Catedra de matematic a si informatic a [610613]

Universitatea de Stat ,,Alecu Russo" din B alt i
Facultatea de S tiint e Reale, Economice  si ale Mediului
Catedra de matematic a  si informatic a
Teza de an la matematic a
Aplicat iile numerelor complexe
A elaborat: studenta grupei MI31Z
Damian Corina
Coordonator  stiint ic: conf. univ., dr.
Ga sit oi Natalia
B alt i, 2019

CUPRINS
Scurt istoric 3
1. Not iuni generale 7
1.1. Reprezentarea algebric a a numerelor complexe. Operat ii cu numere complexe. . . . . 7
Bibliograe 8
2

Scurt istoric
Not iunea de num ar complex poate  denit a ca o pereche ordonat a de numere reale ( x;y) sau
ca numerele de forma x+iy,x;y2R^ ns a chiar dac a pare a  o denire simpl a, istoria dezvolt arii
numerelor complexe este pe departe de a  simpl a.
^In vremea Rena sterii, matematicienii considerau c a au descoperit toate numerele. Ei le reprezentau
pe o ax a innit de lung a care avea num arul 0 ^ n centru. Numerele ^ ntregi erau situate la distant e
egale unul fat  a de altul, cele negative la st^ anga originii p^ an a la 1 , iar cele pozitive la dreapta
originii p^ an a la + 1. Respectiv, fract iile ocupau spat iile dintre numerele ^ ntregi, iar cele irat ionale
dintre fract ii.
Figura 1.1. Axa numerelor reale.
Conceptul de num ar nou a ap arut la rezolvarea unei probleme practice. S i anume, spre mirare,
numerele complexe au ap arut la necesitatea rezolv arii ecuat iilor cubice  si nu a celor p atrate.
Cea mai veche referire la r ad acinile p atrate ale numerelor negative a ap arut ^ n lucrarea lui Heron
din Alexandria, ^ n jurul anului 60 d. Hr., care le-a depistat calcul^ and volumele corpurilor geometrice.
Aproximativ 200 de ani mai t^ arziu, Diophantus, ^ n jurul anului 275 d. Hr., a propus o problem a
simpl a ^ n geometrie:
De determinat laturile unui triunghi dreptunghic cu perimetrul de 12 cm2 si aria de 7 cm2.
Reprezent am triunghiul ^ n Figura 1.2. . Pentru a rezolva aceast a problem a, vom considera
jABj=x,  si ^ n alt imeajBCj=h, deci:
aria =1
2
x
h
perimetrul =x+h+p
x2+h2
Figura 1.2. Problema propus a de Diophantus.
Pentru a a
a xtrebuie s a g asim solut iile ecuat iei:
6×243x+ 84 = 0:
Avem:

= 4324
6
84 = 18492016 =167;
<0
3

Rezult a c a aceast a ecuat ie nu are r ad acini reale.
O problem a asem an atoare a studiat^ n anul 1545 Girolamo Cardano (n. 24 septembrie 1501, Pavia-
d. 21 septembrie 1576, Roma) – un matematician, lozof  si medic italian din perioada Rena sterii.
Girolamo Cardano  si-a propus s a g aseasc a numerele a sibcare satisfac egalit at ile:
a+b= 10
a
b= 40
Rezolv am sistemul de ecuat ii:(
a+b= 10
a
b= 40)(
a= 10b
(10b)
b= 40)(
a= 10b
b210b+ 40 = 0
Determin am solut iile lui brezolv^ and ecuat ia de gradul 2:
b210b+ 40 = 0;

= (10)24
1
40 = 100160 =60;
<0
b1=10+p60
2=2(5+p15)
2= 5 +p15:
b2=10p60
2=2(5p15)
2= 5p15:
8
><
>:a= 10b"
b= 5 +p15
b= 5p15)2
66664(
a= 10b
b= 5 +p15(
a= 10b
b= 5p15
Deci aceste ecuat ii sunt satisf acute pentru b= 5 +p15  sib= 5p15 , de unde reiese c a
a;b =2R. Cardano nu a considerat acest r aspuns bun,  si a considerat c a ^ n cazul ecuat iei cubice,
r ad acinile p strate a numerelor negative trebuie s a e luate ^ n calcul. Solut ia lui Girolamo Cardano
pentru ecuat ia cubic a x3+ax+b= 0 a fost:
x=3r
b
2+q
(b
2)2+ (a
3)3+3r
b
2q
(b
2)2(a
3)3
C^ at iva ani mai t^ arziu, un alt matematician italian Rafaello Bombelli studia r ad acinile ecuat iei:
x315x4 = 0, iar utiliz^ and formula lui Cardano a obt inut:
x=3r
4
2+q
(4
2)2+ (15
3)3+3r
4
2q
(4
2)2(15
3)3=3p
2 +p4125 +3p
2p4125 =
=3p
2 +p122 +3p
2p121.
El s-a g^ andit c a dac a ace sti doi radicali difer a doar printr-un semn, deci  si r ad acinile lor difer a
printr-un semn. Astfel, a pus c a :
3p
2 +p122 =a+p
biar3p
2p121 =ap
b.
El a dedus c a a= 2  sib= 1  si a ar atat c a:
3p
2 +p121 +3p
2p121 = 2 +p1 + 2p1 = 4
4

Bombelli a comentat acest lucru astfel: ,,La ^ nceput, acest lucru mi se p area c a se bazeaz a mai
mult pe absurditate dec^ at pe adev ar, dar am c autat p^ ana am g asit dovezile."
^In anul 1572, ^ n c art ile sale ,,Algebra", Bombelli a introdus un nou simbolp1 saui,  si a stabilit
regulile pentru numerele complexe:
(1)i=i;
(+i)(+i) =1;
(i)(+i) = +1;
(1)(i) =i;
(+i)(i) = +1;
(i)(i) =1;
 si alte reguli.
El a stabilit, de asemenea, aceste reguli  si pentru exemplele care implic a adunarea  si ^ nmult irea
numerelor complexe, cum ar :
8i+ (5i) = 8i5i= +3i:
3p
4 +p
2i
3p
3 +p
8i=3q
(4 +p
2i)(3 +p
8i) =3p
12 + 4p
8i+ 3p
2i+p
16i2=
=3p
12 + 8p
2i+ 3p
2i+ 4i=3p
12 + 11p
2i+ 4i
Bombelli a pus astfel piatra de temelie a teoriei numerelor complexe. ^Ins a timp de 2 secole jumate
au existat multe ^ ndoieli cu privint  a la semnicat ia  si legitimitatea numerelor complexe.
^Inc a din 1620, Albert Girard a sugerat faptul c a ecuat ia de gradul npoate avea nr ad acini. Iar
Rene Descartes, ^ n 1637, folose ste pentru prima dat a termenul imaginar , pentru a- si re
ecta obsevat ia:
,,Pentru ecare ecuat ie de gradul n, ne putem imagina nr ad acini care nu corespund niciunei cantit at i
reale."
Dup a Descartes, mult i matematicieni au utilizat numerele complexe, de exemplu: Bernoulli,
Moivre, Euller, Gauss  s.a.
O alt a problem a ^ nt^ alnit a const a ^ n faptul c a numerele imaginare nu ^  si g aseau locul pe axa
numerelor reale la fel cum celelalte numere. Solut ia a fost dat a de c atre John Wallis care d a o
interpretare geometrica num aruluip1.
Astfel se creeaz a o ax a separat a a numerelor imaginare, care este perpendicular a pe cea real a,  si
o intersecteaz a ^ n O.
Figura 1.3. Planul complex.
5

O istorie la fel de interesant a o creeaz a controversa dintre matematicienii Leibniz  si Bernoulli.
Leibniz considera c a log i= 0 , deoarece:
log (1)2= log(1)2
2 log (1) = 2 log 1 = 0
0 = log (1) = log (i)2= 2 logi
logi= 0:
Iar Bernoulli opta pentru faptul c a log i=i
2:Aceast a identitate rezult a din identitatea lui Euler:
ei=1:Deci:
log (1) =i
logi=1
2log (1)
logi=i
2:
Aceast a problem a a fost ulterior rezolvat a corect de c atre Leonhard Euler utiliz^ and funct ia invers a
celei exponent iale, adic a funct ia logaritmic a.
logi= lnjij+iargi= ln 1 +i(argi+ 2k) = 0 +i(
2+ 2k) =i(
2+ 2k);k2Z:
Numerele de forma x+iyundex siysunt numere reale, au c ap atat ^ n 1828, prin Kerl Fridrich
Gauss (1777-1855), denumirea de numere complexe (lat.: complexus – cuprinz ator).
Aceste numere au fost folosite mai apoi ^ n diferite domenii, spre exemplu: de Johann Lambert
pentru proiectarea h art ilor, de Jean D'Alembert ^ n hidrodinamic a,  si de Euler, D'Alembert si Joseph-
Louis Lagrange ^ n dovezile incorecte ale teoremei fundamentale a algebrei.
Mult imea numerelor complexe a ap arut ca o extindere a mult imii numerelor reale astfel ^ nc^ at
orice ecuat ie algebric a de grad ncu coecient i reali s a aib a nr ad acini. De aceea, acum av^ and mai
multe posibilit at i, matematicienii au exploatat numerele imaginare, folosindu-le pentru a a
a solut ii
la problemele de alt adat a f ar a solut ii.
Deci putem s a arm am c a numerele imaginare adaug a literalmente o nou a dimensiune matematicii.
6

1. Not iuni generale
1.1. Reprezentarea algebric a a numerelor complexe. Operat ii cu numere
complexe.
Mai sus am ment ionat faptul c a numerele complexe pot  private ca o pereche ordonat a de numere
reale. Deci, un num ar complex poate  denit astfel:
Se nume ste num ar complex zo pereche ordonat a z= (x;y), undex siysunt numere reale. [5
pag. 5]
^In matematic a, numerele complexe sunt srise sub forma z=x+iy, numit a form a algebric a .
Num arulxse nume ste partea real a a num arului z=x+iy,  si se noteaz a cu Rez, iaryse nume ste
partea imaginar a a luiz si se noteaz a cu Imz. Iar mult imea numerelor complexe se va nota cu C,
deciC=fx+iyjx;y2Rg. [7 pag. 165]
Init ial am ment ionat c a perechea ( x;y) este ordonat a. Motivul pentru care spunem pereche
ordonat a este c a aceast a pereche este privit a ca un punct ^ n plan. Spre exemplu, punctul (2 ;3) nu
este acela si ca  si (3 ;2). Deci ordinea ^ n care sunt scrise numerele x siyconteaz a. ^In acest context,
ment ion am  si faptul c a dou a numere complexe z1= (x1;y1)  siz2= (x2;y2) sunt egale dac a  si numai
dac a:x1=x2 siy1=y2. [5 pag. 5]
Num arul de forma a+ 0ise identic a cu num arul real a. Prin urmare, mult imea numerelor reale
este o submult ime a mult imii numerelor complexe RC. Num arul de forma 0+ bi,b6= 0, se nume ste
pur imaginar  si se noteaz a bi. Num arul complex i= 0+1ise nume ste unitate imaginar a . [7 pag.
165]
^In mod specic, pe mult imea numerelor complexe, ca  si pe mult imea numerelor reale, sunt denite
operat iile de adunare, sc adere, ^ nmult ire  si ^ mp art ire cu orice num ar complex, cu except ia lui zero.
Se vor p astra toate legile cu care suntem obi snuit i, cum ar  comutativitatea, asociativitatea  si
distributivitatea. [4 pag. 1]
Operat iile de adunare, sc adere  si ^ nmult ire a numerelor complexe se vor deni ^ n modul urm ator:
(x1+iy1) + (x2+iy2) = (x1+x2) +i(y1+y2);
(x1+iy1)(x2+iy2) = (x1x2) +i(y1y2);
(x1+iy1)
(x2+iy2) =x1x2+ix1y2+ix2y1+i2y1y2= (x1x2y1y2) +i(x1y2+x2y1):
Observ am c a de fapt sunt respectate regulile de lucru cu binoamele, iar i2=1:
La fel de simplu se dene ste  si ^ mp art irea unui num ar complex la un num ar real:
(x+iy) :a= (x+iy)
1
a=x
a+iy
a:[1 pag. 8]
7

BIBLIOGRAFIE
1. Michel Goossens, Frank Mittelbach, and Alexander Samarin. The LATEX Companion . Addison-
Wesley, Reading, Massachusetts, 1993.
2. Albert Einstein. Zur Elektrodynamik bewegter K orper . (German) [ On the electrodynamics of
moving bodies ]. Annalen der Physik, 322(10):891921, 1905.
3. Knuth: Computers and Typesetting,
http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/abcde.html
4. Simon Singh. Fermat's Last Theorem . (English) [ On the electrodynamics of moving bodies ].
Annalen der Physik, 322(10):891921, 1905.
8