Brutus Dem soreanu [627704]

Brutus Dem» soreanu
Mecanica analitic¸ a
– Note de curs –
TIMIS »OARA 2003

Tehnoredactarea ^ ³n LATEX 2"apart »ine autorului.
Copyright c°2003, B. Dem» soreanu

Cuprins
I Mecanica newtonian¸ a 7
1 Elemente de cinematica punctului 9
1.1 Traiectoria punctului, viteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Hodograful mi» sc¸ arii, accelerat »ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Clasi¯carea mi» sc¸ arilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Viteza areolar¸ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Principiile Galilei-Newton 15
2.1 Enunt »uri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Problema determin¸ arii mi» sc¸ arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Mi» scarea relativ¸ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Sisteme inert »iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Dinamica punctului material 25
3.1 Integralele prime ale mi» sc¸ arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Teoreme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.1 Teorema impulsului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Teorema momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.3 Teorema energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Dinamica punctului supus la leg¸ aturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Dinamica sistemelor de puncte materiale 34
4.1 Teoreme generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.1.1 Teorema impulsului » si teorema mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a . . . . . . . 35
4.1.2 Teorema momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.3 Teorema energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Solidul rigid 44
5.1 Precizarea pozit »iei rigidului ^ ³n spat »iu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1.1 Gradele de libertate ale rigidului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.1.2 Matricea de rotat »ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.3 Unghiurile Euler. Vectorul rotat »ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Momente de inert »ie. Caracteristicile dinamice ale rigidului . . . . . . . . . . 51
5.2.1 Momentul de inert »ie al rigidului ^ ³n raport cu o ax¸ a . . . . . . . . . . 52
5.2.2 Elipsoidul de inert »ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3

4 CUPRINS
5.2.3 Impulsul, momentul cinetic » si energia cinetic¸ a . . . . . . . . . . . . . 56
5.3 Dinamica solidului rigid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.1 Ecuat »iile de mi» scare ale rigidului liber . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3.2 Mi» scarea rigidului cu ax¸ a ¯x¸ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.3.3 Mi» scarea rigidului cu punct ¯x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II Mecanica lagrangeean¸ a 77
6 Concepte fundamentale 79
6.1 Leg¸ aturi » si deplas¸ ari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.2 Determinarea mi» sc¸ arii. Axioma leg¸ aturilor ideale . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.3 Ecuat »ia general¸ a a dinamicii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3.1 Principiul deplas¸ arilor virtuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Sisteme olonome 88
7.1 Coordonate generalizate. Spat »iul con¯gurat »iilor . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2 Ecuat »iile Lagrange pentru sisteme olonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3 Teorema energiei. Fort »e potent »iale » si nepotent »iale . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4 Sisteme naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.5 Impulsuri generalizate. Coordonate ciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.6 Teoreme generale » si legi de conservare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.6.1 Conservarea impulsului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.6.2 Conservarea momentului cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.6.3 Conservarea energiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8 Sisteme neolonome 106
8.1 Ecuat »iile Lagrange pentru sisteme neolonome . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9 Problema celor dou¸ a corpuri 109
9.1 Masa redus¸ a. Problema echivalent¸ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.2 Mi» scarea ^ ³n c^ amp central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.3 Mi» scarea keplerian¸ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4 ^Impr¸ a» stierea particulelor ^ ³ntr-un c^ amp de fort »e centrale . . . . . . . . . . . . 122
III Mecanica hamiltonian¸ a 127
10 Ecuat »iile lui Hamilton 129
10.1 Coordonate canonice. Spat »iul fazelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
10.2 Coordonatele ciclice » si funct »ia lui Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10.3 Parantezele Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

CUPRINS 5
11 Principiile variat »ionale ale mecanicii 139
11.1 Principiul lui Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.2 Forma canonic¸ a a principiului lui Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
11.3 Invariantul integral fundamental Poincar¶ e-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.4 Invariantul integral universal Poincar¶ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12 Transform¸ ari canonice. Metoda Hamilton-Jacobi 150
12.1 Ecuat »iile transform¸ arilor canonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.2 Ecuat »ia » si teorema Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
12.3 Metoda separ¸ arii variabilelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
IV Mecanica mediilor deformabile 163
13 Not »iunile fundamentale 165
13.1 Principii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
13.2 Teoria geometric¸ a a micilor deformat »ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
13.3 Tensorul tensiunilor. Legea de mi» scare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
13.4 Legi constitutive. Ecuat »iile lui Lam¶ e » si Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . 176
13.4.1 Medii elastice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
13.4.2 Fluide reale » si ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Bibliogra¯e 179

6 CUPRINS

I. Mecanica newtonian¸ a

Capitolul 1
Elemente de cinematica punctului
^In cadrul disciplinelor teoretice, pornind de la c^ ateva enunt »uri generale numite principii ,
sunt deduse, folosind un aparat matematic adecvat, legile » si propriet¸ at »ile fenomenelor » si
proceselor descrise ^ ³n cadrul disciplinelor experimentale. Dac¸ a unele rezultate nu concord¸ a
la un moment dat cu realitatea, se impune reformularea sau completarea principiilor, caz ^ ³n
care ^ ³n mod necesar se extinde » si obiectul de studiu. Situat »ia cea mai semni¯cativ¸ a ^ ³n acest
sens o constituie mecanica relativist¸ a al c¸ arei obiect de studiu ^ ³l reprezint¸ a ^ ³n special
mi» scarea microparticulelor la viteze mari, care cuprinde ca un un caz particular limit¸ a » si
mecanica clasic¸ a .
Modul ^ ³n care, pornind de la c^ ateva concepte generale, pot ¯ deduse coerent propriet¸ at »ile
unor m¸ arimi mecanice cunoscute^ ³nc¸ a din » scoal¸ a, va ¯ ilustrat prin prezentarea unor elemente
de cinematica punctului.
1.1 Traiectoria punctului, viteza
Admit »^ and c¸ a spat »iul este tridimensional, omogen » si izotrop, pozit »ia unui punct P^ ³n
raport cu un reper ¯x este precizat¸ a prin vectorul s¸ au de pozit »ie ~ r, care ^ ³n sistemul cartezian
are coordonatele scalare x; y; z :
~ r=x¢~ {+y¢~ |+z¢~k (1.1)
Presupun^ and ^ ³n plus c¸ a timpul tse scurge uniform spre valori pozitive de la o origine
arbitrar¸ a de m¸ asurare, dac¸ a punctul ocup¸ a la ¯ecare moment o alt¸ a pozit »ie^ ³n spat »iu, vectorul
de pozit »ie al punctului devine funct »ie de parametrul t:
~ r=~ r(t) (1.2)
ceea ce reprezint¸ a ecuat »ia vectorial¸ a a traiectoriei punctului P. Av^ and ^ ³n vedere (1.1),
din (1.2) rezult¸ a ecuat »iile parametrice ale traiectoriei :
x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t) (1.3)
Ecuat »ia propriu-zis¸ a a traiectoriei rezult¸ a prin eliminarea succesiv¸ a a parametrului t, ea
reprezent^ and curba dup¸ a care se intersecteaz¸ a dou¸ a suprafet »e av^ and ecuat »iile generale
'(x; y; z ) = 0 » si Ã(x; y; z ) = 0 .
9

10 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE CINEMATICA PUNCTULUI
Prin de¯nit »ie, viteza medie a punctului P^ ³n intervalul de timp ¢ t, este :
~ vm=¢~ r
¢t(1.4)
Viteza momentan¸ a a punctului Pla momentul tse obt »ine f¸ ac^ and ¢ t!0 :
~ v= lim
¢t!0¢~ r
¢t= lim
¢t!0~ r(t+ ¢t)¡~ r(t)
¢t=d~ r
dt=_~ r (1.5)
Este evident (v. Fig. 1.1.b) c¸ a vectorul ~ veste orientat dup¸ a tangenta la traiectorie ^ ³n P
sensul ¯ind dat de direct »ia ^ ³n care decurge mi» scarea.
Figura 1.1: Traiectoria punctului, viteza
Din de¯nit »ia (1.5) » si folosind (1.1), rezult¸ a :
~ v=vx¢~ {+vy¢~ |+vz¢~k= _x¢~ {+ _y¢~ |+ _z¢~k (1.6)
adic¸ a proiectia vitezei pe una din axe este egal¸ a cu viteza proiect »iei vectorului de pozit »ie pe
axa respectiv¸ a (a¯rmat »ia este adev¸ arat¸ a numai ^ ³n sistemul de referint »¸ a cartezian!). M¸ arimea
vitezei va ¯ :
v´ j~ vj=q
_x2+ _y2+ _z2 (1.7)
Rezultate similare pot ¯ obt »inute pornind de la ecuat »ia orar¸ a a mi» sc¸ arii . Dac¸ a tra-
iectoria este o curb¸ a recti¯cabil¸ a care are ^ ³n ¯ecare punct o tangent¸ a unic¸ a, pozit »ia unui
punct Ppe traiectorie poate ¯ determinat¸ a cunosc^ and valoarea sa arcului socotit pe curb¸ a
^ ³ncep^ and de la o origine dat¸ a P0a arcelor, precum » si sensul pozitiv de m¸ asurare al arcelor :
s=s(t) (1.8)
Elimin^ and timpul din ecuat »iile (1.2) » si (1.8), se va putea scrie c¸ a :
~ r=~ r(s) (1.9)
din de¯nit »ia (1.5), rezult^ and :
~ v=d~ r
dt=d~ r
dsds
dt= _s~ ¿ (1.10)

1.2. HODOGRAFUL MIS »C ¸ARII, ACCELERAT »IA 11
unded~ r
ds=~ ¿ (1.11)
reprezint¸ a versorul tangentei la traiectorie ^ ³n P, orientat¸ a ^ ³n sensul pozitiv de m¸ asurare al
arcelor (v. Fig. 1.1.c). M¸ arimea vitezei va ¯ :
v=j_sj (1.12)
deoarece derivata _ spoate ¯ pozitiv¸ a sau negativ¸ a, dup¸ a cum la momentul respectiv punctul
Pse deplaseaz¸ a pe traiectorie ^ ³n acela» si sens, sau ^ ³n sens contrar, cu cel de m¸ asurare al
arcelor.
1.2 Hodograful mi» sc¸ arii, accelerat »ia
Dac¸ a este dat¸ a traiectoria mi» sc¸ arii ~ r=~ r(t) » si dac¸ a se cunoa» ste ^ ³n ¯ecare punct al traiec-
toriei vectorul vitez¸ a momentan¸ a, poate ¯ construit ^ ³ntr-un punct Odin spat »iu un sistem de
vectori concurent »i, astfel ^ ³nc^ at ¯ecare s¸ a ¯e egal » si paralel cu una din vitezele ~ v(t) pe care le
Figura 1.2: Hodograful mi» sc¸ arii
ia succesiv punctul material pe traiectorie (v. Fig. 1.2). Unind extremit¸ at »ile acestor vectori
se obt »ine o curb¸ a numit¸ a hodograful mi» sc¸ arii . Un punct Ase va deplasa pe aceast¸ a curb¸ a
cu o anumit¸ a vitez¸ a. Prin analogie, viteza momentan¸ a a lui Ala momentul tva ¯ notat¸ a cu
_~ v, vectorul reprezent^ and viteza de variat »ie a vitezei punctului material, adic¸ a accelerat »ia
punctului :
~ a(t) =_~ v(t) =Ä~ r(t) (1.13)
Componentele carteziene ale vectorului accelerat »ie vor rezulta din egalitatea :
~ a=ax¢~ {+ay¢~ |+az¢~k= Äx¢~ {+ Äy¢~ |+ Äz¢~k (1.14)
iar m¸ arimea acestui vector la un moment dat va ¯ :
a´ j~ aj=q
Äx2+ Äy2+ Äz2 (1.15)

12 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE CINEMATICA PUNCTULUI
Dac¸ a traiectoria punctului este o curb¸ a plan¸ a, atunci » si hodograful mi» sc¸ arii este tot o curb¸ a
plan¸ a, forma celor dou¸ a curbe ¯ind ^ ³n general esent »ial diferit¸ a.
^In ceea ce prive» ste orientarea ^ ³n spat »iu a vectorului accelerat »ie momentan¸ a, unicul lucru
care poate ¯ a¯rmat ^ ³n acest stadiu al rat »ionamentului este c¸ a acesta trebuie s¸ a ¯e tangent la
hodograful mi» sc¸ arii, observat »ia ¯ind nesemni¯cativ¸ a din punct de vedere intuitiv. Apel^ and
din nou la ecuat »ia orar¸ a a mi» sc¸ arii, care a condus la rezultate corecte pentru precizarea
orient¸ arii ^ ³n spat »iu a vectorului vitez¸ a, se va putea scrie succesiv :
~ a=d2~ r
dt2=d
dtÃd~ r
dt!
=d
dtÃd~ r
dsds
dt!
=d
dt( _s~ ¿) = Äs~ ¿+ _sÃd~ ¿
dsds
dt!
= Äs~ ¿+ _s2d~ ¿
ds(1.16)
Derivatad~ ¿
dsreprezint¸ a vectorul de curbur¸ a ^ ³n punctul P, m¸ arimea » si orientarea sa ¯ind
dat¸ a de prima formul¸ a a lui Frenet :
d~ ¿
ds=1
½~ ș (1.17)
Aici½reprezint¸ a raza de curbur¸ a ^ ³n punctul P, iar~ șeste versorul normalei principale
care este orientat¸ a ^ ³ntotdeauna spre centrul de curbur¸ a C(v. Fig. 1.3). Folosind formula
Figura 1.3: Raza de curbur¸ a » si normala principal¸ a
(1.17), expresia accelerat »iei devine :
~ a= Äs~ ¿+_s2
½~ ș (1.18)
Astfel, vectorul accelerat »ie se g¸ ase» ste tot timpul ^ ³ntr-un plan determinat de tangenta » si
normala principal¸ a la traiectorie^ ³n punctul respectiv, numit plan osculator . Componentele
accelerat »iei pe cele dou¸ a direct »ii reciproc perpendiculare vor ¯ (v. Fig. 1.4) :
– accelerat »ia tangent »ial¸ a : a¿= Äs
– accelerat »ia normal¸ a : aș=_s2
½=v2
½(1.19)

1.3. CLASIFICAREA MIS »C ¸ARILOR 13
m¸ arimea vectorului accelerat »ie ¯ind dat¸ a de expresia :
a=q
a2
¿+a2
ș=s
Äs2+_s4
½2=s
Äs2+v4
½2(1.20)
Figura 1.4: Planul osculator
1.3 Clasi¯carea mi» sc¸ arilor
^In funct »ie de valorile pe care le pot lua componentele accelerat »iei ^ ³n planul osculator, pot
¯ f¸ acute c^ ateva observat »ii interesante :
a)a¿= 0 : Ä s= 0 : v=j_sj=const . Mi» scarea curbilinie este uniform¸ a ;
b) sgn a¿= sgn _ s. Accelerat »ia tangent »ial¸ a ¯ind orientat¸ a ^ ³n sensul mi» sc¸ arii, viteza cre» ste
^ ³n valoare absolut¸ a » si mi» scarea este accelerat¸ a .
^Intr-adev¸ ar, deoarece a¿=d _s
dt» si observ^ and c¸ a ^ ³ntotdeauna d t >0 , din a¿>0 » si _s >0
rezult¸ a d _ s= dj_sj= dv > 0 . Rat »ion^ and analog ^ ³n cazul a¿<0 » si _s < 0 , rezult¸ a d _ s=
¡dj_sj<0 , adic¸ a tot d j_sj= dv >0 ;
c) sgn a¿6= sgn _ s. Relu^ and rat »ionamentul anterior, se arat¸ a c¸ a viteza scade ^ ³n valoare
absolut¸ a » si deci mi» scarea este ^ ³ncetinit¸ a (decelerat¸ a) ;
d)a¿=const . Mi» scarea este uniform variat¸ a , ea put^ and ¯ uniform accelerat¸ a sau
uniform ^ ³ncetinit¸ a ;
e) deoarece aș=v2
½>0 , accelerat »ia normal¸ a este orientat¸ a ^ ³ntotdeauna spre centrul de
curbur¸ a ;
f)aș= 0 . Deoarece v6= 0 , situat »ia este posibil¸ a numai dac¸ a ½! 1 , adic¸ a ^ ³n punctele
de in°exiune ale traiectoriei, sau c^ and mi» scarea este rectilinie ;
g) singura mi» scare pentru care accelerat »ia este nul¸ a este mi» scarea rectilinie » si uni-
form¸ a , deoarece ~ a= 0 numai dac¸ a simultan aș= 0 » si a¿= 0 .

14 CAPITOLUL 1. ELEMENTE DE CINEMATICA PUNCTULUI
1.4 Viteza areolar¸ a
Dac¸ a la momentul t, vectorul de pozit »ie al unui punct Pde pe traiectorie este ~ r, iar
viteza sa este ~ v, atunci prin de¯nit »ie vectorul vitez¸ a areolar¸ a ~­ are expresia :
~­ =1
2(~ r£~ v) (1.21)
Interpretarea geometric¸ a a m¸ arimii acestui vector se bazeaz¸ a pe observat »ia c¸ a
dA=1
2j~ r£d~ rj (1.22)
reprezint¸ a aria m¸ aturat¸ a de vectorul de pozit »ie ~ rla o deplasare elementar¸ a d ~ ra punctului
Ppe traiectorie (v. Fig. 1.5). Pentru deducerea formulei (1.22) s-a folosit proprietatea
produsului vectorial j~ a£~bj=j~ ajj~bjsin(~ a;~b) . Folosind aceast¸ a observat »ie, din (1.21) rezult¸ a :
j~­j=dA
dt(1.23)
deci m¸ arimea vitezei areolare reprezint¸ a viteza de variat »ie a ariei m¸ aturate de vectorul de
pozit »ie al punctului.
Figura 1.5: Viteza areolar¸ a
Dac¸ a traiectoria este cont »inut¸ a ^ ³n planul xOy, atunci se veri¯c¸ a u» sor urm¸ atoarea expresie
^ ³n coordonate polare :
~­ =1
2r2_µ~k (1.24)

Capitolul 2
Principiile Galilei-Newton
2.1 Enunt »uri
La baza mecanicii clasice st¸ a principiul inert »iei , pus^ ³n evident »¸ a experimental de Galilei
» si formulat matematic de Newton ca prima lege a mecanicii :
"Orice corp ^ ³» si p¸ astreaz¸ a starea de repaus sau de mi» scare rectilinie uniform¸ a,
dac¸ a asupra lui nu act »ioneaz¸ a fort »e care s¸ a-i modi¯ce starea."
Aici prin corp se^ ³nt »elege un punct material, adic¸ a un punct geometric c¸ aruia i se asociaz¸ a
o mas¸ a. Trebuie observat c¸ a ^ ³n realitate un corp se g¸ ase» ste ^ ³ntotdeauna ^ ³n interact »iune cu
un alt corp din Univers, ^ ³ns¸ a aceast¸ a interact »iune poate ¯ mic» sorat¸ a (^ ³n cazul ^ ³ndep¸ art¸ arii
corpului respectiv), anulat¸ a (prin act »iunea unui alt corp), iar interact »iunile care nu pot
¯ anulate (ca de exemplu frec¸ arile) pot ¯ f¸ acute oric^ at de mici utiliz^ and metode tehnice
adecvate.
Posibilitatea unui corp de a r¸ am^ ane un timp nede¯nit ^ ³n stare de repaus sau de mi» scare
rectilinie uniform¸ a ( st¸ ari naturale ale corpurilor), ^ ³n absent »a fort »elor exterioare, conduce la
proprietatea numit¸ a inert »ie intrinsec¸ a a corpurilor. De¯nind masa mca m¸ asur¸ a a inert »iei
corpului, respectiv ca m¸ asur¸ a a modului ^ ³n care corpul se opune variat »iei st¸ arii sale naturale,
precum » si impulsul (cantitatea de mi» scare )~ p=m~ v, enunt »ul matematic al prinicipiului
inert »iei se reduce la expresia :
~ p=const : (2.1)
Deoarece din principiul inert »iei rezult¸ a c¸ a poate exista mi» scare » si ^ ³n absent »a fort »elor, nu
se poate stabili o leg¸ atur¸ a direct¸ a ^ ³ntre vitez¸ a » si fort »¸ a, a» sa cu credea Aristotel. Se sugereaz¸ a
astfel ideea c¸ a nu mi» scarea, ci variat »ia mi» sc¸ arii ar trebui s¸ a ¯e proport »ional¸ a cu fort »a.
Principiul inert »iei nu permite determinarea concret¸ a a st¸ arii de repaus, sau de mi» scare
rectilinie » si uniform¸ a a corpului. ^In acest sens Galilei a f¸ acut observat »ia c¸ a pentru a cunoa» ste
precis starea corpului la orice moment, vor trebui cunoscute pozit »ia » si viteza sa la momentul
init »ial t0al mi» sc¸ arii. Principiul condit »iilor init »iale a¯rm¸ a c¸ a starea init »ial¸ a a corpului
determin¸ a ^ ³n mod unic mi» scarea acestuia. Deoarece la un moment tulterior lui t0,
dar su¯cient de apropiat, se poate scrie :
~ r(t) =~ r(t0) +(t¡t0)
1!_~ r(t0) +(t¡t0)2
2!Ä~ r(t0+"¢t) ; ¢ t=t¡t0, 0< " < 1 (2.2)
15

16 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON
rezult¸ a c¸ a dac¸ a se cunoa» ste starea init »ial¸ a a corpului, pentru cunoa» sterea mi» sc¸ arii sale este
necesar¸ a » si determinarea accelerat »iei sale (v. ultimul termen), dac¸ a aceasta este diferit¸ a
de zero. Astfel, » si acest principiu sugereaz¸ a existent »a unei leg¸ aturi dintre fort »¸ a » si variat »ia
mi» sc¸ arii.
Folosind observat »iile care decurg din primele dou¸ a principii, poate ¯ postulat cel de al
treilea principiu care st¸ a la baza mecanicii, anume principiul act »iunii fort »elor (legea a
doua a lui Newton).
"Variat »ia mi» sc¸ arii este proport »ional¸ a cu fort »a motoare imprimat¸ a » si este di-
rijat¸ a dup¸ a linia dreapt¸ a ^ ³n lungul c¸ areia este imprimat¸ a fort »a."
Dac¸ a ~Feste fort »a care act »ioneaz¸ a asupra corpului, expresia matematic¸ a a principiului
este dat¸ a de ecuat »ia :
_~ p=d~ p
dt=~F (2.3)
constanta de proport »ionalitate ^ ³n (2.3) ¯ind considerat¸ a unitatea. Postul^ and ^ ³n mecanica
clasic¸ a c¸ a masa m=const :, ecuat »ia (2.3) se mai scrie :
m_~ v=m~ a=~F (2.4)
unde ^ ³n general fort »a ~F=~F(t;~ r;_~ r) este dat¸ a. Din (2.3) rezult¸ a c¸ a fort »a ~Far reprezenta o
m¸ asur¸ a a interact »iunii corpului cu mediul, ^ ³ns¸ a trebuie observat c¸ a fort »a nu poate ¯ consi-
derat¸ a ca o m¸ asur¸ a universal¸ a a interact »iunii, deoarece exist¸ a situat »ii ^ ³n care interact »iunea
nu poate ¯ caracterizat¸ a printr-o fort »¸ a.
Legea a doua a lui Newton se bazeaz¸ a de asemenea pe o serie de observat »ii experimentale.
Dac¸ a se studiaz¸ a alunecarea f¸ ar¸ a frecare a unui corp pe un plan ^ ³nclinat, se veri¯c¸ a u» sor c¸ a
variat »ia vitezei este proport »ional¸ a cu componenta greut¸ at »ii ^ ³n lungul planului » si c¸ a ea este
orientat¸ a dup¸ a direct »ia fort »ei. Pe de alt¸ a parte, se » stie c¸ a pentru a scoate un corp din starea
sa natural¸ a, este necesar¸ a o fort »¸ a cu at^ at mai mare, cu c^ at masa sa inert¸ a este mai mare.
Un alt principiu fundamental al mecanicii este cel referitor la egalitatea act »iunii » si
react »iunii (legea a treia a lui Newton).
"Act »iunile reciproce a dou¸ a corpuri sunt ^ ³ntotdeauna egale » si dirijate ^ ³n sen-
suri contrare."
Consider^ and dou¸ a puncte materiale A1» siA2^ ³n interact »iune, not^ and cu ~F12act »iunea pe
care o exercit¸ a A2asupra lui A1» si cu ~F21act »iunea lui A1asupra lui A2, conform enunt »ului
va trebui ca :
~F12+~F21= 0 ; ~F12k¡!
A1A2 (2.5)
Deoarece act »iunea implic¸ a existent »a unei react »iuni egale » si de sens contrar, dac¸ a ~F12repre-
zint¸ a act »iunea luiA2asupra lui A1, atunci ~F21va reprezenta react »iunea corpului A1.
Rolul lui A2poate ¯ jucat » si de un c^ amp extern.
^Ins¸ a» si legea a doua a lui Newton, scris¸ a sub forma :
~F¡m~ a= 0 (2.6)
poate ¯ interpretat¸ a pe baza principiului enunt »at mai sus : dac¸ a ~Feste fort »a exercitat¸ a de un
agent extern asupra punctului material, atunci punctul produce o react »iune, o fort »¸ a aplicat¸ a

2.2. PROBLEMA DETERMIN ¸ARII MIS »C ¸ARII 17
agentului, egal¸ a cu ¡m~ a. Fort »a ¡m~ apoart¸ a numele de fort »¸ a de inert »ie , ea ¯ind datorat¸ a
inert »iei punctului material.
Aceste principii sunt completate de obicei de principiul independent »ei act »iunii
fort »elor , care stabile» ste c¸ a diferitele fort »e la care este supus punctul material
act »ionez¸ a independent . Astfel, mai multe fort »e care act »ioneaz¸ a simultan asupra punctului
pot ¯ ^ ³nlocuite cu rezultanta lor, » si invers, o fort »¸ a poate ¯ descompus¸ a ^ ³n fort »e componente
dup¸ a mai multe direct »ii concurente.
La enunt »area acestor principii s-a presupus existent »a unui reper absolut » si a unei cro-
nologii absolute, la care este raportat¸ a mi» scarea. Se va ar¸ ata ulterior c¸ a aceste principii ^ ³» si
p¸ astreaz¸ a valabilitatea pentru o clas¸ a ^ ³ntreag¸ a de repere, care vor ¯ numite inert »iale .
Cele cinci principii enunt »ate ^ ³n acest paragraf, la care se adaug¸ a a¯rmat »iile referitoare
la spat »iu, timp » si mas¸ a, alc¸ atuiesc un sistem complet de axiome care pot ¯ puse la baza
mecanicii clasice .
2.2 Problema determin¸ arii mi» sc¸ arii
Admit »^ and c¸ a fort »a ~F(t;~ r;_~ r) este o m¸ arime ¯zic¸ a dat¸ a, proiect^ and ecuat »ia lui Newton
mÄ~ r=~Fpe axele unui sistem cartezian de coordonate :
mÄx=Fx(t; x; y; z; _x;_y;_z)
mÄy=Fy(t; x; y; z; _x;_y;_z)
mÄz=Fz(t; x; y; z; _x;_y;_z)(2.7)
rezult¸ a un sistem de trei ecuat »ii diferent »iale de ordinul doi, cu condit »iile init »iale :
x(t0) =x0, _x(t0) = _x0
y(t0) =y0, _y(t0) = _y0
z(t0) =z0, _z(t0) = _z0(2.8)
Solut »ia sistemului (2.7) conduce la determinarea mi» sc¸ arii, adic¸ a a funct »iilor :
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)(2.9)
F¸ ac^ and notat »iile :
q1=x,q2=y,q3=z,q4= _x ,q5= _y ,q6= _z
Q1= _x,Q2= _y,Q3= _z,Q4=Fx
m,Q5=Fy
m,Q6=Fz
m(2.10)
sistemul (2.7) se reduce la un sistem de » sase ecuat »ii diferent »iale de ordinul ^ ³nt^ ai cu » sase
funct »ii necunoscute qi=qi(t) ;i= 1; : : : ; 6 :
_qi=Qi(t; q1; q2; q3; q4; q5; q6) ; i= 1; : : : ; 6 (2.11)

18 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON
¯ind cunoscute condit »iile init »iale :
qi(t0) =q0
i ; i= 1; : : : ; 6 (2.12)
Dac¸ a ^ ³n m¸ arimile Qi;i= 1; : : : ; 6 intervine explicit timpul, sistemul este neautonom , iar
dac¸ a timpul nu intervine explicit ^ ³n m¸ arimile respective, sistemul este numit autonom sau
dinamic . Majoritatea fenomenelor mecanice sunt descrise de sisteme dinamice.
Problema integr¸ arii sistemului (2.11) cu condit »iile init »iale (2.12) este cunoscut¸ a ^ ³n mate-
matic¸ a sub numele de problema Cauchy . Din teoria ecuat »iilor diferent »iale se » stie c¸ a dac¸ a
funct »iile Qi(t; q1; : : : ; q 6) ;i= 1; : : : ; 6 » si deci » si funct »iile Fx; Fy; Fz, sunt continue , atunci
solut »ia problemei Cauchy exist¸ a (teorema lui Peano ). Solut »ia este unic¸ a , dac¸ a funct »iile
respective satisfac condit »ia lui Lipschitz , adic¸ a pentru orice pereche ( q(1)
1; : : : ; q(1)
6) » si
(q(2)
1; : : : ; q(2)
6) exist¸ a constantele pozitive Aj;j= 1; : : : ; 6 a» sa ^ ³nc^ at :
¯¯¯Qi(t; q(1)
1; : : : ; q(1)
6)¡Qi(t; q(2)
1; : : : ; q(2)
6)¯¯¯·6X
j=1Aj¯¯¯q(1)
j¡q(2)
j¯¯¯;i= 1; : : : ; 6 (2.13)
Dac¸ a sistemul (2.11) este dinamic, » si dac¸ a funct »iile Qi(q1; : : : ; q 6) ;i= 1; : : : ; 6 » si deci
» si funct »iile Fx(~ r;_~ r); Fy(~ r;_~ r); Fz(~ r;_~ r) sunt de clas¸ a C1, atunci condit »ia lui Lipschitz este
^ ³ntotdeauna satisf¸ acut¸ a.
Dac¸ a sunt ^ ³ndeplinite condit »iile de existent »¸ a » si unicitate, atunci solut »ia general¸ a a siste-
mului (2.11) depinde de » sase constante de integrare :
qi=qi(t; C1; : : : ; C 6) ; i= 1; : : : ; 6 (2.14)
care pot ¯ determinate impun^ and condit »iile init »iale (2.12) :
q0
i=qi(t0; C1; : : : ; C 6) ; i= 1; : : : ; 6 (2.15)
Odat¸ a cu teorema de existent »¸ a » si unicitate se demonstraz¸ a c¸ a solut »ia (2.14) este de clas¸ a C2
» si de asemenea c¸ a :¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯@q0
1
@C1: : :@q0
1
@C6……
@q0
6
@C1: : :@q0
6
@C1¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯=@(q0
1; : : : ; q0
6)
@(C1; : : : ; C 6)6= 0 (2.16)
ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a sistemul algebric (2.15) poate ¯ rezolvat ^ ³n raport cu necunoscutele
Ci;i= 1; : : : ; 6 :
Ci=Ci(t0; q0
1; : : : ; q0
6) ; i= 1; : : : ; 6 (2.17)
Solut »ia general¸ a a sistemului (2.11) va ¯ astfel :
qi=fi(t; t0; q0
1; : : : ; q0
6) ; i= 1; : : : ; 6 (2.18)
Revenind la notat »iile ¯zice, solut »ia general¸ a a sistemului (2.7) cu condit »iile init »iale (2.8)
se scrie :
x=fx(t; t0; x0; y0; z0;_x0;_y0;_z0)
y=fy(t; t0; x0; y0; z0;_x0;_y0;_z0)
z=fz(t; t0; x0; y0; z0;_x0;_y0;_z0)(2.19)

2.3. MIS »CAREA RELATIV ¸A 19
^In concluzie, dac¸ a fort »a satisface condit »iile de existent »¸ a » si unicitate pentru
solut »ie, atunci ecuat »ia lui Newton » si condit »iile init »iale determin¸ a ^ ³n mod uni-
voc mi» scarea, ^ ³ntr-un interval ¯nit de timp .
Tot cu ajutorul ecuat »iei lui Newton se de¯ne» ste » si condit »ia de echilibru a punctului
material, sub in°uent »a unor fort »e date. Se » stie c¸ a dac¸ a la momentul t0pozit »ia punctului
este~ r(t0) =~ r0» si viteza sa este ~ v(t0) = 0 , iar la un moment ulterior t > t 0pozit »ia punctului
r¸ am^ ane aceea» si ~ r(t) =~ r0, atunci avem de a face cu o pozit »ie de echilibru. Scriind c¸ a ecuat »ia
lui Newton este veri¯cat¸ a de aceast¸ a solut »ie, rezult¸ a :
~F(t;~ r0;0) = 0 (2.20)
^In baza teoremei de unicitate, solut »ia (2.20) reprezint¸ a nu numai o condit »ie necesar¸ a ci » si
unasu¯cient¸ a de echilibru.
Pentru ca un punct material s¸ a ¯e ^ ³n echilibru ^ ³ntr-o pozit »ie ~ r0, este nece-
sar » si su¯cient ca ^ ³n pozit »ia respectiv¸ a, rezultanta fort »elor ce act »ioneaz¸ a asupra
punctului s¸ a ¯e nul¸ a.
Trebuie observat c¸ a dac¸ a ~Fdepinde explicit de timp, atunci ecuat »ia (2.20) nu admite
^ ³n general o solut »ie constant¸ a ~ r0, oricare ar ¯ timpul t. Dac¸ a ^ ³ns¸ a ~Fnu depinde de timp,
atunci din (2.20) rezult¸ a, prin proiectare pe cele trei axe, un sistem algebric de trei ecuat »ii
scalare :
Fx(x0; y0; z0) = 0
Fy(x0; y0; z0) = 0
Fz(x0; y0; z0) = 0(2.21)
care permite determinarea coordonatelor pozit »iei de echilibru ~ r0.
2.3 Mi» scarea relativ¸ a
Principiile Galilei-Newton au fost enunt »ate ^ ³n ipoteza c¸ a mi» scarea este raportat¸ a la un
sistem de referint »¸ a ¯x O1x1y1z1. Raport^ and mi» scarea la un sistem de referint »¸ a mobil Oxyz ,
Figura 2.1: Mi» scarea relativ¸ a

20 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON
ne intereseaz¸ a forma ecuat »iei de mi» scare fat »¸ a de acest sistem. Mi» scarea sistemului mobil ^ ³n
raport cu cel ¯x este cunoscut¸ a dac¸ a sunt date funct »iile ~ rO(t) ,~ {(t) ,~ |(t) » si~k(t) (v. Fig. 2.1).
Mi» scarea punctului P^ ³n raport cu sistemul ¯x O1x1y1z1va ¯ numit¸ a mi» scare absolut¸ a ,
iar mi» scarea aceluia» si punct fat »¸ a de sistemul mobil Oxyz va ¯ numit¸ a mi» scare relativ¸ a .
S¸ a observ¸ am pentru ^ ³nceput c¸ a orient¸ arile axelor sistemului Oxyz ^ ³n raport cu orient¸ arile
axelor sistemului O1x1y1z1sunt determinate doar de trei parametrii independent »i. ^Intr-
adev¸ ar, de» si direct »iile versorilor ~ { ; ~ | ; ~ksunt date de nou¸ a consinu» si directori, ^ ³ntruc^ at ^ ³ntre
ace» sti versori exist¸ a » sase relat »ii (condit »iile de ortonormare) :
~ {¢~ {= 1 , ~ |¢~ |= 1 , ~k¢~k= 1
~ {¢~ |= 0 , ~ |¢~k= 0 , ~k¢~ {= 0(2.22)
prin elimiare, r¸ am^ an doar trei parametri independent »i care determin¸ a ^ ³n ^ ³ntregime orientarea
luiOxyz ^ ³n raport cu O1x1y1z1.
Pe de alt¸ a parte, deriv^ and relat »iile (2.22) dup¸ a timp :
_~ {¢~ {= 0 , _~ |¢~ |= 0 ,_~k¢~k= 0
_~ {¢~ |=¡_~ |¢~ { , _~ |¢~k=¡_~k¢~ | ,_~k¢~ {=¡_~ {¢~k(2.23)
» si f¸ ac^ and notat »iile :
_~ {¢~ |=!z,_~ |¢~k=!x,_~k¢~ {=!y (2.24)
rezult¸ a c¸ a componentele vectorilor _~ {,_~ |,_~kpe axele sistemului Oxyz sunt :
_~ {= (0; !z;¡!y) , _~ |= (¡!z;0; !x) ,_~k= (!y;¡!x;0) (2.25)
adic¸ a se va putea scrie ( formulele lui Poisson ) :
_~ {=~ !£~ {,_~ |=~ !£~ |,_~k=~ !£~k (2.26)
unde vectorul ~ !(!x; !y; !z) caracterizeaz¸ a rotat »ia la un moment dat a sistemului Oxyz ^ ³n
raport cu O1x1y1z1» si de aceea poart¸ a numele de vectorul rotat »ie . Componentele (2.24)
ale acestui vector pot ¯ folosite de asemenea pentru a preciza orient¸ atile axelor sistemului
mobil ^ ³n raport cu cele ale sistemului ¯x.
Semni¯cat »ia ¯zic¸ a a vectorului rotat »ie poate ¯ pus¸ a foarte u» sor ^ ³n evident »¸ a examin^ and
cazul particular c^ and sistemul mobil este rotit ^ ³n raport cu cel ¯x cu unghiul Ã^ ³n jurul axei
Oz1, care coincide cu axa Oz(v. Fig. 2.2) . Deoarece :
~ {= cos Ã~ {1+ sin à ~ |1,_~ {= _Ã(¡sinÃ~ {1+ cos à ~ |1) = _à ~ |
~ |=¡sinÃ~ {1+ cos à ~ |1,_~ |=¡_Ã( cos Ã~ {1+ sin à ~ |1) =¡_Ã~ {
~k=~k1 ,_~k= 0(2.27)
folosind de¯nit »iile (2.24) rezult¸ a :
!x=_~ |¢~k= 0 , !y=_~k¢~ {= 0 , !z=_~ {¢~ |=_Ã (2.28)

2.3. MIS »CAREA RELATIV ¸A 21
Figura 2.2: Rotat »ia cu unghiul Ã^ ³n jurul axei Oz1
^In consecint »¸ a, ^ ³n situat »ia studiat¸ a, vectorul rotat »ie are drept suport chiar axa ^ ³n jurul c¸ areia
a avut loc rotat »ia. Observat »ia ^ ³» si p¸ astreaz¸ a valabilitatea » si ^ ³n cazul unor rotat »ii ^ ³n jurul unor
axe de tip OxsauOy, sau ^ ³n cazul unei rotat »ii un jurul unei axe av^ and o orientare oarecare,
c^ and toate cele trei componente ale vectorului rotat »ie pot ¯ diferite de zero.
Leg¸ atura dintre derivata unui vector ~Vraportat la sistemul ¯x » si derivata aceluia» si vector,
^ ³ns¸ a raportat la sistemul mobil, se obt »ine deriv^ and dup¸ a timp identitatea :
Vx1~ {1+Vy1~ |1+Vz1~k1=Vx~ {+Vy~ |+Vz~k (2.29)
» si folosind formulele lui Poisson :
_Vx1~ {1+_Vy1~ |1+_Vz1~k1=_Vx~ {+_Vy~ |+_Vz~k+Vx_~ {+Vy_~ |+Vz_~k=
=_Vx~ {+_Vy~ |+_Vz~k+~ !£(Vx~ {+Vy~ |+Vz~k) (2.30)
De¯nind derivata absolut¸ a a vectorului ~V, raportat la sistemul ¯x :
d~V
dt=_Vx1~ {1+_Vy1~ |1+_Vz1~k1 (2.31)
» siderivata relativ¸ a a aceluia» si vector ~V, raportat la sistemul mobil, calculat¸ a ca » si cum
versorii ~ {,~ |,~knu ar depinde de timp :
d0~V
dt=_Vx~ {+_Vy~ |+_Vz~k (2.32)
relat »ia (2.30) devine :
d~V
dt=d0~V
dt+~ !£~V (2.33)
unde ^ ³n membrul drept, vectorul ~Veste raportat la sistemul mobil.
Folosind (2.33), pot ¯ deduse expresiile vitezei » si accelerat »iei punctului ^ ³n mi» scarea rela-
tiv¸ a. Conform Fig. 2.1 , se poate scrie c¸ a :
~ r1=~ rO+~ r (2.34)

22 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON
Deriv^ and aceast¸ a relat »ie dup¸ a timp, rezult¸ a :
d~ r1
dt=d~ rO
dt+d0~ r
dt+~ !£~ r (2.35)
Aici :
~ va=d~ r1
dt(2.36)
reprezint¸ a viteza punctului P^ ³n raport cu sistemul ¯x, adic¸ a viteza absolut¸ a , iar
~ vr=d0~ r
dt(2.37)
reprezint¸ a viteza aceluia» si punct P^ ³n raport cu sistemul mobil, adic¸ a viteza relativ¸ a .
Not^ and cu :
~ vt=~ vO+~ !£~ r (2.38)
viteza pe care ar avea-o punctul Pdac¸ a ar ¯ legat solidar de sistemul Oxyz , adic¸ a viteza
de transport , formula de compunere a vitezelor ^ ³n mi» scarea relativ¸ a va ¯ :
~ va=~ vO+~ vr+~ !£~ r=~ vr+~ vt (2.39)
Deriv^ and ^ ³nc¸ a o dat¸ a dup¸ a timp relat »ia (2.35), se obt »ine :
d2~ r1
dt2=d2~ rO
dt2+d02~ r
dt2+~ !£d0~ r
dt+d~ !
dt£~ r+~ !£d0~ r
dt+~ !£(~ !£~ r)
=d2~ rO
dt2+d02~ r
dt2+ 2~ !£~ vr+_~ !£~ r+~ !£(~ !£~ r) (2.40)
Aici :
~ aa=d2~ r1
dt2(2.41)
reprezint¸ a accelerat »ia punctului P^ ³n raport cu sistemul ¯x, adic¸ a accelerat »ia absolut¸ a ,
iar
~ ar=d02~ r
dt2(2.42)
reprezint¸ a accelerat »ia aceluia» si punct P^ ³n raport cu sistemul mobil, adic¸ a accelerat »ia re-
lativ¸ a . Not^ and :
~ at=~ aO+_~ !£~ r+~ !£(~ !£~ r) (2.43)
accelerat »ia de transport , care se compune din accelerat »ia de translat »ie a originii O, din
accelerat »ia unghiular¸ a _~ !£~ r» si din accelerat »ia centripet¸ a ~ !£(~ !£~ r) , » si
~ ac= 2~ !£~ vr (2.44)
accelerat »ia Coriolis , care se datore» ste rotat »iei sistemului mobil combinat¸ a cu mi» scarea lui
P^ ³n raport cu acest sistem, legea de compunere a accelerat »iilor ^ ³n mi» scarea relativ¸ a devine :
~ aa=~ ar+~ at+~ ac (2.45)

2.4. SISTEME INERT »IALE 23
Folosind aceste rezultate, poate ¯ dedus¸ a ecuat »ia mi» sc¸ arii relative . Deoarece ecuat »ia
lui Newton este adev¸ arat¸ a doar dac¸ a mi» scarea este raportat¸ a la un sistem de referint »¸ a abso-
lut :m~ aa=~F, ^ ³nlocuind aici pe (2.45) rezult¸ a :
m(~ ar+~ at+~ ac) =~F (2.46)
de unde pentru mi» scarea relativ¸ a se obt »ine ecuat »ia :
m~ ar=~F+~Ft+~Fc (2.47)
unde s-au f¸ acut notat »iile :
~Ft=¡m~ at=¡mh
~ aO+_~ !£~ r+~ !£(~ !£~ r)i
~Fc=¡m~ ac=¡2m ~ !£~ vr(2.48)
Se observ¸ a c¸ a mi» scarea relativ¸ a a unui punct material poate ¯ determinat¸ a cu ajutorul unei
ecuat »ii similare cu cea a lui Newton, ^ ³ns¸ a pe l^ ang¸ a fort »a dat¸ a ~F, vor trebui introduse dou¸ a
fort »e complementare :~Ft-fort »a de transport » si~Fc-fort »a Coriolis , care se datoresc
lu¸ arii ^ ³n considerare a mi» sc¸ arii sistemului mobil. Fort »ele ~Ft» si~Fcsunt numite » si fort »e
inert »iale , deoarece ele sunt proport »ionale cu masa inert¸ a a punctului. Acestea sunt ni» ste
fort »e reale pentru un observator legat solidar de sistemul de referint »¸ a mobil, spre deosebire
de observatorul din sistemul ¯x pentru care aceste fort »e complementare nu exist¸ a.
Folosind ecuat »ia (2.47) poate ¯ scris¸ a u» sor condit »ia de echilibru relativ ^ ³n sistemul
mobil :
~F+~Ft= 0 (2.49)
deoarece ^ ³n aceast¸ a situat »ie ~ vr=~ ar= 0 » si deci ~Fc= 0 .
2.4 Sisteme inert »iale
Se observ¸ a c¸ a dac¸ a simultan ~ != 0 » si ~ aO= 0 , atunci se anuleaz¸ a fort »ele complementare
care act »ioneaz¸ a asupra punctului ^ ³n mi» scarea relativ¸ a. Invers, dac¸ a ~Ft= 0 » si ~Fc= 0 pentru
orice ~ r, atunci obligator va trebui ca ~ != 0 » si ~ aO= 0 .
Condit »ia ~ != 0 implic¸ a faptul c¸ a versorii ~ {,~ |,~kau direct »ii ¯xe, a» sa ^ ³nc^ at ^ ³n particular
ei pot ¯ ale» si coliniari cu versorii ~ {1,~ |1,~k1. Condit »ia ~ aO= 0 implic¸ a relat »ia evident¸ a
(~ vO=~ v0
O=const 🙂 :
~ rO(t) =~ v0
Ot+~ r0
O (2.50)
adic¸ a originea Oa sistemului mobil se g¸ ase» ste ^ ³n mi» scare rectilinie uniform¸ a, sau ^ ³n repaus
dac¸ a ~ v0
O= 0 , ^ ³n raport cu sistemul ¯x.
Astfel, dac¸ a sistemul mobil efectueaz¸ a o mi» scare de translat »ie rectilinie uniform¸ a ^ ³n ra-
port cu cel ¯x, ecuat »ia de mi» scare a punctului material are aceea» si form¸ a general¸ a ^ ³n ambele
sisteme de referint »¸ a. Observ^ and c¸ a principiul inert »iei se prezint¸ a la fel ^ ³n ambele sisteme de
referint »¸ a, deoarece din formula de compunere a vitezelor rezult¸ a c¸ a dac¸ a ~ va=const :atunci
» si~ vr=const :, iar principiul egalit¸ at »ii act »iunii » si react »iunii este independent de sistemul de
referint »¸ a ales, se poate a¯rma c¸ a legile lui Newton » si deci principiile mecanicii new-
toniene se prezint¸ a la fel ^ ³n sistemele de referint »¸ a a°ate ^ ³n mi» scare de translat »ie

24 CAPITOLUL 2. PRINCIPIILE GALILEI-NEWTON
rectilinie » si uniform¸ a unele fat »¸ a de altele . Aceste sisteme sunt numite » si sisteme
inert »iale , deoarece conserv¸ a principiul inert »iei. Evident, prin experient »e pur mecanice, nu
poate ¯ detectat din interiorul unui astfel de sistem, faptul c¸ a acesta se g¸ ase» ste ^ ³n mi» scare de
translat »ie rectilinie » si uniform¸ a. Aceste observ¸ at »ii reunite alc¸ atuiesc principiul relativit¸ at »ii
galileene . Ipoteza privind existent »a unui sistem de referint »¸ a ¯x ^ ³» si pierde important »a, deoa-
rece din punctul de vedere a relativit¸ at »ii galileene, nu mai este necesar¸ a luarea ^ ³n considerare
a unui sistem privilegiat.
Presupun^ and c¸ a la momentul init »ial originile a dou¸ a sisteme inert »iale coincid ( ~ r0
O= 0)
» si not^ and cu ~ v0viteza relativ¸ a de translat »ie, din (2.34) » si (2.50) rezult¸ a relat »iile dintre
coordonatele aceluia» si punct ^ ³n cele dou¸ a sisteme de referint »¸ a :
x1=v0
xt+x
y1=v0
yt+y
z1=v0
zt+z(2.51)
Ecuat »iile (2.51) sunt cunoscute » si sub numele de transformarea lui Galilei . Principiul
relativit¸ at »ii galileene poate ¯ reformulat » si ^ ³n sensul c¸ a legile mecanicii newtoniene sunt
invariante ^ ³n raport cu transformarea lui Galilei.

Capitolul 3
Dinamica punctului material
3.1 Integralele prime ale mi» sc¸ arii
Dup¸ a cum s-a ar¸ atat, dac¸ a sunt ^ ³ndeplinite anumite condit »ii, ecuat »iile de mi» scare :
mÄ~ r=~F(t;~ r;_~ r) (3.1)
admit o solut »ie unic¸ a care depinde de » sase constante de integrare, care se determin¸ a impun^ and
condit »iile init »iale. ^In o serie de situat »ii, problema determin¸ arii mi» sc¸ arii este mult simpli¯cat¸ a
dac¸ a sunt cunoscute una sau mai multe integrale prime ale mi» sc¸ arii.
Vom numi integral¸ a prim¸ a a ecuat »iilor de mi» scare (3.1), o funct »ie de timp, de
coordonata » si viteza punctului, care ^ ³n cursul mi» sc¸ arii ^ ³» si p¸ astreaz¸ a o valoare constant¸ a,
determinat¸ a de condit »iile init »iale :
f(t;~ r;_~ r) =C unde C=f(t0;~ r0;_~ r0) (3.2)
Dac¸ a este cunoscut setul complet de » sase integrale prime independente de forma (3.2) :
f®(t;~ r;_~ r) =C® ; ®= 1; : : : ; 6 (3.3)
problema determin¸ arii mi» sc¸ arii se reduce la rezolvarea sistemului algebric (3.3), care conduce
la determinarea dependent »ei de timp a vectorului de pozit »ie (» si a vitezei), ^ ³n funct »ie de
cele » sase constante care se determin¸ a din condit »iile init »iale. Aceast¸ a situat »ie ideal¸ a este
rar ^ ³nt^ alnit¸ a, put »ine ¯ind problemele pentru care este posibil¸ a scrierea setului complet de
integrale prime independente. Dup¸ a cum rezult¸ a din aplicat »ii, chiar dac¸ a este cunoscut un
num¸ ar mai mic de integrale prime, problema determin¸ arii mi» sc¸ arii pornind de la ecuat »iile
(3.1) este mult simpli¯cat¸ a.
Aceste integrale prime ale mi» sc¸ arii pot ¯ scrise destul de u» sor, dac¸ a asupra punctului
material este aplicat¸ a o fort »¸ a de o form¸ a particular¸ a. Cunoa» sterea integralelor prime, care
exprim¸ a legile de conservare ale unor m¸ arimi ¯zice importante care caracterizeaz¸ a mi» scarea,
devine esent »ial¸ a ^ ³n problemele pentru care, chiar dac¸ a solut »ia exist¸ a » si este unic¸ a, aceasta
nu poate ¯ dedus¸ a prin metode analitice cunoscute. ^In astfel de situat »ii, integralele prime
furnizeaz¸ a informat »ii cu privire la propriet¸ at »ile mi» sc¸ arii punctului material pe traiectorie.
25

26 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
3.2 Teoreme generale
3.2.1 Teorema impulsului
Prin de¯nit »ie, impulsul unui punct material de mas¸ a mcare se deplaseaz¸ a cu vitez¸ a ~ v,
reprezint¸ a m¸ arimea vectorial¸ a :
~ p=m~ v=m_~ r (3.4)
Folosind ecuat »ia lui Newton mÄ~ r=~F» si axioma constant »ei masei, se va putea scrie :
mÄ~ r=md_~ r
dt=d(m_~ r)
dt=d~ p
dt=_~ p=~F (3.5)
adic¸ a : mi» scarea punctului material se face astfel ^ ³nc^ at, ^ ³n orice moment, derivata
impulsului este egal¸ a cu rezultanta fort »elor aplicate punctului .
^In particular, dac¸ a proiect »ia fort »ei pe o ax¸ a arbitrar¸ a ¯x¸ a este nul¸ a la orice moment de
timp, atunci proiect »ia impulsului pe axa respectiv¸ a este o constant¸ a a mi» sc¸ arii. Dac¸ a, de
exemplu, axa ¯x¸ a este Oz» siFz= 0 , atunci din (3.5) rezult¸ a :
_~ p¢~k=~F¢~k= 0 adic¸ ad
dt(~ p¢~k) = 0 deci ~ p¢~k=const : (3.6)
integrala prim¸ a av^ and expresia :
m_z=const : (3.7)
Dac¸ a ^ ³n general ~F= 0 , se obt »ine urm¸ atoarea lege de conservare :^ ³n cazul ^ ³n care
rezultanta fort »elor aplicate punctului material este nul¸ a, atunci impulsul ~ peste
constant ^ ³n tot cursul mi» sc¸ arii (principiul inert »iei). Rezult¸ a trei integrale prime :
m_x=Cx
m_y=Cy
m_z=Cz(3.8)
S¸ a observ¸ am c¸ a dac¸ a este nul¸ a proiect »ia fort »ei pe o ax¸ a mobil¸ a , atunci nu este obligator
ca proiect »ia impulsului pe aceea» si ax¸ a s¸ a ¯e o constant¸ a. ^Intr-adev¸ ar, folosind coordonatele
polare, Frare expresia :
Fr=m ar=m(Är¡r_µ2) (3.9)
Este evident c¸ a din anularea expresiei (3.9) rezult¸ a pr=m vr=m_r=const :numai dac¸ a
_µ= 0 , ceea ce este imposibil dac¸ a axa este mobil¸ a.
3.2.2 Teorema momentului cinetic
Prin de¯nit »ie, momentului cinetic al unui punct material ^ ³n raport cu o origine Oeste
m¸ arimea vectorial¸ a :
~L=~ r£~ p=~ r£m_~ r=m(~ r£~ v) = 2 m~­ (3.10)
^Inmult »ind vectorial la st^ anga ecuat »ia ~F=mÄ~ rcu~ r» si observ^ and c¸ a :
~ r£~F=~ r£mÄ~ r=~ r£md_~ r
dt=d
dt(~ r£m_~ r) =d
dt(~ r£~ p) =d~L
dt=_~L (3.11)

3.2. TEOREME GENERALE 27
deoarece ~MO(~F) =~ r£~Feste momentul ^ ³n Oal rezultantei fort »elor, se obt »ine egalitatea :
_~L=~MO(~F) (3.12)
adic¸ a : mi» scarea punctului material se face astfel ^ ³nc^ at, ^ ³n orice moment, derivata
momentului cinetic este egal¸ a cu momentul rezultantei fort »elor aplicate, ambele
m¸ arimi ¯ind calculate ^ ³n raport cu aceea» si origine .
^In particular, dac¸ a proiect »ia momentului fort »ei pe o ax¸ a ¯x¸ a este nul¸ a la orice moment
de timp, atunci proiect »ia momentului cinetic pe aceea» si ax¸ a este o constant¸ a. Aleg^ and drept
ax¸ a ¯x¸ a axa Oz, din (3.12) rezult¸ a :
_~L¢~k=~MO(~F)¢~k= 0 adic¸ ad
dt(~L¢~k) = 0 (3.13)
adic¸ a :
~L¢~k=m(~ r£~ v)¢~k= 2m~­¢~k=const : (3.14)
^In coordonate carteziene, integrala prim¸ a are expresia :
m(x_y¡y_x) =const : (3.15)
^In Fig. 3.1 se presupune c¸ a suportul fort »ei ~Ftrece prin axa ¯x¸ a Oz. Deoarece ^ ³n aceast¸ a
situat »ie ( ~ r£~F)¢~k= 0 , sunt realizate condit »iile cerute de cazul particular descris mai sus.
Conform ultimei egalit¸ at »i din (3.14), deplasarea punctului pe traiectorie se face astfel, ^ ³nc^ at
proiect »ia sa pe orice plan perpendicular pe ~kse mi» sc¸ a cu vitez¸ a areolar¸ a constant¸ a.
Figura 3.1: Conservarea momentului cinetic
Dac¸ a ^ ³n general ~MO(~F) = 0 , atunci din (3.12) rezult¸ a urm¸ atoarea lege de conservare :
^ ³n cazul ^ ³n care momentul rezultantei ^ ³n Oal fort »elor aplicate punctului este
nul, atunci momentul cinetic ~L^ ³n raport cu acela» si punct Oeste constant ^ ³n tot
cursul mi» sc¸ arii . Pot ¯ scrise integralele prime :
m(y_z¡z_y) =Cx
m(z_x¡x_z) =Cy
m(x_y¡y_x) =Cz(3.16)

28 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
Aceast¸ a ultim¸ a situat »ie se realizeaz¸ a c^ and asupra punctului material act »ioneaz¸ a fort »e cen-
trale :
~F=F(r)~ r
r(3.17)
Deoarece suportul unei fort »e de tip central trece ^ ³ntotdeauna prin origine, momentul acesteia
este ^ ³ntotdeauna nul, momentul cinetic se conserv¸ a, » si se va putea scrie egalitatea :
~ r£~ v=~ r0£~ v0(3.18)
Observ^ and c¸ a :
~ r¢(~ r£~ v) =~ r¢(~ r0£~ v0) = 0 (3.19)
rezult¸ a c¸ a sub act »iunea unor fort »e de tip central, mi» scarea punctului material este^ ³ntotdeauna
plan¸ a , vectorul de pozit »ie ~ ra°^ andu-se tot timpul ^ ³n planul determinat de vectorii ~ r0» si~ v0.
^In acest plan, mi» scarea se efectueaz¸ a cu vitez¸ a areolar¸ a constant¸ a . Dac¸ a viteza
areolar¸ a este nul¸ a, atunci ~ r0k~ v0» si mi» scarea este rectilinie.
Figura 3.2: Planul mi» sc¸ arii sub act »iunea fort »elor centrale
3.2.3 Teorema energiei
Energia cinetic¸ a reprezint¸ a prin de¯nit »ie m¸ arimea scalar¸ a :
T=1
2mv2=1
2m~ v2=1
2m_~ r2(3.20)
^Inmult »ind scalar cu d ~ recuat »ia mÄ~ r=~F» si observ^ and c¸ a :
mÄ~ rd~ r=mÄ~ r_~ rdt=m_~ rd_~ r= dµ1
2m_~ r2¶
= dT (3.21)
not^ and lucrul mecanic elementar efectuat de rezultanta ~Fa fort »elor aplicate cu :
dL=~F¢d~ r (3.22)
se obt »ine :
dT= dL (3.23)

3.2. TEOREME GENERALE 29
adic¸ a : mi» scarea punctului se face astfel ^ ³nc^ at, ^ ³n orice moment, diferent »iala total¸ a
a energiei cinetice este egal¸ a cu lucrul mecanic elementar efectuat de rezultanta
fort »elor aplicate .
Pentru o deplasare ¯nit¸ a a punctului material ^ ³ntre dou¸ a st¸ ari (1) » si (2) , observ^ and c¸ a
energia cinetic¸ a (3.20) este o funct »ie de stare, prin integrarea ecuat »iei (3.23) rezult¸ a :
T2¡T1=(2)Z
(1)~F¢d~ r (3.24)
Deoarece ^ ³n general ~F=~F(t;~ r;_~ r) , pentru a calcula integrala din membrul drept, va trebui
cunoscut¸ a de obicei legea de mi» scare ~ r=~ r(t) a punctului. Exist¸ a ^ ³ns¸ a o clas¸ a destul de
larg¸ a de fort »e, pentru care poate ¯ calculat lucrul mecanic efectuat la o deplasare, f¸ ar¸ a a ¯
cunoscut¸ a forma traiectoriei. Acestea sunt fort »ele potent »iale stat »ionare.
O fort »¸ a ~F=~F(t;~ r) este potent »ial¸ a , dac¸ a ea ^ ³ndepline» ste condit »ia :
rot~F= 0 (3.25)
Aceast¸ a condit »ie poate ¯ satisf¸ acut¸ a dac¸ a exist¸ a o funct »ie scalar¸ a V=V(t;~ r) , a» sa ^ ³nc^ at :
~F=¡gradV (3.26)
Se spune despre funct »ia Vc¸ a ea reprezint¸ a potent »ialul din care deriv¸ a fort »a. ^In acest caz,
lucrul mecanic elementar are expresia :
dL=~F¢d~ r=¡rV¢d~ r=¡Ã@V
@xdx+@V
@ydy+@V
@zdz!
=¡dV+@V
@tdt (3.27)
Pentru o fort »¸ a potent »ial¸ a stat »ionar¸ a , va trebui ca@V
@t= 0 » si lucrul mecanic elementar
devine o diferent »ial¸ a total¸ a exact¸ a :
~F¢d~ r=¡dV (3.28)
La o deplasare ¯nit¸ a, lucrul mecanic nu va depinde de forma traiectoriei, ci doar de valorile
funct »iei V^ ³n starea init »ial¸ a » si ^ ³n cea ¯nal¸ a :
L12=(2)Z
(1)~F¢d~ r=¡(2)Z
(1)dV=V1¡V2 (3.29)
^Inlocuind (3.29) ^ ³n (3.24), se va putea scrie c¸ a :
T1+V1=T2+V2 (3.30)
semni¯cat »ia ¯zic¸ a a funct »iei V¯ind cea de energie potent »ial¸ a a punctului material ^ ³n
c^ ampul fort »elor potent »iale stat »ionare. Dac¸ a se cunoa» ste ~F(~ r) , din (3.28) rezult¸ a expresia

30 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
potent »ialului V(~ r) din care deriv¸ a fort »a potent^ ³al¸ a stat »ionar¸ a corespunz¸ atoare, sub forma
unei integrale nede¯nite :
V=¡Z
~F¢d~ r+C (3.31)
unde Ceste o constant¸ a care stabile» ste nivelul de zero al energiei potent »iale.
^In cazul unei fort »e centrale de forma (3.17), deoarece ~ rd~ r=rdr, din (3.31) se obt »ine :
V=¡Z
F(r) dr+C (3.32)
Pentru fort »a de atract »ie newtonian¸ a :
~F=¡fm1m2
r2~ r
rrezult¸ a V(r) =¡fm1m2
r;C=V(1) = 0 (3.33)
iar pentru fort »a elastic¸ a :
~F=¡k ~ r=¡kr~ r
rrezult¸ a V(r) =kr2
2;C=V(0) = 0 (3.34)
Dac¸ a fort »a potent »ial¸ a este nestat »ionar¸ a , pentru calculul lucrului mecanic la o deplasare
¯nit¸ a va trebui folosit¸ a formula general¸ a (3.27) :
L12=(2)Z
(1)~F¢d~ r=V1¡V2+(2)Z
(1)@V
@tdt (3.35)
Deoarece acum V=V(t;~ r) , este evident c¸ a rezultatul depinde de forma traiectoriei, ultima
integral¸ a put^ and ¯ calculat¸ a numai dac¸ a se cunoa» ste legea de mi» scare ~ r=~ r(t) .
^In afara fort »elor potent »iale, ^ ³n studiul mi» sc¸ arii pot ¯ ^ ³nt^ alnite » si alte tipuri de fort »e.
Dintre acestea amintim fort »ele giroscopice ~Fg, care sunt ^ ³n general liniare ^ ³n vitez¸ a » si
^ ³ntotdeauna perpendicualre pe ~ v. Lucrul mecanic al fort »elor giroscopice este ^ ³ntotdeauna
nul. Astfel, ^ ³n cazul fort »ei Lorentz, se veri¯c¸ a direct c¸ a :
dLg=~Fg¢d~ r=q(~ v£~B)~ vdt= 0 (3.36)
O alt¸ a categorie de fort »e nepotent »iale^ ³l reprezint¸ a fort »ele disipative ~Fd, care sunt orientate
de obicei^ ³n sens opus vitezei, acestea ap¸ ar^ and atunci c^ and corpul se deplaseaz¸ a^ ³ntr-un mediu
care ^ ³i opune rezistent »¸ a. Lucrul mecanic al fort »elor disipative este negativ :
dLd=~Fd¢d~ r=¡k ~ v¢~ vdt·0 ( k >0) (3.37)
Presupun^ and c¸ a asupra unui corp act »ioneaz¸ a toate cele trei tipuri de fort »e :
~F=¡rV+~Fg+~Fd(3.38)
lucrul mecanic elementar efectuat de aceste fort »e va ¯ :
dL=~Fd~ r=¡dV+@V
@tdt+~Fd~ vdt (3.39)

3.3. DINAMICA PUNCTULUI SUPUS LA LEG ¸ATURI 31
De¯nind energia mecanic¸ a total¸ a Ea punctului ca suma dintre energia cinetic¸ a » si cea
potent »ial¸ a :
E=T+V (3.40)
folosind teorema energiei (3.23) se deduce expresia variat »iei acesteia ^ ³n unitate de timp :
_E=dE
dt=dT
dt+dV
dt=dL
dt+dV
dt=¡@V
@t+~Fd~ v (3.41)
Se observ¸ a c¸ a ^ ³n general energia mecanic¸ a total¸ a a punctului material poate s¸ a creasc¸ a, s¸ a
scad¸ a, sau s¸ a se conserve. ^In particular, dac¸ a asupra punctului material nu act »ioneaz¸ a
fort »e disipative, iar fort »ele potent »iale sunt stat »ionare, atunci energia mecanic¸ a
total¸ a se conserv¸ a :
E=1
2mv2+V(~ r) =1
2m( _x2+ _y2+ _z2) +V(x; y; z ) =h (3.42)
Rezultatul constituie o nou¸ a integral¸ a prim¸ a a ecuat »iilor de mi» scare, numit¸ a integrala ener-
giei» si ea permite determinarea valorii vitezei punctului ^ ³n funct »ie de pozit »ie, f¸ ar¸ a a mai
rezolva ecuat »iile de mi» scare.
3.3 Dinamica punctului supus la leg¸ aturi
Exist¸ a situat »ii c^ and ^ ³n cursul mi» sc¸ arii, indiferent de fort »ele aplicate, sunt impuse restrict »ii
^ ³n ceea ce prive» ste pozit »iile posibile pe care la poate ocupa punctul material ^ ³n spat »iu. De
exemplu, dac¸ a ^ ³n cursul mi» sc¸ arii punctul este constr^ ans s¸ a r¸ am^ an¸ a tot timpul pe o suprafat »¸ a
dat¸ a, atunci coordonatele punctului vor trebui s¸ a satisfac¸ a la ecuat »ia suprafet »ei :
f(t; x; y; z ) = 0 (3.43)
Dac¸ a punctul este obligat s¸ a r¸ am^ an¸ a pe o curb¸ a, atunci ^ ³n cursul mi» sc¸ arii vor trebui s¸ a ¯e
^ ³ndeplinite simultan ecuat »iile celor dou¸ a suprafet »e a c¸ aror intersect »ie furnizeaz¸ a curba dat¸ a :
f1(t; x; y; z ) = 0
f2(t; x; y; z ) = 0(3.44)
^In ambele cazuri se spune c¸ a punctul se mi» sc¸ a sub act »iunea fort »elor ce act »ioneaz¸ a asupra
sa, doar ^ ³n limitele admise de leg¸ aturi. Dac¸ a timpul tnu intervine explicit ^ ³n ecuat »iile
leg¸ aturilor, acestea sunt numite stat »ionare , sauscleronome . De exemplu, dac¸ a punctul
este constr^ ans s¸ a se mi» ste pe o sfer¸ a ¯x¸ a de raz¸ a Rcu centrul ^ ³n origine, ecuat »ia leg¸ aturii va
¯ :
x2+y2+z2¡R2= 0 (3.45)
Dac¸ a timpul intervine explicit ^ ³n ecuat »iile leg¸ aturilor, acestea sunt numite nestat »ionare ,
saureonome . De exemplu, pentru punctul constr^ ans s¸ a se mi» ste pe o sfer¸ a de raz¸ a R, a
c¸ arei centru de deplaseaz¸ a uniform cu viteza v0^ ³n lungul axei 0 x, va trebui ca :
(x¡v0t)2+y2+z2¡R2= 0 (3.46)

32 CAPITOLUL 3. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL
Leg¸ aturile pot ¯ ideale , adic¸ a f¸ ar¸ a frecare, » si reale , adic¸ a cu frecare. ^In cele ce urmeaz¸ a
vor ¯ studiate doar leg¸ aturile ideale.
Sunt situat »ii c^ and leg¸ aturile sunt exprimate prin inegalit¸ at »i. Astfel, restrict »ia ca ^ ³n cursul
mi» sc¸ arii punctul s¸ a se g¸ aseasc¸ a tot timpul de aceea» si parte a unei suprafet »e date, se va scrie :
f(t; x; y; z )>0 sau f(t; x; y; z )<0 (3.47)
Leg¸ aturile exprimate prin egalit¸ at »i poart¸ a numele de leg¸ aturi bilaterale , iar cele exprimate
prin inegalit¸ at »i sunt numite leg¸ aturi unilaterale . Restrict »ia ca ^ ³n cursul mi» sc¸ arii, punctul
s¸ a se a°e tot timpul ^ ³n interiorul sferei ¯xe de raz¸ a Rcu centrul ^ ³n origine, se scrie :
x2+y2+z2¡R2<0 (3.48)
Pentru a scrie ecuat »ia de mi» scare a punctului material supus la leg¸ aturi, s¸ a observ¸ am
c¸ a ^ ³n cazul punctului constr^ ans s¸ a r¸ am^ an¸ a tot timpul pe o suprafat »¸ a sau o curb¸ a, avem de
a face cu un sistem material ^ ³n interact »iune , format din punctul material » si suprafat »a
sau curba respectiv¸ a. La tendint »a punctului material de a p¸ ar¸ asi suprafat »a sau curba, se va
opune react »iunea acesteia. Din acest motiv putem admite c¸ a prezent »a leg¸ aturii echivaleaz¸ a
cu o fort »¸ a suplimentar¸ a ~R, a» sa ^ ³nc^ at sub act »iunea fort »elor date ~F» si a fort »ei ~R, punctul s¸ a
poat¸ a ¯ considerat liber (axioma de leg¸ atur¸ a). Ecuat »ia de mi» scare se va putea scrie :
m~ a=~F+~R (3.49)
Fort »a ~Rpoart¸ a numele de fort »¸ a de leg¸ atur¸ a , sau react »iune , ea ¯ind o m¸ arime apriori
necunoscut¸ a. Se » stie c¸ a ^ ³n cazul leg¸ aturilor ideale, fort »a ~Reste ^ ³ntotdeauna normal¸ a la
suprafat »¸ a sau curb¸ a. ^In cazul unei suprafet »e, avem c¸ a :
~R=¸Ã@f
@x~ {+@f
@y~ |+@f
@z~k!
=¸gradf (3.50)
iar ^ ³n cazul unei curbe, react »iunea ~Rse g¸ ase» ste ^ ³n planul determinat de cele dou¸ a normale la
Figura 3.3: React »ia leg¸ aturii pentru punctul constr^ ans se se mi» ste pe o curb¸ a
suprafet »ele a c¸ aror intersect »ie determin¸ a curba, ^ ³n punctul curent de pe curb¸ a (v. Fig. 3.3) :
~R=¸1gradf1+¸2gradf2 (3.51)

3.3. DINAMICA PUNCTULUI SUPUS LA LEG ¸ATURI 33
Admit »^ and c¸ a leg¸ aturile sunt ideale, proiect^ and ecuat »ia (3.49) pe tangenta ^ ³ntr-un punct
al traiectoriei, se obt »ine o ecuat »ie independent¸ a de react »iune, ecuat »ie su¯cient¸ a pentru de-
terminarea ecuat »iei orare a mi» sc¸ arii s=s(t) , deoarece se » stie c¸ a pozit »ia punctului pe curb¸ a
poate ¯ precizat¸ a » si cu ajutorul unui singur parametru, care este lungimea arcului m¸ asurat
de la originea de m¸ asurare a arcelor pe traiectorie. Odat¸ a determinat¸ a aceast¸ a funct »ie, prin
proiectarea ecuat »iei (3.49) pe normala la traiectorie, va putea ¯ determinat¸ a react »iunea.
^Intr-adev¸ ar, deoarece ^ ³n planul osculator construit ^ ³ntr-un punct oarecare al traiectoriei
~ r=~ r(s) ;s=s(t) , accelerat »ia are expresia :
~ a= Äs~ ¿+v2
½~ ș= Äs~ ¿+_s2
½~ ș (3.52)
proiect »iile ecuat »iei (3.49) pe tangenta, respectiv normala la traiectorie, conduc la ecuat »iile :
mÄs=~F¢~ ¿
m_s2
½=~F¢~ ș+~R¢~ ș(3.53)
Solut »ia primei ecuat »ii este functia s=s(t) , care ^ ³nlocuit¸ a ^ ³n cea de a doua ecuat »ie permite
determinarea react »iei leg¸ aturii :
~R(t) =m_s2
½~ ș¡(~F¢~ ș)~ ș (3.54)
Procedeul descris este avantajos doar pentru studiul mi» sc¸ arii punctului constr^ ans s¸ a se mi» ste
pe curbe sau suprafet »e relativ simple, ca de exemplu cercul sau sfera.
Teorema impulsului » si teorema momentului cinetic pentru punctul supus la leg¸ aturi nu
prezint¸ a un interes deosebit, ap¸ ar^ and ^ ³n plus doar termenii corespunz¸ atori lu¸ arii ^ ³n conside-
rare a react »iunii leg¸ aturii :
_~ p=~F+~R
_~L=~MO(~F) +~MO(~R)(3.55)
Un rezultat interesant se obt »ine din teorema energiei :
dT= dL=~Fd~ r+~Rd~ r (3.56)
dac¸ a punctul este constr^ ans s¸ a se mi» ste f¸ ar¸ a frecare pe o suprafat »¸ a f= 0. ^In aceast¸ a situat »ie :
~Rd~ r=¸Ã@f
@xdx+@f
@ydy+@f
@zdz!
=¸Ã
df¡@f
@tdt!
=¡¸@f
@tdt (3.57)
deoarece d f= 0 . Dac¸ a ^ ³n plus leg¸ atura ideal¸ a este » si scleronom¸ a :@f
@t= 0 , atunci lucrul me-
canic al react »iei leg¸ aturii este nul, teorema energiei av^ and enunt »ul » si consecint »ele identice cu
cele din cazul mi» sc¸ arii punctului material liber. Astfel, dac¸ a asupra punctului nu act »ioneaz¸ a
fort »e disipative, fort »ele potent »iale sunt stat »ionare, iar leg¸ atura este ideal¸ a » si scleronom¸ a,
energia mecanic¸ a total¸ a este o integral¸ a prim¸ a, care nu depinde de react »ia ~Ra leg¸ aturii.

Capitolul 4
Dinamica sistemelor de puncte
materiale
Se studiaz¸ a mi» scarea unui ansamblu ¯nit de Npuncte materiale Pi(mi;~ ri) ;i= 1; : : : ; N
a°ate ^ ³n interact »iune. Pozit »ia sistemului la un moment dat este dat¸ a de ansamblul vectorilor
de pozit »ie ~ ri=~ ri(xi; yi; zi) ;i= 1; : : : ; N . Sistemul are 3 Ngrade de libertate, iar mi» scarea
sistemului este determinat¸ a de cunoa» sterea funct »iilor ~ ri=~ ri(t) ;i= 1; : : : ; N , ca solut »ii ale
sistemului de Necuat »ii de mi» scare scrise pentru ¯ecare punct icare alc¸ atuie» ste ansamblul :
miÄ~ ri=~Fi+NX
j=1
j6=i~Fij ; i= 1; : : : ; N (4.1)
Aici ~Fireprezint¸ a rezultanta fort »elor exterioare aplicate ^ ³n Pi, iar ~Fijreprezint¸ a act »iunile
punctelor Pj;j= 1; : : : ; N ;j6=icare se exercit¸ a asupra punctului Pi.^In general
interact »iunile ~Fij, numite » si fort »e interioare , nu sunt cunoscute apriori » si nici nu pot ¯
determinate f¸ ar¸ a a face ipoteze suplimentare privind structura » si modul de deformare a sis-
temului. Mi» scarea sistemului nu poate ¯ determinat¸ a complet f¸ ar¸ a a cunoa» ste interact »iunile
» si de obicei nici interact »iunile nu pot ¯ determinate dac¸ a nu se cunoa» ste mi» scarea.
Problema general¸ a a dinamicii sistemelor de puncte materiale const¸ a ^ ³n a
determina mi» scarea » si interact »iunile. Deoarece problema pus¸ a astfel este mult mai
complex¸ a dec^ at cea privind studiul mi» sc¸ arii punctului material, liber sau supus la leg¸ aturi,
^ ³n cele ce urmeaz¸ a ne vom limita doar la a indica modul ^ ³n care pornind de la ecuat »iile
(4.1) pot ¯ obt »inute c^ ateva teoreme generale , care caracterizeaz¸ a mi» scarea de ansamblu
a sistemului » si care ne pot furniza unele integrale prime . O integral¸ a prim¸ a a sistemului
de ecuat »ii de mi» scare (4.1) este o funct »ie de timp, de coordonatele » si vitezele punctelor care
alc¸ atuiesc sistemul, care p¸ astreaz¸ a o valoare constant¸ a ^ ³n cursul evolut »iei sistemului :
f(t;~ r1; : : : ;~ r N;_~ r1; : : : ; _~ rN) =Cunde C=f(t0;~ r0
1; : : : ;~ r0
N;_~ r0
1; : : : ; _~ r0
N) (4.2)
Deoarece acum setul complet de integrale prime independente este 6 N, devine practic im-
posibil¸ a determinarea mi» sc¸ arii pornind numai de la integrale prime, prin rezolvarea unui
sistem algebric, aceasta pentru c¸ a ^ ³n mecanica newtonian¸ a nu exist¸ a o metod¸ a coerent¸ a de
construire a setului complet de integrale prime independente, pornind de la c^ ateva cunoscute.
34

4.1. TEOREME GENERALE 35
4.1 Teoreme generale
4.1.1 Teorema impulsului » si teorema mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a
Prin de¯nit »ie, impulsul total al sistemului de puncte materiale este vectorul :
~ p=NX
i=1mi~ vi=NX
i=1mi_~ ri (4.3)
Sum^ and ecuat »iile (4.1) pe toate punctele sistemului, rezult¸ a :
NX
i=1miÄ~ ri=NX
i=1mid_~ ri
dt=d
dtÃNX
i=1mi_~ ri!
=d~ p
dt=_~ p (4.4)
respectiv :
NX
i=1~Fi=~F (4.5)
unde ~Freprezint¸ a rezultanta tuturor fort »elor exterioare aplicate asupra sistemului de puncte,
iar :
NX
i;j=1
j6=i~Fij=NX
i<j(~Fij+~Fji) = 0 (4.6)
rezultanta fort »elor interioare ¯ind zero datorit¸ a principiului egalit¸ at »ii act »iunii cu react »iunea.
Reunind rezultatele, se obt »ine ecuat »ia :
_~ p=~F (4.7)
care exprim¸ a faptul c¸ a mi» scarea sistemului se face astfel ^ ³nc^ at ^ ³n orice moment
derivata impulsului total ^ ³n raport cu timpul este egal¸ a cu rezultanta fort »elor
exterioare (teorema impulsului).
Dac¸ a rezultanta fort »elor exterioare care act »ioneaz¸ a asupra sistemului este nul¸ a ( ~F= 0) ,
atunci impulsul total al sistemului se conserv¸ a :
NX
i=1mi_~ ri=~ p0 unde ~ p0=NX
i=1mi_~ r0
i=NX
i=1mi~ v0
i (4.8)
rezult^ and astfel trei integrale prime scalare. Condit »ia ~F= 0 se realizeaz¸ a^ ³n cazul unui sistem
^ ³nchis sauizolat , interact »iunea acestuia cu corpurile ^ ³nconjur¸ atoare ¯ind neglijabil¸ a.
Pornind de la de¯nit »ia pentru vectorul de pozit »ie al centrului de mas¸ a :
~ rc=1
MNX
i=1mi~ ri ; M=NX
i=1mi (4.9)
prin derivare de dou¸ a ori dup¸ a timp, folosind (4.4) rezult¸ a :
MÄ~ rc=NX
i=1miÄ~ ri=_~ p (4.10)

36 CAPITOLUL 4. DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE
» si ^ ³n conformitate cu ecuat »ia (4.7) se poate scrie :
MÄ~ rc=~F (4.11)
adic¸ a : centrul de mas¸ a al unui sistem de puncte materiale se mi» sc¸ a la fel ca un
punct material ^ ³n care ar ¯ concentrat¸ a ^ ³ntreaga mas¸ a a sistemului » si ^ ³n care
ar ¯ aplicat¸ a rezultanta fort »elor exterioare (teorema mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a). Se
observ¸ a c¸ a fort »ele interioare nu au nici o in°uent »¸ a asupra mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a. Astfel,
^ ³n cazul unui proiectil care explodeaz¸ a, centrul de mas¸ a al fragmentelor sale are aceea» si
mi» scare, neglij^ and rezistent »a aerului, pe care ar avea-o proiectilul dac¸ a nu ar exploda.
^In cazul unui sistem ^ ³nchis, centrul de mas¸ a are o mi» scare rectilinie » si uniform¸ a, sau
r¸ am^ ane ^ ³n repaus, chiar dac¸ a elementele sistemului pot avea mi» sc¸ ari diferite sub in°uent »a
fort »elor interioare. Din acest motiv un om nu poate ^ ³nainta pe o gheat »¸ a perfect lucie,
greutatea omului ¯ind anulat¸ a de react »iunea ghet »ii, rezultanta fort »elor ¯ind astfel nul¸ a.
^In baza teoremei mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a, apare posibilitatea asimil¸ arii mi» sc¸ arii unui
corp de dimensiuni ¯nite, cu mi» scarea unui singur punct, care este chiar centrul de mas¸ a al
corpului respectiv.
4.1.2 Teorema momentului cinetic
Momentul cinetic total ^ ³n raport cu Oal unui sistem de puncte materiale are expresia :
~L=NX
i=1~Li=NX
i=1(~ ri£~ pi) =NX
i=1(~ ri£mi_~ ri) =NX
i=1mi(~ ri£~ vi) = 2NX
i=1mi~­i (4.12)
^Inmult »ind vectorial la st^ anga ¯ecare din ecuat »iile (4.1) cu ~ ri» si sum^ and pe toate punctele
sistemului, rezult¸ a :
NX
i=1(~ ri£miÄ~ ri) =NX
i=1Ã
~ ri£mid_~ ri
dt!
=NX
i=1d
dt(~ ri£mi_~ ri) =d
dtNX
i=1(~ ri£~ pi) =d~L
dt=_~L(4.13)
respectiv :
NX
i=1(~ ri£~Fi) =~MO(~F) (4.14)
unde ~MO(~F) reprezint¸ a momentul rezultant ^ ³n Oal fort »elor exterioare, iar :
NX
i;j=1
j6=i(~ ri£~Fij) =NX
i<j[ (~ ri£~Fij) + (~ rj£~Fji) ] =NX
i<j[ (~ ri¡~ rj)£~Fij] =NX
i<j(~ rij£~Fij) = 0 (4.15)
unde ^ ³n calcule s-a t »inut cont de principiul egalit¸ at »ii act »iunii cu react »iunea. Reunind rezul-
tatele, se obt »ine ecuat »ia :
_~L=~MO(~F) (4.16)
adic¸ a : mi» scarea sistemului se face astfel ^ ³nc^ at ^ ³n orice moment derivata mo-
mentului cinetic total ^ ³n raport cu timpul este egal¸ a cu momentul rezultant al

4.1. TEOREME GENERALE 37
fort »elor exterioare (teorema momentului cinetic). Evident, ambele m¸ arimi sunt calculate
^ ³n raport cu aceea» si origine O. Similar cu (4.7), » si ecuat »ia (4.16) prezint¸ a avantajul c¸ a este
independent¸ a de interact »iuni.
Dac¸ a exist¸ a un punct O^ ³n spat »iu, ^ ³n raport cu care momentul rezultant al fort »elor exte-
rioare este nul, atunci ^ ³n tot cursul mi» sc¸ arii se conserv¸ a momentul cinetic total al sistemului
^ ³n raport cu punctul respectiv :
NX
i=1(~ ri£mi~ vi) = 2NX
i=1mi~­i=~L0unde ~L0=NX
i=1(~ r0
i£mi~ v0
i) = 2NX
i=1mi~­0
i (4.17)
Proiect »ia momentului cinetic total pe orice ax¸ a care trece prin Ova ¯ de asemenea o con-
stant¸ a. Dac¸ a axa este de tip Oz, atunci :
NX
i=1(~ ri£mi~ vi)¢~k= 2NX
i=1mi~­i¢~k=const : (4.18)
^In consecint »¸ a : ariile descrise de proiect »iile punctelor sistemului pe orice plan care
trece prin O, ^ ³nmult »ite cu masele respective » si sumate, dau o constant¸ a ; ariile
respective vor ¯ maxime ^ ³n planul perpendicular pe vectorul ~L0(teorema ariilor).
Deoarece ^ ³n coordonate polare ~­i¢~k=1
2r2
i_µi, din (4.18) rezult¸ aNX
i=1mir2
i_µi=const :, ceea
ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a atunci c^ and o parte din proiect »iile punctelor sistemului se mi» sc¸ a ^ ³ntr-un sens
(_µ >0) , proiect »iile celorlalte puncte trebuie s¸ a se mi» ste ^ ³n sens contrar ( _µ <0) . Evident,
toate aceste observat »ii ^ ³» si p¸ astreaz¸ a valabilitatea » si pentru un sistem ^ ³nchis .
Teorema I a lui Koenig
S¸ a observ¸ am c¸ a din teorema impulsului _~ p=~F» si teorema mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a
MÄ~ rc=~F, rezult¸ a c¸ a impulsul total al sistemului coincide cu impulsul centrului
de mas¸ a , ^ ³n care se consider¸ a c¸ a este concentrat¸ a ^ ³ntreaga mas¸ a a sistemului. ^In cazul
momentului cinetic total situat »ia este ceva mai complex¸ a. Presupun^ and c¸ a centrul de mas¸ a
Figura 4.1: Centrul de mas¸ a al sistemului de puncte materiale
constituie originea unui sistem de referint »¸ a av^ and vectorul de pozit »ie ~ rc^ ³n raport cu O, din
Fig. 4.1 rezult¸ a :
~ ri=~ rc+~ r0
i
~ vi=~ vc+~ v0
i; i= 1; : : : ; N (4.19)

38 CAPITOLUL 4. DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE
unde ~ vc=_~ rceste viteza centrului de mas¸ a, iar ~ v0
i=_~ r0
ieste viteza punctului Pi^ ³n raport cu
centrul de mas¸ a. ^Inlocuind (4.19) ^ ³n de¯nit »ia (4.12), rezult¸ a :
~L=NX
i=1(~ ri£mi~ vi) =NX
i=1[ (~ rc+~ r0
i)£mi(~ vc+~ v0
i) ] = (4.20)
=~ rc£ÃNX
i=1mi!
~ vc+NX
i=1(~ r0
i£mi~ v0
i) +ÃNX
i=1mi~ r0
i!
£~ vc+~ rc£d
dtÃNX
i=1mi~ r0
i!
Contribut »iile ultimilor doi termeni sunt nule, deoarece se poate veri¯ca direct din de¯nit »ia
(4.9) pentru vectorul de pozit »ie al centrului de mas¸ a c¸ aNX
i=1mi~ r0
i= 0 . ^In concluzie
~L=~ rc£M ~ v c+~L0unde ~L0=NX
i=1(~ r0
i£mi~ v0
i) (4.21)
adic¸ a : momentul cinetic al sistemului ^ ³n raport cu Ose compune din momentul
cinetic al sistemului calculat ^ ³n ipoteza c¸ a ^ ³ntreaga sa mas¸ a ar ¯ concentrat¸ a ^ ³n
centrul de mas¸ a » si din momentul cinetic datorat mi» sc¸ arii sistemului ^ ³n raport cu
centrul de mas¸ a (teorema I a lui Koenig). Se observ¸ a c¸ a ^ ³n general momentul cinetic total
~Ldepinde de alegerea originii O. Doar ^ ³n situat »ia ^ ³n care centrul de mas¸ a este imobil ^ ³n
raport cu O(~ vc= 0), momentul cinetic ~Leste independent de acest punct, el reduc^ andu-se
la momentul cinetic al sistemului ^ ³n raport cu centrul de mas¸ a.
Teorema momentului cinetic, precum » si consecint »ele sale, ^ ³» si p¸ astreaz¸ a valabilitatea ^ ³n
sistemul de referint »¸ a av^ and originea ^ ³n centrul de mas¸ a. ^Intr-adev¸ ar, deriv^ and (4.21) dup¸ a
timp » si folosind teorema mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a, rezult¸ a :
_~L=d
dt(~ rc£M ~ v c) +_~L0=~ rc£MÄ~ rc+_~L0=~ rc£~F+_~L0(4.22)
Pe de alt¸ a parte :
~MO(~F) =NX
i=1[ (~ rc+~ r0
i)£~Fi] =~ rc£ÃNX
i=1~Fi!
+NX
i=1(~ r0
i£~Fi) =~ rc£~F+~M0(~F) (4.23)
^Inlocuind ^ ³n (4.16), teorema momentului cinetic devine :
_~L0=~M0(~F) (4.24)
ceea ce con¯rm¸ a a¯rmat »ia anterioar¸ a.
Teorema ariilor ^ ³n raport cu o ax¸ a care trece prin centrul de mas¸ a explic¸ a experient »a
cunoscut¸ a sub numele de scaunul lui Prandtl . Dac¸ a o persoan¸ a st¸ a ^ ³n pozit »ie vertical¸ a
pe un suport orizontal circular, centrul de mas¸ a al persoanei ¯ind situat pe prelungirea axei
suportului » si persoana t »ine ^ ³n m^ aini o roat¸ a de biciclet¸ a av^ and osia ^ ³n lungul aceleia» si axe,
iar pe circumferint »a rot »ii sunt distribuite c^ at mai uniform mase de plumb, atunci punerea
^ ³n mi» scare a rot »ii provoac¸ a o rotat »ie ^ ³n sens contrar a persoanei » si deci a suportului circular
orizontal.

4.1. TEOREME GENERALE 39
Figura 4.2: Scaunul lui Prandtl
4.1.3 Teorema energiei
Energia cinetic¸ a total¸ a a sistemului de puncte materiale reprezint¸ a prin de¯nit »ie m¸ arimea
scalar¸ a :
T=1
2NX
i=1miv2
i=1
2NX
i=1mi~ v2
i=1
2NX
i=1mi_~ r2
i (4.25)
^Inmult »ind scalar ¯ecare din ecuat »iile (4.1) cu d ~ ri» si sum^ and pe toate punctele sistemului,
rezult¸ a pentru membrul st^ ang expresia :
NX
i=1miÄ~ rid~ ri=NX
i=1miÄ~ ri_~ ridt=NX
i=1mi_~ rid_~ ri= dÃ1
2NX
i=1mi_~ r2
i!
= dT (4.26)
Not^ and cu :
dLext=NX
i=1~Fid~ ri (4.27)
lucrul mecanic elementar al fort »elor exterioare » si cu :
dLint=NX
i;j=1
j6=i~Fijd~ ri (4.28)
lucrul mecanic elementar al fort »elor interioare, se obt »ine ^ ³n ¯nal :
dT= dLext+ dLint (4.29)
adic¸ a : mi» scarea sistemului se face astfel ^ ³nc^ at ^ ³n orice moment diferent »iala ener-
giei cinetice totale este egal¸ a cu suma dintre lucrul mecanic elementar al fort »elor
exterioare » si lucrul mecanic elementar al fort »elor interioare (teorema energiei).
Presupun^ and c¸ a fort »ele care act »ioneaz¸ a asupra punctelor sistemului pot ¯ potent »iale,
giroscopice » si disipative » si t »in^ and cont c¸ a lucrul mecanic al fort »elor giroscopice este nul, se

40 CAPITOLUL 4. DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE
va putea scrie :
dLext=NX
i=1~Fp
id~ ri+NX
i=1~Fd
id~ ri
dLint=NX
i;j=1
j6=i~Fp
ijd~ ri+NX
i;j=1
j6=i~Fd
ijd~ ri(4.30)
Pentru fort »ele potent »iale exterioare exist¸ a funct »iile scalare Ve
i(t;~ ri) ;i= 1; : : : ; N a» sa
^ ³nc^ at :
~Fp
i=¡r iVe
i (4.31)
underireprezint¸ a operatorul gradient ^ ³n care derivatele se efectueaz¸ a ^ ³n raport cu coordo-
natele punctului Pi. Not^ and funct »ia de potent »ial a sistemului ^ ³n c^ amp extern cu :
Ve=NX
i=1Ve
i(t;~ ri) (4.32)
» si observ^ and c¸ a Ve=Ve(t;~ r1; : : : ;~ r N) , lucrul mecanic elementar al fort »elor potent »iale exte-
rioare va avea expresia :
NX
i=1~Fp
id~ ri=¡dVe+@Ve
@tdt (4.33)
^In ceea ce prive» ste fort »ele potent »iale interioare ~Fp
ij, ele ¯ind fort »e de interact »iune ^ ³ntre
dou¸ a particule, dac¸ a ele deriv¸ a dintr-o funct »ie de potent »ial Vij, aceasta trebuie s¸ a depind¸ a
numai de distant »a reciproc¸ a dintre cele dou¸ a particule :
Vij=Vij(j~ ri¡~ rjj) (4.34)
deoarece ^ ³n caz contrar fort »ele nu ar satisface la principiul egalit¸ at »ii act »iunii cu react »iunea.
^Intr-adev¸ ar, dac¸ a fort »ele sunt potent »iale, conforma de¯nit »iei va trebui ca :
~Fp
ij=¡r iVij , ~Fp
ji=¡r jVij (4.35)
Efectu^ and notat »iile :
~ rij=~ ri¡~ rj ; rij´ j~ rijj=j~ ri¡~ rjj (4.36)
» si observ^ and c¸ a ^ ³n ipoteza (4.34) va trebui ca :
riVij=dVij
drij~ rij
rij(4.37)
se veri¯c¸ a direct egalitatea :
riVij=¡r jVij (4.38)
^Inlocuind aici relat »iile (4.35) rezult¸ a c¸ a ^ ³ntr-adev¸ ar fort »ele interioare satisfac la ecuat »ia :
~Fp
ij+~Fp
ji= 0 (4.39)
iar ^ ³n conformitate cu (4.37) ele sunt orientate ^ ³n lungul liniei drepte care une» ste cele dou¸ a
puncte.

4.1. TEOREME GENERALE 41
Lucrul mecanic elementar al fort »elor potent »iale interioare va ¯ :
NX
i;j=1
j6=i~Fp
ijd~ ri=NX
i<j³~Fp
ijd~ ri+~Fp
jid~ rj´
=NX
i<j~Fp
ijd(~ ri¡~ rj) =¡X
i<jriVijd~ rij (4.40)
=¡NX
i<jdVij
drijdrij=¡NX
i<jdVij=¡1
2NX
i;j=1
j6=idVij=¡d0
BBB@1
2NX
i;j=1
j6=iVij1
CCCA=¡dVin
unde :
Vin=1
2NX
i;j=1
j6=iVij(j~ ri¡~ rjj) (4.41)
reprezint¸ a energia potent »ial¸ a intern¸ a a sistemului, care este ^ ³n general diferit¸ a de zero » si
se poate modi¯ca odat¸ a cu evolut »ia ^ ³n timp a sistemului. Doar ^ ³n cazul solidului rigid, c^ and
distant »ele reciproce dintre oricare dou¸ a puncte ale sale nu se modi¯c¸ a ^ ³n cursul mi» sc¸ arii,
fort »ele interioare nu efectueaz¸ a lucru mecanic » si Vin=const :(= 0) .
Energia potent »ial¸ a Va sistemului de puncte va ¯ suma :
V=Ve+Vin=NX
i=1Ve
i(t;~ ri) +1
2NX
i;j=1
j6=iVij(j~ ri¡~ rjj) (4.42)
De¯nind energia mecanic¸ a total¸ a Ea sistemului ca :
E=T+V (4.43)
» si folosind relat »iile anterioare, rezult¸ a :
_E=dT
dt+dV
dt=dLext
dt+dLint
dt+dVe
dt+dVin
dt=@Ve
@t+NX
i=1~Fd
i~ vi+NX
i;j=1
j6=i~Fd
ij~ vi(4.44)
^In consecint »¸ a, dac¸ a asupra punctelor care alc¸ atuiesc sistemul nu act »ioneaz¸ a fort »e
disipative exterioare sau interioare, iar energia potent »ial¸ a a sistemului ^ ³n c^ amp
extern nu depinde explicit de timp, atunci energia mecanic¸ a total¸ a a sistemului
se conserv¸ a (integrala energiei) :
E=1
2NX
i=1miv2
i+NX
i=1Ve
i(~ ri) +1
2NX
i;j=1
j6=iVij(j~ ri¡~ rjj) =h (4.45)
Un astfel de sistem va ¯ numit conservativ .

42 CAPITOLUL 4. DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE
Teorema a II-a a lui Koenig
^Inlocuind ^ ³n de¯nit »ia (4.25) viteza punctului prin suma dintre viteza centrului de mas¸ a
» si viteza ^ ³n raport cu centrul de mas¸ a (v. Fig. 4.1), rezult¸ a :
T=1
2NX
i=1mi~ v2
i=1
2NX
i=1mi(~ vc+~ v0
i)(~ vc+~ v0
i) =1
2ÃNX
i=1mi!
v2
c+1
2NX
i=1miv02
i+~ vcd
dtÃNX
i=1mi~ r0
i!
(4.46)
Deoarece contribut »ia ultimului termen este nul¸ a, se va putea scrie :
T=1
2Mv2
c+T0unde T0=1
2NX
i=1miv02
i (4.47)
adic¸ a : energia cinetic¸ a total¸ a a sistemului se compune din energia cinetic¸ a a
sistemului calculat¸ a ^ ³n ipoteza c¸ a ^ ³ntreaga sa mas¸ a ar ¯ concentrat¸ a ^ ³n centrul
de mas¸ a » si din energia cinetic¸ a datorat¸ a mi» sc¸ arii sistemului ^ ³n raport cu centrul
de mas¸ a (teorema a II-a a lui Koenig).
Teorema energiei ^ ³» si p¸ astreaz¸ a forma » si ^ ³ntr-un sistem de referint »¸ a cu originea ^ ³n centrul
de mas¸ a. Deoarece ~ ri=~ rc+~ r0
i, folosind » si teorema mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a, lucrul mecanic
elementar al fort »elor exterioare poate ¯ scris sub forma :
dLext=NX
i=1~Fid~ ri=ÃNX
i=1~Fi!
d~ rc+NX
i=1~Fid~ r0
i=~Fd~ rc+ dL0
ext= dµ1
2M v2
c¶
+ dL0
ext(4.48)
Lucrul mecanic elementar al fort »elor interioare poate ¯ evaluat ^ ³n mod asem¸ an¸ ator :
dLint=NX
i;j=1
j6=i~Fijd~ ri=NX
i<j[ (~Fij+~Fji) ] d~ rc+NX
i;j=1
j6=i~Fijd~ r0
i= dL0
int (4.49)
observ^ andu-se c¸ a acesta nu depinde de sistemul de referint »¸ a ales. Prin diferent »ierea relat »iei
(4.47) » si ^ ³nlocuirea rezultatelor ^ ³n teorema energiei (4.29), rezult¸ a ^ ³n ¯nal :
dT0= dL0
ext+ dL0
int (4.50)
¤
¤ ¤
Teoremele generale prezentate nu^ ³» si modi¯c¸ a substant »ial forma dac¸ a sistemului^ ³i sunt im-
puse anumite leg¸ aturi . Observ^ and c¸ a leg¸ aturile pot ¯ at^ at interioare (de exemplu condit »iile
de rigiditate), c^ at » si exterioare, prezent »a acestora se manifest¸ a ^ ³n ecuat »iile de mi» scare prin
react »iunile corespunz¸ atoare, a» sa ^ ³nc^ at sub act »iunea fort »elor efectiv aplicate » si a fort »elor de
react »iune ale leg¸ aturilor, sistemul s¸ a poat¸ a ¯ considerat liber.
Teorema impulsului va avea forma general¸ a :
_~ p=~F+~R (4.51)

4.1. TEOREME GENERALE 43
unde ~Reste rezultanta react »iunilor leg¸ aturilor exterioare, iar teorema momentului cinetic se
va scrie :_~L=~MO(~F) +~MO(~R) (4.52)
unde ~MO(~R) este momentul rezultant ^ ³n Oal react »iunilor leg¸ aturilor exterioare. ^In ceea ce
prive» ste variat »ia energiei mecanice totale, ^ ³n membrul drept al expresiei (4.44) pentru_~Eva
mai trebui ad¸ augat un termen general av^ and forma :
NX
i=1~Ri~ vi (4.53)
care corespunde puterii react »iunilor leg¸ aturilor. Se va ar¸ ata ulterior c¸ a acest termen se
anuleaz¸ a numai ^ ³n cazul leg¸ aturilor olonome ideale stat »ionare.
Problema determin¸ arii mi» sc¸ arii sistemelor de puncte materiale libere, sau supuse la
leg¸ aturi, este su¯cient de complex¸ a, a» sa ^ ³nc^ at folosirea metodelor mecanicii newtoniene duce
la rezultate semni¯cative doar ^ ³n c^ ateva cazuri particulare, cum ar ¯ problema celor dou¸ a
corpuri, sau c^ and este studiat¸ a mi» scarea solidului rigid.

Capitolul 5
Solidul rigid
5.1 Precizarea pozit »iei rigidului ^ ³n spat »iu
5.1.1 Gradele de libertate ale rigidului
Solidul rigid reprezint¸ a un sistem de puncte materiale caracterizat prin proprietatea c¸ a
distant »ele reciproce dintre oricare dou¸ a puncte ale sale r¸ am^ an constante ^ ³n cursul mi» sc¸ arii.
Ne intereseaz¸ a num¸ arul parametrilor independent »i necesari pentru a de¯ni pozit »ia
la un moment dat a rigidului ^ ³n spat »iu. Pentru de¯nirea pozit »iei unui sistem de Npuncte
materiale ^ ³ntre care nu exist¸ a leg¸ aturi, avem nevoie de 3 Nparametri » si spunem c¸ a sistemul
are 3 Ngrade de libertate. Dac¸ a ^ ³ntre cei 3 Nparametri exist¸ a mrelat »ii (leg¸ aturi), atunci
num¸ arul gradelor de libertate scade la n= 3N¡m.^In cazul solidului rigid ar trebui
s¸ a existe m=N(N¡1)
2leg¸ aturi :
j~ ri¡~ rjj=const : ; i; j= 1; : : : ; N ,i6=j (5.1)
care exprim¸ a condit »iile de rigiditate » si s-ar p¸ area c¸ a rigidul are n= 3N¡N(N¡1)
2grade
de libertate. Rezultatul nu este corect, deoarece pentru Nsu¯cient de mare ( N¸7),
rezult¸ a m¸3N» si calculul num¸ arului de grade de libertate cu formula ment »ionat¸ a devine
un nonsens.
^In realitate num¸ arul gradelor de libertate ale rigidului liber este » sase , cu except »ia
cazului N= 2 c^ and num¸ arul gradelor de libertate scade la cinci. Observat »ia se datore» ste
faptului c¸ a nu toate leg¸ aturile de forma (5.1) sunt independente. Demonstrat »ia poate ¯
f¸ acut¸ a ¯e analitic, ¯e gra¯c. ^Intr-adev¸ ar, pentru N= 2 rezult¸ a n= 3¢2¡1 = 5 , iar pentru
N= 3 rezult¸ a n= 3¢3¡3 = 6 . Pentru N= 4 exist¸ a 3 ¢4 = 12 coordonate, pe l^ ang¸ a cele
trei leg¸ aturi anterioare intervenind suplimentar trei leg¸ aturi, anume cele corespunz¸ atoare
segmentelor P4P1,P4P2» siP4P3(v. Fig. 5.1), deci n= 12¡6 = 6 . Pentru N= 5 num¸ arul
coordonatelor este 3 ¢5 = 15 , ^ ³ns¸ a pe l^ ang¸ a cele » sase leg¸ aturi anterioare nu intervin dec^ at trei
leg¸ aturi distincte, corespunz¸ atoare distant »elor de la punctul P5la cele trei puncte necoliniare
P1,P2P3, distant »a P5P4¯ind unic determinat¸ a din geometria ¯gurii. Rat »ionamentul poate
¯ continuat, observ^ andu-se c¸ a ¯ecare punct introduce suplimentar trei coordonate » si trei
leg¸ aturi distincte, a» sa ^ ³nc^ at pentru N¸3 num¸ arul gradelor de libertate ale rigidului liber
este ^ ³ntotdeauna n= 6 .
44

5.1. PRECIZAREA POZIT »IEI RIGIDULUI ^IN SPAT »IU 45
Figura 5.1: Solidul rigid – leg¸ aturile independente
Dac¸ a rigidului^ ³i sunt impuse anumite leg¸ aturi suplimentare, num¸ arul gradelor de libertate
scade. Astfel, rigidul cu ax¸ a ¯x¸ a are un singur grad de libertate, ¯ind su¯cient un singur
parametru pentru precizarea pozit »iei sale ^ ³n spat »iu, iar rigidul cu punct ¯x are trei grade de
libertate, ¯ind necesari trei parametrii pentru precizarea st¸ arii sale de rotat »ie ^ ³n spat »iu.
5.1.2 Matricea de rotat »ie
Revenind la cazul rigidului liber , se pune problema alegerii celor » sase parametri
independent »i cu ajutorul c¸ arora s¸ a ¯e descris¸ a pozit »ia rigidului ^ ³n spat »iu.
Figura 5.2: Sistemul de referint »¸ a solidar legat de rigid
Consider^ and un sistem de referint »¸ a ¯x O1x1y1z1» si unul mobil Oxyz solidar legat de
rigid, pozit »ia rigidului la un moment dat este de¯nit¸ a de pozit »ia sistemului Oxyz ^ ³n raport
cu cel ¯x (v. Fig. 5.2). Problema este asem¸ an¸ atoare cu cea ^ ³nt^ alnit¸ a la studiul mi» sc¸ arii
relative, motiv pentru care vor ¯ folosite acelea» si notat »ii. Trei parametri vor de¯ni pozit »ia
originii Oa sistemului solidar legat de rigid ^ ³n raport cu sistemul de referint »¸ a ¯x (^ ³n multe
aplicat »ii Oeste ales ^ ³n centrul de mas¸ a al rigidului), iar alt »i trei parametri vor preciza
orient¸ arile axelor sistemului mobil, ^ ³n raport cu orient¸ arile axelor sistemului ¯x. Aceste
orient¸ ari pot ¯ de¯nite cu ajutorul cosinu» silor directori ai axelor sistemului Oxyz ^ ³n raport
cu axele sistemului O0x0y0z0construit prin translat »ia sistemului ¯x ^ ³n originea sistemului

46 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
mobil ( O´O0) :
~ {= (~ {¢~ {0)~ {0+ (~ {¢~ |0)~ |0+ (~ {¢~k0)~k0
~ |= (~ |¢~ {0)~ {0+ (~ |¢~ |0)~ |0+ (~j¢~k0)~k0
~k= (~k¢~ {0)~ {0+ (~k¢~ |0)~ |0+ (~k¢~k0)~k0(5.2)
Folosind notat »iile :
~ e1=~ { ~ e0
1=~ {0
~ e2=~ | ~ e0
2=~ |0
~ e3=~k ~ e0
3=~k0» six1=x x0
1=x0
x2=y x0
2=y0
x3=z x0
3=z0(5.3)
cosinu» sii directori vor ¯ :
aij= (~ ei;~ e0
j) = cos( Oxi; Ox0
j) ; i; j= 1;2;3 (5.4)
iar relat »iile (5.2) cap¸ at¸ a forma compact¸ a :
~ ei=3X
j=1aij~ e0
j ; i= 1;2;3 (5.5)
Deoarece orice vector, ^ ³n particular vectorul de pozit »ie ~ r, are componentele xi= (~ r¢~ ei)
^ ³n baza ( ~ e1;~ e2;~ e3) , folosind (5.5) se va putea scrie :
xi= (~ r¢~ ei) =3X
j=1aij(~ r¢~ e0
j) =3X
j=1aijx0
j ; i= 1;2;3 (5.6)
unde x0
i= (~ r¢~ e0
i) ;i= 1;2;3 reprezint¸ a componentele aceluia» si vector ^ ³n baza ( ~ e0
1;~ e0
2;~ e0
3) .
Aceste relat »ii pot ¯ adoptate ca relat »ii de de¯nit »ie pentru un vector. Vom spune c¸ a un ansam-
blu de trei scalari xi;i= 1;2;3 formeaz¸ a componentele unui vector, dac¸ a la o transformare
a bazei de¯nit¸ a de (5.5), ace» sti scalari se transform¸ a dup¸ a formulele (5.6).
Cu notat »iile matriceale :
~ r=0
B@x1
x2
x31
CA,~ r0=0
B@x0
1
x0
2
x0
31
CA» siA=0
B@a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
CA (5.7)
ecuat »iile (5.6) se transcriu sub forma matriceal¸ a simpl¸ a :
~ r=A~ r0(5.8)
Cei nou¸ a cosinu» si directori (5.4) nu sunt tot »i independent »i ^ ³ntre ei. Pentru a g¸ asi relat »iile
dintre cosinu» sii directori, pornim de la proprietatea c¸ a indiferent de sistemul de coordonate
folosit, m¸ arimea (modulul) vectorului este aceea» si, deci :
3X
k=1×2
k=3X
k=1×02
k (5.9)

5.1. PRECIZAREA POZIT »IEI RIGIDULUI ^IN SPAT »IU 47
adic¸ a :
3X
k=1Ã3X
i=1akix0
i!0
@3X
j=1akjx0
j1
A=3X
i;j=1Ã3X
k=1akiakj!
x0
ix0
j (5.10)
Pentru ca proprietatea (5.9) s¸ a ¯e ^ ³ndeplinit¸ a, va trebui ca :
3X
k=1akiakj=±ij ; i; j= 1;2;3 (5.11)
sau, folosind notat »iile matriceale :
eA A=I unde I=0
B@1 0 0
0 1 0
0 0 11
CA (5.12)
undeeAreprezint¸ a transpusa matricei A. Se observ¸ a c¸ a exist¸ a ^ ³n total » sase relat »ii indepen-
dente de forma (5.11), a» sa ^ ³nc^ at vor ¯ su¯cient »i trei cosinu» si directori pentru a preciza
orient¸ arile axelor sistemului solidar legat de rigid, fat »¸ a de axele sistemului ¯x.
O transformare ^ ³n urma c¸ areia componentele unui vector se transform¸ a dup¸ a relat »iile
(5.6), ¯ind ^ ³ndeplinite totodat¸ a condit »iile (5.11), poart¸ a numele de transformare ortogo-
nal¸ a , iar matricea Aeste numit¸ a matrice ortogonal¸ a .
O consecint »¸ a direct¸ a a relat »iei de ortogonalitate este aceea c¸ a inversa matricei Acoincide
cu transpusa : A¡1=eA.^Intr-adev¸ ar, ^ ³nmult »ind la dreapta egalitatea (5.12) cu A¡1rezult¸ a
eA A A¡1=A¡1, adic¸ aeA=A¡1. Folosind aceast¸ a proprietate, prin ^ ³nmult »irea la st^ anga a
relat »iei (5.8) cu A¡1rezult¸ a :
~ r0=A¡1~ r=eA~ r (5.13)
adic¸ a :
x0
i=3X
j=1a¡1
ijxj=3X
j=1ajixj ; i= 1;2;3 (5.14)
Aceasta ^ ³nseamn¸ a c¸ a pentru a realiza transformarea invers¸ a , nu este necesar¸ a evaluarea
inversei matricei, put^ and ¯ utilizat¸ a ^ ³n acela» si scop » si transpusa matricei respective, prin
aplicarea regulii (5.14). Deoarece A¡1este de asemenea o matrice ortogonal¸ a, se va putea
scrie c¸ a :
3X
k=1a¡1
kia¡1
kj=3X
k=1aikajk=±ij ; i; j= 1;2;3 (5.15)
obt »in^ andu-se astfel o alt¸ a form¸ a a relat »iei de ortogonalitate.
5.1.3 Unghiurile Euler. Vectorul rotat »ie
^In paragraful anterior s-a ar¸ atat c¸ a pentru a preciza orient¸ arile axelor sistemului Oxyz
solidar legat de rigid, fat »¸ a de orient¸ arile axelor sistemului ¯x O0x0y0z0, sunt su¯cient »i trei
parametri scalari independent »i, care pot ¯ trei din cei nou¸ a cosinu» si directori cont »inut »i ^ ³n
matricea de rotat »ie A. Pentru a avea o reprezentare mai intuitiv¸ a asupra orient¸ arilor axe-
lor sistemului mobil, pot ¯ folosite la fel de bine » si cele trei unghiuri Euler , a°ate ^ ³n
corespondent »¸ a biunivoc¸ a cu cosinu» sii directori.

48 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
Not^ and cu ONlinia dup¸ a care se intersecteaz¸ a planele x0Oy0» sixOy » si numind-o linia
nodurilor (v. Fig. 5.3), pot ¯ de¯nite urm¸ atoarele trei unghiuri :
1)unghiul de precesie notat de obicei cu Ã, care reprezint¸ a unghiul dintre axa Ox0a
sistemului ¯x » si linia nodurilor ON;
2)unghiul de rotat »ie proprie notat de obicei cu ', care reprezint¸ a unghiul dintre ON
» si axa Oxa sistemului solidar legat de rigid ;
3)unghiul de nutat »ie notat cu µ, care reprezint¸ a unghiul dintre axa Oz0a sistemului
¯x » si axa Oza sistemului mobil.
Figura 5.3: Unghiurile Euler
Se observ¸ a c¸ a sistemul Oxyz poate ¯ obt »inut din sistemul Ox0y0z0prin trei rotat »ii succe-
sive :
a) o rotat »ie cu unghiul Ã^ ³n jurul axei Oz0a sistemului ¯x :
~»=D~ r0; D=0
B@cosÃsinÃ0
¡sinÃcosÃ0
0 0 11
CA (5.16)
unde ~»desemneaz¸ a componentele vectorului de pozit »ie ^ ³n sistemul rotit, iar Dreprezint¸ a
matricea de rotat »ie corespunz¸ atoare ;
b) o rotat »ie cu unghiul µ^ ³n jurul liniei nodurilor ON:
~»0=C~» ; C=0
B@1 0 0
0 cos µsinµ
0¡sinµcosµ1
CA (5.17)
unde ~»0desemneaz¸ a componentele vectorului de pozit »ie ^ ³n noul sistem rotit, iar Creprezint¸ a
matricea de rotat »ie corespunz¸ atoare ;

5.1. PRECIZAREA POZIT »IEI RIGIDULUI ^IN SPAT »IU 49
c) o rotat »ie cu unghiul '^ ³n jurul axei Oza sistemului mobil :
~ r=B~»0; B=0
B@cos'sin'0
¡sin'cos'0
0 0 11
CA (5.18)
unde ~ rdesemneaz¸ a componentele vectorului de pozit »ie ^ ³n sistemul solidar legat de rigid, iar
Breprezint¸ a matricea de rotat »ie corespunz¸ atoare.
Se poate veri¯ca direct c¸ a ordinea indicat¸ a pentru efectuarea rotat »iilor este obligatorie.
Reunind rezultatele, componentele unui vector ^ ³n sistemul solidar legat de rigid (rotit), dac¸ a
sunt cunoscute componentele aceluia» si vector ^ ³n sistemul ¯x, sunt date de formula :
~ r=B~»0=B C~»=B C D ~ r0=A~ r0(5.19)
matricea de rotat »ie A=B C D exprimat¸ a folosind unghiurile Euler av^ and expresia :
A=0
B@cosÃcos'¡sinÃsin'cosµ sinÃcos'+ cos Ãsin'cosµsin'sinµ
¡cosÃsin'¡sinÃcos'cosµ¡sinÃsin'+ cos Ãcos'cosµcos'sinµ
sinÃsinµ ¡cosÃsinµ cosµ1
CA
(5.20)
Deoarece produsul a dou¸ a matrice nu este ^ ³n general comutativ, este obligatorie ordinea
indicat¸ a ^ ³n (5.19) pentru efectuarea ^ ³nmult »irii matricelor.
Invers, dac¸ a ne intereseaz¸ a componentele unui vector ^ ³n sistemul ¯x, ¯ind cunoscute
componentele aceluia» si vector ^ ³n sistemul mobil, va trebui efectuat¸ a transformarea ~ r0=eA~ r.
Rotat »iile vor ¯ realizate ^ ³n ordinea : a) cu unghiul ¡'^ ³n jurul axei Oza sistemului mobil ; b)
cu unghiul ¡µ^ ³n jurul liniei nodurilor ON; c) cu unghiul ¡Ã^ ³n jurul axei Oz0a sistemului
¯x. F¸ ac^ and aceste ^ ³nlocuiri ^ ³n matricea (5.20) » si schimb^ and ^ ³ntre ele unghiurile û si', se
obt »ine chiar matricea transpus¸ aeA.
Se » stie de la studiul mi» sc¸ arii relative, c¸ a orient¸ arile la un moment dat ale axelor sistemului
solidar legat de rigid, pot ¯ precizate » si cu ajutorul celor trei componente scalare ale vec-
torului rotat »ie . Acestea pot ¯ exprimate cu ajutorul unghiurilor Euler aplic^ and de¯nit »iile
cunoscute, ^ ³n care se fac ^ ³nlocuirile (5.5). Deoarece calculele sunt destul de complexe, se
prefer¸ a calculul componentelor vectorului ~ !pornind de la observat »ia c¸ a dac¸ a rigidul se
rote» ste ^ ³n sens direct trigonometric ^ ³n jurul unei axe, vectorul rotat »ie este orien-
tat ^ ³n sensul pozitiv al axei respective, m¸ arimea sa ¯ind chiar derivata unghiului
de rotat »ie . Deoarece sistemul Oxyz se obt »ine din sistemul Ox0y0z0prin intermediul celor
trei rotat »ii succesive ment »ionate anterior, t »in^ ant cont » si de faptul c¸ a dou¸ a sau mai multe
rotat »ii concurente pot ¯ ^ ³nlocuite printr-o rotat »ie unic¸ a, se va putea scrie :
~ !=~ !Ã+~ !µ+~ !' ;j~ !Ãj=_Ã,j~ !µj=_µ,j~ !'j= _' (5.21)
unde vectorii ~ !Ã,~ !µ,~ !'sunt orientat »i conform Fig. 5.4 .
M¸ arimea vectorului rotat »ie poate ¯ calculat¸ a foarte u» sor observ^ and c¸ a vectorul ~ !µeste
^ ³ntotdeauna perpendicular pe vectorul ~ !Ã+~ !'.^In consecint »¸ a, folosind » si (5.21), rezult¸ a :
!2=~ !2= [ (~ !Ã+~ !') +~ !µ]2= (~ !Ã+~ !')2+~ !2
µ=_Ã2+ _'2+_µ2+ 2_Ã_'cosµ (5.22)

50 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
Figura 5.4: Vectorul rotat »ie ~ !
Utiliz^ and formulele de transformare scrise anterior, pot ¯ calculate componentele vec-
torului rotat »ie ^ ³n oricare din sistemele de coordonate ment »ionate. Din examinarea ¯gurii
5.4 rezult¸ a c¸ a expresia matriceal¸ a pentru calculul componentelor vectorului ~ !^ ³n sistemul de
referint »¸ a solidar legat de rigid, are forma general¸ a :
~ !=A¢0
B@0
0
_Ã1
CA+B¢0
B@_µ
0
01
CA+0
B@0
0
_'1
CA (5.23)
de unde, folosind (5.20) » si (5.18), rezult¸ a :
!x=_Ãsin'sinµ+_µcos'
!y=_Ãcos'sinµ¡_µsin'
!z=_Ãcosµ+ _'(5.24)
Un rat »ionament analog permite calculul componentelor aceluia» si vector ^ ³n sistemul de refe-
rint¸ a ¯x, dar poate ¯ folosit¸ a ^ ³n acela» si scop » si transformarea general¸ a ~ !0=eA~ !:
!x0= _'sinÃsinµ+_µcosÃ
!y0=¡_'cosÃsinµ+_µsinÃ
!z0= _'cosµ+_Ã(5.25)
Expresiile obt »inute poart¸ a numele generic de formulele cinematice ale lui Euler .
Odat¸ a cunoscute dependent »ele de timp ale componentelor vectorului rotat »ie, unghiurile
Euler pot ¯ calculate ca solut »ii ale unui sistem de trei ecuat »ii diferent »iale de ordinul ^ ³nt^ ai.
Pornind de la expresiile (5.24), pot ¯ deduse u» sor ecuat »iile :
_Ã=1
sinµ(!xsin'+!ycos')
_µ=!xcos'¡!ysin' (5.26)
_'=!z¡ctgµ(!xsin'+!ycos')

5.2. MOMENTE DE INERT »IE. CARACTERISTICILE DINAMICE ALE RIGIDULUI 51
5.2 Momente de inert »ie. Caracteristicile dinamice ale
rigidului
Consider^ and solidul rigid ca ¯ind alc¸ atuit dintr-un num¸ ar su¯cient de mare de puncte
materiale Pi, ¯ecare av^ and masa mi, vom numi prin de¯nit »ie moment de inert »ie al
rigidului ^ ³n raport cu un punct, dreapt¸ a, sau plan , suma :
I=X
imid2
i (5.27)
extins¸ a la toate punctele solidului, unde direprezint¸ a distant »ele de la punctele Pila punctul,
dreapta, sau planul respectiv.
Consider^ and un sistem de referint »¸ a cartezian Oxyz , conform de¯nit »iei (5.27) pot ¯ dis-
tinse :
– momentul de inert »ie polar ^ ³n raport cu O:
IO=X
imi(x2
i+y2
i+z2
i) (5.28)
– momente de inert »ie axiale :
Ixx=X
imi(y2
i+z2
i) , Iyy=X
imi(z2
i+x2
i) , Izz=X
imi(x2
i+y2
i) (5.29)
– momente de inert »ie planare :
IxOy=X
imiz2
i,IyOz=X
imix2
i,IzOx=X
imiy2
i (5.30)
Pot ¯ stabilite u» sor o serie de relat »ii ^ ³ntre momentele de simetrie de¯nite mai sus. Ca
exemplu, dac¸ a ^ ³n particular corpul studiat are o simetrie axial¸ a, momentul de inert »ie ^ ³n
raport cu axa respectiv¸ a va ¯ dublul momentului de inert »ie ^ ³n raport cu orice plan care
cont »ine axa de simetrie.
Tot prin de¯nit »ie, prin momente de inert »ie centrifugale (numite » si produse de
inert »ie , saumomente de deviat »ie ), vom ^ ³nt »elege expresiile :
Ixy=Iyx=¡X
imixiyi,Iyz=Izy=¡X
imiyizi,Izx=Ixz=¡X
imizixi(5.31)
Se observ¸ a c¸ a dac¸ a sistemul de referint »¸ a este ales astfel ^ ³nc^ at planele de coordonate s¸ a
coincid¸ a cu planele de simetrie materiale » si geometrice ale corpului, atunci aceste expresii se
simpli¯c¸ a. Astfel, dac¸ a planul xOy este un plan de simetrie, atunci Iyz=Izx= 0 , deoarece
dou¸ a puncte simetrice de coordonate z» si¡zaduc aceea» si contribut »ie la sum¸ a. Similar, dac¸ a
axaOzeste o ax¸ a de simetrie, atunci de asemenea Iyz=Izx= 0 .
^In cele ce urmeaz¸ a prezint¸ a o important »¸ a deosebit¸ a ^ ³n special momentele de inert »ie axiale
» si centrifugale, care cu notat »iile cunoscute pot ¯ scrise condensat ^ ³n forma :
I®¯=X
imi2
40
@3X
°=1xi
°xi
°1
A±®¯¡xi
®xi
¯3
5 ; ®; ¯= 1;2;3 (5.32)
unde xi
1=xi,xi
2=yi,xi
3=zi.

52 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
5.2.1 Momentul de inert »ie al rigidului ^ ³n raport cu o ax¸ a
Consider^ and o ax¸ a Dde versor ~ u(ux; uy; uz) care trece prin O, distant »a de la un punct
Pial rigidului la axa Dare m¸ arimea di=j~ ri£~ uj(v. Fig. 5.5) . Conform de¯nit »iei (5.27),
Figura 5.5: Momentul de inert »ie ^ ³n raport cu axa Dde versor ~ u
momentul de inert »ie al rigidului ^ ³n raport cu axa de orientare ~ uva ¯ :
Iu=X
imid2
i=X
imi(~ ri£~ u)(~ ri£~ u) (5.33)
Folosind proprietatea de permutare a termenilor produsului mixt : ~ a¢(~b£~ c) =~ c¢(~ a£~b) se
poate scrie ^ ³n continuare :
Iu=X
imi~ u¢[ (~ ri£~ u)£~ ri] =~ u¢X
imi[~ ri£(~ u£~ ri) ] =3X
®=1u®(X
imi[~ ri£(~ u£~ ri) ])
®
(5.34)
Componenta ®a celui de al doilea vector, care este un dublu produs vectorial, se calculeaz¸ a
u» sor pornind de la proprietatea general¸ a : ~ a£(~b£~ c) = (~ a¢~ c)~b¡(~ a¢~b)~ c, rezult^ and :
(X
imi[~ ri£(~ u£~ ri) ])
®=X
imi2
40
@3X
°=1xi
°xi
°1
Au®¡0
@3X
¯=1xi
¯u¯1
Axi
®3
5 (5.35)
=3X
¯=18
<
:X
imi2
40
@3X
°=1xi
°xi
°1
A±®¯¡xi
®xi
¯3
59
=
;u¯=3X
¯=1I®¯u¯
unde s-a f¸ acut ^ ³nlocuirea u®=3X
¯=1±®¯u¯, s-a inversat ordinea de sumare » si s-a t »inut cont
de relat »ia (5.32). Expresia (5.34) a momentului de inert »ie al rigidului ^ ³n raport cu axa de
orientare ~ udevine :
Iu=3X
®;¯=1I®¯u®u¯ (5.36)
Deoarece Iueste un scalar, m¸ arimea sa nu se modi¯c¸ a la o rotat »ie a sistemului de axe :
3X
®;¯=1I®¯u®u¯=3X
¹;ș=1I0
¹șu0
¹u0
ș (5.37)

5.2. MOMENTE DE INERT »IE. CARACTERISTICILE DINAMICE ALE RIGIDULUI 53
F¸ ac^ and aici ^ ³nlocuirile u0
¹=3X
®=1a®¹u®» siu0
ș=3X
¯=1a¯șu¯» si intervertind ordinea sum¸ arilor,
rezult¸ a :
3X
®;¯=1I®¯u®u¯=3X
®;¯=10
@3X
¹;ș=1a®¹a¯șI0
¹ș1
Au®u¯ (5.38)
adic¸ a, la o transformare ortogonal¸ a, numerele I®¯;®; ¯= 1;2;3 se transform¸ a dup¸ a regula :
I®¯=3X
¹;ș=1a®¹a¯șI0
¹ș ; ®; ¯= 1;2;3 (5.39)
ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a ele alc¸ atuiesc elementele unui tensor de ordinul doi ^ ³n spat »iul euclidian :
¿=0
B@I11I12I13
I21I22I23
I31I32I331
CA´0
B@IxxIxyIxz
IyxIyyIyz
IzxIzyIzz1
CA (5.40)
numit tensorul momentelor de inert »ie . Deoarece :
I®¯=I¯® ; ®; ¯= 1;2;3 (5.41)
tensorul momentelor de inert »ie este simetric .
Se observ¸ a c¸ a vectorul av^ and componentele (5.35) se poate scrie sub forma :
X
imi[~ ri£(~ u£~ ri) ] = (¿~ u) (5.42)
unde ^ ³n membrul drept ¯gureaz¸ a contract »ia unui tensor de ordinul trei, care este un tensor
de ordinul ^ ³nt^ ai, adic¸ a un vector.
^In concluzie, av^ and ^ ³n vedere » si (5.34), momentul de inert »ie al rigidului ^ ³n raport cu o
ax¸ aDav^ and orientarea ~ u, care trece prin O, poate ¯ scris sub forma produsului scalar :
Iu=~ u(¿~ u) (5.43)
Dac¸ a axa Dreprezint¸ a suportul vectorului rotat »ie, atunci ~ !=! ~ u, cele dou¸ a relat »ii
precedente devenind,:X
imi[~ ri£(~ !£~ ri) ] = (¿~ !) (5.44)
respectiv :
I!=1
!2X
imi(~ ri£~ !)2=1
!2~ !(¿~ !) (5.45)
Teorema lui Steiner
^In majoritatea aplicat »iilor momentul de inert »ie poate ¯ calculat relativ u» sor, dac¸ a axa
de versor ~ utrece prin centrul de mas¸ a al solidului rigid. Dac¸ a axa respectiv¸ a nu trece prin
centrul de mas¸ a, poate ¯ stabilit¸ a o relat »ie care leag¸ a momentul de inert »ie ^ ³n raport cu o ax¸ a

54 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
Figura 5.6: Teorema lui Steiner
care trece prin centrul de mas¸ a, de momentul de inert »ie calculat ^ ³n raport cu o ax¸ a paralel¸ a
care trece prin O(v. Fig. 5.6). ^Inlocuind ~ ri=~ rc+~ r0
i^ ³n de¯nit »ia (5.33), rezult¸ a :
Iu=X
imi(~ ri£~ u)2=X
imi[ (~ rc+~ r0
i)£~ u]2=
=ÃX
imi!
(~ rc£~ u)2+X
imi(~ r0
i£~ u)2+ 2 ( ~ rc£~ u)"ÃX
imi~ r0
i!
£~ u#
(5.46)
DeoareceX
imi~ r0
i= 0 , expresia (5.46) devine :
Iu=M(~ rc£~ u)2+I0
u unde I0
u=X
imi(~ r0
i£~ u)2(5.47)
adic¸ a : momentul de inert »ie al unui rigid ^ ³n raport cu o ax¸ a D, este egal cu
momentul de inert »ie al rigidului ^ ³n raport cu o ax¸ a D0paralel¸ a la Dcare trece
prin centrul de mas¸ a, la care se adaug¸ a momentul de inert »ie ^ ³n raport cu axa
Dcalculat ^ ³n ipoteza c¸ a ^ ³ntreaga mas¸ a a rigidului este concentrat¸ a ^ ³n centrul de
mas¸ a (teorema lui Steiner).
5.2.2 Elipsoidul de inert »ie
Pentru a examina situat »ia care apare atunci c^ and axa D, ^ ³n raport cu care se calculeaz¸ a
momentul de inert »ie Iu, ia orice orientare posibil¸ a ^ ³n spat »iu, se consider¸ a pe axa Dun punct
Aav^ and vectorul de pozit »ie :
~ r=1pIu~ u (5.48)
Pentru a determina locul geometric al punctului A, atunci c^ and axa Dia toate orient¸ arile
posibile, se face ^ ³nlocuirea ~ u=pIu~ r^ ³n expresia Iu=~ u(¿~ u) . Va rezulta ecuat »ia :
~ r(¿~ r) = 1 adic¸ a3X
®;¯=1I®¯x®x¯= 1 (5.49)
ceea ce se scrie explicit sub forma :
Ixxx2+Iyyy2+Izzz2+ 2Ixyxy+ 2Iyzyz+ 2Izxzx= 1 (5.50)

5.2. MOMENTE DE INERT »IE. CARACTERISTICILE DINAMICE ALE RIGIDULUI 55
^In consecint »¸ a, locul geometric c¸ autat este o cuadric¸ a cu centrul ^ ³n originea Oa triedrului
de referint »¸ a. Deoarece Iu>0 , m¸ arimea1pIua razei vectoare a cuadricii este ^ ³ntotdeauna
¯nit¸ a, deci cuadrica reprezint¸ a un elipsoid cu centrul ^ ³n O. El va ¯ numit elipsoid de
inert »ie al rigidului ^ ³n raport cu punctul O. Elipsoidul de inert »ie furnizeaz¸ a o imagine
geometric¸ a a variat »iei momentului de inert »ie Iufat »¸ a de axele care trec prin O,
deoarece modulul vectorului de pozit »ie al oric¸ arui punct de pe elipsoid, va reprezenta inversul
radicalului momentului de inert »ie ^ ³n raport cu axa care trece prin punctul respectiv. Cele
trei axe ale elipsoidului poart¸ a numele de axe principale de inert »ie .
Conform ecuat »iei (5.50), de obicei axele principale de inert »ie nu coincid cu axele de
coordonate, dar se » stie c¸ a poate ¯ realizat¸ a ^ ³ntotdeauna o rotat »ie ^ ³n spat »iu, a» sa ^ ³nc^ at noile
axeO»,O´,O³s¸ a coincid¸ a cu axele principale de inert »ie. ^Intr-un astfel de sistem de
referint¸ a, forma patratic¸ a (5.50) este adus¸ a la forma canonic¸ a :
A »2+B ´2+C ³2= 1 (5.51)
Se observ¸ a c¸ a ^ ³n aceste condit »ii, tensorul momentelor de inert »ie se diagonalizeaz¸ a :
¿=0
B@A0 0
0B0
0 0 C1
CA (5.52)
momentele de inert »ie centrifugale devenind nule. ^In expresiile (5.51) » si (5.52) m¸ arimile A,
B» siCreprezint¸ a momentele de inert »ie ale rigidului ^ ³n raport cu axele principale de inert »ie,
motiv pentru care ele sunt numite momente principale de inert »ie .
M¸ arimile a,b» sicale semiaxelor principale ale elipsoidului de inert »ie sunt determinate
de momentele principale de inert »ie, deoarece :
a=1p
A, b=1p
B, c=1p
C(5.53)
De aici rezult¸ a c¸ a dac¸ a a > b > c , atunci A < B < C » si deci momentul principal de inert »ie
al rigidului ^ ³n raport cu semiaxa mare a elipsoidului va avea valoarea cea mai mic¸ a.
Dac¸ a A6=B=C, ecuat »ia (5.51) a elipsoidului de inert »ie devine :
A »2+B(´2+³2) = 1 (5.54)
ceea ce reprezint¸ a un elipsoid de revolut »ie ^ ³n jurul axei principale O». Dac¸ a A=B=C
elipsoidul de inert »ie se transform¸ a ^ ³ntr-o sfer¸ a de raz¸ a1p
A.
Dac¸ a originea Oa sistemului de referint¸ a este aleas¸ a astfel ^ ³nc^ at s¸ a coincid¸ a cu centrul de
mas¸ a al rigidului, atunci elipsiodul este numit elipsoid central de inert »ie , iar axele sale
vor ¯ numite axe principale centrale de inert »ie .
Printr-o alegere adecvat¸ a a orient¸ arilor axelor sistemului de referint¸ a, expresiile deduse ^ ³n
paragraful anterior se simpli¯c¸ a considerabil. Astfel, not^ and cu ~ !(!x; !y; !z) componentele
vectorului rotat »ie ~ !^ ³n raport cu triedrul determinat de axele principale de inert »ie, vectorul
(¿~ !) de¯nit ^ ³n (5.44) va avea componentele ( A !x; B ! y; C ! z) , iar scalarul I!¢!2, unde I!
este momentul de inert »ie (5.45) al rigidului ^ ³n raport cu o dreapt¸ a care constituie suportul
lui~ !, devine :
I!¢!2=~ !(¿~ !) =A !2
x+B !2
y+C !2
z (5.55)

56 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
5.2.3 Impulsul, momentul cinetic » si energia cinetic¸ a
Pornind de la elementele prezentate ^ ³n paragrafele anterioare, pot ¯ calculate u» sor carac-
teristicile dinamice ale rigidului.
Viteza unui punct Pial rigidului ¯ind chiar viteza de transport de¯nit¸ a la studiul mi» sc¸ arii
relative :
~ vi=~ vO+~ !£~ ri (5.56)
observ^ and c¸ a vectorii ~ !» si~ vOsunt aceei» si ^ ³n toate punctele rigidului, pentru impulsul
rigidului se g¸ ase» ste expresia :
~ p=X
imi~ vi=X
imi(~ vO+~ !£~ ri) =ÃX
imi!
~ vO+~ !£ÃX
imi~ ri!
=M ~ v O+~ !£M ~ r c(5.57)
adic¸ a :
~ p=M(~ vO+~ !£~ rc) (5.58)
Deoarece expresia din parantez¸ a reprezint¸ a chiar viteza centrului de mas¸ a, rezultatul (5.58)
putea ¯ scris » si direct, pe baza observat »iei c¸ a impulsul total al unui sistem de puncte materiale
coincide cu impulsul centrului de mas¸ a, ^ ³n care se consider¸ a c¸ a este concentrat¸ a^ ³ntreaga mas¸ a
a sistemului.
Proced^ and analog, pentru momentul cinetic al rigidului ^ ³n raport cu originea O1a siste-
mului ¯x rezult¸ a expresia :
~L1=X
i(~ r1i£mi~ vi) =X
i[ (~ rO+~ ri)£mi~ vi] =
=~ rO£ÃX
imi~ vi!
+X
i[~ ri£mi(~ vO+~ !£~ ri) ] =
=~ rO£~ p+ÃX
imi~ ri!
£~ vO+X
imi[~ ri£(~ !£~ ri) ] =
=~ rO£~ p+M ~ r c£~ vO+ (¿~ !) (5.59)
Se remarc¸ a aparit »ia vectorului ( ¿~ !) , unde ¿este tensorul de inert »ie care cont »ine momentele
de inert »ie axiale » si centrifugale ale rigidului ^ ³n raport cu sistemul de referint »¸ a legat
solidar de rigid . Deoarece acest termen se anuleaz¸ a c^ and ~ != 0 , vectorul ( ¿~ !) mai este
numit » si moment cinetic de rotat »ie al rigidului.
Pentru energia cinetic¸ a a rigidului se obt »ine expresia :
T=1
2X
imi~ v2
i=1
2X
imi(~ vO+~ !£~ ri)(~ vO+~ !£~ ri) =
=1
2ÃX
imi!
v2
O+~ vO"
~ !£ÃX
imi~ ri!#
+1
2X
imi(~ !£~ ri)2=
=1
2M v2
O+M ~ v O(~ !£~ rc) +1
2~ !(¿~ !) =
=1
2M v2
O+M ~ v O(~ !£~ rc) +1
2I!¢!2(5.60)

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 57
Primul termen se datoreaz¸ a exclusiv mi» sc¸ arii de translat »ie a rigidului, ultimul termen este
datorat exclusiv mi» sc¸ arii sale de rotat »ie, el reprezent^ and energia cinetic¸ a de rotat »ie , iar
termenul al doilea este legat de ambele tipuri de mi» sc¸ ari.
Expresiile obt »inute se simpli¯c¸ a considerabil ^ ³n o serie de cazuri particulare. Astfel,
dac¸ a originea sistemului mobil este aleas¸ a ^ ³n centrul de mas¸ a al rigidului (~ rc= 0) ,
atunci :
~ p=M ~ v O;~L1=~ rO£~ p+ (¿~ !) ; T=1
2M v2
O+1
2~ !(¿~ !) (5.61)
Deoarece rigidul este asimilat cu un sistem discret de puncte materiale, aceste rezultate
puteau ¯ scrise » si direct. Se observ¸ a c¸ a ultimele dou¸ a relat »ii exprim¸ a cele dou¸ a teoreme ale
lui Koenig.
Dac¸ a este studiat¸ a mi» scarea unui rigid cu punct ¯x , aleg^ and originile O1» siOale celor
dou¸ a sisteme de coordonate astfel ^ ³nc^ at ele s¸ a coincid¸ a cu punctul ¯x, atunci ~ rO= 0 ; ~ vO= 0
» si expresiile generale devin :
~ p=~ !£~ rc;~L= (¿~ !) ; T=1
2~ !(¿~ !) =1
2~ !¢~L (5.62)
Este evident c¸ a at^ at momentul cinetic ^ ³n raport cu punctul ¯x, c^ at » si energia cinetic¸ a a
rigidului, se datoresc exclusiv mi» sc¸ arii sale de rotat »ie.
^In ¯ne, dac¸ a orient¸ arile axelor sistemului mobil sunt alese astfel ^ ³nc^ at ele s¸ a coincid¸ a
cu axele principale ale elipsoidului de inert »ie, tensorul de inert »ie va avea form¸ a diagonal¸ a,
coordonatele vectorului ( ¿~ !) » si scalarul ~ !(¿~ !) c¸ ap¸ at^ and expresiile simple prezentate ^ ³n
paragraful anterior.
5.3 Dinamica solidului rigid
5.3.1 Ecuat »iile de mi» scare ale rigidului liber
Deoarece rigidul liber are » sase grade de libertate, pentru a descrie mi» scarea acestuia
sunt necesare » sase ecuat »ii scalare, av^ and drept necunoscute cei » sase parametri independent »i
cu ajutorul c¸ arora este precizat¸ a pozit »ia rigidului la un moment dat. Aceste ecuat »ii pot ¯
obt »inute pornind de la teoremele generale enunt »ate pentru sisteme de puncte materiale, ^ ³n
care pentru caracteristicile dinamice ale rigidului sunt folosite expresiile deduse ^ ³n sect »iunea
anterioar¸ a.
Pentru a scrie teorema impulsului , deriv^ and dup¸ a timp expresia ~ p=M(~ vO+~ !£~ rc) ,
rezult¸ a :
M(~ aO+_~ !£~ rc+~ !£_~ rc) =~F (5.63)
unde ~Feste rezultanta fort »elor exterioare aplicate rigidului. Deoarece derivata dup¸ a timp a
unui vector de pozit »ie ^ ³n sistemul solidar de rigid este _~ r=~ !£~ r, viteza relativ¸ a ¯ind nul¸ a,
ecuat »ia (5.63) devine :
Mh
~ aO+_~ !£~ rc+~ !£(~ !£~ rc)i
=~F (5.64)
Proced^ and analog pentru teorema momentului cinetic , deoarece^ ³n raport cu sistemul
¯x se » stie c¸ a ~L1=~ rO£~ p+M ~ r c£~ vO+ (¿~ !) , prin derivare dup¸ a timp rezult¸ a :
~ rO£_~ p+~ vO£~ p+M_~ rc£~ vO+M ~ r c£~ aO+d
dt(¿~ !) =~MO1(~F) (5.65)

58 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
unde ~MO1(~F) este momentul rezultant ^ ³n O1al fort »elor exterioare. Se observ¸ a c¸ a :
~ vO£~ p+M_~ rc£~ vO=~ vO£M(~ vO+~ !£~ rc) +M(~ !£~ rc)£~ vO= 0 (5.66)
» si
d
dt(¿~ !) =d0
dt(¿~ !) +~ !£(¿~ !) = (¿_~ !) +~ !£(¿~ !) (5.67)
deoarece elementele tensorului ¿sunt ni» ste constante ^ ³n sistemul de referint »¸ a solidar cu
rigidul, iard0~ !
dt=d~ !
dt. Folosind aceste rezultate, (5.65) devine :
~ rO£_~ p+M ~ r c£~ aO+ (¿_~ !) +~ !£(¿~ !) =~MO1(~F) (5.68)
Ecuat »ia se simpli¯c¸ a » si mai mult dac¸ a se t »ine cont de faptul c¸ a :
~MO1(~F) =X
ih
(~ rO+~ ri)£~Fii
=~ rO£~F+X
i(~ ri£~Fi) =~ rO£_~ p+~MO(F) (5.69)
unde s-a folosit teorema impulsului, iar ~MO(~F) este momentul rezultant^ ³n originea sistemului
solidar legat a rigid al fort »elor exterioare. Egal^ and ultimele dou¸ a ecuat »ii, rezult¸ a :
M ~ r c£~ aO+ (¿_~ !) +~ !£(¿~ !) =~MO(~F) (5.70)
Deoarece fort »ele aplicate asupra rigidului sunt date, ecuat »iile (5.64) » si (5.70) sunt su¯ciente
pentru determinarea funct »iilor necunoscute ~ rO(t) » si~ !(t) .
^In ceea ce prive» ste teorema energiei , ^ ³ntruc^ at d Lint= 0 , aceasta se reduce la :
dT= dLext (5.71)
Dac¸ a d Lext= 0 (cazul rigidului greu ¯xat ^ ³n centrul de mas¸ a), din (5.71) rezult¸ a o integral¸ a
prim¸ a.
Aleg^ and ^ ³n mod adecvat sistemul de referint »¸ a solidar legat de rigid, ecuat »iile de mi» scare
(5.64) » si (5.70) cap¸ at¸ a forme mult mai simple. Astfel, aleg^ and originea sistemului mobil
^ ³n centrul de mas¸ a al rigidului (~ rc= 0), ecuat »ia (5.64) se reduce la :
M ~ a O=~F (5.72)
Dac¸ a ^ ³n plus axele sistemului mobil coincid cu axele principale ale elipsoidului de
inert »ie al rigidului , proiect^ and ecuat »ia (5.70) pe axele sistemului mobil » si folosind notat »iile
cunoscute, se obt »ine :
A_!x+ (C¡B)!y!z= (~MO)x
B_!y+ (A¡C)!z!x= (~MO)y (5.73)
C_!z+ (B¡A)!x!y= (~MO)z
deoarece :
~ !£(¿~ !) =¯¯¯¯¯¯¯¯~ { ~ | ~k
!x !y !z
A !xB ! yC !z¯¯¯¯¯¯¯¯(5.74)

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 59
^In aceste ecuat »ii, ~ aOeste accelerat »ia centrului de mas¸ a al rigidului ^ ³n raport cu sistemul ¯x,
iar~MOeste momentul rezultant al fort »elor exterioare ^ ³n centrul de mas¸ a.
Dac¸ a fort »ele exterioare sunt date, ecuat »ia (5.72) determina¸ a mi» scarea centrului de mas¸ a
al rigidului. Se observ¸ a c¸ a aceasta coincide cu ecuat »ia lui Newton scris¸ a pentru centrul
maselor, ^ ³n care ar ¯ concentrat¸ a ^ ³ntreaga mas¸ a a rigidului » si ^ ³n care ar ¯ aplicat¸ a rezultanta
fort »elor exterioare. Aceasta ^ ³nseamn¸ a c¸ a atunci c^ and ^ ³n diverse probleme de mi» scare rigidul
este asimilat cu un punct material, iar pentru determinarea mi» sc¸ arii este folosit¸ a ecuat »ia lui
Newton, ^ ³n realitate este studiat¸ a doar mi» scare centrului de mas¸ a al rigidului.
Sistemul neliniar de ecuat »ii diferent »iale de ordinul ^ ³nt^ ai scris ^ ³n forma normal¸ a (5.73),
permite determinarea funct »iilor !x(t) ,!y(t) ,!z(t) dac¸ a sunt cunoscute valorile acestora la
momentul init »ial. Odat¸ a integrat acest sistem de ecuat »ii (^ ³n cazurile ^ ³n care acest lucru este
posibil), pentru determinarea pozit »iei rigidului, deci pentru determinarea unghiurilor Euler
Ã(t) ,µ(t) » si'(t) , va mai trebui integrat sistemul neliniar de ecuat »ii diferent »iale de ordinul
^ ³nt^ ai scris sub form¸ a normal¸ a (5.26). Este de a» steptat ca doar ^ ³n c^ ateva cazuri cu totul
particulare, s¸ a ¯e posibil¸ a integrarea succesiv¸ a a celor dou¸ a sisteme de ecuat »ii diferent »iale
neliniare.
Rigidul liber ^ ³n c^ amp gravitat »ional omogen
Dac¸ a asupra punctelor materiale care alc¸ atuiesc rigidul act »ioneaz¸ a doar fort »a de greutate,
atunci ( ~ rc= 0) :
~F=X
imi~ g=M ~ g ;~MO=X
i(~ ri£mi~ g) =ÃX
imi~ ri!
£~ g=M ~ r c£~ g= 0 (5.75)
Ecuat »iile (5.72) » si (5.73) se reduc la :
~ aO=~ g (5.76)
» si
A_!x+ (C¡B)!y!z= 0
B_!y+ (A¡C)!z!x= 0 (5.77)
C_!z+ (B¡A)!x!y= 0
Conform ecuat »iei (5.76), centrul de mas¸ a al rigidului se deplaseaz¸ a ca un punct material
greu care, ^ ³n funct »ie de condit »iile init »iale, poate descrie ^ ³n vid o traiectorie vertical¸ a sau
parabolic¸ a. Pentru determinarea mi» sc¸ arii de rotat »ie a rigidului ^ ³n jurul centrului s¸ au de
mas¸ a, va trebui integrat sistemul (5.77). Solut »ia acestui sistem, ^ ³n c^ ateva cazuri particulare,
a fost dat¸ a pentru prima dat¸ a de Euler , sistemul ¯ind acela» si cu cel scris c^ and este studiat¸ a
mi» scarea rigidului cu punct ¯x.
5.3.2 Mi» scarea rigidului cu ax¸ a ¯x¸ a
Rigidul are dou¸ a puncte O» siO0imobilizate ^ ³n raport cu sistemul ¯x, distant »a ^ ³ntre ele
¯ind h. Axa care trece prin O» siO0¯ind ¯x¸ a, unica posibilitate de mi» scare a rigidului va
¯ cea de rotat »ie ^ ³n jurul acestei axe. Se alege punctul Oca origine comun¸ a a celor dou¸ a

60 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
sisteme de coordonate, ¯x » si solidar legat de rigidul care se mi» sc¸ a, » si pentru simplitate se
consider¸ a c¸ a axele Oz1» siOzcoincid cu axa OO0. Pozit »ia rigidului la un moment dat tva ¯
determinat¸ a de unghiul µformat de planele x1Oz1» sixOz (v. Fig. 5.7).
Figura 5.7: Rigidul cu ax¸ a ¯x¸ a
Rigidul av^ and un singur grad de libertate, mi» scarea sa va ¯ descris¸ a de ecuat »ia µ=µ(t) .
Vectorul rotat »ie ~ !» si vectorul _~ !vor avea componente numai dup¸ a axa Oz, m¸ arimile lor ¯ind
_µ» siĵ:
~ !=~ !(0;0; !) ; !=_µ
_~ !=_~ !(0;0;_!) ; _ !=ĵ(5.78)
Imobilizarea punctelor O» siO0se traduce prin aparit »ia a dou¸ a react »iuni ~R» si~R0care sunt
apriori necunoscute. Cunosc^ and fort »ele aplicate asupra rigidului, se cere s¸ a se de-
termine mi» scarea sa, precum » si react »iunile. Ecuat »iile de mi» scare sunt asem¸ an¸ atoare
cu cele deduse ^ ³n paragraful anterior :
Mh
~ aO+_~ !£~ rc+~ !£(~ !£~ rc)i
=~F+~R+~R0(5.79)
respectiv :
M ~ r c£~ aO+ (¿_~ !) +~ !£(¿~ !) =~MO(~F) +~MO(~R) +~MO(~R0) (5.80)
cu deosebirea c¸ a acum intervin » si react »iunile. T »in^ and cont de (5.78) » si observ^ and c¸ a ~ aO= 0 ,
~ !£(~ !£~ rc) = (~ !¢~ rc)~ !¡!2~ rc,
(¿~ !) =0
BB@IxxIxyIxz
IyxIyyIyz
IzxIzyIzz1
CCA0
BB@0
0
!1
CCA=0
BB@Ixz!
Iyz!
Izz!1
CCA,~ !£(¿~ !) =¯¯¯¯¯¯¯¯~ { ~ | ~k
0 0 !
Ixz! I yz! I zz!¯¯¯¯¯¯¯¯
(5.81)
» si
~MO(~R) = 0 , ~MO(~R0) =¯¯¯¯¯¯¯¯~ { ~ | ~k
0 0 h
R0
xR0
yR0
z¯¯¯¯¯¯¯¯(5.82)

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 61
din (5.78) » si (5.79) rezult¸ a sistemul de ecuat »ii scalare :
¡M(xc!2+yc_!) =Fx+Rx+R0
x
¡M(yc!2¡xc_!) =Fy+Ry+R0
y
0 = Fz+Rz+R0
z
¡Iyz!2+Ixz_!=Mx¡h R0
y
Ixz!2+Iyz_!=My+h R0
x
Izz_!=Mz(5.83)
Fiind cunoscute fort »ele aplicate rigidului, deoarece ultima ecuat »ie din sistemul (5.83) nu
cont »ine react »iunile, prin integrarea de dou¸ a ori a acestei ecuat »ii, ar putea ¯ determinat¸ a
funct »ia µ=µ(t) . Odat¸ a cunoscut¸ a aceast¸ a funct »ie, din ecuat »iile a patra » si a cincea se pot
determina componentele R0
x» siR0
y, iar apoi din prima » si a doua ecuat »ie componentele Rx» siRy
ale react »iunilor. Cea de a treia ecuat »ie din (5.83) permite doar determinarea sumei Rz+R0
z.
Faptul c¸ a componentele Rz» siR0
znu pot ¯ determinate individual, se datore» ste ipotezei
f¸ acute asupra rigidit¸ at »ii segmentului OO0. Cele dou¸ a componente r¸ am^ an nedeterminate ,
deoarece prin ad¸ augarea ^ ³n O, respectiv ^ ³n O0, a dou¸ a fort »e egale » si de sens opus ^ ³n lungul
segmentului OO0, cele dou¸ a componente se modi¯c¸ a, ^ ³n schimb r¸ am^ an nemodi¯cate Rx,Ry,
R0
x,R0
y,Rz+R0
z, ne¯ind astfel modi¯cat¸ a nici mi» scarea rigidului. Nedeterminarea poate ¯
ridicat¸ a doar prin renunt »area la ipoteza de rigiditate.
Se observ¸ a c¸ a react »iunile ~R» si~R0depind de vectorul de rotat »ie ~ !» si este de a» steptat ca
la viteze de rotat »ie foarte mari, fort »ele necesare pentru ¯xarea axei s¸ a ¯e mari. ^In plus,
solicitarea axei de rotat »ie din partea corpului va ¯ foarte mare » si axa se poate rupe. Din
ecuat »iile (5.83) rezult¸ a c¸ a react »iunile nu vor depinde de viteza de rotat »ie a rigidului, dac¸ a
indiferent de ~ !6= 0 » si _~ !6= 0 , sunt ^ ³ndeplinite simultan ecuat »iile :
!2xc+ _! y c= 0
¡_! xc+!2yc= 0;¡!2Iyz+ _! Ixz= 0
_! Iyz+!2Ixz= 0(5.84)
Deoarece determinantul acestor sisteme este ¢ = !4+ _!2>0 , solut »iile la care veri¯c¸ a (5.84)
vor ¯ :
xc=yc= 0 » si Ixz=Iyz= 0 (5.85)
Prima condit »ie spune c¸ a axa de rotat »ie trebuie s¸ a treac¸ a prin centrul de mas¸ a, iar conform
celei de a doua condit »ii, axa Oztrebuie s¸ a ¯e ax¸ a principal¸ a de inert »ie. Deci, dac¸ a axa
de rotat »ie a rigidului este ax¸ a principal¸ a central¸ a de inert »ie, react »iunile ei nu
depind de viteza de rotat »ie . Rezultatul obt »inut prezint¸ a important »¸ a deosebit¸ a ^ ³n tehnic¸ a
la montarea turbinelor, elicelor, etc.
Se poate pune de asemenea problema de a g¸ asi condit »iile ^ ³n care este su¯cient un singur
punct ¯x, pentru a asigura imobilitatea ^ ³ntregii axe OO0, indiferent de valoarea lui ~ !.^In
acest caz, axa OO0va purta numele de ax¸ a permanent¸ a de rotat »ie . Din ultimele trei
ecuat »ii (5.83) rezult¸ a c¸ a ^ ³n vederea realiz¸ arii acestui scop ( ~R0= 0), va trebui ca simultan :
Ixz=Iyz= 0 » si Mx=My= 0 (5.86)
Aceste condit »ii sunt su¯ciente, deoarece datorit¸ a nedetermin¸ arii remarcate anterior, R0
zpoate
¯ ^ ³nglobat¸ a in Rz. Rezult¸ a c¸ a OO0este o ax¸ a permanent¸ a de rotat »ie, dac¸ a ea este

62 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
o ax¸ a principal¸ a de inert »ie care trece prin O, iar momentul rezultant al fort »elor
efectiv aplicate rigidului este orientat ^ ³n lungul axei respective . Situat »ia se reali-
zeaz¸ a dac¸ a, ^ ³n particular, asupra rigidului act »ioneaz¸ a o fort »¸ a unic¸ a ^ ³n planul xOy, iar axa
de rotat »ie Ozeste ax¸ a principal¸ a de inert »ie a rigidului relativ¸ a la punctul O(pendulul ¯zic).
Se observ¸ a c¸ a » si react »iunea ^ ³n Ose anuleaz¸ a ( ~R= 0), dac¸ a ^ ³n plus sunt ^ ³ndeplinite
condit »iile :
xc=yc= 0 » si Fx=Fy=Fz= 0 (5.87)
Dac¸ a condit »iile (5.86) » si (5.87) sunt simultan satisf¸ acute, axa de rotat »ie nu are nevoie
de nici un punct de sprijin. O astfel de ax¸ a poart¸ a numele de ax¸ a liber¸ a (spontan¸ a) de
rotat »ie » si se observ¸ a c¸ a ^ ³n mod necesar ea trebuie s¸ a ¯e o ax¸ a principal¸ a central¸ a de inert »ie.
Pendulul ¯zic
Un rigid greu se poate roti ^ ³n jurul axei orizontale ¯xe Oz1. Aleg^ and axa Ox1pe vertical¸ a
^ ³n jos » si presupun^ and c¸ a axa Oxtrece prin centrul de mas¸ a C(v. Fig. 5.8), momentul
Figura 5.8: Pendulul ¯zic
greut¸ at »ii va ¯ :
~MO(~G) =¯¯¯¯¯¯¯~ {1 ~ |1~k1
lcosµ lsinµ0
Mg 0 0¯¯¯¯¯¯¯=¡Mglsinµ~k1 (5.88)
unde lreprezint¸ a distant »a OC, iarµeste unghiul de rotat »ie. Ultima ecuat »ie din (5.83), care
reprezint¸ a chiar ecuat »ia de mi» scare a pendulului ¯zic, va avea expresia :
Izzĵ+Mglsinµ= 0 (5.89)
adic¸ a :
ĵ+g
l0sinµ= 0 unde l0=Izz
Ml(5.90)
M¸ arimea l0poart¸ a numele de lungime redus¸ a » si reprezint¸ a lungimea unui pendul matematic
care ar oscila cu aceea» si perioad¸ a ca cea a pendulului ¯zic, ^ ³n acelea» si condit »ii init »iale. ^In
aproximat »ia micilor oscilat »ii, perioada mi» sc¸ arii pendulului va ¯ :
T= 2¼s
l0
g= 2¼s
Izz
Mgl(5.91)

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 63
Folosind teorema lui Steiner, momentul de inert »ie Izz^ ³n raport cu axa Oz, poate ¯
exprimat cu ajutorul momentului de inert »ie Ic
zz^ ³n raport cu o ax¸ a paralel¸ a la Oz, dar
trec^ and prin centrul de mas¸ a C:
Izz=Ml2+Ic
zz (5.92)
^Imp¸ art »ind cu Ml» si t »in^ and cont de de¯nit »ia (5.90), lungimea redus¸ a poate ¯ scris¸ a sub forma :
l0=l+Ic
zz
Ml=l+l1 unde l1=Ic
zz
Ml(5.93)
Dac¸ a pendulul ar oscila ^ ³n jurul unei axe paralele la axa Oz, care ^ ³ns¸ a trece printr-un punct
O1a°at pe axa Oxla distant »a l0=l+l1deO, lungimea sa redus¸ a va ¯ :
l0
1=l1+Ic
zz
Ml1=l1+Ic
zz
MMl
Ic
zz=l1+l=l0(5.94)
deci pendulul ar oscila cu aceea» si perioad¸ a ^ ³n jurul oric¸ areia din axele considerate. Axa care
trece prin Oeste numit¸ a ax¸ a de suspensie , iar axa paralel¸ a care trece prin O1este numit¸ a
ax¸ a de oscilat »ie , cele dou¸ a axe ¯ind reciproce . Proprietatea c¸ a axa de suspensie poate
deveni la r^ andul ei ax¸ a de oscilat »ie, » si invers, poart¸ a numele de reversibilitate . Odat¸ a
determinate pozit »iile punctelor O» siO1^ ³n raport cu C, a» sa ^ ³nc^ at ^ ³n ambele situat »ii perioada
de oscilat »ie s¸ a ¯e T, poate ¯ calculat¸ a valoarea accelerat »iei gravitat »ionale :
g= 4¼2l0
T2= 4¼2l+l1
T2(5.95)
Deoarece condit »ia de reversibilitate pentru determinarea lui geste foarte di¯cil de realizat,
^ ³n practic¸ a se prefer¸ a utilizarea unei metode, cunoscut¸ a sub numele de pendulul lui Kater ,
^ ³n care axele care trec prin O, respectiv O1, sunt succesiv axe de suspensie. Cunosc^ and
distant »ele l» sil1fat »¸ a de centrul de mas¸ a, sunt determinate perioadele T» siT1ale mi» sc¸ arilor
^ ³n cele dou¸ a situat »ii. Folosind (5.93) » si (5.94) pot ¯ scrise relat »iile :
l l0=l2+Ic
zz
M
l1l0
1=l2
1+Ic
zz
M(5.96)
care prin sc¸ adere conduc la egalitatea :
l l0¡l1l0
1=l2¡l2
1 (5.97)
Deoarece lungimile reduse sunt legate de perioadele corespunz¸ atoare prin relat »iile :
l0=gT2
4¼2» si l0
1=gT2
1
4¼2(5.98)
ecuat »ia (5.97) devine :g
4¼2(lT2¡l1T2
1) =l2¡l2
1 (5.99)
de unde rezult¸ a formula :
g= 4¼2l2¡l2
1
lT2¡l1T2
1(5.100)
care permite calculul accelerat »iei gravitat »ionale g, f¸ ar¸ a a mai ¯ necesar¸ a realizarea condit »iei
de reversibilitate.

64 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
5.3.3 Mi» scarea rigidului cu punct ¯x
Rigidul are un punct ¯xat care pentru comoditate este ales ca ¯ind originea comun¸ a Oa
sistemelor de referint »¸ a ¯x » si solidar legat de rigid. Dup¸ a cum s-a ar¸ atat anterior, impulsul,
momentul cinetic ^ ³n raport cu O» si energia cinetic¸ a a rigidului au forma simpl¸ a :
~ p=M ~ !£~ rc;~L= (¿~ !) ; T=1
2~ !(¿~ !) =1
2~ !¢~L=1
2I!!2(5.101)
unde ~ rceste vectorul de pozit »ie al centrului de mas¸ a al rigidului (av^ and componentele xc,yc,
zc^ ³n sistemul mobil), ~ !este vectorul rotat »ie, ¿este tensorul de inert »ie ^ ³n raport cu O, iar
I!este momentul de inert »ie ^ ³n raport cu o ax¸ a care trece prin O» si care este suportul lui ~ !.
Not^ and cu ~Rfort »a care asigur¸ a imobilitatea punctului O, deoarece ~MO(~R) = 0, teorema
impulsului » si teorema momentului cinetic au ^ ³n acest caz expresiile :
_~ !£M~ rc+~ !£(~ !£M~ rc) =~F+~R
(¿_~ !) +~ !£(¿~ !) =~MO(~F)(5.102)
unde ~Feste rezultanta fort »elor exterioare aplicate rigidului. Deoarece cea de a doua ecuat »ie
(5.102) nu cont »ine react »iunea, ea va reprezenta ecuat »ia fundamental¸ a a mi» sc¸ arii. Ea permite
g¸ asirea dependent »ei de timp a funct »iilor !x,!y,!z» si deci prin intermediul ecuat »iilor (5.26) a
funct »iilor Ã(t),µ(t),'(t). Cu aceasta problema determin¸ arii mi» sc¸ arii este complet rezolvat¸ a,
deoarece rigidul cu punct ¯x are trei grade de libertate. Pe de alt¸ a parte, odat¸ a determinat
~ !(!x; !y; !z), prima ecuat »ie din (5.102) permite determinarea react »iunii ~Rcare apare ^ ³n O
datorit¸ a imobiliz¸ arii punctului respectiv » si care este o m¸ arime apriori necunoscut¸ a.
^In cazul particular c^ and axele mobile sunt alese astfel ^ ³nc^ at s¸ a coincid¸ a cu axele principale
ale elipsoidului de inert »ie al rigidului ^ ³n raport cu O, tensorul ¿se reduce la termenii de pe
diagonala principal¸ a, ceilalt »i ¯ind nuli, iar vectorul ( ¿~ !) va avea proiect »iile A!x,B!y,C!z
pe axele sistemului mobil. Proiect^ and cea de a doua ecuat »ie din (5.102) pe axele sistemului
mobil, rezult¸ a urm¸ atorul sistem de trei ecuat »ii scalare :
A_!x+ (C¡B)!y!z=Mx(~F)
B_!y+ (A¡C)!z!x=My(~F) (5.103)
C_!z+ (B¡A)!x!y=Mz(~F)
Acestea sunt ecuat »iile lui Euler . Solut »ia sub form¸ a ¯nit¸ a a acestor ecuat »ii nu se poate da
dec^ at ^ ³n c^ ateva cazuri particulare. Vor ¯ studiate ^ ³n continuare doar dou¸ a dintre acestea.
Cazul Euler-Poinsot
Este examinat cazul particular^ ³n care vectorul ~MOeste nul, adic¸ a c^ and suma momentelor
fort »elor exterioare ^ ³n raport cu punctul ¯x este nul¸ a. Situat »ia se realizeaz¸ a dac¸ a, de exemplu,
fort »ele date se reduc la una singur¸ a care trece prin O, cum ar ¯ cazul rigidului greu ¯xat ^ ³n
centrul s¸ au de mas¸ a ( O´C). Ecuat »iile (5.103) devin :
A_!x+ (C¡B)!y!z= 0
B_!y+ (A¡C)!z!x= 0 (5.104)
C_!z+ (B¡A)!x!y= 0

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 65
Se remarc¸ a identitatea acestor ecuat »ii cu cele care descriu mi» scarea de rotat »ie a rigidului
liber greu ^ ³n jurul centrului s¸ au de mas¸ a, care la r^ andul s¸ au descrie o traiectorie determinat¸ a
de condit »iile init »iale ^ ³n raport cu sistemul ¯x.
Sistemul (5.104) admite urm¸ atoarele solut »ii particulare :
!x=!0
x ,!y= 0 , !z= 0
!x= 0 , !y=!0
y ,!z= 0
!x= 0 , !y= 0 , !z=!0
z(5.105)
unde !0
x,!0
y,!0
zsunt valorile init »iale ale componentelor vectorului ~ !. Dac¸ a, de exemplu, la
momentul init »ial sunt ^ ³ndeplinite condit »iile (5.105a), ele vor ¯ ^ ³ndeplinite la orice moment
ulterior » si mi» scarea rigidului va ¯ o rotat »ie uniform¸ a ^ ³n jurul axei Ox. Deoarece vectorul
~ !este constant ^ ³n sistemul mobil, el este constant » si ^ ³n sistemul ¯xÃd~ !
dt=d0~ !
dt!
, ceea ce
^ ³nseamn¸ a c¸ a direct »ia axei Oxr¸ am^ ane constant¸ a ^ ³n raport cu sistemul ¯x. Axa Ox¯ind ax¸ a
principal¸ a de inert »ie, va ¯ » si o ax¸ a permanent¸ a de rotat »ie a rigidului. ^In mod analog,
condit »iile (5.105b) » si (5.105c) exprim¸ a faptul c¸ a axele Oy, respectiv Oz, pot ¯ de asemenea
axe permanente de rotat »ie, ele ¯ind » si axe principale de inert »ie ^ ³n O.
Dac¸ a A6=B6=C, prin Otrec doar trei axe principale de inert »ie, ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a
^ ³n acest caz exist¸ a doar trei axe permanente de rotat »ie. Dac¸ a elipsoidul de inert »ie este de
revolut »ie, de exemplu ^ ³n jurul axei Oz(A=B6=C), atunci orice ax¸ a din planul xOy care
trece prin Oeste o ax¸ a principal¸ a de inert »ie » si deci o ax¸ a permanent¸ a de rotat »ie. Dac¸ a
elipsoidul de inert »ie se reduce la o sfer¸ a ( A=B=C), atunci orice ax¸ a care trece prin O
este o ax¸ a principal¸ a de inert »ie » si deci o ax¸ a permanent¸ a de rotat »ie.
Revenind la cazul general, c^ and condit »iile init »iale nu au forma (5.105), se constat¸ a c¸ a
sistemul (5.104) admite dou¸ a integrale prime. Astfel, ^ ³nmult »ind prima ecuat »ie cu A!x, a
doua cu B!y» si a treia cu C!z, adun^ and » si integr^ and, rezult¸ a :
A2!2
x+B2!2
y+C2!2
z= ¢2¹2(5.106)
unde s-a notat constanta de integrare cu ¢2¹2. Pe de alt¸ a parte ^ ³nmult »ind prima ecuat »ie cu
!x, a doua cu !y» si a treia cu !z, adun^ and » si integr^ and, rezult¸ a :
A!2
x+B!2
y+C!2
z= ¢¹2(5.107)
unde ¢ ¹2este o alt¸ a constant¸ a de integrare. Evident, valoarea constantelor de integrare
este determinat¸ a de condit »iile init »iale ale problemei. Integrala prim¸ a (5.106) exprim¸ a faptul
c¸ a vectorul moment cinetic al rigidului ~L= (¿~ !) ^ ³n raport cu O, are o valoare constant¸ a.
Rezultatul era de a» steptat, deoarece din teorema momentului cinetic_~L=~MO(~F) rezult¸ a c¸ a
~Leste un vector constant dac¸ a ~MO(~F) este nul. Integrala prim¸ a (5.107) exprim¸ a faptul c¸ a
energia cinetic¸ a a rigidului este o constant¸ a ^ ³n problema considerat¸ a. ^Intr-adev¸ ar, deoarece
fort »ele interioare » si react »iunea punctului ¯x Onu contribuie la lucrul mecanic, teorema
energiei se reduce la d T= dLext. Deoarece ^ ³n cazul considerat :
dLext=X
i~Fid~ ri=X
i~Fi~ vidt=X
i~Fi(~ !£~ ri)dt=~ !¢X
i(~ ri£~Fi)dt=~ !¢~MO(~F) dt= 0
(5.108)

66 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
din teorema energiei rezult¸ a T=1
2~ !(¿~ !) =const .
Din ecuat »iile (5.106) » si (5.107) se pot exprima !x» si!z^ ³n funct »ie de !y:
!2
x=B(B¡C)
A(A¡C)³
®2¡!2
y´
, !2
z=B(A¡B)
C(A¡C)³
¯2¡!2
y´
(5.109)
unde
®2=¢(¢¡C)
B(B¡C)¹2, ¯2=¢(A¡¢)
B(A¡B)¹2(5.110)
Se observ¸ a c¸ a fract »iile ce ¯gureaz¸ a ^ ³n expresiile lui !2
x» si!2
zsunt pozitive dac¸ a :
C < B < A (5.111)
ceea ce de altfel nu particularizeaz¸ a problema. Atunci ®2» si¯2vor trebui s¸ a ¯e de asemenea
pozitivi, deoarece altfel !2
x» si!2
zar avea doar valori negative. ^In consecint »¸ a, pentru ca
problema s¸ a admit¸ a solut »ii reale, va trebui ca obligator s¸ a ¯e ^ ³ndeplinit¸ a » si condit »ia :
C <¢< A (5.112)
^In cele ce urmeaz¸ a se va presupune c¸ a ®» si¯sunt dou¸ a numere pozitive. Dac¸ a ^ ³n (5.112) ar
¯gura semne de egalitate, rezultatele se reduc la cazul rotat »iilor uniforme discutate anterior.
Dac¸ a de exemplu A= ¢, atunci ¯2= 0 » si din (5.109b) rezult¸ a :
B(A¡B)!2
y+C(A¡C)!2
z= 0 (5.113)
deci obligator va trebui ca !y=!z= 0, din (5.106) » si (5.107) rezult^ and c¸ a !x=§¹.
T »in^ and cont de (5.109), din (5.104b) rezult¸ a o ecuat »ie diferent »ial¸ a pentru !y:
_!y=§s
(A¡B)(B¡C)
A C³
®2¡!2
y´ ³
¯2¡!2
y´
(5.114)
Presupunem c¸ a datele init »iale sunt astfel alese ^ ³nc^ at :
¢< B (5.115)
Din formulele (5.109) rezult¸ a c¸ a !2
ytrebuie s¸ a r¸ am^ an¸ a inferior celui mai mic dintre numerele
®2,¯2. Se veri¯c¸ a u» sor c¸ a ®2< ¯2.^Intr-adev¸ ar, din (5.110) rezult¸ a :
®2¡¯2=¹2¢(A¡C)(¢¡B)
B(A¡B)(B¡C)<0 (5.116)
Se deduce c¸ a limita superioar¸ a a lui !2
yeste®2, adic¸ a funct »ia !y(t) va varia ^ ³n intervalul
(¡®;+®). Pe de alt¸ a parte, din (5.109) rezult¸ a c¸ a !xse anuleaz¸ a numai dac¸ a !y=§®, ^ ³n
timp ce !z^ ³» si p¸ astreaz¸ a tot timpul semnul. Pentru a g¸ asi modul cum variaz¸ a ^ ³n timp funct »ia
!y, va trebui integrat¸ a ecuat »ia (5 :114). Impunem ca la momentul init »ial t0s¸ a avem !0
y= 0
(!0
x<0,!0
z>0) » si alegem semnul (+) ^ ³n fat »a radicalului, ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a funct »ia !y(t)
^ ³ncepe prin a cre» ste. Cu schimbarea de variabil¸ a
!y=® x (5.117)

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 67
ecuat »ia (5.114) devine :
dxq
(1¡x2)(1¡k2x2)=ndt (5.118)
unde s-au f¸ acut notat »iile
n=¹s
¢(A¡¢)(B¡C)
A B C, k2=®2
¯2<1 (5.119)
Valoarea lui x» si deci a lui !yla momentul tse obt »ine integr^ and expresia (5.118) :
x(t)Z
0dxq
(1¡x2)(1¡k2x2)=n(t¡t0) (5.120)
^In consecint »¸ a x(t) » si deci !y(t) va ¯ o funct »ie eliptic¸ a de spet »a ^ ³nt^ ai. Funct »ia !ypornind de
la valoarea init »ial¸ a !0
y= 0 va cre» ste monoton p^ an¸ a la valoarea + ®c^ and _ !y= 0. Apoi _ !y
devine negativ, deci !yva descre» ste monoton trec^ and prin valoarea zero » si va atinge valoarea
¡®c^ and _ !yse anuleaz¸ a din nou. ^In continuare _ !ydevine din nou pozitiv, !yre^ ³ncepe s¸ a
creasc¸ a » si va continua s¸ a oscileze ^ ³ntre valorile limit¸ a + ®» si¡®pe care le atinge periodic.
Perioada oscilat »iilor lui !y^ ³ntre limitele amintite se calculeaz¸ a folosind (5.120) » si va ¯ :
T=4
n1Z
0dxq
(1¡x2)(1¡k2x2)(5.121)
Odat¸ a determinat¸ a funct »ia !y(t), folosind (5.109) pot ¯ calculate » si funct »iile !x(t) » si!z(t),
care vor ¯ de asemenea ni» ste funct »ii eliptice de timp.
Dac¸ a datele init »iale sunt astfel alese^ ³nc^ at ¢ > B(¯2< ®2), funct »iile !x(t),!y(t),!z(t) se
determin¸ a printr-un rat »ionament analog cu cel de mai sus, rezult^ and c¸ a ele sunt de asemenea
ni» ste funct »ii eliptice periodice. Dac¸ a ^ ³ns¸ a ¢ = B(®2=¯2=¹2), atunci ^ ³n urma unor calcule
elementare rezult¸ a c¸ a !x(t),!y(t),!z(t) sunt ni» ste funct »ii hiperbolice de timp.
O solut »ie simpl¸ a a problemei se obt »ine dac¸ a elipsoidul de inert »ie este un elipsoid de rotat »ie.
Astfel dac¸ a A=B6=C, din ecuat »iile (5.104) rezult¸ a :
!z=!0
z ; _ !x+ ­!y= 0 , _ !y¡­!x= 0 (5.122)
unde s-a f¸ acut notat »ia
­ =C¡A
A!0
z (5.123)
Presupun^ and !0
z>0 » si not^ and z=!x+i !yse obt »ine pentru zecuat »ia diferent »ial¸ a :
_z¡i­z= 0 (5.124)
care are solut »ia :
z=Cei­ (t¡t0)(5.125)

68 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
Figura 5.9: Vectorul rotat »ie ^ ³n cazul elipsoidului de revolut »ie
Deoarece eix= cos x+isinx, folosind » si condit »ia init »ial¸ a !x(t0) =!0
x, pentru !x(t) » si!y(t)
se obt »in expresiile :
!x=!0
xcos ­( t¡t0) , !y=!0
xsin ­( t¡t0) (5.126)
^In consecint »¸ a vectorul !x~ {+!y~ |are o m¸ arime constant¸ a » si se rote» ste uniform ^ ³n jurul axei
Ozcu viteza unghiular¸ a ­ . Deoarece proiect »ia vectorului rotat »ie ~ !peOzeste de asemenea
constant¸ a (egal¸ a cu !0
z), unghiul dintre ~ !» siOzva r¸ am^ ane constant » si ^ ³n consecint »¸ a ^ ³n cursul
mi» sc¸ arii vectorul ~ !va descrie fat »¸ a de sistemul mobil un con circular av^ and pe Ozdrept ax¸ a
» si v^ arful ^ ³n O.
Pentru a rezolva complet problema determin¸ arii mi» sc¸ arii rigidului cu punct ¯x, va mai
trebui g¸ asit¸ a dependent »a de timp a unghiurilor Euler Ã,µ,'.^Inainte de toate trebuie
observat c¸ a ^ ³n acest caz, din teorema momentului cinetic rezult¸ a_~L= 0 , deci momentul
cinetic ~Lal rigidului este un vector constant ~L0. Pentru simplitatea calculelor se alege axa
Oz1a sistemului ¯x s¸ a coincid¸ a cu ~L0.
Deoarece coordonatele lui ~L^ ³n sistemul mobil sunt A!x,B!y,C!z, iar m¸ arimea sa este
¹¢, folosind matricea rotat »iilor (5.20) rezult¸ a :
0
BB@A!x
B!y
C!z1
CCA=A¢0
BB@0
0
¹¢1
CCA adic¸ aA!x=¹¢ sin 'sinµ
B!y=¹¢ cos 'sinµ
C!z=¹¢ cos µ(5.127)
Aceste ecuat »ii determin¸ a pe '(t) » siµ(t). Unghiul Ã(t) va ¯ determinat din ecuat »ia :
_Ã=1
sinµ(!xsin'+!ycos') =A !2
x+B !2
y
¹¢ sin2µ(5.128)
^In cazul particular al elipsoidului de revolut »ie A=B6=C, deoarece :
tg'=!x
!y= ctg ­( t¡t0) = tg·¼
2¡­(t¡t0)¸
(5.129)
rezult¸ a pentru '(t) expresia :
'(t) =¼
2+µ
1¡C
A¶
!0
z(t¡t0) (5.130)

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 69
Unghiul 'cre» ste dac¸ a C < A sau descre» ste dac¸ a A < C , pornind de la valoarea¼
2pe care o
are pentru t=t0.
Figura 5.10: Cazul Euler-Poinsot. Mi» scarea de precesie regulat¸ a
Pentru a g¸ asi funct »ia µ(t), se observ¸ a c¸ a µreprezint¸ a unghiul dintre vectorul ~L0» si axa
Oz. Proiect »ia lui ~L0peOz¯ind C!0
z, rezult¸ a c¸ a :
cosµ=C!0
z
j~L0j=const: deci µ=µ0=const: (5.131)
Astfel axa Ozva descrie un con cu v^ arful ^ ³n O^ ³n jurul vectorului ~L0.
Funct »ia Ã(t) se obt »ine integr^ and ecuat »ia (5.128), care ^ ³n acest caz are forma :
_Ã=j~L0j
A(5.132)
» si ^ ³n consecint »¸ a :
Ã(t) =j~L0j
A(t¡t0) +Ã0 (5.133)
Se veri¯c¸ a u» sor c¸ a vectorii ~k(0;0;1),~ !(!x; !y; !z) » si~L(A!x; B! y; C! z) sunt coplanari,
deoarece ~ !este tot timpul perpendicular pe linia nodurilor. Acest plan va avea o mi» scare
de rotat »ie uniform¸ a ^ ³n jurul axei Oz1cu viteza unghiular¸ a _Ã=j~L0j
A.^In concluzie, rigidul
se rote» ste uniform ^ ³n jurul axei sale de simetrie, care la r^ andul ei efectueaz¸ a o mi» scare de
rotat »ie uniform¸ a ^ ³n jurul axei ¯xe care trece prin centrul de mas¸ a. Mi» scarea este cunoscut¸ a
sub numele de precesie regulat¸ a , viteza precesiei ¯indj~L0j
A.
Cazul Lagrange-Poisson
Dac¸ a punctul ¯x al rigidului nu coincide cu centrul s¸ au de mas¸ a, atunci^ ³n ecuat »ia (5.102b)
~MO(~F)6= 0 . Dac¸ a asupra punctelor rigidului act »ioneaz¸ a doar greutatea lor proprie, sistemul
de fort »e poate ¯^ ³nlocuit cu o fort »¸ a unic¸ a ~G=M~ g, cu punctul de aplicat »ie^ ³n centrul de mas¸ a,

70 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
care are vectorul de pozit »ie ~ rcde componente xc,yc,zc^ ³n sistemul de referint »¸ a legat solidar
de rigid. Not^ and cu ~ °versorul axei ¯xe Oz1, acesta va avea ^ ³n sistemul mobil componentele :
°x= sin µsin'
°y= sin µcos'
°x= cos µ(5.134)
Deoarece momentul ^ ³n raport cu Oal fort »ei de greutate are ^ ³n sistemul mobil componentele :
~MO(~G) =~ rc£(¡Mg ~ ° ) =¡Mg¯¯¯¯¯¯¯¯~ { ~ | ~k
xcyczc
°x°y°z¯¯¯¯¯¯¯¯(5.135)
ecuat »ia momentului cinetic (5.102b) proiectat¸ a pe axele sistemului mobil va da :
A_!x+ (C¡B)!y!z=Mg(zc°y¡yc°z)
B_!y+ (A¡C)!z!x=Mg(xc°z¡zc°x) (5.136)
C_!z+ (B¡A)!x!y=Mg(yc°x¡xc°y)
Rezult¸ a astfel un sistem de trei ecuat »ii diferent »iale pentru » sase necunoscute !x,!y,!z,°x,
°y,°z. Mai pot ¯ obt »inute ^ ³nc¸ a trei ecuat »ii scriind c¸ a vectorul ~ °este constant ^ ³n raport cu
sistemul de referint »¸ a ¯x :d~ °
dt=d0~ °
dt+~ !£~ °= 0 , ceea ce proiectat pe axele sistemului mobil
va da :
_°x+!y°z¡!z°y= 0
_°y+!z°x¡!x°z= 0
_°z+!x°y¡!y°x= 0(5.137)
Integr^ and ecuat »iile (5.136), (5.137) » si t »in^ and cont de (5.134), vor rezulta funct »iile µ(t) » si'(t).
Funct »ia Ã(t) va ¯ apoi determinat¸ a folosind ecuat »iile cinematice ale lui Euler.
Sistemele (5.136) » si (5.137) admit urm¸ atoarele integrale prime :
A !x°x+B ! y°y+C !z°z=L0
A !2
x+B !2
y+C !2
z=¡2Mg(xc°x+yc°y+zc°z) + 2 h
°2
x+°2
y+°2
z= 1(5.138)
dintre care ultima este evident¸ a, deoarece ~ °este un versor. Prima integral¸ a se obt »ine
^ ³nmult »ind ecuat »iile (5.136) respectiv cu °x,°y,°z» si ecuat »ia (5.137) respectiv cu A !x,B ! y,
C !z, adun^ and » si integr^ and ( L0este deocamdat¸ a o constant¸ a neprecizat¸ a). Cea de a doua in-
tegral¸ a prim¸ a se obt »ine ^ ³nmult »ind ecuat »iile (5.136) respectiv cu !x,!y,!z, adun^ and, t »in^ and
cont de (5.137) » si integr^ and ( heste tot o constant¸ a deocamdat¸ a neprecizat¸ a). ^In fond
(5.138a) nu reprezint¸ a altceva dec^ at legea de conservare a momentului cinetic. ^Intr-adev¸ ar,
proiect^ and teorema momentului cinetic_~L=~MO(~G) pe axa Oz1a sistemului ¯x, deoarece
~MO(~G)¢~ °= 0, rezult¸ a_~L¢~ °= 0, ceea ce prin integrare d¸ a ~L¢~ °=L0. Semni¯cat »ia constantei
L0devine evident¸ a, ea reprezent^ and proiect »ia momentului cinetic al rigidului pe axa ¯x¸ a

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 71
Oz1, proiect »ie care ^ ³n acest caz este o constant¸ a. Explicit^ and produsul ~L¢~ °^ ³n sistemul
mobil rezult¸ a (5.138a). Ecuat »ia (5.138b) exprim¸ a teorema conserv¸ arii energiei. Se observ¸ a
c¸ a ^ ³n acest caz lucrul mecanic elementar al fort »elor externe are expresia :
dLext=¡Mg ~ ° d~ rc=¡Mgd(°xxc+°yyc+°zzc) (5.139)
iar energia cinetic¸ a se scrie :
T=1
2³
A !2
x+B !2
y+C !2
z´
(5.140)
Introduc^ and aceste expresii^ ³n teorema energiei d T= dLext» si integr^ and, rezult¸ a T=Lext+h,
adic¸ a tocmai ecuat »ia (5.138b).
Pentru a integra sistemul de ecuat »ii (5.136), (5.137) ar trebui s¸ a dispunem de un num¸ ar de
» sase integrale prime independente. Se poate ^ ³ns¸ a ar¸ ata c¸ a, deoarece variabila independent¸ a
tnu intervine explicit ^ ³n acest sistem, iar pe de alt¸ a parte c¸ a sistemul admite ^ ³ntotdeauna
un factor integrant, num¸ arul necesar de integrale prime se reduce patru. Astfel problema
integr¸ arii sistemului (5.136), (5.137) se reduce la problema g¸ asirii unei a patra integrale
prime , ^ ³n afara celor trei din (5.138). ^In condit »ii init »iale generale , sunt cunoscute
doardou¸ a cazuri ^ ³n care se poate g¸ asi o a patra integral¸ a prim¸ a funct »ie de !x,!y,!z» si
nedepinz^ and explicit de timp. Aceste cazuri sunt : cazul Lagrange-Poisson ^ ³n care A=B,
xc=yc= 0 » si cazul So¯a Kowalewskaia ^ ³n care A=B= 2C,zc= 0 . ^In cele ce urmeaz¸ a
va ¯ studiat doar primul dintre ele.
Cazul Lagrange-Poisson se realizeaz¸ a atunci c^ and rigidul are dou¸ a momente de inert »ie
principale (relative la punctul ¯x) egale, iar centrul de mas¸ a se g¸ ase» ste pe axa corespunz¸ atoare
celui de al treilea moment de inert »ie principal. Cu condit »iile
A=B6=C , xc=yc= 0 (5.141)
ecuat »ia (5.136c) furnizeaz¸ a cea de a patra integral¸ a prim¸ a necesar¸ a :
!z=s (5.142)
unde s(=!0
z) este o constant¸ a numit¸ a spin . F¸ ac^ and aceast¸ a ^ ³nlocuire ^ ³n primele dou¸ a
ecuat »ii (5.138) » si folosind (5.134) rezult¸ a :
!2
x+!2
y=®¡¯cosµ
(!xsin'+!ycos') sinµ=°¡±cosµ(5.143)
unde ®,¯,°,±sunt patru constante ( ¯» si±pozitive) :
®=2h¡Cs2
A,¯=2Mgz c
A,°=L0
A,±=Cs
A(5.144)
Folosind formulele cinematice ale lui Euler (5.24), expresiile (5.142) » si (5.143) devin :
_Ãcosµ+ _'=s
_Ã2sin2µ+_µ2=®¡¯cosµ
_Ãsin2µ=°¡±cosµ(5.145)

72 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
Cu notat »ia
cosµ=u (5.146)
din ultima ecuat »ie (5.145) rezult¸ a :
_Ã=°¡±u
1¡u2(5.147)
iar ecuat »ia (5.145b) devine :
_u2=P(u) unde P(u) = (®¡¯u)(1¡u2)¡(°¡±u)2(5.148)
Se obt »ine astfel cuadratura :
t=u(t)Z
u0du
(§)q
(®¡¯u)(1¡u2)¡(°¡±u)2(5.149)
unde u0este valoarea init »ial¸ a a lui u. Radicalul va ¯ luat cu (+) sau cu ( ¡) dup¸ a cum
derivata _ ula momentul init »ial este pozitiv¸ a sau negativ¸ a. ^In consecint »¸ a u(t) » si deci µ(t) va
¯ o funct »ie eliptic¸ a de timp. Cunosc^ and forma funct »iei u(t), din ecuat »iile (5.147) » si (5.145a)
vor rezulta funct »iile Ã(t) » si'(t). Scrise sub aceast¸ a form¸ a ecuat »iile de mi» scare sunt foarte
greu de interpretat din punct de vedere ¯zic. Din fericire caracterizarea general¸ a a mi» sc¸ arii
poate ¯ realizat¸ a » si f¸ ar¸ a a se efectua integrala (5.149).
Figura 5.11: R¸ ad¸ acinile polinomului P(u)
Se observ¸ a c¸ a pentru ca ecuat »ia (5.148) s¸ a aib¸ a o solut »ie, va trebui ca polinomul de
gradul trei P(u) s¸ a ¯e ¸0 . R¸ ad¸ acinile acestui polinom vor da unghiurile pentru care _µ^ ³» si
schimb¸ a semnul. Separarea r¸ ad¸ acinilor se face u» sor remarc^ and c¸ a P(¡1)<0 ,P(+1)>0 ,
P(§1)<0 . Not^ and cu u0valoarea init »ial¸ a a lui u» si observ^ and c¸ a u02(¡1;+1) , deoarece
P(u0)¸0 apar dou¸ a situat »ii posibile (v. Fig. 5.11). ^In ambele cazuri cele trei r¸ ad¸ acini ale
ecuat »iei P(u) = 0 sunt reale, a» sa ^ ³nc^ at se va putea scrie :
P(u) =¯(u¡u1)(u2¡u)(u3¡u) (5.150)
Deoarece u < u 3, factorul u3¡uva ¯ pozitiv » si deci pentru ca P(u) s¸ a ¯e pozitiv va trebui
cau1·u·u2. Aceasta ^ ³nseamn¸ a c¸ a unghiul de nutat »ie µva trebui s¸ a ¯e cuprins ^ ³ntre

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 73
valorile extreme corespunz¸ atoare µ1,µ2care vor ¯ presupuse distincte. Dac¸ a u1< u 2, atunci
µ1> µ2» si deci :
µ2·µ(t)·µ1 (5.151)
Pornind de la valoarea init »ial¸ a µ0corespunz¸ atoare valorii u0, unghiul µva cre» ste sau descre» ste
dup¸ a cum semnul din fat »a radicalului este ales ( ¡) sau (+). Presupun^ and c¸ a s-a ales semnul
(¡),µva cre» ste monoton p^ an¸ a va atinge valoarea µ1.^In acest moment polinomul P(u) se
anuleaz¸ a » si ^ ³n continuare _ u^ ³» si schimb¸ a semnul, deci µ^ ³ncepe s¸ a descreasc¸ a monoton c¸ atre
Figura 5.12: Variat »ia unghiului de nutat »ie dintre axele Oz1» siOz
cealalt¸ a valoare limit¸ a µ2c^ and polinomul P(u) se anuleaz¸ a din nou. Apoi _ uschimb^ andu-» si
din nou semnul, µva ^ ³ncepe s¸ a creasc¸ a p^ an¸ a c^ and va atinge valoarea µ1, etc. ^In consecint »¸ a
µ(t) este o funct »ie periodic¸ a, perioada oscilat »iilor valorilor sale ¯ind :
T= 2u2Z
u1duq
(®¡¯u)(1¡u2)¡(°¡±u)2(5.152)
^In cazul ^ ³n care cele dou¸ a r¸ ad¸ acini u1,u2ale polinomului sunt confundate, deoarece u0
trebuie s¸ a aib¸ a valoarea comun¸ a a celor dou¸ a r¸ ad¸ acini egale, va trebui ca :
P(u) =¡¯(u¡u0)2(u3¡u) (5.153)
Pentru c¸ a P(u) nu poate ¯ negativ, iar factorii ¯» siu3¡usunt ambii pozitivi, rezult¸ a c¸ a :
u(t) =u0 , µ(t) =µ0=const: (5.154)
Prin urmare, ^ ³n cazul particular u1=u2=u0, unghiul µdintre axa mobil¸ a Oz» si axa ¯x¸ a
Oz1va r¸ am^ ane constant ^ ³n cursul mi» sc¸ arii.
Pentru a obt »ine o imagine intuitiv¸ a asupra mi» sc¸ arii, va ¯ examinat¸ a curba descris¸ a de
punctul P^ ³n care axa mobil¸ a Ozintersecteaz¸ a sfera de raz¸ a unitate cu centrul ^ ³n O.^In cazul
general aceast¸ a curb¸ a se situeaz¸ a pe sfer¸ a ^ ³ntre paralelele µ=µ1» siµ=µ2(µ1> µ2). Pozit »ia
punctului Peste determinat¸ a cu ajutorul unghiului µsituat ^ ³n planul meridian z1Oz» si al
unghiului á¼
2f¸ acut de planul z1Ozcu planul ¯x z1Ox1.

74 CAPITOLUL 5. SOLIDUL RIGID
Forma curbei descris¸ a de punctul Peste dat¸ a de r¸ ad¸ acina binomului °¡±ucare ¯gureaz¸ a
la num¸ ar¸ atorul expresiei (5.147) a lui _Ã. Not^ and aceast¸ a r¸ ad¸ acin¸ a cu
u0=°
±=L0
Cs(5.155)
^ ³n raport cu condit »iile init »iale sunt posibile trei situat »ii distincte .
Figura 5.13: Mi» scarea de precesie a rigidului combinat¸ a cu mi» scarea de nutat »ie
a)u0> u 2sauu0< u 1. Deoarece conform (5.147) _Ãnu se anuleaz¸ a pentru nici o valoare
a luiu,_Ãva ¯ ^ ³ntotdeauna sau pozitiv, sau negativ, pentru orice µa°at ^ ³ntre valorile extreme
µ1» siµ2. Funct »ia Ã(t) variind monoton, planul meridian se va roti » si el tot timpul ^ ³n acela» si
sens, iar punctul Pva descrie traiectoria indicat¸ a ^ ³n Fig. 5.13a. Pentru µ=µ1» siµ=µ2
traiectoria lui Pva ¯ tangent¸ a la paralele, deoarece ^ ³n aceste puncte _µ= 0 conform (5.148).
AxaOza rigidului efectueaz¸ a o mi» scare de precesie ^ ³n jurul axei verticale, ^ ³ns¸ a mi» scarea
respectiv¸ a nu este o precesie regulat¸ a ca ^ ³n cazul mi» sc¸ arii libere a rigidului, deoarece axa Oz
^ ³n afara rotat »iei sale ^ ³n jurul verticalei, oscileaz¸ a totodat¸ a ^ ³n planul meridian ^ ³ntre unghiurile
µ1» siµ2.^In timpul precesiei, rigidul are » si o mi» scare de nutat »ie .
b)u1< u0< u 2. Funct »ia Ãpoate varia at^ at ^ ³ntr-un sens, c^ at » si ^ ³n cel¸ alalt. Traiectoria
punctului Pintersecteaz¸ a normal paralela µ=µ0, deoarece ^ ³n aceste puncte _Ã= 0 conform
(5.147), dar va ¯ tangent¸ a la paralelele limit¸ a µ1» siµ2. Forma traiectoriei este cea din Fig.
5.13b. Deoarece valoarea medie a lui _Ãeste diferit¸ a de zero, va exista o mi» scare de precesie
^ ³ntr-un sens bine determinat.
c)u0=u1sauu0=u2.^In aceast¸ a situat »ie P(u0) = 0 ceea ce conform (5.148) ^ ³nseamn¸ a
u0=®
¯. Rezult¸ a c¸ a pe unul din cercurile µ1sauµ2va trebui s¸ a avem concomitent _µ= 0
» si_Ã= 0. Se observ¸ a c¸ a niciodat¸ a condit »iile init »iale nu pot ¯ alese astfel ^ ³nc^ at u0=u1.
^Intr-adev¸ ar, ^ ³n acest caz din (5.148) ar rezulta :
P0(u1) =¡¯(1¡u2
1)<0 (5.156)
ceea ce contrazice ^ ³ns¸ a relat »ia
P0(u1) =¯(u2¡u1)(u3¡u1)>0 (5.157)

5.3. DINAMICA SOLIDULUI RIGID 75
care ar rezulta din derivarea expresiei (5.150). R¸ am^ ane astfel doar posibilitatea u0=u2.
Deoarece ^ ³n vecin¸ atatea lui u2, _ueste de ordinul luipu2¡u(v. expr. (5.150)), iar _Ãeste
de ordinul u2¡u(v. expr. (5.147)), va trebui ca :
lim
µ!µ2dÃ
dµ= 0 (5.158)
» si astfel traiectoria punctului Pva intersecta normal paralela µ=µ2(v. Fig. 5.13c).
Revenim la situat »ia ^ ³n care dou¸ a r¸ ad¸ acini ale polinomului (5.148) sunt confundate u1=
u2=u0. Dup¸ a cum s-a ar¸ atat anterior, va trebui ca u(t) =u0, adic¸ a µ(t) =µ0.^In consecint »¸ a
axaOzva descrie un con ^ ³n jurul axei Oz1. Pe de alt¸ a parte din (5.145c) » si (5.145a) rezult¸ a
c¸ a_û si _'sunt constante, ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a axa Ozsolidar¸ a cu rigidul va descrie conul
^ ³n jurul lui Oz1cu viteza unghiular¸ a constant¸ a _Ã, ^ ³n timp ce rigidul se rote» ste uniform cu
viteza unghiular¸ a _ '^ ³n jurul axei Oz. Mi» scarea, dup¸ a cum s-a v¸ azut » si cu alte ocazii, este
oprecesie regulat¸ a . Pentru a g¸ asi condit »iile init »iale care trebuie ^ ³ndeplinite pentru a se
realiza o astfel de mi» scare, se elimin¸ a factorii ®¡¯u0» si°¡±u0din ecuat »iile P(u0) = 0,
P0(u0) = 0 » si (5.145c). Rezult¸ a ^ ³n ¯nal :
Cs_Ã0¡A_Ã2
0cosµ0=Mgz c (5.159)
sau elimin^ and pe scu ajutorul lui (5.145a) :
C_'0_Ã0+ (C¡A)_Ã2
0cosµ0=Mgz c (5.160)
unde _Ã0» si _'0sunt valorile init »iale ale lui _û si _'.^In concluzie, precesia regulat¸ a ^ ³n cazul
Lagrange-Poisson este un caz particular, nu ca ^ ³n cazul Euler-Poinsot unde precesia regulat¸ a
are loc ^ ³ntotdeauna c^ and elipsoidul de inert »ie este elipsoid de revolut »ie.

II. Mecanica lagrangeean¸ a

Capitolul 6
Concepte fundamentale
Din cele prezentate p^ an¸ a acum, rezult¸ a clar limitele formalismului newtonian. Dac¸ a pen-
tru punctul material liber, sau chiar supus la leg¸ aturi, apare posibil¸ a determinarea mi» sc¸ arii,
care ^ ³n esent »¸ a este o problem¸ a de matematic¸ a, prin trecerea la studiul mi» sc¸ arii sistemelor
de puncte materiale, problema devine su¯cient de complex¸ a, datorit¸ a num¸ arului foarte mare
de necunoscute care urmeaz¸ a a ¯ determinate. Folosirea teoremelor generale poate servi la
cunoa» sterea unor propriet¸ at »i ale mi» sc¸ arii sistemului pe traiectorie, dar determinarea propriu-
zis¸ a a mi» sc¸ arii r¸ am^ ane o problem¸ a deschis¸ a, chiar ^ ³n cazul unor sisteme relativ simple. Este
evident c¸ a formalismul folosit este prea "s¸ arac", motiv pentru care dac¸ a sunt studiate pro-
bleme complexe de mi» scare a unor sisteme supuse la leg¸ aturi, f¸ ar¸ a a ie» si din limitele mecanicii
clasice stabilite de principiile Galilei-Newton, va trebui modi¯cat radical modul de abordare,
prin precizarea sau chiar rede¯nirea unor concepte de baz¸ a, ceea ce are consecint »e directe » si
asupra formalismului matematic utilizat.
6.1 Leg¸ aturi » si deplas¸ ari
Se studiaz¸ a mi» scarea unui sistem de Npuncte materiale Pi(mi;~ ri) ;i= 1; : : : ; N . Re-
zultanta tuturor fort »elor exterioare » si interioare care act »ioneaz¸ a asupra punctului Piva ¯
notat¸ a cu ~Fi. Pozit »ia ( ~ r) a sistemului la un moment dat va ¯ dat¸ a de ansamblul vectorilor
de pozit »ie : ( ~ r1;~ r2; : : : ;~ r N) , iar viteza ( _~ r) a sistemului la un moment dat va ¯ precizat¸ a de
ansamblul vectorilor vitez¸ a : ( _~ r1;_~ r2; : : : ; _~ rN) .Va ¯ numit¸ a leg¸ atur¸ a, orice restrict »ie
de natur¸ a geometric¸ a sau cinematic¸ a care se impune asupra sistemului . Dac¸ a
sistemului nu i se impune nici o restrict »ie, el va ¯ numit sistem liber , ^ ³n caz contrar el ¯ind
numit sistem cu leg¸ aturi .
Reastrict »ia ca pentru un tdat, sistemul s¸ a nu poat¸ a ocupa ^ ³n spat »iu dec^ at o pozit »ie
admis¸ a de ecuat »ia general¸ a :
f(t;~ r) = 0 adic¸ a f(t;~ r1;~ r2; : : : ;~ r N) = 0 (6.1)
va ¯ numit¸ a leg¸ atur¸ a geometric¸ a , sau ¯nit¸ a . Restrict »ia ca pentru un tdat » si o pozit »ie
dat¸ a, sistemul s¸ a nu poat¸ a avea orice vitez¸ a, ci doar o vitez¸ a admis¸ a de ecuat »ia general¸ a :
g(t;~ r;_~ r) = 0 adic¸ a f(t;~ r1; : : : ;~ r N;_~ r1; : : : ; _~ rN) = 0 (6.2)
79

80 CAPITOLUL 6. CONCEPTE FUNDAMENTALE
va ¯ numit¸ a leg¸ atur¸ a cinematic¸ a , sau diferent »ial¸ a .^In cele ce urmeaz¸ a, vor ¯ luate ^ ³n
considerare doar acele leg¸ aturi cinematice, care sunt exprimate sub forma unei dependent »e
liniare ^ ³n raport cu vitezele punctelor care alc¸ atuiesc sistemul :
NX
i=1~Ai¢_~ ri+At= 0 unde(~Ai=~Ai(t;~ r) ;i= 1; : : : ; N
At=At(t;~ r)(6.3)
Este evident c¸ a ^ ³n (6.3) nu tot »i coe¯cient »ii ~Ai;i= 1; : : : ; N pot ¯ simultan nuli, deoarece ^ ³n
caz contrar leg¸ atura ar ¯ geometric¸ a.
Se observ¸ a c¸ a orice leg¸ atura ¯nit¸ a (6.1) poate ¯ pus¸ a sub forma unei leg¸ aturi diferent »iale
liniare de forma (6.3), deoarece derivata total¸ a dup¸ a timp a ecuat »iei (6.1) se scrie :
NX
i=1@f
@~ ri¢_~ ri+@f
@t= 0 (6.4)
unde s-a f¸ acut notat »ia :
@f
@~ ri´ r if=@f
@xi~ {+@f
@yi~ |+@f
@zi~k (6.5)
Reciproca acestei a¯rmat »ii nu este ^ ³n general valabil¸ a, ^ ³ntruc^ at nu ^ ³ntotdeauna o leg¸ atur¸ a
diferent »ial¸ a poate ¯ pus¸ a sub forma unei leg¸ aturi ¯nite. Leg¸ aturile diferent »iale care pot
¯ puse sub form¸ a ¯nit¸ a sunt numite leg¸ aturi integrabile , caz ^ ³n care ^ ³ntre coe¯cient »ii
~Ai;i= 1; : : : ; N » siAttrebuie s¸ a existe relat »ii bine determinate. ^Intr-adev¸ ar, scriind (6.3)
sub forma :
NX
i=1~Aid~ ri+Atdt= 0 (6.6)
membrul st^ ang al acestei ecuat »ii va reprezenta o form¸ a diferent »ial¸ a liniar¸ a (form¸ a Pfa®) de
3N+ 1 variabile : ±¦3N+1=3N+1X
k=1Xkdxk, unde Xk=Xk(x1; : : : ; x 3N+1) ;k= 1; : : : ; 3N+ 1 .
Dac¸ a exist¸ a funct »ia ¹(x1; : : : ; x 3N+1) numit¸ a factor integrant , a» sa ^ ³nc^ at produsul acesteia
cu forma Pfa® s¸ a conduc¸ a la diferent »iala total¸ a exact¸ a a unei funct »ii ©( x1; : : : ; x 3N+1) :
d©3N+1=¹(x1; : : : ; x 3N+1)±¦3N+1 (6.7)
se spunde despre forma diferent »ial¸ a respectiv¸ a c¸ a este integrabil¸ a , sauolonom¸ a . Se » stie
din matematic¸ a c¸ a formele Pfa® de una » si dou¸ a variabile admit ^ ³ntotdeauna un factor inte-
grant, ^ ³n schimb forma Pfa® de trei variabile ±¦3=X1dx1+X2dx2+X3dx3este olonom¸ a,
numai dac¸ a este ^ ³ndeplinit¸ a condit »ia ~X¢rot~X= 0 , unde ~X=~X(X1; X2; X3) . Rezultatul
este un caz particular al teoremei lui Frobenius , care d¸ a condit »iile care trebuiesc sa-
tisf¸ acute de c¸ atre coe¯cient »ii unei forme diferent »iale liniare, a» sa ^ ³nc^ at ea s¸ a admit¸ a un factor
integrant.
Dac¸ a un sistem mecanic este supus numai la leg¸ aturi ¯nite » si leg¸ aturi diferent »iale inte-
grabile, el va ¯ numit sistem olonom (de exemplu : sistemul liber, sistemul cu leg¸ aturi
¯nite » si leg¸ aturi diferent »iale integrabile). Dac¸ a sistemul este supus » si la leg¸ aturi diferent »iale
neintegrabile, el va ¯ numit sistem neolonom .

6.1. LEG ¸ATURI S »I DEPLAS ¸ARI 81
Se » stie c¸ a leg¸ aturile pot ¯ nestat »ionare sau stat »ionare, dup¸ a cum timpul ¯gureaz¸ a sau
nu ¯gureaz¸ a explicit ^ ³n ecuat »ia leg¸ aturii. ^In cazul unei leg¸ aturi ¯nite (6.1), condit »ia ca ea
s¸ a ¯e stat »ionar¸ a se scrie :@f
@t= 0 , iar ^ ³n cazul unei leg¸ aturi diferent »iale (6.6) condit »iile de
stat »ionaritate vor ¯ :@~Ai
@t= 0 ; i= 1; : : : ; N » siAt= 0 . Un sistem material supus numai la
leg¸ aturi stat »ionare, poart¸ a numele de sistem scleronom . Dac¸ a el este supus » si la leg¸ aturi
nestat »ionare, el va ¯ numit sistem reonom .
Prezent »a leg¸ aturilor aduce ^ ³n rezolvarea problemelor de mecanic¸ a dou¸ a di¯cult¸ at »i majore.
Prima dintre ele const¸ a^ ³n aceea c¸ a nu toate coordonatele ~ ri;i= 1; : : : ; N sunt independente,
^ ³ntruc^ at ele sunt legate prin intermediul unor relat »ii date. Pentru sisteme olonome, aceste
relat »ii permit eliminarea din ecuat »iile de mi» scare a coordonatelor dependente, a» sa ^ ³nc^ at
din punct de vedere formal, problema determin¸ arii mi» sc¸ arii unui sistem olonom poate ¯
rezolvat¸ a ^ ³ntotdeauna folosind o metod¸ a general¸ a unic¸ a. Nu acela» si lucru se poate spune
despre sistemele neolonome, studiul mi» sc¸ arii acestora impun^ and ^ ³n majoritatea cazurilor o
tratare individual¸ a. A doua di¯cultate introdus¸ a de prezent »a leg¸ aturilor este legat¸ a de faptul
c¸ a react »iile leg¸ aturilor sunt apriori necunoscute. Dup¸ a cum se va vedea, di¯cultatea poate ¯
ocolit¸ a printr-o reformulare adecvat¸ a a problemei, a» sa ^ ³nc^ at ^ ³n ea s¸ a nu mai ¯gureze explicit
ca necunoscute react »iile leg¸ aturilor, ci doar ni» ste m¸ arimi legate de fort »ele efectiv aplicate
asupra sistemului, fort »e care sunt presupuse ca ¯ind date.
Presupunem c¸ a unui sistem oarecare de puncte materiale ^ ³i sunt impuse un num¸ ar n1
de leg¸ aturi geometrice independente fj(t;~ r) = 0 ; j= 1; : : : ; n 1» si un num¸ ar n2de leg¸ aturi
cinematice independente din clasa considerat¸ a :
NX
i=1@fj
@~ ri_~ ri+@fj
@t= 0 ; j= 1; : : : ; n 1
NX
i=1~Ali_~ ri+Alt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2(6.8)
unde ecuat »iile leg¸ aturilor geometrice au fost scrise sub forma echivalent¸ a diferent »ial¸ a. La
momentul t» si pentru o pozit »ie posibil¸ a a sistemului, viteza sistemului ( _~ r1; : : : ; _~ rN) va ¯ o
vitez¸ a posibil¸ a , dac¸ a ea satisface la cele n1+n2ecuat »ii liniare (6.8). Astfel, o vitez¸ a
posibil¸ a este cea compatibil¸ a cu leg¸ aturile impuse sistemului . Deoarece n1+n2<
3N, pentru orice pozit »ie posibil¸ a a sistemului la momentul t, exist¸ a o in¯nitate de viteze
posibile .^In raport cu fort »ele efective aplicate sistemului, mi» scarea real¸ a va ¯ efectuat¸ a cu
una din aceste viteze posibile.
Ansamblul :
d~ ri=_~ ridt ; i= 1; : : : ; N (6.9)
cu (_~ r1; : : : ; _~ rN) una din vitezele posibile ale sistemului, va reprezenta o deplasare posibil¸ a
(in¯nitezimal¸ a) a sistemului la momentul t, dintr-o pozit »ie posibil¸ a. Ecuat »iile care de¯nesc
deplas¸ arile posibile vor ¯ :
NX
i=1@fj
@~ rid~ ri+@fj
@tdt= 0 ; j= 1; : : : ; n 1
NX
i=1~Alid~ ri+Altdt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2(6.10)

82 CAPITOLUL 6. CONCEPTE FUNDAMENTALE
^Intuc^ at exist¸ a o in¯nitate de viteze posibile, va exista » si o in¯nitate de deplas¸ ari posibile
ale sistemului, compatibile cu leg¸ aturile.
Se consider¸ a dou¸ a deplas¸ ari posibile ale sistemului din aceea» si pozit »ie posibil¸ a » si la acela» si
moment de timp t:
d~ ri=_~ ridt
d0~ ri=_~ r0
idt; i= 1; : : : ; N (6.11)
Deoarece ambele ansambluri (d ~ r1; : : : ; d~ rN) » si (d0~ r1; : : : ; d0~ rN) satisfac la ecuat »iile (6.10),
rezult¸ a c¸ a diferent »ele :
±~ ri= d0~ ri¡d~ ri ; i= 1; : : : ; N (6.12)
vor satisface la ecuat »iile :
NX
i=1@fj
@~ ri±~ ri= 0 ; j= 1; : : : ; n 1
NX
i=1~Ali±~ ri= 0 ; l= 1; : : : ; n 2(6.13)
Ansamblul ( ±~ r1; : : : ; ±~ r N) care satisface la ecuat »iile (6.13) va constitui o deplasare virtual¸ a
a sistemului » si este evident c¸ a va exista o in¯nitate de deplas¸ ari virtuale , compatibile
cu leg¸ aturile.
Denumirea de deplasare virtual¸ a provine din faptul c¸ a cel put »in din punct de vedere
formal, ea apare ca o deplasare posibil¸ a instantanee , adic¸ a realizat¸ a ^ ³n ipoteza d t= 0 ,
dintr-o pozit »ie posibil¸ a a sistemului ^ ³ntr-o alt¸ a pozit »ie in¯nit vecin¸ a. Trebuie ^ ³ns¸ a subliniat
c¸ a de» si deplasarea virtual¸ a apare ca o deplasare care nu se face ^ ³n timp, ea depinde de timp
prin aceea c¸ a la ¯ecare moment t, sistemul de ecuat »ii (6.13) care de¯ne» ste deplasarea este
altul, coe¯cient »ii@fj
@~ ri» si~Ali¯ind ^ ³n general funct »ii de timp, cu except »ia sistemului scleronom.
Pentru sistemul scleronom (cu leg¸ aturi stat »ionare), orice deplasare virtual¸ a este
» si o deplasare posibil¸ a. A¯rmat »ia reciproc¸ a este de asemenea adev¸ arat¸ a.
Pentru a ilustra deosebirea dintre cele dou¸ a tipuri de deplas¸ ari, examin¸ am mi» scarea f¸ ar¸ a
frecare a unui punct material Ppe o suprafat »¸ a dat¸ a S.
Figura 6.1: Deplas¸ ari posibile » si deplas¸ ari virtuale
Dac¸ a suprafat »a Seste ¯x¸ a » si are ecuat »ia f(x; y; z ) = 0 , orice vector _~ r=~ vcu originea
^ ³nP» si tangent la suprafat »¸ a, va reprezenta o vitez¸ a posibil¸ a (v. Fig. 6.1.a). Conform

6.2. DETERMINAREA MIS »C ¸ARII. AXIOMA LEG ¸ATURILOR IDEALE 83
primei ecuat »ii (6.10), deoarece@f
@t= 0 , orice deplasare posibil¸ a d ~ r=~ vdtse va g¸ asi ^ ³n planul
tangent la S^ ³nP. Diferent »a ±~ r= d0~ r¡d~ ra dou¸ a astfel de deplas¸ ari va ¯ de asemenea
un vector ^ ³n planul tangent respectiv. ^In consecint »¸ a, orice variat »ie elementar¸ a a vectorului
de pozit »ie, av^ and originea ^ ³n P» si a°at¸ a ^ ³n planul tangent la suprafat »a ¯x¸ a, poate desemna
¯e o deplasare posibil¸ a d ~ r, ¯e o deplasare virtual¸ a ±~ r. Leg¸ atura ¯ind stat »ionar¸ a, deplas¸ arile
posibile coincid cu deplas¸ arile virtuale.
Dac¸ a ^ ³ns¸ a suprafat »a Seste mobil¸ a, ea deplas^ andu-se cu viteza de translat »ie ~ u(v. Fig.
6.1.b), atunci o vitez¸ a posibil¸ a a punctului Pla un moment teste~ v=~ vr+~ u, unde ~ vreste
viteza relativ¸ a a punctului fat »¸ a de suprafat »a S, aceasta ¯ind ^ ³n planul tangent la suprafat »¸ a
^ ³nP. Deplasarea posibil¸ a corespunz¸ atoare va ¯ d ~ r= (~ vr+~ u)dt» si cu certitudine ea nu
se g¸ ase» ste ^ ³n planul tangent. O alt¸ a deplasare posibil¸ a se va face cu o alt¸ a vitez¸ a relativ¸ a :
d0~ r= (~ v0
r+~ u)dt, a» sa ^ ³nc^ at o deplasare virtual¸ a va ¯ ±~ r= d0~ r¡d~ r= (~ v0
r¡~ vr)dt. Aceasta
va ¯ un vector ^ ³n planul tangent ^ ³n Pla momentul t:@f
@~ r±~ r= 0 , de» si deplas¸ arile posibile
d~ r=~ vdt» si d0~ r=~ v0dtnu se g¸ asesc ^ ³n acest plan.
6.2 Determinarea mi» sc¸ arii. Axioma leg¸ aturilor ideale
^In ceea ce prive» ste problema determin¸ arii mi» sc¸ arii unui sistem de puncte materiale
Pi(mi;~ ri) ;i= 1; : : : ; N ^ ³n absent »a leg¸ aturilor, ¯ecare punct al sistemului se va deplasa
conform ecuat »iei :
mi~ ai=~Fi ; i= 1; : : : ; N (6.14)
unde ~Fieste rezultanta fort »elor exterioare » si interioare care act »ioneaz¸ a ^ ³n Pi.^In prezent »a
leg¸ aturilor, accelerat »iile ~ ai=1
mi~Fi;i= 1; : : : ; N pot ¯ incompatibile cu leg¸ aturile impuse,
deoarece este put »in probabil ca ele s¸ a satisfac¸ a la ecuat »iile obt »inute prin derivarea relat »iilor
(6.8) :
NX
i=1@fj
@~ ri¢~ ai+NX
i=1d
dtÃ@fj
@~ ri!
¢~ vi+d
dtÃ@fj
@t!
= 0 ; j= 1; : : : ; n 1
NX
i=1~Ali¢~ ai+NX
i=1d~Ali
dt¢~ vi+dAlt
dt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2(6.15)
Acestea sunt constr^ angeri asupra accelerat »iilor, impuse de leg¸ aturile sistemului. De aceea se
poate considera c¸ a prezent »a leg¸ aturilor se manifest¸ a prin intervent »ia unor fort »e suplimentare
~Ri, apriori necunoscute, numite react »iile leg¸ aturilor , a» sa ^ ³nc^ at sub act »iunea fort »elor date
~Fi» si a react »iilor leg¸ aturilor ~Ri, punctele sistemului s¸ a se mi» ste astfel, ^ ³nc^ at accelerat »iile
determinate din ecuat »iile
mi~ ai=~Fi+~Ri ; i= 1; : : : ; N (6.16)
s¸ a ¯e compatibile cu leg¸ aturile (6.15). Se admite c¸ a fort »ele ~Fi, numite fort »e efective , sunt
funct »ii date de timp, pozit »ia » si viteza sistemului : ~Fi(t;~ r1; : : : ;~ r N;_~ r1; : : : ; _~ rN) ;i= 1; : : : ; N .
Problema fundamental¸ a a dinamicii sistemelor cu leg¸ aturi const¸ a ^ ³n urm¸ atoarele :
¯ind date fort »ele efective ~Fi=~Fi(t;~ r;_~ r) ;i= 1; : : : ; N , pozit »ia init »ial¸ a ~ r0
i» si viteza

84 CAPITOLUL 6. CONCEPTE FUNDAMENTALE
init »ial¸ a ~ v0
ia ¯ec¸ arui punct i= 1; : : : ; N a sistemului, compatibile cu leg¸ aturile, se
cere s¸ a se determine mi» scarea sistemului » si react »iile leg¸ aturilor .
Se observ¸ a c¸ a num¸ arul total de necunoscute ale problemei : ~ ri(t);~Ri(t) ;i= 1; : : : ; N
este 6 N, iar num¸ arul ecuat »iilor avute la dispozit »ie (6.8) » si (6.16) este 3 N+n1+n2<6N.
C^ at timp nu se face o ipotez¸ a asupra naturii leg¸ aturilor, care s¸ a furnizeze restul de
n= 6N¡(3N+n1+n2) = 3 N¡n1¡n2 (6.17)
ecuat »ii de care este nevoie, problema apare ca ¯ind nedeterminat¸ a. Aceste ecuat »ii pot ¯
obt »inute dac¸ a ne limit¸ am la clasa leg¸ aturilor ideale , anume a leg¸ aturilor pentru care
suma lucrurilor mecanice ale react »iilor leg¸ aturilor este nul¸ a, pentru orice depla-
sare virtual¸ a a sistemului, compatibil¸ a cu leg¸ aturile :
NX
i=1~Ri±~ ri= 0 (6.18)
Mecanica analitic¸ a se limiteaz¸ a doar la studiul aceastei clase de leg¸ aturi, relat »ia (6.18) ¯ind
cunoscut¸ a » si sub numele de axioma leg¸ aturilor ideale .
Condit »ia (6.18) este su¯cient¸ a pentru a furniza cele necuat »ii scalare de care mai avem
nevoie pentru determinarea mi» sc¸ arii » si a leg¸ aturilor. ^Intr-adev¸ ar, din sistemul (6.13) la care
satisfac deplas¸ arile virtuale, pot ¯ determinate un num¸ ar de n1+n2deplas¸ ari dependente
de forma : : : ; ±x i; ±yi; ±zi; : : :^ ³n funct »ie de celelalte n= 3N¡n1¡n2deplas¸ ari de aceea» si
form¸ a general¸ a, notate cu ±q1; : : : ; ±q n, care r¸ am^ an arbitrare. ^Introduc^ and aceste m¸ arimi
^ ³n (6.18) » si grup^ and termenii astfel ^ ³nc^ at s¸ a se poat¸ a scrie suma sub formanX
k=1R0
k±qk= 0 ,
deoarece variat »iile ±qk;k= 1; : : : ; n sunt independente, va trebui ca tot »i coe¯cient »ii R0
k;k=
1; : : : ; n s¸ a se anuleze simultan. Deoarece ace» sti ncoe¯cient »i cont »in obligator necunoscutele
problemei, au rezultat astfel cele necuat »ii scalare de care mai era nevoie, pentru ca problema
fundamental¸ a a dinamicii sistemelor cu leg¸ aturi s¸ a ¯e complet determinat¸ a.
Ca exemple de leg¸ aturi ideale amintim : mi» scarea f¸ ar¸ a frecare a unui punct material
pe o suprafat »¸ a ¯x¸ a, mobil¸ a, sau deformabil¸ a ; mi» scarea f¸ ar¸ a frecare a unui punct material
pe o curb¸ a ¯x¸ a, mobil¸ a, sau deformbil¸ a ; rigidul liber ; rigidul cu punct ¯x ; rigidul cu ax¸ a
¯x¸ a ; mi» scarea rigidului f¸ ar¸ a frecare pe o suprafat »¸ a ¯x¸ a sau mobil¸ a. ^In general conceptul
de leg¸ atur¸ a ideal¸ a este aproape universal aplicabil, cu except »ia situat »iilor ^ ³n care intervine
frecarea.
6.3 Ecuat »ia general¸ a a dinamicii
Prin ^ ³nlocuirea ^ ³n axioma leg¸ aturilor ideale (6.18) a react »iilor leg¸ aturilor care se obt »in din
ecuat »iile de mi» scare (6.16), rezult¸ a o ecuat »ie independent¸ a de react »iuni :
NX
i=1³~Fi¡mi~ ai´
±~ ri= 0 (6.19)
Ecuat »ia (6.19) poart¸ a numele de ecuat »ia general¸ a a dinamicii , sauecuat »ia d'Alembert-
Lagrange . Ea exprim¸ a faptul c¸ a mi» scarea sistemului material se face astfel, ^ ³nc^ at ^ ³n

6.3. ECUAT »IA GENERAL ¸A A DINAMICII 85
orice moment » si pentru orice pozit »ie compatibil¸ a cu leg¸ aturile, este ^ ³ndeplinit¸ a
ecuat »ia (6.19), oricare ar ¯ deplasarea virtual¸ a a sistemului compatibil¸ a cu
leg¸ aturile . Deoarece vectorul ¡mi~ aia fost interpretat ca fort »¸ a de inert »ie, enunt »ul poate
¯ reformulat » si ^ ³n sensul c¸ a : mi» scarea sistemului material se face astfel, ^ ³nc^ at ^ ³n
orice moment » si pentru orice pozit »ie compatibil¸ a cu leg¸ aturile, suma dintre lu-
crul mecanic al fort »elor active » si cel al fort »elor de inert »ie este nul¸ a, pentru orice
deplasare virtual¸ a a sistemului compatibil¸ a cu leg¸ aturile .
Forma concret¸ a a ecuat »iilor de mi» scare pentru sistemele cu leg¸ aturi, precum » si expresiile
react »iilor leg¸ aturilor, pot ¯ obt »inute folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange .
Observ^ and c¸ a deplas¸ arile ±~ ridin ecuat »ia (6.19) nu sunt toate arbitrare, ele trebuind s¸ a
satisfac¸ a la un num¸ ar de n1+n2ecuat »ii de forma :
NX
i=1@fj
@~ ri±~ ri= 0 ; j= 1; : : : ; n 1
NX
i=1~Ali±~ ri= 0 ; l= 1; : : : ; n 2(6.20)
¯ecare ecuat »ie din primul grup va ¯ ^ ³nmult »it¸ a cu un multiplicator ¸j, ecuat »iile rezultate
urm^ and a ¯ ^ ³nsumate dup¸ a toate valorile lui j, iar ¯ecare ecuat »ie din cel de al doilea grup va
¯ ^ ³nmult »it¸ a cu un multiplicator ¹l, ecuat »iile rezultate ¯ind apoi ^ ³nsumate dup¸ a toate valorile
luil. Intervertind » si ordinea sum¸ arilor, vor rezulta expresiile :
NX
i=10
@n1X
j=1¸j@fj
@~ ri1
A±~ ri= 0 ;NX
i=1Ãn2X
l=1¹l~Ali!
±~ ri= 0 (6.21)
care adunate la ecuat »ia (6.19) conduc la identitatea :
NX
i=10
@¡mi~ ai+~Fi+n1X
j=1¸j@fj
@~ ri+n2X
l=1¹l~Ali1
A±~ ri= 0 (6.22)
Folosind ecuat »iile (6.20) pot ¯ exprimate un num¸ ar de n1+n2deplas¸ ari dependente de
forma : : : ; ±x i; ±yi; ±zi: : :^ ³n funct »ie de celelalte n= 3N¡n1¡n2deplas¸ ari considerate inde-
pendente » si notate cu ±q1: : : ; ±q n. Impun^ and condit »ia ca cei n1+n2multiplicatori ¸j» si¹l
s¸ a ¯e determinat »ii din cele n1+n2ecuat »ii care rezult¸ a prin anularea coe¯cient »ilor deplas¸ arilor
dependente , ^ ³n suma (6.22) vor r¸ am^ ane ntermeni av^ and forma unor produse dintre ni» ste
coe¯cient »i » si deplas¸ arile independente . Pentru ca identitatea s¸ a r¸ am^ an¸ a satisf¸ acut¸ a ^ ³n con-
tinuare, vor trebui s¸ a se anuleze simultan cei ncoe¯cient »i ai deplas¸ arilor independente .^In
concluzie, multiplicatorii ¸j;j= 1; : : : ; n 1» si¹l;l= 1; : : : ; n 2pot ¯ ^ ³ntotdeauna astfel
ale» si, ^ ³nc^ at coe¯cient »ii din suma (6.22) s¸ a se anuleze simultan . Rezult¸ a sistemul de
Necuat »ii vectoriale :
mi~ ai=~Fi+n1X
j=1¸j@fj
@~ ri+n2X
l=1¹l~Ali ; i= 1; : : : ; N (6.23)
Acestea reprezint¸ a ecuat »iile Lagrange de spet »a I-a cu multiplicatori .^In coordonate
carteziene, ecuat »iile (6.23) sunt echivalente cu urm¸ atorul sistem de 3 Necuat »ii scalare pentru

86 CAPITOLUL 6. CONCEPTE FUNDAMENTALE
determinarea mi» sc¸ arii sistemului material :
miÄxi=Fix+n1X
j=1¸j@fj
@xi+n2X
l=1¹lAlix
miÄyi=Fiy+n1X
j=1¸j@fj
@yi+n2X
l=1¹lAliy ; i= 1; : : : ; N
miÄzi=Fiz+n1X
j=1¸j@fj
@zi+n2X
l=1¹lAliz(6.24)
Ecuat »iile Lagrange de spet »a I-a, ^ ³mpreun¸ a cu ecuat »iile leg¸ aturilor
fj(t;~ r1; : : : ;~ r N) = 0 ; j= 1; : : : ; n 1
NX
i=1~Ali_~ ri+Alt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2(6.25)
furnizeaz¸ a cele 3 N+n1+n2ecuat »ii pentru determinarea necunoscutelor probemei : funct »iile
xi; yi; zi;i= 1; : : : ; N » si multiplicatorii Lagrange ¸j;j= 1; : : : ; n 1» si¹l;l= 1; : : : ; n 2.
React »iile leg¸ aturilor pot ¯ apoi determinate folosind direct ecuat »iile de mi» scare (6.16) :
~Ri=n1X
j=1¸j@fj
@~ ri+n2X
l=1¹l~Ali ; i= 1; : : : ; N (6.26)
De» si metoda descris¸ a este destul de greoaie, ea are avantajul c¸ a este aplicabil¸ a at^ at la
sisteme olonome, c^ at » si la cele neolonome. ^In cazul sistemelor olonome, di¯cultatea legat¸ a de
faptul c¸ a nu toate coordonatele sistemului sunt independente, poate ¯ evitat¸ a prin folosirea
coordonatelor generalizate, alese astfel ca ecuat »iile leg¸ aturilor s¸ a ¯e automat satisf¸ acute.
6.3.1 Principiul deplas¸ arilor virtuale
Folosind ecuat »ia general¸ a a dinamicii poate ¯ obt »inut¸ a u» sor expresia condit »iei de
echilibru a unui sistem material supus la leg¸ aturi . Reamintim c¸ a sistemul material
Pi(mi;~ ri) ;i= 1; : : : ; N este ^ ³n echilibru ^ ³ntr-o pozit »ie oarecare ( ~ r0
1; : : : ;~ r0
N) , dac¸ a ~ ri(t) =
~ r0
i;i= 1; : : : ; N este o solut »ie a ecuat »iilor de mi» scare pentru t¸t0. Conform acestei
de¯nit »ii, f¸ ac^ and ~ ai= 0 ; i= 1; : : : ; N ^ ³n ecuat »ia d'Alembert-Lagrange, rezult¸ a c¸ a ^ ³n pozit »ia
de echilibru va trebui ca :
NX
i=1~Fi±~ ri= 0 (6.27)
Deci, sistemul material este ^ ³n echilibru ^ ³ntr-o pozit »ie compatibil¸ a cu leg¸ aturile,
dac¸ a » si numai dac¸ a ^ ³n acea pozit »ie este satisf¸ acut¸ a ecuat »ia (6.27), oricare ar
¯ deplasarea virtual¸ a compatibil¸ a cu leg¸ aturile a sistemului . Deoarece ^ ³n general
~Fi=~Fi(t;~ r1; : : : ;~ r N;_~ r1; : : : ; _~ rN) ;i= 1; : : : ; N , ecuat »ia (6.27) este adev¸ arat¸ a pentru orice
valoare a lui t, dac¸ a ^ ³n expresiile pentru fort »ele efective se fac ^ ³nlocuirile ~ ri=~ r0
i;_~ ri= 0 ; i=
1; : : : ; N . Cu aceast¸ a precizare, ecuat »ia (6.27) determin¸ a care din pozit »iile admise de leg¸ aturi
corespunde pozit »iei de echilibru a sistemului.

6.3. ECUAT »IA GENERAL ¸A A DINAMICII 87
Dac¸ a leg¸ aturile sunt stat »ionare, formularea "compatibil¸ a cu leg¸ aturile" se traduce prin
aceea c¸ a pozit »ia sistemului satisface leg¸ aturile ¯nite, leg¸ aturile diferent »iale ¯ind automat
satisf¸ acute deoarece _~ ri= 0 ; i= 1; : : : ; N . Dac¸ a leg¸ aturile sunt nestat »ionare, atunci aceea» si
formulare se traduce prin aceea c¸ a leg¸ aturile sunt satisf¸ acute pentru orice valoare a lui t,
dac¸ a ^ ³n ele se fac ^ ³nlocuirile ~ ri=~ r0
i;_~ ri= 0 ; i= 1; : : : ; N . De remarcat c¸ a ^ ³n aceast¸ a
situat »ie, deplasarea virtual¸ a a sistemului poate s¸ a depind¸ a de timp.
Ecuat »ia (6.27) este cunoscut¸ a » si sub numele de principiul deplas¸ arilor virtuale , sau
principiul lucrului mecanic virtual . Acesta reprezint¸ a principiul cel mai general al
staticii analitice » si se enunt »¸ a dup¸ a cum urmeaz¸ a : pentru ca o pozit »ie a unui sistem
material compatibil¸ a cu leg¸ aturile, s¸ a ¯e o pozit »ie de echilibru, este necesar
» si su¯cient s¸ a ¯e nul lucrul mecanic al fort »elor efective la o deplasare virtual¸ a
compatibil¸ a cu leg¸ aturile a sistemului .
^In ^ ³ncheiere s¸ a observ¸ am c¸ a ecuat »ia general¸ a a dinamicii poate ¯ privit¸ a ca o ecuat »ie care
exprim¸ a principiul deplas¸ arilor virtuale » si caracterizeaz¸ a o pozit »ie momentan¸ a de echilibru,
dac¸ a s-ar admite c¸ a la fort »ele efective ~Fise adaug¸ a fort »ele de inert »ie ¡mi~ ai;i= 1; : : : ; N .
Cu notat »ia :
~©i=~Fi¡mi~ ai ; i= 1; : : : ; N (6.28)
principiul deplas¸ arilor virtuale devine :
NX
i=1~©i±~ ri= 0 (6.29)
ceea ce nu reprezint¸ a altceva dec^ at ecuat »ia (6.19). Pe baza acestei observat »ii poate ¯ enunt »at
principiul lui d'Alembert , care a¯rm¸ a c¸ a orice pozit »ie a unui sistem material ^ ³n
mi» scare, poate ¯ privit¸ a ca o pozit »ie de echilibru, dac¸ a la fort »ele efective aplicate
^ ³n aceast¸ a pozit »ie se adaug¸ a fort »ele ¯ctive de inert »ie . Principiul lui d'Alembert per-
mite extinderea metodelor de rezolvare ale problemelor de static¸ a, la probleme de dinamic¸ a.

Capitolul 7
Sisteme olonome
7.1 Coordonate generalizate. Spat »iul con¯gurat »iilor
Admitem c¸ a sistemul de puncte materiale Pi(mi;~ ri) ;i= 1; : : : ; N este supus numai la
leg¸ aturi ¯nite » si la leg¸ aturi diferent »iale integrabile. Determin^ and pentru ¯ecare din acestea
din urm¸ a factorul integrant corespunz¸ ator » si aduc^ andu-le la forma ¯nit¸ a prin integrare,
sistemului ^ ³i sunt impuse numai leg¸ aturi de forma :
fj(t;~ r1; : : : ;~ r N) = 0 ; j= 1; : : : ; n 1 (7.1)
Aceste leg¸ aturi ¯ind independente, ^ ³n baza teoremei funct »iilor implicite, pot ¯ eliminate un
num¸ ar de n1coordonate din num¸ arul total de 3 N, rezult^ and pe aceast¸ a cale doar n= 3N¡n1
coordonate independente, num¸ arul acestora ¯ind egal cu num¸ arul gradelor de libertate ale
sistemului.
Eliminarea coordonatelor dependente poate ¯ realizat¸ a » si ^ ³n alt mod, presupun^ and c¸ a pot
¯ de¯nite n= 3N¡n1variabile independente, notate prin q1; : : : ; q n, a» sa ^ ³nc^ at coordonatele
~ r1; : : : ;~ r Ns¸ a poat¸ a ¯ exprimate prin intermediul acestor variabile :
~ ri=~ ri(t; q1; : : : ; q n) ; i= 1; : : : ; N (7.2)
Setul de nvariabile independente, al c¸ aror num¸ ar coincide cu num¸ arul gradelor de libertate,
este ales astfel ^ ³nc^ at prin introducerea funct »iilor (7.2) ^ ³n (7.1), leg¸ aturile s¸ a ¯e satisf¸ acute
automat, sistemul de ecuat »ii (7.1) reduc^ andu-se la ni» ste identit¸ at »i. Din acest punct de vedere,
ecuat »iile (7.2) pot ¯ privite ca ni» ste ecuat »ii de transformare de la variabilele ~ r1; : : : ;~ r Nla
variabilele q1; : : : ; q n. Se veri¯c¸ a direct c¸ a ^ ³n coordonatele sferice µ» si', restrict »ia ca un
punct s¸ a nu p¸ ar¸ aseasc¸ a o sfer¸ a ¯x¸ a x2+y2+z2¡R2= 0 , se reduce la o identitate ^ ³n urma
transform¸ arilor x=Rsinµcos',y=Rsinµsin',z=Rcosµ.
Coordonatele qk;k= 1; : : : ; n sunt numite coordonate Lagrange , sau coordonate
generalizate ale sistemului olonom. Mult »imea valorilor pe care aceste coordonate le pot
parcurge vor de¯ni un spat »iu n-dimensional, numit spat »iul con¯gurat »iilor , sauspat »iul lui
Lagrange ¤n. La un moment dat, unei pozit »ii ( ~ r1; : : : ;~ r N), compatibil¸ a cu leg¸ aturile, a sis-
temului ^ ³n spat »iul ¯zic, ^ ³i va corespunde un punct ¯gurativ av^ and coordonatele ( q1; : : : ; q n)
^ ³n spat »iul con¯gurat »iilor » si invers. Atunci c^ and timpul tvariaz¸ a continuu ^ ³ntr-un interval
¯nit, ansamblului de traiectorii descrise de punctele sistemului ^ ³n spat »iul ¯zic ^ ³ntre dou¸ a st¸ ari
88

7.1. COORDONATE GENERALIZATE. SPAT »IUL CONFIGURAT »IILOR 89
(1) » si (2) , ^ ³i va corespunde ^ ³n spat »iul con¯gurat »iilor ¤ no traiectorie care trece prin punc-
tele ¯gurative av^ and coordonatele ( q(1)
1; : : : ; q(1)
n) » si ( q(2)
1; : : : ; q(2)
n) (v. Fig. 7.1). Mi» scarea
sistemului ^ ³n spat »iul lui Lagrange va ¯ descris¸ a de ecuat »iile :
qk=qk(t) ; k= 1; : : : ; n (7.3)
care reprezint¸ a ecuat »iile parametrice ale traiectoriei punctului ¯gurativ ^ ³n spat »iul
con¯gurat »iilor ¤n.
Figura 7.1: Spat »iul ¯zic » si spat »iul con¯gurat »iilor
Corespondent »a (7.2) poate ¯ extins¸ a la toate elementele mi» sc¸ arii. Unei deplas¸ ari posibile
d~ ri=_~ ridt;i= 1; : : : ; N a sistemului ^ ³n spat »iul ¯zic, ^ ³i va corespunde o deplasare posibil¸ a
dqk= _qkdt;k= 1; : : : ; n ^ ³n spat »iul ¤ n, cele dou¸ a deplas¸ ari ¯ind legate de relat »iile :
d~ ri=nX
k=1@~ ri
@qkdqk+@~ ri
@tdt ; i= 1; : : : ; N (7.4)
^In cazul deplas¸ arilor virtuale, relat »iile dintre acestea vor ¯ :
±~ ri=nX
k=1@~ ri
@qk±qk ; i= 1; : : : ; N (7.5)
Din (7.4) rezult¸ a c¸ a vitezele ~ vi=_~ ri;i= 1; : : : ; N ^ ³n spat »iul ¯zic, sunt liniar dependente de
vitezele _ qk;k= 1; : : : ; n din ¤ n:
_~ ri=nX
k=1@~ ri
@qk_qk+@~ ri
@t; i= 1; : : : ; N (7.6)
Lucrul mecanic elementar al fort »elor efective la o deplasare virtual¸ a a sistemului, va ¯
dat de expresia :
±L=NX
i=1~Fi±~ ri=NX
i=1~Fi¢nX
k=1@~ ri
@qk±qk=nX
k=1ÃNX
i=1~Fi@~ ri
@qk!
±qk=nX
k=1Qk±qk (7.7)
unde s-a f¸ acut notat »ia :
Qk=NX
i=1~Fi@~ ri
@qk; k= 1; : : : ; n (7.8)

90 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME
M¸ arimile Qk;k= 1; : : : ; n vor reprezenta coordonatele fort »ei generalizate . Trebuie
observat c¸ a coordonatele generalizate nu au neap¸ arat dimensiunea unei lungimi, a» sa^ ³nc^ at nici
coordonatele fort »ei generalizate nu vor avea obligator dimensiunea de fort »¸ a, ^ ³ns¸ a produsele
de forma Qk±qkvor avea ^ ³ntotdeauna dimensiunea unui lucru mecanic. De exemplu, dac¸ a
qkeste o coordonat¸ a unghiular¸ a care descrie rotat »ia ^ ³n jurul unei axe, Qkva reprezenta
momentul fort »elor efective ^ ³n raport cu axa respectiv¸ a.
^In ^ ³ncheiere s¸ a observ¸ am c¸ a ^ ³n spat »iul con¯gurat »iilor ¤ n, principiul lucrului mecanic
virtual a¯rm¸ a c¸ a ^ ³n pozit »ia de echilibru a sistemului, va trebui ca :
nX
k=1Qk±qk= 0 (7.9)
oricare ar ¯ deplasarea virtual¸ a compatibil¸ a cu leg¸ aturile. Deoarece ^ ³ntr-o pozit »ie oare-
care, deplasarea virtual¸ a satisface leg¸ aturile pentru o alegere arbitrar¸ a a variat »iilor ±qk;k=
1; : : : ; n , pozit »ia de echilibru a sistemului ^ ³n ¤ nva ¯ de¯nit¸ a de ecuat »iile :
Qk= 0 ; k= 1; : : : ; n (7.10)
^In consecint »¸ a pozit »ia unui sistem olonom este o pozit »ie de echilibru, dac¸ a » si numai
dac¸ a, ^ ³n pozit »ia respectiv¸ a toate coordonatele fort »ei generalizate sunt nule .
7.2 Ecuat »iile Lagrange pentru sisteme olonome
Pentru a deduce ecuat »iile de mi» scare ale unui sistem olonom ^ ³n spat »iul con¯gurat »iilor ¤ n,
se porne» ste de la ecuat »ia general¸ a a dinamicii :
NX
i=1³~Fi¡mi~ ai´
±~ ri= 0 (7.11)
Observ^ and c¸ aNX
i=1~Fi±~ ri=nX
k=1Qk±qk, pentru cea de a doua sum¸ a din (7.11) va putea ¯ scris¸ a
relat »ia :
NX
i=1mi~ ai±~ ri=nX
k=1Zk±qk (7.12)
unde, prin analogie cu (7.8), ^ ³n membrul drept vor ¯ evaluate expresiile :
Zk=NX
i=1miÄ~ ri@~ ri
@qk=NX
i=1mid_~ ri
dt@~ ri
@qk=d
dtÃNX
i=1mi_~ ri@~ ri
@qk!
¡NX
i=1mi_~ rid
dtÃ@~ ri
@qk!
;k= 1; : : : ; n
(7.13)
T »in^ and cont de relat »iile liniare (7.6), se poate scrie direct :
@~ ri
@qk=@_~ ri
@_qk;i= 1; : : : ; N
k= 1; : : : ; n(7.14)

7.2. ECUAT »IILE LAGRANGE PENTRU SISTEME OLONOME 91
Pe de alt¸ a parte, utiliz^ and acelea» si relat »ii, rezult¸ a :
d
dtÃ@~ ri
@qk!
=nX
j=1@2~ ri
@qj@qk_qj+@2~ ri
@t@q k=@_~ ri
@qk;i= 1; : : : ; N
k= 1; : : : ; n(7.15)
Folosind aceste propriet¸ at »i, expresia (7.13) devine :
Zk=d
dtÃNX
i=1mi_~ ri@_~ ri
@_qk!
¡NX
i=1mi_~ ri@_~ ri
@qk=d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk; k= 1; : : : ; n (7.16)
deoarece ^ ³nlocuind (7.6) ^ ³n de¯nit »ia T=1
2NX
i=1mi_~ r2
i, va rezulta formal c¸ a T=T(t; q;_q) .
^Inlocuind toate aceste rezultate ^ ³n (7.11), ecuat »ia general¸ a a dinamicii ^ ³n spat »iul ¤ n
devine :nX
k=1("d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk#
¡Qk)
±qk= 0 (7.17)
Deoarece deplas¸ arile ±qk;k= 1; : : : ; n sunt arbitrare, egalitatea este satisf¸ acut¸ a doar
dac¸ a tot »i coe¯cient »ii variat »iilor respective se anuleaz¸ a simultan. ^In concluzie, ^ ³n spat »iul
con¯gurat »iilor ¤ necuat »ia general¸ a a dinamicii este echivalent¸ a cu sistemul de ecuat »ii :
d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk=Qk ; k= 1; : : : ; n (7.18)
Acestea sunt ecuat »iile de mi» scare ale sistemului olonom ^ ³n ¤ n, ele ¯ind numite » si ecuat »iile
Lagrange de spet »a a II-a . M¸ arimile _ qk;k= 1; : : : ; n sunt numite viteze generalizate
» si ^ ³n mod analog m¸ arimile Ä qk;k= 1; : : : ; n sunt numite accelerat »ii generalizate .
Ecuat »iile Lagrange pentru sisteme olonome constituie un sistem de necuat »ii diferent »iale
de ordinul doi pentru funct »iile necunoscute qk=qk(t) ;k= 1; : : : ; n . Pentru a veri¯ca
aceast¸ a a¯rmat »ie, se porne» ste de la observat »ia c¸ a energia cinetic¸ a a sistemului ^ ³n ¤ nare
expresia :
T=1
2NX
i=1mi_~ r2
i=1
2NX
i=1miÃnX
k=1@~ ri
@qk_qk+@~ ri
@t!0
@nX
j=1@~ ri
@qj_qj+@~ ri
@t1
A=
=1
2nX
k;j=1akj_qk_qj+nX
k=1ak_qk+a0 (7.19)
unde coe¯cient »ii
akj=NX
i=1mi@~ ri
@qk@~ ri
@qj;ak=NX
i=1mi@~ ri
@qk@~ ri
@t;a0=1
2NX
i=1miÃ@~ ri
@t!2
(7.20)
sunt ^ ³n general funct »ii de timpul t» si de coordonatele generalizate q1; : : : ; q n. Energia cinetic¸ a
(7.19) mai poate ¯ scris¸ a formal :
T=T2+T1+T0 (7.21)

92 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME
unde T2este o form¸ a p¸ atratic¸ a ^ ³n vitezele generalizate, T1este o form¸ a liniar¸ a de aceste
viteze, iar T0este o form¸ a de grad zero ^ ³n raport cu variabilele respective, expresiile
acestor termeni obt »in^ andu-se prin identi¯care.
^In cazul unui sistem scleronom , timpul nu poate interveni explicit ^ ³n relat »iile (7.2)
dintre coordonatele ^ ³n spat »iul ¯zic » si coordonatele generalizate, adic¸ a@~ ri
@t= 0 ; i= 1; : : : ; N .
Atunci, conform de¯nit »iilor (7.20) va trebui ca a0= 0 » si ak= 0 ; k= 1; : : : ; n , ceea ce are
drept consecint »¸ a faptul c¸ a T0=T1= 0,. ^In consecint »¸ a, energia cinetic¸ a a unui sistem
scleronom se reduce la forma p¸ atratic¸ a :
T=T2=1
2nX
k;j=1akj_qk_qj=1
2nX
k;j=1ÃNX
i=1mi@~ ri
@qk@~ ri
@qj!
_qk_qj (7.22)
Se observ¸ a c¸ a forma p¸ atratic¸ a T2^ ³n vitezele generalizate este ^ ³ntotdeauna pozitiv de¯-
nit¸ a, aceasta put^ and ¯ scris¸ a » si sub forma :
T2=1
2NX
i=1miÃnX
k=1@~ ri
@qk_qk!2
¸0 (7.23)
^In ¯ne, o proprietate foarte util¸ a ^ ³n aplicat »ii este aceea c¸ a determinantul matricei A,
construit¸ a pe coe¯cient »ii formei p¸ atratice T2, este ^ ³ntotdeauna diferit de zero :
detA= det ( akj)6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (7.24)
^In baza acestei propriet¸ at »i se poate ar¸ ata c¸ a ecuat »iile Lagrange (7.18) de¯nesc ^ ³n
mod unic mi» scarea sistemului , ¯ind date valorile la momentul init »ial ale coordonatelor
» si vitezelor generalizate. Deoarece din (7.19) rezult¸ a c¸ a :
@T
@_qk=nX
j=1akj_qj+ak ; k= 1; : : : ; n (7.25)
derivata total¸ a dup¸ a timp va avea expresia :
d
dtÃ@T
@_qk!
=nX
j=1akjÄqj+nX
j=1_akj_qj+ _ak ; k= 1; : : : ; n (7.26)
Pe de alt¸ a parte termenii@T
@qk» siQkdin ecuat »iile Lagrange (7.18) nu cont »in explicit
accelerat »iile generalizate, ei ¯ind funct »ii doar de timp, coordonate » si viteze generalizate.
Grup^ and ^ ³mpreun¸ a tot »i termenii care nu cont »in accelerat »ii, ecuat »iile Lagrange de spet »a a
II-a pot ¯ scrise formal :
nX
j=1akjÄqj=»
Qk(t; q;_q) ; k= 1; : : : ; n (7.27)
Conform propriet¸ at »ii (7.24), sistemul poate ¯ rezolvat ^ ³n raport cu accelerat »iile generalizate
qk;k= 1; : : : ; n » si adus la forma general¸ a :
Äqk=¼
Qk(t; q;_q) ; k= 1; : : : ; n (7.28)

7.3. TEOREMA ENERGIEI. FORT »E POTENT »IALE S »I NEPOTENT »IALE 93
Admit »^ and c¸ a funct »iile Qk=Qk(t; q;_q) sunt date » si indeplinesc condit »iile cunoscute de conti-
nuitate, solut »ia sistemului (7.28) exist¸ a » si este unic¸ a. Dac¸ a la momentul init »ial t=t0se » stie
c¸ a :
qk(t0) =q0
k, _qk(t0) = _q0
k ; k= 1; : : : ; n (7.29)
solut »ia sistemului (7.28) are forma general¸ a :
qk=qk(t; t0; q0
1; : : : ; q0
n;_q0
1; : : : ; _q0
n) ; k= 1; : : : ; n (7.30)
ceea ce reprezint¸ a ecuat »iile parametrice ale traiectoriei punctului ¯gurativ al sistemului ^ ³n
spat »iul con¯gurat »iilor ¤ n.^In continuare, dac¸ a problema o cere, folosind relat »iile (7.2) poate
¯ determinat¸ a mi» scarea sistemului ^ ³n spat »iul ¯zic : ~ ri=~ ri(t) ;i= 1; : : : ; N . React »iile
leg¸ aturilor, care nu ¯gureaz¸ a explicit ^ ³n ecuat »iile Lagrange, pot ¯ determinate din ecuat »iile
~Ri=mi~ ai¡~Fi;i= 1; : : : ; N , unde accelerat »iile se calculeaz¸ a u» sor ¯ind deja cunoscut¸ a
mi» scarea ^ ³n spat »iul ¯zic.
Ecuat »iile Lagrange au un caracter intrinsec , adic¸ a forma lor nu depinde de alegerea
setului de coordonate generalizate ( q1; : : : ; q n) folosite pentru descrierea mi» sc¸ arii sistemului.
Dac¸ a pentru studiul mi» sc¸ arii sistemului este ales setul de coordonate ( q0
1; : : : ; q0
n) a°at ^ ³n
corespondent »¸ a biunivoc¸ a cu vechiul set de coordonate :
qk=qk(t; q0
1; : : : ; q0
n) , detÃ@qk
@q0
j!
6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (7.31)
atunci ^ ³n noile coordonate, ecuat »iile Lagrange au forma general¸ a :
d
dtÃ@T0
@_q0
k!
¡@T0
@q0
k=Q0
k ; k= 1; : : : ; n (7.32)
unde T0=T0(t; q0;_q0) » siQ0
k=Q0
k(t; q0;_q0) ;k= 1; : : : ; n . Se spune c¸ a forma ecuat »iilor
Lagrange de spet »a a II-a este invariant¸ a ^ ³n raport cu alegerea setului de coordonate gene-
ralizate, folosit pentru rezolvarea problemei.
7.3 Teorema energiei. Fort »e potent »iale » si nepotent »iale
^In cazul unor fort »e generalizate care nu depind de vitezele generalizate :
Qk=Qk(t; q1; : : : ; q n) ; k= 1; : : : ; n (7.33)
dac¸ a exist¸ a o funct »ie V(t; q1; : : : ; q n) astfel ^ ³nc^ at :
Qk=¡@V
@qk; k= 1; : : : ; n (7.34)
fort »ele Qk;k= 1; : : : ; n sunt numite potent »iale , funct »ia V(t; q) reprezent^ and potent »ialul
fort »elor , sau energia potent »ial¸ a .^In acest caz, lucrul mecanic elementar la o deplasare
virtual¸ a are expresia :
±L=nX
k=1Qk±qk=¡nX
k=1@V
@qk±qk=¡±V (7.35)

94 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME
Consider¸ am » si cazul mai general c^ and ^ ³n afara fort »elor potent »iale determinate de
potent »ialul V, asupra sistemului act »ioneaz¸ a » si fort »e nepotent »iale, scrise^ ³n general sub forma :
Q¤
k=Q¤
k(t; q1; : : : ; q k;_q1; : : : ; _qn) ; k= 1; : : : ; n (7.36)
^In acest¸ a situat »ie se va putea scrie :
Qk=¡@V
@qk+Q¤
k ; k= 1; : : : ; n (7.37)
ecuat »iile Lagrange de spet »a a II-a c¸ ap¸ at^ and forma :
d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk=¡@V
@qk+Q¤
k ; k= 1; : : : ; n (7.38)
Prin de¯nit »ie, energia mecanic¸ a total¸ a a sistemului reprezint¸ a suma dintre energia
cinetic¸ a » si cea potent »ial¸ a :
E=T+V (7.39)
Pentru a evalua derivata dup¸ a timpdE
dt, va ¯ calculat¸ a mai ^ ³nt^ ai derivata :
dT
dt=nX
k=1@T
@_qkÄqk+nX
k=1@T
@qk_qk+@T
@t=nX
k=1@T
@_qkd _qk
dt+nX
k=1@T
@qk_qk+@T
@t=
=d
dtÃnX
k=1@T
@_qk_qk!
+nX
k=1"@T
@qk¡d
dtÃ@T
@_qk!#
_qk+@T
@t(7.40)
Av^ and ^ ³n vedere c¸ a ^ ³n general T=T2+T1+T0, conform teoremei lui Euler asupra funct »iilor
omogene, se va putea scrie :
nX
k=1@T2
@_qk_qk= 2¢T2;nX
k=1@T1
@_qk_qk= 1¢T1;nX
k=1@T0
@_qk_qk= 0¢T0 (7.41)
F¸ ac^ and aceste ^ ³nlocuiri ^ ³n (7.40) » si t »in^ and cont de ecuat »iile Lagrange (7.38), rezult¸ a ^ ³n
continuare :
dT
dt=d
dt(2T2+T1) +nX
k=1Ã@V
@qk¡Q¤
k!
_qk+@T
@t=
= 2dT
dt¡d
dt(T1+ 2T0) +dV
dt¡@V
@t¡nX
k=1Q¤
k_qk+@T
@t(7.42)
Folosind de¯nit »ia (7.39), se obt »ine ^ ³n ¯nal :
dE
dt=nX
k=1Q¤
k_qk+d
dt(T1+ 2T0)¡@T
@t+@V
@t(7.43)
Aici termenulnX
k=1Q¤
k_qkreprezint¸ a puterea fort »elor nepotent »iale , urm¸ atorii doi termeni
d
dt(T1+ 2T0)¡@T
@tsunt diferit »i de zero doar ^ ³n cazul sistemelor reonome , iar ultimul
termen@V
@teste este nenul doar pentru fort »e potent »iale nestat »ionare .

7.3. TEOREMA ENERGIEI. FORT »E POTENT »IALE S »I NEPOTENT »IALE 95
Folosind formula (7.43) pot ¯ f¸ acute o serie de a¯rmat »ii privind variat »ia energiei totale a
unui sistem olonom arbitrar a°at ^ ³n mi» scare. Consider¸ am c^ ateva cazuri particulare :
a)^In cazul unui sistem scleronom , expresia (7.43) se reduce la :
dE
dt=nX
k=1Q¤
k_qk+@V
@t(7.44)
b)^In cazul unui sistem scleronom asupra c¸ aruia act »ioneaz¸ a fort »e potent »iale
stat »ionare :
dE
dt=nX
k=1Q¤
k_qk (7.45)
c)^In cazul unui sistem conservativ , care este un sistem scleronom c¸ aruia^ ³i sunt aplicate
doar fort »e potent »iale stat »ionare, din ecuat »ia (7.43) rezult¸ a :
dE
dt= 0 adic¸ a E=const :(=h) (7.46)
Deci, energia total¸ a a sistemului conservativ nu se modi¯c¸ a ^ ³n cursul mi» sc¸ arii
sistemului . Deoarece ecuat »ia E=hnu cont »ine accelerat »iile generalizate Ä qk;k= 1; : : : ; n ,
iarheste o constant¸ a determinat¸ a de condit »iile init »iale, expresia (7.46) va reprezenta o
integral¸ a prim¸ a a ecuat »iilor de mi» scare, numit¸ a » si integrala energiei .
^In ceea ce prive» ste fort »ele nepotent »iale , acestea apart »in ^ ³n majoritatea cazurilor la
una din urm¸ atoarele dou¸ a categorii :
-fort »e giroscopice , dac¸ a puterea lor este nul¸ a :
nX
k=1Q¤g
k_qk= 0 (7.47)
-fort »e disipative , dac¸ a puterea lor este negativ¸ a :
nX
k=1Q¤d
k_qk·0 (7.48)
Aceast¸ a clasi¯care a fort »elor generalizate este ^ ³n acord cu cea folosit¸ a » si pentru fort »ele ^ ³n
spat »iul ¯zic. S¸ a observ¸ am c¸ a ^ ³n cazul sistemului scleronom, asupra c¸ aruia act »ioneaz¸ a fort »e
potent »iale stat »ionare » si fort »e giroscopice, energia mecanic¸ a total¸ a este o constant¸ a. Dac¸ a
asupra unui astfel de sistem act »ioneaz¸ a » si fort »e disipative, atunci _E·0 , ceea ce ^ ³nseamn¸ a
c¸ a^ ³ntr-o astfel de situat »ie, energia mecanic¸ a total¸ a a sistemului scade (este disipat¸ a)^ ³n cursul
mi» sc¸ arii, motiv pentru care un astfel de sistem este numit sistem disipativ .
^In multe probleme, fort »ele generalizate nepotent »iale Q¤
k;k= 1; : : : ; n sunt forme liniare
» si omogene ^ ³n vitezele generalizate _ qk;k= 1; : : : ; n , caz ^ ³n care clasi¯carea de mai sus se
re°ect¸ a ^ ³n anumite propriet¸ at »i asupra coe¯cient »ilor formelor respective.
Dac¸ a :
Q¤g
k=nX
j=1°kj_qj ; k= 1; : : : ; n (7.49)

96 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME
» si matricea coe¯cient »ilor este antisimetric¸ a , adic¸ a :
°kj=¡°jk,°kk= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (7.50)
atunci fort »ele (7.49) sunt giroscopice .^Intr-adev¸ ar :
nX
k=1Q¤g
k_qk=nX
k;j=1°kj_qk_qj=nX
k=1°kk_q2
k+nX
i<j(°kj+°jk) _qk_qj= 0 (7.51)
Ca exemple tipice de fort »e giroscopice amintim fort »a Lorentz » si fort »a Coriolis.
Dac¸ a :
Q¤d
k=¡nX
j=1bkj_qj ; k= 1; : : : ; n (7.52)
^ ³ns¸ a matricea coe¯cient »ilor este simetric¸ a :
bkj=bjk ; k; j= 1; : : : ; n (7.53)
» si ^ ³n plus forma p¸ atratic¸ a ^ ³n viteze, construit¸ a pe ace» sti coe¯cient »i :
nX
k;j=1bkj_qk_qj¸0 (7.54)
este pozitiv de¯nit¸ a, atunci fort »ele (7.52) sunt disipative , deoarece :
nX
k=1Q¤d
k_qk=¡nX
k;j=1bkj_qk_qj·0 (7.55)
Se veri¯c¸ a direct c¸ a fort »ele generalizate (7.52) pot ¯ obt »inute din forma p¸ atratic¸ a :
D=1
2nX
k;j=1bkj_qk_qj (7.56)
prin intermediul formulelor :
Q¤d
k=¡@D
@_qk; k= 1; : : : ; n (7.57)
Forma p¸ atratic¸ a (7.56) reprezint¸ a funct »ia disipativ¸ a a lui Rayleigh , sensul ei ¯zic ¯-
ind evident dac¸ a observ¸ am c¸ a pentru un sistem scleronom, asupra c¸ aruia act »ioneaz¸ a fort »e
potent »iale stat »ionare » si fort »e disipative de forma (7.57), rezult¸ a :
dE
dt=nX
k=1Q¤d
k_qk=¡nX
k=1@D
@_qk_qk=¡2D (7.58)
unde a fost utilizat¸ a » si teorema lui Euler pentru funct »ii omogene. Astfel, pentru cazul
discutat, dublul funct »iei disipative a lui Rayleigh reprezint¸ a viteza de sc¸ adere a energiei
mecanice totale a sistemului. Dac¸ a funct »ia Deste o form¸ a p¸ atratic¸ a pozitiv de¯nit¸ a ^ ³n
vitezele _ qk;k= 1; : : : ; n , atunci energia total¸ a a sistemului este strict descresc¸ atoare ^ ³n
cursul mi» sc¸ arii. ^In aceast¸ a categorie intr¸ a fort »ele de rezistent »¸ a opuse de un mediu asupra
punctelor unui sistem a°at ^ ³n mi» scare relativ lent¸ a.

7.4. SISTEME NATURALE 97
7.4 Sisteme naturale
Examin¸ am pentru ^ ³nceput mi» scarea unui sistem asupra c¸ aruia sunt aplicate doar fort »e
potent »iale Qk=Qk(t; q) ;k= 1; : : : ; n , ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a exist¸ a o funct »ie V=V(t; q) ,
a» sa ^ ³nc^ at s¸ a ¯e adev¸ arate relat »iile (7.34). ^In aceast¸ a situat »ie, ecuat »iile Lagrange :
d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk=¡@V
@qk; k= 1; : : : ; n (7.59)
pot ¯ scrise sub forma :
d
dtÃ@L
@_qk!
¡@L
@qk= 0 ; k= 1; : : : ; n (7.60)
unde funct »ia :
L(t; q;_q) =T(t; q;_q)¡V(t; q) (7.61)
este numit¸ a funct »ia lui Lagrange saupotent »ial cinetic al mi» sc¸ arii . Pentru a scrie
ecuat »iile (7.60), s-au folosit propriet¸ at »ile :
@L
@_qk=@T
@_qk,@L
@qk=@T
@qk¡@V
@qk; k= 1; : : : ; n (7.62)
Se observ¸ a c¸ a lagrangeeanul sistemului se poate scrie sub forma general¸ a :
L=L2+L1+L0 (7.63)
unde, av^ and ^ ³n vedere (7.19), ^ ³n situat »ia analizat¸ a :
L2=T2=1
2nX
k;j=1akj_qk_qj,L1=T1=nX
k=1ak_qk,L0=T0¡V=a0¡V (7.64)
AiciL2este o form¸ a p¸ atratic¸ a pozitiv de¯nit¸ a ^ ³n vitezele generalizate, L1este o form¸ a liniar¸ a
^ ³n acelea» si varibile, iar L0este o form¸ a independent¸ a de vitezele generalizate _ qk;k= 1; : : : ; n .
Dependent »a de timpul t» si coordonatele generalizate qk;k= 1; : : : ; n poate ¯ cont »inut¸ a doar
^ ³n coe¯cient »ii din dezvolt¸ arile (7.64).
Se poate veri¯ca u» sor c¸ a dac¸ a fort »ele efective ~Fi;i= 1; : : : ; N ^ ³n spat »iul ¯zic aplicate
sistemului sunt potent »iale , adic¸ a dac¸ a exist¸ a o funct »ie V(t;~ r1; : : : ;~ r N) a» sa ^ ³nc^ at :
Fix=¡@V
@xi;Fiy=¡@V
@yi;Fiz=¡@V
@zi(7.65)
atunci » si fort »ele generalizate Qk(t; q1; : : : ; q n) ;k= 1; : : : ; n ^ ³n spat »iul con¯gurat »iilor,
sunt tot potent »iale , potent »ialul V(t; q1; : : : ; q n) ¯ind acela» si, ^ ³ns¸ a exprimat ^ ³n coordonate
generalizate. ^Intr-adev¸ ar, folosind (7.65) » si (7.35), se va putea scrie :
nX
k=1Qk±qk=NX
i=1~Fi±~ ri=¡±V=¡nX
k=1@V
@qk±qk (7.66)

98 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME
de unde rezult¸ a de¯nit »iile (7.34). A¯rmat »ia invers¸ a nu este ^ ³ntotdeauna adev¸ arat¸ a!
Ecuat »iile Lagrange (7.60) ^ ³» si p¸ astreaz¸ a forma » si ^ ³n cazul ^ ³n care asupra sistemului
act »ioneaz¸ a fort »e nepotent »iale Qk(t; q;_q) ;k= 1; : : : ; n , dac¸ a exist¸ a un a» sa numit potent »ial
generalizat ¦(t; q;_q) , care furnizeaz¸ a fort »ele respective cu ajutorul formulelor :
Qk=d
dtÃ@¦
@_qk!
¡@¦
@qk; k= 1; : : : ; n (7.67)
Funct »ia lui Lagrange va avea ^ ³n acest caz forma general¸ a :
L(t; q;_q) =T(t; q;_q)¡¦(t; q;_q) (7.68)
de unde rezult¸ a :
@L
@_qk=@T
@_qk¡@¦
@_qk,@L
@qk=@T
@qk¡@¦
@qk; k= 1; : : : ; n (7.69)
Din de¯nit »ia (7.67) rezult¸ a c¸ a dac¸ a ¦ = ¦( t; q;_q) , atunci :
Qk=nX
j=1@2¦
@_qj@_qkÄqj+nX
j=1@2¦
@qj@_qk_qj+@2¦
@t@_qk¡@¦
@qk; k= 1; : : : ; n (7.70)
Pe de alt¸ a parte s-a admis c¸ a fort »ele nu pot depinde explicit » si de accelerat »ii, motiv pentru
care va trebui ca ^ ³n (7.70) s¸ a avem obligator@2¦
@_qj@_qk= 0 ; j; k= 1; : : : ; n , ceea ce este
posibil numai dac¸ a potent »ialul generalizat ¦(t; q;_q)este o funct »ie liniar¸ a de vitezele
generalizate :
¦ = ¦ 1+ ¦ 0=nX
j=1Vj(t; q) _qj+V(t; q) (7.71)
Se observ¸ a c¸ a » si ^ ³n acest caz, lagrangeeanul sistemului poate ¯ scris sub forma general¸ a
L=L2+L1+L0, unde :
L2=T2,L1=T1¡¦1,L0=T0¡V (7.72)
Introduc^ and (7.71) ^ ³n de¯nit »ia (7.67), se obt »ine :
Qk=dVk
dt¡@
@qk0
@nX
j=1Vj_qj+V1
A=@Vk
@t+nX
j=1Ã@Vk
@qj¡@Vj
@qk!
_qj¡@V
@qk;k= 1; : : : ; n
(7.73)
de unde rezult¸ a c¸ a dac¸ a forma liniar¸ a ^ ³n viteze ¦ 1a potent »ialului generalizat nu cont »ine
explicit timpul, adic¸ a dac¸ a@Vk
@t= 0 ; k= 1; : : : ; n , atunci fort »ele generalizate se compun din
fort »e potent »iale ¡@V
@qk;k= 1; : : : ; n » si fort »e giroscopice de forma (7.49), unde
°kj=¡°jk=@Vk
@qj¡@Vj
@qk; k; j= 1; : : : ; n (7.74)

7.4. SISTEME NATURALE 99
Sistemele materiale pentru care fort »ele deriv¸ a dintr-un potent »ial obi» snuit
V(t; q)sau un potent »ial generalizat ¦(t; q;_q)sunt numite sisteme naturale. Pentru
aceste sisteme, lagrangeeanul sistemului are forma general¸ a L=L2+L1+L0, unde L2este
o form¸ a p¸ atratic¸ a pozitiv de¯nit¸ a de vitezele generalizate, L1este o form¸ a liniar¸ a, iar L0este
o form¸ a independent¸ a de viteze. Ecuat »iile de mi» scare ^ ³n spat »iul con¯gurat »iilor ¤ nau forma :
d
dtÃ@L
@_qk!
¡@L
@qk= 0 , L=T¡(
V
¦; k= 1; : : : ; n (7.75)
» si printr-un procedeu analog cu cel descris ^ ³n x7.2, se arat¸ a c¸ a pentru condit »ii init »iale date,
aceste ecuat »ii determin¸ a ^ ³n mod unic mi» scarea, dac¸ a :
detÃ@2L
@_qk@_qj!
6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (7.76)
Se veri¯c¸ a direct c¸ a funct »ia Lagrange L(t; q;_q)care satisface ecuat »iile (7.75), este
determinat¸ a abstract »ie f¸ ac^ and de derivata total¸ a^ ³n raport cu timpul a unei funct »ii
arbitrare ©(t; q) .^Intr-adev¸ ar, lagrangeeanul :
L0=L+d©
dtcu © = ©( t; q) (7.77)
satisface de asemenea ecuat »iile Lagrange (7.75), deoarece pentru orice funct »ie ©( t; q) :
d
dtÃ@_©
@_qk!
¡@_©
@qk= 0 ; k= 1; : : : ; n (7.78)
Veri¯carea propriet¸ at »ii (7.78) se poate face direct, observ^ and c¸ a :
_© =d©
dt=nX
j=1@©
@qj_qj+@©
@t(7.79)
de unde rezult¸ a pe de o parte :
@_©
@_qk=@©
@qk» sid
dtÃ@_©
@_qk!
=nX
j=1@2©
@qj@qk_qj+@2©
@t@q k(7.80)
respectiv :
@_©
@qk=nX
j=1@2©
@qk@qj_qj+@2©
@qk@t(7.81)
^In incheiere, ment »ion¸ am c¸ a dac¸ a asupra sistemului material, pe l^ ang¸ a fort »e care deriv¸ a
dintr-un potent »ial simplu sau generalizat, act »ioneaz¸ a » si fort »e disipative Q¤d
k;k= 1; : : : ; n
de forma (7.52) care deriv¸ a din funct »ia disipativ¸ a Da lui Rayleigh (7.56) prin intermediul
formulelor (7.57), atunci ecuat »iile Lagrange ale sistemului ^ ³n spat »iul ¤ nau forma :
d
dtÃ@L
@_qk!
¡@L
@qk=¡@D
@_qk; k= 1; : : : ; n (7.82)

100 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME
7.5 Impulsuri generalizate. Coordonate ciclice
P^ an¸ a acum s-a acordat o atent »ie mai mare modului de obt »inere al ecuat »iilor de mi» scare,
f¸ ar¸ a a spune aproape nimic despre metodele de rezolvare a lor ^ ³n diferite cazuri concrete. ^In
general aceasta este o problem¸ a de matematic¸ a, ¯ind vorba de rezolvarea unui sistem de n
ecuat »ii diferent »iale de ordinul doi cu condit »ii init »iale, dac¸ a problema are ngrade de libertate.
Solut »ia general¸ a cont »ine 2 nconstante de integrare, care se determin¸ a din condit »iile init »iale
ale problemei q0
k;_q0
k;k= 1; : : : ; n .^In unele cazuri particulare, ecuat »iile pot ¯ integrate
prin metode elementare, ^ ³ns¸ a ^ ³n general g¸ asirea solut »iei analitice exacte implic¸ a di¯cult¸ at »i
matematice deosebite.
Uneori, din cauza complexit¸ at »ii calculelor, nici nu se pune problema determin¸ arii formei
concrete a solut »iei qk(t) ;k= 1; : : : ; n , mult »umindu-ne cu o serie de informat »ii cu privire
la propriet¸ at »ile mi» sc¸ arii sistemului. Aceste informat »ii sunt furnizate de integralele prime
ale sistemului de ecuat »ii diferent »iale care descriu mi» scarea. Dac¸ a sistemul este natural, o
integral¸ a prim¸ a a ecuat »iilor Lagrange :
d
dtÃ@L
@_qk!
¡@L
@qk= 0 ; k= 1; : : : ; n (7.83)
va ¯ o funct »ie f(t; q;_q) care se reduce la o constant¸ a pentru orice t, pe solut »ia ecuat »iilor care
alc¸ atuiesc sistemul (7.83). Aceste integrale prime :
f(t; q1; : : : ; q n;_q1; : : : ; _qn) =const : (7.84)
reprezint¸ a ni» ste ecuat »ii diferent »iale de ordinul ^ ³nt^ ai, a c¸ aror cunoa» stere, pe l^ ang¸ a faptul c¸ a
u» sureaz¸ a problema determin¸ arii mi» sc¸ arii, includ ^ ³n ele legi de conservare care, dup¸ a cum
s-a v¸ azut ^ ³n capitolele de mecanic¸ a newtonian¸ a, furnizeaz¸ a informat »ii privind caracteris-
ticile mi» sc¸ arii. Cunoa» sterea setului complet fj(t; q;_q) =Cj;j= 1; : : : ; 2ndeintegrale
prime independente , reduce problema determin¸ arii mi» sc¸ arii la g¸ asirea solut »iei unui sis-
tem algebric, de obicei neliniar, de 2 necuat »ii. Spre deosebire de mecanica newtonian¸ a, unde
integralele prime puteau ¯ scrise pornind de la unele propriet¸ at »i de simetrie ale sistemului,
sau cunosc^ and natura fort »elor aplicate, ^ ³n mecanica lagrangeean¸ a exist¸ a un criteriu mult mai
simplu » si mai coerent, care permite scrierea integralelor prime.
Examin¸ am mi» scarea unui sistem de puncte materiale a°at ^ ³ntr-un c^ amp de fort »e care
deriv¸ a dintr-un potent »ial obi» snuit. Lagrangeeanul sistemului ^ ³n coordonate carteziene, care
^ ³n abesent »a leg¸ aturilor pot servi drept coordonate generalizate, se va scrie :
L=T¡V=1
2NX
i=1mi( _x2
i+ _y2
i+ _z2
i)¡V(t; x1; y1; z1; : : : ; x N; yN; zN) (7.85)
Derivata :@L
@_xi=@T
@_xi=mi_xi=pix (7.86)
reprezint¸ a componenta pe axa Oxa impulsului particulei i. Generaliz^ and aceast¸ a observat »ie,
impulsul generalizat pkasociat coordonatei qkva reprezenta, prin de¯nit »ie, m¸ arimea :
qk¡! pk=@L
@_qk; k= 1; : : : ; n (7.87)

7.6. TEOREME GENERALE S »I LEGI DE CONSERVARE 101
Deoarece ^ ³n general L=L(t; q;_q) , atunci » si pk=pk(t; q;_q) . Dac¸ a qknu nu are dimensiunea
unei lungimi, nici impulsul generalizat corespunz¸ ator pknu are dimensiunea unui impuls.
Dac¸ a lagrangeeanul unui sistem mecanic nu cont »ine explicit o anumit¸ a coordonat¸ a gene-
ralizat¸ a q®:
@L
@q®= 0 (7.88)
put^ and ^ ³ns¸ a cont »ine viteza generalizat¸ a corespunz¸ atoare _ q®, coordonata respectiv¸ a va ¯ nu-
mit¸ acoordonat¸ a ciclic¸ a . Ecuat »ia Lagrange (7.83) corespunz¸ atoare coordonatei respective
devine :
d
dtÃ@L
@_q®!
=dp®
dt= _p®= 0 (7.89)
adic¸ a :
p®(t; q;_q) =const : (7.90)
ceea ce reprezint¸ a, av^ and ^ ³n vedere (7.84), o integral¸ a prim¸ a a ecut »iilor de mi» scare (7.83)
^ ³n spat »iul con¯gurat »iilor ¤ n.
^In concluzie, ^ ³n mecanica lagrangeean¸ a teorema de conservare are urm¸ atorul enunt »:
dac¸ a o coordonat¸ a generalizat¸ a q®este ciclic¸ a, atunci impulsul generalizat p®
asociat acesteia r¸ am^ ane constant ^ ³n tot cursul mi» sc¸ arii . Dup¸ a cum se va veri¯ca ^ ³n
paragraful ce urmeaz¸ a, legile de conservare prezentate ^ ³n capitolul de mecanic¸ a newtonian¸ a
reprezint¸ a cazuri particulare ale acestui enunt » general.
7.6 Teoreme generale » si legi de conservare
7.6.1 Conservarea impulsului
Se alege o coordonat¸ a generalizat¸ a qkastfel, ^ ³nc^ at variat »ia ei elementar¸ a d qks¸ a reprezinte
o deplasare a sistemului, considerat ca un ^ ³ntreg, ^ ³ntr-o direct »ie dat¸ a ~ u, adic¸ a s¸ a reprezinte
o translat »ie . Drept astfel de coordonat¸ a poate servi una din coordonatele carteziene ale
Figura 7.2: Translat »ia sistemului ^ ³n lungul direct »iei ~ u
centrului de mas¸ a. ^In aceast¸ a situat »ie energia cinetic¸ a a sistemului nu va cont »ine explicit

102 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME
coordonata qk.^Intr-adev¸ ar, deoarece conform Fig. 7.2 :
@~ ri
@qk= lim
dqk!0~ ri(qk+ dqk)¡~ ri(qk)
dqk= lim
dqk!0dqk¢~ u
dqk=~ u (7.91)
folosind » si proprietatea (7.15), se veri¯c¸ a direct c¸ a :
@T
@qk=@
@qkÃ1
2NX
i=1mi_~ r2
i!
=NX
i=1mi_~ ri@_~ ri
@qk=NX
i=1mi_~ rid
dtÃ@~ ri
@qk!
=NX
i=1mi_~ rid~ u
dt= 0 (7.92)
unded~ u
dt= 0 , pentru c¸ a ~ ueste versorul unei direct »ii ¯xe.
Dac¸ a fort »ele active aplicate sistemului deriv¸ a dintr-un potent »ial obi» snuit V=V(t; q) ,
atunci ecuat »ia Lagrange corespunz¸ atoare coordonatei qkdevine
d
dtÃ@L
@_qk!
=@L
@qk=@T
@qk¡@V
@qk=Qk (7.93)
adic¸ a :
_pk=Qk (7.94)
ceea ce exprim¸ a teorema impulsului , anume c¸ a derivata dup¸ a timp a proiect »iei im-
pulsului total al sistemului pe direct »ia ¯x¸ a de versor ~ u, este egal¸ a cu componenta
pe aceea» si direct »ie a rezultantei fort »elor aplicate .^Intr-adev¸ ar, folosind » si (7.14),
rezult¸ a :
pk=@L
@_qk=@T
@_qk=@
@_qkÃ1
2NX
i=1mi_~ r2
i!
=NX
i=1mi_~ ri@_~ ri
@_qk=NX
i=1mi_~ ri@~ ri
@qk=ÃNX
i=1mi_~ ri!
¢~ u=~ p¢~ u
(7.95)
decipkreprezint¸ a proiect »ia impulsului total pe direct »ia ~ u, iar pe de alt¸ a parte :
Qk=NX
i=1~Fi@~ ri
@qk=ÃNX
i=1~Fi!
¢~ u=~F¢~ u (7.96)
adic¸ a Qkeste componenta pe direct »ia ~ ua rezultantei fort »elor.
Dac¸ a coordonata qkeste ciclic¸ a, adic¸ a dac¸ a@L
@qk=¡@V
@qk= 0 , atunci (7.94) devine :
_pk=Qk=¡@V
@qk= 0 deci pk=const : (7.97)
rezult^ and astfel legea de conservare a impulsului : dac¸ a componenta de o direct »ie dat¸ a a
rezultantei fort »elor aplicate este nul¸ a, atunci proiect »ia pe aceea» si direct »ie a impulsului total
este o constant¸ a ^ ³n tot cursul mi» sc¸ arii.

7.6. TEOREME GENERALE S »I LEGI DE CONSERVARE 103
7.6.2 Conservarea momentului cinetic
Dac¸ a coordonata qkeste aleas¸ a astfel, ^ ³nc^ at variat »ia ei elementar¸ a d qks¸ a corespund¸ a
uneirotat »ii de ansamblu a sistemului ^ ³n jurul unei axe ¯xe de versor ~ u, atunci ecuat »ia
Lagrange corespunz¸ atoare va exprima teorema momentului cinetic. Aceast¸ a a¯rmat »ie poate
¯ veri¯cat¸ a printr-un rat »ionament analog cu cel din sect »iunea anterioar¸ a, cu deosebirea c¸ a
acum qkeste o coordonat¸ a unghiular¸ a.
Variat »ia elementar¸ a a lui qkcorespunde unei rotat »ii in¯nitezimale a vectorului ~ ricare ^ ³» si
p¸ astraz¸ a lungimea, deci (v. Fig. 7.3) :
jd~ rij=risinµdqk adic¸ a¯¯¯¯¯@~ ri
@qk¯¯¯¯¯=risinµ (7.98)
Deoarece vectorul@~ ri
@qkeste perpendicular pe planul de¯nit de vectorii ~ ri» si~ u, va trebui ca :
@~ ri
@qk=~ u£~ ri (7.99)
aceast¸ a expresie lu^ and loc formulei (7.91) ^ ³n toate calculele care urmeaz¸ a, calcule care p^ an¸ a
la un anumit punct coincid cu cele precedente.
Figura 7.3: Rotat »ia sistemului ^ ³n jurul axei de versor ~ u
Se veri¯c¸ a u» sor c¸ a coordonata unghiular¸ a qknu este cont »inut¸ a explicit ^ ³n energia cinetic¸ a :
@T
@qk=@
@qkÃ1
2NX
i=1mi_~ r2
i!
=NX
i=1mi_~ rid
dtÃ@~ ri
@qk!
=NX
i=1mi_~ rid
dt(~ u£~ ri) =NX
i=1mi_~ ri³
~ u£_~ ri´
= 0
(7.100)
unde din nou s-a t »inut cont de faptul c¸ a _~ u= 0 .
Dac¸ a fort »ele aplicate deriv¸ a dintr-un potent »ial obi» snuit V=V(t; q) , ecuat »ia Lagrange
corespunz¸ atoare coordonate qk^ ³» si p¸ astreaz¸ a forma general¸ a _~ pk=Qk, ^ ³ns¸ a ea acum exprim¸ a
teorema momentului cinetic , anume c¸ a derivata dup¸ a timp a proiect »iei momen-
tului cinetic total al sistemului pe axa de rotat »ie ¯x¸ a de versor ~ u, este egal¸ a cu

104 CAPITOLUL 7. SISTEME OLONOME
momentul rezultant ^ ³n raport cu aceea» si ax¸ a al tuturor fort »elor aplicate .^Intr-
adev¸ ar, relu^ and part »ial calculele anterioare, rezult¸ a :
pk=@L
@_qk=@
@_qkÃ1
2NX
i=1mi_~ r2
i!
=NX
i=1mi_~ ri@~ ri
@qk=NX
i=1mi_~ ri(~ u£~ ri) =ÃNX
i=1~ ri£mi_~ ri!
¢~ u=~L¢~ u
(7.101)
decipkreprezint¸ a proiect »ia momentului cinetic total pe axa de versor ~ u, iar pe de alt¸ a parte :
Qk=NX
i=1~Fi@~ ri
@qk=NX
i=1~Fi(~ u£~ ri) =ÃNX
i=1~ ri£~Fi!
¢~ u=~MO(~F)¢~ u (7.102)
adic¸ a Qkeste momentul rezultant ^ ³n raport cu axa ~ ual fort »elor ce act »ioneaz¸ a sistemului.
Dac¸ a coordonata qkeste ciclic¸ a atunci, ca » si ^ ³n cazul anterior, se veri¯c¸ a direct c¸ a Qk= 0 ,
adic¸ a pk=const :, rezult^ and astfel legea de conservare a momentului cinetic ^ ³n raport
cu axa de rotat »ie.
7.6.3 Conservarea energiei
O alt¸ a lege de conservare care poate ¯ dedus¸ a din structura lagrangeeanului este legea
conserv¸ arii energiei mecanice totale a unui sistem conservativ . Reamintim c¸ a un
sistem conservativ este un sistem scleronom, asupra c¸ aruia act »ioneaz¸ a fort »e care deriv¸ a dintr-
un potent »ial obi» snuit care nu cont »ine explicit timpul t. Lagrangeeanul unui astfel de sistem
nu va cont »ine nici el explicit timpul :
@L
@t= 0 adic¸ a L=L(q;_q) (7.103)
el put^ and depinde de timp doar prin intermediul coordonatelor » si vitezelor generalizate.
Derivata total¸ a a lagrangeeanului dup¸ a timp va avea expresia :
dL
dt=nX
k=1@L
@_qkÄqk+nX
k=1@L
@qk_qk=nX
k=1@L
@_qkd _qk
dt+nX
k=1"d
dtÃ@L
@_qk!#
_qk=d
dtÃnX
k=1@L
@_qk_qk!
(7.104)
unde ^ ³n calcule s-au folosit ecuat »iile lui Lagrange. Rezultatul se mai poate pune sub forma :
d
dtÃnX
k=1@L
@_qk_qk¡L!
= 0 (7.105)
adic¸ a :nX
k=1pk_qk¡L=h (7.106)
unde heste o constant¸ a. Integrala prim¸ a obt »inut¸ a reprezint¸ a chiar integrala energiei .
^Intr-adev¸ ar, fort »ele ¯ind potent »ialeÃ@V
@_qk= 0!
» si sistemul scleronom ( T=T2) :
pk=@L
@_qk=@T
@_qk=@T2
@_qk(7.107)

7.6. TEOREME GENERALE S »I LEGI DE CONSERVARE 105
Conform teoremei lui Euler, energia cinetic¸ a ¯ind o funct »ie omogen¸ a de ordinul doi^ ³n vitezele
generalizate, relat »ia (7.107) devine :
nX
k=1pk_qk¡L=nX
k=1@T2
@_qk_qk¡L= 2T2¡L= 2T¡(T¡V) =T+V=h (7.108)
adic¸ a suma dintre energia cinetic¸ a » si cea potent »ial¸ a a sistemului este o constant¸ a a mi» sc¸ arii.
Acela» si rezultat a fost obt »inut ^ ³n x7.3 printr-o metod¸ a mult mai complicat¸ a.
Se observ¸ a c¸ a dac¸ a timpul teste privit ca o "coordonat¸ a", a» sa-zisul "impuls generalizat"
asociat (m¸ arimea care se conserv¸ a c^ and tnu intervine explicit ^ ³n lagrangeean), reprezint¸ a
chiar energia mecanic¸ a total¸ a.

Capitolul 8
Sisteme neolonome
Un sistem este neolonom, dac¸ a cel put »in una din leg¸ aturile cinematice nu admite un factor
integrant, aceasta neput^ and ¯ adus¸ a la o form¸ a ¯nit¸ a. Problema devine mult mai complex¸ a
» si ^ ³n general solicit¸ a o tratare individual¸ a. De» si metoda bazat¸ a pe ecuat »iile lui Appel
este su¯cient de general¸ a, ^ ³n cele ce urmeaz¸ a va ¯ prezentat¸ a, din considerente metodologice,
metoda mult mai greoaie a lui Lagrange.
8.1 Ecuat »iile Lagrange pentru sisteme neolonome
Presupunem c¸ a pe l^ ang¸ a cele n1leg¸ aturi ¯nite » si leg¸ aturi diferent »iale intergabile, av^ and
forma general¸ a :
fj(t;~ r1; : : : ;~ r N) = 0 ; j= 1; : : : ; n 1 (8.1)
sistemului ^ ³i sunt impuse » si un num¸ ar n2de leg¸ aturi diferent »iale neintegrabile, ^ ³n general
liniare ^ ³n viteze :
NX
i=1~Alid~ ri+Altdt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2 (8.2)
unde de obicei coe¯cient »ii sunt funct »ii de timp » si de coordonate.
Folosind formulele de transformare :
~ ri=~ ri(t; q1; : : : ; q n) ;i= 1; : : : ; N
n= 3N¡n1(8.3)
se introduc coordonatele generalizate ( q1; : : : ; q n) astfel ^ ³nc^ at leg¸ aturile ¯nite (8.1) s¸ a ¯e
satisf¸ acute identic. Se construie» ste astfel un spat »iu al con¯gurat »iilor ¤ n^ ³n care, datorit¸ a
leg¸ aturilor (8.2), nu toate coordonatele generalizate sunt independente. Pentru a transcrie
leg¸ aturile cinematice (8.2) ^ ³n noul set de coordonate, se fac ^ ³nlocuirile cunoscute :
NX
i=1~AliÃnX
k=1@~ ri
@qkdqk+@~ ri
@tdt!
+Altdt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2 (8.4)
Intervertind ^ ³n (8.4) ordinea sum¸ arilor » si f¸ ac^ and notat »iile :
alk=NX
i=1~Ali@~ ri
@qk,alt=NX
i=1~Ali@~ ri
@t+Alt ;l= 1; : : : ; n 2
k= 1; : : : ; n(8.5)
106

8.1. ECUAT »IILE LAGRANGE PENTRU SISTEME NEOLONOME 107
se obt »in ecuat »iile care exprim¸ a leg¸ aturile diferent »iale neintegrabile ^ ³n ¤ n:
nX
k=1alkdqk+altdt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2 (8.6)
De aici rezult¸ a c¸ a o deplasare virtual¸ a a sistemului ^ ³n ¤ n, va ¯ de¯nit¸ a de ecuat »iile :
nX
k=1alk±qk= 0 ; l= 1; : : : ; n 2 (8.7)
Pentru a obt »ine ecuat »iile de mi» scare ale sistemului neolonom ^ ³n spat »iul ¤ n, se porne» ste
de la ecuat »ia general¸ a a dinamicii, care ^ ³n coordonatele ( q1; : : : ; q n) are forma general¸ a :
nX
k=1("d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk#
¡Qk)
±qk= 0 (8.8)
Acum variat »iile ±qk;k= 1; : : : ; n nu mai sunt arbitrare, ^ ³ntre ele exist^ and cele n2relat »ii
de tipul (8.7). Forma concret¸ a a ecuat »iilor de mi» scare rezult¸ a folosind metoda multipli-
catorilor lui Lagrange .^Inmult »ind ¯ecare din ecuat »iile (8.7) cu c^ ate un multiplicator
¸l;l= 1; : : : ; n 2» si ^ ³nsum^ and toate ecuat »iile obt »inute, va rezulta identitatea :
n2X
l=1¸lnX
k=1alk±qk=nX
k=1Ãn2X
l=1¸lalk!
±qk= 0 (8.9)
Sc¸ az^ and aceast¸ a expresie din (8.8) se obt »ine ecuat »ia :
nX
k=1("d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk#
¡Qk¡n2X
l=1¸lalk)
±qk= 0 (8.10)
Deoarece din ecuat »iile (8.7) care de¯nesc deplasarea virtual¸ a a sistemului, pot ¯ exprimate un
num¸ ar de n2variat »ii ±qk^ ³n funct »ie de celelalte n¡n2variat »ii considerate arbitrare, se impun
condit »iile ca multiplicatorii ¸l;l= 1; : : : ; n 2s¸ a ¯e determinat »i din ecuat »iile care rezult¸ a prin
anularea coe¯cient »ilor celor n2variat »ii dependente. ^In aceste condit »ii, restul coe¯cient »ilor
celor n¡n2variat »ii ±qkcare acum sunt arbitrare, trebuie s¸ a se anuleze, pentru ca suma
r¸ amas¸ a s¸ a ¯e nul¸ a. Se obt »ine ^ ³n ¯nal sistemul de ecuat »ii :
d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk=Qk+n2X
l=1¸lalk ; k= 1; : : : ; n (8.11)
Acestea sunt ecuat »iile Lagrange cu multiplicatori pentru sisteme neolonome , care
^ ³mpreun¸ a cu ecuat »iile leg¸ aturilor :
nX
k=1alk_qk+alt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2 (8.12)
rezolv¸ a problema determin¸ arii mi» sc¸ arii sistemului neolonom, deoarece num¸ arul n+n2al
ecuat »iilor avute la dispozit »ie, este egal cu num¸ arul necunoscutelor problemei qk;k= 1; : : : ; n
» si¸l;l= 1; : : : ; n 2.

108 CAPITOLUL 8. SISTEME NEOLONOME
Pentru a g¸ asi sensul ¯zic al ultimului termen din membrul drept al ecuat »iilor (8.11), se
poate face presupunerea c¸ a sistemul este eliberat de leg¸ aturile neintegrabile impuse asupra sa,
^ ³n locul acestora urm^ and a ¯ aplicate ni» ste fort »e exterioare suplimentare Q0
k;k= 1; : : : ; n ,
aceasta f¸ ac^ andu-se astfel ^ ³nc^ at s¸ a nu ¯e modi¯cat¸ a starea de mi» scare a sistemului. Aceste
fort »e suplimentare reprezint¸ a chiar react »iile leg¸ aturilor , deoarece ele oblig¸ a sistemul s¸ a se
mi» ste ^ ³n conformitate cu restrict »iile impuse. ^In prezent »a acestor fort »e suplimentare, ecuat »iile
de mi» scare vor ¯ :
d
dtÃ@T
@_qk!
¡@T
@qk=Qk+Q0
k ; k= 1; : : : ; n (8.13)
unde Q0
k=n2X
l=1¸lalk;k= 1; : : : ; n . Astfel, ^ ³n cazul studiului mi» sc¸ arii sistemelor neolonome,
leg¸ aturile nu sunt eliminate din ecuat »iile de mi» scare, ele ¯ind obt »inute ca o parte a solut »iei.
Ecuat »iile Lagrange cu multiplicatori (8.11) pot ¯ utilizate » si pentru studiul mi» sc¸ arii siste-
melor olonome, aceasta deoarece orice leg¸ atur¸ a ¯nit¸ a f(t; q1; : : : ; q n) = 0 , poate ¯ scris¸ a sub
forma unei leg¸ aturi diferent »iale din clasa considerat¸ a :nX
k=1@f
@qkdqk+@f
@tdt= 0 . Procedeul
este folosit ^ ³n situat »iile ^ ³n care apare neconvenabil s¸ a se reduc¸ a toate coordonatele sistemu-
lui numai la cele independente, sau atunci c^ and se dore» ste obt »inerea direct¸ a » si a react »iilor
leg¸ aturilor.
^In ceea ce prive» ste variat »ia energiei totale a unui sistem neolonom, formula poate ¯ dedus¸ a
folosind aceea» si metod¸ a ca cea descris¸ a ^ ³n capitolul anterior, obt »in^ andu-se ^ ³n ¯nal expresia :
dE
dt=nX
k=1Q¤
k_qk+d
dt(T1+ 2T0)¡@T
@t+@V
@t+n2X
l=1¸lnX
k=1alk_qk (8.14)
Dac¸ a sistemul este scleronom , atunci alt= 0 ; l= 1; : : : ; n 2» si din ecuat »iile (8.12) pentru
leg¸ aturi rezult¸ a :nX
k=1alk_qk= 0 ; l= 1; : : : ; n 2. Astfel, ultimul termen din (8.14) se anuleaz¸ a,
reobt »in^ andu-se expresia derivatei _Ecalculat¸ a pentru sisteme olonome. Concluziile deduse an-
terior privind variat »ia energiei mecanice totale, se p¸ astreaz¸ a » si ^ ³n cazul sistemelor neolonome
scleronome. ^In particular, dac¸ a sistemul neolonom este conservativ (sistem scleronom,
pentru care toate fort »ele sunt potent »iale stat »ionare), energia sa total¸ a E=T+Vnu se
modi¯c¸ a ^ ³n cursul mi» sc¸ arii . Proprietatea se p¸ astreaz¸ a dac¸ a asupra sistemului act »ioneaz¸ a
» si fort »e giroscopice.

Capitolul 9
Problema celor dou¸ a corpuri
Este studiat¸ a mi» scarea unui sistem compus din dou¸ a puncte materiale a°ate ^ ³n
interact »iune reciproc¸ a » si ^ ³n absent »a fort »elor exterioare. ^In po¯da acestui enunt » banal, se
va vedea c¸ a ^ ³n realitate problema este su¯cient de general¸ a, ¯ind posibil¸ a aparit »ia unor
complicat »ii de calcul semni¯cative.
9.1 Masa redus¸ a. Problema echivalent¸ a
Problema determin¸ arii mi» sc¸ arii celor dou¸ a corpuri poate ¯ simpli¯cat¸ a considerabil, ob-
serv^ and c¸ a mi» scarea sistemului poate ¯ descompus¸ a^ ³n dou¸ a mi» sc¸ ari independente :
cea a centrului de mas¸ a al sistemului » si cea a mi» sc¸ arii celor dou¸ a puncte materiale
^ ³n raport cu centrul lor de mas¸ a .
Figura 9.1: Problema celor dou¸ a corpuri
Cu notat »iile P1(m1;~ r1) » siP2(m2;~ r2) , unde ~ r1» si~ r2sunt vectorii de pozit »ie ai punctelor ^ ³n
raport cu un reper inert »ial, deoarece sistemului nu ^ ³i este impus¸ a nici o leg¸ atur¸ a, el va avea
» sase grade de libertate , deci pozit »ia s¸ a va putea ¯ precizat¸ a cu ajutorul a » sase coordonate
generalizate independente. ^In calitate de astfel de coordonate pot ¯ alese cele trei coordonate
ale vectorului de pozit »ie ale centrului de mas¸ a ~ rc» si cele trei coordonate ale vectorului :
~ r=~ r2¡~ r1 (9.1)
109

110 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
care speci¯c¸ a pozit »ia relativ¸ a a celui de al doilea corp ^ ³n raport cu primul.
Deoarece ^ ³ntre cele dou¸ a corpuri act »ioneaz¸ a doar fort »e de interact »iune reciproc¸ a,
potent »ialul din care deriv¸ a aceste fort »e (egale » si de sens contrar) depinde doar de distant »a
relativ¸ a dintre corpuri : V=V(j~ r2¡~ r1j) =V(j~ rj) . Lagrangeeanul problemei, ^ ³n setul de
coordonate speci¯cat, va avea forma general¸ a :
L=T(_~ rc;_~ r)¡V(j~ rj) (9.2)
Conform celei de a doua teoreme a lui Koenig, energia cinetic¸ a a sistemului se compune din
energia cinetic¸ a a mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a » si energia cinetic¸ a a mi» sc¸ arii celor dou¸ a corpuri
^ ³n raport cu centrul de mas¸ a :
T=1
2(m1+m2)_~ r2
c+1
22X
i=1mi_~ r02
i (9.3)
unde ~ r0
1» si~ r0
2reprezint¸ a vectorii de pozit »ie ai celor dou¸ a puncte ^ ³n raport cu centrul de mas¸ a
(v. Fig. 9.1). Ace» sti doi vectori nu sunt independent »i, deoarece din de¯nit »ia vectorului de
pozit »ie al centrului de mas¸ a rezult¸ a ;
m1~ r0
1+m2~ r0
2= 0 (9.4)
Folosind aceast¸ a relat »ie, pentru vectorul pozit »ie relativ¸ a ~ rpot ¯ deduse expresiile :
~ r=~ r2¡~ r1=~ r0
2¡~ r0
1=¡m1+m2
m2~ r0
1=m1+m2
m1~ r0
2 (9.5)
de unde rezult¸ a :
~ r0
1=¡m2
m1+m2~ r , ~ r0
2=m1
m1+m2~ r (9.6)
Deriv^ and aceste expresii dup¸ a timp » si ^ ³nlocuind rezultatele ^ ³n (9.3), se obt »ine ^ ³n ¯nal pentru
lagrangeeanul problemei expresia :
L=1
2(m1+m2)_~ r2
c+1
2¹_~ r2¡V(j~ rj) (9.7)
unde m¸ arimea :1
¹=1
m1+1
m2adic¸ a ¹=m1m2
m1+m2(9.8)
poart¸ a numele de masa redus¸ a a sistemului.
Examin^ and expresia (9.7) a lagrangeeanului, se observ¸ a c¸ a nu intervin explicit coordona-
tele vectorului de pozit »ie ~ rc, ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a impulsurile generalizate asociate acestora
sunt constante ale mi» sc¸ arii. Cele trei integrale prime, scrise vectorial, conduc la proprietatea :
_~ rc=_~ r0
c deci ~ rc(t) =_~ r0
ct+~ r0
c (9.9)
ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a centrul de mas¸ a al sistemului este ¯e ^ ³n repaus, ¯e ^ ³n mi» scare rectilinie
uniform¸ a, ^ ³n raport cu un sistem inert »ial de referint »¸ a, depinz^ and de condit »iile init »iale. Re-
zultatul era de a» steptat, deoarece asupra sistemului nu act »ioneaz¸ a fort »e exterioare, iar cele
interioare nu au nici o in°uent »¸ a asupra mi» sc¸ arii centrului de mas¸ a.

9.2. MIS »CAREA ^IN C ^AMP CENTRAL 111
Deoarece ecuat »iile Lagrange corespunz¸ atoare componentelor lui ~ rnu vor cont »ine compo-
nentele vectorilor ~ rc» si_~ rc, ele pot ¯ deduse formal pornind de la lagrangeeanul :
L0=1
2¹_~ r2¡V(j~ rj) (9.10)
^Ins¸ a aceast¸ a funct »ie coincide cu lagrangeeanul unui punct material de mas¸ a ¹, a°at ^ ³n
mi» scare ^ ³ntr-un c^ amp de fort »e exterior care deriv¸ a din potent »ialul V(j~ rj) , care este simetric
^ ³n raport originea unui sistem de axe, vectorul de pozit »ie al punctului la un moment dat ^ ³n
raport cu aceast¸ a origine ¯ind ~ r.
^In consecint »¸ a, problema determin¸ arii mi» sc¸ arii celor dou¸ a corpuri ^ ³n raport cu centrul
de mas¸ a, poate ¯ redus¸ a ^ ³ntotdeauna la problema echivalent¸ a a studiului mi» sc¸ arii unei
particule de mas¸ a ¹sub act »iunea unei fort »e centrale a c¸ arei m¸ arime depinde numai de
distant »a dintre particul¸ a » si centrul de fort »e. Odat¸ a cunoscut¸ a aceast¸ a mi» scare ~ r=~ r(t) ,
folosind relat »iile (9.6) pot ¯ determinate ecuat »iile de mi» scare ~ r0
1=~ r0
1(t) » si~ r0
2=~ r0
2(t) ale celor
dou¸ a puncte ^ ³n raport cu centrul de mas¸ a. Mi» sc¸ arile individuale ale celor dou¸ a corpuri ^ ³n
raport cu sistemul inert »ial Oxyz vor ¯ date de expresiile :
~ r1=~ rc+~ r0
1=~ rc¡m2
m1+m2~ r , ~ r2=~ rc+~ r0
2=~ rc+m1
m1+m2~ r (9.11)
9.2 Mi» scarea ^ ³n c^ amp central
Se studiaz¸ a mi» scarea unei particule de mas¸ a m^ ³ntr-un c^ amp de fort »e caracterizat prin
aceea c¸ a energia potent »ial¸ a depinde numai de distant »a rla un punct ¯x, ^ ³n care se consider¸ a
plasat centrul de fort »e » si care constituie originea sistemului de referint »¸ a. ^Intruc^ at V=V(r) ,
fort »a care act »ioneaz¸ a asupra punctului este de tip central :
~F=¡rV(r) =¡dV
dr¢~ r
r; F(r) =¡dV
dr(9.12)
deoarece j~Fjdepinde numai de distant »a rde la centrul de fort »e la punctul de mas¸ a m, iar
suportul fort »ei trece obligator prin origine.
Dup¸ a cum se » stie, caracteristic mi» sc¸ arii unui punct ^ ³n c^ amp central este faptul c¸ a mo-
mentul s¸ au cinetic ^ ³n raport cu centrul de fort »e este constant ^ ³n tot cursul de mi» sc¸ arii :
~L=m(~ r£~ v) =m(~ r0£~ v0) =~L0(9.13)
^In plus deoarece ~ r¢~L0= 0mi» scarea este plan¸ a , vectorul de pozit »ie ~ rg¸ asindu-se tot timpul
^ ³n planul determinat de vectorii ~ r0» si~ v0, plan perpendicular pe vectorul constant ~L0.
Problema are astfel dou¸ a grade de libertate , funct »ia lui Lagrange ^ ³n coordonatele
polare r» siµav^ and expresia :
L=1
2m( _r2+r2_µ2)¡V(r) (9.14)
Se observ¸ a c¸ a coordonata µesteciclic¸ a , ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a impulsul generalizat cores-
punz¸ ator ei este o integral¸ a prim¸ a a ecuat »iilor de mi» scare :
pµ=@L
@_µ=mr2_µ=const : (9.15)

112 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
^In fond, se reobt »ine legea de conservare a momentului cinetic pentru sistemul consi-
derat, constanta care ¯gureaz¸ a ^ ³n (9.15) ¯ind chiar j~L0j ´L0:
mr2_µ=L0(9.16)
Interpretarea geometric¸ a a acestei integrale prime este evident¸ a, dac¸ a se are ^ ³n vederea
expresia vitezei areolare ^ ³n coordonate polare j~­j=1
2r2_µ. Din (9.16) rezult¸ a :
L0= 2mj~­j (9.17)
» si mi» scarea punctului pe traiectorie se face cu vitez¸ a areolar¸ a constant¸ a. Cu alte cuvinte,
din conservarea momentului cinetic rezult¸ a c¸ a vectorul de pozit »ie al punctului material
descrie arii egale ^ ³n timpuri egale (legea a doua a lui Kepler).
O alt¸ a integral¸ a prim¸ a care poate ¯ scris¸ a direct este integrala energiei . Sistemul ¯ind
conservativ, lagrangeeanul nu cont »ine explicit timpul » si^ ³n consecint »¸ a energia mecanic¸ a total¸ a
a sistemului se conserv¸ a ^ ³n cursul mi» sc¸ arii :
E=1
2m( _r2+r2_µ2) +V(r) =1
2m_r2+L02
2mr2+V(r) (9.18)
unde, folosind (9.16), s-a f¸ acut ^ ³nlocuirea _µ=L0
mr2. Aceast¸ a lege de conservare este de fapt
o consecint »¸ a a ecuat »iei Lagrange radiale :
mÄr¡mr_µ2+dV
dr= 0 (9.19)
care, f¸ ac^ and aceea» si substitut »ie, se poate scrie » si sub forma :
mÄr¡L02
mr3+dV
dr= 0 (9.20)
^Inmult »ind aceast¸ a ecuat »ie cu _ r, rezultatul poate ¯ scris sub forma unei diferent »iale totale
dup¸ a timp :
d
dt0
@1
2m_r2+L02
2mr2+V1
A= 0 (9.21)
care integrat¸ a conduce la ecuat »ia (9.18). Reciproc, deriv^ and (9.18) se obt »ine ecuat »ia de
mi» scare (9.20).
Solut »ia complet¸ a a problemei mi» sc¸ arii particulei ^ ³n c^ amp central, poate ¯ obt »inut¸ a formal
pornind de la legile de conservare ale energiei » si momentului cinetic. Din ecuat »ia (9.18)
rezult¸ a :
_r=dr
dt=§vuut2
m"
E¡V(r)¡L02
2mr2#
(9.22)
Separ^ and variabilele » si integr^ and, se va obt »ine :
t=t0§r(t)Z
r0drvuut2
m"
E¡V(r)¡L02
2mr2#(9.23)

9.2. MIS »CAREA ^IN C ^AMP CENTRAL 113
unde r0reprezint¸ a valoarea lui rla momentul t=t0. Efectu^ and aceast¸ a integral¸ a, poate ¯
dedus¸ a, cel put »in ^ ³n principiu, funct »ia r=r(t) .
Odat¸ a determinat¸ a aceast¸ a funct »ie, pornind de la ecuat »ia (9.16) scris¸ a sub forma :
dµ=L0
mr2(t)dt (9.24)
prin integrare va rezulta funct »ia µ=µ(t) :
µ=µ0+tZ
t0L0dt
mr2(t)(9.25)
unde µ0reprezint¸ a valoarea lui µla momentul t=t0.
Pentru a obt »ine direct ecuat »ia propriu-zis¸ a a traiectoriei r=r(µ) , f¸ ar¸ a a deduce^ ³n preala-
bil ecuat »iile parametice, se porne» ste de la observat »ia c¸ a : d t=dr
§vuut2
m"
E¡V(r)¡L02
2mr2#.
F¸ ac^ and aceast¸ a ^ ³nlocuire ^ ³n (9.25), se obt »ine ^ ³n ¯nal :
µ=µ0§r(t)Z
r0L0
r2dr
vuut2m"
E¡V(r)¡L02
2mr2#(9.26)
care reprezint¸ a ecuat »ia traiectoriei punctului material a c¸ arui mi» scare este studiat¸ a folo-
sind coordonate polare.
Dup¸ a cum era de a» steptat, problema av^ and dou¸ a grade de libertate, solut »ia ei general¸ a
(9.23) » si (9.25) depinde de patru constante de integrare : r0,µ0,E,L0, ultimele dou¸ a ¯ind
legate de condit »iile init »iale r0,µ0, _r0,_µ0prin intermediul relat »iilor (9.16) » si (9.18).
Alegerea corespunz¸ atoare a semnelor ^ ³n (9.23) » si (9.26) este de asemenea determinat¸ a
de condit »iile init »iale. De exemplu, semnul integralei din (9.23) este determinat de semnul
derivatei _ rla momentul t=t0. Pe de alt¸ a parte, observ^ and din (9.16) c¸ a funct »ia µeste o
funct »ie monoton¸ a, tot condit »iile init »iale vor spune dac¸ a funct »ia µ(t) este monoton cresc¸ atoare
sau descresc¸ atoare ^ ³n timp.
De» si odat¸ a cu g¸ asirea solut »iei generale (9.23) » si (9.25) problema este principial rezolvat¸ a,
din punct de vedere practic situat »ia nu este chiar at^ at de simpl¸ a, deoarece chiar pentru ex-
presii banale ale potent »ialului V(r) , integralele care urmeaz¸ a a ¯ evaluate nu conduc dec^ at
foarte rar la expresii care cont »in funct »ii elementare u» sor de interpretat calitativ. Astfel, pen-
truV=k
rn, integralele se exprim¸ a prin funct »ii elementare numai dac¸ a n=¡2;¡1;1;2 ;
iar pentru n=¡6;¡4;3;4;6 integralele respective se exprim¸ a prin funct »ii eliptice.
O analiz¸ a calitativ¸ a a caracterului mi» sc¸ arii poate ¯ obt »inut¸ a obsev^ and c¸ a ecuat »ia radial¸ a
(9.20) poate ¯ interpretat¸ a ca o ecuat »ie care descrie mi» scarea unidimensional¸ a a unui punct
material de mas¸ a masupra c¸ aruia act »ioneaz¸ a fort »a efectiv¸ a :
Feff=¡dV
dr+L02
mr3; Veff(r) =¡Z
Feffdr=V(r) +L02
2mr2(9.27)

114 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
Termenul suplimentar care apare este de natur¸ a centrifugal¸ a, deoarece av^ and ^ ³n vedere ex-
presia (9.16) pentru L0, rezult¸ a :
L02
mr3=mr_µ2=mv2
µ
r(9.28)
Legea conserv¸ arii energiei (9.18) se va transcrie ^ ³n forma :
E=1
2m_r2+Veff(r) (9.29)
» si deoarece _ r2¸0 , va trebui ca ^ ³ntotdeauna :
E¸Veff(r) =V(r) +L02
2mr2(9.30)
Aceast¸ a condit »ie de¯ne» ste domeniul de variat »ie al valorilor lui r^ ³n funct »ie de forma
potent »ialului V(r) » si de valorile energiei mecanice totale E. Semnul de egalitate este posibil
doar atunci c^ and _ r= 0 , deci atunci c^ and _ r^ ³» si schimb¸ a semnul, adic¸ a c^ and funct »ia r(t)
din cresc¸ atoare devine descresc¸ atoare » si invers (reamintim c¸ a funct »ia µ(t) este ¯e monoton
cresc¸ atoare, ¯e monoton descrec¸ atoare, deoarece ^ ³ntotdeauna _µ6= 0).
Figura 9.2: Potent »ialul efectiv pentru mi» scarea ^ ³n c^ amp central
Presupunem c¸ a asupra particulei act »ioneaz¸ a o fort »¸ a atractiv¸ a F(r) =¡k
r2; (k >0) ,
care deriv¸ a din potent »ialul V(r) =¡k
r; (k >0) .^In acest caz, potent »ialul efectiv cores-
punz¸ ator problemei unidimensionale are expresia :
Veff(r) =¡k
r+L02
2mr2(9.31)
^In conformitate cu condit »ia E¸Veff, valorile posibile ale lui rse situeaz¸ a ^ ³n domeniul ^ ³n
care curba Veff(r) se g¸ ase» ste sub dreapta E=const :(v. Fig. 9.2). Punctele de intersect »ie
de¯nesc valorile extreme ale coordonatei radiale.

9.2. MIS »CAREA ^IN C ^AMP CENTRAL 115
Se observ¸ a c¸ a pentru E¸0 ^ ³ntotdeauna r(t)¸rmin. Particula, venind de la in¯nit, se
va lovi de o "barier¸ a de potent »ial centrifugal¸ a" » si apoi se va ^ ³ndrepta din nou spre in¯nit (v.
Fig. 9.3.a).
Figura 9.3: Forme posibile ale traiectoriilor ^ ³n c^ amp central
Pentru ( Veff)min< E < 0 rezult¸ a c¸ a rmin·r(t)·rmax, traiectoria ¯ind cont »inut¸ a ^ ³n
interiorul unui inel delimitat de cercurile av^ and razele rmin» sirmax» si va ¯ tangent¸ a la aceste
cercuri ^ ³n punctele de contact (v. Fig. 9.3.b). Curba va ¯ ^ ³nchis¸ a doar dac¸ a n¢µ= 2¼k,
unde n» siksunt numere ^ ³ntregi, iar ¢ µreprezint¸ a unghiul descris de raza vectoare ^ ³ntre
dou¸ a valori consecutive ale lui rmax:
¢µ= 2rmaxZ
rminL0
r2dr
vuut2m"
E¡V(r)¡L02
2mr2#(9.32)
Limitele de integrare rmin» sirmaxsunt r¸ ad¸ acinile polinomului de la numitor.
Pentru E= (Veff)min, traiectoria degenereaz¸ a ^ ³ntr-un cerc (v. Fig. 9.3.c).
Analiza calitativ¸ a prezentat¸ a^ ³» si p¸ astreaz¸ a^ ³n^ ³ntregime valabilitatea pentru orice potent »ial
atractiv care satisface la condit »iile : a) jV(r)jscade mai lent ca1
r2pentru r! 1 ; b)jV(r)j
cre» ste mai lent dec^ at1
r2pentru r!0 . Pentru orice potent »ial atractiv care ^ ³ndepline» ste
aceste condit »ii va exista ^ ³ntotdeauna un rmin6= 0 p^ an¸ a la care particula se poate apropia de
centrul de fort »e.
Ref¸ ac^ and rat »ionamentul pentru un potent »ial repulsiv de forma V(r) =k
r; (k >0) , se
observ¸ a c¸ a ^ ³ntotdeauna E¸Veff>0 .^In consecint »¸ a va exista un singur punct de intersect »ie
al curbei Veff(r) cu dreapta E=const :(>0) » si deci ^ ³ntotdeauna r(t)¸rmin.
Punctele de pe traiectorie pentru care ratinge o valoare extrem¸ a poart¸ a numele de
apside , iar razele vectoare respective se numesc raze apsidale . Traiectoria este ^ ³ntotdea-
unasimetric¸ a fat »¸ a de o raz¸ a apsidal¸ a.

116 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
Ecuat »ia lui Binet
^In ceea ce prive» ste ecuat »ia diferent »ial¸ a a traiectoriei, ea poate ¯ obt »inut¸ a din ecuat »ia
general¸ a de mi» scare (9.20) :
mÄr¡L02
mr3=¡dV
dr(9.33)
elimin^ and timpul cu ajutorul relat »iei (9.16). ^Intruc^ at :
_r=dr
dt=_µdr
dµ=L0
mr2dr
dµ=¡L0
md
dµµ1
r¶
Är=d _r
dt=_µd _r
dµ=¡L02
m2r2d2
dµ2µ1
r¶ (9.34)
ecuat »ia (9.33) devine :
d2
dµ2µ1
r¶
+1
r=mr2
L02dV
dr(9.35)
care este cunoscut¸ a sub numele de ecuat »ia lui Binet . Solut »ia general¸ a r=r(µ) a acestei
ecuat »ii diferent »iale de ordinul doi depinde, ^ ³n afar¸ a de constanta L0, de ^ ³nc¸ a dou¸ a constante
de integrare :
1
r=f(µ; L0; C1; C2) (9.36)
Constantele L0,C1,C2sunt determinate ^ ³n ^ ³ntregime de condit »iile init »iale. Astfel, dac¸ a
la momentul init »ial t=t0, vectorul de pozit »ie ~ r0face unghiul µ0cu o direct »ie ¯x¸ a de
Figura 9.4: Condit »iile init »iale ale problemei
referint »¸ a, iar viteza init »ial¸ a ~ v0face unghiul ®cu axa polar¸ a (v. Fig. 9.4), componentele
vitezei punctului la momentul respectiv sunt :
_r0=v0cos®
r0_µ0=v0sin®(9.37)
Conform de¯nit »iei (9.16), constanta L0va avea valoarea :
L0=mr2
0_µ0=mr0¢r0_µ0=mr0v0sin® (9.38)
iar constantele C1» siC2rezult¸ a din sistemul de ecuat »ii :
1
r0=f(µ0; L0; C1; C2) ;µ
¡_r
r2¶
0=L0
mr2
0Ã@f
@µ!
0(9.39)

9.3. MIS »CAREA KEPLERIAN ¸A 117
Dup¸ a cum s-a ar¸ atat la ^ ³nceputul paragrafului, cunosc^ and potent »ialul V(r) din care
deriv¸ a fort »a, solut »ia ecuat »iei (9.35) poate ¯ obt »inut¸ a indirect » si prin cuadraturi, ea av^ and
forma explicit¸ a (9.26) .
9.3 Mi» scarea keplerian¸ a
Se studiaz¸ a mi» scarea unei particule de mas¸ a m^ ³ntr-un c^ amp atractiv cu simetrie cen-
tral¸ a, av^ and forma :
V(r) =¡k
r, F(r) =¡k
r2; k >0 (9.40)
centrul de fort »e g¸ asindu-se ^ ³n originea sistemului de coordonate. Exemplul tipic ^ ³l consti-
tuiec^ ampul gravitat »ional al Pam^ antului , pentru care k=fmM , unde Meste masa
P¸ am^ antului, meste masa corpului atras, iar feste constanta atract »iei universale. O problem¸ a
similar¸ a este cea a mi» sc¸ arii unei planete ^ ³n jurul Soarelui, Mreprezent^ and masa Soarelui, iar
mmasa planetei. ^In ambele situat »ii, ecuat »iile de mi» scare ale problemei echivalente ar trebui
s¸ a cont »in¸ a masa redus¸ a1
¹=1
m+1
M, ^ ³ns¸ a deoarece ^ ³n majoritatea cazurilor MÀm, se
poate considera ^ ³n bun¸ a aproximat »ie c¸ a ¹¼m, iar centrul de mas¸ a al sistemului coincide
practic cu centrul masei M, care poate ¯ ales ca origine a sistemului inert »ial fat »¸ a de care
este raportat¸ a mi» scarea. Studiul interact »iunii coulombiene dintre dou¸ a sarcini Z1e» siZ2e
av^ and semne diferite, se ^ ³ncadreaz¸ a ^ ³n aceea» si clas¸ a de probleme, caz ^ ³n care k=¡Z1Z2e2.
Metoda cea mai simpl¸ a de obt »inere a ecuat »iei traiectoriei r=r(µ) const¸ a ^ ³n determinarea
solut »iei ecuat »iei lui Binet (9.35), ^ ³n care se face ^ ³nlocuireadV
dr=k
r2:
d2
dµ2µ1
r¶
+1
r=km
L02 (9.41)
Solut »ia general¸ a a acestei ecuat »ii diferent »iale de ordinul doi este :
1
r=C1cos(µ¡µ1) +km
L02 (9.42)
unde C1» siµ1sunt constante de integrare care pot ¯ determinate din condit »iile init »iale.
Efectu^ and notat »iile :
p=L02
km; C1=e
p(9.43)
ecuat »ia traiectoriei (9.42) cap¸ at¸ a forma :
r=p
1 +ecos(µ¡µ1)(9.44)
care reprezint¸ a ecuat »ia unei conice ^ ³n coordonate polare, av^ and focarul ^ ³n originea
sistemului de coordonate (care coincide cu centrul de fort »e). Aici preprezint¸ a parame-
trul conicei, iar eesteexcentricitatea conicei, adic¸ a raportul dintre distant »a de la centrul

118 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
conicei la unul din focare » si semiaxa mare. ^In funct »ie de valoarea excentricit¸ at »ii, conica poate
¯ o hiperbol¸ a ( e >1) , o parabol¸ a ( e= 1) , o elips¸ a (0 < e < 1) , care poate degenera ^ ³ntr-un
cerc ( e= 0) . O relat »ie foarte util¸ a ^ ³n aplicat »ii este : p=a(1¡e2) =§b2
a, unde semnul (+)
corespunde elipsei, iar semnul ( ¡) hiperbolei.
Impun^ and condit »iile init »iale obi» snuite, pot ¯ determinate u» sor constantele de integrare e
» siµ1. Pentru ^ ³nceput va ¯ evaluat parametrul conicei :
p=L02
km=mr2
0v2
0sin2®
k(9.45)
^In continuare, scriind (9.44) sub forma1
r=1
p[ 1 +ecos(µ¡µ1) ] » si f¸ ac^ and t=t0, rezult¸ a :
1
r0=1
p[ 1 +ecos(µ0¡µ1) ] (9.46)
adic¸ a :
ecos(µ0¡µ1) =p
r0¡1 (9.47)
Deriv^ and aceea» si expresie dup¸ a timp :
_r
r2_µ=e
psin(µ¡µ1) (9.48)
f¸ ac^ and din nou t=t0» si t »in^ and cont de (9.37), rezult¸ a :
v0cos®
r0v0sin®=e
psin(µ0¡µ1) (9.49)
adic¸ a :
esin(µ0¡µ1) =p
r0cos®
sin®(9.50)
Ridic^ and la p¸ atrat (9.47) » si (9.50) » si adun^ and rezultatele, obt »inem :
e2=µp
r0¡1¶2
+p2
r2
0cos2®
sin2®= 1¡2p
r0+p2
r2
0Ã
1 +cos2®
sin2®!
= 1+2p
r0µp
2r0sin2®¡1¶
(9.51)
de unde, folosind (9.45), rezult¸ a :
e2= 1 + 2L02
kmr 0Ãmr0v2
0
2k¡1!
(9.52)
Deoarece, pornind de la conservarea energiei mecanice totale a particulei, se poate scrie :
1
2mv2
0=E¡V=E+k
r0(9.53)
expresia excentricit¸ at »ii (9.52) poate ¯ pus¸ a » si sub forma :
e2= 1 + 2L02
kmr 0"r0
kÃ
E+k
r0!
¡1#
= 1 +2EL02
mk2(9.54)

9.3. MIS »CAREA KEPLERIAN ¸A 119
Constanta µ1se determin¸ a f¸ ac^ and raportul relat »iilor (9.50) » si (9.47) :
tg (µ0¡µ1) =p
p¡r0cos®
sin®=L02
L02¡kmr 0cos®
sin®=r0v2
0sin®cos®
r0v2
0sin2®¡k
m(9.55)
Dac¸ a condit »iile init »iale sunt astfel alese, ^ ³nc^ at la momentul t=t0punctul se g¸ ase» ste la
distant »a minim¸ a fat »¸ a de centrul atractiv, atunci ®=§¼
2» si dac¸ a unghiul µeste m¸ asurat de
la aceast¸ a raz¸ a, atunci µ0=µ1= 0 .
Ecuat »ia (9.44) a traiectoriei poate ¯ obt »inut¸ a » si direct, efectu^ and ^ ³nlocuirea V(r) =¡k
r
^ ³n solut »ia general¸ a (9.26). Se porne» ste de la integrala :
µ¡µ0=rZ
r0L0
r2dr
s
2mE+2mk
r¡L02
r2(9.56)
^ ³n care se face schimbarea de variabil¸ a :
u=1
r; d u=¡1
r2dr (9.57)
rezult^ and expresia :
µ¡µ0=¡uZ
u0dus
2mE
L02+2mk
L02u¡u2(9.58)
Folosind formula de integrare :
Zdxp
ax2+bx+c=¡1p
¡aarcsin2ax+bp
b2¡4ac+C ;(a <0
b2¡4ac > 0(9.59)
se obt »ine :
µ¡µ2= arcsin¡u+mk
L02
s
m2k2
L04+2mE
L02(9.60)
unde constanta µ2cont »ine pe µ0» si termenul constant din integral¸ a. F¸ ac^ and schimbarea
µ2=µ1+¼
2rezultatul devine :
u=mk
L02+s
m2k2
L04+2mE
L02cos(µ¡µ1) (9.61)
adic¸ a :
r=L02
km
1 +s
1 +2EL02
mk2cos(µ¡µ1)(9.62)

120 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
De» si calculele sunt mult mai complicate dec^ at ^ ³n cazul obt »inerii nemijlocite a solut »iei ecuat »iei
lui Binet, procedeul prezint¸ a avantajul c¸ a rezultatul cont »ine expresiile explicite ale constan-
telor p» sie.
Av^ and ^ ³n vedere expresiile (9.52) » si (9.54) pentru excentricitate, traiectoriile posibile ale
punctului material ^ ³n c^ ampul atractiv V(r) =¡k
rvor ¯ determinate de condit »iile init »iale
dup¸ a cum urmeaz¸ a :
– hiperbol¸ a ( e >1) dac¸ a E >0 sau r0v2
0>2k
m
– parabol¸ a ( e= 1) dac¸ a E= 0 sau r0v2
0=2k
m
– elips¸ a (0 < e < 1) dac¸ a ¡mk2
2L02< E < 0 sauk
m< r0v2
0<2k
m
– cerc ( e= 0) dac¸ a E=¡mk2
2L02 sau r0v2
0=k
m(9.63)
Propriet¸ at »ile mi» sc¸ arii pe o traiectorie eliptic¸ a
^In cele ce urmeaz¸ a vor ¯ studiate mai am¸ anunt »it propriet¸ at »ile mi» sc¸ arii eliptice, acestea
prezent^ and un interes deosebit » si din punct de vedere istoric, ^ ³ntruc^ at ele sunt sintetizate ^ ³n
legile lui Kepler .
Figura 9.5: Mi» scarea keplerian¸ a – traiectoria eliptic¸ a
Distant »a minim¸ a, respectiv cea maxim¸ a, fat »¸ a de centrul atractiv, se obt »ine din solut »ia
(9.44) f¸ ac^ and µ=µ1, respectiv µ=µ1+¼:
rmin=p
1 +e; rmax=p
1¡e(9.64)
Aceste valori pot ¯ folosite pentru a calcula semiaxele elipsei (v. Fig. 9.5) :
a=1
2(rmin+rmax) =p
1¡e2; b=ap
1¡e2=pp
1¡e2(9.65)
Folosind formulele (9.45) » si (9.54), aceste m¸ arimi pot ¯ exprimate prin intermediul constan-
telor E» siL0:
a=L02
kmmk2
2jEjL02=k
2jEj;b=L02
kmvuutmk2
2jEjL02=L0
q
2mjEj(9.66)

9.3. MIS »CAREA KEPLERIAN ¸A 121
Se observ¸ a c¸ a m¸ arimea semiaxei mari a elipsei depinde doar de energia mecanic¸ a
total¸ a » si nu depinde de momentul cinetic al punctului material . Doar m¸ arimea
semiaxei mici depinde » si de momentul cinetic.
Perioada mi» sc¸ arii corpului de elips¸ a poate ¯ calculat¸ a u» sor observ^ and c¸ a dac¸ a ^ ³ntreaga
arie¼aba elipsei este parcurs¸ a ^ ³n timpul T, atunci aria descris¸ a ^ ³n unitate de timp trebuie
s¸ a ¯e egal¸ a cu viteza areolar¸ a :
j~­j=L0
2m=¼ab
T(9.67)
^In consecint »¸ a, pentru Tse obt »ine valoarea :
T=2m¼ab
L0=2m¼
L0k
2jEjL0
q
2mjEj=¼ksm
2jEj3= 2¼a3=2rm
k(9.68)
Rezult¸ a c¸ a perioada unei rotat »ii complete pe elips¸ a depinde doar de energia total¸ a
a punctului, sau de m¸ arimea semiaxei mari » si nu depinde de m¸ arimea momentului
cinetic, sau de m¸ arimea semiaxei mici . Expresia (9.68) poate ¯ pus¸ a » si sub forma :
T2
a3= 4¼2m
k(9.69)
Se observ¸ a c¸ a pentru k=fmM , raportulT2
a3= 4¼21
fMnu depinde de valoarea masei m.
Ecuat »iile (9.44), (9.67), (9.69) reprezint¸ a expresiile matematice ale legilor lui Kepler ,
enunt »ate la ^ ³nceputul sec. al XVII-lea pe baza observat »iilor directe efectuate asupra mi» sc¸ arii
planetelor :
Legea I : Planetele descriu ^ ³n jurul Soarelui elipse, Soarele a°^ andu-se ^ ³n unul din focare.
Legea a II-a : Viteza areolar¸ a a ¯ec¸ arei planete ^ ³n raport cu Soarele este constant¸ a.
Legea a III-a : Raportul dintre p¸ atratul timpului de revolut »ie » si cubul semiaxei mari a
orbitei este acela» si pentru toate planetele.
Trebuie remarcat c¸ a legea a III-a, a» sa cum a fost ea formulat¸ a de c¸ atre Kepler este
adev¸ arat¸ a doar aproximativ. ^Intr-adev¸ ar, problema mi» sc¸ arii unei planete ^ ³n jurul Soarelui
este o problem¸ a tipic¸ a de mi» scare a dou¸ a corpuri » si de aceea c^ and trebuie efectuat un calcul
corect, ^ ³n expresia (9.68) ^ ³n locul masei mtrebuie s¸ a ¯gureze masa redus¸ a ¹=mM
m+Ma
sistemului Soare-planet¸ a, unde Meste masa Soarelui, iar meste masa planetei. Deoarece
k=fmM , expresia (9.68) devine :
T= 2¼a3=2r¹
k= 2¼a3=2s
1
f(M+m)= 2¼a3=2vuuut1
fMµ
1 +m
M¶ (9.70)
Doar ^ ³n aproximat »iam
M¿1, raportulT2
a3=4¼2
fMeste acela» si pentru toate planetele. Cu
except »ia planetei Jupiter, pentru carem
M¼0;05 , aproximat »ia cont »inut¸ a implicit ^ ³n formu-
larea legii a III-a a lui Kepler este justi¯cat¸ a pentru toate planetele.

122 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
9.4 ^Impr¸ a» stierea particulelor ^ ³ntr-un c^ amp de fort »e
centrale
Studiul ciocnirii elastice a dou¸ a particule de mase m1» sim2reprezint¸ a de asemenea un caz
particular al problemei generale a mi» sc¸ arii a dou¸ a corpuri ^ ³n interact »iune reciproc¸ a. Deoarece
centrul de mas¸ a al sistemului r¸ am^ ane ^ ³n repaus, sau se mi» sc¸ a rectiliniu uniform ^ ³n raport
cu un sistem de referint »¸ a ¯x, numit sistemul laboratorului (SL), determinarea mi» sc¸ arii
sistemului format din cele dou¸ a particule se reduce la studiul mi» sc¸ arii acestora ^ ³n raport
cu un sistem solidar legat de centrul de mas¸ a (SCM). Dup¸ a cum s-a ar¸ atat ^ ³n x9.1 ,
acest¸ a problem¸ a este echivalent¸ a su studiul mi» sc¸ arii unei particule de mas¸ a ¹^ ³ntr-un c^ amp
cu simetrie central¸ a V(r), pentru care se face ipoteza suplimentar¸ a limr!1V(r) = 0 .
Figura 9.6: Traiectoria particulei ^ ³ntr-un c^ amp central repulsiv (a), sau atractiv (b)
Indiferent de faptul c¸ a potent »ialul V(r) este atractiv sau repulsiv, dac¸ a E >0 , traiectoria
particulei de mas¸ a ¹este o curb¸ a simetric¸ a fat »¸ a de raza apsidal¸ a OA, cele dou¸ a asimptote
ale traiectoriei intersect^ and raza apsidal¸ a sub acela» si unghi : £ ^ ³n cazul c^ ampului repulsiv ;
¼¡£ ^ ³n cazul c^ ampului atractiv (v. Fig. 9.6). Unghiul de ^ ³mpr¸ a» stiere Â(unghiul dintre
direct »ia incident¸ a » si cea emergent¸ a)
Â=¼¡2£
Â=¼¡2 (¼¡£) =¡¼+ 2£ = ¡(¼¡2£))
Â=j¼¡2£j (9.71)
iar unghiul apsidal se calculeaz¸ a cu expresia :
£ =1Z
rminL0
r2dr
vuut2¹"
E¡V(r)¡L02
2¹r2#(9.72)
unde rmineste o r¸ ad¸ acin¸ a a polinomului de sub radical. ^In locul constantelor E» siL0se
prefer¸ a utilizarea constantelor v» si½, unde vreprezint¸ a viteza particulei la distant »¸ a ini¯nit¸ a

9.4. ^IMPR ¸AS »TIEREA PARTICULELOR ^INTR-UN C ^AMP DE FORT »E CENTRALE 123
de centrul de fort »e, iar ½reprezint¸ a parametrul de cionire , adic¸ a distant »a la care ar trece
particula fat »¸ a de centrul de fort »e ^ ³n absent »a interact »iunii. Deoarece :
E=1
2¹v2; L0=¹½v (9.73)
expresia (9.72) devine :
£ =1Z
rmin¹½v
r2dr
s
2¹¢1
2¹v2¡2¹V(r)¡2¹¹2½2v2
2¹r2=1Z
rmin½
r2dr
s
1¡2V(r)
¹v2¡½2
r2(9.74)
Relat »iile (9.71) » si (9.74) vor determina leg¸ atura dintre unghiul de ^ ³mpr¸ a» stiere Â(^ ³n SCM) » si
parametrul de ciocnire ½, ^ ³n funct »ie de forma potent »ialului V(r) . Pentru un potent »ial de
interact »iune de tip coulombian :V(r) =¡k
r(k >0 pentru c^ amp atractiv, k <0 pentru
c^ amp repulsiv ; k=¡Z1Z2e2), cu schimbarea de variabil¸ a u=1
r; du=¡dr
r2ecuat »ia (9.74)
devine :
£ =umaxZ
0dus
1
½2¡2k
¹v2½2u¡u2(9.75)
unde umaxeste r¸ ad¸ acina polinomului de sub radical :
umax=k
¹v2½2+s
k2
¹2v4½4+1
½2=k
¹v2½2+1
½s
1 +k2
¹2v4½2(9.76)
Utiliz^ and formula cunoscut¸ a (9.59), integrala (9.75) devine :
£ =¡arcsin¡umax+k
¹v2½2
1
½s
1 +k2
¹2v4½2+ arcsink
¹v2½2
1
½s
1 +k2
¹2v4½2=¼
2+ arcsink
¹v2½s
1 +k2
¹2v4½2(9.77)
Dup¸ a calcule elementare, rezultatul (9.77) se transcrie sub forma :
k
¹v2½= cos £ ¢s
1 +k2
¹2v4½2(9.78)
de unde, av^ and ^ ³n vedere c¸ a x= cos µp
1 +x2se mai poate pune » si sub forma x2tg2µ= 1 ,
rezult¸ a :
½2=k2
¹2v4tg2£ =k2
¹2v4ctg2Â
2(9.79)
deoarece :
– pentru c^ amp repulsiv : £ =¼¡Â
2» si tg £ = ctgÂ
2
– pentru c^ amp atractiv : £ =¼+Â
2» si tg £ = ¡ctgÂ
2(9.80)

124 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
Figura 9.7: Traiectoria particulei ^ ³mpr¸ a» stiate sub unghiul Â^ ³ntr-un c^ amp central repulsiv
Presupunem c¸ a asupra centrului de fort »e cade un fascicul paralel » si omogen de particule
incidente, av^ and ¯ecare viteza v. Deoarece parametrul de ciocnire ½difer¸ a de la particul¸ a
la particul¸ a, va ¯ diferit » si unghiul corespunz¸ ator de ^ ³mpr¸ a» stiere Âfat »¸ a de direct »ia init »ial¸ a
(v. Fig. 9.7). Not^ and cu d Nnum¸ arul de particule deviate ^ ³n unitate de timp ^ ³n unghiul
solid d­ delimitat de conurile av^ and deschiderile la v^ arf » siÂ+ dÂ, » si cu n°uxul incident,
raportul :
d¾=dN
n(9.81)
va reprezenta sect »iunea e¯cace diferent »ial¸ a de ^ ³mpr¸ a» stiere elastic¸ a » si are dimensiune de
suprafat »¸ a. M¸ arimea d ¾este ^ ³n ^ ³ntregime determinat¸ a de forma potent »ialului de interact »iune
V(r) » si reprezint¸ a o caracteristic¸ a esent »ial¸ a a procesului de impr¸ a» stiere. Observ^ and din ¯gur¸ a
c¸ a dN=n¢2¼½d½, formula (9.81) devine :
d¾= 2¼½d½= 2¼½(Â)¯¯¯¯¯d½(Â)
d¯¯¯¯¯d (9.82)
unde derivata este luat¸ a^ ³n valoare absolut¸ a, deoarece^ ³n majoritatea cazurilor ½este o funct »ie
monoton descresc¸ atoare de Â. Trec^ and la elementul de unghi solid d­ = 2 ¼sinÂdÂ, formula
(9.82) devine :
d¾=½(Â)
sin¯¯¯¯¯d½(Â)
d¯¯¯¯¯d­ unde ½=k
¹v2ctgÂ
2(9.83)
Pentru potent »ialul V(r) =¡k
r, deoarece d­ = 4 ¼sinÂ
2cosÂ
2dÂ, se obt »ine ^ ³n ¯nal expresia :
d¾=k
¹v2ctgÂ
2
sin¢1
2k
¹21
sin2Â
2d­ =Ãk
2¹v2!2d­
sin4Â
2=¼Ãk
¹v2!2cosÂ
2
sin3Â
2d (9.84)
Se observ¸ a c¸ a d ¾nu depinde de semnul constantei k.
Rezultatul exprim¸ a sect »iunea e¯cace diferent »ial¸ a de impr¸ a» stiere ^ ³n SCM. Pentru a re-
veni ^ ³n SL, va trebui stabilit¸ a o leg¸ atur¸ a ^ ³ntre unghiul de ^ ³mpr¸ a» stiere ^ ³n SCM » si unghiurile

9.4. ^IMPR ¸AS »TIEREA PARTICULELOR ^INTR-UN C ^AMP DE FORT »E CENTRALE 125
de ^ ³mpr¸ a» stiere ^ ³n SL, motiv pentru care se impune o analiz¸ a mai detaliat¸ a a cinematicii
procesului .
Deoarece viteza centrului de mas¸ a nu se modi¯c¸ a ^ ³n cursul mi» sc¸ arii :
~ vc=1
m1+m2³
~ p(¡)
1+~ p(¡)
2´
=1
m1+m2³
~ p(+)
1+~ p(+)
2´
(9.85)
folosind notat »iile obi» snuite, se va putea scrie :
~ p(¡)
1=m1
m1+m2³
~ p(¡)
1+~ p(¡)
2´
+~ p0(¡)
1 ;~ p(+)
1=m1
m1+m2³
~ p(¡)
1+~ p(¡)
2´
+~ p0(+)
1
~ p(¡)
2=m2
m1+m2³
~ p(¡)
1+~ p(¡)
2´
+~ p0(¡)
2 ;~ p(+)
2=m2
m1+m2³
~ p(¡)
1+~ p(¡)
2´
+~ p0(+)
2(9.86)
unde m¸ arimile notate cu0sunt raportate la centrul de mas¸ a.
^In SCM, prin aplicarea legii conserv¸ arii impulsului » si legii conserv¸ arii energiei la limita
asimptotic¸ aµ
limr!1V(r) = 0¶
, rezult¸ a c¸ a :
~ p0(¡)
1+~ p0(¡)
2=~ p0(+)
1+~ p0(+)
2= 0 ;¯¯¯~ p0(¡)
1¯¯¯=¯¯¯~ p0(¡)
2¯¯¯=¯¯¯~ p0(+)
1¯¯¯=¯¯¯~ p0(+)
2¯¯¯ (9.87)
ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a ^ ³n urma ciocnirii nu se modi¯c¸ a m¸ arimile impulsurilor ^ ³n raport cu SCM,
ci doar orientarea lor ^ ³n spat »iu. Particulele vor ¯ deviate de la direct »ia lor init »ial¸ a cu acela» si
unghi Â^ ³n SCM (v. Fig. 9.8.a).
Figura 9.8: Cinematica ^ ³mpr¸ a» stierii elastice ^ ³ntr-un c^ amp central repulsiv
^In cazul particular ^ ³n care particula 2 este ^ ³n repaus : ~ p(¡)
2= 0, expresiile impulsurilor ^ ³n
SL ^ ³nainte » si dup¸ a ciocnire devin :
~ p(¡)
1=µ
1 +m1
m2¶
~ p0(¡)
1=m1+m2
m2~ p0(¡)
1
~ p(+)
1=m1
m1+m2~ p(¡)
1+~ p0(+)
1=m1
m2~ p0(¡)
1+~ p0(+)
1 (9.88)
~ p(+)
2=m2
m1+m2~ p(¡)
1+~ p0(+)
2=~ p0(¡)
1¡~ p0(+)
1

126 CAPITOLUL 9. PROBLEMA CELOR DOU ¸A CORPURI
Expresiile pot ¯ u» sor interpretate geometric consider^ and un cerc de raz¸ a¯¯¯~ p0(¡)
1¯¯¯=¯¯¯~ p0(+)
1¯¯¯
(v. Fig. 9.8.b). Construind vectorii :¡!
AO=m1
m2~ p0(¡)
1,¡!
OB=~ p0(¡)
1,¡!
AB=~ p(¡)
1,¡!
OC=~ p0(+)
1,
rezult¸ a c¸ a :¡!
AC=~ p(+)
1,¡!
CB=~ p(+)
2. Aici Âeste unghiul de ^ ³mpr¸ a» stiere ^ ³n SCM, iar '1» si'2
sunt unghiurile de ^ ³mpr¸ a» stiere ^ ³n SL. Tot din ¯gur¸ a rezult¸ a evident :
tg'1=m2sinÂ
m1+m2cosÂ; '2=¼¡Â
2(9.89)
Revenind la formula (9.84), f¸ ac^ and Â=¼¡2'2rezult¸ a sect »iunea de ^ ³mpr¸ a» stiere pentru
particulele a°ate init »ial ^ ³n repaus (particulele t »intei) :
d¾2= 2¼Ãkm1
2¹E(¡)
1!2sin'2
cos3'2d'2=Ãkm1
2¹E(¡)
1!2d­2
cos3'2; 0 ·'2·¼
2(9.90)
unde E(¡)
1=1
2m1v(¡)2
1 =1
2m1v2reprezint¸ a energia particulelor incidente.
Deoarece ^ ³n cazul general, pentru d ¾1se obt »ine o expresie foarte complicat¸ a, vor ¯ luate
^ ³n considerare dou¸ a cazuri particulare :
a)m1¿m2: ceea ce are drept consecint »¸ a ¼'1» si¹¼m1. Atunci :
d¾1=Ãk
4E(¡)
1!2d­1
sin4'1
2; 0 ·'1·¼ (9.91)
^Inlocuind aici k=¡Z1Z2e2se obt »ine formula lui Rutherford , care exprim¸ a sect »iunea de
^ ³mpr¸ a» stiere a particulelor ®(Z1= 2) pe nuclee grele de sarcin¸ a Z2, ^ ³n funct »ie de unghiul de
^ ³mpr¸ a» stiere.
b)m1=m2=m: atunci Â= 2'1,¹=m
2» si ^ ³n consecint »¸ a :
d¾1= 2¼Ãk
E(¡)
1!2cos'1
sin3'1d'1=Ãk
E(¡)
1!2cos'1
sin4'1d­1 ; 0 ·'1·¼
2(9.92)
Dac¸ a particulele incidente sunt identice din toate punctele de vedere (nu numai din cel al
masei) cu particulele t »intei, atunci este inutil ca dup¸ a ^ ³mpr¸ a» stiere s¸ a se mai fac¸ a deosebirea
^ ³ntre particulele a°ate init »ial^ ³n mi» scare » si cele a°ate init »ial^ ³n repaus. Deoarece '1='2=',
sect »iunea de impr¸ a» stiere global¸ a pentru toate particulele va ¯ :
d¾= d¾1+ d¾2=Ãk
E(¡)
1!2Ã1
sin4'+1
cos4'!
cos'd­ ; 0 ·'·¼
2(9.93)
^In acest caz unghiul maxim de ^ ³mpr¸ a» stiere nu poate dep¸ a» si valoarea¼
2.

III. Mecanica hamiltonian¸ a

Capitolul 10
Ecuat »iile lui Hamilton
10.1 Coordonate canonice. Spat »iul fazelor
^In cele ce urmeaz¸ a studiul va ¯ limitat doar la sistemele naturale , adic¸ a la sistemele olo-
nome cu un num¸ ar ¯nit de grade de libertate, asupra c¸ arora act »ioneaz¸ a fort »e care deriv¸ a dintr-
un potent »ial obi» snuit sau generalizat. Cunosc^ and lagrangeeanul sistemului L=L(t; q;_q) ,
mi» scarea sa va ¯ determinat¸ a de sistemul de ecuat »ii diferent »iale de ordinul doi :
d
dtÃ@L
@_qk!
¡@L
@qk= 0 ; k= 1; : : : ; n (10.1)
Se » stie din matematic¸ a c¸ a un sistem de ecuat »ii diferent »iale de ordinul doi poate ¯ re-
dus printr-o in¯nitate de moduri la un sistem de ecuat »ii diferent »iale de ordinul ^ ³nt^ ai. Cea
mai simpl¸ a reducere se obt »ine consider^ and ca necunoscute funct »iile de timp ( q;_q) , sistemul
echivalent av^ and forma general¸ a :
dqk
dt= _qk
d _qk
dt=¼
Qk(t; q;_q); k= 1; : : : ; n (10.2)
^Ins¸ a^ ³n calitate de funct »ii necunoscute pot ¯ alese la fel de bine, pe l^ ang¸ a cele ncoordonate
generalizate, un num¸ ar de alte nfunct »ii independente care s¸ a depind¸ a ^ ³ntr-un fel sau altul
de vitezele generalizate. Hamilton a propus alegerea ca necunoscute ale problemei pe l^ anga
coordonatele generalizate, a impulsurilor generalizate :
pk=@L
@_qk; k= 1; : : : ; n (10.3)
Ansamblul de variabile independente ( q; p) va alc¸ atui setul de coordonate canonice folosit
pentru rezolvarea problemei.
Deoarece ^ ³n cazul sistemelor naturale se » stie c¸ a L=L2+L1+L0, din de¯nit »iile (10.3)
rezult¸ a :
pk=nX
j=1akj(t; q)¢_qk+ck(t; q) ; k= 1; : : : ; n (10.4)
129

130 CAPITOLUL 10. ECUAT »IILE LUI HAMILTON
unde akj;k; j= 1; : : : ; n reprezint¸ a coe¯cient »ii formei p¸ atratice care ¯gureaz¸ a^ ³n energia cine-
tic¸ aL2=T2=1
2nX
k;j=1akj_qk_qj, coe¯cient »i care pot ¯ aranjat »i^ ³ntr-o matrice av^ and^ ³ntotdeauna
determinantul diferit de zero. ^In baza acestei propriet¸ at »i, sistemul de ecuat »ii liniare (10.4)
poate ¯ rezolvat ^ ³n raport cu vitezele generalizate, rezult^ and expresiile :
_qk=nX
j=1bkj(t; q)¢pj+dk(t; q) ; k= 1; : : : ; n (10.5)
O serie de m¸ arimi folosite p^ an¸ a acum, exprimate ^ ³n variabilele ( t; q;_q) ^ ³ntre care ¯gureaz¸ a
» si vitezele generalizate, ca de exemplu energia cinetic¸ a, fort »ele generalizate, potent »ialul ge-
neralizat, etc., urmeaz¸ a a ¯ transcrise ^ ³n noul set de variabile ( t; q; p ) care cont »in coordo-
natele canonice, folosind formulele (10.5) . Operat »ia respectiv¸ a va ¯ marcat¸ a simbolic prin
semnul " _" plasat deasupra m¸ arimii sau expresiei ^ ³n care se fac ^ ³nlocuirile speci¯cate :
_
F(t; q;_q)!F(t; q; p ) , rezultatul reprezent^ and expresia asociat¸ a a funct »iei respective.
Trecerea de la variabilele ( t; q;_q) la variabilele ( t; q; p ) poate ¯ realizat¸ a folosind o metod¸ a
mult mai simpl¸ a, cunoscut¸ a sub numele de transformarea lui Legendre . Metoda va ¯
ilustrat¸ a examin^ and cazul particular al unei funct »ii de dou¸ a variabile f(x; y) . Diferent »iala
total¸ a a unei funct »ii f(x; y) are expresia general¸ a :
df=udx+vdy ; u=@f
@x,v=@f
@y(10.6)
unde u» sivsunt funct »ii de ( x; y) . Trecerea de la variabilele independente ( x; y) la variabilele
independente ( u; y) se face folosind funct »ia g(u; y) :
g=f¡u x (10.7)
a c¸ arei diferent »ial¸ a total¸ a este :
dg= df¡udx¡xdu (10.8)
adic¸ a :
dg=¡xdu+vdy ; x=¡@g
@u,v=@g
@y(10.9)
unde x» sivsunt acum funct »ii de variabilele ( u; y) .
Extinz^ and metoda la cazul trecerii de la variabilele ( t; q;_q) la variabilele ( t; q; p ) , ^ ³n locul
lagrangeeanului L(t; q;_q) va ¯ utilizat¸ a funct »ia :
H(t; q; p ) =nX
k=1pk_
_qk¡_
L (10.10)
construit¸ a ^ ³n analogie cu funct »ia (10.7), ^ ³ns¸ a care, pentru comoditatea calculelor ce urmeaz¸ a,
este ^ ³nmult »it¸ a cu ¡1 . Parantezele plasate deasupra m¸ arimilor _ qk;k= 1; : : : ; n » siL, indic¸ a
faptul c¸ a ^ ³n aceste funct »ii vitezele generalizate sunt ^ ³nlocuite prin funct »ii de ( t; q; p ) , cu
ajutorul formulelor (10.5). Funct »ia H(t; q; p ) astfel de¯nit¸ a, poart¸ a numele de funct »ia lui

10.1. COORDONATE CANONICE. SPAT »IUL FAZELOR 131
Hamilton , sauhamiltonian , ea prelu^ and rolul funct »iei lui Lagrange L(t; q;_q) din mecanica
lagrangeean¸ a. Folosind echivalent »ele :
f¡! L x ¡! _qk;k= 1; : : : ; n
g¡! ¡ H u ¡! pk;k= 1; : : : ; n
y¡! t ; qk;k= 1; : : : ; n(10.11)
din egalitatea v=@f
@y=@g
@yrezult¸ a :
@L
@t=¡@H
@t» si@L
@qk=d
dtÃ@L
@_qk!
= _pk=¡@H
@qk;k= 1; : : : ; n (10.12)
unde au fost utilizate ecuat »iile lui Lagrange (10.1) » si de¯nit »iile (10.3). Pe de alt¸ a parte,
^ ³nlocuind ^ ³n x=¡@g
@use obt »ine :
_qk=@H
@pk; k= 1; : : : ; n (10.13)
^In concluzie, ecuat »iile de mi» scare ^ ³n coordonate canonice au forma general¸ a :
_qk=@H
@pk, _pk=¡@H
@qk; k= 1; : : : ; n (10.14)
ele purt^ and numele de ecuat »iile lui Hamilton , sauecuat »ii canonice . Deoarece ^ ³n hamil-
tonianul H(t; q; p ) nu intervin derivate ale coordonatelor sau impulsurilor, (10.14) reprezint¸ a
un sistem de 2 necuat »ii diferent »iale de ordinul ^ ³nt^ ai ^ ³n necunoscutele qk; qk;k= 1; : : : ; n ,
care permit determinarea mi» sc¸ arii sistemului dinamic. Ecuat »iile lui Hamilton, care repre-
zint¸ a echivalentrul ecuat »iilor lui Lagrange din spat »iul con¯gurat »iilor ¤ n, descriu mi» scarea
Figura 10.1: Traiectoria unui punct reprezentativ ^ ³n spat »iul fazelor
sistemului ^ ³ntr-un spat »iu 2 n-dimensional de¯nit de coordonatele ( q; p) , notat cu ¤ 2n» si nu-
mitspat »iul fazelor , sau spat »iul Gibbs . St¸ arii sistemului la un moment dat ^ ³n ¤ 2n^ ³i
corespunde un punct reprezentativ av^ and coordonatele canonice ( q; p) , evolut »ia ^ ³n timp

132 CAPITOLUL 10. ECUAT »IILE LUI HAMILTON
a sistemului mecanic ¯ind descris¸ a de ecuat »iile parametrice ale traiectoriei punctului repre-
zentativ ^ ³n spat »iul fazelor (v. Fig. 10.1) :
qk=qk(t)
pk=pk(t); k= 1; : : : ; n (10.15)
Ecuat »iile lui Hamilton (10.14) puteau ¯ obt »inute » si direct, identi¯c^ and expresia :
dH=@H
@tdt+nX
k=1@H
@qkdqk+nX
k=1@H
@pkdpk= (10.16)
cu diferent »iala total¸ a a de¯nit »iei (10.10) :
dH=nX
k=1_qkdpk+nX
k=1pkd _qk¡@L
@tdt¡nX
k=1@L
@qkdqk¡nX
k=1@L
@_qkd _qk=¡@L
@tdt¡nX
k=1_pkdqk+nX
k=1_qkdpk
(10.17)
unde au fost folosite ecuat »iile lui Lagrange (10.1) » si expresiile (10.3).
Metoda general¸ a de alc¸ atuire a ecuat »iilor lui Hamilton pentru un sistem mecanic dat, im-
pune de obicei parcurgerea urm¸ atoarelor etape : construirea lagrangeeanului L(t; q;_q) , calcu-
lul impulsurilor generalizate cu de¯nit »iile (10.3), construirea funct »iei lui Hamilton H(t; q; p )
pornind de la de¯nit »ia (10.10) ^ ³n care se fac ^ ³nlocuirile (10.5), » si ^ ³n ¯nal ^ ³nlocuirea acestei
funct »ii ^ ³n ecuat »iile (10.14), urmat¸ a de calculul derivatelor. Dup¸ a cum se va ar¸ ata ulterior,
o parte din etapele aceastei metode aparent foarte greoaie, pot ¯ evitate ^ ³n unele cazuri
particulare.
Se observ¸ a c¸ a utiliz^ and ecuat »iile lui Hamilton, rezult¸ a identitatea :
dH
dt=@H
@t+nX
k=1Ã@H
@qk_qk+@H
@pk_pk!
=@H
@t(10.18)
adic¸ a : derivata total¸ a ^ ³n raport cu timpul a funct »iei lui Hamilton este egal¸ a cu
derivata sa part »ial¸ a . Aceasta ^ ³nsemn¸ a c¸ a dac¸ a funct »ia Hnu depinde explicit de timp :
@H
@t= 0 ; H=H(q; p) , atunci ^ ³n baza identit¸ at »ii (10.18) rezult¸ adH
dt= 0 . Cu alte cuvinte,
dac¸ a tnu ¯gureaz¸ a explicit ^ ³n H, ^ ³n cursul mi» sc¸ arii sistemului va trebui ca :
H(q; p) =const (=h) (10.19)
unde heste o constant¸ a determinat¸ a de condit »iile init »iale. Din acest motiv, (10.19) va
reprezenta o integral¸ a prim¸ a a sistemului canonic .
Pentru a g¸ asi interpretarea ¯zic¸ a a hamiltonianului , reamintind c¸ a sunt studiate
doar sisteme naturale pentru care L=L2+L1+L0, din de¯nit »ia (10.10) rezult¸ a c¸ a :
H=nX
k=1pk_
_qk¡_
L=nX
k=1_
@L
@_qk_qk¡_
L=nX
k=1_
@L2
@_qk_qk+nX
k=1_
@L1
@_qk_qk¡_
L2¡_
L1¡L0(10.20)
Aplic^ and teorema lui Euler pentru funct »ii omogene, ultima expresie devine :
H=_
L2¡L0 (10.21)

10.2. COORDONATELE CICLICE S »I FUNCT »IA LUI ROUTH 133
Deoarece ^ ³n general T=T2+T1+T0, iar fort »ele aplicate sistemului deriv¸ a dintr-un potent »ial
obi» snuit Vsau un potent »ial generalizat ¦ = ¦ 1+V, rezult¸ a c¸ a L2=T2,L0=T0¡V» si ^ ³n
consecint »¸ a :
H=_
T2¡T0+V (10.22)
Dac¸ a ^ ³n plus sistemul este scleronom, atunci T=T2,T0= 0 » si deci :
H=_
T+V (10.23)
^In consecint »¸ a, ^ ³n cazul unui sistem natural » si scleronom, funct »ia lui Hamilton
reprezint¸ a energia mecanic¸ a total¸ a a sistemului exprimat¸ a cu ajutorul variabilelor
canonice .
Dac¸ a sistemul este conservativ , adic¸ a dac¸ a sistemul este natural, olonom. scleronom,
pentru care fort »ele deriv¸ a dintr-un potent »ial obi» snuit Vcare nu depinde explicit de timp,
atunci energia totala Hnu va cont »ine explicit timpul » si ^ ³n conformitate cu relat »ia (10.19)
rezult¸ a :_
T+V=h (10.24)
adic¸ a integrala energiei . Se remarc¸ a c¸ a integrala energiei exist¸ a de asemenea dac¸ a sistemul
este scleronom, fort »ele deriv¸ a dintr-un potent »ial generalizat ¦ = ¦ 1+V» si ^ ³n plus@V
@t= 0 ,
deoarece » si ^ ³n aceast¸ a situat »ie funct »ia Hva ¯ dat¸ a de formula (10.23) » si de asemenea ea nu
va depinde explicit de timp.
10.2 Coordonatele ciclice » si funct »ia lui Routh
Ecuat »iile lui Hamilton se dovedesc a ¯ foarte utile pentru determinarea mi» sc¸ arii, ^ ³n special
^ ³n cazul sistemelor ce cont »in coordonate ciclice.
Se observ¸ a c¸ a dac¸ a o coordonat¸ a q®este ciclic¸ a, adic¸ a dac¸ a@L
@q®= 0 , rezult¸ a _ p®= 0 ,
ceea ce implic¸ a conform ecuat »iilor lui Hamilton c¸ a@H
@q®= 0 , adic¸ a coordonata ciclic¸ a nu
¯gureaz¸ a explicit nici ^ ³n expresia hamiltonianului . Deci, din punctul de vedere al
absent »ei coordonatei ciclice, ^ ³ntre lagrangeean » si hamiltonian exist¸ a o similitudine perfect¸ a.
^Ins¸ a din punctul de vedere al determin¸ arii mi» sc¸ arii, ^ ³ntre cele dou¸ a funct »ii L» siHexist¸ a
deosebiri esent »ale.
Presupun^ and c¸ a coordonatele q®;®=m+ 1; : : : ; n sunt ciclice, funct »ia lui Lagrange se
scrie :
L=L(t; q1; : : : ; q m;_q1; : : : ; q n) (10.25)
ea put^ and cont »ine toate vitezele » si atunci indiferent de prezent »a coordonatelor ciclice, va
trebui rezolvat¸ a tot o problem¸ a cu ngrade de libertate.
Dac¸ a ^ ³ns¸ a mi» scarea sistemului este descris¸ a cu ajutorul funct »iei lui Hamilton, deoarece
impulsurile generalizate corespunz¸ atoare coordonatelor ciclice sunt ni» ste constante p®=b®;
®=m+ 1; : : : ; n , hamiltonianul se va scrie sub forma general¸ a :
H=H(t; q1; : : : ; q m; p1; : : : ; p m; bm+1; : : : ; b n) (10.26)

134 CAPITOLUL 10. ECUAT »IILE LUI HAMILTON
^In prezent »a coordonatelor ciclice sistemul canonic se reduce la primele 2 mecuat »ii cu 2 m
necunoscute ( q1; : : : ; q m; p1; : : : ; p m) :
_qj=@H
@pj, _pj=¡@H
@qj; j= 1; : : : ; m (10.27)
solut »ia sa general¸ a scriindu-se :
qj=qj(t; a1; : : : ; a m; b1; : : : ; b m; bm+1; : : : ; b n)
pj=pj(t; a1; : : : ; a m; b1; : : : ; b m; bm+1; : : : ; b n); j= 1; : : : ; m (10.28)
unde aj; bj;j= 1; : : : ; m sunt constante de integrare. Coordonatele ciclice r¸ amase nedeter-
minate q®;®=m+ 1; : : : ; n , rezult¸ a din sistemul canonic av^ and hamiltonianul :
H=H(t; a1; : : : ; a m; b1; : : : ; b n) (10.29)
Folosind ecuat »iile
_q®=@H
@b®; ®=m+ 1; : : : ; n (10.30)
prin integr¸ ari directe rezult¸ a :
q®=Z@H
@b®dt+a® ; ®=m+ 1; : : : ; n (10.31)
Astfel, problema determin¸ arii mi» sc¸ arii este rezolvat¸ a ^ ³n ^ ³ntregime, ¯ind determinate toate
funct »iile qk=qk(t) ;k= 1; : : : ; n .
Metoda descris¸ a pare simpl¸ a doar la prima vedere, aplicarea ei ¯ind de multe ori greoaie
atunci c^ and trebuie rezolvat¸ a o problem¸ a concret¸ a. ^In asemenea situat »ii este preferabil¸ a
utilizarea metodei lui Routh , care ^ ³n esent »¸ a reprezint¸ a de asemenea o metod¸ a de trecere
de la variabilele ( q;_q) la variabilele ( q; p) , ^ ³ns¸ a care este realizat¸ a doar pentru o parte din
coordonate.
Presupunem c¸ a mi» scarea este descris¸ a ^ ³n setul de variabile independente :
(t; q1; : : : ; q m;_q1; : : : ; _qm; qm+1; : : : ; q n; pm+1; : : : ; p n) (10.32)
Pentru a trece de la setul de variabile ( q;_q) la setul de variabile (10.32), vor trebui determinate
m¸ arimile _ q®;®=m+ 1; : : : ; n din sistemul liniar :
p®=@L
@_q®; ®=m+ 1; : : : ; n (10.33)
» si admit »^ and c¸ a acest lucru este posibil, va rezulta c¸ a :
_q®= _q®(t; q1; : : : ; q n;_q1; : : : ; _qm; pm+1; : : : ; p n) ; ®=m+ 1; : : : ; n (10.34)
Folosind transformarea Legendre, se introduce funct »ia lui Routh :
R=nX
®=m+1p®_
_q®¡_
L (10.35)

10.3. PARANTEZELE POISSON 135
unde se fac ^ ³nlocuirile (10.34). Av^ and ^ ³n vedere c¸ a funct »ia lui Routh depinde de setul de va-
riabile independente (10.32), ecuat »iile de mi» scare corespunz¸ atoare coordonatelor pentru care
nuse face trecerea la impulsurile generalizate vor trebui s¸ a ¯e de tipul ecuat »iilor Lagrange :
d
dtÃ@R
@_qj!
¡@R
@qj= 0 ; j= 1; : : : ; m (10.36)
iar restul de ecuat »ii care furnizeaz¸ a mi» scarea, corespunz^ and transform¸ arilor (10.34), vor ¯ de
tipul ecuat »iilor lui Hamilton :
_q®=@R
@p®, _p®=¡@R
@q®; ®=m+ 1; : : : ; n (10.37)
Au fost astfel deduse ecuat »iile lui Routh , care const¸ a din mecuat »ii diferent »iale de
ordinul doi, de tip Lagrange » si 2 ( n¡m) ecuat »ii diferent »iale de ordinul ^ ³nt^ ai, de tip Hamilton.
^In primul set de ecuat »ii, funct »ia Rjoac¸ a rolul lagrangeeanului, iar ^ ³n al doilea set de ecuat »ii,
aceea» si funct »ie joac¸ a rolul hamiltonianului.
Dac¸ a coordonatele q®;®=m+ 1; : : : ; n sunt ciclice, atunci impulsurile generalizate
corespunz¸ atoare sunt ni» ste constante p®=b®;®=m+ 1; : : : ; n care pot ¯ determinate din
condit »iile init »iale . Deoarece coordonatele respective nu intervin ^ ³n lagrangeean, ele nu vor
interveni explicit nici ^ ³n funct »ia lui Routh, care are forma general¸ a :
R=R(t; q1; : : : ; q m;_q1; : : : ; _qm; bm+1; : : : ; b n) (10.38)
^In aceast¸ a situat »ie, ecuat »iile (10.36) pot ¯ rezolvate f¸ ac^ and abstract »ie de existent »a coordo-
natelor ciclice, solut »ia acestora ¯ind funct »iile qj=qj(t) ;j= 1; : : : ; n . Funct »iile q®=q®(t) ;
®=m+ 1; : : : ; n se obt »in prin integrarea direct¸ a a ecuat »iilor _ q®=@R
@b®;®=m+ 1; : : : ; n .
Astfel, problema determin¸ arii mi» sc¸ arii sistemului este complet rezolvat¸ a.
10.3 Parantezele Poisson
^In cele ce urmeaz¸ a vor ¯ discutate mai am¸ anunt »it o serie de propriet¸ at »i ale integralelor
prime ale sistemului de ecuat »ii de mi» scare ale lui Hamilton. Se » stie c¸ a o integral¸ a prim¸ a a
sistemului de 2 necuat »ii diferent »iale de ordinul ^ ³nt^ ai :
_qk=@H
@pk, _pk=¡@H
@qk; k= 1; : : : ; n (10.39)
este o funct »ie f(t; q; p ) care se reduce identic, pentru orice t, la o constant¸ a, c^ and necunos-
cutele ( q; p) sunt solut »ii ale ecuat »iilor (10.39) :
f(t; q; p ) =const : (10.40)
Dup¸ a cum s-a v¸ azut ^ ³n paragraful anterior, dac¸ a timpul nu intervine explicit ^ ³n hamiltonian,
atunci H(q; p) este o integral¸ a prim¸ a a sistemului canonic. Analog, dac¸ a q®este o coordonat¸ a
ciclic¸ a, aunci impulsul generalizat corespunz¸ ator p®este de asemenea o integral¸ a prim¸ a a
ecuat »iilor de mi» scare.

136 CAPITOLUL 10. ECUAT »IILE LUI HAMILTON
Este evident c¸ a dac¸ a funct »iile f1; : : : ; f lsunt integrale prime ale ecuat »iilor de mi» scare,
atunci orice funct »ie F(f1; : : : ; f l) va ¯ de asemenea o integral¸ a prim¸ a, ^ ³ns¸ a ^ ³n cele ce urmeaz¸ a
prezint¸ a interes doar integralele prime independente , num¸ arul total al acestora ¯ind 2 n.
Dac¸ a se cunoa» ste acest sistem de 2 nintegrale prime independente :
fj(t; q; p ) =Cj ; j= 1; : : : ; 2n (10.41)
atunci prin rezolvarea acestui sistem algebric ^ ³n raport cu necunocutele ( q; p) , apare posibi-
litatea de a obt »ine direct ecuat »iile de mi» scare ale sistemului :
qk=qk(t; C1; : : : ; C 2n)
pk=pk(t; C1; : : : ; C 2n); k= 1; : : : ; n (10.42)
cele 2 nconstante urm^ and a ¯ determinate din condit »iile init »iale ale problemei. Deoarece este
put »in probabil¸ a cunoa» sterea tuturor celor 2 nintegrale prime independente ale sistemului
canonic, obiectivul celor ce urmeaz¸ a const¸ a ^ ³n determinarea num¸ arului maxim de astfel de
integrale prime independente ale ecuat »iilor de mi» scare.
Metoda care permite determinarea integralelor prime ale ecuat »iilor de mi» scare este da-
torat¸ a lui Poisson » siJacobi . Cunosc^ and c¸ a f(t; q; p ) este o integral¸ a prim¸ a pe solut »ia
sistemului canonic, ^ ³nseamn¸ a c¸ a :
df
dt=@f
@t+nX
k=1Ã@f
@qk_qk+@f
@pk_pk!
=@f
@t+nX
k=1Ã@f
@qk@H
@pk¡@f
@pk@H
@qk!
= 0 (10.43)
Cu notat »ia :
['; Ã] =nX
k=1Ã@'
@qk@Ã
@pk¡@'
@pk@Ã
@qk!
(10.44)
care reprezint¸ a paranteza Poisson construit¸ a pe dou¸ a funct »ii arbitrare '(t; q; p ) » siÃ(t; q; p ) ,
condit »ia necesar¸ a » si su¯cient¸ a pentru ca funct »ia f(t; q; p )s¸ a ¯e o integral¸ a prim¸ a
a sistemului canonic se scrie :@f
@t+ [f; H] = 0 (10.45)
Parantezele Poisson satisfac la unele identit¸ at »i remarcabile, fapt ce le confer¸ a o mare
suplet »e ^ ³n calcule. ^In cele ce urmeaz¸ a amintim doar c^ ateva dintre acestea, ele put^ and ¯
veri¯cate direct cu ajutorul de¯nit »iei (10.44) :
['; '] = 0
['; Ã] =¡[Ã; ']
['; c] = 0 ; c=const :
[c'; Ã ] =c['; Ã] ; c=const :
['+Ã; Â] = ['; Â] + [Ã; Â]
[' Ã; Â ] ='[Ã; Â] +Ã['; Â]
@
@t['; Ã] ="@'
@t; Ã#
+"
';@Ã
@t#(10.46)

10.3. PARANTEZELE POISSON 137
Pe l^ ang¸ a aceste identit¸ at »i, o important »¸ a deosebit¸ a ^ ³n calcule o prezint¸ a identitatea lui
Poisson :
[';[Ã; Â] ] + [ Ã;[Â; '] ] + [ Â;['; Ã] ] = 0 (10.47)
care poate ¯ scris¸ a ^ ³n patru variante distincte, ^ ³n funct »ie de pozit »ia parantezei Poisson inte-
rioare » si a sensului ^ ³n care se fac permut¸ arile circulare.
Observ^ and c¸ a pentru coordonatele canonice sunt adev¸ arate propriet¸ at »ile :
@qj
@qk=±jk,@pj
@pk=±jk,@qj
@pk= 0 ; j; k= 1; : : : ; n (10.48)
pornind tot de la de¯nit »ia (10.44) pot ¯ veri¯cate u» sor relat »iile :
[qj; Ã] =@Ã
@pj, [pj; Ã] =¡@Ã
@qj; j= 1; : : : ; n (10.49)
Dac¸ a ôH, atunci din (10.49) rezult¸ a ecuat »iile lui Hamilton scrise cu ajutorul
parantezelor Poisson :
[qj; H] = _qj, [pj; H] = _pj ; j= 1; : : : ; n (10.50)
remarc^ andu-se simetria acestora. Identi¯c^ and succesiv ^ ³n (10.49) funct »ia Ãcuqk, respectiv
cupk, se obt »in parantezele fundamentale ale lui Poisson :
[qj; qk] = 0 , [ pj; pk] = 0 , [ qj; pk] =±jk ; j; k= 1; : : : ; n (10.51)
Orice set de coordonate canonice va trebui s¸ a satisfac¸ a aceste identit¸ at »i.
Pe baza acestor propriet¸ at »i pot ¯ enunt »ate urm¸ atoarele dou¸ a teoreme, care permit con-
struirea unor integrale prime, pornind de la una, sau c^ ateva integrale prime cunoscute.
Teorema 1. Dac¸ a funct »ia lui Hamilton Hnu depinde explicit de timp » si dac¸ a funct »ia
f(t; q; p ) este o integral¸ a prim¸ a a sistemului canonic, atunci » si derivatele part »iale succesive
@f
@t;@2f
@t2; : : :vor ¯ tot integrale prime ale sistemului canonic.
Pentru a demonstra teorema, se aplic¸ a operatorul@
@tcondit »iei (10.45) » si se folose» ste
ultima identitate din (10.46). Rezult¸ a :
@
@tÃ@f
@t!
+@
@t[f; H] =@
@tÃ@f
@t!
+"@f
@t; H#
+"
f;@H
@t#
=@
@tÃ@f
@t!
+"@f
@t; H#
(10.52)
deoarece@H
@t= 0 . Rezultatul arat¸ a c¸ a@f
@teste tot o integral¸ a prim¸ a a mi» sc¸ arii. Procedeul
poate ¯ repetat ori de c^ ate ori este necesar.
Teorema 2 (Jacobi-Poisson). Dac¸ a f1(t; q; p ) » sif2(t; q; p ) sunt dou¸ a integrale prime ale
sistemului canonic, atunci » si paranteza Poisson [ f1; f2] este tot o integral¸ a prim¸ a a aceluia» si
sistem.
^Intr-adev¸ ar, deoarece :
@f1
@t+ [f1; H] = 0 » si@f2
@t+ [f2; H] = 0 (10.53)

138 CAPITOLUL 10. ECUAT »IILE LUI HAMILTON
atunci :
@
@t[f1; f2] ="@f1
@t; f2#
+"
f1;@f2
@t#
=¡[ [f1; H]; f2]¡[f1;[f2; H] ] = [ H;[f1; f2] ] (10.54)
unde s-au folosit propriet¸ at »ile (10.46) » si identitatea lui Poisson (10.47). Din ultima egalitate
rezult¸ a :@
@t[f1; f2] + [ [ f1; f2]; H] = 0 (10.55)
» si atunci [ f1; f2] este o integral¸ a prim¸ a a ecuat »iilor de mi» scare.
Teorema Jacobi-Poisson furnizeaz¸ a o metod¸ a foarte simpl¸ a de a construi integrale prime
ale ecuat »iilor de mi» scare, pornind de la dou¸ a integrale prime date f1» sif2. Odat¸ a construit¸ a
integrala prim¸ a [ f1; f2] , poate ¯ construit¸ a » si integrala prim¸ a [ f1;[f1; f2] ] , etc. Deoarece
procedeul poate ¯ continuat de o in¯nitate de ori, iar num¸ arul de integrale prime indepen-
dente este 2 n, noua integral¸ a prim¸ a astfel construit¸ a poate s¸ a se dovedeasc¸ a a ¯ ¯e identic
nul¸ a, ¯e o funct »ie de integralele prime deja cunoscute. Observat »ia r¸ am^ ane valabil¸ a » si pen-
tru » sirul de integrale prime construite prin metoda indicat¸ a de prima teorem¸ a. Acesta este
motivul pentru care este foarte put »in probabil, ca prin aplicarea simultan¸ a sau succesiv¸ a
a celor dou¸ a teoreme ment »ionate, s¸ a poat¸ a ¯ construit » sirul complet de 2 nintegrale prime
independente.

Capitolul 11
Principiile variat »ionale ale mecanicii
11.1 Principiul lui Hamilton
Se studiaz¸ a un sistem olonom, natural, a c¸ arui pozit »ie ^ ³n ¤ neste speci¯cat¸ a cu setul de
coordonate independente q1; : : : ; q n, av^ and lagrangeeanul L(t; q;_q) . Prin de¯nit »ie, integrala :
S=t1Z
t0L(t; q;_q) dt (11.1)
este numit¸ a act »iune ^ ³n sensul lui Hamilton pe intervalul de timp ( t0; t1) , iar expresia
Ldtva ¯ numit¸ a act »iune elementar¸ a . Pentru a calcula act »iunea S, vor trebui cunoscute
funct »iile qk=qk(t) ;k= 1; : : : ; n ^ ³n intervalul de timp t0·t·t1. Acesta ^ ³nseamn¸ a c¸ a S
este o funct »ional¸ a dependent¸ a de mi» scarea sistemului.
Fiind date leg¸ aturile ^ ³n cadrul c¸ arora este constr^ ans s¸ a se mi» ste sistemul, un ansamblu
oarecare de funct »ii qk(t) ;k= 1; : : : ; n pentru care leg¸ aturile sunt automat satisf¸ acute, va de-
scrieo mi» scare cinematic posibil¸ a a sistemului. ^Intr-un spat »iu ( n+1)-dimensional ( t; q) ,
Figura 11.1: Traiectorii corespunz¸ atoare unor mi» sc¸ ari cinematic posibile ^ ³n ¤ n+1
numit spat »iu extins al con¯gurat »iilor » si notat cu ¤ n+1, mi» sc¸ arii respective ^ ³i corespunde
o anumit¸ a curb¸ a. ^In cele ce urmeaz¸ a, vor ¯ luate ^ ³n considerare toate mi» sc¸ arile cinema-
tic posibile, prin intermediul c¸ arora sistemul poate trece dintr-o stare init »ial¸ a M0(t0; q0)
139

140 CAPITOLUL 11. PRINCIPIILE VARIAT »IONALE ALE MECANICII
^ ³ntr-o stare ¯nal¸ a M1(t1; q1) .^In spat »iul considerat, acestor mi» sc¸ ari le vor corespunde ni» ste
curbe, care trec prin cele dou¸ a puncte date M0» siM1(v. Fig. 11.1). Este evident c¸ a prin-
tre curbele corespunz¸ atoare mi» sc¸ arilor cinematic posibile, va trebui s¸ a se g¸ aseasc¸ a » si curba
corespunz¸ atoare mi» sc¸ arii reale , adic¸ a curba ^ ³n lungul c¸ areia sistemul evolueaz¸ a ^ ³n confor-
mitate cu potent »ialul cinetic dat L(t; q;_q) , care este determinat de forma c^ ampului de fort »e
ce act »ioneaz¸ a asupra sistemului. Pe curba corespunz¸ atoare mi» sc¸ arii reale (curba plin¸ a din
Fig. 11.1), funct »iile qk(t) ;k= 1; : : : ; n vor trebui s¸ a satisfac¸ a la ecuat »iile lui Lagrange :
d
dtÃ@L
@_qk!
¡@L
@qk= 0 ; k= 1; : : : ; n (11.2)
Principiul lui Hamilton a¯rm¸ a c¸ a dintre toate mi» sc¸ arile posibile (compatibile
cu leg¸ aturile) ale unui sistem olonom, mi» sc¸ ari care pornesc toate din aceea» si
pozit »ie (q0)la acela» si moment t0» si ajung toate ^ ³n aceea» si pozit »ie (q1)la acela» si
moment t1, mi» scarea real¸ a este aceea » si numai aceea, care corespunde curbei pe
care funct »ionala Sadmite un extremum (este stat »ionar¸ a) .
Pentru a ne convinge de aceasta, s¸ a consider¸ am^ ³n ¤ n+1o familie uniparametric¸ a arbitrar¸ a
de curbe :
qk=qk(t; ®) ,t0·t·t1
¡°·®·°; k= 1; : : : ; n (11.3)
care pentru ®= 0 cont »ine curba corespunz¸ atoare mi» sc¸ arii reale. Impunem condit »ia ca aceste
curbe s¸ a aib¸ a aceea» si origine » si acela» si punct ¯nal, indiferent de valoarea parametrului ®:
qk(t0; ®) =q0
k
qk(t1; ®) =q1
k,¡°·®·° ; k= 1; : : : ; n (11.4)
^Intruc^ at curbele apart »in^ and familiei considerate difer¸ a doar prin valoarea parametrului ®,
^ ³nseamn¸ a c¸ a ele pot ¯ obt »inute una din alta prin intermediul unui » sir de deplas¸ ari
virtuale .^Intr-adev¸ ar, s¸ a consider¸ am dou¸ a curbe ^ ³nvecinate, caracterizate de parametrii ®» si
®+±®(v. Fig. 11.2) » si care corespund la dou¸ a mi» sc¸ ari cinematic posibile. Pentru o valoare
arbitrar¸ a a timpului tcuprins¸ a ^ ³n intervalul t0·t·t1, st¸ arii sistemului care evolueaz¸ a pe
curba de parametru ®^ ³i va corespunde un punct ¯gurativ M(t; q) =M(t; q(t; ®)) , iar st¸ arii
sistemului care evolueaz¸ a pe curba de parametru ®+±®^ ³i va corespunde punctul ¯gurativ
M0(t; q0) =M0(t; q(t; ®+±®)) . Deoarece :
qk(t; ®+±®)'qk(t; ®) +"@qk(t; ®)
@®#
t±® ; k= 1; : : : ; n (11.5)
rezult¸ a c¸ a la momentul t, sistemul poate ¯ adus direct din starea posibil¸ a M^ ³n starea
posibil¸ a ^ ³nvecinat¸ a M0, efectu^ and o deplasare in¯nitezimal¸ a instantanee :
(±qk)t="@qk(t; ®)
@®#
t±® ; k= 1; : : : ; n (11.6)
^In consecint »¸ a, admit »^ and la ¯ecare moment un ansamblu de astfel de variat »ii, care nu re-
prezint¸ a altceva dec^ at ni» ste deplas¸ ari virtuale ale sistemului, se pot obt »ine toate punctele

11.1. PRINCIPIUL LUI HAMILTON 141
Figura 11.2: Dou¸ a traiectorii ^ ³nvecinate ^ ³n ¤ n+1
curbei de parametru ®+±®din punctele corespunz¸ atoare de pe curba de parametru ®, pro-
cedeul put^ and ¯ continuat pentru a obt »ine ^ ³ntreaga familie de curbe considerate. Evident,
deplasarea punctului ¯gurativ corespunz¸ ator unei st¸ ari posibile a sistemului pe ¯ecare din
aceste curbe, se face sincron . Regula (11.6) ^ ³» si p¸ astreaz¸ a valabilitatea pentru orice funct »ie
de (t; q) . Deoarece ^ ³n acest paragraf variat »iile elementare ±:::ale unor m¸ arimi, atunci c^ and
se trece de pe o curb¸ a de parametru ®pe o curb¸ a ^ ³nvecinat¸ a de parametru ®+±®, se cal-
culeaz¸ a ^ ³ntotdeauna ^ ³n condit »iile ^ ³n care timpul teste ment »inut constant, se va renunt »a la
speci¯carea explicit¸ a ( ±:::)t.
Act »iunea S, calculat¸ a ^ ³n lungul unei curbe apart »in^ and familiei considerate, va ¯ funct »ie
de parametrul ®:
S(®) =t1Z
t0L[t; q(t; ®);_q(t; ®) ] dt (11.7)
Variat »ia lui S, c^ and se trece de pe curba de parametru ®pe curba parametru ®+±®, se
evalueaz¸ a calcul^ and diferent »iala total¸ a a expresiei (11.7) » si aplic^ and regula descris¸ a anterior :
±S=S0±®=t1Z
t0±Ldt=t1Z
t0nX
k=1Ã@L
@qk±qk+@L
@_qk±_qk!
dt (11.8)
Variat »iile ¯ind calculate ^ ³n condit »iile ^ ³n care timpul teste ¯xat, operatorul ±comut¸ a cu
operatorul de derivare dup¸ a timp : ±d
dt=d
dt±.^Intr-adev¸ ar :
±_qk=±d
dtqk(t; ®) =(@
@®"d
dtqk(t; ®)#)
t±®=d
dt("@
@®qk(t; ®)#
t±®)
=d
dt±qk(11.9)
Folosind aceast¸ a proprietate, ^ ³n urma integr¸ arii prin p¸ art »i, (11.8) devine :
±S=nX
k=1@L
@_qk±qk¯¯¯¯¯t1
t0+t1Z
t0nX
k=1"@L
@qk¡d
dtÃ@L
@_qk! #
±qkdt (11.10)

142 CAPITOLUL 11. PRINCIPIILE VARIAT »IONALE ALE MECANICII
Fiind variat »ii cu capete ¯xe, din (11.4) rezult¸ a ( ±qk)t0= (±qk)t1= 0 ; k= 1; : : : ; n » si primul
factor din (11.10) este nul. ^In consecint »¸ a :
±S=t1Z
t0nX
k=1"@L
@qk¡d
dtÃ@L
@_qk! #
±qkdt (11.11)
Deoarece pe curba ®= 0 corespunz¸ atoare mi» sc¸ arii reale, expresiile de sub integral¸ a sunt
identic nule, din (11.11) rezult¸ a condit »ia necesar¸ a pentru ca act »iunea Ss¸ a admit¸ a un
extrem pe curba qk=qk(t; ®= 0) ; k= 1; : : : ; n din ¤ n+1:
±S= 0 ; ®= 0 (11.12)
indiferent de sistemul de deplas¸ ari ±qk;k= 1; : : : ; n . Similar ca ^ ³n analiz¸ a, condit »ia su-
¯cient¸ a de extremum va ¯ furnizat¸ a de semnul variat »iei de ordinul doi. Dac¸ a ±2S > 0
act »iunea va ¯ minim¸ a pe curba corespunz¸ atoare mi» sc¸ arii reale, iar dac¸ a ±2S < 0 , act »iunea
va ¯ maxim¸ a pe aceea» si curb¸ a. ^In marea majoritate a problemelor de mi» scare, act »iunea este
minim¸ a. Expresia (11.12) reprezint¸ a forma matematic¸ a a principiului lui Hamilton enunt »at
anterior.
A¯rmat »ia invers¸ a este de asemenea adev¸ arat¸ a : dac¸ a pe o anumit¸ a curb¸ a din ¤n+1
se » stie c¸ a ±S= 0, atunci curba respectiv¸ a corespunde mi» sc¸ arii reale a sistemului .
^Intr-adev¸ ar, deoarece ansamblul de variat »ii ±qk;k= 1; : : : ; n este arbitrar, unica limitare
¯ind c¸ a acestea sunt nule la capete, din condit »ia ±S= 0 » si expresia (11.11) rezult¸ a ecuat »iile
Lagrange (11.2) la care satisfac funct »iile qk;k= 1; : : : ; n care descriu mi» scarea real¸ a.
^Intruc^ at din principiul lui Hamilton rezult¸ a ecuat »iile Lagrange » si invers, acest principiu
poate ¯ a» sezat la baza dinamicii sistemelor olonome. Mi» scarea real¸ a a sistemului cores-
punz¸ atiare funct »iei date L, poate ¯ caracterizat¸ a at^ at cu ajutorul ecuat »iilor diferent »iale de
mi» scare ale lui Lagrange, c^ at » si cu ajutorul principiului variat »ional al lui Hamilton, ^ ³ns¸ a
^ ³ntre cele dou¸ a moduri de abordare ale problemei exist¸ a o diferent »¸ a esent »ial¸ a. ^In timp ce
principiul lui Hamilton are marea calitate c¸ a ne arat¸ a c¸ a mi» scarea sistemului la
un moment dat este determinat¸ a de mi» scarea sa pe un interval ¯nit de timp,
principiile diferent »iale fac s¸ a intervin¸ a ^ ³n determinarea mi» sc¸ arii la un moment
dat, numai mi» scarea din vecin¸ atatea imediat¸ a a acestuia . Din acest motiv, o serie de
capitole moderne, neclasice, ale mecanicii » si nu numai ale mecanicii, ^ ³» si g¸ asesc fundamentarea
nu ^ ³ntr-un principiul diferent »ial, ci ^ ³ntr-un principiu variat »ional (integral).
S¸ a mai observ¸ am c¸ a demonstrat »ia principiului lui Hamilton se bazeaz¸ a pe utilizarea
ecuat »iilor Lagrange, care la r^ andul lor au fost deduse pornindu-se de la ecuat »ia general¸ a
a dinamicii. Se poate ar¸ ata u» sor c¸ a ecuat »ia fundamental¸ a a dinamicii conduce ^ ³n
mod necesar la principiul lui Hamilton, ecuat »iile lui Lagrange ¯ind apoi deduse
ulterior din principiul astfel obt »inut .
11.2 Forma canonic¸ a a principiului lui Hamilton
Dup¸ a cum s-a ar¸ atat, conform principiului lui Hamilton, mi» scarea unui sistem meca-
nic ^ ³ntre dou¸ a momente date t0» sit1se face pe curba pe care funct »ionala S=t1Z
t0Ldteste

11.2. FORMA CANONIC ¸A A PRINCIPIULUI LUI HAMILTON 143
stat »ionar¸ a. Aceasta constituie o proprietate intrinsec¸ a a mi» sc¸ arii care poate ¯ explicitat¸ a ^ ³n
orice sistem de coordonate, deci » si ^ ³n sistemul de coordonate canonice qk; pk;k= 1; : : : ; n .
Pentru a g¸ asi » si ^ ³n acest caz forma matematic¸ a a principiului, vom considera un spat »iu
(2n+ 1)-dimensional de coordonate ( t; q; p ) . Mi» sc¸ arii reale a sistemului ^ ³n intervalul ¯nit
Figura 11.3: Traiectorii corespunz¸ atoare unor mi» sc¸ ari cinematic posibile ^ ³n ¤ 2n+1
de timp t0·t·t1^ ³i va corespunde ^ ³n acest spat »iu o curb¸ a cu extremit¸ at »ile ^ ³n punctele
M0(t0; q0; p0) » siM1(t1; q1; p1) . Prin acelea» si puncte vor trece » si curbele corespunz¸ atoare ce-
lorlalte mi» sc¸ ari cinematic posibile (v. Fig. 11.3). Pe curba corespunz¸ atoare mi» sc¸ arii reale,
funct »iile qk(t); pk(t) ;k= 1; : : : ; n vor satisface la ecuat »iile lui Hamilton :
_qk=@H
@pk, _pk=¡@H
@qk; k= 1; : : : ; n (11.13)
Ecuat »iile lui Hamilton pot ¯ scrise ^ ³n form¸ a lagrangeean¸ a, dac¸ a se introduce funct »ia de
(4n+ 1) variabile independente av^ and expresia :
L¤(t; q; p; _q;_p) =nX
k=1pk_qk¡H(t; q; p ) (11.14)
^In aceast¸ a situat »ie, ecuat »iile (11.13) vor ¯ echivalente cu :
d
dtÃ@L¤
@_qk!
¡@L¤
@qk= 0 ,d
dtÃ@L¤
@_pk!
¡@L¤
@pk= 0 ; k= 1; : : : ; n (11.15)
Caracteriz^ and curba corespunz¸ atoare mi» sc¸ arii reale ^ ³n spat »iul (2 n+ 1)-dimensional cu aju-
torul ecuat »iilor (11.15), problema a fost adus¸ a la o form¸ a analoag¸ a cu cea prezentat¸ a ^ ³n
paragraful precedent. Rat »ion^ and identic, va rezulta c¸ a pe curba corespunz¸ atoare mi» sc¸ arii
reale qk=qk(t; ®= 0); pk=pk(t; ®= 0) ; k= 1; : : : ; n din ¤ 2n+1, funct »ionalat1Z
t0L¤dteste
stat »ionar¸ a, adic¸ a :
±t1Z
t0L¤dt=±t1Z
t0ÃnX
k=1pk_qk¡H!
dt= 0 ; ®= 0 (11.16)
Aceasta este expresia matematic¸ a a formei canonice a principiului lui Hamilton .
Reciproca este de asemenea adev¸ arat¸ a.

144 CAPITOLUL 11. PRINCIPIILE VARIAT »IONALE ALE MECANICII
11.3 Invariantul integral fundamental Poincar¶ e-Cartan
^Inx11.1 a fost calculat¸ a variat »ia act »iunii ±Scorespunz¸ atoare trecerii de pe o curb¸ a co-
respunz¸ atoare unei mi» sc¸ ari posibile a sistemului, pe o curb¸ a ^ ³nvecinat¸ a, ambele curbe av^ and
aceea» si origine M0(t0; q0) » si acela» si punct ¯nal M1(t1; q1) ^ ³n spat »iul ( n+1)-dimensional ( t; q) .
^In aceste condit »ii, deplasarea unui punct Mcorespunz¸ ator unei st¸ ari posibile a sistemului pe
¯ecare din aceste curbe, se f¸ acea sincron.
^In cele ce urmeaz¸ a va ¯ calculat¸ a variat »ia act »iunii ±S^ ³n cazul general ^ ³n care originile » si
punctele ¯nale ale curbelor nu mai sunt ¯xate, ele ¯ind funct »ii de valoarea parametrului ®:
q0
k=q0
k(®) , t0=t0(®)
q1
k=q1
k(®) , t1=t1(®); k= 1; : : : ; n (11.17)
^In acest caz mi» scarea punctului corespunz¸ ator unei st¸ ari a sistemului pe curba caracterizat¸ a
de parametrul ®,nu se mai face sincron cu mi» scarea punctului corespunz¸ ator pe curba
caracterizat¸ a de parametrul ®+±®. Punctului M(t; q) ^ ³i va corespunde ^ ³n aceast¸ a situat »ie
punctul M0(t+±t; q+±q) (v. Fig. 11.4), ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a la trecerea pe o curb¸ a ^ ³nvecinat¸ a
se vor modi¯ca nu numai coordonatele qk;k= 1; : : : ; n , ci » si timpul t, motiv pentru care va
trebui considerat » si timpul tca funct »ie de parametrul ®. Variat »ia unei coordonate qk[t(®); ®]
va ¯ de¯nit¸ a nu numai de dependent »a ei explicit¸ a de ®, ci » si de dependent »a implicit¸ a, realizat¸ a
prin intermediul timpului t:
±qk= _qt
k±t+"@qk(t; ®)
@®#
t±®= _qt
k±t+ (±qk)t ; k= 1; : : : ; n (11.18)
unde ( ±qk)treprezint¸ a variat »ia calculat¸ a ^ ³n condit »iile din x11.1 c^ and t=const . Variat »ia
oric¸ arei alte funct »ii de variabilele ( t; q) va ¯ calculat¸ a cu aceea» si regul¸ a (11.18).
Figura 11.4: Dou¸ a traiectorii ^ ³nvecinate ^ ³n ¤ n+1av^ and capetele funct »ii de valoarea lui ®
Pentru a putea calcula variat »ia act »iunii
S(®) =t1(®)Z
t0(®)L[t; q(t; ®);_q(t; ®) ] dt (11.19)

11.3. INVARIANTUL INTEGRAL FUNDAMENTAL POINCAR ¶E-CARTAN 145
la o variat »ie in¯nitezimal¸ a a parametrului ®, limitele de integrare ¯ind de asemenea funct »ii
de acela» si parametru, va ¯ folosit¸ a regula enunt »at¸ a anterior. Not^ and primitiva funct »iei Lcu
I(t) , rezult¸ a :
±S=±t1(®)Z
t0(®)Ldt=±I(t1)¡±I(t0) =_I(t1)±t1¡_I(t0)±t0+ (±I)t1¡(±I)t0 (11.20)
adic¸ a :
±S=L1±t1¡L0±t0+±t1Z
t0Ldt=L1±t1¡L0±t0+t1Z
t0nX
k=1"@L
@qk(±qk)t+@L
@_qk(±_qk)t#
dt(11.21)
unde variat »ia integralei a fost evaluat¸ a ^ ³n condit »iile din x11.1 c^ and timpul teste ¯xat, iar L1
» siL0reprezint¸ a valorile funct »iei Lla momentele t1, respectiv t0:
L1=L[t1; q(t1; ®);_q(t1; ®) ] ; L0=L[t0; q(t0; ®);_q(t0; ®) ] (11.22)
Integr^ and prin p¸ art »i ultimul termen din (11.21), se obt »ine :
±S=L1±t1+nX
k=1p1
k(±qk)1¡L0±t0¡nX
k=1p0
k(±qk)0+t1Z
t0nX
k=1"@L
@qk¡d
dtÃ@L
@_qk! #
(±qk)tdt(11.23)
unde pk=@L
@_qk;k= 1; : : : ; n sunt impulsurile generalizate. Deoarece conform (11.18), vari-
at »iile coordonatelor capetelor au expresiile :
±q1
k= _q1
k±t1+ (±qk)1,±q0
k= _q0
k±t0+ (±qk)0 ; k= 1; : : : ; n (11.24)
prin ^ ³nlocuirea acestora ^ ³n (11.23) » si gruparea termenilor, rezult¸ a ^ ³n continuare :
±S="nX
k=1p1
k±q1
k¡ÃnX
k=1p1
k_q1
k¡L1!
±t1#
¡"nX
k=1p0
k±q0
k¡ÃnX
k=1p0
k_q0
k¡L0!
±t0#
+
+t1Z
t0nX
k=1"@L
@qk¡d
dtÃ@L
@_qk! #
(±qk)tdt (11.25)
Folosind notat »ia :
H=nX
k=1pk_qk¡L (11.26)
variat »ia act »iunii c^ and capetele nu sunt ¯xe, poate ¯ scris¸ a sub forma compact¸ a :
±S="nX
k=1pk±qk¡H ±t#1
0+t1Z
t0nX
k=1"@L
@qk¡d
dtÃ@L
@_qk! #
(±qk)tdt (11.27)
^In particular, c^ and indiferent de valoarea parametrului ®, curbele corespunz¸ atoare de-
scriu mi» sc¸ ari reale ale sistemului, adic¸ a c^ and qk=qk(t; ®) ;k= 1; : : : ; n reprezint¸ a o familie

146 CAPITOLUL 11. PRINCIPIILE VARIAT »IONALE ALE MECANICII
uniparametric¸ a de curbe corespunz¸ atoare unor mi» sc¸ ari reale, ultima integral¸ a din (11.27)
este nul¸ a pentru orice ®» si variat »ia act »iunii cap¸ at¸ a forma simpl¸ a :
±S="nX
k=1pk±qk¡H ±t#1
0(11.28)
Rezultatul av^ and un caracter intrinsec, este de preferat ca ^ ³n cele ce urmeaz¸ a, ^ ³n locul
spat »iului ¤ n+1de coordonate ( t; q) , s¸ a ¯e considerat spat »iul ¤ 2n+1de coordonate ( t; q; p ) .^In
aceast¸ a situat »ie, funct »ia Hdin (11.28) de¯nit¸ a cu (11.26), va reprezenta chiar hamiltonianul
sistemului.
Figura 11.5: Un tub de curbe corespunz¸ atoare unor mi» sc¸ ari reale ^ ³n ¤ 2n+1
^In acest spat »iu se consider¸ a un contur ^ ³nchis C0av^ and ecuat »iile :
qk=q0
k(®)
pk=p0
k(®)
t=t0(®), 0 ·®·l ; k= 1; : : : ; n (11.29)
unde pentru ®= 0 » si ®=lse obt »ine acela» si punct al curbei C0(v. Fig. 11.5). Presupun^ and
c¸ a ¯ecare punct al curbei C0corespunde unei st¸ ari init »iale posibile a sistemului, din ¯ecare
astfel de punct va porni o singur¸ a curb¸ a corespunz¸ atoare unei mi» sc¸ ari reale, pe curba
respectiv¸ a punctul reprezentativ evolu^ and ^ ³n conformitate cu ecuat »iile lui Hamilton. Rezult¸ a
astfel un tub de curbe corespunz¸ atoare unor mi» sc¸ ari reale. Ecuat »iile parametrice ale curbei
care porne» ste din starea corespunz¸ atoare unei anumite valori ®vor ¯ :
qk=qk(t; ®)
pk=pk(t; ®); k= 1; : : : ; n (11.30)
» si conform ipotezei f¸ acute :
qk(t;0) = qk(t; l)
pk(t;0) = pk(t; l); k= 1; : : : ; n (11.31)
Pe acest tub se poate considera un alt contur ^ ³nchis C1, care are cu ¯ecare din generatoa-
rele tubului (cu ¯ecare curb¸ a corespunz¸ atoare unei mi» sc¸ ari reale), un singur punct comun.

11.3. INVARIANTUL INTEGRAL FUNDAMENTAL POINCAR ¶E-CARTAN 147
Aceasta ^ ³nseamn¸ a c¸ a unei anumite valori ®^ ³i corespunde un singur punct al conturului C1,
cu except »ia valorilor ®= 0 » si ®=lla care corespunde acela» si punct pe C1. Ecuat »iile acestui
contur vor ¯ :
qk=q1
k(®)
pk=p1
k(®)
t=t1(®), 0 ·®·l ; k= 1; : : : ; n (11.32)
Act »iunea S, calculat¸ a ^ ³n lungul unei generatoare caracterizat¸ a prin parametrul ®va
trebui s¸ a ¯e funct »ie de acest parametru :
S(®) =t2(®)Z
t1(®)Ldt (11.33)
Pentru orice valoare a acestui parametru, variat »ia act »iunii la o variat »ie in¯nitezimal¸ a a lui ®
va avea expresia (11.28) :
±S=S0(®)±®="nX
k=1pk±qk¡H ±t#1
0(11.34)
Integr^ and (11.34) ^ ³n raport cu ®, de la ®= 0 la ®=l, rezult¸ a :
lZ
0±S=S(l)¡S(0) =lZ
0"nX
k=1pk±qk¡H ±t#1
0=
=lZ
0"nX
k=1p1
k±q1
k¡H1±t1#
¡lZ
0"nX
k=1p0
k±q0
k¡H0±t0#
=
=I
C1"nX
k=1pk±qk¡H ±t#
¡I
C0"nX
k=1pk±qk¡H ±t#
= 0 (11.35)
adic¸ a :I
C0"nX
k=1pk±qk¡H ±t#
=I
C1"nX
k=1pk±qk¡H ±t#
(11.36)
^In consecint »¸ a, integrala curbilinie :
I=I
C"nX
k=1pk±qk¡H ±t#
(11.37)
calculat¸ a pe un contur ^ ³nchis arbitrar care ^ ³nconjoar¸ a tubul de curbe, nu se modi¯c¸ a ^ ³n
cursul unei deplas¸ ari arbitrare (cu deformat »ie) a conturului, ^ ³n lungul tubului de curbe
corespunz¸ atoare unor mi» sc¸ ari reale. Din acest motiv Ieste un invariant integral , cunoscut
» si sub numele de invariantul integral Poincar¶ e-Cartan .
Poate ¯ demonstrat¸ a relativ u» sor » si a¯rmat »ia reciproc¸ a , anume c¸ a dac¸ a mi» scarea real¸ a
a sistemului este de¯nit¸ a univoc de sistemul de ecuat »ii diferent »iale :
_qk=Fk(t; q; p ) , _ pk=Gk(t; q; p ) ; k= 1; : : : ; n (11.38)

148 CAPITOLUL 11. PRINCIPIILE VARIAT »IONALE ALE MECANICII
» si dac¸ a integrala Ieste un invariant integral ^ ³n raport cu curbele corespunz¸ atoare unor
mi» sc¸ ari reale de¯nite de ecuat »iile (11.38), atunci :
Fk(t; q; p ) =@H
@pk,Gk(t; q; p ) =¡@H
@qk; k= 1; : : : ; n (11.39)
unde funct »ia Heste cea care intervine ^ ³n expresia (11.37) a lui I. Cu alte cuvinte, dac¸ a I
este un invariant integral al sistemului (11.38), atunci acesta are form¸ a canonic¸ a .
^In concluzie, invariant »a integralei Poincar¶ e-Cartan constituie o condit »ie necesar¸ a » si su-
¯cient¸ a pentru ca mi» scarea sistemului mecanic s¸ a ¯e descris¸ a de ecuat »iile canonice ale lui
Hamilton. Din acest motiv, invariantul Ipoate ¯ pus la baza mecanicii, el ¯ind numit » si
invariantul fundamental al mecanicii .
11.4 Invariantul integral universal Poincar¶ e
S¸ a presupunem c¸ a conturul Cdin spat »iul (2 n+1)-dimensional pe care se calculeaz¸ a inte-
grala Poincar¶ e-Cartan (11.37), este de¯nit de o mult »ime de st¸ ari simultane ale sistemului
mecanic. Un astfel de contur rezult¸ a dac¸ a tubul de curbe corespunz¸ atoare unor mi» sc¸ ari reale
este intesectat de un hiperplan t=const :(v. Fig. 11.6). Evident, pe un astfel de contur va
trebui ca ±t= 0 , invariantul fundamental (11.37) c¸ ap¸ at^ and forma :
I1=InX
k=1pk±qk (11.40)
Figura 11.6: Contururi de st¸ ari simultane pe un tub de curbe care descriu mi» sc¸ ari reale
Integrala (11.40), cunoscut¸ a » si sub numele de integrala lui Poincar¶ e , nu ^ ³» si va modi-
¯ca valoarea ^ ³n cursul unei deplas¸ ari (cu deformat »ie) a conturului ^ ³n lungul tubului, unica
restrict »ie ¯ind aceea c¸ a ^ ³n urma deplas¸ arii, noul contur C0va consta dintr-o alt¸ a mult »ime de
st¸ ari simultane, la un alt moment t0.
Dup¸ a cum se observ¸ a, ^ ³n expresia lui I1nu intervine expresia hamiltonianului H. Acesta
^ ³nseamn¸ a c¸ a invariantul Poincar¶ e I1nu depinde de sistemul material concret, ci

11.4. INVARIANTUL INTEGRAL UNIVERSAL POINCAR ¶E 149
numai de forma canonic¸ a a ecuat »iilor de mi» scare . Din acest motiv I1este cunoscut
» si sub numele de invariantul integral universal al lui Poincar¶ e .
Teorema lui Lee Hwa-Chung (1947) a¯rm¸ a c¸ a orice alt invariant integral universal,
av^ and forma general¸ a :
I0=InX
k=1[Ak(t; q; p )±qk+Bk(t; q; p )±pk] (11.41)
difer¸ a de invariantul integral universal al lui Poincar¶ e doar printr-o constant¸ a :
I0=c I1 (c=const 🙂 (11.42)

Capitolul 12
Transform¸ ari canonice. Metoda
Hamilton-Jacobi
12.1 Ecuat »iile transform¸ arilor canonice
Dup¸ a cum s-a observat, existent »a variabilelor ciclice simpli¯c¸ a considerabil problema
determin¸ arii mi» sc¸ arii unui sistem mecanic. Dac¸ a^ ³n particular toate coordonatele generalizate
qk;k= 1; : : : ; n ar ¯ ciclice, atunci toate impulsurile generalizate corespunz¸ atoare ar ¯ ni» ste
constante pk=bk;k= 1; : : : ; n , integrarea sistemului canonic reduc^ andu-se la calculul unor
integrale de forma :
qk=Z@H
@bkdt+ak ; k= 1; : : : ; n (12.1)
unde H=H(t; b1; : : : ; b n) este hamiltonianul sistemului, iar ak;k= 1; : : : ; n sunt constante
de integrare care pot ¯ determinate din condit »iile init »iale.
Problema pus¸ a ^ ³n acest mod nu prezint¸ a un avantaj practic deosebit, deoarece este put »in
probabil ca toate coordonatele generalizate ale unui sistem mecanic s¸ a ¯e ciclice. Deoarece
^ ³ns¸ a setul de coordonate generalizate cu ajutorul c¸ aruia este descris¸ a mi» scarea sistemului
nu este determinat ^ ³n mod univoc, are sens s¸ a se pun¸ a problema elabor¸ arii unui procedeu
general care s¸ a permit¸ a trecerea de la un sistem de coordonate la altul, care s¸ a ¯e mai
convenabil pentru determinarea mi» sc¸ arii. De exemplu, problema determin¸ arii mi» sc¸ arii ^ ³n
c^ amp central folosind coordonate carteziene x; yduce la complicat »ii matematice deosebite,
^ ³n schimb rezolvarea aceleia» si probleme ^ ³n coordonate polare r; µse face destul de u» sor,
deoarece ^ ³n acest caz coordonata µeste ciclic¸ a. Dac¸ a ^ ³n particular, ^ ³n urma transform¸ arii,
noile coordonate sunt toate ciclice, rezolvarea ^ ³n continuare a problemei va deveni banal¸ a.
^In spat »iul con¯gurat »iilor ¤ nal lui Lagrange, o astfel de transformare este de¯nit¸ a de
sistemul de ecuat »ii :
Qk=Qk(t; q) , detÃ@Qk
@qj!
6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (12.2)
» si dup¸ a cum se » stie, la o astfel de transformare ecuat »iile Lagrange ^ ³» si p¸ astreaz¸ a forma. Trans-
form¸ arile de¯nite de ecuat »iile (12.2) poart¸ a numele de transform¸ ari punctuale , deoarece
ansamblul de coordonate ( Q) » si ansamblul de coordonate ( q) de¯nesc acela» si punct ^ ³n ¤ n.
150

12.1. ECUAT »IILE TRANSFORM ¸ARILOR CANONICE 151
^In spat »iul fazelor ¤ 2n, pe l^ ang¸ a cele ncoordonate generalizate, ¯ind considerate ca varia-
bile independente » si cele nimpulsuri generalizate, conceptul de transformare a coordonatelor
va trebui s¸ a ¯e extins, a» sa ^ ³nc^ at acesta s¸ a includ¸ a transformarea simultan¸ a at^ at a coordona-
telor generalizate qk;k= 1; : : : ; n , c^ at » si a impulsurilor generalizate pk;k= 1; : : : ; n .
Transformarea simultan¸ a a coordonatelor » si impulsurilor generalizate, de¯nit¸ a
de ecuat »iile :
Qk=Qk(t; q; p )
Pk=Pk(t; q; p ); k= 1; : : : ; n ,@(Q; P)
@(q; p)6= 0 (12.3)
va ¯ numit¸ a canonic¸ a, dac¸ a ^ ³n urma ei un sistem canonic caracterizat de hamil-
tonianul H=H(t; q; p ) :
_qk=@H
@pk, _pk=¡@H
@qk; k= 1; : : : ; n (12.4)
se transform¸ a tot ^ ³ntr-un sistem canonic :
_Qk=@K
@Pk,_Pk=¡@K
@Qk; k= 1; : : : ; n (12.5)
unde K=K(t; Q; P )este o funct »ie de noile variabile, care acum joac¸ a rolul de
hamiltonian.
Aplic^ and aceast¸ a metod¸ a, este posibil s¸ a se treac¸ a de la sisteme canonice complicate, la
sisteme canonice mult mai simple. Dac¸ a ^ ³n particular, ^ ³n urma unei astfel de transform¸ ari,
noul hamiltonian este identic nul ( K= 0) , atunci Qk=Ak; Pk=Bk;k= 1; : : : ; n » si
funct »iile (12.3) vor ¯ integrale prime ale sistemului canonic.
Figura 12.1: O tansformare canonic¸ a a spat »iului extins al fazelor ¤ 2n+1
Pentru a g¸ asi condit »iile ^ ³n care transformarea (12.3) este canonic¸ a, se consider¸ a dou¸ a
spat »ii (2 n+ 1)-dimensionale, de¯nite de coordonatele ( t; q; p ) » si ( t; Q; P ) , unul trec^ and ^ ³n
cel¸ alalt ^ ³n urma transform¸ arii (12.3). Se consider¸ a de asemenea dou¸ a tuburi de curbe cores-
punz¸ atoare unor mi» sc¸ ari reale, pe care sunt ^ ³ndeplinite ecuat »iile (12.4) » si (12.5). ^In urma
transform¸ arii (12.3), un contur ^ ³nchis arbitrar Ctrece ^ ³n conturul ^ ³nchis C(v. Fig. 12.1) » si

152CAPITOLUL 12. TRANSFORM ¸ARI CANONICE. METODA HAMILTON-JACOBI
invers. Intersect »iile celor dou¸ a tuburi cu unul » si acela» si hiperplan t=const :, vor reprezenta
de asemenea dou¸ a contururi ^ ³nchise C0» siC0, care trec unul ^ ³n cel¸ alalt prin intermediul
transform¸ arii (12.3). Din invariant »a integralei Poincar¶ e-Cartan rezult¸ a :
I
C"nX
k=1pk±qk¡H ±t#
=I
C0"nX
k=1pk±qk#
(12.6)
I
C"nX
k=1Pk±Qk¡K ±t#
=I
C0"nX
k=1Pk±Qk#
(12.7)
Folosind succesiv transformarea (12.3) » si teorema Lee Hwa-Chung, ultima integral¸ a din (12.7)
se poate scrie sub forma :
I
C0"nX
k=1Pk±Qk#
=I
C0nX
k=1[Ak(t; q; p )±qk+Bk(t; q; p )±pk] =cI
C0"nX
k=1pk±qk#
(c=const 🙂
(12.8)
T »in^ and cont de (12.6), pentru membrul st^ ang din (12.7) va rezulta expresia :
I
C"nX
k=1Pk±Qk¡K ±t#
=cI
C"nX
k=1pk±qk¡H ±t#
(12.9)
Folosind din nou transformarea (12.3), coordonatele ( Q; P) pot ¯ exprimate prin coordo-
natele ( q; p), iar conturul Cva trece ^ ³n conturul C.^In aceast¸ a situat »ie, identitatea (12.9)
devine :I
C("nX
k=1Pk±Qk¡K ±t#
¡c"nX
k=1pk±qk¡H ±t#)
= 0 (12.10)
Deoarece conturul Ceste ales arbitrar, va trebui ca expresia de sub integral¸ a s¸ a ¯e diferent »iala
total¸ a exact¸ a a unei funct »ii oarecare, care va ¯ notat¸ a cu ¡S(t; q; p ) :
nX
k=1Pk±Qk¡K ±t =cÃnX
k=1pk±qk¡H ±t!
¡±S (12.11)
Constanta cva trebui s¸ a ¯e obligator diferit¸ a de zero : c6= 0 , deoarece expresia din membrul
st^ ang al identit¸ at »ii (12.11) nu este ^ ³n general o diferent »ial¸ a total¸ a exact¸ a » si deci nu poate
¯ identi¯cat¸ a cu ¡±S. Funct »ia Spoart¸ a numele de funct »ie generatoare a transform¸ arii
canonice (12.3), iar constanta c6= 0 reprezint¸ a valent »a transform¸ arii respective. O transfor-
mare canonic¸ a pentru care c= 1 poart¸ a numele de transformare canonic¸ a univalent¸ a .
^In concluzie, condit »ia necesar¸ a » si su¯cient¸ a pentru ca transformarea (12.3) s¸ a
¯e canonic¸ a, const¸ a ^ ³n existent »a unei funct »ii generatoare S» si a unei constante
oarecare c6= 0, pentru care ecuat »ia (12.11) s¸ a ¯e satisf¸ acut¸ a identic ^ ³n baza
transform¸ arii (12.3) .
Funct »ia generatoare Sdepinde de un num¸ ar de (2 n+1) variabile independente : timpul t
» si un num¸ ar de (2 n) argumente alese din totalul de (4 n) coordonate » si impulsuri generalizate
qk; Qk; pk; Pk;k= 1; : : : ; n care sunt legate prin intermediul ecuat »iilor (12.3). ^In identitatea
fundamental¸ a (12.11) se consider¸ a c¸ a S=S(t; q; p ) » si atunci dac¸ a este dat¸ a constanta

12.1. ECUAT »IILE TRANSFORM ¸ARILOR CANONICE 153
c6= 0, funct »ia generatoare S(t; q; p )va genera transform¸ arile canonice de¯nite de
ecuat »iile (12.3) . Este ^ ³ns¸ a evident c¸ a ^ ³n anumite condit »ii, pot ¯ generate transform¸ ari
canonice pornind » si de la funct »ii av^ and forma general¸ a :
S1(t; q; Q ) , S2(t; q; P ) , S3(t; p; Q ) , S4(t; p; P ) (12.12)
sau de la funct »ii de variabile combinate. ^In cele ce urmeaz¸ a, vor ¯ examinate doar trans-
form¸ arile canonice generate de funct »iile de tipul S1(t; q; Q ) » siS2(t; q; P ) .
Dac¸ a se au ^ ³n vedere transform¸ arile (12.3) pentru care este ^ ³ndeplinit¸ a condit »ia suplimen-
tar¸ a :
detÃ@Qk
@pj!
6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (12.13)
atunci din ecuat »iile Qk=Qk(t; q; p ) ;k= 1; : : : ; n pot ¯ exprimate vechile impulsuri ^ ³n
funct »ie de vechile » si noile coordonate :
pk=pk(t; q; Q ) ; k= 1; : : : ; n (12.14)
funct »ia generatoare S(t; q; p ) devenind astfel funct »ie de variabilele independente ( t; q; Q ) :
S[t; q; p (t; q; Q ) ] =S1(t; q; Q ) (12.15)
Transform¸ arile caracterizate de condit »ia suplimentar¸ a (12.13) » si care sunt generate de funct »ia
S1(t; q; Q ) sunt numite transform¸ ari canonice libere . Ecuat »iile acestor transform¸ ari se
obt »in din identitatea fundamental¸ a (12.11) care devine :
nX
k=1Pk±Qk¡K ±t =cÃnX
k=1pk±qk¡H ±t!
¡±S1(t; q; Q ) (12.16)
adic¸ a :
nX
k=1Ã
c pk¡@S1
@qk!
±qk¡nX
k=1Ã
Pk+@S1
@Qk!
±Qk+Ã
K¡c H¡@S1
@t!
±t= 0 (12.17)
Din anularea simultan¸ a a coe¯cient »ilor, rezult¸ a ecuat »iile transform¸ arii c¸ autate :
c pk=@S1
@qk,Pk=¡@S1
@Qk; k= 1; : : : ; n (12.18)
precum » si leg¸ atura dintre noul » si vechiul hamiltonian :
K=c H+@S1
@t(12.19)
Dac¸ a funct »ia generatoare S1(t; q; Q ) ^ ³ndepline» ste condit »ia :
detÃ@2S1
@Qk@qj!
6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (12.20)
atunci din primul grup de ecuat »ii (12.18) rezult¸ a dependent »ele Qk=Qk(t; q; p ) ;k=
1; : : : ; n , care ^ ³nlocuite ^ ³n cel de al doilea grup de ecuat »ii (12.18) conduc la dependent »ele

154CAPITOLUL 12. TRANSFORM ¸ARI CANONICE. METODA HAMILTON-JACOBI
Pk=Pk(t; q; p ) ;k= 1; : : : ; n .^In consecint »¸ a, ¯ind dat¸ a funct »ia generatoare S1(t; q; Q )
care ^ ³ndepline» ste condit »ia (12.20), precum » si constanta arbitrar¸ a c6= 0, ecuat »iile
(12.18) de¯nesc o transformare canonic¸ a .
Dac¸ a sunt alese ca variabile independente m¸ arimile ( t; q; P ) , funct »ia generatoare a trans-
form¸ arii canonice va ¯ S2(t; q; P ) . Deoarece Pk=¡@S1
@Qk;k= 1; : : : ; n , trecerea de la va-
riabilele ( t; q; Q ) la variabilele ( t; q; P ) poate ¯ realizat¸ a folosind o transformare Legendre,
conform c¸ areia funct »ia S2poate ¯ obt »inut¸ a din funct »ia S1cu ajutorul relat »iei :
S2(t; q; P ) =S1(t; q; Q ) +nX
k=1PkQk (12.21)
Identitatea fundamental¸ a (12.16) se va scrie acum sub forma :
nX
k=1Pk±Qk¡K ±t =cÃnX
k=1pk±qk¡H ±t!
¡±S2(t; q; P ) +nX
k=1Pk±Qk+nX
k=1Qk±Pk(12.22)
adic¸ a :
¡nX
k=1Qk±Pk¡K ±t =cÃnX
k=1pk±qk¡H ±t!
¡±S2(t; q; P ) (12.23)
» si atunci :
nX
k=1Ã
c pk¡@S2
@qk!
±qk¡nX
k=1Ã
Qk¡@S2
@Pk!
±Pk+Ã
K¡c H¡@S2
@t!
±t= 0 (12.24)
Ecuat »iile transform¸ arilor canonice vor ¯ :
c pk=@S2
@qk,Qk=@S2
@Pk; k= 1; : : : ; n (12.25)
» si ^ ³n plus :
K=c H+@S2
@t(12.26)
Dac¸ a funct »ia generatoare S2^ ³ndepline» ste condit »ia :
detÃ@2S2
@Pk@qj!
6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (12.27)
atunci din primul grup de ecuat »ii (12.25) rezult¸ a dependent »ele Pk=Pk(t; q; p ) ;k= 1; : : : ; n ,
care ^ ³nlocuite ^ ³n cel de al doilea grup de ecuat »ii (12.25) conduc la dependent »ele Qk=
Qk(t; q; p ) ;k= 1; : : : ; n .^In consecint »¸ a, pornind de la funct »ia generatoare S2(t; q; P )
a» sa^ ³nc^ at condit »ia (12.27) s¸ a ¯e satisf¸ acut¸ a » si d^ andu-se o constant¸ a c6= 0, ecuat »iile
(12.25) de¯nesc o transformare canonic¸ a .
Deoarece ^ ³n mecanic¸ a prezint¸ a interes ^ ³n special transform¸ arile canonice univalente
(c= 1) , ^ ³n cele ce urmeaz¸ a vor ¯ date c^ ateva exemple de astfel de transform¸ ari.
a) Se consider¸ a o funct »ie generatoare de tipul S1av^ and forma :
S1(q; Q) =nX
k=1qkQk (12.28)

12.1. ECUAT »IILE TRANSFORM ¸ARILOR CANONICE 155
» sic= 1 . ^In acest caz K=H, iar ecuat »iile transform¸ arilor, conform (12.18), vor ¯ :
pk=@S1
@qk=Qk,Pk=¡@S1
@Qk=¡qk ; k= 1; : : : ; n (12.29)
^In esent »¸ a, o astfel de transformare schimb¸ a^ ³ntre ele locurile coordonatelor » si impulsu-
rilor (cu except »ia unui semn), ceea ce con¯rm¸ a din nou pozit »ia echivalent¸ a a coordonatelor » si
impulsurilor generalizate ^ ³n descrierea mi» sc¸ arii sistemului ^ ³n spat »iul fazelor ¤ 2n. Deosebirea
dintre ele const¸ a doar ^ ³n terminologie !
b) Se alege ca funct »ie generatoare a unei transform¸ ari canonice univalente c= 1 funct »ia :
S2(t; q; P ) =nX
k=1fk(t; q)Pk (12.30)
Folosind al doilea grup de formule (12.25), rezult¸ a c¸ a noile coordonate vor ¯ :
Qk=@S2
@Pk=fk(t; q) ; k= 1; : : : ; n (12.31)
ceea ce reprezint¸ a ecuat »iile transform¸ arilor punctuale. ^In consecint »¸ a, toate transform¸ arile
punctuale sunt » si transform¸ ari canonice , reciproca ne¯ind ^ ³ns¸ a ^ ³ntotdeauna adev¸ arat¸ a.
Dac¸ a :
fk=nX
j=1akjqj ; k= 1; : : : ; n (12.32)
cu :nX
j=1akjalj=±kl ; k; l= 1; : : : ; n (12.33)
atunci K=H» si :
Qk=nX
j=1akjqj ; k= 1; : : : ; n (12.34)
ceea ce reprezint¸ a ecuat »iile transform¸ arilor ortogonale pentru coordonate . Folosind
primul grup de formule (12.25), se va putea scrie succesiv :
pj=@S2
@qj=@
@qjÃnX
l=1flPl!
=@
@qj0
@nX
l;k=1alkqkPl1
A=nX
l;k=1alk±kjPl=nX
l=1aljPl;j= 1; : : : ; n
(12.35)
^Inmult »ind ¯ecare din aceste ecuat »ii cu akj» si sum^ and dup¸ a toate valorile lui jrezult¸ a :
nX
j=1akjpj=nX
j;l=1akjaljPl=nX
l=1±klPl=Pk ; k= 1; : : : ; n (12.36)
ceea ce ^ ³nseamn¸ a c¸ a » si noile impulsuri se obt »in folosind aceea» si transformare ortogonal¸ a ca
» si pentru coordonate, lucru care era de a» steptat.
Dac¸ a ^ ³n particular akj=±kj;k; j= 1; : : : ; n , atunci :
Qk=qk,Pk=pk ; k= 1; : : : ; n (12.37)
adic¸ a funct »ia generatoare S2=nX
k=1qkPk, cuc= 1 , conduce la transformarea identic¸ a .

156CAPITOLUL 12. TRANSFORM ¸ARI CANONICE. METODA HAMILTON-JACOBI
12.2 Ecuat »ia » si teorema Hamilton-Jacobi
Revenim asupra unei probleme enunt »at¸ a anterior, anume ¯ind dat un sistem olonom a
c¸ arui mi» scare este descris¸ a de ecuat »iile lui Hamilton :
_qk=@H
@pk, _pk=¡@H
@qk; k= 1; : : : ; n (12.38)
urmeaz¸ a a ¯ c¸ autat¸ a transformarea canonic¸ a univalent¸ a ^ ³n urma c¸ areia noul hamil-
tonian Kal ecuat »iilor de mi» scare pentru noile coordonate » si impulsuri :
_Qk=@K
@Pk,_Pk=¡@K
@Qk; k= 1; : : : ; n (12.39)
s¸ a ¯e identic nul :
K=H+@S
@t´0 (12.40)
^In acest caz, solut »ia general¸ a a sistemului (12.39) va ¯ :
Qk=bk,Pk=ak ; k= 1; : : : ; n (12.41)
unde ak; bk;k= 1; : : : ; n sunt 2 nconstante arbitrare. Cunosc^ and transformarea canonic¸ a :
Qk=Qk(t; q; p )
Pk=Pk(t; q; p ); k= 1; : : : ; n ,@(Q; P)
@(q; p)6= 0 (12.42)
» si t »in^ and cont de (12.41), sistemul (12.42) poate ¯ rezolvat ^ ³n raport cu necunoscutele ( q; p) ,
rezult^ and :
qk=qk(t; a1; : : : ; a n; b1; : : : ; b n)
pk=pk(t; a1; : : : ; a n; b1; : : : ; b n); k= 1; : : : ; n (12.43)
adic¸ a solut »ia general¸ a a ecuat »iilor de mi» scare (12.38). Constantele ak; bk;k= 1; : : : ; n pot
¯ exprimate prin condit »iile init »iale ale problemei.
Dup¸ a cum se » stie, transformarea canonic¸ a c¸ autat¸ a este de¯nit¸ a ^ ³n ^ ³ntregime, dac¸ a este
cunoscut¸ a funct »ia generatoare a transform¸ arii respective ( c= 1) . ^In consecint »¸ a, pentru a
rezolva problema determin¸ arii mi» sc¸ arii ^ ³n maniera descris¸ a mai sus, va trebui g¸ asit¸ a
funct »ia generatoare a transform¸ arii canonice, ^ ³n urma c¸ ariea noile variabile canonice sunt
ni» ste constante. ^In conformitate cu condit »ia (12.40), rezult¸ a c¸ a funct »ia generatoare va inde-
plini ecuat »ia :
@S
@t+H(t; q1; : : : ; q n; p1; : : : ; p n) = 0 (12.44)
Aleg^ and ^ ³n calitate de funct »ie generatoare o funct »ie de tipul S2(t; q; P ) , deoarece :
pk=@S2
@qk,Qk=@S2
@Pk; k= 1; : : : ; n (12.45)
rezult¸ a c¸ a funct »ia generatoare c¸ autat¸ a va ¯ o solut »ie a ecuat »iei :
@S
@t+HÃ
t; q1; : : : ; q n;@S
@q1; : : : ;@S
@qn!
= 0 (12.46)

12.2. ECUAT »IA S »I TEOREMA HAMILTON-JACOBI 157
unde s-a renunt »at la scrierea indicelui ^ ³n S2. Ecuat »ia (12.46) este o ecuat »ie diferent »ial¸ a
cu derivate part »iale de ordinul ^ ³nt^ ai, care permite determinarea dependent »ei funct »iei Sde
timpul t» si de coordonatele q1; : : : ; q n, ^ ³ns¸ a nu d¸ a nici o informat »ie cu privire la dependent »a
funct »iei generatoare Sde noile impulsuri, despre care se » stie doar c¸ a ele trebuie s¸ a ¯e ni» ste
constante Pk=ak;k= 1; : : : ; n .
Ecuat »ia (12.46) poart¸ a numele de ecuat »ia Hamilton-Jacobi , iar funct »ia Seste cu-
noscut¸ a sub numele de funct »ia principal¸ a a lui Hamilton . Odat¸ a determinat¸ a funct »ia
S(t; q; a ) ca solut »ie a ecuat »iei (12.46), ecuat »iile transform¸ arii canonice c¸ autate vor ¯ :
pk=@S(t; q; a )
@qk,Qk=bk=@S(t; q; a )
@ak; k= 1; : : : ; n (12.47)
» si problema determin¸ arii mi» sc¸ arii sistemului mecanic se^ ³ncheie. ^Intr-adev¸ ar, deoarece funct »ia
generatoare trebuie s¸ a ^ ³ndeplineasc¸ a condit »ia :
detÃ@2S
@ak@qj!
6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n (12.48)
folosind primul grup de ecuat »ii (12.47) pot ¯ determinate, pentru t=t0, valorile constantelor
ak;k= 1; : : : ; n ^ ³n funct »ie de valorile init »iale ale coordonatelor » si impulsurilor ( q0; p0) . Al
doilea grup de ecuat »ii (12.47) va furniza direct valorile constantelor bk;k= 1; : : : ; n , dac¸ a
sunt cunoscute valorile ( q0) la timpul t=t0. Rezolv^ and apoi al doilea grup de ecuat »ii (12.47)
^ ³n raport cu variabilele qk;k= 1; : : : ; n , rezult¸ a solut »ia ¯nal¸ a :
qk=qk(t; a; b ) ; k= 1; : : : ; n (12.49)
deoarece constantele ( a; b) sunt deja determinate ^ ³n raport cu datele init »iale ale problemei.
^Inlocuind (12.49) ^ ³n primul grup de ecuat »ii (12.47), vor rezulta prin derivare impulsurile :
pk=pk(t; a; b ) ; k= 1; : : : ; n (12.50)
Se observ¸ a c¸ a problema integr¸ arii sistemului canonic este ^ ³nlocuit¸ a de problema echi-
valent¸ a a determin¸ arii unei solut »ii a ecuat »iei Hamilton-Jacobi, care s¸ a ¯e funct »ie de timp,
de coordonatele generalizate ( q) » si de un num¸ ar de nconstante arbitrare ak;k= 1; : : : ; n .
Pe de alt¸ a parte, se » stie din teoria ecuat »iilor diferent »iale, c¸ a o integral¸ a complet¸ a a unei
ecuat »ii cu derivate part »iale de ordinul ^ ³nt^ ai care cont »ine ( n+ 1) variabile independente,
cont »ine tot at^ atea constante independente arbitrare. Deoarece ^ ³n ecuat »ia Hamilton-Jacobi,
funct »ia Sintervine doar sub forma derivatelor@S
@t» si@S
@qk;k= 1; : : : ; n , ^ ³nseamn¸ a c¸ a una din
aceste constante este aditiv¸ a , spre deosebire de celelalte ncare sunt constante esent »iale .
F¸ ac^ and abstract »ie de constanta aditiv¸ a, integrala complet¸ a a ecuat »iei Hamilton-Jacobi va ¯
scris¸ a formal :
S=S(t; q1; : : : ; q n; a1; : : : ; a n) (12.51)
Deoarece ^ ³n plus integrala complet¸ a satisface la o condit »ie similar¸ a cu (12.48), rezult¸ a c¸ a se
poate identi¯ca integrala complet¸ a a ecuat »iei (12.46) cu funct »ia generatoare a transform¸ arii
canonice c¸ autate.

158CAPITOLUL 12. TRANSFORM ¸ARI CANONICE. METODA HAMILTON-JACOBI
Rezum^ and cele expuse, poate ¯ formulat¸ a teorema Hamilton-Jacobi , conform c¸ areia
dac¸ a funct »ia S(t; q; a )este o integral¸ a complet¸ a a ecuat »iei Hamilton-Jacobi (12.46),
atunci solut »ia general¸ a a sistemului canonic (12.38) este determinat¸ a de sistemul
de ecuat »ii :
pk=@S
@qk,bk=@S
@ak; k= 1; : : : ; n (12.52)
^ ³n care ak; bk;k= 1; : : : ; n sunt ni» ste conatante arbitrare .
Aceast¸ a teorem¸ a reduce rezolvarea sistemului canonic la g¸ asirea unei integrale complete
a ecuat »iei Hamilton-Jacobi. Trebuie ^ ³ns¸ a observat c¸ a determinarea integralei complete a
ecuat »iei Hamilton-Jacobi implic¸ a scrierea sistemului caracteristic asociat , care^ ³ns¸ a coin-
cide cu sistemul canonic. De aceea teorema Hamilton-Jacobi poate ¯ util¸ a doar dac¸ a este
posibil¸ a determinarea unei integrale complete pe alt¸ a cale, f¸ ar¸ a a face apel la sistemul carac-
teristic.
^In cele ce urmeaz¸ a, sunt examinate c^ ateva cazuri particulare ^ ³n care ecuat »ia Hamilton-
Jacobi » si integrala ei complet¸ a, au forme ceva mai simple.
Dac¸ a timpul tnu intervine explicit ^ ³n expresia funct »iei H :@H
@t= 0 , atunci,
dup¸ a cum se » stie, pe solut »ia sistemului canonic va trebui ca :
H(q1; : : : ; q n; p1; : : : ; p n) =h (12.53)
unde heste o constant¸ a, care reprezint energia sistemului. Deoarece ecuat »ia Hamilton-Jacobi
se reduce acum la :
@S
@t=¡h (12.54)
rezult¸ a c¸ a :
S=¡h t+W(q1; : : : ; q n) (12.55)
Funct »ia Wse determin¸ a scriind c¸ a (12.55) satisface ecuat »ia Hamilton-Jacobi. Rezult¸ a :
HÃ
q1; : : : ; q n;@W
@q1; : : : ;@W
@qn!
=h (12.56)
Ecuat »ia obt »inut¸ a poart¸ a numele de ecuat »ia redus¸ a Hamilton-Jacobi , funct »ia W¯ind
cunoscut¸ a sub numele de funct »ia caracteristic¸ a a lui Hamilton . Integrala complet¸ a a
ecuat »ei (12.56) va depinde de un num¸ ar de ( n¡1) constante esent »iale ak:
W=W(q1; : : : ; q n; a1; : : : ; a n¡1; h) (12.57)
la care se adaug¸ a constanta an´h. Funct »ia Wsatisface condit »ia :
detÃ@2W
@ak@qj!
6= 0 ; k; j= 1; : : : ; n ,an´h (12.58)
^In consecint »¸ a, integrala complet¸ a a ecuat »iei Hamilton-Jacobi va avea forma :
S=¡h t+W(q1; : : : ; q n; a1; : : : ; a n¡1; h) (12.59)

12.2. ECUAT »IA S »I TEOREMA HAMILTON-JACOBI 159
Aplic^ and teorema Hamilton-Jacobi, sistemul (12.47) care permite determinarea solut »iei sis-
temului canonic, se reduce la :
pk=@W
@qk; k= 1; : : : ; n (12.60)
8
>>><
>>>:bk=@W
@ak; k= 1; : : : ; n
bn=¡t+@W
@h(an´h)(12.61)
^In baza condit »iei (12.58), din ecuat »iile (12.60) se pot determina, pentru t=t0, valorile
constantelor ak;k= 1; : : : ; n ^ ³n funct »ie de valorile init »iale ( q0; p0) . Apoi, rezolv^ and sistemul
(12.61) ^ ³n raport cu qk;k= 1; : : : ; n , se obt »ine solut »ia ¯nal¸ a a ecuat »iilor de mi» scare :
qk=qk(t; a; b ) ; k= 1; : : : ; n (12.62)
S¸ a mai observ¸ am c¸ a ^ ³ntruc^ at primele ( n¡1) ecuat »ii (12.61) nu cont »in explicit timpul t,
este posibil¸ a exprimarea unui num¸ ar de ( n¡1) coordonate ^ ³n funct »ie de coordonata qn
aleas¸ a arbitrar. Se obt »ine astfel ecuat »ia traiectoriei mi» sc¸ arii ^ ³n spat »iul con¯gurat »iilor ¤ n.
^In mi» scarea bidimensional¸ a, procedeul este analog cu g¸ asirea direct¸ a a ecuat »iei traiectoriei
y=y(x) , f¸ ar¸ a a ¯ cunoscute ^ ³n prealabil ecuat »iile parametrice x=x(t) » siy=y(t) din care
s¸ a ¯e eliminat ulterior timpul.
Se poate veri¯ca direct c¸ a funct »ia caracteristic¸ a Wa lui Hamilton, este funct »ia genera-
toare a unei transform¸ ari canonice univalente, ^ ³n urma c¸ areia noile coordonate devin ciclice^ ³n
raport cu noul hamiltonian K(deoarece timpul nu ¯gureaz¸ a explicit ^ ³n funct »ia generatoare,
noul hamiltonian coincide cu vechiul hamiltonian, care reprezint¸ a chiar integrala energiei !).
Un alt caz ^ ³n care ecuat »ia Hamilton-Jacobi cap¸ at¸ a o form¸ a simpl¸ a, corespunde situat »iei
^ ³n care un num¸ ar de coordonate q®;®=m+ 1; : : : ; n sunt ciclice :
H=H(t; q1; : : : ; q m; p1; : : : ; p n) , p®=a® ; ®=m+ 1; : : : ; n (12.63)
Deoarece :
p®=@S
@q®=a® ; ®=m+ 1; : : : ; n (12.64)
funct »ia principal¸ a a lui Hamilton va avea forma general¸ a :
S=nX
®=m+1a®q®+S0(t; q1; : : : ; q m; a1; : : : ; a n) (12.65)
Pentru funct »ia S0se obt »ine ecuat »ia :
@S0
@t+HÃ
t; q1; : : : ; q m;@S0
@q1; : : : ;@S0
@qm; am+1; : : : ; a n!
= 0 (12.66)
care corespunde unui sistem canonic cu 2 mvariabile, a» sa cum arat¸ a » si rezultatele obt »inute
la studiul sistemelor av^ and un num¸ ar de n¡mcoordonate ciclice.

160CAPITOLUL 12. TRANSFORM ¸ARI CANONICE. METODA HAMILTON-JACOBI
Dac¸ a hamiltonianul sistemului nu depinde explicit de timp » si ^ ³n plus un num¸ ar de coor-
donate sunt ciclice, atunci integrala complet¸ a a ecuat »iei Hamilton-Jacobi are forma
S=¡h t+nX
®=m+1a®q®+W0(q1; : : : ; q m; a1; : : : ; a m¡1; h; a m+1; : : : ; a n) (12.67)
funct »ia W0¯ind integrala complet¸ a a ecuat »iei :
HÃ
t; q1; : : : ; q m;@W0
@q1; : : : ;@W0
@qm; am+1; : : : ; a n!
=h (12.68)
12.3 Metoda separ¸ arii variabilelor
Teorema Hamilton-Jacobi ^ ³» si dovede» ste utilitatea practic¸ a numai dac¸ a poate ¯ g¸ asit¸ a
o integral¸ a complet¸ a a ecuat »iei Hamilton-Jacobi f¸ ar¸ a a se recurge la sistemul caracteristic
asociat ecuat »iei respective, care nu este altul dec^ at sistemul canonic pentru care se caut¸ a
solut »ia. O metod¸ a foarte des utilizat¸ a ^ ³n ¯zic¸ a pentru determinarea integralei complete, este
metoda separ¸ arii variabilelor . Pentru a nu complica expunerea, vor ¯ considerate doar
sistemele mecanice al c¸ aror hamiltonian nu depinde explicit de timp, deci pentru care :
H(q1; : : : ; q n; p1; : : : ; p n) =h (12.69)
^In acest caz integrala complet¸ a a ecuat »iei Hamilton-Jacobi se scrie :
S=¡h t+W(q1; : : : ; q n; a1; : : : ; a n) ; an´h (12.70)
unde Weste o integral¸ a complet¸ a a ecuat »iei reduse Hamilton-Jacobi :
HÃ
q1; : : : ; q n;@W
@q1; : : : ;@W
@qn!
=h (12.71)
Metoda separ¸ arii variabilelor const¸ a ^ ³n c¸ autarea unei solut »ii a ecuat »iei (12.71) sub forma :
W=nX
k=1Wk(qk; a1; : : : ; a n) (12.72)
^In aceast¸ a situat »ie, se va putea scrie :
pk=@S
@qk=@W
@qk=@Wk
@qk; k= 1; : : : ; n (12.73)
» si atunci printr-o alegere adecvat¸ a a constantelor , ecuat »ia (12.71) poate ¯ divizat¸ a
^ ³ntr-un sistem echivalent de necuat »ii, av^ and forma :
fkÃ
qk;@Wk
@qk; a1; : : : ; a n!
=ak ; k= 1; : : : ; n (12.74)

12.3. METODA SEPAR ¸ARII VARIABILELOR 161
Acestea sunt ni» ste ecuat »ii diferent »iale ordinare ^ ³n variabilele qk;k= 1; : : : ; n . Dac¸ a sunt
^ ³ndeplinite condit »iile :
@fk
@pk6= 0 ; k= 1; : : : ; n (12.75)
ecuat »iile (12.74) pot ¯ rezolvate ^ ³n raport cu@Wk
@qk;k= 1; : : : ; n , rezult^ and ^ ³n ¯nal pentru
Wk;k= 1; : : : ; n ni» ste cuadraturi :
pk=@Wk
@qk=Fk(qk; a1; : : : ; a n) =) Wk=Z
Fk(qk; a1; : : : ; a n) dqk;k= 1; : : : ; n
(12.76)
Folosind (12.72), integrala complet¸ a a ecuat »iei Hamilton-Jacobi se va scrie :
S=¡h t+nX
k=1Z
Fk(qk; a1; : : : ; a n) dqk (12.77)
Bine^ ³nt »eles, procedeul descris nu este realizabil ^ ³ntotdeauna » si chiar ^ ³n cazul unor sisteme
mecanice care admit o integral¸ a complet¸ a de forma (12.77), esent »ial¸ a r¸ am^ ane alegerea setului
de variabile independente ^ ³n care se lucreaz¸ a. De exemplu, ^ ³n cazul problemei mi» sc¸ arii ^ ³n
c^ amp central, folosirea coordonatelor sferice permite separarea variabilelor, ^ ³n schimb folosi-
rea coordonatelor carteziene nu permite acest lucru. ^In cele ce urmeaz¸ a, sunt examinate dou¸ a
forme particulare ale hamiltonianului H, care admit integrale complete de forma (12.77).
a) Variabilele sunt separate ^ ³n ^ ³ns¸ a» si structura lui H, ca de exemplu ^ ³n expresia hamil-
tonianului oscilatorului tridimensional anizotrop H=3X
i=1Ãp2
i
2m+kiq2
i
2!
:
H=H[f1(q1; p1); : : : ; f n(qn; pn) ] (12.78)
Fiecare funct »ie fkcont »ine perechea de variabile qk; pk;k= 1; : : : ; n » si^ ³n plus sunt^ ³ndeplinite
condit »iile (12.75). Ecuat »ia redus¸ a Hamilton-Jacobi se va scrie sub forma :
H"
f1Ã
q1;@W
@q1!
; : : : ; f nÃ
qn;@W
@qn!#
=h (12.79)
C¸ aut^ and solut »ia sub forma sumei (12.72), ecuat »ia (12.79) va ¯ satisf¸ acut¸ a numai dac¸ a :
fk(qk; pk) =ak,pk=@Wk
@qk; k= 1; : : : ; n (12.80)
^ ³ntre constantele ak;k= 1; : : : ; n exist^ and leg¸ atura evident¸ a :
H(a1; : : : ; a n) =h (12.81)
^In baza condit »iilor (12.75), ecuat »iile (12.80) pot ¯ rezolvare ^ ³n raport cu pk;k= 1; : : : ; n :
pk=@Wk
@qk=Fk(qk; ak) =) Wk=Z
Fk(qk; ak) dqk ; k= 1; : : : ; n (12.82)

162CAPITOLUL 12. TRANSFORM ¸ARI CANONICE. METODA HAMILTON-JACOBI
» si integrala complet¸ a a ecuat »iei reduse Hamilton-Jacobi se va scrie :
W=nX
k=1Z
Fk(qk; ak) dqk (12.83)
Odat¸ a cunoscut¸ a funct »ia S=¡h t+W, aplic^ and teorema Hamilton-Jacobi se determin¸ a
mi» scarea sistemului mecanic.
b) Metoda separ¸ arii variabilelor poate ¯ aplicat¸ a » si dac¸ a Hare forma general¸ a :
H=fnf: : : f 3ff2[f1(q1; p1); q2; p2]; q3; p3g; : : : ; q n; png (12.84)
¯ind indeplinite » si condit »iile suplimentare (12.75). Un hamiltonian cu o astfel de structur¸ a
este cel care descrie mi» scarea ^ ³n c^ amp central a unui corp de mas¸ a m, c^ and sunt folosite
coordonate sferice : H=1
2m"
p2
r+1
r2Ã
p2
µ+p2
'
sin2µ!#
+V(r) . Pentru hamiltonianul (12.84),
ecuat »ia redus¸ a Hamilton-Jacobi va avea forma :
fn(
: : : f 3(
f2"
f1Ã
q1;@W
@q1!
; q2;@W
@q2#
; q3;@W
@q3)
; : : : ; q n;@W
@qn)
=h (12.85)
C¸ aut^ and solut »ia sub forma sumei (12.72), pot ¯ f¸ acute notat »iile evidente :
f1(q1; p1) =a1
f2(a1; q2; p2) =a2
f3(a2; q3; p3) =a3
…
fn(an¡1; qn; pn) =an,pk=@Wk
@qk; k= 1; : : : ; n (12.86)
Rezolv^ and aceste ecuat »ii ^ ³n raport cu impulsurile generalizate, rezult¸ a :
p1=@W1
@q1=F1(q1; a1) = )W1=Z
F1(q1; a1) dq1
p2=@W2
@q2=F1(q2; a1; a2) = )W2=Z
F2(q2; a1; a2) dq2
p3=@W3
@q3=F3(q3; a2; a3) = )W3=Z
F3(q3; a2; a3) dq3
…
pn=@Wn
@qn=Fn(qn; an¡1; an) =)Wn=Z
Fn(qn; an¡1; an) dqn(12.87)
^In consecint »¸ a, integrala complet¸ a a ecuat »iei reduse Hamilton-Jacobi se va scrie :
W=nX
k=1Z
Fk(qk; ak¡1; ak) dqk (12.88)
iar integrala complet¸ a a ecuat »iei Hamilton-Jacobi va ¯ :
S=¡h t+nX
k=1Z
Fk(qk; ak¡1; ak) dqk (12.89)
Aplic^ and apoi teorema Hamilton-Jacobi, vor rezulta ecuat »iile de mi» scare ale sistemului me-
canic considerat.

IV. Mecanica mediilor deformabile

Capitolul 13
Not »iuni fundamentale ale mecanicii
mediilor continue deformabile
13.1 Principii generale
Sunt studiate sistemele cu un num¸ ar foarte mare (practic in¯nit) de puncte materiale,
care sunt dispuse compact ^ ³n spat »iu. Un astfel de sistem va ¯ numit mediu continuu , care
poate ¯ deformabil saunedeformabil , dup¸ a cum distant »ele reciproce dintre puncte, ca » si
unghiurile dintre elementele liniare, se modi¯c¸ a sau nu se modi¯c¸ a ^ ³n cursul mi» sc¸ arii. Pentru
studiul mi» sc¸ arii mediului continuu deformabil, conceptul de punct material ^ ³» si pierde sensul,
deoarece chiar dac¸ a ar putea ¯ scrise ecuat »iile de mi» scare pentru ¯ecare punct ^ ³n parte, ele nu
ar putea ¯ integrate din cauza complexit¸ at »ii calculelor matematice. O descriere aproximativ¸ a,
^ ³ns¸ a su¯cient de exact¸ a a mi» sc¸ arii mediului continuu deformabil poate ¯ realizat¸ a folosind
conceptul de particul¸ a material¸ a.
Prinparticul¸ a material¸ a se^ ³nt »elege o port »iune arbitrar de mic¸ a a mediului, care cont »ine
un num¸ ar relativ mic de puncte materiale ^ ³n raport cu num¸ arul celor care alc¸ atuiesc sistemul,
^ ³ns¸ a su¯cient de mare pentru ca propriet¸ at »ile sale s¸ a poat¸ a ¯ caracterizate cu ajutoul unor
parametri macroscopici. Pozit »ia particulei materiale la un moment oarecare teste dat¸ a de
vectorul de pozit »ie al centrului de mas¸ a. ^In cursul evolut »iei ^ ³n timp a sistemului sub act »iunea
unor fort »e exterioare, particula material¸ a ^ ³» si modi¯c¸ a pozit »ia, forma » si dimensiunile.
Mi» scarea unui mediu deformabil poate ¯ reprezentat¸ a matematic printr-o transformare
continu¸ a a spat »iului euclidian ^ ³n el ^ ³nsu» si, parametrul transform¸ arii ¯ind timpul t. O par-
ticul¸ a material¸ a Ma°at¸ a init »ial ^ ³n pozit »ia ~ r0(x0
1; x0
2; x0
3) se va g¸ asi la momentul t^ ³n pozit »ia
~ r(x1; x2; x3) » si evident :
~ r=~ r(~ r0; t) =~ r(x0
1; x0
2; x0
3; t) (13.1)
Individualiz^ and particula M(deci ¯x^ and pe ~ r0), ecuat »ia (13.1) va reprezenta traiectoria
particulei M. Fix^ and pe t» si d^ and lui ~ r0toate valorile posibile corespunz¸ atoare punctelor
^ ³nD0, aceea» si ecuat »ie (13.1) va reprezenta transformarea domeniului D0^ ³nDt. Vor
¯ luate ^ ³n considerare doar acele transform¸ ari ale lui D0^ ³nDt, care au loc f¸ ar¸ a ¯suri sau
goluri interioare » si care sunt reversibile , adic¸ a pentru care :
06=J <1 unde J=@(x1; x2; x3)
@(x0
1; x0
2; x0
3)(13.2)
165

166 CAPITOLUL 13. NOT »IUNILE FUNDAMENTALE
Figura 13.1: O tansformare a domeniului D0^ ³nDt
deci exist¸ a » si transformarea invers¸ a :
~ r0=~ r0(~ r; t) (13.3)
Condit »ia (13.2) exprim¸ a principiul indestructibilit¸ at »ii materiei .
Variabilele ( ~ r0; t) sunt numite coordonate materiale saulagrangeene , iar variabilele
(~ r; t) se numesc coordonate spat »iale saueuleriene . O funct »ie scalar¸ a (sau vectorial¸ a)
oarecare F, care corespunde unui parametru macroscopic caracteristic particulei, poate ¯
exprimat¸ a at^ at cu ajutorul variabilelor lagrangeene, c^ at » si cu cele euleriene. Prin F=F(~ r0; t)
se va ^ ³nt »elege valoarea lui Fla momentul tpentru particula care la momentul init »ial t0= 0
se a°a ^ ³n pozit »ia ~ r0, deci F(~ r0; t) va ¯ o funct »ie legat¸ a de particula ^ ³n mi» scare. Prin F(~ r; t)
se va ^ ³nt »elege valoarea lui Fpentru particula care la momentul tse g¸ ase» ste ^ ³n punctul ~ ral
spat »iului. Valorile F(~ r0; t) » siF(~ r; t) sunt legate prin intermediul transform¸ arii (13.1). Se pot
considera dou¸ a tipuri de derivate :
@F(~ r0; t)
@t=dF
dt(13.4)
@F(~ r; t)
@t=@F
@t6=dF
dt(13.5)
Derivata (13.4) reprezint¸ a viteza de variat »ie a lui Fpentru o particul¸ a mobil¸ a individualizat¸ a
» si de nume» ste derivat¸ a substant »al¸ a saumaterial¸ a . Derivata (13.5) reprezint¸ a viteza de
variat »ie a lui F^ ³n punctul ¯xat ~ ral spat »iului » si se nume» ste derivat¸ a local¸ a .
Viteza unei particule se va calcula cu formula :
~ v=d~ r(~ r0; t)
dt=@~ r(~ r0; t)
@t(derivat¸ a substant »ial¸ a !) (13.6)
Folosind inversa transform¸ arii (13.1), se obt »ine c^ ampul vitezelor la momentul arbitrar t:
~ v=~ v(~ r; t) , adic¸ a repartit »ia vitezelor ^ ³n toate punctele domeniului.
Accelerat »ia unei particule va ¯ :
~ a=d~ v(~ r0; t)
dt=@~ v(~ r0; t)
@t=@2~ r(~ r0; t)
@t2(13.7)

13.1. PRINCIPII GENERALE 167
de unde, folosind din nou transformata invers¸ a a lui (13.1), rezult¸ a c^ ampul accelerat »iilor
sub forma ~ a=~ a(~ r; t) . La c^ ampul accelerat »iilor se poate ajunge » si direct, pornind de la
c^ ampul vitezelor ~ v=~ v(~ r; t) :
~ a=d~ v
dt=@~ v
@t+3X
i=1@~ v
@xidxi
dt=@~ v
@t+ (~ v¢grad) ~ v (13.8)
^In consecint »¸ a, accelerat »ia ^ ³ntr-un punct ~ ral spat »iului se compune dintr-un termen local
care se datore» ste nestat »ionarit¸ at »ii c^ ampului vitezelor » si care se calculeaz¸ a consider^ and pe
~ r¯xat, » si un termen cauzat de neomogenitatea c^ ampului vitezelor » si care se calculeaz¸ a
consider^ and pe t¯xat.
Generaliz^ and (13.8) pentru o funct »ie oarecare F(~ r; t) , rezult¸ a leg¸ atura dintre derivata
substant »ial¸ a » si cea local¸ a :
dF
dt=@F
@t+3X
i=1@F
@xidxi
dt=@F
@t+ (~ v¢grad) F (13.9)
Unul din principiile fundamentale care stau la baza mecanicii mediilor continue ^ ³l con-
stituie principiul invariant »ei masei , conform c¸ aruia masa oric¸ arei port »iuni a mediului
r¸ am^ ane constant¸ a ^ ³n tot cursul mi» sc¸ arii. ^Introduc^ and masa speci¯c¸ a ½(~ r; t) prin de¯nit »ia :
dm=½(~ r; t) dv unde d v= dx1dx2dx3 (13.10)
va trebui ca : Z
D0½0(~ r0; t0) dv0=Z
Dt½(~ r; t) dv (13.11)
Av^ and ^ ³n vedere c¸ a :
dv=Jdv0 cu J=@(x1; x2; x3)
@(x0
1; x0
2; x0
3)(13.12)
ecuat »ia (13.11) devine :Z
D0(½0¡J ½) dv0= 0 (13.13)
de unde rezult¸ a ecuat »ia de continuitate a masei ^ ³n forma lui d'Alembert :
J ½=½0 (13.14)
Dac¸ a ^ ³n cursul mi» sc¸ arii ½=½0, adic¸ a J= 1 , mediul este incompresibil .
Condit »ia de invariant »¸ a ^ ³n timp a masei poate ¯ pus¸ a » si sub forma :
d
dtZ
Dt½(~ r; t) dv= 0 (13.15)
Utiliz^ and teorema lui Euler :
dJ
dt=Jdiv~ v (13.16)

168 CAPITOLUL 13. NOT »IUNILE FUNDAMENTALE
condit »ia (13.15) devine :
d
dtZ
Dt½dv=d
dtZ
D0½ Jdv0=Z
D0d
dt(½ J) dv0=Z
D0Ãd½
dtJ+½dJ
dt!
dv0=Z
DtÃd½
dt+½div~ v!
dv
(13.17)
» si atunci pentru orice Dtva trebui ca :
d½
dt+½div~ v= 0 sau@½
@t+ div ( ½~ v) = 0 (13.18)
Se obt »ine astfel ecuat »ia de continuitate a masei ^ ³n forma lui Euler. Cele dou¸ a forme
ale ecuat »iei de continuitate sunt echivalente. ^Intr-adev¸ ar, folosind teorema lui Euler (13.16),
rezult¸ a :
Jd½
dt+½ Jdiv~ v=Jd½
dt+½dJ
dt=d
dt(J ½) = 0 deci J ½=½0 (13.19)
Dac¸ a mediul este incompresibil (½=const :), atunci din (13.18) rezult¸ a : div ~ v= 0 .
^In o serie de calcule care urmeaz¸ a mai intervin derivatele :
d
dtZ
DtF(~ r; t) dv=Z
DtÃdF
dt+Fdiv~ v!
dv=Z
Dt"@F
@t+ div ( F ~ v)#
dv (13.20)
» si :
d
dtZ
Dt½(~ r; t)F(~ r; t) dv=Z
Dt"d (½ F)
dt+ (½ F) div~ v#
dv=Z
Dt½dF
dtdv (13.21)
unde la evaluarea ultimei integrale s-a t »inut cont » si de ecuat »ia (13.18).
Folosind de¯nit »iile generale, pot ¯ scrise u» sor impulsul » simomentul cinetic pentru
mediul care ocup¸ a domeniul Dt:
~ p=Z
Dt~ vdm=Z
Dt½~ vdm ; ~L0=Z
Dt(~ r£~ v) dm=Z
Dt(~ r£½~ v) dv (13.22)
^In ceea ce prive» ste fort »ele care act »ioneaz¸ a asupra » si ^ ³n interiorul mediului continuu,
acestea pot ¯ fort »e exterioare » si fort »e interioare . Din alt punct de vedere, aceste fort »e pot
¯ ^ ³mp¸ art »ite ^ ³n fort »e masice :~fdm» sifort »e de suprafat »¸ a :~Tnd¾. Fort »ele de suprafat »¸ a se
datoresc act »iunilor de contact exercitate pe suprafet »ele elementare de separare ale particulelor
» si depind de orientarea elementului de suprafat »¸ a, orientare caracterizat¸ a de normala ~ n.
M¸ arimea ~Tnpoart¸ a numele de tensiune sauefort unitar .Rezultanta fort »elor care
act »ioneaz¸ a asupra port »iunii Dtdelimitat¸ a de suprafat »a § tva ¯ :
~F=Z
Dt~fdm+Z
§t~Tnd¾=Z
Dt½~fdv+Z
§t~Tnd¾ (13.23)
^In mod analog, momentul rezultant al fort »elor ^ ³n raport cu originea sistemului ¯x va ¯ :
~MO=Z
Dt³
~ r£~f´
dm+Z
§t³
~ r£~Tn´
d¾=Z
Dt³
~ r£½~f´
dv+Z
§t³
~ r£~Tn´
d¾ (13.24)

13.2. TEORIA GEOMETRIC ¸A A MICILOR DEFORMAT »II 169
Teorema impulsului » siteorema momentului cinetic pentru medii continue au for-
mul¸ ari asem¸ an¸ atoare cu cele din dinamica sistemelor de puncte materiale, cu deosebirea
esent »ial¸ a c¸ a formul¸ arile respective sunt locale , adic¸ a ele ^ ³» si p¸ astreaz¸ a valabilitatea pentru
orice port »iune Dta mediului :
d
dtZ
Dt½~ vdv=Z
Dt½d~ v
dtdv=Z
Dt½~fdv+Z
§t~Tnd¾ ;d~ v
dt=~ a (13.25)
» si :
d
dtZ
Dt½(~ r£~ v) dv=Z
Dt½Ã
~ r£d~ v
dt!
dv=Z
Dt³
~ r£½~f´
dv+Z
§t³
~ r£~Tn´
d¾ (13.26)
unde s-a folosit (13.21) » si proprietatea evident¸ a : ~ v£½~ v= 0 .
13.2 Teoria geometric¸ a a micilor deformat »ii
Este examinat¸ a deplasarea mic¸ a a unei particule a mediului continuu. O astfel de depla-
sare poate ¯ privit¸ a ca o transformare continu¸ a a domeniului D^ ³nD0de¯nit¸ a de ecuat »iile :
~ r0=~ r0(~ r; t) ; t=¯xat: (13.27)
Aceast¸ a corespondent »¸ a ^ ³ntre punctele din D» siD0de¯ne» ste at^ at un proces de deplasare
a particulei ^ ³n ansamblul ei, c^ at » si un proces de deformat »ie (v. Fig. 13.2). O deplasare a
Figura 13.2: Deplasarea cu deformat »ie a particulei materiale
unui punct care init »ial ocup¸ a pozit »ia M(~ r) » si ulterior pozit »ia M0(~ r0) va ¯ caracterizat¸ a cu
vectorul deplasare :
~ u=~ r0¡~ r ; ~ u=~ u(~ r; t) (13.28)
Lu^ and ^ ³n considerare doar micile deplas¸ ari » si deformat »ii , se poate calcula deplasarea
relativ¸ a a punctului N^ ³n raport cu punctul M. Folosind dezvoltarea ^ ³n serie Taylor » si
ret »in^ and doar in¯nit »ii mici de ordinul ^ ³nt^ ai :
~ uN¡~ uM=~ u(~ r+±~ r)¡~ u(~ r) =3X
k=1@~ u
@xk±xk= (±~ r¢grad~ r)~ u (13.29)

170 CAPITOLUL 13. NOT »IUNILE FUNDAMENTALE
din Fig. 13.2 rezult¸ a :
~ uN¡~ uM=±~ r0¡±~ r= d (±~ r) = (±~ r¢grad~ r)~ u (13.30)
Proiect^ and aceast¸ a relat »ie pe axele sistemului cartezian considerat, se obt »ine :
d (±xi) =3X
k=1@ui
@xk±xk=3X
k=1(­ki+"ki)±xk ; i= 1;2;3 (13.31)
deoarece derivatele@ui
@xk;k; i= 1;2;3 pot ¯ scrise ^ ³ntotdeauna sub forma unei sume dintre
componentele unui tensor antisimetric :
­ki=1
2Ã@ui
@xk¡@uk
@xi!
=¡­ik ; k; i= 1;2;3 (13.32)
» si ale unui tensor simetric :
"ki=1
2Ã@ui
@xk+@uk
@xi!
="ik ; k; i= 1;2;3 (13.33)
Deoarece tensorul antisimetric are doar trei elemente independente, se poate asocia ten-
sorului un (pseudo)vector, care conform (13.32) are componentele :
­23=1
2(rot~ u)1, ­ 31=1
2(rot~ u)2, ­ 12=1
2(rot~ u)3 (13.34)
Efectu^ and notat »ia :
~­ (­ 23;­31;­12) =1
2rot~ u (13.35)
se va putea scrie c¸ a :
3X
k=1­ki±xk=³~­£±~ r´
i; i= 1;2;3 (13.36)
Pe de alt¸ a parte, introduc^ and scalarul :
ă =3X
i;k=1"ik±xi±xk (13.37)
se va putea scrie c¸ a :
3X
k=1"ki±xk=1
2(grad±~ ră)i ; i= 1;2;3 (13.38)
Reunind rezultatele » si ^ ³nlocuind ^ ³n (13.30), rezult¸ a ^ ³n ¯nal :
~ uN=~ uM+~­£±~ r+1
2grad±~ ră (13.39)

13.2. TEORIA GEOMETRIC ¸A A MICILOR DEFORMAT »II 171
decideplasarea mic¸ a a particulei materiale se compune dintr-o translat »ie rigid¸ a dat¸ a de
vectorul ~ uM, orotat »ie rigid¸ a ~­£±~ r^ ³n jurul unei axe care trece prin M» si odeplasare
legat¸ a de deformarea particulei , adic¸ a de modi¯carea formei » si volumului. ^In mod cores-
punz¸ ator, tensorul av^ and elementele ­ ki;i; k= 1;2;3 poart¸ a numele de tensor de rotat »ie ,
tensorul av^ and elementele "ki;i; k= 1;2;3 poart¸ a numele de tensor de deformat »ie , iar
vectorul1
2grad±~ ră reprezint¸ a vectorul de deformat »ie .
Tensorul de deformat »ie ^ ³» si justi¯c¸ a denumirea prin aceea c¸ a cu ajutorul componentelor
sale pot ¯ caracterizate modi¯c¸ arile distant »elor reciproce dintre punctele corpului, precum
» si variat »iile unghiurilor dintre elementele liniare, ^ ³n urma procesului de deformat »ie.
Lu^ and ^ ³n considerare elementul liniar MN de lungime ±s, care dup¸ a deformat »ie de-
vine elementul M0N0de lungime ±s0» si not^ and cu ~ nversorul direct »iei MN (v. Fig. 13.2),
deformat »ia speci¯c¸ a liniar¸ a , saulungire speci¯c¸ a , a unui element liniar, ^ ³n punctul M
dup¸ a direct »ia ~ n, va ¯ numit¸ a expresia :
en=±s0¡±s
±s=d (±s)
±s(13.40)
Pornind de la egalitatea evident¸ a ( ±s)2=±~ r¢±~ r, prin diferent »iere rezult¸ a :
±sd (±s) =±~ rd (±~ r) =3X
i=1±xid (±xi) =3X
i;k=1@ui
@xk±xi±xk=3X
i;k=1"ik±xi±xk (13.41)
deoarece3X
i;k=1­ki±xi±xk= 0 . ^Imp¸ art »ind rezultatul cu ( ±s)2, rezult¸ a c¸ a :
en=3X
i;k=1"iknink unde ni=±xi
±s;i= 1;2;3 (13.42)
» sini;i= 1;2;3 reprezint¸ a cosinu» sii directori ai versorului ~ n. Dac¸ a en>0 avem de a face cu
oalungire , iar dac¸ a en<0 avem de a face cu o scrutare , a elementului liniar respectiv.
Presupun^ and c¸ a¡!
MNkOx1, atunci n1= 1; n2=n3= 0 » si ^ ³n consecint »¸ a :
e1="11 (13.43)
adic¸ a, componenta "11a tensorului de deformat »ie va caracteriza lungirea speci¯c¸ a a unui
element liniar care init »ial era paralel cu axa Ox1. Interpret¸ ari analoage pot ¯ date » si pentru
celelalte elemente diagonale "22» si"33.
Pentru a g¸ asi semni¯cat »ia elementelor nediagonale ale tensorului de deformat »ie, va trebui
stabilit¸ a ^ ³n prealabil o relat »ie ^ ³ntre unghiurile formate de dou¸ a elemente liniare date, ^ ³nainte
» si dup¸ a deformat »ie. Not^ and cu µunghiul dintre dou¸ a elemente liniare av^ and versorii ~ n» si~ m
^ ³nainte de deformat »ie » si cu µ0unghiul dintre acelea» si elemente dup¸ a deformat »ie, deformat »ia
speci¯c¸ a unghiular¸ a , saulunecarea speci¯c¸ a , va ¯ numit¸ a diferent »a :
µnm=µ¡µ0(13.44)

172 CAPITOLUL 13. NOT »IUNILE FUNDAMENTALE
Figura 13.3: Lunecarea speci¯c¸ a la deplasarea cu deformat »ie a particulei materiale
Folosind notat »iile¡!
MN=±~ r» si¡!
MP= ¢~ r(v. Fig. 13.3), ^ ³n aproximat »ia micilor deformat »ii se
va putea scrie :
±~ r¢¢~ r=±s¢scosµ=3X
i=1±xi¢xi (13.45)
» si :
±~ r0¢¢~ r0=±s0¢s0cosµ0=3X
i=1[±xi+ d(±xi) ] [ ¢ xi+ d(¢ xi) ] =
=3X
i=1±xi¢xi+3X
i=1±xid(¢xi) +3X
i=1¢xid(±xi) +3X
i=1d(±xi)d(¢xi) =
=3X
i=1±xi¢xi+3X
i;k=1"ik±xi¢xk+3X
i;k=1"ik±xk¢xi=
=3X
i=1±xi¢xi+ 23X
i;k=1"ik±xi¢xk (13.46)
de unde rezult¸ a :
±s0¢s0cosµ0=±s¢scosµ+ 23X
i;k=1"ik±xi¢xk (13.47)
Folosind pentru cosinu» sii directori ai normalelor notat »iile obi» snuite :
ni=±xi
±s,mi=¢xi
¢s; i= 1;2;3 (13.48)
» si observ^ and c¸ a :
±s0
±s= 1 +3X
i;k=1"iknink ,¢s0
¢s= 1 +3X
i;k=1"ikmimk (13.49)

13.3. TENSORUL TENSIUNILOR. LEGEA DE MIS »CARE 173
din (13.47) rezult¸ a :
cosµ0= cos( µ¡µnm) =cosµ+ 23X
i;k=1"iknimk
0
@1 +3X
i;k=1"iknink1
A0
@1 +3X
i;k=1"ikmimk1
A'cosµ+ 23X
i;k=1"iknimk
(13.50)
Dac¸ a ^ ³n particular¡!
MNkOx1» si¡!
MPkOx2, atunci µ=¼
2, iar n1= 1; n2=n3= 0 » si
m2= 1; m1=m3= 0 , deci :
sinµ12= 2"12 (13.51)
Deoarece ^ ³n bun¸ a aproximat »ie sin µ12¼µ12, rezult¸ a ^ ³n ¯nal :
"12=1
2µ12 (13.52)
adic¸ a componenta "12reprezint¸ a jum¸ atatea variat »iei unghiului drept dintre dou¸ a elemente
liniare, care init »ial erau paralele cu axele OX 1» siOx2. Interpret¸ ari analoage pot ¯ date » si
pentru elementele "23» si"31.
O alt¸ a m¸ arime care caracterizeaz¸ a deformat »ia este deformat »ia speci¯c¸ a de volum ,
saudeformarea volumic¸ a :
#=±V0¡±V
±V(13.53)
Consider^ and un paralelipiped cu laturile ±xikOxi;i= 1;2;3 , deoarece :
d(±xi)
±xi="ii ; i= 1;2;3 (13.54)
se va putea scrie :
±V=±x1±x2±x3 (13.55)
±V0= [±x1+ d(±x1) ] [±x2+ d(±x2) ] [±x3+ d(±x3) ] =
= (1 + "11) (1 + "22) (1 + "33)±x1±x2±x3'(1 +"11+"22+"33)±V (13.56)
de unde rezult¸ a :
#="11+"22+"33=3X
i=1@ui
@xi= div ~ u (13.57)
Dac¸ a ^ ³n vecin¸ atatea oric¸ arui punct al mediului #= div ~ u= 0 , mediul respectiv este incom-
presibil . Se poate ar¸ ata c¸ a #esteinvariant la o transformare a sistemului de coordonate.
13.3 Tensorul tensiunilor. Legea de mi» scare
Tensiunile interioare sunt o consecint »¸ a a fort »elor exterioare care deformeaz¸ a corpul, ^ ³n
sensul c¸ a dac¸ a un corp sufer¸ a o deformat »ie, atunci ^ ³n interiorul s¸ au iau na» stere fort »e care se
opun deform¸ arii. ^In general aceste fort »e act »ioneaz¸ a pe elementele de suprafat »¸ a care separ¸ a

174 CAPITOLUL 13. NOT »IUNILE FUNDAMENTALE
Figura 13.4: Tensiunile interioare
dou¸ a p¸ art »i adiacente ale corpului. Se consider¸ a suprafat »a § care trece prin punctul M(~ r) » si
care separ¸ a pot »iunile D1» siD2(v. Fig. 13.4). ^In punctul Meste aplicat¸ a normala ~ ncare
caracterizeaz¸ a orientarea elementului de suprafat »¸ a d ¾. Admit »^ and c¸ a sensul pozitiv al nor-
malei corespunde direct »iei orientate spre exteriorul lui D1, port »iunea D2va act »iona
asupra port »iunii D1pe elementul d ¾cu fort »a ~Tnd¾. Deoarece ^ ³n general vectorul ~Tnnu este
normal la d ¾, el poate ¯ descompus ^ ³ntr-o component¸ a normal¸ a » si una tangent »ial¸ a .
Tensiunea normal¸ a va ¯ pozitiv¸ a dac¸ a corespunde unui fenomen de ^ ³ntindere » sinegativ¸ a
dac¸ a corespunde unui fenomen de compresiune .
Figura 13.5: Caracterizarea st¸ arii de tensiune
Vectorul ~Tnpoate ¯ exprimat » si prin componentele sale ^ ³ntr-un sistem catezian de axe.
Efectu^ and notat »iile :
~ nkOx1~T1=~T1(T11; T12; T13)
~ nkOx2~T2=~T2(T21; T22; T23)
~ nkOx3~T3=~T3(T11; T12; T13)(13.58)
se observ¸ a c¸ a ^ ³n orice punct Mal mediului se poate de¯ni starea de tensiune cu ajutorul

13.3. TENSORUL TENSIUNILOR. LEGEA DE MIS »CARE 175
ansamblului de nou¸ a numere Tik;i; k= 1;2;3 , numite componentele tensiunii ^ ³nM.
Primul indice va corespunde direct »iei normalei pozitive, iar cel de al doilea indice corespunde
axei ^ ³n lungul c¸ areia act »ioneaz¸ a componenta respectiv¸ a. Pentru i=krezult¸ a componentele
normale, iar pentru i6=krezult¸ a componentele tangent »iale (v. Fig. 13.5).
^In cazul unei orient¸ ari arbitrare ~ na elementului d ¾, vectorul tensiune ~Tnasociat elemen-
tului respectiv, poate ¯ de asemenea exprimat cu ajutorul componentelor tensiunii. Utiliz^ and
tetraedrul elementar, dup¸ a calcule simple rezult¸ a :
~Tn=3X
k=1~Tknk (13.59)
unde nk;k= 1;2;3 sunt cosinu» sii directori ai normalei ~ n.^In proiect »ie pe cele trei axe, din
(13.59) rezult¸ a :
Tni=3X
k=1Tkink ; i= 1;2;3 (13.60)
Pentru suprafet »e exterioare, expresiile (13.60) reprezint¸ a condit »ii la limit¸ a .
Numerele Tki;i; k= 1;2;3 alc¸ atuiesc elementele unui tensor simetric de ordinul doi ,
numit tensorul tensiunilor . M¸ arimea £ = T11+T22+T33este invariant¸ a la o transformare
ortogonal¸ a a sistemului de coordonate.
Folosind (13.59) » si teorema impulsului (13.25) :
Z
D½~ adv=Z
D½~fdv+Z
§~Tnd¾ (13.61)
poate ¯ dedus¸ a ecuat »ia de mi» scare a particulei materiale . Aplic^ and teorema Gauss-
Ostrogradski :
Z
Ddiv~Vdv=Z
§~V¢~ nd¾ adic¸ aZ
D3X
k=1@Vk
@xkdv=Z
§3X
k=1Vknkd¾ (13.62)
pentru componenta ia ultimului termen din teorema impulsului rezult¸ a :
Z
§Tnid¾=Z
§3X
k=1Tkinkd¾=Z
D3X
k=1@Tki
@xkdv ; i= 1;2;3 (13.63)
sau ^ ³n scriere vectorial¸ a :Z
§~Tnd¾=Z
D3X
k=1@~Tk
@xkdv (13.64)
Introduc^ and rezultatul^ ³n teorema impulsului » si grup^ and tot »i termenii^ ³ntr-un singur membru,
rezult¸ a c¸ a pentru orice Dva trebui ca :
~ a=~f+1
½3X
k=1@~Tk
@xk(13.65)

176 CAPITOLUL 13. NOT »IUNILE FUNDAMENTALE
care reprezint¸ a ecuat »ia de mi» scare , ^ ³n interiorul mediului continuu deformabil, pentru par-
ticula material¸ a care are accelerat »ia ~ a^ ³n pozit »ia ~ r(x1; x2; x3) . Proiect^ and ecuat »ia vectorial¸ a
(13.65) pe axe, rezult¸ a ecuat »iile lui Cauchy :
ai=fi+1
½3X
k=1@Tki
@xk; i= 1;2;3 (13.66)
Aplic^ and teorema momentului cinetic (13.26) va rezulta c¸ a tensorul av^ and componentele
Tik;i; k= 1;2;3 este un tensor simetric.
13.4 Legi constitutive. Ecuat »iile lui Lam¶ e » si Navier-
Stokes
Din punct de vedere principial, ^ ³n practic¸ a avem de a face cu dou¸ a clase mari de pro-
bleme care se cer rezolvate : pe de o parte se cere s¸ a se determine mi» scarea (sau echilibrul),
pe de alt¸ a parte se cere s¸ a se determine deformat »iile » si tensiunile. Este evident c¸ a num¸ arul
ecuat »iilor avute la dispozit »ie pentru a rezolva astfel de probleme, anume ecuat »iile Cauchy,
ecuat »ia de continuitate, la care se adaug¸ a condit »iile init »iale » si la limit¸ a, este mult mai mic
dec^ at num¸ arul necunoscutelor pe care le cont »in, a» sa ^ ³nc^ at pentru formularea rat »ional¸ a a unor
probleme concrete, vor trebui introduse o serie de ipoteze restrictive suplimentare, sub
forma unor ecuat »ii sau relat »ii care s¸ a lege ^ ³ntre ele necunoscutele. ^In cele ce urmeaz¸ a,
acest lucru va ¯ f¸ acut pentru dou¸ a tipuri particulare de medii continue deformabile, anume
pentru medii elastice » si pentru medii °uide.
Deoarece ^ ³n ¯ecare punct al mediului deformat »iile "ik» si tensiunile Tik;i; k= 1;2;3
reprezint¸ a efecte ale acelora» si cauze, este natural s¸ a se presupun¸ a c¸ a ^ ³ntre ele trebuie s¸ a
existe anumite relat »ii, care s¸ a indice modul cum se comport¸ a mediul din punct de vedere
mecanic. O astfel de relat »ie depinde de natura ¯zic¸ a a mediului » si poart¸ a numele de lege
constitutiv¸ a .
13.4.1 Medii elastice
^In cazul unui corp omogen care suport¸ a mici deformat »ii, ^ ³n ¯ecare punct al s¸ au legea
constitutiv¸ a are forma general¸ a :
Tik=Tik("11; "22; "33; "23; "31; "12) ; i; k= 1;2;3 (13.67)
Pentru un corp elastic omogen (un corp este elastic, dac¸ a ^ ³n urma ^ ³ncet¸ arii act »iunii de-
formatoare, acesta revine la forma init »ial¸ a) legea constitutiv¸ a are forma liniar¸ a :
Tik=3X
j;l=1Cik;jl"jl ; i; k= 1;2;3 (13.68)
Ecuat »iile (13.68) reprezint¸ a legea generalizat¸ a a lui Hooke , coe¯cient »ii Cik;jl, care sunt
independent »i de punctul pentru care sunt scrise ecuat »iile, ¯ind modulii de elasticitate
care caracterizeaz¸ a din punct de vedere mecanic propriet¸ at »ile elastice ale mediului studiat.

13.4. LEGI CONSTITUTIVE. ECUAT »IILE LUI LAM ¶E S »I NAVIER-STOKES 177
De» si num¸ arul total al modulilor de elasticitate este 81 , din considerente de simetrie num¸ arul
modulilor independent »i pentru corpul elastic omogen scade la 21 , iar dac¸ a ^ ³n plus corpul
este » si izotrop , num¸ arul modulilor de elasticitate independent »i scade la 2 . ^In acest caz,
ecuat »iile (13.68) se scriu :
Tik=¸ # ± ik+ 2¹ "ik ; i; k= 1;2;3 (13.69)
unde, conform (13.57) : #="11+"22+"33= div ~ u. Modulii de elasticitate ¸» si¹poart¸ a
numele de constantele elastice ale lui Lam¶ e , care pot ¯ exprimate prin constantele teh-
nice cunoscute, anume modulul de elasticitate longitudinal¸ a E(modulul Young) » si modulul
de contract »ie transversal¸ a ș(coe¯cientul lui Poisson).
Ad¸ aug^ and cele 6 ecuat »ii (13.69) la ecuat »iile de mi» scare (^ ³n num¸ ar de 3) :
½@2ui
@t2=½ fi+3X
k=1@Tik
@xk; i= 1;2;3 (13.70)
unde s-a avut ^ ³n vedere c¸ a :
~ r=~ r0+~ u(~ r0; t) » si ~ a=@2~ r(~ r0; t)
@t2=@2~ u
@t2(13.71)
» si t »in^ and cont de cele 6 ecuat »ii care leag¸ a componentele deformat »iei de componentele de-
plas¸ arii :
"ik=1
2Ã@ui
@xk+@uk
@xi!
; i; k= 1;2;3 (13.72)
rezult¸ a un sistem de 15 ecuat »ii pentru tot at^ atea necunoscute ui; "ik; Tik;i; k= 1;2;3 ,
solut »ia ¯ind unic¸ a doar dac¸ a se precizeaz¸ a condit »iile la limit¸ a (sub forma unor deplas¸ ari sau
sarcini exterioare) » si condit »iile init »iale. ^In funct »ie de condit »iile la limit¸ a impuse, problema
poate ¯ rezolvat¸ a aleg^ and drept necunoscute fundamentale ¯e numai deplas¸ arile, ¯e numai
tensiunile, celelalte necunoscute ¯ind eliminate ^ ³ntre cele 15 ecuat »ii.
^In cazul unei rezolv¸ ari ^ ³n deplas¸ ari , introduc^ and (13.69) ^ ³n (13.70) rezult¸ a :
½@2ui
@t2=½ fi+3X
k=1@
@xk(¸ # ± ik+ 2¹ "ik) =½ fi+¸@#
@xi+ 2¹3X
k=1@"ik
@xk;i= 1;2;3 (13.73)
Folosind (13.72), pot ¯ calculate sumele :
3X
k=1@"ik
@xk=1
23X
k=1@
@xkÃ@ui
@xk+@uk
@xi!
=1
23X
k=1@2ui
@x2
k+1
2@
@xiÃ3X
k=1@uk
@xk!
=1
2¢ui+1
2@#
@xi
i= 1;2;3 (13.74)
Reunind rezultatele, se obt »in ecuat »iile lui Lam¶ e :
¹¢ui+ (¸+¹)@#
@xi+½ fi=½@2ui
@t2; i= 1;2;3 (13.75)
care^ ³n form¸ a vectorial¸ a se scriu compact :
¹¢~ u+ (¸+¹) grad div ~ u+½~f=½@2~ u
@t2(13.76)
unde div ~ u=#. Pentru condit »ii init »iale » si la limit¸ a bine precizate, ecuat »ia (13.76) permite
determinarea deplas¸ arilor ~ u(u1; u2; u3) .

178 CAPITOLUL 13. NOT »IUNILE FUNDAMENTALE
13.4.2 Fluide reale » si ideale
^In cazul °uidelor , legea constitutiv¸ a exprim¸ a o leg¸ atur¸ a^ ³ntre tensiunile Tik;i; k= 1;2;3
» si componentele tensorului vitez¸ a de deformat »ie . Deoarece ^ ³n cazul °uidelor, ^ ³ntr-
un timp ¯nit t, deplas¸ arile pot ¯ foarte mari, pentru a putea folosi rezultatele obt »inute
anterior ^ ³n cazul micilor deformat »ii, vor trebui s¸ a ¯e luate ^ ³n considerare doar intervale de
timp in¯nitezimale, pentru care deplas¸ arile ui;i= 1;2;3 sunt ^ ³nlocuite cu vidt;i= 1;2;3 .
Atunci :
"ik=1
2Ã@ui
@xk+@uk
@xi!
=1
2Ã@vi
@xk+@vk
@xi!
dt=vikdt ; i; k= 1;2;3 (13.77)
unde vik;i; k= 1;2;3 reprezint¸ a componentele tensorului vitezelor de deformat »ie .
Legea constitutiv¸ a pentru un °uid real (v^ ascos ) are expresia :
Tik=¡µ
p+2
3´div~ v¶
±ik+ 2´ vik ; i; k= 1;2;3 (13.78)
» si evident, tensiunile se reduc la presiuni ^ ³n starea de echilibru ( ~ v= 0). Coe¯cientul ´
poart¸ a numele de coe¯cient de viscozitate . Legea (13.78) se simpli¯c¸ a dac¸ a °uidul este
incompresibil (div~ v= 0), sau dac¸ a este ideal (´= 0).
Pentru deducerea ecuat »iilor de mi» scare, expresiile (13.78) vor ¯ ^ ³nlocuite ^ ³n ecuat »iile lui
Cauchy (13.66). Not^ and viteza deformat »iei speci¯ce de volum cuµ= div ~ v, rezult¸ a :
dvi
dt=fi+1
½3X
k=1@
@xk·
¡µ
p+2
3´ µ¶
±ik+ 2´ vik¸
=fi¡1
½@p
@xi¡2
3´
½@µ
@xi+ 2´
½3X
k=1@vik
@xk
i= 1;2;3 (13.79)
Folosind pentru evaluarea ultimelor sume expresii similare cu (13.74), se obt »ine :
dvi
dt=fi¡1
½@p
@xi+´
½¢vi+1
3´
½@µ
@xi; i= 1;2;3 (13.80)
care reprezint¸ a ecuat »iile Navier-Stokes pentru °uide reale (v^ ascoase). ^In notat »ie vecto-
rial¸ a, ecuat »iile (13.80) devin :
d~ v
dt=~f¡1
½gradp+´
½¢~ v+1
3´
½grad div ~ v (13.81)
Dac¸ a °uidul este ideal ( ´= 0), se obt »in ecuat »iile lui Euler :
d~ v
dt=~f¡1
½gradp (13.82)
Ad¸ aug^ and la aceste ecuat »ii, ecuat »ia de continuitate a masei scris¸ a ^ ³n forma lui Euler :
d½
dt+½div~ v= 0 , precum » si ecuat »ia caracteristic¸ a f(p; ½) = 0 , avem la dispozit »ie un num¸ ar
de 5 ecuat »ii pentru cele 5 necunoscute ½,p» si~ v(v1; v2; v3) , solut »ia ¯ind unic¸ a dac¸ a se preci-
zeaz¸ a condit »iile init »iale » si la limit¸ a. ^In cazul unui °uid ideal , condit »iile la limit¸ a exprim¸ a
faptul c¸ a acesta alunec¸ a pe peret »ii vasului, iar ^ ³n cazul °uidului v^ ascos , acelea» si condit »ii
la limit¸ a exprim¸ a faptul c¸ a acesta ader¸ a la peret »ii vasului.

Bibliogra¯e
[1]V. ARNOLD – M¶ ethodes math¶ ematiques de la m¶ ecanique classique ,¶Editions
Mir, Moscou, 1976.
[2]N. I. BEZUHOV – Teoria elasticit¸ at »ii » si plasticit¸ at »ii , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti,
1957.
[3]P. BR ¸ADEANU – Mecanica °uidelor , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti, 1973.
[4]P. BR ¸ADEANU, I. POP, D. BR ¸ADEANU – Probleme » si exercit »ii de mecanic¸ a
teoretic¸ a , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti, 1979.
[5]B. DEMS »OREANU – Mecanica analitic¸ a » si a mediilor deformabile (cu aplicat »ii) ,
Tipo. Universitatea din Timi» soara, 1980.
[6]L. DRAGOS » – Principiile mecanicii analitice , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti, 1976.
[7]L. DRAGOS » – Principiile mecanicii mediilor continue , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti,
1981.
[8]M. DR ¸AGANU – Introducere matematic¸ a ^ ³n ¯zica teoretic¸ a modern¸ a. Vol. I ,
Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti, 1957.
[9]GH. DRECIN – Mecanica teoretic¸ a. Partea a II-a , Tipo. Universitatea din
Timi» soara, 1973.
[10]M. M. FILONENCO-BORODICI – Teoria elasticit¸ at »ii , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti,
1952.
[11]J. FLOREA, V. PANAITESCU – Mecanica °uidelor , Editura Didactic¸ a » si Pedago-
gic¸ a, Bucure» sti, 1979.
[12]Z. G ¶ABOS, D. MANGERON, I. STAN – Fundamentele mecanicii , Editura Acade-
miei, Bucure» sti, 1962.
[13]F. GANTMACHER – Lectures in Analytical Mechanics , Mir Publishers, Moscow,
1970.
[14]H. GOLDSTEIN – Classical Mechanics , Addison-Wesley, Cambridge, Mass., 1953.
179

180 BIBLIOGRAFIE
[15]O. V. GOLUBEVA – Teoreticeskaia mehanika. Izd. 2-e , Izd. V^ as» saia » skola, Moskva,
1968.
[16]L. G. GRECHKO, V. I. SUGAKOV, O. P. TOMASEVICH, A.M. FEDORCHENKO –
Problems in Theoretical Physics , Mir Publishers, Moscow, 1977.
[17]M. HAIMOVICI – Teoria elasticit¸ at »ii , Editura Didactic¸ a » si Pedagogic¸ a, Bucure» sti,
1969.
[18]C. IACOB – Mecanica teoretic¸ a , Editura Didactic¸ a » si Pedagogic¸ a, Bucure» sti, 1971.
[19]C. IACOB – Introducere matematic¸ a ^ ³n mecanica °uidelor , Editura Academiei,
Bucure» sti, 1952.
[20]A. S. KOMPANEET » – Kurs teoreticeskoi ¯ziki. Tom I , Izd. Prosve» scenie, Moskva,
1972.
[21]G. KOTKINE, V. SERBO – Recueil de problµ emes de m¶ ecanique classique ,
¶Editions Mir, Moscou, 1981.
[22]L. LANDAU, E. LIFCHITZ – M¶ ecanique ,¶Editions Mir, Moscou, 1960.
[23]L. LANDAU, E. LIFCHITZ – Th¶ eorie de l'¶ elasticit¶ e ,¶Editions Mir, Moscou, 1967.
[24]L. LANDAU, E. LIFCHITZ – M¶ ecanique des °uides ,¶Editions Mir, Moscou, 1971.
[25]M. MAYER – Ecuat »iile ¯zicii matematice (pentru sect »iile de ¯zic¸ a) , Editura
Didactic¸ a » si Pedagogic¸ a, Bucure» sti, 1961.
[26]I. MERCHES », L. BURLACU – Mecanic¸ a analitic¸ a » si a mediilor deformabile ,
Editura Didactic¸ a » si Pedagogic¸ a, Bucure» sti, 1983.
[27]N. I. MUSHELIS »VILI – Nekotor^ aie osnovn^ aie zadaci matematiceskoi teorii
uprugosti. Izd. 5-e , Izd. Nauka, Moskva, 1966.
[28]V. NOVACU – Mecanica teoretic¸ a , Tipo. Universitatea din Bucure» sti, 1969.
[29]W. NOWACKI – Dinamica sistemelor elastice , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti, 1969.
[30]I. I. OLHOVSKI – Kurs teoreticeskoi mehaniki dlia ¯zikov, Izd. 2-e , Izd. Mosk.
Univ., Moskva. 1974.
[31]A. RADU – Probleme de mecanic¸ a , Editura Didactic¸ a » si Pedagogic¸ a, Bucure» sti,
1978.
[32]I. N. SNEDDON, D. S. BERRY – The Classical Theory of Elasticity , Handbuch
der Physik, Bd. VI, Springer-Verlag, Berlin, 1958.
[33]A. STOENESCU, GH. SILAS » – Mecanica teoretic¸ a , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti,
1957.

BIBLIOGRAFIE 181
[34]A. STOENESCU, GH. BUZDUGAN, A. RIPIANU, M. ATANASIU – Culegere de
probleme de mecanic¸ a toeretic¸ a , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti, 1958.
[35]G. K. SUSLOV – Mecanica rat »ional¸ a , Editura Tehnic¸ a, Bucure» sti, 1950.
[36]P. P. TEODORESCU – Dinamica corpurilor liniar elastice , Editura Academiei,
Bucure» sti, 1972.
[37]P. P. TEODORESCU, V. ILLE – Teoria elasticit¸ at »ii » si introducere ^ ³n mecanica
solidelor deformabile. Vol. I , Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1976.
[38]M. Vasiu – Fizica teoretic¸ a. Ed. a II-a , Editura Didactic¸ a » si Pedagogic¸ a, Bucure» sti,
1970.
[39]V. V ^ALCOVICI – Curs de mecanic¸ a , Tipo. Universitatea din Bucure» sti, 1958.
[40]V. V ^ALCOVICI, S »T. B ¸ALAN, R. VOINEA – Mecanica teoretic¸ a , Editura Tehnic¸ a,
Bucure» sti, 1959.
[41]B. YAVORSKI, A. DETLAF – Aide-m¶ emoire de physique ,¶Editions Mir, Moscou,
1975.