Cap.2. Aplica¸ tie: Analiza circuitelor electrice liniare (c.c. ¸ si c.a.) Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina Universitatea „Politehnica” Bucure¸ sti,… [622608]

1/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.
Cap.2. Aplica¸ tie: Analiza circuitelor electrice
liniare (c.c. ¸ si c.a.)
Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Universitatea "Politehnica" Bucure¸ sti, Facultatea de In ginerie Electric ˘a
Suport didactic pentru disciplina Metode numerice ,
Facultatea de Inginerie Electric ˘a, 2017-2018
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

2/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.
Cuprins
1Introducere
Modelare
Simulare
2Analiza circuitelor rezistive liniare în c.c.
Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
3Analiza circuitelor liniare în c.a.
Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

3/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Circuitele electrice sunt modele ale realit ˘a¸ tii
Circuitele electrice
modele ale realit ˘a¸ tii;
con¸ tin elemente ideale, ob¸ tinute prin idealizarea
elementelor reale;
reprezint ˘a o mul¸ time de elemente ideale conectate între
ele pe la borne (terminale).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

4/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Circuitele electrice sunt alc ˘atuite din elemente ideale
Elementele ideale de circuit electric
sunt caracterizate de m ˘arimi electrice definite la borne
(curen¸ ti, tensiuni sau poten¸ tiale);
se definesc func¸ tional, printr-o rela¸ tie caracteristic ˘a
(constitutiv ˘a) între m ˘arimile definite la borne.
Modelarea nu este obiectul teoriei circuitelor, ea presupu ne
analiza câmpului electromagnetic.
C=ε0A
s
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

5/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Exemple de elemente ideale
Cele mai frecvent folosite:
liniare dipolare: R,L,C, conductorul ¸ si izolatorul perfect;
parametrice: K(comutatorul);
neliniare rezistive : SIT,SIC,DP;
liniare multipolare: SICU ,SUCI ,SUCU ,SICI,AOP,M;
neliniare multipolare: AOPn .
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

6/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Exemple de elemente ideale
γu
u
αu
uρi
i
βi
i−
+
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

7/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Modelarea componentelor din circuitele reale
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

8/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Determinarea r ˘aspunsului sub ac¸ tiunea unei excita¸ tii
Simulare = simulare numeric ˘a(cu ajutorul calculatorului)
Simularea
determinarea m ˘arimilor de interes (tensiuni, curen¸ ti) din
circuit;
determinarea r ˘aspunsului sub ac¸ tiunea unui semnal de
excita¸ tie cunoscut.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

9/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Determinarea r ˘aspunsului sub ac¸ tiunea unei excita¸ tii
O simulare f ˘acut˘a cu succes presupune
buna formulare a circuitului (solu¸ tia s ˘a existe ¸ si s ˘a fie
unic˘a); este echivalent ˘a cu buna formulare a problemei
matematice asociate;
conceperea sau alegerea unui algoritm numeric robust
pentru rezolvare.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

10/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Algoritmul de rezolvare
Algoritmul potrivit pentru rezolvare depinde de
caracteristicile elementelor de circuit (liniare/neliniare,
rezistive/reactive);
tipul m ˘arimilor din circuit (constante – c.c., sinusoidale –
c.a., periodice, oarecare).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

11/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Tipuri de circuite / probleme matematice
Tip de circuit
1Circuite rezistive
liniare/neliniare în c.c.)
2Circuite liniare în regim
sinusoidal (c.a.);
3Circuite liniare/neliniare în
regim tranzitoriu;
4Circuite liniare/neliniare în
regim periodic;
5Oscilatoare (frecven¸ te de
rezonant ˘a.)Problema matematic ˘a
1Sisteme de ec. algebrice
liniare/neliniare, în I R;
2Sisteme de ec. algebrice
liniare, în complex.
3Sisteme ODE, lin./nelin. cu
condi¸ tii ini¸ tiale.
4Superpozi¸ tie de c.a./ODE
cu condi¸ tii de periodicitate.
5Calcul de valori proprii
(analiza modal ˘a).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

12/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Modelare
Simulare
Scopul acestui curs
Întelegerea:
modului în care se dezvolt ˘ainstrumentele software pentru
analiza circuitelor electrice;
importan¸ tei bunei formul ˘ari a problemei (circuitului) ce
trebuie rezolvat ˘a;
modului în care se genereaz ˘a automat sistemele de
rezolvat;
faptului c ˘a fundamentul simul ˘arii numerice a circuitelor
electrice îl constituie disciplina Metode numerice ⇒
Algoritmi .
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

13/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Problema fundamental ˘a
Con¸ tin: rezistoare (R), surse ideale de tensiune (SIT) ¸ si curent
(SIC), surse comandate liniar (SUCU, SUCI, SICU, SUCI).
Problema fundamental ˘a a analizei acestor circuite
Se dau:
topologia circuitului (schem ˘a/tabel de descriere
(netlist)/matrice de inciden¸ t ˘a sau apartenen¸ t ˘a);
valorile parametrilor (rezisten¸ tele, valorile surselor ).
Se cer:
curen¸ tii ¸ si tensiunile din fiecare latur ˘a;
puteri.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

14/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Condi¸ tii de bun ˘a formulare
Teoreme
Topologice:
Pentru ca circuitul s ˘a fie bine formulat este necesar s ˘a
existe un arbore normal ;
Dac˘acircuitul nu are surse comandate ¸ si toate rezistoarele
sunt strict pozitive, atunci este necesar ¸ si suficient s ˘a
existe un arbore normal.
Algebrice:
Pentru ca circuitul s ˘a fie bine formulat este necesar ¸ si
suficient ca matricea sistemului de ecua¸ tii algebrice liniare,
asamblat printr-o metod ˘a sistematic ˘as˘a fie nesingular ˘a.
Q1: Ce este un arbore normal?
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

15/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Metode de rezolvare sistematice
metoda ecua¸ tiilor Kirchhoff 🙁
metoda poten¸ tialelor nodurilor :)(dac˘a nu sunt surse
comandate matricea coeficien¸ tilor este simetric ˘a ¸ si
diagonal dominant ˘a)
metoda curen¸ tilor ciclici :|(dac˘a nu sunt surse comandate
matricea este simetric ˘a, necesit ˘a definirea unui sistem de
bucle independente convenabil ales)
=⇒metoda poten¸ tialelor nodurilor ( "tehnica nodal ˘a")
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

16/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Tratarea SRT
Laturi standard: Rkikek
uk(nik) (nf k)
Formularea problemei
Se dau:
topologia: N,L, (nik,nfk,k=1,…, L);
toate rezisten¸ tele Rk,k=1,…, L, presupuse nenule,
toate t.e.m. ek,k=1,…, L
Se cer:
ukk=1,…, L
ikk=1,…, L
puterea consumat ˘a ¸ si puterea generat ˘a în circuit.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

17/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Ecua¸ tii
Rkikek
uk(nik) (nf k)
Kirchhoff clasic:
/summationdisplay
k∈(n)Aik=0,n=1,…, N−1, (1)
/summationdisplay
k∈[b]Auk=0,b=1,…, L−N+1, (2)
uk=Rkik−ek,k=1,…, L, (3)
2Lecua¸ tii cu 2 Lnecunoscute
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

18/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Necunoscute
Rkikek
uk(nik) (nf k)
Schimbare de variabil ˘a – necunoscutele sunt:
vk,k=1,…, N, vN=0 (prin conven¸ tie)
Kirchhoff II:
/summationdisplay
k∈[b]Auk=0,b=1,…, L−N+1, (4)
⇐⇒
uk=vnik−vnfk,k=1,…, L. (5)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

19/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Nota¸ tii
u= [ u1u2…uL]T∈I RL×1
i= [ i1i2…iL]T∈I RL×1
v= [ v1v2…vN−1]T∈I RN−1×1
e= [ e1e2…eL]T∈I RL×1
R=diag([R1R2…RL])∈I RL×L(6)
Kirchhoff I:
Ai=0, (7)
A= (aij)i=1,N−1;j=1,Leste matricea inciden¸ telor laturi-noduri –
matrice topologic ˘a,(N−1)×L
aij=

0dac˘a nodul inu apar¸ tine laturii j;
+1dac˘a nodul ieste nod ini¸ tial pentru latura j;
−1dac˘a nodul ieste nod final pentru latura j.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

20/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Ecua¸ tii scrise compact
Kirchhoff I (KCL):
Ai=0, (8)
Kirchhoff II (KVL):
u=ATv, (9)
Joubert (rela¸ tii constitutive):
u=Ri−e. (10)
Dac˘aReste inversabil ˘a (Rk/negationslash=0,∀k=1,L)
i=R−1(u+e). (11)
AR−1ATv=−AR−1e. (12)
Gnv=jn. (13)
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

21/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Sistem de ecua¸ tii
Gnv=jn. (14)
Gnconductan¸ te nodale; jninjec¸ tii de curent în noduri.
Gn=AR−1AT∈I R(N−1)×(N−1)(15)
Gnii=/summationdisplay
k∈(i)1
Rk,Gnij=−/summationdisplay
k∈(i);k∈(j)1
Rkpentru i/negationslash=j.
jn=−AR−1e∈I R(N−1)×1(16)
jnk=/summationdisplay
m∈(k)Aem
Rm
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

22/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Propriet ˘a¸ tile matricei Gn
Gn:simetric ˘a, diagonal dominant ˘a ¸ si pozitiv definit ˘a dac ˘a
rezisten¸ tele sunt pozitive
A∈I Rn×neste pozitiv definit ˘a dac ˘a ea este simetric ˘a ¸ si dac ˘axTAx>0 pentru orice vector real, nenul x∈I Rn×1.
R−1=diag([1/R11/R2…1/RL]). (17)
Simetria:
GT
n=/parenleftBig
AR−1AT/parenrightBigT
=/parenleftBig
AT/parenrightBigT/parenleftBig
R−1/parenrightBigT
(A)T=AR−1AT=Gn
Pozitiv definire: Fiexvector coloan ˘a arbitrar, nenul.
xTGnx=xTAR−1ATx=yTR−1y=L/summationdisplay
k=1y2
k
Rk>0,
unde y=ATxare componentele yk,k=1,…, L.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

23/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Etapele algoritmului
etapa de preprocesare în care se descrie problema ¸ si se
asambleaz ˘a sistemul de ecua¸ tii de rezolvat;
etapa de rezolvare în care se apeleaz ˘a o procedur ˘a
propriu-zis ˘a de rezolvare a sistemului de ecua¸ tii rezultat
("solver");
etapa de postprocesare în care se calculeaz ˘a alte m ˘arimi
de interes.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

24/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Structuri de date
Rkikek
uk(nik) (nf k)
; declaratii date – varianta A
întreg N ; num ˘ar de noduri
întreg L ; num ˘ar de laturi
tablouîntreg ni[L] ; noduri ini¸ tiale ale laturilor
tablouîntreg nf[L] ; noduri finale ale laturilor
tabloureal R[L] ; rezisten¸ te
tabloureal e[L] ; tensiuni electromotoare
În vederea ob¸ tinerii unui algoritm simplu, vom presupune c ˘a:
sensul de referin¸ t ˘a al curentului unei laturi este identic cu
cel al t.e.m de pe latur ˘a;
toate laturile sunt orientate cf. regulii de la receptoare.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

25/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Structuri de date
Rkikek
uk(nik) (nf k)
Se recomand ˘a agregarea datelor:
; declara¸ tii date – varianta B
înregistrare circuit
întreg N ; num ˘ar de noduri
întreg L ; num ˘ar de laturi
tablouîntreg ni[L]; noduri ini¸ tiale ale laturilor
tablouîntreg nf[L]; noduri finale ale laturilor
tabloureal R[L] ; rezisten¸ te
tabloureal e[L] ; tensiuni electromotoare
•
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

26/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Matrice rare
Gn¸ sijnsunt foarte rare.
Exemplu:
dac˘a pp. 4 laturi care concur ˘a la un nod, atunci densitatea
matricei
d=5n/n2=5/n, (pentru n≈1000⇒d=0.5 %).
Pentru simplitate:
; declara¸ tii variabile utile
tabloureal Gn[N,N];stocat ˘a rar
tabloureal jn[N] ;stocat rar
tabloureal v[N] ; vectorul poten¸ tialelor
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

27/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Citire date
Rkikek
uk(nik) (nf k)
func¸ tie citire_date_B ()
; declara¸ tii
…
cite¸ ste circuit. N, circuit. L
pentru k=1,circuit. L
cite¸ ste circuit.ni k, circuit.nf k
cite¸ ste circuit. Rk, circuit. ek
•
întoarce circuit
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

28/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Asamblarea sistemului de ecua¸ tii
Orientat ˘a pe laturi:
Rkikek
uk(nik) (nf k)
nik nfk
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
nik∗+1/Rk∗ ∗ − 1/Rk∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
nfk∗ − 1/Rk∗ ∗+1/Rk∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗
nik−ek/Rk
∗
∗
nfk+ek/Rk
∗
∗
Contribu¸ tia unei laturi kla matricea conductan¸ telor nodale (stânga) ¸ si la vectoru l injec¸ tiilor de curent (dreapta).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

29/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Preprocesare
Rkikek
uk(nik) (nf k)
procedur ˘anodalRE_v1 (circuit, Gn,t)
; asambleaz ˘a sistemul de ecua¸ tii pentru un circuit
; cu laturi de tip R,E folosind tehnica nodal ˘a
; parametri de intrare:
; circuit – structur ˘a de date ce descrie circuitul
; parametri de ie¸ sire:
; Gn- matricea conductan¸ telor nodale ¸ si
; jn- vectorul injec¸ tiilor de curent
; declara¸ tii
….
L=circuit.L; pentru simplificarea scrierii algoritmului
N=circuit.N
ni = circuit.ni
nf = circuit.nf
R=circuit.R
e=circuit.e
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

30/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Preprocesare
Rkikek
uk(nik) (nf k)
procedur ˘anodalRE_v1 (circuit, Gn,jn)
….
Gn=0
jn=0
; asambleaz ˘a sistem
pentru k=1,L ; parcurge laturi
i=nik ; nodul ini¸ tial al laturii k
j=nfk ; nodul final al laturii k
Gnii=Gnii+1/Rk
Gnjj=Gnjj+1/Rk
Gnij=Gnij−1/Rk
Gnji=Gnji−1/Rk
jni=jni−ek/Rk
jnj=jnj+ek/Rk
•
retur
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

31/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Preprocesare
Observa¸ tii:
am folosit pseudocod simplificat pentru a scrie anularea
componentelor
Aten¸ tie! varianta
pentru i = 1,N
pentru j = 1,N
Gnij=0
•
•
scris ˘a pentru "instruc¸ tiunea" Gn=0va umple complet
matricea Gn.
pentru a evita repetarea unor calcule, se pot memora
valorile 1 /Rk¸ siek/Rk.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

32/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Preprocesare – varianta a II-a
Rkikek
uk(nik) (nf k)
procedur ˘anodalRE_v2 (circuit, Gn,jn)
….
; anuleaz ˘a componentele:
A=0 ; matricei inciden¸ te laturi noduri
G=0 ; matricei diagonale R−1
; asambleaz ˘a sistem
pentru k=1,L ; parcurge laturi
i=nik ; nodul ini¸ tial al laturii k
j=nfk ; nodul final al laturii k
Aik=−1
Ajk= +1
Gkk=1/Rk
•
Gn=A∗G∗AT; apel proceduri speciale pentru matrice rare
jn=−A∗G∗e
retur
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

33/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Rezolvare
Sistemul asamblat are dimensiunea N×N, nodul de
referint ˘a nefiind tratat special.
Sistemul de rezolvat trebuie s ˘a aib ˘a dimensiunea N−1.
Dup˘a rezolvare trebuie adaugat ˘a o component ˘a în plus
vectorului poten¸ tialelor: vN=0.
Exemplu:
Gauss ( N−1,G,t,v)
vN=0
Q2: Cum implementa¸ ti aceast ˘a idee în Matlab/Octave ?
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

34/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Rezolvare
Metode posibile de rezolvare:
directe (Gauss, factorizare) – nu introduc erori de
trunchiere, dar matricele se umple în cursul algoritmului;
iterative (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR) – matricele î¸ si
p˘astreaz ˘a gradul de raritate, dar apar erori de trunchiere ¸ si
eventuale probleme de convergen¸ t ˘a;
semiiterative (gradien¸ ti conjuga¸ ti, GMRES, etc) –
avantajoase dac ˘a matricea sistemului este simetric ˘a ¸ si
pozitiv definit ˘a (dac ˘a nu exist ˘a surse comandate).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

35/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Metoda nodal ˘a clasic ˘a
Postprocesare
Rkikek
uk(nik) (nf k)
procedur ˘apostprocesare_circuitRE (circuit, v)
…
Pc=0 ; puterea consumat ˘a
Pg=0 ; puterea generat ˘a
pentru k=1,L ; parcurge laturi
u=vnik−vnfk; tensiunea laturii
c= (u+ek)/Rk ; curentul prin latur ˘a
scrie "Latura" k"are tensiunea" u"¸ si curentul" c
Pc = Pc + Rkc2; adaug ˘a contribu¸ tia laturii la Pc
Pg = Pg + ekc ; adaug ˘a contribu¸ tia laturii la Pg
•
scrie Pc, Pg
retur
Q3: Cum implementa¸ ti postprocesarea în Matlab/Octave
folosind opera¸ tii cu matrice?
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

36/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Formularea problemei
Con¸ tin:
rezistoare liniare (R);
bobine liniare (L);
bobine liniare cuplate (M);
condensatoare liniare (C);
surse ideale de tensiune (SIT);
surse ideale de curent (SIC);
surse comandate liniar (SUCU, SUCI, SICU, SUCI).
SIT sau SIC au varia¸ tii de forma:
y(t) =Y√
2 sin(ωt+ϕ). (18)
undeωare aceea¸ si valoare pentru toate m ˘arimile.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

37/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Formularea problemei
Problema fundamental ˘a a analizei circuitelor de c.a.
Se dau:
topologia circuitului (schem ˘a/tabel de descriere
(netlist)/matrice de inciden¸ t ˘a sau apartenen¸ t ˘a);
valorile parametrilor (rezisten¸ tele, bobinele, cuplaje le,
condensatoarele, valorile surselor: frecven¸ t ˘a, valorile
efective, fazele ini¸ tiale).
Se cer:
curen¸ tii ¸ si tensiunile din fiecare latur ˘a (valori efective, faze
ini¸ tiale);
puteri (active, reactive, aparente, defazaje).
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

38/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Similitudinea cu c.c.
Metoda de analiz ˘a se bazeaz ˘a pe reprezentarea în
complex.
y(t) =Y√
2 sin(ωt+ϕ)⇋ Y=Yejϕ.(19)
Ideea: ecua¸ tiile similare:
Circuitul de c.c. Circuitul de c.a.
TK1/summationtext(A)
k∈(n)ik=0/summationtext(A)
k∈(n)Ik=0
TK2/summationtext(A)
k∈[b]uk=0/summationtext(A)
k∈[b]Uk=0
SRT uk=Rkik−ek Uk=ZkIk−Ek
SRC ik=Gkuk+jk Ik=YkUk+Jk
SUCI ek=rkmim Ek=zkmIm
SICU jk=gkmum Jk=ykmUm
SUCU ek=αkmum Ek=αkmUm
SICI jk=βkmim Jk=βkmIm
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

39/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Reprezentarea în complex a elementelor ideale
Rezistor ( R)Bobin ˘a (L)Condensator ( C)
Impedan¸ ta complex ˘aZ R jωL 1/(jωC)
Admitan¸ ta complex ˘a:Y 1/R 1/(jωL) jωC
Defazajul: ϕ 0 π/2 −π/2
Impedan¸ ta: Z R ωL 1/(ωC)
Admitan¸ ta: Y 1/R 1/(ωL) ωC
Rezisten¸ t ˘a de c.a.: R R 0 0
Reactan¸ ta: X 0 ωL −1/(ωC)
Conductan¸ ta de c.a.: G 1/R 0 0
Susceptan¸ ta: B 0 −1/(ωL) ωC
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

40/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Algoritm
Similar cu cel din c.c.:
în loc de rezisten¸ te se lucreaz ˘a cu impedan¸ te complexe;
parametrii surselor sunt tot valori constante, dar complex e,
ob¸ tinute din reprezentarea în complex a varia¸ tiilor care se
dau.
Diferen¸ te fa¸ t ˘a de algoritmul din c.c.:
în etapa de preprocesare: citirea datelor de descriere ¸ si
reprezentarea lor în complex;
în etapa de asamblare, apar în plus bobinele cuplate, care
contribuie la sistem cu urm ˘atoarele ¸ stampile:
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

41/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Algoritm
Cuplaje
nij nfj nik nfk
Am/bracketleftbigg
+1−1 0 0
0 0 +1−1/bracketrightbigg
j k
Bmnij
nfj
nik
nfk
+1 0
−1 0
0+1
0−1

j k
Zmj
k/bracketleftbigg−jωLjj−jωLjk
−jωLkj−jωLkk/bracketrightbigg
em Nu contribuie
jn/bracketleftbiggij
ik/bracketrightbigg
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

42/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
În multe aplica¸ tii practice intereseaz ˘a reprezentarea
caracteristicilor de frecven¸ t ˘a: comportarea semnalelor de ie¸ sire
pentru un interval al frecven¸ telor semnalelor.
Variante de implementare:
1Se lucreaz ˘a simbolic, cu parametrul ω¸ si se ob¸ tin expresii
simbolice ale m ˘arimilor de ie¸ sire care apoi se evalueaz ˘a
numeric;
2Se lucreaz ˘a numeric, pentru frecven¸ te din intervalul de
interes se rezolv ˘a mai multe probleme de c.a.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

43/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Lectura obligatorie pentru aceast ˘a s˘apt˘amân ˘a
Cap.5 din
[1] Gabriela Ciuprina, Mihai Rebican, Daniel Ioan – Metode n umerice in ingineria electrica – Indrumar de
laborator pentru studentii facultatii de Inginerie electr ica, Editura Printech, 2013, disponibil la
http://mn.lmn.pub.ro/indrumar/IndrumarMN_Printech20 13.pdf
Not˘a: dac ˘a folosi¸ ti Matlab, nu ave¸ ti voie la acest curs s ˘a folosi¸ ti opera¸ tii cu vectori ¸ si matrice decât pentru va lidarea
rezultatelor, nu pentru implementarea procedurilor.
De exemplu, într-o prim ˘a variant ˘a pute¸ ti folosi mldivide (backslash ) pentru rezolvarea sistemului de ecua¸ tii asamblat,
pentru a verifica programul, dar în final înlocui¸ ti-o cu una d in procedurile de rezolvare pe care le-a¸ ti implementat voi .
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

44/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Simulatoare de circuit
Free and Open Source
NgSpice (are si varianta online), GnuCap, CircuitLogix,
LTSpice , MultiSim, TopSpice, MacSpice, Xyce (open
source, SPICE-compatible, high-performance analog
circuit simulator)
Licensed/Paid Circuit simulation software
Spectre (Cadence), PSpice, MultiSim, SiMetrix, TINA
Vede¸ ti ¸ si
http://www.circuitstoday.com/circuit-design-and-sim ulation-softwares
https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_circuit_si mulation
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)

45/45Introducere
Analiza în c.c.
Analiza în c.a.Formularea problemei
Similitudinea cu c.c.
Caracteristici de frecven¸ t ˘a
Tema pentru bonus
1Scrie¸ ti un program pentru analiza circuitelor de curent al ternativ pentru circuite care con¸ tin rezistoare,
bobine necuplate, condensatoare ¸ si surse independente de tensiune.
2Alege¸ ti pentru testarea codului un exemplu simplu (de exem plu, dar nu obligatoriu, un filtru pasiv adic ˘a f˘ar˘a
A.O., din lista http://sim.okawa-denshi.jp/en/Fkeisan.htm . Structura de date pentru circuitul de test ales va fi
instan¸ tiat ˘a într-o func¸ tie (nu se vor cere date de la tastatur ˘a).
3Verifica¸ ti solu¸ tia comparând-o cu o solu¸ tie de referin¸ t ˘a care poate fi: analitic ˘a sau ob¸ tinut ˘a cu un instrument
de tipul calculator online http://sim.okawa-denshi.jp/en/CRlowkeisan.htm
4Verifica¸ ti solu¸ tia comparând-o cu un simulator de circuit de tipul spice – v ˘a recomand ˘am:
→ngspice varianta online disponibil ˘a lahttp://www.ngspice.com/ sau
→LTSpice http://www.linear.com/designtools/software
Scrie¸ ti un raport care s ˘a rezolve punctele de mai sus. Este obligatoriu ca raportul s ˘a aib ˘a: o pagin ˘a de titlu, un
cuprins generat automat, o lista de referin¸ te. Da¸ ti o stru ctur˘a coerent ˘a raportului.
Fi¸ sierele care rezolv ˘a tema se vor organiza într-un folder numit NumePrenume_gru pa. În acest folder vor exista
urm˘atoarele subfoldere care vor con¸ tine fi¸ siere relevante: r aport, surse, spice. Folderul se arhiveaz ˘a (zip) ¸ si se
încarc ˘a pe moodle.
Termenul de predare a acestei temei va fi anun¸ tat pe moodle.
Gabriela Ciuprina Analiza circuitelor electrice liniare (c.c, c.a)