Cap.3.probleme De Constructii Geometrice6 [631132]

1
CAPITOLUL I II
PROBLEME DE CONSTRUCȚII GEOMETRICE
CU RIGLA ȘI COMPASUL

Acest capitol este dedicat prezentării, analizării și rezolvării problemelor de
construcții geometrice realizate cu rigla și compasul.
Plecând de la construcții simple, elementare, u zuale și până la unele mai
complexe, încercăm să acoperim o plajă cât mai mare din problemele cele mai des
întâlnite sau care nu ar trebui să lipsească din manualele elevilor din învățământul
preuniversitar.
Având în vedere că în capitolul I, tema 3 (vezi paginile 11 -13) am prezentat pe
larg modalitatea corectă și amănunțită de abordare a unei problem e de construcție
geometrică cu rigla și compasul (construcția mediatoarei unui segment) , din economie
de spațiu, în exemplele ce vor urma, vom apela la o prez entare mai succintă fără să
afectăm gradul de corectitudine sau înțelegere a rezolvării acestora.
De asemenea, o problemă deja rezolvată și prezentată, o putem considera
construcție cunoscută ce poate sta la baza construcțiilor ce urmează a fi prezentate, fără
a mai relua procedeul de rezolvare.
Mai trebuiesc făcute următoarele precizări :
– pe lângă elementele date, toate construcțiile se realizează într -un plan fundamental
dat;
– construcțiile geometrice vor fi realizate cu ajutorul riglei negradat e și a compasul ui
transportor de segmente – instrumente ce stau la baza oricărui școlar și oricui îi
este nece sar în vreo activitate practică;
– metoda sau metodele de rezolvare a problemelor ce urmează a fi prezentate, nu sunt
nici unice , nici cele mai simple sau fre cvente . În alegerea lor am ținut cont de
gradul de relevanță și utilitate practică, de prezența lor fie în manualele școlare , fie
în viața elevului , de măsura în care pot stârni curiozitatea sau interesul spre acest
domeniu, având grijă, atunci când se poa te, să nu se repete în construcțiile
intermediare din probleme diferite propuse spre rezolvare.

2
1. Construcții de expresii algebrice
Propoziție:
Dacă a și b sunt două numere date sau construibile, atunci sunt construibile
și expresiile: a + b, a – b, a • b,
ba,
acbx ,
2ba ,
ba ,
2 2ba ,
2 2ba .
1.1˚ Construcția expresiei a ± b
Problemă: Fie două segmente de lungimi a și b. Să se construi ască seg mentul
de lungime a ± b (vezi figura 9) .

Construcția :
– Construim dreapta ( d) pe care alegem un punct A;
– Deschidem compasul de lungime a și, cu piciorul în punctul A, construim un
arc de cerc de rază a până ce intersectează dreapta (d) în punctul notat cu B;
– Cu centrul în punctul B și de rază b, trasăm un alt cerc care va intersecta dreapta
în punctele D și C.
Obținem:
– Segmentul sumă: [AC] = [AB] + [BC] = a + b
– Segmentul diferență: [AD] = [AB] – [BD] = a – b.

Figura 9

3
1.2˚ Construcția expresiei a•b
Problemă: Fie două segmente de lungimi a și b. Să se construiască segmentul
de lungime a • b (vezi figura 10).

Construcția :
– Construim două semidrepte d1 și d2 cu originea comună în O;
– Pe semidreapta d1 construim segmentul unitate [OA] = 1 și semgentul [OB] = a iar
pe semidreapta d2 construim segmentul [OC] = b și unim A cu C;
– Prin B ducem o paralelă la segmentul AC care va intersecta semidreapta d2 în
punctul D.
Justificare : Din teorema lui Thales avem:
ba ODODb
a1
ODOC
OBOA

1.3˚ Construcți a expresiei
ba
Problemă: Fie două segmente de lungimi a și b. Să se construiască segmentul
de lungime
ba (vezi figura 11).
Construcția :
– Construim două semidrepte d1 și d2 cu originea comună în O;
– Pe semidreapta d1 construim segmentul unitate [OA] = 1 și semgentul [OB] = b iar
pe semidreapta d2 construim segmentul [OC] = a și unim B cu C;
– Prin A ducem o paralelă la segmentul BC care va intersecta semidreapta d2 în
punctul D.

Figura 10

4

Justificare : Din teorema lui Thales a vem:
baODaOD
b1
OCOD
OBOA
1.4˚ Construcția celui de -al patrulea proporțional (
xc
ba )
Problemă: Fie trei segmente de lungimi a, b și c. Să se construiască expresia
xc
ba
sau segmentul de lungime
acbx (vezi figura 12) .
Construcția :
– Construim două semidrepte d1 și d2 cu originea comună în O;
– Pe semidreapta d1 construim segmentele [OA] = a și [AB] = b iar pe semidreapta d2
construim segmentul [OC] = c și unim A cu C;
– Prin B ducem o paralelă la segment ul AC care va intersecta semidreapta d2 în
punctul D.
Justificare :
Din teorema lui Thales avem:
acbxacbCDCDc
ba
CDOC
ABOA  .

Figura 11

Figura 12

5
1.5˚ Construcția mediei aritmetice a două segmente
Problemă: Fie două segmente de lungimi a și b. Să se construiască segmentul
de lungime
2ba (vezi figura 13).

Construcția :
– construim segmentul sumă a+b= [AC] = =[AB] + [BC];
– constru im mediatoarea segentului [AC] care va împărți segmentul AC în două
segmente congruente ( [AM]≡[MC] ).
Justificare :
2 2 2ba BC AB ACAM .
1.6˚ Construcția mediei geometrice a două segmente
Problemă: Fie două segmente de lungimi a și b. Să se construiască segmentul
de lungime
ba (vezi figura 14).

Figura 13

Figura 14

6
Construcția :
– Construim segmentul sumă a + b = [BD] + [DC] = [BC] și determinăm mijlocul
acestuia (O);
– Cu centrul în punctul O și rază OB, construim semice rcul determinat de diametrul
BC;
– Din punctul D, ridicăm perpendiculara la BC până intersectează semicercul în
puncul A.
Lungimea segmenului AD reprezintă media geometric ă a numerelor a și b.
Justificare :
Din faptul că triunghiul ABC este înscris într -un semicerc rezultă că
m(∢BAC)=90ș . Din teorema înălțimii aplicată în ∆ABC avem: AD2 = BD•DC, adică
ba AD
.
Observație: dacă înlocuim mumărul b cu segment ul unitate, cu ajutorul
procedeului de mai sus putem obține construcția numărului real pozitiv
a.

1.7˚ Construcția expresiei
2 2ba
Problemă: Fie două segmente de lungimi a și b. Să se construiască segmentul
de lun gime
2 2ba (vezi figura 15).
Construcția :
– Din aceeași origine, construim două semidre pte perpendiculare [OA) și [OB);
– Pe cele două semidrepte construim (transportă m) segmentele [OA] și [OB] de
lungimi a și b;
– Unim punctele A și B și obț inem segmentul căutat.

Figura 15

7
Justificare :
Cum ∆AOB este dreptunghic, conform teoremei lui Pitagora avem :
AB2 = AO2 + OB2
2 2 2 2ba AB OB AO AB  .
Observație: dacă înlocuim rolul catetei OA cu al ipotenuzei și construim
AB= a, atunci vom obține
2 2ba OA .

1.8˚ Împărțirea unui segment în n părți egale
Problemă: Să se împartă un segment AB (dat sau construibil) în patru
segmente de lungimi egale (vezi figura 16).

Construcția :
– Cu ajutorul riglei construim o semidreaptă oarecare [AX); A1
– Fixăm compasul cu piciorul în punctul A și, cu o deschizătură oarecare dar fixă , pe
semidreapta [AX), construim patru segmente congruente ([AA 1], [A 1A2], [A 2A3],
[A3A4]). Notăm ultimul punct cu A 4;
– Cu o deschizătură a compasului cât segmentul B A4, fixă m piciorul compasului în
punctul A și, în semiplanul opus, construim un arc de cerc;
– Cu o deschizătură a compasului cât segmentul A A4, fixăm piciorul compasului în
punctul B și, în același semiplan, construim încă un arc de cerc ce îl va intersecta pe
prim ul în punctul notat cu B 4;
– Cu ajutorul riglei construim segmentul determinat de punctele B4 și B;

Figura 16

8
– Cu o deschizătură a compasului cât segmentul AA 1, fixăm piciorul compasului în
punctul B și construim (transportăm) patru segmente congruiente ([BB 1], [B 1B2],
[B2B3], [B 3B4]);
– Cu ajutorul riglei trasăm dreptele (AB 4), (A 1B3), (A 2B2), (A 3B1), (A 4B) care vor
intersecta segmentul AB în punctele M, N, P.
În acest mod, segmentul AB este împărțit în patru segmente congruente.
Justificare : Cum (AB 4)∥(A1B3)∥(A2B2)∥(A3B1)∥(A4B), conform teoremei
paralelelor echidistante, pe secanta AB avem: [AM] ≡[MN]≡[NP]≡[PB].
Observa ție: Pentru un n număr natural rezonabil, această metodă se poate
generaliza pentru n segmente congruente.

1.9˚ Împărțirea unui segment în părți propor ționale cu alte segmente
Problemă: Să se împartă un segment de lungime n (dat sau construibil) în patru
segmente proporționale cu patru segmente de lungimi a, b, c și d (vezi figura 17).
Construcția :
– Construim două semidrepte d1 și d2 cu originea comună în O;
– Pe semidreapta d1 construim segmentul [OD ʹ] = n iar pe semidreapta d2 construim
segmentele [OA] = a, [AB] = b, [BC] = c, [CD] = d și unim punctul D cu D ʹ;
– Prin A, B și C ducem câte o paralelă la segmentul DD ʹ care vor intersecta
semidreapta d1 în punctele Aʹ, Bʹ și Cʹ.
Segmentele astfel obținute ([OA ʹ], [AʹBʹ], [BʹCʹ] și [C ʹDʹ]) sunt proporționale
cu segmentele de lungimi a, b, c și d.

Figura 17

9
Justificare :
Întradevăr, conform teoremei lui Thales avem:
DCCD
CBBC
BAAB
AOOA

unde OA ʹ + AʹBʹ + BʹCʹ + CʹDʹ = n.
Observați a 1: Dacă a = b = c = d atunci, segmentul de lungime n se împarte în
patru segmente de lungimi egale.
Observația 2: Generalizând, segmentul de lungime n se poate împărți în p
segmente proporționale cu
px xxx ,…,,,3 2 1 , unde p ≥ 2 număr natural, finit și rezonabil,
iar
px xxx ,…,,,3 2 1 sunt numere date sau construibile.

1.10˚ Împărțirea unui segment în medie și extremă rație („tăietura de aur“)
Problemă: „Să se taie o linie dreaptă dată [n.a.: aici cu sensul de segment ] în
așa fel încât dreptunghiul cuprins de dreapta întreagă și unul din segmente să fie egal
cu pătratul segmentului rămas.”1
De fapt, problema cere să se împartă un segment în două părți neegale astfel
încât raportul dintre segmentul dat și segmentul mai mare să fie egal cu raportul dintre
segmentul mai mare și segmentul mai mic .
Vom prezenta două metode de construcție pentru problema de mai sus.
Metoda I : Împărțirea unui segment în medie și extremă rație (vezi figura 1 8)
Fie segmentul AB de lungime n ce urm ează a fi împărțit.

1 Această formulare o găsim în Elementele lui Euclid, Cartea a II-a, problema 11

Figura 18

10
Construcția :
– Într-un capăt al segmentului (B) ridicăm o perpendiculară (BC);
– Pe această perpendiculară construim un cerc de diametru [BC] ≡[AB];
– Din celălalt capăt al segmentului (A) construim semidreapta [AO) care va intersecta
cercul în punctele P și Q;
– Cu centru în punctul A și de rază AP, construim un arc de cerc astfel încât să
intersecteze segmentul dat AB.
Punctul astfel obținut (punctul F) va împărți segmentul dat (AB = n) în medie
și extremă rație.
Justificare :
Notăm AB = n, AF = a și FB = b. Din AB = BC = n obținem
2nOP .
Din teorema lui Pitagora aplicată în ∆OBA obținem
25nAO .
Cum
2nOP , avem

215
2 25 nn nOP AO AP .

25 2
215 n nn nn AF AB FB

Calculăm raportul dintre segmentul dat și segmentul mai mare (AF) obținut :
…. 6180339887,1215
4152
152
21515



nn
AFAB
2
Calculăm raportul dintre segmentul mai mare (AF) și segmentul mai mic (FB) :






215
4252
5 315
25 32155 3
nn
FBAF

Așadar,
ba
an de unde rezultă că punctul F ( „tăietura de au r“) împarte
segmentul AB de lungime n în medie și extremă rație.

2 Simbolul atribuit acestui numǎr „φ“ (sau „Φ“) aparține matematicianului american Mar k Baar
(împreunǎ cu Schooling) și reprezintǎ prima literǎ a numelui celebrului sculptor antic grec Fidias
(aprox.480 -432 î.Hr.) care în lucrǎrile sale s -a folosit de aceastǎ proporție .

11
Metoda II (metoda arhitecților) : Construcția numărului Φ (vezi figura 1 9)

Justificare :
Cum AB = 1, iar M este mijlocul lui AB, rezultă că
21MB . Din teorema lui
Pitagora aplicată în ∆MBC avem
25MC .
Dar
…. 6180339887,1215
25
21 MP AM AP

2. Construcți a unor figuri geometrice elementare
2.1˚ Construcția (transportarea) unui segment congruent cu un segment dat
Problemă : Fie un segment [AB] dat. Să se construi ască un segment congru ent
cu segmentul dat (vezi figura 20).

Figura 19 Construcția :
– Se construiește un pătrat cu latura de o
unitate;
– Se construiesc punctele M și N ca fiind
mijloacele laturilor AB și CD;
– Se co nstruiește un arc de cerc de centru
M și rază MC care va intersecta
prelungirea laturii AB în punctul P;
– Segmentul AP = Φ.

Figura 19 Construcția :
– Construim dreapta ( d) pe care alegem un
punct (M).
– Deschidem compasul cât segmentul AB,
fixăm piciorul acestuia în punctul M și construim
un arc de cerc care va intersecta dreapta d în
punctul N.
Justificare:
Este evident faptul că [AB] ≡[MN].

12
2.2˚ Construcția (transportarea) unui unghi congruent cu un unghi dat
Problemă: Fie un unghi dat XOY. Să se construiască un unghi congruent cu
unghi ul dat (vezi figura 20).

punctul B ș i construim un arc de cerc (AC) care va intersecta semidreapta [BC) în
punctul C;
– Deschidem compasul cât coarda corespunzătoare arcului XY, fixăm piciorul în
punctul C și construim un arc de cerc ce va intersecta arcul AC în punctul A;
– Construim semidreapt a [BA) ce va constitui cea de -a doua latura a unghiului
ABC căutat.
Justificare:
XY AC XOY ABC  
.

2.3˚ Construcția bisectoarei unui unghi
Problemă: Să se construiască bisectoarea unui unghi oarecare XOY (vezi
figura 2 1).

Figura 21 Construcția:
– Fixăm piciorul compasului în
vârful unghiului (O) și, cu o rază
oarecare, cons truim un arc de cerc
astfel încât acesta să intersecteze
laturile unghiului în punctele notate
cu A și B;

Figura 20 Construcția:
– Construim semidreapta [BC);
– Fixăm piciorul compasului în
punctul O și construim un arc d e
cerc (arcul XY) care va intersecta
laturile unghiului XOY în punctele
X și Y ;
– Cu aceeași deschizătură a
compasului, fixăm piciorul în

13
– Cu aceeaș i deschizătură sau nu, fixăm piciorul compasului pe rând în punctele
A și B și construim în interiorul unghiului două arce de cerc care se intersectează în
punctul M;
– Cu ajutorul riglei, construim o semidreaptă cu originea în punctul O și care
trece prin p unctul M.
Semidreapta [OM) reprezintă bisectoarea unghiului XOY.
Justificare : ∆AOM ≡ ∆BOM (cazul L.L.L.) ⇒ ∢AOM ≡ ∢BOM ⇒[OM) este
bisectoarea unghiului XOY.
2.4˚ Construcția (coborârea) unei perpendiculare pe o dreaptă
dintr -un punct exterior ei
Proble mă: Se dă o dreaptă (d) și un punct P exterior ei ( P∉(d)). Se cere să se
construiască o dreaptă (a) care trece prin punctul P și să fie perpendiculară pe dreapta
(d) (vezi figura 22).

Dreapta astfel construită este perpendiculara dusă din punctul P pe dreapta (d).
Justificare : Observăm că dreapta (PQ) (cu PQ ⊂(a))este mediatoarea
segmentului AB ([PA] ≡[PB] și [QA] ≡[QB]) care este inclus în dreapta dată (d). Cum
(PQ)∩(AB)={M} rezultă că P M⊥(d).

Figura 22 Construcția:
– Fixăm piciorul compasului în
punctul P și, cu o rază oarecare, construim
un arc de cerc astfel încât acesta să
intersecteze dreapta (d) în punctele notate
cu A și B;
– Fixăm piciorul compasului , pe rând ,
în punctele A și B și, cu aceeași rază dar în
semiplanul opus punctului P, construim
două arce de cerc car e se intersectează în
punctul Q;
– Cu ajutorul riglei, construim dreapta
determinată de punctele P și Q (dreapta a)
care va intersecta dreapta (d) în punctul M.

14
2.5˚ Construcția (ridicarea) unei perpendicula re dintr -un punct al dreaptei
Problemă: Se dă o dreaptă (d) și un punct P pe dreaptă ( P(d), vezi figura 2 3).
Se cere să se construiască o dreaptă (a) care trece prin punctul P și să fie
perpendiculară pe dreapta (d).

Justificare :
Observăm că tr iunghiul MAB este isoscel (cu MA ≡MB) iar MP este mediana
bazei AB (AP ≡PB), așadar MP este și înălțime (MP ⊥AB). Cum [AB] ⊂(d) și (MP)= (a),
rezultă că (a)⊥(b) în punctul P, unde (a)∩(b)={P}.

2.6˚ Construcția unei paralele la o dreaptă dată printr -un punct ex terior ei
Problemă: Se dă o dreaptă (d) și un punct P exterior ei ( P∉(d)). Se cere să se
construiască o dreaptă (a) care trece prin punctul P și să fie paralelă cu dreapta (d) (vezi
figura 24).
Construcția:
– Prin punctul P construim o secantă oarecare la dreapta d ce o intersectează în Q;

Figura 23 Construcția:
– Fixăm piciorul compasului în punctul P al
dreptei și, cu o rază oarecare, construim un
cerc astfel încât acesta să intersecteze dreapta
d în punctele no tate cu A și B;
– Fixăm piciorul compasului , pe rând , în
punctele A și B și, cu o rază mai mare, în
același semiplanul al dreptei, construim două
arce de cerc care se intersectează în punctul M;
– Cu ajutorul riglei, construim dreapta
determinată de punctele M și P (dreapta a).
Dreapta astfel construită este
perpendiculara dusă din punctul P al dreptei (d).

15

Dreapta astfel construită ( a) este paralelă cu dreapta dată ( d).
Justificare : Având în vedere faptul că
AB CD BQA CPD  
(unghiuri
alterne interne) rezultă că (d) ∥ (a).

2.7˚ Determinarea centrulu i unui cerc oarecare
Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul centrul unui cerc oarecare
dat (vezi figura 25).

Justificare : Demonstrația este evidentă dacă ținem cont de proprietatea
punctelor de pe mediatoarea unui segment, iar (PQ)∩(MN )={O} și
[OA]≡[OB]≡[OC]≡[OD] . Așadar, punctul O este centrul cercului dat.

Figura 24 – Cu centrele în punctele Q și P construim
două arce de cerc congruente astfel încât,
primul arc intersectează dreapta d în punctu l B
și secanta (PQ) în punctul A, iar al doilea arc
intersectează secanta (PQ) în punctul C;
– Cu o deschizătură cât coarda AB, fixăm
piciorul compasului în punctul C și construim
un al treilea arc de cerc ce îl intersectează pe al
doilea în punctul D;
– Cu aj utorul riglei, construim dreapta
determinată de punctele P și D .
–

Figura 25

Construcția:
– Cu ajutorul riglei, construim două
coarde de cerc oarecare (AB și CD);
– Construim mediatoarele acestora:
(PQ) și (MN);
Punctul de intersecție (O) al
mediatoare lor coardelor AB și CD
reprezintă centrul cercului.

16
2.8˚ Construcția tangentelor dintr -un punct exterior la un cerc dat
Problemă: Fiind date C (O, r) și un punct exterior lui (punctul P), să se
construiască din punctul P tangentel e la C (O, r) (vezi figura 26 ).

Semidreptele astfel construite ( [PT 1) și [PT 2)) reprezintă tangentele în punctele
T1 și T 2 duse la cercul dat C (O, r) .
Justificare : C (O, r) ∩C (Q, OQ)={ T1, T 2}. m(∢OT 1P)=m( ∢OT 2P)=90 ș
fiind unghiuri înscrise în câte un semicerc. Dar [OT 1]=[OT 2]=r, de unde rezultă că
semidreptele [PT 1) și [PT 2) sunt tangente la C (O, r) .

2.9˚ Construcția tangente i într-un punct dat al unui cerc dat
Problemă: Fiind date C (O, r) și un punct P pe cerc. Să se construiască prin
punctul P tangenta la C (O, r) (vezi figura 27 ).

Figura 26 Construcția:
– Construim segmentul [OP];
– Determinăm mijlocul segentului [OP]
și obținem punctul {Q}=[OP] ∩(MN);
– Construim cercul de centru Q și rază
OQ care va intersecta cercul dat în punctele
T1 și T 2;
– Cu ajutorul riglei construim
semidreptele [PT 1) și [PT 2).

Figura 27 Construcția:
– Construim semidreapta [OP);
– Pe semidreapta [OP) luăm segmentul [PQ] ≡[OP];
– Construim mediatoarea (AP) a segmentului [OQ];
Dreapta (AP) este tangenta în punctul P la
C(O,r) .
Justificare : Demonstrația este imediată din
moment de (AP) este mediatoarea segmentului [OQ]
iar {P}=(AP) ∩C(O, r).

17
2.10˚ Construcția unghiului cu măsura de 30 ș
Problemă: Să se costruiască cu rigla și compasul un unghi cu măsura de 30 ș
(vezi figura 28).

fixăm piciorul acestuia în punctul A și construim un al doilea arc de cerc care să -l
intersecteze pe primul în punctul B;
– Cu aceeași deschizătură a compasului, fixăm piciorul acestuia în punctul B și
construim un al treilea arc de cerc care să -l intersecteze pe al doilea în punctul C;
– Cu ajutorul riglei construim semidrea pta [OC).
Unghiul astfel construit ( ∢AOC) are măsura de 30 ș.
Justificare :
Păstrând deschizătura compasului am obținut [OA] ≡[OB]≡[AB]≡[BC]≡[AC].
Așadar, obținem rombul OACB format din două triunghiuri echilaterale
(∆OAB≡∆ABC ), iar OC este diagonala ace stuia. Cum m(∢AOB)=60 ș, rezultă îmediat
că m(∢AOC)=30 ș.
2.11˚ Construcția unghiului cu măsura de 45 ș
Problemă: Să se co nstruiască cu rigla și compasul un unghi cu măsura de 45 ș
(vezi figura 29).
Construcția:
– Construim un segment oarecare AB;
– Construim (P Q) mediatoarea segmentului AB și obținem punctul M;
– Cu centrul în punctul M și cu raza AM, construim un arc de cerc care
intersectează mediatoarea (PQ) în punctul C ;
– Cu ajutorul riglei construim semidreapta [AC)

Figura 28 Construcția:
– Cu ajutorul riglei construim o
semidreaptă oarecare [OX);
– Cu o deschizătură oarecare a
compasului , construim un arc de cerc ce va
intersecta semidreapta [OX) în punctul A;
– Păstrăm deschizătura compasului,

18

2.12˚ Construcția unghiului cu măsura de 60 ș
Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un unghi cu măsura de 60 ș
(vezi figura 30).

– Cu ajutorul riglei construim semidreapta [AD) care reprezintă și cea de -a doua
latură a unghiului de 60 ș.
Justificare : Păstrând deschiz ătura compasului am obținut [AC] ≡[AD]≡[CD]
ceea ce înseamnă că ∆ACD este echilateral de unde rezultă că m(∢DAC) = 60ș.

Figura 29
Unghiul astfel construit are măsura
de 45ș.
Justificare :
Cum (PQ) este mediatoarea
segmentului AB rezultă că (PQ) ⊥ [AB]
cu (PQ) ∩ [AB] = {M}. Din faptul că
[AM] ≡ [MC] rezultă că ∆AMC este
dreptunghic isoscel cu m(∢CAM) = 45 ș.

Figura 30 Construcția:
– Construim un segment oarecare AB;
– Cu o deschizătură oarecare, construim
un arc de cerc care intersectează segment ul
AB în punctul C;
– Păstrăm deschizătura compasului (cu
raza AC), fixăm piciorul compasului în
punctul C și construim un alt arc de cerc care
îl va intersecta pe primul în punctul D;

19
2.12˚ Construcția unghiului cu măsura de 90 ș
Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un unghi cu măsura de 90 ș
(vezi figura 3 1).

– Tot c u ajutorul riglei construim semidreapta [OB) care reprezintă și cea de -a doua
latură a unghiului de 9 0ș.
Justificare : Demonstrația rezultă imediat din faptul că ∆AOB este înscris într –
un semicerc de diametru AB, așadar m(∢AOB) = 90ș.
Discuții : Construcția celor patru unghiuri importanta ( 30ș, 45ș, 60ș și 90ș ) se
poate realiza în multe feluri. De multe ori ele rezultă din construcțiile intermediare ale
altor probleme. Dacă ar fi să le grupăm într -o singură problemă (vezi figura 32) , am
putea construi un triunghi dreptunghic în care o catetă să reprezinte jumătate din
ipotenuză iar unghiul de 45ș l -am putea obține ușor construind bisectoarea unghiului drept.

Figura 31 Construcția:
– Construim o semidreaptă oarecare [OX)
și un punct oarecare (P) situat în exteriorul ei;
– Cu centrul în punctul P și o deschizătură
a compasului (rază) [OP], construim un cerc
sau arc de cerc care va intersecta semidreapta
[OX) înpunctul A;
– Cu ajutorul riglei construim semidreapta
[AP) care va intersecta cercul în punctul B;

Figura 32

20
3. Construcția triunghiului

În funcție de condițiile impuse sau de e lementele date (laturi, unghiuri, linii
importante) există multe probleme de construcție a triunghiului cu rigla și compasul.
Dintre acestea vom prezenta doar câteva.
3.1˚ Construcția triunghiului când se cunosc lungimile laturilor
Problemă: Să se constr uiască cu rigla și compasul un triunghi cunoscându -se
lungimile laturilor (vezi figura 33).
Construcția :
– Transportăm segmentul de lungime c în segmentul [BA];
– Pe rând, fixăm piciorul compasului în punctele A și B și construim două arce de cerc
de rază a și b. Punctul de intersecț ie al celor două arce de cerc (C ) va reprezenta cel
de-al treilea vârf al triunghiului;
– Cu ajutorul riglei unim cele trei puncte (A, B și C) și obținem triunghiul cerut.
3.2˚ Construcția triunghiului când se cunosc măsurile
a două unghiuri și lungimea laturii comune
Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un triunghi cunoscându -se
măsurile a două unghiuri și lungimea laturii comune (vezi figura 34).
Construcția :
– Transportăm segmentul de lungime a în segmentul [AB];
– Pe râ nd, în capetele A și B ale segmentului [AB] transportăm unghiurile α și β astfel
încât câte o latură a acestora să coincidă cu segmentul [AB];
– Cea de -a doua latură a celor două unghiuri vor determina punctul C care reprezintă
cel de -al treilea vârf al triu nghiului.

Figura 33

21

3.3˚ Construcția triunghiului când se cunosc lungimile
a două laturi și măsura unghiului dintre ele
Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un triunghi cunoscându -se
lungimile a două laturi și măsura unghiului dintre ele (vezi figur a 35).
Construcția :
– Transportăm segmentul de lungime b în segmentul [ OB];
– În capătul O al segmentului [OB] transportăm unghiul de măsură α astfel încât o
latură a unghiului să coincidă cu segmentul [OB];
– Pe cealaltă latură a unghiului transportăm segmentu l de lungime a în segmentul
[OA];
– Unim punctele A și B și obținem triunghiul cerut.

Figura 34

Figura 35

22
3.4˚ Construcția triunghiului când se cunosc lungimile
a două laturi și măsura unui unghi altul decât cel dintre ele

Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un triunghi cunoscându -se
lungimile a două laturi și măsura unui unghi altul decât cel dintre ele (vezi figura 3 6).

– Cu ajutorul riglei construim segmentele AC și AB și obținem triunghiul cerut.
Discuție :
Se pune problema în ce situații semidreapta [Bx) intersectează C (C,b).
Cazul 1 :
– dacă  ≥ 90ș, atunci C (C,b) intersectează [ Bx) dacă și numai dacă b > a . În acest
caz există un singur triunghi cu proprietățile cerute.
– dacă  ≥ 90ș și b ≤ a problema nu are soluție.
Cazul 2 ( < 90ș ) :
Fie c = CD ⊥ [Bx).
– dacă b < c , [Bx) este exterioar ă cercului C (C,b) și problema nu are soluție ;
– dacă b = c , atunci C (C,b) ∩ [Bx) = {A} și problema are soluție unică ;
– dacă b > c dar b < a , atunci C (C,b) ∩ [Bx) = {A , A′}, deci există două
triunghiuri (∆ABC și ∆ A′BC) cu proprietățile cerute ;
– dacă b > c și b ≥ a , atunci C (C,b) ∩(Bx)={A,A′} dintre care A′ [Bx), deci
problema are soluție unică .

Figura 36 Construcția:
– Pe o dreaptă oarecare (d) construim
segmentul BC de lungime a;
– Cu vârful în punctul B transportăm
unghiul cu măsura α astfel încât o latură a
unghiului să coincidă c u segmentul BC;
– Fixăm piciorul compasului în punctul
C și cu o deschizătură de lungime b
construim un arc de cerc care să
intersecteze cealaltă latură a unghiului în
punctul A ;

23
3.5˚ Construcția triunghiului când se cunosc lungimile
înălțimei și a bisectoarei duse din același vârf

Problemă: Să se co nstruiască cu rigla și compasul un triunghi cunoscându -se
lungimile înălțimei (hA) și a bisectoarei (bA) duse din același vârf (vezi figura 3 7).

Construcția :
– Se construiește o dreaptă oarecare (d) pe care se alege un punct D oarecare ;
– Din punctul D (d) se ridică o perpendiculară DA ⊥(d) (DA= hA);
– Fixăm piciorul compasului în punctul A și cu o deschizătură cât lungimea
bisectoarei date ( bA) construim un arc de cerc care să intersecteze dreapta (d) în
punctul I;
– Cu ajutorul riglei construim segmentul AI=b A;
– Fixăm piciorul compasului în punctul I și construim un cerc de rază DI;
– Din punctul A c onstruim tangent a la cercul de rază DI în punctul T care va
intersecta dreapta (d) în punctul M;
– Cu centrul în punctul M și rază AM, construim un cerc ce intersectează dreapta (d)
în punctele B și C;
– Unim punctele A, B și C și obținem triunghiul căutat;
Discuție :
– Problema admite soluție unică în cazul în care hA < bA;
– Dacă hA = bA, atunci AB = AC și problema are o infinitate de soluții .

Figura 37

24
3.6˚ Construcția triunghiului c ând se cuno aște lungimea
unei laturi , înălțimea și mediana corespunzătoare ei
Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un triunghi cunoscându -se
lungim ea unei laturi și lungimile înălțimei ( hA) și a medianei ( mA) corespunzătoare ei
(vezi figura 38).

Construcția :
– Se construiește o dreaptă oarecare (d) pe care se alege un punct H (d);
– Din punctul H (d) se ridică o perpendiculară HA ⊥(d) cu H A= hA;
– Fixăm piciorul compasului în punctul A și cu o deschizătură cât lungimea medianei
date ( mA) constru im un arc de cerc care să intersecteze dreapta (d) în punctul M;
– De o parte și de alta a punctului M, pe dreapta (d), construim segmentele de
lungime
BC
2 ;
– Cu ajutorul riglei construim segmentele AB și AC și obținem triunghiul căutat ;
Discuție :
– Problema admite soluție unică în cazul în care
AAhm ;
– Dacă
AAhm problema nu admite soluții.

3.7˚ Construcția unui triunghi când se cunoaște
lungim ile a două mediane și a unei laturi

Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un triunghi cunoscându -se
lungim ile a două mediane (
Am și
Bm) și lungimea unei laturi (c) (vezi figura 3 9).

Figura 38

25
Construcția :
– Construim ∆ABG cu laturile AB = c, AG =
A2m3 și BG =
B2m3 ;
– Prelungim segmentul AG cu GM =
A1m3 și segmentul BG cu GN =
B1m3 ;
– Cu ajutorul riglei construim semidreptele [AN) și [BM) care se vor intersecta în
punctul C – cel de -al treilea vârf al triunghiului.
Discuție :
– Problema admite soluție unică în cazul în care
A B A B2 2 3m m c m m c3 3 2    

3.8˚ Construcția unui triunghi când se cuno sc lungimile mediane lor

Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un tri unghi cunoscându -se
lungimile celor trei mediane:
Am ,
Bm și
Cm(vezi figura 40 ).

Figura 39

Figura 40

26
Construcția :
– Construim ∆B DG cu laturile BD =
C2m3 , BG =
B2m3 și GD = AG =
A2m3 ;
– Prelungim segmentul BM cu M C = BM, segmentul BG cu GN =
B11BG m23 ,
segmentul CG cu GP =
C11CG m23 , segmentul BP cu PA = BP și segmentul CN
cu NA = CN. Astfel obținem ∆ABC în condițiile date.
Discuție :
– Problema admite soluție dacă putem construi ∆BDG cu laturile BD =
C2m3 ,
BG=
B2m3 și GD =
A2m3 și
A B C A Bm m m m m    .

3.9˚ Construcția triunghiului de aur

Definiție:
Prin triunghi de aur înțelegem triunghiul isoscel în care raportul dintre una din
laturile congruente și cea de -a treia latură este numărul φ.
Problemă: Să se construiască cu rigla și compasul un triunghi isoscel în care
raportul dintre una din laturile congruente și cea de -a treia latură este numărul φ.
De fapt problema se reduce la construcția unui triunghi isoscel cu măsura
unghiurilor de la bază de 72ș și măsura unghiului de la vârf de 36ș (vezi figura 41).
Analiza :
Conform Teoremei lu i Gauss prezentată în Capitolul II (vezi pagina 15),
unghiul cu măsura de 72ș se poate construi – construcție pe care o vom detalia într -o
secțiune ulterioară.

Figura 41 Construcția :
– Construim un segment oarecare [BC];
– Pe rând, cu vârful în capetele segmentului (B și
C), construim două unghiuri cu măsura de 72ș
astfel încât segmetul [BC] să fie latură comună;
– Celelalte două laturi ale celor două unghiuri se
vor intersect a în punctul A.
∆ABC este triunghiul căutat.

27
Demonstrați a:
În ∆ABC,
BC
2 ˆcos BAB , dar
51cos724
de unde rezultă că
ABD
BDCA
A
 .
Raționalizăm și obținem:
AB 5 1
BC 2
…. 6180339887,1 .
Discuții :

4. Construcția poligoanelor regulate
Problema construcțiilor poligoanelor regulate cu rigla și compas ul este strâns
legată de posibilitatea împărțirii cercului în n arce egale – problemă prezentată în
Capitolul II. Din acest motiv , nu mai analizăm posibilitatea sau imposibilitatea
construc ției poligoanelor regulate și ne vom rezuma la o parte din cele con struibile,
conform teoremei lui Gauss, dar nu înainte de a face câteva precizări importante:
– Prin poligon regulat înțelegem poligonul cu toate laturile congruente și toate
unghiurile congruente. Notăm cu Pn poligonul regulat cu n laturi și cu ln latura
acestuia;
– Orice poligon regulat poate fi înscris într -un cerc;
– Orice latură a unui poligon regulat cu n laturi înscris într -un cerc subîntinde un arc de
cerc cu măs ura de
0360
n ;

Figura 42 1. O particularitate deosebită a acestui triunghi
este faptul că, dacă ducem bisectoarea unui unghi de
la bază (vezi figura 42) vom obține două triunghiuri:
∆BCD (un alt triunghi de aur) și ∆ABD numit
„triunghi de argint“ .
Reluând procedeul în triunghiul BDC vom
obține alte două triunghiuri (∆CED și ∆BEC) cu
aceleași proprietăți.
2. O altă particularitate interesantă este faptul
că raportul ariilor celor două triughiuri (triunghiul de
argint și t riunghiul de aur) este tot φ,
ABD
BDCA
A
 .

28
– Măsura unui unghi al unui poligon regulat cu n laturi este
2180n
n ° ;
– Dacă este posibilă construirea poligonului cu n laturi, atunci este posibilă și
construirea poligonului cu
2n laturi, prin divizarea arcelor în 2, 4, 8, … arce
congruente;
– Dacă este posibilă construi rea poligonul regulat cu ab laturi (a și b numere naturale) ,
atunci se poate construi și poligonul regulat c u a laturi, unind vârfurile poligonului
„din b în b“ și, de asemenea , se poate construi și poligonul regulat cu b laturi, unind
vârfurile poligonulu i „din a în a“;
– Dacă putem construi poligonul regulat cu a laturi și poligonul regulat cu b laturi, (cu
a și b numere naturale prime între ele ), atunci se poate construi și poligonul regulat
cu ab laturi;

4.1˚ Construcția hexagonului regulat și a triungh iului echilateral

– Repetăm procedeul pentru punctul D și obținem punctele C și E;
– Cu ajutorul riglei unim punctele AB, BC, CD, DE, EF, FA și ob ținem hexagonul
regulat ABCDEF.
Observația 1 :
Dacă problema cere să se construiască un hexagon reg ulat cu latura dată, atunci
procedăm astfel (vezi figura 44) :

Figura 43 Construcția :
– Fixăm piciorul compasului într -un punct
O de pe o dreaptă oarecare (d) și
construim un cerc de rază r oarecare
(vezi figura 43). Cercul va intersecta
dreapta (d) în pun ctele A și B.
– Fără să modificăm deschizătura
compasului, fixăm piciorul acestuia în
punctul A și construim un arc de cerc ce
va intersecta ce rcul inițial în punctele B
și F;

29

Observația 2 :

Observația 3 :

Figura 44 – În capetele segmentului dat AB, f ixăm , pe
rând, piciorul compasului și construim două
arce de cerc ce va determina punctul O;
– Fără să modificăm deschizătura compasului,
fixăm piciorul acestuia în punctul O și
construim cercul de rază OA ≡AB;
– Celelalte puncte ale hexagonului regulat (C,
D, E, F) le obținem folosind procedeul
anterior.

Figura 45 Construind mediatoarele laturilor
unui hexagon regulat (vezi figura 45)
obținem alte șase puncte pe cerc care,
împreună cu vârfurile hexagonului,
determină poligonul regulat cu 12 laturi
(P12) numit dodecagon regulat.
Generalizân d, obținem un
procedeu de construcție a poligonului
regulat cu 6 •2k laturi (cu k≥1).

Figura 46 Dacă într -un hexagon regulat unim
vârfurile acestuia „din d oi în doi “ obținem un
triunghi echilateral (vezi figura 46).
Generalizând, obținem un procedeu d e
construcție a poligonului regulat cu 3•2k laturi
(cu k≥1).
Cele două triunghiuri echilaterale
astfel obținute (∆ABC și ∆DEF), în
config urația dată, determină o hexagramă
(Steaua lui David).

30
4.2˚ Construcția pătratului și a octogonului regulat

4.3˚ Construcția pentagonului regulat
Construcția :
– Construim două drepte perpendiculare în punctul O (vezi figura 49);
– Fixăm piciorul compasului în punctul O și cu o deschizătură oarecare construim un
cerc care va intersecta cele două drepte în punctele A, T și M, N – puncte ce
reprezintă capetele celor d ouă diametre perpendiculare;
– Cu centrul într -un capăt al unui diametru (M) și cu raza MO construim un arc de cerc
ce va intersecta cercul inițial în punctele P și R; Construcția :
– Construim două drepte ( (a) și (b))
perpendicu lare în punctul O (vezi figura
47);
– Fixăm piciorul compasului în punctul
O și cu o deschizătură oarecare construim
un cerc care va intersecta cele două drepte
în punctele A, B, C și D – puncte ce
reprezintă vârfurile unui pătrat.

Figura 47

Figura 48

Observație:
Construind mediatoarele laturilor
unui pătrat obținem poligonul regulat cu 8
laturi ( P8) numit octogon regulat (vezi
figura 48).
Generalizând, obținem un
procedeu de construcție a poligonului
regulat cu 4 •2k laturi (cu k≥1).

31

Demonstrația :
Observăm că segmentul OQ =
2r iar
22 r5QA QO OA2   .
Calculăm OS = QS – QO = QA – QO =
r 5 r r512 2 2   .
În ∆AOS,
2
2 2 2
5rrAS AO OS r 5 1 10 2 5 l22        –
expresie ce reprezintă latura pentagonului regulat.

Figura 49 – Cu ajutorul riglei construim coarda PR
care va tăia diametrul MN în punctul Q;
– Cu centrul în punctul Q și cu raza QA
construim un arc de cerc care va
intersecta diametrul MN în punctul S;
– Cu centrul în punctul A și cu raza AS
construim un arc de cerc care va
intersecta cercul inițial în punctul B;
Segmentul AB reprezintă latura
pentagonului regulat.

–

Figura 49 Observația 1 :
Construind mediatoarele laturilor unui
pentagon regulat obținem poligonul regulat
cu 10 laturi ( P10) numit decagon regulat
(vezi figura 50).
Generalizând, obținem un procedeu de
construcție a poligonului regulat cu 5 •2k
laturi (cu k≥1).

–

32

– Cu centrul în punctul A și rază A M construim un arc de cerc ce va tăia cercul inițial în
punctul N.
Segmentul AN reprezintă latura decagonului regulat.
Demonstrația :
Aplicând teorema lui Pitagora în ∆AOQ obținem:
22 r5AQ QO OA2   .
Segmentul AN ≡AM = AQ – MQ =
r 5 r r512 2 2   = l10.
Evident, dacă unim vârfurile decagonului regulat din două în două, obținem
pentagonul regulat. Observația 2:
Dacă într -un pentagon regulat unim
vârfurile acestuia „din d oi în doi “ obținem o
pentagramă (vezi figura 51).
O particulari tate interesantă a acestui
poligon regulat stelat (pentagrama) este aceea
că raportul dintre orice două segmente
alăturate exprimă un raport de aur.
De exemplu:

x
y sau
x x y x y x
y x y x     .

Figura 51
Observația 3:
Decagonul regulat se poate construi și
fără să aibă la bază pentagonul regulat, astfel
(vezi figura 52):
– Într-un cerc de centru O construim două
diametre perpendiculare (AB și CD);
– Construim mediatoarea (PR) a razei OD și
obținem punctul Q;
– Cu centrul în pun ctul Q construim un cerc
de rază OQ ;
– Construim segmentul AQ care taie cercul
de centru O și rază OQ în punctul M ;

Figura 52

33
4.4˚ Construcția poligonului regulat cu 17 laturi
Construcția :
– Construim un cerc oarecare C 1(O,OX ) cu razele [OX] ⊥[OY] (vezi figura 53);
– Împărțim raza [OY] în patru segmente congruente și alegem punctul A la o pătrime
de centrul O apoi construim segmentul [AX] ;
– Cu ajutorul bisectoarelor [AB) și [AC) împărțim unghiul OAX în patru unghiuri
congruente și fixă punctul C pe raza OX;
– Folosindu -ne de semidreapta [AC) construim unghiul CAD cu măsura de 45 ș care va
tăia diametrul cercului C 1 în punctul D;
– Construim C 2 de diametru [DX] care va intersecta raza [OY] în punctul F;
– Cu centrul în punctul C si rază CF construim cercul C 3 care va tăia diamet rul (OX] în
punctele E și G ;
– Din punctele E și G ridicăm perpendicularele la diametru care va intersecta C 1 în
punctele P1 și P3;
– Construim bisectoarea unghiului P1OP3 care va intersecta C 1 în punctul P2.

Figura 53

34
Segmentele [ P1P2] și [ P2P3] reprezintă două latur i a poligonului regulat cu 17
laturi reprezentat în figura 54.

Figura 54 Observație:
Construind mediatoarele laturilor
unui poligon regulat cu 17 laturi (numit
heptadecagon regulat) obținem
poligonul regulat cu 34 laturi ( P34).
Generalizând, obținem un
procedeu de construcție a poligonului
regulat cu 17 •2k laturi (cu k≥1).