Buliga Dan Referat Cercetare Nr. 2 [607242]

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-1-

1. INTRODUCERE

Structurile de beton armat folosite la alc ătuirea construc țiilor de locuin țe sau
industrial e sunt alc ătuite din trei tipuri de elementente simple (component e): grinzi, st âlpi,
diafragme orizontale (plan șee) ș i dia fragme vertical e (pere ți). Investigarea răspunsului
acestor elemente componente, supuse diverselor tipuri de inc ărcări, este foarte important
atât pentru înțelegerea comport ării de ansamblu a structurii, dar și pentru realizarea de
structur i durabile și sigure.
Răspunsul la ac țiuni a elementelor de beton armat a fost st udiat pe componente
simple prin teste experimentale. Avantajul acest or metode este faptul c ă produce rezultate
reale, insă ca dezavantaje putem vorbi despre durata de timp mare necesar ă realiz ării
experimentelor și costu l acestor teste, care poate deveni destul de mare, depinz ând de
teste.
Din aceste motive, au fost dezvolt ate metode analitice pentru analiza elementelor
structurale. Folosirea Metodei Elementului Finit s -a dezvoltat, în primul rând datorită
duratei de timp reduse a analizei, costurilor mici și deasemenea rezultatelor de încredere
furnizate de aceste analize. Pentru a asigura faptul că rezultatele furnizate sunt valide,
acestea trebuie să fie raportate la datele experimentale disponibile și deasemenea, model ul
trebuie verificat pe parcursul analizei.
Prezenta lucrare reprezintă un studiu al elementelor structurale de beton armat ,
grinzi și pereți, folosind Metoda Elementului Finit, pentru determinarea răspunsului la
diferite tipuri de incărcări a acestor elem ente. Obiectivul acestei lucrări este de a investiga
și a evalua folosirea Metodei Elementului Finit pentru analiza elementelor structurale de
beton armat. Analiza este realizată cu ajutorul programului A NSYS1.
În Capitolul 2 sunt prezentate caracteristici le materia lelor componente: beton
simplu și armatur ă, ce intra î n component a betonului armat din care sunt realizate
elementel e structural e investigate. Comportarea nelineară a celor doua material e este pusă
în evident a.
Capitolul 3 cuprinde evaluarea statistică a unei grinzi simplu rezemate încărcată cu
doua for țe vertical e a caror magnitudine este monoton marită pana la atingerea ruperii
elementului. Dimensiunile, distribu ția armăturilor ș i diametrul lor corespund unui
experiment de lab orator raportat de Buckhouse2 în 1997. Î n paralel un calcul folosind
formulele din STAS 10107 -0-90 a fost efectuat pentru compara ție. În prima parte este

1 ANSYS -Program de analiza ce foloseste Metoda Elementului Finit
2 Buckhouse.Pentru texa sa de master ““External Flexural Reinf orcement of Existing Reinforced Concrete
Beams Using Bolted Steel Channels” de la Univ. Marquette din Wisconsin a realizat incer cari experimentale
pe grinzi de beton armat.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-2-
prezentat modul de realizare al modelului discret cu elemente finite . Cedarea grinzii este
studiată numeric și valori ca varia ția forței de încărcare și a deplasării maxime sunt
obținute. Valori importa nte pentru determinarea comportă rii grinzii din beton armat: forța
de fisurare, for ța la care curgerea armă turii longitudinale se manifestă, for ța ultimă și
deplasarea maximă ultimă sunt tabulate spre a fi comparate cu valorile corespunzatoare
obținute experimental. Aceasta fază a fost folosită pentru calibrarea m odelului de
comportare neliniară a betonului simplu. Comportare a betonului simplu este modelată
folosind suprafa ța de cedare descrisă de modelul Willam -Warnke cu 5 parametri.
Calibrarea acestor parametri : rezisten ța ultimă la compresiune uniaxiala ( fc), rezisten ța
ultimă la î ntindere uniaxiala( ft), rezisten ța ultimă la compresiune biaxiala (fcb), rezisten ța
ultimă la compresiune biaxiala suprap usa pe un efort hidrostatic ini țial (f1) și rezisten ța
ultimă la compresiune uniaxiala suprapusă pe un efort hidrostatic ini țial (f2) a fost facută
prin compara ție cu testul experimental. Ultima parte a capitolul ui cuprinde evalua rea
statistică a două marimi reprezentative, forța la care se produce intrarea în curgere a
armaturii și deplasarea maximă a grinzii, considerând variația probabilistică a cinci (5)
parametri influen ți în comportarea e lementului structural: rezisten ța la c ompresiune și
întindere a betonului, rezisten ța de curgere a armă turii, modulul de elasticitate al betonul și
al oțelului. Analiza numerică este realizată folosind capacitatea codului numeric nelinear
ANSYS .
În Capitolul 4, este analizat un perete structur al de beton armat. Modelul pentru
perete a fost realizat în aceea și manieră ca și cel pentru grinda de beton armat . Peretele
este încărcat cu o for ță orizontală monoton crescătoare și analizat până la cedare.
Rezultatele urmărite s -au centrat, ca și în caz ul grinzii de beton armat, pe 3 puncte cheie
de-a lungul analizei: fisurarea ini țială a betonului , curgerea armăturii și cedarea peretelui
de beton armat. Forțele la care se produc fisurarea betonul ui și curgerea în arma tură sunt
comparate cu rezultatele f urnizate de calculul manual al acestor for țe.
În Capitolul 5 sunt expuse concluziile rezultate din analiza celor 2 elemente de
beton armat .
La finalul lucrarii, doua anexe , I si II, cuprind fi șierele folosite in analiza neliniara
și probabilistică a celor doua elemente s imple de beton armat studiate.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-3-
2. MATERIALE

2.1. CONSIDERA ȚII GENERALE
Comportarea m aterialele se clasific ă în dou ă categorii principale :
 Materiale fragile;
 Materiale ductile.
Materialele cu comportare ductil ă sunt caracterizate prin def orma ții specific e
plastic e semnificative ( Figura 2.1.a). Prin compara ție, materialele fragile, caracterizate
printr -o rupere casantă ( Figura 2.1.b), nu dezvoltă deforma ții specific e plastic e, dar
rezisten ța ultimă este mul t superi oară celei dezvoltate de m aterialele cu rupere ductilă .

Figura 2.1. Curbele efort -deforma ție pentru materiale ductile (a) și fragile (b)
Identificarea modului de cedarea a materialelor se face prin teste de laborator. Datorită
costurilor ridicate și timpului î ndelungat , au fost dezvoltate modele matematice, numite
criterii de cedare . Acestea folosesc datele experimentale ob ținute din teste simple: teste
monoaxiale de compresiune sau întindere , teste biaxiale sau triaxiale de compresiune.
Suprafa ța de cedare într-un punct P(x,y,z) al unui solid deformabil este caracterizată de
tensorul simetric tensiunilor Tavând șase (6) componente tensoriale independente ij
(i,j=1,. ,3) și de un numar de constante specifice materialului studiat k . Expresia generală
a suprafe ței de cedare este :
f(ij,k) = 0 cu i,j=1,..,3 (2.1)
Constantele k urmeaz ă a fi determinate din teste de laborator.
Expr esia (2.1) poate fi reprezentată folosid eforturile unitare principale (σ 1,
σ2 si σ 3) si direc țiile corespunză toare (θ 1, θ2, θ3 ):
f(1,2, 3,θ θ ,θ) = 0 (2.2)

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-4-
În cazul unei ruperi izotrop e, direc țiile pr incipale de tensiune nu influen țează
cedarea materialului , criteriul de cedare este invariabil la rotirea sistemului de coordonate ,
iar ecua ția (2.2) devine:
f(1,2,3,k) = 0 (2.3)
Ecua ția (2.3) reprezintă o suprafa ță definită în spațiul tensiunilor principale 1,2
și 3.
O variantă de scrier e a criteriului de ced are (2.3) este folosirea invarian ților stării
de tensiune I1, I2, I3:
f(1,2,3,k) = 0, (2.4)
unde: I1 = ો૚+ો૛+ો૛        (2.5)
I2 = ો૚∙ો૛+ો૛∙ો૜+ો૜∙ો૚
I3 = ો૚∙ો૛∙ો૛
Daca tensorul de tensiune principal es te descompus î ntr-un tensor sferic T s și un
tensor deviatoric T d suprafa ța de cedare se p oate exprima:
f(1, 2d, 3d, k) = 0 , (2.6)
unde : d = ۷૛−૚
૜∙(۷૚)૛ (2.7)
d = ۷૜−૚
૜∙۷૚∙۷૛+૛
૛ૠ∙(۷૚)૛,
unde I2d si I 3d sunt al doilea și al treilea invariant al tensorului deviatoric.
Criteriul de cedare poate fi scris și în variabile polare, folosind  și cos 3 θ
f(,cos3θ,k0(2.8)
unde: =ࡵ૚
૜ (2.9)
ૉ=ඥ૛∙۷૛܌
ܛܗ܋૜ી=૜∙√૜
૛∙۷૜܌
۷૛܌૜
૛
 Orice stare de tensiune reprezentată de un tensor Tcare verifică orice
formă a ecua ției (2.2) :
f(1,2,3,k)=0, (2.10)
se nume ște stare critică .

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-5-
Dacă valoarea func ției este mai mică decâ t zero,
f(1,2,3,k)<0, (2.11)
starea de tensiune se nume ște stare de siguran ță, iar c ompor tarea materialului este
elastică .
Dacă valoarea func ției este mai mare decâ t zero,
f(1,2,3,k)>0, (2.12)
atunci starea de tensiune reprezintă o stare de cedare .
Din intersec ția suprafeț ei de cedare cu planul deviator (=0=constant ), rezult ă o
curbă de cedare (Figura 2.2) . Ecua ția curbei de cedare este:
f(0,cos3θ ,k0. (2.13)

Figura 2.2. Intersec ția cu planul deviator( =0=constant) a suprafe ței de cedare
Func ția cos θ este periodic ă de perioad ă 2π, a șadar și func ția cos 3θ este periodic ă
cu perioada ଶ∙గ
ଷ=120°. În Fig. 2.3. se prezint ă varia ția ambelor func ții, cos θ și cos 3θ.
Pe baza observa țiilor experimentale rezultă deasemenea periodicitatea similara de
ଶ∙஠
ଷ=120 °, și se pot scrie rela țiile:
f(0,cos 0,k f(0,cos૛∙࣊
૜,k f(0,cos૝∙࣊
૜,k(2.14)
Rezultă din relatia (2.14) că raza polară a curbei de cedare trebuie s ă aibă aceea și
valoare pentru cele 3 valori ale unghiului θ(0ș, 120ș, 240ș), și anume  t. Așadar, curba
rezultat ă din intersec ția suprafe ței de cedare cu planul deviator are ca axe de simetrie
razele polare la θ=0, ଶ∙஠
ଷ, ସ∙஠
ଷ.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-6-

Figura 2.3. Varia ția func țiilor cos θ și cos 3θ
Din varia ția func ției cos 3θ, se mai poate oberva c ă în intervalul 0≤θ≤ଶ∙π
ଷ,
curba mai are un punct de simetrie la θ=ଶ∙π
ଷ=60°. Acest punct de simetrie se gase ște și
în celelalte 2 intervale, la θ=π=180° si θ=ହ∙π
ଷ=300°. Raza polar ă pentru aceste 3
puncte de simetrie este  c.
În concluzie, curba de cedare trebui e construit ă din teste experimentale doar pentru
valori θ în intervalul 0≤θ≤π
ଷ și folosind simetria la θ=π
ଷ, se construie ște curba p ână la
θ=ଶ∙π
ଷ. Următoarele 2 segmente se construiesc folosind propriet ățile de simetrie și
periodicitate a intersec ției cu planul deviator la θ=ଶ∙π
ଷ și θ=ସ∙π
ଷ.
Rezultatele experimentale in dică convex itatea curbei de cedare .
Curbele ob ținute din intersec ția suprafeț ei de cedare cu planul θ=constant trecând
prin axa hidrostatică , se numesc meridiane . Acestea sunt r eprezentate î n planul ,
denumit plan meridian .
Un interes practic este reprezentat de urmă toarele meridiane:
 Meridianul de î ntindere corespunz ător lui θ=0. Eforturile principale
corespunză toare sunt indic ând o suprapunere a st ării de efort hi drostatic
cu un efort de întindere aplicat în lungul direc ției principale 1. Stările de efort
localizate pe meridianul de întindere sunt întindere uniaxial ă și compresiune
biaxial ă.
 Meridianul de compresiune corespunză tor lui θ=࣊
૜. În acest caz, eforturile
principale s e află în rela ția  și indică o suprapunere a st ării de efort
hidrostatic cu un efort de compresiune aplicat în lungul direc ției principale 3.
Starea de efort posibilă pentru meridianul de compresiune este compresiune a
uniaxial ă.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-7-
 Meridianul de forfecare corespunză tor lui θ=࣊
૟. Eforturile principale sunt în
relația și corespund unei stări de forfecare pură .

Figura 2.4. Intersec ția suprafeței de cedare cu planul θ=constant

2.2. BETON

Pentru cazul betonului , suprafa ța de cedare este dependentă de presiunea
hidrostatică . Intersec ția cu planul deviator reprezintă tot o curbă convexă , dar se modifică
funcție de planul deviator ales. Suprafa ța de cedare are u na dintre expresiile de la ecua țiile
(2.3), (2.4) sau (2.8).
În prezentul studiu este folosit criteriul de cedare Willam -Warnke3. Se consideră o
comportare izotropă a mater ialului . Suprafa ța de cedare este reprezentată de un con cu
meridian e curbe și baza necirculară , iar în zona de î ntindere, din cauza limitării capaci tății
de întindere, forma este tetraedrică . Posibilit ățile de cedare ale materialului sunt fisurarea
excesiv ă sau strivirea.

Figura 2. 5.-Suprafa ța de cedare pentru criteriul Willam -Warnke

3 Criteriul de cedare dezvoltat in anul 1975 de catre K.J.Willam si E.P.Warnke

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-8-
Criteriul de cedare Willam -Warnke , pentru o stare de eforturi mu ltiaxială , se
exprim ă:
܎(ો܉,ૌ܉,ી)=૚
ܚ(ો܉,ી)∙ૌ܉
܎܋−૚ (2.15)
unde: ો܉,ૌ܉ -valorile medii ale tensiunilor principale ;
ܚ(ો܉,ી)- suprafa ța de cedare exprimată î n termeni de tensiuni principale și 5
parametri ;
fc- rezisten ța ultimă la compresiune monoaxială .
Cei 5 pa rametri de care depinde suprafa ța de cedare sunt:
 ft-rezisten ța ultimă la întindere monoaxială ;
 fc- rezisten ța ultimă la compresiune monoaxială ;
 fcb-rezisten ța ultimă la compresiune biaxială ;
 f1-rezisten ța ulti mă la compresiune biaxială suprapusă pe o tensiune hidrostatică
a;
 f2- rezisten ța ultimă la compresiune monoaxială suprapusă pe o tensiune
hidrostatică a.
Pentru simplificare, suprafa ța de cedare se consideră exprimată doar în func ție de f t
și fc, ceilal ți 3 termeni fiind definiti pe cale empirica prin urm ătoarele rela ții:
fcb=1.2· fc (2.16)
f1=1.45 · fc (2.17)
f2=1,725 · fc (2.18)
Relațiile (2.16), (2.1 7), (2. 18) sunt valabile în cazul în care presiunea hidrostatică
este mică : |σୟ|≤√3∙fୡ.
Condi ția de cedare se exprim ă:
܎(ો܉,ૌ܉,ી)=૙→ૌ܉
܎܋=ܚ(ો܉,ી) (2.19)
Tensiunile principale medii se exprim ă:
ો܉=૚
૜∙(ો૚+ો૛+ો૜) (2.20)
ૌ܉ = ૚
√૚૞ඥ(ો૚−ો૛)૛+(ો૛−ો૜)૛+(ો૜−ો૚)૛ (2.21)
Suprafa ța de cedare este construit ă prin aproximarea meridianelor la θ=0 ș și θ=60 ș
prin 2 parab ole de ordinul 2 care sunt conectate printr -o suprafa ță elipsoidal ă.
Suprafa ța de cedare , ܚ(ો܉,ી), are expresia:

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-9-
ܚ(ો܉,ી) = ૛∙ૉ܋૚൬ૉ܋૚૛−ૉܜ૚૛൰∙ܛܗ܋ી +ૉ܋૚(૛∙ૉܜ૚−ૉ܋૚)∙ඨ૝∙൬ૉ܋૚૛−ૉܜ૚૛൰∙ܛܗ܋ી૛+૞∙ૉܜ૚૛−૝∙ૉܜ૚ૉ܋૚
૝∙൬ૉ܋૚૛−ૉܜ૚૛൰∙ܛܗ܋ી૛+(ૉ܋૚−૛∙ૉܜ૚)૛ , (2.22)
unde: cos θ=૛∙ો૚ିો૛ିો૜
√૛∙ඥ(ો૚ିો૛)૛ା(ો૛ିો૜)૛ା(ો૜ିો૚)૛ (2.23)
ρt=a0+a1ξ+a2ξ2 (2.24)
ρc=b0+b1ξ+b2ξ2 , (2.25)
ρt și ρc reprezintă razele polare ce descriu meridianele la θ=0ș și θ=60 ș: ρt =
ρt(θ=0 ș,120ș,240ș), ρc = ρc(θ=60 ș,180ș,300ș) și sun t func ție de :
ξ=ો܉
܎܋ (2.26)
Valorile a 0, a1 , a2 și b0, b1, b2 se determină cu ajutorul a 6 teste experimentale .
Pentru a determina ρt, ft, fcb, f1 trebuie să se afle pe suprafa ța de cedare. Pentru a găsi ρc ,
fc, f2, fcb trebuie să se gasească pe su prafața de cedare.
Pentru θ=0ș(meridianul de î ntindere), r(σ a,θ) = ρt, de unde rezultă :
r(σ a,θ) = ૌ܉
܎܋ = a0+a1ξ+a2ξ2 (2.27)
Folosind 3 teste: î ntindere uniaxi ală, compresiune biaxială și co mpresiune triaxială
și înlocuind î n (2.24), rezultă un sistem de 3 ecua ții cu 3 necunoscute, iar din rezolvarea
sistemului constantele a 0, a1 și a2.

⎩⎪⎨⎪⎧ૌ܉
܎܋(ો૚=܎ܜ,ો૛=ો૜=૙)
ૌ܉
܎܋(ો૚=૙,ો૛=ો૜=−܎܊܋)
ૌ܉
܎܋(ો૚=−ો܉,ો૛=ો૜=−ો܉−܎૚)⎭⎪⎬⎪⎫
=቎૚૆ܜ૆ܜ૛
૚૆܊܋૆܊܋૛
૚૆૚૆૚૛቏∙൝܉૙
܉૚
܉૛ൡ (2.28)
unde : ξ t = ܎ܜ
૜∙܎܋ (2.29)
ξ cb = −૛∙܎܊܋
૜∙܎܋
ξ 1 = −ો܉
܎܋−૛∙܎૚
૜∙܎܋.
Înlocuind a0, a 1, a 2 în ecua ția (2.2 4), rezult ă raza polar ă corespunz ătoare
meridianului de întindere, ρt.
Pentru a rezulta vârful suprafe ței de cedare este necesară condi ția:
r1(σa) = 0 (2.30)

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-10-
a0+a1ξ0+a2ξ0 2 = 0
Pentru θ=60ș(meridianul de compresiune), r(σ a,θ) = ρc și se poate scrie:
r(σ a,θ) = ૌ܉
܎܋ = b0+b1ξ+b2ξ2 (2.31)
Și în acest caz se fac experimente : com presiune uniaxială , compresiune triaxială ,
și o condi ție suplimentară pentru ca și vârful parabo lei meridianului de compresiune să
rezulte comun cu cel al parabolei meridianului de întindere :
r1(σa) = r2(σa) = 0 (2.32)
ૌ܉
܎܋ =0
Înlocuind în (2.2 8), rezultă cele 3 necunoscute b 0, b1 și b2.

⎩⎪⎨⎪⎧ૌ܉
܎܋(ો૚=ો૛=૙,ો૜=−܎܋)
ૌ܉
܎܋(ો૚=ો૛=−ો܉,ો૜=−ો܉−܎૛)
ૌ܉
܎܋=૙⎭⎪⎬⎪⎫
=൦૚−૚
૜૚
ૢ
૚૆૛૆૛૛
૚૆૙૆૙૛൪∙൝܊૙
܊૚
܊૛ൡ (2.33)
unde : ξ 2 = −ોܐ
܎܋−܎૛
૜∙܎܋ (2.34)
ξ 0-radacin ă a ecua ției: a0+a1 ·ξ0+a2 ·ξ 02=0.
Înlocuind b0, b 1, b 2 în ecua ția (2.2 5), rezult ă raza polar ă corespunz ătoare
meridianului de compresiune, ρ c.

Figura 2. 6.-Meridianele de întindere și compresiune
Pentru ca suprafa ța de cedare să fie convexă , razele polare ρt și ρc trebuie să se afle
în rela ția:
0.5≤ૉܜ
ૉ܋≤1.25 (2.35)

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-11-
Constantele a 0, a1, a2 și b0, b1, b2 trebuie să îndeplinească următoarele condi ții
pentru ca suprafa ța de cedare să fie netedă :
a0≥0, a 1≤0, a 2≤0 (2.36)
b0≥0, b 1≤0, b 2≤0
În cazul în care 3 este aproximativ egal cu 0 ,se poate proiecta în planul 1-2
supraf ața de cedare , observ ându-se posibilită țile de cedare prin fisurare excesivă sau prin
strivire , funcție de poziția față de valoarea 0 a tensiunii principale 3. Acest aspect este
ilustrat în Fig. 2. 7.

Figura 2. 7.-Proiec ția în plan a suprafe ței de cedare
Considerând că eforturile principale sunt în rela ția ો૚≥ો૛≥ો૛, ANSYS
define ște 4 domenii de cedare , iar pentru fiecare din cele 4 domenii, func ția de cedare are
expresii derivate din forma generală expusă în detaliu ant erior :
1. ૙≥ો૚≥ો૛≥ો૜(compresiune -compresiune -compresiune);
ܚ۷(ો܉,ી) = ૛∙ૉ܋૚൬ૉ܋૚૛−ૉܜ૚૛൰∙ܛܗ܋ી +ૉ܋૚(૛∙ૉܜ૚−ૉ܋૚)∙ඨ૝∙൬ૉ܋૚૛−ૉܜ૚૛൰∙ܛܗ܋ી૛+૞∙ૉܜ૚૛−૝∙ૉܜ૚ૉ܋૚
૝∙൬ૉ܋૚૛−ૉܜ૚૛൰∙ܛܗ܋ી૛+(ૉ܋૚−૛∙ૉܜ૚)૛ (2.37)
ૌ۷܉ = ૚
√૚૞ඥ(ો૚−ો૛)૛+(ો૛−ો૜)૛+(ો૜−ો૚)૛ (2.38)

2. ો૚≥૙≥ો૛≥ો૜(întindere -compresiune -compresiune);

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-12-
ܚ۷۷(ો܉,ી)=(૚−ો૚
܎ܜ)૛∙ૉ܋૛൬ૉ܋૛૛−ૉܜ૛૛൰∙ܛܗ܋ી +ૉ܋૛(૛∙ૉܜ૛−ૉ܋૛)∙ඨ૝∙൬ૉ܋૛૛−ૉܜ૛૛൰∙ܛܗ܋ી૛+૞∙ૉܜ૛૛−૝∙ૉܜ૛ૉ܋૛
૝∙൬ܘ૛૛૛−ܘ૚૛૛൰∙ܛܗ܋ી૛+(ܘ૛−૛∙ܘ૚)૛
(2.39)
ૌ۷۷܉ = ૚
√૚૞ඥ(ો૛−ો૜)૛+ો૛૛+ો૜૛ (2.40)

3. ો૚≥ો૛≥૙≥ો૜(întindere-întindere -compresiune);
ܚ۷۷۷(ો܉,ી)=܎ܜ
܎܋∙(૚+ો૜
܎܋) (2.41)
ૌ۷۷۷܉=ો૚ (2.42)
ૌ۷۷۷܉=ો૛

4. ો૚≥ો૛≥ો૜≥૙(întindere -întindere -întindere).
ܚ܄۷(ો܉,ી)=܎ܜ
܎܋ (2.43)
ૌ܄۷܉=ો૚ (2.44)
ૌ܄۷܉=ો૛
ૌ܄۷܉=ો૜

Ca avantaje pentru criteriul Willam -Warnke, se pot enumera:
 rezultatele sunt apropiate de cele experimentale;
 determinare simplă a parametrilor mode lului din teste standard;
 suprafa ța este continuă;
 curbele sunt netede și convexe (nu au puncte de inflexiune) .

Exemplu. Determinare coeficien ți a0, a1, a2 , b0, b1 și b 2 pentru domeniul 1 de cedare.
Pentru exemplificare, se aleg rezisten țele de calcul l a întindere și compresiune ale
betonului folosit mai departe în analiză:
fc = 33.1 MPa
fr = 3.31 MPa.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-13-
Cu aceste valori se determină f cb, f1, f2:
fcb = 1.2·f c = 39.7 MPa
f1 = 1.45·f c = 48 MPa
f2 = 1.725·f c = 57.1 MPa
Se porne ște de la o stare inițială de e fort: σ a = 50 MPa.
Se calculează:
ξ = ஢౗
୤ౙ = 1.5106
ξ t = ୤౪
ଷ∙୤ౙ = 0.0333
ξ cb = −ଶ∙୤ౙౘ
ଷ∙୤ౙ = -0.8
ξ 1 = −஢౗
୤ౙ−ଶ∙୤భ
ଷ∙୤ౙ. = -2.4772 .
Înlocuind în sistemul (2.2 5) se ob ține:
൝0.0365
0.4382
0.5295ൡ=൥1 0.0333 0.0011
1−0.8 0.64
1−2.4772 6.1365൩∙൝a଴
aଵ
aଶൡ.
Rezultă a 0, a1 și a 2:
a0=0.0571
a1= -0.6126
a2= -0.1703.
Înlocuind valorile a 0, a 1 și a 2 în (2.2 1) rezultă raza polară corespunzătoare
meridianului de în tindere: ρ t = -1.2568.
Pentru determinarea b 0, b1 și b 2 se calculează:
ξ 2 = −஢౞
୤ౙ−୤మ
ଷ∙୤ౙ = -2.0856
ξ 0 = 0.0909
Înlocuind î n sistemul (2.30 ) se ob ține:
൝0.3651
0.6299
0ൡ=቎1−ଵ
ଷଵ
ଽ
1−2.0856 4.3497
1 0.0909 0.0083቏∙൝b଴
bଵ
bଶൡ.
Rezultă b 0, b1 și b 2:

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-14-
b0=0.0881
b1= -0.9397
b2= -0.3260.
Înlocuind valorile b 0, b 1 și b 2 in (2.2 2) rezultă raza polară corespunzătoare
meridianului de compresiune: ρ c = -2.0754.
Se observă că razele polare respectă condi ția de convexitate:
0.5≤஡౪
஡ౙ=0.606≤1.25
Constantele a 0, a1, a2 și b 0, b1, b2 îndeplinesc și condițiile pentru ca suprafața de
cedare să fie netedă:
a0≥0, a 1≤0, a 2≤0
b0≥0, b 1≤0, b 2≤0

În momentul în care într -un punct al solidu lui rigid se atinge criteriul de cedare,
ૌ܉
܎܋−ܚ(ો܉,ી)≥૙, în continuare materialul poate avea o comportare neliniar ă (merg ând
pe curba de cedare) sau se poate desc ărca.
Relația efort -deforma ție pentru comportarea neliniar ă a betonului se ob ține cu
formulele lui MacGregor4:
f=۳܋∙∙ઽ
૚ା(ઽ
ઽ૙)૛ (2.45)
ε0=૛∙܎܋
۳܋ (2.46)
Ec=܎
ઽ, (2.47)
unde: -f-efort corespunzător deforma ției ε;
ε-deforma ție corespunzătoare efortului f;
ε0-deforma ție la rezistență ultimă la compresiune f c.

4 MacGregor, J.G. (1992), Reinforced Concrete Mechanics and Design , Prentice -Hall, Inc.,Englewood
Cliffs, NJ.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-15-

Figura 2. 8. –Curba efort -deforma ție (σ-ε) a betonului din teste de compresiune uniaxiala

2.3. OȚEL BETON

Modelul de comportare pentru o țel este elastic -liniar cu consolidare (biliniar) . Este
caracterizat de mod ulul de elasticitate (Ea), modulul de elasticitate tangent (Et) și limita de
curgere (fy). Prezintă simetrie în întindere și compresiune.

Figur a 2.9. –Curba efort -deforma ție (σ-ε) a o țelului din teste de intindere uniaxiala

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-16-
3. GRIND Ă DE BETON ARMAT

Grinda de beton armat considera tă este o grinda simplu rezemată solicitată de două
forțe veticale (Figura 3.1.) studiată experimental de Buckhouse (1997). Studiile
experimentale au fost folosite la calibrarea modelului de comportar e neliniara a betonului
descrisă de criteriul cu cinci parametri Willam -Warnke.

3.1.STUDIU EXPERIMENTAL

Caracteristicile grinzilor î ncercate:
 Dimensiunile grinzilor experimentale : lățime 10 in.( 254mm), înălțime 18 in.(457.2
mm) , iar lungimea 15 ft. -6 in.(5638.4 mm);
 Grinzile sunt simplu rezemate, cele 2 reazeme fiind situate la distan ța 3 in.(76.2
mm) de fiecare cap ăt;
 Armătura longitundinal ă 3Φ5 la partea inferioar ă a grinzii și etrieri , bare în formă
de U, Φ3;
 Acoperirea cu beton a armă turii este de 2 in.( 50.8 mm);
 Oțelul din armătură are limita de cur gere f yd=60000 psi(413.685 MPa);
 Betonul are re zisten ța de rupere la compresiune ,f cd=4800 psi (3 3.1 MPa);
 Grinzile se încarcă cu 2 for țe concentrate de 50 kip (222.41 kN) situate la distan ța
5ft.(1524 mm) de reazeme.

In Figura 3.1. se prezinta geometria grinzii, rezemarea și aplicarea forț elor pe
aceasta.

Figura 3.1.Grind ă experimental ă : încărcare și reazeme (Buckhouse 1997)

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-17-
In Figura 3.2. sunt prezentate detaliile de armare ale grinzii.

Figura 3.2.Armare grinzi experimentale.

Înregistrarea incă rcarii aplicate, deplasărilor grinzii și deformațiilor î n arm ătură s-a
realizat cu echipamente de colectare a datelor.
În urma experimentelor s -au eviden țiat urmă toarele rezultate:
 Au apărut fisuri verticale în zona de moment î ncovoietor constant, extinse de la
partea inferioară a grinzii și până la partea superioară , fiind urmate de fisuri în zona
de for ță tăietoare constantă , eventual cu ruperea betonului în zona de moment
încovoietor constant;
 Rezisten ța ultimă calculată de Buckhouse a fost de 14600 lbs(64.95 kN), iar cea
rezultată din teste a fost de 16310 lbs(72.55 kN), ceea ce indică faptul că a fost
atinsă capacitatea ultimă la moment î ncovoietor a grinzii;
 S-a observat un comport ament liniar până la prima fisură (la aproximativ 4500 lbs –
20 kN); un al doilea palier se formează până la intrarea în curgere a armăturii de
rezisten ță( aproximativ 13400 lbs -59.61 kN) ; ultimul palier est e caracterizat de
deforma ții mari și creștere nesem nificativă a for ței până la rupere(16310 lbs -72.55
kN);
Curba for ță-deplasare , pe baza observa țiilor de mai sus este ilustata in Figura 3.3.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-18-

Figura 3 .3.Curba for ță-deplasare pe baza rezultat elor din încercă ri experimentale ale lui
Buckhouse

3.2. CALCULE S IMPLIFICATE

Forța la care betonul fisurează, P fisurare se calculează cu formula următoare:
Pfisurare =ۻ܍ܚ܉ܚܝܛܑ܎
ܔ (3.1)
Mfisurare =܊∙ܐ૛
૟∙܎ܚ, (3.2)
unde – Mfisurare -valoarea momentu lui încovoietor la care se produce fisurarea grinzii;
– h – înalțime grindă de beton armat;
– b – lațimea grinzii;
– l – lungimea grinzii de beton armat;
-fr – efortul de fisurare al betonului, calculat cu formula (3.3) prezentată mai sus.
Pentru grinda analizata a rezultat o valoare P fisurare =5140 lbf(22.86 kN).

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-19-
Forța la care armătura intră în curgere, P y, se calculează în situa ția de balans a
secțiunii. Se presupune ca în armătură se atinge deformația de curgere( εy) în momentul în
care se atinge deforma ția ultimă în beton( εbu). De aici rezultă:
T=A a·fy (3.3)
a=܂
૙.ૡ૞∙܎܋∙ܟ (3.4)
x=a·0.85 (3.5)
My=ۯ܉∙܎ܡ∙(ܐ܉−ܠ
૛) (3.6)
Py=ۻܡ
ܔ, (3.7)
unde – T-efortul de întindere în armatură ;
– Aa -aria arm ătură de rezisten ță;
– fy -limita de curgere a o țelului;
– ha = h-2·c;
– x- inalțimea zonei comprimate de beton.
În situa ția d e față, forța la care armătura intră în curgere a rezultat cu valoarea
Py=13872 lbf(61.7 kN).

3.3.MODELUL NUMERIC

Folosirea Metod ei Elementului Finit presupune modelarea grinzi i din beton armat
cu dimensiunile și proprietă țile grinzii experimentale a lui Bu ckhouse. Datorită simetriei
geometrice si a incarcarii a fost modelată doar ¼ din grind a reala. Modelarea efectiva s -a
realizat folosind capacitatea codului numeric neliniar ANSYS

3.3.1. TIPURILE ELEMENTELOR

Pentru grinda de beton s-a folosit un element finit 3D SOLID 65 ce este
caracterizat de 8 noduri, cu 3 grade de libertate pe nod (transla ții în direcț iile x, y și z).
Acest element suportă deforma ții plastice, fisuri în 3 direc ții ortogonale ș i rupere prin
strivire .

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-20-

Figura 3.4. Element finit tip SOLID 65
Plăcile de rezemare și încă rcare au fost modelate folosind elementul finit 3D
SOLID45, definit de 8 noduri și 3 grade de libertate pe nod (transla ții în direcț iile x, y și
z).

Figura 3.5. Element finit tip SOLID 45
Modelarea armă turilor s -a facut cu elementul finit LINK8, ce reprezintă un
elem ent de bară 3D axial deformată ce are 2 noduri și 3 grade de libertate la fiecare nod
(transla ții în direcț iile x, y și z). Și aceste element e finite suportă deforma ții plastice.

Figura 3.6. Element finit t ip LINK 8

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-21-
3.3.2. CONSTANTE REALE PENTRU ELEMENTELE SOLID 65, SOLID 45 ȘI
LINK 8
Set constante
reale Tip
element Aria
inp(mmp) Efort initial
4
LINK 8 0.11(70.968) 0
44 0.055(35.484) 0
5 0.31(200) 0
55 0.31(200) 0

Tabel 3.1. Constante reale elementul finit LINK 8

Element ele finite SOLID 65 si SOLID 45 nu au constante reale.
LINK 8 este definit de 2 constante reale: aria și efortul iniț ial. Pentru acest element
au fost introduce seturile 4, 44, 5 și 55 de constante reale, primele două caracterizâ nd
armătura de rezisten ță și ultimele două, etrierii. În ceea ce prive ște deformația inițială ,
aceasta are valoar ea 0 deoarece nu este efort ini țial în armătură .

3.3.3. PROPRIETĂ ȚILE MATERIALELOR

Materialul numărul 1 este discretizat cu elementul finit SOLID 65 . Acest element
este caracterizat de o comportare multiliniar izo tropă cu 8 segmente (Figura 3.7.) pentru a
modela corespunză tor comportarea betonului simplu .
Pentru definirea curbei σ-ε, se consideră o comportare liniară a betonului până la o
valoare a efortului egală cu 0.3f c , iar deforma ția de rupere pentru betonul neconfinat se
consideră la ε0=0.0036 . Primul segment, reprezentand p roprietă țile liniar izotrope este
definit de modulul de elasticitate al betonului E c, și coeficientul Poisson ν.
Standardul American ACI -390 indica urmatoarea formula pentru calculul
modulului de elasticitate al betonului simplu :
Ec = 57000ඥ܎܋, fc= 4800 psi(33.1 MPa), (3.8)
iar coeficientul lui Poisson are valoarea ν=0.3.
Proprietă țile multilinia re ale betonului simplu folosite de criteriul de cedare
Willam –Warnke pentru a defini cedarea betonului la compresiune monoaxiala se
datoreaza cercetarilor lui MacGregor . Relația efort -deforma ție, pe baza cercet ărilor lui
MacGregor si au fost prezentat e în formulele (2.45), (2.46), (2.47) si Figura 3.7.
Primul punct al curbei efort -deforma ție trebuie definit de utilizator și este
obligatoriu sa îndeplinească legea lui Hooke:

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-22-
E=ો
ઽ. (3.9)
Pentru modelul analitic pr opus , curba σ -ε este definită de 9 puncte . Se aleg
deforma ții cu valori până la deformație de rupere ș i, pe baza formulelor lui MacGregor, se
determină eforturile.

Figura 3.7. Curba efort -deforma ție a betonulu i pentru compresiune monoaxială
Implementarea î n Ansys a criteriului de cedare Willam -Warnke, presupune
definirea urmă toarelor constante tabulate in Tabelul 3.2. :
 Coeficien ți de transfer pentru forța tăietoare pentru o fisură deschis ă;
 Coeficien ți de transfer pentru forț a tăietoare pentru o fisură închisă ;
 Efortul de fi surare prin intindere monoaxială (fr);
 Efortul de ru pere prin compresiune monoaxială (ft);
 Efortul de rupere prin compresiune biaxială (fcb);
 Efortul hidrostatic (σh);
 Efortul d e rupere la compresiune biaxială +efort hydrostatic (f1);
 Efortul de rupere la compresiune monoaxială +efort hidrostatic (f2);
 Modulul de elasticitate tangent.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-23-
Coeficien ții de transfer pentru forța tăietoare au valoarea 0 atunci câ nd se produce
pierderea completă a transferului și valoarea 1 c ând nu se pierde transferul. Acești
coeficien ți au fost determinați pe baza experimentă rilor lui Kachlakev5 (2001).
Efortul de fi surare prin întindere monoaxială se calculează pornind de la rezisten ța
de rupere prin comp resiune monoaxială :
fr=7.5ඥ܎܋. (3.10)
Efortul de rupere prin compresiune monoaxială , ft, este introdus î n model cu
valoarea -1 pentru a impiedica capacitatea de rupere a elementului de beton și pentru a n u
exista probleme de convergen ță.
Materialul numarul 2 este discretizat cu elementul finit SOLID 45 și este modelat
ca un element liniar izotrop, fiind caracterizat de modulul de elasticitate al o țelului, Ea și
coeficientul lui Poisson, ν=0.3. Valorile sunt tabulate in Tabelul 3.2.
Modelul de material numarul 3 este discretizat cu elementul finit LINK 8, ce
define ște armătur a. Este modelat ca un element biliniar izotrop . Pentru modelul biliniar
trebuie introduse limita de curgere a o țelului, fy și modulul de elasticitate tangent , E t.
Pentru caracteristicile liniar izotrope se introduc deasemenea modulul d e elasticitate, Ea și
coeficientul Poisson, ν.
În continuare se prezintă curba efort -deforma ție a oț elului. Ultimul palier al curbei
este impus de modul de definire al rela ției efort -deforma ție în ANSYS.

Figura 3.8. Curba efort -deforma ție (σ-ε) a otel ului

5

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-24-
NUMAR MODEL
MATERIAL TIP
ELEMENT PROPRIETATI MATERIAL
1 SOLID 65
Liniar izotrop
EX 27230 MPa
PRXY 0.3

Multiliniar izotrop
Efort Deformatie
Punct 1 0 0
Punct 2 9.71 0.00036
Punct 3 15.02 0.00058
Punct 4 22.41 0.00095
Punct 5 27.67 0.0013
Punct 6 30.94 0.0017
Punct 7 32.24 0.0019
Punct 8 33.1 0.0024
Punct 9 33.1 0.0036

Coeficienti beton
Coef trans fisura inchisa 0.3
Coef trans fisura deschisa 1
Ef intindere monoaxial 3.3 MPa
Ef compresiune monoaxial -1
Ef compresiune biaxial 0
Ef hidrostatic 0
Ef compres biaxial+ef
hidrostatic 0
0
Ef intindere monoaxial+ef
hidrostatic 0
0
Modul elasticitate tangent 0

2 SOL ID 45
Liniar izotrop
EX 199900 MPa
PRXY 0.3

3 LINK 8
Liniar izotrop
EX 199900 MPa
PRXY 0.3

Biliniar izotrop
Efort curgere 413.7 MPa
Modul tangent 12930 MPa

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-25-
Tabel 3.2. Propriet ățile materialelor

3.3.4. MODELARE
Datorita simetriei elementului modelarea va fi facuta doar pe ¼ din grind ă, iar
dimensiunile acesteia sunt 93 in. (2362 mm), cu sec țiunea de 5 in. (127 mm)x18 in.(457.2
mm).
Pentru armăturile longitudinale și etrieri se folos esc elemente LINK 8 . Cea din
planul de simetrie este jumătate din cea din interiorul grinzii datorită modelarii unui sfert
din grindă.

Figura 3.9. Volum creat în Ansys
Pentru elementul finit SOLID 65, se folosesc elemente finite cu form ă
rectangula ră. Dimensiunile acestora sunt 1.5 in.(38.1 mm), 1.2 in.(30.48 mm) și 1.25
in.(31.75 mm) în direc țiile x, y și respectiv z.
Plăcile de încărcare și cele de rezemare se modelează astfel încât nodurile să
coincidă cu elementele finite din grinda de beton.
Pentru armătură nu a fost necesară împăr țirea în elemente finite deoarece
elementele finite au fost create din împăr țirea în elemente finite a grinzii.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-26-

Figura 3.10. Configura ție armătură longitudinală și transversală grindă

Figura 3.11. Dimensiuni elemente finite Ansys

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-27-
Pentru ca modelul să aibă o solu ție unică, sunt necesare condiții de margine în
deplasări. Pentru a se comporta ca grinda experimentală, se impun condi ții de margine la
planele de simetrie, în punctele de rezemare și în punctele de aplicare a încărcării.
Modelul este simetri c in planurile X0Y si Y0Z . Pentru a modela simetria, nodurilor
din aceste planuri le sunt introduse constrângeri : UX=0 și UZ=0. În ceea ce privește placa
de reazem, unei linii de noduri din placă i -au fost aplic ate constrângeri în direc țiile UY și
UZ (UY=0 și UZ=0), ceea ce presupune că grinda se poate roti în zona de reazem.
Forța P, aplicată pe placa de incărcare este atribuită nodurilor de -a lungul unei linii
mediane a plăcii.

Figura 3.12. Constrângeri grindă de beton si placi de incarcare si rezemare

3.3.5. ANALIZ A NUMERICA SI REZULTATE
Analiza a fost setată pentru a se urmă ri 3 comportamente ale grinzii de beton:
 Fisurarea ini țiala a grinzii;
 Curgerea în armătură ;
 Limita de rupere a grinzii.
Pentru a surprinde m ai bine aceste situa ții, pasii de incrementare au fos t mic șoraț i.
Spre exemplu, pe un segment cuprins între 0.9 -1.1 Pfisurare , au fost defini ți 40 de subp ași de

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-28-
încărcare, iar pe un segment cuprins intre 0.95 -1.1 Py, au fost defini ți 100 de subpa și de
încărcare. Pe celelalte intervale, incremen ții de încărcare au fost m ăriți, pentru a scurta
durata de analiză .
Timp la
începutul
analizei Timp la
sfarșitul analizei Pas
încărcare Subpa și Increment
încărcare
0 4883.8 1 1 4883.8
4883.8 4903 2 1 19.2
4903 5654.9 3 40 18.7975
5654.9 5805.4 4 1 150.5
5805.4 13178 5 50 147.45
13178 13199 6 1 21
13199 15259 7 100 20.6
15259 15357 8 1 98
15357 15698 9 5 68.2

Tabel 3.3. Valoarea for țelor și incremen ții de inc ărcare la fiecare pas de inc ărcare

Scopul c ompara ției modelul ui analitic folosind Metoda Elementului Finit cu grinda
experimentală a lui Buckhouse a constat în demonstrarea faptului că elementele folosite,
proprietă țile materialelor, constantele reale și criteriile de conve rgență sunt adecvate
pentru a modela raspunsul elementului structural.
Domeniile de interes în analiză au fost : zona de comportare liniară a betonului,
fisurarea ini țială, zona de comportare neliniară a elementului, curgerea o țelului ș i cedarea
elementului de beton.
Privind com portarea î n domeniul liniar (înainte de fisurare), se fac compara ții între
rezultatele expermentale și metoda analitică folosind MEF, pentru a asigura că eforturile și
deforma țiile sunt compatibile. Odată cu apari ția fisură rii, eforturile și deforma țiile d evin
mai dificil de determinat.
Primele fisuri apar î n zona de moment constant, așa cum este de aș teptat. Fisurarea
inițială corespunde unei încărcă ri de 4922 lbf(21.9kN), ceea ce presupune eforturi dincolo
de limita de rupere a betonului (4800 lbf -21.35 kN). Rezultatul an alitic este destul de
apropiat și de calculul manual al forț ei de fisurare, din care a rezultat valoarea 5140.8 lbf
(22.85kN). Buckhouse a raportat prima fisura la o for ță de 4500 lbf (20 kN), folosind
inspec ția vizuală a grinzii.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-29-

Figura 3.13. Apari ția primelor fisuri în grindă î n zona de moment constant
După fisurarea in ițială a betonului , apar din ce î n ce mai multe fisuri, pe masură ce
forțele cresc. Fisurile se extind în zona de moment constant și treptat se îndreaptă spre
reazeme . În continuare s e prezintă diferite stadii ale dezvoltării fisurilor până la ini țierea
curgerii î n arm ătură. După cum se poate observa î n Fig.3.1 7.,3.18, pe masură ce fisurile se
indreaptă spre zona de reazem, apar, pe langă fisurile vertical e și fisuri diagonale.
Curgerea î n arm ătură se produce la o valoare a încărcă rii de 13178 lbf.(58.62 kN) .
În acest punct , deplasările încep s ă crească foarte mult la o cre ștere relativ mică a
încărcă rii. În continuare , pentru calcu le se folosesc momentul de i nerție fisurat al
betonului, rezisten ța de curgere a armăturii și comportamentul neliniar al betonului.
Forța de curgere calculată manual a rezultat cu o valoare de 13872 lbf (61.71 kN),
ceea ce indică din nou o apropiere de rezultatele analitice. Pentru testele experimentale ale
lui Buckhouse, a rez ultat o for ță la intrarea în curgere a armă turii de aproximativ 13400 lbf
(59.61 kN). În Fig.3.1 9., se poate observa ini țierea curgerii în armătură , în zona de
moment constant .

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-30-

Figura 3.1 4. Deplasarile grinzi i in momentul fisurarii

Figura 3.1 5. Dezvoltarea fisurilor verticale la o valoare a încărcării de 35 kN

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-31-

Figura 3.1 6. Efortul in armatura corespunzator unei încărcări de 35 kN -250 MPa

Figura 3.17. Dezvoltarea fisurilor verticale la o valoare a încărcă rii de 54 kN și apari țiafisurilor
diagonale.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-32-

Figura 3.18. Situa ția fisurilor la intrarea în curgere a armă turii (la o valoare a încărcării de 59 kN)

Figura 3.19. Intrarea în curgere a armăturii (efort în armă tură de 60053 psi -414 MPa)

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-33-

Figura 3.20. Deplas ările grinzii în momentul ini țierii curgerii in arm ătură
În continuare, fisurile în zona de moment constant cresc excesiv, în acela și timp
dezvolt ându -se și fisurile diagonale spre zona de reazem. În scurt timp, fisurile verticale se
dezvoltă pe întreaga înăl țime a grinzii, așteptându -se din acest motiv cedarea grinzii.
La o valoare a încărcării de 15698 lbf(69.83 kN), grinda nu mai poate suporta
creșterea încărcării. Se consideră că în acest moment grinda a cedat.
Comparând rezultatul analitic cu re zultatul experimental al lui Buckhouse (ce a
obținut o forță ultimă cu valoarea 16300 lbf -72.51 kN), se observă o comportare apropiată
între cele 2. În figurile de mai jos se prezintă situa ția fisurilor în grinda corespunzătoare
încărcării ultime și totoda tă eforturile în armătură la această încărcare.
În Fig ura 3.24. se prezintă și curba forță -deplasare, în compara ție cu rezultatele
experimentale ale lui Buckhouse. Se poate observa că rezultatele analitice sunt destul de
apropiate de cele experimentale, ma i ales până la atingerea curgerii in armătură.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-34-

Figura 3.21. Fisuri core spunzătoare încărcă rii ultime a grinzii(15698 lbf -69.83 kN)

Figura 3.2 2. Efortul in armatura corespunzătoare încărcării ultime -482.5 MPa

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-35-

Figura 3.23. Deplas ările grinzii corespunz ătoare încărcării ultime
Rezultatele analitice se mulează foarte bine pe rezultatele experimentale în ceea ce
prive ște nivelul forțelor, atât la fisurare, cât și la curgere și rupere. Diferențe apar în ceea
ce prive ște deplasările. Buckhouse a ajun s în urma experimentelor la o deplasare maximă
de 3.65 in.(92.7 mm), în timp ce modelul analitic a furnizat o deplasare ultimă de 1.21
in.(30.7 mm).

Figura 3.24. Curba for ță-deplasare. Compara ție rezultate expe rimentale Buckhouse -rezultate
analitice Meto da Elementului Finit în ANSYS

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-36-

Figura 3.25. Eforturile în arm ăturile întinse

Figura 3.26. Deforma țiile specifice elastice și plastice în armătură

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-37-
În final se prezint ă sub form ă de tabel valorile for țelor de fisurare, curgere și
rupere, at ât cele calcul ate manul, cât și cele rezultate din modelul analitic.
REZULTATE GRINDA BETON ARMAT
Forta Experimente Calcul
manual Rezultate
analitice
Pfisurare (kN) 20 22.8 21.9
Py(kN) 59.6 61.7 58.6
Pultim(kN) 72.5 – 69.8

Tabel 3.4. Rezultate grindă beton armat

3.3.6. ANALIZA PROBABILISTIC Ă A GRINZII DE BETON ARMAT
Pentru analiza probabilistic ă a grinzii de beton armat a fost considerat ă varia ția a 5
parametri considera ți importan ți pentru comportarea elementului:
 Rezisten ța la compresiune a betonului, fc;
 Rezisten ța la întindere a betonului, ft;
 Rezisten ța de curgere a arm ăturii, fy;
 Modulul de elasticitate al betonul ui, E b;
 Modulul de elasticitate al o țelului, E a.
În Tab elul 3.5., se prezint ă valorile medii folosite în modelul dezvoltat în Subcapitolul
3.3.3 ale acesto r 5 variabile și abaterile standard considerate în analiza probabilistic ă.
Distribu ția aleasă pentru toți parametrii este de tip Gaussian.
Variabila Distributie Valoarea medie
MPa Abaterea standard
MPa Coeficient
variatie
fc Gaussian 33.1 3.31 2.57583
ft Gaussian 3.31 0.3972 2.57583
Ea Gaussian 199900 7996 2.57583
Eb Gaussian 27230 2178.4 2.57583
fy Gaussian 413.70 20.685 2.57583

Tabel 3.5. Valori medii și abateri standard pentru parametrii lua ți în considerare în analiza
probabilistica

În Figurile 3.2 7, 3.2 8, 3.2 9, 3.30, 3.31 sunt ilustate valorile fiecarei variabile in
cele 27 de experimente.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-38-

Figura 3.2 7. Func țiile de densitate și distribu ție ale rezisten ței la compresiune a betonului, f c

Figura 3.2 8. Func țiile de densitate și distribuție ale rezisten ței la întindere a betonului, f t

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-39-

Figura 3.2 9. Func țiile de densitate și distribu ție ale rezisten ței de curgere a o țelului, f y

Figura 3. 30. Func țiile de densitate și distribu ție ale modulul ui de elasticitate al o țelului, E a

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-40-

Figura 3. 31. Func țiile de densitate și distribu ție ale modulul ui de elasticitate al betonului, E b
Rezultatele obținute considerate importante î n comportarea grinzii de beton armat
sunt: deplasarea ultim ă a grinzii de beton armat și forța la care se produce intrarea în
curgere a arm ăturii.
Metoda folosit ă pentru analiza probabilistic ă este Central Composite Design.
Aceasta presupune realizarea a 27 de experimente pentru varia ția celor 5 parametri. În
tabelul 3.6. se prezint ă variabilele de intrare pentru fie care itera ție, dar și rezultatele
analizei, deplas ările ultime și forțele de curgere pentru arm ătură.
În Figurile 3.3 2. și 3.33, sunt prezentate rezultatele sub form ă de histogram ă și
funcție de distribu ție pentru deplasarea maximă a grinzii pentru cele 27 de experimente
impuse de metoda Central Composite Design.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-41-

Num ăr
itera ție Variabile de intrare Variabile rezultate
fc
MPa ft
MPa Ea
MPa Eb
MPa fy
MPa Deplasare
mm Forța
curgere
kN
1 33.10 3.31 199900.00 27230.00 413.70 -25.00 58.74
2 24.57 2.46 199900.00 27230.00 413.70 -20.41 58.54
3 41.62 4.16 199900.00 27230.00 413.70 -26.33 58.79
4 33.10 3.31 199900.00 27230.00 413.70 -28.49 58.37
5 33.10 3.31 199900.00 27230.00 413.70 -24.84 58.74
6 33.10 3.31 179303.67 27230.00 413.70 -28.24 58.74
7 33.10 3.31 220496.33 27230.00 413.70 -25.79 58.62
8 33.10 3.31 199900.00 21618.81 413.70 -28.37 58.49
9 33.10 3.31 199900.00 32841.19 413.70 -28.05 59.11
10 33.10 3.31 199900.00 27230.00 360.42 -23.04 51.37
11 33.10 3.31 199900.00 27230.00 466.98 -28.44 66.05
12 28.83 2.88 189601.83 24424.41 440.34 -26.82 62.15
13 37.36 3.74 189601.83 24424.41 387.06 -27.22 54.92
14 28.83 2.88 189601.83 24424.41 387.06 -23.03 55.23
15 37.36 3.74 189601.83 24424.41 440.34 -27.33 62.42
16 28.83 2.88 210198.17 24424.41 387.06 -25.17 55.12
17 37.36 3.74 210198.17 24424.41 440.34 -27.77 62.56
18 28.83 2.88 210198.17 24424.41 440.34 -27.34 62.93
19 37.36 3.74 210198.17 24424.41 387.06 -23.55 55.86
20 28.83 2.88 189601.83 30035.59 387.06 -22.19 55.12
21 37.36 3.74 189601.83 30035.59 440.34 -26.84 62.95
22 28.83 2.88 189601.83 30035.59 440.34 -24.12 63.06
23 37.36 3.74 189601.83 30035.59 387.06 -21.49 55.62
24 28.83 2.88 210198.17 30035.59 440.3 4 -27.71 62.15
25 37.36 3.74 210198.17 30035.59 387.06 -24.88 54.69
26 28.83 2.88 210198.17 30035.59 387.06 -21.71 55.00
27 37.36 3.74 210198.17 30035.59 440.34 -24.68 62.42

Tabel 3.6. Variabilele de intrare și variabilele rezultate pentru cele 27 de experimente ale metodei
Central Cmposite Design

În Figura 3.3 4 este eviden țiată influența fiecarui parametru în parte asupra
deplasării. Se poate observa ca o influen ță majoră asupra deplasării are rezistența de
curgere a armăturii, la polul opus situân du-se modulul de elasticitate al o țelului.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-42-

Figura 3. 32. Histograma pentru deplasarea maxim ă a grinzii

Figura 3. 33. Func ția de distribu ție pentru deplasarea maximă a grinzii

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-43-

Figura 3. 34. Influen ța celor cinci parametri asupra deplas ării grinzii
În Figurile 3.3 5. si 3.36. sunt pre zentate rezultatele sub form ă de histogram ă și
funcție de distribu ție privind for ța la care se produce curgerea î n arm ătură a grinzii pentru
cele 27 de experimente.

Figura 3.3 5. Histograma pentru for ța de curgere în armatu ră

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-44-

Figura 3. 36. Func ția de distribu ție pentru for ța de curgere în armă tură
In figura 3.3 7 este eviden țiată influența fiecărui parametru în parte asupra forței de
curgere a armăturii. Se poate observa că este influen țată doar de rezistența de curgere a
armăturii și rezistența ultimă la î ntindere a betonului.

Figura 3. 37. Influen ța celor cinc i parametri asupra fortei de curgere in armatura

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-45-

4. PERETE DE BETON ARMAT

4.1.MODELUL DE ELEMENT FINIT IN ANSYS

În acest capitol , folosind caracteristicile modelului p entru calibrare din capitolul
anterior, s -a modelat un perete structural de beton armat. Acesta a fost încărca t cu o for ță
orizontală monoton crescătoare și studiat până la cedare.
În continuare se prezintă caracteristicile modelului și pașii urm ăriți în analiza
elementului de beton armat.

4.1.1. TIPURILE ELEMENTELOR
Pentru peretele de beton s-a folosit un element finit SOLID 65 ce este caracterizat
de 8 noduri, cu 3 grade de libertate pe (transla ții în direcțiile x, y și z). Acest element
suportă deforma ții pl astice, fisuri în 3 direc ții ortogonale și rupere prin strivire . Geometria
acestui element este prezentat ă în capitolul anterior,Fig . 3.4.
Modelarea armăturilor s -a făcut cu elemental finit LINK8, ce reprezintă un element
de ba ră 3D axial deformata ce are 2 noduri și 3 grade de libertate pe (transla ții în direc țiile
x, y și z). Și acest element suport ă deforma ții plastice. Geometria elementului a fost
prezentat ă anterior,Fig. 3.6.

4.1.2. CONSTANTE REALE PENTRU ELEMENTELE SOLID 65 ȘI LINK 8

Set constante
reale Tip
element Aria mmp Efort initial
2 LINK 8 113 0
3 50.3 0

Tabel 4.1. Constante reale pentru calibrarea modelului

Elementul finit SOLID 65 nu are constante reale.
LINK 8 este definit de 2 constante reale: aria și efortul inițial. Pentru acest element
au fost introduce seturile 2 si 3 de constante reale, setul 2 caracterizând armătura vertical ă
din perete, iar setul 3 pentru arm ătura orizontal ă din perete. În ceea ce prive ște deformația
inițială, ace asta are valoarea 0 deoarece nu este efort ini țial în armătură.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-46-
4.1.3. PROPRIETĂ ȚILE MATERIALELOR
Materialul numărul 1 se discretizeaza cu e lementul finit SOLID 65. Acest element
este caracterizat de o comportare multiliniar izotrop a cu 8 segmente (Figura 3.7.) pentru a
modela corespunzător comportarea betonului simplu . Aceste proprietă ți au fost detaliate în
Capitolul 3.
Modelul de material numarul 2 este discretizat cu elementul finit LINK 8. Este
modelat ca un element biliniar izotrop. Deasemenea, caracterist icile de material au fost
discutate în Capitolul 3.
NUMAR
MODEL
MATERIAL TIP
ELEMENT PROPRIETATI MATERIAL
1 SOLID 65
Liniar izotrop
EX 27220
Mpa
PRXY 0.3

Multiliniar izotrop
Efort Deformatie
Punct 1 0 0
Punc t 2 9.71 0.00036
Punct 3 15.02 0.00058
Punct 4 22.41 0.00095
Punct 5 27.67 0.0013
Punct 6 30.94 0.0017
Punct 7 32.24 0.0019
Punct 8 33.1 0.0024
Punct 9 33.1 0.0036

Coeficienti beton
Coef trans fisura inchisa 0.3
Coef trans fisura deschisa 1
Ef intindere monoaxial 3.3 MPa
Ef compresiune
monoaxial -1
Ef compresiune biaxial 0
Ef hidrostatic 0
Ef compres biaxial+ef
hidrostatic 0
0
Ef intindere
monoaxial+ef hidrostatic 0
0
Modul elasticitate tangent 0

3 LINK 8
Liniar izotrop

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-47-
EX 200000
Mpa
PRXY 0.3

Biliniar izotrop
Efort curgere 415 Mpa
Modul tangent 12930
Mpa

Tabel 4.2. Proprietă țile materialelor pentru elementele SOLID 65 și LINK 8

4.1.4. MODELARE

Peretele de beton armat este modelat ca un volum. Deoarece este simetri c în planul
X0Y, se modeleaz ă doar jum ătate din perete și rezult ă secțiunea de 1500×150 mm, iar
inălțimea este de 2 550 mm. Acest lucru este a vantajos din punct de vedere al duratei de
analiz ă a modelului. La partea superioară a peretelui este dispusă o placă rigidă pentru ca
toate nodurile s ă aibă o deplasare uniform ă în urma aplic ării for ței pe aceasta.
Datorită simetriei, rezultă o singură p lasă de armătură. Armătura verticală este
formată din bare de diametru 1 2 mm, situate la distan ța de 100 mm. Armătura orizontală
este reprezentată de bare de diametru 8 mm, dispuse la distan ța 150 mm. Dispunerea
barelor de armătură este prezentată în Fig. 4.2.

Figura 4.1. Peretele de beton armat creat în A NSYS

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-48-

Figura 4.2. Configura ție armătură verticală și orizontală perete

Dimensiunile elementelor finite sunt de 25 mm în direc țiile x, y ș i respectiv z
(Figura 4.1.).
Pentru armătură nu a fost necesa ră împăr țirea în elemente finite deoarece
elementele finite au fost create din împăr țirea în elemente finite a grinzii.
Pentru ca modelul să aibă o solu ție unică, sunt necesare condiții de margine în
deplasări. Se impun condi ții de margine atât la planul d e simetrie, cât și la baza peretelui,
pentru a simula încastrarea.
Modelul este simetric in planul X0Y. Pentru a modela simetria, nodurilor din acest
plan le sunt impuse constrângerile UZ=0. Pentru baza peretelui se impun condi țiile UX=0,
UY=0 și UZ=0. Constrângerile aplicate peretelui sunt eviden țiate în Fig. 4. 3.
Peretele este supus unei încărcări monoton crescătoare ce se aplica în planul
peretelui, la partea superioară a acestuia, sub forma unor for țe concentrate la noduri de -a
lungul grosimii peretel ui.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-49-

Figura 4.3. Conditii de margine in deplasari pentru peretele de beton armat

4.1.5. ANALIZ A NUMERICA SI REZULTATE

Analiza a fost setată pentru a se urmări 3 comportamente ale peretelui de beton
armat:
 Fisurarea ini țială a peretelui;
 Atingerea limitei de curgere a armăturii;
 Limita de rupere a peretelui.
Interes pentru analiză prezintă comportarea la atingerea efortului de fisurare și
comportarea la atingerea efortului de curgere în armătur ă. Pentru a știi la ce nivel al
forțelor se a șteapt ă atât fisura rea, cât și curgerea arm ăturii, se calculeaz ă cu relatii
simplificate aceste 2 valori, notate Pfisurare și Py .
Au rezultat valori Pfisurare =72.8 kN si P y=210 kN.
Pentru a surprinde mai bine aceste două situa ții, pașii de incrementare au fost
micșorați. Spre exemplu, pe un segment cuprins între 0.9 -1.1P fisurare , aceștia au fost
micsorati , iar pe un segment cuprins intre 0.95 -1.1P y, au fost luate acelea și măsuri. Pe
celelalte intervale, pașii de incrementare au fost m ăriți, pentru a scurta durata de analiz ă.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-50-
În continuare se prezint ă tabelul cu valorile inc ărcării la fiecare pas și incremen ții
de inc ărcare corespunz ători.
Timp la inceputul
analizei Timp la
sfarsitul
analizei Pas
incarcare Subpasi Increment
incarcare
0 65.51 1 10 6.515
65.88 80.07 2 40 0.355
82.566 204.69 3 50 2.442
205.78 298.57 4 86 1.08

Tabel 4.3. Valorile for ței la fiecare pas de inc ărcare și pașii de incrementare corespunz ători
Domeniile de interes în analiză au fost : fisurarea ini țială, curgerea o țelului și
cedarea element ului de beton.
Primele fisuri apar în zona de la baza peretelui în zona întins ă a acestuia. Fisurarea
inițială corespunde unei încărcări de aproximativ 50 kN. Rezultatul analitic este apropiat
de calculul manual al for ței de fisurare, din care a rezultat valoarea 72.8 kN. Fisurile
inițiale se pot observa în Fig. 4.4. În Fig. 4.5. se poate observa nivelul eforturilor în
armături. Efortul maxim în arm ături apare în zona fisurat ă și este aproximativ 1 10 MPa.
Dupa apari ția primelor fisuri, acestea se dezvolt ă, pe masură ce for țele cresc.
Fisurile se dezvolt ă inițial în zona întins ă a peretelui și treptat se îndreaptă spre zona
comprimat ă. În Fig. 4.7. si 4.8., se evidentiaz ă dezvolt area fisurilor până la ini țierea
curgerii în armatur ă, precum și eforturile în armătură.

Figura 4. 4. Apari ția primelor fisuri în perete în zona intins ă a acestuia , la o forță de 50 kN

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-51-

Figura 4.5. –Efortul maxim în arm ăturile întinse, la momentul fisur ării( 110 MPa)

Figura 4.6. Depla sările peretelui în momentul fisur ării

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-52-

Figur a 4.7. Stadiul fisurilor în perete în zona întins ă a acestuia, corespunz ător unei for țe de 202 kN

Figura 4. 8. –Efortul în arm ăturile întinse (380 MPa) , corespunz ător for ței aplicate de 20 2 kN

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-53-

Figura 4.9. Stadiul fisurilor în perete în zona întins ă a ace stuia, corespunz ător aparitiei curgerii in
armatura la o forta de 220 kN

Figura 4.10. Inițierea curgerii în armă tura, corespunz ător for ței aplicate de 220 kN

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-54-

Figura 4.11. Deplas ările peretelui la momentul ini țierii curgerii în arm ătură

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-55-

Figura 4.12. Valoarea încărcării ultime a peretelui (299 kN) și efortul în arm ătură
corespunz ător(476 MPa)

Figura 4.13. Deplas ările peretelui la momentul ini țierii curgerii în arm ătură

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-56-
Curgerea în armătura întinsă se produce la o valoare a încărcării de aproximativ
220 kN. Forța de curgere calculată manual a rezultat cu valoarea 210 kN. Rezultatele de
mai sus sunt prezentate în Fig urile 4.9. si 4.10.
La o valoare a încărcă rii de 29 9 kN , convergen ța nu mai este gasită , considerându –
se acest punct cedarea peretelui. Efortul in armătură corespunzator rezisten ței ultime a
peretelui este de 476 MPa. În Figura 4.1 2. sunt ilust ate stadiul fisurilor corespunzător
încărcării ultime și eforturile in armă turi.
În final se prezint ă sub form ă de tabel valorile for țelor de fisura re, curgere și
rupere, at ât cele calculate manul, cât și cele rezultate din modelul analitic.
REZULTATE PERETE BETON ARMAT
Forta Calcul
manual Rezultate
analitice
Pfisurare (kN) 72.8 50
Py(kN) 210 220
Pultim(kN) – 298

Tabel 4. 4. Rezultate perete bet on armat

În continuare se reprezint ă curba for ță-deplasare rezultată î n urma analizei.

Figura 4.1 4. Curb a forță-deplasare

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-57-

Figura 4.1 5. Eforturile în arm ăturile întinse și comprimate

Figura 4.1 6. Deforma țiile specific e elastice și plastic e în arm ătură

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-58-
4.1.6. ANALIZA PROBABILISTICĂ A PERETELUI DE BETON ARMAT
Pentru analiza probabilistică a peretelui de beton armat a fost considerată varia ția a
5 parametri considera ți importanți pentru comportarea elementului:
 Rezisten ța la compresiune a betonului, f c;
 Rezis tența la întindere a betonului, f t;
 Rezisten ța de curgere a armăturii, f y;
 Modulul de elasticitate al betonului, E b;
 Modulul de elasticitate al o țelului, E a.
În Tab elul 4.5., se prezintă valorile medii folosite în modelul dezvoltat în
Subcapitolul 4.1.3. ale acestor 5 variabile și abaterile standard considerate în analiza
probabilistică. Distribu ția aleasă pentru toți parametrii este de tip Gaussian.
În Figurile 4.1 7, 4.1 8, 4.1 9, 4.20, 4.21 sunt ilustate valorile fiec ărei vari abile in
cele 27 de experiment e.
Variabila Distributie Valoarea medie
MPa Abaterea standard
MPa Coeficient
variatie
fc Gaussian 33 3.3 2.57583
ft Gaussian 3.3 0.396 2.57583
Ea Gaussian 200670 8026.8 2.57583
Eb Gaussian 27220 2177.6 2.57583
fy Gaussian 415.00 20.75 2.57583

Tabel 4.5. Valori medii și abateri standard pentru parametrii luați în considerare în analiza
probabilistic ă

Figura 4.17. Func țiile de densitate și distribu ție ale rezisten ței la compresiune a betonului, f c

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-59-

Figura 4.18. Func țiile de densitate și distribu ție ale rezisten ței la întindere a betonului, f t

Figura 4.19. Func țiile de densitate și distribu ție ale rezisten ței de curgere a o țelului, f y

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-60-

Figura 4.20. Func țiile de densitate și distribu ție ale modulului de elasticitate al o țelului, E a
Rezultatele obținute considerate importante în comportarea peretelui de beton
armat sunt: deplasarea ultimă a peretelui și forța la care se produce intrarea în curgere a
armăturii.
Metoda folosit ă pentru analiza probabilistică este Central Composite Design.
Aceasta presupune realizarea a 27 de experimente pentru varia ția celor 5 parametri. În
tabelul 3.6. se prezintă variabilele de intrare pentru fiecare experiment , dar și rezultatele
analizei, deplasările ultime și forțele de curgere pentru armătură.

Figura 4.21. Func țiile de densitate și distribu ție ale modulului de elasticitate al betonului, E b

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-61-
Numar
iteratie Variabile de intrare Variabile rezultate
fc
MPa ft
MPa Ea
MPa Eb
MPa fy
MPa Deplasar e
mm Forta
curgere
kN
1 33.000 3.300 200670.00 27220.00 415.000 7.09 219.97
2 33.000 3.300 179994.33 27220.00 415.000 6.84 224.34
3 33.000 3.300 221345.67 27220.00 415.000 6.84 215.61
4 33.000 3.300 200670.00 21610.87 415.000 8.59 210.15
5 33.000 3.300 200670.00 32829.13 415.000 6.04 224.34
6 24.500 3.300 200670.00 27220.00 415.000 4.90 214.56
7 41.500 3.300 200670.00 27220.00 415.000 7.64 218.60
8 33.000 2.280 200670.00 27220.00 415.000 6.53 219.97
9 33.000 4.320 200670.00 27220.00 415.000 6.45 222.16
10 33.000 3.300 200670.00 27220.00 361.552 6.66 191.74
11 33.000 3.300 200670.00 27220.00 468.448 6.89 248.16
12 28.750 2.790 190332.17 24415.44 441.724 8.62 228.46
13 28.750 2.790 211007.83 24415.44 388.276 6.95 200.07
14 28.750 2.790 190332.17 30024.56 388.276 6.38 206.17
15 28.750 2.790 211007.83 30024.56 441.724 5.55 234.22
16 37.250 2.790 190332.17 24415.44 388.276 7.88 205.26
17 37.250 2.790 211007.83 24415.44 441.724 8.90 225.39
18 37.250 2.790 190332.17 30024.56 441.724 6.91 238.20
19 37.250 2.790 211007.83 30024.56 388.276 6.78 209.37
20 28.750 3.810 190332.17 24415.44 388.276 6.67 205.16
21 28.750 3.810 211007.83 24415.44 441.724 6.91 2.38
22 28.750 3.810 190332.17 30024.56 441.724 6.78 234.22
23 28.750 3.810 211007. 83 30024.56 388.276 5.47 209.23
24 37.250 3.810 190332.17 24415.44 441.724 8.74 233.54
25 37.250 3.810 211007.83 24415.44 388.276 7.26 198.05
26 37.250 3.810 190332.17 30024.56 388.276 6.97 209.37
27 37.250 3.810 211007.83 30024.56 441.724 7.00 240.53

Tabel 4.6. Variabilele de intrare și variabilele rezultate pentru cele 27 de experimente ale metodei
Central Cmposite Design

În Figurile 4.22 si 4.23, sunt prezentate rezul tatele sub forma de histogramă și
funcție de distribuție privind deplasarea maxim ă a peretelui pentru cele 27 de experimente
impuse de metoda Central Composite Design.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-62-

Figura 4.22. Histograma pentru deplasarea maximă a peretelui

Figura 4.23. Func ția de distribuție pentru deplasarea maximă a peretelui
În figura 4.24 este evidentia ță influen ța fiecărui parametru în parte asupra
deplasării. Se poate observa ca o influen ță majoră asupra deplasării o are modulul de
elasticitate al betonului, rezisten ța la compresiune a betonului și rezisten ța de curgere a

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-63-
armăturii. Modulul de elasticit ate al otelului si rezisten ța la întindere a betonului nu
influen țează marimea deplasării.

Figura 4.24. Influen ța celor cinci parametri asupra deplas ării peretelui
În figurile 4.2 5. și 4.26. se evidentiază influen ța modulului de elasticitate al
betonului și rezistenței de curgere a armăturii și rezisten ței la compresiune a betonului .

Figura 4.25. Influen ța E b și fc asupra deplasării

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-64-

Figura 4.2 6. Influen ța E b și fy asupra deplas ării
În Figurile 4.27 și 4.28 sunt pre zentate rezultatele privind for ța la care se produce
curgerea în arm ătură pentru cele 27 de experimente.

Figura 4.27. Histograma pentru for ța de curgere în armătură

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-65-

Figura 4.28. Func ția de distribu ție pentru for ța de curgere în armătură
În figura 4.29 este eviden țiată influenț a fiecarui parame tru în parte asupra for ței de
curgere a armăturii. Se poate observa că este influen țată doar de rezisten ța de curgere a
armăturii și modulul de elasticitate al betonului .

Figura 4.29. Influen ța celo r cinci parametri asupra forței de curgere a armă turii

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-66-

Figura 4. 30. Influen ța Eb și fy asupra for ței de curgere a armăturii
Prin figurile 4. 30., 4.31. si 4.3 2. se evidentiază influen ța modulului de elasticitate
al betonului și rezistenței de curgere a armăturii și faptul ca ceilalți parametri nu
influ ențează intrarea în curgere a armăturii.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-67-
Figura 4. 31. Influen ța f y asupra for ței de curgere a armăturii

Figura 4. 32. Influenta fc si ft asupra forței de curgere a armăturii

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-68-

5. CONCLUZII

În aceast ă lucrare , a fost folosită Metoda Elementulu i Finit pentru modelarea
comportării unor elemente de beton armat , o grindă și un perete . Modelul de element finit
a fost creat cu ajutorul programului A NSYS . Grinda de beton armat are aceleasi
caracteristic i ca cele supuse teste lor experimentale , pentru a realiza calibrarea modelului și
a folosi datele de intrare pentru modelarea în continuare a peretelui de beton armat . Scopul
a fost de a compara în final rezultatele analitice cu cele experimentale și astfel a valida
folosirea Metodei Elementului Finit în analiza elementelor structurale de beton armat.
5.1. GRINDA DE BETON ARMAT
În primă instan ță, o grindă de beton armat având caracteristicile grinzilor
experimentale ale lui Buckhouse (1997), a fost modelată în A NSYS . Aceasta a fost
supusă, ca și cea experime ntală, unei încărcari monoton crescătoare. Interes au prezentat
fisurile ini țiale, modul de extindere a fisurilor, curgerea armăturilor, precum și cedarea
elementului. Aceste rezultate au fost comparate cu cele experimentale ob ținute de
Buckhouse. S -a obse rvat că rezultatele modelului analitic sunt apropiate de cele
experimentale. Deasemenea, se realizează o compara ție între nivelul forțelor de fisurare
(Pfisurare ) și de curgere (Py),cu valori calculate simplificat .
În ceea ce prive ște apariția primelor f isuri, modelul analitic a furnizat o valoare
pentru for ța exterioară aplicată de aproximativ 22 kN, în timp ce Buckhouse a raportat
prima fisură la o for ță de 20 kN, iar din calculul manual a rezultat o forță de fisurare de 23
kN. Referitor la traseul fisu rilor, acesta este similar între modelul analitic și datele
experimentale. Fisurile apar ini țial în zona de moment încovoietor constant și sunt
verticale. Pe masura cre șterii fortei se observă dezvoltarea acestora spre reazeme și odată
cu cele verticale, a par și fisuri diagonale. Curgerea in armatură se produce la o forță
aplicată de 59 kN, datele experimentale furnizând o valoare a for ței de 60 kN. Din calculul
manual rezultă o for ță de curgere cu valoarea de 62 kN. Cedarea grinzii se produce în
cazul mode lului analitic la o valoare a for ței de 70 kN, iar în cazul grinzii supuse
experimentelor la o valoare a for ței de 73 kN. Deși forțele între cele două modele sunt
aproximativ egale, în ceea ce prive ște deplasarea maximă a grinzii, rezultatele furnizate
sunt diferite . Modelul experimental a furnizat o deplasare maximă de aproximativ 90 mm,
în timp ce la modelul analitic deplasarea maximă este de 30 mm.
Din aceste date, rezultă faptul că elementele folosite pentru modelare, materiale
folosite și caracterisit icile acestora, precum și algoritmul de analiză, sunt corespunzătoare
pentru a modela comportarea elementelor de beton armat, deoarece aspectele privind
fisurarea ini țială, traseul fisurilor, curgerea armăturilor întinse și chiar forța ultimă pe care
o poa te suporta elementul sunt în concordan ță cu rezultatele experimentale, singura
neconcordan ță apărând în cazul deplasărilor maxime.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-69-
În continuare, s -a realizat o analiz ă probabilistic ă a grinzii de beton armat cu
metoda Central Composite Design, unde s -a considerat varia ția a 5 parametri considera ți
importan ți pentru comportarea elementului: rezisten ța la compresiune a betonului (f c),
rezisten ța la întindere a betonului (f t), rezisten ța de curgere a o țelului (f y), modulul de
elasticitate al o țelului (E a) și modulul de elasticitate al betonului(E b). Rezultatele obținute
considerate importante sunt: deplasarea maximă a grinzii și forța la care se produce
intrarea în curgere a armăturii. Din analiz ă a rezultat faptul ca o influen ță major ă asupra
deplas ării o are rezisten ța de curgere a arm ăturii, rezis țenta la întindere a betonului,
rezisten ța la compresiune a betonului si modulul de elasticitate al betonului având ponderi
mai mici. M odulul de elasticitate al o țelului nu influen țează deplasarea grinzii . În cazul
forței la care se produce curgerea în armătură a rezultat o influență majoră a rezistenței la
curgere a armăturii și o influență mică a rezistenței la întindere a betonului.
5.2. PERETE DE BETON ARMAT
În ultima parte a lucrării, Metoda Elementului Finit a fost folosită pentru
modelarea unui perete de beton armat, supus unei for țe orizontale monoton crescătoare .
Modelarea peretelui s -a făcut păstrând caracteristicile materialelor și constantele reale de
la modelul calibrat pentru grinda de beton armat . Se realiz ează o compara ție între nivelul
forțelor de fisurare(P fisurare ) si de curgere(P y), cu valori calculate manual. S -au urmărit
valorile for țelor la care apar primele fisuri, la care se inițiază curgerea în armatură și cea
de rupere.
Privind ini țierea fisurări i, în modelul analitic, aceasta se produce la un nivel al
forței laterale de 50 kN, în timp ce for ța de fisurare calculată manual este de 72.8 kN.
Primele fisuri apar, a șa cum este de așteptat, la baza peretelui în zona întinsă a acestuia.
Nivelul eforturi lor în armatură în acest punct este redus. Pe masură ce for ța laterală
aplicată peretelui cre ște , fisurile se dezvoltă dinspre zona intinsă a peretelui spre cea
comprimată. Curgerea în armăturile întinse se ini țiază când o forță laterală de 220 kN este
aplicată peretelui. Valoarea furnizată calcu lul manual este 210 kN. Cedarea peretelui se
realizeaza cand o forta de 298 kN este aplicata . Modelul analitic a furnizat o deplasare
maximă de 5 mm .
Din cele expuse mai sus, putem concluziona că și în cazul peret elui de beton armat
modelul realiz at cu Metoda Elementului Finit furnizează rezultate de încredere î n ceea ce
prive ște răspu nsul elementului structural la î ncărcări monoton crescătoare.
Si in cazul peretelui s -a realizat o analiză probabilistică cu aceeasi metoda ca si in
cazul grinzii de beton armat, considerandu -se varia ția acelorasi 5 parametri si urmarindu –
se rezultatele privind deplasarea ultimă a peretelui și forța la care se produce intrarea în
curgere a armăturii. Din analiz ă a rezultat faptul c ă deplasarea este influentata de modulul
de elasticitate al betonului, rezis țenta la compresiune a betonului si rezisten ța de curgere a
armăturii. În cazul for ței la care se produce curgerea în armătură a rezultat o influență
majoră a rezisten ței la curgere a armăturii și o influență mică a modulului de elasticitate al
betonului.

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-70-
ANEXA I
RUTIN Ă GRIND Ă DE BETON ARMAT
finish

/clear
/config,nres,5000

fc=4800
fy=60000
Eb=3.949075840e+006
ft=480
Ea=2.9e+007

/prep7

/title, Analiza Probabilistica a Grinzii de Beto n Armat

!! General Data
! dim: in, psi

l=186
l1=3
l2=60
l3=30
a=l1+l2
b=(l-2*a)/2
w=10
h=18
tplaca=4
c=2

! dimensiuni element finit

dex=1.5
dey=1.2
dez=1.25

!!!!!! Beton

!fc=4800
!Eb=57000*sqrt(fc)
eps0=2*fc/Eb
!ft=0.1*fc
fcrack=1.19*ft !!!7.5 *sqrt(fc)

!curba beton

*dim,sigmab,,8,
*dim,epsb,,8,
nbeton=8
epsb(1)=0.3*fc/Eb
epsb(2)=1.6*epsb(1)
epsb(3)=2.6*epsb(1)
epsb(4)=3.6*epsb(1)
epsb(5)=4.6*epsb(1)
epsb(6)=5.3*epsb(1)
epsb(7)=eps0
epsb(8)=1.5*eps0

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-71-
sigmab(1)=0.3*fc
*do,i,2,7
sigmab(i) =(Eb*epsb(i))/(1+(epsb(i)/eps0)**2)
*enddo
sigmab(8)=fc

!!!!!!! Armatura longitudinala

!fy=60000
!Ea=2.9e7
Aalong=0.31

!!!!!!! Armatura transversala

Aatran=0.11

! Calcul puncte importante
! Cracking Load Pcrack
Mcrack=w*h**2/6*fcrack
Pcrack=Mcrack /l2

! Yielding Load Py
T=3*Aalong*fy
at=T/(0.85*fc*w)
xt=at/0.85
My=3*Aalong*fy*((h -2*dey) -0.5*at)
Py=My/l2

! Tipuri Elemente Finite
et,1,solid65 ! beton
keyopt,1,5,2
!Help Convergence
keyopt,1,3,2
!keyopt,1,7,1
!keyopt,1,8,1

et,2,solid45 ! placa suport
!keyopt,2,5,2

et,3,solid45 ! placa incarcare
!keyopt,3,5,2

et,4,link8 ! armatura longitudinala

et,5,link8 ! etrieri

! Materiale

MP,ex,1,Eb ! beton
MP,prxy,1,0.2
TB,concr,1,1,,0
tbtemp, 0.0
tbdata,1,0.3,1,ft,fc,0,0,0,0,0 !wolanski uniaxial comp -1
tb,miso,1,1,nbeton
tbtemp,0.0
tbpt,defi,epsb(1),sigmab(1)
tbpt,defi,epsb(2),sigmab(2)
tbpt,defi,epsb(3),sigmab(3)
tbpt,defi,epsb(4),sigmab(4)

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-72-
tbpt,defi,epsb(5),sigmab(5)
tbpt,defi,epsb(6),sigm ab(6)
tbpt,defi,epsb(7),sigmab(7)
tbpt,defi,epsb(8),sigmab(8)

mp,ex,2,Ea ! metal placa suport
mp,prxy,2,0.3

mp,ex,3,Ea ! metal placa incarcare
mp,prxy,3,0.3

mp,ex,4,Ea ! etrieri
mp,prxy,4,0.3

mp,ex,5,Ea ! armatura longitudinala
mp,prxy,5,0.3
tb,miso,5,1,2 !biso
tbtemp,0.0
tbpt,defi,fy/Ea,fy !tbdata,1,fy,29000
tbpt,defi,0.01,1.25*fy

! Geometrie armatura

r,4,Aatran ! etrier curent
r,44,Aatran/2 ! etr ier in axa de simetrie longitudinala
r,5,Aalong ! armatura curenta
r,55,Aalong/2 ! armatura in axa de simetrie

! Generare geometrie

! concrete

type,1
mat,1
block,0,l/2,0,h,0,w/2,
vsel,all
lesize,5,dex
lesize,8,dey
lesize,12,dez
vmesh,all

! placa suport

type,2
mat,2
block,1.5,4.5,0, -tplaca,0,w/2,
vsel,all
vsel,s,volu,,2
lesize,17,dex
lesize,20,tplaca
lesize,24,dez
vmesh,all

! placa incarcare

type,3
mat,3
block,61.5,64.5,18,18+tplaca,0,w/2
vsel,all
vsel,s,vo lu,,3

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-73-
lesize,29,dex
lesize,30,tplaca
lesize,36,dez
vmesh,all
nsel,all
esel,all

eplot

! etrieri

type,4
mat,4
real,4

ksel,all
*get,kmax,kp,,num,max
k,kmax+1,2*dex,2*dey,0
k,kmax+2,2*dex,2*dey,w/2 -2*dez
k,kmax+3,2*dex,h -2*dey,w/2 -2*dez
k,kmax+4,2*de x,h-2*dey,0
l,kmax+1,kmax+2,2
l,kmax+2,kmax+3,h/dey -4
l,kmax+3,kmax+4,2
lsel,all
*get,lmax,line,,num,max
lsel,s,line,,lmax -2,lmax,1
lmesh,all
esel,all
esel,s,mat,,4
egen,9,100,all,,,,,,,,5*dex,0,0
esel,all
esel,s,mat,,4
*get,emax,elem,,num,max
esel,s ,elem,,emax -14,emax,1
egen,5,100,all,,,,,,,,5*dex,0,0 real,44
esel,all
esel,s,mat,,4
*get,emax,elem,,num,max
esel,s,elem,,emax -14,emax,1
emodif,all,real,44 ! etrier axa de simetrie
nsel,al l
esel,all

! armatura longitudinala

type,5
mat,5
real,5
k,kmax+5,l/2,2*dey,0
k,kmax+6,l/2,2*dey,w/2 -2*dez
k,kmax+7,l/2,h -2*dey,w/2 -2*dez ! armatura longitudinala superioara
!k,kmax+8,l/2,h -2*dey,0 ! armatura longitudinala superioar a
l,kmax+ 2,kmax+6,l/(2*dex) -2
l,kmax+3,kmax+7,l/(2*dex) -2
lsel,all
*get,lmax,line,,num,max
lsel,s,line,,lmax -2,lmax,1
lmesh,all
real,55

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-74-
l,kmax+1,kmax+5,l/(2*dex) -2
!l,kmax+4,kmax+8,l/(2*dex) -2
lsel,all
*get,lmax,line,,num,max
lsel,s,line,,lmax -2,lmax,1
lmesh,a ll
nsel,all
esel,all
esel,s,real,,4,55
eplot

! comprimarea numerelor
nsel,all
nummrg,node
esel,all
numcmp,node
numcmp,elem

! constraints
! planul de simetrie xy
nsel,all
nsel,s,loc,z,0
d,all,uz,0
!d,all,rotx,0
!d,all,roty,0

! planul de simetrie yz
nsel,all
nsel,s,loc,x,l/2
d,all,ux,0
!d,all,roty,0
!d,all,rotz,0

! suport
nsel, all
nsel,s,loc,y, -tplaca
nsel,r,loc,x,3
d,all,uy,0
!d,all,uz,0
nsel,all
esel,all
/pbc,all,0
eplot
save,beam,db
fini

/SOLU
ANTYPE,0

OUTRES,ERASE
OUTRES,ALL,ALL
AUTOTS,ON
EQSLV,SPAR
LNSRCH,0
NCNV,2,0,0,0,0
NEQIT,150
RESCONTRL,DEFINE,ALL,ALL,1

! Load Step1
NSUBST,10,10,10

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-75-
tstep=0.9*Pcrack
TIME,tstep

! incarcare
fff=0.9*Pcrack/9
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+tplaca
nsel,r,loc,x,63
nsel,u,loc,z,0
f,all,fy, -fff
nsel,all
esel,all
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+tplaca
nsel,r,loc,x,63
nsel,u,loc,z,dez,4*dez
f,all,fy, -fff/2
nsel,all
esel,all
SOLVE

*get,nsubs1,active,0,solu,ncmss,

! schimbare limite convergenta inainte prima fisura
CNVTOL,, -1,1
CNVTOL,U,5,0.05,2, ,

! Loa d Step2
NSUBST,40,40,40
tstep=1.1*Pcrack
TIME,tstep

! incarcare
fff=Pcrack*1.1/9
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+tplaca
nsel,r,loc,x,63
f,all,fy, -fff
nsel,all
esel,all
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+tplaca
nsel,r,loc,x,63
nsel,u,loc,z,dez,4*dez
f,all,fy, -fff/2
nsel,a ll
esel,all

SOLVE
*get,nsubs2,active,0,solu,ncmss,

! Load Step3

NSUBST,50,100,50
tstep=0.90*Py
TIME,tstep
! incarcare
fff=0.9*Py/9
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+tplaca

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-76-
nsel,r,loc,x,63
f,all,fy, -fff
nsel,all
esel,all
nsel,s,loc,y,h+tplaca
nsel,r,loc,x,63
nsel,u,loc,z,dez,4*dez
f,all,fy, -fff/2
nsel,all
esel,all
SOLVE
*get,nsubs3,active,0,solu,ncmss,
! Load Step4
NSUBST,100,200,100
tstep=1.1*Py
TIME,tstep

! incarcare
fff=1.1*Py/9
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+tplaca
nsel,r,loc,x,63
f,all,fy, -fff
nsel,all
esel,all
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+tplaca
nsel,r,loc,x,63
nsel,u,loc,z,dez,4*dez
f,all,fy, -fff/2
nsel,all
esel,all
SOLVE
*get,nsubs4,active,0,solu,ncmss,
*get,indexconv,active,0,solu,cnvg,

FINISH
/POST1

!Yielding force

*dim,axst,,100

*if,indexconv,eq,0,the n
nsubs4=nsubs4 -1
*endif
*do,i,1,nsubs4
set,4,i
esel,mat,5
etable,,ls, 1
etable,refl
smax,m1,ls1,ls1,1,1
esort,etab,m1,0,0,,
*get,smax,sort,,max
axst(i)=smax
*if,smax,gt,fy,then
*get,Yielding_Force,active,0,set,time
*exit
*endif
*enddo

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-77-
!*status,ax st
!*status,yielding_force
esel,all
nsel,all

! Displacement
disp=0
esel,mat,1
set,4,nsubs4
*get,disp,node,1010,u,y
!*status,disp

Finish

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-78-
ANEXA II
RUTINĂ PERETE DE BETON ARMAT

fini
/clear
/config,nres,5000

fc=2.874988167e -002
ft=2.789985800e -003
Ea=1.903321667e+002
Eb=3.002456293e+001
fy=3.882757711e -001 !kN/mm2

/title,Pe rete
/prep7

indexarm=0 !index creare armatura nu=0 da=1

! General Data
! dim: mm, kN

l=1500 ! lungime perete
w=150 ! latime bulbi
hstory=2550 ! inaltime etaj
h=hstory ! inaltime diafragma

! Dimensiuni Element Finit

dex=25
dey=25
dez=25

! Caracteristici Beton

!fc=0.033 !kN/mm2
!Eb=27.22 !kN/mm2
eps0=2*fc/Eb
!ft=0.1*fc
fcrack=ft

!curba beton
*dim,sigmab,,8,
*dim,epsb,,8,
nbeto n=8
epsb(1)=0.3*fc/Eb
epsb(2)=1.6*epsb(1)
epsb(3)=2.6*epsb(1)
epsb(4)=3.6*epsb(1)
epsb(5)=4.6*epsb(1)
epsb(6)=5.3*epsb(1)
epsb(7)=eps0
epsb(8)=1.5*eps0
sigmab(1)=0.3*fc
*do,i,2,7
sigmab(i)=(Eb*epsb(i))/(1+(epsb(i)/eps0)**2)
*enddo
sigmab(8)=fc

! Caracteristici Armatura

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-79-
!fy=0.415 !kN/mm2
!Ea=200.67

! Tipuri Elemente Finite

et,1,solid65 ! beton
keyopt,1,5,2
keyopt,1,3,2 !Help Convergence

et,2,link8 ! armatura verticala

et,3,link8 ! etrier orizontal

et,4,solid45 ! placa incarcare

! Materiale

MP,ex,1,Eb ! beton
MP,prxy,1,0.2
TB,concr,1,1,,0
tbtemp,0.0
tbdata,1,0.5,0.8,ft,fc,0,0,0,0,0 !0.3, 1
tb,miso,1,1,nbeton
tbtemp,0.0
tbpt,defi,epsb(1),sigmab(1)
tbpt,defi,epsb(2),sigmab(2)
tbpt,defi,epsb(3),si gmab(3)
tbpt,defi,epsb(4),sigmab(4)
tbpt,defi,epsb(5),sigmab(5)
tbpt,defi,epsb(6),sigmab(6)
tbpt,defi,epsb(7),sigmab(7)
tbpt,defi,epsb(8),sigmab(8)

mp,ex,2,Ea ! armatura verticala
mp,prxy,2,0.3
tb,miso,2,1,2 !biso
tbtemp,0.0
tbpt,defi ,fy/Ea,fy !tbdata,1,fy,29000
tbpt,defi,0.01,1.25*fy

!mp,prxy,2,0.3
!tb,biso,2,1
!tbtemp,0.0
!tbdata,1,fy,fy/10

mp,ex,3,Ea ! etrier orizontal
mp,prxy,3,0.3

mp,ex,4,5*Ea
mp,prxy,4,0.3

!arie profile armatura

fi16=201
fi12=113
fi8=50

! Calcul puncte importante
! Cracking Load Pcrack

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-80-
Mcrack=w*l**2/6*fcrack
Pcrack=Mcrack/h

! Yielding Load Py
T=6*fi16*fy
at=T/(0.85*fc*w)
xt=at/0.85
My=6*fi16*fy*((l -2*dey) -0.5*at)
Py=My/h

! Geometrie armatura

r,2,fi12 ! armatura verticala
r,3,fi8 ! etrier orizontal

! Generare geometrie

type,1
mat,1
block,0,l,0,h,w/2,0
lsel,all
lesize,2,2*dex
lesize,1,2*dey
lesize,9,dez
vsel,all
vsel,s,volu,,1
vmesh,all
nsel,all
esel,all
eplot
type,4
mat,4
block,0,l,h,h+2*dey,w/2,0
vsel,all
vsel,s,volu,,2
lesize,14,2*dex
lesize,15,dey
lesize,22,dez
vmesh,all
nsel,all
esel,all
eplot

! Armatura
! Etrier Orizontal

type,3
mat,3
real,3

ksel,all
*get,kmax,kp,,num,max
k,kmax+1, 2*dex,2*dey,w/2 -dez
k,kmax+2,l -2*dex,2*dey,w/2 -dez
k,kmax +3, 2*dex,2*dey,0
k,kmax+4,l -2*dex,2*dey,0
l,kmax+3,kmax+1,
l,kmax+1,kmax+2,
l,kmax+2,kmax+4,
lsel,all

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-81-
*get,lmax,line,,num,max
lesize,lmax -2,2*dez
lesize,lmax -1,2*dex
lesize,lmax ,2*dex
lsel,s,line,,lmax -2,lmax
lmesh,all
esel,all
esel,s,mat,,3
ng=(h -4*dey)/(6*dey)
*get,nmax,node,,num,max
egen,ng+1,nmax,all,,,,,,,,0,6*dey,0
nsel,all
esel,all

! Armatura Verticala

type,2
mat,2
real,2

ksel,all
*get,kmax,kp,,num,max
k,kmax+1, 2*dex,0,w/2 -dez
k,kmax+2, 2*dex,h,w/2 -dez
l,kmax+1,kmax+2,
lsel,all
*get,lmax,line,,num,max
lsel,s,line,,lmax
lesize,lmax,2*dey
lmesh,all
esel,all
esel,s,mat,,2
ng=(l -2*dex)/(4*dex)

*get,nmax,node,,num,max

egen,ng,nmax,all,,,,,,,,4*dex,0,0
esel,all
nsel,all
eplot

! Comprimarea Numerelor
ksel,all
nummrg,kp
nsel,all
nummrg,node
esel,all
numcmp,node
numcmp,elem
esel,all
nsel,all
eplot

! Constraints
! Planul XY
nsel,all
nsel,s,loc,z,0
d,all,uz,0

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-82-
! Baza
nsel, all
nsel,s,loc,y,0
d,all,ux,0
d,all,uy,0
d,all,uz,0

! Incarcare proprie

nsel, al l
!nsel,s,loc,y,h+2*dey
!f,all,fy, -Sargrav/96
!nsel,all
!esel,all

nsel,all
esel,all
/pbc,all,0
eplot
save,wall,db

fini

resume,wall,db

/solu

ANTYPE,0

OUTRES,ERASE
OUTRES,ALL,ALL
AUTOTS,On
EQSLV,SPAR
LNSRCH,0
NCNV,2,0,0,0,0
NEQIT,150
RESCON TRL,DEFINE,ALL,ALL,1

! Load Step1
tstep=0.9*Pcrack
TIME,tstep
NSUBST,10,10,10

! incarcare
fff=tstep/7 !kN
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+dey
nsel,r,loc,x,0
f,all,fx,fff
nsel,all
esel,all

solve

*get,nsubs1,active,0,solu,ncmss,

! schimbare limite convergenta inainte prima fisura
CNVTOL,, -1,1
CNVTOL,U,5,0.05,2, ,

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-83-
! Load Step2
tstep=1.1*Pcrack
TIME,tstep
NSUBST,40,100,40

! incarcare
fff=tstep/7 !kN
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+dey
nsel,r,loc,x,0
f,all,fx,fff
nsel,all
esel,all

solve

*get,nsubs2,active,0,solu,ncmss,

! Load Step3
tstep=0.75*Py
TIME,tstep
NSUBST,50,100,50

! incarcare
fff=tstep/7 !kN
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+dey
nsel,r,loc,x,0
f,all,fx,fff
nsel,all
esel,all

solve

*get,nsubs3,active,0,solu,ncmss,

! Load Step4
tstep=1.15*Py
TIME,tstep
NSUBST,100,200,100

! incarcare
fff=tstep/7 !kN
nsel,all
nsel,s,loc,y,h+dey
nsel,r,loc,x,0
f,all,fx,fff
nsel,all
esel,all
solve

*get,nsubs4,active,0,solu,ncm ss,
*get,indexconv,active,0,solu,cnvg,

finish

/POST1

!Yielding force

Ing. Alexandra Dorina Vi șan Lucrare de diserta ție
Masterat “Proiectarea construc țiilor civile și industriale în zone seismice”
-84-
*dim,axst,,100
*if,indexconv,eq,0,then
nsubs4=nsubs4 -1
*endif
*do,i,1,nsubs4
set,4,i
esel,mat,2
etable,,ls, 1
etable,refl
smax,m1,ls1,ls1,1,1
esort,etab,m1,0,0,,
*get,smax,sor t,,max
axst(i)=smax
*if,smax,gt,fy,then
*get,Yielding_Force,active,0,set,time
*exit
*endif
*enddo

!*status,axst
!*status,yielding_force

esel,all
nsel,all

! Displacement
disp=0
esel,mat,1
set,4,nsubs4
*get,disp,node,1334,u,x
!*status,disp

finish