C1 Introducere In Lumea Numerelor [619027]

CAPITOLUL 1

INTRODUCERE ÎN LUMEA NUMERELOR

1.1. NUMERELE
1. Nume de numere
În știință, abrevierea este utilizată pe scară largă pentru numerele mari și mici, prin folosirea
multiplicatorilor zecimali, care conțin diferite puteri de zece. Aceasta s e aplică atât pentru numerele
pozit ive (mai mari decât unitatea), cât și pentru numerele negative (mai mici decât unitatea). Însă, u na
dintre primele provoc ări matematice pe care o întâmpinăm în astronomie , este legată de folosirea n u-
merelor foarte mari , cu care, desigur, nu ne întâlnim și nu le folosim în viața de zi cu zi.
Anumite nume de numere mari, cum ar fi milion, miliard, au r eferiri reale în experiența umană și
sunt des întâlnite în multe contexte. Uneori, numele unor numere mari au fost forțate în ut ilizarea obi ș-
nuită, ca urmare a hiperinflației. Denumirile numerelor mari au o existență fragilă (artificială ) deoarece,
chiar numele bine stabilite, cum ar fi sextilionul , sunt rareori folosite în contextul științei, inclusiv în a s-
tronomie . În cazul în ca re apar numere foarte mari, ele sunt aproape întotdeauna scrise folosind not a-
ția știi nțifică.
Înainte de a începe s ă vorbim despre toate acestea, este nevoie să numi m aceste numere foa rte
mari. Modurile de exprimare a numerelor mari sunt date în Tabelul 1, care arată că există două sist e-
me de notație. Sistemul I este adoptat de țări sau regiuni precum SUA, canadienii englezi și britanicii
moderni, în timp ce sistemul II este utilizat în Europa continentală (inclusiv România), canadienii fra n-
cezi și britanicii clasici. Noi vom folosi sistemul european.
Numerele sunt numite în urma unui model foarte simplu. Încep ând cu familiar ul, "o mie ", și pro-
gresând la numere tot mai mari, pronunția se face după cum vom exemplifica mai jos.

1.000 o mie
1.000.000 un milion
1.000.000.000 un miliard
1.000.000.000.000 un bilion

Se observă că fiecare altă grupă de trei zerouri separate de un spațiu gol (sau uneori de pun ct)
are un nume nou. Este bine de menționat că numerele întregi (mari) se separă în text numai în grupe
de câte trei cifre, în timp ce , pot fi cazuri în care (în anumite lucrări ), partea fracționară poate fi separ a-
te în grupe din 4 sau 5 cifre. De exemplu: 250.100,1946 2558 1773, e ste o notație corectă, care dore ș-
te ec onomisirea de spațiu în paginația unei lucr ări.
Numerele de mai sus, pot fi considerate familiare, fiind cunoscute chiar și de cei neinițiați în a s-
tronomie, dar numele numerelor tot mai mari, continuă cu:

1.000.000.000.000.000 un biliard
1.000.000.000.000.000.000 un trilion
1.000.000.000.000.000.000.000 un triliard
… etc.

După cum puteți constata, f iecare nume corespunde unui num ăr de o mie de ori mai mare decât
cel anteri or. Multiplicarea poate continua mereu ș i denumir ile conven ționale continu ă și ele.
Acum, desigur, exist ă numere între un milion și un miliard , între un miliard și un bilion, etc. Înc e-
pând cu milioanele, ele pot fi:

1.000.000 un milion
65.000.000 șaizeci și cinci de milioane
155.000.000 o sută cinci zeci și cinci de milioane

Se observă că cele șase zerouri ne indică " milioane ", iar cifrele la stânga acestor zerouri (num ă-
rul întreg) , ne spun cât de multe milioane sunt . Acest model se repet ă la miliarde, bilioane și la toate
celela lte numere mai mari .
2. Notarea științifică a numerelor
În timp ce prefixe le metrice ofer ă o modalitate de a scrie cantit ăți mari într -un mod abreviat,
acestea nu sunt potrivite pentru a face calcule cu ele. Notația științifică, uneori numit ă nota ție expone n-
țială, este ajutorul bine venit. În acest sistem de notație , de exemplu: numărul 100 poate f i desemnat
ca 102; numărul 10 .000 ca 104; numărul 1 .980 poate fi scris ca 19,8  102 sau 1,98  103, pe când pe n-
tru numerele negative se scriu : 10-2 pentru 0,01; 5  10-4 pentru 0,000 .5.

Unul din scopurile urmărite în folosirea notației științifice, atunc i când avem un num ăr foarte m a-
re sau foarte mic, ce a fost determinat (să zicem) printr -o măsurare, are ca rezultat scrierea unui n u-
măr, într -un format relativ redus, nearătând totalitatea cifrelor cuprinse. În primul rând, sunt anumite
cazuri când, chia r nu este necesar ă scrierea tuturor cifrelor, fiind vorba doar de mărimi apr oximative .
Dacă pe Pământ se poate determina foarte precis distanța dintre două localități sau di stanța până la
Lună, se poate determina cu precizie mai mică de 1 metru, în cazul d istanțelor enorme până la gal axii,
altfel stă situația. De exemplu, distan ța față de galaxia M33, aflată în constelația Triangulum, este: d =
2.640.000 ani lumină. Aceast ă distan ță necesit ă scrierea mai multor cifre, dar noi nu știm distan ța
exactă ( până la ultimul an de lumin ă). Singurul motiv pentru care se scriu toate cifrele în num ărul de
ani lumin ă, este doar pentru a ne da seama de mărimea num ărului. Zerourile în acest caz , țin locul c i-
frelor necunoscute și doar cele trei cifre din stânga , sunt de f apt cunoscute. Notația științifică păstreaz ă
cifrele cunoscute ca un coeficient (în cazul nostru 2,64) și apoi le înmul țește pe aceasta cu 10 ridicat la
un exponent , care contabilizează câte zerouri urmează după numărul întreg . Exponentul (numit uneori
"puterea zece " sau pur și simplu "puterea ") este î nmulțirea lui 10 cu el însuși de multe ori. De exemplu:

d = 2.640.000 al
= 2,64 × 1 .000.000 al
= 2,64 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 al
= 2,64 × 106 al

Părțile numărului, pe care noi îl știm precis, sunt coeficientul "2,64" și exponent ul, iar numărul
care dă d imensiunea este "6" în 106. Altfel spus, trebuie s ă mutăm punctul zecimal cu 6 locuri după
ultima cifră (spre stânga ) pentru a converti num ărul în coeficient.
Dar s ă presupunem c ă în loc de ani lumin ă, distan ța trebuie scris ă în metri . În acest caz luând
valoarea rotunjită a unui an lumină, egală cu 1015 m, atunci distan ța pân ă la galaxia din Triangulum
este:

d = 2 6.400.000.000.000.000.000.000 m = 2, 64 x 1022 m.

Acum este lesne de înțeles de ce not ația științifică este o soluție bună de a scurta scrierea și
pronunțare a numerelor foarte mari . Vă închipuiți cât de grea este pronunția numărului de mai sus (de
fapt este vorba de 2,64 triliarde de metri ), iar introducerea unui număr așa de mare de zerou ri într -un
calculator de buzunar, ar fi imposibilă. Acum este mai simplu să pronunțăm "2,64 ori zece la puterea
22"
Acela și lucru se face pentru un num ăr foarte mic , pentru care luăm ca exemplu, u nitatea atom ică
de masă :
mu = 1,660 539 × 10−27 kg.

În scr is, fără nota ție științifică este un num ăr greu de scris, de forma :

mu = 0,000.000.000.000.000.000.000.000.001.660.539 kg.

Încă o dată, este evident avantajul de a scrie acest fel de numere, folosind nota ția științifică. În
acest caz, coeficientul este 1,660 539 (știm precis, mai multe cifre decât știm distan ța pân ă la galaxia
din Triangulum ) și exponentul este -27. Un exponent negativ este ace lași ca și împ ărțirea la 10 , de
multe ori. Altfel spus, trebuie s ă mutăm punctul zecimal cu 27 de locuri după vir gulă (spre dreapta)
pentru a co nverti num ărul în coeficient.
Reguli le aritmetice de baz ă pentru adunare, sc ădere, înmul țire și împ ărțire se aplic ă și numer e-
lor scrise în nota ție științifică.
3. Prefixele metrice și abrevieri
Sistemul metric a fost intr odus în 1795 cu mai multe prefixe metrice, din care, cu toate acestea,
au fost adoptate numai șase ca prefixe la a 11 -a ediție a Conferin ței General e de M ăsuri și Greut ăți
(CGPM ) din 1960, în timp ce myria (104), dubla și demi , nu au fost adoptate. În 1873, micro și mega au
fost recomandate de către Asocia ția Brita nică pentru Progresul Științei.
În 1991 , a 19 -a Adunare generală a CGPM , a extins lista de prefixe, atât cu numere suficient de
mari cât și suficient de mici, pentru ca aceasta să cuprind ă toate utiliz ările științei și tehnologiei mode r-
ne. Unele prefixe, kilo – (K), mega – (M) și giga – (G) au intrat în limbajul de zi cu zi și sunt exemple ale
celor pe care le vom î ntâlni destul de des în astronomie.
În afar ă de milion (vezi S istemul I) , cuvintele pentru mu ltiplii se termin ă cu -illion și sunt toate d e-
rivate prin ad ăugarea la această terminați e, de prefixe : bi-, tri-, etc., derivat e din limba latin ă. În ceea
ce privește submultiplii, după cum se observă, cuvintele (în limba română) se termină cu -ime și la f el
ca pentru multiplii, se adaugă în față prefixele: bi-, tri-, etc. Desigur, această listă este extinsă în amb e-
le sensuri existând și alte nume de numere pentru multipli și submultipli , asupra căr ora nu vom insista.

Prefixele metrice nu pot fi utilizate în locul numerelor , ci mai degrab ă în locul unităților de m ăsu-
ră. De exemplu, nu putem înlocui într-o propozi ție, "miliarde " cu "giga". Putem însă să scriem în loc de
"un mil iard de wați" ca un giga -watt sau mai simplu, 1 G W.
Prefixele1 cu ajutorul c ărora se formeaz ă multiplii și submultiplii unit ăților de m ăsură din Sistemul
Interna țional de Unități (SI) sunt:

Prefix Facto r Scrierea engleză
Nume Simbol 10n Număr Sistemul I Sistemul II
yotta – Y 1024 1.000.000.000.000.000.000.000.000 septilion quadrilion
zetta – Z 1021 1.000.000.000.000.000.000.000 sextilion triliard
exa- E 1018 1.000.000.000.000.000.000 quintilion trilion
peta- P 1015 1.000.000.000.000.000 quadrilion biliard
tera- T 1012 1.000.000.000.000 trilion bilion
giga- G 109 1.000.000.000 bilion miliard
mega – M 106 1.000.000 milion
kilo- k 103 1.000 mie
hecto – h 102 100 sută
deca da 10 10 zece
100 1 unu
deci- d 10−1 0,1 zecime
centi – c 10−2 0,01 sutime
mili- m 10−3 0,001 miime
micro – μ 10−6 0,000.001 milionime
nano – n 10−9 0,000.000.001 bilionime o mie de mili onimi
pico- p 10−12 0,000.000.000.001 trilionime bilionime
femto – f 10−15 0,000.000.000.000.001 quadrilionime o mie de bilionimi
atto- a 10−18 0,000.000.000.000.000.001 quintilio ime trilionime
zepto – z 10−21 0,000.000.000.000.000.000.001 sextilion ime o mie de trilionimi
yocto – y 10−24 0,000.000.000.000.000.000.000.001 septilion ime quadrilioni me

2.2. UNITĂȚI DE MĂSURA PENTRU UNGHIURI ȘI ARCE DE CERCURI
În geometrie, un unghi este diferența dintre direcții sau altfel spus, reprezintă alăturarea a d o-
uă semidrepte având originea comună.
Cuvântul "unghi" provine din latină, "angulus" însemnând col ț. Originea semidreptelor se
nume ște vârful unghiului, iar cele două semidrepte sunt laturile lui. Unghiurile sunt de obicei măs urate
în grade.
După măsur a lui, un unghi poate îndeplin ii unul din următoarele cazuri :
– unghiul care măs oară între 0 și 90 de grade se nume ște unghi ascuțit (Fig. 1.a, unghiul a);
– unghiu l care măs oară între 90 și 180 de grade se nume ște unghi obtuz (Fig. 1.a, unghiul b);
– unghiul de 180 de grade (a căr ui laturi sunt una în prelungirea celeilalte) se nume ște alungit
(Fig. 1.a, unghiul c);
– unghiul de 90 de grade (a căr ui laturi sunt perpendiculare) se nume ște drept (Fig. 1.b);
– unghiul cu mai mult de 180 de grade se nume ște ungh i reflex (Fig. 1.c).

Fig. 1. a) b) c)

Un arc care măsoară un unghi oarecare po ate fi exprimat ori prin numărul de grade, minute și
secunde, luând în acest caz ca unitate arcul de un grad din același cer, ori prin lungimea lui, luân d de
acea stă dată ca unitate pentru măsurarea lungimilor , raza cercului.

1 BIPM specifică douăzeci de prefixe pentru Sistemul Interna țional de Unit ăți (SI).

1. Gradul sexazecimal sau simp lu spus, gradul (°) este fracțiunea 1/90 din unghiul drept. Min u-
tul sexazecimal (') este fracțiunea 1/60 din gradul sexazecimal și mai departe, secunda sexazecimală
(") este fracțiunea 1/60 din minutul sexazecimal deci, numără 60 de s ecunde de arc.
În aces t fel de unități, valoarea unui unghi sau arc de cerc se scrie sub forma:

25°48'37'',12

Trebuie știut că un cerc complet este echivalent cu 360 de grade. Așa cum am amintit mai sus,
un unghi drept este egal cu 90 de grade ; unghiurile dintr -un triunghi ec hilateral (cu cele trei laturi eg ale)
sunt de 60 de grade. Dacă avem scris 49° î nseamnă 49 de grade.
Pentru a transforma un unghi scris în forma dată mai sus , în grade și fracțiuni zecimale de grad,
trebuie efectuat ă următoare a operație :

25° + (48'  60 + 37",12)/3600 = 25°,810311

Pe meridianul terestru, în unități sexazecimale, un grad măsurat la ecuator are o lungime de
aproximativ 111 km; minutul echivalează cu mila marină, care are o lungime de 1,852 km, iar secunda
măso ară lungimea a două noduri mar ine adică , circa 32 m.
2. Gradul centezimal , numit și centigrad, este notat cu G și este fracțiunea 1/100 dintr -un ca-
dran al unui cerc, este folosit în topografie, geodezie și geografie. Așa cum se poate deduce, gradu l
centezimal conține 100 de minute cent ezimale (`), iar minutul centezimal este la rândul lui î mpărțit în
100 de secunde ce ntezimal e („).
În acest fel de unități, valoarea unui unghi, se scrie sub fo rma:

25G48`37„,12 sau 25 G483712,

fiind necesar ă folosirea a două cifre zecimale pentru repr ezentarea fiecărui submultiplu al gradului ce n-
tezimal.
Pe meridianul terestru, în unități centezimale, un grad este egal cu 100 km; minutul cu 100 m, iar
secunda cu 10 m.
În astronomie, s -a păstrat folosirea gradelor sexazecimale, prin simplul fapt că face foarte simplă
corespondența cu măsurarea timp ului.
Un avantaj în folosi rea centigradului este aceea că se poate determina cu mare ușurință un
unghi drept. De exemplu : dacă dire cția compas este de 149 de grade, în sens trigonometric, unghiul
drept (spre st ânga ) va fi 249 grade, iar unghiul drept spre dreapta va avea valoarea de 49. Di ametral
opus direcției de 149 de grade, vom avea valoarea 349 de grade.
Fiecărui cadran al unui cerc, fiindu -i atribuit un interval de 100 centigrade , aceasta facilitează
recun oașterea celor patru cadr ane.
Corespondența dintre valorile unghiuril or sexazecimale (în stânga) și cele centezimale (în drea p-
ta) este redată mai jos:

0° = 000 grad e
90° = 100 grade
180° = 200 grade
270° = 300 grade
360° = 400 grade

Dezavantajul în folosirea gradului centezimal este acela că unghiuril e comune de 15° și 30° în
geometri e, ar trebui să fie exprimate în frac țiuni, astfel: 2163 grad e și respectiv 1333grade . În mod s i-
milar, o oră este fracțiune a 1/24 de zi, Pămâ ntul rotindu -se în jurul axei cu 15°/oră sau 2163 grade.
3. Radianul este unghiul care, având vârful în centrul unui cerc, intersectează pe circumferința
acestuia, un arc a cărui lungime este egală cu lungimea raze i cercului.
Raportul dintre circumferința și diametrul său se notează cu π și este exprimat în radiani prin
fracția zecimală infinită:

π = 3,1415 9265 359… radiani

Deci lungimea unei circumferințe cuprinde 2π = 6,2831 8530 718… radiani .
Exprimat în radia ni, un unghi drept măsoară π/2, două unghiuri drepte deci 180° , se scrie π, iar
270° măso ară 32π.

Fig. 1.2. Distanța sferică și polii sf erici Relațiile de mai jos fac cunoscută corespondența dintre v alorile unui unghi exprimat în grade
sexazecimale și radiani.
1° este echival ent cu 180π = 0,0174 5329 252 radiani,
1' este echivalent cu 10 0.80π = 0,000 2 9088 8209 radiani,
1'' este echivalent cu 648 0.00π = 0,0000 0 484 8137 radiani,

Punând problema invers, se obține:

1 radian este echivalent cu 180π = 57°,2957 7951,
1 radian este echivalent cu 10 0.80π = 3437',7467 7079,
1 radian este echivalent cu 648 0.00π = 206 264 ",806 247.

Este greșit să se scrie  902π. Corect se scrie 2π sau 90°.
Numai unghiurile exprimate în radiani pot fi ridicate la putere fără alte precauții speciale.

1.3. NOȚIUNI ELEMENTARE DE TRIGONOMETRIE SFERICĂ
În secțiunea de față se fac refer iri sumare asupra câtorva elemente de geometrie pe sferă și se
vor stabili relații m atematice simple între elementele triunghiului sferic. Asimilarea acestor cunoștințe
va face mai ușoară înțelegerea unor probl eme din capitolele ce vor urma.
1. Geometria s ferică se ocupă cu studiul figurilor așezate pe o sferă. Sfera este definită ca fiind
suprafața tuturor punctelor la ac eeași distanță de un punct fix. Acest punct se numește centru sferei și
distanța constantă este raza sferei. Spre deosebire de geom etria plană, liniilor le corespund arce de
cercuri, deoarece intersecția sferei cu un plan este un cerc. Sunt doua feluri de cercuri: ce rcuri mari,
când planul de secțiune trece prin centrul sferei și cercuri mici, al căror plan nu trece prin centr ul sferei
(Fig. 1.2).
Un cerc mare este determinat prin două puncte cu condiția ca aces tea să nu fie extremit ățile
unui diametru al sferei. Într-adevăr dacă pe o sferă sunt două puncte oarecare A și B, împr eună cu
centrul O deter mină un p lan, a cărui intersecție cu sf era este un cerc mare și numai unul. Diam etrul
sferei, perpendicular pe planul cercului mare se nu mește axa cercului, iar extremitățile P și P' ale ace s-
tui diametru sunt polii cerc ului PP'. Totodată c ercul mare QABQ' se numește ecuator al polilor.
Măsura unui arc de cerc mic se poate exprima cu ajut orul măsurii arcului de cerc mare. În acest
scop, fie cercul mare prin punctele A, B și polii P, P'. Se consideră un cerc mic cu centrul în C și par alel
cu cercul mare AB, cercurile mari PA'AP' și PB'BP' taie pe cercul mic arcul A'B'. Se obține

' 'A B = CA' · A'CB'
AB = OA · AOB

dar A'CB' = AOB având laturi le paralele


' ' 'A B CA
OA AB ,

' 'A B = ABcos δ.

Dacă d ouă cercuri mari se intersectează în două puncte
diametral opuse , ele vor d iviza un cerc mare , în două semice r-
curi: PAP' și PB'P'. Pe figură s e observă că distanța sferică a
două puncte A și B, care nu sunt diametral opuse este cel mai
mic arc dintre arcele unui cerc mare, arc ce are ca extr emități

Fig. 1.3. Triunghiul sferic și triedrul
corespunz ător punctele A și B (Fig. 1.2).
Fusul sferic este cea mai simplă figură de pe o sferă și este porțiune a cuprinsă între două arce
de cercuri mari care au un diametru comun . În cazul nostru, este suprafaț a sferică c uprinsă între
PAA'P' și PBB'P' (Fig. 1.2).
Unghiul α, a două cercuri mari, este unghiul format de tangentele t și u, duse în unul din punct e-
le lor comune (Fig. 1.2 ).
Unghiul sferic APB, exprimat în grade sau în radiani, este egal cu: unghiul diedru al planel or
PAP' și PBP' ; unghiul plan al diedrului, anume AOB; arcul AB corespunzător de cerc mare cu polul în
vârful unghiului, exprimat în grade.
2. Trigonometria sferică
Probleme și metodele de rezol vare a triunghiurilor sferice fac obiectul trigonometriei sferice. Se
numește triunghi sferic figura de pe sferă formată din trei arce de cercuri mari neconcurente (Fig. 1.3) .
Elementele triunghiu lui sferic sunt: trei unghiuri și trei laturi , fiecare din ele fiind mai mici de 180° . Latu-
rile se exprimă prin unități de arc, deoarece raza sferei fiind arbi trară se poate considera egală cu un i-
tatea. În acest mod, având pentru toate elementele un singur siste m de unități de măsură, se realize a-
ză o omogenitate a formulelor, neîntâlnită în trigonometria plană. Se înțelege prin latură a triungh iului
sferic arcul AB ≤ 180° la fel și pentru unghi.
În figura 1.3, triedrul corespunzător triunghiului sferic
ABC, este triedrul obținut prin unirea v ârfurilor acestuia cu
centrul O al sferei. O latură a triunghiului este un arc de
cerc mare cuprins între două mu chii, deci măsura lui este
măsura feței corespunzătoare a triedrului. Un unghi al
triunghi ului, are ca măsură u nghiul diedru corespunzător al
triedrului. Rezultă că o latură este mai mică decât suma
celorlalte două, iar suma laturilor este mai mică de 360°,
adică a + b + c <360 °. În cazul egalității, tri edrul se reduce
la un plan. Dacă un unghi este 90° triun ghiul va fi
dreptunghic; dacă o latură este 90° triu nghiul va fi
rectilater. Sunt triunghiuri tridrep tunghice și trirectilatere;
spre exemplu triun ghiul format de ecuator și două
meridiane perpend iculare (de ecuator, meridianul de 0° și
cel de 90°).
Proprietăț ile de bază ale unui triunghi sferic sunt:
a) suma laturilor unui triunghi sferic este cuprinsă
între 0° și 360°:
0° < a + b + c < 360°, respectiv 0 < a + b + c < 2π.
b) suma a două laturi este mai mare decât a treia. Diferența a două laturi este mai mică decât a
treia:
a < b + c etc.
c > a – b etc.
c) mărimea E prin care suma unghiurilor depășește 180° se numește exces sferic .
2E = A + B + C – 180° (1.1

Deci A + B + C = 180° + 2 E este o pro prietate caracteristică triunghiului sferic.
d) suma unghiurilor într -un triunghi sferic este cuprinsă între 180° și 540°:
180° < A + B + C < 540°, respectiv π < A + B + C < 3π
e) suma a două unghiuri este mai mică decât al treilea mărit cu 180°.
A + B – C < 180°
f) latura mai mare se opune unghiului mai mare: dacă a > b, atunci A > B.
3. Tipuri de triunghiuri sferice
Triunghiurile sferice pot fi isoscele, echilaterale, dreptunghice
sau oarecare.
Suprafa ța unei sfere este astfel împărțită în opt p ărți, fiecare
mărginit ă de c âte trei arce de cerc . În situația în care arcele laturilor
sunt mai mici de 180°, atunci triunghiul se numește triunghi oblic
(sau eulerian ), Fig. 1.4.
Triunghiul sferic dreptunghic poate avea unul , două sau trei
unghiuri drepte, în timp ce t riunghiul sf eric oarecare poate avea
unul, două sau trei u nghiuri obtuze.

Fig. 1.4. Triunghi oblic

Fig. 1.6. Pentru a ob ține formule de triangulare pe ntru
triunghiul sferic ABC, coordonatele sferice ψ, θ, ψ ' și
θ' din vârful C , sunt exprimate în termeni de laturi și
unghiuri ale triunghiului . Triunghiul sf eric rectilater are cel puțin o latură este egală cu un sfert de cerc π/2 (Fig. 1.5. b ).
Dacă avem triunghiul sferic ABC pentru care considerăm vârfurile ca fiind poli și descriem, cu
raze sferice egale cu π/2, polarele unui vârf, atunci aceste polare se vor întretăia două câte două, r e-
zultând un nou triunghi sferic A'B'C', numit triunghi polar (Fig. 1.5. a ).

Fig. 1.5. a) Triunghiul polar b) Triunghi ul tridreptunghic trirectil ater

4. Formulele fundamentale ale triunghiului sferic
Să presupunem că avem două sisteme rectangulare de coordonate Oxyz și Ox'y'z' (Fig. 1.6),
astfel încât sistemul x'y'z' este ob ținut din sistemul xyz prin rotirea acestuia în jurul axei x cu un unghi
χ.
Poziția punct ului C de pe sferă este unic determinat de două unghiuri. Unghiul ψ este măs urat în
sens direct ( invers acelor de ceasornic ) de la axa x pozitivă a lungul planului xy; celălalt unghi θ, ex-
primă distan ța unghiular ă față de planul xy.
În mod analog, putem defini unghiurile ψ' și θ', care dau pozi ția punctului C în cadrul sistemului
de coordonate x'y'z'. Coordona tele rectangulare
ale punctului C ca func ții ale acestor ungh iuri
sunt:

x = cos ψ cos θ, x' = cos ψ' cos θ',
y = sin ψ cos θ, y' = sin ψ' cos θ',
z = sin θ, z' = sin θ'. (1.1

Din formulele de rotație a arcelor în jurul
axei x, dă unghiul χ. De asemenea, știm c ă x', y',
z' sunt ob ținute coordonatele din x, y, z, printr -o
rotație în planul yz, de unde obținem:

x' = x,
y' = y cos χ + z sin χ,
z' = – y sin χ + z cos χ. (1.2

Prin substituirea expresiil or (1.1) în ( 1.2),
în coordonate rectangulare , avem :

cos ψ cos θ = cos ψ cos θ,
sin ψ cos θ = sin ψ cos θ cos χ + sin θ sin χ,
sin θ = –sin ψ cos θ sin χ + sin θ cos χ. (1.3

De fapt, aceste ecua ții sunt suficiente pentru toate transform ările de coordonate cu care ne p u-
tem întâlni. Cu toate acestea, vom prezenta în continuare , ecua țiile obișnuite pentru triunghiuri sf erice.
În figura (1 .6), primul sistem de coordonate, are axa z îndreptată în direcția OA, în timp ce al doilea
sistem , are axa z' în direcția OB. Unghiurile ψ, θ, ψ', θ' și χ, pot fi exprimate în funcție de unghi urile și
laturi le triunghi ului sferic ABC:

ψ = A – 90°, θ = 90° – b,
ψ' = 90° – B, θ' = 90° – a, χ = c. (1.4

Înlocuind (1.4) în (1.3) se obțin ecuațiile pentru celelalte laturi și unghiuri prin permut ări ciclice
ale lat urilor a, b, c, a unghiuril or A, B, C și schimbând semnul la cos și păstrând semnele la sin.

Formulele cosinusului (pentr u laturi)2
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B, (1.5
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C.

Formulele sinusului
sin a sin B = sin b sin A,
sin c sin A = sin a sin C, (1.6
sin b sin C = sin c sin B,

care pot fi scrie și sub forma

sin sin sin sin sin sin, ,sin sin sin sin sin sina A b B c C
b B c C a A   . (1.7

Formulele cosinusului în triunghiul polar
Analog formulelor cosinusului pentru unghiurile triunghiului sferic, cele pentru laturi sunt :

cos A = –cos B cos C + sin B sin C cos a,
cos A = –cos C cos A + sin C sin A cos b, (1.8
cos A = –cos A cos B + sin A sin B cos c.

Formul ele cu patru elemente (două laturi și două unghiuri ):
cos c cos A = sin c cot b – cot B sin A,
cos a cos B = sin a cot c – cot C sin B,
cos b cos A = sin b cot c – cot C sin A, , (1.9
cos b cos C = sin b cot a – cot A sin C,
cos c cos B = sin c cot a – cot A sin B,
cos a cos C = sin a cot b – cot B sin C.

Formul ele cu cinci elemente (trei laturi și dou ă unghi uri):
sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A,
sin a cos C = cos c sin b – sin c cos c cos A,
sin b cos A = cos a sin c – sin a cos c cos B, (1.10
sin b cos C = cos c sin a – sin c cos c cos B,
sin c cos A = cos a sin b – sin a cos c cos C,
sin c cos B = cos b sin a – sin b cos c cos C.

Formulele triunghiului sferic dreptunghic
cos a = cos b cos c, sin sinsin , sin ,sin sinb cB Ca a 

cos a = c ot B cot C, cot tancos , cos ,cot tanc bB Ca a 

cos tancos , tan ,sin sinB bb BC c 
cot tancos , tan .sin sinC cc CB b  (1.11
Pentru a putea rezolva diverse probleme , trebuie să cunoaștem definirea diferitelor părți și el e-
mente ale unei zone de pe sferă, pentru care se dau mai jos o serie de fo rmule.
Suprafața sferei de rază R este:

2 Prima relație se numește formula cosinusurilor pentru triunghiul sferic. Regula cosinusului este identitatea fu n-
damentală a trigonometriei sferice ; toate celelalte identită ți, inclusiv regula sinusului, poate fi d erivată din regula
cosinus ului.

Fig. 1.7. Triunghi ul sferic dreptunghic

S = 4πR2. (1.12

Suprafața z onei sferic e (Fig. 1.2) cuprinsă între un pol și o paralelă (calotă polară) sau între d o-
uă paralele este:
S = 4πRh. (1.13

Suprafața triunghiului sferic :
2
ABCS ER , respectiv 2
,180ABCπRS E (1.14

unde R – raza sferei pe a cărei suprafață este format triu nghiul sferic ABC și E – exces ul sferic.
Distanța unghiulară d° între două puncte pe suprafața unei sf ere care au coordonatele L1 , δ1 și
L2 , δ2, este măsurată prin arcul de cerc mare pe care se a flă sau prin unghiul care se subîntinde la
centru sferei; unghiul d° este unghiul la centru și este dat de legea cos inusului:

cos d° = sin δ1 sin δ2 + cos δ1 cos δ2 cos ( L1 – L2). (1.15

Distanța liniară d , pe suprafața sferei de rază R este:

57 ,295d Rd, (1.16

1.4. INTERPOLAREA
Interpolarea este un procedeu care permite estimarea valorilor dintre date (puncte) cunoscute,
cu numeroase aplicații î n majoritatea științ elor exacte.
Fie o funcție oarecare (necunoscuta) f(x) = y, pentru care se cuno sc o serie de valori x1, x2, xn,
respectiv y1, y2 yn. Interpolarea permite determinarea valorii yk, cu yk ≠ y1, y2 ≠ yn, dac ă se cunoaște
valoarea corespunzătoare xk. Pentru rezolvarea problemei se pot f olosii două tipuri de metode: cele
grafice și cele analit ice (precum metoda liniară și cea polinomială) .
Există numeroase formule de interpolare liniară, precum cele enunțate de Bessel, Newton,
Stirling sau Struve. Nu ne vom ocupa de teoria acestor formule, ci ne rezumăm doar la a vă preze nta
formula de interp olare a lui Bessel. Această formulă este cea mai des folosită în astronomie, dator ită
faptului că descreșterea diferențelor centrale se face mult mai rapid decât în alte formule. P rin urmare,
având în vedere număr ul mic de termeni , va da o pr ecizie mai bun ă (de până la 10-6). Aceste metode
folosesc un tabel de interpolare al diferen țelor, toate egale ca interval .
Se dau 6 valori succesive la intervale egale, pe care le vom nota cu yi. Primele două coloane
sunt: argumentul ti și funcția y(ti).
A nu se confun da diferențe notate (întâmplător) cu B, cu coeficienții notați cu aceeași literă, care
se obțin din:

B1 = u – 0,5, B 2 = 0,5 u(u − 1)/2 ,
B3 = u(u – 1) (u – 0,5)/6, B 4 = (u + 1) u(u – 1) (u – 2)/24,
B5 = (u − 0,5) (u + 1) u(u − 1) (u − 2)/120 , B 6 = 0,5 (u + 2) (u + 1) u(u − 1) (u − 2) (u − 3)/720. (1.17

unde u = (t – t3)/(t4 – t3), este numit factor de interpolare (sau fracția subunitară). Ea este întotdea una
mai mică decât unitatea.
Din valorile notate cu y, diferențele de ordinul unu se obțin di n: y2 – y1 = dA1,5 ; y3 – y2 = dA2,5 …
y6 – y5 = dA5,5 și m ai departe, diferențele de ordinul II: dA2,5 – dA1,5 = dB2 ; dA3,5 – dA2,5 = dB3 …
ș.a.m.d. În același mod vom proceda și pentru diferențele de o rdin III, IV și V.
Să realizăm următoarea sch emă:

Argument Funcția Diferențe
t1 y1 I II III IV V
dA1,5
t2 y2 dB2
dA2,5 dC2,5
t3 y3 dB3 dD3
dA3,5 dC3,5 dE3,5
t4 y4 dB4 dD4
dA4,5 dC4,5
t5 y5 dB5
dA5,5
t6 y6

În tabel, rândul pentru funcția căutată yk trebuie plasat astfel încât să aibă cel puțin două valori
deasupra (înaintea) ei. P entru tabelul de mai sus, formula de interpolare a lui Bessel are forma :

y = 0,5 · (y3 + y4) + B1 · dA3,5 + B2 · (dB3 + dB4) + B3 · dC3,5 + B4 · (dD3 + dD4) + B5 · dE3,5 (1.18

Să luăm un exemplu numeric în care se cere să aflăm valoarea declinației Lunii, la data de 12
septembrie 2017, ora 14:25 timp universal. Pentru aceasta, să extragem valorile declinației din Efem e-
ride Astronomice 20173, pentru două zile înainte și respectiv, pentru trei zile după data de 12 septe m-
brie, la ora 0 UT.
După transformarea declinației în grade și unități zecimale de grad, să alcătuim schema mai în a-
inte prezentată, de aceasta dată introducând val ori.

Argume nt
Funcția
Diferențe

Data I II III IV V
10 8,35127
3,9706
11 12,32187 –0,67858
3,29202 –0,23971
12 15,61389 –0,91829 0,05063
2,37383 –0,18908 0,03268
13 17,98772 –1,10737 0,08331
1,26646 -0,10577
14 19,25418 -1,21314
0,05332
15 19,30750

Știm că intervalul de tabelare este 1 zi (24 ore). Factorul de interpolare u, care în acest caz, r e-
prezintă fracțiunea zecimală de zi, se o bține prin:

14h + 25m/60 = 14h,4167 și de aici, u = 14h,4167 / 24h = 0,60069 zile
sau scris sub forma 12,60069 120,600691u  .
Mai departe, aplicând formulele (1. 17), au rezultat valorile coeficienților B:
B1 = +0,30035, B2 = –0,05997 , B3 = –0,00403 , B4 = +0,01119 și B5 = +0,00045
și în final, introducând valori în f ormula (1.1 8), obținem valoarea funcției necunoscute:

y =
0,5 · 1 + 0,30035 · 2,37383 + 0,60069  (–0,91829 + 1,107 37)
– 0,00403 · (–0,18908 ) + 0,01119 · (0,08331 + 0,05063)
+ 0,00045 · 0,03268 = 1,44027

De aici, nu mai rămâne decât un pas , pentru a afla declinația:
δ = y3 + y = 15,61389 + 1,44027 = 17,05416.
Transformând fracțiunea zecimală, în minute și secunde de arc, obținem valoarea declina ției la
momentul dat , scrisă de forma: 17°0 3'15".
Dacă face ți o verificare cu ajutorul un program care g enerează efemeride, veți constata că rezu l-
tatul este corect.
1.5. SECȚIUNI CONICE
În matematică, o secțiune conică (simplu spus conica) este o curbă obținută prin tăierea cu un
plan a suprafeței pânzei unui con. Există trei tipuri de secțiuni conice și an ume: elipsa, parabola și h i-
perbola. Cecul este un caz aparte a elipsei, deși istoric, fusese inițial considerat ca un al patrul ea tip de
conică. Cercul și elipsa (Fig. 1.8) apar atunci când planul secționează conul, rezultând o curbă închisă.
Cercul se obț ine când planul de interse cție este perpendicular pe axa de simetrie a conului. În cazul în
care planul de intersecție este par alel la generatoarea pânzei conului, atunci curba este nemărginită
deci, deschisă , curbă ce se numește parabolă. În cazul hiperbolei, planul intersectează amb ele pânze
ale conului, rezultând de această dată, două curbe deschise, nemărginite și separate (Fig. 1.8).
În astronomie se folosește, după cum vom arăta în continuare , ecuația unei secțiuni conice în
coordonate polare r și θ raportate la centrul conicei, care poartă numele de focar.

3 Efemeride astronomice apare anual și este editată de Societatea Astronomică Română de Meteori.

Fig. 1.9. Elementele elipsei

Fig. 1.10. E lementele parabolei

Fig. 1.8. Secțiuni conice

1 cospre θ,

unde r – raza vectoare, p – parametrul, e –
excentricitatea.
Geometric, p este jumătate din coarda
trasată p rin punctul ce ntral al unei secțiuni
conice (Fig. 1.9).
Elipsa este curba plană definită ca
locul geometric al punctelor din planul său a
căror sumă a distanț elor r1 = FP și r2 = F'P
față de două puncte fixe F și F' (numite
focare) separate de distanța 2 c, este dată de
const anta pozitivă 2 a (Fig. 1.9). Acest lucru
are ca rezultat , în cele două centre , a ecua ției
de coordon ate bipolare :

r1 + r2 = 2a,

unde a este semiaxa mare și originea
sistemului de coordonate este în unul din
focarele. Parametrul corespunzător b este
cunoscut sub numele de semiaxa mică.
În astronomie, excentricitatea orbitală
este o măsură a abaterii orbitei eliptice a unei
planete sau s atelit de la forma cercului.
Pentru elipsă , excentricitatea ia valori între 0
și 1.
Elementele principale ale elipsei s unt:
– semiaxa mare: 21pa
e
;
– semiaxa mică:
21pb
e
= OB;
– semilatus rectum : 2bpa ;
– excentricitatea: 2 2
.a bea
Ecuația elipsei în coordonate carteziene are forma:

2 2
2 21x r
a b  .

Fig. 1.11. Elementele hiperbolei

Parabola este o curbă plană deschisă infinită , definită ca locul geometric al punct elor dintr -un
plan, care sunt situate la distanță egală față de un punct fix , numit focar și de o dreap tă numită direc-
toare a secțiunii conice (Fig. 1.10 ). Valoarea excentricității pentru parabolă , este: e = 1.
Orice parabolă are o axă de simetrie, numită axa parabolei. Intersec ția axei de simetrie cu par a-
bola se nume ște vârful parabolei V.
Pentru o para bolă deschisă spre stânga (sau spre dreapta) , ecuația în coordonate cartezi ene,
este:

y2 = 4ax.
În timp ce, dacă deschiderea este în sus sau în jos, ecuația devine : x2 = 4ay.
Parametrul focal, numit și semilatus rectum , este distanța dintre dreapta directo are și focar, dată
de p = 2a, unde a este distanța dintre vârful parabolei și directoare. Distanța de la focar la vârful par a-
bolei este p/2 = a. Termenul l, reprezintă distanța unui punct de pe parabolă , la directoare.
În coordonate polare, ecuația parabol ei are forma :

2
1 cosarθ.

Hiperbola este o curbă plană desch i-
să, infinită și definită ca locul geometric al
punctelor dintr -un plan pentru care diferen ța
distan țelor r1 = FP și r2 = F'P față de două
puncte fixe F și F' (numite foc are), separ ate
de distanța 2 c, este dată de constanta
pozitivă 2 a (Fig. 1.11).
Orice hiperbolă este formată din două
părți neconectate, numi te ramurile
hiperbolei. Fiecare ramură este o curbă
deschisă infin ită.
Principalele ecuații ale hiperbolei în
coordonate c arteziene sunt:

2 2
2 2 21x y
a c a 
.

Analog cu definiția elipsei, semiaxa mică rezultă din:

b2 ≡ c2 – a2.

Spre deosebire de elips ă, niciun punct de hiperbol ă nu se află pe axa semi axa mică , ci mai d e-
grabă raportul b/a determină scalarea vertical ă a hiperbol ei.
Excentricitatea hiperbol ei (care satisface întotdeauna e >1 ) este definită ca:

2
21c bea a   .

În ecua ția de bază a hiperbol ei, centrul este situat la (x0, y0 ), focarele sunt la (x0 ± c, y0), iar n o-
durile sunt la (x0 ± a , y0 ). Asimptotele, prezentate ca linii punctate în figura 1.11, pot fi găsite prin su b-
stituirea cu 0 pentru 1 , a termenului din dreapt a a ecua ției:

2 2
0 0
2 2( ) ( )1x x y y
a b   .

La infinit , hiperbola este asimptot ă la linia dreaptă OT.
La fel ca elipsele, h iperbol ele au două focare distincte și dou ă drepte directoare în secțiunea c o-
nică asociat ă, fiecare sec țiune fiind directoare a conic ă perpendicular ă pe linia, care une ște cele dou ă
focare.
Parametrul focal (semilatus rectum) al hiperbolei este:

2( 1)a epe .

În coordonate polare (cu centrul în focar) ecuația hiperbolei are forma:

2( 1)
1 cosa ere θ.

În timp ce (tot în coordonate polare ), ecua ția hiperbol ei centrată în origine (adică, cu x0 = y0 = 0) este :

2 2
2
2 2 2 2cos sina br
b θ a θ
.

Asupra acestor conice vom reveni și în Capitolul 7, unde se va discuta despre formele de orbi te
ale planetelor mari și corpurilor mici.