Bazele Psihopedagogice ALE Rezolvarii

ARGUMET

În clasele I-IV obiectul matematică este unul dintre obiectele de bază alături de limba română, istorie, geografie, cunoașterea mediului înconjurător. Programa scolară pentru clasele I-IV precizează că scopul care-l urmărește predarea matematicii în aceste clase este de a-i înarma pe elevi cu cunoștințe temeinice în legătură cu noțiunile elementare de matematică, de a le forma deprinderea de a aplica aceste cunoștințe în viața practică, precum și de a contrbui la dezvoltarea judecății, a gândirii logice,a memoriei și atenției.

Predarea matematicii la clasele I-IV implică trei aspecte : formativ, informativ și practic.

Din punct de vedere formativ, scopul predării matematicii constă în contribuția pe care aceasta o aduce la dezvoltarea facultaților mentale ale elevilor, cu deosebire la dezvoltarea gândirii logice,precum și la fortificarea voinței.

Una dintre cele mai complexe activități matematice este activitatea de rezolvare a problemelor.De aceea, aceasta presupune existența unui întreg complex de priceperi și deprinderi, presupune cunoașterea în condițiile cele mai bune a operațiilor aritmetice, însușirea pe deplin a tehnicilor acestor operații și dezvoltarea aptitudinilor de a sesiza relațiile dintre datele unei unei probleme.

Noțiunea de problemă are un conținut larg, cuprinzând o gamă variată de preocupări și acțiuni în diferite domenii. În general orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o rezolvare, poartă numele de problemă.

Deci, acest proces de gândire este declanșat de o întrebare, iar formularea unui răspuns clar și precis constituie rezolvarea problemei.

În felul în care o anumită persoană găsește soluția de rezolvare a problemelor, rezidă forța individului de a se implica în problemele sociale, de a deveni întreprinzător, practic și util. De aceea activitatea de rezolvare a problemelor limitate strict matematic sau extinse la modul general constituie în același timp o problemă delicată pentru cadrul didactic și pentru elevii săi.

Acestui aspect matematic trebuie să i se acorde facilități sporite deoarece are un rol hotărâtor în antrenarea și exersarea celor mai importante procese intelectuale, cum ar fi actul creativ.

Persoanele caracterizate prin gândire creatoare ajung mai repede la idei sau principii noi pentru ele sau sectorul lor de activitate, ajung să descopere noi relații între obiecte și fenomene, noi metode sau procese de investigație, să realizeze forme artistice noi.

Pe lîngă condițiile momentului care impune cultivarea activității la nivelul ciclului primar, este cunoscut faptul că elementul creativ poate fi stimulat printr-o varietate de modalități de formulare a enunțului sau întrebării unei probleme.

Deci, în realizarea omului nou, capabil să înfrunte transformările ce au loc în economiile de piață, să fie competitiv prin prezența ideilor și produselor sale, se impune tot mai imperios abordarea creativă a tuturor problemelor.

De aceea elevii trebuie educați și instruiți în acest sens prin toate activitățile care ar putea să dezvolte gândirea creatoare.

Capitolul I

Creativitatea – Unui process și un produs al activității intelectuale

CREATIVITATEA – UN PROCES ȘI UN PRODUS AL

ACTIVITĂȚII INTELECTUALE

I.1. Creativitatea în procesul de învățământ

Educația intelectuală este componentă a acțiunii educaționale care prin intermediul valorilor științifice și umaniste pe care le prelucrează și vehiculează, contribuie la formarea și dezvoltarea tuturor capacităților intelectuale, funcțiilor cognitive și instrumentale, structurilor operatorii precum și a tuturor mobilurilor care declanșează, orientarea și întrețin activitatea obiectului educațional îndreptată în această direcție.

Aspectele educației intelectuale sunt: unul informativ, referitor la cantitatea și calitatea informațiilor științifice și umaniste ce trebuie transmise și asimilate; și unul formativ, ce are în vedere efectul asimilării informației.

Din esența educației intelectuale se desprind două sarcini fundamentale: informarea intelectuală și formarea intelectuală.

Informarea intelectuală constă în transmiterea valorilor științifice și umaniste ordonate într-un anumit fel în scopul de a facilita înțelegerea și însușirea lor.

Formarea intelectuală presupune stabilirea unei interacțiuni informație- subiect în vederea stimulării transformărilor și restructurărilor posibile a creșterii capacității de autoorganizare și de acțiune a subiectului.

Interdependența dintre informația intelectuală și formarea intelectuală se realizează în procesul învățării în care subiectul participă cu întreaga personalitate. Componentele psihice ce se elaborează în procesul educației intelectuale sunt creativitatea umană și familiarizarea elevilor cu metode și tehnici de muncă intelectuală.

Creativitatea este o formațiune complexă ce rezulă din îmbinarea în mod inseparabil în cadrul personalității fiecărui individ a unor factori de natură diferită, ceea ce-i conferă posibilitatea să răspundă în mod original diverselor solicitări din exterior.

Creativitatea nu se poate confunda cu inteligența, fenomenul creativității subsumează inteligența, pleacă de la ea și o depăsește, are o sferă mai largă. Ele nu se află în condiții de egalitate ci de subordonare. Antrenamentele dezvoltă atât rezervele de creativitate cât și pe cele intelectuale, fapt ce ar putea susține afirmațiile cu privire la creativitate ca o formă de inteligență. Este necesară extinderea modelelor de antrenare a creativității în școli, cunoașterea de către cadrele didactice nu numai a informațiilor teoretice asupra structurii și naturii creativității, ci și a modalităților de abordare practică a acesteia.

Creativitatea copiilor se caracterizează prin curiozitate, dispoziții și aptitudini pentru anumite domenii. Încurajarea și îndrumarea plină de tact a acestor calități contribuie la formarea și autoformarea personalității creatoare.

Procesul de învățământ este un process complex prin care elevii dobândesc importante și variate cunoștințe. Pe lângă calea însușirii noilor cunoștințe, în cadrul său se pun bazele exersării gândirii, imaginației, descoperirii noului și se oferă o șansă fiecărui elev de a se descoperi pe sine prin ceea ce oferă ca rezultat al muncii sale creatoare.

I.2. Semnificația psihologică a contactului scolarului

mic cu noțiunile de matematică.

Contactul cu unele noțiuni matematice are o contribuție esențială la statornicirea planului simbolistic abstract – categorical, în evoluția mentală a școlarului din clasa întâi, cu condiția însă, ca prin programul de instruire să nu fie întreținută învățarea mecanică, nerațională, izolată de dezvoltare.

Pe parcursul unor semnificative unități de timp, școlarii mici sunt antrenați în rezolvarea unor sarcini caracterizate prin anumite variante de relaționare a cunoscutului cu necunoscutul, care ca structuri matematice au o schemă logică asemănătoare .

Pe fondul unor structuri de bază, poate fi proiectată o infinitate de construcții operaționale particulare, variind dimensiunile numerice ale mărimilor puse în relație. Elevii sunt familiarizați cu mișcarea în ordine crescătoare și descrescătoare a șirului natural de numere, ca și cu tehnica primelor două operații matematice fundamentale: adunarea și scăderea; în limitele concentrului ’’10’’ și apoi în limitele altor concentre, mergând până la ’’100’’.

Astfel află că unele numere se cheamă TERMENI(sumă,total),altele DESCĂZUT, SCĂZĂTOR, REST(diferență), fac cunoștință cu termeni de asociativitate și tranzitivitate, constată și se conving practic că :

pentru a soluționa:

?+b=c, trebuie să scadă ,

pentru a soluționa :

?-b=c, trebuie să adune,

pentru a soluționa :

a-?=c, trebuie să scadă.

Este un gen de operativitate care cultivă flexibilitatea, concură la automatizarea și creșterea vitezei de lucru și care, în anumite condiții, ar putea să stimuleze descoperirea, înțelegerea, judecata, raționamentul matematic discursiv.

Este vorba de o strategie care-l pune pe elev în situația de a conștientiza de fiecare dată semnificația distinctă a necunoscutei și de a ajunge la ea prin mecanismul mediator al raționamentului, care își asociază ca tehnică operațională, când adunarea, când scăderea. Această strategie are avantajul de a pregăti terenul achiziționării de către școlarul mic a capacității de a rezolva probleme, învățându-l să diferențieze între semantica lui ,,ceea ce se dă’’ și a lui ,,ceea ce se cere’’ din a căror comparare se va extrage informația necesară structurării a ceea ce se cheamă ,,plan de rezolvare’’a unei probleme.

În clasa a doua se lărgește repertoriul adunării și scăderii până la o sută și pătrund în fluxul operațiilor matematice ,,înmulțirea și împărțirea’’.

Elevii fac cunoștință cu noțiunile de geometrie incipiente și capătă cunoștințe mai ample despre unitățile de măsură.

Dacă modelul de învățare a matematicii din clasa întâi rămâne unul cu precădere intuitiv, empiric – o învățare pe văzute ,,la nivel de imagine ,,pe arătate’’, prin demostrație – în care relațiile matematice nu sunt disociate de relațiile dintre reprezentările lucrurilor.Matematica din clasa a doua reduce simțitor intuitivul, îl simplifică și, către sfârșit, chiar îl elimină. Ea conține nu numai informație mai multă, ci și mai multă metodă, sau, mai precis, pe lângă noile asociații, relații și operații matematice, ea conține și elemente de metodă, încurajând învățarea matematicii bazată pe întemeierea logică și pe structuri conceptualizate.

Introducerea în circuitul învățării matematicii din clasa a doua, a cuoștințelor despre operațiile de înmulțire și împărțire, face să crească indicele de combinație a variantelor posibile de structurare a unor date, căutarea, intuirea, asocierea și exprimarea creatoare dobândind un spațiu amplu de manifestare.

Capacitatea elevului de a intui el însuși, dincolo de țesătura textului problemei, tipul de abordare operațională, adecvat problemei, ordinea de intrare ,,în scenă’’ a operațiilor și alternanța lor specifică poate fi socotită un indicator al eficieței contribuției instruirii , prin învățare, la dezvoltarea mentală a copilului.

Unele din momentele esențiale ale învățării matematicii în clasa a treia îl connstituie familiarizarea elevilor cu ordinele și clasele numerelor. Ea le furnizează ,,algebra’’ numirii scrierii și citirii numărului, dezvăluindu-le însuși principiul constituirii numărului și al sistemului numeric –unitatea, simplă sau repetată, multiplicată de un număr de ori .

Operațiile matematice fundamentale, însușite în clasa a doua, sunt acum solicitate să lucreze în noi condiții, ale compartimentării, ordinale a numărului. Proprietatea numărului de a reprezenta, în plan obiectiv, un construct multietajat trebuie fructificată în plan subiectiv, în sensul activării și motivării intrinseci a activității matematice a elevilor, care ar putea să descopere, cu prilejul învățării ordinelor și claselor, văzut pe dinăuntru, numărul este o lume structurată caleidoscopic și totuși unitar, o uitate în diversitate, un limbaj reglat de o ,,gramatică’’ specifică , o combiație funcțională flexibilă, care creează orizoturi largi percepției, ceea ce uimește și stârește interesul de a-l descifra.

Incursiunile în psihogeneza inteligenței au arătat că sesizarea diversității parametrilor sub care se poate înfățișa latura cantitativă a lucrurilor este posibilă în anumite condiții de organizare a experimentului de percepere și estimare a mărimilor, la vârste destul de timpurii, chiar la preșcolarul mic.

Fructificâd această premisă, în sensul îmbinării proceselor de proiectare a învățării structurilor matematice din clasa a treia cu un sumum de invarianți fizici fundamentali – întinderea, volumul, durata – apropiem încă din mica școlaritate, cunoașterea matematicii de modalitatea de posibile de structurare a unor date, căutarea, intuirea, asocierea și exprimarea creatoare dobândind un spațiu amplu de manifestare.

Capacitatea elevului de a intui el însuși, dincolo de țesătura textului problemei, tipul de abordare operațională, adecvat problemei, ordinea de intrare ,,în scenă’’ a operațiilor și alternanța lor specifică poate fi socotită un indicator al eficieței contribuției instruirii , prin învățare, la dezvoltarea mentală a copilului.

Unele din momentele esențiale ale învățării matematicii în clasa a treia îl connstituie familiarizarea elevilor cu ordinele și clasele numerelor. Ea le furnizează ,,algebra’’ numirii scrierii și citirii numărului, dezvăluindu-le însuși principiul constituirii numărului și al sistemului numeric –unitatea, simplă sau repetată, multiplicată de un număr de ori .

Operațiile matematice fundamentale, însușite în clasa a doua, sunt acum solicitate să lucreze în noi condiții, ale compartimentării, ordinale a numărului. Proprietatea numărului de a reprezenta, în plan obiectiv, un construct multietajat trebuie fructificată în plan subiectiv, în sensul activării și motivării intrinseci a activității matematice a elevilor, care ar putea să descopere, cu prilejul învățării ordinelor și claselor, văzut pe dinăuntru, numărul este o lume structurată caleidoscopic și totuși unitar, o uitate în diversitate, un limbaj reglat de o ,,gramatică’’ specifică , o combiație funcțională flexibilă, care creează orizoturi largi percepției, ceea ce uimește și stârește interesul de a-l descifra.

Incursiunile în psihogeneza inteligenței au arătat că sesizarea diversității parametrilor sub care se poate înfățișa latura cantitativă a lucrurilor este posibilă în anumite condiții de organizare a experimentului de percepere și estimare a mărimilor, la vârste destul de timpurii, chiar la preșcolarul mic.

Fructificâd această premisă, în sensul îmbinării proceselor de proiectare a învățării structurilor matematice din clasa a treia cu un sumum de invarianți fizici fundamentali – întinderea, volumul, durata – apropiem încă din mica școlaritate, cunoașterea matematicii de modalitatea de cunnoaștere proprie fizicii, ca viitoare disciplină de studiu, ce va deschide perspectiva descoperirii formelor spațial temporare în care este ,,turnată’’ dimensiunea cantitativă a lucrurilor.

Noțiunile de geometrie întregesc seturile sarcinilor care compun matematica din clasa a treia.

Cunoștițele despre dreaptă, segmentul de dreaptă, semidreaptă, introduse prin acțiuni de măsurare și comparație și diferențiate criterial după jocul contrariilor ,,mărginit – nemărginit’’, deschid calea către universul conceptelor geometrice.

Matematica, domeniu al reversibilității, devine astfel un instrument de testare și, mai ales, de cultivare a inteligenței elevului.

Etapa terminală a ciclului primar, clasa a patra ocupă o poziție ,,sui-geeris’’ în evoluția proceselor educaționale și implicit, în devenirea personalității școlarului.

La matematică, temele care îi introduc pe elevi în învățarea noțiunilor de fracție – ordinară și zecimală – ca moduri de redare a relației parte-întreg, ca și problemele de aflare a distanței, vitezei și timpului, sau cele ce implică, în rezolvare, așa numita metodă ,,retrogradă’’, a mersului invers, oferă foarte bune ocazii de educare a gândirii matematice.

Ilustrările, explicațiile și generalizările care se aduc în procesul predării pot să se constituie ca metode susceptibile să-i conducă pe elevi la surprinderea esenței matematice, de exemplu, a noțiunii de fracție, a cărei caracteristică formulă generală este raportul parte – întreg, ideea comparării părții cu întregul, care trebuie făcută, de la început, obiect al învățării. La rândul lor, cunoștințele despre cele două tipuri de redare fracționară a cantităților – cel ordinar și cel zecimal – pot fi integrate, ca sens, unui spațiu de orientare mai larg, vizând adâncirea reprezentării elevului despre acea noțiune fundamentală, noțiunea de număr, abordată acum prin mecanismul scrierii și mânuirii diversificate a invariantului ,,relație parte- întreg’’.

Una din notele specifice ale învățării o poate constitui însăși această călăuzire a elevului către reflexivitatea matematică, bazată pe implemetarea noului în unitate cu reconsiderarea ,,știutului’’, nu doar pe adăugarea cantitativă de secvențe de exersare repetată a unor operații deja cunoscute, în contextul unor sarcini problematice care rămân, de fiecare dată, ca grad de complexitate, sub nivelul posibilităților elevilor din clasa a patra.

I.3. Câteva elemente de teoria mulțimilor și logică

matematică

Evoluția de ansamblu a învățământului primar din ultimele decenii confirmă o anumită stabilitate valorică. De aceea este necesară modernizarea și ridicarea calității învățământului românesc la nivelul standardelor europeană, mereu reînnoite și ele .

În predarea obiectului matematică intervine problema modernizarii predării tehnicilor de calcul la clasele primare. Ideal pentru orice tehnică de calcul este ca mulțimea și operațiile cu numere să fie integrate într-o structură .

Predarea de structuri impune o mai bună legătură între operații, deoarece reversibilitatea operațiilor se construiește în mod activ în procesul de comparare, înscriere etc.

În matematica modernă un loc deosebit îl ocupă noțiunea de mulțime . Studiul operațiilor cu mulțimi stă la baza operațiilor cu numere naturale, deoarece numărul natural este o proprietate a mulțimilor care au același număr de elemente. Drumul ascendent pentru dobândirea de către elevi a noțiunii de număr se pregătește de la primul contact al copiilor cu matematica, introducând o serie de jocuri cu materiale special elaborate (riglete,blocurile Denes).

M. Malița spune că ,,dacă jocul copiilor va fi adaptat până la șapte ani conceptelor de bază ale teoriei mulțimilor ei vor fi apți de a câștiga noțiunile matematice și de a dobândi astfel cunoștința științifică în cursul dezvoltării lor’’.

Făcând apel la libertatea și spontaneitatea copilului în joc, obiectele cu care se joacă copilul sau jocul însuși ca ansamblu de reguli îi sugerează conceptul matematic care se impune prin compararea rezultatelor.

E. P. Dienes consideră că ,,însușirea primelor elemente de logică la copiii mici trebuie să se desfășoare paralel cu însușirea altor noțiuni:noțiunea de mulțime, putere, element de geometrie, etc.’’ .

Sub forma jocurilor logice diferențierea obiectelor după unul sau mai multe atribute (mărime, grosime, culoare, formă) – copiii de vârstă preșcolară ajung la primele reprezentări matematice.

În perioada premergătoare formării conceptului de număr, elevii trebuie să fie familiarizați cu o serie de elemente necesare în procesul înțelegerii numărului ca proprietate a unei mulțimi, ca simbol al mulțimilor echivalente. Astfel se pot face exerciții de grupare a obiectelor în mulțimi (băieți – fete , cărți – caiete – creioane) de separare a obiectelor în mulțimi după diferite criterii ( gruparea bilelor albe separate de bilele negre), de comparare a mulțimilor.

Se apreciază că echivalența mulțimilor de obiecte este fundamentul psihologic și logic al însușirii conceptului de număr natural.

Două mulțimi sunt echivalente dacă au aceeași putere, adică același număr de elemente. De aici decurge necesitatea de a forma la copii noțiunea de echivalență,

prin compararea termen cu termen a elementelor celor două mulțimi.

Punând în corespondență cele două mulțimi element cu element se poate constată că:

-mulțimea ,,A” are tot atâtea elemente ca și mulțimea ,,B” și-i corespunde relația ,,egal”

-mulțimea ,,A” are mai multe elemente decât mulțimea ,,B” și-i corespunde relația ,,mai mare”

-mulțimea ,,A” are mai puține elemente decât mulțimea ,,B” și-i corespunde relația ,,mai mic”

Pentru a determina structura unei mulțimi, se dă o relație în care se găsesc elementele mulțimii. Punctul de plecare în determinarea structurilor îl constituie relețiile. Cele mai importante tipuri de relații sunt relațiile de ordine.

Un exemplu particular de relație de echivalență este relația de egalitate care se bucură de următoarele proprietăți:

-reflexivă (a=a)

-simetrică (dacă a=b , b=a)

-tranzitivă (a=b , b=c , c=a)

Simetria relațiilor de egalitate poate fi aplicată în dezvoltarea tehnicilor scrise a operațiilor cu numere.

Exemplul 1.

14 + 2= (10 + 4)+ 2 (simetria relației de egalitate)

14 + 2 = 10 + (4 + 2) (asociativitate)

= 10 + 6

= 16

Exemplul 2.

5 x 40 = 5 x (4 x 10) (simetria relației de egalitate)

= (5 x 4) x 10 (asociativitatea)

= 20 x 10

= 200

Un rol deosebit în matematică îl ocupă studiul relației de ordine (,,<” ,,>’’). Studiul relațiilor de ordine este necesar nu numai pentru cunoașterea proprietăților inegalităților numerice, dar și pentru înțelegerea tehnicilor de calcul la înmulțire.

Una dintre noțiunile fundamentale în matematică este noțiunea de PRODUS CARTEZIAN.

Se numește PRODUS CARTEZIAN a două mulțimi ,,A’’ și ,,B’’, mulțimea ,,AB’’ care este formată din toate perechile de elemente (a,b) cu proprietatea a#A și b#B.

Ideea de pereche se introduce în clasa a II-a pornind în general de la un joc sau de la o istorioară problemă.

Exemplu:

Pentru a vopsi două mingi am ales: roșu, galben și albastru. Câte posibilități de vopsire există ?

Pentru a rezolva mai ușor problema, se cere elevilor să așeze datele problemei într-un tabel așa încât culorile pe orizontală să reprezinte elementele unei mulțimi, iar mingile 1, 2, pe verticală, elementele celeilalte mulțimi. Numărul perechilor care se formează depinde de numărul elementelor celor două mulțimi și este egal cu produsul lor.

I.4. Învățarea creativă în ciclul primar

Activitatea de învățare desfășurată în școală sub conducerea cadrelor didactice ca și cea efectuată în mod independent de către elevi, are ca obiectiv principal însușirea activă a cunoștințelor, formarea deprinderilor și principiilor, dezvoltarea personalității prin dobândirea de noi capacități de a acționa conform noilor cerințe ale vieții și activității.

Procesul de însușire a cunoștințelor, de formare a principiilor și deprinderilor, în perioada micii școlarități devine o formă specială de activitate a copilului, distingându-se dintre toate celelalte forme ale activității sale.

Această formă complexă de activitate – învățarea – nu poate fi îndeplinită fără contribuția directă a gândirii – proces psihic specific ființei umane.

Gândirea e definită în literatura de specialitate ca fiind : ,, procesul cognitiv de însemnătate centrală în reflectarea realității , care prin intermediul abstractizării și generalizării coordonate în acțiuni mentale , extrage și prelucrează informații despre relațiile categoriale și determinative în formarea conceptelor , judecăților și raționamentelor ’’.

Gândirea e un produs al cunoașterii și acțiunii ce se formează la ființa umană numai în condițiile activității și vieții sociale. Spre deosebire de procesul cunoașterii simple (prin senzații , percepții , reprezentări) gîndirea prelucrează însușiri și relații, aspecte ale realității obiective care nu cad direct sub incidența organelor de simț. Pornind însă de la informațiile date de cunoașterea senzorială, legându-le, analizându-le , sistematizându-le , ființa umană reușește să cunoască ceea ce este ascuns percepției noastre directe; pentru prelucrarea acestor informații, gândirea utilizează un sistem de simboluri printre care cel mai important este limbajul și un sistem de operații specifice (analiza și sinteza, comparația, abstractizarea, concretizarea).

Între 7 și 10 ani gândirea operează cu cunoștințe (scheme, imagini, simboluri, concepte) dar și cu operații și reguli de operații, care au o evoluție spectaculoasă la această vârstă. Crește volumul simbolurilor și conceptelor. Cele mai numeroase simboluri sunt literele, cuvintele și numerele. În planul instrumental al gândirii la această vârstă se conturează conținutul conceptelor. Între simboluri și concepte există deosebiri : simbolurile se referă la evenimente specifice singulare, pe când conceptul reprezintă ceea ce este comun în mai multe evenimente.

Urmărind evoluția gândirii școlarului mic se constată că în primele clase aceasta este dominată de rigorile regulilor și cerințelor de operare cu concepte în moduri specifice, aspectele fanteziei și imaginației interiorizându-se treptat. Potențialul creativ al copilului în această perioadă este mai redus, el manifestând un spirit critic destul de ridicat față de propriile produse.

Acest fapt nu înseamnă că un copil de clasele I-II nu dispune de capacitatea de a compune, povesti și repovesti, de a folosi elemente descriptive.

În etapa a doua a micii școlarități apar și se manifestă stiluri și chiar aptitudini creatoare în domeniile : matematică, citit-scris, muzică etc.

Pentru a răspunde fireștilor întrebări care se pun:

-Cum reușim să depistăm potențialul creativ al copilului?

-Cum reușim să-l stimulăm?

Trebuie să subliniem următoarele aspecte:

-în procesul de învățământ, învățătorii trebuie să fie preocupați de formarea unor capacități cognitive ca fundament creativ real de mai târziu.

-nu există copiil dezvoltat normal din punct de vedere intelectual care să nu fie înzestrat cu anumite capacități creative în măsură mai mare sau mai mică.

-să se facă distincție între potențialul creativ și creativitate.

Existența unui potențial creativ la școlarul mic, este explicată de fantezia, imaginația necontrolată, absența cenzurii exercitată de către factorul rațional, manifestarea spontaneității ca factor al creativității. Treptat spontaneitatea se supune stereotipurilor sociale și culturale care caracterizează mediul uman.

După opinia psihologului american P. TORRANCE un copil creativ se manifestă astfel : curiozitate, originalitate, independență, imaginativ, nonconformist, preferă complexitatea.

Capitolul II

VALENȚE FORMATIVE ALE ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR ÎN DIRECȚIA CULTIVĂRII CREATIVITĂȚII

VALENȚE FORMATIVE ALE ACTIVITĂȚII DE REZOLVARE ȘI COMPUNERE A PROBLEMELOR ÎN DIRECȚIA CULTIVĂRII CREATIVITĂȚII

II.1. Rolul problemelor simple în cultivarea creativității la școlarii mici.

Noțiunea de problemă are un conținut larg, cuprinzând o gamă variată de preocupări și acțiuni în diferite domenii. Limitându-ne la matematică, prin problemă înțelegem orice chestiune a cărei soluționare se poate obține prin procese de gândire și calcul. Astfel, problemele de aritmetică constituie răspunsuri la anumite întrebări referitoare la preocupări și acțiuni bazate pe date numerice. După structura lor, problemele de aritmetică se clasifică în două categorii:

-probleme simple a căror rezolvare comportă o singură operație aritmetică

-probleme complexe a căror rezolvare comportă două sau mai multe operații

aritmetice

Rezolvarea problemelor constituie aplicarea cunoștințelor dobândite în legătură cu operațiile aritmetice și proprietățile lor, clasificarea, consolidarea și aprofundarea acestor cunoștințe.

Rezolvarea problemelor stimulează inițiativa și contribuie la formarea unei atitudini conștiente față de muncă, la dezvoltarea voinței, a perseverenței, a spiritului de răspundere față de îndeplinirea sarcinilor, la dezvoltarea încrederii forțelor proprii.

Rezolvarea problemelor prezintă importanță deosebită și din punct de vedere practic, prin sesizarea și înțelegerea relațiilor dintre mărimi, prin soluționarea matematică a diferitelor aspecte ale împrejurărilor vieții sociale, deoarece viața de toate zilele și activitatea în diferite ramuri ale producției bunurilor materiale ne pun în față noi și variate probleme pentru a căror rezolvare nu este suficientă cunoașterea exclusivă a tehnicii de calcul.

În clasele I-II. Pe măsură ce elevii cunosc cele patru operații sunt puși în situația de a le aplica în rezolvarea problemelor simple.

Momentul cel mai important în rezolvarea acestor probleme, îl constituie stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei operații. Inițierea elevilor în stabilirea operației corespunzătoare rezolvării unei probleme simple are loc prin precizarea cazurilor care determină o anumită operație.

Această operație se face sub forma unor concluzii ce se stabilesc pe baza analizei unui cât mai mare număr de cazuri particulare.

Exemplu:

Mioara are într-un buzunar 400 de lei și în celălalt 200 de lei.

Câți lei are Mioara?

Din mai multe cazuri particulare analizate se stabilește concluzia generală prealabil formată. Ținând seama că gândirea copilului este ca el să poată urmări procesele de gândire numai dacă lucrează efectiv cu obiectele specificate în problemă, sau cu reprezentări ale acestora, primele probleme care se rezolvă trebuie să fie fundamentate pe baza acțiunilor ce se petrec în mod real în fața elevilor.

Exemplu:

În clasă sunt cinci scaune. Se mai aduc încă doua scaune .Câte scaune sunt în total?

5 + 2 = 7 R : 7 scaune

În adunare, în afara tipului clasic a + b = , mai pot fi propuse și rezolvarea încă a trei tipuri ilustrate în schemele:

1. = a + b (reflectând problemele de simetrie a relațiilor de egalitate)

2. – a = b (aflarea când se cunosc s și r)

3. b = – a (simetria relației precedente)

Aceste scheme se materializează în probleme astfel:

I. Model clasic:

Alin a împrumutat ieri de la bibliotecă două cărți iar astăzi încă o carte. Câte cărți a împrumutat Alin de la bibliotecă?

Rezolvare:

2 cărți + 1 carte = 3 cărți

II. Model creativ

Câte cărți a împrumutat Alin de la bibliotecă , dacă ieri a luat două și astăzi una?

Câte cărți a avut Alin de la biblioteca școlii, dacă după ce a înapoiat două cărți, i-a mai rămas de restituit o carte?

Alin mai are o carte de la bibliotecă. Câte cărți a împrumutat el de la bibliotecă, dacă a înapoiat două cărți?

La operația de scădere alături de tipul clasic a + b =, există încă șapte tipuri de probleme simple ilustrate de schemele:

1. = a – b;

2. a – = b;

3. b = a – ;

4. b + = a;

5. a = b + ;

6. + b = a;

7. a = + b;

Exemplificând aceste posibile variante obținem:

Modelul clasic

Mihai are în penar 6 creioane. El pierde 2 creioane. Câte creioane îi rămân?

Rezolvare

6 creioane – 2 creioane = 4 creioane; R : 4 creioane

2.Modelul creativ

Câte creioane are acum Mihai în penar, dacă din cele 6 a pierdut 2 ?

Mihai avea în penar 6 creioane. Câte creioane a pierdut dacă are acum în penar 4 creioane?

Dacă Mihai are acum 4 creioane, câte a pierdut, știind că a avut în total 6 creioane?

Dacă Bogdan are acum 4 creioane, câte din cele 6 pe care le avea în penar, câte creioane a pierdut?

Mihai a avut 6 creioane, 4 sunt în penar și celelalte le-a pierdut. Câte creioane a pierdut?

Câte creioane mai are Bogdan, dacă acestea cu cele două pierdute au fost 6 creioane?

Mihai a avut 6 creioane. Câte creioane i-au rămas, dacă la acestea se mai adaugă două creioane pierdute?

La operația de înmulțire, alături de tipul clasic a + b = se pot formula încă trei tipuri de probleme simple:

= a x b;

b = : a;

: a = b;

Exemplificarea acestor scheme se poate realiza astfel:

I. Modelul clasic

Sandală are două cărți, iar caiete de trei ori mai multe. Câte caiete are Sandală?

Rezolvare

2 cărți x 3 = 6 caiete; R : 6 caiete

II. Model creativ

Câte caiete are Sanda, dacă are două cărți iar caiete de trei ori mai multe?

Câte caiete are Sanda, dacă are de trei ori mai puține cărți, iar cărți are două?

Sandală are două cărți. Câte caiete are, dacă cărțile sunt de trei ori mai puține decât caietele?

La operația de împărțire, alături de tipul clasic a : b =, se pot construi încă 7 tipuri de probleme simple după schemele:

= a : b;

a x = b;

b = a : ;

b x = a;

a = b x ;

x b = a;

a = x b;

De exemplu:

Modelul clasic:

Mama are 6 mere. Ea dă fiecăruia din cei trei copii ai săi același număr de mere. Câte mere primește fiecare copil?

Modelul creativ

Câte mere primește fiecare copil, dacă mama dă șase mere în mod egal celor trei copii ai săi?

Mama are șase mere pe care le dă în mod egal copiilor săi. Câți copii are dacă fiecare a primit câte două mere?

Fiecare copil primește două mere în mod egal, când mama le dă celor șase pe care îi are. Câți copii are mama?

Mama are trei copii și fiecare primește mere în mod egal. Câte mere a primit un copil dacă mama a avut 6 mere?

Mama are 6 mere. Fiecare dintre cei trei copii ai săi primește același număr de mere. Câte mere primește fiecare?

Câți copii are mama, dacă fiecare copil primește două mere, când mama le dă 6 mere?

Mama are pentru copiii săi 6 mere. Câți copii are mama dacă fiecare a primit două mere?

Antrenarea școlarilor mici în rezolvarea unei game cât mai largi de probleme simple contribuie la înarmarea acestora cu strategii rezolutive suple, cu evidente deschideri spre zona creativității.

Rezolvarea problemelor sporește în atractivitate, dar și în densitate instructivă, dacă conținutul acestora vizează cunoștințe, fapte și fenomene ale unor alte discipline.

Exemplu:

Laleaua are 3 petale, mușcata 5 petale și trandafirul 15 petale.

Cu câte petale are mai mult mușcata decât laleaua?

De câte ori mai multe petale are trandafirul decât laleaua?

De câte ori este mai mic numărul petalelor mușcatei decât numărul petalelor trandafirului?

Dacă două dintre aceste flori au laolaltă 8 petale, care sunt aceste flori?

Câte lalele au tot atâtea petale cât un trandafir?

Alte tipuri de probleme sunt probleme surpriză, la care rezolvarea sau enunțul sunt inedite:

Exemplu:

Nelu are un frate și trei surori. Câți frați și câte surori are Nela, sora sa.

Rezolvarea problemelor simple se poate efectua prin îmbinarea diferitelor metode, metoda grafică:

Problema I Problema II

65 ? 36 ?

94 75

Din aceste desene se deduce că partea punctată este cerința problemei. Pe bază de schemă se formulează enunțul problemei.

Reprezentarea datelor problemei sub formă de desene (la clasa I) duce la înțelegerea cerințelor problemei, la stabilirea relațiilor dintre date și rezolvarea cu ușurință a problemei.

Într-un coș sunt 4 pere și cu două mai multe mere. Câte mere sunt în coș? Câte fructe sunt în total?

Câte mere sunt în coș?

4 + 2 = 6 mere

Câte fructe sunt în coș?

4 + 4 + 2 = 10 fructe

II.2. Rolul problemelor compuse în cultivarea creativității la școlarii mici.

Problema compusă este ansamblul de două sau mai multe probleme simple. Însăși noțiunea de compusă presupune un plus de abilitate, de competență pe plan informativ, instrumental, formativ.

A rezolva o problemă compusă înseamnă ca din datele cunoscute să deducem data necunoscută, care se află în relații neexprimate în textul problemei și care trebuie descoperită.

În activitatea de rezolvare a problemelor compuse există o fază de tensiune, neliniște, se fac o serie de încercări în „schiță”, atenția concentrându-se nu asupra fiecărei verigi in parte ci asupra totului, asupra felului in care se vor lega verigile.

În prima etapă nu se caută primul element al rezolvării, ci soluția. Și pentru că nu o putem găsi dintr-o dată, căutăm să eliminăm treptat această primă etapă, recurgând la căutări.

În cadrul acestor căutări un rol important îl are intuiția logică matematică. După ce a fost descifrat drumul către soluția problemei urmează partea de executare a construcției care constă în aplicarea unor metode și tehnici cunoscute, o activitate de rutină. Gradul de solicitare a efortului mintal al elevului depinde de structura și complexitatea problemei, de „golul” care se formează între experiența de care dispune el și „noul” care i se cere a fi descoperit.

De aceea în introducerea problemelor compuse și rezolvarea acestora trebuie să ținem seama de nivelul de cunoștințe dobândite de elevi până atunci precum și de capacitatea lor de a rezolva probleme simple.

Pentru ca activitatea de rezolvare a problemelor să-și materializeze valențele formative în direcția gândirii creatoare este nevoie de un conținut al problemelor și o orientare a activității de rezolvare a lor, adecvate acestui scop.

Cele mai multe dificultăți în rezolvarea problemelor compuse le întâmpină elevii din cauza slabei cunoașteri sau chiar a neînțelegerii conținutului problemei. Algoritmul de rezolvare a unei probleme se poate realiza prin:

rezolvarea problemelor cu ajutorul schemelor grafice

rezolvarea unor probleme cu explicații orale în scris

analiza problemelor până la sesizarea raționamentului fără a face rezolvarea propriu-zisă.

formularea algoritmului de rezolvare prin punerea rezolvării într-un singur exercițiu.

Dezvoltarea gândirii creatoare în activitatea de rezolvare a problemelor se realizează prin utilizarea unei varietăți de procedee. Pentru a forma la elevi o gândire creatoare, ei trebuie puși în situații variate mereu noi. În acest sens se utilizează o varietate de procedee:

-dezvoltarea și complicarea treptată a unei probleme rezolvate

-rezolvarea problemei prin mai multe procedee și alegerea căii celei mai economicoase.

-reformularea problemei prin introducerea necunoscutei ca o cunoscută.

Elevii trebuie să fie obișnuiți să înțeleagă întregul text al problemei. De multe ori ei sunt tentați să rezolve problemele efectuând diferite ecuații în ordinea în care acestea sunt prezentate în text.

Alteori elevii încearcă tot felul de operații cu numerele pe care le întâlnesc în problemă până când ajung la rezultatul din carte.

Aceste dificultăți pot fi înlăturate prin citirea atentă a textului problemei, a întrebării sau întrebărilor problemei.

Exemplu de problemă compusă:

„Un cetățean a depus la C.E.C. 850 lei și a scos după câteva zile 350 lei; altă dată a depus 1000 lei și după câteva zile a scos `500 lei, iar a treia oară a depus 1000 lei și a scos după câteva zile 800 lei. Câți lei mai are la C.E.C?

După analiza atentă a problemei s-a cerut elevilor rezolvarea ei. Elevii au găsit trei variante de rezolvare.

s-a scos diferența după fiecare depunere și scoatere iar apoi s-a făcut suma acestor diferențe.

2. s-a calculat diferența dintre suma depunerilor și suma acestor diferențe

3. s-a adunat de fiecare dată suma depusă cu soldul pe care-l are C.E.C. din depunerile anterioare și așa mai departe.

Rezolvarea în două sau mai multe moduri a problemelor compuse contează foarte mult în formarea judecății elevilor. Este de preferat rezolvarea unei probleme în mai multe moduri, decât să se rezolve trei, patru probleme în același mod.

În manualele de matematică pentru clasele I-IV sunt cuprinse un număr mare de probleme compuse. Indiferent de complexitatea datelor problemei, rezolvarea acesteia trebuie să urmărească dezvoltarea spiritului creativ al elevilor.

II.3. Rolul problemelor tip în ciclul primar – mijloc eficient

de dezvoltare a gândirii creatoare

Creativitatea este o componentă a personalității care se exersează în cadrul obiectului matematică și prin activitatea de dezvoltare a problemelor tip. Astfel de probleme prezintă un grad sporit de dificultate antrenând în rezolvarea lor atenția, gândirea logică și creatoare, făcând uz de cunoștințe dobândite de elevi prin rezolvarea problemelor simple și compuse, precum și activitatea de compunere de probleme.

Din categoria problemelor tipice fac parte:

probleme de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, suma și raportul lor, diferența și raportul lor;

probleme de eliminare a unei mărimi prin reducere și aducere la același termen de comparație;

probleme de eliminare a unei mărimi prin înlocuirea ei;

probleme care se rezolvă prin metoda ipotezelor;

probleme care se rezolvă prin metoda mersului în invers;

probleme de mișcare

probleme de medii, amestec, concentrații, echilibru caloric, aliaj;

Aceste tipuri de probleme se găsesc mai ales în manualele de matematică la clasa a IV-a.

Pentru rezolvarea problemelor de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor, putem folosi metoda grafică sau figurativă.

De exemplu:

La două școli s-au repartizat 3750 de manuale în așa fel încât prima școală a primit cu 280 manuale mai mult decât a doua.

Câte manuale a primit fiecare școală?

Rezolvare:

Reprezentăm prin segmente numărul de cărți primite de fiecare școală.

I

II 3750 cărți

În urma repartizării grafice elevii au observat că eliminând din numărul total al cărților cele 280 de cărți, cu cât a primit mai mult prima școală, cele două școli vor avea același număr de cărți.

Potrivit acestor observații, elevii au trecut la operațiile care decurg din ea.

3750 cărți – 280 cărți = 3470 cărți R:I = 2015 cărți

3470 : 2 = 1735 cărți II = 1735 cărți

În munca de clasă se constată că indiferent de tipul de problemă, activitatea de rezolvare incubă nebănuite valențe formative care se cimentează în ciclul primar. De aceea rolul dascălului ca strateg în arta rezolvării problemelor se face resimțit prin forța elevilor investită în activitatea de rezolvare de probleme.

Capitolul III

ALTE ACTIVITĂȚI DE STIMULARE A CREATIVITĂȚII ELEVILOR

ALTE ACTIVITĂȚI DE STIMULARE A CREATIVITĂȚII ELEVILOR

III.1. Jocul didactic

Una din formele specifice , utilizate în predarea matematicii în ciclul primar este jocul didactic.

Jocul reprezintă un ansamblu de activități și operații care, paralel cu destinderea, buna dispoziție, stimularea interesului și competitivității , contribuie atât la consolidarea cunoștințelor matematice ,cât și la însușirea unor concepte și noțiuni noi.

Jocul didactic este un tip specific de activitate prin care învățătorul consolidează, precizează și chiar verifică cunoștințele elevilor, le îmbogățește sfera lor de cunoștințe, le pune în valoare și le antrenează capacitățile creatoare ale acestora.

Una dintre trăsăturile esențiale ale jocurilor didactice o reprezintă caracterul lor competitiv, de întrecere. Copiii sunt solicitați sa-și concentreze atenția, să gândească repede și corect, să participe la reușita jocului.

Obiectivele urmărite în desfășurarea uni joc trebuie cunoscute de către învățător clar și complet.

Jocurile se utilizează în grădiniță, ciclul primar și gimnaziu. O dată cu împlinirea vârstei de șapte ani, în viața copilului începe procesul de integrare în viața școlară, ca o necesitate obiectivă determinată de cerințele instruirii și dezvoltării sale multilaterale. De la această vârstă, o bună parte din timp este rezervată școlii, activității de învățare care devine o preocupare majoră. În programul zilnic al elevului intervin schimbări impuse de ponderea pe care o are acum școala, schimbări care nu diminuează însă dorința lui de joc, jocul rămânând o problemă majoră in timpul întregii copilării.

Reușita jocului didactic este condiționată de proiectarea, organizarea și desfășurarea lui metodică, de modul în care învățătorul știe să asigure o concordanță deplină între toate elementele ce-l definesc.

Pregătirea jocului didactic presupune, în general, următoarele:

-studierea atentă a conținutului acestuia, a structurii sale;

-pregătirea materialului (confecționarea sau procurarea lui);

-elaborarea proiectului jocului didactic.

Conținutul matematic al jocului didactic trebuie să fie accesibil, recreativ și atractiv prin forma în care se desfășoară, prin mijloacele de învățământ utilizate, prin volumul de cunoștințe la care se apelează.

Reușita jocului didactic matematic depinde în mare măsură de materialul didactic folosit, de alegerea corespunzătoare și de calitatea acestuia.

Materialul didactic trebuie să fie variat, cât mai adecvat conținutului jocului, să slujească cât mai bine scopul urmărit. Astfel, se pot folosi: planșe, folii, fișe individuale, cartonașe, jetoane, trusă cu figuri geometrice.

Pentru rezolvarea sarcinii propuse și pentru stabilirea rezultatelor întrecerii se folosesc reguli de joc propuse de învățător sau cunoscute în general de elevi. Aceste reguli concretizează sarcina didactică și realizează , în același timp, sudura între aceasta și acțiunea jocului.

Acceptarea și respectarea regulilor de joc determină pe elev să participe la efortul comun al grupului din care face parte.

Cum se poate transforma o problemă în joc didactic?.

Să luăm un exemplu de problemă transformată în joc didactic matematic.

Problema: într-o cutie sunt bile albe și negre, câte minimum șase din fiecare. Se iau la întâmplare șase bile din cutie. Câte bile albe și câte bile negre pot fi printre cele luate?

Scopul: Consolidarea cunoștințelor privind adunarea numerelor de la zero la zece; dezvoltarea gândirii probabilistice, creatoare a elevilor.

Sarcina didactică: Verificarea cunoștințelor despre descompunerea unui număr într-o sumă de doi termeni.

Elemente de joc: întrecerea individuală și pe echipe(rânduri de bănci).

Material didactic: O cutie cu șase bile negre și șase bile albe(minimum).

Regula jocului: Elevii scriu soluțiile posibile ale problemei pe o foaie de hârtie, iar propunătorul strânge foile după un timp dinainte stabilit.

Pot apărea următoarele situații:

Problema are deci șapte soluții, pentru fiecare soluție bună e acordă un punct.

Se clasifică elevii: pe locul I cei cu șapte soluții, pe locul II cei cu șase soluții, pe locul III cei cu cinci soluții;

Se poate stabili și o clasificare pe echipe, prin cumularea punctelor obținute de componenții fiecărei echipe. Elevii care nu au dat nici o soluție bună pot fi „penalizați” , având drept sarcină să scrie adunările :

0 + 6 = ?, 1 + 5 = ?…

Jocurile numerice urmăresc dezvoltarea independenței gândirii elevilor, a spiritului lor de investigație și consolidare a tehnicilor de calcul. Astfel de jocuri pot fi utilizate la clasa a I-a și a II-a. După ce elevii au studiat adunarea și scăderea numerelor până la o sută se poate trece la astfel de jocuri.

Caută vecinii

Scopul: Consolidarea deprinderilor de comparare a unor numere.

Sarcina didactică: Să găsească numărul mai mare sau mai mic cu o unitate decât numărul dat.

Materialul didactic: Jetoane de diferite forme, cu figuri numerice de la 1 la 9, formate din cercuri, triunghiuri, pătrate.

Ca activitate premergătoare se recomandă să se facă unele exerciții de recunoaștere a figurilor numerice, asemănătoare cu cele ce vor fi folosite în joc.

Jocul se poate desfășura individual sau pe echipe și începe prin ridicarea unui jeton de către conducătorul jocului (învățător)

Elevii vor privi atent jetonul, vor număra în gând cercurile, după care vor trebui să spună care este următorul număr mai mare cu o unitate decât cel reprezentat de jeton și care este numărul mai mic cu o unitate decât acesta.

Spre exemplu: Învățătorul a ridicat jetonul cu opt cerculețe. Elevul numit va răspunde: ați ridicat jetonul cu opt cerculețe. Vecinul mai mare este numărul nouă iar vecinul mai mic este numărul șapte. Se va acorda câte un punct pentru fiecare aflare corectă a fiecărui „vecin”. Vor fi declarați câștigători cei care au totalizat mai multe puncte.

„Hai să socotim!”

Scopul : Consolidarea deprinderilor de calcul oral.

Sarcina didactică: Să rezolve exerciții de adunare și scădere în limitele 0 – 100.

Materialul didactic: – trei săculețe de pânză, unul galben, altul negru și al treilea alb

Cartonașe pe care vor fi scrise exerciții de adunare sau scădere in limita 0 – 100 și apoi introduse în săculețul galben;

Buline albe și negre din carton ce vor fi introduse în săculețele corespunzătoare.

Se stabilesc două echipe . Prima pereche formată din câte un reprezentant al fiecărei echipe , vine în fața clasei și fiecare elev scoate câte un cartonaș din săculețul galben. Se rezolvă exercițiile, clasa apreciind dacă răspunsurile sunt corecte sau nu.

Elevul care a răspuns bine scoate o bulină din săculețul alb, iar cel care a dat un răspuns greșit scoate o bulină din săculețul negru. Identic se procedează si cu celelalte perechi. În final fiecare elev ridică bulina obținută iar conducătorul jocului totalizează pe echipe numărul și culoarea bulinelor obținute. Echipa care a obținut cele mai multe buline albe va fi declarată câștigătoare.

Rezolvă exercițiul meu

Scopul: Consolidarea deprinderilor de calcul mintal rapid.

Sarcina didactică : Efectuarea unor exerciții de adunare sau scădere, în limitele 0 – 20.

Material didactic: foi de hârtie și creion (pentru fiecare elev)

Se împarte clasa în două echipe. Înainte de începerea jocului propriu zis, fiecare elev va scrie pe foaia lui de hârtie câte un exercițiu de adunare sau scădere în limitele 0 – 20 , după care va împături foaia și o va păstra în mână.

La semnalul conducătorului de joc, câte un reprezentant din fiecare grupă vine în fața clasei și face schimb de bilețele. După aceasta, reprezentantul unei echipe desface hârtia primită de la adversarul lui, citește cu voce tare exercițiul scris și îl rezolvă. Rezultatul va trebui dat în timp limitat.

Aprecierea se face cu participarea echipei adverse, acordându-se pentru răspunsurile corecte un plus iar pentru cele incorecte un minus .În cazul în care se constă că rezultatul exercițiului depășește 20, cel care l-a scris va fi penalizat cu un minus.

Va câștiga echipa care va totaliza cele mai multe semne de plus.

Jocul de aflare a termenului necunoscut într-un exercițiu , astfel încât relațiile să fie satisfăcute are un dublu caracter și dau copiilor o experiență activă și le oferă posibilitatea să facă descoperiri matematice destul de timpuriu.

În aplicarea acestor jocuri nu se folosesc cifre mari.

Exemplu:

20 – + 4 + = 24;

30 + – = 30;

+ 20 + – = 17;

Un alt joc care contribuie la exersarea calculului oral este jocul „privește și continuă drumul”.

Cerința jocului este de a completa pătrățelul gol cu cifra potrivită în urma efectuării operațiilor indicate.

Alt joc este cel numit „pătrățele magice”, acest joc dezvoltând spiritul de observație, gândire logică, flexibilitatea gândirii.

Ca o aplicație a sumei de trei sau mai mulți termeni, pătratul magic vine și îl pune pe elev să caute soluții multiple prin înlocuirea pătratelor care sunt libere cu numere potrivite astfel încât pe orizontală, verticală, diagonală să obțină aceeași sumă .

Exemplu:

Să se completeze căsuțele cu numere de la 1 la 9, astfel încât suma magică să fie 15, 18.

a) b)

Jocul, pe lângă rolul său de a consolida cunoștințele dobândite și de-a exersa facultățile gândirii are și un important rol dinamizator. Momentele de monotonie sunt spulberate prin antrenarea elevilor în activitatea de joc. Jocurile antrenează și obligă la un efort de gândire chiar și pe elevii care nu au manifestat un vădit interes pentru orele de matematică. Prin joc elevii își dezvoltă atenția , promptitudinea și spiritul de competiție.

Jocul este o componentă a activității matematice care alături de celelalte activități contribuie la dezvoltarea creativității și inventivității școlarului mic.

III.2. JOCURI DIDACTICE

PENTRU MOMENTELE RECREATIVE ȘI ACTIVITĂȚI ÎN COMPLETARE

III.2.1. ,,Să învățăm să numărăm!’’

Într-un castel cocoțat pe un vârf de munte, la care și vulturul cu greu ar fi ajuns, trăia regele Vânturilor. Când era frumos, senin și cald afară, el nu mai putea ieși din casă, deoarece Soarele l-ar fi închis.

Ca să-I mai treacă de urât, fura animalele pe care le vedea și le vrăja. Animalele erau transformate :un căluț nărăvaș, într-un ,,căluț socotitor’’, un iepuraș fricos într-un ,,iepuraș socotitor’’, un cerb falnic într-un ,,cerb socotitor’’, și așa mai departe.

Regele vânturilor făcea așa, pentru că îi plăcea să socotească câte zile mai are, până când poate ieși din casă, de câte ori poate da ocol Pământului, câți copăcei a culcat la pământ cu răsuflarea sa. Și animalele fermecate se jucau cu el, socotind: adunând și scăzând, lucru pe care și copiii îl făceau cu greu. Însă animalele reușeau, că erau fermecate de jucăușul rege al vânturilor.

1. ,,UN cioroi / DOI broscoi / TREI purcei / PATRU miei / CINCI arici ;

ȘASE tei / ȘAPTE chei / OPT colaci / NOUĂ saci / ZECE zmei / Ce mai zmei !

Nu fugiți copii de ei,

Dacă știți a număra,

Zmeii nu s-or supăra !

Să vă spun o șmecherie ?

Zmeele sunt din hârtie !’’

2. De la unu-ncepi s-aduni- Patru greierași vioi

Prima zi se cheamă LUNI. Cântă pân’’ se face JOI

Unu și cu unu-s frați Cucu-nvață-a număra-

Cea de-a doua zi e MARȚI. Ziua a cincea-i VINEREA !

Trei broscuțe saltă-n cercuri- Cocostârcu-n apă stă-

Știi c-a treia zi e MIERCURI ? Ziua a șasea-i SÂMBĂTĂ.

Iar furnica harnică.

Spală și DUMINICĂ

Zilele le știți pe toate

Dar să-mi spuneți : – Câte-s ? (ȘAPTE)

3.

1,2,3 ! – Îl știți pe Moș Andrei

1,2,3,4 ! – s-anecat cu lapte acru

1,2,3,4,5 ! – și-a vărsat și în opinci

1,2,3,4,5,6 ! – vine Baba și-l descoase

1,2,3,4,5,6,7 ! – ea se supără și-l bate

1,2,3,4,5,6,7,8 ! – Moș Andrei se-ascunde-n pod

1,2,3,4,5,6,7,8,9 ! – și găsește multe ouă

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ! – Babe-i supărarea-i trece.

4. Auziți ce s-antâmplat După 1, vine 2, cu ghete noi

Numerele s-au jucat de-adevărat. După 2, vine 3, cu clopoței,

– A-ha ! Nu se poate-așa ceva ! 4 într-un picior, saltă vesel și

Vrei ca să glumești ușor.

Să ne păcălești ? Uite-l și pe 5, vine în opinci.

– Ba deloc, nu vă mirați ! 6, gras și mititel, vine și el.

Iată-i vin toți înșirați 7 lung și ascuțit, l-a însoțit.

Cei zece frați: A venit și 8, colăcelul bine copt.

1 – cel dintâi, bate tare din călcâi 9, rotofei, vine după ei.

S-a pornit la joc 10 mândru și frumos, vine voios.

Tot pe loc, loc. Toți acum s-au adunat.

Ce minunat !

Ca să aibă toți … NOROC !

5. PROBLEMĂ ÎN VERSURI !

(procedee de calcul oral – 0 – 20) LUNI

8 musculițe

Într-un cuib, o rândunică și 9 viermișori

Avea-n cuibu-i șapte pui;

Și privea la ei, sărmana,

Ca la chipul Soarelui.

MARȚI

De cu zori pornea săgată, 9 musculițe

Căutând pe deal, pe văi, și 9 viermișori

Hrană pentru puii săi.

Și-n iubire nu o dată MIERCURI

S-a culcat ea namâncată, 8 musculițe

Dar destul de fericită ; și 5 viermișori

Că nu s-a-ntâmplat nicicând,

Dintre pui s-adoarmă unul, JOI

Ars de sete și flămând. 7 musculițe

și 5 viermișori

DUMINICĂ SÂMBĂTĂ VINERI

4 musculițe 7 musculițe 9 musculițe

și 7 viermișori și 6 viermișori și 5 viermișori

1. Câte insecte a adus joi ?

2. Câte musculițe a adus duminică și miercuri ?

3. Câte musculițe a adus marți și vineri ?

4. Câți viermișori a adus luni și marți ?

5. Câți viermișori a adus duminică și sâmbătă ?

6. Cu câți viermișori a adus mai mult luni, decât vineri

III.2.2. Relația de ordine a numerelor: – numere cu soț (pare)

-numere fără soț (impare)

1. La un număr mă gândesc

Tu încearcă să-l găsești

Decât 10, e mai mare,

Decât 20, mai mic.

Unități numai trei are

Iară zeci, în fine,

Știu că-s mai puține !

La ce număr m-am gândit ?

2. Veverița jucăușă urcă într-un brad și sare din două în două crengi.

Știind că bradul avea 20 de crengi, să aflăm pe a câta creangă se afla veverița? (2, 4, 6… …20)

Ajunsă în vârful bradului, l-a văzut pe prietenul ei, ariciul și s-a grăbit să-l salute. A coborât tot din două în două crengi.

Numărați în ordine descrescătoare : (20, 18, … … 0)

3. Ariciul își aduna în vizuina lui mere. În spatele plin cu ace lua mereu câte trei, pentru că numai atâtea putea duce. Să încercăm să numărăm merele pe care le aducea la fiecare drum, numărând din 3 în 3 : (3, 6, … …18).

Având musafiri, mânca din ele, câte trei în fiecare zi.

Numărăm în ordine descrescătoare : (18, 15, … … 3).

4. Rândunica vrea să-și hrănească puii. Ea le aduce mereu câte 5 viermișori. Într-o zi, le-a adus 100 de viermișori. Încercați și voi să numărați viermișorii de la fiecare drum : (5, 10, 15, … … 100). Puișorii fiind tare flămânzi, i-au mâncat pe rând, câte 5, câte 5, până nu a mai rămas nici unul. Numărați în ordine descrescătoare : (100, 95, 90, 85, … 0 )

III.2.3. Adunarea numerelor naturale 0-10

Ne cerem scuze pentru îndrăzneala mare

De a vă pune la încercare

Vrem să ghiciți spunând

Ce ne-a trecut nouă prin gând.

Și de vreți ca să ghiciți

Vă rugăm să vă gândiți !

1.Frățiorului în zori i-au ieșit DOI dințișori

Asta-i nemaipomenit, încă TREI i-au răsărit,

Ia să văd de știi sau nu :

Dințișori, câți are-acum ?

2. Cireșele s-au copt perechi – perechi;

Am DOUĂ și-ncă DOUĂ la urechi,

Dar una dintre ele, cea mai mare,

I-o dau acuma dragei surioare…

Câte cireșe mi-au rămas ?

Știi oare ?

3. Rândunelul, rândunica

Și-au făcut o casă mică.

Acum au TREI rândunici

Și trăiesc doar pentru ei.

La casa cu prunci micuți,

Cresc ușor când îs mai mulți!

Câți sunt toți, cu mic, cu mare,

Când se-ntorc, la noi în țară ?

4. Șase fluturi, în grădină,

Se rotesc lâng-o sulfină.

Mâța stă și mi-i pândește.

Hector latră și-o gonește.

DOI din fluturii zglobii

S-au ascuns în bălării.

Socotiți-i, câți s-au dus?

III.2.4. Unități, zeci, sute

Într-o pădure, trăiau odată trei pitici. Aveau o căsuță micuță și bine îngrijită. În fiecare zi, piticii plecau în peșteră, pentru a aduna nestemate. Seara se întorceau obosiți acasă și tare le mai era greu să numere nestematele. Deși erau buni la matematică, uneori se mai încurcau și iarăși o luau de la capăt …

Piticot, cel mai înțelept dintre ei, a avut o idee într-o zi. Ca să nu se mai chinuie, a pus nestematele câte zece, într-un săculeț.

Iată rezultatele din ziua următoare:

PRICHINDEL : = x x x x x x x x x x x =11 nestemate;

PITICOT : = x x x x x x x x x x x x x x x =15 nestemate;

MIC-PITIC : = x x x x x x x x x x x x x =13 nestemate;

10

Vrând să le adune, au obținut 3 și 9 nestemate, ceea ce înseamnă 39 nestemate.

Într-o altă zi, au adunat :

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 23

Prichindel :

10 10 nestemate ;

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 32

Piticot: nestemate ;

10 10 10

14

x x x x x x x x x x x x x x nestemate ;

Mic – Pitic :

10

Total : 6 10 și 9 nestemate .

Iată că, într-o zi piticii au descoperit o altă peșteră, cu foarte multe nestemate. Din nou le-a fost greu să le numere. Atunci, s-au hotărât să pună câte 10 săculeți într-o lădiță.

10 10 10 10 10 10 x x x 123

Prichindel :

nestemate.

10 10 10 10 10 10

III.3. Jocuri matemarice pentru scădere și adunare

Când unul la noi Când unul din noi

E la grea încercare, Prea-și arată puterea

Prietenii buni Foștii prieteni

Și-amintesc de … ADUNARE. Îl trec cu … SCĂDEREA

1.CAMPIONATUL DE FOOTBAL

La campionatul de footbal, clasa I A a purtat tricouri roșii, pe fiecare fiind înscrisă o operație de adunare cu 5, iar clasa I B a purtat tricouri albastre, pe fiecare fiind înscrisă o operație de scădere cu 4.

Completați operațiile și rezolvați exercițiile. Fiecare echipă are 11 jucători.

-4 -4 -4

10-4=6 14-4= 18-4=

+5 +5 +5

3+5=8 10+5=

2. NORUL CEL CĂLĂTOR (corespondența numerelor)

Pe cer s-au adunat norii. Din fiecare au început să cadă picături. Găsește picătura potrivită :

10 + 2

14 + 4

20

18 12

13 + 7

12 + 5 17 19-3

16

20 – 4 20 – 14

6

3. Proba adunării și a scăderii

În fiecare căsuță, iepurașul a avut de rezolvat un exercițiu. El a descoperit că, luând aceleași numere, poate să scrie și alte operații:

30+40=70 90-20=70 50+30= 80-10=

40+30=70

70 -30=40

70 -40=30

4. Radu a asistat la un concurs de patinaj artistic.

Clasamentul a fost următorul:

Matei A. 5. Mihai C. 7. Tudor P. Pe verticală :

Alexandra F. 6. Alina I. 8. Irinel P. – cuvântul :

Tania T. 9. Carmen T. ………………….

Elena M. 10. Andrei R.

Capitolul IV

BAZELE PSIHOPEDAGOGICE ALE REZOLVĂRII

PROBLEMELOR

BAZELE PSIHOPEDAGOGICE ALE REZOLVĂRII

PROBLEMELOR

IV.1. Noțiunea de problemă și etapele rezolvării ei

În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară.Ea îmbină eforturile mentale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe baza stăpânirii unui repertoriu de cunoștințe matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul) precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Valoarea formativă a rezolvării problemelor sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formeze ipoteze și apoi să le verifice.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o mare importanță și atenție.

Această activitate este domeniul matematicii optim pentru dezvoltarea gândirii logice, principalul proces psihic datorită căruia omul poate realiza cunoașterea realității.

Valoarea ei nu constă în numărul de probleme rezolvate, cât în efortul mintal solicitat printr-un antrenament continuu și sistematic.

Cuvântul folosit de matematicieni și psihologi ,,pro – ballein ’’ are semnificația ,,ceea ce ți se aruncă în față ca obstacol’’ sau provocare. După ,,Dicționarul românesc’’ cuvântul are următoarele definiții:

Problemă – ,,obiect principal al preocupărilor cuiva, temă, materie’’;

Problemă – ,,sarcină, preocupare majoră care cere o soluționare majoră’’;

Problemă – ,,enunț care, conținând anumite date, ipoteze, necesită o

regulă, una sau mai multe soluții care se pot obține pe baza unor calcule

sau raționamente’’.

O problemă de gândire apare atunci când în calea omului se ivește un obstacol.Când situația se poate rezolva pe baza experienței de care dispune individul, a deprinderilor anterior formate, atunci gândirea nu mai este confruntată cu o problemă.

Referindu-se la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei rezolvare se obține prin procese de gândire și calcul.

,,Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relațiile cantitative și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscute, se cere determinarea acestor valori necunoscute’’.

De-a lungul vremii s-au făcut în psiho-pedagogie încercări de clasificare și încadrare a problemelor într-o anumită tipologie.Din unghiul educării creativității, W.Reitman clasifică problemele în cinci categorii:

1.Reproductive – necreative – probleme de aplicare a algoritmilor de lucru, de consolidare și înțelegere matematică, care necesită doar o gândire reproductivă, gândirea lor implicând folosirea strategiilor algoritmice.

Exemplu:

Andreea are 12 baloane roșii și 11 baloane verzi. Câte baloane are Andreea în total ?

Etalon de rezolvare

12+11=23 (baloane)

2.Demonstrativ – aplicativ – probleme ce includ aflarea a două numere când se cunoaște suma și diferența lor, probleme tip în general, probleme de mișcare, de aliaj.

În astfel de probleme rezolvarea finală este bine specificată, drumul spre rezolvare găsindu-se prin respectarea unor reguli de aplicare.:

Exemplu 

Suma a două numere este 435.Să se afle două numere știind că diferența lor este 19.

Etalon de rezolvare :

a+b=435

a-b=19

Problema respectivă se poate rezolva prin două moduri:

Primul mod prin aflare lui ,,b’’ scăzând din 435 pe 19, apoi împărțindu-le la 2 (numărul părților egale), iar al doilea mod, adăugând la 435 pe 19 și-l aflăm pe ,,a’’ împărțind suma obținută la numărul părților egale.

R: a=227 ; b=208

3. Euristic – creative – probleme ce presupun specificarea noțiunii soluțiilor și cerințelor pe care trbuie să le satisfacă:

Exemplu:

Aflați numerele a, b, c, care să satisfacă următoarele condiții:

sunt pare iar ,,a’’ și ,,b’’ mai mic decât 10;

b=2a ;

c :a=7 rest 3

Etalon de rezolvare:

a) a și b fiind pare, a,bE { 2,4,6,8}

b) b=2a a=2 b=4

a=4 b=6

a=6 b=12>10 => a # 6

c) c:a=7 rest 3 a =4 c=7a+3 c=7×4+3

c=31

4.Inventiv – creative – sunt problemele în care ipoteza este bine specificată, menționând elementele prin care se presupune atingerea stării finale oferite. Aici se încadrează problemele cu variabile, compuse de elevi.

5.Probleme de optimizare – sunt probleme rar întâlnite în ciclul primar.Acestea au un grad de dificultate sporit care solicită mai ales procesul de transfer al cunoștințelor.

Problemele se mai pot clasifica și după alte criterii.

A) După finalitate și după sfera de aplicabilitate:

I)Probleme teoretice – (probleme referitoare la numere, operații și proprietățile operațiilor etc.)

Calculați:

a x b x c x d știind că:

a= 2; a x b= 16; și c x d= 20

Etalon de rezolvare :

Din relatia : a x b = 16 => b = 16 : 2 => b = 8;

b : c = 2 => c = 8 : 2 => c = 4;

c x d = 20 => d = 20 : 4 => d = 5;

a x b x c x d =2 x 8 x 4 x 5 = 320

II)Probleme practice (probleme referitoare la mărimi)

Exemplu:

La un depozit s-au adus într-un transport 663 kilograme de mere și piersici. Știind că merele au fost de 2 ori mai multe decât piersici, aflați câte kilograme de fructe de fiecare fel s-au adus.

Etalon de rezolvare:

Mere

Piersici 663 kg

Ce cantitate de piersici s-a adus?

663(kg) :3= 221(kg)

2. Ce cantitate de mere s-a adus ?

221 x 2= 442(kg)

a) După conținut :

I)Probleme de geometrie

Exemplu :

Perimetrul unui dreptunghi este de 982 metri. Dacă lungimea este cu 223 metri mai mare decât lățimea, câți metri are fiecare latură ?

Etalon de rezolvare:

P=2 x L+ 2 x l

L=l+ 223(m)

Deci fiind două lungimi și două lățimi, diferența va fi și ea de două ori

223 x 2= 446(m)

Care ar fi perimetrul dacă laturile ar fi egale?

982 – 446= 536(m)

Care este lățimea?

536 : 4= 134(m)

Care este lungimea?

134 + 223= 357(m)

R : L=357 m ; l=134 m

II) Probleme tipice (de mișcare, aliaj)

Exemplu:

Un automobilist și un motociclist au pornit amândoi de la București la Constanța (260 km). La ce distanță de Constanța se află motociclistul în momentul când automobilistul a ajuns la Constanța, după 5 ore de drum, dacă viteza motociclistului a fost de două ori mai mică decât cea a automobilistului ?

Indicații de rezolvare:

1. Care este viteza automobilistul

260 :5=52(km/h)

2. Care este viteza motociclistului ?

52 :2=26(km/h)

3. Ce distanță parcurge motociclistul în 5 ore?

26×5=130(km/h)

4. Ce distanță mai are de parcurs până la Constanța ?

260-130 =130(km)

R:130 km

III) De tip algebric etc.

Exemplu :

Suma a trei numere este 800. Al doilea număr este cu 30 mai mare decât primul, iar al treilea cu 20 mai mare decât al doilea.

Să se afle cele trei numere.

Etalon de rezolvare :

S3=800 I=?

II=I+30 II=?

III=II+20 III=?

Se stabilește să se ia ca necunoscută primul număr (despre primul număr nu se cunoaște nimic, în raport cu primul număr se pot stabili ușor celelalte două numere) deci : I=a, II=a+30,III=(a+30)+20.

a+a+30+a+30+20=800

3a+80=800

3a=800-80

3a=720

a=720:3=240 (I)

240+30=270 (II)

270+20=290 (III)

R: I=240 ; II=270 ; III=290

Această problemă se poate rezolva mult mai ușor prin metoda figurativă:

I.

II. +30 S=800

III. +30 +20

30+30+20=80

800-80=720

720:3=240 (I)

240+30=270 (II)

270+20=290 (III)

C)După numărul operațiilor

1) Probleme simple:

Ana are două baloane.Andreea are trei baloane.Câte baloane au copiii?

2) Probleme compuse:

Mihaela a primit de la mama sa 3 timbre, iar de la tata 5 timbre. Ea îi dă fratelui său 2 timbre. Câte timbre i-au mai rămas ?

Se exprimă relația:

3+5-2=6(timbre)

R: 6 timbre

D) După gradul de generalitate al metodei folosite :

1) Probleme generale care se rezolvă folosind analitică și sintetică :

Exemplu :

La un magazin s-au adus 121 de cutii cu câte 3 păpuși în fiecare cutie. De asemenea, s-au adus și 213 cutii cu câte 2 mașinuțe în fiecare cutie.

Câte jucării s-au adus la magazin ?

În judecarea pe cale analitică se pornește de la întrebarea problemei.Câte jucării s-au adus la magazin ?

În judecarea problemei pe cale sintetică se pornește de la aflarea numărului de păpuși cunoscând că în fiecare cutie sunt câte 3 păpuși, apoi aflarea numărului de mașinuțe, cunoscând că în fiecare cutie sunt câte 2 mașinuțe, ajungându-se la ultima întrebare ce coincide cu întrebarea problemei.

2) Probleme tipice rezolvabile printr-o metodă specifică: grafică, a falsei ipoteze, a comparației, a reducerii la unitate.

E) O categorie aparte, cu multiple valențe formative o constituie problemele rebusistice, de perspicacitate, de ingeniozitate – probleme nonstandard.

După rolul lor :

I) Cu rol informativ:

1) Utile în practică;

2) De cultură generală.

II) Cu rol formativ:

De exersare a gândirii ;

2)De educare a creativității, a manifestării pentru problematic.

Exemplu :

Înlocuiți literele cu cifre de la 1 – 9 și controlați dacă ați calculat corect:

AB6+ 916

CCB 661

BBA 119

1CAC 1696

R : A=9 ; B=1 ; C=6

Aceasta nu înseamnă o clasificare rigidă.

Paralel cu însușirea algoritmilor, un loc important trebuie să ocupe formarea unor procese de natură nealgoritmică. Elevii trebuie să fie capabili să rezolve și probleme pentru care nu există algoritm.

Fiecare problemă pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența.

Uneori sunt puși în situații noi, pentru care nu găsesc soluții în experiența dobândită anterior sau între mijloacele deja învățate.

Când situația nu poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor formate, elevul nu mai este confruntat cu o problemă nouă. În cazul situațiilor- problemă este nevoie de explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicației ascunse, a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției.

Pentru ca elevii să dobândească abilitatea de a rezolva o problemă nouă, necunoscută, este necesar ca ei să dispună de o serie de competențe în domeniile: informativ, instrumental, formativ. O condiție de bază a unei activități mentale cu adevărat productive este existența unei informații bogate și foarte clar organizate. Activitatea mintală nu se desfășoară în gol. Cu cât aceste informații (cunoștințe) sunt mai largi, mai profunde, cu atât sunt mai mari șansele ca ipotezele care se nasc în minte să ducă la soluții.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de procedee, de moduri de acțiune, deprinderi de muncă intelectuală independentă. Astfel sunt unele deprinderi cu caracter general ca: orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legătură a datelor, posibilitatea de a izola ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, atragerea acelor cunoștințe care ar putea servi la rezolvarea problemei. Sunt necesare de asemenea unele modalități executorii care se referă la detaliile acțiunilor (operații aritmetice), care se automatizează, se fixează și devin deprinderi. Aceste deprinderi se formează prin exercițiile care se efectuează în timpul rezolvării problemelor. Cu toată varietatea lor, problemele nu sunt ,,independente’’, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie. Rezolvarea oricărei probleme se face pe baza principiului general al categoriei din care face parte, prin aplicarea acestui principiu la cazul particular dat. Actul recunoașterii și încadrării problemei în categoria respectivă este totuși un act creativ. ,,A ști’’ să rezolvi o problemă presupune a avea capacitățile necesare pentru rezolvarea oricărei prbleme întâlnită pentru prima oară.

Aceste capacități se referă la înțelegerea datelor și a ordinii lor, înțelegerea condițiilor problemei, posibilitățile de elaborare a șirului de judecăți pentru a construi raționamentul de rezolvare a problemei. În situația rezolvării unei probleme noi, activitatea poate fi în întregime un act de creație.

Prin rezolvarea unor probleme similare se ajunge la elaborarea algoritmului de rezolvare a problemei care, cu cât este mai labil, mai flexibil, cu atât dă posibilitatea mișcării mai rapide a gândirii. Aceasta se realizează prin varietatea problemelor aparținând aceleiași categorii.

În cazul problemelor tipice, această schemă mintală se fixează ca algoritm de calcul care se învață și se aplică la fel ca regulile de calcul. Pe măsură ce elevul își însușește modalitățile de rezolvare a problemelor, treptat enunțurile care constituiau pentru el o problemă, devin simple exerciții.

În activitatea de rezolvare a problemelor există o fază de tensiune, neliniște, căutare, o fază dramatică; se fac o serie de încercări, atenția concentrându-se nu asupra fiecărei verigi în parte ci asupra totului, asupra felului cum se vor lega aceste verigi. Aceste tatonări reprezintă activitatea de descoperire a gândirii, care construiește soluția etapă cu etapă pe un drum liniar. În cadrul acestor căutări, o importanță deosebită revine intuiției logice, matematice.

După ce a descifrat drumul către soluția problemei, urmează partea de executare a construcției, care constă în aplicarea unor metode și tehnici cunoscute, o activitate de rutină, fără problematic.Gradul de solicitare al efortului mintal al elevului, de solicitare a gândirii logice depinde de structura și complexitatea problemei, de ,,golul’’ care se creează între experiența de care dispune el și ,,noul’’ ce i se cere a fi descoperit.

Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul ,,film’’ al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme; elevii trebuie să aibă formate capacitățile de a analiza și a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.

De asemenea, în activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape, în fiecare etapă având loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei.

Aceste etape sunt:

Cunoașterea enunțului problemei;

Înțelegerea enunțului problemei;

Analiza problemei și întocmirea planului logic ;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din planul logic;

Activități suplimentare:

verificarea rezultatului;

scrierea sub formă de exercițiu;

găsirea altor căi și metode de rezolvare;

generalizare;

compunera de probleme după o schemă asemănătoare.

După rezolvarea unei probleme, se recomandă pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte, fixarea algoritmilor de rezolvare, scrierea datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau, după caz, în fragmente de exercițiu.

Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau cu date schimbate dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme.

,,Învățătorul adevărat are rolul de călăuză a activității celui care învață, în așa fel încât acesta să resimtă farmecul, atracția specifică acestei activități’’(Eugen Rusu- Atracția pentru problematic în matematică).

IV.2. Metode de rezolvare a problemelor

Varietatea mare de probleme face imposibilă găsirea unei singure căi de rezolvare, a unei singure metode. De aceea și metodele de rezolvare a problemelor sunt multiple și variate.

În ,,Metodica predării matematicii la clasele I-IV’’, 1988, coordonată de Ion Neacșu, întâlnim următoarea clasificare a metodelor de rezolvare a problemelor de matematică.

I)Probleme cu operații relativ evidente. În funcție de date și de relațiile dintre ele și necunoscută acestea sunt:

Probleme simple.

B) Probleme compuse.

II)Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă.

În această categorie sunt incluse și problemele de aflare a două numere cunoscând suma și diferența lor, precum și cele de aflare a două numere cunoscând suma sau diferența și raportul lor.

III)Proleme de aflare a datelor (metoda reducerii la același termen de comparație)

IV)Probleme gen rest din rest (metoda mersului invers)

V)Proleme de presupunere(metoda falsei ipoteze)

VI)Probleme de amestec și aliaj, cu două variante

VII)Probleme de mișcare (bazate pe relația s=vXt) cu două variate:

În același sens ;

În sesuri contrare.

VIII)Probleme cu mărimi proporționale, cu trei variante:

Împărțirea unui număr în părți direct proporționale;

Împărțirea unui număr în părți invers proporționale;

Împărțirea unui număr în părți care luate perechi formează rapoarte date.

IX)Probleme care depinzând de alcătuirea întrebării și de date, pot fi încadrate la categoriile specificate mai sus, dar cu conținut specific:

Probleme cu conținut geometric;

Probleme cu conținut de fizică;

Probleme asupra acțiunii și muncii în comun.

X)probleme nonstandard(recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme-joc).

IV.2.1. Rezolvarea problemelor simple

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le propune copilul zilnic în școală, în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă încă din clasa I utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări.

În această perioadă de început, activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe cale intuitivă.

De aceea, primele probleme sunt necesar legate de introducerea lor sub formă de joc și au un caracter de problemă – acțiune, cărora li se asociază un bogat și variat material didactic ilustrativ.

Rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret ca acțiune de viață (au mai venit …băieți, s-au spart…baloane, au plecat…mașini) ilustrate prin imagini sau chiar prin acțiuni executate de copii (elevul vine la magazin, cumpără,plătește). Această fază de activitate de rezolvare a probleme se află aproape de cea de calcul. Dificultatea principală pe care o întâmpină copiii constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice. În enunțul unei probleme, formulat de învățător sau de copil, nu se spune ,,4 băieți+3 băieți’’, ci se spune că erau 4 băieți și au mai venit 3 băieți, nu se spune ,,3 baloane-2 baloane’’, ci se spune că au fost 3 baloane și s-au spart 2 baloane.

Pe baza experienței pe care o au elevii din etapa preșcolară sau chiar din primele lecții de matematică în efectuarea operațiilor cu mulțimi, ei reușesc, în general, cu ușurință ,,să traducă’’ în operații matematice acțiunile cerute în enunțul unei probleme.

În rezolvarea problemelor simple momentul cel mai important îl constituie deci stabilirea operației corespunzătoare și justificarea alegerii acestei operații.

Întrucât activitatea de rezolvare a problemelor simple se introduce chiar în clasa I, stabilirea operației corespunzătoare constituie un proces de gândire dificil, în desfășurarea căruia elevii trebuie inițiați și conduși cu mult tact și deosebită răbdare.

Dacă la început rezolvarea primelor probleme se realizează la un nivel concret (cu ajutorul bilelor, bețișoarelor), treptat se ajunge la calculul mintal. Elevii sunt conduși în felul acesta să facă trecerea de la gândirea concretă la cea abstractă. Este necesar ca în primul rând învățătorul, și apoi elevul să cunoască toate cazurile în care procesele de gândire duc la operația de adunare, toate cazurile care duc la operația de scădere pentru stabilirea operațiilor corespunzătoare fiecărei operații simple, astfel încât alegerea unei anumite operații să fie justificată în mod rațional.

Voi prezenta în continuare genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operație:

I.Probleme simple bazate pe adunare pot fi:

a)De aflare a sumei a doi termeni:

Exemplu:

Iepurică are 4 morcovi. Rilă-Iepurilă are 2 morcovi. Câți morcovi au împreună ?

4+2=6 (morcovi)

b)De aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât numărul dat:

Exemplu:

Aflați numărul cu 2 mai mare decât 5.

c)Probleme de genul ,,cu atât mai mult’’.

Exemplu:

Andreea are 7 ani. Ana Maria are cu 3 ani mai mult. Cîți ani are Ana Maria?

Rezolvare :

3+7=10 (ani)

II) Probleme simple bazate pe scăderi pot fi:

De aflare a restului:

Exemplu:

Pe o creangă se aflau 20 de frunze, dar 10 dintre ele, îngălbenindu-se, au căzut. Câte frunze mai sunt pe creangă?

20-10=10 (frunze)

b)De aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai mic decât un număr dat:

Exemplu:

Aflați numărul cu 6 mai mic decât 9.

9-6=3

c)De aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei:

Exemplu:

Irinuca are în mână 12 baloane.Știind că două sunt albe, iar restul roșii, câte baloane roșii are Irinuca?

12-2=10 (baloane roșii)

d)Probleme de genul ,,cu atât mai puțin’’.

Exemplu:

Ana a citit 9 pagini dintr-o carte. Andreea a citit cu trei pagini mai puțin. Câte pagini a citit Andreea ?

9-3=6 (pagini)

III)Probleme simple bazate pe înmulțire sunt în general :

De repetare a unui număr de n ori a unui număr dat:

Exemplu:

Într-un coș erau 9 pere. În alt coș erau de două ori mai multe. Câte pere erau în al doilea coș?

9×2=18 (pere)

b)De aflare a produsului

Exemplu:

Aflați produsul numerelor 668 și9.

668×9=6012

c)De aflarea unui termen care să fie de un număr de ori mai mare decât numărul dat

Exemplu:

Aflați numărul de 2 ori mai mare decât 120.

120×2=240

Rezolvarea unei probleme simple trece prin mai multe etape:

enunțarea problemei;

însușirea enunțului;

separarea întrebării de conținut;

alegerea operației corespunzătoare;

formularea răspunsului.

Problemele simple sunt ușor înțelese și rezolvate de elevi. Ei întâmpină însă și dificultăți, cele mai frecvente fiind: neglijarea întrebării, includerea răspunsului în enunț, neglijarea unei date, confundarea operației ce trebuie efectuate.

Pentru rezolvarea acestor sarcini învățătorul are posibilități variate:

propunerea spre rezolvare a unui număr suficient de probleme;

analiza temeinică a acestora;

propunerea enunțurilor variate;

prezentarea unor probleme cu date incomplete pe care elevii trebuie să le completeze și apoi să le rezolve;

prezentarea unor noi probleme la care sunt posibile mai multe întrebări.

Exemple:

Într-un coș sunt 10 prune și 7 caise.

Câte fructe sunt în coș?

Cu cât este mai mare numărul prunelor?

Cu cât este mai mic numărul caiselor?

prezentarea unor problemă schemă;

completarea unui text dat cu valori numerice conform cu realitatea ;

probleme de perspicacitate;

alcătuirea de probleme în mod liber;

alcătuirea de probleme cu respectarea anumitor cerințe: exerciții, scheme;

alcătuirea de către elevi a unor probleme în mod liber, fără a fi limitați de existența datelor, de relația dintre ele sau de rezolvarea lor printr-o anumită operație.

Prin toate aceste procedee nu se urmărește învățarea problemelor, ci formarea capacităților de a domina varietatea lor, care este practic infini

IV.2.2. Rezolvarea problemelor compuse

Rezolvarea problemelor compuse aduce elevilor o dificultate în plus, aceea de a le descompune în cel puțin două probleme simple.

Dificultatea într-o problemă cu două sau mai multe operații constă în efortul de a păstra legătura dintre verigi. De aceea este necesară o perioadă de tranziție de la rezolvarea problemelor simple la cele compuse.

În prima perioadă se pornește de la rezolvarea unor probleme compuse alcătuite din succesiunea a două probleme simple, în care enunțul indică și calea de rezolvare – rezolvarea succesivă în care datele se iau în ordinea din enunț.

Pentru realizarea trecerii de la rezolvarea problemelor simple (cu o operație) la cele compuse (cu două sau mai multe operații) se vor rezolva succesiv două probleme simple, astfel încât rezultatul primei probleme să constituie un element al celei de-a doua.

Exemplu:

I. Andreea are 6 portocale. Ana îi mai dă 3 portocale. Câte portocale are Andreea?

II. Andreea mănâncă 2 portocale. Câte portocale i-au mai rămas?

După rezolvarea celor două probleme vom compune enunțul unei singure probleme:

Andreea are 6 portocale. Ana îi mai dă 3 portocale. După ce mănâncă 2 portocale, cu câte portocale mai rămâne Andreea?

Se exprimă relația 6+3-2=7 (portocale)

Se vor introduce apoi probleme cu o dificultate în plus și anume, ordinea din rezolvare nu coincide cu ordinea din enunț, elevii fiind solicitați să aleagă perechile de date în care să stabilească relații matematice certe.

Exemplu:

De la o librărie s-au cumpărat pentru o școală 32 de caiete dictando, caiete de desen de 4 ori mai puține decât numărul 16, iar caiete cu foaie velină de 3 ori mai multe decât numărul caietelor de desen.

Câte caiete s-au cumpărat de la librărie pentru acea școală?

16:4=4 (caiete de desen s-au cumpărat)

3×4=12 (caiete cu foaie velină)

32+4+12=48 (caiete s-au cumpărat în total)

Formula numerică : 32+(16:4)+(16:4×3)=48

Formula literară : a+(b:c)+(b:cxd)

Stabilirea formulei numerice și apoi elaborarea formulei literare după planul de rezolvare obligă elevul să gândească asupra întregului raționament, având imaginea tuturor relațiilor posibile din problemă. Prin planul de rezolvare, elevii sesizează mersul raționamentului și învață să elaboreze tactica și strategia rezolvării.

Rezolvarea problemelor compuse solicită într-o măsură mai mare gândirea logică deoarece este necesară punerea în corespondență a problemelor simple, sesizarea legăturilor organice dintre ele, a dependenței lor reciproce astfel încât să se poată stabili succesiunea acestor probleme în vederea găsirii rezultatului final.

Pentru a asigura desfășurarea procesului de gândire prin care se caracterizează examinarea unei probleme compuse, este necesar să se clarifice în prealabil textul problemei, să se ajungă la înțelegerea de către elevi a împrejurărilor care au generat acea problemă, să se arate pas cu pas care sunt judecățile care intervin în analiza problemei, cum se înșiruiesc ele, cum depind una de alta și cum se condiționează reciproc, să se recompună apoi diferitele părți ale problemei într-un tot unitar, să se facă apoi abstractizări și generalizări.

Anexe

Anexa 1.

PROIECT DIDACTIC

Data:

Obiectul: Matematică ;

Clasa: a II-a ;

Subiectul: Exerciții și probleme ;

Tipul lecției : Consolidare

Scopul: – consolidarea înmulțirii și împărțirii în concentrul 0-

100 bază operată în toate în toate concentrele numerice ;

– formarea deprinderilor de calcul oral și în scris ;

– dezvoltarea creativității gândirii prin rezolvări și compuneri de

probleme, a atenției și limbajului matematic ;

– formarea deprinderilor de muncă independentă.

Obiective operaționale:

– să precizeze și să-și consolideze noțiunile matmatice însușite ;

– să aplice în calcul, înțelegând semnificațiile lor, relațiile matematice ,,cu atât mai mare decât ’’, ,,de atâtea ori mai mare decât’’, ,,de atâtea ori mai mic decât ’’;

– să se efectueze corect exerciții de înmulțire și împărțire oral și în scris și în structuri de joc matematice ;

– să completeze căsuțele goale cu semne corespunzătoare, astfel ca relația să fie adevărată ;

– să aleagă corect numerele care sunt rezultate ale înmulțirii cu 7;

–să efectueze corect exercițiile și problemele din fișa de evaluare.

Metode și procedee : exercițiul, conversația, demonstrația, problematizarea, învățarea prin descoperire, jocul didactic, munca independentă.

Materialul didactic : Planșa cu jocuri didactice, fișe de evaluare.

Anexa 2.

PROIECT DIDACTIC

Data:

Clasa: a III-a

Obiectul: Matematică

Subiectul:Exerciții și probleme (pentru consolidarea tuturor operațiilor

studiate)

Scopul: Consolidarea priceperilor și deprinderilor de a efectua mai multe

operații aritmetice, consolidarea deprinderii de a aplica cunoștințele

dobândite în rezolvarea problemelor.

Educarea atenției, dezvoltarea gândirii, a dragostei pentru obiectul

Matematică

Obiective operaționale cognitive

La sfârșitul lecției elevii vor ști:

– să utilizeze cele patru operații matematice în exerciții;

– să efectueze exerciții combinate (operații de ordinul I și de ordinul II);

– să calculeze corect și rapid;

– să compună exerciții și probleme simple după schemele prezentate;

– să găsească factorul necunoscut dintr-o relație dată.

Obiective operaționale afective:

să reacționeze pozitiv la aprecieri și să manifeste dorința de a lucra

corect și rapid;

dezvoltarea dragostei pentru obiectul matematică.

Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea, jocul

didactic, munca independentă.

Material didactic: planșa pentru compunerea unor exerciții și probleme, fișă pentru muncă independentă.

DESFĂȘURAREA ACTIVITĂȚII

Momentul organizatoric:

Elevii se pregătesc pentru lecția de matematică cu cele necesare.

Verificarea temei:

Elevii citesc exercițiile și problemele care au fost rezolvate în tema pentru acasă, fac aprecieri și observații. Pentru verificarea din punct de vedere estetic al temei se trece printre elevi. În acest timp clasa primește spre rezolvare în mod independent:

S D P C

280 406 265 824

309 121 3 4

Să se calculeze: suma, diferența, produsul, câtul.

Verific tema din punct de vedere estetic numai la atâția copii la câți se poate până elevii rezolvă exercițiile date.

Evaluare predictivă:

Restructurarea cunoștințelor se va face concomitent cu calculul mintal: 8 x 4= ?, 3 x 9= ?, etc.

Aflați suma numerelor: 15 și 18, 29 și 6 etc.

Mărește numărul 8 de 9 ori, rezultatul înmulțește-l cu 1 (de ce ai obținut acest rezultat?)

La suma numerelor 14 și 16 adaugă câtul numerelor 9 și 3.

Calculează: 4 + 6 : 2 = ? (de ce ai obținut acest rezultat?)

Comunicarea temei și obiectivele operaționale:

Se comunică elevilor tema lecției și obiectivele operaționale (precizate în partea de început a planului). Se scrie titlul în caiete: ,,Exerciții și probleme’’, și se trece la rezolvarea următoarelor exerciții scrise la tablă:

6 + 3 x 5 + 4 : 2=

(45 – 30) x (56 – 51)=

(156 : 4) + (246 x 3)=

966 – (142 x 3 – 244 x 3)=

809 – 432 : 3= 154 + 121 x 3

În timp ce se șterge tabla se pot prezenta elevilor planșele cu schema după care se rezolvă exercițiile compuse, sau să alcătuiască probleme.

219 x 4 115 x 6

În continuare se rezolvă exercițiul problemă de forma:

Din produsul numerelor 289 și 2 scădeți diferența numerelor 200 și 57. Rezultatul obținut măriți-l cu 89.

Se trece la rezolvarea problemei:

Mama a cumpărat 4 m de pânză pentru prosoape cu 76 lei metrul. Altă dată a reușit să cumpere 2 m dar cu 208 lei metrul. Cu banii dați pe pânză ar fi putut cumpăra 2 kg de făină. Câți lei costă 1 kg de făină?

Plan de rezolvare

Câți lei costă 4 m de pânză?

4 x 76= 304(lei)

Câți lei costă 2 m de pânză?

2 x 208= 416 (lei)

Câți lei costă toată pânza?

304 + 416= 720 (lei)

Cât costă un kg de făină?

702 : 2= 360 (lei)

Răspuns:360 lei

Punerea problemei în expresie matematică duce la descoperirea unui nou tip de ipoteze:

(4 x 76) + (2 x 208) : 2 sau (4 x 76 + 2 x 208) : 2

În ultimele șapte minute elevii vor lucra independent.

Fișă de muncă independentă:

Aflați numărul ,,a’’ din:

a x 4= 232 963 : a= 9

Calculați un număr care să fie față de numărul 105:

de 7 ori mai mare;

cu 7 mai mare;

de 7 ori mai mic;

cu 7 mai mic.

De la o seră se trimit 138 fire de ardei cu 9 lei firul, 223 fire de roșii cu 10 lei firul. Ce sumă se va încasa pentru răsaduri?

Retenția și transferul:

Se fac aprecieri asupra modului cum s-a desfășurat activitatea, se vor nota elevii activi la oră și se va da tema pentru acasă din culegere.

Anexa 3

Proiect didactic

Propunător :

Data :

Ora :

Clasa : aIV-a

Obiectul : Matematică

Tema : Unități de măsură pentru lungime

Tipul de activitate : Consolidare

Scopul :

– consolidarea și sistematizarea cunoștințelor legate de unitățile de măsură

– cunoașterea și utilizarea conceptelor unitățiilor de masură pentru lungime;

– dezvoltarea capacității de exploatare, investigare și rezolvare de probleme și

rezolvare de probleme;

– recunoașterea și utilizarea denumirilor și prescurtărilor tuturor unitățiilor de

măsură și transformarea acestora;

– dezvoltarea capacității de a comunica, dezvoltând limbajul matematic.

Obiective de referintă:

– să recunoască unitățiile de măsură standard pentru lungime;

– să transforme corect unitățiile de măsură în alte unități de măsură;

– să efectueze măsurători în clasă;

să opereze corect cu unități de măsură diferite pentru a obține rezultatul

exprimat într-o anumită unitate de măsură;

să analizeze și să stabilească raportul multiplilor și submultiplilor, față de