Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă 14 CAPITOLUL II ELEMENTE DE BALISTICĂ TERMINALĂ… [607244]

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

14
CAPITOLUL II

ELEMENTE DE BALISTICĂ TERMINALĂ
REFERITOARE LA IMPACTUL DINTRE
PROIECTIL ȘI ȚINTĂ

Întrucât studiul realizat în cadrul tezei de doctor at are ca obiectiv
determinarea proprietăților mecanice ale materiale lor supuse solicitărilor dinamice
prin realizarea unor experimente balistice de labor ator, capitolul explorează
problema impactului din perspectiva stărilor genera te la impact, mecanismele de
propagare a acestora în medii dense și modalitățile de control a solicitărilor la care
materialele sunt supuse, fără a acorda atenție feno menelor de penetrare sau perforare,
fenomene asociate în general, în termeni militari, impactului dintre proiectil și țintă.

2.1 Noțiuni introductive privind propagarea undelor în materiale
dense

Propagarea într(un mediu material a unei perturbați i de stare și mișcare a
mediului material este o undă.
Prin definiție, aplicarea unei forțe externe la un corp este un proces dinamic.
Cu toate acestea, atunci când viteza de aplicare a forței este scăzută, se poate
considera procesul de deformare ca o succesiune de etape în care corpul poate fi
considerat în stare de echilibru [54]. Totuși, tens iunile interne ce apar în material nu
pot fi transmise instantaneu din regiunea de aplica re a forței în diferitele regiuni ale
corpului. Eforturile și tensiunile sunt transferate de la un atom la altul cu o anumită
viteză specifică.
La nivel atomic se poate imagina unda ca o succesiu ne de impacturi
interatomice ale atomilor învecinați. Fiecare atom, după ce a fost accelerat până la o
anumită viteză, transmite o parte din impulsul său la atomii vecini. Masa, modul de
separare, forțele de atracție sau respingere dintre atomi determină modul în care
pulsul de presiune este transmis de la un punct la altul. Important este că starea de
tensiune stabilită de către pulsul de tensiune, det ermină direcția relativă de mișcare a
atomilor și modul lor de mișcare.
Ca rezultat al acestei diferențe, undele ce pot exi sta în medii dense se pot
clasifica în trei categorii (în funcție de mărimea pulsului de presiune) [54]:
a) unde elastice;
b) unde plastice;
c) unde de șoc.

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

15 2.1.1 Undele elastice

Undele elastice produc numai deformații elastice al e materialului. La scară
atomică toți atomii se întorc la poziția lor iniția lă datorită relației cu vecinii. Trei
tipuri de unde elastice se pot propaga în materiale le dense: unde longitudinale (sau
unde de dilatație), unde transversale (sau unde distorsionale, echivolumice) și unde
de suprafață (sau undele Rayleigh).
În cazul undelor dilataționale sau longitudinale , particulele componente ale
materialului și viteza undei au aceeași direcție. D acă unda este de compresie, atunci
acestea vor avea același sens. Dacă unda este de în tindere (detentă), atunci aceste
viteze vor avea sensuri opuse.
Undele distorsionale sau echivolumice se caracterizează prin faptul că
deplasarea particulelor materiale este perpendicula ră pe direcția undei. Nu se
realizează o schimbare a densității și toate deform ațiile longitudinale sunt nule.
Cazul undelor de suprafață , cel mai reprezentativ, este cel al valurilor mării .
Se manifestă numai la suprafață, în regiunea adiace ntă acesteia, iar viteza particulei
scade foarte rapid (exponențial) atunci când se măr ește distanța de la suprafață. In
acest caz particulele descriu traiectorii eliptice.
Unda Rayleigh este cea mai lentă, iar unda longitud inală este cea mai rapidă.
Atunci când limita elastică de rezistență a materia lului este atinsă, unda
elastică precursoare este urmată de o undă plastică sau de șoc, în funcție de
amplitudinea pulsului de presiune și de viteza de c reștere a acestuia (gradient).
Cea mai familiară dintre aceste trei unde elastice este unda longitudinală. La
aceasta variația de presiune este periodică și de a mplitudine mică, în comparație cu
presiunea ambiantă deformațiile suferite de solide având caracter elastic.
Prin definiție, unda elastică longitudinală propagă în mediu variații
infinitezimale ale mărimilor de stare dp, dv și o v ariație du a vitezei materiale. Dacă
dp este pozitiv sau negativ, atunci unda este de co mpresie sau de destindere.
Transformarea termodinamică produsă mediului de căt re unda elastică
longitudinală este adiabatică și izentropică . De aici o proprietate importantă:
entropia unui element material dat se conservă odat ă cu trecerea unui tren de unde
elastice longitudinale de amplitudine finită .
Viteza propagării unui tren de unde elastice longit udinale în mediu se
numește viteza sunetului. Aceasta se notează cu 0cși se reprezintă prin vectorul c/arrowrightnosp,
normal la undă și orientat în sensul de propagare a l acesteia. 0c este o mărime
termodinamică, pozitivă, dată de relația




∂∂=ρp
Sc0 , (2.1)

unde: p ( presiunea mediului;
ρ ( densitatea mediului;
S ( entropia.
Vectorul c/arrowrightnosp reprezintă viteza relativă a undei în raport cu me diul. Dacă acesta
se află în mișcare și are viteza locală u/arrowrightnosp, viteza absolută a vitezei sunetului este

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

16 (cu/arrowrightnosp/arrowrightnosp+). Unghiul dintre cei doi vectori poate fi oarecare și depinde de fiecare caz în
parte.
Transformarea cinetică adusă mediului este o accele rare du/arrowrightnosp dirijată după
normala la suprafața undei, deci coliniară cu c/arrowrightnosp, dar nu obligatoriu în același sens.
Există o relație simplă între du/arrowrightnosp și variația de presiune. Această relație este:

udc dp/arrowrightnosp/arrowrightnosp⋅⋅=ρ . (2.2)

Ținând seama de relația (2.1) se ajunge la relația echivalentă:

ρρdcud⋅=/arrowrightnosp/arrowrightnosp. (2.3)

Semnificația vectorială a relației anterioare este următoarea:
( dacă unda elastică longitudinală este o undă de com presiune ( dp >0),
atunci mediul este accelerat în sensul de propagare al undei (sau d u/arrowrightnosp și c/arrowrightnosp
au același sens);
( dacă unda este de destindere ( dp <0), atunci mediul este accelerat în sensul
opus celui de propagare al undei ( du/arrowrightnosp și c/arrowrightnosp au sens contrar).
Studiul propagării undelor elastice, în bare lungi, din perspectiva deformației
elastice suferite [115], conduce la relațiile

2 / 1
00/



=ρεσddc , (2.4)
c um⋅=ε, (2.5)

unde: σ ( tensiunea axială în bară;
ε ( deformația relativă axială a barei;
0ρ ( densitatea barei;
mu ( viteza materială imprimată de unda elastică.

2.1.2 Undele plastice

Când tensiunea, într(un material ductil, excede lim ita elastică, se instalează
starea de deformare plastică. Fenomenul este comun atât încărcărilor cvazi(statice cât
și celor dinamice. În cazul solicitărilor dinamice dacă pulsul transmis depășește limita
de elasticitate, acesta se descompune într(o undă e lastică și una plastică.
Atingerea stării plastice în bare cu lungime mult m ai mare decât diametrul
corespunde stării tensiunii uniaxiale. Aceasta se p oate obține prin mijloace și
procedee simple (Fig 2.1).
Viteza de propagare a undei plastice pv, la o deformație ε constantă este dată
de relația

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

17 2 / 1
0/



=ρεσddvp . (2.6)

Fig. 2.1 Procedeu de inducere a undelor plastice în material și modul de
deformare a barei [115]

În ceea ce privește comparația cu viteza de deplasa re a undelor elastice se
poate scrie relația dintre cele două ținând cont de faptul că undele elastice se
deplasează cu viteza sunetului, astfel

2/ 1
00


=ρEc , (2.7)

unde: εσ
ddE= reprezintă Modulul lui Young pentru domeniul elas tic.
Relația dintre valorile modulului lui Young pentru cele două domenii, elastic și
plastic, este:

p e dd
dd>
εσ
εσ. (2.8)

În acest caz, calitativ, se poate prezenta profilul undei și evoluția ei în timp.

Fig. 2.2 Propagarea undei plastice c
vp x
ε Fir
Greutate
Suport Unda plastica
v

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

18 Starea de tensiune uniaxială se transformă în stare de deformare uniaxială în
care dimensiunile laterale ale sistemului cresc [11 5] (ciocnirea a două plăci). În acest
caz ecuația (2.6) nu mai este valabilă motivul fiin d modificarea curbei )(εσσ= ,
aceasta devenind concavă, indicând o creștere a pan tei εσdd/ o dată cu creșterea
deformației plastice. Aceasta conduce către un fron t al undei plastice care se
îngustează pe măsură ce se propagă, devenind prin u rmare o discontinuitate de
material, denumită undă de șoc .

2.1.3. Unde de șoc

Așa cum aminteam în paragraful anterior în cazul în care vitezele de impact și
suprafețele în contact cresc în materiale sunt gene rate unde de șoc. De asemenea,
undele de șoc pot fi generate prin detonarea materi alelor explozive. Dacă în cazul
undelor plastice materialul se consideră incompresi bil în cazul undelor de șoc
materialul suferă o deformație volumică semnificati vă. Legătura dintre saltul de
presiune produs de unde de șoc și reducerea volumul ui specific este dată de relația lui
Hugoniot [132] și se reprezintă grafic printr(o cur bă caracteristică denumită adiabata
dinamică, Fig. 2.3.
Fig. 2.3 Adiabatica dinamică a unor materiale dense 1000
1 103.p 1 x1, ( ) 108.
p 2 x1, ( ) 108.
p 3 x1, ( ) 108.
p 4 x1, ( ) 108.
p 5 x1, ( ) 108.
p 6 x1, ( ) 108.
p 7 x1, ( ) 108.
p 8 x1, ( ) 108.
p 14 x1, ( ) 108.
p 18 x1, ( ) 108.
p 19 x1, ( ) 108.
p 15 x1, ( ) 108.
p 17 x1, ( ) 108.
p 22 x1, ( ) 108.
p 23 x1, ( ) 108.
p 24 x1, ( ) 108.
1 .45 x10.5 0.6 0.7 0.8 0.901002003004005006007008009001000
PLATINA
MOLIBDEN
CUPRU
ALUMINIU (pur)
BERILIU
MAGNEZIU
APA
ALIAJ AU 4G
OTEL
TANTAL
TITAN
PLEXIGLAS
PLUMB
URANIU
ZINC
WOLFRAMADIABATICA HUGONIOT(RANKINE
RAPORTUL VOLUMELOR SPECIFICE V/V0 PRESIUNEA IN FRONTUL UNDEI DE SOC (kbar)

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

19 Dacă în cazul undelor elastice și plastice viteza de propagare este pusă în
legătură directă cu deformațiile produse, în cazul undelor de șoc viteza de propagare
D se exprimă printr(o funcție liniară de u∆, saltul de viteză materială [54]. Dacă
materialul se află în starea inițială în repaus rel ația are forma,

uscD⋅+=0 (2.9)

unde:
s ( este panta variației vitezei undei de șoc;
u – viteza materială indusă.
Grafic această relație se reprezintă prin polara d e șoc, Fig. 2.4.
p 1 ua,( ) 108.
p 2 ua,( ) 108.
p 3 ua,( ) 108.
p 4 ua,( ) 108.
p 5 ua,( ) 108.
p 6 ua,( ) 108.
p 7 ua,( ) 108.
p 8 ua,( ) 108.
p 14 ua, ( ) 108.
p 18 ua, ( ) 108.
p 19 ua, ( ) 108.
p 15 ua, ( ) 108.
p 17 ua, ( ) 108.
p 22 ua, ( ) 108.
p 23 ua, ( ) 108.
p 24 ua, ( ) 108.
ua 103.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 220406080100120140160180200220240260280300320340360380400420440460480500520540560580600620640660680700
PLATINA
MOLIBDEN
CUPRU
ALUMINIU (pur)
BERILIU
MAGNEZIU
APA
ALIAJ AU 4G
OTEL
TANTAL
TITAN
PLEXIGLAS
PLUMB
URANIU
ZINC
WOLFRAMEXEMPLE DE POLARE DE SOC
VITEZA MATERIALA u (km/s)PRESIUNEA IN FRONTUL UNDEI DE SOC (kbar)

Fig. 2.4 Polara de șoc a unor materiale dense

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

20 O proprietate importantă a undelor de șoc legată d e viteza de propagare este
faptul că aceasta este cuprinsă între vitezele abso lute ale sunetului în mediile ce o
încadrează [54]:

c)(uD co+<< . (2.10)

Aceste inegalități semnifică faptul că unda de șoc este supersonică în raport cu
mediul în care se propagă și subsonică în raport cu mediul pe care îl lasă în urmă.
Sub altă formă se mai poate spune:
• unda de șoc ajunge din urmă perturbațiile sonore ce se propagă
înaintea ei;
• unda de șoc este ajunsă din urmă de undele sonore c e o urmează.
În calcule se admite că unda de șoc propagă discont inuități ale vitezei și
mărimilor de stare, admițându(se implicit că mediul suferă instantaneu solicitările
cinematice sau termodinamice de amplitudine finită.
Acest lucru ar fi adevărat dacă mediul prin care tr ece unda de șoc ar fi un
material ideal, fără vâscozitate și fără conductivi tate termică. Aceste fenomene
(vâscozitatea și conductivitatea) apar în toate med iile reale, inclusiv solidele.
Vâscozitatea intervine printr(un termen
xu
∂∂µ care are dimensiunile unei presiuni, iar
conductivitatea termică printr(un termen
dxdTk cu dimensiuni de energie specifică.
Unda de șoc reală va avea deci un timp de "urcare" finit sau o grosime finită,
definită printr(o (mărime) lungime caracteristică L (Fig. 2.5).
Calculul acestei lungimi caracteristice nu este pos ibil decât în câteva cazuri
simple. L este cu atât mai scăzută cu cât diferența ( p ( p0) este mai mare. Se poate
afirma ca un șoc "forte" este " mai dreptunghiular" decât un șoc slab [54]. În toate
cazurile, L este foarte mic, de ordinul câtorva lungimi de cel ule elementare cristaline
pentru metale [54]. Iată de ce în practică se poate neglija grosimea șocului.
Efectul fenomenelor disipative asupra frontului und ei de șoc este deci
neglijabil și se poate trata unda de șoc ca o disco ntinuitate. Totuși, nu trebuie să se
uite că aceste fenomene există tot timpul, deoarece ele cauzează ireversibilitatea
procesului de transformare, de creștere a entropiei .

Fig. 2.5 Structura frontului undei de șoc p
p1
p0
x L profilul ideal
profilul real

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

21 2.2 Propagarea undelor elastice longitudinale în b are cilindrice
infinite. Fenomene de dispersie si atenuare

2.2.1 Cazul unidimensional. Atenuarea

Pentru un cilindru infinit se consideră elementul diferențial de lungime dx și
aria A, Fig. 2.6.

Fig. 2.6. Cilindru infinit

La momentul în care unda atinge elementul diferenți al acesta suferă o
compresiune sau întindere (funcție de natura undei elastice) ca urmare a acțiunii
forțele F1 și F2 precum în Fig. 2.7.

Fig. 2.7 Elementul diferențial aflat în compresie

Forțele de reacțiune care se nasc în elementul dif erențial sunt în legătură
directă cu tensiunea normală atinsă în secțiunea tr ansversală. Cât timp materialul se
află în domeniul elastic el se supune Legii Hooke, iar tensiunea normală axială σ se
exprimă prin modulul de elasticitate, E, ca funcție liniară de deformația relativă în
secțiune, ε . Mai departe ε poate fi exprimat în funcție de deplasarea element ară, u,
astfel forțele longitudinale ce acționează normal p e suprafețele elementului diferențial
se scriu în condițiile stării de tensiune uniaxială ca

,,
2
21
1
xuAE FxuAE F
∂∂=∂∂=
(2.11)
unde: A ( aria transversală a elementului diferențial;
2 1,uu ( deplasările elementare ale suprafețelor elementu lui diferențial;
E ( modulul de elasticitate longitudinal. A
dx x y
z Elementul diferențial
F2 F1

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

22 Conform Legii a doua a lui Newton, pentru elementu l diferențial se poate
descrie mișcarea undei prin relația

212
2 1
tuAdxxuAExuAE∂∂=∂∂−∂∂ρ , (2.12)

unde ρ reprezintă densitatea barei.
Această ecuație presupune că accelerația particul elor este constantă pe întreg
elementul diferențial. Simplificând relația (2.12) se obține

dxtu
xu
xuc212
2 12
0∂∂=

∂∂−∂∂, (2.13)

unde 0ceste viteza de propagare a sunetului în bare.
Scriind deplasarea 2u în funcție de 1u

dxxuuu∂∂+=1
1 2 (2.14)

și derivând după axa x

dxxu
xu
xu
212
1 2
∂∂+∂∂=∂∂ (2.15)

se poate realiza substituția termenului xu
∂∂2 în ecuația (2.13) , obținându(se ecuația de
mișcare a undei longitudinale în bare pentru cazul unidimensional, astfel:

22
22
2
0tu
xuc∂∂=∂∂. (2.16)

Soluția generală a ecuației (2.16) [105] este o un dă armonică care este
reprezentată prin ecuația

[]) ( exp t kxi Au ω−= , (2.17)

unde k este numărul undei și ω pulsația. In domeniul pur elastic k este un număr
real, iar amplitudinea A rămâne constantă.
Într(un mediu care prezintă caracteristici de amor tizoare vâscoasă ecuația
(2.16) se modifică, incluzându(se η, coeficientul amortizării [41]:

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

23 tu
xuEtu
∂∂−∂∂=∂∂η ρ22
22
. (2.18)

Soluția ecuației (2.18) are forma


− = )~( exp t xki Au ω , (2.19)

unde numărul undei k~ este un număr complex de forma 2 1~ikkk+= .
Ecuația (2.19) se rescrie ca

[]) ( exp) exp(1 2 t xki xk Au ϖ− −= , (2.20)

unde: ) exp(2xk A− reprezintă amplitudinea undei.
În acest caz se remarcă dependența amplitudinii de coordonata spațială x.
Unda nu mai este armonică, amplitudinea suferind o scădere în direcția de propagare
datorită termenului ) exp(2xk− . Această scădere se explică prin disiparea unei pă rți
din energia undei datorită vâscozității materialulu i [40].
O metodă eficientă pentru evaluarea atenuării este compararea dintre
amplitudinile undei în două poziții diferite 1x și 2x. Amplitudinile în cele două locații
sunt

) exp(12 1 xk A A−= și ) exp(22 2 xk A A−= . (2.21)

Definind Q ca raportul dintre 2A și 1A, rezultă:

( )[ ]1 2 2
12exp xxkAAQ −−== . (2.22)

Acest mod de măsurare a atenuării ia în considerar e influența distanței de
propagare cât și influența vâscozității materialulu i materialului.

2.2.2 Cazul tridimensional f Teoria Pochhammer – Ch ree. Dispersia

Teoria Pochhammer – Chree este o soluție a probleme i propagării undelor
într(un cilindru solid, în ipoteza lipsei unor încă rcări exterioare pe graniță [110].
Materialul este considerat omogen, isotropic și făr ă vâscozitate. Deducția ecuației
frecvențelor pornește de la ecuația de mișcare scri să pentru deformațiile induse de
undă

u u u ɺɺ⋅=⋅∇∇++∇ ρµλµ ) (2, (2.23)

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

24 unde ureprezintă vectorul deplasărilor, iar λ și µ sunt constantele lui Lamé. Pentru
rezolvarea ecuației diferențiale se folosește metod a potențialelor. Considerând
vectorul deplasărilor ca având forma

ψϕ×∇+∇=u , (2.24)

se obțin ecuațiile diferențiale,
ϕϕɺ ɺ22 1
Lc=∇ , ρµλ2+=Lc , (2.25)
ψψɺ ɺ22 1
Tc=∇ , ρµ=Tc , (2.26)

unde Lc reprezintă viteza undelor longitudinale într(un me diu nelimitat, iar Tc este
viteza undelor transversale într(un mediu nelimitat .
Pentru propagarea undelor axial simetrice, în coord onate cilindrice, se obțin
două soluții

[]) ( exp)(0 t kxi pr AJ ω ϕ − = , 2
22
2kcp
L−=ω (2.27)
[]) ( exp)(1 t kxi qrCJ ω ψ − = , 2
22
2kcq
T−=ω, (2.28)

unde: 0J și 1J sunt funcțiile Bessel de ordinul zero și întâi, ia r r și x reprezintă
coordonata radială și cea axială. Numărul de undă, k, este egal cu raportul c/ω unde
ω este simbolul pentru pulsație, iar c viteza de fază. Din perspectiva potențialelor,
deplasarea radială, ru, și cea axială, xu, se exprimă ca:

x rur∂∂−∂∂=ψϕ și r rzux∂∂++∂∂=ψψϕ. (2.29)

Deplasarea circumferențială este zero datorită sim etriei. Legăturile dintre
deplasări și tensiuni sunt date de formulele

xu
xu
ru
rux x r r
xx∂∂+


∂∂++∂∂= µ λσ 2 ,
ru
xu
ru
rur x r r
rr∂∂+


∂∂++∂∂= µ λσ 2 , (2.30)



∂∂+∂∂=ru
xux r
rxµσ ,

unde: xxσ ( tensiunea axială;

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

25 rrσ ( tensiunea radială.
rxσ ( tensiunea circumferențială.
Substituția soluțiilor (2.27) și (2.28) în expresi a deplasărilor (2.29), a
deplasărilor în ecuațiile tensiunilor (2.30) și apl icarea condiției lipsei unor acțiuni
exterioare pe suprafața liberă ( ar=) conduce la ecuația frecvențelor :

( ) ( ) 0)()( 4)()( )()(2
0 12
1 02 2
1 12 2= − −− + qaJpa pqJk qaJpaJk q qaJpaJk qap. (2.31)

Ecuația frecvențelor are o formă transcendentă și determină legătura dintre
numărul de undă, k, și pulsația, ω, [128] și surprinde astfel fenomenul de dispersie.
Pentru fiecare frecvență sunt un număr infinit de s oluții care satisfac ecuația
frecvențelor. Fiecare rădăcină este asociată cu un singur mod de propagare. La
frecvențe joase doar o singură rădăcină este reală, celelalte fiind imaginare și
complexe. Această valoare corespunde primului mod d e propagare, și este singurul
mod de propagare la frecvențe joase. Modurile super ioare fie sunt atenuate, pentru
numere de undă complexe, fie nu se propagă pentru n umere de undă imaginare. Pe
măsură ce crește frecvența, rădăcinile complexe dev in reale, astfel la frecvențe înalte
vor exista mai multe moduri de propagare.
Vitezele de fază, c, superioare vitezei undei transversale sau a vitez ei undei
longitudinale reprezintă valori posibile întrucât r eprezintă propagarea unei faze
constante [125]. Pentru a vizualiza o viteză de faz ă superioară vitezei undei
longitudinale se folosește propagarea undei plane o blice la un plan, Fig. 2.8. Liniile
fazei constante străbat o distanța θcos/d în lungul liniei de referință, în timp ce
frontul de undă străbate distanța d. Când 2/πθ→ distanța, respectiv viteza de fază
tind la infinit.

Fig. 2.8 Propagarea undei plane oblice. Viteza de f ază

Se observă că în același timp energia frontului de undă se deplasează în raport
cu linia de referință cu θcos⋅d , Fig. 2.9.

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

26

Fig. 2.9 Propagarea undei plane oblice. Viteza de g rup

Viteza de transport a energiei se denumește ca viteza de grup . Pentru 0=θ
energia se propagă cu aceeași viteză cu faza. Pe mă sură ce θ crește și tinde spre 2/π
viteza de transport a energiei tinde spre zero. Vit eza de grup poate fi calculată
pornind de la rădăcinile ecuației frecvențelor, pri n determinarea derivatei dkd/ω .
Justificările anterioare explică de ce viteza de fa ză nu este niciodată inferioară valorii
caracteristice undei transversale, iar viteza de tr ansport a energiei nu depășește viteza
longitudinală. În Fig. 2.10 este prezentată depende nța vitezelor de fază și de grup
pentru primele 7 moduri de propagare ale unui cilin dru din cuarț cu diametrul 10 mm.

Fig. 2.10 Valorile vitezelor de fază și de grup, ra portate la 0c, pentru primele 7
moduri de propagare ale unui cilindru din cuarț cu diametrul 10 mm [125]

Așa cum se poate observa în Fig. 2.10 există o dep endență între viteza de
deplasare a undei și frecvența sa. Astfel, trenuril e de unde compuse din mai multe
frecvențe suferă o dispersie pe măsură ce se propag ă în bare. Un asemenea caz este
prezentat în Fig. 2.11.

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

27

a)

b)
Fig. 2.11 Procesul de dispersie al unui tren de und e într(un cilindru.
a) semnalul inițial; b) semnalul propagat în cilind ru [125]
Variația vitezei de fază cu frecvența nu este sigur ul mecanism care contribuie
la apariția dispersiei. Alte două mecanisme care ex plică modificarea timpului de
sosire a undelor sunt parcurgerea unui cilindru pe trasee diferite și generarea de unde
secundare. Două unde plane propagate la unghiuri di ferite străbat distanțe diferite de
la un capăt la altul al unui cilindru, respectiv aj ung la momente de timp diferite, Fig.
2.12 a. Adițional, atingerea suprafeței libere de c ătre o undă longitudinală produce ca
reflexie o undă longitudinală și una transversală c onform ipotezei lipsei unor acțiuni
exterioare pe graniță, Fig. 2.12 b [60].

b)
Fig. 2.12 Mecanisme care produc dispersia.
a) trasee multiple; b) producerea undelor secundare a)

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

28 Întrucât dispersia este un fenomen complex, care a fectează negativ calitatea
rezultatelor testelor dinamice, în timp s(au dezvol tat o serie de metode empirice și
semi(analitice de compensare și predicție [55], [58 ], [86], [127], [138] [155]. În
Capitolul VI acest aspect este analizat în detaliu din perspectiva corecțiilor impuse
semnalelor achiziționate în cadrul testelor efectua te cu Sistemul de Bare Hopkinson .
Pentru fiecare frecvență toate modurile au asociate tensiuni și deplasări [125].
Deplasarea radială, ru, și deplasarea axială, xu, în coordonate cilindrice, asociat cu
modul j sunt definite ca

[ ])( )(1)()(
0)(qrJkiC pr pJ uj j j
r +−= , (2.32)
)( )(1)(
0)( )(qrqJC prJik uj j j
x += , (2.33)

unde: ( )( ) )()( 2
12)( 21)(
)(
qrJ k qpapJikC
jj
j
−−= ; (2.34)
)(jk este numărul de undă [60].
Tensiunea normală axială, )(j
xxσ, și tensiunea de forfecare, )(j
rxσ, asociate cu
modul j sunt definite ca:

()()() [ ] )( 2 2 )(0)( )(2)(2)( 2
0)(qrJ iqkC k k p prJj j j j j
xx µµ λ σ +++ −= ; (2.35)
()() [ ])( )( 212)( 2 )(
1)( )(qrJ k qC prpJikj j j j
rx −+ −=µσ . (2.36)

Tensiunea normală radială nu prezintă interes pentr u problema tezei.
Teoria Pochhammer ( Chree este valabilă atât pentru undele longitudinale
axiale, cât și pentru cele transversale (echivolumi ce) sau de torsiune [125].

2.3 Ciocnirea a doi cilindri cu lungimi infinite în domeniul elastic

Teoria Pochhammer – Chree descrie propagarea undel or într(un cilindru infinit.
Din punct de vedere experimental o soluție care să i ndice forma unei unde după
propagarea acesteia într(un cilindru finit este mai utilă. Adăugarea unei suprafețe de
capăt și condițiile la limită corespunzătoare comp lică problema.

Fig. 2.13 Impactul longitudinal a doi cilindri semi (infiniți [78] 2a r v
v x

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

29 Pentru rezolvarea acestei probleme a fost propusă o tehnică bazată pe
transformata integrală. Skalak [78] consideră cilin dri, imediat după impact, ca având
un comportament similar cu al unui cilindru infinit . Soluția consistă în suprapunerea a
două părți. Prima parte constă în modelarea impactu lui cu constrângeri suplimentare
pentru care se îndeplinește condiția ca deplasările laterale să fie egale cu zero
(condiție specifică impactului normal a două medii semi(infinite).
Deplasările în bară sunt descrise de următoarea ecu ație




≤≤−>−
=
tcx vcxtcx vt
txux
0
00
0,,
),( , (2.37)

unde: x ( poziția undei;
t ( timpul;
0c ( viteza undei longitudinale.
Tensiunea radială care rezultă din condiția deform ației uniaxiale este:

xutxax
rr∂∂=λσ ),,( . (2.38)

A doua parte a rezolvări o reprezintă aplicarea pe graniță a unei sarcini egală și
de sens opus valorii din (2.38) care străbate cilin drul odată cu unda. Prin aplicarea
acestei sarcini se îndeplinește condiția lipsei ori căror încărcări exterioare pe frontieră.
Ecuațiile de mișcare rezultate au forma

( )
2222
2)2 (2 )2 (
tu
rr
r xtu
x r
xr
∂∂=∂Ω∂−∂∆∂+∂∂=∂Ω∂+∂∆∂+
ρµµλρµµλ
, (2.39)

unde:

()
xu
rru
rx r
∂∂+∂∂=∆1, 
∂∂−∂∂=Ωru
xux r
21. (2.40)

Condițiile la limită pentru ecuațiile anterioare s unt:


===
, 0,),( cv
txRar rrλ
σ ctxctxct
>≤≤−
, 0==arrxσ . (2.41)

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

30 Soluția este determinată prin aplicarea transforma tei Laplace în timp și a
transformatei Fourier pentru coordonata axială, x. Aplicarea acestora la ecuațiile
diferențiale permite determinarea unei soluții în s pațiu transformat. Pentru
determinarea deplasărilor efective se aplică transf ormatele inverse. Integralele sunt
evaluate prin teorema reziduală a lui Cauchy. Dator ită dificultăților în aplicarea
inverselor transformatelor [78] s(a determinat o so luție aproximativă care are forma

( )( ) ( )( )

++ +=∂∂∫∫' ' '
0 0 61
61α α
αα αα d Ai d Aicv
xux, (2.42)
unde:
3 / 10 '
)3 (dtt c x−=α ;
3 / 10 ' '
)3 (dtt c x−−=α . (2.43)

Integralele Airy care apar în (2.42) sunt egale cu

∫∞
+ =
03
31cos1))(( χχαχπα d Ai , (2.44)

unde χ este variabila, care dispare după integrare.

Fig. 2.14 Forma undei calculată după soluția propus ă de Skalak [78]
µs ε/εn

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

31 2.4 Ciocnirea cilindrilor cu lungimi finite în dome niul elastic.
Efectele modificării ariei transversale și a impeda nței

Această situație poate fi întâlnită în mai multe ap licații tehnice fiind, de
asemenea, specifică instalației SHPB. Configurația generală a unui test de acest tip
este prezentată în Fig. 2.15. Această configurație evidențiază situațiile în care undele
sunt supuse mecanismelor de reflexie si refracție. Notațiile pr specifice pentru
densitatea și viteza sunetului în proiectil marchea ză modificările produse asupra
acestor proprietăți în eventualitatea atașării inel elor de ghidare [47].

Fig. 2.15 Schema specifică instalației SHPB

Analiza propagării undelor rezultate se face în caz ul admiterii ipotezei tensiunii
uniaxiale. Proiectilul (bara percutoare) lovește ba ra incidentă. Două unde de
compresiune elastică se propagă, una în proiectil ș i alta în bara incidentă înspre
eșantion. Diagrama de mișcare din Fig. 2.16 permite urmărirea evoluției undelor
elastice încă din momentul impactului. Undele (de c ompresiune și destindere) se
propagă în bare cu viteza sunetului în material. Se consideră nesemnificative
modificările asupra proprietăților materialului pro iectilului datorate sistemului de
ghidaj, astfel încât în spatele undei viteza materi ală este jumătate din viteza de impact

20vum= , (2.45)

iar tensiunea de compresie axială este dată de rel ația

m i pr uc⋅⋅==0ρσσ , (2.46)

unde: i prσσ, ( tensiunile axiale în proiectil și bara incidentă ;
ρ ( densitatea barei incidente. l0
Lpr Li Ltr
V0
d0 D
Proiectil Bara incidentă Bara de transmitere Eșantion ρpr , c pr, A ρ, c, ,A

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

32 Unda de compresiune se propagă în proiectil, atinge suprafața liberă și se
reflectă integral sub forma unei unde de destindere [42], provocând descărcarea
acestei prime bare ( σpr = 0, u m = 0 ) la momentul de timp t:

prpr
cLt= . (2.47)

Fig. 2.16 Diagrama de mișcare

Unda incidentă se propagă în bara incidentă, atingâ nd eșantionul la timpul:

0cLti=. (2.48)

Datorită diferenței de impedanță și a ariei transve rsale (Fig. 2.17) numai o parte
din semnal, fracțiunea “ f” (fracțiune variabilă în timp) este transmisă în b ara de
transmitere. Cealaltă parte a semnalului se reflect ă în bara incidentă ca undă de
destindere care se suprapune peste semnalul inciden t (impedanța acustică a
eșantionului este în general mai mică decât cea a b arelor).

Fig. 2.17 Schema modificării ariei și impedanței Distanta Timp
Proiectil Bara incidenta Bara de transmitere Esantion Impact Lpr /c pr Li/c 0 2L pr/c pr
Li/c 0 + 2L pr /c pr
σI = 0 um = 0 σI = 0 um = 0
σI = ρc0v0/2 um = v 0/2 σI = ρc0fv 0/2 um = fv 0/2 σI = ρ(f(1) c0v0/2 um = (1(f)v 0/2
ρ, c0, A ρ, c0, A σi
σr
σt σ’
t
σ’
r
1 2
ρ’, c’
0, A ’

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

33
Această discontinuitate este reprezentată prin sal tul impedanței. Impedanța
mecanică este definită ca raportul dintre forța mot oare, F, și viteza materială, v,
indusă punctului material [87]

0cAvFZρ== , (2.49)

unde: A – aria transversală.
Produsul 0cρare o valoare constantă pentru un material dat și p oartă denumirea
de impedanță acustică. Nivelul reflexiei și respect iv al transmisiei este determinat de
diferența dintre impedanțele barelor puse în contac t. Pentru cuantificarea
amplitudinilor tensiunilor și cantitatea din undă r eflectată și transmisă la interfețe este
necesară înțelegerea dinamicii fiecărei interfețe. La fiecare interfață de contact
eșantion(bară viteza ambelor materiale este aceeași în condițiile unui contact intim pe
durata testului. Forțele la stânga, respectiv dreap ta, interfeței trebuie să fie egale
pentru a satisface condiția de echilibru. Impunând aceste două condiții se pot scrie
ecuațiile care descriu efectele interfețelor asupra propagării undelor. Sistemele de
ecuații pentru cele două interfețe sunt următoarele :
( pentru interfața 1


=+=−
'''
0''
0
) (t r it r i
A Ac c
σσσρσ
ρσσ
; (2.50)

( pentru interfața 2


=+=−
t r tt r t
A Ac c
σσσρσ
ρσσ
) (' ' '0'
0'' '
. (2.51)

Prin definirea unui coeficient de transmitere, α, se pun în legătură undele
incidentă și cea transmisă, astfel:

it
σσα= . (2.52)

Coeficientul de transmitere este un număr în interv alul []1 ; 0, pentru valoarea 0
realizându(se o reflexie completă, iar pentru valoa rea 1 o transmisie completă (lipsa
unei unde reflectate).
Pentru cele două interfețe valoarea acestui coefici ent este dată de

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

34 '
0''
0'
0'
12
cA cAcA
ρρρα+= , (2.53)
'
0''
00'
22
cA cAcA
ρρρα+= , (2.54)

unde indicii 1 și 2 identifică interfața pentru car e este determinat coeficientul.
Pe baza principiului conservării energiei se poate defini și un termen conjugat,
coeficientul de reflexie, astfel:

αβ−=1 . (2.55)

Prin acest proces de reflexie/refracție eșantionul supus unor sarcini exterioare
se deformează. Fenomenul este prezentat analizat pe larg și modelat în Capitolul III.
Trebuie menționat faptul că relațiile anterioare pr ivind coeficientul de transmitere
sunt valabile numai în condițiile în care proba răm âne în domeniul elastic. Evoluția
tensiunilor induse la capetele probei într(o astfel de situație sunt prezentate în Fig.
2.18. Odată depășit domeniul elastic proba suferă d eformații importante ce implică o
modificare a coeficientului de transmisie, fapt ref lectat în fracțiunea variabilă de
semnal, f, menționată anterior.
Unda de descărcare provenind de la capătul liber al proiectilului se transmite în
bara incidentă la momentul de timp:

prpr
cLt⋅=2
. (2.56)
Unda care aduce materialul barelor la starea de te nsiune

2) 1 (0vfci ⋅−⋅⋅=ρσ (2.57)

și viteză materială

2) 1 (0vf um⋅−= , (2.58)

atinge eșantionul și bara de transmitere la momentu l:

prpr i
cL
cLt⋅+=2. (2.59)

În funcție de valoarea coeficientului f, care variază în timp, viteza materială în
bara incidentă poate fi superioară sau inferioară c elei din bara de transmitere. În
funcție de caz se va produce fie un nou impact pe e șantion fie o separare a barelor,
cel de(al doilea caz corespunzând sfârșitul testulu i.

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

35 σ1t ( )
σ2t ( )
t
Fig. 2.18 Evoluția tensiunilor la capetele eșantion ului în condițiile unui impuls
incident conform cu graficul din medalion

2.5 Modelarea pulsului în bare prin strivirea unei pastile
deformabile

După cum s(a prezentat în secțiunile anterioare, imp actul dintre două bare
cilindrice are aproximativ forma unui trapez, sufer ind mai apoi modificări de pe urma
dispersiei. Acest tip de impuls nu asigură întotdeau na realizarea unei solicitări cu
viteza de deformare cvasi(constantă, condiție impor tantă într(o instalație SHPB. Mai
mult, testele efectuate pe probe din materiale casa nte sunt imposibile datorită pantei
de creștere abruptă a undei incidente, fapt ce prod uce distrugerea prematură a probei,
înainte de atingerea stării de echilibru dinamic. P entru controlul formei undei
incidente s(au propus mai multe variante [26], [45] , [46], [48], [97] inclusiv
modificarea profilului barelor. Dintre soluțiile pr opuse, prin simplitate și versatilitate,
se remarcă testul propus de Frew, Forrestal și Chen [46]. Varianta propusă constă în
montarea unei pastile de încărcare, prelucrată din cupru, între bara percutoare și bara
incidentă, Fig. 2.19. Prin deformarea acesteia se o bține profilul de undă dorit.

Fig. 2.19 Schema de strivire a pastilei de încărcar e v3 v4 3 4 Lpr
v0
Marcă tensometrică
Pastila
încărcare ρpr ,c pr, A ρ,c ,A, E
Proiectil Bara incidentă apa0 , h pa0

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

36 2.5.1 Modelul matematic

Ținând cont de intensitatea solicitării materialulu i se poate considera pastila ca
fiind incompresibilă. În condițiile unei deformări omogene, legea conservării masei
se scrie

)()(0 0 thta hapa pa pa pa= , (2.60)

unde apa(t) și hpa(t) reprezintă valorile instantanee ale ariei transver sale și grosimii
pastilei.
Deformația relativă aparentă a pastilei este

0 00 )(1)()(
papa
papa pa
pahth
hth ht −=−=ε , (2.61)

care are valori pozitive în comprimare.
Atunci aria transversală instantanee poate fi exprim ată cu relația:

)( 1)(0
tata
papa
paε−= . (2.62)

Forțele de contact dintre pastilă și bare sunt

At At tat tTpr i pa pa pa )( )( )()( )( σσ σ == = , (2.63)

unde: σpa (t) ( tensiunea axială în pastilă;
σi(t) ( unda de compresie propagată în bara incidenta;
σpr (t) ( unda propagată în bara percutantă.
Tensiunile atinse în bare se scriu ca:

Atatt tpa pa
pr i)()()( )(σσσ == . (2.64)

O exprimare a tensiunii în pastilă ca funcție de εpa în forma

)(0 pa pa pa gεσσ⋅= , (2.65)

unde σpa0 este o constantă, iar g o funcție care oferă atât o modelare corectă a rel ației
tensiune(deformare, cât și avantajul unor prelucrăr i matematice facile ulterioare [46].
Ținând cont de cele prezentate anterior și de depen dența σ(ε) în domeniul
elastic, deformațiile relative în bare sunt:

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

37 ) 1 ()()( )(0 0
papa ap pa
pr ig
EAat tεεσεε−== . (2.66)

În continuare se exprimă valoarea vitezei de deform are aparentă a pastilei ca
efect al diferenței de viteze ale interfețelor de c ontact 3 și 4:

04 3 )( )()(
ppahtvtvt−=εɺ . (2.67)

Utilizând (2.66) , (2.67) și relațiile care pun în legătură viteza mat erială și
tensiunea axială

cttvctvtvvtv
ipr pri
pr
ρσρσ
)()()()( )(
40 0 3
=−=−=
, (2.68)

unde vpr (t) și vi(t) sunt vitezele materiale produse de undele de compr esiune în cele
două bare, se obține relația
()
papa
pr prpap g
c cK tvh
εε
ρρε−


+−=11 11)(
00ɺ pentru prtτ<≤0 , (2.69)

unde τpr reprezintă dublul timpului necesar parcurgerii pro iectilului de către o undă
elastică, iar K este dat de relația:

00 0
AvaKp pσ= . (2.70)

Soluția pentru ec. (2.69) este dată de

( )∫−




−


+−=pa
dxxxg
c cKvht
pr prpε
ρρ01
00
11 11 pentru prtτ<≤0 . (2.71)

Prin integrarea relației (2.71) se obține dependenț a timp(deformație relativă
aparentă εpa (t) utilizată mai apoi în (2.66) pentru determinarea d eformației relative εi.
Limita de valabilitate a relației (2.71) este dată de aria instantanee a pastilei care
trebuie să îndeplinească condiția:

Atapa≤)( . (2.72)

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

38 La momentul de timp prτ/2 unda transmisă în proiectil atinge suprafața lib eră a
proiectilului reflectându(se ca o undă de destinder e înapoi în proiectil. Astfel, în
perioada pr prtττ 2<≤ în pastila de încărcare se manifestă acțiunea aces tei unde de
destindere, producându(se, suplimentar, o undă refl ectată în proiectil și una transmisă
în bara incidentă. Definind tensiunea produsă de un da de destindere în secțiunea 3 de
contact ca Jσpr (tJτpr ) și tensiunile produse de undele suplimentare ca σ1
r(tJτpr ),
respectiv σ1
t(tJτpr ), se poate scrie expresia forței axiale în pastilă ca:

[ ]
[ ] A t t tA t t tat tT
pr r pr pr prpr t i pa pa pa
) ( ) ( )() ( )( )()( )(
11
τστσστσσ σ
−+−−=−+= =
. (2.73)

Viteza materială a particulelor în bare în secțiuni le 3 și 4 este dată de relațiile:

) ( ) ( )( )(1
0 3 pr r pr pr pr tv tvtvvtv ττ−−−−−= ;

pr prpr r
pr prpr pr
pr prpr
ct
ct
ctvρτσ
ρτσ
ρσ ) ( ) ( )(1
0−−−−−= ; (2.74)
ct
cttvtvtvpr t i
pr t iρτσ
ρστ) ( )() ( )( )(1
1
4−+=−+= . (2.75)

Atunci, pentru viteza de deformare aparentă a pasti lei se scrie relația:

[ ]
pr prpr pr
pr t i
pr prpa pctt tc cvt hρτστσσρρε) (2) ( )(1 1)(1
0 0−−−+


+−=ɺ . (2.76)

Ținând cont de relațiile (2.62), (2.65) și (2.73) tensiunea în bara incidentă se
scrie ca

) 1 ()() ( )(0 1
papa pa
pr t ig
Aat tεετσσ−=−+ , (2.77)
iar din ecuația (2.66) rezultă

)) ( 1 ()) (() (0
pr papr pa pa
pr prtt g
Aatτετετσ−−−=− . (2.78)

Înlocuind ecuațiile (2.77) și (2.78) în (2.76) se o bține

()
)) ( 1 ()) (( 2
11 11)(
00
pr papr pa
pr pr papa
pr prpap
tt g
cK g
c cK tvh
τετε
ρεε
ρρε−−−−−



+−=ɺ ,pr prtττ 2<≤ . (2.79)

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

39 Soluția pentru ecuația (2.79) este

( )∫−




−−−−−



+−=pa
padxtt g
cK
xxg
c cKvht
pr papr pa
pr pr pr prpε
ετετε
ρ ρρ 11
00
)) ( 1 ()) (( 2
11 11 , pr prtττ 2<≤ , (2.80)

unde: ε1
pa reprezintă deformația relativă aparentă pentru mom entul de timp t=τpr ;
εpa (tJτpr ) se calculează din ecuația (2.71) printr(o modifica re adecvată a
timpului.
Și pentru acest interval de timp rămâne valabilă li mitarea dată de (2.72).
Adițional, ecuațiile (2.79) și (2.80) rămân valabi le atâta timp cât pastila se află
în compresie, condiție exprimată în termeni legați de vitezele suprafețelor de contact
ca:
4 3vv>. (2.81)

Când această condiție nu mai este îndeplinită pasti la se descarcă elastic.
Considerând cele două condiții amintite anterior ca fiind simultan îndeplinite se
poate dezvolta modelul de încărcare a pastilei pent ru reverberații multiple, t>2 τpr .
Astfel, versiunea generalizată a ecuațiilor (2.76) și (2.79) este

[ ]
[ ]) ( …)3( )2( ) (2) ( …)2( ) ( )(1 1)(
1 2 12 1
0 0
prn
rr pr r pr r pr pr
pr prprn
t pr t pr t i
pr prpa p
nt t t tcnt t t tc cvt h
τστστστσρτστστσσρρε
−++−+−+− −−++−+−+



+−=
−ɺ
,(2.82)

()


−−−++−−−+

−−−−−


+−=
)) ( 1 ()) ((…))2( 1 ())2(()) ( 1 ()) (( 2
11 11)(
00
pr papr pa
pr papr papr papr pa
pr pr papa
pr prpap
ntnt g
tt gtt g
cK g
c cK tvh
τετε
τετετετε
ρεε
ρρεɺ
, (2.83)

pentru ()pr pr nt n τ τ 1+<≤ .

Pentru situația în care condiția (2.81) nu se mai r espectă în intervalul de timp
pr prtττ 2<≤ la momentul de timp t=t * evoluția tensiunilor și deformațiilor în bare și
pastilă se modelează pornind de la descărcarea elas tică suferită de pastilă.
Tensiunea în pastilă este dată de formula

()pa pa d pa pa E t εεσσ −−=* *)( , (2.84)

unde σ*
pa , ε*
pa sunt maximele tensiunii și deformației relative ap arente atinse în
pastilă la timpul t=t * când v3=v 4, iar Ed modulul lui Young la descărcare.

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

40 Pentru intervalul de timp *ttpr<≤τ ecuația care descrie evoluția deformației
rămâne (2.79). Pentru pr ttτ2*<≤ ea devine

()
( ) )) ( 1 ()) (( 2
11 11)(
0* *
00
pr papr pa
pr pr pa papa pa d pa
pr prpap
tt g
cK E
c cK tvh
τετε
ρεσεεσ
ρρε−−−−
−−−




+−=ɺ , (2.85)

și are soluția

()
( ) ∫−




−−−−−−−




+−=pa
padxtt g
cK
xx E
c cKvht
pr papr pa
pr pr papa d pa
pr prpε
ετετε
ρ σεσ
ρρ 11
0* *
00
)) ( 1 ()) (( 2
11 11 .(2.86)

Descărcarea completă a pastilei poate să necesite u n timp mai mare de 2τpr . În
acest caz, pentru intervalul de timp pr prtττ 3 2<≤ ecuația care descrie descărcarea
pastilei are două forme, astfel:

()
( )
*0* *
00
2 ,))2( 1 ())2(( 2)) ( 1 ()) (( 2
11 11)(
t ttt g
cKtt g
cK E
c cK tvh
pr pr
pr papr pa
pr prpr papr pa
pr pr pa papa pa d pa
pr prpap
+<≤−−−−−−−−−−−



+−=
τττετε
ρτετε
ρεσεεσ
ρρεɺ
;(2.87)

()
( )( )
( )
pr pr
pr papr pa
pr prpr pa papr pa pa d pa
pr pr pa papa pa d pa
pr prpap
tttt g
cKtt E
cK E
c cK tvh
τ ττετε
ρτεστεεσ
ρεσεεσ
ρρε
3 ,))2( 1 ())2(( 2) ( 1) ( 2
11 11)(
*0* *
0* *
00
<≤+−−−−−−−−−−
−−−




+−=ɺ
.(2.88)

Situații în care se revine la starea 4 3vv> pot să apară dar au o durată scurtă [46].

2.5.2 Determinarea prin metode numerice a profilulu i undei

S(a avut în vedere situația în care descărcarea pas tilei are loc în perioada
pr prtττ 2<≤ .
Dacă pentru perioada pr tτ<≤0 ecuația (2.71) nu ridică probleme deosebite,
pentru rezolvarea ecuațiilor transcendente (2.80) ș i (2.86) s(a folosit o metodă
numerică iterativă, bazată pe aproximarea funcției f(t) pe intervale scurte ca funcție
liniară în raport cu εpa ținându(se cont de dependența dintre t și εpa , dependență
determinată prin rezolvarea ecuației (2.71):

)) ( 1 ()) (()(
pr papr pa
tt gtfτετε
−−−= . (2.89)

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

41 Se consideră cunoscută valoarea εpa n pentru momentul de timp tn. Metoda
propusă determină timpul tn+1 necesar atingerii valorii εpa n+1 prin creșteri
incrementale ale timpului cu pasul de timp ∆t și verificarea pentru fiecare pas a
condiției de stop.
Considerând

tkt tn∆⋅+=int , (2.90)

se determină f(t n) și f(t int ).
Exprimarea funcție f(t) ca funcție liniară de εpa se realizează prin intermediul
expresiei:

( )()()()()
npa npan npa pa
n patf tftf fεεεεε−−−+=
+1int)( . (2.91)

Prin acest artificiu dispare dependența de timp a e xpresiei de sub integrală din
ecuațiile (2.80) și (2.86), valoarea calculată a ti mpului corespunzător deformației
1+npaε fiind

( )( ) ∫+−




−−



+−+=11
00 2
11 11npa
npadx xfcK
xxg
c cKvht t
pr pr pr prp
n calε
ερ ρρ, pentru *
intt t<, (2.92)
respectiv,
()
( )( ) ∫+−




−
−−−




+−+=11
0* *
00 2
11 11npa
npadx xfcK
xx E
c cKvht t
pr pr papa d pa
pr prp
n calε
ερ σεσ
ρρ,pentru *
intt t≥. (2.93)

Condiția de stop este dată de îndeplinirea nivelulu i de eroare ε impus:

ε≤−calttint . (2.94)

Dacă condiția (2.94) este îndeplinită atunci:

int 1t tn=+ . (2.95)

Dacă nu se îndeplinește această condiție, timpul tint este incrementat cu pasul
∆t, astfel

()t k t tn∆⋅++= 1int , (2.96)

iar algoritmul de calcul se reia de la (2.91).
Utilizându(se ca date inițiale datele instalației f olosite de Frew [46] s(a calculat
forma impulsului indus în bara incidentă. În Fig. 2 .20 sunt prezentate comparativ

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

42 rezultatele obținute experimental și din calcule de către Frew cu cele obținute prin
aplicarea algoritmului dezvoltat în Anexa 1.

a) b)
Fig. 2.20 Forma impulsului indus în bara incidentă. Rezultatele metodei numerice a);
Rezultatele obținute de Frew b) [46]

2.6 Ciocnirea unui cilindru cu lungime finită de o țintă masivă

Peste o anumită viteză de impact în
cilindru apare deformația plastică. Taylor a
descompus procesul de deformare apărut la
impact în două faze [115], o undă de deformare
elastică urmată de una plastică. Fig. 2.21 indică
secvența evenimentelor în modelul propus de
Taylor. Un proiectil cilindric de lungime L
lovește o țintă cu viteza u. În acest moment se
naște o undă elastică și una plastică. Unda
elastică se deplasează cu viteza c, mai rapid
decât o undă plastică. Această undă elastică de
compresiune traversează proiectilul până atinge
suprafața liberă, unde materialul se destinde,
generându(se o undă de destindere care se
deplasează în sens opus. Această undă de
destindere interacționează cu unda plastică
reducând tensiunea la care materialul este supus
până la valori sub cele corespondente
domeniului plastic în final tensiunea reducându(
se la zero.
Fig. 2.21 Evoluția proiectilului la
impact
Forma reală a eșantionului nu mai respectă forma tr onconică pentru
viteze de ciocnire ridicate, extremitatea eșantionu lui prezentându(se sub formă de
„ciupercă” (Fig. 2.22). L1 X L1-X cρ0 u- v2σyd vu cv
hcL u
1 u
2
3
Starea
finala Starea
initiala

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

43 L1JX X
L1
LD1D

Fig. 2.22 „Forma de ciupercă” a eșantionului după t ragere

Un rezultat obținut ușor, pe baza măsurătorilor fă cute asupra proiectilului în
stările inițială și deformată, măsurători care evid ențiază evoluția zonei plastice, în
ipoteza uniformității câmpului tensiunilor normale în zona deformată plastic, este
valoarea medie a tensiunii de curgere plastică 0σ, dată prin relația următoare

()
( ) 

−−=
XLlnXL2LLU12
0
0ρσ , (2.97)
în care:
0σ ( tensiunea medie de curgere plastică;
L J lungimea inițială a eșantionului;
L1 ( lungimea finală a eșantionului;
X ( lungimea finală nedeformată;
ρ0 ( densitatea eșantionului;
U ( viteza proiectilului.

În cazul materialelor ecruisabile, se acceptă egal itatea X)/L L (1− =0,12, ceea ce
conduce la:




−=
120/LL88, 0ln2U
12
0
0
,ρσ. (2.98)

Capitolul II Elemente de balistică terminală referi toare la impactul dintre proiectil și țintă

44 2.7 Concluzii

1. În acest capitol s(a abordat problema impactulu i din prisma stărilor generate
și a modurilor de propagare a acestora sub forma de unde. Astfel, trecând de la
general la particular și de la teoretic la aplicati v s(au lămurit o serie de probleme
privind generarea și propagarea undelor în bare, în special a undelor longitudinale
elastice.
2. Studiul s(a axat pe acest subiect deoarece în ca drul tezei s(a proiectat și
realizat un Sistem de Bare Hopkinson , instalație în care sunt generate și propagate
unde elastice longitudinale în bare subțiri.
3. Capitolul conține o analiză a fenomenelor de dis persie și amortizare precum
și o analiză a impactului a doi cilindri finiți car e include efectele modificării
impedanței mecanice.
4. O atenție deosebită s(a acordat modelării pulsul ui în bare prin aceasta
putându(se controla sarcinile la care sunt supuse e șantioanele testate cu Sistemul de
Bare Hopkinson . În acest sens a fost conceput și un program de c alcul, program
prezentat în Anexa 1.