Cap. I. Conceptul de număr natural. Numerația în clasele primare [310036]

CUPRINS

INTRODUCERE

Cap. I. Conceptul de număr natural. Numerația în clasele primare

1.1 [anonimizat]

1.2 Noțiuni si metode de predare a matematicii in ciclul primar

1.2.1 Mulțimi și relații

1.2.2 Aspectul cardinal al numărului natural

1.2.3 Aspectul ordinal al numărului natural

1.2.4 Compunerea și descompunerea numerelor naturale

1.3 Formarea noțiunii de număr natural

1.3.1 Cunoașterea numerelor naturale de la 0 la 10

1.3.2 Compararea numerelor și introducerea semnelor de „+” , „ –” , „=”

1.3.3 Cunoașterea numerelor naturale de la 10 la 100

1.3.4 Predarea-învățarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre

Cap.II. Conceptul de operație aritmetică și învățarea operațiilor aritmetice în clasele primare

2.1 [anonimizat]

2.1.1 Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10

2.1.2 Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20

2.1.3 Adunarea și scăderea numerelor naturale până la 100

2.2 [anonimizat]

2.2.1. Înmulțirea numerelor naturale mai mici decât 100

2.2.2 Împărțirea numerelor naturale mai mici decât 100

2.3 Rezolvarea exercițiilor de aritmetică

2.3.1 Ordinea efectuării operațiilor

2.3.2 Efectuarea parantezelor

2.3.3 Folosirea probei operațiilor aritmetice

2.3.4 Aflarea unui număr necunoscut

2.4 Proiect didactic

Cap. III. Cercetare pedagogică

3.1 Scopul și obiectivele cercetării

3.2 Metodologia cercetării

3.3 [anonimizat]

3.4 Etapa experimentală

3.4.1 Clasa I-a

3.4.2 Clasa a III-a A

3.5. Interpretarea rezultatelor

3.5.1 Rezultatele obținute la clasa I-a

3.5.2 Rezultatele obținute la clasa a III-a

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

ANEXE

INTRODUCERE

MOTTO:

”Egalitatea nu există decât în matematică.”

Mihai Eminescu

Am optat în alegerea temei pentru predarea noțiunilor de numar natural și operații aritmetice cu numerele naturale la clasele primare cu scopul de a mă perfecționa în domeniul teoriei și metodologiei predării noțiunilor de numar natural și operații aritmetice cu numere naturale la clasele primare.

[anonimizat]. Înțelegerea conceptelor matematice contribuie astfel la construirea unei atitudini pozitive față de această disciplină. Operațiile aritmetice cu numerele naturale pe care elevul le învață în clase I-[anonimizat], în clasele gimnaziale și chiar în liceu sau facultate.

[anonimizat]-o am încercat să scot în evidență faptul că matematica este una din disciplinele de bază studiate în ciclul primar. Studiul sistematic și temeinic al acestei științe servește întregii deveniri a școlarului. Partea de cercetare urmărește să surprindă eficiența jocului didactic în predarea noțiunilor matematice.

Pentru copilul de vârstă preșcolară și școlară mică activitatea preferată de zi cu zi este jocul. [anonimizat], are rolul pe care munca îl are la adult. Jucându-se, [anonimizat] o imită. Viața plină de farmec a copilăriei este în primul rând joc. [anonimizat], pentru formarea și educarea copilului de vârstă preșcolară și școlară mică. Jocul nu-i dă numai farmec și emoții de neuitat, ci devine și mijlocul educativ cel mai eficient. Toate jocurile contribuie la formarea conduitei morale, spiritul de echipă, îndrăzneală, trăsături pozitive de voință și caracter, formează și dezvoltă deprinderi practice elementare și de muncă independentă.

Prezenta lucrare este structurată pe trei capitole. Capitolul 1 intitulat Conceptul de număr natural. Numerația în clasele primare prezintă etapele învățării unui număr , noțiuni si metode de predare a matematicii in ciclul primar și formarea noțiunii de număr natural. Capitolul 2 prezintă Conceptul de operație aritmetică și învățarea operațiilor aritmetice în clasele primare, unde se pune accent pe tipul operațiilor și rezolvarea exercițiilor, ordinea efectuării operațiilor, iar capitolul 3 cuprinde studiul de caz propriu-zis și este intitulat Cercetare pedagogică. Lucrarea se încheie cu concluzii, bibliografie și anexe.

Lucrarea are scopul de a demonstra eficiența utilizării jocului didactic în cadrul lecțiilor de matematică, atât pentru a-i determina pe elevii buni să-și dezvolte capacitățile la un nivel și mai înalt, cât și pentru a-i sprijini pe cei slabi să se realizeze la nivelul capacităților proprii, în vederea diminuării repetenției.

Rolul și importanța jocului didactic constă în faptul că el facilitează procesul de asimilare, fixare și consolidare a cunoștințelor, iar datorită caracterului său formativ influențează dezvoltarea personalității copilului. Jocul didactic este un important mijloc de educare intelectuală, care pune în valoare și antrenează capacitățile creatoare ale preșcolarului și școlarului mic.

Se observă că folosind jocului didactic matematic ca mijloc de transmitere, consolidare și verificare a priceperilor și deprinderilor de calcul matematic în ciclul primar, duce la investigarea direcției de stimulare a dezvoltării capacității intelectuale a copiilor. Matematica are un rol deosebit în dezvoltarea intelectuală a elevului, în dezvoltarea gândirii logice, adică a unei gândiri consecvente, clare și precise. Prin matematică găsim un bun prilej pentru a forma elevilor deprinderi folositoare: punctualitate, exactitate, autoverificare, justificare și motivare.

Se constată că folosind jocul didactic în lecțiile de matematică obținem din ce în ce mai multe rezultate pozitive, am reușit să-i atragem pe toți elevii făcându-i să le fie dragă matematica, am reușit să alungăm monotonia, plictiseala, oboseala, îmbinând utilul cu plăcutul. Învățătorul trebuie să fie preocupat în primul rând, de cultivarea creativității personalității. Dar eficiența jocului didactic depinde de cele mai multe ori de felul în care învățătorul știe să asigure o concordanță între tema jocului și mijloacele de învățământ existente, de felul în care știe să folosească cuvântul ca mijloc de îndrumare al elevilor prin întrebări, răspunsuri, explicații, aprecieri.

Din cercetările efectuate, s-a constatat că, fie datorită slabei rezistențe la efort intelectual a elevilor, fie din cauza negăsirii celor mai adecvate metode și procedee de menținere a atenției acestora, se pierde continuitatea evenimentelor, necesară desfășurării lecției. De aici nevoia introducerii din când în când a jocului didactic, metodă care asigură captarea, activizarea, relaxarea intelectuală și fizică a elevilor.

Cap. I. Conceptul de număr natural. Numerația în clasele primare

Despre numerele naturale – etapele învățării unui număr

Noțiunea fundamentală cu care lucrează elevii încă din primele zile ale școlarității o reprezintă noțiunea de număr natural, noțiune întâlnită încă din perioada preșcolarității. Cunoștințele dobândite la această vârstă, se vor amplifica treptat, în sensul formării conceptului de număr natural, în clasele I-IV. Așadar, predarea numerelor naturale, a operațiilor cu acestea și înțelegerea de către elev a relației dintre cifră (semnul grafic corespunzător), sunet și număr, reprezintă bazele matematicii de clasa I, de succesul acesteia depinzând reușita în activitatea matematică viitoare.

Copiii știu încă din grădiniță să numere, dar ajunși pe băncile școlii, învățătoarea constată faptul că, numărarea lor este una mecanică. Pentru ei, un număar oarecare nu reprezintă caracterizarea mulțimii obiectelor respective, ci obiectul care ocupă locul acelui număr în ordinea de numărare, corespondența fiind stabilită între număr și obiect, nu între număr și mulțimea de obiecte.

Etape în desfășurarea procesului de formare a conceptelor mulțime și număr:

-etapa contactului copil-obiecte: curiozitatea copilului declanșată de obiecte și jucării noi îl face să întârzie perceptiv asupra lor, să le observe;

-etapa de explorare acțională: copilul observă diverse atribute ale clasei de obiecte, iar cunoașterea analitică îl conduce la sistematizarea calităților perceptive ale mulțimii;

– etapa explictivă: copilul intuieșteși numește relații între obiecte, clasifică, ordonează, seriază și observăechivalențe cantitative;

– etapa de dobândire a conceptului desemnat prin cuvânt: cuvântul reprezintă o esențializare a tuturor datelor senzoriale și a reprezentărilor și are valoare de concentratinformațional cu privire la clasa de obiecte pe care o denumește.

Drept urmare, când vine vorba despre mulțime, copilul își formează mai înâi abilitățile de triere, sortare, clasificare, seriere, apreciere globală a cantității astfel că noțiunea de mulțime joacă un rol unificator al conceptelor matematice iar numărul apare ca proprietate numerică a mulțimii. La vârsta de 6 ani, copilul ajunge să sesizeze raportul dintre mulțime și unitate, numărul dobândește caracter sintetic și desemnează o proprietate de grup, ceea ce semnifică dobândirea capacității de sinteză. Analiza – prin activitatea practică cu obiecte din procesul numărării , dar și sinteza – prin caracterizarea și reprezentarea mulțimii ce înglobează obiectele numărate, sunt implicate în formarea unui număr.

Momente care se parcurg în formarea noțiunii de număr și numerație :

numărul apare ca parte intr-o suită ordonată de obiecte și își relevă natura sa ordinală. Numărul nu desemnează încă mulțimea sintetic , ci este de fapt un indicator al structurii ei pe unități;

numărul apare ca o mulțime de unități legate între ele, ca o clasă, relevându-și natura sa cardinală.

Asfel, folosind limbajul, numărul se deosebește de conținutul său concret și primește un caracter abstract, prin semnificația cuvântului pe care îl denumește (al doilea, al treilea, etc.), indiferent de natura particulară a obiectelor. Mai târziu, aceste denumiri funcționează între eleobținându-se caracterul cantitativ, sintetic al mulțimii. Numărul se regăsește acum în cuvânt nu numai ca procedeu de numărare a elementelor mulțimii, ci ca noțiune rezultată prin acțiune, numind sintetic mulțimea elementelor. Termenul de număr se consideră format dacă se creează raporturi reversibile de asociere număr-cantitate, cantitate-număr și se realizează sinteza șirului numeric. Copilul conștientizează operația de numărare spre șase-șapte ani, când numără numai cu privirea obiectele ce alcătuiesc o anumită grupare, acesta fiind momentul dobândirii numărului la nivel formal, copilul fiind pregătit pentru contactul perceptiv cu o nouă noțiune – aceea de operație aritmetică.

Noțiuni si metode de predare a matematicii in ciclul primar

1.2.1 Mulțimi și relații

Introducerea numărului natural se realizează pe baza corespondenței între mulțimi finite. Suportul științific este dat de noțiunea de mulțimi echipotente: două mulțimi sunt echipotente dacă există o bijecție de la una la cealaltă. Relația de echipotență împarte mulțimile în clase disjuncte, într-o clasă aflându-se toate mulțimile echipotente între ele. O astfel de clasă poartă numele de cardinal. Orice număr natural este cardinalul unei mulțimi finite.

De exemplu, numărul 4 este clasa de echipotență a tuturor mulțimilor ce au 4 elemente. Este evident că problema nu poate fi abordată astfel la școlarii mici. Calea cea mai utilizată pentru introducerea unui număr natural oarecare n (de exemplu, 5) trece prin următoarele etape:

se construiește o mulțime de obiecte avănd atâtea elemente cât este ultimul număr cunoscut (în exemplul menționat, 4);

se construiește o altă mulțime, echipotentă cu prima;

se adaugă în cea de a doua mulțime încă un obiect;

se face constatarea că noua mulțime are cu un obiect mai mult decât prima mulțime;

se afirmă că noua mulțime, formată din n-1 obiecte și încă un obiect are n obiecte (deci, 4 obiecte și încă un obiect înseamnă 5 obiecte);

se construiesc și alte mulțimi, echipotente cu noua mulțime, formate din alte obiecte, pentru a sublinia independența de alegerea reprezentanților;

se prezintă cifra corespunzătoare noului număr introdus.

Introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea copiilor cu noțiunea de relație de echivalență a mulțimilor, de clasă de echivalență, de echipotență între mulțimi stabilită de relația bijectivă tot atâtea, precum și de relația de ordine folosindu-se expresiile mai multe, mai puține. Activitatea de punere în corespondență a elementelor a două mulțimi se poate desfășura în două direcții principale:

– stabilirea echipotenței a două mulțimi (prin relația de corespondență element cu element),

– construirea mulțimilor echipotente cu o mulțime dată (formând o clasă de echivalență). Cadrul didactic trenuie să acorde o atenție deosebită mijloacelor materiale și de comunicare, formulării concluziilor, manipulării obiectelor prin care se formează sau se pun în corespondență mulțimile și folosirii unui limbaj adecvat. Astfel, în loc de funcție bijectivă putem spune: corespondență element cu element sau folosim relația: tot atâtea elemente, care este o relație de echivalență, iar în loc de mulțimi echipotente spunem: mulțimi cu tot atâtea elemente (care au același cardinal). Corespondența element cu element a două mulțimi se o putem indica grafic prin unirea cu o linie a unui element dintr-o mulțime cu un element din cea de-a doua sau prin alăturarea la fiecare element din prima mulțime a unui element din cea de-a doua mulțime.

Așadar, pentru a contura conceptul de număr natural se va porni de la noțiunile de mulțime și relație.

Fie A și B două mulțimi. Se va spune că cele două mulțimi sunt echipotente dacă există o bijecție ƒ a mulțimii A pe mulțimea B. Acest fapt se scrie astfel: “A ~ B” și se citește: mulțimea A este echipotentă cu mulțimea B. De exemplu, mulțimile A = {a1, a2, a3} și B = {b1, b2, b3} sunt echipotente – lucru ce rezultă din fig.1.1

Fig.1.1

Proprietăți ale relației de echipotență (“~”):

1. Relația de echipotență “~” este reflexivă, adică A ~ A.

2. Este simetrică, adică, dacă A ~ B ⇒ B ~ A.

3. Este tranzitivă, adică, dacă A ~ B și B ~ C ⇒ A ~ C.

Definiție: Se numesc cardinale, clasele de echipotență determinate de relația “~”. Clasa de echipotență căreia îi aparține mulțimea A se numește cardinalul mulțimii A și se notează cu A, sau cu card A.

Din definiție rezultă că A = B ⇔ A ~ B.

Observăm că această definiție a noțiunii de număr cardinal este foarte abstractă deci ea nu poate fi prezentată astfel copiilor. Întrebarea care se pune este cum trebuie introdus acest concept la micii școlari. Este imperios necesar ca învățătoarea să înțeleagă foarte bine semnificația noțiunii de aspect cardinal care stă la baza noțiunii de număr natural.

Se consideră o mulțime M și fie mulțimea părților ei, P(M). Pe această mulțime se definește relația de echipotență “~”, astfel: mulțimea care are un triunghi este echipotentă cu mulțimea care are un cerc sau cu mulțimea formată dintr-un pătrat, etc. Deci, relația de echipotență strânge toate mulțimile care au această proprietate, anume aceea de a avea un singur element, într-o clasă de echipotență.

Această clasă este numită numărul cardinal unu și se notează cu semnul 1.

Identic se procedează și pe mai departe. Toate submulțimile cu câte două elemente sunt echipotente între ele formează o nouă clasă, care este numită numărul cardinal doi și se notează cu simbolul 2. Se observă că această clasă nu are elemente comune cu prima, deci ele sunt disjuncte.

Procedând în același mod, relația de echipotență adună într-o nouă clasă toate submulțimile cu câte trei elemente, obținând astfel clasa numită numărul cardinal trei, care se notează cu semnul 3.

Mulțimea vidă va determina clasa căreia i se spune zero și care se notează cu semnul 0. Se construiesc progresiv toate clasele de echipotență, deci toate numerele cardinale.

Ce trebuie să înțelegem așadar, prin numărul cardinal 4? Înțelegem clasa tuturor mulțimilor cu patru elemente indiferent de natura elementelor lor (din patru cărți, patru mere, patru penare, patru mingi, etc.). Reținem numai proprietatea comună de a avea patru elemente. Astfel, elevul trebue să înțeleagă faptul că numărul 3, de exemplu, este proprietatea comună a tuturor mulțimilor formate cu trei elemente etc.

Cardinalul unei mulțimi finite se numește număr natural. Mulțimea numerelor naturale este notată cu N și este formată din următoarele elemente: N = {0, 1, 2, 3, …}

1.2.2 Aspectul cardinal al numărului natural

Pentru a vedea care mulțime conține mai multe obiecte oamenii au trebuit încă din cele mai vechi timpuri să compare diferite mulțimi de obiecte pentru a vedea care mulțime conține mai multe obiecte. În zilele noasre, acest lucru se face prin numărarea și compararea numerelor obținute ca rezultate ale numărării. Aceasta presupune că se cunosc deja numerele și că se știe a se număra.

Cum procedează școlarul de clasa I în fața unei asemenea provocări? El realizează o ordonare în perechi a elementelor mulțimilor ce se compară, adică realizează ceea ce noi numim corespondență unu la unu. Dacă această ordonare se poate realiza, atunci cele două mulțimi au tot atâtea elemente sau cele două mulțimi, diferite prin natura elementelor lor, sunt echipotente. Dacă însă toate elementele primei mulțimi sunt puse în corespondență numai cu o parte a elementelor celei de a doua mulțimi, atunci se spune că prima mulțime are mai puține elemente decât a doua sau că a doua mulțime are mai multe elemente decât prima.

Mai jos, în fig.1.2 prezentăm reprezentare grafică a acestor situații. În primul caz (fig. 1.2 a) mulțimile A și B au tot atâtea elemente. În cazul al doilea (fig. 1.2 b) mulțimea C are mai puține elemente decât mulțimea D, sau mulțimea D are mai multe elemente decât mulțimea C.

Proprietatea comună a tuturor mulțimilor care pot fi ordonate complet în acest fel este că au același număr de elemente. Astfel se formează noțiunea de număr cardinal.

A B C D

b)

Fig.1.2

Tudora Pițilă, Cleopatra Mihăilescu, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa I, Editura didactică și pedagogică, 2018

1.2.3. Aspectul ordinal al numărului natural

Aspectul ordinal al numărului natural provine din necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei mulțimi. Luând în considerare anumit criteriu, de exemplu, rezultatele la învățătură exprimate prin mediile obținute, se poate alcătui o ierarhie a elevilor într-o clasă stabilind cine este primul la învățătură, cine este al doilea, al treilea, etc (la o disciplină, sau ca medie generală etc.). Numărul de ordine atașat într-o asemenea succesiune se numește număr ordinal. Aspectele cardinale și ordinale s-au dezvoltat într-o legătură permanentă unele cu altele și formează cele două aspecte ale numerelor naturale, la care se adaugă numărul zero.

Copiii de vârstă școlară mică învață prin intuiție și manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce, între anumite limite, spațiul fizic în care aceștia se dezvoltă.

Tot prin activități practice, mânuind materialul didactic și verbalizând acțiunile folosind: conjuncția, disjuncția și negația se introduc operațiile cu mulțimi: reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi.

Pentru înțelegerea și însușirea operațiilor cu mulțimi este necesar ca învățătoarea să folosească jocurile logico-matematice, jocul disjuncției, al conjuncției, al negației, al perechilor, jocuri de formare a unei mulțimi, jocuri de ordonare a elementelor unei mulțimi etc. Cadrul didactic va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe înțelesul și la nivelul de pregătire al copiilor. Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor, copiii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența (element cu element) a două mulțimi – suportul constituindu-l numeroase situații de viață.

În prima parte a unei activități de predare a unui număr se efectuează exerciții prin care se consolidează și se verifică în ce măsură copiii stăpânesc cunoștințele și deprinderile necesare pentru înțelegerea numărului nou. În cadrul unei lecții se efectuează cu copiii exerciții ca: -formarea mulțimilor; -echipotența mulțimilor; -raportarea numărului la cantitate și a cantității la număr; -număratul în limite cunoscute; -stabilirea vecinilor numerelor; -exerciții de adunare și scădere cu o unitate. După efectuarea exercițiilor cu caracter pregătitor, se trece la predarea numărului nou.

1.2.4 Compunerea și descompunerea numerelor naturale

Punctul de plecare în compunerea și descompunerea numerelor naturale este reprezentat de procesul de formare a numărului prin adăugarea unei unități la numărul anterior. Prin exerciții de compunere și descompunere se realizează înțelegerea componenței numărului și pregătirea copiilor pentru însușirea operațiilor aritmetice de adunare și scădere. Pentru a face mai ușor de înțeles acest procedeu de compunere a unui număr, putem solicita copiilor așezarea unor carioici în doua cutii de culoare diferită. De exemplu 5 carioci, vom cere copiilor să găsească variante de compunere a numărului 5, așezând un număr diferit de carioci în ambele cutii. Copiii prezintă pe rând variantele găsite (3+2, 4+1, 1+4, 2+3, 0+5), explicând cum au lucrat. Pentru a cunoaște toate variantele de compunere a numărului 5, vom efectua exerciții pe tabla magnetică. Vom așeza pe tablă o mulțime cu 4 carioci, apoi, vom cere copiilor să numere elementele mulțimii și să așeze alături cifra corespunzătoare. Îi vom întreba pe urmă pe copii câte carioci trebuie adăugate pentru a avea 5. Vom trage concluzia că numărul 5 a fost compus dintr-o mulțime cu 4 elemente la care s-a reunit o mulțime cu un element. În continuare se va proceda la fel în cazul compunerii numărului 4 din: 3+2, 2+3, 1+4, 0+5. (fig.1.3)

Fig.1.3

Putem folosi și desenul pentru aprofundarea termenului de compunere a numerelor. Elevii pot desena un număr de 5 figuri identice pe care le colorează în două culori, după preferință. La verificarea desenelor se va arăta câte figuri au o culoare și câte altă culoare. Pentru descompunerea numerelor, copiii vor primi câte o cutiuță (despărțită în două părți egale). Li se va spune că această cutiuță reprezintă de fapt o grădină cu două straturi pe care copiii trebuie să așeze 5 flori, după preferință. Analizând soluțiile găsite de copii, acestora li s-a subliniat faptul că, oricum ar așeza elementele mulțimii, tot cinci sunt.

Mai depate, se procedează ca în cazul compunerii. Învățătoarea va așeza toate elementele mulțimii pe primul strat și va lua pe rând câte o floare și o va așeza pe al doilea strat. Copiii vor citi variantele descompunerii numărului 5 în: 5 și 0, 4 și 1, 3 și 2, 2 și 3, 1 și 4, 0 și 5. De asemenea, subliniem aici un lucru extreme de important, și anume, că fiecare număr este format din unități și că atunci când este descompus în două numere, acestea două sunt mai mici fiecare decât numărul descompus, dar că împreună formează același număr (fig. 1.4).

Fig.1.4

Ar fi foarte indicat ca aceste grupări, de compunere și descompunere a numerelor să le citească elevii sub formă de exerciții de adunare și scădere, iar apoi scrise la tabla magnetică cu ajutorul cifrelor. Aceste reguli pe care copilul le-a descoperit aranjând obiectele în diverse combinații o reprezintă de fapt baza operațiilor de calcul mintal (adunarea și scăderea).

1.3 Formarea noțiunii de număr natural

1.3.1 Cunoașterea numerelor naturale de la 0 la 10

Metodologia formării noțiunii de număr natural are la baza ideea că elevii din clasele I-IV se află în etapa operațiilor concrete, învățând în special prin intuire și manipulare directă a obiectelor. Pe măsura ce acștia se apropie de clasa a IV-a are loc trecerea treptată către general și abstract.

În formarea conceptului de număr natural, acțiunea va precede intuiția, parcurgându-se următoarele etape:

-activități și acțiuni cu mulțimi de obiecte (etapa acțională);

-schematizarea acțiunii și reprezentarea grafică a mulțimilor (etapa iconică);

-traducerea simbolică a acțiunilor (etapa simbolică).

Raportul dintre aceste etape se schimbă în mod treptat pe parcursul evoluției de la intuitiv la logic, de la concret la abstract. La început se va acorda un volum mai mare de timp activităților cu mulțimi de obiecte, după care, treptat, se vor utiliza, corespondențele realizate grafic pe tablă sau pe fișe întocmite de cadrul didactic și prezentate copiilor.

La conceptul de număr elevul ajunge treptat și după o anumită perioadă pregătitoare. În această perioadă este antrenat în activități de compunere și punere în corespondență a mulțimilor pentru a desprinde ideea de mulțimi echivalente sau mulțimi care au același număr de elemente, de constituire, după anumite criterii, de submulțimi date, de numărare a elementelor unei mulțimi, de transpunere prin simboluri a unei mulțimi.

Înregistrarea în scris a numărului reprezintă o etapă superioară a procesului de abstractizare. De cele mai multe ori, scrierea numerelor ridică dificultăți de ordin psihologic pentru copil, unele chiar mai mari decât cele pe care el le întâlnește când învață să scrie primele semne ale alfabetului. Cifra reprezintă semnul grafic al numărului, așa cum litera reprezintă semnul grafic al sunetului. Greutățile cresc, fiindcă el trebuie să conștientizeze o legătură strânsă între trei elemente: conceptul numeric, exprimarea sa verbală și semnul grafic. Scrierea de mână a cifrei se face odată cu predarea corespunzătoarea numărului pentru a se realiza o strânsă legătură între număr, exprimarea sa verbală și simbolul său grafic. Stabilirea corespondenței element cu element a mulțimilor urmărește să dezvolte la elev înțelegerea conținutului esențial al noțiunii de număr, ca o clasă de echivalență a mulțimilor finite echipotente cu o mulțime dată. Elevii construiesc mulțimi echivalente cu o mulțime dată și, în acest proces activ de comparare, înțeleg mai bine proprietățile numerice ale mulțimilor care au același număr de elemente. Folosind denumirea de mulțimi cu tot atâtea elemente se detașează progresiv, noțiunea de număr ca o clasă de echivalență.

Clasa tuturor mulțimilor finite echivalente cu mulțimea cu un singur element este numărul natural 1. Clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime cu două elemente este numărul natural 2. Clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime cu trei elemente este numărul natural 3, etc.. Cadrul didactic trebuie sa insiste cât mai mult asupra procesului de înțelegere a semnificației cifrei 0 (zero), fiindcă aceasta reprezintă pentru copil o dublă abstracție: cifra zero nu mai exprimă ceva concret, ea este simbolul clasei de mulțimi care nu au nici un element, adică a mulțimilor vide. Pentru a-i deprinde pe elevi cu succesiunea numerelor este necesar ca, în același timp cu introducerea numărului nou, să se predea și relația de ordine a acestuia cu numărul și numerele predate anterior (în ordine crescătoare și descrescătoare). Procesul construcției șirului numerelor până la 10 se face progresiv.

Din clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime dată se aleg 1–2 mulțimi model, ca reprezentanți ai clasei. Important este ca elevii să înțeleagă faptul că există un număr nesfârșit de mulțimi echivalente cu mulțimea model, dar și să facă diferența dintre număr și semnul său grafic. Însușirea conștientă a noțiunii de număr natural se fundamentează pe:

-înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);

-înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor de la 0 la 10 (aspectul ordinal al numărului);

-înțelegerea semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale și a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic);

-cunoașterea cifrelor corespunzătoare numărului;

-citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână.

Elevii trebuie să înțeleagă că relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale nu este dată de denumirea lor, care de multe ori se învață mecanic, ci de relațiile mai mic sau mai mare care se stabilesc între numere și care corespund relațiilor: mai puțin sau mai mult între mulțimile ce reprezintă numerele date.

Așadar, ar fi bine să reținem ca elemente importante în procesul de formare a conceptului de număr și în cel didactic, următoarele:

1.3.2 Compararea numerelor și introducerea semnelor de „+” , „ –” , „=”

Conform programei școlare, fiecărui număr natural din șirul până la 10, îi sunt alocate câte două ore de matematică, ținându-se cont de următoarele etape:

introducerea conceptului de număr;

stabilirea relației dintre numărul învățat și cel anterior;

exerciții de formare a numărului în funcție de numerele deja cunoscute;

scrierea în ordinea crescătoare și descrescătoare a numerelor învățate.

Pe urmă se ajunge la etapa în care introducem semnele de comparare “<”, “>”.

0<1<2<3<4<5<6<….<10

10>9>8>7>6>…>2>1>0

Vom fi atenți să le explicăm clar elevilor că vârful demnului este către cifra care reprezintă numărul cel mai mic sau vom găsi alta variantă deexplicare, mai pe înțelesul lor, și anume că, aceste semne seamănă cu gura unui crocodil, iar aceasta este deschisă spre numărul cel mai mare.

4 6 10 2

Trebuie să insistăm asupra numerelor situate înainte și după un număr, deci a numerelor între care se află numărul dat, precum și a stabilirii relației de ordine între două numere date care nu sunt consecutive.

Când vorbim despre operații de completare a mulțimilor, vom folosii următoarele expresii: „adăugăm un element și formăm o nouă mulțime”. Instuim elevii că atunci când scriem, acestă expresie o înlocuim cu un semn „+” care are sensul de adăugare și care se citește „și cu” , „plus”, „adunat cu”, iar pentru a scrie rezultatul folosim semnul „=” și citim „fac”, „egal”. La fel se introduce și semnul – , cu explicațiile specifice.

După ce ne-am acomodat cu aaceste noțiuni, acestea ne vor ajuta la consolidarea formării și descompunerii numerelor. Cadrul didactic se va folosi de o gamă variată de întrebări, cum ar fi:

Cât îi adăugăl lui 2 pentru a obține 5?

Cu cât este mai mic 2 decât 5?

Cu cât este mai mare 5 decât 2?

Cât luăm (scădem) din 5 pentru a obține 2?

Care număr este cu 3 mai mare decât 2?

Care număr este cu 3 mai mic decăt 5?

…,.+2=5; 2+…..=5 ?

După ce am învățat numerația de la 0 la 10 , pentru a aprofunda, putem să ne jucăm diverse jocuri: intr-un coș așezăm mingiuțe numerotate de la 0 la 10, Prin extragerea unei mingiuțe, le vom cere elevilor să-I spună vecinii, să numere mai departe până la 10, sau înapoi până la 0. Un alt joc ar fi să-l punem pe elev să spună un număr, și fără a se uita în coșuleț să extragă mingiuța cu numărul respectiv numerotat pe ea. Aceste joculețe fac parte din etapa primă a încercărilor, a introducerii în mulțimea probabilităților și posibilităților, explicandu-le că nu întotdeauna pot rezolva problemele din prima încercare.

1.3.3 Cunoașterea numerelor naturale de la 10 la 100]

La învățarea numerelor mai mari decât 9, elemental cheie al acestor lecții din punct de vedere metodic este gruparea câte zece a elementelor unei mulțimi și înțelegerea semnificației unei zeci ca unitate de ordin superior.

În această etapă sunt urmărite aceste aspecte de bază, specifice ei:

-înțelegerea zecii ca unitate de numerație, bază a sistemului utilizat;

-lărgirea noțiunii de zece ca unitate de calcul, scrierea și citirea numerelor formate din zeci, introducerea noțiunii de sută;

-formarea, citirea, scrierea și compararea numerelor naturale formate din zeci și unități;

-relația de ordine realizată prin compararea și ordonarea numerelor învățate;

-conștientizarea semnificației cifrelor după locul pe care îl ocupă în scrierea numerelor.

Fig. 1.5

Tudora Pițilă, Cleopatra Mihăilescu, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa I, Editura didactică și pedagogică, 2018

Modul de introducere a numerelor naturale mai mari decât 10 este similar cu cel din concentrul anterior învățat. De exemplu, pentru a introduce numărul 11 se pleacă de la cea mai mare mulțime formată (cea cu 10 elemente), lângă care se formează o mulțime cu un element (se poate face pe tabla magnetică, cu figurine, cu riglete, urmată de desen pe tablă). Se reunesc cele două mulțimi, obținându-se o mulțime formată din 10 elemente și încă un element. Se spune că această mulțime are 11 elemente și că semnul grafic sau simbolul acestui număr este “11” , adică două cifre 1, prima reprezentând zecea și cea de-a doua, unitatea adăugate zecii respective. Se continuă cu aplicații gen comparații: 10 < 11, 11 > 10, etc. Se pot găsi toate posibilitățile de compunere a numărului 11.

Mai departe, introducerea numărului 20, îl explicăm ca o mulțime format din zece (unități) și încă alte 10 unități, adică două zeci, se încheie etapa de bază în scopul înțelegerii ulterioare a modului de formare, scriere și citire a oricărui număr natural. Prin scrierea numerelor formate din zeci și unități, elevii iau contact cu ideea de bază a sistemului zecimal de scriere și notare a numerelor. Învățătoarea va insista pe pronunția și scrierea corectă a numerelor.

Exemplu: numărul 24, format din două grupe de zece unități și încă patru unități, il putem reprezenta astfel:

Două bile pe tija zecilor și patru bile pe tija unităților. Ce semnificație au cele două bile de pe tija zecilor?

O mulțime reprezentată de o bilă pe tija zecilor și 14 bile pe tija unităților.

Învățătoarea le va testa astfel elevilor spiritual de observație, iar dacă aceștia nu-și dau seama de acest mod de rezolvare, aceasta le va demonstra concret pe tijă modul cum s-a format numărul explicându-le semnificația modului de grupare. Se discută apoi ambele variante de grupare, analizând ămpreună cu elevii avantajele și dezavantajele acestor metode. Se va scrie numărul, insistând pe regulile de poziționare pentru zeci, respectiv pentru unități. Se discută și cazul când, pe poziția unităților avem scrisă cifra 0. Se pot formula intrebări de genul:

-cum se citește numărul (24) în acest caz? De ce?

-cum se citește numărul care se scrie trei urmat de un 0 ? Reprezentați cu ajutorul tijelor acest număr. Ce reprezintă cifra 0?

Cate zeci conține numărul (55)? Dar unități?

Așadar, pentru numereloe mai mari decât 10 și mai mici decât 100 , putem proceda în mod identic.

1.3.4 Predarea-învățarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre

În predarea – învățarea numerelor naturale scrise cu trei sau mai multe cifre se folosește analogia cu procedeele din concentrul anterior învățat. Se formează ideea că 10 unități de un anumit fel formează o unitate nouă, mai mare. Elevii adaugă la unitățile de numerație cunoscute: unitatea simplă, zecea, unități noi: suta, mia, ș.a.m.d., fixându-și ideea că zece sute formează o mie, ș.a.m.d. Predarea oricărui număr natural mai mare decât o sută se realizează după algoritmul cunoscut de la formarea numerelor naturale mai mari decât 10: o sută și încă o unitate formează 101, etc.

Ceea ce este nou în acest concentru și constituie o problem pentru cei mici, este legată de formarea, citirea și scrierea numerelor ce conțin pe 0 (zero), care semnifică absența unităților de un anumit ordin. Așadar, acum se introduc noțiunile de: ordin (ce reprezintă numărul de ordine în scrierea numărului: unitățile vor fi numite unități de ordinul întâi, zecile –unități de ordinul doi, sutele – unități de ordinul trei, unitățile de mii –unități de ordinul patru, zecile de mii –unități de ordinul cinci, ș.a.m.d.) și clasă (o structură nouă formată dintr-un grup de trei ordine consecutive: ordinele întâi, doi și trei formează clasa unităților, ordinele patru, cinci și șase – clasa miilor, ordinele șapte, opt și nouă – clasa milioanelor, ș.a.m.d., astfel că procedeul poate fi aplicat în continuare la nesfârșit, deoarece există numere naturale foarte mari. În scrierea numerelor naturale din acest concentru evidențierea claselor se realizează prin plasarea unui spațiu liber între ele.

În continuare, cadrele didactice, vor forma deprinderi corecte de citire și scriere a numerelor naturale de mai multe cifre, în special a celor în care lipsesc una sau mai multe unități de un anumit ordin. De asemenea, vor realiza corelații interdisciplinare, vor matematiza realitatea înconjurătoare obținând numeroase posibilități de exersare a numerelor, prin utilizarea frecventă a jocul didactic matematic.

Fig.1.6

Tudora Pițilă, Cleopatra Mihăilescu, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa I, Editura didactică și pedagogică, 2018

Capacitatea elevilor de explorare și investigare utilizând numerele poate fi observată pe baza deprinderilor de estimare și rotunjire, utilizând axa numerelor.

Fig.1.7

De exemplu, aceștia vor recunoaște și vor ști să poziționeze pe axă:

numere consecutive cuprinse între 60 și 70;

precedentul numărului 80;

numărul precedent și numărul următor față de 70;

trei numere consecutive mai mari decât 50 și mai mici decât 55;

două numere consecutive cele mai apropiate de 60.

Cea mai eficientă modalitate de a compara numerele mari este aproximarea valorii unui număr prin identificarea numărului de zeci, sute și unități. Aceasta presupune ca elevii să cunoască semnificația fiecărei cifre și să recunoască numărul de zeci, sute sau mii din care este format un număr.

Să luăm următorul exemplu: avem numărul 5732 – acesta are 5 mii, șapte sute, trei zeci și două unități. Dar pentru a fi cât mai clar pentru elevi și pentru a pricepe foarte bine îl vom transcribe astfel:

5732= 573×10+2 (537 de zeci);

5732= 57×100+2 (57 de sute);

5732=5×1000+732 (numărul conține 5 mii).

Cap.II. Conceptul de operație aritmetică și învățarea operațiilor aritmetice în clasele primare

2.1 Operțiile la vârsta școlară mică – adunarea și scăderea

Vizualizând conținuturile învățării și modul de prezentare al formării numerelor naturale, am putut observa că operțiile cu numere naturale se introduc încă din primele ore de matematică, bazându-se foarte mult pe mulțimi – acestea reprezentând baza pentru elevi în înțelegerea și efectuarea operațiilor cu numere naturale dar și principiile, respectiv proprietățile, care stau la bază.

Operațiile cu numere naturale reprezintă de fapt o extindere dar și o aprofundare a cunoștințelor deja însușite. Vom prezenta pe rând aceste operații, începând cu cele de bază, și anume, adunarea și scăderea, care sunt accesibile copiilor începând de la vârsta de 5-6 ani și continuând cu înmulțirea și împărțirea, pe care elevii le învață la vârsta de 8-9 ani.

2.1.1 Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-10

În scopul formării noțiunii de adunare se pornește de la operații cu mulțimi de obiecte concrete (etapa perceptivă), după care se trece la efectuarea de operații cu reprezentări ce au tendința de a generaliza (etapa reprezentărilor), pentru ca, în final, să se poată face saltul la conceptul matematic de adunare (etapa abstractă). Introducerea operației de adunare se face folosind reuniunea a două mulțimi disjuncte.

În etapa concretă, elevii formează, de exemplu, o mulțime de brăduți verzi cu 3 elemente și a mulțime de brăduți albi cu 4 elemente. Reunind cele două mulțimi de brăduți se formează o mulțime care are 7 brăduți: verzi sau albi. Putem să repetăm acțiunea folosind și alte obiecte: carioci, cărți, mărgele, bastonașe, etc.), până când elevii conștientizează că reunind o mulțime formată din 3 obiecte cu o altă mulțime formată din 4 obiecte (indiferent ce sunt acestea) se obține o mulțime formată din 7 obiecte. În această etapă, acțiunea elevului vizează număratul sau compunerea unui număr, date fiind două componente.

Etapa a doua, semiabstractă, este caracterizată de utilizarea reprezentărilor simbolice (fig. 2.1)

Fig.2.1

În această etapă se introduc semnele grafice “+” și “=”, explicându-se ce reprezintă fiecare și se insistă pe faptul că acestea se scriu doar între numere.

În etapa a treia, numită și etapa abstractă, dispare suportul intuitiv, folosindu-se doar numerele. În această etapă introducem termenii specifici de sumă/total și scoatem în evidență proprietățile adunării: comutativitate, asociativitate, existența elementului neutru, dar apelând la intuire, ori de câte ori este cazul. Acum putem vorbi și despre reversibilitatea operației, prin scrierea unui număr ca sumă de două numere (descompunerea numărului). Prin acest tip de exerciții elevul își dezvoltă creativitatea, urmare a unui raționament probabilistic, trebuind să găsească toate soluțiile posibile

Așadar, în clasa I, înțelegerea sensului de operație de adunare se face forte ușor prin rezolvarea problemelor de ațiune, care presupun mărirea cantitășii cu un număr de unități, pentru început elevii realizând practice aceste acțiuni de mărire, iar rezultatul găsit de elev făcându-se prin numărare.

Exemplu de problemă-acțiune: Ioana are 3 lalele și mai primește de la mămica ei încă 2 margarete. Câte flori are acum Ioana?

Sugestie metodică:

elevii vor lucra cu 3 creioane care vor reprezenta cele 3 flori pe care le are Ioana, la care vor adăuga încă 2 carioci care reprezintă cele două flori primate de la mama. Așadar, ei vor avea 3 și încă 2, deci în total 5 instrumente de scris, rezultat care îl vor afla prin numărare. În această etapă , acțiunea este mai mult verbalizată, punem accent pe termenul “mai primește” care ne indică sensul transformării.

elevii vor repeta acțiunea și se vor obișnui cu expresiile “3 și încă 2 fac în total 5”, expresia pe care o scriem astfel : 3+2=5.

vom repeta aceste acțiuni propunând alte probleme, utilizând alte materiale didactice și provocându-i pe elevi să rezolve individual ,

insistăm în continuare pe termenii : „la 3 se adaugă 2”; „am 3 și încă 2”; „sunt 3 și mai primesc 2” – pentru a sublinia modificarea cantității prin mărire.

Putem reprezenta prin desen problema – identificarea vizuală fiind mult mai sugestivă (fig. 2.2).

Fig. 2.2

Tudora Pițilă, Cleopatra Mihăilescu, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa I, Editura didactică și pedagogică, 2018

!!! Foarte important de reținut este că rezultatul obținut îl vom numi sumă iar numerele care se adună se numesc termenii adunării.

Noțiunea de scădere o introducem folosind operația de diferență dintre o mulțime și o submulțime a sa.

În prima etapă concretă, dintr-o mulțime de obiecte ce au o proprietate comună eliminăm o submulțime de obiecte și precizăm câte obiecte rămân în mulțime. Acțiunea mentală a elevului presupune număratul sau descompunerea unui număr în două componente, dată fiind una dintre acestea.

În etapa a doua, denumită etapa semiabstractă, vom utiliza reprezentăriler simbolice (Fig, 2.3):

Fig.2.3

În această etapă vom introduce semnul grafic “−“ explicându-le elevilor ce reprezintă și precizându-le că acesta se scrie doar între numere.

În etapa a treia abstractă, în care se folosesc doar numerele, vom introduce terminologia specifică (descăzut, scăzător, rest/diferență) și vom sublinia proprietățile scăderii numerelor naturale (operația este posibilă doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul; în cazul egalității, restul este zero), și se compară cu proprietățile adunării (scăderea nu este comutativă) și subliniind faptul că, la adunare, rezultatul (suma) este mai mare decât oricare dintre numerele care se adună (termeni), iar la scădere, rezultatul (diferența) este mai mic decât descăzutul.

Vom utiliza aceste relații și în cazul aflării unui termen necunoscut la adunare sau scădere, eliminând ghicirea, ce apelează la memorie sau procedeul încercare-eroare. Înțelegerea acestor aspecte implică în clasele următoare și formarea capacității elevilor de a utiliza terminologia: mai mult cu…, mai puțin cu…, ce vor sta la baza rezolvării problemelor simple.

De exemplu, avem urmatoarea imagine fig. 2.4– pe o bancă sunt așezați 6 elevi, 3 dintre acestia pleacă, poate fi exploatată maximal (din punct de vedere matematic) prin formulări de tipul:

Fig. 2.4

Tudora Pițilă, Cleopatra Mihăilescu, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa I, Editura didactică și pedagogică, 2018

-Pe o bancă sunt așezați 3 elevi, și încă 3 sunt în picioare. Câți elevi sunt în total?

-Pe o bancă au fost 6 elevi, iar 3 dintre ei s-au ridicat să meargă in clasă. Câți elevi au rămas pe bancă?

-Pe o bancă au fost 6 elevi, dar acum sunt doar 3. Câți elevi au plecat?

!!! Foarte important de reținut este: numărul din care se scade se numește descăzut, numărul care se scade se numește scăzător, iar rezultatul îl vom numi rest sau diferență.

2.1.2. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20

Ceea ce s-a învățat până în present despe operațiile de adunare și scădere în concentrul 0-10 rămâne valabil și pe mai departe, doar că vom lărgi sfera de cunoștințe prin abordarea unor probleme metodice specifice acestui concentru. În predarea adunării numerelor naturale mai mici decât 20 vom distinge următoarele cazuri:

Când la numărul 10 adunăm un număr de unități (mai mic decât 10); Acest caz nu ridică probleme metodice deosebite, dat fiind și faptul că se corelează cu problematica formării numerelor naturale mai mari decât 10 (zecea și un număr de unități), studiată anterior, la numerație.

Când adunăm un număr format dintr-o zece și din unități cu un alt număr format din unități (fără trecere peste 10); În acest caz, este necesar ca elevii se aibă deprinderile de a aduna corect și rapid numere mai mici decât 10 și de a descompune numărul mai mare decât 10 într-o zece și unități, precum și priceperea de a acționa numai cu unitățile celor două numere, iar la final, să revină la primul caz. Din punct de vedere metodic este necesară o acțiune directă, demonstrativă, apoi, se va relua de cate ori este necesar, individual, cu obiecte, astfel:

-descompunem primul număr în 10 și unități;

-adunăm unitățile celor două numere (cu sumă mai mică sau egală cu 10);

-compunem rezultatul din 10 și din suma unităților.

De exemplu: 17 + 2 = (10 + 7) + 2 = 10 + (7 + 2) = 10 + 9 = 19

Când adunăm două numere mai mici decât 10 și a căror sumă este mai mare decât 10 (cu trecere peste 10); Ajunși până în acest moment, elevii trebuie să aibă capacitatea de a forma zecea, ca sumă a două numere, dintre care unul este dat, dibăcia de a descompune convenabil un număr mai mic decât 10 și dibăcia de a efectua adunarea zecii cu un număr de unități. Pașii de urmat sunt:

-căutarea unui număr care, adunat cu primul termen conduce la suma 10;

-descompunerea convenabilă a celui de-al doilea termen (una dintre componente fiind numărul găsit anterior);

-adunarea zecii cu cealaltă componentă a celui de-al doilea termen.

De exemplu: 8 + 7 = 8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5 = 10 + 5 = 14

La operațiile de scădere distingem următoarele situații:

Când vorbim despre scăderea numerelor naturale mai mici decât 20, putem întâlni următoarele situații:

-descăzutul este cuprins între 10 și 20, iar scăzătorul este mai mic decât unitățile descăzutului; aceste operații nu ridică probleme metodice deosebite, dacă elevii observă că este suficientă scăderea unităților, zecea rămânând neatinsă.

De exemplu: 14 –2 = (10 + 4) – 2 = 10 + (4 – 2) = 10 + 2 = 12

-descăzutul este cuprins între 10 și 20, iar scăzătorul este 10; Nici acest caz nu prezintă dificultăți metodice, dacă elevii observă că este suficientă scăderea zecii, unitățile rămânând neschimbate.

De exemplu: 16 – 10 = (6 + 10) – 10 = 6 + (10 – 10) = 6 + 0 = 6

-atât descăzutul, cât și scăzătorul sunt cuprinse între 10 și 20; Acest caz reprezintă o combinație a celorlalte două și rezolvarea sa este reductibilă la descompunerea celor două numere (în câte o zece și unități), scăderea unităților de același fel (zece-zece și unități-unități) și adiționarea rezultatelor.

De exemplu: 16 – 12 = (10 + 6) – (10 + 2) = (10 –10) + (6 – 2) = 0 + 4 = 4

-descăzutul este 20 iar scăzătorul este mai mic decât 10; În acest caz este necesară dezlipirea unei zeci și transformarea ei în 10 unități, urmată de scăderea din acestea a unitățile scăzătorului.

De exemplu: 20 –7 = (10 + 10) – 7 = 10 + (10 – 7) = 10 +3 = 13

-descăzutul este 20 iar scăzătorul este cuprins între 10 și 20; Acest caz este o generalizare a celui anterior, fiind necesară în plus scăderea zecilor.

De exemplu: 20 – 11 = (10 + 10) – (10 + 1) = (10 – 10) + (10 – 1) = 0 + 9 = 9

-descăzutul este cuprins între 10 și 20, iar scăzătorul, mai mic decât 10, este mai mare decât unitățile descăzutului; Acest caz este cel mai dificil pentru elevi și poate fi rezolvat prin mai multe procedee.

Primul procedeu cuprinde (în exemplul 15-8):

– descompunerea descăzutului într-o zece și unități (15 = 10 + 5);

-descompunerea scăzătorului astfel încât una dintr componente să fie egală cu unitățile descăzutului (8 = 5 + 3);

-scăderea acestei componente a scăzătorului din unitățile descăzutului (5 –5 = 0);

-scăderea din zecea descăzutului a celeilalte componente a scăzătorului (10 – 3 = 7).

Așadar,

15 – 8 = (10 + 5) – 8 = (10 + 5) – (5 + 3) = 10 + (5 – 5) – 3 = 10 + 0 – 3=10 – 3 = 7

Al doilea procedeu (în exemplul 15-8):

-descompunerea descăzutului într-o zece și unități (15 = 10 + 5);

-scăderea din zecea descăzutului a unităților scăzătorului (10 – 8 = 2);

-adunarea acestui rest cu unitățile descăzutului (2 + 5 = 7).

Așadar,

15 – 8 = (10 + 5) – 8 = (10 – 8) + 5 = 2 + 5 = 7

Este necesar ca elevilor să li se prezinte ambele procedee, să fie angrenați să le aplice pe amândouă în una sau mai multe scăderi date, pentru ca, apoi, aceștia să opteze pentru unul din procedee, care li se pare mai ușor și pe care îl vor folosi în continuare. Prezentarea acestor procedee trebuie realizată cu material didactic, analizând fiecare pas și apoi sintetizând procedeul pe toți pașii în ansamblu.

2.1.3. Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100

Aceste cazuri nu ridică probleme metodice deosebite dacă elevii stăpânesc algoritmii celor două operații, pe care i-au aplicat în concentre numerice mai mici. Singura diferență este dată de ordinul de mărime al numerelor, dar aceasta nu afectează cu nimic structura algoritmilor.

Astfel, pe lângă zecea, apar și alte unități de calcul, cum sunt suta, mia, etc., dar ele reprezintă o extindere a cunoștințelor și priceperilor anterioare, pe care elevii le vor descoperi singuri. Ei vor observa că și cu numerele mai mari se poate opera, exact ca și cu numerele mai mici decât 100, astfel, vor descoperirii că pot opera singuri și în alte contexte decât cele învățate în lecții.

2.2 Operțiile la vârsta școlară mică – înmulțirea și împărțirea

Introducerea operațiilor de înmulțire și împărțire cu numere naturale se face după ce elevii au dobândit cunoștințe și au priceperi și deprinderi de calcul formate, corespunzătoare operațiilor de adunare și scădere. Operațiile de înmulțire și împărțire se introduc separat, mai întâi înmulțirea (ca adunare repetată de termeni egali), apoi împărțirea (ca scădere repetată a aceluiași număr natural). Abia după introducerea lor și stăpânirea lor de către elevi se va putea stabili legătura dintre aceste două operații. Deoarece predarea-învățarea acestor două operații se face prin intermediul adunării și scăderii, intuiția nu mai are un rol predominant în cunoașterea și înțelegerea lor.

2.2.1. Înmulțirea numerelor naturale mai mici decât 100

Operația de înmulțire se introduce ținând seama de definiția înmulțirii: adunarea repetată a aceluiași termen. De aceea pentru stabilirea rezultatului înmulțirii se pot utiliza două procedee:

Efectuarea adunării repetate a numărului respectiv și exprimarea acestei adunări prin înmulțire: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10, deci: 2 × 5 = 10.

Efectuarea înmulțirii prin grupare: 2 × 2 = 4, 2 × 3 = 6, 4 + 6 = 10, deci: 2 × 5 = 10. Primul procedeu se întrebuințează mai ales pentru stabilirea tablei înmulțirii, iar al doilea se bazează pe primul, cu deosebire pe înmulțirile numerelor 1-10 cu numere până la 5.

Ordinea exercițiilor de înmulțire respectă ordinea prevăzută în tabla înmulțirii, astfel că se învață întâi înmulțirea numărului 2, apoi a numărului 3 etc.

Exprimarea în cazul înmulțirii trebuie să corespundă întru totul procesului de gândire care are loc, astfel încât elevul să-și poată însuși foarte clar și cu ușurință această operație. Vom folosi întâi exprimarea care utilizează cuvintele: 2 luat de 5 ori, apoi exprimarea: 2 înmulțit cu 5 și în sfârșit exprimarea: 2 ori 5, aceasta fiind cea mai scurtă și deci cea care se va folosi cel mai des.

Pentru stabilirea rezultatului unei înmulțiri, spre exemplu 2 × 4 = 8 se procedează în felul următor:

-se demonstrează cu ajutorul a 2 – 3 materiale didactice, apoi pe bază de reprezentări cât fac 2 luat de 4 ori și trecându-se pe plan abstract se stabilește că 2 luat de 4 ori fac 8;

-se scrie această concluzie în două feluri: sub formă de adunare și sub formă de înmulțire, adică: 2 + 2 + 2 +2= 8, respectiv, 2 × 4 = 8

-se citește operația de înmulțire în cele 3 moduri arătate mai sus.

Trecerea de la adunarea repetată la înmulțire se face în două moduri:

Prin stabilirea rezultatului fiecărei adunări repetate a numărului dat și exprimarea acestei operații sub formă de adunare, apoi sub formă de înmulțire, urmată de scrierea în cele două feluri a acesteia,

De exemplu: Cât fac două mingi luate de 4 ori. Cum ați socotit ? (2 + 2 + 2 + 2 = 8). Cum putem spune altfel? (2 luat de 4 ori fac 8). Cum scriem? (2 + 2 + 2 + 2 = 8 sau 2 × 4 = 8). În acest mod elevii se vor obișnui să asocieze operația de adunare repetată a aceluiași termen cu operația de înmulțire, și să înlocuiască o operație prin alta.

Prin stabilirea tuturor operațiilor de adunare repetată a aceluiași termen programate pentru lecția respectivă și apoi scrierea acestora sub formă de înmulțiri (fig. 2.6). Adică, dacă este vorba despre înmulțirea numărului 3, se stabilesc și se scriu toate adunările numărului 3 până la 12:

3

3 + 3 = 6

3 + 3 + 3 = 9

3 + 3 + 3 + 3 = 12

Fig. 2.5

Tudora Pițilă, Cleopatra Mihăilescu, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa a II-a, Editura didactică și pedagogică, București, 2018

Pe urmă, le transformăm pe rând aceste adunări în înmulțiri, scriindu-se în dreptul fiecărei adunări înmulțirea corespunzătoare, astfel:

3× 1 = 3

3 × 2 = 6

3 × 3 = 9

3 × 4 = 12

Dintre aceste două procedee se consideră că primul este mai indicat pentru motivul că elevii sunt puși în situația să participe în mod conștient la scrierea fiecărei adunări sub formă de înmulțire, câtă vreme după al doilea procedeu, chiar dacă elevii participă conștient la scrierea primelor două adunări sub formă de înmulțiri, celelalte transformări le vor face mecanic pe baza observației că numărul 3 este luat pe rând de 2 ori, de 3 ori etc.

!!! Foarte important de reținut: numerele care se înmulțesc se numesc factori, iar rezultatul îl vom numi produs. Semnul înmulțirii se introduce odată cu scrierea primei operații de înmulțire, ca o prescurtare a cuvintelor luat de … ori, așadar , semnul “x” mai ține locul cuvintelor înmulțit sau ori. (fig.2.6)

Fig. 2.6

Mihaela Ada Radu, Rodica Chiran, Olga Pîrîială, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa a II-a, Editura didactică și pedagogică, București, 2018

Pentru memorarea tablei înmulțirii se utilizează procedeele specificate pentru memorarea tablei adunării și scăderii. Apoi, la fiecare lecție, trecerea la predarea cunoștințelor noi este precedată de calcul mintal, iar în ascultare și în fixarea cunoștințelor se rezolvă probleme aplicative.

Este indicat să se rezolve cât mai multe exerciții în care lipsește unul din factori, întâi exerciții în care lipsește factorul al doilea, apoi exerciții în care lipsește primul factor: 2 × ? = 14 sau ? × 5 = 35, deoarece aceste categorii de exerciții contribuie într-o măsură mai mare la clasificarea și consolidarea înmulțirilor.

Procedee pentru stabilirea rezultatelor la înmulțire:

-procedeul adunării repetate; 4 × 3 = 12 pentru că 4 + 4 + 4 = 12.

-procedeul utilizării grupărilor; 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16 și 12 + 16 = 28 sau 4 × 7 = 28 pentru că 4 × 5 = 20, 4 × 2 = 8 și 20 + 8 = 28.

-procedeul comutativității; 7 × 3 = 21, pentru că 3 × 7 = 21 9 × 6 = 54, pentru că 6 × 9 = 54.

-procedeul rotunjirii; 9 × 3 = 27, pentru că 10 × 3 = 30, 1 × 3 = 3 și 30 – 3 = 27.

Gruparea înmulțirilor după gradul de dificultate (la clasele a III-a și a IV-a):

a) înmulțirea numerelor naturale mai mici decât 10 cu un număr format numai din zeci.

Rezolvarea acestui tip de înmulțire se bazează pe descompunerea numărului format numai din zeci (n ×10), pe proprietatea de asociativitate și pe tabla înmulțirii.

De exemplu: 2×40= 2×(4×10)= (2×4)×10= 8×10= 80.

b) înmulțirea numerelor de o cifră cu numere formate din zeci și unități

Rezolvarea acestui tip de înmulțire se bazează pe descompunerea numărului de două cifre într-o sumă în care primul termen este un număr format numai din zeci, iar celălalt este un număr de o cifră (scrierea sistemică a numărului ab= a×10 + b), respectiv pe proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunare.

De exemplu, 2×24= 2×(20+4)= 2×20 + 2×4= 40+8 =48

Din acest moment, vom introduce calcul în scris, după procedeul în scris al adunării repetate și utilizând comutativitatea înmulțirii:

24+ 24x 2x 4= 8 +

24 2 2×20= 40

48 48 48

c) înmulțirea numerelor de o cifră cu 100

Nu ridică probleme metodice deoarece suta este privită ca unitate de calcul, înmulțirea cu ea realizându-se ca în tabla înmulțirii. Cu atât mai mult cu cât, din punct de vedere al tehnicii de calcul, acest caz se reduce la adăugarea, la sfârșitul numărului, a două zerouri.

d) înmulțirea numerelor de o cifră cu numere formate numai din sute

Ne vom axa pe descompunerea numărului format numai din sute (n×100), pe asociativitatea înmulțirii și pe tabla înmulțirii.

De exemplu: 2×200= 2×(2×100)= (2×2)×100= 4×100= 400. Nu va fi nevoie să apelăm la calculul în scris.

e) înmulțirea numerelor de o cifră cu numere formate din sute, zeci și unități

Ne vom axa pe scrierea sistemică a numărului de 3 cifre și pe distributivitatea înmulțirii față de adunare.

De exemplu: 2×425 = 2×(400+20+5) = 2×400 + 2×20 + 2×5= 800+40+10= 850.

Se poate solicita ca elevii să efectueze și calculul în scris corespunzător.

f) înmulțirea unui număr cu 1 000 Nu ridică probleme metodice întrucât mia este privită ca unitate de calcul, iar ca tehnică, se adaugă 3 zerouri la sfârșitul numărului cu care se înmulțește.

g) înmulțirea a două numere de mai multe cifre

Ne vom axa pe scrierile sistemice ale celor două numere și pe proprietățile de asociativitate și distributivitate a înmulțirii față de adunare.

De exemplu,

21×345 = (20 +1) × ( 300 + 40 + 5) = 20×(300 + 40 +5) + 1×(300 + 40 +5) = 20×300 + 20×40 +20×5 + 300+40+5= 2×3×1 000 + 2×4×100 + 2×5×10 + 345 = 6 000 + 800 + 100 + 345 = 7 245.

În aceste cazuri se efectuează calculul în scris. Fiecare dintre numerele care indică ordinele numărului cu care înmulțim se înmulțește succesiv cu toate unitățile, de orice ordin, ale celuilalt număr. Din înmulțirea fiecărei unități de ordin a numărului cu care înmulțim se obține un produs parțial. Scrierea acestor produse parțiale se realizează de la dreapta la stânga și se începe cu cifra unităților numărului cu care înmulțim. Prin adunarea produselor parțiale se obține produsul total căutat.

Etapele calculului în scris pentru exemplul menționat sunt:

2.2.2. Împărțirea numerelor naturale mai mici decât 100

Împărțirea semnifică o scădere repetată, iar introducerea operației de împărțire se poate realiza la clasa a II-a, în mai multe moduri:

împărțirea în părți egale

Definiție: Fie A o mulțime de cardinal a (având a elemente); se realizează o partiție a acestei mulțimi în b (unde b este un divizor al lui a) submulțimi disjuncte echipotente; numărul elementelor din fiecare submulțime este câtul împărțirii numerelor a și b.

La clasa a II-a, problema se pune astfel: avem 8 pere, pe care trebuie să le așezăm, în mod egal, pe două farfurii și vrem să aflăm câte pere vor fi pe fiecare farfurie. Acțional, rezolvarea acestei probleme se va realiza în felul următor: se ia câte o pară, ce va fi așezată pe fiecare dintre cele două farfurii (deci, două pere luate). Au rămas 8 – 2 = 6 (pere). Se repetă acțiunea descrisă mai sus, în urma căreia, pe fiecare farfurie se vor afla câte două pere, rămânând de așezat 6 – 2 = 4 (pere). Acțiunea se repetă până când pe fiecare farfurie vor fi 4 pere și perele disponibile inițial s-au epuizat. Aceasta înseamnă că 8 pere : 2 = 4 pere. Pentru a ajunge la generalizări, se folosește material didactic variat, reținând doar esența acțiunii: operația de împărțire a numerelor.

împărțirea prin cuprindere

Fie A o mulțime având cardinalul a; se realizează o partiție a mulțimii în submulțimi disjuncte echipotente, având fiecare câte b elemente (unde b este un divizor al lui a); numărul maxim al acestor submulțimi este câtul împărțirii numerelor a și b.

Reluăm exemplul anterior, reformulând: avem 8 pere, pe care trebuie să le așezăm câte două pe farfurii și vrem să aflăm câte farfurii vor fi necesare. Acțional, lucrurile se desfășoară astfel: se iau două pere și se așează pe o primă farfurie (dintr-un teanc de farfurii), rămânând de așezat 8 – 2 = 6 (pere). Se iau încă două pere, ce vor fi așezate pe o a doua farfurie și rămân 6 – 2 = 4 (pere). Următoarle pere se așează pe o treia farfurie, iar următoarele pe o a patra farfurie și nu mai rămân pere neașezate pe farfurii. Aceasta înseamnă că 8 pere : 2 = 4 pere, adică grupul de două pere se cuprinde în cel de 8 pere, de 4 ori.

împărțirea ca scădere repetată a unui același număr

Observăm că, în ambele cazuri anterioare, din mulțimea dată „s-au scos”, în mod repetat, câte un același număr de elemente, până la epuizarea acesteia. Astfel, operația 8 : 2 = 4 se reduce, de fapt, la scăderea repetată a lui 2 din 8, 8 – 2 –2 – 2 – 2 = 0, în care numărul care arată de câte ori s-a realizat scăderea lui 2 reprezintă câtul împărțirii lui 8 la 2 (vezi fig. 2.7).

Fig.2.7

Mihaela Ada Radu, Rodica Chiran, Olga Pîrîială, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa a II-a, Editura didactică și pedagogică, București, 2018

împărțirea dedusă din tabla înmulțirii

Împărțirea poate fi privită și ca operația prin care, cunoscând produsul și unul dintre factori (nenul) ai unei înmulțiri, se află celălalt factor. Astfel, pornind de la înmulțirea 2 × = 8, în care se cunoaște produsul (8) și unul dintre factori (2), aflarea celuilalt factor înseamnă aflarea câtului împărțirii 8 : 2.

Împărțirea în părți egale, spre deosebire de împărțirea prin cuprindere, este înțeleasă mai ușor de către elevi, exprimarea întrebuințată este în concordanță cu datele experienței și cu procesul de gândire care are loc, iar demonstrarea operațiilor se face fără dificultăți.

Tabla împărțirii se bazează pe legătura cu înmulțirea, iar stabilirea rezultatului împărțirii reiese din aplicarea tablei înmulțirii (8:2=4 pentru că 2×4=8). În practica școlară, cele două table, pentru numere până la 10, sunt memorate de elevi, fiind incomod, dar posibil de reconstituit, desigur cu pierdere inutilă de timp. Memorarea acestor table nu se face însă mecanic, ci după descoperirea, cunoașterea și aplicarea lor de către elevi. Pot fi remarcate și reținute de elevi proprietăți ale operției de împărțire, exprimate de cazurile particulare ale împărțirii unui număr nenul la 1 și la el însuși.

!!! Foarte important de reținut este: numărul care se împarte se numește deîmpărțit, numărul la care se împarte se numește împărțitor, iar rezultatul îl vom numi cât (fig. 2.8).

Fig. 2.8

Mihaela Ada Radu, Rodica Chiran, Olga Pîrîială, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa a II-a, Editura didactică și pedagogică, București, 2018

Împărțirea cu rest

Un alt model de împărțire întâlnit la clasa a III-a este situația în care restul împărțirii este diferit de zero. Se începe prin a constata că nu totdeauna elementele mulțimii A din definiția operației de împărțire pot fi toate distribuite în submulțimi sau șirul de scăderi repetate nu conduce la rest zero, respectiv în tabla înmulțirii nu există nici un factor care să conducă la produsul dat.

Așadar, dacă împărțim 8 : 2 = 4, specificăm faptul că toate elementele mulțimii inițiale au fost folosite, nu a rămas nici unul disponibil. Reformulăm problema, considerând deîmpărțitul 9 și se constată că, prin orice procedeu s-ar încerca, împărțirea 9 : 2 conduce la câtul 4 dar rămâne un element disponibil. Deci, rezultatul acestei împărțiri este 4 rest 1, și subliniem faptul că întotdeauna restul este mai mic decât împărțitorul.

Desigur, acest fapt nu se concluzionează după un singur exemplu și nici nu este necesară o exprimare formalizată a acesteia, dar elevii trebuie să desprindă, în timp, proprietatea respectivă, conștientizând că la împărțirea prin numărul n (n diferit de 0) sunt posibile doar resturile 0, 1, 2…, n – 1. Relația dintre numerele date (deîmpărțit, împărțitor) și cele obținute (cât, rest), D = Î x C + R, cu R < Î se constituie și în proba împărțirii cu rest. Pentru înțelegerea și însușirea algoritmului de împărțire a numerelor de două cifre la un număr de o cifră, se pot parcurge mai multe etape, ilustrate prin următoarele exemplificări:

40 : 2 = (4 zeci) : 2 = 2 zeci = 20;

46 : 2 = (4 zeci + 6 unități) : 2 = (4 zeci) : 2 + (6 unități) : 2 = 2 zeci + 3 unități = 20 + 3 = 23;

47 : 2 = (4 zeci + 7 unități) : 2 = (4 zeci) : 2 + (7 unități) : 2 = 20 + 3 rest 1 = 23 rest 1;

56 : 2 = (5 zeci + 6 unități) : 2 = (4 zeci + 1 zece + 6 unități) : 2 = (4 zeci) : 2 + 16 : 2 = 20 + 8 = 28;

57: 2 = (5 zeci + 7 unități) : 2 = (4zeci + 1 zece + 7 unități) : 2 = = (2 zeci) : 2 +17 : 2 = 10 + 8 rest 1 = 18 rest 1.

Exemplu (fig.2.9): pentru Târgul de Crăciun, Ana a confecționat ornamente, în care a pus câte 3 globuri. Dacă avea 26 de globuri, câte ornamente a confecționat? Câte globuri i-au rămas?

Fig.2.9

Mihaela Ada Radu, Rodica Chiran, Olga Pîrîială, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa a II-a, Editura didactică și pedagogică, București, 2018

Calculul în scris, nu creeaza mari dificultăți elevilor, atfel că, îl vom exemplifica mai jos printr-o problemă (fig.2.10) : elevii clasei a IV-a au desenat 84 de foi cu animale pe care le-au oferit colegilor din clasa I. Câți elevi sunt în clasa I dacă fiecare a primit câte 2 foi desenate?

Fig.2.10

Mihaela Ada Radu, Rodica Chiran, Olga Pîrîială, Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa a II-a, Editura didactică și pedagogică, București, 2018

Spețele de împărțire la 10, 100 sau 1000 a numerelor a căror scriere se termină cu cel puțin 1, 2 sau 3 zerouri sunt ușor reținute de elevi, pentru că, din punct de vedere al tehnicii de calcul, se reduc prin eliminarea a 1, 2 sau 3 zerouri finale din scrierea deîmpărțitului.

Exemplu: 60 : 10 = (6 zeci): ( 1zece) = 6

600 : 10 = (60 zeci): (1 zece) = 60

6000 : 10 = (600 zeci) : (1 zece) = 600

600 : 100 = ( 6 sute) : (1sută) = 6 ș.a.m.d

Spețele în care împărțitorul este scris cu mai mult de 1 cifră nu mai sunt prevăzute în actuala programă a claselor I – IV astfel că, nu ne vom opri asupra lor.

2.3 Rezolvarea exercițiilor de aritmetică

2.3.1. Ordinea efectuării operațiilor

În clasele I – II, exercițiile sunt astfel alcătuite încât să se efectueze corect în ordinea în care sunt scrise. Până acum s-au întâlnit numai exerciții în care apăreau operații de același ordin: adunări / scăderi sau înmulțiri/împărțiri. În acest fel, elevii își formează deprinderea de a efectua succesiv operațiile, fără să-și pună problema existenței unor reguli referitoare la ordinea efectuării acestora.

În clasa a III-a, după ce elevii au învățat cele 4 operații cu numere naturale, sunt puși în fața efectuării unor exerciții de tipul 2 + 3 x 5, astfel că, schimbarea ordinii efectuării operațiilor conduc la rezultate diferite, ceea ce necesită stabilirea unor reguli după care se efectuează operațiile într-un astfel de exercițiu. Aceste exerciții se prezintă sub mai multe forme, după operațiile pe care le conțin:

-exerciții care conțin operații de un singur fel, adică numai adunări sau scăderi etc.;

-exerciții care conțin operații de același ordin, adică numai adunări și scăderi, sau numai înmulțiri și împărțiri;

-exerciții care conțin operații de ordine diferite: înmulțiri sau împărțiri cu adunări și scăderi.

Pentru descoperirea regulilor, vom porni de la următoarea problemă: la un concurs de săniuțe au participat 84 de băieți, iar fetede două ori mai puțin. Câți copii au participqat la concurs?

Rezolvare: 84+84: 2=84+42=126

Exemple de acest tip îi vor conduce pe elevi la constatarea că, într-un exercițiu cu mai multe operații, înmulțirile și împărțirile se efectuează cu prioritate față de adunări și scăderi, indiferent de locul unde apar.

!!! De reținut: într-un exercițiu cu mai multe operații, se efectuează mai întâi (dacă există) înmulțirile și împărțirile (numite operații de ordinul a doilea), în ordinea în care apar și apoi adunările și scăderile (numite operații de ordinul I), în ordinea scrierii lor.

În acest fel este rezolvată și problema apariției în exercițiu doar a unor operații de același ordin: acestea se efectuează în ordinea indicată de exercițiu. Pentru formarea la elevi a priceperilor și deprinderilor de efectuare a unor astfel de exerciții cu mai multe operații diferite, este nevoie ca în exercițiile propuse să fie utilizate numere mici, care orientează atenția copiilor spre aspectul esențial (ordinea efectuării) și nu spre efectuarea în sine a fiecărei operații. Lungimea unui astfel de exercițiu nu trebuie să fie foarte mare pentru că poate induce la elevi oboseala și neatenția, ce se vor reflecta în obținerea unor rezultate greșite.

2.3.2. Folosirea parantezelor

Uneori, contextul matematic impune efectuarea mai întâi a unor operații de ordinul I și apoi a altora, de ordinul II. Ar apărea astfel o contradicție cu regula privind ordinea efectuării operațiilor. De aceea, într-o asemenea situație, acordarea priorităților de calcul este impusă de paranteze.

Pentru a modifica ordinea efectuării operațiilor, a fost nevoie de introducerea parantezelor: rotundă sau mică (…), paranteză mare sau pătrată […] , paranteza acoladă{…}.

Exemplu:

2 x 5+10 =10+10=20

2 x ( 5 +10)= 2x 15=30

În mod asemănător se pot introduce parantezele mari și acoladele, ajungând la desprinderea regulii cunoscute: într-un exercițiu cu paranteze se efectuează mai întâi operațiile din parantezele mici, apoi cele din parantezele mari și, la urmă, cele din interiorul acoladelor. Se ajunge astfel la un exercițiu fără paranteze, în care acționează regula stabilită anterior privind ordinea efectuării operațiilor.

!!! De reținut următoarele două reguli :

a) Dacă exercițiul conține paranteze – se efectuează operațiile din parantezele rotunde, apoi cele din cele mari (dacă există) și apoi din acolade (dacă există).

b) Dacă exercițiul conține operații de ordine diferite – se efectuează întâi operațiile de ordinul II, în ordinea în care sunt date, apoi cele de ordinul I, în ordinea în care sunt date. Dacă nu, se efectuează operațiile în ordinea în care sunt scrise în exercițiu.

Folosirea probei operațiilor aritmetice

Pentru a le dezvolta gândirea elevilor și pentru a le da o siguranță asupra rezultatelor obținute la anumite exerciții și probleme, se acordă o deosebită atenție verificării calculelor prin diverse metode și relații:

La adunare: t1+t2= S

t1=S-t2, respectiv t2=S-t1

La scădere: D-S= R

D= S+R, respectiv S=D-R

La înmulțire: f1xf2=P sau DxÎ=P

P:f1=f2, respectiv P:f1=f2

P:D=Î, respectiv P:Î=D

La împărțire: D=CxÎ, respectiv Î=D:C .

Aflarea unui număr necunoscut

Probleme axate pe aflarea termenului necunoscut , le sunt introduse elevilor încă din clasa a II-a. Acestea sunt de tipul: ? ± a=b sau sau ? ±a< b, unde , a și b sunt numere în concentrul 0-20 sau 0-100.

Dar adevărata provocare vine începând cu clasa a III-a și a IV-a , când necunoscutele apar în urmatoarele relații: ?xc=d, ?:c=d, ?xc<d, ?:c<d, unde, c≠0, d este multiplu a lui c iar concentrul este 0-100 sau chiar 0-1000.

Rezolvarea unor operații de genul aceste se poate face și prin încercări , respectiv, rezolvarea altor tipuri de probleme necesită introducerea unor necunoscute parțiale pentru aflarea cu ușurință a rezultatelor , iar apoi, reconstituirea problemei după fiecare pas până la rezolvarea finală.

Exemplu de exercițiu și rezolvarea acestuia (fig.2.11):

{[(107 – 63 : X ) x 9 – 2] : 5 + 3 x 9 } x 4 – 12  = 800

Fig.2.11

http://proparinti.blogspot.com/2013/04/matematica-clasa-iv-ecuatii-complexe-cu.html

Proiect didactic

Data: –

Clasa: a II-a A

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematica

Unitatea de învățare: Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 100, fără trecere peste ordin

Subiectul: Adunarea numerelor formate din zeci și unități

Tipul lecției: predare-învățare

Obiectiv fundamental: Însușirea algoritmului adunării numerelor naturale formate din zeci și unități, în concentrul 0-100

Obiective operaționale:

cognitive:

OC1 – să utilizeze noțiunile de sumă (total), termeni;

OC2 – să efectueze exerciții de adunare a numerelor formate din zeci și unități, fără trecere peste ordin;

OC3 – să utilizeze algoritmul de calcul referitor la „mărirea cu…” a numerelor date;

OC4 – să rezolve două probleme, cu plan de rezolvare;

OC5 – să descopere mesajul lecției, efectuând calculele date în fișă;

b) psihomotorii:

OM1 – să adopte o conduită optimă pentru desfășurarea lecției;

c) afective

OA1 – vor dovedi interes pentru lecție, manifestat prin participare activă

Forme de organizare: frontală, individuală

Strategia didactică:

după particularitățile evolutive ale gândirii elevilor: deductive; după gradul de dirijare/ nedirijare a învățării: algoritmice;

metode și procedee: exercițiul, explicația, conversația, algoritmizarea, problematizarea, jocul didactic;

resurse materiale: manual, culegere, fișe de lucru, laptop, video-proiector, soft educațional ”Secretul numerelor și al formelor”, recompense – fețe zâmbitoare, numărătoare cu bile;

resurse umane: elevii clasei

resurse temporale: 45 min.

Cap. III. Cercetare pedagogică

3.1 Scopul și obiectivele cercetării

Partea de cercetare urmărește să surprindă eficiența jocului didactic în predarea și învățarea operațiilor aritmetice comparativ cu metodele tradiționale. Această cercetare consider eu că este una de actualitate și este eficientă  în stabilirea demersurilor didactice pentru proiectarea lecțiilor.

Consider că deprinderile corect formate în ciclul primar sunt atât de puternice, încât elevul rămâne cu ele tot restul vieții. Astfel, în orele mele de matematică caut să adaptez prevederile programei particularităților de vârstă dar și individuale ale elevilor, să introduc elemente distractive, de joc pentru a antrena elevii în rezolvarea și compunerea de exerciții și probleme, pentru a crea un climat care să genereze curiozitate, descoperire și inventivitate. Introducerea jocurilor didactice, varietatea și gradarea exercițiilor, problemele distractive asigură înlăturarea rigidității și a plictiselii – care sunt de obicei determinate de stereotipia tehnicilor de calcul. Sporirea eficienței lecțiilor de matematică constă tocmai în această căutare continuă de a găsi cele mai atractive căi de învățare a matematicii. Matematica devine cu atât mai accesibilă cu cât este tratată într-o formă mai atractivă, mai interesantă.

Metodele tradiționale, expozitive ori frontale lasă impresia că nu ar mai fi în conformitate cu noile principii ale participării active și conștiente a elevului. Acestea pot însă dobândi o valoare deosebită în condițiile unui auditoriu numeros, având un nivel cultural care să-i asigure accesul la mesajul informațional transmis raportat la unitatea de timp.

Metodologia didactică actuală este orientată către implicarea activă și conștientă a elevilor în procesul propriei formări și stimularea creativității acestora. În acest context, prefacerile pe care le cunosc metodele de învățământ cunosc câteva direcții definitorii. Relația dinamică-deschisă constă în raporturile în schimbare ce se stabilesc între diferitele metode. Diversitatea metodelor este impusă de complexitatea procesului de învățare, fiecare metodă trebuie să fie aleasă în funcție de registrul căruia i se raportează. Amplificarea caracterului formativ al metodelor presupune punerea accentului pe relațiile sociale pe care le are elevul în procesul de culturalizare și formare a personalității. Reevaluarea permanentă a metodelor tradiționale vizează adaptarea lor în funcție de necesități și raportarea lor la evoluția științei.

Metodele didactice pot fi clasificate în:
1. Tradiționale: expunerea didactică, conversația didactică, demonstrația, lucrul cu manualul, exercițiul;
2. Moderne: algoritmizarea, modelarea, problematizarea, instruirea programată, studiul de caz, metode de simulare( jocurile, învățarea pe simulator), învățarea prin descoperire.

Principala metodă de educare a gândirii în învățământul tradițional o constituie expunerea profesorului, completată cu studiul individual al elevului. Această metodă a fost criticată, susținându-se că ea nu favorizează legătura cu practica. Lipsa de legătură cu realitatea vine de la atitudinea elevilor: ei asistă pasiv la expunere, pe care știu că trebuie să o repete. Cealaltă metodă tradițională, convorbirea cu întreaga clasă, antrenează mai mult participarea elevilor, dar elevii sunt ghidați, nu știu ce se urmărește. Așadar, forma clasică a învățământului dezvoltă puțin gândirea elevilor.

Ulterior, s-au preconizat diverse moduri de organizare a învățământului, denumite școli active, în care accentul cade pe studiul individual efectuat de elevi. Modul nou, activ, de organizare a învățământului se dovedește superior, dar solicită mult timp. Odată cu descongestionarea programelor școlare în cadrul reformei învățământului, se va începe și activizarea predării în școala românească.

Metodele activ-participative pun accent pe învățarea prin cooperare, aflându-se în antiteză cu metodele tradiționale de învățare. Educația pentru participare îi ajută pe elevi să-și exprime opțiunile în domeniul educației, culturii, timpului liber, pot deveni coparticipanți la propria formare. Principalul avantaj al metodelor activ-participative îl reprezintă implicarea elevilor în actul didactic și formarea capacității acestora de a emite opinii și aprecieri asupra fenomenelor studiate. În acest mod, elevilor le va fi dezvoltată o gândire circumscrisă abilităților cognitive de tip superior, gândirea critică. Aceasta reprezintă o gândire centrată pe testarea și evaluarea soluțiilor posibile într-o situație dată, urmată de alegerea rezolvării optime pe baza argumentelor.

Învățământul de astăzi are în vedere faptul că matematica se impune ca o știință generală a noțiunilor de ordine și structură, de stăpânire a mulțimilor complexe, organizate și neorganizate. Matematica reprezintă astăzi metoda de lucru aproape pentru toate domeniile de activitate. Ea nu trebuie predată pur teoretic, fără a face apel la alte discipline, pentru că în acest caz lecțiile și-ar pierde valoarea lor instructiv – educativă și s-ar rupe de realitatea care a generat știința matematicii.

Jocul didactic matematic este o activitate de învățare al cărui efort elevii nu-l simt, ci îl doresc.Astfel, se impune necesitatea ca lecția de matematică să fie completată sau intercalată cu jocuri didactice cu conținut matematic, uneori chiar concepută sub formă de joc.
Un exercițiu sau o problemă de matematică poate deveni joc didactic matematic dacă:

realizează un scop și o sarcină didactică din punct de vedere matematic;

folosește elemente de joc în vederea realizării sarcinii propuse;

folosește un conținut matematic accesibil și atractiv;

utilizează reguli de joc, cunoscute anticipat și respectate de elevi;

Jocul didactic matematic este și un mijloc de evaluare, arătând în ce măsură elevii și-au însușit cunoștințele necesare, gradul de formare a reprezentărilor matematice, a priceperilor și deprinderilor de a realiza sarcinile în succesiunea dată de învățător și de a se integra în ritmul cerut, de a da răspunsuri prompte și corecte.

Jocul didactic (deci și cel matematic) cuprinde următoarele laturi constitutive: conținut, sarcină didactică, reguli de joc, elemente de joc.

De asemenea, jocul didactic matematic contribuie la realizarea sarcinilor educației morale: dezvoltarea stăpânirii de sine, a autocontrolului, a spiritului de independență, a disciplinei conștiente, a perseverenței, a sociabilității, a unor trăsături de caracter, aspecte atât de necesare în activitatea școlară.

Jocurile didactice matematice trebuie să fie realizate într-un mod dinamic și atractiv, ceea ce presupune respectarea unor cerințe:

operativitate, mișcare, precizie, rigurozitate științifică;

antrenarea cât mai multor copii în joc;

confruntarea liberă de idei;

exprimarea corectă folosind terminologia matematică adecvată;

crearea pe timpul jocului a unor situații problemă, care să-i implice pe elevi într-o măsură cât mai mare.

În funcție de scopul și sarcina didactică propuse, jocurile matematice se pot clasifica astfel:

1. După momentul în care se folosesc în cadrul lecției, ca formă de bază a procesului de învățământ:

jocuri didactice matematice, ca lecție de sine stătătoare, completă;

jocuri didactice matematice folosite ca momente propriu-zise ale lecției;

jocuri didactice matematice în completarea lecției, intercalate pe parcursul lecției sau la final.

2. După conținutul capitolelor de însușit în cadrul matematicii:

jocuri didactice matematice pentru aprofundarea însușirii cunoștințelor specifice unui capitol sau grup de lecții;

jocuri didactice matematice specifice unei vârste și clase.

Activități practice și jocuri pregătitoare pentru învățarea noțiunilor matematice

În această perioadă copiii își formează bazele gândirii logice, a judecăților privind atributele obiectelor și a relațiilor dintre ele, dacă o afirmație este adevărată sau falsă și când anume acestea suferă transformări de valoare.

Prin intermediul jocurilor liber – pregătitoare am reușit astfel să testez și să cunosc nivelul de cunoștințe matematice pe care îl posedă fiecare elev din familie sau din grădiniță, notându-mi lipsurile unora sau progresele altora. În acest context am vizat mai multe laturi ale cunoașterii: gradul de mobilitate, capacitatea intelectuală, intuiția, vocabularul.

Jocul didactic în predarea șirului numerelor naturale de la 0 la 100

Utilizarea jocului didactic matematic în predarea șirului numerelor naturale mai mici decât 100 are ca obiective:

înțelegerea de către copii a numărului, ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);

înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor naturale (aspectul ordinal al numărului);

înțelegerea semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale și a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic);

cunoașterea cifrelor corespunzătoare numărului;

citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână.

Familiarizarea cu algoritmul rezolvării problemelor prin intermediul jocurilor didactice

Se recomandă ca, atât compunerea problemelor, cât și rezolvarea acestora să se facă și în situații de joc didactic.

Cine compune mai corect și mai frumos o problemă după anumite cerințe;

Ce se poate întreba ? – o echipă formulează conținutul problemei, cealaltă echipă găsește întrebarea, iar rezolvarea acesteia se face de către ambele echipe simultan;

Câte întrebări se pot pune ? – fiecare echipă caută să găsească cât mai multe întrebări la un conținut dat;

Ce este greșit ? – eliminarea dintr-un enunț a datelor de prisos sau corectarea unui enunț formulat intenționat greșit.

Cercetarea de față urmărește să surprindă măsura în care un demers didactic bazat pe învățare prin joc, conduce la obținerea unor rezultate superioare față de cele obținute printr-un demers didactic tradițional în predarea elementelor de geometrie la clasele primare. De asemenea, urmărește și eficiența modului de organizare asupra rezultatelor obținute în urma celor două demersuri didactice.

Scopul principal al cercetării pe tema eficienței jocului didactic este acela de a atrage atenția asupra plusurilor pe care le aduce jocul didactic în evoluția predării și învățării operațiilor aritmetice comparativ cu utilizarea doar a metodelor tradiționale, fără includerea jocului didactic.

În cercetare am urmărit următoarele obiective:

mobilizarea tuturor forțelor psihice de cunoaștere și creație ale elevului și activizarea la maxima lui posibilitate, îmbinând în mod just activitatea de învățare a operațiilor aritmetice cu elementele de joc, distractive și care subordonează jocul, scopurilor didactice ale lecției;

evidențierea eficienței jocurilor didactice în comparație cu metodele tradiționale în ceea ce privește stimularea gândirii, a spiritului de observație, a imaginației și a creativității în însușirea cunoștințelor cu operații aritmetice;

evaluarea progresului înregistrat de copii în cadrul activității matematice desfășurate prin intermediul jocului didactic față de cel obținut cu ajutorul metodelor tradiționale.

formarea noțiunilor de operații aritmetice și dezvoltarea unei gândiri matematice creatoare moderne (gândire rapidă, flexibilă, o capacitate mare de transfer);

încorporarea jocului didactic în activitățile matematice pentru a motiva și stimula puternic procesul instructiv-educativ;

efectul psihologic al jocului didactic, sub aspect formativ.

analiza și interpretarea datelor;

stabilirea concluziilor finale ale cercetării.

Ipotezele cercetării

Presupunem că utilizarea jocului didactic în comparație cu metodele tradiționale (expunerea didactică, explicația, demonstrația, etc) ajută la dobândirea unor cunoștințe specifice și la aplicarea acestora, în cazul nostru,  în studiul operațiilor aritmetice dar totodată și în viața cotidiană.

Presupunem că, dacă se organizează o suită specială de jocuri adecvate necesităților de dezvoltare a gândirii elevilor, crește valoarea formativă a jocului și se obțin rezultate mai bune față decât în lipsa lor.

Presupunem că, în măsura în care se formulează obiective de dezvoltare privind gândirea, prin intermediul jocului, acestea vor fi mai bine atinse dacă se va alege acel tip de joc care permite cu precădere o gândire la un nivel ridicat, care să ducă la creșterea capacităților psihice ale elevilor în acord cu solicitările școlii în comparație cu metodele tradiționale.

Presupunem că prin utilizarea jocului didactic în predarea elementelor de operații aritmetice, rezultatele obținute în urma evaluării vor fi mai bune decât în cazul folosirii doar a metodelor tradiționale.

De asemenea presupunem că învățarea este mai productivă dacă elevii lucrează în grupuri.

3.2. Metodologia cercetării

Am utilizat pentru partea de cercetare următoarele metode :

experimentul

chestionarul

studiul documentelor școlare

observația

fișe de evaluare.

a) Experimentul: metoda de bază folosită a fost cea experimentală. Elevii nu au sesizat modificările introduse în organizarea procesului de învățare a operațiilor aritmetice. Prin această metodă au fost introduse informațiile dorite cu ajutorul jocului didactic. Acest studiu a avut caracterul unui experiment de instruire în care s-a desfășurat o activitate formativă cu copiii.

b) Chestionarul: în cadrul cercetării am utilizat chestionarul pentru a afla cât de des este folosit jocul didactic în activitățile matematice și ce părere au cadrele didactice despre utilizarea lui la orele de matematică, precum și la finalul celor două demersuri pentru a afla părerea elevilor.

c) Studiul documentelor școlare: am studiat programa pentru disciplina matematică pentru a identifica ce conținuturi au fost parcurse până în acel moment și pentru a putea realiza cercetarea pe diferite conținuturi ce privesc elementele de operații aritmetice și diferite niveluri de vârstă și cataloagele elevilor de clasa I-a A si clasa I-a B si clasa a III-aB, verificând media generală obținută precum și cea la disciplina matematică.

d) Observația: pe lângă celelalte metode, am folosit și metoda observării. Această metodă a fost folosită ca punct de plecare pentru experiment și ca o confirmare a ipotezei de lucru. Observația s-a efectuat în timpul probelor experimentale și în cadrul diferitelor activități matematice.

e) Fișele de evaluare: după fiecare demers didactic, elevii au primit câte o fisă de evaluare pentru a urmări rezultatele obținute și care a fost mai benefic.

Eșantionul cercetării

Cercetarea a avut loc la Școala Gimnazială cu clasele I-VIII Bălcescu-Petofi Satu Mare, în anul școlar 2019-2020. Grupul de cercetare este format din elevi și cadre didactice de la Școala Gimnazială cu clasele I-VIII Bălcescu-Petofi Satu Mare. Lotul cuprinde 51 de elevi din clasa a I-a (clasa a I-a A care este formată din 11 băieți și 7 fete, clasa a I-a B care este formată din 14 băieți și 19 fete) și 31 elevi din clasa a III-a A (Tabel 1), proveniți din mediul urban. Nivelul de pregătire al colectivului a fost omogen din punct de vedere al posibilitățiilor intelectuale și al mediului social din care provin elevii

Tabel nominal cu elevii clasei a III-a A

Tabel.1

Lotul ales pentru aplicarea interviului a fost alcătuit din șapte cadre didactice, de vârste și nivel de studii diferite, lucrând în mediul urban (Tabel 2). S-a ales acest lot eterogen din punct de vedere al vârstei, vechimei în învățământ, nivelului de pregătire pentru a identifica diferențele existente în percepția acestora despre jocul didactic utilizat în lecțiile de matematică, modul de utilizare al acestuia, varietatea de jocuri pe care obișnuiesc să le utilizeze la clasă. Acest aspect eterogen al lotului se poate observa în datele înscrise în tabelul următor:

Tabel nominal cu cadrele didactice care au răspuns interviului

Tabel 2

3.3. Etapa pre-experimentală

În etapa pre-experimentală, le-au fost aplicate chestionare (Anexa nr.2) cadrelor didactice, pentru a identifica strategiile didactice folosite la fiecare clasă, la disciplina matematică și în predarea operațiilor aritmetice.  Obiectivele acestui chestionar au urmărit:

ce  forme de organizare  folosesc  în cadrul lecțiilor de matematică;

să precizeze punctele tari și punctele slabe ale utilizării jocului didactic în predarea operațiilor aritmetice

în opinia lor care este cea mai eficientă formă de realizare a activităților matematice

cât de des folosesc jocul didactic matematic în predarea operațiilor aritmetice

care cred că sunt punctele forte și punctele slabe ale utilizării jocului didactic în predarea operațiilor aritmetice

Din cei cincisprezece învățători din această unitate, șapte au fost de acord să participe la chestionar.

Toți cei șapte învățătorii au răspuns afirmativ la întrebarea dacă ei cred că jocul didactic este o metodă eficientă de realizare a activităților instructiv-educative în învățământul primar. Aici am obținut procentaj de 100 %.

Fig. 3.1 Părerea respondenților față de eficiența jocului didactic

Dar în ce privește cea mai eficientă formă de realizare a activităților matematice în procesul de predare a operațiilor aritmetice, am ajuns la concluzia că patru învățători din cei șapte preferă jocul didactic și doi, fișa matematică, iar exercițiul cu material individual îl folosesc doar 1 dintre ei.

Fig. 3.2 Forma preferată de realizare a activităților matematice

La întrebarea cât de des folosesc jocul didactic la orele de predare și consolidare a operațiilor aritmetice, patru au răspuns că îl folosesc des, doii au răspuns că îl folosesc uneori și unul dintre ei îl folosesc foarte des sau foarte rar.

Fig. 3.3 Frecvența utilizării jocului didactic

În ce privește preferința tipului de metode în predarea operațiilor aritmetice, doi au răspuns că preferă metodele tradiționale și cinci au spus că preferă metodele moderne.

Fig. 3.4 Tipuri de metode folosite

De asemenea i-am rugat să-mi precizeze trei puncte forte și trei puncte slabe ale utilizării jocului didactic în predarea operațiilor aritmetice.

Unele dintre punctele forte în opinia lor ar fi : contactul cu realizarea, se creează o atmosferă relaxantă, antrenează favorabil elevii cu rezultate slabe la învățătură, elevii capătă încredere în capacitățile lor, siguranță și promptitudine în răspunsuri, cultivă spiritul de echipă și cooperare, flexibilitatea gândirii, este o activitate care îmbină elementul distractiv cu cel instructiv etc, iar unele dintre punctele slabe sunt: distragerea unor copii pe parcursul jocului, starea de liniște dispare cel puțin în unele momente, uneori afectează fondul de timp al lecției, pot apărea conflicte, lipsa de interes pentru unii elevi, nu există feedback imediat dacă înțelegerea noțiunilor predate s-au petrecut sau nu, jocul didactic poate fi întârziat la copiii cu retard intelectual sau cu deficiență senzorială etc.

În ce privește activitatea la clasă avem: doi dintre ei au spus că folosesc predominant activitate individuală, trei au spus că folosesc predominant activitate în grup și pe perechi, doi folosesc toate cele trei tipuri de activitate: individuală, în grup, pe perechi.

Fig. 3.5 Activitatea la clasă

După aplicarea și interpretarea chestionarelor, am consultat cataloagele claselor implicate în cercetare, pentru a verifica randamentul școlar și performanțele obținute pe semestrul I la disciplina matematică dar și media generală.

La clasa I-a A, din totalul de 18 de elevi, 6 au media generală foarte bine (33,33 %), 10 au media bine (55,56 %) și 2 elevi media suficient (11,11 %).

Din cei 18 de elevi, 4 au încheiat cu media foarte bine la matematică (22,22%), 10 cu media bine (55,56 %) și 4 elevi cu media suficient (22,22 %).

Fig. 3.6 Mediile obținute de clasa I-a A pe semestrul I

La clasa I-a B, am observat rezultate școlare mult mai bune. Din 33 elevi, 15 au obținut media generală foarte bine (45,45 %), 20 au obținut media bine (60,61 %) și 3 au obținut media suficient (9,09 %), iar la disciplina matematică din 33 elevi 15 au obținut media foarte bine (45,45 %), 17 media bine (51,52 %) și 6 media suficient (18,18 %).

Fig. 3.7 Mediile obținute de clasa I-a B pe semestrul I

La clasa  a III-a A, am observat iarăși rezultate foarte bune. Din 31 de elevi, 21 au obținut media foarte bine (67,74 %) , 8 au obținut media bine (25,81%), si 2 elevi au obținut medie generală de suficient (6,45%), iar la disciplina matematică din 31 de elevi, 18 au media foarte bine ( 58,06 %), 10 au obținut media bine (32,26%), si 3 elevi au obținut medie generală de suficient (9,68%).

Fig. 3.8 Mediile obținute de clasa a III-a A pe semestrul I

3.4.  Etapa experimentală

Pentru a constata care din procedeele folosite a avut o influență favorabilă asupra dezvoltării gândirii elevilor au fost elaborate câte două demersuri  didactice pentru fiecare clasă, pentru aceeași unitate de învățare: elemente de geometrie, cu teme asemănătoare, dar bazate pe strategii didactice diferite, astfel: primul demers este realizat prin strategii didactice tradiționale, iar cel de-al doilea este realizat cu și cu ajutorul jocului didactic și tot ce presupune această metodă. Am rugat cadrele didactice să stabilească același demers pentru ambele clase de la aceste clase ca predarea să fie aceeași.

Am consultat planificările calendaristice ale fiecărei clase pentru disciplina matematică, pentru a identifica ce conținuturi au fost parcurse până în acel moment și pentru a putea realiza cercetarea pe diferite conținuturi ce privesc elementele de geometrie și diferite niveluri de vârstă.

Au fost stabilite, pentru cercetare, următoarele unități de învățare.

3.4.1. Clasa I-a

Au fost elaborate câte două demersuri didactice pentru fiecare clasă (Anexa nr.3), pentru aceeași unitate de învățare, cu teme asemănătoare, dar bazate pe strategii didactice diferite, astfel: primul demers este realizat prin strategii didactice tradiționale, iar cel de-al doilea este realizat cu ajutorul jocului didactic și tot ce presupune această metodă.

Clasa I: Adunarea cu trecere peste ordin în concentrul 0-100;

La clasa I, primul demers didactic a avut ca temă ,, Adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format din unități, cu trecere peste ordin”.

Strategia folosită  a fost următoarea:

Forme de organizare: frontal, individual.

Metode și procedee: conversația, explicația, demonstrația, exercițiul.

Materiale didactice: jetoane cu zeci și unități, fișe de lucru, fișe de evaluare formativă.

S-a plecat de la cerința de rezolvare a unei probleme: ,, Ilinca a colecționat 12 de timbre, iar Mara, cu 9 mai multe. Câte timbre a colecționat Mara?”.

Ajutându-se de jetoane, elevii au descompus numerele în zeci și unități. Apoi, s-au separat unitățile, s-au adunat, iar suma unităților s-a adăugat zecilor. Li se explică elevilor și modalitatea de a calcula în scris. Se scot câțiva elevi la tablă, pentru a rezolva operații de adunare, fiecare în cele două moduri: prin descompunere și prin calcul scris. Cunoștințele se fixează prin fișa de lucru individuală, se verifică frontal, apoi se distribuie elevilor fișa de evaluare formativă. După rezolvarea fișei, se fac aprecieri și recomandări și se încheie activitatea.

Rezultatele înregistrate au fost:

La clasa I-a A, în urma evaluării fișelor de evaluare, 6 elevi au obținut foarte bine (33,33%) , 7 (38,89%) au obținut bine și 5 au obținut bine (27,7%%).

Fig. 3.9 Rezultatele obținute de clasa I-a A în cadrul demersului didactic tradițional

La clasa I-a B, în urma evaluării fișelor s-au obținut 17 calificative de foarte bine (51,52 %), 13 au obținut bine (36,36 %) și 3 suficient (12,12 %).

Fig. 3.10 Rezultatele obținute de clasa I-a B în cadrul demersului didactic tradițional

Al doilea demers didactic a avut ca temă ,, Adunarea numerelor naturale formate din zeci și unități, cu trecere peste ordin”.

Strategia folosită  a fost următoarea:

Forme de organizare: grupele.

Metode și procedee: explicația, demonstrația, exercițiul, jocul didactic ,, Căutăm prințesa”.

Materiale didactice: jetoane cu zeci și unități, coli de flipchart, brazi din carton, imagini cu prinț și prințesă.

Încă din momentul de captare a atenției, li s-a spus elevilor că vrăjitoarea cea rea a răpit o prințesă, iar prințul trebuie să o caute, dar nu o poate găsi, decât dacă îl ajutăm. Astfel, li s-a spus elevilor să fie atenți la lecție, pentru a-l putea ajuta pe prinț.

În dirijarea învățării s-a plecat de la problema ,, Prințul trebuie să străbată o pădure în care se află 24 de brazi și 18 fagi. Câți pomi are pădurea?”. Elevii au dedus operația și au fost atenți la explicații. S-au folosit jetoanele, pentru a le explica faptul că respectăm descompunerea numerelor în zeci și unități, după care adunăm zecile cu zecile și unitățile cu unitățile, apoi se face totalul. Apoi, li s-a explicat și calculul în scris. S-au efectuat câteva exemple. În continuare, au fost scoși câțiva copii la tablă, pentru a exersa câteva calcule. Apoi, s-au împărțit elevii în două echipe și li s-a distribuit brăduți verzi, pe care erau scrise adunări. S-a aplicat, pe coala de flipchart, imaginea cu prințul, în stânga-sus, iar în dreapta, jos, prințesa. Între ei s-au pus 15 brazi albi, pe spatele cărora se afla rezultatul fiecărei adunări. Fiecare echipă a avut de rezolvat câte 15 adunări. După ce terminau, liderul grupului trebuia să ridice mâna, pentru a o atenționa pe doamna învățătoare. Aceasta, împreună cu liderul, a ieșit la flipchart pentru a verifica dacă rezultatele coincideau. Dacă da, lipeau brazii peste ceilalți, dacă nu, liderul se întorcea la bancă și, împreună cu grupul lui, relua calculele. În acest mod s-a procedat cu toate grupele, până în momentul în care au lipit toți brazii verzi și au constituit ,,drumul” prințului către prințesă. Elevii din echipa care nu a avut nicio greșeală, au fost recompensați.

S-au împărțit, în continuare, fișele de evaluare, spunându-le elevilor să se concentreze, altfel prințesa va fi răpită din nou. În încheierea activității, se fac aprecieri și recomandări și se emite tema pentru acasă.

Rezultatele înregistrate la clasa I-a A, în urma evaluării fișelor de evaluare: 8 elevi au obținut foarte bine (44,44%) , 8 au obținut bine (44,44%) și 2 au obținut bine (11,11%).

Fig. 3.11 Rezultatele obținute de clasa I-a A în cadrul demersului didactic bazat pe jocul matematic

Rezultatele înregistrate la clasa I-a B, în urma evaluării fișelor de evaluare: 22 elevi au obținut foarte bine (66,67%) , 10 au obținut bine (30,30%) și 1 a obținut bine (3,03%).

Fig. 3.12 Rezultatele obținute de clasa I-a B în cadrul demersului didactic bazat pe jocul matematic

3.4.2. Clasa a III-a A

La clasa a III- a A s-a aplicat experimentul pedagogic care s-a desfășurat pe trei etape:

• Etapa constatativă -testare inițială- este o etapă constatativă a nivelului de pregătire al elevilor în momentul inițierii experimentului (etapa de pretest)

• Etapa experimentală (formativ-ameliorativă) – este etapa introducerii factorului de progres (utilizarea jocului didactic, metode activ- participative, munca independentă diferențiată)

• Etapa evaluativă – testare finală- este etapa de comparare a rezultatelor pentru a se

vedea progresul/regresul elevilor (etapa posttest).

În etapa constatativă s-a administrat la începutul anului școlar, la clasa a III-a, un test inițial (Anexa nr.4) pentru a măsura nivelul de pregătire al elevilor în momentul începerii experimentului. Evaluarea inițială este o evaluare ce se face în faza de pretest, care estimează nivelul inițial sau punctul de plecare în proiectarea și realizarea unui proces de învățământ. Elevilor li s-a administrat un test de evaluare a cunoștințelor la disciplina Matematică, care a fost evaluat conform unei grile de evaluare. Scopul administrării unui astfel de test de evaluare a fost de a măsura rezultatele elevilor la începutul intervenției, astfel încât diferența înregistrată în posttest să fie datorată în principal intervenției variabilei independente.

Evaluarea inițială a fost structurată pe 11 itemi și s-au urmărit următoarele conținuturi:

I1 –să scrie cu cifre/litere numere date;

I2 – să scrie numerele naturale dintr-un anumit interval, crescător sau descrescător;

I3 – să precizeze câte sute, zeci și unități sunt în fiecare număr:

I4 – să compare perechi de numere date;

I5 – să calculeze sume, diferențe cu numere naturale în conc. 0-1000, cu și fără trecere peste ordin;

I6 – să efectueze proba unei adunări și a unei scăderi;

I7 – să afle termenul necunoscut într-o operație de adunare / scădere;

I8– să realizeze chipul din figuri geometrice , specificând figurile și numărul lor ;

I9 – să asocieze unitatea de măsură cu instrumentul de măsurat;

I10 – să rezolve o problemă cu două operații .

I11– să compuna o problemă care să se rezolve printr-o operație de scădere.

Testul inițial a fost aplicat pentru toți elevii din clasa a III-a A. Pe baza rezultatelor de la testul inițial s-au organizat ulterior, în etapa experimentală, activități diferențiate cu elevii, astfel încât să se vină în ajutorul tuturor. Probele variate și frecvente au permis cunoașterea mai bine a elevilor și aplicarea jocul didactic matematic în lecțiile de matematică. Pentru ca fiecare elev să învețe și succesul obținut să ducă la creșterea nivelului de performanțe, s-au stabilit următoarele măsuri: – introducere jocului didactic matematic în activitățile didactice matematice; – precizarea clară a obiectivelor, sarcinilor și regulilor de desfășurare a jocului didactic; – antrenarea elevilor în jocuri didactice matematice, variate ca structură și grad de dificultate. Pe tot parcursul anului școlar s-au introdus în orele de matematică o gamă largă de jocuri didactice matematice în vederea asigurării progresului școlar. În vederea realizării obiectivelor propuse s-au introdus în lecții exerciții de jocuri didactice matematice variate ca structură și grad de dificultate, sarcini care au fost prezentate școlarilor sub formă de joc. Asemenea activități pentru care se rezumă 10-15 minute și care antrenează întrega masă de elevi, desemnându-se de fiecare dată câștigători, sunt pentru elevii de orice vârstă. O altă preocupare a fost pentru noutatea și varietatea materialului selectat, astfel încât aceasta să favorizeze antrenarea operațiilor gândirii și a participării afective a copiilor la activitatea de învățare. Experimentul a urmărit achizițiile în planul comportamentului mental realizat la diferite tipuri de lecții ce includ jocul didactic ca o componentă a strategiei didactice.

În cadrul unității de învățare Numerele naturale de la 0 la 10.000, s-au folosit o gamă de jocuri didactice matematice, menite să asigure cu ușurință conținuturile matematice, dar și cadrul obținerii unor performanțe. Jocurile aplicate au antrenat întreg colectivul clasei, elevii participând cu seriozitate, interes și atenție. Jocurile didactice matematice sau folosit în diferite tipuri de lecții precum în lecțiile de transmitere/însușire de cunoștințe, consolidare, recapitulare. Astfel, lecțiile de matematică au devenit terenuri pe care s-au putut manifesta cele mai importante influențe formative ale jocurilor didactice matematice (elevii au devenit mai perseverenți, răbdători, cinstiți, responsabili de acțiunile lor). Pentru corectarea greșelilor constatate în rezolvarea de către elevi a sarcinilor didactice s-au luat măsuri precum: – reluarea unor jocuri logico-matematice, jocul disjuncției, al negației, al perechilor de formare a unei mulțimi; – exerciții-joc de ordonare crescător și descrescător a numerelor naturale neconsecutive; – exerciții-joc de compunere și descompunere a numerelor naturale, folosind obiecte, reprezentări, numere, rotunjirea numerelor naturale; citirea și scrierea numerelor cu cifre romane.

Pentru elevii cu aptitudini matematice s-au gândit variante de complicare a jocurilor. Probele de evaluare administrate au urmărit reglarea din mers al demersului didactic și au furnizat informații despre eficiența folosirii preponderente a jocului didactic în învățarea matematicii.

În cadrul unității de învățare Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0 – 10.000, s-a organizat demersul didactic preponderent prin joc didactic. Efectuând exerciții realizate în moduri diferite de organizare a activității (la tablă, pe caiete) au făcut din calcul un adevărat joc care produce multă plăcere copiilor. Deoarece la clasă s-au lucrat exerciții cu metoda jocului didactic, copiii au fost obișnuiți cu acest tip de lucru (de exerciții), iar la probele de evaluare care au fost constituite pe baza jocului didactic se poate observa o creștere a randamentului școlar (a calificativelor obținute). Introducându-se în mod sistematic elementele de joc în cadrul lecțiilor de matematică sau organizându-le chiar sub formă de joc și evaluându-se capacitățile elevilor prin joc se constată un evident progres al elevilor prin repetarea conținuturilor matematice. De asemenea, aplicând în mod constant aceeași metodă, se duc permanent plusuri de eficiență formativă pe planul cunoașterii afective și a conduitei conștiente. Astfel, noțiunile matematice au fost înțelese cu ușurință datorită echilibrului pe care jocul didactic matematic îl realizează între procesele afective, cognitive și voliționale. Jocul didactic matematic a sprijinit formarea deprinderilor de calcul, astfel încât la sfârșitul acestei unități de învățare, elevii demonstrează însușirea unor algoritmi stabili de calcul și aplicarea lor în rezolvarea de probleme.

În contextul noii pandemii COVID-19, etapa de posttest de la sfârșitul lunii aprilie s-a aplicat elevilor in mediul online. Așadar, testul de evaluare finală (Anexa nr.5) a fost încărcat elevilor pe platforma Google Classroom. Am apelat la ajutorul părinților pentru listarea testului și aplicarea acestuia elevilor, bazându-mă pe spiritul civic și corectitudinea acestora. Elevilor le-am explicat sarcinile de lucru, timpul pe care îl au la dispoziție și am subliniat, dat fiind condițiile de desfășurare a testului cât de important este să fi corect față de tine însuți, să rezolvi singur, fără ajutorul celor din jur și să te încadrezi în timpul indicat. Testul a fost aproximativ identic în privința gradului de dificultate, cu proba de evaluare inițială și evaluat după același barem de notare. Această probă de evaluare utilizată la sfârșitul intervenției a avut rolul de a verifica în ce măsură elevii au evoluat în ceea ce privesc rezultatele școlare. Menționez că pe parcursul desfășurării cercetării, cu elevii clasei a III-a s-a lucrat conform premiselor stabilite în ipoteză. Prin aplicarea acestui test final s-a dorit să se afle nivelul la care se află cunoștințele elevilor la finalul experimentului, nivelul cunoștințelor dobândite de elevi pe parcursul anului școlar, capacitatea de a utiliza deprinderile formate și cunoștințele asimilate în rezolvarea de exerciții variate, nivelul dezvoltării gândirii elevilor și a altor capacități psihice.

3.5. Interpretarea rezultatelor

3.5.1 Rezultatele obținute la clasa I-a

La clasa I-a A, în urma comparării rezultatelor fișelor de evaluare am observat că în urma demersului bazat pe joc didactic s-au obținut calificative mai bune decât în urma demersului tradițional. Doi elevi au obținut în plus foarte bine (o creștere de 13 %), o creștere a calificativelor de bine cu 1 elev (14,8 %) și o scadere a calificativelor de suficient cu 3 elevi (3,7 %). Per total o creștere de 33,33 %.

Fig. 3.13 Raportul rezultatelor obținute în urma celor două demersuri la clasa I-a A

Ceea ce s-a observat încă de la verificarea situațiilor școlare, este faptul că, în clasa I-a B, rezultatele obținute au fost mai bune comparativ cu clasa I-a A și chiar am fost curioasă să văd dacă se vor obține îmbunătățiri. Totuși în urma celor două demersuri didactice, am observat o creștere a rezultatelor în urma demersului în care a fost introdus jocul didactic. S-au obținut față de rezultatele în urma demersului tradițional o creștere a calificativelor de foarte bine cu (16,15 %), o scădere a calificativelor de bine (9,09 %) și doar un elev a obținut suficient (9,09 %). Per ansamblu o creștere de 34,33 %.

Fig. 3.14 Raportul rezultatelor obținute în urma celor două demersuri la clasa I-a B

3.5.2 Rezultatele obținute la clasa a III-a A

Datele colectate în perioada de pretest și posttest au fost supuse unor operații de numărare, clasificare și ordonare, comparare și raportare.

Testul inițial, administrat în etapa constatativă, are un rol reglator în activitatea didactică, deoarece indică nivelul cunoștințelor elevilor la începutul intervenției.

Rezultate obținute: FOARTE BINE: 10 elevi, BINE: 15 elevi, SUFICIENT: 6 elevi (Tabel 3)

Tabel privind rezultatele în etapa de pretest

Tabel 3

Se constată că la testul inițial, din 31 elevi ai clasei a III-a, 32,27% au rezolvat corect testul de evaluare propus, obținând calificativul Foarte bine, 48,38% au rezolvat parțial corect proba, obținând calificativul Bine, iar 19,35% au obținut calificativul Suficient, rezolvând o parte din exercițiile propuse cu sprijin din partea învățătorului, acest lucru observându-se și în figura de mai jos:

Fig. 3.15. Rezultatele pretestului

Conform rezultatelor înregistrate, elevii nu au fost obișnuiți să-și folosească gândirea și cunoștințele pe care le au în situații variate și noi. Școlarii mici au tendința de a lucra cu mai multă ușurință exerciții după model și mai greu se descurcă la exerciții care au un anumit grad de noutate și dificultate, care le cer să-și concentreze toate capacitățiile psihice pentru a găsi calea de rezolvare.

Rezultatele obținute la proba de evaluare a cunoștințelor din posttest sunt redate schematic în tabelul 4 de mai jos.

Rezultate obținute: FOARTE BINE: 10 elevi, BINE: 8 elevi, SUFICIENT: 3 elevi

Tabel privind rezultatele în etapa de posttest

Tabel 4

Se constată că la testul final, din 31 elevi ai clasei a doua, 41,94% au rezolvat corect testul de evaluare propus, obținând calificativul Foarte bine, 51,61% au rezolvat parțial corect proba, obținând calificativul Bine, iar 6,45% au obținut calificativul Suficient, rezolvând o parte din exercițiile propuse cu sprijin din partea învățătorului, acest lucru observându-se și în figura :

Fig. 2. Rezultatele posttestului

La finalul experimentului, s-a avut în vedere compararea rezultatelor obținute de elevi, ca urmare a aplicării programului experimental.

În continuare, s-a urmărit compararea rezultatelor finale obținute de subiecți în faza finală și rezultatele obținute în faza de pretest.

În tabelul ce urmează sunt prezentate sintetic rezultatele obținute de subiecți în faza inițială și faza finală a cercetării. (Tabel 5)

Tabel comparativ privind rezultatele în etapa de pretest și posttest

Tabel 5

În urma desfășurării intervenției, rezultatele înregistrate de subiecți la proba de evaluare finală au fost superioare celor din pretest. O diferență procentuală mai mare se observă în cazul calificativului Suficient, adică în etapa de pretest 22,58% elevi au obținut calificativul Suficient, în etapa de posttest 6,45% elevi au obținut același calificativ. De asemenea, și în cazul calificativului Foarte bine, se observă o diferență procentuală semnificativă, adică în posttest 32,26% elevi au obținut calificativul Foarte Bine față de pretest unde 41,94% elevi au obținut acest calificativ, iar în cazul calificativului Bine, în etapa pretest 45,16% elevi au obținut acest calificativ, iar în etapa de posttest 51,61% au mai obținut acest calificativ. (Figura 3).

Fig. 3. Rezultatele comparative ale pretestului și posttestului

Comparând aceste două rezultate, se vede clar că la sfârșitul experimentului s-au obținut rezultate superioare față de etapa constatativă. Aceste rezultate ne conduc la ideea că, în comparație cu celelalte metode și procedee tradiționale folosite la clasă, utilizarea jocului didactic matematic sub diferitele sale forme în orice moment al lecției favorizează creșterea randamentului școlar la matematică. La sfârșitul cercetării s-a constatat un progres, datorat jocului didactic matematic, care a avut un rol important în socializarea conduitei elevilor, prin învățarea de plăcere fără constrângeri. Învățarea prin intermediul jocului se realizează ,,economicos și eficient" datorită faptului că elevul acumulează o mare cantitate de impresii, cunoștinte, deprinderi, își cultivă sentimentele și interesele, își structureză acțiunile, mobilizându-și toate resursele pentru îndeplinirea sarcinilor jocului didactic matematic, fără a simți efortul. Aceasta confirmă eficiența activităților matematice bazate pe folosirea în cadrul lecțiilor a jocului didactic matematic.

Deci, putem spune că ipoteza stabilită a fost confirmată, iar metoda jocului didactic matematic a ajutat la progresul școlar.

CONCLUZII

Prezenta lucrare a urmărit optimizarea activității instructiv-educative și sporirea eficienței actului educațional prin introducerea jocului didactic. Scopul cercetării constă creșterea eficienței lecțiilor de matematică la clasele primare prin practicare jocului didactic și găsirea celor mai eficiente strategii didactice de valorificare a valențelor instructiv-formative ale jocului didactic în învățarea matematicii.

Pentru a se atinge acest scop s-a pornit de la ipoteza de lucru și anume că, integrarea și utilizarea jocului didactic preponderent în toate tipurile de activități matematice ca metodă de predare învățare-evaluare, îmbunătățește semnificativ performanțele școlare în învățarea matematicii, ceea ce prin obiectivele propuse s-a realizat.

Datele obținute la finalul experimentului, au pus în evidență faptul că elevii claselor I-a A și I-a B, respectiv a III-a A, de la Școala Gimnazială cu clasele I-VIII Bălcescu-Petofi Satu Mare, au obținut rezultate mai bune în urma demersului didactic în care a fost inclus și jocul didactic matematic.

Un aspect important este acela că între clase încă de la începerea cercetării s-au observat diferențe din punct de vedere al rezultatelor școlare, însă în urma demersului care a cuprins și jocul didactic s-au observat îmbunătățiri cu până la 30-35% a calificativelor față de cele obținute în urma demersului tradițional la toate clasele, chiar și la clasele cu rezultate mai puțin bune pe semestrul I.

Analizând și al doilea experiment, la clasa a III-a A, observăm că rezultatele obținute la cele două probe de evaluare, duce la o detașare evidentă a rezultatelor. Comparând activitățile, cele în care am folosit jocul didactic matematic s-au dovedit a fi mai eficiente. Așa cum reiese din cercetare, am aplicat diferite tipuri de jocuri cu diferite conținuturi ale învățării, pe diferite niveluri de vârstă. Am adaptat, bineînțeles, abordarea jocului didactic, în funcție de vârstele elevilor. Elevii au fost captivați în activitate, au descoperit, au asimilat mai ușor noile cunoștințe, au comunicat, au colaborat și au învățat unii de la ceilalți. Au fost implicați toți elevii, chiar și cei mai timizi. Folosind doar strategii tradiționale, nu toți elevii s-au implicat în activitate, doar unii dintre ei au asimilat cu succes toate cunoștințele.

Scopul principal al realizării acestui experiment a fost de a verifica ipotezele enunțate la începutul cercetării și anume: dacă se introduce în activități jocul didactic, atunci elevii vor obține rezultate superioare celor obținute în condițiile utilizării metodelor tradiționale; dacă elevii lucrează în grupuri, atunci învățarea este mai productivă. Comparând rezultatele obținute în fiecare dintre cazuri, putem afirma că aceste ipoteze au fost validate.

Anexa nr. 1

Numele și prenumele: ……………………………………………………. Data:……………………………

Anexa nr. 2

Data :

Chestionar de evaluare

Acest chestionar este anonim și nu va afecta în niciun fel activitatea dumneavoastră, vă rog să-l completați cu sinceritate.

Selectați cea mai eficientă formă de realizare a activităților matematice în opinia d-voastră:

a) jocul didactic

b) exerciții cu material individual

c) fișă matematică

2. Este indicat a se ține cont de preferința copiilor pentru o anumită formă de realizare a activităților?

da

nu

3. În predarea noțiunilor de operații aritmetice ce tip de metode preferați?

metode tradiționale (expunerea didactică, conversația didactică, demonstrația, lucrul cu manualul, exercițiul)

metode moderne (joc didactic, studiu de caz, algoritmizarea, învățarea prin descoperire, etc).

Credeți că jocul didactic este o metodă eficientă de realizare a activităților instructiv-educative în cadrul orelor operații aritmetice?

da

nu

5. Cât de des folosiți jocul didactic la orele de predare a operațiilor aritmetice?

foarte des

des

uneori

foarte rar

6.Credeți că jocul didactic facilitează formarea deprinderilor de formă intelectuală specifică școlarului mic?

da

nu

Precizați trei puncte tari și trei puncte slabe ale utilizării jocului didactic în predarea operațiilor aritmetice.

……………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

În activitatea la clasă folosiți :

predominant activitate individuală

predominant activitate în perechi

predominant activitate pe grupe

Data : Anexa nr. 3

Nume și prenume :

Fișă de evaluare

Pinocchio a pierdut semnele. Completeaza-le:

10 3 = 13 15 4 = 11

6 11 = 17 20 0 = 20

Coloreaza cu rosu baloanele care au ca rezultat numarul din dreapta lor.

Ghicitori matematice:

Opt broscuțe stau la sfat Are Nelu 15 bile

Că vor să intre în lac. Cu 2 mai multe Vasile.

Două nu vor, că-s fricoase, Câte bile ai, Vasile?

Și-au intrat în apă……..

Compară numerele utilizand semnele: <, >, =.

15……..11 12………21 14……..14

8……….10 3………13 0……..10

Anexa nr. 4

Numele și prenumele: ……………………………………………………. Data:……………………………

TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ

CLASA a III-a

Scrie:

cu cifre numerele: b) cu litere numerele:

optsprezece -…………. 53-…………………………………………………….

trei sute șapte-……….. 600-…………………………………………………….

cinci sute doisprezece-……….. 938-…………………………………………………….

Scrie numerele naturale :

de la 397 până la 402:

……………………………………………………………………………………………………………………..

cuprinse între 905 și 898:

……………………………………………………………………………………………………………………..

3.Precizează câte sute, zeci și unități sunt în fiecare numar:

4.Compară perechile de numere (folosind semnele <, > sau = ):

26 ……….62 871……….817

104……….96 699……….799

486………486 317……….213

5.Calculează:

17+ 12= ………… 38-26 =…………

49+ 37=…………. 93-68 =…………

128+484=………… 557-362=……….

6.Efectuează, apoi fă proba :

455+309=………… 997-844=………. 581- 290=……….

………………………….. ………………………. …………………………

7. Află termenul necunoscut:

a+ 31=69 b- 123= 459 681-c = 351

a=……………. b=…………… c=……………….

a=…………… b=…………… c=……………….

8. Realizează chipul unui om din figurile geometrice învățate , precizând ce figuri ați folosit și câte.

9. Încercuiește mărimea pe care o măsoară fiecare instrument de măsură:

a) capacitatea a) timpul

b) lungimea b) masa

c) timpul c) capacitatea

d) lungimea

a) capacitatea a) lungimea b) valoarea b) masa c) timpul

c) lungimea d) masa

d) valoarea

10.Rezolvă următoarea problemă:

Într-o bibliotecă, pe un raft se află 326 de cărți. Pe un alt raft sunt cu 18 mai multe.

Câte cărți sunt pe cele două rafturi?

Rezolvare:

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

11. Compune o problemă care să se rezolve printr-o operație de scădere.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

PROBĂ DE EVALUARE INIȚIALĂ

MATEMATICĂ- clasa a III-a

Obiective operaționale:

O1 –să scrie cu cifre/litere numere date;

O2 – să scrie numerele naturale dintr-un anumit interval, crescător sau descrescător;

O3 – să precizeze câte sute, zeci și unități sunt în fiecare număr:

O4 – să compare perechi de numere date;

O5 – să calculeze sume, diferențe cu numere naturale în conc. 0-1000 , cu și fără trecere peste ordin;

O6 – să efectueze proba unei adunări și a unei scăderi;

O7 – să afle termenul necunoscut într-o operație de adunare / scădere;

O8– să realizeze chipul din figuri geometrice , specificând figurile și numărul lor ;

O9 – să asocieze unitatea de măsură cu instrumentul de măsurat;

O10 – să rezolve o problemă cu două operații .

O11– să compuna o problemă care să se rezolve printr-o operație de scădere.

Anexa nr. 5

Data …………………………

NUME ……………………………………

TEST DE EVALUARE FINALĂ

DISCIPLNA: MATEMATICĂ

1. Continuă numărarea cu încă 3 numere :

a) 1470, 1471, …..……………………., ………………………, ………..…………….

b) 4584, 4583, ………………………., ……………………, ………………………..

c) 9594, 9596, ………………………., ……………………, ………………………..

2.Calculează:

a) 536 + 373 =……… b) 5742 – 1 427 = …….. c) 2 576 +197- 1354 =……….

6 x 4 = ……. 136 x 5 =……. 234 x 25 =…………

15: 3 = ……… 28: 4 = ……… 200: 4 =…………

3.Efectuează, respectând ordinea operațiilor:

2 x 7 + 5 x 6 =

=

=

15 + 25 : 5 – 5 x 2 – 5 =

=

=

50– (12: 3)x (36: 9) –4 =

=

=

=

4.Află numărul necunoscut:

a) b) c)

5.Reprezintă fracțiile, colorând părțile corespunzătoare fracției date:

1

2

3

5

7

7

6.Realizează corespondența între obiecte și corpurile geometrice. Scrie denumirea fiecărui corp.

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

7.Rezolvă problemele.

a. Un triunghiare fiecare latură de 5 cm. Realizează desenul si calculează perimetrul .

b.Suma a două numere este 80. Cel de-al doilea număr este de 3 ori mai mare decât primul. Află cele două numere.

Dacă ai terminat….. colorează!

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

BAREM DE APRECIERE

ȘCOALA GIMNAZIALA ………………………………………………..

DISCIPLINA .MATEMATICA

CLASA a –III-a

ÎNVĂȚĂTOR.: ……………………………………..

DATA. …………………………………………

NUMĂR DE ELEVI EVALUAȚI: …………..

COMPETENȚE SPECIFICE

2.1. Recunoașterea numerelor naturale din concentru l0-10.000 și a fracțiilor subunitare sau echiunitare, cu numitori mai mici sau egalicu 10;

2.4.Efectuarea de adunări și scăderi de numere naturale în concentru l0 -10.000 sau cu fracții cu același numitor

2.5.Efectuarea de înmulțiri de numere în concentru l0- 10.000 și de împărțiri folosind tabla înmulțirii, respectiv tabla împărțirii;

3.2. Explorarea caracteristicilor simple ale figurilor și corpurilor geometrice în contexte familiare;

5.1. Utilizarea terminologiei specifice și a unor simboluri matematice în rezolvarea și/sau compunerea de probleme cu raționamente simple;

5.3.Rezolvarea de probleme cu operațiile aritmetice studiate, în concentru l0-10.000.

ITEMI

I.1. Numărare cu pași dați în concentrul 0-10.000.

I.2. Efectuarea de adunări şi scăderi, în concentrul 0-1.000, Efectuarea de înmulţiri în concentrul 0-10.000

I.3.Ordinea efecturii operațiilor

I.4. Aflarea numărului necunoscut

I.5. Reprezentarea fracțiilor date

I.6. Realizarea corespondențelor dintre corpurile geometrice și obiectele asemănătoare

I.7. Rezolvare de probleme.

MATRICEA DE SPECIFICAȚII

REZULTATE OBTINUTE

Bibliografie

Antoane, V., Gheorghinoiu, C., Obeadă, M., (2002), Metodica predării matematicii. Jocul didactic matematic, Editura Ex Libris, Brăila.

Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Stroescu-Logel,E., Metodica predării matematicii la clasele I-IV, Editura Caraminis, Pitești

Bocoș, M., (2003), Teoria și practica cercetării pedagogice, Editura Casa Cărții de Știință, Cluj-Napoca.

Bordean, I., Cărunta, E., (2003), Jocul – un exercițiu al învățării, Editura Reîntregirea,

Alba- Iulia.

Dumitru, G., Șerban, D., (2004), Matematică Distractivă, Editura Didactica Nova, Craiova.

Lupu, C., (2006), Didactica matematicii pentru învățământul primar și preșcolar, Editura Caba, București.

Neacșu, I., Gălăteanu, M., Predoi, P., (2001), Didactica matematicii în învățământul primar – Ghid practic, Editura Aius, Craiova.

Neacșu, M., Mocanu, M., (2007), Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom.

Neagu, M., Mocanu, M., (2007), Metodica predării matematicii în ciclul primar, Editura Polirom

Niculescu, R., M., (2008), Pedagogia preșcolarității și școlarității mici, Curs pentru Învățământul la Distanță, Editura Universității, Brașov.

Pâclea, D., Tarcă, E., (1998), Jocuri logico-matematice pentru preșcolari și școlari mici, Revista Învățământului Preșcolar, București.

Purcaru, M.A.P., (2008), Metodica activităților matematice și a aritmeticii pentru institutori/profesori din învățământul primarși preșcolar, Editura Universității Transilvania, Brașov

Roșu, M., (2006), Didactica matematicii în învățământul primar, Proiectul pentru învățământul rural.

Pițilă T., Mihăilescu C. (2018), Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa I, Editura didactică și pedagogică, București

Pițilă T., Mihăilescu C. (2018), Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa a II-a, Editura didactică și pedagogică, București

Radu M.A., Chiran R., Pîrîială O. (2018), Matematică și explorare mediului, Manual pentru clasa a II-a, Editura didactică și pedagogică, București

*** www.didactic.ro

*** www.edu.ro

***www.matematicadistractiva.net

***http://proparinti.blogspot.com/2013/04/matematica-clasa-iv-ecuatii-complexe-cu.html