Capitolul 1. Not iuni de teoria mult imilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [608207]

Cuprins
Capitolul 1. Not iuni de teoria mult imilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1. Mult imi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Relat ii binare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Funct ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Mult imea numerelor reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Mult imi de numere reale. Intervale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Vecin at at i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Punct interior al unei mult imi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8. Punct de acumulare al unei mult imi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9. Punct izolat al unei mult imi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10. Punct aderent al unei mult imi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.11. Punct frontier a al unei mult imi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.12. Mult imi nite  si mult imi innite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.13. Funct ii reale de variabil a real a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.14. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Capitolul 2. S iruri de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Denit ii  si notat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. S iruri monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3. S iruri m arginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Sub sir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. S iruri cu limit a. S iruri convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Criterii de convergent  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7. Rezultate de existent  a a limitei unui  sir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8. Operat ii cu  siruri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9. Alte teoreme utile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10. Studiul unor cazuri exceptate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.11. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Capitolul 3. Serii de numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1. Denit ii  si notat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2. Criterii de convergent  a pentru serii cu termenii pozitivi . . . . . . . . . . . . . 60
1

2 CUPRINS
3.3. Criterii de convergent  a pentru serii cu numere reale . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Capitolul 4. Limite de funct ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1. Denit ii  si notat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2. Limite laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3. Operat ii cu funct ii cu limit a ^ ntr-un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4. Teoreme de existent  a a limitelor de funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.5. Limitele funct iilor elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6. Limite remarcabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7. Asimptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Capitolul 5. Continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1. Denit ii  si notat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2. Operat ii cu funct ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3. Propriet at i ale funct iilor continue pe un interval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4. Funct ii uniform continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.5. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Capitolul 6. Derivabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1. Denit ii  si notat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2. Derivate laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3. Interpretarea geometric a a derivatei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4. Semitangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.5. Puncte unghiulare. Puncte de ^ ntoarcere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.6. Operat ii cu funct ii derivabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.7. Derivabilitatea funct iilor inversabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.8. Derivate de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.9. Puncte de extrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.10. Regulile lui L'H^ ospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.11. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Capitolul 7. Aplicat iile derivatelor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1. Rolul derivatei ^ nt^ ai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2. Rolul derivatei a doua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.3. Reprezentarea gracului unei funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.4. Demonstrarea unor inegalit at i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.5. Studiul ecuat iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.5.1. Ecuat ii de tipul f(x) =g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.5.2. S irul lui Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

CUPRINS 3
7.6. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Capitolul 8. Integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1. Integrala nedenit a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.1.1. Metoda de integrare prin p art i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.1.2. Metoda ^ nt^ ai de schimbare de variabil a ^ n integrala nedenit a 125
8.1.3. Metoda a doua de schimbare de variabil a ^ n integrala
nedenit a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.1.4. Integrarea funct iilor rat ionale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.1.5. Integrarea funct iilor irat ionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.1.6. Integrarea funct iilor trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.2. Integrala denit a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.2.1. Metoda de integrare prin p art i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.2.2. Metoda ^ nt^ ai de schimbare de variabil a ^ n integrala denit a . . 135
8.2.3. Metoda a doua de schimbare de variabil a ^ n integrala denit a 135
8.3. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Capitolul 9. Integrale improprii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.1. Integrale pe intervale nem arginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2. Integrale din funct ii nem arginite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Capitolul 10. S iruri  si serii de funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1. S iruri de funct ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.2. Serii de funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.3. Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.4. Funct ii dezvoltabile ^ n serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.5. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Capitolul 11. Derivate part iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.1. Spat ii liniare (vectoriale). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2. Operatori liniari  si continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.3. Funct ii vectoriale de o variabil a real a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.4. Drumuri  si curbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.5. Funct ii reale de mai multe variabile reale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.6. Derivate part iale. Diferent iala unei funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.7. Extreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.8. Funct ii vectoriale de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.9. Teorema funct iilor implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
11.10. Extreme cu leg aturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.11. Schimb ari de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4 CUPRINS
11.12. Suprafet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.13. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Capitolul 12. Integrale cu parametru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.1. Teorema de derivare sub semnul integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Capitolul 13. Integrale duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
13.1. Denit ii  si metode de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
13.2. Propriet at ile integralei duble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
13.3. Schimb ari de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13.4. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Capitolul 14. Integrale triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
14.1. Denit ii  si metode de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
14.2. Propriet at ile integralei triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
14.3. Schimb ari de variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
14.4. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Capitolul 15. Integrale curbilinii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.1. Integrale curbilinii de spet a ^ nt^ ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.1.1. Denit ii  si metode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.1.2. Propriet at i ale integralei curbilinii de spet a ^ nt^ ai. . . . . . . . . . . . 222
15.2. Integrale curbilinii de spet a a doua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.2.1. Denit ii  si metode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.2.2. Propriet at i ale integralei curbilinii de spet a a doua . . . . . . . . . 225
15.2.3. Independent a de drum a integralei curbilinii de spet a a doua225
15.3. Teorema Green-Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
15.4. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Capitolul 16. Integrale de suprafat  a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.1. Integrale de suprafat  a de spet a ^ nt^ ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.1.1. Denit ii  si metode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
16.1.2. Propriet at i ale integralei curbilinii de spet a ^ nt^ ai. . . . . . . . . . . . 234
16.2. Integrale de suprafat  a de spet a a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.2.1. Denit ii  si metode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.2.2. Propriet at i ale integralei de suprafat  a de spet a a doua . . . . . . 239
16.3. Formule integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.3.1. Teorema Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.3.2. Teorema Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
16.4. Exercit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

CUPRINS 5
Bibliograe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

CAPITOLUL 1
Not iuni de teoria mult imilor
1.1. Mult imi
Conceptul de mult ime , fundamental ^ n cadrul matematicii, reprezint a o colect ie
de obiecte distincte. Aceste obiecte poart a numele de elemente ale mult imii.
De exemplu, putem considera mult imea tuturor student ilor unei grupe. Dac a
avem ^ n vedere mult imea tuturor numerelor prime, atunci 2, 3, 5  si 11 sunt elemente
ale acestei mult imi. Mult imile se noteaz a cu litere mari de tipar: A; B; C; M; X
etc, ^ n timp ce elementele unei mult imi se noteaz a de obicei folosind litere mici de
tipar:a,b; c,m; x etc.
Denit ie 1.1.1. Mult imea care nu cont ine nici un element poart a numele de
mult imea vid a  si se noteaz a cu ∅:
Mult imile pot  denite prin dou a metode:
1.Prin enumerarea elementelor sale; c^ and denim o mult ime prin enumer-
area elementelor sale vom introduce ^ n acolade fgaceste elemente; de exemplu,
f10;30;50;70;90geste mult imea ale c arei elemente sunt 10 ;30;50;70  si 90:
2.Prin enunt area propriet at ilor specice pe care le are ecare element^ n mult ime;
de exemplu, dac a Meste mult imea tuturor numerelor naturale care dau restul 2 la
^ mp art irea cu 3, atunci Mse dene ste prin M=fxjx^ mp art it la 3 d a restul 2 g:
Oricum, putem enumera din cele o innitate de elemente ale mult imii Mdoar c^ ateva,
scriindM=f2;5;8;11;14;18;:::g:
Denit ie 1.1.2. Dou a mult imi A siBse numesc egale (respectiv distincte )
dac a ele cont in (respectiv nu cont in )exact acelea si elemente. Dac a mult imile A siB
sunt egale, scriem A=B;iar dac aA siBsunt distincte, scriem A̸=B.
De exemplu, dac a A=f1;3;9;27;81g siB=fxjx2N,x<100;xeste o putere
a lui 3 g, atunciA=B:
Trebuie remarcat faptul c a o mult ime este determinat a ^ n mod unic de ele-
mentele ei  si nu de ordinea elementelor ^ n mult ime. De exem- plu, f1;3;9;27;81g=
f27;3;81;1;9g:Deasemenea, ^ n enumerarea unei mult imi, un element nu poate apare
dec^ at o singur a dat a, scrierea A=f1;3;9;27;3;81gind incorect a.
Denit ie 1.1.3. Spunem c a un element xapart ine (respectiv nu apart ine )
mult imiiA si scriemx2A(respectivx =2A)dac a elementul xface (respectiv nu
face)parte din mult imea A:
7

8 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
De exemplu, dac a Aeste mult imea tuturor numerelor prime, atunci 11 2A si
12=2A:
Denit ie 1.1.4. FieA siBdou a mult imi. Reuniunea mult imilor A siB,
notat aA[B;este mult imea tuturor elementelor din Asau dinB, adic a
A[B=fxjx2Asaux2Bg:
De exemplu, dac a A=f1;2;4;6;8g siB=f4;8;12;16;20g;atunciA[B=
f1;2;4;6;8;12;16;20g:
Denit ie 1.1.5. FieA siBdou a mult imi. Intersect ia mult imilor A siB,
notat aA\B;este mult imea tuturor elementelor comune lui A si luiB, adic a
A\B=fxjx2A six2Bg:
De exemplu, dac a A=f1;2;4;6;8g siB=f4;8;12;16;20g;atunciA\B=
f4;8g:
Denit ie 1.1.6. Dou a mult imi A siBcare au intersect ia mult imea vid a se
numesc mult imi disjuncte .
De exemplu, mult imile A=fxjx2N,xeste num ar par g siB=fxjx2N,xeste
num ar impar gsunt mult imi disjuncte, neav^ and nici un element comun.
Denit ie 1.1.7. FieA siBdou a mult imi. Spunem c a Aestesubmult ime a
luiB(sau mult imea Aeste inclus a ^ n mult imea Bsau mult imea Binclude mult imea
A) si scriemABsauBA;dac a orice element al lui Aapart ine lui B;adic a
oricare ar  x2Aimplic ax2B:
Dac a pentru dou a mult imi A siBavemAB siA̸=B, atunci spunem c a A
estesubmult ime strict a a luiB.
De exemplu, pentru mult imile A=f4;8g siB=f1;2;4;6;8gavemAB:
Rezult a din denit ia 1.1.7 c a oricare ar  o mult ime AavemAA si∅ A:
De asemenea, pentru a ar ata c a dou a mult imi A siBsunt egale, este sucient s a
demonstr am c a orice element al lui Aeste ^ nB si orice element al lui Beste ^ nA,
adic aAB siBA:
Denit ie 1.1.8. FieA siBdou a mult imi. Diferent a mult imilorA siB, notat a
AnB;este mult imea tuturor elementelor care apart in lui A si nu apart in lui B, adic a
AnB=fxjx2A six =2Bg:
De exemplu, dac a A=f1;2;4;6;8g siB=f4;8;12;16;20g;atunciAnB=
f1;2;6g siBnA=f12;16;20g:
Denit ie 1.1.9. FieA siBdou a mult imi. Diferent a simetric a a mult imilor
A siB, notat aA∆B;este mult imea tuturor elementelor care apart in lui A si nu
apart in lui Bsau care apart in lui B si nu apart in lui A, adic a
A∆B= (AnB)[(BnA):

1.2. RELAT II BINARE 9
De exemplu, dac a A=f1;2;4;6;8g siB=f4;8;12;16;20g;atunciA∆B=
f1;2;6;12;16;20g.
Denit ie 1.1.10. Dac aAeste o submult ime a mult imii E, atunci complemen-
tara mult imiiArelativ la mult imea Ese noteaz a cu CEA si este mult imea tuturor
elementelor lui Ecare nu apart in lui A, adic a
CEA=EnA=fxjx2E six =2Ag:
De exemplu, pentru mult imile A=f4;8g siE=f1;2;4;6;8gavemCEA=
f1;2;6g:
^In cazul ^ n care mult imea Eeste o mult ime universal a, neexist^ and pericolul de
confuzie la calculul complementarei unei submult imi A, vom nota cu CAcomple-
mentara mult imii A:
1.2. Relat ii binare
Denit ie 1.2.1. Produsul cartezian a dou a mult imi nevide A siBeste
mult imea
AB=f(x;y)jx2A siy2Bg:
De exemplu, dac a A=f1;2;3g siB=f1;2g, atunci
AB=f(1;1);(2;1);(3;1);(1;2);(2;2);(3;2)g:
Denit ie 1.2.2. Orice submult ime ra produsului cartezian ABse nume ste
relat ie binar a de laAlaB;dac a (x;y)2r,vom nota acest fapt xry,citind ,,xeste
^ n relat iarcuy".
De exemplu, dac a Aeste o mult ime nevid a  si P(A) este mult imea tuturor
submult imilor sale, consider am relat ia binar a rP(A)P(A) denit a prin
M; N 2P(A); MrN dac a (( 8)x2M) =)(x2N):
Denit ie 1.2.3. FieAo mult ime nevid a oarecare. O relat ie binar a rAA
av^ and propriet at ile:
1) (8)x2A; xrx (re
exivitate);
2) (8)x; y2A; xry  siyrximplic ax=y(antisimetrie);
3) (8)x; y; z 2A; xry  siyrzimplic axrz(tranzitivitate)
se nume ste relat ie de ordine (part ial a ).
^In acest caz, mult imea Ase nume ste ordonat a  si se noteaz a prin (A;r):
De exemplu, relat ia binar a precendent a este o relat ie de ordine (part ial a), mult imea
(A;r) ind ordonat a.
Denit ie 1.2.4. O relat ie binar a rAAav^ and propriet at ile:
1) (8)x2A; xrx (re
exivitate);
2) (8)x; y2A; xry implic ayrx(simetrie);

10 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
3) (8)x; y; z 2A; xry  siyrzimplic axrz(tranzitivitate)
se nume ste relat ie de echivalent  a .
De exemplu, dac a Aeste o mult ime nevid a  si P(A) este mult imea tuturor
submult imilor sale, consider am rP(A)P(A) denit a prin MrN dac a  si numai
dac aM=N, atuncireste o relat ie de echivalent  a.
Denit ie 1.2.5. O relat ie de ordine restetotal a dac a satisface condit ia
(8)x;y2Aavemxrysauyrx:
De exemplu, dac a A=f1;2;3;4g si relat ia binar a reste denit a astfel: rAA,
xrydac a  si numai dac a xdividey;este o relat ie de ordine, dar nu este total a, deoarece
3 nu divide 4  si 4 nu divide 3 :
Aceaa si relat ie binar a denit a pe A=f1;2;4gse dovede ste a  de ordine total a.
Fie (A;) o mult ime ordonat a  si BAo submult ime xat a.
Denit ie 1.2.6.
1)Majorant al luiBeste orice element x2Acare are proprietatea
zx;(8)z2B:
2)Mult imeaBareun cel mai mare element , dac a exist a un majorant al lui
Bcare apart ine lui B;acesta se noteaz a maxB si dac a exist a, el este evident, unic.
3)Minorant al luiBeste orice element x2Acare are proprietatea
xz;(8)z2B:
4)Mult imeaBareun cel mai mic element , dac a exist a un minorant al lui B
care apart ine lui B;acesta se noteaz a minB si dac a exist a, el este evident, unic .
5)Dac a mult imea Bare majorant i (respectiv minorant i ), atunci vom spune c a
Bestem arginit a superior (respectiv inferior ). Dac a mult imea Beste m arginit a
superior  si inferior, ea se nume ste mult ime m arginit a .
6)Mult imeaBaremargine superioar a (notat a supB)dac aBadmite majorant i
 si mult imea majorant ilor lui Bare un cel mai mic element, supB:
7)Mult imeaBaremargine inferioar a (notat a infB)dac aBadmite minorant i
 si mult imea minorant ilor lui Bare un cel mai mare element, infB:
Observat ie 1.2.1. Marginea superioar a sau marginea inferioar a a unei mult imi,
dac a exist a, este unic a.
Observat ie 1.2.2. Marginea superioar a sau marginea inferioar a unei mult imi
poate s a apart in a sau s a nu apart in a mult imii.
De exemplu, s a consider am B=f1;2;3;4;5;6;7;8;9g N si relat ia binar a 
BB, denit a astfel: xydac a  si numai dac a xdividey:
Atunci, este o relat ie de ordine pe mult imea B, neind relat ie de ordine pe
Z;deoarecexdivide x sixdividexnu implic a x=x, (deci nu se veric a
antisimetria).

1.3. FUNCT II 11
^In raport cu mult imeaBNadmite majorant i, deoarece e- xist a x:=
c.m.m.m.c. f1;2;3;4;5;6;7;8;9g=2B;care se divide la toate elementele lui B:Acest
num ar reprezint a  si marginea superioar a a mult imii B si mult imea Beste m arginit a
superior. Mult imea Bnu are un cel mai mare element, deoarece nu exist a ^ n Bun
element care s a se divid a la toate elementele lui B:
^In raport cu mult imeaBNadmite minorant i, exist^ and x:= c.m.m.d.c.
f1;2;3;4;5;6;7;8;9g= 12B;care divide toate elementele lui B:Acest num ar
reprezint a  si marginea inferioar a a mult imii B si mult imea Beste m arginit a inferior.
Mult imeaBare un cel mai mare element, deoarece exist a ^ n Belement 1 care divide
toate elementele lui B:
1.3. Funct ii
Denit ie 1.3.1. Fiind date dou a mult imi nevide A siB, se nume ste funct ie
(aplicat ie )de laAlaBansamblul format de mult imile A,B si o lege (corespondent  a,
transformare, regul a) care face ca oric arui e- lement din mult imea As a-i corespund a
un singur element din mult imea B:
Dac afdesemneaz a funct ia, vom scrie f:A!B si vom citi ,,feste denit a pe A
cu valori ^ n B";Ase nume ste domeniul (sau mult imea de denit ie a )funct ieif,^ n
timp ceBse nume ste codomeniul (sau mult imea de valori a )funct ieif:Elementul
arbitrarx2Ase cheam a argumentul funct ieif,iarf(x) (corespondentul prin
funct iafal luix)se cheam a imaginea luixprinf(sau valoarea funct iei f^ nx).
Denit ie 1.3.2. Dou a funct ii f:A!B sig:C!Dse numesc egale dac a
A=C,B=D, iarf(x) =g(x),(8)x2A:
De exemplu, funct iile
f:f1;1g !Z; f(x) =x3
 si
g:f1;1g !Z; g(x) =x5
sunt funct ii egale.
Denit ie 1.3.3. O funct ief:A!Bse nume ste constant a dac a exist a y02B
astfel ^ nc^ at f(x) =y0,(8)x2A:
De exemplu, funct ia f:N!Z; f(x) = (1)2xeste o funct ie constant a.
Denit ie 1.3.4. Funct ia identic a a mult imiiA;1A:A!Aeste denit a prin
1A(x) =x;(8)x2A:
De exemplu,^ n mult imea permut arilor de ordinul n;Sn, funct ia identic a a mult imii
f1;2;:::;ngeste permutarea identic a,
e=(
1 2::: n
1 2::: n)
:

12 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
Denit ie 1.3.5. Gracul unei funct ii f:A!Beste mult imea
Gf=f(x;f(x))2ABjx2Ag:
De exemplu, pentru funct ia f:f0;1;2g !N; f(x) =x3;gracul s au este
mult imeaGf=f(0;0);(1;1);(2;8)g:
Denit ie 1.3.6. Restrict ia unei funct ii f:A!Bla o mult ime nevid a CA
este funct ia fC:C!B;denit a prin fC(x) =f(x);(8)x2C:
De remarcat este faptul c a restrict ia unei funct ii la o submult ime a domeniului
de denit ie este unic a.
De exemplu, dac a f:f0;1;2g !N; f(x) =x3 siC=f0;2g, atunci restrict ia sa
la mult imea Ceste funct ia fC:f0;2g !N,fC(x) =x3:
Denit ie 1.3.7. Prelungirea unei funct ii f:A!Bla o mult ime CAeste
orice funct ie denit a astfel: fC:C!D;undeDB,fC(x) =f(x);(8)x2A:
Din aceast a denit ie rezult a c a o funct ie poate admite mai multe prelungiri.
De exemplu, dac a f:f0;1;2g !N; f(x) =x3, atunci funct iile f1C:f0;1;2g !
N,f1C(x) =x3 sif2C:f0;1;2g !N,f1C(x) ={
x3;dac ax2 f0;2g
10;dac ax= 1reprezint a
prelungiri ale funct iei fla mult imea f0;1;2g:
Denit ie 1.3.8. Pentru funct ia f:A!B siCAo mult ime nevid a, numim
imaginea mult imiiCprin funct ia fmult imea
f(C) =fy2Bj(9)x2Castfel ^ nc^ at f(x) =yg:
De exemplu, dac a f:f0;1;2g !N; f(x) =x3, atunci imaginea mult imii f0;1g
prin funct ia festef0;1g, iar a mult imii f0;1;2gestef0;1;8g:
Denit ie 1.3.9. Funct iaf:A!Bse nume ste injectiv a dac a (8)x1; x22A
cuf(x1) =f(x2)rezult ax1=x2;sau, echivalent, dac a (8)x1; x22Acux1̸=x2
rezult af(x1)̸=f(x2):
Denit ie 1.3.10. Funct iaf:A!Bse nume ste surjectiv a dac af(A) =B;
sau, echivalent, dac a (8)y2B;(9)x2Aastfel ^ nc^ at f(x) =y(adic a ecuat ia
f(x) =yare cel put in o solut ie ^ n Apentru ecare y2B).
Denit ie 1.3.11. Funct iaf:A!Bse nume ste bijectiv a dac a ea este
simultan injectiv a  si surjectiv a.
De exemplu, funct ia f:N!N,f(x) =x2este o funct ie bijectiv a, pe c^ and
g:Z!N; g(x) =x2nu este bijectiv a, neind injectiv a.
Denit ie 1.3.12. Fiind date funct ile f:A!B sig:C!D, astfel ^ nc^ at
f(A)C, se nume ste compusa dintre funct ia fcu funct iagfunct ia notat a g◦f
 si care este denit a astfel: g◦f:A!D;(g◦f) (x) =g(f(x));(8)x2A:

1.4. MULT IMEA NUMERELOR REALE 13
De exemplu, dac a f:R!R,f(x) =x
2+ 1  sig:R!R,g(x) = 2x+ 3;atunci
g◦f:R!R,
(g◦f) (x) =g(f(x)) = 2(x
2+ 1)
+ 3 =x+ 5:
Teorem a 1.3.1. Prin compunerea a dou a funct ii bijective se obt ine tot o funct ie
bijectiv a.
Denit ie 1.3.13. Funct iaf:A!Badmite ca invers a funct iaf1dac a
f1:B!A si relat iaf1(y) =xeste echivalent a cu relat ia f(x) =y:Orice
funct ie care admite invers a se nume ste inversabil a .
Teorem a 1.3.2. Pentru funct ia f:A!Binversabil a cu inversa f1avem
f◦f1= 1B sif1◦f= 1A:
Teorem a 1.3.3. O funct ief:A!Beste inversabil a dac a  si numai dac a este
bijectiv a.
1.4. Mult imea numerelor reale
Denit ie 1.4.1. Axiomatic, mult imea numerelor reale se dene ste prin inter-
mediul not iunii de sistem de numere reale, adic a orice mult ime Rav^ and propriet at ile
urm atoare:
R1)Reste corp abelian ^ n raport cu dou a legi \ + "  si\
";
R2)Relat ia de ordine total a ;;"denit a pe Reste compatibil a cu legile \ + "
 si\
";adic a:
1)dac axy^ nR,atuncix+zy+z;oricare ar  z2R;
2)dac a 0x si0y^ nR,atunci 0x
y;
R3)Orice submult ime a lui R,m arginit a superior, admite margine superioar a
(axioma Cantor-Dedekind sauaxioma marginii superioare ).
Se poate demonstra c a mult imea Reste unic a ^ n sensul urm ator:
Dac aR′ siR′′sunt dou a sisteme de numere reale, atunci exist a o funct ie bijectiv a
h:R′!R′′astfel ^ nc^ at :
i)h(0) = 0;h(1) = 1;
ii)h(x+y) =h(x) +h(y);(8)x; y2R′;
iii)h(x
y) =h(x)
h(y);(8)x; y2R′;
iv) (8)x; y2R′cuxy,rezult ah(x)h(y):
Cunoscut a ind mult imea numerelor rat ionale, av^ and propriet at ile sale uzuale
(algebrice  si de ordine) se poate construi o mult ime ce veric a R1);R2);R3):Cea
mai ^ nt^ alnit a construct ie este cea a lui Dedekind.
Din axioma marginii superioare rezult a c^ ateva consecint e importante pe care le
enunt  am ^ n cele ce urmeaz a.

14 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
Propozit ie 1.4.1 (Principiul lui Arhimede) .Pentru orice num ar real pozitiv x
 si pentru orice num ar real a;exist a un unic num ar ^ ntreg nastfel ^ nc^ at
(n1)xa<nx:
Observat ie 1.4.1. Pentrux= 1 rezult a c a oricare ar  a2R, exist a un unic
num ar ^ ntreg n2Zastfel ^ nc^ at na<n +1:De aici putem deni partea ^ ntreag a a
luia, [a];ca ind cel mai mare num ar ^ ntreg mai mic sau egal cu a; partea fract ionar a
a luiase dene ste ca
fag=a[a]:
Este clar c a pentru orice num ar real xau loc dublele inegalit at i
[x]x<x + 1
precum  si
0 fxg<1:
Principiul lui Arhimede are drept consecint e imediate urm atoarele.
Propozit ie 1.4.2. Orice interval deschis (a;b)cont ine cel put in un num ar
rat ional.
Propozit ie 1.4.3. FieARo mult ime m arginit a. Atunci:
1)p= supAdac a  si numai dac a (8)a2A,ap si(8)ϵ>0;(9)aϵ2Aastfel
^ nc^ atpϵaϵ;
2)q= infAdac a  si numai dac a (8)a2A,qa si(8)ϵ>0;(9)aϵ2Aastfel
^ nc^ ataϵq+ϵ:
Propozit ie 1.4.4. (Principiul lui Cantor sau lema intervalelor ^ nchise, incluse)
Orice  sir de intervale ^ nchise, descresc ator (adic aI0I1:::In:::)are
intersect ia nevid a, adic a
\n2NIn̸=∅:
Dac a ad aug am la Rsimbolurile + 1 si1, ^ nt elese ca dou a e- lemente noi,
obt inem dreapta real a completat a, R=R[ f1;+1g:Convent iile ^ n cadrul lui R
sunt:1<+1 si1<a< +1;(8)a2R.Reste total ordonat a, iar operat iile
algebrice din Rpot  u sor extinse (f ar a a avea sens peste tot) din cele ale lui R. Prin

1.5. MULT IMI DE NUMERE REALE. INTERVALE 15
convent ie,
(+1) +a=a+ (+1) = +1;(8)a2R; a̸=1
(1) +a=a+ (1) =1;(8)a2R; a̸=1
(8)a2R; a> 0;avem (+ 1)
a=a
(+1) = +1
(8)a2R; a< 0;avem (+ 1)
a=a
(+1) =1
(8)a2R; a> 0;avem ( 1)
a=a
(1) =1
(8)a2R; a< 0;avem ( 1)
a=a
(1) = +1
a
+1=a
1= 0;(8)a2R
a+1={
+1;dac aa>1
0;dac a 0<a< 1
a1={
0;dac aa>1
+1;dac a 0<a< 1
(+1)a={
+1;dac aa>0
0;dac aa<0
(+1)+1= +1;(+1)1= 0:
Formal, nu se pot deni
(+1) + (1);(1)(1);(+1)(+1);
0
(+1);0
(1);(+1)
(+1);(+1)
(1);(1)
(+1);(1)
(1);
(+1)0;1+1;11;
^ ns a elementele 1  si +1pot  v azute, via propriet at ile lor, ca marginea su-
perioar a, respectiv inferioar a a submult imilor nem arginite de numere reale; astfel,
orice mult ime nevid a ARadmite margine inferioar a  si margine superioar a, relativ
la ordinea anterioar a.
Not am cu N;Z;Q;respectiv mult imea numerelor naturale, ^ ntregi, rat ionale, iar
cuN=Nnf0g;Z=Znf0g;Q=Qnf0g;R=Rnf0g:
1.5. Mult imi de numere reale. Intervale
Denit ie 1.5.1. Modulul sauvaloarea absolut a a unui num ar real xeste
num arulxdac ax0;respectiv x;dac ax<0:
Acest lucru se scrie astfel
jxj={
x;dac ax0
x;dac ax<0:

16 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
Modulul are urm atoarele propriet at i:
1)jxj 0;(8)x2R;jxj= 0 dac a  si numai dac a x= 0;
2)jxj=jxj;(8)x2R;
3)jxj x jxj;(8)x2R;
4)jxj adac a  si numai dac a axa;
5)jxj a>0 dac a  si numai dac a x asauxa;
6)jx+yj  jxj+jyj;(8)x; y2R; (inegalitatea triunghiului)
7)j∑n
i=1xij ∑n
i=1jxij;(8)x1; x2;…,xn2R;
8)jjxj jyjj  jxyj;(8)x; y2R;
9)jx
yj=jxj
jyj;(8)x; y2R;
10)x
y=jxj
jyj;(8)x2R, (8)y2R;
11)jxj2k=x2k;(8)x2R;(8)k2N.
Din axioma riglei, oricare ar  punctele O siApe dreapta d, exist a o funct ie
bijectiv a unic a f:d!R, astfel ^ nc^ at f(O) = 0; f(A)>0  si oricare ar  punctele
B siC2d, lungimea segmentului [ BC] esteBC =jxBxCj, undef(P) =xP;
pentru orice P2d:
^In continuare vom considera punctul A2dpentru care xA= 1:Dreapta pentru
care s-au ales ^ n acest mod punctele O siAse nume ste ax a.
Despre orice ax a vom spune c a reprezint a geometric mult imea R. Din pricina
biject iei dintre mult imea numerelor reale  si mult imea puncte- lor unei drepte, vom
putea numi punctul x^ n loc de abscisa xa punctului M(x):
Fiea; b2Rcua<b: Putem deni urm atoarele submult imi ale lui R:
(a;b) = fx2Rja<x<b g;[a;b] =fx2Rjaxbg
[a;b) = fx2Rjax<bg;(a;b] =fx2Rja<x bg
(a;+1) = fx2Rja<xg;[a;+1) =fx2Rjaxg
(1;a) = fx2Rjx<ag;(1;a] =fx2Rjxag;
(1;+1) = R,
care, dup a interpretarea geometric a a mult imii R, reprezint a segmente de dreapt a
^ mpreun a sau f ar a extremit at i, semidrepte ^ mpreun a sau f ar a origine  si, respectiv, o
dreapt a.
Denit ie 1.5.2. Omult imeARestem arginit a dac a  si numai dac a exist a
M0astfel ^ nc^ at jxj M,(8)x2Asau, echivalent, exist a un interval (a;b)astfel
^ nc^ atA(a;b):
De exemplu, mult imea
A={
np
2jn2Nnf0;1g}
este m arginit a, deoarece A(1;2):

1.7. PUNCT INTERIOR AL UNEI MULT IMI 17
Denit ie 1.5.3. Ofunct ief:AR!Restem arginit a dac a  si numai dac a
exist aM0astfel ^ nc^ at jf(x)j M,(8)x2Asau, echivalent, exist a un interval
(a;b)astfel ^ nc^ at f(x)2(a;b), (8)x2A:
De exemplu, f:R!R,f(x) = sin2xeste m arginit a, deoarece
jf(x)j= sin2x1;(8)x2R.
1.6. Vecin at at i
Denit ie 1.6.1. Se nume ste vecin atate a unui punct x2Rorice interval
deschis care ^ l cont ine pe x:Astfel, dac a x2(a;b);vom spune c a (a;b)este o
vecin atate a punctului x si vom scrie acest lucru (a;b)2V(x):Vecin at at ile oric arui
x2Rde forma (xϵ;x+ϵ), undeϵ>0se numesc vecin at at i centrate .
De exemplu, ( 1;4) este vecin atate pentru 0 :
Este clar c a orice punct xadmite o innitate de vecin at at i.
Teorem a 1.6.1. ^In oricare vecin atate a lui xse g ase ste inclus a o vecin atate
centrat a  si reciproc.
Denit ie 1.6.2. Se nume ste vecin atate a lui +1orice interval de forma
(a;+1);undea2R.
Vecin at at ile unui punct real au urm atoarele propriet at i:
1) Orice punct x2Rapart ine oric arei vecin at at i a lui x;
2) Intersect ia oric aror dou a vecin at at i ale unui punct este tot o vecin atate a
punctului;
3) Pentru orice dou a numere reale distincte, x̸=y, exist aV12V(x)  siV22V(y)
astfel ^ nc^ at V1\V2=∅;
4) Pentru orice x2R, orice vecin atate Va luix si oricey2V, exist aW2V(y)
cuWV:
1.7. Punct interior al unei mult imi
Denit ie 1.7.1. Punctula2Rse nume ste punct interior al mult imii AR
dac a exist a o vecin atate V2V(a)astfel ^ nc^ at VA:
Mult imea tuturor punctelor interioare ale unei mult imi se nume ste interiorul
mult imiiA si se noteaz a Int (A):
De exemplu, un interval Am arginit de capete a sibare Int (A) = (a;b):Dar
orice mult ime nit a A=fa1;a2;:::;angare Int (A) =∅:
Denit ie 1.7.2. Mult imeaARse nume ste mult ime deschis a dac aA= Int
(A):
De exemplu, orice interval deschis, m arginit sau nu, ( a;b), (a;+1) sau ( 1;a),
cua2Reste o mult ime deschis a. Mult imile ∅;Rsunt deschise. Mult imea ( a;b] nu
este deschis a, deoarece Int (( a;b]) = (a;b):

18 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
1.8. Punct de acumulare al unei mult imi
Denit ie 1.8.1. Punctula2Rse nume ste punct de acumulare al mult imii
nevideAR,dac a ^ n orice vecin atate a lui ase g ase ste cel put in un element din A
diferit dea:
Mult imea tuturor punctelor de acumulare ale unei mult imi Ase noteaz a cu A′ si
se nume ste mult imea derivat a a mult imii A:
Acest lucru se scrie: ( 8)V2V(a), (Vnfag)\A̸=∅:
De exemplu, dac a A= [0;1];atunciA′= [0;1]; dac aA= (0;1];atunciA′= [0;1] ;
N′=f+1g; dac aA=f0;1g, atunciA′=∅; dac aA={
1;1
2;:::;1
n;:::}
, atunci
A′=∅:
De remarcat este faptul c a un punct de acumulare al unei mult imi poate s a
apart in a sau nu acelei mult imi. De exemplu, dac a A= (0;1);rezult a 0 2A′nA si
12A′nA:
1.9. Punct izolat al unei mult imi
Denit ie 1.9.1. FieARo mult ime nevid a. Atunci un punct a2Ase
nume ste punct izolat dac a exist a cel put in o vecin atate a lui acare nu cont ine nici
un punct din Adiferit dea:
Acest lucru se scrie: ( 9)V2V(a), astfel ^ nc^ at ( Vnfag)\A=∅:
De exemplu, pentru mult imea A= (0;1)[ f2g, punctul 2 este punct izolat, ^ n
timp ce punctul 0 nu este punct izolat, el este punct de acumulare.
S a remarc am faptul c a dat a ind o mult ime nevid a AR, orice punct a2A
poate  sau punct de acumulare sau punct izolat pentru mult imea A:
1.10. Punct aderent al unei mult imi
Denit ie 1.10.1. FieARo mult ime nevid a. Atunci un punct a2Rse
nume ste punct aderent al mult imii Adac a ^ n orice vecin atate a lui ase g ase ste
cel put in un element din A:
Mult imea tuturor punctelor aderente ale unei mult imi Ase noteaz a cu A si se
nume ste aderent a mult imiiA:
Acest lucru se scrie: ( 8)V2V(a),V\A̸=∅:
De exemplu, dac a A= [0;1];atunciA= [0;1]; dac aA= (0;1];atunciA= [0;1] ;
Q=R; dac aA=f0;1g, atunciA=f0;1g:
De remarcat este faptul c a un punct aderent unei mult imi poate s a apart in a sau
nu acelei mult imi. De exemplu, dac a A= (0;1);rezult a 0 2AnA si 12AnA; dac a
A={
1;1
2;:::;1
n;:::}
, atunciA=A[ f0g:
Denit ie 1.10.2. O mult ime ARse nume ste ^ nchis a dac a mult imea CA
este deschis a.

1.12. MULT IMI FINITE S I MULT IMI INFINITE 19
Propozit ie 1.10.1. O mult ime este ^ nchis a dac a  si numai dac a este egal a cu
aderent a sa.
De exemplu, mult imea [ a;b] este o mult ime ^ nchis a, ^ n vreme ce ( a;b] nu este
^ nchis a, av^ and aderent a [ a;b]:Reste o mult ime ^ nchis a, deoarece este complementara
mult imii vide, care este o mult ime
deschis a.
1.11. Punct frontier a al unei mult imi
Denit ie 1.11.1. FieARo mult ime nevid a. Atunci un punct a2Rse
nume ste punct frontier a al mult imii Adac a el este punct aderent al mult imii A
sauCA :
Mult imea tuturor punctelor frontier a ale unei mult imi Ase noteaz a cu Fr (A) si
se nume ste frontiera mult imiiA:
De exemplu,
Fr ([a;b]) = Fr ((a;b)) = Fr ((a;b]) = Fr ([a;b)) =fa;bg:
Dac aA={
1;1
2;:::;1
n;:::}
, atunci Fr ( A) =A[ f0g:
1.12. Mult imi nite  si mult imi innite
Denit ie 1.12.1. Spunem c a dou a mult imi A siBsuntcardinal echivalente
dac aA=B=∅sau dac a exist a o funct ie bijectiv a f:A!B:
Fiec arei mult imi A^ i ata s am simbolul cardA:Atunci, prin denit ie cardA=
cardBdac a mult imile A siBsunt cardinal echivalente.
Denit ie 1.12.2. O mult ime Ase nume ste nit a dac a (9)n2Nastfel ^ nc^ at
cardA= card f1;2;:::;ng:^In acest caz avem cardA=n:
O mult ime care nu este nit a se nume ste innit a . Cardinalele mult imilor innite
se numesc transnite .
O mult ime Ase nume ste num arabil a dac a este cardinal echivalent a cu N;^ n
acest caz se noteaz a cardA=@0 si se cite ste ,,alef zero".
O mult ime Ase nume ste cel mult num arabil a dac a este nit a sau num arabil a;
^ n acest caz, cardA @ 0.
Mult imeaAse spune c a este de puterea continuului dac aAeste cardinal
echivalent a cu R;^ n acest caz se noteaz a cardA=c:
De exemplu, mult imea A=f0;1;2geste nit a (deci cel mult num ara- bil a),
av^ and card A= 3, deoarece f:A! f1;2;3g,f(x) =x+ 1 reprezint a o biject ie.
De asemenea, B=f2njn2Ngeste num arabil a (deci cel mult num arabil a),
av^ and card B=@0;deoarecef:B!N,f(x) =x
2este o biject ie.
Legat de aceste not iuni avem urm atoarele propriet at i.
Propozit ie 1.12.1. Orice submult ime innit a a lui Neste num a- rabil a .

20 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
Propozit ie 1.12.2. Produsul cartezian a dou a mult imi num arabile este o mult ime
num arabil a .
Propozit ie 1.12.3. Fief:A!Bo funct ie injectiv a; atunci dac a Beste
num arabil a, rezult a c a Aeste num arabil a .
Propozit ie 1.12.4. Orice reuniune num arabil a de mult imi num ara- bile este o
mult ime num arabil a .
Propozit ie 1.12.5. Fief:A!Bo funct ie surjectiv a; dac a Aeste num arabil a,
atunciBeste num arabil a .
Propozit ie 1.12.6. Mult imile NN,Z,Qsunt num arabile .
Propozit ie 1.12.7. Intervalul [1;1]nu este o mult ime num arabil a .
Prin intermediul funct iei bijective f:R!(1;1),f(x) =x
1+jxj;(8)x2R
rezult a c a intervalul ( 1;1) este cardinal echivalent cu R, deci el va  de puterea
continuului. De asemenea, cum funct ia g: (1;1)!(a;b); g(x) =ba
2x+b+a
2;(8)
x2(1;1) reprezint a o biject ie, obt inem c a orice interval deschis al lui Rare puterea
continuului. Se demonstreaz a c a @0este element neutru ^ n raport cu adunarea nu-
merelor cardinale transnite, de unde va rezulta card ( a;b) = card [a;b]:Concluzia
este c a toate intervalele lui Rsunt de puterea conti- nuului.
1.13. Funct ii reale de variabil a real a
Denit ie 1.13.1. O funct ief:A!Bse nume ste funct ie real a de variabil a
real a dac aAR siBR.
Denit ie 1.13.2. Funct iaf:A!Bestem arginit a dac af(A)este o mult ime
m arginit a.
De exemplu, funct ia f: [0;1]!R,f(x) =x2este m arginit a, ^ ntruc^ at f([0;1]) =
[0;1]; funct iaf:R!R,f(x) =x2nu este m arginit a, deoarece mult imea f(R) =
[0;+1) nu este m arginit a.
Denit ie 1.13.3. Funct iaf:A!Bse nume ste cresc atoare ,strict cresc atoare ,
descresc atoare saustrict descresc atoare pe mult imea nevid a DAdac a avem
respectiv:
1:(8)x1; x22D; x 1<x 2rezult af(x1)f(x2)
2:(8)x1; x22D; x 1<x 2rezult af(x1)<f(x2)
3:(8)x1; x22D; x 1<x 2rezult af(x1)f(x2)
4:(8)x1; x22D; x 1<x 2rezult af(x1)>f(x2):
^In cazurile 1.  si 3. se mai spune c a festemonoton a , pe c^ and ^ n cazurile 2.  si
4. se mai spune c a festestrict monoton a .

1.13. FUNCT II REALE DE VARIABIL A REAL A 21
De exemplu, funct ia f:R!R,f(x) ={
x+ 1;dac ax0
x;dac ax>0este strict
cresc atoare pe ecare din mult imile ( 1;0];(0;+1);neind nici strict cresc atoare,
nici cresc atoare pe R= (1;0][(0;+1).
Teorem a 1.13.1. Orice funct ie strict monoton a este injectiv a .
Reciproca acestei teoreme nu este adev arat a. De exemplu, funct ia f: (1;2]!
[2;+1),f(x) ={
x;dac ax<0
x2;dac ax2[0;2]este injectiv a, dar nu este strict mono-
ton a.
Teorem a 1.13.2. Dac a funct ia f:A!Beste strict monoton a  si inversabil a,
atunci  si funct ia f1este strict monoton a.
Denit ie 1.13.4. Dreaptax=x0esteax a de simetrie pentru gracul unei
funct ii dac a orice punct Asituat pe gracul funct iei are simetricul fat  a de dreapta
x=x0situat tot pe gracul funct iei.
De exemplu, axa Oyeste ax a de simetrie pentru gracul funct iei f:R!R,
f(x) =x4+ 1:
Teorem a 1.13.3. Dreaptax=x0este ax a de simetrie pentru gracul funct iei
f:A!Bdac a  si numai dac a
f(x0x) =f(x0+x);
pentru orice x2Rcux0x, x0+x2A:
Denit ie 1.13.5. Funct iaf:A!Bse nume ste par a dac a:
1.oricare ar  x2Arezult a x2A;
2.f(x) =f(x), oricare ar  x2A:
Conform teoremei 1.13.3 rezult a c a axa Oyeste ax a de simetrie pentru gracul
oric arei funct ii pare.
De exemplu, funct ia f:R!R,f(x) =jxjcosx, (8)x2Radmite ca ax a de
simetrie dreapta Oy si este funct ie par a.
Denit ie 1.13.6. PunctulM0(x0;y0)estecentru de simetrie pentru gracul
unei funct ii dac a orice punct Asituat pe gracul funct iei are simetricul fat  a de
punctulM0situat tot pe gracul funct iei.
De exemplu, originea Oeste centru de simetrie pentru gracul funct iei f:R!R,
f(x) =x3jsinxj:
Teorem a 1.13.4. PunctulM0(x0;y0)este centru de simetrie pentru gracul
funct iif:A!Bdac a  si numai dac a
f(x0x) +f(x0+x) = 2y0;
pentru orice x2Rcux0x, x0+x2A:
Denit ie 1.13.7. Funct iaf:A!Bse nume ste impar a dac a:
1.oricare ar  x2Arezult a x2A;

22 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
2.f(x) =f(x), oricare ar  x2A:
Conform teoremei 1.13.4 rezult a c a Oeste centru de simetrie pentru gracul
oric arei funct ii impare.
De exemplu, funct ia f:R!R,f(x) =x3, (8)x2Radmite ca centru de
simetrie originea O si este funct ie impar a.
Denit ie 1.13.8. Funct iaf:AR!Rse nume ste periodic a dac a exist a
T̸= 0 astfel ^ nc^ at f(x+T) =f(x),(8)x2Acux+T2A:Num arulTse
nume ste perioad a a funct ieif:Cea mai mic a perioad a pozitiv a, dac a exist a, se
nume ste perioad a principal a .
Dac aTeste perioad a a unei funct ii f:A!R si pentru orice x2Aavem
xT2A, atunci  si Teste perioad a pentru f:
De exemplu, funct ia f:R!R,f(x) = sin2x
3;(8)x2Reste periodic a de
perioad a principal a 3 :Exist a  si funct ii periodice care nu admit perioad a principal a.
Cel mai ^ nt^ alnit exemplu ^ l constituie funct ia lui Dirichlet f:R!R,f(x) ={
1;dac ax2Q
1;dac ax2RnQ;care admite ca perioad a orice num ar rat ional  si nu admite
perioad a principal a, neexist^ and un cel mai mic num ar rat ional strict pozitiv.
Propozit ie 1.13.1. Dac aT0este perioada principal a a unei funct ii periodice,
atunci orice alt a perioad a Tse scrie sub forma T=mT 0, cum2Z:
1.14. Exercit ii
(1)FieA=f1;2;3;4;5;6g; B =fx2Njxeste un divizor al lui 6 g; C =
f3;7;11g,D=fx2Njxare are exact doi divizori naturali g;E=f1;3;5;7;9;11;13g.
Care relat ie este adev arat a: BA; B A; E D; A [(C\E) =
(A[C)\(A[E);12D;131=2D;∅ D;132A[D; A\(C[E) =
(A\C)[(A\E) ?
R:A cincea este fals a.
(2)FieAo mult ime oarecare  si B=f0;1g. Ar atat i c a P(A)  si Hom (A;B)
sunt mult imi cardinal echivalente, unde prin Hom ( A;B) am notat mult imea
ff:A!Bjffunct ie g:
R:Denim funct ia F:P(A)!Hom (A;B),F(M) =M;(8)M2P(A),
undeMeste funct ia caracteristic a a mult imii M, adic aM:A! f0;1g,
M(x) ={
1;dac ax2M
0;dac ax =2M:Funct iaFse dovede ste a  bijectiv a.
(3)Scriet i toate submult imile mult imilor: f1g;f1;2g;f1;2;3g;f1;2;3;4g:
Care este num arul tuturor submult imilor mult imii f1;2;:::;ng, unden2N
?
R:De exemplu, P(f1;2g) =f∅;f1g;f2g;f1;2gg:Num arul total de submult imi

1.14. EXERCIT II 23
ale mult imii f1;2;:::;ngeste 2n;folosind de exemplu rezultatul exercit iului
2.
(4)FieA,B siCtrei mult imi av^ and ecare un num ar nit de elemente.
Demonstrat i c a au loc relat iile:
card (A[B) = card ( A) + card (B)card (A\B);
card (A[B[C) = card ( A) + card (B) + card (C)
card (A\B)card (B\C)
card (C\A) + card (A\B\C):
R:Se observ a mai ^ nt^ ai c a dac a A\B=∅, atunci card ( A[B) = cardA+
cardB. Apoi se scrie A[Bsub forma unei reuniuni de mult imi disjuncte:
A[B=A[(BnA)  si se folose ste relat ia card ( BnA) = cardBcard
(A\B):Din prima relat ie rezult a cea de a doua relat ie.
(5)FieA; B submult imi ale mult imii E, universal a. Demonstrat i relat iile lui
De Morgan:
C(A[B) = (CA)\(CB);
C(A\B) = (CA)[(CB):
R:De regul a, egalitatea a dou a mult imi se justic a prin dubl a incluzi-
une. Aici se poate demonstra  si merg^ andu-se pe echivalent  a. Fie x2
C(A[B)()x =2(A[B)()x =2A six =2B()x2CA  si
x2CB()x2(CA)\(CB):
(6)S a se arate c a oricare ar  trei mult imi A; B; C au loc relat iile:
A\(B[C) = (A\B)[(A\C);
A[(B\C) = (A[B)\(A[C);
AnB=A\(CB):
R:Rezult a imediat rat ion^ and prin dubl a incluziune.
(7)Dac aAB;g asit iA[B siA\B.
R:A[B=B,A\B=A:
(8)FieAo mult ime nevid a  si P(A) mult imea tuturor submult imilor sale. Fie
rP(A)P(A), dat a deB,C2P(A),BrC dac a  si numai dac a oricare
ar x2Brezult ax2C. Demonstrat i c a reste o relat ie de ordine. Analog
pentru relat ia rNNdat a dexrydac a  si numai dac a xdividey.
R:Se veric a propriet at ile din denit ia relat iei de ordine.

24 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
(9)Demonstrat i c a relat ia rNNdat a dexrydac a  si numai dac a xy
este o relat ie de ordine total a.
R:Se veric a propriet at ile din denit ia relat iei de ordine total a.
(10) FieAo mult ime nevid a  si P(A) mult imea tuturor submult imilor sale. Fie
rP(A)P(A), dat a deB,C2P(A),BrC dac a  si numai dac a card
B= cardC. Ar atat i c a reste relat ie de echivalent  a.
R:Se veric a propriet at ile din denit ia relat iei de echivalent  a.
(11) Ar atat i c a mult imile A={
x2Rjx=2n+1
n+1; n2N}
 siB={n
2njn2N}
sunt m arginite, ^ n timp ce mult imile C=fn2jn2Ng siD={
n2
n+1jn2N}
sunt nem arginite.
R:02n+1
n+1= 21
n+12;(8)n2N, deciAeste m arginit a; 0 n
2n<1;
(8)n2N, deciBeste m arginit a; ( 8)M > 0, exist an2Nastfel ^ nc^ at
n2> M ()n >p
M:Alegemn=[p
M]
+ 1  si rezult a c a Ceste
nem arginit a;n2
n+1=n+ 1 +1
n+1;(8)n2N si similar lui Crezult a c aDeste
nem arginit a (cu n= [M] + 1):
(12) Ar atat i c a A={
x2Rjx=2n2+n
2n2+3; n2N}
este m arginit a cu inf A= 0  si
supA= 1:
(13) FieARo mult ime m arginit a. Denim
A=faja2Ag:
Ar atat i c a mult imea Aeste m arginit a  si
supA= inf ( A)sup (A) =infA:
R:Not^ and cu s:= supA, rezult a c a oricare ar  a2Aavemas, de
unde rezult a c a oricare ar  a2 A,a s:Din propozit ia 1.4.3
rezult a c a ( 8)ϵ > 0, (9)aϵ2A;astfel ^ nc^ at sϵ < aϵs. Deci, ( 8)
ϵ >0, (9)aϵ2 A;astfel ^ nc^ at s+ϵ >aϵ s:Concluzia este c a
inf (A) =s=supA:
(14) FieA; B dou a mult imi m arginite de numere reale. Prin denit ie
A+B=fa+bja2A; b2Bg:
Ar atat i c aA+Beste mult ime m arginit a  si
infA+ infB= inf (A+B)sup (A+B) = supA+ supB:
(15) Demonstrat i c a \n2N(
0;1
n)
=∅;[n2N[
0;n
n+1]
= [0;1):
R:Dac a prin absurd ar exista x2 \n2N(
0;1
n)
, atunci ( 8)n2Nam avea
0<x<1
n:^Ins a din principiul lui Arhimede avem existent a unui m2Ncu

1.14. EXERCIT II 25
proprietatea c a 1 <mx saux>1
m:Concluzia este c a pentru orice n2N;
n>m; avemx>1
n:Contradict ie.
(16) Precizat i dac a mult imile
A={
np
3jn2Nnf0;1g}
 si
B={
npnjn2Nnf0;1g}
sunt m arginite.
R:A(1;2), deci este m arginit a; B(
1;3p
3)
;deoarecenpn2(
1;3p
3)
,
(8)n2;deci  si mult imea Beste m arginit a.
(17) Dac aA=fx2Qjx2<3g, a
at i supA:
R:Fiex2A:Atunci,x2<3 sau p
3< x <p
3:Fieϵ > 0 arbitrar.
Folosind propozit ia 1.4.2 rezult a c a ^ n intervalul(p
3ϵ;p
3)
exist a cel
put in un num ar rat ional. Atunci, sup A=p
3:
(18) Fief:A!B sig:B!Cdou a funct ii oarecare.
a) Dac ag◦feste injectiv a, atunci feste injectiv a;
b) Dac ag◦feste surjectiv a, atunci geste surjectiv a.
R:a) Fiex1; x22Aastfel ^ nc^ at f(x1) =f(x2). Rezult a g(f(x1)) =
g(f(x2)) sau (g◦f) (x1) = (g◦f) (x2), de unde, folosind injectivitatea lui
g◦f;urmeaz a c a x1=x2:b) Pentruz2Carbitrar, exist a x2Aastfel ^ nc^ at
(g◦f) (x) =z(g◦feste surjectiv a). Prin urmare, not^ and cu y=f(x)2B;
rezult a c ag(y) =z si decigeste surjectiv a.
(19) Fief:A!Bfunct ie arbitrar a. Atunci funct ia g:A!AB,g(x) =
(x;f(x)), (8)x2Aeste injectiv a.
R:Fiex1; x22Aastfel ^ nc^ at g(x1) =g(x2). Rezult a ( x1;f(x1)) =
(x2;f(x2));de undex1=x2:
(20) Ar atat i c a funct ia f:R!R,f(x) =jxaj+jxbj;(8)x2Rnu este
injectiv a. G asit i cea mai mic a valoare a funct iei f:
R:Dac aa̸=b,f(a) =f(b) =jbaj sifnu este injectiv a. Cazul a=b
este trivial. Fie a<b . Atunci min ff(x)jx2Rg=ba:
(21) Fief;g:R!R,
f(x) ={
1;dac ax2Q
0;dac ax2RnQ
 si
g(x) ={
x2;dac ax2Q
1;dac ax2RnQ:

26 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
S a se g aseasc a f◦g sig◦f:
R:(f◦g) (x) = 1;(8)x2R si (g◦f) (x) ={
1;dac ax2Q
0;dac ax2RnQ:
(22) Ar atat i c a f:R!R,f(x) ={
x;dac ax0
1
x;dac ax>0este injectiv a  si nu este
monoton a pe R.
R:^Intr-adev ar, dac a x1x2>0, atunci din f(x1) =f(x2) rezult a c a x1=x2:
Dac ax1x2<0, atuncif(x1) =x1̸=1
x2=f(x2) sauf(x1) =1
x1̸=x2=
f(x2), decifeste injectiv a. feste doar strict cresc atoare pe ( 1;0]  si
strict descresc atoare pe (0 ;+1), f ar a a  monoton a pe R.
(23) Care dintre funct iile de mai jos este m arginit a ?
a)f(x) =x3
1+x3; x2R; b)f(x) =x2+ 2x; x2R; c)f(x) =p
x2+ 1x;
x2[1;3]:
R:a) 0x3
x3+1<1;(8)x2R; b) funct ie nem arginit a, deoarece oricare ar
M > 0 exist ax2Rastfel ^ nc^ at jx2+ 2xj> M ; c)f(x) =1p
x2+1+x si
f([1;3]) =[
1p
10+3;1p
2+1]
:
(24) Care dintre funct iile de mai jos este par a  si care impar a ?
a)f(x) =x4jxj; b)f(x) =x3jxj; c)f(x) =x2cosx; d)f(x) =x+sin3x,
x2R.
R:Funct iile de la a)  si d) sunt impare, iar cele de la b)  si d) sunt pare.
(25) A
at i axele de simetrie ale gracului funct iei:
f(x) =p
x24x+ 3;x2(1;1][[3;+1):
R:Se pune condit ia ca dreapta x=as a verice relat ia din teorema 1.10.3
 si rezult ax= 2:
(26) A
at i centrele de simetrie ale gracului funct iei:
f(x) =x3+ 3x5;x2R:
R:Se pune condit ia ca dreapta punctul M0(x0;y0) s a verice relat ia din
teorema 1.10.4  si rezult a M0(0;5):
(27) Ar atat i c a funct ia f:R!R,f(x) = sinx+ sinxp
3 nu este periodic a.
R:Dac a prin absurd far  periodic a de perioad a T, atunci exist a n si
p2Zastfel ^ nc^ at T= 2n=2p
3p, deoarece perioadele funct iilor sin x si,
respectiv sin xp
3 sunt 2 si2p
3iar mult imea de perioade ale funct iei sum a
se g ase ste din intersect ia mult imilor de perioade ale celor dou a funct ii. Deci,p
3 =p
n2Q. Fals !

1.14. EXERCIT II 27
(28) Demonstrat i c a dac a pentru funct ia f:R![0;1] exist a un num ar T̸= 0,
astfel ^ nc^ at f(x+T) =1
2+√
f(x)[f(x)]2;(8)x2R, atunci funct ia f
este periodic a.
R:Se observ a c a 2 Teste perioad a pentru funct ia f:^Intr-adev ar, din relat ia
din enunt  rezult a f(x)1
2, (8)x2R si relat ia dat a se mai scrie(
f(x+T)1
2)2+(
f(x)1
2)2=1
4:F ac^ andx=x+Trezult a(
f(x+ 2T)1
2)2=(
f(x)1
2)2
 si astfelf(x+ 2T) =f(x);(8)x2R.
(29) Fie funct ia m arginit a f: [a;b]!R. S a se demonstreze c a pentru orice
n2Nexist a polinoamele Pn siQnde gradulncu coecient i reali, astfel
^ nc^ atPn(x)f(x)Qn(x);(8)x2[a;b].
R:De exemplu, Pn(X) =(bX)n+m siQn(X) = (Xa)n+M, unde
m= infff(x)jx2[a;b]g siM= sup ff(x)jx2[a;b]g:
(30) Ar atat i c a 1 este punct de acumulare pentru mult imile A1= (0;1); A 2=
RnZ,A3=Q,A4=Rn(
1;11
10)
; A 5=RnQ.
R:Se arat a folosind denit ia cu vecin at at i.
(31) FieA; BR. Ar atat i c a:
a)ABimplic a Int ( A)Int (B) ;
b)C( Int (A)) =CA siCA= Int (CA):
R:a) Merg^ and pe echivalent  a,
x2C( Int (A))()x =2A() (8)ϵ>0;(xϵ;x+ϵ)(A()
() (8)ϵ>0;(xϵ;x+ϵ)\CA̸=∅ () (8)ϵ>0; x2CA:
(32) FieAR. Ar atat i c a:
a)A=A[A′; remarcat i c a Aeste ^ nchis a dac a  si numai dac a A′A;
b) Fr (A) =AnInt (A):
R:a) Prin dubl a incluziune se demonstreaz a, folosind denit iile punctului
de acumulare  si a celui aderent.
b) Fr (A) =A\CA=A\C( Int (A)) =AnInt (A):
(33) S a se g aseasc a A′;Int (A),A si Fr (A);dac a:
a)A=f1;2g; b)A= [1;2)[ f3g; c)A=Q; d)A=f1;1
3;1
32; :::;1
3n; :::g.
R:a)A′=∅;Int (A) =∅,A=f1;2g si Fr (A) =f1;2g;
b)A′= [1;2];Int (A) = (1;2),A= [1;2][ f3g si Fr (A) =f1;2;3g;
c)A′=R;Int (A) =∅,A=R si Fr (A) =R;
d)A′=f0g;Int (A) =∅,A=A[ f0g si Fr (A) =A[ f0g:
(34) FieAR. Ar atat i c a:
a)A=A[Fr (A) ; remarcat i c a Aeste ^ nchis a dac a  si numai dac a Fr
(A)A;
b) Int (A) =AnFr (A) ; remarcat i c a Aeste deschis a dac a  si numai dac a

28 1. NOT IUNI DE TEORIA MULT IMILOR
A\Fr (A) =∅:
R:a) Avem succesiv, din relat iile deduse anterior,
A=A\R=(
A[A)
\(
A[CA)
=A[(
A\CA)
=A[Fr (A):
b) Analog,
Int (A) =A\(
CA[Int (A))
=A\C(
A\C( Int (A)))
=
=AnFr (A):
(35) Fiex0un punct de acumulare pentru mult imea AR. S a se arate c a orice
vecin atate a lui x0cont ine o innitate de elemente din A:
R:Dac a prin absurd ar exista o vecin atate a lui x0cu un num ar nit de
elemente din mult imea A;atunci ar exista o vecin atate a lui x0care nu
cont ine nici un element din A. Contradict ie cu faptul c a x0este punct de
acumulare pentru A:
(36) S a se demonstreze c a mult imea numerelor prime este num arabil a.
R:Mult imea numerelor prime, notat a Aind o submult ime a lui N, este
sucient s a demonstr am c a este o mult ime innit a. Dac a prin absurd, A=
fp1;p2;:::;pngar  nit a, atunci num arul p1p2:::pn+ 1 ar  num ar prim
(deoarecepnu este divizibil cu nici un pi; i21;n)  sip =2P(p > pi;
i21;n). Contradict ie.

CAPITOLUL 2
S iruri de numere reale
2.1. Denit ii  si notat ii
Denit ie 2.1.1. Pentru un num ar natural kse nume ste sect iune ^ nNmult imea
Nk=fk;k+ 1;:::g=fn2Njnkg:
De exemplu, N0=f0;1;:::g=N,N3=f3;4;:::g:
Denit ie 2.1.2. S ir cu elemente ^ n mult imea Meste orice funct ie f:Nk!
M,undekeste oarecare din N;dac aM=R,atunci obt inem not iunea de  sir real
sau sir de numere reale .
Pentrun2Nk, vom nota cu an=f(n)num arul care se nume ste termenul
general (de rangn)al  sirului .
De obicei,  sirurile se mai notez a  si prin ( an)nk:Cele mai ^ nt^ alnite sect iuni sunt
N=N0 siN=N1, c arora le corespunde scrierea ( an)n1 si (an)n0:
S irurile se pot deni ^ n mai multe moduri.
1. Printr-un tabel.
De exemplu,
n12345…
an325712…
2. Printr-o formul a de calcul.
De exemplu,
an=5n1
(1)n(n+ 1); n0
sau
a2= 1; an=a2(1
2)n1
; n3:
3. Prin mai multe formule de calcul.
De exemplu,
an={
2n+ 3;dac aneste par
n4;dac aneste impar; n2N
29

30 2. S IRURI DE NUMERE REALE
sau
an=8
>><
>>:n;dac an= 4k
1
n;dac an= 4k+ 1
1
n3;dac an= 4k+ 2
1
n4;dac an= 4k+ 3; k2N:
4. Printr-o relat ie de recurent  a.
De exemplu,
a0=1
2; an+1=p
1an; n2N
sau
a0= 0; a1= 1; an+2=an+1+an; n2N
( sirul lui Fibonacci).
2.2. S iruri monotone
Denit ie 2.2.1. Deoarece  sirurile sunt funct ii, av^ and domeniile Nkcuk2N,
denit iile  sirurilor monotone sunt similare cu cele ale funct iilor monotone. S irul an;
n2Nkse nume ste cresc ator ,strict cresc ator ,descresc ator , respectiv strict
descresc ator dac a:
1: anan+1;(8)n2Nk
2: an< an+1;(8)n2Nk
3: anan+1;(8)n2Nk
4: an> an+1;(8)n2Nk:
Prezent am c^ ateva metode pentru a stabili ^ n practic a monotonia unui  sir.
1. Pornind de la denit ie.
De exemplu, ^ n cazul  sirului an=pn
n+1; n2N, avem:
an> an+1()pn
n+ 1>pn+ 1
n+ 2()pn(n+ 2)>p
n+ 1 (n+ 1)
()n(n+ 2)2>(n+ 1)3()n3+ 4n2+ 4n>n3+ 3n2+ 3n+ 1
()n2+n>1;(8)n2N;
de unde rezult a c a  sirul este strict descresc ator.
2. Evalu^ and diferent a anan+1 si compar^ and{o cu 0:
De exemplu, dac a an=1
12+1
22+:::+1
n2; n2N;avem
an+1an=1
(n+ 1)2>0;(8)n2N;
de unde rezult a c a ( an)n2Neste strict cresc ator;

2.3. S IRURI M ARGINITE 31
3. Evalu^ and raportulan+1
ansauan
an+1 si compar^ andu-l cu 1, dac a an>0,
(8)n2Nksauan<0, (8)n2Nk:
De exemplu, dac a an=(2n)!!
(2n+1)!!; n2N, atunci
an+1
an=2n+ 2
2n+ 3<1;(8)n2N
 si (an)n2Neste strict descresc ator.
4. Folosind induct ia matematic a.
De exemplu, ^ n cazul  sirului an=p6 +an1;(8)n1  sia0= 1;se observ a
c aa0<a 1:Dac a inegalitatea ak<ak+1este adev arat a, atunci 6 + ak<6 +ak+1 si
astfelak+1=p6 +ak<p6 +ak+1=ak+2ne spune c a  sirul este strict cresc ator.
5. Consider^ and  sirul drept restrict ie la Nka unei funct ii c areia i se
cunoa ste monotonia.
De exemplu,  sirul an= exp(1
n2+1)
; n2N;reprezint a restrict ia la Na funct iei
f:R!R,f(x) = exp(1
x2+1)
;care este strict descresc atoare pe (0 ;+1):
6. Alte mijloace.
De exemplu, dac a an=∑n
k=1k
k!; n2N;observ am c a
an=n∑
k=1(k+ 1)
k!n∑
k=11
k! =n∑
k=1(k+ 1)!n∑
k=1k! = (n+ 1)!
 si astfelan<an+1, (8)n2N; sirul dovedindu-se a  strict cresc ator.
2.3. S iruri m arginite
Denit ie 2.2.1. (an)nkse nume ste m arginit , dac a exist a m siMastfel ^ nc^ at
manM,(8)n2Nksau, echivalent, exist a M > 0astfel ^ nc^ at janj M;(8)
n2Nk:
Un  sir care nu este m arginit se nume ste nem arginit .
Este evident c a dac a  sirul an; n2Nkeste cresc ator, atunci el va  m arginit
inferior de primul termen, ak; iar dac a este descresc ator, va  m arginit superior de
primul termen, ak:
De exemplu,  sirul an=2n
2n+1;n2Neste m arginit, deoarece 0 an<1;(8)n2N;
 sirulbn=n2;n2N(care este strict cresc ator) este m arginit inferior de b0= 0  si este
nem arginit superior;  sirul cn=n2+ 1; n2N(care este strict descresc ator) este
m arginit superior de c1= 0  si este nem arginit inferior;  sirul dn= (1)nn2; n2N
este nem arginit, ind nem arginit superior  si nem arginit inferior.
Prezent am c^ ateva metode pentru a stabili ^ n practic a m arginirea unui  sir.
1. Folosind major ari sau minor ari.

32 2. S IRURI DE NUMERE REALE
De exemplu, dac a an=1
1!+1
2!+:::+1
n!; n2N, atunci este evident, 0 < an;
n2N si
an<1
20+1
21+1
22+:::+1
2n1=(1
2)n1
1
21<2; n2N:
Deci, 0<an<2;(8)n2N:
Dac abn=1p
n2+11p
n2+2:::1p
n2+n; n2N, atunci
1<np
n2+ 1=1p
n2+ 11p
n2+ 1:::1p
n2+ 1<
< bn; n2N
 si astfel (bn)n2Neste m arginit inferior de 1:
2. Folosind monotonia deja probat a a  sirului.
De exemplu, ^ n cazul  sirului an=p6 +an1;(8)n1  sia0= 1;despre care am
ar atat c a este strict cresc ator, avem 0 <an<p6 +an;n2N, de undea2
nan6<0;
n2Nsauan2(2;3); n2N. Din pricina pozitivit at ii r am^ ane an2(0;3); n2N.
3. Folosind induct ia matematic a.
De exemplu, dac a a1=p
2; an+1=(p
2)an; n2N;atuncia1<2  si, pre-
supun^ andan<2;aveman+1<(p
2)2= 2:Astfel,an2(0;2);(8)n2N:
4. Consider^ and  sirul drept restrict ie la Na unei funct ii c areia i se
cunoa ste m arginirea.
De exemplu,  sirul dat de an= cos2n
n4+4; n2Neste restrict ia la Na funct iei
m arginitef:R![1;1]; f(x) = cos2x
x4+4:
5. Alte mijloace.
De exemplu, dac a an=2n
2n+1; n2N, atuncian= 11
2n+1<1  si cuman0;
n2N, rezult a c a an2(0;1),n2N; dac abn=∑n
k=11
(k+1)(k+2); n2N;atunci
0bn=∑n
k=1(1
k+11
k+2)
=1
21
n+2<1
2;(8)n2N si astfel  sirul bn; n2Neste
m arginit.
2.4. Sub sir
Denit ia 2.4.1. Fiind dat  sirul (an)n2Nde numere reale  si  sirul k0<k 1<:::<
kn<::: strict cresc ator de numere naturale, se nume ste sub sir al lui (an)n2N sirul de
numere reale (akn)n2N:
De exemplu, dac a an=2n
n!; n2N, atunci un sub sir al  sirului ( an)n2Neste
a3n+1=23n+1
(3n+1)!; n2N.
Din aceast a denit ie rezult a c a avem cu necesitate knn; n2N si faptul c a
dac akn=n;atunci sub sirul coincide cu  sirul dat.

2.5. S IRURI CU LIMIT A. S IRURI CONVERGENTE 33
2.5. S iruri cu limit a. S iruri convergente
Denit ie 2.5.1. S irulan; n0;are limita l2Rdac a ^ n orice vecin atate V
a luilse g asesc tot i termenii  sirului, ^ ncep^ and de la un anumit rang. C^ and  sirul an
are limital, scriem lim
n!1an=lsauan!l;c^ andn! 1:
Din aceast a denit ie obt inem c a un  sir ( an)n0are limitaldac a  si numai dac a ^ n
afara oric arei vecin at at i Va lui r am^ ane cel mult o mult ime nit a de puncte.
Obt inem astfel caracterizarea: lim
n!1an=ldac a  si numai dac a ( 8)V2V(l), (9)
n0=n0(V)2Nastfel ^ nc^ at ( 8)n2N,nn0;aveman2V:
Exemple
1.lim
n!11
n= 0, deoarece oricare ar  V= (a;b)2V(0), cua; b> 0;termenul
1
n2V()n>1
b:Astfel, pentru n0=[1
b]
+ 1, avem satisf acut a denit ia 2.5.1.
2.lim
n!11
3n= 0;deoarece oricare ar  V= (a;b)2V(0), cua; b> 0;termenul
1
3n2V() 3n>1
b:Astfel, dac a1
b<1;consider am n0= 0, iar dac a1
b1;
n0=[
log31
b]
+ 1  si astfel avem satisf acut a denit ia 2.5.1.
3. lim
n!1n= +1;deoarece oricare ar  V= (a;+1)2V(+1);termenul
n2V()n>a: Dac aa<0;alegemn0= 0  si dac a a0;alegemn0= [a] + 1:
4.Dac aan= (1)n; n2N, atunci  sirul annu are limit a.
S irulaneste format din termenii 1  si 1  si ei nu pot  limit a a  sirului, c aci altfel
ar exista vecin at at ile V1= (2;0)2V(1),V2= (0;2)2V(1), ^ n afara c arora r am^ an
o innitate de termeni ai  sirului. De asemenea, nici un alt punct al lui Rnu poate
candida a  limit a a  sirului, deoarece se g ase ste ^ ntotdeauna o vecin atate ^ n afara
c areia r am^ ane o innitate de termeni ai  sirului.
5.S irulan= 2002,n2Nare limita 2002 ;deoarece pentru orice vecin atate
V2V(2002) rezult a c a an= 2002 2V;oricare ar  n2N si denit ia 2.5.1. este
satisf acut a cu n0= 0:
6.Rat ion^ and ca ^ n exemplele 3. si4., obt inem lim
n!1(n) =1  si lim
n!1(1)n

nnu exist a.
Denit ie 2.5.2. S irulan; n0;se nume ste convergent dac a are limit a  si
limita sa este nit a. ^In acest caz, dac a limita este l2R;spunem c a  sirul este
convergent la l:
Orice  sir care nu este convergent se nume ste divergent .
Prin urmare, un  sir este divergent dac a e nu are limit a, e are limit a  si limita
sa este innit a (+ 1sau 1 ):
Exemple
S irurilean=1
n sibn=1
3n; en= 2002 sunt  siruri convergente la 0, 0  si, respectiv,
2002;  sirurile cn=n,dn= (1)n sifn= (1)n
nsunt divergente.
Teorem a 2.5.1. Dac a un  sir are limit a, atunci aceasta este unic a.

34 2. S IRURI DE NUMERE REALE
Teorem a 2.5.2. Dac a un  sir are limit a, atunci orice sub sir al s au are acee si
limit a.
Not am cuL(xn)Rmult imea tuturor punctelor limit a ale sub siru- rilor  sirului
xn:Rezult a din teorema 2.5.1 c a pentru un  sir xncare are limit a, mult imea L(xn)
este format a dintr-un singur punct, limita  sirului.
Din teorema 2.5.2. rezult a c a pentru a demonstra divengent a unui  sir este su-
cient s a g asim e un sub sir care nu are limit a, e dou a sub siruri au limite distincte.
De exemplu,  sirul an= sinn
2; n2Neste un  sir neav^ and limit a, deoarece a2n=
sinn= 0!0; a2n+1= sin(2n+1)
2= (1)nnu are limit a. ^Ins aL(an) =f1;0;1g:
Teorem a 2.5.3 (Criteriul cu ϵ).
1.(an)n0este convergent la a2Rdac a  si numai dac a oricare ar  ϵ>0, exist a
un rangn0=n0(ϵ)2N, astfel ^ nc^ at
janaj<ϵ;
pentru orice nn0:
2.lim
n!1an= +1dac a  si numai dac a oricare ar  ϵ>0;exist an0=n0(ϵ)2N,
astfel ^ nc^ at oricare ar  n2N,nn0,s a aveman>ϵ:
3.lim
n!1an=1 dac a  si numai dac a oricare ar  ϵ>0;exist an0=n0(ϵ)2N,
astfel ^ nc^ at oricare ar  n2N,nn0,s a aveman<ϵ:
Teorem a 2.5.4. lim
n!1an=adac a  si numai dac a lim
n!1(ana) = 0:
De exemplu, s a demonstr am, folosind criteriul cu ϵc a:
1.lim
n!12n
2n+1= 1:
Fieϵ>0 arbitrar. Inegalitatea2n
2n+11<ϵse scrie echivalent,1
2n+1<ϵsau
n>1
2(1
ϵ1)
:Consider am
n0={0;dac a1
ϵ1<0[1
2(1
ϵ1)]
+ 1;dac aϵ0:
Atunci, ( 8)ϵ>0;(9)n0=n0(ϵ)2N, astfel ^ nc^ at2n
2n+11<ϵ; (8)nn0:2
2.lim
n!1(p
2)n= +1:
Fieϵ > 0 arbitrar. Inegalitatea(p
2)n> ϵ se scrie echivalent n > logp
2ϵ:
Consider am
n0={0;dac aϵ<1[
logp
2ϵ]
+ 1;dac aϵ1:
Atunci, ( 8)ϵ>0;(9)n0=n0(ϵ)2N, astfel ^ nc^ at(p
2)n>ϵ; (8)nn0:2

2.5. S IRURI CU LIMIT A. S IRURI CONVERGENTE 35
Teorem a 2.5.5.
lim
n!1an=8
>><
>>:+1;dac aa>1
1;dac aa= 1
0;dac aa2(1;1)
nu exist a, dac a a<1::
De exemplu, lim
n!1(
sin
10)n= 0;lim
n!1(

10)n= 0;lim
n!110n= 0;lim
n!1(10)nnu
exist a;deoarece sub sirul termenilor de rang par, 102n!+1, iar sub sirul termenilor
de rang impar, ( 10)2n+1! 1:
Denit ie 2.5.3. S irulan;n0;se nume ste  sir Cauchy (fundamental )dac a
oricare ar  ϵ >0;exist an0=n0(ϵ)2N,astfel ^ nc^ at pentru orice m; n2N; m;
nn0;s a avem
jamanj<ϵ:
De exemplu,  sirul an=∑n
k=01
2k,n2Neste un  sir Cauchy.
^Intr-adev ar, e ϵ>0, arbitrar. Atunci, pentru n; m2N,nm;avemm∑
k=11
2kn∑
k=11
2k=n∑
k=m1
2k=n∑
k=m1
2k=1
2m1(1
2)nm+1
11
2<
<1
2m1
 si, pun^ and condit ia1
2m1<ϵ, g asim
n0={0;dac aϵ>2
2 +[
log2(1
ϵ)]
;dac a 0<ϵ2:
Astfel, am g asit n0=n0(ϵ)2N, astfel ^ nc^ at oricare ar  m; n2N,m; nn0,
s a avem janamj<ϵ: Rezult a c a  sirul este Cauchy.
Observat ie 2.5.1. Fiind date  sirurile reale ( an)n2N si (bn)n2Ncu proprietatea c a
de la un rang n02N^ ncolo,an=bn;(8)nn0;aveman!a;^ nRdac a  si numai
dac abn!a;^ nR. Cu alte cuvinte, aceast a proprietate ne arat a c a putem da la o
parte un num ar nit de termeni ai  sirului, f ar a a afecta convergent a  sirului.
Teorem a 2.5.6 (Bolzano-Weierstrass) .Orice mult ime de numere reale m arginit a
 si innit a are cel put in un punct de acumulare.
Lem a 2.5.1 (Cesaro) .Orice  sir m arginit de numere reale cont ine un sub sir con-
vergent.
Folosind not iunea de  sir convergent, putem da alte caracteriz ari ale not iunilor de
punct de acumulare  si punct aderent.
Teorem a 2.5.7. FieAR si punctulx02R.Atuncix0este punct de acu-
mulare al mult imii Adac a  si numai dac a exist a un  sir (xn)n2NA,xn̸=x0, (8)
n2N,convergent la x0:

36 2. S IRURI DE NUMERE REALE
Teorem a 2.5.8. FieAR si punctulx02R.Atuncix0este punct aderent al
mult imiiAdac a  si numai dac a exist a un  sir (xn)n2NA,convergent la x0:
Teorem a 2.5.9. FieAR.AtunciAeste ^ nchis a dac a  si numai limita oric arui
 sir convergent din A, apart ine lui A:
2.6. Criterii de convergent  a
Teorem a 2.6.1. Orice  sir convergent este m arginit.
Reciproca nu este adev arat a. Exemplul standard ^ l reprezint a  sirul an= (1)n;
n2N, care este m arginit ( an2 f 1;1g), dar evident, nu are limit a.
Un analog al teoremei 2.6.1. ^ n cazul  sirurilor Cauchy este urm atorul.
Teorem a 2.6.2. Orice  sir Cauchy este m arginit.
Teorem a 2.6.3. Orice  sir Cauchy care cont ine un sub sir convergent va  con-
vergent, la aceea si limit a.
Teorem a 2.6.4. Orice  sir convergent este  sir Cauchy.
2.7. Rezultate de existent  a a limitei unui  sir
Teorem a 2.7.1 (Weierstrass) .
1.Orice  sir cresc ator  si m arginit superior ^ n Reste convergent la marginea
superioar a a mult imii termenilor s ai.
2.Orice  sir descresc ator  si m arginit inferior ^ n Reste convergent la marginea
inferioar a a mult imii termenilor s ai.
3.Orice  sir cresc ator (respectiv descresc ator)  si nem arginit are limita +1(re-
spectiv 1).
Teorema lui Weierstrass este ^ n sine doar un rezultat sucient pentru a deduce
existent a limitei unui  sir, nepreciz^ and nici un algoritm de determinare a limitei.
De exemplu,  sirul an=n
2n; n2Neste m arginit (deoarece 0 an1
2)  si este
descresc ator, deci va  convergent;  sirul bn=n2este un  sir nem arginit  si cresc ator,
deci va avea limita + 1;  sirulcn=n2este un  sir nem arginit  si descresc ator, deci
va avea limita 1:
Teorem a 2.7.2. Orice  sir monoton are limit a (nit a sau nu).
Teorem a 2.7.3 (Num arule).S irul cu termenul general an=(
1 +1
n)n; n2N
este un  sir convergent. Limita sa se noteaz a cu e.
Num arule= 2;71821828459045 :::2(2;3) este un num ar irat ional.
Teorem a 2.7.4 (Criteriul lui Cauchy de convergent  a) .Orice  sir Cauchy este  sir
convergent.
Teorem a 2.7.5 (S irul modulelor) .
1.Dac a (an)n2Neste convergent la a;atunci (janj)n2Neste convergent la jaj:
2.Dac a  sirul modulelor unui  sir este convergent la 0;atunci  sirul converge la 0
 si reciproc.

2.8. OPERAT II CU S IRURI 37
De exemplu,  sirul an=(1)n
n; n2Nare  sirul modulelor janj=1
n!0, de unde
obt inem c a an!0:
Teorem a 2.7.6 (Criteriul cle stelui) .Dac aan; bn; cn; n2Nsunt trei  siruri de
numere reale satisf ac^ and condit iile:
1)anbncn;(8)nn02N;
2) lim
n!1an= lim
n!1cn=b2R,
atunci  sirul bnare limit a  si, ^ n plus, lim
n!1bn=b:
De exemplu, e an=1
n3+1+1
n3+2+:::+1
n3+n. Atunci 0<an<n
n3+1; n2N, de
unde, folosind faptul c a lim
n!10 = lim
n!1n
n3+1= 0;rezult a c a lim
n!1an= 0:
Teorem a 2.7.7 (Criteriul comparat iei) .
1.Fie(an)n2Nun  sir de numere reale, (bn)n2Nun  sir de numere reale pozitive cu
limita 0 sia2Rastfel ^ nc^ at janaj bn;(8)n2N.Atunci lim
n!1an=a:
2.Fie(an)n2Nun  sir de numere reale, (bn)n2Nun  sir de numere reale cu limita
+1,astfel ^ nc^ at bnan;(8)n2N.Atunci, lim
n!1an= +1:
3.Fie(an)n2Nun  sir de numere reale, (bn)n2Nun  sir de numere reale cu limita
1,astfel ^ nc^ at anbn;(8)n2N.Atunci, lim
n!1an=1:
Teorem a 2.7.8 (Trecerea la limit a ^ n inegalit at i) .
Dac a lim
n!1an=a2R, lim
n!1bn=b2R sianbn, (8)nn02N,atunciab:
Corolar 2.7.1. Dac a lim
n!1an=a sianc, (8)nn02N,atunciac;
analog, dac a lim
n!1an=a sianc, (8)nn02N,atunciac:
Observat ie 2.7.1. ^In aplicat ii se poate ^ nt^ ampla ca an< bn;(8)n2N si cu
toate acestea, lim
n!1an= lim
n!1bn;cum este cazul  sirurilor an= 1+1
n+10 sibn= 1+1
n+1
care au ambele limita 1  si an<bn, (8)n2N:
2.8. Operat ii cu  siruri
Teorem a 2.8.1. Dac a dou a  siruri sunt convergente, atunci suma (dife- rent a )
lor este un  sir convergent la suma (diferent a )limitelor celor dou a  siruri:
lim
n!1an=a2R, lim
n!1bn=b2R=)lim
n!1(anbn) =ab:
Teorem a 2.8.2. Produsul dintre orice  sir convergent la 0 si orice  sir m arginit
este un  sir convergent la 0.
De exemplu, lim
n!11p
n2+1
cosn3
2n2+3= 0, deoarece lim
n!11p
n2+1= 0  sicosn3
2n2+31:
Teorem a 2.8.3. Produsul a dou a  siruri convergente este un  sir convergent la
produsul limitelor celor dou a  siruri:
lim
n!1an=a2R, lim
n!1bn=b2R=)lim
n!1(an
bn) =a
b:

38 2. S IRURI DE NUMERE REALE
Teorem a 2.8.4.
1.Dac aan!a2R sic2R,atunci lim
n!1(c
an) =c
a;
2.Dac aan!a2R,atunci lim
n!1(an) =a;
3.Dac aan!a2R sik2N,atunci lim
n!1ak
n=ak;
4.Dac aan!a2R sibn!b2R,atunci lim
n!1an
bn=a
b:
Teorem a 2.8.5. Dac aan>0;(8)nn0, lim
n!1an=a2(0;+1), lim
n!1bn=b2
R,atunci lim
n!1abnn=ab:
2.9. Alte teoreme utile
Teorem a 2.9.1.
1.Dac a lim
n!1an= 0 sian>0 (an<0), (8)nn0;atunci lim
n!11
an= +1(1):
2.Dac a lim
n!1an=a2R;atunci lim
n!1kpan=kpa,^ n ipoteza c akpan sikpasunt
denite.
3.Dac a lim
n!1an=a2R;atunci lim
n!1sinan= sina silim
n!1cosan= cosa.
4.Dac a lim
n!1an=a2R sian;a2Rn{
2+kjk2Z}
, (8)nn0;atunci lim
n!1tgan= tga.
5.Dac a lim
n!1an=a sian; a> 0, (8)nn0;atunci lim
n!1logban= logba,unde
b2(0;+1)nf1g:
6.Dac a lim
n!1an= 0 sian̸= 0, (8)nn0;atunci lim
n!1sinan
an= 1:
7.Dac a lim
n!1an= 0 sian̸= 0, (8)nn0;atunci lim
n!1tgan
an= 1:
Teorem a 2.9.2. Dac aan>0, (8)n0 si exist a
lim
n!1an+1
an=l2[0;1);
atunci
lim
n!1an= 0:
De exemplu,  sirul an=nqn;undeq2(0;1);este convergent la 0 :^Intr-adev ar,
evalu^ and
lim
n!1an+1
an= lim
n!1q(
1 +1
n)
=q2[0;1)
rezult a, dup a teorema 2.9.2 c a lim
n!1nqn= 0:Un rezultat analog se poate stabili  si
pentru cazul q2(1;1), evalu^ and lim
n!1an+1
an:
Teorem a 2.9.3. Dac aan,n2Neste un  sir de numere reale cresc ator, nem arginit
 sian̸= 0, (8)nn0;atunci lim
n!11
an= 0:

2.9. ALTE TEOREME UTILE 39
Teorem a 2.9.4 (Cesaro-Stolz) .Dac aan;bn;n2Nsunt dou a  siruri astfel ^ nc^ at
(bn)n2Neste cresc ator, nem arginit  si bn̸= 0;(8)nn0,iar
lim
n!1an+1an
bn+1bn=l2R;
atunci
lim
n!1an
bn=l:
Teorem a 2.9.5. Dac a (an)n2Ntinde laa, atunci
lim
n!1a1+a2+:::+an
n=a:
Armat ia reciproc a nu este adev arat a. De exemplu, dac a
an=1 + (1)n+1
2; n2N;
atunci (an)n2Nnu are limit a (deoarece an2 f0;1g; n2N), cu toate c a
lim
n!1a1+a2+:::+an
n=1
2:
Teorem a 2.9.6. Dac aan;n2Neste un  sir cu termenii strict pozitivi, ce tinde
laa,atunci
lim
n!1npa1
a2
:::
an=a:
Teorem a 2.9.7. Dac aan; n2Neste un  sir cu termenii strict pozitivi  si
lim
n!1an+1
an=a>0;atunci lim
n!1npan=a:
Teorem a 2.9.8. Dac a (an)n2Neste un  sir de numere reale, r2R si exist a
f: (r;+1)!R,astfel ^ nc^ at f(n) =an;(8)n2N\(r;+1) silim
x!1f(x) =a;
atunci lim
n!1an=a:
Teorem a 2.9.9.
1.lim
n!1an= +1 silim
n!1bn=b2Rimplic a lim
n!1(an+bn) = +1:
2.lim
n!1an=1  silim
n!1bn=b2Rimplic a lim
n!1(an+bn) =1:
3.lim
n!1an= +1 silim
n!1bn= +1implic a lim
n!1(an+bn) = +1:
4.lim
n!1an=1  silim
n!1bn= 1 implic a lim
n!1(an+bn) =1:
Astfel, putem adopta urm atoarele convent ii:
+1+b=b+1= +1;(8)b2R,
1 +b=b 1 =1;(8)b2R,
+1+1= +1;
1 1 =1:

40 2. S IRURI DE NUMERE REALE
Operat ia +1 1 nu este determinat a .
5.lim
n!1an= +1 silim
n!1bn=b̸= 0implic a
lim
n!1an
bn={
+1;dac ab>0
1;dac ab<0:
6.lim
n!1an= +1 silim
n!1bn= +1implic a lim
n!1an
bn= +1:
7.lim
n!1an=1  silim
n!1bn=1 implic a lim
n!1an
bn= +1:
8.lim
n!1an= +1 silim
n!1bn=1 implic a lim
n!1an
bn=1:
Astfel, putem adopta urm atoarele convent ii:
+1
b={
+1;dac ab>0
1;dac ab<0,
1
b={
1;dac ab>0
+1;dac ab<0,
(+1)
(+1) = + 1;
(1)
(1) = + 1:
Operat iile 0
(+1);(+1)
0;0
(1);(1)
0;nu sunt determinate .
9.Dac a  sirurile an; bn; n2Nau limit a  si dac a produsul limitelor celor dou a
 siruri are sens, atunci (an
bn)n2Nare limit a ,egal a cu produsul limitelor celor dou a
 siruri .
10. lim
n!1an=1  silim
n!1bn=b2Rimplic a lim
n!1bn
an= 0:
11. lim
n!1an=a2R silim
n!1bn= +1implic a
lim
n!1bn
an={
+1;dac aa>0
1;dac aa<0:
Astfel, putem adopta urm atoarele convent ii:
b
1= 0;(8)b2R,
+1
a={
+1;dac aa>0
1;dac aa<0:
Operat iile1
1;0
0nu sunt determinate .
12. Dac a  sirurile an; bn; n2Nau limit a  si dac a raportul limitelor celor dou a
 siruri are sens, atunci(
an
bn)
n2Nare limit a, egal a cu raportul limitelor celor dou a
 siruri .
13. lim
n!1an=a>1 silim
n!1bn= +1implic a lim
n!1abnn= +1:
14. lim
n!1an=a2(0;1) silim
n!1bn=1 implic a lim
n!1abnn= 0:

2.10. STUDIUL UNOR CAZURI EXCEPTATE 41
15. lim
n!1an=a>1 silim
n!1bn=1 implic a lim
n!1abnn= 0:
16. lim
n!1an=a2(0;1) silim
n!1bn=1 implic a lim
n!1abnn= +1:
17. lim
n!1an= +1 silim
n!1bn=b>0implic a lim
n!1abnn= +1:
18. lim
n!1an= +1 silim
n!1bn=b<0implic a lim
n!1abnn= 0:
19. lim
n!1an= 0;an>0; n2N silim
n!1bn= +1implic a lim
n!1abnn= 0:
Astfel, putem adopta urm atoarele convent ii:
a+1={
+1;dac aa>1
0;dac aa2(0;1);
a1={
0;dac aa>1
+1;dac aa2(0;1);
(+1)b={
+1;dac ab>0
0;dac ab<0;
0+1= 0:
Operat iile 00;11;11;(+1)0nu sunt determinate :
20. Dac a  sirurile an; bn; n2Nau respectiv limitele a; b2R si dac aabnn siab
sunt denite ,atunci(
abnn)
n2Nare limit a, egal a cu ab:
2.10. Studiul unor cazuri exceptate
Teorem a 2.10.1.
1.Fie(xn)n1cuxn=a0nk+a1nk1+:::+ankn+ak;ai2R,a0̸= 0 sik2N
xat.Atunci
lim
n!1xn= +1
a0:
2.Fie(xn)n1cuxn=a0nk+a1nk1+:::+ankn+ak
b0np+b1np1+:::+bnpn+bp;ai;bi2R,a0;b0̸= 0 sik;p2N
xat i. Atunci
lim
n!1xn=8
<
:+1a0
b0;dac an>p
a0
b0;dac an=p
0;dac an<p:
3.lim
n!1xn= +1implic a lim
n!1(
1 +1
xn)xn
=e:
4.lim
n!1xn=1 implic a lim
n!1(
1 +1
xn)xn
=e:
5.lim
n!1xn= 0implic a lim
n!1(1 +xn)1
xn=e:
6.lim
n!1xn= 1;lim
n!1yn= +1 silim
n!1(xn1)yn=limplic a lim
n!1xynn=el:
7.Dac aa>1 sik2Neste xat, atunci lim
n!1an
nk= +1:

42 2. S IRURI DE NUMERE REALE
8.Dac aa>1,atunci lim
n!1an
nn= 0:
9.Dac aan>0; n2N silim
n!1an= +1,atunci lim
n!1lnan
an= 0:
10. Dac aa>1; an>0; n2N silim
n!1an= +1,atunci lim
n!1logaan
an= 0:
11. Dac aa2(0;+1)nf1g silim
n!1an= 0, atunci lim
n!1aan1
an= lna:
12.Dac a lim
n!1an= 0, atunci lim
n!1(1+an)a1
an=a; a2R.
2.11. Exercit ii
(1)Cercetat i monotonia  si m arginirea ec aruia dintre  sirurile urm atoa- re:
a)an=n+2
n+3;n2N; b)bn=n+1
3n; n2N; c)cn= 2pn; n2N; d)dn=2n
n;
n2N; e)en=(2n1)!!
(2n)!!; n2N; f)fn=1
12+1
22+1
32+:::+1
n2; n2N; g)
gn=1
12+1
12+22+:::+1
12+22+:::+n2; n2N.
R:a) Se observ a c a an= 11
n+3, deci (an)n2Neste strict cresc ator; de
asemenea,an2(0;1);(8)n2N, deci (an)n2Neste m arginit;
b)bn=1
31
3n;deci (bn)n2Neste strict cresc ator; de asemenea, bn2(
2
3;0)
;(8)n2N, deci (bn)n2Neste m arginit;
c)cn< cn+1;(8)n2N, deci (cn)n2Neste strict cresc ator; de asemenea,
cn>0;(8)n2N,  sirul ind m argint inferior  si nem arginit superior;
d) Avemdn+1
dn=2n+1
n+1
2n
n=2n
n+11;(8)n2N, deci  sirul dneste strict
cresc ator; de asemenea, dn>0  si este nem arginit superior.
e) Avemen+1
en=(2n+1)!!
(2n+2)!!
(2n1)!!
(2n)!!=2n+1
2n+2<1;(8)n2N, deci  sirul este strict
descresc ator; de asemenea, en2(0;1);(8)n2N, deci  sirul este m arginit.
f) Evident, fn+1fn=1
(n+1)2>0;(8)n2N, deci  sirul este strict cresc ator;
pentru a ar ata m arginirea  sirului, avem fn>0;n2N si apoi t inem cont de
relat ia
1
k2<1
k(k1)=1
k11
k;(8)k2;
pentruk= 2;3;:::;n , din relat ia precedent a, obt inem
1
22<1
11
2
1
32<1
21
3:::::::::::
1
n2<1
n11
n

2.11. EXERCIT II 43
 si, adun^ and membru cu membru relat iile rezultate, g asim
fn=1
12+1
22+1
32+:::+1
n2<1
12+(
11
n)
= 21
n<2;(8)n2N;
de unde deducem o margine superioar a, 2 ;a  sirului.
Observat ie 2.11.1. Se arat a c a
lim
n!11
12+1
22+1
32+:::+1
n2=2
6:
g)
1
12+1
12+ 22+:::+1
12+ 22+:::+n2<fn
de unde rezult a gn2(0;2);(8)n2N:Pentru monotonie, este evident c a
gn+1gn=1
12+22+:::+(n+1)2>0;(8)n2N si deci  sirul este strict cresc ator.
(2)Dac aan! 1;ce se poate spune despre lim
n!1sinan?
R:^In genere nu exist a. De exemplu, pentru an=n
2;n2N, avem lim
n!1an=
+1, iar
lim
n!1sinan= lim
n!1sinn
2=
=8
>>>><
>>>>:lim
k!1sin 2k= 0;dac an= 4k
lim
k!1sin(
2k+
2)
= 1;dac an= 4k+ 1
lim
k!1sin (2k+) = 0;dac an= 4k+ 2
lim
k!1sin(
2k+3
2)
=1;dac an= 4k+ 3
 si deci lim
n!1sinannu exist a.
(3)Determinat i termenul general al  sirului ( an)n2N;denit prin a1= 1;an+1=
an+(1
2)n; n2N.

44 2. S IRURI DE NUMERE REALE
R:Avem
an=an1+(1
2)n1
=an2+(1
2)n2
+(1
2)n1
=:::=
=a1+(1
2)1
+(1
2)2
+:::+(1
2)n1
=
=a1+1
2
1(1
2)n1
11
2=a1+(
1(1
2)n1)
=
= 2(1
2)n1
;(8)n2N:
(4)Demonstrat i c a  sirul denit recurent prin x0̸= 0; x0̸= 1; xn+1=1+xn
1xn;
n2Neste periodic.
R:Avem succesiv,
xn+2=1+xn+1
1xn+1=1+1+xn
1xn
11+xn
1xn=1
xn;
xn+3=11
xn
1+1
xn=xn1
xn+1;
xn+4=1+xn1
xn+1
1xn1
xn+1=2xn
2=xn;(8)n2N,
deci  sirul este peridic de perioad a 4 :
(5)Ar atat i c a  sirul denit prin relat ia de recurent  a x1; x22R sixn+1+xn+
xn1= 0; n2 este m arginit.
R:Din ipotez a g asim relat iile
xn+1+xn+xn1= 0
 si
xn+2+xn+1+xn= 0;
de unde, prin sc adere membru cu membru, obt inem
xn+2=xn1;(8)n2:
Acest fapt ne conduce la concluzia c a  sirul este periodic, de perioad a 2 ;deci
va  m arginit, deoarece xn2 fx1;x2g; n2N:
(6)Scriet i sub sirurile  sirului xn= 1 +(1)ncosn
n; n2N:
R:Deoarece cos n= (1)n;rezult a c axn= 1 +1
n;(8)n2N:
(7)Consider am vecin atatea V=(
1
10;1
10)
2V(0). C^ at i termeni ai  sirurilor
urm atoare nu se g asesc ^ n V?
a)an=(1)n
n; n2N; b)bn=n
n2+1; n2N.

2.11. EXERCIT II 45
R:a) Punem condit ia ca an=(1)n
n={1
n; npar
1
n; nimpars a nu apart in a lui
V=(
1
10;1
10)
; din inegalit at ile1
n1
10 si1
n 1
10deducemn10, deci
^ n afara lui Vse vor g asi 10 termeni ai  sirului;
b) Din condit ia bn=n
n2+1=2(
1
10;1
10)
;echivalent a cun
n2+11
10, obt inem
inecuat ia
n210n+ 10; n2N:
(termenulb0= 0 l-am exclus, deoarece 0 2V). Rezolv^ and-o, g asim
n2[
5p
24;5 +p
24]
\N=f1;2;:::9g;
deci ^ n afara lui Vse vor g asi 9 termeni ai  sirului bn.
(8)Precizat i care dintre urm atoarele  siruri au limit a:
a)an= sinn
2; n2N; b)bn= sinn; n 2N;
c)cn={1
n;dac aneste par
0;dac aneste impar;
d)dn={1
n;dac aneste par
1;dac aneste impar:
R:a) Deoarece
an=8
>><
>>:0;dac an= 4k
1;dac an= 4k+ 1
0;dac an= 4k+ 2
1;dac an= 4k+ 3;
evident,  sirul annu poate avea limit a.
b)bn= sinn= 0;oricare ar  n2N, deci lim
n!1bn= 0:
c) lim
n!1cn= 0:
d) Avem lim
n!1d2n= lim
n!11
2n= 0  si lim
n!1d2n+1= lim
n!11 = 1, deci  sirul dnnu
are limit a.
(9)G asit i mult imea limitelor (ale sub sirurilor)  sirurilor:
a)an=1+(1)n
2+ (1)n
n
2n+1; n2N;
b)bn=n2
(1)n
n; n2N;
c)cn=1
n
n(1)n+ sinn
2; n2N.
R:a) Avem
an={1 +2k
4k+1;dac an= 2k
2k+1
4k+3;dac an= 2k+ 1:

46 2. S IRURI DE NUMERE REALE
Deoarece 1 +2k
4k+1!3
2 si2k+1
4k+3! 1
2, rezult a c a L(an) ={
1
2;3
2}
:
b) Avem
an={2k;dac an= 2k
1
(2k+1)3;dac an= 2k+ 1:
Rezult ab2k!+1 sib2k+1!0; deciL(bn) =f0;+1g:
c) Avem
cn=8
>><
>>:1;dac an= 4k
1
(4k+1)2+ 1;dac an= 4k+ 1
1;dac an= 4k+ 2
1
(4k+3)21;dac an= 4k+ 3:
Deoarece 1 !1;1
(4k+1)2+ 1!1,1
(4k+3)21! 1;rezult a c aL(cn) =
f1;1g:
(10) S a se arate, folosind criteriul cu ϵ;c a  sirul cu termenul general
xn=n2+ 1
2n21; n2N
are limita1
2:
R:Fieϵ>0 arbitrar. Inegalitatea
n2+ 1
2n211
2<ϵ
este echivalent a cu √
3
ϵ+1
2<n:
Aleg^ andn0=[√
3
ϵ+1
2]
+ 1;criteriul cu ϵeste satisf acut.
(11) S a se studieze convergent a  sirului an=npa; a> 0; n2N.
R:Fiea>1 arbitrar. Din Principiul lui Arhimede aplicat numerelor a1>
0  siϵ>0, rezult a c a exist a n12N, astfel ^ nc^ at a1<n 1
ϵ:Consider am
nn1 si rezult a c a a<1+n1
ϵ<(1 +ϵ)n:Astfel, 1 ϵ<1<npa<1+ϵ,
pentru orice nn1 si deci lim
n!1npa= 1:
Cazul c^ and a2(0;1) se reduce la cazul precedent, prin conside- rarea lui
b:=1
a>1:
(12) Folosind criteriul cle stelui, demonstrat i c a
a) lim
n!1(1
n2+1+2
n2+2+:::+n
n2+n)
=1
2;
b) lim
n!1(sin 1
n2+1+sin 2
n2+1+:::+sinn
n2+1)
= 0;
c) lim
n!1(
1p
n2+1+1p
n2+2+:::+1p
n2+n)
= 1;

2.11. EXERCIT II 47
d) lim
n!1npn= 1;
e) lim
n!1np1p+ 2p+:::+np= 1; p> 0;
f) lim
n!1n√
1 +p
2 +p
3 +:::+pn= 1:
R:a) Avem
1 + 2 +:::+n
n2+n<1
n2+ 1+2
n2+ 2+:::+n
n2+n<1 + 2 +:::+n
n2+ 1
 si cum1+2+:::+n
n2+n=n(n+1)
2
n2+n!1
2,1+2+:::+n
n2+1=n(n+1)
2
n2+1!1
2, rezult a c a
lim
n!1(1
n2+ 1+2
n2+ 2+:::+n
n2+n)
=1
2:
b) Avem
n
n2+n<sin 1
n2+ 1+sin 2
n2+ 1+:::+sinn
n2+ 1<n
n2+ 1
 si, cumn
n2+n!0;n
n2+n!0, rezult a c a
lim
n!1(sin 1
n2+ 1+sin 2
n2+ 1+:::+sinn
n2+ 1)
= 0:
c) Avem
np
n2+n<1p
n2+ 1+1p
n2+ 2+:::+1p
n2+n<np
n2+ 1
 si, cumnp
n2+n!1;np
n2+1!1, rezult a c a
lim
n!1(1p
n2+ 1+1p
n2+ 2+:::+1p
n2+n)
= 1:
d) Deoarece
1npn=n√
1
1
:::
1|{z}
n2 ori
pn
pninegalitatea

mediilor
1 + 1 +:::+ 1|{z}
n2 ori+pn+pn
n=n2 + 2pn
n
 si, cum 1 !1;n2+2pn
n!1;rezult a c a
lim
n!1npn= 1:

48 2. S IRURI DE NUMERE REALE
e) Avem inegalit at ile
1<np
1p+ 2p+:::+np<np
n
np
 si, cum 1 !1,np
np+1= (npn)p+1!1, rezult a c a
lim
n!1np
1p+ 2p+:::+np= 1; p> 0:
f) Avem inegalit at ile
1<n√
1 +p
2 +p
3 +:::+pn<n√
n
pn
 si, cum 1 !1,n√
n
pn= (npn)3
2!1, rezult a c a
lim
n!1n√
1 +p
2 +p
3 +:::+pn= 1:
(13) Demonstrat i, folosind criteriul lui Cauchy de convergent  a, c a  sirul
xn=cos 1!
1
2+cos 2!
2
3+:::+cosn!
n
(n+ 1); n2N
este convergent.
R:^Intr-adev ar, e ϵ>0 arbitrar. Pentru n; m2N; nm;avem
jxnxmj=cos (m+ 1)!
(m+ 1)
(m+ 2)+cos (m+ 2)!
(m+ 2)
(m+ 3)+:::+
:::+cosn!
n
(n+ 1)
1
(m+ 1)
(m+ 2)+1
(m+ 2)
(m+ 3)+:::+
+1
n
(n+ 1)
=(1
m+ 11
m+ 2)
+(1
m+ 21
m+ 3)
+:::+
+(1
n1
n+ 1)
=1
m+ 11
n+ 1<1
m+ 1:

2.11. EXERCIT II 49
Prin urmare, pun^ and condit ia1
m+1< ϵ, g asimn0=[1
ϵ]
+ 1;astfel ^ nc^ at
oricare ar  nmn0, avem
jxnxmj<ϵ:
Rezult a c a  sirul xneste  sir Cauchy, deci convergent.
(14) Folosind criteriul comparat iei, ar atat i c a
a) lim
n!11
2n2+n+1= 0;
b) lim
n!1(1)n
n= 0;
c) lim
n!1sinn
n= 0;
d) lim
n!1(
1 +1
2+:::+1
n)
= +1:
R:a) Avem 0<1
2n2+n+1<1
n;(8)n2N;deci lim
n!11
2n2+n+1= 0:
b) Avem(1)n
n=1
n!0;deci lim
n!1(1)n
n= 0:
c) Avemsinn
n1
n!0;deci lim
n!1sinn
n= 0:
d) Se cunosc inegalit at ile
(
1 +1
n)n
<e<(
1 +1
n)n+1
;(8)n2N.
Rezult a
ln (n+ 1)lnn<1
n
 si, urm^ and un rat ionament similar celui de la exercit iul 1.f), rezult a
ln (n+ 1)<1 +1
2+:::+1
n:
Cum lim
n!1ln (n+ 1) = + 1;rezult a c a lim
n!1(
1 +1
2+:::+1
n)
= +1:
(15) G asit i limitele  sirurilor:
a)an= 0;25n+ 0;5n+ 0;75,n2N;
b)bn=2n+3n
4n; n2N;
c)cn= cosn
4,n2N.
R:a) lim
n!1an= 0;75:
b)
lim
n!1bn= lim
n!12n+ 3n
4n= lim
n!13n[(2
3)n+ 1]
4n=
= lim
n!1(3
4)n[(2
3)n
+ 1]
= 0:

50 2. S IRURI DE NUMERE REALE
c) lim
n!1cn= 0:
(16) A
at i limitele  sirurilor:
a)an=∑n
k=11
4k21,n2N;
b)bn=∑n
k=1k
(k+1)!,n2N.
R:a) Avem
an=1
2n∑
k=1(1
2k11
2k+ 1)
=
=1
2[(1
11
3)
+(1
31
5)
+:::+(1
2n11
2n+ 1)]
=1
2(
11
2n+ 1)
!1
2:
b) Avem
bn=n∑
k=1(k+ 1)1
(k+ 1)!=n∑
k=1[1
k!1
(k+ 1)!]
=
=n∑
k=1[(1
1!1
2!)
+(1
2!1
3!)
+:::+(1
n!1
(n+ 1)!)]
=
= 11
(n+ 1)!!0:
(17) Calculat i lim
n!11p+2p+:::+np
np+1; p2N.
R:Aplic am teorema Cesaro-Stolz  sirurilor an= 1p+2p+:::+np sibn=np+1:
Pentru aceasta, s a evalu am
l:= lim
n!1an+1an
bn+1bn= lim
n!1(n+ 1)p
(n+ 1)p+1np+1:
Dezvolt^ and cu formula binomului lui Newton, g asim
l= lim
n!1np+C1
pnp1+:::+ 1
C1
p+1np+C2
p+1np1+:::+ 1=1
C1
p+1=1
p+ 1:
Rezult a
lim
n!1an
bn=1
p+ 1:

2.11. EXERCIT II 51
(18) Se consider a matricea A=(
a b
b a)
;cua;b2R,a2+b2<1:S a se arate
c aAn=(
anbn
bnan)
;n2N, unde  sirurile an sibnsunt convergente la 0 :
R:Not^ anda=cos sib=sin;unde2(0;1); 2[0;2);prin
induct ie mtematic a se arat a c a
An=(
ncosn nsinn
nsinn ncosn)
; n2N:
De aici,an:=ncosn!0;deoarece2(0;1) implic a n!0, iar
(cosn)n2Neste un  sir m arginit  si bn:=nsinn!0;deoarece2(0;1)
implic an!0, iar (sinn)n2Neste un  sir m arginit.
(19) Calculat i lim
n!11+a+:::+an
1+b+:::+bn;dac aa; b2(1;1):
R:Avem
lim
n!11 +a+:::+an
1 +b+:::+bn= lim
n!11an+1
1a
1bn+1
1b=1b
1a;
deoarecea; b2(1;1) implic aan+1!0  sibn+1!0.
(20) Fie  sirulxn; n2N. Ar atat i c a
xn!0() jxnj !0()x2
n!0:
R:Se arat a imediat folosind criteriul cu ϵ.
Echivalent a xn!0() jxnj ! 0 este cuprins a de altfel ^ n teorema 2.7.5
enunt ul 2.Echivalent a jxnj !0()x2
n!0 se bazeaz a pe relat ia√
x2
n=
jxnj:
(21) Demonstrat i c a oricare ar   sirul de numere reale xn; n2N;dac a
lim
n!1×2
1+x2
2+:::+x2
n
n= 0;
atunci
lim
n!1×1+x2+:::+xn
n= 0:
Armat ia reciproc a r am^ ane adev arat a ?
R:Folosind inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz pentru n-uplurile (x1;x2;:::;xn)
 si (1;1;:::;1), obt inem
(x1
1 +x2
1 +:::+xn
1)2n
(
x2
1+x2
2+:::+x2
n)
;

52 2. S IRURI DE NUMERE REALE
de unde rezult a
0(x1+x2+:::+xn
n)2
x2
1+x2
2+:::+x2
n
n:
Folosind ipoteza lim
n!1×2
1+x2
2+:::+x2
n
n= 0;din criteriul cle stelui deducem
lim
n!1(x1+x2+:::+xn
n)2
= 0:
Aplic^ and rezultatul cuprins ^ n exercit iul 20, g asim
lim
n!1×1+x2+:::+xn
n= 0:
Armat ia reciproc a nu este adev arat a. Un contraexemplu ^ l repre- zint a
 sirulxn= (1)n; n2N. Pentru acest  sir,
lim
n!1×1+x2+:::+xn
n= 0;
deoarece la num ar ator avem 1 sau 1 (deci num ar atorul este un  sir m arginit),
^ n timp ce numitorul tinde la + 1:Pe de alt a parte,
lim
n!1×2
1+x2
2+:::+x2
n
n= lim
n!11 + 1 +:::+ 1
n= lim
n!1n
n= 1̸= 0:
(22) Se consider a x12[1;2]  sixn+1=x2
n2xn+ 2;n2N:Demonstrat i c a  sirul
xneste convergent  si a
at i lim
n!1xn:
R:Este evident c a dac a x1= 1 saux1= 2;atuncixn+1= 1 sauxn+1= 2;
(8)n2N.
Se observ a c a xn+1= (xn1)2+ 11;(8)n2N;deci  sirul este m arginit
inferior de 1 :
Consider am funct ia f: (1;2)!R,f(x) =x22x+2;care este cresc atoare
pe (1;2):Deoarece
x1> x 2()x1>x2
12×1+ 2()
()x2
13×1+ 2<0() (x11) (x12)<0;
atunci, prin induct ie matematic a rezult a c a  sirul este descresc ator. Prin
urmare, va  convergent. Fie x:= lim
n!1xn:
Fac^ andns a tind a la + 1^ n relat ia de recurent  a din enunt , obt inem
x=x22x+ 2
sau
(x1) (x2) = 0;

2.11. EXERCIT II 53
cu solut iile x= 1 saux= 2:Din pricina faptului c a  sirul este descresc ator,
r am^ ane c ax= 1:
(23) Dac a  sirurile an; bn; n2Nsatisfac condit iile
1) 0<a 0<b 0;
2)an=√
an1
bn1 sibn=an1+bn1
2;(8)n1;
ar atat i c a  sirurile an sibnsunt convergente  si au aceea si limit a.
R:Prin induct ie matematic a se demonstreaz a c a
a0<a 1<:::<a n1<an<bn<bn1<:::<b 1<b 0;
oricare ar  n2N.
Rezult a c a  sirul an(bn) este convergent, ind cresc ator
(descresc ator)  si m arginit superior (inferior), de exemplu de b0(a0):Fie
a:= lim
n!1an sib:= lim
n!1bn:F ac^ andns a tind a la + 1^ n relat iile de recurent  a
din enunt , g asim
a=p
a
b sib=a+b
2:
De aici rezult a a=b:
(24) Studiat i convergent a  sirului xn; n2Ndenit prin x0= 1; x1= 2; xn+2=pxn+1
xn;(8)n2N.
R:Prin induct ie matematic a rezult a imediat c a xn>0;(8)n2N. S a
logaritm am, de exemplu ^ n baza e;relat ia de recurent  a din enunt . Rezult a,
cu notat iayn:= lnxn;
yn+2=1
2yn+1+1
2yn; n2N.
D am valori lui n:=n; n1;:::;0  si g asim
yn+2=1
2yn+1+1
2yn;
yn+1=1
2yn+1
2yn1;
yn=1
2yn1+1
2yn2;
:::::::::::
y4=1
2y3+1
2y2;
y3=1
2y2+1
2y1;
y2=1
2y1+1
2y0;

54 2. S IRURI DE NUMERE REALE
de unde, prin adunare membru cu membru, rezult a
yn+2+1
2yn+1=y1+1
2y0; n2N
sau
yn+2=1
2yn+1+ ln 2:
F ac^ andu-l pe n:=n; n1;…, 0;obt inem
yn+2=1
2yn+1+ ln 2;
yn+1=1
2yn+ ln 2;
yn=1
2yn1+ ln 2;
::::::::::::::
y4=1
2y3+ ln 2;
y3=1
2y2+ ln 2;
y2=1
2y1+ ln 2:
^Inmult im a doua relat ie cu 1
2;a treia relat ie cu1
22 s.a.m.d., p^ an a la ultima
relat ie pe care o ^ nmult im cu ( 1)n(1
2)n:Dup a adunarea din nou membru
cu membru a noilor relat ii deduse, rezult a
yn+2= ln 2[
1 +(
1
2)1
+:::+(
1
2)n
+(
1
2)n+1]
=
= ln 2
1(
1
2)n+2
1(
1
2):
De aici,
lim
n!1yn=2
3
ln 2:
Concluzia este c a  sirul xneste convergent la e2
3
ln 2= 41
3:
(25) Studiat i convergent a  sirului
x1=p
1a; xn+1=p
1xn; n2N;
undea2(0;1):
R:Observ am c a xn0  si
xnxn+1()x2
n+xn10

2.11. EXERCIT II 55
 si
xnxn+1()x2
n+xn10:
Rezult a c a
xnxn+1()xn2[
0;p
51
2]
 si
xnxn+1()xn2[p
51
2;1]
:
Distingem astfel trei cazuri.
Cazul 1. Dac aa2(p
51
2;1)
;atunci
x1=p
1a<p
51
2;
x2=p
1x1>p
51
2;
x3=p
1x2<p
51
2;
:::::::::::
Rezult a c a ( x2k+1)k2N(
0;p
51
2)
 si (x2k)k2N(p
51
2;1)
;ceea ce ne
arat a c a
x2k+1<x 2x+3 six2k>x 2k+2; k2N:
Astfel, avem urm atoarea reprezentare
0<x 1<x 3<:::<p
51
2<:::<x 4<x 2<1:
Sub sirurile termenilor de rang par  si de rang impar ind monotone  si m arginite
sunt deci convergente. Fie l1:= lim
k!1x2k+1 sil2:= lim
k!1x2k. F ac^ andu-l pe
n= 2k sin= 2k+1  si apoik! 1 ^ n relat ia de recurent  a, obt inem sistemul
{
l1=p1l2
l2=p1l1;
cu unica solut ie l1=l2=p
51
2:
Concluzia este c a dac a a2(p
51
2;1)
, atunci  sirul xn;n2Neste convergent
 si
lim
n!1xn=p
51
2:

56 2. S IRURI DE NUMERE REALE
Cazul 2. Dac aa2(
0;p
51
2)
;atunci avem reprezentarea
0<x 2<x 4<:::<p
51
2<:::<x 3<x 1<1;
obt in^ and aceea si concluzie.
Cazul 3. Dac aa=p
51
2, atunci  sirul este constant, xn=p
51
2; n2N,
av^ and limita totp
51
2:
(26) S a se studieze convergent a  sirului denit recurent prin
x1= 1; xn+1=p
1 +xn; n2N:
R:Acest  sir este asem an ator cu cel tratat ^ n teorie la sect iunile de  siruri
monotone  si  siruri m arginite.
Vom aborda aici o alt a idee de a demonstra convergent a  sirului.
Din relat iile
x2
n+1= 1 +xn;
x2
n= 1 +xn1;
rezult a, prin sc adere membru cu membru,
x2
n+1x2
n= (1 +xn)(1 +xn1) =xnxn1:
Rezult a, urm^ and un procedeu de induct ie, c a  sirul este cresc ator.
De asemenea, din relat ia
x2
n+1= 1 +xn;
g asim succesiv,
1<xn+1=1 +xn
xn+1<1 +xn+1
xn+1=1
xn+1+ 1<2;
de unde rezult a c a  sirul este m arginit.
Concluzia este c a  sirul, ind monoton  si m arginit, este convergent.
Fiel:= lim
n!1xn:F ac^ and pe n! 1 ^ n relat ia de recurent  a din enunt ,
obt inem
l=p
1 +l
 si astfelxva  r ad acina pozitiv a a ecuat iei x2= 1 +x;adic a
l=1 +p
5
2:
Observat ie 2.11.1. Acest exercit iu poate  privit  si sub urm ato- rul aspect:

2.11. EXERCIT II 57
ind datϵ > 0, se cere s a se determine o valoare aproximativ a a solut iei
pozitive a ecuat iei
x2= 1 +x;
cu o eroare mai mic a dec^ at ϵ:Acest fapt revine la a g asi un  sir xn; n2N,
care s a e convergent la r ad acina c autat a, x:

CAPITOLUL 3
Serii de numere reale
3.1. Denit ii  si notat ii
Consider am ( xn)n2Nun  sir de numere reale.
Denit ie 3.1.1. Numim  sirul sumelor part iale asociat  sirului xn sirul
s0=x0; s1=x0+x1;:::; sn=x0+x1+:::+xn;:::
Serie de numere reale av^ and termenul general xneste perechea(
(xn)n2N;(sn)n2N)
 si se noteaz a cu∑
n0xn:
Seria∑
n0xnse nume ste c onvergent a dac a  sirul sumelor part iale este conver-
gent ^ n R.Dac a  sirul sumelor part iale este divergent, seria se nume ste divergent a .
Dac a seria∑
n0xneste convergent a, suma ei este num arul s:= lim
n!1sn2R,
 si se utilizeaz a notat ia s:=∑
n0xn=∑1
n=0xn:
De exemplu, s a consider am seria∑1
n=01
2n= 1 +1
2+1
22+:::+1
2n+::::Atunci  sirul
sumelor part iale este sn=11
2n
11
2 si cum lim
n!1sn= 2;seria va  convergent a, av^ and
sumas= 2:
Alt exemplu de serie convergent a ^ l constituie seria 1 +∑1
n=11
n!, av^ and suma e:
^In general, dac a r2R, seria∑1
n=0rn= 1 +r+r2+:::+rn+:::se nume ste
seria geometric a de rat ier:S irul sumelor part iale va  s0= 1; s1= 1 +r; sn=
1 +r+:::+rn, deci
sn={1rn+1
1r;dac ar̸= 1
n+ 1;dac ar= 1;
obt in^ and astfel lim
n!1sn=1
1r;dac ajrj<1;^ n acest caz seria geometric a ind
convergent a.
Observat ie 3.1.1. Termenul init ial al seriei poate avea rangul 0 sau 1 sau orice
num ar natural k, dup a cum mult imea pe care se indiciaz a seria este N0,N1sauNk.
De exemplu, seria∑1
n=1(1)n1= 11 +:::aresn= 0 sau 1, dup a cum neste
par sau impar. Deci, seria va  divergent a.
Dac a seria∑1
n=0xneste convergent a, restul∑1
k=nxkeste un  sir convergent la 0 ;
c^ andn! 1:
Observat ie 3.1.2. Dac a seria∑1
n=0xneste convergent a, atunci xn!0:
59

60 3. SERII DE NUMERE REALE
Reciproc nu este adev arat. Un exemplu ^ l constituie cazul  sirului dac a xn=1
n!
0  si∑1
n=11
neste divergent a.
^Ins a, dac axn̸!0;atunci∑1
n=0xneste divergent a.
Propozit ie 3.1.1.
1.Suma termen cu termen a dou a serii de aceea si natur a este o serie de aceea si
natur a.
2.^Inmult ind cu un num ar real o serie, natura seriei nu se modic a.
3.Elimin^ and sau ad aug^ and un num ar nit de teremeni ai unei serii, natura
seriei nu se modic a (doar suma se schimb a la seriile convergente ).
3.2. Criterii de convergent  a pentru serii cu termenii pozitivi
Propozit ie 3.2.1 (Criteriul lui Cauchy de convergent  a) .O serie∑1
n=0xneste
convergent a dac a  si numai dac a (8)ϵ >0;(9)n0=n0(ϵ)2N,astfel ^ nc^ at (8)n;
m2N,nm,avemn∑
k=m+1xk<ϵ:
Seria armonic a generalizat a∑1
n=11
npeste convergent a pentru p>1  si diver-
gent a pentru p1:Pentrup= 1, seria∑1
n=11
nse nume ste serie armonic a .
Propozit ie 3.2.2 (Primul criteriu de comparat ie) .Fie seriile cu termenii pozitivi∑1
n=0an si∑1
n=0bn, cu proprietatea c a exist a un rang n02Nastfel ^ nc^ at anbn;
nn0:
Atunci:
1)∑1
n=0bnconvergent a implic a∑1
n=0anconvergent a .
2)∑1
n=0andivergent a implic a∑1
n=0bndivergent a .
De exemplu,∑1
n=01
2n+1este convergent a, deoarece1
2n+1<1
2n si∑1
n=01
2neste
convergent a;∑1
n=21
lnneste divergent a, deoarece1
lnn>1
n si∑1
n=21
neste divergent a.
Propozit ie 3.2.3 (Al doilea criteriu de comparat ie) .Fie seriile cu termenii
pozitivi∑1
n=0an si∑1
n=0bn, cu proprietatea c a exist a un rang n02Nastfel ^ nc^ at
an+1
anbn+1
bn; nn0:
Atunci:
1)∑1
n=0bnconvergent a implic a∑1
n=0anconvergent a .
2)∑1
n=0andivergent a implic a∑1
n=0bndivergent a.
De exemplu,∑1
n=2(2pe) (23pe) (2npe) este divergent a, deoa- rece
an+1
an= 2n+1pe>2n+1√(
1 +1
n)n+1
=n1
n=1
n
1
n1
 si∑1
n=21
neste divergent a.

3.2. CRITERII DE CONVERGENT  A PENTRU SERII CU TERMENII POZITIVI 61
Propozit ie 3.2.4 (Al treilea criteriu de comparat ie) .Fie seriile cu termenii
pozitivi∑1
n=0an si∑1
n=0bn. Dac al:= lim
n!1an
bnexist a, este nit a  si nenul a, atunci
∑1
n=0an si∑1
n=0bnau aceea si natur a.
De exemplu,∑1
n=11
nnpneste divergent a, deoarece
lim
n!11
nnpn
1
n= 1
 si∑1
n=11
neste divergent a.
Propozit ie 3.2.5 (D'Alembert) .Fie seria cu termenii strict pozitivi∑1
n=0an
cu proprietatea c a exist a lim
n!1an+1
an=l:Atunci:
1)dac al<1;seria∑1
n=0aneste convergent a ;
2)dac al>1;seria∑1
n=0aneste divergent a ;
3)dac al= 1;natura seriei∑1
n=0anpoate  oricare .
De exemplu, seria∑1
n=0n
(n+1)!este convergent a, deoarece
lim
n!1an+1
an= lim
n!1n+ 1
n(n+ 2)= 0<1:
Propozit ie 3.2.6 (Criteriul r ad acinii al lui Cauchy) .Fie seria cu termenii strict
pozitivi∑1
n=0ancu proprietatea c a exist a lim
n!1npan=l:Atunci:
1)dac al<1;seria∑1
n=0aneste convergent a;
2)dac al>1;seria∑1
n=0aneste divergent a ;
3)dac al= 1;natura seriei∑1
n=0anpoate  oricare .
De exemplu, seria∑1
n=1(n+1
n)n2

an; a> 0 ne conduce la
lim
n!1npan=a
e:
Pentrua <1
e;seria este convergent a, pentru a >1
eseria este divergent a. Pentru
a=1
e, obt inem
lim
n!1(n+1
n)n2
enlim
n!1(n+1
n)n2
(
1 +1
n)n(n+1)1
e
 si astfel seria este divergent a.
Propozit ie 3.2.7 (Criteriul Raabe-Duhamel) .Fie seria cu termenii strict poz-
itivi∑1
n=0ancu proprietatea c a exist a lim
n!1n(
an
an+11)
=l:Atunci:
1)dac al>1;seria∑1
n=0aneste convergent a;
2)dac al<1;seria∑1
n=0aneste divergent a ;
3)dac al= 1;natura seriei∑1
n=0anpoate  oricare .

62 3. SERII DE NUMERE REALE
De exemplu, seria∑1
n=1(2n1)!!
(2n)!!;unde (2n1)!! = 1
3
5
:::
(2n1)  si (2n)!! =
2
4
6
:::
(2n) ne conduce la
lim
n!1n(an
an+11)
=1
2<1;
de unde tragem concluzia c a seria este divergent a.
3.3. Criterii de convergent  a pentru serii cu numere reale
Criteriul lui Abel. Fie∑1
n=0o serie de numere reale cu  sirul sumelor part iale
m arginit  si e (an)n2Nun  sir de numere reale monoton des- cresc ator la 0:Atunci
seria∑1
n=0anxneste convergent a.
De exemplu, pentru seria∑1
n=1sinnx
np; p> 0; x2(0;) avem
xn= sinnx; n 2N;
ce formeaz a un  sir av^ and  sirul sumelor part iale,
n∑
k=1xk= sinx+ sin 2x+:::+ sinnx
m arginit; ^ ntr-adev ar, not^ and
S1n= cosx+ cos 2x+:::+ cosnx;
S2n= sinx+ sin 2x+:::+ sinnx;
avem

3.3. CRITERII DE CONVERGENT  A PENTRU SERII CU NUMERE REALE 63
S1n+iS2n
= (cosx+isinx) + (cosx+isinx)2+:::+ (cosx+isinx)n=
:not=z+z2+:::+zn=z1zn
1z=
= (cosx+isinx)1cosnxisinnx
1cosxisinx=
= (cosx+isinx)2 cos2nx
22isinnx
2cosnx
2
2 cos2x
22isinx
2cosx
2=
= (cosx+isinx)cosnx
2(
cosnx
2isinnx
2)
cosx
2(
cosx
2isinx
2)=
= (cosx+isinx)cosnx
2[
cos(
nx
2)
+isin(
nx
2)]
cosx
2[
cos(
x
2)
+isin(
x
2)]=
=cosnx
2
cosx
2[
cos(
xnx
2+x
2)
+isin(
xnx
2+x
2)]
;
de unde jS2nj=cosnx
2
cosx
2sin(
xnx
2+x
2)1
jcosx
2j:
De asemenea,
an=1
np; n2N
este un  sir descresc ator la 0 :Rezult a c a seria este convergent a.
Denit ie 3.3.1. Seria cu termenii reali (av^ and termenii cu semnele altern^ and),∑
n2N(1)nan, undean0; n2N, se nume ste serie alternat a .
Criteriul lui Leibniz. Dac a (an)n2Neste un  sir de numere reale pozitive  si
descresc ator la 0,atunci seria∑1
n=0(1)naneste convergent a .
De exemplu, seria∑1
n=1(1)n1
neste convergent a, deoarece an:=1
n↘0.
Denit ie 3.3.2. Dac a pentru un  sir de numere reale xn; n2Nseria∑1
n=0jxnj
este convergent a ,atunci seria∑1
n=0xnse nume ste serie absolut convergent a .
Din aceast a denit ie rezult a c a orice serie absolut convergent a este convergent a.
Reciproca nu este adev arat a. De exemplu, seria precedent a,∑1
n=1(1)n1
neste convergent a, neind absolut convergent a, deoarece∑1
n=1(1)n1
n=∑1
n=11
neste divergent a.
Denit ie 3.3.3. Fie  sirurile de numere reale xn; siyn; n2N.Denim seria∑1
n=0cn;numit a seria produs ^ n sens Cauchy al seriilor∑1
n=0xn si∑1
n=0yn;ca

64 3. SERII DE NUMERE REALE
ind
c0=x0y0; c1=x0y1+x1y0;:::;cn=n∑
k=0xkynk;::::
Criteriul Cauchy-Maertens. Dac a seriile de numere reale∑1
n=0 si∑1
n=0yn
sunt absolut convergente ;cu sumelex si, respectiv yn, a- tunci seria produs ^ n sens
Cauchy este absolut convergent a, av^ and suma x
y:
De exemplu, seriile 1 +∑1
n=11
n! si 1 +∑1
n=1(1)n
n!sunt absolut convergente  si au
produsul ^ n sens Cauchy
1∑
n=0cn;
undec0= 1;:::; cn= 0; n2N:Dup a criteriul Cauchy-Maertens, seria∑1
n=0cneste
absolut convergent a. Suma ei este, evident, 1 :
Cum 1 +∑1
n=11
n!=e, rezult a c a
1 +1∑
n=1(1)n
n!=1
e:
3.4. Exercit ii
(1)Folosind denit ia, stabilit i natura seriilor urm atoare:
a)∑1
n=11
n(n+1);
b)∑1
n=12n+5n
7n;
c)∑1
n=1lnn+5
n+4:
R:a) Avem
sn=n∑
k=11
k(k+ 1)=n∑
k=1(1
k1
k+ 1)
= 11
n+ 1;
de unde
sn!1;
adic a seria este convergent a  si are suma 1 :
b) Avem
sn=n∑
k=1(2
7)k
+(5
7)k
=2
7
1(2
7)n
12
7+5
7
1(5
7)n
15
7=
=2
5(
1(2
7)n)
+5
2(
1(5
7)n)
;

3.4. EXERCIT II 65
de unde
sn!2
5+5
2=29
10;
adic a seria este convergent a  si are suma29
10:
c) Avem
sn=n∑
k=1lnk+ 5
k+ 4=n∑
k=1ln (k+ 5)n∑
k=1ln (k+ 4) =
= ln (n+ 1);
de unde
sn!+1;
adic a seria este divergent a.
(2)Folosind criteriul de convergent  a al lui Cauchy, s a se stabileasc a natura
seriilor urm atoare:
a)∑1
n=1cosnx
3n; x2R;
b)∑1
n=1(
1 +1
n2)
:
R:a) Avem pentru n; m2N; nm;n∑
k=mcoskx
3kn∑
k=mcoskx
3kn∑
k=m1
3k=1
3m
1(1
3)nm
11
3<
<1
3m
1
11
3=1
3m
2
3
 si cum lim
m!11
3m
2
3= 0;rezult a c a seria este convergent a.
b) Deoarece lim
n!1(
1 +1
n2)
= 1;rezult a c a seria este divergent a, deoarece
termenul ei general nu este un  sir convergent la zero.
(3)Folosind primul criteriu de comparat ie, stabilit i natura seriilor:
a)∑1
n=1cos1
3n;
b)∑1
n=12n+1
n(n+1);
c)∑1
n=11
np
lnn:
R:a) Avem cos1
3n<1
3n si cum∑1
n=11
3neste convergent a, rezult a c a seria
dat a este convergent a.
b) Avem2n+1
n(n+1)>1
n si cum∑1
n=11
neste divergent a, rezult a c a seria dat a
este divergent a.
c) Deoarece ln n < n; rezult a c anp
lnn <npn;adic a1
np
lnn>1
npn:Deoarece
lim
n!11
npn= 1;rezult a c a seria∑1
n=11
npneste divergent a. Prin urmare, seria
dat a va  divergent a.

66 3. SERII DE NUMERE REALE
(4)Folosind al doilea criteriu de comparat ie, stabilit i natura seriei urm atoare:∑1
n=1(n
e)n
1
n!:
R:Deoarece
an+1
an=(
1 +1
n)n
e>(
1 +1
n)n
(
1 +1
n)n+1=n
n+ 1=1
n+1
1
n;
not^ and cubn:=1
n;rezult a c a seria dat a este divergent a.
(5)Folosind al treilea criteriu de comparat ie, stabilit i natura seriilor urm atoare:
a)∑1
n=11
nnpn;
b)∑1
n=1sin2002
2n:
R:a) Avem
lim
n!11
nnpn
1
n= 1
 si cum∑1
n=11
neste divergent a, rezult a c a seria dat a este divergent a.
b) Avem
lim
n!1sin2002
2n(
2n)2002= 1;
 si cum∑1
n=1(
2n)2002=(
2)2002
∑1
n=11
n2002este o serie armonic a general-
izat a convergent a, rezult a c a seria dat a este convergent a.
(6)Folosind criteriul lui Leibniz, stabilit i natura seriei urm atoare:∑1
n=1(1)n
3pn.
R:Deoarece1
3pn↘0, rezult a c a seria alternat a dat a este convergent a.
(7)Folosind criteriul raportului, stabilit i natura seriilor urm atoare:
a)∑1
n=0n
(n+1)!;
b)∑1
n=1(n!)3
(3n)!;
c)∑1
n=1anp
n!; a> 0;
d)∑1
n=1(an)n
n!; a> 0:
R:a) Avem
lim
n!1an+1
an= lim
n!1n+1
(n+2)!
n
(n+1)!= lim
n!1n+ 1
n(n+ 2)= 0<1;

3.4. EXERCIT II 67
deci seria dat a este convergent a.
b) Avem
lim
n!1an+1
an= lim
n!1((n+!)!)3
(3(n+1))!
(n!)3
(3n)!= lim
n!1(n+ 1)3
(3n+ 1) (3n+ 2) (3n+ 3)=
=1
9<1;
deci seria dat a este convergent a.
c) Avem
lim
n!1an+1
an= lim
n!1an+1p
(n+1)!
anp
n!= lim
n!1apn+ 1= 0<1;
deci seria dat a este convergent a.
d) Avem
lim
n!1an+1
an= lim
n!1(a(n+1))n+1
(n+1)!
(an)n
n!= lim
n!1a(
1 +1
n)n
=a
e;
deci seria dat a este convergent a pentru a <1
e si este divergent a pentru
a>1
e; pentru cazul a=1
e, seria este divergent a, conform exercit iului 4.
(8)Folosind criteriul r ad acinii, stabilit i natura seriilor urm atoare:
a)∑1
n=01
(n+1)n;
b)∑1
n=1(1+1
n)n3
3n;
c)∑1
n=1an(
1 +1
n)n; a> 0:
R:a) Avem
lim
n!1npan= lim
n!1n√
1
(n+ 1)n= lim
n!11
n+ 1= 0<1;
deci seria dat a este convergent a.
b) Avem
lim
n!1npan= lim
n!1n√(
1 +1
n)n3
3n= lim
n!1(
1 +1
n)n2
3=e3
3>1;

68 3. SERII DE NUMERE REALE
deci seria dat a este divergent a.
b) Avem
lim
n!1npan= lim
n!1n√
an(
1 +1
n)n
= lim
n!1a(
1 +1
n)
=a;
deci seria dat a este convergent a pentru a < 1  si divergent a pentru a > 1;
pentrua= 1, obt inem seria∑1
n=1(
1 +1
n)n, al c arei termen general ind(
1 +1
n)n;convergent la e̸= 0;va  divergent a.
(9)Folosind criteriul Raabe-Duhamel, stabilit i natura seriei urm atoare: 1 +∑1
n=11
2n+1
(2n1)!!
(2n)!!.
R:Deoarece
lim
n!1an+1
an= lim
n!11
2n+3
(2n+1)!!
(2n+2)!!
1
2n+1
(2n1)!!
(2n)!!= lim
n!1(2n+ 1
2n+ 3
2n+ 1
2n+ 2)
= 1;
nu putem decide natura seriei, folosind criteriul raportului. Evalu am, ^ n
acest caz, limita din criteriul Raabe-Duhamel:
lim
n!1n(an
an+11)
= lim
n!1n((2n+ 2) (2n+ 3)
(2n+ 1)21)
=3
2>1;
deci seria dat a va  convergent a.
(10) Folosind criteriul lui Abel stabilit i natura seriei urm atoare: 1 +∑1
n=1cosnx
np;
x2(0;).
R:S irul
xn= sinnx; n 2N
are  sirul sumelor part iale,
n∑
k=1xk= sinx+ sin 2x+:::+ sinnx
m arginit; ^ ntr-adev ar, not^ and
S1n= cosx+ cos 2x+:::+ cosnx;
S2n= sinx+ sin 2x+:::+ sinnx;
avem, folosind rezultatul stabilit ^ n cadrul exemplului de la criteriului lui
Abel,
jS1nj=cosnx
2
cosx
2cos(
xnx
2+x
2)1cosx
2:

3.4. EXERCIT II 69
De asemenea,
an=1
np; n2N
este un  sir descresc ator la 0 :Rezult a c a seria dat a este convergent a.

CAPITOLUL 4
Limite de funct ii
4.1. Denit ii  si notat ii
Consider am funct ia f:D!R sia2Dun punct de acumulare al lui D:Scopul
acestui capitol este studiul comport arii valorilor funct iei fc^ andx2Dse apropie
oric^ at de punctul a:
S a observ am acest fapt pe dou a exemple.
1.Fief:R!R,f(x) =x2+ 1:
Observ am c a pentru x= 0,f(0) = 1;pentrux=1
3,f(1
3)
=10
9;pentrux=1
2,
f(1
2)
=5
4;pentrux=9
10,f(9
10)
=181
100; deci, atunci c^ and xse apropie de a,f(x) se
apropie de 2 :Vom spune c a limita lui f^ n punctul 1 este 2  si vom scrie acest lucru,
lim
x!1f(x) = 2:
2.Fief: [1;+1)!R,f(x) =8
>><
>>:2x1;dac ax2[1;1)
x1;dac ax2[1;2)
3;dac ax= 2
1;dac ax2(2;+1):
Observ am c a, atunci c^ and xse apropie de 1,f(x) se apropie de 3:Vom spune
c a limita lui f^ n punctul 1 este 3  si vom scrie acest lucru, lim
x!1f(x) =3:
De asemenea, dac a xse apropie de 1 cu valori mai mici dec^ at 1, atunci f(x)
se apropie de 1; dac a xse apropie de 1 cu valori mai mari dec^ at 1, atunci f(x) se
apropie de 0. Vom spune ^ n aceast a situat ie c a fnu are limit a ^ n punctul 1, dar are
limite laterale ^ n acest punct,  si anume limita la st^ anga este 1, iar limita la dreapta
este 0:
Iar dac axse apropie de 2 (cu valori mai mari sau mai mici), atunci f(x) se apropie
de 1;deci vom spune c a limita lui f^ n punctul 1 este 2  si vom scrie lim
x!1f(x) = 2:
Aceste exemple ne conduc la urm atoarele denit ii.
Denit ie 4.1.1 (cu vecin at at i) .Spunem c a funct iaf:D!Rare limita
l2R^ n punctul ade acumulare al lui D, dac a oricare ar  o vecin atate V2V(l),
exist a o vecin atate U2V(a)astfel ^ nc^ at oricare ar  x2D\(Unfag)s a rezulte
f(x)2V:Not am acest fapt lim
x!af(x) =l:
De exemplu, s a ar at am c a
71

72 4. LIMITE DE FUNCT II
1.lim
x!1(x23) =2:FieV= (2ϵ;2 +ϵ)2V(1);cuϵ>0;o vecin atate
a lui2:Atunci relat ia f(x)2Veste echivalent a cu
x232(2ϵ;2 +ϵ)
sau
1ϵ<x2<1 +ϵ:
Dac aϵ1;alegemU=(
0;p1 +ϵ)
2V(1), iar pentru ϵ < 1, alegemU=(p1ϵ;p1 +ϵ)
2V(1) ; rezult a c a dac a x2Unf1g, atuncif(x)2V:
2. lim
x!+1x
2= +1:FieV= (ϵ;+1)2V(+1), cuϵ > 0;o vecin atate a lui
+1:Atunci relat ia f(x)2V^ nseamn ax
2>ϵ si, aleg^ and U= (2ϵ;+1)2V(+1),
rezult a c a dac a x2U;avemf(x)2V:
3. lim
x!+11
x= 0:FieV= (ϵ;ϵ)2V(0), cuϵ >0;o vecin atate a lui 0 :Atunci
relat iaf(x)2V^ nseamn a ϵ<1
x<ϵ si, aleg^ and U=(1
ϵ;+1)
2V(+1), rezult a
c a dac ax2U;avemf(x)2V:
^In continuare prezent am alte dou a denit ii, echivalente cu cea precedent a.
Denit ie 4.1.2 (cu  siruri) .Spunem c a funct iaf:D!Rare limita l2R
^ n punctul ade acumulare al lui D, dac a oricare ar   sirul xncuxn2Dnfag si
lim
n!1xn=a;rezult a c a exist a lim
n!1f(xn) =l:
Denit ie 4.1.3 (cuϵ si).Spunem c a funct iaf:D!Rare limita l2R^ n
punctulade acumulare al lui D, dac a oricare ar   sirul ϵ>0;exist a >0;astfel
^ nc^ at oricare x2Dnfag, cujxaj<, s a avem jf(x)lj<ϵ:
De exemplu, s a ar at am, folosind denit ia cu  siruri, c a lim
x!4×2= 16:Fie (xn)n2N
oarecare convergent la 4 ; xn̸= 4; n2N. Atuncif(xn) =x2
n!16:
Din denit ia 4.1.2 rezult a c a pentru a demonstra c a o funct ie fnu are limit a
^ n punctul a2D′este sucient s a ar at am c a e exist a dou a  siruri xn,yndinD;
convergente la a, pentru care lim
n!1f(xn)  si lim
n!1f(yn) exist a  si sunt diferite, e
exist a un  sir xndinDnfag, convergent la a, pentru care nu exist a lim
n!1f(xn):
De exemplu, s a ar at am c a nu exist a lim
x!1f(x);unde
f:R!R,f(x) ={
x2+ 1;dac ax2Q
x31;dac ax2RnQ:
^Intr-adev ar, e ( xn)n2NQoarecare,xn!1, cuxn̸= 1; n2N. Atunci
f(xn) =x2
n+ 1!2:Fie acum alt  sir ( yn)n2NRnQoarecare,yn!1;cuyn̸= 1,
n2N. Atuncif(yn) =y3
n1!0:Rezult a c a nu exist a lim
x!1f(x):
Observat ie 4.1.1. Dac a o funct ie fare limit a ^ n punctul a, atunci limita este
unic a.

4.2. LIMITE LATERALE 73
4.2. Limite laterale
Denit ie 4.2.1. Fief:D!R sia2Run punct de acumulare pentru mult imea
Ds:=fx2Djx<ag:Spunem c a funct iaf:D!Rare limita ls2Rla st^ anga
^ n punctul a, dac a restrict ia lui fla mult imea Dsare limitals^ n punctula:Not am
acest fapt limx!a
x<af(x) = lim
x↗af(x) =f(a0) =fs(a) =ls:
Prin similaritate cu denit ia 4.2.1 se dene ste limita la dreapta ^ n punctul a;care
se noteaz a limx!a
x>af(x) = lim
x↘af(x) =f(a+ 0) =fd(a) =ld:
Folosind limbajul cu vecin at at i, respectiv  siruri, denit ia 4.2.1 se scrie:
1.limx!a
x<af(x) =lsdac a  si numai dac a (8)V2V(ls), (9)U2V(a)astfel ^ nc^ at
(8)x<a  six2D\(Unfag),s a avemf(x)2V:
2.limx!a
x<af(x) =lsdac a  si numai dac a (8) (xn)n2ND sixn<a;n 2N,xn!a;
s a avemf(xn)!ls:
De exemplu, e funct ia f:R!R,
f(x) ={
x1;dac ax3
0;dac ax>3
 si consider am problema existent ei limitelor laterale ^ n punctul 3 :
FieV= (2ϵ;2 +ϵ)2V(2);cuϵ > 0 o vecin atate a lui 2 :Atunci exist a
U= (3ϵ;3 +ϵ)2V(3) astfel ^ nc^ at dac a x2U six<3, avemf(x) =x12V:
FieV= (ϵ;ϵ)2V(0);cuϵ > 0 o vecin atate a lui 0 :Atunci exist a U=
(3ϵ;3 +ϵ)2V(3) astfel ^ nc^ at dac a x2U six>3, avemf(x) = 02V:
Mai simplu pare a  justicarea cu  siruri.
Fie (xn)n2Ncuxn!3; xn<3:Atuncif(xn) =xn1!2:Pe de alt a parte,
consider^ and ( yn)n2Ncuxn!3; xn>3;atuncif(xn) = 0!0:
Concluzia este c a f(30) = 2  sif(3 + 0) = 0:
Observat ie 4.2.1. Dac af: (a;b]!R si dac a exist a limx!a
x>af(x), atunci vom
considera c a lim
x!af(x) = limx!a
x>af(x):^In mod analog, dac a f: [a;b)!R si dac a exist a
lim
x!b
x>bf(x), atunci vom considera c a lim
x!bf(x) = lim
x!b
x<bf(x):
Propozit ie 4.2.1. Funct iaf:D!Rare limit a ^ n punctul a2D′dac a  si
numai dac a fare limite laterale egale ^ n punctul a:
De exemplu, s a rezolv am problema existent ei limitelor laterale ale funct iilor
urm atoare ^ n punctele specicate.
1.f:R!R,f(x) ={
x32×2+x;dac ax<0
x+ 2;dac ax0; a= 0:

74 4. LIMITE DE FUNCT II
Fie (xn)n2Nconvergent la 0, xn<0;n2N. Atunci,f(xn) =x3
n2×2
n+xn!0;
decifs(0) = 0; dac a vom considera ( yn)n2Nconvergent la 0, yn>0; n2N, atunci,
f(yn) =yn+ 2!2;decifd(0) = 2:Prin urmare, fnu are limit a ^ n punctul
0;deoarecefs(0)̸=fd(0):
2.f:R!R,f(x) =1
x; x2R; a= 0:
Fie (xn)n2Nconvergent la 0, xn<0; n2N. Atunci,f(xn) =1
xn! 1;deci
fs(0) = 1; dac a vom considera ( yn)n2Nconvergent la 0, yn>0; n2N, atunci,
f(yn) =1
yn!+1;decifd(0) = + 1:Prin urmare, fnu are limit a ^ n punctul 0 ;
deoarecefs(0)̸=fd(0):
Denit ie 4.2.2. Dac a limitele laterale ale funct iei f^ n punctul aexist a, sunt
nite  sifs(a)̸=fd(a), atunci diferent a Sf;a:=fd(a)fs(a)se nume ste saltul
funct ieif^ n punctul a:
De exemplu, dac a f(x) =x+2
x+7; a= 3;atunciSf;3=5
85
8= 0; iar dac a f(x) ={
x+ 1;dac ax<3
x2;dac ax3,a= 3;atunciSf;3= 94 = 5:
Teorem a 4.2.1 (Trecerea la limit a ^ n inegalit at i) .Dac af;g:D!Rau limit a
^ na2D′ si pentru o vecin atate Ua luiaavemf(x)g(x); x2D\(Unfag);
atunci lim
x!af(x)lim
x!ag(x):
4.3. Operat ii cu funct ii cu limit a ^ ntr-un punct
Teorem a 4.3.1. Dac a funct iile f; g :D!Rau respectiv limitele l1 sil2^ n
punctula2D′ si dac al1+l2, respectivl1l2are sens, atunci funct ia f+g:D!R,
respectivfg:D!Rare limit a ^ n punctul a si
lim
x!a(f+g) (x) = lim
x!a[f(x) +g(x)] = lim
x!af(x) + lim
x!ag(x) =l1+l2;
respectiv
lim
x!a(fg) (x) = lim
x!a[f(x)g(x)] = lim
x!af(x)lim
x!ag(x) =l1l2:
De exemplu, lim
x!3(x3+ 3) = lim
x!3×3+ lim
x!33 = 27 + 3 = 30 :
Rezultatul teoremei 4.3.1 se poate generaliza pentru nfunct iif1; f2;:::; fncu
limitele respectiv l1; l2;:::; ln^ n punctul a, obt in^ and
lim
x!a(f1+f2+:::+fn) (x) = lim
x!af1(x) + lim
x!af2(x) +:::+ lim
x!afn(x) =
=l1+l2+:::+ln:
Teorem a 4.3.2. Dac a funct iile f; g :D!Rau respectiv limitele l1 sil2^ n
punctula2D′ si dac al1
l2are sens, atunci funct ia f
g:D!Rare limit a ^ n

4.4. TEOREME DE EXISTENT  A A LIMITELOR DE FUNCT II 75
punctula si
lim
x!a(f
g) (x) = lim
x!a[f(x)
g(x)] = lim
x!af(x)
lim
x!ag(x) =l1
l2:
Rezultatul teoremei 4.3.2 se poate generaliza pentru nfunct iif1; f2;:::; fncu
limitelel1; l2;:::; ln^ n punctul a, obt in^ and
lim
x!a(f1
f2
:::
fn) (x) = lim
x!af1(x)
lim
x!af2(x)
:::
lim
x!afn(x) =
=l1
l2
:::
ln:
Rezult a, ^ n particular, pentru f=g;c a lim
x!af(x)n=[
lim
x!af(x)]n
:
Teorem a 4.3.3. Dac a funct iile f; g :D!Rau respectiv limitele l1 sil2
^ n punctul a2D′ si dac al2̸= 0;pentru o vecin atate Ua luiaavemg(x)̸= 0;
x2D\(Unfag) sil1
l2are sens, atunci funct iaf
g:D!Rare limit a ^ n punctul a si
lim
x!a(f
g)
(x) = lim
x!af(x)
g(x)=lim
x!af(x)
lim
x!ag(x)=l1
l2:
Teorem a 4.3.4. Dac a funct iile f; g :D!Rau respectiv limitele l1 sil2
^ n punctul a2D′ si dac all2
1are sens;iar pentru o vecin atate Ua luiaare sens
f(x)g(x); x2D\(Unfag), atunci funct ia fg:D!Rare limit a ^ n punctul a si
lim
x!a(fg) (x) = lim
x!af(x)g(x)= lim
x!af(x)lim
x!ag(x)=ll2
1:
De exemplu,
lim
x!0x(x3+ 1) (x1) = lim
x!0x
lim
x!0(x3+ 1)
lim
x!0(x1) = 0;
lim
x!1×32
x+2=lim
x!1(x32)
lim
x!1(x+2)=1
3;
lim
x!1
x>1e1
1x2=(
lim
x!1
x>1e)lim
x!1
x>11
1x2
=e1= 0:
4.4. Teoreme de existent  a a limitelor de funct ii
Teorem a 4.4.1. Dac a funct iile f; g; h :D!R,a2D′;satisfac condit iile:
a) lim
x!af(x) = lim
x!ag(x) =l;
b)pentru o vecin atate Ua luia; f(x)h(x)g(x); x2D\(Unfag),
atuncihare limit a ^ n punctul a silim
x!ah(x) =l:
De exemplu, lim
x!0xcos1
x= 0;deoarece xxcos1
xx; x̸= 0  si lim
x!0(x) =
lim
x!0x= 0:
Teorem a 4.4.2. Dac a funct iile f; g:D!R,a2D′;satisfac condit iile:

76 4. LIMITE DE FUNCT II
a) lim
x!af(x) = +1;
b)pentru o vecin atate Ua luia; f(x)g(x); x2D\(Unfag),
atuncigare limit a ^ n punctul a silim
x!ag(x) = +1:
De exemplu, lim
x!1(
x2+ sin1
x+1
x)
= +1;deoarecex2+ sin1
x+1
xx21;x̸= 0
 si lim
x!1(x21) = + 1:
Teorem a 4.4.3. Dac a funct iile f; g:D!R,a2D′;satisfac condit iile:
a) lim
x!af(x) =1;
b)pentru o vecin atate Ua luia; g(x)f(x); x2D\(Unfag),
atuncigare limit a ^ n punctul a silim
x!ag(x) =1:
De exemplu, lim
x!1(
x2+ sin1
x)
=1;deoarece x2+ sin1
x+1
x x2+ 1;
x̸= 0  si lim
x!1(x2+ 1) = 1:
Teorem a 4.4.4. Dac a funct iile f; g:D!R,a2D′;satisfac condit iile:
a) lim
x!ag(x) = 0;
b)pentru o vecin atate Ua luia;jf(x)lj g(x); x2D\(Unfag),
atuncifare limit a ^ n punctul a silim
x!af(x) =l:
De exemplu, lim
x!+1sin1
x= 0;deoarecesin1
x1
x; x̸= 0  si lim
x!+11
x= 0:
Teorem a 4.4.5. Dac a funct ia f:D!R,a2D′;admite lim
x!af(x) =l;atunci
jfjare limit a ^ n punctul a silim
x!ajf(x)j=jlj:
Este foarte u sor de dedus c a reciproca r am^ ane adev arat a doar ^ n cazul ^ n care
l= 0:
Teorem a 4.4.6. Dac a funct iile f; g:D!R,a2D′;satisfac condit iile:
a) lim
x!af(x) = 0;
b)pe o vecin atate a lui a; g este m arginit a,
atunci lim
x!a[f(x)
g(x)] = 0:
De exemplu, lim
x!0xsin1
x= 0;deoarecesin1
x1; x̸= 0  si lim
x!0x= 0:
Teorem a 4.4.7 (limita compunerii) .Dac a funct iile φ:A!D; f :D!R,
a2A′;satisfac condit iile:
a) lim
x!aφ(x) =y0 si pe o vecin atate a lui a; φ(x)̸=y0;
b)exist a lim
y!y0f(y) =l,
atuncif◦φare limit a ^ n punctul a silim
x!a(f◦φ) (x) =l:
De exemplu, lim
x!+1(
sin1
x+ 2)3= lim
y!2y3= 8;cuφ:R!R,φ(x) = sin1
x+ 2,
f:R!R,f(y) =y3; y0= 2:

4.5. LIMITELE FUNCT IILOR ELEMENTARE 77
4.5. Limitele funct iilor elementare
1.lim
x!a=;(8)a2R;
2.lim
x!ax=a;(8)a2R+ si lim
x!+1x= +1;
3.lim
x!axk=ak;(8)a2R sik2N;
4.lim
x!a1
xk=1
ak;(8)a2R sik2N; lim
x!11
xk= 0;(8)k2N;
5.lim
x!a2kpx=2kpa;(8)a2R+; lim
x!+12kpx= +1; lim
x!a2k+1px=2k+1pa;(8)a2R;
lim
x!12k+1px=1;
6.lim
x!a(a0xn+a1xn1+:::+an) =a0an+a1an1+:::+an;
lim
x!1(a0xn+a1xn1+:::+an) = (1)na0;
7.lim
x!1a0xn+a1xn1+:::+an
b0xm+b1xm1+:::+bm=8
<
:a0
b0;dac an=m
a0
b0(1)nm;dac an>m
0;dac an<m:
8.lim
x!asinx= sina; a2R, nu exist a lim
x!1sinx; (de exemplu, dac a xn=n;
atunci lim
n!1sinn= 0;iar dac ayn=
2+ 2n;atunci lim
n!1sin(
2+ 2n)
= 1);
9.lim
x!acosx= cosa; a2R, nu exist a lim
x!1cosx;
10. lim
x!atgx= tga;a2Rn{
2+k; k 2Z}
; nu exist a lim
x!
2+ktgx, ^ ns a exist a
limitele laterale: lim
x!
2+k
x<
2+ktgx= +1;lim
x!
2+k
x>
2+ktgx=1;
11. lim
x!actgx= ctga; a2Rnfk; k 2Zg; nu exist a lim
x!kctgx, ^ ns a exist a
limitele laterale: lim
x!k
x<kctgx=1;lim
x!k
x>kctgx= +1;
12. lim
x!aarcsinx= arcsina; a2[1;1];
13. lim
x!aarccosx= arccosa; a2[1;1];
14. lim
x!aarctgx= arctga; a2R; lim
x!+1arctgx=
2;lim
x!1arctgx=
2;
15. lim
x!aarcctgx= arcctga; a2R; lim
x!+1arcctgx= 0;lim
x!1arctgx=;
16. lim
x!ax=a;dac aa2R, lim
x!+1x={
+1;dac a>1
0;dac a<1;lim
x!1x=
{
0;dac a<1
+1;dac a>1;

78 4. LIMITE DE FUNCT II
17. lim
x!alogx= loga;dac aa2R
+, lim
x!+1logx={
+1;dac a>1
1;dac a<1;
lim
x!0
x>0logx={
1;dac a>1
+1;dac a<1:
4.6. Limite remarcabile
1.lim
x!0sinx
x= 1; lim
x!0sinx
x=
; ̸= 0;
2.lim
x!aφ(x) = 0 = )lim
x!asinφ(x)
φ(x)= 1; lim
x!aφ(x) = 0 = )lim
x!asinφ(x)
φ(x)=
; ̸= 0;
3.lim
x!0tgx
x= 1; lim
x!0tgx
x=
; ̸= 0;
4.lim
x!1(
1 +1
x)x=e; lim
x!0(1 +x)1
x=e;
5.lim
x!aφ(x) =1 =)lim
x!a(
1 +1
φ(x))φ(x)
=e;
6.lim
x!aφ(x) = 0 = )lim
x!a(1 +φ(x))1
φ(x)=e;
7.lim
x!0ln(1+x)
x= 1;
8.lim
x!aφ(x) = 0 = )lim
x!aln(1+φ(x))
φ(x)= 1;
9.lim
x!0ax1
x= lna,a>0;
10. lim
x!aφ(x) = 0 = )lim
x!aaφ(x)1
φ(x)= lna; a> 0;
11. lim
x!0(1+x)r1
x=r,r2R;
12. lim
x!aφ(x) = 0 = )lim
x!a(1+φ(x))r1
φ(x)=r,r2R;
13. lim
x!+1ax
xk= +1,k2N,a>1;
14. lim
x!+1logax
x= 0; a> 1;
15. lim
x!aφ(x) = +1=)lim
x!alogaφ(x)
φ(x)= 0; a> 1:
4.7. Asimptote
Denit ie 4.7.1. Dac a ^ ntr-un punct ade acumulare al domeniului de denit ie
al unei funct ii f, cel put in una din limitele laterale este innit a, atunci dreapta x=a
se nume ste asimptot a vertical a la gracul funct iei f:
De exemplu, pentru funct ia f:Rnf2g !R,f(x) =1
x2, avem
lim
x!2
x<2f(x) =1 si lim
x!2
x>2f(x) = +1;
deci dreapta x= 2 este asimptot a vertical a (la st^ anga  si la dreapta) la grac.

4.7. ASIMPTOTE 79
Observat ie 4.7.1. Puncteleapentru care dreapta x=aeste asimptot a vertical a
la gracul funct iei fse caut a printre:
1.punctele de discontinuitate ale funct iei f;
2.punctele ce nu sunt^ n domeniul de denit ie, dar care sunt puncte de acumulare
ale domeniului de denit ie al funct iei f.
Denit ie 4.7.2. Dreaptay=kse nume ste asimptot a orizontal a la gracul
funct ieif, dac a +1sau1 este punct de acumulare al domeniului  si distant a
dintre grac  si dreapt a, m asurat a pe vertical a tinde la 0c^ andx! 1 , adic a
lim
x!1[f(x)k] = 0()k= lim
x!1f(x):
De exemplu, pentru funct ia f:Rnf1g !R,f(x) =x+1
x1, avem
lim
x!+1f(x) = 1;
deci dreapta y= 1 este asimptot a orizontal a la + 1la grac  si
lim
x!1f(x) = 1;
deci dreapta y= 1 este asimptot a orizontal a  si la 1 la grac.
Denit ie 4.7.3. Dreaptay=mx+nse nume ste asimptot a oblic a la gracul
funct ieif, dac a +1sau1 este punct de acumulare al domeniului  si distant a
dintre grac  si dreapt a, m asurat a pe vertical a tinde la 0c^ andx! 1 , adic a
lim
x!1[f(x)(mx+n)] = 0 ()n= lim
x!1[f(x)mx] ;
m= lim
x!1f(x)
x:
De exemplu, pentru funct ia f:Rnf0g !R,f(x) =x21
x, avem
lim
x!0
x<0f(x) = +1;lim
x!0
x>0f(x) =1;
deci dreapta x= 0 este asimptot a vertical a (la st^ anga  si la dreapta); cum
lim
x!+1f(x) =1;lim
x!1f(x) = +1;
rezult a c a nu exist a asimptote orizontale.
Dar din
m= lim
x!1f(x)
x= 1  sin= lim
x!1[f(x)mx] = 0
rezult a c a dreapta y=xeste asimptot a oblic a la + 1 si la1 la grac.

80 4. LIMITE DE FUNCT II
4.8. Exercit ii
(1)Fief(x) =8
<
:3x1;dac ax<0
0;dac ax= 0
2x+ 5;dac ax>0:
a) Construit i gracul lui f;
b) Calculat i lim
x!1f(x) ; lim
x!3f(x) ; lim
x!0
x>0f(x) ; lim
x!0
x<0f(x) ; lim
x!0f(x):
R:b) 7;10; 5; 1; nu exist a.
(2)Calculat i lim
x!0x2cos1
x:
R:Avem
lim
x!0x2= 0  sicos1
x1;
deci
lim
x!0x2cos1
x= 0:
(3)Calculat i limitele urm atoare:
a) lim
x!2f(x);undef(x) ={
x2;dac ax̸= 2
0;dac ax= 2;R:4:
b) lim
x!12×46×3+x2+3
x1;R:8:
c) lim
x!3
x>3f(x)  si lim
x!3
x<3f(x);undef(x) ={jx3j
x3;dac ax̸= 3
0;dac ax= 3;
R:1; -1:
d) lim
x!0
x>02
1+e1
x;R:2:
e) lim
x!0
x<02
1+e1
x;R:0:
f) lim
x!0
x>0sinxpx;
R:Avem o nederminare de tipul0
0:Obt inem
lim
x!0
x>0sinxpx= lim
x!0
x>0(sinx
x
px)
= 0:
g) lim
x!1
2[
2×21
(3x+2)(5x3)23x
x25x+3]
;

4.8. EXERCIT II 81
R:Avem
lim
x!1
2[2×21
(3x+ 2) (5x3)23x
x25x+ 3]
= lim
x!1
22×21
(3x+ 2) (5x3)lim
x!1
223x
x25x+ 3=
=1
2
7
2
(
1
2)1
2
3
4=2
72
3=8
21:
h) lim
x!+1(3x1)(2x+3)
(4x+5)(5x3);
R:Avem o nedeterminare de tipul1
1;
lim
x!+1(3x1) (2x+ 3)
(4x+ 5) (5x3)= lim
x!+1×2(
31
x)(
2x+3
x)
x2(
4x+5
x)(
5x3
x)=3
10:
i) lim
x!11
x1(1
x+32
3x+5)
;
R:Avem o nedeterminare de tipul 1
0:Efectu^ and calculele, g asim
lim
x!11
x1(1
x+ 32
3x+ 5)
= lim
x!11
x1(3x+ 52x6
(x+ 3) (3x+ 5))
=
= lim
x!11
x1
x1
(x+ 3) (3x+ 5)=
= lim
x!11
(x+ 3) (3x+ 5)=1
32:
j) lim
x!0p9+x3
x;
R:Avem o nedeterminarede tipul0
0:Obt inem succesiv,
lim
x!0p9 +x3
x= lim
x!0(p9 +x3)(p9 +x+ 3)
x(p9 +x+ 3) =
= lim
x!09 +x9
x(p9 +x+ 3)= lim
x!0x
x(p9 +x+ 3)=
= lim
x!01p9 +x+ 3=1
6:
k) lim
x!03p8+x2
x;

82 4. LIMITE DE FUNCT II
R:Avem o nedeterminarede tipul0
0:Obt inem succesiv,
lim
x!03p8 +x2
x= lim
x!0(3p8 +x2)(
3√
(8 +x)2+ 23p8 +x+ 4)
x(
3√
(8 +x)2+ 23p8 +x+ 4) =
= lim
x!08 +x8
x(
3√
(8 +x)2+ 23p8 +x+ 4)=
= lim
x!01
3√
(8 +x)2+ 23p8 +x+ 4=
=1
3p
64 + 23p
8 + 4=1
12:
l) lim
x!0sin 3x
x;
R:3:
m) lim
x!01cosx
x2;
R:Avem o nedeterminare de tipul0
0:Obt inem
lim
x!01cosx
x2= lim
x!02 sin2x
2
x2= lim
x!01
2(sinx
2
x
2)2
=1
2:
n) lim
x!06xsin 2x
2x+3 sin 4x;
R:Avem o nedeterminare de tipul0
0:Pentru aceasta,
lim
x!06xsin 2x
2x+ 3 sin 4x= lim
x!0x(
6sin 2x
x)
x(
2 + 3sin 4x
x)=62
2 + 3
4=2
7:
o) lim
x!012 cosx+cos 2x
x2 ;
R:Avem o nedeterminare de tipul0
0:Folosind calculul trigonometric, avem
lim
x!012 cosx+ cos 2x
x2= lim
x!0(1cosx
x2+cos 2xcosx
x2)
=
= lim
x!0(2 sin2x
2
x2+2 sinx
2sin3x
2
x2)
=
=1
22
1
2
3
2=1:

4.8. EXERCIT II 83
p) lim
x!13 sinxsin 3x
x3 ;
R:Avem o nedeterminare de tipul0
0:Folosind formulele de calcul trigono-
metric, obt inem
lim
x!13 sinxsin 3x
x3= lim
x!13 sinx3 sinx+ 4 sin3x
x3=
= lim
x!14(sinx
x)3
= 43:
q) lim
x!0eaxebx
x;
R:Avem o nederminare de tipul0
0:Adun^ and  si sc az^ and la num ar ator 1 ;
obt inem
lim
x!0eaxebx
x= lim
x!0(eax1
xebx1
x)
=
= lim
x!0(
aeax1
ax+bebx1
bx)
=
=ba:
r) lim
x!0axbx
x; a; b> 0;
R:Avem o nederminare de tipul0
0:Adun^ and  si sc az^ and la num ar ator 1 ;
obt inem
lim
x!0axbx
x= lim
x!0(ax1
xbx1
x)
= lnalnb=
lnb
a:
s) lim
x!1(p
x2+ 1x)
;
R:Avem o nedeterminare de tipul 1 1:Amplic^ and cu conjugata luip
x2+ 1x, g asim
lim
x!1(p
x2+ 1x)
= lim
x!1(p
x2+ 1x)(p
x2+ 1 +x)
p
x2+ 1 +x=
= lim
x!1×2+ 1x2
p
x2+ 1 +x= lim
x!11
x(√
1 +1
x2+ 1)=
= 0:

84 4. LIMITE DE FUNCT II
t) lim
x!1(3p
x3+ 1x)
:
R:Avem o nedeterminare de tipul 1 1:Amplic^ and cu conjugata lui
3p
x3+ 1x, g asim
lim
x!1(
3p
x3+ 1x)
= lim
x!11
3√
(x3+ 1)2+3p
x3+ 1x+x2=
= lim
x!11
x2(
3√(
1 +1
x3)2+3√
1 +1
x3+ 1)=
= 0:
(4)S a se arate c a lim
x!1×1
x= 1:
R:Avem o nedeterminare de tipul 10:Pentru aceasta scriem funct ia x1
x=
elnx1
x si g asim
lim
x!1×1
x= lim
x!1elnx1
x= lim
x!1elnx
x=e0= 1:
Din aceast a limit a deducem, consider^ and  sirul xn=n! 1;relat ia
lim
n!1npn= 1:
(5)Determinat i asimptotele la gracele funct iilor urm atoare:
a)f(x) = ln (x21) ;
b)f(x) =√
x1
x+1;
c)f(x) =e1
x:
R:a)x=1 este asimptot a vertical a la st^ anga  si la dreapta, nu exist a
asimptote orizontale  si nici asimptote oblice :
b)x=1 este asimptot a vertical a la st^ anga, y= 1 este asimptot a orizon-
tal a la + 1 si la1;nu exist a asimptote oblice.
c)x= 0 este asimptot a vertical a la dreapta, y= 1 este asimptot a orizontal a
la +1 si la1;nu exist a asimptote oblice.

CAPITOLUL 5
Continuitate
5.1. Denit ii  si notat ii
Consider am o funct ie f:D!R sia2Darbitrar. Scopul acestui capitol este
studiul comport arii valorilor funct iei fpentru puncte x2Doric^ at de apropiate de
a, ^ n comparat ie cu valoarea funct iei ^ n punctul a, adic af(a):
S a observ am acest fapt pe un exemplu.
1.Fiea1< a 2< a 3< a 4< a 5< a 6< a 72R si funct iaf: [a1;a5)[(a5;a6)[
fa7g !R.
Observ am c a a7este punct izolat al domeniului de denit ie  si orice punct din
intervalul [a1;a6] este punct de acumulare al lui D:
Dac axse apropie de a1(singura posibilitate ind cu valori mai mari), atunci
f(x) se apropie de valoarea f(a1) ; vom spune ^ n acest caz c a feste continu a ^ n
punctula1:
Dac axse apropie de a2, atuncif(x) se apropie de valoarea f(a2) ; vom spune
^ n acest caz c a feste continu a ^ n punctul a2:
Dac axse apropie de a3cu valori mai mici  si apoi cu valori mai mari, funct ia fse
apropie de dou a valori distincte. Numai ^ n cazul c^ and x↘a3, atuncif(x) se apropie
def(a3):Spunem ^ n acest caz c a funct ia fnu este continu a (este discontinu a) ^ n
punctula3, dar este continu a la dreapta ^ n punctul a3:
^In cazul punctului a4, observ am c a fs(a4) =fd(a4), ^ ns afs(a4) =fd(a4)̸=
f(a4). Spunem ^ n acest caz c a funct ia feste discontinu a ^ n punctul a4:
^In punctele a5; a6problema continuit at ii nu se pune, deoarece a5nu este punct
al luiD; iar ^ n punctul izolat a7funct iafeste continu a.
Aceste exemple ne conduc la urm atoarele denit ii (^ n care primele patru sunt
echivalente).
Denit ie 5.1.1. Fie funct ia f:D!R sia2D. Spunem c a funct ia f
estecontinu a ^ n punctul adac a oricare ar  Vo vecin atate a lui f(a), exist a o
vecin atateUa luia, astfel ^ nc^ at pentru orice x2D\U, s a avemf(x)2V:
Denit ie 5.1.2. Fie funct ia f:D!R sia2D. Spunem c a funct ia feste
continu a ^ n punctul adac a oricare ar   sirul xnconvergent la a, format din puncte
ale luiD; sirulf(xn)este convergent la f(a):
85

86 5. CONTINUITATE
Denit ie 5.1.3. Fie funct ia f:D!R sia2D. Spunem c a funct ia feste
continu a ^ n punctul adac a oricare ar  oricare ar  ϵ>0;exist a=(ϵ)>0,
astfel ^ nc^ at oricare ar  x2Dcujxaj<; s a avem jf(x)f(a)j<ϵ:
Denit ie 5.1.4. Fie funct ia f:D!R sia2D. Spunem c a funct ia feste
continu a ^ n punctul adac a exist a
lim
x!af(x) =f(a)2R:
Denit ie 5.1.5. Fie funct ia f:D!R siAD. Spunem c a funct ia feste
continu a pe mult imea ADdac a este continu a ^ n ecare punct aal mult imii
A:
Denit ie 5.1.6. Fie funct ia f:D!R.Dac a funct ia fnu este continu a ^ n
punctula2D, atunci spunem c a ea este discontinu a ^ n punctul a:
Denit ie 5.1.7. Fie funct ia f:D!R.Dac a ^ ntr-un punct de discontinu-
itate exist a limite laterale nite, spunem c a punctul este de discontinuitate de
spet a ^ nt^ ai ; iar dac a nu este de discontinuitate de spet a ^ nt^ ai se nume ste punct de
discontinuitate de spet a a doua .
Observat ie 5.1.1. ^Intr-un punct acare nu apart ine lui D, pro- blema conti-
nuit at ii nu are sens, funct ia neind nici continu a, nici discontinu a. ^In orice punct
izolat al domeniului de denit ie D, funct ia este continu a.
Propozit ie 5.1.1. Orice funct ie elementar a este continu a ^ n punctele de acu-
mulare ale domeniului de denit ie.
De exemplu, e f:R!R,
f(x) ={
x21;dac ax2(1;1)
2x;dac ax2[1;+1):
Restrict iile funct iei fla ecare din intervalele ( 1;1)  si (1;+1) sunt funct ii
elementare, deci continue. Aceasta^ nseamn a c a feste continu a pe ( 1;1)[(1;+1).
R am^ ane problema continuit at ii ^ n punctul 1 :
Avem
fs(1) = lim
x!1
x<1f(x) = lim
x!1
x<1(
x21)
= 0
 si
fd(1) = lim
x!1
x>1f(x) = lim
x!1
x<1(2x) = 2 =f(1):
Deoarecefs(1)̸=fd(1) =f(1), funct ia feste discontinu a ^ n punctul 1, ind con-
tinu a doar la dreapta ^ n punctul 1. Punctul 1 este ^ n acest caz punct de discontinu-
itate de spet a ^ nt^ ai.

5.3. PROPRIET AT I ALE FUNCT IILOR CONTINUE PE UN INTERVAL 87
5.2. Operat ii cu funct ii continue
Teorem a 5.2.1. Fief;g:D!R sia2D. Dac a funct iile f sigsunt continue
^ na, atuncif+g; kf  sif
gsunt continue ^ n a, iar dac ag(x)̸= 0 pe o vecin atate
Ua punctului a, atunci  si funct iaf
geste continu a ^ n punctul a:
Teorem a 5.2.2. Fief;g:D!R siAD. Dac a funct iile f sigsunt continue
pe mult imea A, atuncif+g;kf  sif
gsunt continue pe mult imea A, iar dac ag(x)̸=
0pe o vecin atate Ua mult imii A, atunci  si funct iaf
geste continu a pe mult imea A:
Teorem a 5.2.3 (Continuitatea compunerii) .Fief:D1!D2,g:D2!R si
a2D1.Dac a funct ia feste continu a ^ n punctul a2D1, iar funct ia geste continu a
^ n punctul b=f(a)2D2, atunci funct ia f◦geste continu a ^ n punctul a:
5.3. Propriet at i ale funct iilor continue pe un interval
Teorem a 5.3.1 (Weierstrass) .Orice funct ie continu a pe un interval compact
[a;b]este m arginit a  si ^  si atinge marginile.
De exemplu, consider^ and funct ia continu a f: [0;1]!R,f(x) =x2+x;ea este
o funct ie m arginit a  si m= inf
x2[0;1]f(x) =f(0) = 0; M = sup
x2[0;1]f(x) =f(1) = 2:
Cum punctele 0 ;12[0;1], rezult a c a m= min
x2[0;1]f(x)  siM= max
x2[0;1]f(x):
Pe de alt a parte, funct ia f: [0;1)!R,f(x) =x2+xeste continu a  si m arginit a,
darm= inf
x2[0;1]f(x) =f(0) = 0 este chiar min
x2[0;1]f(x);^ n timp ce M= sup
x2[0;1]f(x) =
f(1) = 2 nu este max
x2[0;1]f(x), deoarece 1 =2[0;1). Acest fapt nu contrazice teorema
5.3.1, pentru c a intervalul [0 ;1) nu este compact (^ nchis  si m arginit).
De asemenea, funct ia f: [0;1]!R,f(x) ={
x2+x;dac ax2[0;1)
1
2;dac ax= 1nu este
continu a  si nu are margine superioar a.
Propozit ie 5.3.1. Orice funct ie f: [0;+1)!Rcontinu a care are lim
x!1f(x) =
l2Reste m arginit a.
Proprietatea lui Darboux
Denit ie 5.3.1. FieIun interval  si funct ia f:I!R.Spunem c a funct ia
fareproprietatea lui Darboux pe intervalul I;dac a oricare ar  x1 six22I;
cux1<x 2 si oricare ar  ccuprins ^ ntre f(x1) sif(x2);exist a2(x1;x2)astfel
^ nc^ atf() =c:
Observ am c a funct iile care au proprietatea lui Darboux transform a orice interval
din domeniul de denit ie tot ^ ntr-un interval.
Propozit ie 5.3.2. Orice funct ie continu a pe un interval are proprietatea lui
Darboux pe acel interval.

88 5. CONTINUITATE
Funct ia sgn : R!R, sgn (x) =8
<
:1;dac ax2(0;+1)
0;dac ax= 0
1;dac ax2(1;0)are proprietatea
lui Darboux pe intervalele ( 1;0)  si (0;+1) (restrict iile funct iei sgn la ( 1;0)
 si (0;+1) sunt funct ii continue), dar nu are proprietatea lui Darboux pe nici un
interval [ a;a], cua>0:
Propozit ie 5.3.3. Dac a funct ia continu a f: [a;b]!Rveric a inegalitatea
f(a)
f(b)<0;atunci exist a 2(a;b), astfel ^ nc^ at f() = 0:
Teorem a 5.3.2. Dac af:I!Reste o funct ie continu a  si injectiv a, atunci f
este strict monoton a.
Teorem a 5.3.3. Dac af:I!J=f(I)este o funct ie continu a  si bijectiv a,
atuncif1este continu a  si strict monoton a.
Teorem a 5.3.4. Dac af:I!Reste o funct ie continu a  si nu se anuleaz a pe I;
atuncifp astreaz a semn constant pe I.
De exemplu, s a studiem semnul funct iei f:R!R,
f(x) =(
x21)
(x+ 3)x2+ 2.
Rezolv^ and ecuat ia f(x) = 0, se obt in valorile x=1,3:Deoarecef(4)<0;
f(2)>0; f(0)<0; f(2)>0.
5.4. Funct ii uniform continue
Denit ie 5.4.1. O funct ief:R!Rse nume ste uniform continu a pe
mult imeaARdac a (8)ϵ > 0,(9)=(ϵ)>0, astfel ^ nc^ at (8)x1; x22A
cujx1x2j>, s a avem jf(x1)f(x2)j<ϵ:
Observ am c a orice funct ie uniform continu a pe o mult ime Aeste continu a pe
acea mult ime, reciproca ind fals a.
De exemplu, e f: (0;1]!R,f(x) =1
x:Dac afar  uniform continu a, pentru
ϵ=1
2, ar exista  > 0, astfel ^ nc^ at ( 8)x1; x22(0;1] cu jx1x2j> , s a avem
jf(x1)f(x2)j<1
2:Lu^ andx1=1
n six2=1
n+1cunastfel ^ nc^ at2
n< ; atunci
jx1x2j<: Dar atunci jf(x1)f(x2)j= 1:
De asemenea este de remarcat c a pentru a ar ata c a o funct ie nu este uniform
continu a este sucient s a ar at am c a exist a dou a  siruri xn; yncujxnynj ! 0  si
jf(xn)f(yn)j ̸!0:
De exemplu, funct ia f: (0;+1)!R,f(x) = lnxnu este uniform continu a;
^ ntr-adev ar, lu^ and ϵ= ln 2,xn=1
n siyn=1
2n,n2N;avemjxnynj=1
2n!0  si
jf(xn)f(yn)j= ln 2:Funct ia devine uniform continu a pe orice interval ( a;+1);
cua>0  si numai atunci :
Teorem a 5.4.1. Orice funct ie continu a pe o mult ime compact a este uniform
continu a.

5.5. EXERCIT II 89
Denit ie 5.4.2. O funct ief:A!Rse nume ste lipschitzian a dac a exist a un
L> 0astfel ^ nc^ at jf(x)f(y)j Ljxyj:
De exemplu, funct ia f:R![1;1],f(x) = sinxeste funct ie lischitzian a,
deoarece
jsinxsinyj= 2sinxy
2cosx+y
2 jxyj;(8)x; y2R,
denit ia 5.4.2 ind satisf acut a cu L= 1;de exemplu.
Teorem a 5.4.2. Orice funct ie lipschitzian a este uniform continu a.
Teorem a 5.4.3. Restrict ia unei funct ii uniform continue pe Ala orice submult ime
BAeste uniform continu a.
Teorem a 5.4.4. Orice funct ie continu a  si periodic a, f:R!Reste uniform
continu a.
Teorem a 5.4.5. Orice funct ie continu a al c arei grac admite asimptote la 1
 si la +1este uniform continu a.
5.5. Exercit ii
(1)Studiat i continuitatea urm atoarelor funct ii ^ n punctul a= 1 :
a)f:R!R,f(x) ={3
x1;dac ax̸= 1
3;dac ax= 1;
b)f:R!R,f(x) =3p
x21;
c)f:R!R,f(x) ={3px1
x1;dac ax̸= 1
1
3;dac ax= 1:
R:a) Restrict iile funct iei fla intervalele ( 1;1)  si (1;+1) sunt funct ii
elementare, deci continue. ^In punctul a= 1 avem
fs(1) = lim
x!1
x<1f(x) = lim
x!1
x<13
x1=1,
fd(1) = lim
x!1
x>1f(x) = lim
x!1
x>13
x1= +1;
f(1) = 3;
deci funct ia nu este continu a ^ n punctul 1 :
b) Avem
fs(1) = lim
x!1
x<1f(x) = lim
x!1
x<13p
x21 = 0,
fd(1) = lim
x!1
x>1f(x) = lim
x!1
x>13p
x21 = 0;
f(1) = 0;

90 5. CONTINUITATE
deci funct ia este continu a ^ n punctul 1 :
c) Avem
fs(1) = lim
x!1
x<1f(x) = lim
x!1
x<13px1
x1= lim
x!1
x<1(3px1)(
3p
x2+3px+ 1)
(x1)(
3p
x2+3px+ 1)=
= lim
x!1
x<11
3p
x2+3px+ 1=1
3,
fd(1) = lim
x!1
x>1f(x) =1
3;
f(1) =1
3;
deci funct ia este continu a ^ n punctul 1 :
(2)A
at im2Rastfel ^ nc^ at funct ia f:R!R,
f(x) ={x24
x2;dac ax̸= 2
m;dac ax= 2
s a e continu a ^ n punctul a= 2:
R:Punem condit ia
lim
x!2f(x) =f(2)() lim
x!2×24
x2=m() lim
x!2(x+ 2) =m()m= 4:
(3)A
at ia; b2Rastfel ^ nc^ at funct ia f:R!R,
f(x) =8
<
:ax2+b2;dac ax<1
2;dac ax= 1
x+a;dac ax>1
s a e continu a pe R.
R:Punem condit ia
lim
x!1
x<1f(x) = lim
x!1
x>1f(x) =f(1):
Cum
lim
x!1
x<1f(x) = lim
x!1
x<1(
ax2+b2)
=a+b2,
lim
x!1
x>1f(x) = lim
x!1
x>1(x+a) =a+ 1;
f(1) = 2;

5.5. EXERCIT II 91
rezult a relat iile
a+b2= 2; a+ 1 = 2;
care ne conduc la solut iile a= 1  sib=1:
(4)Studiat i continuitatea funct iei f:R!R,
f(x) ={
1;dac ax2Q
0;dac ax2RnQ
:
R:Ar at am c a funct ia lui Dirichlet nu este continu a ^ n nici un punct.
Fiex02Qarbitrar (cazul x02RnQse trateaz a similar). Consider am
(xn)n2NQ,xn!x0, pentru care f(xn) = 1 !1  si (yn)n2NRnQ,
yn!x0, pentru care f(yn) = 0!0. Rezult a c a nu exist a lim
x!x0f(x), deci
fnu poate  continu a ^ n punctul x0:
(5)G asit i punctele de continuitate ale funct iei f:R!R,
f(x) ={
x2;dac ax2Q
x3;dac ax2RnQ:
R:Fiex02Rpunct de continuitate al funct iei f. Consider am ( xn)n2NQ,
xn!x0, pentru care f(xn) =x2
n!x2
0 si (yn)n2NRnQ,yn!x0, pentru
caref(yn) =y3
n!x3
0. Rezult a c a avem cu necesitate x2
0=x3
0 si astfel
x0= 0 saux0= 1:De asemenea, f(0) = 0,f(1) = 1:
Concluzia este c a singurele puncte de continuitate ale funct iei fsunt 0  si 1:
Observat ie 5.4.1. Singurele puncte de continuitate ale funct iei f:R!R,
f(x) ={
g(x);dac ax2Q
h(x);dac ax2RnQsunt r ad acinile reale ale ecuat iei g(x) =
h(x):
(6)Studiat i continuitate funct iilor g◦f sif◦g, undef;g:R!R,f(x) = sgn
x sig(x) =x34x:
R:Calcul^ and cele dou a funct ii compuse, g asim
(f◦g) (x) =f(g(x)) =8
<
:1;dac ax2(2;0)[(2;+1)
0;dac ax2 f 2;0;2g
1;dac ax2(1;2)[(0;2)
 si
(g◦f) (x) =g(f(x)) =3 sgnx=8
<
:3;dac ax2(1;0)
0;dac ax= 0
3;dac ax20;+1:
Rezult a c a funct ia f◦geste continu a pe Rnf2;0;2g, iar funct ia g◦feste
continu a pe Rnf0g:

92 5. CONTINUITATE
(7)Demonstrat i c a urm atoarele funct ii se anuleaz a cel put in ^ ntr-un punct al
mult imilor indicate:
a)f(x) =x4+ 3x+ 1;pe [1;0] ;
b)f(x) = (x2)
sinx;pe[1
2;3
2]
;
c)f(x) = 2×3+x2+ 1;peR.
R:a) Deoarece funct ia feste continu a  si f(1) =1; f(0) = 1, conform
propozit iei 5.3.3 rezult a c a exist a un punct 2(1;0) astfel^ nc^ at f() = 0,
decieste r ad acin a a lui f:
b) Deoarece funct ia feste continu a  si f(1
2)
=3
2; f(3
2)
=1
2, conform
propozit iei 5.3.3 rezult a c a exist a un punct 2(1
2;3
2)
astfel ^ nc^ at f() = 0,
decieste r ad acin a a lui f:
c) Deoarece funct ia feste continu a  si f(1) = lim
x!1f(x) =1;f(+1) =
lim
x!+1f(x) = + 1, conform propozit iei 5.3.3 rezult a c a exist a un punct
2Rastfel ^ nc^ at f() = 0, deci este r ad acin a a lui f:
(8)Demonstrat i c a orice ecuat ie algebric a av^ and coecient i reali  si grad impar
admite cel put in o r ad acin a real a.
R:Rat ionament analog celui de la exercit iul 7.c).
(9)Studiat i semnul funct iilor de mai jos:
a)f(x) =x(x2) (x4) ;
b)f(x) = (x+ 1) ln ( x);cux<0;
c)f(x) = sinx+ cosx;cux2[0;2]:
R:a) R ad acinile ecuat iei f(x) = 0 sunt 0 ;2  si 4:Deoarecef(1) =15<
0; f(1) = 3>0,f(3) = 3<0  sif(5) = 15>0;rezult a c a avem
f(x)>0;pe (0;2)[(4;+1)  sif(x)<0, pe ( 1;0)[(2;4):
(10) Ar atat i c a ecuat ia x= sinxare unica solut ie x= 0:
R:Consider am funct ia f:R!R,f(x) =xsinx:Avemfstrict
cresc atoare  si f(0) = 0. Deci f(x) = 0 are unica solut ie x= 0:
(11) S a se determine care dintre funct iile de mai jos sunt uniform continue:
a)f1(x) =e1
x; x2(0;3) ;
b)f2(x) =p
x2+x+ 1; x2R;
c)f3(x) = cos2; x2R;
d)f4(x) =ejxjln (x2+ 1); x2R;
e)f5(x) ={
xsin1
x;dac ax̸= 0
0;dac ax= 0; x2R;
f)f6(x) ={sinx
x;dac ax̸= 0
1;dac ax= 0; x2R;
g)f7(x) = sinx+ cosx; x2R;
h)f8(x) =x+ sinx; x2R.

5.5. EXERCIT II 93
R:a) Folosind denit ia rezult a c a f1nu este uniform continu a pe (0 ;1) ;
b)f2este funct ie uniform continu a ind funct ie continu a pe R, care admite
asimptote la 1  si la + 1:
c)f3este funct ie uniform continu a ind funct ie continu a  si periodic a pe R.
d)f4este funct ie uniform continu a ind funct ie continu a pe R, care admite
asimptote la 1  si la + 1:
e)f5este funct ie uniform continu a ind funct ie continu a pe R, care admite
asimptote la 1  si la + 1:
f)f6este funct ie uniform continu a ind funct ie continu a pe R, care admite
asimptote la 1  si la + 1:
g)f7este funct ie uniform continu a ind funct ie continu a  si periodic a pe R.
h)f8este funct ie uniform continu a, ind funct ie lipschitzian a (ea nu este
periodic a  si nu are asimptote la 1  si la + 1).

CAPITOLUL 6
Derivabilitate
6.1. Denit ii  si notat ii
Denit ie 6.1.1. Funct iaf:D!Rse nume ste derivabil a ^ n punctul a2
D\D′dac a
lim
x!af(x)f(a)
xa
exist a  si este nit a. ^In aceast a situat ie, valoarea limitei se noteaz a cu f′(a) si se
nume ste derivata funct iei f^ n punctul a:Dac a limita exist a  si este innit a,
atunci spunem c a funct ia fnu este derivabil a ^ n punctul a, dar are derivata
innit a. Dac a limita nu exist a, atunci funct ia fnu este derivabil a  si nu are derivat a.
De exemplu, e f:R!R,f(x) =x3 sia= 1:
Avem
lim
x!1f(x)f(1)
x1= lim
x!1×31
x1= lim
x!1(
x2+x+ 1)
= 32R,
decifeste derivabil a ^ n punctul 1  si f′(1) = 3:
Ret inem a sadar formula pentru derivata funct iei f^ n punctul a(^ n cazul ^ n care
exist a);
f′(a) = lim
x!af(x)f(a)
xa:
Observat ie 6.1.1. Dac a not am xa=h, atunci
f′(a) = lim
h!0f(a+h)f(a)
h: (*)
Denit ie 6.1.2. Dac a funct ia f:D!Reste derivabil a ^ n ecare punct al
mult imiiAD, atunci spunem c a festederivabil a pe mult imea A.
Obt inem astfel funct ia derivat a A∋x!f′(x)2R.
De exemplu, pentru funct ia f:R!R,f(x) =x3 sia2Rarbitrar, avem
f′(a) = lim
x!af(x)f(a)
xa= lim
x!ax3a3
xa= lim
x!a(
x2+ax+a2)
= 3a2,
deci
f′(a) = 3a2;(8)a2R.
95

96 6. DERIVABILITATE
Obt inem astfel funct ia derivat a f′:R!R,f′(x) = 3×2;(8)x2R. Dac a efectu am
calculul folosind formula ( ), atunci
f′(x) = lim
h!0f(x+h)f(x)
h= lim
h!0(h+x)3x3
h=
= lim
h!03h2x+ 3hx2+h3
h= lim
h!0(
3hx+ 3×2+h2)
= 3×2:
Teorem a 6.1.1. Orice funct ie derivabil a ^ ntr-un punct este continu a ^ n acel
punct .
Observat ie 6.1.2. Reciproca nu este adev arat a, adic a dac a o funct ie este con-
tinu a ^ ntr-un punct, ea poate s a e sau s a nu e deri- vabil a ^ n acel punct.
De exemplu, funct ia f:R!R,f(x) =jxjeste continu a ^ n punctul a= 0, dar
nu este derivabil a ^ n acest punct. ^Intr-adev ar, cum
f(x) ={
x;dac ax0
x;dac ax<0;
avem
fs(0) = lim
x!0(x) = 0;
fd(0) = lim
x!0x= 0;
f(0) = 0;
iar
f(x)f(0)
x0={x0
x0;dac ax0
x0
x0;dac ax<0={
1;dac ax0
1;dac ax<0
 si astfel nu exist a lim
x!0f(x)f(0)
x0:
Observat ie 6.1.3. Dac a o funct ie este discontinu a ^ ntr-un punct, atunci ea nu
este derivabil a ^ n acel punct.
Derivatele unor funct ii elementare
1.Funct ia constant a f:R!R,f(x) =ceste derivabil a pe R sif′(x) = 0:
2.Funct ia putere cu exponent natural f:R!R; f(x) =xn,n2Neste
derivabil a pe R sif′(x) =nxn1:
3.Funct ia radical de ordinul n;n2N;f:R
+!R;f(x) =npx, este derivabil a
peR sif′(x) =1
nnp
xn1:
4.Funct ia putere cu exponent real f:R+!R;f(x) =xr,r2Reste derivabil a
peR sif′(x) =rxr1:
5.Funct ia logaritm f: (0;+1)!R; f(x) = lnx, este derivabil a pe R si
f′(x) =1
x:
6.Funct iaf:R!R,f(x) = sinxeste derivabil a pe R sif′(x) = cosx:
7.Funct iaf:R!R,f(x) = cosxeste derivabil a pe R sif′(x) =sinx:

6.2. DERIVATE LATERALE 97
6.2. Derivate laterale
Denit ie 6.2.1. Funct iaf:D!Rse nume ste derivabil a la st^ anga ^ n
punctula2D\D′dac a
f′
s(a) := limx!a
x<af(x)f(a)
xa
exist a  si este nit a. Num arul f′
s(a)dac a exist a se nume ste derivata la st^ anga a
funct ieif^ n punctul a:Analog, funct ia fse nume ste derivabil a la dreapta ^ n
punctula2D\D′dac a
f′
d(a) := limx!a
x>af(x)f(a)
xa
exist a  si este nit a. Num arul f′
d(a)dac a exist a se nume ste derivata la dreapta a
funct ieif^ n punctul a:
Teorem a 6.2.1. Dac a o funct ie este derivabil a ^ ntr-un punct a2Dinterior lui
D, atuncif′
s(a) =f′
d(a) =f′(a):
Teorem a 6.2.2 (Reciproc a) .Dac af′
s(a) =f′
d(a)este un num ar nit ;atuncif
este derivabil a ^ n punctul a sif′(a)este valoarea comun a a derivatelor laterale.
De exemplu, e f:R!R,f(x) =jxj:Avem
f′
s(0) = lim
x!0
x<0jxj 0
x0=1,f′
s(0) = lim
x!0
x>0jxj 0
x0= 1:
S a consider am  si funct ia f:R!R,f(x) ={
x+ 1;dac ax0
x;dac ax<0:Observ am
c afeste discontinu a ^ n 0  si deci ea nu este derivabil a ^ n 0; evalu^ and
f′
s(0) = lim
x!0
x<0f(x)f(0)
x0= lim
x!0
x<0x1
x0= +1;
rezult a c afnu este derivabil a la st^ anga, dar are derivat a la st^ anga ^ n 0 ;egal a cu
+1; de asemena, cum
f′
d(0) = lim
x!0
x>0f(x)f(0)
x0= lim
x!0
x<0x+ 11
x0= 1;
obt inem c a feste derivabil a la dreapta ^ n 0  si are derivata la dreapta ^ n 0 ;egal a cu
1:

98 6. DERIVABILITATE
6.3. Interpretarea geometric a a derivatei
Fief:D!R sia2D\D′:Consider am punctul M0(a;f(a)) xat, situat pe
gracul lui f si punctulM(x;f(x)) variabil, situat tot pe gracul lui f:
f(x)f(a)
xa=MN
M0N= tg:
Dac a punctul xtinde c atre a, atunci punctul M0tinde c atre Mpe grac, deci
secantaMM 0va tinde c atre tangenta ^ n M0la grac; astfel, unghiul va tinde c atre
0:
Rezult a a sadar c a
f′(a) = lim
x!af(x)f(a)
xa= lim
x!atg= tg0:=m:
Concluzia este c a derivata unei funct ii ^ ntr-un punct este tangenta trigonometric a
a unghiului f acut de tangenta geometric a la grac ^ n acel punct, cu sensul pozitiv al
axeiOx(panta tangentei geometrice, m).
Deci ecuat ia tangentei ^ n puncul ( a;f(a)) la grac este
t:yf(a) =f′(a) (xa):
De exemplu, pentru funct ia f:R!R,f(x) =x3;ecuat ia tangentei ^ n punctul
(1;1) la grac este
y1 = 3 (x1);
deoarecef′(1) = 3:
6.4. Semitangente
Denit ie 6.4.1. Dac a funct ia fare derivat a la st^ anga ^ n punctul a2D\D′,
atunci prin denit ie reprezentarea gracului are semitangent a ^ n punctulT(a;f(a))
 si anume:
a)Dac a funct ia este derivabil a, semitangenta este o semidreapt a ^ nchis a, cu orig-
inea ^ nT;situat a ^ n semiplanul corespunz ator valorilor x < a  si av^ and coecientul
unghiularm=f′
s(a):
b)f′
s(a) =1;atunci semitangenta este o semidreapt a cu originea ^ n T si
paralel a cu axa Oy:
O denit ie asem an atoare se poate da  si ^ n cazul c^ and funct ia fare derivat a la
dreapta ^ n punctul a:
De exemplu, s a consider am urm atoarele funct ii:
1.f: (1;1]!R,f(x) =x2:
Deoarecef′(1) =2;reprezentarea gracului admite^ n punctul T(1;1) semi-
tangent a de ecuat ie
y1 =2 (x+ 1); x 1:

6.6. OPERAT II CU FUNCT II DERIVABILE 99
2.f: (1;0)!R,f(x) ={1
x;dac ax<0
0;dac ax= 0:
Avemf′(0) = + 1:Deci, reprezentarea gracului admite semitangent a ^ n punc-
tulO(0;0) semidreapta negativ a Oy′:
3.f: [0;+1)!R,f(x) ={px;dac ax>0
1;dac ax= 0:
Avemf′(0) = + 1 si deci gracul funct iei fadmite ^ n punctul T(0;1) ca
semitangent a semidreapta Oy:
6.5. Puncte unghiulare. Puncte de ^ ntoarcere
Fie funct ia f:D!RcuD\D′̸=∅ sia2D\D′:
Denit ie 6.5.1. Spunem c a punctul M(a;f(a))de continuitate, dar de ned-
erivabilitate pentru festepunct unghiular pentru gracul funct iei f, dac a funct ia
admite ^ naderivate laterale diferite  si m acar una dintre ele este nit a.
Din aceast a denit ie rezult a c a ^ ntr-un punct unghiular gracul are semitangente
cu drepte de suport diferite.
De exemplu, s a consider am funct ia f:R!R,f(x) =jx24j.
Ea admite punctele unghiulare M(2;0)  siN(2;0).^Intr-adev ar,
f′
s(2) = lim
x!2
x<2f(x)f(2)
x2= lim
x!2
x<24x2
x2=2;
iar
f′
d(2) = lim
x!2
x>2f(x)f(2)
x2= lim
x!2
x>2×24
x2= 2:
Analog se arat a c a Meste punct unghiular.
Denit ie 6.5.2. Spunem c a punctul M(a;f(a))de continuitate, dar de nederiv-
abilitate pentru festepunct de ^ ntoarcere pentru gracul funct iei f, dac a funct ia
admite ^ naderivate laterale innite  si diferite.
De exemplu, s a consider am funct ia f:R!R,f(x) =√
jxj.
Deoarecef′
s(0) = 1  sif′
d(0) = + 1, rezult a c a punctul O(0;0) este punct de
^ ntoarcere pentru gracul funct iei f:
6.6. Operat ii cu funct ii derivabile
Fie funct iile f; g:D!R sia2D\D′:
Teorem a 6.6.1. Dac a funct iile f; g sunt derivabile ^ n punctul a;atuncif+g;
f(cu2R) sifgsunt derivabile ^ n punctul a, iar dac ag(a)̸= 0, atuncif
geste

100 6. DERIVABILITATE
derivabil a ^ n a si
(f+g)′(a) =f′(a) +g′(a);
(f)′(a) =f′(a);
(fg)′(a) =f′(a)g(a) +f(a)g′(a);(f
g)′
(a) =f′(a)g(a)f(a)g′(a)
g2(a):
Corolar 6.6.1. Dac a funct ile f; g sunt derivabile pe D;atuncif+g; f (cu
2R) sifgsunt derivabile pe D, iar dac ag(x)̸= 0,(8)x2D, atuncif
geste
derivabil a pe D si
(f+g)′=f′+g′;
(f)′=f′;
(fg)′=f′g+fg′;(f
g)′
=f′gfg′
g2:
Teorem a 6.6.2 (Derivabilitatea funct iilor compuse) .Dac af:I!J sig:
J!R,undeI siJsunt intervale  si feste derivabil a ^ n punctul x02I;iargeste
derivabil a ^ n punctul y0=f(x0)2J, atuncig◦feste derivabil a ^ n x0 si
(g◦f)′(x0) =g′(f(x0))
f′(x0):
Dac afeste derivabil a pe I sigeste derivabil a pe J, atuncig◦feste derivabil a
peI si
(g◦f)′= (g′◦f)
f′:
6.7. Derivabilitatea funct iilor inversabile
Teorem a 6.7.1. Dac af:I!Jeste continu a, bijectiv a, derivabil a ^ n punctul
x02I sif′(x0)̸= 0, atuncif1:J!Ieste derivabil a ^ n y0=f(x0) si
(
f1)′(y0) =1
f′(x0):

6.7. DERIVABILITATEA FUNCT IILOR INVERSABILE 101
De aici deducem derivatele urm atoarelor funct ii:
(arcsinx)′=1p
1x2;
(arccosx)′=1p
1x2;
(arctgx)′=1
1 +x2;
(arcctgx)′=1
1 +x2;
(ex)′=ex:
Pentru o funct ie derivabil a u, avem urm atoarele formule:
(un)′=nun1
u′; n2N;
(ur)′=rur1
u′; r2R,u>0;
(lnu)′=1
u
u′;(logau)′=1
ulna
u′; u> 0;
(eu)′=euu′;(au)′=aulna
u′; a> 0,a̸= 1;
(sinu)′= cosu
u′;
(cosu)′=sinu
u′;
(tgu)′=1
cos2u
u′=(
1 + tg2u)

u′;cosu̸= 0;
(ctgu)′=1
sin2u
u′=(
1 + ctg2u)

u′;sinu̸= 0;
(arcsinu)′=1p
1u2
u′;juj<1;
(arccosu)′=1p
1u2
u′;juj<1;
(arctgu)′=1
1 +u2
u′;
(arcctgu)′=1
1 +u2
u′
(
npu)′=1
nnp
un1
u′; n2N siu>0 dac anpar,
(uv)′=uv(
lnu
v′+v
u
u′)
:

102 6. DERIVABILITATE
6.8. Derivate de ordin superior
Denit ie 6.8.1. Fief:D!R sia2D.Dac afeste derivabil a ^ ntr-o
vecin atate a lui a sif′este derivabil a ^ n a;atunci spunem c a festederivabil a de
dou a ori ^ n a si derivata de dou a ori ^ n a;notat af′′(a)este
f′′(a) = lim
x!af′(x)f′(a)
xa:
Analog se dene ste derivata de ordinul n3; f(n):
De exemplu, pentru f(x) =1
x2+1, avem
f′(x) =2x
(x2+ 1)2 sif′′(x) =2 (3×21)
(x2+ 1)2:
Not am cu
Cn
I:={
f:I!Rjfeste derivabil a de nori cuf(n)este continu a pe I}
:
O funct ief2Cn
Ise nume ste funct ie de clas a CnpeI:
6.9. Puncte de extrem
Denit ie 6.9.1. Fie funct ia f:D!R sia2D.Spunem c a a2Destepunct
de maxim relativ (local )al funct iei fdac a exist a o vecin atate Ua luiaastfel
^ nc^ at pentru orice x2U\Ds a avem
f(x)f(a):
Cea mai mare valoare f(a)pentru toate punctele de maxim relativ ase nume ste
maximul (global )al funct iei sau valoarea maxim a a funct iei, iar (a;f(a))se
nume ste punct de maxim (global )al gracului funct iei f:
Denit ie 6.9.2. Fie funct ia f:D!R sia2D.Spunem c a a2Destepunct
de minim relativ (local )al funct iei fdac a exist a o vecin atate Va luiaastfel
^ nc^ at pentru orice x2V\Ds a avem
f(x)f(b):
Cea mai mic a valoare f(b)pentru toate punctele de minim relativ bse nume ste
minimul (global )al funct iei sau valoarea minim a a funct iei, iar (b;f(b))se
nume ste punct de minim (global )al gracului funct iei f:
Denit ie 6.9.3. Spunem c a aestepunct critic al funct ieifdac a este r ad acin a
a ecuat iei
f′(x) = 0:

6.9. PUNCTE DE EXTREM 103
Teorem a 6.9.1 (Fermat) .Fief:I!R,undeIeste un interval  si a2Ieste
punct interior al intervalului I:Dac a funct ia feste derivabil a ^ n a siaeste punct
de extrem al funct iei, atunci
f′(a) = 0:
Observat ie 6.9.1. Teorema lui Fermat arm a c a punctele de extrem se g asesc
printre punctele critice ale funct iei.
Observat ie 6.9.2. Pentru funct ia f: [0;1]!R,f(x) =x;punctula= 1 este
punct de maxim al lui f, darf′(1)̸= 1. Acest fapt nu contrazice teorema lui Fermat,
deoarece punctul 1 nu este interior lui [0 ;1]:
Observat ie 6.9.3. Reciproca teoremei lui Fermat nu este adev arat a, adic a dac a
feste derivabil a ^ n punctul ainterior lui I sif′(a) = 0;nu rezult a cu certitudine c a
aeste punct de extrem.
De exemplu, pentru funct ia f:R!R,f(x) =x3;punctula= 0 este punct
de derivabilitate al lui f, interior lui R,f′(0) = 0;dar nu este punct de extrem,
deoarece funct ia este strict cresc atoare pe R.
Teorem a 6.9.2 (Rolle) .Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a pe [a;b] si derivabil a
pe(a;b) (astfel de funct ii poart a numele de funct ii Rolle ). Dac af(a) =f(b),
atunci exist a cel put in un punct c2(a;b)astfel ^ nc^ at f′(c) = 0:
Corolar 6.9.1 (al teoremei lui Rolle) .
1.^Intre dou a r ad acini ale unei funct ii derivabile exist a cel put in o r ad acin a a
derivatei.
2.^Intre dou a r ad acini consecutive ale derivatei exist a cel mult o r ad acin a a
funct iei.
De exemplu, s a consider am funct ia f:R!R,
f(x) = (2x1) (x+ 5) (x3) (x7)
 si cerem s a se arate c a are toate punctele critice (r ad acinile derivatei) reale.
Deoarece ecuat ia f(x) = 0 are r ad acinile x1=5; x2=1
2; x3= 3; x4= 7;
conform corolarului 6.9.1., 1., rezult a c a exist a x′
12(
5;1
2)
;x′
22(1
2;3)
;x′
32(3;7)
r ad acini ale derivatei.
Deci, ecuat ia f′(x) = 0 are cel put in trei r ad acini reale  si cum gradul polinomului
f′este 3;rezult a c af′are exact trei r ad acini reale.
Teorem a 6.9.3 (Lagrange) .Dac af: [a;b]!Reste o funct ie Rolle, atunci
exist a cel put in un punct c2(a;b)astfel ^ nc^ at
f(b)f(a)
ba=f′(c):
Corolar 6.9.2 (al teoremei lui Lagrange) .Fiefo funct ie denit a pe o vecin atate
Va punctului x0. Dac afeste derivabil a pe Vnfx0g; feste continu a ^ n x0 si exist a

104 6. DERIVABILITATE
= lim
x!x0f′(x);atuncifare derivat a ^ n x0 sif′(x0) =;iar dac a2R,atuncif
este derivabil a ^ n x0:
De exemplu, s a studiem derivabilitatea funct iei f:R!R,
f(x) ={
x2;dac ax1
lnx+x;dac ax>1:
Pe intervalele ( 1;1)  si (1;+1), restrict iile funct iei f;ind funct ii elementare, sunt
continue. Cum
lim
x!1
x<1f(x) = lim
x!1
x>1f(x) =f(1) = 1;
rezult a c afeste continu a ^ n 1 :
Concluzia este c a feste continu a pe R.
Pe intervalele ( 1;1)  si (1;+1), restrict iile funct iei f;ind funct ii elementare,
sunt derivabile  si
f(x) ={
2x;dac ax1
1
x+ 1;dac ax>1:
Avem
lim
x!1
x<1f′(x) = lim
x!1
x<1(2x) = 2;
lim
x!1
x>1f′(x) = lim
x!1
x>1(1
x+ 1)
= 2:
Deci, exist a = 2 = lim
x!1f′(x):Conform corolarului teoremei lui Lagrange, obt inem
f′(1) = 2 2R, decifeste derivabil a ^ n 1 :
Concluzia este c a feste derivabil a pe R.
S a mai consider am  si funct ia f:R!R,
f(x) ={
x2sin1
x;dac ax̸= 0
0;dac ax= 0:
Observ am c a feste continu a pe R si este derivabil a pe Rnf0g, cu
f′(x) = 2xsin1
xcos1
x; x̸= 0:
Avem
lim
x!0f′(x) = lim
x!02xsin1
xcos1
x=lim
x!0cos1
x;
limit a care nu exist a. Prin urmare, ipotezele din corolarul teoremei lui Lagrange nu
sunt satisf acute, deci corolarul nu se poate aplica. Vom studia derivabilitatea ^ n 0 ;

6.9. PUNCTE DE EXTREM 105
urm^ and o alt a cale:
f′(0) = lim
x!0f(x)f(0)
x0= lim
x!0xsin1
x= 0;
decifeste derivabil a ^ n 0  si f′(0) = 0:
Teorem a 6.9.4 (Cauchy) .Fief; g : [a;b]!Rdou a funct ii Rolle. Dac a
g′(x)̸= 0; x2(a;b), atunci exist a c2(a;b)astfel ^ nc^ at
f(b)f(a)
g(b)g(a)=f′(c)
g′(c):
Observat ie 6.9.4. Teorema lui Lagrange este un caz particular al teoremei lui
Cauchy  si anume cazul c^ and g(x) =x:
De exemplu, s a consider am funct iile f; g: [2;5]!R,
f(x) ={px+ 3;dac ax2[2;1)
x
4+7
4;dac ax2[1;5]
 si
g(x) =x:
Observ am c a feste continu a pe [ 2;5]  si derivabil a pe ( 2;5)nf1g, cu
f′(x) ={1
2px+3;dac ax2[2;1)
1
4;dac ax2(1;5]:
Avem
lim
x!1
x<1f′(x) =1
4 si lim
x!1
x>1f′(x) =1
4;
de unde concluzion am, folosind corolarul teoremei lui Lagrange, c a f′(1) =1
4:
Rezult afderivabil a pe [ 2;5], deci  si pe ( 2;5):
De asemenea, geste continu a pe [ 2;5]  si derivabil a pe ( 2;5), av^ andg′(x) =
1̸= 0; x2(2;5):
Conform teoremei lui Cauchy, rezult a c a exist a c2(2;5) astfel ^ nc^ at
f(5)f(2)
g(5)g(2)=f′(c)
g′(c):
Teorem a 6.9.5 (Darboux) .Dac af:I!Reste derivabil a pe I, atunci funct ie
f′are proprietatea lui Darboux pe I:
Vom studia ^ n cele ce urmeaz a o generalizare natural a a formulei lui Lagrange,
^ n cazul ^ n care funct ia feste de clas a Cn si anume formula lui Taylor.
FieIun interval deschis  si a2I sif:I!Ro funct ie de clas a CnpeI:
Polinomul
Tn;af(x) =f(a) +xa
1!f′(a) +(xa)2
2!f′′(a) +:::+(xa)n
n!f(n)(a);

106 6. DERIVABILITATE
cux2Ise nume ste polinomul Taylor de gradn, asociat funct iei f;^ n punctul
a;iarf(x)Tn;a(x) =Rn(x;a) se nume ste restul de ordinuln:Folosind teorema
lui Lagrange se demonstreaz a c a dac a feste de clas a Cn+1;restul poate avea pe o
vecin atate ( ar;a+r)2V(a) formele (restul Lagrange)
Rn;af(x) =(xa)n+1
(n+ 1)!f(n+1)();
cu^ ntrea sixsau (restul Cauchy)
Rn;af(x) =(x)n(xa)
n!f(n+1)();
cu^ ntrea six.
Formula lui Taylor cu restul sub forma Lagrange este cea mai utilizat a:
f(x) =f(a) +xa
1!f′(a) +(xa)2
2!f′′(a) +:::+(xa)n
n!f(n)(a) +
+(xa)n+1
(n+ 1)!f(n+1)();
cu^ ntrea six,x2(ar;a+r); r> 0:
De asemenea, c^ and a= 0 obt inem formula Mac-Laurin (cu restul Lagrange):
f(x) =f(0) +x
1!f′(0) +x2
2!f′′(0) +:::+xn
n!f(n)(0) +
+xn+1
(n+ 1)!f(n+1)();
cu^ ntre 0  six(sau=x;cu2(0;1)),x2(r;r); r> 0.
De exemplu, s a scriem formula Mac-Laurin p^ an a la ordinul 7 ;pentru funct ia
f(x) = sinx:
Avem
f(x) = 0 +x
1!x3
3!+x5
5!x7
7!+x8
8!sin (x);
cu2(0;1):Astfel, putem considera aproximarea
f(x)≃x
1!x3
3!+x5
5!x7
7!:
O aplicat ie direct a a formulei lui Taylor^ n studiul extremelor este dat a de urm atoarea
Teorem a 6.9.6. Fief: [a;b]!Rde clas aCnpe(a;b),n2 si ex02(a;b)
astfel ^ nc^ at f′(x0) =f′′(x0) =:::=f(n1)(x0) = 0  sif(n)(x0)̸= 0:Atunci, dac a
neste par,x0este punct de extrem local al lui f si anume este minim local dac a
f(n)(x0)>0 si este maxim local dac a f(n)(x0)<0:Dac aneste impar, atunci x0nu
este punct de extrem local al lui f.

6.11. EXERCIT II 107
6.10. Regulile lui L'H^ ospital
Calculul unor limite implic^ and ^ nl aturarea unor cazuri exceptate presupune unele
articii chiar de o ingeniozitate sporit a. ^In acest paragraf vom prezenta o metod a
unitar a pentru calculul unor limite exceptate de funct ii,  si anume0
0 si1
1:
Teorem a 6.10.1. FieIun interval (m arginit sau nem arginit ),aun punct de
acumulare (nit sau innit )al luiI si funct iile f; g:Infag !R.Dac a:
1.f sigsunt derivabile pe Infag;
2.g′(x)̸= 0;pentru orice x2Infag;
3.lim
x!af(x) = lim
x!ag(x) = 0 saulim
x!ajf(x)j= lim
x!ajg(x)j= +1;
4.exist a lim
x!af′(x)
g′(x)=l2R;
atunci:
a.g(x)̸= 0;pentru orice x2Infag;
b.funct iaf
gare limit a ^ n a silim
x!af(x)
g(x)= lim
x!af′(x)
g′(x):
De exemplu, s a calcul am lim
x!2×38
x24:=l. Avem
l(0
0)= lim
x!2(x38)′
(x24)′= lim
x!23×2
2x= 3;
condit iile teoremei 6.10.1 ind satisf acute.
De asemenea,
lim
x!0esinx1
sinx(0
0)= lim
x!0esinx
cosx
cosx= 1;
lim
x!1x(
1e1
x)(1
0)= lim
x!11e1
x
1
x(0
0)= lim
x!11
x2
e1
x
1
x2=1;
lim
x!1ex
x(1
1)= lim
x!1ex
1= +1;
lim
x!1lnx
x3(1
1)= lim
x!11
x
3×2= 0:
6.11. Exercit ii
(1)Fief(x) =3+x
3x; x̸= 3:Calculat if′(2) folosind denit ia.
R:Avem
f′(2) = lim
h!0f(2 +h) f(2)
h= lim
h!06h
h(1h)= 6:

108 6. DERIVABILITATE
(2)Fief(x) =p2x1; x1
2:Calculat if′(5) folosind denit ia.
R:Avem
f′(5) = lim
h!0f(5 +h) f(5)
h= lim
h!0p
9 + 2h3
h=
= lim
h!0(p
9 + 2h3)(p
9 + 2h+ 3)
h(p
9 + 2h+ 3) =
= lim
h!02h
h(p
9 + 2h+ 3)=1
3:
(3)Fief:R!R,
f(x) ={
xsin1
x;dac ax̸= 0
0;dac ax= 0:
Studiat i continuitatea  si derivabilitatea funct iei f:
R:Funct iafeste continu a pe ( 1;0)  si (0;+1), restrict iile la aceste in-
tervale ind funct ii elementare. Avem
lim
x!0f(x) = lim
x!0xsin1
x= 0 =f(0);
deoarecex!0  sisin1
x1;deci funct ia este continu a ^ n 0 :
Funct iafeste derivabil a pe ( 1;0)  si (0;+1), restrict iile la aceste intervale
ind funct ii elementare. Avem
f′(0) = lim
h!0f(h)f(0)
h= lim
h!0sin1
h
care nu exist a. Deci fnu este derivabil a ^ n 0 :
(4)Fief:R!R,
f(x) ={
x2sin1
x;dac ax̸= 0
0;dac ax= 0:
Studiat i continuitatea  si derivabilitatea funct iei :
R:Funct iafeste continu a pe ( 1;0)  si (0;+1), restrict iile la aceste in-
tervale ind funct ii elementare. Avem
lim
x!0f(x) = lim
x!0x2sin1
x= 0 =f(0);
deoarecex2!0  sisin1
x1;deci funct ia este continu a ^ n 0 :
Funct iafeste derivabil a pe ( 1;0)  si (0;+1), restrict iile la aceste intervale
ind funct ii elementare. Avem
f′(0) = lim
h!0f(h)f(0)
h= lim
h!0hsin1
h= 0;

6.11. EXERCIT II 109
decifeste derivabil a ^ n 0 :
(5)Determinat i a; b2R, astfel ^ nc^ at funct ia f:R!R,
f(x) ={
sinx;dac ax0
ax+b;dac ax>0
s a e derivabil a pe R.
R:Funct iafeste continu a pe ( 1;0)  si (0;+1), restrict iile la aceste in-
tervale ind funct ii elementare. Pentru a  continu a, trebuie s a e continu a
 si ^ n 0;de unde obt inem
lim
x!0
x<0f(x) = lim
x!0
x>0f(x) =f(0)
sau
b= 0:
Funct iafeste derivabil a pe ( 1;0)  si (0;+1), restrict iile la aceste intervale
ind funct ii elementare. Avem
f′
s(0) = lim
x!0
x<0f(x)f(0)
x0= lim
x!0
x<0sinx
x= 1;
f′
d(0) = lim
x!0
x>0f(x)f(0)
x0= lim
x!0
x>0ax
x=a;
deci, pentru ca fs a e derivabil a ^ n 0 ;trebuie caa= 1:
(6)Scriet ie ecuat iile tangentelor (semitangentelor) la gracul funct iilor urm atore
^ n punctele specicate:
a)f:R!R,f(x) = sinx; a= 1;
b)f:R+!R,f(x) =4px; a= 1; a= 0;
c)f:R!R,f(x) ={1
x3;dac ax̸= 0
0;dac ax= 0; a= 0:
R:a)y= 1; y+x=; y =1;
b)yx
4=3
4; c)f′
s(0) =1  sif′
d(0) = + 1 si ecuat ia semitangentei x= 0:
(7)Determinat i punctele unghiulare ale gracelor urm atoarelor funct ii:
a)f:R!R,f(x) =jx+ 2j;
b)f:R!R,f(x) ={
x3;dac ax0
2x;dac ax>0;
c)f:R!R,f(x) ={p1x;dac ax1
lnx;dac ax>1:
R:a)x=2; b)x= 0; c)x= 1:

110 6. DERIVABILITATE
(8)Determinat i punctele de ^ ntoarcere ale gracelor urm atoarelor funct ii:
a)f:R!R,f(x) =√
jx+ 1j;
b)f:R!R,f(x) ={
x2;dac ax̸= 0
1;dac ax= 0;
c)f:R!R,f(x) =8
<
:px;dac ax<0
0;dac ax= 0
3px;dac ax>0:
R:a)x=1; b)x= 0; c)x= 0:
(9)Calculat i derivatele urm atoarelor funct ii:
a)f(x) =x35×2+ 1; b)f(x) =xlnxlnx;
c)f(x) =x2sinx+ 2xcosx2 sinx; d)f(x) =x1
x+1;
e)f(x) =1
xlnx; f)f(x) =√
xpx; g)f(x) = (x2+x+ 1)p
2;
h)f(x) = ln(x1
x+1)
; i)f(x) =3p
sinx; j)f(x) = loga(tgx) ;
k)f(x) = arcsin (1 + x2) ; l)f(x) = tg (3px);
m)f(x) = arctgx2
x+1; n)f(x) = (x2+ 1)x;
o)f(x) =x1
x; p)f(x) = sin (2x1)
cos2(2x1) ;
q)f(x) =1
aarctgx
a; a̸= 0; r)f(x) = ln(
x+p
a2+x2)
;
s)f(x) = ln (cosx) +1
2tg2x:
R:a) 3×210x; b)xlnx+x1
x;
c)x2cosx; d)2
(x+1)2; e)lnx+1
x2ln2x; f)1
4(4px)3;
g) (x2+x+ 1)p
21p
2 (2x+ 1) ;
h)2
(x1)(x+1); i)1
3 sin2
3xcosx; j)1+ tg2x
tgxlna;
k)d
dxarcsin (1 +x2) = 2xp
(x2(2+x2));
l)1
31+ tg23px
(3px)2; m)x2+x
x2+2x+1+x4;
n) (1 +x2)x1(ln (1 +x2) + (ln (1 + x2))x2+ 2×2) ;
o)x1+2x
x(lnx1) ;
p) 6 cos3(1 + 2x)4 cos (1 + 2x) ;
q)1
a2+x2; r)1p
(a2+x2); s)(sinx)1+cos2x
cos3x:
(10) Ar atat i c a funct ia f:R!R,
f(x) ={ln2(x3);dac ax3
(x3)2;dac ax<3
are derivat a de ordinul doi ^ n punctul a= 3:
R:f′′(3) = 1:

6.11. EXERCIT II 111
(11) Calculat if′′(x) pentru funct iile:
a)f(x) = cosx; b)f(x) =1
xa; c)f(x) =1
x24x+3:
R:a)cosx; b)2
(xa)3; c) 23×212x+13
(x24x+3)3:Se poate scrie
1
x24x+ 3=1
2
1
x11
2
1
x3:
 si apoi aplica rezultatul de la b).
(12) Scriet i formula Mac-Laurin de ordinul npentru funct ia
f(x) =p
x+ 1; x> 1:
R:Deoarecef(x) = (x+ 1)1
2;rezult a c a
f(x) = 1 +x
2+n∑
k=2(1)k1(2k3)!!
2kk!+
+ (1)n(2n1)!!
(n+ 1)!2n+1(1 +)n+1;
cux2(r;r)2V(0)  si^ ntre 0  six:
(13) Scriet i formula lui Taylor de ordinul npentru funct iile
a)f(x) = lnx; x> 0, ^ n punctul a= 1;
b)f(x) =ex; x2R, ^ n punctul a=1:
R:a) Se obt ine
f(x) =x+n∑
k=2(1)k1(x1)k
k+ (1)n(x1)n+1
n+ 11
n+1;
cu^ ntre 1  six six2(1r;1 +r); r> 0:
b)
f(x) =1
e(
1 +n∑
k=1(x+ 1)k
k!)
+(x+ 1)n+1
(n+ 1)!e;
cu^ ntre1  six six2(1r;1 +r); r> 0:
(14) Calculat i cu ajutorul formulei lui Taylor limitele:
a) lim
x!0cosxex2
2
x4; b) lim
x!0tgxsinx
x3:
R:a) Scriem formula lui Taylor de ordinul 4 pentru funct iile f(x) = cosx

112 6. DERIVABILITATE
 sig(x) =ex2
2. Avem:
lim
x!0cosxex2
2
x4
= lim
x!01x2
2!+x4
4! x5
5!sin (1x)1 +x2
2!3×4
4!x5
5!+g(5)(2x)
x4
= lim
x!0[1
4!3
4!+x5
5!(
sin (1x) +g(5)(2x))]
=1
12:
b)1
2:
(15) Determinat i punctele de extrem ale funct iei
f(x) = 2 cosx+x2; x2R.
R:Avemf′(x) =2 sinx+ 2x; f′′(x) =2 cosx+ 2; f′′′(x) = 2 sinx;
f(4)(x) = 2 cosx sif′(0) =f′′(0) =f′′′(0) = 0,f(4)(0) = 2:Deci, conform
teoremei 6.9.6 ;funct iafare un minim ^ n punctul x= 0:
(16) S a se demonstreze c a funct ia f:R!(1;+1); f(x) = 3x+ 9x1 este
bijectiv a  si s a se calculeze ( f1)′(1)  si (f1)′′(1):
R:Este clar c a f′(x)>0  sif(R) = (1;+1).
De asemenea, rezolv^ and ecuat ia f(x) = 1 rezult a c a x= 0 este unica solut ie.
S tim c a
(
f1)′(1) =1
f′(0);
pe care o putem deduce  si deriv^ and relat ia ( f1◦f) (x) =x;obt in^ and
(
f1)′(f(x))
f′(x) = 1;
deci, cu notat ia y=f(x), avem (f1)′(y) =1
f′(x); pentru derivata de ordinul
al doilea se deriveaz a relat ia ( f1)′(f(x))
f′(x) = 1;obt in^ andu-se
(
f1)′′(f(x))
(f′(x))2+(
f1)′(f(x))
f′′(x) = 0:
Astfel,
(
f1)′(y) =f′′(x)
(f′(x))3:
(17) Calculat i limitele urm atoare, folosind regula lui L'H^ ospital:
a) lim
x!0e2x1
x; b) lim
x!11+cosx
x22x+1; c) lim
x!0
x>0ln cos 3x
ln cos 2x;
d) lim
x!+13×2x+5
5×2+6x3; e) lim
x!+1x2ex; f) lim
x!0
x>0ln tg 2x
ln tg 3x;

6.11. EXERCIT II 113
g) lim
x!0
x>0x2lnx; h) lim
x!0(cosx)1
x2;
i) lim
x!+1(e3x5x)1
x; j) lim
x!0(e3x5x)1
x; k) lim
x!0(1
sin2x1
x2)
:
R:a) 2; b)1
22; c)9
4; d)3
5; e) 0; f) 1; g) 0; h) e1
2; i)e3; j)e2; k)1
3:
(18) Ar atat i c a de si lim
x!+1xsinx
x+cosxexist a, totu si regula lui L'H^ ospital nu poate
aplicat a.
R:Avem
lim
x!+1xsinx
x+ cosx= lim
x!+1x(
1sinx
x)
x(
1 +cosx
x)= 1
 si regula lui L'H^ ospital nu poate  aplicat a deoarece nu exist a lim
x!1sinx si
lim
x!1cosx:
(19) A
at im2Rastfel ^ nc^ at funct ia f:R!R,f(x) =mxln (1 +x2) s a e
descresc atoare pe R.
R:m2(1;1]:Se pune condit ia f′(x)0;peR.

CAPITOLUL 7
Aplicat iile derivatelor
7.1. Rolul derivatei ^ nt^ ai
Teorem a 7.1.1. Dac af:I!Reste derivabil a pe I si cresc atoare pe I;atunci
f′(x)0;(8)x2I:Dac af:I!Reste derivabil a pe I si descresc atoare pe I;
atuncif′(x)0;(8)x2I:
Teorem a 7.1.2. Dac af:I!Reste derivabil a pe I sif′(x)0;(8)x2I;
atuncifeste cresc atoare pe I:Dac af:I!Reste derivabil a pe I sif′(x)0;(8)
x2I;atuncifeste descresc atoare pe I:
Aplicat ii la determinarea intervalelor de monotonie  si a punctelor de
extrem local
De exemplu, e f: [1;1]!R,f(x) =xarcsinx:Avem
f′(x) = 11p
1x2;(8)x2(1;1):
Rezolv^ and ecuat ia f′(x) = 0;g asim singurul punct critic x= 0:
Deoarece pe intervalele ( 1;0)  si (0;1) funct iaf′nu se mai anuleaz a, rezult a c a
p astreaz a semn constant, ind continu a; cum f(
1
2)
<0  sif(1
2)
>0;rezult a c a
f′(x)<0; x2(1;0)  sif′(x)>0; x2(0;1):Folosind teorema 7.1.2 obt inem c a f
este strict descresc atoare pe [ 1;0]  si [0;1]:Punctul critic 0 nu este punct de extrem.
Teorem a 7.1.3. Dac af:I!Reste derivabil a pe I sif′= 0 peI;atuncif
este constant a pe I:
Corolar 7.1.1. Dac af sigsunt derivabile pe I sif′=g′peI, atuncif sig
difer a printr-o constant a pe I:
De exemplu, e f:R!R,f(x) = arctgx sig:R!R,g(x) =arctg1
x:Ne
punem problema existent ei intervalelor pe care funct iile s a difere printr-o constant a.
Avemf′(x) =1
x2+1 sig′(x) =1
x2+1, decif′=g′:CumR= (1;0)[(0;+1);
obt inem dou a cazuri :
Cazul I. Consider am f′(x) =g′(x);oricare ar  x2(1;0):Rezult a, conform
teoremei 7.1.3 c a exist a k12Rastfel ^ nc^ at f(x) =g(x)+k1;(8)x2(1;0):Deci,
arctgx+ arctg1
x=k1;(8)x2(1;0):
F ac^ andu-l pe x=1, rezult ak1=
2:
115

116 7. APLICAT IILE DERIVATELOR
Cazul II. Consider am f′(x) =g′(x);oricare ar  x2(0;+1):Rezult a, con-
form teoremei 6.11.3 c a exist a k22Rastfel ^ nc^ at f(x) =g(x)+k2;(8)x2(0;+1):
Deci,
arctgx+ arctg1
x=k2;(8)x2(0;+1):
F ac^ andu-l pe x= 1, rezult a k2=
2:
Concluzia este c a
arctgx+ arctg1
x=
2;(8)x2(1;0);
arctgx+ arctg1
x=
2;(8)x2(0;+1):
7.2. Rolul derivatei a doua
Denit ie 7.2.1. Funct iaf:I!Reste se nume ste convex a pe intervalul I
dac a (8)x1; x22I si(8)t2[0;1];avem
f((1t)x1+tx2)(1t)f(x1) +tf(x2): (*)
Interpretarea geometric a a acestei denit ii este c a pentru o funct ie convex a, ori-
care ar  dou a puncte x1,x22I, port iunea din gracul funct iei, situat a ^ ntre
(x1;f(x1))  si (x2;f(x2));se g ase ste sub coarda determinat a de ele.
Funct iafse nume ste concav a peIdac afeste convex a pe I, adic a ^ n inegal-
itatea ()avem semn contrar.
Teorem a 7.2.1. Fie funct ia f: [a;b]!R,cua < b . Dac afeste continu a pe
[a;b], exist af′ sif′′pe(a;b) sif′′(x)0;oricare ar  x2(a;b), atunci funct ia f
este convex a pe [a;b]:
Fie funct ia f: [a;b]!R, cua<b .Dac afeste continu a pe [a;b], exist af′ sif′′
pe(a;b) sif′′(x)0;oricare ar  x2(a;b), atunci funct ia feste concav a pe [a;b]:
Denit ie 7.2.2. Fief:I!R six0un punct interior lui I. Punctul x0
se nume ste punct de in
exiune al funct iei f, dac a exist a ,2Iastfel ^ nc^ at
<x 0<; iarfeste convex a pe (;x 0] si concav a pe [x0;)sau invers.
De exemplu, s a consider am funct ia f: (0;+1)!R,f(x) =x2lnx:
Avemf′(x) =x(2 lnx+ 1)  si
f′(x) = 0 = )x=1pe;
f′′(x) = 2 lnx+ 3  si
f′′(x) = 0 = )x=1p
e3:
Studiind semnul funct iilor f′′ sif′;deducem c a punctul1peeste punct de minim
global, iar punctul1p
e3este punct de in
exiune.

7.3. REPREZENTAREA GRAFICULUI UNEI FUNCT II 117
7.3. Reprezentarea gracului unei funct ii
Pentru a construi cu aproximat ie gracul unei funct ii fse parcurg urm atoarele
etape:
1.Determinarea domeniului maxim de denit ie, dac a acesta nu este precizat.
^In cazul funct iilor periodice se determin a perioada principal a T si se face studiul
funct iei pe mult imea [0 ;T]:
2.Determinarea punctelor de intersect ie a gracului funct iei cu axele, A(a;0),
B(0;f(0)), atunci c^ and acestea exist a.
3.Determinarea eventualelor centre de simetrie sau a axelor de simetrie.
4.Determinarea valorilor  si limitelor funct iei ^ n punctele de acumulare ale dome-
niului de denit ie.
5.Determinarea asimptotelor.
6.Se calculeaz a f′, eventualele derivate laterale ^ n punctele unde fnu este
derivabil a  si derivata funct iei ^ n punctele ^ n care aceasta devine (eventual) innit a,
1:
Se rezolv a ecuat ia f′(x) = 0  si se studiaz a semnul primei derivate, g asindu-se
astfel intervalele de monotonie  si eventualele puncte de extrem local.
7.Se calculeaz a f′′(^ n punctele ^ n care f′este derivabil a), se rezolv a ecuat ia
f′′(x) = 0  si se studiaz a semnul derivatei a doua, g asindu-se astfel intervalele de
convexitate  si eventualele puncte de in
exiune.
8.^Intocmirea tabelului de variat ie a funct iei.
Toate rezultatele obt inute mai sus se trec ^ ntr-un tabel cu 4 linii orizontale astfel:
a) Pe prima linie se trec valorile remarcabile ale argumentului xde unde s a
e vizibil  si domeniul maxim de denit ie. Aici se trec punctele de acumulare ale
domeniului de denit ie care nu apart in acestuia.
b) Pe linia a doua se trec semnul derivatei ^ nt^ ai  si valorile acesteia ^ n punctele
remarcabile (ori valorile derivatelor laterale).
c) Pe linia a treia se trec valorile funct iei ^ n punctele remarcabile, limitele funct iei
sau limitele laterale  si se indic a monotonia funct iei prin simbolurile ↗sau↘:
d) Pe linia a patra se trec semnul derivatei a doua  si valorile acesteia ^ n punctele
remarcabile. Sub semnul respectiv + sau se trece simbolul [sau\, pentru a se
indica convexitatea sau concavitatea gracului.
9.Desenarea gracului. Dup a ce s-a trasat un reper cartezian (format din axele
de coordonate  si origine) se traseaz a asimptotele, punctele remarcabile ale gracului
(care se preiau din tabelul de variat ie), tangentele sau semitangentele ^ n punctele
remarcabile  si, ^ n nal, gracul funct iei.
De exemplu, s a reprezent am grac funct ia f:Df!R,f(x) =x3+ 3×2:
Observ am c a domeniul maxim de denit ie este Df=R;

118 7. APLICAT IILE DERIVATELOR
f(0) = 0  sif(x) = 0 dac a  si numai dac a x= 0 saux=3:Intersect iile cu axele
suntO(0;0)  siA(3;0):
Nu avem asimptote verticale, find continu a. Nu avem asimptote orizontale,
c aci lim
x!1f(x) =1:Nu avem asimptote oblice, deoarece lim
x!1f(x)
x= +1;
f′(x) = 3×2+ 6x;care are r ad acinile 0  si 2;
f′′(x) = 6x+ 6, cu r ad acina x=1:
Tabelul de variat ie a funct iei feste urm atorul:
iar gracul funct iei feste trasat ^ n gura urm atoare.
7.4. Demonstrarea unor inegalit at i
Scopul acestui paragraf este acela de a ar ata cum putem folosi cuno stin- t ele de
analiz a matematic a, la a ar ata unele inegalit at i a c aror demonstra- t ie elementar a

7.5. STUDIUL ECUAT IILOR 119
(utiliz^ and metode algebrice) este destul de grea. Un ins- trument ar  determinarea
extremelor locale, ^ ns a acesta de cele mai multe ori nu se dovede ste a  ecace. Avem
^ ns a urm atoarea
Teorem a 7.4.1.
a)Dac a funct iile f; g : [x0;a]!Rsunt derivabile  si, ^ n plus, f(x0)g(x0),
f′(x0)g′(x0);(8)x>x 0;atuncif(x)g(x);(8)x>x 0:
b)Dac a funct iile f; g : [a;x 0]!Rsunt derivabile  si, ^ n plus, f(x0)g(x0),
f′(x0)g′(x0);(8)x<x 0;atuncif(x)g(x);(8)x<x 0:
O alt a metod a ar  aceea de a nota cu h:=fg si a compara pe hcu 0:
De exemplu, s a demonstr am c a
x
x+ 1ln (x+ 1);oricare ar  x>1:
Denim funct ia f: (1;+1)!R,f(x) = ln (x+ 1)x
x+1:Avemf(0) = 0;
 sif′(x) =1
x+11
(x+1)2=x
(x+1)2:Rezolv^ and ecuat ia f′(x) = 0;g asimx= 0:De
asemenea, f′(x)<0;dac ax < 0  sif′(x)>0, dac ax > 0:Deci,feste strict
descresc atoare pe ( 1;0)  si strict cresc atoare pe (0 ;+1):Deci,f(x)0;(8)x >
1:
7.5. Studiul ecuat iilor
7.5.1. Ecuat ii de tipul f(x) =g(x).Rezolvarea ecuat iilor de tipul f(x) =
g(x), undef; g:D!R^ nseamn a determinarea absciselor punctelor de intersect ie
a gracelor celor dou a funct ii. ^In practic a, a
area exact a a solut iilor este aproape
imposibil a; de aceea, din analiza variat iilor celor dou a funct ii putem obt ine informat ii
privind num arul r ad acinilor  si a
area unor intervale ^ n care aceste r ad acini se g asesc
(separarea r ad acinilor).
De exemplu, s a consider am ecuat ia x3ax2+a= 0;undeaeste un parametru
real.
Deoarece 1  si 1 nu sunt r ad acini ale ecuat iei date, putem rescrie ecuat ia sub
forma
x3
x21=a;
 si tras am gracul funct iei f;dup a care ^ l vom intersecta cu paralele la axa Oxprin
puncte de ordonat a a:
Asimptotele sunt dreptele de ecuat ii x=1,x= 1  siy=x:
Tabelul de variat ie a funct iei f:Rnf1;+1g !Reste urm atorul.
Gracul este urm atorul.
a) Pentrua2(
1;3p
3
2)
, ecuat ia are 3 solut ii reale situate ^ n intervalele
(
1;p
3)
;(
p
3;1)
 si (0;1):

120 7. APLICAT IILE DERIVATELOR
b) Pentrua=3p
3
2,p
3 este r ad acin a dubl a, iar o alt a solut ie este ^ n (0 ;1):
c) Pentrua2(
3p
3
2;3p
3
2)
, ecuat ia are o singur a r ad acin a real a ^ n ( 1;1) etc.
7.5.2. S irul lui Rolle. Aceast a metod a de determinare a num arului de r ad acini
reale ale unei ecuat ii f(x) = 0, unde f:D!R, const a ^ n urm atoarele:
1.Se a
 af′, r ad acinile sale x1;x2;…,xn.
2.Se ^ ntocme ste un tabel ^ n care prima linie a argumentului xcont ine ex-
tremit at ile a; bale domeniului de denit ie (sau punctele de acumulare extreme), ^ n
ordine cresc atoare: a; x 1; x2;…,xn; b, pe linia a doua se trec valorile funct iei ^ n a;
x1; x2;…,xn; b:
3.Dac a funct ia ia valori de semne contrare ^ n extremit at ile unuia dintre inter-
valele (a;x 1);(x1;x2);…, (xn;b);atunci funct ia fare o singur a r ad acin a^ n interiorul
acestui interval.

7.6. EXERCIT II 121
Dac a funct ia ia valori de acelea si semne ^ n extremit at ile unuia dintre intervalele
(a;x 1);(x1;x2);…, (xn;b) sau se anuleaz a ^ ntr-o extremitate, atunci funct ia fnu
are nici o r ad acin a interiorul acestui interval.
De exemplu, s a determin am num arul de r ad acini reale ale ecuat iei
x33x+ 1 = 0:
Consider am funct ia f:R!R,f(x) =x33x+1:Avemf′(x) = 3×23  si punctele
critice sunt 1  si 1:Atunci  sirul lui Rolle este
x1 1 1 + 1
f(x)1 31 + 1
Figura 28
 si astfel, av^ and trei alternant e de semn, ++;toate cele trei r ad acini ale
ecuat iei date sunt reale, apart in^ and intervalelor ( 1;1), (1;1)  si (1;+1):
7.6. Exercit ii
(1)Determinat i intervalele de monotonie  si extremele urm atoarelor funct ii:
a)f:R!R,f(x) =x31;
b)f:R!R,f(x) =jx+ 1j;
c)f:R
+!R,f(x) =xlnx;
d)f:R
+!R,f(x) =x1
x:
R:a)f′0, peR;
b)feste strict descresc atoare pe ( 1;1); x=1 este punct de extrem,
nu exist af′(1);
c)f′(1
e)
= 0;
d)x=eeste punct de maxim.
(2)Determinat i intervalele de convexitate  si de concavitate ale urm a- toarelor
funct ii:
a)f:R!R,f(x) =x3+ 3×2;
b)f: [0;2]!R,f(x) = sinx;
c)f:R!R,f(x) =x
x2+1:
R:a)feste concav a pe ( 1;1)  si convex a pe ( 1;+1) ;
b)feste convex a pe [0 ;]  si concav a pe ( ;2];
c)feste convex a pe(
p
3;0)
[(p
3;+1)
 si concav a pe(
1;p
3)
[(
0;p
3)
:
(3)Determinat i punctele de in
exiune ale urm atoarelor funct ii:
a)f:R
+!R,f(x) =jlnx1j;
b)f:R!R,f(x) =jx24xj.
R:a)x= 1; b)x= 0  six= 4:

122 7. APLICAT IILE DERIVATELOR
(4)S a se reprezinte grac funct iile f:D!R, undeDeste domeniul maxim
de denit ie:
a)f(x) =x
x+1;
b)f(x) =e1
x;
c)f(x) =ex2;
d)f(x) =lnx
x1;
e)f(x) = sinxcosx;
f)f(x) = arcsin2x
x2+1;
g)f(x) =x1
x:
(5)S a se arate c a:
a)xex1xex;(8)x2R;
b)lnx
x11px;(8)x2(0;+1)nf1g:
R:a) Se consider a funct iile f1; f2:R!R,f1(x) =exx1  sif2(x) =
xexex+ 1  si se arat a c a f1(x)0; f2(x)0;(8)x2R.
b) Se consider a funct ia f: (0;+1)nf1g !R,f(x) =lnx
x11px si se arat a
c af(x)0;(8)x2(0;+1)nf1g:
(6)S a se g aseasc a num arul de r ad acini reale ale ecuat iilor:
a)exx= 3;
b)x3+ 3×2+ 2 = 0;
c) 2xxln 21 = 0;
d) 2 lnx+x24x+ 2 = 0:
R:Folosind, de exemplu  sirul lui Rolle, obt inem:
a) dou a r ad acini reale;
b) dou a r ad acini reale;
c) o r ad acin a real a;
d) o r ad acin a real a.

CAPITOLUL 8
Integrala
8.1. Integrala nedenit a
FieIun interval  si f:I!Ro funct ie.
Denit ie 8.1.1. Spunem c a fadmite primitive peIdac a exist a o funct ie
F:I!Rastfel ^ nc^ at:
a)Feste derivabil a pe I;
b)F′(x) =f(x);(8)x2I:
Funct iaFse nume ste primitiv a a luif:
Denit ie 8.1.2. Dac af:I!Reste o funct ie care admite primitive pe I;
atunci mult imea tuturor primitivelor sale o numim integrala nedenit a a luif si
o not am cu∫
f(x)dx:
Putem scrie
∫
f(x)dx=F(x) +C; C2R.
Propriet at i ale funct iilor ce admit primitive:
1.Orice dou a primitive pe un interval ale unei funct ii difer a printr-o constant a
aditiv a.
2.Dac a o funct ie admite primitive pe un interval, atunci ea are proprietatea lui
Darboux pe acel interval. Deci, pentru a ar ata c a o funct ie nu admite primitive, este
sucient s a demonstr am c a nu are proprietatea lui Darboux pe acel interval.
3.Orice funct ie continu a pe un interval admite primitive pe acel interval.
4. Dac af sig:I!Rsunt dou a funct ii ce admit primitive pe I si2R,
atunci
∫
[f(x) +g(x)]dx=∫
f(x)dx+∫
g(x)dx;
∫
f(x)dx=∫
f(x)dx:
Primul tabel de integrale nedenite
123

124 8. INTEGRALA
∫
xndx =xn+1
n+1+C; x2IR; n2N
∫
xrdx =xr+1
r+1+C; x2(0;+1)R; r2Rn f 1g∫
axdx =ax
lna+C; x2IR,a>0; a̸= 1∫dx
x=lnjxj+C; x2IR∫dx
x2a2 =1
2alnxa
x+a+C; x2IRnfag; a> 0∫dx
x2+a2 =1
aarctgx
a+C; x2IR,a>0∫
sinxdx =cosx+C; x2IR∫
cosxdx =sinx+C; x2IR∫
tgxdx =lnjcosxj+C; x2IRn{
2+kjk2Z}
∫
ctgxdx =lnjsinxj+C; x2IRnfkjk2Zg∫dx
cos2x=tgx+C; x2IRn{
2+kjk2Z}
∫dx
sin2x=ctgx+C; x2IRnfkjk2Zg∫dxp
x2+a2=ln(
x+p
x2+a2)
+C; x2IR,a>0∫dxp
x2a2=lnx+p
x2a2+C; x2IRn[a;a],a>0∫dxp
a2x2=arcsinx
a+C; x2I(a;a),a>0
8.1.1. Metoda de integrare prin p art i. Teorem a 8.1.1. Fief; g :I!R
dou a funct ii. Dac a f sigsunt derivabile cu derivate continue, atunci fg; f′g; fg′
admit primitive  si avem relat ia
∫
f(x)g′(x)dx=f(x)g(x)∫
f′(x)g(x)dx:
De exemplu s a calcul am:
1.
∫
xlnxdx =∫(x2
2)′
lnxdx=x2
2lnx∫x2
2(lnx)′dx
=x2
2lnx∫x2
2
1
xdx=
=x2
2lnxx2
4+C; C2R:
2.
I=∫p
x2+ 2dx=∫x2+ 2p
x2+ 2dx=∫x2
p
x2+ 2dx+∫2p
x2+ 2dx=
=I1+I2:

8.1. INTEGRALA NEDEFINIT A 125
I1=∫x2
p
x2+ 2dx=∫
x(p
x2+ 2)′
dx=
=xp
x2+ 2∫p
x2+ 2dx=xp
x2+ 2I;
I2=∫2p
x2+ 2dx= 2 ln(
x+p
x2+ 2)
+C; C2R:
Deci,
I=1
2xp
x2+ 2 + ln(
x+p
x2+ 2)
+C; C2R:
3.∫
xexdx=∫
x(ex)′dx=xex∫
exdx=xexex+C; C2R:
8.1.2. Metoda ^ nt^ ai de schimbare de variabil a ^ n integrala nedenit a.
Teorem a 8.1.2. Fieφ:I!J; f :J!R, cuI siJintervale. Dac a φeste
derivabil a  si fadmite primitive, Find o primitiv a a sa, atunci (f◦φ)φ′admite
primitive  si F◦φeste o primitiv a a sa.
De exemplu, s a calcul am:
∫4x+ 2
x2+x+ 3dx= 2∫2x+ 1
x2+x+ 3dx= 2∫(x2+x+ 3)′
x2+x+ 3dx=
= 2∫φ′(x)
φ(x)dx= 2 ln jφ(x)j+C=
= 2 lnx2+x+ 3+C; C2R
unde
φ(x) =x2+x+ 3 =t;φ:R![11
4;+1);este derivabil a
f(t) =1
t;f: [11
4;+1)!Radmite primitive,
F(t) = ln jtj= lnt;
funct ia
(F◦φ) (x) =F(φ(x)) =F(
x2+x+ 3)
= ln(
x2+x+ 3)
:
Deci ∫4x+ 2
x2+x+ 3dx= ln(
x2+x+ 3)
+C; C2R:
Similar primului tabel, pe domeniile de existent  a avem al doilea tabel de integrale
nedenite

126 8. INTEGRALA
∫
φ(x)nφ′(x)dx =φ(x)n+1
n+1+C∫
φ(x)rφ′(x)dx =φ(x)r+1
r+1+C∫
aφ(x)φ′(x)dx =aφ(x)
lna+C∫φ′(x)
φ(x)dx =lnjφ(x)j+C
∫φ′(x)
φ(x)2a2dx =1
2alnφ(x)a
φ(x)+a+C
∫φ′(x)
φ(x)2+a2dx =1
aarctgφ(x)
a+C∫
sinφ(x)φ′(x)dx =cosφ(x) +C∫
cosφ(x)φ′(x)dx =sinφ(x) +C∫
tgφ(x)φ′(x)dx =lnjcosφ(x)j+C∫
ctgφ(x)φ′(x)dx=lnjsinφ(x)j+C∫φ′(x)
cos2φ(x)dx =tgφ(x) +C∫φ′(x)
sin2φ(x)dx =ctgφ(x) +C
∫φ′(x)p
φ(x)2+a2dx =ln(
φ(x) +√
φ(x)2+a2)
+C
∫φ′(x)p
φ(x)2a2dx =lnφ(x) +√
φ(x)2a2+C
∫φ′(x)p
a2φ(x)2dx =arcsinφ(x)
a+C
8.1.3. Metoda a doua de schimbare de variabil a ^ n integrala nedenit a.
Teorem a 8.1.3. Dac aφ:I!J sif:J!Rveric a urm atoarele propriet at i:
1)φeste bijectiv a, derivabil a, cu derivata nenul a pe I;
2)h= (f◦φ)φ′admite primitive  si Heste o primitiv a a sa,
atuncifadmite primitive  si H◦φ1este o primitiv a a sa, adic a
∫
f(x)dx=(
H◦φ1)
(x) +C; C2R:
De exemplu, s a calcul am:
∫e2x
1 +exdx; x 2R.
Avem
f(x) =e2x
1 +ex;f:R!R;
φ1(x) =ex=t;φ1:R!(0;+1);
x= lnt=φ(t); φ: (0;+1)!R.

8.1. INTEGRALA NEDEFINIT A 127
Cumφ′(t) =1
t; φbijectiv a; φderivabil a,φ′(t)̸= 0; t2(0;+1);iar
h(t) =f(φ(t))φ′(t) =t
t+ 1;
∫
h(t)dt=∫t
t+ 1dt=∫t+ 11
t+ 1dt=
=∫(
11
t+ 1)
dt=tlnjt+ 1j+C=
=tln (t+ 1) +C; C2R;
rezult a c a o primitiv a a lui heste
H(t) =tln (t+ 1);
iar(
H◦φ1)
(x) =H(
φ1(x))
=H(ex) =exln (ex+ 1):
Deci,∫e2x
ex+ 1dx=exln (ex+ 1) +C; C2R:
8.1.4. Integrarea funct iilor rat ionale. Reamintim c a funct ia f:I!Rse
nume ste rat ional a dac a exist a dou a polinoame P siQ2R[X], astfel ^ nc^ at f(x) =
P(x)
Q(x);(8)x2I:
Funct iile rat ionale simple sunt cele de forma:
1. funct iile polinomiale;
2. funct iileA
(xa)n; n2N;
3. funct iileAx+B
(ax2+bx+c)n; n2N; a̸= 0; b24ac< 0:
Pentru integrarea funct iilor rat ionale simple avem:
1. Se aplic a formula 1 din primul tabel de integrale nedenite;
2. Pentrun= 1;avem∫A
xadx=Alnjxaj+C; C2R;
iar pentrun2;
∫A
(xa)ndx=A∫(xa)′
(xa)ndx=A∫
φ(x)nφ′(x)dx=
=Aφ(x)n+1
n+ 1+C=
=A
(n+ 1) (xa)n1+C; C2R:

128 8. INTEGRALA
3. Deoarece trinomul ax2+bx+cse poate scrie sub forma unei sume de p atrate
a[(
x+b
2a)2
+(p
∆
2a)2]
;
avem
In=∫Ax+B
(ax2+bx+c)ndx=∫A′x+B′
(x2+k2)ndx=
=A′
2∫2x
(x2+k2)ndx+B′∫dx
(x2+k2)n
 si astfel integrala la care se reduce calculul este
In=∫dx
(x2+k2)n; k̸= 0; n2N:
Pentrun= 1;avem
I1=∫dx
x2+k2=1
karctgx
k+C; C2R;
iar pentrun2;
In=∫(x2+k2)k2
(x2+k2)n1dx=1
k2∫dx
(x2+k2)n11
k2∫x2dx
(x2+k2)n
=1
k2In1+1
2 (n1)k2∫
x(1
(x2+k2)n1)′
dx
=1
k2In1+1
2 (n1)k2x
(x2+k2)n11
2 (n1)k2∫dx
(x2+k2)n1
=1
k2In1+1
2 (n1)k2x
(x2+k2)n11
2 (n1)k2In1;
deci
In=x
2 (n1)k2(x2+k2)n1+2n3
2 (n1)k2In1:
Orice funct ie rat ional a se descompune ^ ntr-o sum a de funct ii rat ionale simple.
Pentru descompunere, grad P < gradQ. Dac a grad PgradQ;atunci se ^ mparte
PlaQ si se obt ineP(x)
Q(x)=C(x) +R(x)
Q(x);unde gradR< gradQ:
De exemplu, pentru∫x2+x+ 1
(x1)3(x2x+ 1)2dx;

8.1. INTEGRALA NEDEFINIT A 129
avem
f(x) =x2+x+ 1
(x1)3(x2x+ 1)2=
=A
x1+B
(x1)2+C
(x1)3+Dx+E
x2x+ 1+Fx+G
(x2x+ 1)2;
de unde obt inem
A=2; B=3; C= 3; D= 2; E= 3; F= 2; G= 0
 si calculul urmeaz a ideile anterioare.
8.1.5. Integrarea funct iilor irat ionale. FieR(
x;p
ax2+bx+c)
o funct ie
rat ional a depinz^ and de variabilele x sip
ax2+bx+c;undea;b;c 2R,a̸= 0  si ∆ =
b24ac̸= 0:Atunci, pentru calculul integralei nedenite∫
R(
x;p
ax2+bx+c)
dx
se aplic a metoda a doua de schimbare de variabil a, dup a cum urmeaz a ( substitut iile
lui Euler ):
1. Dac aa>0;se noteaz ap
ax2+bx+c=xpat;
2. Dac ac>0  si 0=2I;se noteaz ap
ax2+bx+c=pctx;
3. Dac a ∆ >0  six1; x2=2Isunt r ad acinile trinomului ax2+bx+c, se noteaz a√
a(xx1) (xx2) = (xx1)t:
De exemplu, s a calcul am integralele:
1.I=∫dx
xp
x2+2x+4; x2R.
Avemf(x) =1
xp
x2+2x+4,f:R!R si
p
x2+ 2x+ 4 =xt:
Rezult a
φ1:R!(1;1);φ1(x) =xp
x2+ 2x+ 4 =t;
φ1:R!(1;1); φ(t) =t24
2t+ 2=x;
φ′(t) =t2+ 2t+ 4
2 (t+ 1)2:
Astfel,φeste derivabil a, bijectiv a cu φ′(t)̸= 0;(8)t2(1;1):

130 8. INTEGRALA
Rezult a∫
h(t)dt=∫
f(φ(t))φ′(t)dt=∫t2+ 2t+ 4
2t(t+ 1)2dt=
=∫(2
t3
2 (t+ 1)3
2 (t+ 1)2)
dt=
= 2 ln ( t)3
2ln (t1) +3
2 (t+ 1)+C; C2R.
Deci,
H(t) = 2 ln ( t)3
2ln (t1) +3
2 (t+ 1)
 si
I=H(
φ1(x))
+C=H(
xp
x2+ 2x+ 4)
+C; C2R:
2.I=∫dx
1+p
x2+2x+2; x2(0;+1):
Avemf(x) =1
1+p
x2+2x+2,f: (0;+1)!R si
p
x2+ 2x+ 2 =p
2 +tx:
Rezult a
φ1: (0;+1)!(p
2
2;1)
;φ1(x) =p
x2+ 2x+ 2p
2
x=t;
φ:(p
2
2;1)
!R; φ(t) =22p
2t
t21=x;
φ′(t) =2p
2(
t2tp
2 + 1)
(t21)2:
Astfel,φeste derivabil a, bijectiv a cu φ′(t)̸= 0;(8)t2(p
2
2;1)
:
Rezult a
∫
h(t)dt=∫
f(φ(t))φ′(t)dt=∫2p
2(
t2tp
2 + 1)
t2(p
21)
2t+p
2 + 1dt=
=H(t) +C; C2R
 si
I=H(
φ1(x))
+C=H(p
x2+ 2x+ 2p
2
x)
+C; C2R:
3.I=∫x+1p
x2+4x+5dx; x2(1;5):

8.1. INTEGRALA NEDEFINIT A 131
Avemf(x) =x+1p
x2+4x+5,f: (1;5)!R si cum
x2+ 4x+ 5 = (x+ 1) (5 x);
not amp
x2+ 4x+ 5 =t(x+ 1):
Rezult a
φ1: (1;5)!(0;+1);φ1(x) =√
5x
x+ 1=t;
φ: (0;+1)!(1;5); φ(t) =5t2
t2+ 1=x;
φ′(t) =12t
(t2+ 1)2:
Astfel,φeste derivabil a, bijectiv a cu φ′(t)̸= 0;(8)t2(0;+1):
Rezult a∫
h(t)dt=∫
f(φ(t))φ′(t)dt=∫12
(t2+ 1)2dt
=H(t) +C; C2R
 si
I=H(
φ1(x))
+C=H(√
5x
x+ 1)
; C2R:
8.1.6. Integrarea funct iilor trigonometrice. FieR(sinx;cosx) o funct ie
rat ional a depinz^ and de variabilele sin x si cosx:Atunci, pentru calculul integralei
nedenite∫
R(sinx;cosx)dxse fac urm atoarele schimb ari de variabil a:
1. Dac aReste impar a ^ n sin x;atunci se noteaz a cos x=t si se aplic a metoda
^ nt^ ai de schimbare de variabil a;
2. Dac aReste impar a ^ n cos x;atunci se noteaz a sin x=t si se aplic a metoda
^ nt^ ai de schimbare de variabil a;
3. Pe cazul general, se noteaz a tgx
2=t si se aplic a metoda a doua de schimbare
de variabil a.
De exemplu, s a calcul am integralele:
1.I=∫sinx(1+cosx)
2cosxdx; x2(
0;
2)
.
AvemRimpar a ^ n sin x, deci cu schimbarea de variabil a cos x=t;g asim
I=∫(cosx)′(1 + cosx)
2cosxdx=∫φ′(x) (1 +φ(x))
2φ(x)dx;
undeφ(x) = cosx=t;φ:(
0;
2)
!(0;1),f(t) =1+t
2t;f: (0;1)!R. Dup a calculul
lui∫
f(t)dt=F(t) +C; C2Robt inem c a I=F(φ(x)) +C; C2R:

132 8. INTEGRALA
2.I=∫
cos9xdx; x 2(

2;
2)
.
AvemRimpar a ^ n cos x, deci cu schimbarea de variabil a sin x=t;g asim
I=∫
(sinx)′(
1sin2x)4dx=∫
φ′(x)(
1φ(x)2)4dx;
undeφ(x) = cosx=t; φ 🙁
0;
2)
!(1;1),f(t) = (1 t2)4; f: (1;1)!R.
Dup a calculul lui∫
f(t)dt=F(t) +C;C2Robt inem c a I=F(φ(x))+C;C2R:
3.I=∫dx
sinx(2+cosx2 sinx); x2(
0;
6)
.
Avemφ1(x) = tgx
2=t;φ1:(
0;tg
12)
!(
0;
6)
 six= 2 arctgt;φ:(
0;
6)
!(
0;tg
12)
:Dup a calculul lui∫
f(φ(t))φ′(t)dt=H(t) +C; C 2Robt inem c a
I=H(φ1(x)) +C; C2R:
8.2. Integrala denit a
Fie [a;b]Run interval.
Denit ie 8.2.1. Numim diviziune a intervalului [a;b]un sistem de puncte
∆ = (x0;x1;:::;xn1;xn), astfel ^ nc^ at a=x0< x 1< ::: < x n1< xn=b:Cea mi
mare dintre lungimile intervalelor [x0;x1];[x1;x2]; :::; [xn1;xn]se nume ste norma
diviziunii ∆ si se noteaz a
∥∆∥= max
i2f1;2;:::;ng(xixi1):
Fief: [a;b]!Eo diviziune a intervalului [a;b] si1; 2;:::; nunsistem
de puncte intermediare pentru diviziunea ∆astfel ^ nc^ at i2[xi1;xi], pentru
i2 f1;2;:::;ng:Num arul real∑n
i=1f(i) (xixi1)se nume ste sum a Riemann
ata sat a funct iei f;diviziunii ∆ si sistemului de puncte intermediare ; si se noteaz a
∆(f;) =n∑
i=1f(i) (xixi1):
Pentru o funct ie f: [a;b]!Rpozitiv a, not am cu
f:={
(x;y)2R2jx2[a;b]; y2[0;f(x)]}
subgracul funct ieif:
Observat ie 8.2.1. Suma Riemann este aproximativ egal a cu aria subgracului,
∆(f;)Aria (f):
Denit ie 8.2.1. Funct iaf: [a;b]!Rse nume ste integrabil a Riemann pe
[a;b]dac a exist a un num ar real I2Rcu proprietatea c a (8)ϵ>0;(9)=(ϵ)>0;
astfel ^ nc^ at (8) ∆ = (x0;x1;:::;xn)o diviziune a intervalului [a;b]cu∥∆∥< si(8)
sistem de puncte intermediare diviziunii ∆, s a avem
j∆(f;)Ij<ϵ:

8.2. INTEGRALA DEFINIT A 133
Observat ie 8.2.2. Dac a o funct ie este integrabil a, atunci num arul Idin denit ie
se nume ste integrala denit a a funct ieif si se noteaz a∫b
af(x)dx:
Observat ie 8.2.3. Integrala denit a este un num ar, spre deosebire de integrala
nedenit a, care este o mult ime de funct ii.
Observat ie 8.2.4. Dac a o funct ie este integrabil a, num arul Ieste unic.
Propozit ie 8.2.1.
Orice funct ie integrabil a este m arginit a.
Orice funct ie continu a este integrabil a.
Orice funct ie monoton a este integrabil a.
Pentru a ar ata c a o funct ie nu este integrabil a, este sucient s a ar at am c a este
nem arginit a.
De exemplu, funct ia f(x) ={
5;dac ax= 0
1
x;dac ax2(0;3]este neintegrabil a, ind nem arginit a
superior.
Funct iaf: [0;3]!R,f(x) =x2este continu a, deci integrabil a pe [0 ;3]:
Funct iaf: [1;3]!R,f(x) ={
x;dac ax2[1;2]
2x;dac ax2(2;3]nu este continu a, dar ind
cresc atoare, este integrabil a.
Propriet at i ale integralei denite
1.∫b
a[f(x) +g(x)]dx=∫b
af(x)dx+∫b
ag(x)dx:
2.∫b
acf(x)dx=c∫b
af(x)dx; c2R
3.∫b
af(x)dx=∫c
af(x)dx+∫b
cf(x)dx, dac afeste integrabil a pe [ a;c]  si [c;b],
c2[a;b]:
4.∫b
af(x)dx=∫a
bf(x)dx:
5.∫a
af(x)dx= 0:
6.Dac afeste integrabil a pe [ a;b], cua < b , ea este m arginit a  si dac a f(x)2
[m;M ];(8)x2[a;b], atunci
m(ba)∫b
af(x)dxM(ba):
7.Dac af(x)0, (8)x2[a;b], atunci
∫b
af(x)dx0:
8.Dac af(x)g(x);(8)x2[a;b], atunci
∫b
af(x)dx∫b
ag(x)dx:
9.∫b
af(x)dx∫b
ajf(x)jdx;dac aa<b:

134 8. INTEGRALA
10.Dac af: [a;b]!Reste continu a, pozitiv a  si [ c;d][a;b], atunci
∫d
cf(x)dx∫b
af(x)dx:
11.Dac af: [a;b]!R,a<b este continu a, pozitiv a  si neidentic nul a pe [ a;b],
atunci
∫b
af(x)dx> 0:
Teorem a 8.2.1 (Teorema de medie) .Dac af: [a;b]!Reste continu a, atunci
exist a un punct 2[a;b]astfel ^ nc^ at
∫b
af(x)dx= (ba)f():
Teorem a 8.2.2 (Formula Leibniz-Newton) .Dac af: [a;b]!Reste integrabil a
 si admite primitive, Find o primitiv a a sa, atunci
∫b
af(x)dx=F(x)jb
a=F(b)F(a):
Teorem a 8.2.3.
1.Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a. Atunci funct ia F: [a;b]!R,
F(x) =∫x
af(t)dt
este o primitiv a a funct iei fcare se anuleaz a ^ n a:
2.Fief: [a;b]!Ro funct ie continu a. Dac a g: [a;b]!R, este o primitiv a a
luifce se anuleaz a ^ n x02[a;b], atunci
g(x) =∫x
x0f(t)dt:
8.2.1. Metoda de integrare prin p art i. Teorem a 8.2.4. Dac af;g: [a;b]!
Rsunt funct ii derivabile cu derivatele continue, atunci
∫b
af(x)g′(x)dx=f(x)g(x)jb
a∫b
af′(x)g(x)dx:

8.2. INTEGRALA DEFINIT A 135
De exemplu, s a calcul am
∫e2
eln2xdx =∫e2
ex′ln2xdx=xln2xje2
e2∫e2
exlnx
xdx=
=xln2xje2
e2∫e2
ex′lnxdx=
=xln2xje2
e2xlnxje2
e+2∫e2
ex
xdx=
=xln2xje2
e2xlnxje2
e+2xje2
e= 2e2e:
8.2.2. Metoda ^ nt^ ai de schimbare de variabil a ^ n integrala denit a.
Teorem a 8.2.5. Fieφ: [a;b]!J sif:J!R,astfel ^ nc^ at φeste derivabil a
cu derivata continu a  si feste continu a. Atunci
∫b
af(φ(x))φ′(x)dx=∫φ(b)
φ(a)f(t)dt:
De exemplu, s a calcul am
I=∫1
2exdxp
1e2x=∫1
2(ex)′dx√
1(ex)2=∫1
2(φ(x))′dx√
1(φ(x))2;
undeφ(x) =ex=t; φ: [2;1]![1
e2;1
e]
:Denim  si funct ia f:[1
e2;1
e]
!R, prin
f(t) =1p
1t2:Cumφ(2) =1
e2 siφ(1) =1
e;rezult a c a
I=∫ 1
e
1
e2dtp
1t2= arcsintj1
e
1
e2= arcsin1
earcsin1
e2:
8.2.3. Metoda a doua de schimbare de variabil a ^ n integrala denit a.
Teorem a 8.2.6. Fieφ: [a;b]![c;d] sif: [c;d]!R,astfel ^ nc^ at:
1.φeste bijectiv a, iar φ siφ1sunt derivabile cu derivatele continue;
2.feste continu a.
Atunci∫b
af(φ(x))dx=∫φ(b)
φ(a)f(t)(
φ1)′(t)dt:
De exemplu, s a calcul am
I=∫ln 6
ln 5√
ex1
ex+ 1dx:

136 8. INTEGRALA
Not amt=ex=φ(x);cuφ: [ln 5;ln 6]![5;6]  sif(t) =√
t1
t+1, cuf: [5;6]!R.
Atuncix= lnt=φ1(f)  si (φ1)′(t) =1
t:
Avem
I=∫6
5√
t1
t+ 1
1
tdt=∫6
5t1p
t21
1
tdt=
=∫6
51p
t21dt∫6
51
tp
t21dt=
= lnt+p
t21j6
5+∫6
5(1
t)′
√
1(1
t)2dt=
= lnt+p
t21j6
5+ arcsin1
tj6
5=
= ln6 +p
35
5 +p
24+ arcsin1
6arcsin1
5:
8.3. Exercit ii
(1)Calculat i urm atoarele integrale nedenite, folosind metoda de integrare prin
p art i:
a)∫
x3ln2xdx
b)∫
x3p
x2+ 9dx
c)∫
sin2xdx
d)∫
lnnxdx,n2N
e)∫
xexsinxdx
f)∫dx
sinnx; n2
g)∫dx
(x2+1)n; n2N
h)∫
(arcsinx)ndx; n2N
i)∫
xmlnnxdx; m; n 2N
j)∫
arctgxdx
R:a)1
4x4ln2x1
8x4lnx+1
32×4+C; C2R
b)1
5×2(√
(x2+ 9))3
6
5(√
(x2+ 9))3
+C; C2R
c)1
2cosxsinx+1
2x+C; C2R
d)In=xlnnxnIn1; n2N; I0=x+C; C2R
e)(
1
2x+1
2)
excosx+1
2xexsinx+C; C2R
f)In=2n
1nIn2+cosx
(1n) sinn1x
g)In=32n
22nIn1x
(22n)(x2+1)n1

8.3. EXERCIT II 137
h)In=x(arcsinx)n+np
1x2(arcsinx)n1n(n1)In2
i)Im;n=xm+1lnnx
m+1n
m+1Im;n1
j)xarctgx1
2ln (1 +x2) +C; C2R:
(2)Calculat i urm atoarele integrale nedenite, folosind metoda ^ nt^ ai de schim-
bare de variabil a:
a)∫sinx
1+cos2xdx; x2R
b)∫1+ tg2x
tgxdx; x2(
0;
2)
c)∫x2
1+x3dx; x2R
d)∫sin5x
cosxdx; x2(

2;
2)
e)∫p
x23x+ 2dx; x2(2;+1)
f)∫
x(1 +x2)2dx; x2R
g)∫arcsinx
x2dx; x2(0;1)
h)∫dx
xp
1ln2x; x2(1
e;e)
i)∫cos2x
2
x+sinxdx,x2(
0;
2)
j)∫1
ex+exdx; x2R
k)∫cos(lnx)
xdx; x2(0;+1)
l)∫dxp
1x2(arcsinx)n; n2N; x2(0;+1)
m)∫cosx+sinx
npsinxcosxdx; n2N; x2(0;+1):
R:a)arctg (cosx) +C; C2R
b) ln (tgx) +C; C2R
c)1
3lnj1 +x3j+C; C2R
d)1
4sin4x1
2sin2xln (cosx) +C; C2R
e)1
4(2x3)p
x23x+ 2
1
8ln(
x3
2+p
x23x+ 2)
+C; C2R
f)1
4×4+1
2×2+C; C2R
g)ln1
x+√
1
x21+C; C2R
h) arcsin (ln x) +C; C2R
i)1
2ln (x+ sinx) +C
j) arctan (ex) +C; C2R
k) sin (lnx) +C; C2R
l)1
1n(arcsinx)1n+C; C2R
m)n
n1(sinxcosx)n1
n+C; C2R.
(3)Calculat i urm atoarele integrale nedenite, folosind metoda a doua de schim-
bare de variabil a:

138 8. INTEGRALA
a)∫√
1+x
1xdx; x2(1;1)
b)∫√
ex1
ex+1dx; x2(0;+1)
c)∫
cos2pxdx; x 2(0;+1)
d)∫dx
(x2+2)p
x2+1; x2(0;+1)
e)∫dx
(x2+1)p2+2x; x2R
f)∫√
x+1
xdx; x2(0;+1)
g)∫dx
1+sinx; x2(
0;
2)
h)∫pex1dx; x2(0;+1)
R:a)2√
x+1
1x
x+1
1x+1+ 2 arctg√
x+1
1x+C; C2R
b) ln(
ex+p
e2x1)
+ arctg1p
e2x1+C; C2R
c) 2px(1
2cospxsinpx+1
2px)
1
2sin2px1
2x+C; C2R
f)1
22√
(x2+x) + ln(
x+1
2+√
(x2+x))
+C; C2R
h) 2√
(ex1)2 arctg√
(ex1) +C; C2R
(4)Calculat i urm atoarele integrale din funct ii rat ionale:
a)∫4x1
x(x216)dx
b)∫x+1
x(x5)3dx
c)∫x2+x+1
x(x24x+3)dx
d)∫dx
x(x2+1)3
e)∫x2
x4+1dx
f)∫x2+x+1
(x1)3(x2x+1)2dx
g)∫4×28x
(x1)2(x2+1)2dx
h)∫x2+x+1
x3(1x3)dx
R:a)1
16lnjxj+15
32lnjx4j 17
32lnjx+ 4j+C; C2R
b)1
125lnjxj 3
5(x5)2+1
25(x5)+1
125lnjx5j+C; C2R
c)1
3lnjxj 3
2lnj1 +xj+13
6lnjx3j+C; C2R
d) lnx1
2ln (x2+ 1) +1
2(x2+1)+1
4(x2+1)2+C; C2R
e)1
8p
2 lnx2xp
2+1
x2+xp
2+1+1
4p
2 arctan(
xp
2 + 1)
+
+1
4p
2 arctan(
xp
21)
+C; C2R
f)3
2(1+x)2+3
1+x2 lnj1 +xj+ln (x2x+ 1)+28
9p
3 arctan1
3(2x1)p
3+
2
32+x
x2x+1+C; C2R

8.3. EXERCIT II 139
g)1
1+x+ 2 ln j1 +xj ln (x2+ 1) + arctan x1
24x2
x2+1+C; C2R
h)lnj1 +xj 1
2×21
x+ lnjxj+C; C2R.
(5)Calculat i urm atoarele integrale din funct ii irat ionale:
a)∫x
(1x3)p
1x2dx; x2(1;1)
b)∫
x2p
x2+ 4x+ 5dx; x2(1;5)
c)∫dx
(x2+1)p
x2+1; x2R
d)∫dx
(x+2)px+1; x2(1;+1)
R:a) Substitut iap
1x2=t(x+ 1) ne conduce la
∫
h(t)dt=∫t41
t2(t4+ 3)dt
care se calculeaz a descompun^ and ^ n sum a de funct ii rat ionale simple funct ia
t41
t2(t4+3):
b) Se obt ine 1
4x(p
x2+ 4x+ 5)35
6(p
x2+ 4x+ 5)325
16(2x+ 4)p
x2+ 4x+ 5+
225
8arcsin(
2
3+1
3x)
+C,C2R, folosind substitut iap
x2+ 4x+ 5 =
t(x+ 1).
c)∫dx
(x2+1)p
x2+1=xp
x2+1+C; C2R, folosind substitut iap
x2+ 1 =t:
d)∫dx
(x+2)px+1= 2 arctanpx+ 1 +C; C2R.
Merit a ret inut a substitut ia1
mx+n=t;pentru calculul integralei
∫dx
(mx+x) (ax2+bx+c):
^In cazul nostru, substitut ia1
x+2=tsimplic a foarte mult calculele.
(6)Calculat i urm atoarele integrale din funct ii trigonometrice:
a)∫dx
sinx+3 cosx+5
b)∫sinxcosx
sinx+2 cosxdx
c)∫dx
cosxcos 2x
d)∫dx
sinxcos 2x
e)∫dx
cos4x+sin4x
f)∫sin2x
sinx+cosxdx
g)∫
sin 5xcosxdx
h)∫
cosxcos 2xcos 3xdx
R:a)2
15p
15 arctan1
30(
4 tan1
2x+ 2)p
15 +C; C2R, folosind substitut ia
tgx
2=t:
b)3
5ln(
tan1
2x+ tan21
2x1)
+3
5ln(
1 + tan21
2x)
2
5arctan(
tan1
2x)
+C; C2R, folosind substitut ia tgx
2=t:

140 8. INTEGRALA
c) Cu substitut ia sin x=tse obt ine
∫
h(t)dt=∫dt
(1t2) (12t2):
d) Cu substitut ia cos x=tse obt ine
∫
h(t)dt=∫dt
(1t2) (12t2):
e) Cu substitut ia tg (2 x) =t, se ajunge la1p
2arctgtg (2x)p
2+C; C2R.
f) Se noteaz a I=∫sin2x
sinx+cosxdx siJ=∫cos2x
sinx+cosxdx si se obt ine I+J=∫1
sinx+cosxdx=1p
2lntg(x
2+
8)+C;iarIJ=∫
(cosx+ sinx)dx=
sinxcosx+C; C2R:Deci,
I=1
2(sinx+ cosx) +1
2p
2lntg(x
2+
8)+C; C2R:
g)1
12cos 6x1
8cos 4x+C;C2R, sub integral a transform^ andu-se produsul
^ n sum a, cu ajutorul calculului trigonometric :
h)1
8sin 2x+1
16sin 4x+1
24sin 6x+1
4x+C; C2R:
(7)Calculat i urm atoarele integrale denite, folosind metoda de integrare prin
p art i:
a)∫
2
0x2sinxdx
b)∫e
1x2lnxdx
c)∫
2
0(cosx)ndx; n2
d)∫5
4p
x29dx
e)∫2
1x2p
x2+ 1dx
f)∫1
2
0arcsinxdx
g)∫2
0x2cos2xdx
h)∫1
0x2exsinxdx
R:a)2; b)2
9e3+1
9;

8.3. EXERCIT II 141
c)
In=∫
2
0(sinx)′(cosx)ndx=
= sinx(cosx)nj
2
0+ (n1)∫
2
0sinx(cosx)n2sinxdx=
= (n1)∫
2
0(cosx)n2(
1(cosx)2)
dx=
= (n1)In2(n1)In:
Deci,
In=n1
nIn2;
d) 109 ln 32p
7 +9
2ln(
4 +p
7)
;
e)9
4p
5 +1
8ln(
2 +p
5)
3
8p
2 +1
8ln(p
2 + 1)
;
f)1
12+1
2p
31; g)7
4cos 2 sin 2 +5
6+ cos22; h)1
2:
(8)Calculat i urm atoarele integrale denite:
a)∫
4

4(tg2x+ tg4x)dx
b)∫1
2
0xdxp
1x4
c)∫1
1
4pxdxp
1x3
d)∫e
1dx
x(1+ln2x)
e)∫2
1dx
xp
x4+x2+1
f)∫
2
0dx
1+sinx
g)∫
2
0sin3xcosxdx
h)∫
2
0sin2xcosx
2+sin2xdx
R:a)2
3;folosind substitut ia tg x=t;
b) Substitut ia x2=tne conduce la1
2arcsin1
4;
c) Substitut iapx=tne conduce la2
3(
arcsin1
2p
2arcsin1
8)
;
d)1
4;folosind substitut ia ln x=t;
e) Se transform a integrala astfel
I=∫2
1dx
x3√
1 +1
x2+1
x4=1
2∫2
1(1
x2)′
√
1 +1
x2+(1
x2)2dx:

142 8. INTEGRALA
 si se efectueaz a substitut ia1
x2=t;
f) 1;folosind substitut ia tgx
2=t;
g)1
4;folosind substitut ia sin x=t;
h) 1p
2 arctg1
2p
2;folosind substitut ia sin x=t:
(9)Calculat i urm atoarele integrale denite, folosind metoda a doua de schim-
bare de variabil a:
a)∫
2
0dx
2+sinx
b)∫
4
0ln (1 + tgx)dx
c)∫5
4
sin 2x
sin4x+cos4xdx
d)∫
3

3dx
sinx2 cosx+3
e)∫ln 2
1pex1dx
f)∫4
0p
16x2dx
g)∫4
0p
4xx2dx
h)∫3
2px1
xdx
R:a)1
9p
3;folosind substitut ia tgx
2=t;
b)
4lnp
2:Avem
I=∫
4
0lncosx+ sinx
cosxdx=
=∫
4
0ln (cosx+ sinx)dx∫
4
0ln cosxdx=
=∫
4
0ln(
cosx+ cos(
2x))
dx∫
4
0ln cosxdx=
=∫
4
0ln(
2 cos
4cos(
4x))
dx∫
4
0ln cosxdx=
=∫
4
0lnp
2dx+∫
4
0ln cos(
4x)
dx∫
4
0ln cosxdx=
=
4lnp
2 +I1I2;
unde
I1=∫
4
0ln cos(
4x)
dx,I2=∫
4
0ln cosxdx:

8.3. EXERCIT II 143
^Ins a, cu substitut ia t=
4x; I 1devine
I1=∫0

4ln costdt=∫
4
0ln costdt=I2:
R am^ ane a sadar,
I=
4lnp
2:
c)1
4;
d) 2 arctg(5
6p
3 +1
2)
arctg6
17;
e)2pe1 + 2 arctgpe1 + 21
2;folosind substitut ia ex=t;
f) 4, folosind substitut ia x= 4 sint;
g); avem
∫4
0p
4xx2dx=∫4
0√
4(x2)2(x2)′dx=∫2
2p
4t2dt
 si facem substitut ia x= 2 sint;
h) 2p
22 arctgp
22 +1
2:

CAPITOLUL 9
Integrale improprii
Calculul integralei Riemann a implicat ca at^ at domeniul de integrare, c^ at  si
funct ia de integrat s a e m arginite. ^In cele ce urmeaz a ne vom ocupa cu integralele
improprii, ce reprezint a o prelungire reasc a a integralei Riemann, ^ n sensul c a vom
studia cazul c^ and domeniul de integrare sau funct ia de integrat sunt nem arginite,
ideea de baz a ind aceea a trecerii la limit a.
9.1. Integrale pe intervale nem arginite
Ele sunt de una din formele∫+1
af(x)dx,∫a
1f(x)dxsau∫+1
1f(x)dx;c^ and
cel put in una din limitele de integrare este innit a.
Presupunem c a f: [a;+1)!Reste o funct ie integrabil a pe ecare compact
[a;x];cux>a:
Denit ie 9.1.1. Spunem c a integrala∫+1
af(x)dxesteconvergent a dac a ex-
ist a lim
x!+1∫x
af(t)dt si este nit a. Not am ^ n acest caz
∫+1
af(x)dx= lim
x!+1∫x
af(t)dt:
Integrala∫+1
af(x)dxestedivergent a ^ n caz contrar.
Observat ie 9.1.1. Deoarecefeste integrabil a pe ecare interval [ a;x] cux>a ,
funct iaF: [a;+1)!Rexist a  si este continu a. ^In plus, dac a exist a lim
x!+1F(x)  si
este nit a, atunci∫+1
af(x)dx= lim
x!+1F(x):
De exemplu, pentru∫+1
11
x2+1dx;avemF(x) =∫x
11
t2+1dt= arctgtjx
1= arctgx
arctg 1  si astfel
∫+1
11
x2+ 1dx= lim
x!+1(arctgxarctg 1) =
2
4=
4
 si integrala∫+1
11
x2+1dxeste convergent a.
145

146 9. INTEGRALE IMPROPRII
Pe de alt a parte, pentru∫+1
0cosxdx, avemF(x) = sinx si nu exist a lim
x!+1F(x),
deci integrala∫+1
0cosxdxeste divergent a.
Celelalte tipuri de integrale improprii pe interval nem arginit se reduc la acest tip
de integral a, deoarece
∫a
1f(x)dx=∫+1
af(t)dt;
∫+1
1f(x)dx=∫a
1f(x)dx+∫+1
af(x)dx:
Teorem a 9.1.1 (Cauchy) .Integrala∫+1
af(x)dxeste convergent a dac a  si numai
dac a (8)ϵ>0;(9)n0=n0(ϵ)>0, astfel ^ nc^ at (8)a1; a2>n 0, s a avem
∫a2
a1f(x)dx<ϵ:
Propozit ie 9.1.1. Dac a∫+1
af(x)dxeste convergent a, atunci cu necesitate
lim
x!+1f(x)dx= 0:
Propozit ie 9.1.2. Dac af: [a;+1)!Reste integrabil a pe ecare interval
[a;x];cux > a  si exist a o funct ie g: [a;+1)!Rastfel ^ nc^ at pentru orice xa
s a avemf(x)g(x), atunci:
∫+1
ag(x)dxconvergent a implic a∫+1
af(x)dxconvergent a  si
∫+1
af(x)dxdivergent a implic a∫+1
ag(x)dxdivergent a .
De exemplu,∫+1
1exdx= 11
eind convergent a  si ex2<ex;(8)x>1;atunci
∫+1
1ex2dxeste convergent a :
Propozit ie 9.1.2. Dac af: [a;+1)!R+; a > 0este integrabil a pe ecare
interval [a;x];cux>a , atunci:
1. dac a lim
x!+1xf(x)exist a  si este nit a, pentru un >1;atunci∫+1
af(x)dx
este convergent a.
2. dac a lim
x!+1xf(x)exist a  si este nenul a, pentru un 1;atunci∫+1
af(x)dx
este divergent a.

9.2. INTEGRALE DIN FUNCT II NEM ARGINITE 147
De exemplu,∫+1
01
(x2+1)2dxeste convergent a, deoarece
lim
x!+1×4 1
(x2+ 1)2= 12R si= 4>1:
Propozit ie 9.1.3. Fie funct iile f: [a;+1)!R sig: [a;+1)!(0;+1)
integrabile pe ecare interval [a;x];cux > a: Dac a exist a lim
x!+1jf(x)j
g(x)=A0 si
∫+1
ag(x)dxeste convergent a, atunci∫+1
ajf(x)jdxeste convergent a.
Propozit ie 9.1.4 (Abel-Dirichlet) .Fie funct iile f sig: [a;+1)!Rcu pro-
priet at ile:
1)feste continu a  si geste de clas a C1;
2)geste monoton descresc atoare cu lim
x!+1g(x) = 0;
3)M= sup
x2[a;+1)∫x
af(t)dt<+1:
Atunci∫+1
af(x)g(x)dxeste convergent a.
De exemplu,∫+1
1cosx
xdx;cu>0 este convergent a, conform propozit iei 9.1.4., cu
f(x) = cosx sig(x) =1
x:De aici se deduce  si convergent a integralelor∫+1
1sinxpxdx
 si∫+1
1cosxpxdx:
9.2. Integrale din funct ii nem arginite
Consider am f: [a;b]!R, continu a pe [ a;b]nfx0g, cux02[a;b] punct de discon-
tinuitate de spet a a doua, adic a lim
x!x0jf(x)j= +1:Observ am c a putem considera
x0=b, c aci ^ n caz contrar scriem
∫b
af(x)dx=∫x0
af(x)dx∫x0
bf(x)dx:
Denit ie 9.2.1. Integrala∫b
af(x)dxse nume ste convergent a dac a exist a
lim
x!0∫bx
af(x)dx si este nit a. ^In caz contrar, integrala nume ste divergent a .
De exemplu,∫1
0dxp
1x2= lim
x!0∫1x
0dtp
1t2= arcsintj1x
0=
2;deci∫1
0dxp
1x2este
convergent a, funct ia1p
1x2ind nem arginit a pe [0 ;1], deoarece lim
x!11p
1x2= +1:
Teorem a 9.2.1 (Cauchy) .Integrala∫b
af(x)dxeste convergent a dac a  si numai
dac a (8)ϵ>0;(9)n0=n0(ϵ)>0, astfel ^ nc^ at (8)a1; a22(0;n0), s a avem
∫ba2
ba1f(x)dx<ϵ:

148 9. INTEGRALE IMPROPRII
Propozit ie 9.2.1. Dac af: [a;b)!R
+;este integrabil a pe ecare interval
[a;bx];cux2(0;ba),  si dac a exist a g: [a;b]!Rastfel ^ nc^ at (8)t2[a;b]
avemf(t)g(t), atunci
∫b
ag(x)dxconvergent a implic a∫b
af(x)dxconvergent a  si
∫b
af(x)dxdivergent a implic a∫b
ag(x)dxdivergent a .
Propozit ie 9.2.2. Dac af: [a;b)!R
+;este integrabil a pe ecare interval
[a;bx];cux2(0;ba),lim
x!bf(x) = +1 si dac a lim
x!b(bx)f(x)exist a  si este
nit a, pentru un  < 1, atunci∫b
af(x)dxeste convergent a; dac a lim
x!b(bx)f(x)
exist a  si este nenul a, pentru un 1, atunci∫b
af(x)dxeste divergent a.
De exemplu,∫+1
01
(x2+1)2dxeste convergent a, deoarece
lim
x!+1×4 1
(x2+ 1)2= 12R si= 4>1:
Propozit ie 9.2.3. Fie funct iile f: [a;b)!R sig: [a;+1)!(0;b)integrabile
pe ecare interval [a;bx];cux2(0;ba):Dac a exist a lim
x!bjf(x)j
g(x)=A0 si
∫b
ag(x)dxeste convergent a, atunci∫+1
ajf(x)jdxeste convergent a.
De exemplu, integrala∫1
0dx
(1+x3)p
1x2este convergent a, conform pro- pozit iei 9.2.3,
cuf(x) =1
(1+x3)p
1x2 sig(x) =1p1x:
9.3. Exercit ii
(1)Studiat i natura urm atoarelor integrale improprii  si, ^ n caz de convergent  a,
calculat i valoarea integralei:
a)∫+1
0dx
x3+1; b)∫+1
0dx
x4+1; c)∫+1
0dx
(x2+1)2; d)∫+1
0arctgx
(x2+1)p
x2+1dx; e)∫+1
1arctgx
x2dx;
f)∫+1
0x3exdx:
R:Se aplic a propozit ia 9.1.2.
a) lim
x!+1×31
x3+1= 12R,= 3>1;deci integrala este convergent a. Pentru
calculul ei, descompunem funct ia de integrat ^ n funct ii rat ionale simple
1
x3+ 1=A
x+ 1+Bx+C
x2x+ 1:

9.3. EXERCIT II 149
Rezult aA=1
3; B=1
3; C=2
3:Avem
I=1
3∫+1
01
x+ 1dx+1
3∫+1
0x+ 2
x2x+ 1dx=
=1
3ln (x+ 1)j+1
0+
+1
6∫+1
02x+ 1
x2x+ 1dx+1
2∫+1
0dx
x2x+ 1
=1
3ln (x+ 1)j+1
01
6ln(
x2x+ 1)
j+1
0+
+1
21
p
3
2arctgx1
2p
3
2j+1
0
=1
3lnx+ 1p
x2x+ 1j+1
0+1p
3arctgx1
2p
3
2j+1
0
=1
3lim
x!+1lnx+ 1p
x2x+ 1+1p
3lim
x!+1arctgx1
2p
3
2
+1p
3arctg1p
3
=1p
3
2+1p
3
6=2p
3
9:
b) Integral a convergent a,∫+1
0dx
x4+1=1
4p
2:
c) Integral a convergent a,∫+1
0dx
(x2+1)2=
4:Se integreaz a mai ^ nt^ ai prin p art i
∫+1
01
x2+ 1dx=∫+1
0x′1
x2+ 1dx=
=x
x2+ 1j+1
0+2∫+1
0x2
(x2+ 1)2dx=
= lim
x!+1x
x2+ 1+ 2∫+1
01
x2+ 1dx2I=
= 2∫+1
01
x2+ 1dx2I;

150 9. INTEGRALE IMPROPRII
deciI=1
2∫+1
01
x2+1dx=
4:
d) Integral a convergent a,∫+1
0arctanx
(x2+1)p
x2+1dx=1
21:Avem
I=∫+1
0(xp
x2+ 1)′
arctgxdx=
=xp
x2+ 1arctgxj+1
0∫+1
0x
(x2+ 1)p
x2+ 1dx=
=
2+1p
x2+ 1j+1
0=
21:
e) Integral a convergent a,∫+1
1arctgx
x2dx=1
4+1
2ln 2:Avem
I=∫+1
1(1
x)′
arctgxdx=1
xarctgxj+1
1+
+∫+1
11
x(x2+ 1)dx
=
4lnxp
x2+ 1j+1
1=
4+1
2ln 2:
f) Integral a convergent a, conform propozit iei 9.1.2, de exemplu cu = 1).
∫+1
0x3exdx=exx3j+1
0+3∫+1
0x2exdx=
=3exx2j+1
0+6∫+1
0xexdx=
=6xexj+1
0+6∫+1
0exdx=
=6exj+1
0= 6:
(2)Studiat i natura urm atoarelor integrale improprii  si, ^ n caz de convergent  a,
calculat i valoarea integralei:
a)∫+1p
2dx
xp
x21; b)∫+1
0x3ex2dx; c)∫+1
0eaxsinbxdx; a> 0:
R:a)1
4; b)1
2; c)a
a2+b2:
(3)Studiat i natura urm atoarelor integrale improprii  si, ^ n caz de convergent  a,
calculat i valoarea integralei:
a)∫5
2dxp
(x2)(5x); b)∫5
2√
x2
5xdx; c)∫1
1dx
(2x)p
1x2; d)∫1
0dx
(2+x)p
1x2; e)∫1
0xndxp
1x2;

9.3. EXERCIT II 151
n2:
R:a) Aplic am propozit ia 9.2.2. Avem
lim
x!2
x>2(x2) 1√
(x2) (5x)= lim
x!2
x>2(x2)1
21p5x=
=1p
3;cu=1
2<1:
De asemenea,
lim
x!5
x<5(5x) 1√
(x2) (5x)= lim
x!5
x<5(5x)1
21px2=
=1p
3;cu=1
2<1:
Deci, integrala este convergent a. Pentru calculul ei, folosim substitut ia x=
2 cos2t+ 5 sin2t si obt inem∫5
2dxp
(x2)(5x)=:
b) Analog rezult a c a integrala este convergent a  si∫5
2√
x2
5xdx=3
2:
c) Integral a convergent a. Facem schimbarea de variabil a1
2x=t si obt inem∫1
1dx
(2x)p
1x2=1
3p
3:
d) Integral a convergent a. Facem schimbarea de variabil a1
2+x=t si obt inem
1
9p
3:
e) Integral a convergent a. Facem schimbarea de variabil a x= cost si obt inem∫1
0xndxp
1x2=∫
2
0(cost)ndt;pe care am calculat-o ^ n exercit iul 8.3. 7c).

CAPITOLUL 10
S iruri  si serii de funct ii
10.1. S iruri de funct ii
Denit ie 10.1.1. Numim  sir de funct ii pe mult imea Ao aplicat ie f:N!
Hom (A;R),unde Hom (A;R) =ff:A!Rjfunct ie g:
Not amf(n) =fn, undefn:A!R;iar  sirul de funct ii ^ l not am (fn)n2N:Dac a
x amx02A, atunci obt inem un  sir (fn(x0))n2Nde puncte din R. Spunem c a  sirul
(fn)n2Nesteconvergent ^ nx0, dac a  sirul (fn(x0))n2Neste convergent ^ n R.
Mult imea punctelor x2A, pentru care  sirul (fn(x))n2Neste convergent se nume ste
mult ime de convergent  a .
Dac a (fn)n2Neste convergent pe A1A, putem deni pe A1o funct ie numit a
funct ia limit a  si dat a dex0!f(x0);undef(x0)este limita  sirului (fn(x0))n2N:
Convergent a denit a mai sus se nume ste convergent  a punctual a ; deci vom
spune c a (fn)n2Nconverge punctul la fpeA1dac a (8)x2A1, (8)ϵ > 0;(9)
n0=n0(x;ϵ)2N,astfel ^ nc^ at (8)nn0, avem jfn(x)f(x)j<ϵ:
Observat ie 10.1.1. Ranguln0depinde at^ at de ϵc^ at  si dex:
^In cazul ^ n care rangul n0depinde doar de ϵobt inem alt tip de convergent  a,
convergent a uniform a.
Denit ie 10.1.2. S irul de funct ii (fn)n2Nesteconvergent uniform lafpeA1
dac a (8)ϵ>0;(9)n0=n0(ϵ)2N,astfel ^ nc^ at (8)nn0, avem jfn(x)f(x)j<ϵ;
(8)x2A1:
Convergent a punctual a se noteaz a fnp!f, iar cea uniform a fnu!f:
De exemplu, s a consider am fn: [0;1]!R,fn(x) =xn; n2N. Atunci (fn)n2N
este punctual convergent c atre f: [01;]!R,
f(x) ={
1;dac ax2[0;1)
0;dac ax= 1
 si nu converge uniform c atre fpe [0;1), deoarece d^ and un ϵ>0, nu g asim un rang
n02Nastfel ^ nc^ at xn< ϵ; oricare ar  x2[0;1):^Intr-adev ar, rezolv^ and aceast a
inecuat ie rezult a
n> sup
x2[0;1)ln1
ϵ
ln1
x= +1:
153

154 10. S IRURI S I SERII DE FUNCT II
^Ins a o mult ime de convergent  a uniform a este [0 ;a), cua2(0;1):
10.2. Serii de funct ii
Denit ie 10.2.1. Fie(fn)n2Nun  sir de funct ii pe mult imea A si consider am
 sirul sumelor part iale sn=∑n
k=0fk:Atunci perechea format a din  sirurile fn sisnse
nume ste serie de funct ii  si se noteaz a∑
n2Nfn:
Seria de funct ii∑
n2Nfnse nume ste convergent a punctual c atre funct ia f
dac a  sirul sumelor part iale converge punctual c atre f:O serie de funct ii este uniform
convergent a peA1Adac a  sirul sumelor part iale converge uniform pe A1:
Teorem a 10.2.1 (Criteriul lui Cauchy pentru  siruri) .S irul de funct ii (fn)n2N
este uniform convergent pe A1dac a  si numai dac a (8)ϵ >0;(9)n0=n0(ϵ)2N,
astfel ^ nc^ at (8)n;mn0, avem
jfn(x)fm(x)j<ϵ; (8)x2A1:
Teorem a 10.2.2 (Transfer de m arginire pentru  siruri) .S irul de funct ii (fn)n2N
m arginite pe A;uniform convergent pe Aare funct ia limit a fm arginit a pe A:
Teorem a 10.2.3 (Transfer de continuitate pentru  siruri) .S irul de funct ii (fn)n2N
continue pe A;uniform convergent pe Aare funct ia limit a fcontinu a pe A:
Teorem a 10.2.4 (Transfer de derivabilitate pentru  siruri) .FieIun interval  si
(fn)n2NHom (I;R)un  sir de funct ii de clas a C1peI, punctual convergent la fpe
I, cu proprietatea c a  sirul derivatelor (f′
n)n2Neste convergent uniform pe Ila funct ia
g:Atunci funct ia limit a feste derivabil a  si f′=g:
Teorem a 10.2.5 (Transfer de integrabilitate pentru  siruri) .Fie(fn)n2N sir de
funct ii continue pe [a;b] si uniform convergent la fpe[a;b]. Atunci
lim
n!1∫b
afn(x)dx=∫b
alim
n!1fn(x)dx=∫b
af(x)dx:
Merit a ret inut faptul c a transferul de integrabilitate are loc  si ^ ntr-un cadru gen-
eral: dac a funct iile fn: [a;b]!Rsunt integrabile  si  sirul fneste convergent uniform
lafpe[a;b]:
Teorem a 10.2.6 (Criteriul lui Cauchy pentru serii) .Seria de funct ii∑
n2Nfn
este uniform convergent a pe A1dac a  si numai dac a (8)ϵ>0;(9)n0=n0(ϵ)2N,
astfel ^ nc^ at (8)n;mn0,m > n; avem jfn+1(x) +fn+2(x) +:::+fm(x)j< ϵ; (8)
x2A1:
Teorem a 10.2.7 (Transfer de m arginire pentru serii) .Seria de funct ii m arginite
peA;∑
n2Nfn, uniform convergent a pe Aare funct ia limit a fm arginit a pe A:
Teorem a 10.2.8 (Transfer de continuitate pentru serii) .Seria de funct ii con-
tinue peA;∑
n2Nfn, uniform convergent a pe Aare funct ia limit a fcontinu a pe
A:

10.3. SERII DE PUTERI 155
Teorem a 10.2.9 (Transfer de derivabilitate pentru serii) .FieIun interval  si
(fn)n2NHom (I;R)un  sir de funct ii de clas a C1peI, astfel ^ nc^ at seria∑
n2Nfn
este punctual convergent a la fpeI, cu proprietatea c a seria derivatelor∑
n2Nf′
n
este convergent a uniform pe Icu sumag:Atunci funct ia feste derivabil a  si f′=g:
Teorem a 10.2.10 (Criteriul lui Weierstrass) .FieAR si seria∑
n2Nfncu
fn:A!R.Dac a exist a o serie cu termeni pozitivi,∑
n2Nan, convergent a, cu
proprietatea c a exist a n02N,astfel ^ nc^ at (8)nn0jfn(x)j an;(8)x2A;atunci
seria∑
n2Nfneste absolut  si uniform convergent a.
De exemplu,∑
n2N1
n3+x4; x2Reste absolut  si uniform convergent a pe R,
deoarece1
n3+x41
n3;(8)x2R si seria∑
n2N1
n3este convergent a.
Teorem a 10.2.11 (Criteriul lui Abel) .FieAR si seria∑
n2Nfn,cufn:
A!Rav^ and proprietatea c a  sirul sumelor part iale este un  sir egal m arginit (adic a
exist aM > 0astfel ^ nc^ at j∑n
k=1fk(x)j M;(8)x2A). Fiean:A![0;+1),
n2Ncu proprietatea c a pentru ecare x2A sirul (an(x))n2Neste descresc ator  si
 sirul de funct ii (an)n2Neste convergent uniform pe Ala funct ia identic nul a :Atunci
seria∑
n2Nanfneste uniform convergent a.
Corolar 10.2.1. Fiean:A![0;+1),n2Ncu proprietatea c a pentru ecare
x2A sirul (an(x))n2Neste descresc ator  si  sirul de funct ii (an)n2Neste convergent
uniform pe Ala funct ia identic nul a. Atunci∑
n2N(1)naneste uniform convergent a
peA:
De exemplu, seria∑
n2N(1)n(
3√
x3+1
n2x)
;x2Reste uniform convergent a,
deoarece  sirul an(x) =3√
x3+1
n2xeste monoton descresc ator  si3√
x3+1
n2x!0
peR.
10.3. Serii de puteri
Denit ie 10.3.1. Seria∑
n2Nan(xx0)n,x2R, undeaneste un  sir de numere
reale  six02Rse nume ste serie de puteri .
Vom demonstra c a o serie de puteri este absolut convergent a ^ n interiorul unui
interval deschis de centru x0, cu o anumit a raz a R(numit a raz a de convergent  a),
(x0R;x 0+R); seria este divergent a pe complementara aderent ei intervalului de
convergent  a, ( 1;x0R)[(x0+R;+1):
Teorem a 10.3.1. Fie seria de puteri∑
n2Nan(xx0)n;consider am a:=
lim sup
n!1n√
janj siR=8
<
:1
a; a> 0
+1; a= 0
0; a= +1:
Atunci seria de puteri este absolut convergent a pentru jxx0j<R  si divergent a
pentru jxx0j>R:

156 10. S IRURI S I SERII DE FUNCT II
Observat ie 10.3.1. Dac aan̸= 0; n2N, iar lim
n!1an+1
an=b2[0;+1), atunci
raza de convergent  a este R=1
b:
De exemplu, pentru seria∑
n2Nnnxn; R= 0; pentru seria∑
n2Nxn
n!; R= +1;
pentru seria∑
n2Nxn; R = 1 (pentru jxj= 1 seria este divergent a, termenul ei
general netinz^ and la 0) :
Ne vom ocupa ^ n cele ce urmeaz a de convergent a uniform a a seriilor de puteri  si
vom deduce propriet at ile funct iei f: (x0R;x 0+R)!R, denit a prin
f(x) =∑
n2Nan(xx0)n:
Teorem a 10.3.2. Fie seria de puteri∑
n2Nan(xx0)ncu raza de convergent  a
R:Dac aR< +1;oricare ar  ϵ>0, seria converge uniform pe [x0R+ϵ;x 0+Rϵ] ;
dac aR= +1, atunci seria converge uniform pe [x0R0;x0+R0];(8)R02R.
Rezult a de aici c a seria de puteri dene ste o funct ie continu a pe ( x0R;x 0+R);
dac aR< +1 si peR, dac aR= +1:
Teorem a 10.3.3 (Abel) .Dac a seria de puteri∑
n2Nan(xx0)ncu raza de
convergent  a Rconverge ^ n x=x0, atunci ea converge uniform pe [x0R+ϵ;x 0+Rϵ];
(8)ϵ>0, c atre o funct ie continu a.
Teorem a 10.3.4. Fie(an)n2Nun  sir de numere reale. Atunci seriile de puteri∑
n2Nanxn si∑
n2Nnanxn1au aceea si raz a de convergent  a.
Fie∑
n2Nanxno serie de puteri cu raza de convergent  a R> 0; se poate construi
astfel funct ia f: (R;R)!R,f(x) =∑
n2Nanxn:
Teorem a 10.3.5. Fief: (R;R)!R,f(x) =∑
n2Nanxn:Atuncifeste
de clas aC1 si relat iaf(x) =∑
n2Nanxnse poate deriva termen cu termen de o
innitate de ori ^ n (R;R):
De exemplu, seria∑
n2Nnxn1=1
(1x)2,×2(1;1), deoarece seria∑
n2Nxn=
1
1x,x2(1;1) se deriveaz a  si se obt ine relat ia anterioar a.
Corolar 10.3.1. Fief(x) =∑
n2Nanxncu raza de convergent  a R̸= 0; atunci
an=f(n)(0)
n!; n2Nsunt unic determinat i :
10.4. Funct ii dezvoltabile ^ n serii de puteri
Denit ie 10.4.1. Spunem c a o funct ie real a fdenit a pe o vecin atate a punctu-
luix02Restedezvoltabil a ^ n serie de puteri centrat a ^ n x0dac a exist a a>0 si
un  sir (an)n2Nde numere reale, astfel ^ nc^ at seria∑
n2Nan(xx0)neste convergent a
pe(x0a;x 0+a);av^ and suma f(x) si dezvoltarea f(x) =∑
n2Nan(xx0)neste
unic a. Funct ia fse nume ste analitic a .

10.5. EXERCIT II 157
Fief: [a;b]!Ro funct ie de clas a C1 six02(a;b) ; seria de puteri centrat a
^ nx0, asociat a funct iei f;∑
n2Nf(n)(0)
n!(xx0)nse nume ste seria Taylor a luif^ n
jurul punctului x0.
Teorem a 10.4.1 (de reprezentare a funct iilor de clas a C1prin serii Taylor) .
Fief: [a;b]!Ro funct ie de clas a C1, cu proprietatea c a exist a un M > 0, astfel
^ nc^ atf(n)(x)M;(8)x2[a;b]; n2N siex02(a;b):Atunci seria Taylor a
luif^ n jurul lui x0este uniform convergent a pe [a;b]c atref(x):
De exemplu,
1.ex=∑
n2Nxn
n!; x2R;
2.sinx=∑
n2N(1)nx2n+1
(2n+1)!; x2R;
3.cosx=∑
n2N(1)nx2n
(2n)!; x2R;
4.(1 +x)= 1 +∑
n2N(1):::(n+1)
n!xn; x>1; 2R.
Teorem a 10.4.2. Fie∑
n2Nanxno serie de puteri cu raza R > 0 si sumaf;
atunci seria de puteri∑
n0an
n+1xn+1are raza de convergent  a R si are loc relat ia
∫x
0f(t)dt=∑
n2Nan
n+ 1xn+1:
De exemplu, ln (1 x) =∑
n2Nxn
n+1;x2(1;1) ; integr am∫x
0dt
1t=∑
n2Nxn+1
n+1
 si obt inem relat ia de mai sus.
10.5. Exercit ii
(1)S a se determine mult imea de convergent  a pentru urm atoarele serii de funct ii:
a)∑
n2N(n+1
n)n(1x
12x)n; x̸=1
2;
b)∑
n2Nsinnx
n; x2R;
c)∑1
n=2(1)n
lnn(
1x2
1+x2)n
; x2R:
R:a) Cu criteriul r ad acinii obt inem
lim sup
n!1n√
jfn(x)j=1x
12x:
Deci, seria este absolut convergent a pentru1x
12x<1, adic ax2(1;0)[(2
3;+1)
, pentru1x
12x>1 seria este divergent a  si pentru1x
12x= 1 seria
este divergent a ( lim
n!1fn(0) =e̸= 0  si lim
n!1fn(2
3)=e̸= 0).
b) Cum
lim sup
n!1n√
jfn(x)j=jsinxj;
rezult a c a seria este absolut convergent a pentru x̸= (2k+ 1)
2; pentrux=
2k+
2;seria este∑
n2N1
n;deci convergent a pentru  > 1  si divergent a

158 10. S IRURI S I SERII DE FUNCT II
pentru1; pentrux= 2k
2, seria este∑
n2N(1)n
n, deci convergent a
pentru>0;conform criteriului lui Leibniz.
c) Cu criteriul raportului, evalu am
lim
n!1jfn+1(x)j
jfn(x)j=j1x2j
x2+ 1:
Deci, seria este absolut convergent a pentruj1x2j
x2+1>1, saux̸= 0  si pentru
x= 0 seria este∑1
n=2(1)n
lnn, care este convergent a, conform criteriului lui
Leibniz.
(2)S a se determine mult imea de convergent  a pentru urm atoarele serii de puteri
 si calculat i suma lor:
a)∑
n2N(1)n+1xn
n;
b)∑
n2N(1)nx2n+1
2n+1:
R:a) AvemR= lim
n!1an
an+1= 1;deci intervalul de convergent  a este ( 1;1):
^Inx= 1 avem seria armonic a alternat a, deci convergent a, iar ^ n x=1
avem minus seria armonic a divergent a. Deci seria este convergent a pe
(1;1].
Denimf: (1;1]!R,f(x) =∑
n2N(1)n+1xn
n:Avem
f′(x) =∑
n2N(1)n+1xn1=1
x+ 1;jxj<1
 si astfelf(x) = ln (x+ 1) +C;jxj<1:Pentrux= 0 se obt ine C= 0;deci
f(x) = ln (x+ 1):
b) Intervalul de convergent  a este ( 1;1)  si, folosind criteriul lui Leibniz
rezult a c a seria este convergent a pe [ 1;1]:Prin derivare termen cu termen,
g asim
f′(x) =∑
n2N(1)nx2n=1
x2+ 1;jxj<1:
Astfel,f(x) = arctgx+C;jxj<1:F ac^ andx= 0, rezult a C= 0:Deci,
f(x) = arctgx:
(3)Scriet i dezvoltarea ^ n serie de puteri a urm atoarelor funct ii, indic^ and inter-
valul pe care are loc:
a)f(x) = arcsinx; x2[1;1] ; b)f(x) = ln√
1+x
1x; x2(1;1) ;
c)f(x) = ln(
x+p
1 +x2)
; x2R; d)F(x) =∫x
0dtp
1t2; x2(1;1) ; e)
f(x) = arctgx; x2R.

10.5. EXERCIT II 159
R:a)f′(x) = (1 x2)1
2; x2(1;1)  si astfel
1p
1t2= 1 +∑
n1(2n1)!!
(2n)!!t2n;jtj<1
 si prin integrare termen cu termen pe [0 ;x];jxj<1, rezult a
arcsinx=x+∑
n1(2n1)!!
(2n)!!x2n+1
2n+ 1; x2(1;1):
Cum seria este convergent a  si ^ n 1  si 1, rezult a c a dezvoltarea are loc pe
[1;1]:
b) Analog rezult a ln√
1+x
1x=∑
n2Nx2n+1
2n+1;jxj<1:
c) ln(
x+p
1 +x2)
=x+∑
n1(1)n(2n1)!!
(2n)!!x2n+1
2n+1;jxj<1:
d)F(x) =x+∑
n1(2n1)!!
(2n)!!x2n+1
2n+1;jxj 1:
e) arctgx=∑
n2N(1)nx2n+1
2n+1;jxj 1:

CAPITOLUL 11
Derivate part iale
11.1. Spat ii liniare (vectoriale)
Fie unul din corpurile Ral numerelor reale sau Cal numerelor complexe.
Denit ie 11.1.1. O mult ime Ese nume ste spat iu liniar (vectorial )peste
corpul dac aEeste ^ nzestrat a cu o operat ie aditiv a (notat a + :EE!E) si o
operat ie de ^ nmult ire cu scalari din (notat a
: E!E);av^ and urm atoarele
propriet at i:
V1)(x+y) =x+y;(8)2;(8)x; y2E;
V2) (+)x=x+x;(8); 2x2E;
V3)(x) = ()y;(8); 2;(8)x2E;
V4) 1
x=x
1 =x;(8)x2E:
Elementele spat iului liniar (vectorial )se numesc vectori . Dac a =R,atunci
Ese nume ste spat iu liniar (vectorial )real  si dac a =C,atunciEse nume ste
spat iu liniar (vectorial )complex .
De exemplu, Reste spat iu liniar (vectorial) real fat  a de operat iile uzuale de
adunare  si ^ nmult ire.
Rn=RR:::R|{z}
noriunde elementele lui Rnsuntnupluri (x1;x2;:::;xn):Vom
deni
(x1;x2;:::;xn) + (y1;y2;:::;yn) = (x1+y1;x2+y2;:::;xn+yn)
(x1;x2;:::;xn) = (x1;x 2;:::;xn);
oricare ar  2R si (x1;x2;:::;xn);(y1;y2;:::;yn)2Rn:Rndevine astfel spat iu
vectorial real.
Not am elementul nul al acestui spat iu cu 0 Rn;iar ^ n cazul general 0 E:
FieEun spat iu vectorial real.
Denit ie 11.1.2. Se nume ste produs scalar peEo aplicat ie ⟨
;
⟩:EE!R
care satisface urm atoarele propriet at i :
PS1)⟨
;
⟩este biliniar a, adic a
⟨x;y +z⟩=⟨x;y⟩+⟨x;z⟩
⟨x+y;z⟩=⟨x;z⟩+⟨y;z⟩;
161

162 11. DERIVATE PART IALE
oricare ar  x; y; z 2E sia; b2R;
PS2)⟨
;
⟩este pozitiv denit a, adic a ⟨x;x⟩ 0;(8)x2E si⟨x;x⟩= 0 dac a  si
numai dac a x= 0E;
PS3)⟨
;
⟩este simetric a, adic a ⟨x;y⟩=⟨y;x⟩, (8)x; y2E:
Un spat iu vectorial ^ nzestrat cu un produs scalar se nume ste spat iu cu produs
scalar .
De exemplu, pe R, spat iu vectorial real, produsul scalar se va deni ca produsul
obi snuit cu numere reale; pe Rndenim
⟨x;y⟩=n∑
k=1xkyk;
undex= (x1;x2;:::;xn); y= (y1;y2;:::;yn)2Rn si aceast a expresie reprezint a
produsul scalar euclidian .
Propozit ie 11.1.1 (Inegalitatea Cauchy-Schwarz) .^Intr{un spat iu vectorial E
cu produs scalar avem
j⟨x;y⟩j √
⟨x;x⟩
√
⟨y;y⟩;(8)x; y2E:
Denit ie 11.1.3. FieEun spat iu vectorial real. Se nume ste norm a peEo
aplicat ie ∥
∥:E!R+,care satisface propriet at ile:
N1)∥x∥ 0;(8)x2E si∥x∥= 0()x= 0E;
N2)∥x∥=jj∥x∥;(8)2R si(8)x2E;
N3)∥x+y∥  ∥x∥+∥y∥;(8)x; y2E:
Spat iul vectorial Epe care este denit a o norm a se nume ste spat iu vectorial
normat  si se noteaz a (E;∥
∥):
Din N 3) rezult a relat ia
j∥x∥ ∥y∥j  ∥xy∥;(8)x; y2E:
De exemplu, pe Rdenim norma drept modul; pe Rnputem deni mai multe
norme pentru x= (x1;x2;:::;xn) :
∥x∥=vuutn∑
k=1×2
k
∥x∥=n∑
k=1jxkj;
∥x∥= max
k21;njxxj:

11.1. SPAT II LINIARE (VECTORIALE) 163
Toate normele denite pe Rnse dovedesc a  echivalente; adic a pe Enormele
∥
∥1 si∥
∥2sunt echivalente dac a exist a dou a constante a; b> 0 astfel ^ nc^ at
a∥x∥1 ∥x∥2b∥x∥1;(8)x2E:
Propozit ie 11.1.2. Fie⟨
;
⟩un produs scalar pe Espat iu vectorial real. Atunci
expresia√
⟨x;x⟩dene ste o norm a pe E:
De remarcat este c a ^ n Rnnorma euclidian a este dat a de
∥x∥=vuutn∑
k=1×2
k:
Denit ie 11.1.4. ^Intr-un spat iu normat (E;∥
∥)se nume ste bila deschis a de
centrux0 si raz armult imea
Br(x0) =fx2Ej ∥xx0∥<rg
 sibila ^ nchis a de centrux0 si raz armult imea
Br(x0) =fx2Ej ∥xx0∥ rg:
De exemplu, dac a R=R,∥x∥=jxj si
Br(x0) =fx2Rj jxx0j<rg= (x0r;x 0+r) ;
dac aE=R2;atunci ∥(x1;x2)∥=√
x2
1+x2
2 si
Br(x0) ={
x2R2j ∥xx0∥<r}
este discul deschis centrat ^ n x0de raz ar:
Denit ie 11.1.5. ^Intr-un spat iu normat (E;∥
∥)se nume ste veci- n atate a
unui punct x02Eo submult ime VEcare cont ine o bil a centrat a ^ n x0:
Ca  si ^ n cadrul axei reale, putem deni ^ n baza conceptului de bil a (deschis a sau
^ nchis a) not iunile de mult ime deschis a, mult ime ^ nchis a, punct de acumulare, punct
izolat, punct aderent, aderent  a, interior, frontier a ^ ntr-un spat iu normat.
Denit ie 11.1.6. Mult imeaDRnse nume ste convex a dac a (8)t2[0;1] si
(8)x; y2D,avemtx+ (1t)y2D:
Denit ie 11.1.7. Mult imeaDRnse nume ste conex a dac a nu exist a U siV
mult imi deschise ^ n Rn;nevide, astfel ^ nc^ at A\U̸=∅;A\V̸=∅,A\U\V=∅ si
AU[V:
Denit ie 11.1.8. Mult imeaDRndeschis a  si conex a se nume ste domeniu .

164 11. DERIVATE PART IALE
11.2. Operatori liniari  si continui
FieE1 siE2dou a spat ii vectoriale peste R.
Denit ie 11.2.1. Numim operator de laE1laE2orice aplicat ie a lui E1^ n
E2:
Denit ie 11.2.2. Un operator T:E1!E2se nume ste liniar dac a este aditiv,
adic a
T(x1+x2) =T(x1) +T(x2);(8)x1; x22E1
 si omogen, adic a
T(x) =T(x);(8)2R six2E1:
Mult imea tuturor operatorilor liniari de la E1^ nE2se noteaz aL(E1;E2):
Fie (E1;∥
∥1)  si (E2;∥
∥2) dou a spat ii vectoriale normate.
Denit ie 11.2.3. Operatorul T:E1!E2se nume ste continuu ^ nx02E1
dac a (8)ϵ>0,(9)>0, astfel ^ nc^ at dac a ∥xx0∥1<s a rezulte ∥T(x)T(x0)∥<
ϵ:
Propozit ie 11.2.1 Un operator liniar T:E1!E2este continuu dac a  si numai
dac a este continuu ^ ntr-un singur punct.
11.3. Funct ii vectoriale de o variabil a real a
Denit ie 11.3.1. Spunem c a o funct ie f:AR!Rmse nume ste funct ie de
o variabil a real a .^In acest caz ,f(x) =(f1(x);f2(x);:::;fm(x));undefi:A!R,
i21;m,funct iilef1; f2;…,fmnumindu-se componentele luif:
De exemplu, dac a f:R!R3; f(x) = (x2;2y3;3z);atunci
f(1) = (1;2;3):
Denit ie 11.3.2. Dac af:AR!Rm sia2A′, atunci spunem c a leste
limita lui f^ na si scriem lim
x!af(x) =l, dac a (8)ϵ>0;(9)>0;astfel ^ nc^ at (8)
x2Anfag;cujxaj<, s a avem
∥f(x)l∥=vuutn∑
k=1(fk(x)l)2<ϵ:
Similar cu not iunile prezentate ^ n capitolul 4, obt inem not iunile de limit a la
st^ anga a lui f^ na si limit a la dreapta a lui f^ na si se demontsreaz a c a dac a aeste
punct de acumulare al mult imilor fx2A; x<a g sifx2A; x<a gatunci exist a
lim
x!af(x) =ldac a  si numai dac a limita la dreapta  si cea la st^ anga exist a  si sunt
egale.

11.4. DRUMURI S I CURBE 165
Teorem a 11.3.1. Dac af:AR!Rm; a2A′,cuf= (f1;f2;:::;fm);unde
fk:A!R;k21;m,atunci lim
x!af(x) =ldac a  si numai dac a exist a lim
x!afk(x) =lk;
k21;m silim
x!af(x) = (l1;l2;:::;lm):
Denit ie 11.3.2. Dac af:AR!Rm sia2A\A′, atunci spunem c a feste
continu a ^ n a, dac a (8)ϵ>0;(9) >0;astfel ^ nc^ at (8)x2A;cujxaj<, s a
avem∥f(x)f(a)∥<ϵ:
Analog celor din capitolul 5 deducem c a o funct ie f:AR!Rm sia2A\A′
este continu a ^ n adac a  si numai dac a exist a lim
x!af(x) =f(a) ; analog obt inem
not iunile de funct ie continu a la st^ anga  si funct ie continu a la dreapta.
Dac afnu este continu a ^ n a, ea este discontinu a ^ n a:
Teorem a 11.3.2. Dac af:AR!Rm; a2A\A′,cuf= (f1;f2;:::;fm);
undefk:A!R; k21;m,atuncifeste continu a ^ n adac a  si numai dac a ecare
component a fkeste continu a ^ n a:
Denit ie 11.3.3. Fief:AR!Rm sia2Int (A):Spunem c a feste
derivabil a ^ nadac a ecare dintre componentele fkeste derivabil a ^ n a si atunci
f′(a) = (f′
1(a);f′
2(a);:::;f′
m(a)):
Denit ie 11.3.4. Fief:AR!Rm sia2Int (A):Spunem c a feste
diferent iabil a ^ nadac a exist a o aplicat ie liniar a T:R!Rmastfel ^ nc^ at
limx!a
x̸=af(x)f(a)T(xa)
jxaj= 0Rm;
unde 0Rmeste elementul nul din Rm:
Se arat a u sor c a T:R!Rmdac a exist a, este unic a. De asemenea, dac a feste
diferent iabil a ^ n a;atunci ea este contin ^ n a:
Denit ie 11.3.5. Fiea < b; a;b 2R sif:AR!Rm:Spunem c a feste
integrabil a Riemann pe[a;b]dac a ecare dintre componentele fkeste integrabil a
Riemann pe [a;b] si atunci∫b
af(x)dx=(∫b
af1(x)dx;∫b
af2(x)dx;:::;∫b
afm(x)dx)
:
11.4. Drumuri  si curbe
Denit ie 11.4.1. Numim drum orice funct ie continu a
:I!Rm,unde
IReste un interval. Not^ and
(t) = (f1(t);f2(t);:::;fm(t)), denim astfel o
parametrizare a drumului
:

:8
>><
>>:x1(t) =f1(t)
x2(t) =f2(t)
:::::::::::::::
xm(t) =fm(t); t2I:

166 11. DERIVATE PART IALE
Aceste ecuat ii se numesc ecuat iile parametrice ale drumului
:Dac aI= [a;b];

(a) si
(b)se numesc capetele drumului
:Imaginea
(I)se nume ste traiec-
toria drumului
:Dac a
(a) =
(b), atunci
se nume ste drum ^ nchis.
De exemplu, drumul
: [0;2]!R2,
(t) = (cost;sint) are ca traiectorie cercul
f(x;y)2R2jx2+y2= 1g; drumul
: [0;2]!R3,
(t) = (rcost;rsint;0) are ca
traiectorie cercul{
(x;y;z )2R3jx2+y2= 1; z= 0}
:
Denit ie 11.4.2. Dac a
: [a;b]!Rmeste un drum, atunci
1: [a;b]!Rm;

1(t) =
(a+bt)se nume ste opusul drumului
:Dac a
1: [a;b]!Rm si

2: [b;c]!Rmau proprietatea c a
1(b) =
2(b),atunci drumul
1[
2: [a;c]!Rm
denit prin
(
1[
2) (t) ={

1(t); t2[a;b]

2(t); t2[b;c]
se nume ste juxtapunerea drumurilor
1 si
2:
Drumul
:I!Rmse nume ste neted dac a
este funct ie de clas a C1 si
′(t)̸=
0;(8)t2I si se nume ste neted pe port iuni dac a este juxtapunerea unui num ar
nit de drumuri netede.
Fie un
: [a;b]!Rm,denit prin ecuat iile sale paramentrice :

:8
>><
>>:x1(t) =f1(t)
x2(t) =f2(t)
:::::::::::::::
xm(t) =fm(t); t2I:
Dac a se consider a o diviziune arbitrar a
∆ = (a=t0<t 1<:::<t n=b)
a lui [a;b], denim

∆:=m∑
k=1vuutn∑
i=1(fk(ti)fk(ti1))2
 si dac a mult imea f
∆j∆diviziune a lui [a;b]geste m arginit a ,spunem c a drumul

esterecticabil  si are lungimea
l:= sup
∆ diviziune a lui [ a;b]
∆:
Dou a drumuri
1: [a;b]!Rm si
2: [;]!Rmse numesc echivalente dac a
exist a o aplicat ie φ: [a;b]![;]continu a, bijectiv a  si cu inversa continu a, astfel
^ nc^ at

1(t) = (
2◦φ) (t);(8)t2[a;b]:

11.5. FUNCT II REALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE 167
Not am ^ n acest caz
1
2 si se arat a u sor c a este o relat ie de echivalent  a.
O clas a de echivalent  a de drumuri echivalente ^ n raport cu se nume ste curb a .
^In cazul ^ n care curba este neted a, elementul de lungime pe curb a este prin
denit ie
ds=vuutm∑
k=1f′
k(t)2dt:
Teorem a 11.4.1. Dac a
: [a;b]!Rmeste un drum neted, atunci el este
recticabil  si lungimea drumului este
l=∫

ds=∫b
avuutm∑
k=1f′
k(t)2dt:
De exemplu, s a calcul am lungimea drumului
: [0;2]!R2,
(t) = (cost;sint).
Avem
x′
1(t) = (cost)′=sint
x′
2(t) = (sint)′= cost
 si astfel
l=∫2
0√
x′
1(t)2+x′
2(t)2dt=∫2
0√
sin2t+ cos2tdt= 2:
11.5. Funct ii reale de mai multe variabile reale
Denit ie 11.5.1. Spunem c a o funct ie f:ARn!Rse nume ste funct ie
real a de mai multe variabile reale .^In acest caz ,f(x) =f(x1;x2;:::;xn)2R;
undex= (x1;x2;:::;xn)2A,xi,i21;n,numindu-se argumentele luif:
De exemplu, dac a f:R3!R; f(x;y;z ) =x2+ 2y3+ 3z;atunci
f(1;0;2) = 12+ 2
03+ 3 (2) =5:
Denit ie 11.5.2. Dac af:ARn!R sia2A′, atunci spunem c a leste
limita lui f^ na si scriem lim
x!af(x) =l, dac a (8)ϵ>0;(9)>0;astfel ^ nc^ at (8)
x2Anfag;cu∥xa∥<, s a avem
jf(x)lj<ϵ:
De exemplu, s a studiem existent a limitei lim
(x;y)!(0;0)x2y2
x4+y4:Consider^ and  sirurile
(1
n;1
n)
!(0;0)  si(1
n;2
n)
!(0;0), rezult a c a f(1
n;1
n)
=1
2!1
2 sif(1
n;2
n)
=4
5!4
5,
atunci c^ and n! 1;undef:R2nf(0;0)g !R:Deci, nu exist a lim
(x;y)!(0;0)x2y2
x4+y4:

168 11. DERIVATE PART IALE
Propozit ie 11.5.1. Fief:ARn!R sia2A′.Urm atoarele armat ii sunt
echivalente :
1) lim
x!af(x) =l;
2) (Criteriul lui Heine) oricare ar   sirul (xn)n2NAnfag,convergent la a,
avem
lim
n!1f(xn) =l;
3) (8)V2V(l);(9)U2V(a),astfel ^ nc^ at (8)x2U\(Anfag)s a avem
f(x)2V:
Propozit ie 11.5.2. Fief; g:ARn!Rfunct ii care au propriet at ile
jf(x)j g(x);(8)x2A,
lim
x!ag(x) = 0;undea2A′:
Atunci,
lim
x!af(x) = 0:
De exemplu, lim
(x;y)!(0;0)xy2
x2+y2= 0, deoarece
xy2
x2+y2=jyjjxyj
x2+y2 jyj:
Denit ie 11.5.3. Dac af:ARn!R sia2A\A′, atunci spunem c a feste
continu a ^ n adac a (8)ϵ>0;(9)>0;astfel ^ nc^ at (8)x2A;cu∥xa∥<, s a
avem
jf(x)lj<ϵ
sau, echivalent,
lim
x!af(x) =f(a):
De exemplu, s a studiem continuitatea ^ n origine a funct iei
f(x) ={x3y2
x4+y4;dac a (x;y)̸= (0;0)
0;dac a (x;y) = (0;0):
Avem
lim
(x;y)!(0;0)x3y2
x4+y4= 0;
deoarece x3y2
x4+y4 jxj !0 =f(0;0):
Denit ie 11.5.4. FieARnarbitrar a. Atunci, prin c^ amp scalar denit pe A
^ nt elegem funct ia f:A!R,f=f(x1;x2;:::;xn):

11.6. DERIVATE PART IALE. DIFERENT IALA UNEI FUNCT II 169
11.6. Derivate part iale. Diferent iala unei funct ii
Denit ie 11.6.1. Fief:ARn!R; a2Int (A) sis2Rncu∥s∥= 1;adic a
sesteversor .
Spunem c a festederivabil a dup a (direct ia )s^ nadac a exist a  si este nit a
limita lim
t!0f(a+ts)f(a)
t. Not am aceast a limit adf
ds(a) si o numim derivata luifdup a
direct ias^ na:
S a consider am fe1;e2;:::;engbaza canonic a a lui Rn;adic aek= (0;:::;1;:::;0) cu
1 pe pozit ia a ka.
Spunem c a festederivabil a part ial ^ n raport cu xk^ nadac afeste derivabil a
dup a direct ia ek^ na:Not am derivata part ial a ^ n raport cu xk^ naprin
@f
@xk(a) = lim
t!0f(a1;:::;ak+t;:::;an)f(a1;:::;ak;:::;an)
t:
Remarc am c a pentru a calcula derivata part ial a ^ n raport cu xk^ na, vom cal-
cula derivata funct iei de o singur a variabil a real a xk!f(a1;:::;xk;:::;an);celelalte
variabile ind constante ^ n aceast a operat ie.
De exemplu, pentru funct ia
f(x;y) =x2sinxy
avem
@(x2sinxy)
@x= 2xsinxy+x2(cosxy)y;
@(x2sinxy)
@y=x3cosxy:
Denit ie 11.6.2. Fief:ARn!R; a2Int (A).Spunem c a feste
diferent iabil a ^ nadac a exist a o aplicat ie liniar a T:Rn!R,astfel ^ nc^ at
lim
x!af(x)f(a)T(xa)
∥xa∥= 0
sau, echivalent,
f(x) =f(a) +T(xa) +φ(x)∥xa∥;cu lim
x!aφ(x) = 0:
Aplicat ia liniar a Teste unic a, poart a numele de diferent iala luif^ na si se
noteaz adf(a):
Diferent iala total a a unei funct ii reprezint a aplicat ia Rn∋a!df(a)2
L(Rn;R) si se calculeaz a dup a formula
df=@f
@x1dx1+@f
@x2dx2+:::+@f
@xndxn:

170 11. DERIVATE PART IALE
De exemplu, pentru funct ia f(x;y) =x2+xyy2;
df=@f
@xdx+@f
@ydy= (2x+y)dx+ (x2y)dy:
Ca  si ^ n cadrul funct iilor derivabile, funct ioneaz a rezultatul care arm a c a orice
funct ie diferent iabil a ^ n aeste continu a ^ n a:
Teorem a 11.6.1. Fief:ARn!R; a2Int (A).Dac afeste diferent iabil a
^ na, atunci exist adf
ds(a), pentru orice versor s2Rn si
df
ds(a) =df(a)s,@f
@xk(a) =df(a)ek; k21;n:
Denit ie 11.6.3. Fief:ARn!R;a2Int (A).Atunci vectorul gradient al
luif^ nase noteaz a cu ∇f(a) si este
df
ds(a) =df(a)s=⟨∇f(a);s⟩;(8)s2Rn:
Denit ie 11.6.4. Fief:ARm!Rm;f= (f1;:::;fm):Denim divergent a
luif^ n punctula2Rmca ind
divf(a) =@f1
@x1+:::+@fm
@xm:
Propozit ie 11.6.1. Fief;g:ARn!R;a2Int (A),f sigind diferent iabile
^ na:Atuncif+geste diferent iabil a ^ n a si
d(f+g) (a) =df(a) +dg(a):
Propozit ie 11.6.2. Fief:ARn!R; a2Int (A),g:BR!R,
f(a)2Int (B); find diferent iabil a ^ n a sig^ nf(a):Atuncig◦f:A!Reste
diferent iabil a ^ n a si
d(g◦f) (a) =dg(f(a))◦df(a):
Din aceast a propozit ie rezult a urm atoarea regul a de derivare part ial a
@
@xk(g◦f) (a) =g′(f(a))@f
@xk(a):
De exemplu, dac a f(t) =e3x+2y six= cost; y=t2;atunci
f′(t) =df
dt=@f
@xdx
dt+@f
@ydy
dt=
=3e3x+2ysint+ 4e3x+2yt:

11.7. EXTREME 171
11.7. Extreme
Denit ie 11.7.1. Fief:ARn!R,a2Int (A).Punctulase nume ste
punct de minim local dac af(a)f(x),(8)x2U\A, undeUeste o vecin atate
a luia:Punctulase nume ste punct de minim global dac af(a)f(x),(8)
x2A. Analog avem not iunile de puncte de maxim local  simaxim global :
Punctele de maxim sau de minim poart a numele de puncte de extrem .
Propozit ie 11.7.1. Fief:ARn!R; a2Int (A) ;dac afeste derivabil a
dup a direct ia versorului s^ na siaeste punct de extrem local, atunci
df
ds(a) = 0:
Corolar 11.7.1. Fief:ARn!R; a2Int (A)un punct de extrem local.
Dac afadmite derivate part iale ^ n a^ n raport cu x1; x2;…,xn, atunci
@f
@x1(a) = 0;…,@f
@xn(a) = 0:
Denit ie 11.7.2. Punctula2Int (A)^ n carefeste diferent iabil a  si
@f
@x1(a) = 0;…,@f
@xn(a) = 0
se nume ste punct critic al funct ieif:
Rezult a a sadar c a un punct de diferent iabilitate  si punct de extrem local este un
punct critic, reciproca ind fals a.
Denit ie 11.7.3. Derivatele part iale de ordin superior se denesc ^ n acela si mod
ca cele pentru funct ii de o variabil a; dac a funct ia
xi!@f
@xk(a1;:::;xk;:::;an)
este denit a pe o vecin atate a lui a si este derivabil a ^ n punctul ai;atuncifse spune
c a este derivabil a part ial de dou a ori ^ n raport cu xi sixk:Not am
@2f
@xi@xk(a) =@
@xi(@f
@xk)
(a)  si@2f
@x2
i(a) =@
@xi(@f
@xi)
(a):
Derivatele part iale de ordin n3 se denesc analog.
Denim matricea
Hf(a) =0
B@@2f
@x2
1(a)@2f
@x1@x2(a):::@2f
@x1@xn(a)
::: ::: ::: :::
@2f
@xn@x1(a)@2f
@xn@x2(a):::@2f
@x2n(a)1
CA;
numit a hessiana luif^ na;^ n cazul ^ n care funct ia f:ARn!R;admite derivate
part iale de ordinul doi ^ n a2Int (A):

172 11. DERIVATE PART IALE
Propozit ie 11.7.2 (Criteriul lui Schwarz) .Fief:ARn!R; a2Int (A)
 si ei; k21;n.Dac a exist a@2f
@xi@xk(a) si@2f
@xk@xi(a)pe o vecin atate a lui a si sunt
continue, atunci
@2f
@xi@xk(a) =@2f
@xk@xi(a):
Revenim acum la problema extremelor unei funct ii.
Denit ie 11.7.4. Fie funct ia f:ARn!R,a2Int (A),fde clas aCk^ ntr-o
vecin atate a punctului a:Denim polinomul Taylor de gradulkal funct ieif^ na
ca ind
Tkf(x;a) =f(a) +n∑
j=1@f
@xj(a) (xjaj) +
+1
2!n∑
i;j=1@2f
@xi@xj(a) (xiai) (xjaj) +
+1
k!n∑
j1;:::;jk=1@kf
@xj1:::@xjk(a) (xj1aj1):::(xjkajk):
ExpresiaRkf(x;a) =f(x)Tkf(x;a)se nume ste restul dezvolt arii Taylor
de ordinulkal luif^ na:
Se remarc a anularea tuturor derivatelor part iale ale lui Rkf(x;a) de orice ordin
k:
De exemplu, pentru funct ia
f(x;y) =x2
y2;
polinomul Taylor de ordinul doi ^ n a= (1;1) este
T2f((x;y) (1;1)) = 1 + 2 ( x1) + 2 (y1) +
+1
2![
2 (x1)2+ 8 (x1) (y1) + 2 (y1)2]
=x2+y2+ 1 + 4xy4x4y+ 3:
Din propozit a 11.7.1  stim c a un punct de extrem este punct critic, ^ ns a nu putem
 sti care dintre punctele critice sunt puncte de extrem. Acest lucru este decis de
matricea hessian a calculat a ^ n acel punct. ^In aceast a direct ie avem urm atoarea
Propozit ie 11.7.3. Fief:ARn!R; a2Int (A),f2C2( Int (A)):
Dac aaeste un punct critic  si Hf(a)este pozitiv denit a, atunci aeste un punct de
minim. Dac a aeste un punct critic  si Hf(a)este negativ denit a, atunci aeste un
punct de maxim.

11.7. EXTREME 173
Pentru a stabili c^ and hessiana Hf(a) este pozitiv sau negativ denit a, apel am de
exemplu la criteriul lui Sylvester :
1) dac a determinant ii@2f
@x2
1(a);@2f
@x2
1(a)@2f
@x1@x2(a)
@2f
@x2@x1(a)@2f
@x2
2(a);
@2f
@x2
1(a)@2f
@x1@x2(a)@2f
@x1@x3(a)
@2f
@x2@x1(a)@2f
@x2
2(a)@2f
@x2@x3(a)
@2f
@x3@x1(a)@2f
@x3@x2(a)@2f
@x2
3(a);:::;
@2f
@x2
1(a)@2f
@x1@x2(a):::@2f
@x1@xn(a)
::: ::: ::: :::
@2f
@xn@x1(a)@2f
@xn@x2(a):::@2f
@x2n(a)sunt strict pozitivi, atunci he- ssiana Hf(a)
este pozitiv denit a;
2) dac a@2f
@x2
1(a)<0;@2f
@x2
1(a)@2f
@x1@x2(a)
@2f
@x2@x1(a)@2f
@x2
2(a)>0;
@2f
@x2
1(a)@2f
@x1@x2(a)@2f
@x1@x3(a)
@2f
@x2@x1(a)@2f
@x2
2(a)@2f
@x2@x3(a)
@2f
@x3@x1(a)@2f
@x3@x2(a)@2f
@x2
3(a)<0;:::;atunci hessiana Hf(a) este negativ denit a.
Ret inem faptul c a ^ n celelalte cazuri nu se poate decide asupra naturii punctului
critic, el put^ and  sau nu de extrem; stabilirea cu exactitate a extremului ^ n aceste
cazuri necesit a o analiz a bazat a dezvoltarea^ n serie Taylor, ind destul de anevoioas a.
De exemplu, s a calcul am extremele funct iei
f(x;y) =1 +xy√
1 +x2+y2:
Determin am mai ^ nt^ ai punctele critice ale sistemului
{@f
@x= 0
@f
@y= 0()8
<
:1+y2x+xyp
1+x2+y23= 0
1+x2+y+xyp
1+x2+y23= 0
() fx= 1;y=1g:
Astfel avem un singur punct critic, (1 ;1):
Scriem acum matricea hessian a ^ ntr-un punct oarecare ( x;y) :
Hf(x;y) =0
@y+2yx2y3+12×2+y2+3x+3xy2p
1+x2+y25y+2yx2y3+x+x32xy2+3xyp
1+x2+y25
y+2yx2y3+x+x32xy2+3xyp
1+x2+y25 x+x32xy2+1+x22y23y3yx2p
1+x2+y251
A:

174 11. DERIVATE PART IALE
De aici obt inem
Hf(1;1) =(
2p
3
9p
3
9
p
3
92p
3
9)
:
Deoarece2p
3
9=2p
3
9<0  si2p
3
9p
3
9
p
3
92p
3
9=1
9>0;rezult a c aHf(1;1)
este negativ denit a, deci punctul (1 ;1) este punct de maxim, valoarea maximului
indf(1;1) =p
3:
11.8. Funct ii vectoriale de mai multe variabile reale
Denit ie 11.8.1. Funct iaf:ARn!Rm;cum; n2Nn f0;1gse nume ste
funct ie vectorial a de mai multe variabile reale . Dac af(x) = (f1(x);f2(x);:::;fm(x)),
undefk:A!R,k21;m,atunci funct iile fkse numesc componentele funct iei
f,iar(x1;x2;:::;xn)argumentele funct ieif:
De exemplu, dac a f:R3!R2; f(x;y;z ) =(x2+ 2y3+ 3z; x+z2);atunci
f(1;0;2) =(
12+ 2
03+ 3 (2);1 + (2)2)
= (5;5):
Denit ie 11.8.2. Dac af:ARn!Rm sia2A′, atunci spunem c a l2Rm
estelimita lui f^ na si scriem lim
x!af(x) =l, dac a (8)ϵ>0;(9)>0;astfel ^ nc^ at
(8)x2Anfag;cu∥xa∥<, s a avem
∥f(x)l∥<ϵ:
Studiul existent ei limitei unei funct ii vectoriale de mai multe variabile reale ^ ntr-
un punct se reduce la studiul limitelor componentelor sale ^ n acel punct. Mai exact,
avem urm atoarea
Propozit ie 11.8.1. lim
x!af(x) =lexist a dac a  si numai dac a exist a lim
x!afk(x) =
lk; k21;m sil= (l1;l2;:::;lm):
Denit ie 11.8.3. Dac af:ARn!Rm sia2A\A′, atunci spunem c a f
estecontinu a ^ n adac a (8)ϵ>0;(9)>0;astfel ^ nc^ at (8)x2A;cu∥xa∥<,
s a avem
∥f(x)l∥<ϵ
sau, echivalent,
lim
x!af(x) =f(a):
Similar se deduce c a c a o funct ie vectorial a de mai multe variabile reale este
continu a ^ ntr-un punct dac a  si numai dac a toate componentele sale sunt continue ^ n
acel punct.

11.8. FUNCT II VECTORIALE DE MAI MULTE VARIABILE REALE 175
De asemenea, not iunile de derivat a dup a o direct ie s si de derivat a part ial a se
extind resc ^ n cazul funct iilor f:ARn!Rm:Dac a∥s∥= 1  sia2Int (A);
atunci
df
ds(a) = lim
t!0f(a+ts)f(a)
t;
@f
@xj(a) =(@f1
@xj(a);@f2
@xj(a);:::;@fm
@xj(a))
:
Denit ie 11.8.4. Pentruf:ARn!Rmdenim matricea
Jf(a) =0
@@f1
@x1(a):::@f1
@xn(a)
::: ::: :::
@fm
@x1(a):::@fm
@xn(a)1
A2Mm;n(R);
numit a matricea jacobian a a luif^ na:
C^ andm=n, evident are sens not iunea de detJj(a), acest determinant numindu-
sejacobianul luif^ nasaudeterminantul funct ional al funct iilor f1; f2;:::; fm
^ na, notat ia ind
D(f1;:::;fn)
D(x1;:::;xn)= detJj(a):
De exemplu, pentru funct ia f:R3!R2;
f(x;y;z ) =(
ex+y+z;exyz)
;
matricea jacobian a ^ n punctul ( x;y;z ) este
Jf(x;y;z ) =(
ex+y+zex+y+zex+y+z
exyzexyzexyz)
;
pentru pentru funct ia f: [0;+1)[0;2]!R2;
f(r;φ) = (rcosφ;rsinφ);
matricea jacobian a ^ n punctul ( r;φ) este
Jf(r;φ) =(
cosφrsinφ
sinφ r cosφ)
;
iar jacobianul este det Jf(r;φ) =cosφrsinφ
sinφ r cosφ=r:
Denit ie 11.8.5. Fief:ARn!Rm; a2Int (A).Spunem c a feste
diferent iabil a ^ nadac a exist a o aplicat ie liniar a T:Rn!Rm,astfel ^ nc^ at
lim
x!af(x)f(a)T(xa)
∥xa∥= 0Rm

176 11. DERIVATE PART IALE
sau, echivalent,
f(x) =f(a) +T(xa) +φ(x)∥xa∥;culim
x!aφ(x) = 0 Rm:
Aplicat ia liniar a Teste unic a, poart a numele de diferent iala luif^ na si se
noteaz adf(a)2L(Rn;Rm):
Diferent iabilitatea implic a continuitatea, a sa cum era de a steptat.
Propozit ie 11.8.2. Fief; g :ARn!Rm; a2Int (A),f sigind
diferent iabile ^ n a:Atuncif+geste diferent iabil a ^ n a si
d(f+g) (a) =df(a) +dg(a):
Propozit ie 11.8.3. Fief:ARn!Rm; a2Int (A),g:BRm!Rp,
f(a)2Int (B); find diferent iabil a ^ n a sig^ nf(a):Atuncig◦f:A!Rpeste
diferent iabil a ^ n a si
d(g◦f) (a) =dg(f(a))◦df(a):
11.9. Teorema funct iilor implicite
Studiul acestui paragraf este destinat rezolv arii sistemelor neliniare de forma
8
<
:f1(x1;:::;xn) =y1
::::::::::::::::::::::::::::
fy(x1;:::;xn) =yn:
Teorem a 11.9.1 (Teorema de inversiune local a) .Fief:ARn!Rno
funct ie de clas a C1 sia2Aastfel ^ nc^ at df(a)2L(Rn;Rn)este un izomorsm
(adic a biject ie ). Atunci exist a o vecin atate U2V(a) si o vecin atate V2V(f(a)),
astfel ^ nc^ at f:U!Vs a e bijectiv a  si f1:V!Us a e de clas a C1:Dac af
este de clas a Ck, atuncif1este tot de clas a Ck:
Observat ie 11.9.1. Condit iadf(a)2L(Rn;Rn) este echivalent a cu det Jf(a)̸=
0;deoareceJf(a) este tocmai matricea asociat a operatorului df(a):
De exemplu, s a consider am sistemul
{x4+y4
x=u
sinx+ cosy=v:
Avemf1(x;y) =x4+y4
x,f2(x;y) = sinx+ cosy, undef1:Rn f0g !R,f2:R!
R, iarf= (f1;f2):Ne intereseaz a s a rezolv am sistemul ( x;y) =f1(u;v)  si, mai
exact, s a calcul am derivatele part iale@x
@u;@y
@u;@x
@v;@y
@v:
Calcul am matricea jacobian a:
Jf(x;y) =(
3×2y4
x2
cosxsiny)

11.10. EXTREME CU LEG ATURI 177
 si rezult a
detJf(
2;
2)
̸= 0:
Conform teoremei de inversiune local a, putem rezolva sistemul ^ n raport cu u si
v^ n funct ie de x siy, pe o vecin atate a lui(
2;
2)
:
Avem
Jf1=(@x
@u@x
@v@y
@u@y
@v)
= (Jf)1=
=1
3x2siny+y4
x2cosx(
sinyy4
x2
cosx3x2)
:
Rezult a, de exemplu,@x
@u=1
3x2siny+y4
x2cosx(siny):
S a consider am acum dou a mult imi A;BR;deschise, funct ia f:AB!R si
avem ^ n vedere ecuat ia f(x;y) = 0 peAB:Se pune problema dac a putem deni
peyca funct ie de x:
Fie (x;y)2ABastfel ^ nc^ at f(x;y) = 0:Ne intereseaz a ^ n ce condit ii exist a
vecin at at iV2V(x); U2V(y) astfel ^ nc^ at ec arui x2Vs a ^ i corespund a un unic
y2Ucu proprietatea f(x;y) = 0;sau, altfel spus, ^ n ce condit ii putem deni funct ia
φ:V!U,y=φ(x):
Funct ia astfel denit a se nume ste funct ie implicit a .
^In cazul general, cu mcomponente ale funct iei  si nargumente, avem urm atoarea:
Teorem a 11.9.2 (Teorema funct iilor implicite) .FieDRnRmun deschis
 sif:D!Rmo funct ie de clas a C1(D):Fie(x;y)2Dastfel ^ nc^ at f(x;y) = 0:
Dac aD(f1;:::;f m)
D(y1;:::;y m)(x;y)̸= 0;atunci exist a V2V(x) si exist aU2V(y);astfel
^ nc^ at oricare ar  x2V, exist a  si este unic y2Vcuf(x;y) = 0 Rmput^ and astfel
deni funct ia φ:V!U;cu proprietatea f(x;φ(x)) = 0;(8)x2V,φ2C1(V):
11.10. Extreme cu leg aturi
Aceea si idee prezentat a anterior ^ n cadrul extremelor obi snuite se reg a- se ste  si
^ n cazul extremelor cu leg aturi. Este vorba de g asirea extremelor unei funct ii de
mai multe variabile reale, ^ n prezent a uneia sau a mai multor ecuat ii de leg atur a,
num arul acestor ecuat ii de leg atur a ind inferior num arului de variabile. G asirea
extremelor cu leg aturi se bazeaz a pe metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Ea const a
^ n urm atoarea:
Teorem a 11.11.1. Fief:DRn+m!R,Ddeschis ,f2C1(D),gk:D!R,
k21;m,gk2C1(D):Dac aD(g1;:::;g m)
D(y1;:::;y m)̸= 0;atunci exist a 1;:::; m2Rnumit i

178 11. DERIVATE PART IALE
multiplicatorii lui Lagrange astfel ^ nc^ at consider^ and funct ia
F(x;y) =f(x;y) +m∑
k=1kgk(x;y);
punctul de extrem (x0;y0)2Dcu leg aturile gkeste solut ie a sistemului
@F
@xj(x0;y0) = 0; j21;n;
@F
@yk(x0;y0) = 0; k21;m;
gk(x0;y0) = 0; k21;m:
De exemplu, s a g asim extremele funct iei f(x;y) = 6 4x3y;cu condit ia ca
variabilelex siys a satisfac a ecuat ia x2+y2= 1:
Form am ecuat ia lui Lagrange
F(x;y; ) =f(x;y) +(
x2+y21)
=
= 64x3y+(
x2+y21)
:
Avem@F
@x=4 + 2x si@F
@y=3 + 2y:Suntem condu si astfel la sistemul
8
<
:4 + 2x= 0
3 + 2y= 0
x2+y2= 1;
pe care, rezolv^ andu-l, g asim solut iile
1=5
2; x1=4
5; y1=3
5 si
2=5
2; x2=4
5; y2=3
5:
Scriem acum matricea hessian a
Hf;(x;y) =(
20
0 2)
;
care pentru 1=5
2ne conduce la Hf;5
2(4
5;3
5)
=(
5 0
0 5)
 si pentru1=5
2ne
conduce la Hf;5
2(
4
5;3
5)
=(
5 0
05)
:
Rezult a c a Hf;5
2(4
5;3
5)
este pozitiv denit a, deci punctul(4
5;3
5)
este punct de
minim, valoarea minimului ind f(4
5;3
5)
= 1;iarHf;5
2(
4
5;3
5)
este negativ denit a,

11.11. SCHIMB ARI DE VARIABILE 179
deci punctul(
4
5;3
5)
este punct de maxim, va- loarea maximului ind f(
4
5;3
5)
=
11:
11.11. Schimb ari de variabile
Fief:URn!VRn,f(x) =y:Dac afeste bijectiv a, atunci unicul punct x
ce corespunde lui ydin aceast a biject ie poate  utilizat pentru determinarea punctului
y:Coordonatele carteziene ale lui x^ n baza canonic a a spat iului Rn;(x1;x2;:::;xn) se
numesc coordonatele vechi, ^ n timp ce coordonatele lui yse numesc coordonate noi.
Folosind regulile de derivare ale funct iilor compuse, ecuat ii ^ n coordonatele vechi se
pot transforma ^ n ecuat ii ^ n coordonatele noi.
S a consider am c^ ateva exemple.
1.^In ce se transform a ecuat ia
y@z
@xx@z
@x= 0
^ n urma schimb arii de variabile u=x siv=x2+y2?
Avem
@z
@x=@z
@u@u
@x+@z
@v@v
@x=@z
@u+@z
@v2x;
@z
@y=@z
@u@u
@y+@z
@v@v
@y=@z
@v2y:
Rezult a c a ecuat ia dat a se transform a ^ n
y(@z
@u+@z
@v2x)
x(@z
@v2y)
= 0
sau
y@z
@u= 0:
Astfel, ^ ntr-un domeniu din R2^ n carey̸= 0;rezult a@z
@u= 0 sauz=z(v) =
z(x2+y2):
2.^In ce se transform a ecuat ia
x2@2z
@x2y2@2z
@y2= 0
^ n urma schimb arii de variabile u=xy siv=y
x?
Avem
@z
@x=@z
@u@u
@x+@z
@v@v
@x=@z
@uy+@z
@v(
y
x2)
;
@z
@y=@z
@u@u
@y+@z
@v@v
@y=@z
@ux+@z
@v(1
x)
:

180 11. DERIVATE PART IALE
De asemenea, ret inem operatorii de derivare part ial a
@

@x=y@

@uy
x2@

@v;
@

@y=x@

@u+1
x@

@v:
Deci,
@2z
@x2=@
@x(@z
@x)
=
=@
@x[@z
@uy+@z
@v(
y
x2)]
=
=@
@x(@z
@u)
y+@
@x(@z
@v)(
y
x2)
+@z
@v2y
x3=
=[
y@2z
@uy
x2@2z
@v@u]
y+[
y@2z
@u@vy
x2@2z
@v2](
y
x2)
+
+@z
@v2y
x3
=y2@2z
@u22y2
x2@2z
@v@u+y2
x4@2z
@v2+2y
x3@z
@v
 si
@2z
@y2=@
@y(@z
@y)
=
=@
@y[@z
@ux+@z
@v(1
x)]
=
=@
@y(@z
@u)
x+@
@y(@z
@v)(1
x)
=
=[
x@2z
@u2+1
x@2z
@v@u]
x+[
x@2z
@u@v+1
x@2z
@v2](1
x)
=
=x2@2z
@u2+ 2@2z
@u@v+1
x2@2z
@v2:

11.11. SCHIMB ARI DE VARIABILE 181
Rezult a c a ecuat ia dat a se transform a ^ n
x2(
y2@2z
@u22y2
x2@2z
@v@u+y2
x4@2z
@v2+2y
x3@z
@v)

y2(
x2@2z
@u2+ 2@2z
@u@v+1
x2@2z
@v2)
= 0
sau
4y2@2z
@u@v+ 2y
x@z
@v= 0:
Astfel, pentru y̸= 0  six̸= 0 rezult a
2u@2z
@u@v+@z
@v= 0:
3.S a transform am ecuat ia lui Laplace
@2z
@x2+@2z
@y2= 0
^ n urma schimb arii de variabile (trecerea la coordonate polare)
x=rcosφ; y =rsinφ:
Avem{
@z
@r=@z
@x@x
@r+@z
@y@y
@r=@z
@xcosφ+@z
@ysinφ;
@z
@φ=@z
@x@x
@φ+@z
@y@y
@φ=@z
@xrsinφ+@z
@yrcosφ:
Din acest sistem de ecuat ii scoatem@z
@x si@z
@y si g asim
@z
@x= cosφ@z
@rsinφ
r@z
@φ;
@z
@y= sinφ@z
@r+cosφ
r@z
@φ
 si ret inem operatorii de derivare part ial a
@

@x= cosφ@

@rsinφ
r@

@φ;
@

@y= sinφ@

@r+cosφ
r@

@φ

182 11. DERIVATE PART IALE
Deci,
@2z
@x2=@
@x(@z
@x)
=
=@
@r[
cosφ@z
@rsinφ
r@z
@φ]@r
@x+
+@
@φ[
cosφ@z
@rsinφ
r@z
@φ]@φ
@x:
^Ins a deriv^ and ^ n ambii membri ecare ecuat ie ^ n raport cu x;din cele dou a
reprezent^ and schimbarea de variabile din enunt , obt inem
{
1 =@r
@xcosφ@φ
@xrsinφ
0 =@r
@xsinφ+@φ
@xrcosφ;
sistem din care rezult a
@r
@x= cosφ,@φ
@x=sinφ
r:
Revenind, obt inem
@2z
@x2=@
@r[
cosφ@z
@rsinφ
r@z
@φ]
cosφ+
+@
@φ[
cosφ@z
@rsinφ
r@z
@φ](
sinφ
r)
=[
cosφ@2z
@r2+sinφ
r2@z
@φsinφ
r@2z
@r@φ]
cosφ+
+[
sinφ@z
@r+ cosφ@2z
@φ@rcosφ
r@z
@φsinφ
r@2z
@φ2]

(
sinφ
r)
= cos2φ@2z
@r22sinφcosφ
r@2z
@r@φ+sin2φ
r2@2z
@φ2
+sin2φ
r@z
@r+ 2sinφcosφ
r2@z
@φ:

11.11. SCHIMB ARI DE VARIABILE 183
Analog, avem
@2z
@y2=@
@y(@z
@y)
=
=@
@r[
cosφ@z
@r+cosφ
r@z
@φ]@r
@y+
+@
@φ[
cosφ@z
@r+cosφ
r@z
@φ]@φ
@y:
^Ins a deriv^ and ^ n ambii membri ecare ecuat ie ^ n raport cu y;din cele dou a
reprezent^ and schimbarea de variabile din enunt , obt inem
{
0 =@r
@ycosφ@φ
@yrsinφ
1 =@r
@ysinφ+@φ
@yrcosφ;
sistem din care rezult a
@r
@y= sinφ,@φ
@y=cosφ
r:
Revenind, obt inem
@2z
@y2=@
@r[
sinφ@z
@r+cosφ
r@z
@φ]
sinφ+
+@
@φ[
sinφ@z
@r+cosφ
r@z
@φ]cosφ
r
=[
sinφ@2z
@r2cosφ
r2@z
@φ+cosφ
r@2z
@r@φ]
sinφ+
+[
cosφ@z
@r+ sinφ@2z
@φ@rsinφ
r@z
@φ+cosφ
r@2z
@φ2]

cosφ
r
= sin2φ@2z
@r2+ 2sinφcosφ
r@2z
@r@φ+cos2φ
r2@2z
@φ2
+cos2φ
r@z
@r2sinφcosφ
r2@z
@φ:

184 11. DERIVATE PART IALE
^In nal, rezult a c a ecuat ia lui Laplace se transform a ^ n
cos2φ@2z
@r22sinφcosφ
r@2z
@r@φ+sin2φ
r2@2z
@φ2+
+sin2φ
r@z
@r+ 2sinφcosφ
r2@z
@φ+
+ sin2φ@2z
@r2+ 2sinφcosφ
r@2z
@r@φ+cos2φ
r2@2z
@φ2+
+cos2φ
r@z
@r2sinφcosφ
r2@z
@φ
= 0
sau, echivalent,
r2@2z
@r2+r@z
@r+@2z
@φ2= 0:
4.Consider am acum un caz ^ n care nu se schimb a doar variabilele, ci  si funct ia.
S a calcul am de exemplu@2z
@x2, dac a se efectueaz a schimb arile de variabile u=x2+y2;
v=1
x+1
y si de funct ie w= lnzxy;undez=z(x;y)  siw=w(u;v):
Avem
@w
@x=@w
@u@u
@x+@w
@v@v
@x=
=@w
@u2x+@w
@v(
1
x2)
:
Din schimbarea de funct ie obt inem
@w
@x=1
z@z
@x1:
Deci,
@w
@u2x+@w
@v(
1
x2)
=1
z@z
@x1
sau
@z
@x=z+ 2xz@w
@uz
x2@w
@v:

11.11. SCHIMB ARI DE VARIABILE 185
Rezult a
@2z
@x2=@
@x(@z
@x)
=@
@x(
z+ 2xz@w
@uz
x2@w
@v)
=
=@z
@x+ 2z@w
@u+ 2x@z
@x@w
@u+ 2xz@
@x(@w
@u)

(1
x2@z
@x2
x3)@w
@vz
x2@
@x(@w
@v)
:
^Ins a
@
@x(@w
@u)
=@
@u(@w
@u)@u
@x+@
@v(@w
@u)@v
@x=
=@2w
@u22x+@2w
@v@u(
1
x2)
 si
@
@x(@w
@v)
=@
@u(@w
@v)@u
@x+@
@v(@w
@v)@v
@x=
=@2w
@u@v2x+@2w
@v2(
1
x2)
:
Deci,
@2z
@x2=@z
@x+ 2z@w
@u+ 2x@z
@x@w
@u+
+2xz[@2w
@u22x+@2w
@v@u(
1
x2)]

(1
x2@z
@x2
x3)@w
@v
[@2w
@u@v2x+@2w
@v2(
1
x2)]
:
5.S a calcul am de exemplu@2z
@y2, dac a se efectueaz a schimb arile de variabile x=
u+v
2; v=uv
2 si de funct ie z=u2v2
4w;undez=z(x;y)  siw=w(u;v):
Avem
@z
@y=1
2(
u@u
@yv@v
@y)
(@w
@u@u
@y@w
@v@v
@y)
:

186 11. DERIVATE PART IALE
Pentru a determina@u
@y si@v
@yderiv am ^ n raport cu y^ n ambii membri ambele
ecuat ii ale sistemului{
x=u+v
2
v=uv
2
 si g asim8
<
:0 =1
2(
@u
@y+@v
@y)
1 =1
2(
@u
@y@v
@y);
de unde
@u
@y= 1;@v
@y=1:
Astfel,
@z
@y=1
2(u+v)(@w
@u+@w
@v)
:
De asemenea,
@2z
@y2=@
@y(@z
@y)
=@
@y[1
2(u+v)(@w
@u+@w
@v)]
=
=1
2(@u
@y+@v
@y)
@
@y(@w
@u)
@
@y(@w
@v)
=
=@
@y(@w
@u)
@
@y(@w
@v)
=
=(@2w
@u2@2w
@v@u)
(@2w
@u@v@2w
@v2)
=
=@2w
@u2+@2w
@v2:
11.12. Suprafet e
Denit ie 11.12.1. Se nume ste p^ anz a de suprafat  a parametrizat a de clas a C1
o funct ie  :DR2!R3;de clas a C1, undeDeste un domeniu al lui R2:
Rezult a aplicat ia
D∋(u;v)! (u;v) = (x(u;v);y(u;v);z(u;v))2R3;
^ n carex; y,zsunt funct ii de clas a C1:
Ecuat iile8
<
:x=x(u;v)
y=y(u;v)
z=z(u;v);(u;v)2D

11.12. SUPRAFET E 187
se numesc ecuat iile parametrice ale p^ anzei de suprafat  a s;iar mult imea  (D)2
R3se nume ste imaginea p^ anzei :
Dou a p^ anze de suprafat  a 1:D1!R3 si2:D2!R3se numesc echiva-
lente ( si scriem 12)dac a exist a o aplicat ie φ:D1!D2bijectiv a, de clas a
C1;cu inversa de clas a C1peD2;av^ and jacobianul Jφ>0 peD1 si2◦φ=  1:
Relat ia se dovede ste a  relat ie de echivalent  a, ceea ce ne permite s a consider am
clasele de echivalent  a ^ n raport cu ;pe care le numim suprafet e parametrizate
de clas aC1:Vom nota prin  toate p^ anzele echivalente cu  :
Denim vectorii
⃗ r=x(u;v)⃗i+y(u;v)⃗j+z(u;v)⃗k;
⃗ ru=@x
@u⃗i+@y
@u⃗j+@z
@u⃗k;
⃗ rv=@x
@v⃗i+@y
@v⃗j+@z
@v⃗k
^ n baza c arora a
 am vectorul normal a la suprafat  a (vectorul perpendicular pe
planul tangent la suprafat  a ^ n punctul curent),
⃗ ru⃗ rv=⃗i⃗j⃗k
@x
@u@y
@u@z
@u@x
@v@y
@v@z
@v:
Se noteaz a cu ⃗ n=⃗ ru⃗ rv
∥⃗ ru⃗ rv∥versorul normalei la suprafat a  ^ n punctul
curent (x;y;z )2:
Lungimea vectorului normal a la suprafat  a mai poate  dedus a din formula
∥⃗ ru⃗ rv∥=p
EGF2;
unde numerele E; F; G se calculeaz a din produsele scalare:
E=⃗ ru
⃗ ru
F=⃗ ru
⃗ rv
G=⃗ rv
⃗ rv:
De exemplu, s a consider am sfera
 :{
(x;y;z )2R3jx2+y2+z2=R2}
:
O parametrizare a ei o constituie ecuat iile
 :8
<
:x=Rcosφsin
y=Rsinφsin
z=Rcos;cuφ2[0;2]  si2[0;]:

188 11. DERIVATE PART IALE
Avem
⃗ r=Rcosφsin⃗i+Rsinφsin⃗j+Rcos⃗k
⃗ rφ=Rsinφsin⃗i+Rcosφsin⃗j+ 0⃗k
⃗ r=Rcosφcos⃗i+Rsinφcos⃗jRsin⃗k;
iar
⃗ rφ⃗ r=⃗i⃗j⃗k
@x
@φ@y
@φ@z
@φ
@x
@@y
@@z
@=
=⃗i ⃗j ⃗k
Rsinφsin R cosφsin 0
Rcosφcos R sinφcosRsin=
=(R2cosφsin2⃗iR2sinφsin2⃗j
R2sincos⃗k);
∥⃗ rφ⃗ r∥=R2√
cos2φsin4+ sin2φsin4+ sin2cos2=
=R2sin;
deci
⃗ n=(
cosφsin⃗isinφsin⃗jcos⃗k)
:
Vom considera acum un caz particular de suprafat  a, a c arei ecuat ie ^ n coordo-
natele carteziene x; y; z permite explicitarea lui z^ n funct ie de x siyacum o alt a
denit ie a unei suprafet ei.
Presupunem c a  : f(x;y;z ) = 0 poate  parametrizat a prin:
 :8
<
:x=u
y=v
z=z(u;v);(u;v)2DR2:
Atunci
⃗ n=⃗ ru⃗ rv
∥⃗ ru⃗ rv∥=p⃗iq⃗j+⃗k√
1 +p2+q2;
unde
p=@z
@x; q=@z
@y:
Semnele +  si din formula versorului normal a la suprafat  a semnic a faptul c a
pe suprafat  a exist a o orientare, ^ n raport cu care semnele trebuie alese convenabil
^ n funct ie de cum se specic a ^ n enunt  sensul lui ⃗ n(versorul normalei exterioare sau
interioare la suprafat  a).

11.13. EXERCIT II 189
11.13. Exercit ii
(1)Calculat i lim
x!1f(x), undef(x) = (ex; x2+ 1;arctgx):
R:Avem
lim
x!1f(x) =(
lim
x!1ex;lim
x!1(
x2+ 1)
;lim
x!1(arctgx))
=
=(
e;2;
4)
:
(2)Calculat if′(1) pentru funct ia:
f(x) =(
ex2lnx
x; x2+ 1)
:
R:Avem
f′(x) =(
ex22 (lnx)x21 + lnx
x2;2x)
 sif′(1) rezult a prin ^ nlocuirea lui xcu 1 ^ n relat ia anterioar a.
(3)Calculat i lungimile urm atoarelor curbe:
a) cicloida{
x=a(tsint)
y=a(1cost); t2[0;2] ;
b) astroida{
x=acos3t
y=asin3t; t2[0;2] ;
c) curba dat a ^ n coordonate polare: r=asint
3;adic a{
x=asint
3cost
y=asint
3sint; t2[0;3] ;
d) spirala lui Arhimede r=at; t2[0;4] ;
e) spirala hiperbolic a r=a
t; t2[1
2;6]
;
f) cardioida r=a(1 + cost); t2[0;2]:
R:a) 8a; b) 6a; c)3a
2:
(4)Calculat i urm atoarele limite, ^ n cazul ^ n care ele exist a:
a) lim
(x;y)!(0;0)x2+y2
x2y2;
b) lim
(x;y)!(0;0)x2+y2p
x2+y2+11;
c) lim
(x;y)!(0;0)p
x2y2+11
x2+y2;
d) lim
(x;y)!(0;0)sin(x3+y3)
x2+y2:
R:a) nu exist a; b) 0; c) 0; d) 0 :

190 11. DERIVATE PART IALE
(5)Studiat i continuitatea ^ n origine a funct iei
f(x;y) ={x2+y2
x4+y4;dac a (x;y)̸= (0;0)
2002;dac a (x;y) = (0;0):
R:Deoarece lim
(x;y)!(0;0)x2+y2
x4+y4= +1;rezult a c a funct ia nu este continu a ^ n
origine.
(6)Calculat i derivatele part iale ale funct iilor:
a)f(x;y) =x3+y33xy;
b)f(x;y) =xy;
c)f(x;y) =y
x;
d)f(x;y) = ln sinx+2py;
e)f(x;y) = arctgy
x;
f)f(x;y) =xp
x2+y2.
R:a)@(x3+y33xy)
@x= 3×23y;@(x3+y33xy)
@y= 3y23x;
b)@(xy)
@x=xy1y;@(xy)
@y=xylnx;
c)@(y
x)
@x=y
x2;@(y
x)
@y=1
x;
d)@(
ln sinx+2py)
@x=cosx+2pypysinx+2py;@(
ln sinx+2py)
@y=1
2(
cosx+2py)
x+2
(py)3sinx+2py;
e)@(arctgy
x)
@x=y
x2+y2;@(arctgy
x)
@y=x
x2+y2;
f)@(
xp
x2+y2)
@x=y2p
x2+y23;@(
xp
x2+y2)
@y=xp
x2+y23y:
(7)Calculat i@f
@x(1;1)  si@f
@y(1;1);dac af(x;y) =√
xy+x
y:
R:@(p
xy+x
y)
@x=1
2√
xy2+1
yy2+1
y;deci@f
@x(1;1) =p
2;@(p
xy+x
y)
@y=1
2√
xy2+1
yxy21
y2
;deci@f
@y(1;1) = 0;
(8)Calculat i@
@x(1
r)
;under=√
x2+y2+z2:
R:@
@x(1
r)
=1
r2@r
@x=1
r2xp
x2+y2+z2=x
r3:
(9)Calculat i determinantul@x
@r@x
@φ
@y
@r@y
@φ;dac ax=rcosφ siy=rsinφ:
R:r:
(10) Demonstrat i c a@f
@x+@f
@y+@f
@z= 1;dac a
f(x;y;z ) = (xy) (yz) (zx):

11.13. EXERCIT II 191
(11) Demonstrat i c a funct ia f=φ(x2+y2) veric a ecuat ia
y@f
@xx@f
@y= 0:
(12) Calculat idf
dtdac af=x
y, iarx=et; y= lnt:
R:df
dt=et(tlnt1)
tln2t:
(13) Calculat idf
dtdac af= ln sinxpy, iarx= 3t2; y=p
t2+ 1:
R:df
dt=tpyctgxpy(
6x
2y2)
:
(14) Calculat idf
dx si@f
@xdac af= arctgx
y, iary=x2:
R:@f
@x=y
x2+y2;df
dx=1
x2+1:
(15) Calculat i@f
@x si@f
@ydac af=φ(u;v), iaru=x2y2; v=exy:
R:@f
@x= 2x@f
@u(u;v) +yexy@f
@v(u;v) ;
@f
@y=2y@f
@u(u;v) +xexy@f
@v(u;v):
(16) Ar atat i c a funct ia w=f(u;v) satisface ecuat ia
@w
@t=a@w
@x+b@w
@y;
undeu=x+at; v =y+bt:
(17) Calculat i derivata funct iei f(x;y) = ln√
x2+y2^ n punctula= (1;1), dup a
direct ias=(
1p
2;1p
2)
:
R:p
2
2:
(18) Calculat i derivata funct iei f(x;y;z ) =x23yz+ 5 ^ n punctul a= (1;2;1),
dup a direct ia s=(
1p
3;1p
3;1p
3)
:
R:p
3
3:
(19) Calculat i grad f^ n punctul a= (5;3), dac af(x;y) =√
x2y2:
R:gradf(5;3) =(5
4;3
4)
:
(20) Calculat i grad f^ n punctul a= (1;2;3), dac af(x;y;z ) =xyz:
R:gradf(1;2;3) = (6;3;2):
(21) Calculat i@2f
@x2;@2f
@x@y;@2f
@y2;dac a
f(x;y) =√
x2+y2:
R:@2(p
x2+y2)
@x2 =y2p
x2+y23;@2(p
x2+y2)
@x@y=xyp
x2+y23;
@2(p
x2+y2)
@y2 =x2p
x2+y23:

192 11. DERIVATE PART IALE
(22) Calculat i@2f
@x2;@2f
@x@y;@2f
@y2;dac a
f(x;y) = ln(
x2+y2)
:
R:@2(ln(x2+y2))
@x2 =2×2y2
(x2+y2)2;@2(ln(x2+y2))
@x@y=4xy
(x2+y2)2;
@2(ln(x2+y2))
@y2 = 2×2y2
(x2+y2)2:
(23) Calculat i@2f
@x@y;dac a
f(x;y) = arctgx+y
1xy:
R:@2(arctgx+y
1xy)
@x@y= 0
(24) Vericat i relat ia
@2f
@x@y=@2f
@y@x;
pentru funct ia f(x;y) =xy:
(25) Ar atat i c a funct ia f(x;y) = arctgy
xveric a ecuat ia lui Laplace
@2f
@x2+@2f
@y2= 0:
(26) Scriet i polinomul lui Taylor de gradul al treilea pentru funct ia f(x;y) =xy
^ n punctul a= (1;1):
R:
T3f((x;y);(1;1)) = 1 + ( x1) + (x1) (y1) +
+1
2!(x1)2(y1):
(27) Scriet i polinomul lui Taylor de gradul al treilea pentru funct ia f(x;y) =
exsiny^ n punctul a= (0;0):
R:
T3f((x;y);(0;0)) =y+xy+x2y
2y3
6:
(28) G asit i extremele funct iilor de dou a variabile:
a)f(x;y) =x3+ 3xy215x12y;
b)f(x;y) =x2+xy+y22xy;
c)f(x;y) = 13√
x2+y2;
d)f(x;y) =x4+y42×2+ 4xy2y2:
R:a) (2;1) este punct de minim, valoarea minimului ind 28  si ( 2;1)
este punct de maxim, valoarea maximului ind 28.

11.13. EXERCIT II 193
b) (1;0) este punct de minim, valoarea minimului ind 1.
c) (0;0) este punct de maxim, valoarea maximului ind 1.
d)(p
2;p
2)
este punct de minim, valoarea minimului ind 8.
(29) G asit i extremele funct iilor de trei variabile:
a) G asit i extremele funct iilor de dou a variabile:
a)f(x;y;z ) =x2+y2+z2xy+x2z;
b)f(x;y;z ) =x+y2
4x+z2
y+2
z:
R:a)(
2
3;1
3;1)
este punct de minim, valoarea minimului ind 4
3:
b)(1
2;1;1)
este punct de minim, valoarea minimului ind 4.
(30) G asit i extremele cu leg aturi ale funct iilor:
a)f(x;y) =xy; x +y= 1;
b)f(x;y) =x+ 2y; x2+y2= 5;
c)f(x;y;z ) =x2y+ 2z; x2+y2+z2= 9;
d)f(x;y;z ) =xy2z3; x+y+z= 12; x> 0; y> 0; z > 0:
R:a)(1
2;1
2)
este punct de maxim, valoarea maximului ind1
4.
b) (1;2) este punct de maxim, valoarea maximului ind 5.
c) (1;2;2) este punct de minim, valoarea minimului ind 9  si (1;2;1)
este punct de maxim, valoarea maximului ind 9.
d) (2;4;6) este punct de maxim, valoarea maximului ind 2
42
63.
(31) Transformat i ecuat ia
x2d2y
dx2+ 2xdy
dx+y= 0;
pun^ andx=et:
R:d2y
dt2+dy
dt+y= 0:
(32) Transformat i ecuat ia
(
1x2)d2y
dx2xdy
dx= 0;
pun^ andx= cost:
R:d2y
dt2= 0:
(33) Transformat i ecuat iile urm atoare consider^ and drept yvariabil a indepen-
dent a  sixdrept funct ie:
a)d2y
dx2+ 2y(dy
dx)2= 0; b)dy
dx
d3y
dx33(
d2y
dx2)2
= 0:
R:a)d2x
dy22ydx
dy= 0; b)d3x
dy3= 0:
(34) Transformat i ecuat ia
y@z
@xx@z
@y= 0;

194 11. DERIVATE PART IALE
cu schimbarea de variabile u=x; v=x2+y2:
R:@z
@u= 0:
(35) Transformat i ecuat ia
x@z
@x+y@z
@yz= 0;
cu schimbarea de variabile u=x; v=y
x:
R:u@z
@uz= 0:
(36) Transformat i ecuat ia
@2z
@x22@2z
@x@y+@2z
@y2= 0;
cu schimbarea de variabile u=x+y;v=y
x si schimbarea de funct ie w=z
x;
undez=z(x;y);w=w(u;v):
R:@2w
@v2= 0:
(37) Transformat i ecuat ia
@2z
@x2+@2z
@x@y+@2z
@y2= 0;
cu schimbarea de variabile u=x+y; v =xy si schimbarea de funct ie
w=xyz;undez=z(x;y),w=w(u;v):
R:@2w
@u2=1
2:
(38) Scriet i ecuat iile parametrice ale urm atoarelor suprafet e  si calculat i versorul
normalei exterioare la suprafat  a:
a) elipsoidulx2
4+y2
9+z2
25= 1; b) sfera x2+y2+z2= 2y;
c) conul superior z2=x2+y2,z2[0;h]; d) paraboloidul eliptic z=
x2
a2+y2
b2;z2[0;h] ;
e) paraboloidul hiperbolic z=xy; x2+y21:
R:a)x= 2 cosφsin; y= 3 sinφsin; z= 5 cos; φ2[0;2]; 2[0;] ;
b)x2+y2+z2= 2y()x2+ (y1)2+z2= 1;x= cosφsin; y =
1 + sinφsin; z= cos; φ2[0;2]; 2[0;] ;
c)x=u; y=v; z=p
u2+v2; u2+v2h2;
d)x=u; y=v; z=u2
a2+v2
b2;u2
a2+v2
b2h;
e)x=u; y=v; z=uv; u2+v21:

CAPITOLUL 12
Integrale cu parametru
12.1. Teorema de derivare sub semnul integral
Consider am o funct ie f: [a;b]D!R, undeDReste o interval deschis.
Scopul acestui capitol este acela de a calcula integrale de forma F(y) =∫b
af(x;y)dx;
atunci c^ and y2D si funct iax!f(x;y) este integrabil a pe [ a;b], pentru orice y2D:
Teorem a 12.1.1 (Teorema de derivare sub semnul integral) .Fief: [a;b]D!
Ro funct ie continu a, cu@f
@y: [a;b]D!Rcontinu a ,DRun interval deschis.
AtunciFeste derivabil a pe D si are loc relat ia
F′(y) =∫b
a@f
@y(x;y)dy;(8)y2D:
De exemplu, s a calcul am
F(y) =∫
0ln (1 +ycosx)
cosxdx;jyj<1:
Fief: [0;](1;1)!R,f(x;y) =ln(1+ycosx)
cosx:Atuncifeste continu a av^ and
derivata part ial a
@f
@y(x;y) =@
@y(ln (1 +ycosx)
cosx)
=1
1 +ycosx
continu a pe [0 ;](1;1):Obt inem din teorema 12.1.1,
F′(y) =∫
01
1 +ycosxdx;
pe care dac a o calcul am (de exemplu cu substitut ia x= tgx
2), g asim
F′(y) =2
1y∫1
0dt
t2+1+y
1y=
=2
1y√1 +y
1yarctgt√1 +y
1yj1
0=
=√
1y2:
195

196 12. INTEGRALE CU PARAMETRU
Deci,
F(y) =arcsiny+C; C2R.
F ac^ andu-l pe y= 0 g asimF(0) =C=∫
0ln(1+0 cosx)
cosxdx= 0:
Rezult a
F(y) =arcsiny; y2(1;1):
Corolar 12.1.1 (Teorema lui Fubini) .Dac af: [a;b][c;d]!Reste o funct ie
continu a, atunci
∫b
a(∫d
cf(x;y)dy)
dx=∫d
c(∫b
af(x;y)dx)
dy:
De exemplu, s a calcul am∫1
0xaxb
lnxdx;undea>b> 0:
Remarc am relat ia
xaxb
lnx=∫a
bxydy;
care ne conduce la considerarea funct iei f: [0;1][b;a]!R,f(x;y) =xy, care este
o funct ie continu a pe [0 ;1][b;a]:
Aplic^ and teorema lui Fubini, rezult a
∫1
0xaxb
lnxdx=∫1
0(∫a
bxydy)
dx=
=∫a
b(∫1
0xydx)
dy=
=∫a
b(xy+1
y+ 1jx=1
x=0)
dy=
=∫a
b1
y+ 1dy= ln (y+ 1)ja
b=
= lna+ 1
b+ 1:
Consider am acum cazul integralelor cu parametru de forma
F(y) =∫φ(y)
af(x;y)dx;
undef: [a;b]D!Reste integrabil a  si φ:D!Reste derivabil a.
Avem urm atoarea
Teorem a 12.1.2. Fie funct ia f: [a;b]D!Rcontinu a  si cu@f
@ycontinu a pe
[a;b]D si funct iaφ:D!Reste derivabil a ;cuφ(D)[a;b]:AtunciF(y) =

12.2. EXERCIT II 197
∫φ(y)
af(x;y)dxeste derivabil a pe D si
F′(y) =f(φ(y);y)φ′(y) +∫φ(y)
a@f
@y(x;y)dx:
De exemplu, s a calcul am F(y) =∫y
0ln(xy+1)
x2+1dx;cuy2(0;1):
Avemf(x;y) =ln(xy+1)
x2+1; f: [0;y](0;+1)!Reste continu a cu@f
@y(x;y) =
x
(xy+1)(x2+1)continu a pe [0 ;y](0;+1):Funct iaφ: (0;+1)!R,φ(y) =yeste
derivabil a pe (0 ;1):
Atunci, conform teoremei 12.1.2, avem
F′(y) =ln (y2+ 1)
y2+ 1+∫y
0x
(xy+ 1) (x2+ 1)dx;
calculele continu^ and ca la exemplele anterioare, printr-o integrare ^ n raport cu vari-
abilay:
Rezultate asem an atoare se obt in  si c^ and domeniul variabilei de integrare xeste
nem arginit, acesta ind cazul integralelor improrii cu parametru.
12.2. Exercit ii
S a se calculeze urm atoarele integrale cu parametru:
(1)F(y) =∫
2
0ln(
y2sin2x)
dx; y2(1;1) ;
(2)F(y) =∫
2
01
cosxln1+ycosx
1+ycosxdx; y2(1;1) ;
(3)F(y) =∫
2
0arctg (ytgx)
tgxdx; y2(0;1) ;
(4)F(a;b) =∫1
0eaxebx
xdx; b>b> 0;
(5)F(a;b) =∫1
0cosaxcosbx
x2dx; b>a> 0:
R:1) AvemF′(y) =∫
2
02y
y2sin2xdx si cu schimbarea de variabil a tg x=tse
obt ine
F′(y) =∫1
0√
y21;
de unde
F(y) =ln(
y+√
y21)
+C;C2R:

198 12. INTEGRALE CU PARAMETRU
Deci,
C=∫
2
0ln(
y2sin2x)
dxln(
y+√
y21)
=
=lny+∫
2
0ln(
1sin2x
y2)
dxln(
y+√
y21)
=
=lny
y+√
y21+∫
2
0ln(
1sin2x
y2)
dx:
Cumln(
1sin2x
y2)ln(
11
y2)
, rezult a c a
∫
2
0ln(
1sin2x
y2)
dx
2ln(
11
y2)
dx:
F ac^ andu-l pe y! 1 rezult a c a
∫
2
0ln(
1sin2x
y2)
dx!0:
Pe de alt a parte,
lim
y!1lny
y+√
y21=ln1
2:
Deci,
C=ln1
2
 si
F(y) =ln(
y+√
y21)
+ln1
2; y2(1;+1):
2) AvemF′(y) =∫
2
02dx
1y2cos2x; y2(1;1):Prelungim prin continuitate ^ n
punctulx=
2funct ia
f(x;y) =2
1y2cos2x
cu valoarea 2 :Cu substitut ia tg x=t;se obt ine
F′(y) =√
1y2:
Astfel,
F(y) =arcsiny+C; C2R:
F ac^ andu-l pe y= 0;rezult aC= 0:

12.2. EXERCIT II 199
Deci
F(y) =arcsiny:
3) AvemF′(y) =∫
2
01
1+y2tg2xdx; y2(0;1). Prelungim prin continuitate
^ n punctele x= 0  six=
2funct ia
f(x;y) =1
1 +y2tg2x
cu valorile 1, respectiv 0 :Cu substitut ia tg x=tse obt ine
F′(y) =
2 (1 +y)+C; C2R;
de unde
F(y) =
2lnjy+ 1j+C; C2R:
F ac^ andu-l pe y= 0;rezult aC= 0:
Deci
F(y) =
2lnjy+ 1j:
Dac ay2R, atunci
F(y) =
2lnjjyj+ 1j:
4) Avem c a
eaxebx
x=exy
xjy=b
y=a=∫b
aexydy;
care ne conduce la considerarea funct iei f: (0;1)[a;b]!R,f(x;y) =
eyx
x, care este o funct ie continu a pe (0 ;1)[a;b]:Aplic^ and teorema lui
Fubini, rezult a
∫1
0eaxebx
xdx=∫1
0(∫b
aexydy)
dx=
=∫b
a(∫1
0exydx)
dy=
=∫b
a(
exy
yjx=1
x=0)
dy=
=∫b
a1
ydy= lnb
a:

CAPITOLUL 13
Integrale duble
13.1. Denit ii  si metode de calcul
Denit ie 13.1.1. Fief:DR2!Ro funct ie continu a, unde Deste o
mult ime compact a (^ nchis a  si m arginit a). Fie P= (D1;D2;:::;Dn)o descompunere
a luiD^ nndomenii disjuncte dou a c^ ate dou a, D=[n
i=1Di: Ppoart a numele de
diviziune Riemann a luiD:Cel mai mare dintre toate diametrele domeniilor Di
se nume ste norma diviziunii RiemannP si se noteaz a cu ∥P∥:Aleg^ and arbitrar
^ n ecareDi;c^ ate un punct z i= (i;i); i21;n, expresia
f(P;z) =n∑
i=1f(i;i)
Aria (Di)
se nume ste suma Riemann asociat a funct iei f;diviziuniiP si punctelor interme-
diare (i;i):
Funct iaf:D!Rse nume ste integrabil a Riemann pe mult imea compact a
(^ nchis a  si m arginit a )Ddac a exist a un num ar I2R,astfel ^ nc^ at pentru orice  sir
de diviziuni (Pn)n2Ncu norma tinz^ and la zero  si orice  sir de puncte intermediare
diviziunilor Pn; zn= (n
i;n
i)n2N,
f(P;zn)!I:
Orice funct ie continu a pe Deste integrabil a Riemann pe D:
Integrala dubl a a funct ieifpeDR2este prin denit ie num arul I si se
noteaz a
I=∫∫
Df(x;y)dxdy;
Se disting dou a tipuri fundamentale de domenii Dde integrare.
1)Domeniu simplu ^ n raport cu axa Oy:
Deste limitat la st^ anga  si la dreapta de dreptele x=a six=b;cux1< x 2 si
inferior  si superior de curbele y=φ1(x)  siy=φ2(x);cuφ1(x)φ2(x):
201

202 13. INTEGRALE DUBLE
Atunci calculul integralei duble∫∫
Df(x;y)dxdy revine la
∫∫
Df(x;y)dxdy =∫b
adx∫φ2(x)
φ1(x)f(x;y)dy=
=∫b
a(∫φ2(x)
φ1(x)f(x;y)dy)
dx:
Cele dou a integrale simple se calculeaz a ^ nt^ ai ^ n raport cu y(atunci c^ and x2[a;b]
este constant)  si apoi ^ n raport cu x:
2)Domeniu simplu ^ n raport cu axa Ox:
Deste limitat inferior  si superior de dreptele y=c siy=d;cuc<d  si la st^ anga
 si la dreapta de curbele x= 1(y)  six= 2(y);cu 1(y) 2(y):
Atunci calculul integralei duble∫∫
Df(x;y)dxdy revine la
∫∫
Df(x;y)dxdy =∫d
cdy∫ 2(x)
1(x)f(x;y)dx=
=∫d
c(∫ 2(x)
1(x)f(x;y)dx)
dy:
Cele dou a integrale simple se calculeaz a ^ nt^ ai ^ n raport cu y(atunci c^ and x2[a;b]
este constant)  si apoi ^ n raport cu x:
De exemplu, s a calcul am
I=∫1
0dx∫1
x(x+y)dy:
Dac a domeniul de integrare nu este nici de tipul 1), nici de tipul 2), atunci se
trece la desp art irea domeniului ^ n subdomenii care sunt simple ^ n raport cu una sau
cealalt a dintre axele de coordonate.
13.2. Propriet at ile integralei duble
1.Proprietatea de liniaritate :∫∫
D(af+bg) (x;y)dxdy =a∫∫
Df(x;y)dxdy +b∫∫
Dg(x;y)dxdy;
oricare ar  a; b2R.
2.Proprietatea de aditivitate fat  a de domeniul de integrare :∫∫
Df(x;y)dxdy =∫∫
D1f(x;y)dxdy +∫∫
D2f(x;y)dxdy;
undeD=D1[D2 siD1\D2=∅:

13.3. SCHIMB ARI DE VARIABILE 203
3.Proprietatea de monotonie :
Dac af(x;y)g(x;y);(8) (x;y)2D, atunci
∫∫
Df(x;y)dxdy∫∫
Dg(x;y)dxdy:
4.Propriet at ile de medie :
a) Dac amf(x;y)M;(8) (x;y)2D, atunci
m
Aria (D)∫∫
Df(x;y)dxdyM
Aria (D):
b) Dac afeste continu a pe Dcompact  si convex (adic a tx+ (1t)y2D, (8)
t2[0;1]; x; y2D), atunci exist a un punct ( ;)2D, astfel ^ nc^ at
∫∫
Df(x;y)dxdy =f(;)
Aria (D):
5.Proprietatea de calibrare :
Dac aDR2este un domeniu compact, atunci
Aria (D) =∫∫
Ddxdy:
13.3. Schimb ari de variabile
Teorem a 13.3.1. FieD; DR2mult imi compacte, m arginite de curbele Fr
D;FrD^ nchise  si netede. Fie T:D!D,
T:{
x=x(u;v)
y=y(u;v);(u;v)2D;
av^ and propriet at ile :
1)Teste bijectiv a pe D;
2)Teste de clas a C1^ nD;
3)Jacobianul lui Teste diferit de zero ^ n D:
Fief:D!Rintegrabil a pe D:Atunci∫∫
Df(x;y)dxdy =∫∫
Df(x(u;v);y(u;v))jdetJT(u;v)jdudv:
Observat ie 13.3.1. Schimbarea de variabil a ^ ntr-o integral a dubl a are drept
scop simplicarea domeniului de integrare sau simplicarea funct iei de integrat.
S a consider am c^ ateva exemple de schimb ari de variabile.
1.Trecerea la coordonate polare (raza polar a  si φunghiul polar):
T:{
x=cosφ
y=sinφ;

204 13. INTEGRALE DUBLE
undeD=f(;φ)2R2; 0; φ2[0;2]g:
Jacobianul transform arii este
detJT=cosφsinφ
sinφ  cosφ=:
Aceast a schimbare de variabile este indicat a atunci c^ and domeniul de integrare
Deste un disc, o port iune dintr-un disc sau c^ and funct ia de integrat cont ine suma
x2+y2:
2.Trecerea la coordonate polare generalizate (raza polar a  si φunghiul polar):
T:{
x=acosφ
y=bsinφ;
undeD=f(;φ)2R2; 0; φ2[0;2]g:
Jacobianul transform arii este
detJT=acosφasinφ
bsinφ b cosφ=ab:
Aceast a schimbare de variabile este indicat a atunci c^ and domeniul de integrare
Deste limitat de o elips a, o port iune dintr-un domeniu limitat de o elips a sau c^ and
funct ia de integrat cont ine sumax2
a2+y2
b2:
3.Dac a avem de calculat o integral a dubl a pe un domeniu deli- mitat de un
patrulater curbiliniu, av^ and drept laturi opuse curbe care fac ecare parte dintr-
un fascicul de curbe ce depind de un singur parametru, este natural s a consider am
schimbarea de variabile dat a tocmai de aceste dou a familii.
De exemplu, dac a avem de calculat aria patrulaterului curbiliniu m arginit de
hiperbolele xy=p,xy=q si dreptele y=ax; y =bx;cuq > p > 0; b > a > 0;
atunci consider am
T1:{
xy=u
y
x=v;cuu2(p;q) ,v2(a;b);
sau
T:{
x=√u
v
y=puv;
cu jacobianul
detJT=1
2v:
Rezult a
Aria (D) =∫∫
Ddxdy =∫∫
DjdetJT(u;v)jdudv =
=∫q
pdu∫b
a1
2vdv=1
2(qp) lnb
a:

13.4. EXERCIT II 205
4.S a calcul am
I=∫+1
0ex2dx:
Avem
I2=(∫+1
0ex2dx)

(∫+1
0ey2dy)
=
=∫+1
0(∫+1
0ey2dy)

ex2dx=
=∫∫
De(x2+y2)dxdy;
undeD= [0;+1)[0;+1):
Trec^ and la coordonate polare, domeniul transformat devine
D={
(;φ)2R2; 2[0;+1); φ2[
0;
2]}
 si astfel
I2=∫
2
0dφ∫+1
0e2d=
2(
1
2e2)
j+1
0=
4:
Deci,
I=p
2:
De asemenea, obt inem∫+1
1ex2dx=p:
13.4. Exercit ii
(1)S a se calculeze∫∫
Dxy
y2+1dxdy; undeDeste dreptunghiul [ 2;3][1;5]:
R:Domeniul de integrare este simplu ^ n raport cu ambele axe. Dac a in-
tegr am ^ n ordinea y; x; g asim
∫∫
Dxy
y2+ 1dxdy =∫2
3xdx∫5
1y
y2+ 1dy=
=x2
2j3
2
1
2ln(
y2+ 1)
j5
1=
=5 ln 13
4:

206 13. INTEGRALE DUBLE
Dac a integr am ^ n ordinea x; y, g asim
∫∫
Dxy
y2+ 1dxdy =∫5
1y
y2+ 1dy∫2
3xdx=
=x2
2j3
2
1
2ln(
y2+ 1)
j5
1=
=5 ln 13
4:
Observat ie 13.4.1. ^In acest caz nu are important  a ordinea de integrare.
^Intruc^ at limitele de integrare sunt constante reale  si funct ia f(x;y) este un
produs dintre o functie doar de x si o funct ie doar de y, i.e.f(x;y) =
g(x)
h(y), undeg(x) =x sih(y) =y
y2+1;valoarea integralei duble este
egal a cu produsul celor dou a integrale simple ^ n raport cu ecare dintre cele
dou a variabile :
(2)S a se calculeze∫∫
Dxy
(1+x2+y2)3
2dxdy; undeDeste dreptunghiul [0 ;1][0;1]:
R:Integr am ^ n ordinea y; x si avem
I=∫∫
Dxy
(1 +x2+y2)3
2dxdy =
=∫1
0xdx∫1
0y
(1 +x2+y2)3
2dy=
=∫1
0x[
1
2(1 +x2+y2)1
2
1
2]
jy=1
y=0dx=
=∫1
0xp
x2+ 1dx∫1
0xp
x2+ 2dx=
=p
x2+ 1jx=1
x=0p
x2+ 2jx=1
x=0= 2p
2p
31:
Dac a vom integra ^ n ordinea x; y, atunci metoda de calcul este aceea si. ^In
acest caz, valoarea integralei duble nu mai rezult a din produsul valorilor
celor dou a integrale simple, deoarece funct ia de integratxy
(1+x2+y2)3
2nu mai
are variabilele separabile.
(3)S a se calculeze∫∫
D(x+ 2y)dxdy; undeDeste domeniul limitat de parabolele
y=x2+ 1,y=x2 si dreptelex=1; x= 3:

13.4. EXERCIT II 207
R:Avem
I=∫∫
D(x+ 2y)dxdy =∫3
1dx∫x2+1
x2(x+ 2y)dy=
=∫3
1(
xy+y2)
jy=x2+1
y=x2dx=∫3
1(
2×3+ 2×2+x+ 1)
dx=
=200
3:
(4)S a se calculeze∫∫
Dxdxdy; undeDeste domeniul limitat de curbelex2
2
y2
41 = 0; y2= 2x; y= 0; y= 1:
R:Avem
I=∫∫
Dxdxdy =∫1
0dy∫√
y2+4
2
y2
2xdx=
=1
2∫1
0x2jx=√
y2+4
2
x=y2
2dx=1
2∫1
0(y2+ 4
2y2
4)
dy=127
120:
(5)S a se calculeze∫∫
D√
yx
y+xdxdy; undeDeste domeniul limitat de dreptele
y=1; y=2; y=x; y=2x:
R:Avem
I=∫∫
D√yx
y+xdxdy =∫1
2dy∫y
2
y√yx
y2x2dx=
=∫1
2(
yarcsinx
y+√
y2x2)
jx=y
2x=ydx
=∫1
0(
yarcsin(
1
2)
+y
2p
3)
dy
=1
12+1
4p
3:
(6)S a se calculeze∫∫
Dxydxdy; undeDeste domeniul limitat de triunghiul
ABC de v^ arfuriA(1;1); B(2;2); C(1;3):
R:Observ am c a este de preferat ordinea de integrare y; x:
I=∫∫
Dxydxdy =∫2
1xdx∫4x
xydy=∫2
1x(y2
2)
jy=4x
y=xdx=
= 4∫2
1(
2xx2)
dx=8
3:

208 13. INTEGRALE DUBLE
(7)S a se calculeze∫∫
Dln(x2+y2)
x2+y2dxdy; undeDeste domeniul D=f(x;y)2R2j1x2+y2e2g:
R:Prin trecerea la coordonate polare, avem
{
x=cosφ
y=sinφ;
undeD=f(;φ)2R2j2[1;e]; φ2[0;2]g:Deci,
I=∫2
0dφ∫e
1ln2
2d= 2∫e
12ln
d=
= 2ln2j=e
=1= 2:
(8)S a se calculeze∫∫
Dy2
x2dxdy; undeDeste domeniul
D={
(x;y)2R2j1x2+y22x}
:
R:Prin trecerea la coordonate polare, avem
{
x=cosφ
y=sinφ:
Prin ^ nlocuirea lui x siycu expresiile lor ^ n funct ie de  siφ^ n inecuat iile
ce delimiteaz a domeniul, avem
122cosφ:
Rezult a c a avem cu necesitate cos φ0, adic aφ2[

2;
2]
 si
2[1;2 cosφ]:
Pentru determinarea domeniului unghiului polar, rezolv am inecuat ia 2 cos φ
1, de unde g asim φ2[

3;
3]
:
Deci,
D={
(;φ)2R2j2[1;2 cosφ]; φ2[

3;
3]}
 si
I=∫
3

3tg2φdφ∫2 cosφ
1d= 2∫
3

3sin2φdφ1
2∫
3

3tg2φdφ =
=3p
3
2:

13.4. EXERCIT II 209
(9)S a se calculeze∫∫
Ddxdy
3√
5x2
9y2
16;undeDeste domeniul
D={
(x;y)2R2j1x2
9+y2
164}
:
R:Prin trecerea la coordonate polare generalizate, avem
{
x= 3cosφ
y= 4sinφ:
undeD=f(;φ)2R2j2[1;2]; φ2[0;2]g si detJT= 12:Deci,
I=∫2
0dφ∫2
112
3√
52d=12∫2
1(
52)′(
52)1
3d=
=12(52)2
3
2
3j=2
=1= 18(
3p
161)
:
(10) S a se calculeze aria patrulaterului curbiliniu m arginit de dreptele y= 2x+a,
y= 2x+b,y=x; y =x;cu 0<a<b; 0<<:
R:Folosind schimbarea de variabile
T1:{
y2x=u
y
x=v;cuu2[a;b]  siv2[;];
avem
T:{x=u
v2
y=uv
v2;
 si detJT=u
(v2)2:Rezult a
Aria (D) =(∫b
audu)

(∫
dv
(v2)2)
=
=b2a2
2
(1
21
2)
:
(11) S a se calculeze aria patrulaterului curbiliniu m arginit de curbele xy= 1,
xy= 8,y2=x; y2= 5x:
R:Folosind schimbarea de variabile
T1:{xy=u
y2
x=v;cuu2[1;8]  siv2[1;5];
avem
T:{x=u
v2
y=u3
v;

210 13. INTEGRALE DUBLE
 si detJT=1
v:Rezult a
Aria (D) =(∫8
1du)

(∫5
1dv
v)
= 7 ln 5:
(12) Calculat i aria delimitat a de bucla din dreapta a lemniscatei lui Bernoulli
(
x2+y2)2=a2(
x2y2)
:
R:Trec^ and la coordonate polare, din pricina existent ei sumei x2+y2din
ecuat ia curbei ce delimiteaz a domeniul de integrare, avem{
x=cosφ
y=sinφ:
Prin ^ nlocuirea lui x siycu expresiile lor ^ n funct ie de  siφ^ n ecuat ia
lemniscatei lui Bernoulli, obt inem
2=a2cos 2φ:
Din condit ia cos 2 φ0, obt inem φ2[

4;
4]
[[3
4;5
4]
:Primul interval
reprezint a domeniul unghiului polar ^ n interiorul buclei din dreapta  si cel de
al doilea interval reprezint a domeniul un- ghiului polar ^ n interiorul buclei
din st^ anga a lemniscatei. Astfel, pentru bucla din dreapta, avem
D={
(;φ)j2[
0;a√
cos 2φ]
; φ2[

4;
4]}
 si deci
Aria (D) =∫
4

4dφ∫apcos 2φ
0d=a2
2∫
4

4cos 2φdφ =
=a2
2:

CAPITOLUL 14
Integrale triple
14.1. Denit ii  si metode de calcul
Reamintim c a un rol fundamental ^ n teoria integralei duble l-a constituit not iune
de arie a unui domeniu plan. Analog, ^ n teoria general a a integralei triple, un rol
fundamental ^ l va juca not iunea de volum al unui corp.
Denit ie 14.1.1. Fief:VR3!Ro funct ie continu a, unde Veste o
mult ime compact a (m arginit a  si ^ nchis a). Fie P= (V1;V2;:::;Vn)o descompunere
a luiV^ nndomenii disjuncte dou a c^ ate dou a, V=[n
i=1Vi: Ppoart a numele de
diviziune Riemann a luiV:Cel mai mare dintre toate diametrele domeniilor Di
se nume ste norma diviziunii RiemannP si se noteaz a cu ∥P∥:Aleg^ and arbitrar
^ n ecareVi;c^ ate un punct z i= (i;i;i); i21;n, expresia
f(P;z) =n∑
i=1f(i;i;i)
Aria (Vi)
se nume ste suma Riemann asociat a funct iei f;diviziuniiP si punctelor interme-
diare (i;i;i):
Funct iaf:V!Rse nume ste integrabil a Riemann pe mult imea compact a
Vdac a exist a un num ar I2R,astfel ^ nc^ at pentru orice  sir de diviziuni (Pn)n2N
cu norma tinz^ and la zero  si orice  sir de puncte intermediare diviziunilor Pn; zn=
(n
i;n
i;n
i)n2N,
f(P;zn)!I:
Orice funct ie continu a pe Veste integrabil a Riemann pe V:
Integrala tripl a a funct ieifpeVR3este prin denit ie num arul I si se
noteaz a
I=∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz:
Dac a funct ia fde integrat este denit a pe un paralelipiped [ a;b][c;d][e;f],
atunciVse proiecteaz a ^ n planul xOy ^ n dreptunghiul [ a;b][c;d]  si
∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz =∫b
adx∫d
cdy∫f
ef(x;y;z )dxdydz:
211

212 14. INTEGRALE TRIPLE
Reducerea integralei triple la o integral a iterat a ^ n cazul ^ n care feste
denit a pe un domeniu oarecare .
1) Proiect ia Da luiVpe planulxOy este un domeniu denit de inecuat iile
D:{
axb
φ1(x)yφ2(x);
cuφ1 siφ2funct ii continue pe [ a;b]  siφ1φ2;pe [a;b]:
2) Domeniu simplu ^ n raport cu axa Oz:
Orice paralel a la axa Ozce trece printr-un punct interior intersecteaz a Fr ( V) ^ n
dou a puncte, adic a Veste dat de
V:8
<
:axb
φ1(x)yφ2(y)
1(x;y)z 2(x;y);
cuφ1 siφ2funct ii continue pe [ a;b]  siφ1φ2;pe [a;b]; 1 si 2funct ii continue pe
D= PrxOyV siφ1φ2;pe [a;b]:
3) Orice subdomeniu al lui Vobt inut prin sect ionarea lui Vcu un plan paralel
cu unul dintre planele de coordonate veric a propriet at ile 1)  si 2).
Dac a domeniul de integrare veric a simultan propriet at ile 1), 2), 3), atunci
∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz =∫b
adx∫φ2(x)
φ1(x)dy∫ 2(x;y)
1(x;y)f(x;y;z )dxdydz:
14.2. Propriet at ile integralei triple
1.Proprietatea de liniaritate :∫∫∫
V(af+bg) (x;y;z )dxdydz =a∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz +
+b∫∫∫
Vg(x;y;z )dxdydz;
oricare ar  a; b2R.
2.Proprietatea de aditivitate fat  a de domeniul de integrare :∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz =∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz +∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdyz;
undeV=V1[V2 siV1\V2=∅:
3.Proprietatea de monotonie :
Dac af(x;y;z )g(x;y;z );(8) (x;y;z )2V, atunci
∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdyz ∫∫∫
Vg(x;y;z )dxdydz:

14.3. SCHIMB ARI DE VARIABILE 213
4.Propriet at ile de medie :
a) Dac amf(x;y;z )M;(8) (x;y;z )2V, atunci
m
Vol (V)∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz M
Vol (V):
b) Dac afeste continu a pe Vcompact  si convex (adic a tx+ (1t)y2V;(8)
t2[0;1]; x; y2V), atunci exist a un punct ( ;; )2V, astfel ^ nc^ at
∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz =f(;; )
Vol (V):
5.Proprietatea de calibrare :
Dac aVR3este o mult ime compact a, atunci volumul s au este
Vol (V) =∫∫∫
Vdxdydz:
14.3. Schimb ari de variabile
Teorem a 13.3.1. FieV; VR3mult imi compacte, m arginite de suprafet ele
FrV;FrV^ nchise  si netede. Fie T:V!V,
T:8
<
:x=x(u;v;w )
y=y(u;v;w )
z=z(u;v;w );(u;v;w )2V;
av^ and propriet at ile :
1)Teste bijectiv a pe V;
2)Teste de clas a C1^ nV;
3)Jacobianul lui Teste diferit de zero ^ n V:
Fief:V!Rintegrabil a pe V:Atunci∫∫∫
Vf(x;y;z )dxdydz =∫∫∫
Vf(x(u;v;w );y(u;v;w );z(u;v;w ))


jdetJT(u;v;w )jdudvdw:
Observat ie 13.3.1. Schimbarea de variabil a ^ ntr-o integral a tripl a are drept
scop simplicarea domeniului de integrare sau simplicarea funct iei de integrat.
S a consider am c^ ateva exemple de schimb ari de variabile.
1.Trecerea la coordonate sferice (raza sferic a, φlatitudinea  si longitudinea):
T:8
<
:x=cosφsin
y=sinφsin
z=cos;
undeV=f(;φ; )2R3; 0; φ2[0;2]; 2[0;]g:

214 14. INTEGRALE TRIPLE
Jacobianul transform arii este
detJT=cosφsinsinφsin  cosφcos
sinφsin  cosφsin  cosφcos
cos 0 sin=2sin:
Aceast a schimbare de variabile este indicat a atunci c^ and domeniul de integrare
Veste o bil a, o port iune dintr-o bil a sau c^ and funct ia de integrat cont ine suma
x2+y2+z2:
2.Trecerea la coordonate sferice generalizate (raza sferic a, φlatitudinea  si 
longitudinea):
T:8
<
:x=acosφsin
y=bsinφsin
z=ccos;
undeV=f(;φ; )2R3; 0; φ2[0;2]; 2[0;]g:
Jacobianul transform arii este
detJT=acosφsinasinφsin a cosφcos
bsinφsin b cosφsin b cosφcos
ccos 0 csin=
=abc2sin:
Aceast a schimbare de variabile este indicat a atunci c^ and domeniul de integrare
Veste limitat de un elipsoid, o port iune dintr-un domeniu limitat de un elipsoid sau
c^ and funct ia de integrat cont ine sumax2
a2+y2
b2+z2
c2:
3.Trecerea la coordonate cilindrice (raza polar a, φunghiul polar  si zalti-
tudinea):
T:8
<
:x=cosφ
y=sinφ
z=z;
undeV=f(;φ; )2R3; 0; φ2[0;2]; z2Rg:
Jacobianul transform arii este
detJT=cosφsinφ0
sinφ  cosφ0
0 0 1=:
Aceast a schimbare de variabile este indicat a atunci c^ and domeniul de integrare
Veste limitat de un cilindru circular, o port iune dintr-un domeniu limitat de un
cilindru circular, un con de rotat ie, o port iune dintr-un domeniu limitat de un con
de rotat ie sau c^ and funct ia de integrat cont ine suma x2+y2:

14.4. EXERCIT II 215
14.4. Exercit ii
(1)S a se calculeze∫∫∫
V1p1+x+y+zdxdydz; undeVeste paralelipipedul [0 ;1]
[0;1][0;1]:
R:Proiect amVpe planulxOy  si rezult aD= [0;1][0;1];apoi ducem
printr-un punct ( x;y) oarecare al lui Dparalela la axa Oz si determin am
limitele de integrare ale lui z^ n funct ie de ( x;y)2Dca ind intersect iile
acestei paralele cu Fr V:Avem
I=∫∫
Ddxdy∫1
01p1 +x+y+zdz:
Pentru calculul integralei duble pe D, proiect am Dpe axaOx si rezult a
segmentul [0 ;1], dup a care printr-un punct xoarecare al proiect iei ducem
paralela la axa Oy si determin am limitele de integrare ale lui y^ n funct ie de
x2[0;1] ca ind intersect iile acestei paralele cu Fr D:Rezult a
I=∫1
0dx∫1
0dy∫1
01p1 +x+y+zdz=
=248
1572
5p
3 +32
5p
2:
(2)S a se calculeze∫∫∫
V1
(1+x+y+z)3dxdydz; undeVeste domeniul li- mitat de
planelex= 0; y= 0; z= 0; x+y+z= 1:
R:Avem
I=∫∫
Ddxdy∫1xy
01
(1 +x+y+z)3dz=
=∫∫
D(1 +x+y+z)2
2jz=1xy
z=0dxdy =
=1
2∫∫
D[
(1 +x+y)222]
dxdy;

216 14. INTEGRALE TRIPLE
undeDeste domeniul din planul xOy limitat de dreptele x= 0; y= 0;
x+y= 1:Rezult a
I=1
2∫1
0dx∫1x
0[
(1 +x+y)222]
dy=
=1
2∫1
0[
(1 +x+y)1
11
4y]
jy=1x
y=0dx=
=1
2∫1
0[
(1 +x)1211x
4]
dx=
=1
2(
ln 25
8)
:
(3)S a se calculeze∫∫∫
Vxyzp
x2+y2dxdydz; undeVeste domeniul limitat de cilindrul
x2+y2=a2 si planelez= 0; z=h:
R:Avem
I=∫∫
Ddxdy∫h
0xyz√
x2+y2dz;
undeDreprezint a proiect ia lui Vpe planulxOy; adic a discul x2+y2a2:
Rezult a
I=h2
2∫∫
Dxy√
x2+y2dxdy:
Prin trecerea la coordonate polare, x=cosφ; y =sinφ, cu2[0;a];
φ2[0;2] rezult a
I=h2
2∫2
0dφ∫a
02sinφcosφd=
=h2
2(∫2
0sinφcosφdφ)(∫a
02d)
=
= 0:
(4)S a se calculeze∫∫∫
V(x+y+z)2dxdydz; undeVeste domeniul limitat de
paraboloidul z=x2+y2
2a si sferax2+y2+z2= 3a2:
R:Avem
I=∫∫
Ddxdy∫p
3a2x2y2
x2+y2
2a(x+y+z)2dz;
undeDeste proiect ia lui Vpe planulxOy, adic a
D={
(x;y)2R2jx2+y22a2}
:

14.4. EXERCIT II 217
Calcul^ and, g asim
I=∫∫
D(
(x+y+z)3
3jz=p
3a2x2y2
z=x2+y2
2a)
dxdy =
=∫∫
D0
B@(
x+y+√
3a2x2y2)3
3
(
x+y+x2+y2
2a)3
31
CAdxdy:
Prin trecerea la coordonate polare, x=cosφ; y =sinφ, cu2[
0;ap
2]
; φ2[0;2] rezult a
I=∫2
0∫ap
2
00
B@(
cosφ+sinφ+√
3a22)3
3
(
cosφ+sinφ+2
2a)3
31
CAddφ
=a5
5(
18p
397
6)
:
(5)S a se calculeze∫∫∫
Vx2dxdydz; undeVeste domeniul limitat de elipsoidul
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1:
R:Avem prin trecere la coordonate sferice generalizate,
T:8
<
:x=acosφsin
y=bsinφsin
z=ccos;
undeV=f(;φ; )2R3; 2[0;1]; φ2[0;2]; 2[0;]g:Deci,
I=∫∫∫
Vx2dxdydz =a3bc∫∫∫
V4cos2φsin3ddφd =
=a3bc∫2
0cos2φdφ∫
0sin3d∫1
04d=
=a3bc4
15:

218 14. INTEGRALE TRIPLE
(6)S a se calculeze volumul corpului m arginit de suprafat a
(a1x+b1y+c1z)2+ (a2x+b2y+c2z)2+ (a3x+b3y+c3z)2=h2;
unde
∆ =a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3̸= 0:
R:Efectu^ and schimbarea de variabile
T1:8
<
:u=a1x+b1y+c1z
v=a2x+b2y+c2z
w=a3x+b3y+c3z;
avem detJT=1
detJT1=1
∆ si
V={
(u;v;w )2R3ju2+v2+w2h2}
:
Deci,
Vol (V) =∫∫∫
Vdxdydz =∫∫∫
V1
j∆jdudvdw =
=1
j∆j
Vol (V) =4h2
j∆j:
(7)S a se calculeze volumul corpului m arginit de planele
a1x+b1y+c1z=h1
a2x+b2y+c2z=h2
a3x+b3y+c3z=h3;
undeh1; h2; h3>0  si
∆ =a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3̸= 0:
R:Efectu^ and schimbarea de variabile
T1:8
<
:u=a1x+b1y+c1z
v=a2x+b2y+c2z
w=a3x+b3y+c3z;
avem detJT=1
detJT1=1
∆ si
V= [h1;h1][h2;h2][h3;h3]:

14.4. EXERCIT II 219
Deci,
Vol (V) =∫∫∫
Vdxdydz =∫∫∫
V1
j∆jdudvdw =
=1
j∆j
Vol (V) =8h1h2h3
j∆j:

CAPITOLUL 15
Integrale curbilinii
15.1. Integrale curbilinii de spet a ^ nt^ ai
15.1.1. Denit ii  si metode de calcul. Denit ie 15.1.1. FieCo curb a
neted a  sif=f(x;y)o funct ie real a de dou a variabile reale denit a pe un domeniu
din plan ce cont ine curba C.Cunosc^ and o parametrizare a curbei C,
C:{
x=x(t)
y=y(t); t2[a;b]
cux; y funct ii de clas a C1pe[a;b];atunci integrala curbilinie de spet a ^ nt^ ai a
funct ieifde-a lungul curbei Ceste prin denit ie
∫
Cf(x;y)ds=∫b
af(x(t);y(t))√
(x′(t))2+ (y′(t))2dt;
undeds=√
(x′(t))2+ (y′(t))2dtreprezint a elementul de lungime pe curba C.
Not iunea de integral a curbilinie de spet a ^ nt^ ai pentru funct ii reale de trei variabile
realef=f(x;y;z )se extinde ^ n mod natural pe o curb a din R3 si se calculeaz a
analog: dac a feste denit a pe un domeniu din R3care cont ine curba C si se cunoa ste
o parametrizare a curbei C,
C:8
<
:x=x(t)
y=y(t)
z=z(t); t2[a;b]
cux; y; z funct ii de clas a C1pe[a;b];atunci integrala curbilinie a funct iei fde-a
lungul curbei Ceste prin denit ie
∫
Cf(x;y;z )ds=∫b
af(x(t);y(t);z(t))


√
(x′(t))2+ (y′(t))2+ (z′(t))2dt;
undeds=√
(x′(t))2+ (y′(t))2+ (z′(t))2dtreprezint a elementul de lungime pe curba
C.
221

222 15. INTEGRALE CURBILINII
Dac a funct ia de integrat este v azut a ca densitatea liniar a a materialului in care
este confect ionat a curba C, atunci masa curbei Ceste integrala curbilinie de spet a
^ nt^ ai a funct iei fpe curba C.
^In cazul integralei curbilinii de spet a ^ nt^ ai sensul de parcurgere a curbei Cnu are
important  a.
15.1.2. Propriet at i ale integralei curbilinii de spet a ^ nt^ ai. 1.Liniari-
tatea :∫
C(af(x;y) +bg(x;y))ds=a∫
Cf(x;y)ds+b∫
Cg(x;y)ds;
oricare ar  a; b2R sif; gdenite pe un domeniu ce cont ine curba arbitrar a C.
2.Aditivitatea ^ n raport cu curba :
Dac aC1 siC2sunt dou a curbe juxtapuse, atunci
∫
C1[C2f(x;y)ds=∫
C1f(x;y)ds+∫
C2f(x;y)ds:
3.Pozitivitatea :
Dac af0 pe curba C, atunci
∫
Cf(x;y)ds0:
S a consider am c^ ateva exemple.
1.S a se calculeze∫
C(x+y)ds;undeCeste conturul triunghiului ABO de v^ arfuri
A(1;0); B(0;1); O(0;0):
Avem ecuat iile dreptelor AB:y= 1x; OB :x= 0; OA :y= 0.
Atunci,
I=∫
C(x+y)ds=∫
AB(x+y)ds+∫
BO(x+y)ds+∫
OA(x+y)ds:
Pe dreapta ABavem parametrizarea
AB:{
x=t
y= 1t; t2[0;1];
cuds=p
2dt, pe dreapta BOavem parametrizarea
BO:{
x= 0
y=t; t2[0;1];
cuds=dt;iar pe dreapta OAavem parametrizarea
OA:{
x=t
y= 0; t2[0;1];

15.1. INTEGRALE CURBILINII DE SPET A ^INT^AI 223
cuds=dt:Deci,
I=∫1
0(t+ 1t)p
2dt+∫1
0(0 +t)dt+∫1
0(t+ 0)dt=
=p
2 + 1:
2.S a se calculeze∫
Cxyds; undeCeste curba
C:{x=t
y=p
1t2; t2[1;1]:
Avemds=√
1 +(
tp
1t2)2
dt=dtp
1t2:Deci,
I=∫1
1tp
1t2dtp
1t2=∫1
1tdt= 0:
3.S a se calculeze∫
Cx2ds;undeCeste cercul x2+y2=R2:
Avem parametrizarea
C:{
x=Rcost
y=Rsint; t2[0;2]
 si
ds=√
R2sin2t+R2cos2tdt=Rdt:
Deci,
I=∫2
0R2cos2tRdt =R3∫2
01 + cos 2t
2dt=
=R3
2:
4.S a se calculeze∫
C(x2+y2) lnzds; undeCeste curba
C:8
<
:x=etcost
y=etsint
z=et; t2[0;1]:
Avem
ds=p
3etdt
 si deci
I=∫1
0e2tlnetp
3etdt=p
3∫1
0te3tdt=
=p
3
9(
2e3+ 1)
:

224 15. INTEGRALE CURBILINII
15.2. Integrale curbilinii de spet a a doua
15.2.1. Denit ii  si metode de calcul. Denit ie 15.2.1. FieCo curb a
neted a  siF(x;y) = (P(x;y);Q(x;y))o funct ie vectorial a de dou a variabile reale
denit a pe un domeniu din plan ce cont ine curba C.Pe curba Ceste dat sensul de
parcurgere al ei. Cunosc^ and o parametrizare a curbei C,
C:{
x=x(t)
y=y(t); t2[a;b]
cux; y funct ii de clas a C1pe[a;b];atunci integrala curbilinie de spet a a doua
a funct ieiFde-a lungul curbei Ceste prin denit ie
∫
CP(x;y)dx+Q(x;y)dy
=∫b
a[P(x(t);y(t))x′(t) +Q(x(t);y(t))y′(t)]dt:
Not iunea de integral a curbilinie de spet a a doua pentru funct ii vectoriale de trei vari-
abile realeF(x;y;z ) = (P(x;y;z );Q(x;y;z );R(x;y;z ))se extinde ^ n mod natural
pe o curb a din R3 si se calculeaz a analog: dac a feste denit a pe un domeniu din R3
care cont ine curba C si se cunoa ste o parametrizare a curbei C,
C:8
<
:x=x(t)
y=y(t)
z=z(t); t2[a;b]
cux; y; z funct ii de clas a C1pe[a;b];atunci integrala curbilinie a funct iei Fde-a
lungul curbei Ceste prin denit ie
∫
CP(x;y;z )dx+Q(x;y;z )dy+R(x;y;x )dz
=∫b
a[P(x(t);y(t);z(t))x′(t) +
+Q(x(t);y(t);z′(t))y′(t) +
+R(x(t);y(t);z(t))z′(t)]dt:
^In cazul integralei curbilinii de spet a a doua sensul de parcurgere a curbei Care
important  a, ea schimb^ andu- si semnul c^ and acest sens se inverseaz a.
^In cazul curbelor ^ nchise (contururilor) se prefer a notat ia pentru integrala cur-
bilinie de spet a a douaH
C.

15.2. INTEGRALE CURBILINII DE SPET A A DOUA 225
15.2.2. Propriet at i ale integralei curbilinii de spet a a doua. 1.Dependent a
de sensul de parcurgere a curbei C:∫
C⃗F
d⃗ r=∫
C1⃗F
d⃗ r:
2.Aditivitatea ^ n raport cu curba :
Dac aC1 siC2sunt dou a curbe juxtapuse, atunci∫
C1[C2⃗F
d⃗ r=∫
C1⃗F
d⃗ r+∫
C2⃗F
d⃗ r:
15.2.3. Independent a de drum a integralei curbilinii de spet a a doua.
Denit ie 15.2.1. FieDR3deschis .Unc^ amp vectorial de componente P; Q;
Reste o funct ie vectorial a F:D!R3,
F(x;y;x ) = (P(x;y;z );Q(x;y;z );R(x;y;z )):
Presupun^ and c a ^ n R3este xat un reper ortonormat de versori !i ; !j ; !k,a
deni un c^ amp vectorial pe D^ nseamn a a asocia ec arui punct (x;y;z )2Dun
vector !F(x;y;z ) =P(x;y;z ) !i+Q(x;y;z ) !j+R(x;y;z ) !k:
Analog avem not iunea de c^ amp vectorial ^ n plan .
S a presupunem c a ^ ntr-un domeniu convex DR2se dau dou a funct ii de clas a
C1;P siQ;componentele c^ ampului vectorial ⃗F si s a consider am integrala curbilinie
de spet a a doua∫
CPdx +Qdy; undeCeste o curb a situat a ^ n D:
Teorem a 15.2.1. Pentru ca integrala∫
CPdx +Qdy s a nu depind a de curba
de integrare Csituat a ^ nD(sau⃗Fs a derive dintr-un potent ial sau ⃗Fs a e c^ amp
conservativ) este necesar  si sucient ca
@Q
@x(x;y) =@P
@y(x;y);
(8) (x;y)2D:
^In acest caz, un potent ial Ual c^ ampului vectorial ⃗F, adic a o funct ie av^ and
diferent iala dU=⃗Feste
U(x;y) =∫x
x0P(t;y0)dt+∫y
y0Q(x;t)dt;
unde (x0;y0) este un punct xat. Orice dou a potent iale difer a printr-o constant a
aditiv a.
S a presupunem acum c a ^ ntr-un domeniu convex DR3se dau trei funct ii de
clas aC1; P; Q; R , componentele c^ ampului vectorial ⃗F si s a consider am integrala
curbilinie de spet a a doua∫
CPdx +Qdy +Rdz; undeCeste o curb a situat a ^ n D.

226 15. INTEGRALE CURBILINII
Teorem a 15.2.2. Pentru ca integrala∫
CPdx +Qdy +Rdz s a nu depind a de
curba de integrare Csituat a ^ nD(sau⃗Fs a derive dintr-un potent ial sau ⃗Fs a e
c^ amp conservativ )este necesar  si sucient ca
rot⃗F =⃗0()⃗i⃗j⃗k
@
@x@
@y@
@z
P Q R=⃗0()
()@Q
@x(x;y;z ) =@P
@y(x;y;z )
@R
@y(x;y;z ) =@Q
@z(x;y;z )
@P
@z(x;y;z ) =@R
@x(x;y;z );
(8) (x;y;z )2D:
^In acest caz, un potent ial Ual c^ ampului vectorial ⃗F, adic a o funct ie av^ and
diferent iala dU=⃗Feste
U(x;y;z ) =∫x
x0P(t;y0;z0)dt+∫y
y0Q(x;t;z 0)dt+∫z
z0R(x;y;t )dt;
unde (x0;y0;z0) este un punct xat. Orice dou a potent iale difer a prin- tr-o constant a
aditiv a.
S a consider am c^ ateva exemple.
1.S a se calculeze∫
Cy2dx+x2dy;undeCeste semi-elipsa superioar ax2
a2+y2
b2= 1;
parcurs a ^ n sens invers trigonometric (sau ^ n sensul acelor de ceasornic).
Avem parametrizarea
C:{
x=acost
y=bsint; t2[0;]
 si
I=∫0
[
b2sin2t
(asint) +a2cos2t
(bcost)]
dt=
=ab2∫0
sin3tdt+a2b∫0
cos3tdt=4
3ab2:
2.S a se calculeze∫
C(yz)dx+ (zx)dy+ (xy)dz;undeCeste o spiral a a
elicei
C:8
<
:x=acost
y=asint
z=bt; t2[0;2];
parcurs a ^ n sens direct trigonometric (^ n sensul cre sterii parametrului t).

15.3. TEOREMA GREEN-RIEMANN 227
Avem
I=∫2
0[(asintbt) (asint) + (btcost) (acost) +
+ (acostasint)b]dt
=2aba2a:
3.S a se arate c a ⃗F= (4x+ 2y;2x6y) este un c^ amp conservativ  si s a se
determine un potent ial al s au.
DeoareceP(x;y) = 4x+ 2y; Q (x;y) = 2x6y si
@Q
@x= 2;@P
@y= 2;
rezult a, conform teoremei 15.1.1, c a ⃗Feste un c^ amp conservativ. Un potent ial al
s au ^ l a
 am cu formula
U(x;y) =∫x
0P(t;0)dt+∫y
0Q(x;t)dt=
= 2×2+ 2xy3y2:
15.3. Teorema Green-Riemann
Teorema 15.3.1 (Teorema Green-Riemann). Fie⃗F= (P;Q)un c^ amp vectorial
de clas aC1peDR2,Dsimplu ^ n raport cu axele, ^ nchis m arginit, cu frontiera Fr
Dneted a (eventual pe port iuni ).Atunci are loc formula
∫∫
D(@Q
@x@P
@y)
dxdy =I
FrDPdx +Qdy;
sensul de parcurgere al frontierei lui Dind pozitiv (adic a merg^ and pe FrD,domeniul
Ds a r am^ an a ^ n st^ anga ).
De exemplu, s a calcul am, folosind teorema Green-Riemann
I=I
Cx2ydx+xy2dy;
undeCeste cercul x2+y2=R2;parcurs ^ n sens direct trigonometric.
AvemP(x;y) =x2y; Q (x;y) =xy2 si@Q
@x=y2,@P
@y=x2. Atunci,
I=∫∫
D(@Q
@x@P
@y)
dxdy =∫∫
D(
y2(
x2))
dxdy =
=∫∫
D(
x2+y2)
dxdy;

228 15. INTEGRALE CURBILINII
integral a dubl a pe care o calcul am prin trecerea la coordonate polare, obt in^ and
I=∫2
0dφ∫R
0
2d= 2R4
4=R4
2:
15.4. Exercit ii
(1)S a se calculeze∫
C(x2+y2)ds;undeCeste curba
C:{
x=tarcsint+p
1t2
y=tp
1t2arcsint; t2[1;1]:
R:Avemds=jarcsintjp
1t2dt si
I=∫1
1[
1 + (arcsint)2]jarcsintjp
1t2dt
= 2∫1
0[
1 + (arcsint)2]arcsintp
1t2dt=
=[
(arcsint)2+1
2(arcsint)4]
j1
0=
=2
4(
1 +2
8)
:
(2)S a se calculeze∫
Cyds, unde Ceste curba
C:{
x= ln sintsin2t
y=1
2sin 2t; t2[
6;
4]
:
R:Avem
ds=√
(x′(t))2+ (y′(t))2dt=
=cos 2t
sintdt:
Atunci,
I=1
2∫
4

6sin 2tcos 2t
sintdt=∫
4

6costcos 2tdt=
=1
2∫
4

6(cos 3t+ cost)dt=4p
25
12:

15.4. EXERCIT II 229
(3)S a se calculeze∫
Cxyds , unde Ceste elipsax2
a2+y2
b2= 1;situat a ^ n primul
cadran.
R:Avem parametrizarea
C:{
x=acost
y=bsint; t2[
0;
2]
 si
ds=√
a2sin2t+b2cos2tdt:
Deci,
I=∫
2
0absintcost√
a2sin2t+b2cos2tdt=
=ab
2∫
2
0(
sin2t)′√
(a2b2) sin2t+b2dt=
=ab
2 (a2b2)∫
2
0((
a2b2)
sin2t+b2)′


√
(a2b2) sin2t+b2dt
=ab
2 (a2b2)(
(a2b2) sin2t+b2)3
2
3
2j
2
0=
=ab
3 (a2b2)(
a3b3)
=ab(a2+ab+b2)
3 (a+b):
(4)S a se calculeze∫
Cxyds , unde Ceste conturul p atratului jxj+jyj=a;a> 0:
R:0.
(5)S a se calculeze∫
Cy2ds, unde Ceste primul arc de cicloid a:
C:{
x=a(tsint)
y=a(1cost); t2[0;2]:
R:256
15a3.
(6)S a se calculeze∫
C√
x2+y2ds, unde Ceste developanta cercului:
C:{
x=a(cost+tsint)
y=a(sinttcost); t2[0;2]:
R:a3
3[
(1 + 42)3
21]
.

230 15. INTEGRALE CURBILINII
(7)S a se calculeze∫
C(x+y)ds, unde Ceste bucla din dreapta a lemniscatei
(x2+y2)2=a2(x2y2):
R:a2p
2.
(8)S a se calculeze∫
C(x+y)ds, unde Ceste curba:
C:8
<
:x=t
y=3t2p
2
z=t3; t2[0;1]:
R:1
54(
56p
71)
.
(9)S a se calculeze∫
Cdsp
x2+y2+z2, unde Ceste prima spiral a a elicei conice:
C:8
<
:x=acost
y=asint
z=bt; t2[0;2]:
R:p
a2+b2
abarctg2b
a.
(10) S a se calculeze masa repartizat a pe conturul elipseix2
a2+y2
b2= 1;dac a den-
sitatea liniar a ^ n ecare punct este =jyj:
R:2(
b2+a2bp
a2b2arcsinp
a2b2)
:
(11) S a se calculeze∫
C(x22xy)dx+ (2xy+y2)dy;undeCeste arcul de pe
parabolay=x2ce une ste punctele A(1;1)  siB(2;4):
R:Avem parametrizarea
C:{
x=t
y=t2; t2[1;2]
 si
I=∫2
1[((
t22t3)

1)
+(
2t3+t4)

(2t)]
dt=
=∫2
1(
t22t3+ 4t4+ 2t5)
dt= 2
=1219
30:
(12) S a se calculezeH
C(x+y)dx(xy)dy
x2+y2 , unde Ceste ceculx2+y2=a2;parcurs ^ n
sens invers acelor de ceasornic.
R:Avem parametrizarea
C:{
x=acost
y=asint; t2[0;2]:

15.4. EXERCIT II 231
Deci,
I=∫2
0(acost+asint) (asint)(acostasint) (acost)
a2dt=
=∫2
0(
sintcostsin2tcos2t+ sintcost)
dt=
=2:
(13) S a se calculeze∫
Cy2dx+x2dy, unde Ceste semi-elipsa superioar ax2
a2+y2
b2= 1;
parcurs ^ n sensul acelor de ceasornic.
R:4
3ab2:
(14) S a se calculeze∫
Ccosydxsinxdy, unde Ceste segmentul situat de a doua
bisectoare a axelor de coordonate y=x;parcurs de la punctul Ade abscis a
2 la punctul Bde ordonat a 2 :
R:2 sin 2:
(15) S a se calculezeH
Cxy(ydxxdy)
x2+y2, unde Ceste bucla din dreapta a lemniscatei lui
Bernoulli (x2+y2)2=a2(x2y2):
R:0:
(16) Demonstrat i c a urm atorele c^ ampuri vectoriale sunt c^ ampuri conservative  si
deterrminat i c^ ate un potent ial al lor:
a)⃗F(x;y) = (2x+ 3y)⃗i+ (3x4y)⃗j;
b)⃗F(x;y) = (3×22xy+y2)⃗i(x2+ 2xy+ 3y2)⃗j;
c)⃗F(x;y) =exy(1 +x+y)⃗i+exy(1xy)⃗j;
d)⃗F(x;y) =1
x+y⃗i+1
x+y⃗j:
R:Se veric a relat ia@Q
@x=@P
@y^ n toate cele patru cazuri  si se obt in potent ialele:
a)x2+ 3xy2y2; b)x3x2y+xy2y3;
c) exy(x+y) ; d) ln jx+yj:
(17) Transformat i, folosinf teorema Green-Riemann integrala curbilinie de spet a
a doua
I=I
C√
x2+y2dx+y[
xy+ ln(
x+√
x2+y2)]
dy;
undeCeste conturul ce delimiteaz a un domeniu DR2:
R:Avem
P(x;y) =√
x2+y2;
Q(x;y) =y[
xy+ ln(
x+√
x2+y2)]

232 15. INTEGRALE CURBILINII
 si
@Q
@x=(
y√
x2+y2+ 1)y√
x2+y2;
@P
@y=1√
x2+y2y:
Rezult a, aplic^ and teorema Green-Riemann,
I=∫∫
D[(
y√
x2+y2+ 1)y√
x2+y21√
x2+y2y]
dxdy =
=∫∫
Dy2dxdy:
(18) Calculat i, aplic^ and teorema Green-Riemann, integrala curbilinie de spet a a
doua
I=I
C2(
x2+y2)
dx+ (x+y)2dy;
undeCeste conturul triunghiului de v^ arfuri ABC , undeA(1;1),B(2;2);
C(1;3), parcurs ^ n sens pozitiv.
R:4
3:

CAPITOLUL 16
Integrale de suprafat  a
16.1. Integrale de suprafat  a de spet a ^ nt^ ai
16.1.1. Denit ii  si metode de calcul. Denit ie 16.1.1. Fie :D!R3o
suprafat  a parametrizat a, de clas a C1;av^ and ecuat iile parametrice
 :8
<
:x=x(u;v)
y=y(u;v)
z=z(u;v);
unde (u;v)2DR2; Deste o domeniul de parametrizare. Dac a suprafat a este
simpl a  si nesingular a, iar F:V (D)!Reste o funct ie continu a, denim
integrala de suprafat  a de spet a ^ nt^ ai , a funct iei fpe, num arul real∫∫
F(x;y;z )dS=∫∫
DF(x(u;v);y(u;v);z(u;v))∥⃗ ru⃗ rv∥dudv;
unde
dS=∥⃗ ru⃗ rv∥dudv
reprezint a elementul de arie pe suprafat  a .
Reamintim c a, ^ n cadrul sect iunii 11.12, am determinat elementul de arie pe
suprafat  a
dS=∥⃗ ru⃗ rv∥dudv =p
EGF2dudv;
unde numerele E; F; G se calculeaz a din produsele scalare:
E=⃗ ru
⃗ ru
F=⃗ ru
⃗ rv
G=⃗ rv
⃗ rv:
Denit ie 16.1.2. Dac aF(x;y;z ) = 1 pe,atunci obt inem aria suprafet ei  :
Aria () =∫∫
dS=∫∫
D∥⃗ ru⃗ rv∥dudv:
Dac a funct ia de integrat este v azut a ca densitatea materialului din care este
confect ionat a suprafat a , atunci masa suprafet ei  este integrala de suprafat  a de
spet a ^ nt^ ai a funct iei fpe suprafat a .
233

234 16. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A
^In cazul integralei de suprafat  a de spet a ^ nt^ ai sensul normalei ⃗ nla suprafat a 
nu are important  a.
16.1.2. Propriet at i ale integralei curbilinii de spet a ^ nt^ ai. 1.Liniari-
tatea :∫∫
(aF(x;y;z ) +bG(x;y))dS=a∫∫
F(x;y;z )dS+b∫∫
G(x;y;z )dS;
oricare ar  a; b2R siF; G denite pe un domeniu ce cont ine suprafat a arbitrar a
.
2.Aditivitatea ^ n raport cu suprafat a :
Dac a  1 si  2sunt dou a suprafet e juxtapuse, atunci
∫∫
1[2F(x;y;z )dS=∫∫
1F(x;y;z )dS+∫∫
2F(x;y;z )dS:
3.Pozitivitatea :
Dac aF0 pe suprafat a , atunci
∫∫
F(x;y;z )dS0:
Dac a din ecuat ia ce caracterizeaz a suprafat a  : f(x;y;z ) = 0;reu sim s a ex-
plicit amz^ n funct ie de variabilele x siy,z=z(x;y);atunci elementul de arie pe
suprafat  a are forma
dS=√
1 +p2+q2dxdy;
unde
p=@z
@x; q=@z
@y:
^In acest caz, parametrizarea reasc a a suprafet ei este
 :8
<
:x=x
y=y
z=z(x;y);
unde (x;y)2D, domeniul Dal parametrilor x siyind chiar proiect ia suprafet ei 
pe planulxOy; iar integrala de suprafat  a de spet a ^ nt^ ai are expresia
∫∫
F(x;y;z )dS=∫∫
DF(x;y;z (x;y))√
1 +p2+q2dxdy:
S a consider am c^ ateva exemple.
1.S a se calculeze aria sferei
 :{
(x;y;x )2R3jx2+y2+z2=R2}
:

16.1. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A DE SPET A ^INT^AI 235
Avem parametrizarea sferei,
 :8
<
:x=Rcosφsin
y=Rsinφsin
z=Rcos;
undeD=ffφ;gjφ2[0;2]; 2[0;]g si
dS=R2sin:
Deci,
Aria () =∫∫
dS=∫∫
DR2sindφd =
=R2∫2
0dφ∫
0sind= 2R2(cos)j
0=
= 4R2:
Se mai poate calcula  si folosind cealalt a metod a. Din ecuat ia suprafe- t ei rezult a
z=√
R2x2y2;deci  scriindu-se sub forma reuniunii celor dou a semisfere  1
 si  2(superioar a  si inferioar a), avem
Aria () = 2∫∫
1dS;
unde  1are parametrizarea
1:8
<
:x=x
y=y
z=√
R2x2y2;
cu (x;y)2D=f(x;y)2R2jx2+y2R2g:Rezult a
p=@z
@x=x√
R2x2y2; q=@z
@y=y√
R2x2y2
 si
dS=√
1 +p2+q2dxdy =R√
R2x2y2dxdy:
Deci,
Aria () = 2∫∫
DR√
R2x2y2dxdy;

236 16. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A
pe care o calcul am cel mai u sor prin trecerea la coordonate polare:
Aria () = 2 R∫2
0dφ∫R
0√
R22d=
= 4R(
√
R22)
jR
0= 4R2:
2.S a calcul am∫∫
1√
x2+y2+z2dS;
unde  este sfera
 :{
(x;y;x )2R3jx2+y2+z2=R2}
;
situat a ^ n primul octant x0; y0; z0:
Folosind parametrizarea
 :8
<
:x=Rcosφsin
y=Rsinφsin
z=Rcos;
undeD={
(φ;)jφ2[
0;
2]
; 2[
0;
2]}
 si
dS=R2sin
obt inem
I=∫∫
D1p
R2R2sindφd =
=R∫
2
0dφ∫
2
0sind=
2R:
3.S a calcul am∫∫
(xy+yz+zx)dS;
unde  este port iunea din conul superior z=√
x2+y2, situat a ^ ntre planele z= 0
 siz=h:
Folosind parametrizarea
 :8
<
:x=x
y=y
z=√
x2+y2;

16.1. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A DE SPET A ^INT^AI 237
undeD= PrxOy =f(x;y)jx2+y2h2g si
dS =√
1 +(@z
@x)2
+(@z
@y)2
dxdy =
=vuut1 +(
x√
x2+y2)2
+(
y√
x2+y2)2
dxdy =
=p
2dxdy;
obt inem
I=∫∫
(xy+yz+zx)dS=∫∫
D(
xy+ (x+y)√
x2+y2)
dxdy:
Aceast a integral a dubl a o calcul am prin trecerea la coordonate polare,
I=∫2
0dφ∫h
0(
2sinφcosφ+2(sinφ+ cosφ))
d= 0:
4.S a calculeze aria decupat a de parboloidul hiperbolic xy=azdin cilindrul
x2+y2=a2:
Folosind parametrizarea
 :8
<
:x=x
y=y
z=xy
a;
undeD=PrxOy =f(x;y)jx2+y2a2g si
dS =√
1 +(@z
@x)2
+(@z
@y)2
dxdy =
=√
1 +(y
a)2
+(x
a)2
dxdy =
=√
1 +x2+y2
a2dxdy;
obt inem
Aria () =∫∫
dS=∫∫
D√
1 +x2+y2
a2dxdy:

238 16. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A
Aceast a integral a dubl a o calcul am prin trecerea la coordonate polare,
I=∫2
0dφ∫a
0√
1 +2
a2d=
= 2a2
2∫a
0(
1 +2
a2)′√
1 +2
a2d=
=a2(
1 +2
a2)3
2
3
2ja
0=2a2
3(
2p
21)
:
16.2. Integrale de suprafat  a de spet a a doua
16.2.1. Denit ii  si metode de calcul. Denit ie 16.2.1. Fie :D!R3o
suprafat  a parametrizat a orientabil a, de clas a C1;av^ and ecuat iile parametrice
 :8
<
:x=x(u;v)
y=y(u;v)
z=z(u;v);
unde (u;v)2DR2; Deste o domeniul de parametrizare. Dac a ⃗F:V (D)!
R3este un c^ amp vectorial de componente P; Q; R ,iar⃗ n= cos⃗i+ cos⃗j+ cos
⃗k
este versorul normalei la suprafat a (interioar a sau exterioar a ), denim integrala de
suprafat  a de spet a a doua (sau
uxul ), a c^ ampului vectorial ⃗Fpe, num arul
real
⃗F() =∫∫
⃗F
⃗ ndS =∫∫
(Pcos+Qcos+Rcos
)dS:
Deci, integrala de suprafat  a de spet a a doua este ^ n fond o integral a de suprafat  a de
spet a ^ nt^ ai.
Reamintim c a, ^ n cadrul sect iunii 11.12 am prezentat formulele de determinare a
cosinu silor directori ai versorului normalei la suprafat  a.
^In cazul integralei de suprafat  a de spet a ^ nt^ ai sensul normalei ⃗ nla suprafat a 
are important  a, el depinz^ and de sensul precizat (normala exterioar a sau interioar a).
De exemplu, s a calcul am
uxul c^ ampului vectorial
⃗F(x;y;z ) =x⃗i+y⃗j+z⃗k;
prin sferax2+y2+z2=R2situat a ^ n primul octant (pozitiv), ^ n raport cu normala
exterioar a la suprafat  a.
Avem
I= ⃗F() =∫∫
⃗F
⃗ ndS =∫∫
(
x2cos+y2cos+z2cos
)
dS;

16.2. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A DE SPET A A DOUA 239
undez=√
R2x2y2; p=@z
@x=xp
R2x2y2; q=@z
@q=yp
R2x2y2;
cos=p
√
1 +p2+q2=xp
R2x2y2
√
1 +p2+q2;
cos=q
√
1 +p2+q2=yp
R2x2y2
√
1 +p2+q2;
cos
=1
√
1 +p2+q2=1
√
1 +p2+q2:
Semnul din fat a radicalului√
1 +p2+q2este +, deoarece ^ n primul octant normala
exterioar a la sfer a are cos
>0:Deci,
cos=xp
R2x2y2
√
1 +p2+q2;
cos=yp
R2x2y2
√
1 +p2+q2
cos
=1√
1 +p2+q2:
CumdS=√
1 +p2+q2dxdy , rezult a c a
uxul devine
I=∫∫
D(
x2
√
R2x2y2+y2
√
R2x2y2+√
R2x2y2)
dxdy;
integral a dubl a pe care o calcul am pe D;sfertul de disc x2+y2R2; x0; y0
prin trecere la coordonate polare:
⃗F() =∫
2
0dφ∫R
0(
2cos2φ√
R22+2sin2φ√
R22+√
R22)
d=
=
2R3:
16.2.2. Propriet at i ale integralei de suprafat  a de spet a a doua. 1.Dependent a
de sensul normalei la suprafat a :∫∫
(Pcos+Qcos+Rcos
)dS
=∫∫
(Pcos1+Qcos1+Rcos
1)dS;

240 16. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A
unde⃗ n= cos⃗i+ cos⃗j+ cos
⃗keste versorul normalei exterioare la   si ⃗ n=
cos1⃗i+ cos1⃗j+ cos
1⃗k=cos1⃗icos1⃗jcos
1⃗keste versorul normalei
interioare la  :
2.Aditivitatea ^ n raport cu suprafat a :
Dac a  1 si  2sunt dou a suprafet e juxtapuse, atunci
∫
1[2⃗F
⃗ ndS =∫
1⃗F
⃗ ndS +∫
2⃗F
⃗ ndS:
16.3. Formule integrale
Formula din teorema Green Riemann ca  si cele dou a teoreme pe care le vom
prezenta ^ n cele ce urmeaz a, teorema Gauss-Ostrogradski (
ux-diverget  a)  si teorema
Stokes au la baz a o idee comun a care le une ste: ele exprim a integrala aplicat a la o
gur a geometric a oarecare printr-o integral a calculat a pe frontiera (marginea) acestei
guri.
16.3.1. Teorema Gauss-Ostrogradski. Denit ie 16.3.1. Dac a⃗F= (P;Q;R )
este un c^ amp vectorial cu funct iile componente P; Q; R :V!Rde clas aC1peV
atunci divergent a c^ ampului⃗FpeVeste c^ ampul scalar denit pe V;
div(
⃗F)
=@P
@x+@Q
@y+@R
@z:
Teorema Gauss-Ostrogradski leag a integrala tripl a pe un domeniu din R3de in-
tegrala de suprafat  a de spet a a doua pe suprafat a ce delimiteaz a domeniul respectiv.
Teorem a 16.3.1 (Teorema Gauss-Ostrogradski sau Teorema
ux-divergent  a) .
Dac a este o suprafat  a ^ nchis a de clas a C1, ce deli- miteaz a un domeniu VR3
m arginit  si ⃗Feste un c^ amp vectorial cu funct iile componente P; Q; R :V!Rde
clas aC1peV si continue pe , atunci are loc formula
∫∫∫
Vdiv(
⃗F)
dxdydz =∫∫
⃗F
⃗ ndS;
unde⃗ nreprezint a versorul normalei exterioare la frontiera lui V;:
S a calcul am, de exemplu, folosind teorema Gauss-Ostrogradski
uxul c^ ampului
⃗F(x;y;z ) =x3⃗i+y3⃗j+z3⃗kprin suprafat a exterioar a a sferei x2+y2+z2=a2:
S a not am cu  sfera x2+y2+z2=a2 si cuVdomeniul din R3delimitat de ea.
Avem de calculat integrala de suprafat  a de spet a a doua
⃗F() =∫∫
⃗F
⃗ ndS;

16.3. FORMULE INTEGRALE 241
care, conform teoremei Gauss-Ostrodradski este egal a cu
⃗F() =∫∫∫
Vdiv(
⃗F)
dxdydz =
=∫∫∫
V(@(x3)
@x+@(y3)
@y+@(z3)
@z)
dxdydz =
= 3∫∫∫
V(
x2+y2+z2)
dxdydz:
Trec^ and la coordonate sferice,8
<
:x=cosφsin
y=sinφsin
z=cos;
cuφ2[0;2]  si2[0;];obt inem
⃗F() = 3∫2
0dφ∫
0d∫a
02sin
2d=
=12
5a5:
Denit ie 16.3.2. Dac a⃗Feste un c^ amp vectorial cu funct iile componente P;Q;
R:V!Rde clas aC1peVatunci rotorul c^ ampului⃗FpeVeste c^ ampul vectorial
denit peV;prin:
rot(
⃗F)
=⃗i⃗j⃗k
@
@x@
@y@
@z
P Q R=
=(@R
@y@Q
@z)
⃗i+(@P
@z@R
@x)
⃗j+(@Q
@x@P
@y)
⃗k:
16.3.2. Teorema Stokes. Teorema Stokes leag a integrala de suprafat  a de spet a
a doua pe o suprafat  a de integrala curbilinie de spet a a doua pe conturul (bordul)
acestei suprafet e.
Teorem a 16.3.2 (Teorema Stokes) .Dac a este o suprafat  a de clas a C2simpl a
 si nesingular a, @este bordul orientat  si ^ nchis al lui , iar⃗Feste un c^ amp vectorial
cu funct iile componente P; Q; R :V!Rde clas aC1pe o mult ime deschis a Vce
cont ine ;atunci are loc formulaI
@Pdx +Qdy +Rdz =∫∫
rot(
⃗F)

⃗ ndS;
unde⃗ nreprezint a versorul normalei exterioare la :

242 16. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A
Integrala∫
@Pdx +Qdy +Rdz reprezint a circulat ia c^ ampului vectorial ⃗Fde-a
lungul bordului lui  ; @:
S a calcul am, de exemplu, folosind teorema Stokes circulat ia c^ ampului ⃗F(x;y;z ) =
yz2⃗i+xy⃗j+x⃗k;prin elipsa x2+y2= 4z; x+z= 1;orientat a ^ n sens direct, dac a
privim dinspre partea pozitiv a a axei Ox:
AvemP=yz2; Q=xy; R =x;
rot(
⃗F)
=(@R
@y@Q
@z)
⃗i+(@P
@z@R
@x)
⃗j+(@Q
@x@P
@y)
⃗k=
= 0
⃗i+ (2yz1)
⃗j+(
yz2)

⃗k
 si, conform teoremei Stokes, rezult a
I=I
@yz2dx+xydy +xdz=∫∫
rot(
⃗F)

⃗ ndS =
=∫∫
(
(2yz1) cos+(
yz2)
cos
)
dS;
unde  :z= 1x,
dS=p
2dxdy;
iar
⃗ n=(1p
2;0;1p
2)
:
Deci,
I=∫∫
(
(2yz1) cos+(
yz2)
cos
)
dS=
=∫∫
D(
y(1x)2)
dxdy =
=∫∫
D(
y1x2+ 2x)
dxdy;
undeDreprezint a domeniul
D={
(x;y)2R2jx2+y24 (1x)}
=
={
(x;y)2R2j(x+ 2)2+y28}
:
Trec^ and la coordonate polare,
{
x=2 +cosφ
y=sinφ;

16.4. EXERCIT II 243
rezult a
I=∫2
0dφ∫p
8
0(
sinφ1(2 +cosφ)2+ 2 (2cosφ))
d=
=88:
16.4. Exercit ii
(1)S a se calculeze aria suprafet ei 2 z=x2+y2;situat a ^ n interiorul cilindrului
x2+y2= 1:
R:2
3(
2p
21)
:
(2)S a se calculeze aria din exteriorul sferei x2+y2+z2=a2;situat a ^ n exteriorul
cilindrilor
x2+y2=ax; x2+y2=ax:
R:8a2:
(3)S a se calculeze aria decupat a de cilindrul
(
x2+y2)2=a2(
x2y2)
;
din sferax2+y2+z2=a2:
R:2a2(
+ 44p
2)
:
(4)S a se calculeze∫∫
(
x2+y2)
dS;
unde  este sfera x2+y2+z2=a2:
R:8a4
3:
(5)S a se calculeze∫∫
√
x2+y2dS;
unde  este suprafat a lateral a a conuluix2
a2+y2
a2=z2
b2;cuz2[0;h]:
R:2a2p
a2+b2
3:
(6)S a se calculeze∫∫
(x+y+z)dS;
unde  este suprafat a total a a cubului [0 ;1][0;1][0;1]:
R:3:
(7)S a se calculeze∫∫
(x+y+z)dS;

244 16. INTEGRALE DE SUPRAFAT  A
unde  este semisfera superioar a x2+y2+z2=R2; z0:
R:a3:
(8)S a se calculeze∫∫
xyzdS;
unde  este port iunea din planul x+y+z= 1;ce se a
 a ^ n primul octant.
R:p
3
120:
(9)S a se calculeze
uxul c^ ampului vectorial
⃗F(x;y;x ) =1√
4×2+y2+ 1⃗k;
prin suprafat a exterioar a a paraboloidului z= 4×2+y2; z2[0;1]:
R:(
1p
2)
:
(10) S a se calculeze
uxul c^ ampului vectorial
⃗F(x;y;z ) =yz⃗i+xz⃗j+xy⃗k;
prin suprafat a exterioar a a tetraedrului limitat de planele x= 0; y= 0;
z= 0; x+y+z=a:
R:0:
(11) S a se calculeze
uxul c^ ampului vectorial
⃗F=z⃗k;
prin suprafa- t a exterioar a a elipsoiduluix2
a2+y2
b2+z2
c2= 1:
R:4abc
3:
(12) S a se calculeze, folosind teorema Gauss-Ostrogradski, integrala
∫∫
(
x2cos+y2cos+z2cos
)
dS;
unde  este suprafat a exterioar a cubului [0 ;a][0;a][0;a]:
R:3a4:
(13) S a se calculeze, folosind teorema Gauss-Ostrogradski, integrala
∫∫
(xcos+ycos+zcos
)dS;
unde  este suprafat a exterioar a piramidei limitat a de planele x= 0;y= 0;
z= 0,x+y+z=a:
R:a3
2:

16.4. EXERCIT II 245
(14) S a se calculeze, folosind teorema Gauss-Ostrogradski, integrala
∫∫
(
x2cos+y2cos+z2cos
)
dS;
unde  este suprafat a exterioar a total a a conuluix2
a2+y2
a2=z2
b2; z2[0;b]:
R:a2b2
2:
(15) S a se calculeze, folosind teorema Stokes, integrala
I
C(y+z)dx+ (z+x)dy+ (x+y)dz;
undeCeste cercul x2+y2+z2=a2; x+y+z= 0:
R:0:
(16) S a se calculeze, folosind teorema Stokes, integrala
I
C(yz)dx+ (zx)dy+ (xy)dz;
undeCeste elipsax2+y2= 1; x+z= 1:
R:4:
(17) S a se calculeze, folosind teorema Stokes, integrala
I
Cxdx+ (x+y)dy+ (x+y+z)dz;
undeCeste curbax=asint; y=acost; z=a(sint+ cost); t2[0;2]:
R:a2:
(18) S a se calculeze, folosind teorema Stokes, integrala
I
Cy2dx+z2dy+x2dz;
undeCeste conturul triungiului ABC de v^ arfuriA(a;0;0);
B(0;a;0); C(0;0;a):
R:a3:

Bibliograe
[1]Lia Arama, Teodor Morozan, Probleme de calcul diferent ial  si integral , Editura Tehnic a,
Bucure sti, 1978
[2]B. Demidovitch, Recueil d'exercices et de probl emes d'analyse math ematique , Deuxi eme
 edition revue, Editions MIR Moscou, 1968
[3]D. Flondor, N. Donciu, Algebr a  si analiz a matematic a ,Culegere de probleme , Volumul II,
Editura didactic a  si pedagogic a, Bucure sti, 1965
[4]Marina Gorunescu, Lect ii de analiz a matematic a pentru informaticieni , Reprograa Uni-
versit at ii din Craiova, 2000
[5]Marina Gorunescu, Lect ii de analiz a matematic a pentru informaticieni ,Caiet de seminar ,
Reprograa Universit at ii din Craiova, Craiova, 2000
[6]Constantin P. Niculescu, Fundamentele analizei matematice. Anliza pe dreapta real a, Ed-
itura Academiei Rom^ ane, Bucure sti, 1996
[7]Constantin P. Niculescu, Analiz a matematic a pe dreapta real a. O abordare contemporan a ,
Editura Universitaria, Craiova, 2002
[8]Constantin P. Niculescu, Analiz a 3: Calculul integral pe Rn,Reprograa Universit at ii din
Craiova, Craiova, 2000
[9]C. Popa, V. Hiris, M. Megan, Introducere ^ n analiza mate- matic a prin exercit ii  si probleme ,
Editura Facla, 1976
[10]Murray R. Spiegel, Calculo superior, Teoria y 925 problemas resueltos , Libros McGraw-
Hill, 1975
[11]Bevan K. Youse, Calculus with analytic geometry , International Textbook Company, Scran-
ton, Pennsylvania, 1968
247