Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare [604574]

Universitatea Tehnică a Moldovei

Referat

Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

Student: [anonimizat]-181M: Dan Cazac
Prof. univ. dr. : Alex ei Leahu

Chișinău – 2019

Introducere

Noțiunea de variabila aleatoare – pentru studiul matematic al unui fenomen al eator este necesar ca
descrierea să aibă o expresie cantitativă, analizabilă cu un aparat matematic adecvat. Se ajunge astfel la o
nouă noțiune, deosebit de importantă în teoria probabilităților – variabilă aleatoare – și la studiul ei
probabilistic, care este expresia matematică a însăși legii fenomenului aleator de la care se pleacă. Iată două
exemple bazate pe experiențe aleatoare foarte simple:
 Exemplul 1: Dintr -o urnă care conține același număr de bile albe și negre se extrag trei bile, după
principiul bilei revenite. Câte bile albe pot apărea?
 Exemplul 2: Două persoane joacă un joc descris de următoarea regulă: se aruncă două zaruri
numerotate obișnuit, de la 1 la 6, fiecare. Dacă suma numerelor apărute pe cele două zaruri este mai
mică sau egală cu 5, prima persoană primește un punct, dacă suma este 6,7 sau 8 nu primește nici un
punct, iar dacă suma este mai mare sau egală cu 9, pierde un punct (primește -1 puncte). Câte puncte
poate primi prima persoană după o aruncare a zarurilor?
Răspunsurile la cel e două întrebări se exprimă prin numere. Totodată, trebuie să se țină seama de faptul că
răspunsurile sunt condiționate de rezultatele experiențelor respective. Și, cum acestea au un caracter
aleator, aceeași caracteristică o va avea și răspunsul dat fiecă reia din cele două întrebări. S -a asociat, deci,
fiecărei experiențe o mărime numerică care nu are un caracter constant ci variază după o anumită lege
întâmplătoare.

1. Definiția variabilei aleatoare
Majoritatea experimentelor de interes practic au ca rezultate valori numerice. Aceasta înseamnă ca
rezultatul unei probe al unui experiment, poate fi caracterizat de un număr sau de un cuplu de numere. Se
poate, astfel considera ca fiecărei probe al unui experiment i se poate asocia un număr sau de un c uplu de
numere. Se poate atunci introduce noțiunea devariabila aleatoare (întâmplătoare ) ca o funcție reala
definita pe mulțimea evenimentelor elementare asociate experimentului considerat. Cuvântul aleator,
subliniază faptul ca se lucrează cu elemente gen erate de fenomene întâmplătoare , care nu sunt guvernate
de legi strict deterministe. Elementul dificil in analiza acestor fenomene consta in faptul ca deși acestea au o
anumita regularitate, este imposibil de precizat cu certitudine rezultatul unei probe întâmplătoare .
Fie mulțimea evenimentelor elementare asociata unui anumit experiment, rezultatele posibile fiind
notate cu . Este posibil ca acesta sa nu fie un rezultat numeric in sine, dar i se poate atribui o anumita
valoare numerica. De exemplu, la distribuirea unor cărți de joc, se poate atribui o anumita valoare numerica
fiecărei cărți samd.
DEFINITIE Orice funcție f definita pe si care ia valori in mulțimea numerelor reale R, se
numește variabila aleatoare .
Prin urmare, fiecărui rezul tat , , ii corespunde numărul real , .
OBSERVATIE Numărul rezultatelor , , distincte este mai mic cel mult egal cu n.

EXEMPLU Se considera experimentul aruncării unui zar. Fie , , evenimentele care constau in
apariția fetei cu un număr i de puncte. Se poate defini o variabila aleatoare, ca fiind data de .
Se considera acum ca variabila aleatoare f înregistrează s valori distincte , in condițiile in care
sunt înregistrate n evenimente elementare , . Fie , evenimentele elementare pentru
care , . Notând , atunci:
.
EXEMPLU Se considera o variabila aleatoare g, data de recolta de grâu pe un hectar. In aceasta situație
variabila aleatoare poate avea orice valoare dintr -un interval si prin urmare apare următoarea
clasificare, generata de na tura valorilor înregistrate .
DEFINITIE O variabila aleatoare se numește discreta (discontinua ) daca poate lua numai valori izolate.
Numărul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete poate fi finit sau infinit.
O variabila aleatoare se numește continua daca poate lua valori care umplu un interval finit sau infinit.
Evident, numărul valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue este întotdeauna infinit.
2. Repartiția unei variabilei aleatoare discrete
Pentru a defini o var iabila aleatoare discreta este suficient sa se enumere toate valorile posibile pe care
aceasta le poate lua. Însă, pentru a o cunoaște complet trebuie enumerate si probabilitățile
corespunzătoare fiecărei valori înregistrate .
Se numește repartiție a unei variabile aleatoare discrete enumerarea valorilor posibile ale variabilei
aleatoare si a probabilităților corespunzătoare acestora. De obicei repartiția unei variabile aleatoare
discrete se scrie sub forma unui tablou in care prima linie conține toate valorile posibile, iar a doua linie,
probabilitățile coresp unzătoare :
, sau , .
Ținând seama ca intr -un experiment variabila aleatoare ia una si numai una din valorile sale posibile,
rezulta ca evenimentele care constau in aceea ca variabila ia valorile sau ,., sau formează –
după cum se știe – un sistem complet de evenimente. Prin urmare, suma probabilităților acestor evenimente
este egala cu unitatea :
.
3. Operații cu variabile aleatoare discrete
DEFINITIE Puterea de ordinul k a variabi lei aleatoare f este variabila aleatoare cu repartiția :

.
DEFINITIE Daca este un număr real, produsul dintre si este variabila aleatoare , cu repartiția :
.
Fie si doua variabile aleatoare, având respectiv repartițiile :
si .
Se considera evenimentul care consta in aceea ca ia valoarea , si ia valoarea
, . Acest eveniment notat si care este intersecția
evenimentelor si , constând in aceea ca ia valoarea , respectiv ia valoarea , are
o probabilitate bine deter minata:
.
Cum evenimentele , , , in număr de , formează un sistem complet
de evenimente, atunci :

.
DEFINITIE Variabila aleatoare are repartiția :
, , .
DEFINITIE Variabila aleatoare are repartiția :
, , .

Exista vreo legătura intre probabilitățile si ? Răspunsul la aceasta întrebare este
afirmativ, însă legătura dintre aceste probabilități nu este întotdeauna simpla. Un caz in care aceasta
legătura este foarte simpla este acela in care si sunt independente .
DEFINITIE Variab ilele si se numesc independente probabilistic daca pentru orice si ,
, , evenimentele si sunt independente. Prin urmare:
,
adică
.
In mod analog se pot defini sumele si produsele a mai mult de doua variabile aleatoare, ca si noțiunea de
independenta a unui număr oarecare de variabile aleatoare.
4. Momentele unei variabile aleatoare discrete
Se considera doua variabile aleatoare si si se presupune ca poate lua valorile ,
iar poate lua valorile . Pentru fiecare pereche , fie probabilitatea ca sa ia
valoarea si sa ia valoarea , adică :
, , .
DEFINITIE Probabilitățile , , constituie repartiția comuna a variabilelor aleatoare
, .
DEFINITIE Variabilele aleatoare si sunt independente, daca pentru orice , si orice
, are loc:
.
Se considera acum mai mult de doua variabile aleatoare. Fie , variabile aleatoare, unde
variabila aleatoare ia valorile , .
DEFINITIE Probabilitățile :

constituie repartiția comuna a variabilelor aleatoare .

DEFINI TIE Variabilele aleatoare sunt independente, daca pentru orice , :

.
DEFINITIE Variabilele aleatoare [1] sunt independente, daca orice număr finit de variabile
aleatoare din acest sir sunt independente.
Introducem acum o caracteristica numerica foarte importanta, asociata unei variabile aleatoare.
DEFINITIE Numărul

se numește valoarea medie a variabilei aleatoare .
EXEMPLU In experimentul cu zarul :
.
DEFINITIE Fie un număr întreg , . Numărul

se numește moment de ordinul al variabilei aleatoare .
OBSERVATIE Momentul de ordinul este valoarea medie.
DEFINITIE Numărul

se numește dispersia variabilei aleatoare .
Cu ajutorul a cestor noțiuni introduse, se pot demonstra o serie de proprietăți .
PROPRIETATEA 1 Fie o variabila aleatoare si un număr întreg , . Atunci

Demonstrație . Fie variabila aleatoare cu repartiția
.
Atunci variabila aleatoare va avea evident repartiția :
;
cu alte cuvinte, valorile si au aceeași probabilitate ,
si deci
()
Din proprietatea anterioara se deduce imediat:
PROPRIETATEA 2 Fie o variabila aleatoare care poate lua o singura valoare cu probabilitatea (adică
). Atunci:
.
PROPRIETATEA 3 Fie o variabila aleatoare si un numar real. Atunci:
.
Demonstrație . Fie variabila aleatoare cu valorile , având probabilitățile si fie .
Aceasta noua variabila aleatoare ia valorile cu aceleași probabilități si deci:
()
PROPRIETATEA 4 Fie variabile aleatoare . Atunci valoarea medie a sumei acestor variabile
aleatoare este egala cu suma valorilor medii, adică :
.

Demonstrație . Fie mai întâi numai doua variabile aleatoare si . Se presupune ca variabila
aleatoare ia valorile cu probabilitățile , iar variabila aleatoare ia valorile cu
probabilitățile . De asemenea fie :
, , .
Fie ; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea cu probabilitatea ,
, . Prin urmare :
.
Suma , este suma probabilităților tuturor evenimentelor de forma , unde
indicele este același pentru toți termenii sumei, iar indicele variază de la un termen la altul, parcurgând
toate valorile de la la . Deoarece evenimentele pentru indici diferiți sunt incomp atibile doua
cate doua, suma este probabilitatea producerii unui eveniment oarecare din
cele evenimente , . Dar, a spune ca s -a produs un eveniment oarecare din
evenimentele , , este echivalent cu a spune ca s -a produs evenimentul .
Într-adevăr , daca s-a produs unul din evenimentele , , este evident ca s -a produs si
evenimentul ; reciproc, daca s -a produs evenimentul , atunci întrucât variabila
aleatoare ia neapărat una din valorile sale posibile , trebuie sa se producă si un eveniment
oareca re din evenimentele , . Așadar , fiind probabilitatea producerii unui
eveniment oarecare din evenimentele , , este egala cu probabilitatea
evenimentului , adică
, .
In mod analog se deduce:
, .
Ținând seama de aceste expresii in relația , se obține :

.
Pentru mai mult de doua variabile aleatoare, se procedează prin inducție . Fie

si se presupune teorema adevărata pentru . Atunci :
.
Aplicând proprietatea pentru doua variabile aleatoare, se obține :

. ()
PROPRIETAT EA 5 Dispersia unei variabile aleatoare este data de relația :
.
Demonstrație .
,
daca se tine seama de proprietatea precedenta. Mai departe, aplicând de doua ori proprietatea 1., se
obține :

.
PROPRIETATEA 6 Fie si doua variabile aleatoare independente. Atunci valoarea medie a produsului
acestor variabile aleatoare este egala cu produsul valorilor medii, adică :
.
Demonstrație . Se presupune ca variabila aleatoare ia valorile cu probabilitățile , iar
variabila aleatoare ia valorile cu probabilită țile . De asemenea :
, ,

si cum f si g sunt variabile independente:
, , .
Fie ; aceasta noua variabila aleatoare ia valoarea cu probabilitatea , , .
Prin urmare:

.
PROPRIETATEA 7 Fie variabile aleatoare indepen dente doua cate cate doua. Atunci dispersia
sumei acestor variabile aleatoare este egala cu suma dispersiilor, adică :
.
Demonstrație . Din proprietatea 6 se deduce

.
Daca se tine seama de faptul ca variabilele aleatoare sunt independente, at unci din proprietatea
6 rezulta ca cele doua sume duble de mai sus se reduc si deci :

.
PROPRIETATEA 8 (Inegalitatea lui Cebisev ) Fie o variabila aleatoare si un număr pozitiv oarecare.
Atunci

,
sau

Demonstrație . Fie o variabila aleatoare ca re ia valorile cu probabilitățile . Dispersia
variabilei aleatoare este :
.
Fie este un număr oarecare; daca din suma de mai sus se elimina toți termenii pentru
care si rămân numai termenii pentru care , suma poate numai sa se
micșoreze , adică
.
Aceasta suma se va micșora si mai mult daca in fiecare termen al ei vom înlocui
factorul prin valoarea inferioara :
.
Suma din partea dreapta reprezinta suma probabilitatilor tuturor acelor valori ale variabilei
aleatoare care se ab at de la valoarea medie de o parte si de alta cu mai mult de ; conform
proprietatii de aditivitate a doua evenimente incompatibile, aceasta este probabilitatea ca variabila
aleatoare sa ia una din aceste valori. Cu alte cuvinte, aceasta suma este . Adica :
,
ceea ce permite aprecierea probabilitatii abaterilor mai mari decat un numar dat dinainte, cu conditia
numai sa fie cunoscuta dispersia .

Cu ajutorul proprietatilor 7 si 8 se poate demonstra urmatorul rezultat foarte important, cunoscut s ub
numele de legea numerelor mari.
PROPRIETATEA 9 Fie un sir de variabile aleatoare independente care au aceeași repartiție si
deci, aceeași valoare medie si aceeași dispersie . Atunci, pentru orice si arbitrari, , ,
exista un număr natural astfel încât îndată ce , are loc :
.
Demonstrație . Din proprietățile 1 si 4, se deduce:

si deci, aplicând proprietatea 8, se obține :
.
Dar:
,
de unde rezulta:
.
Fiind dați , , se poate determina un număr natural , care depinde de si , astfel
încât îndată ce , sa rezulte :
;[2]
Prin urmare :

.
Cu alte cuvinte, proprietatea 9 arata ca daca variabilele aleatoare sunt indepen dente si
daca au aceeași medie si aceeași dispersie , atunci pentru un suficient de mare,
expresia va diferi oricât de puțin de cu o probabilitate oricât de apropiata de .
Studiul independentei a doua variabile aleatoare se poate realiza si prin intermediul coeficientului de
corelați e.
DEFINITIE Se numește corelație a doua variabile aleatoare, media produsului abaterilor acestora:
.
PROPRIETATE .
Demonstrație

DEFINITIE Se numește coeficient de corelație :
.
TEOREMA Corelația a doua variabile aleatoare independente este nula.
Demonstrație Daca variabilele X, Y sunt independente, atunci si , respectiv sunt
independente.
PROPRIETATI
1) ;
2) daca si numai daca intre variabilele X si Y exista o relație de legătura liniara.
Demonstrație 1) Fie , . , . Calculând media variabilei
aleatoare U, se obține :

.
Calculând discriminantul si impunând condiția ca acesta sa fie pozitiv, rezulta proprietatea data.
2) Fie , , .

5. Repartiții discrete clasice
Repartiția binomiala
.
Parametrii acesteia sunt : , .
Repartiția Poisson
.
Parametrii acesteia sunt : , .
Repartiția Poisson poate fi scrisa si in forma:
, .
Distribuția hipergeometrica
.

Parametrii acesteia sunt : , ,
Revenind la calculul parametrilor repartițiilor , se obține :
Repartiția binomiala
.
Fie binomul :
.
Derivând după x, rezulta:
.
Înmulțind cu x, rezulta:

Pentru .
Daca derivam încă o data după x, rezulta:

si înmulțind cu x .
Pentru , de unde rezulta ca:
.
Repartiția Poisson
Considerând dezvoltarea in serie Taylor a funcției in jurul originii rezulta:
,

.
Atunci

, adică .
Pentru determinarea dispersiei este necesar sa se calculeze:

.
Prin urmare, repartiția Poisson are .
Repartiția hipergeometrica

.

.

.

, unde , .
6. Mediana, cuantile, moda, asimetrie si exces
DEFINITIE Fie o variabila aleatoare care are densitatea de repartiție . Se numește moda a lui si
se notează cu abscisa punctului de maxim a lui .
Daca are un singur maxim, atunci se numește unimodala, iar daca are mai multe puncte de
maxim se va numi plurimodala .
EXEMPLU Se poate observa ușor ca daca , , atunci are un singur maxim in si
deci .
OBSERVATIE Intre valoarea medie , mediana si moda exista așa numita relație a lui
Pearson:

DEFINITIE Raportul

daca exista, se numește asimetrie a repartiției lui , sau a lui .
DEFINITIE Expresia

daca e xista se numește exces.
OBSERVATIE Mărimile sau indicatorii numerici definiți mai sus sunt utili in general in statistica pentru a
studia diferite repartiții .
7. Funcția de repartiție
DEFINITIE Pentru orice variabila aleatoare , de numește funcție de repartiție a lui funcția
.
OBSERVATIE Din definiție , se observa, ca daca este o variabila aleatoare discreta, atunci este data
de suma tuturor probabilităților valorilor lui situate la stânga lui .
EXEMPLU Fie . Atunci, conform definiției :
.
Expresia se numește salt al funcției in punctul si se poate observa ca:
.
PROPOZITIE Daca este o variabila aleatoare discreta si funcția de repartiție a acesteia, atunci
pentru orice doua numere date, Are loc:
1)
2)
3)
4) .

Demonstrație . Fie , , si
. , , . Ca urmare a proprietăților probabilității , se poate scrie ca:
1) ,
2) ,
3) ,
adică tocmai afirmațiile din propoziție .
PROPOZITIE Daca este funcția de repartiție a variabilei aleatoare , atunci , (
este ne descre scătoare ).
Demonstrație . Din propoziția 1.:
, , adică , .
8. Funcția generatoare de momente
DEFINITIE Daca exista, expresia

se numește generatoare de momente asociata variabilei aleatoare .
OBSERVATIE Precizarea ,,daca exista'' se refera la convergenta sumei sau a
integralei când acestea o cer. Se presupune ca si derivatele sale de ordin
superior exista. In plus, se constata ca:
, , ,.
OBSERVATIE Utilizarea funcției generatoare de momente e ste recomandata atunci când se pot calcula mai
repede momentele decât pe cale directa.
EXEMPLU Fie , , , , .

Atunci .
. .
9. Funcția caracteristica
DEFINITIE Fiind date variabilele aleatoare si , se numește variabila aleatoare c omplexa ,
unde se numește partea reala, iar se numește partea imaginara. Valoarea medie a lui este, prin
definiție .
Fie o variabila aleatoare reala cu funcție de repartiție , este o
variabila aleatoare complexa, având si deci, mărginita . Valoarea medie a acesteia exista si este o
funcție , , pe care o numim funcție caracteristica a variabilei aleatoare .
DEFINITIE Numim funcție caracteristica a variabilei aleatoare expresia:

presupunând ca suma este convergenta.
PROPOZITIA 1 , , .
PROPOZITIA 2 Doua funcții de repartiție si sunt identice daca si numai daca funcțiile lor
caracteristice si coincid.
PROPOZITIA 3 Fie si doua variabile aleatoare. Daca , atunci .
Demonstraț ie.
.
PROPOZITIA 4 Daca si sunt variabil e aleatoare independente , atunci .
Demonstrație
.
PROPOZITIA 5 Daca momentul de ordinul ( ) al unei variabile aleatoare exista, atunci
derivata exista pentru orice si au loc relațiile :

.
EXEMPLUL 1
.