,,Capul copilului nu este un vas pe care să-l umpli, ci o făclie pe care s-o aprinzi astfel încât, mai târziu, să lumineze cu lumina proprie.”(… [308556]

MOTTO :

,,Capul copilului nu este un vas pe care să-l umpli, ci o făclie pe care s-o [anonimizat], să lumineze cu lumina proprie.”( PLUTARH)

I. SPECIFICUL GÂNDIRII ȘCOLARULUI MIC

I.1. DOMINANȚELE ÎN PROFILUL DEZVOLTĂRII PSIHICE A ȘCOLARULUI MIC

În jurul vârstei de 6-7 ani, [anonimizat]. Întreaga sa dezvoltare fizică și psihică va fi influențată de acest nou factor. [anonimizat].

(Introducere în psihologie, 2002, [anonimizat], p.107-111)

[anonimizat], influențează puternic întreaga dezvoltare psihică a copilului și îi dă un relief specific. [anonimizat] a școlarului mic pentru a putea diferenția acest stadiu de cele anterioare și a reuși să înțelegem mai bine locul și contribuția sa la dezvoltarea de ansamblu a ființei umane.

Iată care sunt aceste dominanțe:

[anonimizat]

([anonimizat], p.105-106)

I.2. PARTICULARITĂȚILE ATENȚIEI ȘCOLARULUI MIC

Atenția este condiția necesară a desfășurării optime a tuturor proceselor informaționale și a obținerii succesului școlar.

În general copilul de 6-7 ani nu poate fi atent în cadrul unei activități mai mult de 25-30 de minute.

[anonimizat] (atenția voluntară este mai puțin conturată. Stabilitatea și durata atenției urmează să se dezvolte în următorii ani. Ea se modelează după solicitările școlare.

[anonimizat], prin dezvoltarea dorinței de a duce la bun sfârșit o [anonimizat].

([anonimizat], Proiectul pentru învățământul rural, p.108-109)

Lecțiile școlare bine organizate întrețin caracterul activ al atenției spontane a copilului. [anonimizat]. [anonimizat], că o [anonimizat], o [anonimizat]. [anonimizat]. [anonimizat]. El nu posedă destulă capacitate de dispersie a atenției, [anonimizat]. Una din cele două serii de evenimente devine perturbatoare pentru cealaltă și trebuie eliminate. [anonimizat] o parte, condiția înțelegerii, a posibilității de a face ulterior lecțiile de acasă. [anonimizat]icitarea atenției voluntare se impune cu necessitate. Atenția voluntară se organizează ca expresie a cerinței de a respectă și îndeplini un program impus de activitate intelectuală și se realizează cu oarecare efort. Treptat însă micul școlar se obișnuiește cu acest fel de efort și cu necesitatea de a-și mobiliza în mod voluntar voință. La nivelul clasei a III a, atenția la lecții are un caracter mult mai spontan, deoarece atenția voluntară a devenit un mecanism ce se poate utiliza mult mai ușor. Această formă de atenție născută din necesități și pe seama exercițiului, se numește atenție post-voluntară.

(Ursula Șchiopu, Viorica Piscoi, Psihologia Generală și a Copilului, p. 249)

Calitatea atenției se formează, mai ales, în activitate (manuală, intelectuală, joc, muncă). Multe activități, complicate sau de durata, cer stabilitatea atenției. O altă calitate a atenției este cea de distribuție. Se referă la capacitatea acesteia de a se exercită concomitent în activități divergente.

Formele de neatenție (aprosexiile) la lecție și atenția la altceva sunt, în genere, considerate că defecte de orientare școlară și sancționate educativ, deși nu reprezintă lipsa de atenție propriu-zisă.

Există mai multe feluri de neatenție școlară: neatenția prin distragere, apoi este neatenția datorată caracterului neinteresant al celor ce se relatează și a caracterului repetativ al celor ce se spun.

(Tinca Crețu, Psihologia copilului, p.109-110)

I.3. REPREZENTARILE SCOLARULUI MIC

Acestea sunt, de asemenea, influențate de școală, iar caracteristicile lor principale sunt următoarele:

sunt mult mai bogate, pentru că școala depășește sursa reprezentată de experiență de viață și asigura condiții de formare a unor reprezentări legate de cunoștințe școlare

încep să se formeze și reprezentări cu un grad mai mare de generalitate, așa cum sunt cele ale figurilor geometrice și relațiilor matematice

se formează categorii noi de reprezentări cum sunt cele fonetice și grafice

Reprezentările dobândesc mai multă mobilitate și pot semnaliza și mișcarea și transformările obiectelor pentru că ele beneficiază de un nou nivel al inteligenței care se atinge în școlaritatea mică. Școală trebuie să acorde atenție specială formării reprezentărilor, pentru că acestea continuă să aibă un important rol în activitatea de învățare a elevilor. Înțelegerea numeroaselor fenomene din natură se realizează prin mijlocirea reprezentărilor. Fenomenele observate și reprezentate devin mijlocul de explicare a unor fenomene mai complicate.

Reprezentările au rol foarte important în însușirea noțiunii de număr, în activitatea didactică folosindu-se reprezentări ale obiectelor cum ar fi bețișoare, bile, păpuși, etc.

Treptat, reprezentările devin tot mai variate și pot fi desprinse de obiecte, ceea ce îi dă copilului independența de a opera cu obiecte noi. În procesul învățării, copilul operează frecvent cu scheme și imagini, care facilitează transmiterea de informații. Pe baza acestora se vor forma simbolurile și conceptele. Văzută în acest fel, reprezentarea constituie veriga de legătură între concept și abstract.

Odată însușită schema, copii o pot aplica în diverse contexte. Spre exemplu, ei știu că numărul 24 rămâne neschimbat, indiferent dacă el este 10+14 sau 23+1.

I.4. GÂNDIREA CONCRET OPERATORIE A ȘCOLARULUI MIC

Odată cu intrarea copilului în școală, are loc contactul cu specificul activității școlare, care creează condiții noi, favorizând dezvoltarea gândirii copilului și determinând un proces important în cunoașterea lumii înconjurătoare. Astfel, copilul își însușește un volum mare de cunoștințe, în acest mod dezvoltându-și concomitent noi modalități de înțelegere. Se dezvoltă o serie de calități: observarea, atenția, exprimarea de idei, imaginația.

Dezvoltarea gândirii este condiționată și strâns legată de dezvoltarea limbajului, dar și de dezvoltarea experienței cognitive, directe-senzații, percepții, reprezentări.

(Tinca Crețu, Psihologia copilului, Proiectul pentru învățământul rural, p.114)

Dobândind noțiuni ale scrisului și cititului, elevului i se deschid porțile către informație și cunoaștere. Toate aceste achiziții ajută la deosebirea semnificativă a elevului de 10-11 ani față de cel de 6-7 ani, prin modul de gândire, exprimare, limbaj și capacitatea de a rezolva probleme.

Perioada școlară mică se caracterizează printr-o permanentă solicitare a gândirii și a cunoașterii sistematice a realității. J. Piaget a considerat că la 6-7 ani are loc trecerea de la gândirea intuitivă, de la intuitive articulate, la organizarea unor structuri mentale concrete care operează cu lungi scrieri și clasificări. Gândirea operatorie lucrează cu criterii, cu reciprocități, simetrii, forme de reversibilitate și de negație.

(Emil Verza, Pshihologia copilului, Ed. Didactică și Pedagogică, 1982, p.219)

La vârsta de 7-11 ani copilul aplicând regulile acestui tip de gândire, poate să desprindă trăsăturile caracteristice ale obiectelor, fenomenelor, persoanelor sau situațiilor. Legat de această trăsătură, gândirea copilul școlar capătă o nouă calitate: reciprocitatea.

În această perioadă copii încep să clasifice, să includă obiectele după anumite însușiri esențiale în categorii și clase (baza formării noțiunilor). Includerea în clase mai relevă și ideea că un anumit obiect sau persoană poate aparține cel mult unei clase.

Altă caracteristică a cogniției școlarului mic o constituie posibilitatea creării de serii –aranjarea în serie a obiectelor în funcție de mărimea, grosimea, culoarea, etc.

În gândire încep să se manifeste independent (8 ani), suplețe (9-10 ani) și devine mai evident spiritul critic întemeiat logic.

Gândirea operează cu cunoștie (scheme,imagini,simboluri,concepte), dar și cu operații și reguli de operații. Regulile sunt afirmații esențiale despre concepte. Acestea pot fi statice (descriptive)privind relațiile dintre concept și dinamice care se referă, la un set de proceduri posibile cu conceptele. Se mai pot consider că în sistemul regulilor există reguli informale, care explima păreri despre lume și descriu unele din caracteristicile lor și reguli formale, care se referă la relațile adevărate și specifice dintre concepte.

(Ursula Șchiopu, Emil Verza, Psihologia vârstelor, p.181)

Gândirea prezintă în acest stadiu o schimbare fundamentală, anume se trece de la gândirea preoperatorie a preșcolarului la gândirea operatorie. Adică acțiunile mentale se desprind de conținuturile informaționale particulare, se generalizează, se transformă cu ușurință în noi conținuturi și se automotiveaza, transformându-se în operații. Astfel școlarul mic își formează și utilizează cu succes operații generale ale gândirii (analiză, comparație, clasificare, etc.) dar și cele speciale implicate în însușirea cunoștiințelor școlare, așa cum sunt operațiile aritmetice.

A două caracteristică a gândirii prescolarului este faptul că ea rămâne legată încă de concret și vorbim astfel de o gândire a operațiilor clare. Accesul la o operație sau noțiune nouă este condiționată de percepții și reprezentări care oferă informație directă despre obiectele reale și apoi această va fi transformată și prelucrată complet prin operații deja dobândite.

Această gândire care devine operatorie dobândește și reversibilitate, dar este vorba de o formă simplă a acesteia, adică elevii pot aplică de exemplu, o operație de adunare și apoi să facă una de scădere, consolidându-le și verificându-le reciproc. Totodată gândirea prescolarului își supradozeaza percepția, nu mai este condusă de această și dobândește caracter rațional, copilul nu se mai mulțumește cu afirmații, ci caută argumente pentru susținerea acestora, este sensibil la erori și contradicții, vrea să controleze felul în care a efectuat problemele, etc.

Unitățile cognitive cu care lucrează gândirea școlarului mic sunt la început noțiuni empirice, dar apoi în școală se însușesc drept noțiuni științifice elementare.

Raționamentul care predomină în gândirea școlarului este cel introductiv, dar care dobândește rigoare. Gândirea școlarului mic devine cauzală, adică este aptă să surprindă și să înțeleagă numeroase relații cauzale relative simple.

(Tinca Crețu, Psihologia copilului, Proiectul pentru învățământ rural, 2005, p115).

I.5. MEMORIA

Procesul instructiv-educativ nu se poate desfășura fără o memorie bine dezvoltată. Memoria copilului dispune și de experiență concretă, intuitivă, cuprinsă în scheme, în simboluri și o manipulează.

Memoria poate fi considerată un fel de șiră a spinării psihicului. Modificările ce survin în memorie după vârstă de 8 ani încep cu procesul fixării cunoștințelor. Acest proces este corelat cu cel al perceperi, dar este subordonat, subiectiv motivațiilor și mai ales comenzilor inteligenței, gradului de angajare la un moment dat a personalității.

În perioada școlară mică fixarea se deplasează de pe condițiile și situațiile concrete, spre conținuturile care se transmit în procesul învățării, căpătând o pondere din ce în cemai mare din viață copilului. Înțelegerea devine o condiție de baza a fixării și se realizează prin accesibilizarea materialelor de invățat.

(EmilVerza, Psihologia copilului, manualclasa aX-a, Ed.  Pedagogică, București,1982, p.217)

I.6. IMAGINAȚIA

În mod spontan, copii sunt, în genere, imaginativi. Este important ca acest, bun al activității psihice să nu fie opresat în mod brutal. Imaginația este puternic implantată în viața intelectuală și emoțională a copilului.

În perioada școlară mică se dezvoltă mult, atât imagintia reproductivă, cât și cea creatoare. Imaginația reproductivă este solicitată mereu în procesul înțelegerii și învățării, mai ales în cazul cunoștințelor ce se referă la fenomene și lucruri necunoscute. Imaginația creatoare reprezintă întotdeauna un fel de aventură spirituală. Ea reconstituie pentru copil tendința de făuritori de lucruri, creează copilului posibilitatea să se oglindeasca în lume nu numai ca spectator. Momentele de creativitate incită resursele multilaterale ale personalității. În orice caz tentația creației este foarte mare și permite copilului noi și noi căutări.

(Emil Verza, Psihologia copilului, manual clasa X, p.242)

II. PROBLEMELE DISTRACTIVE ȘI METODICA REZOLVĂRII LOR

II.1. PRECIZĂRI, DELIMITĂRI, TERMINOLOGIE

II.1.1. NOȚIUNEA DE ’’MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ’’

Matematică este considerată în general, una din disciplinele dificile, un „instrument de tortură”, în care problemele sunt asemenea unor obstacole în cursa elevilor în acest domeniu, nefiind la îndemână oricui.

Elevii privesc de multe ori cu teamă exercițiile și, mai ales, problemele. Punerea unor exerciții și probleme într-o formă distractivă, prezentarea lor într-o manieră nostimă, veselă îi va face pe elevi să abordeze matematică cu zâmbetul pe buze, fără crispare, ajutându-i astfel să asimileze numeroase noțiuni matematice și să înlăture barierele care făceau din matematică o disciplină greu accesibilă.

Văzută astfel matematica devine o „matematică distractivă”, în care totul este o invitație la joc, distracție, amuzament, învățându-i pe elevi să caute mereu soluții, să-și pună întrebări, să-și imagineze cai diverse de rezolvare a exercițiilor și problemelor. Elevul devine interesat, iar activitățile de mare dificultate sunt efectuate fără trăirea subiectivă a efortului, ei angajându-se total în acțiune și căpătând mai multă siguranță șitenacitate în răspunsuri

Exercițiile și problemele de matematică distractivă pot fi folosite cu succes în captarea atenției și pe tot parcursul unei activități didactice, dar și cum se întâmplă în ultimavreme, că o disciplină opțională. Prin astfel de activități îl educăm pe elev să gândească că și cum el însuși ar fi acela care descoperă adevărul, cultivându-i curiozitateaștiințifică, preocuparea pentru descifrarea necunoscutului.

II.1.2. NOȚIUNEA DE PROBLEMĂ ȘI DE REZOLVARE A EI

În procesul instructiv-educativ, învățătorul, ca și elevii, acționează folosind metode de predare și învățare. Cuvântul ’’metodă’’ își are originea în grecescul ’’methodos’’ (metho=spre, către; o dos=cale, drum), deci, calea de urmat în vederea atingerii unui scop de cercetare, de căutare.

Produsul procesului instructiv-educativ reprezintă rezultatele date de școală societății, adică elevii și promoțiile de absolvenți, acestea răspunzând cererilor societății, tratarea din punct de vedere instructiv-educativ încredințată școlii, tratare diferențiată a diverselor categorii de elevi. În perspectiva devenirii lor, viitorii absolvenți trebuie să devină profesorii unor tehnici, priceperi, deprinderi și abilități temeinice. Ei trebuie să fie capabili:

a) să cunoască și să aplice metodele și tehnicile de rezolvare a problemelor pe baza metodei sintetice (’’ce se poate determina știind că’’), a metodei analitice (’’ce trebuie să știu pentru a arată că’’) .

b) să găsească din multitudinea cailor de rezolvare pe cea mai scurtă, mai elegantă.

c) să dobândească priceperea de a descoperii tipul (când este cazul) căruia îi aparține o anumită problema și să aplice algoritmul de rezolvare specific , prin algoritm înțelegândaici o succesiune de raționamente de la care, în caz că te abați, nu se poate rezolva o problema de un anumit tip.

În sens larg, distincția dintre exercițiu și problema se face în funcție de absența sau prezența textului, prin care se dau datele și legăturile dintre ele și se cere pe baza acestora găsirea unei necunoscute sau a mai multora . Exercițiul oferă elevului date, sarcina sa constând în efectuarea calculelor după reguli și metode cunoscute, folosindu-se aici de către învățător, în principal, metodă exercițiului.

În schimb, problema impune în rezolvarea ei, o activitate de descoperire, de creație, soluționarea ei fiind subordonată în mod absolut obligatoriu mai multor etape:

a) Cunoașterea enunțului problemei care constă în aflarea datelor, a relațiilor dintre ele și se realizează prin citire de către învățător sau elevi sau prin enumerare orală.

b) Înțelegerea enunțului problemei fără de care elevul nu poate evidenția date, ipoteze și construi raționamentul pentru rezolvarea problemei, aceasta realizându-se prin dialog cu elevii.

c) Analiză problemei și întocmirea planului logic de rezolvare, etapă in care se elaboreaza reprezentarea matematică a problemei.Transpunând problema într-un desen, într-o imagine sau schemă și scriind apoi date cu relațiile dintre ele pe linii,coloane, sau alte modalitați, evidențiem reprezentatea matematică a conținutului ei.

d) Alegerea și efectuarea calculelor corespunzătoare succesiunii din planul logic, conștientizarea rezultatelor parțiale ce se obțin pe parcurs și în final, găsirea rezultatului.

e) Activități suplimentare după rezolvarea problemei, care constau în verificarea soluției,în găsirea altor metode de rezolvare, în găsirea unor generalizări prin renunțarea laelemente concrete și substituirea acestora cu expresii potrivite, făcând posibilă soluționarea problemei.

Prin problema distractivă vom înțelege acea problemă care nu se supune unui criteriu șablon și care nu permite aplicarea unei metode învățate. Aceste probleme, rezolvitorul nu reușește să le introduca in ’’canoanele’’ metodei de rezolvare bine-cunoscute. În aceste cazuri, gandirea, imaginația, abilitățile elevului sunt preponderente, rezolvitorul devenind astfel un creator, fiind obligat să găsească modalități de rezolvare proprii fiecărei probleme. Acestea au rolul de a formă valențe formative, cultivarea creativității elevilor din clasele I-IV (și nu numai a lor), spirit novator, înclinații spre cercetare , flexibilitatea gândirii, nonconformismul aplicării metodei, interesul pentru matematică, apariția de satisfacții noi care intaresc motivația școlară în sfere mai largi de activitate: tenacitate, concentrare, voință de a reuși, etc. Psihologia modernă, luând în discuție rolul matematicii în școală, acordă un rol deosebit de important acestor probleme înceea ce privește formarea viitorului absolvent, care în viitor va fi pus nu de puține ori să soluționeze probleme distractive, cazuri și situații care nu se conformează unui algoritm anume, unor scheme șablon. Aceste probleme sunt de o mare varietate, de un grad înalt de particularitate și este extrem de greu să se facă analogii, să se aplice operațiile din metodă. Asemenea probleme se rezolva cu elevii în mod diferențiat la clasa și de aici remarcăm încă o dată importantă activității în cadrul cercurilor cu elevii. În cadrul activității elevilor în școală, aceste probleme se propun în general la diferite concursuri și olimpiade școlare.

Pentru început, vom exemplifică încă în acest capitol trei astfel de probleme:

Problema 1: Aflați produsul ab știind că:

Rezolvare: deoarece produsul din stânga va avea ultima cifra 0, atunci rezultă ca b = 0 , deci ab = a • 0 = 0.

Problema 2: Să se arate că:

a) Produsul a două numere naturale consecutive are ultima cifra 0, 2 sau 6.

b) Nu există numere naturale ’’a’’ și ’’b’’ astfel încât a2 + a = 5b + 3

Rezolvare:
a) Două numere naturale consecutive au ultima cifra 0, 1, respectiv 1, 2, apoi 2, 3, apoi 3, 4, apoi 4, 5 sau 5, 6, sau 6, 7 , sau 7, 8, sau 8, 9. Pentru comoditate vom nota ultima cifră a unui număr natural n cu U(n).

Cum U(0•1)=0, U(1•2)=2, U(2•3)=6, U(3•4)=2, U(4•5)=0, U(5•6)=0, U(6•7)=2,

U(7•8)=6, U(8•9)=2, deducem de aici că U(n(n+1)) є {0 ; 2 ; 6}

b) Vom arată că egalitatea a2 + a= 5b + 3 este imposibilă găsind ultima cifra numerelor din stânga și dreapta semnului egal.

De la punctul a) deducem că U(a2 + a) = U(a(a+1)) є {0; 2; 6} ,iar deoarece 5b are ultima cifra 0 sau 5 (se verifică ușor) atunci U(5b + 3) є {3 ;8}, deci numerele a2 + a și 5 +3 nu pot fi egale pentru faptul evident că ultima lor cifra nu este aceeași.

Problema 3: Din localitățile A și B pleacă în sensuri contrare (unul către celălalt) două trenuri având vitezele de 70 km/h și 90 km/h .Cu o ora înainte de a se întâlni, la ce distanță se găseau cele două trenuri, unul față de celălalt?

Rezolvare: este evident faptul că, în ora care le-a mai rămas până la întâlnire fiecare tren ar parcurge în această oră,70 km și respectiv 90 km, deci distanța dintre ele era de 70 km + 90 km = 160 km.

II.2. METODE ARITMETICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

II.2.1. DEMERS METODIC ÎN REZOLVAREA UNEI PROBLEME DISTRACTIVE COMPUSE

După cum am văzut în capitolul II.1., rezolvarea unei probleme distractive nu se supune unui algoritm cunoscut, iar rezolvarea unor astfel de probleme face din plin apel la abilitatea și ingeniozitatea rezolvitorului care este pus în față unei situații noi, necunoscute, iar creativitatea de care dă dovada este preponderentă.

Considerăm că o metodă atotcuprinzătoare și infailibilă este – dacă nu imposibil – greu de dat. Vom începe capitolul cu un demers metodic în rezolvarea unei probleme compuse distractive.

Problema 1: O persoană a cumpărat 2 kg de mere a 8000 lei kilogramul și 3 kg de portocale a 10000 lei kilogramul. Dă vânzătoarei o bancnotă de 50000 lei.

a) Dacă îi sunt suficienți acești bani, ce rest primește?

b) Dacă nu-i ajung, cât îi mai trebuie?

Rezolvare:

a) Enunțarea problemei se poate face verbal sau textul se scrie complet pe tablă.

b) Citirea și recitirea enunțului de către elevi.

c) Scrierea datelor pe tablă și în caiete, avându-se grijă la exactitatea prescurtării unităților de măsură.

2kg. m…………..8000lei/kg………………3kg. p………………..10000lei/kg……………….50000 lei

d) Memorarea enunțului.

e) Analiza problemei se face stabilind ce cantitate din fiecare fel de fructe a cumpărat persoana, prețul fiecărui produs, ce se înțelege prin preț și prin cost și ce ne cere problema.

Rezolvarea analitică a problemei:

Trebuie aflat costul total al produselor. Pentru această avem nevoie de costurile parțiale adică de:

* costul merelor

** costul portocalelor

Putem află costul fiecărui produs? Da, pentru că se cunoaște cantitatea și prețul lor. Întrebările planului de rezolvare fiind scrise, se trece la planul de rezolvare:

1) Costul merelor: 2•8000 lei=16000 lei

2) Costul portocalelor: 3•10000 leu=30000 lei

3) Costul total: 16000 lei + 30000 lei=46000 lei

4) Îi sunt suficienți banii? Da, pentru că 46 000lei< 50000 lei

5) Restul primit: 50000 lei – 46000 lei = 4000 lei

6) Banii îi ajung după cum am văzut mai sus.

Observație: Se pot face și alte demersuri didactice bine venite în cazul unei astfel de probleme:

– mărind cantitățile putem stabili situația când persoanei nu-i sunt suficienți cei 50000 lei.

– modificarea cantităților în sensul că ele să fie egale și să primească rest. De exemplu: 2 kg mere și 2 kg portocale sau 1 kg mere și 1 kg portocale. Un alt caz, când cantitățile nu sunt egale și nu ajung banii: putem lua de exemplu 3 kg de mere și 3 kg de portocale, etc.

– găsirea altei cai de rezolvare prin scăderi succesive:

50000 lei – 2•8000 lei – 3•10000 lei = 50000 lei -16000 lei – 30000 lei =34000 lei – 30000 lei = 4000 lei

Putem rezolva și după metodele de felul:

50000 – (2•8000 + 3•10000 ) = 50000 – (16 000+ 30000) =50000 – 46000 = 4000 lei

– Stabilirea unor formule literale corespunzătoare .Dacă S este suma pe care o are persoană , C1 și C2 sunt cantitățile, iar P1 și P2 sunt prețurile, atunci: S – (C1 P1 +C2 P2)=R care este restul.

Rezolvarea problemei pe cale sintetică:

a) Ce cantitate de mere a cumpărat?

b) Care este prețul merelor?

Dacă știu cantitatea și prețul ce putem află și prin ce operație?

Costul merelor: 2•8000 lei =16000 lei. Analog găsim costul portocalelor, adică 3•10000 lei = 30000 lei

c) Costul cumpărăturilor: 16000 lei + 30000 lei = 46000 lei

d) Restul primit: 50000lei – 46000 lei = 4000 lei

e) Proba problemei se face prin exercițiu și apoi se pot propune probleme asemănătoare.

II.2.2. TIPURI DE PROBLEME DE MATEMATICĂ DISTRACTIVĂ

CULTIVAREA CREATIVITĂȚII ELEVILOR ÎN ACTIVITATEA DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR

Pentru educarea și cultivarea creativității elevilor, activitatea de rezolvare și compunere a problemelor este fundamentală. Diferența dintre a învață rezolvarea unei probleme și a rezolva o problema nouă implică în fapt creativitate, această neînsemnând că în procesul de rezolvare a problemelor avem numai aspecte creative, renunțând în totalitate la cele reproductive.

Crearea liberă de probleme de către elevi, duce la formarea matematică a acestora. Totuși, ea necesită talent matematic și nu este la îndemână oricui. Oricum, prin rezolvarea a cât mai multe probleme și exerciții se dezvoltă priceperile, deprinderile, abilitățile, fantezia și imaginația, fără de care un om nu va fi niciodată un bun matematician, un profesionist în adevăratul sens al cuvântului. Folosirea manualelor, a culegerilor de probleme – de care din fericire învățământul românesc nu duce lipsa – și a vestitei „Gazeta matematică” fondată în anul 1895, și de atunci cu o apariție neîntreruptă – unde există și o rubrica extrem de interesantă „Probleme pentru ciclul primar”- este extrem de benefică. În cele ce urmează vom exemplifică prin mai multe probleme acestea.Vom încerca o clasificare pe capitole din matematică claselor I-IV a problemelor distractive, prin această realizând totuși –paradoxalo tipizare a lor, elevii știind din ce categorie fac parte aceste probleme, după înțelegerea enunțului lor.

SCRIEREA ȘI CITIREA NUMERELOR NATURALE

Pentru a rezolva astfel de probleme, elevii trebuie să cunoască atât scrierea și citirea numerelor de mai multe cifre, cât și noțiunile de ordin și clasă.

Pentru scrierea numerelor naturale în sistemul zecimal (baza zece) se folosesc zece simboluri, numite cifre arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, zece unități formează o nouă grupă pe care o numim zece și o scriem 10; zece grupe de către zece constituie o nouă grupa pe care o scriem 100 și o numim „o sută” s.a.m.d. Scrierea folosită este una pozitională, aceasta însemnând că fiecare cifră are două roluri.

a) prin locul unde este scrisă arată câte grupe de acest fel sunt;

b) prin valoarea ei arată câte grupe de acest fel sunt.

Așadar sistemul de numerotație în care o cifră, prin locul pe care îl ocupă în cadrul numărului, arată ce fel de grupe numără, se numește sistem pozițional. Într-un asemenea sistem locurile ocupate de cifre se numerotează de la dreapta la stânga și se numesc ordine.

Un ordin oarecare este de 10 ori mai mare decât ordinul precedent. Absența unităților de un anumit ordin este consemnată prin cifra 0.

Observație: Se poate lua în discuție cu elevii și sistemul de numerotație aditiv, care folosește șapte simboluri: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500 , M=1000, numite cifre române și modul de scriere a numerelor, remarcându-i totodată dezavantajele acestei scrieri.

Problemele care urmează folosesc scrierea pozitională a numerelor naturale în sistemul zecimal.

Problema 1: Scrieți: a) cel mai mic și b) cel mai mare număr natural care conține cifra 1 de 1000 de ori.

(Florentin Smarandache, U.S.A.)

Rezolvare

Evident, numărul de cifre diferit de 1 este 985 și numărul cerut va fi 100….011…..1 unde cifra 0 apare de 985 de ori. Luând alte cifre în locul lui 0 obținem numere mai mari. Pentru punctul

Găsim numărul 99…..911….11 unde apar 985 de 9. Luând numere mai mici decât 9, vom obține numere mai mici.

Problema 2: Aflați de câte ori se folosește cifra 0 și de câte ori cifra 1 pentru scrierea tuturor numerelor naturale de trei cifre.

(clasa a IV-a, Etapă Județeană , Galați, 1994)

Rezolvare: Pentru numerele de formă sunt 2×9=18 cifre de 0 pentru că a=1,2,…,9. Pentru numerele de forma, b≠0 sunt 9×9=81, iar pentru numerele de forma, b≠0 sunt 9×9=81, deci în total sunt 18+81+81=180 de cifre de zero. Considerând acum numerele de trei cifre care conțin pe 1 de trei ori, 111, apoi de două ori și o dată, găsim 280.

Problema 3: Determinați cel mai mare număr natural cu cifre nenule și care are suma cifrelor 1999.

Rezolvare: Numărul este 11…..11, cu cifra 1 de 1999 de ori, deoarece dacă am folosi o cifră diferită de 1, lungimea numărului se „scurtează” în sensul că are mai puțin de 1999 de cifre, deci este mai mic.

Problema 4: Scrieți cel mai mare număr de 6 cifre care să nu fie mai mare decât 677777 și să nu aibă cifre care se repetă.

(clasa a IV-a , Etapă locală , Harghita , 1994)

Rezolvare: Evident numărul este 675984, explicațiile fiind evidente.

Problema 5: Găsiți numerele de trei cifre unde prima cifra este de 3 ori mai mare decât a doua și jumătate din a treia.

Rezolvare: Dacă b&gt;2 , atunci a&gt;6 și c&gt;12 , ceea ce nu se poate căci c este cifră. Dacă b=0 atunci a=0 și din nou nu se poate căci numărul are trei cifre, deci rămâne b=1, deci a=3 și c=6 , deci numărul este 316.

C. ADUNAREA ȘI SCĂDEREA

Rezolvarea acestor probleme impune în primul rînd, ca elevul să recunoască operația matematică ce conduce la rezultatul final, să cunoască și să folosească proprietățile acelei operații.

Operația de adunare a numerelor naturale se efectuează oral, (când este posibil) și în scris. Toate procedeele se bazează pe formarea și scrierea zecimală (în baza zece) a numerelor naturale și deci pe faptul că zece unități de ordinul I formează o unitate de ordinul al II-lea, zece unități de ordinul al II-lea formează o unitate de ordinul al III-lea, s.a.m.d.

Adunarea este o operație binară, numerele care se adună numindu-se termeni, iar rezultatul sumă. Adunarea este comutativă, adică, oricare ar fi numerele naturale a și b, atunci a+b=b+a, este de asemenea asociativă, aceasta însemnând că oricare ar fi numerele naturale a, b, c, avem: (a+b)+c=a+(b+c), iar numărul 0 este element neutru, adică a+0=0+a=a, pentru orice număr natural a. Aceste proprietăți vor fi folosite în rezolvarea problemelor din acest subcapitol. Înțelegerea de către elevi a acestor propietăți este deosebit de importantă, folosirea lor devenind în timp o chestiune de rutină. Problemele care urmează sunt reprezentative, unele introducându-i pe elevi în tehnică de calcul a unor sume des folosite în viitor. Vom începe cu:

Problema 1: Un gard în linie dreapta are un număr de stâlpi și între fiecare doi stâlpi consecutivi mai punem unul. Cum este numărul stâlpilor acum, par sau impar?

(Etapă locală, Harghita, 1996)

Rezolvare: Dacă sunt n stâlpi, vom mai pune n-1 stâlpi, deci în total n+n-1=2n-1, adică un număr impar.

Problema 2: Calculați S=1+2+…+99+100

Rezolvare:

Metodă I:

Avem S=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050

M etoda II:

Avem S=1+2+…+99+100

S=100+99+…+2+1

2S=101+101+…+101+101=101×100 deci S=101×100:2=5050

Problema 3: Calculați S=2+4+…+98+100.

Rezolvare: Analog ca la problema 3, găsim S=(2+100)+…+(50+52)=102×25=2550.

Se poate folosi asemănător și metoda II de la problema 2.

Problema 4: Să se înlocuiască literele cu cifre astfel încât adunarea:

FOCȘANI +

OCSANI

CSANI

ȘANI

ANI

NI

să fie corectă.

(Etapă județeană, Vrancea , 1997)

Rezolvare: 7I= deci I=4 și x=2, celelalte posibilități pentru I nu convin. Apoi 6N+2= de unde N=0 sau N=5. Dacă N=0 avem 5A= imposibil, deci N=5; dar 5A+3= deci A este cifra pară. 4S+t= unde tЄ{0;1;2;3;4}. Cum este impar avem tЄ{1;3}. Dacă t=1=&gt;SЄ{1;3}. Dacă t=3=&gt;SЄ{3;8}. (A;S) Є{(2;1),(6;3),(2;6),(6;8)}.

Dacă A=2 și S=1=&gt;C=9=&gt;O=7 și F=7 sau O=2 și F=8.

Dacă A=6 și S=3=&gt;C=2=&gt;O=3 și F=8 sau O=8 și F=7.

Dacă A=2 și S=6=&gt;C=5 ceea ce este imposibil căci 2O+1≠

Deci A=6 și S=8=&gt;C=8=&gt;O=2 și F=8 sau O=7 și F=7.

Așadar avem răspunsul final:

FOCȘANI Є {8291254; 7791254; 8323654; 7823654; 8288654; 7788654}

Problema 5: Cu cifrele de la 1 la 7, folosind numai adunarea, obțineți cu ajutorul lor 100.

Rezolvare: 1+23+4+5+67=100 sau 17+53+24+6=100

Observație: Evident că problema solicită un plus de perspicacitate pentru rezolvitor.

Scăderea numerelor naturale este o operație mai dificilă decât adunarea, dificultatea constând în faptul că, această operație solicită un efort de gândire mai mare din partea elevilor, datorită faptului că în cazul când numărul de unități de un anumit ordin al descăzutului este mai mic decât numărul de unități de același ordin al scăzătorului este necesar să se transforme o unitate de acest ordin în zece unități de ordin imediat inferior, să se scadă această unitate din cele corespunzătoare ale descăzutului și să se adune cele 10 unități obținute la cele de același fel existente. Prin urmare, se fac simultan mai multe descompuneri și compuneri de numere de ordine diferite. Deprinderile de acest fel se formează prin exerciții. Dacă avem scăderea a-b=c trebuie cunoscute de aici egalitățile: a=b+c și b=a-c. Problemele interesante privind această operație sunt prezentate mai jos.

Problema 1: Dacă după un număr natural se adaugă cifra 0 și din numărul astfel

obținut se scade numărul inițial se obține 17964. Care este numărul inițial?

(Etapă locală , Teleorman ,1997)

Rezolvare: Prin adăugarea lui 0, numărul se mărește de zece ori. Scăzând numărul inițial, obținem numărul inițial mărit de 9 ori. Așadar numărul inițial este 17965:9=1996.

Este indicat să lucrăm și cu litere, notând cu x numărul inițial. Așadar, 10x-x=17964, deci 9x=17964 de unde x=1996.

Problema 2: Reconstruiți scăderea:

571*-*493=2**2

unde steluțele țin loc de cifre.

Rezolvare: Printr-un raționament simplu deducem 5715-3493=2222.

Problema 3: Demonstrați că din 5 numere naturale oarecare există cel puțin două care au diferența divizibilă la 4 (adică restul împărțirii este zero).

Rezolvare: Deoarece un număr natural împărțit la 4 da unul din resturile 0,1,2,3 deci 4 resturi, având 5 numere, înseamnă că cel puțin două vor da același rest, de unde diferența lor e divizibilă cu 4.

Problema 4: Calculați : 2+4+…+98+100-1-3-…-97-99.

Rezolvare: Grupând termenii (lucru care poate fi pe deplin înțeles de elevi) obținem 1+1+…+1 de 50 de ori , adică 50.

Problema 5: Diferența a două numere naturale este 1918, iar unul dintre ele este 1997. Să se afle celălalt număr.

(Iulia Smarandoiu, Rm. Vâlcea)

Rezolvare: Avem de analizat două situații:

a) Nu cunoaștem descăzutul: x-1997=1918, deci x=1918+1997=3915

b) Nu cunoaștem scăzătorul: 1997-x=1918, deci x=1997-1918=7

D. ÎNMULȚIREA ȘI ÎMPĂRȚIREA

În predarea și învățarea operației de înmulțire "intuiția" nu mai are un rol preponderent (ca la adunare). Reactualizandu-se operația de adunare, înmulțirea este de fapt o adunare repetată. Adică b•a = a + a + a +….+ a de b ori. Trebuie cunoscute temeinic proprietățile înmulțirii: comutativă, adică oricare ar fi numerele naturale a și b, atunci a•b =b•a, asociativitatea însemnând că (a•b) •c = a • (b•c) pentru orice a, b, c, naturale, a•1 = 1•a = a pentru orice a natural și că a•0 = 0•a = 0, pentru orice număr natural.

Problemele care urmează, fac în mod constant apel la această operație.

Problema 1: Completați șirurile următoare cu încă patru numere respectând regulă de scriere a ordinii date:

a) 1; 5; 2; 10; 3; 15;…………

b) 21; 19; 16; 14; 11;………….

( Ștefan Smarandoiu , Rm. Vâlcea )

Rezolvare:

Se observă că termenii de rang impar sunt numerele naturale nenule în ordinea lor , 1; 2; 3; 4; ….., iar cei de rang par sunt multipli de 5 , începând cu 5•1; 5•2; 5•3; etc. Deci următorii termeni vor fi 4; 20; 5; 25; 6; 30; 7; 35; etc.

Se observă că 21 – 2 = 19, 19 – 3 = 16 , 16 – 2 = 14 , 14 – 3 = 11. Dacă urmărim acest procedeu de obținere a termenilor următori, deducem că următorul va fi 11 – 2 = 9, apoi 9 – 3 = 6, în continuare urmând 6 – 2 = 4, și apoi 4 – 3 = 1.

Observație: Probleme asemănătoare se propun de multe ori la concursurile școlare. Regulă de obținere a acestor numere este greu de remarcat de elevii din clasele I – IV , și problema această da de foarte multe ori rezultate imprevizibile, pentru că s-ar putea găsi și alte moduri de obținere a lor.

Problema 2: Scrieți numărul 24 că o suma de numere naturale, astfel încât produsul acestor numere să fie tot 24

( Nicolae Mosteanu , Rm. Vâlcea )

Rezolvare: 24 = 8 + 3 + 1 + 1 + ………….+ 1, unde cifra 1 apare de 13 ori , iar 24 = 8•3•1•1•…………•1. Se pot imagina și alte soluții, ca de exemplu, 24 = 12•2•1•1•………..•1, sau 24 = 1 2 + 2 + 1 + 1 + 1 +……………….+1, unde cifra 1 apare de această dată de 10 ori, iar evident 24 = 12•2•1•1•…………•1, etc.

Problema 3: Reconstituiți înmulțirea:

(Olimpiada , clasa a – IV – , Jud. Timiș)

Rezolvare: Cifra sutelor de la primul factor este în mod necesar 1, în caz contrar, rezultatul ar avea patru cifre, și analog cifra zecilor este zero. Așa că avem: 107•9 = 963

Problema 4: Găsiți numărul natural n astfel încât 5n + 3 să fie divizibil (restul împărțirii să fie zero), cu 10.

Rezolvare: Este ușor de remarcat că 5n are ultima cifra 0 sau 5, deci 5n + 3 are ultima cifra 3 sau 8, pe când un număr divizibil cu 10 are ultima cifra 0, așa că nu există n, număr natural cu proprietatea cerută.

Observație: Probleme de acest fel cer găsirea numărului n. Răspunsul este negativ, iar elevii mai puțin obișnuiți cu astfel de rezultate sunt surprinși.

Propunându-se și alte probleme de acest fel, considerăm că înțelegerea unor astfel de rezultate nu va fi în viitor o surpriză.

Problema 5: Produsul a două numere naturale este 12. Găsiți numerele.

Rezolvare : Dacă notăm numerele cu a și b, avem: ab = 12, deci a = 1, b = 12, sau a = 2, b = 6, sau a = 3, b = 4, sau a = 4, b = 3, sau a = 6, b = 2, sau a = 12, b = 1, etc. Evident, problema are 4 (patru) soluții, dar, considerând perechile a, b, notate (a; b), după cum se va vedea în capitolul următor, putem consideră că are 8 soluții în caz că numerele cerute de problema sunt notate cu litere.

În predarea și învățarea operației de împărțire "intuiția" nu mai are un rol preponderent (ca la scădere). Reactualizandu-se operația de scădere, împărțirea este de fapt o scădere repetată. Acestea sunt probleme a căror rezolvare se bazează pe împărțire. A împărți numărul natural a la numărul b = 0 (împărțire cu restul 0) înseamnă a găsi numărătorul c astfel încât a = b•c.

Trebuie remarcat faptul c a b = a : c (c  0). Trebuie știut de elevi și "teorema împărțirii cu rest”, și anume: a = b•c + r, unde a este deîmpărțitul, b împărțitorul, cu b  0, și r restul, unde r &lt; b. Vom continua cu cinci probleme atipice care folosesc această operație.

(Viorica Romulus Pleșa, Oradea)

Problema 1: La un concurs de șah iau parte 20 de elevi, fiecare jucând cu fiecare câte o partidă. Câte partide s-au jucat în total?

Rezolvare: Fiecare jucător a jucat cu ceilalți 19, deci în total a jucat 19 partide. Am deduce astfel că s-au jucat 19•20 partide. Dar, raționând astfel, am numărat fiecare partidă de două ori, deci în total vor fi 19•20: 2 = 190 partide.

Problema 2: Determinați pe x din egalitatea: [( 6•2 : 12 – x :12 ) : 1 + 9 : 3 ] • 6 – 24 = 0

Rezolvare: Folosind proprietățile operațiilor (de fapt metoda mersului invers) obținem succesiv:

[(6•2 : 12 – x : 12 ) :1 + 9 : 3 ] •6 = 24, deci ( 6•2 : 12 – x : 12 ) : 1 + 9 : 3 = = 24 : 6 =4, adică (6•2 : 12 – x : 12) : 1 + 3 = 4, deci 6•2 : 12 – x : 12 = 1, de unde 1 – x : 12= 1, deci x : 12 = 1 – 1 = 0 , deci x = 0.

Problema 3: Să se afle egalitatea:

{1996 – [ ( x : 32 – 2 ) : 159 – 2] •1996 } •2 – 1996 = 1996.

Rezolvare: Procedăm analog că la problema precedentă și se găsește x = 0

Problema 4: Diferența dintre vârstă tatălui și a fiului său este de 25 de ani. Peste 12 ani, cu câți ani va fi tatăl mai în vârstă decât fiul său?

Rezolvare: Este ușor de înțeles că diferența dintre vârstă tatălui și a fiului rămâne mereu aceeași (este constantă), așadar peste 12 ani (și peste oricâți ani), tatăl va fi mai în vârstă decât fiul său tot cu 25 de ani.

E. ULTIMA CIFRA A UNUI NUMĂR NATURAL

Problemele din această categorie necesită cunoașterea scrierii și citirii numerelor de mai multe cifre, a noțiunilor de ordin și clasă.

Ultima cifră a unui număr natural reprezintă ordinul unităților din clasa unităților. Ea determină paritatea sau imparitatea acelui număr, precum și divizibilitatea lui.

Foarte multe probleme atipice se rezolvă căutând ultima cifră a unui număr natural, care oferă informații decisive privind cerință problemei. În acest sens există anumite tehnici pe care le vom ilustra printr-un set de 5 probleme reprezentative, unele propuse la diferite concursuri. Dacă n este un număr natural, vom notă cu U(n) ultima să cifra și cu ZU(n) ultimele sale două cifre.

Problema 1: Fie a =2224•2226-2221•2229 și b =3333•3337 – 3331•3339. Fără a efectua operațiile, stabiliți dacă a = b.

(Aurel Badea , Rm. Vâlcea)

Rezolvare: Vom cauta ultima cifră a celor două numere. Avem U(a) = 5 și U(b) = 2, prin calcule evidente . Deci a≠b.

Problema 2: Dacă n este număr natural, stabiliți dacă numărul 5n +7 este divizibil cu 10.

Rezolvare: Cum U(5n)€{ 0 ; 5 }, atunci U( 5n + 7 ) € { 7 ; 2 }, Deci 5n +7 nu este divizibil cu 10, căci ultima cifra n u este 0.

Problema 3: Stabiliți dacă 1995• (1 + 2 + 3 +………………+ 14 + 15) ==1•2•3…8•9

(C. Ligor , M. Fieraru , Etapă pe municipiu București, 1995)

Rezolvare: Cum 1+2+3+ …. +14+15 =120, atunci ZU (1995•120 )=00 pe când U (1•2•3•….•8•9) = 0 deoarece apar numai factorii 2 și 5 o singură dată.

Așadar egalitatea nu poate avea loc. Prin ZU(n) am notat ultimele două cifre.

Rezolvare: Cum 1+2+3+ …. +14+15 =120 , atunci ZU ( 1995•120 )=00 pe când U (1•2•3•….•8•9) = 0 deoarece apar numai factorii 2 și 5 o singură dată.

Așadar egalitatea nu poate avea loc. Prin ZU(n) am notat ultimele două cifre.

Problema 4: Stabiliți ultima cifra a numărului N = 9•9•……………….•9 de n ori, unde n&gt; 1.(n este numărul de factori).

Rezolvare: Pentru doi factori ( n = 2 ) ultima cifră este 1, dacă n = 3, ultima cifră este, evident 9, pentru n = 4 este din nou 1. Se vede că dacă n este par, ultima cifră este 1, iar n impar ea este 9.

Problema 5: Stabiliți ultima cifră a numărului N = 2•2•….•2, unde 2 se repetă de n ori.

Rezolvare: Dacă n = 1, U(N) = 2, dacă n = 2, U(N) = 4, dacă n = 3, U(N)=8, iar dacă n = 4, U(N) = 6. În continuare, ultima cifră se repetă din 4 în 4. Așadar U(N) = 6 dacă n = 4K , U(N) = 2 dacă n = 4K + 1, U(N) = 4 dacă n = 4K + 2 și U(N) = 8 dacă n = 4K + 3, K fiind natural.

F. PROBLEME CU URNE

Vom înțelege prin urnă un recipient deschis, în care se pot introduce diferite obiecte, de exemplu bile. Aceste urne apar în enunțul multor probleme de aritmetică, dar le putem înlocui- mai pe înțeles – cu săculețe. Problemele care urmează, fac apel la calcule simple, important fiind însă raționamentul logic și tehnicile de numărare în raport cu cerințele problemei.

Problema 1: Într – o urnă sunt 10 bile albe, 20 negre și 30 roșii.

a) Care este numărul minim de bile pe care trebuie să-l extragem din urnă fără a privi culoarea lor pentru a fi siguri că am extras cel puțin o bilă albă ?

b) La fel, pentru a fi siguri că am extras cel puțin o bilă albă și una neagră?

c) La fel, pentru a fi de aceeași culoare?

Rezolvare

a) Considerăm că este ușor de înțeles de către elevi că dacă luăm din urnă 20 + 30 = 50 bile, deci pe toate cele negre și roșii, extrăgând atunci 51 de bile cu siguranță vom avea cel puțin una albă. Numărul 50 este de fapt numărul nefavorabil maxim care nu ne satisfice extragerea.

b) Evident luăm în considerare cazul în care am putea extrage bile roșii, adică 30. Fiind 20 negre, extrăgând 50 de bile putem avea neșansa să fie toate negre și roșii. Extrăgând 51, cu siguranță vom avea cel puțin una albă și una neagră.

c) Numărul este 4, deoarece, avem bile de 3 culori, deci cel puțin două a u aceeași culoare.

Problema 2: Într-o urnă sunt bile roșii, galbene și albastre. Aflați câte bile erau de fiecare fel, știind că 32 de bile nu erau albastre, 32 de bile nu erau galbene și 32 de bile nu erau roșii.

Rezolvare: Notând cu r, g, respectiv a, numărul bilelor roșii, galbene, albastre, evident avem că r+ g = 32, pentru că r + g este numărul bilelor care nu sunt albastre. Apoi g + a = 32 și r + a = 32. Folosind eventual metodă figurativă, sau adunând cele trei egalități și apoi împărțind la 2 obținem că r + g + a = 48, deci deducem imediat c a r = g = a = 16.

Problema 3: Într-o urnă sunt 5 bile albe, 10 bile negre, 20 bile roșii. Care este numărul minim de bile pe care trebuie să-l extragem fără a privi în urnă, pentru a fi siguri că avem câte o bilă de fiecare culoare?

Rezolvare: Raționând asemănător ca la problema 1, găsim că acesta este 31.

Observație: Considerăm că elevii, chiar cei din clasa a – II – a, pot înțelege asemenea probleme și chiar mai mult, pot compune ei înșiși probleme asemănătoare.

G. PROBLEME CU CÂNTĂRIRI (DE PERSPICACITATE)

În cele ce urmează, cântarul cu două talere (sau o balanță) este folosit fără greutăți, rolul sau fiind doar acela de a fi sau nu în echilibru, dacă așezăm pe cele două talere diferite obiecte, în cazul nostru bile.

Problemele sunt interesante și solicită perspicacitatea elevilor, la fel că și cele privind separarea unor cantități de lichid dispunând de anumite vase cărora le cunoaștem capacitatea.

Rezolvând o suită întreagă de astfel de probleme, elevii își vor dezvoltă perspicacitatea, rezolvările fiind cu totul nonstandard.

Problema 1: Pe o masă se găsesc 9 bile la fel că formă, culoare și mărime, numai că una este mai ușoară. Folosind cântarul cu două talere (o balanță), stabiliți cum putem găsi doar prin două cântăriri bilă mai ușoară.

Rezolvare: Punem pe un taler 3 bile și pe celălalt tot 3 bile alese la întâmplare. Apar în acest moment două situații:

Cântarul este în echilibru, deci deducem că bila mai ușoară este în cele 3 rămase și acum luând din acestea 3 două bile pe care le punem fiecare pe câte un taler, dacă balanța este în echilibru, bila rămasă este mai ușoară, dacă nu este, atunci în talerul care urcă se află bila mai ușoară.

Cântarul nu este în echilibru. Desigur bila mai ușoară va fi pe talerul care urcă, și acum luând din nou 2 bile de pe acest taler, găsim bila mai ușoară, în cazul când cântarul nu este în echilibru, că la punctul a).

Problema 2: Fiind date 18 monede, identice că formă, doar că una este mai ușoară, să se determine această prin trei cântăriri, folosind un cantar cu două talere.

(Etapă județeană, Maramureș, 1996)

Rezolvare: Împărțim monedele în 3 grupe de câte 6 și printr-o cântărire, punând 6 monede pe un taler și 6 monede pe celălalt, găsim grupa de 6 monede unde se află moneda mai ușoară. Această grupa o împărțim în 3 grupe a două monede și efectuând din nou o cântărire, găsim grupa (de două monezi) unde se află moneda mai ușoară.

Problema 3: Pe o masă se găsesc 8 bile la fel ca formă, mărime și culoare, doar că una este mai ușoară decât celelalte șapte. Numai cu două cântăriri, folosind un cântar cu două talere, găsiți bilă mai ușoară.

(Etapă județeană, Constanța, 1997)

Rezolvare: Împărțim bilele în 3 grupe: 3bile, 3bile, 2bile. Dacă bilele din primele două grupe au aceeași greutate, atunci prin a două cântărire, luând din grupa de 2 bile una și una, o găsim pe cea mai ușoară. Dacă bilă mai ușoară se află în una din cele 3 bile, luând una și una, în funcție de coborârea sau nu a unui taler, găsim bilă.

(Etapă județeană, Constanța, 1997)

H. PROBLEME DE MIȘCARE

Mișcarea este o stare a unui corp material ce are loc sub acțiunea unor forțe și se supune unor legi studiate în principal de fizică. În acest subcapitol vom prezența trei probleme, unde mișcarea este uniformă, deci d = v•t, unde d este distanță parcursă de mobil în timpul t, iar v este viteză. Se pot propune elevilor un mare număr de probleme de acest "tip", revistele și culegerile prezentând asemene probleme. Rezolvarea lor necesită o analiză atentă a textului și nu de puține ori înclinații practice din partea rezolvitorului.

Problema 1: Un tren cu lungimea de 1 km, având viteză de 1 km/h intră într-un tunel cu lungimea de 1 km. După cât timp de la intrarea în tunel, trenul va ieși complet din tunel?

Rezolvare: După o oră, trenul va avea locomotiva la ieșirea din tunel, iar ultimul vagon la intrare. Tunelul, având lungimea de 1 km și trenul tot de 1 km, deoarece viteza sa este de 1 km/h , îi va mai trebui încă o ora până la ieșirea completă din tunel. Deci răspunsul este două ore.

Problema 2: Două trenuri, având vitezele de 60km/h și 80km/h pleacă din două localități unul spre celălalt. Înainte cu două ore de a se întâlni, care era distanță dintre ele?

Rezolvare: În cele două ore primul tren a parcurs 2•60 km = 120km, iar al doilea 2 • 80 km =160 km. Deci distanța dintre ele era de 120km + 160km = 280km.

Problema 3: Din două localități situate la distanța de 200km una de cealaltă, pleacă unul spre celălalt două trenuri, primul cu viteză de 40km/h, iar al doilea cu viteză de 60km/h. La plecarea unuia din trenuri, de pe locomotivă zboară o rândunică cu viteză de 100km/h. Ajungând pe locomotivă acestuia, se întoarce imediat spre primul tren , apoi din nou spre al doilea, s.a.m.d. Ce distanță a parcurs rândunică până la întâlnirea celor două trenuri?

Rezolvare: Rezultă imediat că cele două trenuri s-au întâlnit după două ore. Cum rândunica zboară cu 100km/h și deoarece a zburat două ore, distanță parcursă este de 2 • 100km = 200km.

I. TEOREMA ÎMPĂRȚIRII CU REST

Teorema împărțirii cu rest se enunță astfel "Fiind date două numere naturale a și b, cu b ≠ 0, există și sunt unice două numere naturale c și r astfel încât a = b • c+r, unde r &lt; b". În ciclul primar, acest enunț este prea pretențios. El de fapt revine la a scrie proba împărțirii lui a la b unde c este catul și r este restul. Cu notații mai adecvate și folosite mai des la clasa, putem scrie: D = I • C + R, unde literele au semnificațiile cunoscute. Fără cunoașterea acestei "identități" este imposibil de rezolvat probleme din acest domeniu. S-au ales cu grijă 11 probleme din cele mai reprezentative, toate fiind date la olimpiade.

Demersul metodic face apel la identitatea menționată, atrăgându-se atenția mereu că restul este mai mic decât împărțitorul. Probleme cu "Teorema împărțirii cu rest" sunt extrem de multe, iar după însușirea anumitor tehnici și formarea unor abilități, elevii pot crea ei înșiși probleme asemănătoare.

Aceste probleme au la bază teorema împărțirii cu rest pentru numerele naturale: dacă a € N și b€ N*, atunci există q € N și r € N, astfel încât a = b•q + r, cu 0 ≤ r &lt; b, r și q fiind unic determinați cu această proprietate.

Numerele a, b, q, și r se numesc respectiv deampartit, împărțitor, cât și rest. Restul este întotdeauna mai mic decât împărțitorul, r &lt; b. Dacă r = 0, împărțirea este exactă, dacă r ≠ 0, împărțirea este cu rest, neexactă.

Problema 1: Determinați cel mai mare număr natural care la împărțirea la 207 are catul și restul mai mici sau egale cu 702.

(I.C. Ligor , Etapă pe sector , București , 1993)

Rezolvare: Din teorema împărțirii cu rest avem : D = I•C + R . Vom găsi C și R maxime. Cum R &lt; I = 207, luăm R = 206 , iar cum C ≤ 702 vom lua C = 702 , așa că avem : D = 207•702 + 206 = 145520 .

Problema 2: Calculați suma tuturor numerelor naturale care împărțite la 1992 dau rest 4

( Concursul interjudetean " Dan Barbilian " , 1992)

Rezolvare: Numerele vor fi de formă n = 4•1992 + r, unde r &lt; 1992 , deci r = 0, 1, 2,… , 1990, 1991. Suma lor va fi S = 4•1992 +1991+1+ …+1990+1991, iar suma 1 +2 +…+ 1990+1991 se calculează precum suma din subcapitolul D, problema2.

Obținem S = 17855292.

Problema 3: Suma a două numere naturale este 199. Împărțind unul din numere la celălalt se obține restul 99. Găsiți cele două numere.

(Etapă locală , Prahova , 1995)

Rezolvare: Fie a și b cele două numere și fie a = b•c + 99 , unde b&gt;99. Dacă b = 100, atunci a = 100c + 99. Pentru c = 0 , găsim a = 99 care verifică suma. Pentru c = 1, 2, 3, e.t.c., a + b &gt; 199, deci nu convine. Dacă b = 101, 102, ………… atunci a + b &gt; 199, deci din nou nu convine. Așadar numerele sunt 99 și 100.

Problema 4: Determinați cel mai mare număr natural care împărțit la 1985 da catul mai mic decât restul.

(Ștefan Smarandache, Etapă pe sector, București, 1995 )

Rezolvare: Fie a numărul, deci a = 1985•c + r. Dar c &lt; r. Vom lua r maxim și c maxim, deci r max. = 1984 și c max. = 1983, așa că a=1985•1983+1984 =3938239.

Problema 5: Determinați cel mai mic număr natural a care împărțit la numărul natural b, dă restul 5 și catul 103.

(M. Fianu, Etapă pe sector , București, 1994)

Rezolvare: Avem: a = b•103 + 5, unde b &gt;5. Luăm b minim, deci b min.= 6, de unde a = 6•103 +5 = 623 .

Problema 6: Aflați cel mai mare număr natural de trei cifre care împărțit la cel mai mare număr natural de două cifre da cel mai mare rest.

( M. Fianu , București )

Rezolvare: Fie a numărul cerut, deci a = 99•c + r. Luăm r maxim, deci r max. = 98, căci r &lt; 99. Luăm și c max., pentru c = 10, 11, etc. a are mai mult de trei cifre . Deci c max. = 9 și a = 99•9 + 98 = 989.

Problema 7: Câte numere naturale de trei cifre împărțite la 17 dau restul 11?

(Etapă locală, Vaslui , 1997)

Rezolvare: Fie numărul d, deci d = 17• c + 11. Cum d are trei cifre, d min. = 17• 6+ +11 = 113, iar d max. = 17• 58 + 11 = 997. Cum de la 6 la 58 sunt 58 – 6 + +1= 53, înseamnă că vom avea 53 de numere.

Problema 8: Determinați toate numerele naturale de trei cifre care împărțite la 200 dau restul 15.

(Marius Giurgiu, Etapă locală, Vâlcea, 1990)

Rezolvare: Fie a numărul de trei cifre, deci a = 200c + 25. Pentru c = 1, 2, 3, 4, a are trei cifre, deci numerele sunt 225, 425, 625, 825.

Problema 9: Un număr este cu 36 mai mare decât altul. Împărțind suma lor la diferența lor obținem câtul 35 și restul 34. Să se afle numerele.

(Etapă județeană, Bihor, 1996)

Rezolvare: Notăm numărul mai mic cu x, așa că celălalt este x + 36. Evident diferența este 36. Scriind identitatea împărțirii obținem o ecuație simplă, ținând cont că suma numerelor este x + x +36 = 2x + 36 . Deci 2x + 36 =36 • 35 + 34, de unde 2x =36 • 35 + 34 , x =(36•35 + 34) : 2 = 629.

Așadar , numerele sunt 629 și 629 + 36 = 665.

Problema 10: Diferența a două numere naturale este de trei ori mai mare decât numărul mic. Împărțind unul dintre cele două numere la 3, obținem catul 3 și restul 2. Aflați cele două numere.

(I. Georgescu, Etapă pe sector, București, 1996)

Rezolvare: Notând numărul mai mic cu x, aflăm imediat că numărul mai mare este 4x. Dacă 4x = 3•3 +2, atunci 4x = 11, imposibil. Dacă x = 3•3 + 2 =11, atunci numerele vor fi 11 și 44.

Comentariu: Cu toate că în toate problemele din acest subcapitol am folosit un șablon și anume indentitatea împărțirii cu rest, problemele prezentate sunt atipice. Sunt prezentate probleme de maxim și minim. Un fapt fundamental, care trebuie bine reținut de elevi, este acela că restul este strict mai mic decât împărțitorul.

J. DISTRIBUTIVITATEA ÎNMULȚIRII FAȚĂ DE ADUNARE ȘI SCĂDERE. FACTOR COMUN

Este cunoscut faptul că înmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare și scădere, aceasta însemnând că oricare ar fi numerele naturale a, b, c, atunci a(b + c) =ab + ac și a(b – c) = ab – ac. Elevii de clasa a – IV – a pot reține cu ușurință această proprietate. De aici rezultă și alte combinații.

De exemplu: a(b – c +d ) = ab – ac + ad, etc. Prin exemple numerice se pot verifică aceste formule.

Deoarece relația de egalitate a numerelor naturale este simetrică, aceste relații se pot scrie și astfel: ab + ac = a (b + c) , a b – ac = a (b – c) , a b – ac + a d = (b – c + d) etc., formule care constituie scoaterea factorului comun. În cele ce urmează vom mai folosi comutativitatea și asociativitatea adunării numerelor natural și a înmulțirii numerelor naturale. Remarcăm că scoaterea factorului comun este un procedeu care scurtează de multe ori calcule foarte mari, precum și faptul că generează extrem de multe probleme foarte interesante, propuse nu de puține ori la concursuri și olimpiade. Pornind de la exerciții la început mai simple, învățătorul îi poate familiariza pe elevi cu acest mod de lucru. Lucrând în mod diferențiat se pot rezolva probleme și cu grade de dificultate sporite. Vom exemplifică cele de mai sus prin exercițiile și problemele care urmează.

Problema 1: Scoateți factor comun: 7a +7b -7 • 5.

Rezolvare: 7a + 7b – 7•5 = 7 ( a + b – 5 )

Problema 2: Scoateți factor comun: 3a – 3b + 6

Rezolvare: Deoarece 6 = 2 •3 expresia devine; 3a – 3b + 3 • 2 = 3(a – b + 2)

Problema 3: Calculați: 58 • 36 + 58 • 80 – 58 • 16

Rezolvare: Scoatem factor comun pe 58 și obținem: 58•(36+80 –16)=58 •100=5800

Problema 4: Calculați: 73•408+614•73-73•22.

Rezolvare: Ținând cont de comutativitatea înmulțirii scoatem factor comun pe 73 și obținem: 73•(408 + 614 – 22) = 73 • 1000 = 73000.

Problema 5: Calculați: 7• (29 • 11 – 24 • 11) : 11.

Rezolvare: 7• (29 • 11 – 24 • 11) : 11 = 7 • 11 •(29 – 24) :11 = 7• (29 – 24) = 7• 5 = 35

Problema 6: Calculați: 926• (379•100 – 100•375) : 100

Rezolvare: Avem 926 • 100 • (379 – 375) : 100 = 926 • (379 – 375) =926•4=4704

Problema 7: Calculați: (1 1 + 22 + 33 + 44+ 5 5) : (1 + 2 + 3 + 4 + 5)

Rezolvare: avem: 11• (1 + 2 + 3 + 4 + 5) : (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 11

Problema 8: Calculați: (2 + 4 +……+ 98 + 100) : (1 + 2 + … + 49 + 50)

Rezolvare: analog că mai sus, obținem rezultatul 2.

Problema 9: Calculați: a + 3b – 3c știind c a a = 5 s i b – c = 8.

Rezolvare: Vom scoate factor comun "parțial" pe 3 între ultimii doi termini și obținem a + 3 ( b – c ) = 5 + 3 •8 = 29.

Problema 10: Calculați: 3a+7b + 4c știind c a a + b = 1 0 s i b + c = 9 .

Rezolvare: Avem 3a + 3b + 4b + 4c = 3 (a + b) + 4 (b + c) = 3 • 10 + +4 • 9 = 66.

Problema 11: Calculați:

(3+33+333+3333+33333+333333):32•(4+44+444+4444+44444+444444) : 8.

Rezolvare: Avem 3(1+11+111+1111+11111+111111) : 3 – 2•(1+11+111+1111+11111 +111111) =1+11+111+1111+11111+111111-(1+11+111+1111+11111+111111)=0.

Problema 12: Calculați: 89•757•987+11•89•757+2•89•757.

Rezolvare: Scoatem factor comun 89 • 757 (987 + 11 + 2) = 89 • 757 • 1000 = 67373 • 1000 = 67373000

Problema 13: Calculați: m + 3n + 2p , știind că m + n = 10 și n + p = 100

(C. Cărbunaru, Etapă pe sector, București, 1990 )

Rezolvare: Avem m + 3n + 2p = m + n + 2n + 2p = m + n + 2( n + p ) = 10 +2•100 = 10 + 200 = 210

Problema 14: Calculați: (111 + 222 + 333 + 444 + 555 + 666) : 111 : 21

( M. Fianu , Etapă pe sector , București , 1992)

Rezolvare: Scoțând factor comun pe 111 obținem: 111 • ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) : 11:21= ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) : 21=21 : 21 = 1

Problema 15: Calculați: 2a + 7b + 3c dacă a + 2b = 198 și b + c = 532

(M . Fianu , Etapă pe sector , București , 1992)

Rezolvare: Avem succesiv, 2a + 7b + 3c = 2a + 4b + 3b + 3c = 2 • ( a +2 b ) + 3 • ( b + c ) = 2 • 198 + 3 • 532 = 396 + 1596 = 1992

Problema 16: Calculați: (128000 + 12800 + 1280) : (12800 + 1280 +128)

(M . Fianu , Etapă pe sector , București , 1993)

Rezolvare: Calculul direct este "sfânt": 142080: 14208 = 10 se poate folosi însă și factorul comun.

De exemplu: 10 • (12800 + 1280 + 128) : (12800 + 1280 + 128 ) = 10 sau dacă dăm factor comun în prima paranteză pe 1280, iar în a două pe 128, vom obține: [ 1280 • (100 + 10 + 1 ) ] : [128• (100 + 10 + 1) ] = 10

Problema 17: Calculați: 1992 + 1993 • 1992 – 1994 • 1991.

(M. Fianu , Etapă pe sector , București , 1993)

Rezolvare: Evident, făcând înmulțirile se obține rezultatul . Deoarece 1992 se repetă de două ori, ne sugerează să scoatem un factor comun parțial. Avem: 1992 • 1 + 1993 – 1994 • 1991 = 1992 • 1994 – 1994 + 1991 = 1994 •(1992 – 1991) = 1994 • 1 = 1994
Problema 18: Calculați : 1996 • 1995 – 1995 • 1994 – 2 • 1994

(Etapă pe sector, București, 1995)

Rezolvare: Dacă se fac operațiile în mod obișnuit se obține rezultatul. Vom calcula mai simplu scoțând factor comun. Avem: 1995• (1996 – 1994) – 2 • 1994 =1995 • 2 – 2 • 1994 =2 • ( 1995 – 1994) = 2 • 1 = 2.

Problema 19: Calculați:1 • 142857 + 2 • 142857 + 3 • 1428573 +4• 142857+ 5 • 142857 + 6 • 142857.

(Etapă pe municipiu București , 1995 )

Rezolvare: Scoatem factor comun pe 142857 și avem: 142857 • ( 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 ) = 142857 • 21 = 3999997.

Problema 20: Calculați: 2a + 9b + 7c + 4d , știind că a + 3b = 10 , b + c = 20 și c + d = 30.

Rezolvare: Avem succesiv 2a + 9b + 7c + 4d = 2a + 6b + 3b + 3c + 4c + 4d = 2 •( a + 3 b ) + 3 • ( b + c ) + 4 • ( c + d ) = 2 •1 0 + 3 •2 0 + 4 • 30= 20 +60 + 120 = 200.

Problema 21: Calculați: 1994 + 1995 • 1994 – 1996 • 1993.

(Etapă locală , Dâmbovița ,1996)

Rezolvare: Avem succesiv, scoțând factor comun pe 1994 , 1994 • ( 1 +1995 ) – 1996 • 1993 = 1994 • 1996 – 1996 • 1993 = 1996 • ( 1994 – 1993 ) =1996 • 1 = 1996

Problema 22:

a) Scrieți numărul n = 997 • 1996 + 998 • 1996 + 1995 că produs de două numere naturale consecutive .

b) Determinați patru numere naturale pare consecutive a căror suma este egală cu 1996.

(Etapă locală , Mehedinți ,1996)

Rezolvare:

a) scoțând factor comun obținem : 1996 • ( 997 + 998 ) + 1995 =1996• 1995+ 1995 = 1995 • (1996 + 1) = = 1995 • 1997.

b) folosind metoda grafică sau ecuații obținem numerele: 496, 498, 500, 502

Problema 25: Să se calculeze, fără a efectua înmulțirile, numărul:

N=2000•1999-1999 • 1998 + 1998 • 1997 – 1997 • 1996 + 1996 • 1995 -1995•1994

(Concursul "Henry Ignatie")

Rezolvare: Scoțând factor comun parțial pe 1999 între primii doi termeni, apoi pe 1997 între următorii doi și pe 1995 între ultimii doi, obținem:

N = 1999 • ( 2000 – 1998 ) + 1997 • ( 1998 – 1996 ) + 1995 • ( 1996 – 1994) = 1999 • 2 + 1997 • 2 + 1995 • 2 = 2 • ( 1999 + 1997 + 1995 ) = 2 • 5991 = 11982

K. METODĂ REDUCERII LA ABSURD ÎN REZOLVAREA PROBLEMELOR ATIPICE

Metoda reducerii la absurd este un tip de raționament foarte des întâlnit în matematică, mai ales începând cu clasa a – VI – a. Considerăm că această metodă oferă un mijloc eficace de a rezolva multe probleme și în ciclul primar, putând fi des utilizată, cu toate că nu o numim așa. Apreciem că elevii ar "înțelege" acest mod de raționament, care duce la o rezolvare elegantă a multor probleme. Vom exemplifică prin câteva probleme, având convingerea că se pot rezolva cu success din clasele primare.

Problema 1: Suma a trei numere naturale de o cifra este 27. Găsiți numerele.

Rezolvare: Numerele fiind de o cifra, înseamnă că sunt de la 0 la 9. Dacă unul dintre ele ar fi mai mic decât 9, atunci suma ar fi mai mică decât 27. Așadar, unul dintre numere este 9 și atunci celelalte două au suma 18. Rationand în mod asemănător, obținem că și celelalte două sunt 9. Am folosit evident raționamentul prin absurd.

Problema 2: Suma a două numere naturale este 100. Arătați că cel puțin unul dintre ele este mai mic sau egal cu 50.

Rezolvare: Rezolvarea este de fapt un tip de raționament și anume, raționamentul reducerii la absurd. Așadar, dacă ambele numere ar fi mai mari (strict) decât 50, atunci suma ar fi mai mare decât 100, ceea ce nu este în concordanță cu datele problemei. (De fapt, reprezintă o "contradicție" cu "ipoteza" problemei).

Comentariu: Este demn de remarcat cu elevii modul cum s-a făcut negația propoziției "cel puțin unul dintre ele este mai mic sau egal cu 50" adică "există unul dintre ele mai mic sau egal cu 50". Negația ne-a condus la propoziția că toate (ambele, oricare) este mai mare decât 50".

Problema 3: Suma a trei numere naturale este 60. Arătați că cel puțin unul dintre ele este mai mic sau egal cu 20.

Rezolvare: Printr-un raționament analog că la problema anterioară.

Problema 4: Produsul a două numere naturale este 100. Arătați că cel puțin unul dintre ele este mai mic sau egal cu 10.

Rezolvare: Raționând prin reducere la absurd ca la problemele anterioare și anume presupunând că ambele sunt mai mari (strict) decât 10, deducem că produsul lor este mai mare decât 100. În "contradicție" cu datele (de fapt "ipoteza") problemei.

Problema 5: Aflați numerele naturale x și y astfel încât, 2x + 3y = 20.

Rezolvare: Dacă y &gt; 6, rezultă că 3y &gt; 21, deci suma ar fi mai mare decât 20, imposibil. Rămâne că y &lt; 6. Analizând situațiile acestea ( și mai ales observând că y este număr par) găsim : x = 1 , y = 6 sau x = 4 , y = 4 sau x = 7 , y = 2 sau x=10, y=10.

Comentariu: Rezolvarea presupune cel mai pur raționament prin "reducere! absurd". Insistăm încă o dată asupra acestui mod de raționament pe care elevii îl folosesc fără a-l denumi astfel și după cum se remarcă, foarte folositor în rezolvarea multor probleme.

Problema 6: O suma de bani este compusă din: 11 bancnote a 10000 lei, 7 bancnote a 5000 lei și 8 bancnote a l000 lei . Suma se împarte în mod egal la trei persoane, Arătați că fiecare din cele trei persoane va primi:

a) cel puțin o bancnotă de 1000 lei

b) cel puțin o bancnotă de 10000 lei

(M. , Fianu , Etapă pe sector , București , 1996)

Rezolvare: Suma totală este 11 • 10000 + 7 • 5000 + 8 • 1000 = 110000 =35000 + 8000 = 153000 lei . Deoarece fiecare persoană primește aceeași suma deducem că primește 153000 : 3 =51000 lei. a) acum rationamentuldecurge prin "reducere la absurd" suma de 51 000 lei nu poate fi primită numai în bancnote de 5000 lei sau 10000 lei ( s-ar împărți în caz la 5000 ) .Deci persoană va primi cel puțin o bancnotă de 1000 iei ceea ce trebuia justificat.

Același raționament "prin reducere la absurd". Dacă suma de 51 000 lei nu s- ar plăti cu nici o bancnotă de 10000 lei, cum sunt 7 bancnote de 5000 lei și 8 de 1000, deoarece 7 • 5000 + 8 • 1000 = 43000 lei și acestea nu ar ajunge să completeze suma de 51000 lei. Așadar fiecare din cele trei persoane va primi cel puțin o bancnotă de 10000 lei.

L. PRINCIPIUL CUTIEI ȘI REZOLVAREA PROBLEMELOR ATIPICE

În matematică există o multitudine de probleme neelementare care se pot rezolva elementar. Unele dintre ele pot fi soluționate la nivel gimnazial sau chiar primar. Multe dintre ele prezintă totuși dificultăți, deoarece necesită parcurgerea unor etape metodice în rezolvare. Un exemplu în acest sens îl reprezintă problemele ce pot fi rezolvate cu "principiul cutiei" (principiul lui Dirichlet-Gustav PeterLejeune Dirichlet, 1805 – 1859, matematician german) acest principiu se bazează pe un raționament de tipul următor: "dacă în n cutii se află cel puțin n + 1 obiecte, atunci există o cutie (cel puțin) în care se află cel puțin două obiecte". Vom ilustra acestea prin câteva probleme care pot fi rezolvate cu succes în ciclul primar.

Considerând că acest principiu trebuie prezentat elevilor că un prim pas în rezolvarea unor probleme mai dificile, că un nou mod de raționament care făcând legături și cu alte moduri de raționament, conduce la soluții elegante care în latura de cele mai multe ori calcule laborioase și neingenioase. Considerăm că includerea principiului cutiei în cât mai multe probleme, la care se pretează, din culegeri sau compuse de învățător, aduce un imens beneficiu modului de a gândi al elevilor mici. Credem totodată că ei sunt capabili să înțeleagă acest principiu extrem de simplu, dar puțin cunoscut.

Problema 1: Într -o școală sunt 400 elevi. Arătați că cel puțin doi elevi își serbează ziua de naștere în aceeași luna și în aceeași zi.

Rezolvare: Deoarece anul are 365 (sau 366) zile și 400 &gt; 366 din principiul cutiei se justifică cerință problemei.

Problema 2: Arătați că din 11 numere naturale alese la întâmplare putem găsi două a căror diferența este divizibilă (se împarte exact, adică restul împărțirii este 0) cu 10.

Rezolvare: Restul împărțirii unui număr natural la 10 este unul din numerele: 0, 1, 2,…,9 , deci în total avem 10 resturi posibile . Având 11 numere va rezultă ( din principiul cutiei ) că cel puțin două dau același rest la împărțirea la 10, deci diferența lor este divizibilă cu 10 .

Problema 3: Într-un săculeț sunt 100 bile având culorile tricolorului:

a) demonstrați (justificați) că din patru bile scoase la întâmplare există cel puțin două de aceeași culoare ;

b) care este numărul minim de bile ce trebuie scoase pentru a fi siguri că cel puțin cinci de aceeași culoare?

(Constantin Popescu , Rm. – Vâlcea)

Rezolvare:

a) în săculeț fiind bile de trei culori, evident că din patru bile extrase deoarece 4 &gt; 3, vom avea cel puțin două de aceeași culoare.

b) răspunsul este 13. Cum gândim? Punctul a) ne oferă un ajutor. Extrăgând 12 bile s-ar putea să avem "neșansa" că să obținem grupe de câte patru bile de aceeași culoare ceea ce nu satisface cerință.

Extrăgând 13, această "neșansă" este înlăturată, deci vom avea cel puțin o grupa cu cinci bile de aceeași culoare.

Comentariu: Evident numărul de 100 de bile este pus la alegerea autorului.

Numărul minim de bile din săculeț trebuie să fie mai mare sau egal cu 13.

Problema 4: Se pot pune 77 bile în 12 cutii astfel încât în fiecare cutie să fie cel puțin o bilă și să nu existe două cutii cu același număr de bile?

(I. , C, , Ligor , București)

Rezolvare : Considerând situația când în cutii avem numărul minim de bile adică 1, 2, … , 11, 12, bile deoarece 1 + 2 + …. + 11 + 12 = 78 și 78 &gt; 77, este evident că operația este imposibilă, deoarece considerând alte numere în afară de cele minime vom obține o suma și mai mare decât 77.

Problema 5: Într-un magazin s-au adus 25 lăzi cu mere, de trei calități. În fiecare lada sunt mere de aceeași calitate. Se pot găsi totdeauna 9 lăzi astfel încât toate aceste 9 lăzi să conțină mere de aceeași calitate?

(Etapă locală , Vrancea , 1997)

Rezolvare: Cazul cel mal nefavorabil, este când 8 lăzi conțin mere de calitatea I, alte 8 de calitatea a II-a și alte 8 de calitatea a III-a. Fiind 25 de lăzi și cum 8 • 3 = 24 &lt; 25 există cel puțin 9 lăzi cu mere de aceeași calitate.

M. CALEIDOSCOP MATEMATIC

Acest subcapitol are rolul de a pune la îndemână elevilor – și a celor interesați o suită de probleme care să îi atragă în mod plăcut și să le trezească pasiunea pentru logică, pentru cercetarea în matematică, evidențiind multiple valențe educative.

Vom prezenta și probleme distractive, în care pot fi descoperite proprietăți surprinzătoare, simple dar frumoase, reținând faptul că gândirea creatoare care se ocupă de astfel de subiecte, are același tip cu aceea care conduce de la descoperirea matematică, la descoperirea științifică. Această descoperire în inițiere este o sarcină extrem de importantă a școlii moderne. Aceste probleme, precum și multe altele asemănătoare, constituie o tematică inedită pentru cercurile de elevi.

Problema 1: Folosind numai operațiile de adunare și scădere și toate cifrele de la 1 la 9 o singură dată, exprimați numărul 1.

Rezolvare: 1 + 2 + 4 + 7 + 9 – 3 – 5 – 6 – 8 = 1, sau 1 + 23 + 89 – 45 – 67 = 1.

Comentariu: Evident problema este de perspicacitate. A face un demers metodic, este aproape imposibil, încercările stau numai la baza unor astfel de probleme netipice.

Problema 2: Folosiți de 7 ori cifra 7 și diferite operații, (din cele 4) pentru a obține numărul 100.

Rezolvare : ( 7 + 7 ) •7 + 7 : 7 + 7 : 7 = 100 sau 7 •7 + 7 •7 + ( 7 + 7 ) : 7 = 100.

Comentariu: Același că la problema 1.

Problema 3: Văd un prun cu prune. Iau o piatră și arunc în prun. Mă uit sus, nu sunt prune, mă uit jos, nu sunt prune. Câte prune au fost în prun?

Rezolvare: De la bun început trebuie remarcat de elevi că în prun sunt cel puțin două prune, pentru că dacă ar fi una, ar fi singularul. Aruncând cu piatra, nefiind prune nici jos nici în prun, înseamnă că sau jos sau în prun va fi cel mult una. Apare din nou deosebirea dintre plural și singular. În prun au fost așadar, două prune. După aruncarea cu piatra, una cade și cealaltă rămâne în prun. Deci, nici jos, nici sus, nu sunt prune, pentru că este câte una (singular). Orice varianta de mai mult de două prune ne conduce la un "plural" sau sus sau jos, ceea ce nu corespunde cu datele problemei. Așadar în prun au fost două prune.

Problema 4: Lupul , capra și varza

Un țăran la târg plecase

Și de vânzare luase

Un lup, o capra și o varză,

Nevrând nici una să piarză.

Și să le treacă pe toate.

Stand în loc, se socotește

Și în sine își șoptește

Cum și în ce chip să facă,

Câte una să le treacă,

Că fiind apă prea lată,

Nu putea două deodată.

"Să trec întâi lupul? zice,

Capra varză o să-mi strice.

Să trec varza, și-așa încă,

Lupul capra îmi mănâncă".

Cum s-a descurcat țăranul?

Notă: Această problema-glumă a fost publicată inițial de cărturarul Alcuin, în cartea "Propositiones ad acuendos juvenes" (aprox. în anul 800). Versificarea ei se datorează lui Anton Pann, fiind redată în volumul "Șezătoare la țară" 1851 -1852.

Rezolvare :

Țăranul, (cum îi veni în minte)

Trecu capra înainte

Și statu iar să gândească

Cum să o innimereasca.

Gândind, zicea întru sine:

"Trecui una , merse bine,

Până aici toate scapără,

Acum care să trec dară?

Trecând varză și lăsând-o

O strică iedul rozând-o ;

Precum lupul și el iară

Îmi face iedul papară.

Mai gândind: "Ha ! el zice,

Nevoia minte-mi trimise.”

Trecu lupul peste apă

Și veni-nsotit de capra.

Trecu și varză îndată

Mereu făcând judecată.

Și mergând a două oară,

Trecu capra subsuară.

Altă rezolvare :

Pe țăran (de-ar mai trăi)

Și-n alt fel l-am sfătui:

După ce capra a dus

Pe țărmul celălalt (opus)

Varză s-o ducă apoi

Și să ia capra-napoi.

Să o lase, fără pază,

Ducând pe lup la varză.

Că pe el nu-1 ispitește

S-o mănânce, așa, căprește.

După capra să se ducă,

Că din nou să o aducă

Pe malul unde acum așteaptă

Lupul, varză-laolaltă.

Problema 5: (Pâinile lui Creangă ) Din istorisirea " Cinci pâini " publicată în "Convorbiri literare " la 1 martie 1983.

Doi oameni care au călătorit împreună, dintre care unul avea două pâini asupra sa, iar celălalt trei pâini, au întâlnit pe un al treilea călător, flămând. După ce toți trei s-au ospătat împreună în mod egal, al treilea călător, odată cu mulțumirile sale, dădu primilor doi cinci lei și și-au văzut apoi de drum.

Cum au trebuit să-și împartă, primii doi acești bani? (Credeți că drumețul care a avut trei pâini a luat 3 lei, iar cel cu două pâini 2 lei? N- a fost așa. Dar cum?)

Rezolvare: Deoarece fiecare dintre cei trei călători a mâncat cantități egale – deci câte 5 treimi – rezultă că din cele 3 pâini, posesorul respectiv a mâncat 5 treimi, celelalte 4 treimi revenind călătorului străin, în timp ce din cele 2 pâini celălalt călător a mâncat de asemenea 5 treimi, restul de 1 treime revenind drumetului străin. Așadar, cel cu 3 pâini a oferit călătorului străin de patru ori mai multă pâine decât tovarășul sau, deci din cei 5 lei lăsați de străin, 4 lei revin călătorului cu 3 pâini și 1 leu celui care a avut 2 pâini.

III METODOLOGIA CERCETĂRII

III.1. OBIECTIVE

– analiza posibilității de a creea situații în care să folosească noțiunile matematice.

– identificarea valențelor formative pe care le are opționalul de “Matematică Distractivă”.

– analiza modului în care problemele de matematică recreativă duc la creșterea interesului elevilor față de această disciplină.

III.2. IPOTEZA

Elevii care parcug un opțional de “Matematică Distractivă” sunt implicate activ în propria lor formare, socializează eficient cu colegii și profesorul și sunt capabili să aplice cunoștințele matematice în contexte variate crescându-li-se astfel interesul față de această arie curriculară.

III.3. DESCRIEREA LOTULUI EXPERIMENTAL ȘI CARACTERISTICILE SALE

Experimentul s-a realizat pe un lot de 12 elevi. Cei 12 elevi din clasa I sunt omogeni ca vârstă, nivel de școlaritate, naționalitate. Acești elevi provin din comunitatea de rromi ai Comunei Jibert.

ELEVII SUPUȘI CERCETĂRI

1. Elevă B.C. în vârstă de 8 ani provine dintr-o familie cu situație materială precară. Locuiește în localitatea Lovnic comuna Jibert, împreună cu mama, tată și cei 5 frați. Tata este zilier, iar mama este casnică. Condițiile de locuit sunt satisfăcătoare. Relațiile intrafamiliale fiind nefavorabile, acestei eleve îi lipsește, în deosebi, atenția părinților. Elevă B.C. are în familie un comportament corespunzător și îndeletniciri practice și gospodărești.

Din punct de vedere educațional, eleva are rezultate satisfăcătoare. Domeniile de interes ale acesteia sunt desenul și comunicarea în limba română. Și-a însușit norme de conduită în societate aplicate cu precădere în prezența adulților.

În cadrul orelor de curs, elevă manifestă interes vis-a-vis de sarcinile primite

În cadrul grupului de copii din clasa, eleva prezintă un grad ridicat de adaptare.

2. Elevul B.I. Provine dintr-o familie cu situație materială precară din localitatea Grânari. Este luat în plasament de la vârstă de 8 luni de un asistent maternal cu domiciliul în localitatea Lovnic. Condițiile de locuit sunt foarte bune.

Mediul intrafamilial este unul favorabil. Locuiește împreună și cu bunicii, care au un comportment educațional corect față de acest elev. Mama se ocupă în mod special de educația copilului.

Comportamentul copilului în familie este bun. Domeniile de interes fiind lectura, pictura, jocuri logice.

La școală, elevul are rezultate foarte bune, fiind un elev silitor, un bun povestitor în cadrul orelor de comunicare în limba română. De asemenea, este interesat de activități matematice, dar și de cele sportive.

Elevul B.I. și-a însușit norme de conduită civilizată, aplicându-le în toată tipurile de relații întreprinse.

În cadrul grupului de joacă copilul manifestă o atitudine de lider.

3. Eleva C.D. Provine dintr-o comunitate de rromi situată în localitatea Jibert. Familia acesteia este alcătuită din cei doi părinți, ambii plecați în Ungaria la muncă, și cei doi frați mai mari, însărcinați să aibă grijă de elevă. Condițiile de trăi sunt satisfăcătoare în ciuda situației familiale. Elevă este ajutată în chestiunile școlare de fratele mai mare, lipsa părinților evidențiindu-se și în ceea ce privește rezultatele școlare.

Domeniile de interes ale acesteia sunt desenul și muzica. De asemenea, eleva întreprinde activități practice și gospodărești zilnice.

Deși manifestă interes în cadrul orelor de curs, rezultatele elevei privind activitățile intelectuale sunt nesatisfăcătoare. Totuși, în ceea ce privește activitățile artistice și cele sportive, elevă are rezultate bune.

Aceasta și-a însușit norme de conduită civilizată, aplicându-le în toate tipurile de relații întreprinse.

4. Eleva G.A. Locuiește în satul Lovnic, făcând naveta zilnic. Ambii părinți sunt zilieri la o fermă din aceeași localitate. Elevă locuiește alături de bunica să în același sat, părinții ocupându-se de această în timpul liber. Condițiile de locuit sunt bune, iar relațiile cu familia sunt organizate.

Domeniile de interes ale elevei sunt lectură și activitățile matematice. Deși nu are pe nimeni care să o ajute în problemele școlare, elevă se prezintă zilnic cu toate sarcinile școlare îndeplinite. Această are o capacitate foarte bună de memorare și observare a detaliilor, dar și un interes crescut față de matematică.

Această și-a însușit o conduită civilizată, constantă.

5. Eleva G.R. Provine dintr-o familie alcătuită din părinți, plecați la muncă în Ungaria, doi frați mai mari, precum și bunica paternă care are grijă de aceștia. Condițiile de trăi sunt satisfăcătoare. Relațiile intrafamiliale sunt favorabile.

Activitățiile preferate ale elevei sunt cele legate de desen și abilități practice.

În ceea ce privește rezultatele în cadrul orelor de curs, notabil este interesul crescut față de activitățile matematice. Totodată, elevă deține o capacitate crescută de memorare.

Această și-a însușit norme minime de conduită socială.

6. Elevul M.P. Locuiește în satul Jibert, într-o familie completă, alcătuită din ambii părinți, zilieri, cei patru frați mai mari și ambii bunici materni. Condițiile de trăi sunt foarte bune. Relațiile cu părinții și familia sunt favorabile. Deși, aparent, părinții ar trebui să se ocupe de educația acestuia, această sarcină nu reprezintă o prioritate pentru ei.

Elevul întreprinde zilnic activități practice și gospodărești acasă, dar nu prezintă alte domenii de interes.

Deși nu perturbă orele de curs, fiind un copil liniștit, elevul nu manifestă interes deosebit pentru niciuna dintre materiile studiate.

Acesta nu și-a însușit pe deplin norme de conduită socială.

7. Elevul R.M. Elevul în vârstă de 8 ani Locuiește în satul Jibert alături de cei doi părinți. Climatul intrafamilial este unul favorabil. Mama este cea care se ocupă de educația elevului.

Deși este zilnic însărcinat cu activități gospodărești, elevul reușește să ducă la îndeplinire cu brio sarcinile școlare. Domeniile de interes ale acestuia sunt lectură și activitățile matematice.

Acesta a reușit să dobândească norme de conduită civilizată, aplicându-le în toate tipurile de relații întreprinse.

8. Elevul S.I. Provine dintr-o familie de etnie rromă domiciliată în satul Văleni. Acesta locuiește cu ambii părinți și ceilalți cinci frați. Părinții sunt zilieri, având o situație materială precară. Condițiile de trăi sunt nesatisfăcătoare.

Totuși, situația școlară a elevului este bună, acesta manifestând interes vis-a-vis de activitățile intelectule. Este preocupat de comunicarea în limba română, dar și de activitățile artistice. Elevul se diferențiază printr-un bun spirit de observație, dar și printr-o capacitate crescută de a întreține conversație.

9. Eleva S.M. Aceasta provine dintr-o familie dezorganizată, mama ei fiind decedată, iar tatăl ei fiind plecat în straintate. Bunica maternal este cea care se ocupă de îngrijirea și educația fetei. Condițiile de trăi sunt satisfăcătoare, iar relațiile cu bunica sunt foarte bune.

Deși este prinsă zilnic în activitățile gospodărești, elevă reușește cu brio să-și ducă la îndeplinire sarcinile școlare.

Domeniile de interes ale acesteia sunt activitățile matematice muzică și în mod special lectură.

Atât în școală, cât și acasă, alături de bunica, această și-a însușit norme de conduită în societate.

10. Eleva C.I. Domiciliată în satul Jibert, această locuiește împreună cu bunicii materni, părinții aflându-se la muncă în străinătate. Relațiile cu bunicii sunt favorabile, aceștia fiind preocupați de educația elevei.

Deși provine dintr-o familie dezorganizată, elevă este silitoare și duce la îndeplinire, cu brio, sarcinile școlare. Elevă manifestă interes deosebit pentru științele exacte, dar îi sunt pe plac și activitățile artistice.

Alături de bunici, dar și în cadrul școlii a reușit să dobândească o conduită civilizată, necesară pentru integrarea în societate.

11. Elevul Z.S. Locuiește în localitatea Jibert, împreună cu mama, tata și cele două surori mai mici. Mama este casnică, iar tatăl zilier la o fermă din localitate. Condițiile de locuit sunt bune. Relațiile intrafamiliale sunt favorabile. Datorită mamei care se ocupă în permanentă de educația copilului, acesta prezintă interes pentru activitățile desfășurate în școală. Domeniile de interes sunt activitățile matematice și de explorare a mediului, activitățile sportive, pictură și desenul.

Atât în cadrul școlii cât și în familie, elevul prezintă un comportament bun.

Elevul și-a însușit norme de conduită civilizată.

12. Elevul T.S. Locuiește în localitatea Lovnic, împreună cu părinții și cei patru frați. Ambii părinți sunt zilieri. Situația materială a familiei este satisfăcătoare. Relațiile intrafamiliale sunt favorabile. Este un elev timid, în cadrul orelor de curs, fiind nevoie să fie mereu încurajat. Domeniile de interes sunt desenul și activitățile sportive.

Elevul și-a însușit norme de comportare civilizată.

METODE DE CERCETARE

În cadrul investigării efectuate am utilizat o serie de metode specifice demersului de tip pedagogic.

Metoda observației sistematice.

Observația este o metodă de cunoaștere a personalitații umane care asigură in evaluare, obținerea unor informații detaliate cu privire la copilul analizat.

Este o metodă cu un rol esențial prin care am urmărit modul de participare al elevilor în timpul activităților propuse.

Metoda conversației.

Este o metodă care constă în dialogul dintre profesor si elevi, în care profesorul este un partener care nu doar întreabă, dar și răspunde întrebărilor elevilor. Este de preferat a deprinde elevii să adreseze întrebări profesorului atunci când nu înțeleg ceva. Astfel, sunt atrași și elevii neatenți sau mai puțini disciplinați.

Această metodă a constat în conversația permanentă cu colectivul de elevi, cu scopul de a câștiga încrederea elevilor, precum și trezirea și menținerea interesului elevilor pe parcursul activităților didactice.

Metoda experimentării propriu-zise care include și alte metode: explicația, exercițiul, demonstrația.

Metoda explicației este o metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se progresează in cunoaștere, oferind un model descriptive la nivelul relațiilor.

Metoda explicației a constat în explicarea procedeului de lucru, modului de utilizare a mijloacelor didactice, a regulilor de joc și a sarcinilor de lucru. Metoda explicației întotdeauna însoțește demonstrația.

Metoda demonstrației este una din metodele de bază în activitățile matematice și valorifică noutatea cunoștințelor și a situațiilor de învățare.

Prin folosirea demonstrației am căutat să favorizez învățarea prin folosirea diferitelor materiale didactice, ceea ce dezvoltă atât latura formativă, cât și pe cea informativă a învățării perceptive.

Metoda exercițiului este o metodă care are la baza acțiuni motrice și intelectuale, efectuate în mod conștient și repetat. Am folosit această metodă în vederea realizării unor multiple scopuri instructiv-educativ-formative, prin care am urmărit formarea deprinderilor și priceperilor care conduc la dezvoltarea unor abilități.

Metoda jocului didactic.

Am ales să folosesc jocul didactic că metodă care accentuează rolul formativ al activității matematice prin: exersarea operațiilor gândirii (analiză, sinteză, comparația, clasificarea, ordonarea, abstractizarea, generalizarea, concretizarea); dezvoltă spiritul de inițiativa, de independența, dar și de echipa; formarea unor deprinderi de lucru corect și rapid; însușirea conștientă, temeinică, într-o formă accesibilă, plăcută și rigidă a cunoștințelor matematice.

Am ales să folosesc jocul deoarece motivează participarea activă a elevilor prin elementele sale specifice: competiția, manipularea, surpriză, așteptarea.

Metoda problematizării și invățare prin descoperire.

Cele două metode sunt strans legate în predarea matematicii.

Problematizarea este o metodă care constă în prezentarea elevilor a unor dificultăți create intenționat, pe care elevul dacă le depășește prin efort propriu invață ceva nou.

Printr-un procedeu personal de analiză, elevul descoperă un procedeu de calcul. Astfel, elevul are rolul principal, activ, dar trebuie să dețină și o pregătire anterioară solidă, să fie obișnuit să rezolve probleme.

Analiză și prelucrarea datelor.

Am utilizat metode care mi-au permis să prelucrez statistic datele, în vederea confirmării ipotezei. Pentru prelucarea datelor am folosit tabele și grafice.

Metode specifice invățării interactive.

Metoda Tehnica-Lotus’’(Floare de nufăr)

În urma jocului propus, elevii cu ajutorul numerelor obținute trebuie să facă diverse combinații ca să formeze petalele florii de lotus:

să citească și să scrie numerele obținute,

să realizeze comparații (<, >, =)

să așeze numerele in ordine crescatoare

să așeze numerele in ordine descrescătoare

să scrie vecinii numărului dat

să descompună numarul dat in sumă de trei termeni

să afle un numar par/impar

Metoda ’’ Bulgărele de zăpadă’’

Obiectivele urmărite sunt:

ascultarea sarcinii de lucru

rezolvarea exercițiilor individual

compararea rezultatelor obținute la operațiile de adunare si scădere

rezolvă problemelede calcul intâmpinate in cadrul grupelor

Metoda ‘’Explozia stelară’’

Exemple de întrebări:

Cum se numesc numerele care se adună?

Cum se numește rezultatul adunării?

Unde folosim adunarea?

Care este semnul adunării?

Ce propirietăți are adunarea?

De ce e important să știm să adunăm?

Cum se face proba adunării?

De ce trebuie să facem proba adunării?

Câti termeni poate avea adunarea?

Metoda R.A.I.

(Raspunde, aruncă, întreabă)

Clasa este organizată astfel: toti elevii formează un cerc. Un elev are o minge în mână pe care o aruncă altui coleg și îi lansează o întrebare (îi spune să rezolve un exercițiu). Cel care a prins mingea va trebui să răspundă, apoi va arunca din nou mingea lansând o noua sarcină. Se repeat această operațiune pana mingea trece pe la toți elevii.

Exemple de sarcini:

3 + 8 =

7 + 2 =

6 + 3 + 0 =

6 – 3 =

56 – 6 =

40 + 2 =

Cum se numesc numerele care se adună?

Cum se numește rezultatul adunării?

Cum se numeste numărul care se scade?

Cum se numeste numărul din care se scade?

Cum se numeste rezultatul scăderii?

INSTRUMENTE DE CERCETARE

Ca instrumente de cercetare am folosit testele pedagogice de cunoștințe (testul inițial și testul final și fișele care conțin exerciții de aprofundare și dezvoltare. Acestea au fost adaptate particularităților de vârstă ale elevilor din calsa întâi și au vizat obținerea de informații în legătură cu nivelul de cunoștințe și competențe ale acestora.

ETAPELE CERCETĂRII

I. ETAPA CONSTATATIVĂ

Etapa constatativă am desfașurat-o in anul școlar 2014-2015, când elevii supuși cercetării se aflau in clasa pregătitoare. În acea perioadă am constatat că elevii pot fi impărțiți în două grupe in funcție de cunostințele dobândite.

elevi care cunosc cifrele, numără crescător si descrescător si efectuează adunări si scăderi in concentrul 0-10.

elevi care intâmpină dificultăți in recunoașterea cifrelor in limitele 0-10.

Această etapă s-a prelungit până in anul școlar 2015-2016, luniile octombrie si noiembrie, și a constat în aplicarea testului de evaluare initială la elevii din clasa întâi,cu scopul de a stabili punctul de pornire in desfașurarea demersului experimental.

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

OBIECTIVE OPERAȚIONALE

să identifice animalele domestice si pe cele salbatice si sa completeze casutele cu numerele care lipsesc

să scrie numerele care au cifra zecilor 1,apoi sa coloreze casuta unde cifra zecilor este egala cu cifra unitatilor

să completeze florile cu numerele de la 0 la 31

să scrie vecinii numerelor date

să descompune numerele date

să identifice numarul formelor geometrice de acelasi fel si sa completeze tabelul cu numerele corespunzatoare

să rezolve corect exercitiile de adunare si scadere in concentrul 0-10 de pe baloanele minionului si sa coloreze conform codului

I.1. a) Identifică și încercuiește animalele domestice cu roșu, iar animalele sălbatice cu albastru.

b) Completeaza casetele cu numerele care lipsesc pentru a numara animalele

I.2 Scrie numerele cu cifra zecilor 1.

Colorează cu roșu căsuța unde cifra zecilor este egală cu cifra unităților.

I.3 Completează cu numerele de la 1 la 31.

I.4 Scrie vecini numerelor .

4 20

10 23

18 29

I.5 Descompune numerele:

4 9 7 8 6 10

I.6 Identifică numărul figurilor geometrice de același fel apoi completează tabelul cu numărul corespunzător.

I.7 Calculează exercițiile de pe baloanele minionului și colorează conform codului:

6- albastru

5-verde

7-maro

4-galben

10-mov

3-roșu.

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

Prezentarea analitică a rezultatelor elevilor din clasa I, etapa constatativă (tabelul nr. 1)

Prezentarea sintetică a rezultatelor elevilor din clasa I la proba de evaluare initială (tabelul nr. 2)

CONCLUZIILE ETAPEI CONSTATATIVE

În urma aplicării probelor de evaluare inițială observăm că rezultatele obținute sunt satisfăcătoare.

50% (6 elevi) au obținut calificativul FB, dovedind că deosebesc animalele domestice de cele sălbatice, cunosc numerele în concentrul 1 -31, cunost vecinii numerelor și stăpânesc modalitatea de descompunere a numerelor în concentrul 0-10. Știu de asemenea să identifice figurile geometrice învățate și să efectueze exerciții de adunare și scădere în concentrul 0-10.

25% (3 elevi) au dovedit că știu doar parțial să deosebească animalele domestice de cele sălbatice, cunost parțial numerele în concentrul 0-31, să recunoască vecinii numerelor date și modalitatea de descompunere a numerelor aflate în concentrul 0-10.

8,(3)% (1 elev) a obținut calificativul S, lucrând foarte puțin, dovedind că încă nu stăpânește noțiunile matematice. Această elevă nu a frecventat clasa pregătitoare, are un ritm lent de lucru , iar acasă nu lucrează.

16, (6)% (2 elevi) nu au un punctaj minim datorită faptului că nu au asimilat cunoștințe despre numerele natural în limitele 0-31

În funcție de rezultatele obținute am stabilit următoarele măsuri de corectare:

să pun un accent mai mare pe scrierea, citirea, compararea numerelor naturale în concentrul 0-31

să rezolvăm exerciții de adunare și scădere cu material concret

cu elevii buni și foarte buni să lucrez exerciții mai complexe, să pun baza mai mult pe muncă individuală si să intervin acolo unde sunt neclarități.

cu elevii foarte slabi să lucrez după orele de curs, să lucrez diferențiat, să pun accent pe citirea, scrierea, compararea numerelor în concentrul 0-31.

voi utiliza jocuri didactice care satisfac nevoia de joc și ușurează asimilarea și înțelegerea noțiunilor matematice.

II ETAPA EXPERIMENTALĂ

Această etapă a corespuns anului școlar 2015-2016 la clasa I. A început de la sfârșitul lunii noiembrie și s-a finalizat în 30 mai 2016 înaintea aplicării testului de evaluare finală.

Această etapă a constat în aplicarea opționalului “Matematică distractivă”, o ora pe săptămâna, dar și într-o intensă activitate de rezolvare de exerciții și probleme logico-matematice, alese conform cerințelor programei de matematică și explorarea mediului la clasa întâi și conform particularităților psihice ale copiilor din această clasa. Prin cercetarea efectuată, urmăresc să dezvolt interesul elevilor pentru obiectul “Matematică și explorarea mediului” și să formez capacități cognitive fundamentale ale procesului creativ- logic real, necesar pentru viață, pentru integrarea copiilor în societatea aflată în permanentă schimbare.

Pentru a asigura eficientă lecțiilor desfășurate am urmărit trei aspecte:

valorificarea experienței de viață și a cunoștințelor practice ale elevilor

transpunerea cunoștințelor din alte domenii cum ar fi “Cunoașterea mediului” în “Matematică”.

realizarea permanentei legături între teorie și practică, prin înțelegerea importanței și necesității utilizării matematicii în viață de zi cu zi.

Pentru a face activitatea didactică mai atractivă pentru elevi, am utilizat metode active-participative si jocul didactic.

Jocul didactic satisface nevoia de joc a copilului, ușurează înțelegerea, asimiarea cunoștințelor matematice și formarea unor deprinderi de calcul matematic, dezvoltă spiritul de observație, cultivă voință inventivitatea, flexibilitatea gândirii și dezvoltă spiritul de cooperare.

Totodată jocul didactic logico-matematic facilitează procesul de fixare și asimilarea cunoștințelor, iar datorită caracterului sau formativ influențează dezvoltarea personalității elevului, antrenează capacitățile ceratoare ale acestuia.

PROGRAMA PENTRU DISCIPLINA OPȚIONALA

“MATEMATICA DISTRACTIVA”

-ARGUMENT-

Matematica este considerată, în general, una dintre disciplinele dificile, ea cerând precizie si exactitate, de aceea nu este la îndemana oricui.

Indiferent în ce domeniu va lucra omul în timpul zilelor noastre si, cu atât mai mult, omul viitorului trebuie să aibă o bună pregătire matematică. În acest sens, un sistem de învățământ bine conceput oferă atât o cunoaștere adecvată a noțiunilor de bază ale matematicii, cât și practica aplicării matematicii în activitatea ulterioară din școală și viața cotidiană.

Dar “obiectul matematicii este atât de serios incât este util să nu pierdem ocazia de a-l face putin mai distractiv” (Blaise Pascal, matematician francez, 1623-1662). Acest fapt se poate realiza prin introducerea disciplinei opționale “Matematică distractivă” mai ales în clasa întâi, când prin intermediul jocului matematic, “serioasa matematica” se poate transforma radical îmbrăcând o haină nouă veselă și atractivă. În acest fel, micii școlari vor fi atrași de stilul “jucăuș” și accesibil în care vor fi prezentate informațiile matematice noi și nu vor mai fi speriați de modul rigid de predare a matematicii ca în trecut.

Astfel, cu zâmbetul pe buze, elevii vor asimila numeroase noțiuni matematice și vor înlătura barierele care făceau din matematica o materie greu de abordat.

-COMPETENȚE GENERALE-

1. Dezvoltarea capacității de a comunica conceptele si limbajul matematic.

2. Stimularea si dezvoltarea creativitații si a gandirii logice.

3. Dezvoltarea interesului pentru aplicarea cunoștiințelor matematice in contexte variate.

COMPETENȚE SPECIFICE ȘI EXEMPLE DE ACTIVITĂȚI DE INVĂȚARE

Dezvoltarea capacității de a comunica, utilizând conceptele si limbajul matematic

Stimularea si dezvoltarea creativității si a gândirii logice.

Dezvoltarea interesului pentru aplicarea cunostintelor matematice in contexte variate.

CONȚINUTURILE INVĂȚĂRII

1. Primii pași in matematica distractivă

2. Vraja numerelor naturale

Numere naturale. Desene cu numere. Calcule și probleme simple.

3. Matematică de sezon

Compararea numerelor naturale. Compararea si descompunerea numerelor. Șiruri de numere. Numere năzdrăvane.

4. Calcule si surprize matematice

Șiruri de numere. Recunoașterea semnelor de relație

Curiozități matematice.

5. Matematică in versuri

Asemănări si deosebiri.

Probleme in versuri.

6. În țara problemelor

Compunere de probleme. Natura si matematică.

7. Construcții

Recunoașterea figurilor si corpurilor geometrice. Jocul ‘’Tangram’’

8. Mărimi si unități de măsura

Metrul,litrul,kilogrmul.ora,minutul,secunda.

Probleme cu unității de măsura. Alte modalitati de a masura. Curiozitati.

9. Recapitulare finală.

Artificii de calcul. Trucuri matematice. Jocuri matematice.

MODALITATI DE EVALUARE

BIBLIOGRAFIE

Dima, I., “Autologie. Jocuri(II). Lumea copiilor”, Ed. Recorp,Bucuresti, 1993

Jurca, A. “Intâmplarea”, M.Mouce, I., “Ne jucăm,rezolvăm,invățăm…”,Ed. Hiperborea, Turda, 2001.

Nicolae,E. ,”Probleme de logică pentru copii” , Ed. Didactică si Pedagogică, București, 1993.

Onețiu, S., “ Exerciții si jocuri didactice pentru matematica” Ed.”The best”, Cluj-Napoca,1999.

Verza, E., “Omul si distracția”, Ed.Stiințifică si Enciclopedică, București, 1978.

CONȚINUTUL ACTIVITĂȚII DIN OPȚIONAL

I .Unitatea de invățare ‘’Primii pași în matematică distractivă.’’

1. Desenați tot atâtea cerculețe câte degete aveți la mâna dreapta.

2. Colorați:

-numărul 1 cu galben;

-numărul 2 cu roșu;

– numărul 3 cu verde;

-numărul 4 cu albastru;

-numărul 5 cu portocaliu;

-numărul 6 cu maro;

-numărul 7 cu negru;

3. Realizați un careu identic (la fel) cu cel desenat în stânga.

Jocul mulțimilor

Jocul are că scop formarea noțiunii de mulțime după proprietăți date, separarea elementelor mulțimii.

Fiecare copil primește jetoane cu diferite imagini (legume, fructe, flori, animale), iar ei vor trebui să formeze mulțimi în concentrul 0-31 după criteriile date.

Pentru cei care au determiat corect mulțimea, se va strigă de trei ori “Ura!’’

II. Vraja numerelor naturale

1. Jocul: “Numărăm în ……lanț!”

Un elev spune numărul “1” și indică un coleg să continue numărătoarea. Acesta spune numărul “2” și numește un alt școlar care trebuie să numere mai departe. Numărătoarea poate să treacă de 10, iar dacă un elev se încurcă va ruga un alt elev din clasa să-l ajute.

2. Jocul “Chipul cifrelor”

Jocul are că scop formarea deprinderilor de a număra de la 1 la 10, în ordine crescătoare și descrescătoare, dezvoltarea gândirii logice și formarea deprinderilor de a recita expresiv.

Pentru fiecare cifră se recită câte o poezie.

UNU parcă e un bat

Șugubăț

Poartă chipul tras

Cu cozorocul pe nas

DOI se-ndoaie ușor

Pe picior

Gâtul, vezi, e cam așa

Cum îl are lebădă.

TREI a fost un ineluș

Pe deget învârtecuș

Meșterul l-a rupt în două,

Să-I dea folosință nouă.

PATRU scaun ar părea

Cu spătarul în podea

Și picioarele în sus

Cine oare-așa l-a pus.

CINCI: credeți oare că mă-nșel?

E o secera de-oțel,

Dar deși unealtă-I nouă

Coadă ei e franța-n două

ȘASE e melc rotit

În căsuța răsucit.

Parc-ar vrea să se răstoarne

Și să scoată-m grabă coarne.

ȘAPTE parc-ar fi o coasă

Nu va temeți nu-I tăioasă.

OPT e că și un colac

Uns cu miere și cu mac

Nu-l mâncați

Că va-nselati!

NOUĂ un cârlig să fie ?

Cine știe?

ZECE va trimite vestea

Că s-a terminat povestea

Și-a semnat, pe cât se pare:

Un bat c-un ou în spinare.

3. Jocul “Așează-mă la locul potrivit”

Jocul are că scop formarea deprinderilor de a face corespondență dintre mulțimi și numere.

Învățătorul cere elevilor să asocieze mulțimea de obiecte cu numărul potrivit (o-10)

4. Stabiliți care este umbră corespunzătoare dinozaurului desenat alături.

III. Matematică de sezon

1. Știind că fiecărei litere îi corespunde o cifră, aflați ce cuvânt a scris Noni, înlocuind cifrele cu literele corespunzătoare.

2. Încercuiți oamenii de zăpadă care nu au pereche.

IV. Calcule și surprise matematice.

1. Jocul “Surpriză’”

Jocul are că scop învățarea ordinii strict crescătoare a șirului numerelor naturale.

Elevii vor uni numerele în ordine crescătoare. Spre surprinderea copiilor se va forma un boboc de gâscă și un avion. De asemenea se va cere copiilor să spună tot cee ce știu despre gâscă respectiv despre avion.

Copii care au rezolvat aceste forme vor fi aplaudați.

2. Jocul “Pușculița Fermecată”

Jocul are că scop recunoașterea semnelor de relație (&lt;; &gt;; =), folosirea lor logică în conpararea numerelor, dezvoltare gândirii logice, formarea deprinderilor de calcul.

Elevii vor extrage, pe rând, din pușculiță câte un carton pe care este scris câte un semn de relație, vor numi semnul respectiv și-l vor scrie într-unul dintre pătrățele din exercițiul scris pe tablă așa încât relația să se verifice.

3. Rebus matematic.

Jocul are că scop formarea deprinderilor de calcul rapid și corect, dezvoltarea spiritului competitiv.

Elevii vor avea ca sarcină să completeze cu numere pătrățele libere astfel încât să se obțină aceeași suma, 8, care va fi scrisă în prima coloană.

Jocul “Numere năzdrăvane”

Jocul are că scop formarea deprinderilor de a numără de la 0 la 31, în ordine crescătoare și descrescătoare, dezvoltarea gândirii logice.

Se distribuie elevilor cartonașe cu numere de la 0 la 31. Aceștia fiind așezați pe grupe vor avea că sarcina așezarea cartonașelor primite în ordine crescătoare apoi descrescătoare.

4. Jocul “Fluturașii”

Jocul are că scop formarea deprinderilor de scădere a numerelor naturale, dezvoltarea gândirii și a raționamentului matematic și dezvoltarea spiritului competitiv.

Învățătorul recită următoarele versuri:

Șase fluturi în grădină,

Se rotesc lâng-o sulfină

Mâța stă și m-i pândește

Hector latră și-i gonește

Doi din fluturi zglobii

S-au ascuns în bălării,

Ceilalți zboară tot mai sus.

Socotiți-i cât s-au dus?

Elevii vor face pe fișele individuale, operațiile cerute. Cei care vor rezolva corect vor primii jetoane cu fluturași.

5. Jocul “La pescuit”

Jocul are că scop formarea deprinderilor de calcul și de a număra în ordine crescătoare și descrescătoare în concentrul 0-100.

Fiecare elev primește un peștișor pe care este scrisă o operație de adunare sau scădere. Sunt solicitați să rezolve operația, apoi, să așeze peștișorii în ordine crescătoare în functiede rezultatul operației.

6. Aflați ce animal se ascunde în imaginea alăturată unind punctele în ordine crescătoare.

V. Matematică în versuri.

1. Din zece fructe mari și coapte

Mănânci azi trei și rămân…

2. Câte flori din cele nouă

Dai că să-ți rămână două?

3. Câte-albine sunt în tei

Dacă vin patru și-apoi trei?

4. Din opt lei mai ai 5 lei

Fiindcă-ai cheltuit ieri…

5. Am o bilă mititica

Două de plastic, trei de sticlă.

Câte bile colorate,

În cutie-s așezate?

6. Ana, Dana, Loredana

Crina, Ina, Mălina

Merg în grabă, în pădure,

Că să adune alune.

Câte fete zâmbitoare

Sunt acuma pe cărare.

7. Are Radu opt baloane

Și-i mai au eu unul mare.

Trei se sparg și unul zboară

Și mai rămân…pe sfoară.

8. Am așezat pe farfurie

Cinci portocale și-o lamiae

O banană și-un măr copt

Și fructele-s cu toate…

VI. În țara problemelor.

1. Numărați din 10 în 10:

a) De la 0 la 100

b) De la 100 la 0

2. Câte numere se află între 47 și 61?

3. Calculați:

4. Joc ”Cea mai frumoasă problemă”

Jocul are că scop formarea capacității de a compune probleme, consolidarea deprinderilor de calcul oral și scris.

Elevii vor avea sarcina să selecteze materialul necesar si să compună oral o problemă.

Învățătorul prezintă materialul didactic (iepurași, lebede,rate) și un model de alcătuire a unei probleme.

Fiecare elev va alege figurinele dorite, alcătuind oral o problemă. El adresează întrebarea clasei, numește un elev pentru a rezolva oral problema, apreciază răspunsul acestuia, apoi scrie pe tablă operația prin care se rezolvă problema sa. Dacă a lucrat totul corect, va fi răsplătit cu aplauze. Acest joc necesită mai mult timp de aceea jocul se continuă în zilele următoare pentru a participa toți elevii.

5. Jocul “ În aer liber”

Scopul jocului este de a dezvolta capacitatea elevilor de a compune probleme în aer liber folosind expresiile: “Cu atâta mai mult”, și “Cu atâta mai puțin”, ajutându-se de elemente ale mediului înconjurător.

VII. Construcții.

1. “Figuri geometrice cu bețe de chibrit.”

Jocul are că scop recunoașterea figurilor geometrice, formarea deprinderii de a contrui (cifre, figure geometrice), dezvoltarea imaginației creatore, dezvolatrea atenției.

Elevii primesc bețe de chibrit și vor avea că sarcina să construiască cifre, figuri geometrice și alte construcții (case,roboți,etc)

Elevii vor efectua și alte exerciții.

a) Din cele cinci pătrate, legate, încearcă să obții patru pătrate separate, mutând patru bețe de chibrit.

b) Ridică numai cinci bețe în așa fel încât să nu mai rămână niciun pătrat.

2. Jocul “Tangram”

Jocul are că scop dezvoltarea deprinderii de a construi diferite forme cu ajutorul figurilor unor figuri geometrice.

Elevii clasei se-mpart pe grupe. Fiecare grupă primește figurile geometrice obținute prin împărțirea pătratului și va avea că sarcina să realizeze un tablou reprezentând diferite figure (iepurași, cocoș, sportiv, etc)

3. Jocul “Să construim”

Jocul are că scop recunoașterea corpurilor geometrice (cub, cuboid), formarea deprinderii de a construi din scobitori plastelina corpurile geometrice învățate.

Elevii vor fi solicitați să recunoască aceste corpuri geometrice și în natură.

Tot în cadrul acestui joc pentru dezvoltarea deprinderii de a recunoaște corpurile geometrice, și pentru activizarea elevilor solicit elevilor care citesc corect să citească și câteva ghicitori interesante.

“Am șase fete și pe toate

Eu mă sprijin, că-s pătrate

Am opt vârfuri și nu zece

Muchii am douăsprezece.

Sunt frumos și sunt bizar când îți port noroc la zar.”

Am două cercuri, două baze.

Când vreau să mă rostogolesc

Oricine-n cale, să mă lase,

Căci mă grăbesc să mă-nvartesc.

De m-alergi mă prinzi, copile

Numai dacă ai roțile.

Spune iute, cine sunt?

VIII. Mărimi și unități de măsură

1. Jocul “știm să măsurăm lungimi”

Jocul are că scop, formarea deprinderii de a calcula cu unități de măsură pentru lungime.

Mai întâi elevii vor fi solicitați să măsoare lungimea clasei cu unități de măsură non-standard (pasul). Vor observa că în funcție de pasul fiecăruia clasa va avea o oarecare lungime, apoi vom măsură lungimea clasei cu unitatea de măsură (metrul).

Elevii vor primii bețe de chibrit și vor scrie pe bănci cuvântul “METRU” vor numără de câte bețe de chibrit este nevoie pentru a scrie cuvântul.

2. Exercițiu

5m + 10m = ?m

25m – 4m = ?m

8m – 6m= ?m

12m + 12m = ?m

19m – 17m = ?m

3. Jocul “Știm să măsurăm capacitatea”

Elevii vor avea că sarcina să dea exemple de vase diferite cu capacitate din ce în ce mai mari și vor aplica practic.

Elevii vor primi bețe de chibrit și vor fi solicitați să scrie pe bancă cuvântul “LITRU”.

Jocul “Urcă scară cu cinci trepte”

Scara asta ca s-o urci,

Trebuie să te descurci,

Fiecare treaptă are

O întrebare.

1. Prima treaptă o sui

Dacă o să ne spui

La piață dacă te duci

Ce nu trebuie să uiți ?

2. Ulei dacă vrei să cumperi .

Ceri doi litri sau doi metri?

3. Am un kg de lână

Și un kg de fier în mâna

Care mai greu ți se pare

După mintea dumitale?

4. Mama vrea să-mi facă un costum

Că să nu mi-l facă mare

Cu ce mă măsoară oare ?

5. Este ora 7 seară

Ceasul îl fixez să sune

Tocmai la ora 9 mâine .

Câte ore voi dormi

Pentru a mă odihni ?

9. Jocul “Cine-i vinovat?”

Mircea spune răspicat:

-Zahărul l-am pus în sticlă

Și i-am pus și dop.

Am un litru, nu o litră

Și nu mint deloc.

-Mircea, tu te-ai încurcat.

Îi spune Matei.

Șapte metri de ulei ,

Crezi că poți să iei?

10. Jocul “La magazin”

Jocul se desfășoară în sala de clasă și are că scop formarea deprinderii de a calcula costurile unor obiecte.

Elevii vor efectua adunări și scăderi în limitele 0-100, folosind bancnotele și monedele învățate. Vor fi implicați în experiențe în care să decidă singuri dacă pot nu pot cumpăra un obiect cu suma de bani de bani de care dispun.

EXEMPLE DE EXERCIȚII LOGICO-MATEMATICE

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE:

I. Orientare spațială și localizări în spațiu.

1. Marchează cu X personajul poziționat în partea stânga a ușii.

2. Marchează cu X personajul poziționat în partea dreapta a imaginii.

3. Colorează cărțile care sunt poziționate în partea de jos a raftului.

UNITATEA DE ÎNVATARE: Numere naturale de la 0 la 31.

În cadrul acestei unități mi-am propus să desfășor exerciții în vederea însușirii de către elevi a citirii, scrierii, descompunerii numerelor naturale în concentrul 0-31.

Pe parcursul desfășurării acestei unități de învățare, am luat hotărârea de a lucra suplimentar după orele de curs cu cei trei elevi care la evaluarea inițială au obținut calificativele Suficient și Insuficient, cu scopul de a recupera lacunele existente.

Pentru aceasta mi-am propus exerciții de:

Formare, citire și scriere a numerelor în concentrul 0-31.

Descompunerea numerelor de la 0 la 31 cu obiecte concrete

Compunerea numerelor formate din zeci și unități

Adunare și scădere a numerelor de la 0 la 31 cu ajutorul bețișoarelor

1. Potrivește fiecare grupă de fructe cu cifra corespunzătoare.

2. Completează fiecare casetă cu numărul potrivit.

3. Descompune numerele după model.

4. Află obiectul surpriză unind punctele de la 0 la 10 în ordine crescătoare.

5. Colorează drumul parcurs de fata moșneagului urmând șirul descrescător al numerelor cuprinse între 0 și 10.

6. Colorează desenul potrivit codului dat.

7. Completează numerele lipsa.

8. Scrie numerele apoi citește.

9. Descoperă regulă și continuă șirul.

10. Numără și grupează câte două legume. Ce observi? Completează numărul mulțimilor.

11. Recunoaște numerele pare și impare, colorându-le diferit.

12. Descompune numerele după modelul dat.

Unitatea de învățare: Numere naturale de la 0 la 100.

În cadrul acestei unități am învățat copiii cum se scriu, citesc, compară și ordonează numerele până la 100. Am pus accent pe numeratia în limitele 0-100 și am desfășurat exerciții și jocuri pentru dezvoltarea abilității de a compune și descompune aceste numere.

1. Scrie numerele care lipsesc. Colorează cu verde casetele cu numere pare, iar cu galben casetele care cu numere care au cifra unităților 7.

2. Scrie sub fiecare floare numărul corespunzător, astefel încât semnul de relație să fie cel potrivit.

3. Completează șirul de numere.

Unitatea de învățare: Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 10.

Pentru învățarea adunării și scăderii în cadrul unității de învățare “Adunarea și scăderea numerelor natural de la 0 la 10” am folosit material concret (socotitoare, bețișoare, creioane colorate, biluțe) și a utilizat o serie de exerciții și jocuri didactice : “La ce ora a sunat telefonul?”, “Cine rezolva mai repede problema?”, “Mâine voi fi școlar”, “Lacul cu ratuste”.

Exercițiile folosite la această unitate de învățare au fost de genul:

1. Calculează pe baza imaginilor

2. Calculează.

0+8= 0+9= 0+1+9= 2+8=

1+8= 1+9= 9+1+0= 3+4=

3. Alege rezultatul corect.

4. Calculează pe baza imaginilor.

5. Calculează:

9 – 8 = 8 + 1 = 0 + 9 – 8 =

10 – 9= 9 + 1 = 8 – 8 + 9 =

6. Colorează rezultatele adunărilor și scăderilor după model.

7. Completează numărul necunoscut.

3 + ? = 8 8 – ? = 5 ? – 2 = 3

5 + ? = 9 7 – ? = 4 ? – 3 = 5

7 + ? = 9 8 – ? = 2 ? – 4 = 5

8. Completează:

9. Rezolvă problemele.

10. Completează numerele și semnele lipsa (+, -)

11. Efectuează exercițiile

12. Calculează și unește exercițiul cu rezultatul corect.

13. Compune exerciții de adunare:

14. Compune exerciții de scădere.

15. Rezolva exercițiile de pe piramidă.

Unitatea de invatere: Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-31.

În cadrul acestei unități de învățare s-au dobândit cunoștințe despre adunarea numerelor formate din zeci și unități cu numere formate din zeci, scăderea unui număr format din unități dintr-un număr format din zeci și unități, adunarea numerelor formate din zeci și unități, scăderea numerelor formate din zeci și unități, adunarea și scăderea cu trecere peste ordin.

Pentru înțelegerea acestor noțiuni de către elevi, prezentate mai sus, am lucrat următoarele genuri de exerciții:

1. Calculează folosind desenele

2. Completează axa numerelor

3. Scrie numerele care lipsesc.

4. Scrie operațiile de adunare și completează.

5. Calculează.

12 + 3 = 11 + 1 = 3 + 11 =

14 + 5 = 15 + 4 = 4 + 12 =

18 + 1 = 16 + 2 = 4 + 13 =

13 + 6 = 2 + 13 = 2 + 15 =

17 – 5 = 18 – 5 = 15 – 1 =

19 – 6 = 17 – 4 = 12 – 1 =

18 – 4 = 19 – 4 = 13 – 2 =

19 – 7 = 16 – 4 = 14 – 3 =

6. Efectuează proba prin operația de adunare.

7. Scrie numerele cu 5 mai mari decât cele date.

8. Calculează la fel casetele cu exrcitii care au același rezultat.

9. Găsește ramură de pe care s-a desprins fiecare frunză.

10. Scrie numărul 20:

a) ca sumă de doi termeni

b) ca sumă de trei termeni

c) ca sumă de doi termeni din care unul să fie 12

11. Urmărește săgețile și completează:

12. Din suma numerelor 15 și 4 scade numărul 10.

13. Completează pentru a obține rezultatul din soare.

14. Calculează sumele și diferențele numerelor.

15. Completează axa numerelor.

16. Scrie numerele care lipsesc

17. Unește numerele în ordine crescătoare.

18. Colorează casetă cu rezultatul corect și numește alimentul corespunzător.

19. Scrie pe fiecare ciupercuță numărul care lipsește , pentru a obține rezultatul corect.

20. Parcurge drumul lăsat de urme.

21. Găsește din ce copac a căzut frunză.

Unitatea de învățare: Adunarea și scăderea numerelor naturale de 0 la 100 fără trecere peste ordine.

În cadrul acestei unități de învățare, am desfășurat activități prin care s-au format deprinderi despre adunarea și scăderea numerelor formate numai din zeci, adunarea numerelor formate din zeci cu numere formate din unități, scăderea dintr-un număr format din zeci și unități unui număr format din unități, scăderea dintr-un număr format din zeci și unități a unui număr format din zeci sau din unități, adunarea unui număr fărmat din zeci și unități cu un număr format din unități, scăderea dintr-un număr format din zeci și unități a unui număr format din unități, adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format din zeci, scăderea dintr-un număr format din zeci și unități a unui număr format din zeci, adunarea și scăderea numerelor formate din zeci și unități, probleme de adunare și scădere.

Voi prezenta în continuare câteva genuri de exerciții lucrate cu elevii.

1. Calculează

2. Colorează după model.

3. Potrivieste jetoanele pentru a obține 90

4. Descompune numerele date în zeci și unități.

5. Compune numerele date

JOC: Fiecare jucător lansează câte 4 săgeți:

6. Calculează și completează

7. Află câți solzisori are fiecare peste. Colorează cu aceeași culoare peștișorii cu același număr de solzi.

8. Unește fiecare nor cu umbrela sa.

9. Alege norul potrivit fiecărei adunări.

10. Unește prin săgeți fecare exercițiu cu rezultatul corect.

11. Alcătuiește și rezolva problema folosind datele din tabel.

12. Află câtă apă consumă într-o săptămână.

13. Completează piramida legumelor știind că fiecare casetă este suma celor două aflate dedesupt.

Următoarea unitate de învățare din manualul clasei întâi este: “Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 100 cu trecere peste ordin”.

În cadrul acestei unități de învățare prin exercițiile aplicate, elevii și-au însușit cunoștințe despre Adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format din unități, adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format din unități, scăderea unui număr format din unități dintr-un unui număr format din zeci, scăderea unui număr format din zeci și unități dintr-un număr format din zeci, scăderea unui număr format din unități dintr-un număr format din zeci și unități, adunarea și scăderea numerelor naturale formate din zeci și unități.

1. Calculează.

2. Calculează.

3. Obeservă mărimea pasului fiecărui animal. La ce număr ajunge fiecare animal făcând 5 pași.

4. Colorează rezultatul corect.

5. Scrie numerele traseului parcurs de albinuța.

6. Numerotează casetele din dreptul imaginilor pentru a arată ordinea evenimentelor.

7. Calculează

54 – 6 = 61 – 5 = 52 – 5 =

82 – 7 = 48 – 9 = 75 – 8 =

8. Unește operația cu proba.

9. Calculează

13 + 17 = 32 + 49 = 65 + 27 =

28 + 34 = 48 + 39 = 43 + 38 =

37 + 46 = 54 + 28 = 56 + 29 =

10. Trimite fiecare animal în adăpostul sau.

11. Calculează diferența numerelor.

Unitatea de învățare: Figuri și corpuri geometrice.

În cadrul unității de învățare “Figuri și corpuri geometrice” am desfășurat cu elevii clasei întâi diferite exerciții și jocuri pentru recunoașterea și indentificarea figurilor și corpurilor geometrice (pătrat, triunghi, dreptunghi, cerc, cub, cuboid și cilindru)

În cadrul acestei unități de învățare am desfășurat următoarele jocuri didactice:” Ce piesă am ascuns?”, “Formați perechi”, “Găsește-mi locul potrivit”, “Așează-mă în căsuța potrivită”.

Pe parcursul orelor am folosit exerciții de genul:

1. Colorează cu roșu cercurile, cu verde pătrățele, cu galben triunghiurile și cu albastru dreptunghiurile.

2. Câte figure geometrice de același fel sunt? Scrie în tabel cifra corespunzătoare.

3. Colorează cu roșu dreptunghiurile și cu albastru pătrățele din imaginea de mai jos și completează tabelul.

4. Calculează suma numerelor din interiorul cercului roșu. Calculează suma numerelor din exteriorul aceluiași cerc.

5. Calculează:

suma numerelor din exteriorul triunghiului

suma numerelor din exteriorul cercului

suma numerelor aflate în interiorul cercului și al triunghiului.

6. Desenează figurile geometrice care urmează în fiecare șir.

7. Află numărul figurilor din cele două desene.

8. Formează mulțimi respectând cerințele.

9. Formează perechi între un cerc și un pătrat! Scrie în casetă numărul perechilor descoperite.

10. Scrie:

Unitatea de învățare: Măsurări. Timp. Bani.

1. Privește imaginile. Numerotează castele pentru a ordona copii de la cel mai înalt la el mai scund.

2. Graficul de mai jos indică înălțimea membrilor unei familii.

a) Care este cel mai înalt membru al familiei?

b) Cine are cea mai mică inalitime?

c) Cine are cea mai mare înălțime?

3. Scrie în casete durata fiecărei activități.

4. Timpul. Ziua. Săptămâna. Luna.

5. Analizează graficul și precizează ce jucării poți cumpără cu 70 lei.

Unitatea de învățare: Colectarea, citirea și înregistrarea datelor.

1. Urmărește graficul și scrie în tabel temperaturile înregistrate timp de o săptămâna. Apoi citește tabelul.

2. Utilizează simbolurile următoare pentru a complete calenarul naturii timp de o săptămâna.

3. Realizează un grafic de temperatura a aerului, timp de o săptămâna, colorând pătrățelele corespunzătoare zilelor.

ETAPA EVALUATIVĂ

Această etapă a avut loc în luna mai și a avut că scop îndeplinirea obiectivelor propuse pe parcursul întregii activități de cercetare.

Proba de evaluare la matematică urmărește să măsoare progresele elevilor în materie de cunoștințe, priceperi, deprinderi matematice ca rezultat al procesului de instruire.

În etapă evaluativă am aplicat elevilor un test asemănător celui din perioada constatativă. În cadrul acestui test au fost urmărite aceleași obiective pentru a avea un grad de comparație care să îmi permită a observă posibilele schimbări care au avut loc în comportamentul de învățare, în gândirea logico-matematică a elevilor.

În pregătirea testelor am avut în vedere formularea foarte clară a obiectivelor operaționale, a criteriilor de performanță ce indică atingerea obiectivelor propuse, redactarea lor în funcție de nivelul de înțelegere al clasei, de gradul de accesibilitate al elevilor.

TEST DE EVALUARE FINALĂ

OBIECTIVE OPERAȚIONALE

să identifice păsările, mamiferele si animalele cu patru picioare și să completeze tabelul cu numerele corespunzătoare .

să scrie numerele cu cifra zecilor 6 ,apoi să coloreze căsuța unde cifra zecilor este egală cu cifra unităților.

să completeze frunzele de mai jos cu numerele mai mari decât 30, dar mai mici decât 52.

să scrie vecinii numerelor date

să descompună numerele date

să identifice corpurile geometrice de același fel și să completeze tabelul cu numerele corespunzătoare

să rezolve corect exercițiile de adunare si scădere in concentrul 0-100

să rezolve corect problema cu doua operatii

I.1 Identifică din imagine păsările, mamiferele și animalele cu patru picioare si completează tabelul cu numărul corespunzător.

I.2 Scrie numerele cu cifra zecilor 6.

Colorează cu roșu căsuța unde cifra zecilor este egală cu cifra unităților.

I.3 Completează steluțele de mai jos cu numere mai mari decât 40 dar mai mici decât 52

I.4 Scrie vecini numerelor.

31 66

46 79

52 87

I.5 Descompune numerele

30 41 18 56 89

I.6 Identifica numarul corpurilor geometrice de acelasi fel apoi completeaza tabelul cu numarul corespunzator

I.7 Calculează exercițiile de adunare și scădere în concentrul 0 – 100.

4 + 6 = 21 – 9 = 89 + 9 =

7 +3 = 45 + 22 = 92 – 19 =

15 + 7 = 76 – 38 = 91 – 37 =

I.8 La ora de arte vizuale și abilități practice băieții au construit 23 de moriști, iar fetele cu patru mai puține.

Câte moriști au construit fetele si baieții la ora de abilități practice?

Rezolvare:

Prezentarea analitica a rezultatelor elevilor din clasa I la proba de evaluare finala. (tabelul nr. 3)

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

IV. CONCLUZII

Lucrarea de față demonstrează că aplicând la clasă un opțional cu titlul ‘’Matematica Distractivă’’, utilizând metode activ-participative și jocul didactic logico-matematic, accelerează înșușirea cunoștințelor, formarea priceperilor si deprinderilor, a capacităților de muncă individuală si contribuie la dezvoltarea creativității si a altor procese psihice. Totodata, oferă fiecărui elev posibilitatea să devină participant activ al propriei sale formări, invățătorului revenindu-i sarcina de îndrumător al activității didactice.

În activitatea instructiv-educativă am insistat pe munca în echipă, căutând ca toți elevii să fie implicați în rezolvarea unor sarcini de grup, în acest mod fiind imbunătățită comunicarea dintre elevi.

Dacă au existat momente in care elevii s-au blocat sau au refuzat să coopereze, am căutat momentul prielnic de a introduce o problemă cu tâlc, o glumă matematică pentru a depași cu tact rezolvarea problemei grupului.

În urma utilizării metodelor de evaluare, a analizei prin comparare, a rezultatelor obținute de elevii implicați in experiment, unde aceștia au pornit de la ipoteza: ‘’Elevii care parcurg un opțional de <<Matematica Distractivă<< sunt implicați activ în propria lor formare, socializează eficient cu colegii și profesorul și sunt capabili să aplice cunoștințele matematice în context variate crescându-li-se astfel interesul față de aceasta arie curriculară <<Matematică și Științe<<”, s-a dovedit pe deplin eficiența utilizării metodelor activ-participative și a jocurilor logico-matematice .

Pe de altă parte această lucrare are un caracter deschis și conferă posibilitatea de a dezvolta o diversitate de metode interactive, de joc didactic, atât in ceea ce privește demersul didactic experimental cât mai ales elaborarea unei diversități de metode de evaluare.