C Elena 81@yahoo.com 764 Mate Xii 1988 Stat Text
Matematica +XIle Elemente de teria probabil MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI INVĂTĂMINTULUI Elemente de teoria probabilităților și statistică matematică Manual pentru clasa a X-a XII EDITURA DIDACTICA ȘI PEDAGOGICA Bucuresti, 1988 MINISTERUL EDUCAȚIEI $1 INVATAMINTULUI Gh. Mihoc N. Micu e Matematică Elemente de teoria probabilităților și statistică matematică, Manual pentru clasa o XII-a CB era pete Pde ter București, 1988 ee aut Se Miter! aa mată tulete eter: ar are A leafa Redactr: pas lan ȘI. Ma! ‘Tehnoretnctar: Ana Tinu Grain cepe Scurt istorie ‘a Fara se) a Pre eat ți ei Un pana chr deat {steps (nl: în, @) acm dcr Aventura = 2, Dat ara a cazan pull perce da ea: 4, (8,2 (6) 8 a eacrvat că, jiu în mo din (eu God arr tance de 24 de en) plria oot că probbitaten de cig i fol en om gor zar et de 08, ar aol ca rus ect de 0,482. Du arent intr le dk probate mitt, an mumă mare e partido, tra ex proband citi 18 ctg în aa ue ca probabilitatea de eg 0490, Del pacea Joa canin usta sll alma, canta een a der ‘nt pie matematice, «cont In empties la n on Jo eae ete ttre: imite dea desert sn cite. LA un fo lace artă dt paren ele ee minte cl eae ih tri parte. Dupe rare Juste ‘Gone an garth nin? Cavalera Set sinc tebe ste Iară ‘roperinal cu amar pada iene decree, ah ca mele 1 a, erat i Cristian Den (1629160), cae A ceri In apa ‘ei ran erp că let, ăia rie actin esuate noe dr al era conan de mata descoper lr in Pret ever ite. fa sesoare în Ia Iată ade Acari a Une a Pane pris care Para ana rial ert say faethe a rest ef ener incuiat here e demmtaile mate i rau, n opera postum. Arcot (1719 un lt mare mata ‘ican, ata Bernal (1034-1205), se sait, per prima ei, că ma tere 3 Talitts de rea merle mar, 3. Beal state et m ge mai Moi Soph nare a ate acel ra. anil Bernea 100 sapca în slut ere! ete în Boro a fost mape ul 3. Dore fot Ababa de Sie (067750). Ela plat ere prada ete Pere Sinn place (17401847: Intrta st Tet ari Pelnem (1851~1912). Trebule semnalat, de asemenea, i Nina că rprselani src pe Abram thal not (2807-108) a în nie sa tu în aceasta Ia rien veci E. Darel, Cant, Ass AN ‘ath aproape Tră exeepti, In toate dameile de activitate (ini, chim, Malle, De timer, apți erie rana an ers ma în in ew devel iy (561712) «contrat prima ta Internet statistic a nf teal ă De condei Pani Calton (1822103), XK. Parson (57-109), Par (1801-100). . “uree, importante prin aplenile lr: teoria Informatie, tearia abt, plogiamagen în ară mer esta tema el de tera probat, er, printre te ea, sino n gun aa procaer ele empty apt a Cimp de probabilitate finit § 1. Evenimente. Operatii cu evenimente 1. Evenimente Să considerăm experienta aruncării unui zar, Este, evident, vorba ae o experiență aleatoare”, adică de o experiență al cărei rezultat nu poate i anticipat ew certitudine, el depinzind de o serie de factori in timplatori Această experiență se poate repeta de un număr oarecare de ri. Fiecare repetare a experienței se numeste probă. Experienta considerată are o mulțime E de cazuri san de rezultate posibile: E= (1, 2,3,4,5, 0). Legate de această experiență, putem considera diverse evenimente: A: apariția unui nui B mul număr impar, e mul număr <3, D: apariția numrului 5 ete Fiecare probă atrage după sine [ie relizarea, fie nerealizarea oti cărui eveniment. Astfel, dacă la o aruncare a zarului apare faja 4, atunci evenimentul A s-a realizat, lar evenimentele #, C, D nu s-au realizat. rss de Intnl și perne de tine le) 5 Este clar că fecirul eveniment îi corespunde o mulțime de cazuri Javorabie, care este o submulțime a lui E. Aceasta este mulțimea de cazuri care realizează evenimentul considerat. ‘Astfel: evenimentului A corespunde subsmul{imea (2.4, 6) a ui Z evenimentului B i corespunde subumulțimea (1.3. 54 tai evenimentului C ti corespunde submulțimea (1. 2, 3); evenimentului D ti corespunde submulțimea (5) Se observa că un eveniment oarecare și submulfimea Jul, aso ciată evenimentului, se determină reciproc si de aceea nu vom face Aistnetie ntre ele. Vom considera deci fiecare even derată ca find o submulțime a Ini E. Astfel, vom serie A = 4,6}; Bal, 3,5}; C= {l, 2, 3}; D=) renimentele care au un singur caz favorabil se mumese eveni- mente elementare. Prin abuz de limbaj, vom numi la fel și clementele mulțimii £. Mulțimea evenimentelor legate de o esperieață ca un număr finit de cazari posibile se identiiek deci cu familia PXE) a tutaror submal Viilor mulțimii E, a taturor cazurilor posibile ale experiențe went legat de experiența consi- 2. Eveniment sigur. Eveniment imposibil Retinem, deci, că orice eveniment este o submulțime a tai E și, reciproc, orice submulțime a lui E este un eveniment Dar, printre submaltimile lui E se găsese multimea vidă Qj si în- treaga mulțime E (mulțimea totală). Acestea corespund evenimentului imposiil și, respectiv, evenimentutal sigur Boenimentul sigur este acela care se realizează, cu certitudine, la orice propui Astfel, la aruncarea unui zar, evenimentul sigur este „apariția uneia din fețele 1, 2, 3, 4,5, 6°. Toate cazurile penibile ale experienței sint cazuri favorabile acestui eveniment. Evenimentalimpositi mu se poate realiza în nici 0 efectuare a ex- perienței. El mu are nici un caz favor Tor sale favorabile este vida) il (spunem că mulțimea cazuri 6 3. Eveniment implicat de alt eveniment Spunem că evenimentul A implică evenimentul 2, dacă realizarea. Tui A atrage după sine realizarea lui B. Aceasta Inseamnă ch orice caz care relizează pe A, realizează i pe B, adică mulțimea cazurilor favorabile lui A este inclusă în mul- timea cazurilor favorabile hui B. La aruncarea unui zar, dacă A = (1,2, 3}, B= (1, 2 vede că A implied, iar ca relație intre mulțimi A CB. Se veriică ușor că A CA, A C E. Evenimentul imposibil implică orice eveniment (3 CA). 3, 4), se 4. Operații cu evenimente lină date două evenimente A, B, legate de o experiență, „A sau 2 este evenimentul a cărui eslizare înseamnă realizarea a cl pulin unuia din ce. La aruncarea unui zar, dacă A = (1,2, 3), B= A sau BY (1, 2,3, 4) AUB. Refinem: în loo de «A sau B® seriem AU B. Se poate vorbi de „A sau H sau C*, „A saw 2 sau C sau D* ete respectiv de A U BUC, AU BUCUD ete A și 1 este evenimentul a cărui realizare înseamnă realizarea . 9, 4), atunci ambelor evenimente A, Be La aruncarea zaru ambele evenimente se realizes dacă A = (1, 2, 3}, B= (2, 3, 4) atunci dacă apare una din fefele 2 sau 3, A si BY = (2,3) =A7B. Reține în loc de „A și BY vom serie A () B, in le de i C* vom serie A N BNC ete A = „mon A” este evenimentul a cărui realizare constă în nerea- sp Mizarea evenimentului A. Mulțimea cazurile favorabile lui „non A: este formată din toate cazurile netavorabile Iul A. La aruncarea unui zar, dacă = (0, 2, 3}, atunci A = non A* = (4, 5, 0) = CA Refintm : în loc de „non A” sau „A nu se realizează“ vom serie CA. Se verified yor relații a: Z-E. Are 5, Evenimente incompatibile. Evenimente compat Evenimentele A, 1 sint incompatible dacă nu se pat realiza tn- preană în nici o efoctuare a experiente. Aceasta inseamnă că realizarea unuia din cele două evenimente atrage după sine nereaizarea celuilalt, adică A implică „non 1° și 2 implică non A Conform celor spuse mai sus, vom serie A CC 2, DC CA. Se observă că A, II sint incompatibile atunci cind nu au nicl un caz favorabil comuni De asemenea, este clar că A, 1 sint evenimente incompatibile dacă și numai dacă resizarea lui A și DB” cate imposibilă („A și D” — imposibil se seri, conform celor spuse mai înainte, A 7) B = 2) Se verifică ugor, folosind limbajul evenimentelor sau al mulțimile echivalența relațiilor ANB=B.ACCB BCCA. Evenimentele A, B sint compatibile dacă se pot realize impreună in aceeași proba, dei ducă au cel putin un caz favorabl comun. Pe scurt ‘A, B sint compatible dacă nu sint incompatibile. La aruncarea zarulu, = (1, 2.3}; 8,3, 4}; C= (4, 5}, — A, B sint compatiile. Ele se relizează împreună dacă apare tuna din fefele 2 sau 3 = B, C aint compatibile A, C sint incompatibile, Oricare a fi rezu nu se relizează simultan tatal experienței, ele 8 Cu notație din teoria mulțimilor, putem serie AN B= 2,3}; BN C=}; ANC mw. Se poate vorbi despre incompatibilitatea (sau compatibilitatea) măr oarecare de evenimente, 6. Dualitate de limboj Din cele spuse mai înainte reiese că orice eveniment legat de o experiență, cu un număr finit de cazuri posibile, poate fi interpretat ca o submulțime a unei mulțimi E (mulțimea cazurilor posibile ale experienței) De aici a decurs următoarea duslitate de limbaj Limbajut evenimentelor Limăajul mulțimilor Eveniment. Submultime a Iai E. Eveniment sigur. Multimea (lolata) B Eveniment imposibil Multimea vidă A implică B. | ACB. | A sau B. AUR. A 5B. aha on A eveniment contrar ui A). | CA. A, B incompatibile. ANBHw. Eveniment elementar | te) sam e, cu eee, Cata Mit ote nap, om ch = eminent el pain e Dl se să” moară „pr Wa ate să ua om bi ate a De Au. = Evoninentst ambole ie sint nege” se pate ext cate near yt dea ete nea ‘bet Pa caner. P= AUD. tum un se a pte sve = (ina a te eu pina lt est ag» do N ae sh = (an cemucan D. două evenimente 4, 2, AM CDs = Aa. § 2. Probabilitate 1. Frecvența Fie A un eveniment social unei experenfe. Dacă, într-a serie de n probe eocaimental A s-arealizal de n, of, atunci numim tree ve na relativă a evenmentalui A numărul f(A) —". (Acest număr depinde de n și ar fi trebuit notat f(A), dar vom folos și forma [(4):) Se verifică ușor unele proprietăți ale frecvenței relative 1 0 < AA) <1 pentru orice eveniment A, 2 RED — 1, (E = evenimentul sigur), BFA UB) = 1) + 0), dacă eve patible, ca-n mentele A, I sint incom MA) — UB) dacă B implica A, 8 f(A ~ B) = f(A) — fA B), © f(A UB) =f) +18) — AB), 7 04) = 1 —[1A). Să verificim, spre exemplu, relațiile * și 6. 10 Dacă în cee n probe, A sa realizat de maori si A 7) B de tage ori, atunci f(A) = 2; PAD B)= 282, De cite ori sa realizat (AB) AA) CB, inseamnă de cite ori s-a realizat evenimentul constind în realizare nerealizarea lui B. Pentru a găsi acest nom, trebuie să sădem din numărul probelor care au realizat A(— n) pe cel al probelor care au realizat și pe B(= nana). Rezultă că myn = na — nana Și deci Ia 8) Senta 24 Bane = AA) — f(A 1B) Dacă A, E sint incompatibile, atunci na = na este numărul de probe care realizează A U2 (rezultă 5). Dacă cele două evenimente sint compatibile, atunei din na + np trebuie să scidem n jn» (probele care au realizat si pe A si pe B au fost numărate de dowă ori în suma na + na: o data printr cele care au realizat pe A si 0 dată printre cele care au realizat pe B). Deci nas = ns na RAU B) = RA) +18) = NAND) dlacd m și sint mumere mari și A este un eveniment legat de o astfel de experiență, atunei CA) și [a(4) mu difer mult între ele și această dife- rență este ca atit i Aceasta ne sugerează că freeventele oscilează in jurul unei anumite valori i că apropierea de această valoare este cu atit mai mare eu cit numărul n este mai mare. Nu intotdeauna putem cunoaște această va- oare, deoarece nu putem repeta decit de un numi ini de or experiența mică cu elt cele dow numere m n sint mai = wna capi a neagă rau a arpa cae, Paine apă care eta că tră apa în vă. Dupa 000 decor albă apra de Bt der on Minds capete, dp 4000 e etopr note apr 172098 or De fu an O Dă mm tina cepe om au. Pentru Neal iert tare tl forte apepute de 03, Noțiunea de freeventS relativă este suportul empire al noțiunii de probabilitate n finit de cazari posible, inseamni A asocia fiecâri de respectiva experienlă, un număr P(A) numit probabi mentului A. în plus, este natural să cerem ca P să aibă free use toate celelalte mul submulțimi ah prop acd Ay oo A baju side © probabilitate în raport cx o experiență, avi eveniment A, legat proprietățile venței relative, printre care sint sh proprietățile 1. Se constată că proprietățile î*- 3” stat suficiente, din ele deduct Cum orice eveniment poate i considera ca o sub time a unei mulțimi E, o probabilitate P face să corespundă fiecărei E un număr real, această corespondență saisfăcină pretățle Definiție. Aplicația P os pasi w PE) =i ©) MA UB) = P(A) + Pun), dacă A NB = a. Proprietatea c) se extinde imediat PALUAU -.- UA) = Pa) + Pad + sint disjanete două cite două. Dacă P este o probabilitate pe Z{E), atunci a) Pa — B) = PA) — PUD, dacd BOA PAE) > R este 0 probabi te dacă: + Play) ©) PA = B) = Ma) — PAB, 1) PAUB) = Ma) + MB) PA N By, 9) (CA) = 1 — PA): AB) = 1 — PE) —0, Demonstrație. d) Dacă B C A, atunci se arată ușor (lolosind time d evenimentelor sam al mulfimilor) că A=BUu-B PA) = PUB) + PLA Avem: AB B) (deoarece B și A ~ B sint disjuncte) Conform cu d), A) A 12 și de aici DAU DB = PA) + PB — A) = PA) + PB) — PA NB) [) AUCA =E 3 MA) + (CA) <1 Otseroatie importantă Dacă eunoaslem protabiialea evenimentelor elementare, cunoaștem probelitlatea oricărui eoeniment. Într-adevăr, dacă E = {ey 2+ e) $1 A= {Ou A= {eu} U feu} U + U te și după axioma 0): PA) = Plea) + Plea) + =: Pleads în patticatar PAB) = Phe) + Bed +o + Pe) i 3, Cazul evenimentelor elementare echiprobabile Dacă E = {ey te +1 ca) am văzut că Pe) + Pe) + on EMD =I sabie) Pie) = Me) = ++. = Ped tunel Pe) = 25a 12, PCA) te + Pea + oe + De) =. ca rapartul dintze numărul cazurilor favoraile tal A și numărul fotal al cazuntar posiile ale expertenal n multe din aplicații se consideră satisfăcută condiția de echi- probabilitate a cazurilor posible ale experienței. Astfl Arunearea unui zar perfect" este o experiență eu 6 cazuri posible echiprobabile 13 riență SA n cazuri posibile echiprobabile. ; bile echiprobabile. a : posibile echiprobabile. pict nes a Si ge aeuee PCA DD, AUB, PCA tes) 3 me Expres costin In extragerea clr dă Bl are 7-8. 69 cazat ea) poll Brena A ina Hi eI + en hh et a te t= en rane Pentru esha PCA U 2, temi frm sy PAU B= Ra) + nn MAB ma» 4. Cimp finit de probebiltate astenie). 9) apune ele dl on m fe pol sl sara i, malin vesinenlr mas ener una ta pie lt 1 i uta a set, Dee Py had nee ere 1 tment it) ta crapul m ore (probate), pentr pata see eat ac 0) PC) + PC) — PAN BD PCR 2 1 2 PCA) de treba me Iana A Da ne mumă AUB, AN Bem, Ca. Dereon ăi 00 gain sata oh fun. esereile PCA PCD, RCA) PCA) By each my UE e ea sens meal dacă A, BCA, AB, ACVB, E ete. arin tl 1 AU m= can cn. 2 CAA m= CAUCE. îi venient eine ee Bien, E: crenimnts eile ee bete, (i): enna tr fee ou penele i 1.2244 8,6) a); BOB 49:60 D= An P= Gh: a ne 6) CAP 6) 0 AU BAD=ANDUEN D)= But {Cots ete oat din 10 er cnenia de rr FR, 2 1 Abt DC A = 12 oo Ds "mee spn a ene Shere cat a chemar ma primat span: 0 primo spn prima chemare I tc na a eit te cent ‘art cle aut cheme pina tapos {0 ura cain mile meta 3 osm Note (ML) evened ca n o atragere să aline e Wit marathon spl de SA esate ca, © zi) = n (ae) G70} dm) a) ©) ack (aa) (ta tona ete en aviar a ae cele: 3 fata) = Cae, în, snd, st al aml lp conan at mamele a 1 n eta A mtn ste cete evenimente sis empatie? Sa se cica PCL Bh în Oră cone 10 abe w 6 i ner Din acts se ctg cei 2 ie, npn napoli texts o) ratate ca cle 2 ie te ate; 5 praabitaten ea le 2 te mere © protien ex prima af hw « ds neg extra contin ite 3? timp, st ee Cr pna eS me n n. Ai ve 1'6 2 ca im ence fn nn a n Samedi Gv ae potatoe te eer a esata meme Coe ie probate cto ak eg ase m. 1 ON in 3 et 3 neg ar awa cin 3 He ca 4) care ete prombtaten Diner a2 il be? Cara te rautatea i 2 he nee? 9 Cre sta rotate iat et pun ect be e? Care ete pavate bau n 3 a de cen elas? 15 (oot partea Integral a une rebate owner onl mumă care ma e E) tare) N dad ete mi deo 17. Se amatecă un păcat de 10 ări e ot murate 1, 10.4) care ate ‘robabitaten ea pina cate din phe e178) Dar rotatia ce prime an ‘tad fet 2, înecată ere? PAU Ai oe U Aa) = BCA) = BPC, Ay) + ECOMMERCE PUL e D 4: 19. O ură cnține te mutate 12, n. Se atrag, a ie um, tate extragere am otinot bila cu numărul E. Care este probabilitatea obținerii a ci pelin Soe encodante? 0 Putra conte și setate prolea 6 să se m ©). AB)U (rr) = Par) + MEAT) — rara) 5) pan) U lana) Pan) + Pia — Plat) ©) mite) (ara) = CMa) + Pets) — Pa, Mp. 31, Gu otaie probleme 6, să se arte ot: 4) PIZ) U (3) U (as) = ECA) + Pers) + ACCS) — Par) = maro) = ars) + AOD + Se oni 9 (aro) U (a2) U (aro) U (308) +O) + Partos) setata) 1 Pita) U aro) U (ae) m Pate) + Para) + PELE) = FAM Y= = etate, a) = PAM, ej) + lai, 3, cp. St se genereze i aie Pete) + Plaioh+ (tis) 2F((a90)) an) + Plan) + PU(Ma)L {000} U (ae) = Pta) + ACAI) + Pare) — = Maan) ~ Pine) = Path) + Pata). 5 se pews, 3 — emma ce torts probate = et. sa 17 Probabilițăți condiționate. Independență n cale ce urmează, ae e vom situa permanent într-un cîmp finit de $ 1. Probabilitate condiționată Să presupunem că avem două urne: U negre, si Nu putem răspunde dintr-y da a toata pat tă la această intrebare. Dar extragerea s-a fleut din urna 7, stunel Putem spune că probabilitatea ca bila 3ă fe albă ete Sa tine deci că 77 nu este probabilitatea ca bila să fe albă, ei probabiitatea Dacă notim evenimentele: ere C: extragerea se face din UL. Pata) 18 La fel Pda) = Spunem că probabietea evenimentalai A condiționată de event meniul 2 este egală uv, arce codiionată de evenimentul Ge rii unui zar, Aceasta are 6 cazuri Să considerăm experiența arun posibile. Dacă A = (1, 2, 3); B= ( 34,5, Oa unei P(A) mp = Bile, 2 sint favorabile lui A. Rezultă P,(A) = 2 Die, atunci P(B) = 2 Dacă dintre cele m cazuri favorabile Iul B, stat favorabile unui eveniment A, atunci PCA ) D) = 2 In momentul cind stim că Bs realizat, mai avem m cazuri pos: bile. Dintre acestea p sint favorabile lui A 2 mana, Pa) == E AOD lal a aa mn p=-202 n plus, putem considera că frecventa (absolută) a realizărilor lui A, Formula demonstrată este utilă la calcularea probabilității unei printre cazurile cină s-a realizat D, este papa, jar freevenfa relativă a |. intersect de evenimente, atunci cind probabilitățile condiționate care | ui A, condiționată de B, este parse calculează eu ușurință fără a folosi definiția. [ata citeva exemple tn primat sar apare aa Aceste observați, ca și altele pe care nu le prezentăm aici, ne con- Wen peat iis cee. dye la alegerea egalității rhe Tad) P22, n 40 trader, carare posi le expat st pee e mma mm (A) sint legate de o experiență cu un număr finit de cazuri echiprobabile). aaa 0.3 SH 0: ae 26960 4.0 [CO] an 4 de n evenimente 66769 6.0 CH CH St seriem din now relația de defiitie a probabilității evenimen- GH 02 e, PULA Aa A + Aa) = Pl) PafAd-Pa aA) am = PAL Pa Pantin (fAn> ee j P(A) = PAD, Pam = PU 4 aie (cl ar “A 1): 39s G3): D3 G8): 6). Date LA) PAA) PALO 0.0 49 PAD 7146) Panin” hay (49) = Pata 3) Own tinea Se lhe b Menge. Se tag mea dud Wl It er ca Pa „= end armat oh Ari de P40, 4) owndeontines nicatey’s PA) AOA = PAD Pal A) Pana) § 2. Evenimente independente Să reluim experiența araneării unui zar. Multimea sibile este E A= 11,2,3}5B m 2,8,4,5.0}, : me p) = Pau) atunci PUA) = A Pod) =; PAD)= 2; Pad) = 1 ete 22 In mația că s-a realizat B, probabilitaten 2 gr dacă D nu s-a realizat, devine 1 Ce rezultă din aceste egaități ? Probabilitatea lui este omental cind căpătăm info lui A se modifies, devenind A sa realizat, devine La fl, probabitatea Iu ste jar d fiecare din evenimentele A, I își modified probabil a în funetie de realizarea sau nerealizaren celuilalt. Este natural si spunem că A si B sint evenlmente dependente. Să considerăm acum un now eveniment: D = (2, 3, 4, 5}. Avem A hu Pay Pe(D)=* ele. mana Canetzie ; evenimentele A, D sint asttl că nicl unul din de murs modifică probabilitatea de a se realiza sau de a nu se realiza, în func tie de realizarea sau nerealizarea celuilalt, Este natural si numim eve- nimentele A, D independente. S-ar părea ef, pentru a fi asigurată in- dependență a două evenimente, este nevoie să fie satstăcute multe re- lati. În realitate, penteu ca dow evenimente A, B 34 fe independente, cale necesar și suficent ca PA DD) = PAPA) o Intradevăr, să vedem ce înseamnă că probabilitatea P(A) a eve- imeatulul A rămine neschimbată, dacă facem ipoteza Că B s-a realizat „man n E PA) = Pa) e PA) a fel o DAND) = PAPI) PUB) = PAD) = PA DD) = P(A)-PCB), (PA) 4 0)* mann = menta PAN D= PAV-EAD) tema geet ox Pa) ADE mu neo ao ip = AOD, petru că m sat nce eon PUD A, repete PA) ta. ary 2 adică melația (1) ne asigură că nici probabilitatea P(D) nu se schimbă cină facem ipoteza că s-a realizat A, n plus, o relatie de tipul (1) rămmine Valabilă dacă unul din eveni- mentele A, B (sau ambele) se înlocuiește cu CA, respectiv CH. Intr. adevăr, să presupunem satisfăcută relația (1); avem PU D 10) = PA — B) PA) PA N B) = PLA) — PLA): PCE) = = P(A) = PCB). PA n CB) = Pa)-P(en) Prin definiție, evenimentele A, 1, sint independente, dacă și mumai dacă probabilitatea oricărei intersect de evenimente ierte din cele n este egală cu produsul probabilităților evenimentelor interseetate. Astfl, A, B, C sint independente dacă PAB) = PAP); PA NO = PAR: PENE = PLB)-PKC) PAN BAO = Pa)-PE)- no) In multe din problemele pe care le avem de rezolvat, ne dim ușor seama că unele evenimente care apar sint independente, În senaul că eslizarea unuia (sau unora) dintre ele au modifies probabiltatea de realizate a celorlalte, In această situație vom putea serie că probabil. tatea intersecției acelor evenimente este egală cu produsul probabil. til lor, Astel, dacă o experiență (£) constă în efectuarea a două experiențe (2) și (6), care nu-si influenteazi rezultatele, și dacă A și B sint evenimentele legate respectiv de ¢, si de dy. atunci aceste evenimente (ca evenimente ale Iai €) sint independente — Aruncarea a doză zaruri ete o experiență (Z) care constă tn a primului zar (Z,) și ahunearea celui de-al doilea zar (6) ar că eunoasterea rezultatulul obținut la (2) nu movitieă pre. babilitatea nici unui eveniment legat de (2) = Extragerea unei bile din fecare din urnele Uy. U Un conți: rind bile albe, negre și roșii, este o experiență (2) care Constă În extra. ferea unei bile din Ue), extragerea unei bile din UC.) și extra. gerea unei bile din UE), In acest caz, evenimentele A bila extrasă din U; este albă, Br bila extrasă din U; este neagră, C: bila extrasă din U; este albă int independente, ca oricare alle 3 evenimente legate respectiv de de by by să te drac oo abt ut Probleme 1. Dumă enim 3 te ae ile nege, Din acai wr se stage i n tone cele dă intrări se pet sees PAD) = 73 PylD) =? poate e în puncte): r=annuann RP AND DAD» DE FI a son carma ese nage dan F=an UENO. extant? E sri tza Conan €) Wo estar in ana U, (expen C) A prima ate a, 1) Cle cur (ag) pone ae experenta €? i Di down ate a Nota ca A ovonmentl legat dy nameless an Ute pe” tatea A să se eae: PAD; PICO): PAD PAB = CA matale ec? mir ear i i a Lae Bae ei 1) Gare te patati ea snl ile exe se be? în cle ner tavern are anina Ay ca eresimest legat de €,? Dar ot 4 ae cela vene nc ne spt aac |. enma e e 7 Ge caz nem reeves event et de 3/0 mn conține Maat i d ener, Se fae stage secte din wrt, J) Comparat radiata n A cx cvenimeat eat de C iapa a eveniment 1) cae cate provita A ce Da eta să ie de acer? n să ge eaice PLA D), CA, E eveimeatl eat de €) SA se arte că 5) creat roata ca 2 Blea e be i ma i ie es? a B= POP 2 Sie er retinas) deb capi pent rn prt SAT ema ptr cal cnd rele Us Uy conta my i repet ny inate ete A Pit doh event legate, apei, e Cy Cx i pl Bio Ml Be’ > sods palit pa aaa tipa A e 3 tts tn or spn ra at. Poa tet a re ar people E PUA) > 0, VA e ICE); FP 1: 3 PAU A= PAY + | mania „ara dea ca preabitatea care ae probate ot Vata sk PCB, dash AQ) B= @, stunts) Pale o rotailate pe PUD, (ME) #0) 0] Ei 2) Py ete 0 potaiiate pe 200) fh stink? Inde) Se arts ok yt DUE) = Rare prope #2, 4) Se nest în ru ia — cotit Mali 3 e et. Di a din seste re e n e Care e ee Eat = nene A) Dar potubtten st oii 6 pante în o arene, 7 panete lao alt rage e ceai Di A bingo AM tă (A em că sas dn Ua) arene? Dae probate sf btn Sv) ien iat (A) ne (cr n Ca one nea urn pent aN autre? meta Suey jr Din esr a se n ie e i «) Cata este probitate Me Anca: Sh sen care 9 mer ne n dă e eta: P= Pau) A+ PA) AN (Au A nemti A) = 12, Dă penoane că on je. Partin te egal deci cae eine primul = AD P(A + RANI Arn pets Det vei n sare tu nue, cre e ra ers ant ps 1 je ce să atat de wnat dine dol antene ca prebbiltaten 12 7, Sintem în code predeal 0 de 1 situ copieuul precedent Să vo © foc aupra ne at, Pima mart ținta ca pro se costă 1A * mosie unea pp: 70) = 1 D(H) ese o prebabiate pe 20 în A, 2 Scheme de probabilitate 1. Schema binomială generalizată (Poisson) Dacă Ay A, tnt evenimente independente, atunci probat tatea să se realiste k din cele n evenimente (si să mu se realizeze n — ) este coefciental tui 2* din polinomul (pt + post + 4) +» s(Pat + ue unde probabilitatea PA) = pai gy = 1~ pu (=, 2, ss n) Cum seriem evenimentul A, a cărui realizare lnscamnă realizarea a k din cele n evenimente ? Pentru a se realiza A, trebuie să se real zeze k din evenimentele A, (le Arg Avy aceste evenimente) și să nu se realizeze celelalte n — i: Av, se realizeze unul din evenimentele de formă A. D AD 0 da 1 Ale Hezult că A este forma adică trebuie să NA n uniunea evenimentelr incompatibile de această = UA NAD ++ Dai N ding [+ Aa) unde {iy to, În) parcurge familia submulțimilor de k elemente ale mulțimii de indie {1, 2, +: n). Results PAY = pin Se observă că suma din membrul drept al acestei egalități este egală cu coeficientul lui 2 din polinomul (pi (pet a). (pat. e Aplicația, Saua 3 ne: pete conine2 be tb 3 Mea, a duza cnc 4 Wlalbe! obit nord tor a a tine Mat Me a Do fear îs eegecte a tă. Cart te pci beta te? best fe tea eee mezi 2 = ago 2 2. Schema binomială (Bernoulli) acd evenimentele independente. Ay Ay au blue, pe pi = q= 1 — pm he se realizeze din eelen evenimente este coeflclental ui 2* stanci Ay A sint independente gi p = P(A,) = PCA) In acest caz, probabilitatea ea ma-i în cele aruncâri să obținem de ori aceași. proba i), tunel probadtaten n polinomul 2 care constă deci 3) In general, dacă A este un eveniment legat de o experiență și P(A) =p 9h dacă repetim de n ori experiența, atunci probabiltatea 29 ÎN ae Fert (pein abuz de umbaj, am spus A în loc de A dp vn An) este Cipri (9 = 1 = 7). Modelul matematic și schemei lui Bernoulli poate i dat de o urnă în care avem a bile albe și b bile roșii și electuâm din urmă n exteager, punind, după fiecare extragere, bila extra a înapoi în urnă. Probabil tatea ca Ia o extragere să obținem o bil p= pe 3. Schema hipergeometrică Dintr-o urmă, în care sint a bile albe și b bile roșii (a +b = N), se extrag m bilo, n & N, fără că să se pună inapoi in urnă, după fiecare extragere, bla extrasă, Insemndim prin e numărul de Bile albe obținut în n extrageri. Evident, < n și a < a. Prin urmare: a < min (tn) La fel, numărul de bile ros, obținut în n extrager, egal cu no a trebuie să Indeplineaseă condiția n-as and Cum a > 0, rezultă că a > max (0, n —4) Deci max (0, n 0] nd pu (i 1,2, © Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.Copyright Notice
Acest articol: C Elena 81@yahoo.com 764 Mate Xii 1988 Stat Text (ID: 700111)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.