐶′)2
=𝑏2+4𝑐2
𝑐2+4𝑏2=4−15𝑏2
𝑐2+4𝑏2=4−15
4+(𝑐
𝑏)2
𝐶′
Fig. 3.2.
De aici se vede că raportul medianelor crește sau descrește necontenit, în același timp cu raportul
𝑐
𝑏 (varabilă independentă). Pentru 𝑐
𝑏=0, găsim ca valoare inițială a raportului 𝐵𝐵′
𝐶𝐶′ =1
2 . Când
raportul catetelor crește nelimitat, raportul medianelor crește și tinde către valoarea finală 2.
După cum se vede, raportul medianelor nu are nici maxi m nici minim.
Metoda simetrică
Mijlocul cel mai simplu de a găsi maxime și minime ale funcțiilor este de a vedea dacă
funcția prezintă simetrie în felul cum variază. În acest caz, diagrama fucției are o axă de simetrie,
ca în (Fig. 3.3) .
A B C
𝐵′
𝐶′
y
x A B M A B
M
O a m b a m b
Fig. 3.3.
54
Atunci funcția, care acrescut până la axa de simietrie, va descrește de acolo înainte sau
invers și deci axa de simetrie corespunde unui maxim sau minim.
Nu trebuie să credem însă că la funcțiile cu variație simetrică n -ar mai putea exista și
alte maxime sau minime afară de cel de pe axa de simietrie. Cititorul poate figura ușor și
diagrame simetrice care să prezinte mai multe maxime și minime, observând că – în acest caz –
ele sunt simetrice așezate față de axă. Maximul sau minimul dat de axa de simetrie este unic
numai în cazul când funcția este mereu crescătoare de o parte a axei și deci descrescătoare de
cealaltă parte. [10]
Problema 3:
Dintr -un punt 𝐴 se duc tangentele 𝐴𝑇 și 𝐴𝑇′ la cercul 𝑂, precum și tangenta 𝐵𝐵′
limitată la 𝐴𝑇 și 𝐴𝑇′. În care caz triunhgiul 𝐴𝐵𝐵′ are aria maximă sau minimă? [4]
Soluție:
Figura fiind simetrică în raport cu bisectoarea 𝐴𝐼 a unghiului 𝑇𝐴𝑇′, maximul și
minimul ariei corespund cazurilor când 𝐵𝐵′ este perpendiculară pe bisectoare. Avem un maxim
când tangenta este dusă între 𝐴 și cerc (𝐵1𝐵1′)- deoarece până la această poziție a tangentei aria
triunghiului a crescut pentru ca, după aceasta, să descrească – și un minim când tangenta este
dusă dinc olo de cerc, (𝐵2𝐵2′). (Fig. 3.4)
Fig. 3.4.
Problema 4 :
Să se ducă într -un cerc două coarde paralele, situate la distanța 𝑑 una de alta, astfel încât
ca suma lungimilor lor să fie maximă.
Soluție:
Fie dat cercul 𝑂, în care ducem coardele 𝐴𝐵 și 𝐶𝐷 la distanța dată 𝑑=𝐼𝐾 (Fig. 3.5.).
Ducem diametru 𝑇𝐾𝐼𝑂𝑇′, perpendicular pe direcția coardelor. Să presupunem că puncutul 𝐾 A T
T′ I O B B1 B2
𝐵′ 𝐵1′
𝐵2′
55
parcurge dreapta 𝑇𝑇′, de la 𝑇 spre 𝑇′. Cu ajutorul simetriei, este suficient să urmărim ce se poate
petrce până când 𝐾 ajunje la distanța 𝑑
2 de la centrul 𝑂 al centrului.
Fig. 3.5.
Când 𝐾 este 𝑇, avem 𝐶𝐷=0 și deci suma 𝑠=𝐴𝐵+𝐶𝐷 se reduce la 𝑠=𝐴𝐵. De aici
înainte, 𝐴𝐵 și 𝐶𝐷 cresc ambele, cu cât se apropie de 𝑂, deci 𝑠 crește. Când 𝐼 ajunge în 𝑂, 𝐴𝐵
devine diametru cercului, egal cu 2𝑟, în care 𝑟, este raza cerului și avem 𝑠=2𝑟+𝐶𝐷. Aici
coarda 𝐴𝐵 trece printr -un maxim. Deci 𝑠 crește mai departe. Când mijlocul lui 𝐼𝐾 trece dincolo
𝑂, cu ajutorul simetriei, 𝑠 este în ordine inversă valori le pe care le -a primit mai înainte. Simetria
ne arată atunci că 𝑠 este maxim când paralele sunt simetrice față de centrul 𝑂 al cercului
(𝐴𝐵=𝐶𝐷). Dar atunci, 𝑂𝐼=𝑂𝐾 =𝑑
2 și 𝑠=4𝐴𝐼=4√𝑂𝐴2−𝑂𝐼2=4√𝑟2−𝑑
22
=
2√4𝑟2−𝑑2. Aceasta este maximul căutat.
3.2. Prin cipii și teoreme pentru găsirea maximilor și minimilor.
Multe din principiile care sunt folosite la dezlegarea problemelor de maximși de minim
sunt foarte smple și prea evidente ca să mai fie nevoie, când este vorba de o inițiere elementară
în astfel de probleme, să insistăm asupra lor cu demonstrații riguroase sau explicații prea întinse.
Este mai de folos, pentru început, ca principiile să fie mai bine formulate și ușor de înțeles, decât
să fie prezentate prin enunțuri sau cu demonstrații prea compl icate.
a) La căutarea maximelor și minimilor este bine și uneori chiar necesar să ne
dăm seama dacă funcția pe care o cercetăm are maxim sau minim.
Uneori, acest lucru este evident, așa că nu e nevoie de nici o cercetare prealabilă
căutării derecte a maximul ui sau minimului. Alteori, prin alegerea unor poziții particulare ale
elementelor figurilor, se poate descoperi ușordacă există un maxim sau un minim, făcând aplicații
numerice care să ne arate dacă, într -un anumit interval al valorilor variabilei independ ente,
funcția a crescut și apoi a descrescut, sau invers. 𝑇
𝑇′ A B C D
I
O K
56
Există însă și cazuri în care aceste cercetări sunt mai greu de făcut. În asemenea cazuri
este mai bine, de multe ori, să rezolvăm direct problema de maxim sau de minim și apoi, prin
valori particu lare, să stabilim dacă rezultatele găsite corespund de fapt la maxime sau la minime.
b) Dacă o funcție se mărește cu o cantitate constantă, maximele și minimele ei se
măresc cu aceeași cantitate, dar valorile variabilei cărora le corespund maximele
și minime le nu se schimbă.
Fig. 3.6.
Dacă în figura 3.6. deplasăm axa 𝑂𝑥 paralel cu însăși, depărtând -o de curba diagramei ,
toate ordonatele se măresc cu aceeași cantitate, însă formacurbei nu se schimbă cu nimic,
iarabcisele păstrează aceleași mărimi. Astfel, după mutarea axei 𝑂𝑥, maximele și minimele s -au
mărit toate cu aceeași cantitate, însă abcisele lor au rămas neschi mbate.
Deci putem să mărim o funcție cu o cantitate constantă , dacă găsim că ne este de
folos, fără ca prin această variabilă independentă să -și schimbe valorile care dau maxim ele și
minim ele.
Astfel, la cercetarea maximelor și minimelor, dacă în expresia funcției există termeni
constanți care se scad, îi putem suprima pe toți și cercetăm numai funcția astfel redusă, căci
valorile variabilei independente, care determină maximele și minimele, nu se schimbă.
c) Dacă o funcție se micșorează cu o cantitate constantă, maximele și minimele
ei se micșorează cu aceeași cantitate, valorile variabileiindependente care le
determină nu se schimbă.
Dacă în figura 3.6. deplasăm axa 𝑂𝑥 paralel cu însăși, apropiind -o de curba diagramei,
toate ordonatele se micșorează cu aceași cantitate, forma curbei nu se schimbă,iar abcisele
păstrează aceleași mărimi. Astfel după mutarea axei 𝑂𝑥, maximele și minimele s -au micțorat
toate cu aceași cantitate, însă abcisele lor au rămas neschimbate.
Deci putem să micșorăm o funcție cu o cantitate constantă, dacă găsim ajutor prin
această variabilă independentă să -și chimbe valorile care dau maxime și minime.
Acest princiupiu ne permite să suprimăm dintr -o dintr -o funcție toți termenii constanți,
câns căutăm minimele și maximele, și să studiem numai restul, căci valorile astfel găsite pentru y
x A B
C D F
E
O a b c d e f g h G H
57
variabila independentă rămân neschimbate chiar dacă curba se deplasează în parte sau în total,
sub axa 𝑂𝑥.
d) Dacă o funcție se îmulțește (sau se împarte) cu o constantă, maximele și
minimele se îmu lțesc (sau se împart) cu aceeași constantă, dar valorile
variabilei care le determină nu se schimbă .
La construcția diagramei din (Fig. 3.6.) s -au luat ordonatele proporționale cu valorile
funcției. Îmulțirea (sau împărțirea) ordonatelor cu aceleași număr ne determină să luăm în noua
diagramă, un nou raport între valorile funcțiilor și mărimile ordonatelor corespunzătoare. Astfel
dacă diagrama din (Fig. 3.6.) a fost construită măsurând temperaturile cu scara Reaumur și am
vrea să construim o altă diagramă pentru scara Celsius, am îmulți ordonatele diagramei din (Fig.
3.6.) cu 100
80=1,25 , pentru a avea diagrama corespunzătoare scării termometrice celei noi. Prin
asemea schimbări de scări nu se modifică cu nimic temperaturile aflate la difeirte ore, așa că
temperaturile maxime și minime din amândouă diagramele vom găsi la aceleași ore, însă în noua
diagramă maximele și minimele se găsesc îmulțite cu 1,25.
e) Dacă se ridică la pătrat o funcție pozitivă, acest pătrat este maxim sau minim
pentru aceleași valori ale variabilei pentru cae și funcția dată este maximă sau
minimă.
Acest lucru este evident căci a ridica la pătrat fiecare valoare a funcției înseamnă a
înloc ui, în diagrama ei, fiecare ordonată cu alta care să reprezinte aria pătratului construi pe
prima, iar ariile pătratelor se măresc când laturele se măresc, și se micșorează când laturile se
micșorează.
Princiupiul acesta se poate aplica și la cuburi și ori ce putere întreagă . Nu se aplică la
exponenți fracționari sau negativi.
f) Când o funcție trece print -un maxim (sau minim), inversia ei (unitatea
împărțită prin ea) trece printr -un minim sau maxim.
Produsul dintr -o funcție și inversa ei este 1, deci când unul dintre acești doi factori
crește, celălelt descrește și când unul are valoarea cea mai mare, celălalt are valoarea cea mai
mică; când unul crește nemărginit, celălalt se micșorează apropiindu -se de 0 și invers, când unul
scade către 0 crește nemărginit.
Înlocuirea funcțiilor cu inversele lor este uneori de mare folos penrtu găsireamaximeler
și minimelor.
g) Dacă o funcție este suma (sau produsul ) a două funcții ale aceleași variabile
independente, atunci maximul sau minimul ei deferă de suma (sau produsul)
maximeleor sau minimelr celor două părți ale sale, dacă aceasta nu are loc
pentru aceași valoare avariabilei independente.
58
Neobservara acestui principiu duce la mari greșeli. Spre a ne încredința, să cercetăm
exemplul, funcția [19(𝑥−3)2] care pentru 𝑥=3, are maximul 19. Ea este suma funcțiilor
[5−1
2(𝑥−2)2] și [15−1
2(𝑥−4)2]. Se vede că prima are maximul 5 pentru 𝑥=2 , iar a doua
are maximul pentru 𝑥=4. Maximele nu corespund acelorași valori ale variabilei independente,
iar suma maximele este (5+15)=20, în lo c de 19 cât s -a găsit pe funcția nedescompusă, ca valoare
maximă ce are loc pentru 𝑥=3.
h) Dacă o funcție depunde de mai multe variabile independente și dacă efectele
varațiilor acestora nu se amestecă în nici un fel unele cu altele, atunci putem
să ne ocu păm separat de fiecare variabilă în parte.
Așa, de exemplu, dacă baza unui triunghi depinde numai de una din variabile, iar
înălțimea de o altă variabilă, atunci maximul ariei dreptunghiului se va găsi luînd maximul dat
bazei de întâia variabilă și maximul dat înălțimei de cealaltă variabilă și îmulțind apoi baza
maximă cu înălșimea maximă.
Pentru cercetarea problemelor de maxime și minime, se folosesc deseori proprietăți
geometrice elementare, care stabilesc neegalități între elementele figurilor.
Teorema 1. Dacă mutăm un vârf al triunghiului în interiorul acestuia, noul triunghi
are perimetrul mai mic și unghiul din acel vîrf mai mare.
Fie 𝐴𝐵𝐶 triunhidat (Fig. 3. 7.) și 𝐴′𝐵𝐶 cel obținut mutând vârful 𝐴 în 𝐴′ , în interiorul
triunghiului 𝐴𝐵𝐶 . Avem:
𝐴𝐵+𝐴𝐶> +𝐴′𝐶 și 𝐴′>𝐴.
Fig. 3. 7.
Demonstrația se face ușor, prelungind 𝐵𝐴′ până taie latura 𝐴𝐶.
Teorema 2. O latură oareacare a triunghiului este mai mică decât suma celorlalte
două.
Cel dintâi care s -a folosit de aceaastă proprietate ca definiție a fost Arhimede. El spune
că „Dintre liniile care au aceleași extrimități, cea mai scurtă este dreapta ”.
Ilustrul matematician grec Euclid, din celebrele sale „Elemente” dă altă definiție liniei
drepte: „Linia dreaptă este aceea care este situată în mod egal față de punctele aflate pe ea” . B A
C A′
59
În elenetele lui Euclid, teorema aceasta se găsește sub forma propoziț iei a 20 -a, din
cartea I, care este enuțată astfel: „În orice triunghi, două laturi1 luate oricum sunt mai mari
decât cea rămasă . ”
Să luăm triunghiul 𝐴𝐵𝐶 (Fig. 3.7.) și să -i ducem bisectoarea 𝐴𝐴′.
Unghiurile 𝐴′𝐴𝐵 și 𝐴′𝐴𝐶 fiind egale rezultă că unghiul 𝐴𝐴′𝐶 este mai mare decât
unghiul 𝐶𝐴𝐴′. După teorema că la un unghi mai mare se opune o latură mai mare a triunghiului,
rezultă că 𝐴𝐶>𝐴′𝐶 . Se vede la fel și că 𝐴𝐵>𝐴′𝐵 deci , adunând aceste două inegalități, rez ultă
𝐴𝐶+𝐴𝐵>𝐵𝐶.
Fig. 3.8.
Teorema 3. Dacă dintr -un punct luat în afara unei drepte ducem la aceasta o
perpendiculară și o oblică, perpendicular este mai scurtă decât obilca.
Dacă piciarele a două oblice sunt egal depărtate de piciorul perpendicularei, atunci
oblicele sunt egale.
Dintre două oblice, mai lungă este aceea al cărei picior este mai depărtat de piciorul
perpendicularei. Dacă două oblice sunt de aceeași parte a perpendicularei și piciorul uneia
este la o depărtare dublă decât al celeilalte față de piciorul per pendicularei, atunci unghiul
dintre perpendiculară și obleca mai scurtă este mai mare decât unghiul dintre oblice.
Astfel, în Fig. 3. 9, în care 𝐵𝐸=𝐵𝐹 și 𝐵𝐶=2𝐵𝐸, avem: 𝐴𝐸=𝐴𝐹, 𝐴𝐸>𝐴𝐵,
𝐴𝐶>𝐴𝐸 și <𝐵𝐴𝐸 >≺𝐶𝐴𝐸 . Primele proprietăți enunțate aici sunt cunoscute : ultima se poate
stabili ușor dacă ducem prin 𝐸 o paralelă la 𝐴𝐶 până când taie pe 𝐴𝐵 în 𝑀 dacă observăm că, în
triunghiul 𝐴𝑀𝐸 , 𝐸𝑀 >𝐴𝑀 .
Fig. 3.9.
Teorema 4. Dacă între două puncte ale unei drepte se găsesc două conturi convexe,
de aceeași parte a dreptei, conturul înconjurător este mai lung decât cel înconjurat. A
B C
A′
F B E
C A
M
60
Un contur poligonal se spune că este convex , dacă este de aceași parte a fiecăruia dintre
laturele lui, prelungitănelilmitat de o parte și de alta.Un contur curb este convex , adică este de
aceiași parte a oricărei tangente duse la curbă, sau dacă toate coardele suntîn aceași parte a curbei.
Demonstrația se face ușor pentru conturi poligonale, prelungindu -se în aceeași parte
laturile conturului înconjurat, până când se interesează cu conturul înconjurător. Se trece apoi la
curbe, ca limite de linii poligoanale. Astfel, în (Fig. 3.10.) conturul 𝐴𝐶𝐷𝐸𝐵 este mai lung ca
𝐴𝐹𝐺𝐻𝐼𝐵 .
Fig. 2.10.
Teorema 5. Dintre două coarde ale unui cerc, cea mai lungă este mai apropiată de
centru. Coarda cea mai lungă este diametru cercului.
Astfel, în cercul 𝑂 cu diametru 𝐴𝐵 (Fig. 3.11.), unde coardele 𝐶𝐷 și 𝐸𝐹 se află la
distanțaele 𝑂𝐼 și 𝑂𝐽 de centru așa că 𝑂𝐼>𝑂𝐽, avem 𝐴𝐵>𝐸𝐹 și 𝐸𝐹>𝐶𝐷.
Fig. 3.11.
Teorema 6. Distanța cea mai mică și cea mai mare de la un punct dat la un punct de
pe un cerc, se găsesc pe dreapta care unște punctul dat cu centrul.
Fie 𝑂 cercul și 𝐴 punctul dat. Ducem d reapta 𝐴𝑂 care taie cercul în 𝐵 și 𝐵′ (Fig. 3.12.).
Se vede ișor că 𝐴𝐵 este distanța minimă și 𝐴𝐵′ cea maximă de la 𝐴 la un punct al cercului, fie
că 𝐴 este exterior, fie că este interior cercului, dar în ambele cazuri la stânga lui 𝑂 pe dreapta 𝐴𝑂
din figura noastră. Dacă 𝐴 este pe cerc, distanța minimă estenulă, iar cea maximă este chiar
diametrul cercului. dacă punctul 𝐴 este centrul cercului, problema nu admite nici maxim, nici A B C D
E
F G H
I
E A
B
F J O I D
61
minim, căci toate distanțele de la punct la cerc s unt egale cu raza acestuia. În acest caz, funcția
(distanța de la 𝐴 la un punct al cercuilui) este constantă.
Fig. 3.12
Teorema 7. Distanța maximă și minimă de la un punct al unui cerc la un punct al
altui cerc, sunt pe dreapta care unește centrele celor două cercuri, dacă cercurile nu se taie.
Astfel, dacă cercurile 𝑂 și 𝑂′ (fig. 3.13) au razele 𝑟 și 𝑟′ și distanța centrelor 𝑑, iar dacă
dreapta 𝑂𝑂′ taie cercurile în 𝐴,𝐵 și 𝐵′, 𝐴′ , atunci distanța minimă este 𝐵𝐵′=𝑑−𝑟−𝑟′, iar
distanța maximă este 𝐴𝐴′= 𝑑+𝑟+𝑟′.
Să presupunem că cercul 𝑂 se mișcă pe centrul 𝑂′ și că 𝑟<𝑟′. Când cercurile ajung
tangente exterior, atunci 𝐵 e confundată cu 𝐵′ și distanța minimă este nulă. Distanța maximă
este, în acest caz, 𝐴𝐴′= 2(𝑟+𝑟′).
Când cercurile sunt secante, distanța minimă este tot nulă, ea având loc în punctele 𝑀
și 𝑀′ de intersecție ale celor două cercuri (Fig. 3.14), iar distanța maximă estse tot
𝐵𝐵′= 𝑑+𝑟+𝑟′.
Când cercurile sunt tangente interior, distanța minimă este de asemenea nulă, în punctul
de tangentă, iar distanța maximă 𝐴𝐴′ este cât diametru 2 𝑟′ al cercului cel mare.
Dacă cercul 𝑂 intră în interiorul lui 𝑂, ditanța minimă 𝐴𝐵′=𝑟′− 𝑟−𝑑, iar cea
maximă este tot 𝐴𝐴′= 𝑑+𝑟+𝑟′.[10]
În sfîrșit dac ă cercurile ajung concetrice, distanța minima este peste tot lățimea 𝑟′− 𝑟
a caoardei circulare, iar distanța maximă este 𝑟+𝑟′.
Fig. 3.13. Fig. 3.14.
. 𝑟 A B
𝐵′
A B O 𝑟
𝐵′ 𝐴′ 𝑂′ 𝑟′ 𝐵′
𝑂′ 𝐴′
𝑀′ A M
B
62
3.2.iProbleme rezolvate
Problema 1 :
Se cere să se facă o cutie paralepipedică deschisă sus, știind că dimensiunile gurii trebuie
să se afle într -un anumit raport și că suprafața totală a cutiei trebuie să fie minimă.
Soluției:
Notăm cu 𝑎 și 𝑏 demensiunile gurii și cu 𝑐 înălțimea cutiei și punem 𝑏=𝑎𝑟, 𝑟 fiind
raportul dat. Avem:
𝑆=𝑎𝑏+2𝑏𝑐+2𝑐𝑎=2𝑎𝑐(1+𝑟)+𝑎2.
𝑉=𝑎𝑏𝑐 =𝑎2𝑐𝑟.
Scoatem pe 𝑐 din ec uația a doua și îl ducem în cea dintâi și obținem:
𝑆=2𝑉(1+𝑟)
𝑎𝑟+𝑎2=𝑉(1+𝑟)
𝑎𝑟+𝑉(1+𝑟)
𝑎𝑟+𝑎2𝑟.
Observăm că produsul acestor trei termeni este constanta 𝑉2(1+𝑟)
𝑎𝑟. Minimul sumei are
loc atunci când 𝑉(1+𝑟)
𝑎𝑟=𝑎2𝑟. Deci, obținem:
𝑎3=𝑉(1+𝑟)
𝑟2; 𝑏3=𝑉𝑟(1+𝑟);𝑐2=𝑉𝑟
(1+𝑟)2;
𝑎3𝑏3=𝑉2(1+𝑟)
𝑟;𝑏3𝑐3=𝑉2𝑟2
1+𝑟;𝑏3𝑐3=𝑉2
𝑟(1+𝑟);
𝑎𝑏=(1+𝑟)√𝑉2
𝑟(1+𝑟);3
𝑏𝑐=𝑟√𝑉2
𝑟(1+𝑟);3
𝑐𝑎=√𝑉2
𝑟(1+𝑟);3
𝑆=𝑎𝑏+2𝑏𝑐+2𝑐𝑎=(1+𝑟+2𝑟+2)√𝑉2
𝑟(1+𝑟)3
=3√𝑉2(1+𝑟)
𝑟3
.
Problema 2 :
Se dă un triungi 𝐴𝐵𝐶 și un pun ct 𝑀 pe 𝐵𝐶. Care este poziția lui 𝑀 pentru care 𝐴𝑀2
𝐵𝑀 este
minim?
Soluție: Ducem înălțimea 𝐴𝐷. (Fig. 3.15) avem: 𝐴𝑀2=𝐵𝑀2+𝐴𝐵2±2𝐵𝑀2×𝐵𝐷. Se ia
semnul + dacă unghiul 𝐴𝐵𝑀 este obtuz și semnul – când este ascuțit. Din această relație
deducem: 𝐴𝑀2
𝐵𝑀=𝐵𝑀 +𝐴𝑀2
𝐵𝑀±2𝐵𝐷 .
Fig. 3.15 A
B M D C
63
Ultimul teren este constant și poate fi îndepărtat. Primii doi termeni au produsul constant
𝐴𝐵2, iar suma lor este minimă când termenii sunt egali:
𝐴𝑀2
𝐵𝑀=𝐵𝑀,
de unde 𝐵𝑀2=𝐵𝐴2, sau 𝐵𝑀=𝐵𝐴.
Problema 3 :
Se dă un triunghi 𝐴𝐵𝐶 și un punct 𝐷 fix pe 𝐵𝐶. Între laturele 𝐴𝐵 și 𝐴𝐶 se duce dreapta
𝐸𝐹, paralelă cu 𝐵𝐶. Care este poziția dreptei 𝐸𝐹 pentru care aria triunghiului 𝐷𝐸𝐹 este maximă?
Soluție:
Observăm că aria este nulă când 𝐸𝐹 coincide cu 𝐵𝐶 și când 𝐴 (Fig. 3.16.), iar între
aceste limite este o funcție continuă.
.
Fig. 3.16
Ducem înălțimea 𝐴𝐼, care taie pe 𝐸𝐹 și 𝐽. Asemănarea triunghiurilor 𝐴𝐸𝐹 și 𝐴𝐵𝐶 ne dă:
𝐸𝐹
𝐵𝐶=𝐴𝐽
𝐴𝐼, de unde 𝐸𝐹=𝐵𝐶×𝐴𝐽
𝐴𝐼.
Dacă 𝑆 este aria triunghiului 𝐷𝐸𝐹 , avem :
𝑆=1
2𝐸𝐹×𝐽𝐹=1
2𝐵𝐶×𝐴𝐽×𝐽𝐼
𝐴𝐼.
Dar 1
2, 𝐵𝐶 și 𝐴𝐼 sunt constant, încât este destul să găsim produsul 𝐴𝐽× 𝐽𝐼. Însă suma
factorilor acestui produs este înălțimea constantă 𝐴𝐼 a triunghiului dat și deci, produsul este
maxim când 𝐴𝐽=𝐽𝐼, deci când 𝐹𝐸 trece prin mijlocul înălțimii 𝐴𝐼 sau când 𝐸 este mijlocul lui
𝐴𝐵 iar 𝐹 este mijlocul lui 𝐴𝐶. Maximul căutat este atunci un sfert din aria triunghiului da 𝐴𝐵𝐶 .
Problema 4 :
Dintr -o foaie de cort dreptunghiulară, să se facă un cort deschis la capete, având
capacitatea maximă.
A
B C
D E J F
I
64
Soluție: Presupunem că cortul 𝐴𝐵𝐶 𝐴′𝐵′𝐶′ are 𝐴𝐴′=2𝑎 și 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶=2𝑏 ( Fig. 3.17.) aceasta
fiind dimensiunile date ale foii se cort. Problema se reduce la construirea triunghiului 𝐴𝐵𝐶 , în
care se cunoaște suma a două laturi 𝐴𝐵 și 𝐴𝐶, astfel ca aria lui să fie maximă.
Fig. 3.17.
Simetria ne arată că trebuie șă cautăm capaciatatea maximă la corturile care au la capete
isoscel, deci luăm 𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝑏. Acest triunghi isoscel are aria maximă când <𝐵𝐴𝐶 =90𝑜.
Atunci aria ( 𝐴𝐵𝐶 )=𝑏2
2 capacitatea maximă a cortului va fi 𝑎𝑏2
Problema 5 :
O piramădă regulată are baza unui triunghi echilateral, iar muchiile laterale de o
lungime dată. Să se aleagă mărim ea laturii bazei așa ca volumul piramidei să fie maxim.
Soluție:
Fie 𝑉𝐴=𝑉𝐵=𝑉𝐶=𝑙, muchiile laterale ale piramidei. 𝐴𝐵𝐶 baza, 𝑂 centrul bazei și
𝑀 mijlocul laturii 𝐴𝐵 (Fig. 3.18.). Ducem, teorema celor trei perpendiculare, 𝑉𝑀 este
perpendicul ară pe 𝐴𝐵.
Fie 𝑟=𝑂𝐴 raza cercului circumscris
triunghiului 𝐴𝐵𝐶 . Avem 𝐴𝐵=𝑟√3;aria( 𝐴𝐵𝐶 )=3√3
4𝑟2.
Înălțimea piramidei fiind 𝑉𝑂, avem 𝑉𝑂2=
𝑉𝐴2−𝑂𝐴2=𝑙2−𝑟2, deci volumul piramidei este:
aria ( 𝐴𝐵𝐶 )× 𝑉𝑂
3=3√3𝑟2
4∙√𝑙2−𝑟2
3 .
Partea sa variabilă este 𝑟2 √𝑙2−𝑟2 . Putem
ridica acwastă expresie la pătrat și căutăm maximul lui
(𝑟2 )2(𝑙2−𝑟2), care ne arată cămaximul are loc când
𝑟2=2(𝑙2−𝑟2), sau 3𝑟2=2𝑙2. De unde 𝑙√2=𝑟√3 .
Latura 𝐴𝐵 (adică 𝑟√3) este latura pătratului înscris în cercul cu raza 𝑙, cu alte cuvinte
𝐴𝑉𝐵 =90𝑜. Tot astfel și se vede că și unghiurile 𝐵𝑉𝐶 și 𝐶𝑉𝐴 sunt drepte.
Rezultă că volumul priramidei este maxim când es devine un teraedu tridreptunghic.
Volumul maxim are valoarea 𝑉= 𝑙3
6 .
B A
C
I 𝐵′ 𝐴′
𝐶′ b b 2a
A
B C
M O V
Fig. 3.18
65
Problema 6:
Dintre triunghiurile isoscele circumscrise unui cerc, care este cel cu aria minimă?
Soluție:
În triunghiul isoscel 𝐴𝐵𝐶 , în care 𝐴𝐵=𝐴𝐶 (Fig. 3.19), notăm: 𝐵𝐼=𝐼𝐶=𝑎, 𝐴𝐼=ℎ,
𝑂𝐼=𝑂𝐼′=𝑂𝐷 =𝑟. Triungiurile dreptunghice 𝑂𝐴𝐷 și 𝐶𝐴𝐼 au unghiul din 𝐴 comun, deci sunt
asemenea și avem:
𝑂𝐷
𝐼𝐶=𝐴𝐷
𝐴𝐼 , de unde 𝑟
𝑎=𝐴𝐷
ℎ .
Din 𝐴 pleacă secanta 𝐴𝐼′𝐼 și tangenta 𝐴𝐷, astfel că avem
𝐴𝐷2=𝐴𝐼×𝐴𝐼′=ℎ(ℎ−2𝑟).
Rezultă că: 𝑟2
𝑎2 = ℎ(ℎ−2𝑟)
ℎ2 sau 𝑟2
𝑎2 =ℎ−2𝑟
𝑟,
deci:
𝑟2
𝑎2+2𝑟
ℎ=1
Fig. 3. 19
Aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 este 1
2 𝐵𝐶×𝐴𝐼= 𝐼𝐶×𝐴𝐼=𝑎ℎ. În loc să căutăm minimul acestui
produs, să căutăm maximul inversului său, adică al lui 1
𝑎ℎ, sau al pătratului acestuia, 1
𝑎1ℎ2 , pe
care îl pute m îmulți cu 4𝑟2 și scrie astfel𝑟2
𝑎2: (2𝑟
ℎ)2
. Însă, după cele de mai sus, suma 𝑟2
𝑎2 + 2𝑟
ℎ,
este constantă și deci produsul este maxim cân d 2𝑟2
𝑎2 = 2𝑟
ℎ , ceea ce ne dă ℎ=3𝑟
Înălțimea triunghiului isoscel cu aria minimă are ca lungime întreitul razei.
Problema 7 :
Aflați minimul perimetrului trapezului isoscel circumscris unui cerc dat.
Soluție:
Să fixăm direcția bazelor 𝐴𝐵 și 𝐴′𝐵′ și să presupunem că laturile neparalele (și egale)
𝐴𝐴′ și 𝐵𝐵′ tangente la același cerc, sunt variabile (Fig. 3.20.) . Fie 𝑇 și 𝑇′ punctele lor de contact
cu cercul 𝑂, iar 𝐶 și 𝐶′ proiecțiile centrului 𝑂, iar 𝐶 și 𝐶′ proiecțiile centrului 𝑂 pe 𝐴𝐵 și 𝐴′𝐵′ .
Avem: 𝐴𝑇=𝐴𝐶=𝐵𝐶=𝐵𝑇′ și 𝑇𝐴′=𝐴′𝐶′=
𝐵′𝐶′ = 𝐵′𝑇′ deci 𝑝=4(𝐴𝐶+𝐴′𝐶′), unde 𝑝 este
perimetrul.
A
B C D
. O 𝐼′
l
. O
A D C B 𝐴′ 𝐶′ 𝐵′
T 𝑇′
Fig. 3.20
66
Existența unui minim este evidentă, căci suma din paranteză crește peste orice limită
când 𝐴 se apropie de 𝐶 sau 𝐴′ de 𝐶′.
Fie 𝐷 proiecția lui 𝐴′ зу 𝐴𝐵. Triunghiul 𝐴𝐴′𝐷 ne dă 𝐴𝐴′2=𝐴𝐷2+𝐷𝐴′2, egalitatea
care se mai poate scrie:
(𝐴𝑇+𝐴′𝑇)2=𝐶𝐶′2+(𝐴𝐶)2=(2𝐶𝑂)2+(𝐴𝐶−𝐴′𝐶′)2.
Pe de altă parte avem:
𝑝2
16 =(𝐴𝐶+𝐴′𝐶′)2=𝐴𝐶2+𝐴′𝐶′2+2𝐴𝐶×𝐴′𝐶′
Cum însă
𝐴𝐶+𝐴′𝐶′=𝐴𝑇+𝐴′𝑇,
putem egala cele două rezultate e mai sus și oținem
𝐴𝐶2+𝐴′𝐶′2+2𝐴𝐶×𝐴′𝐶′= 4𝐶𝑂2+𝐴𝐶2+𝐴′𝐶′2−2𝐴𝐶×𝐴′𝐶′ , de unde rezultă că
𝐴𝐶×𝐴′𝐶′ = 𝐶𝑂2. Deoarece produsul acestor factori este constant, rezultă că suma lor este
minimă (deci 𝑝 este minim) atunci când factorii sunt egali2. Dar când 𝐴𝐶= 𝐴′𝐶′, trapezul devine
pătratul circumscris cercului 𝑂.
Problema 8 :
Se dă un triunghi 𝐴𝐵𝐶 și o dreaptă 𝐴′𝐶𝐵′ care se poate roti în jurul punctului 𝐶. Fie 𝐴′
și 𝐵′ proiecțiile punctelor 𝐴 și 𝐵 pe dreapta 𝐴′𝐵′. Care este maximul sumei celor două proiectante
𝐴𝐴′ și 𝐵𝐵′?
Soluție:
Fie 𝐼 mijlocul lui 𝐴𝐵 și 𝐼′ proiecția lui 𝐼 pe 𝐴′𝐵′
din figura (Fig. 3.21.). Avem 𝐼𝐼′= 1
2 (𝐴𝐴′+𝐵𝐵′).
Ducem dreapta 𝐶𝐼. În triunghiul dreptunghic 𝐶𝐼′𝐼, în care
ipotenuza 𝐶𝐼 este fixă, iar cateta 𝐼𝐼′ variază, perpndiculara
𝐼𝐼′ este mai scurtă decât oblica 𝐶𝐼. Așa dar, suma
proiectantelor este maximă când dreapta 𝐴′𝐵′ este
perpendiculară pe mediana dusă din vârful 𝐶.
A I B
Fig. 3.21
67
Problema 9 :
Care este dreptunchiul cu aria maximă înscris într -un semicerc și cu baza așezată pe diametrul
acestuia?
Soluție:
Fie 𝐴𝐵 dismetrul și 𝐶𝐷𝐸𝐹 dreptunghi înscris
(Fig. 3.22.) cu înălțimea 𝐷𝐸=ℎ. Ducem raza 𝑂𝐸 în
triunghiul 𝑂𝐷𝐸 – deducem 𝑂𝐷 =√𝑟2−ℎ2, unde am notat
cu 𝑟 raza semicercului. Notând cu 𝑆 aria dreptunghiului,
obținem:
𝑆=𝐶𝐷×𝐷𝐸=2ℎ√𝑟2−ℎ2,𝑆2=4ℎ2(𝑟2−ℎ2).
Însă suma factorilor ℎ2 și 𝑟2-ℎ2 fiind constanta 𝑟2,𝑆2 va fi maxim când ℎ2= 𝑟2
2 sau
ℎ=𝑟 √2
2. Latura 𝐸𝐹 devine atunci latura pătratului înscris în cerc. Dreptunghiul este o jumătate
din acel pătrat. Rezultă că 𝑆=𝑟2.
A C O D B F E
I
T h
2O sol uție mai simplă rezultă de mai sus. Perimetrul este minim odată cu pătratul său. Dar 𝑝2
16 = (𝐴𝑇+𝐴′𝑇)2=
4𝐶𝑂2+(𝐴𝐶−𝐴′𝐶′ )2este evident minim când 𝐴𝐶=𝐴′𝐶′ , deoarece 4 𝐶𝑂2 este constant . Fig. 3.22
68
Concluzii
Probleme de minim și maxim geometric oferă elevilor soluții practice în multe
împrejurări Una din principalele cerințe ale studierii matematicii constă în aplicarea în practică
a cunoștințelor teoretice. Aceasta se manifestă în primul rând prin capacitatea de a rezolva
probleme. Deprinderile de a rezolva probleme geometrice reprezintă un criter iu de apreciere a
gradului de însușire a cunoștințelor geometrice. Aceste deprinderi pot fi formate doar în
rezultatul rezolvării a unui număr cât mai mare de probleme. Pentru a educa la elevi dorința de
a rezolva probleme geometrice apar un șir de cerințe referitor la alegerea problemelor pentru a
fi propuse a fi rezolvate de către elevi. Acestea pot fi din practică, din natură, din viața
cotidiană, să fie interesante, atractive etc.
În teza de master am realizat probleme geometrice referitoare la determin area valorilor
extreme pe cale elementară ce pot fi rezolvate prin diferite metode elementare ca: folosirea
inegalităților și a funcțiilor trigonometrice, aplicarea proprietăților trinomului pătrat etc .,
soluția pe care o propune geometria elementară unor probleme de maximum și de minimum sunt
uneori foarte simple sau de o frumusețe deosebită,
Realizarea tezei de master a avut la bază următoarel e etape:
1) am expus conținutul tezei într -o formă cît mai explicită ;
2) am anlizat, teoreme fundamentale ale analizei matematice ;
3) am realizat metode de rezolvare a problemelor geometrice ;
4) am aplicat probleme de maxim și minim rezolvate ;
5) am elaborat concluzii;
La aplicarea acestor etape am expus diferite probleme de maxim și minim spre
rezolvare .
Scopul acestei lucrări s-a realizat de a fi un material de folos elevilor în cursul liceal,
regăs induse metode algebrice, analiză matematică, geometrie pentru aflarea unor soluții optime,
și aplicarea în diferite domenii.
Fiecare problemă rezolvată de către elev reprezintă o mică descoperire. Astfel, învățarea
prin descoperire denotă un mai mare grad de eficiență intelectuală, cultivă o motivație interioară
a învățării.
Învățarea matematicii exersează gândirea, antrenează capacitatea de organizare logică a
ideilor, întărește a tenția și mărește puterea de concentrare în intensitate și durată, antrenează
memoria logică, dezvoltă un ascuțit simț critic constructiv și gustul pentru obiectiivitate și
precizie.
69
BIBLIOGRAFIE
1. D.M. Bătinețu -Giurgiu, Probleme la olimpiadele de matematică pentru licee (1950 -1990),
București, Editura științifică, 1992.
2. C. Floreanu, V. Hagioglu, “Algebra și Elemente de analizămanual pentru clasele 10 -11
ediția II -a”, Chișinău, Editura Lumina, 1994.
3. C. Udriște, V. Tomuleanu, “Geometrie anual pentru clasa a XI -a”, București, Editura
Didactică și pedagogică, 1989.
4. M. Manolache, A. Manolache, “ Geometrie. Probleme rezolvate ”, București, Editura
Niculescu SRL, 1999.
5. L. Aramă, T. Morozan, “Probleme de calcul diferențial și integral”, București, Editura
tehnică, 1978.
6. I. Ionescu, “Maxime, și minime geometrice” , București , Editura Tehnică.
7. E. Dumitrașcu, I. Dascăscălău, „ Matematică , geometrie, trigonometrie ”, București,
Editura ROTECH PRO, 1997.
8. D. V. Botnaru, L. A. Șișineanu, „Derivata funcțiile și aplicațiile ei”, Chișinău, Editura
Lumina, 1988.
9. L. Nicolescu, V. Boskoff, „ Probleme practice de geometrie ”, București, Editura Tehnică
1990.
10. C. И. „Туманов поиск решения задачи ”, Просвещуние, 1968.
11. I. A chiri, „ Matematica cl. XI -a”, Editura Prut Internațional, 2014.
12. https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/88 -97_0.pdf
13. https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/32 -43_1.pdf
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Catedra Informatică și Matematică [613216] (ID: 613216)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.