CALCUL STOCHASTIC PENTRU FINANTE MONICA ROS IU INTRODUCERE Prin decernarea in 1990 a premiului Nobel in Economie lui Harry Markowitz, William Sharpe… [616202]

CALCUL STOCHASTIC PENTRU FINANTE
MONICA ROS IU
INTRODUCERE
Prin decernarea in 1990 a premiului Nobel in Economie lui Harry Markowitz,
William Sharpe si Merton Miller, Comitetul Premiului Nobel a adus in atent ie
faptul ca in ultimii 40 de ani s-a impus necesitatea unei noi discipline stiint ice
si anume "teoria nant elor". De la aceasta teorie se asteapta sa explice cum
funct ioneaza piet ele nanciare, cum sa le facem mai eciente si cum pot ele
 echilibrate. Ea explica si intensica rolul important pe care il joaca aceste
piet e in alocarea capitalului si reducerea riscului pentru a facilita activitatea
economica. Fara a restrange aplicatiile sale in aspectele practice ale comert ului
si echilibrului, teoria nant elor a devenit mai matematizata, in sensul ca prob-
lemele din nant e au condus la cercetare in matematica.
Teza de doctorat Portofolio Selection a lui Harry Markowitz din 1952 a
pus bazele teoriei matematice a nant elor. Markowitz a dezvoltat o not iune
de medie a veniturilor si covariat ie pentru stocuri care i-a permis sa cuantice
conceptul de "diversicare" intr-o piat a. El a aratat cum sa se calculeze media
veniturilor si variat ia pentru un portofoliu dat si a argumentat ca investitorii ar
trebui sa t ina numai acele portofolii care au o variat ie minima pentru o medie
a veniturilor data. Desi limbajul nanciar implica acum calculul stochastic,
managementul riscului intr-o maniera cuanticabila este tema de baza a teoriei
moderne si a practicii nant elor cantitative.
In 1969, Robert Merton a introdus calculul stochastic in studiul nant elor.
Merton a fost motivat de dorint a de a int elege cum sunt xate pret urile in
piet ele nanciare, aceasta ind intrebarea economica clasica a "echilibrului" si
in articolele lui a folosit instrumentele calculului stochastic pentru a investiga
aceasta problema. In acelasi timp cu studiul lui Merton si sub indrumarea sa,
Fischer Black si Myron Scholes au dezvoltat celebra formula de determinare
a pret ului unei opt iuni. Aceasta lucrare a primit Premiul Nobel in economie
in 1997. Ea da o solutie unei importante probleme practice, aceea de a gasi
un pret  corect pentru o optiune call Europeana ( European call option) (
adica dreptul de a cumpara o parte dintr-un anumit stoc la un pret si intr-
un moment specicat). In perioada 1979-1983, Harrison, Kreps si Pliska au
1

folosit teoria generala a proceselor stochastice continue in timp, pentru a pune
o baza teoretica solida formulei Black-Scholes de determinare a pretului unei
optiuni si ca rezultat au demonstrat cum se stabilesc preturile a numeroase
alte "derivate nanciare".
Multe din dezvoltarile teoretice din nante si-au gasit aplicatii imediate
in pietele nanciare. Pentru a intelege cum sunt aplicate sa vedem care este
rolul institutiilor nanciare. O functie principala a unei institutii nanciare
nationale este sa actioneze ca un intermediar de reducere a riscului printre
clientii angajati in productie.
De exemplu, industria asigurarilor aduna prime de la mai multi clienti
si trebuie sa plateasca numai la cativa care au pierderi. Dar riscul creste in
situatiile in care nu este disponibila asigurarea. De exemplu, ca o protectie im-
potriva cresterii costurilor cu combustibilulul o linie aeriana vrea sa cumpere
o asigurare "security", scrisa sau nu, a carei valoare va creste daca pretul
petrolului va creste. Dar cine vrea sa vanda o astfel de asigurare? Rolul unei
institutii nanciare este sa schiteze, sa modeleze, o astfel de asigurare, sa de-
termine un pret corect pentru ea si sa o vanda liniilor aeriene. Asigurarea
( contractul) astfel vanduta este de obicei "derivata" (adica valoarea sa este
bazata pe valoarea altor asigurari). "Corect" in acest context inseamna ca
institutia nanciara castiga sucient din vanzarea asigurarii, ca sa-i permita
sa investeasca in alte asigurari a caror relatie cu pretul petrolului este ast-
fel incat, daca pretul petrolului creste, rma poate plati obligatia cresuta la
liniile aeriene. O piata "ecienta" este una in care asigurarile care protejeaza
impotriva riscurilor sunt larg raspandite la preturi "corecte".
Formula Black-Scholes de determinare a pretului unei optiuni furnizeaza
pentru prima data o metoda teoretica de evaluare corecta a asigurarilor de
protectie la risc. Daca o banca de investitii ofera o derivata la un pret care
este mai mare decat pretul corect ea poate  sublicitata iar daca ofera asig-
urarea la un pret mai mic dacat pretul corect atunci apare riscul pierderilor
substantiale. Aceasta face banca refractara la a oferi multe derivate nanciare
care ar contribui la ecienta pietei. In particular, banca vrea sa ofere derivate
al caror pret poate  determinat in avans. Mai mult daca banca vinde o ast-
fel de derivata trebuie pusa urmatoarea intrebare: cum poate gestiona riscul
asociat cu noua ei pozitie? Teoria matematica dezvoltata de formula Black-
Scholes furnizeaza atat solutii pentru problema determinarii pretului cat si
pentru problema protectiei. Aceasta teorie este subiectul cursului.
Cursul prezinta cateva aplicatii nanciare in contextul modelului binomial
discret in timp. El trateaza cateva concepte fundamentale, incluzand martin-
galele, procesele Markov, schimbarea masurii si determinarea pretului cu risc
neutru. Cursul prezinta modelul binomial al pretului activelor. Desi aceste
2

modele sunt interesante prin ele insele, aici sunt folosite, in principal, pen-
tru introducerea intr-un cadru simplu a conceptelor necesare pentru teoria
continua in timp.
Capitolul I, "Modelul binomial al pretului nearbitrat", prezinta metoda
nearbitrata de determinare a pretului optiunii intr-un model binomial. Matem-
atica este simpla, insa nu si conceptul profund al pretului cu risc neutru.
Capitolul II, "Teoria probabilitatii pe spatiul monedei", formalizeaza rezul-
tatele capitolului I, folosind notiunile de martingala si proces Markov. In
acest capitol se prezinta formula pretului cu risc neutru pentru derivatele eu-
ropene. Capitolul III, "Preturi", discuta schimbarea masurii asociata cu pretul
derivatei europene cu risc neutru, din nou ca un exercitiu de incalzire pentru
schimbarea masurii in modelele continue in timp. O aplicatie interesanta dez-
voltata aici este a rezolva problema investitiei optime intr-un model binomial.
Ideile din capitolele I si III sunt esentiale pentru intelegerea metodologiei -
nantelor moderne cantitative.
3

1 Modelul binomial al pretului nearbitrat
1.1 Modelul binomial cu o perioada
Modelul binomial de determinare a pretului unui activ este un instrument
puternic pentru a intelege teoria pretului si probabilitatea. In acest capitol,
introducem acest instrument pentru primul scop si al doilea scop il studiem
in capitolul II. In aceasta sectiune consideram cel mai simplu model binomial,
cel cu o singura perioada. Acesta este generalizat in sectiunea urmatoare la
modelul binomial multiperiodic mult mai realistic.
Pentru modelul general cu o perioada din Fig 1.1.1 ( vezi curs), numim
inceputul perioadei momentul zero si sfarsitul perioadei momentul unu. La
momentul zero, avem un stoc al carui pret unitar ( pret pe unitate) il notam
cuS0, o valoare pozitiva cunoscuta la momentul zero. La momentul unu,
pretul unitar va  una din cele doua valori pozitive, pe care le notam cu
S1(H) siS1(T),HsiTinsemnand cap si pajura. Astfel, ne imaginam ca
aruncam o moneda si ceea ce cade determina pretul la momentul unu. Nu
presupunem ca moneda este corecta ( adica probabilitatea sa cada cap nu este
1/2). Presupunem numai ca probabilitatea sa cada cap, pe care o notam cu
p, este strict pozitiva si probabilitatea sa cada pajura, pe care o notam cu
q= 1p, este de asemenea (strict) pozitiva.
Rezultatul aruncarii monedei si deci valoarea pe care o va lua pretul uni-
tar al stocului la momentul unu este cunoscuta la momentul unu dar nu si
la momentul zero. Orice cantitate necunoscuta la momentul zero se va numi
aleatoare deoarece depinde de experimentul aleator al aruncarii monedei. In-
troducem doua numere pozitive
u=S1(H)
S0,d=S1(T)
S0: (1.1.1)
Presupunem ca d<u : dacad>u , putem obtine d<u prin renotarea fetelor
monedei. Daca d=u, pretul stocului la momentul unu nu este aleator si
modelul nu este interesant. Ne referim la uca la factorul superior si ladca
lafactorul inferior . Intuitiv este folositor sa gandim despre uca ind mai
mare decat 1 si despre dca mai mic decat 1 si de aici numele anterioare, dar
matematica pe care o dezvoltam aici nu impune aceste inegalitati.
Introducem o rata a dobanzii r( interest rate). Un dolar investit pe piata
monetara la momentul zero, va produce 1 + rdolari la momentul unu. Re-
ciproc, un dolar imprumutat de pe piata monetara la momentul zero va duce
la un debit de 1 + rla momentul unu. In particular, rata dobanzii pentru im-
prumut este aceeasi ca pentru investitie. Este aproape intotdeauna adevarat
4

car0 si acest caz trebuie retinut. Totusi matematica folosita aici cere
numai car1.
O caracteristica esentiala a unei piete eciente este ca daca o strategie de
comert poate transforma nimic in ceva, atunci poate duce de asemenea la riscul
de a pierde. Altfel, ar  un arbitraj. Mai clar, denim arbitrajul ca ind o
strategie care incepe cu nici un ban, are probabilitatea zero de a pierde bani si
are o probabilitate ( strict) pozitiva de a face bani. Un model matematic care
admite arbitrajul nu poate  folositor pentru analiza. In acest model, bogatia
poate  obtinuta din nimic si intrebarile pe care acest model ar vrea sa le
rezolve ar avea raspunsuri paradoxale. Pietele reale expun uneori arbitrajul
dar acesta este in mod necesar trecator; cand cineva descopera arbitrajul,
comertul ia locuri care il inlocuiesc.
In modelul binomial cu o perioada, pentru a evita arbitrajul, trebuie sa
presupunem:
0<d< 1 +r<u (1.1.2)
Inegalitatea d >0 rezulta din ipoteza de pozitivitate a preturilor unitare ale
stocului. Asa cum vom explica, celelalte doua inegalitati din (1.1.2) rezulta
din absenta arbitrajului. Daca d1 +r, cineva ar putea incepe cu nimic si la
momentul zero ar imprumuta de pe piata monetara cu scopul de a cumpara un
stoc. Chiar in cel mai rau caz, T, al aruncarii monedei, stocul la mometul unu
va valora sucient pentru a plati debitul de pe piata monetara si are sansa de
a valora chiar mai mult, deoarece u>d> 1 +r. Aceasta exprima un arbitraj.
Pe de alta parte, daca u1 +r, cineva ar putea vinde stocul si ar investi
venitul in piata monetara. Chiar in cel mai bun caz, H, costul inlocuirii lui
la momentul unu va  mai mic sau egal cu valoarea investitiei de pe piata
monetara si deoarece d<u1+rexista sansa ca costul inlocuirii stocului sa
e mai mica decat valoarea investitiei pe piata monetara. Aceasta, din nou,
exprima un arbitraj.
Am demonstrat in paragraful precedent ca daca nu exista arbitraj, atunci
(1.1.2) este adevarata. Reciproca este de asemenea adevarata. Daca (1.1.2)
este adevarata, atunci nu exista arbitraj. In general, d=1
usi acesta va  cazul
in multe din exemplele noastre. Totusi, pentru a avea sens modelul binomial,
este sucient sa presupunem (1.1.2) adevarat.
Bineinteles, miscarile pretului stocului sunt mult mai complicate decat cele
indicate de modelul binomial. Insa consideram acest model din trei motive.
Primul, prin acest model, este claricat conceptul de pret arbitrat si relatia lui
cu pretul cu risc neutru. In al doilea rand, acest model este folosit in practica
deoarece, cu un numar sucient de perioade, da o aproximare rezonabil de
buna, maleabila computational, a modelelor continue in timp. In nal, in
5

interiorul modelului binomial, se poate dezvolta teoria mediilor conditionate
si a martingalelor, care este esenta modelelor continue in timp.
Sa consideram o optiune call ( de cumparare) Europeana, care confera pos-
esorului dreptul dar nu si obligatia sa cumpere unitatea de stoc la momentul
unu pentru pretul x (strike)K. Cazul interesant, pe care il vom considera
este candS1(T)< K < S 1(H). Daca obtinem Tla aruncarea monedei, op-
tiunea expira fara prot. Daca obtinem H, optiunea poate  exercitata si da
un prot de S1(H)K. In concluzie, optiunea la momentul unu valoreaza
(S1K)+, unde notatia ( :::)+indica faptul ca luam maximul dintre zero
si expresia dintre paranteze. Folosim obiceiul de la probabilitati de a omite
argumentul variabilei aleatoare S1. Intrebarea fundamentala legata de pretul
optiunii este cat ar valora optiunea la momentul zero, inainte de a sti rezultatul
aruncarii monedei.
Teoria de arbitrare a pretului reproduce optiunea prin comercializarea ei
in pietele monetare si de marfa. Ilustram acest lucru printr-un exemplu si apoi
ne intoarcem la modelul binomial general cu o perioada.
Example 1 Pentru modelul particular cu o perioada din Figura 1.1.2 ( vezi
curs), eS0= 4,u= 2,d=1
2sir=1
4. AtunciS1(H) = 8 siS1(T) = 2 .
Presupunem ca pretul x al optiunii call Europene este K= 5. Presupunem
in continuare ca incepem cu o suma initiala X0= 1:20si cumparam
0=1
2
unitati de stoc la momentul zero. Deoarece pretul unei unitati de stoc este 4, la
momentul zero, trebuie sa folosim suma initiala X0= 1:20si sa imprumutam
in plus 0:80( ne trebuie 41
2= 2). Aceasta ne lasa cu suma X0
0S0=
0:80( adica un debit de 0:80pe piata monetara). La momentul unu, vom
avea un debit de 1pe piata monetara (1+r)(X0
0S0) =1. Pe de alta parte,
la momentul unu, stocul nostru va avea valoarea1
2S1(H) = 4 sau1
2S1(T) = 1 .
In particular, la momentul unu, daca rezultatul aruncarii monedei este H,
valoarea portofoliului de stoc si a contului de pe piata monetara va
X1(H) =1
2S1(H) + (1 +r)(X0
0S0) = 3;
daca rezultatul aruncarii monedei este T, valoarea portofoliului de stoc si a
contului de pe piata monetara va
X1(T) =1
2S1(T) + (1 +r)(X0
0S0) = 0:
In ecare caz, valoarea portofoliului este aceeasi cu valoarea optiunii la mo-
mentul unu, care este (S1(H)5)+= 3 sau(S1(T)5)+= 0. Am reprodus
optiunea prin comercializarea ei pe pietele de marfa si monetara.
6

Suma initiala 1 :20 necesara inceperii portofoliului descris mai sus este pre-
tul fara arbitraj al optiunii la momentul zero. Daca optiunea se poate vinde
cu mai mult, sa zicem cu 1 :21, atunci vanzatorul poate investi excesul de 0 :01
in piata monetara si sa foloseasca suma ramasa pentru a repeta optiunea. La
momentul unu, vanzatorul va putea sa plateasca optiunea, indiferent de rezul-
tatul aruncarii monedei si inca sa aiba 0 :0125 rezultati din investitia in piata
monetara a excesului de 0 :01((1 +r)0:01 = 0:0125). Acesta este un arbitraj,
deoarece vanzatorul optiunii nu are nevoie de bani initial si fara riscul de a
pierde are 0 :0125 la momentul unu. Pe de alta parte, daca cineva ar putea
cumpara optiunea de mai sus cu mai putin de 1 :20, sa zicem 1 :19, atunci ar
putea cumpara optiunea si sa inceapa reversul strategiei de repetare de mai
sus. In particular, vinde o jumatate de stoc, care genereaza un venit de 2.
Foloseste 1:19 pentru a cumpara optiunea, pune 0 :80 pe piata monetara si
intr-un cont separat al pietei monetare pune ceea ce a ramas 0 :01. La momen-
tul unu, daca rezultatul este H, este nevoie de 4 pentru a inlocui jumatate de
stoc. Optiunea cumparata la momentul zero valoreaza 3 si cei 0 :80 investiti
in piata monetara la momentul zero au crescut la 1. La momentul unu, daca
rezultatul este T, este nevoie de 1 pentru a inlocui jumatate de stoc. Optiunea
nu aduce prot, dar cei 0 :80 investiti in piata monetara la momentul zero au
crescut la 1. In ecare caz, cumparatorul optiunii are un venit net 0 la mo-
mentul unu, plus contul separat de pe piata monetara, in care a investit 0 :01
la momentul zero. Din nou, este un arbitraj. Am demonstrat ca exista un
arbitraj daca pretul optiunii la momentul zero nu este 1 :20. Daca la momentul
zero, pretul optiunii este 1 :20, atunci nu exista arbitraj.
Argumentul din exemplul de mai sus depinde de cateva ipoteze. Princi-
palele sunt:
– stocul poate  divizat in parti pentru vanzare sau cumparare,
– rata dobanzii pentru a investi este aceeasi cu rata dobanzii pentru a
imprumuta,
– pretul de cumparare al stocului este acelasi cu pretul de vanzare ( exista
zero bid-ask spread),
– in orice moment, pretul stocului poate lua numai doua valori posibile in
urmatoarea perioada.
Toate aceste ipoteze, exceptand-o pe ultima apar in formula Black-Scholes-
Merton. Prima ipoteza este satisfacuta in practica deoarece determinarea
pretului optiunii si protectia (hedging) implica multe optiuni. Daca am
considerat 100 de optiuni in loc de o optiune, in Exemplul 1.1.1, am  cumparat

0= 50 de unitati de stoc in loc de
0=1
2dintr-o unitate de stoc. A
doua ipoteza este adevarata pentru multe institutii. A treia ipoteza nu este
satisfacuta in practica. Uneori diferenta de pret dintre cerere si oferta poate
7

ignorata deoarece nu au loc multe tranzactii. In alte situatii, aceasta departare
a modelului de realitate devine o problema serioasa. In modelul Black-Scholes-
Merton, a patra ipoteza este inlocuita cu ipoteza ca pretul stocului este o
miscare Browniana geometrica. Din nou, departarea modelului de realitate
poate  semnicativa in unele situatii, dar in alte situatii modelul lucreaza
remarcabil.
In modelul general cu o perioada, denim o derivata nanciara ca ind
un instrument nanciar care plateste la momentul unu, o suma V1(H), daca
rezultaHla aruncarea monedei si plateste o suma posibil diferita V1(T), daca
rezultaT.O optiune call (apel) Europeana este un tip particular de derivata
nanciara. O alta derivata nanciara este o optiune put Europeana (put) care
plateste la momentul unu ( KS1)+,undeKeste o constanta. O a treia
derivata nanciara este un contract forward , a carui valoare la momentul unu
esteS1K.
Pentru a determina pretul V0, la momentul zero, al unei derivate nanciare,
o reproducem ca in Exemplul 1.1.1. Presupunem ca la momentul zero, incepem
cu sumaX0si cumparam
0unitati de stoc, ramanand cu suma X0
0S0.
La momentul unu, valoarea portofoliului nostru de stoc si a contului de pe
piata monetara este
X1=
0S1+ (1 +r)(X0
0S0) = (1 +r)X0+
0(S1(1 +r)S0):
Dorim sa alegem X0si
0astfel incat X1(H) =V1(H) siX1(T) =V1(T). (
V1(H) siV1(T) sunt cantitati date si reprezinta sumele pe care derivata le va
plati in functie de rezultatul aruncarii monedei. La momentul unu, stim ca
sunt doua posibilitati V1(H) siV1(T), insa nu stim care dintre cele doua se va
realiza). Reproducerea derivatei nanciare va impune:
X0+
01
1 +rS1(H)S0
=1
1 +rV1(H); (1.1.3)
X0+
01
1 +rS1(T)S0
=1
1 +rV1(T): (1.1.4)
Un mod, de a rezolva acest sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute, este
de a o inmulti pe prima cu un numar epsi pe a doua cu eq= 1epsi apoi
adunandu-le obtinem:
X0+
01
1 +r[epS1(H) +eqS1(T)]S0
=1
1 +r[epV1(H) +eqV1(T)]:
(1.1.5)
8

Daca alegemepastfel incat
S0=1
1 +r[epS1(H) +eqS1(T)]; (1.1.6)
atunci factorul cu care este inmultit
0in (1.1.5) este 0 si obtinem o formula
simpla pentru X0
X0=1
1 +r[epV1(H) +eqV1(T)]: (1.1.7)
Pentru a determina pe ep, inlocuim (1.1.1) in (1.1.6), atunci S0devine
S0=1
1 +r[epuS 0+ (1ep)dS0] =S0
1 +r[(ud)ep+d]:
Impartind relatia obtinuta prin S0obtinem
ep=1 +rd
udsieq=u1r
ud: (1.1.8)
Putem obtine pe
0, scazand (1.1.4) din (1.1.3) si deducem formula delta –
protectiei ( delta-hedging formula)

0=V1(H)V1(T)
S1(H)S1(T): (1.1.9)
In concluzie, daca un agent incepe cu suma X0data de (1.1.7) si la momentul
zero cumpara
0unitati de stoc, date de (1.1.9), atunci la momentul unu,
daca rezultatul este H, agentul va avea un portofoliu care va valora V1(H) si
daca va rezulta T, portofoliul va valora V1(T). Agentul a protejat o pozitie
short ( vanzare) a derivatei nanciare. Derivata care la momentul unu plateste
V1ar trebui sa aiba la momentul zero pretul
V0=1
1 +r[epV1(H) +eqV1(T)]: (1.1.10)
acest pret permite vamzatorului sa-si protejeze pozitia short. Acest pret nu
introduce un arbitraj, pe cand orice alt pret la momentul zero introduce un
arbitraj.
Desi am determinat pretul fara arbitraj al unei derivate, punand o protectie
pentru o pozitie short, se poate considera si o protectie pentru o pozitie long
( cumparare). Un agent cu o pozitie long detine un activ care are o anumita
valoare si vrea sa xeze o limita pentru a se proteja impotriva scaderii valorii
activului. Acesta este modul in care practicienii gandesc despre protectie.
9

Numarul de unitati din stocul de baza detinut de o pozitie long este opusul
numarului determinat prin formula (1.1.9).
Numereleepsieq, date de (1.1.8), sunt ambele pozitive, asa cum rezulta
din conditia de nearbitraj (1.1.2) si suma lor este 1. Din acest motiv, le
putem considera ca ind probabilitatea sa rezulte H, respectivT, la aruncarea
monedei. Ele se numesc probabilitati cu risc neutru si nu sunt probabilitatile
reale pe care le-am notat cu psiq:In cazul probabilitatilor reale psiq, rata
medie de crestere a valorii stocului este de obicei mai mare decat rata de
crestere a investitiei in piata monetara; altfel nimeni nu si-ar asuma riscul
asociat cu investitia in stoc. Astfel, psiqar trebui sa satisfaca conditia
S0<1
1 +r[epS1(H) +eqS1(T)];
undeepsieqsatisfac (1.1.6). Daca rata medie de crestere a stocului ar  exact
aceeasi cu rata de crestere a investitiei in piata monetara, atunci investitorii
trebuie sa e neutri la risc – adica ei nu cer compensatie nici pentru asumarea
riscului, nici nu sunt dispusi sa plateasca mai mult pentru el. Acesta nu este
cazul si deciepsieqnu pot  probabilitatile reale. Ele sunt numai numere care
ne ajuta la rezolvarea sistemului format din ecuatiile (1.1.3) si (1.1.4), in cele
doua necunoscute X0si
0. De fapt, deoarece ele sunt alese sa faca rata medie
de crestere a stocului sa apara egala cu rata de crestere a contului de pe piata
monetara, ele fac rata medie de crestere a oricarui portofoliu de stoc si cont
de pe piata monetara sa apara egala cu rata de crestere a pietei monetare.
Daca vrem sa construim un portofoliu a carui valoare la momentul unu sa e
V1, atunci valoarea sa la momentul zero trebuie sa e data de (1.1.7) si astfel
rata medie de crestere cu risc neutru este rata de crestere a investitiei pe piata
monetara.
Ecuatia (1.1.10), pentru pretul V0al derivatei, la momentul zero, este for-
mula pretului cu risc neutru pentru modelul binomial cu o perioada. Nu tre-
buie sa ne ingrijoram pentru faptul ca probabilitatile reale nu apar in aceasta
ecuatie. Noi am construit o protectie pentru o pozitie short a derivatei si
aceasta protectie este valabila indiferent daca stocul creste sau scade. Proba-
bilitatile miscarilor de crestere sau scadere sunt irelevante. Ceea ce conteaza
sunt marimile celor doua miscari posibile, adica valorile lui usid. In modelul
binomial, preturile derivatelor nanciare depind de multimea drumurilor posi-
bile ale pretului stocului si nu de probabilitatea acestor drumuri. Analogia
pentru modelele continue in timp este ca preturile derivatei nanciare depind
de volatilitatea stocurilor si nu de ratele medii de crestere.
10

1.2 Modelul binomial multiperiodic
Extindem ideile din Sectiunea 1.1. la perioade multiple. Aruncam o moneda
in mod repetat si de cate ori obtinem H, pretul stocului creste cu factorul u
iar de cate ori obtinem T, pretul stocului se reduce cu factorul d. In plus,
exista un item in piata monetara cu o rata a dobanzii constanta r. Singura
ipoteza pe care o facem despre acesti parametri este conditia nearbitrajului
(1.1.2) ( vezi curs). Fig. 1.2.1. Modelul 3 -periodic general.
Notam cuS0>0 pretul initial al stocului. Notam cu S1(H) =uS0pretul
stocului la momentul unu, daca la prima aruncare rezulta Hsi cuS1(T) =dS0,
daca la prima aruncare rezulta T. Dupa a doua aruncare, pretul poate :
S2(HH) =uS1(H) =u2S0;S2(HT) =dS1(H) =dS0;
S2(TH) =uS1(T) =udS 0;S2(TT) =dS1(T) =d2
0S0:
dupa trei aruncari, exista 8 siruri posibile, desi nu toate dau preturi diferite
ale stocului la momentul trei. Vezi Fig. 1.2.2.
Example 2 Consideram modelul particular cu trei perioade cu S0= 4,u= 2
sid=1
2. "Pomul" binomial al preturilor posibile ale stocului este reprezentat
in Fig. 1.2.2. Fig.1.2.2. Un model trei – periodic particular .
Sa revenim la modelul binomial general cu trei perioade din Fig 1.2.1 si
sa consideram o optiune call Europeana, care confera dreptul de a cumpara o
unitate de stoc pentru Kdolari, la momentul doi. Dupa discutarea acestei
optiuni, vom extinde analiza la o derivata europeana arbitrara care expira la
momentulN2.
La expirare, pentru o optiune call cu pretul xat Ksi momentul in care
expira este doi, se plateste V2= (S2K)+, undeV2siS2depind de prima
si a doua aruncare. Vrem sa determinam pretul fara arbitraj pentru aceasta
optiune la momentul zero. Presupunem ca un agent vinde optiunea la momen-
tul zero pentru V0dolari, unde V0trebuie inca determinat. Apoi, cumpara

0unitati de stoc, investind V0
0S0dolari in piata monetara pentru a
nanta aceasta. (Cantitatea V0
0S0apare negativa, astfel ca agentul de
fapt imprumuta
0S0V0dolari de pe piata monetara). La momentul unu,
agentul are un portofoliu (excluzand pozitia short in optiune) in valoare de
X1=
0S1+ (1 +r)(V0
0S0): (1.2.1)
Desi nu indicam in notatie, S1si deciX1depind de rezultatul aruncarii primei
monede. Astfel, exista de fapt doua ecuatii implicite in (1.2.1):
X1(H) =
0S1(H) + (1 +r)(V0
0S0) (1.2.2)
11

X1(T) =
0S1(T) + (1 +r)(V0
0S0): (1.2.3)
Dupa prima aruncare, agentul are un portofoliu in valoare de X1dolari si
poate reajusta protectia. Presupunem ca decide sa cumpere
1unitati de
stoc, unde este permis ca
1sa depinda de prima aruncare, deoarece agentul
stie rezultatul acestei aruncari atunci cand alege
1. Agentul investeste ceea
ce i-a ramas, X0
1S1, in piata monetara. In urmatoarea perioada, averea
sa va  data de membrul drept al urmatoarei ecuatii si ea trebuie sa e V2.
Deci
V2=
1S2+ (1 +r)(X1
1S1): (1.2.4)
Desi nu indicam in notatie, S2siV2depind de rezultatul primelor doua arun-
cari. Considerand toate cele patru rezultate posibile, putem scrie (1.2.4) ca
patru ecuatii:
V2(HH) =
1(H)S2(HH) + (1 +r)(X1(H)
1(H)S1(H)) (1.2.5)
V2(HT) =
1(H)S2(HT) + (1 +r)(X1(H)
1(H)S1(H)) (1.2.6)
V2(TH) =
1(T)S2(TH) + (1 +r)(X1(T)
1(T)S1(T)) (1.2.7)
V2(TT) =
1(T)S2(TT) + (1 +r)(X1(T)
1(T)S1(T)): (1.2.8)
Avem acum un sistem de 6 ecuatii, doua reprezentand pe (1.2.1) si patru
reprezentand pe (1.2.4), in cele sase necunoscute V0,
0,
1(H),
1(T),
X1(H) siX1(T). Pentru a rezolva acest sistem si deci pentru a determina
pretul fara arbitraj V0al optiunii la momentul zero precum si portofoliul
0,

1(H) si
1(T), incepem cu ultimele doua ecuatii (1.2.7) si (1.2.8). Scazand
ecuatia (1.2.8) din (1.2.7), obtinem formula delta -protectie

1(T) =V2(TH)V2(TT)
S2(TH)S2(TT)(1.2.9)
si inlocuind
1(T) in (1.2.7) si (1.2.8), obtinem
X1(T) =1
1 +r[epV2(TH) +eqV2(TT)] (1.2.10)
undeepsieqsunt probabilitatile cu risc neutru date de (1.1.8). Putem ob-
tine (1.2.10) si inmultind (1.2.7) cu ep, inmultind (1.2.8) cu eqsi adunandu-le.
Deoarece
epS2(TH) +eqS2(TT) = (1 +r)S1(T);
toti termenii care contin pe
1(T) sunt eliminati si ceea ce ramane este relatia
(1.2.10). Ecuatia (1.2.10) da valoarea pe care portofoliul ar trebui sa o aiba la
12

momentul unu daca stocul scade intre momentul zero si unu. Denim aceasta
valoare ca ind pretul optiunii la momentul unu, daca la prima aruncare se
obtineTsi il notam cu V1(T). Deci am demonstrat ca
V1(T) =1
1 +r[epV2(TH) +eqV2(TT)]
care este o alta forma a formulei pretului cu risc neutru . Aceasta formula
este echivalenta formulei (1.1.10), dar plasata dupa o perioada. Primele doua
ecuatii (1.2.5) si (1.2.6), conduc intr-un mod similar, la formula

1(H) =V2(HH)V2(HT)
S2(HH)S2(HT)(1.2.12)
siX1(H) =V1(H), undeV1(H) este pretul optiunii la momentul unu, daca la
prima aruncare se obtine Hsi este denit de
V1(H) =1
1 +r[epV2(HH) +eqV2(HT)]: (1.2.13)
Aceasta este din nou o formula echivalenta cu (1.1.10), plasata dupa o pe-
rioada. In nal introducem valorile X1(H) =V1(H) siX1(T) =V1(T) in cele
doua ecuatii implicite din (1.2.1). Solutia acestor ecuatii pentru
0siV0este
aceeasi ca solutia din (1.1.3) si (1.1.4) si rezulta, din nou, (1.1.9) si (1.1.10).
Recapituland, avem trei procese stochastice (
0;
1), (X0;X1;X2) si (V0;V1;V2).
Prin proces stochastic intelegem un sir de variabile aleatoare indexate in timp.
Aceste cantitati sunt aleatoare deoarece depind de rezultatul aruncarii mon-
edei; intr-adevar indicele ecarei variabile arata numarul de aruncari de care
depinde. Daca incepem cu o avere initiala X0si specicam valorile pentru

0,
1(H) si
1(T), atunci putem calcula valoarea portofoliului care contine
numarul de parti din stoc indicate de aceste specicatii si le putem nanta
imprumutand sau investind in piata monetara atat cat este necesar. Intr-
adevar, valoarea acestui portofoliu este denita recursiv, incepand cu X0, prin
intermediul ecuatiei averii ( wealth equation)
Xn+1=
nSn+1+ (1 +r)(Xn
nSn): (1.2.14)
Aceasta se poate considera o ecuatie conditionata; ea deneste variabile aleatoare
si valorile acestor variabile aleatoare nu se stiu pana nu se cunosc rezultatele
aruncarii monedei. Totusi, aceasta ecuatie, ne permite sa calculam, deja la
momentul zero, valoarea pe care portofoliul o va avea in orice moment succesiv,
pentru orice rezultat al aruncarii monedei.
13

Pentru o derivata care expira la momentul doi, variabila aleatoare V2este
specicata intr-un mod care este dependent de rezultatul aruncarii monedei
(de exemplu, daca rezultatul este !1!2, pretul stocului la momentul doi
esteS2(!1!2) si atunci pentru optiunea call Europeana avem V2(!1!2) =
(S2(!1!2)K)+). Vrem sa determinam o valoare a lui X0si valorile lui
0,

1(H) si
1(T) astfel incat X2obtinut aplicand recursiv (1.2.14) sa satisfaca
S2(!1!2) =V2(!1!2), indiferent de valorile lui !1si!2. Formula de mai sus
ne spune cum sa determinam aceasta valoare. Notam cu V0valoarea lui X0
care ne permite sa obtinem rezultatul de mai sus si denim V1(H) siV1(T) ca
ind valorile lui X1(H) siX1(T) date de (1.2.14), cand X0si
0sunt alese
conform indicatiilor de mai sus. In general, folosim simbolurile
nsiXnpen-
tru a reprezenta numarul de unitati de stoc detinute de portofoliu si respectiv
valorile corespunzatoare ale portofoliului, indiferent de cum sunt alese averea
initialaX0si
n. CandX0si
nsunt alese pentru a reproduce o derivata,
folosim simbolul Vnin loc deXnsi il numim pretul fara arbitraj al derivatei
la momentul n.
Modelul care rezulta dintr-o optiune call Europeana care expira la momen-
tul doi persista indiferent de numarul de perioade si de denitia platii nale
a derivatei nanciare. ( In acest moment, totusi, consideram numai plati care
se fac la un moment specicat; nu se pot plati mai devreme).
THEOREM 3 1.2.2 ( Replica modelului binomial N-periodic) Fie un model
binomialN-periodic, cu 0<d< 1 +r<u si cu
ep=1 +rd
ud,eq=u1r
ud(1.2.15)
FieVNo variabila aleatoare ( o derivata cu plata la momentul N) depinzand
de primeleNaruncari ale monedei !1!2:::!N. Denim recursiv, in timp, sirul
de variabile aleatoare VN1;VN2;:::;V 0prin
Vn(!1!2:::!n) =1
1 +r[epVn+1(!1!2:::!nH) +eqVn+1(!1!2:::!nT)];(1.2.16)
astfel incat, ecare Vndepinde de primele naruncari!1!2:::!n, undenia
valori de la 0laN1. In continuare, denim

n(!1!2:::!n) =Vn+1(!1!2:::!nH)Vn+1(!1!2:::!nT)
Sn+1(!1!2:::!nH)Sn+1(!1!2:::!nT)(1.2.17)
unde, din nou, nia valori de la 0laN1. Daca luam X0=V0si denim,
recursiv in timp, portofoliul valorilor X1,X2,…,XNprin ( 1.2.14), atunci
vom avea
XN(!1!2:::!N) =VN(!1!2:::!N), pentru orice !1!2:::!N. (1.2.18)
14

Denition 4 Pentrun= 1;2;:::;N , variabila aleatoare Vn(!1!2:::!n)din
Teorema 1.2.2 este prin denitie pretul derivatei la momentul ndaca rezul-
tatele la primele aruncari ale monedei sunt !1!2:::!n. Pretul derivatei la mo-
mentul zero este prin denitie V0.
Proof. ( teoremei 1.2.1) Demonstram prin inductie matematica dupa nca
XN(!1!2:::!N) =VN(!1!2:::!N) , pentru orice !1!2:::!N, (1.2.19)
undenia valori de la 0 la N. Cazuln= 0 este adevarat, din denitia lui X0
ca indV0. Vrem sa demonstram cazul n=N.
Pentru pasul de inductie, presupunem ca (1.2.19) este adevarata pentru
unn<N si demonstram ca este adevarata si pentru n+1. Fie!1!2:::!n!n+1
arbitrar xate si presupunem ca ipoteza de inductie ca (1.2.19) este adevarata
pentru cazul particular !1!2:::!npe care l-am xat. Nu stim daca !n+1=H
sau!n+1=T, asa ca consideram ambele cazuri. Mai intai, folosim (1.2.14)
pentru a calcula Xn+1(!1!2:::!nH) si obtinem
Xn+1(!1!2:::!nH) =
n(!1!2:::!n)uSn(!1!2:::!n)
+ (1 +r) (Xn(!1!2:::!n)
n(!1!2:::!n)Sn(!1!2:::!n)):
Pentru a simplica notatia, eliminam argumentul !1!2:::!nsi scriem ecuatia
in forma simpla
Xn+1(H) =
nuSn+ (1 +r) (Xn
nSn): (1.2.20)
Similar, daca eliminam argumentele in (1.2.17), obtinem:

n=Vn+1(H)Vn+1(T)
Sn+1(H)Sn+1(T):
Inlocuind
nin (1.2.20) si folosind ipoteza de inductie (1.2.19) si denitia
(1.2.16) a lui Vn, obtinem
Xn+1(H) = (1 +r)Xn+
nSn(u(1 +r))
= (1 +r)Vn+(Vn+1(H)Vn+1(T)) (u(1 +r))
ud
= (1 +r)Vn+eqVn+1(H)eqVn+1(T)
=epVn+1(H) +eqVn+1(T) +eqVn+1(H)eqVn+1(T)
=Vn+1(H):
15

Reintroducand argumentul !1!2:::!n, putem scrie
Xn+1(!1!2:::!nH) =Vn+1(!1!2:::!nH):
Un argument similar, arata ca
Xn+1(!1!2:::!nT) =Vn+1(!1!2:::!nT):
In consecinta, indiferent daca !n+1=Hsau!n+1=T, avem
Xn+1(!1!2:::!n!n+1) =Vn+1(!1!2:::!n!n+1):
Cum!1!2:::!n!n+1este arbitrar, pasul de inductie este complet.
Modelul binomial multiperiodic din aceasta sectiune se numeste complet
deoarece orice derivata nanciara poate  reprodusa prin comercializarea ei
in piata monetara. Intr-o piata completa, orice derivata are un unic pret care
evita arbitrajul si acesta este pretul din denitia (1.2.3).
Teorema 1.2.2 se aplica asa numitelor optiuni dependente de drum ca si
derivatelor a caror plata depinde numai de pretul nal al stocului. Vom ilustra
cazul studiat printr-un exemplu.
Example 5 Presupunem ca in Figura 1.2.2 ca S0= 4,u= 2 sid=1
2.
Presupunem ca rata dobanzii este r=1
4. Atunciep=eq=1
2:Consideram o
optiune de tipul anterior care plateste
V3=max
0n3SnS3
la momentul trei. Atunci
V3(HHH ) =S3(HHH )S3(HHH ) = 3232 = 0
V3(HHT ) =S2(HH)S3(HHT ) = 168 = 8
V3(HTH ) =S1(H)S3(HTH ) = 88 = 0
V3(HTT ) =S1(H)S3(HTT ) = 82 = 6
V3(THH ) =S3(THH )S3(HHH ) = 88 = 0
V3(THT ) =S2(TH)S3(THT ) = 42 = 2
V3(TTH ) =S0S3(TTH ) = 42 = 2 .
Calculam pretul optiunii in alte momente folosind (1.2.16) si obtinem
V2(HH) =4
51
2V3(HHH ) +1
2V3(HHT )
= 3:20;
16

V2(HT) =4
51
2V3(HTH ) +1
2V3(HTT )
= 2:40;
V2(TH) =4
51
2V3(THH ) +1
2V3(THT )
= 0:80;
V2(TT) =4
51
2V3(TTH ) +1
2V3(TTT )
= 2:20;
si deci
V1(H) =4
51
2V2(HH) +1
2V2(HT)
= 2:24;
V1(T) =4
51
2V2(TH) +1
2V2(TT)
= 1:20
si in nal
V0=4
51
2V1(H) +1
2V1(T)
= 1:376:
Daca un agent vinde optiunea anterioara la momentul zero pentru 1:376, isi
protejeaza pozitia short in optiune cumparand

0=V1(H)V1(T)
S1(H)S1(T)=2:241:20
82= 0:1733
unitati de stoc. Acestea costa 0:6933 dolari, care ii lasa 1:3760:6933 = 0:6827
sa investeasca in piata monetara cu 25% dobanda. La momentul unu va avea
0:8533 in piata monetara. Daca pretul (unitar al) stocului creste la 8, atunci,
la momentul unu, stocul va valora 1:3867 si valoarea totala a portofoliului va
2:24, care este V1(H). Daca pretul (unitar al) stocului scade la 2, atunci,
la momentul unu, stocul va valora 0:3467 si valoarea totala a portofoliului va
1:20, care esteV1(T). Continuand acest proces, agentul poate  sigur ca va
avea un portofoliu care, la momentul unu, va valora V3, indiferent de rezultatul
aruncarii monedei.
1.3 Comentarii computationale
Numarul calculelor necesare pentru implementarea algoritmului determinarii
pretului derivatei dat in Teorema 1.2.2 creste exponential in raport cu numarul
perioadelor. Modelele binomiale folosite in practica deseori au cel putin 100 de
perioade si exista 21001030rezultate posibile pentru sirul de 100 de aruncari
ale monedei. Un algoritm care incepe prin calcularea a 2100valori pentru V100
nu este practic computational.
Algoritmul dat in Teorema 1.2.2 poate  de obicei organizat intr-o maniera
computationala ecienta. Ilustram aceasta cu doua exemple.
17

Example 6 In modelul cu S0= 4,u= 2,d=1
2sir=1
4, consideram
problema determinarii pretului unei optiuni put ( de vanzare) Europeana, cu
pretul xat K= 5, care expira la momentul trei. Probabilitatile cu risc neutru
suntep=eq=1
2. Procesul stocului este aratat in Fig. 1.2.2. Plata optiunii,
data deV3= (5S3)+, poate  sistematizata astfel
V3(HHH ) = 0;V3(HHT ) =V3(HTH ) =V3(THH ) = 0
V3(HTT ) =V3(THT ) =V3(TTH ) = 3;V3(TTT ) = 4:50:
In acest tabel exista 23= 8 date, dar o simplicare este evidenta. Sa notam
cuv3(s)plata optiunii la momentul trei, cand pretul stocului la momentul
trei estes.V3are ca argument, sirul a trei aruncari cu moneda iar v3are
ca argument pretul stocului. La momentul trei, sunt posibile trei preturi ale
stocului si putem sistematiza valorile lui v3, astfel
v3(32) = 0;v3(8) = 0;v3(2) = 3;v3(0:50) = 4:50:
Daca optiunea expira dupa 100 de perioade, argumentul lui V100va avea ca
domeniu cele 2100rezultate posibile ale aruncarii monedei, in timp ce argu-
mentul luiv100va avea ca domeniu cele 101de preturi posibile ale stocului la
momentul 100. Aceasta reprezinta o mare simplicare in complexitatea calcu-
lului.
In conformitate cu Teorema 1.2.2, calculam V2cu formula
V2(!1!2) =2
5[V3(!1!2H) +V3(!1!2T)]: (1.3.1)
Ecuatia (1.3.1) reprezinta patru ecuatii, una pentru ecare alegere posibila a
lui!1!2. Fiev2(s)pretul optiunii put, la momentul doi, daca pretul stocului
la momentul doi este s. In functie de v2, (1.3.1) are urmatoarea forma
v2(s) =2
5
v3(2s) +v3(1
2s)
;
si aceasta reprezinta doar trei ecuatii, una pentru ecare valoare posibila a
pretului stocului la momentul doi. Intr-adevar, putem calcula
v2(16) =2
5[v3(32) +v3(8)] = 0;
v2(4) =2
5[v3(8) +v3(2)] = 1:20;
v2(1) =2
5[v3(2) +v3(0:50)] = 3:
18

Analog,
v1(8) =2
5[v2(16) +v2(4)] = 0:48;
v1(2) =2
5[v2(4) +v2(1)] = 1:68;
undev1(s)reprezinta pretul optiunii put la momentul unu, daca pretul stocului
la momentul unu este s. Pretul optiunii put la momentul zero este
v0(4) =2
5[v1(8) +v1(2)] = 0:864:
In orice moment n= 0;1;2;daca pretul stocului este s,numarul unitatilor de
stoc care ar trebui sa e in portofoliu este
n(s) =vn+1(2s)vn+1(1
2s)
2s1
2s:
Aceasta este formula echivalenta cu (1.2.17).
In Exemplul 1.3.1, pretul optiunii in ecare moment na fost o functie de
pretul stocului Snla acel moment si nu a depins altfel de aruncarile monedei.
Aceasta a permis introducerea functiilor vnlegate de variabilele aleatoare Vn
prin formula Vn=vn(Sn). O simplicare similara este deseori posibila cand
pretul optiunii depinde de drumul parcurs de pretul stocului si nu numai de
pretul curent al stocului. Ilustram acest fapt cu un al doilea exemplu.
Example 7 Consideram optiunea anterioara din Exemplul 1.2.4. In ecare
momentn, pretul optiunii poate  scris ca o functie de pretul stocului Snsi
pretul maxim al stocului Mn=max
0knSk. La momentul trei, exista sase perechi
de valori posibile pentru (S3;M3),
(32;32);(8;16);(8;8);(2;8);(2;4);(0:50;4):
Denimv3(s;m)ca ind plata optiunii la momentul trei daca S3=ssiM3=
m. Avem
v3(32;32) = 0;v3(8;16) = 8;v3(8;8) = 0
v3(2;8) = 6;v3(2;4) = 2;v3(0:50;4) = 3:50:
In general, e vn(s;m)valoarea optiunii la momentul n, dacaSn=ssiMn=
m. Algoritmul din Teorema 1.2.2 poate  rescris in functie de vnastfel
vn(s;m) =2
5
vn+1(2s;m_(2s)) +vn+1(1
2s;m)
;
19

undem_(2s)reprezinta maximul dintre msi2s. Folosind acest algoritm
calculam
v2(16;16) =2
5[v3(32;32) +v3(8;16)] = 3:20;
v2(4;8) =2
5[v3(8;8) +v3(2;8)] = 2:40;
v2(4;4) =2
5[v3(8;8) +v3(2;4)] = 0:80;
v2(1;4) =2
5[v3(2;4) +v3(0:50;4)] = 2:20;
atunci calculam
v1(8;8) =2
5[v2(16;16) +v2(4;8)] = 2:24;
v1(2;4) =2
5[v2(4;4) +v2(1;4)] = 1:20;
si in nal obtinem pretul la momentul zero
v0(4;4) =2
5[v1(8;8) +v2(2;4)] = 1:376:
In ecare moment n= 0;1;2;daca pretul stocului este ssi pretul maxim al
stocului este m, numarul unitatilor de stoc care ar trebui tinute in portofoliu
este
n(s;m) =vn+1(2s;m_(2s))vn+1(1
2s;m)
2s1
2s:
Aceasta este formula echivalenta cu formula (1.2.17).
1.4 Concluzii
Acest capitol considera un model binomial multiperiodic. La ecare perioada
in acest model, aruncam o moneda al carei rezultat determina daca pretul
stocului se schimba cu un factor usau cu un factor d, unde 0< d < u . In
plus, exista un cont pe piata monetara cu dobanda, pe perioada, egala cu r.
Aceasta este dobanda aplicata atat investitiei cat si imprumutului.
Arbitrajul este o strategie de comert care incepe cu zero capital si care face
comert pe piata stocului si pe piata monetara, astfel incat probabilitatea sa
faca bani este pozitiva si nu exista riscul de a pierde bani. Modelul binomial
multiperiodic nu admite arbitraj daca si numai daca
0<d< 1 +r<u: (1.1.2)
20

Vom impune intotdeauna aceasta conditie.
O derivata nanciara plateste la momentul Ncand expira , in functie de
rezultatele aruncarii monedei in primele Nperioade. Metoda, teoriei de deter-
minare a pretului nearbitrat , de asociere a unui pret derivatei poate  inteleasa
in doua moduri. Mai intai, se pune intrebarea, cum se asociaza un pret astfel
incat comercializand derivata , stocul de baza si in piata monetara sa nu apara
un arbitraj. Aceasta conditie de nearbitraj, determina unic pretul, in orice mo-
ment. In al doilea rand, in orice moment nanterior momentului de expirare
N, se poate imagina vanzarea derivatei pentru un pret si folosirea venitului din
acesta vanzare pentru a forma un portofoliu, apoi se tranzactioneaza stocul si
activul de pe piata monetara din momentul nsi pana in momentul de expi-
rareN. Acest portofoliu protejeaza pozitia short a derivatei, daca valoarea sa
la momentul Ncoincide cu plata derivatei, indiferent de rezultatul aruncarii
monedei intre momentele nsiN. Suma pentru care derivata trebuie sa e
vanduta la momentul n, in scopul de a construi aceasta protectie a pozitiei
short este aceeasi cu pretul nearbitrat obtinut cu prima metoda.
Pretul nearbitrat al derivatei care plateste VNla momentul N, poate
calculat recursiv, in timp, cu formula
Vn(!1!2:::!n) =1
1 +r[epVn+1(!1!2:::!nH) +eqVn+1(!1!2:::!nT)] (1.2.16)
Numarul unitatilor de stoc pe care ar trebui sa le aiba un portofoliu care
protejeaza o pozitie scurta a derivatei este dat de

n(!1!2:::!n) =Vn+1(!1!2:::!nH)Vn+1(!1!2:::!nT)
Sn+1(!1!2:::!nH)Sn+1(!1!2:::!nT): (1.2.17)
Numereleepsieq, din formula (1.2.16), sunt probabilitatile cu risc neutru date
de
ep=1 +rd
ud,eq=u1r
ud: (1.2.15)
Aceste probabilitati cu risc neutru sunt pozitive, din (1.1.2) si suma lor este 1.
Ele au proprietatea ca, in orice moment, pretul stocului este media ponderata
cu discount a celor doua preturi posibile de la momentul urmator:
Sn(!1!2:::!n) =1
1 +r[epSn+1(!1!2:::!nH) +eqSn+1(!1!2:::!nT)]:
Cu alte cuvinte, cu probabilitatile de risc neutru, rata medie a venitului pen-
tru stoc este r, aceeasi cu dobanda a venitului din piata monetara. Deci,
daca aceste probabilitati ar guverna aruncarea monedei ( in realitate, nu este
21

aceasta situatie), atunci un agent care face tranzactii cu contul de pe piata
monetara si cu stocul ar avea doua posibilitati si ambele ar determina aceeasi
rata medie a venitului. In consecinta, nu conteaza cat investeste, rata medie
a venitului va  de asemenea r. In particular, daca este momentul N1 si
vrea ca valoarea portofoliului sau sa e VN(!1!2:::!N) la momentul N, atunci
la momentul N1 valoarea portofoliului sau trebuie sa e
1
1 +r[epVN(!1!2:::!nH) +eqVN(!1!2:::!nT)]:
Acesta este membrul drept al lui (1.2.16) cu n=N1 si aplicarea repetata
a acestui argument da (1.2.16) pentru toate valorile lui n.
Explicatia lui (1.2.16) de mai sus a fost data intr-o conditie contrara re-
alitatii si anume faptul ca epsieqguverneaza aruncarea monedei. Ne putem
intreba daca un astfel de argument poate duce la o concluzie reala. Raspunsul
este da, din urmatorul motiv. Cand protejam o pozitie short intr-o derivata,
vrem ca protectia sa ne dea un portofoliu care sa e in concordanta cu plata
derivatei indiferent de aruncarea monedei. Cu alte cuvinte, protectia trebuie
sa lucreze pe toate drumurile parcurse de pretul stocului. Daca un drum este
posibil ( adica are probabilitate pozitiva) vrem ca protectia sa lucreze de-a
lungul acestui drum. Valoarea exacta a probabilitatii este irelevanta. Gasim
aceste protectii rezolvand un sistem de ecuatii de-a lungul drumurilor, un sis-
tem de forma (1.2.2)-(1.2.3), (1.2.5)-(1.2.8). Nu exista probabilitati in acest
sistem. Introducerea probabilitatilor cu risc neutru ne permite sa argumentam
ca mai sus si sa gasim o solutie sistemului. Introducerea oricaror alte proba-
bilitati nu ar permite un astfel de argument, deoarece numai probabilitatile cu
risc neutru ne permit sa sustinem ca rata medie a venitului pentru portofoliul
sau esterindiferent de cum investeste agentul. Probabilitatile cu risc neutru
dau o simplicare a rezolvarii sistemului de ecuatii. Probabilitatile reale nu
sunt de ajutor in rezolvarea sistemului. In cazul probabilitatilor reale rata
medie a venitului pentru un portofoliu depinde de portofoliu si cand incercam
sa rezolvam sistemul de ecuatii nu stim ce portofoliu ar trebui sa folosim.
Alternativ, se poate explica (1.2.16) fara a recurge la orice discutie despre
probabilitate. Aceasta a fost metoda folosita in demonstratia Teoremei 1.2.2.
Numereleepsieqau fost folosite in acea demonstratie, dar nu au fost considerate
ca probabilitati, ci doar ca numere denite de formula (1.2.15).
1.5 Observat ii
Determinarea pretului nearbitrat apare implicit in lucrarile lui Black si Sc-
holes [5], dar prima sa dezvoltare explicita este data de Merton [34], care
22

a inceput cu axioma de nearbitraj si a obtinut un numar surprinzator de
concluzii. Determinarea pretului nearbitrat a fost dezvoltata in intregime in
modele continue in timp de Harrison si Kreps [17] si Harrison si Pliska [18].
Acesti autori au introdus martingalele si determinarea pretului cu risc neutru.
Modelul binomial este datorat lui Cox, Ross, Rubinstein [11]. Modelul bino-
mial este folositor prin el insusi si asa cum Cox si altii au demonstrat, formula
Black -Scholes se paote obtine ca limita a modelului binomial.
1.6 Exercit ii
Exercise 8 1.1. In piata binomiala cu o perioada, din Sec 1.1, presupunem ca
atatHcat siTau probabilitatea pozitiva de a se intampla. Aratati ca conditia
(1.1.2) previne arbitrajul. Cu alte cuvinte, demonstrati ca daca X0= 0si
X1=
0S1+ (1 +r)(X0
0S0);
atunci nu putem avea X1strict pozitiv decat daca exista o probabilitate pozitiva
de a aveaX1si strict negativ si aceasta indiferent de alegerea numarului
0.
Exercise 9 1.2. In cazul Exemplului 1.1.1, presupunem ca optiunea se vinde
cu1:20la momentul zero. Consideram un agent care incepe cu suma X0= 0
si la momentul zero cumpara
0unitati de stoc si 0optiuni. Numerele
0si
0pot  pozitive, negative sau zero. Aceasta lasa agentul cu o suma de 4
0
1:20 0. Daca aceasta valoare este pozitiva, atunci reprezinta investitia in
piata monetara; daca este negativa, reprezinta bani imprumutati de pe piata
monetara. La momentul unu, valoarea portofoliului de stoc, optiuni si active
de pe piata monetara este
X1=
0S1+ 0(S15)+5
4(4
0+ 1:20 0):
Presupunem ca atat Hcat siTau probabilitate pozitiva sa se intample. Aratati
ca daca exista o probabilitate pozitiva ca X1sa e pozitiv, atunci exista o
probabilitate pozitiva ca X1sa e negativ. Cu alte cuvinte, nu exista arbitraj,
cand pretul optiunii la momentul zero este 1:20.
Exercise 10 1.3. In modelul binomial cu o perioada din Sec.1.1, presupunem
ca vrem sa determinam pretul la momentul zero al derivatei V1=S1( adica
derivata plateste pretul stocului). Aceasta poate  privita ca o optiune call
Europeana cu pretul xat K= 0). Care este pretul V0la momentul zero, dat
de formula pretului cu risc neutru (1.1.10)?
23

Exercise 11 1.4. In demonstratia Teoremei 1.2.2, aratati prin inductie ca
Xn+1(!1!2:::!nT) =Vn+1(!1!2:::!nT):
Exercise 12 1.5. In exemplul 1.2.4, am considerat un agent care a vandut
optiunea pentru V0= 1:376 si a cumparat
0= 0:1733 unitati de stocla
momentul zero. La momentul unu, daca stocul creste agentul are un portofoliu
valuat laV1(H) = 2:24:Presupunem ca

1(H) =V2(HH)V2(HT)
S2(HH)S2(HT):
Demonstrati ca, la momentul doi, daca stocul creste, agentul va avea un porto-
foliu valuat la V2(HH) = 3:20, in timp ce, daca stocul scade, portofoliul va
valoraV2(HT) = 2:40. In nal, daca stocul creste in prima perioada si scade
in a doua perioada, presupunem ca

2(HT) =V3(HTH )V3(HTT )
S3(HTH )S3(HTT ):
Demonstrati ca, la momentul trei, daca stocul creste in a treia perioada, agen-
tul va avea un portofoliu valuat la V3(HTH ) = 0 , in timp ce daca stocul scade,
portofoliul sau va valora V3(HTT ) = 6 . Cu alte cuvinte, in aceasta optiune,
agentul si-a protejat pozitia short.
Exercise 13 1.6. ( Protejarea unei pozitii long – o perioada) Consideram o
banca cu o pozitie long in optiunea call Europeana scrisa pe pretul stocului din
Figura 1.1.2. Optiunea expira la momentul unu si are pretul x K= 5. In
Sec. 1.1, am determinat pretul la momentul zero al acestei optiuni ca ind
V0= 1:20. La momentul zero, banca detine aceasta optiune, care blocheaza
capitalulV0= 1:20. Banca vrea sa castige dobanda de 25% pe acest capital
pana la momentul unu ( adica fara sa investeasca mai multi bani si indiferent
de rezultatul aruncarii monedei, banca vrea sa aiba
5
41:20 = 1:50
la momentul unu, dupa colectarea platii pe optiune ( daca este cazul) la mo-
mentul unu). Specicati cum ar trebui sa investeasca agentul bancii in stoc si
piata monetara pentru a obtine capitalul de mai sus.
Exercise 14 1.7 ( Protejarea unei pozitii long – perioade multiple). Consid-
eram o banca cu o pozitie long in optiunea din Exemplul 1.2.4. Banca in-
tentioneaza sa tina aceasta optiune pana la expirare si sa primeasca plata V3.
24

La momentul zero, banca are capitalul V0= 1:376blocat in optiune si vrea sa
castige dobanda de 25% pe acest capital, pana la momentul trei ( adica fara sa
investeasca mai multi bani si indiferent de rezultatul aruncarii monedei, banca
vrea sa aiba5
43
1:376 = 2:6875
la momentul trei, dupa colectarea platii pe optiune). Specicati cum ar trebui
sa investeasca agentul bancii in stoc si piata monetara pentru a obtine capitalul
de mai sus.
Exercise 15 1.8 ( Optiunea asiatica) Consideram modelul trei periodic din
Exemplul 1.2.1, cu S0= 4,u= 2,d=1
2sir=1
4, astfel incat ep=eq=1
2.
Pentrun= 0;1;2;3;denimYn=nP
k=0Skca ind suma preturilor stocului
de la momentul zero la n. Consideram o optiune call Asiatica care expira
la momentul trei si are pretul x K= 4 ( adica plateste la momentul trei1
4Y34
+). Aceasta este ca o cerere Europeana, exceptand faptul ca plata
optiunii este bazata media pretului stocului si nu pe pretul nal al stocului.
Fievn(s;y)pretul acestei optiuni la momentul ndacaSn=ssiYn=y. In
particular,vn(s;y) =1
4y4
+.
(i) Dezvoltati un algoritm pentru calculul recursiv al lui vn.
(ii) Aplicati algoritmul dezvoltat in (i) pentru a calcula v0(4;4), pretul optiunii
asiatice la momentul zero.
(iii) Determinati o formula pentru n(s;y), numarul unitatilor de stoc care ar
trebui sa e in portofoliu la momentul n, dacaSn=ssiYn=y.
Exercise 16 1.9 ( Volatilitatea stochastica, dobanda aleatoare) Fie un model
binomial, astfel incat in ecare moment n1, factorul de crestere un(!1!2:::!n),
factorul de micsorare dn(!1!2:::!n)si dobanda rn(!1!2:::!n)depind densi
de primele naruncari ale monedei !1!2:::!n:Factorul initial de crestere u0,
factorul initial de micsorare d0si dobanda initiala r0, nu sunt aleatoare. Mai
exact, pretul stocului la momentul unu, este dat de
S1(!1) =u0S0, daca!1=H;
d0S0, daca!1=T;
si, pentrun1, pretul stocului la momentul n+ 1este dat de
Sn+1(!1!2:::!n!n+1) =un(!1!2:::!n)Sn(!1!2:::!n), daca!n+1=H;
dn(!1!2:::!n)Sn(!1!2:::!n), daca!n+1=T:
25

Un dolar investit sau imprumutat in piata monetara la momentul zero creste
la o investitie sau debit de 1 +r0la momentul unu si, pentru n1, un
dolar investit sau imprumutat in piata monetara la momentul n, creste la o
investitie sau debit de 1 +rn(!1!2:::!n)la momentul n+ 1. Presupunem ca,
pentru ecare nsi pentru toti !1!2:::!n, are loc conditia de nearbitraj
0<dn(!1!2:::!n)<1 +rn(!1!2:::!n)<un(!1!2:::!n).
De asemenea, presupunem ca 0<d0<1 +r0<u 0.
(i) FieNun numar intreg pozitiv. In modelul deja descris, se da un algoritm
pentru a determina pretul la momentul zero al unei derivate care la momentul
Nplateste o suma aleatoare VNcare depinde de rezultatele primelor Narun-
cari ale monedei.
(ii) Deduceti o formula pentru numarul de unitati de stoc care ar trebui det-
inute in ecare moment n(0nN1) de un portofoliu care reproduce
derivataVN.
(iii) Presupunem ca pretul initial al stocului este S0= 80 , cu ecare "H" pretul
stocului creste cu 10si cu ecare "T" pretul stocului scade cu 10. Cu alte cu-
vinte,S1(H) = 90 ,S1(T) = 70 ,S2(HH) = 100 , etc. Presupunem ca dobanda
este intotdeauna zero. Consideram o optiune Europeana cu pretul x 80, care
expira la momentul cinci. Care este pretul acestei optiuni la momentul zero?
26

1.7 Spatii de probabilitate nite
Un spatiu de probabilitate nit este folosit pentru a modela o situatie in care
se desfasoara un experiment aleator cu un numar nit de rezultate posibile. In
contextul modelului binomial, am aruncat o moneda de un numar nit de ori.
Daca, de exemplu, aruncam moneda de trei ori, multimea rezultatelor posibile
este

=fHHH;HHT;HTH;HTT;THH;THT;TTH;TTT g: (2.1.1)
Presupunem ca la ecare aruncare probabilitatea sa obtinem H( reala sau cu
risc neutru) este psi probabilitatea sa obtinem Testeq= 1p. Presupunem
ca aruncarile sunt independente si astfel probabilitatile elementelor individuale
!( siruri de trei aruncari !=!1!2!3) din
suntt 
Submultimile lui
sunt numite evenimente si acestea pot  descrise atat
in cuvinte cat si cu simboluri. De exemplu, evenimentul
"Prima aruncare este H" =f!2
;!1=Hg
=fHHH;HHT;HTH;HTT g
are, asa cum este indicat, descrieri atat in cuvinte cat si cu simboluri. De-
terminam probabilitatea unui eveniment insumand probabilitatile elementelor
din eveniment. adica,
P(Prima aruncare este H) =P(HHH ) +P(HHT ) +P(HTH ) +P(HTT )
= (p3+p2q) + (p2q+pq2)
=p2(p+q) + (pq(p+q)
=p2+pq
=p(p+q)
=p:
Astfel, matematica este in concordanta cu intuitia noastra.
Cu modelele matematice, este usor sa inlocuim intuitia matematica, insa
aceasta poate duce la probleme. Ar trebui insa sa vericam ca matematica
si intuitia noastra concorda; altfel sau intuitia noastra este gresita sau mod-
elul nostru este inadecvat. Daca intuitia noastra si modelul matematic nu
concorda, ar trebui sa cautam o reconciliere inainte de a continua. In cazul
(2.1.3), construim un modelin care probabilitatea sa obtinem Hla ecare
27

aruncare este p. Propunem sa facem acest lucru denind probabilitatile el-
ementelor din
prin(2.1.2) si apoi denim probabilitatea unui eveniment (
submultime a lui
) ca ind suma probabilitatilor elementelor evenimentului.
Aceste denitii ne conduc la calculul (2.1.3) si este necesar sa facem acest cal-
culpentru a verica raspunsul asteptat. Altfel, ar trebui sa regandim modelul
matematicpentru aruncarea monedei.
Generalizam situatia descrisa mai sus, mai intai permitand lui
sa e
orice multime nita si in al doilea rand permitand ca unele elemente din
sa
aiba probabilitatea zero. Aceste generalizari conduc la urmatoarea denitie.
Denition 17 2.1.1. Un spatiu de probabilitate nit este un spatiu
si o
masura de probabilitate P. Spatiul
este o multime nita, nevida si masura
de probablitate Peste o functie care asociaza ecarui element !din
un
numar din [0;1], astfel incat
X
!2
P(!) = 1: (2.1.4)
Un eveniment este o submultime a lui
si denim probabilitatea unui eveni-
mentAca ind
P(A) =X
!2AP(!): (2.1.5)
Asa cum s-a mentionat mai inainte, acesta este un model pentru un eveni-
ment aleator. Multimea
este multimea tuturor rezultatelor posibile ale
experimentului, P(!) este probabilitatea ca rezultatul particular !sa se in-
tample siP(A) este probabilitatea ca rezultattul care se intampla sa e din
multimeaA. DacaP(A) = 0, atunci rezultatul experimentului nu este din A;
dacaP(A) = 1, atunci rezultatul este sigur din A. Din (2.1.4), rezulta ecuatia
P(
) = 1: (2.1.6)
adica, rezultatul este sigur din
. Deoarece P(!) poate  zero pentru unele
valori ale lui !, permitem sa e in
chiar cateva rezultate ale experimentului
care nu se intampla. Este clar din (2.1.5) ca daca AsiBsunt submultimi
disjuncte ale lui
, atunci
P(A[B) =P(A) +P(B):
1.8 Variabile aleatoare, Ditributii si Medii
Un experiment aleator genereaza, in general, date numerice. Aceasta da
nastere la conceptul de variabila aleatoare.
28

Denition 18 Fie(
;P)un spatiu de probabilitate nit. O variabila aleatoare
este o functie denita pe
cu valori reale.) Uneori permitem ca variabila
aleatoare sa ia valorile +1si1.)
Example 19 (Preturile stocului) Reamintim spatiul
a trei aruncari ale
monedei independente (2.1.1). Ca in Figura 1.2.2 din Capitolul 1, denim
preturile stocului prin formulele
S0(!1!2!3) = 4 , pentru orice !1!2!32
,
S1(!1!2!3) =8, daca!1=H;
2, daca!1=T;
S2(!1!2!3) =8
<
:16, daca!1=!2=H;
4, daca!16=!2;
1;daca!1=!2=T;
S3(!1!2!3) =8
>><
>>:32, daca!1=!2=!3=H;
8, daca exista doi Hsi unT;
2;daca exista un Hsi doiT;
0:50, daca!1=!2=!3=T:
Am scris argumentele lui S0,S1,S2siS3ca!1!2!3, chiar daca unele din
aceste variabile nu depind de toate aruncarile monedei. In particular, S0nu
este de fapt variabila deoarece ia valoarea 4, indiferent de rezultatul aruncarii
monedei; o astfel de variabila se numeste variabila aleatoare degenerata.
Este uzual sa scriem argumentul variabilelor aleatoare ca !, chiar daca
!este un sir !=!1!2!3. Vom folosi aceste doua notatii. Este chiar mai
comun sa scriem variabilele aleatoare fara nici un argument; vom folosi aceasta
practica, scriind de exemplu S3, in loc deS3(!1!2!3) sauS3(!).
Conform Denitiei 2.2.1, o variabila aleatoare este o functie care aplica
un spatiu
pe multimea numerelor reale. Distributia unei variabile aleatoare
este o specicare a probabilitatilor cu care variabila aleatoare ia diferite val-
ori. O variabila aleatoare nu este o distributie si o distributie nu este o vari-
abila aleatoare. Acesta va  un punct important cand vom schimba masura,
deoarece masura va schimba distributiile variabilelor aleatoare dar nu si vari-
abilele aleatoare . Facem clara aceasta distinctie cu urmatorul exemplu.
Example 20 Aruncam o moneda de trei ori, deci multimea rezultatelor posi-
bile este

=fHHH;HHT;HTH;HTT;THH;THT;TTH;TTT g:
29

Denim variabilele aleatoare
X=Numarul total de H,Y=Numarul total de T.
Cu simboluri,
X(HHH ) = 3;
X(HHT ) =X(HTH ) =X(THH ) = 2;
X(HTT ) =X(THT ) =X(TTH ) = 1;
X(TTT ) = 0;
Y(TTT ) = 3;
Y(TTH ) =Y(THT ) =Y(HTT ) = 2
Y(THH ) =Y(HTH ) =Y(HHT ) = 1
Y(HHH ) = 0:
Nu este necesar sa cunoastem probabilitatile diferitelor rezultate pentru a speci-
ca aceste variabile aleatoare. Totusi, daca am specicat o masura de prob-
abilitate pe
, putem determina distributiile lui XsiY. De exemplu, daca
specicam masura de probabilitate ePpentru care probabilitatea sa rezulte Hla
ecare aruncare este1
2si probabilitatea ecarui element din
este1
8, atunci
ePf!2
;X(!) = 0g=ePfTTTg=1
8;
ePf!2
;X(!) = 1g=ePfHTT;THT;TTH g=3
8;
ePf!2
;X(!) = 2g=ePfHHT;HTH;THH g=3
8;
ePf!2
;X(!) = 3g=ePfHHHg=1
8:
Simplicam notatia ePf!2
;X(!) =jgla notatiaePfX=jg. Este folosi-
tor sa reamintim totusi ca notatia ePfX=jgse refera la probabilitatea unei
submultimi a lui
, multimea elementelor !pentru care X(!) =j. PrineP,
probabilitatile ca Xsa ia cele patru valori 0,1,2si3sunt
ePfX= 0g=1
8;ePfX= 1g=3
8;
ePfX= 2g=3
8;ePfX= 3g=1
8:
30

Acest tabel de probabilitati unde Xia toate valorile ei reprezinta distributia lui
XprineP.
Variabila aleatoare Yeste diferita de Xdeoarece numara pe Tsi nu peH.
Totusi, prineP, distributia lui Yeste aceeasi cu distributia lui X:
ePfY= 0g=1
8;ePfY= 1g=3
8;
ePfY= 2g=3
8;ePfY= 3g=1
8:
Ideea este ca variabila aleatoare este o functie denita pe
, in timp ce dis-
tributia sa este un tabel de probabilitati cu care variabila aleatoare ia diferite
valori. O variabila aleatoare nu este o distributie.
Mai mult, presupunem ca alegem o masura de probabilitate Ppentru
astfel incat2
3este probabilitatea sa rezulte Hla ecare aruncare si1
3proba-
bilitatea sa rezulte T. Atunci
PfX= 0g=1
27;PfX= 1g=6
27;
PfX= 2g=12
27;PfX= 3g=8
27:
Variabila aleatoare Xare o distributie prin Pdiferita de cea prin eP. Este
aceeasi variabila aleatoare, care determina numarul total de H, indiferent de
masura de probabilitate folosita pentru a determina distributia sa. Aceasta
este situatia pe care o intalnim mai tarziu cand consideram pretul unui activ
in cazul masurii de probabilitate reala si al masurii de probabilitate cu risc
neutru.
Desi intamplator au aceeasi distributie prin eP, variabilele aleatoare Xsi
Yau diferite distributii prin P. Intr-adevar,
PfY= 0g=8
27;PfY= 1g=12
27;
PfY= 2g=6
27;PfY= 3g=1
27:
Denition 21 FieXo variabila aleatore denita pe un spatiu de probabilitate
nit (
;P). Media ( sau valoarea medie) a lui Xeste prin denitie
EX=X
!2
X(!)P(!):
31

Cand calculam media folosind masura de probabilitate cu risc neutru eP, folosim
notatia
eEX=X
!2
X(!)eP(!):
Variatia lui Xeste
Var(X) =Eh
(XEX)2i
:
Din denitie rezulta ca media este liniara: daca XsiYsunt variabile
aleatoare si c1sic2sunt constante, atunci
E(c1X+c2Y) =c1EX+c2EY:
In particular, daca l(x) =ax+beste o functie liniara de o variabila x (
asibconstante), atunci E[l(X)] =l(EX):Pentru functii convexe rezulta
urmatoarea inegalitate.
THEOREM 22 ( Inegalitatea lui Jensen). Fie Xo variabila aleatoare pe
un spatiu de probabilitate nit si e '(x)o functie convexa de o variabila x.
Atunci
E['(X)]'(EX):
Proof. Demonstram mai intai ca o functie convexa este maximul tuturor
functiilor liniare care se a
a sub ea; adica pentru orice x2R,
'(x) =maxfl(x);leste liniara si l(y)'(y) pentru orice y2Rg:(2.2.1)
Deoarece consideram numai functii liniare care se a
a sub ', este clar ca
'(x)maxfl(x);leste liniara si l(y)'(y) pentru orice y2Rg:
Pentru a demonstra inegalitatea opusa, e xun punct arbitrar din R. Deoarece
'este convexa, exista o functie liniara lcare se a
a sub 'si pentru crae
'(x) =l(x) (leste tangenta in punctul xla gracul functiei '). Functialse
numeste linia suport a lui 'inx( vezi Fig 2.2.1). Deci
'(x)maxfl(x);leste liniara si l(y)'(y) pentru orice y2Rg:
Asadar am demonstrat (2.2.1).
Fielo functie liniara care se a
a sub '. Atunci
E['(X)]E[l(X)] =l(EX):
32

Deoarece inegalitatea este adevarata pentru orice functie liniara lcare se a
a
sub', in membrul drept al inegalitatii putem lua maximul peste toate aceste
functii de tip lsi obtinem
E['(X)]maxfl(EX);leste liniara si l(y)'(y) pentru orice y2Rg='(EX):
O consecinta a inegalitatii lui Jensen este ca
E
X2
(EX)2:
Putem obtine aceasta consecinta a inegalitatii lui Jensen din formula
0E
(XEX)2
=E[X22XEX + (EX)2] =E[X2](EX)2:
1.9 2.3 Medii conditionate
In modelul binomial din Capitolul I, alegem probabilitatile cu risc neutru epsi
eqconform formulei (1.1.8), pe care o repetam aici:
ep=1 +rd
udsieq=u1r
ud: (2.3.1)
Este usor de vericat ca aceste probabilitati satisfac ecuatia
epu+eqd
1 +r= 1. (2.3.2)
In consecinta, in ecare moment nsi pentru orice sir de aruncari !1!2:::!n,
obtinem
Sn(!1!2:::!n) =1
1 +r[epSn+1(!1!2:::!nH) +eqSn+1(!1!2:::!nT)] (2.3.3)
( adica, pretul stocului la momentul neste media ponderata cu discount a
celor doua preturi posibile de la momentul n+ 1, undeepsieqsunt ponderile
folosite). Pentru a simplica notatia, denim
eEn[Sn+1](!1!2:::!n) =epSn+1(!1!2:::!nH) +eqSn+1(!1!2:::!nT) (2.3.4)
deci putem scrie (2.3.3) ca
Sn=1
1 +reEn[Sn+1]; (2.3.5)
33

si numimeEn[Sn+1] media conditionata a lui Sn+1bazata pe informatia de la
momentuln. Media conditionata poate  privita ca o estimare a valorii lui
Sn+1bazata pe cunoasterea primelor naruncari ale monedei.
De exemplu, in Figura 2.3.1 si folosind probabilitatile cu risc neutru ep=
eq=1
2, avemeE1[S2](H) = 10 sieE1[S2](T) = 2:50. Cand scriem simplu eE1[S2]
fara sa specicam daca rezultatul la prima aruncare este HsauT, avem o
cantitate a carei valoare, necunoscuta la momentul zero, va  determinata
prin experimentul aleator al aruncarii monedei. Conform Denitiei 2.2.1, o
astfel de cantitate este o variabila aleatoare.
Mai general, daca Xeste o variabila aleatoare care depinde de primele N
aruncari ale monedei, putem estima pe Xin functie de informatia disponibila
la un moment anterior nN. Urmatoarea denitie generalizeaza (2.3.4).
Denition 23 Fienastfel incat 1nNsi!1!2:::!ndate, xate. Exista
2Nncontinuari posibile !n+1:::!Nale sirului xat !1!2:::!n. Notam cu #H
(!n+1:::!N)numarul de Hdin continuarea !n+1:::!Nsi cu #T(!n+1:::!N)
numarul de T. Denim
eEn[X](!1!2:::!n) =X
!n+1:::!Nep#H(!n+1:::!N)eq#T(!n+1:::!N)X(!1:::!n!n+1:::!N)
(2.3.6)
si numimeEn[X]media conditionata a lui Xbazata pe informatia de la mo-
mentuln.
Media conditionata eEn[X], bazata pe ceea ce stim la momentul zero, este
o variabila aleatoare in sensul ca valoarea sa depinde de primele naruncari
ale monedei, pe care nu le stim pana la momentul n. De exemplu, in Figura
2.3.1 si folosind ep=eq=1
2obtinem
eE1[S3](H) = 12:50 sieE1[S3](T) = 3:125;
decieE1[S3] este o variabila aleatoare.
Denition 24 continuare 2.3.2 Cele doua cazuri extreme de conditionare
sunteE0[X], media conditionata a lui Xbazata pe nici o informatie, pe care o
denim prin
eE0[X] =EX; (2.3.7)
sieEN[X], media conditionata a lui Xbazata pe cunoasterea a toate cele N
aruncari ale monedei, denita prin
eEN[X] =X:
34

Mediile conditionate de mai sus au fost calculate folosind probabilitatile cu
risc neutruepsieq. Aceasta este indicat prin folosirea ein notatiaeEn. Desigur,
mediile conditionate pot  calculate folosind probabilitatile reale psiqsi
acestea for  notate cu En.
Privite ca variabile aleatoare, mediile conditionate au cinci proprietati
fundamentale. Acestea sunt date in urmatoarea teorema. le enuntam pen-
tru mediile conditionate calculate pentru probabilitatile reale si rezultatele
analoage sunt valabile pentru mediile conditionate calculate pentru probabil-
itatile cu risc neutru.
THEOREM 25 2.3.2 ( Proprietati fundamentale ale mediilor conditionate)
FieNun numar intreg pozitiv, XsiYvariabile aleatoare care depind de
primeleNaruncari ale monedei. Fie 0nN. Urmatoarele proprietati
sunt adevarate.
(i)Liniaritatea mediilor conditionate. Pentru orice constante c1sic2,
En[c1X+c2X] =c1En[X] +c2En[X]:
(ii) Se da afara ceea ce este cunoscut. Daca Xdepinde numai de primele n
aruncari ale monedei, atunci
En[XY] =XEn[Y]:
(iii) Conditionare iterata. Daca 0nmN, atunci
En[Em[X]] =En[X]:
In particular, E[Em[X]] =EX:
(iv) Independenta. Daca Xdepinde numai de aruncarile de la n+ 1 laN,
atunci
En[X] =EX:
(v) Inegalitatea lui Jensen conditionata. Daca '(x)este o functie convexa de
variabilax, atunci
En['(X)]'(En[X]):
Demonstratia Teoremei 2.3.2 este in appendix. Ilustram cele patru propri-
etati ale teoremei cu exemple bazate pe Figura 2.3.1 folosind probabilitatile
p=2
3,q=1
3. A cincea proprietate, inegalitatea lui Jensen conditionata,
rezulta din liniaritatea mediilor conditionate la fel cum rezulta inegalitatea
lui Jensen pentru medii din liniaritatea mediilor ( vezi demonstratia Teoremei
2.2.5).
35

Example 26 2.3.3 ( Liniaritatea mediilor conditionate). In Figura 2.3.2,
dacap=2
3siq=1
3, atunci
E1[S2](H) =2
3
16 +1
3
4 = 12;
E1[S3](H) =4
9
32 +2
9
8 +1
9
2 = 18;
si, in consecinta E1[S2](H) +E1[S3](H) = 12 + 18 = 30 :Dar de asemenea
E1[S2+S3](H) =4
9(16 + 32) +2
9(16 + 8) +2
9(4 + 8) +1
9(4 + 2) = 30 :
Un calcul similar arata ca
E1[S2+S3](T) = 7:50 =E1[S2](T) +E1[S3](T):
In concluzie, indiferent de rezultatul primei aruncari a monedei,
E1[S2+S3] =E1[S2] +E1[S3]:
Example 27 2.3.4 ( Se da afara ceea ce este cunoscut). Reamintim din Ex-
emplul 2.3.2 ca
E1[S2](H) =2
3
16 +1
3
4 = 12:
Daca vrem sa estimam produsul S1S2bazat pe informatia de la momentul unu,
putem da afara factorul S1, cum se vede din urmatorul calcul:
E1[S1S2](H) =2
3
128 +1
3
32 = 96 = 8
12 =S1(H)E1[S2](H):
Un calcul similar arata ca
E1[S1S2](T) = 6 =S1(T)E1[S2](T):
In concluzie, indiferent de rezultatul primei aruncari a monedei,
E1[S1S2] = 6 =S1E1[S2]:
Example 28 2.3.5 (Conditionare iterata) Mai intai estimam pe S3bazat pe
informatia de la momentul doi:
E2[S3](HH) =2
3
32 +1
3
8 = 24;
36

E2[S3](HT) =2
3
8 +1
3
2 = 6;
E2[S3](TH) =2
3
8 +1
3
2 = 6;
E2[S3](TT) =2
3
2 +1
3
1
2= 1:50:
Bazata pe informatia de la momentul unu, deducem ca
E1[E2[S3]](H) =2
3E2[S3](HH) +1
3E2[S3](HT)
=2
3
24 +1
3
6 = 18;
E1[E2[S3]](T) =2
3E2[S3](TH) +1
3E2[S3](TT)
=2
3
6 +1
3
1:50 = 4:50:
Exprimand direct pe S3bazat pe informatia de la momentul unu obtinem:
E1[S3](H) =4
9
32 +2
9
8 +2
9
8 +1
9= 18;
E1[S3](T) =4
9
9 +2
9
2 +2
9
2 +1
9
1
2= 4:50:
In concluzie, indiferent de rezultatul primei aruncarii a monedei, obtinem
E1[E2[S3]] =E1[S3]:
Example 29 2.3.6 ( Independenta). RaportulS2
S1ia valorile 2sau1
2, daca
rezultatul celei de a doua aruncari a monedei este H, respectivT. In particular,
S2
S1nu depinde de prima aruncare a monedei. Calculam
E1S2
S1
(H) =2
3S2(HH)
S1(H)+1
3S2(HT)
S1(H)
=2
3
2 +1
3
1
2=3
2;
E1S2
S1
(T) =2
3S2(TH)
S1(T)+1
3S2(TT)
S1(T)
=2
3
2 +1
3
1
2=3
2:
Observam ca E1h
S2
S1i
nu depinde de prima aruncare a monedei ( deci nu este
aleatoare) si de fapt este egala cu
E1S2
S1
=2
3
2 +1
3
1
2=3
2:
37

1.10 Martingale
In modelul binomial din Capitolul 1, alegem probabilitatile cu risc neutru ep
sieqastfel incat in orice moment nsi pentru orice sir de aruncari ale monedei
!1:::!neste adevarata (2.3.3). In functie de notatia, introdusa in Sectiunea 2.3,
pentru media conditionata, acest fapt poate  scris ca (2.3.5). Daca impartim
ambii membri di (2.3.5) prin (1 + r)n, obtinem ecuatia
Sn
(1 +r)n=eEnSn+1
(1 +r)n+1
: (2.4.1)
In acest model, nu conteaza daca scriem termenul1
(1+r)n+1in interiorul sau
exteriorul mediei conditionate deoarece este constant ( vezi Teorema 2.3.2(i)).
In modelele cu dobanda variabila, ar conta cum scriem termenul1
(1+r)n+1; vom
folosi practica scrierii acestui termen in interiorul mediei conditionate deoarece
acesta este modul in care ar  scris in modelele cu dobanda variabila.
Ecuatia (2.4.1) exprima cheia faptului ca in cazul masurii cu risc neutru,
pentru un stoc care nu plateste dividente, cea mai buna estimare, bazata pe in-
formatia de la momentul n;a valorii pretului stocului cu discount la momentul
n+ 1, este pretul stocului cu discount la momentul n. Probabilitatile cu risc
neutru sunt alese pentru a accentua acest fapt. Procesele care satisfac aceasta
conditie se numesc martingale. Dam o denitie formala a martingalei in cazul
probabilitatilor reale psiq; denitia martingalei in cazul probabilitatilor cu
risc neutruepsieqeste obtinuta inlocuind EncueEnin (2.4.2).
Denition 30 2.4.1. Consideram modelul binomial de determinare a pretului
unui activ. Fie M0;M1;:::;M Nun sir de variabile aleatoare, cu ecare Mn
depinzand numai de primele naruncari ale monedei ( si M0constant). Un
astfel de sir de variabile aleatoare se numeste proces stochastic adaptat.
(i)Daca
Mn=En[Mn+1];n= 0;1;:::;N1; (2.4.2)
spunem ca acest proces este o martingala.
(ii) Daca
MnEn[Mn+1];n= 0;1;:::;N1;
spunem ca procesul este o submartingala ( chiar daca poate avea o tend-
inta de crestere);
(iii) Daca
MnEn[Mn+1];n= 0;1;:::;N1;
38

spunem ca procesul este o supermartingala ( chiar daca poate avea o
tendinta de descrestere).
Remark 31 2.4.2. Proprietatea martingalei din (2.4.2) este o conditie "un
pas inainte". Totusi, ea implica o conditie similara pentru orice numar de
pasi. Intr-adevar, daca M0;M1;:::;M Neste o martingala si nN2, atunci
proprietatea martingalei (2.4.2) implica
Mn+1=En+1[Mn+2]:
Aplicand, in ambii membri, media conditionata bazata pe informatia de la
momentulnsi folosind proprietatea conditionarii iterate (iii) din Teorema
2.3.2, obtinem
En[Mn+1] =En[En+1[Mn+2]] =En[Mn+2]:
Membrul stang este Mn, din proprietatea martingalei (2.4.2) si astfel avem
proprietatea "doi pasi inainte"
Mn=En[Mn+2]:
Repetand acest argument, putem arata ca pentru 0nmN,
Mn=En[Mm]: (2.4.3)
O putem numi versiunea " pasi multipli inainte" a proprietatii martingalei.
Remark 32 2.4.3. Media unei martingale este constanta in timp, adica daca
M0;M1;:::;M Neste o martingala, atunci
M0=EM n;n= 0;1;:::;N: (2.4.4)
Intr-adevar, daca M0;M1;:::;M Neste o martingala, putem aplica media am-
bilor membri din (2.4.2), folosind Teorema 2.3.2(iii) si obtinem EM n=E[Mn+1]
pentru orice n. Rezulta ca
EM 0=EM 1=EM 2=:::=EM N1=EM N:
DarM0nu este aleatoare, deci M0=EM 0si rezulta (2.4.4).
Pentru o martingala, egalitatea din (2.4.2) trebuie sa e adevarata pentru
toate sirurile posibile de aruncari ale monedei. Procesul pretului stocului din
Figura 2.3.1 ar  o martingala daca probabilitatea unei cresteri ar  ep=1
3
39

si probabilitatea unei scaderi ar  eq=2
3, deoarece in ecare nod al copacului
din Figura 2.3.2, pretul stocului ar  atunci media ponderata, cu ponderile ep
sieq, a celor doua preturi posibile ale stocului. De exemplu,
S1(T) = 2 =1
3S2(TH) +2
3S2(TT):
O ecuatie similara ar  vericata in toate celelalte noduri ale copacului si deci
procesul stocului este o martingala pentru aceste probabilitati.
O martingala nu are tendinta sa creasca sau sa cada deoarece media val-
orilor sale din perioada urmatoare este intotdeauna valoarea la momentul
curent. Preturile stocului au o tendinta de crestere si intr-adevar ar trebui
sa creasca in medie mai mult decat piata monetara in scopul de a compensa
investitorul pentru riscul asimilat. In Figura 2.3.1 alegerile mai realiste psiq
suntp=2
3siq=1
3. Cu aceste alegeri, obtinem
En[Sn+1] =3
2Sn
in ecare nod al copacului ( adica, in medie, pretul stocului in perioada ur-
matoare este cu 50% mai mare decat pretul curent al stocului). Aceasta rata
de crestere excede dobanda de 25% pe care am folosit-o in acest model. In
particular, cu p=2
3,q=1
3sir=1
4, obtinem1
1+r=4
5, astfel ca pretul cu
discount al stocului la momentul neste4
5
nSn. Calculam
En"4
5n+1
Sn+1#
=4
5n+1
En[Sn+1] =4
5n

4
5
3
2
Sn4
5n
Sn.
Pretul cu discount al stocului in cazul probabilitatilor actuale p=2
3,q=1
3
este o submartingala. Acesta este cazul tipic in pietele reale.
Pe de alta parte, probabilitatile cu risc neutru, sunt alese sa faca pretul
cu discount al stocului sa e o martingala. In Figura 2.3.1 cu ep=eq=1
2, se
poate verica ca ecuatia martingalei
eEn"4
5n+1
Sn+1#
=4
5n
Sn (2.4.5)
este adevarata in ecare nod. Urmatoarea teorema arata ca acest exemplu
este reprezentativ.
THEOREM 33 2.4.4. Consideram modelul binomial general cu 0< d <
1 +r<u . Fie probabilitatile cu risc neutru
ep=1 +rd
udsieq=u1r
ud:
40

In cazul masurii cu risc neutru, pretul cu discount al stocului este o martingala,
adica, ecuatia (2.4.1) este adevarata in orice moment nsi pentru orice sir de
aruncari ale monedei.
Dam doua demonstratii ale acestei teoreme, una elementara care nu de-
pinde de Teorema 2.3.2 si alta mai profunda care depinde de Teorema 2.3.2.
A doua demonstratie va  adaptata mai tarziu la modele continue in timp.
Observati ca in Teorema 2.4.4 stocul nu plateste dividente. Pentru un stoc
care plateste dividente, situatia este descrisa in Exercitiul 2.10.
Proof. Fiensi!1:::!ndate. Atunci
eEnSn+1
(1 +r)n+1
(!1:::!n)
=1
(1 +r)n
1
1 +r[epSn+1(!1!:::! nH) +eqSn+1(!1:::!nT)]
=1
(1 +r)n
1
1 +r[epuSn(!1:::!n) +eqdSn(!1:::!n)]
=Sn(!1:::!n)
(1 +r)n
epu+eqd
1 +r
=Sn(!1:::!n)
(1 +r)n:
Proof. Observam caSn+1
Sndepinde numai de a n+1 – a aruncare a monedei.
Folosind proprietatile indicate din Teorema 2.3.2, calculam
eEnSn+1
(1 +r)n+1
=eEnSn
(1 +r)n+1
Sn+1
Sn
=Sn
(1 +r)neEn1
(1 +r)1
Sn+1
Sn
(se scoate afara ce este cunoscut)
=Sn
(1 +r)n
1
1 +reESn+1
Sn( independenta)
=Sn
(1 +r)n
epu+eqd
1 +r
=Sn
(1 +r)n.
41

Intr-un model binomial cu Naruncari ale monedei, ne imaginam un in-
vestitor care la momentul nare
nunitati de stoc si le pastreaza pana la
momentuln+ 1, cand are
n+1unitati. Reechilibrarea portofoliului la ecare
pas este nantata investind sau imprumutand , cat este necesar, din piata
monetara. " Variabila portofoliului"
npoate depinde de primele naruncari
ale monedei si
n+1poate depinde de primele n+ 1 aruncari ale monedei.
Cu alte cuvinte, procesul portofoliu
0,
1,…,
N1este adaptat, in sensul
denitiei 2.4.1. Daca investitorul incepe cu averea initiala X0siXnreprezinta
averea sa in ecare moment n, atunci evolutia averii sale este guvernata de
ecuatia averii ( 1.2.14) din Capitolul 1, pe care o reamintim aici:
Xn+1=
nSn+1+ (1 +r)(Xn
nSn);n= 0;1;:::;N1: (2.4.6)
Observam ca ecare Xndepinde numai de primele aruncari ale monedei ( adica
procesul averii este adaptat).
Putem investiga rata medie de crestere a averii unui investitor. Daca discu-
tam despre media in cazul probabilitatilor reale, raspunsul depinde de procesul
portofoliu pe care il foloseste. In particular, deoarece in general, un stoc are
o rata medie de crestere mai mare decat piata monetara, investitorul poate
realiza o rata de crestere mai mare decat dobanda cumparand unitati de stoc
( taking long positions in the stock). Intr-adevar, imprumutand de pe piata
monetara, investitorul poate obtine o rata medie de crestere, arbitrar de mare.
Desigur, astfel de de pozitii sunt de asemenea extrem de riscante.
Pe de alta parte, daca vrem sa stim rata medie de crestere a averii investi-
torului in cazul probabilitatilor cu risc neutru, portofoliul pe care il utilizeaza
investitorul este relevant. In cazul probabilitatilor cu risc neutru, rata medie
de crestere a stocului este egala cu dobanda. Indiferent de cum imparte in-
vestitorul averea sa intre stoc si contul de pe piata monetara, el va obtine o
rata medie de crestere egala cu dobanda. Desi unele procese portofoliu sunt
mai riscante decat altele in cazul masurii cu risc neutru, toate au aceeasi rata
medie de crestere. Enuntam acest rezultat ca o teorema, a carei demonstratie
este data intr-un mod pe care il vom generaliza mai tarziu la modelele continue
in timp.
THEOREM 34 2.4.5. Consideram modelul binomial cu Nperioade. Fie

0,
1,…,
N1un proces portofoliu adaptat, X0un numar real si procesul
averiiX1…XNgenerat recursiv de (2.4.6). Atunci procesul averii cu discount
Xn
(1+r)n,n= 0;1;:::;N , este o martingala in cazul masurii cu risc neutru; adica
Xn
(1 +r)n=eEnXn+1
(1 +r)n+1
;n= 0;1;:::;N1: (2.4.7)
42

Proof. Calculam
eEnXn+1
(1 +r)n+1
=eEn
nSn+1
(1 +r)n+1+Xn
nSn
(1 +r)n
=eEn
nSn+1
(1 +r)n+1
+eEnXn
nSn
(1 +r)n
( liniaritatea)
=
neEnSn+1
(1 +r)n+1
+Xn
nSn
(1 +r)n( se scoate afara ce este cunoscut)
=
nSn
(1 +r)n+Xn
nSn
(1 +r)n( teorema 2.4.4)
=Xn
(1 +r)n:
COROLLARY 35 2.4.6. In conditiile din teorema 2.4.5, este adevarata
relatia
eEXn
(1 +r)n=X0;n= 0;1;:::;N: (2.4.8)
Proof. Corolarul rezulta din faptul ca (valoarea asteptata) media martin-
galei nu se schimba in timp si deci trebuie sa e intotdeauna egala cu valorea
la momentul zero a martingalei ( vezi Observatia 2.4.3). Aplicand aceasta
observatieeP-martingaleiXn
(1+r)n,n= 0;1;:::;N , obtinem (2.4.8).
Teorema 2.4.5 si corolarul ei au doua consecinte importante. Prima este
aceea ca nu exista arbitraj in modelul binomial. Daca ar exista un arbitraj,
am putea incepe cu X0si sa gasim un proces portofoliu al carui proces avere
X1;X2;…,XNsatisfaceXN(!)0 pentru orice sir de aruncari !siXN(!)>0
pentru cel putin un sir de aruncari !. Dar atunci eEX 0= 0 sieEXN
(1+r)N>0,
care contrazice Corolarul 2.4.6.
In general, daca putem gasi o masura cu risc neutru intr-un model ( adica
o masura care este in acord cu masura probabilitate reala in raport cu care
preturile cu discount ale tuturor activelor primare sunt martingale), atunci nu
exista arbitraj. Aceasta este numita uneori Teorema fundamentala a pretului
activului . Esenta demonstratiei ei este continuta in urmatorul paragraf : in
cazul masurii cu risc neutru, procesul averii cu discount are o medie constanta,
deci nu poate incepe de la zero si mai tarziu sa existe probabilitatea pozitiva
ca averea sa sa e strict pozitiva decat daca exista o probabilitate pozitiva
ca averea sa e si strict negativa. Prima teorema fundamentala a pretului
43

activelor se va dovedi utila pentru a elimina arbitrajul din modelele ulterioare
siva conduce la conditia de nearbitraj Heath-Jarrow-Morton.
Cealalta consecinta a Teoremei 2.4.5 este urmatoarea versiune a formulei
pretului cu risc neutru. Fie VNo variabila aleatoare ( derivata nanciara care
plateste la momentul N) care depinde de primele Naruncari ale monedei.
Stim din teorema 1.2.2 din Capitolul 1 ca exista o valoare initiala X0si un
proces portofoliu repetat
0,
1,…,
N1care genereaza un proces avere
X1, …,XNcare satisface conditia Xn=VN, indiferent de rezultatul aruncarii
monedei. DeoareceXn
(1+r)n,n= 0;1;:::;N , este o martingala, proprietatea "
pasilor multipli" din Observatia 2.4.2 implica
Xn
(1 +r)n=EnXN
(1 +r)N
=EnVN
(1 +r)N
: (2.4.9)
Conform Denitiei 1.2.3 din Capitolul 1, denim pretul unei derivate nanciare
la momentul nca indXnsi notam acest pret cu Vn. Astfel, (2.4.9) poate
rescris ca
Vn
(1 +r)n=eEnVN
(1 +r)N
(2.4.10)
sau, echivalent,
Vn=eEnVN
(1 +r)Nn
: (2.4.11)
In concluzie, putem enunta urmatoarea teorema.
THEOREM 36 2.4.7 ( Formula pretului cu risc neutru). Consideram un
model binomial N-periodic cu 0< d < 1 +r < u si cu masura probabilitate
cu risc neutru eP. FieVNo variabila aleatoare ( o derivata nanciara care
plateste la momentul N) depinzand de aruncarile monedei. Atunci, pentru n
cuprins intre 0siN, pretul derivatei nanciare la momentul neste dat de
formula pretului cu risc neutru ( 2.4.11). Mai mult, pretul cu discount al
derivatei nanciare este o martingala pentru eP; adica
Vn
(1 +r)n=eEnVn+1
(1 +r)n+1
;n= 0;1;:::;N1: (2.4.12)
Variabila aleatoare Vndenita de (2.4.11) este aceeasi cu variabila aleatoare
Vndenita in Teorema 1.2.2.
Pasii ramasi nedemonstrati in demonstratia Teoremei 2.4.7 sunt pusi in
evidenta in Exercitiul 2.8. Observam ca alegem masura cu risc neutru pentru
a face o martingala pretul stocului cu discount. Conform teoremei 2.4.7, o
44

consecinta a acestui fapt este ca preturile derivatei cu discount pentru masura
cu risc neutru sunt de asemenea martingale.
Pana acum, am discutat numai despre derivate care platesc o singura data.
Multe derivate, ca dividentele pe actiuni sau schimbarile dobanzii, fac o serie
de plati. Pentru o astfel de derivata nanciara exista urmatoarea formula a
pretului si protectiei.
THEOREM 37 2.4.8 ( Evaluarea
uxului de bani) Consideram un model
binomialN-periodic cu 0< d < 1 +r < u si cu masura probabilitate cu risc
neutrueP. FieC0;C1;:::;C Nun sir de variabile aleatoare astfel incat ecare
Cndepinde de !1:::!n. Pretul la momentul nal derivatei nanciare care face
platileCn;:::;C Nla momentele n;:::;N este
Vn=eEn"NX
k=nCk
(1 +r)kn#
;n= 0;1;:::;N: (2.4.13)
Procesul pretului Vn;n= 0;1;:::;N; satisface
Cn(!1:::!n) =Vn(!1:::!n)1
1 +r[epVn+1(!1!2:::!nH) +eqVn+1(!1!2:::!nT)]:
(2.4.14)
Denim

n(!1:::!n) =Vn+1(!1!2:::!nH)Vn+1(!1!2:::!nT)
Sn+1(!1!2:::!nH)Sn+1(!1!2:::!nT); (2.4.15)
candnia valori cuprinse intre 0siN1. Daca consideram X0=V0si denim
recursiv in timp portofoliul valorilor X1;X2;:::;X Nprin
Xn+1=
nSn+1+ (1 +r)(XnCn
nSn); (2.4.16)
atunci
Xn(!1:::!n) =Vn(!1:::!n) (2.4.17)
pentru orice nsi!1:::!n.
In teorema 2.4.8, Vneste valoarea neta la momentul na sirului de plati
Cn;:::;C N. Acesta este chiar suma valorii eEnh
Ck
(1+r)kni
a ecarei plati Ckcare
trebuie facuta la momentele k=n,k=n+ 1, …,k=N. Observam ca este
inclusa si plata la momentul n. Aceasta plata Cndepinde numai de primele n
45

aruncari ale monedei si deci poate  scoasa in afara mediei conditionate eEn,
adica,
Vn=Cn+eEn"NX
k=n+1Ck
(1 +r)kn#
;n= 0;1;:::;N1: (2.4.18)
In cazuln=N, (2.4.13) se reduce la
VN=CN: (2.4.19)
Consideram un agent in pozitia short al carui
ux de bani este reprezentat de
C0;:::;C n( adica un agent care trebuie sa faca plata Cnin ecare moment n).
( Permitem ca aceste plati sa e atat pozitive cat si negative. Daca o plata este
negativa, agentul care este cumparator de fapt primeste bani). Presupunem
ca agentul in pozitia short investeste in stoc si in contul de pe piata monetara,
astfel incat, la momentul n, inainte de a face plata Cn, valoarea portofoliului
sau esteXn. Apoi el face plata Cn. Presupunem ca el ia o pozitie
ndin stoc.
Aceasta va determina ca valoarea portofoliului sau la momentul n+ 1 inainte
de a face plata Cn+1sa eXn+1, data de (2.4.16). Daca acest agent incepe cu
X0=V0si alege pozitiile din stoc
ndate de (2.4.15), atunci este adevarata
(2.4.17) si ,in particular, XN=VN=CN( vezi (2.4.17) si (2.4.19)). Atunci,
la momentul Nel face plata nala CNsi ramane cu 0. El a protejat perfect
pozitia short in
uxul de bani. Aceasta este justicarea faptului ca numim Vn
valoarea la momentul na
uxurilor viitoare de bani, incluzand plata Cncare
trebuie facuta la momentul n.
Proof. ( teoremei 2.4.8): Demonstram (2.4.17) prin inductie dupa n.
Ipoteza de inductie este Xn(!1:::!n) =Vn(!1:::!n) pentrun2f0;1;:::;N1g
si pentru orice !1:::!n. Trebuie sa demonstram ca
Xn+1(!1:::!nH) =Vn+1(!1:::!nH); (2.4.20)
Xn+1(!1:::!nT) =Vn+1(!1:::!nT) (2.4.21)
Demonstram (2.4.20); analog se poate demonstra (2.4.21).
Din (2.4.18) si conditionarea iterata ( Teorema 2.3.2 (iii)), rezulta ca
Vn=Cn+eEn"
1
1 +reEn+1"NX
k=n+1Ck
(1 +r)k(n+1)##
=Cn+eEn1
1 +rVn+1
;
46

unde am folosit (2.4.13) pentru ninlocuit cu n+ 1. Cu alte cuvinte, pentru
orice!1:::!n, rezulta ca
Vn(!1:::!n)Cn(!1:::!n)
=1
1 +r[epVn+1(!1!2:::!nH) +eqVn+1(!1!2:::!nT)]:
Deoarece, in continuare, !1!2:::!nvor  xate, vom elimina aceste simboluri.
De exemplu, ultima ecuatie va  scrisa simplu
VnCn=1
1 +r[epVn+1(H) +eqVn+1(T)]:
Calculam
Xn+1(H) =
nSn+1(H) + (1 +r)(XnCn
nSn)
=Vn+1(H)Vn+1(T)
Sn+1(H)Sn+1(T)(Sn+1(H)(1 +r)Sn)
+(1 +r)(VnCn)
=Vn+1(H)Vn+1(T)
(ud)Sn(uSn(1 +r)Sn)
+epVn+1(H) +eqVn+1(T)
= (Vn+1(H)Vn+1(T))u1r
ud+epVn+1(H) +eqVn+1(T)
= (Vn+1(H)Vn+1(T))eq+epVn+1(H) +eqVn+1(T)
= (ep+eq)Vn+1(H) =Vn+1(H):
1.11 Proecese Markov
In Sectiunea 1.3, am observat cum calculele din algoritmul prezentat in Teo-
rema 1.2.2 de determinare a pretului derivatei nanciare poate  substantial
redus daca ne gandim la informatia necesara pentru a trece de la o perioada
la alta. In Exemplul 1.3.1 din Sectiunea 1.3, pretul stocului a fost relevant
dar nu si drumul urmat pentru a obtine pretul curent.In exemplul 1.3.2 din
Sectiunea 1.3, au fost relevante pretul stocului si valoarea lui maxima pana la
momentul curent. In aceasta sectiune, formalizam procedura de determinare
a ceea ce este relevant si ceea ce nu este relevant.
47

Denition 38 2.5.1. Consideram modelul binomial de determinare a pretului
unui activ. Fie X0;X0;:::;X Nun proces adaptat. Daca, pentru orice ncuprins
intre 0siN1si pentru orice functie f(x), exista o functie g(x)( care depinde
densif) astfel incat
En[f(Xn+1)] =g(Xn); (2.5.1)
spunem ca X0;X0;:::;X Neste un proces Markov.
Prin denitie, En[f(Xn+1)] este variabila; depinde de primele naruncari
ale monedei. Proprietatea Markov arata ca aceasta dependenta de aruncar-
ile monedei se realizeaza prin intermediul lui Xn( adica informatia legata de
aruncarile monedei de care avem nevoie pentru a evalua En[f(Xn+1)] este in-
globata inXn). Nu suntem interesati sa determinam o formula pentru functia
gasa cum suntem interesati de existenta lui g, deoarece numai existenta sa ne
arata ca daca plata derivatei nanciare este aleatoare numai in functie de XN,
atunci exista o versiune a algoritmului de determinare al pretului derivatei in
care nu este necesar sa stocam informatia legata de drum ( vezi Teorema 2.5.8).
In exemplele din aceasta sectiune, vom dezvolta o metoda de determinare a
functieig.
Example 39 2.5.2 ( Pretul stocului). In modelul binomial, pretul stocului
la momentul n+ 1 este dat in functie de pretul stocului la momentul nprin
formula
Sn+1(!1:::!n!n+1) =uSn(!1:::!n);daca!n+1=H;
dSn(!1:::!n);daca!n+1=T:
Deci,
En[f(Sn+1)](!1:::!n) =pf(uSn(!1:::!n)) +qf(dSn(!1:::!n));
si membrul drept depinde de !1:::!nnumai prin intermediul valorii functiei
Sn(!1:::!n). Daca omitem aruncarile monedei !1:::!n, putem rescrie ecuatia
anterioara astfel
En[f(Sn+1)] =g(Sn);
unde functia g(x)de variabila xeste denita de g(x) =pf(ux) +qf(dx):
Aceasta demonstreaza ca procesul pretului stocului este un proces Markov.
Intr-adevar, procesul pretului stocului este Markov in cazul masurii probabili-
tate reale or cu risc neutru. Pentru a determina pretul Vnla momentul nal
derivatei nanciare a carei plata la momentul Neste o functie vNde pretul
48

stoculuiSN( adicaVN=vN(SN)), folosim formula pretului cu risc neutru
(2.4.12), care se reduce la
Vn=1
1 +reEn[Vn+1];n= 0;1;:::;N1:
DarVN=vN(SN)si procesul pretului stocului este Markov, deci
VN1=1
1 +reEN1[vN(SN)] =vN1(SN1)
pentru o functie vN1. Similar,
VN2=1
1 +reEN2[vN1(SN1)] =vN2(SN2)
pentru o functie vN2. In general, Vn=vn(Sn)pentru o functie vn. Mai mult,
putem calcula aceste functii recursiv cu algoritmul
vn(s) =1
1 +r[epvn+1(us) +eqvn+1(ds)];n=N1;N1;:::;0: (2.5.2)
Acest algoritm lucreaza in modelul binomial pentru orice derivata nanciara a
carei plata la momentul Neste o functienumai de pretul stocului la momentul
N. In particular, avem acelasi algoritm pentru optiuni put si optiuni call.
Singura diferenta este in formula pentru vN(s). Pentru call, avem vN(s) =
(sK)+; pentru put, avem vN(s) = (Ks)+.
Proprietatea martingalei este cazul special al lui (2.5.1) cu f(x) =xsi
g(x) =x. Pentru ca un proces sa e Markov, este necesar ca oricarei functii f
sa-i corespunda o functie gastfel incat (2.5.1) sa e adevarata. Nu orice mar-
ringala este markov. pe de alta parte, chiar daca consideram functia f(x) =x,
proprietatea Markov cere numai ca En[Mn+1)] =g(Mn) pentru o functie g;
nu cere ca functia gsa e data de g(x) =x. Nu orice proces Markov este o
martingala. Intr-adevar, exemplul 2.5.2 arata ca pretul stocului este proces
Markov in cazul masurilor reala si cu risc neutru
49