CAPITOL 1. ANALIZA FUNCȚIILOR ELEMENTARE [308178]

CAPITOL 1. ANALIZA FUNCȚIILOR ELEMENTARE

Definirea funcțiilor

Definiție 1.1.1. Fiind date două mulțimi nevide, A și B, și o lege de corespondență f, care face ca fiecărui element x din A să-i corespundă un singur element y din B, spunem că am definit o funcție pe A cu valori în B și scriem sau .

Observații:

1. Mulțimea A [anonimizat] B se numește codomeniul funcției (sau domeniul valorilor funcției).

2. Elementele mulțimii A [anonimizat] B se numesc valori sau imagini.

3. Dacă este acel unic element asociat lui prin legea f, scriem și citim “ f de x este y”, y se numește valoarea funcției în x sau imaginea lui x prin f, iar x se numește preimaginea lui y prin f.

4. Mulțimea valorilor (imaginilor) funcției se notează cu f(A) sau Im f ( imaginea funcției f) și este .

5. Legea de corespondență a unei funcții se notează cu literele f, g, h,… sau alte simboluri.

Legea de corespondență a funcției poate fi prezentată în mai multe moduri:

1.1.1. [anonimizat]-o diagramă cu săgeți imaginile nominale ale tuturor elementelor din domeniu de definiție. Procedeul se aplică atunci când domeniul de definiție are un număr restrâns de elemente.

Exemplu: Fie o funcție , ea poate fi reprezentată astfel:

Prin tabel de valori:

Prin diagramă cu săgeți:

Fig. 1

Exemple de tabele de valori sau diagrame cu săgeți care nu definesc o funcție:

1. Tabelul următor nu definește o funcție, deoarece nu s-a definit f(2).

2. Tabelul următor nu definește o funcție, deoarece elementului 2 îi corespund două valori, f(2)=3 și f(2)=4.

3. Diagrama următoare nu definește o funcție, deorece elementului 2 din domeniu îi sunt asociate două elemente din codomeniu.

Fig. 2

4. Diagrama următoare nu definește o funcție, deorece elementului 3 din domeniu nu îi este asociat niciun element din codomeniu.

Fig. 3

1.1.2. Funcții definite analitic

Când domeniul de definiție A este o [anonimizat] o regulă de asociere, o formulă sau mai multe formule prin care pentru orice se precizează

Exemplu:

Definiție 1.1.2. Două funcții și se numesc funcții egale dacă sunt verificate simultan condițiile:

A=C (au același domeniu);

B=D ( au același codomeniu);

f(x)=g(x) .

Definiție 1.1.3. [anonimizat], se numește sistem ortogonal de coordonate carteziene în plan sau reper cartezian în plan și se notează xoy

Observație: [anonimizat]. Punctul O se numește originea reperului cartezian.

Fig. 4

Definiție 1.1.4. Se numește produs cartezian al mulțimilor A și B, mulțimea notată a perechilor ordonate având primul element din A și al doilea element din B.

.

Definiție 1.1.5. Fie o funcție. Mulțimea se numește graficul funcției f. (Graficul funcției f este o mulțime de puncte ale căror abscise sunt valori posibile ale argumentului x și ale căror ordonate sunt valorile corespunzătoare ale funcției f(x).)

Observație: ⊆ .

Definiție 1.1.6. Se numește funcție numerică sau funcție reală de variabilă reală, o funcție , pentru care domeniul de definite A și codomeniul B sunt submulțimi ale mulțimii numerelor reale .

Definiție 1.1.7. Se numește reprezentarea geometrică a funcției numerice sau reprezentarea grafică a funcției f, reprezentarea geometrică a graficului ei.

1.1.3. Testul liniei verticale

O mulțime de puncte în planul xoy reprezintă graficul unei funcții dacă și numai dacă fiecare linie verticală intersectează graficul în cel mult un punct.

Fig. 5

Următoarele grafice nu reprezintă nu sunt reprezentări ale unei funcții, deoarece există o linie verticală care intersectează graficul în mai mult de un punct.

Fig. 6 Fig. 7

Definiție 1.1.8. O funcție numerică , A ⊆ , se numește:

mărginită dacă există , astfel încât .

mărginită inferior dacă există , astfel încât .

mărginită superior dacă există , astfel încât .

Definiție1.1.9. Mulțimea A se numește mulțime simetrică dacă .

Definiție 1.1.10. Fie A o mulțime simetrică și o funcție numerică. Funcția f se numește funcție pară dacă f(-x)=f(x) .

Observație: Graficul unei funcției pare este simetric față de axa oy.

Fig. 8

Definiție 1.1.11. Fie A o mulțime simetrică și o funcție numerică. Funcția f se numește funcție impară dacă f(x)= -f(x) .

Observație: Graficul unei funcției impare este simetric față de originea reperului.

Fig. 9

Definiție 1.1.12. Fie o funcție numerică. Funcția f se numește funcție periodică dacă există , astfel încât f(x+T)= f(x) . Numărul T se numește perioadă a funcției f.

Observație: Dacă printre perioadele strict pozitive ale lui f există un cel mai mic , atunci se numește perioadă principală a funcției f.

Definiție 1.1.13. Fie funcția numerică .

Funcția f este crescătoare pe A dacă, pentru orice cu rezultă că ;

Funcția f este strict crescătoare pe A dacă, pentru orice cu

rezultă că ;

Funcția f este descrescătoare pe A dacă, pentru orice cu

rezultă că ;

Funcția f este strict descrescătoare pe A dacă, pentru orice cu rezultă că ;

Funcția f e monotonă pe A dacă f e crescătoare sau descrescătoare pe A;

Funcția f e strict monotonă pe A dacă f e strict crescătoare sau strict descrescătoare pe A.

Fig. 10 Fig. 11

În Fig. 10 funcția f este crescătoare, iar în Fig. 11 funcția f este descrescătoare.

Observație: Intervalele din domeniul de definiție pentru care o funcție este monotonă

se numesc intervale de monotonie ale funcției.

Definiție 1.1.14. Fie funcțiile și , B ⸦ C. Se numește compusa funcției f cu funcția g, funcția cu proprietatea că h(x)=(f○g)(x)=f(g(x)), .

Se notează h=f○g.

Fig. 12

Definiție 1.1.15. Funcția se numește injectivă dacă, pentru orice , rezultă că . (Oricăror argumente distincte le corespund imagini distincte.)

Observații:

1. Funcția este injectivă dacă, pentru oricare ar fi cu proprietatea că rezultă că ( la imagini egale corespund argumente egale).

2. Testul liniei orizontale

O funcție numerică este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa ox dusă prin

punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel mult un punct.

Funcția f(x)=x2 este injectivă.

Fig.13

Funcția f(x)=x2 nu este injectivă.

Fig. 14

Teorema 1.1.1. Dacă este o funcție numerică strict monotonă, atunci f este funcție injectivă.

Demonstrație:

Presupunem că f este strict crescătoare și fie astfel încât ,atunci avem sau .

Dacă rezultă deci ; iar dacă rezultă , deci , rezultând că f este injectivă.

Presupunem că f este strict descrescătoare și fie astfel încât ,atunci avem sau .

Dacă rezultă , deci ; iar dacă , rezultă

, deci rezultând că f este injectivă.

Definiție 1.1.16. Funcția se numește surjectivă dacă pentru orice element , există cel puțin un element astfel încât f(x)=y.

Observații:

1. Funcția f e surjectivă dacă Im f=B.

2. O funcție numerică este surjectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa ox dusă

prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel puțin un punct.

Definiție 1.1.17. Funcția se numește bijectivă dacă f este și injectivă și surjectivă.

Observație: O funcție numerică este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa

ox dusă prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției în exact un punct.

Definiție 1.1.18. Fie A o mulțime nevidă. Funcția , , pentru orice , se numește funcția identică a multimii A.

Definiție 1.1.19. O funcție se numește inversabilă dacă există o funcție

astfel încât g○f=1A și f○g=1B. Funcția g se numește inversa funcției f și se notează.

Fig. 15

Teorema 1.1.2. O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

Demonstrație:

Presupunem că f este inversabilă; atunci există , astfel încât ○f=1A și f○=1B.

Fie astfel încât ; atunci

x1=1A(x1)=(f -1○f)(x1)=f-1(f(x1))=f-1(f(x2))=(f-1○f)(x2)=1A(x2)=x2, deci f este injectivă.

Fie , atunci y=1B(y)=(f○f-1)(y)=f(f-1(y))=f(x) unde se notează x=f-1(y), deci f este surjectivă.

Funcția f fiind injectivă și surjectivă, este bijectivă.

Reciproc, presupunem că f este bijectivă.

Deoarece f este surjectivă, rezultă că pentru fiecare , există și este unic un element A, astfel încât y=f(x). Elementul x este unic cu această proprietate, întrucât f este injectivă.

Definim funcția , g(y)=x.

Fie , atunci (g○f)(x)= g(f(x))= g(y)= x=1A(x), adică g○f=1A.

Fie , atunci (f○g)(y)=f(g(y))=f(x)=y=1B(y), adică f○g=1B.

Cum g○f=1A și f○g=1B, rezultă că funcția f este inversabilă.

Observație: Dacă f este o funcție numerică, atunci graficele funcțiilor f și f-1 sunt simetrice față de prima bisectoare a axelor de coordonate.

Definiție 1.1.20. Fie I un interval din și o functie reală.

Dacă , atunci funcția se numește convexă.

Dacă , atunci funcția se numește strict convexă.

Definiție 1.1.21. Funcția f se numește concavă ( strict concavă ), dacă funcția este convexă (strict convexă).

Cu alte cuvinte, dacă, atunci funcția se numește concavă.

Dacă , atunci funcția se numește strict concavă.

Interpretarea geometrică:

Definițiile 1.1.20 și 1.1.21 admit o interpretare geometrică simplă care permite să ne dăm seama numai după grafic dacă o functie este convexă (concavă) sau nu. Funcția este convexă (concavă) dacă și numai dacă oricare ar fi două puncte de pe graficul funcției , graficul cuprins între aceste puncte este situat sub (deasupra) sau pe segmentul determinat de punctele respective.

Fig. 16 Fig. 17

1.2. Funcția de gradul I

Definiția 1.2.1 Fie a și b două numere reale.

Funcția , f(x)=ax+b, , se numește funcție afină.

Funcția afină , f(x)=ax+b, a≠0, se numește funcție de gradul I.

Funcția de gradul I, , f(x)=ax, a≠0 se numește funcție liniară.

Funcția afină , f(x)=b, se numește funcție constantă.

Intersecția graficului funcției de gradul I cu axele de coordonate

Observații:

Graficul funcției de gradul I este o dreaptă.

Graficul funcției de gradul I intersectează axa ox într-un singur punct și scriem .

Graficul funcției de gradul I intersectează axa oy într-un singur punct și scriem .

Fig. 18

Propoziția 1.2.1. Funcția de gradul I, , f(x)=ax+b, a≠0, este strict monotonă pe .

Dacă a>0, funcția f este strict crescătoare pe .

Dacă a<0, funcția f este strict descrescătoare pe .

Demonstrație:

Fie și R raportul de variație asociat funcției f și argumentelor .

.

Rezultă că dacă a>0, atunci R>0 și funcția f este strict crescătoare pe , iar

dacă a<0, atunci R<0 și funcția f este strict descrescătoare pe .

Observație:

Monotononia funcției de gradul I se poate prezenta într-un tabel de variație, astfel:

sau

Fig. 19

Din lectura graficului funcției f se observă că o dată cu creșterea argumentului x, cresc și valorile ei, dacă a>0.

Fig. 20

Din lectura graficului funcției f se observă că o dată cu creșterea argumentului x, valorile funcției descresc, dacă a>0.

Semnul funcției de gradul I

Semnul funcției de gradul I este dat de următorul tabel de semn:

Observație: O proprietate caracteristică a funcției liniare este aceea că transformă o progresie aritmetică în altă progresie aritmetică.

De exemplu, funcția , , transformă progresia aritmetică 1, 3, 5, 7, …. în progresia aritmetică 3, 7, 11, 15, ……

Exemple:

Să se reprezinte grafic funcția , .

Rezolvare:

f(-1)=2˖(-1)+1=-1 ⇒ A(-1,-1)Gf

f(1)=2˖1+1=3 ⇒ B(1,3)Gf .

Fig. 21

Să se reprezinte grafic funcția , .

Rezolvare:

f(x)=0⇒ ⇒x=2⇒

f(0)=-2˖0+4=4 ⇒

Fig. 22

Definiția 1.2.2. Funcția , , se numește funcția

modul sau funcția valoare absolută.

Observații:

Funcția f intersectează axele de coordonate în punctul O(0,0).

Funcția f este pară: f(-x)=|-x|=|x|=f(x).

Funcția f este strict descrescătoare pe (-∞,0) și strict crescătoare pe (0,+∞).

Graficul funcției este simetric față de axa oy.

Funcția f este mărginită inferior :

Funcția f este convexă pe .

Reprezentarea grafică a funcției , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de variație:

Fig. 23

Funcția de gradul al II-lea

Definiția 1.3.1. O funcție , unde și se numește funcție de gradul al II-lea.

Forma canonică a funcției de gradul al II-lea

unde este discriminantul ecuației asociată funcției f.

este forma canonică a funcției de gradul al II-lea.

Propoziția 1.3.1. Fie funcția , .

Dacă a>0, funcția f are o valoare minimă ( un minim) , care se obține pentru (punctul de minim al funcției).

Dacă a<0, funcția f are o valoare maximă ( un maxim) , care se obține pentru (punctul de maxim al funcției).

Demonstrație

Fie cum punctul

Cazul I. Dacă a>0,

deci sau , așadar reprezintă valoarea cea mai mică a funcției de gradul al doilea, valoare numită minimul funcției.

Cazul II. . Dacă a<0,

deci sau , așadar reprezintă valoarea cea mai mare a funcției de gradul al doilea, valoare numită maximul funcției.

Observații:

1. Valoarea minimă (maximă) a funcției f se numește valoare extremă sau extremul funcției, iar punctul pentru care se realizează extremul se numește punct de extrem al funcției.

2. Punctul se numește punct de extrem al graficului funcției ( punct de maxim sau punct de minim al graficului funcției), numit vârf.

3. Dreapta este axă de simetrie pentru graficul funcției de gradul al II-lea.

4.

Propoziția 1.3.2. Fie funcția , .

Dacă a>0,

Dacă a<0,

Demonstrație

Dacă a>0,rezultă că .

Dacă a<0,rezultă că .

Observații:

Fie mijlocul segmentului AB și

Dacă a>0, punctul P al graficului se află sub coarda AB, deci aspectul geometric al curbei Gf are o formă convexă.

Dacă a<0, punctul P al graficului se află deasupra coardei AB, deci aspectul geometric al curbei Gf are o formă concavă.

Teorema 1.3.1. Fie funcția , .

Dacă a>0, funcția f este strict descrescătoare pe intervalul și strict crescătoare pe intervalul

Dacă a<0, funcția f este strict crescătoare pe intervalul și strict descrescătoare pe intervalul

Demonstrație:

Fie și R raportul de variație asociat funcției f și argumentelor .

Dacă , iar, dacă

.

Dacă a>0 și , atunci R<0, deci funcția f este strict descrescătoare pe .

Dacă a>0 și , atunci R>0, deci funcția f este strict crescătoare pe

Dacă a<0 și , atunci R>0, deci funcția f este strict crescătoare pe .

Dacă a<0 și , atunci R<0, deci funcția f este strict descrescătoare pe

Observații:

Monotonia funcției de gradul al II-lea este dată de următorul tabel de variație:

sau

Intervalele , se numesc intervale de monotonie ale funcției de gradul al doilea.

Teorema 1.3.2. Fie funcția , și .

Dacă , atunci ecuația f(x)=0 are două soluții reale și

a˖f(x)>0 ⇔ ;

a˖f(x)<0 ⇔.

Dacă , atunci a˖f(x)>0, pentru orice .

Dacă , atunci a˖f(x)>0, pentru orice .

Demonstrație:

Dacă , avem f(x)=a(x-x1)(x-x2), deci af(x)=a2(x-x1)(x-x2).

Rezultă că: a˖f(x)>0 ⇔(x-x1)(x-x2)>0⇔(x-x1<0 și x-x2<0) sau (x-x1>0 și x-x2>0)⇔

⇔x<x1<x2 sau x>x2>x1 ⇔.

a˖f(x)<0 ⇔(x-x1)(x-x2)<0⇔x-x1>0 și x-x2<0(deoarece x1<x2) ⇔ x>x1 și x<x2⇔

⇔.

Dacă , cum rezultă că a˖f(x)>0, pentru orice .

Dacă , cum rezultă că a˖f(x)>0, pentru orice .

Observație:

Semnul funcției de gradul al II- lea este dat de următorele tabele de semn:

Reprezentarea grafică a funcției de gradul al II -lea

Reprezentarea geometrică a graficului Gf este o curbă numită parabolă. Pentru a trasa această curbă se parcurg următorii pași:

1. Determinarea punctelor de intersecție ale graficului funcției de gradul al doilea cu axele de coordonate:

a). Intersecția graficului Gf cu axa ox

Abscisele punctelor de intersecție cu axa ox se obțin rezolvând ecuația:

Cazul I. Dacă , ecuația are două soluții reale și diferite, și .

Deci Gf intersectează axa ox în două puncte:.

Cazul II. Dacă , ecuația are soluție dublă .

Deci Gf intersectează axa ox într-un singur punct:. Se spune că graficul funcției Gf este tangent axei ox în punctul A, acesta fiind și punct de extrem al graficului.

Cazul III. Dacă , ecuația nu are soluții reale.

Deci Gf nu intersectează axa ox :.

b). Intersecția graficului Gf cu axa oy

Graficul funcției de gradul al doilea intersectează axa oy într-un singur punct:

.

2. Determinarea punctului , vârful parabolei:

Dacă a>0, punctual V este punct de minim.

Dacă a<0, punctul V este punct de maxim.

3. Determinarea axei de simetrie , pentru graficul funcției.

5. Stabilirea formei geometrice a graficului funcției:

Dacă a>0, f are formă convexă.

Dacă a<0, f are formă concavă.

6. Înscrierea într-un tabel de variație a coordonatelor unui număr finit de puncte printre care să se afle cele determinate mai sus.

7. Se reprezintă aceste puncte într-un reper cartezian și se unesc printr-o curbă continuă, ținănd cont de intervalele de monotonie și de axa de simetrie.

Exemple:

Să se reprezinte grafic funcția , .

Rezolvare:

Rezolvam ecuația f(x)=0:

rezultă că

.

Calculăm f(0)=02-4˖0+3=3, rezultă că .

Vârful parabolei este

Deci și cum a=1>0 ,V este punct de minim și f este funcție convexă.

este axă de simetrie pentru graficul funcției

Fig. 24

Să se reprezinte grafic funcția , .

Rezolvare:

Rezolvam ecuația f(x)=0:

,rezultă că

.

Calculăm f(0)=-02+1˖0+6=6 ,rezultă că .

Vârful parabolei este

Deci și cum a=1>0 ,V este punct de minim și f este funcție concavă.

este axă de simetrie pentru graficul funcției

Fig. 25

Funcția putere

Definiția 1.4.1. Fie n un număr natural nenul. Funcția , se numește funcția putere de gradul n.

Observație: Pentru n=1 se obține funcția de gradul I, f(x)=x, iar pentru n=2 se obține funcția de gradul al doilea, .

Teorema 1.4.1.

Dacă n este un număr par nenul, atunci funcția este strict descrescătoare pe intervalul și strict crescătoare pe intervalul .

Dacă n este un număr impar, atunci funcția este strict crescătoare pe intervalul R.

Demonstrație:

1. Dacă n este par,atunci n=2k, unde k este număr natural nenul.

Fie ,astfel încât . Atunci , rezultă că , adică f(x1)<f(x2).Deci funcția este strict crescătoare pe intervalul .

Fie astfel încât .

Cum , atunciși deci , adică

, rezultă că f(x1)>f(x2).

Deci funcția este strict descrescătoare pe intervalul .

2. Dacă n este impar, atunci n=2k+1, unde k este număr natural.

Dacă , atunci , adică .

Dacă , atunci și deci , adică

, de unde rezultă că .

Dacă și , atunci , iar , rezultă că .

În concluzie, dacă , atunci , adică f(x1)<f(x2), deci funcția f(x)=x2k+1 este strict crescătoare pe .

Teorema 1.4.2.

1. Dacă n este un număr par, funcția putere este o funcție pară.

2. Dacă n este un număr impar, funcția putere este o funcție impară.

Demonstrație:

1. Dacă n=2k, atunci , deci funcția este pară.

2. Dacă n=2k+1, atunci , deci funcția este impară.

Exemple:

1. Reprezentarea grafică a funcției , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Reprezentăm într-un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel, după care le unim print-o linie continuă.

Fig. 26

Graficul acestei funcții se numește parabolă cubică.

Parabola cubică are următoarele proprietăți:

1) Trece prin originea axelor, care este centru de simetrie.

2) Ramura din dreapta a graficului se găsește deasupra axei ox, iar ramura din stânga se găsește sub axa ox.

Observație: Graficul funcției (k>0) are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției .

2. Reprezentarea grafică a funcției , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Reprezentăm într-un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel, după care le unim print-o linie continuă.

Fig. 27

Graficul acestei funcții are următoarele proprietăți:

1) Se găsește deasupra axei ox și trece prin originea sistemului de axe xoy.

2) Axa oy este axă de simetrie pentru graficul funcției.

Observație: Graficul funcției (k>0) are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției .

Definiția 1.4.2. Fie n un număr natural nenul. Funcția , se numește funcția putere cu exponent negativ.

Vom avea două cazuri:

Dacă n este număr par, n=2k, atunci , .

Dacă , atunci , rezultă că , de unde f(x1)>f(x2), deci

f este strict descrescătoare pe intervalul .

Dacă , atunci , rezultă că , de unde f(x1)<f(x2), deci

f este strict crescătoare pe intervalul .

Cum , rezultă că f este o funcție pară.

Dacă n este număr impar, n=2k+1, atunci , .

Dacă , atunci , rezultă că , de unde f(x1)>f(x2), deci f este strict descrescătoare pe intervalul .

Dacă , atunci , rezultă că , de unde f(x1)>f(x2), deci f este strict descrescătoare pe intervalul .

Cum , rezultă că f este o funcție impară.

Observație:

Deși funcția , este strict descrescătoare pe intervalele și ea nu este strict descrescătoare pe .

Într-adevăr, dacă x1= -1, x2=1 atunci x1<x2.Dar, și

, deci f(x1)<f(x2).

Exemple:

1. Reprezentarea grafică a funcției , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

În acest tabel se vede că, pentru valori din ce în ce mai mari ale lui , f(x) se “apropie” de 0, iar pentru valori din ce în ce mai mici ale lui , f(x) ia valori din ce în ce mai mari (în modul).

Graficul este construit din două ramuri simetrice față de originea axelor de coordonate și se numește hiperbolă.

Fig. 28

Observație: Graficul funcției (k>0) are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției .

2. Reprezentarea grafică a funcției , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Din acest tabel, se vede că, pentru valori ale lui x din ce în ce mai apropiate de 0 (pozitive sau negative), funcția f ia valori din ce în ce mai mari, iar pentru valori ale lui din ce în ce mai mari, funcția f ia valori din ce în ce mai mici.

Graficul funcției este construit din două ramuri simetrice față de axa oy ,situate deasupra axei ox.

Fig. 29

Observație: Graficul funcției (k>0) are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției .

Funcția radical

Definiția 1.5.1. Fie . Funcția , , se numește funcția radical de ordin par.

Propoziția 1.5.1. Funcția funcția radical de ordin par ,

este strict crescătoare.

Demonstrație:

Fie , astfel încât . Deoarece și , avem

,și cum funcția putere e strict crescătoare pe rezultă că

, adică f(x1)<f(x2).

Propoziția 1.5.2. Funcția radical de ordin par , este bijectivă.

Demonstrație

Funcția radical este strict crescătoare, rezultă că ea este injectivă.

Fie , există , x=y2n, astfel încât , rezultă că f este surjectivă.

Funcția f este injectivă și surjectivă, deci este bijectivă.

Propoziția 1.5.3. Funcția radical de ordin par , este inversabilă.

Demonstrație

Funcția f este bijectivă, rezultă că funcția f este inversabilă.

Inversa sa este , .

Într-adevăr și

Observații:

Funcția radical de ordin par este funcție concavă.

Punctul O(0,0), originea sistemului xoy, este punctul de intersecție al graficului funcției cu axele de coordonate.

Exemplu: Reprezentarea grafică a funcției , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Reprezentăm într-un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel, după care le unim print-o linie continuă.

Fig. 30

Graficul funcției , are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției .

Definiția 1.5.2. Fie . Funcția , , se numește funcția radical de ordin impar.

Propoziția 1.5.4. Funcția radical de ordin impar, este strict crescătoare.

Demonstrație:

Fie , astfel încât . Deoarece și , avem

, și cum funcția putere cu exponent impar e strict crescătoare pe , rezultă că , adică f(x1)<f(x2).

Propoziția 1.5.5. Funcția radical de ordin impar, este bijectivă.

Demonstrație:

Funcția radical este strict crescătoare, rezultă că ea este injectivă.

Fie , există , x=y2n+1, astfel încât , rezultă că f este surjectivă.

Funcția f este injectivă și surjectivă, deci este bijectivă.

Propoziția 1.5.6. Funcția radical de ordin impar, este inversabilă.

Demonstrație:

Funcția f este bijectivă, rezultă că funcția f este inversabilă.

Inversa sa este funcția putere cu exponent număr natural impar , .

Într-adevăr și

Propoziția 1.5.7. Funcția radical de ordin impar, este funcție impară

Demonstrație:

Observații:

Punctul O(0,0), originea sistemului xoy, este punctul de intersecție al graficului funcției cu axele de coordonate.

Graficul funcției este simetric față de punctul O(0,0).

Funcția radical de ordin impar este funcție convexă pe și funcție concavă pe

Exemplu: Reprezentarea grafică a funcției , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Reprezentăm într-un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel, după care le unim print-o linie continuă.

Fig. 31

Graficul funcției , are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției .

1.6. Funcția exponențială

Definiția 1.6.1. O funcție , , unde a>0 și , se numește

funcție exponențială.

Propoziția 1.6.1. Fie funcția , , unde a>0 și .

Dacă 0<a<1, atunci, pentru x>0, avem ,

iar, pentru x<0, avem .

Dacă a>1, atunci, pentru x>0 ,avem ,

iar , pentru x<0, avem .

Demonstrație:

1. Fie 0<a<1 și x>0.

Dacă , , n>0, atunci .

Cum 0<a<1, rezultă de unde se obține .

Dacă , fie , aproximările zecimale prin lipsă și prin adaos ale lui x.

Atunci .

Deoarece 0<a<1 , rezultă că pentru oricare avem inegalitățile:

.

Dar , și conform celor de mai sus se obține .

Dacă x<0 este un număr real negativ, atunci: .

Dar –x>0 , deci , rezultă .

2. Fie a>1 și x>0.

Dacă , , n>0, atunci .

Cum a>1, rezultă de unde se obține .

Dacă , fie , aproximările zecimale prin lipsă și prin adaos ale lui x.

Atunci .

Deoarece a>1, rezultă că pentru oricare avem inegalitățile:

.

Dar ,și conform celor de mai sus se obține .

Dacă x<0 este un număr real negativ, atunci: .

Dar –x>0 , deci , rezultă .

Propoziția 1.6.2. Fie funcția , , unde a>0 și .

Dacă a>1, funcția exponențială este strict crescătoare pe .

Dacă 0<a<1, funcția exponențială este strict descrescătoare pe .

Demonstrație:

Fie a>1 și , rezultă că există k>0, astfel încât .

Atunci .

Deoarece k>0 și a>1, atunci , rezultă că și cum , se obține

Rezultă că , adică , deci f(x1)<f(x2).Funcția exponențială este strict crescătoare pe .

Fie 0<a<1 și , rezultă că există k>0 ,astfel încât .

Atunci .

Deoarece k>0 și 0<a<1, atunci rezultă că și cum , se obține

Rezultă că adică , deci f(x1)>f(x2).Funcția exponențială este strict descrescătoare pe .

Propoziția 1.6.3. Funcția , , unde a>0 și este bijectivă.

Demonstrație:

Dacă a>1, funcția exponențială este strict crescătoare pe , rezultă că f este injectivă.

Dacă 0<a<, funcția exponențială este strict descrescătoare pe , rezultă că f este injectivă.

Cum f este continuă, iar Im(f)=(0,+∞), rezultă că f este surjectivă.

Funcția f este injectivă și surjectivă, deci este bijectivă.

Propoziția 1.6.4. Funcția , , unde a>0 și este inversabilă.

Demonstrație:

Funcția f este bijectivă, rezultă că este inversabilă.

Observații:

Dacă a>1, atunci axa ox este asimptotă orizontală spre -∞ pentru graficul funcției f.

Dacă 0<a<1, atunci axa ox este asimptotă orizontală spre +∞ pentru graficul funcției f.

Funcția exponențială este convexă.

Graficul funcției f intersectează oxa oy în punctul de coordonate (0,1).

Exemple:

Reprezentarea grafică a funcției , , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Reprezentăm într-un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile

din tabel, după care le unim print-o linie continuă.

Fig. 32

Graficul funcției , a>1 are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției

.

2. Reprezentarea grafică a funcției , , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Reprezentăm într-un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile din

tabel, după care le unim print-o linie continuă.

Fig. 33

Graficul funcției , 0<a<1 are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției

.

Reprezentarea geometrică a graficului funcției exponențiale se numește curbă exponențială.

Funcția logaritmică

Definiția 1.7.1. O funcție , , a>0, se numește funcție logaritmică.

Propoziția 1.7.1. Fie funcția , unde a>0 și .

Dacă a>1, funcția logaritmică este strict crescătoare pe (0,+∞) .

Dacă 0<a<1, funcția logaritmică este strict descrescătoare pe (0,+∞).

Demonstrație:

Fie a>1 și astfel încât .

Deoarece și , rezultă că .

Cum pentru a>1 funcția exponențială este strict crescătoare pe , rezultă că , adică f(x1)<f(x2), deci funcția este strict crescătoare pe (0,+∞) .

Fie 0<a<1 și astfel încât .

Deoarece și , rezultă că .

Cum pentru 0<a<1 funcția exponențială este strict descrescătoare pe , rezultă că

, adică f(x1)>f(x2), deci funcția este strict descrescătoare pe (0,+∞) .

Propoziția 1.7.2. Funcția , , unde a>0 și este bijectivă.

Demonstrație:

Dacă a>1, funcția logaritmică este strict crescătoare pe (0,+∞), rezultă că f este injectivă.

Dacă 0<a<1,funcția logaritmică este strict descrescătoare pe (0,+∞), rezultă că f este injectivă.

Fie , atunci există , ,astfel încât , deci f este funcție surjectivă.

Funcția f este injectivă și surjectivă, deci este bijectivă.

Propoziția 1.7.3. Funcția , , unde a>0 și este inversabilă.

Demonstrație:

Funcția f este bijectivă rezultă că este inversabilă.

Inversa funcției logaritmice este funcția exponențială , .

Într-adevăr, dacă avem și

dacă , atunci .

Observații:

Graficul funcției logaritmice intersectează axa ox în punctul de coordonate (1,0).

Dacă a>1, atunci pentru 0<x<1, avem , pentru x=1,avem

, iar pentru x>1, avem .

Dacă 0<a<1 , atunci pentru 0<x<1, avem , pentru x=1, avem

, iar pentru x>1, avem .

Axa oy este asimptotă verticală a funcției logaritmice.

Dacă a>1, atunci funcția logaritmică este concavă.

Dacă 0<x<1, atunci funcția logaritmică este convexă.

Exemple:

Reprezentarea grafică a funcției , , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Reprezentăm într-un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile

din tabel, după care le unim print-o linie continuă.

Fig. 34

Graficul funcției , a>1 are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției .

Reprezentarea grafică a funcției , , se face prin “puncte”, pentru aceasta folosim următorul tabel de valori:

Reprezentăm într-un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile

din tabel, după care le unim print-o linie continuă.

Fig. 35

Graficul funcției , 0<a<1 are o reprezentare asemănătoare cu graficul funcției .

Reprezentarea geometrică a graficului funcției logaritmice se numește curbă logaritmică.

Funcții trigonometrice directe și inverse

Definiția 1.8.1. Funcția , se numește funcția sinus.

Observații:

Funcția sinus este mărginită:

Funcția sinus este periodică de perioadă și perioada principală :

și .

Funcția sinus este impară: .

Funcția sinus este surjectivă pe .

Restricția funcției sinus, este bijectivă, deci inversabilă.

Reprezentarea grafică a funcției sinus se face prin “puncte” folosind următorul tabel de valori:

Fig. 36

Reprezentarea geometrică a graficului funcției sinus se numește sinusoidă.

Definiția 1.8.2. Funcția ,

se numește funcția arcsinus și este inversa funcției .

Observații:

.

Funcția arcsinus este mărginită: , .

Funcția arcsinus este strict crescătoare pe intervalul [-1,1].

Funcția arcsinus este impară adică arcsin(-x)=-arcsin x,

Reprezentările geometrice ale graficelor funcțiilor sin și arcsin sunt simetrice față de bisectoarea întâi a axelor de coordonate.

Reprezentarea grafică a funcției arcsinus se face prin “puncte” folosind următorul tabel de valori:

Fig. 37

Definiția 1.8.3. Funcția , se numește funcția cosinus.

Observații:

Funcția cosinus este mărginită:

Funcția cosinus este periodică de perioadă și perioada principală :

și .

Funcția cosinus este pară:

Funcția cosinus este surjectivă pe .

Restricția funcției cosinus, este bijectivă, deci inversabilă.

Reprezentarea grafică a funcției cosinus se face prin “puncte” folosind următorul tabel de valori:

Fig. 38

Reprezentarea geometrică a graficului funcției cosinus se numește sinusoidă.

Definiția 1.8.4. Funcția ,

se numește funcția arccosinus și este inversa funcției .

Observații:

.

Funcția arccosinus este mărginită: , .

Funcția arccosinus este strict descrescătoare pe intervalul [-1,1].

Funcția arccosinus nu este nici pară, nici impară: arccos(-x)=π-arccos x,

Reprezentările geometrice ale graficelor funcțiilor cos și arcos sunt simetrice față de bisectoarea întâi a xelor de coordonate.

Reprezentarea grafică a funcției arccosinus se face prin “puncte” folosind următorul tabel de valori:

Fig. 39

Definiția 1.8.5. Funcția , se numește funcția tangentă.

Observații:

Funcția tangentă este periodică de perioadă și perioada principală :

și .

Funcția tangentă este impară: tg(-x)=- tg(x) .

Restricția funcției tangentă, , , este bijectivă, deci inversabilă.

Fig. 40

Definiția 1.8.6. Funcția ,

se numește funcția arctangentă și este inversa funcției , .

Observații:

arctg(tg x)= x, .

tg(arctg x)= x, .

Funcția arctangentă este impară: arctg(-x)=-arctg(x), .

Funcția arctangentă este mărginită: , .

Funcția arctangentă este strict crescătoare pe .

Reprezentările geometrice ale graficelor funcțiilor tg și arctg sunt simetrice față de bisectoarea întâi a xelor de coordonate.

Fig. 41

Definiția 1.8.7. Funcția , se numește funcția cotangentă.

Observații:

Funcția cotangentă este periodică de perioadă și perioada principală :

și .

Funcția cotangentă este impară: ctg(-x)=- ctg(x) .

Restricția funcției cotangentă, , , este bijectivă, deci inversabilă.

Fig. 42

Definiția 1.8.8. Funcția ,

se numește funcția arccotangentă și este inversa funcției , .

Observații:

arcctg(ctg x)= x, .

ctg(arcctg x)= x, .

Funcția arccotangentă nu este nici pară, nici impară: arcctg(-x)=π-arctg(x), .

Funcția arccotangentă este mărginită: , .

Funcția arccotangentă este strict descrescătoare pe .

Reprezentările geometrice ale graficelor funcțiilor ctg și arcctg sunt simetrice față de bisectoarea întâi a xelor de coordonate.

Fig. 43

1.9.Transformări ale graficelor funcțiilor

Graficul unei funcții descrie funcția în formă vizuală. El poate fi transformat în graficul unei funcții diferite pe baza ecuației funcției. Știind că un grafic este o transformare a unui grafic familiar, acest lucru face mai ușoară trasarea lui. Studiul modului în care schimbarea ecuației unei funcții îi poate afecta graficul, conferă acesteia un avantaj grafic. O transformarea a unei funcții modifică ecuația și orice combinație între locația, forma și orientarea graficului. Tipurile de transformări ale funcțiilor sunt:

1.9.1. Translația este o transformare care mută toate punctele din graficul unei funcții, în sus, în jos, la stânga și la dreapta, fără a schimba forma sau orientarea graficului. Aceasta poate fi verticală și orizontală. Un grafic translatat este congruent cu graficul original.

1.9.1.1. Translația verticală

Fie f o funcție și c un număr real pozitiv.

Graficul funcției y=f(x)+c este graficul funcției y=f(x) deplasat vertical în sus cu c unități.

Graficul funcției y=f(x)-c este graficul funcției y=f(x) deplasat vertical în jos cu

c unități.

Fig.44 Fig.45

Exemple :

1. Translatând vertical graficul funcției f(x)=|x| , în sus, cu 3 unități, se obține graficul funcției g(x)=|x|+3.

Fig. 46

2. Translatând vertical graficul funcției f(x)=|x| , în jos, cu 3 unități, se obține graficul funcției g(x)=|x|-3.

Fig. 47

1.9.1.2. Translația orizontală

Fie f o funcție și c un număr real pozitiv.

Graficul funcției y=f(x+c) este graficul funcției y=f(x) deplasat orizontal la stânga cu c unități.

Graficul funcției y=f(x-c) este graficul funcției y=f(x) deplasat orizontal la dreapta cu c unități.

Fig. 48 Fig. 49

Exemple :

1. Translatând orizontal graficul funcției f(x)=|x| , la stânga, cu 3 unități, se obține graficul funcției g(x)=|x+3|.

Fig. 50

2. Translatând orizontal graficul funcției f(x)=|x| , la dreapta, cu 3 unități, se obține graficul funcției g(x)=|x-3|.

Fig. 51

1.9.2. Simetria creează o imagine în oglindă într-o linie, numită linie de simetrie. Acesta, la fel ca translația, nu schimbă forma graficului, însă spre deosebire de ea, poate schimba orientarea graficului.

Graficul funcției y=-f(x) este graficul funcției y=f(x) reflectat în axa ox.

Graficul funcției y=f(-x) este graficul funcției y=f(x) reflectat în axa oy.

Fig. 52 Fig. 53

Punctul invariant este un punct al unui grafic care rămâne neschimbat după ce i se aplică o transformare. Orice punct al unui grafic care se află pe linia de simetrie este un punct invariant.

Exemple :

1. Reflectând graficul funcției f(x)=|x| în axa ox se obține graficul funcției g(x)= -|x|.

Punctul O(0,0) este punct invariant.

Fig. 54

2. Reflectând graficul funcției în axa oy, se obține graficul funcției .

Punctul O(0,0) este punct invariant.

Fig. 55

1.9.3. Alungirea și comprimarea verticală spre deosebire de translație și simetria schimbă forma graficului, însă, la fel ca translația, nu modifică orientarea graficului. Acestea pot fi verticale și orizontale.

1.9.3.1. Alungirea și comprimarea verticală

Fie f o funcție și c un număr real pozitiv.

Dacă c>1, graficul funcției y=cf(x) este graficul funcției y=f(x) alungit vertical prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu c.

Dacă 0<c<1, graficul funcției y=cf(x) este graficul funcției y=f(x) comprimat vertical prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu c.

Fig. 56 Fig. 57

Exemple :

1. Alungind vertical graficul funcției f(x)=|x| , prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu 3, a tuturor punctelor de pe grafic , se obține graficul funcției g(x)=3|x|.

Fig. 58

2. Comprimând vertical graficul funcției f(x)=|x| , prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu , a tuturor punctelor de pe grafic , se obține graficul funcției .

Fig. 59

1.9.3.2. Alungirea și comprimarea orizontală

Fie f o funcție și c un număr real pozitiv.

Dacă c>1, graficul funcției y=f(cx) este graficul funcției y=f(x) comprimat orizontal prin împărțirea fiecărei coordonate x cu c.

Dacă 0<c<1, graficul funcției y=cf(x) este graficul funcției y=f(x) alungit orizontal prin împărțirea fiecărei coordonate x cu c.

Fig. 60 Fig. 61

Exemple :

1. Comprimând orizontal graficul funcției , prin împărțirea fiecărei coordonate x cu 3, a tuturor punctelor de pe grafic , se obține graficul funcției .

Fig. 62

2. Alungind orizontal graficul funcției , prin împărțirea fiecărei coordonate x cu , a tuturor punctelor de pe grafic , se obține graficul funcției .

Fig. 63

1.9.4. Combinarea transformărilor

Pentru a obține funcții complexe se poate aplica o combinație de transformări la funcțiile de bază. Transformările multiple pot fi aplicate unei funcții folosind următorul model general de transformare:

.

Deși ordinea în care se efectuează transformările poate fi modificată, se poate lua în considerare, pentru consecvență, utilizarea următoarei ordini:

Alungire sau comprimare orizontală, prin împărțirea fiecărei coordonate x cu |b|;

Simetrie în axa oy , dacă b<0;

Alungire sau comprimare verticală, prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu |a|;

Simetrie în axa ox , dacă a<0;

Translație orizontală la stânga sau la drepta cu h unități;

Translație verticală în sus sau în jos cu k unități;

Exemplu:

Pentru a reprezenta grafic funcția se pornește de la reprezentarea grafică a funcției .

Fig. 64

Se aplică succesiv următoarele transformări:

Comprimare orizontală , prin împărțirea fiecărei coordonate x cu 3;

Fig. 65

Alungire verticală, prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu 2;

Fig. 66

Simetrie față de axa ox;

Fig. 67

Translație orizontală spre dreapta cu 2 unități;

Fig. 68

Translație verticală în sus cu 4 unități ;

Fig. 69

CAPITOLUL 2. Funcții continue și funcții derivabile

2.1. Limite de funcții

Definiție 2.1.1. Mulțimea V ⸦ se numește vecinătate a punctului , dacă există ε>0, astfel încât ⸦V. ( Intervalul se numește interval deschis de rază ε>0 centrat în a.)

Definiție 2.1.2. Mulțimea V ⸦ se numește vecinătate a lui +∞ , dacă există ε>0 , astfel încât (ε,+∞) ⸦ V.

Definiție 2.1.3. Mulțimea V ⸦ se numește vecinătate a lui -∞ , dacă există ε>0, astfel încât (-∞,ε) ⸦ V.

Observație: Mulțimea se numește dreapta completă sau dreapta încheiată.

Definiție 2.1.4. Fie A o submulțime nevidă a lui . Spunem că un punct este punct de acumulare al mulțimii A, dacă în orice vecinătate V a lui a, se află puncte ale A distincte de a, adică

Observații:

1. Mulțimea punctelor de acumulare ale mulțimii A se notează cu , și se numește mulțime derivată.

2. Dacă un punct , nu este punct de acumulare al mulțimii A, el se numește punct izolat al mulțimii A.

Definiție 2.1.5. Fie o funcție ( A este o submulțime a lui ) și , un punct de acumulare pentru A. Spunem că este limita funcției f în punctul a (și notăm ), dacă pentru orice vecinătate V a lui l, există o vecinătate U a lui a, astfel încât oricare ar fi cu avem

Observație: Dacă limita unei funcții într-un punct există, atunci ea este unică.

Teorema 2.1.1. ( Criteriul lui Heine de existență a limitelor) Fie o funcție și fie , un punct de acumulare pentru A. Avem dacă și numai dacă pentru orice sir (an)n de puncte din A-{a}, cu , rezultă .

Limitele laterale:

Definiție 2.1.5. Fie o funcție ( A este o submulțime a lui ) și , un punct de acumulare pentru . Spunem că este limita la stanga a funcției f în puctul a ( și notăm sau ls=f(a-0) ), dacă pentru orice vecinătate V a lui ls există o vecinătate U a lui a, astfel încât oricare ar fi cu avem

Definiție 2.1.6. Fie o funcție ( A este o submulțime a lui ) și , un punct de acumulare pentru . Spunem că este limita la dreapta a funcției f în puctul a ( și notăm sau ls=f(a+0) ), dacă pentru orice vecinătate V a lui ld există o vecinătate U a lui a, astfel încât oricare ar fi cu avem

Propoziția 2.1.1. Funcția are limită în punctul dacă și numai dacă f are limite laterale egale în punctul a. ( În acest caz l=ls=ld .)

Putem defini limitele laterale folosind limbajul cu șiruri.

Definiție 2.1.7. Fie o funcție și fie , un punct de acumulare pentru A. Avem dacă și numai dacă pentru orice sir (an)n de puncte din , cu , rezultă .

Definiție 2.1.8. Fie o funcție și fie , un punct de acumulare pentru A. Avem dacă și numai dacă pentru orice sir (an)n de puncte din , cu , rezultă .

Limite fundamentale de funcții

Funcții polinomiale:

Funcții raționale:

Funcția radical:

Funcția exponențială:

Funcția logaritmică:

Funcții trigonometrice:

Limite remarcabile:

2.2. Funcții continue

Definiția 2.2.1. Fie o funcție , unde . Spunem că f este continuă în punctul a (sau că a este un punct de continuitate pentru f) dacă, oricare ar fi există cu proprietatea că, pentru orice cu avem .

Observație: Specific punctelor de continuitate este faptul că la mici perturbări ale argumentului corespund mici perturbări ale valorii funcției.

Definiția 2.2.2. O funcție se numește continuă dacă este continuă în toate punctele sale.

Propoziția 2.2.1. Funcția este continuă în punctul a dacă și numai dacă, oricare ar fi V o vecinătate a lui f(a,) există o vecinătate U a lui a, astfel încât f(U)⸦V.

Demonstrație:

“ ” Presupunem că f este continuă în punctul a.

Fie V o vecinătate a lui f(a), deci cu .

Pentru acest , cum f este continuă în a astfel încât cu avem .

Considerăm .

Fie , arbitrar, atunci , deci .

“” Fie , arbitrar. Considerăm o vecinătate a lui f(a).

Conform ipotezei o vecinătate a lui a astfel încât f(U)⸦V.

Fie astfel încât .

Fie cu . Deci

f este continuă în a.

Observații:

1. Dacă funcția f nu este continuă în punctul a, atunci ea se numește discontinuă în punctul a, sau că a este un punct de discontinuitate al funcției f .

2. Problema continuității sau discontinuității se pune numai în punctele domeniului de definiție ale funcției ( nu se pune în puncte în care funcția nu este definită și nici pentru +∞ sau

-∞).

Definiția 2.2.3. O funcție este discontinuă dacă există un punct în care f nu este continuă.

Teorema 2.2.1. ( Criteriul lui Heine de continuitate) O funcție este continuă în punctul a dacă și numai dacă ,oricare ar fi (an)n un șir de elemente din A, convergent la a, șirul (f(an))n este convergent la f(a).

Demonstrație:

“ ” Presupunem că f este continuă în punctul a.

Fie V o vecinătate, arbitrară, a lui f(a) o vecinătate a lui a, astfel încât f(U)⸦V.

Fie (an)n ⸦ A , și cum este o vecinătate a lui a .

Din f(U)⸦V și .

“” Presupunem că f nu este continuă în punctul a V o vecinătate a lui f(a), astfel încât o vecinătate a lui a .

Fie o vecinătate a lui a.

Atunci , astfel că .

Deci și cum , rezultă că (f(an))n nu este convergent la f(a), ceea ce este o contradicție.

Teorema 2.2.2. Fie o funcție și fie , un punct de acumulare pentru A. Atunci f este continuă în punctul a dacă și numai dacă f admite limită în punctul a și valoarea ei este egală cu valoarea funcției în punctul a.

Demonstrație:

“ ” Presupunem că f este continuă în punctul a.

Atunci, pentru orice șir (an)n de elemente din A cu , avem .

În particular, pentru orice șir (xn)n cu , și avem de asemenea. Rezultă că limita funcției f în punctul a este f(a).

“” Presupunem că .

Atunci, pentru orice, astfel încât -{a} cu să avem .

Însă, dacă x=a, rezultă , și, deci restricția se poate elimina. Prin urmare f este continuă în a.

Definiția 2.2.4. Funcția este continuă la stănga în , un punct de acumulare pentru A, dacă f(a-0) există și este egală cu f(a).

Definiția 2.2.5. Funcția este continuă la dreapta în , un punct de acumulare pentru A, dacă f(a+0) există și este egală cu f(a).

O aplicație imediată a Teoremei 2.2.2. este așa numita prelungire prin contiuitate a unei funcții. Ea poate fi descrisă astfel: fie o funcție și fie a un punct de acumulare al lui A, nesituat pe A. Presupunând că există limita , atunci funcția prelungită

este continuă. Mai mult, această prelungire este singura care face pe continuă în punctul a.

Teorema 2.2.3. Fie o funcție definită pe o submulțime a lui . Atunci f este continuă în orice punct izolat a, din domeniul său de definiție.

Dacă și a este un punct de acumulare pentru A, atunci f este continuă în punctul a dacă și numai dacă există limitele laterale ale lui f în punctul a (care au sens) și ele sunt egale cu valoarea funcției în punctul a.().

Observație: Funcțiile polinomiale, funcțiile raționale, funcția radical, funcția putere, funcția exponențială, funcțiile trigonometrice directe și cele inverse sunt continue pe domeniul lor de definiție.

Teorema 2.2.3. conduce la următoarea clasificare a discontinuităților unei funcții:

Definiția 2.2.6. Numim puncte de discontinuitate de speța întâi acele puncte din domeniul de definiție în care există și sunt finite limitele laterale (care au sens), dar cel puțin una este diferită de valoarea funcției în punctul respectiv. Celelalte puncte de discontinuitate se numesc puncte de discontinuitate de speța a doua.( Adică sunt acele puncte în care cel puțin una dintre limitele nu există sau este infinită.)

Exemple:

Fie Cum , iar rezultă că 0 este punct de discontinuitate de speța întâi.

Fie Cum rezultă că 0 este punct de discontinuitate de speța a doua.

Fie Cum nu există ( deoarece iar funcția sinus nu are limită la ), rezultă că 0 este punct de discontinuitate de speța a doua.

Fie funcția lui Dirichlet, și fie Există atunci două șiruri cu pentru Atunci deci nu există , iar este un punct de discontinuite de speța a doua.

Teorema 2.2.4. Fie o funcție monotonă , unde A este un interval, și un punct de discontinuitate pentru funcția f. Atunci a este un punct de discontinuitate de speța întâi.

Demonstrație:

Presupunem că funcția f este monoton crescătoare și demonstrăm că limitele laterale

f(a-0) și f(a+0) sunt finite.

Fie , astfel încât x1<a<x2. Din monotonia funcției f rezultă că

și .

Prin trecerea la limită în cele două inegalități anterioare se obține:

și .

Așadar, și, astfel, rezultă că limitele laterale ale funcției f în punctul există și sunt finite.

Una din proprietățile remarcabile ale funcțiilor continue este aceea de a transforma intervalele în alte intervale, proprietate cunoscută și sub numele de proprietatea lui Darboux.

Definiția 2.2.7. Fie o funcție definită pe un interval I. Spunem că f are proprietatea lui Darboux pe I dacă pentru orice două puncte x1 și x2 din I astfel ca x1<x2, și orice număr λ situat între f(x1) și f(x2,) există un punct c între x1 și x2, astfel încât f(c)=λ.

Fig. 70

Motivarea ei este dată de teorema valorii intermediare.

Lema 2.2.1. Fie o funcție continuă, astfel încât f(a)<0 și f(b)>0. Atunci există cel puțin un punct astfel încât f(c)=0.

Demonstrație:

Fie mulțimea .

Cum f(a)<0, rezultă că , adică , iar din A ⸦ [a,b], rezultă că mulțimea A este majorată. Din axioma marginii superioare ( Orice submulțime nevidă a lui , mărginită superior, admite margine superioară.) rezultă că multimea A admite un supremum, fie acesta c=sup A ().

Folosind faptul că c este un punct aderent lui A (în orice vecinătate a lui a se găsește cel puțin un element din A), deducem că c este limita unui șir de elemente din A. Adică astfel încăt și cum funcția f este continuă potrivit criteriul lui Heine de continuitate, rezultă că .

Din și . (1)

Cum f(b)>0 c<b.

Dacă c<y<b, rezultă că f(y)>0. (Altfel, dacă iar cum c=sup A , ceea ce este o contradicție.)

Fie un șir de elemente din A, astfel încât și cum f este continuă, rezultă din criteriul lui Heine de continuitate că .

Din și , . (2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă că f(c)=0.

Fig. 71 Fig. 72

Exemplu: (Existența radicalului de ordinul ). Fie a>0 .Atunci există și este unică o radăcină pozitivă a ecuației Această rădăcină se numește radicalul de ordinul n a lui a și se notează cu simbolul

Pentru demostrație , se aplică Lema 2.2.1. funcției continue și strict crescătoare Evident, f(0)<0. Dacă atunci Dacă atunci f(1)>0.

Teorema 2.2.5. ( Teorema valorii intermediare) Fie I un interval nedegenerat și o funcție continuă. Atunci f are propietatea lui Darboux pe I.

Demonstrație:

Fie , g(x)=f(x)-λ și .

Cum g(a)=f(a)-λ<0, iar g(b)=f(b)-λ>0 , aplicând Lema 2.2.1. rezultă că există astfel încât g(c)=0, adică f(c)=λ.

Teorema 2.2.6. Fie o funcție cu proprietatea lui Darboux pe un interval . Atunci f(I) este un interval.

Exemple :

Fie Cum f(0)=0, f(1)=1, dar f nu ia și valoarea intermediară pe intervalui (0,1), rezultă că f nu are proprietatea lui Darboux pe .( Altfel,, deci f nu transformă intervalul deschis tot într-un interval.)

Fie Atunci , deci f nu transformă tot într-un interval, neavând astfel proprietatea lui Darboux.

Propoziția 2.2.2. Fie I un interval nedegenerat și o funcție injectivă cu proprietatea lui Darboux. Atunci f este strict monotonă.

Demonstrație:

Presupunem că f nu este strict monotonă, deci există astfel ca a<b<c și f(b) nu este între f(a) și f(c). Deci sunt posibile următoarele cazuri:

f(b)<f(a)<f(c)

f(a)<f(c)<f(b)

f(b)<f(c)<f(a)

f(c)<f(a)<f(b)

Presupunem că suntem în cazul 1). Fie λ=f(a). Deoarece f are proprietatea lui Darboux, rezultă că există astfel încât . Cum , acest fapt contrazice injectivitatea funcției f. Celelalte cazuri se tratează analog.

Observație: O funcție continuă și injectivă pe un interval este strict monotonă pe acel interval.

Propoziția 2.2.3. Fie o funcție monotonă, astfel încât Im(f) este interval. Atunci funcția f este continuă.

Demonstrație:

Presupunem că funcția f este monoton crescătoare pe I. Fie .

Dacă a este un punct izolat, atunci f este continuă în a.

Să presupunem că nu este punct izolat. Funcția f, fiind monotonă are limitele laterale finite în a și . Dacă punctul a este punct de discontinuitate, atunci

f(a-0)<f(a) sau f(a+0)>f(a).

Să presupunem că ls=f(a-0)<f(a). Atunci, pentru x<a, din monotonia funcției f, rezultă că

și . În acest fel, rezultă că intervalul I=(ls,f(a)) nu conține nicio valoare a funcției f , în contradicție cu ipoteza că f(I) este interval.

Așadar, ls=f(a) și, astfel, rezultă că f este continuă la stânga in a.

Să presupunem că ld=f(a+0)>f(a). Atunci, pentru x>a, din monotonia funcției f , rezultă că

și . În acest fel, rezultă că intervalul I=(f(a),ld) nu conține nicio valoare a funcției f , în contradicție cu ipoteza că f(I) este interval.

Așadar, ld=f(a) și, astfel, rezultă că f este continuă la stânga in a.

Din ls=ld=f(a), rezultă că funcția f este continuă în punctul a.

Observație: Reciproca acestei propoziții nu este adevărată. Există funcții f continue cu Im(f)=I, fară ca f să fie monotone. De exemplu, funcția

Teorema 2.2.7. Fie , unde I este un interval pe care f are proprietatea lui Darboux. Fie astfel încât există o limită laterală a lui f în , atunci această limită este egală cu

Corolar 2.2.1. Fie o funcție cu proprietatea lui Darboux pe intervalul I. Atunci f nu poate avea decât puncte de discontinuitate de speța a doua pe I.

Exemplu: Funcția are proprietatea lui Darboux, iar 0 este punct de discontinuitate de speța a doua.

Propoziția 2.2.4. Fie I, J intervale în și o funcție monotonă și surjectivă. Atunci f este continuă.

Demonstrație:

Să presupunem că funcția f este crescătoare și că ar exista a un punct de discontinuitate pentru f. Atunci cel puțin una din inegalitățile următoare are loc:

f(a-0)<f(a), f(a)<f(a+0) ( cum f este monotonă, aceste limitele există).

Să presupunem, spre exemplu, că f(a-0)<f(a) și să notăm , .

Deoarece f(a-0)=sup{f(t)|t<a, }, dacă x<a, , atunci .

Cum f(x), f(a) aparțin intervalului J, din relația precedentă rezultă că .

Fie , atunci și, deoarece f este surjectivă, există , astfel încât f(t)=λ.

Cum , rezultă că t<a, de unde , ceea ce este o contradicție. Deci, funcția f este continuă pe I.

Propoziția 2.2.5. Fie f o funcție continuă pe un interval I și J=f(I). Atunci funcția este bijectivă dacă și numai dacă este strict monotonă. În acest caz, funcția inversă, , este continuă și strict monotonă pe J (în același sens cu f ).

Demonstrație:

Din faptul că rezultă că funcția este surjectivă. Prin urmare, dacă f este strict monotonă, atunci este injectivă, deci bijectivă.

Reciproc, să presupunem f bijectivă. Cum f este continua și I este interval, rezultă că f este strict monotonă. Mai mult, echivalența implică pentru orice din I, y=f(x) respectiv y1=f(x1). Deoarece cele două rapoarte de mai sus au același semn, rezultă că f și f-1 sunt amândouă strict crescătoare sau amândouă strict descrescătoare, deci f-1 este strict monotonă. Cum f-1(J)=I este un interval, obținem că f-1 este, de asemenea, continuă.

Teoremă 2.2.7. ( Teorema lui Weierstrass) O funcție continuă pe un compact este mărginită și iși atinge marginile (are un minim și un maxim).

Demonstrație:

Fie continuă. Arătăm că f este majorată, adică există un M, astfel încât . Presupunem contrariul . Deoarece sirul este mărginit ,conform lemei Cesaro , el conține un subșir convergent care are un punct limită . Din continuitatea funcției rezultă că astfel incât

(1) .

Fie , care pentru suficient de mare este o contradicție. Deci f este majorată.

Arătăm că f este minorată, adică există un m, astfel încât .

Presupunem contrariul Din (1) pentru

, care pentru suficient de mare este o contradicție. Deci f este minorată.

In concluzie, orice funcție continuă pe un compact este mărginită.

Fie M =. Arătăm că există un , astfel încât este maximul global al lui f pe [a,b]. Presupunem că această situație nu are loc. Din definiția marginii superioare rezultă . Considerăm funcția auxiliară . Evident este continuă pe și, deci, mărginită. Din proprietățile marginii superioare, există valori ale lui x, astfel încât ,adică nu este mărginită, ceea ce este o contradicție. Rezultă că există un , astfel încât

Fie m =.Arătăm că există un , astfel încât este minimul global al lui f pe [a,b]. Presupunem că această situație nu are loc. Din definiția marginii inferioare rezultă .Considerăm funcția auxiliară .Evident

este continuă pe și, deci, mărginită.Din proprietățile marginii inferioare,există valori ale lui x, astfel încât ,adică nu este mărginită, ceea ce este o contradicție. Rezultă că există un astfel încât

Funcții derivabile

Problemele care au condus la noțiunea de derivată au fost : definirea tangentei într-un punct la graficul unei funcțiic și definirea noțiunea de viteză instantanee.

Problema tangentei

Fie o funcție continuă pe intervalul I, graficul funcției f și un punct pe . Tangenta la în punctul A îl poate intersecta și într-un alt punct decât A, iar dreptele care intersectează doar în A nu sunt neapărat tangente la . Nu se poate defini această tangentă ca dreapta care are în comun cu doar pe A, așa cum se întămplă pentru tangenta într-un punct la un cerc.

Fie un alt punct pe . Dreapta AM care intersectează cel puțin în A și M, se va numi dreptă secantă. Se definește tangenta în A la ca poziția limită a secantei AM atunci când M tinde la A. Cum panta dreptei AM este (dreapta AM nu este verticală, deci ), urmează că panta tangentei în A la este

În aceste condiții, ecuația tangentei în A la este :

Fig. 73

Problema vitezei

Fie un punct mobil M în mișcare de-a lungul axei ox, a cărui lege de mișcare este x=x(t), unde t este timpul scurs de la momentul inițial, iar x este abscisa punctului M.

Fie un interval de timp, . În acest interval, M parcurge distanța , deci viteza sa medie ( viteza pe care ar trebui s-o aibă M pentru a parcurge distanța în timpul , dacă s-ar mișca uniform ) este Totuși, cu cât intervalul de timp este mai mare, cu atât această viteză oferă mai puține informații despre viteza lui M la momentul . Intuitiv, intervalul trebuie să fie cât mai mic, iar viteza instantanee a lui M la momentul este atunci

Fig. 74

Definiția 2.3.1. Funcția se numește derivabilă în punctul , un punct de acumulare pentru A, dacă există și este finită.

Valoarea acestei limite se numește derivata funcției f în punctul a și se notează cu f ‘(a) sau . Dacă limita există, dar este infinită, atunci spunem că funcția f nu este derivabilă în punctul a, dar f are derivată (infinită) în punctul a. Dacă limita nu există, atunci f nu este derivabilă și nu are derivată.

Observații:

Formula pentru derivata funcție f în punctul a (dacă există) este: .

Dacă notăm x-a=h, atunci .

Definiția 2.3.2. Funcția se numește derivabilă dacă ea este derivabilă în fiecare din punctele domeniului său de definiție.

Definiția 2.3.3. Fie funcția , și B este mulțimea formată din toate punctele în care f este derivabilă. Funcția care asociază fiecărui punct x din B numărul f ‘(x) se numește derivata funcției f și se noteză f’’, .

Teorema 2.3.1. O funcție , unde I este un interval nedegenerat, este derivabilă în punctul a, dacă există un număr și o funcție , astfel încât , având următoare formulă de reprezentare:

În fapt,

Demonstrație:

Presupunem mai întâi că funcția f este derivabilă în punctul a. Reprezentarea din enunț are evident loc pentru și

în plus,

Pentru implicația inversă, observăm că reprezentarea din enunț conduce la faptul că:

Deoarece membrul drept are limita λ pentru , rezultă că f este derivabilă în punctul a și

Observație: Oricărei funcții derivabile în punctul a i se asociază, prin teorema 2.3.1., o aplicație liniară , numită diferențiala funcției f în punctul a. Teorema 2.3.1. se poate rescrie sub forma

Să notăm că partea liniară din această reprezentare este tocmai ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul a. (Ecuația tangentei la graficul funcție f în punctul a este : y-f(a)=f ‘(a)˖(x-a), dacă f ‘(a) este finită, și este x=a, dacă f ‘(a) este infinită.)

Operațiile cu funcții derivabile sunt astfel sintetizate:

.

Corolar 2.3.1. Orice funcție derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.

Demonstrație.

Fie funcția și , un punct în care funcția f este derivabilă. Pentru a demonstra că funcția f este continuă în punctul a este suficient să arătăm că

În acest sens avem succesiv:

Rezultă că , ceea ce justifică faptul că funcția f este continuă în punctul a.

Definiția 2.3.4. Fie funcția și , un punct de acumulare pentru

. Spunem că funcția f are derivată la stânga în punctul a, dacă există, (finită sau infinită ) și aceasta se notează Dacă această limită este finită, se spune că f este derivabilă la stânga în punctul a.

Definiția 2.3.5. Fie funcția și , un punct de acumulare pentru

. Spunem că funcția f are derivată la dreapta în punctul a, dacă există, (finită sau infinită) și aceasta se notează Dacă această limită este finită, se spune că f este derivabilă la dreapta în punctul a.

Observație: Despre se spune că sunt derivatele laterale ale funcției f în punctul a.

Propoziția 2.3.1. Funcția f este derivabilă (are derivată ) într-un punct a interior domeniului de definiție dacă și numai dacă este derivabilă (are derivată ) la stânga și la dreapta în a și

Derivatele laterale conduc la tangentele laterale, și la noțiunile de punct unghiular și de punct de întoarcere.

Definiția 2.3.6. Un punct se numește punct unghiular dacă ambele derivate laterale există, sunt diferite, și cel puțin una este finită.

Fig. 75: punct unghiular, Fig. 76: punct unghiular,

sunt finite și diferite finită

Definiția 2.3.7. Un punct se numește punct de întoarcere dacă una din derivatele laterale este -∞, iar cealaltă este +∞.

Fig 77: punct de întoarcere, Fig. 78:punct de întoarcere,

Teorema 2.3.2. Fie I și J două intervale, și o funcție continuă și bijectivă. Dacă funcția f este derivabilă în punctul și , atunci funcția inversă este derivabilă în punctul și

Demonstrație:

Bijectivitatea funcției f asigură existența funcției inverse f-1. Vom determina limita raportului

Fie . Deoarece , rezultă că și

Din propoziția 2.2.5. , f-1 este continuă în punctul y0=f(x0).

Rezultă că

Se deduce că, pentru , , adică .

Trecând la limită după în relația (1), se obține :

În concluzie, funcția f-1 este derivabilă în punctul y0=f(x0) și

Derivatele funcțiilor elementare

c’=0 (derivata funcției constante este 0 );

Definiția 2.3.8. Fie I un interval și o funcție derivabilă pe I. Spunem că f este de două ori derivabilă în punctul , dacă funcția este derivabilă în a. Derivata lui în a se numește derivata de ordinul al doilea a lui f în a și se notează , sau .

Deci

Dacă este derivabilă în orice punct din I, se spune că funcția f este de două ori derivabilă pe I și se notează .

Definiția 2.3.9. Spunem că funcția este de n ori ( derivabilă în punctul , dacă funcția f este de n -1 ori derivabilă pe I și derivata de ordinul n-1, notată

f(n-1), este derivabilă în a.

Notăm , derivata de ordinul n a funcției f în punctul a.

Dacă f(n-1) este derivabilă pe I, se spune că f este de n ori derivabilă pe I și se notează.

Dacă pentru orice funcția f este de n ori derivabilă într-un punct (pe o mulțime), se spune că f este indefinit derivabilă în acel punct ( pe acea mulțime).

Definiția 2.3.10. Fie . Un punct se numește punct de minim local, dacă , astfel încăt . Valoarea se numește minim local.

Definiția 2.3.11. Fie . Un punct se numește punct de maxim local, dacă , astfel încăt . Valoarea se numește maxim local.

Definiția 2.3.12. Fie . Un punct se numește punct de minim global (sau absolut) al lui f dacă .

Definiția 2.3.13. Fie . Un punct se numește punct de maxim global (sau absolut) al lui f dacă .

Obdervație: Punctele de minim sau maxim se mai numesc puncte de extrem, iar minimul sau maximul se mai numesc extreme sau valori optime. Când este cazul se mai adaugă atributul “local” sau “global”.

Teoremă 2.3.3. Fie un punct interior al mulțimii A în care funcția este continuă. Dacă există o vecinătate V a lui astfel încât f este descrescătoare (crescătoare) la stânga lui și crescătoare (descrescătoare) la dreapta lui , atunci este punct de minim (maxim) local al lui f.

Demonstrație:

Fie intervalul cu proprietatea că este descrescătoare șieste crescătoare. Ținând seama și de continuitatea lui f în punctual , rezultă

punct de minim local .

Fie intervalul cu proprietatea că este crescătoare șieste descrescătoare. Ținând seama și de continuitatea lui f în punctual , rezultă punct de maxim local .

Observații :

1. Punctul este punct de minim pentru f dacă și numai dacă el este un punct de maxim pentru –f.

2. Extremele globale sunt și locale, reciproca nefiind adevărată.

Definiția 2.3.14. Fie . Un punct se numește punct de minim local strict dacă, astfel încăt . Valoarea se numește minim local strict. Un punct se numește punct de maxim local strict dacă , astfel încăt . Valoarea se numește maxim local strict. Dacă , atunci atributul “local” poate fi înlocuit cu “global”.

Fie

Definiția 2.3.15. Punctul se nume¸ste punct de extrem local sau relativ al func¸tiei f dac˘a exist˘a o vecin˘atate V a lui , astfel încât diferen¸ta să păstreze semn constant pentru orice .

Dac˘a: , , este punct de maxim local,

, , este punct de minim local.

Dacă diferen¸ta păstrează semn constant pentru orice , atunci se nume¸ste punct de extrem global sau absolut.

Observație : Orice punct de extrem absolut este punct de extrem relativ. Reciproca nu este adev˘arată.

Teorema 2.3.4. Fie un punct interior al mulțimii A în care f este continuă.

Dacă există o vecinătate V a lui astfel incât derivata f’ să aibă semnul –(+) la stânga lui și semnul +(-) la dreapta lui , atunci este un punct de minim(maxim) local al funcției f.

Dacă f’ are același semn într-o vecinătate a lui , atunci f nu are extrem in.

Demonstrație:

1) Fie astfel încât funcțiași Rezultă f este descrescătoare la stânga lui și crescătoare la dreapta lui este o valoare minimă alui f este punct de minim local al lui f.

2) Dacă f’ are același semn într-o vecinătate a lui f este descrescătoare sau crescătoare pe această vecinătate a lui punctul nu poate fi punct de extrem local.

Definiția 2.3.16. Fie , definit˘a pe intervalul I ⸦ ℝ ¸ un punct x0 din I se nume¸ste punct sta¸tionar sau punct critic al func¸tiei f dacă f este derivabilă în x0 și

Teorema 2.3.5. ( Teorema lui Fermat) Fie , definită pe intervalul

I ⸦ ℝ ¸si un punct de extrem local interior lui I . Dacă f este derivabilă în x0 , atunci

Demonstrație:

Fie punct de minim local al lui f , astfel încăt . Cum f este derivabilă in există și este finită .

Luând , găsim , iar pentru avem

.

Analog, fie punct de maxim local al lui f , astfel încăt . Cum f este derivabilă in există și este finită .

Luând ,găsim , iar pentru avem

.

Observații :

1. Teorema lui Fermat este o condi¸tie necesar˘a de extrem, dar nu suficientă.

Exemplu. Funcția . Avem și , dar 0 nu este punct de extrem al acestei funcții.

2. Dacă punctul de extreme nu se află în interiorul intervalului I , ci la o extremitate a sa , este posibil ca funcția să aibă derivată în , dar derivata sa să nu se anuleze în acest punct.

Exemplu. Funcția are un minim în punctul 0 și un maxim în punctul 1, dar derivata sa să nu se anuleze în acest punct (

3. Funcția f poate avea un extrem într-un punct fără a avea derivată în acest punct.

Exemplu. Funcția are un minim în punctul 0, dar nu are derivată în acest punct.

4. În teorema lui Fermat, condiția ca domeniul de definiție al funcției să fie interval nu este esențială. Funcția poate fi definită pe o reuniune de intervale disjuncte.

5. Teorema lui Fermat afirm˘a c˘a punctele de extrem ale unei func¸tii derivabile se găsesc printre punctele sta¸tionare ale lui f.

Geometric, teorema lui Fermat arată că dacă graficul funcției f admite tangentă intr-un punct de extrem local (interior), atunci tangenta în acest punct la grafic este paralelă cu axa Ox.

Fig. 79

Analitic, punctele de extrem local din se află în mod necesar printre rădăcinile ecuației , , adică sunt puncte critice.

Teorema 2.3.6. ( Teorema lui Rolle) Fie . Dacă:

f este continuă pe [a,b],

f este derivabilă pe (a,b),

f(a)=f(b),

atunci există un punct astfel încât

Demonstrație :

Caz 1. Funcția f este constantă pe intervalul închis . În acest caz  f’(x)=0, oricare ar fi

x  , deci orice punct din (a,b)  răspunde concluziei teoremei.

Caz 2. Funcția  f nu este constantă.

Din f continuă pe [a, b] f este mărginită și își atinge marginile . Fie și . Există două puncte și , astfel încât să avem

În plus, deoarece f nu este constantă, avem

și sunt puncte de extrem ale funcției f, pe intervalul [a, b].

Dacă este punct interior al intervalului [a, b], adică a< <b atunci, conform teoremei lui Fermat, avem și luând c=teorema este demonstrată.

Dacă =a sau =b, atunci , deci este interior intervalului [a,b]. Conform teoremei lui Fermat, avem , luând c= , teorema este demonstrată.

Consecința 1. Între două rădăcini ale unei funcții derivabile pe un interval se află cel puțin o rădăcină a derivatei.

Demonstrație:

Fie o funcție derivabilă pe un inteval I și două rădăcini ale lui f .

Aplicând teorema lui Rolle funcției f pe intervalul [a,b] există cel puțin un punct , astfel încât are cel puțin un zerou în intervalul

Consecința2. Între două rădăcini consecutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcției.

Demonstrație:

Fie două rădăcini consecutive ale lui f’ și între nu mai există nici o rădăcină a lui f’.

Presupunem prin absurd, că funcția f ar avea două rădăcini diferite a și b, între și :

.

În baza consecinței 1., ar rezulta că între rădăcinile a și b ale lui f s-ar afla cel puțin o rădăcină c a lui f’

,

contradicție cu și , rădăcini consecutive ale lui f’.

Observații :

1. Interpretarea geometrică a teoremei lui Rolle.

Teorema lui Rolle admite următoarea interpretare geometrică: Dacă dreapta determinată de punctele este paralelă cu axa Ox, atunci există cel puțin un punct între a și b în care tangenta la graficul lui f este paralelă cu axa Ox.

y

f(a)=f(b)

O a c b x

Fig. 80

2. Teorema lui Rolle este o teoremă de existență.

3. Toate cele trei cerințe din teorema lui Rolle sunt esențiale pentru ca teorema să fie adevărată. Dacă una din cele trei ipoteze nu se verifică, atunci concluzia teoremei nu mai are loc. Vom ilustra prin exemplele de mai jos acest lucru.

Exemple:

Fie funcția  definită prin

Aceasta funcție verifică cerințele 2) și 3) din teoremă, dar nu verifică 1), adică  nu este continuă la dreapta în x=0 . Deci  nu este continuă pe [0,1]. Atunci derivata funcției estepe (0,1) și nu se anulează pe acest interval.

Funcția , f este continuă , f(-1)=f(1)=1, f derivabilă pe .

Derivata nu se anulează în niciun punct : .

3. Funcția este continuă pe [0,1], derivabilă pe [0,1], f’(x)=1, dar nu ia valori egale la capete. Derivata nu se anulează în niciun punct.

Definiția 2.3.15. O funcție se numește funcție Rolle dacă este continuă pe intervalul compact și este derivabilă pe intervalul deschis .

Teorema 2.3.7. ( Teorema lui Lagrange sau Teorema creșterilor finite)

Fie . Dacă:

f este continuă pe [a,b],

f este derivabilă pe (a,b),

atunci există un punct , astfel încât

Demonstrație:

Considerăm funcția auxiliară , unde k este o constantă reală pe care o determinăm , astfel încât F(a) = F(b).

.

Pentru funcția verifică condițiile teoremei lui Rolle , astfel încât .

Dar .

Observații:

Interpretarea geometrică a Teoremei lui Lagrange .

Fie f o funcție Rolle pe un interval compact , atunci există cel puțin un punct , astfel încât tangenta la graficul funcției f în este paralelă cu coarda determinată de punctele și .

Fig. 81

2. Se poate aplica teorema lui Lagrange restricției funcției f la orice subinterval

[a, x] [a, b], unde a < x ≤ b. În acest caz, care depinde de x , astfel încât . Dacă , atunci .

3. Dacă în formula creșterilor finite notăm , obținem și . În acest caz concluzia teoremei lui Lagrange se mai scrie: , cu .

Consecința 1. Dacă f are derivata nulă pe un interval I, atunci funcția f este constantă pe acest interval.

Demonstrație :

Alegem un punct . Aplicând teorema creșterilor finite, deducem că pentru (cuprins între x și a), astfel încât

.

Dar , de unde f constantă.

Observație: Dacă f are derivata nulă pe o mulțime care nu este interval, ci, de exemplu, o reuniune de interval disjuncte , nu rezultă că f este constantă pe această mulțime.

Exemplu. Funcția , nu este constantă pe R* , dar are derivata nulă pe R*.

Consecința 2. Dacă f și g sunt două funcții derivabile pe un interval I, și dacă derivatele lor sunt egale pe intervalul I, atunci diferența lor este constantă pe acest interval.

Demonstrație :

Notăm h=f’-g’ .

Observație: Dacă f și g au derivate egale pe o mulțime care nu este interval, ci, de exemplu, o reuniune de interval disjuncte , nu rezultă că diferența lor este constantă pe această mulțime.

Exemplu. Fie funcțiile .

Avem , dar funcția f-g nu este constantă pe D.

Consecința 3. Fie f o funcție definită pe o vecinătate V a punctului , derivabilă pe și continuă în . Dacă există limita , atunci există și . Dacă este finită, atunci f este derivabilă în .

Demonstrație:

Din teorema lui Lagrange aplicată funcției f pe un interval , astfel încât .

Prin urmare: ( deoarece , dacă ).

Din teorema lui Lagrange aplicată funcției f pe un interval , astfel încât .

Prin urmare: ( deoarece , dacă ).

Din și f are derivată în și .

Dacă în plus este finit f este derivabilă în .

Teorema 2.3.8 ( Teorema lui Cauchy) Fie f, g două funcții Rolle pe intervalul compact , astfel încât , atunci există un punct , astfel încât .

Demonstrație:

Din condiția , deducem că , deoarece , dacă presupunem prin absurd că , aplicând teorema lui Rolle funcției g , astfel încât ,ceea ce este o contradicție cu ipoteza.

Considerăm funcția auxiliară și determinăm constanta k astfel ca F(a) = F(b).

Din F(a) = F(b) .

Pentru funcția F satisface condițiile teoremei lui Rolle , astfel încât . Dar , astfel încât

, astfel încât .

Teorema 2.3.9. (Teorema lui Darboux). Dacă f’ este derivata unei funcții derivabile f pe un interval I, atunci derivata f’ are proprietatea lui Darboux pe acest interval .

Demonstrație :

Fie două puncte din I pentru care . Pentru a face o alegere, să presupunem că . Fie , astfel încât . Demonstrăm că astfel încât și . Pentru demonstrație, considerăm funcția ajutătoare h, definită pe I astfel:

.

Funcția h este derivabilă pe I și .

Cum h continuă (fiind derivabilă) pe compactul h mărginită și își atinge marginile pe acest interval.

Din inegalitățile , deducem și , de unde rezultă .

Deoarece , există o vecinătate V a lui a , astfel încăt să avem

.

În particular, dacă .

Aceasta inseamnă că funcția h își atinge marginea inferioară pe [a.b] intr-un punct diferit de a.

Deoarece , există o vecinătate W a lui b , astfel încăt să avem

.

În particular, dacă .

Aceasta inseamnă că funcția h își atinge marginea inferioară pe [a.b] într-un punct diferit de b.

Rezultă că funcția h își atinge marginea inferioară într-un punct c din interiorul intervalului [a,b].

Cum c este punct de minim (absolut) și h este derivabilă în c, aplicând teorema lui Fermat , rezultă că .Cum .

Luând , teorema este demonstrată .

Consecința 1. Dacă o derivată f’ , definită pe un interval I , are într-un punct o valoare < 0 , și într-un punct o valoare > 0, ea se anulează cel puțin într-un punct cuprins între a și b.

Consecința 2. Dacă o derivată f’ , definită pe un interval I , nu se anulează în niciun punct cuprins din I, atunci ea păstrează același semn pe tot intervalul I .

Consecința 3. O derivată f’ nu are niciun punct de discontinuitate de prima speță .

CAPITOLUL 3. Reprezentarea grafică a funcțiilor

3.1. Rolul derivatei întâi în studiul funcțiilor

Teorema 3.1.1. Fie o funcție derivabilă pe intervalul I.

Dacă f este strict crescătoare pe I.

Dacă f este strict descrescătoare pe I.

Demonstrație :

Fie două puncte din I. Aplicând teorema lui Lagrange pe , se deduce că există un punct , astfel încât să avem: .

Dacă f’ este strict pozitivă pe I, avem sau , adică f este strict crescătoare pe I.

Dacă f’ este strict negativă pe I, avem sau , adică f este strict descrescătoare pe I.

Observații:

1. Dacăf este crescătoare pe I, iar, dacă f este descrescătoare pe I.

2. Dacă derivata f’ nu se anulează pe I, atunci f este strict monotonă pe I.

Demonstrație :

Fie două puncte din I (putem presupune că ). Aplicând teorema lui Lagrange pe se deduce că există un punct , astfel încât să avem

.

Din și f este injectivă pe I , și, cum f este continuă pe I, f este strict monotonă pe I.

Teorema 3.1.2. Fie o funcție derivabilă pe intervalul I.

Dacă f este crescătoare pe I, atunci

Dacă f este descrescătoare pe I , atunci

Demonstrație:

Presupunem că f este crescătoare pe I. Atunci pentru oricare x și x0 din I, , avem Rezultă că , deci

Observație: Dacă f este strict crescătoare pe intervalul I, nu rezultă în mod necesar că

Exemplu: Funcția este strict crescătoare pe , dar se anulează în x=0.

Pentru stabilirea intervalelor de monotonie se procedează astfel:

Se stabilesc punctele în care funcția nu este derivabilă și se calculează derivata;

Se determină punctele în care se anulează derivata (punctele critice );

Se determină semnul derivatei pe intervalele pe care nu se anulează;

Rezultatele precedente se așează într-un tablou, în care pe prima linie se precizează domeniul de definiție, punctele în care derivata se anulează și punctele în care funcția nu este derivabilă. A doua linie conține precizarea semnului derivatei, iar prezența unei bare verticale indică faptul că în acel punct funcția nu este derivabilă. În ultima linie se pun valorile (limitele) funcției în punctele remarcabile din prima linie. Săgeata în sus (în jos) indică faptul că funcția este crescătoare ( descrescătoare). O bară verticală sau o zonă hașurată indică faptul că în acel punct (în acea zonă ) funcția nu este definită.

Folosind semnul derivatei întâi putem determina punctele de extrem ale funcțiilor.

Propoziția 3.1.1. Fie funcția , x0 punct de continuitate din interiorul lui D și derivata funcției f.

Dacă pe o vecinătate a punctului x0, în stânga lui x0 derivata f’’ este negativă, iar în dreapta lui x0 derivata f’’ este pozitivă, punctul x0 este punct de minim al funcției f.

Dacă pe o vecinătate a punctului x0, în stânga lui x0 derivata f’’ este pozitivă, iar în dreapta lui x0 derivata f’’ este negativă, punctul x0 este punct de maxim al funcției f.

Propoziția 3.1.2. Fie funcția , x0 un punct de continuitate al funcției f din interiorul lui D, x0 este extremitatea stângă a unui interval I ⸦ D pe care f ’ nu se anulează și x0 nu e extremitatea dreaptă a niciunui interval inclus în D.

Dacă f’’>0 pe I, atunci x0 este punct de minim.

Dacă f’’<0 pe I, atunci x0 este punct de maxim.

Propoziția 3.1.3. Fie funcția , x0 un punct de continuitate al funcției f din interiorul lui D, x0 este extremitatea dreaptă a unui interval I ⸦ D pe care f ’ nu se anulează și x0 nu e extremitatea stângă a niciunui interval inclus în D.

Dacă f’’>0 pe I, atunci x0 este punct de maxim.

Dacă f’’<0 pe I, atunci x0 este punct de minim.

3.2. Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor

Teorema 3.2.1. Dacă f este o functie convexă pe I și c este un număr real, atunci este un interval (mulțimea vidă și mulțimea cu un singur element sunt privite ca intervale particulare).

Demonstrație:

Fie care satisfac ,și , . Deoarece f este convexă, găsim Astfel orice punct x dintre a și b satisface f când a și b satisfac această inegalitate.

Teorema 3.2.2. Orice funcție convexă (I interval) este continuă în orice punct interior lui I.

Demonstrație:

Fie din interiorul lui I . Alegem c astfel încât mulțimea să conțină intervalul.

Fie și

.

Avem

.

Acestea implică

.

Observație: Dacă nu este interior lui I, concluzia teoremei poate să nu fie adevărată.

Exemplu:

Funcția

.

f este convexă, dar f nu este continuă în 0 și 1.

Teorema 3.2.3. (Criteriu de convexitate). Fie I un interval deschis și o funcție de două ori derivabilă pe I. Funcția este convexă pe I dacă și numai dacă

.

Cu alte cuvinte , f este convexă dacă și numai dacă dreapta tangentă la graficul funcției f se află sub grafic.

Demonstrație:

“”

Din

.

Trecând la limită, găsim

“”

Presupunem că . (1)

Schimbând pe a cu b ,deducem

. (2)

Fie . Înlocuind în (1) pe a cu c și înmulțind cu t, iar în (2 ) pe b cu c și

înmulțind cu 1- t,

Teorema 3.2.4. (Criteriu de concavitate). Fie I un interval deschis și o funcție de două ori derivabilă pe I. Funcția este concavă pe I dacă și numai dacă

.

Cu alte cuvinte , f este concavă dacă și numai dacă dreapta tangentă la graficul funcției f se află deasupra graficului.

Demonstrație: Se înlocuiește în teorema anterioară f cu –f.

Teorema 3.2.5. (Criteriu de convexitate). Fie I un interval și o funcție derivabilă de două ori pe I. Funcția este convexă pe I dacă și numai dacă

Demonstrație:

“”

Presupunem că f este convexă , adică f(a) +(b-a)f’(a)f(b),Conform teoremei lui Lagrange ,astfel încât f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) f’(a)f’(c) , deci f’este crescătoare

“”

Reciproc, să presupunem f”(x) ,.

Considerăm funcția

Din teorema lui Lagrange

adică g este descrescătoare la dreapta lui a și adică g este crescătoare la stânga lui a . În plus g(a)=0, rezultă .

Observație: Dacă f”(x) ,, atunci f este strict convexă. Reciproca nu este adevărată.

Teorema 3.2.6. (Criteriu de concavitate). Fie I un interval și o funcție derivabilă de două ori pe I. Funcția este concavă pe I dacă și numai dacă

Demonstrație: Se înlocuiește în teorema anterioară f cu -f.

Teorema 3.2.7. Dacă funcția este convexă, atunci orice punct de minim local este și punct de minim global pe intervalul I pentru funcția f.

Demonstrație:

Fie un punct de minim local pentru funcția convexă f. Deci există , astfel încât pentru orice să avem . Presupunem prin absurd că există astfel încât . Notăm . Se observă că .

Pentru , avem .

Din convexitatea funcției f rezultă că

, adică

, ceea ce este absurd. Deci este punct de minim global pentru f.

Teorema 3.2.8. Dacă o funcție convexă are un punct de maxim global în interiorul lui I, atunci f este o constantă.

Demonstrație:

Fie b din interiorul lui I. Dacă b este un punct de maxim global, .

Fie y astfel încât .

Avem

Dacă , ceea ce este absurd, rămâne că f(y)=b,

Observație: Dacă funcția convexă nu este o constantă, punctele de maxim global sunt eventual extremitățile lui I. Evident într-un astfel de punct derivata întâi a lui f nu se anulează.

Definiție 3.2.1. Fie o funcție și x0 un punct interior intervalului I. Spunem că x0 este punct de inflexiune pentru funcția f , dacă f este continuă în punctul x0 , are derivată în punctul x0 (finită sau infinită) , iar imaginea geometrică a graficului funcției este convexă (concavă) de o parte a lui x0 , și concavă (convexă) de cealaltă parte a lui x0.

Se spune că (x0,f(x0)) este un punct de inflexiune pentru graficului funcției f.

Propoziția 3.2.1. Fie funcția și x0 un punct interior intervalului I , astfel încât:

f este de două ori derivabilă într-o vecinătate V a lui x0;

există punctele , astfel încât ;

;

și

sau invers și .

Atunci x0 este punct de inflexiune al funcției f.

3.3. Asimptote la graficul unei funcții

Definiția 3.3.1. Fie o funcție pentru care +∞, respextiv -∞ sunt puncte de acumulare ale mulțimii I.

Dreapta y=a se numește asimptotă orizontală spre +∞ a funcției, dacă

Dreapta y=a se numește asimptotă orizontală spre -∞ a funcției f , dacă

Observație: Problema asimptotelor orizontale pentru o funcție se pune numai la -∞ și la +∞ și numai dacă +∞ și -∞ sunt puncte de acumulare ale mulțimii I.

Definiția 3.3.2. Fie o funcție pentru care +∞, respectiv -∞ sunt puncte de acumulare ale mulțimii I.

Se spune că graficul funcției f admite asimptotă oblică spre +∞, dacă există , astfel încât Dreapta de ecuație y=mx+n se numește asimptotă oblică spre +∞ la graficul funcției f.

Se spune că graficul funcției f admite asimptotă oblică spre -∞, dacă există , astfel încât Dreapta de ecuație y=mx+n se numește asimptotă oblică spre -∞ la graficul funcției f.

Teorema 3.3.1. Fie o funcție pentru care +∞, respectiv -∞ sunt puncte de acumulare ale mulțimii I. Graficul funcției f admite asimptotă oblică spre +∞ (-∞) dacă și numai dacă există , astfel încât și .

Dreapta de ecuație y=mx+n este atunci asimptotă oblică la graficul funcției f .

Demonstrație:

Să presupunem că există ,astfel încât dreapta y=mx+n este asimptotă oblică spre +∞, deci

Avem , de unde se obține

Din egalitatea rezultă că ,

deci .

Reciproc, dacă și atunci , deci y=mx+n este asimptotă oblică spre +∞.

Analog se demonstrează și atunci când .

Observație: O funcție nu poate avea simultan asimptotă orizontală și asimptotă oblică spre +∞, respectiv -∞.

Definiția 3.3.2. Fie o funcție și un punct de acumulare finit pentru mulțimea I.

Dreapta x=x0 este asimptotă verticală la stânga la graficul funcției f dacă .

Dreapta x=x0 este asimptotă verticală la dreapta la graficul funcției f dacă .

Dacă ambele limite laterale ale funcției f în x0 sunt infinite, dreapta x=x0 se numește asimptotă verticală bilaterală.

3.4. Etapele reprezentării geometrice a graficului unei funcții

Pentru reprezentarea geometrică a graficului funcțiilor elementare s-a folosit metoda coordonatelor (prin puncte) și unele proprietăți specifice ale acestor funcții. În cazul funcțiilor compuse este necesar un studiu mai profund în vederea reprezentării grafice a acestora. De aceea se parcurg următoarele etape :

Domeniul de definiție al funcției

Domeniul de definiție trebuie determinat ca fiind mulțimea de puncte pentru care au sens toate operațiile din prezentarea funcției. Această mulțime reprezintă domeniul maxim de definiție.

Dacă funcția este periodică, atunci este suficient să fie studiată pe un interval de lungime egală cu perioada principală (dacă aceasta există).

Dacă funcția este pară sau impară, atunci este suficient studiul pe partea pozitivă a domeniului de definiție. Pentru funcțiile pare , graficul admite axă de simetrie axa oy, iar pentru funcțiile impare , graficul admite originea O centru de simetrie.

Intersecția graficului cu axele de coordonate

Punctele de intersecție cu axa ox sunt punctele de coordonate (a,0), unde a este un punct din domeniu de definiție, soluție a ecuației f(x)=0.

Dacă 0 se află în domeniul de definiție al funcției, atunci punctul de intersecție cu axa oy are coordonatele (0,f(0)).

Asimptotele graficului funcției

Asimptotele verticale vor apărea în punctele de acumulare ale domeniului de definiție și în care cel puțin o limită laterală este infinită.

Atunci când este cazul, se studiază existența limitelor funcției la +∞ și -∞. Se stabilesc cu această ocazie eventualele asimptote orizontale la grafic. Atunci când nu s-a găsit asimptotă orizontală , se studiază existența asimptotei oblice.

Studiul funcției folosind prima derivată

Se stabilește dacă, pe anumite intervale, continuitatea funcției rezultă din operațiile cu funcții elementare continue. În punctele de acumulare ale domeniului de definiție (aparținând domeniului) și în care nu se poate proba continuitatea cu argumentarea precedentă, se procedează la studierea limitei, a limitelor laterale și se trag concluziile ce se impun privind continuitatea funcției. Se studiază existența limitei ( a limitelor ) laterale în punctele de acumulare ale domeniului de definiție și care nu aparțin domeniului.

Se determină domeniul de derivabilitate al funcției. Se pun în evidență punctele în care funcția nu este derivabilă și dacă aceste puncte sunt puncte unghiulare sau de întoarcere. Se calculează derivata, se află rădăcinile derivatei și se determină semnul acesteia. Se stabilesc intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției.

Studiul funcției folosind a doua derivată

Se calculează derivata a doua, rădăcinile și domeniului de existență al acesteia. Se stabilesc intervalele de convexitate și de concavitate și punctele de inflexiune.

Tabelul de variație al funcției

Rezultatele obținute în etapele anterioare sunt sistematizate într-un tabel numit tabelul de variație al funcției. Pe prima linie se trece domeniul de definiție ( sau de studiu ) și valorile remarcabile ale lui x (zerourile funcție, derivatei întâi și derivatei a doua etc. )

Pe a doua linie se trece semnul derivatei întâi , iar pe a treia linie semnul derivatei a doua. Pe linia a patra se trec limitele funcției la capetele domeniului de definiție ( de studiu ), monotonia funcției, convexitatea și concavitatea, valorile funcției în punctele remarcabile ale domeniului etc. În punctele corespunzătoare asimptotelor verticale, se traversează o linie verticală, iar lângă ea, pe linia corespunzătoare funcției, se trec limitele laterale. Punctele de nederivabilitate se marchează , de asemenea, cu o bară verticală pe linia corespunzătoare derivatei, cu precizarea derivatei laterale. Se procedează la o anumită marcare, spre exemplu prin hașurare, a intervalelor în care funcția nu este definită.

Trasarea graficului funcției

Pe sistemul ortogonal de axe de coordonate xoy se reprezintă asimptotele funcției, punctele de intersecție ale graficului cu axele, punctele de extrem, punctele unghiulare, de întoarcere sau de inflexiune. Punctele remarcabile ale graficului funcției se unesc cu o linie curbă, respectând toate rezultatele sintetizate în tabelul de variație.

Exemple: Să se reprezinte grafic următoarele funcții, pe domeniul maxim de definiție.

1.

1. Domeniul de definiție:

Cum,

avem

Așadar, , rezultă că .

2. Intersecția graficului cu axele de coordonate:

rezultă că 0=1 , deci ecuația nu are soluție;

Cum , deci .

3. Asimptotele graficului funcției:

, rezultă că y=0 este asimptotă orizontală la +∞

, deci funcția nu are asimptotă orizontală la -∞.

Fie y=mx+n,

Deci y=-2x este asimptotă oblică la -∞.

Cum

rezultă că funcția nu are asimptote verticale.

4.Studiul funcției folosind prima derivată:

Cum , rezultă că funcția este continuă în punctul x= -1;

cum , rezultă că funcția este continuă în punctul x=1.

Funcția f este continuă pe întrucât în restul domeniului de definiție este continuă, ea fiind reprezentată prin operații cu funcții elementare.

Cum ,

, rezultă că f nu este derivabilă în x=-1.

Cum ,

, rezultă că f nu este derivabilă în x=1.

Așadar, , iar -1 și 1 sunt puncte de întoarcere.

sau

este punct de extrem (punct de maxim local)

5. Studiul funcției folosind a doua derivată:

.

6. Tabelul de variație :

7. Trasarea graficului funcției:

2.

1. Domeniul de definiție:

Cum ,

avem

.

Așadar, , rezultă că .

Funcția nu este impară, pară sau periodică.

2. Intersecția graficului cu axele de coordonate:

.

Deci,

3. Asimptotele graficului funcției:

Deci, y=0 este asimptotă orizontală la -∞ și +∞.

Deci, funcția nu are asimptote verticale.

4.Studiul funcției folosind prima derivată:

, rezultă că funcția este continuă în punctul x=1, și cum f este continuă pe restul domeniului de definiție , ea fiind reprezentată prin operații cu funcții elementare, obținem că f continuă pe .

f are derivată la stânga în punctul x=1;

f are derivată la dreapta în punctul x=1;

x=1 este punct unghiular;

f nu este derivabilă în x=1, e derivabilă pe , deci, .

sau

;

5. Studiul funcției folosind a doua derivată:

6. Tabelul de variație :

este punct de inflexiune;

Punctul este punct de minim local.

Punctul D(1,2) este punct unghiular.

Trasarea graficului funcției:

3.

1. Domeniul de definiție:

;

Cum f este funcție pară, deci oy este axă de simetrie a graficului funcției și putem studia graficul doar pe (0,+∞).

2. Intersecția graficului cu axele de coordonate:

,

Din simetria față de oy , avem x= -1, deci

.

3. Asimptotele graficului funcției:

y=1 asimptotă orizontală la +∞ și -∞.

x=0 nu este asimptotă verticală.

Așadar, și sunt asimptote verticale la stânga și la dreapta.

4.Studiul funcției folosind prima derivată:

Funcția este continuă pe , ea fiind reprezentată prin operații cu funcții elementare.

Așadar,

5. Studiul funcției folosind a doua derivată:

, iar prin simetrie , rezultă că este soluție a ecuației .

Funcția f nu este de două ori derivabilă în .

6. Tabelul de variație :

și sunt puncte de inflexiune pentru graficul funcției.

7. Trasarea graficului funcției: