Capacitatea Aeroportuara. Optimizarea Capacitatii Aeroportuare

Introducere

Un țel major al managementului de trafic aerian este acela de a controla strategic fluxul de trafic aerian așa încât cererea la un aeroport atinge dar nu depășește capacitatea operațională .

Această lucrare își propune să ia în considerare (doar) aspectele majore ale capacității operaționale a unui aeroport, aspecte relevante pentru managementul strategic al traficului aerian . De asemenea este discutată o reprezentare a capacității aeroportuare care reflectă corect limitele operaționale ale unui aeroport .

Este prezentată o metodă de estimare practică a capacitații aeroportuare în diferite condiții operaționale .

Este propusă o tehnică pentru optimizarea capacității aeroportuare disponibile așa încât aceasta să satisfacă cel mai bine cererea de trafic estimată .

Optimizarea este atinsă considerând operațiunile de sosire si de plecare ca pe niște procese interdependente si prin alocarea strategică a capacității aeroportuare intre sosiri și plecări .

Se prezintă următorul model matematic , precum și exemplele numerice ilustrând beneficiile utilizării acestuia în rezolvarea problemelor de congestie aeriană .

Capitolul 1

Prezentarea generală a problemei

Capacitățile restrânse ale Sistemului Național de Spațiu Aerian din Statele Unite ale Americii (NAS) și sporirea cantitații de trafic aerian măresc potențialul de congestionare atât în aer cât si la sol , lucru care poate în schimb să mărească substanțial intârzierile .

Problemele apar ori de câte ori cererea depășește capacitatea disponibilă la un anumit element din NAS .

În aceste situații rolul managementului de trafic aerian devine foarte important .

Cea mai importantă si mai restrictivă componentă a sistemului de trafic NAS este aeroportul .

Administrația Federală a Aviației din Statele Unite ale Americii (FAA) a identificat câteva aeroporturi majore ca aeroporturi de „ ritm ” – ( pacing airports ) numite așa deoarece traficul din aceste aeroporturi reglează (dă „ ritmul ”) fluxul de trafic prin NAS luat ca un întreg .

Un aeroport de „ ritm “ este identificat după două caracteristici :

are un volum mare de trafic

volumul de trafic depășește frecvent capacitatea operațională a aeroportului .

Ramura managementului traficului aerian a FAA urmărește atent traficul la aeroporturile de ritm și implementează programe strategice pentru a manageria situațiile unde cererea depășește semnificativ capacitatea .

Un program strategic este de obicei un “ program de întârziere la sol “ , unde “ timpi specificați de plecare “ – Controlled Departure Time (CDT) sunt desemnați zborurilor ce urmează să plece în următoarele două până la patru ore .

CDT – urile sunt calculate pentru a atinge o rată acceptabilă prescrisă a sosirilor , rată care reflectă capacitatea la un aeroport supraaglomerat .

Acuratețea și încrederea în prezicerea capacității și cererii unui aeroport este crucială pentru eficacitatea programelor de management strategic al traficului .

Sunt metode deja existente și instrumente pentru prezicerea cererii de trafic aerian . Cu toate acestea , problema prezicerii capacitații aeroportuare este mai puțin bine rezolvată .

Determinarea capacității unui aeroport este complexă .

Capacitatea aeroportuară depinde de mulți factori , precum condițiile meteorologice , configurația pistelor , rata sosirilor și a plecărilor și componența flotei ( tipurile avioanelor care alcătuiesc flota ) .

Pe deasupra “ capacitatea practică “ pentru scopurile managementului strategic al traficului poate fi influențată de factori de spațiu aerian ( de exemplu încărcarea punctelor reper de sosire , încărcarea sectorului ) precum si de factori umani ( de exemplu încărcarea controlorului de trafic ) .

Marea majoritate a publicațiilor despre analiza și optimizarea managementului fluxului de trafic aerian tratează capacitățile aeroportuare ca parametri constanți deja dați . ( a se vedea în bibliografie – [4] ) .

De obicei , capacitatea aeroportuară este definită de două constante : una pentru capacitatea de sosire și cealaltă pentru capacitatea de plecare .

Constantele pot varia pentru diferite condiții meteorologice și configurații ale pistei , dar rămân constante peste tot în timpul cât aceste condiții există .

Standardele tehnice de performanță (engineered performance standards – EPS) stabilite de FAA dau informații mult mai realiste asupra capacităților aeroportuare .

Valorile standardelor tehnice de performanță – EPS variză nu numai din cauza configurației pistei sau a condițiilor meteorologice ci și din cauza prporției sosirilor și plecărilor .

În general , trei condiții de operabilitate sunt deja stabilite :

prioritatea pentru plecări ( în cazul plecărilor în proporție de 75% sau mai mult )

prioritate egală pentru plecări și sosiri ( în cazul egalității 50% plecări 50% sosiri )

prioritate pentru sosiri ( în cazul sosirilor în proporție de 75% sau mai mult ) .

Pentru câteva aeroporturi standardele tehnice de performanță EPS arată doar o

singură pereche de valori ale capacităților de sosire și de plecare pentru fiecare configurație a pistei .

În orice caz , chiar și în cele mai fericite situații , datele EPS nu acoperă întregul domeniu al proporțiilor sosiri / plecări .

Cele mai complete informații asupra capacităților unui aeroport în cazul a diferite proporții de sosiri / plecări poate fi reprezentată printr-o legătură funcțională între capacitățile de sosire și de plecare .

Specificul acestei legături funcționale a fost studiat studiat pe larg ( a se vedea în bibliografie –[6] ) .

Într-unul dintre aceste studii, a fost dezvoltat un model analitic numit de FAA Modelul Capacității Aeroportuare . Acest model este capabil să determine relaționarea între capacitățile de sosire și de plecare .

Societatea MITRE pare să fi fost prima care să fi aplicat această relaționare în modelul de simulare al Sistemul Național al Analizei Performanțelor Capacității Spațiului Aerian –National Airspace System Performance Analysis Capability ( NASPAC ) , unde sloturi pentru sosire și pentru plecare pot fi desemnate în răspuns la vârfurile de de

cerere .

In această lucrare o reprezentare similară a capacității aeroportuare este folosită pentru a estima capacitatea și pentru a formula o nouă apropiere optimizarea operațională a capacității aeroportuare .

Cele prezentate aici au fost obținute în urma studiilor întreprinse în cadrul programului FAA Management Avansat al Sistemului de traffic Aerian ( ATMS ) .

În această lucrare se discută estimarea și utilizarea practică a capacității aeroportuare cu aplicabilitate în cadrul scopului ATMS și la managementul strategic al traficului aerian .

În capitolul 2 al prezentei lucrări rezervat reprezentării și estimării capacității aeroportuare , se încearcă o abordare empirică a estimării capacității pentru a obține valori practice viabile care să reflecte restricțiile majore ale debitului traficului aeroportuar pentru întregul domeniu de raporturi sosiri / plecări .

În capitolul 3 al lucrării este descrisă o metodă pentru optimizarea capacității folosindu-se derivatele estimărilor .

Optimizarea este atinsă prin alocarea dinamică a capacității pe timpul dintre sosiri și plecări . În general , soluția optimală ne furnizează profile ale capacității variabile în timp care rezolvă cel mai eficient prezicerea unei probleme de congestionare prin reflectarea dinamicilor cererii traficului și condițiile operaționale la aeroport .

Această abordare utilizează mai bine resursele disponibile la aeroport pentru a mări debitul traficului .

În capitolul 4 sunt prezentate exemple numerice care să arate beneficiile abordării descrise mai sus .

Capitolul 2

Reprezentarea si Estimarea Capacitătii Aeroportuare

Context

Intense studii analitice asupra capacității aeroportuare a început la sfârșitul anilor

1950 . De atunci un mare număr de publicații au avut referiri la diferite aspecte ale studiilor (a se vedea în bibliografie –[1] , [2] , [3] ) .

Capacitatea aeroportuară este definită ca numărul maxim de operații ( sosiri și plecări ) care se pot îndeplini într-un interval fixat de timp (de exemplu 15 minute sau oră ) la un aeroport dat în condiții date precum configurația pistei , și condițiile meteorologice . Ea este calculată ca reciproca celui mai mare timp permis intre operații .

Metodele analitice existente furnizează estimarea celor mai importanți timpi prin luarea în considerare a variabilității în timp a apariției avionului în anumite puncte în diferite stadii ale sosirii și plecării , variația stocastică în viteză , diferențe în timpii de ocupare a pistei , precum și de variația tipurilor de aeronave care compun flota ( mixtura flotei ) .

Făcând presupuneri legate de funcțiile de distribuție a diferitelor variabile , se poate estima timpul minim între operații , care asigură probabilitatea dată de a nu încălca cerințele distantei de separare în deplină siguranță a aeronavelor .

Timpii minimi între operații sunt folosiți în schimb pentru a calcula capacitățile aeroportuare . Rezultatele numerice depind substanțial de presupunerile a priori legate de distribuțiile probabilității și parametrii lor .

Validitatea estimărilor capacității depinde de validitatea informațiilor a priori ( care adesea nu sunt foarte bune ) .

O modalitate de a face estimări realiste mai de încredere este aceea de a combina metodele analitice si empirice .

Datele empirice , precum numărătorile istorice ale sosirilor și plecărilor la aeroport , fac posibilă corectarea modelelor analitice și a parametrilor lor .

S-a stabilit că capacitățile de sosire și de plecare sunt legate una de alta printr-o funcție convexă , neliniară .

Existența acestei funcții relevă faptul că capacitățile de sosire și de plecare sunt interdependente . O relație specifică între capacitatea de sosire si cea de plecare depinde de factori diferiți precum configurația pistei , condițiile meteorologice , componența flotei , strategia de operare a pistei , și caracteristicile sistemului de control al traficului aerian .

FIGURA 1. Curba de capacitate de sosire / plecare ( vedere generală )

2.2. Metoda de Evaluare

Presupunând ca general validă o formă convexă a curbei de capacitate , a fost

dezvoltată o metodă empirică de a estima curba prin folosirea datelor reale ale masurătorilor numărului de sosiri și plecări la aeroport intr-un interval de timp fixat pe o lungă perioadă de timp .

În continuare , făra să se particularizeze ,este luat în considerare numărul de sosiri și de plecări pe intervale de 15 minute (adică capacități de 15 minute) .

Metoda se bazează pe presupunerea că în timpul perioadei de timp considerate , vârfurile numărătorilor sosirilor și plecărilor reflectă performanțele aeroportului la sau în apropiere de nivelul capacității .

Prin urmare , curbele care învăluiesc vârfurile măsurătorilor sunt considerate ca estimările capacităților aeroportului .

Metoda empirică este aplicată doar aeroporturilor de ritm , care sunt cunoscute a avea aglomerări majore și întârzieri considerabile în timpul orelor de vârf .

Existența întârzierilor importante poate fi considerată ca o indicație că aeroportul operează la sau în apropiere de limitele operaționale .

De aceea pentru aceste aeroporturi , este rezonabil să presupunem că vârfurile înregistrărilor măsurătorilor istorice reflectă capacitățile operaționale maxime și , deci , pot fi folositoare pentru estimarea capacității .

Datele observate pot fi organizate în concordanță cu condițiile operaționale la aeroport pentru a furniza curbele de capacitate pentru un set specific de condiții .

Pentru a le indica , datele observate au fost analizate pentru configurații ale pistei și vreme .

Fiecare aeroport major are un set de configurații ale pistei care sunt folosite cu o frecvență suficientă așa că datele empirice sunt disponibile pentru a estima curbele de capacitate pentru aceste configurații ale pistei .

Condițiile meteoroă capacități de 15 minute) .

Metoda se bazează pe presupunerea că în timpul perioadei de timp considerate , vârfurile numărătorilor sosirilor și plecărilor reflectă performanțele aeroportului la sau în apropiere de nivelul capacității .

Prin urmare , curbele care învăluiesc vârfurile măsurătorilor sunt considerate ca estimările capacităților aeroportului .

Metoda empirică este aplicată doar aeroporturilor de ritm , care sunt cunoscute a avea aglomerări majore și întârzieri considerabile în timpul orelor de vârf .

Existența întârzierilor importante poate fi considerată ca o indicație că aeroportul operează la sau în apropiere de limitele operaționale .

De aceea pentru aceste aeroporturi , este rezonabil să presupunem că vârfurile înregistrărilor măsurătorilor istorice reflectă capacitățile operaționale maxime și , deci , pot fi folositoare pentru estimarea capacității .

Datele observate pot fi organizate în concordanță cu condițiile operaționale la aeroport pentru a furniza curbele de capacitate pentru un set specific de condiții .

Pentru a le indica , datele observate au fost analizate pentru configurații ale pistei și vreme .

Fiecare aeroport major are un set de configurații ale pistei care sunt folosite cu o frecvență suficientă așa că datele empirice sunt disponibile pentru a estima curbele de capacitate pentru aceste configurații ale pistei .

Condițiile meteorologice sunt împărțite in patru categorii care reflectă limitările convenționale asupra vizibilității și asupra plafonului de zbor :

VFR (Visual Flight Rules)-Reguli în condiții meteo de zbor la vedere ,

MVFR (Marginal Visual Flight Rules)- Reguli în condiții meteo la limită de zbor la vedere ,

IFR ( Instrument Flight Rules )-Reguli în condiții meteo de zbor instrumental ,

LIFR (Low Instrument Flight Rules) -Reguli în condiții meteo slabe de zbor instrumental .

Curbele de capacitate pot fi estimate pentru aceste patru categorii diferite ale

vremii .

Ceața abundentă ,vânturile sau suprafețele înghețate reduc abilitatea aeroportului de a găzdui avioane , sau pot chiar să închidă complet aeroportul .

Pentru un set dat de condiții meteorologice , doar câteva din diferitele configurații de pistă ale aeroportului pot fi potrivite , dar doar una va avea valoare maximă .

Folosind aceste valori maxime și reprezentându-le grafic în funcție de procentul din an în care aceste condiții meteorologice sunt mai probabile să apară , se poate construi curba de acoperire a capacității pentru orice aeroport dat .

Un exemplu de curbă de acoperire a capacității este arătat în figură. Există un raport de 3 la 1 sau de 2 la 1 între capacitățile de vreme bună / vreme rea .

FIGURA 2. Capacitatea orară a aeroportului variază mult în funcție de vreme

Cele mai mari capacități orare ale Aeroportului Logan din Boston sunt de 126 de operații pe oră în condiții meteo VFR – Visual Flight Rule .

Această combinație de cele mai mari capacități ale folosirii pistei și vremea bună sunt valabile 40 % din an .

Vânturile puternice creează componente de vânt lateral care închid câteva din pistele acelei configurații de pistă , și capacitățile orare continuă să descrească în timp ce MVFR și în final vremea rea cauzează restricții în operarea în siguranță a sistemului pistelor .

Există doar un mic procent ( 2 % ) din an când vizibilitatea slabă , plafonul de nori și ninsoarea închid complet aeroportul . Este de notat faptul că există o variație mare între capacitatea orară maximă ( 126 de operații pe oră ) și cea minimă ( 55 de operații pe oră ) înainte ca aeroportul să se închidă .

Aceasta este tipic pentru multe aeroporturi majore unde există mai multe configurații ale pistelor .

Această variație mare a capacităților orare împiedică stabilirea unei singure valori a capacității pentru aeroport ( și cum se va vedea în continuare nici capacitățile orare nu sunt foarte relevante pentru folosirea la maximum a facilitaților aeroportului ) , în schimb capacitatea aeroportului va fi variabilă depinzând de condițiile meteorologice .

Esența metodei este prezentată în continuare .

Să considerăm planul sosirilor și plecărilor din figura 2 .

FIGURA 3. Înregistrările istorice ale performantelor aeroportului și ale curbelor de capacitate

Setul de puncte corespunde tuturor măsurătorilor sosirilor și plecărilor în timpul intervalelor de 15 minute pe o lungă perioadă de timp ( de exemplu o lună sau mai mult ) .

Coordonatele fiecărui punct arată numărul de sosiri și plecări executate la aeroport în același interval de 15 minute .

Curba de capacitate este estimată prin tragerea unei curbe linear-convexe care să cuprindă la un loc întregul set de puncte .

Estimările capacității bazate pe valorile extreme sun sensibile la posibilele valori extreme puțin frecvente din măsurătorile efectuate .

Valorile puțin frecvente pot fi de două feluri . Ele pot fi cauzate de erori în procesul măsurătorilor istorice , sau pot reflecta evenimente reale dar rare când aeroportul operează dincolo de limitele sale normale operaționale pentru o scurtă perioadă de timp .

În nici unul dintre aceste cazuri valorile extreme în afara celor obișnuite nu ar trebui incluse în procedura de estimare a capacității .

Robustețea ( adică insensibilitatea la valorile puțin obișnuite ) a estimatelor capacității poate fi atinsă prin respingerea măsurătorilor cazurilor extreme .

Criteriile de rejecție sunt alese așa încât reflectă nivelurile de încredere pentru rezultatele estimărilor capacității . Această abordare este ilustrată în figura 2 .

Curba 1 redă o estimare nerobustă care cuprinde toate datele înregistrărilor și include valorile maxime absolute ale numărului de sosiri și plecări observat .

Punctul A cu 26 de sosiri și 11 plecări în 15 minute pare să fie o valoare în afara celor obișnuite . Curba 1 , care include punctul A , pare nerealistă .

Curba 2 în figura 2 reprezintă o estimare robustă obținută din algoritmul care respinge unele observații extreme ; datele respinse sunt poziționate în afara ariei mărginite de curbă și axele de coordonate .

Varietatea criteriilor de respingere determină o varietate a algoritmilor de estimare . Criteriile se pot baza pe principii variate : proximitatea observațiilor extreme de cele mai apropiate observații , șirul valorilor extreme ( criteriul de rejecție se bazează pe statisticile sistemelor ) , frecvența apariției valorilor extreme .Acesta din urmă este luat în considerare mai departe .

După acest criteriu , observațiile extreme care apar mai puțin de un număr de ori în intervalul de timp care ne interesează trebuie să fie respinse .

Criteriul ne poate furniza estimări care practic nu sunt deloc influențabile de valorile extreme în afara celor obișnuite .

Dacă , de exemplu , probabilitatea ca valorile extreme puțin probabile să apară mai mult de o singură dată este mică și neglijabilă , atunci curba capacității care cuprinde extremele care apar mai mult de o singură dată este mai mult ca sigur că nu include acele valori extreme puțin probabile .

În exemplul arătat în figura 2 , punctul A care reprezintă una din acele valori puțin probabile apare doar o singură dată . Prin urmare , curba 2 care înconjoară punctele ce reprezintă rezultatele măsurătorilor , care au apărut de cel puțin două ori , nu include punctul A .

FIGURA 4. Histograma operațiunilor de sosire / plecare la aeroport

Figura 3 ilustrează imaginea statistică a curbei estimărilor capacității bazate pe unul din criteriile de rejecție a observațiilor extreme .

Barele din figura 3 arată frecvența numărului observat de sosiri și plecări în intervale de 15 minute pe întreaga perioadă de timp considerată .

Frecvența este determinată ca numărul de apariții ale aceleiași perechi de valori ( sosiri și plecări în intervalul de 15 minute ) împărțite la numărul total de observații .

Estimările curbei de capacitate sunt prezentate ca eșantioane , reprezentate în două dimensiuni , de procente de a suta parte din frecvența totală , care înconjoară observațiile extreme ce apar cu o frecvență nu mai mică de cât o valoare stabilită . Această valoare reflectă cantitatea de încredere în estimările capacității și poate fi determinată .

Procentajul observațiilor totale cuprins de curbă determină procentajul corespunzător reprezentat de curba de capacitate .

În figura 3 , curba 1 trece prin punctele extreme care apar cel puțin o dată , curba de capacitate reprezintă procentul de 1 % și nu este robustă .

Curba 2 trece prin punctele extreme care apar cel puțin de două ori ; punctele extreme , care apar o singură dată , au fost respinse făcând curba robustă ,insensibilă la puncte în afara curbei ce apar doar o dată .

Curba 3 este obținută prin algoritmul care respinge observațiile extreme care apar de mai puțin de trei ori .Curba 3 este mai robustă decât curba 2 .

Folosind datele observate pentru intervale de 15 minute ne sunt furnizate estimări ale capacităților de 15 minute care determină limitele superioare pentru numărul de operații de sosiri și plecări care pot fi executate la aeroport într-un interval de 15 minute .

Același nivel de îndeplinire este posibil să nu fie confirmat pentru câteva intervale consecutive de 15 minute .

Abilitatea de a confirma numărul maxim de operații pe o lungă perioadă de timp depinde în mare măsură de factorul uman .

Datele empirice arată că vârful numărului de sosiri și plecări în timpul intervalelor de 30 de minute este de obicei mai mic decât dublul celui din timpul intervalelor de 15 minute , și vârfurile intervalelor de 60 de minute sunt mai mici decât dublul celor din timpul intervalelor de 30 de minute .

De asemenea de acest efect poate fi cauzat de asemenea de caracteristicile cererilor de trafic atunci când se examinează intervale mai lungi de timp .

Pe măsură ce intervalul de timp devine mai mare , este mai puțin probabil ca cererea disponibilă să împingă aeroportul la limitele lui operaționale .

Aceasta ar explica câteva din scăderile din capacitățile obținute empiric .

Cu toate acestea , este folositor să calculăm capacitățile de 30 , 45 , și 60 de minute pe lângă capacitățile de 15 minute .

Aceeași tehnică de estimare este folosită .

Datele observate pentru 15 minute , reprezentate ca serii de timp pentru o lungă perioadă de timp , sunt recalculate pentru intervale de 30 , 45 , și 60 de minute prin sumarea valorilor de 15 minute în interiorul ferestrelor de timp alunecătoare cu lărgimea a două, trei , și respectiv patru intervale de 15 minute consecutive .

Curbele de capacitate rezultate arată o schimbare cantitativă așteptată în capacitatea aeroportului când durata vârfurilor cererilor crește de la unul la două , trei , și patru intervale de 15 minute consecutive .

Rezultate Preliminare si Remarci

Pentru aeroporturile majore ( din SUA ) estimările preliminare ale curbelor de capacitate bazate pe datele empirice din 1989 până în 1991 sunt reprezentate în raportul interimar al Unisys (a se vedea în bibliografie –[1] – [3] ) .

După cum estimările empirice ale capacităților sunt rezultatul procedurilor statistice , trebuie puse câteva întrebări importante .

Printre acestea se pot enumera cantitatea de date necesară pentru a asigura relevanța statistică a caracterizării , acuratețea datelor observate , stabilitatea și sensibilitatea estimărilor .

O dezvoltare adecvată a acestor întrebări nu este scopul acestei lucrări . Cu toate acestea , în acest moment se pot face câteva comentarii .

S-au întreprins analize preliminare asupra curbelor de capacitate estimate pentru toate aeroporturile de ritm folosindu-se zeci de mii de observații istorice în perioada cuprinsă între 1989 și 1992 .

Aceste analize arată o bună stabilitate a estimărilor atunci când se compară curbele estimate pentru fiecare lună în parte pe întreaga perioadă luată în considerare .

Curbele de capacitate estimate au fost comparate cu standardele tehnice de performanță ( EPS ) .

Deșii valorile standardelor tehnice de performanță nu acoperă întregul domeniu al proporțiilor sosiri / plecări și deci , nu formează o curbă , proporția de proximitate a standardelor tehnice de performanță de curbă poate fi foarte informativă .

Un exemplu de comparație este arătat în figura 4 , unde sunt prezentate curbele estimate pentru configurația #1 a pistei la Aeroportul Internațional San Francisco ( SFO ) .

FIGURA 5. Curbele de capacitate estimate pentru Aeroportul

Internațional San Francisco , configurația pistelor #1 , VFR

Configurația include patru piste cu două piste paralele ( 28L și 28R ) dedicate sosirilor și două piste paralele ( 01L și 01R ) dedicate plecărilor .

Ambele seturi de piste paralele se intersectează la aproximativ mijloc .

Datele istorice folosite pentru estimări includ observații ale numărului actual de sosiri și plecări pentru intervale de 15 minute în timpul celor opt luni dintre august 1990 și martie 1991 , totalizând 6688 perechi de observații .

Acestea sunt trei curbe obținute pentru diferite procente de observații respinse ( doar observațiile extreme au fost respinse ) : curbele reprezintă procente de 99.5 % , 95 % , și 90 % cu respectiv 0.5 % , 5 % , și 10 % observații respinse .

Săgeata groasă din figura 4 indică valorile standardelor tehnice de performanță pentru aceeași configurație a pistei – 52 de sosiri și 53 de plecări pe oră .

Săgeata groasă se găsește aproape de curba de 95 % .

Comparații similare realizate pentru alte aeroporturi de ritm au arătat că valorile standardelor tehnice de performanță sunt localizate sub curbele de capacitate care cuprind 100 % din datele de performanță observate , și sunt tipic apropiate de curbele de 90 % – 95 % .

Corelarea cu valorile standardelor tehnice de performanță sprijină supoziția după care curbele de capacitate estimate reprezintă operații la sau în apropiere de capacitățile practice ale unui aeroport .

Analize suplimentare ale capacității aeroportului vor include comparații ale curbelor de capacitate empirice cu cele obținute de la Modelul FAA al Capacității Aeroportului al companiei MITRE .

Trebuie accentuat că nici de la modelele empirice nici modelele analitice nu se așteaptă să asigure curbe de capacitate care să fie complet acceptabile pentru uzul pe teren de către managerii de trafic .

Estimările obținute prin orice metodă trebuie să fie subiectul unor evaluări și corectări experte a controlorilor și managerilor de trafic aerian folosindu-se de experiența și cunoașterea condițiilor specifice la aeroporturi .

Doar după astfel de corecții pot fi aplicate valorile capacității pentru a rezolva probleme reale de management de trafic aerian .

Capitolul 3

Optimizarea Capacitătii Aeroportuare

Formularea Problemei

Odată ce curbele de trafic au fost estimate , managerii de trafic au informații

detaliate despre limitele operaționale ale aeroportului pentru un spectru complet de proporții ale sosirilor și plecărilor pentru condițiile operaționale date .

Cum ar trebui să fie folosită această informație ?

Ideal , un manager ar selecta valorile capacităților dintr-un domeniu dat pentru a satisface cel mai bine cererea traficului .

Cu toate acestea , este extrem de dificil să găsești cea mai bună soluție în timpul perioadei de congestie majoră după cum profilul cererii poate să varieze substanțial în acele momente .

O metodă de optimizare este prezentată aici .

Prin optimizarea capacității aeroportuare se dorește a se înțelege cea mai bună alocare a capacităților aeroportului între sosiri și plecări care satisface optim cererea de trafic preconizată pe o perioadă de timp în condițiile operaționale date la aeroport .

Metoda se bazează pe un model matematic de interdependență a proceselor de sosire și plecare la aeroport .

Capacitățile de sosire și de plecare ale aeroportului sunt de asemenea interdependente ; relația lor este determinată de o curbă de capacitate .

Modelul tratează capacitățile aeroportului ca variabile de decizie care urmează a fi determinate în concordanță cu criteriul de optimizare .

Alegerea criteriului de optimizare este un pas important în formularea problemei .

Eficacitatea operațiunilor de sosire și de plecare la aeroport poate fi măsurată prin timpul total de întârziere al zborurilor ce sunt servite ( adică timpul total de așteptare în cozile de sosire și de plecare ) sau prin numărul total de zboruri din coadă pe perioada de timp care ne interesează .

Aceste două măsuri reflectă amândouă esența fizică a problemei și sunt strâns corelate ; cozi mai mari cauzează întârzieri mai mari .

Care dintre măsuri să le folosim în criteriul de optimizare depinde de factori precum tipul datelor de intrare disponibile și simplitatea obținerii soluțiilor optimale .

În această lucrare numărul total de zboruri din cozi a fost ales pentru criteriul de optimizare . Cauza majoră ar fi aceea că noi considerăm probleme strategice și nu tactice , și de aceea folosim complexul datelor de intrare cererile totale pentru fiecare interval de 15 minute ( nu date zbor cu zbor ) .

Cererile totale pot fi ușor folosite pentru a calcula lungimea cozilor , dar nu și timpul de întârziere pentru fiecare zbor individual din coadă .

Pe lângă aceasta , folosirea numărului total din cozi asigură algoritmi mai puțin complecși pentru obținerea soluțiilor optimale .

Soluția optimală determină valoarea capacității de sosire și de plecare pentru fiecare slot de 15 minute pentru a minimiza cozile totale de sosire și de plecare ( sau pentru a minimiza funcțiile de aceste cozi ) .

Valorile pot fi apoi folosite într-un model zbor cu zbor care determină un orar pentru fiecare zbor timpul total din cozi .

Valorile optimale ale capacității asigură cele mai favorabile condiții pentru obținerea celor mai mici întârzieri .

Următoarele notații de bază sunt folosite pentru a formula problema :

T = intervalul de timp de interes fiind alcătuit din N sloturi de timp de lungime Δ (de exemplu Δ = 15 minute ) ;T = N Δ

I = {1, 2,…, N} = un set ( grup ) de sloturi de timp

= cererea pentru sosiri la al i – lea slot de timp

= cererea pentru plecări la al i – lea slot de timp

= coada de sosire la începutul celui de-al i -lea slot de timp ;

i =1, 2,…, N+1

= coada de plecare la începutul celui de-al i -lea slot de timp

Φ = { Φ(u), Φ(u),…, Φ(u) } = un set de curbe de capacitate care reprezintă toate configurațiile pistei aeroportului în toate condițiile meteorologice

= capacitatea de sosire a aeroportului la al i –lea slot de timp , i I

= capacitatea de plecare a aeroportului la al i –lea slot de timp , i I .

În cele ce urmează , și sunt variabile de stare , iar și sunt variabile de

decizie , i I .

Este introdus apoi un vector de decizie = ( , ,…, , , ,…, ) .

Să considerăm problema managerierii sosirilor și plecărilor la un aeroport în intervalul de timp T .

Cererea de trafic este dată printr-o secvență de cereri de sosire și de plecare , și respectiv , pentru fiecare slot de timp al intervalului (i =1, 2,…, N+1 ) .

În concordanță cu previziunile meteorologice și alte condiții operaționale pentru intervalul de timp , este desemnat un set de configurații ale pistei .

O secvență de curbe de capacitate , Φ(u)( i =1, 2,…, N ) , este de asemenea dată .

Problema este de a găsi secvența de capacități de sosiri și de plecări ( și )

care satisfac cel mai bine cererea de trafic .

Problema generală de optimizare a capacității aeroportului în intervalului de timp T este formulată în cele ce urmează :

min (1)

depinzând de

= max ( 0, ) , (2)

= max ( 0, ) , (3)

; , ( condițiile inițiale date ) (4)

, Φ , (5)

, (6)

unde , reprezintă funcții pierdere scalare crescătoare date , care determină criteriul de optim , și reprezintă valorile maxime date ale capacităților de sosire care pot fi utilizate in timpul fiecărui slot de timp ; , , , și sunt valori întregi .

Esența problemei este bine exprimată în următorul tip de funcții pierdere :

= , k>0 , . (7)

Problema corespunzătoare de optimizare este :

min , (8)

depinzând de relațiile (2) – (6) .

Aceasta este o problemă de minimizare a unei sume ponderate a cozilor de sosire și de plecare de ordinul k pentru toate sloturile de timp ale intervalului T ; de exemplu , k = 1 corespunde la a minimiza o sumă ponderată , și k = 2 corespunde la a minimiza o sumă ponderată de pătrate ale unor cozi .

Puterea k poate fi folosită ca parametru în problema de optimizare .Coeficienții de pondere și sunt legați de fiecare slot de timp .

determină rata de prioritate a celui de-al i –lea slot , rata de prioritate corespondentă pentru plecări fiind ( 1 – ) .

determină costul relativ al celui de-al i -lea slot . Coeficienții pot fi normalizați așa încât

, . (9)

Coeficienții pot de asemenea să arate încrederea în prezicerea traficului ( cererea de sosiri și de plecări ) precum și condițiile meteorologice .

În general , sloturile de timp îndepărtate ( adică acelea departe în viitor ) au o prezicere mai puțin de încredere ; cu toate acestea valori mai mici ale lui pot fi desemnate pentru aceste sloturi .

Ecuațiile (2) și (3) reprezintă aeroportul ca pe un sistem de control multi-stadii cu condiții inițiale (4) .

Inegalitățile (5) și (6) descriu constrângerile capacității pentru fiecare slot de timp .

Ecuațiile (2) și (3) descriu dinamicile cozilor de sosire și de plecare la aeroport în intervalul de timp care interesează .

Numărul de zboruri întârziate la începutul următorului slot de timp depinde de numărul de zboruri întârziate la precedentul slot de timp și diferența dintre cerere și capacitate pentru slotul de timp curent .

Dacă capacitățile și/sau sunt mai mari sau egale cu numărul de avioane așteptând la cel de-al i –lea slot , atunci nu rămâne nici o coadă la începutul următorului (i+1) –lea slot ( și /sau sunt egale cu 0 ) . Altfel există o coadă ( și /sau sunt mai mari decât 0 ) .

Ecuațiile (2) – (4) garantează că variabilele de stare nu sunt negative .Expresiile (1) – (6) constituie problema clasică de control optimal .

Să considerăm criteriul de optimizare cu funcția pierdere lineară

min , (10)

care corespunde lui (8) cu k = 1 . Aceasta minimizează o sumă ponderată de cozi de sosire și de plecare pentru toate sloturile de timp ale intervalului de timp T .

Dacă ne interesează doar rezultatele managementului de trafic la sfârșitul intervalului de timp T , funcția pierdere din (10) este aplicată doar celui de-al N –lea slot de timp , și criteriul devine

min , . (11)

Aici , o sumă ponderată de cozi de sosire și de plecare la sfârșitul intervalului de timp considerat este minimizată . Coeficientul de pondere determină rata de prioritate pentru procesul de sosire la un aeroport .

Cu = 1 doar coada de sosire este minimizată , și importanța cozii de plecare este neglijată .

= 0 corespunde la a minimiza doar coada de plecare .

Expresiile (2)-(6) impreună cu criteriul (11) formulează o problemă optimală de control de capăt .

Modelul de Programare Lineară

Problema de optimizare (10) sau (11) depinzând de ecuațiile (2)-(6) poate fi

reformulată ca o problemă lineară de programare (PL) modificând puțin ecuațiile (2) și (3) și prin folosirea proprietății specifice a funcțiilor neliniare , și anume

convexitatea și linearitatea pe porțiuni .

Acum să scriem separat amplitudinea cozilor și constrângerile care asigură pozitivitatea variabilelor de stare folosind ecuațiile (2) și (3) .

Atunci , în loc de ecuațiile (2) și (3) , se poate scrie următorul sistem de ecuații și inegalități lineare :

, (12)

, (13)

, i =1, 2,…, N+1 (14)

, i =1, 2,…, N+1 (15)

FIGURA 6 .Aria delimitată de curba de capacitate : .

Figura 5 arată un exemplu de domeniu ( zona întunecată ) care corespunde uneia din constrângeri (5) . Zona întunecată poate fi reprezentată de un sistem de inegalități lineare .

Prin urmare , toate constrângerile (5) pot fi înlocuite de un sistem de inegalități lineare .Numărul de inegalități pentru fiecare constrângere este determinat de numărul de vârfuri ale curbei de capacitate corespunzătoare .

Să luăm și care să desemneze valorile maxime ale capacităților de sosire și respectiv de plecare , determinate de curba de capacitate , (a se vedea în figura 5 B și D ) .

Să luăm care să desemneze numărul de pante al secțiunilor lineare ale curbei de capacitate , (excluzând secțiunile paralele cu axele v și u ) .

Atunci constrângerile (5) și (6) pot fi înlocuite prin :

, (16)

, j=1, …, (17)

, (18)

unde și sunt constante care caracterizează cea de-a j secțiune lineară a celei de-a i curbă de capacitate .

Acum problema de optimizare (10) depinzând de (2) – (6) poate fi ușor redusă la o schemă de programare lineară . După o serie de transformări în (12) , (13) , și (10) , și considerând (16) – (18) , obținem următoarea problemă lineară :

max , (19)

depinzând de

, (20)

, (21)

, (22)

, (23)

, (24)

, j=1, …, ; (25)

, (26)

, (27)

Criteriul (19) maximizează suma ponderată de capacități de sosire și de plecare pe întregul interval de timp considerat .

Coeficienții de pondere depind de (costul relativ al sloturilor ) și de (rata de prioritate pentru sosiri a fiecărui slot ) .

Având satisfăcut criteriul (19) automat satisfacem criteriul (10) de a minimiza suma ponderată a cozilor de sosire și de plecare pentru toate sloturile intervalului de timp T considerat .

Valorile și din (20) – (23) sunt cererile cumulate de sosire și respectiv de plecare la sfârșitul celui de-al i –lea slot .

Inegalitățile (25) – (27) restrâng domeniul variabilelor de decizie sub curba de capacitate ( incluzând curba ) .

În cay de egalitate a valorilor relative pentru toate sloturile de timp și de priorități constante pentru sosiri și plecări în timpul întregului interval ( coeficienții și sunt constanți ; și , ) , funcția obiectiv (19) se transformă în :

max , (28)

care corespunde la

min , (29)

Versiunea programului linear pentru problema optimală de control de capăt (11) depinzând de (2) – (6) este :

max , (30)

depinzând de (20) – (27) .

Prin urmare , a minimiza suma ponderată a cozilor de sosire și de plecare la sfârșitul intervalului de timp care ne interesează ar trebui să maximizăm suma ponderată a capacităților cumulate de sosire și de plecare cu aceleași ponderi ca în (11) .

Capitolul 4

Studiu de caz

4.1. Prezentare

Să considerăm un aeroport care , conform previziunilor , va experimenta o congestie severă în timpul unei ore ( de exemplu între 12.00 și 13.00 ) .

Cererile de sosire și de plecare previzionate pentru această oră depășesc capacitatea disponibilă și câteva zboruri vor fi întârziate .

Problema este aceea de a găsi alocarea optimă a capacității aeroportului între sosiri și plecări în timpul acestei ore pentru a satisface cel mai bine cererea previzionată .

Tabelul 1 arată cererile previzionate pentru fiecare slot de 15 minute al orei .

TABELUL 1

CEREREA PREVIZIONATĂ

FIGURA 7. Curba de capacitate sosire / plecare a aeroportului

Figura 6 reprezintă curba capacității de sosire/plecare a aeroportului care corespunde condițiilor operaționale la aeroport previzionate pentru această oră ( condițiile meteorologice și configurația pistei ) .

Cele patru puncte din figura 6 , corespund cererilor luate din tabelul 1 .

Poziția punctelor este în afara domeniului , limitat de curbă , arătând amplitudinea problemei de congestie .

Pentru a ilustra scara acestei curbe , coordonatele vârfurilor curbei (15;30) , (21;21) , și (25;12) sunt prezentate în figura 6 .După această curbă , maximul capacității de sosire este egal cu 25 de zboruri în 15 minute , și maximul capacității de plecare este de 30 de zboruri în 15 minute .

Maximul capacității totale ( sosire plus plecare ) este de 45 de zboruri în 15 minute.

Pentru număr egal de operații mixte de sosire/plecare , capacitatea aeroportului este de 21 de zboruri în 15 minute atât pentru sosiri cât și pentru plecări .

În acest caz , intervalul de timp T care ne interesează constă în patru sloturi de timp ( N = 4 ) .

Vectorul de decizie conține 8 coordonate capacități : 4 de sosire () și 4 de plecare () .

Să considerăm criteriul (29) pentru a minimiza o sumă ponderată de cozi de sosire și de plecare în timpul întregului interval de timp T .

Să presupunem ca nu există nici o coadă la începutul acestui interval de timp , adică în (4) sau (24) .

În acest caz , programul linear corespunzător problemei (28) care depinde de

(20) – (27) este formulat după cum urmează :

max , (31)

care depinde de :

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

Valorile capacității optime pentru două nivele de priorități pentru sosiri (=0.5 și =0.7 ) sunt prezentate în tabelul 2 .

Tabelul arată de asemenea cozile de sosire și de plecare la sfârșitul fiecărui slot de timp .

TABELUL 2

ALOCAREA OPTIMĂ A CAPACITĂȚILOR DE SOSIRE ȘI DE PLECARE

Valorile capacității optimale variază de la un slot la altul în funcție de dinamicile cererii .

Tabelul 2 arată că , în răspuns la creșterea ratei priorității de sosire de la 0.5 la 0.7 , capacitățile de sosire și de plecare sunt realocate în două sloturi de timp ( de la 12.00 la 13.00 ) pentru a micșora suma cozilor de sosire de la 26 la 17 și pentru a mări suma cozilor de plecare de la 2 la 14 .

Evoluția dinamicilor cozilor slot cu slot devine mai favorabilă sosirilor și mai puțin favorabilă plecărilor .

La sfârșitul intervalului de timp T în cazul lui , nu este nici o coadă de plecare și patru zboruri rămase în coada de sosire .

Pentru , nu este nici o coadă de sosire și cinci zboruri rămase în coada de plecare .

Cu alte cuvinte , în cazul lui , strategia optimă asigură o soluție completă a problemei plecării , și în cazul lui , strategia optimă o soluție completă a problemei plecării .

A fost calculat numărul de zboruri întârziate în cazul diferitelor strategii de alocare a capacității aeroportuare .

De exemplu în cazul lui , 15 sosiri și 2 plecări au fost întârziate ; în cazul lui , 10 sosiri și 12 plecări au fost întârziate .

Mărind prioritatea de sosire , numărul zborurilor de sosire întârziate descrește semnificativ . Este de așteptat ca timpul total petrecut de zboruri în coada de sosire de asemenea să descrească .

Un calcul aproximativ al numărului de zboruri întârziate când sloturile de timp de 15 minute au fost schimbate arată că numărul total scade de la 26 la 17 sloturi .

În același timp numărul zborurilor de plecare întârziate crește de la 2 la 12 zboruri , și timpul total în coadă se mărește de la 2 la 14 sloturi .

Schimbând parametrul , un manager de trafic ar fi capabil să genereze alte strategii de alocare a capacității aeroportuare și să aleagă oricare dintre alternative bazate pe alte motive în afara formalismului matematic .

Pentru a estima beneficiile pe care le asigură alocarea dinamică ( slot cu slot ) a capacității , au fost determinate capacitățile optime constante ( care nu variază în timpul intervalului de timp ) și cozile corespondente .

Optimizarea s-a facut pentru aceeași cerere și după același criteriu ( minimul sumei ponderate a cozilor de sosire și de plecare ) ca și mai înainte .

Problema de optimizare a fost formulată după cum urmează :

min u , v , (32)

care depinde de

, i=1, 2,…, N

, i=1, 2,…, N

unde u și v sunt capacitățile constante de sosire și respectiv de plecare ; valorile cererilor și sunt prezentate în Tabelul 1 .

În acest exemplu N = 4 .

Capacitățile optime constante au fost determinate pentru diferite valori ale priorității de sosire .

Tabelul 3 arată cozile de sosire și de plecare la sfârșitul fiecărui slot de timp calculate pentru capacități constante și respectiv optime variabile , pentru și .

Capacitățile optime constante u și v , pentru sunt egale cu 20 și respectiv 22 de zboruri pe intervalul de 15 minute .

La sfârșitul intervalului de o oră ( până la ora 13.00 ) , capacitățile constante produc o coadă totală de 11 zboruri ( 7 zboruri de sosire și 4 zboruri de plecare ) .

Capacitățile variabile produc o coadă totală de patru zboruri , care este substanțial mai mică .

Pentru , capacitățile optime de sosire și de plecare sunt de 20 și respectiv 22 de zboruri pe intervalul de 15 minute .

Până la sfârșitul intervalului de timp considerat , aceste capacități produc o coadă totală tot de 11 zboruri ( 7 zboruri de sosire și 4 zboruri de plecare) .

Capacitățile optime variabile produc doar cinci zboruri în coadă ( 0 zboruri de sosire și 5 zboruri de plecare ) , ceea ce este din nou semnificativ mai puțin .

Tabelul 3 demonstrează de asemenea că capacitățile optime variabile produc cozi mai mici ( în comparație cu capacitățile optime constante ) la fiecare slot în timpul intervalului de timp .

Următorul calcul arată cât de eficace este procedura de optimizare în utilizarea resurselor operaționale ale aeroportului .

Cererea totală inițială pentru intervalul de o oră este de 164 de zboruri : 79 de sosiri și 85 de plecări ( a se vedea Tabelul 1) .

În cazul lui , capacitatea optimă variabilă totală pentru această oră este de 160 de zboruri : 75 de sosiri și 85 de plecări ( a se vedea Tabelul 2 ) .

Aceste capacități sunt corespunzătoare cu cererea și împreună furnizează patru zboruri întârziate ( 164 – 160 = 4 ) sloturilor din afara intervalului de o oră , patru zboruri de sosire ( 79 – 75 = 4 ) , și nici un zbor de plecare ( 85 – 85 = 0 ) .

TABELUL 3

COZI PENTRU CAPACITĂȚI OPTIME CONSTANTE ȘI CAPACITĂȚI OPTIME VARIABILE

În cazul lui , capacitatea variabilă totală pentru această oră este de 159 de zboruri : 79 pentru sosire și 80 pentru plecare .

Numărul total de zboruri în coadă la sfârșitul intervalului de timp este de 5 ( 164 – 159 = 5 ) : 0 zboruri de sosire întârziate ( 79 – 79 = 0 ) , și 5 zboruri de plecare întârziate ( 85 -80 = 5 ) .

Situația este complet diferită când capacitățile sunt constante în timpul intervalului de timp și nu sunt coordonate cu dinamicile cererii .

Așa cum s-a menționat mai sus , în cazul lui , capacitățile optime constante pentru sosiri și plecări sunt egale cu 20 și respectiv 22 de zboruri pe intervalul de 15 minute .

Aceasta corespunde unei capacități totale orare de 168 de zboruri : 80 zboruri pe oră pentru sosiri și 88 de zboruri pe oră pentru plecări .

În total , aceste capacități asigură furnizează 11 zboruri întârziate sloturilor din afara intervalului de o oră : 7 zboruri de sosire și 4 zboruri de plecare ( a se vedea Tabelul 3 ) .

Cu toate că capacitatea constantă orară ( 168 de zboruri ) este mai mare decât capacitatea variabilă ( 160 de zboruri ) , ea produce un număr mai mare de zboruri întârziate la sfârșitul unei ore .

Pe lângă aceasta , comparația capacității constante totale de sosire ( 80 de zboruri ) cu cererea totală pe oră pentru sosiri ( 79 de zboruri ) arată că cererea este mai mică decât capacitatea , și ne putem aștepta să nu existe nici un zbor de sosire întârziat la sfârșitul orei .

Cu toate acestea , în realitate există 11 zboruri de sosire întârziate .

Aceste paradoxuri aparente sunt cauzate de operarea cu capacități orare , care nu sunt coordonate cu distribuția neuniformă a cererii în timpul unei ore .

Același efect are loc în cazul lui .

Aceste exemple arată că alocarea dinamică optimă a capacităților aeroportului între sosiri și plecări asigură utilizarea rațională a capacităților aeroportului corespunzător cu dinamicile cererii și poate fi foarte eficientă în rezolvarea problemelor de congestie la aeroport .

Trebuie să se aibă în vedere că în aceste exemple profilul cererii pentru sosiri și plecări a fost selectat în așa fel încât să arate o variație slot cu slot semnificativă ( vârfurile cererilor de sosire alternează cu vârfurile cererilor de plecare ) .

Ca răspuns la variabilitate , procedurile de optimizare generează capacități care variază de la un slot la altul .

Aceasta a făcut posibil a se ilustra beneficiile care se pot obține prin compromisul dinamic corespunzător între capacitățile de sosire și de plecare la aeroport .

În cazul unei variații mici a cererii pe parcursul unui interval de timp , procedura de optimizare ar putea alege capacitățile constante drept cea mai bună alocare a resurselor operaționale ale aeroportului pentru acel interval de timp .

4.2. Altgoritmul de rezolvare

Cu ajutorul programului linear

max , (31)

care depinde :

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

se poate calcula , prin aplicarea Metodei Simplex , capacitățile optime variabile , pentru fiecare sfert de oră în intervalul de timp 12.00 – 13.00 .

Programarea liniară se ocupă cu problema optimizării ( găsirea minimului sau maximului ) unei funcții liniare x → f(x) = , ștind că variabilele xj satisfac unele restricții date prin egalități sau inegalități liniare.

Ținând seama de proprietățile ecuațiilor si inecuațiilor în R , de faptul că orice număr real poate fi scris ca diferența dintre a numere reale pozitive și de relația

min f(x)= – max(-f(x)) , rezultă că orice program liniar poate fi adus la un program liniar echivalent de tipul următor :

să se găsească min cu restricțiile

S : , i =1 , 2 , …, m ; xj0 , j=1 , 2,…, n .

x → f(x) = se numește funcție obiectiv , iar mulțimea S se numește hiperpoliedrul restricțiilor .Funcția lui Lagrange atașată acestei probleme este

(x, y) → L( x, y) = – .

Deoarece funcțiile liniar afine sunt și convexe și concave , mulțimea S este convexă si condițiile Kuhn-Tucker

cj – 0 , xj 0 , x, j =1, 2,…, n ,

– b, y, y= 0 , i = 1, 2,…, m ,

sunt condiții necesare și suficiente pentru un minim global .

Se observă că expresia L(x, y) poate fi scrisă în forma

L(x, y)= – .

Dar în aceasta recunoaștem funcția Lagrange atașată unui alt program liniar :

să se gasească max cu restricțiile

T : , j=1, 2,…, n ; y , i=1, 2,…, m .

Programele liniare precedente se numesc duale unul altuia . Evident variabilele xj din programul inițial sunt multiplicatori în programul dual și variabilele yi în programul dual sunt multiplicatori în programul inițial .

În plus , condițiile Kuhn – Tucker corespunzătoare programului dual sunt necesare și suficiente pentru existența maximului global și ele sunt aceleași cu relațiile Kuhn – Tucker atașate programului inițial .

Considerațiile precedente arată că dacă sunt satisfăcute relațiile Kuhn – Tucker , atunci = , iar găsirea vectorului optimal al programului liniar dat din cunoașterea vectorului optimal pentru programul liniar dual se bazează pe regulile următoare :

dacă restricția k a unuia dintre programe devine o inegalitate strictă , atunci variabila k a dualului trebuie să fie zero ;

dacă valoarea variabilei k a unuia dintre programe este strict pozitivă , atunci restricția k a dualului trebuie să fie o egalitate .

Funcției obiectiv x f(x)= i se poate atașa un fascicul de hiperplane de nivel , paralele , Hf : -f = 0 . Deoarece distanța de la originea (0 , 0 ,…, 0) la Hf este d= , extremele lui f pe S sunt proporționale cu extremele lui d pe S .

Pe de altă parte , extremele lui d ( dacă există ) sunt atinse cel puțin în vârfuri ale hiperpoliedrului restricțiilor .

Înseamnă că pentru determinare optimului lui f ar fi suficient să determinăm vîrfurile hiperpoliedrului restricțiilor ( punctele în care n dintre restricții sunt egalități ) , să calculăm valorile lui f în aceste puncte si să selectăm valoarea cea mai mică sau cea mai mare .

În general însă , obținerea soluției optime prin determinarea tuturor vârfurilor hiperpoliedrului restricțiilor necesită o muncă enormă , fapt care a determinat căutarea unei metode analitice iterative care să reducă la minim numărul de calcule .

Altgoritmul cel mai important a fost găsit de matematicianul G. Dantzig ( 1947 ) și poartă numele de metoda simplex .

Pentru problema de minim , metoda simplex constă în următoarele reguli .

I . Să presupunem că toate numerele b , b ,…,b sunt negative . Introducând variabilele de egalizare w, w, …, w , obținem un program liniar echivalent

min f(x)=

cu restricțiile

, , .

Atașăm un tabel simplex

x x … x … x

… … –

… …

… …

… … 0 f

Evident toate – , i =1, …, m , din tabelul simplex sunt pozitive și punctul = 0 , , …, este un vârf al hiperpoliedrului restricțiilor .

Regula 1.

Alegem un element strict negativ în ultima linie a tabelului simplex .Dacă ultima linie a tabelului simplex nu conține elemnte strict negative , atunci valoarea minimă a lui f este 0 și (0, 0, …, 0) este un punct de minim .

Regula 2.

Să presupunem că regula 1 dă elementul de la capătul de jos al coloanei j . Formăm câturile , i=1, 2,…, m , j= fixat , pentru care .Acel element care dă cel mai mare cât se numește pivot .

Dacă toate elementele coloanei jsunt pozitive sau nule , atunci programul liniar propus nu admite soluție . Întradevăr , în acest caz poate fi făcut oricât de mare fără a afecta restricțiile , iar aceasta împreună cu implică faptul că termenul din f , si deci f , este nemărginit inferior .

Regula 3.

Schimbăm pe cu . În locuim pivotal cu inversul său . Celelalte elemente ale liniei pivotului se înlocuiesc respective prin câturile ; celelalte elemente ale coloanei pivotului se înlocuiesc respectiv prin câturile .

Regula 4.

Toate celelalte elemente r din tabel se înlocuiesc respectiv prin elementele de forma , unde p este elementul pivot , iar q și s sunt elemnte din table dispuse astfel :

p –– q

| |

s ––- r

Regulile 1 și 2 localizează un nou vârf pe una din axele de coordonate .Regulile 3 și 4 conduc la un nou tabel care corespunde unei probleme echivalente .

Prin iterație se obține un șir de tabele .

Dacă iterația se oprește în raport cu regula 1 , atunci programul propus are soluție .Valoarea minimă a lui f se citește din colțul din dreapta jos al ultimului tabel , iar punctul de minim se citește astfel :

x-șii care se găsesc deasupra tabelului se egalează cu zero , iar x-șii care apar pe margine din dreapta iau valorile corespunzătoare din coloana b-urilor .

Dacă iterația se oprește în raport cu regula 2 , atunci programul nu admite soluție . În acest caz numărul f(x) poate fi făcut oricât de mic fără a afecta restricțile .

Aplicarea repetată a regulilor 1 – 4 nu conduce neapărat la soluția programului liniar .O asemenea situație poate avea loc numai dacă unul dintre tabele are și zerouri în coloana b-urilor și apare fenomenul de ciclare .

II . Dacă cel puțin una dintre constantele este strict pozitivă , atunci regulile

1 – 4 nu sunt aplicabile direct , dar programul poate fi transformat intr+unul echivalent la care aceste reguli să funcționeze .

De exemplu , dacă presupunem că primele p constante sunt strict pozitive și că celelalte , , sunt toate negative , atunci programul liniar modificat este următorul :

min g(x)= +

cu restricțiile

, i=1, …, p ,

, i=p+1, …, m , , , ,

unde M este o constantă pozitivă suficient de mare .

Soluția programului liniar original este conținută în soluția programului modificat , iar aceasta din urmă poate fi găsită cu ajutorul regulilor 1 -4 .

Pentru rezolvarea programului linear (31) am aplicat metoda simplex .Pentru că cerința este de a maximiza suma ponderată de capacități de sosire și de plecare 15 minute , programul linear (31) trebuie transformat în programul dual

min , cu condițiile

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

, i=1, 2, 3, 4

Funcția care trebuie minimizată pentru a afla valorile minime , respectiv ale capacităților de sosire și de plecare pentru este :

.

Prin aplicarea algoritmului simplex descris mai înainte se obțin tabelele ( a se vedea anexa ) cu ajutorul cărora se determină valorile maxime ale capacităților optime variabile de sosire și de plecare pe interval de 15 minute .

Acestea sunt : .

Adică 76 de sosiri și 85 de plecări . În total 161 de zboruri .

A rezolva un program liniar cu multe variabile prin algoritmul descris anterior doar folosind creionul , guma și hârtia este un lucru anevoios care necesită o mare perioadă de timp ; în plus datorită factorului uman se pot strecura multe greșeli de calcul care , după cum ne putem da seama din pașii pe care îi urmează algoritmul , se propagă , astfel încât la final se obțin cu totul alte valori decât cele pe care ar trebui să le obținem .

Pentru a putea înțelege programele Matlab care permit rezolvarea într-un mod elegant a progamelor liniare (31) și (32) trebuie să discutam ceva despre Programarea Semidefinită ,programul semidefinit principal (PSDP) și programul semidefinit dual (DSDP) .

Programarea semidefinită este programarea lineară pe conul matricilor semidefinite .În comparație cu programarea lineară standard , programarea semidefinită vectorul variabilelor este înlocuit de matricea variabilelor . Cu alte cuvinte , conul valorilor pozitive ale membrului drept este înlocuit de conul matricilor semidefinite .

Pentru a exemplifica această similaritate vom formula întâi problema cu considerație pentru reprezentarea lui X ,

min

s.t.

pentru vectorii dați și matricea constantă .

Uzual programele semidefinite apar într-un mod natural din probleme ale căror date sunt date în formă de matrici . Folosirea vectorului operator tinde să ascundă ceea ce este evident și să complice formularea . Se poate introduce o notație mult mai agreabilă prin interpretarea lui c și a liniilor lui A drept matrici .

Fie matricea corespondentă lui c , astfel că așa încât c=vec(C) .Atunci produsul interior în spațiul vectorilor poate fi echivalent scris în spațiul matricilor ca produsul intern ,

= .

Deoarece X este o matrice simetrică partea simetrică din C nu are nici o influență asupra acestui produs interior . Fără pierderea generalității trebuie ca C să fie o matrice simetrică .

În același fel interpretăm linia , ca pe o matrice simetrică , rescriind cea de-a i constrângere : ca și adunând restricțiile într-un operator linear , .

Cu această notație ajungem la formularea standard a programului semidefinit principal, (PSDP) , , .

Pentru a obține programul dual trebuie să adăugăm operatorul A .Prin definiție operatorul satisface pentru toți și .

Deoarece , obținem . Luând în considerare formularea vectorială inițială , este doar o altă reprezentare a lui ATy subliniind astfel faptul că lucrăm cu matrici .

Pentru construirea programului dual folosim o abordare Lagrange – ană .

Restricțiile primare sunt maximizate în funcția obiectiv folosind multiplicatorul Lagrangean așa încât problema principală se citește .

Programul dual al programului semidefinit principal se obține schimbând inf cu sup :

.

Construcția programului dual implică faptul că valoarea termenului din dreapta nu poate să depășească valoarea problemei primare . Pentru ca supremul părții din dreapta să fie finit trebuie ca minimizarea internă asupra lui să rămână finită pentru anumiți . Acesta cere ca să fie pozitiv semidefinită .

Acestă condiție se scrie introducând matricea liberă Z . Forma standard a dualului (DSDP) programului semidefinit principal (PSDP) este :

max

s.t.

.

Deci folosind o abordare Lagrangeană am obținut programul semidefinit dual (DSDP) al programului semidefinit principal (PSDP) . Diferența dintre soluția fezabilă a programului dual (y,Z) și soluția fezabilă a programului primar X este

.

Proprietatea că valoarea funcției obiectiv a oricărei soluții fezabile a programului semidefinit primar este mai mare sau egală cu valoarea funcției obiectiv a oricărei soluții fezabile a programului dual se numește insuficientă dualitate .

Dacă se întâmplă să fie zero atunci perechea de soluții primară – duală este o soluție optimă .

Pentru rezolvarea atât a programului liniar (31) cât și a programului linear (32) se folosește programarea semidefinită astfel că programul linear este scris considerând fiecare variabilă sau termen constant drept o matrice pătratică de dimensiuni 1X1 .

4.3. Programele MATLAB de rezolvare a programelor liniare

Pentru primul program linear

%Program pentru determinarea capacitatilor optime variabile

%de 15 minute in cazul lui alfa=0.5 folosind programului linear (31)

clear;

%Inceputul LMI

setlmis([ ]);

lmi1=newlmi;

%Definire parametri

alfa=0.5;

gama=200.555;

%Definire variabile

u1=lmivar(1,[1 1]);

u2=lmivar(1,[1 1]);

u3=lmivar(1,[1 1]);

u4=lmivar(1,[1 1]);

v1=lmivar(1,[1 1]);

v2=lmivar(1,[1 1]);

v3=lmivar(1,[1 1]);

v4=lmivar(1,[1 1]);

xfeas=([u1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4]);

%Definire LMI

lmiterm([1 1 1 u1],1,1);

lmiterm([1 1 1 0],-13);

lmiterm([2 1 1 u1],1,1);

lmiterm([2 1 1 u2],1,1);

lmiterm([2 1 1 0],-45);

lmiterm([3 1 1 u1],1,1);

lmiterm([3 1 1 u2],1,1);

lmiterm([3 1 1 u3],1,1);

lmiterm([3 1 1 0],-69);

lmiterm([4 1 1 u1],1,1);

lmiterm([4 1 1 u2],1,1);

lmiterm([4 1 1 u3],1,1);

lmiterm([4 1 1 u4],1,1);

lmiterm([4 1 1 0],-79);

lmiterm([5 1 1 v1],1,1);

lmiterm([5 1 1 0],-35);

lmiterm([6 1 1 v1],1,1);

lmiterm([6 1 1 v2],1,1);

lmiterm([6 1 1 0],-37);

lmiterm([7 1 1 v1],1,1);

lmiterm([7 1 1 v2],1,1);

lmiterm([7 1 1 v3],1,1);

lmiterm([7 1 1 0],-65);

lmiterm([8 1 1 v1],1,1);

lmiterm([8 1 1 v2],1,1);

lmiterm([8 1 1 v3],1,1);

lmiterm([8 1 1 v4],1,1);

lmiterm([8 1 1 0],-85);

lmiterm([-9 1 1 u1],1,1);

lmiterm([-10 1 1 u2],1,1);

lmiterm([-11 1 1 u3],1,1);

lmiterm([-12 1 1 u4],1,1);

lmiterm([13 1 1 u2],1,1);

lmiterm([13 1 1 0],-25);

lmiterm([14 1 1 u3],1,1);

lmiterm([14 1 1 0],-25);

lmiterm([15 1 1 u4],1,1);

lmiterm([15 1 1 0],-25);

lmiterm([-16 1 1 v1],1,1);

lmiterm([-17 1 1 v2],1,1);

lmiterm([-18 1 1 v3],1,1);

lmiterm([-19 1 1 v4],1,1);

lmiterm([20 1 1 v2],1,1);

lmiterm([20 1 1 0],-30);

lmiterm([21 1 1 v3],1,1);

lmiterm([21 1 1 0],-30);

lmiterm([22 1 1 v4],1,1);

lmiterm([22 1 1 0],-30);

lmiterm([23 1 1 u1],1.5,1);

lmiterm([23 1 1 v1],1,1);

lmiterm([23 1 1 0],-52.5);

lmiterm([24 1 1 u2],1.5,1);

lmiterm([24 1 1 v2],1,1);

lmiterm([24 1 1 0],-52.5);

lmiterm([25 1 1 u3],1.5,1);

lmiterm([25 1 1 v3],1,1);

lmiterm([25 1 1 0],-52.5);

lmiterm([26 1 1 u4],1.5,1);

lmiterm([26 1 1 v4],1,1);

lmiterm([26 1 1 0],-52.5);

lmiterm([27 1 1 u1],2.25,1);

lmiterm([27 1 1 v1],1,1);

lmiterm([27 1 1 0],-68.25);

lmiterm([28 1 1 u2],2.25,1);

lmiterm([28 1 1 v2],1,1);

lmiterm([28 1 1 0],-68.25);

lmiterm([29 1 1 u3],2.25,1);

lmiterm([29 1 1 v3],1,1);

lmiterm([29 1 1 0],-68.25);

lmiterm([30 1 1 u4],2.25,1);

lmiterm([30 1 1 v4],1,1);

lmiterm([30 1 1 0],-68.25);

lmiterm([33 1 1 u1],-4*alfa,1);

lmiterm([33 1 1 u2],-3*alfa,1);

lmiterm([33 1 1 u3],-2*alfa,1);

lmiterm([33 1 1 u4],-alfa,1);

lmiterm([33 1 1 v1],-4*(1-alfa),1);

lmiterm([33 1 1 v2],-3*(1-alfa),1);

lmiterm([33 1 1 v3],-2*(1-alfa),1);

lmiterm([33 1 1 v4],-(1-alfa),1);

lmiterm([33 1 1 0],gama);

lmi1=getlmis;

[tmin,xfeas]=feasp(lmi1,[1 200 1e+9 200 0]);

u1=dec2mat(lmi1,xfeas,u1);

u2=dec2mat(lmi1,xfeas,u2);

u3=dec2mat(lmi1,xfeas,u3);

u4=dec2mat(lmi1,xfeas,u4);

v1=dec2mat(lmi1,xfeas,v1);

v2=dec2mat(lmi1,xfeas,v2);

v3=dec2mat(lmi1,xfeas,v3);

v4=dec2mat(lmi1,xfeas,v4);

round(xfeas)

S=[u1 u2 u3 u4];

sosiri=sum(S)

round(sosiri);

P=[v1 v2 v3 v4];

plecari=sum(P)

round(plecari);

total=[S P];

T=sum(total);

T=round(T)

gama

alfa

tmin

xi=u1:0.1:25;

yi=interp1(S,P,xi);

plot(S,P,'o',xi,yi,S,P,'rx')

grid

FIGURA 8. Graficul capacităților optime variabile pentru

în intervalul de timp 12.00 – 13.00

Pentru rezolvarea celui de-al doilea program linear

Comentariu

Pentru că în program nu se putea exprima X(i+1)=max(0,X(i)+a(i)-u) și nici Y(i+1)=max(0,Y(i)+d(i)-v) , în sensul că în cazul în care X(i)+a(i)-u sau Y(i)+d(i)-v erau mai mici decât zero sau egali cu zero , programul trebuia să ia ca valoare pentru X(i+1) și respectiv Y(i+1) valoarea zero , am pus condițiile ca X(i+1)+gama și Y(i+1)+gama , unde gama este un număr pozitiv , gama , și .

Aceste condiții nu influențează soluția problemei cu nimic , având în vedere procedura LMI (Inecuațiile Lineare Matriciale), ci doar ajută la exprimarea lui X(i+1) și a lui Y(i+1) care altfel nu puteau fi declarați .

După cum se poate observa dacă X(i+1)=-gama și Y(i+1)=-gama și < gama , în final rezultă – 4*gama < gama ceea ce este adervărat .

%Program pentru determinarea capacitatilor optime constante

%de o oră in cazul lui alfa=0.5 folosind programului linear (32)

clear;

%Declarare constante

a(1)=13;

a(2)=32;

a(3)=24;

a(4)=10;

d(1)=35;

d(2)=2;

d(3)=28;

d(4)=20;

%Definire Cozi Initiale

X(1)=0;

Y(1)=0;

%Definire Parametri

alfa=0.5;

gama=6.6474;

i=1;

N=4;

%Inceputul LMI1

setlmis([ ]);

lmi1=newlmi;

%Definire variabile

u=lmivar(1,[1 1]);

v=lmivar(1,[1 1]);

xfeas=([u v]);

lmiterm([-1 1 1 u],1,1);

lmiterm([-2 1 1 v],1,1);

lmiterm([3 1 1 u],1,1);

lmiterm([3 1 1 0],-25);

lmiterm([4 1 1 v],1,1);

lmiterm([4 1 1 0],-30);

lmiterm([5 1 1 u],1.5,1);

lmiterm([5 1 1 v],1,1);

lmiterm([5 1 1 0],-52.5);

lmiterm([6 1 1 u],2.25,1);

lmiterm([6 1 1 v],1,1);

lmiterm([6 1 1 0],-68.25);

lmiterm([7 1 1 u],-10*alfa,1);

lmiterm([7 1 1 v],-10*(1-alfa),1);

lmiterm([7 1 1 0],alfa*(4*a(1)+3*a(2)+2*a(3)+a(4)+4*X(1))+(1-alfa)*(4*d(1)+3*d(2)+2*d(3)+d(4)+4*Y(1))-gama);

%Conditii suplimentare de existenta.Ajuta la exprimarea lui X(i+1)=max(0,X(i)+a(i)-u)

%si Y(i+1)=max(0,Y(i)+d(i)-v) functie de u si de v .

lmiterm([-8 1 1 u],-1,1);

lmiterm([-8 1 1 0],a(1)+X(1)+gama);

lmiterm([-9 1 1 u],-2,1);

lmiterm([-9 1 1 0],a(1)+a(2)+X(1)+gama);

lmiterm([-10 1 1 u],-3,1);

lmiterm([-10 1 1 0],a(1)+a(2)+a(3)+X(1)+gama);

lmiterm([-11 1 1 u],-4,1);

lmiterm([-11 1 1 0],a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+X(1)+gama);

lmiterm([-12 1 1 v],-1,1);

lmiterm([-12 1 1 0],d(1)+Y(1)+gama);

lmiterm([-13 1 1 v],-2,1);

lmiterm([-13 1 1 0],d(1)+d(2)+Y(1)+gama);

lmiterm([-14 1 1 v],-3,1);

lmiterm([-14 1 1 0],d(1)+d(2)+d(3)+Y(1)+gama);

lmiterm([-15 1 1 v],-4,1);

lmiterm([-15 1 1 0],d(1)+d(2)+d(3)+d(4)+Y(1)+gama);

lmi1=getlmis;

[tmin,xfeas]=feasp(lmi1,[1 200 1e+9 200 0]);

u=dec2mat(lmi1,xfeas,u);

v=dec2mat(lmi1,xfeas,v);

for i=1:1:N

X(i+1)=max(0,X(i)+a(i)-u);

Y(i+1)=max(0,Y(i)+d(i)-v);

end

round(X);

round(Y);

sum(X);

sum(Y);

N

alfa

gama

tmin

u=round(u)

v=round(v)

Cozi_Sosire=round(X)

Total_Cozi_De_Sosire=round(sum(X))

Cozi_Plecare=round(Y)

Total_Cozi_De_Plecare=round(sum(Y))

Total_Zboruri_Intarziate=Total_Cozi_De_Sosire+Total_Cozi_De_Plecare

xi=X;

yi=Y;

plot(xi,yi,'o',Cozi_Sosire,Cozi_Plecare,'rx');

grid

FIGURA 9. Graficul cozilor pentru

în intervalul de timp 12.00 – 13.00

Capitolul 5

Concluzii

Această lucrare discută aspecte importante ale studiului capacității aeroportuare referitor la reprezentare , estimare și optimizare privitoare la scopul managementului de trafic aerian .

Reprezentarea capacității aeroportuare printr–un set de curbe de capacitate care acoperă limitele operaționale ale aeroportului pe întregul domeniu al raporturilor de sosire / plecare în condiții variate are avantaje incontestabile asupra reprezentării prin constante fixate ( una , până la trei constante separate pentru capacitățile de sosire și plecare ) .

Cu toate acestea , beneficiile acestei reprezentări pot fi realizate doar în două condiții : curbele de capacitate trebuie să fie realiste , și aceste curbe trebuie folosite corespunzător pentru a rezolva problemele majore ale managementului de trafic în timpul congestiei .

A fost prezentată o metodă de estimare realistă a curbelor de capacitate .

Folosind rezultatele analitice asupra caracterului relației funcționale dintre capacitățile de sosire și de plecare , și folosind înregistrările istorice asupra numărului real de sosiri și de plecări la un aeroport într-un interval mare de timp , relația funcțională poate fi specificată pentru fiecare configurație a pistei și pentru orice condiții meteorologice .

Setul de curbe realiste de capacitate care rezultă reprezintă informații detaliate despre limitele operaționale ale aeroportului .

A fost prezentată o metodă de alocare optimală a capacităților aeroportului între sosiri și plecări care să satisfacă cel mai bine cererea traficului .

Modelul matematic consideră sosirile și plecările ca procese interdependente , tratează capacitățile aeroportului drept variabile de decizie , și selectează valorile optime ale capacității pentru domeniul restrâns de curbele de capacitate .

Acest model poate fi folosit ca un eficient instrument de decizie pentru managerii de trafic .

Rezultatul procedurii de optimizare prezintă un profil al capacității aeroportului care sugerează managerilor de trafic cât de multe sosiri și plecări ar fi cel mai bine să fie executate în fiecare slot de timp .

Modelul de optimizare a capacității permite unui manager de trafic să genereze strategii eficiente de manageriere a fluxurilor de sosire și de plecare .

Profilele alternative ale capacității , și de aici , strategiile alternative de management , pot fi obținute prin schimbarea parametrilor acestui model .

Managerul , adică controlorul de trafic, poate atunci să evalueze alternativele și să aleagă cea mai bună soluție .

Prezentul mod de abordare poate fi extinsă la o rețea cu conexiuni în multe aeroporturi .

Optimizarea capacităților pentru un set de aeroporturi poate să îmbunătățească mai departe utilizarea spațiului aerian și să mărească fluxul traficului prin acel spațiu .

Capitolul 6

Anexa

Exemple de tabele rezolvitoare pentru programul linear (31) în cazul lui .

Pentru o mai bună înțelegere pivotul este colorat diferit de restul tabelului în cazul fiecărui tabel .

Tabel I

Tabel II

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Tabel IX

După cum se poate observa , în cazul variabilelor numeroase , calculul durează mult și erorile pot să apară destul de frecvent și , ceea ce este mult mai grav , să se propage .Astfel , dacă un coeficient este calculat greșit în unul din tabele , la tabelul următor el va provoca cel puțin încă o eroare unui alt coeficient .

Tabel cu valorile capacităților în funcție de alfa calculate în MATLAB cu programul linear (31)

FIGURA 10. Capacitățile optime variabile de 15 minute pentru alfa cuprins între 0 și 1

Tabel cu valorile cozilor și capacităților optime orare constante în funcție de alfa calculate în MATLAB cu programul linear ( 32 )

FIGURA 10. Valorile cozilor de 15 minute pentru alfa cuprins între 0 și 1

Bibliografie

[1] – ” Airport capacity estimation based on observed data ”, de Eugene P. Gilbo

Martie 1990 , ATMS/ETMS Project Memorandum , Unisys Corporation. , Cambridge , MA , Martie 1990

[2] – ” Arrival-departure capacity estimates for major airports ” , de Eugene P. Gilbo , ATMS/ETMS Project Memorandum , Unisys Corporation. , MA , Noiembrie 1990

[3] – ” Airport capacity estimates for various weather conditions ” , de Eugene P. Gilbo , ATMS/ETMS Project Memorandum , Unisys Corporation. , MA , Iulie 1991

[4] – ” The flow management Problem in Air Traffic Control ” , de A.R. Odoni , în “ Flow Control of Congested Networks “ de A.R. Odoni , L. Bianco și G. Szego , Eds. New-York : Springer-Verlag ,1987 , pp.269-288.