Capitole speciale de geometrie pentru profesori [615135]

Licență

Capitole speciale de geometrie pentru profesori [615135]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Capitole speciale de geometrie pentru profesori
Camelia Frigioiu
Galat ¸i, 2010

2

Cuprins
1 Geometrie sintetic ˘a plan ˘a 1
1.1 Concurent ¸a liniilor importante ˆıntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Concurent ¸a medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor s ¸i ˆın˘alt ¸imilor
ˆıntr-un triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Cercul ˆınscris ˆın triunghi, cercul circumscris s ¸i ex ˆanscris unui
triunghi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Teoremele MENELAUS s ¸i CEV A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Teorema lui Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Teorema lui Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Teorema lui V AN AUBEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Patrulatere inscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1 Teorema lui Ptolemeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Patrulatere circumscriptibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.1 Cercul lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Probleme de coliniaritate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit ˘at ¸ii unor puncte . . . . . 23
1.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson . . . . . . . . . . . 23
1.5.3 Relat ¸ia lui Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Probleme de concurent ¸ ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.1 Metode de demonstrare a concurent ¸ei unor drepte . . . . . . 27
1.6.2 Teoremele lui Gergonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.3 Teorema lui Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Relat ¸ii metrice ˆın triunghi s ¸i patrulater . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.1 Teorema Pitagora generalizat ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7.2 Relat ¸ia lui Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.3 Teorema medianei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7.4 Relat ¸ia lui Euler pentru patrulatere . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Transform ˘ari geometrice 35
2.1 Simetrii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
i

ii CUPRINS
2.2 Translat ¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Rotat ¸ia ˆın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Propriet ˘at ¸i generale ale izometriilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Asem ˘anarea ˆın plan. Propriet ˘at ¸i generale . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Omotetia ˆın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geo-
metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7 Inversiunea ˆın plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Geometrie ˆın spat ¸iu 65
3.1 Introducere ˆın geometria tetraedrului . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Tetraedre Crelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3 Tetraedre echifaciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Tetraedre ortocentrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4 APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE 85
4.1 Elemente de trigonometrie aplicate ˆın geometrie . . . . . . . . . . . 85
4.1.1 Aplicat ¸ii practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Aplicat ¸ii ale numerelor complexe ˆın geometrie . . . . . . . . . . . . 90
4.4 Teoreme clasice de geometrie demonstrate cu ajutorul numerelor
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Capitolul 1
Geometrie sintetic ˘a plan ˘a
Reamintim deﬁnit ¸iile unor elemente importante ˆın triunghi.
DEFINIT ¸ IA 1.1 Numim bisectoare interioar ˘a a unui unghi al unui triunghi, dreapta
care ˆımparte unghiul ˆın dou ˘a unghiuri egale.
DEFINIT ¸ IA 1.2 Numim ˆın˘alt ¸ime a unui triunghi, dreapta care coboar ˘a perpendi-
cular dintr-un v ˆarf al triunghiului pe latura opus ˘a a triunghiului.
DEFINIT ¸ IA 1.3 Numim mediatoare a unui triunghi, perpendiculara construit ˘a pe
mijlocul unei laturi a triunghiului.
DEFINIT ¸ IA 1.4 Numim median ˘a a unui triunghi, dreapta care unes ¸te un v ˆarf al
triunghiului cu mijlocul laturii opuse.
1.1 Concurent ¸a liniilor importante ˆıntr-un triunghi
Linii importante ale unui triunghi sunt:
1. medianele
2. bisectorele interioare ale unghiurilor triunghiului
3. mediatoarele laturilor triunghiului
4.ˆınalt ¸imile.
1.1.1 Concurent ¸a medianelor, mediatoarelor, bisectoarelor s ¸i ˆın˘alt ¸imilor ˆıntr-un triunghi
ˆIntr-un triunghi se poate demonstra pentru ﬁecare categorie de linii importante c ˘a
sunt concurente s ¸i anume:
1. cele trei mediatoare ale laturilor unui triunghi sunt concurente ˆıntr-un punct care
estecentrul cercului circumscris triunghiului ;
1

2 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
2. cele trei bisectoare interioare ale unui triunghi sunt concurente ˆıntr-un punct
care este centrul cercului ˆınscris ˆın triunghi ;
3. cele trei ˆın˘alt ¸imi ale unui triunghi sunt concurente ˆıntr-un punct care se numes ¸te
ortocentrul triunghiului ;
4. cele mediane ale unui triunghi sunt concurente ˆıntr-un punct care se numes ¸te
centrul de greutate al triunghiului .
ˆIn continuare vom demonstra concurent ¸a acestor linii importante ale triunghiului.
V om demonstra concurent ¸a mediatoarelor unui triunghi, folosind principala pro-
prietate a punctelor de pe mediatoarea unui segment:
Toate punctele mediatoarei unui segment se aﬂ ˘a la aceeas ¸i distant ¸ ˘a fat ¸ ˘a de ca-
petele acestuia s ¸i reciproc toate punctele din plan care se aﬂ ˘a la distant ¸e egale de
capetele unui segment se aﬂ ˘a pe mediatoarea acestuia.
TEOREMA 1.1 ˆIntr-un triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente.
BCOA
N
M
Figura 1.1: Concurent ¸a mediatoarelor
Demonstrat ¸ie.
Not˘am cu Ms ¸iNmijloacele laturilor [BC]s ¸i[AB]ale triunghiului ABC . Punc-
tul de intersect ¸ie al perpendicularelor ˆınMs ¸iNpe laturile respective(mediatoarele
acestor laturi) va ﬁ notat cu O. Cele dou ˘a mediatoare sunt concurente, altfel punctele
A, B, C ar ﬁ coliniare, ceea ce este imposibil.
Folosind proprietatea punctelor de pe mediatoare de a ﬁ la egal ˘a distant ¸ ˘a fat ¸˘a de
capetele segmentului, putem scrie
OA=OB,ON ﬁind mediatoarea lui [AB]s ¸i
OB=OC,OM ﬁind mediatoarea lui [BC].
Rezult ˘a din tranzitivitatea relat ¸iei de egalitate c ˘aOA=OC, deci punctul Ose
aﬂ˘a s ¸i pe mediatoarea laturii [AC]. q.e.d.

1.1. CONCURENT ¸ A LINIILOR IMPORTANTE ˆINTR-UN TRIUNGHI 3
V om demonstra concurent ¸a bisectoarelor interioare ale unui triunghi, folosind
proprietatea punctelor de pe bisectoare de a ﬁ la egal ˘a distant ¸ ˘a fat ¸˘a de laturile aces-
tuia.
TEOREMA 1.2 ˆIntr-un triunghi bisectoarele interioare sunt concurente.
BCA
ICMP
1B1
N A1
Figura 1.2: Concurent ¸a bisectoarelor
Demonstrat ¸ie. Not˘am[AA1s ¸i[BB 1bisectoarele unghiurilor [BAC s ¸i[ABC ale
triunghilui ABC s ¸iIpunctul lor de intersect ¸ie. Aceste bisectoare sunt concurente,
altfel ar ﬁ paralele ceea ce ar ˆınsemna c ˘a unghiurile\BAA 1s ¸i\ABB 1ar ﬁ unghiuri
interne s ¸i de aceeas ¸i parte a secantei AB, iar suma m ˘asurilor lor ar ﬁ de 180◦, ceea
ce este imposibil c ˘aci suma m ˘asurilor unghiurilor triunghiului ABC este180◦.
Folosind proprietatea c ˘a numai punctele de pe bisectoare sunt egal dep ˘artate de
laturile triunghiului putem scrie:
IM=INs ¸iIM=IP, (M∈(AB), N ∈(BC), P∈(AC), IM ⊥
AB, IN ⊥BC, IP ⊥AC).
Folosind proprietatea de tranzitivitatea a egalit ˘at ¸ii numerelor reale, rezult ˘a
IN=IP
deci punctul Ise aﬂ ˘a s ¸i pe bisectoarea unghiului ACB . q.e.d.
De asemenea se poate demonstra:
TEOREMA 1.3 ˆIntr-un triunghi ˆın˘alt ¸imile sunt concurente.
Demonstrat ¸ie. Consider ˘am un triunghi ABC , cu ˆın˘alt ¸imile [AA/prime,[BB/prime,[CC/prime
(AA/prime⊥BC, BB/prime⊥AC, CC/prime⊥AB).
Paralelele prin v ˆarfurile triunghiului la laturile opuse se intersecteaz ˘aˆın punc-
teleA1, B1, C1. Din congruent ¸a laturilor opuse ale paralelogramelor obt ¸inute rezult ˘a

4 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
BCB'
A'B
AC
11 1A
C'
Figura 1.3: Concurent ¸a ˆın˘alt ¸imilor
c˘a punctele A, B, C sunt mijloacele laturilor [B1C1],[C1A1],[A1B1]ale triunghiului
A1B1C1(AB1=AC1, BC 1=BA 1, CA 1=CB 1).
DinAA/prime⊥BC s ¸iC1B1/bardblBC rezult ˘aAA/prime⊥C1B1. Analog pentru celelalte
laturi se g ˘ases ¸te c ˘aBB/prime⊥C1A1s ¸iCC/prime⊥A1B1.
Constat ˘am c ˘aˆın˘alt ¸imile triunghiului ABC sunt mediatoarele triunghiului A1B1C1.
Dar, concurent ¸a mediatoarelor a fost demonstrat ˘a, as ¸a c ˘a s ¸i concurent ¸a ˆın˘alt ¸imilor
este demonstrat ˘a. q.e.d.
Pentru a demonstra concurent ¸a celor trei mediane ale unui triunghi vom reaminti
c˘a:
-linia mijlocie ˆıntr-un triunghi este segmentul de dreapt ˘a care unes ¸te mijloacele a
dou˘a laturi ale triunghiului,
-linia mijlocie este paralel ˘a cu cea de-a treia latur ˘a a triunghiului s ¸i este egal ˘a cu
jum˘atate din lungimea ei.
TEOREMA 1.4 ˆIntr-un triunghi medianele sunt concurente.
Demonstrat ¸ie. Not˘am cu A/prime, B/prime, C/primemijloacele laturilor [BC],[AC],[AB]ale
triunghiului ABC . Punctul de intersect ¸ie al medianelor [AA/prime]s ¸i[CC/prime]esteG.
V om demonstra c ˘a punctul Gapart ¸ine s ¸i medianei [BB/prime]. Mijloacele segmentelor
[AG],[CG]vor ﬁ notate cu A”respectiv C”
AA” =A”G, CC ” =C”G.
[A”C”]este linie mijlocie ˆın triunghiul GAC , ceea ce implic ˘a
A”C”/bardblAC, A ”C” =1
2AC. (1.1)

1.1. CONCURENT ¸ A LINIILOR IMPORTANTE ˆINTR-UN TRIUNGHI 5
A
BCB'C'
C"
A'GA"
Figura 1.4: Concurent ¸a medianelor
De asemenea, [A/primeC/prime]este linie mijlocie ˆın triunghiul BAC s ¸i se obt ¸ine:
A/primeC/prime/bardblAC, A/primeC/prime=1
2AC. (1.2)
Din (1.1) s ¸i (1.2), folosind tranzitivitatea relat ¸iei de paralelism s ¸i a celei de egalitate,
rezult ˘a
A/primeC/prime/bardblA”C”, A/primeC/prime=A”C”.
Deci patrulaterul A/primeC/primeA”C”este paralelogram, cu Gpunctul de intersect ¸ie al diago-
nalelor, ceea ce implic ˘a
A/primeG=GA”, C/primeG=GC”.
Cum AA” =A”Gs ¸iCC” =C”G, rezult ˘a:
AA” =A”G=GA/prime=1
3AA/prime
s ¸i
CC” =C”G=GC/prime=1
3CC/prime.
Am obt ¸inut astfel:
Punctul Gde intersect ¸ie al medianelor [AA/prime]s ¸i[CC/prime]se aﬂ ˘a pe ﬁecare dintre cele
dou˘a mediane, la dou ˘a treimi de v ˆarf s ¸i o treime de mijlocul laturii opuse.
Un rezultat asem ˘an˘ator se poate demonstra s ¸i pentru medianele [AA/prime]s ¸i[BB/prime].
Cum pe [AA/prime]este un singur punct care se aﬂ ˘a la dou ˘a treimi de v ˆarf s ¸i o treime
de mijlocul laturii opuse, rezult ˘a c˘a acesta este G, deci mediana [BB/prime]trece s ¸i ea
prin punctul G. q.e.d.

6 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
1.1.2 Cercul ˆınscris ˆın triunghi, cercul circumscris s ¸i ex ˆanscris unui triunghi
Cercul ˆınscris ˆın triunghi
BCMP
Nr
rr
IA
Figura 1.5: Cerc ˆınscris ˆın triunghi
DEFINIT ¸ IA 1.5 1. Triunghiul care are toate laturile tangente la un cerc se numes ¸te
triunghi circumscris acelui cerc.
2. Cercul care este tangent la toate laturile unui triunghi se numes ¸te cerc ˆınscris
ˆın triunghi.
Centrul cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi, notat cu I,este punctul de intersect ¸ie al
bisectoarelor unghiurilor triunghiului. Raza cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi o vom
nota cu r.
Observat ¸ia 1.1 1. Dac ˘aC(I;r)este cercul ˆınscris ˆın triunghiul ABC , atunci tri-
unghiul ABC este triunghiul circumscris cercului C(I;r);
2.IM=IN=IP=r, unde M, N, P sunt punctele de tangent ¸ ˘a ale laturile
triunghiului la cercul ˆınscris.
PROPOZIT ¸ IA 1.1
r=2A
P,
undeAeste aria triunghiului ABC , iarP=AB+AC+BC.
Demonstrat ¸ie.
ˆIntr-adev ˘ar, aria triunghiului ABC este suma ariilor triunghiurilor AIB, BIC, CIA .
A=AAIB+ABIC+ACIA=AB·IM
2+BC·IN
2+AC·IP
2=r·P
2.
q.e.d.

1.1. CONCURENT ¸ A LINIILOR IMPORTANTE ˆINTR-UN TRIUNGHI 7
Cercul circumscris unui triunghi
OA
N
MB CRRR P
Figura 1.6: Cerc circumscris unui triunghi
DEFINIT ¸ IA 1.6 1. Triunghiul care are v ˆarfurile situate pe un cerc, iar laturile
sunt coarde ale cercului se numes ¸te ˆınscris ˆın cerc.
2. Cercul ˆın care se ˆınscrie un triunghi se numes ¸te cerc circumscris triunghiului.
Centrul cercului circumscris unui triunghi ABC este punctul de intersect ¸ie al medi-
atoarelor laturilor triunghiului, notat cu O.
Raza cercului circumscris se noteaz ˘a cuR.
Not˘am cercul circumscris triunghiului ABC cuC(O;R).
1. Triunghiul ABC este triunghiul inscris in cercul C(O;R);
2.OA=OB=OC=R.
PROPOZIT ¸ IA 1.2 Simetricele ortocentrului triunghiului fat ¸ ˘a de mijloacele laturi-
lor triunghiului apart ¸in cercului circumscris triunghiului.
PROPOZIT ¸ IA 1.3 Simetricele ortocentrului triunghiului fat ¸ ˘a de laturile triunghiu-
lui apart ¸in cercului circumscris triunghiului.
Demonstrat ¸ie. FieA2punctul ˆın care ˆın˘alt ¸imea AA1intersecteaz ˘a cercul circum-
scris triunghiului.
Deoarece m(\BHA 1) =m([BCA )) = m(\AA2B)rezult ˘a triunghiul A2BH isos-
cel cu BA 1ˆın˘alt ¸ime, mediana, mediatoare, adic ˘aHA 1=A1A2.
q.e.d.

8 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
A
BCA
A1
2H
O
Figura 1.7:
PROPOZIT ¸ IA 1.4
R=abc
4A,
unde a, b, c sunt lungimile laturilor, iar Aeste aria triunghiului ABC .
Demonstrat ¸ie.
Formula de calcul pentru raza cercului circumscris se obt ¸ine astfel:
OA
BC
Eh
D
Figura 1.8: Raza cercului circumscris
Prin v ˆarful Aal triunghiului se construies ¸te diametrul cercului circumscris, notat
cuAE. Se obt ¸ine astfel triunghiul dreptunghic ABE (triunghi ˆınscris ˆın semicerc).
Prin construirea ˆın˘alt ¸imii din punctul Ase obt ¸ine triunghiul dreptunghic ADC ase-
menea cu ABE conform cazului UU. Not ˘am lungimea acestei ˆınalt ¸imi cu h.
Laturile celor dou ˘a triunghiuri asemenea sunt proport ¸ionale:
AE
AC=AB
AD⇒2Rh=AC·AB⇒R=AC·AB
2h.

1.1. CONCURENT ¸ A LINIILOR IMPORTANTE ˆINTR-UN TRIUNGHI 9
Dar, aria triunghiului ABC , notat ˘a cuA, esteA=h·BC
2, de unde rezult ˘a :
h=2A
BC.
ˆInlocuind hˆın expresia lui Rse obt ¸ine formula de calcul a razei cercului circumscris
triunghiului ABC ,
R=abc
4A.
q.e.d.
O legatur ˘aˆıntre raza cercului ˆınscris s ¸i raza cercului circumscris unui triunghi este
dat˘a de relat ¸ia lui Euler.
PROPOZIT ¸ IA 1.5 Relat ¸ia lui Euler
d2=R(R−2r)
unde deste distant ¸a dintre centrul cercului circumscris s ¸i centrul cercului ˆınscris
ˆıntr-un triunghi, Rraza cercului circumscris s ¸i rraza cercului ˆınscris ˆın triunghi.
Demonstrat ¸ie. FieDpunctul ˆın care bisectoarea [AIintersecteaz ˘a cercul circum-
BA
CI
DEFOI'
Figura 1.9: Relat ¸ia lui Euler
scris triunghiului ABC s ¸i ﬁe punctele {E, F}=C(O, R)∩OI. Din triunghiul
ABD rezult ˘aBD= 2RsinA
2, iar din triunghiul dreptunghic AI/primeI
AI=r
sinA
2.
Dar[AIs ¸i[BIsunt bisectoarele unghiurilor BAC s ¸iABC , se obt ¸ine BD=ID.

10 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
Folosind puterea punctului Ifat ¸˘a de cercul C(O, R), din ultimele relat ¸ii rezult ˘a
2Rr=ID·IA=IE·IF= (R−OI)(R+OI) =R2−IO2
q.e.d.
Se poate vedea c ˘a s ¸i inegalitatea lui Euler
R >2r
este veriﬁcat ˘a.
Cercuri ex ˆanscrise unui triunghi
A
B CA
A1
2
Figura 1.10: Cerc ex ˆanscris unui triunghi
DEFINIT ¸ IA 1.7 Un cerc tangent unei laturi a unui triunghi s ¸i prelungirilor celor-
lalte dou ˘a laturi se numes ¸te triunghi ex ˆanscris triunghiului.
Centrul unui cerc ex ˆanscris unui triunghi se aﬂ ˘a la intersect ¸ia bisectoarelor celor
dou˘a unghiuri exterioare s ¸i a bisectoarei unghiului interior neadiacent cu ele.
Exist ˘a3cercuri ex ˆanscrise unui triunghi.
Proprietate
Punctele de tangent ¸ ˘a ale cercului ex ˆanscris s ¸i cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi sunt
simetrice fat ¸ ˘a de mijlocul laturii la care sunt tangente am ˆandou ˘a.
TEOREMA 1.5 Fie triunghiul ABC . Dac ˘aM, N, P sunt punctele de tangent ¸ ˘a ale
cercurilor ex ˆanscrise cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente
ˆın punctul care se numes ¸te punctul lui Nagel.

1.2. TEOREMELE MENELAUS S ¸I CEV A 11
1.2 Teoremele MENELAUS s ¸i CEV A
1.2.1 Teorema lui Menelaus
Teorema lui Menelaus este una dintre teoremele clasice ale geometriei.
De-a lungul anilor ea a fost demonstrat ˘a prin diverse metode folosind rezultatele
din geometria sintetic ˘a, dar s ¸i cu metoda analitic ˘a , ¸ cu metoda vectorial ˘a s ¸i cu ajutorul
transform ˘arilor geometrice, al omotetiei.
TEOREMA 1.6 (TEOREMA LUI MENELAUS)
Fie un triunghi ABC ,M∈(BC, N ∈(AC), P∈(AB).Dac ˘a punctele M, N, P
sunt coliniare, atunci:
MB
MC·CN
NA·AP
PB= 1. (1.3)
Demonstrat ¸ie. Se construies ¸te prin Cparalela cu dreapta dcare cont ¸ine punctele
M, N, P . Aceasta intersecteaz ˘aABˆın punctul notat cu R.
BCdNA
RP
M
Figura 1.11: Teorema lui Menelaus
Se aplic ˘a teorema lui Thales ˆın triunghiul BMP cuCR/bardblMP:
MB
MC=PB
PR, (1.4)
iarˆın triunghiul ARC cuPN/bardblRCrezult ˘a:
CN
NA=PR
PA. (1.5)
Din relat ¸iile (1.4) s ¸i (1.5) rezult ˘a:
MB
MC·CN
NA·AP
PB=PB
PR·PR
PA·AP
PB= 1.
q.e.d.

12 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
BCA
MdTNPS
R
Figura 1.12: Teorema lui Menelaus
O alt ˘a demonstrat ¸ie a teoremei lui Menelaus, folosind geometria sintetic ˘a:
Demonstrat ¸ie. Fie triunghiul ABC s ¸i transversala dcare se intersecteaz ˘a cu latu-
rile triunghiului ˆın punctele M∈(BC, N ∈(AC), P∈(AB).
Construim CT⊥d, BS ⊥d, AR ⊥d, lungimile acestor segmente reprezent ˆand
distant ¸ele de la v ˆarfurile triunghiului la transversala d, vor ﬁ notate cu CT=dC,
BS=dB,AR=dA.
Se formeaz ˘a astfel perechile de triunghiuri dreptunghice asemenea:
∆ARP∼∆BPS, ∆BSM ∼∆CTM, ∆NCT ∼∆ARN
pentru care scriem proport ¸ionalitatea laturilor:
dA
dB=AP
BP;dB
dC=MB
MC;dC
dA=NC
NA.
ˆInmult ¸ind aceste relat ¸ii membru cu membru se va obt ¸ine relat ¸ia lui Menelaus.
q.e.d.
V om prezenta ˆın continuare reciproca teoremei lui Menelaus:
TEOREMA 1.7 Fie un triunghi ABC ,M∈(BC, N ∈(AC), P∈(AB)astfel
ˆıncˆat are loc relat ¸ia:
MB
MC·CN
NA·AP
PB= 1. (1.6)
Atunci punctele M, N, P sunt coliniare.
Demonstrat ¸ie. Dreapta MN se intersecteaz ˘a cuABˆın punctul pe care-l not ˘am
cuP1. Punctele M, N, P 1ﬁind coliniare, aplic ˘am teorema lui Menelaus s ¸i obt ¸inem:
MB
MC·CN
NA·AP1
BP1= 1. (1.7)

1.2. TEOREMELE MENELAUS S ¸I CEV A 13
Din relat ¸iile (1.6), (1.7) rezult ˘a
AP1
BP1=AP
PB
adic˘aP=P1. Deci punctele M, N, P sunt coliniare. q.e.d.
Teorema lui Menelaus se poate demonstra s ¸i ˆın cazul M∈(BC, N ∈(AC, P ∈
(AB.
TEOREMA 1.8 Fie un triunghi ABC ,M∈(BC, N ∈(AC, P ∈(AB. Dac ˘a
punctele M, N, P sunt coliniare, atunci:
MB
MC·CN
NA·AP
PB= 1. (1.8)
Demonstrat ¸ie. Construim dreapta dcare se intersecteaz ˘a cu(BCˆın punctul M,
cu(ACˆınNs ¸i cu (ABˆınP. Ducem prin Cparalela la dcare se intersecteaz ˘a cu
ABˆınR.
A
MC
NPB
dR
Figura 1.13:
Aplic ˘am teorema lui Thales
•ˆın triunghiul BMP cuCR/bardblMP:
MB
MC=PB
PR, (1.9)
•ˆın triunghiul APN cuPN/bardblRC:
CN
NA=PR
PA. (1.10)
Din relat ¸iile (1.9) s ¸i (1.10) rezult ˘a:
MB
MC·CN
NA·AP
PB=PB
PR·PR
PA·AP
PB= 1.
q.e.d.

14 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
ˆIn continuare vom prezenta teorema lui Menelaus pentru un patrulater:
TEOREMA 1.9 FieABCD un patrulater s ¸i punctele M∈(CB, N ∈(AB), P∈
(DC), Q∈(AD. Dac ˘a punctele M, N, P, Q sunt coliniare, atunci
MC
MB·BN
NA·AQ
QD·PD
PC= 1. (1.11)
Demonstrat ¸ie. Not˘am cu ddreapta care cont ¸ine punctele M, N, P, Q . Se con-
struiesc paralele la dreapta dprin punctele Bs ¸iAcare se intersecteaz ˘a cu(CD ˆın
punctele Rs ¸iS.
PdR
AD
Q
N
SMBC
Figura 1.14: Teorema lui Menelaus ˆın patrulater
Aplic ˘am teorema lui Thales
•ˆın triunghiul CMP cuBR/bardblMP:
MC
MB=PC
PR, (1.12)
•ˆın triunghiul ADS cuPQ/bardblAS:
AQ
QD=PS
PD. (1.13)
Dreptele BR/bardblNP/bardblASt˘aiate de secantele ABs ¸iCSdetermin ˘a proport ¸ionalitatea
segmentelor:
BN
NA=PR
PS. (1.14)
Din relat ¸iile (1.12), (1.13), (1.14) se obt ¸ine:
MB
MC·BN
NA·AQ
QD·PD
PC=PC
PR·PR
PS·PS
PD·PD
PC= 1.
q.e.d.

1.2. TEOREMELE MENELAUS S ¸I CEV A 15
ˆIn acelas ¸i mod se poate demonstra o relat ¸ie ca cea din teorema lui Menelaus pentru
un poligon cu n >4laturi convex sau concav.
1.2.2 Teorema lui Ceva
Teorema lui Ceva este un rezultat din geometria triunghiului, cu aplicat ¸ii ˆın geome-
tria proiectiv ˘a. A fost descoperit ˘a de matematicianul italian Giovanni Ceva, care a
formulat-o s ¸i a demonstrat-o ˆın 1678 ˆın lucrarea De lineis rectis se invicem secanti-
bus statica constructio.
Se pare c ˘a aceast ˘a teorem ˘a era cunoscut ˘a, cu multe secole ˆınainte (secolul al XI-
lea) de unii matematicieni arabi (Yusuf Al-Mu’taman ibn Hud).
TEOREMA 1.10 (TEOREMA LUI CEVA)
Fie triunghiul ABC s ¸iD, E, F trei puncte diferite de v ˆarfurile triunghiului, aﬂate
respectiv pe laturile acestuia [BC],[CA],[AB]. Dac ˘a dreptele AD, BE s ¸iCFsunt
concurente atunci:
AF
FB·BD
DC·CE
EA= 1. (1.15)
BCDEFA
M
Figura 1.15: Teorema lui Ceva
Demonstrat ¸ie. Not˘am cu Mpunctul de intersect ¸ie al dreptelor AD, BE s ¸iCF.
Aplic ˘am teorema lui Menelaus pentru:
-triunghiul ABD cu secanta CF
CB
CD·MD
MA·FA
FB= 1, (1.16)
de unde se obt ¸ine:
MD
MA=FB
FA·CD
CB; (1.17)

16 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
-ˆın triunghiul ADC cu secanta BE
BC
BD·MD
MA·AE
EC= 1. (1.18)
Din relat ¸iile (1.17) s ¸i (1.18) se obt ¸ine:
BC
BD·FB
FA·CD
CB·AE
EC= 1,
adic˘a relat ¸ia din teorem ˘a. q.e.d.
ˆIntr-un triunghi dreapta care unes ¸te un v ˆarf al acestuia cu un punct de pe latura
opus ˘a se numes ¸te cevian ˘a.
TEOREMA 1.11 (Reciproca teoremei lui Ceva)
Dac˘aAD,BE,CFsunt trei ceviene ˆın triunghiul ABC s ¸i
AF
FB·BD
DC·CE
EA= 1. (1.19)
atunci cevienele sunt concurente.
Demonstrat ¸ie. Demonstrat ¸ia se face prin reducere la absurd.
Presupunem c ˘aADnu trece prin punctul M,{M}=CF∩BE. Fie Npunctul
de intersect ¸ie dintre AM s ¸iBC,AM∩BC={N}. Aplic ˆand teorema lui Ceva
pentru punctele E, F s ¸iNs ¸i compar ˆand cu relat ¸ia din enunt ¸ obt ¸inem c ˘aM=N.
q.e.d.
1.2.3 Teorema lui V AN AUBEL
TEOREMA 1.12 (TEOREMA LUI VAN AUBEL)
Fie un triunghi ABC ,D∈(BC), E∈(AC), F∈(AB). Dac ˘aAD, BE, CF
sunt concurente ˆınMatunci
EA
EC+FA
FB=MA
MD. (1.20)
Demonstrat ¸ie. Se aplic ˘a teorema lui Menelaus:
ˆın triunghiul ABD cu secanta FC
FB
AF·AM
MD·DC
BC= 1, (1.21)
de unde rezult ˘aAM
MD·DC
BC=AF
FB. (1.22)

1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 17
A
B CD
M
EF
Figura 1.16: Teorema lui Van Aubel
s ¸iˆın triunghiul ADC cu secanta BE
CE
AE·AM
MD·BD
BC= 1 (1.23)
de unde rezult ˘a:
AM
MD·BD
BC=AE
CE. (1.24)
Adun ˘am relat ¸iile (1.22) s ¸i (1.24):
AM
MDµDC
BC+BD
BC¶
==AF
FB+AE
CE⇒
EA
EC+FA
FB=MA
MD.
q.e.d.
1.3 Patrulatere inscriptibile
Dac˘aˆın cazul triunghiului ˆıntotdeauna exist ˘a un cerc circumscris acestuia, ˆın cazul
patrulaterelor nu se aplic ˘a acest rezultat, adic ˘a nu orice patrulater poate ﬁ ˆınscris
ˆıntr-un cerc.
DEFINIT ¸ IA 1.8 1. Patru puncte (sau mai multe) se numesc puncte concilice dac ˘a
exist ˘a un cerc c ˘aruia s ˘a-i apart ¸in ˘a toate cele patru puncte.
2. Un patrulater se numes ¸te inscriptibil dac ˘a cele patru v ˆarfuri ale sale sunt puncte
conciclice.

18 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
OA
B
CD
Figura 1.17: Patrulater inscriptibil
PROPOZIT ¸ IA 1.6 Propriet ˘at ¸i ale patrulaterului inscriptibil
1.ˆIntr-un patrulater inscriptibil, unghiurile opuse sunt suplementare.
2. Unghiurile formate de diagonale cu dou ˘a laturi opuse sunt congruente.
Demonstrat ¸ia acestor aﬁrmat ¸ii este imediat ˘a folosind m ˘arimea arcelor sub ˆantinse
de aceste unghiuri.
Reciprocele acestor aﬁrmat ¸ii, de asemenea, se pot demonstra us ¸or.
PROPOZIT ¸ IA 1.7 Un patrulater este inscriptibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a mediatoarele
laturilor sale sunt concurente.
Demonstrat ¸ie. “⇒” Se consider ˘a un un patrulater ABCD , care este inscriptibil,
OA
B
CD
Figura 1.18: Patrulater inscriptibil
adic˘a exist ˘a un cerc C(O, r)care cont ¸ine punctele A, B, C, D . Atunci
OA=OB=OC=OD=r,
deci punctul Ose aﬂ ˘a pe mediatoarele segmentelor [AB],[BC],[AC],[AD].

1.3. PATRULATERE INSCRIPTIBILE 19
“⇐” Se consider ˘a patrulaterul ABCD , cu mediatoarele laturilor sale [AB],[BC],
[AC],[AD], concurente ˆın punctul O.
Atunci folosind proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment de a se
aﬂa la aceeas ¸i distant ¸ ˘a fat ¸˘a de capetele lui se obt ¸ine
OA=OB=OC=OD=r,
adic˘a vˆarfurile lui se aﬂ ˘a pe cercul cu centrul ˆın punctul Os ¸i raz ˘ar. q.e.d.
Cazuri particulare de patrulatere inscriptibile:
1. Dreptunghiul, p ˘atratul sunt patrulatere inscriptibile;
2. Un trapez este inscriptibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a este isoscel.
1.3.1 Teorema lui Ptolemeu
Inegalitatea lui Ptolemeu ˆIn orice patrulater convex ABCD are loc relat ¸ia:
AC·BD≤AB·CD+BC·AD.
TEOREMA 1.13 (TEOREMA LUI PTOLEMEU)
Patrulaterul convex ABCD este inscriptibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
AC·BD=AB·CD+BC·AD.(Rela t ¸ia lui Ptolemeu ) (1.25)
A
B
CDK
Figura 1.19: Teorema lui Ptolemeu
Demonstrat ¸ie. FieABCD un patrulater inscriptibil. Pe diagonala ACse consi-
der˘a punctul Kastfel ˆıncˆat\ABK =\CBD .
\ABK +\CBK =[ABC =\CBD +\ABD ⇒\CBK =\ABD.

20 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
Se observ ˘a c˘a triunghiurile ABK ∼DBC , de unde rezult ˘a
AK
CD=AB
BD, (1.26)
iar triunghiul ABD ∼KBC , cu
CK
DA=BC
BD. (1.27)
Putem scrie:
AK·BD=AB·CD
CK·BD=AD·BC
s ¸i adun ˆand aceste relat ¸ii obt ¸inem relat ¸ia lui Ptolemeu. q.e.d.
Observat ¸ia 1.2 Se pot deplasa punctele A, B, C, D pe cerc oricum, dar ca relat ¸ia
lui Ptolemeu s ˘a se veriﬁce este necesar ca ACs ¸iBD s˘a r˘amˆan˘a diagonale.
ˆIn cazul ˆın care ABCD este dreptunghi, relat ¸ia lui Ptolemeu devine teorema lui
PITAGORA.
1.4 Patrulatere circumscriptibile
DEFINIT ¸ IA 1.9 1. Un patrulater care are cele patru laturi tangente unui cerc se
numes ¸te patrulater circumscris cercului.
2. Un patrulater spunem c ˘a este circumscriptibil dac ˘a poate ﬁ circumscris unui
cerc.
Nu putem spune c ˘a orice patrulater este circumscriptibil.
PROPOZIT ¸ IA 1.8 Un patrulater poate ﬁ circumscris unui cerc dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
bisectoarele unghiurilor sale sunt concurente.
Demonstrat ¸ie. “⇒” Consider ˘am un patrulater ABCD circumscris unui cerc,
adic˘a laturile sale [AB],[BC],[AC],[AD]sunt tangente la un cerc C(O, r). Atunci
d(O, AB ) =d(O, BC ) =d(O, CD ) =d(O, AD ) =r,
deci punctul Ose aﬂ ˘a pe bisectoarele unghiurilor A, B, C, D .
“⇐” Se consider ˘a patrulaterul ABCD , cu bisectoarele unghiurilor sale concu-
rente ˆın punctul O.

1.4. PATRULATERE CIRCUMSCRIPTIBILE 21
A
BOD
C
Figura 1.20: Patrulater circumscris
Atunci folosind proprietatea punctelor de pe bisectoare de a se aﬂa la aceeas ¸i
distant ¸ ˘a fat ¸˘a de laturile unghiului se obt ¸ine
d(O, AB ) =d(O, BC ) =d(O, CD ) =d(O, AD ) =r,
adic˘a cercul cu centrul ˆın punctul Os ¸i raz ˘areste tangent ﬁec ˘arei laturi a patrulate-
rului.
q.e.d.
PROPOZIT ¸ IA 1.9 Un patrulater este circumscriptibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a suma
lungimilor laturilor opuse este aceeas ¸i,
AB+CD=AD+BC.
Aceasta proprietate poate ﬁ us ¸or demonstrat ˘a, deoarece s ¸tim c ˘a tangentele duse dintr-
un punct la un cerc au aceeas ¸i lungime.
PROPOZIT ¸ IA 1.10 1. Dac ˘a un patrulater circumscris unui cerc este trapez, atunci
punctele de contact cu cercul ale bazelor s ¸i centrul cercului sunt colineare.
2. Dac ˘a trapezul este isoscel, atunci lungimea diametrului cercului ˆınscris ˆın tra-
pez este media geometric ˘a a lungimii bazelor.
Demonstrat ¸ie.
1.Triunghiurile ∆DEO ≡∆DIO sunt congruente, pentru c ˘a sunt dreptunghice
s ¸i au laturile respectiv egale.

22 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
CO
FA E D
BI
Figura 1.21: Trapez circumscris
Congruente sunt s ¸i triunghiurile ∆OIC≡∆OFC (se poate demonstra tot folo-
sind cazul 3de congruent ¸ ˘a a triunghiurilor). Obt ¸inem astfel congruent ¸a unghiurilor
\EOD ≡[DOI s ¸i[IOC≡[COF .Dar triunghiul DOC este dreptunghic cu unghiul
drept\DOC . Atunci se observ ˘a c˘a unghiul[EOF este alungit, adic ˘a m˘asura lui este
180◦, ceea ce ne arat ˘a coliniaritatea celor trei puncte.
2.ˆIn triunghiul dreptunghic DOC segmentul OIesteˆın˘alt ¸ime pe ipotenuz ˘a s ¸i cum
DI=DE, CI =CFobt ¸inem
DE·CF=OI2=r2;AE·BF=r2.
Dac˘a trapezul este isoscel se obt ¸ine proprietatea anunt ¸at ˘a. q.e.d.
1.4.1 Cercul lui Euler
Cercul lui Euler sau cercul celor 9 puncte este cercul ce trece prin mijloacele laturilor
unui triunghi ; picioarele ˆınˆalt ¸imilor ; mijloacele segmentelor cuprinse ˆıntre v ˆarfuri
s ¸i ortocentru.
Centrul lui se g ˘ases ¸te la mijlocul segmentului HO (Heste ortocentrul; Oeste-
centrul cercului circumscris) s ¸i are raza egal ˘a cu jum ˘atatea razei cercului circumscris.
V om demonstra conciclitatea celor 9 puncte ˆın capitolul urm ˘ator, folosind trans-
form ˘arile geometrice.

1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 23
1.5 Probleme de coliniaritate
1.5.1 Metode de demonstrare a coliniarit ˘at ¸ii unor puncte
Coliniaritatea a trei puncte se poate demonstra prin mai multe metode:
1. folosind identitatea AB=AC+CB, unde AB, AC, BC sunt segmente de
dreapt ˘a;
2. utiliz ˆand reciproca teoremei unghiurilor opuse la v ˆarf;
3. cu ajutorul unghiului alungit;
4. identiﬁcarea apartenent ¸ei punctelor la o dreapt ˘a remarcabil ˘a (linie mijlocie, me-
diatoare, bisectoare, etc.) ˆın conﬁgurat ¸ia respectiv ˘a.
5. folosind postulatul lui Euclid: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce
o paralel ˘a s ¸i numai una la acea dreapt ˘a.
6. cu ajutorul propriet ˘at ¸ilor paralelogramului;
7. folosind unicitatea perpendicularei dintr-un punct pe o dreapt ˘a;
8. utiliz ˆand reciproca teoremei lui Menelaus;
9. prin utilizarea axiomei 6 de incidenta (sau de situare): Dac ˘a dou ˘a plane distincte
au un punct comun atunci intersect ¸ia lor este o dreapt ˘a;
10. prin metoda analitic ˘a;
11. prin metoda vectorial ˘a;
12. folosind transform ˘ari geometrice;
13. folosind numerele complexe: punctele M1(z1), M2(z2), M3(z3)sunt colineare
dac˘a s ¸i numai dac ˘az3−z1
z2−z1∈R.
1.5.2 Teorema lui Euler, dreapta lui Simpson
Dreapta lui Euler
TEOREMA 1.14 ˆIn orice triunghi ortocentrul H, centrul de greutate Gs ¸i centrul
cercului circumscris triunghiului sunt coliniare.

24 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
Dreapta determinat ˘a de cele trei puncte se numes ¸te dreapta lui Euler.
Demonstrat ¸ie. a)Dac ˘a triunghiul ABC este isoscel sau dreptunghic, atunci cele
trei puncte se aﬂ ˘a pe o median ˘a.
b)ˆIn cazul triunghiului oarecare ABC , not˘am cu A1, B1picioarele ˆın˘alt ¸imilor din
vˆarfurile As ¸iB, iar picioarele medianelor din aceste v ˆarfuri sunt A/primes ¸iB/prime. Triunghiu-
rileHAB s ¸iOA/primeB/primesunt asemenea pentru c ˘a au laturile paralele. Folosind teorema
fundamental ˘a a asem ˘an˘arii se obt ¸ine:
HA
OA/prime=HB
OB/prime=AB
A/primeB/prime= 2⇒HA
OA/prime= 2.
Dar punctul Gˆımparte mediana ˆın raportulAG
GA/prime= 2. Atunci triunghiurile OGA/primes ¸i
BA
A1H
GO
CB1
B'
A'
Figura 1.22:
HGA sunt asemenea conform cazului al doilea de asem ˘anare s ¸i rezult ˘a
\OGA/prime=\AGH,
ceea ce implic ˘a coliniaritatea punctelor O, G, H . q.e.d.
Dreapta lui Simpson
TEOREMA 1.15 Proiect ¸iile ortogonale ale unui punct de pe cercul circumscris tri-
unghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.
Dreapta care cont ¸ine punctele coliniare din teorema anterioar ˘a se numes ¸te dreapta
lui Simpson .
Demonstrat ¸ie. Consider ˘am un punct Mpe cercul circumscris triunghiului ABC
s ¸i not ˘am proiect ¸iile ortogonale ale acestuia pe laturile BC, AC, AB cuD, E , respec-
tivF.

1.5. PROBLEME DE COLINIARITATE 25
B CDEM AF
Figura 1.23: Dreapta lui Simpson
Patrulaterele AEMF, FBDM sunt inscriptibile pentru c ˘a au unghiurile opuse
suplementare, dar s ¸i MEDC este inscriptibil.
Atunci
\DEC =\DMC = 90◦−\DCM = 90◦−\FAM =\FMA =[FEA.
Obt ¸inem\DEC =[FEA , care sunt unghiuri opuse la v ˆarf, ceea ce implic ˘a coliniari-
tatea punctelor D, E, F .
q.e.d.
1.5.3 Relat ¸ia lui Carnot
TEOREMA 1.16 (TEOREMA LUI CARNOT)
Fie un triunghi ABC ,D∈(BC), E∈(AC), F∈(AB).Perpendicularele ˆınD
pe(BC),ˆınEpe(AC)s ¸iˆınFpe(AB)sunt concurente dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
DB2−DC2+EC2−EA2+FA2−FB2= 0. (1.28)
Relat ¸ia (1.28) se numes ¸te relat ¸ia lui Carnot .
Demonstrat ¸ie. “⇒” Presupunem c ˘a perpendicularele ˆınDpe(BC),ˆınEpe(AC)
s ¸iˆınFpe(AB)sunt concurente. Se formeaz ˘a triunghiurile dreptunghice DMB ,
DMC ,EMC ,EMA ,AMF ,FMB pentru care vom scrie teorema lui Pitagora
obt ¸in ˆand relat ¸iile:
BM2=MD2+DB2; (1.29)
CM2=MD2+DC2; (1.30)

26 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
A
BCEF
DM
Figura 1.24: Relat ¸ia lui Carnot
CM2=ME2+EC2; (1.31)
AM2=ME2+EA2; (1.32)
AM2=FA2+FM2; (1.33)
BM2=FM2+FB2. (1.34)
Scaz ˆand relat ¸iile dou ˘a cˆate dou ˘a obt ¸inem:
BM2−CM2=DB2−DC2;
CM2−AM2=EC2−EA2;
AM2−BM2=FA2−FB2.
V om aduna aceste trei relat ¸ii s ¸i se va obt ¸ine relat ¸ia lui Carnot.
“⇐/prime/primePresupunem c ˘a relat ¸ia lui Carnot este adev ˘arat˘a, dar perpendicularele pe
laturile triunghiului construite ˆın punctele D, E, F nu sunt concurente.
Perpendicularele construite ˆın dou ˘a dintre aceste puncte sunt concurente, de exem-
plu cea construit ˘aˆın punctul Ds ¸i cea din E. Punctul lor de concurent ¸ ˘a va ﬁ M.
Not˘am proiect ¸ia punctului Mpe latura ABcuN. Conform implicat ¸iei directe
care a fost demonstrat ˘a, putem scrie relat ¸ia lui Carnot pentru punctele N, E, D :
DB2−DC2+EC2−EA2+NA2−NB2= 0. (1.35)
Conform ipotezei:
DB2−DC2+EC2−EA2+FA2−FB2= 0. (1.36)

1.6. PROBLEME DE CONCURENT ¸ ˘A 27
A
BCE
DMNF
Figura 1.25:
Sc˘azˆand (1.28) s ¸i (1.36), rezult ˘a:
NA2−NB2=FA2−FB2.
Not˘amBN=m,NF=x, AF =ns ¸i relat ¸ia anterioar ˘a va ﬁ
(n+x)2−m2=n2−(m+x)2
ceea ce implic ˘ax= 0, adic ˘a punctele N, F coincid. q.e.d.
1.6 Probleme de concurent ¸ ˘a
1.6.1 Metode de demonstrare a concurent ¸ei unor drepte
Pentru a demonstra concurent ¸a a dou ˘a sau mai multe drepte putem folosi una dintre
urm˘atoarele metode:
1. folosind deﬁnit ¸ia dreptelor concurente, adic ˘a s˘a ar˘atam c ˘a exist ˘a un punct co-
mun dreptelor;
2. concurent ¸a a trei drepte const ˘aˆın a ar ˘ata c ˘a punctul de intersect ¸ie a dou ˘a drepte
apart ¸ine s ¸i celei de a treia drepte;
3. pentru a demonstra concurent ¸a a trei drepte putem s ˘a folosim teoremele referi-
toare la concurent ¸a liniilor importante ˆın triunghi;
4. folosind reciproca teoremei lui Ceva;
5. prin metoda analitic ˘a, folosind ecuat ¸iile analitice ale dreptelor;
6. pentru concurent ¸a a trei drepte, demonstr ˘am c ˘a se intersecteaz ˘a dou ˘a cˆate dou ˘a
s ¸i aria poligonului obt ¸inut este 0.

28 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
1.6.2 Teoremele lui Gergonne
TEOREMA 1.17 (TEOREMA LUI GERGONNE)
Fie un triunghi ABC ,D∈(BC), E∈(AC), F∈(AB). Dac ˘aAD,BEs ¸iCF
sunt concurente ˆın punctul Matunci:
DM
AD+EM
BE+FM
CF= 1. (1.37)
Demonstrat ¸ie. Not˘am cu hadistant ¸a de la punctul AlaBC; cudadistant ¸a de
la punctul MlaBC;ABMC aria triunghiului BMC s ¸i cuAABC aria triunghiului
ABC .
A
BCE
DFM
G I
Figura 1.26: Teorema lui Gergonne
Se observ ˘a c˘aABMC
AABC=da
ha(au aceeas ¸i baz ˘a).
Se construiesc ˆın˘alt ¸imile AG pentru triunghiul ABC s ¸iMI pentru triunghiul
BMC . Se formeaz ˘a astfel triunghiurile asemenea AGD s ¸iMID , pentru care putem
scrie:
da
ha=MD
AD. (1.38)
Se obt ¸ine:
ABMC
AABC=MD
AD(1.39)
Prin procedee analoage se pot obt ¸ine:
AAMB
AABC=MF
CF; (1.40)
AAMC
AABC=ME
BE(1.41)

1.6. PROBLEME DE CONCURENT ¸ ˘A 29
adun ˆand relat ¸iile (1.39), (1.40), (1.41) vom obt ¸ine:
1 =ABMC
AABC+AAMC
AABC+AAMB
AABC=DM
AD+EM
BE+FM
CF.
q.e.d.
TEOREMA 1.18 (PUNCTUL LUI GERGONNE)
Fie cercul ˆınscris ˆın triunghiul ABC . Dac ˘aM, N, P sunt punctele de tangent ¸ ˘a
ale cercului cu laturile triunghiului, atunci AM, BN, CP sunt concurente ˆın punctul
lui Gergonne.
Pentru demonstrat ¸ie se foloses ¸te reciproca teoremei lui Ceva.
1.6.3 Teorema lui Steiner
Reamintim c ˘a o cevian ˘aˆıntr-un triunghi este dreapta determinat ˘a de un v ˆarf al triun-
ghiului s ¸i un punct de pe latura opus ˘a.
Ceviene izogonale sunt cevienele egal ˆınclinate fat ¸ ˘a de laturile care pleac ˘a din
acelas ¸i v ˆarf cu ele.
TEOREMA 1.19 (TEOREMA LUI STEINER) Dac ˘aAM, AN sunt ceviene izogo-
nale ˆın triunghiul ABC atunci are loc relat ¸ia:
AB2
AC2=BM·BN
CM·CN(1.42)
CAB
NM
E
FD
Figura 1.27: Teorema lui Steiner
Demonstrat ¸ie. Prin v ˆarfurile B, respectiv Cale triunghiului ABC construim
paralele la laturile opuse. Se obt ¸ine astfel paralelogramul ABDC .
Not˘am{E}=AM∩BD s ¸i{F}=AN∩CD.
Cu teorema fundamental ˘a a asem ˘an˘arii se obt ¸ine c ˘aBE
AC=BM
CMs ¸iAB
CF=BN
CN.

30 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
Relat ¸ia de demonstrat devineBE
CF=AB
AC, adev ˘arat˘a din asem ˘anarea triunghiuri-
lorABE s ¸iACF .
q.e.d.
Un exemplu de ceviene izogonale sunt ˆınalt ¸imea dintr-un v ˆarf s ¸i diametrul cercu-
lui circumscris triunghiului, dus din v ˆarful respectiv.
OA
BC
Eh
D
Figura 1.28: Ceviene izogonale
1.7 Relat ¸ii metrice ˆın triunghi s ¸i patrulater
1.7.1 Teorema Pitagora generalizat ˘a
Este bine cunoscut ˘a teorema lui Pitagora, care se aplic ˘aˆın triunghiuri dreptunghice.
Acum prezent ˘am generalizarea ei, numit ˘a s ¸i teorema cosinusului, care se poate aplica
ˆın orice triunghi.
TEOREMA 1.20 Dac˘aˆın triunghiul ABC ,ˆCeste un unghi ascut ¸it s ¸i D=prBCA,
atunci:
AB2=AC2+BC2−2BC·DC.
Demonstrat ¸ie. V om discuta 3 cazuri:
a) unghiul ˆBeste ascut ¸it, not ˘am cu D=prBCA, atunci D∈(BC).
Triunghiurile ABD s ¸iADC sunt dreptunghice s ¸i vom aplica teorema Pitagora:
AB2=AD2+BD2(1.43)
AD2=AC2−DC2(1.44)
BD=BC−DC. (1.45)

1.7. RELAT ¸ II METRICE ˆIN TRIUNGHI S ¸I PATRULATER 31
A
BCD
Figura 1.29: teorema lui Pitagora generalizat ˘a
Seˆınlocuies ¸te ˆın (1.43) ADs ¸iBD date de egalit ˘at ¸ile (1.44) s ¸i (1.45)
AB2=AC2−DC2+ (BC−DC)2,
AB2=AC2+BC2−2BC·DC.
a) dac ˘a unghiul ˆBeste obtuz, atunci B∈(DC). Egalit ˘at ¸ile (1.43) s ¸i (1.44) r ˘amˆan
CA
B D
Figura 1.30: teorema lui Pitagora generalizat ˘a
adev ˘arate s ¸i
BD=DC−BC. (1.46)
ˆInlocuind ˆın (1.43) ADs ¸iBD date de (1.44) s ¸i (1.46) se obt ¸ine:
AB2=AC2−DC2+ (DC−BC)2,
AB2=AC2+BC2−2BC·DC.
c) pentru Bunghi drept se aplic ˘a Pitagora. q.e.d.

32 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
1.7.2 Relat ¸ia lui Stewart
Teorema lui Stewart furnizeaz ˘a o relat ¸ie ˆıntre lungimile laturilor unui triunghi s ¸i
lungimea segmentului care coboar ˘a dintr-un v ˆarf la un punct de pe latura opus ˘a.
TEOREMA 1.21 (TEOREMA LUI STEWART) Fie un triunghi ABC cu lungimile
A
BCxyp
Pbc
a
Figura 1.31: teorema Stewart
laturilor BC=a, AC =b, AB =c. Fie Pun punct pe latura [BC]care divide
latura ˆın dou ˘a segmente cu lungimile BP=x, PC =y. Lungimea segmentului AP
o vom nota cu p. Atunci:
a(p2+xy) =b2x+c2y. (1.47)
Demonstrat ¸ie. Aplic ˘am teorema Pitagora generalizat ˘aˆın triunghiurile ABP s ¸i
APC corespunz ˘atoare unghiurilor suplementare APB , respectiv APC s ¸i adun ˘am
relat ¸iile obt ¸inute, dar nu ˆınainte de a le ˆınmult ¸i cu yrespectiv x.
q.e.d.
1.7.3 Teorema medianei
ˆIn geometria plan ˘a, teorema medianei stabiles ¸te o relat ¸ie ˆıntre lungimea unei me-
diane dintr-un triunghi s ¸i lungimile laturilor triunghiului. Teorema medianei este un
caz particular al teoremei lui Stewart.
TEOREMA 1.22 Fie triunghiul ABC cuMmijlocul laturii (BC). Atunci:
m2
a=2(b2+c2)−a2
4(1.48)
unde ma=AM, a =BC, b =AC, c =AB.
COROLARUL 1.1 ˆIntr-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunz ˘atoare
unghiului drept este egal ˘a cu jum ˘atate din lungimea ipotenuzei.

1.7. RELAT ¸ II METRICE ˆIN TRIUNGHI S ¸I PATRULATER 33
1.7.4 Relat ¸ia lui Euler pentru patrulatere
TEOREMA 1.23 Fie patrulaterul ABCD ,Emijlocul diagonalei ACs ¸iFmijlocul
luiBD. Atunci:
AB2+BC2+CD2+AD2=AC2+BD2+ 4EF2. (1.49)
Relat ¸ia (1.49) se numes ¸te relat ¸ia lui Euler pentru patrulatere.
A
B
CDFE
Figura 1.32: Relat ¸ia Euler pentru patrulatere
Demonstrat ¸ie. Se construiesc AF, FC, BE, DE . V om folosi teorema medianei
ˆın:
•triunghiul ABD :
4AF2= 2(AB2+AD2)−BD2; (1.50)
•triunghiul BCD :
4CF2= 2(BC2+CD2)−BD2; (1.51)
•triunghiul ABC :
4BE2= 2(AB2+BC2)−AC2; (1.52)
•triunghiul ADC :
4DE2= 2(AD2+CD2)−AC2; (1.53)
•triunghiul AFC :
4EF2= 2(AF2+FC2)−AC2; (1.54)
•triunghiul BED :
4EF2= 2(BE2+ED2)−BD2. (1.55)

34 CAPITOLUL 1. GEOMETRIE SINTETIC ˘A PLAN ˘A
Se adun ˘a relat ¸iile (1.50),(1.51), (1.52), (1.53) cu relat ¸iile (1.54), (1.55) ˆınmult ¸ite
cu2s ¸i se obt ¸ine (1.49).
q.e.d.

Capitolul 2
Transform ˘ari geometrice
Istoria matematicii consemneaz ˘a c˘a transform ˘arile geometrice au fost folosite pentru
obt ¸inerea primelor demonstrat ¸ii ale unor teoreme de geometrie.
Astfel se aﬁrm ˘a c˘a Thales din Milet a demonstrat prin suprapunerea ﬁgurilor,
folosind ideea de mis ¸care, tradus ˘a ast˘aziˆın aceea de transformare geometric ˘a, teore-
mele: unghiurile opuse la v ˆarf sunt congruente; unghiurile de la baza unui triunghi
isoscel sunt congruente; diametrul ˆımparte cercul ˆın dou ˘a p˘at ¸i congruente s ¸.a.
Mai t ˆarziu, Aristotel a eliminat mis ¸carea din geometrie s ¸i deci s ¸i transform ˘arile
geometrice, consider ˆand obiectele matematicii ca entit ˘at ¸i abstracte. Aceast ˘a concept ¸ie
a fost concretizat ˘a de Euclid prin celebra sa carte ”Elementele”, ˆın care geometria
este construit ˘a f˘ar˘a utilizarea ideii de mis ¸care pentru c ˘a aceasta nu poate exista, con-
form concept ¸iei lui Platon, Aristotel, Euclid, ˆın lumea formelor ideale.
Pe aceeas ¸i linie s-a situat D. Hilbert ˆın construct ¸ia sistemului cunoscut de axiome
ale geometriei. El a ˆınlocuit ideea de mis ¸care cu ceea de ﬁguri congruente.
Predarea geometriei ˆın spiritul axiomaticii lui Hilbert sau a lui Birkhoff este im-
plicat ˘a, indiscutabil, ˆın diminuarea ponderii transform ˘arilor geometrice ˆın unele pro-
grame analitice s ¸i manuale.
Intuit ¸ia asigur ˘aˆınt ¸elegerea de c ˘atre elevi a not ¸iunilor de mis ¸care, suprapunere,
transformare a ﬁgurilor, ceea ce favorizeaz ˘aˆınt ¸elegerea ulterioar ˘a a unor concepte
fundamentale din geometrie sau ofer ˘a o cale de a p ˘atrunde ˆın corpul teoremelor geo-
metrice f ˘ar˘a supozit ¸ii complicate, greu de explicitat s ¸i de motivat. Acest fapt indic ˘a
posibilitatea de a introduce ˆın geometrie transform ˘arile geometrice.
Transform ˘arile geometrice sunt ˆın esent ¸ ˘a funct ¸ii. Studiul lor este calea principal ˘a
pe care not ¸iunea de funct ¸ie p ˘atrunde ˆın geometrie.
Des ¸i transform ˘arile geometrice erau folosite de mult timp ˆın rezolvarea unor pro-
bleme de geometrie, ele nu au fost g ˆandite ca funct ¸ii dec ˆat relativ recent, c ˆand ﬁgurile
geometrice au fost concepute ca mult ¸imi de puncte.
Ca orice alte funct ¸ii, transform ˘arile geometrice se pot compune. Exist ˘a multe
situat ¸ii ˆın care mult ¸imea transform ˘arilor geometrice de un anumit tip este ˆınchis ˘a
35

36 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
la compunere, form ˆand un grup. Amintim grupul translat ¸iilor, grupul rotat ¸iilor de
acelas ¸i centru, grupul asem ˘an˘arilor. As ¸adar transform ˘arile geometrice furnizeaz ˘a
exemple netriviale de grupuri, fapt ce faciliteaz ˘aˆınt ¸elegerea not ¸iunii abstracte de
grup la algebr ˘a s ¸i care indic ˘a rolul integrator al transform ˘arilor geometrice cu algebra
abstract ˘a.
Primele obiective operat ¸ionale care se urm ˘aresc ˆın predarea temei respective sunt:
– construirea imaginii unui punct printr-o anume transformare geometric ˘a;
– determinarea punctelor ce corespund printr-o transformare care duce o ﬁgur ˘a
ˆıntr-o alt ˘a ﬁgur ˘a;
– remarcarea elementelor care determin ˘a o transformare geometric ˘a: centrul si-
metriei, centrul s ¸i unghiul rotat ¸iei, etc.;
– construirea imaginii unei ﬁguri printr-o transformare geometric ˘a.
Prin atingerea acestor obiective elevii cap ˘at˘a deprinderea de a folosi transform ˘arile
geometrice ˆın rezolvarea problemelor.
ˆIn funct ¸ie de timpul disponibil, se poate aborda structura grupal ˘a a transform ˘arilor
geometrice s ¸i teoreme de exprimare a unor transform ˘ari geometrice ca o compunere
de transform ˘ari mai simple. De exemplu, orice izometrie este compunerea a cel mult
trei simetrii axiale.
O structur ˘a geometric ˘a suﬁcient de simpl ˘a s ¸iˆın acelas ¸i timp cu multe propriet ˘at ¸i
este structura metric ˘a a planului (spat ¸iului) dat ˘a de distant ¸a dintre dou ˘a puncte.
Aceast ˘a structur ˘a are s ¸i un accentuat caracter intuitiv, ceea ce permite utilizarea ei ˆın
clasele a VI-a s ¸i a VII-a.Transform ˘arile geometrice compatibile cu structura metric ˘a
sunt interesante s ¸i bogate ˆın propriet ˘at ¸i. Dou ˘a asemenea clase de transform ˘ari sunt
studiate cu prec ˘adere: izometriile s ¸i asem ˘an˘arile.
Gˆandim spat ¸iul ﬁzic obis ¸nuit ca o mult ¸ime de elemente numite puncte, notat cu
S.
Distant ¸a este o aplicat ¸ie , cu urm ˘atoarele propriet ˘at ¸i:
1.d(A, B)≥0s ¸id(A, B) = 0 dac˘a s ¸i numai dac ˘aA≡B;
2.d(A, B) =d(B, A)
3.d(A, B)≤d(A, C) +d(C, B), oricare ar ﬁ punctele A, B, C ∈S.
Aplicat ¸ia T:S→Sse numes ¸te izometrie dac˘a
d(TA, TB ) =d(A, B),
adic˘a p˘astreaz ˘a distant ¸a ˆıntre puncte s ¸i
se numes ¸te asem ˘anare dac˘a
d(TA, TB ) =k·d(A, B),
adic˘a multiplic ˘a distant ¸a cu un factor real strict pozitiv k.

2.1. SIMETRII 37
Orice izometrie este o asem ˘anare particular ˘a(k= 1) .
Totus ¸i ˆın mod obis ¸nuit, se face ˆıntˆai studiul detaliat al izometriilor apoi cel al
asem ˘an˘arilor. Aceast ˘a ordonare pe l ˆang˘a avantajul didactic evident de a se trece de
la simplu la mai complicat este dictat ˘a s ¸i de faptul c ˘a orice asem ˘anare este compu-
nerea unei izometrii cu o omotetie (o asem ˘anare particular ˘a). Teoreme asem ˘an˘atoare
pentru izometrii, de exemplu, orice izometrie a planului care p ˘astreaz ˘a orientarea
este sau o translat ¸ie, sau rotat ¸ie, sau simetrie central ˘a, respectiv, orice izometrie este
compunerea a cel mult trei simetrii axiale ne arat ˘a c˘a e recomandabil ˘a mai ˆıntˆai stu-
dierea izometriei particulare (simetria, translat ¸ia, rotat ¸ia), apoi trecerea la stabilirea
propriet ˘at ¸ilor generale ale izometriilor.
ˆIn urma analizei modalit ˘at ¸ilor de a concepe predarea transform ˘arilor geometrice
ˆın diferite programe s ¸i manuale se pot distinge dou ˘a puncte de vedere: sintetic s ¸i
vectorial- analitic.
Conform primului, transform ˘arile geometrice se deﬁnesc ˆın mod direct, cu ele-
mente geometrice simple: puncte, drepte, plane, unghiuri s ¸i propriet ˘at ¸ile lor se de-
monstreaz ˘a geometric pe baza axiomelor s ¸i teoremelor simple de geometrie.
Al doilea punct de vedere se refer ˘a la introducerea transform ˘arilor geometrice pe
baza not ¸iunii de vector sau prin expresiile lor analitice, propriet ˘at ¸ile obt ¸in ˆandu-se
prin combinarea elementelor de algebr ˘a vectorial ˘a cu elemente de geometrie anali-
tic˘a.
ˆIn cele ce urmeaz ˘a vom explora succesiv ambele puncte de vedere pentru ﬁecare
din izometriile remarcabile s ¸i apoi pentru asem ˘an˘ari.
2.1 Simetrii
ˆIn mod natural trebuie s ˘aˆıncepem cu studiul simetriilor ˆın plan, apoi s ˘a trecem la
spat ¸iu.
Simetria fat ¸ ˘a de un punct ˆın plan
•Putem ˆıncepe prin a cere elevilor (clasa a VI-a) s ˘a deseneze mai multe seg-
mente care au acelas ¸i mijloc O. Ei deseneaz ˘a m˘asurˆand cu rigla sau eventual cu
compasul (dac ˘a sunt familiarizat ¸i cu acest instrument) o ﬁgur ˘a asem ˘an˘atoare cu
ﬁgura 2.1, care poate ﬁ apoi prezentat ˘a s ¸i pe o plans ¸ ˘a preg ˘atit˘a anterior.
•Cu notat ¸iile introduse ˆın ﬁgura 2.1, vom spune c ˘aA/primeeste simetricul punctului A
fat ¸˘a deO, c˘aB/primeeste simetricul punctului Bfat ¸˘a deO, la fel C/primeeste simetricul
luiCfat ¸˘a deOs ¸.a.m.d.
•Subliniem c ˘aOeste mijlocul pentru segmentele AA/prime, BB/prime, CC/primeetc, s ¸i repet ˘am
modul de construct ¸ie al punctelor A/prime, B/prime, etc.

38 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
B B'A'
ACC'
D
D'O
Figura 2.1: Simetria fat ¸ ˘a de un punct
Fix˘am apoi deﬁnit ¸ia formal ˘a:
simetricul unui punct Mfat ¸˘a de un punct Oeste un punct M/prime, astfel c ˘aOeste
mijlocul segmentului MM/prime; simetricul lui OesteO.
•Alternativ, pentru a preg ˘ati ideea de funct ¸ie putem spune c ˘a oric ˘arui punct M
din plan putem s ˘a-i asociem un punct M/prime, simetricul s ˘au fat ¸ ˘a deO; luiOi se
asociaz ˘aOˆınsus ¸i.
Aici sau la o reluare ˆıntr-o clas ˘a superioar ˘a aceast ˘a asociere o vom numi simetrie
de centru Os ¸i o vom nota prin SO, pentru a indica centrul de simetrie, scriind
A/prime=SO(A), B/prime=SO(B), etc.
•Revenind la ﬁgura 2.1, din paralelogramul ABA/primeB/prime(diagonalele se ˆınjum ˘at˘at ¸esc)
constat ˘am c ˘a segmentul A/primeB/primeeste congruent cu segmentul AB, adic ˘a simetria
fat ¸˘a deO(numit ˘a s ¸i simetrie de centru O, sau simetrie central ˘a) este o izometrie.
•Spunem apoi c ˘a dreapta A/primeB/primeeste simetrica dreptei ABfat ¸˘a de punctul Os ¸i
subliniem c ˘a ea este paralel ˘a cu dreapta AB. La fel dreapta A/primeC/primeeste simetrica
dreptei ACfat ¸˘a deO. Deci simetrica unei drepte fat ¸ ˘a de un punct Ose obt ¸ine
construind simetricele a dou ˘a puncte distincte ale ei s ¸i apoi unindu-le.
•Observ ˘am c ˘a dac ˘aM/primeeste simetricul fat ¸ ˘a deOal punctului M, atunci simetricul
fat ¸˘a deOal punctului M/primeeste chiar M.
Mai t ˆarziu vom scrie S2
O=I, unde Ieste transformarea identic ˘a a planului s ¸i
vom spune c ˘aSOeste transformare involutiv ˘a.
•Fie acum do dreapt ˘a oarecare din plan. Dac ˘a ea trece prin O, simetrica ei fat ¸ ˘a
de punctul Ocoincide cu ea ca mult ¸ime (nu punct cu punct). Cu alte cuvinte,
simetricul oric ˘arui punct de pe dse aﬂ ˘a ped. V om spune c ˘aOsituat pe deste
centru de simetrie pentru ﬁgura format ˘a din dreapta d.

2.1. SIMETRII 39
Od
d'
Figura 2.2: Simetrica unei drepte fat ¸ ˘a de un punct
Presupunem c ˘aOnu este situat pe d. Simetrica dreptei dfat ¸˘a deOeste o dreapt ˘ad/prime
paralel ˘a cud. Figura F=d∪d/primeare proprietatea c ˘a simetricul oric ˘arui punct al ei
fat ¸˘a deOeste tot pe ea, ﬁgura 2.2. V om spune c ˘aOeste centru de simetrie al ﬁgurii
F.
Cele observate pot ﬁ formulate astfel:
DEFINIT ¸ IA 2.1 Spunem c ˘a o ﬁgur ˘aFadmite ca centru de simetrie un punct O,
dac˘a simetricul fat ¸ ˘a deOal oric ˘arui punct al ﬁgurii Fse aﬂ ˘aˆınF.
Dup˘a cum am v ˘azut mai sus:
-oricare punct al unei drepte este centru de simetrie pentru ea, adic ˘a dreapta are o
inﬁnitate de centre de simetrie.
Figura format ˘a din dou ˘a drepte care se intersecteaz ˘aˆınOare ca centru de simetrie
peOs ¸i numai pe el.
Odd'δ
δ
A BC D
Figura 2.3: Centru de simetrie
Din ﬁgura 2.2 rezult ˘a c˘a ﬁgura format ˘a din reunirea a dou ˘a drepte paralele are
o inﬁnitate de centre de simetrie, situate pe o dreapt ˘a. Reunind aceste dou ˘a drepte

40 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
cu alte dou ˘a drepte paralele ˆıntre ele, dar form ˆand un anumit unghi cu primele dou ˘a
obt ¸inem o ﬁgur ˘a cu un singur centru de simetrie (ﬁgura 2.3).
Rezult ˘a c˘aˆın particular, paralelogramul are un singur centru de simetrie.
Unghiul, ˆınt ¸eles ca reuniunea a dou ˘a semidrepte cu originea comun ˘a, nu are centru
de simetrie.
Centrele de simetrie sunt importante ˆın aplicat ¸iile geometriei ˆın practic ˘a.
ˆIntr-o abordare vectorial-analitic ˘a a geometriei, simetria fat ¸ ˘a de un punct Ose
poate deﬁni astfel:
simetricul lui Afat ¸˘a deOeste un punct A/prime, astfel ca− − →OA/prime=−− →OA.
Gˆandim simetria fat ¸ ˘a deOdirect ca aplicat ¸ie: A→A/prime, deﬁnit ˘a de relat ¸ia vecto-
rial˘a de mai sus. Fie B/primesimetricul fat ¸ ˘a deOal unui punct Bdiferit de A.
Egalit ˘at ¸ile vectoriale
− − →A/primeB/prime=− − →OB/prime−− − →OA/prime=− →OA−− − →OB=−− →AB
ne arat ˘a c˘a simetria fat ¸ ˘a deOp˘astreaz ˘a coliniaritatea punctelor, duce o dreapt ˘aˆıntr-o
dreapt ˘a paralel ˘a cu ea s ¸i c ˘a este izometrie.
Remarc ˘am c ˘a relat ¸iile vectoriale au avantajul de a da informat ¸ii mai multe ˆıntr-o
form ˘a condensat ˘a.
Pentru a deduce ecuat ¸iile simetriei vom introduce un reper cartezian ˆın plan. Cel
mai simplu este s ˘a lu˘am originea sa ˆınO.
FieA(x, y)s ¸iA/prime(x/prime, y/prime). Relat ¸ia vectorial ˘a de deﬁnire a simetriei fat ¸ ˘a deOcon-
duce la:
x=−x, y/prime=−y (2.1)
Aceste formule se numesc ecuat ¸iile simetriei fat ¸˘a de origine.
Rezult ˘a c˘a o ﬁgur ˘a din plan descris ˘a de o expresie algebric ˘aE(x, y)are originea
ca centru de simetrie dac ˘a s ¸i numai dac ˘aE(−x,−y) =E(x, y).
Dac˘aOare coordonate oarecare (x0, y0), aceeas ¸i relat ¸ie de deﬁnire a simetriei
fat ¸˘a deOconduce a formulele
x/prime= 2×0−x, y/prime= 2y0−y. (2.2)
Aceste formule pot ﬁ luate ca deﬁnit ¸ie a simetriei centrale.
Simetria fat ¸ ˘a de o dreapt ˘aˆın plan
Pentru a introduce deﬁnit ¸ia acestei transform ˘ari geometrice la clasa a VI-a putem
ˆıncepe cu urm ˘atoarea semiexperient ¸ ˘a:

2.1. SIMETRII 41
•ˆın partea superioar ˘a a unei coli albe de h ˆartie se fac trei – patru pete mici de
cerneal ˘a, apoi coala se ˆındoaie. Petele de cerneal ˘a vor l ˘asa urme pe partea infe-
rioar ˘a a colii.
•Dezdoim coala s ¸i unim cu o linie colorat ˘a ﬁecare pat ˘a cu urma l ˘asat˘a de ea la
ˆındoirea colii.
•Tras˘am cu o alt ˘a culoare linia de ˆındoire a colii. Dreptele duse anterior vor
intersecta linia de ˆındoire dup ˘a nis ¸te puncte.
•Cerem elevilor s ˘a m˘asoare, pentru ﬁecare pat ˘aˆın parte, distant ¸a de la ea s ¸i de la
urma ei la dreapta de ˆındoire. V or constata c ˘a aceste distant ¸e sunt aproximativ
egale s ¸i c ˘a dreapta ce unes ¸te o pat ˘a cu imaginea ei (cu urma ei) este perpendi-
cular ˘a pe linia de ˆındoire a colii.
•Reprezent ˘am coala cu care am lucrat ca ˆın ﬁgura 2.4, inroducem notat ¸ii s ¸i
aﬁrm ˘am c ˘a dreptele AA/prime, BB/prime, CC/primes ¸iDD/primesunt perpendiculare pe ds ¸i c˘a
(AP)≡(PA/prime),(BQ)≡(QB/prime),(CR)≡(RC/prime),(DS)≡(SD/prime).
dD
D'C
C'R SA
PB
B'QM
M'A'
Figura 2.4: Simetria fat ¸ ˘a de o dreapt ˘a
V om spune c ˘aA/primeeste simetricul lui Afat ¸˘a de dreapta ds ¸i c˘aB/primeeste simetricul
lui B fat ¸ ˘a de dreapta d, s ¸.a.m.d.
•Punctul A/primese mai poate construi astfel:
Ducem din Aperpendiculara pe ds ¸i prelungim segmentul (AP)cu un segment
(PA/prime)≡(AP).
Preciz ˘am apoi, dac ˘a e cazul, cum se efectueaz ˘a aceast ˘a construct ¸ie cu rigla s ¸i
compasul.
•Se constat ˘a c˘a simetricul oric ˘arui punct fat ¸ ˘a de dreapta deste unic determinat;
simetricul unui punct de pe dfat ¸˘a dedeste el ˆınsus ¸i.

42 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
Asociind unui punct din plan simetricul s ˘au fat ¸ ˘a de dreapta d, obt ¸inem o funct ¸ie
care va ﬁ numit ˘asimetria fat ¸ ˘a de dreapta d, notat ˘a cuSd.
Dac˘aA/primeeste simetricul lui Afat ¸˘a ded, vom spune c ˘a s ¸i punctele As ¸iA/primesunt
simetrice fat ¸ ˘a de dreapta d, A/prime=Sd(A).
•Din ﬁgura 2.4 rezult ˘a c˘a dou ˘a puncte sunt simetrice fat ¸ ˘a de dreapta d, dac ˘ad
este mediatoarea segmentului ce le unes ¸te. Aceast ˘a observat ¸ie poate ﬁ luat ˘a ca
deﬁnit ¸ie.
•Complet ˆand ﬁgura 2.4 cu linii punctate, din dou ˘a triunghiuri dreptunghice con-
gruente constat ˘am c ˘aAB=A/primeB/prime.
ˆIntruc ˆat punctele As ¸iBsunt arbitrare deducem c ˘a simetria fat ¸ ˘a de o dreapt ˘a
este o izometrie.
•Studiem apoi imaginile printr-o simetrie fat ¸ ˘a de o dreapt ˘a dat ˘a (numit ˘a s ¸isi-
metrie axial ˘a) a diferitelor ﬁguri geometrice, ˆın funct ¸ie de cunos ¸tint ¸ele elevilor
la momentul respectiv. Remarc ˘am, unde este cazul, congruet ¸a elementelor ce
corespund prin simetrie axial ˘a.
Revenind la ﬁgura 2.4, ﬁx ˘am atent ¸ia asupra trapezului isoscel B/primeB/primeAA. Punctele
de pe segmentul (AB)sunt duse prin Sdˆın puncte de pe A/primeB/prime, iar punctele de pe
segmentul AA/primesunt duse prin Sdˆın puncte de pe acelasi segment. Similar pentru
(BB/prime). As ¸adar, oricare punct de pe trapez are imaginea prin Sdtot pe trapez.
•V om spune ca trapezul ˆın discut ¸ie are o ax ˘a de simetrie: dreapta d.
Fie un cerc de centru Os ¸iMN un diametru al s ˘au. Simetricul oric ˘arui punct
de pe cerc fat ¸ ˘a de MN este pe cerc (diametrul este mediatoarea oric ˘arei coarde
perpendicular ˘a pe el). V om spune c ˘a diametrul MN este ax ˘a de simetrie a cercului
dat.
•Orice diametru al cercului este ax ˘a de simetrie pentru cerc, deci cercul admite o
inﬁnitate de axe de simetrie.
Situatiile prezentate impun urm ˘atoarea deﬁnit ¸ie.
DEFINIT ¸ IA 2.2 O ﬁgur ˘a plan ˘aFadmite o ax ˘a de simetrie d, dac ˘a simetricul
oric˘arui punct din Ffat ¸˘a dedesteˆınF.
•C˘aut˘am apoi alte ﬁguri plane care admit axe de simetrie. ˆIn aceast ˘a c˘autare ne
poate ajuta urm ˘atoarea observat ¸ie.
Observat ¸ia 2.1 Dac˘aF/primeeste simetrica unei ﬁguri Ffat ¸˘a de o dreapt ˘ad, atunci
ﬁgura F∪F/primeare ca ax ˘a de simetrie pe d.

2.1. SIMETRII 43
De exemplu, ﬁe o dreapt ˘aacare face un anumit unghi α(diferit de unghiul nul) cu
ds ¸i o intersecteaza ˆınO. Not ˘am cu a/primesimetrica ei fat ¸ ˘a ded.
Dac˘aα= 90◦, atunci acoincide cu a/primes ¸i putem spune ca deste ax ˘a de simetrie
pentru a. Rezult ˘a c˘a dreapta aare o inﬁnitate de axe de simetrie: dreptele perpendi-
culare pe ea.
Un segment nenul are o singura ax ˘a de simetrie – mediatoarea sa;
axa de simetrie a unei semidrepte este perpendiculara pe ea ˆın originea ei ( ˆın baza
observat ¸iei de mai sus).
Dac˘a m˘asura lui αeste diferit ˘a de90◦, atunci a∪a/primeeste ﬁgura format ˘a din patru
unghiuri opuse, dou ˘a cˆate dou ˘a, la v ˆarf. Dreapta dapare ca ax ˘a de simetrie pentru
dou˘a dintre ele, pentru care este s ¸i bisectoare. Rezult ˘a c˘a orice unghi are o ax ˘a de
simetrie: bisectoarea sa.
Dac˘a presupunem acum c ˘a dreapta aeste paralela cu d, atunci a/primeeste s ¸i ea paralela
cud. Rezult ˘a c˘a ﬁgura format ˘a din dou ˘a drepte paralele admite o ax ˘a de simetrie.
Fiebs ¸ib/primedou˘a drepte paralele s ¸i perpendiculare pe d. Axa lor de simetrie d/primeva ﬁ
perpendiculara pe d. Prin reunirea celor patru drepte a, a/prime, b, b/primeobt ¸inem un dreptunghi
completat cu nis ¸te semidrepte. Rezult ˘a c˘a ﬁgura are dou ˘a axe de simetrie ds ¸id/prime.
Orice dreptunghi are dou ˘a axe de simetrie perpendiculare ˆıntre ele.
•Prezentarea unor plans ¸e cu ﬁguri plane care admit axe de simetrie poate ﬁ util ˘a.
•Rezolvarea unor probleme de geometrie prin folosirea simetriei fat ¸ ˘a de o ax ˘a
este pasul urm ˘ator.
Simetria fat ¸ ˘a de o dreapt ˘a se preteaz ˘a, ca s ¸i simetria central ˘a, la o tratare vectorial ˘a
s ¸i analitic ˘a. Deﬁnit ¸ia ei vectorial ˘a se poate da folosind vectorul de direct ¸ie al dreptei
(axei de simetrie). Propriet ˘at ¸ile ei se demonstreaz ˘aˆın mod speciﬁc.
Tratarea vectorial ˘a a simetriei axiale nu aduce simpliﬁc ˘ari. Dimpotriv ˘a,ˆın multe
locuri apare complicat ˘a s ¸i artiﬁcial ˘a. Ea este recomandabil ˘a numai dac ˘a insist ˘am s ˘a
trat˘am unitar (vectorial ˆın acest caz) toate transform ˘arile geometrice.
Analitic, prin introducerea unui reper ˆın plan, putem exprima coordonatele sime-
tricului unui punct dat fat ¸ ˘a de o dreapta d,ˆın funct ¸ie de coordonatele punctului dat
s ¸i de elementele care determin ˘a dreapta d. Formulele care se obt ¸in sunt ˆın general
complicate s ¸i nu pot ﬁ ret ¸inute. Except ¸ie, face situat ¸ia ˆın care reperul se alege astfel
ˆıncˆat dreapta ds˘a ﬁe una din axele de coordonate.
Dac˘adcoincide cu axa absciselor, ecuat ¸iile simetriei Sdsunt:
x/prime=x, y/prime=−y,
iar dac ˘adcoincide cu axa ordonatelor obt ¸inem
x/prime=−x, y/prime=y.

44 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
Aceste ecuat ¸ii vor folosi la reprezentarea graﬁc ˘a a funct ¸iilor ˆın studiul simetriilor
graﬁcului.
2.2 Translat ¸ia
Aceast ˘a transformare geometric ˘a este cu mult mai important ˘a dec ˆat simetriile, pentru
c˘a deﬁnirea s ¸i studiul ei impun conceptul de vector ˆın forma sa riguroas ˘a: clas ˘a de
segmente orientate echipolente (de aceeas ¸i lungime, aceeas ¸i direct ¸ie s ¸i acelas ¸i sens).
ˆIn general, ˆın c˘art ¸ile ˆın care acest subiect se abordeaz ˘a, se introduce izomorﬁsmul
ˆıntre grupul translat ¸iilor (cu operat ¸ia de compunere) s ¸i grupul aditiv al vectorilor.
Cˆateva observat ¸ii se impun de la ˆınceput.
Pentru not ¸iunea de vector cadrul cel mai convenabil este spat ¸iul s ¸i nu planul. ˆIn
consecint ¸ ˘a apare mai natural studiul translat ¸iei ca transformare a spat ¸iului. Vectorii
dintr-un plan se vor identiﬁca cu translat ¸iile care duc planul ˆın sine. Evident c ˘a
aceast ˘a abordare este posibil ˘a dup ˘a ce elevii au anumite cunos ¸tint ¸e de geometria
spat ¸iului.
Intuitiv translat ¸ia ˆın spat ¸iu se deﬁnes ¸te ca o transformare prin care toate punctele
se deplaseaz ˘aˆın una s ¸i aceeas ¸i direct ¸ie, ˆıntr-un sens dat, la aceeas ¸i distant ¸ ˘a. Evident
c˘a este mai greu de sesizat deplasarea simultan ˘a a tuturor punctelor spat ¸iului dec ˆat a
unei submult ¸imi (ﬁguri) a lui.
ˆIn consecint ¸ ˘a este mai bine s ˘aˆıncepem prin a spune c ˘a o ﬁgur ˘aF/primes-a obt ¸inut
dintr-o ﬁgur ˘aFprintr-o translat ¸ie dac ˘a punctele ei s-au obt ¸inut din cele ale lui F
prin deplasare ˆın una s ¸i aceeas ¸i direct ¸ie, ˆıntr-un sens dat, la aceeas ¸i distant ¸ ˘a. Aceste
aspecte intuitive se cer sprijinite de ﬁguri variate. Credem c ˘a un scurt ﬁlm de desene
animate, bine realizat, ar putea ﬁ util ˆın sprijinirea intuit ¸iei elevilor.
O prim ˘a formalizare a considerat ¸iilor intuitive se poate da astfel:
ﬁgurile Fs ¸iF/primecorespund printr-o translat ¸ie dac ˘a oricare ar ﬁ punctele Ps ¸iQ
distincte din Flor le corespund ˆın mod unic punctele P/primes ¸iQ/primedinF/prime, astfel ˆıncˆat
segmentele (PP/prime)s ¸i(QQ/prime)s˘a ﬁe congruente, paralele s ¸i de acelas ¸i sens.
Ca aplicat ¸ie a spat ¸iului Spe el ˆınsus ¸i, translat ¸ia poate ﬁ deﬁnit ˘a prin:
DEFINIT ¸ IA 2.3 O aplicat ¸ie
τ:S→S
se numes ¸te translat ¸ie, dac ˘a oricare ar ﬁ punctele distincte
P, Q∈S, P/prime=τ(P), Q/prime=τ(Q),
segmentele (PP/prime)s ¸i(QQ/prime)sunt congruente, paralele s ¸i de acelas ¸i sens.

2.2. TRANSLAT ¸ IA 45
Dac˘aReste un al treilea punct din S, diferit de P, Q s ¸iR/prime=τ(R), rezult ˘a c˘a
segmentele (RR/prime),(PP/prime)s ¸i(QQ/prime), sunt congruente ˆıntre ele, paralele ˆıntre ele s ¸i de
acelas ¸i sens. Din deﬁnit ¸ia de mai sus rezult ˘a c˘a s ¸i ﬁgura PP/primeQ/primeQeste un parale-
logram, deci segmentele (P/primeQ/prime)s ¸i(PQ)sunt de asemenea paralele s ¸i congruente.
PQ'
R'P'
RQ
Figura 2.5: Translat ¸ia
ˆIn concluzie, translat ¸ia este o izometrie. Din propriet ˘at ¸ile generale ale izometriilor
rezult ˘a c˘a
•imaginea unei drepte deste o dreapt ˘ad/prime,τ(d) =d/prime, paralel ˘a cud;
•imaginea unui segment printr-o translat ¸ie este un segment;
•imaginea unui unghi printr-o translat ¸ie este un unghi congruent cu el;
•imaginea unui triunghi printr-o translat ¸ie este un triunghi congruent cu el;
•imaginea unui cerc cu centrul Os ¸i raz ˘arprintr-o translat ¸ie este un cerc cu raza
rs ¸i centrul ˆınO/prime, translatatul lui Oprin translat ¸ia considerat ˘a;
•imaginea unui plan printr-o translat ¸ie este un plan paralel cu el sau chiar el.
Compunerea a dou ˘a translat ¸ii τs ¸iσ.
Pentru dou ˘a puncte distincte Ps ¸iQdin spat ¸iu, not ˘am
P/prime=τ(P), Q/prime=τ(Q), P” =σ(P/prime), Q” =σ(Q/prime).
Corespondent ¸a P→P”, Q→Q”se bucur ˘a de proprietatea c ˘a segmentele (PP”)
s ¸i(QQ”)sunt congruente, paralele s ¸i de acelas ¸i sens. Acest fapt rezult ˘a us ¸or ˆın urma
analizei mai multor cazuri, de exemplu ﬁg. 2.6, ˆın care ∆PP/primeP”≡∆QQ/primeQ”sunt
congruente s ¸i au laturile respectiv paralele. Cum punctele Ps ¸iQerau arbitrare,
considerat ¸iile de mai sus pot ﬁ aplicate la oricare alte perechi de puncte.

46 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
P'
PP"Q'
Q"QP
P P'
Q'Q"Q' Q
Q Q"P"P" P'
Figura 2.6:
As ¸adar, corespondent ¸a P→P”, Q→Q”etc. deﬁnes ¸te o translat ¸ie pe care o
vom nota prin σ◦τs ¸i o vom numi compunerea translat ¸iilor τs ¸iσ.
Cu notat ¸iile precedente avem σ◦τ(P) =σ(τ(P))pentru orice punct Pdin spat ¸iu.
Fiind dat ˘a translat ¸ia τ, deﬁnit ˘a de corespondent ¸a P→P/prime, Q→Q/primeetc., se con-
stat˘a us ¸or c ˘a asocierea P/prime→P, Q/prime→Q, e.t.c. deﬁnes ¸te o translat ¸ie pe care o vom
nota cu τ−1s ¸i o vom numi inversa translat ¸iei τ.
Consider ˆand aplicat ¸ia identic ˘a drept translat ¸ie particular ˘a suntem ˆın pozit ¸ia de a
pune ˆın evident ¸ ˘a grupul translat ¸iilor spat ¸iului.
Studiul translat ¸iilor este incomplet f ˘ar˘a a stabili leg ˘atura lor cu not ¸iunea de vec-
tor.ˆIn considerat ¸iile de mai sus avem suﬁciente motive pentru introducerea not ¸iunii
de vector. ˆIn deﬁnirea unei translat ¸ii prin corespondent ¸a P→P/prime, Q→Q/primeetc.
subˆınt ¸elegem c ˘a segmentele (PP/prime),(QQ/prime),(RR/prime)etc. sunt perechi ordonate de puncte.
V om spune c ˘a segmentele ˆın discut ¸ie sunt orientate, primul punct va ﬁ numit origine
s ¸i al doilea extremitate a segmentului orientat.
Recitind deﬁnit ¸ia translat ¸iei constat ˘am c ˘a o translat ¸ie este caracterizat ˘a de ceea ce
auˆın comun segmentele orientate (PP/prime),(QQ/prime)etc., adic ˘a lungime, direct ¸ie s ¸i sens.
DEFINIT ¸ IA 2.4 Se numes ¸te vector o mult ¸ime de segmente orientate care au aceeas ¸i
lungime, aceeas ¸i direct ¸ie s ¸i acelas ¸i sens.
V om nota vectorul prin PP/primes ¸i vom spune c ˘a segmentul orientat (PP/prime)este un
reprezentant al vectorului PP/prime. Oricare alt segment orientat din mult ¸imea respectiv ˘a
reprezint ˘a vectorul PP/prime. As ¸adar o translat ¸ie este caracterizat ˘a de un vector ¯u=PP/prime
s ¸iˆın continuare vom indica translat ¸ia prin vectorul ce o caracterizeaz ˘a, spun ˆand:
translat ¸ia de vector PP/prime.
Este cu totul natural s ˘a spunem c ˘a doi vectori sunt egali dac ˘a mult ¸imile de seg-
mente orientate care ˆıi deﬁnesc sunt egale.
Consider ˘am translat ¸iile τs ¸iσdeﬁnite respectiv de vectorii PP/primes ¸iP/primeP“. Com-

2.3. ROTAT ¸ IA ˆIN PLAN 47
pusa lor σ◦τeste deﬁnit ˘a (caracterizat ˘a) de vectorul PP/prime/prime. Avem astfel posibilitatea
unei perechi de vectori PP/primes ¸iP/primeP“s˘a asociem un al treilea vector PP/prime/prime, numit
suma vectorilor PP/primes ¸iP/primeP“.
Este posibil s ˘a folosim o alt ˘a cale pentru introducerea not ¸iunii de vector, situat ¸ia
ˆın care translat ¸ia se deﬁnes ¸te astfel:
DEFINIT ¸ IA 2.5 Se numes ¸te translat ¸ie de vector ¯uo aplicat ¸ie
T¯u:S→S,
T¯u(P) =P/primeastfel ca PP/prime= ¯u
Se stabilesc apoi propriet ˘at ¸ile translat ¸iei folosind propriet ˘at ¸i ale vectorilor. Caracte-
rizarea translat ¸iei printr-un vector conduce imediat la teorema:
TEOREMA 2.1 Date ﬁind dou ˘a puncte distincte As ¸iA/primeexist ˘a o translat ¸ie unic ˘a ce
duceAˆınA/prime.
Aceasta este evident translat ¸ia de vector AA/prime.
Considerat ¸iile de mai sus pot ﬁ repetate identic pentru un plan ﬁxat. Obt ¸inem
astfel not ¸iunea de translat ¸ie ˆın plan, cea de vector ˆın plan. Alternativ, av ˆand not ¸iunile
precedente ˆın spat ¸iu putem s ˘a ne punem problema restrict ¸iei lor la un plan sau o
dreapt ˘a. Astfel translat ¸iile care duc un plan πˆın sine se vor numi translat ¸ii ale
planului π. Corespunz ˘ator, doi sau mai mult ¸i vectori sunt coplanari dac ˘a exist ˘a
reprezentant ¸i ai lor ˆın acelas ¸i plan.
Pentru reprezentarea translat ¸iei ˆın coordonate consider ˘am un plan ﬁxat ˆın care am
introdus un sistem cartezian de coordonate. Orice vector din plan este caracterizat
de o pereche de numere reale.
Fie translat ¸ia de vector ¯u= (a, b)care aplic ˘aP(x, y)ˆınP/prime(x/prime, y/prime). As ¸adar, avem
PP/prime= ¯usauOP/prime−OP= ¯u,
unde Oeste originea sistemului de coordonate.
Ultima relat ¸ie vectorial ˘a este echivalent ˘a cu relat ¸iile:½x/prime=x+a
y/prime=y+b.(2.3)
Ecuat ¸iile (2.3) se numesc ecuat ¸iile translat ¸iei de vector ¯u. Ele pot ﬁ luate s ¸i ca
deﬁnit ¸ie a translat ¸iei ˆın plan.
2.3 Rotat ¸ia ˆın plan
Aceast ˘a transformare geometric ˘a, relativ us ¸or de deﬁnit formal, are la baz ˘a un fond
de reprezent ˘ari intuitive extrem de complex: cele care duc la ideea de cerc, cele
referitoare la unghiuri s ¸i m ˘asura unghiurilor, mis ¸carea de rotat ¸ie tratat ˘a la ﬁzic ˘a s ¸.a.

48 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
•ˆInainte de a introduce aceast ˘a tem ˘a trebuie s ˘a ne asigur ˘am c ˘a elevii posed ˘a fon-
dul necesar de reprezent ˘ari intuitive, ˆınt˘arindu-l s ¸i orient ˆandu-l spre abordarea
temei ˆın discut ¸ie. ˆIn acest caz sunt utile ﬁguri convenabile s ¸i exemple simple de
mis ¸c ˘ari de rotat ¸ie ˆın jurul unui punct ˆıntˆalnite curent de elevi (acele de ceasor-
nic, rot ¸ile de transmisie, …). Se pot de asemenea construi modele speciﬁce care
s˘a reprezinte imaginile prin rotat ¸ie ale unor ﬁguri simple.
•V om ˆıncepe prin a considera rotat ¸ia de un unghi dat ˆın jurul unui punct dat a unei
ﬁguri geometrice simple. Cel mai simplu pare a ﬁ s ˘a consider ˘am o semidreapt ˘a
de origine Os ¸i s˘a discut ˘am despre rotat ¸iile ei ˆın jurul punctului O.
Fie deci semidreapta (OApe care o rotim ˆın pozit ¸ia (OA/prime.ˆInt ¸elegem pentru
moment cuv ˆantul ”rotim“ ˆın sens cinematic pe baza unor reprezent ˘ari intuitive.
La rotirea semidreptei (OApunctul Adescrie un arc de cerc AA/prime, ﬁgura 8. Un
alt punct M, de pe semidreapta (OA,ˆın urma aceleias ¸i rotat ¸ii va ajunge ˆınM/prime
dup˘a ce descrie un arc de cerc MM/prime.
•Observ ˘am c ˘a unghiurile\AOA/prime≡\MOM/primes ¸i congruente cu unghiul format de
semidreptele (OAs ¸i(OA/prime.ˆIn plus, segmentele (OA)s ¸i(OA/prime)sunt congruente.
La fel sunt s ¸i segmentele (OM)≡(OM/prime).
Dac˘a unghiul\AOA/primeare m ˘asura α(grade) vom spune c ˘aA/primea fost obt ¸inut din A
printr-o rotat ¸ie de unghi αˆın jurul punctului O. Similar s-a obt ¸inut M/primedinM.
Semidreapta (OAeste obt ¸inut ˘a la fel. V om nota aceast ˘a transformare prin Rα
O
A'
xy
B'θααO
BMM'
A
A"
Figura 2.7: Rotat ¸ia
s ¸i vom scrie Rα
O(A) =A/prime,Rα
O(M) =M/primeetc.
Am obt ¸inut astfel o deﬁnit ¸ie a rotat ¸iei ˆın jurul unui punct, dar pe o ﬁgur ˘a care are mai
multe particularit ˘at ¸i. Astfel pentru a obt ¸ine semidreapta (OA/primeam rotit semidreapta

2.3. ROTAT ¸ IA ˆIN PLAN 49
(OAˆın sens invers acelor de ceasornic. Acest sens este cel uzual numit s ¸i sens di-
rect trigonometric. Puteam s ˘a ﬁ rotit (OAs ¸iˆın sensul acelor de ceasornic ˆın pozit ¸ia
(OA”. Complet ˘am ﬁg. 8 cu linii punctate. Alegem noua pozit ¸ie ˆıncˆat unghiurile
\AOA/prime≡\AOA ”. Ele au aceeas ¸i m ˘asur˘aα, fapt care genereaz ˘a confuzie dac ˘a lu˘am
ca deﬁnit ¸ie a rotat ¸iei pe cea dat ˘a mai sus. Trebuie ca ˆın acea deﬁnit ¸ie s ˘a introdu-
cem elemente care s ˘a ne permit ˘a distingerea celor dou ˘a sensuri de rotat ¸ie. Se poate
proceda astfel:
DEFINIT ¸ IA 2.6 Spunem c ˘a unghiul\AOA/primeeste orientat dac ˘a perechea de semi-
drepte (OAs ¸i(OA/primeeste ordonat ˘a.
Deci unghiul orientat \AOA/primeeste diferit de unghiul orientat \A/primeOA.
V om spune c ˘a unghiul orientat \AOA/primeeste orientat pozitiv dac ˘a sensul de rotat ¸ie
de la semidreapta (OAspre semidreapta (OA/primeeste opus mis ¸c ˘arii acelor de ceasornic.
Dac˘a m˘asura unghiului neorientat \AOA/primeesteαvom spune c ˘a m˘asura unghiului
orientat\AOA/primeesteαsau−α, dup ˘a cum el este orientat pozitiv sau negativ.
Amintim c ˘a mult ¸imea de valori a funct ¸iei m ˘asur˘a a unghiurilor este intervalul
[0◦,180◦]. Prin procedeul de mai sus am extins acest interval la [−180◦,180◦].
Rotat ¸iile ˆın acelas ¸i sens cu acele de ceasornic vor ﬁ descrise de unghiuri negativ
orientate, deci de m ˘asuri ˆın intervalul [−180◦,0◦].
Continu ˆand rotat ¸ia semidreptei (OA/primedup˘a pozit ¸ia (OA/primeˆın sens pozitiv ajungem
ˆın pozit ¸ia (OBˆıncˆat unghiul[AOB este alungit (are m ˘asura 180◦)(ﬁgura 2.7). Putem
continua rotat ¸ia ˆın acelas ¸i sens s ¸i ajungem, de exemplu, ˆın pozit ¸ia (OB/prime. Unghiul
neorientat dintre (OAs ¸i(OB/primeeste180◦−α. Dar pentru a descrie rotat ¸ia efectuat ˘a
suntem obligat ¸i s ˘a folosim unghiul orientat [AOB c˘aruia este normal s ˘a-i asociem
m˘arimea 180◦+α. Deci putem considera ca mult ¸ime a valorilor pentru funct ¸ia-
m˘asur˘a a unghiurilor orientate intervalul [−360◦,360◦]. Intuit ¸ia ne spune c ˘a obt ¸inem
(OA/primedin(OAprintr-o rotat ¸ie de unghi α∈[0◦,180◦]caˆın ﬁgura 8, dar s ¸i c ˘a aceeas ¸i
semidreapt ˘a poate ﬁ obt ¸inut ˘a dup ˘a ce(OAefectueaz ˘anrotat ¸ii complete ˆın jurul lui
Os ¸i apoi o rotat ¸ie de unghi α.
ˆIn al doilea caz vom spune c ˘a unghiul orientat \AOA/primeare m ˘asur˘aα+n·360◦,
dac˘a rotat ¸iile sunt pozitive s ¸i are m ˘asura α−n·360◦, dac ˘a rotat ¸iile sunt negative.
Putem as ¸adar spune c ˘a m˘asura unui unghi orientat este α+k·360◦sauα+ 2k·πˆın
radiani, unde keste un num ˘arˆıntreg.
DEFINIT ¸ IA 2.7 Rotat ¸ia de centru Os ¸i unghi orientat αa planului este o trans-
formare a planului prin care Ose transform ˘aˆın el ˆınsus ¸i s ¸i orice alt punct Ase
transform ˘aˆıntr-un punct A/prime, astfel ˆıncˆat(OA)≡(OA/prime)s ¸i unghiurile αs ¸i\AOA/prime
sunt congruente s ¸i au aceeas ¸i orientare.

50 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
Din punct de vedere cinematic este preferabil s ˘a indic ˘am rotat ¸ia printr-un unghi de
forma α+k·360◦cuα∈[−360◦,360◦]pentru a citi c ˆate rotat ¸ii s-au efectuat s ¸i
ˆın ce sens, informat ¸ii date de valoarea absolut ˘a s ¸i de semnul lui k∈Z. Geometric,
rotat ¸iile de unghi α+k·360◦cuk∈Zcoincid s ¸i ˆın continuare ele vor ﬁ identiﬁcate
cu rotat ¸ia de unghi α.
Este acum us ¸or s ˘a dovedim, folosind triunghiuri congruente, c ˘a:
PROPOZIT ¸ IA 2.1 Orice rotat ¸ie ˆın plan este o izometrie.
Rezult ˘a c˘a o rotat ¸ie:
•duce o dreapt ˘aˆıntr-o dreapt ˘a;
•duce o semidreapt ˘aˆıntr-o semidreapt ˘a;
•duce un unghi ˆıntr-unul congruent cu el;
•duce un cerc cu centrul Os ¸i raz ˘arˆıntr-un cerc cu aceeas ¸i raz ˘a s ¸i centrul ˆınO/prime
transformatul prin rotat ¸ie al lui O.
Se pot demonstra urm ˘atoarele aﬁrmat ¸ii:
•Compusa a dou ˘a rotat ¸ii de acelas ¸i centru Rα
Os ¸iRβ
Oeste rotat ¸ia Rα+β
O.
•Inversa rotat ¸iei Rα
Oeste rotat ¸ia R−α
O.
•Mult ¸imea rotat ¸iilor cu acelas ¸i centru ˆımpreuna cu compunerea formeaz ˘a un
grup.
Introducem ˆın ﬁgura 2.7 un sistem cartezian de coordonate, ˆıncˆat unghiul ˆıntre
Oxs ¸i(OAs˘a ﬁeθ. Dac ˘aA(x, y)s ¸iA/prime(x/prime, y/prime), notˆandOA=OA/prime=r, obt ¸inem
x=rcosθ, y=rsinθ
s ¸i
x/prime=rcos(θ+α), y/prime=rsin(θ+α).
Folosind formule uzuale de trigonometrice, obt ¸inem
½x/prime=xcosα−ysinα
y/prime=xsinα+ycosα.(2.4)
Aceste formule, numite s ¸i reprezentarea analitic ˘a a rotat ¸iei Rα
O, ele pot ﬁ luate ca
deﬁnit ¸ie a rotat ¸iei Rα
O.

2.4. PROPRIET ˘AT ¸ I GENERALE ALE IZOMETRIILOR 51
2.4 Propriet ˘at ¸i generale ale izometriilor
ˆIn majoritatea programelor analitice de geometrie din ˆınvˆat ¸˘amˆantul preuniversitar,
dup˘a parcurgerea izometriilor particulare ment ¸ionate mai sus, nu se mai g ˘ases ¸te timp
pentru not ¸iunea general ˘a de izometrie s ¸i pentru c ˆateva din propriet ˘at ¸ile ei. Consi-
der˘am c ˘a aceast ˘a situat ¸ie lipses ¸te pe elevi de posibilitatea de a relua s ¸i aprofunda
unele cunos ¸tint ¸e de baz ˘a din geometrie, de sinteza util ˘aˆın procesul de integrare a
cunos ¸tint ¸elor la nivelul geometriei s ¸i cu alte discipline matematice studiate ˆın s ¸coal ˘a.
Este necesar ca ˆın clasele terminale de liceu, c ˆand not ¸iunea de funct ¸ie este pe
deplin consolidat ˘a, s˘a se rezerve un num ˘ar de 4-6 ore pentru tratarea propriet ˘at ¸ilor
generale ale izometriilor, ocazie cu care s ˘a se reaminteasc ˘a izometriile particulare
ˆıntˆalnite ˆın clasele anterioare. Schit ¸ ˘am mai jos o posibilitate de abordare a acestui
subiect.
Dup˘a actualizarea funct ¸iei distant ¸ ˘a, deﬁnim not ¸iunea de izometrie. Propriet ˘at ¸ile
generale pe care le avem ˆın vedere pot ﬁ tratate direct ˆın spat ¸iu. Am deﬁnit anterior
izometria ca aplicat ¸ie care p ˘astreaz ˘a distant ¸a. Din deﬁnit ¸ie rezult ˘a c˘a orice izometrie
este bijectiv ˘a, dar surjectivitatea se demonstreaz ˘a greoi, ˆıncˆat este de preferat s ˘a o
introducem ˆın deﬁnit ¸ie.
DEFINIT ¸ IA 2.8 O aplicat ¸ie f:S→Sa spat ¸iului ˆın el ˆınsus ¸i se numes ¸te izome-
trie, dac ˘a este surjectiv ˘a s ¸i p ˘astreaz ˘a distant ¸a, adic ˘a
d(f(A), f(B)) =d(A, B),∀A, B∈S. (2.5)
TEOREMA 2.2 Orice izometrie a spat ¸iului este bijectiv ˘a s ¸i inversa ei este de ase-
menea izometrie.
Demonstrat ¸ie. ˆIntr-adev ˘ar,f(A) =f(B)implic ˘ad(A, B) = 0 , de unde A=B,
adic˘afeste injectiv ˘a.
Dac˘af(A) =A/primes ¸if(B) =B/primeatunci f−1(A/prime) =A, f−1(B/prime) =Bs ¸i (2.5) se
rescrie
d(f−1(A/prime), f−1(B/prime)) =d(A/prime, B/prime),
decif−1este izometrie. q.e.d.
Deﬁnit ¸ia precedent ˘a se poate formula pentru un plan s ¸i orice izometrie a planului
este bijectiv ˘a, inversa ei ﬁind izometrie.
Amintim acum c ˘a ﬁind date trei puncte distincte A, B, C ˆın spat ¸iu se spune c ˘a
punctul BesteˆıntreAs ¸iCdac˘a s ¸i numai dac ˘a
d(A, B) +d(B, C) =d(A, C).
Se mai spune c ˘aBeste interior segmentului (AC).

52 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
TEOREMA 2.3 Fief:S→So izometrie a spat ¸iului. Dac ˘a punctul Besteˆıntre
As ¸iC, atunci f(B)esteˆıntre punctele f(A)s ¸if(C)s ¸i reciproc.
Ipotezele conduc imediat la relat ¸ia
d(f(A), f(B)) +d(f(B), f(C)) =d(f(A), f(C)).
Folosind aceast ˘a teorem ˘a, se demonstreaz ˘a c˘a orice izometrie a spat ¸iului transform ˘a:
•orice segment (AB)ˆın segmentul (f(A)f(B)), astfel ˆıncˆat se p ˘astreaz ˘a ordinea
punctelor;
•orice semidreapt ˘a(ABˆın semidreapta (f(A)f(B))astfel ˆıncˆat se p ˘astreaz ˘a or-
dinea punctelor;
•orice dreapt ˘aABˆın dreapta f(A)f(B)astfel ˆıncˆt se p ˘astreaz ˘a ordinea puncte-
lor;
•orice plan πˆın planul f(π);
•orice semiplan ˆınchis (deschis) de frontier ˘aABˆıntr-un semiplan ˆınchis (des-
chis) de frontier ˘af(A)f(B);
•orice unghi[AOB ˆın unghiul \f(A)f(O)f(B)congruent cu[AOB ;
•orice semispat ¸iu ˆınchis (deschis) de frontier ˘aπˆın semispat ¸iul ˆınchis (deschis)
de frontier ˘af(π);
•orice unghi diedru dαdβ ˆın unghiul diedru \f(α)f(d)f(β)congruent cu dαdβ,
unde α, β sunt plane s ¸i α∪β;
•orice cerc C(O, r)(orice disc D(O, r))ˆın cercul C(f(O), r)(ˆın discul D(f(O), r));
•orice sfer ˘aS(O, r)ˆın sfera S(f(O), r).
Demonstrarea acestor rezultate este o ocazie excelent ˘a de a reactualiza s ¸i apro-
funda not ¸iuni geometrice mai rar utilizate la nivel logic (semidreapt ˘a, semiplan,
semispat ¸iu etc.).
Din propriet ˘at ¸ile de mai sus rezult ˘a c˘a orice izometrie a spat ¸iului p ˘astreaz ˘a (inva-
riaz˘a):
•paralelismul s ¸i perpendicularitatea planelor s ¸i dreptelor;
•paralelismul s ¸i perpendicularitatea dintre drepte s ¸i plane.

2.5. ASEM ˘ANAREA ˆIN PLAN. PROPRIET ˘AT ¸ I GENERALE 53
TEOREMA 2.4 Mult ¸imea izometriilor spat ¸iului Sformeaz ˘a un grup ˆın raport cu
operat ¸ia de compunere.
Apare aici ocazia de a repeta not ¸iunea de grup, de compunere a aplicat ¸iilor cu
proprietatea ei de asociativitate.
Ne limit ˘am acum la izometrii plane.
TEOREMA 2.5 Fie dou ˘a triunghiuri ABC s ¸iA/primeB/primeC/primeˆın planul π, astfel c ˘a
(AB)≡(A/primeB/prime),(BC)≡(B/primeC/prime),(CA)≡(C/primeA/prime).
Atunci exist ˘a o unic ˘a izometrie f:π→πastfel ca f(A) =A/prime, f(B) =B/prime, f(C) =
C/prime.
Ideea de demonstrat ¸ie este de a deﬁni fpentru A, B s ¸iCca mai sus, de a o extinde
maiˆıntˆai la dreptele ABs ¸iAC, apoi la ˆıntreg planul. Unicitatea se demonstreaz ˘a
prin reducere la absurd.
Aceast ˘a teorem ˘a combinat ˘a cu observat ¸ia c ˘a orice izometrie transform ˘a un tri-
unghi ˆıntr-un triunghi congruent cu el ne conduce la concluzia: dou˘a triunghiuri
dintr-un plan dat sunt congruente dac ˘a s ¸i numai dac ˘a exist ˘a o izometrie a planului
care transform ˘a un triunghi ˆın cel ˘alalt.
Din considerat ¸iile de mai sus rezult ˘a c˘a, interpretat ˘a ca o aplicat ¸ie ˆıntre v ˆarfurile a
dou˘a triunghiuri indicat ˘a prin (/prime), congruent ¸a este restrict ¸ia unei izometrii a planului.
Avem aici o motivare a termenului de congruent ¸ ˘a folosit uneori pentru izometrie.
Este acum natural s ˘a extindem termenul de congruent ¸ ˘a la ﬁguri oarecare spun ˆand
c˘a ﬁgura Feste congruent ˘a cu ﬁgura F/primedac˘a exist ˘a o izometrie f(a planului dac ˘a
ﬁgurile sunt plane), astfel c ˘af(F) =F/prime.
Aceast ˘a deﬁnit ¸ie poate ﬁ util ˘aˆın considerarea funct ¸iei arie pentru ﬁguri plane mai
complicate dec ˆat suprafet ¸ele poligonale.
2.5 Asem ˘anarea ˆın plan. Propriet ˘at ¸i generale
Elevii obt ¸in o idee despre ﬁgurile asemenea cu ocazia studiului temei Asem ˘anarea
triunghiurilor . Dintre multele variante de tratare a ei este de preferat una care
preg˘ates ¸te terenul pentru predarea asem ˘an˘arii ca transformare geometric ˘a a planu-
lui (spat ¸iului). Consider ˘am c ˘a aceast ˘a tem ˘a se poate studia imediat dup ˘a studiul
propriet ˘at ¸ilor generale ale izometriilor ˆın maniera descris ˘a de noi mai sus.
Transformarea de asem ˘anare poate ﬁ introdus ˘a prin generalizarea izometriei. Izo-
metria este transformarea geometric ˘a ce p ˘astreaz ˘a distant ¸a.

54 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
Putem considera, teoretic vorbind, transform ˘ari geometrice care multiplic ˘a distant ¸a
cu un factor.Cum distant ¸ele se exprim ˘a prin numere reale pozitive, factorul de mul-
tiplicare trebuie s ˘a ﬁe ˆın mod necesar un num ˆar real strict pozitiv.
DEFINIT ¸ IA 2.9 O aplicat ¸ie ak:π→πa planului se numes ¸te asem ˘anare de
raport k, unde keste un num ˘ar real strict pozitiv dac ˘a este surjectiv ˘a s ¸i pentru
oricare dou ˘a puncte As ¸iBdinπavem
d(ak(A), ak(B)) =k·d(A, B). (2.6)
Num ˘arulktrebuie luat strict pozitiv pentru c ˘a dac ˘a ar ﬁ zero, din (2.6) ar rezulta
a0(A) =a0(B)pentru oricare dou ˘a puncte A, B .
Deci aplicat ¸ia a0este o aplicat ¸ie constant ˘a, care nu este surjectiv ˘a.
Mult ¸imea asem ˘an˘arilor planului nu este vid ˘a, deoarece cont ¸ine izometriile planu-
lui, obt ¸inute pentru k= 1.
Din relat ¸ia (2.6) rezult ˘a c˘a orice asem ˘anare a planului este injectiv ˘a, iar ﬁind prin
deﬁnit ¸ie surjectiv ˘a, este bijectiv ˘a. Se demonstreaz ˘a us ¸or c ˘a inversa unei asem ˘an˘ari
de raport keste o asem ˘anare de raport1
k.
Ment ¸ion ˘am c ˘a (2.6) asigur ˘a s ¸i surjectivitatea aplicat ¸iei ak. Consider ˆand aplicat ¸ia
identic ˘a asem ˘anare particular ˘a, se constat ˘a c˘a mult ¸imea asem ˘an˘arilor planului for-
meaz ˘a un grup ˆın raport cu compunerea aplicat ¸iilor.
Asocierea ak→keste un izomorﬁsm al acestui grup cu grupul multiplicativ al
numerelor reale strict pozitive.
Asem ˘an˘arile au multe propriet ˘at ¸i similare cu cele ale izometriilor.
TEOREMA 2.6 Fieako asem ˘anare de raport k, atunci punctul Bse aﬂ ˘aˆıntreAs ¸i
C, dac ˘a s ¸i numai dac ˘a punctul ak(B)se aﬂ ˘aˆıntreak(A)s ¸iak(C).
Modul de transformare a ﬁgurilor din plan prin asem ˘anare este identic cu cel
descris la izometrii, cu modiﬁcarea evident ˘a c˘a un cerc C(O, r), respectiv un disc
D(O, r)este transformat prin akˆıntr-un cerc C(O, kr ), respectiv un disc D(O, kr ),
adic˘a raza se multiplic ˘a cu factorul k.
Orice asem ˘anare transform ˘a drepte paralele ˆın drepte paralele s ¸i c ˘a asem ˘an˘arile
p˘astreaz ˘a raportul lungimilor segmentelor.
Leg˘atura cu asem ˘anarea triunghiurilor se stabiles ¸te prin
TEOREMA 2.7 Dac˘a∆ABC s ¸i∆A/primeB/primeC/primesunt dou ˘a triunghiuri oarecare ˆın planul
πastfel ˆıncˆat
d(A/prime, B/prime) =k·d(A, B), d(B/prime, C/prime) =k·d(B, C), d(C/prime, A/prime) =k·d(C, A)

2.6. OMOTETIA ˆIN PLAN 55
unde keste un num ˘ar real strict pozitiv, atunci exist ˘a o asem ˘anare de raport ka
planului πunic˘aakˆıncˆat
ak(A) =A/prime, ak(B) =B/prime, ak(C) =C/prime.
Din observat ¸ia c ˘a orice triunghi este transformat printr-o asem ˘anare ˆıntr-un triunghi
asemenea cu el s ¸i teorema precedent ˘a rezult ˘a:
dou˘a triunghiuri sunt asemenea dac ˘a s ¸i numai dac ˘a exist ˘a o asem ˘anare care s ˘a
transforme unul ˆın cel ˘alalt.
O prim ˘a consecint ¸ ˘a a acestui fapt este aceea c ˘a,ˆıntruc ˆatˆın planul euclidian exist ˘a
triunghiuri asemenea necongruente, exist ˘a asem ˘an˘ari ale planului care nu sunt izo-
metrii.
O alt ˘a consecint ¸ ˘a rezid ˘aˆın motivat ¸ia urm ˘atoarei deﬁnit ¸ii:
DEFINIT ¸ IA 2.10 Dou˘a ﬁguri Fs ¸iF/primeale planului πse numesc asemenea cu coeﬁ-
cientul de asem ˘anare kdac˘a exist ˘a o asem ˘anare aka planului π,ˆıncˆatak(F) =F/prime
.
2.6 Omotetia ˆın plan
Asem ˘anarea particular ˘a cea mai important ˘a, l˘asˆand la o parte izometria, este omote-
tia de centru dat s ¸i raport dat.
Deﬁnit ¸ia sintetic ˘a a omotetiei poate ﬁ introdus ˘a foarte devreme ˆın forma:
DEFINIT ¸ IA 2.11 FieOun punct ˆıntr-un plan πs ¸ikun num ˘ar real strict pozitiv.
Omotetia de centru Os ¸i raport keste o transformare a planului πcare asociaz ˘a
ﬁec˘arui punct Mun punct M/prime, astfel c ˘aO, M s ¸iM/primesunt coliniare ˆın ordinile O−
M−M/primesauO−M/prime−Ms ¸iOM/prime=k·OM.
Evident c ˘a ordinea O−M−M/primeatrage k >1, iar ordinea O−M/prime−Matrage k <1.
Pe de alt ˘a parte, exist ˘a s ¸i posibilitatea de a lua ordinele M−O−M/primesauM/prime−O−M.
Acest fapt ne determin ˘a s˘a numim transformarea deﬁnit ˘a mai sus omotetie de gen 1,
iar transformarea ˆın care apar ordinile M−O−M/prime, sauM/prime−O−M, s˘a o numim
omotetie de gen 2.
Cu aceast ˘a deﬁnit ¸ie, consider ˆand pe r ˆand ordinile posibile, se pot demonstra prin-
cipalele propriet ˘at ¸i ale omotetiei.
Ordinea de abordare a lor ar putea ﬁ urm ˘atoarea:
•asocierea M/prime→Meste omotetie de centru Os ¸i raport1
k. Ea este inversa
omotetiei de centru Os ¸i raport k;

56 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
•omotetia de raport ks ¸i centru Omultiplic ˘a distant ¸a ˆıntre puncte prin factorul k;
•omotetia transform ˘a o dreapt ˘a ce trece prin Oˆın ea ˆıns˘as ¸i, cu alte cuvinte, omo-
tetiile de centru Oinvariaz ˘a dreptele prin O;
•omotetia de centru Otransform ˘a o dreapt ˘adce nu trece prin Oˆıntr-o dreapt ˘ad/prime
paralel ˘a cud;
•omotetia de centru Os ¸i raport ktransform ˘a un cerc C(P0, r)ˆıntr-un cerc C(P1
0, kr)
unde P1
0este omoteticul lui P0.
TEOREMA 2.8 Orice asem ˘anare este produsul dintre o omotetie s ¸i o izometrie.
Demonstrat ¸ie. Dac˘aakeste o asem ˘anare de raport ks ¸ih1
k
Oeste o omotetie de
raport1
ks ¸i centrul Oun punct oarecare, atunci f=ak◦h1
k
Oeste o asem ˘anare de
raport k·1
k= 1, deci este o izometrie. Relat ¸ia de mai sus conduce la ak=f◦hk
O.
q.e.d.
Pe de alt ˘a parte, omotetia este foarte util ˘aˆın rezolvarea problemelor de geometrie,
fapt bine cunoscut s ¸i care se poate constata din numeroase culegeri de probleme
de geometrie. Din acest motiv, consider ˘am c ˘a omotetia trebuie studiat ˘aˆınaintea
asem ˘an˘arii s ¸i chiar ˆınaintea trat ˘arii izometriei ˆın general.
Cu aceste put ¸ine cunos ¸tint ¸e privind omotetia putem s ˘a rezolv ˘am multe probleme
interesante de geometrie. De exemplu, putem obt ¸ine majoritatea rezultatelor privind
conﬁgurat ¸ia Cercul lui Euler prin considerarea omotetiei inverse de centru G(centrul
de greutate al triunghiului) s ¸i raport1
2.
Ultimele dou ˘a propriet ˘at ¸i ale omotetiei, ment ¸ionate mai sus, permit abordarea
unei clase mari de probleme de loc geometric, dac ˘a sunt reformulate dup ˘a cum ur-
meaz ˘a:
•Locul geometric al punctului M/prime, omoteticul punctului ˆıntr-o omotetie de centru
Os ¸i raport k, este o dreapt ˘ad/prime, cˆandMdescrie o dreapt ˘ad. Dac ˘adtrece prin
O, avem d/prime=d, iarˆın caz contrar avem d/prime/bardbld.
•Locul geometric al punctului M/prime, omoteticul punctului Mˆıntr-o omotetie de
centru Os ¸i raport k, este un cerc C(P1
0, kr), cˆandMdescrie cercul C(P0, r),
unde P1
0este omoteticul lui P0.
ˆIn momentul ˆın care elevii dispun de not ¸iunea de vector se poate trata omotetia cu
metode vectoriale. ˆIns˘as ¸i deﬁnit ¸ia ei devine mai us ¸oar ˘a pentru c ˘a not ¸iunea de vector
ne permite s ˘a surprindem simultan situat ¸iile de ordonare a punctelor ˆıntˆalnite ante-
rior.

2.6. OMOTETIA ˆIN PLAN 57
DEFINIT ¸ IA 2.12 FieOun punct ˆın planul πs ¸ikun num ˘ar real nenul. Omotetia de
centru Os ¸i raport keste o transformare a planului care aplic ˘a un punct Mˆıntr-un
punct M/primedat de formula
OM/prime=k·OM.
ˆIn aceast ˘a deﬁnit ¸ie cuprindem omotetiile de ambele genuri (cele de gen 1 co-
respund la kpozitiv, iar cele de gen 2 la knegativ). Demonstrat ¸iile propriet ˘at ¸ilor
ment ¸ionate mai sus se simpliﬁc ˘a pentru c ˘a nu trebuie s ˘a mai distingem cele dou ˘a
genuri de omotetie, dar ideile sunt ˆın esent ¸ ˘a aceleas ¸i.
ˆIn acest context vectorial putem s ˘a ne ocup ˘am de urm ˘atoarele dou ˘a propriet ˘at ¸i ale
omotetiilor:
•Mult ¸imea omotetiilor de acelas ¸i centru formeaz ˘a un grup comutativ izomorf cu
grupul multiplicativ al numerelor reale nenule.
•Produsul a dou ˘a omotetii hk
Os ¸ihk/prime
O/primeeste o omotetie av ˆand centrul coliniar cu O
s ¸iO/prime, dac ˘ak·k/prime/negationslash=1s ¸i este o translat ¸ie de vector OO/primedac˘ak·k/prime= 1. Ca aplicat ¸ie
se poate demonstra teorema lui Menelaus.
Omotetia ˆın spat ¸iu se poate prezenta similar. Deﬁnit ¸ia vectorial ˘a r˘amˆane practic
aceeas ¸i. Propriet ˘at ¸ile anterioare r ˘amˆan valabile. La ele se pot ad ˘auga urm ˘atoarele:
•omotetia spat ¸iului invariaz ˘a dreptele s ¸i planele care trec prin centrul omotetiei;
•omotetia spat ¸iului transform ˘a un plan care nu trece prin centru de omotetie ˆıntr-
un plan paralel cu el;
•omotetia spat ¸iului de centru Os ¸i raport ktransform ˘a o sfer ˘aS(P0, r)ˆıntr-o sfer ˘a
S(P1
0, kr)unde P1
0este omoteticul lui P0.
Aplicat ¸iile omotetiei ˆın spat ¸iu sunt analoage cu cele ale omotetiei plane.
Revenim la plan.
Fie un punct ﬁx Os ¸i o omotetie hk
O. Introducem ˆın plan un reper cartezian oa-
recare fat ¸ ˘a de care avem O(x0, y0), M(x, y)s ¸i omoteticul s ˘auM/prime(x/prime, y/prime). Condit ¸ia
OM/prime=k·OM este echivalent ˘a cu
½x/prime=x0+k(x−x0)
y/prime=y0+k(y−y0).(2.7)
Aceste ecuat ¸ii se numesc ecuat ¸iile omotetiei hk
Oˆın raport cu reperul cartezian ales.
Ele pot ﬁ luate ca deﬁnit ¸ie a omotetiei ˆın plan s ¸i utilizate pentru a demonstra pro-
priet ˘at ¸ile esent ¸iale ale omotetiilor. Pentru a facilita asemenea demonstrat ¸ii putem
alege reperul cu originea ˆınO, deci x0= 0s ¸iy0= 0.

58 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
De exemplu, dac ˘aMparcurge dreapta de ecuat ¸ie ax+by+c= 0, atunci coordo-
natele lui M/primesatisfac ecuat ¸ia ax+by+ck= 0, deci M/primeparcurge o dreapt ˘a paralel ˘a
cu cea dat ˘a.
Similar, dac ˘aMse aﬂ ˘a pe cercul de ecuat ¸ie (x−a)2+(y−b)2=r2, coordonatele
luiM/primeveriﬁc ˘a ecuat ¸ia (x−ka)2+ (y−kb)2= (kr)2. Deci, M/primese aﬂ ˘a pe cercul de
raz˘akrs ¸i de centru omotetic cu centrul cercului dat.
Analog se pot demonstra alte propriet ˘at ¸i ale omotetiei.
2.6.1 Folosirea omotetiei la rezolvarea unor probleme de loc geometric
ˆIn aplicat ¸ii intervine ˆın mod frecvent urm ˘atoarea problem ˘a de loc geometric.
Problem ˘a
Se dau cercul C(O, R), unde Oeste un punct ﬁx s ¸i puntul Ide asemenea ﬁxat,
iarPun punct variabil pe cerc. Se cere s ˘a se determine locul geometric al punctului
M∈IP, dac ˘a raportulMI
IP=keste cunoscut, kﬁind un num ˘ar pozitiv ﬁxat.
O'MP
OI
Figura 2.8:
Construim paralela MO/prime/bardblPO,O/prime∈IO. Atunci
O/primeI
IO=MI
IP=k,MO/prime
PO=MI
IP=k,
s ¸i cum segmentele IO, PO au lungimea constant ˘a, rezult ˘a c˘a punctul O/primeeste ﬁx, iar
segmentul MO/primeare lungimea constant ˘a.
Locul geometric este cercul cu centrul O/primes ¸i raz ˘aMO/prime(omoteticul cercului dat sau
transformatul acestuia prin omotetia de centru Is ¸i raport k).
Ca exemplu ˆın acest sens poate servi Cercul lui Euler , cercul care trece prin mij-
loacele unui triunghi ABC , prin picioarele ˆın˘alt ¸imilor sale s ¸i prin mijloacele seg-
mentelor AH, BH, CH ,Hﬁind ortocentrul triunghiului. (Cercul celor 9puncte)

2.7. INVERSIUNEA ˆIN PLAN 59
2.7 Inversiunea ˆın plan
O alt ˘a transformare geometric ˘a foarte util ˘aˆın rezolvarea problemelor de geometrie
este inversiunea. ˆInainte de introducerea deﬁnit ¸iei inversiunii ˆın plan bine s ˘a se rea-
minteasc ˘a puterea unui punct fat ¸ ˘a de un cerc, pornind de la urm ˘atoarele rezultate:
FieC(O, r)un cerc ˆın planul π, cu centrul ˆın punctul ﬁxat Os ¸i raz ˘ar.
•Oricare ar ﬁ punctele A, B, A/prime, B/prime∈C(O, r)cu proprietatea c ˘a dreptele ABs ¸i
A/primeB/primese intersecteaz ˘aˆıntr-un punct Pare loc egalitatea:
PA·PB=PA/prime·PB/prime.
Se demonstreaz ˘a us ¸or din proport ¸ionalitatea laturilor triunghiurilor asemenea
∆PAB/primes ¸i∆PA/primeB.
•Dac˘a o secant ˘a variabil ˘a trece printr-un punct ﬁx Ps ¸i intersecteaz ˘a un cerc
C(O, r)ˆın punctele As ¸iB, atunci produsul
PA·PB=ct
este constant.
DEFINIT ¸ IA 2.13 Se numes ¸te putere a punctului Pfat ¸˘a de cercul C(O, r), num ˘arul
notat
ρ(P) =PA·PB
unde As ¸iBsunt punctele de intersect ¸ie ale unei secante duse prin Pcu cercul
C(O, r).
•se deﬁnes ¸te astfel o funct ¸ie ρ:π→R, deﬁnit ˘a prin
ρ(P) =PA·PB
unde As ¸iBsunt punctele de intersect ¸ie ale unei secante duse prin Pcu cercul
C(O, r).
•puterea unui punct fat ¸ ˘a de un cerc ne indic ˘a pozit ¸ia punctului fat ¸ ˘a de cerc:
1.P∈Ext(C(O, r))dac˘a s ¸i numai dac ˘aρ(P)>0;
2.P∈C(O, r)dac˘a s ¸i numai dac ˘aρ(P) = 0 ;
3.P∈Int(C(O, r))dac˘a s ¸i numai dac ˘aρ(P)<0.
•puterea unui punct Pfat ¸˘a de un cerc este
ρ(P) = (OP)2−r2.

60 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
Putem prezenta aceste rezultate s ¸i vectorial dac ˘a elevii cunosc elementele de calcul
vectorial. De asemenea deﬁnit ¸ia inversiunii poate ﬁ dat ˘a mai us ¸or.
FieO∈πun punct ﬁx s ¸i kun num ˘ar real nenul.
DEFINIT ¸ IA 2.14 Inversiunea de pol Os ¸i raport keste o transformare a planului
prin care ﬁec ˘arui punct X∈π−{O}i se asociaz ˘a punctul X/primepe dreapta OX astfel
ˆıncˆat
OX·OX/prime=k
iar punctului Oi se asociaz ˘a punctul O.
Inversiunea de pol Os ¸i raport kse noteaz ˘aik
O.Punctul Ose numes ¸te polul inversiunii.
As ¸adar
ik
O:π→π
ik
O(X)∈OX, OX·Oik
O(X) =k,∀X∈π.
Punctul X/prime=ik
O(X)se numes ¸te transformatul punctului Xprin inversiunea de pol
Os ¸i raport ksau inversul punctului Xprin aceast ˘a inversiune s ¸i vice-versa Xeste
inversul punctului X/primeprinik
O.
Punctele Xs ¸iik
O(X)se numesc puncte omoloage ale inversiunii ik
O.
Astfel se pune ˆın evident ¸ ˘a c˘a:
•inversiunea este o transformare involutiv ˘a
ik
O◦ik
O= 1 π
•inversiunea este inversabil ˘a s ¸i(ik
O)−1=ik
O
•punctul Oeste invariant ˆın raport cu inversiunea ik
Os ¸i toate dreptele care trec
prinOsunt drepte invariante ˆın raport cu inversiunea ik
O.
DEFINIT ¸ IA 2.15 Dac˘ak >0inversiunea ik
Ose numes ¸te pozitiv ˘a, iar dac ˘ak <0
inversiunea ik
Ose numes ¸te negativ ˘a.
V om prezenta ˆın continuare c ˆateva propozit ¸ii care ne dau imaginile unui cerc s ¸i unei
drepte din plan printr-o inversiune.
TEOREMA 2.9 Dac˘aik
Oeste o inversiune pozitiv ˘a, atunci ik
Oinvariaz ˘a punct cu
punct cercul C(O,√
k)s ¸i transform ˘a interiorul cercului C(O,√
k)ˆın exteriorul lui
s ¸i exteriorul cercului C(O,√
k)ˆın interiorul lui.

2.7. INVERSIUNEA ˆIN PLAN 61
OO
X'XT
X X'T
Figura 2.9:
Demonstrat ¸ie.
ˆIntr-adev ˘ar pentru orice X∈C(O,√
k)are loc OX·OX= (√
k)2=ks ¸i deci
ik
O(X) =Xpentru orice X∈C(O,√
k). Adic ˘aik
O(C(O,√
k)) = C(O,√
k). Fie
acum X∈Int(C(O,√
k)). Construim perpendiculara pe dreapta OX prin punctul X
s ¸i ﬁeTunul din punctele de intersect ¸ie al acestei perpendiculare cu cercul C(O,√
k).
Tangenta ˆın punctul Tla cercul C(O,√
k)intersecteaz ˘a dreapta OX ˆın punctul X/prime.
Din teorema catetei aplicat ˘aˆın triunghiul OTX/prime(ﬁgura ) rezult ˘aOX·OX/prime=
(√
k)2=ks ¸i deci ik
O(X) =X/prime.
Dac˘aX∈Ext(C(O,√
k))construim tangenta XT la cercul C(O,√
k).T∈
C(O,√
k)(ﬁgura ) s ¸i X/primepiciorul perpendicularei din Tpe dreapta OX. Teorema
catetei ˆınOTX ne d˘aOX/prime·OX= (√
k)2=ks ¸i deci ik
O(X/prime) =X. q.e.d.
Din aceast ˘a teorem ˘a rezult ˘a o metod ˘a practic ˘a de construct ¸ie a imaginii ik
O(X)
unui punct Xprin inversiunea ik
O, k > 0.
DEFINIT ¸ IA 2.16 Pentru ik
Oo inversiune pozitiv ˘a, cercul C(O,√
k)se numes ¸te cer-
cul inversiunii ik
Osau cercul de inversiune.
DEFINIT ¸ IA 2.17 Dou˘a cercuri secante se numesc ortogonale dac ˘a tangenta ˆıntr-
un punct comun la unul dintre cercuri trece prin centrul celuilalt.
TEOREMA 2.10 Un cerc diferit de cercul de inversiune este invariant ˆın raport cu
inversiunea dac ˘a s ¸i numai dac ˘a este ortogonal cu cercul de inversiune.
PROPOZIT ¸ IA 2.2 Orice dou ˘a perechi de puncte omoloage ˆıntr-o inversiune sunt
as ¸ezate pe un cerc, dac ˘a nici unul dintre puncte nu este polul inversiunii.
Se pot demonstra urm ˘atoarele rezultate:
•printr-o inversiune orice cerc care nu cont ¸ine polul inversiunii se transform ˘a
ˆıntr-un cerc care de asemenea nu cont ¸ine polul inversiunii;

62 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE
•printr-o inversiune ik
Oorice patru puncte situate pe un cerc care cont ¸ine polul O
al inversiunii se transform ˘aˆın patru puncte situate pe o dreapt ˘a care nu cont ¸ine
polul inversiunii.
•printr-o inversiune orice dreapt ˘a care nu cont ¸ine polul inversiunii se transform ˘a
ˆıntr-un cerc care cont ¸ine polul inversiunii.
•daca cercul C(O2, r2)este imaginea cercului C(O1, r1)prin inversiunea ik
O,
atuncir2
r1=k
ρ(O), unde ρ(O)este puterea polului Oˆın raport cu cercul C(O2, r2).
DEFINIT ¸ IA 2.18 Unghiul a dou ˘a cercuri care se intersecteaz ˘aˆın punctele As ¸iB
este unghiul format de cele dou ˘a tangente la cercuri ˆınAsauB.
DEFINIT ¸ IA 2.19 Unghiul dintre o dreapt ˘a s ¸i un cerc pe care-l intersecteaz ˘aˆınA
s ¸iBeste unghiul format de dreapt ˘a s ¸i una dintre tangentele la cerc ˆınAsauB.
OBA' B'
O'1(O, r)C11
1A
Figura 2.10: Inversul unui cerc care nu trece prin polul inversiunii O
ˆIntr-o inversiune sunt invariante:
•unghiul a dou ˘a cercuri secante;
•unghiul dintre o dreapt ˘a s ¸i un cerc pe care-l intersecteaz ˘a;
•unghiul a dou ˘a drepte secante.
TEOREMA 2.11 Mult ¸imea tuturor omotetiilor s ¸i a inversiunilor planului, care au
acelas ¸i centru formeaz ˘a un grup.
DEFINIT ¸ IA 2.20 Grupul format din omotetiile s ¸i inversiunile planului cu acelas ¸i
centru s ¸i pol Ose numes ¸te grupul conform de centru Oal planului.
Construct ¸ia cu rigla s ¸i compasul a imaginii unui cerc printr-o inversiune ik
Ose face
astfel:

2.7. INVERSIUNEA ˆIN PLAN 63
•cercul C(O1, r1)nu trece prin polul inversiunii ik
O.ˆIn acest caz ﬁe As ¸iBpunc-
tele de intersect ¸ie ale dreptei OO 1cu cercul C(O1, r1)(ﬁgura 2.10). Construim
punctele A/prime=ik
O(A)s ¸iB/prime=ik
O(B). Inversul cercului C(O1, r1)prin inversiu-
neaik
Oeste cercul de diametru [A/primeB/prime].
O(O, r)C11
1A' A O
Figura 2.11:
•cercul C(O1, r1)trece prin polul inversiunii ik
O.ˆIn acest caz imaginea cercului
C(O1, r1)prin inversiunea ik
O. este o dreapt ˘a. Fie Aal doilea punct de intersect ¸ie
al dreptei OO 1cu cercul C(O1, r1)(ﬁgura 2.10).Construim imaginea punctului
Aprin inversiunea ik
Os ¸i vom obt ¸ine A/prime=ik
O(A)∈OO 1. Perpendiculara pe
OO 1ˆınA/primeeste imaginea cercului C(O1, r1)prin inversiunea ik
O.
O(O, r)C11
1A
BOOO1
Figura 2.12 a).Figura 2.12 b)
Figura 2.12:
Dac˘a cercul C(O1, r1)intersecteaz ˘a cercul de inversiune ˆın punctele As ¸iB,
atunci AB=ik
O(C(O1, r1))(ﬁgura 2.11), iar dac ˘a cercul C(O1, r1)este tangent
la cercul de inversiune, atunci ik
O(C(O1, r1))este tangenta la cercul de inver-
siune ˆın punctul de tangent ¸ ˘a al celor dou ˘a cercuri. (ﬁgura 2.12)

64 CAPITOLUL 2. TRANSFORM ˘ARI GEOMETRICE

Capitolul 3
Geometrie ˆın spat ¸iu
3.1 Introducere ˆın geometria tetraedrului
Se poate deﬁni tetraedrul ca un caz particular al piramidei:
DEFINIT ¸ IA 3.1 FieS= [A1A2. . . A n]o suprafat ¸ ˘a poligonal ˘a cu frontiera un po-
ligon apart ¸in ˆand unui plan πs ¸iV/negationslash∈π. Se numes ¸te piramid ˘a cu v ˆarful Vs ¸i baz ˘aS
mult ¸imea tuturor segmentelor [V A], cuA∈S.
Suprafat ¸ ˘a poligonal ˘aSse numes ¸te baza piramidei.
•ˆIn funct ¸ie de natura poligonului Sse pot ˆıntˆalni mai multe tipuri de piramide.
•Se pune ˆın evident ¸ ˘a faptul c ˘a o piramid ˘a triunghiular ˘a se numes ¸te tetraedru.
Deci, tetraedrul este o piramid ˘a particular ˘a, cu poligonul Sun triunghi.
Dar putem deﬁni direct tetraedrul:
DEFINIT ¸ IA 3.2 Fie punctele A, B, C, D patru puncte necoplanare din spat ¸iu. Mult ¸imea
ABCD = [ABC ]∪[ABD ]∪[ACD ]∪[BCD ]se numes ¸te tetraedru.
CB DA
Figura 3.1: Tetraedrul ABCD
65

66 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
•Punctele A, B, C, D se numesc v ˆarfurile tetraedrului ABCD ;
•Segmentele ˆınchise [AB],[AC],[AD],[BD],[BC],[CD]deﬁnesc muchiile te-
traedrului;
•Suprafet ¸ele triunghiulare [ABC ],[ABD ],[ACD ],[BCD ]se numesc fet ¸ele te-
traedrului;
•Folosind materialul didactic elevii vor constata c ˘aˆın cazul tetraedrului ﬁecare
fat ¸˘a poate ﬁ considerat ˘a baz ˘a s ¸i c ˆand as ¸ez ˘am un tetraedru oarecare cu o alt ˘a fat ¸˘a
ca baz ˘a el capat ˘a de ﬁecare dat ˘a alt aspect.
•Analogie ˆıntre triunghi s ¸i tetraedru: tetaedrul este poliedrul cu cel mai mic
num˘ar de fet ¸e as ¸a cum triunghiul este poligonul cu cel mai mic num ˘ar de la-
turi.
DEFINIT ¸ IA 3.3 Numim ˆın˘alt ¸ime a unui tetraedru perpendiculara dus ˘a dintr-un
vˆarf al tetraedrului pe fat ¸a opus ˘a.
Spre deosebire de cazul triunghiului (ale c ˘aruiˆın˘alt ¸imi sunt ˆıntotdeauna concurente),
ˆın˘alt ¸imile unui tetraedru nu sunt ˆıntotdeauna concurente!
ˆIn general cele patru ˆınaltimi ale unui tetraedru sunt dou ˘a cˆate dou ˘a necopla-
nare s ¸i sunt generatoarele unui hiperboloid (J. STEINER-1827), numit hiperboloidul
ˆın˘alt ¸imilor. Acestui hiperboloid ˆıi apart ¸in perpendicularele ridicate pe planele fet ¸elor
tetraedrului care trec prin ortocentrele acestor fet ¸e.
DEFINIT ¸ IA 3.4 ˆIntr-un tetraedru numim bimedian ˘a segmentul care unes ¸te mijloa-
cele a dou ˘a muchii opuse.
Orice tetraedru are s ¸ase muchii, deci exist ˘a trei bimediane.
PROPOZIT ¸ IA 3.1 ˆIntr-un tetraedru oarecare cele trei bimediane sunt concurente.
Demonstrat ¸ie. ˆIn tetraedrul ABCD consider ˘am punctele M, N, P ,Q, R, S mij-
loacele laturilor [AB],[CD],[BC],[AD],[AC],[BD]respectiv. V om demonstra c ˘a
bimedianele [MN],[PQ],[MN]sunt concurente.
ˆIn triunghiurile BAC s ¸iDAC care au latura comun ˘a[AC]sunt puse ˆın evident ¸ ˘a
liniile mijlocii [MP]s ¸i[QN], care corespund laturii comune.
Deci:
MP/bardblQN s ¸iMP=QN.
Analog: PN/bardblMQ s ¸iPN=MQ
PS/bardblQRs ¸iPS=QR.

3.1. INTRODUCERE ˆIN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 67
CB DA
P NRQ
SM
G
Figura 3.2: Concurent ¸a bimedianelor
Rezult ˘a c˘a patrulaterele PRQS, MPNQ sunt paralelograme s ¸i mai mult cele
trei bimediane [MN],[PQ],[RS]ale tetraedrului sunt diagonale ˆın aceste parale-
lograme.
Cum diagonalele unui paralelogram sunt concurente s ¸i se ˆınjum ˘at˘at ¸esc, cele trei
bimediane [MN],[PQ],[RS]ale tetraedrului ABCD sunt concurente, punctul de
concurent ¸ ˘a este notat cu Gs ¸i este mijlocul ﬁec ˘arei bimediane. q.e.d.
DEFINIT ¸ IA 3.5 (LEONARDO DA VINCI)
Punctul de concurent ¸ ˘a al bimedianelor, notat cu G, se numes ¸te centrul de greu-
tate, sau centrul distant ¸elor medii, sau baricentrul tetraedrului.
PROPOZIT ¸ IA 3.2 FieABCD un tetraedru, M∈(AB)cuAM
AB=u,0< u < 1
s ¸iN∈(CD)astfel ˆıncˆatCN
CD= 1−u. Atunci au loc urm ˘atoarele inegalit ˘at ¸i:
|u·BC−(1−u)·AD|< MN < u ·BC+ (1−u)·AD, (3.1)
|u·BD−(1−u)·AC|< MN < u ·BD+ (1−u)·AC.
Demonstrat ¸ie.
FieP∈(AC)astfel ˆıncˆatMP/bardblBC (ﬁg. 3). Din teorema fundamental ˘a a
asemanarii avem MP=u·BCs ¸iPC
AC= 1−u.
CumCN
CD= 1−u, vom obt ¸ine PN/bardblAD s ¸iˆın consecint ¸ ˘a din triunghiurile
asemenea CPN s ¸iCAD se obt ¸ine PN= (1−u)·AD. Deoarece punctele M, P, N
nu pot ﬁ coliniare, din inegalit ˘at ¸ile triunghiului obt ¸inem
|MP−PN|< MN < MP +PN

68 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
B
CDA
M
NP
Figura 3.3:
sau dup ˘aˆınlocuiri, avem
|u·BC−(1−u)·AD|< MN < u ·BC+ (1−u)·AD.
Proced ˆand la fel obt ¸inem s ¸i al doilea grup de inegalit ˘at ¸i.
q.e.d.
COROLARUL 3.1 (Inegalit ˘at ¸ile bimedianei).
FieABCD un tetraedru, Mmijlocul lui [AB]s ¸iNmijlocul lui [CD]; atunci
|BC−AD|<2MN < BC +AD, |BD−AC|<2MN < BD +AC. (3.2)
Demonstrat ¸ie.
Luˆandu=1
2ˆın (3.1) vom g ˘asi aceste inegalit ˘at ¸i. q.e.d.
DEFINIT ¸ IA 3.6 ˆIntr-un tetraedru ABCD , dreptele care unesc punctele A, B, C, D
cu centrele de greutate ale fet ¸elor opuse se numesc medianele tetraedrului ABCD .
TEOREMA 3.1 Cele patru mediane ale unui tetraedru sunt concurente.
Demonstrat ¸ie.
FieG1punctul de intersect ¸ie al medianelor triunghiului BCD . Se noteaz ˘a cu
M, N, P, Q mijloacele segmentelor [AB],[CD],[BC],[AD], ﬁgura (3.3).
ˆIn planul (APD ),PQ∩AG 1/negationslash=∅.
ˆIn planul paralelogramului MPNQ ,MN∩PQ/negationslash=∅.
ˆIn planul (ANB ),NM∩AG 1/negationslash=∅. Deci dreptele MN, PQ, AG 1, se intersecteaz ˘a
dou˘a cˆate dou ˘a s ¸i nu sunt coplanare. Rezult ˘a c˘a
MN∩PQ∩AG 1/negationslash=∅,

3.1. INTRODUCERE ˆIN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 69
CB DA
P NQ M
G
G1
Figura 3.4: Concurent ¸a medianelor
deciG∈AG 1.
Not˘am cu G2punctul de intersect ¸ie al medianelor triunghiului ACD , iarG3pen-
tru triunghiul ABD . Analog se demonstreaz ˘aBG 2s ¸iCG 3trec prin G.
q.e.d.
PROPOZIT ¸ IA 3.3 (LEONARDO DA VINCI) Centrul de greutate al unui tetraedru
ˆımparte o median ˘aˆın dou ˘a segmente, dintre care cel care cont ¸ine v ˆarful tetraedrului
este triplul celuilalt .
Demonstrat ¸ie. Se consider ˘a separat planul (APD ), ﬁgura (3.4). Aplic ˆand teo-
rema lui Menelaus ˆın triunghiul AG 1D, pentru dreapta Q, G, P se obt ¸ine:
AQ
QD·PD
PG 1·GG 1
GA= 1
DarAQ=QD s ¸iPD= 3PG 1, de unde rezult ˘a c˘aGG 1
GA=1
3sauGG 1
AG 1=1
4.
q.e.d.
•Un plan arbitrar, care trece printr-o median ˘a,ˆımparte tetraedrul ˆın dou ˘a poliedre
cu volume egale (J. L. LAGRANGE, 1810-1811).
PROPOZIT ¸ IA 3.4 Planele perpendiculare pe muchiile unui tetraedru duse prin
mijloacele lor se intersecteaz ˘aˆıntr-un punct.
Demonstrat ¸ie.
V om demonstra c ˘a exist ˘a un punct egal dep ˘artat de toate v ˆarfurile tetraedrului.
S ¸tim c ˘a toate punctele egal dep ˘artate de B, C s ¸iDse aﬂ ˘a pe o dreapt ˘adper-
pendicular ˘a pe planul BCD care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului
BCD .

70 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
Punctele egal dep ˘artate de de As ¸iBse aﬂ ˘aˆın planul mediator Pal segmentului
AB.
Planul Ps ¸i dreapta dse intersecteaz ˘aˆıntr-un punct O, c˘aci altfel ar ﬁ paralele s ¸i
segmentul ABar ﬁˆın planul BCD , contrar ipotezei. q.e.d.
COROLARUL 3.2 Perpendicularele ridicate pe fet ¸ele unui tetraedru ˆın centrele
cercurilor circumscrise acelor fet ¸e sunt concurente ˆıntr-un punct, O.
Demonstrat ¸ie.
Aceste perpendiculare sunt determinate de intersect ¸iile perechilor de plane per-
pendiculare pe muchiile unui tetraedru duse prin mijloacele lor s ¸i conform propozit ¸iei
anterioare sunt concurente. q.e.d.
Astfel am demonstrat c ˘a punctul Odin propozit ¸ia de mai sus este egal dep ˘artat de
vˆarfurile tetraedrului s ¸i el este centrul unei sfere care cont ¸ine v ˆarfurile tetraedrului,
care se numes ¸te sfera circumscris ˘a tetraedrului.
Deci:
Orice tetraedru poate ﬁ ˆınscris ˆıntr-o sfer ˘a, care are centrul ˆın punctul de intersect ¸ie
al planelor mediatoare ale muchiilor tetraedrului s ¸i care este ˆın acelas ¸i timp s ¸i punc-
tul de intersect ¸ie al perpendicularelor ridicate pe fet ¸ele tetraedrului ˆın centrele cer-
curilor circumscrise acestora.
DEFINIT ¸ IA 3.7 Numim coordonate baricentrice ale punctului P, patru numere
λ1, λ2, λ3, λ4care sunt proport ¸ionale cu volumele tetraedrelor cu v ˆarful ˆınPs ¸i
avˆand drept baze fet ¸ele tetraedrului.
Deci, dac ˘aµeste factorul de proport ¸ionalitate, atunci avem:
λ1+λ2+λ3+λ4=µV,
Vﬁind volumul tetraedrului.
Pentru µ= 1coordonatele baricentrice se numesc absolute.
•Segmentele de dreapt ˘a care unesc centrul de greutate al tetraedrului, G, cu
vˆarfurile tetraedrului ˆımpart tetraedul ˆın patru tetraedre echivalente: din aceast ˘a
cauz ˘a coordonatele baricentrice ale lui Gsunt egale.
•Distant ¸ele lui Gla fet ¸ele tetraedrului sunt invers proport ¸ionale cu ariile acestor
fet ¸e.

3.1. INTRODUCERE ˆIN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 71
PROPOZIT ¸ IA 3.5 (lungimea medianei)
Fie tetraedrul A1A2A3A4,AG 1o median ˘a a tetraedrului, unde G1este centrul
de greutate al fet ¸ei A2A3A4. Atunci
A1G2
1=A1A2
2+A1A2
3+A1A2
4
3−A2A2
3+A2A2
4+A3A4
4
9.
Demonstrat ¸ie.
FieA1A2A3A4un tetraedru cu G1centrul de greutate al fet ¸ei A2A3A4, iarM
mijlocul laturii A3A4. V om aplica relat ¸ia lui Stewart ˆın triunghiul A1A2M:
A2M(A1G2
1+A2G1·G1M) =A1M2·A2G1+A1A2
2·G1M,
A
G1MAA
A1
2
34
Figura 3.5: lungimea medianelor
ˆın care vom folosi expresiile date de teorema medianei aplicat ˘aˆın triunghiul
A1A3A4pentru mediana A1Ms ¸iˆın triunghiul A2A3A4pentru mediana A2M. Se
obt ¸ine astfel lungimea medianei tetraedrului. q.e.d.
Observat ¸ia 3.1 Propozit ¸ia (3.5) este analoag ˘a teoremei medianei unui triunghi.
PROPOZIT ¸ IA 3.6 (lungimea bimedianei) Fie tetraedrul oarecare ABCD ,Mmij-
locul muchiei ABs ¸iM/primemijlocul muchiei opuse CD. Atunci:
MM/prime2=BC2+BD2+AC2+AD2−AB2−CD2
4. (3.3)
Demonstrat ¸ie.
Aplic ˘am teorema medianei pentru MM/prime, median ˘a a triunghiului ABM/prime.
BM/primeeste median ˘aˆın triunghiul BCD s ¸iAM/primeeste median ˘aˆın triunghiul ACD ,
unde pentru calculul lor vom folosi tot teorema medianei. q.e.d.

72 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
B
CDA
M
M'
Figura 3.6: lungimea bimedianelor
Folosind lungimea bimedianelor unui tetraedru se poate demonstra imediat:
PROPOZIT ¸ IA 3.7 Fie tetraedrul oarecare ABCD ,M, N, P, Q, R, S mijloacele
muchiilor [AB],[CD],[BC],[AD],[AC],[BD]respectiv. Atunci:
MN2+PQ2+RS2=AB2+BC2+AD2+AC2+BD2+CD2
4.
CB DA
P NRQ
SM
G
Figura 3.7:
PROPOZIT ¸ IA 3.8 Suma p ˘atratelor medianelor este egala cu4
9din suma p ˘atratelor
muchiilor.
Demonstrat ¸ie. Se folosesc lugimile medinelor unui tetraedru, conform propozit ¸ia
anterioare s ¸i se obt ¸ine relat ¸ia anunt ¸at ˘a. q.e.d.
PROPOZIT ¸ IA 3.9 Suma p ˘atratelor distant ¸elor centrului de greutate la v ˆarfuri este
egal˘a cu suma p ˘atratelor lungimilor bimedianelor.

3.1. INTRODUCERE ˆIN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 73
PROPOZIT ¸ IA 3.10 FieBCD un triunghi s ¸i Mun punct oarecare ˆın spat ¸iu, iar G1
centrul de greutate al triunghiului BCD . Atunci are loc relat ¸ia lui Leibniz:
MB2+MC2+MD2= 3MG2
1+G1B2+G1C2+G1D2. (3.4)
Demonstrat ¸ie. FieS, T, R respectiv mijloacele laturilor CD, BD, BC ale triun-
ghiului DBC . Apli ˘am teorema lui Stewart ˆın triunghiul MBS , se obt ¸ine:
MB2BS
3+MS22BS
3=MG2
1·BS+BS
32BS
3BS,
care se poate scrie:
STCM
G1R
DB
Figura 3.8:
MB2+ 2MS2= 6SG2
1+ 3MG2
1. (3.5)
ˆIn triunghiul MDS lungimea medianei MS este
4MS2= 2(MC2+MD2)−DC2. (3.6)
Din (3.5) s ¸i (3.6) se obt ¸ine:
MB2+MC2+MD2= 3MG2
1+ 6G1S2+1
2DC2. (3.7)
ˆIn triunghiul G1DC,G1Seste median ˘a, deci:
4G1S2= 2(G1D2+G2C2)−DC2. (3.8)
Din (3.7) s ¸i (3.8) se obt ¸ine:
MB2+MC2+MD2= 3MG2
1+ 4G1S2+G1D2+G1C2.
Dar2G1S=G1Bs ¸i se obt ¸ine relat ¸ia din enunt ¸. q.e.d.

74 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
PROPOZIT ¸ IA 3.11 (J. L. LAGRANGE)
FieABCD un tetraedru s ¸i Gcentrul s ˘au de greutate, iar Mun punct oarecare
din spat ¸iu. Atunci are loc relat ¸ia:
MA2+MB2+MC2+MD2= 4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2.
Demonstrat ¸ie. Not˘am cu G1centrul de greutate al fet ¸ei BCD . Aplic ˘am relat ¸ia lui
Stewart ˆın triunghiul MAG 1:
MA2+ 3MG2
1= 4MG2+ 12GG2
1. (3.9)
Prin aplicarea propozit ¸iei 3.10 se obt ¸ine:
A C
DB
MG1G
Figura 3.9:
MB2+MC2+MD2= 4MG2
1+G1B2+G1C2+G1D2. (3.10)
Din relat ¸iile (3.9) s ¸i (3.10) se obt ¸ine:
MA2+MB2+MC2+MD2= 4MG2+12G1A2+G1B2+G1C2+G1D2.(3.11)
ˆIn propozit ¸ia 3.10, cu M=G, se obt ¸ine:
GB2+GC2+GD2= 3GG2
1+G1B2+G1C2+G1D2.
T ¸ inˆand seama c ˘a3G1G=GA, relat ¸ia (3.11) devine:
MA2+MB2+MC2+MD2= 4MG2+GA2+GB2+GC2+GD2.
q.e.d.
Observat ¸ia 3.2 Folosind aceast ˘a proprietate se obt ¸ine c ˘a suma p ˘atratelor distant ¸elor
luiGla cele patru v ˆarfuri este minim ˘a.

3.1. INTRODUCERE ˆIN GEOMETRIA TETRAEDRULUI 75
Observat ¸ia 3.3 Relat ¸ia din propozit ¸ia 3.11 este generalizarea relat ¸iei
MA2+MB2+MC2= 3MG2+GA2+GB2+GC2
valabil ˘a pentru un triunghi ABC ,Gcentrul de greutate al triunghiului, Mun punct
oarecare din planul triunghiului.
Au fost demonstrate urm ˘atoarele aﬁrmat ¸ii:
•Locul geometric al punctelor Pa c˘aror sum ˘a a p ˘atratelor distant ¸elor la v ˆarfurile
tetraedrului este constant ˘a, este o sfer ˘a cu centrul ˆın centrul de greutate al tetra-
edrului G. (J. L. LAGRANGE).
•Centrul de greutate Gal tetraedrului nu trebuie confundat cu centrul de greutate
al suprafet ¸ei tetraedrului, ˆın schimb acesta este centrul sferei ˆınscrise ˆın tetrae-
drul care are drept v ˆarfuri centrele de greutate ale fet ¸elor tetraedrului dat. (C. C.
GERONO; 1826-1827).
PROPOZIT ¸ IA 3.12 Planele care trec prin mijloacele muchiilor s ¸i sunt perpendicu-
lare pe muchia opus ˘a, sunt concurente ˆıntr-un punct M(G. MONGE-1813), numit
punctul lui MONGE sau anticentrul tetraedrului.
Demonstrat ¸ie. FieLs ¸iL/primemijloacelor laturilor ABs ¸iCD ˆın tetraedrul ABCD .
A C
BD
L'
LMGO
Figura 3.10:
Bimediana LL/primetrece prin centrul de greutate al tetraedrului Gs ¸iGL=GL/prime. Planul
care trece prin Ls ¸i este perpendicular pe muchia ABtrece prin centrul sferei cir-
cumscrise tetraedrului, punctul O. Deci planul care trece prin L/primes ¸i este de asemenea
perpendicular pe ABcont ¸ine punctul Mal dreptei OGcaracterizat prin OG=GM.
ˆIn baza acestui rat ¸ionament, punctul Mse aﬂ ˘a s ¸iˆın celelalte plane care trec prin
mijlocul uneia dintre laturile tetraedrului s ¸i sunt perpendiculare pe muchia opus ˘a.
q.e.d.

76 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
Anticentrul unui tetraedru este un punct simetric cu centrul sferei circumscrise te-
traedrului, ˆın raport cu centrul de greutate al acestuia.Punctul lui Monge (anticentrul)
al tetraedrului este centrul hiperboloidului ˆın˘alt ¸imilor.
•Centrul sferei circumscrise apart ¸ine dreptei care unes ¸te centrul de greutate G
cu punctul lui MONGE M, s ¸i el este simetricul punctului Mfat ¸˘a deG. (G.
MONGE-1813).
PROPOZIT ¸ IA 3.13 Planele bisectoare ale diedrelor unui tetraedru sunt concu-
rente.
Punctul de intersect ¸ie al acestor plane bisectoare, notat cu Ieste egal dep ˘artat de
fet ¸ele tetraedrului. Exist ˘a o sfer ˘a de centru Itangent ˘a celor patru fet ¸e ale tetraedrului,
avˆand punctele de contact cu fet ¸ele proiect ¸iile lui Ipe aceste plane. Sfera cu centrul
ˆınIeste sfera cu centrul ˆınI, raza ei o vom nota cu r.
TEOREMA 3.2 (P . FERMAT) Cele patru bisectoare ale triedrelor unui tetraedru
sunt concurente.
Dac˘a se consider ˘a fet ¸ele tetraedrului ABCD prelungite atunci planele bisectoare ale
diedrelor suplimentare cu muchiile AB, AC, BC ˆıntˆalnesc bisectoarea ∆Dˆıntr-un
punct Idegal dep ˘artat de fet ¸ele tetraedrului, dar exterior lui. Ideste centrul sferei Sd
exˆınscrise tetraedrului ABCD corespunz ˘atoare triedrului D.ˆIn mod analog se obt ¸in
sferele ex ˆınscrise Sa,Sb,Sccorespunz ˘atoare triedrelor cu v ˆarfurile A, B, C ale c ˘aror
centre se noteaz ˘a cuIa, Ib, Ics ¸i au razele ra, rb, rc.
Au loc urm ˘atoarele relat ¸ii:
1
ra+1
rb+1
rc+1
rd=2
r;
ra·rb·rc·rd≥16r4.
PROPOZIT ¸ IA 3.14 Planele care trec printr-o muchie a tetraedrului (T)s ¸i care
sunt paralele cu muchia opus ˘a, determin ˘a un paralelipiped circumscris tetraedrului:
patru dintre v ˆarfurile acestui paralelipiped sunt v ˆarfuri ale tetraedrului; celelalte
patru v ˆarfuri determin ˘a un alt tetraedru care are acelas ¸i centru de greutate Gcu
(T), care este simetricul lui (T)fat ¸˘a deG, s ¸i sfera circumscris ˘a acestui al doilea
tetraedru are drept centru punctul lui MONGE al primului tetraedru (A. JACOBI).
DEFINIT ¸ IA 3.8 FieA1A2A3A4un tetaedru. Un punct Tcu proprietatea
\AiTAj=\AkTAl,∀i, j, k, l ∈ {1,2,3,4}
se numes ¸te centrul izogon sau punctul lui Torricelli al tetraedrului.

3.2. TETRAEDRE CRELLE 77
Observat ¸ia 3.4 Punctul lui Torricelli al tetraedrului A1A2A3A4este caracterizat de
urm˘atoarea proprietate vectorial ˘a:
TA1
TA1+TA2
TA2+TA3
TA3+TA4
TA4= 1.
Unul dintre cele cinci poliedre regulate ale lui PLATON este tetraedrul s ¸i de el s-a
ocupat s ¸i EUCLID ˆın Elementele sale ( ˆın Cartea a XIII-a).
DEFINIT ¸ IA 3.9 Un tetraedru cu toate muchiile congruente se numes ¸te tetraedru
regulat.
1. Tetraedrul regulat are toate fet ¸ele triunghiuri echilaterale congruente.
2.ˆIn˘alt ¸imea tetraedrului regulat cade ˆın centrul fet ¸ei opuse, care este la intersect ¸ia
ˆın˘alt ¸imilor fet ¸ei.
3. Tetraedrul regulat are 4 ˆın˘alt ¸imi congruente.
4.ˆIntr-un tetraedru regulat unind centrele fet ¸elor se obt ¸ine un nou tetraedru regulat.
V olumul tetraedrului regulat este
V=l3√
2
12. (3.12)
3.2 Tetraedre Crelle
ˆIn general nu exist ˘a o sfer ˘a care s ˘a ﬁe tangent ˘a la toate muchiile unui tetraedru (T).
Cu toate acestea, pentru unele tetraedre particulare o astfel de sfer ˘a exist ˘a.
TEOREMA 3.3 (Teorema lui CRELLE) Fiind dat un tetraedru ABCD exist ˘a o
sfer˘a tangent ˘a celor s ¸ase muchii ale tetraedrului, dac ˘a s ¸i numai dac ˘a are loc condit ¸ia:
AB+CD=AC+BD=AD+BC.
Demonstrat ¸ie.
”⇒”Implicat ¸ia este evident ˘a datorit ˘a propriet ˘at ¸ii de congruent ¸ ˘a a tangentelor
dintr-un punct exterior.
⇐”Presupunem c ˘a este indeplinit ˘a condit ¸ia:
AB+CD=AC+BD=AD+BC.
Rezult ˘a:
AC+AB−BC=AD+AB−BD s ¸iAB+BC−AC=BD+BC−CD.

78 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
CD
BAD
R
PQ
MNS
Figura 3.11: Teorema lui Crelle
Prima relat ¸ie arat ˘a c˘a cercul ˆınscris ˆın triunghiul ABC are punctul de contact cu
ABidentic cu punctul de contact al lui ABcu cercul ˆınscris ˆın triunghiul ABD . Deci
exist ˘a o sfer ˘a ce cont ¸ine cele dou ˘a cercuri ( ˆınscris ˆınABC s ¸iˆınscris in ABD ). Exist ˘a
deci punctele M, N, O, P, Q ˆın sfera care este tangent ˘a segmentelor [BC],[AC],
[AD],[BD],[AB]. Se consider ˘a planul (BDC )s ¸i cercul de intersect ¸ie determinat
de plan s ¸i sfera considerat ˘a. Relat ¸ia a dou ˘a dovedes ¸te c ˘a punctul de contact cu BC
al cercului ˆınscris ˆın triunghiul BDC s ¸i punctul de contact cu BCal cercului ˆınscris
ˆın triunghiul ABC coincid.
Cum, cercul de intersect ¸ie dintre planul BDC s ¸i sfera este tangent muchiilor te-
traedrului ˆınPs ¸iM, iar pe de alta parte prin Ps ¸iMtrece cercul ˆınscris ˆın triunghiul
BDC , rezul ˘a c˘a cercul de intersect ¸ie dintre planul (BDC )s ¸i sfera s ¸i cercul ˆınscris
ˆın triunghiul BDC coincid. Deci sfera este tangent ˘a s ¸i muchiei [CD], ceea ce de-
monstreaz ˘a teorema.
q.e.d.
DEFINIT ¸ IA 3.10 Tetraedrele cu proprietatea c ˘a exist ˘a o sfer ˘a hexatangent ˘a mu-
chiilor se numesc tetraedre Crelle.
Pentru tetraedrele Crelle se poate demonstra urm ˘atoarea teorem ˘a:
TEOREMA 3.4 (Teorema lui Brianchon) ˆIntr-un tetraedru Crelle cele trei segmente
ce unesc punctele de contact de pe muchiile opuse ale sferei hexatangente sunt con-
curente.
Demonstrat ¸ie. Se foloses ¸te Teorema lui Menelaus ˆın spat ¸iu pentru patrulaterul
ABCD s ¸i rezult ˘a c˘a dreptele RCs ¸iSM sunt coplanare, deci RM∩SP/negationslash=∅.
Analog se arat ˘a c˘aNQ∩SP/negationslash=∅s ¸iRM∩NQ/negationslash=∅.

3.3. TETRAEDRE ECHIFACIALE 79
Cum dreptele RM, SP, NQ nu pot ﬁ coplanare rezult ˘a c˘a sunt concurente (Dac ˘a
ˆın spat ¸iu trei drepte se intersecteaz ˘a dou ˘a cˆate dou ˘a, atunci ele sunt sau coplanare
sau concurente).S ˘a demonstr ˘am aceast ˘a proprietate.
Fie dreptele a, bs ¸ics ¸i s˘a presupunem c ˘a nu sunt concurente. Fie P planul de-
terminat de dreptele as ¸ib. Cum dreapta cintersecteaz ˘a atˆat pe acˆat s ¸i pe bs ¸i cele
trei puncte de intersect ¸ie sunt dou ˘a cˆate dou ˘a diferite, rezult ˘a c˘a dreapta care dou ˘a
puncte diferite ˆın planul P, deci este ˆınˆıntregime cont ¸inut ˘aˆın acest plan. S-a de-
monstrat astfel ca dreptele a, bs ¸icsunt coplanare.
q.e.d.
PROPOZIT ¸ IA 3.15 ˆIntr-un tetraedru Crelle ABCD , unde AB =c, AC =b,
BC=a, AD +BC=s, volumul Vs ¸i raza ρa sferei hexatangente satisfac egalita-
tea:
3V ρ= 2(s−p)(p−a)(p−b)(p−c).
3.3 Tetraedre echifaciale
ˆIn prima jum ˘atate a secolului XIX o serie de geometrii str ˘alucit ¸i: Feuerbach, Vec-
ten, Jacobi au stabilit multiple propriet ˘at ¸i ale tetraedrului cu fet ¸ele congruente.
DEFINIT ¸ IA 3.11 (J. NEUBERG) Tetraedrul cu cele patru fet ¸e tringhiuri cu aceeas ¸i
arie se numes ¸te isoscel sau echifacial
Tetraedrul echifacial are urm ˘atoarele propriet ˘at ¸i remarcabile:
1. Cele patru ˆınalt ¸imi ale tetraedrului echifacial sunt egale (A. SCHMIDT-1889).
Demonstrat ¸ia este imediat ˘a, folosind formula volumului tetraedrului.
2. Perechile de muchii opuse sunt egale.
3. Bimedianele sunt ortogonale dou ˘a cˆate dou ˘a: adic ˘a ele determin ˘a un triedru
tridreptunghic av ˆand originea ˆınG, s ¸iˆıntˆalnesc dreptele suport ale muchiilor
tetraedrului sub unghiuri drepte (A. JACOBI).
4. Fiecare muchie este egal ˆınclinat ˘a fat ¸˘a de fet ¸ele neadiacente cu ea (A. JACOBI).
5. Bisectoarele unghiurilor sub care se vad din centrul de greutate dou ˘a muchii
opuse tetraedrului sunt bimedianele (J. NEUBERG).
6. Patru puncte remarcabile coincid, mai precis: centrul de greutate, punctul lui
MONGE, centrul sferei circumscrise s ¸i centrul sferei ˆınscrise.

80 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
7. Suma algebric ˘a a distant ¸elor unui punct arbitrar din spat ¸iu la fet ¸ele tetraedrului
este constant ˘a (A. JACOBI).
8. V olumul tetraedrului echifacial este egal cu a treia parte a produsului segmente-
lor bimediane (E. GENTY-1878).
9. V olumul tetraedrului echifacial este
V=p
2(a2+b2−c2)(a2−b2+c2)(−a2+b2+c2)
12(3.13)
unde a, b, c sunt lungimile laturilor unei fet ¸e a tetradrului.
10. Cele patru triedre ale tetraedrului sunt congruente, din aceast ˘a cauz ˘a suma die-
drelor triedrelor este constant ˘a.
11. Fet ¸ele sunt ˆıntotdeauna triunghiuri ascut ¸itunghice. (MORLEY).
12. Punctele de contact ale sferei ˆınscris ˘a,ˆın tetraedrul echifacial, cu fet ¸ele sunt
centrele cercurilor circumscrise acestora (J. NEUBERG), iar punctele de con-
tact interne ale fet ¸elor cu sferele ex ˆınscrise sunt ortocentrele acestor fet ¸e, iar
punctele de contact interne ale fet ¸elor cu sferele ex ˆanscrise sunt ortocentrele
acestor fet ¸e.
13. Exist ˘a cinci sfere tangente la fet ¸ele tetraedrului; sfera ˆınscris ˘a s ¸i cele patru sfere
exˆınscrise.
14. Centrele sferelor ex ˆınscrise sunt simetricele v ˆarfurilor tetraedrului fat ¸ ˘a de cen-
trul sferei ˆınscrise, din acest motiv, ele sunt v ˆarfurile paralelipipedului circum-
scris tetraedrului (F. MORLEY-1894).
15. Sfera circumscris ˘a trece prin centrele celor patru sfere ex ˆınscrise (J. NEUBERG-
1890).
16. Exista o sfer ˘a avˆand centrul ˆınGcare este tangent ˘a laˆın˘alt ¸imile tetraedrului
echifacial s ¸i la perpendicularele ridicate pe fete ˆın ortocentrele acestor fet ¸e. (A.
SCHMIDT-1889).
17. Exist ˘a patru sfere ex ˆınscrise la muchiile unui tetraedru echifacial (G. RIBONI-
1890).
Alte clase de tetraedre particulare sunt cele ˆın care doar dou ˘a fet ¸e sunt egale, ori trei
fet ¸e egale, sau care au fet ¸ele egale dou ˘a cˆate dou ˘a.ˆIn acest din urma caz, exist ˘a dou ˘a
bimediane care sunt ˆın acelas ¸i timp s ¸i perpedicularele comune ale muchiilor opuse
corespunz ˘atoare.

3.4. TETRAEDRE ORTOCENTRICE 81
PROPOZIT ¸ IA 3.16 Un tetraedru echifacial care are o pereche de muchii opuse
perpendiculare, este regulat.
3.4 Tetraedre ortocentrice
ˆIn general o muchie a unui tetraedru ABCD nu este perpendicular ˘a pe muchia
opus ˘a;ˆıns˘a dac ˘a una dintre muchii, de exemplu AB este perpendicular ˘a peCD,
atunci ˆın˘alt ¸imile duse din v ˆarfurile As ¸iBsunt coplanare, s ¸i sunt de asemenea co-
planare ˆın˘alt ¸imile cobor ˆate din v ˆarfurile Cs ¸iD, s ¸i reciproc.
ˆIn anul 1827 geometrul elvet ¸ian Jacob Steiner a introdus not ¸iunea de tetraedru
ortic sau ortocentric, care are cele patru ˆın˘alt ¸imi concurente.
DEFINIT ¸ IA 3.12 Un tetraedru care are perechile de muchii opuse ortogonale se
numes ¸te tetraedru ortocentric .
Suﬁcient ¸a condit ¸iei de perpendicularitate pentru dou ˘a perechi de muchii.
PROPOZIT ¸ IA 3.17 Dac˘a dou ˘a perechi de muchii opuse ale unui tetraedru sunt
perpendiculare, atunci s ¸i muchiile r ˘amase ale tetraedrului sunt de asemenea per-
pendiculare.
Demonstrat ¸ie. Fie un tetraedru ABCD , cuAB⊥CD, BC ⊥AD. Se duce
AE⊥CD, AF ⊥BC(ﬁg.3.12).
B
CF
EA'DA
Figura 3.12: tetraedre ortocentrice
Rezult ˘aCD⊥(ABE ),BC⊥(ADF ). Deci dac ˘aAA/prime= (ABE )∩(ADF ),
atunci AA/prime⊥(BCD )s ¸iAA/prime⊥BD. Dar, CA/prime⊥BD, deci BD⊥(ACA/prime)s ¸i
BD⊥AC. q.e.d.
PROPOZIT ¸ IA 3.18 ˆIn˘alt ¸imile unui tetraedru sunt concurente ˆıntr-un punct Hdac˘a
s ¸i numai dac ˘a tetraedrul este ortocentric.

82 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
Demonstrat ¸ie. “⇐”
Presupunem ca tetraedrul ABCD este ortocentric, cu AB⊥CD,AC⊥BD,
AD⊥BC.
Atunci prin AB, AC, AD se pot duce plane perpendiculare pe CD, BD, BC .
Aceste plane se vor intersecta dup ˘a dreapta AA/prime⊥(BCD ).
A/primeeste ortocentrul triunghiului BCD . Planul care cont ¸ine pe AB, perpendicular
B
CEA'DA
B'
Figura 3.13:
peCD se intersectez ˘a cuCDˆınE.AEeste o ˆın˘alt ¸ime a triunghiului ACD ,BEo
ˆın˘alt ¸ime a triunghiului BCD .
Not˘am cu B/primeortocentrul triunghiului ACD .BB/prime⊥(ACD ). Dreptele AA/primes ¸i
BB/primeﬁind ˆınABE sunt concurente.
Dou˘aˆın˘alt ¸imi oarecare ale tetraedrului ortocentric sunt concurente s ¸i deoarece nu
pot ﬁ toate ˆın acelas ¸i plan, trec toate prin acelas ¸i punct.
“⇒”
Presupunem c ˘aˆın˘alt ¸imile tetraedrului ABCD au punctul comun H.
(A/primeHB/prime)⊥CDs ¸i(A/primeHB/prime)∩CD=E, astfel ˆıncˆatBA/primeEs ¸iAB/primeEsuntˆın˘alt ¸imi
ale fet ¸elor BCD ,ACD . Rezult ˘a c˘aABE⊥CD, deci AB⊥CD.
Analog se demonstreaz ˘a s ¸i perpendicularitatea celorlalte perechi de muchii opuse.
Deci tetraedrul este ortocentric.
q.e.d.
DEFINIT ¸ IA 3.13 Punctul Hde concurent ¸ ˘a al ˆın˘alt ¸imilor se numes ¸te ortocentrul
tetraedrului.
Un tetraedru ortocentric se bucur ˘a de propriet ˘at ¸ile urm ˘atoare:
1. Picioarele ˆınalt ¸imilor sunt ortocentrele fet ¸elor corespunz ˘atoare.

3.4. TETRAEDRE ORTOCENTRICE 83
2. Centrele de greutate ale fetelor sunt v ˆarfurile unui tetraedru ortocentric, care
este omotetic cu tetraedrul init ¸ial fat ¸ ˘a deG; din aceast ˘a cauz ˘a perpendicularele
ridicate pe fet ¸ele unui tetraedru ortocentric ˆın centrele de greutate ale acestor
fet ¸e sunt concurente ˆıntr-un punct H/prime, care se gaseste pe dreapta GH, astfel
ˆıncˆatH/primeG=1
3HG (L. A. S. FERRIOT, 1811-1812).
3. Cele trei bimediane ale unui tetraedru ortocentric sunt egale, s ¸i reciproc: un
tetraedru care are bimedianele egale, este ortocentric.
Mai precis, dac ˘aˆıntr-un tetraedru
•dac˘a cele trei bimediane sunt egale atunci cele patru ˆınalt ¸imi ale tetraedrului
sunt concurente ˆıntr-un acelas ¸i punct
•dac˘a dou ˘a bimediane sunt egale atunci dou ˘aˆınalt ¸imi sunt concurente ˆıntr-un
punct H1s ¸i celelalte dou ˘aˆın˘alt ¸imi sunt concurente ˆıntr-un alt punct H2
•dac˘a cele trei mediane au lungimi diferite atunci cele patru ˆın˘alt ¸imi sunt,
dou˘a cˆate dou ˘a, necoplanare. (H. GELLENTHIN, 1885).
4. Suma p ˘atratelor a dou ˘a muchii opuse este egal ˘a cu de patru ori p ˘atratul distant ¸ei
dintre mijloacele a dou ˘a muchii opuse. (K. W. FEUERBACH-1827).
Din aceasta cauz ˘a,ˆıntr-un tetraedru ortocentric ABCD suma p ˘atratelor muchi-
ilor opuse este constant ˘a,
AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2.
5. Perpendiculara comun ˘a a perechilor de muchii opuse (axele tetraedrului) trec
prinH; s ¸i punctele lor de sprijin pe aceste muchii sunt picioarele ˆın˘alt ¸imilor
fet ¸elor tetraedrului (K. W. FEUERBACH-1827).
6. Ortocentrul ˆımparte ﬁecare dintre aceste drepte (cele patru ˆınalt ¸imi s ¸i cele trei
axe) ˆın dou ˘a segmente al c ˘aror produs este constant (A. JACOBI).
7.ˆIntr-un tetraedru ortocentric produsul cosinus ¸ilor a dou ˘a diedre opuse este con-
stant. (J. NEUBERG).
8. V ˆarfurile unui tetraedru ortocentric s ¸i ortocentrul s ˘au determin ˘a un pentagon.
Fiecare v ˆarf al acestiu pentagon este ortocentrul tetraedrului determinat de ce-
lelalte patru v ˆarfuri (pentagon ortocentric), (K. W. FEUERBACH-1827).
9.ˆIntr-un tetraedru ortocentric, mijloacele muchiilor s ¸i picioarele ˆın˘alt ¸imilor fet ¸elor
sunt dou ˘asprezece puncte care se g ˘asesc pe aceeas ¸i sfer ˘a (prima sfer ˘a a celor
dou˘asprezece puncte) av ˆand centrul ˆın centrul de greutate al tetraedrului (H.
VOGT-1881) s ¸i raza egal ˘a cu jum ˘atatea din lungimea unei bimediane.

84 CAPITOLUL 3. GEOMETRIE ˆIN SPAT ¸ IU
10. Centrul de greutate al unui tetraedru ortocentric s ¸i ortocentrele fet ¸elor aces-
tuia apart ¸in aceleias ¸i sfere, a c ˘arei raz ˘a este egal ˘a cu a treia parte a razei sfe-
rei circumscrise tetraedrului. Aceast ˘a sfer ˘aˆımparte segmentele ˆın˘alt ¸imilor cu-
prinse ˆıntre v ˆarfuri s ¸i ortocentru ˆın raportul 2 : 1 (cea de-a dou ˘a sfer ˘a a celor
dou˘asprezece puncte sau sfera lui JACOBI).
11.ˆIntr-un tetraedru ortocentric mijloacele segmentelor ˆın˘alt ¸imilor cuprinse ˆıntre
vˆarfuri s ¸i ortocentru apart ¸in unei sfere cu centrul ˆınG, a c˘arei raz ˘a este egal ˘a cu
jum˘atatea razei sferei circumscrise (A. JACOBI).
PROPOZIT ¸ IA 3.19 Orice tetraedru regulat este ortocentric.
3.5 Probleme
1. S˘a se veriﬁce c ˘aˆıntr-un tetraedru cu muchiile AB⊥BDs ¸iAC⊥CD, piciorul
ˆın˘alt ¸imii din v ˆarfulAse aﬂ ˘a pe cercul circumscris triunghiului BCD .
Indicat ¸ie: V ˆarfurile tetraedrului se aﬂ ˘a pe sfera cu diametrul AD, care se inter-
secteaz ˘a cu planul BCD dup˘a un cerc.
2. Fie tetraedrul ABCD s ¸ia, b, c, d lungimile ˆın˘alt ¸imilor duse din v ˆarfurile A, B ,
C, D ; ﬁeOun punct oarecare din interiorul tetraedrului, iar α, β, γ, δ distant ¸ele
punctului Ola fet ¸ele BCD, CDA, DBA, ABC . S˘a se demonstreze:
α
a+β
b+γ
c+δ
d= 1.
3.ˆIntr-un tetraedru ortogonal ABCD suma diedrelor s ¸i a unghiurilor f ˘acute de
muchii cu fet ¸ele este egal ˘a cu12unghiuri drepte.
4. Fie ABCD un tetraedru s ¸i unghiul φal dreptelor AC, BD . S˘a se veriﬁce egali-
tatea:
2AC·BD|cosφ|=|AD2+BC2−AB2−CD2|.

Capitolul 4
APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR
COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE
4.1 Elemente de trigonometrie aplicate ˆın geometrie
Geometria este una dintre ramurile matematicii ˆın care trigonometria are aplicat ¸ii
imediate.
Aici vom reaminti c ˆateva teoreme s ¸i relat ¸ii trigonometrice care folosesc la re-
zolvarea triunghiului s ¸i vom prezenta unele aplicat ¸ii practice ale trigonometriei in
topograﬁe.
Not˘am cu a, b, c lungimile laturilor unui triunghi ABC s ¸i cu Rraza cercului cir-
cumscris triunghiului.
OA
BCacbR
ha
Figura 4.1: Triunghiul ABC
•Teorema sinusurilor
ˆIn orice triunghi ABC are loc relat ¸ia:
a
sinA=b
sinB=c
sinC= 2R.
85

86 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE
•Teorema cosinusului
ˆIn orice triunghi ABC are loc relat ¸ia:
a2=b2+c2−2bccosA. (4.1)
Observat ¸ia 4.1 Din relat ¸ia (4.1) se obt ¸in:
b2=a2+c2−2accosB;
c2=b2+a2−2abcosC.
•ˆIn orice triunghi ABC are loc relat ¸ia:
la=2bc
b+ccosA
2(4.2)
laﬁind lungimea bisectoarei unghiului bA.
ˆIn mod analog putem calcula lungimile bisectoarelor celorlalte dou ˘a unghiuri ale
triunghiului:
lb=2ac
a+ccosB
2;lc=2ab
a+bcosC
2.
•Formule de calcul pentru aria Sunui triunghi oarecare ABC .
1.
S=aha
2=bhb
2=chc
2,
unde ha, hb, hcsunt lungimile ˆın˘alt ¸imilor corespunz ˘atoarele laturilor a, b,
respectiv c;
2.
S=absinC
2=bcsinA
2=acsinB
2;
3.
S=p
p(p−a)(p−b)(p−c),
pﬁind semiperimetrul triunghiului;
4.
S=a2sinBsinC
2 sinA=b2sinAsinC
2 sinB=c2sinAsinB
2 sinC
5.
S=rp
reste raza cercului ˆınscris ˆın triunghi;

4.1. ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE APLICATE ˆIN GEOMETRIE 87
6.
S=abc
4S;
7.
S= 2R2sinAsinBsinC.
4.1.1 Aplicat ¸ii practice
•Distant ¸a dintre dou ˘a puncte accesibile ˆıntre care se aﬂ ˘a un obstacol.
A
BCab
Figura 4.2:
Pentru a calcula distant ¸a de la AlaBse alege un punct Cdin care se v ˘ad punctele A
s ¸iB. Prin m ˘asur˘atori se obt ¸in numerele AC=b,BC=a,m([ACB ) =C. Distant ¸a
de la AlaBse calculeaz ˘a folosind teorema cosinusului ˆın triunghiul ABC :
AB2=a2+b2−2abcosC.
•Distant ¸a dintre dou ˘a puncte inaaccesibile.
B
CDA
α
βδ
γ
Figura 4.3:

88 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE
Pentru a calcula distant ¸a de la AlaBse aleg punctele Cs ¸iDdin care se v ˘ad
punctele As ¸iBastfel ˆıncˆat distant ¸a CDs˘a se poat ˘a determina.
Prin m ˘asur˘atori se obt ¸in numerele CD =a, m([ACB ) = α,m(\BCD ) = β,
m(\ADC ) =γ,m(\ADB ) =δ
Din triunghiurile BCD respectiv ACD se obt ¸in:
BC=asin(γ+δ)
sin(α+β+γ), AC =asinγ
sin(α+β+γ).
Distant ¸a dintre punctele inaccesibile As ¸iBse obt ¸ine din triunghiul ABC , cu-
nosc ˆandu-i dou ˘a laturi s ¸i unghiul cuprins ˆıntre ele.
•Determinarea ˆın˘alt ¸imii unui turn inaccesibil situat pe un deal.
Fie turnul marcat prin segmentul AB. Alegem un punct accesibil s ¸i lucr ˘amˆın planul
determinat de punctele A, B, C . Luˆandˆınc˘a un punct accesibil D∈BCs ¸i not ˘am cu
Epunctul de intersect ¸ie al verticalei prin Acu orizontala prin D. Prin m ˘asur˘atori se
A
B
Dα
βC
φ
Figura 4.4:
obt ¸in:
CD=a, m(\EDB ), m(\ADB ) =β, m([ACB ) =α.
ˆIn triunghiul ACD , avem
AC
sinβ=a
sin(α−β).
Din triunghiul ABC se obt ¸ine
AB
sinα=AC
sin(π
2+φ).
As ¸adar
AB=asinαsinβ
sin(α−β) cosφ.

4.2. NUMERE COMPLEXE 89
4.2 Numere complexe
Numerele complexe au fost introduse ˆın matematic ˘a pentru a face posibil ˘a rezolvarea
unor ecuat ¸ii de gradul al II-lea care nu admit r ˘ad˘acini reale. S-a pornit de la ecuat ¸ia
x2+ 1 = 0 care nu admite r ˘ad˘acini reale.
ˆIn secolul al XVI-lea, Cardan utiliza ˆın mod formal simbolul√−acua∈R, a0
pentru a descrie r ˘ad˘acinile ecuat ¸iei x2−10x+ 40 = 0 cu numerele 5 +√−15s ¸i
5−√−15numite numere imaginare.
Totˆın secolul al XV I−lea, cu ocazia unor turniruri s ¸tiint ¸iﬁce , N. Fontana zis
Tartaglia (1500-1557) g ˘ases ¸te formula de rezolvare a ecuat ¸iilor de gradul al III-lea
care conduce c ˘atre numere imaginare.
ˆIn secolul al XIX-lea, prin Gauss s ¸i Cauchy, se reus ¸es ¸te o reprezentare a nume-
relor imaginare cu obiecte matematice cunoscute. Astfel, Gauss reprezinta nume-
rele imaginare prin punctele unui plan ˆın raport cu un reper ortonormat, foloses ¸te
simbolul√−1 =is ¸i adopt ˘a denumirea de num ˘ar complex. Cauchy observ ˘a c˘a nu-
merele complexe pot ﬁ obt ¸inute aplic ˆand asupra numerelor reale s ¸i a simbolului i,
cui2=−1, regulile de adunare s ¸i ˆınmult ¸ire din R. Observ ˘a s ¸i concluzioneaz ˘a c˘a
numerele complexe pot ﬁ scrise sub forma a+ibcua, b∈R.
Descoperirea interpret ˘arii geometrice a numerelor complexe este legat ˘a de mate-
maticienii K. Wessel (1745-1818), J.R. Argand (1768-1822) s ¸i G. F. Gauss (1777-
1855).
K. Wessel public ˘a pentru prima dat ˘a o interpretare geometric ˘a a numerelor com-
plexe ˆın 1799 la Copenhaga. Lucrarea sa a fost descoperit ˘a dup ˘a o sut ˘a de ani. Ge-
ometrul francez J.R. Argand public ˘aˆın 1806 Essai sur une maniere de representer
les quantites imaginaires ˆın care interpretarea geometric ˘a a numerelor complexe este
intens utilizat ˘a, demonstr ˆand teorema fundamental ˆa a algebrei. Mult timp, aceast ˘a
lucrare a fost ignorat ˘a. Dup ˘a redescoperirea lucr ˘arii,ˆın lumea matematic ˘a mondial ˘a
devine preponderent ˘a denumirea de diagram ˘a Argand care se utilizeaz ˘a frecvent. ˆIn
literatura de specialitate rom ˆaneasc ˘a nu a fost precizat ˘a aceast ˘a denumire. La noi
se utilizeaz ˘a termenul propus ˆın 1821 la Ranchy: aﬁx al lui M(x,y) pentru num ˘arul
complex z=x+iy.
Marele matematician G. F. Gauss contureaz ˘aˆınc˘a din 1799 interpretarea geo-
metric ˘a a numerelor complexe, iar ˆın 1828 public ˘a o teorie complet ˘a a numerelor
complexe ˆın care foloses ¸te diagrama Argand care este denumit ˘a s ¸iinterpretarea lui
Gauss .
ˆIn t ¸ara noastr ˘a Dimitrie Pompeiu (1873-1954) al ˘aturi de Gheorghe T ¸ it ¸eica s ¸i
Traian Lalescu reprezint ˘a marii matematicieni care s-au preocupat de geometrie,
aplic ˆand elemente de teoria numerelor complexe.

90 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE
Problema
dac˘aABC este un triunghi echilateral s ¸i Mun punct arbitrar ˆın planul s ˘au,
lungimile MA, MB, MC sunt laturile unui triunghi eventual degenerat
poart ˘a numele lui Dimitrie Pompeiu. Acesta o demonstreaz ˘a atˆat sintetic, c ˆat s ¸i
utiliz ˆand operat ¸ii cu numere complexe, realiz ˆandˆınca o dat ˘a legatura ˆıntre geometrie
s ¸i algebr ˘a.
4.3 Aplicat ¸ii ale numerelor complexe ˆın geometrie
•ˆImp˘art ¸irea unui segment ˆıntr-un raport dat.
FieA1, A2puncte distincte din plan, de aﬁxe z1s ¸i respectiv z2s ¸i ﬁe Pun punct pe
dreapta A1A2, astfel ˆıncˆat− − →PA 1=λ− − →PA 2, unde λ∈R, λ/negationslash=1.Dac˘aPare aﬁxul zP,
atunci:
zP=1
1−λz1−λ
1−λz2.
Formula reprezint ˘a aﬁxul punctului care ˆımparte un segment ˆıntr-un raport dat.
Aﬁxul mijlocului unui segment.
Dac˘aPeste mijlocul segmentului [A1A2], atunci λ=−1. Din formula prece-
dent˘a se obt ¸ine:
zP=z1+z2
2.
Patrulaterul M1M2M3M4, unde punctele Miau aﬁxele zi, i=1,4este paralelogram
dac˘a s ¸i numai dac ˘a
z1+z3=z2+z4.
•Centrul de greutate al unui triunghi.
FieABC un triunghi ale c ˘arui v ˆarfuri au aﬁxele zA, zB, zC. Atunci centrul de greu-
tateGal triunghiului are aﬁxul
zG=zA+zB+zC
3.
•Distant ¸a dintre dou ˘a puncte; ecuat ¸ia cercului.
Dac˘aA1, A2sunt puncte ˆın plan de aﬁxe z1s ¸i respectiv z2, atunci lungimea segmen-
tului[A1A2]este
|A1A2=|z1−z2|.
Rezult ˘a c˘a cercul de centru A0(z0)s ¸i raz ˘arare ecuat ¸ia
(z−z0)(¯z−¯z0) = 0 .

4.3. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE 91
•Condit ¸ia de coliniaritate :
Punctele M1, M2, M3de aﬁxe z1, z2respectiv z3sunt coliniare dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
exist ˘ak1, k2, k3∈Rcuk1+k2+k3= 0s ¸ik1z1+k2z2+k3z3= 0.
ˆIntr-adev ˘ar dac ˘aM1, M2, M3sunt coliniare, atunci exist ˘ak∈Rcu− − − →M2M1=
k− − − →M2M3. Deci z2=z1−kz3
1−k, adic ˘az1−(1−k)z2−kz3= 0.
Pentru k1= 1, k2= 1−k, k3=−kobt ¸inem concluzia.
Reciproc, din k1+k2+k3= 0cuk2=−k1−k3obt ¸inem
k1(z1−z2) =−k3(z3−z2).
Pentru k=−k3
k1obt ¸inem z2=z1−kz3
1−k, adic ˘aM1, M2, M3sunt coliniare.
•M˘asurarea unghiului orientat.
M˘asura unghiului orientat \M1OM 2,ˆın sens trigonometric, (semidreapta OM 1se
rotes ¸te ˆın sens trigonometric peste semidreapta OM 2),fat ¸˘a de un reper cu originea
ˆınOeste:
m(\M1OM 2) =argz2
z1,
unde z1, z2sunt aﬁxele punctelor M1, respectiv M2.
Dac˘a punctele M1, M2, M3au aﬁxe z1, z2respectiv z3, atunci m ˘asura unghiului
orientat ( ˆın sens trigonometric) \M1M2M3este
m(\M1M2M3) =argz3−z2
z1−z2.
Dac˘a punctele M1, M2, M3au aﬁxe z1, z2, z3s ¸iz3−z2
z1−z2=ρε, unde ρ >0, ε =
cosα+isinαcuα∈[0,2π), atunci
M2M3
M1M2=ρ, m (\M1M2M3) =min(α,2π−α).
•Ecuat ¸ia dreptei care trece prin dou ˘a puncte.
FieA1, A2, dou ˘a puncte distincte din plan de aﬁxe z1, respectiv z2. Atunci, dreapta
A1A2reprezint ˘a mult ¸imea punctelor din plan ale c ˘aror aﬁxe zsunt de forma:
z= (1−λ)z1+λz2, λ∈R.
O alt ˘a form ˘a a ecuat ¸iei unei drepte ˆınC.
Punctul Papart ¸ine dreptei A1A2dac˘a s ¸i numai dac ˘a aﬁxul s ˘auzveriﬁc ˘a egalita-
tea:
z−z1=z2−z1
¯z2−¯z1(¯z−¯z1).

92 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE
•Unghiul a dou ˘a drepte
Fie punctele M1, M2, M3, M4, distincte ˆın plan, diferite de origine, cu aﬁxele
zi, i=1,4. M˘asura unghiului orientat ( ˆın sens trigonometric) al dreptelor M1M2
s ¸iM3M4este:
m(\M1M2, M3M4) =argz2−z1
z4−z3.
COROLARUL 4.1 Dreptele M1M2s ¸iM3M4sunt:
1.M1M2⊥M3M4dac˘a s ¸i numai dac ˘az2−z1
z4−z3∈iR∗;
2.M1M2/bardblM3M4dac˘a s ¸i numai dac ˘az2−z1
z4−z3∈R∗.
•Punctele distincte M1, M2, M3, M4sunt conciclice dac ˘a s ¸i numai dac ˘a raportul
anarmonic al aﬁxelor lor este real, adic ˘a:
(z1, z2, z3, z4) =z3−z1
z3−z2:z4−z1
z4−z2∈R∗.
•Ortocentrul unui triunghi.
FieABC un triunghi ˆınscris ˆıntr-un cerc cu centrul ˆın originea Oa sistemului car-
tezian xOy.ˆIn˘alt ¸imile AA1, BB 1s ¸iCC1ale triunghiului sunt concurente ˆıntr-un
punct Hcare ˆındeplines ¸te condit ¸ia vectorial ˘a:
− − →OH=− →OA+− − →OB+− →OC.
Dac˘a aﬁxele v ˆarfurilor triunghiului sunt z1, z2, z3pentru punctele A, B respectiv C
atunci aﬁxul ortocentrului este hs ¸i este
h=z1+z2+z3.
COROLARUL 4.2 Dac˘a originea reperului cartezian nu este ˆın centrul cercului
circumscris triunghiului, atunci punctul Oare aﬁxul os ¸i are loc relat ¸ia:
h+ 2o=z1+z2+z3.
COROLARUL 4.3 Fat ¸˘a de un reper cu originea ˆın centrul cercului circumscris
triunghiului ABC , centrul cercului lui Euler are aﬁxul:
ω=z1+z2+z3
2.
•Centrul cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi

4.3. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE 93
FieABC un triunghi ale c ˘arui laturi BC, CA, AB au respectiv lungimile a, b, c.
Centrul Ial cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC are aﬁxul
zI=1
a+b+c[azA+bzB+czC].
•Aria unui triunghi
Dac˘azi, i=1,3sunt aﬁxele v ˆarfurilor triunghiului ABC , notat ˆın sens trigonome-
tric, atunci aria triunghiului este:
SABC=1
2Im(z1z2+z2z3+z3z1).
F˘ar˘a a rest ˆange generalitatea problemei putem considera c ˘a originea sistemului orto-
A
BCxy
O
Figura 4.5:
gonal de axe se aﬂ ˘aˆın interiorul triunghiului. Folosind forma trigonometric ˘a a celor
3 aﬁxe:
zi=r1(cosθ1+isinθ1), i=1,3,
atunci:
z1z2+z2z3+z3z1=r1r2[cos(θ2−θ1)+isin(θ2−θ1)]+r2r3[cos(θ3−θ2)+isin(θ3−θ2)]+
+r1r3[cos(θ1−θ3) +isin(θ1−θ3)].
Calcul ˘am1
2Im(z1z2+z2z3+z3z1) =
=1
2r1r2sin(θ2−θ1) +1
2r2r3sin(θ3−θ2) +1
2r1r3sin(θ1−θ3) =
=SAOB+SBOC+SCOA=SABC.

94 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE
•Caracterizarea triunghiului dreptunghic.
Triunghiul ABC ˆınscris ˆın cercul C(O, R)este dreptunghic dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
|a+b+c|=R, unde A(a), B(b), C(c).
Demonstrat ¸ie. Dac˘a triunghiul ABC este dreptunghic, cu unghiul drept ˆınA,
atunci Bs ¸iCsunt diametral opuse, deci b=−c, de unde |a+b+c|=|a|=R.
Reciproc, dac ˘a|a+b+c|=R, atunci |a+b+c|2=R2, adic ˘a(a+b+
c)µR2
a+R2
b+R2
c¶
=R2, deci
(a+b+c)µ1
a+1
b+1
c¶
= 1
echivalent cu
(a+b)(b+c)(c+a) = 0
adic˘a dou ˘a dintre punctele A, B, C sunt diametral opuse. q.e.d.
•Formula rotat ¸iei ˆın complex
Dac˘a punctul M3(z3)se obt ¸ine printr-o rotat ¸ie cu centrul ˆınM2(z2)s ¸i unghi α∈
[0,2π)a punctului M1(z1), atunci:
z3=z2+ (z1−z2)/epsilon1
unde /epsilon1= cos α+isinαdac˘a rotat ¸ia se efectueaz ˘aˆın sens trigonometric sau /epsilon1=
cos(2 π−α) +isin(2π−α), dac ˘a rotat ¸ia se efectueaz ˘aˆın sens invers trigonometric
COROLARUL 4.4 Triunghiul ABC este echilateral dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
c=a+ (b−a)/epsilon1
unde /epsilon1= cosπ
3+isinπ
3, dac ˘a triunghiul ABC este orientat ˆın sens trigonome-
tric, sau /epsilon1= cos5π
3+isin5π
3, dac ˘a triunghiul ABC este orientat ˆın sens invers
trigonometric
4.4 Teoreme clasice de geometrie demonstrate cu ajutorul numerelor com-
plexe
ˆIn cele ce urmeaz ˘a vom prezenta c ˆateva propriet ˘at ¸i ale punctului s ¸i dreptei lui Nagel
folosind numerele complexe. O prezentare sintetic ˘a a acestor rezultate a fost f ˘acut˘a
ˆın primul capitol.

4.4. TEOREME CLASICE DE GEOMETRIE DEMONSTRATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE 95
FieABC un triunghi oarecare. Not ˘am cu A/primemijlocul laturii (BC)s ¸i cu D, D/prime
punctele de contact ale acesteia cu cercurile ˆınscris s ¸i A-ex ˆanscris triunghiului dat.
Pe laturile (CA)s ¸i(AB)consider ˘am punctele B/prime, E, E/primes ¸i respectiv C/prime, F, F/primecu
semniﬁcat ¸ii analoage. Sunt cunoscute (sau se deduc us ¸or) urm ˘atoarele relat ¸ii:
BD/prime=p−c, D/primeC=p−b, CE/prime=p−a, E/primeA=p−c, AF/prime=p−b, F/primeB=p−a,
(4.3)
unde peste semiperimetrul triunghiului.
Not˘am aﬁxul unui punct Xoarecare cu zX.
PROPOZIT ¸ IA 4.1 Dreptele AD/prime, BE/prime, CF/primesunt concurente ˆıntr-un punct Ncu
aﬁxul:
zN=1
p[(p−a)zA+ (p−b)zB+ (p−c)zC]. (4.4)
Demonstrat ¸ie.
Folosind (4.3) avem k=BD/prime
D/primeC=p−c
p−b, deci
zD/prime=zB+kzC
1 +k=1
a[(p−b)zB+ (p−c)zC].
Se obt ¸in formule similare pentru aﬁxele punctelor E/prime, F/prime. Fie Vun punct pe seg-
mentul (AD/prime)determinat de raportul v=AV
V D/prime. Astfel
zV=zA+vzD/prime
1 +v=1
1 +v·1
p−azA+v
a(p−b)zB+v
a(p−c)zC¸
.
V om obt ¸ine o form ˘a simetric ˘a pentru paranteza paranteza p ˘atrat˘alegˆandvastfel ˆıncˆat
1
p−a=v
a, adic ˘av=a
p−a. Atunci, punctul de pe AD/primecorespunz ˘ator acestei
valori a lui v, punct pe care-l not ˘am cu N, va avea aﬁxul zN=1
p[(p−a)zA+ (p−
b)zB+(p−c)zC]. Simetria acestei relat ¸ii face evident faptul c ˘a punctul Neste situat
s ¸i pe dreptele BE/primes ¸iCF/prime. q.e.d.
Punctul Npusˆın evident ¸ ˘a de Propozit ¸ia 4.1 este punctul lui Nagel.
PROPOZIT ¸ IA 4.2 Punctul lui Nagel are propriet ˘at ¸ile:
1.G∈(IN)s ¸iNG= 2GI,
2.NH/bardblOIs ¸iNH= 2OI.

96 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE
BCA
A'I
NB' C'
D' DSE
E'
G
Figura 4.6:
Demonstrat ¸ie. 1)Pentru aﬁxele centrului de greutate Gal triunghiului s ¸i al cen-
trului cercului ˆınscris ˆın triunghi avem:
zG=zA+zB+zC
3, z I=1
2p[azA+bzB+czC] (4.5)
Din (4.4) s ¸i (4.5) vom obt ¸ine:
zG−zI
zN−zG=1
3(zA+zB+zC)−1
2p(azA+bzB+czC)
1
p[(p−a)zA+ (p−b)zB+ (p−c)zC]−p(zA+zB+zC)=
=1
22p(zA+zB+zC)−3(azA+bzB+czC)
3 [(p−a)zA+ (p−b)zB+ (p−c)zC]−p(zA+zB+zC)=1
2,
decizG−zI
zN−zG=1
2∈R, de unde rezult ˘a c˘aG∈(IN)s ¸i|zN−zG|= 2|zG−zI|,
adic˘aNG= 2GI.
2) Alegem un sistem de axe cu originea ˆınO, centrul cercului circumscris triun-
ghiului ABC .ˆIn acest caz s ¸tim c ˘azH=zA+zB+zCs ¸i vom avea
zN−zH
zI−zO=1
p[(p−a)zA+ (p−b)zB+ (p−c)zC]−(zA+zB+zC)
1
2p(azA+bzB+czC)=−2∈R,
deciNH/bardblOIs ¸i|zN−zH|= 2|zI−zO|, adic ˘aNH= 2OI. q.e.d.
Dreapta INse numes ¸te dreapta lui Nagel .
PROPOZIT ¸ IA 4.3 Cercul ˆınscris ˆın triunghiul median A/primeB/primeC/primeare centrul ˆın mijlo-
culSal segmentului (IN).

4.5. PROBLEME 97
Demonstrat ¸ie. Evident B/primeC/prime=a
2, C/primeA/prime=b
2, A/primeB/prime=c
2s ¸ip/prime=1
2p/prime,p/primeﬁind semi-
perimetrul triunghiului median. Atunci aﬁxul centrului cercului ˆınscris ˆın triunghiul
median este:
zI/prime=1
2p/primeµa
2zA/prime+b
2zB/prime+c
2zC/prime¶
=1
2p·
azB+zC
2+bzA+zC
2+czB+zA
2¸
=
=1
4p[(b+c)zA+ (a+c)zB+ (b+a)zC]
Pe de alt ˘a parte
zS=1
2(zI+zN) =1
2·1
2p(azA+bzB+czC) +1
p[(p−a)zA+ (p−b)zB+ (p−c)zC]¸
=
=1
4p[(2p−a)zA+ (2p−b)zB+ (2p−c)zC] =1
4p[(b+c)zA+ (a+c)zB+ (b+a)zC]
Ca urmare, zI/prime=zSs ¸i deci I/primecoincide cu S. q.e.d.
Punctul Smijlocul segmentului (IN)se numes ¸te punctul lui Spiecker , iar cercul
C(S,r
2)ˆınscris ˆın triunghiul median cercul lui Spiecker .
PROPOZIT ¸ IA 4.4 Centrul Ial cercului ˆınscris ˆın triunghiul ABC este punctul lui
Nagel al triunghiului median A/primeB/primeC/prime.
Demonstrat ¸ie. Pentru punctul lui Nagel N/primeal triunghiului A/primeB/primeC/primeavem
zN/prime=1
p/prime[(p/prime−a/prime)zA/prime+ (p/prime−b/prime)zB/prime+ (p/prime−c/prime)zC/prime] =
=1
p·
(p−a)zB+zC
2+ (p−b)zA+zC
2+ (p−c)zB+zA
2¸
=
=1
2p(azA+bzB+czC) =zI,
deciN/primecoincide cu I. q.e.d.
4.5 Probleme
1. Fie A1A2A3A4un patrulater inscriptibil. Se noteaz ˘a cuH1, H2, H3, H4ortocen-
trele triunghiurilor A2A3A4,A3A4A1,A4A1A2,A1A2A3. S˘a se arate c ˘a patru-
laterele A1A2A3A4s ¸iH1H2H3H4sunt congruente.

98 CAPITOLUL 4. APLICAT ¸ II ALE NUMERELOR COMPLEXE ˆIN GEOMETRIE
2. Dac ˘a pe laturile unui patrulater oarecare ABCD construim ˆın exterior p ˘atrate
de centre O1, O2, O3, O4, atunci dreptele O1O3s ¸iO2O4sunt perpendiculare.
3. Pe laturile patrulaterului convex ABCD se construiesc ˆın exterior triunghiurile
echilaterale ABM, BCN, CDP, DAQ . S˘a se arate c ˘a patrulaterele ABCD s ¸i
MNPQ au acelas ¸i centru de greutate.

Bibliograﬁe
[1] Dan Br ˆanzei, Sebastian Anit ¸a, Eugen Onofras ¸, Gheorghe Isvoraanu, Bazele
rat ¸ionamentului geometric, Editura Academiei RSR, 1983;
[2] Dan Br ˆanzei, Sebastian Anit ¸a, Constantin Cocea, Planul s ¸i spat ¸iul euclidian,
Editura Academiei RSR, 1986;
[3] Ion Chit ¸escu, Marcel Chirit ¸ ˘a, Geometria patrulaterului, Editura Teora, 1998;
[4] Traian Lalescu, Geometria triunghiului, Editura Apollo, Craiova 1993;
[5] Liviu Nicolescu, Vladimir Broskov, Probleme practice de geometrie, Editura
Tehnica, Bucuresti, 1990
99

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Capitole speciale de geometrie pentru profesori [615135] (ID: 615135)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Capitole speciale de geometrie pentru profesori [615135]

Copyright Notice

INGINERIE ECONOMICĂ ÎN AGRICULTURĂ PROIECT DE DIPLOMĂ STUDIU PRIVIND IMPORTANȚA ASIGURĂRILOR PRIVATE DE VIAȚĂ DIN ROMÂNIA Absolvent: Diana-Andreia… [303841]

Balan Daniela Proiect Cercetare V2 [612197]

Instalația de inversare a sensului de rotație [309566]

Manualul își propune să prezinte studenților o serie de aspecte teoretice din domeniul dreptului civil, succesiuni și urmărește cunoașterea… [620650]

INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………….. [623123]

Tipologia și organizarea [607387]

Copyright Notice

Similar Posts