Campurile Vectoriale Ca Operatori Liniari Si Derivari
INTRODUCERE
Prezenta lucrare contine notiuni teoretice si aplicatii interesante referitoare la campuri de vectori .Lucrarea este structurata in trei capitole :
Capitolul I –Campuri vectoriale
In acest capitol sunt descrise campurile scalare si campurile vectoriale ca fiind modele matematice derivate din legi ale naturii din care citam urmatoarele exemple :
1)legea vitezei de sublimare a moleculelor si legea presiunii necesare aparitiei fenomenului de sublimare ,conditia de echilibru si expresia volumului in procesul de obtinere in cosmos o unor produse in forma de sfere .
2)viteza de evolutie locala a unui sistem biologic format dintr-o specie “rapitor” si o specie “prada”, campul gravitational , campul electrostatic , campul vitezelor in masa unui fluid si gradientul unui camp scalar.
Sunt prezentate teorema functiei inverse si teorema functiei implicite care stau la baza geometriei diferentiale.Partea elementara din aceasta geometrie se refera la subvarietatiile lui IRn .Sunt puse in evidenta unele proprietati cantitative sau calitative ale campurilor scalare si vectoriale de derivata in raport cu un vector sau cu un camp vectorial tratate in subcapitolul 1.4 sau de operatorii gradient, hessiana, rotor, divergenta sau laplacian prezentati in subcapitolul 1.6.In subcapitolele 1.5, 1.7 sunt descrise alternative de definire a vectorilor tangenti ,si deci a campurilor vectoriale , impuse de nevoile de abstractizare si anume in trecerea de la IRn la varietati diferentiabile finit sau infinit dimensionale .
Capitolul II –Campuri vectoriale particulare
In acest capitol se dezvolta teoria de reprezentare locala a campurilor vectoriale si se realizeaza legaturi intre campurile vectoriale cu semnificatii fizice si campurile vectoriale cu semnificatii geometrice.
Campurile vectoriale irotationale de clasa C1 sunt local potentiale, iar potentialele se determina cu ajutorul integralei curbilinii de al doilea tip. Daca lucram pe intervale n-dimensionale sau pe multimi convexe este suficienta integrala simpla si rezultatele sunt globale.Campul magnetic exterior generat de un curent care circula printr-un conductor cilindric este irotational descris in subcapitolul 2.1.
Campurile vectoriale cu simetrie sferica sunt campuri global potentiale, cele mai des intalnite fiind campurile newtoniene si campurile electrostatice prezentate in subcapitolul 2.2.
Campurile vectoriale solenoidale de clasa C1 pe multimi deschise din IR3 admit potentiali vectori locali.Campurile vectoriale de clasa Cpe multimi deschise din IRn, n3,admit reprentarea locala :
X=gradf1..gradfn-1
Un exemplu de campuri solenoidale sunt campurile vitezelor unui fluid incompresibil si campul Biot-Savart descrise in subcapitolul 2.3.
Orice camp vectorial de clasa C pe o multime deschisa si conexa din IR3 admite reprezentarea locala Monge,X=gradh+fgradg si reprezentarea locala Stokes, X=gradh+rotY.(2.4.)
Numim campuri armonice campurile vectoriale irotationale si solenoidale . Cel mai sugestiv exemplu este campul vitezelor pentru un fluid incompresibil prezentat in subcapitolul 2.5.
Pentru campurile vectoriale Killing prezentate in subcapitolul 2.6, campurile vectoriale conforme pezentate in subcapitolul 2..7, campurile afine sau proiective pe IRn prezentate in subcapitolul 2.8 avem expresii explicite. Campurile vectoriale torsionale descrise in subcapitolul 2.9, sunt interesante cel putin prin cazurile particulare: campuri concirculare, campuri concurente, campuri recurente si campuri paralele .Campurile newtoniene si campurile electrostatice, cu simetrie sferica , sunt torsionale.
Capitolul III – Probleme referitoare la campuri de vectori
In acest capitol sunt date problemele referitoare le campuri vectoriale speciale, rezolvate intr-o maniera moderna. Sunt abordate chestiuni de natura locala si globala. Avand in vedere diversitatea si complexitatea notiunilor teoretice care intervin in lucrare, fapt ce face mai dificila manevrarea acestora, am urmarit de regula, prezentarea unor solutii complete, insotite adeseori de observatii care contin comentarii ce pun in evidenta proprietati suplimentare.
Multumesc coordonatorului stintific al acestei lucrari , doamna Mariana Popescu pentru ajutorul acordat.
1.CAMPURI VECTORIALE
§ 1.1 CAMPURI SCALARE
Fie IR multimea numerelor reale si IRn spatiul euclidian canonic cu dimensiunea n.
Definitie.O functie de tipul f :IRnIR se numeste camp scalar pe IRn.. Pentru prescurtare campul scalar se noteaza cu f, iar valoarea sa in punctul x = (x1,…,xn) cu f(x).
Definitie.Un camp scalar continuu se numeste de clasa C0 .
Definitie.Un camp care are derivate partiale continue pana la ordinul p inclusiv (p = 1,2,… ) se numeste de clasa C p .
Definitie.Un camp scalar care admite o dezvoltare in serie Taylor in vecinatatea oricarui punct xIRn se numeste de clasa C sau analitic.
Observatie. Fie S o submultime oarecare a lui IRn.Campul scalar f :SIR se numeste de clasa C P, p 1 ,daca exista o multime deschisa D IRn care include pe S si un camp scalar F 😀 IR de clasa C p, p 1, astfel incat f = FS.
Fie f :IRnIR un camp scalar de clasa C 1. Solutiile sistemului :
se numesc puncte critice ale campului scalar f .Punctele in care cel putin una din derivatele nu se anuleaza se numesc puncte regulate pentru f.
Fie c un numar real .Multimea MC = f—1(c) = {(x1,….,xn)( x1,….,xn)
IRn , f(x1,….,xn) = c} se numeste multime de nivel constant c sau multime de ecuatie carteziana implicita f(x1,….,xn)=c. Pe scurt se scrie Mc : f(x1,….,xn) = c .
Evident , daca c f (IRn) , atunci Mc = .
Denumirile punctele de nivel constant , curbe de nivel constant si suprafete de nivel constant se utilizeaza pentru anumite mutimi de nivel constant in cazurile n = 1, n = 2, respectiv n = 3 (fig 1.3).
Daca privim pe c ca fiind variabil in IR , atunci ecuatiile f (x1,..,xn) = c reprezinta o familie de multimi de nivel constant. Aceasta familie are propietatiile :
1) prin fiecare punct trece o multime de nivel constant si anume prin x0 = (x10,…..,xn0) IRn trece multimea pentru care c = f(x0) ;
2) doua multimi de nivel constant nu pot avea nici un punct comun .
Daca ar avea unul , ele ar trebui sa coincida si acest lucru este consecinta a faptului ca fiecare valoare a unei functii este unica .
Multimile de nivel constant atasate functiei f sunt strans legate de graficul lui f , impreuna servind la descrierea unor proprietatii calitative ale campurilor scalare .Graficul campului scalar f :IRnIR este submultimea lui IRn+1 definita prin :
G( f ) = {(x1,….,xn , xn+1)(x1,….,xn) IRn , xn+1 = f( x1,…xn )},
Asadar se observa ca Mc nu este altceva decat proiectia pe IRn a sectiunii graficului lui f prin hiperplanul xn+1 = c. Pe de alta parte, G( f ) este multime de nivel constant zero atasata functiei F : IRn+1 IR , F(x1,…,xn+1) = f(x1,…,xn) – xn+1 .
In general MC contine atat punctele regulate cat si punctele critice ale
lui f. Punctele critice ale lui f care fac parte din Mc se numesc puncte critice
sau singulare ale lui Mc .
Daca f este un polinom de gradul n, atunci Mc se numeste hipersuprafata algebrica de ordinul n .
In particular avem urmatoarele denumiri : hipersuprafete algebrice de ordinul unu (hiperplane), hipersuprafete algebrice de ordinul doi (hipercvadrice).
Exemple. Sa consideram campurile scalare definite pe IR2 respectiv prin :
x2+y2(-x2-y2) , x2-y2 , -3xy2 , x2 , x2y2.
Acestea se vizualizeaza fie prin graficele corespunzatoare care au respectiv alura din desenele de mai jos , fie prin curbele de nivel constant care sunt schitate in figurile de mai jos .
z z
o o y
y
x
y x
Figura 1.1
z
x 0
y
y
-1
1 1
0 0 x
0 0
-1
Figura 1.2
y
z
-1 0 0 1
x
0 0
0 y
1 -1
x
Figura 1.3
y y
2 2
1 1
2 1 0 1 2 x 1 0 1 x
2 2
Figura 1.4
Aplicatii.
1) Intr-un mediu cosmic asemanator vidului are loc sublimarea metalelor .Viteza de sublimare a moleculelor de la suprafata corpurilor formate din substante anorganice se determina cu relatia
V = (1)
unde V este viteza de sublimare , p este presiunea vaporilor materialului , M este masa moleculara a vaporilor materialului, iar T este temperatura absoluta .Relatia cu ajutorul careia se determina presiunea necesara aparitiei fenomenului de sublimarea este :
lg p = A-B/T , A, B = const 0. (2)
Un model matematic al legii fizice (1) este un camp scalar f : D IR , D = IR (-,0] (-,0) IR [0,) (0,) IRn,
f( x , y, z) = (sau o restrictie a acesteia ).
Multimile de nivel constant atasate functiei f sunt submultimi din D caracterizate prin ecuatii carteziene implicite c2z = x2y.Acestea sunt suprafete riglate deoarece sectiunile lor prin planele x = k sunt portiuni de drepte, x = k a2z = k2y.Graficul lui f este o hipersuprafata a lui IR4 .
Relatia fizica (2) este strans legata de functia f : IR \{0} IR, f(z) = , A , B = const 0 sau de restrictia f (0,T]
Tabelul de variatie al lui f este (fig. 1.5)
z – 0 1\2
f (z) 0 + + 0 + + 0 0
f (z) + + 0
f(z) eA 0 eA
f (z)
(0,eA)
0 (1/2,0) z
Figura 1.5
2) Procesul de obtinere in cosmos a unor produse sub forma de sfere incepe cu dila) = , A , B = const 0 sau de restrictia f (0,T]
Tabelul de variatie al lui f este (fig. 1.5)
z – 0 1\2
f (z) 0 + + 0 + + 0 0
f (z) + + 0
f(z) eA 0 eA
f (z)
(0,eA)
0 (1/2,0) z
Figura 1.5
2) Procesul de obtinere in cosmos a unor produse sub forma de sfere incepe cu dilatarea unei bile (in stare lichida) prin intermediul injectarii de gaze sub presiune in interior.Diametrul interior D1 al cavitatii in care se afla gazul este determinat de presiunea gazului p2 si de tensiunea a lichidului ce o inconjoara .La randul ei tensiunea este determinata de diametrul bilei D2 si de presiunea exterioara p0.Conditia de echilibru pentru fiecare punct de pe suprafata sferica este data de relatia:
p2-p0 = 4 (3)
unde D1 este diametrul interior , iar D2 este diametrul exterior al inelului sferic (fig. 1.6)
S
D1
D2
P2
V=const
Figura 1.6
Singura marime constanta a procesului este volumul V al materialului stabilit initial pentru obtinerea grosimii finale S a peretilor si a diametrului exterior D2 .Dependenta dintre presiunea interioara p2, diametrul exterior D2 si volumul V al materialului este data de relatia urmatoare :
V = (4)
Legea (3) sugereaza campul scalar f : E IR, E = IR3 \ (yOz xOz), f (x, y,z) = 4z .
Multimile de nivel constant ale lui f sunt portiunile din E ale conurilor de ecuatii cxy = zy – zx. Graficul lui f este o hipersuprafata a lui IR4. Campul scalar , cu domeniul de definitie maxim posibil (din punct de vedere matematic), care modeleaza legea (4) este :
f :EIR ,E = IR3 \ (yOz) {(x, y, z) IR3, y – 4z = 0)},
f (x, y, z) =
Fata de aceasta , legea (4) reprezinta multimile de nivel constant pozitiv ale unei restrictii a lui f.
§ 1.2. Campuri vectoriale
Fie IRn spatiul vectorial (real) euclidian canonic cu dimensiunea n.
Ca orice spatiu vectorial euclidian, IRn este implicit un spatiu punctual euclidian.
Fie x si y doua puncte oarecare din IRn. Perechea ordonata (x, y) se numeste vector tangent la IRn in punctul x (segment orientat , vector legat) si se reprezinta grafic printr-o sageata care incepe din punctul x si se termina in punctul y (fig 1.7) .
y X x
x x
Figura 1.7
Definitie. Punctul x se numeste originea sau punctul de aplicatie al vectorului tangent, iar y se numeste extremitata sa .
Definitie. Daca x = (0, 0, … , 0) este originea lui IRn, atunci (x, y) se numeste vectorul de pozitie al punctului y.Punctul X= y–x se numeste partea vectoriala a vectorului tangent si in loc de (x , y) putem nota Xx sau chiar X daca punctul de aplicatie se subintelege .
Din definitia vectorului tangent la IRn intr-un punct rezulta ca vectorii tangenti Xx si YY coincid (sunt egali) daca si numai daca au aceeasi parte vectoriala , X = Y si acelasi punct de aplicatie , x = y.
Definitie. Doi vectori Xx si Yy care au aceeasi parte vectoriala X = Y, dar care au puncte de aplicatie diferite, x y, se numesc paraleli (fig 1.8)
X x X y
x y
Figura 1.8
Fixam un punct x IRn si consideram toti vectorii tangenti la IRn in x si atunci dam definitia urmatoare .
Definitie. Multimea tuturor vectorilor tangenti la IRn in x se numeste spatiu tangent la IRn in punctul x si se noteaza cu Tx IRn (fig 1.9)
WX
VX
x
YX
XX
Figura 1.9
Spatiul tangent se organizeaza ca spatiu vectorial cu operatiile :
Xx + Yx = (X +Y)x , rX = (rX)x .
Astfel , ca spatiu vectorial , TxIRn este izomorf cu IRn , izomorfismul fiind dat de corespondenta X Xx .
Produsul scalar se defineste astfel (Xx , Yx) = (X , Y), unde membrul drept reprezinta produsul scalar din IRn .
Norma (lungimea) vectorului Xx este numarul .
Definitie. Un vector de lungime unu se numeste vector unitate sau versor.
Daca (X,Y) =0, atunci vectorii tangenti Xx si Yx se numesc ortogonali.
Din inegalitatea Cauchy-Schwarz rezulta :
-1 1.
De aceea formula : cos=,, defineste unghiul dintre doi vectori tangenti nenuli Xx si Yx (fig. 1.10).
Yx
x
X x
Figura 1.10
Definitie. Un sistem ordonat de n vectori unitari, reciproc ortogonali tangenti la IRn in x se numeste reper in punctul x.
Daca {E1,E2,…,En} este un reper in punctul xIRn, atunci XTx IRn putem scrie :
X = (X, E1)E1 + (X, E2)E2 + … + (X, En)En
Numerele reale ri = (X, Ei), i = 1, 2, …,n ,se numesc componentele lui X in raport cu reperul fixat si sunt marimi algebrice ale unor proiectii .
Reperul (1,0,…,0)x , (0,1,…,0)x , (0,0,…,1)x se numeste reper natural, iar componentele unui vector in raport cu acest reper se numesc componente euclidiene .
Fie
X2 = r21E1 + r22E2 + … + r2nEn ,
…………………………………
Xn = rn1E1 + rn2E2 + … + rnnEn ,
n-1 vectori din Tx IRn raportati la reperul {E1, … , En}.Vectorul :
X2 … Xn = TxIRn
unde membru al doilea este un determinant simbolic ce se dezvolta dupa prima linie, se numeste produsul vectorial dintre X2, …, Xn.
Evident, X2 …Xn este ortogonal pe fiecare dintre vectorii X2,…,Xn.
Sa consideram n vectori Xi TxIRn .Numarul (X1,X2,…Xn) se numeste produsul mixt al celor n vectori .
Daca X1=(r11,r12,…,r1n), X2=(r21,r22,…,r2n), Xn =(rn1, rn2,…, rnn) atunci :
(X1 , X2…Xn ) = .
Modulul acestui numar reprezinta volumul n-paralelipipedului construit pe vectorii X1, X2,…, Xn.
In IR3 reperul natural este ix = (1, 0, 0)x, jx = (0, 1, 0)x , kx = (0, 0, 1)x
si se poate vorbi de produsul vectorial a doi vectori tangenti (fig.1.11)
VxWx
Wx
x Vx
Figura 1.11
Vx = aix + bjx + ckx ,Wx = eix + fjx + gkx ,
VxWx = .
Definitie. O functie X care asociaza fiecarui punct x al lui IRn un vector X(x) tangent la IRn in x se numeste camp vectorial pe IRn(fig. 1.12)
Figura 1.12
Definitie. Un camp vectorial X pentru care X(x) este paralel cu X(y), x, y IRn, se numeste camp vectorial paralel sau constant .
Multimea valorilor unui camp paralel se identifica cu un vector liber.
Definitie.Campurile paralele U1,U2,…,Un definite prin U1=(1,0,…,0)x, U2=(0,1,..0)x,…,Un=(0,0,….,1)x, se numesc campuri fundamentale iar ansamblul lor se numeste campul reperului natural.
Teorema. Daca X este un camp vectorial pe IRn, atunci exista n functii reale fi : IRn IR , i = 1, 2,…,n astfel incat :
X= f1U1 + f2U2 + ….+fnUn.
Campurile scalare fi se numesc componentele euclidiene ale campului X.
Demonstratie. Prin definitie X asociaza lui x un vector X(x) tangent la IRn in x. Deoarece partea vectoriala a lui X(x) depinde de x, ea poate fi scrisa in forma (f1 (x), f2 (x),…,fn (x)) si astfel obtinem functiile fi :IRn IR, i = 1,2,…,n. In plus, xIRn , avem :
X(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))x=f1(x)(1,0,…,0)x+f2(x)(0,1,…,0)x+…+fn(x)(0,0,..,1)x
= f1 (x)U1(x) + f2 (x)U2(x) + …+fn(x)Un(x).
Deci X = . Evident functiile fi sunt unic determinate .
In particular, orice vector tangent Xx se reprezinta in forma :
Xx = .
Algebra campurilor vectoriale se construieste pe baza urmatoarelor
operatii :
(1) (X + Y)(x) = X(x) + Y(x)
(2) (f X)(x) = f(x)X(x) .
De asemenea produsul scalar al campurilor vectoriale X si Y se definesc prin :
(X ,Y)(x) = (X(x) , Y(x))
Produsul vectorial al campurilor X2,…,Xn se defineste prin :
(X2 … Xn)(x) = X2 (x) ….. Xn(x)
Produsul mixt al campurilor X1, X2 ,…, Xn se defineste prin :
(X1, X2 … Xn)(x) = (X1(x), X2 ( x) … Xn(x)) .
Operatiile definite anterior punctual se pot exprima prin operatii asupra componentelor campurilor respective.
De asemenea facem observatia ca in baza teoremei precedente , orice camp vectorial X pe IRn este echivalent cu o functie de tipul :
F : IRn IRn F(x) = (f1 (x), f2 (x), …, fn (x)).
De aceea este natural sa spunem ca X se numeste camp vectorial de clasa C P daca componentele sale sunt de clasa CP (ca functii reale). In ipoteza ca X este de clasa CP, p1, dispunerea vectorilor X(x) urmeaza reguli suplimentare precise, cel putin in vecinatatea unui punct, reguli impuse de existenta liniilor de camp si a hipersuprafetelor de camp .
Sa presupunem ca ne referim la IR3. In acest caz campul reperului natural {i, j, k} este definit prin (fig 1.13).
i(x) = ix = (1,0,0)x , j(x) = jx = (0,1,0)x , , k(x) = kx = (0,0,1)x ,
z
k
(x,y,z) j
i
0 y
x
Figura 1.13
Orice camp vectorial pe IRn se scrie sub forma (fig. 1.14):
X = f(x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k.
z h(x,y,z)k
g(x,y,z)j
f(x,y,z)i
0 y
x Figura 1.14
In cazul spatiului IR3 se poate defini produsul vectorial a doua campuri X si Y si anume :
(X Y)(x) = X(x) Y(x)
Observatii.
1) In general domeniile de definitie ale campurilor scalare sau vectoriale utilizate in continuare vor fi submultimi D ale lui IRn.
2) Campurile vectoriale X1,…,Xm, mn, se numesc liniar independente pe DIRn daca X1(x),…,Xm(x) sunt vectori liniar independenti, oricare ar fi xD. Acest tip de “liniar independenta”, folosita in problemele elementare, nu are acelasi continut cu liniar independenta definita pe spatiul vectorial real al campurilor vectoriale (spatiu de functii, infinit dimensional, vezi fig 1.5).
3) Doua campuri vectoriale X si Y se numesc coliniare pe D daca exista un camp scalar f : D IR astfel incat Y = f X.
Trei campuri vectoriale X, Y si Z se numesc coplanare pe D daca exista doua campuri scalare f, g : D IR astlel incat Z = f X + gY.
Exemple:
1) In figura 1.15 sunt prezentate trei campuri vectoriale tipice pe IR2.
X (x,y)=(1,0)
X (x,y)=(x,y)
X (x,y)= (-y,x)
Figura 1.15
2) O problema importanta pentru ecologie este fenomenul oscilatiilor populatiilor. Studiind populatia piscicola in Marea Adriatica, Volterra si Lotka au ajuns la concluzia ca viteza de evolutie locala a unui sistem biologic format dintr-o specie “rapitor” si o specie “prada” are expresia:
X(x, y) = (x(a – by), y(cx – d)), (x, y) IR2, unde a, b, c, d sunt constante.
3) Camp gravitational (fig.1.16). Fie IR3 modelul matematic al spatiului fizic tridimensional si m o masa situata in origine. Forta de atractie cu care actioneaza masa m asupra masei unitate situata in punctul arbitrar (x, y, z) este :
F(x, y, z) = – (xi + yj + zk)
Figura 1.16
Functia (x,y,z)F(x,y,z) se numeste camp gravitational (newtonian) produs de masa m pe IR3\{(0, 0, 0)}.
4) Camp electrostatic (fig.1.16,1.17). Fie IR3 modelul matematic al spatiului fizic tridimensional si q0 o sarcina electrica situata in origine. Forta E cu care sarcina q0 actioneaza asupra sarcinii q=+1 (unitate de sarcina electrica in SI,1 coulomb = 1As) situata in punctul arbritar (x,y,z) este :
E(x,y,z) = (xi + yj + zk),
unde este permitivitatea mediului in care sunt plasate sarcinile .
Figura 1.17
Functia (x,y,z)E(x,y,z) se numeste camp electrostatic produs de sarcina q0 pe IR3 \ {(0, 0, 0)}.
5) Campul vitezelor in masa unui fluid . Fie IR3 modelul matematic al spatiului fizic tridimensional si o sursa de debit q situata in origine .La trecerea prin punctul (x,y,z) o particula de fluid care izvoraste din origine are viteza :
V(x,y,z)=(xi + yj + zk).
Functia (x,y,z)V(x,y,z) se numeste campul vitezelor in masa fluidului.
6) Gradientul. Fie D o multime deschisa din IRn si f:DIR un camp scalar de clasa C1. Acestui camp scalar ii putem atasa campul vectorial
grad f = U1 + … +Un numit gradientul lui f .
Fie Mc: f(x1,…,xn)=c multimea de nivel constant c atasata lui f si x0Mc . Aratam ca grad f(x0) este ortogonal pe orice curba din Mc care trece prin x0 cu viteza (t0).
Pentru a dovedi acest lucru fie IIR si =(x1,…,xn) : IIRn o curba de clasa C 1 cu proprietatile (t0) = x0 si (I )Mc. Derivand identitatea f (x1(t),…,xn(t))=c, tI, in raport cu t, gasim :
+ …+ = 0.
In particular, (gradf(x0),’(t0))=0, adica gradf(x0)’(t0). In baza acestei proprietati se spune ca gradientul este un camp vectorial normal la oricare dintre multimile de nivel constant Mc(fig.1.18)
grad f
’(t0)
(t0)
f (x)=c
Figura 1.18
§ 1.3.Subvarietati ale lui IRn
Sa consideram o functie de tipul F : IRn IRm .
Functiile ft = yi◦F: IRnIR, unde yi sunt functiile coordonate ale lui IRm, se numesc componentele euclidiene ale lui F si se scrie F =(f1,…,fm).
Definitie. Multimea
G(F)={(x1,…,xn,f1(x1,…,xn),…,fm(x1,…,xn))(x1,…, xn) IRn}
se numeste graficul functiei F = (f1,…, fm).
Evident G(F) coincide cu multimea valorilor functiei (x1,…,xn) (x1,…,xn,f1(x1,…,xn),…,fn(x1,…,xn)).
Functia F este de clasa C p daca componentele fi , i=1,…,m sunt functii de clasa C p. Unei functii F de clasa C1 i se ataseaza matricea jacobian
J(F) = .
Daca n = m, atunci determinantul matricei J(F) se numeste jacobianul lui f si se noteaza D(f1,…, fn) / D(x1,…,xn) .
Functia F : IRn IRm se numeste :
1) injectiva daca relatiile x, y IRn, F(x) = F(y) IRm implica x = y ;
2) surjectiva daca zIRm, xIRn astfel incat F(x) = z ;
3) bijectiva daca este injectiva si surjectiva ;
4) imersie daca este de clasa C1 si rangJ(F)(x) = n, xIRn (n m) ;
5) submersie daca este de clasa C1 si rangJ(F)(x)=m, xIRn (m n)
6) regulata daca este imersie sau submersie ;
7) difeomorfism pentru n = m, daca este de clasa C1 si daca poseda
inversa de clasa C1.
Daca functia F nu este regulata intr-un punct x, atunci x se numeste punct critic sau punct singular, iar F(x) se numeste valoare critica sau valoare singulara.
Teorema functiei inverse. Fie F:IRnIRn o functie de clasa C1. Daca x0IRn este un punct pentru care detJ(F)(x0)0, atunci exista o vecinatate D a lui x0 astfel incit restrictia lui F la D sa fie un difeomorfism.
Teorema functiei implicite. Fie F=(f1,…,fm) : IRn+mIRn o functie de clasa C1. Daca in (a,b)IRn+m avem F(a,b)=0 si (a,b)0,
atunci exista o vecinatate D a lui a si o functie de clasa C1 (unica) g:DIRm astfel incat g(a)=b si f (x,g(x))=0, x D.
Urmand modelul suprafetelor din IR3 care se definesc cu ajutorul ecuatiilor (implicite sau explicite sau parametrice) atasate unor functii cel putin de clasa C1, care indeplinesc anumite conditii ce asigura netezimea si absenta autointersectiilor, introducem subvarietatile lui IRn .
O submultime M a lui IRn se numeste subvarietate de dimensiune m (n) daca pentru fiecare punct xM exista o multime deschisa D din IRn care contine pe x si o submersie F : DIRn-m astfel incit :
MD ={x x D, F(x) = 0}.
Teorema. Fie M o submultime a lui IRn. Urmatoarele proprietati sunt echivalente :
1) M este o multime de dimensiune m a lui IRn ;
2) pentru fiecare punct xM exista o multime deschisa D din IRn care contine pe x si n– m functii fi : DIR, i = 1,…, n – m de clasa C 1 astfel incit vectorii grad f1(x) sa fie liniar independenti si
M D={x x D, f1(x) = 0,…, fn-m(x) = 0};
3) pentru fiecare punct x M exista o multime deschisa D din IRn care contine pe x = (x1,…, xn), o multime deschisa E din IRm care contine pe (x1,…, xm) si n – m functii hi :EIR, i = 1,…, n – m, de clasa C 1 astfel incit , abstractie facand eventual de o permutare a coordonatelor, M D sa fie graficul aplicatiei (h1,…, hn-m) : E IRn-m ;
4) pentru fiecare punct xM exista o multime deschisa D din IRn care contine pe x, o multime deschisa E din IRm si o imersie injectiva g : E IRn cu imaginea M D si cu inversa g –1 : M D E continua.
Demonstratie. Schematic 1) 2) 3) 4) 2).
Proprietatea 2) este o traducere a proprietatii 1) utilizand componentele f1,…, fn-m ale submersiei F .
Reciproc, daca 1) este adevarata, atunci F=(f1,…,fn-m) :DIRn-m este o submersie in punctul x. Deoarece determinantii sunt functii continue, functia F ramane submersie pe o multime deschisa ce contine pe x si deci avem demonstrata implicatia .
Proprietatea 3) rezulta din 2) in baza teoremei functiei implicite.
3)4) Functia g:EIRn, g(u)=(u1,..,um,h1(u),..,hn-m(u)), u=(u1,.., um), este o imersie injectiva cu imaginea MD si cu inversa g -1:MDE continua.
4)2) Reprezentam imersia g prin componentele sale x1=g1( u1,…,um),…,xn=gn(u1,…,um). Daca (u0)0, atunci prin teorema functiei inverse u1=1(x1,…,xm),…, um=m(x1,…, xm) cu conditiile :
xm+1=gm+1(1(x1,…, xm),…,m(x1,…, xm)),
…………………………………………….
xn=gn (1 (x1,…, xm),…,m(x1, .…, xm)).
Functiile definite prin
f1(x) = xm+1- gm+1(1(x1,…, xm),…, m(x1,…, xm)) ,
……………………………………………………
fn-m(x) = xn – gn (1 (x1,…, xm),…, m (x1,…, xm))
satisfac conditiile din 2) .
Exemplu. Consideram un circuit RLC format dintr-un rezistor, un inductor si un capacitor (fig. 1.19). Prin fiecare ramura trece curent avand intesitatea i si tensiunea v . La un moment dat, circuitului i se asociaza doua triplete de numere reale (iR ,iL, iC),(vR, vL, vC). Acestea sunt legate prin legile Kirchoff iR =iL=-iC , vR+vL=vC si legea Ohm generalizeaza vR = (iR) , cu functie de clasa C1 .
Schimband notatiile, asociem circuitului RLC urmatoarea multime : M = {(x1,…,x6) x1- x2=0, x2+x3= 0; x4+x5- x6 = 0, (x1)–x4=0}, care este subvarietate de dimensiune 2 a lui IR6.
Figura 1.19 R c
L
Daca in fiecare din definitiile subvarietatii utilizam functii de clasa Cp, p1, atunci M se numeste subvarietate de clasa C p.
Subvarietatile de dimensiune 0 sunt multimi de puncte izolate din IRn.
Definitie. Subvarietatile de dimensiune 1 se numesc curbe, iar subvarietatile de dimensiune 2 se numesc suprafete. Subvarietatile de dinensiune n se numesc multimi deschise in IRn, iar subvarietatile de
dimensiune n–1 se numesc hipersuprafete.
Imaginea unei imersii injective nu este intotdeauna o subvarietate (inversa nu este neaparat continua). Imaginea unei functii de clasa C1 poate fi o subvarietate chiar daca acea functie nu este o imersie. De asemenea fiind data o submersie F:IRnIRm, multimea F–1(z) este sau vida sau o subvarietate de dimensiune n–m a lui IRn.
In general, fiind date doua functii G :IRnIRm, H :IRPIRn de clasa C1 care nu verifica peste tot conditiile de definitie a unei subvarietati, putem obtine subvarietati din G-1(z) sau din H(IRP) eliminand punctele singulare. Acestea sunt fie puncte in care conditia rangului nu este verificata, fie puncte de autointersectie.
Definitie. Fie M o subvarietate a lui IRn de dimensiune m si D o multime deschisa din IRn. O functie h : D IRn de clasa C1 cu proprietatile
h (D) M ,
h este o imersie injectiva,
se numeste harta in M.
Definite. Daca h este numai imersie, atunci h se numeste parametrizare a regiunii h(D) din M . Daca I = si (a) si (b), atunci curba se numeste inchisa .O curba inchisa :M cu propritatea ca :M este injectiva se numeste curba simpla si inchisa .
Un vector v din IRn se numeste tangent in punctul x la subvarietatea M daca exista o curba : IM de clasa C1 pentru care (t0)=x, ’(t0)=v, t0I .
Multimea vectorilor din IRn tangenti la M in x este un subspatiu vectorial al lui IRn de dimensiune m numit spatiul tangent la M in x si notat Tx M . Multimea TM = TxM se numeste fibrarea tangenta a lui M
(subvarietate a lui IR2n de dimensiune 2m).
Definitie. Un vector w din IRn se numeste normal la M in punctul x daca el este ortogonal spatiului tangent Tx M .
Multimea tuturor vectorilor normali la M in punctul x este un spatiu vectorial de dimensiune n-m numit spatiul normal la M in punctul x si notat Nx M .
Fie M o subvarietate a lui IRn. O functie X care asociaza fiecarui punct xM un vector X(x) tangent la IRn in punctul x se numeste camp vectorial pe M.
Daca X(x)TxM, xM, atunci X se numeste camp vectorial tangent la M, iar daca X(x)NxM, xM, atunci X se numeste camp vectorial normal la M.
Definitie. O subvarietate M se numeste simplu conexa daca pentru fiecare punct x0M si fiecare curba inchisa :M, exista o functie continua H : M astfel incit :
H(t,0)=(t), H(t,1) = x0, t ,
H(0,s)=H(1,s) = x0, s ,
Aceasta definitie contine faptul intuitiv ca poate fi continuu deformata la punctul x0.
Definitie. O subvarietate M se numeste conexa daca x,yM exista o curba :M de clasa C1 pe portiuni care uneste pe x cu y, adica (a)=x ,(b)=y.
Definitie. O submultime M a lui IRn se numeste subvarietate de dimensiune m (n), cu frontiera , daca pentru fiecare punct xM exista o multime deschisa D din IRn care contine pe x si n–m+1 functii fi :DIR, i=1,…,n-m+1, de clasa C1 astfel incat vectorii gradfi(x) sa fie liniar independenti si MD={x x D, f1(x)=0,…,fn-m(x)=0,fn-m+1(x) 0}.
Multimea
M={xxM si fn-m+1(x)=0},
numita frontiera lui M, este o subvarietate de dimensiune m–1.
Multimea M-M, numita interiorul lui M, este o subvarietate de dimensiune m .
§ 1.4 Derivata in raport cu un vector
Fie D o multime deschisa din IRn, fie f, g:DIR doua campuri scalare de clasa C1 si c un numar real. Campurile scalare f+g, cf , fg, f/g sunt de clasa C1 si au loc relatiile :
grad(f + g)=grad f + grad g, grad(cf) =cgradf,
grad(fg) =ggradf + fgradg, grad =
Observatii.
1) Deoarece df(x)(h)=(gradf(x),h), pentru determinarea lui grad de f(x) putem utiliza diferentiala df(x)(h).
2) Deseori in loc de grad se scrie semnul nabla, .
Fie D o multime deschisa din IRn si f :DIR un camp de clasa C1.Fie x=(x1,…, xn)D si Xx un vector tangent la D in punctul x.
Fixam intervalul It astfel incat x+tXD, unde X este punctul corespunzator vectorului Xx. Evident tx+tX reprezinta restrictia unei drepte si daca f este de clasa C1, atunci functia compusa tf (x+ tX ) este tot de clasa C1.
Numarul : f = f(x+ tX)t = 0 se numeste derivata lui f in raport cu vectorul Xx.
Derivata lui f in raport cu vectorul Xx reprezinta actiunea vectorului Xx asupra functiei f indicand cantitativ schimbarea lui f (x) cand x se misca in sensul lui X. Daca Xx este un versor, atunci f se mai numeste si derivata lui f dupa directia Xx.
Lema. Daca Xx = (a1, a2,…, an), atunci
f =a1(x)+ …+an(x) =(Xx,f (x))=d f (x)(X),
unde f este gradientul lui df este diferentiala lui f .
Demonstratia este imediata ca urmare a teoremei de derivare a unei functii compuse .
Daca f=(Xx,f (x))=0 Xx TxD , atunci x este un punct critic al lui f, adica f (x)=0.
Fie f (x)0. Utilizand inegalitatea Cauchy – Schwarz
= ,
in care egalitatea are loc daca si numai daca Xx si f(x) sunt coliniari rezulta ca functia Xxf, =1 isi atinge minimul – pentru Xx=, maximul pentru Xx=. Astfel -f(x)) (respectiv f(x)) indica local directia si sensul in care f descreste (creste) cel mai repede . De aceea gradientul este des utilizat in teoria extremelor .
In ipoteza f (x))0 , relatia f=0 este echivalenta cu faptul ca Xx este tangent in punctul x la hipersuprafata de nivel constant a lui f care trece prin punctul x.
Teorema. Fie f, g:DIR functii de clasa C1, Xx,YxTx D si a, b IR. Sunt satisfacute relatiile :
Daxx +byx f =aDxx f + bDyx f ,
Dxx(af +bg)=aDxx f + bDxx g ,
Dxx(fg)=g(x)Dxx f+ f(x)Dxx g .
Putem defini actiunea unui camp vectorial X asupra unui camp scalar f de clasa C1 (ambele definite pe D) ca fiind campul scalar notat cu Dx f si a carui valoare in fiecare punct xD este numarul f. Campul scalar f se numeste derivata campului scalar f in raport cu campul vectorial X .
In particular, pentru cazul n = 3, avem :
Di f = , Dj f = , D k f = .
In baza teoremei precedente deducem ca derivata f are urmatoarele proprietati :
Df X + gY h = fDx h + gDY h,
Dx(af + bg) = aDx f + bDx g,
Dx(fg) = fDx g + gDx f
unde f, g, h, sunt functii reale, X si Y sunt campuri vectoriale , iar a, b sunt numere reale .
Observatie. Relatia Dx f = (f,x) pune in evidenta ca Dx f=0 daca si numai daca X este un camp vectorial tangent la multimile de nivel constant ale lui f .
Notiunea pe care o introducem acum generalizeaza derivata f si reprezinta o operatie asupra campurilor vectoriale. Fie Y un camp vectorial definit de multimea deschisa D din IRn si Xx un vector tangent la D in punctul x. Presupunem ca Y este de clasa C1 si consideram functia compusa
t Y(x+ tX) ,unde tI este determinat de conditia x+ tXD .
Definitie. Vectorul Dxx Y = t =0 tangent la D in punctul x se numeste derivata covarianta a lui Y in raport cu Xx .
Derivata covarianta Y masoara rata initiala a schimbarii lui Y(x) cand punctul x se misca in sensul lui Xx (fig. 1.20) si deci reprezinta o actiune a vectorului Xx asupra campului vectorial Y .
Y(x) Y(x+tX)
x x+tX Xx
Figura 1.20
Lema. Daca Y=Y1U1+…+YnUn este un camp vectorial de clasa C1 si Xx este un vector tangent la D in punctul x, atunci
Y = (Y1)U1(x) +…+ (Yn)Un(x).
Demonstratie.
Se observa ca Y(x+tX)=Y1(x+tX)U1(x+tX)+…+Yn(x+ tX)Un.
A deriva un astfel de camp vectorial in t=0 inseamna a deriva componentele sale in t=0. Tinand seama de definitia derivatei in raport cu un vector, lema devine evidenta.
Proprietatile derivate covariante rezulta din lema precedenta si din proprietatile derivatei f .
Teorema. Fie X si Y doua campuri vectoriale de clasa C1 pe D , fie Vx, Wx TxD si a, b IR. Avem :
D aVx + bWx Y = aD Vx Y +b DWxY,
D Vx(f Y) = (D Vx f)Y + fD VxY,
D Vx (aX+ bY) = aD VxX+ bD VxY,
D Vx(X, Y) =(D Vx X, Y)+ (X,D VxY).
Notiunea de mai sus se poate extinde considerand derivata covarianta a unui camp vectorial Y de clasa C1 in raport cu campul vectorial X. Rezultatul este un camp vectorial care se noteaza cu DXY si a carei valoare in punctul x este vectorul DX (x)Y.
Daca Y=Y1U1+ …+YnUn , atunci DXY=(DXY1)U1+…+(DXYn)Un. In baza celor precedente rezulta ca DXY are urmatoarele proprietati :
DfV +gwY = fDvY + gDwY ,
D V (aX+ bY) = aD VX+ bD VY,
D V(f Y) = (D V f)Y + fD VY,
D V(X, Y) = (D V X, Y) + (X,D VY).
Observatii.
1) Fie derivata covarianta DXY. Rolul lui X este algebric , iar Y se deriveaza .
2) Derivatele covariante ale campurilor fundamentale Ui , i =1,…,n, sunt nule deoarece acestea din urma sunt campuri vectoriale paralele.
3) Fie X si Y doua campuri vectoriale de clasa C1. Campul vectorial definit prin se numeste crosetul campurilor X si Y.
§ 1.5. Campurile vectoriale ca operatori liniari si derivari
In acest subcapitol vom utiliza notatii si conventii specifice calculului tensorial. Astfel indicii vor ocupa pozitii superioare sau inferioare si in consecinta sumele vor fi marcate prin conventia Einstein .
Fie D o multime deschisa din IRn . Multimea C(D) a tuturor functiilor reale (campuri scalare )de clasa C definite pe D este un spatiu vectorial real. Deoarece inmultirea functiilor reale este o operatie IR– biliniara , comutativa multimea C (D) este o algebra comutativa .
Fie x=(x1,….,xn)D si fC(D). Unui vector Xx tangent la D in punctul x i se asociaza numarul Xx(f) =f numit derivata lui f in raport cu Xx . Derivata Xx(f) are urmatoarele proprietati :
Xx(af +bg) = aXx(f)+bXx(g)
Xx(fg) = (Xx(f))g(x) + f(x)Xx(g)
(aXx + bYx)(f) = aXx (f)+ bYx(f),
unde Xx si Yx sunt vectori tangenti la D in punctul x,a si b sunt numere reale, iar f,gC(D).
Sa privim acum lucrurile dintr-un alt punct de vedere si anume, regula fXx(f), cu proprietati convenabile, determina bine pe Xx . Astfel suntem condusi la urmatoarea alternativa ca definitie a vectorilor tangenti, unanim acceptata in lucrarile actuale de geometrie diferentiala .
Fie x un punct fixat din D. O functie Xx : C(D)IR care satisface conditiile :
1) este liniara, adica Xx(af +bg) = aXx(f)+bXx(g)
2) este o derivare , adica Xx(fg) = (Xx(f))g(x) + f(x)Xx(g),
unde a,bIR ,f, g C(D), se numeste vector tangent la D in punctul x.
Se observa ca functia definita prin 0x(f) = 0, f=gC(D), deci vectorul zero , ca si operaorii sunt vectori tangenti la D in punctul x .
De asemenea, daca f=g=1, atunci Xx(1)=2 Xx(1) si deci Xx(1)=0. In plus, Xx(c)=c Xx(1)=0 pentru orice functie constanta c. Identificand functiile constante cu valorile lor , se poate afirma ca valorile oricarui vector tangent pentru scalari sunt nule .
Fie TxD multimea tuturor vectorilor tangenti la D in punctul x. Elementele lui TxD sunt functii reale definite pe C(D), si deci are sens suma a doi vectori tangenti si produsul dintre un numar real si un vector tangent .
Mai mult, pentru oricare xD, multimea TxD este un spatiu vectorial real numit spatiu tangent la D in punctul x.
Teorema. Multimea este o baza a spatiului vectorial D (reper in punctul x0)
Demonstratie. Evident fac parte din D.
Sa aratam ca acesti vectori sunt liniari independenti. Pentru aceasta pornim de la relatia ai si folosim functiile coordonate xj 😀 IR
j=1,…,n.
In baza definitiei vectorului tangent, a faptului ca D este un spatiu vectorial si a observatiei rezulta 0=ai(xj) = ai= ai=aj, j=1,…,n.Deci vectorii tangenti sunt liniar independenti .
A ramas sa demonstram ca genereaza pe D . Pentru aceasta observam ca pe o vecinatate convexa a lui x0 si pentru orice f C(D) avem :
f(x) = f(x0) + (x0)(xi – x0i) + fij(x)(xi – x0i)(xi – x0j)
Conform definitiei lui Xx si a observatiei ca valorile lui Xx pe constante sunt nule , gasim
Xx f =Xx (xi)(x0)+Xx( fij (x))(xi -x0i) (xj –xi0)+2 fij (x) Xx (xi) (xj – x0j).
Inlocuirea x = x0 implica
Xx f = Xx (xi) (x0).
Tinand seama ca f C(D) este arbitrara si notand (xi) = 0 , deducem
= ai
Numerele (xi) =ai se numesc componentele lui , iar reperul se numeste reper natural .
Daca raportam pe D la reperul natural, atunci adunarea a doi vectori se reduce la adunarea componentelor corespondente, iar imultirea unui vector ca un numar real se reduce la imultirea componentelor vectorului cu acel numar .
Exemplu. Pentru X=,Y = si k IR gasim
X +Y = , kX =
Definitie. O functie X : D , X(x)Tx D, se numeste camp vectorial pe D.
Adunarea dintre doua campuri vectoriale si produsul dintre o functie reala si un camp vectorial se definesc punctual.
Definitie. Campurile vectoriale definite prin x , i = 1,…, n
si notate cu , i = 1,…, n , se numesc campuri fundamentale. Ansamblul lor se numeste campul reperului natural .
Teorema. Daca X este un camp vectorial pe D, atunci exista n functii reale X i : D IR , i = 1 ,…, n , astfel incat
X = Xi .
Demonstratie. Prin definitie X asociaza lui xD un vector, X(x) tangent la D in punctul x. Dar X(x) = Xi(x) si regulile x Xi(x), x D , definesc (unic) functiile X i : D IR .
Functiile reale X i se numesc componentele campului X. Campul vectorial X=X i se numeste de clasa C p daca functiile X i sunt de clasa Cp .
Exemplu.
X(x, y) = x2 este un camp vectorial de clasa C .Alternativ, campul vectorial X poate fi privit ca fiind aplicatia X:C (D)C (D) care satisface conditiile :
este liniara , adica
X(af + bg) = aX(f) + bX(g),
este o derivare , adica
X(fg) = (X(f))g + fX(g) ,
unde a, b IR, iar f , g C D.
Fie X si Y doua campuri vectoriale de clasa C pe D. Campul vectorial X,Y definit prin f(f)=X(Y(f)) – Y(X(f)) se numeste crosetul cimpurilor X si Y.
Evident = -.
De asemenea pentru oricare trei campuri vectoriale X, Y, Z de clasa C se satisface identitatea Jacobi :
+ + = 0.
Multimea (D) a tuturor campurilor vectoriale de clasa C pe D este un spatiu vectorial real infinit dimensional .
Deoarece crosetul [,]:(D) (D)(D) este biliniar peste campul numerelor reale ,anticomutativ si verifica identitatea Jacobi, multimea (D) se numeste algebra Lie .
Fie TxD spatiul tangent la D in punctul x si x o 1-forma in x ,adica o transformare liniara x : TxD IR . Multimea tuturor 1- formelor in x este un spatiu vectorial real de dimensiune n , dualul lui TxD .Acest spatiu vetorial se numeste spatiului cotangent la D in punctul x si se noteaza cu Tx*D .
Fie f C (D). Functia d fx : TxD IR definita prin d fx (Xx) = Xx(f) se numeste diferentiala lui f in punctul x .
Aceasta definitie impreuna cu definitia vectorilor tangenti arata ca d fx este o 1- forma in punctul x.
Teorema. Fie xj :DIR, j = 1,…, n , functiile coordonate pe D.
Multimea { dxj , I = 1,…, n}xo este o baza a lui D .
Demonstratie .
Evident dxj , j =1,…,n apartin lui D. Fie reperul natural in D. Tinand seama de definitia diferentialei , deducem
=(xj)== , i,j =1,…,n, si deci {dxj,j=1,…,n} este baza duala.
Reperul {dxj , j = 1,…,n}se numeste coreper natural in x0.
Fie Xx = ai. Rezulta dx j(Xx )= ai dxj = aj.
De asemenea , orice 1- forma xTx*D se scrie x=jdxjj fiind componentele lui x in raport cu coreperul natural . Rezulta x = i ,
adica componentele 1-formei x sunt valorile lui x pentru vectorii reperului natural in x.
Fie C (D) algebra functiilor de clasa C pe D si (D) algebra Lie a campurilor de clasa C pe D .
O functie : (D) C (D) cu (X) de clasa C , X(D) si (fX+gY) = f (X)+g(Y) , f ,g C (D), X, Y(D) , se numeste 1-forma diferentiala pe D .
Adunarea a doua 1- forme diferentiale si produsul dintre o functie reala si o 1- forma diferentiala se definesc punctual .
Fie o 1-forma diferentiala.Valorile x sunt 1- forme in punctul x.
De aceea expresia locala a unei 1-forme diferentiale x = j(x)dxj . Putem scrie = jdxj deoarece 1- formele diferentiale dx1,…, dxn sunt duale campurilor fundamentale .
Ansamblul {dxj, j = 1,…,n} se numeste campul coreperului natural. Multimea tuturor 1-formelor diferentiale pe D va fi notata cu *(D) .
O multime ordonata {X1,…,Xn} de campuri vectoriale se numeste camp de repere pe D daca {X1(x),…,Xn(x)} este o baza in TxD pentru oricare punct xD. Analog se defineste campul de corepere {1,…, n}.Aceastea se numesc duale unul altuia daca b(Xa) = ab.
Desi in general, campurile de repere (sau de corepere) nu exista decat pe o vecinatate a punctului x din D, totusi faptul ca D este o multime deschisa in IRn asigura existenta unor exemplare globale din aceste entitati .
Daca {Xa, a= 1,…,n} este un camp de repere pe D, atunci orice alt camp vectorial V se exprima in forma V=V aX a.
Analog, daca {b,b =1 ,…,n} este un camp de corepere , atunci orice alta 1-forma diferentiala se exprima in forma = bb.
Fie x un punct din D caracterizat, pe de o parte prin coordonatele (xi,…,xn)=(xi), iar, pe de alta parte, prin coordonatele (xi’,…,xn’)=(xi’) schimbarea de coordonate fiind xi’= xi’(xi) cu inversa xi=xi(xi’), pe o vecinatate a lui x continuta in D. Baza se schimba in cu legatura = ; corespunzator baza duala {dxj}x se schimba in {dxj’}x cu legatura dxj = .
Evident :
Aceasta implica Xi’ = Xi, j’= j.
Observatii .
1) In acest subcapitol , multimea deschisa D poate fi inlocuita cu orice subvarietatea de dimensiune m1, cu sau fara frontiera , a lui IRn.
2) Fie x un punct din D si C(D)x multimea tuturor functiilor definite pe o vecinatate a lui x, care sunt de clasa C in punctul x . Domeniul maxim de definitie al unui vector Xx este C(D)x .
§1.6 OPERATORI DIFERENTIALI
Gradient. Fie C(D) algebra functiilor de clasa C , iar (D) algebra Lie a campurilor vectoriale de clasa C pe multimea deschisa D IRn.
Definitie. Operatorul grad : C(D) (D), f grad f se numeste gradient. Proprietatile de baza ale operatorului gradient au fost expuse in subcapitolul §1.4.
Fie X un camp vectorial de clasa C pe D. Daca exista un camp scalar de clasa C, f 😀 IR cu proprietatea X = grad f, atunci X se numeste camp potential, f se numeste potentialul lui X, iar multimile de nivel constant ale lui f se numesc multimi echipotentiale. Existenta si unicitatea unui potential vor fi discutate in subcapitolul urmator.
Hessiana. Fie f C(D) .Diferentiala de ordinul doi :
d2f(x)(dx) = (x)dxidxj
se numeste hessiana lui f si uneori se noteaza Hess f. Hessiana se utilizeaza des in problema de extrem si de convexitate .
Rotor. Unui camp vectorial X=X1U1+…+XnUn de clasa C pe DIRn, i se poate atasa matricea simetrica
rot X =
care se numeste rotorul lui X .
Ca orice matrice antisimetrica de ordin n si aceasta este determinata de n(n – 1)/2 elemente posibil nenule (cele situate deasupra diagonalei principale).
Fie V=(V1,…,Vn) si W=(W1,…,Wn) duoa campuri vectoriale oarecare pe DIRn. Notam cu VW matricea de elemente Vi Wj – Vj WI adica
VW= .
Cu aceasta conventie si cu = putem scrie simbolic rotX=X si putem exprima simplu unele proprietati ale rotorului. De exemplu (X + Y) = X + Y , (fX) = f X + f X.
Definitie . Un camp vectorial al carui rotor este nul peste tot se numeste camp iratational.
Daca n=3 (deci in IR3), atunci =3 si matricea rot X este echivalenta cu campul vectorial
rot X =
Astfel , in IR3 si numai aici, oricarui camp vectorial X = (X1 , X2 , X3) i se poate atasa un alt camp vectorial rot X numit rotor. Simbolic putem scrie :
rot X = = X ,
unde este semnul produsului vectorial.
Divergenta. Fie X = X1U1 + … + XnUn un camp vectorial de clasa C pe D IRn .Lui i se poate asocia campul scalar definit prin :
DivX = = ( , X),
numit divergenta lui X.
Operatorul div : (D)C (D) definit prin X = (X1 ,…, Xn) se numeste divergenta .
Fie F:DIRn, F(x)=(X1(x),…,Xn(x)) o functie de clasa C. Se observa ca div X coincide cu urma matricei jacobian atasata functiei F. Cele mai simple proprietati ale divergentei sunt :
div(X + Y) = divX + divY,
div(fX) = (f ,X) + f divX
Definitie. Daca divX=0, atunci campul vectorial X se numeste solenoidal.
Divergenta unui camp vectorial defineste viteza de contractie – dilatatie a volumelor de catre curentul generat de campul vectorial .
Laplacian. Operatorul definit prin f=div(gradf) se numeste laplacian. Evident f coincide cu urma hessianei lui f , adica
f =.
Definitie. O functie f : D IR de clasa C cu proprietatea f = 0 se numeste functie armonica .
Observatie. Ipoteza “clasa C ” este impusa de motive de formalizare matematica (nefiind alterabila prin ‘derivari’). In situatiile concrete campurile scalare si vectoriale vor fi de clasa C p ,unde valoarea minima a lui p este impusa de context .
2.CAMPURI VECTORIALE PARTICULARE
§2.1. CAMPURI VECTORIALE IROTATIONALE
Definitie. Fie X un camp vectorial continuu pe o multime deschisa DIRn.Daca exista un camp scalar de clasa C1, f : D IR cu proprietatea X=grad f, atunci X se numeste camp potential, f se numeste potentialul lui X, iar multimile de nivel constant ale lui f se numesc multimi echipolente.(fig 2.1)
Demonstram ca pe o multime deschisa si conexa , exista si este unic un potential abstractie facand de o constanta aditiva.
X=
x/2 x/2
Figura 2.1
(x)=c
Teorema. Fie X un camp vectorial pe o multime deschisa si conexa DIRn.Daca X admite pe D un potential f , atunci acest potential este unic determinat, abstractie facand de o constanta aditiva.
Demonstratie.Presupunem ca X admite pe D doua functii potential f si g, adica X = grad f = grad g.Rezulta grad (f – g) = 0.
Sa aratam ca f-g =c. Pentru acesta notam = f – g si presupunem ca orice doua puncte x, y din D pot fi unite pintr-o curba :[a,b]D de clasa C1. Avem (a) = x, (b) = y si ()’(t) = (grad ((t)) , ’(t)) = 0, t[a, b]. Fixand pe y, se deduce (x ) = c, t[a,b].Fixand pe y, se deduce (x) = c, xD .Transferul rationamentului precedent la cazul curbelor de clasa C1 pe portiuni(D fiind multime convexa ) este evident.
Fie X = (X1….Xn) un camp vectorial si rot X = rotorul sau .
Avem urmatoarele situatii :
1) Daca rot X nu este identic nul, atunci X se numeste camp rotational
2) Daca rot X este identic nul ,adica = , xD, i,j = 1,…,n, atunci X se numeste camp irotational.
Teorema urmatoare arata ca orice camp irotational X de clasa C1 admite reprezentarea locala X=gradf, adica pentru fiecare x0D exista o multime deschisa UD care contine pe x0 si f :UIR de clasa C2 astfel incat X=grad f pe U .
Teorema. Fie X = (X1,….Xn) un camp vectorial de clasa C1 pe D.
Daca X este un camp potential ,atunci X este un camp irotational.
Daca D este un interval n-dimensional deschis si X este un camp
irotational,atunci X este un camp potential ,cu potentialul :DIR, f(x)=,
x=(x10,……..xn0)D .
3) Daca D este o multime convexa si X este un camp irotational , atunci X este un camp potential ,cu potentialul f:DIR, f(x)=x0=(x10,……xn0)D .
Demonstratie. 1) Fie X=grad f,adica Xi=.Rezulta
in concluzie X este irotational.
2) Avem :
=
3) Amintim ca multimea D se numeste convexa daca o data cu oricare doua puncte ale sale contine si segmentul determinat de aceste puncte.
Notam cu ui(t) =xi0+t(xI –xi0), i= 1,…,n , u(t) = (u1(t),……,un(t)). Rezulta :
Observatii:
1) Putem reformula teorema precedenta astfel : o conditie necesara si suficienta pentu ca un camp vectorial X de clasa C1 sa fie local potential este ca el sa fie irotational.
2)Potentialele sunt analogul primitivelor de la functiile reale de o singura variabila.
3)Pe intervalele n-dimensionele sau pe multimi convexe potentialele pot fi determinate cu ajutorul integralei obisnuite. Pe o multime deschisa si conexa , care nu face parte din clasele celor mentionate nu exista intotdeauna functii potential definite pe toata multimea. Daca exista potentiale , atunci aflarea lor este legata de integrala curbiliniede al doilea tip.
Exemplu.
Campul vectorial X = (2xyz+z2-2y2+1)i+ (x2z-4xy)j+(x2y+2xz-2)k este un camp irotational pe IRn.
.
Teorema precedenta procura metode pentru calculul potentialului lui X. Putem sa determinam acest potential f prin metoda primitivelor. Prin integrarea primei ecuatii a sistemului obtinem :
= 2xyz+z2 – 2y2 +1, = x2z –4xy, = x2y+2xz-2
in raport cu x, gasim f(x,y,z)= x2yz+z2x-2y2x+x+(y,z).
Daca inlocuim in ecuatia a doua, deducem =0, adica(y,z)= (z);
Daca inlocuim in ecuatia a treia a sistemului initial , gasim = -2. Adica (z)= -2z+c. Astfel f(x,y,z) =x2yz+z2x-y2x+x-2z+c. Evident acesta este un potential global pentru X.
Fie D o multime deschisa din IRn si :[a,b]D o curba orientata de clasa C1.Fie X un camp vectorial continuu definit pe D .Restrictia lui X la imaginea lui , adica X este o functie continua. Numarul :
se numeste integrala lui X de-a lungul curbei sau integrala curbilinie de al doilea tip sau circulatia lui X de-a lungul curbei (fig. 2.2).
Aceasta definitie se extinde firesc la curbele de clasa C1 pe portiuni.
Daca X = (X1,…..,Xn ) si =(x1,…..,xn), atunci pentru circulatie se utilizeaza notatia.
X((t))
(t)
Figura. 2.2
Teorema. Fie D IRn o multime deschisa si conexa ,iar X un camp vectorial continuu pe D .Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
1) X poseda o functie potential pe D;
2) circulatia lui X de-a lungul curbei ,
este independenta de curba ;
3) circulatia lui X de-a lungul oricarei curbe inchise din D este egala cu zero.
Demonstratie. Cum D este o multime conexa rezulta orice doua puncte ale lui D pot fi unite printr-o curba din D de clasa C1 pe portiuni.
1) 2).Presupunem ca 1) este adevarata si ca f potentialul lui X ,adica X = grad f .Pentru orice curba :[a,b]D de clasa C1 pe portiuni gasim :
Altfel spus, integrala depinde numai de punctele x si y si nu de curba care le uneste . Deci 2) este adevarata.
2)3), este evident.
3)2).Fie doua curbe de clasa C1 care uneste punctele Curba {} este inchisa (de clasa C1 pe portiuni) si prin ipoteza Rezulta
2)1).Fie punctele x0 = (x10,……,xn0) si x = (x1,….,xn) din D. Cum nu depinde de curba care uneste punctele x0 si x, putem folosi notatia
Fixam pe x0 si definim f(x) = Sa demonstram ca f este un potential al lui X = (X1,…..,Xn).
Asta inseamna , i = 1,…,n.Notand eI =(0,…,0,1,0,…,0),observam ca f(x+hei)-f(x)=
Independenta integralei de curba care uneste doua puncte si faptul ca punctele x si y+hei se pot considera ca fiind suficient de apropiate permit alegerea particulara = x + thei , t[0,1], adica segmentul de dreapta care uneste punctele x si y+hei . (fig. 2.3)
Rezulta :
(am utilizat u=ht).Trecem la limita pentru h0 si gasim c.c.tr.d.
D x+hei
x
x0
Figura 2.3.
Observatii.
1) Pentru campurile vectoriale X = (X1,…..,Xn) de clasa C1 existenta potentialului este echivalenta cu faptul ca X1dx1+……+Xndxn este peste tot diferentiala unui camp scalar .
2) Exista campuri irotationale care nu sunt global potentiale.De exemplu, campul vectorial X = (X1,X2), X1(x,y)= , X2= , (x,y)(0,0) este irotational pe IR2\{(0,0)} (domeniul care nu este simplu conex).(fig. 2.4). Pe de alta parte :
i) exista campul scalar f:IR2\{(x,0),xIR}IR, f(x,y)=arctg astfel incat X1 = X2 = pe IR2\{(x,0),xIR};
ii) exista campul scalar g : IR2\{(0,y),y IR}IR, g(x,y) = -arctg astfel incat X1 = , X2 = pe IR2\{(0,y),y IR}, adica X este un camp potential pe orice domeniu care nu contine originea . Dar nu exista nici un camp , scalar : IR2\{(0,0)}IR astfel incat X1 = , X2 = pe IR2\{(0,0)} . Intra-adevar , daca ar exista un astfel de camp , atunci pentru cercul x = cos t, y= sin t, t[0,2] (curba inchisa care inconjoara originea) gasim contradictia : avem dar pe de alta parte : = .
Figura 2.4.
Aplicatie 1. Fie C un conductor rectiliniu de sectiune circulara , cu raza a, prin care circula un curent de intensitate I (fig. 2.5).Fixam originea O ca in figura si notam r = (xi+yj+zk), r = (x2+y2+z2)1\2 .
c I
H(Pi)
P2 H(P2)
Figura 2.5.
Curentul genereaza campul magnetic :
ale carei linii de camp sunt cercuri cu centrul pe axa cilindrului si cuprinse in plane perpendiculare pe aceasta dreapta . Prin calcul se gaseste :
Adica ,restrictia lui H la ext C este un camp vectorial irotational.
Fixand un reper cartezian astfel incat axa Oz sa coincida cu axa cilindrului , orientata in sens opus lui I, rezulta :
H =
Aceasta exprimare arata ca restrictia lui H la ext C nu poate fi un camp vectorial global potential .
Complemente.
1) Fie X un camp vectorial pe o multime deschisa si conexa D din IRn Presupunem ca exista doua campuri scalare h si f astfel incat X=hgradf Daca h si f sunt functional independente , atunci campul vectorial X se numeste biscalar.Daca h si f sunt functional dependente , atunci se dovedeste ca X este un camp potential ; intr-adevar h(f)gradf= grad este echivalenta cu h(f) df =dsi deci (x) =
2)Teoria potentialelor impune determinarea conditiei in care o familie data de hipersuprafete de nivelul constant sa fie o familie de hipersuprafete de nivel constant atasata unei functii armonice .
Teorema. Fie D multime deschisa si conexa din IRn si h 😀 IR un camp scalar de clasa C2 fara puncte critice Hipersuprafetele de nivel constant h(x)= c sunt hipersuprafete de nivel constant ale unui camp scalar armonic f: D IR daca si numai daca exista o functie reala de clasa C2 si o functie reala contiuna astfel incat :
Demonstratie.
Implicatia h(x) = c (x) = a este echivalenta cu existenta unei functii
reale de clasa C2 astfel incat f =(h) . Deci :
df = ’(h)dh , d2f = ’’(h)dh2 + ’(h) d2h .
Retinand numai urma hessianei , gasim si arata ca relatia din teorema este necesara.
Reciproc ,din deducem si deci
f =(h)= , unde A si B sunt constante .
Aplicatia 2. Ne referim la IR3 si cercetam daca o familie de semiconuri circulare drepte cu aceeasi axa si acelasi varf este o familie de hipersuprafete de nivel constant ale unui camp scalar armonic .
Fara a restrange generalitatea , putem presupune ca familia de semiconuri este descrisa de : x2 + y2 = cz2 , z > 0 . Rezulta h(x,y,z) = , z > 0 si conditia din teorema devine :
Deci sau . Punand h = tg2 gasim si f =(h)=2A ln + B , unde A si B sunt constante arbitrare. Evident este semiunghiul unui con .
§2.2 . CAMPURI VECTORIALE CU SIMETRIE SFERICA
Fie y = (y1, …….,yn) un punct fixat si x = (x1,……xn) un punct variabil din IRn . Notam r = yx si r = .
Definitie.Fie f : (0 , )IR o functie e clasa C , Campul scalar definit pe IRn\{y} prin f(r) se numeste camp scalar cu simetrie sferica de centru de simetrie y (intrucat nu depinde decat de distanta de la punctul fixat y la punctul variabil x) .
Hipersuprafetele de nivel constant ale unui camp scalar cu simetrie sferica sunt sfere .
Gradientul unui camp cu simetrie sferica este :
grad f(r) = f’(r) .
Fie un camp scalar cu simetrie sferica de centru de simetrie y.
Definitie.Campul vectorial X definit pe IRn\{y} prin X(x) = se numeste camp vectorial cu simetrie sferica de centru de simetrie y .
Orice camp vectorial cu simetrie sferica de centru de simetie y este un camp potential pe IRn\{y} avand drept hipersuprafete echipotentiale sferele cu centru in y .Intr-adevar , pentru orice functie : (0,) IR de clasa C este o functie f : (0, ) IRn de clasa C astfel incat f’ = si multimea ecuatiilor f(r)=const este echivalenta cu multimea ecuatiilor r=const.
Fie X un camp vectorial cu simetrie sferica . Se constata ca :
divX(x)=
si deci X este solenoidal daca si numai daca (r) = c/rn-1 , unde c este o constanta .
Campuri newtoniene .
a) Conform legii lui Newton , in IR3 forta de atractie cu care actioneaza o masa m situata in punctul fix y(y1, y2,y3) asupra mesei unitate care se gaseste in punctul variabil x(x1, x2, x3) este
X(x) = -, unde r= yx , r = .
Campul X este un camp vectorial pe IR3\{y} numit camp newtonian sau gravitational (fig. 2.6).Avand simetrie sferica , este evident un camp potential cu potentialul f(r) = m/r .
Figura 2.6.
Altfel. Campul newtonian :
X(x1, x2, x3) = – ,
unde (x1, x2, x3)IR3\{( y1, y2,y3)}, este un camp irotational al carui domeniu de definitie este conex sau simplu conex , dar nu este convex. Utilizand formulele corespunzatoare si teorema a doua , pe un paralelipiped deschis sau pe o multime convexa deschisa D din IR3\ \{( y1 ,y2,y3)}, se gaseste potentialul f (x1, x2, x3) = [(x1-y1)2+(x2-y2)2+(x3-y3)2]-1\2 , (x1, x2, x3) D.
Se constanta insa ca f se prelungeste diferentiabil la IR3\{( y1 ,y2,y3)} si de aceea campul newtonian X este un camp potential pe IR3\{( y1 ,y2,y3)}.
b) In IR3 consideram campul gravitational generat e masele m1,…..mk plasate in punctele y1,…..,yk si actionand asupra masei unitate plasate in punctul x. Acest camp este dat prin X(x) = , xIR3\{ y1,…..,yk }, si admite potentialul f(x) = , unde rI = yIx , rI =
c) Fie D o multime deschisa , conexa si marginita din IR3, cu frontiera D neteda pe portiuni . Consideram o distributie de mase pe = DD , cu densitatea (y) continua. Forta totala de gravitatie :
X(x) = – , unde r = (y,x) ,
defineste un camp newtonian pe IR3(in cazul in care x integrala precedenta este improprie , dar absolut convergenta ).
Potentialul campului vectorial X este :
f(x) = .
d) Notiunea de camp newtonian se extinde la IRn . De exemplu , daca D este o multime deschisa , conexa si marginita din IRn , cu frontiera D neteda pe portiuni , iar : IR este o functie continua ,atunci campul este o functiecontinua, campul vectorial definit pe IRn prin :
X(x) = – , r = (y,x),
se numeste camp newtonian.
Se constata ca acesta poseda potentialul :
Campuri electrostatice.
a ) Coulomb a ajuns la concluzia ca forta de interactiune dintre doua corpuri punctiforme purtatoare de sarcini electrice este proportionala cu produsul sarcinilor electrice si invers proportionala cu patratul distantei dintre centrele corpurilor respective. Conform acestei legi , forta (de atractie sau respingere ) cu care sarcina q situata in punctul fixat y = (y1, y2, y3) actioneaza asupra sarcinii unitate +1 situate in punctul arbitrar x = (x1, x2, x3) este :
E(x) = , xIR3\{y},
unde 08,86 .10-12 F\m este constanta dielectrica a vidului ,iar r=yx .
Forta E determina un camp vectorial pe IR3\{y}, numit camp electrostatic .Acest camp are simetrie sferica (pentru q<0 figura 2.6, pentru q>0 figura 2.7).Potentialul corespunzator este f(r) = .
b) Campul electrostatic generat de sarcinile q1,…,qk situate in punctele y1,……….yk si actionand asupra sarcinii unitate situate in punctul x este :
E(x) = , xIR3\{ y1,……….yk},
unde r=y ix. Acesta este potentialul f(x) = -.
x
y
Figura 2.7.
§2.3.CAMPURI VECTORIALE SOLENOIDALE
Definitie.Un camp vectorial X se numeste solenoidal daca div X = 0.
Exemple.
1) Campul newtonian X = – , (x, y, z)IR3\{0} este irotational si solenoidal .
2) Campul vectorial X=gradf este solenoidal daca si numai daca f este o functie armonica , adica f = 0 .
3) Campul vectorial X = ,(x, y) IR2\{(0,0)} este solenoidal, dar nu este global potential .
4) Daca f, g : IR3IR sunt de clasa C2, atunci campul vectorial X = este solenoidal .
5) Daca Y este un camp vectorial de clasa C2 pe IR3, atunci campul vectorial X =rot Y este solenoidal pe IR3.
6) Fie IR6 = {(x1,x2,x3, p1, p2, p3)} privit ca spatiul fazelor asociat ecuatiei Lorentz care descrie miscarea unei particule incarcate de sarcina q si masa m , intr-un camp electromagnetic stationar generat de campul electric E(x) = (E1(x), E2(x), E3(x)) si campul magnetic B(x) = (B1(x), B2(x), B3(x)),x=(x1,x2,x3)IR3.Campul vectorial :
X=,
care local reprezinta viteza de evolutie a fenomenului in IR6 este solenoidal.
Intr-adevar ,
div X = = 0.
In cele ce urmeaza aratam ca orice camp solenoidal de clasa C1 pe o multime deschisa IR3 se reduce local la un camp de rotori , adica(local) X = rotY. Campul vectorial Y este unic determinat abstractie facand de un gradient aditiv si se numeste potentialul vector al lui X.
Teorema. Fie X un camp vectorial pe o multime deschisa si convexa DIR3. Daca X admite pe D un potential vector Y de clasa C1, atunci acest potential este unic determinat pana la un gradient aditiv .
Demonstratie. Fie X = rot Y1 si X = rot Y2 .Rezulta rot Y1 = rot Y2 si deci rot(Y1-Y2) = 0. Deoarece Y1-Y2 este un camp vectorial irotational de clasa C1, conform unei teoreme tratate anterior exista un camp scalar f pe D astfel incat Y1-Y2 = gradf .
Teorema. Fie D IR3 o multime deschisa si X un camp vectorial de clasa C1 pe D .Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
1) este solenoidal ;
2) pentru orice punct p D exista o vecinatate deschisa U D, pU, si un camp vectorial Y pe U astfel incat X = rot Y pe U;
3) fluxul lui X prin frontiera oricarui corp sferic continut in D este nul .
Demonstratie.
1)2) .Fie X = (P, Q, R).Ipoteza div X = 0 pe D se transcrie : .
Fie (x0, y0, z0) D si U o bila deschisa centrata in (x0, y0, z0) situata in D (sau un interval tridimensional deschis). Functiile f, g:UIR
f(x, y, z) = , g (x, y, z) = –
determina pe U campul vectorial Y = (f, g, 0) cu proprietatea rot Y = X .
Observatie. Potentialul vector Y = (f, g, 0) cu f si g definite ca mai sus, este de clasa C1 si cu de clasa C1. Daca X este un camp vectorial solenoidal pe IR3 atunci reprezentarea X = rot Y ,Y = (f, g, 0) este globala .
2)1) Evident div rot Y = 0.
1)3) Se aplica formula Gauss-Ostrogradski :
3) 1) Fie pD si un corp sferic cu centru in p si de raza , inclus in D.
Formula Gauss-Ostrogradski implica :
.
Se utilizeaza formula de medie si se trece la limita cand .Rezulta (div X)(p) = 0 .
Teorema lui Euler. Fie X un camp vectorial de clasa C pe o multime si conexa DIR3. Daca X este solenoidal , atunci pentru fiecare punct (x0,y0 z0)D cu X(x0,y0 z0)0 exista o multime deschisa UD care contine pe (x0,y0 z0) si doua campuri scalare f,g de clasa Cpe U astfel incat (fig. 2.8) X|U =grad fgradg , unde X|U este restrictia lui X la U .
Campurile scalare f, g se numesc potentiale Euler ale lui X .Acestea nu sunt unice.
Demonstratia clasica a teoremei Euler este specifica spatiului cu trei dimensiuni , facand apel la notiunea de potential vector. De aceea preferam generalizarea si o demonstratie care este buna pentru orice dimensiune.
X=hf
.
f(x,y,z)=b f
h h(x,y,z)=a
Figura 2.8.
Aplicatii.
1) Sa se determine campul vitezelor unui fluid incompresibil datorat unei surse de debit q situata intr-un punct M0.
Rezolvare. Particulele de fluid care izvorasc din M0 descriu semidrepte cu originea M0, fapt echivalent cu aceea ca viteza V este un camp vectorial cu simetrie sferica pe IR3\{M0}, adica V(M) = (r)r/r , unde r = M0M. Debitul q al sursei situate M0 este q = , unde S este o sfera cu centru in M0 si de raza r. Rezulta q = si deci
V(M)= .
Acesta este un camp vectorial solenoidal .
2) Campul Biot-Savart. Fie D o multime deschisa, conexa si marginita din IR3 si D frontiera sa pe care o presupunem neteda pe portiuni Notam cu X un camp vectorial de clasa C1 pe . Campul vectorial definit pe IR3 prin :
Y(x) = ,r=(y.x)
se numeste camp Biol-Savart.
Denumirea provine din faptul ca in cazul in care este umplut cu sarcini electrice in miscare, cu X(y) ca densitate de curent electric, campul magnetic, Y generat de acest curent este dat de legeaBiol-Savart (egalitatea precedenta).
In general campul Y nu este irotational, dar este solenoidal. Potentialul vector al sau este :
Z(x) = .
§2.4. REPREZENTARILE MONGE SI STOKES
Teorema lui Monge. Daca X este un camp vectorial de clasa C pe o multime deschisa si conexa DIR3, atunci pentru orice x0D rotX(x0)0 exista o multime deschisa U D care contine pe x0 si trei campuri scalare h, f, g de clasa C pe U astfel incat
X|U = grad h +f grad g.
Campurile scalare h, f, g se numesc potentiale Monge ale lui X .Ele nu sunt unice.
Demonstratie. Campul rotX este solenoidal pe D deoarece intotdeauna div(rotX) = 0. Tinand seama de teorema Euler de la campurile solenoidale, rezulta ca pentru fiecare x0D cu rotX(x0)0 exista o multime deschisa U1D care contine pe x0 si doua campuri scalare f , g de clasa C pe U1 astfel incat :
rotX =grad fgrad g pe U1.
Aceasta egalitate se transcrie rot(Xfgradg)=0 si deci campul vectorial X-fgrad g este irotational pe U1. De aceea exista o vecinatate UU1 al lui x0 si un camp scalar h de clasa C pe U astfel incat :
X – fgrad g = gradh pe U.
Teorema lui Stokes. Daca X este un camp vectorial de clasa C1 si cu divX de clasa C1 pe o mutime deschisa si conexa DIR3, atunci pentru fiecare x0D exista o multime deschisa UD care contine pe x0, un camp scalar h de clasa C2 pe U si un camp vectorial Y de clasaC2 si cu rotY de clasa C1 pe U astfel incat :
X|U = grad h +rotY .
Campul scalar h si campul vectorial Y se numesc potentiale Stokes ale lui X. Ele nu sunt unice.
Demonstratie. Este suficient sa aratam ca exista un camp scalar local h de clasa C2 astfel incat Xgrad h sa fie camp solenoidal.
Dar div(X – grad h ) = 0 arata ca h trebuie sa fie o solutie a ecuatiei Poisson : h = divX.
O asemenea ecuatie admite o infinitate de solutii locale. De exemplu daca U este o multime deschisa, marginita si conexa , cu frontiera U neteda pe portiuni si a este un parametru vector , atunci
ha(x) = (a , x) – , xU ,
sunt solutii ale ecuatiei Poisson h = divX.
Observatie . Daca X este de clasa C , atunci reprezentarea lui Stokes este echivalenta cu reprezentarea X|U = grad h + grad f grad g.
Pentru n >3, aceasta varianta se generalizeaza prin :
X|U = grad fn + grad f1 … grad fn-1 unde UIRn.
§2.5. CAMPURI VECTORIALE ARMONICE
Definitie.Un camp vectorial X se numeste armonic daca el este irotational si solenoidal .
Exemplu. Campul newtonian X =m , m > 0 , este armonic pe IR3\{0}.
Teorema . Daca DIRn este o multime deschisa si conexa si X este un camp de clasa C1 pe D, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
X este armonic pe D;
Exista un camp scalar armonic f : D IR astfel incat X = grad f .
Demonstratie.
1) 2) Din rot X = 0 ajungem la concluzia ca exista f : D R astfel incat X = grad f . Dar div X = 0 impune div(grad f ) = 0, adica = 0 .Cu alte cuvinte , f este armonica .
2) 1) Ipotezele X = grad f si = 0 implica div X = 0 si rot X = 0 . Deci X este armonic pe D.
Aplicatie . O parte dintr-un fluid se poate identifica cu o multime deschisa DIR3. Densitatea fluidului (x, y, z, t) si viteza fluidului v(x, y, z, t) sunt presupuse functii de clasa C1 pe DIR .
Partea din fluid corespunzatoare corpului sferic D, cu , are masa
m(t) =
functie de clasa C1 de t . Rezulta
m’(t) = .
Considerente de ordin fizic arata ca m’(t) trebuie sa fie fluxul lui v prin , adica :
m’(t) = .
Din , , se obtine ecuatia de continuitate :
div (,v) = .
Daca = const si v = grad f , atunci se spune ca fluidul este incompresibil , iar f se numeste potentialul vitezelor . In acest caz ecuatia de continuitate se reduce la div X = 0 , adica = 0 si deci X este un camp armonic pe D.
§2.6. CAMPURI VECTORIALE KILLING
Definitie.Un camp camp vectorial X = (X1,…….,Xn) de clasa Cpe IRn se numeste camp Killing daca satisface ecuatiile Killing :
, i, j = 1,….,n (1)
Evident , sistemul (1) implica , adica Xi = Xi(x1,……,xi-1, xi+1,….,xn).
Aceasta inseamna ca in cazul n = 1 campurile vectoriale Killing se reduc la campuri paralele . In general , divX = 0 si deci orice camp Killing este un camp solenoidal.
Fie n 2 . Derivand pe (1) si permutand indicii , gasim :
(1)
(2)
(3) .
Adunam primele doua egalitati si o scadem pe a treia ; in baza conditiilor de complet integrabilitate :
obtinem .
Rezulta (constante ), iar (1) impune conditia de antisimetrie pentru matricea [aij] .Astfel un camp Killing pe IRn are componentele de forma :
Xj = ,j = 1,…,n.
Unde aij = -aji si cj sunt constante arbitrare. Deoarece dimensiunea spatiului vectorial al matricelor antisimetrice [aij] de ordinul n este n(n-1)/2 , iar dimensiunea spatiului vectorial al matricelor coloana [cj] este n rezulta ca pe IRn exista campuri Killing liniar independente in (IRn) (a nu se confunda cu liniar independenta punctuala in IRn).
Crosetul a doua campuri vectoriale Killing este un camp vectorial Killing . Acest lucru se poate demonstra fie aratand ca daca X = (X1,….,Xn), Y= (Y1,…..,Yn) sunt solutii ale sistemului (1) , atunci si [X,Y] = ( X(Yi)-Y(Xi) ) este solutie, fie punand X = () , (Y = )
si calculand [X,Y] = () = , unde [dik] este evident o matrice antisimetrica .
Rezulta ca multimea campurilor vectoriale Killing pe IRn este o algebra Lie de dimensiune n(n+1)/2 .
Observatie. Daca A=ai+bj +ck este un camp paralel si X = xi +yj+zk atunci AX = (bz -cy)i + (cx-az)k este un camp Killing pe IR3 .Reciproc , orice camp Killing Y pe IR3 care nu este un camp paralel se poate scrie in forma AX .Acest rezultat tine de teorema Euler de reprezentare a unui camp vectorial solenoidal .
Aplicatie. Consideram rotatia unui solid S cu viteza unghiulara in jurul unei axe care trece prin origine . Un punct (x, y, z) al solidului S descrie un cerc C cu centru pe axa , de raza d , cuprins intr-un plan perpendicular pe axa. Viteza tangentiala este un vector V(x, y, z) tangent la cerc, dirijat in sensul miscarii si avand modulul V=d.
Notam cu vectorul de modul , care are directia axei si care este dirijat in sensul indus pe axa de rotatia solidului (regula burghiului drept). Atunci V(x, y, z) = ,unde r =xi+yj+zk . Campul vectorial V este un camp Killing.
d V(x,y,z)
c (x,y,z)
Figura 2.9.
§2.7. CAMPURI VECTORIALE CONFORME
Definitie.Un camp vectorial X = (X1,…..,Xn) de clasa C pe IRn se numeste camp conform daca satisface ecuatiile :
, i,j = 1,……,n, (2)
unde este simbolul lui Kronecker, iar : IRn IR.
Daca este o constanta, atunci campul conform se numeste camp omotetic .Daca =0 atunci campul conform este un camp Killing.
Sistemul (2) implica si deci .
In particular se observa ca in cazul n = 1 campurile conforme se identifica cu functiile lor de clasa C.
Presupunem ca nu se reduce la o constanta si n 2. Derivand pe (2) si permutand indicii, obtinem :
,
,
.
Adunand primele doua egalitati si o scadem pe a treia ; in baza conditiilor de integrabilitate completa , obtinem :
2 . (3)
Impunem si aici conditiile de integrabilitate completa,
.
Gasim :
.
Sumand dupa i si j deducem :
(2-n) .
O noua sumare dupa k si l da (1-n) = 0
Fie n>2. Rezulta si deci . Cu aceasta sistemul (3) se transcrie :
2 .
Prin integrare gasim :
.
Ecuatiile (2) impun asupra matricei [cji] conditiile cij+cji = c .O noua integrare da :
, unde dj sunt constante arbitrare.
Deoarece dimensiunea spatiului vectorial al matricelor [cij]de ordin n este si avem doi vectori matrice arbitrari [ck] , [dj], rezulta ca pe IRn, n>2, exista campuri conforme liniar independente in (IRn).
Un rationament asemanator cu cel din paragraful precedent arata ca crosetul a doua campuri conforme este un camp conform . De aceea multimea campurilor vectoriale conforme pe IRn, n > 2, este o algebra Lie de dimensiune .
Fie n = 2. Ecuatiile (2) se transcriu :
.
Rezulta ca X = (X1, X2) satisface pe IR2 conditiile Cauchy-Riemann,
si deci X1 , X2 sunt respectiv partea reala si partea imaginara ale unei functii monogene f : .Cu alte cuvinte, multimea campurilor conforme pe IR2 este echivalenta cu multimea functiilor monogene pe ,
Presupunem ca X = (X1,……,Xn) este un camp vectorial omotetic, adica (x) = c, IRn . In acest caz gasim Xj = , j = 1,…,n, unde cij sunt consstante ce satisfac relatiile cij+cji = c, iar dj sunt constante arbitrare. Fie c0 ; atunci pe IRn exista campuri vectoriale omotetice, liniar independente in (IRn).
Observatie. Ecuatiile (2) constituie o generalizare naturala a conditiilor Cauchy- Riemann.
§2.8. CAMPURI VECTORIALE AFINE SI PROIECTIVE
Definitie.Un camp vectorial X = (X1,…,Xn) de clasa C pe IRn care satisface ecuatiile cu derivate partiale
, i, j, k = 1,…,n (4)
se numeste camp afin.
Sistemul (4)implica divX=0 si deci orice camp afin are divergenta constanta. Tot din (4) se observa ca (constante).De aceea un camp afin pe IRn are componente de forma :
, i = 1,…,n unde ci sunt constante.
Dimensiunea spatiului vectorial al matricelor patratice [aij] de ordinul n este n2 , iar dimensiunea spatiului vectorial al matricelor coloana [ci] este n. Rezulta ca pe IRn exista n2+n campuri afine liniar independente in (IRn).
Daca X si Y sunt campuri vectoriale afine, atunci crosetul
[X,Y]=DXY–DYX
este un camp vectorial afin .
De aceea multimea campurilor vectoriale afine IRn este o algebra Lie de dimensiune n2+n. Sa observam ca orice camp Killing este un camp vectorial afin.
Un camp vectorial X = (X1,….,Xn) de clasa C pe IRn pentru care exista un camp vectorial Y = (Y1,……..Yn) de clasa C pe IRn astfel incat
, i, j, k = 1,…,n, (5)
unde este simbolul lui Kronecker, se numeste camp proiectiv .
Orice camp vectorial afin este un camp vectorial proiectiv. De asemenea din (5) rezulta divX=(n+1)Yj , adica Y este in mod necesar un camp potential .
In cazul n = 1campurile proiective se identifica cu functiile de clasa C. Pentru n 2, impunem conditiile de complet integrabilitate pentru sistemul cu derivate partiale (5), adica
.
Deoarece , gasim
.
Sumand dupa i si j, obtinem n. Dar , asa incat
(n-1) sau .
Ultimele ecuatii cu derivate partiale impun ca Y sa fie un camp vectorial paralel, adica Yk = ck, k = 1,…,n.
Cu aceasta observatie sistemul (5) se retranscrie in forma :
,
de unde
si in final obtinem :
= =
= .
Dimensiunea spatiului vectorial al matricelor [aij] de ordinul n este n2 si vectori coloana [cj] ,[di] sunt arbitrari. Aceasta inseamna ca pe IRn, n 2, exista n 2+2n campuri proiective liniar independente in (IRn ).
Se poate dovedi ca crosetul a doua campuri vectoriale proiective este un camp proiectiv. Aceasta inseamna ca multimea campurilor vectoriale proiective pe IRn, n 2, este o algebra Lie de dimensiune n 2+2n.
§1.9. CAMPURI VECTORIALE TORSIONALE
Un camp vectorial X=(X1,…,Xn) de clasa C pe o multime deschisa si conexa D din IRn se numeste torsional daca exista un camp scalar a : D IR de clasa C si un camp vectorial Y = (Y1,…,Yn) de clasa C pe D astfel incat
, i, j, = 1,…,n, (6)
unde este simbolul lui Kronecker . Evident , relatiile (6) sunt echivalente cu DZX = aZ+ (Y, Z)X , Z(D).
Din definitie se observa ca un camp torsional X nu pote fi identic nul decat daca a este functia identic nula. De asemenea tot din definitie rezulta
rot X = X Y, divX=an+(X, Y) .
De aceea un camp torsional este :
i) irotational daca si numai daca Y este coliniar cu X ;
ii) solenoidal daca si numai daca an+(X, Y) = 0 :
iii) potential sau biscalar .
Pentru n=1, campurile vectorial torsionale se reduc la solutii ale ecuatiilor diferentiale liniare de ordinul intai. Pentru n2, conditiile de complet integrabilitate ale sistemului (6), , se transcriu in forma :
(7)
Sumand dupa i si j ,deducem consecinta :
. (8)
Sumarile dupa i si j sau j si k nu dau conditii suplimentare .
Pentru n2, cazurile particulare cele mai interesante de campuri torsionale sunt :
1) Camp concircular , daca Y este un camp potential. Relatiile (8)
arata ca daca a 0, atunci in mod necesar Y = gradln. Din (6) rezulta d(Xi / a) = dxi si deci X(xi) = a(x)(xi +ci) sunt componentele unui camp concircular.
2)Camp concurent (fig.2.10), daca a 0, Y = 0. In acest caz relatiile (8) implica a = const si Xi(x) = a(xi +ci).
Schimbarea de variabila yi = axi, i = 1,…,n, arata ca nu se renunta la generalitate daca se presupune a = 1.
Figura 2.10.
3) Camp recurent, daca a = 0.In aceasta ipoteza ecuatiile (6) se reduc la : si deci Y este in mod necesar un camp vetorial irotational [fapt ce rezulta si din relatiile (7)].Apoi .
4) Camp constant (paralel), daca a = 0, Y = 0 .
Se verifica ca , in afara de cazurile particulare, un camp torsional pe IRn nu poate fi Killing si nici camp conform.
Crosetul a doua campuri torsionale X si Y este un camp vectorial coplanar cu X si Y. Intr-adevar, relatiile :
DZX = aZ + ( U, Z)X, DZY = bZ+ (V, Z)Y, Z(D),
Implica : [X,Y] = DXY – DYX = (b – (U, Y))X = ((V, X) – a)Y.
Exemple.
1) Sa determinam campul concircular pentru care Yj = xj, j = 1,…,n . Conform explicatiilor gasim a(x)=b, b=const si Xi(x) = b(xi+ ci), ci = const.
2) Orice camp vectorial cu simetrie sferica este torsional.
Intr-adevar, daca X=(X1,…,Xn), Xi(x)=f(r)(xi-yi), f(r)=(r)/r,
r=, x IRn\{y}, atunci :
Evident , X poate fi privit ca un camp vectorial concircular cu Y=gradln.
In particular, campurile vectoriale newtoniene si campurile vectoriale electrostatice, cu simetrie sferica, sunt campuri torsionale(concirculare; coliniare cu campuri concurente). Aceste campuri torsionale sunt irotationale si solenoidale.
Contraexemplu.
Campul vectorial newtonian X = (X1,…,Xn),
Xi(x) = – , r=,
D IRn deoarece
,
iar ij(x) nu se poate scrie cum ne convine pentru campurile vectoriale torsionale.
3. Probleme referitoare la campuri de vectori
1) Fie hipersuprafata Titeica definite in IRn , n = 2,4,8, prin ecuatii de forma x1x2…xn =1.Sa se arate ca aceste varietati sunt paralelizabile.
Solutie .
Definitie.O varietate geometrica de dimensiune m se numeste paralelizabila , daca poseda m campuri vectoriale (diferentiabile) tangente independente.
Pentru o hipersuprafata a lui Rn care se poate reprezenta printr-o ecuatie implicita f(x1x2…xn) = 0 , avem campul vectorial normal Z = f si orice camp vectorial tangent T este caracterizat prin ecuatia (T, Z) = 0
Fie: x1x2 = 1
Aceasta este o hiperbola echilaterala, o varietate Titeica cu o singura dimensiune .(Se poate demonstra ca este satisfacuta conditia = const.,unde k este curbura curbei , iar d este distanta de la origine la tangenta intr-un punct curent de pe curba ).
Construim campul vectorial normal la Z = x2i + x1j .Campul vectorial tangent T(-x1 , x2) se obtine din Z printr-o rotatie de unghi . Campul T nu se anuleaza in nici un punct de pe curba x1x2 = 1 , deci este independent.
Consideram acum hipersuprafata Titeica : x1x2x3x4 = 1 .
Campul vectorial normal este definit in toate punctele hipersuprafetei prin Z = . Putem construi trei campuri vectoriale tangente , (Ti , Z) = 0, I = 1, 2, 3 si anume : (*)
T1 =
T2 =
T3 =
Se verifica prin calcul direct ca cele trei campuri sunt reciproc ortogonale , adica (Ti , Tj) = 0 oricare ar fi i j ; i , j = 1,2,3 . Deoarece sunt diferite de zero peste tot si reciproc ortogonale , ele sunt liniar independente.
Fie : x1x2x3x4x5x6x7x8 = 1
In acest caz ,Z = .Un camp vectorial tangent se poate obtine impartind variabilele lui R8 in perechi , adica x1 ,x2; x3 ,x4;…x7,x8 si schimband rolul variabilelor unei perechi si semnul unei variabile. Putem lua
T1 =
Impartim variabilele lui R8 in grupe de cate patru si dupa modelul (*) obtinem doua campuri vectoriale tangente ,
T2 = ,
T3 =
Alte patru campuri vectoriale tangente se obtin schimbnad rolul celor patru variabile x1, x2, x3, x4 cu celelalte , x5, x6, x7, x8.
T4 = ,
T5 =
T6 =
T7 =
Prin calcul se verifica (TI, Z) = 0, (Ti, Tj) = 0, i j , j = 1, 2, …, 7, deci este paralelizabila.
2) Fie f : Rn Rm R o functie diferentiabila . Numim pe Rn spatiul starilor si pe Rm spatiul de control . Multimea M Rn Rm a tuturor punctelor critice ale potentialelor x fc(x) , x Rn , c Rm se numeste varietatea catastrofa.
Restrictia proiectiei naturale : Rn Rm Rm la M se noteaza cu si se numeste aplicatia catastrofa . Submultimea S M formata din puncte singulare ( critice) ale aplicatiei catastrofa : M Rm sau , echivalent , formata din punctele critice degenerate ale potentialelor xfc(x), se numeste multimea singularitatilor . Imaginea B = (S) Rm se numeste multimea bifurcatie.
Cele sapte catastrofe elementare.
faldul f(x, a) = x3 + ax ,
intoarcerea f(x, a, b) = ax2 +bx
randunica f(x, a, b, c) =
fluturele f(x, a, b, c, d) =
ombilicul eliptic f(x, y, a, b, c) = x3 – 3xy2 + a(x2 + y2) + bx + cy,
6)ombilicul hiperbolic f(x, y, a, b, c) = x3 +y3 +axy + bx +cy
7)ombilicul parabolic f(x, y, a, b, c ,d) =x2y + y4 + ax2 +by2 + cx + dy
Pentru functia f :R R2 R de valori f(x, a, b) = ax2 +bx sa se expliciteze M, , S si B . Sa se arate ca graficul functiei cat si varietatea catastrofa asociata sunt subvarietati riglate
Solutie f :R R2 R de valori f(x, a, b) = ax2 +bx
Graficul lui f este o hipersuprafata riglata in R4 fiind imaginea hartii , x = u , a =v , b = w , z = R3
Potentialul este functia partiala x fab(x) =
Deoarece fab(x) = x3 +ax +b , punctele critice ale lui f sunt solutiile ecuatiei x3 +ax +b = 0.
2 b
I II II
o a
I II II
Figura 3.1 1
Se stie insa ca natura radacinilor unei asemenea ecuatii este determinata de semnul discriminantului D = 4a3 +27b2 :
daca D 0 dar adica (a, b) apartine regiunii I din fig 3.1, atunci exista trei radacini reale ;
pentru D = 0 dar a 0 sau b 0 , adica pentru (a, b) 1 2 ,eciatia in xare trei radacini reale, una fiind dubla (corespunzator lui 1, cea dubla este cea mai mica ;corespunzator lui 2, cea dubla este cea mai mare );
daca D = 0 si a = b = 0 , atunci x = 0 este o radacina reala tripla ; pentru D 0 , atunci pentru (a, b) apartinand regiunii II din fig 3.1 ecuatia in x are o radacina reala si doua radacini complex conjugate .
Tinand seama de constatam ca punctele critice sunt nedegenerate cu exceptia cazului a = b = 0 in care x = 0 este un punct critic degenerat .
De asemenea, daca tinem seama de semnele derivatelor de ordinul unul si doi , respectiv, ajungem la urmatoarea concluzuie :
pentru (a, b) deci regiunea I , figura 3.1, functia fab are un maxim local printre doua minime globale ;
pentru (a, b) 1 , functia fab are un punct de inflexiune la stanga unui punct de minim global ;
pentru (a, b) 2 functia fab are un punct de inflexiune la dreapta unui punct de minim global ;
pentru a = b = 0 , atunci x = 0 este un punct de minim global pentru f00 ;
pentru (a, b) apartine regiunii II din fig 3.1, fab are un minim global
Varietatea catastrofa are ecuatia fab(x) = 0 , adica M : x3 + ax + b = 0 .
Ea nu este altceva decat imaginea hartii r : x = u , a = v , b = -u3- vu , (u, v) R2. Astfel M este o suprafata riglata in R3.
Expresia in coordonate a aplicatiei catastrofa este :
r (u, v) = (v, -u3-vu).
Ei i se ataseaza matricea Jacobian :
.
Deoarece determinantul acestei matrice este 3u2 + v, rezulta ca punctele parabolei P : 3u2 + v = 0 din planul uOv sunt punctele singulare ale lui r .
Astfel , multimea singularitatilor S este caracterizata prin x = u , a = v, b = -u3 – vu, 3u2 + v = 0,adica S este o cubica rasucita (curba fald) de ecuatii parametrice x = u , a = -3u2, b = 2 u3 .Corespunzator, multimea bifurcatie B are parametrizarea (u, -3u2, 2 u3) = (-3u2, 2 u3).Cu alte cuvinte , B este parabola semicubica de ecuatie carteziana implicita 4a3 + 27b2 = 0 (fig3.1) Pentru aceasta curba originea este un punct de intoarcere (punct singular) de speta intai .
Se dau campurile vectoriale definite respectiv prin
i), x0, z0
ii) , xyz0
iii) , xyz0
iv) , x>0, y>0, z>0
v) , x>0, y>0, z>0.
Sa se determine liniile de camp.
Solutie.
Definitie. Fie X= (X1,…,Xn) un camp vectorial de clasa C1 pe o multime deschisa si conexa DIRn.O curba : I D de clasa C1 cu proprietatea ’(t) = X((t)), oricare ar fi t I , se numeste linie de camp sau curba integrala a campului vectorial X.
i) Sistemul implica ,
Deci pe x 0 , z 0
ii) Din
deducem :
,
.
Rezulta =, , pentru
iii) Sistemul :
,
conduce la
, , ,
adica ,
iv) Din , 0 , 0 , 0
Rezulta :
, ,
Deci
, (0, )
v) Deoarece
,
,
gasim , (0, ).
4) Fie campul vectorial definit prin :
(x, y, z) = .
Sa se determine functiile diferentiabile f: R3 – {(0,0,0)}R cu proprietatea .
Solutie. Ecuatia se transcrie:
Sistemul caracteristic asociat :
conduce la
Rezulta solutia generala .
Deci .
5) Pentru fiecare din urmatoarele campuri vectoriale sa se determine suprafata de camp ce trece prin curba specificata .
i)= (x,y,z)R3 – {(0,0,0)}
C:
ii) =
C: xy = a, z= b
iii) = (x,y,z)R3–{(0,0,0)} . C:
iv)=, (x,y,z)R3–{(0,0,0)}
C:
=
C: x2+y2=9, z = 2.
Solutie.
i)Sistemul diferential al liniilor de camp, implica:
Obtinem liniile de camp
Se considera sistemul algebric
Eliminand pe si gasim conditia de compatibilitate
Eliminand pe si rezulta
ii)
conduc la
si de aici gasim
Suprafata de camp are ecuatia carteziana implicita:
iii)
Rezulta
Ecuatia carteziana implicita a suprafetei de camp este
iv)
Liniile de camp au ecuatiile :.
Suprafata de camp are ecuatia :
v).
Obtinem liniile de camp .
Punem conditia ca sistemul ,sa fie compatibil.
Rezulta relatia .
Eliminand pe si obtinem ecuatia carteziana implicita a suprafetei de camp , .
6) Fie campurile X, Y D1(M) si aplicatia H : F(M) (FM) data de formula H(f) = X(Yf) . Este H camp vectorial ?
Solutie. X si Y fiind campuri vectoriale , Y f F(M) , X(Yf) F(M), deci Hf F(M). Apoi H(i f i) = X (i Y f i) = i X(Y f i) = i H (f i) , deci aplicatia H este liniara relativ la combinatii liniare cu coeficienti in R . Observam ca H(fg) = g H f + f H g + (X g) (Y f) + (X f))Yg)
Aplicatia H este un camp vectorial atunci si numai atunci cand
(X g) (Y f) + (X f)(Yg) = 0 , f ,g F(M) ceea ce are loc atunci si numai atunci cand WX WY = M , unde WX = { p M ; Xp = 0 } , WY = { p M ; Xp = 0 }.
7) Fie M si N doua varietati diferentiabile , : M N o aplicatie diferentiabila si X1, X2 doua campuri vectoriale pe M . Daca exista campurile vectoriale pe N, Y1 , si Y2 cu proprietatea
Yi (f) = Xi(f ) , f F(N) , i = 1, 2, atunci si crosetul are aceeasi proprietate :
((f)) = (f ) , f F(N).
Solutie. Obtinem succesiv :
( f ) = (Y1(Y2 f )) – (Y2(Y1 f )) = X1((Y2f) ) – X2((Y1f) ) = X1(X2(f )) – X2(X1(f )) = (f ) .
8) Fie M si N doua varietati diferentiabile , o aplicatie diferentiabila a lui M pe N si X un camp vectorial pe M. Daca exista un camp vectorial Y pe N cu proprietatea :
(Yf) = X(f ), , f F(N) ,
atunci conditia :
, f F(N) ,
implica : (p) = (q).
Solutie.Presupunem (p) (q).
Conditia , f F(N) implica Y(f)((p))= Y(f)((q)) .
Fie f F(N) si , f ’=Y(f ). Exista h:NIR astfel ca h((p))= si h((p))= , .Atunci :
Y(f ’h) = f ’Y(h) + Y(f ’ )h =f ‘’,
f ‘’((p)) = f ‘((p)) Y(h)((p)) + Y(f ) ((p)) h((p)) .
Deoarece f ‘((p)) = f ‘((q)) ,
Y(h)((p)) = Y(h)((q)) ,
(Yf ‘)((p)) =(Yf ‘)((q))
Rezulta f ‘’((p)) f ‘’((q)) ceea ce contrazice ipoteza.
9) Fie M si N doua varietati diferentiabile , o aplicatie diferentiabila a lui M pe N ,F0 = { f / f F(N) } si X un camp vectorial pe M.
Multimea XF0 este inclusa in F0 daca si numai daca exista un camp vectorialY pe N cu proprietatea ca(Yf) = X(f ), pentru orice f F(N).
SOLUTIE.
Sa presupunem ca exista campul Y D1(N) cu proprietate ceruta. Avem (Yh) = X(h ) si Yh F(N) implica X(h ) F0 .Desi XF0F0.
Reciproc ,daca XF0F0 pentru orice h F(N),avem X(h ) = h’
Si definim aplicatia Y prin forumula Y(h) = h’.
Deoarece este epimorfism, h’ este unic definita .Fie h1, h2 F(N), , IR si X(h1 ) = h1’ , X(h2 ) = h2’ .Atunci :
X[(h1+ h2) ] = X[(h1 ) + ( h2 ] = X(h1 ) + X( h2 ) =( h1’+ h2’) .
Deci Y(h1+ h2) = h1’+ h2’ = Y(h1) + Y( h2) .
Deasemenea
X((h1h2) ) = X((h1 )(h2 )) = (h1 )( h2’ ) +(h1’ )( h2 ) = (h1h2’+ h1’ h2) .
Deci Y(h1h2) = h1h2’+ h1’ h2 = h1Y(h1) + h2Y( h2) .
Din
Y(h1+ h2) = h1’+ h2’ = Y(h1) + Y( h2) .
Y(h1h2) = h1h2’+ h1’ h2 = h1Y(h1) + h2Y( h2) .
Rezulta ca Y este un camp vectorial pe N.
10) Fie M V D(m), N V D(n) cu m n si : M N o aplicatie regulata (dp injectiva ).Fie Y D1(N) astfel incat , pentru orice p M , sa avem Y (p) dp(Mp) .
Sa se arate ca exista exact un camp X D1(M) astfel incat X si Y sa fie campuri – legate
Solutie. Alegem in fiecare punct p din M vectorul tangent Xp astfel incat dp(Xp) = Y (p).
Xp este bine determinat (dp injectiva ).
Sa aratam ca legea de corespondenta pXp Mp indeplineste conditia de diferentiabilitate , adica, sa aratam ca pentru orice functie fF(M), functia (X f)(p) = Xp f este diferentiabila .
Pentru aceasta este suficient sa aratam ca in vecinatatea fiecarui punct componentele legii X sunt functii diferentiabile .
Fie y1,…, yn coordonate locale in vecinatatea punctului q = (p) .Din regularitatea aplicatiei rezulta ca , renumerotand eventual indicii, functiile xi = yi , i = 1,…,m, constituie un sistem de coordonate locale in vecinatatea punctului p , sa zicem , intr-o vecinatate V .
Pentru p1 V si i = 1,…,m, , avem (dp11Xp1) yi = Y(p) yi , deci Xp1(yi ) = (Yyi) (p1) , adica X xi(Yyi) .
11) Fie x =(x1,…xn), f (x) = a1x11 +…+anxnn unde i 0 , iar a1,…,an este o progresie geometrica cu ratia r . Sa se calculeze Dv f(x0) pentru v =() si x0 = (1,…1)
Solutie
Se stie ca Dvf(x0) = (v , f(x0)) .Dar f(x) = implica f(x0) =(a11,…, ann) Deci Dvf(x0) = a1+….+an = a1(rn -1)/(r -1)
Fie r (0,1)(1,); daca a10 (a1 0) , atunci f creste (descreste) pe directia si sensul indicate de vx 0
12). Sa se verifice ca X = U1+ …+Un este un camp vectorial tangent la multimile de nivel constant ale functiei f : IRnIR,
f(x1,…,xn) = .
Solutie.
Trebuie sa verificam relatia DXf = (f,X) = 0 adica = 0
Acest lucru se poate stabili utilizand regulile de derivare a unui determinant sau scriind pe f(x) in foma f(x)=fiind un determinantVandermonde. Totusi calea cea mai scurta este sa observam ca f(x1,…,xn)= (x1-xn, x2-xn ,…,xn-1-xn); atunci , notand u1 = x1 – xn , …,un-1 = xn-1-xn , gasim :
= – =0
13). Fie campurile vectoriale X = x1U1 + … + xnUn si Y = X /. Sa se determine DXY.
Solutie. In baza regulilor de derivare covarianta putem scrie
DXY=DX=X+DXX=X+
+.
Varianta: YU1+…+Un ,DXY = UI si DX= 0
Rezultatul obtinut arata ca X este un camp vectorial tangent la multimile de nivel constant atasate functiilor
fi : IR3\ {0} IR , fi (x) = .
Aceste multimi sunt conuri cu varful in origine . Functiile fi nu sunt functional independente intrucat = 1.
14). Intensitatea campului electric generat de un dipol electric este definita de formula E = unde p este momentul de dipol (camp vectorial paralel), r =xi + yj +zk , r = (x2 + y2 + z2)1/2 iar 0 8,86 10-12F/m este constanta dielectrica a vidului .Campul vectorial E este definit pe IR3 \{0}, simetric in raport cu o axa de directie p.
i)Sa se verifice ca f : IR3\ {0}IR, f(x, y, z) = -(p, r)r3 este potentialul lui 40R
ii)Sa se calculeze rot E si f = divE
Solutie.
i)grad f = -E
ii) 40rot E = rot grad f = ( f) = 0
40divE==3 =
=
Astfel E este un camp irotational si solenoidal; functia f este armonica.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Campurile Vectoriale Ca Operatori Liniari Si Derivari (ID: 149065)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.