Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni [603519]

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

1
Capitolul I I Modele teoretice utilizate la analiza CFD si FEM
1. Obiectivele capitolului

In prezentul capitol se vor detalia notiunile teoretice care au stat la baza intocmirii analizelor
numerice, atat pentru domeniul hidrodinamicii numerice, cat si al analizei structurale prin metoda
elelmentului finit. Aceste principia teoretice se vor concentra pe aspectele particulare tratate in
aceasta teza, astfel:
1. Din punct de vedere al hidrodinamicii numerice, In abordarea prezentei lucrari se vor
descrie meto dele teoretice simplificate care stau la baza calculului fortelor de sustentatie care
apar la navigatia unei am barcatiuni in regim de glisare.
2. Din punct de vedere al analizei structurale, in acest capitol vor fi descrise principiile
mecanice ale analize i comportarii materialelor compozite la solicitari de incovoiere.

2. Principiile dinamicii fuidelor aplicate
2.1. Ecuatiile Navier -Stokes mediate Reynolds (RANS)

Ecuatiile care descriu curgerea fluidului pe langa un corp ce se deplaseaza in acest fluid
sunt ecuat ia de continuitate si ecuatiile Navier -Stokes. Aceste ecuatii modeleaza curgerea
fluidelor in functie de vascozitate, considerand fluidul ca fiind newtonian iar fortele vascoase fiind
in directa dependenta cu gradientii de viteza. Aceste ecuatii f ormeaza impreuna un sistem de
ecuatii neliniare cu derivate partiale. Consderand apa ca fiind un lichid incompresibil, cu variatii
neglijabile de densitate, cele doua ecuatii pot fi scrise sub forma:
𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑥𝑖=0 (2.1)
𝜌𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑡+𝜌𝜕(𝑈𝑖𝑈𝑗)
𝜕𝑥𝑗=𝜌𝑅𝑖+𝜕𝜎𝑖𝑗
𝜕𝑥𝑗, (2.2)
unde 𝑈𝑖 sunt componentele instantanee ale vitezei particulelor de fluid in sistemul de coordinate
carteziene 𝑥𝑖, 𝜌 este d ensitatea apei, 𝑡 este timpul. 𝜎𝑖𝑗 este tensorul tensiunilor totale, care
poate fi scris sub forma:
𝜎𝑖𝑗= −𝑃𝛿𝑖𝑗+2𝜇(𝑆𝑖𝑗−1
3𝑆𝑘𝑘𝛿𝑖𝑗), (2.3)
unde 𝑃 este presiunea, 𝛿𝑖𝑗 este operatorul Kronecker , 𝜇 este vascozita tea dinamica iar
𝑆𝑖𝑗 este tensorul ratei de deformatie care are formula:
𝑆𝑖𝑗= 1
2(𝜕𝑈𝑖
𝜕𝑥𝑗+ 𝜕𝑈𝑗
𝜕𝑥𝑖). (2.4)
Termenul 𝑆𝑘𝑘 din ecuatia (2.3) scris conform (2.4) si considerand (2.1):
𝑆𝑘𝑘=1
2(𝜕𝑈𝑘
𝜕𝑥𝑘+𝜕𝑈𝑘
𝜕𝑥𝑘)=𝜕𝑈𝑘
𝜕𝑥𝑘=0 (2.5)
Solutionarea sistemului de ecuatii format din ecuatia de continuitate si ecuatia Navier Stokes
in forma initiala pentru curgerea turbulenta tridimensionala se poate face doar prin simulare
numerica directa. Variabilele implicate in acest sistem de ecuatii prezinta nelianiaritati in
domeniul de timp si in distributia spatiala iar rezolvarea prin metode numerice implica o alocare
de resurse de calcul care cresc odata cu cresterea numarului Re ynolds. In scopul eficie ntizarii

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

2 metodei de calcul se folosesc ecuatiile Navier -Stokes mediate Reynolds (RANS) care reprezinta
o mediere in timp a valorilor instantanee obtinandu -se o serie de valori statistice ale campurilor
de viteza iar fluctuatiile tur bulente la scara redusa nu sunt simulate numeric direct ci introduse
printr -o serie de term eni suplimentari in ecuatiile initiale. Medierea in timp a ecuatiilor Navier
Stokes presupune separarea variabilelor prin care este caracterizata curgerea intr -o
componenta mediate in timp si o component a pulsatorie. Vom avea definite astfel:
𝑈𝑖=𝑢𝑖+𝑢′𝑖 (2.6)
si
𝑃𝑖=𝑝𝑖+𝑝′𝑖 , (2.7)
unde 𝑢𝑖 este valoarea mediate in timp a vitezei instantanee 𝑈𝑖 si 𝑢′𝑖 este componenta
pulsatorie; in mod similar presiunea instantanee 𝑃𝑖 se descompune in presiune mediate in timp
𝑝𝑖 si presiune pulsatorie 𝑝′𝑖.
Medierea in timp a unei marimi oarecare 𝑥 este definita de expresia:
𝑥̅=lim𝑇→∞1
2𝑇∫𝑥𝑑𝑡𝑇
;𝑇 , (2.8)
unde 𝑡 este timpul si 𝑇 este intervalul de mediere al marimii 𝑥.
In forma mediata Reynolds ecuatiile de continuitate si Navier -Stokes pentru un fluid
incompresibil au formele:
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖=0 (2.9)
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑡+𝜕(𝑢𝑖𝑢𝑗:𝑢′𝑗𝑢′𝑖𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘)
𝜕𝑥𝑗=𝑅𝑖𝑙−1
𝜌𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑖+𝜕
𝜕𝑥𝑗[𝜈(𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗+𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖)], (2.10)
unde
𝜈=𝜇
𝜌 (2.11)
este vascozitatea cinematica , iar 𝑅𝑖 este tensorul tensiunilor Reynolds.
In forma mediata (2.10) ecuatia Navier -Stokes contine termini suplimentari care definesc efectul
fluctuatiei curgerii turbulente asupra curgerii medii. Pentru rezolvarea sistemului de ecuatii, sunt
necesare asadar ecuatii suplimentare, definite de modelul de turbulenta, in numar egal cu
numarul necunoscutelor.
2.2. Modele de turbulenta
Principalele probl eme ale modelarii numerice a curgerii turbulente folosind solutiile ecuatiilor
RANS sunt ridicate de determinarea componentelor tensorului Reynolds. Modelarea cu precizie
a componentelor nu este posibila deoarece necesita informatii detaliate care sa descr ie
fenomenul de turbulenta, care sun indisponibile , Bradshaw (1971)[6] . Mai mult, tensiunile
Reynolds nu depind doar de natura fluidului, ci si de conditiile locale cum ar fi printer altele viteza,
rugozitatea peretelui sau geometria suprafetei. Pentru ca un singur model de turbulenta nu poate
acoperi toate situatiile in care se urmareste studierea curgerii turbulente de -a lungul timpului au
fost dezvoltate mai multe variante. Aceste modele prezinta avantaje si dezavantaje pentru
fiecare caz, diferite grade de complexitate precum si eforturi de calcul diferite. La alegerea
modelului de turbulenta este necesar sa se tina cont de caracteristica curgerii studiate, precum si
de acordarea acuratetei specific e a fiecarei solutii in functie de puterea de calcul dis ponibila.
Un model de turbulenta folosit destul de larg este modelul k -ε (k-epsilon), care descrie
modelul de turbulenta folosind doua ecuatii, una pentru energia cinetica si una pentru rata de
disipare specifica a acesteia.
Unul dintre cele mai folosite modele de turbulenta folosite in present este modelul 𝜅−𝜔

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

3 (k-omega), propus initial de Wilcox (1998) si imbunatatit apoi in 2008. In acest model de
turbulenta sunt folosite doua ecuatii diferentiale pentru doua variabile, 𝜅 si 𝜔, prima descriind
energia cinetica iar cea de -a doua rata specifica de dispiare a energiei cinetice in energie
termica interna. Formulele celor doua marimi sunt urmatoarele:

𝜕𝑘
𝜕𝑡+𝑈𝑖𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑖=𝜏𝑖𝑗𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗−𝛽∗𝜅𝜔+𝜕
𝜕𝑥𝑖[(𝜈+𝜏∗𝜈𝑇)𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑖] (2.12)
𝜕𝜔
𝜕𝑡+𝑈𝑖𝜕𝜔
𝜕𝑥𝑗=𝛼𝜔
𝑘𝜏𝑖𝑗𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗−𝛽𝜔2+𝜕
𝜕𝑥𝑗[(𝜈+𝜏𝜈𝑇)𝜕𝜔
𝜕𝑥𝑖], (2.13)
unde constantele utilizate au urmatoarele valori:

𝛼=5
9; 𝛽=3
40; 𝛽∗=9
100; 𝜎=𝜎∗=1
2; 𝜀=𝛽∗𝜔𝑘. (2.14)

Menter SST (din engleza Shear Stress Transport ) este un alt model folosit pe larg si destul
de robust care foloseste in mod cmbinat doua modele de turbulenta: modelul k -omega pentru
zona stratului limita adiacenta peret elui si modelul k -epsilon in zona curgerii libere, neturbulente.
2.3 Determinarea suprafetei libere prinmetoda volumului de fluid
Pentru definirea zonei de demarcatie a suprafetei libere se foloseste o metoda numerica
intitulata metoda volumului de fluid (din engleza Volume Of Fluid , VOF). In aceasta metoda,
bazata pe o functie fractionara volumica 𝛼 densitatea si vascozitatea fluidului sunt modificate
astfel:
𝜇=𝜇𝑎𝑝𝑎+𝜇𝑎𝑒𝑟(1−𝛼) (2.15)
𝜌=𝜌𝑎𝑝𝑎+𝜌𝑎𝑒𝑟(1−𝛼), (2.16)
unde 𝜇𝑎𝑝𝑎 si 𝜇𝑎𝑒𝑟 sunt vascozitatile dinamice ale apei respective aerului, iar 𝜌𝑎𝑝𝑎 si 𝜌𝑎𝑒𝑟 sunt
densitatile apei respective ale aerului.
Deplasarea suprafetei libere a lichidului este guvernata de ecuatia de transport a fractiei
volumetrice, iar aceasta se rezolva pentru fiecare unitate de volum discretizata in domeniul de
calcul:
𝜕𝛼
𝜕𝑡+∇(𝛼𝑈)=0, (2.17)
unde 0≤𝛼≤1, 𝑈 este viteza curgerii iar ∇ este volumul celulei.
Rezolvarea ecuatiei ofera 3 solutii:
𝛼=0 In cazul in care celula este plina cu aer
𝛼=1 In cazul in care celula este plina cu apa
0<𝛼<1 In cazul in care cel ula contine suprafata libera
2.4. Discretizarea domeniului de calcul
In studiul curgerii fluidului in jurul suprafetelor cu geometrii complexe este necesara
acordarea unei atentii sporite a discretizarii domeniului de calcul. Pentru a stabili dimensiuni le
celulelor din imediata apropiere a suprafetelor sau peretilor se defineste urmatoarea functie care
poarta denumirea de functie de perete (din engleza wall function ):

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

4 𝑦:=𝑢𝑡𝑦
𝜈, (2.18)
unde 𝑦 este distanta fata de cel mai apropiat perete, 𝜈 este vascozitatea dinamica iar 𝑢𝑡
este viteza de frecare, definita ca fiind:
𝑢𝑡=√𝜏𝜔
𝜌 (2.19)
unde 𝜌 este densitatea fluidului (apa) iar 𝜏𝜔 este tensiunea dataorata frecarii cu peretele
si are formularea:
𝜏𝜔=𝜌𝑢2𝐶𝑓
2, (2.20)
unde 𝐶𝑓 este coeficientul de frecare care depinde de calitatea suprafetei si geometrie, insa
pentru curgeri turbulente poate fi aproximat ca fiind :
𝐶𝑓=0.058𝑅𝑒;2 (2.21)
Marimea primului rand de celule (grosimea primului strat de celule din imediata vecinatate a
peretelui) se recomanda a fi la:
Δ𝑠=𝜇𝑦:
𝜌𝑢𝑡 (2.22)
Coeficientul 𝑦: are urmatoarele valori:
𝑦:<5 pentru su bstratul vascos
5<𝑦:<30 pentru stratul tampon
2.5. Conditii la limita
Pentru a economisi resurse, se presupune ca in jurul unei caren e curgerea are caracter
simetric, asadar domeniul de calcul poate fi divizat in doua subdomenii simetrice. Limitele
domeniului de calcul se plaseaza in mod normal sufficient de departe pentru a nu influenta
caracteristicile curgerii, cu exceptia cazurilor in care se urmareste in mod specific acest lucru,
cum ar fi situatia unui acvatoriu limitat.
Conditiile la limita aplicabile in situatii normale sunt:
a) Viteza constanta, egala cu viteza de deplasare a navei la intrarea in dom eniul de calcul
(amonte)
b) Conditii de alunecare la iesirea din domeniul de calcul (aval), precum si pentru frontierele
exterioare ale domen iului, p e suprafata libera si in planul de simetrie, gradientul vitezei normale
pe aceste frontiere este zero.
c) Pe suprafața corpului navei se impune condiția de aderare a particulei de fluid la perete.
În Figura 2.1 este prezentat a schema calculului numeric al cur gerii cu suprafață liberă în
jurul unei nave in regim de glisare . Pe larg, pasii de calcul cuprind:
1. Pregătirea tuturor datelor necesare calcului; definirea geometriei corpului și a datelor
referitoare la viteza, pozitia centrului de greutate, a unghiului d e impingere a
propulsorului, pescajul initial in stationare .
2. Estimarea pozitiei initiale a corpului si a plutirii in functie de viteza de deplasare
propusa; discretizarea domeniului de calcul atât pe corp cât și pe suprafața liberă
3. Calculul distribuției de viteze pe suprafața liberă și al distributiei de presiuni pe
suprafata udata a corpului
4. Estimarea noii suprafete libere prin metoda VOF , plecand de la suprafata libera

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

5 estimata anterior ;
5. Rezolvarea problemei liniare. Calcularea unui nou câmp de viteze și presiuni in
functie de elevația suprafeței libere;
6. Regenerarea discretizarii pe suprafața liberă calculată. Ajustarea discretizarii carenei
în funcție de ultima evaluare a suprafeței liber e, modificarea poziției carenei;
7. Calculul valorilor rezidu ale în fie care punct și compararea cu valorile prestabilite
pentru convergența.

Figura 2.1. Schematizarea calcului numeric al curgerii in jurul unui corp

3. Modele matematice de analiza structural
3.1 Considerente de material

Din punct de vedere structural, materialele conventionale sunt considerate omogene
datorita in principal caracterului monofazic. Materi alele compo zite, pe de alta parte, asa cum s -a
aratat in capitolul anterior , sunt considerate omogene, prezentand cel putin doua faze distincte,
asadar caracterul lor poate fi descris ca fiind neomogen. Este insa important sa consideram ca
notiunea de omogenitate depinde de scara si de ordinul de marime al constituentilor
compozitului analizat. In aceste conditii, din punct de vedere macroscopic, un obiect de mari
dimensiuni, cum ar fi in cazul acestei teze un corp de ambarcatiune, poate fi considerat ca fiind
alcatuit dintr -un material omogen.
Im mod similar, asa cum s -a observat in descrierea proprietatilor materialelor compo zite din
capitolul nterior, acestea prezinta proprietati diferite in functie de directia de orientare a fibrelor
de armare. Pentru constructia acestei ambarcatiuni au fost folosite materiale de armare cu
dispunere complet aleatorie (MAT) precum si material e de armare bidirectionale sub forma unor
straturi de tesaturi. Vom considera astfel materialul din care este confectionata ambarcatiunea
intr-o analiza globala la scara intregii structuri ca fiind un mateial izotrop.
3.2 Notiuni de teoria elasticitatii
Geometrie +
date initiale
Discretizare
Calcul viteze
+ presiuni
Estimare
suprafata
libera
Rezolvarea
problemei
liniare
Ajustarea
pozitiei
carenei
Convergenta
?
Evaluare
rezultate
da
nu

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

6 Se considera un element plan de forma dreptunghiulara dintr -un material izotrop, solicitat la
tractiune uniaxiala, in urma careia se observa o deformatie specifica 𝜀𝑥 in directia solicitarii si o
deformatie specifica 𝜀𝑦 perpendicular pe aceasta (Figura 2.2 a).
Relatiile de calcul pentru deformatiile mentionate mai sus pot fi scrise astfel:
𝜀𝑥=𝜎𝑥
𝐸; 𝜀𝑦=−𝜈𝜎𝑥
𝐸, (2.23)
unde 𝜎𝑥 este tensiunea axiala, 𝐸 este modulul de elasticitate al lui Young, iar 𝜈 este
coeficientul de contractie transversala al lui Poisson pentru materialul considerat.

a) tracțiune b) forfecare
Figura 2.2 . Solicitări mecanice
Considerand pentru acelasi material o solicitare de tipul forfecarii sub efectul unei tensiuni
tangentiale 𝜏𝑥𝑦 vom inregistra o deformatie specifica acestei solicitări, în sensul ca o placă
plană de formă dreptunghiulară se transformă în paralelogram, fără a înregistra modifi cări ale
lungimii laturilor sale. Asadar, in acest caz vor fi deformatii specifice liniare nule, 𝜀𝑥=𝜀𝑦=0, iar
lunecarea specifica va avea forma:
𝛾𝑥𝑦=𝜏𝑥𝑦
𝐺=2𝜏𝑥𝑦(1+𝜈)
𝐸, (2.24)
unde 𝐺 este modulul de elasticitate transver sal (modulul de forfecare) specific materialului
studiat. Se poate observa ca 𝜈 (coeficientul Poisson) este un element de cuplare intre
deformatiile specifice masurate perpendicular pe directia de solicitare a elementului, iar 𝐺 nu
este o constanta eleas tica independenta a unui material, acesta putand fi calculat in functie de 𝜈
si 𝐸:
𝐺=𝐸
2(1+𝜈) (2.25)
3.3 Metode de calcul
In mecanica studiului deformabil se folosesc in general metode ce calcul analitice acestea avand
in principiu in vedere integr area ecuatiilor teoriei elasticitatii. Putem considera astfel:
– Ecuatiile diferentiale Cauchy
𝜕𝜎𝑥
𝜕𝑥+𝜕𝜎𝑦𝑧
𝜕𝑦+𝜕𝜎𝑧𝑥
𝜕𝑧+𝑋=0
(2.26) 𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+𝜕𝜎𝑦
𝜕𝑦+𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧+𝑌=0
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+𝜕𝜎𝑧
𝜕𝑧+𝑌=0,
unde 𝑋,𝑌,𝑍 reprezinta proiectiile pe cele 3 axe ale fortei masice pe unitatea de volum (de
exemplu greutatea proprie) ;

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

7
– Relatii intre deplasari si deformatii specifice
𝜀𝑥=𝜎𝑢
𝜕𝑥; 𝜀𝑦=𝜎𝑣
𝜕𝑦; 𝜀𝑧=𝜎𝑤𝜔
𝜕𝑧
(2.27)
𝛾𝑥𝑦=𝜕𝑢
𝜕𝑦+𝜕𝑣
𝜕𝑥; 𝛾𝑦𝑧=𝜕𝑣
𝜕𝑧+𝜕𝜔
𝜕𝑦; 𝛾𝑧𝑥=𝜕𝜔
𝜕𝑥+𝜕𝑢
𝜕𝑧
– Relatii intre deformatii specifice si tensiuni (legea lui Hooke) pentru materiale omogene si
izotrope
𝜀𝑥=𝜎𝑥−𝜈(𝜎𝑦+𝜎𝑧)
𝐸; 𝛾𝑥𝑦=𝜏𝑥𝑦
𝐺
(2.28) 𝜀𝑦=𝜎𝑦−𝜈(𝜎𝑧+𝜎𝑥)
𝐸; 𝛾𝑦𝑧=𝜏𝑦𝑧
𝐺
𝜀𝑧=𝜎𝑧−𝜈(𝜎𝑥+𝜎𝑦)
𝐸; 𝛾𝑧𝑥=𝜏𝑧𝑥
𝐺
Relatiile (2.28) pot fi scrise si sub forma c ondensata,matriceala:
*𝜎+=,𝐷-∙*𝜀+, (2.29)
Unde *𝜎+ este tensorul tensunilor, *𝜀+ este tensorul deformatiilor specifice iar ,𝐷- este
matricea de elasticitate care are forma:
,𝐷-=𝐸
(1+𝜈)(1−2𝜈)∙
[ 1−𝜈𝜈 𝜈 0 0 0
𝜈1−𝜈𝜈 0 0 0
𝜈𝜈1−𝜈 0 0 0
00 0(1−2𝜈)/20 0
00 0 0(1−2𝜈)/20
00 0 0 0(1−2𝜈)/2]

Ecuatiile (2.26), (2.27) si (2.28) formeaza un sistem de 15 ecuatii cu 15 functii necunoscute
astfel:
– 6 tensiuni: 𝜎𝑥,𝜎𝑦,𝜎𝑧,𝜏𝑥𝑦,𝜏𝑦𝑧,𝜏𝑧𝑥;
– 6 defo rmatii specifice: 𝜀𝑥,𝜀𝑦,𝜀𝑧,𝛾𝑥𝑦,𝛾𝑦𝑧,𝛾𝑧𝑥
– 3 deplasari: 𝑢,𝑣,𝑤.
Aplicarea unor metode analitice de calcul este o practica restransa in cazurile intalnite in
inginerie, deoarece apar limitari legate de geometria corpul ui si de complexitatea sistemului de
sarcini, ambele trebuind sa fie relativ simple. In cazul in care problemele propuse spre rezolvare
prezinta un grad mai mare de complexitate, se utilizeaza metode aproximative de calcul. Pentru
a fi acceptabila, o astfe l de metoda trebuie sa indeplineasca conditia de a determina cu o
precizie suficienta solutia, considerand scopul practic propus pentru acea problema concreta.
Conform Buzdugan et al. (1979) metodele de calcul aproximativ cunosc 2 directii de
dezvltare:
1. Se scriu ecuatiile exacte pentru problema data si se neglijeaza termenii cu pondere
secundara, rezultand ecuatii simplificate ce pot fi integrate nalitic sau rezolvate prin metode
numerice, precum metoda relaxarii, metoda diferentelor finite, etc;
2. Se rezolva exact ecuatiile obtinute pe un model aproximativ de calcul considerand ipoteze
simplificatoare pentru configuratia cea mai probabila a deplasarilor in problema data; ipoteza
simplificatoare trebuie verificata experimental si trebuie sa satisfaca conditiile la limita. Ipotezele
acestor de plasari pot fi:
2.a) globale , aplicate modului de comportare la deformare al unei suprafete sau drepte din
corpul studiat, obtinand rezultate aplicabile zonelor cu efecte locale neglijabile sau care nu fac
obiec tul studiului. Cele mai frecvent utilizate astfel de ipoteze sunt ipoteza deformatiei suprafetei

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

8 neutre a barelor, ipoteza nedeformarii conturului, ipoteza dreptei normale;
2.b) locale , constand in admiterea unei anumite configuratii a deplasarilor elemen telor de
forma convenabil aleasa si de dimensiuni mici, finite, obtinute prin descompunerea (discretizarea)
corpului sau structurii studiate. Aceasta ipoteza a condus la elaborarea metodei elementelor
finite, o metoda numerica aproximativa folosita la scar a foarte larga in prezent in foarte multe
domenii stiintifice prin dezvoltarea unor solutii software specifice fiecarui domeniu in parte.
3.4 Modele de calcul pentru placi
Intrucat modelele analitice pentru calculul riguros al placilor capabile sa satisfac a ecuatiile (2.26),
(2.27) si (2.28) sunt foarte mari consumatoare de resurse de calcul, s -au dezvoltat o serie de
metode aproximative specifice.
Modelul placii plane subtiri, unde grosimea cea mai mare a placii nu depaseste 1/5 din
dimensiunea ei cea mai mica , descris de ecuatia Sophie Germain:
𝜕4𝜔
𝜕𝑥4+2𝜕4𝜔
𝜕𝑥2𝑦2+𝜕4𝜔
𝜕𝑦4=𝑃
𝐷 , (2.30)
unde 𝐷=𝐸𝑕3
12(1;𝜈) este rigiditatea la incovoiere a placii
Pentru modelul general al unei placi plane subtiri flexibile putem scrie:
𝐷ΔΔ𝜔=𝑝−𝐿(𝜔,𝜙)−ℎ2(2−𝜈)Δ𝑝−2𝐿(𝜔,𝜙)
10(1−𝜈)
(2.31) 1
Δ𝐸ℎΔΔ𝜙=1
2𝐿(𝜔,𝜔)−𝜈Δ𝑝
2𝐸 ,
Unde Δ=𝜕2
𝜕𝑥2+𝜕2
𝜕𝑦2,𝐿(𝜔,𝜙)=𝜕2𝜔
𝜕𝑥2𝜕2𝜙
𝜕𝑦2−2𝜕2𝜔
𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕2𝜙
𝜕𝑥𝜕𝑦+𝜕2𝜔
𝜕𝑦2𝜕2𝜙
𝜕𝑥2 iar 𝜙 este functia eforturilor din
planul median al placii conform Figurii 2.3:
𝑁𝑥=−𝜕2𝜙
𝜕𝑦2
(2.32) 𝑁𝑦=−𝜕2𝜙
𝜕𝑥2
𝑁𝑧=𝜕2𝜙
𝜕𝑥𝜕𝑦

Figura 2.3. Eforturile din planul median al placii

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

9
Expresiile momentelo r incovoietoare si al fortelor taietoare (Figura 2.4):
𝑀𝑥=−𝐷(𝜕2𝜔
𝜕𝑥2+𝜈𝜕2𝜔
𝜕𝑦2)+ℎ2
5∙𝜕𝑇𝑥
𝜕𝑥−ℎ2
10∙𝜈
1−𝜈,𝑝−2𝐿(𝜔,𝜙)-
(2.33) 𝑀𝑦=−𝐷(𝜕2𝜔
𝜕𝑦2+𝜈𝜕2𝜔
𝜕𝑥2)+ℎ2
5∙𝜕𝑇𝑦
𝜕𝑦−ℎ2
10∙𝜈
1−𝜈,𝑝−2𝐿(𝜔,𝜙)-
𝑀𝑥𝑦=𝑀𝑦𝑧=−(1−𝜈)𝐷𝜕2𝜔
𝜕𝑥𝜕𝑦+(𝜕𝑇𝑥
𝜕𝑦+𝜕𝑇𝑦
𝜕𝑥)ℎ2
10
𝑇𝑥−ℎ2
10∆𝑇𝑥=−𝐷𝜕∆𝜔
𝜕𝑥−ℎ2
10(1−𝜈)∙𝜕
𝜕𝑥,𝑝−(1+𝜈)𝐿(𝜔,𝜙)-
𝑇𝑦−ℎ2
10∆𝑇𝑦=−𝐷𝜕∆𝜔
𝜕𝑦−ℎ2
10(1−𝜈)∙𝜕
𝜕𝑦,𝑝−(1+𝜈)𝐿(𝜔,𝜙)-

Figura 2.4. Expresiile momentelor incovoietoare si al fortelor taietoare pentru o placa plana
Sistemele de ecuatii (2.31) impreuna cu ultimele doua ecuatii (2.33) si conditiile la limita
permit determinarea functiilor necunoscute 𝜔,𝜙,𝑇𝑥 ,𝑇𝑦.
3.5 Metoda elementului finit
Asa cum s -a precizat anterior, folosirea metodel or analitice pentru rezolvarea ecuatiilor de
mecanica este o practica greoaie si prohibitiva, iar meto dele aproxima tive sunt cele chemate sa
ofere solutii rapide in mod practic si eficient. Una dintre cele mai f olosite metode de calcul
aproximativ este metoda elementului finit, pentru structuri solicitate in mod complex static,
dinamic, termic, la limita, in regim liniar sau neliniar. Utilizarea pe scara larga calculatoarelor si a
programelor de calcul numeric a contribuit la popularitatea acestei metode.
Pentru a defini intr -un mod simplu conceptele de baza ale metodei elementului finit putem
privi acest model ca pe o aplicare la scara larga a modelului de calcul al structurilor din bare prin
metoda deplasarilor. Astfel, structura care se calculeaza prin metoda elementelor finite se
discretizeaza intr -un grad oarecare, formand o retea de noduri in care se leaga elementele
idealizate ale structurii, care pot fi elemente de bara, de placi subtiri plane sau curbe, de
membrana, elemente de volum tertraedrale, cuboide, etc, care poarte denumirea de elemente

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

10 finite . Conceptele de sarcina nodala, grad de libertate , matrice de rigiditate definite pentru
structuri din bare pentru metoda deplasarilor raman valabile si pentru structurile analizate prin
metoda elementelor fin ite, sub aspect generalizat.
*𝑅+=,𝑘-*𝑢+ (2.33)
In interpretarea relatiei (2.33) consideram ca deplasarile nodale *𝑢+ produc in mod unic
fortele nodale *𝑅+ fara a fi valabila si reciproca, in sensul ca pentru anumite valori ale fortelor
nodale se obtin o infinitate de vectori ai deplasarilor. Spre deosebire de deplasarile nodale,
fortele nodale nu sunt independente, deoarece prin satisfacerea conditiei de echilibru fortele
trebuie sa satisfaca ecuatiile de echilibru corespunzatoare, iar matricea de rigiditate ,𝑘- este
singulara, nu poate fi inversata.
3.5.1 Deducerea matricei de rigiditate a un ui element finit, folosind principiul lucrului
mecanic virtual
Domnisoru (2001) arata ca daca luam un element finit izoparametric pentru care funcțiile de
interpolare pentru geometrie și câmpul deplasărilor au același ordin, respectiv numărul
parametrilor *𝛼+ ai funcției câmpului deplasărilor este egal cu numărul gradelor de libertate
nodale ale elementului *𝑢𝑘+ putem scrie c âmpul deplasărilor *𝑢+ folosind o lege polinomială cu
coeficienții *𝛼+:
*𝑢+=,𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)-*𝛼+, (2.34)
unde *𝑢+=*𝑢 𝑣 𝑤+𝑇 este vectorul deplasarilor, *𝛼+=*𝛼1,𝛼2… 𝛼𝑛+𝑇 este vectorul
coeficientilor functiilor de interpolare iar ,𝑓-este matricea functiilor de interpolare pe element
si are forma:
,𝑓-=[𝑓1𝑓2…𝑓𝑙00…000…0
00…0𝑓𝑙+1𝑓𝑙+2…𝑓𝑚00…0
00…000…0𝑓𝑚+1𝑓𝑚+2…𝑓𝑛]
Pe baza relației ( 2.34), introducând coordonatele nodurilor, se stabilește legătura între
vectorul deplasărilor nodale (gradele de libertate ale elementului):
*𝑢𝑘+=*𝑢1 𝑢2… 𝑢𝑙 𝑣𝑙:1𝑣𝑙:2… 𝑣𝑚 𝑤𝑚:1 𝑤𝑚:2… 𝑤𝑛+𝑇
si vectorul parametrilor functiilor de interpolare *𝛼+:
*𝑢𝑘+=,𝐴-*𝛼+→*𝛼+=,𝐴;1-*𝑢𝑘+→*𝑢+=,𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)-,𝐴;1-*𝑢𝑘+=,𝑁𝑢(𝑥,𝑦,𝑧)-*𝑢𝑘+ (2.35)
Folosind relatia Cauchy scrisa sub forma matriceala putem obtine legatura dintre vectorul
deformatiilor specifice totle si vectorul coordonatelor nodale:
*𝑒+=,∆-*𝑢+,*𝑒+=,∆-,𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)-,𝐴;1-*𝑢𝑘+,,∆-,𝑓-=,𝐵∗-,
,𝐵-=,𝐵∗-,𝐴;1-=,∆-,𝑁𝑢-,*𝑒+=,𝐵∗-,𝐴;1-*𝑢𝑘+ (2.36)
Din legea lui Hooke generalizata (2.28), (2.29) de determina campul tensiunilor:
*𝜎+=,𝐷-*𝜀+,*𝜀+=*𝑒++*𝑒𝑇++*𝑒0+
→*𝜀+=*𝑒+−*𝑒0++𝛼𝑇,𝐸;1-*𝜒𝑇+,
*𝜎+=,𝐷-(*𝑒+−*𝑒0+)+𝛼𝑇*𝜒𝑇+ (2.37)
Variatia energiei interne de deformatie, considerand deformatiile initiale *𝑒0+ si cele termice
*𝑒𝑇+ se poate scrie:
𝛿𝑈=∫*𝛿𝑒+𝑇*𝜎+𝑑𝑉
(𝑉) (2.38)
si pe baza relatiei (2.36) avem
𝛿𝑈=∫*𝛿𝑒+𝑇,𝐸-*𝑒+𝑑𝑉
(𝑉)− ∫*𝛿𝑒+𝑇,𝐸-*𝑒0+𝑑𝑉
(𝑉)+∫*𝛿𝑒+𝑇𝛼𝑇*𝜒𝑇+𝑑𝑉
(𝑉) (2.39)

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

11 iar impreuna cu relatia (2.36) avem
*𝛿𝑒+=,𝐵∗-,𝐴;1-*𝛿𝑢𝑘+=,𝐵-*𝛿𝑢𝑘+ 𝛿𝑈=
=*𝛿𝑢𝑘+𝑇,𝐴;1-𝑇(∫,𝐵∗-𝑇,𝐸-,𝐵∗-𝑑𝑉
(𝑉)),𝐴;1-*𝛿𝑢𝑘+−*𝛿𝑢𝑘+𝑇∫,𝐵-𝑇,𝐸-*𝑒0+𝑑𝑉
(𝑉)+
+𝛼𝑇*𝛿𝑢𝑘+𝑇∫,𝐵-𝑇*𝜒𝑇+𝑑𝑉
(𝑉) (2.40)
Lucrul mecanic virtual al fortelor concentrate de volum, de suprafata si fortele nodale de
cuplare cu celel alte elemente ale structurii se poate scrie ca:
𝛿𝑊=∫*𝛿𝑢+𝑇*𝑋+𝑑𝑉+∫*𝛿𝑢+𝑇*Φ+𝑑𝑆+*𝛿𝑢𝑘+𝑇*𝑃0𝑘++*𝛿𝑢𝑘+𝑇*𝑃𝑘+
(𝑆),
(𝑉) (2.41)
unde *𝑋+ est vectorul fortelor de volum exterioare, *Φ+ este vectorul fortelor de suprafata
exterioare, *𝑃0𝑘+ este vectorul echivalent al fortelor concentrate exterioare in campul
elementului si reduse la noduri iar *𝑃𝑘+ este vectorul fortelor nodale interne de legatura cu
elementele vecine.
Folosind relatia (2.35) obtinem:
𝛿𝑊=*𝛿𝑢𝑘+𝑇∫,𝑁𝑢-𝑇*𝑋+𝑑𝑉+*𝛿𝑢𝑘+𝑇∫,𝑁𝑢-𝑇*Φ+𝑑𝑆+*𝛿𝑢𝑘+𝑇*𝑃0𝑘++*𝛿𝑢𝑘+𝑇*𝑃𝑘+
(𝑆)
(𝑉) (2.42)
Din relatiile (2.40), (2.42) si principiul lucrului mecanic virtual obtinem legea elementului f init
care are ca necunoscute deplasarile nodale *𝑢𝑘+:
𝛿𝑊=𝛿𝑈
→,𝐴;1-𝑇(∫,𝐵∗-𝑇,𝐸-,𝐵∗-𝑑𝑉
(𝑉)),𝐴;1-*𝑢𝑘+=
=−𝛼𝑇∫,𝐵-𝑇*𝜒𝑇+𝑑𝑉+
(𝑉)∫,𝐵-𝑇,𝐸-*𝑒0+𝑑𝑉
(𝑉)+*𝑃0𝑘++∫,𝑁𝑢-𝑇*𝑋+𝑑𝑉
(𝑉)
+∫,𝑁𝑢-𝑇*Φ+𝑑𝑆+*𝑃𝑘+
(𝑆) (2.43)
De unde prin identificare obtinem:
 Matricea de rigiditate a elementului finit:
,𝐾-=,𝐴;1-𝑇,𝐾∗-,𝐴;1-=∫,𝐵-𝑇,𝐸-,𝐵-𝑑𝑉
(𝑉) ,𝐾∗-=∫,𝐵∗-𝑇,𝐸-,𝐵∗-𝑑𝑉,
(𝑉)
unde ,𝐾∗- este nucleul matricei de rigiditate; (2.44)
 Vectorul incarcarilor exterioare pe element reduse la noduri:
*𝑄𝑘+=*𝑃0𝑘++∫,𝑁𝑢-𝑇*𝛷+𝑑𝑆+(𝑆) ∫,𝑁𝑢-𝑇*𝑋+𝑑𝑉
(𝑉)+∫,𝐵-𝑇,𝐸-*𝑒0+𝑑𝑉
(𝑉)−𝛼𝑇,ℎ-,
(2.45)
unde ,ℎ-=∫,𝐵-𝑇*𝜒𝑇+𝑑𝑉
(𝑉) este matricea termica,
*𝛷+ este vectorul fortelor exterioare de suprafata,
*𝑋+ este vectorul forttelor exterioare de volum,
,𝑁𝑢-=,𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)-,𝐴;1- este matricea functiilor de interpolare a campului de plasarilor’
,𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)- sunt functiile de interpolare *𝑢+=,𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)-*𝛼+,
,𝐴- este matricea de legatura dintre vectorul coordonatelor nodale *𝑢𝑘+ si parametrii *𝛼+

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

12 ,𝐵-=,Δ-,𝑁𝑢- este matricea deformatiilor specifice,
,Δ- este operat orul de diferentiere Cauchy ,
𝛼 este coeficientul dilatarii termice liniare
𝑇 este diferenta de pemperatura care provoaca sarcina termica
*𝜒𝑇+3𝐷=𝐸
1;2𝜈*−1−1−1 0 0 0+𝑇
Din relatiile (2.43), (2.44) si (2.45) le gea elementului finit es te:
,𝐾-*𝑢𝑘+=*𝑃𝑘++*𝑄𝑘+ (2.46)

3.5.2 Formularea matricei de rigiditate a elementului de membrana triunghiulara folosind
coordonatele naturale de suprafata

Un element finit triunghiular admite in coordonate naturale de suprafata exprimare a din
Figura 2.5:

Figura 2.5 Element de membrana triunghiular in cordonate de suprafata
Conform Domnisoru (2001) matricea de rigiditate ,𝐾- a elementului de membrana triunghiular
are expresia
,𝐾-=𝑡∫,𝐵-𝑇,𝐸-,𝐵-𝑑𝐴, ,𝐸-=𝐸
1−𝜈2[1𝜈0
𝜈10
001−𝜈
2]
(𝐴),,𝐵-
=1
2𝐴Δ*𝑏10𝑏20𝑏30
0𝑐10𝑐20𝑐3
𝑐1𝑏1𝑐2𝑏2𝑐3𝑏3+ (2.47)
De unde prin calcul direct rezulta:
,𝐾-=𝐸𝑡
4𝐴Δ(1−𝜈2)
[ 𝛹11𝛷11𝛹12𝛷12𝛹13𝛷13
𝛷11𝛩11𝛷21𝛩12𝛷31𝛩13
𝛹12𝛷21𝛹22𝛷22𝛹23𝛷23
𝛷12𝛩12𝛷21𝛩22𝛷32𝛩23
𝛹13𝛷31𝛹23𝛷32𝛹33𝛷33
𝛷13𝛩13𝛷23𝛩23𝛷33𝛩33]
,
unde 𝛹𝑖𝑗=𝑏𝑖𝑏𝑗+1;𝜈
2𝑐𝑖𝑐𝑗; 𝛩𝑖𝑗=𝑐𝑖𝑐𝑗+1;𝜈
2𝑏𝑖𝑏𝑗; Φ𝑖𝑗=𝜈𝑏𝑖𝑐𝑗+1;𝜈
2𝑐𝑖𝑏𝑗,𝑖,𝑗=1,2,3. (2.48)

3.5.2 Matricea de rigiditate pentru un element de placa triunghiular cu 3 n oduri si 9 grade
de libetate nodale

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

13
Confom Domnisoru (2001) , conside ram un element triunghiular de placa subtire cu 3 noduri
si 9 grade de libertate (Figura 2.6) pentru care scriem legea de variatie a campului deplasarilor:
𝑤(𝑥,𝑦)=𝛼1+𝛼2𝑥+𝛼3𝑦+𝛼4𝑥2+𝛼5𝑥𝑦+𝛼6𝑦2+𝛼7𝑥3+𝛼8(𝑥2𝑦+𝑥𝑦2)+𝛼9 𝑦3
→𝑊(𝑥,𝑦)=,𝑓(𝑥,𝑦)-*𝛼+ *𝛼+=*𝛼1𝛼2 𝛼3𝛼4𝛼5𝛼6𝛼7𝛼8𝛼9+𝑇 (2.49)
si vectorul gradelor de libertate nodale :
*𝑢𝑘+=*𝑤1 𝑤𝑥1 𝑤𝑦1 𝑤2 𝑤𝑥2 𝑤𝑦2 𝑤3 𝑤𝑥3 𝑤𝑦3+𝑇 (2.50)

Figura 2.6 Element triunghiular de placa subtire cu 3 noduri si 9 grade de libertate
Matricea de rigiditate are formularea:
,𝐾-=∫,𝐵-𝑇,𝐷𝑘-,𝐵-𝑑𝐴, ,𝐵-=,∆-,𝑁-, 𝑤(𝑥,𝑦)=,𝑁(𝑥,𝑦)-*𝑢𝑘+=,𝑓(𝑥,𝑦)-*𝛼+
𝐴
*𝑢𝑘+=,𝐴-*𝛼+→*𝛼+=,𝐴;1-*𝑢𝑘+→,𝑁(𝑥,𝑦)-=,𝑓(𝑥,𝑦)-,𝐴;1-→,𝐵-=,𝐵∗-,𝐴;1-
,𝐵∗-=,∆-,𝑓(𝑥,𝑦)- ,∆-={𝜕2
𝜕𝑥2 𝜕2
𝜕𝑦2 2𝜕2
𝜕𝑥𝜕𝑦 } 𝑇 (2.51)
De unde rezulta ca matricea de rigiditate are expresia:
,𝐾-=,𝐴;1-𝑇,𝐾∗-,𝐴;1-,
Iar nucleul maricei de rigiditate are expresia:
,𝐾∗-=𝐸𝑡3𝐴∆
12(1−𝜈2)∙
∙
[ 000 0 0 0 0 0 0
000 0 0 0 0 0 0
000 0 0 0 0 0 0
000 4 0 4𝜈 12Ψ14(𝜈Ψ1+Ψ3)12𝜈Ψ3
000 0 2(1−𝜈) 0 0 𝜆1 0
0004𝜈 0 4 12𝜈Ψ14(Ψ1+𝜈Ψ3)12Ψ3
00012Ψ1 0 12𝜈Ψ1 36Ψ212(νΨ2+Ψ5)36𝜈Ψ5
0004(𝜈Ψ1+Ψ3)𝑐4(Ψ1+𝜈Ψ3)12(νΨ2+Ψ5) 𝜆2 12(Ψ5+𝜈Ψ4)
00012𝜈Ψ3 0 12Ψ3 36𝜈Ψ512(Ψ5+𝜈Ψ4)36𝜈Ψ4]
(2.52)

3.5.3 Transformari de coordonate
Relatiile prezentate anterior pentru deducerea matricelor de rigiditate au folosit sisteme de
coordonate locale (𝑥𝑦𝑧), alese din considerente de usurare a calculului. Pentru a analiza
structura globala spatiala, este necesar ca toate elementele structurii idealizate descrise in
modelul analizat sa fie descrise in acelasi sistem global de coordonate (𝑥𝑦𝑧𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘). Trecerea de l a
sistemul local de coordonate la sistemul global se realizeaza pe baza matricelor de transformare
,𝜆-, definite pentru fiecare element in parte. Sistemul global de coordonate (𝑥𝑦𝑧𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘) se alege din
considerente practice ingineresti.

Caramatescu Adrian – Analiza comparativă a structurilor clasice și hibride folosite la ambarcațiuni
din P AFS, metode de ușurare a acestora și îmbunatatirea rezistenței la impactul cu valurile Capitolul II: Modele
teoretice utilizate la
analiza CFD și FEM Bibliografie

14 Conform Domnisoru ( 2001), relatia intre vectorul deplasarilor nodale pe element in sistem
local *𝑢𝑘+ si vectorul deplasarilor in sistem global *𝑢𝑘𝑘+ se poate scrie:
*𝑢𝑘+=*𝜆+*𝑢𝑘𝑘+→ *𝛿𝑢𝑘+=*𝜆+*𝛿𝑢𝑘𝑘+ (2.53)
Cunoscand ca lucrul mecanic virt ual este o marime scalara care nu depinde de sistemul de
coordonate ales putem scrie:
*𝛿𝑢𝑘𝑘 +𝑇*𝑃𝑘𝑘+=*𝛿𝑢𝑘 +𝑇*𝑃𝑘+ (2.54)
Din legea elementului finit in sistem propriu, local (2.46) si relatiile (2.53) si (2.54) putem
scrie legea elementului finit in sistem global:
*𝑃𝑘𝑘+=,𝐾𝑙-*𝑢𝑘𝑘+−*𝑄𝑘𝑘+ (2.55)
Relatiile de transformare se scriu sub forma:
*𝛿𝑢𝑘𝑘 +𝑇 *𝑃𝑘+=*𝛿𝑢𝑘𝑘 +𝑇,𝜆-𝑇*𝑃𝑘+ →*𝑃𝑘𝑘+=,𝜆-𝑇*𝑃𝑘+ →*𝑃𝑘𝑘+=,𝜆-𝑇,𝐾-*𝑢𝑘+−
=,𝜆-𝑇*𝑄𝑘+→,𝐾𝑙-=,𝜆-𝑇,𝐾-,𝜆- *𝑄𝑘𝑘+=, 𝜆-𝑇*𝑄𝑘+ (2.56)

3.5.4 Conditii de margine – metoda ecuatiilor de transformare

Conditiile de ma rgine impun unui grad de libertate o valoare prestabilita initi ala. Aceasta
poate fi globala cum ar fi de exemplu o conditie de rezemare simpla sau o incastrare a structurii
studiate, sau conditii locale precum impunerea unei legaturi rigide intre o serie de elemente.
Matematic, pentru fiecare conditie de margine, un grad de libertate poate fi eliminat din vectorul
deplasarilor globale *𝑢𝑘𝑔+. Cele mai folosite metode de impunere a conditiilor de margine sunt
metoda functiilor de penalizare si metoda ecuatiilor de transformare, pe care o vom prezenta in
cele ce ur meaza. Scriind conditiile de margine care cupleaza gradele de libertate in vectorul
deplasarilor globale *𝑢𝑘𝑔+ sub forma:
,𝐶-{𝑢𝑘𝑔}=*𝐺+, (2.57)
unde ,𝐶-,*𝐺+ sunt constante si considerand cazul standard *𝐺+=0 putem rescrie ecuatia
(2.57) s ub forma:
[,𝐶𝑟-,𝐶𝑐-]{*𝑢𝑘𝑔+𝑟
*𝑢𝑘𝑔+𝑐}=*0+, (2.58)
unde*𝑢𝑘𝑔+𝑟 sunt gradele de libertate neconstranse ( libere ) iar *𝑢𝑘𝑔+𝑐 sunt gradele de libertate
constranse (eliminate).
,𝐶𝑟-*𝑢𝑘𝑔+𝑟+,𝐶𝑐-*𝑢𝑘𝑔+𝑐=0→*𝑢𝑘𝑔+𝑐=−,𝐶𝑐-;1,𝐶𝑟-*𝑢𝑘𝑔+𝑟=−,𝐶𝑟𝑐-*𝑢𝑘𝑔+𝑟
[𝑢𝑔}={*𝑢𝑘𝑔+𝑟
*𝑢𝑘𝑔+𝑐}=[,𝐼𝑟-
,𝐶𝑟𝑐-]{𝑢𝑔}𝑟=,𝑇-{𝑢𝑔}𝑟, (2.59)
unde ,𝑇-=,𝐼𝑟-
,𝐶𝑟𝑐- este matrice de transformare . Astfel, legea sistemului global devine:
[𝐾𝑙𝑔]{𝑢𝑔}={𝑄𝑘𝑔}→[𝐾𝑙𝑔],𝑇-=[,𝐾𝑟𝑟-+,𝐾𝑟𝑐-∙,𝐶𝑟𝑐-
,𝐾𝑐𝑟-+,𝐾𝑐𝑐-∙,𝐶𝑟𝑐-]
{𝑄𝑘𝑔}={{𝑄𝑘𝑔}𝑟
{𝑄𝑘𝑔}𝑐},,𝑇-𝑇{𝑄𝑘𝑔}={𝑄𝑘𝑔}𝑟+,𝐶𝑟𝑐-𝑇{𝑄𝑘𝑔]𝑐 (2.60)