Cartografie 1, Timis 16 [622465]

1 Universitatea “Politehnica” din Timișoara
Facultatea de Construcții
Specializarea : Măsurători Terestre și Cadastru
Anul: III
Curs: Cartografie 1

Cursul nr. 1
Noțiuni generale de cartografie matematică

1.1 Introducere

Obiectul de studiu al cartografiei îl constituie pe de o parte reprezentarea suprafeței curbe
a Pământului pe o suprafață plană (harta) , iar pe de altă parte modalitățile de utilizare a
hărților în diferite scopuri științifice și practice.
Cartografia este știința care se ocup ă cu studiul h ărților privind con ținutul, metodele și
procesele tehnologice de redactare, întocmire și reproducere în tiraj .
La începuturile sale, cartografia făce a parte integrală din geografie, deoarece aceasta se
ocupa nu numai cu descrierea suprafeței Pământului, ci și cu reprezentarea ei în plan. Cu
timpul a devenit o știință aparte cu mai multe ramuri:
 cartografia matematică – studiază baza matematică a hărțil or. Prin intermediul
cartografiei matematice se stabilesc relațiile funcționale între coordonatele punctelor de pe
suprafața terestră și coordonatele punctelor corespunzătoare din plan sau hartă ;
 cartologia – se ocupă cu studiul metodelor de reprezentare a elementelor de pe
suprafața terestră pe hărți;
 întocmirea hărților – este ramura care studiază metodele necesare pentru
confecționarea originalului hărții;
 editarea hărților – studiază metodele și procedeele tehnice de editare a originalului
hărții și de multiplicarea acestuia;
 cartometria – se ocupă cu studiul instrumentelor și metodelor necesare diferitelor
măsurători ce se pot efectua pe planuri și hărți.
Reprezentarea în plan a unei porțiuni din suprafața terestră se efectuează prin alegerea
unui siste m de proiecție adecvat scopului și destinației hărții sau planului topografic ce
urmează a se întocmi.
Realizarea acestor lucruri necesită executarea unor măsurători terestre, lucru care aduce la
interdisciplinarea ei cu alte științe cum ar fi:
 geodezia – știința ce se ocupă cu studiul formei și dimensiunii Pământului ;
 topografia – o ramură a geodeziei care se ocupă cu studiul măsurătorilor terestre ;
 științele matematice – matematica și fizica .
Proiectarea unei hărți necesită cunoașterea unor elemente speci fice proiecțiilor și anume:
 planul de proiecție – reprezintă suprafața pe care se face proiectarea unei porțiuni de
teren pe elipsoidul de referință. Aceste planuri sunt suprafețe plane tangente sau secante la
suprafața de reprezentat sau sunt suprafețe de sfășurabile, în cazul cilindrului și conului;
 punctul central al proiecției – este punctul care se află în centrul suprafeței de
reprezentat. Acest punct poate să fie materializat pe teren și determinat prin măsurători
geodezice sau poate să fie fictiv;
 rețeaua geografică – este constituită dintr -un ansamblu de paralele și meridiane;
 rețeaua cartografică – este rețeaua formată din linii curbe sau drepte, rezultate din
proiecția în plan a meridianelor și paralelelor. Cu ajutorul acestei rețele se pot efectua diferite
măsurători pe hartă, se pot determina coordonatele geografice ale unor puncte geodezice;

2  rețeaua (kilometrică) rectangulară – este formată din linii drepte și paralele cu
sistemul de axe rectangulare din proiecția aleasă.

Utilizând măsurătorile terestre, cartografia reprezintă în plan elementele suprafeței terestre
pentru ca în final să rezulte harta utilizată în majoritatea cercetărilor topografice, geografice și
geologice.

1.2 Parametrii de bază ai elipsoidului de rotație

Elipsoidul pământesc a fost considerat ca un elipsoid de rotație a cărei suprafață rezultă
prin rotația unei elipse în jurul axei mici a acesteia , care se presupune că este comună cu axa
PP' a Pământului.
Ecuația elipsoidului de rotație în coordonate rectangulare, raportată la centrul său este de
forma :

2 2 2
22X +Y Z+ =1ab

unde axa z coincide cu axa de rotație
Pentru determinarea unui elipsoid este suficient să cunoaștem elementele elipsei meridiane
prin rotirea căreia s -a format elipsoidul.

Fig.1 .1. Elipsa meridiană raportată la un sistem de axe
de coordonate carteziene xOy

Ecuația elipsei meridiane este :

22
2210xy
ab  

unde : – a este semiaxa mare a elipsoidului (ecuatorială)
– b este semiaxa mică a elipsoidu lui (po lară)
Alți parametrii care definesc elipsa meridiană sunt:
C Y
P
P' E’ E O
x r
C' X φ φ φ+900

3
aba – turtirea elipsoidului

22
22 2
21ab
abae 
– prima excentricitate a elipsei meridiane

1 '22
22 2
2ba
bbae
– a doua excentricitate a elipsei meridiane

Pentru det erminarea elipsei meridiane este necesar să se cunoască doar doi dintre cei cinci
parametrii, iar unul dintre ei trebuie să fie liniar.
Legătura dintre coordonatele X,Y ,Z și x, y este dată de relațiile:
cos
sinXx
Yx
Zz




Pentru diferiți elipsoizi de referință utilizați în România sunt date în tabelul de mai jos
valorile parametrilor a și α:
Tabelul 1.1
Elipsoidul
de referință Anul
determinării Semiaxa mare
a[m] Τurtirea
α Perioada de
utilizare în
România
Bessel 1841 637739 7.115 1:299.1528 1873-1916
Clarke 1881 6378243.000 1:293.5 1916-1930
Hayford 1909 6378388.000 1:297.0 1930-1951
Krasovski 1940 6378245.000 1:298.3 1951 -prezent
WGS -84 1984 6378137.000 1:298.257223563
Parametri elipsoidului Krasovski 1940:
a = 6378 245.00000w 6 = 6356863.01877
α = 1/298.3 = 0.003352329869
e2 =0.006693421623 e'2 =0.006738525415

1.3 Coordonatele hărților

Pe hărțile topografice găsim două sisteme de coordonate, un sistem rectangular și un
sistem de coordonate geografice.
Coordonatele geo grafice sunt latitudinea și longitudinea.
Latitudinea (φ) este unghiul format de normala dusă în punctul dat, cu planul ecuatorului
și se măsoară de la ecuator spre nord având valori pozitive sau spre sud având valori negative.
La ecuator avem φ = 00 , iar la poli φ = ± 900.
Longitudinea (λ) este unghiul diedru format de planul ce trece prin meridianul punctului
dat. Longitudinea se măsoară de la meridianul origine spre est având valori pozitive sau spre
vest având valori negative.
Pe plan internațional se consideră ca meridian origine, meridianul Greenwich.
Latitudinea și longitudinea determină poziția unui punct pe suprafața elipsoidului sau
sferei.

4

Fig. 1.2. Coordonate geografice pe elipsoid ( φ,λ )

Colatitudinea (ψ) este co mplementul latitudinii. Se definește ca fiind unghiul format de
axa polilor cu verticala locului în punctul considerat. Valoarea ei se calculeaza în funcție de
latitudine ψ= 90° – φ .
Sistemului de coordonate geografice (φ,λ) i se asociază o rețea de linii d e coordonate formată
dintr -o familie de paralele obținute pentru φ = const. și o familie de meridiane pentru
λ= const.
Pe elipsoid, paralelele sunt cercuri ale căror plane sunt perpendiculare pe axa polilor PP', iar
meridianele sunt jumătăți de elipsă car e trec prin polii P și P'.

Fig. 1.3. Rețea de meridiane și paralele pe elipsoid

Coordonatele rectangulare sunt valori ce stabilesc pozițiile pe hartă ale unor detalii din
teren. Aceste coordonate se notează cu X și Y și reprezintă depărtarea punctului dat față de un
sistem de axe. Axa XX ’ se numește abcisă, iar YY ’ se numește ordonată; punctul de
intersecție O se numește originea sistemului de coordonate.
În topografie axa abciselor coincide cu linia meridianului care trece prin punctul de
origine al s istemului, iar drept direcție a acestei axe se ia direcția nord.
Y
X P
P’ E E’ O O’ r A
B 
 
 C

5

Fig. 1. 4. Coordonate rectangulare

Pe hărțilr topografice coordonatele rectangulare ale oricărui punct pot fi determinate cu
ajutorul rețelei kilometrice.

6 Cursul nr.2
SISTEME DE COORDONATE

1.4. Sisteme de coordonate utilizate pe sferă

Sfera este corpul mărginit de o suprafață curbă închisă ale cărei puncte sunt egal depărtate de
un punct interior numit centru.
Zona sferică este porțiunea din suprafața sferei cuprinsă între do uă secțiuni plane.
Calota sferică este partea din suprafața sferei rezultată din intersecția unui plan cu sfera.
Trapezul sferic este porțiunea de pe sfera terestră delimitată de două meridiane și două
paralele.
Fusul sferic este porțiunea de pe sfera tere stră cuprinsă între d ouă meridiane.

1.4.1 Coordonate geografice

Există situații, în cartografia matematică, când suprafața terestră este considerată sferă de rază
R. Această variantă presupune utilizarea unor formule de calcul simplificate deoarece
supra fața sferei este mai simplă decât cea a elipsoidului.

Fig.1. 5 Coordonate geografice pe sferă

Latitudinea  este unghiul format de normala AA’ la sferă în punctul dat cu planul
ecuatorului.

Latitudinea se măsoară de la ecuator spre nord sau spre sud și ia valori cuprinse între [-900,
+900]. Pentru emisfera sudică valorile latitudinilor sunt cuprinse în intervalul [-900, 00], iar
pentru emisfera nordic ă între [00, +900]. La polul nord (PN) latitudinea are valoarea  = +9 00,
la Ecuator  = 00 iar la polul sud (PS)  = -900.

Longitudinea  este unghiul diedru format de planul ce trece prin meridianul origine cu
planul ce trece prin meridianul punctului dat.

7 Ca meridian origine ales în accepțiune internațională se folosește meridianul Greenwich.
Longitudinile se măsoară de la meridianul origine spre vest și spre est și au valori cuprinse în
intervalul [-1800, +1800]. Pentru partea vestic ă valorile sunt cuprinse în intervalul [-1800,00]
iar pentru partea estică între [00, +18 00].
Sistemului de coordonate geografice i se asociază o rețea de linii de coordonate formată dintr –
o familie de paralele obținute pentru  = const. și o familie de meridiane pentru  = const.

Fig.1. 6 Rețeaua de meridian e și paralele pe sferă

1.4.2 Coordonate sferice polare

Dacă se consideră punctul Q de coordonate 0 și 0 ca pol al sistemului de coordonate sferice,
poziția unui punct oarecare de pe suprafața sferei se determină cu ajutorul distanței zenitale z
si a unghiului azimutal A.
În cazul suprafeței sferice a Pământului meridianele și paralelele sunt înlocuite de verticaluri
și almucantarate.
În acest caz meridianelor le vor corespunde cercuri mari de pe suprafața sferei. Planele
corespunzătore acestora nu v or trece prin diametrul ce reprezintă axa polilor ci printr -un alt
diametru. Aceste cercuri și corespondentele lor de pe hartă se numesc verticaluri .
Paralelelor le corespund cercuri mici iar planele lor sunt perpendiculare pe diametrul
corespunzător verti calurilor. Aceste cercuri și corespondentele lor de pe hartă se numesc
almucantarate .
Verticalurile și almucantaratele sunt linii de coordonate ale sistemelor de coordonate sferice
polare.

8

Fig. 1.7 Rețeaua de verticaluri și almucantarate pe sferă

Poziția unui punct de pe suprafața Pământului e determinată dacă se cunosc coordonatele
geografice φ și λ.
Poziția aceluiași punct poate fi determinată și cu ajutorul altor elemente: distanța zenitală și
unghiul azimutal.

Fig. 1. 8 Coordonate sferice polare
Unghiul azimutul (azimutul) A este este unghiul format de meridianul polului Q 0 și
cercul mare care trece prin punctele Q 0 și B.
Azimutul variază de la 0° la 360°.
Distanța zenitală z este mărimea in grade a arcului de cerc mare Q 0 B, sau este egală cu
mărimea unghiului cu vârful in centrul sferei făcut de razele care trec prin punctele Q 0 și B.
Distanța zenitală variază de la 0° la 180°.
În funcție de valoarea φ o a polului Q 0 al proiecției, se obțin trei tipuri de sisteme de
coordonate sferice polare:
– φo=±90o polul Q 0 corespunde cu unul din polii geografici și se va obține un sistem de
coordonate normale;

9 – φo=0 ne aflăm pe ecuator, polul Q 0 se va afla pe un punct oarecare de pe ecuator și se va
obține un sistem de coordonate transversal;
– φo=0-90o Q0 se află între ecuator și pol și se va obține un sistem de coordonate oblic.

1.5 Raze de curbură ale elipsoidului terestru. lungimi de arce de meridian și paralel

1.5.1 Raze de curbura ale elipsoidului terestru

Prin orice punct de pe elipsoid se pot duce mai multe plane secante. Toate se numesc
secțiuni normale. În cartografie se folosesc razele de curbură ale secțiunilor normale.
Fie M raza de curbură a elipsei meridiane î ntr-un punct A de latitudine φ .

Fig.1.1 2
În funcție de elementele elipsoidului și de latitudinea punctului A considerat, raza de
curbură M se calculează cu formula:
32) 1(
we aM

unde
) sin 1(2 2 e w
Se cons ideră normala AB la elipsoid în punctul A. Fie paralelul ce trece prin punctul A,
care are împreună cu secțiunea primului vertical o tangentă comună pe care o notăm cu T.
Raza de curbură a paralelului ce trece prin punctul A este dată de relația :

cosNr ,
unde N este raza de curbură a primului vertical în punctual A,
φ este latitudinea punctului A.
A Y
O ds
X φ
dφ A' dx
M

10

Fig.1.1 3
Dar
waNwaxr cos
Facem raportul
MN și obținem :
22 2
22 2 2
22 2
22
23
1cos11cos 1
1sin 1
1) 1( ee
eee
ee
ew
e aw
wa
MN
  

Deci
MN
La poli unde
090 avem
21eaMN
 , iar la ecuator unde
00 rezultă
) 1(2e a M
și
aN .
Raza medie de curbură Gauss se notează cu R ș i se determină cu relația :
NM R

1.5.2 Lungimi de arce de meridian și paralel

Arce de meridian

Arcul de meridian infinit mic este dat de:

dsm = Md 1.18 A Y
P
P' E' E O
N r
X φ φ
B A' T

11

Fig.1.1 4 Arc de meridian

Arcul de meri dian de lungime finită se calculează cu relația:
(sm)1,2 = (s m)0,2 – (sm)0,1 1.19

unde:
(sm)1,2 – arcul de meridian între latitudinile 1 si 2;
(sm)0,2 – arcul de meridian de la Ecuator la latitudinea 1;
(sm)0,1 – arcul de meridian de la Ecu ator la latitudinea 2.

Arce de paralel

Lungimea arcului de paralel infinit mic ds p dintre două puncte se calculează cu relația:

dsp = rd

Fig. 1.1 5 Arce de paralel

Arcul de paralel finit se calculeaza cu rela tia:

12 (sP)1,2 = r(2 – 1)rad

(sP)0
1,2 = r(2 – 1)0/0
(sP)’
1,2 = r(2 – 1)’/’
(sP)”
1,2 = r(2 – 1)”/”

unde:
0 = 570,29578
’ = 3 437’,7468
” = 206 264”,806

Notă
Noțiuni importante:
 Elipsoidul de referință, adică elipsoid ul folosit la un moment dat, într -o țară sau în
mai multe țări, pentru rezolvarea problemelor geodezice este un elipsoid de rotație cu turtire
mică la poli.
 Pentru determinarea unui elipsoid este suficient să cunoaștem elementele elipsei
meridiane prin rot irea căreia s -a format elipsoidul.
 Parametrii care definesc elipsa meridiană sunt:
– semiaxa mare
– semiaxa mică
– turtirea
– prima excentricitate
– a doua excentricitate
 Coordonate geografice pe elipsoid
 Coordonate rectangulare
 Coordonate geografice (φ,λ )
 Coordon ate sferice polare
 Raze de curbură ale elipsoidului terestru
 Lungimile arcelor de meridian și de paralel ale elipsoidului

13 Cursul nr. 3
2 . NOȚIUNI PRIVIND REPREZENTAREA ELIPSOIDULUI ȘI
A SFEREI PE PLAN

2.1 Ecuațiile hărții
Pentru întocmirea hărților, suprafața elipsoidului terestru sau a sferei se reprezintă pe plan cu
ajutorul proiecțiilor cartografice. Acesată reprezenta re se face pe baza rețelei de meridiane și
paralele (sau a altor linii).
Reprezentarea pe plan trebuie să fie continuă sau neîntreruptă, adică oricărui punct
A((p,X) de pe suprafața elipsoidului sau a sferei, trebuie să -i corespundă în plan un punct
A'(x,y ), determinat de exemplu în sistemul xOy.
Reprezentarea pe plan a unei porțiuni sau a întregii suprafețe terestre se exprimă prin ecuațiile
hărții:
x = f 1(φ,λ) (2.1)
y = f 2(φ,λ)
unde fi și f2 sunt două funcții finite și continue într -un domeniu de variație al argumentelor cp și
X. Funcțiile fi și f2 pot fi determinate concret din condițiile puse reprezentării, astfel încât
fiecărui sistem de proiecție îi sunt proprii ecuațiile hărții .
La reprezentarea suprafeței terestre pe plan, în orice proiecție, liniile, ariile și unghiurile, în
general vor suferi unele modificări, adică se vor deforma. Mărimile deformațiilor servesc ca
indice principal al calității proiecțiilor.
2.2 Deformații ș i scări
2.2. l Scara generală și scara locală a unei hărți
Atunci când se reprezintă o suprafață mică de teren aceasta poate fi considerată ca fiind
plană, în acest caz, întâlnit la topografie, toate porțiunile reprezentării au aceeași scară. La
reprezenta rea suprafețelor mari de teren pe un plan de proiecție, unde trebuie să se țină seama de
curbura Pământului, scara nu mai are o valoare constantă, ci variază de la un punct la altul, fiind
diferită chiar în același punct pe diferite direcții. Astfel există două tipuri de scări și anume:
scara generală sau principală ( care se trece pe hărți) și scara locală sau particulară.
Scara generală, s 0 reprezintă raportul dintre un element liniar de pe elipsoidul
pământesc micșorat de "n" ori, ds și corespondentul să u de pe elipsoidul neredus, ds0..
(2.2)
Scara locală, s este raportul dintre un element liniar de pe hartă, ds' și corespondentul
său de pe elipsoid dso.

14
(2.3)
Într-un plan de proiecție, deformațiile variază de la un punct la altul. Din acest motiv, studiul
lor se va face pe domenii infinit mici.
2.2.2 Deformațiile liniare
Raportul dintre distanța infinit mică (elementul liniar) ds' din planul de proiecție și
distanța infinit mică ds care îi corespunde pe suprafața elipsoidului terestru sau a sferei, poartă
denumirea de modul de deformație liniară n sau scară liniară.
(2.4)
Interpretarea valorilor numerice ale modulului de deformație liniară μ:
 μ>l => ds'>ds => se produce o alungire a imaginii din planul de proiecție,
deci o deformaț ie pozitivă a lungimii
 μ=l=>ds =>lungimea nu se deformează
 μ<1=> ds'<ds =>se produce o micșorare a lungimii în planul de proiecție,
deci o deformație negativă
Deformațiile relative ale distanțelor din planul de proiecție
Pentru stabilirea relațiilor matema tice avem în vedere domenii infinit mici. Concluziile le
extindem apoi la domenii finite, dar destul de restrânse, astfel încât să folosim aproximația că
deformațiile sunt egale cu cele din punctul aflat în centrul domeniului .
Dacă ds este distanța infini t mică de pe suprafața elipsoidului sau a sferei, iar ds' este imaginea
ei din planul de proiecție, atunci deformația absolută a distanței în urma reprezentării pe plan
este: (ds' – ds).
Fie D deformația relativă a distanței care reprezintă raportul dintre deformația absolută și
distanța nedeformată:

D = ds'-ds (2.5)
ds

(2.6)

D = μ -1 (2.7)

(2.8)

2.2.3 Elipsa deformaților
În orice proiecție care nu păstrează asemănarea în domeniile infinit mici, modulul de
deformație liniară μ variază într -un punct oarecare A(φ,λ) în funcție de azimutul α.

15

Fig. 2.1. Elipsa deformațiilor in punctul A '(x,y)

Astfel pentru azimute diferite α i, α1, α 2, α3…. corespund valori diferite ale modulului de
deformație liniar ă μ 1, μ 2, μ3…. Punctului A(φ,λ) de pe elipsoid îi corespunde în planul de
proiecție un punct A'(x, y), iar azimutelor α1, α2, α3….le corespund unghiurile β1, β2, β3…. Dacă
se reprezintă pe plan direcțiile β1, β2, β3…. din punctul A'(x, y) și pe ace stea se măsoară
segmente de lungimi μ1, μ2, μ3…., iar apoi se unesc capetele segmentelor rezultate se obține o
elipsă. Aceasta se numește elipsa deformațiilor sau indicatricea lui Tissot. Semiaxele elipsei de
deformație, notate a și b, corespund valorilo r maximă, respectiv minimă a modulilor de
deformație liniară în punctul considerat. Se numesc direcții principale într -un punct dat al
suprafeței, două direcții reciproc perpendiculare, care rămân reciproc perpendiculare și în
reprezentarea pe plan, iar mo dulii de deformație au valori extreme pe aceste direcții.

Fîg. 2.2. Cercul infinit mic de pe elipsoid, raportat la direcțiile principale și elipsa corespunzătoare din
plan, raportată la axele sale

2.2.4 Deformările areolare
Fie pe suprafața elips oidului un dreptunghi infinit mic având laturile dsm și dsp. Acestui
dreptunghi îi corespunde în planul de proiecție un paralelogram.

16

Pe elipsoid În planul de proiecție

Fig. 2.3. Aria infinit mică dTdepe elipsoid și corespond enta sa dT'
din planul de proiecție
Modulul de deformație areolară reprezintă raportul dintre aria paralelogramului infinit mic și
aria dreptunghiului infinit mic care îi corespunde pe elipsoid sau sferă.
(2.9)
dar:
dT = ds m.dsp
dT = ds' m-ds'p-sin i (2.10)
unde i este unghiul din plan format de imaginile meridianului dsm și paralelului. dsp.
Din relațiile de mai sus rezultă:
p = m*n * sin i (2.11)
unde m este modulul de deformație liniară pe direcția meridianului, iar n este modulul de
deformație liniară pe direcția paralelului.
În cazul proiecțiilor conforme i = 90°, m = a și n = b, relația de mai sus devine:
p = a * b (2.12)

Interpretarea valorilor numerice ale modulului de deformație areolară p:
 Dacă p = 1, înseamnă că nu există deformații, deci ariile din planul de proiecție sunt
egale cu ariile corespunzătoare de pe suprafața elipsoidului, respectiv a sferei.
 Dacă p< 1, ariile din planul de proiecție sunt mai mici decât ariile corespunzătoare de
pe suprafața el ipsoidului, respectiv a sferei și spunem că în acest caz deformațiile areolare
sunt negative.
 Dacă p>1, ariile din planul de proiecție sunt mai mari decât ariile corespunzătoare de
pe suprafața elipsoidului, respectiv a sferei și în acest caz deformațiile areolare sunt pozitive.

2.2.5 Deformațiile unghiurilor
Fie pe suprafața elipsoidului sau a sferei un cerc infinit mic cu centrul în punctul A și
de rază r. Raza OA formează cu direcția principală în punctul O, (pe care modulul de
deformație liniară ia valoarea maximă), un unghi α , căruia îi corespunde în reprezentarea pe
plan unghiul β . Din figura 2.4. se observă că:
(2.13)
unde a și b sunt seraiaxelei elipsei deformațiilor.

17

Fig. 2.4 Deformația maximă în plan a unghiului u de pe elipso id sau sferă
Notăm cu μ, unghiul format pe elipsoid de razele O A și OB. Acestui unghi îi
corespunde în planul de proiecție unghiul μ'=<A 'O 'B'. Conform relației (2.13) rezultă:

( ') ( )btg u tg ua  

18

Cursul nr.4

3. CLASIFICAREA PROIECȚIILOR CARTOGRAFICE

3.1 Clasificarea proiecțiilor cartografice după natura elementelor care nu se deformează
În funcție de natura elementelor care nu se deformează există:
 proiecții conforme
 proiecții echivalente
 proiecții echidistante

3.1.1 Proiecțiile conforme (care păstrează unghiurile)

Sunt acele proiecții în care figurile infinit mici de pe elipsoid sau de pe sfera terestră se reprezintă
în plan prin figuri asemenea.
In proiecțiile conforme modulul de deformație al lungimilor, u, în orice punct al proiecției, nu
depinde de azimutul direcției considerate, deci:
a = b = m = n = μ (3.1)
Aceasta înseamnă că elipsa deformațiilor se transformă în "cercul deformațiilor".
Unghiurile se reprezintă nedeformate în proiecțiile conforme , ceea ce înseamnă că deformația
unghiulară maximă este egală cu zero:
ω = 0 (3.2)
iar modulul de deformație areolară este egal cu:
P = μ2 (3.3)
deoarece:
p = m • n • sin i
m = n = μ ,
unde i este unghiul format de imaginile meridianului și i = 90° paralelului în proiecțiile conforme
se deformează în general ariile și distanțele.
Concluzie:
Proiecțiile conforme sunt acele proiecții în care unghiurile nu se deformează, adică unghiurile
măsurate în teren au aceeași valoare cu cele din planul de proiecție.
Figurile din planul de proiecție sunt asemenea cu cele de pe teren, dar cu ariile neegale, ceea ce
duce la concluzia că în proiecțiile conforme forma figurilo r se păstrează, dar se modifică
suprafețele acestora.
Ținând seama de faptul că prin n atura lor proiecțiile conforme conservă unghiurile, ele își găsesc
o largă aplicare la întocmirea hărților topografice . În literatura de specialitate proiecțiilor
conforme li se mai spune proiecții echiunghiulare, autogonale sau ortomorfe.

3.1.2 Proiecțiile e chivalente (proiecțiile care păstrează ariile)

Se caracterizează prin faptul că păstrează constant raportul dintre ariile din planul de proiecție și
cele corespunzătoare de pe elipsoid sau sfera terestră. De obicei acest raport se ia egal cu unitatea.
în proiecțiile echivalente, modulul de deformație areolară este:
p = a*b = m*n* sin i (3.4)
În aceste proiecții, în general se deformează unghiurile și distanțele.
Concluzie:

19 Proiecțiile echivalente sunt proiecțiile în care se păstrează egalitatea dintre su prafețele de pe
elipsoid și cele reprezentate în planul de proiecție. Rezultă că cele două figuri, oricare ar fi
forma lor, sunt echivalente, adică au aceeși arie.

3.1.3 Proiecțiile arbitrare

Din clasa proiecțiilor arbitrare fac parte proiecțiile echidistante, în aceste proiecții se pune condiția
ca modulul de deformație liniară să fie constant pe una dintre direcțiile principale, de exemplu pe
meridiane sau paralele.
Concluzie:
Proiecțiile arbitrare sunt acele proiecții care, după natura deformărilor, nu aparț in nici celor
conforme, nici celor echivalente, întrucât acestea deformează atât unghiurile, cât și suprafețele.
Aceste proiecții au o largă aplicare la întocmirea hărților geografice generale, mai ales când se
urmărește ca destinația acestora să satisfacă elaborarea hărților tematice.

3.2 Clasificarea proiecțiilor cartografice după latitudinea polului
Qo (φ0, λ0) al sistemului de coordonate sferice polare

Reprezentarea suprafeței terestre se poate face fie direct în planul de proiecție, fie pe o suprafață
intermediară, care se desfășoară apoi pe un plan, de exemplu pe suprafața unui con, sau a unui
cilindru.
Poziția reciprocă dintre elipsoidul sau sfera terestră și suprafața pe care se face reprezentarea este
definită prin coordonatele φo, λ0 proiecției Q0. î n funcție de latitudinea polului Q0, proiecțiile
cartografice se clasifică astfel:
• proiecții drepte, numite și normale sau polare, în care:
φo=90° (3.5)

Fig. 3.1 . Proiecții drepte

• proiecții oblice, în care:
0°<φo<90° (3.6)

20

Fig. 3.2 . Proiecții oblice

• proiecții transversale, sau ecuatoriale, în care:
φo = 0° (3.7)

Fig. 3.3 . Proiecții transversale

3.3 Clasificarea proiecțiilor cartografice după aspectul rețelei de
meridiane ș i paralele

După aspectul rețelei de meridiane și paralele, proiecțiile se împart în: azimutale, cilindrice,
conice, pseudoconice, pseudocilindrice, policonice și circulare.

3.3.1 Proiecțiile azimutale

Proiecțiile azimutale (zenitale) sunt proiecțiile în care meridianele se reprezintă prin linii
drepte, convergente într -un punct, intersectându -se sub unghiuri egale cu diferențele
longitudinilor corespunzătoare, iar paralelele se reprezintă prin cercuri concentrice, cu centrul
în punctul de convergență al meridianelor.

21

Fig. 3. 4. Aspectul rețelei cartografice intr -o proiecție azimutală dreaptă

În afară de proiecții azimutale drepte mai întâlnim și proiecții azimutale oblice sau orizontale și
transversale sau ecuatoriale. De obicei în aceste proiecții, suprafața terestră se consideră sferă.
În practică , peoiecțiile azimutale se fpolosesc la ănt ocmirea hărților la scări mici.

3.3.2 Proiecțiile cilindrice

În proiecțiile cilindrice drepte, rețeaua normală se reprezintă prin două familii de drepte paralele
astfel:
 meridianele se reprezintă printr -o familie de drepte paralele, situate la
distanțe p roporționale cu diferențele de longitudine corespunzătoare;
 paralelele se reprezintă printr -o familie de drepte paralele, perpendiculare pe
imaginile meridianelor.

Fig. 3.5. Aspectul rețelei cartografice intr -o proiecție cilindrică dreaptă

În funcție de orientarea cilindrului față de elipsoid sau sferă, proiecțiile cilindrice se ămpart în :
– drepte când axa coincide cu axa polară a elipsoidului sau sferei ;
– oblice când axele formează un unghi ascuțit sau obtuz;
– transversale când axele se interese ctează sub un unghi drept.
Proiecțiile cilindrice se pot considera un caz particular al celor conice, și anume atunci când
centrul comun al cercurilor prin care se reprezintă paralelele este la infinit.Proiecțiile cilindrice au
o largă aplicabilitate la în tocmirea hărților de navigație maritimă și aeriană.

22
3.3.3 Proiecțiile conice

În proiecțiile conice drepte, rețeaua cartografică de meridiane și paralele are următorul aspect:
 paralelele se reprezintă prin arce de cercuri concentrice;
 meridianele se rep rezintă prin drepte concurente în centrul cercurilor, care
fac între ele unghiuri proporționale cu diferențele de longitudine
corespunzătoare.

paralele

Fig. 3. 6. Aspectul rețelei cartografice intr -o proiecție conică dreaptă

În aceste proiecții suprafața terestră se consideră elipsoid sau sferă. În funcție de orientarea
conului față de elipsoid sau sferă, proiecțiile conice se împart în :
– drepte când axa conului coincide cu axa polară a elipsoidului sau sferei;
– oblice când axele se intersectază sub un unghi ascuțit sau obtuz;
– transversale cînd axele se intersectează sub un unghi drept .
O largă utilizare la întocmirea hărților o au proiecțiile conice drepte.

3.3.4 Proiecțiile pseudoconice

Se aseamănă cu proi ecțiile conice (drepte) doar prin reprezentarea paralelelor ca arce de cercuri
concentrice, cu centrul situat pe o dreaptă care este imaginea meridianului axial. Celelalte
meridiane se reprezintă prin linii curbe, simetrice față de meridianul axial
Cele mai răspândite proiecții pseudoconice sunt cele echivalente, dintre care cea mai cunoscută
este proiecția pseudoconică Bonn, care a fost utilizată în România.

Fig. 3. 7. Aspectul rețelei cartografice in proiecția pseudoconică Bonn meridiane

23
3.3.5 Proiecțiile pseud ocilindrice

În aceste proiecții, ca și în cazul proiecțiilor cilindrice, paralelele se reprezintă prin drepte paralele
între ele și perpendiculare pe dreapta care este imaginea meridianului axial al zonei cartografiate.
Celelalte meridiane se reprezintă p rin linii curbe simetrice față de meridianul axial.
În această proiecție se mențin lingimile pe toate paralelele și pe meridianul mijlociu.
Din clasa acestor proiecții face parte proiecția pseudocilindrică a lui Sanson, în care meridianele
sunt sinusoide, iar pe meridianul axial și pe toate paralelele nu se deformează lungimile.

Fig. 3. 8. Aspectul rețelei cartografice în proiecția pseudocilindrică Sanson

3.3.6 Proiecțiile policonice

În aceste proiecții rețeaua normală se reprezintă astfel:
-paralelele se reprezintă prin arce de cercuri excentrice, centrele lor fiind situate pe o dreaptă care
reprezintă imaginea meridianului axial;
-meridianele se reprezintă prin curbe simetrice față de meridianul axial.
Din clasa acestor proiecții, cea mai cunoscută es te proiecția policonică simplă americană, în care
lungimile pe meridianul mediu și pe toate paralelele se mențin nedeformate.

Fig. 3. 9. Aspectul rețelei cartografice in proiecția policonică simplă americană

24 3.3.7 Proiecțiile circulare

Sunt acele p roiecții în care imaginile meridianelor și paralelelor sunt cercuri. Dintre proiecțiile
circulare trebuie amintită proiecția circulară conformă Lagrange, în care meridianul axial și un
paralel se reprezintă prin linii drepte, iar restul meridianelor și par alelelor se reprezintă prin
cercuri. Meridianele sunt simetrice față de meridianul mijlociu.

Fig. 3. 10. Aspectul rețelei cartografice in proiecția circulară Lagrange

iw

25 Cursul nr.5

PROIECȚII AZIMUTALE

4.1 Principii de bază și formule generale

Proiecțiile azimutale, numite și zenitale se caracterizează printr -un aspect al rețelei de
meridiane și paralele ca cel prezentat în fig. 4.1.

1
2
3

Z3 Z2 Z1 A3 A7
-3 -2 -3 3
1
0 P=Q 0
A6 A8 A1
A2
A4
A5 Q0 +x
+y
a)
Aspectul general al retel ei de meridiane si
paralele intr -o proiectia azimutala dreapta b)
Aspectul general al retelei de verticaluri si
almucantarate intr -o proiectie azimutala
oblica sau transversala 2

Fig. 4. 1. Aspectul general al rețelei normale în proiecți ile azimt ale

În proiecțiile azimutale, Pământul, considerat de obicei sferă, se reprezintă pe un plan
care poate fi tangent sau secant la sferă. Poziția planului tangent se stabilește prin
coordonatele φo și λo ale polului proiecției Q 0. Poziția planului secant se stabilește prin
coordonatele φ 0, λ0 și prin distanța zk, a almucantaratului de secționare (fig. 4.2).

Fig. 4.2. Poziția planului de proiecție

Există situații, în cartografia matematică, când s uprafața terestră este considerată sferă de rază
R. Această variantă presupune utilizarea unor formule de calcul simplificate deoarece
suprafața sferei este mai simplă decât cea a elipsoidului. În particular, dacă planul de
secționare este paralel cu planul ecuatorului, poziția lui se determină prin latitudinea φk, a
paralelului de secționare.
Clasificarea proiecțiilor azimutale :
– în funcție de latitudinea φ 0 a polului Q 0 proiecțiile azimutale pot fi:
• drepte (normale sau polare):φ 0 = 90°

26 • oblice: 0°<φ 0<90°
• transversale: φ0 = 0°
– După caracterul deformațiilor proiecțiile azimutale pot fi:
• conforme (ω = 0)
• echivalente (φ 0= 1)
• arbitrare (echidistante pe anumite direcții)
În funcție de utilizarea legilor perspectivei liniare proiecțiile azimutale pot fi:
• perspe ctive
• neperspective
După poziția planului de proiecție față de suprafața terestră :
 proiecții azimutale pe plan tangent ;
 proiecții azimutale pe plan secant.

Fig. 4.3 – Proiecția azimutală : a – dreapt ă; b – oblic ă; c – transversal ă; d – secant ă;
e – aspectul re țelei cartografice.

4.2. PROIECȚII AZIMUTALE DREPTE

În proiecțiile azimutale drepte aspectul rețelei cartografice este următorul :
• meridianele se reprezintă în planul de proiecție ca drepte concurente într -un
punct, care este imaginea plană a polului geografic. Unghiurile dintre aceste
drepte sunt egale cu diferențele de longitudine dintre meridianele respective.
• paralelele se repre zintă ca cercuri concentrice cu centrul în punctul de
intersecție a imaginilor meridianelor. Razele p ale acestor cercuri variază în
funcție de tipul proiecției azimutale.
In proiecțiile azimutale, punctele din plan se determină prin coordonate plane polar e (,)
sau prin coordonate rectangulare plane (x, y).
Sistemul de axe de coordonatele plane polare (ρ-raza vectoare și δ -unghiul polar)
În cazul proiecțiilor azimutale drepte, ca axă polară se consideră una din dreptele prin care se
reprezintă meridianele , de exemplu cea care reprezintă meridianul de origine sau cel opus lui.

27 Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane (x,y) se alege astfel încât axa xx' să
coincidă cu axa polară, iar originea sistemului să coincidă cu polul sistemului de coordonate
plane polare.

x
y y

x A(x,y)
 
O

Fig. 4. 4. Sistem ul de axe de coordonate plane polare și rectangulare utilizate in proiecțiile
azimutale
Formulele generale ale proiecțiilor azimutale drepte pentru reprezentarea sferei
terestre de rază R sunt :
 = 
 = f(), (4.1)
Unde  se va lua ca o diferență de longitudine masurată de la meridianul a cărui imagine se ia
ca axă Ox.
Coordonatele plane rectangulare se pot calcula în funcție de coordonatele plane polare cu
formulele:
x =  cos
y =  sin (4.2)
Formulele de calcul ale modulilor de deforma re

P1 P
E1 E d d
B A
R
O +y +x 
-d B’
C’
 d A’
 d
a) pe sfera terestră de rază R b) în planul proiecției

Fig. 4.5. Arce elementare de meridian și de paralel
pe sferă (a) și în planul proiecție i azimutale drepte (b)

Unde,
A(,) – punct oarecare de pe sup rafața terestră, considerată sferă de rază R;

28 AB – element de arc de meridian pe sferă;
BC – element de arc de paralel pe sferă;
A’, B’, C’ – imaginile plane ale punctelor A, B, C de pe sferă

Modulul de deformație liniară pe meridi an (m):

m =
' ''m
mds A B d d
ds AB Rd d
   (4.3)

unde s emnul minus de la numărător se datorează faptului că atunci când  se mărește,  se
micșorează.
Dacă se consideră colatitudinea ψ =(90° – φ) relația (4.3) se scrie sub forma :
m =
'm
mds d
ds Rd
 (4.4)

Modulul de deformație liniară pe paralele (n):

n =
' ''
cosp
pds B C d
ds BC rd r R   
    (4.5)

unde  =

Modulul de deformație areolară (p):

p =
sin sin90 m n i m n p m n        (4.6)

Deformațiile unghiulare maxime (w) :

sin

2
ab
ab sau tg(450 +

4)a
b (4.7)

unde a,b sunt semiaxele elipsei de deformație.

Formulele generale ale proiecțiilor azimutale drepte pentru reprezentarea elipsoidului de
rotație :

Pentru reprezentarea elipsoidului de rotație terestru în proiecțiile azimutale drepte, formulele
generale diferă de cele ale sferei doar prin expresia modulilor de deformație liniară, și anume:

m =
d
Mdd
Md

 (4.8)

n =

 rNcos (4.9)

4.3. PROIECȚII AZIMUTALE OBLICE ȘI TRANSVERSALE

29
În cazul proiecțiilor oblice, care reprezintă cazul general al proiecțiilor azimutale ,
succesiunea calculelor este următoarea:
1. suprafața elipsoidului de rotație se reprezintă pe suprafața unei sfere;
2. coordonatele geografice de pe sfer a terestră se transformă în coordonate sferice polare
(A, Z);
3. se determină coordonatele plane polare (, ) în funcție de coordonatele sferice polare
(A, Z) ;
4. se determină coordonatel e plane rectangulare (x,y) în funcție de coordonatele plane
polare (, ) ;
5. se determină moduli i de deforma re și deformați a unghiular ă maxim ă (w).
Formulele generale ale proiecțiilor azimutale oblice și ale celor transversale în cazul
reprezentării sferei terestre de rază R sunt:

1
2
1 2 1 2(90 ) ( )
sin
sin 90A
f Z F Z
d
RdZ
Rz
p



   
  


    
cos
sin
sin2
454x
y
ab
ab
atgb





  (4.10)

unde se fac următoarele înlocuiri :
– longitudinea λ cu azimutul (A);
– latitudinea φ cu diferența (90° -Z);
– colatitudinea ψ cu distanța zenitală (Z);
– modulul de deformare liniară pe meridiane (m) cu cu modulul de deformare liniară pe
verticaluri (μ 1);
– modulul de deformare liniară pe paralele (n) cu cu modulul de deformare liniară pe
almucantarate (μ 2).
Din formule se observă că deformațiile depind numai de latitudine și respectiv numai de
distanța zenitală (Z), adică de depărtarea față de polul Q 0 al proiecției

4.4. PROIECȚII AZIMUTALE NEPERSPECTIVE

În proiecțiile azimutale neperspective pentru determinarea ecuațiilor proiecțiilor și a rețelei
cartografice se ține seama de condițiile de conformitate, echivalență sau echidistanță.
La proiecțiile azimutale neperspective drepte sau polare rețeaua de meridiane se reprezintă
prin drepte convergente într -un punct ce reprezintă imaginea polului geografic și care se
intersectează sub unghiuri egale cu diferența longitudinilor meridianelor cores punzătoare.
Rețeaua de paralele este reprezentată de cercuri concentrice cu centrul în punctul de
convergență al meridianelor și pot să fie echidistanțate sau nu în funcție de condițiile impuse
proiecției.
În cazul acestor proiecții neperspective rețeaua p rincipală (rețeaua cartografică de meridiane
și paralele) coincide cu rețeaua normală .
Ecuațiile generale ale proiecțiilor azimutale neperspective drepte sau polare în coordonate
polare sunt :
 = (4.11)

30  = f()
unde
 este unghiul polar
 este raza vectoare.
Polul sistemului de coord onate polare plane este considerat punctul de convergență al
meridianelor, iar axa polară este chiar meridianul mediu al zonei de reprezentat de la care se
măsoară longitudinea .
Unghiul polar  este egal cu long itudinea  pentru că prin proiecție s -a stability că
meridianele se intersectează sub unghiuri egale cu diferențele de longitudine ale meridianelor
corespunzătoare. De aici se trage concluzia că proiecțiile neperspective azimutale sunt cazuri
particulare a le proiecțiilor conice în care α=1.
Funcția  = f() se determină pe baza condițiilor de conformitate, echidistanță sau
echivalență care se impun.
Deoarece direcțiile principale coincid cu meridianele și paralelele, modulii de deformare
liniară m și n de pe aceste direcții au valori extreme, adică valoarea maximă este egală cu a iar
valoarea minimă cu b (a și b sunt semiaxele elipsei deformațiilor) .
În aceste proiecții se mai folosește și sistemul de coordonate rectangulare în care axa
abciselor coincide cu axa polară iar originea sistemului este considerat polul sistemului de
coordonate sferice polare.
x =  cos
y =  sin (4.12)
Formulele generale ale proiecțiilor azimutale neperspective drepte în cazul
reprezent ării sferei terestre de rază R su nt:
()
cos
sin
cosf
x
y
dmRd
nR













sin2
454p m n
ab
ab
atgb


  (4.13)
Deformațiile liniare, areolare și unghiulare depind numai de latitudine.
La proiecțiile azimutale oblice și transversale rețeaua normală conține imaginea
almucantaratelor și verticalelor. Imagi nea almucantaratelor este formată din cercuri rezultate
din intersecția sferei terestre cu plane paralele la planul orizontului locului, iar verticalele sunt
cercuri mari obținute prin intersecția sferei terestre cu plane ce trec prin axa polară, respectiv
axa ce trece prin punctul considerat centrul zonei de reprezentat și centrul sferei.
În aceste proiecții avem:
 verticale reprezentate prin linii convergente într -un punct (polul proiecției) și se
intersectează sub unghi ri egale cu diferența azimutelor ver ticalelor corespunzătoare;
 almucantarate reprezentate prin cercuri concentrice cu centrul în punctul de
convergență al verticalelor, respectiv polul sistemului oblic sau transversal.
Meridianul polului corespunzător sistemului oblic sau transversal este re prezentat printr -o
linie dreaptă care este axa de simetrie pentru celelalte meridiane.
În concluzie în proiecțiile azimutale oblice sau transversale rețeaua normală nu coincide cu
rețeaua principală și în consecință meridianele și paralelele se reprezintă prin curbe oarecare.
Formulele generale ale proiecțiilor azimutale oblice sau transversale sunt:

31
1
2
12()
sinA
fz
d
Rdz
Rz
p









cos
sin
sin2
454x
y
ab
ab
atgb





  (4.14)

32 Cursul nr.6 si 7
PROIECȚII AZIMUTALE PERSPECTIVE

1. Caracteristici generale

Proprietățile generale ale proiecțiilor azimutale sunt valabile și în cazul proiecțiilor azimutale
perspective.
Caracteristi ca de bază a acestor proiecții este faptul că utiliz ează legile perspectivei liniare. În
legătură cu acestea se fac următoarele precizări:
 Pământul se consideră în general sferă de rază R;
 planul de proiecție, pe care se face reprezentarea, se mai numește și planul tabloului ;
 diametrul care trece prin polul Q0 (0,0), pol ales aproximativ în mijlocul teritoriului
de reprezentat, se numete diametru principal ;
 pe diametrul principal sau pe prelungirea lui se alege un punct de vedere (V), a cărui
distanță față de centrul sferei se notează prin D;
 planul de pro iecție (planul tabloului) este perpendicular pe diametrul principal , iar
distanța dintre punctul de vedere și planul de poiecție se notează prin K;
 dreptele care pornesc din punctul de vedere și trec prin punctele de pe suprafața sferei
terestre, se numesc drepte proiectante ;
 imaginea plană a unui punct oarecare B de pe suprafața terestră este un punct B’ în
care dreapta proiectantă care trece prin B înteapă planul tabloului.

O
Qo
O1 B’
B
V
D
K

Fig.6.1 Semnificația parametrilor D si K

2. Clasi ficarea proiecțiilor azimutale perspective

1. După valoarea latitudinii 0 a polului Q 0:
 drepte;

33  oblice;
 transversale.

2. După caracterul deformațiilor:
 conforme;
 echivalente;
 echidistante.

3. După poziția planului de proiecție față de suprafața sferei terestre:

 pe plan tangent;
 pe plan secant.

4. După distanța D, dintre punctul de vedere V și centrul O 1 al sferei terestre:
 centrale (V 1), când D = 0;
 interioare (V 2), când 0  D  R;
 stereografice (V 3), când D = R;
 exterioare (V 4), când R  D 
 ortograf ice (V 5), când D = 

În figura de mai jos se arată pozițiile punctului de vedere V în aceste cinci categorii de
proiectii azimutale perspective și pozițiile imaginilor B 1’, B2’… B 5’ ale aceluiaș punct B de pe
sfera terestră, utilizând legile perspective i liniare și luând planul de proiecție tangent la sferă.

O
Q0
V1= O 1
V2
V3
V4 V5 B
R B
1
1

Fig. 6 .2 Imaginile plane ale aceluiași punct de pe sferă,
în diverse proiecții azimutale perspective

În proiectiile azimutale perspective, poziția reciprocă dintre punct ul de vedere V, sfera
terestră și planul de proiecție (planul tabloului) se definește prin:
 coordonatele geografice 0,0 ale polului Q 0 prin care trece diametrul principal;

34  distanța D dintre punctul de vedere și centrul O 1 al sferei terestre;

 distanța K dintre punctul de vedere V și planul de proiecție (planul tabloului).
Acești parametrii odată stabiliți, devin constantele proiecției și deosebesc între ele diversele
proiecții azimutale perspective.

3. Formule generale pentru calculul coordonatelor plan e polare și al celor plane
rectangulare în proiecțiile azimutale perspective

Se consideră cazul general al unei proiecții azimutale oblice perspective.
Dacă se secționează sfera terestră de raza R cu planul verticalului unui punct oarecare B de pe
sferă, va rezulta situatia din figura de mai jos, în care:
 V este o poziție oarecare pe care o are punctul de vedere pe dreapta care conține
diametrul principal Q 0Q;
 O și B’ sunt imaginile plane ale punctelor Q 0 și respectiv B în planul de proiecție;
 OB’ = , reprezintă raza vectoare a punctului B’ din plan;
 Pe sferă, punctul B are distanța zenitala Z;
 MB = RsinZ, reprezintă raza almucantaratului care trece prin punctul B;
 D = VO 1, reprezintă distanța dintre punctul de vedere și centrul sferei;
 K = VO, reprezintă distanța dintre punctul de vedere și plan.
O B’
B 
M R M Q0
z
O1
K
D
V

Fig. 6.3 Secțiune prin sfera cu planul verticalului unui punct oarecare

Din triunghiurile asemenea OB’V și MBV rezultă:

OB
MBOV
MV'

5.10

35
Adică,


R ZK
DR Z sin cos
5.11

Și în cazul proiecțiilor azimutale perspective se pastrează formulele generale pentru calculul
coordonatelor plane și a modulilor de deformație pentru proiecțiile azimutale. Ținând cont de
acestea, se obțin următoarele formule generale pentru calculul coordonatelor plane polare:

 = A

 =
KR Z
DR Zsin
cos
Ținând cont de aceste formule de calcul precum și de legătura dintre coordonatele plane
polare și coordonatele plane rectangulare, se obțin următoarele formule general e pentru
calculul coordonatelor rectangulare plane în orice proiecție azimutală perspectivă:

x = cos  =
KR Z
DR ZZ Asin
cossin cos

y = sin  =
KR Z
DR ZZ Asin
cossin sin

Unde, D și K sunt constante care caracterizează natura proiecției perspective, iar A si Z sunt
coordonate sferice polare care definesc pe sfera terestră poziția punctului considerat, în raport
cu polul Q( 0,0) al proiecției.

4. PROIECȚIA STEREOGRAFICĂ 1930 (1933) PE PLAN
UNIC SECANT BRASOV

Caracteristici generale

În anul 1 930 s -a hotărât adoptarea, pentru țara noastră, a unei proiecții stereografice pe plan
unic secant denumită și “pe planul secant Brașov”, având ca pol Q 0 (punct central) un punct
fictiv (nematerializat în teren), situat aproximativ la 30 km nord -vest de Br așov.
Coordonatele geografice ale punctului central au valorile:
0 = 51G 00c 00cc,000 (45054’00’’,0000)
0 = 28G 21c 00cc,510 est Gr. (25023’32’’,8722)
Precizarea “plan unic secant Brașov” se face deoarece, înainte de data introducerii acestei
proiecții, în anumite zone ale țării se lucra pe plan tangent Budapesta (în vestul țării) sau în
proiecție stereografică Târgu Mureș.
Harta țării, în această proiecție stereografică, urma să se sprijine pe o triangulație nouă, motiv
pentru care s -a adoptat elipsoidul de referință Hayford orientat pe Observatorul Astronomic

36 Militar din București. În punctul astronomic fundamental s -au facut măurători astronomice
pentru determinarea latitudinii, longitudinii și azimutului care au fost transmise în rețeaua
geodezică de s tat.
Proiec ția fiind stereografică rezultă că, din punct de vedere al deformațiilor, se înscrie în seria
proiecțiilor conforme ceea ce permite ca măsurătorilegeodezice efectuate să poată fi
prelucrate direct în planul de proiecți, după aplicarea prealabilă a unor corecții de reducere la
paln
Sistemul de axe de coordonate plane stereografic a fost astfel ales încât originea să reprezinte
imaginea plană a polului Q 0(0, 0), axa Oy să se gasească pe direcția nord -sud, cu sensul
pozitiv spre nord, iar axa Ox p e direcția est -vest, cu sensul pozitiv spre est.

Fig.6.4 Sistemul de axe de coordonate în proiecția Stereografică 1930 și sistemul de împărțire
pe foi

Pentru unele nevoi practice, în scopul de a nu se lucra cu coordonat negative, s -a adoptat o
translaț ie a sistemului de axe de coordonate cu 500 000 m spre vest și respectiv cu 500 000 m
spre sud, astfel că, pentru teritoriul întregii țări coordonatele plane deveneau positive (fig.5.8).
De subliniat faptul că aceste coordonate care au suferit translații n u se puteau utiliza pentru
orice calcul. De exemplu, nu se puteau utiliza pentru calculul corecției de reducere la coarda,
calculul corecției de reducere a distanțelor la planul de proiecție, calculul deformațiilor etc.
Sunt folosite două plane de proiecți e: un plan secant și unul tangent. Pentru un teritoriu
reprezentat în cele doua plane se obțin imagini asemenea, imaginea din planul secant fiind
mai mică decat cea din planul tangent.

37

Fig. 6.5. Utilizarea celor dou ă plane
în proiecția Stereografică 1 930

Transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent în planul unic secant Brașov se
realizează prin înmulțirea coordonatelor din planul tangent cu coeficientul c de reducere a
scării, având valoarea:

c = 1 – 1/3000 = 0. 999 666 67

Transfor marea coordonatelor stereografice din planul unic secant în planul tangent se face
prin înmulțirea celor din planul secant cu coeficientul c’ care are valoarea:

c’ = 1/c = 1.000 333 44

Deformații în proiecția Steraografică 1930

În planul tangent defor mațiile liniare și areolare din polul Q 0 sunt nule, iar în toate celelalte
puncte ale planului se produc deformații pozitive care cresc direct proporțional cu pătratul
distanței față de polul Q 0 (punctul central). De exemplu, la distanța de 330km față de p olul
proiecției, deformația relativă este de 67 cm/km.În scopul micșorării deformațiilor s -a adoptat
atunci un plan secant în locul celui tangent. În acest caz apare un cerc de deformație nulă cu
raza de 233 km. În planul secant al proiecției stereografice deformațiile liniare și cele areolare
sunt negative pentru zonele situate deasupra planului secant (în interiorul cercului de
deformație nulă) și pozitive pentru zonele situate sub planul secant (în afara cercului de
deformație nulă). Deformațiile cresc î n valoare absolută pe masură ce se mărește distanța față
de cercul de secționare.
Deformațiile negative maxime sunt în polul Q 0 (în originea axelor) și ating valoarea – 33,33
cm/km.
Spre zonele limitrofe ale țării, de exemplul la distanța de 330 km față de originea axelor (față
de polul Q 0), deformațiile din proiecția stereografică pe planul secant Brașov au valoarea de
+33,56cm/km, iar la distanța de 380 km ele ating valori de +55,39cm/km.

Secțiuni geodezice și secțiunile topografice (cadastrale) în proi ecția Stereografică 1930

38
O hartă a țării la scara 1:20 000 realizată pe o foaie unică ar avea dimensiunile de aproximativ
40×30 m (Fig.5.8). Din această cauză, ar fi foarte greu de lucrat cu ea și atunci s -a recurs la
împărțirea întregii suprafețe a țării în secțiuni – prin ducerea de drepte paralele la cele două axe
de coordonate X și Y.
Trasându -se paralele la axele de coordonate pe direcția abscisei din 75 în 75 km, iar pe
direcția ordonatei din 50 în 50 km, s -a obținut scheletul hărții țării la scara 1: 100 000. Un
dreptunghi rezultat din această trasare a paralelelor reprezintă o hartă topografică la scara
1:100 000. Dacă se trasează paralele pe direcția absciselor din 15 în 15 km, iar pe direcția
ordonatei din 10 în 10 km, se obține scheletul hărții de bază a României la scara 1:20 000.
În harta topografică la scara 1:100 000 se includ deci 25 de hărți la scara
1:20 000.
În cazul în care se trasează paralelele din 8 în 8 km pe direcția X și din 10 în 10 km pe direcția
Y , se obține scheletul hărții țări i în secțiuni geodezice sau foile fundamentale ale planurilor
cadastrale de dimensiunile 8×10 km.
Prin împărțirea secțiunii geodezice în 5 părți egale pe orizontală și 8 părți pe verticală se obțin
40 de secțiuni cadastrale.

O secțiune geodezică = 8 km x 10 km = 80 km2 = 8 000 ha
O secțiune geodezică = 10 secțiuni cadastrale
O secțiune cadastrală = 1 600 m x 1 250 m = 20 ha.

Formatul hărților în această proiecție este dreptunghiular.

ELEMENTELE CARACTERISTICE PROIECȚIEI STEREO ’ 1970

1 Caracteristici g enerale

În septembrie 1970, prin decretul nr.305 “ cu privire la activitatea geodezică, topo –
fotogrametricășsi cartografică, precum și la procurarea, deținerea și folosirea datelor și
documentelor rezultate din această activitate ” se prevedea ca:
“Lucrări le geodezice, topo -fotogrametrice și cartografice necesare economiei naționale se
execută în proieție stereografică 1970 și sistem de cote de referiță Marea Neagră”.
“Pentru nevoile de apărare și securitate, precum și pentru cele necesare activităților
știițifice, învățământului, uzului public și propagandei, aceste lucrări vor fi executate și în
alte sisteme de proiecție”.

Conform prevederilor decretului menționat, obligația de a stabili parametrii care să
caracterizeze noul “sistem de proiecție stereogra fică 1970” i -a revenit Direcției de geodezie și
cadastru din Ministerul Agriculturii, Industriei Alimentare și Apelor.
În 1972, au fot stabilite următoarele elemente care să caracterizeze proiecția stereografică
1970:

 Se menține elipsoidul de referință Kr asovski (1940), orientat la Pulkovo ca și în cazul
proiecției Gauss -Kruger;

 2) Polul Q 0 al proiecției, denumit și “centrul proiecției” are coordonatele geografice:

39 0 = 46o Lat. N
0 = 25o est Greenwich

Fig. 6.6. Cercul de deformație nulă în proiecț ia Stereografică 1970

Aceste coordonate diferă puțin de cele ale polului vechiului sistem de proiecție stereografică
(1933) utilizat în trecut în țara noatră. Noul pol este deplasat spre nord -vest față de cel vechi.

 Întreaga țară se reprezintă pe un sin gur plan de proiecție, în care există un cerc de
deformație nulă cu raza 0 = 201,718 m ceea ce corespunde unui “sistem secant”, în care
există deformații pozitive și negative, având cele mai mari deformații negative, de -25 cm/km,
în punctul central.

 Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plană a
punctului central (fig. 5.10) . Astfel:
 Axa Ox este o dreaptă reprezentând imaginea meridianului 0, ea fiind și axă de simetrie. Are
sensul pozitiv spre nord.
 Axa Oy este perpend iculară pe axa Ox și are sensul pozitiv spre est.
Sistemul de coordonate plane xOy folosit de proiecția stereografică 1970 este inversat față de
sistemul de axe din vechea proiecție sterografică 1930 -1933.

 Paralel cu planul secant se utilizează și un plan tangent la ellipsoid, acesta constituind
o suprafață auxiliară. Imaginile din cele doua plane
sunt asemenea, cea din planul secant fiind mai mică (având scara micșorată). Pentru trecerea
de la coordonatele din planul tangent la cele din planul secant se folosește un coeficient de
reducere la scară:
c = 1 –
1
4000099975,
Relațiile dintre coordonatele aceluiași punct din cele două plane de proiecție se exprimă
astfel:

xsec = x tgc
ysec = y tgc

40
 6) Transformarea coordonatelor stereografice din planul secant în cel tangent se face
înmulțind aceste coordonate cu coeficientul:
c’ =
1
c 1, 000 250 063

Sistemul de proiecție stereografică 1970 a început să fie utilizat în lucrările de producție
curentă, din țara noastră, din an ul 1973.

Condiții impuse reprezentării în proiecția stereografică 1970:
Ecuațiile hărții au fost stabilite astfel încat reprezentarea să satisfacă următoarele condiții de
bază:

1. Să fie conformă;

2. Meridianul o care trece prin punctul central se repr ezintă printr -o dreaptă care este și axă
de simetrie și axă Ox, iar originea O este imaginea plană a polului Q 0;

3. Orice punct situat pe meridianul central o are abscisa:

xm = sR 0 tg

20R

m
O
V B B’
O1
R0 /R0
/2R 0

Fig.6.7. Secțiune meridiană prin sfera de rază R 0

În figura de mai sus este reprezentată secțiunea meridiană printr -o sferă de rază R 0 luată la
latitudinea 0 = 46o N.
B – este un punct oarecare pe sferă;
R0- raza sferei la latitudinea 0 = 46o N;

41 B’- imaginea lui B în planul tangent de proiecție;
 – lungimea arcului de meridian măsurat pe elipsoid între paralelul de latitudine 460 și
paralelul de latitudine  a punctului considerat.
Relația (5.15) împreună cu figura (5.11) amintesc de expresia razei vectoare  din proiecția
azimutală stereografică pe plan tangent.

 Coordonatele stereografice 1970 calculate în sistemul de axe de coordonate cu originea în
centrul țării sunt modificate cu + 500 000 m atât pe x cât și pe y, ceea ce corespunde unei
translații a axe lor spre sud și vest. Acest lucru se face pentru a avea coordonate pozitive.

y’ y x’ x
O’ O 500 000
500 000

Fig. 6.8. Transla ția sistemului de axe de coordonate rectangulare plane în proiecția
Sterografică 1970

Coordonatele x’,y’ afectate de translații pot fi utilizate pentru o serie de calcule cum sunt:
 calculul distanței funcție de coordonate;

 calculul orientărilor funcție de coordonate;

 calculul ariei unei parcele în funcție de coordonatele plane ale colțurilor ei.

Este complet interzis să se foloseas că coordonatele x’, y’ care au translații pentru o serie de
calcule cum sunt:
 transformarea coordonatelor plane stereografice în coordonate geografice;

 transcalcularea coordonatelor din proiecție stereografică în proiecție Gauss -Kruger sau
în alte proiecț ii;

 reducerea direcțiilor sau distanțelor la planul de proiecție .

2 Transformări de coordonate în proiecția Stereografică 1970

A. Transformarea coordonatelor geografice ( ,) de pe elipsoidul
de referință în coordonate plane Stereografice 1970 (x, y):

42 Această transformare se face cu ajutorul unor formule cu coeficienți constanți, în funcție de
latitudinea  și de longitudinea l dintre punctul considerat ( ,) și punctul central al
proiecției (polul Q 0 cu coordonatele geografice 0,0).
În acest calcu l se pot deosebi două etape:
 transformarea coordonatelor geografice în coordonate stereografice pe planul tangent
în Q 0 ( acest calcul este cel mai laborios);
 transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent în planul secant, paralel
cu planul tangent; această a doua etapă, extrem de simplă, se realizează prin înmulțirea
coordonatelor din planul tangent cu un coeficient de reducere a scării, care est e subunitar și
depinde de distanța dintre planul tangent și cel secant.
Formulele de calcul s -au stabilit după o metodă propusă de academicianul bulgar
V.K.HRISTOV, metoda care, în esență, constă în dezvoltarea în serie Taylor, în jurul
punctului central ( 0, 0), a elementelor care depind de latitudine. Derivatele respective,
calculate în punctul central ( 0, 0) apar sub forma unor constante, care se grupează
convenabil sub formă de coeficienți constanți.
Reprezentarea trebuie să satisfacă urmatoarele con diții:
 să fie conformă;
 meridinul 0 care trece prin polul Q 0 (centrul proiecției) să se reprezinte printr -o dreaptî care
se ia ca axă xx’, cu sensul pozitiv spre nord, fiind și axă de simetrie;
 originea O a sistemului de coordonate stereografice este imag inea plană a punctului central,
iar un punct oarecare B ( ,) situat pe meridianul central 0 are coordonata x m dată de relația:

xm = 2R 0tg/2R 0

unde,
R0 – este raza sferei Gauss la latitudinea 0;
 – este un arc de meridian, a cărui lungime est e egală cu cea a arcului de meridian de pe
elipsoid,cuprins între paralele 0 și .
Prin urmare, pentru un elipsoid dat și o latitudine 0 stabilită pentru centru de proiecție,
coeficienții utilizați în formulele pentru calculul coordonatelor plane stereog rafice 1970, au
valori constante. În cazul de față, pentru elipsoidul Krasovski și latitudinea 0 = 460 s-au
calculat urmatoarele valori numerice pentru coeficientii constanți prezentate în foia de calcul,
în coloanele 2, 3, 4, 5 din tabelul 1 și în coloan ele 2, 3, 4 din tabelul doi.
Pentru țara noastră, “ și mai ales (  – 0)” pot atinge valori mai mari decât 10 000”. Astfel
de numere ridicate la puterile 5 și 6 devin incomode, din cauza mărimii lor, în timp ce
coeficienții constanți sunt foarte mici. În scopul evitării acestui inconvenient, în formule s -a
considerat:

f = 10-4“
l = 10-4( – 0)”

Aceste valori ale coeficienților constanți, pentru transformarea coordonatelor geografice ( ,)
în coordonate plane stereografice pe un plan tangent, la latitudinea 0 = 460, au fost calculate
la I.G.F.C.O.T. (București).
Practic, procedeul de calcul pentru x este următorul:
Elementele coloanei 1 se înmulțesc cu elementele corespunzătoare (de pe aceeași linie) din
coloana 2, se însumează algebric obțin ându -se valoarea S 0, care se înmulțește cu primul
element din coloana 6, obținându -se primul rezultat partțal r 0. Asemănător, din coloanele 1 și

43 3, 1 și 4, 1 și 5, 1 și 6 se obțin S 2, S4, S6 care se înmulțesc cu elementele coloanei 6 rezultând
r2, r4, r6.
Însumând algebric rezultatele din coloana 7, se obține valoarea lui x tg, din planul tangent de
proiecție stereografică apoi, prin înmulțirea acestuia cu coeficientul c = 0, 999 750 000, se
obține valoarea lui x în planul secant de proiecție stereografică 1 970.
Calculul lui y se face asemănător cu cel a lui x.
Procedeul asigură o precizie de ordinul a 1 cm pentru orice punct din țara noastră.

B. Transformarea coordonatelor rectangulare plane Stereografice 1970 (x,y) în
coordonate geografice ( ,), pe elipso idul de referință:

Acest calcul presupune două etape:
 etapa întâi, de transformare a coordonatelor stereografice din planul secant în planul
tangent, paralel cu cel secant, prin înmultirea cu un coeficient supraunitar:

c’ = 1, 000 250 063

 etapa a doua, mai laborioasă, constă în transformarea coordonatelor stereografice din
planul tangent, în coordonate geografice ( ,) pe elipsoidul de referință; această problemă se
rezolvă cu ajutorul unor formule cu coeficienți constanți, stabilite într -un mod asemănăt or, în
principiu, cu formulele pentru calculul coordonatelor plane stereografice.
Se calculează întâi diferența de coordonate  și l față de centrul proiecției ( 0,0), apoi
coordonatele geografice:

 = 0 + 
 = 0 + l 5.19

Pentru elipsoidul Krasovski și 0 = 460, coeficienții constanți sunt prezentați în tabelele 2, 3, 4
din foaia de calcul de mai jos.
Valorile pentru coeficienții constanți au fost calculate la I.G.F.C.O.T. (București).
Procedeul de calcul pentru  și  este același ca în caz ul calcului coordonatelor plane
rectangulare.

C. Transcalcularea coordonatelor plane Gauss în coordonate plane
stereografice 1970 și invers:

Transformarea coordonatelor plane Gauss în oordinate plane stereografice 1970 se face prin
intermediul coordon atelor geografice.
Metoda presupune două etape:
a) În prima etapă, se transformă coordonatele plane Gauss în oordinate pe elipsoidul de
referință;
b) În a doua etapă, coordonatele geografice de pe oordinat se transformă în oordinate
plane stereografice 1970.
Pentru transcalcularea coordonatelor plane stereografice 1970 în oordinate plane Gauss se
procedează în același fel ca și în primul caz.
Calculul este oordi și omogen pentru toată țara deoarece ambele proiecții folosesc același
oordinat – Krasovsk i 1940 – cu aceeași orientare.
În producție, pentru unele lucrări mai puțin pretențioase sub aspectul preciziei, se aplică
formulele de transcalculare din topografie, folosind drept puncte cu oordinate iî ambele

44 sisteme de proiecție colțurile trapezelor, pentru care atât coordonatele plane Gauss, cât și cele
plane stereogarfice 1970 se extrag din tabele.
Această metodă este mai rapidă, însă cea mai riguroasă este metoda prin intermediul
coordonatelor geografice.

3 Reducerea direcțiilor la planul de proie cție Stereografică 1970

Reducerea direcțiilor la planul de proiecție este operația de corectare a direcțiilor măsurate în
rețeaua geodezică de stat prin aplicarea unor corecții unghiulare  numite “corecții de
reducere la coardă”. Această operație este n ecesară deoarece, în planul de proiectțe, imaginile
plane ale laturilor triunghiurilor geodezice nu sunt linii ci sunt curbe.
Pentru stabilirea formulei de calcul a acestei corecții, se consideră pe sfera de rază medie R 0
triunghiul sferic B 1B2Q0, în care B1 și B 2 sunt extremitățile unei direcții măsurate (capetele
unei laturi de triangulație), iar Q 0(0,0) este polul proiecției.

Fig. 6.9 Reprezentarea liniilor geodezice (pe elipsoid și în planul de proiecție )

Pentru repr ezentarea în plan a acestui triunghi sferic se au în vedere urmatoarele proprietăți
ale proiecției stereografice:
 proiecția este conformă;
 cercurile mari care trec prin Q 0 (verticaluri) se reprezintă prin segmente de dreaptă care trec
prin originea O;
 un arc de cerc se va reprezenta tot printr -un arc de cerc (excepție fac verticalurile).
Imaginile plane ale vârfurilor triunghiului sferic sunt punctele B 1’, B 2’ și O. Arcele de cerc
B1Q0 și B 2Q0, aparținând unor verticaluri ale polului Q 0, se reprezintă prin dreptele B 1’O și
B2’O, care fac între ele un unghi , egal cu cel corespunzător de pe sferă, iar linia geodezică Q0 (0, 0) 0 0 B1
B2
a) pe elipsoid (sfer ă) 12
21 B’
1
B’
2
b) în planul de proiec ție  
O +x
+y

45 B1B2 de pe sfera, fiind un arc mare care nu trece prin polul Q 0, se reprezintă în plan prin arcul
de cerc B 1’B2’ cu concavitatea spre interioru l triunghiului.
În punctele B 1’ și B 2’ el face cu coarda sa unghiurile:

1,2 = 2,1

egale în valoare absolută cu corecțiile de reducere la coarda ale directiilor B 1B2 și respectiv
B2B1.

Suma unghiurilor triunghiului sferic B 1B2Q0 este egală cu 200G + , unde  este excesul sferic.
Proiectia fiind conformă, ungiurile imaginii plane a acestui triunghi sferic trebuie să fie
nedeformate, adică :

200G + 1,2 + 2,1= 200G + 

1,2 = 2,1= /2

 =
s
R02 , “ = “
s
R02

în care, S este suprafața triunghiului sferic B 1B2Q0.
Corecția de reducere la coardă având valori relativi mici, s -a înlocuit suprafața triunghiului
sferic cu suprafața triunghiului plan B 1’B2’O.

S  S1 =
10 011
21
2 21 1
y xyx =
2 21 1
21
yxyx =
1
2 (x1y2 – x2y1)

Având în vedere faptul că orientările și gradațiile cercurilor orizontale ale teodolitelor cresc în
sensul mișcării acelor de ceasornic, rezultă că pentru direcția B 1B2 semnul c orectței trebuie să
fie pozitiv în B 1’ și negativ în B 2’:

1,2” = – 2,1”=
"
402R (x1y2 – x2y1)

Prin analiza unui caz concret, se vede că formula de calcul a corecției de reducere la coard ă
asigură și semnul corecției.
O examinare a diverselor situații din țara noatră indică folosirea razei R 0 la latitudinea de 460:
R0(460) = 6 378 956m.
Termenul din fața parantezei fiind constant rezultă:

 pentru gradația centesimală :

1,2” = – 2,1”= 10-10 39,113(x 1y2 – x2y1)

 pentru gradaț ia sexagesimală:

46
1,2” = – 2,1”= 10-10 12,673(x 1y2 – x2y1)

Calculul corecțiilor de reducere la coardă impune cunoașterea unor coordonate aproximative
(cu aproximația de ordinul metrilor) atât ale punctului de stație, cât și ale punctului vizat. În
cazul punctelor noi, procesul este iterativ în sensul că: se calculează într -o primă etapă
coordonatele provizorii cu ajutorul direțtiilor nereduse, cu ajutorul acestora se calculează
corecțiile de reducere la coardă, direcțiile reduse vor folosi apoi la c alculul unui nou set de
coordonate.
Procedeul si formulele de calcul ale corectiei de reducere la coarda asigura o precizie de
0,01”.
Corectitudinea corecțiilor  se poate verifica pe triunghiuri, cu ajutorul triunghiului sferic.

Fig.7.1 Verificarea corec țiilor de reducere la coardă

(i,j )r= (i,j)m + i,j

unde,

(i,j )r – este direcția redusă la coardă;
(i,j)m – este direcția măsurată, ner edusă la coardă.

1+ 2 + 3 =1800+ 

1’+ 2’ + 3’ =1800

unde,
1 2
3 1’
2’
3’ 1
3 2 +x
+y O

47  – este unghiul obținut din direcțiile reduse la coardă;
‘ – este unghiul obținut din direcțiile măsurate.

Va rezulta relația:
(13 – 12) + (21 – 23) +(32 – 31) = -
Regul ă practică de verificare : În orice triunghi geodezic, suma corecțiilor de reducere a
direcțiilor la planul de proiecție pentru cele trei unghiuri trebuie să fie egală cu excesul sferic
al triunghiului respectiv luat cu semn schimbat.

4. Reducerea distanțelor la planul de proiecție Stereografică 1970

Calculul re spectiv se poate separa în două etape:

1. reducerea unei distanțe de pe elipsoid (sfera terestră) la planul tangent în Q 0(0,0);
2. reducerea distanței din planul tangent în Q 0 la planul secant, paralel cu cel tangent.

Fig. 7.2. Imaginea plan ă a linie geodezice de pe elipsoid

Curba 1 -2 are lungimea  și reprezintă imaginea plană a liniei geodezice. Coarda 1 -2 are
lungimea S. Pe elipsoid (sfera ter estră) linia geodezică are lungimea s.
In aproximația  = S, se pune problema găsir ii unei legături între s și S.
Plecând de la expresia modulului de deformație liniară din proiecția stereografică pe plan
tangent se va ajunge la expresia:

s
S Rx yS
m m  

 11
4 12022 22
( )

Dezvoltând paranteza după binomul lui Newton la puterea -1 și înlocuin d S2 = x2 + y2,
distanța S redusă la planul tangent se calculează cu formula:
S 
1(x1,y1) 2 (x2;y2)
O +y +x


48
s
Sx y
Rx y
Rm m 

 1
4 482 2
022 2
02

unde,
xm, ym sunt coordonatele medii ale unui punct situat la mijlocul segmentului 1 -2
x, y sunt diferențele de coordonate între punctele 1și 2.

Distanța S 0 redusă la planul secant se calculează cu relația:

S0 = Sc

în care c este coeficientul subunitar utilizat pentru transformarea coordonatelor stereografice
din planul tangent în cel secant (c = 0,999 750 000).
Coordonatele plane x m, ym și diferențele de coordonate
x = x 2 – x1
y = y 2 – y1
este suficient să se cunoască cu o aproximație de ordinul metrilor.
Valoarea

S2 = x2 + y2

necesară pentru calculul ultimului termen corectiv poate fi înlocuită cu valoarea s2 de pe
elipsoid sau sferă.

5. Deformații în proiecția Stereografică 1970

Proiecția stereografică 1970, fiind o proiecție conformă, nu deformează unghiurile. Se
deformează, în schimb, lungimile și ariile.

Deformațiile distanțelor

Pornind de la formulele sta bilite la prezentarea unei proiecții stereografice a unei sfere pe un
plan tangent va rezulta:

 = A

 = 2R 0tg
L
R20

tg x = x + 1/3 x3 + 2/15 x5 +………
tgL
RL
RL
RL
R 2 21
382
152160 03
035
05  ………

tgL
R RLL
RL
R 21
2 12 1200 03
025
04  ( )

49  = 2R 0
1
2 12 12003
025
04RLL
RL
R( ) 

 =
LL
RL
R3
025
0412 120
Deformația totală va fi:

 –
LL
RL
R3
025
0412 120

Dacă notăm deformația liniară din planul tangent cu T și pe cea din planul secant cu S se
obține:

T =
d
dLdLL
RdLL
RdL
dL2
024
024 24
T =
1
4 242
024
04 L
RL
R ,

ultimul termen din relatia de mai sus poate fi neglijat deoarece:

L = 400km
R0 = 6 000km

Dacă pentru calculul termenului L2/4R 02 se face aproximarea:

L2  2 = x2 + y2,

atunci se obține :

T =
1
4 241
42
024
042 2
02  
R Rxy
R
în care x și y sunt coordonatele rectangulare plane stereografice ale punctului în care se
calculează valoarea lui .
Calculul deformației liniare în plan secant se face folosind coeficientul de reducere la scară c
= 0,99975 :

S = T c
xtg = x sec/c

S =
cxy
cR( )sec2 2
024

50 ytg = y sec/c
Pentru latitudinea medie a țării noastre, 0 = 460

S = 0,99975 + 6,145 388 10-15(x2 + y2)sec

Deformațiile liniare relative se calculează cu for mulele:

 în plan tangent:
Dt = T – 1 =
( ) xy
R Rtg tg2 2
022
024 4
 în plan secant
Ds = S – 1 =
( )( )seccxy
cR1
42 2
02
Ds= -0,000 25 + 6,145 388 10-15(x2 + y2)sec

Deformațiile ariilor:

Deformațiile areolare au același semn cu cele liniare, i ar valoarea modulului de deformație
areolară poate fi calculată cu ajutorul relației:

p = 2

Concluzii privind deformațiile în proiecția Stereografică 1970

În planul tangent, toate deformațiile sunt oordina și sunt direct proporționale cu pă tratul
distanței de la oordina considerat la originea axelor.
În planul secant, există atât deformații pozitive cât și deformații negative. Fiind vorba de un
plan secant, există un cerc de deformație nulă, cu raza de aproximativ 201,7km.
În oricare alt pu nct din interiorul cercului de deformație nulă deformațiile liniare și areolare
sunt negative. Cele mai mari deformații negative sunt în polul Q 0 (originea axelor de
oordinate plane) și au valoarea de -25 cm/km.
În oricare alt punct oordin în afara cercu lui de deformație nulă deformațiile sunt oordina și
cresc pe măsură ce se mărește distanța față de acest cerc. Pe o mare parte din regiunea de
frontieră a țării deformațiile au valori în jurul a 20 cm/km. În extremitatea vestică a țării, spre
localitatea Beba Veche și în estul Dobrogei (teritorii situate la circa 375 km fațăde oordina
central) deformațiile au valori de aproximativ 63,7 cm/km.
Izoliniile referitoare la deformații au aspectul unor cercuri concentrice cu centrul în originea
axelor de oordin ate plane.

6. Cadrul și nomenclatura foilor planurilor și hărților topografice în proiecția
Stereografică 1970

În vederea simplificării racordării între vechile foi de plan executate în proiecția Gauss și cele
noi, care se execută în proiecție stereogr afică, s -au pastrat cadrul geografic și nomenclatura
trapezelor la fel ca și în proiecția Gauss.

51 Hărțile și planurile topografice au, în general, un cadru geografic format din imaginile plane
ale unor arce de meridiane și paralele, care. pe elipsoidul de r otație, delimitează trapeze
curbilinii, denumite în mod curent “trapeze’.
Fiecare trapez are o anumită nomenclatură și se reprezintă pe o foaie de hartă separată.
Cunoscând regulile după care se face nomenclatura trapezelor, dacă se dă nomenclatura unui
trapez se pot deduce, fara dificultăți:
 scara hărții (planului)
 coordonatele geografice ale colțurilor
 nomenclatura trapezelor vecine
Pentru că dimensiunile și nomenclatura trapezelor sunt strâns legate de scară, a fost necesar să
se standardizeze valorile scărilor asfel că, se folosesc urmatoarele scări standard:
1:1 000 000, 1:500 000, 1:200 000, 1;100 000, 1:50 000, 1;25 000, 1:10 000, 1:5 000, 1:2 000,
ultimele trei sunt scările planurlor topografice de bază ale țării.

52 Cursul nr.6 si 7
PROIECȚII AZIMUTALE PERSPECTIVE

1. Caracteristici generale

Proprietățile generale ale proiecțiilor azimutale sunt valabile și în cazul proiecțiilor azimutale
perspective.
Caracteristi ca de bază a acestor proiecții este faptul că utiliz ează legile perspectivei liniare. În
legătură cu acestea se fac următoarele precizări:
 Pământul se consideră în general sferă de rază R;
 planul de proiecție, pe care se face reprezentarea, se mai numește și planul tabloului ;
 diametrul care trece prin polul Q0 (0,0), pol ales aproximativ în mijlocul teritoriului
de reprezentat, se numete diametru principal ;
 pe diametrul principal sau pe prelungirea lui se alege un punct de vedere (V), a cărui
distanță față de centrul sferei se notează prin D;
 planul de pro iecție (planul tabloului) este perpendicular pe diametrul principal , iar
distanța dintre punctul de vedere și planul de poiecție se notează prin K;
 dreptele care pornesc din punctul de vedere și trec prin punctele de pe suprafața sferei
terestre, se numesc drepte proiectante ;
 imaginea plană a unui punct oarecare B de pe suprafața terestră este un punct B’ în
care dreapta proiectantă care trece prin B înteapă planul tabloului.

O
Qo
O1 B’
B
V
D
K

Fig.6.1 Semnificația parametrilor D si K

2. Clasi ficarea proiecțiilor azimutale perspective

1. După valoarea latitudinii 0 a polului Q 0:
 drepte;

53  oblice;
 transversale.

2. După caracterul deformațiilor:
 conforme;
 echivalente;
 echidistante.

3. După poziția planului de proiecție față de suprafața sferei terestre:

 pe plan tangent;
 pe plan secant.

4. După distanța D, dintre punctul de vedere V și centrul O 1 al sferei terestre:
 centrale (V 1), când D = 0;
 interioare (V 2), când 0  D  R;
 stereografice (V 3), când D = R;
 exterioare (V 4), când R  D 
 ortograf ice (V 5), când D = 

În figura de mai jos se arată pozițiile punctului de vedere V în aceste cinci categorii de
proiectii azimutale perspective și pozițiile imaginilor B 1’, B2’… B 5’ ale aceluiaș punct B de pe
sfera terestră, utilizând legile perspective i liniare și luând planul de proiecție tangent la sferă.

O
Q0
V1= O 1
V2
V3
V4 V5 B
R B
1
1

Fig. 6 .2 Imaginile plane ale aceluiași punct de pe sferă,
în diverse proiecții azimutale perspective

În proiectiile azimutale perspective, poziția reciprocă dintre punct ul de vedere V, sfera
terestră și planul de proiecție (planul tabloului) se definește prin:
 coordonatele geografice 0,0 ale polului Q 0 prin care trece diametrul principal;

54  distanța D dintre punctul de vedere și centrul O 1 al sferei terestre;

 distanța K dintre punctul de vedere V și planul de proiecție (planul tabloului).
Acești parametrii odată stabiliți, devin constantele proiecției și deosebesc între ele diversele
proiecții azimutale perspective.

3. Formule generale pentru calculul coordonatelor plan e polare și al celor plane
rectangulare în proiecțiile azimutale perspective

Se consideră cazul general al unei proiecții azimutale oblice perspective.
Dacă se secționează sfera terestră de raza R cu planul verticalului unui punct oarecare B de pe
sferă, va rezulta situatia din figura de mai jos, în care:
 V este o poziție oarecare pe care o are punctul de vedere pe dreapta care conține
diametrul principal Q 0Q;
 O și B’ sunt imaginile plane ale punctelor Q 0 și respectiv B în planul de proiecție;
 OB’ = , reprezintă raza vectoare a punctului B’ din plan;
 Pe sferă, punctul B are distanța zenitala Z;
 MB = RsinZ, reprezintă raza almucantaratului care trece prin punctul B;
 D = VO 1, reprezintă distanța dintre punctul de vedere și centrul sferei;
 K = VO, reprezintă distanța dintre punctul de vedere și plan.
O B’
B 
M R M Q0
z
O1
K
D
V

Fig. 6.3 Secțiune prin sfera cu planul verticalului unui punct oarecare

Din triunghiurile asemenea OB’V și MBV rezultă:

OB
MBOV
MV'

5.10

55
Adică,


R ZK
DR Z sin cos
5.11

Și în cazul proiecțiilor azimutale perspective se pastrează formulele generale pentru calculul
coordonatelor plane și a modulilor de deformație pentru proiecțiile azimutale. Ținând cont de
acestea, se obțin următoarele formule generale pentru calculul coordonatelor plane polare:

 = A

 =
KR Z
DR Zsin
cos
Ținând cont de aceste formule de calcul precum și de legătura dintre coordonatele plane
polare și coordonatele plane rectangulare, se obțin următoarele formule general e pentru
calculul coordonatelor rectangulare plane în orice proiecție azimutală perspectivă:

x = cos  =
KR Z
DR ZZ Asin
cossin cos

y = sin  =
KR Z
DR ZZ Asin
cossin sin

Unde, D și K sunt constante care caracterizează natura proiecției perspective, iar A si Z sunt
coordonate sferice polare care definesc pe sfera terestră poziția punctului considerat, în raport
cu polul Q( 0,0) al proiecției.

4. PROIECȚIA STEREOGRAFICĂ 1930 (1933) PE PLAN
UNIC SECANT BRASOV

Caracteristici generale

În anul 1 930 s -a hotărât adoptarea, pentru țara noastră, a unei proiecții stereografice pe plan
unic secant denumită și “pe planul secant Brașov”, având ca pol Q 0 (punct central) un punct
fictiv (nematerializat în teren), situat aproximativ la 30 km nord -vest de Br așov.
Coordonatele geografice ale punctului central au valorile:
0 = 51G 00c 00cc,000 (45054’00’’,0000)
0 = 28G 21c 00cc,510 est Gr. (25023’32’’,8722)
Precizarea “plan unic secant Brașov” se face deoarece, înainte de data introducerii acestei
proiecții, în anumite zone ale țării se lucra pe plan tangent Budapesta (în vestul țării) sau în
proiecție stereografică Târgu Mureș.
Harta țării, în această proiecție stereografică, urma să se sprijine pe o triangulație nouă, motiv
pentru care s -a adoptat elipsoidul de referință Hayford orientat pe Observatorul Astronomic

56 Militar din București. În punctul astronomic fundamental s -au facut măurători astronomice
pentru determinarea latitudinii, longitudinii și azimutului care au fost transmise în rețeaua
geodezică de s tat.
Proiec ția fiind stereografică rezultă că, din punct de vedere al deformațiilor, se înscrie în seria
proiecțiilor conforme ceea ce permite ca măsurătorilegeodezice efectuate să poată fi
prelucrate direct în planul de proiecți, după aplicarea prealabilă a unor corecții de reducere la
paln
Sistemul de axe de coordonate plane stereografic a fost astfel ales încât originea să reprezinte
imaginea plană a polului Q 0(0, 0), axa Oy să se gasească pe direcția nord -sud, cu sensul
pozitiv spre nord, iar axa Ox p e direcția est -vest, cu sensul pozitiv spre est.

Fig.6.4 Sistemul de axe de coordonate în proiecția Stereografică 1930 și sistemul de împărțire
pe foi

Pentru unele nevoi practice, în scopul de a nu se lucra cu coordonat negative, s -a adoptat o
translaț ie a sistemului de axe de coordonate cu 500 000 m spre vest și respectiv cu 500 000 m
spre sud, astfel că, pentru teritoriul întregii țări coordonatele plane deveneau positive (fig.5.8).
De subliniat faptul că aceste coordonate care au suferit translații n u se puteau utiliza pentru
orice calcul. De exemplu, nu se puteau utiliza pentru calculul corecției de reducere la coarda,
calculul corecției de reducere a distanțelor la planul de proiecție, calculul deformațiilor etc.
Sunt folosite două plane de proiecți e: un plan secant și unul tangent. Pentru un teritoriu
reprezentat în cele doua plane se obțin imagini asemenea, imaginea din planul secant fiind
mai mică decat cea din planul tangent.

57

Fig. 6.5. Utilizarea celor dou ă plane
în proiecția Stereografică 1 930

Transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent în planul unic secant Brașov se
realizează prin înmulțirea coordonatelor din planul tangent cu coeficientul c de reducere a
scării, având valoarea:

c = 1 – 1/3000 = 0. 999 666 67

Transfor marea coordonatelor stereografice din planul unic secant în planul tangent se face
prin înmulțirea celor din planul secant cu coeficientul c’ care are valoarea:

c’ = 1/c = 1.000 333 44

Deformații în proiecția Steraografică 1930

În planul tangent defor mațiile liniare și areolare din polul Q 0 sunt nule, iar în toate celelalte
puncte ale planului se produc deformații pozitive care cresc direct proporțional cu pătratul
distanței față de polul Q 0 (punctul central). De exemplu, la distanța de 330km față de p olul
proiecției, deformația relativă este de 67 cm/km.În scopul micșorării deformațiilor s -a adoptat
atunci un plan secant în locul celui tangent. În acest caz apare un cerc de deformație nulă cu
raza de 233 km. În planul secant al proiecției stereografice deformațiile liniare și cele areolare
sunt negative pentru zonele situate deasupra planului secant (în interiorul cercului de
deformație nulă) și pozitive pentru zonele situate sub planul secant (în afara cercului de
deformație nulă). Deformațiile cresc î n valoare absolută pe masură ce se mărește distanța față
de cercul de secționare.
Deformațiile negative maxime sunt în polul Q 0 (în originea axelor) și ating valoarea – 33,33
cm/km.
Spre zonele limitrofe ale țării, de exemplul la distanța de 330 km față de originea axelor (față
de polul Q 0), deformațiile din proiecția stereografică pe planul secant Brașov au valoarea de
+33,56cm/km, iar la distanța de 380 km ele ating valori de +55,39cm/km.

Secțiuni geodezice și secțiunile topografice (cadastrale) în proi ecția Stereografică 1930

58
O hartă a țării la scara 1:20 000 realizată pe o foaie unică ar avea dimensiunile de aproximativ
40×30 m (Fig.5.8). Din această cauză, ar fi foarte greu de lucrat cu ea și atunci s -a recurs la
împărțirea întregii suprafețe a țării în secțiuni – prin ducerea de drepte paralele la cele două axe
de coordonate X și Y.
Trasându -se paralele la axele de coordonate pe direcția abscisei din 75 în 75 km, iar pe
direcția ordonatei din 50 în 50 km, s -a obținut scheletul hărții țării la scara 1: 100 000. Un
dreptunghi rezultat din această trasare a paralelelor reprezintă o hartă topografică la scara
1:100 000. Dacă se trasează paralele pe direcția absciselor din 15 în 15 km, iar pe direcția
ordonatei din 10 în 10 km, se obține scheletul hărții de bază a României la scara 1:20 000.
În harta topografică la scara 1:100 000 se includ deci 25 de hărți la scara
1:20 000.
În cazul în care se trasează paralelele din 8 în 8 km pe direcția X și din 10 în 10 km pe direcția
Y , se obține scheletul hărții țări i în secțiuni geodezice sau foile fundamentale ale planurilor
cadastrale de dimensiunile 8×10 km.
Prin împărțirea secțiunii geodezice în 5 părți egale pe orizontală și 8 părți pe verticală se obțin
40 de secțiuni cadastrale.

O secțiune geodezică = 8 km x 10 km = 80 km2 = 8 000 ha
O secțiune geodezică = 10 secțiuni cadastrale
O secțiune cadastrală = 1 600 m x 1 250 m = 20 ha.

Formatul hărților în această proiecție este dreptunghiular.

ELEMENTELE CARACTERISTICE PROIECȚIEI STEREO ’ 1970

1 Caracteristici g enerale

În septembrie 1970, prin decretul nr.305 “ cu privire la activitatea geodezică, topo –
fotogrametricășsi cartografică, precum și la procurarea, deținerea și folosirea datelor și
documentelor rezultate din această activitate ” se prevedea ca:
“Lucrări le geodezice, topo -fotogrametrice și cartografice necesare economiei naționale se
execută în proieție stereografică 1970 și sistem de cote de referiță Marea Neagră”.
“Pentru nevoile de apărare și securitate, precum și pentru cele necesare activităților
știițifice, învățământului, uzului public și propagandei, aceste lucrări vor fi executate și în
alte sisteme de proiecție”.

Conform prevederilor decretului menționat, obligația de a stabili parametrii care să
caracterizeze noul “sistem de proiecție stereogra fică 1970” i -a revenit Direcției de geodezie și
cadastru din Ministerul Agriculturii, Industriei Alimentare și Apelor.
În 1972, au fot stabilite următoarele elemente care să caracterizeze proiecția stereografică
1970:

 Se menține elipsoidul de referință Kr asovski (1940), orientat la Pulkovo ca și în cazul
proiecției Gauss -Kruger;

 2) Polul Q 0 al proiecției, denumit și “centrul proiecției” are coordonatele geografice:

59 0 = 46o Lat. N
0 = 25o est Greenwich

Fig. 6.6. Cercul de deformație nulă în proiecț ia Stereografică 1970

Aceste coordonate diferă puțin de cele ale polului vechiului sistem de proiecție stereografică
(1933) utilizat în trecut în țara noatră. Noul pol este deplasat spre nord -vest față de cel vechi.

 Întreaga țară se reprezintă pe un sin gur plan de proiecție, în care există un cerc de
deformație nulă cu raza 0 = 201,718 m ceea ce corespunde unui “sistem secant”, în care
există deformații pozitive și negative, având cele mai mari deformații negative, de -25 cm/km,
în punctul central.

 Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane are ca origine imaginea plană a
punctului central (fig. 5.10) . Astfel:
 Axa Ox este o dreaptă reprezentând imaginea meridianului 0, ea fiind și axă de simetrie. Are
sensul pozitiv spre nord.
 Axa Oy este perpend iculară pe axa Ox și are sensul pozitiv spre est.
Sistemul de coordonate plane xOy folosit de proiecția stereografică 1970 este inversat față de
sistemul de axe din vechea proiecție sterografică 1930 -1933.

 Paralel cu planul secant se utilizează și un plan tangent la ellipsoid, acesta constituind
o suprafață auxiliară. Imaginile din cele doua plane
sunt asemenea, cea din planul secant fiind mai mică (având scara micșorată). Pentru trecerea
de la coordonatele din planul tangent la cele din planul secant se folosește un coeficient de
reducere la scară:
c = 1 –
1
4000099975,
Relațiile dintre coordonatele aceluiași punct din cele două plane de proiecție se exprimă
astfel:

xsec = x tgc
ysec = y tgc

60
 6) Transformarea coordonatelor stereografice din planul secant în cel tangent se face
înmulțind aceste coordonate cu coeficientul:
c’ =
1
c 1, 000 250 063

Sistemul de proiecție stereografică 1970 a început să fie utilizat în lucrările de producție
curentă, din țara noastră, din an ul 1973.

Condiții impuse reprezentării în proiecția stereografică 1970:
Ecuațiile hărții au fost stabilite astfel încat reprezentarea să satisfacă următoarele condiții de
bază:

1. Să fie conformă;

2. Meridianul o care trece prin punctul central se repr ezintă printr -o dreaptă care este și axă
de simetrie și axă Ox, iar originea O este imaginea plană a polului Q 0;

3. Orice punct situat pe meridianul central o are abscisa:

xm = sR 0 tg

20R

m
O
V B B’
O1
R0 /R0
/2R 0

Fig.6.7. Secțiune meridiană prin sfera de rază R 0

În figura de mai sus este reprezentată secțiunea meridiană printr -o sferă de rază R 0 luată la
latitudinea 0 = 46o N.
B – este un punct oarecare pe sferă;
R0- raza sferei la latitudinea 0 = 46o N;

61 B’- imaginea lui B în planul tangent de proiecție;
 – lungimea arcului de meridian măsurat pe elipsoid între paralelul de latitudine 460 și
paralelul de latitudine  a punctului considerat.
Relația (5.15) împreună cu figura (5.11) amintesc de expresia razei vectoare  din proiecția
azimutală stereografică pe plan tangent.

 Coordonatele stereografice 1970 calculate în sistemul de axe de coordonate cu originea în
centrul țării sunt modificate cu + 500 000 m atât pe x cât și pe y, ceea ce corespunde unei
translații a axe lor spre sud și vest. Acest lucru se face pentru a avea coordonate pozitive.

y’ y x’ x
O’ O 500 000
500 000

Fig. 6.8. Transla ția sistemului de axe de coordonate rectangulare plane în proiecția
Sterografică 1970

Coordonatele x’,y’ afectate de translații pot fi utilizate pentru o serie de calcule cum sunt:
 calculul distanței funcție de coordonate;

 calculul orientărilor funcție de coordonate;

 calculul ariei unei parcele în funcție de coordonatele plane ale colțurilor ei.

Este complet interzis să se foloseas că coordonatele x’, y’ care au translații pentru o serie de
calcule cum sunt:
 transformarea coordonatelor plane stereografice în coordonate geografice;

 transcalcularea coordonatelor din proiecție stereografică în proiecție Gauss -Kruger sau
în alte proiecț ii;

 reducerea direcțiilor sau distanțelor la planul de proiecție .

2 Transformări de coordonate în proiecția Stereografică 1970

A. Transformarea coordonatelor geografice ( ,) de pe elipsoidul
de referință în coordonate plane Stereografice 1970 (x, y):

62 Această transformare se face cu ajutorul unor formule cu coeficienți constanți, în funcție de
latitudinea  și de longitudinea l dintre punctul considerat ( ,) și punctul central al
proiecției (polul Q 0 cu coordonatele geografice 0,0).
În acest calcu l se pot deosebi două etape:
 transformarea coordonatelor geografice în coordonate stereografice pe planul tangent
în Q 0 ( acest calcul este cel mai laborios);
 transformarea coordonatelor stereografice din planul tangent în planul secant, paralel
cu planul tangent; această a doua etapă, extrem de simplă, se realizează prin înmulțirea
coordonatelor din planul tangent cu un coeficient de reducere a scării, care est e subunitar și
depinde de distanța dintre planul tangent și cel secant.
Formulele de calcul s -au stabilit după o metodă propusă de academicianul bulgar
V.K.HRISTOV, metoda care, în esență, constă în dezvoltarea în serie Taylor, în jurul
punctului central ( 0, 0), a elementelor care depind de latitudine. Derivatele respective,
calculate în punctul central ( 0, 0) apar sub forma unor constante, care se grupează
convenabil sub formă de coeficienți constanți.
Reprezentarea trebuie să satisfacă urmatoarele con diții:
 să fie conformă;
 meridinul 0 care trece prin polul Q 0 (centrul proiecției) să se reprezinte printr -o dreaptî care
se ia ca axă xx’, cu sensul pozitiv spre nord, fiind și axă de simetrie;
 originea O a sistemului de coordonate stereografice este imag inea plană a punctului central,
iar un punct oarecare B ( ,) situat pe meridianul central 0 are coordonata x m dată de relația:

xm = 2R 0tg/2R 0

unde,
R0 – este raza sferei Gauss la latitudinea 0;
 – este un arc de meridian, a cărui lungime est e egală cu cea a arcului de meridian de pe
elipsoid,cuprins între paralele 0 și .
Prin urmare, pentru un elipsoid dat și o latitudine 0 stabilită pentru centru de proiecție,
coeficienții utilizați în formulele pentru calculul coordonatelor plane stereog rafice 1970, au
valori constante. În cazul de față, pentru elipsoidul Krasovski și latitudinea 0 = 460 s-au
calculat urmatoarele valori numerice pentru coeficientii constanți prezentate în foia de calcul,
în coloanele 2, 3, 4, 5 din tabelul 1 și în coloan ele 2, 3, 4 din tabelul doi.
Pentru țara noastră, “ și mai ales (  – 0)” pot atinge valori mai mari decât 10 000”. Astfel
de numere ridicate la puterile 5 și 6 devin incomode, din cauza mărimii lor, în timp ce
coeficienții constanți sunt foarte mici. În scopul evitării acestui inconvenient, în formule s -a
considerat:

f = 10-4“
l = 10-4( – 0)”

Aceste valori ale coeficienților constanți, pentru transformarea coordonatelor geografice ( ,)
în coordonate plane stereografice pe un plan tangent, la latitudinea 0 = 460, au fost calculate
la I.G.F.C.O.T. (București).
Practic, procedeul de calcul pentru x este următorul:
Elementele coloanei 1 se înmulțesc cu elementele corespunzătoare (de pe aceeași linie) din
coloana 2, se însumează algebric obțin ându -se valoarea S 0, care se înmulțește cu primul
element din coloana 6, obținându -se primul rezultat partțal r 0. Asemănător, din coloanele 1 și

63 3, 1 și 4, 1 și 5, 1 și 6 se obțin S 2, S4, S6 care se înmulțesc cu elementele coloanei 6 rezultând
r2, r4, r6.
Însumând algebric rezultatele din coloana 7, se obține valoarea lui x tg, din planul tangent de
proiecție stereografică apoi, prin înmulțirea acestuia cu coeficientul c = 0, 999 750 000, se
obține valoarea lui x în planul secant de proiecție stereografică 1 970.
Calculul lui y se face asemănător cu cel a lui x.
Procedeul asigură o precizie de ordinul a 1 cm pentru orice punct din țara noastră.

B. Transformarea coordonatelor rectangulare plane Stereografice 1970 (x,y) în
coordonate geografice ( ,), pe elipso idul de referință:

Acest calcul presupune două etape:
 etapa întâi, de transformare a coordonatelor stereografice din planul secant în planul
tangent, paralel cu cel secant, prin înmultirea cu un coeficient supraunitar:

c’ = 1, 000 250 063

 etapa a doua, mai laborioasă, constă în transformarea coordonatelor stereografice din
planul tangent, în coordonate geografice ( ,) pe elipsoidul de referință; această problemă se
rezolvă cu ajutorul unor formule cu coeficienți constanți, stabilite într -un mod asemănăt or, în
principiu, cu formulele pentru calculul coordonatelor plane stereografice.
Se calculează întâi diferența de coordonate  și l față de centrul proiecției ( 0,0), apoi
coordonatele geografice:

 = 0 + 
 = 0 + l 5.19

Pentru elipsoidul Krasovski și 0 = 460, coeficienții constanți sunt prezentați în tabelele 2, 3, 4
din foaia de calcul de mai jos.
Valorile pentru coeficienții constanți au fost calculate la I.G.F.C.O.T. (București).
Procedeul de calcul pentru  și  este același ca în caz ul calcului coordonatelor plane
rectangulare.

C. Transcalcularea coordonatelor plane Gauss în coordonate plane
stereografice 1970 și invers:

Transformarea coordonatelor plane Gauss în oordinate plane stereografice 1970 se face prin
intermediul coordon atelor geografice.
Metoda presupune două etape:
a) În prima etapă, se transformă coordonatele plane Gauss în oordinate pe elipsoidul de
referință;
b) În a doua etapă, coordonatele geografice de pe oordinat se transformă în oordinate
plane stereografice 1970.
Pentru transcalcularea coordonatelor plane stereografice 1970 în oordinate plane Gauss se
procedează în același fel ca și în primul caz.
Calculul este oordi și omogen pentru toată țara deoarece ambele proiecții folosesc același
oordinat – Krasovsk i 1940 – cu aceeași orientare.
În producție, pentru unele lucrări mai puțin pretențioase sub aspectul preciziei, se aplică
formulele de transcalculare din topografie, folosind drept puncte cu oordinate iî ambele

64 sisteme de proiecție colțurile trapezelor, pentru care atât coordonatele plane Gauss, cât și cele
plane stereogarfice 1970 se extrag din tabele.
Această metodă este mai rapidă, însă cea mai riguroasă este metoda prin intermediul
coordonatelor geografice.

3 Reducerea direcțiilor la planul de proie cție Stereografică 1970

Reducerea direcțiilor la planul de proiecție este operația de corectare a direcțiilor măsurate în
rețeaua geodezică de stat prin aplicarea unor corecții unghiulare  numite “corecții de
reducere la coardă”. Această operație este n ecesară deoarece, în planul de proiectțe, imaginile
plane ale laturilor triunghiurilor geodezice nu sunt linii ci sunt curbe.
Pentru stabilirea formulei de calcul a acestei corecții, se consideră pe sfera de rază medie R 0
triunghiul sferic B 1B2Q0, în care B1 și B 2 sunt extremitățile unei direcții măsurate (capetele
unei laturi de triangulație), iar Q 0(0,0) este polul proiecției.

Fig. 6.9 Reprezentarea liniilor geodezice (pe elipsoid și în planul de proiecție )

Pentru repr ezentarea în plan a acestui triunghi sferic se au în vedere urmatoarele proprietăți
ale proiecției stereografice:
 proiecția este conformă;
 cercurile mari care trec prin Q 0 (verticaluri) se reprezintă prin segmente de dreaptă care trec
prin originea O;
 un arc de cerc se va reprezenta tot printr -un arc de cerc (excepție fac verticalurile).
Imaginile plane ale vârfurilor triunghiului sferic sunt punctele B 1’, B 2’ și O. Arcele de cerc
B1Q0 și B 2Q0, aparținând unor verticaluri ale polului Q 0, se reprezintă prin dreptele B 1’O și
B2’O, care fac între ele un unghi , egal cu cel corespunzător de pe sferă, iar linia geodezică Q0 (0, 0) 0 0 B1
B2
a) pe elipsoid (sfer ă) 12
21 B’
1
B’
2
b) în planul de proiec ție  
O +x
+y

65 B1B2 de pe sfera, fiind un arc mare care nu trece prin polul Q 0, se reprezintă în plan prin arcul
de cerc B 1’B2’ cu concavitatea spre interioru l triunghiului.
În punctele B 1’ și B 2’ el face cu coarda sa unghiurile:

1,2 = 2,1

egale în valoare absolută cu corecțiile de reducere la coarda ale directiilor B 1B2 și respectiv
B2B1.

Suma unghiurilor triunghiului sferic B 1B2Q0 este egală cu 200G + , unde  este excesul sferic.
Proiectia fiind conformă, ungiurile imaginii plane a acestui triunghi sferic trebuie să fie
nedeformate, adică :

200G + 1,2 + 2,1= 200G + 

1,2 = 2,1= /2

 =
s
R02 , “ = “
s
R02

în care, S este suprafața triunghiului sferic B 1B2Q0.
Corecția de reducere la coardă având valori relativi mici, s -a înlocuit suprafața triunghiului
sferic cu suprafața triunghiului plan B 1’B2’O.

S  S1 =
10 011
21
2 21 1
y xyx =
2 21 1
21
yxyx =
1
2 (x1y2 – x2y1)

Având în vedere faptul că orientările și gradațiile cercurilor orizontale ale teodolitelor cresc în
sensul mișcării acelor de ceasornic, rezultă că pentru direcția B 1B2 semnul c orectței trebuie să
fie pozitiv în B 1’ și negativ în B 2’:

1,2” = – 2,1”=
"
402R (x1y2 – x2y1)

Prin analiza unui caz concret, se vede că formula de calcul a corecției de reducere la coard ă
asigură și semnul corecției.
O examinare a diverselor situații din țara noatră indică folosirea razei R 0 la latitudinea de 460:
R0(460) = 6 378 956m.
Termenul din fața parantezei fiind constant rezultă:

 pentru gradația centesimală :

1,2” = – 2,1”= 10-10 39,113(x 1y2 – x2y1)

 pentru gradaț ia sexagesimală:

66
1,2” = – 2,1”= 10-10 12,673(x 1y2 – x2y1)

Calculul corecțiilor de reducere la coardă impune cunoașterea unor coordonate aproximative
(cu aproximația de ordinul metrilor) atât ale punctului de stație, cât și ale punctului vizat. În
cazul punctelor noi, procesul este iterativ în sensul că: se calculează într -o primă etapă
coordonatele provizorii cu ajutorul direțtiilor nereduse, cu ajutorul acestora se calculează
corecțiile de reducere la coardă, direcțiile reduse vor folosi apoi la c alculul unui nou set de
coordonate.
Procedeul si formulele de calcul ale corectiei de reducere la coarda asigura o precizie de
0,01”.
Corectitudinea corecțiilor  se poate verifica pe triunghiuri, cu ajutorul triunghiului sferic.

Fig.7.1 Verificarea corec țiilor de reducere la coardă

(i,j )r= (i,j)m + i,j

unde,

(i,j )r – este direcția redusă la coardă;
(i,j)m – este direcția măsurată, ner edusă la coardă.

1+ 2 + 3 =1800+ 

1’+ 2’ + 3’ =1800

unde,
1 2
3 1’
2’
3’ 1
3 2 +x
+y O

67  – este unghiul obținut din direcțiile reduse la coardă;
‘ – este unghiul obținut din direcțiile măsurate.

Va rezulta relația:
(13 – 12) + (21 – 23) +(32 – 31) = -
Regul ă practică de verificare : În orice triunghi geodezic, suma corecțiilor de reducere a
direcțiilor la planul de proiecție pentru cele trei unghiuri trebuie să fie egală cu excesul sferic
al triunghiului respectiv luat cu semn schimbat.

4. Reducerea distanțelor la planul de proiecție Stereografică 1970

Calculul re spectiv se poate separa în două etape:

3. reducerea unei distanțe de pe elipsoid (sfera terestră) la planul tangent în Q 0(0,0);
4. reducerea distanței din planul tangent în Q 0 la planul secant, paralel cu cel tangent.

Fig. 7.2. Imaginea plan ă a linie geodezice de pe elipsoid

Curba 1 -2 are lungimea  și reprezintă imaginea plană a liniei geodezice. Coarda 1 -2 are
lungimea S. Pe elipsoid (sfera ter estră) linia geodezică are lungimea s.
In aproximația  = S, se pune problema găsir ii unei legături între s și S.
Plecând de la expresia modulului de deformație liniară din proiecția stereografică pe plan
tangent se va ajunge la expresia:

s
S Rx yS
m m  

 11
4 12022 22
( )

Dezvoltând paranteza după binomul lui Newton la puterea -1 și înlocuin d S2 = x2 + y2,
distanța S redusă la planul tangent se calculează cu formula:
S 
1(x1,y1) 2 (x2;y2)
O +y +x


68
s
Sx y
Rx y
Rm m 

 1
4 482 2
022 2
02

unde,
xm, ym sunt coordonatele medii ale unui punct situat la mijlocul segmentului 1 -2
x, y sunt diferențele de coordonate între punctele 1și 2.

Distanța S 0 redusă la planul secant se calculează cu relația:

S0 = Sc

în care c este coeficientul subunitar utilizat pentru transformarea coordonatelor stereografice
din planul tangent în cel secant (c = 0,999 750 000).
Coordonatele plane x m, ym și diferențele de coordonate
x = x 2 – x1
y = y 2 – y1
este suficient să se cunoască cu o aproximație de ordinul metrilor.
Valoarea

S2 = x2 + y2

necesară pentru calculul ultimului termen corectiv poate fi înlocuită cu valoarea s2 de pe
elipsoid sau sferă.

5. Deformații în proiecția Stereografică 1970

Proiecția stereografică 1970, fiind o proiecție conformă, nu deformează unghiurile. Se
deformează, în schimb, lungimile și ariile.

Deformațiile distanțelor

Pornind de la formulele sta bilite la prezentarea unei proiecții stereografice a unei sfere pe un
plan tangent va rezulta:

 = A

 = 2R 0tg
L
R20

tg x = x + 1/3 x3 + 2/15 x5 +………
tgL
RL
RL
RL
R 2 21
382
152160 03
035
05  ………

tgL
R RLL
RL
R 21
2 12 1200 03
025
04  ( )

69  = 2R 0
1
2 12 12003
025
04RLL
RL
R( ) 

 =
LL
RL
R3
025
0412 120
Deformația totală va fi:

 –
LL
RL
R3
025
0412 120

Dacă notăm deformația liniară din planul tangent cu T și pe cea din planul secant cu S se
obține:

T =
d
dLdLL
RdLL
RdL
dL2
024
024 24
T =
1
4 242
024
04 L
RL
R ,

ultimul termen din relatia de mai sus poate fi neglijat deoarece:

L = 400km
R0 = 6 000km

Dacă pentru calculul termenului L2/4R 02 se face aproximarea:

L2  2 = x2 + y2,

atunci se obține :

T =
1
4 241
42
024
042 2
02  
R Rxy
R
în care x și y sunt coordonatele rectangulare plane stereografice ale punctului în care se
calculează valoarea lui .
Calculul deformației liniare în plan secant se face folosind coeficientul de reducere la scară c
= 0,99975 :

S = T c
xtg = x sec/c

S =
cxy
cR( )sec2 2
024

70 ytg = y sec/c
Pentru latitudinea medie a țării noastre, 0 = 460

S = 0,99975 + 6,145 388 10-15(x2 + y2)sec

Deformațiile liniare relative se calculează cu for mulele:

 în plan tangent:
Dt = T – 1 =
( ) xy
R Rtg tg2 2
022
024 4
 în plan secant
Ds = S – 1 =
( )( )seccxy
cR1
42 2
02
Ds= -0,000 25 + 6,145 388 10-15(x2 + y2)sec

Deformațiile ariilor:

Deformațiile areolare au același semn cu cele liniare, i ar valoarea modulului de deformație
areolară poate fi calculată cu ajutorul relației:

p = 2

Concluzii privind deformațiile în proiecția Stereografică 1970

În planul tangent, toate deformațiile sunt oordina și sunt direct proporționale cu pă tratul
distanței de la oordina considerat la originea axelor.
În planul secant, există atât deformații pozitive cât și deformații negative. Fiind vorba de un
plan secant, există un cerc de deformație nulă, cu raza de aproximativ 201,7km.
În oricare alt pu nct din interiorul cercului de deformație nulă deformațiile liniare și areolare
sunt negative. Cele mai mari deformații negative sunt în polul Q 0 (originea axelor de
oordinate plane) și au valoarea de -25 cm/km.
În oricare alt punct oordin în afara cercu lui de deformație nulă deformațiile sunt oordina și
cresc pe măsură ce se mărește distanța față de acest cerc. Pe o mare parte din regiunea de
frontieră a țării deformațiile au valori în jurul a 20 cm/km. În extremitatea vestică a țării, spre
localitatea Beba Veche și în estul Dobrogei (teritorii situate la circa 375 km fațăde oordina
central) deformațiile au valori de aproximativ 63,7 cm/km.
Izoliniile referitoare la deformații au aspectul unor cercuri concentrice cu centrul în originea
axelor de oordin ate plane.

6. Cadrul și nomenclatura foilor planurilor și hărților topografice în proiecția
Stereografică 1970

În vederea simplificării racordării între vechile foi de plan executate în proiecția Gauss și cele
noi, care se execută în proiecție stereogr afică, s -au pastrat cadrul geografic și nomenclatura
trapezelor la fel ca și în proiecția Gauss.

71 Hărțile și planurile topografice au, în general, un cadru geografic format din imaginile plane
ale unor arce de meridiane și paralele, care. pe elipsoidul de r otație, delimitează trapeze
curbilinii, denumite în mod curent “trapeze’.
Fiecare trapez are o anumită nomenclatură și se reprezintă pe o foaie de hartă separată.
Cunoscând regulile după care se face nomenclatura trapezelor, dacă se dă nomenclatura unui
trapez se pot deduce, fara dificultăți:
 scara hărții (planului)
 coordonatele geografice ale colțurilor
 nomenclatura trapezelor vecine
Pentru că dimensiunile și nomenclatura trapezelor sunt strâns legate de scară, a fost necesar să
se standardizeze valorile scărilor asfel că, se folosesc urmatoarele scări standard:
1:1 000 000, 1:500 000, 1:200 000, 1;100 000, 1:50 000, 1;25 000, 1:10 000, 1:5 000, 1:2 000,
ultimele trei sunt scările planurlor topografice de bază ale țării.

72
Cursul nr. 8 și 9
6. PROIECȚII LE CILINDRICE

Proiectiile cilindrice se ob țin prin proiectarea elipsoidului de referin ță pe suprafa ța lateral ă a
unui cilindru care apoi se taie după una din generatoarele sale și se desfăș oară în plan.

6.1. Principii fundame ntale
Suprafața elipsoidului de rotație sau a sferei se reprezintă pe suprafața laterală a unui cilindru
tangent sau secant care apoi se desfășoară în plan, obținându -se o reprezentare cilindrică.
Orientarea cilindrului față de elipsoid sau sferă este dat ă de coordonatele geografice (φo, λo)
ale polului proiecției Q 0.
Operațiile de calcul ale proiecției cilindrice se desfășoară în următoarea succesiune:
1. Suprafața elipsoidului de rotație se reprezintă mai întâi, în cazul proiecțiilor oblice și
transversale, pe suprafața unei sfere de rază R, în condițiile reperezentărilor conforme,
echivalente și echidistante, iar în cazul proiecțiilor drepte acest calcul se efectuează numai
pentru unele rezolvări particulare.
2. Coordonatele geografice (φ, λ) de pe sfera tere stră de rază R se transformă în
coordonate sferice polare (A, Z), în cazul proiecțiilor oblice și transversale.
3. Se calculează coordonatele rectangulare plane (x, y).
4. Se efectuează construcția grafică a rețelei cartografice de meridiane și paralele,
precum și a imaginilor plane ale unor detalii ce trebuie să fie reprezentate, pe baza
coorodnatelor rectangulare plane.
5. Se calculează modulii de deformare liniară, areolară , precum și deformațiile maxime
ale unghiurilor , în funcție de condițiile de bază ale repre zentărilor cartografice.
Din punct de vedere practic, proiecțiile cilindrice se folosesc atât pentru reprezentări la scări
mici, în cazul întocmirii hărților universale, cât și pentru reprezentări la scări mari. Cele mai
studiate sunt proiecțiile drepte și transversale și anume:
– proiecții cilindrice drepte, echidistante cu rețeeau în pătrate și în dreptunghiuri;
– proiecția cilindrică dreaptă conformă, Mercator;
– proiecția cilindrică transversală conformă Gauss -Kruger;
– proiecția UTM (Universal Transver sală Mercator)

6.2. Clasificarea proiecțiilor cilindrice

1. în funcție de latitudinea φ0 a polului proiecției:
 proiecții drepte: φ 0 = 90°
 proiecții oblice: 0° < φ 0 < 90°
 proiecții transversale: φ 0 = 0°
2. în funcție de natura elementelor care nu se deformează:
 proiecții conforme (ω=0)
 proiecții echivalente (ρ=l)
 proiecții arbitrare (echidistante pe meridiane: m=l sau pe verticaluri μ i=l)
3. în funcție de poziția cilindrului:
 proiecții cilindrice tangente
 proiecții cilindrice secante
4. după aspectul rețelei cartografice normale se disting:
 proiecții cilindrice cu rețeaua normală în pătrate;

73  proiecții cilindrice cu rețeaua normală în dreptunghiuri egale;
 proiecții cilindrice cu rețeaua normală în dreptunghiuri neegale.

Fig. 6. 1 – Proiec ția cilindric ă
a – dreapt ă; b – oblic ă; c – transversal ă; d – secant ă;
e – aspectul re țelei cartografice

6.3. Proiecții cilindrice drepte

Proiecțiile cilindrice drepte sau nor male sunt proiecțiile în care axa cilindrului tangent sau
secant la elipsoid sau sfera terestră coincide cu axa polilor.

6.3.1. Aspectul rețelei normale în proiecțiile cilindrice drepte

74 în proiecțiile cilindrice drepte rețeaua normală este formată din imaginil e meridianelor și
paralelelor. Meridianele se reprezintă printr -o familie de drepte paralele aflate la distanțe
proporționale cu diferențele de longitudine, iar paralelele se reprezintă printr -o familie de
drepte perpendiculare pe imaginile meridianelor. D istanțele dintre paralele diferă în funcție de
tipul proiecției.
Fig. 6. 2. Aspectul general al rețelei normale intr -o proiecție cilindrică dreaptă

6.3.2. Alegerea sistemului de axe de coordonate rectangulare plane
Sistemul de axe de coordonate rectangulare plane se alege cu originea în punctul de
intersecție dintre imaginea plană a meridianului origine sau a meridianului mediu al zonei
considerate de longitudine λ 0 și respectiv, al ecuatorului de latitudine φ 0= 0° sau a unui paralel
oarecare.
Axa Ox se alege o d reaptă care reprezintă unul dintre meridiane, de obicei meridianul mediu l
al zonei de reprezentat și este orientată pe direcția Nord -Sud. Ca axă Oy se alege imaginea
ecuatorului sau a paralelului ce trece prin zona cea mai de la sud față de zona reprezent ată, de
latitudine minimă sau una dintre paralele șin este orientată pe direcția Est -Vest.

6.3.3. Ecuațiile hărții
În proiecțiile cilindrice drepte ecuațiile hărții au forma generală:

în care:
 funcția f se determină din condiția de bază pusă ca repre zentarea să fie conformă,
echivalentă sau echidistantă.
 α este o constantă care se determină punând condiția suplimentară ca cilindrul să fie
tangent sau secant la elipsoid sau la sfera terestră .
 λ=Δλ reprezintă diferența de longitudine.

Formulele general e ale proiecțiilor cilindrice drepte pentru cazul în care Pământul se consideră
elipsoid de rotație:
– coordonate rectangulare plane:

– modulul de deformație liniară în lungul meridianelor:

– modulul de deformație liniară în lungul paralelelor:

75 – modulul de deformație areolară:

– deformația unghiulară maximă:
Formulele generale ale proiecțiilor cilindrice drepte pentru cazul în care Pământul se consideră
sferă:
– coordonate rectangulare plane:
– modulul de deformație liniară în lungul meridianelor:

– modulul de deformație liniară în lungul paralelelor:

– modulul de deformație areolară:

– deformația unghiulară maximă:

În cazul proiecțiilor cilindrice drepte direcțiile principale coincid cu direcțiile meridianelor și
paralelelor și astfel semiaxele elipselor de deformație se determină cu ajutorul relațiilor:
Din formulele de mai sus se observă că deformațiile depind numai de latitudine, deci izoliniile
deformațiilor se confundă cu imaginile plane ale paralelelor.

6.4. Proiecția cilindrică dreaptă cu rețeaua pătratică

76
Această rețea a fost realizată prima dată în anul 1438 de c ătre prințul Henri Navigatorul.
Cilindrul se consideră tangent la ecuator, iar rețeaua cartografică are aspectul unei rețele de
pătrate. Laturile unui pătrat reprezintă arcele de meridiane și paralele considerate întinse .
Proiecția cilindrică dreaptă echidistantă pe meridiane (m =1), cu rețeaua pătratică, în cazul
cilindrului tangent la ecuatorul sferei terestre (φ k= 0°), se calculează și se construiește grafic, pe
baza următoarelor formule :



   
   0
0x 100
100cm
cmSR
y S R

În care:
 x și y e vor exprima în centimetri;

01SN , scara reprezentării, unde N= 1.000.000; 5.000.000 sau 10.000.000 ;
 R= 6.371.116 m, este raza sferei terestre cu o suprafaț ă egală cu cea a elipsoidului de
referință Krasovski 1940;

       10 ;15 ;20 ; diferența de latitudine și longitudine dintre două paralele
respectiv, dintre două meridiane alăturate;

57 ,57793131gg

Deformațiile proiecției se determină cu aj utorul relațiilor :
      111; 1; 1cos cosm n p m n

 1 an
și
   21;sin 022b m tg

Fig. 6.3 Aspectul rețelei de meridiane și paralele
într-o proiecție cilindrică dreaptă patratică (echidistant ă pe
meridiane, cil indru tangent la sfera terestr ă)

6.5. Proiecția cilindrică dreaptă cu rețeaua dreptunghiulară 00 00
200 400 600 200 400
-200
-400
-200 -400

77
Proiecția cilindrică normală dreptunghiulară constă în a reprezenta o porțiune de pe glob pe
suprafața desfășurabilă a unui cilindru secant la globul terestru, în s copul micșorării
deformărilor.
În proiecția cilindrică dreaptă echidistantă cu rețeaua în dreptunghiuri egale unde în afară de
meridiane se mai reprezintă nedeformate ca lungime și două paralele de latitudine φ k, după care
cilindrul intersectează sfera terestră, se consideră următoarele condiții ale reprezentării:
– ecuatorul de latitudine φ k=0 se reprezintă printr -o linie dreaptă;
– proiecțiile meridianelor de longitudine λ 1, λ 2, λ3……. se reprezintă prin linii d repte
echidistante, iar distanțele Y dintre imaginile plane ale meridianelor sunt egale cu lungimea
metrică a arcului paralelei de secanță cu latitudinea (φ k), corespunzătoare cu diferența de
longitudine (Δλ° ):
– proiecțiile paralelelor de latitudine φ 1, φ 2, φ 3,……….. se reprezintă prin linii drepte
echidistante, unde distanțele dintre acestea sunt egale cu lungimea metrică a arcului meridian
corespunzător cu diferența de latitudine (Δφ°) .
Se menționează că echidistanța metrică corespunzătoare unghiulu i Δφ° a arcului de meridian este
mai mare decât lungimea metrică a unui arc al paralelului de secționare corespunzător unghiului
Δλ° de aceeași mărime.
Ecuațiile proiecției cilindric e dreaptă cu rețeaua în dreptunghiuri
Deoarece reprezentarea meridianelor și paralelelor este similară cu cea de la proiecția cilindrică
dreaptă cu rețeaua de pătrate, rezultă pentru abcisa x relația:


   0 x 100cm SR
Punând condiția ca pe paralelul de secționare de latitudine φk, modulul de deformare liniară n k să
fie egal cu unitatea, se poate determina în final relația pentru ordonata y.



cosy
nR

Atunci dacă

1cosk
knR
Rezultă
             cos cosk k k R r y R
Deci
    0 100 coscm ky S R

Deformările în proiecția cilindrică dreaptă cu rețeaua în d reptunghiuri

– Pentru modulul de deformare liniară m, conform condiției impuse, rezultă m=1;
Deci lungimile situate pe direcția meridianelor nu suferă nici un fel de deformare.
– Pentru modulul de deformare liniară n, conform condiție i impuse pe direcția para lelelor
de secționare n k=1, iar pentru celelalte latitudini avem :

  


   cos ; cos
coscos seccosk
k
knr
R r R
RnR

Întâlnim următoarele cazuri:
 φ<φ k deci cosφ>cosφ k și n<1 – deci lungimile situate pe direcția acestor paralele
suferă deformări de forma unor contractări;

78  φ>φ k deci cosφ<cosφ k și n>1 – deci lungimile situate pe direcția acestor paralele
suferă deformări sub formă de alingiri.
Lungimile situate pe direcția paralelelor de secționare nu suferă nici o deformare, deoarece n k=1.
– Pentru modulul de deformare areolară avem rel ația
     coscos seccosk
k p m n n

și surafețele vor suferi deformări în sensul unor contractări dacă φ<φ k și a unor dilatări dacă
φ>φ k. Suprafețele situate la nivelul paralelelor de secționare, nu suferă deformări deoarece p k=1.
– Pentru modulu de deformare ung hiulară se ține cont de faptul că proiecțiile meridianelor
și paralelelor sunt perpendiculare între ele, deci constituie direcții principale:
     sin2 2 2kktg tg
.

6.6. Proiecția cilindrică dreaptă echivalentă Lambert cu latitudini descrescânde

Proie cția cilindrică dreaptă echivalentă Lambert (p=1) cu latitudini descrescânde , în cazul
cilindrului tangent la ecuatorul sferei tarestre (φ k=0°) , denumită și izocilindrică se calculează cu
ecuațiile:



   
   0
0x 100 sin
100cm
cmSR
y S R

Deformațiile pro iecției se exp rimă cu relațiile:


  

1
cos
1
cosp m n
m
n




 1454 cosan
bm
tg

Fig. 6.4 Harta lumii în proiecția Lambert

6.7. Proiecția cilindrică dreaptă conformă Mercator cu latitudini crescânde

A fost construită pentru prima data în 1569 de către cartograful ol andez Gerhard Kremer
(Mercator).
În această proiecție, suprafața desfășurabilă este cilindrul, care poate fi considerat tangent la
Ecuator sau secant la două paralele oarecare. Deci, este o proiecție cilindrică dreaptă.. Atât
meridianele, cât și paralelele se reprezintă prin linii drepte paralele și perpendiculare unele pe

79 altele; meridianele se mențin echidistante, iar paralelele se depărtează între ele pe măsura
creșterii latitudinii .
Astfel, rețeaua are aspectul unor dreptunghiuri alungite din ce în ce mai mult în sensul
meridianelor, pe măsura creșterii latitudinii, din care cauză proiecția se mai numește și cu
latitudini crescânde.
Construcția rețelei cartografice se realizează calculându -se mai întâi distanța dintre paralele și
apoi distanța dintre me ridiane.

Fig. 6.5 Harta lumii în proiecția Mercator

80

Fig. 6.6 Rețeaua cartografică în proiecția Mercator

Distanța dintre Ecuator și oricare paralelă se poate determina cu ajutorul relației:

în care: C – este raza globului redusă la scară (în caz ul când cilindrul este tangent la sferă; dacă
cilindrul este secant, atunci C = R cos φo); φo – este latitudinea paralelei de secanță; φ – este
latitudinea paralelei care se proiectează.
Când φ = 90o, rezultă:

adică polii nu se pot reprezenta în această proiecție, deoarece se găsesc la infinit față de ecuator.
Distanța dintre meridiane rămâne constantă pentru întreaga rețea și se obține din relația:

în care: R – este raza globului redusă la scara, iar λ – este diferența de longitudine între două
meridia ne consecutive.
În această proiecție rețeaua cartografică se construiește practic până la paralelele de ± 80°,
deoarece la 90 °, y = ∞.
Din punctul de vedere al deformărilor, proiecția Mercator este o proiecție conformă, păstrând
deci nedeformate unghiurile , deformând însă foarte mult suprafețele. Astfel, la latitudinea de ±
60°, suprafețele sunt mărite de patru ori, iar la latitudinea de ± 80 °, de peste 33 ori.
Modul repartiției deformărilor în cadrul rețelei cartografice în proiecția Mercator este prezenta t și
în figura 6.7. cu ajutorul profilului omenesc.

81

Fig. 6.7 . Repartiția deformărilor în proiecția Mercator cu ajutorul profilului omenesc

Datorită deformării foarte mult a suprafețelor, această proiecție nu este indicată a se folosi în
construcția hărților didactice pentru că dă o imagine neverosimilă asupra repartiției uscatului pe
de o parte, iar pe de alta, asupra regiunilor uscatului situate la latitudini mari. Așa, de exemplu
Groenlanda apare ca fiind aproximativ egală cu Africa, deși în realit ate Africa este de circa 15
ori mai mare decât Groenlanda. De asemenea, Peninsula Scandinavă apare mai mare decât cele
trei peninsule sudice ale Europei considerate
împreună: Iberică, Italică și Balcanică, fapt iarăși inexact. Importanța practică a proiecț iei
Mercator constă în aceea că ea întrunește toate calitățile unei hărți ce se folosește în navigația
maritimă .

6.8. Utilizarea proiecțiilor cilindrice
Proiecțiile cilindrice echidistante drepte și echivalente drepte se utilizează pentru întocmirea
hărților la scări mici pentru reprezentarea regiunilor ecuatoriale care se întind mai mult pe
longitudine, în cazul cilindrului tangent, sau a regiunilor care se întind în lungul paralelelor de
secționare în cazul cilindrului secant.
Proiecțiile cilindrice conf orme drepte sunt avantajoase pentru reprezentarea zonei ecuatoriale
care se întinde mai mult pe longitudine. De asemenea, aceste proiecții se utilizează pentru
reprezentarea unor porțiuni mari ale suprafeței terestre care se întind în direcția paralelelor,
precum și pentru întreaga suprafață terestră, dar pentru hărți la scări mici și cu caracter de
ansamblu, cum ar fi de exemplu hărți care redau cursurile apelor, vânturilor, precipitațiilor și
altele.
Una dintre proiecțiile cilindrice drepte utilizate frec vent pentru întocmirea hărților de navigație
maritimă și aeriană este proiecția cilindrică dreaptă conformă Mercator, deoarece curba care pe
suprafața elipsoidului taie meridianele sub unghiuri (azimute) constante, numită loxodromă se
reprezintă în această proiecție printr -o dreaptă.

82
Curs nr. 10 -11
6.9. PROIECȚIA GAUSS -KRUGER

Proiec ția cilindric ă transversal ă Gauss – Krüger s-a introdus în anul 1951. În cadrul acestei
proiectii, elipsoidul de referin ță se proiecteaz ă pe suprafa ța interioar ă a unui cilindru, a c ărui ax ă
coincide cu ax a ecuatorial ă și este perpendicular ă pe planul meridianului (deci, se afl ă în pozi ție
transversal ă). Este o proiec ție conform ă deoarece pastreaz ă nedeformate unghiurile.
Tăind cilindrul după una din generatoarele sale și desf ășurându -l în plan, meridianul central și
ecuatorul se proiecteaz ă prin linii drepte, toate celelalte meridiane și paralele proiectându -se prin
linii curbe.

Fig. 6. 8 – Aspectul retelei cartografice în Proiectia Gauss – Krüger

Din studiul acestei proiec ții s-a constatat c ă deform ările lungimilor sunt admisibile pe zone de
câte 6o longitudine. Din acest motiv, în proiectia Gauss – Krüger, întreaga suprafa ță a globului a
fost împ ărțită în zone m ărginite din 6o în 6o. O astfel de zon ă delimitat ă de dou ă meridiane poart ă
numele de fus, pe întreaga suprafa ță a globului exist ând 60 de fuse (60 fuse x 6o = 360o).
Fiecare fus are câte un meridian central, cunoscut sub numele de meridian axial, situat la câte 3o
depărtare fa ță de cele dou ă meridiane marginale. Rezult ă că proiectarea celor 60 de fuse de câte
6o se face pe suprafa ța lateral ă a 60 de cilindri care se succed unul după altul, cu axele
perpendiculare pe axa polilor și c u tangenta la glob pe liniile meridianelor axiale ale fuselor.
Tăind fiecare cilindru de -a lungul unei generatoare și desf ășurându -l pe plan se ob ține zona
respectiv ă în planul orizontal.
Pe harta lumii la sc. 1:1000000, teritoriul tarii noastre este acop erit de fusul 34 la vest de
meridianul de 24o longitudine estică și fusul 35 la est de acela și meridian. Meridianele axiale ale
celor 2 fuse au longitudine estică de 21o și respectiv 27o și reprezint ă meridianele de deformare
zero. Rezult ă că cele mai mar i deform ări vor apare între meridianele de 23o – 25o și 29o – 30o
longitudine estică.
Totu și, aceste deform ări sunt foarte reduse, având în vedere c ă țară noastr ă se afl ă la o distan ță
apreciabil ă față de ecuator, unde deform ările au valori mai mari, fiin d determinate de dep ărtarea
maxim ă a meridianelor marginale fa ță de cel axial.

83

Fig. 6. 9 – Sistemul de coordonate în proiectia Gauss – Krüger

Pentru fiecare fus exist ă un sistem de coordonate rectangulare, în total existând 60 de sisteme de
coordonate rectangulare.
În cadrul acestei proiec ții, axa Ox se consider ă paralel ă cu proiectia meridianului axial, iar axa
Oy se considera proiectia ecuatorului, ceea ce înseamna ca sistemul de axe este inversat.
Originea sistemului de axe se gaseste la intersectia meridianului axial cu ecuatorul.
Pentru ca toate punctele de pe harta sa aiba coordonate pozitive, meridianul axial se considera la
o depar tare de 500 km fata de axa ox. Deoarece s -ar putea sa existe aceleasi coordonate pentru
puncte situate în fuse diferite s -a convenit ca în fata ordonatei y sa se scrie numarul fusului,
numaratoarea începand de la Greenwich.
De exemplu, în fig. 6.6, punctel e M și N au coordonatele:
– XM = 5 250 100 m și X N = 5 210 100 m;
– YM = 4 650 200 m și Y N = 5 650 200 m..
X reprezinta departarea punctelor M și N fata de ecuator, iar Y se interpreteaza astfel:
– 4 și 5 arata ca punctele respective se afla în fuse difer ite, adica M în fusul 34 și N în fusul 35
– 650.200 m arata ca ambele puncte se gasesc la est de meridianul axial, la o departare de
150.200 m (650.200 – 500.000 = 150.200 m).
Un alt punct P, a carui ordonata y are valoarea de 4.450.000 se va gasi în fusul 4 (indicat de
prima cifra), dar la vest de meridianul axial, la o departare de 50.000 m (500.000 – 450.000 =
50.000 m).
În concluzie , coordonatele rectangulare (x și y), ca și cele geografice (  și ) dau indicatii asupra
pozitiei unui punct pe globul ter estru.

6.9.1 Prezentare generală
Proiecția Gauss -Kruger, cunoscută și sub denumirile "proiecția Gauss", "reprezentarea conformă
Gauss", sau "proiecția cilindrică transversală Gauss" a fost adoptată în România în anul 1951,
odată cu adoptarea " sistemul ui de coordonate 1942".
Caracteristicile proiecției Gauss -Kruger
Este o proiecție conformă (unghiurile se reprezintă în planul de proiecție fără deformații)
Pentru reprezentarea elipsoidului în proiecția Gauss, acesta se împarte în fuse de la nord la sud,
delimitate de două meridiane marginale. Orice fus are un meridian axial și longitudinea acestuia,
λ0 trebuie precizată față de meridianul origine.

84

Fig. 7. 0. Fus de 6° in proiecția Gauss

Fiecare fus are propriul său sistem de axe de coordonate și se repr ezintă separat în planul de
proiecție Gauss, respectând următoarele condiții de bază:
– reprezentarea plană este conformă ;
– meridianul axial al fusului se reprezintă în plan printr -o linie dreaptă care
se ia ca axă Ox, fiind în același timp și axă de simetrie ;
– în orice punct de pe dreapta prin care se reprezintă meridianul axial
deformațitte liniare sunt nule.
Aspectul rețelei cartografice in proiecția Gauss:
Meridianele se reprezintă prin curbe oarecare cu concavitatea spre meridianul axial, care se
reprezint ă printr -o dreaptă. Aceste curbe sunt simetrice față de meridianul axial al fusului.
Paralelele se reprezintă prin curbe oarecare cu concavitățile îndreptate spre polii respectivi. Ele
sunt simetrice față de segmentul de dreaptă prin care se reprezintă ecu atorul.

Fig. 7. 1. Aspectul rețelei de meridiane și paralele dintr -unfus in proiecția Gauss

Pentru reprezentarea întregului glob sunt necesare 60 de fuse a câte 6° fiecare, numerotate
conform unei înțelegeri internaționale, cu cifre arabe de la l la 60. Numerotarea începe cu l
meridianul de longitudine 180° și continuă spre est, așa cum se vede în figura de mai jos.
Meridianul Greenwich separă fusele 30 și 31.

85

Fig. 7. 2. Numerotarea fuselor de 6° in proiecția Gauss

Teritoriul României este situat în rus ele 34 și 35, ale căror meridiane axiale sunt: λ 0 = 21° și λ 0
= 27°.
În proiecția Gauss, în anumite situații se utilizează și coordonate false, și anume coordonata y se
modifică cu +500000 m, pentru ca toate punctele unui rus să aibă coordonate pozitive.

Fig. 7. 3. Coordonate false in proiecția Gauss

6.9.2 Transformări de coordonate în proiecția Gauss -Kriiger

6.9.2.1. Calculul coordonatelor rectangulare plane (x,y) în funcție de coordonatele
geografice (φ,λ)
Formulele de calcul pe baza cărora se face transformarea coordonatelor geografice (φ,λ) în coordonate
rectangulare plane (x,y) sunt următoarele:

86 unde:

β = lungimea arcului de meridian măsurat de la ecuator până la paralelul de latitudine 9;
l = diferența de longitudine în tre meridianul punctului considerat și meridianul axial al fusului
(exprimată în secunde);
N = marea normală;

Formulele de mai sus asigură o precizie de ordinul 0.001 m pentru calculul coordonatelor
rectengulare plane x și y.

6.9.2.2. Transformare a coordonatelor rectangulare plane (x,y) în coordonate geografice (φ,λ)

Fie un punct D în planul proiecției Gauss de coordonate x, y cunoscute, pentru care se vor calcula
coordonatele (φ,λ.) de pe elipsoid.

Fig. 7. 4. Utilizarea punctului ajutător D i (< pi) pentru cal cul latitudinii

Paralelul de latitudine φ al punctului D intersectează axa Ox (meridianul axial) în punctul C, iar dreapta
dusă prin D, paralelă cu Oy, în punctul ajutător D1(x,o) de latitudine φι. Lungimea segmentului OD1
este egală cu lung imea arcului de meridian măsurat de la ecuator până la paralelul de latitudine (φi:
OD1=βl=x. în funcție de β1 se poate calcula prin interpolare valoarea latitudinii β1.

87
unde:
N1, t1, η1se calculează pentru latitudinea φ1.
Formulele de mai sus asigură o aproximație de ordinul (104-105)" pentru calculul coordonatelor
(φ,λ), ceea ce corespunde abaterilor de maxim l cm în planul de proiecție.
Transformările de coordonate din proiecția Gauss se pot realiza și prin procedee cu coeficienți
constanți. Valorile coeficienților constanți au fost calculate pentru latitudini cuprinse în
intervalul 42° -50° de Falie și Struțu în anul 1957.

6.9.3. Reducerea direcțiilor la planul de proiecție Gauss -Kruger

Reducerea direcțiilor la planul de proiecșie se mai numește și reducerea direcțiilor la
coardă și constă în a calcula corecțiile și a le aplica direcțiilor măsurate. Liniile geodezice de
pe elipsoid se reprezintă în proiecția Gauss prin curbe cu concavitatea spre meridianul axial.
Formulele de calcul pentru reducerea direcțiilor măsurate la planul de proiecție Gauss
diferă de la un ordin de triangulație la altul.
În exeplul prezentat se vor folosi formulele de calcul pentru ordinele de triangulație III
și IV.
Formule utilizate:

i j i jm
jij i i jm
ij
yyxxfyyxxf

2323


22"
Rf
,
2j i
mxxx

unde:
),(i iyx
și
),(j jyx – sunt coordonatele plane Gauss ale punctelor ce determină
direcțiile;
f- este factorul excesului sferic.
ji ij,
-sunt corecțiile de reducere a direcți ilor la planul de proiecție Gauss -Kruger.

88 Pentru a evita orice greșeală se trece la verificarea corecțiilor de reducere a direcțiilor
la planul de proiecție, pe triunghiuri.

Regulă de verificare:
“În orice triunghi dintr -o rețea geodezică, suma corecțiilo r de reducere la planul de
proiecție ale celor trei unghiuri ale triunghiului, trebuie să fie egală cu excesul sferic ε al
triunghiului respectiv, luat cu semn schimbat”.
Corecția de reducere la plan a unui unghi se obține ca diferență între corecțiile de
reducere la plan a celor 2 direcții ce determină unghiul.
Formula generală a excesului sferic este
2RScc , unde S este suprafața
triunghiului, iar R este raza medie Gauss..

6.9.4. Deformațiile în proiecția Gauss

Proiecția Gauss este o p roiecție conformă, deci unghiurile se reprezintă în planul de proiecție fără
deformații, dar în general se deformează lungimile și ariile.
Lungimile de pe meridianul axial nu se deformează, în orice punct care nu este situat pe
meridianul axial se produc d eformații pozitive, în lungul unui paralel oarecare de latitudine φ
, deformațiile liniare cresc aproximativ proporțional cu distanța față de meridianul axial, astfel
încât pe meridianele marginale se ating deformațiile maxime (de exemplu pentru latitudine a
medie a României, φ =46°, deformația liniară relativă este D=+66.4 cm/km). De asemenea,
pe orice meridian, deformația maximă a lungimilor se produce la intersecția cu ecuatorul.
în ceea ce privește deformațiile areolare, și acestea sunt nule pe meridianu l axial al fusului,
sunt pozitive în toate celelalte puncte și cresc în valoare pe măsură ce crește depărtarea față de
acest meridian.

6.9.5. Reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție Gauss

Reducerea unei distanțe s de pe elipsoid la pl anul de proiecție Gauss înseamnă de fapt
reprezentarea acesteia în planul de proiecție, proces prin care distanța de pe elipsoid se
deformează neuniform pe toată lungimea ei.
Formulele folosite la rezolvarea acestei probleme sunt :
22
22
24)(
21Ry
Ry
Ssm

unde s este distanța pe elipsoid,
S-dinstanța redusă la planul de proiecție
ym este coordonatele punctului P aflat la mijlocul segementului P -i.
2i P
my yy

P iyyy

Rm este raza medie de curbură Gauss
Pentru a putea vedea ce influențî are reducerea distanțelor de pe elipsoid la planul de proiecție
Gauss, asupra coordonatelor plane trebuiesc calculate coordonatele provizorii ale punctelor
geodezice odată folosind distanța neredusă, apoi folosind distanța redusă.
Prin diferențel e dintre coordonate obținem influența reducerii distanțelor.


sincos

s yys xx
NN

89

sincos

S y yS xx
N rN r

6.9.6. Nomenclatura trapezelor în proiecția Gauss

Hărțile și planurile topografice în proiecția Gauss au în general un cadru geografic, format din
imaginile plane ale unor arce de meridiane și paralele, care delimitează pe elipsoidul de rotație
niște trapeze curbilinii, denumite în mod curent trapeze. Fiecare trapez are o anumită
nomenclatură și se reprezintă pe o foaie de hartă separată. In legătură cu nomenclatura
trapezelor se folosesc următoarele scări standard: 1:1.000.000, 1:500.000, 1:200.000,
1:100.000, 1:50.000, 1:25.000, 1:10.000, 1:5.000, 1:2.000.
Pentru împărțirea elipsoidului în trapeze la scara 1:1000000 se procedează astfel:
se trasează me ridiane din 6° în 6°, care delimitează fuse, numerotate de la l la 60 și paralele din
4° în 4° pornind de la ecuator spre poli, care delimitează zone
notate A, B, C, …. V. teritoriul României este situat în rusele 34 și 35 și în
zonele K, L, M. Nomenclatura u nui trapez la scara l:1000000va fi formată din litera
corespunzătoare zonei și numărul fusului, de exemplu: L -35.
Nomenclaturile trapezelor la scări mai mari se stabilesc pornind de la trapezul 1:1000000.
Dimensiunile graduale ale laturilor trapezelor și nomenclaturile acestora sunt prezentate în
tabelul și figurile de mai jos:

Scara Δφ Δλ Exemple de
nomenclaturi
1:1.000.000 4° 6° L-35
1:500.000 2° 3° L-35-D
1:200.000 40' 1° L-35-XXXVI
1:100.000 20' 30' 1-35-144
1:50.000 10' 15' L-35-144-D
1:25.000 5' 7'30" L-35-144-D-d
1:10.000 2'30" 3 '45" L-35-144-D-d-4
1:5.000 1'15" 1'52",5 L-35-144-D-d-4-lV
1:2.000 37",5 56",25 L-35-144-D-d-4-IV-4

90 Fig. 7. 5. Trapez la scara l: 1.000.000

Fig. 7. 6. Trapeze la scările 1:500.000, 1:200.000, 1 :100.000, 1:50.000

Fig.7. 7. Trapeze la scările 50.000, 1:25.000, 1:10.000, 1:5.000, 1:2.000

91 Curs nr.12
PROIEC ȚIA UTM

92

Fig.1

93

Fig.2

94

Fig.3

95

96

97

Fig.6

98

Fig.7