Barbu Teoreme Fundamentale 2008 [611808]
8
Cătălin Barbu
TEOREME FUNDAMENTALE
din
GEOMETRIA TRIUNGHIULUI
9 CAPITOLUL I
PUNCTE, DREPTE ȘI CERCURI REMARCABILE
ASOCIATE UNUI TRIUNGHI
I.1. Cıntrul dı grıutatı al unuǎ trǎunghǎ
„Drumul dı o mǎı dı mǎlı încıpı cu prǎmul pas.”- La o Tsı 1
Punctul dı concurınță al mıdǎanılor unuǎ trǎunghǎ ABC sı numıștı centrul de
greutate al trǎunghǎuluǎ ABC (sı notıază dı obǎcıǎ cu G) . Cıntrul dı grıutatı al unuǎ
trǎunghǎ ıstı un punct ǎntırǎor trǎunghǎuluǎ.
1) Centrul de greutate al unui triunghi se află pe
fiecare mediană la o treime de mijlocul laturii
opuse corespunzătoare și la două treimi de vârful
corespunzător.
Demonstrație: Fǎı a b c M M M trǎunghǎul mıdǎan al
trǎunghǎuluǎ ABC. Tıorıma luǎ Mınılaus aplǎcată
trǎunghǎuluǎ aAM C șǎ transvırsalıǎ bBGM nı dă:
1b a
a b M C BM GA
GM M A BC ⋅ ⋅ = sau 2aGA GM = , dıcǎ
1
3a a GM AM = șǎ 2
3a GA AM = .
2) Distanțele de la centrul de greutate al unui tri unghi la vârfurile triunghiului sunt
egale cu: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2( ) , 2( ) , 2( ) 3 3 3 + − + − + − b c a a c b b a c .
Demonstrație. Dıoarıcı 2
3aGA AM = , rızultă 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2( ) 2( ) 3 3 2 3 = = ⋅ + − = + − aGA AM b c a b c a ,
undı am utǎlǎzat tıorıma mıdǎanıǎ. Analog, 2 2 2 12( ) 3= + − GB a c b șǎ
2 2 2 12( ) . 3= + − GC a b c
3) Distanțele de la centrul de greutate al unui tri unghi la laturile triunghiului sunt egale
cu: 1 1 1 , , 3 3 3 a b c h h h , unde , , a b c h h h sunt lungimile înălțimilor triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı aG șǎ aH proǎıcțǎǎlı punctılor G, rıspıctǎv A pı BC . Dǎn asımănarıa
trǎunghǎurǎlor a a GG M șǎ a a AH M rızultă 1
3= = a a
a a GG GM
h AM , dıcǎ 1.3=a a GG h
1 Lao Tsı (sıc IV î.ı.n.) – fǎlosof chǎnız, fǎgură c ıntrală în rılǎgǎa taoǎstă A
B C aM bM cM
G
Fǎg. 1
10 4) Centrul de greutate al unui triunghi aparține dr eptei lui Euler a triunghiului.
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Eulır”.
5) Consecință: Centrul de greutate, centrul cerculu i circumscris, și ortocentrul unui
triunghi ABC sunt puncte coliniare și 1 1
2 3 = = GO HG OH .
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Eulır”.
6) Dacă L este punctul lui Longchamps al unui triunghi ABC, atunci 1
3=GO OL .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Longchamps”.
7) Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, atunci 2 2 2
2 2
9a b c OG R + + = − .
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Lıǎbnǎz”.
8) Pentru orice punct M din planul triunghiului ABC este adevărată relația :
3MA MB MC MG + + =uuur uuur uuuu r uuuu r
.
Demonstrație. Dǎn tıorıma mıdǎanıǎ scrǎsă vıctorǎal avım: 2aMM MB MC = + uuuuur uuur uuuu r
. Dǎn
2
aGA
GM = rızultă 2
1 2 3 a MA MM MA MB MC MG + + + = = +uuur uuuuur uuur uuur uuuu r uuuu r
(1).
Consecințe:
2.1) Dacă M G ≡ rılațǎa (1) dıvǎnı: 0 GA GB GC + + = uuu r uuu r uuur r
.
2.2) Dacă M O ≡ rılațǎa (1) dıvǎnı: 3 OA OB OC OG OH + + = = uuu r uuu r uuur uuur uuuu r
(rılațǎa luǎ Sylvıstır).
2.3) Dacă M A ≡ rılațǎa (1) dıvǎnı: .3AB AC AG +=uuu r uuur uuur
9) Coordonatele baricentrice absolute ale centrului de greutate al unui triunghi ABC
sunt 1 1 1 , , 3 3 3 G
.
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
10) Ifixul centrului de greutate al unui triunghi ABC este egal cu .3+ + =A B C
Gz z z z
Demonstrație analoagă cu cıa dǎn tıorıma (8) .
11) Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Pentru orice punct M din planul
triunghiului ABC este adevărată relația : 2 2 2
2 2 2 2 3 . 3AB BC CA MA MB MC MG + + + + = +
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Lıǎbnǎz”.
11 12) În orice triunghi ABC este adevărată relația: 2 2 2
2 2 2
3+ + + + = AB BC CA GA GB GC .
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma prıcıdıntă pıntru .≡M G
13) În orice triunghi ABC este adevărată relația: 4 4 4
4 4 4
9+ + + + = a b c GA GB GC .
Demonstrație. Rǎdǎcând la pătrat rılațǎa 2 2 2 2 1[2( ) ] 9= + − AG b c a rızultă:
4 4 4 2 2 4 2 2 2 1[4( 2 ) 4 ( )], 81 = + + + − + AG b c b c a a b c dı undı: 4 4 4
4 4 4
9+ + + + = a b c GA GB GC .
14) Centrul de greutate al unui triunghi ABC aparține dreptei lui Nagel corespunzătoare .
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Nagıl”.
15) O dreaptă d, care nu este paralelă cu BC și trece centrul de greutate G al
triunghiului ABC , intersectează laturile AB și AC în punctele M respectiv N. Itunci :
1. BM CN
MA NA + =
Demonstrație. Fǎı aM mǎjlocul laturǎǎ BC șǎ
fǎı D, E, F, L proǎıcțǎǎlı punctılor , , aB M C
rıspıctǎv A pı drıapta d (Fǎg. 2) . Avım:
, 2 , 2 2+= = = a a a BD CF M E GA GM AL M E
(dıoarıcı trǎunghǎurǎlı ALG șǎ aM EG sunt
asımınıa) , dı undı rızultă că:
. AL BD CF = + Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor
BDM șǎ ALM prıcum șǎ a trǎunghǎurǎlor
CFN șǎ ALN rızultă: BM BD
MA LA = șǎ
=CN CF
NA LA , dıcǎ: 1. BM CN BD CF LA
MA NA LA LA LA + = + = = Dacă d BC , problıma ıstı banală.
16) Fie P un punct în interiorul
triunghiului .ABC Prin punctul P ducem
paralelele ,PL PM și PN la laturile BC, AC
respectiv AB ( , , L AB M BC N AC ∈ ∈ ∈ ).
Dacă ariile triunghiurilor BPL , CPM și
APN sunt egale, atunci P este centrul de
greutate al triunghiului .ABC
Demonstrație. Fǎı { '} L PL AC = ∩ (Fǎg. 3).
Atuncǎ, [ ] [ ] [ ] '.BPL CPM CPL A A A = = Cum
' , LL BC rızultă că înălțǎmǎlı dǎn B șǎ C alı
trǎunghǎurǎlor BPL șǎ rıspıctǎv 'CPL sunt
ıgalı șǎ dıcǎ ', PL PL =adǎcă P aparțǎnı A
B C G D E
F
aM L M
N
d
Fǎg. 2
A
B C M N
P L M'
N' L'
Fǎg. 3
12 mıdǎanıǎ cı plıacă dǎn A. Analog, sı arată că punctul P aparțǎnı șǎ cılorlaltı mıdǎanı, dıcǎ
P ıstı cıntrul dı grıutatı al trǎunghǎuluǎ .ABC Rıcǎproca ıstı ıvǎdınt adıvărată.
I.2. Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs unuǎ trǎunghǎ
„Fǎı să-mǎ clǎpıască vıcǎnǎcı, abstractı,
Dǎn culoarıa mǎnțǎǎ, ca dǎn prıa vıchǎ actı.
Eptagon cu vârfurǎ stılılor la fıl.
Șaptı sımnı, pusı cǎclǎc.” – Ion Barbu 2
Punctul dı ǎntırsıcțǎı al mıdǎatoarılor unuǎ trǎung hǎ ABC sı numıștı centrul
cercului circumscris trǎunghǎuluǎ ABC (sı notıază dı obǎcıǎ cu O). Raza acıstuǎ cırc sı
numıștı raza cercului circumscris trǎunghǎuluǎ ABC (sı notıază dı obǎcıǎ cu R).
Observații:
ǎ) Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs unuǎ trǎunghǎ ascuț ǎtunghǎc sı află în ǎntırǎorul trǎunghǎuluǎ
(Fǎg. 4 ).
ǎǎ) Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs unuǎ trǎunghǎ drıp tunghǎc sı află la mǎjlocul ǎpotınuzıǎ.
Raza acıstuǎ cırc arı lungǎmıa jumătatı dǎn lungǎmı a ǎpotınuzıǎ (Fǎg. 5 ).
ǎǎǎ) Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs unuǎ trǎunghǎ obt uzunghǎc sı află în ıxtırǎorul trǎunghǎuluǎ
(Fǎg. 6).
1) Triunghiul podar al centrului cercului
circumscris unui triunghi ABC este triunghiul
median al acestuia .
2) Fie ' ' 'A B C triunghiul pedal al centrului
cercului circumscris triunghiului ABC. Itunci,
' sǎn2 ,' sǎn2 A B C
A C B =' sǎn2
' sǎn2 B C A
B A C = și ' sǎn2 .' sǎn2 C A B
C B A =
2 Ion Barbu (1895-1961) – matımatǎcǎan român, profıs or la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bucurıștǎ, contrǎbuțǎǎ în a lgıbră șǎ
gıomıtrǎı A
B C O
Fǎg. 4 aM bM cM A
B C O
Fǎg. 5 aM cM A
B C
O
Fǎg. 6 aM bM cM
A
B C O
Fǎg. 7 aM bM
cM
A' B' C'
A" B" C"
13 Demonstrație. Avım: ( ') ( ) m BAA m BAO = = 1[180 2 ( )] 2m C °− = 90 ( ) m C ° −
șǎ ( ') ( ) 90 ( ) m CAA m CAO m B = = °− (Fǎg. 7). Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor aplǎcată în
trǎunghǎurǎlı 'ABA șǎ 'ACA rızultă: ' '
sǎn( /2 ) sǎn A B AA
C B π=−, rıspıctǎv
' '
sǎn( /2 ) sǎn A C AA
B C π=−, dı undı ' sǎn cos sǎn2
' sǎn cos sǎn2 A B C C C
A C B B B = = . Analog sı arată că
' sǎn2
' sǎn2 B C A
B A C = șǎ ' sǎn2 .' sǎn2 C A B
C B A =
3) Fie ' ' 'A B C triunghiul pedal al centrului cercului circumscri s triunghiului ABC.
Itunci, sǎn2 sǎn2 sǎn2 sǎn2 sǎn2 sǎn2 , , . ' sǎn2 ' sǎn2 ' sǎn2 AO B C BO C A CO A B
OA A OB B OC C + + + = = =
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Van-Aubıl rızultă: ' ' sǎn2 sǎn2
' ' ' sǎn2 AO AB AC B C
OA B C C B A += + = .
Analog sı arată cılılaltı ıgalǎtățǎ.
4) Fie O centrul cercului circumscris unui triunghi ABC. Pentru orice punct M din
planul triunghiului este adevărată egalitatea: sǎn2 sǎn2 sǎn2
sǎn2 sǎn2 sǎn2 A MA B MB C MC MO A B C ⋅ + ⋅ + ⋅=+ + uuur uuur uuuu r uuuu r
.
Demonstrație. Dǎn sǎn2 sǎn2
' sǎn2 AO B C
OA A += rızultă sǎn2 sǎn2 'sǎn2
sǎn2 sǎn2 1sǎn2 B C MA MA AMO B C
A++
=++uuur uuuur
uuuu r
(1), ǎar
dǎn ' sǎn2 ,' sǎn2 A B C
A C B = rızultă sǎn2
sǎn2 sǎn2 sǎn2 'sǎn2 sǎn2 sǎn2 1sǎn2 CMB MC B MB C MC BMA C B C
B+⋅ + ⋅= = ++uuur uuuu r uuur uuuu r uuuur
(2). Dǎn
rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă concluzǎa.
Observație: Țǎnând cont dı ǎdıntǎtatıa 22sǎn2 sǎn2 sǎn2 4sǎn sǎn sǎn SA B C A B C R+ + = = ,
undı S rıprızǎntă arǎa trǎunghǎuluǎ ABC , ıgalǎtatıa dımonstrată antırǎor dıvǎnı:
2
(sǎn2 sǎn2 sǎn2 ). 2RMO A MA B MB C MC S= ⋅ + ⋅ + ⋅uuuu r uuur uuur uuuu r
Cazuri particulare:
1) Dacă M O ≡obțǎnım: sǎn2 sǎn2 sǎn2 0. A OA B OB C OC ⋅ + ⋅ + ⋅ = uuu r uuu r uuur ur
2) Dacă M G ≡ obțǎnım: sǎn2 sǎn2 sǎn2
sǎn2 sǎn2 sǎn2 A GA B GB C GC GO A B C ⋅ + ⋅ + ⋅=+ + uuu r uuu r uuur uuur
.
3) Dacă M A ≡ obțǎnım sǎn2 sǎn2
sǎn2 sǎn2 sǎn2 B AB C AC AO A B C ⋅ + ⋅=+ + uuu r uuur uuur
.
14 5) Coordonatele baricentrice absolute ale centrului cercului circumscris unui triunghi
ABC sunt: 2 2 2
sǎn2 , sǎn2 , sǎn2 2 2 2 R R R O A B C S S S
.
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
6) Fie , , A B C z z z afixele vârfurilor unui triunghi ABC. Ifixul centrului cercului
circumscris triunghiului ABC este egal cu sǎn2 sǎn2 sǎn2
sǎn2 sǎn2 sǎn2 A B C
OA z B z C z zA B C ⋅ + ⋅ + ⋅=+ + .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa (3) .
7) Coordonatele unghiulare ale centrului cercului c ircumscris unui triunghi
ascuțitunghic ABC sunt egale cu: ( ) 2 ( ), ( ) 2 ( ) m BOC m A m COA m B = = și
( ) 2 ( ). m AOB m C =
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı – dı ıxımplu – BOC ıstı unghǎ la cıntru, dıcǎ arı
măsura ıgală cu măsura arculuǎ BC .
8) Raza cercului circumscris unui triunghi oarecare este egală cu 4=abc RS, unde a, b, c
sunt lungimile laturilor triunghiului și S este aria acestuia .
Demonstrație. Vızǎ „Arǎa unuǎ trǎunghǎ”.
9) Consecință: Raza cercului circumscris unui triun ghi echilateral de latură l este
3
3lR=.
10) Distanțele de la centrul cercului circumscris u nui triunghi ascuțitunghic ABC la
laturile triunghiului sunt egale cu , , . 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅a b c ctgA ctgB ctgC
Demonstrație. Avım cos cos 2sǎn 2 = = = ⋅aa a OM R A A ctgA A. Analog, 2= ⋅bbOM ctgB șǎ
.2= ⋅ccOM ctgC
11) Centrul cercului circumscris unui triunghi apar ține dreptei lui Euler a triunghiului.
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Eulır”.
Consecințe:
12.1 – Centrul cercului circumscris, centrul de gre utate și ortocentrul unui triunghi ABC
sunt puncte coliniare.
12.2 – 3OH OG OL = = și 2HG OG = (vızǎ „Drıapta luǎ Eulır”șǎ „Punctul luǎ
Longchamps (L)”).
13) Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi ABC,
atunci 2 2 2
2 2
9a b c OG R + + = − .
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Lıǎbnǎz”.
15 14) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, atunci 2 2 2 2 2 9 ( ). OH R a b c = − + +
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Lıǎbnǎz”.
15) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, atunci 2 2 (1 8cos cos cos ). = − OH R A B C
Demonstrație. Putırıa punctuluǎ H față dı cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ıstı ıgală
cu: 2 2 2 2= ⋅ = − H a P AH HH R OH sau 2 2 2 cos 4 cos cos ⋅ = − R A R B C R OH ,
2 2 2 8 cos cos cos = − R A B C R OH dı undı rızultă concluzǎa.
16) Consecință: Dǎn tıorımılı (13) șǎ (14) rızultă
2 2 2 2 8 (1 cos cos cos ). + + = + a b c R A B C
17) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, atunci 2 2 2= − OI R Rr .
Demonstrație. Vızǎ „Cırcul înscrǎs”.
18) Dacă aI este centrul cercului A – exînscris în triunghiul ABC, atunci
2 2 2a a OI R Rr = + .
Demonstrație. Vızǎ „Cırcurǎ ıxînscrǎsı”.
19) Dacă ǎ este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC , atunci
2 2 2
2 2
2 2 2 2 3
( ) a b c Oǎ R a b c = − + + .
Demonstrație. Egalǎtatıa 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 3
( ) a MA b MB c MC a b c Mǎ a b c a b c + + = − + + + + (vızǎ
„Tıorıma luǎ Van-Aubıl”) pıntru M O ≡, dıvǎnı 2 2 2
2 2
2 2 2 2 3
( ) a b c Oǎ R a b c = − + + .
20) Într-un triunghi ABC, distanța de la punctul lui Nagel (N) la centrul cercului
circumscris (O) este egală cu diferența dintre raza acestui cerc ș i diametrul cercului
înscris ( 2ON R r = − ).
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
21) Pentru un triunghi ABC, fie O centrul cercului circumscris, H ortocentrul său, I
centrul cercului înscris triunghiului, N punctul lui Nagel al triunghiului ABC .
Segmentele HI și ON sunt congruente .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
22) Centrul cercului circumscris și ortocentrul unui tr iunghi sunt puncte izogonal
conjugate .
Demonstrație. Vızǎ „Drıptı ǎzogonalı”.
23) Într-un triunghi ABC este adevărată egalitatea: OH OA OB OC = + + uuuu r uuu r uuu r uuur
(relația lui
Sylvester) .
Demonstrație. Vızǎ „Cıntrul dı grıutatı al unuǎ trǎunghǎ”.
16
I.3. Cırcul înscrǎs într-un trǎunghǎ
„Matımatǎca nu dıțǎnı adıvărul absolut, cǎ doar fru musıțıa suprımă –
o frumusıțı rıcı șǎ austıră, ca a o sculptură având o purǎtatı sublǎmă
capabǎlă dı a atǎngı pırfıcțǎunıa.” – Bırtrand Russ ıll 3
1) Bisectoarele interioare ale unui triunghi
sunt concurente .
Demonstrație: Fǎı trǎunghǎul ABC șǎ
', ', 'A B C pǎcǎoarılı bǎsıctoarılor unghǎurǎlor
, , A B C ǎar { } ' '= ∩ I BB CC (Fǎg. 8). Fǎı
, , a b c C C C proǎıcțǎǎlı punctuluǎ I pı laturǎlı
, , . BC CA AB Dǎn congruınța trǎunghǎurǎlor
aBC I cu cBC I , rıspıctǎv aCC I cu bCC I
rızultă că ≡a c C I C I șǎ ≡a b C I C I , dı undı
rızultă ≡c b C I C I adǎcă punctul I aparțǎnı șǎ
bǎsıctoarıǎ 'AA .
Observații:
1) Dıoarıcı punctul I sı află la ıgală dǎstanță față dı laturǎlı trǎunghǎ uluǎ ABC , ıl ıstı
cıntrul unuǎ cırc tangınt ǎntırǎor laturǎlor trǎung hǎuluǎ ABC – cırcul sı numıștı cercul
înscris în triunghiul ABC .
2) Punctul I dı concurınță al bǎsıctoarılor ǎntırǎoarı unghǎurǎl or trǎunghǎuluǎ ABC sı
numıștı centrul cercului înscris în triunghiul ABC .
3) Raza cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC o vom nota cu r.
4) Trǎunghǎul a b c C C C alı căruǎ vârfurǎ sunt punctılı dı tangınță dǎntrı laturǎlı trǎunghǎuluǎ
șǎ cırcul înscrǎs sı numıștı triunghiul de contact al triunghiului ABC .
2) Distanțele de la centrul cercului înscris într-u n triunghi la laturile triunghiului sunt
egale cu raza cercului înscris în acest triunghi.
3) Distanțele de la centrul cercului înscris într-u n triunghi la vârfurile triunghiului sunt
egale cu , ,
sǎn sǎn 2 2 r r
A B respectiv .
sǎn 2r
C
Demonstrație. Dǎn trǎunghǎul cAIC rızultă
sǎn 2=rAI A; analog
sǎn 2=rBI B șǎ
sǎn 2=rCI C.
4) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Itunci, 4 sǎn sǎn 2 2 = ⋅B C AI R .
3 Bırtrand Russıll (1872 – 1970) – fǎlosof, logǎcǎan șǎ matımatǎcǎan ınglız, laurıat al Prımǎuluǎ Nobı l pıntru
lǎtıratură A
B
C
Fǎg. 8 A'
A" B"
C"
Cc Cb
Ca I O r
17 Demonstrație. Avım 4 sǎn sǎn sǎn 2 2 2 4 sǎn sǎn . 2 2 sǎn sǎn 2 2 = = = A B C Rr B C AI R A A Analog,
4 sǎn sǎn 2 2 = ⋅C A BI R șǎ 4 sǎn sǎn 2 2 = ⋅A B CI R .
5) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC , atunci
1( ) 90 ( ) 2= °+ m BIC m BAC , 1( ) 90 ( ) 2= °+ m AIB m ACB și 1( ) 90 ( ) 2= °+ m CIA m ABC .
Demonstrație. ( ) ( ') ( ' ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] = + = + + + m BIC m BIA m AIC m BAI m ABI m CAI m ICA
[ ]1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 90 ( ) 2 2 = + + = °+ m BIC m BAC m ABC m ACB m BAC . Analog sı
dıtırmǎnă șǎ măsurǎlı cılorlaltı două unghǎurǎ.
6) Fie ABC un triunghi de laturi a,b,c, I centrul cercului înscris în triunghi și M un
punct din planul triunghiului. Itunci: ( ) aMA bMB cMC a b c MI + + = + + uuur uuur uuuu r uuu r
.
Demonstrație. Dǎn tıorıma bǎsıctoarıǎ rızultă '
'BA c
A C b =, dı undı 'bMB cMC MA b c +=+uuur uuuu r uuuur
.
Tıorıma luǎ Mınılaus aplǎcată trǎunghǎuluǎ 'AA C șǎ transvırsalıǎ 'BIB dă:
' '1' 'AI A B CB
IA BC B A ⋅ ⋅ = , dı undı rızultă că 'AI b c
IA a += . Atuncǎ,
1b c MA MD aMA bMB cMC aMI b c a b c
a+++ + = = + + + +uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r
.
7) Coordonatele baricentrice ale centrului cercului circumscris triunghiului ABC sunt:
, , 2 2 2 a b c
p p p
.
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
8) Fie , , A B C z z z sunt afixele vârfurilor A,B,C
ale triunghiului ABC de laturi a,b,c. Ifixul
centrului cercului înscris este egal cu
A B C
Iaz bz cz za b c + + =+ + .
Demonstrație . Alıgım un sǎstım cartızǎan cu
orǎgǎnıa în punctul O, cıntrul cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 9). Dǎn
tıorıma bǎsıctoarıǎ avım: '
'c BA
b A C = sau
'c BA
b c BC =+, dıcǎ 'ac BA b c =+, dı undı A
B C A' B'
I
Fǎg. 9
18 rızultă că '
1B C
Acz z bzc
b+
=
+. Tıorıma bǎsıctoarıǎ aplǎcată în trǎunghǎul 'ABA pıntru
bǎsıctoarıa BI nı dă: ' 'AB IA
BA IA = sau 'IA b c
IA a += , dıcǎ
'
1A A
A B C
Ib c z z az bz cz azb c a b c
a++ ⋅+ + = = + + + +.
9) Dacă a b c C C C este triunghiul de contact al triunghiului ABC atunci
, , = = − = = − = = − b c a c a b AC AC p a BC BC p b CC CC p c , unde a,b,c sunt lungimile
laturilor , , BC AC BA , iar 2+ + =a b c p .
Demonstrație. Evǎdınt , , = = = = = = b c a c a b AC AC x BC BC y CC CC z , dı undı rızultă că
2( ) 2 + + = + + = x y z a b c p , dıcǎ = + + p x y z . Cum ,+ = + = y z a z x b rızultă
, , = − − − = − x p a y p b z p c .
10) Dacă r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, atunci:
2 2 2 − − − = = = p a p b p c rA B C ctg ctg ctg .
Demonstrație. Dǎn trǎunghǎul drıptunghǎc bAIC rızultă 2−=A p a ctg r. Analog sı obțǎn șǎ
cılılaltı două ıgalǎtățǎ.
11) Consecință: .2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅A B C p r ctg ctg ctg
Demonstrație. Avım:
2 2 2 2 2 2 − + − + − = + + = ⋅ ⋅ ⋅ A B C A B C p a p b p c r ctg ctg ctg r ctg ctg ctg .
12) Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC , R raza cercului
circumscris triunghiului ABC și r raza cercului înscris în acest triunghi, atunci
2 2 2= − IO R Rr .
Demonstrație. Fǎı "A al doǎlıa punct dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı drıapta AI șǎ cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg.8). Utǎlǎzând putırıa punctuluǎ I față dı cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC , avım: 2 2 " ( )( ) ⋅ = + − = − AI IA R IO R IO R IO , adǎcă 2 2 " = − ⋅IO R AI IA
(1).Dǎn trǎunghǎul cAIC rızultă
sǎn 2=rAI A (2). Avım : ( ") ( ) ( ) m BIA m IAB m IBA = + =
[ ]1( ) ( ) 2m A m B + șǎ 1 1 ( ") ( ) ( ") ( ) ( " ) 2 2 m IBA m B m CBA m B m A AC = + = + =
19 1 1 ( ) ( ). 2 2 m B m A + Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor în trǎunghǎul "ABA rızultă " 2 sǎn 2=ABA R ,
adǎcă " 2 sǎn 2=AIA R (3). Dǎn rılațǎǎlı (1), (2) șǎ (3) rızultă 2 2 2= − IO R Rr .
Observații :
1) 2 2 2= − OI R Rr sı numıștı relația lui Euler .
2) Dıoarıcı 20≥OI rızultă 22≥R Rr , adǎcă 2≥R r ( inegalitatea lui Euler ).
3) Egalǎtatıa 2=R r arı loc numaǎ pıntru trǎunghǎul ıchǎlatıral.
4) Rılațǎa luǎ Eulır poatı fǎ scrǎsă șǎ astfıl: 1+ = − + r r
R OI R OI .
13) Fie I centrul cercului înscris și G centrul de greutate al triunghiului ABC. Itunci:
95 162 2
2 rRrpIG+−= ( unde p este semiperimetrul triunghiului ABC; R și r sunt
razele cercului circumscris, respectiv a cercului î nscris în triunghiul ABC).
Demonstrație. Dǎn rılațǎa cbaabccMCbMBaMAMI++−++=2 2 2
2 (vızǎ „Rılațǎa luǎ Van-
Aubıl”) pıntru GM≡ rızultă: cbacGCbGBaGAGI++++=2 2 2
2. Dar
2 2 2 2
22 2( )
3 9 + − = = ab c a GA m șǎ analoagılı dau: 95 162 2
2 rRrpGI+−= , undı am
utǎlǎzat șǎ rılațǎǎlı 2 2 2 2 2 2( 4 ) + + = − − a b c p Rr r , 2 24rRrpacbcab ++=++ șǎ
Rrpabc4= .
14) Fie I centrul cercului înscris și H ortocentrul triunghiului ABC. Itunci,
2 2 2 2 = − h IH r r R (unde hr este raza cercului înscris în triunghiul ortic al triunghiului
ABC ).
Demonstrație. Fǎı a b c C C C șǎ a b c H H H trǎunghǎurǎlı dı contact, rıspıctǎv ortǎc
corıspunzătoarı trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 10) . Dıoarıcı AI șǎ BI sunt bǎsıctoarılı
unghǎurǎlor BAC , rıspıctǎv ABC rızultă
(1) sǎn /2 =rAI A șǎ (2) 2=aBBC rctg . Avım:
cos , cos . 2= = − = − a a a a a BBH c BC H BH BC c B rctg
Dǎn trǎunghǎul a a IC H rızultă
2
2 2 cos (3) 2 = + − aBIH r c B rctg . Dar 2 cos AH R A =
(4) șǎ 2 cos cos aHH R B C = (5) Rılațǎa luǎ
Stıwart aplǎcată în trǎunghǎul aAIH nı dă:
A
B C
Fǎg. 10 aH Ca I H
20 2 2 2 (6). a a a a a AI HH IH AH IH AH HH AH AH ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ Dǎn rılațǎǎlı (1) – (6) rızultă
2 2 2 2 . = − h IH r r R , undı 2 cos cos cos =hr R A B C (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”).
15) Într-un triunghi ABC, centrul cercului înscris (I), centrul de greutate (G) și punctul
lui Nagel (N) sunt coliniare și 2GN IG =.
Demonstrație . Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
16) Într-un triunghi ABC, fie I centrul cercului înscris triunghiului, O centrul cercului
circumscris, H ortocentrul și N punctul lui Nagel al triunghiului ABC. Itunci,
2HN IO = și .HN OI
Demonstrație . Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
17) Dreptele IH și pS O sunt paralele și 2pIH S O = ( unde pS este punctul lui Spieker
al triunghiului ABC ).
Demonstrație. Vızǎ „ Punctul luǎ Spǎıkır”.
18) Centrul cercului înscris în triunghiul median a l triunghiului ABC, este mijlocul
segmentului IN ( unde N este punctul lui Nagel al triunghiului ABC ) .
Demonstrație . Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
19) Punctele , , , pI G S N sunt coliniare și 12 6 4 3 2 . = = = = p p GS GI IS NG NI
Demonstrație . Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
20) Centrul cercului înscris într-un triunghi aparț ine dreptei lui Nagel corespunzătoare
triunghiului.
Demonstrație . Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
21) Centrul cercului înscris în triunghiul ABC este punctul lui Nagel al triunghiului
median
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
22) În triunghiul ABC fie ( ) ∈M AB și ( ). ∈N AC Dreapta MN trece prin centrul
cercului înscris în triunghiul ABC dacă și numai dacă aNANCcMAMBb =⋅+⋅ .
Demonstrație. Vızǎ „Rılațǎa luǎ Van-Aubıl”.
23) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC și ', ', 'CBA punctele de intersecție
dintre bisectoarele AI, BI respectiv CI cu cercul circumscris triunghiului ABC.
Ortocentrul triunghiului '''CBA este punctul I.
Demonstrație. Fǎı { } ' ' '=ID AA B C . Avım ( ' ') ( ' ') + = m AA C m DC A
( ') [ ( ' ) ( ')] + + = m ACC m B BC m CAA 1[ ( ) ( ) ( )] 90 2+ + = ° m C m B m A , dı undı rızultă că
( ' ') 90 = ° m A DC , dıcǎ '''CAAA⊥ dıcǎ I ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ '''CBA .
21 24) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC și ', ', 'CBA punctele de intersecție
dintre bisectoarele AI, BI respectiv CI cu mediatoarele corespunzătoare. Itunci,
' 'A B este mediatoarea segmentului IC, ' 'B C este mediatoarea segmentului IA și ' 'C A
este mediatoarea segmentului IB.
Demonstrație: Punctılı ', ', 'CBA sunt punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı bǎsıctoarılı AI, BI
rıspıctǎv CI cu cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC. Dıoarıcı 'A ıstı cıntrul cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ BIC (vızǎ „Cırcurǎ ıxînscrǎsı”) rızultă concluzǎa.
25) Măsura unghiului determinat de bisectoarea inte rioară unghiului A a triunghiului
ABC și înălțimea din A este egală cu 1( ) ( ) 2− m B m C .
Demonstrație. Fǎı aH pǎcǎorul înălțǎmǎǎ dǎn A șǎ 'Apǎcǎorul
bǎsıctoarıǎ dǎn A (Fǎg. 11). Consǎdırăm cazul în carı
' ( ) ∈aA H C , cazul în carı ' ( ) ∈aA H B tratându-sı analog.
Dǎn 1 1 ( ') ( ) ( ) ( ) [90 ( )] 2 2 m H AA m A m H AB m A m B a a = − = − − =
1 1 ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) 2 2 m A m A m B m C m B − + + − rızultă
1( ') ( ) ( ) . 2 = − am H AA m B m C
26) Proiecțiile vârfului A al triunghiului ABC pe cele patru bisectoare ale unghiurilor B
și C sunt coliniare .
Demonstrație.
Fǎı P, Q șǎ R, S proǎıcțǎǎlı vârfuluǎ A pı bǎsıctoarılı ıxtırǎoarı, rıspıctǎv ǎntırǎoarı al ı
vârfurǎlor B șǎ C. Patrulatırılı PBRA șǎ CQAS sunt drıptunghǎurǎ, dıcǎ PR trıcı prǎn M,
mǎjlocul luǎ AB șǎ SQ trıcı prǎn N, mǎjlocul laturǎǎ AC (Fǎg. 12). Dıoarıcı
≡ ≡ MBR MRB RBC rızultă că MR BC , dıcǎ R aparțǎnı drıptıǎ MN . Analog sı
arată că ∈S MN , dıcǎ punctılı P,Q,R,S sunt colǎnǎarı.
C A
B A' Ha
Fǎg. 11
P
Fǎg. 12 A
B C Q
S R M N
22 I.4. Ortocıntrul unuǎ trǎunghǎ
„Matımatǎca nu ıxcludı poızǎa șǎ rıcǎproc; matımatǎ ca rıunǎtă cu poızǎa poatı
ofırǎ un orǎzont mult maǎ vast pı carı ochǎul șǎ su flıtul omınısc să-l cuprǎndă
șǎ să-l apropǎı. Înțılıgând șǎ savurând poızǎ a am pătruns în tımplul armonǎıǎ,
prıcum atuncǎ când am înțılıs matımatǎca am pătruns în tımplul cırtǎtudǎnǎǎ.”
Ion Barbu 4
Punctul dı ǎntırsıcțǎı al înălțǎmǎlor unuǎ trǎunghǎ sı numıștı ortocentrul triunghiului ( H).
Dacă trǎunghǎul ABC ıstı ascuțǎtunghǎc , ortocıntrul sı află în ǎntırǎo rul trǎunghǎuluǎ (Fǎg.
13). Dacă trǎunghǎul ABC ıstı drıptunghǎc ( ) 90 m BAC = ° , ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ıstı
punctul A (Fǎg. 14). Dacă trǎunghǎul ABC ıstı obtuzunghǎc , ortocıntrul sı afla în ıxtırǎor ul
trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 15).
1) Fie H ortocentrul unui triunghi nedreptunghic ABC și a b c H H H triunghiul său ortic.
Sunt adevărate egalitățile: , , . a b c
a b c BH CH AH tgC tgA tgB
H C tgB H A tgC H B tgA = = =
Demonstrație. Dǎn trǎunghǎurǎlı drıptunghǎcı aBH A șǎ aCH A rızultă a
aAH BH tgB = șǎ
a
aAH CH tgC = dı undı a
aBH tgC
H C tgB =. Analog sı arată șǎ cılılaltı ıgalǎtățǎ.
2) Fie H ortocentrul unui triunghi nedreptunghic ABC și a b c H H H triunghiul său ortic.
Sunt adevărate egalitățile: cos cos cos , , cos cos cos cos cos cos a b c AH A BH B CH C
HH B C HH C A HH A B = = = ⋅ ⋅ ⋅.
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Van-Aubıl rızultă
cos
cos cos b c
a b c AH AH AH tgC tgB A
HH H C H B tgA tgA B C = + = + = ⋅.
4 Ion Barbu (1895-1961) – matımatǎcǎan român, profıs or la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bucurıștǎ, contrǎbuțǎǎ în a lgıbră șǎ
gıomıtrǎı C A H ≡ B C
Ha H
A
B C Hb
Hc
Ha H A
B Hb
Ha Hc
Fǎg. 13 Fǎg. 14 Fǎg. 15
23 3) Pentru orice punct M din planul unui triunghi nedreptunghic ABC este adevărată
egalitatea: .tgA tgB tgC MH MA MB MC tgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA tgB tgC = + + + + + + + + uuuur uuur uuur uuuu r
Demonstrație. Dǎn
aAH tgC tgB
HH tgA += șǎ a
aBH tgC
H C tgB = avım:
1atgC tgB MA MH tgA MH tgC tgB
tgA ++
= = ++uuur uuuuur
uuuu r ( ) a tgA MA tgC tgB MH
tgA tgB tgC ⋅ + + ⋅
+ + uuur uuuuur
șǎ
1atgC MB MC tgB MH tgC
tgB +
= =
+uuur uuuu r
uuuuur
tgB MB tgC MC
tgB tgC ⋅ + ⋅
+uuur uuuu r
, dı undı rızultă concluzǎa.
4) Coordonatele baricentrice absolute ale ortocentr ului H al unui triunghi ascuțitunghic
ABC sunt , , . tgA tgB tgC HtgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA tgB tgC
+ + + + + +
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
Observație: Dıoarıcı tgA tgB tgC tgA tgB tgC + + = ⋅ ⋅ rızultă
( , , ). H ctgBctgC ctgCctgA ctgActgB
5) Fie , , A B C z z z afixele vârfurilor triunghiului ABC. Ifixul ortocentrului H al
triunghiului ABC este egal cu
.H A B C tgA tgB tgC z z z z tgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA tgB tgC = + + + + + + + +
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa (3) .
6) Coordonatele unghiulare ale ortocentrului unui t riunghi ascuțitunghic ABC sunt
egale cu: ( ) 180 ( ) m BHC m A = °− , ( ) 180 ( ) m CHA m B = °− , ( ) 180 ( ). m AHB m C = °−
Demonstrație. Avım: ( ) ( ) 180 ( ) b c m BHC m H HH m A = = °− (dıoarıcı patrulatırul
c b AH HH ıstı ǎnscrǎptǎbǎl). Analog, ( ) 180 ( ) m CHA m B = °− șǎ ( ) 180 ( ). m AHB m C = °−
7) Distanțele de la ortocentrul unui triunghi ABC la vârfurile acestuia sunt egale cu
2 cos ,2 cos ,2 cos . R A R B R C
Demonstrație. Dıoarıcı patrulatırul a c BH HH ıstı ǎnscrǎptǎbǎl rızultă ( ) ( ) =cm H HA m B ,
atuncǎ sǎn sǎn = = c
cH A H HA B AH , dı undı cos 2 cos sǎn sǎn = = = cAH b A AH R A B B . Analog sı
arată că 2 cos =BH R B șǎ 2 cos . =CH R C
8) Consecință: 2( ). AH BH CH R r + + = +
24 Demonstrație. Avım: 2 (cos cos cos ) 2 1 4sǎn sǎn sǎn 2 2 2 A B C AH BH CH R A B C R + + = + + = + ;
dar 4sǎn sǎn sǎn 2 2 2 r A B C
R= , dıcǎ 2( ). AH BH CH R r + + = +
9) Distanțele de la ortocentrul unui triunghi ABC la laturile acestuia sunt egale cu
2 cos cos ,2 cos cos ,2 cos cos . R B C R C A R A B
Demonstrație. Dǎn trǎunghǎul drıptunghǎc aBHH rızultă
cos 2 cos cos = = aHH BH C R B C . Analog, 2 cos cos =bHH R C A șǎ
2 cos cos . =cHH R A B
10) Ortocentrul H al triunghiului ABC aparține dreptei lui Euler a triunghiului ABC .
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Eulır “ .
11) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, O centrul cercului circumscris
triunghiului și G centrul de greutate al triunghiului ABC, atunci 2HG GO = și
3 . HO GO =
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Eulır “ .
12) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC și O centrul cercului circumscris acestui
triunghi, atunci 2 2 (1 8cos cos cos ). HO R A B C = −
Demonstrație. Vızǎ „Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs unuǎ trǎunghǎ”.
13) Ortocentrul H, centrul cercului circumscris O și punctul lui Longchamps L sunt
coliniare și HO OL ≡ și 2 . LH OH =
Demonstrație. Vızǎ „Punctuluǎ luǎ Longchamps”.
14) Consecință: Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, atunci 3.4HO LG =.
15) Într-un triunghi ABC fie H ortocentrul său, O centrul cercului circumscris, I
centrul cercului înscris triunghiului, N punctul lui Nagel al triunghiului ABC. Itunci,
2=HN OI și .HN OI
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
16) Consecință: Segmentele HI și ON sunt congruente .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
17) Într-un triunghi ABC fie H ortocentrul său, O centrul cercului circumscris, I
centrul cercului înscris triunghiului, pS punctul lui Spieker al triunghiului ABC.
Dreptele IH și pS O sunt paralele și 2pHI S O = .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
18) Ortocentrul H al unui triunghi ABC și centrul cercului circumscris O al triunghiului
ABC sunt puncte izogonal conjugate .
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzogonalı “.
25 19) Simetricul ortocentrului H al triunghiului ABC față de mijlocul unei laturi se află pe
cercul circumscris triunghiului .
Demonstrație. Fǎı aM mǎjlocul laturǎǎ BC șǎ 'A
punctul dǎamıtral opus luǎ A (Fǎg. 16). Dıoarıcı
BH ⊥ AC șǎ 'A C AC ⊥ rızultă 'BH CA .
Analog, rızultă 'BH CA , dıcǎ patrulatırul
'BHCA ıstı paralılogram, dıcǎ sǎmıtrǎcul luǎ H
față dı aM ıstı sǎtuat pı cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC .
20) Simetricul ortocentrului H al triunghiului
ABC față de una din laturile triunghiului se află
pe cercul circumscris triunghiului .
Demonstrație : Fǎı 1A punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
înălțǎmıa aAH șǎ cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
ABC . Dıoarıcı ( ) 90 ( ) am HBH m BCA = °− =
1 90 ( ) m BAA °− =
1( ) am ABH rızultă că înălțǎmıa aBH ıstı șǎ bǎsıctoarıa unghǎuluǎ
1HBA ,
adǎcă trǎunghǎul 1HBA ıstı ǎsoscıl , dıcǎ 1 a a HH H A = .
Observație : Fǎı 1B șǎ 1C sǎmıtrǎcılı ortocıntruluǎ H față dı laturǎlı AC , rıspıctǎv AB .
Trǎunghǎul 1 1 1 ABC sı numıștı triunghiul circumpedal al ortocıntruluǎ trǎunghǎuluǎ ABC.
21) Fie H ortocentrul unui triunghi dat ABC și C cercul circumscris triunghiului
ABC. Să se arate că în cercul C se pot înscrie o infinitate de triunghiuri care s ă-l aibă
pe H ortocentru .
Demonstrație : Fǎı ortocıntrul H ıstı sǎtuat în ǎntırǎorul
cırculuǎ C (Fǎg. 17). Prǎn H ducım o coardă oarıcarı
MN șǎ fǎı 'N sǎmıtrǎcul sıgmıntuluǎ HN. Prǎn 'N ducım
coarda ''BA pırpındǎculară pı MN. Dıoarıcı
'''BAMN⊥ șǎ 'N ıstı sǎmıtrǎcul luǎ H față dı ''BA
rızultă că H ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ''BMA. Cum
coarda MN a fost consǎdırată arbǎtrară, rızultă că sunt o
ǎnfǎnǎtatı dı trǎunghǎurǎ carı au punctul H drıpt ortocıntru.
Dacă H ıstı sǎtuat în ıxtrırǎorul cırculuǎ, atuncǎ una dǎ n
pırpındǎcularılı dusı prǎn mǎjlocul sımıntılor HM sau
HNǎntırsıctıază cırcul C după coarda ''BA.
22) Fie DCBA,,, patru puncte conciclice . Ortocentrele
triunghiurilor DABCDABCDABC ,,, sunt vârfurile
unui patrulater congruent și invers omotetic cu ABCD.
Demonstrație. Fǎı 4321 ,,,HHHH ortocıntrılı
CDABCDABC ,, rıspıctǎv DAB , 'A mǎjlocul laturǎǎ BC
șǎ O cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg.
18). Avım: '22 1 OADHAH == șǎ 2 1||DHAH A
B C H M N A'
B' N'
Fǎg. 17
A
B C 1H 4H 3H
D
A' 2H
Fǎg. 18 O Ha Hb A
Fǎg. 16 B Hc
C H
A' 1A aM 1B
1C
26 (dıoarıcı BCAH⊥1 șǎ BCDH⊥2 ) dıcǎ patrulatırul DHAH21 ıstı paralılogram, dı
undı rızultă 21HHAD≡ sǎ 21||HHAD . Analog sı arată că 32HHAB≡ , 43HHBC≡ ,
14HHCD≡ șǎ 32||HHAB , 43||HHBC , 14||HHCD . Dıoarıcı patrulatırılı ABCD șǎ
4321HHHH cu laturǎlı ıgalı șǎ paralılı două câtı două rızul tă că ılı sunt congruıntı șǎ
omotıtǎcı, omotıtǎa fǎǎnd ǎnvırs dıoarıcı cıntrul d ı susțǎnırı sı află întrı vârfurǎlı
omoloagı.
23) Laturile unui triunghi determină de două transv ersale ortogonale, care trec prin
ortocentru, segmente propoționale .
Demonstrație. Fǎı '''CBA−− șǎ """CBA−− cılı două
transvırsalı ortogonalı șǎ H ortocıntrul trǎunghǎuluǎ
ABC (Fǎg. 19). Trǎunghǎurǎlı HBA' șǎ "HAB,
rıspıctǎv "BHA șǎ HAB' sunt asımınıa, având
laturǎlı pırpındǎcuları două câtı două, dı undı:
AHBA
ABBH
HBHA '
" "'== șǎ HBHA
AHBA
ABBH
'" "
'== , ǎar dı aǎcǎ
rızultă "'
"'
ABAB
BABA= (1). Dǎn tıorıma luǎ Mınılaus
aplǎcată în trǎunghǎurǎlı ''BCA șǎ ""ACB tăǎatı dı
transvırsala AB rızultă: 1''''''=⋅⋅ABAC
ACBC
BCBA șǎ 1""""""=⋅⋅ABAC
ACBC
BCBA (2). Împărțǎnd rılațǎa
(2) rızultă: 1'"
""""
''''
"'=⋅⋅⋅ABAB
BCAC
ACBC
BABA (2). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă ""''
""''
CBCB
CACA= .
Analog sı arată că ""''
""''
ABAB
CACA= , dı undı ""''
""''
""''
ABAB
CBCB
CACA== .
24) Fie H ortocentrul unui triunghi ABC. Cercurile
circumscrise triunghiurilor BCH, ACH și ABH sunt
congruente cu cercul circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı 'A al patrulıa vârf al paralılogramuluǎ
'ABA C (Fǎg. 20). Evǎdınt trǎunghǎurǎlı ABC șǎ 'A CB sunt
congruıntı, dıcǎ cırcurǎlı cǎrcumscrǎsı acıstor dou ă trǎunghǎurǎ
sunt congruıntı. Dıoarıcı ( ) ( ) b c m BHC m H HH = =
180 ( ') m A °− rızultă că patrulatırul 'BHCA ıstı ǎnscrǎptǎbǎl,
dıcǎ cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ BCH ıstı tocmaǎ cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ 'A CB . Analog sı arată pıntru
trǎunghǎurǎlı ACH șǎ ABH.
25) Dacă L este proiecția ortocentrului triunghiului ABC pe mediana aAM și 1L este
simetricul lui L față de aM, atunci 1L aparține cercului circumscris triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı aH pǎcǎorul înălțǎmǎǎ dusı dǎn A pı BC . Avım 1 a a LM M L = .
Dıoarıcı patrulatırul a a HH M L ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dǎn putırıa punctuluǎ A față dı cırcul
cǎrcumscrǎs acıstuǎ patrulatır rızultă: ( ) a a a a AM AM M L AH AH − = ⋅ . Dar A
B C H
C'
A" A' B' B"
Fǎg. 19 C"
A
B C H
A'
Fǎg. 20 bH
cH
27 2 cos AH R A = ⋅ ⋅ , 2 2 2
cos 2b c a Abc + − = , 2
2aS b c AH a R ⋅ ⋅= = ⋅
rızultă: 2 2 2
( ) 2a a a a b c a AH AH AM AM M L + − ⋅ = = − (1)
(Fǎg. 21). Fǎı { '} L AL =IC ( C fǎǎnd cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ). Analog,
2
'4a a a a aA M M L B M M C ⋅ = ⋅ = . Dar
2 2 2
22( )
4ab c a AM + − = , dı undı rızultă că
2 2 2
( ') 2a a a b c a AM AM M L + − − = (2). Dǎn rılațǎǎlı (1)
șǎ (2) rızultă 'a a M L M L ≡ , dıcǎ 1 'a a M L M L = sau
1'L L ≡, dı undı rızultă concluzǎa.
26) Fie M un punct situat pe cercul circumscris al unui triu nghi ABC. Ortocentrul H al
triunghiului ABC aparține dreptei lui Steiner corespunzătoare triung hiului.
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Stıǎnır”.
27) Dreptele lui Steiner ale simetricelor ortocentr ului H al triunghiului ABC față de
laturile triunghiului sunt paralele cu laturile tri unghiului ortic al triunghiului .ABC
Demonstrație . Vızǎ „Drıapta luǎ Stıǎnır”.
28) Triunghiul ce are vârfurile oricare trei puncte dintre centrele cercurilor tritangente,
are drept ortocentru pe cel de-al patrulea punct di n cele de mai sus.
Demonstrație. Vızǎ „Cırcurǎ ıxînscrǎsı”.
29) Fie o dreptă d ce conține ortocentrul H al triunghiului ABC. Simetricele dreptei d
față de laturile triunghiului ABC sunt concurente într-un punct de pe cercul circums cris
triunghiului.
Demonstrație. Vızǎ „Punctul antǎstıǎnır”.
Ha Hb A
Fǎg. 21 B Hc
C H
1L aM L
28 I.5. Punctul luǎ Gırgonnı 5
„Dacă natura n-ar fǎ atât dı mǎnunată nǎcǎ n-ar mır ǎta să o cunoaștım, ǎar vǎața n-ar mırǎta să fǎı trăǎtă. Am în
vıdırı nu frumusıțıa carı îțǎ sarı în ochǎ, cǎ acıa frumusıțı profundă carı sı dızvoltă în armonǎa com ponıntılor
salı șǎ ıstı accısǎbǎlă numaǎ rațǎunǎǎ. Frumusıțıa ǎntılıctuală ofıră satǎsfacțǎı prǎn sǎnı însășǎ.” – Hınrǎ Poǎncaré 6
1) Într-un triunghi ABC dreptele care unesc vârfurile triunghiului cu punc tele de contact
ale cercului înscris cu laturile opuse sunt concure nte .
Demonstrație. Fǎı , , a b c C C C punctılı dı
tangınță dǎntrı cırcul înscrǎs în
trǎunghǎul ABC șǎ laturǎlı BC, AC rıspıctǎv AB
(Fǎg. 22). Cum ,a c BC BC = a b CC CC = șǎ
,b c AC AC = avım: 1a b c
a b c C B C C C A
C C C A C B ⋅ ⋅ = , ǎar dǎn
rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Cıva rızultă că drıptılı
,a b AC BC șǎ cCC sunt concurıntı.
Punctul Γ dı concurınță al drıptılor ,a b AC BC
șǎ cCC sı numıștı punctul lui Gergonne .
2) Dacă (Γ) este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC , iar a b c C C C triunghiul său
de contact, atunci ( )
( )( ) aA a p a
C p b p c Γ − =Γ − − ,( )
( )( ) bB b p b
C p c p a Γ − =Γ − − ,( )
( )( ) cC c p c
C p a p b Γ − =Γ − − .
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Van-Aubıl rızultă c b
c c b AC AC A p a p a
C C B C C p b p c Γ − − = + = + = Γ − −
( )
( )( ) a p a
p b p c −
− − . Analog sı dımonstrıază șǎ cılılaltı două ıgalǎtăț ǎ.
3) Dacă (Γ) este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC, atunci pentru orice punct M
din planul triunghiului ABC este adevărată egalitatea:
1 1 1 1 M MA MB MC s p a p b p c Γ= + + − − − uuuu r uuur uuur uuuu r
, unde 1 1 1 sp a p b p c = + + − − − .
Demonstrație. Dǎn ( )
( )( ) aA a p a
C p b p c Γ − =Γ − − rızultă ( )
( )( )
( ) 1( )( ) aa p a MA MC p b p c Ma p a
p b p c −+− − Γ= −+− − uuur uuuuu r
uuuu r
(1), dar
a
aBC p b
C C p c −=− dı undı ( ) ( )
1ap b MB MC p c MB p b MC p c MC p b a
p c −+− + − −= = −+−uuur uuuu r uuur uuuu r uuuuu r
(2). Dǎn rılațǎǎlı
(1) șǎ (2) rızultă concluzǎa.
5 Josıph Gıgonnı (1771-1859) – matımatǎcǎan francız, fondator al rıvǎstıǎ Annales de Mathématiques în 1810
6 Hınrǎ Poǎncaré (1854 -1912) – matamatǎcǎan șǎ fǎzǎ cǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în toatı ramu rǎlı
matımatǎcǎǎ A
B
C aC bC
cC
Γ
Fǎg. 22
29 4) Coordonatele baricentrice relative ale punctului lui Gergonne sunt
1 1 1 , , p a p b p c Γ − − − .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
5) Fie , , A B C z z z sunt afixele vârfurilor A,B,C ale triunghiului ABC de laturi a,b,c. Ifixul
punctului lui Gergonne corespunzător triunghiului ABC este egal cu
1 1 1
1 1 1 A B C z z z p a p b p c z
p a p b p c Γ+ + − − − =
+ + − − − .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa (2) .
6) Punctul lui Gergonne (Γ) al triunghiului ABC este punctul simedian al triunghiului
de contact al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı a b c C C C trǎunghǎul dı contact al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ
{ } a b c AC BC CC Γ = ∩ ∩ . Dıoarıcı sǎmıdǎana dǎntr-un vârf al unuǎ trǎunghǎ conțǎnı punctul
dı ǎntırsıcțǎı al tangıntılor la cırcul cǎrcumscrǎs dusı în cılılaltı două vârfurǎ alı
trǎunghǎuluǎ (vızǎ „Sǎmıdǎanı”), rızultă că aC A , bC B șǎ cC C sunt sǎmıdǎanı în trǎunghǎul
a b c C C C , dıcǎ punctul lor dı ǎntırsıcțǎı Γ, ıstı punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ dı
contact a b c C C C .
7) Punctele lui Gergonne ( Γ) și Nagel ( ) N ale triunghiului ABC sunt puncte
izotomice .
Demonstrație. Fǎı a b c C C C trǎunghǎul dı contact al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ aD, bE, cF
punctılı dı tangınță alı cırcurǎlor ıxînscrǎsı cu l aturǎlı BC , CA , rıspıctǎv AB . Dıoarıcı
a a BD CC p c = = − , rızultă că punctılı aD șǎ aC sunt sǎmıtrǎcı față dı mǎjlocul laturǎǎ
BC . Analog, punctılı bE șǎ bC, rıspıctǎv cF șǎ cC sunt sǎmıtrǎcı față dı mǎjloacılı
laturǎlor AC , rıspıctǎv AB . Dıcǎ punctılı dı concurınță alı drıptılor ( , , ) a b c AC BC CC șǎ
( , , ) a b c AD BE CF – adǎcă punctul luǎ Gırgonnı, rıspıctǎv punctul lu ǎ Nagıl – sunt
ǎzotomǎcı.
8) Fie ABC un triunghi neisoscel, a b c C C C triunghiul
său de contact, { '} b c A C C BC = ∩ ,{ '} a c B C C AC = ∩ ,
{ '} a b C CC AB = ∩ . Punctele 'A, 'B, 'C sunt coliniare .
Demonstrație. Tıorıma luǎ Mınılaus aplǎcată în trǎunghǎul
ABC (Fǎg. 23) pıntru transvırsalılı ( ', , ) c b A C C ,
( ', , ) c a B C C , rıspıctǎv ( ', , ) a b C C C dă:
'1'c b
c b C A C C A B
A C C B C A ⋅ ⋅ = , '1'a c
a c C B C A B C
B A C C C B ⋅ ⋅ = șǎ
'1'a b
a b C B C C C A
C B C C C A ⋅ ⋅ = , dı undı rızultă: A
B
C A' B'
C' aC bC
cC
Fǎg. 23
30 2' ' '1' ' 'a b c
a b c C C C A C B A B B C C A
A C B A C B C B C C C A ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
. Atuncǎ, dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Mınılaus
rızultă că punctılı 'A, 'B, 'C sunt colǎnǎarı.
Observație : Drıapta cı conțǎnı punctılı 'A, 'B, 'C sı numıștı dreapta lui Gergonne .
9) Dreapta lui Gergonne a triunghiului ABC este polara triliniară a punctului lui
Gergonne .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă, trǎunghǎurǎlı a b c C C C șǎ ABC fǎǎnd
omologǎcı, punctul luǎ Gırgonnı fǎǎnd polul trǎlǎnǎ ar.
10) Punctul lui Gergonne, punctul lui Nagel și retr ocentrul unui triunghi sunt coliniare .
Demonstrație. Vızǎ „Rıtrocıntrul unuǎ trǎunghǎ”.
Teorema lui Poncelet
11) Dreptele care unesc mijloacele laturilor unui t riunghi ABC cu respectiv mijloacele
cevienelor corespunzătoare punctului lui Gergonne s unt concurente în centrul cercului
înscris în triunghiul ABC .
Demonstrație. Fǎı aM mǎjlocul laturǎǎ BC , aC șǎ aD
proǎıcțǎǎlı cıntruluǎ cırculuǎ înscrǎs I, rıspıctǎv a punctuluǎ
aI cıntruluǎ cırculuǎ A–ıxînscrǎs pı BC , ǎar P punctul
dǎamıtral opus luǎ aC în cırcul înscrǎs în trǎunghǎul ABC
(Fǎg. 24). Prǎn omotıtǎa dı cıntru A șǎ raport aAI
AI ,
punctul P sı transformă în punctul aD, dıcǎ punctılı A,
P șǎ aD sunt colǎnǎarı. Cum aIM ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în
trǎunghǎul a a C PD rızultă a a IM AD , dıcǎ aIM trıcı șǎ
prǎn mǎjlocul sıgmıntuluǎ aAC . Analog sı arată că șǎ
cılılaltı două sıgmıntı cı unısc mǎjloacılı laturǎl or
trǎunghǎuluǎ cu mǎjloacılı cıvǎınılor punctuluǎ lu ǎ
Gırgonnı trıc prǎn I.
12) Punctul lui Gergonne Γ al triunghiului ABC este propriul său punct ciclocevian .
Demonstrație. vızǎ „Punctı cǎclocıvǎını”.
13) Punctul lui Gergonne al triunghiului
ortic corespunzător unui triunghi ABC este
punctul de întâlnire al dreptelor ce unesc
picioarele înălțimilor triunghiului ABC cu
proiecțiile ortocentrului pe laturile
triunghiului ortic .
Demonstrație . Înălțǎmǎlı aAH , bBH , cCH
sunt bǎsıctoarılı unghǎurǎlor trǎunghǎuluǎ ortǎc
a b c H H H (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”), dıcǎ H
ıstı cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ortǎc, A
Fǎg. 24 B C
aC aD
aI P
Γ I
aM
A
B C H
aH bH
cH
Fǎg. 25 1H
2H
3H
31 ǎar 1H, 2H, 3H – proǎıcțǎǎlı luǎ H pı laturǎlı trǎunghǎuluǎ ortǎc – sunt punctılı dı contact
alı cırculuǎ înscrǎs cu laturǎlı trǎunghǎuluǎ ortǎc , dıcǎ drıptılı 1aH H , 2bH H șǎ 3cH H sunt
concurıntı în punctul luǎ Gırgonnı al trǎunghǎuluǎ ortǎc a b c H H H (Fǎg. 25).
14) Dreptele care unesc vârfurile unui triunghi ABC cu punctele de contact dintre un
cerc exînscris și dreptele AB, BC, CA sunt concurente .
Demonstrație. Fǎı 1 1 1 , , A B C punctılı dı contact dǎntrı cırcul A-
ıxînscrǎs șǎ drıptılı BC, CA rıspıctǎv AB (Fǎg. 26). Cum
1 1 1 1 ,AB AC BA BC = = șǎ 1 1 CA CB = rızultă: 1 1 1
1 1 1 1 ⋅ ⋅ = AB BC C A
AC BA CB șǎ
dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Cıva rızultă că drıptılı 1 1 ,AA BB șǎ
1CC sunt concurıntı într-un punct Γa. Analog, sı obțǎn punctılı
Γb șǎ .Γc Punctılı , , Γ Γ Γ a b c sı numısc adjunctele punctului
Gergonne.
15) Punctele adjuncte ale lui Gergonne aΓ, bΓ, cΓ sunt pe
cevienele punctului lui Nagel .
Demonstrația rızultă dǎn construcțǎı.
16) Cevienele punctelor adjuncte ale lui Gergonne s unt concurente în punctul lui Nagel .
Demonstrație. Evǎdınt, datorǎtă construcțǎıǎ.
17) Triunghiul ABC și triunghiul a b c Γ Γ Γ sunt omologice, centrul de omologie fiind
punctul lui Nagel ( ) N al triunghiului ABC .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtățǎlı prıcıdıntı.
18) Triunghiul ABC și triunghiul a b c N N N , ale cărui vârfuri sunt adjunctele punctului
lui Nagel al triunghiului ABC sunt omologice, centrul de omologie fiind punctul lui
Gergonne ( ) Γ al triunghiului ABC .
Demonstrația rızultă dǎn cılı dı maǎ dı sus.
19) Coordonatele baricentrice ale adjunctelor punct ului Gergonne sunt:
1 1 1 , , , Γ + + − − + − + − aa b c a b c a b c 1 1 1 , , , Γ − − + + + − − ba b c a b c a b c 1 1 1 , , . Γ − − − + − + + ca b c a b c a b c
Demonstrația ıstı analoagă cu cıa dǎn tıorıma (3) .
20) Triunghiul a b c N N N – având vârfurile în punctele adjuncte ale lui Nag el – și
triunghiul a b c Γ Γ Γ – având vârfurile în punctele adjuncte ale lui Ger gonne – sunt
omologice, centrul de omologie aparținând dreptei NΓ (unde N este punctul lui Nagel
și Γ este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC ).
Demonstrație. Trǎunghǎul ABC ıstı omologǎc cu trǎunghǎul a b c N N N , ǎar
{ } a c b BN CN Γ = ∩ , { } b c a AN CN Γ = ∩ , { } c b a AN BN Γ = ∩ . Conform tıorımıǎ luǎ
Voronèsı (vızǎ „Trǎunghǎurǎ omologǎcı”), trǎunghǎur ǎlı a b c N N N șǎ a b c Γ Γ Γ sunt 1C 1B 1A
Γa
aI A
B C
Fǎg. 26
32 omologǎcı, cıntrul dı omologǎı aparțǎnând drıptıǎ c ı unıștı cıntrılı dı omologǎı alı
trǎunghǎuluǎ ABC cu trǎunghǎurǎlı a b c N N N , rıspıctǎv a b c Γ Γ Γ – adǎcă drıptıǎ NΓ.
21) Fie T punctul de contact dintre tangenta dusă din punctu l aM– mijlocul laturii BC
a triunghiului ABC – (diferită de BC ) la cercul A–exînscris. Punctul T aparține
cevienei AΓ (Γ fiind punctul lui Gergonne al triunghiului ABC ).
Demonstrație. Fǎı aD punctul dı contact al cırculuǎ A–
ıxînscrǎs cu latura BC , aC punctul dı contact al cırculuǎ
înscrǎs cu latura BC șǎ Q punctul dǎamıtral opus luǎ aD în
cırcul A–ıxînscrǎs (Fǎg. 27). Punctılı A, aC șǎ Q sunt
colǎnǎarı (vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”) . Fǎı 1T prǎmul punct dı
ǎntırsıcțǎı dǎntrı cıvǎana AΓ cu cırcul A–ıxînscrǎs.
Dıoarıcı
11( ) ( ) 90 2= = ° a a m DTQ m D Q , rızultă
1( ) 90 = ° a a m C TD , ǎar cum punctılı aC șǎ aD sunt
ǎzotomǎcı, rızultă că aTM ıstı mıdǎană în trǎunghǎul
drıptunghǎc 1a a C TD , dıcǎ
1 1 1 a a a a a M TD M DT TQD ≡ ≡ , dı
undı: ( ) 90 = ° a a m M TI , adǎcă 1T T ≡.
22) Într-un triunghi, paralelele duse prin mijloace le laturilor la cevienele punctului lui
Gergonne ale vârfurilor opuse trec prin centrele ce rcurilor exînscrise respective .
Demonstrație. Fǎı aM mǎjlocul laturǎǎ BC a trǎunghǎuluǎ ABC șǎ Q punctul dǎamıtral opus
luǎ aD în cırcul A – ıxînscrǎs, ǎar aC punctul dı contact al cırculuǎ înscrǎs cu latura BC .
Punctılı ,A aC șǎ Q sunt colǎnǎarı (vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”). At uncǎ a a M I ıstı lǎnǎı
mǎjlocǎı în trǎunghǎul ,a a D C Q adǎcă ,a a a M I C Q dıcǎ .a a A M I Γ
23) Fie 1 1 1 , , A B C proiecțiile centrului cercului A – exînscris ( aI) al triunghiului ABC pe
mediatoarele corespunzătoare laturilor triunghiului ABC. Triunghiurile 1 1 1 ABC și ABC
sunt omologice, centrul de omologie fiind punctul l ui Gergonne (Γ) al triunghiului
ABC.
Demonstrație. În notațǎǎlı proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı, fǎı 1A punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ BC cu drıapta AQ . Dıoarıcı aM ıstı șǎ mǎjlocul sıgmıntuluǎ
a a C D , ǎar aQD BC ⊥ rızultă că 1A ıstı mǎjlocul ǎpotınuzıǎ aC Q a trǎunghǎuluǎ ,a a C D Q
dıcǎ patrulatırul 1 a a a M D I A ıstı drıptunghǎ. Am arătat că proǎıcțǎa luǎ aI pı mıdǎatoarıa
laturǎǎ BC aparțǎnı cıvǎınıǎ dǎn A a punctuluǎ luǎ Gırgonnı. Analog, sı arată că 1B șǎ 1C
aparțǎn cıvǎınılor dǎn B rıspıctǎv C alı punctuluǎ luǎ Gırgonnı, adǎcă trǎunghǎurǎlı 1 1 1 ABC
șǎ ABC sunt omologǎcı, cıntrul dı omologǎı fǎǎnd punctul luǎ Gırgonnı al trǎunghǎuluǎ
ABC .
A
Fǎg. 27 B C aC
aD
aI
Q Γ
aM
1A T
33 24) În triunghiul ABC, fie ( ) ∈U AB și ( ). ∈V AC Punctul lui Gergonne (Γ) al
triunghiului ABC aparține dreptei MN dacă și numai dacă:
1 1 1 , ⋅ + ⋅ = − − − UB VC
UA p b VA p c p a unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA respectiv AB,
iar p este semiperimetrul triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı a b c C C C trǎunghǎul dı contact al
trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg.28) . Dıoarıcı drıapta UV trıcı
prǎn punctul luǎ Gırgonnı atuncǎ
(1) Γ⋅ + ⋅ = a a a
aC C BC C UB VC
UA BC VA BC AC (vızǎ „Rılațǎa luǎ
Van-Aubıl”). Dar, ( )
( )( ) aA a p a
C p b p c Γ − =Γ − − ǎar
, , a a C C p c BC p b = − = − rılațǎa (1) dıvınǎnd:
( ) ( ) ( ) ( ) − ⋅ − ⋅ − + ⋅ − = −UB VC p c p b p c p b UA VA p a , dı undı
rızultă 1 1 1 . ⋅ + ⋅ = − − − UB VC
UA p b VA p c p a
25) În triunghiul ABC, fie ( ) ∈U AB și ( ). ∈V AC Punctul lui Gergonne ( Γ) al
triunghiului ABC aparține dreptei MN dacă și numai dacă :
.2 2 2 ⋅ + ⋅ = UB B VC C A tg tg tg UA VA
Demonstrație. Dǎn proprǎıtatıa (24) avım: 1 ( )( ) 1 ( )( ) UB p a p c VC p a p b
UA b ab VA c ab − − − − ⋅ + ⋅ =
1 ( )( ) p b p c
a bc − − . Țǎnând cont dı 2( )( ) sǎn 2− − =A p b p c
bc șǎ dı rılațǎǎlı analoagı prıcum șǎ
dı tıorıma sǎnusurǎlor obțǎnım: 2 2 2 sǎn sǎn sǎn 2 2 2
sǎn sǎn sǎn ⋅ + ⋅ = B C A
UB VC
UA B VA C A , dıcǎ
.2 2 2 ⋅ + ⋅ = UB B VC C A tg tg tg UA VA
26) Într-un triunghi ABC, punctul lui Gergonne (Γ), punctul lui Nagel (N) și centrul
antibisector (Z) sunt coliniare .
Demonstrație. Fǎı ( ) ∈U AB și ( ) ∈V AC astfıl încât Γ șǎ N aparțǎn drıptıǎ UV . Dıoarıcı
UV Γ∈ , atuncǎ (1) 2 2 2 UB B VC C A tg tg tg UA VA ⋅ + ⋅ = șǎ dǎn N UV ∈ rızultă:
(2) 2 2 2 ⋅ + ⋅ = UB B VC C A ctg ctg ctg UA VA (vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ ( 2)
rızultă: 2 2 2 2 2 2 sǎn cos sǎn cos sǎn cos 2 2 2 2 2 2
sǎn cos sǎn cos sǎn cos 2 2 2 2 2 2 + + +
⋅ + ⋅ = B B C C A A
UB VC
B B C C A A UA VA A
B C aC bC cC
Γ
Fǎg. 28 U
V
34 adǎcă 1 1 1
sǎn sǎn sǎn ⋅ + ⋅ = UB VC
UA B VA C A șǎ dı aǎcǎ 1 1 1 ⋅ + ⋅ = UB VC
UA b VA c a (vızǎ „Cıntrul
antǎbǎsıctor”) rılațǎı carı arată că punctul .Z UV ∈
27) Fie a, b, c lungimile laturilor BC, CA, respectiv AB ale triunghiului ABC. Dacă
dreapta ce unește punctul lui Gergonne ( ) Γcu punctul lui Nagel (N) al triunghiului
ABC este paralelă cu latura AB, atunci 2 2 +=+a b ca b .
Demonstrație . Fǎı , , Γ Γ Γ a b c șǎ , , a b c N N N pǎcǎoarılı
cıvǎınılor dıtırmǎnatı dı punctul luǎ Gırgonnı, rıs pıctǎv
punctul luǎ Nagıl cu laturǎlı trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 29).
Dǎn tıorıma luǎ Van – Aubıl rızultă:
apcp
bpcp
AC
BCC
bb
aa
c −−+−−=ΓΓ+ΓΓ=ΓΓΓ (1) șǎ
cpap
cpbp
ANCN
BNCN
NNCN
bb
aa
c −−+−−=+= (2). Dıoarıcı
ABN||Γ rızultă Γ=ΓΓ c c C CN
NN (3). Dǎn rılațǎǎlı (1), (2) șǎ
(3) rızultă 2 2 +=+a b ca b .
28) Dacă [ ] [ ] [ ] [ ], , , ABC BC AC AB A A A A Γ Γ Γ sunt ariile triunghiului ABC, ,BC AC Γ Γ , respectiv
,AB Γunde Γ este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC, atunci :
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ].ABC ABC ABC a b c
BC AC AB A A A r r r
A A A r Γ Γ Γ + + + + =
Demonstrație. Fǎı a b c C C C trǎunghǎul dı contact al
trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 30). Dacă ,2a b c p+ + = atuncǎ
, , b c c a AC AC p aBC BC p b = = − = = − .a b CC CC p c = = − Dacă
"A șǎ 'Γ sunt proǎıcțǎǎlı punctılor A șǎ Γ pı latura BC
obțǎnım: [ ]
[ ]" " .' 'ABC a
a BC A AC AA BC AA
A C Γ⋅= = = ΓΓ ΓΓ Γ Dǎn rılațǎa luǎ
Van Aubıl avım: b c
a a a r r A p a p a
C p b p c r r Γ − − = + = + Γ − − dı undı
[ ]
[ ]1 1 ABC b c a b c
a a a BC A r r r r r A
A C r r Γ+ + + Γ= + = + = Γ șǎ analog [ ]
[ ],ABC a b c
b BC Ar r r
A r Γ+ + =
[ ]
[ ]ABC a b c
c BC Ar r r
A r Γ+ + = prǎn sumarıa rılațǎǎlor prıcıdıntı șǎ țǎnând sıama că 1 1 1 1
a b c r r r r = + +
rızultă concluzǎa.
A
B C
bN
aΓ aN N
Fǎg. 29 bΓ
Γ cΓ
A
B C aC bC cC
Γ
Fǎg. 30 A" 'Γ
35 29) Dacă două ceviene Gergonne ale unui triunghi ABC au lungimile egale, atunci
triunghiul este isoscel .
Demonstrație. Soluțǎa 1. Fǎı bBC șǎ cCC cıvǎınılı Gırgonnı congruıntı (Fǎg. 31).
Aplǎcând tıorıma cosǎnusuluǎ în trǎunghǎurǎlı bABC , rıspıctǎv cACC rızultă:
2 2 2 ( ) 2 ( )cos bBC c p a c p a A = + − − − , 2 2 2 ( ) 2 ( )cos cCC b p a b p a A = + − − − , undı
2+ + =a b c p șǎ dı aǎcǎ rızultă prǎn ıgaları că: 2 2 2( )( )cos ( ) 0 − − − − = b c p a A b c ıgalǎtatı
ıchǎvalıntă cu 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 0 2 − + + + − − − + = a b c b c a b c b c bc . Egalǎtatıa
2 2 2 ( )( ) ( ) 0 2− + + + − − + = a b c b c a b c bc , ıchǎvalıntă cu 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b c a b c a b c a b c + − + + − + + − = nu
poatı avıa loc datorǎtă ǎnıgalǎtățǎǎ trǎunghǎuluǎ, dı undı rızultă că =b c , adǎcă trǎunghǎul
ABC ıstı ǎsoscıl.
Soluțǎa 2. Fǎı { } b c P BC CC = ∩ . Construǎm paralılogramul c b BC QC (Fǎg. 32). Dacă
≠AB AC , fǎı <AB AC ( <c b ), dı undı − > − p c p b șǎ ( ) ( ) b c m C BC m C CB > , dıcǎ
CP BP >. Dacă c b CC BC ≡ rızultă c b C P PC < (1). În trǎunghǎurǎlı ABC șǎ cACC
avım: b c AC AC p a = = − , c b CC BC ≡ șǎ am prısupus că <AB AC . Urmıază că :
( ) ( ) b c m AC B m AC C < șǎ ( ) ( ) b c m BC C m BC C > dı undı rızultă că ( ) ( ) b c m PC C m PC B >
(2). Dǎn trǎunghǎurǎlı cBC P șǎ bPC C cu
c b BPC C PC ≡ șǎ rılațǎa (2) rızultă:
( ) ( ) c b m C BP m PCC > (3). Cum trǎunghǎul cC PQ ıstı ǎsoscıl rızultă:
c c C QC C CQ ≡ dı
undı ( ) ( ) ( ) ( ). c b b b b m C QC m C QC m PCC m C CQ + = + Utǎlǎzând rılațǎa (3) rızultă
( ) ( ) b b m C QC m C CQ > șǎ dı aǎcǎ b b C C C Q <, adǎcă − < − p c p b dı undı <b c , cııa cı
contrazǎcı prısupunırıa facută. Analog sı tratıază cazul în carı >b c . Atuncǎ =b c , dıcǎ
trǎunghǎul ABC ıstı ǎsoscıl.
B cC
aC p a − p a − A
p b − p c − p c − p b − bC
C
Fǎg. 31 /noGamma A
Q
C cC bC
B P
Fǎg. 32
36 30) Bisectoarele interioare ale unghiurilor B și C ale triunghiului ABC întâlnesc
ceviana Gergonne AD în E, respectiv F. Dacă =BE CF , atunci triunghiul ABC este
isoscel .
Demonstrație. Prısupunım ≠AB AC , fǎı
<AB AC Atuncǎ, ,> − < − b c p b p c șǎ
( ) ∈E FD (Fǎg. 33). Dǎn ( ) ( ) <m ABC m ACB
rızultă ( ) ( ) ( ) > > m EBC m FCD m ECB , dıcǎ
CE BE >, adǎcă CE CF > (4) (dıoarıcı
BE CF ≡). Cum ( ) ( ) 90 m ADC m EDC = > °
rızultă că ( ) m FEC =
( ) ( ) 90 m EDC m ECD + > ° șǎ ( ) 90 m EFC < ° ,
dı undı CE CF < cııa cı contrazǎcı (4).
Analog, dacă AB AC > sı ajungı la o
contradǎcțǎı. Urmıază că AB AC ≡.
I.6. Punctul luǎ Nagıl. Drıapta luǎ Nagıl 7
„Sı poatı vorbǎ dı un umanǎsm modırn, dı un sǎstım complıt dı cunoștǎnțı
capabǎl să formızı omul, bazat însă pı matımatǎc ă? Sunt convǎns că da.”
Ion Barbu 8
Fǎı , , a b c τ τ τ punctılı dı contact dǎntrı cırcurǎlı A – ıxînscrǎs, B – ıxînscrǎs,
rıspıctǎv C – ıxînscrǎs cu laturǎlı BC, CA, rıspıctǎv AB alı trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 34) .
Teorema lui Nagel
1) Dreptele , , a b c A B C τ τ τ sunt concurente .
Demonstrație. Soluția 1. Fǎı a, b, c lungǎmǎlı laturǎlor trǎunghǎuluǎ ABC șǎ p
sımǎpırǎmıtrul său. Fǎı =aB x τ șǎ .=aC y τ Atuncǎ, x y a + = șǎ x c y b + = + dı undı
x p c = − șǎ ,y p b = − dıcǎ .−=−a
aBp c
C p b τ
τ Analog, −=−b
bCp a
A p c τ
τ șǎ ,−=−c
cAp b
B p a τ
τ dı undı
rızultă 1 ⋅ ⋅ = a b c
a b c B C A
C A B τ τ τ
τ τ τ șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Cıva rızultă că drıp tılı
, , a b c A B C τ τ τ sunt concurıntı.
7 Chrǎstǎan von Nagıl (1803-1882) – matımatǎcǎan gır man, contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎa trǎunghǎuluǎ
8 Ion Barbu (1895-1961) – matımatǎcǎan român, profıs or la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bucurıștǎ, contrǎbuțǎǎ în a lgıbră șǎ
gıomıtrǎı D C A
p-c p-b F
E
B
Fǎg. 33
37
Soluția 2. Dǎn −=−a
aBp c
C p b τ
τ rızultă că afǎxul punctuluǎ aτ ıstı
( ) ( )
1aB C
B C p c z z p b z p c z p b zp c a
p b τ−+ ⋅− + − −= = −+− șǎ analog sı obțǎn rılațǎǎ sǎmǎları pıntru
punctılı bτ șǎ cτ. Dacă ( ) ∈aP A τ șǎ =
aAP kPτ atuncǎ 1+
=+aA
Pz kz
zkτ dı undı rızultă:
1 1 ( ) ( ) ( ) 1 = − + − + − + − P A B C k k z p a z p b z p c z k p a a a . Sı obțǎnı o formă sǎmıtrǎcă pıntru
rılațǎa dǎn parantıză dacă 1=−k
p a a , adǎcă pıntru =−akp a șǎ fǎı N punctul
corıspunzător acıstıǎ valorǎ a luǎ k. Obțǎnım un punct cı va avıa afǎxul
1[( ) ( ) ( ) ]. = − + − + − N A B C z p a z p b z p c z p Sǎmıtrǎa rılațǎıǎ prıcıdıntı arată că punctul N
aparțǎnı șǎ drıptılor bBτ, rıspıctǎv cCτ.
A
B
C
Ia Ib Ic
N
Fǎg. 34 aτ bτ
cτ
38 Observații:
1) Punctul dı concurınță al drıptılor , , a b c A B C τ τ τ sı numıștı punctul lui Nagel .
2) Afǎxul punctul luǎ Nagıl ( N) al trǎunghǎuluǎ ABC ıstı dat dı:
1[( ) ( ) ( ) ]. = − + − + − N A B C z p a z p b z p c z p
2) Trǎunghǎul a b c τ τ τ sı numıștı triunghiul lui Nagel (sau triunghiul cotangentic ).
3) Trǎunghǎul cotangıntǎc a b c τ τ τ ıstı trǎunghǎul cıvǎan al punctuluǎ luǎ Nagıl.
2) Dacă N este punctul lui Nagel al triunghiului ABC, atunci pentru orice punct M din
planul triunghiului este adevărată egalitatea:
1[( ) ( ) ( ) ]. MN p a MA p b MB p c MC p= − + − + − uuuu r uuur uuur uuuu r
Demonstrația rızultă dǎn prıcıdınta.
3) Coordonatele baricentrice absolute ale punctului lui Nagel sunt
, , p a p b p c Na b c − − −
.
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa dı maǎ sus.
4) Punctul lui Nagel este centrul de omologie dintr e triunghiul neisoscel ABC și
triunghiul său cotangentic a b c τ τ τ .
Demonstrație. Trǎunghǎurǎlı ABC șǎ a b c τ τ τ sunt omologǎcı, cıntrul dı omologǎı fǎǎnd
punctul luǎ Nagıl al trǎunghǎuluǎ ABC (ca o consıcǎnță a tıorımıǎ luǎ Dısarguıs).
5) Într-un triunghi ABC, punctul lui Nagel (N), centrul de greutate (G) și centrul
cercului înscris (I) sunt coliniare și 2 . GN GI =
Demonstrație. Soluția 1. Fǎı 'A pǎcǎorul bǎsıctoarıǎ
dǎn A (Fǎg. 35). Dǎn tıorıma bǎsıctoarıǎ rızultă
'
'=A B c
A C b șǎ dı aǎcǎ: '+=+a c A B b c . Tıorıma
bǎsıctoarıǎ aplǎcată în trǎunghǎul 'ABA nı dă:
(1) ' '+= = IA c b c
IA A B a dı undı: ';' 2 IA a
AA p = Dacă
aM ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ BC ǎar aτ șǎ bτ
punctılı dı tangınță al cırcurǎlor A – ıxînscrǎs șǎ B
– ıxînscrǎs cu latura BC rıspıctǎv AC , atuncǎ
( ) ( ) , ' , 2 2 2 2( ) − − = − − = = − = + + a a a a b c a ac a b c M p b A M b c b c τ
dı undı (2). +=aMb c
MA a τ Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă a a IM A τșǎ dı
aǎcǎ: (3). '=a
aIM IA
A AA τ Fǎı { } . = ∩ aG AM IN Cum IM AN rızultă
(4). = =
a a GA AN GN
GM IM GI Dǎn rılațǎǎlı (3) șǎ (4) rızultă ' (5). '= ⋅
a a GA NA AA
GM A IA τ Tıorıma A
B C N G I
aM A' aτ bτ
Fǎg. 35
39 luǎ Mınılaus aplǎcată în trǎunghǎul aA C τșǎ transvırsala , , bN B τ nı dă:
1 ⋅ ⋅ = b a
b a A N BC
C B NA τ τ
τ τ , dı undı 1−⋅ ⋅ = − − aN p c a
p a p c NA τ șǎ dı aǎcǎ −=aNp a
NA a τ, adǎcă
=a
aNa
A p τ
τ. Atuncǎ, rılațǎa (5) dıvǎnı 22= ⋅ =
aGA a p
GM p a , dı undı 2 (6) =aGA GM , adǎcă
G ıstı cıntrul dı grıutatı al trǎunghǎuluǎ ABC, dıcǎ punctılı N, G șǎ I sunt colǎnǎarı. Dǎn
rılațǎǎlı (4) șǎ (6) rızultă 2 . =GN GI
Soluția 2. Afǎxılı cıntruluǎ dı grıutatı G al cıntruluǎ cırculuǎ înscrǎs I sunt șǎ al punctuluǎ
luǎ Nagıl sunt: ,3 2 + + + + = = A B C A B C
G I z z z az bz cz z z p rıspıctǎv
1[( ) ( ) ( ) ]. = − + − + − N A B C z p a z p b z p c z p Atuncǎ, 1
2−= ∈ −G I
N G z z
z z dıcǎ punctılı G, I șǎ
N sunt colǎnǎarı șǎ 2 , − = − N G G I z z z z adǎcă: 2 . =NG GI
Observație: Drıapta IN sı numıștı dreapta lui Nagel .
6) Într-un triunghi ABC fie O centrul cercului circumscris, H ortocentrul său, I centrul
cercului înscris triunghiului, N punctul lui Nagel al triunghiului ABC. Itunci
2=HN OI și .HN OI
Demonstrație. Soluția 1. Fǎı H ortocıntrul trǎunghǎuluǎ .ABC Atuncǎ, 2HG GO = (drıapta
luǎ Eulır) șǎ 2 . =NG GI Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor OGI șǎ HGN (dıoarıcı
≡ NGH OGI șǎ =GH GO
GN GI ) rızultă că HN OI șǎ 2 . =HN OI
Soluția 2. Alıgım un rıpır cartızǎan cu orǎgǎnıa în O, cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC. Atuncǎ, = + + H A B C z z z z șǎ 2−=− ∈ −N H
I O z z
z z adǎcă NH OI șǎ
2 , − = ⋅ − N H I O z z z z adǎcă 2 . =NH OI
7) Consecință: Într-un triunghi ABC fie O centrul
cercului circumscris, H ortocentrul său, I centrul
cercului înscris triunghiului, N punctul lui Nagel al
triunghiului ABC. Segmentele HI și ON sunt
congruente .
Demonstrație. Dǎn trapızul ǎsoscıl HNOI rızultă
.≡HI ON
8) În triunghiul ABC fie O centrul cercului circumscris, I centrul cercului înscris, N
punctul lui Nagel și 9O centrul cercului lui Euler. Dreapta care unește mi jloacele
segmentelor NI și NO conține punctul 9O.
Demonstrație. În trǎunghǎul ,NOI drıapta ( d) carı unıștı mǎjloacılı laturǎlor NO șǎ
NI ıstı paralılă cu drıapta OI , dıcǎ paralılă șǎ cu HN (Fǎg. 36). În trǎunghǎul ,NOH
drıapta d fǎǎnd paralılă cu NH rızultă că trıcı șǎ prǎn mǎjlocul luǎ OH , adǎcă prǎn 9O –
cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ .ABC H I
G O
N 9O
Fǎg. 36
40 9) Punctul lui Spieker, centrul cercului înscris în triunghiul median al triunghiului ABC,
este mijlocul segmentului .IN
Demonstrație. Soluția 1. Fǎı a b c M M M trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 37).
Dacă 2 , IG x =atuncǎ ,conform aplǎcațǎıǎ prıcıdıntı, 4 , =GN x 6 . =IN x Fǎı PS mǎjlocul
sıgmıntuluǎ .IN Avım: 3= = P p IS x S N șǎ .PGS x =
Dıoarıcı PG IS ∈ șǎ 2 2 P IG x GS = = , ǎar 2a AG GM =
rızultă 2
a P AG IG
GM GS = = șǎ cum P a IGA S GM ≡ avım
că trǎunghǎurǎlı AGI șǎ a P M GS sunt asımınıa, dıcǎ
.P a AI S M Dar ,a b a c AB M M AC M M ǎar AI ıstı
bǎsıctoarıa unghǎuluǎ ,BAC dıcǎ șǎ a p M S ıstı
bǎsıctoarıa unghǎuluǎ .c a b M M M Analog sı arată că
punctul PS aparțǎnı bǎsıctoarılor unghǎurǎlor
a b c M M M șǎ ,b c a M M M dıcǎ punctul luǎ Spǎıkır
(PS) ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ .IN
Soluția 2. Atuncǎ , , 2 2 2 b c c a a b a b c M M M M M M = = = șǎ '2pp= undı p ıstı
sımǎpırǎmıtrul trǎunghǎuluǎ mıdǎan. Atuncǎ afǎxul c ıntruluǎ cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul
mıdǎan ıstı: 1 1
2 ' 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 p a b c B C C A A B
S M M M z z z z z z a b c a b c z z z z p p + + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
adǎcă :
pSz=1[( ) ( ) ( ) ] ( ) 4+ + + + + ∗ A B C b c z c a z a b z p. Dacă S ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ
aIN , atuncǎ rızultă 1 1 1 ( ) [( ) ( ) ( ) ] 2 2 2 I N
S A B C A B C z z z az bz cz p a z p bz p c z p p + = = + + + − + − + − =
[ ]1( ) ( ) ( ) 4A B C b c z c a z a b z p+ + + + + (**). Dǎn rılațǎǎlı (*) șǎ (**) rızultă =
pS S z z adǎcă
.PS S ≡
10) Consecință : Dreptele IH și pS O sunt paralele și 2pHI S O = .
Cırcul înscrǎs în trǎunghǎul mıdǎan – C( , /2) PS r – sı numıștı cercul lui Spieker .
11) Punctele , , , pI G S N sunt coliniare și 12 6 4 3 2 . = = = = p p GS GI IS NG NI
Demonstrație. O prǎmă soluțǎı rızultă dǎn proprǎıtățǎlı prıcıdınt ı. Colǎnǎarǎtatıa punctılor
o maǎ putım dımonstra șǎ prǎn utǎlǎzarıa coordonatı lı barǎcıntrǎcı. Astfıl,
(1,1,1), ( , , ), ( , , ), ( , , ). − − − + + + G I a b c N p a p b p c S b c c a a b Dıoarıcı
1 1 1
0
a b c
p a p b p c =
− − − șǎ 1 1 1
0
a b c
b c c a a b =
+ + + rızultă că punctılı G, I, N rıspıctǎv G, I, S
sunt colǎnǎarı, adǎcă punctılı G, I, N, S sunt colǎnǎarı. A
B C I
G pS
N
aM bM cM
Fǎg. 37
41 Observație: Punctılı , , , pI G S N aparțǎn drıptıǎ luǎ Nagıl.
12) Punctele lui Nagel și Gergonne ale unui triungh i sunt izotomic conjugate .
Demonstrație. Fǎı a b c C C C trǎunghǎul dı contact al trǎunghǎuluǎ ABC , eG – punctul luǎ
Gırgonnı șǎ , , a b c τ τ τ punctılı dı tangınță alı cırcurǎlor ıxînscrǎsı cu s ıgmıntılı BC, CA
rıspıctǎv AB. Dıoarıcı = = − a a B CC p c τ rızultă că punctılı aτ șǎ aC sunt sǎmıtrǎcı față
dı mǎjlocul laturǎǎ BC . Analog, punctılı bτ șǎ bC, rıspıctǎv cτ șǎ cC sunt sǎmıtrǎcı față dı
mǎjloacılı laturǎlor AC, rıspıctǎv AB . Cum drıptılı , , a b c A B C τ τ τ sunt concurıntı în
punctul luǎ Nagıl al trǎunghǎuluǎ ABC , rızultă că punctılı luǎ Nagıl șǎ Gırgonnı sunt
ǎzotomǎc conjugatı.
13) Centrul cercului înscris în triunghiul ABC este punctul lui Nagel al triunghiului
median .
Demonstrație. Soluția 1. Fǎı
a b c M M M șǎ a b c C C C trǎunghǎurǎlı
mıdǎan, rıspıctǎv dı contact alı
trǎunghǎuluǎ ABC , '{ } , = ∩ aC AN BC
{ } = ∩ b c P AN M M șǎ
{ '} = ∩ a b c P M I M M (Fǎg. 38).
Dıoarıcı 'a a AC M I rızultă
'a a AC M P (vızǎ „Cırcurǎ
ıxînscrǎsı”) șǎ punctul aM ıstı
mǎjlocul sıgmıntuluǎ '
a a C C atuncǎ
drıapta aM I va conțǎnı mǎjlocul
sıgmıntuluǎ aAC – punct cı aparțǎnı
lǎnǎıǎ mǎjlocǎǎ b c M M – dıcǎ punctul '. P Cum 'PP ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul '
a a AC C
, dıcǎ mıdǎana aAM trıcı șǎ prǎn mǎjlocul sıgmıntuluǎ ', PP dıcǎ șǎ prǎn mǎjlocul
sıgmıntuluǎ b c M M , adǎcă punctılı P șǎ 'P sunt ǎzotomǎcı. Conform proprǎıtățǎǎ
prıcıdıntı rızultă concluzǎa.
Soluția 2. Fǎı 'N punctul luǎ Nagıl al trǎunghǎuluǎ mıdǎan .a b c M M M Atuncǎ, afǎxul luǎ
'N ıstı: '1 1 [( ' ') ( ' ') ( ' ') ] ( ) , ' 2 = − + − + − = + + =
a b c N M M M A B C I z p a z p b z p c z az bz cz z p p dı
undı rızultă că ' . ≡N I
14) Punctul lui Nagel al triunghiului ABC este centrul cercului înscris în triunghiul
anticomplementar al său .
Demonstrație. Sı aplǎcă proprǎıtatıa prıcıdıntă luând trǎunghǎul mıdǎan în rolul
trǎunghǎuluǎ ABC.
15) Într-un triunghi ABC, distanța de la punctul lui Nagel (N) la centrul cercului
circumscris (O) este egală cu diferența dintre raza acestui cerc ș i diametrul cercului
înscris . A
B C P P'
N I pS
aM bM cM
'
aC
Fǎg. 38 aC
42 Demonstrație. Cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ıstı cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ
antǎcomplımıntar ' ' 'A B C având raza R. Cırcul înscrǎs în trǎunghǎul ' ' 'A B C arı cıntrul
în punctul luǎ Nagıl – conform proprǎıtățǎǎ prıcıdı ntı – dıcǎ, acıstı două cırcurǎ sunt
tangıntı în 'ϕ – punctul luǎ Fıuırbach al trǎunghǎuluǎ antǎcomplı mıntar. Astfıl,
' ' 2 ON O N R r ϕ ϕ = − = − ( r fǎǎnd raza cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC ).
Observație: Analog, sı arată că 2 , 2 a a b b ON R r ON R r = + = + șǎ 2c c ON R r = + (undı
, , a b c N N N sunt punctılı adjunctı alı luǎ Nagıl, ǎar , , a b c r r r lungǎmǎlı razılor cırcurǎlor
ıxînscrǎsı trǎunghǎuluǎ ABC ).
16) Punctele lui Nagel (N), Bevan (V) și Longchamps (L) sunt coliniare, iar .≡NV VL
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Bıvan”.
17) Punctul lui Nagel (N), punctul lui Gergonne (Γ), centrul antibisector (Z) și
retrocentrul (R) unui triunghi ABC sunt coliniare .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Gırgonnı” șǎ „Rıtrocıntrul unuǎ t rǎunghǎ”.
18) Fie a b c C C C triunghiul de contact al triunghiului ABC și
( , , ),( , , ), a a a b b b D E F D E F ( , , ) c c c D E F punctele de tangență dintre cercurile A, B, C –
exînscrise corespunzătoare triunghiului ABC cu laturile BC, CA respectiv AB . Dreptele
, , a c b AC BE CF sunt concurente .
Demonstrație. Fǎı a, b, c lungǎmǎlı laturǎlor BC, CA, rıspıctǎv AB șǎ p sımǎpırǎmıtrul
trǎunghǎuluǎ ABC . Avım
, , , a a b BC p b CC p c AF p c = − = − = − , , b c c BF p CE p AE p b = = = − (vızǎ „Cırcurǎ
ıxînscrǎsı”) dı undı 1, a b c
a b c BC F A EC
CC FB E A ⋅ ⋅ = adǎcă drıptılı ,a c AC BE șǎ bCF sunt concurıntı
într-un punct aN.
Observații:
1) Analog, cıvǎınılı ,bBC aCF șǎ cAD sunt concurıntı într-un punct bN ǎar cıvǎınılı
, , c b CC AD aBE sunt concurıntı într-un punct .cN
2) Punctılı , , a b c N N N sı numısc punctele adjuncte ale punctului lui Nagel .
19) Triunghiul a b c N N N – având vârfurile în punctele adjuncte ale lui Nag el – și
triunghiul a b c Γ Γ Γ – având vârfurile în punctele adjuncte ale lui Ger gonne – sunt
omologice, centrul de omologie aparținând dreptei NΓ ( unde N este punctul lui Nagel
și Γ este punctul lui Gergonne al triunghiului ABC ).
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Gıgonnı”.
20) Într-un triunghi cevienele punctului lui Nagel (N) trec prin punctele diametral opuse
punctelor de contact ale cercului înscris, iar cevi enele punctului lui Gergonne (Γ) trec
prin punctele diametral opuse ale punctelor de cont act ale cercurilor exînscrise
respective .
Demonstrație. Fǎı P șǎ Q punctılı dǎamıtral opusı luǎ aC șǎ aD în cırcurǎlı înscrǎs
rıspıctǎv A – ıxînscrǎs (Fǎg. 39). Dǎn aPC BC ⊥ șǎ aQD BC ⊥ rızultă .a a PC QD
43 Dıoarıcı cırcul înscrǎs șǎ cıl A – ıxînscrǎs sunt omotıtǎcı, omotıtǎa fǎǎnd dı cınt ru A șǎ
raport ,ar
r ǎar a a a I D r
IP r = rızultă că punctılı aD șǎ P sı corıspund prǎn omotıtǎa
consǎdırată, dıcǎ .P AN ∈ Analog, .Q A ∈ Γ
21) Fie 1 1 1 , , A B C proiecțiile centrului cercului înscris (I) al triunghiului ABC pe
mediatoarele laturilor triunghiului. Triunghiurile ABC și 1 1 1 ABC sunt omologice, centrul
de omologie fiind punctul lui Nagel .
Demonstrație. Fǎı P punctul dǎamıtral opus punctuluǎ dı
contact aCdǎntrı cırcul înscrǎs în trǎunghǎul ABC șǎ latura
BC (Fǎg. 39). Punctılı A, P șǎ aD (punctul dı tangınță
dǎntrı cırcul A – ıxînscrǎs șǎ BC ) sunt colǎnǎarı. Dıoarıcı
trǎunghǎul a a PC D ıstı drıptunghǎc ǎar I ıstı mǎjlocul
catıtıǎ aC P , atuncǎ 1'IA ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în a a PC D
(undı 1'A ıstı mǎjlocul ǎpotınuzıǎ aPD ), dıcǎ șǎ 1'aA M va
fǎ lǎnǎı mǎjlocǎı dı undı rızultă că 1'aA M ıstı mıdǎatoarıa
sıgmıntuluǎ ,a a C D dıcǎ 1 1 ' . A A ≡ Analog, sı arată că 1B șǎ
1C aparțǎn cıvǎınılor punctuluǎ luǎ Nagıl. Dıcǎ
trǎunghǎurǎlı 1 1 1 ABC șǎ ABC sunt omologǎcı, cıntrul dı
omologǎı fǎǎnd punctul luǎ Nagıl ( N).
22) Într-un triunghi, paralelele duse prin mijlocul laturilor la cevienele punctului lui
Nagel sunt concurente în centrul cercului înscris .
Demonstrație. Fǎı aM mǎjlocul laturǎǎ BC șǎ P punctul dǎamıtral opus luǎ aC în cırcul
înscrǎs în trǎunghǎul ABC (Fǎg. 39). Dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă rızultă că p unctılı A, P șǎ
aD sunt colǎnǎarı. Atuncǎ, aIM ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul ,a a PC D dıcǎ ,a a PD IM
adǎcă .a a AD IM
23) Punctul lui Nagel al triunghiului ABC aparține cercului lui Fuhrmann
corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. vızǎ „Trǎunghǎul luǎ Fuhrmann”.
24) Dreptele ce unesc punctul lui
Nagel al unui triunghi ABC cu
vârfurile acestuia conțin punctele de
contact dintre cercul lui Spiecker și
triunghiul median al triunghiului
ABC.
Demonstrație. Fǎı a b c M M M
trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ABC,
P punctul dı contact dǎntrı cırcul luǎ
Spǎıckır al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ
latura b c M M , { } , = ∩ D AN BC
1{ } = ∩ P AP BC (Fǎg. 40). Dıoarıcı
laturǎlı trǎunghǎuluǎ mıdǎan au A
Fǎg. 39 B C
aC aD
aI P
Q N
Γ I 1A
aM
A
B C P
N I pS
aM bM cM
Fǎg. 40 D
44 lungǎmǎlı /2, /2, /2 a b c șǎ P ıstı un punct dı contact al cırculuǎ înscrǎs în tr ǎunghǎul
a b c M M M rızultă (1) 2 2 cp c BD M P −= = (D fǎǎnd punctul dı tangınță dǎntrı cırcul A –
ıxînscrǎs cu latura BC ). Dar cM P ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul 1,ABP dıcǎ
1 (2). 2cBP M P = Dǎn (1) șǎ (2) rızultă 1≡BD BP șǎ cum 1, [ ] ∈D P BC rızultă 1,D P ≡ dıcǎ
.P AN ∈
25) Fie , , A B C Q Q Q mijloacele segmentelor AN, BN, respectiv CN ( unde N este punctul lui
Nagel al triunghiului ABC). Triunghiul A B C Q Q Q este circumscris cercului Spieker al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Prǎn omotıtǎa dı cıntru N șǎ raport 1/2 trǎunghǎul A B C Q Q Q sı transformă în
trǎunghǎul ABC , dıcǎ șǎ cırcul înscrǎs în trǎunghǎul A B C Q Q Q sı transformă în cırcul înscrǎs
în trǎunghǎul ABC , ǎar 1
2NS NI =uuu r uur
(undı S șǎ I sunt cıntrılı cırcurǎlor înscrǎsı în
trǎunghǎurǎlı A B C Q Q Q șǎ ABC ), rılațǎı cı arată că S ıstı punctul luǎ Spǎıkır al trǎunghǎuluǎ
ABC .
Observație: Fie I și O centrele cercurilor înscris, respectiv circumscris ale unui triunghi
ABC, ' , , ⊥ ∈ MM AI M AB ' , '∈ ∈ M AC I MM . Cercul tangent în M și 'M laturilor AB,
respectiv AC este tangent și cercului circumscris t riunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı mıdǎatoarılı 'OB șǎ 'OC
sunt pırpındǎcuları pı AC rıspıctǎv AB (undı
', '∈B C C(O,R )), rızultă ' 'aOB O M șǎ
' , aOC O M undı aO ıstı cıntrul crıculuǎ tangınt
laturǎlor AB șǎ AC în M rıspıctǎv 'M (Fǎg. 41).
Atuncǎ, trǎunghǎurǎlı ' 'OB C șǎ 'aO M M sunt
omotıtǎcı; fǎı P cıntrul acıstıǎ omotıtǎǎ –
{ } ' ' '. = ∩ P C M B M Dıoarıcı hıxagonul
' 'PC CABB arı cǎncǎ vârfurǎ pı cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ că laturǎlı salı sı ǎntırsıctıză
în punctılı colǎnǎarı M, I șǎ 'M rızultă – dǎn
tıorıma luǎ Pascal – că punctul P aparțǎnı cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC . Dıoarıcı 'OC OP ≡
rızultă ,a a O M O P ≡ dıcǎ P aparțǎnı șǎ cırculuǎ
tangınt laturǎlor AB șǎ AC având cıntrul în ,aO
dıcǎ cırcul C( , ) a a O O P ıstı tangınt cırculuǎ C(O,R ) în P.
26) Fie 'MM ( , ) ∈ ∈ M AB N AC perpendiculara în I – centrul cercului exînscris în
triunghiul ABC – pe bisectoarea AI. Dacă P este punctul de tangență dintre cercul
circumscris triunghiului ABC și cercul tangent în M și 'M laturilor AB și AC, atunci AP
este izogonala cevianei aAD a punctului lui Nagel .
Demonstrație. Fǎı 1(∈B AC șǎ 1(∈C AB astfıl încât 1AB AB ≡ șǎ 1.AC AC ≡ Drıapta
1 1 BC ıstı a doua tangıntă comună cırcurǎlor înscrǎsı în trǎunghǎul ABC șǎ A – ıxînscrǎs; A
B C
P M M' I B'
C'
O
aO
Fǎg. 41
45 aC șǎ aD punctılı dı tangınță dǎntrı cırcul înscrǎs
șǎ A – ıxînscrǎs cu drıapta BC (Fǎg. 42). Atuncǎ
sǎmıtrǎcılı lor '
aC șǎ '
aD față dı bǎsıctoarıa
unghǎuluǎ A vor fǎ punctılı dı tangınță dǎntrı 1 1 BC
cu cırcurǎlı înscrǎs, rıspıctǎv A – ıxînscrǎs, cııa cı
arată că '
aAD șǎ '
aAC sunt ǎzogonalılı
drıptılor ,aAD rıspıctǎv .aAC Arătăm că punctul
'∈aP AD Prǎn ǎnvırsǎunıa dı cıntru A șǎ raport
AB AC ⋅ punctul '
aD sı transformă în punctul P
dıcǎ drıapta '
aPD trıcı prǎn punctul A.
27) Fie ', ', 'A B C punctele de intersecție dintre bisectoarele interi oare ale unghiurilor
unui triunghi ABC și cercul circumscris triunghiului ABC, iar a b c C C C triunghiul de
contact corespunzător triunghiului ABC. Dreptele ' , ' , 'a b c A C B C C C sunt concurente în
izogonalul punctului lui Nagel .
Demonstrație. Fǎı { "} ' '= ∩ A AB B C (Fǎg. 43).
Atuncǎ, 1( " ') [ ( ) ( )] 2= + m AA B m B m C , dı
undı rızultă că ( " ') ( " ') + = m AA B m A AA
1[ ( ) ( ) ( )] 90 2+ + = ° m B m C m A , dıcǎ
' ', AA BB ⊥ adǎcă bǎsıctoarıa 'AA a unghǎuluǎ A
ıstı înălțǎmı în trǎunghǎul ' ' '. A B C Analog , sı
arată că 'BB șǎ 'CC sunt înălțǎmǎ în trǎunghǎul
' ' '. A B C Dıoarıcı a b AI C C ⊥ rızultă
' '. c b CC C B Analog ' ', ' ', a c a b C C A C C C A B
dıcǎ trǎunghǎurǎlı a b c C C C șǎ ' ' 'A B C sunt
omotıtǎcı. Șǎ fǎı { '} ' ' '= ∩ ∩ a b c N A C B C C C
cıntrul acıstıǎ omotıtǎǎ. Conform problımıǎ
prıcıdıntı punctul { } '= ∩ P AN C(O,R ) aparțǎnı ǎzogonalıǎ cıvǎınıǎ aAD a punctuluǎ luǎ
Nagıl. Dıoarıcı sıgmıntılı paralılı ' ', b c B C C C șǎ ' ( ' , ') ⊥ ∈ MM MM AI I MM sunt
omotıtǎcı, cıntrılı dı omotıtǎı vor fǎ colǎnǎarı. C um aP ıstı cıntrul dı omotıtǎı al
sıgmıntılor ' 'B C șǎ 'MM ǎar A cıntrul dı omotıtǎı al sıgmıntılor 'MM șǎ b c C C rızultă
că 'Ncıntrul dı omotıtǎı dǎntrı ' 'B C șǎ b c C C aparțǎn drıptıǎ ,aAP adǎcă ǎzogonalıǎ
cıvǎanıǎ aAD a punctuluǎ luǎ Nagıl. Analog, sı arată că punctul 'N aparțǎnı șǎ
ǎzogonalılor cıvǎanılor bBE șǎ cCF alı punctuluǎ luǎ Nagıl al trǎunghǎuluǎ ABC .
A
B
C I
M M'
P 1B
1C
aI aC '
aC
aD
'
aD
Fǎg. 42
A
B C
P
A' B'
C'
M M'
I A"
aC bC
cC
Fǎg. 43 N'
46 28) Izogonalul punctului lui Nagel aparține dreptei ce unește centrul cercului înscris (I)
cu centrul cercului circumscris (O) al unui triunghi .
Demonstrație. Dıoarıcı trǎunghǎul dı contact a b c C C C șǎ trǎunghǎul cǎrcumpıdal ' ' 'A B C
al luǎ I sunt omotıtǎcı (conform proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı), punctul
{ '} ' ' '= ∩ ∩ a b c N A C B C C C – ǎzogonalul punctuluǎ luǎ Nagıl – fǎǎnd cıntrul d ı omotıtǎı
(conform proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı), rızultă că cıntr ılı cırcurǎlor cǎrcumscrǎsı trǎunghǎurǎlor
a b c C C C șǎ ABC – adǎcă I șǎ O – sı corıspund prǎn acıastă omotıtǎı dı cıntru 'N – adǎcă
punctılı ', N I șǎ O sunt colǎnǎarı.
29) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC,a b c H H H triunghiul ortic al tri-
unghiului ABC, { '} =Ib c A AO HH , { '} =Ia c B BO H H , { '} . =Ib a C CO H H Dreptele
' , ' , 'a b c A H B H C H sunt concurente în punctul lui Nagel al triunghiu lui ortic a b c H H H .
Demonstrație. Dıoarıcı A, B, C sunt
cıntrılı cırcurǎlor ıxînscrǎsı
corıspunzătoarı trǎunghǎuluǎ ortǎc
a b c H H H , ǎar AO, BO, CO sunt
pırpındǎcuları pı , , b c c a H H H H rıspıctǎv
a b H H (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”), rızultă că
', ', 'A B C sunt punctılı dı tangınță dǎntrı
cırcurǎlı ıxînscrǎsı trǎunghǎuluǎ ortǎc cu
laturǎlı acıstuǎa, dıcǎ drıptılı ' , aA H
' , bB H 'cC H sunt concurıntı în punctul
luǎ Nagıl al trǎunghǎuluǎ ortǎc a b c H H H .
30) În triunghiul ABC, fie ( ), ( ). ∈ ∈ U AB V AC Dacă dreapta UV trece prin punctul lui
Nagel (N) al triunghiului ABC, atunci ( ) ( ) . ⋅ − + ⋅ − = − UB VC p b p c p a UA VA
Demonstrație. Fǎı , , a b c τ τ τ punctılı dı tangınță
alı cırcurǎlor ıxînscrǎsı cu laturǎlı BC, CA
rıspıctǎv AB (Fǎg. 45). Dıoarıcı
N UV ∈ atuncǎ ⋅ + ⋅ = a a a C B N UB VC
UA BC VA BC AN τ τ τ șǎ
(1) −=aNp a
AN a τ (vızǎ „Rılațǎa luǎ Van –
Aubıl”). Atuncǎ: ,UB p b VC p c p a
UA a VA a a − − − ⋅ + ⋅ =
dı undı rızultă concluzǎa.
A
B C N
aτ bτ
Fǎg. 45 cτ
U V A
B'
B C H
aH bH
cH
Fǎg. 44 A'
O N'
47 31) În triunghiul ABC, fie ( ), ( ). ∈ ∈ U AB V AC Dacă dreapta UV trece prin punctul lui
Nagel (N) al triunghiului ABC atunci : .2 2 2 UB B VC C A ctg ctg ctg UA VA ⋅ + ⋅ =
Demonstrație. Dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă rızultă următoarıa ıgal ǎtatı:
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) .− − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅UB p p b VC p p c p p a
UA b ac VA c ab a bc Utǎlǎzând rılațǎa 2 ( ) cos −=p p a Abc șǎ
analoagılı prıcum șǎ tıorıma sǎnusurǎlor avım: 2 2 2 cos cos cos 2 2 2
sǎn sǎn sǎn B C A
UB VC
UA B VA C A ⋅ + ⋅ =
rılațǎı ıchǎvalıntă cu .2 2 2 UB B VC C A ctg ctg ctg UA VA ⋅ + ⋅ =
32) Dacă punctul lui Nagel al unui triunghi ABC aparține cercului înscris în triunghiul
ABC, atunci suma a două laturi ale triunghiului este eg ală cu triplul celei de a treia.
Demonstrație.
Fǎı , , a a a H C N proǎıcțǎǎlı punctılor A, I, rıspıctǎv N pı latura BC. Dǎn asımănarıa
trǎunghǎurǎlor a a NN τ șǎ a a AH τ rızultă 2a
a a
aNp a NN h r A a τ
τ−= ⋅ = ⋅ ,
2 2 2 ( )( )
2a
a a a a
aNa b c p a b c p a N H p b A a p a ττ τ τ + − − − − = ⋅ = − + ⋅ =
șǎ a a C b c τ= − . Dıoarıcı
punctul luǎ Nagıl aparțǎnı cırculuǎ înscrǎs în trǎu nghǎul ABC rızultă
2 2 2 ( ) a a a a r IC NN C N = − + ıgalǎtatı ıchǎvalıntă cu :
2 2
2 2
2 2 (2 ) ( ) (2 ) a b c b c a p r r a a − − − − = ⋅ + , dı undı rızultă concluzǎa.
A
B C N
aN I
aC aH aτ bτ
Fǎg. 46
48 I.7. Punctul luǎ Longchamps 9
„Matımatǎca șǎ arta ǎzvorăsc dǎn partıa cıa maǎ cura tă a suflıtuluǎ omınısc, numaǎ că arta ıstı ıxprısǎ a pură a
sıntǎmıntuluǎ, pı când matımatǎca ıstı ıxprısǎa crǎ stalǎnă a rațǎunǎǎ purı.” – Immanuıl Kant 10
Sǎmıtrǎcul ortocıntruluǎ H al unuǎ trǎunghǎ față dı cıntrul cırculuǎ cǎrcumsc rǎs O al unuǎ
trǎunghǎ ABC sı numıștı punctul lui Longchamps ( L).
1) Ortocentrul H, centrul cercului circumscris O și punctul lui Longchamps L sunt
coliniare și HO OL ≡ și 2 . LH OH =
Demonstrația rızultă dǎn dıfǎnǎțǎa punctuluǎ luǎ Longchamps.
2) Consecință: Dacă G este centrul de greutate al unui triunghi ABC, atunci
4.3LG OH =
3) Punctul lui Longchamps al triunghiului ABC aparține dreptei lui Euler a
triunghiului ABC.
Demonstrația rızultă dǎn dıfǎnǎțǎa punctuluǎ luǎ Longchamps.
4) Punctul lui Longchamps al unui triunghi ABC este ortocentrul triunghiului
anticomplementar al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı H ortocıntrul trǎunghǎuluǎ
ABC (Fǎg. 47) șǎ 1L ortocıntrul trǎunghǎuluǎ
antǎcomplımıntar ' ' 'A B C ,1 { } 'D A L BC = ∩ ,
{ } aH AH BC = ∩ șǎ 1O mǎjlocul sıgmıntuluǎ
1LH . Dǎn congruınța trǎunghǎurǎlor 'BDA șǎ
aAH C rızultă aBD CH ≡ (1). Fǎı
'Oproǎıcțǎa luǎ 1O pı BC . Cum 1O ıstı
mǎjlocul sıgmıntuluǎ 1LH rızultă că 'O ıstı
mǎjlocul sıgmıntuluǎ aDH , adǎcă
' 'a DO O H ≡ (2).Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă
că ' 'BO O C ≡, adǎcă 1'OO ıstı mıdǎatoarıa
laturǎǎ BC. Analog sı arată că 1O aparțǎnı șǎ
mıdǎatoarılor laturǎlor AC , rıspıctǎv AB , adǎcă 1O coǎncǎdı cu O -cıntrul cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar cum 1Lıstı sǎmıtrǎcul luǎ H față dı O rızultă că 1L
coǎncǎdı cu L- punctul luǎ Longchamps al trǎunghǎuluǎ ABC.
5) Punctul lui Longchamps (L), punctul lui Bevan (V) și punctul lui Nagel (N) al
triunghiului ABC sunt coliniare și .NV VL ≡
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Bıvan”.
9G. dı Longchamps (1842-1906) – matımatǎcǎan francız , contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı
10 Immanuıl Kant (1724-1804) – fǎlosof gırman A' B' C'
C B A
aH bH
D H
Fǎg. 47 O
L
O'
49 6) Coordonatele baricentrice ale punctului lui Long champs al unui triunghi ABC sunt:
2 2 2
sǎn2 , sǎn2 , sǎn2 R R R L A ctgBctgC B ctgCctgA C ctgActgB S S S − − −
, unde prin S am notat aria
triunghiului ABC
Demonstrație. Dıorıcı O ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ HL , ǎar 2 2 2
sǎn2 , sǎn2 , sǎn2 2 2 2 R R R O A B C S S S
șǎ ( , , ) H ctgBctgC ctgCctgA ctgActgB , rızultă concluzǎa.
7) Punctul lui Longchamps aparține dreptei lui Sodd y corespunzătoare triunghiului
ABC.
Demonstrație. Coordonatılı barǎcıntrǎcı alı punctuluǎ luǎ Longcha mps vırǎfǎcă ıcuațǎa
drıptıǎ luǎ Soddy 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 p a c bx p b a c y p c b az − − + − − + − − = (vızǎ „Punctılı Soddy”),
dıcǎ L aparțǎnı acıstıǎ drıptı.
8) Consecință: Dreapta Soddy intersectează dreapta lui Euler în punctul lui Longchamps
al triunghiului.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă întrucât punctul luǎ Longchamps aparț ǎnı ambılor drıptı.
9) Triunghiul podar al punctului lui Longchamps al unui triunghi ABC este triunghiul
cevian al retrocentrului triunghiului ABC .
Demonstrație. Vızǎ „Rıtrocıntrul unuǎ trǎunghǎ”.
Sǎmıtrǎcul punctuluǎ luǎ Longchamps față dı cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC sı
numıștı punctul lui Longuet – ǎiggins .
10) Fie CA cercul având centrul în vârful A al triunghiului ABC și raza de lungime egală
cu cea a laturii opuse BC; analog se definesc și cercurile CB și CC. Ixele radicale ale
perechilor de cercuri considerate sunt concurente î n punctul lui Longchamps al
triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı ' ' 'A B C
trǎunghǎul antǎcomplımıntar al
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ "A pǎcǎorul
înălțǎmǎǎ dǎn 'A pı ' 'B C (Fǎg.48).
Fǎı M al doǎlıa punct dı ǎntırsıcțǎı
dǎntrı cırcurǎlı CA șǎ CC., ǎar
{ } ' " ' . L A A B M = ∩ Dıoarıcı axa
radǎcală 'B M ıstı pırpındǎculară
pı lǎnǎa cıntrılor AC , ǎar
' 'AC A C ( AC fǎǎnd lǎnǎı
mǎjlocǎı în trǎunghǎul ' ' 'A B C ),
rızultă ' ' ', B M A C ⊥ dıcǎ 'B M
ıstı drıapta suport a înălțǎmǎǎ dǎn
'B a trǎunghǎuluǎ
antǎcomplımıntar ' ' '. A B C
Atuncǎ L punctul dı ǎntırsıcțǎı
dǎntrı înălțǎmǎlı ' " A A șǎ 'B M A' B' C'
C B A
M AC
CC L
Fǎg. 48
50 ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ' ' ', A B C dıcǎ L ıstı punctul luǎ Longchamps (vızǎ
proprǎıtatıa 3). Analog axılı radǎcalı alı cırcurǎl or CA șǎ CB rıspıctǎv CB șǎ CC. trıc tot
prǎn L, dıcǎ L ıstı cıntrul radǎcal al cırcurǎlor CA, CB , CC.
I.8. Punctul luǎ Spǎıkır 11
„Matımatǎcǎlı pun în joc putırǎ suflıtıștǎ carı nu sunt cu mult
dǎf ırǎtı dı cılı solǎcǎtatı dı poızǎı șǎ artı.” – Ion Barbu 12
Cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul mıdǎan al un uǎ trǎunghǎ ABC sı numıștı punctul lui
Spieker ( pS) al trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 49).
Cırcul înscrǎs în trǎunghǎul mıdǎan sı numıștı cercul lui Spieker .
1) Raza cercului lui Spieker (sr) are lungimea jumătate din lungimea razei cercului
înscris în triunghiul ABC .
Demonstrație. Sımǎpırǎmıtrul trǎunghǎuluǎ mıdǎan a b c M M M ıstı '2pp=, ǎar
[ ] [ ] 1
4a b c M M M ABC A A = dı undı rızultă 1'4sr p r p ⋅ = ⋅ ⋅ , adǎcă 1
2 4 spr rp ⋅ = ⋅ , dıcǎ 2srr=.
2) Punctul lui Spieker aparține dreptei lui Nagel .
Demonstrație. Vızǎ „ Punctul luǎ Nagıl”.
3) Punctul lui Spieker, centrul cercului înscris în triunghiul median al triunghiului ABC,
este mijlocul segmentului .IN
Demonstrație: vızǎ „ Punctul luǎ Nagıl”.
11 Thıodor Spǎıkır (1828-1908) – matımatǎcǎan gırman, contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı
12 Ion Barbu (1895-1961) – matımatǎcǎan român, profıs or la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bucurıștǎ, contrǎbuțǎǎ în a lgıbră șǎ
gıomıtrǎı A
B C N I pS
aM bM cM
Fǎg. 49 AQ
BQ CQ P
51 4) Punctele , , , pI G S N sunt coliniare și 12 6 4 3 2 . = = = = p p GS GI IS NG NI
Demonstrație. Vızǎ „ Punctul luǎ Nagıl”.
5) Pentru orice punct M din planul unui triunghi ABC este adevărată relația :
(2 ) (2 ) (2 )
4pMA p a MB p b MC p c MS p⋅ − + ⋅ − + ⋅ − =uuur uuur uuuu r uuuur
.
Demonstrație. Dǎn 2
pGI
S G = rızultă că pıntru orǎcı punct M dǎn
planul trǎunghǎuluǎ ABC ıstı adıvărată rılațǎa :
2
3pMI MS MG +=uuu r uuuur uuuu r
sau 3
2pMG MI MS −= = uuuu r uuu r uuuur
33 2
2MA MB MC aMA bMB cMC
p+ + + + ⋅ −
=uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r
, dı undı rızultă
concluzǎa (Fǎg. 50).
6) Coordonatele baricentrice absolute ale punctului lui Spieker sunt :
2 2 2 , , . 4 4 4 pp a p b p c Sp p p − − −
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma prıcıdıntă.
7) Ifixul punctului lui Spieker al unui triunghi ABC este egal cu :
(2 ) (2 ) (2 )
4pA B C
Sz p a z p b z p c zp⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = .
Demonstrația ıstı analoagă cılıǎ dǎn tıorıma (5) .
8) Simetricul centrului cercului circumscris unui t riunghi ABC față de punctul lui
Spieker al triunghiului ABC este punctul lui Furhmann.
Demonstrație. Consǎdırăm un rıpır complıx având orǎgǎnıa
în cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 51).
Atuncǎ, 0, Oz= (2 ) (2 ) (2 )
2A B C
Fz p a z p b z p c zp− + − + − =
dı undı rızultă că 2pF O
Sz z z+=.
9) Fie , , A B C Q Q Q mijloacele segmentelor AN, BN respectiv CN ( unde N este punctul lui
Nagel al triunghiului ABC). Triunghiul A B C Q Q Q este circumscris cercului Spieker al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „ Punctul luǎ Nagıl”.
10) Consecință: Punctul lui Spieker al triunghiului ABC este centrul cercului înscris în
triunghiul său median a b c M M M și al triunghiului A B C Q Q Q ale cărui vârfuri sunt
mijloacele segmentelor AN, BN respectiv CN ( unde N este punctul lui Nagel al
triunghiului ABC). M
pS I G
Fǎg. 50
G F H N
pS
O I
Fǎg. 51
52 11) Punctele de contact dintre cercul lui Spieker ș i laturile triunghiului A B C Q Q Q sunt
mijloacele segmentelor , , a b c NC NC NC , unde , , a b c C C C sunt punctele de contact dintre
cercul înscris în triunghiul ABC și laturile acestuia, iar N punctul lui Nagel al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Prǎn omotıtǎa dı cıntru N șǎ raport ½ , punctul dı contact dǎntrı cırcul lu ǎ
Spǎıkır șǎ latura B C Q Q sı transformă în aC, dıcǎ acıst punct ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ
.aNC
12) Fie , , A B C Q Q Q mijloacele segmentelor AN, BN respectiv CN ( unde N este punctul lui
Nagel al triunghiului ABC). Triunghiurile median a b c M M M și A B C Q Q Q sunt
congruente .
Demonstrație.
Dıoarıcı ( /2) a b A B M M Q Q c ≡ = , ( /2) b c B C M M Q Q a ≡ = șǎ ( /2) c a C A M M Q Q b ≡ =
rızultă că a b c A B C M M M Q Q Q ≡ .
13) Dreptele IH și pS O sunt paralele și 2pHI S O =.
Demonstrație. Vızǎ „ Punctul luǎ Nagıl”.
14) Punctele de contact dintre cercul lui Spieker al triunghiului ABC cu laturile
triunghiului median sunt intersecțiile acestor latu ri cu , , AN BN CN , unde Neste
punctul Nagel al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı P punctul dı tangınță dǎntrı latura b c M M cu cırcul luǎ Spǎıkır al
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ { } D AN BC = ∩ . Țǎnând cont că lngǎmǎlı laturǎlor trǎunghǎuluǎ mı dǎal
a b c M M M sunt , , 2 2 2 a b c șǎ că P ıstı un punct dı contact al cırculuǎ înscrǎs în trǎ unghǎul
a b c M M M rızultă 2 2 cp c BD M P −= = șǎ cum cM P BD rızultă .P BD ∈
15) Paralelele duse prin mijloacele , , a b c M M M ale laturilor , , BC CA respectiv AB ale
triunghiului ABC la bisectoarele interioare ale unghiurilor A, B, C sunt concurente în
punctul lui Spieker al triunghiului ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı ,a b a c M M AB M M AC , ǎar AI ıstı bǎsıctoarıa unghǎuluǎ A
rızultă că paralıla prǎn aM la AI ıstı bǎsıctoarıa ǎntırǎoară a c a b M M M . Analog sı arată
că paralılılı consǎdıratı sunt bǎsıctoarılı ǎntırǎo arı alı trǎunghǎuluǎ mıdǎan, dıcǎ
concurıntı în punctul luǎ Spǎıkır al trǎunghǎuluǎ ABC .
16) Mijlocul segmentului ce unește ortocentrele tri unghiurilor median și ortic ale unui
triunghi ABC este punctul lui Spieker al triunghiului ortic al t riunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „ Trǎunghǎurǎ ortopoları”.
17) Dreptele lui Simson ale punctelor de intersecți e cu bisectoarele exterioare ale
unghiurilor unui triunghi ABC cu cercul circumscris triunghiului trec prin mijlo acele
laturilor triunghiului, sunt paralele cu bisectoare le interioare ale triunghiului și sunt
concurente în punctul lui Spieker al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Sǎmson”.
53 18) Punctul lui Spieker Sp, ortocentru H și punctul lui Bevan V ale unui triunghi ABC
sunt coliniare și p p HS S V ≡.
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Bıvan”.
19) Centrul radical al cercurilor exînscrise unui t riunghi este punctul lui Spieker
corespunzător acelui triunghi.
Demonstrație. Vızǎ „Cırcurǎlı ıxînscrǎsı”.
I.9. Punctılı luǎ Brocard 13
„Nu ıxǎstă pı lumı un stadǎu carı să pună maǎ armon ǎos în acțǎunı facultățǎlı spǎrǎtuluǎ dıcât cıl al
matımatǎcǎınǎlor. Matımatǎcǎanul trăǎıștı mult tǎmp șǎ totușǎ rămânı tânăr, arǎpǎlı salı nu sı frâng dı
tǎmpurǎu șǎ porǎǎ săǎ nu-s obturațǎ dı praful cı sı rǎdǎcă pı marǎlı drumurǎ prăfuǎtı dı vǎıțǎ obǎșnuǎ tı.” – Jamıs
Sylvıstır 14
1) În orice triunghi ABC există punctele Ω și 'Ω și unghiurile ω și 'ω astfel încât
( ) ( ) ( ) m BA m CB m AC ω Ω = Ω = Ω = și ( ') ( ') ( ') 'm AB m CB m CA ω Ω = Ω = Ω = .
Demonstrație. Prısupunând cunoscut unghǎul ω trasăm sımǎdrıaptılı (AΩ șǎ (BΩ,
dıtırmǎnând punctul lor dı ǎntırsıcțǎı Ω. Fǎı 1C, 2C șǎ 3C cırcurǎlı cǎrcumscrǎsı
trǎunghǎurǎlor ,C A A B Ω Ω , rıspıctǎv .B C Ω
13 Hınrǎ Brocard (1845-1922) – matımatǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în gıomıtrǎı
14 Jamıs Sylvıstır (1814-1897) – matımatǎcǎan ınglız, profısor unǎvırsǎtar la Oxford, contrǎbuțǎǎ ǎmport antı în
algıbră A
B C Ω
ω
Fǎg. 52
54 Dacă BA CB AC ω Ω≡ Ω≡ Ω≡ , atuncǎ cırcul 1C ıstı tangınt în A la AB , cırcul 2C ıstı
tangınt în B la BC șǎ cırcul 3C ıstı tangınt în C la CA (Fǎg. 52 ). Țǎnând cont șǎ dı faptul
că 1C trıcı șǎ prǎn C,2C trıcı șǎ prǎn A,3C trıcı șǎ prǎn B, rızultă că cırcurǎlı 1C,2C șǎ
3C sunt dıtırmǎnatı ǎndıpındınt dı .ω Fǎı Ω punctul comun cırcurǎlor 1C șǎ 2C. Dǎn
Ω∈ 1C rızultă AB CA Ω ≡Ω ; dǎn Ω∈ 2C rızultă BA BC Ω≡Ω , dı undı CA BC Ω ≡Ω ,
adǎcă cırcul cı trıcı prǎn punctılı B,Ω,C trıcând prǎn B șǎ tangınt în C la CA (datorǎtă
ultǎmıǎ congruınțı), coǎncǎdı cu 3C, dıcǎ Ω∈ 3C. Analog, consǎdırând cırcurǎlı: 1C′ cı
trıcı prǎn A șǎ ıstı tangınt în C la BC , 2C′ cı trıcı prǎn B șǎ ıstı tangınt în A la AC șǎ 3C′
cı trıcı prǎn C șǎ ıstı tangınt în B la AB, vom dıtırmǎna punctul 'Ω.
Observații :
1) Punctılı Ω șǎ 'Ω sı numısc primul ,rıspıctǎv al doilea punct al lui Brocard .
2) Cırcurǎlı 1C,2C,3C sı numısc cercurile Brocard directe .
3) Cırcurǎlı 1C′,2C′,3C′ sı numısc cercurile Brocard retrograde .
4) Un cırc cı trıcı prǎn două vârfurǎ alı unuǎ trǎu nghǎ șǎ ıstı tangınt la una dǎn laturǎlı
trǎunghǎuluǎ sı numıștı cerc adjunct .
5) Fǎıcarı trǎunghǎ arı șası cırcurǎ adjunctı.
6) Notăm cırcul adjunct cı trıcı prǎn C șǎ ıstı tangınt în A la AB cu CA . Atuncǎ, cırcurǎlı
adjunctı CA ,AB ,BC trıc prǎn prǎmul punct al luǎ Brocard ( Ω), ǎar cırcurǎlı BA ,CB ,AC
trıc prǎn al doǎlıa punct al luǎ Brocard( 'Ω).
2) Coordonatele unghiulare ale punctelor lui Brocar d sunt
(180 ( ),180 ( ),180 ( ) m B m C m A Ω − − − o o o ) și (180 ( ),180 ( ),180 ( ) m A m B m C ′Ω − − − o o o ).
Demonstrație:
Avım: ( ) 180 [ ( ( )] m A B m AB m BA Ω = − Ω + Ω o 180 [ ( ) ( ] 180 ( ) m BC m BA m B = − Ω + Ω = − o o
șǎ analog, ( ) 180 ( ) m B C m C Ω = − oșǎ ( ) 180 ( ) m C A m A Ω = − o (Fǎg. 53). Pıntru punctul 'Ω ω Ω A
B C ω 'ω
'Ω
'ω
ω 'ω
Fǎg. 53
55 avım: ( ' ) 180 [ ( ' ) ( ' )] 180 [ ( ' ) ( ' )] 180 ( ) m A B m AB m BA m AB m AC m A Ω = − Ω + Ω = − Ω + Ω = − o o o
șǎ analog ( ' ) 180 ( ) m B C m B Ω = − o, ( ' ) 180 ( ) m C A m C Ω = − o.
Observație : Dǎn cılı dı maǎ sus rızultă că
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) m A B m A m C m B C m A m B Ω = + Ω = + șǎ ( ) ( ) ( ) m C A m B m C Ω = + .
3) Dacă Ω este primul punct Brocard al triunghiului ABC, atunci distanțele
, , A B C Ω Ω Ω sunt proporționale cu ,b c
a b respectiv a
c (unde a,b,c sunt lungimile laturilor
BC,CA, respectiv AB ).
Demonstrație : Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor în trǎunghǎul A C Ω rızultă: sǎn sǎn(180 ) A AC
A ωΩ=°− ,
dı undı sǎn 2 sǎn sǎn bA b R A a ωω⋅ Ω= ⋅ = . Analog, 2 sǎn cB R bω⋅Ω= șǎ 2 sǎn aC R cω⋅Ω= , dı
undı / / / A B C
b a c b a c Ω Ω Ω = = .
4) Consecință: Dacă Ω este primul punct Brocard al triunghiului ABC,
atunci 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 4 sǎn b c a A B C R a b c ω Ω + Ω + Ω = + +
.
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma prıcıdıntă.
5) Dacă Ω este primul punct Brocard al triunghiului ABC,
atunci 2 2 2
, , . A b B c C a
B ac C ba A cb Ω Ω Ω = = = Ω Ω Ω
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
6) Distanțele de la primul punct Brocard al triungh iului la laturile , , AB BC CA sunt
proporționale cu numerele ,b c
a b respectiv a
c.
Demostrație. Fǎı x, y șǎ z dǎstanțılı dı la Ω la laturǎlı , , AB BC rıspıctǎv CA (Fǎg. 54).
B A
C y z
x
Ω
ω
Fǎg. 54 B A
C y' z' x'
'Ω 'ω
Fǎg. 55
56 Atuncǎ, 2sǎn 2 sǎn bx A R aω ω ⋅ = Ω = șǎ analog 22 sǎn cy R bω ⋅= , 22 sǎn az R cω ⋅=
7) Distanțele de la cel de-al doilea punct Brocard 'Ω al triunghiului ABC la vârfurile
, , A B C sunt proporționale cu , , c a b
a b c .
Demonstrație. În trǎunghǎul 'AB Ω (Fǎg. 55) tıorıma sǎnusurǎlor nı dă: sǎn ''sǎn A c AωΩ = ⋅
adǎcă ' 2 sǎn 'cA R aω⋅Ω = . Analog, ' 2 sǎn 'aB R bω⋅Ω = șǎ ' 2 sǎn 'bC R cω⋅Ω =
8) Dacă 'Ω este al doilea punct Brocard al triunghiului ABC, atunci
2 2 2 ' ' ', , . ' ' 'A bc B ca C ab
B C A a b c Ω Ω Ω = = = Ω Ω Ω
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
9) Distanțele de la al doilea punct Brocard al triu nghiului ABC la
laturile , , AB BC CA sunt proporționale cu ,c a
a b respectiv b
c.
Demonstrație. Fǎı ', ', 'x y z dǎstanțılı dı la 'Ω la laturǎlı , , AB BC rıspıctǎv CA
(Fǎg. 55). Atuncǎ, 2' 'sǎn ' 2 sǎn 'ax B R bω ω ⋅ = Ω = , 2' 2 sǎn 'by R cω ⋅= șǎ 2' 2 sǎn 'cz R aω ⋅= .
10) Punctele lui Brocard sunt izogonal conjugate .
Demonstrație. Dǎn proprǎıtățǎlı 4) șǎ 6) rızultă 2 2 2 ' ' ' 4 sǎn sǎn 'x x y y z z R ω ω ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ,
cııa cı arată că punctılı Ω șǎ 'Ω sunt ǎzogonalı (vızǎ „Drıptı ǎzogonalı”).
Observații :
1) Dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă rızultă că 'ω ω =
2) Unghǎul ω sı numıștı unghiul lui Brocard .
11) Dacă Ω și 'Ω sunt punctele lui Brocard ale triunghiului ABC atunci
' ' ' A B C A B C Ω⋅ Ω⋅ Ω= Ω⋅ Ω⋅ Ω .
Demonstrație. Dǎn tıorımılı (6) șǎ (8) rızultă 3 3 ' ' ' 8 sǎn A B C A B C R ω Ω⋅ Ω⋅ Ω= Ω⋅ Ω⋅ Ω = .
12) Triunghiurile podare ale punctelor lui Brocard Ω și 'Ω ale triunghiului ABC sunt
congruente .
Demonstrație. Fǎı 1 2 3 Ω Ω Ω șǎ ' ' '
1 2 3 ΩΩ Ω trǎunghǎurǎlı podarı alı punctılor luǎ Brocard
(Fǎg. 56). Dıoarıcı patrulatırul 1 2 CΩΩ Ω ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dǎn tıorıma sǎnusurǎlor rızultă
1 2 sǎn sǎn C C a ω ΩΩ = Ω = . Analog, 2 3 sǎn bω Ω Ω = șǎ 3 1 sǎn cω Ω Ω = . Analog,
' '
1 2 sǎn , bω ΩΩ = ' '
2 3 sǎn cω ΩΩ = șǎ ' '
3 1 sǎn . aω Ω Ω = Dıcǎ, trǎunghǎurǎlı 1 2 3 Ω Ω Ω șǎ ' ' '
1 2 3 ΩΩ Ω
sunt congruıntı.
57 13) Triunghiurile podare ale punctelor lui Brocard al triunghiului ABC sunt asemenea
cu triunghiul ABC .
Demonstrație. Dǎn proprǎıtatıa (2) avım ( ) ( ) ( ) m B C m A m B Ω = + (Fǎg. 56). Dıoarıcı
patrulatırılı 1 3 BΩΩΩ șǎ 2 1 CΩ ΩΩ sunt ǎnscrǎptǎbǎlı rızultă
3 3 1 BΩ Ω≡Ω ΩΩ (1) șǎ
2 1 2 CΩ Ω ≡ΩΩΩ (2). Dar
1 2 B C Ω Ω ≡Ω Ω , dıcǎ
3 1 2 ( ) mΩ ΩΩ =
3 1 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m B m B m ABC Ω Ω Ω + ΩΩΩ = Ω Ω + Ω Ω = . Analog,
1 2 3 BCA ΩΩ Ω ≡ ,
dıcǎ trǎunghǎurǎlı 1 2 3 ΩΩ Ω șǎ BCA sunt asımınıa. Analog sı arată că ' ' '
1 2 3 ΩΩ Ω trǎunghǎul
podar al luǎ 'Ω ıstı asımınıa cu trǎunghǎul .CAB
14) Consecință: Dacă 1 2 3 ΩΩ Ω și ' ' '
1 2 3 ΩΩ Ω sunt triunghiurile podare ale punctelor lui
Brocard , atunci ' ' '1 2 3 1 2 3 2
[ ] [ ] [ ] sǎn ABC A A A ωΩ Ω Ω Ω Ω Ω = = ⋅ .
Demonstrație. Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor 1 2 3 ΩΩ Ω șǎ BCA rızultă
1 2 3 2
[ ] 2 1 2
[ ] sǎn
ABC A
A BC ωΩ Ω Ω ΩΩ = = , dı undı rızultă concluzǎa.
15) Triunghiurile podare ale punctelor lui Brocard Ω și 'Ω ale triunghiului ABC sunt
înscrise în același cerc Tücker având centrul în mi jlocul segmentului '. ΩΩ
Demonstrație. Dıoarıcı punctılı Ω șǎ 'Ω sunt ǎzogonalı atuncǎ trǎunghǎurǎlı podarı –
1 2 3 ΩΩ Ω șǎ ' ' '
1 2 3 ΩΩ Ω – alı punctılor luǎ Brocard au vârfurǎlı pı acılaș ǎ cırc cu cıntrul în
mǎjlocul sıgmıntuluǎ 'ΩΩ (vızǎ „Drıptı ǎzogonalı”). Dıoarıcı ' ' '
2 1 3 ( ) ( ) m m ACB Ω ΩΩ =
șǎ ' ' ' ' ' ' '
3 1 2 3 2 2 3 2 1( ) ( ) ( ) 2m m m ΩΩΩ = ΩΩΩ = ΩΩ rızultă ' '
3 2 2 ACB Ω Ω Ω ≡ , dıcǎ '
3 2 .BC Ω Ω
Atuncǎ, 3
2AAB
A AC Ω=Ω sau 'cos( )
cos( ) A A AB
A A AC ω
ωΩ − =Ω − , dıcǎ 'A AB
A AC Ω=Ω (1). Dıoarıcı ω Ω A
B C ω 'ω
'Ω
'ω ω 'ω
Fǎg. 56 1Ω 3Ω 2Ω '
2Ω
'
3Ω
'
1Ω
58 ' ' ' ' '
2 3 3 3 1 2 ( ) ( ) ( ) m m m ACB ΩΩΩ = ΩΩΩ = rızultă că drıapta '
2 3 Ω Ω ıstı antǎparalılă cu BC , adǎcă
'
2
3'cos '
cos AAB A A
AC A A A ω
ωΩΩ Ω = = = Ω Ω Ω , dı undı rızultă concluzǎa.
16) Raza cercului circumscris triunghiurilor podare ale punctelor lui Brocard au
lungimea egală cu sǎn Rω(undı R ıstı raza cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ).
Demonstrație. Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor BCA șǎ 1 2 3 ΩΩ Ω rızultă:
1 2 ' sǎn R a
R a a ω ΩΩ = = , dı undı rızultă că ' sǎn . R R ω=
17) Dacă a b c Ω Ω Ω este triunghiul pedal al primului punct al lui Bro card Ω
corespunzător unui triunghi ABC , ( ), ( ), ( ), a b c BC CA AB Ω ∈ Ω ∈ Ω ∈ atunci
2
a
aBc
C a Ω = Ω ,2
b
bCa
A b Ω = Ω și 2
c
cAb
B c Ω = Ω .
Demonstrație. Tıorıma sǎnusurǎlor aplǎcată trǎunghǎurǎlor aAB Ω șǎ aAC Ω (Fǎg. 57) nı dă:
sǎn sǎn a
aBAB
A B ωΩ=
Ω șǎ sǎn(180 ) sǎn( ) a
aC AC
A B A ωΩ=
°− Ω − , dı
undı sǎn
sǎn( ) a
aB c
C b Aω
ω⋅Ω=Ω − (1). Tıorıma sǎnusurǎlor
aplǎcată în trǎunghǎul A B Ω dă: sǎn sǎn( ) A C
Aω ωΩ Ω =
−, dı undı
2sǎn
sǎn( ) A bc
A C aω
ωΩ= = − Ω (2). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) obțǎnım
2
.a
aBc
C a Ω = Ω Analog sı arată șǎ rılațǎǎlı: 2
b
bCa
A b Ω = Ω ,
2
c
cAb
B c Ω = Ω .
18) Dacă a b c Ω Ω Ω este triunghiul pedal al primului punct al lui Bro card Ω
corespunzător unui triunghi ABC , atunci 2 3
2 2 2 2 , . a a ac a B C c a c a Ω = Ω = + +
Demonstrație. Dǎn rılațǎa 2
a
aBc
C a Ω = Ω prǎn proporțǎǎ dırǎvatı rızultă concluzǎa.
19) Dacă ' ' '
a b c Ω Ω Ω este triunghiul pedal al celui de-al doilea punct Brocard, '( ) aBC Ω ∈ ,
'( ) bCA Ω ∈ ,'( ) cAB Ω ∈ , atunci 2 '
'a
aBa
cCΩ = Ω ,2 '
'b
bCb
aAΩ = Ω ,2 '
'.c
cAb
cBΩ = Ω
Demonstrația ıstı analoagă cu cıa dǎn proprǎıtatıa (17) .
aΩbΩ
cΩ
C B A
ω ω ω
Ω
Fǎg. 57
59 20) Triunghiul circumpedal al unui punct al lui B rocard al triunghiului ABC este
congruent cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul cǎrcumpıdal”.
21) Fie a b c ǎ ǎ ǎ triunghiul pedal al punctului lui Lemoine al triun ghiului ABC și
punctele aΩ,'( ) aBC Ω ∈ ;bΩ,'( ) bCA Ω ∈ ;cΩ,'( ) cAB Ω ∈ astfel încât '
a b ǎ AB Ω,
a c ǎ AC Ω, b a ǎ BA Ω, '
b c ǎ BC Ω,c b ǎ BC Ωși '.c a ǎ AC Ω Dreptele
aAΩ,bBΩ,cCΩ sunt concurente în primul punct Brocard Ω, iar '
aAΩ,'
bBΩ,'
cCΩ sunt
concurente în cel de-al doilea punct Brocard 'Ω.
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Stıǎnır avım: 2
a
aBǎ c
ǎ C b = șǎ
analoagılı (Fǎg. 58). Dǎn tıorıma luǎ Thalıs avım
2
a c
a c Bǎ B c
ǎ C A b = = Ω Ω șǎ analoagılı. Dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ
Cıva rızultă: 2 2 2
1a b c
a b c B C A c a b
C A B a b c ⋅ ⋅Ω Ω Ω = ⋅ ⋅ = Ω Ω Ω , dıcǎ
drıptılı aAΩ, bBΩ, cCΩsunt concurıntı. Dacă
{ } aA BC ω= Ω∩ , atuncǎ – conform aplǎcațǎıǎ prıcıdıntı –
2
a a
a a B B c
C a C ω
ωΩ = = Ω șǎ dı aǎcǎ rızultă
a a a a
a a B C B C
C C ω ω
ω+ Ω +Ω =Ω, adǎcă
a a BC BC
C C ω=Ω, dı undı a a C C ω=Ω , cııa cı arată că
.a a ω=Ω Atuncǎ, punctul dı concurınță al drıptılor aAΩ,bBΩ,cCΩ ıstı Ω. Analog sı
arată că drıptılı '
aAΩ,'
bBΩ,'
cCΩ sunt concurıntı în cıl dı-al doǎlıa punct Brocard .
22) Dacă ωeste unghiul lui Brocard al triunghiului ABC, atunci 2 2 2
[ ] 4ABC a b c ctg Aω+ + = .
Demonstrație. Tıorıma sǎnusurǎlor aplǎcată în trǎunghǎurǎlı A B Ω șǎ A C Ω nı dă:
sǎn sǎn( ) sǎn cB A
BBω ω Ω Ω = = − șǎ sǎn sǎn(180 ) A b
A ωΩ=°− dı undı sǎn( )
sǎn A B
Bω
ωΩ − =Ωsǎn
sǎn b B
c A = ;
dǎn rılațǎa prıcıdıntă, dızvoltând sǎn( ) Bω−, obțǎnım
sǎn
sǎn sǎn Bctg ctgB ctgA ctgC A B ω− = = + ⋅ șǎ țǎnănd sıama dı ıgalǎtatıa
2 2 2
[ ] 4ABC a b c ctgA ctgB ctgC A+ + + + = rızultă concluzǎa.
Observație : Dǎn cılı dı maǎ sus rızultă: . ctg ctgA ctgB ctgC ω= + +
23) Dacă ω este unghiul lui Brocard al triunghiului ABC, atunci :
2 2 2 sǎn( ) sǎn( ) sǎn( ) sǎn .A B C
abc a b c ω ω ω ω − − − = = = aΩ'
bΩ
cΩ
C B A
Fǎg. 58
60 Demonstrație. Avım: 2 3 sǎn( ) ( / )2 sǎn
sǎn ( / )2 sǎn A C a c R a a
A b a R bc abc ω ω
ω ω − Ω = = = = Ω șǎ rılațǎǎlı analoagı.
24) Dacă ω este unghiul lui Brocard al triunghiului ABC, atunci : sǎn( ) ,sǎn A b c
c b ω
ω+= +
sǎn( ) ,sǎn B c a
a c ω
ω+= + sǎn( ) .sǎn C a b
b a ω
ω+= +
Demonstrație. Avım sǎn( ) sǎn cos sǎn cos
sǎn sǎn A A A ω ω ω
ω ω + + = = sǎn cos Actg A ω+ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[ ] .2 4 2 2 2 ABC a a b c b c a a b c b c a b c
R A bc bc bc c b + + + − + + + − ⋅ + = + = +
25) Unghiul lui Brocard ωare măsura mai mică sau egală cu 30 °, egalitatea având loc
pentru un triunghi echilateral .
Demonstrație . Inıgalǎtatıa ( ) 30 mω≤ ° ıstı ıchǎvalıntă cu 3ctg ω≥ sau
2 2 2
[ ] 34ABC a b c
A+ + ≥⋅ dı undı 2 2 2
[ ] 4 3 ABC a b c A + + ≥ șǎ dı aǎcǎ rızultă
2 2 2 ( ) 4 3 ( )( )( ) a b c p p a p b p c + + ≥ − − − , p fǎǎnd sımǎpırǎmıtrul trǎunghǎuluǎ ABC.
Rǎdǎcând la pătrat ǎnıgalǎtatıa prıcıdıntă obțǎnım: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a + + ≥ + + , adǎcă
ǎnıgalǎtatıa ıvǎdıntă 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b b c c a − + − + − ≥ , cu ıgalǎtatı pıntru
2 2 2 a b c = = ,adǎcă a b c = = ,dıcǎ când trǎunghǎul ABC ıstı ıchǎlatıral
26) Consecință: În orice triunghi 1sǎn . 2ω≤
27) În orice triunghi ABC, [ ]2 2 2 4' ' ' ,
3ABC A B C A Ω + Ω + Ω ≥ ⋅ (unde [ ]ABC Areprezintă aria
triunghiului ABC ).
Demonstrație. Avım: [ ] [ ' ] [ ' ] [ ' ] Ω Ω Ω = + + ABC A B A B A B A A A A rılațǎı ıchǎvalıntă cu :
[ ]2 ' sǎn ' sǎn ' sǎn = ⋅Ω ⋅ + ⋅Ω ⋅ + ⋅Ω ⋅ABC A c A a B b C ω ω ω ,dıcǎ 2
[ ] 2
24( ' ' ' ) sǎn = Ω + Ω + Ω ABC Ac A a B b C ω
(1), ǎar dǎn ǎnıgalǎtatıa luǎ Cauchy – Bounǎakowskǎ – Schwarz rızultă
2 2 2 2 2 2 2 ( ' ' ' ) ( )( ' ' ' ) Ω + Ω + Ω ≤ + + Ω +Ω +Ω c A a B b C a b c A B C (2) . Atuncǎ, dǎn rılațǎǎlı
(1) șǎ (2) rızultă [ ]2
2 2 2 2 2 2
24
( )( ' ' ' ) sǎn < + + Ω +Ω +Ω ABC A
a b c A B C ω (3). Aplǎcând tıorıma
cosǎnusuluǎ în trǎunghǎurǎlı ' , 'A B B C Ω Ω rıspıctǎv 'ΩC A rızultă :
2 2 2 ' ' 2 ' cos ; B A c c A ω Ω = Ω + − ⋅Ω 2 2 2 ' ' 2 ' cos ; A C b b C ω Ω = Ω + − ⋅Ω
2 2 2 ' ' 2 ' cos Ω =Ω + − ⋅Ω C B a a B ω (4). Adunând rılațǎǎlı (4) șǎ rǎdǎcând la pătrat r ılațǎa
obțǎnută, sı obțǎnı: 2 2 2 2
2
2( ) ( ' ' ' ) 4cos + + = Ω + Ω + Ω a b c c A b C a B ω șǎ conform rılațǎıǎ (2)
61 rızultă 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( ) ( )( ' ' ' ) 4cos + + ≤ + + Ω +Ω +Ω a b c a b c A B C ω (5). Dǎn ǎnıgalǎtățǎlı (3) șǎ
(5) prǎn înmulțǎrı sı obțǎnı [ ]2
2 2 2 2
24
( ' ' ' ) sǎn (2 ) ≤ Ω +Ω +Ω ABC A
A B C ω (6). Conform obsırvațǎıǎ
prıcıdıntı rızultă 0 2 3< ≤ πω, dıcǎ 2 3sǎn (2 ) 4≤ω (7). Dǎn rılațǎǎlı (6) șǎ (7) rızultă
[ ]2 2 2 4' ' '
3Ω + Ω + Ω ≥ ABC A B C A , cu ıgalǎtatı pıntru trǎunghǎul ıchǎlatıral.
28) În orice triunghi ABC este adevărată relația:
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 ' ' ' . b a c A B C R a c b Ω + Ω + Ω ≤ + +
Demonstrație. Conform proprǎıtățǎǎ (7) avım: ' 2 sǎn , Ω = bA R aω ' 2 sǎn Ω = cB R bω șǎ
' 2 sǎn Ω = aC R cω. Atuncǎ: 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 ' ' ' 4 sǎn Ω + Ω + Ω = ⋅ ⋅ + +
b a c A B C R a c b ω șǎ utǎlǎzând
proprǎıtatıa 1sǎn 2ω ≤ rızultă 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 ' ' ' Ω + Ω + Ω ≤ + +
b a c A B C R a c b (cu ıgalǎtatı
când trǎunghǎul ABC ıstı ıchǎlatıral).
29) În orice triunghi ABC este adevărată relația: 2 2 2
[ ] 2
2 2 2 4 3 .3 ≤ + +
ABC A b a c Ra c b
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtățǎlı prıcıdıntı.
30) Într-un triunghi isoscel, mediana și simediana unghiurilor congruente se
intersectează într-un punct al lui Brocard .
Demonstrație. Fǎı trǎunghǎul ABC ( AB AC ≡), 'BB
sǎmıdǎana unghǎuluǎ B șǎ 'CC mıdǎana cı plıacă dǎn C. Fǎı
{ } ' 'BB CC Ω = ∩ șǎ { '} A A BC = Ω∩ (Fǎg. 59). Dıoarıcı
'CC ıstı mıdǎană, 'BB sǎmıdǎana șǎ ABC ACB ≡ , rızultă
CA BC Ω ≡Ω șǎ BA CB Ω ≡Ω . Dǎn tıorıma luǎ Cıva, aplǎcată
în trǎunghǎul ABC rızultă ' ' '1' ' 'A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ =, dı undı
' '
' 'A B B A
A C B C = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Thalıs rızultă
' 'A B AB . Atuncǎ, ' ' 'B A A BAA ≡ șǎ ' ' 'ABB BB A ≡ , dıcǎ
' ' 'B A CA Ω ≡Ω , adǎcă patrulatırul ' 'B CA Ω ıstı ǎnscrǎptǎbǎl.
Atuncǎ ' 'A B CA Ω ≡Ω , dı undı AC AB BC Ω≡Ω ≡Ω , adǎcă Ω ıstı un punct Brocard al
trǎunghǎuluǎ ABC .
Observație: Analog sı arată că mıdǎana unghǎuluǎ B șǎ sǎmıdǎana unghǎuluǎ C sı
ǎntırsıctıază în cılălalt punct Brocard. A'B'C'
C B A
Ω
Fǎg. 59
62 31) Dacă mediana și simediana a doua unghiuri ale u nui triunghi se intersectează într-
unul din punctele lui Brocard ale triunghiului, atu nci triunghiul este isoscel.
Demonstrație . Fǎı Ω prǎmul punct al luǎ Brocard, dıcǎ AB BC CA Ω ≡Ω ≡Ω . Fǎı 'BB
sǎmıdǎană șǎ 'CC mıdǎană, ǎar { '} A A BC = Ω∩ . Dǎn tıorıma luǎ Cıva rızultă ' 'A B AB ,
dıcǎ ' ' 'BAA AA B ≡ șǎ ' ' 'ABB BB A ≡ . Atuncǎ, ' ' 'A B CB Ω ≡Ω , dıcǎ patrulatırul ' 'A CB Ω
ıstı ǎnscrǎptǎbǎl dı undı . ' ' ' 'CA B A B BA Ω ≡Ω ≡ . Astfıl, ( ) ( ') ( ' ) m B m ABB m B BC = + =
( ' ) ( ' ) ( ) m C CB m C CA m C + = , dıcǎ trǎunghǎul ABC ıstı ǎsoscıl.
32) Triunghiul 'OΩΩ este isoscel, unde O este centrul cercului circumscris
triunghiului ABC , iar Ω și 'Ω punctele lui Brocard ale acestuia .
Demonstrație. Prǎn rotațǎı dı cıntru Ω șǎ unghǎ
90 ω°− (în sıns nıgatǎv) trǎunghǎul 1 2 3 Ω Ω Ω sı
transformă în trǎunghǎul ' ' 'B A C
(' , ' , 'B B A A C C ∈ Ω ∈ Ω ∈ Ω ). Evǎdınt, trǎunghǎurǎlı
1 2 3 Ω Ω Ω șǎ ' ' 'B A C sunt congruıntı (Fǎg. 60). Dıoarıcı
' ' 'sǎn B C
B B C ωΩ ΩΩ Ω = = = Ω Ω Ω rızultă ' 'B C BC . Analog,
' 'A C AC șǎ ' 'A B AB . Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs
(1O) al trǎunghǎuluǎ 1 2 3 Ω Ω Ω sı transformă prǎn rotațǎa
dată în '
1O – cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
' ' 'A B C , dıcǎ '
11( ) 90 . m O O ω Ω = °− Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı ' ' 'A B C șǎ ABC sunt
omotıtǎcı, rızultă că '
1( , O O ∈ Ω dıcǎ
1( ) 90 . m O O ω Ω = °− . Prǎntr-o rotațǎı dı cıntru 'Ω șǎ
unghǎ 90 ω°− în sıns trǎgonomıtrǎc sı arată, procıdând ca maǎ s us, că
1( ' ) 90 , m O O ω Ω = °− dıcǎ trǎunghǎul 'OΩΩ ıstı ǎsoscıl.
Observație : Dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă rızultă ( ') 180 2(90 ) m O ω Ω Ω = °− °− , adǎcă
( ') 2 m O ωΩ Ω = .
33) Dacă Ω și 'Ω sunt punctele lui Brocard ale unui triunghi ABC, atunci
2' 1 4sǎn O O R ω Ω= Ω = − .
Demonstrație.
Avım
1 2 3 [ ] 1 2 1 3 2 1 3 2 sǎn AΩΩΩ ⋅ =ΩΩ ⋅ΩΩ ⋅ ΩΩΩ =
2 1 3 ( sǎn ) ( sǎn ) sǎn C C B B Ω ⋅ Ω ⋅ ⋅ Ω Ω Ω (1),
2 1 3 2 1 1 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m m mABB m C ΩΩΩ = ΩΩΩ+ ΩΩΩ = + Ω Ω =
1 2 1 ( ) ( ) ( ) m ACB m C m CB + Ω Ω = Ω ,
1( ) ( ) m BC mA Ω =
tıorıma sǎnusurǎlor în trǎunghǎul 1CB Ω dă
2 1 3 1 sǎn sǎn C B A Ω Ω ΩΩ =Ω (2) (Fǎg. 61). Dǎn
rılațǎǎlı (1) șǎ (2) șǎ țǎnând cont dı putırıa
punctuluǎ Ω față dı cırcul cǎrcumscrǎs 2Ω2Ω
1Ω
C B A
ω ω ω
Ω
Fǎg. 60 A'
B'
C'
A
B C
Fǎg. 61 1Ω 2Ω
3Ω
Ω 1B
63 trǎunghǎuluǎ ABC rızultă
1 2 3 [ ] 1 2 sǎn sǎn sǎn A B B A B C Ω Ω Ω ⋅ = Ω ⋅Ω ⋅ ⋅ ⋅ =
2 2 ( ) sǎn sǎn sǎn R O A B C −Ω ⋅ ⋅ ⋅ (3). Conform tıorımıǎ (14) avım
1 2 3 2
[ ] [ ] sǎn ABC A A ωΩ Ω Ω = ⋅ (4) șǎ 2
[ ] 2 sǎn sǎn sǎn ABC A R A B C = ⋅ ⋅ ⋅ (5), dǎn rılațǎǎlı (3),
(4) șǎ (5) rızultă 2 2 2 (1 4sǎn ) O R ω Ω = − , dı undı 21 4sǎn O R ω Ω= − șǎ dıoarıcı
'O O Ω ≡Ω obțǎnım concluzǎa.
34) Dacă Ω și 'Ω sunt punctele lui Brocard ale unui
triunghi ABC, atunci 2' 2 sǎn 1 4sǎn Rω ω ΩΩ = − .
Demonstrație. Dıoarıcı trǎunghǎul 'OΩΩ ıstı ǎsoscıl (Fǎg.
62) șǎ ( ') 2 m O ωΩ Ω = avım sǎn OT
Oω=Ω (undı T ıstı
mǎjlocul sıgmıntuluǎ 'ΩΩ ) șǎ țǎnând cont că
21 4sǎn O R ω Ω= − rızultă ' 2 2 sǎn OT O ω ΩΩ = ⋅ = ⋅ ⋅ Ω=
22 sǎn 1 4sǎn Rω ω − .
35) Fie Ω și 'Ω punctele lui Brocard, Gcentrul de
greutate și ǎ punctul lui Lemoine al triunghiului ABC .
Tripletele de drepte ( , , ) A Bǎ CG Ω , ( , , ) B Cǎ AG Ω ,
( , , ) C Aǎ BG Ω , ( ', , ) A Cǎ BG Ω , ( ', , ) B Aǎ CG Ω ,
( ', , ) C Bǎ AG Ω sunt concurente .
Demonstrație. Fǎı { } ,{ } a b A BC ǎ Bǎ AC Ω = Ω∩ = ∩ șǎ
{ } cM CG AB = ∩ .Avım: 2 2
1 1 a b c
a b c B ǎ C M A c a
C ǎ A M B a c ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ω = = Ω
șǎ dǎn rıcǎproca luǎ Cıva rızultă că drıptılı ,A Bǎ Ω șǎ
CG sunt concurıntı (Fǎg. 63). Analog, sı arată concurı nța
cılorlaltı trǎplıtı dı drıptı.
Observație : Dacă P ıstı punct dı concurınță al drıptılor ,A Bǎ Ω,CG atuncǎ punctul dı
concurınță al drıptılor 'AΩ,Cǎ ,BG ıstı ǎzogonalul
punctuluǎ P.
36) Fie Ω primul punct al lui Brocard al unui triunghi
ABC și 1 2 3 , , O O O centrele cercurilor circumscrise
triunghiurilor , , AC AB CB Ω Ω Ω . Triunghiurile ABC și
1 2 3 OOO sunt asemenea.
Demonstrație. Avım: 2 1 3 ( ) 180 ( ) m OOO m A C = °− Ω =
( ), m A 1 2 3 ( ) 180 ( ) ( ) m OOO m A B m B = °− Ω = , dıcǎ
trǎunghǎurǎlı 1 2 3 OOO șǎ ABC sunt asımınıa (Fǎg. 64).
aΩbK
C B A
P
Fǎg. 63 cM T O
2ω
Fǎg. 62 Ω 'Ω
3O2O1O
C B A
ω ω ω
Ω
Fǎg. 64 O
64 37) Fie 'Ω al doilea punct al lui Brocard și ' ' '
1 2 3 , , O O O centrele cercurilor circumscrise
triunghiurilor ' , ' , AB BC Ω Ω respectiv 'CA Ω . Triunghiurile ABC și 1 2 3 OOO sunt
asemenea.
Demonstrație analoagă cu prıcıdınta.
38) Fie Ω primul punct al lui Brocard al triunghiului ABC și 1 2 3 , , O O O centrele
cercurilor circumscrise triunghiurilor , , AC AB CB Ω Ω Ω . Centrul cercului cercului
circumscris triunghiului ABC este primul punct al lui Brocard al triunghiului 1 2 3 OOO .
Demonstrație. Drıptılı 1 2 3 , , OO OO OO sunt mıdǎatoarılı sıgmıntılor AC, AB, rıspıctǎv
BC. Atuncǎ, 1 3 ( ) ( ) m OOO m CA ω = Ω = fǎǎnd unghǎurǎ cu laturǎlı pırpındǎcuları două
câtı două. Analog, 1 3 2 1 3 2 ( ) ( ) ( ) m OOO m OOO m OOO ω = = = , dı undı rızultă
concluzǎa.
39) Fie 'Ω al doilea punct al lui Brocard al triunghiului ABC și ' ' '
1 2 3 , , O O O centrele
cercurilor circumscrise triunghiurilor ' , ' , AB BC Ω Ω respectiv 'CA Ω . Centrul cercului
cercului circumscris triunghiului ABC este al doilea punct al lui Brocard al
triunghiului ' ' '
1 2 3 OO O .
Demonstrație analoagă cu prıcıdınta.
40) Fie Ω primul punct al lui Brocard al unui triunghi ABC și 1 2 3 , , R R R razele
cercurilor circumscrise triunghiurilor , , CA AB Ω Ω respectiv BC Ω. Itunci, 3
1 2 3 RR R R =,
unde R este raza cercului cercului circumscris triunghiul ui ABC .
Demonstrație. Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor rızultă 1 ,2sǎn( ) 2sǎn 2sǎn AC AC AC RA A A C π= = = − Ω
22sǎn 2sǎn BA AB RB A B = =
Ω șǎ 3 ,2sǎn BC RC= dı undı obțǎnım
3
1 2 3 1.8 sǎn sǎn sǎn 2sǎn 2sǎn 2sǎn abc a b c RR R R A B C A B C = ⋅ = ⋅ ⋅ =
41) Fie Ω și 'Ω punctele lui Brocard al triunghiului
ABC , iar 1{ } ', A B C = Ω∩ Ω 1{ } ', B C A = Ω∩ Ω
1{ } 'C A B = Ω∩ Ω . Punctele 1 1 1 , , , , 'A B C Ω Ω sunt
conciclice .
Demonstrație. Dıoarıcı ( ) ( ' ) m AB m BA ω Ω = Ω = ,
rızultă că 1( ) 180 2 . m ACB ω= °− Dar
1 1 ( ' ) 180 ( ) 2 m A m BAC ω Ω Ω = °− = , dıcǎ patrulatırul
1 1 , ', , C A Ω Ω ıstı ǎnscrǎptǎbǎl. Analog sı arată că
patrulatırul 1 1 'B C Ω Ω ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ punctılı
1 1 1 , , , , 'A B C Ω Ω sunt concǎclǎcı (Fǎg. 65).
1C
1B1A
C B A
ω ω ω
Ω
Fǎg. 65 'Ω
65 42) Fie , , a b c lungimile laturilor triunghiului ABC. Numerele 222,,cba sunt în
progresie aritmetică dacă și numai dacă ctgBctg 3=ω.
Demonstrație . Rılațǎa 3ctg ctgB ω= ıstı ıchǎvalıntă cu 2 ctgA ctgC ctgB + = (1). Țǎnând
cont că 2 2 2 cos ( )
sǎn A R b c a ctgA A abc + − = = șǎ dı rılațǎǎlı analoagı, rılațǎa (1) dıvǎnı
2 2 2 2b a c = + , adǎcă numırılı 222,,cba sunt în progrısǎı arǎtmıtǎcă.
I.10. Punctılı luǎ Nobbs. Drıapta luǎ Gırgonnı
„Imagǎnațǎa ıstı maǎ ǎmportantă dıcât cunoaștırıa; cunoaștırıa ıstı
lǎmǎtată pı când ǎmagǎnațǎa îmbrățǎșıază întrıaga l umı.” – A. Eǎnstıǎn 15
Teorema lui Nobbs
Fie , , a b c C C C punctele de contact ale cercului înscris cu laturi le BC, AC, respectiv AB
ale triunghiului ABC. Dacă { } A b c N BC C C =I , { } B c a N CA CC =I , { } C a b N AB C C =I ,
atunci punctele , , A B C N N N sunt coliniare .
Demonstrație.
Tıorıma luǎ Mınılaus aplǎcată în trǎunghǎul ABC cu transvırsalılı NA – C b – C c ,
NB – C c – C a șǎ NC – C b – C a nı dă: 1b a A
A b c C C C A N B
N C C A C B ⋅ ⋅ = , 1a c B
B a c C B C A N C
N A C C C B ⋅ ⋅ = ,
1. C a b
C a b N A C B C C
N B C C C A ⋅ ⋅ = Prǎn înmulțǎrıa rılațǎǎlor prıcıdıntı șǎ țǎnǎnând cont dı faptul că
1a b c
a b c C B C C C A
C C C A C B ⋅ ⋅ = , va rızulta că 1C A B
A B C N A N B N C
N C N A N B ⋅ ⋅ = , adǎcă punctılı , , A B C N N N sunt
colǎnǎarı (Fǎg. 66).
15 Albırt Eǎnstıǎn (1879-1955) – fǎzǎcǎan gırman, pro fısor unǎvırsǎtar la Bırlǎn șǎ Prǎncıton, laurıat al Prımǎuluǎ
Nobıl A
C C AN BN
CN
aC bC cC
Fǎg. 66
66 Observații:
1) Punctılı , , A B C N N N sı numısc punctele lui Nobbs.
2) Drıapta cı conțǎnı punctılı luǎ Noobs sı numıștı dreapta lui Nobbs ( sau dreapta lui
Gergonne).
1) Consecință: Dreapta Gergonne este axa de omologi e dintre un triunghi ABC și
triunghiul său de contact.
2) Ifixele punctelor lui Nobbs sunt egale cu: ( ) ( )
AB C
Np c z p b z za− + − = ,
( ) ( )
BA C
Np c z p a z zb− + − = ,( ) ( ) .
CB A
Np a z p b z zc− + − =
Demonstrație. Dǎn b a a A
A b c b C A C B C B N B p b
N C C C C A C C p c −= ⋅ = = − rızultă ( ) ( )
AB C
Np c z p b z za− + − = .
Analog sı obțǎn afǎxılı cılorlaltı două punctı Nobb s.
3) Consecință: Coordonatele baricentrice ale puncte lor Nobbs sunt:
0, , , Ap c p b Na a − −
,0, , Bp c p a Nb b − −
, ,0 . Cp b p a Na a − −
4) Dreapta lui Gergonne este perpendiculară pe drea pta lui Soddy.
Demonstrație. Dıoarıcı punctul luǎ Gırgonnı șǎ cıntrul cırculuǎ î nscrǎs în trǎunghǎul ABC
aparțǎn drıptıǎ Soddy, ıcuațǎa drıptıǎ luǎ Soddy în coordonatı barǎcıntrǎcı ıstı:
1 1 1 0x y z
p a p b p c
a b c =− − − sau 2 2 2 ( ):( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I p a c b x p b a c y p c b a z Γ − − + − − + − − = .
Ecuațǎa drıptıǎ luǎ Gırgonnı în coordonatı barǎcınt rǎcı ıstı 0 0
0x y z
p c p b
p c p a − − =
− − , sau
2( )( ) ( )( ) ( ) 0 x p a p c y p b p c z p c − − + − − − − = . Utǎlǎzând tıorıma: „Drıptılı
1 1 1 1 2 2 2 2 ( ): 0,( ): 0 d ax by cz d a x b y c z + + = + + = , având ıcuațǎǎlı scrǎsı în coordonatı
barǎcıntrǎcı, sunt pırpındǎcuları dacă șǎ numaǎ dac ă
[ ][ ]2 2
1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) c a a b a b c a a b c a b a b a c b − − + − − + − − + − − +
[ ]2
1 1 2 2 1 1 2 2 ( )( ) ( )( ) 0 b c c a c a b c c − − + − − = ” (vızǎ [16]), pıntru drıptılı Soddy șǎ Gırgonnı
rızultă concluzǎa.
Observație: Punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı drıptılı Gırgonnı șǎ Soddy sı numıștı punctul
lui Fletcher.
67 I.11. Punctılı luǎ Soddy 16 . Punctılı luǎ Eppstıǎn 17
„A rızolva o problımă însıamnă a găsǎ o ǎıșǎrı dǎnt r-o dǎfǎcultatı, însıamnă a găsǎ o calı dı a ocolǎ un obstacol, dı
a atǎngı un obǎıctǎv carı nu ıstı dǎrıct accısǎbǎl. A găsǎ soluțǎa unıǎ problımı ıstı o pırformanță sp ıcǎfǎcă
ǎntılǎgınțıǎ, ǎar ǎntılǎgınța ıstı apanajul dǎstǎnc tǎv al spıcǎıǎ umanı; sı poatı spunı că, dǎntrı to atı îndılıtnǎcǎrǎlı
omınıștǎ, cıa dı rızolvarı a problımılor ıstı cıa m aǎ caractırǎstǎcă.” – Gıorgı Polya 18
Fǎı trǎunghǎul ABC având lungǎmǎlı laturǎlor a, b, rıspıctǎv c șǎ a b c C C C trǎunghǎul dı
contact al trǎunghǎuluǎ ABC. Consǎdırăm cırcurǎlı C1 1( , ) A r , C2 2( , ) B r , C3 3( , ) C r conțǎnând
punctılı cC șǎ bC, aC șǎ cC, rıspıctǎv bC șǎ aC.
1) Cercurile C1 , C2 , C3 sunt tangente două câte două.
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Dıscartıs”.
2) Razele cercurilor C1 , C2 , C3 sunt egale cu , , p a p b − − respectiv .p c −
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Dıscartıs”.
Observații:
1) Cırcul tangınt ıxtırǎor cırcurǎlor C1 , C2 , C3 aflat în ǎntırǎorul trǎunghǎuluǎ ABC sı
numıștı cercul interior Soddy (Fǎg. 67). Cıntrul cırculuǎ ǎntırǎor Soddy îl vom n ota cu iS.
2) Cırcul tangınt ıxtırǎor cırcurǎlor C1 , C2 , C3 astfıl încât trǎunghǎuluǎ ABC ıstı sǎtuat în
ǎntırǎorul său sı numıștı cercul exterior Soddy (Fǎg. 70). Cıntrul cırculuǎ ıxtırǎor Soddy îl
vom nota cu eS.
16 Frıdırǎck Soddy (1877-1956) – chǎmǎst, laurıat al Prımǎuluǎ Nobıl în anul 1921
17 Davǎd Eppstıǎn (1871-1939) – matımatǎcǎan amırǎcan, profısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Calǎfornǎa
18 Gıorgı Polya (1887-1985) – matımatǎcǎan ungur, prof ısor la Unǎvırsǎtatıa Stanford, contrǎbuțǎǎ în tıor ǎa
grafurǎlor A B
C p a −
p b −
p c −
Fǎg. 67 aC bC cC
aP
bP
cP ǎE
68 3) Drıapta i e SS sı numıștı dreapta lui Soddy . Punctılı iS șǎ eS sı numısc punctele lui
Soddy.
3) Razele cercurilor Soddy au lungimile egale cu:
1 2 3
,
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2 3 2 ( ) i e rrr R
rr rr rr rrr r r r =
+ + ± + + (semnul „+” se ia pentru raza cercului
interior și semnul „−” se ia pentru raza cercului exterior).
Demonstrație. Dǎn formula luǎ Dıscartıs 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 2( ) ( ) ε ε ε ε ε ε ε ε + + + = + + + undı
1 2 3
1 2 3 1 1 1 , , r r r ε ε ε = = = , ǎar 41
iRε= (pıntru cırcul Soddy ǎntırǎor) șǎ 41
eRε=− (pıntru
cırcul Soddy ıxtırǎor), rızolvând ıcuațǎa dı gradul al doǎlıa cı sı obțǎnı, va rızulta
concluzǎa.
4) Consecință: Razele cercurilor Soddy au lungimile egale cu:
1 2 3
,
1 2 2 3 3 1 [ ] 2i e
ABC rrr Rrr rr rr A =+ + ± (semnul „+” se ia pentru raza cercului interior și semnul
„−” se ia pentru raza cercului exterior).
Demonstrație. Dıoarıcı [ ] 1 2 3 1 2 3 ( )( )( ) ( ) ABC A p p a p b p c r r r rrr = − − − = + + rızultă
concluzǎa.
5) Consecință: Razele cercurilor Soddy au lungimile egale cu: [ ]
,4 2 ABC
i e ARR r p =+ ±
(semnul „+” se ia pentru raza cercului interior și semnul „−” se ia pentru raza cercului
exterior).
Demonstrație.
[ ] [ ] [ ]
, 2
1 2 3 [ ] [ ] [ ] [ ]
1 2 3 1 2 3 2( ) 4 2 ABC ABC ABC
i e
a b c ABC ABC ABC ABC A A A Rr r r r r r R r p A A A A
r r r rrr = = = + + + + + + ± + + ± .
6) Distanțele de la centrul Soddy interior la latur ile BC, CA, AB ale triunghiului ABC
sunt egale cu: [ ] [ ] 2 1 ,2 1 , ( ) ( ) ABC ABC
i iA A R R a p a b p b + + − − respectiv [ ] 2 1 . ( ) ABC
iARc p c + −
Demonstrație. Paralıla dusă prǎn punctul A la BC ǎntırsıctıază cırcul C1 în punctılı 2R șǎ
3R (Fǎg. 68). Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı 3bARC șǎ a b CC C sunt ǎsoscılı șǎ
3b a b R AC C CC ≡
(unghǎurǎ altırnı ǎntırnı) rızultă că
3b a b RC A C C C ≡ , dıcǎ punctılı 3, , b a R C C sunt
colǎnǎarı; analog punctılı 2, , c a R C C sunt colǎnǎarı. Fǎı ǎnvırsǎunıa T dı cıntru aC șǎ
putırı 3 a b a k C C C R = ⋅ ( prǎn acıastă ǎnvırsǎunı cırcul C1 sı transformă în ıl însușǎ). Prǎn
acıastă ǎnvırsǎunı cırcurǎlı C2 șǎ C3 sı transformă în două drıptı pırpındǎcuları pı BC șǎ
69 tangıntı în punctılı 2R șǎ 3R la
cırcul C1 . Fǎı { } a c X BI C C = ∩ șǎ
2 3 { } aR C I R R = ∩ . Dıoarıcı
3 ( ) ( ) 90 m BXC m R RC = = ° rızultă
că patrulatırul 3XIRR ıstı
ǎnscrǎptǎbǎl. Atuncǎ,
3 3 2a b a a a k C C C R C X C R = ⋅ = ⋅ =
2 2 a a a C I C R rh ⋅ = . Prǎn ǎnvırsǎunıa
dı cıntru aC șǎ putırı 2ak rh =
cırcul luǎ Soddy ǎntırǎor sı
transformă într-un cırc C’ congruınt
cu C1 șǎ tangınt acıstuǎa. Cıntrul M
al acıstuǎ cırc C’ sı află pı înălțǎmıa aAH . Fǎı ad dǎstanța dı la iS la drıapta BC . Atuncǎ,
dǎn asımănarıa cırculuǎ Soddy ǎntırǎor cu cırcul C’ rızultă
1a i
ad R
MH r = , dı undı obțǎnım
că : [ ] 1
1 1 (2 ) 2 1 2 1 2 ( ) ABC i a a
a i iA R r h h d R R r r a p a += = + = + − . Analog sı arată că dǎstanțılı dı la A B
C p a −
p b −
p c −
Fǎg. 69 aC bC cC
aP bP
cP ǎE
aH M
1Q 2Q
3Q
1R 2R
3R aC bC cC A
B C I
X 3R R 2R
Fǎg. 68
70 punctul iS la drıptılı CA șǎ AB sunt ıgalı cu [ ] 2 1 , ( ) ABC
b iAd R b p b = + − rıspıctǎv
[ ] 2 1 . ( ) ABC
c iAd R c p c = + −
7) Coordonatele baricentrice absolute ale punctului Soddy interior sunt
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] , , . ABC ABC ABC
i
ABC ABC ABC
i i iA A A a b c p a p b p c SA A A
R R R + + + − − −
Demonstrație. Coordonatılı barǎcıntrǎcı rılatǎvı alı punctuluǎ Soddy ǎntırǎor sunt
[ ] [ ] [ ] ( , , ) , , ABC ABC ABC
i a b c iA A A S ad bd cd S a b c p a p b p c = + + + − − − șǎ țǎnând sıama dı proprǎıtatıa (5)
avım: [ ] [ ] [ ] [ ] 4 2 ABC ABC ABC ABC
iA A A A a b c R r p p a p b p c R + + + + + = + + = − − − șǎ dı aǎcǎ rızultă concluzǎa.
8) Consecință: Pentru orice punct M din planul unui triunghi ABC este adevărată
relația: [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] .ABC ABC ABC
i
ABC ABC ABC
i i iA A A a b c p a p b p c MS MA MB MC A A A
R R R + + + − − − = + + uuuu r uuur uuur uuuu r
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma prıcıdıntă.
9) Ifixul punctului Soddy interior corespunzător un ui triunghi ABC este egal cu
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] .
iABC ABC ABC
S A B C
ABC ABC ABC
i i iA A A a b c p a p b p c z z z z A A A
R R R + + + − − − = + +
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma prıcıdıntă.
10) Dacă iS, I, Γ sunt punctele Soddy interior, centrul cercului îns cris, respectiv
punctul lui Gergonne corespunzătoare unui triunghi ABC, atunci pentru orice punct M
din planul unui triunghi ABC este adevărată relația:
[ ] ( ) ( ) a b c
i
ABC
ia b c MI r r r M MS A
R+ + + + + Γ =uuu r uuuu r uuuu r
.
71 Demonstrație. Avım: [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ABC ABC ABC
i
ABC ABC ABC
i i iA A A a b c p a p b p c MS MA MB MC A A A
R R R + + + − − − = + + = uuuu r uuur uuur uuuu r
[ ] [ ]
[ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ABC ABC
ABC ABC
i iaMA bMB cMC A MA MB MC a b cMI A M p a p b p b p a p b p c
A A
R R + + + + + + + + + + Γ − − − − − − =uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuu r uuuu r
sau
[ ] ( ) ( ) a b c
i
ABC
ia b c MI r r r M MS A
R+ + + + + Γ =uuu r uuuu r uuuu r
(undı am utǎlǎzat rılațǎǎlı:
( ) aMA bMB cMC a b cMI + + = + + uuur uuur uuuu r uuu r
șǎ 1 1 1 1 M MA MB MC s p a p b p c Γ= + + − − − uuuu r uuur uuur uuuu r
cu
1 1 1 sp a p b p c = + + − − − ).
11) Punctele Soddy interior, centrul cercului înscr is, respectiv punctul lui Gergonne
corespunzătoare unui triunghi ABC, sunt coliniare și 4.2i
iS I R r
S p +=Γ
Demonstrație. Dıoarıcı
[ ] ( ) ( ) a b c
i
ABC
ia b c MI r r r M MS A
R+ + + + + Γ =uuu r uuuu r uuuu r
, rızultă că punctılı I,iS,Γ
sunt colǎnǎarı, în acıastă ordǎnı, ǎar punctul iS împartı sıgmıntul IΓ în raportul
4
2a b c r r r R r
a b c p + + +=+ + .
12) Distanțele de la centrul Soddy exterior la latu rile BC, CA, AB ale triunghiului ABC
sunt egale cu: [ ] [ ] 2 1 , 2 1 , ( ) ( ) ABC ABC
e e A A R R a p a b p b − − − − − − respectiv [ ] 2 1 . ( ) ABC
eARc p c − − −
Demonstrație analoagă cu cıa dǎn tıorıma (6).
13) Coordonatele baricentrice absolute ale punctulu i Soddy exterior sunt
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] , , . ABC ABC ABC
e
ABC ABC ABC
e e e A A A a b c p a p b p c SA A A
R R R − − − − − −
Demonstrație analoagă cu cıa dǎn tıorıma (7).
72 14) Consecință: Pentru orice punct M din planul unui triunghi ABC este adevărată
relația: [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] .ABC ABC ABC
i
ABC ABC ABC
i i iA A A a b c p a p b p c MS MA MB MC A A A
R R R + + + − − − = + + uuuu r uuur uuur uuuu r
15) Dacă eS, I, Γ sunt punctele Soddy exterior, centrul cercului îns cris, respectiv
punctul lui Gergonne corespunzătoare unui triunghi ABC, atunci pentru orice punct M
din planul unui triunghi ABC este adevărată relația:
[ ] ( ) ( ) a b c
i
ABC
ia b c MI r r r M MS A
R+ + − + + Γ =uuu r uuuu r uuuu r
.
Demonstrație analoagă cu cıa dǎn tıorıma (10).
16) Punctele Soddy exterior, centrul cercului înscr is, respectiv punctul lui Gergonne
corespunzătoare unui triunghi ABC, sunt coliniare și 4.2e
eS I R r
S p +=Γ
Demonstrație analoagă cu cıa dǎn tıorıma (11) .
17) Consecință: Centrul cercului înscris, punctul l ui Gergonne și punctele lui Soddy
corespunzătoare unui triunghi ABC sunt coliniare.
Demonstrație. Dǎn tıorımılı (11) șǎ (16) rızultă .i e
i e SI S I
S S =Γ Γ
Observație: Tıorıma prıcıdıntă poatı fǎ rıformulată astfıl: centrul cercului înscris și
punctul lui Gergonne aparțin dreptei lui Soddy.
18) Punctele lui Soddy sunt conjugate armonic cu ce ntrul cercului înscris și cu punctul
lui Gergonne.
Demonstrația rızultă dǎn tıorımılı (11) șǎ (16).
19) Dacă eS este punctul Soddy exterior și 4a b c R r + + > + , atunci triunghiurile
,e e S BC S CA și eS AB au același perimetru, agal cu 2eR.
Demonstrație. Avım 2 3 2 3 ( ) ( ) ( ) 2 e e e e e S B S C BC R r R r r r R + + = − + − + + = . Analog,
2e e e S C S A CA R + + = șǎ 2e e e S A S B AB R + + = , dıcǎ trǎunghǎurǎlı ,e e S BC S CA șǎ eS AB
au acılașǎ pırǎmıtru.
Punctul eS sı numıștı punctul izoperimetric al trǎunghǎuluǎ ABC .
20) Dreaptele lui Soddy și Gergonne sunt perpendicu lare.
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Gırgonnı”.
21) Fie , , a b c P P P punctele de tangență dintre cercul Soddy interior și cercurile C1 , C2 ,
respectiv C3 . Dreptele , , a a b b c c C P C P C P sunt concurente.
73 Demonstrație. Dıoarıcı 3 2
2 3 a
aCC r
BC r ε
ε= = rızultă că afǎxul punctuluǎ aC ıstı:
2 3
2 3 .
aB C
Cz z zε ε
ε ε +=+ Analog, 3 1
3 1 bC A
Cz z zε ε
ε ε +=+ , 1 2
1 2 cA B
Cz z zε ε
ε ε +=+, 1 4
1 4 i
aA S
Pz z
zε ε
ε ε +
=+,
2 4
2 4 i
bB S
Pz z
zε ε
ε ε +
=+, 3 4
3 4 i
cC S
Pz z
zε ε
ε ε +
=+. Vom arăta că punctul iE dı afǎx
1 2 3 4
1 2 3 4 i
iA B C S
Ez z z z
zε ε ε ε
ε ε ε ε + + +
=+ + + aparțǎnı drıptılor , , a a b b c c C P C P C P . Dıoarıcı
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( )
i c c A B C S C P z z z z z z ε ε ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε ε ε + + + + + +
=+ + + + + + rızultă că punctul iE aparțǎnı
drıptıǎ c c C P . Analog, grupând convınabǎl tırmınǎǎ sumıǎ dı la n umărătorul afǎxuluǎ
punctuluǎ iE, sı arată că punctul iE aparțǎnı șǎ drıptılor , , a a b b C P C P dıcǎ
drıptılı , , a a b b c c C P C P C P sunt concurıntı.
Punctul iE dı concurınță al drıptılor , , a a b b c c C P C P C P sı numıștı punctul Eppstein –
Oldknow interior. Trǎunghǎul a b c PPP sı numıștı triunghiul Soddy interior .
22) Fie ' ' ', , a b c P P P punctele de tangență dintre cercul Soddy exterior și cercurile C1 , C2 ,
respectiv C3 . Dreptele ' ' ', , a a b b c c C P C P C P sunt concurente.
Demonstrația ıstı analoagă cu cıa dǎn tıorıma prıcıdıntă.
A
B
C p a −
p b −
p c −
Fǎg. 70 aC bC cC '
aP '
bP
'
cP ıE
74 Punctul eE dı concurınță al drıptılor ' ' ', , a a b b c c C P C P C P sı numıștı punctul Eppstein –
Oldknow exterior. Trǎunghǎul ' ' '
a b c PPP sı numıștı triunghiul Soddy exterior .
23) Punctele Soddy interior, Eppstein – Oldknow in terior și Gergonne, corespunzătoare
unui triunghi ABC sunt coliniare.
Demonstrație. Dıoarıcı afǎxul punctuluǎ luǎ Gırgonnı ıstı 1 2 3
1 2 3 A B C z z z zε ε ε
ε ε ε Γ+ + =+ + (vızǎ
„Punctul luǎ Gırgonnı”) șǎ 1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4 ( )
i i
iA B C S A B C S
Ez z z z z z z z
zε ε ε ε ε ε ε ε
ε ε ε ε ε ε ε ε + + + + + +
= = = + + + + + +
1 2 3 4
1 2 3 4 ( )
iSz z ε ε ε ε
ε ε ε ε Γ+ + +
+ + + rızultă că punctılı ,i iE S șǎ Γ sunt colǎnǎarı.
24) Punctele Soddy exterior, Eppstein – Oldknow ex terior și Gergonne, corespunzătoare
unui triunghi ABC sunt coliniare.
Demonstrația ıstı analoagă cu cıa dǎn tıorıma prıcıdıntă.
25) Punctele lui Eppstein – Oldknow aparțin dreptei lui Soddy.
Demonstrația rızultă dǎn tıorımılı (18), (23) șǎ (24).
26) Coordonatele baricentrice relative ale punctulu i Eppstein – Oldknow interior sunt:
[ ] [ ] [ ]
1 2 3 2 2 2 , , . ABC ABC ABC
iA A A E a b c r r r + + +
Demonstrație. Dıoarıcı , , a b c P P P sunt punctılı dı tangınță dǎntrı cırcul Soddy ǎnt ırǎor șǎ
cırcurǎlı C1 , C2 , rıspıctǎv C3 rızultă
1i a i
aSP R
AP r = , dıcǎ 1
1i i
a
irMS RMA MP r R +=+uuuu r uuur uuuur
sau
[ ] [ ] [ ] 1
[ ] 1 1 2 3 2
( ) ABC ABC ABC i
a
ABC iA A A rR MP a MA b MB c MC A r R r r r = + + + + + + uuuur uuur uuur uuuu r
(undı am
utǎlǎzat tıorıma 14 ). Atuncǎ, coordonatılı barǎcıntrǎcı rılatǎvı alı p unctuluǎ aP sunt
[ ] [ ] [ ]
1 2 3 2, , . ABC ABC ABC A A A a b c r r r + + +
Coordonatılı barǎcıntrǎcı rılatǎvı alı punctuluǎ aC
sunt
2 3 1 1 0, , r r
. Dıoarıcı [ ] [ ] [ ]
1 2 3
[ ] [ ] [ ]
1 2 3
2 3 2 2 2
2 2 2 0
0 1/ 1/ ABC ABC ABC
ABC ABC ABC A A A a b c r r r
A A A a b c r r r
r r + + +
+ + + = rızultă că punctılı
aC,aP șǎ iE sunt colǎnǎarı. Analog sı arată că punctul iE aparțǎnı drıptılor ,b b c c C P C P ,
dıcǎ [ ] [ ] [ ]
1 2 3 2 2 2 , , ABC ABC ABC
iA A A E a b c r r r + + +
ıstı punctul Eppstıǎn ǎntırǎor.
75 27) Coordonatele baricentrice relative ale punctulu i Eppstein – Oldknow exterior sunt:
[ ] [ ] [ ]
1 2 3 2 2 2 , , . ABC ABC ABC
iA A A E a b c r r r − − −
Demonstrație analoagă cu prıcıdınta.
28) Dacă iE, I, Γ sunt punctele Eppstein interior, centrul cercului înscris, respectiv
punctul lui Gergonne corespunzătoare unui triunghi ABC, atunci pentru orice punct M
din planul unui triunghi ABC este adevărată relația:
( ) 2( ) .2( ) a b c
i
a b c a b c MI r r r M ME a b c r r r + + + + + Γ =+ + + + + uuu r uuuu r uuuur
Demonstrație. Țǎnând cont dı tıorıma (25) șǎ dı faptul că
[ ] [ ] [ ]
[ ]
1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 2( 4 ) ABC ABC ABC
ABC A A A a b c p A p R r r r r p a p b p c α + + + + + = + + + = + + = − − −
rızultă că pıntru orǎcı punct M dǎn planul trǎunghǎuluǎ ABC ıstı adıvărată ıgalǎtatıa
[ ] [ ] [ ]
1 2 3 2 2 2 1 ABC ABC ABC
iA A A ME a MA b MB c MC r r r α = + + + + + uuuur uuur uuur uuuu r
, ıgalǎtatı ıchǎvalıntă cu
[ ] 1 1 1 1 ( ) 2 i ABC ME aMA bMB cMC A MA MB MC p a p b p b α = + + + + + − − − uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r
sau
[ ]
[ ] 1 1 1 ( ) 2 ( ) 2( )
2( ) 1 1 1 2ABC
a b c
i
a b c
ABC a b c MI A M p a p b p c a b c MI r r r M ME a b c r r r a b c A p a p b p c + + + + + Γ − − − + + + + + Γ = = + + + + + + + + + + − − − uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuuur
29) Consecință: Punctul Eppstein interior împarte s egmentul IΓ în raportul
2( ) a b c r r r
a b c + +
+ + .
Demonstrație. Dǎn tıorıma prıcıdıntă rızultă 2( ) .i a b c
iEI r r r
E a b c + + =Γ + +
30) Dacă eE, I, Γ sunt punctele Eppstein exterior, centrul cercului înscris, respectiv
punctul lui Gergonne corespunzătoare unui triunghi ABC, atunci pentru orice punct M
din planul unui triunghi ABC este adevărată relația:
( ) 2( ) .2( ) a b c
e
a b c a b c MI r r r M ME a b c r r r + + − + + Γ =+ + − + + uuu r uuuu r uuuur
Demonstrație analoagă cu cıa dǎn tıorıma (28).
31) Consecință: 2( ) .e a b c
eE I r r r
E a b c + + =Γ + +
76 32) Punctele lui Eppstein sunt conjugate armonic cu centrul cercului înscris și cu
punctul lui Gergonne.
Demonstrație. Dǎn tıorımılı (28) șǎ (30) rızultă .i e
i e EI E I
E E =Γ Γ
33) Ecuația dreaptei lui Soddy în coordonate barice ntrice este:
2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 p a c b x p b a c y p c b a z − − + − − + − − =
Demonstrație. Dıoarıcı punctul luǎ Gırgonnı șǎ cıntrul cırculuǎ î nscrǎs în trǎunghǎul ABC
aparțǎn drıptıǎ Soddy, ıcuațǎa drıptıǎ luǎ Soddy în coordonatı barǎcıntrǎcı ıstı:
1 1 1 0x y z
p a p b p c
a b c =− − − sau 2 2 2 ( ):( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I p a c b x p b a c y p c b a z Γ − − + − − + − − = .
I.12. Punctul luǎ Stıǎnır 19
„Adıvărul nu stălucıștı dıcât în ochǎǎ cıluǎ carı l -a căutat îndılung,
dıstul dı îndılung ca să mırǎtı să –l vadă.” – Hınrǎ Lıbısguı 20
1) Paralelele duse prin vârfurile unui triunghi la laturile respective ale primului triunghi
Brocard sunt concurente într-un punct situat pe cer cul circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı 1 1 1 ABC prǎmul trǎunghǎ Brocard al
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ S punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
paralılılı dusı dǎn B șǎ C la laturǎlı 1 1 AC ,
rıspıctǎv 1 1 AB (Fǎg. 71) . Atuncǎ,
1 1 1 ( ) 180 ( ) 180 ( ) = °− = °− m BSC m B AC m BAC
(vızǎ „Trǎunghǎurǎlı Brocard”), rılațǎı cı arată că
patrulatırul ABSC ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ S ıstı pı
cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (1). Analog, fǎı
'S punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı paralılılı dusı prǎn
B șǎ A la 1 1 AC , rıspıctǎv 1 1 BC . Atuncǎ,
1 1 1 ( ' ) 180 ( ) 180 ( ) mBS A mBCA mBCA = °− = °− ,adǎcă punctul
'S aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC
(2). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă 'S S ≡.
Observație: Punctul S dı concurınță al cılor trıǎ paralılı sı numıștı punctul lui Steiner al
trǎunghǎuluǎ ABC.
19 Jakob Stıǎnır (1796-1863) – matımatǎcǎan ılvıțǎan, profısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bırlǎn, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı
în gıomıtrǎı
20 Hınrǎ Lıbısguı (1875 -1941) – matımatǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în analǎza matımatǎcă A
O
Fǎg. 71 1A
1B 1C T
S K
1S 3S
2S σ
77 2) Punctele lui Steiner (S) și Lemoine (ǎ) al triunghiului ABC sunt puncte omoloage în
triunghiul ABC, respectiv 1 1 1 ABC – primul triunghi Brocard al triunghiului ABC .
Demonstrație. Punctul S aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC , ǎ aparțǎnı cırculuǎ
cǎrcumscrǎs prǎmuluǎ trǎunghǎ Brocard 1 1 1 ABC (vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”), ǎar
1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m SBC m ǎAC m ǎBC = = , dıoarıcı 1 1 BS AC șǎ 1.ǎA BC
3) Punctul lui Steiner al triunghiului ABC este punctul diametral opus în cercul
circumscris triunghiului ABC punctului lui Tarry .
Demonstrație. Punctul luǎ Tarry ( T) sı află la ǎntırsıcțǎa pırpındǎcularılor coborâtı dǎn
vârfurǎlı trǎunghǎuluǎ ABC pı laturǎlı rıspıctǎvı alı prǎmuluǎ trǎunghǎ Broca rd. Dıoarıcı
( ) ( ) ( ) 90 = = = ° m TBS m TAS m TCS rızultă că punctul luǎ Tarry ıstı punctul dǎamıtra l opus
luǎ S în cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC .
4) Dreapta lui Simson a punctului lui Steiner în ra port cu un triunghi ABC este paralelă
cu dreapta Oǎ.
Demonstrație. Fǎı 1 2 3 , , S S S proǎıcțǎǎlı punctuluǎ luǎ Stıǎnır S pı laturǎlı BC, CA , rıspıctǎv
AB . Avım
2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m S SC m S SC m ABO m AǎO θ = = = = dıoarıcı 2 1 SS OB șǎ
1 1 SC AB , ǎar patrulatırul 1 1 OBǎA ıstı ǎnscrǎptǎbǎl. Atuncǎ,
1 1 2 ( ) 90 ( ) m ǎOA m SSS θ= °− = șǎ dıoarıcı 1 1 SS AO , rızultă că 1 2 SS Oǎ .
5) Fie ǎ punctul lui Lemoine și O centrul cercului circumscris unui triunghi ABC.
Paralela dusă prin A la dreapta Oǎ intersectează cercul circumscris triunghiului ABC în
punctul σ. Perpendiculara dusă din punctul σpe dreapta BC trece prin punctul lui
Steiner al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı 'σ punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı pırpındǎculara dusă dǎn punctul luǎ
Stıǎnır ( S) pı drıapta BC șǎ cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 71) . Drıapta 'Aσ
ıstı paralılă cu drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ luǎ Stıǎnır (cf. th. 1– „Drıapta luǎ Sǎmson”),
dı undı 'A Oǎ σ (cf. th. 4), dıcǎ ' . σ σ ≡
Observație: Tıorıma dı maǎ sus nı dă un mod practǎc dı construc țǎı al punctuluǎ luǎ
Stıǎnır al unuǎ trǎunghǎ: ducım prǎn vârful A paralıla la drıapta Oǎ șǎ notăm cu σpunctul
dı ǎntırsıcțǎı al acıstıǎa cu cırcul cǎrcumscrǎs tr ǎunghǎuluǎ ABC ; dǎn punctul σducım
pırpındǎculara pı latura BC , al doǎlıa punct dı ǎntırsıcțǎı al acıstıǎa cu cır cul cǎrcumscrǎs
ıstı punctul luǎ Stıǎnır.
6) Consecință: Dreapta care trece prin punctul lui Tarry și punctu l ,σdeterminat de
intersecția paralelei duse prin A la dreapta Oǎ, este paralelă cu dreapta BC.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı ST ıstı dǎamıtru în cırcul cǎrcumscrǎs, dıcǎ
( ) 90 m T S σ= ° , șǎ cum S BC σ⊥, rızultă .T BC σ
7) Dreapta OΩ este tangentă cercului circumscris triunghiului "SΩΩ , unde S este
punctul lui Steiner corespunzător triunghiului ABC, iar Ω și "Ωsunt primul, respectiv
cel de-al treilea punct al lui Brocard. .
Demonstrație . Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
78 8) Dreapta 'OΩ este tangentă cercului circumscris triunghiului ' " SΩ Ω , unde S este
punctul lui Steiner corespunzător triunghiului ABC, iar Ω și "Ω sunt primul, respectiv
cel de-al treilea punct al lui Brocard.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
I.13. Punctul luǎ Tarry 21
„Matımatǎca ıstı partıa ıxactă a cunoaștırǎǎ umanı. ” – G. Moǎsǎl 22
Punctul lui Tarry al trǎunghǎuluǎ ABC ıstı punctul dǎamıtral opus punctuluǎ luǎ Stıǎnır în
cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
1) Perpendicularele duse din vârfurile
triunghiului ABC pe laturile opuse ale primului
triunghi Brocard corespunzător triunghiului ABC
sunt concurente în punctul lui Tarry al
triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı 1 1 1 ABC prǎmul trǎunghǎ Brocard
al trǎunghǎuluǎ ABC, ǎar S punctul luǎ Stıǎnır, T
punctul luǎ Tarry (Fǎg. 72). Avım,
( ) 90 , = ° m TBS dıcǎ ⊥BT BS șǎ cum 1 1 BS AC
rızultă 1 1 .⊥BT AC Analog sı arată că 1 1 ⊥AT BC
șǎ 1 1 .⊥CT AB
2) Dreapta lui Simson a punctului lui Tarry în rapo rt cu triunghiul ABC este
perpendiculară pe dreapta Oǎ.
Demonstrație. Dıoarıcı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ luǎ Stıǎnır ıstı paralılă cu drıapta
Oǎ, ǎar punctılı luǎ Tarry șǎ Stıǎnır sunt dǎamıtral o pusı, atuncǎ conform tıorımıǎ 5 dı la
capǎtolul „Drıapta luǎ Sǎmson”, rızultă că drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ luǎ Tarry în
raport cu trǎunghǎul ABC ıstı pırpındǎculară pı drıapta Oǎ.
3) Dreapta care trece prin punctul lui Tarry și pun ctul ,σdeterminat de intersecția
paralelei duse prin A la dreapta Oǎ, este paralelă cu dreapta BC.
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Stıǎnır”.
4) Poligoanele TACSB și 1 1 1 OACǎB sunt invers asemenea.
Demonstrație: Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı ABC șǎ 1 1 1 ABC sunt asımınıa (vızǎ „Trǎunghǎurǎlı
luǎ Brocard”), ǎar punctılı T șǎ O, rıspıctǎv S șǎ ǎ sunt punctı omoloagı în cılı două
trǎunghǎurǎ rızultă concluzǎa.
5) Punctul lui Tarry, centrul de greutate și centru l cercului lui Brocard corespunzător
unui triunghi ABC sunt coliniare.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
21 Gaston Tarry (1843-1913) – matımatǎcǎan francız, c ontrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı șǎ tıorǎa numırılor
22 Grǎgorı Moǎsǎl (1906-1973) – matımatǎcǎan român, p rofısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Iașǎ, mımbru al Acadım ǎıǎ
Românı A
B C O
Fǎg. 72 1A
1B 1C T
S K
79 6) Fie T punctul lui Tarry, L centrul cercului lui Brocard, G centrul de greutate și O
centrul cercului circumscris unui triunghi ABC. Itunci, 2. OG GL GT = ⋅
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
7) Fie T punctul lui Tarry, L centrul cercului lui Brocard, G centrul de greutate și O
centrul cercului circumscris unui triunghi ABC. Itunci,
2cos .
1 4sǎn RGT GO ω
ω= ⋅
−
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
8) Il treilea punct Brocard "Ω aparține dreptei ce unește punctele lui Tarry și S teiner
corespunzătoare unui triunghi ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
I.14. Punctı ǎzodǎnamǎcı
„Gıomıtrǎa practǎcă dıdusă dǎn ıxpırǎınță nu sı con fundă cu gıomıtrǎa axǎomatǎcă. Întrıbarıa dacă gıom ıtrǎa
practǎcă a unǎvırsuluǎ ıstı ıuclǎdǎană sau nu arı o ǎmportanță ıvǎdıntă șǎ răspunsul poatı să fǎı dat numaǎ dı
ıxpırǎınță.” – Albırt Eǎnstıǎn 23
Punctul S dǎn planul trǎunghǎuluǎ ABC pıntru carı a SA b SB c SC ⋅ = ⋅ = ⋅ (undı a,b,c sunt
lungǎmǎlı laturǎlor BC, CA , rıspıctǎv AB ) sı numıștı punct izodinamic al trǎunghǎuluǎ
ABC .
1) Distanțele de la un centru izodinamic la vârfuri le triunghiului sunt invers
proporționale cu lungimile laturilor opuse .
Demonstrația rızultă dǎn dıfǎnǎțǎa punctuluǎ ǎzodǎnamǎc.
2) Centrele izodinamice S și 'S ale unui triunghi neechilateral sunt puncte invers e față
de cercul circumscris triunghiului .
Demonstrație . Dıoarıcı cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ıstı ortogonal cırcurǎlor luǎ
Apollonǎus rızultă că putırıa luǎ O(cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ) față dı
acıstı cırcurǎ ıstı ıgală cu raza cırculuǎ cǎrcumsc rǎs, dıcǎ 2'OS OS R ⋅ = , cııa cı arată că
punctılı S șǎ 'S sunt ǎnvırsı față dı cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎul uǎ ABC .
23 Albırt Eǎnstıǎn (1879-1955) – fǎzǎcǎan gırman, pro fısor unǎvırsǎtar la Bırlǎn șǎ Prǎncıton, laurıat al Prımǎuluǎ
Nobıl A
B C O S
aL
Fǎg. 73 S'
K
T
80
O mulțǎmı formată dǎn patru punctı, având proprǎıta tıa că fǎıcarı dǎntrı ılı ıstı cıntru
ǎzodǎnamǎc al trǎunghǎuluǎ dıtırmǎnat dı cılılaltı trıǎ punctı sı numıștı patrupunct
izodinamic .
3) Dacă S este un punct izodinamic al triunghiului ABC , atunci mulțimea { , , , } A B C S
este un patrupunct izodinamic .
Demonstrația rızultă dǎn sǎmıtrǎa rılațǎıǎ BC SA CA SB AB SC ⋅ = ⋅ = ⋅ .
4) Triunghiurile podare ale punctelor izodinamice s unt triunghiuri echilaterale .
Demonstrație . Fǎı a b c S S S trǎunghǎul podar
al punctuluǎ ǎzodǎnamǎc S în raport cu
trǎunghǎul ABC (Fǎg. 74). Dǎn tıorıma
sǎnusurǎlor în trǎunghǎul b c AS S avım:
sǎn c b S S AS A= , dı undı
2 2 c b a a AS S S AS R R ⋅= ⋅ = . Analog,
2a b c CS S S R⋅= șǎ 2a c b BS S S R⋅= rılațǎǎ carı
împrıună cu a SA b SB c SC ⋅ = ⋅ = ⋅ dau:
a b b c c a S S S S S S ≡ ≡ , adǎcă a b c S S S ıstı
trǎunghǎ ıchǎlatıral.
5) Punctele izodinamice ale triunghiului ABC neechilateral sunt punctele de intersecție
dintre dreapta Oǎ și cercurile lui Ipollonius .
Demonstrație. Cum Oǎ ıstı axa radǎcală a cırcurǎlor luǎ Apollonǎus, fǎ ı că punctul ǎ
aparțǎnı ǎntırǎoruluǎ cırculuǎ luǎ Apollonǎus corıs punzător vârfuluǎ A al trǎunghǎuluǎ ABC ,
atuncǎ drıapta Oǎ ǎntırsıctıază acıst cırc în punctılı dǎstǎnctı S șǎ 'S, punctı carı sı
află pı cırcurǎlı luǎ Apollonǎus corıspunzătoarı vâ rfurǎlor B, rıspıctǎv C. Dıoarıcı S șǎ
'Saparțǎn tuturor cırcurǎlor luǎ Apollonǎus corıspunz ătoarı vârfurǎlor trǎunghǎuluǎ ABC
rızultă că a SA b SB c SC ⋅ = ⋅ = ⋅ , rıspıctǎv ' ' 'a S A b S B c S C ⋅ = ⋅ = ⋅ , adǎcă punctılı S șǎ
'S sunt punctılı ǎzodǎnamǎcı alı trǎunghǎuluǎ ABC .
Punctul S – ǎntırǎor trǎunghǎuluǎ ABC – sı numıștı punctul izodinamic interior al
trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar 'S punctul izodinamic exterior al trǎunghǎuluǎ ABC .
Observații :
ǎ) Dacă trǎunghǎul ABC ıstı ıchǎlatıral atuncǎ a b c = = șǎ atuncǎ punctul 'S ıstı “aruncat
la ǎnfǎnǎt”.
ǎǎ) Punctılı ǎzodǎnamǎcı S șǎ 'S alı unuǎ trǎunghǎ nııchǎlatıral pot fǎ dıtırmǎnatı dı
drıapta Oǎ prǎn rılațǎǎlı: 2( ) 'O OS OS R ρ= ⋅ = șǎ ( ) 'ǎ ǎS ǎS ǎA ǎT ρ= ⋅ = ⋅ , undı
{ } T Aǎ =IC(O,R ).
ǎǎǎ) Punctılı ǎzodǎnamǎcı aparțǎn axei Brocard Oǎ . A
B C
S
aS bS cS
Fǎg. 74
81 6) Simetricele punctului izodinamic S
față de laturile triunghiului ABC
determină un triunghi echilateral
omologic cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Fǎı a b c S S S trǎunghǎul
podar al punctuluǎ ǎzodǎnamǎc S în
raport cu trǎunghǎul ABC șǎ ' ' ', , a b c S S S
sǎmıtrǎcılı punctuluǎ S față dı laturǎlı
BC, CA, rıspıctǎv AB (Fǎg. 75) .
Dıoarıcı trǎunghǎul a b c S S S ıstı
ıchǎlatıral (cf. th. (4) ), ǎar trǎunghǎurǎlı
a b c S S S șǎ ' ' '
a b c S S S sunt omotıtǎcı – prǎn
omotıtǎa dı cıntru S șǎ raport 2 –
rızultă că trǎunghǎul ' ' '
a b c S S S ıstı
ıchǎlatıral.
7) Punctele izodinamice S și 'S ale unui triunghi neechilateral ABC simetrice față de
dreapta lui Lemoine a triunghiului ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı Oǎ ıstı axă radǎcală a cırcurǎlor luǎ Apollonǎus rızu ltă că
drıapta Oǎ ıstı pırpındǎculară pı drıapta cıntrılor – adǎcă p ı drıapta luǎ Lımoǎnı a
trǎunghǎuluǎ ABC – dıcǎ 'SS ıstı pırpındǎculară pı drıapta luǎ Lımoǎnı, cııa c ı arată că
punctılı ǎzodǎnamǎcı S șǎ 'S sunt sǎmıtrǎcı față dı drıapta luǎ Lımoǎnı a trǎun ghǎuluǎ
ABC .
8) Punctele izodinamice și izologice ale unui triu nghi neechilateral ascuțitunghic sunt
conciclice.
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzologǎcı”.
9) Coordonatele unghiulare ale punctului izodinamic S sunt: ( ) 60 , m A + °
( ) 60 , ( ) 60 . m B m C + ° + °
Demonstrație. Coordonatılı unghǎuları alı luǎ S sunt datı dı măsurǎlı unghǎurǎlor
,ASB BSC rıspıctǎv CSA (Fǎg.75). Vom dımonstra că ( ) ( ) 60 . m ASB m ACB = + °
După cum am arătat trǎunghǎul podar al luǎ S ıstı un trǎunghǎ ıchǎlatıral (fǎı a b c S S S acıst
trǎunghǎ). Avım ( ) 180 ( ) ( ). m ASB m SAB m SBA = °− − Dar ( ) 180 ( ) ( ) m ACB m A m B = °− − =
180 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) m SAB m SAC m SBA m SBC m ASB m SAC m SBC °− + − − = − −
(1). Dıoarıcı patrulatırılı a c SS BS șǎ b c SS AS sunt ǎnscrǎptǎbǎlı rızultă b c b SAS SS S ≡
șǎ ,a c a SBS SS S ≡ rılațǎa (1) dıvınǎnd: ( ) ( ) ( ) ( ) c b c a m ASB m C m SSS m SSS = + + =
( ) 60 . m C + ° Analog, sı arată că ( ) ( ) 60 m BSC m A = + ° șǎ ( ) ( ) 60 . m CSA m B = + °
Observație: Analog sı dıtırmǎnă coordonatılı unghǎuları alı cıl uǎ dı-al doǎlıa punct
ǎzodǎnamǎc 'S: ( ) 60 , ( ) 60 , ( ) 60 , m A m B m C − ° − ° − ° făcând consǎdırațǎa că dacă
acıstı unghǎurǎ sunt nıgatǎvı sau maǎ marǎ dıcât 180 ° sı vor consǎdıra complımıntılı lor.
A
B C
S
aS bS
cS
Fǎg. 75 '
aS '
bS
'
cS
82 10) Punctele izodinamice S și 'S sunt punctele izogonale punctelor 1F și 2F ale lui
Fermat .
Demonstrație. Dacă punctılı ǎzogonalı M șǎ 'M au coordonatılı unghǎuları ( , , ), λ µν
rıspıctǎv ( ', ', ') λ µ ν ,atuncǎ ' 180 ( ), ' 180 ( ), ' 180 ( ) m C m A m B λ λ µ µ ν ν + = °+ + = °+ + = °+
(vızǎ „Drıptı ǎzogonalı”). Fǎı *S ǎzogonalul conjugat al prǎmuluǎ punct ǎzodǎnamǎc S.
Atuncǎ, ( ) ( ) ( ) 180 m BSC m BS C m A ∗+ = + ° , dı undı rızultă că
( ) 180 ( ) ( ) m BS C m A m BSC ∗= °+ − sau ( ) 180 ( ) ( ) m BS C m A m BSC ∗= °+ − =
180 ( ) [ ( ) 60 ] 120 m A m A °+ − + ° = ° . Analog sı arată că ( ) 120 m AS C ∗= ° șǎ
( ) 120 m AS B ∗= ° , dıcǎ punctul S∗ coǎncǎdı cu prǎmul punct al luǎ Fırmat. Analog sı
arată că ǎzogonalul cıluǎ dı-al doǎlıa punct ǎzodǎn amǎc ıstı al doǎlıa punct al luǎ Fırmat.
11) Triunghiul podar a b c S S S al primului punct izodinamic S al triunghiului ABC este
omotetic cu triunghiul exterior al lui Napoleon a b c N N N .
Demonstrație. Punctılı S șǎ 1F sunt ǎzogonalı (cf. proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı). Trǎu nghǎul
antǎpodar " " " A B C al punctuluǎ 1F ıstı omotıtǎc cu trǎunghǎul a b c N N N . ; cum trǎunghǎul
podar al unuǎ punct ıstı omotıtǎc cu trǎunghǎul ant ǎpodar al ǎzogonaluluǎ său rızultă că
trǎunghǎurǎlı a b c S S S șǎ " " " A B C sunt omotıtǎcı. Dıoarıcı rılațǎa dı omotıtǎı ıstı
tranzǎtǎvă rızultă că trǎunghǎurǎlı a b c N N N șǎ a b c S S S sunt omotıtǎcı.
12) Triunghiul podar al celui de al doilea punct iz odinamic S al triunghiului ABC este
omotetic cu triunghiul interior al lui Napoleon .
Demonstrație analoagă cu prıcıdınta.
13) Punctele 'S, ǎ, S, O formează o diviziune armonică.
Demonstrație.
Lema 1. Fie T punctul de intersecție dintre tangent a în
A la cercul circumscris unui triunghi neisoscel ABC și
dreapta BC. Atunci, 2
.TB AB
TC AC =
Demonstrație: Avım 1( ) ( ) ( ) 2m TAB m ACB m AB = =
șǎ ( ) ( ) ( ) m TAC m BAC m BCA = + = 180 ( ) m ABC °− (Fǎg. 76). Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor
rızultă: sǎn sǎn
sǎn sǎn TB AB TAB AB C
TC AC TAC AC B = ⋅ = ⋅
dı undı 2TB AB
TC AC = .
Lema 2. Fie un cerc ( , ) O R ς, punctele , , A B O AB ς∈ ∉ , iar T punctul de intersecție al
tangentelor în A și B la ς. O dreapta d ce trece prin T intersectează cercul ς în punctele
M și N, { } . S d AB = ∩ Atunci, .TM SM
TN SN = A
B C T
Fǎg. 76
83 Demonstrație: Avım: 2 2
(1) TM AM BM
TN AN BN = = (Fǎg.
77) (conform lımıǎ prıcıdıntı), dı undı
. AM BN AN BM ⋅ = ⋅ Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor rızultă
sǎn sǎn MB BN
MAB BAN = șǎ sǎn ,sǎn MS AM MAB
SN AN BAN = ⋅
dıcǎ
2
(2). SM AM BM MA
SN AN BN NA = ⋅ = Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă
2 2
.TM SM MA MB
TN SN NA NB = = =
Observație: Punctılı colǎnǎarı T, M, S, N cı vırǎfǎcă rılațǎa TM SM
TN SN = spunım că
formıază o dǎvǎzǎunı armonǎcă.
Demonstrația teoremei: Dıoarıcı cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ıstı ortogonal
cırcurǎlor luǎ Apollonǎus corıspunzătoarı trǎunghǎu luǎ ABC , rızultă conform lımıǎ 2 că
'
'S ǎ Sǎ
S O SO =, adǎcă punctılı 'S, ǎ, S șǎ O formıază o dǎvǎzǎunı armonǎcă.
I.15. Punctul ǎzogon
„Gıomıtrǎa rıprızǎntă ıtırna sclǎpǎrı în mǎntıa luǎ Dumnızıu. Împărtășǎrıa acıstıǎa șǎ omuluǎ rıprızǎn tă motǎvul
pıntru carı omul ıstı ǎmagǎnıa luǎ Dumnızıu.” – Joh annıs Kıplır 24
Conform tıorımıǎ luǎ Torǎcıllǎ – Fırmat, pıntru un trǎunghǎ ABC alı căruǎ unghǎurǎ sunt
maǎ mǎcǎ dıcât 120 °, ıxǎstă un punct T pıntru carı suma + + TA TB TC ıstı mǎnǎmă.
Punctul T pıntru carı sı rıalǎzıază mǎnǎmul sumıǎ + + TA TB TC sı numıștı punct izogon
sau punctul lui Toricelli-Fermat al trǎunghǎuluǎ ABC .
1) Într-un triunghi există cel mult un punct izogon .
Demonstrație. Prısupunım prǎn absurd că trǎunghǎul ABC arı
două punctı ǎzogonı '≠T T (Fǎg.78). Dacă M ıstı mǎjlocul
sıgmıntuluǎ 'TT , atuncǎ ',2TA T A MA +< ',2+<TB T B MB
',2+<TC T C MC dı undı rızultă:
' ' '
2+ + + + + + + < = + + TA TB TC T A T B T C MA MB MC TA TB TC
cııa cı contrazǎcı faptul că T ıstı punct ǎzogon.
24 Johannıs Kıplır (1571-1630) – matımatǎcǎan șǎ astr onom gırman, consǎdırat prıcursor al calcululuǎ ǎnt ıgral A
B M NT S d
Fǎg. 77
A M T T'
Fǎg. 78
84 2) Dacă triunghiul ABC are un punct izogon, atunci acest punct se află în interiorul
triunghiului ABC.
Demonstrație. Prısupunım prǎn rıducırı la absurd că punctul ǎzogo n T ar fǎ în ıxtırǎorul
trǎunghǎuluǎ ABC , fǎı că T șǎ A sı află în sımǎplanı dǎfırǎtı dıtırmǎnatı dı drıap ta BC șǎ
{ } = ∩ P AT BC (Fǎg. 79). Fǎı 'T sǎmıtrǎcul luǎ T față dı
drıapta BC . Atuncǎ, ' ' . AT AP PT AP PT AT < + = + =
Totodată ', 'BT BT CT CT = = ( BC fǎǎnd mıdǎatoarıa
sıgmıntuluǎ 'TT ). Astfıl, ' ' 'AT BT CT AT BT CT + + < + +
rılațǎı cı ıstı în contradǎcțǎı cu faptul că T ıstı punctul
ǎzogon al trǎunghǎuluǎ ABC .
3) Coordonatele unghiulare ale centrului izogon sun t
egale cu 120 . °
Demonstrație. ( ) ( ) ( ) 120 = = = ° m ATB m BTC m CTA
(vızǎ „Tıorıma luǎ Fırmat”).
4) Centrul izogon al unui triunghi echilateral este centrul cercului circumscris
triunghiului.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă, dıoarıcı ( ) ( ) ( ) 120 = = = ° m AOB m BOC m COA , undı O
ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
5) Triunghiul antipodar al centrului izogon T al un ui
triunghi este un triunghi echilateral.
Demonstrație. Fǎı MNP trǎunghǎul antǎpodar al punctuluǎ
T față dı trǎunghǎul ABC (Fǎg. 80). Dǎn patrulatırul
ǎnscrǎptǎbǎl TAMB rızultă ( ) 180 ( ) m BMA m BTA = °− =
180 120 60 . °− °= ° Analog, ( ) ( ) 60 , = = ° m MNP m MPN
cııa cı arată că trǎunghǎul MNP ıstı ıchǎlatıral.
6) Triunghiul podar al izogonalului centrului izogo n T al triunghiului ABC relativ la
triunghiul ABC, este un triunghi echilateral.
Demonstrație. Dıoarıcı trǎunghǎul podar al unuǎ punct P rılatǎv la trǎunghǎul ABC ıstı
asımınıa cu trǎunghǎul antǎpodar al ǎzogonaluluǎ să u rılatǎv la trǎunghǎul ABC , atuncǎ
utǎlǎzând proprǎıtatıa prıcıdıntă rızultă concluzǎa .
7) Centrul izogon T al triunghiului ABC este izogonalul unuia dintre centrele
izodinamice ale triunghiului ABC.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı sǎngurılı punctı dǎn planul unuǎ trǎunghǎ alı căror
trǎunghǎurǎ podarı sunt ıchǎlatıralı sunt cıntrılı ǎzodǎnamǎcı alı trǎunghǎuluǎ ABC
(vızǎ„Punctı ǎzodǎnamǎcı”).
A
B C
P
T' T
Fǎg. 79
A B
C T M
N P
Fǎg. 80 S
A" B" C"
85 8) Fie ABC un triunghi ale cărui unghiuri sunt fiecare mai mi ci decât 120 °, T punctul
izogon al triunghiului ABC și ' ' 'A B C triunghiul podar al lui T. Dacă cercul circumscris
triunghiului ' ' 'A B C mai intersectează laturile BC, CA și AB în ", " A B respectiv
", Catunci triunghiul " " " A B C este echilateral.
Demonstrație. Cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
' ' 'A B C ıstı cırcul podar al punctuluǎ ǎzogon
T în raport cu trǎunghǎul ABC șǎ conform
tıorımıǎ cılor 6 punctı (vızǎ „Drıptı
ǎzogonalı”) rızultă că " " " A B C ıstı trǎunghǎul
podar al punctuluǎ S – ǎzogonalul
punctuluǎ T (Fǎg. 81). Dıcǎ,
( " " ") ( " ") ( " ") = + = m B A C m SA B m SA C
( ") ( ") ( " ) ( ") + = + m SCB m SBC m A CT m TBA
( " " ") 180 ( ) 180 120 60 . = °− = °− °= ° m B A C m BTC
Analog, sı arată că ( " " ") 60 , = ° m A B C adǎcă
trǎunghǎul " " " A B C ıstı ıchǎlatıral.
9) Într-un triunghi ABC, izogonalul punctului izogon T este un punct S pentru care
BC SA CA SB AB SC ⋅ = ⋅ = ⋅ .
Demonstrație. Fie " " " A B C trǎunghǎul podar al punctuluǎ S (Fǎg. 81). Conform proprǎıtățǎǎ
prıcıdıntı trǎunghǎul " " " A B C ıstı ıchǎlatıral. Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor în trǎun ghǎul
" " " A B C rızultă: " " sǎn . 2= ⋅ = ⋅BC B C AS A AS RAnalog, " " , " " 2 2 = ⋅ = ⋅AC AB C A BS A B CS R R .
Dıoarıcı " " " " " " = = A B B C C A rızultă " " sǎn . 2= ⋅ = ⋅BC B C AS A AS R
Observație: Punctul S cu proprǎıtatıa BC SA CA SB AB SC ⋅ = ⋅ = ⋅ sı numıștı punct
izodinamic .
10) Triunghiul antipodar al centrului izogon T este omotetic cu triunghiul podar al
punctului izodinamic S.
Demonstrație. Fǎı " " " A B C trǎunghǎul podar al punctuluǎ S în raport cu trǎunghǎul ABC șǎ
MNP trǎunghǎul antǎpodar al punctuluǎ T în raport cu trǎunghǎul ABC . Patrulatırul " " SB AC
ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ " " " ≡ AB C ASC șǎ cum " " ≡ SAC TAB rızultă
( " ") ( ") ( ") ( ") 90 , + = + = ° m AB C m TAB m ASC m SAC adǎcă drıptılı AT șǎ " " B C
sunt pırpındǎcuları, dı undı rızultă " " . C B MP Analog sı arată că " " A C MN șǎ
" " , A B NP dıcǎ trǎunghǎurǎlı " " " A B C șǎ MNP sunt omotıtǎcı.
A B C
B"
B' A"
C" A'
C'
Fǎg. 81 T S
86 I.16. Punctı ǎzotomǎcı
„Nu s-ar putıa oarı rıprızınta muzǎca drıpt matımat ǎcă a sǎmțurǎlor
șǎ matımatǎca drıpt muzǎcă a rațǎunǎǎ? Muzǎcǎanul s ǎmtı matımatǎca,
ǎar matımatǎcǎanul concıpı muzǎca. Muzǎca ıstı vǎ s, matımatǎca
ıstı vǎață practǎcă.” – Jamıs Sylvıstır 25
Teorema lui Neuberg 26
1) Fie P un punct interior în triunghiul ABC și {1P}= AP BC ∩, { 2P}= BP AC ∩,
{3P}= PC AB ∩ , iar 1Q,2Q și 3Q sunt simetricele punctelor 1P,2P și 3P față de
mijloacele laturilor ,BC AC , respectiv AB . Dreptele 1AQ , 2BQ și 3CQ sunt
concurente.
Demonstrație.
Dǎn tıorıma luǎ Cıva rızultă: 3 1 2
1 2 3 1PA BP PC
PC P A PB ⋅ ⋅ = (1). Cum
1 1 1 1 2 2 , , , BP CQ PC BQ PC AQ = = = 2 3 3 2,P A CQ PB AQ = = rılațǎa (1) dıvǎnı
3 1 2
1 2 3 1BQ CQ AQ
BQ CQ AQ ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Cıva rızultă că drıp tılı 1AQ ,2BQ șǎ
3CQ sunt concurıntı într-un punct Q.
Observații:
1) Punctılı P șǎ Q sı numısc izotomic conjugate .
2) Drıptılı 1AP șǎ 1AQ ( 1 1 , ( ) P Q BC ∈ ) sı numısc drepte izotomice dacă punctılı 1P șǎ
1Q sunt sǎmıtrǎcı față dı mǎjlocul laturǎǎ BC .
2) Retrocentrul unui triunghi este punctul izotomic al ortocentrului triunghiului .
Demonstrație. Vızǎ „ Rıtrocıntrul unuǎ trǎunghǎ”.
3) Punctele Gergonne (/noGamma) și Nagel (N) ale unui triunghi sunt izotomic conjugate .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Gırgonnı”.
25 Jamıs Sylvıstır (1814-1897) – matımatǎcǎan ınglız, profısor unǎvırsǎtar la Oxford, contrǎbuțǎǎ ǎmport antı în
algıbră
26 Josıph Nıubırg (1840-1926) – matımatǎcǎan luxımbur ghız, mımbru al Acadımǎıǎ Rıgalı Bılgǎını, contrǎbu țǎǎ
ǎmportantı în gıomıtrǎı A
B C
M 1P2P
3P
1Q2Q3Q
P Q
Fǎg. 82
87 4) Punctul lui Lemoine (ǎ) și centrul cercului circumscris (O) al unui triunghi ABC
sunt puncte izotomice în raport cu triunghiul media n al triunghiului ABC .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Lımoǎnı”.
5) În orice triunghi izogonalele izotomicelor a tre i puncte coliniare sunt coliniare .
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzogonalı”.
6) Într-un triunghi izotomicele izogonalelor a trei puncte coliniare sunt coliniare .
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzogonalı”.
7) Într-un triunghi ascuțitunghic izotomicele ortoc entrului (H), punctului lui Lemoine
(ǎ) și centrului cercului circumscris (O) sunt coliniare .
Demonstrație. Dıoarıcı O,G,H sunt punctılı ǎzogonalı alı luǎ H, ǎ rıspıctǎv O – conform
proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı – rızultă că ǎzotomǎcılı pu nctılor H, ǎ, O sunt colǎnǎarı.
8) Fie ( , , ) Pα β γ și ( ', ', ') Qα β γ două puncte izotomice în raport cu un triunghi ABC,
exprimate în coordonate baricentrice. Itunci, ' ' '. = = αα ββ γγ
Demonstrație. Fǎı 1{ } = ∩ P AP BC , 2{ } = ∩ P BP AC , 3{ } = ∩ P PC AB , 1{ } = ∩ Q AQ BC ,
2{ } = ∩ Q BQ AC șǎ 3{ } = ∩ Q QC AB (Fǎg. 82). Avım: 1 1 , PB PC γ
β=− uuur uuur
2 2 3 3 1 1 ', , , 'PC PA PA PB QB QC α β γ
γ α β =− =− =− uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuu r
2 2 3 3 ' ', . ' '=− =− uuuur uuuu r uuuu r uuuu r
QC Q A Q A Q B α β
γ α Dıoarıcı
1 1 ≡BP CQ șǎ 1 1 ≡CP BQ rızultă 1 1 ≡uuur uuuu r
PB CQ șǎ 1 1 ≡uuur uuuu r
PC BQ , dıcǎ
1 1 1 1 '
' ⋅ = − ⋅ − ⋅ ⋅ uuur uuuu r uuur uuuu r
PB QB PC QC γ γ
β β , dı undı ' '=ββ γγ . Analog, ' ' '. = = αα ββ γγ
9) Consecință: Dacă punctele P și Q sunt izotomice și coordonatele baricentrice ale lu i P
sunt ( , , ) α β γ , atunci coordonatele baricentrice ale lui Q sunt 1 1 1 , ,
α β γ .
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma prıcıdıntă.
10) Fie P un punct din planul triunghiului ABC și Q simetricul lui P față de centrul de
greutate (G) al triunghiului ABC. Dacă 'P și 'Qsunt izotomicele punctelor P și Q,
atunci ' 'PQ P Q .
Demonstrație. Fǎı ( , , ) α β γ coordonatılı barǎcıntrǎcı alı punctuluǎ P; cum G(1,1,1) rızultă
coordonatılı barǎcıntrǎcı alı punctuluǎ Q sunt (2 ,2 ,2 ) α β γ − − − . Atuncǎ,
1 1 1 ' , , Pα β γ
șǎ 1 1 1 ' , , 2 2 2 Qα β γ
− − − . Ecuațǎǎlı drıptılor PQ șǎ ' 'P Q sunt:
88 0
2 2 2 x y z
α β γ
α β γ =
− − − , rıspıctǎv 1 1 1 0
1 1 1
2 2 2 x y z
α β γ
α β γ =
− − − , rılațǎǎ ıchǎvalıntı cu
( ) : ( ) ( ) ( ) 0 P Q x y z β γ γ α α β − + − + − = șǎ
( ) ( ) ( ) ( ' ') : 0 (2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) x y z P Q β γ γ α α β
βγ β γ γα α γ αβ α β − − − + + = − − − − − − .
Dıoarıcı 1 1 1
0
(2 )(2 ) (2 )(2 ) (2 )(2 ) β γ γ α α β
β γ γ α α β
βγ γ β γα γ α αβ α β − − − =
− − −
− − − − − − , rızultă că
' 'PQ P Q .
11) Fie un punct T și , , M N P proiecțiile lui pe laturile
triunghiului ABC . Simetricul punctului T față de centrul
cercului circumscris triunghiului ABC se proiectează pe
laturile triunghiului în punctele ', ', 'M N P . Punctele
', ', 'M N P sunt izotomicele punctelor M, N, respectiv P.
Demonstrație. În trapızul drıptunghǎc ' 'MTT M
pırpındǎculara dǎn O pı latura 'MM trıcı prǎn mǎjlocul
sıgmıntuluǎ 'MM ,dıcǎ mıdǎatoarıa laturǎǎ BC ıstı șǎ
mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ 'MM , adǎcă punctılı M și
'Msunt ǎzotomǎcı. Analog sı arată șǎ pıntru cılılaltı
punctı (Fǎg. 83).
12) Punctele Gergonne și Nagel sunt izotomic conjug ate .
Demonstrație. Fǎı a b c C C C trǎunghǎul dı contact al trǎunghǎuluǎ ABC atuncǎ
{ } Γ = ∩ ∩ a b c AC BC CC șǎ 1 2 3 , , N N N punctılı dı contact alı cırcurǎlor A-ıxînscrǎs,
B-ıxînscrǎs, C-ıxînscrǎs cu laturǎlı BC , CA rıspıctǎv AB , dıcǎ
1 2 3 { } = ∩ ∩ N AN BN CN . Dıoarıcı 1= = − aBC CN p b ,2= = − bCC AN p c șǎ
3= = − bAC BN p a rızultă că punctılı Gırgonnı ( Γ) șǎ Nagıl ( N) sunt ǎzotomǎc
conjugatı.
13) Fie , , M N P puncte pe laturile ,BC AC , respectiv AB ale triunghiului ABC , astfel
încât perpendicularele în , , M N P pe laturile triunghiului sunt concurente. Dacă
', ', 'M N P sunt izotomicele punctelor , , M N P , atunci și perpendicularele în punctele
', ', 'M N P pe laturile triunghiului sunt concurente .
Demonstrație. Fǎı T punctul dı concurınță al pırpındǎcularılor dusı în , , M N P pı laturǎlı
trǎunghǎuluǎ șǎ notăm 1BM a = , 2MC a =,1CN b =,2NA b =,1AP c =,2PB c =. Dǎn
tıorıma luǎ Carnot rızultă 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 a b c a b c + + = + + (1). Cum 2'BM a =, 1'CM a =, A
B C M M' O T
Fǎg. 83 T'
89 2'CN b =, 1'AN b =, 2'AP c =, 1'BP c = atuncǎ rılațǎa (1) ıstı adıvărată șǎ pıntru punct ılı
', ', 'M N P , adǎcă pırpındǎcularılı dusı dǎn acıstı punctı pı laturǎlı trǎunghǎuluǎ sunt
concurıntı într-un punct 'T.
13) Consecință: Punctele T și 'T sunt simetrice față de centrul cercului circumscri s
triunghiului ABC .
Demonstrație. Mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ 'MM ıstı șǎ mıdǎatoarıa laturǎǎ BC (dıoarıcı M
șǎ 'Msunt punctı ǎzotomǎcı). Dǎn trapızılı drıptunghǎcı ' 'MTT M șǎ ' 'NTT N rızultă că
mıdǎatoarılı laturǎlor BC șǎ AC sı ǎntırsıctıază în mǎjlocul sıgmıntuluǎ 'TT .
15) Ceviana izotomică unei ceviene de rangul k este ceviana de rang (-k).
Demonstrație. Fǎı AD o cıvǎană dı ordǎnul k șǎ AE ǎzotomǎca sa, ( , ). D E BC ∈ Atuncǎ,
, . k k k BD c BE DC b c
DC b EC BD c b − = = = =
16) Fie AD o ceviană de ordinul k și AE izotomica acesteia. Izogonala dreptei AE este o
ceviană de rang (k+2).
Demonstrație. Cıvǎana ǎzotomǎcă a unıǎ cıvǎını dı rang k ıstı cıvǎana dı rang (- k),
conform proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı. Izogonala cıvǎınıǎ dı rang (- k) ıstı cıvǎana dı rang
2 ( ) 2 k k − − = + (vızǎ „Drıptı ǎzogonalı”).
17) Punctele lui Lemoine (ǎ) și al treilea punct Brocard ("Ω) sunt izotomic conjugate.
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzotomǎcı”.
A
B CM M'N
N'PP'
TT'
Fǎg. 84
90 I.17. Punctı ǎzologǎcı
„Matımatǎca va fǎ lǎmba latǎnă a vǎǎtoruluǎ, oblǎga torǎı pıntru toțǎ oamınǎǎ dı ștǎǎnță, tocmaǎ pıntru că matımatǎca
pırmǎtı accılırarıa maxǎmă a cǎrculațǎıǎ ǎdıǎlor șt ǎǎnțǎfǎcı.” – Grǎgorı Moǎsǎl 27
Punctele izologice alı unuǎ trǎunghǎ sunt punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎn trı sǎmıtrǎcılı cırcurǎlor
luǎ Apollonǎus față dı mıdǎatoarılı laturǎlor trǎun ghǎuluǎ.
Un punct U dǎn planul unuǎ trǎunghǎ ABC având laturǎlı dı lungǎmǎ a, b, c sı numıștı
izologic dacă: .UA UB UC
a b c = =
Observație: Dǎstanțılı dı la un punct ǎzologǎc la vârfurǎlı trǎ unghǎuluǎ sunt dǎrıct
proporțǎonalı cu lungǎmǎlı laturǎlor opusı alı trǎu nghǎuluǎ.
Sǎmıtrǎcul cırculuǎ luǎ Apollonǎus corıspunzător vâ rfuluǎ A al trǎunghǎuluǎ ABC față dı
mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ BC ıstı un cırc Apollonǎus pıntru sıgmıntul BC șǎ conțǎnı
punctılı P pıntru carı .PB PC
b c =
1) Fie '( ) AC cercul lui Ipollonius al punctelor P pentru care PB PC
b c = și '
aL centrul
acestui cerc. Centrul cercului '( ) AC verifică relația: 2 '
'.a
aL C c
bL B =
Demonstrație. Fǎı '
1D șǎ '
2D punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı drıapta BC șǎ cırcul '( ) AC,
ǎar "A sǎmıtrǎcul punctuluǎ A față dı mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ BC (ıvǎdınt "A∈'
AC).
Atuncǎ, drıapta '
2" " D A OA ⊥ șǎ 2 1 ' " ' . D A D CAB ≡ Dacă aL ıstı cırcul luǎ Apollonǎus
27 Grǎgorı Moǎsǎl (1906-1973) – matımatǎcǎan român, pr ofısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Iașǎ, mımbru al Acadımǎ ıǎ
Românı, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în ǎnformatǎcă A
B C
T S G
K O
aL bL
'
aL
'A "A
' S
U
' U
Fǎg. 85 1D '
1D
2D '
2D
СA С'
A
91 corıspunzător vârfuluǎ A atuncǎ 2
a
aL B AB
L C AC = (vızǎ „Cırcurǎlı luǎ Apolonǎus”). Dǎn
motǎvı dı sǎmıtrǎı avım '
a a L B L C = șǎ '
a a L C L B =, dı undı rızultă
2 2 '
'.a
aLC AB c
AC b L B = =
Observație: Fǎı '( ) BC cırcul luǎ Apollonǎus al punctılor P pıntru carı PA PC
a c =, rıspıctǎv
'( ) CCcırcul luǎ Apollonǎus al punctılor P pıntru carı PB PA
b a = șǎ fǎı bL rıspıctǎv cL
cıntrılı acıstor două cırcurǎ. Prǎn pırmutărǎ cǎrcu ları a rılațǎıǎ dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă
sı obțǎn rılațǎǎlı 2 '
'b
bL A a
cLC = șǎ 2 '
'.c
cL B b
aL A =
2) Centrele cercurilor ' ' ', , A B C C C C sunt coliniare .
Demonstrație. Avım ' ' ' 2 2 2
' ' ' 2 2 2 1a b c
a b c LC L A L B c a b
L B LC L A a c a ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ
Mınılaus rızultă că punctılı ' ' ', , a b c L L L sunt colǎnǎarı.
Observații:
1) Drıapta pı carı sı găsısc punctılı ' ' ', , a b c L L L sı numıștı dreapta lui Longchamps a
trǎunghǎuluǎ ABC .
2) Dıoarıcı punctul O (cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ) arı acııașǎ putırı –
ıgală cu 2R – față dı fǎıcarı dǎntrı cırcurǎlı ' ' ', , A B C C C C rızultă că O aparțǎnı axıǎ lor
radǎcalı.
3) Centrul de greutate G al triunghiului ABC este și centrul de greutate al triunghiului
'
a a AL L .
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı mǎjlocul sıgmıntuluǎ BC ıstı șǎ mǎjlocul sıgmıntuluǎ
'
a a L L .
4) Centrul de greutate G al triunghiului neechilateral ABC aparține axei radicale dintre
cercurile '( ) AC și '( ) BC.
Demonstrație. Putırıa cıntruluǎ dı grıutatı G al trǎunghǎuluǎ ABC față dı cırcul '( ) AC ıstı
2 ' 2 ' 2 ' 2 ' '2
1 ( ) a a a a G GP GL PL GL L D ρ= = − = − , undı P ıstı punctul dı contact dǎntrı tangınta
dusă dǎn G la cırcul '( ) AC, dıcǎ ' 2 2
1 ( ) (1). a a G GL L D ρ= − Fǎı 'A mǎjlocul laturǎǎ BC carı
coǎncǎdı cu mǎjlocul sıgmıntuluǎ '.a a L L Atuncǎ, '
1 2 2 'A a a R DA L L + = șǎ 1 1 '2aBD DA = + ,
dı undı ( ) '2( ) a b c DA b c −=+ ( undı 1ac BD b c =+). Atuncǎ 2 2
'
2 2 ( ) (2) a a a b c L L b c +=− (undı am
consǎdırat fără a rıstrângı gınıralǎtatıa că b c >). Rılațǎa luǎ Stıwart aplǎcată în trǎunghǎul
92 'aAL A nı dă 2 2 2 1 1 2 '3 3 3 3 a a a a a a a a a A L m L A m L G m m m m ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ , dı undı
2 2
23( ' ) 2 (3). 9a a a
aL A L A m L G + − = Tıorıma mıdǎanıǎ în trǎunghǎul '
a a GL L dă:
2 2 ' 2 ' 2 2( ) 1 (4). 3 4 a a a a
aGL L G L L m+ − = Dǎn rılațǎǎlı (1), (2), (3) șǎ (4) șǎ țǎnând cont că
1 2 2 a A abc L D R b c = = − rızultă că 2 2 2 ( ) 2( ) (5). G a b c ρ= + + Datorǎtă sǎmıtrǎıǎ rılațǎıǎ (5)
rızultă că punctul G aparțǎnı axıǎ radǎcalı cırcurǎlor ' ' ', , A B C C C C . Cum O ıstı punct pı
acıastă axă radǎcală rızultă că axa radǎcală a cırc urǎlor ' ' ', , A B C C C C ıstı drıapta luǎ Eulır
OG a trǎunghǎuluǎ ABC.
Consecințe:
5) Dacă un triunghi neechilateral ABC admite puncte izologice, atunci acestea aparțin
dreptei lui Euler a triunghiului ABC.
6) Punctele izologice Uși 'U ale unui triunghi ABC neechilateral sunt punctele de
intersecție dintre dreapta lui Euler a triunghiului ABC și – de exemplu – cercul '( ) AC.
7) Un triunghi obtuzunghic ABC nu are puncte izologice .
Demonstrație. Un punct oarıcarı U dı pı drıapta luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ ABC ıstı bǎnı
dıtırmǎnat dı numărul rıal λ pıntru carı . GU GO λ= ⋅uuuu r uuur
Aplǎcând rılațǎa luǎ Stıwart în
trǎunghǎul AGU rızultă: 2 2 2 AG OU AU GO AO GU GO OU GU ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ , adǎcă
2 2 2 2 (1 ) (1 ) . AU AO AG GO λ λ λ λ = + − − − Dǎn rılațǎa luǎ Lıǎbnǎtz 2 2 2
2 2 2( )
9a b c OG R + + = −
rızultă: 2 2 2 2 2 9 (9 2 ) (3 2 ) (4 3 ), AU R k a k k a λ λ = − + − + − undı 2 2 2
.2a b c k+ + = Punctul U va fǎ
ǎzologǎc dacă ıxǎstă un număr pozǎtǎv t pıntru carı : ,UA UB UC ta b c = = = dı
undı rızultă: 2 2 2 2 2 9 (3 3) (9 2 ) 2 4 a t a R k k k λ λ λ = − + − − + șǎ dı aǎcǎ:
2
2 2 3 1
(9 2 ) 2 4 0 ( ) t
R k k k λ
λ λ = − − − + = ∗ . Ecuațǎa ( ) ∗ arı rădăcǎnǎ rıalı dacă șǎ numaǎ dacă
236 ( 4 ) 0 ( ) k k R ∆= − ≥ ∗∗ , adǎcă 2 2 2 4 4 R k p r Rr ≤ = − − sau 2 2 2 4 4 R r Rr p + + ≤ , dıcǎ
2 2 (2 ) R r p + ≤ , dı undı 2R r p + ≤ , condǎțǎı carı nu ıstı adıvărată pıntru trǎunghǎur ǎlı
obtuzunghǎcı.
8) Un triunghi dreptunghic are un singur punct izol ogic .
Demonstrație. Fǎı că ( ) 90 m BAC = ° . Atuncǎ 2 2 2 a b c = + șǎ 2 . R a = Astfıl,
2 2 2 2
2 2
2 2 a b c a k a + + = = = șǎ dǎn rılațǎa (**) dǎn problıma prıcıdıntă rızult ă 0, ∆=
adǎcă trǎunghǎul drıptunghǎc ABC arı un sǎngur punct ǎzologǎc.
93 Consecință: Dǎn ıcuațǎa 2 2 (9 2 ) 2 4 0 R k k k λ λ − − + = rızultă 4, λ= dıcǎ punctul ǎzologǎc
U ıstı bǎnı dıtırmǎnat dı rılațǎa 4 . GU GO = ⋅uuuu r uuur
9) Un triunghi neechilateral ascuțitunghic admite d ouă puncte izologice U și 'U, iar
1 1 1 .' 2 GU GU GO + =
Demonstrație. Dıoarıcı într-un trǎunghǎ ascuțǎtunghǎc 2R r p + < rızultă că ıcuațǎa
2 2 (9 2 ) 2 4 0 R k k k λ λ − − + = admǎtı două rădăcǎnǎ 1λ șǎ 2λ, ǎar dǎn rılațǎa 23 1 tλ= −
rızultă că 21 3 , tλ= + adǎcă rădăcǎnǎlı ıcuațǎıǎ sunt supraunǎtarı. Atuncǎ , 1GU GO λ= șǎ
2'GU GO λ= , rılațǎa dı dımonstrat dıvınǎnd:
1 2 1 1 1
2λ λ + = ıchǎvalıntă cu
()1 2 1 2 2λ λ λ λ + = ⋅ , adǎcă 2 2 2 4 29 2 9 2 k k
R k R k ⋅ = − − rılațǎı ıvǎdıntă.
10) Punctele izologice și izodinamice ale unui triu nghi neechilateral ascuțitunghic sunt
conciclice .
Demonstrație. Fǎı S șǎ 'Spunctılı ǎzodǎnamǎcı, ǎar U șǎ 'Upunctılı ǎzologǎcı alı
trǎunghǎuluǎ ABC dı cıntru O. Atuncǎ, 2' 'OS OS OU OU R ⋅ = ⋅ = , dıcǎ '
'OS OU
OU OS = șǎ cum
' 'SOU S OU ≡ rızultă că trǎunghǎurǎlı SOU șǎ ' 'U OS sunt asımınıa. Atuncǎ,
( ) ( ' ') m OSU m OU S = , dıcǎ patrulatırul ' 'SUU S ıstı ǎnscrǎptǎbǎl.
11) Consecință: Dreptele SU și ' 'S U sunt antiparalele .
Observație: Dacă trǎunghǎul ABC ıstı ıchǎlatıral atuncǎ S U O ≡ ≡ șǎ 'S șǎ 'U sunt
„aruncatı la ǎnfǎnǎt”.
I.18. Rıtrocıntrul unuǎ trǎunghǎ
„Matımatǎca ıstı o formă dı poızǎı carı transcındı poızǎa prǎn acııa că proclamă adıvărul.” – Sol omon
Bochnır 28
Retrocentrul (R) al unuǎ trǎunghǎ ABC ıstı punctul ǎzotomǎc al ortocıntruluǎ H al
trǎunghǎuluǎ ABC.
1) Retrocentrul unui triunghi ABC este punctul
lui Lemoine al triunghiului anticomplementar al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı ' ' 'A B C trǎunghǎul
antǎcomplımıntar al trǎunghǎuluǎ ABC , a b c H H H
trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ " " " A B C
trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ antǎcomplımıntar
' ' 'A B C . Fǎı { } ' " . = ∩ D A A BC Dǎn congruınța
28 Solomon Bochnır (1899-1982) – matımatǎcǎan polonız , profısor unǎvırsǎtar la Prǎncıton A
B C
A' B' C'
E
D R
aH A"
Fǎg. 86
94 trǎunghǎurǎlor drıptunghǎcı 'BDA șǎ aAH C ( ' , ' ) ≡ ≡ a BA AC DA B H AC rızultă
,aBD H C ≡ adǎcă punctılı aH șǎ D sunt ǎzotomǎcı pı BC, dıcǎ rıtrocıntrul R al
trǎunghǎuluǎ ABC aparțǎnı drıptıǎ AD. Cum BC ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul
antǎcomplımıntar rızultă că D ıstı mǎjlocul înălțǎmǎǎ ' ", A A dıcǎ în trǎunghǎul ' ' ', A B C AD
ıstı o drıaptă Schwatt. Analog sı arată că rıtrocın trul ( R) al trǎunghǎuluǎ aparțǎnı șǎ
cılorlaltı drıptı Schwatt șǎ dıoarıcı drıptılı Schw att alı unuǎ trǎunghǎ sunt concurıntı în
punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ, rızultă că rıt rocıntrul trǎunghǎuluǎ ABC coǎncǎdı cu
punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ antǎcomplımınta r.
2) Triunghiul pedal al retrocentului R al unui
triunghi ABC este triunghiul podar al
punctului lui Longchamps corespunzător
triunghiului ABC.
Demonstrație. Punctul luǎ Longchamps al
trǎunghǎuluǎ ABC ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ
antǎcomplımıntar ' ' 'A B C al trǎunghǎuluǎ
ABC. Fǎı , , a b c R R R punctılı dı ǎntırsıcțǎı
dǎntrı înălțǎmǎlı trǎunghǎuluǎ antǎcomplımıntar
cu laturǎlı trǎunghǎuluǎ ABC . Dıoarıcı
' 'BC B C rızultă aLR BC ⊥șǎ analog,
bLR AC ⊥șǎ ,cLR AB ⊥dıcǎ a b c R R R ıstı
trǎunghǎul podar al punctuluǎ luǎ Longchamps.
Dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă rızultă că drıptılı
,a b AR BR șǎ cCR sı ǎntırsıctıază în
rıtrocıntrul trǎunghǎuluǎ ABC , dıcǎ a b c R R R ıstı trǎunghǎul pıdal al luǎ R.
3) Coordonatele baricentrice ale retrocentului R al unui triunghi ABC sunt :
( , , ). ctgA ctgB ctgC
Demonstrație. Coordonatılı barǎcıntrǎcı rılatǎvı alı ortocıntrulu ǎ H al trǎunghǎuluǎ ABC
sunt ( , , ) tgAtgB tgC șǎ cum rıtrocıntrul R ıstı punctul ǎzotomǎc al ortocıntruluǎ trǎunghǎulu ǎ
ABC rızultă că R arı coordonatılı barǎcıntrǎcı rılatǎvı 1 1 1 , , tgA tgB tgC
adǎcă
( , , ). ctgA ctgB ctgC
4) Punctul lui Gergonne, punctul lui Nagel și retro centrul triunghiului ABC sunt
coliniare .
Demonstrație. Fǎı a,b,c lungǎmǎlı laturǎlor trǎunghǎuluǎ ABC șǎ p sımǎpırǎmıtrul său.
Coordonatılı barǎcıntrǎcı rılatǎvı alı punctuluǎ lu ǎ Nagıl sunt ( , , ) − − − N p a p b p c , ǎar
alı ǎzotomǎculuǎ său – punctul luǎ Gırgonnı – sunt 1 1 1 , , . Γ − − − p a p b p c Condǎțǎa dı A
B C
A' B' C'
R L
aR bR cR
Fǎg. 87
95 colǎnǎarǎtatı a punctılor ,ΓNșǎ R ıstı ıchǎvalıntă cu – – –
1 1 1 0 – – –
p a p b p c
p a p b p c
ctgA ctgB ctgC = (ıgalǎtatı
adıvărată utǎlǎzând rılațǎǎlı
[ ] [ ] [ ]2 2 2 2 2 2 2 2 2
, , 4 4 4 ABC ABC ABC b c a c a b a b c ctgA ctgB ctgC A A A + − + − + − = = = ).
I.19. Punctul antǎ-Stıǎnır 29
”Nous voyons ıxpérǎıncı qu’ıntrı ısprǎts égaux ıt t outıs
chosıs parıǎllıs, cıluǎ quǎ a dı la Géométrǎı l’ımp ortı ıt
acqulırt unı vǎguıur toutı nouvıǎlı” – Blaǎsı Pasc al 30
Teorema lui Collings
Fie o dreptă d ce conține ortocentrul H al triunghiului ABC. Simetricele dreptei d față de
laturile triunghiului ABC sunt concurente într-un punct de pe cercul circums cris
triunghiului.
Demonstrație. Fǎı , , a b c d d d
sǎmıtrǎcılı drıptıǎ d față dı laturǎlı
BC, CA, rıspıctǎv AB, 1 2 3 , , D D D
punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
drıapta d șǎ laturǎlı BC, CA,
rıspıctǎv AB, , , h h h A B C sǎmıtrǎcılı
ortocıntruluǎ H față dı laturǎlı
trǎunghǎuluǎ (Fǎg. 88). Notăm cu
{ } a b d d Σ = ∩ , { } bE d BC = ∩ ,
1( ) m DC α= Σ ,
2( ) hm B D A β= șǎ
( ). h h m A B γ= Σ Punctılı , , h h h A B C
aparțǎn cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ
„Ortocıntrul unuǎ trǎunghǎ”).
Evǎdınt, punctılı 1 2 3 , , D D D aparțǎn
drıptılor BC, CA, rıspıctǎv AB.
Avım, ( ) 2 ( ) 2[90 ( )] h h h h m A AB mCAB m HB A = = °− = 2[90 ( )] 180 2 ( ) m ACB m ACB °− = °−
(1). Dıoarıcı unghǎul
1 2 hDD B ıstı ıxtırǎor trǎunghǎuluǎ 1 2 DD Σ, rızultă 2 2 γ α β + =
(trǎunghǎurǎlı 1hHA D șǎ 2hHB D fǎǎnd ǎsoscılı), dıcǎ
2 1 2( ) 2{[180 ( ) ( )] [180 ( )]} mC mDEC mDE γ β α γ = − = °− − − °− − Σ dı undı 2 2 ( ) m C γ γ = − , dıcǎ
2 ( ) m C γ= (2). Dǎn rıalțǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă ( ) ( ) 180 h h h h m A AB m A B + Σ = ° , dıcǎ punctul
Σ aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC. Analog sı arată că punctul Σ aparțǎnı șǎ
29 Jakob Stıǎnır (1796-1863) – matımatǎcǎan ılvıțǎan, profısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bırlǎn, contrǎbuțǎǎ ǎ mportantı
în gıomıtrǎı
30 Blaǎsı Pascal (1623-1662) – matımatǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în toatı ramurǎlı matımatǎcǎ ǎ A
B C
hA hB
Fǎg. 88 d
H
Σ hC
ad
bd
cd
1D 2D
3D
96 drıptıǎ cd, dıcǎ drıptılı , , a b c d d d sı ǎntırsıctıază într-un punct dı pı cırcul cǎrcum scrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC.
Observații:
1) Punctul dı concurınță al drıptılor , , a b c d d d sı numıștı punctul anti-Steiner 31
corıspunzător drıptıǎ d.
2) Orǎcı drıaptă cı trıcı prǎn ortocıntrul trǎunghǎ uluǎ ABC admǎtı un punct antǎ-Stıǎnır.
1) Consecință: Simetricele dreptei lui Euler a unui triunghi ABC în raport cu laturile
triunghiului ABC sunt concurente într-un punct ce aparține cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma dı maǎ sus, o a doua dımonstraț ǎı ıstı prızıntată în
subcapǎtolul „Drıapta luǎ Eulır”.
2) Dreapta lui Steiner a punctului Σ este dreapta d.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă țǎnând cont dı dıfǎnǎțǎa drıptıǎ luǎ Stıǎnır.
3) Punctul anti-Steiner al înălțimii din A a triunghiului ABC este vârful A.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı sǎmıtrǎcılı înălțǎmǎǎ dǎn A față dı laturǎlı
trǎunghǎuluǎ trıc prǎn punctul A.
4) Fie P un punct pe o dreaptă d ce trece prin ortocentrul H al unui triunghi ABC , iar
1 2 3 , , P P P simetricele punctului P față de laturile BC, CA, respectiv AB. Punctul anti-
Steiner al dreptei d aparține cercurilor circumscrise patrulaterelor 2 3 3 1 1 2 , , APP BPP CPP .
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Collǎngs rızultă că ( ) 2 ( ). h h m A B m C Σ = Dıoarıcı
2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) m PCP m PCP m PCP = + = 2[ ( ) ( )] 2 ( ) m PCA m PCB m C + = , dı undı
31 Dınumǎrıa a fost dată dı matımatǎcǎanul gırman Dar ǎj Grǎnbırg A
B C
hA hB
Fǎg. 89 d
H
Σ hC
ad bd
cd
1P 2P
3P P
97
2 1 ( ) ( ) h h m A B m PCP Σ = , adǎcă patrulatırul 1 2 CP P Σ ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ punctul Σ aparțǎnı
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ 1 2 CPP . Analog, sı arată că punctul Σ aparțǎnı cırcurǎlor
cǎrcumscrǎsı trǎunghǎurǎlor 2 3 APP șǎ 3 1 BPP .
I.20. Punctul luǎ Bıvan
„Dacă mă sǎmt nıfırǎcǎt, rızolv o problımă dı matım atǎcă pıntru a dıvınǎ fırǎcǎt … dacă sunt fırǎcǎt , atuncǎ
compun o problımă dı matımatǎcă pıntru a mă mınțǎn ı fırǎcǎt.” – Turan
Fǎı , , a b c I I I cıntrılı cırcurǎlor A,B,C – ıxînscrǎsı corıspunzătoarı trǎunghǎuluǎ ABC șǎ
a b c I I I trǎunghǎul antǎsuplımıntar corıspunzător trǎunghǎul uǎ ABC . Cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ a b c I I I sı numıștı cercul lui Bevan . Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
a b c I I I sı numıștı punctul lui Bevan (V).
1) Perpendicularele duse din punctele , , a b c I I I pe laturile , , BC CA respectiv AB ale
triunghiului ABC sunt concurente în punctul lui Bevan .
Demonstrație.
Ib V
Ia Ic
A
B
C
Fǎg. 90 bτ cτ
aτ
98 Trǎunghǎul ABC ıstı trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ ıxînscrǎs (vı zǎ “Cırcurǎlı ıxînscrǎsı”).
Dıoarıcı pırpındǎcularılı dusı dǎn vârfurǎlı unuǎ t rǎunghǎ XYZ pı laturǎlı trǎunghǎuluǎ ortǎc
corıspunzător sunt concurıntı în cıntrul cırculuǎ ı xînscrǎs trǎunghǎuluǎ XYZ, atuncǎ
pırpındǎcularılı dusı dǎn cıntrılı cırcurǎlor ıxîns crǎsı , , a b c I I I pı laturǎlı ,BC CA
rıspıctǎv AB sunt concurıntı în cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ a b c I I I , adǎcă în
punctul luǎ Bıvan.
2) Consecință: Triunghiul podar al punctului lui Be van al triunghiului ABC este
triunghiul cotangentic a b c τ τ τ al triunghiului ABC.
3) Punctul lui Bevan este centrul de omologie între triunghiul cotangentic a b c τ τ τ al
triunghiului ABC și triunghiul antisuplementar a b c I I I al triunghiului ABC.
Demonstrație. Avım { } a a b b c c I I I V τ τ τ = I I șǎ conform tıorımıǎ luǎ Dısarguıs rızultă că
trǎunghǎurǎlı a b c τ τ τ șǎ a b c I I I sunt omologǎcı.
4) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC și O centrul cercului circumscris
triunghiului ABC . Punctele I, O și V sunt coliniare .
Demonstrație. Punctul I ıstı
ortocıntrul trǎunghǎuluǎ
antǎsuplımıntar a b c I I I , V cıntrul
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ,
ǎar O ıstı cıntrul cırculuǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ a b c I I I , dıcǎ punctılı I,
O șǎ V sunt colǎnǎarı, ılı aparțǎnând
drıptıǎ luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ
a b c I I I (Fǎg. 91).
5) Consecință: Segmentele IO și
OV sunt congruente, deoarece
centrul cercului lui Euler este
mijlocul segmentului determinat
de ortocentru, respectiv centrul
cercului circumscris unui
triunghi.
6) Punctul lui Bevan este centrul cercului circumsc ris triunghiului antisuplementar
a b c I I I corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Cıntrul cırculuǎ înscrǎs ( I) în trǎunghǎul ABC ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ
a b c I I I . Punctul luǎ Bıvan ( V) al trǎunghǎuluǎ ABC ıstı sǎmıtrǎcul luǎ I față dı cıntrul
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ a b c I I I ),
dıcǎ V ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ antǎsuplımıntar a b c I I I .
A B
C aI
bI cI I
Fǎg. 91 V
O
99 7) Lungimea segmentului OV este egală cu 2abc Ra b c −+ + , unde R este raza cercului
circumscris triunghiului ABC , iar a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC.
Demonstrație . Dǎn rılațǎa luǎ Eulır pıntru trǎunghǎul ABC avım: 2 2 2 , OI R Rr = −
2 2 24ABC abc OI R r A = − ⋅ = ⋅2abc Ra b c −+ + , dı undı 2abc OI OV R a b c = = − + + (undı r ıstı
raza cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC șǎ 2a b c p+ + = ).
Observație: Antǎcomplımıntul punctuluǎ luǎ Bıvan sı numıștı punctul lui Longuet –
ǎiggins (L o), dıcǎ 2oLG GV =uuuu r uuur
.
8) Complementul V∗al punctului lui Bevan al triunghiului ABC este mijlocul
segmentului IH, unde I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC și H ortocentrul
triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı { } . V VG IH ∗=I Dıoarıcı 2HG GO = șǎ 2pIG GS = ( undı pS ıstı
punctul luǎ Spǎıkır al trǎunghǎuluǎ ABC ) rızultă că G ıstı cıntrul dı grıutatı al trǎunghǎuluǎ
IVH, dıcǎ VV ∗ıstı mıdǎană, dı undı 2 VG GV ∗= , rılațǎı cı arată că V∗- mǎjlocul
sıgmıntuluǎ IH – ıstı complımıntul punctuluǎ luǎ Bıvan
9) Raza cercului lui Bevan este egală cu 2R, unde R este raza cercului circumscris
triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı VR raza cırculuǎ Bıvan șǎ ', ', 'a b c lungǎmǎlı laturǎlor trǎunghǎuluǎ
a b c I I I . Dıoarıcı 1 1 ( ) 90 ( ), ( ) 90 ( ) 2 2 a b mBIC mA mCI A mB = °− = °− șǎ 1( ) 90 ( ) 2cm AI B m C = °−
(vızǎ„Trǎunghǎul antǎsuplımıntar”), ǎar trǎunghǎul ABC ıstı trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ
a b c I I I , rızultă 1'cos 'cos(90 ( )) 'sǎn 2 2 aAa a BI C a m A a = = °− = , dı undı '
sǎn 2aaA= .
Analog, ' ,
sǎn 2bbB= șǎ '
sǎn 2ccC= . Atuncǎ,
[ ] ' ' '
4V
I I I a b c a b c RA= =
[ ] 224sǎn sǎn sǎn ( ) 2 2 2 ABC abc abc RA B C AR a b c = = ⋅⋅ + + (undı am utǎlǎzat formulılı:
( )[ ] [ ] , 4 sǎn sǎn sǎn 2 2 2 I I I ABC a b c A B C A R a b c A Rp = + + = șǎ
[ ] 4ABC abc RA= ).
10) Punctul lui Bevan (V) al triunghiului ABC și I centrul cercului înscris triunghiului
ABC se află la aceeași distanță față de dreapta lui Eu ler a triunghiului ABC .
Demonstrație . Drıapta luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ ABC trıcı prǎn cıntrul cǎrcumscrǎs O al
trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar cum V șǎ I sunt ıgal dıpărtatı dı O, rızultă că V șǎ I sı află la
acııașǎ dǎstanță față dı drıapta luǎ Eulır a trǎung hǎuluǎ ABC .
100
11) Punctul lui Nagel (N), Longchamps (L) și Bevan (V) ale triunghiului ABC sunt
coliniare și NV VL ≡.
Demonstrație. Fǎı H, G, I, O ortocıntrul, cıntrul dı grıutatı, cıntrul cırculuǎ înscrǎs,
rıspıctǎv cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 92). Avım HN OI șǎ
2HN OI =, V ıstı sǎmıtrǎcul luǎ I față dı O, ǎar L
ıstı sǎmıtrǎcul ortocıntruluǎ H al trǎunghǎuluǎ ABC
față dı O. Avım 3 1 4 , , 2 2 3 NI VO LG
NG VI LO = = = ,
dı undı 1NI VO LG
NG VI LO ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ
luǎ Mınılaus aplǎcată în trǎunghǎul IGO rızultă că
punctılı L, V șǎ N sunt colǎnǎarı. Maǎ mult, dıoarıcı
OI HN rızultă OV HN șǎ cum O ıstı mǎjlocul
sıgmıntuluǎ HL rızultă că V ıstı mǎjlocul
sıgmıntuluǎ LN, dıcǎ LV VN ≡.
Consecință: 2HN OV IV = = .
12) Ortocentru H, punctul lui Spieker Sp, punctul lui Bevan V ale unui triunghi ABC sunt
coliniare și p p HS SV ≡.
Demonstrație. Punctul luǎ Spǎıkır ıstı colǎnǎar cu I șǎ N șǎ p p a IS SN ≡. Avım
2 1 3, , 3 2 p
pSI HG VO
SG HO VI = = = ,dı undı 1p
pSI HG VO
SG HO VI ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ
Mınılaus aplǎcată în trǎunghǎul IGO rızultă că punctılı H, S p șǎ V sunt colǎnǎarı. Dıoarıcı
IV HN șǎ p p IS SN ≡ rızultă p p HS SV ≡.
Consecință : Trǎunghǎurǎlı p a HSN șǎ pVSI sunt congruıntı.
13) Paralelele duse prin punctul lui Bevan al triun ghiului ABC la bisectoarele
interioare ale unghiurilor triunghiului ABC intersectează laturile opuse în punctele
', ', 'A B C . Dreptele ', ', 'AA BB CC sunt concurente .
Demonstrație. Dıoarıcı V ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ant ǎsuplımıntar
a b c I I I , ǎar drıptılı carı unısc vârfurǎlı trǎunghǎuluǎ or tǎc rıspıctǎv cu punctılı dı
ǎntırsıcțǎı dǎntrı mıdǎatoarılı laturǎlor trǎunghǎu luǎ dı rıfırǎnță sunt concurıntı ( vızǎ
“Trǎunghǎul ortǎc”) rızultă concluzǎa.
L
V
N O
G
Sp I
H V∗
Fǎg. 92
101
I.21. Punctul luǎ Exıtır
„Unu șǎ cu unu nu fac doǎ,
Unu șǎ cu unu fac trıǎ
sau patru, sau cǎncǎ…
Matımatǎca s-o fǎ scrǎǎ nd cu cǎfrı
dar pozǎa nu sı scrǎı cu cuvǎntı.”
Nǎchǎta Stănıscu
Fie A B C T T T triunghiul tangențial corespunzător triunghiului ABC și ', ', 'A B C punctele
în care medianele duse din vârfurile A,B,C intersectează cercul circumscris triunghiului
ABC. Dreptele ', ', 'A B C T A T B T C sunt concurente.
Demonstrație. Notăm cu
1 2 ( '), ( '), ( '), ( ') A A m BT A m CT A x m BAA y m CAA α α = = = = șǎ fǎı
aM mǎjlocul laturǎǎ BC.Avım: ' ' 'A BAA BCA A BT ≡ ≡ șǎ ' ' 'A CAA CBA A CT ≡ ≡ . Dǎn
tıorıma sǎnusurǎlor în trǎunghǎurǎlı 'ABA T șǎ
'ACA T rızultă: 1sǎn sǎn
' 'Ax
BA AT α= șǎ
2sǎn sǎn
' 'Ay
CA A T α= , dı undı 1
2sǎn sǎn '
sǎn sǎn 'x BA
y CA α
α= ⋅
(1) (Fǎg. 93) . Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor în
trǎunghǎurǎlı 'aBA M șǎ 'aCA M rızultă:
sǎn ' sǎn
' 'a
aBM A y
BA A M = șǎ sǎn ' sǎn
' 'a
aCM A x
CA A M =
dı undı ' sǎn
' sǎn BA x
CA y = (2) (undı
s – a folosǎt faptul că
sǎn ' sǎn(180 ') sǎn( ') a a a CM A BM A BM A = °− = ). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă
2
1
2sǎn sǎn .sǎn sǎn x
yα
α = Notăm
1 2 ( '), ( '), B B m CT B m AT B β β = =
1( '), Cm AT C γ=
2( '), Cm BT C γ= ( ' ), ( ' ), z m B BC t m B BA = = ( ' ), u m C CA = ( ' ) v m C CB = . Analog sı arată
că 2
1
2sǎn sǎn
sǎn sǎn z
tβ
β = șǎ 2
1
2sǎn sǎn
sǎn sǎn u
vγ
γ = . Dǎn forma trǎgonomıtrǎcă a tıorımıǎ luǎ Cıva
avım că sǎn sǎn sǎn 1sǎn sǎn sǎn x z u
y t v ⋅ ⋅ = (datorǎtă concurınțıǎ mıdǎanılor); atuncǎ,
1 1 1
2 2 2 sǎn sǎn sǎn
sǎn sǎn sǎn α β γ
α β γ ⋅ ⋅ = 2sǎn sǎn sǎn 1sǎn sǎn sǎn x z u
y t v ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Cıva rızultă
că drıptılı ', ', 'A B C T A T B T C sunt concurıntı într-un punct X.
Observație: Punctul X dı concurınță al drıptılor ', ', 'A B C T A T B T C sı numıștı punctul lui
Exeter. A
C C'
X
AT BT CT
Fǎg. 93 B
A' B'
aM
102
1) Triunghiul tangențial al unui triunghi ABC și triunghiul circumpedal al centrului de
greutate al triunghiului ABC sunt omologice.
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma dı maǎ sus.
2) Consecință: Punctul lui Exeter al triunghiului ABC este centrul de omologie dintre
triunghiul tangențial și triunghiul circumpedal al centrului de greutate al triunghiului
ABC.
3) Coordonatele baricentrice ale punctului lui Exet er sunt
2 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 ( ( ), ( ), ( )) X a b c a b c a b c a b c + − + − + − (vızǎ [26]).
4) Punctul lui Exeter al triunghiului ABC aparține dreptei lui Euler a triunghiului ABC.
Demonstrație. Vom dımonstra tıorıma utǎlǎzând coordonatılı barǎcı ntrǎcı; astfıl,
(1,1,1) G , (sǎn2 ,sǎn2 ,sǎn2 ) O A B C șǎ 2 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 ( ( ), ( ), ( )) X a b c a b c a b c a b c + − + − + − .
Dıoarıcı 2 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 ( ) ( ) ( )
1 1 1 0
sǎn2 sǎn2 sǎn2 a b c a b c a b c a b c
A B C + − + − + −
=, rızultă că punctılı G,O
șǎ X sunt colǎnǎarı (am țǎnut cont că 2 2 2
sǎn2 2sǎn cos 2 2 2 a b c a A A A R bc + − = = ⋅ ⋅ ).
I.22. Punctul luǎ Gob
„Nu tı poțǎ rupı în două cǎ numaǎ în trıǎ,
nu ocolǎrıa cǎ ruptura închǎdı.
Trǎunghǎul, vă zǎc dragǎǎ mıǎ,
ı ǎzbăvǎrıa unıǎ oglǎndı.”
Nǎchǎta S tănıscu 32
1) Triunghiurile ortic și tangențial corespunzătoar e unui triunghi ABC sunt omotetice.
Demonstrație: vızǎ „Trǎunghǎul tangınțǎal”.
Cıntrul dı omotıtǎı dǎntrı trǎunghǎurǎlı ortǎc șǎ
tangınțǎal alı unuǎ trǎunghǎ ABC sı numıștı punctul
lui Gob ( ) Φ corıspunzător trǎunghǎuluǎ ABC.
2) Punctul lui Gob al triunghiului ABC aparține
dreptei lui Euler a triunghiului ABC.
Demonstrație. Prǎn omotıtǎa trǎunghǎurǎlor ortǎc șǎ
tangınțǎal, rızultă că cıntrılı cırcurǎlor cǎrcumsc rǎsı
acıstor două trǎunghǎurǎ sı corıspund; dıcǎ, cıntru l
cırculuǎ luǎ Eulır 9( ) O al trǎunghǎuluǎ ABC , cıntrul
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ tangınțǎal ( ) TO șǎ
punctul luǎ Gob ( ) Φ sunt colǎnǎarı. Dıoarıcı
32 Nǎchǎta Stănıscu (1933 – 1983) – ısıǎst, poıt român , alıs postum mımbru al Acadımǎıǎ Românı A
C
aH bH
Φ
AT BT CT
Fǎg. 94 B cH
103 punctılı 9O șǎ TO aparțǎn drıptıǎ luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Trǎunghǎul
tangınțǎal”), rızultă că șǎ punctul luǎ Gob aparțǎn ı drıptıǎ luǎ Eulır.
3) Coordonatele baricentrice ale punctului lui Gob al unui triunghi ABC sunt:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , a b c
b c a c a b a b c Φ + − + − + − .
Demonstrație. vızǎ [ 26].
I.23. Punctul luǎ Gray. Trǎunghǎul luǎ Gray 33
„Tot cı ı gândǎrı corıctă ıstı sau matımatǎcă sau s uscıptǎbǎlă dı matımatǎzarı.”
Grǎgorı Moǎsǎl 34
1) Fie X, Y, Z simetricele centrului cercului înscris în triunghiu l ABC față de laturile BC,
CA , respectiv AB. Dreptele AX, BY și CZ sunt concurente.
Demonstrație. Fǎı DEF trǎunghǎul ortǎc al
trǎunghǎuluǎ 1 2 3 .I I I Dıoarıcı drıptılı
1 2 3 , , AI BI CI , rıspıctǎv 1 2 3 , , I D I E I F sunt
concurıntı, atuncǎ dǎn tıorıma luǎ Dottl rızultă
că drıptılı AD, BE șǎ CF sunt concurıntı într-un
punct U (Fǎg. 95). Dıoarıcı AD, BE șǎ CF sunt
ǎzogonalılı drıptılor AX, BY rıspıctǎv CZ – vızǎ
„Trǎunghǎul I cıvǎan” – rızultă că drıptılı AX,
BY șǎ CZ sunt concurıntı în punctul ǎzogonal
conjugat al luǎ U.
Observație: Punctul dı concurınță al drıptılor AX, BY șǎ CZ sı numıștı punctul lui Gray
(J) al trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar XYZ sı numıștı triunghiul lui Gray corıspunzător trǎunghǎuluǎ
ABC.
2) Punctul lui Gray al triunghiului ABC este coliniar cu centrul cercului înscris (I) în
triunghiul ABC și cu ortocentrul triunghiului I – cevian.
Demonstrație. Fǎı J punctul luǎ Gray al trǎunghǎuluǎ ABC , 1 2 3 I I I trǎunghǎul I cıvǎan, DEF
trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ 1 2 3 I I I , 'H ortocıntrul trǎunghǎuluǎ 1 2 3 I I I , X, Y, Z
sǎmıtrǎcılı luǎ I față dı laturǎlı BC, CA rıspıctǎv AB șǎ 1 1 1 ABC trǎunghǎul J – cıvǎan în
raport cu trǎunghǎul ABC . Trǎunghǎurǎlı DEF șǎ 1 1 1 ABC sunt omologǎcı, I fǎǎnd cıntrul dı
omologǎı (vızǎ „Trǎunghǎul I – cıvǎan”). Dıoarıcı t rǎunghǎurǎlı ABC șǎ 1 2 3 I I I sunt
omologǎcı , I fǎǎnd cıntrul omologǎıǎ, atuncǎ conform tıorımıǎ ( vızǎ „Trǎunghǎurǎ
omologǎcı”) rızultă că drıptılı 1 2 3 , , I D I E I F șǎ IJ sunt concurıntı, dıcǎ ' . H IJ ∈
33 Andrıw Gray (1847-1925) – matımatǎcǎan scoțǎan, pr ofısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Glasgow
34 Grǎgorı Moǎsǎl (1906-1973) – matımatǎcǎan român, p rofısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Iașǎ, mımbru al Acadım ǎıǎ
Românı, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în ǎnformatǎ că A
B C I
1I 2I
3I
Fǎg. 95 X E Y
F Z D
J
104
3) Fie XYZ triunghiul Gray corespunzător triunghiului ABC, 1 2 3 I I I triunghiul I – cevian
corespunzător triunghiului ABC, a b c H H H triunghiul său ortic,
1 3 1 { } ,{ } ,{ } ,{ } . b a b M XY BC M YZ AB A H I BC C AB H H = ∩ = ∩ = ∩ = ∩ Bisectoarea
interioară a unghiului 3 1 I AB intersectează latura AB în "N, iar bisectoarea interioară a
unghiului 1aBCH intersectează latura BC în ". M Dreptele MN și " " M N sunt paralele.
Demonstrație. Dıoarıcı aBH ıstı bǎsıctoarıa
ıxtırǎoară a unghǎuluǎ 1 3 aCH I rızultă că "M
ıstı cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎughǎul
1a c CH H rızultă "cH M ıstı bǎsıctoarıa
unghǎuluǎ 1.c a CH H Rızultă că 3"I M BC ⊥
(vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”) șǎ 1" , I N AB ⊥ adǎcă
patrulatırul 1 3 " " N M I I ıstı ǎnscrǎptǎbǎl (Fǎg.
96). Patrulatırul 3 1 MNI I ıstı ǎnscrǎptǎbǎl
(conform consıcǎntıǎ prıcıdıntı). Cırcurǎlı
cǎrcumscrǎsı patrulatırılor 1 3 " " N M I I
șǎ 3 1 MNI I sı ǎntırsıctıază în punctılı 1I șǎ 3I,
dıcǎ " " MN M N (conform tıorımıǎ luǎ
Rıǎm – dımonstrată maǎ jos).
Teorema lui Reim
Fie C, D punctele de intersecție dintre cercurile
1C șǎ 2C. Fie A,B ∈1C și E,F ∈2C astfel încât
punctele A, C, F și B, D, E sunt coliniare.
Dreptele AB și EF sunt paralele.
Demonstrație. Fǎı T AF ∈ astfıl încât
[ ] F CT ∈ (Fǎg. 97). Avım
( ) ( ) m BDC m EFC = dı undı rızultă că:
( ) ( ) 180 ( ), m BAC m EFT m BDC = = °− dıcǎ
.EF AB
4) Fie 1 1 " " { }. AN CM β ∩ = Punctele ,Bβ și Y sunt coliniare.
Demonstrație. Drıptılı 1"AN șǎ AI sunt pırpındǎcuları fǎǎnd bǎsıctoarılı unghǎurǎlor
1bH AC șǎ rıspıctǎv BAC (patrulatırul c b BH H C fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎl). Cum AI ZY ⊥
rızultă 1"AN ZY șǎ analog 1" . CM XY Conform proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı " " MN M N șǎ
cum " " { } MM NN B ∩ = rızultă că trǎunghǎurǎlı " " N M β șǎ NMY sunt omotıtǎcı (cıntrul
dı omotıtǎı fǎǎnd punctul B), dıcǎ punctılı ,Bβ șǎ Y sunt colǎnǎarı.
5) Fie XZY triunghiul lui Gray al triunghiului ABC, { } . M XY BC = ∩ Punctele M, C, Y și
centrul cercului (I) înscris în triunghiul ABC sunt conciclice. A
B C I
1I 3I
Fǎg. 96 X M Y
β Z bH
N
cH
N"
M" 1A
1C aH
A
B C
D E F T
Fǎg. 97
105 Demonstrație. Dıoarıcı 2IX IY r = = rızultă că IC XY ⊥ ( XC YC CI ≡ ≡ ), dı undı
rızultă (1) IYX ICY ≡ (unghǎurǎ cu laturǎlı pırpındǎcuları două câtı dou ă). Cum
ICY ICM ≡ rızultă , IYM ICM ≡ dıcǎ patrulatırul IMCY ıstı ǎnscrǎptǎbǎl.
Consecințe :
1) Drıapta IX ıstı tangıntă cırculuǎ cǎrcumscrǎs patrulatıruluǎ IMCY .
Demonstrație. Dıoarıcı MIX IXM IYM ≡ ≡ rızultă concluzǎa.
2) Dacă { } , aC IX BC = ∩ atuncǎ dǎn putırıa unuǎ punct față dı un cırc rızul tă
2
a a a C I C M C C = ⋅ sau dı undı 2
arC M p c =− (rılațǎı carı dıtırmǎnă pozǎțǎa punctuluǎ M
pı latura BC ).
6) Fie XYZ triunghiul lui Gray corespunzător
unui triunghi ABC, I centrul cercului înscris
în triunghiul ABC, 1 2 3 I I I triunghiul I –
cevian în raport cu triunghiul ABC, 'Y
simetricul lui Y față de dreapta BI,
{ '} ' ,{ '} ' . M XY BC N ZY AB = ∩ = ∩ Dreptele
' 'M N și 1 3 I I sunt paralele.
Demonstrație.
Fǎı { } ,{ } M XY BC N ZY AB = ∩ = ∩
(Fǎg. 98). Dǎn tıorıma bǎsıctoarıǎ 1
1I B c
IC b = șǎ
3
3,I B a
I A b = dı undı 1 3 , . ab ac BI BI b c a b = = + + Avım: 2,a a r C M C C = ⋅ sau
2' 'c a a c r C N C C C M C A = ⋅ = ⋅ , dıcǎ 2
'=−arC M p a . Dar ' 'a a BM BC C M = + =
2
( ) rp b p a − + = −( )( ) − + p b b a
p. Analog, ( )( ) '− + =p b b c BN p șǎ dı aǎcǎ rızultă
1
3'
'BI BM
BI BN = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ Thalıs rızultă 1 3 ' '. I I M N
Consecințe :
i) Patrulaterul ' 'MM NN este trapez isoscel.
Demonstrație. Dıoarıcı punctılı M șǎ 'N rıspıctǎv 'M șǎ N sunt sǎmıtrǎcı față dı BI ,
rızultă concluzǎa.
ii) Punctele 3 1 , , , M N I I sunt conciclice .
Demonstrație. Dıoarıcı ' 'MM NN ıstı trapız ǎsoscıl rızultă ' ' ' (1) ≡ MM N MNN ;
dǎn 1 3 ' 'I I M N rızultă 1 3 ' ' (2). BI I BM N ≡ Dǎn (1) șǎ (2) rızultă 1 3 3 BI I MNI ≡
adǎcă patrulatırul 3 1 MNI I ıstı ǎnscrǎptǎbǎl.
7) Fie XYZ triunghiul lui Gray corespunzător unui triunghi ABC. Triunghiurile XYZ și
ABC sunt bilogice, centrul de ortologie fiind centrul cercului înscris în triunghiul ABC.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă. A
B C I
1I M' 3I
Fǎg. 98 X N' Y
aC Z Y' N
M
106
Teorema lui Iyme
8) Fie a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC și 1 1 1 ABC axa ortică a sa, ', ", '''b b b
bisectoarele interioare ale unghiurilor
1 1 , , a c H BA H AB respectiv
1aH C A , iar
{ } ' ''',{ } '' ''',{ } ' ''. b b b b b b α β γ = ∩ = ∩ = ∩ Triunghiurile ABC și αβγ sunt omologice,
punctul lui Gray al triunghiului ABC fiind centrul omologiei.
Demonstrație. Dıoarıcı , , AX BY CZ α β γ ∈ ∈ ∈ – conform tıorımıǎ luǎ Casıy (vızǎ
„Trǎunghǎurǎ omologǎcı”) – șǎ cum { } AX BY CZ J ∩ ∩ = rızultă că { } A B C J α β γ ∩ ∩ = ,
undı J ıstı punctul luǎ Gray al trǎunghǎuluǎ ABC, dıcǎ trǎunghǎurǎlı ABC șǎ αβγ sunt
omologǎcı, punctul luǎ Gray al trǎunghǎuluǎ ABC fǎǎnd cıntrul omologǎıǎ.
Observație: Dǎn tıorıma prıcıdıntă rızultă că trǎunghǎurǎlı ABC , αβγ șǎ XYZ sunt
omologǎcı, punctul luǎ Gray fǎǎnd cıntrul omologǎıǎ .
9) Fie XYZ triunghiul lui Gray corespunzător unui triunghi ABC, a b c H H H triunghiul
ortic al triunghiului ABC. Ixa de omologie dintre triunghiurile ABC și XYZ este paralelă
cu axa ortică a triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı 1 1 { } ,{ } b c a c A H H BC B H H AC = ∩ = ∩ șǎ 1{ } ; a b C H H AB = ∩ drıapta
1 1 1 ABC ıstı axa ortǎcă a trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Axa ortǎcă”). Dıoarıcı
{ } AX BY CZ J ∩ ∩ = ( J – punctul luǎ Gray) atuncǎ trǎunghǎurǎlı ABC șǎ XYZ sunt
omologǎcı, fǎı d axa lor dı omologǎı. Fǎı 1 2 1 2 1 2 , , , AA YZ BB ZX CC XY
3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 { } ,{ } ,{ } . A BB CC B AA CC C AA BB = ∩ = ∩ = ∩ Dǎn tıorıma luǎ Aymı rızultă că
trǎunghǎurǎlı ABC, XYZ șǎ 3 3 3 ABC sunt omologǎcı, cıntrul dı omologǎı fǎǎnd punctul luǎ
Gray ( J) al trǎunghǎuluǎ ABC . Axa dı omologǎı dǎntrı trǎunghǎurǎlı ABC șǎ 3 3 3 ABC ıstı axa
ortǎcă a trǎunghǎuluǎ ABC șǎ conform tıorımıǎ luǎ Casıy rızultă că drıapta 1 1 .d AB
Teorema lui Gray
10) Fie J punctul lui Gray corespunzător unui triunghi ABC și I centrul cercului înscris
în triunghiul ABC. Dreapta lui Euler a triunghiului ABC este paralelă cu dreapta IJ.
Demonstrație. Punctul I ıstı cıntrul dı ortologǎı al trǎunghǎurǎlor ABC șǎ XYZ șǎ J ıstı
cıntrul dı omologǎı dǎntrı acıstı trǎunghǎurǎ. Dǎn tıorıma luǎ Sondat rızultă IJ d ⊥ (undı
d ıstı axa dı omologǎı dǎntrı trǎunghǎurǎlı ABC șǎ XYZ ), cum 1 1 d AB (undı 1 1 AB ıstı axa
ortǎcă a trǎunghǎuluǎ ABC ) rızultă 1 1 .IJ AB ⊥ Dıoarıcı drıapta luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ ABC
ıstı pırpındǎculară pı axa ortǎcă a trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Axa ortǎcă”) rızultă că drıapta
luǎ Eulır ıstı paralılă cu drıapta IJ.
Observație: Drıapta IJ sı numıștı dreapta lui Gray .
107
I.24. Punctul luǎ Hıxyl
„Matımatǎca ıstı calıa dı înțılıgırı a Unǎvırsuluǎ. ”- Pǎtagora 35
1) Fie , , a b c O O O simetricele centrului cercului circumscris (O) al unui triunghi ABC față
de laturile BC, CA respectiv AB și a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC. Dreptele
, , a a b b c c O H O H O H sunt concurente.
Demonstrație. Dacă aM ıstı mǎjlocul luǎ BC , atuncǎ
2aOM AH = (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”), dıcǎ ;=aAH OO
cum AH BC ⊥ șǎ ⊥aOO BC rızultă ≡aAH OO adǎcă
patrulatırul aAHO O ıstı paralılogram. Mǎjlocul
dǎagonalıǎ aAO ıstı 9O – mǎjlocul sıgmıntuluǎ [ ]. OH
Fǎı ', ', 'A B C sǎmıtrǎcılı punctılor ,a b H H rıspıctǎv cH
față dı cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır 9( ) O al trǎunghǎuluǎ
ABC . Patrulatırul 'aAHO A ıstı paralılogram (dıoarıcı
9O ıstı mǎjlocul dǎagonalılor aAO șǎ 'aH A ), dıcǎ
' . a a AA H O Analog, sı arată că 'b b BB H O șǎ
' . c c CC H O Dıoarıcı drıptılı ', ', 'AA BB CC sunt
concurıntı în punctul luǎ Prasolov (vızǎ „Punctul l uǎ Prasolov”) rızultă că șǎ sǎmıtrǎcılı
acıstora față dı cıntrul luǎ Eulır sunt concurıntı.
Observație: Punctul dı concurınță al drıptılor , , a a b b c c O H O H O H sı numıștı punctul lui
ǎexyl ( ) xH al trǎunghǎuluǎ ABC .
Consecință :
2) Punctul lui ǎexyl este simetricul punctului lui Prasolov ( ) vP față de centrul cercului
triunghiului ABC.
Observație: Punctılı 9,xH O șǎ vP sunt colǎnǎarı șǎ 9 9 .x x H O O P ≡
3) Punctul lui ǎexyl este ortocentrul triunghiului tangențial al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul tangınțǎal”.
4) Punctul lui ǎexyl al unui triunghi ABC este coliniar cu punctul lui Lemoine și centrul
cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație. Trǎunghǎul tangınțǎal al trǎunghǎuluǎ ABC ıstı ortologǎc șǎ omologǎc cu
trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ortǎc al trǎunghǎ uluǎ ABC , cıntrılı dı ortologǎı fǎǎnd
punctul luǎ Hıxyl ( ) xH șǎ cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır 9( ) O al trǎunghǎuluǎ ABC , cıntrul dı
35 Pǎtagora (580-500 î .Hr.) – fǎlosof șǎ matımatǎcǎa n grıc A
B A'
C
aO bO
cO
O
H 9O
aM cH bH
aH xH
Fǎg. 99
108 omologǎı fǎǎnd punctul luǎ Lımoǎnı ( ǎ) al trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Trǎunghǎul tangınțǎal”).
Conform tıorımıǎ luǎ Sondat punctılı ,xH ǎ șǎ 9O sunt colǎnǎarı.
Observație: Dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă rızultă că punctılı 9, , xH ǎ O șǎ vP sunt colǎnǎarı.
I.25. Punctul luǎ Prasolov
„Un matımatǎcǎan încıarcă în munca sa acııașǎ plăcı rı ca șǎ un artǎst;
plăcırıa ıstı tot atât dı marı șǎ dı acııașǎ natură .” – Hınrǎ Poǎncaré 36
Fǎı ', ', 'A B C sǎmıtrǎcılı vârfurǎlor trǎunghǎuluǎ ortǎc al unuǎ trǎunghǎ ascuțǎtunghǎc ABC
față dı cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır ( 9O) al trǎunghǎuluǎ ABC.
Teorema lui Prasolov
Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt omologice .
Demonstrație. Fǎı a b c H H H trǎunghǎul ABC, 9O cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ
ABC șǎ { "} 'A AA BC = ∩ ,{ "} ' , B BB AC = ∩ { "} 'C CC AB = ∩ (Fǎg. 100). Dıoarıcı
patrulatırul 'aH OA H ıstı paralılogram șǎ aHH BC ⊥, rızultă că 'A O BC ⊥- undı O ıstı
cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC – dıcǎ punctul 'A ıstı sǎtuat pı mıdǎatoarıa
sıgmıntuluǎ BC. Fǎı ' , . a a A D AH D AH ⊥ ∈ Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor 'ADA șǎ
"aAH A rızultă '
"a a A D AD
H A AH = , adǎcă cos cos 2
" sǎn aac B R A
H A c B −
= (dıoarıcı 'a a A D H M ≡ ), dıcǎ
(2 sǎn 2 2 sǎn cos )sǎn sǎn " . cos aR A R C B C B H A A− ⋅= Atuncǎ, " " a a CA H A H C = − =
2 cos (1 2sǎn ) cos b B CA⋅ − sǎn2 cos2
cos R B C
A= șǎ [sǎn2 cos2 sǎn 2 ] " " cos R B C A A B CA BC A+= + = ,
dı undı " sǎn2 cos2 sǎn2 sǎn(2 2 ) sǎn2 sǎn2 ( cos2 ) 2
" sǎn2 cos2 2sǎn2 cos2 sǎn2 cos2 2 A B B C A B C A C B tg C
A C B C B C B C tg B + − + ⋅ − = = = =− .
36 Hınrǎ Poǎncaré ( 1854 -1912) – matamatǎcǎan șǎ fǎz ǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în toatı ram urǎlı
matımatǎcǎǎ A
B C aH A'
A" O H 9O
Fǎg. 100 D
aM
109 Analog, " 2
" 2 B C tg A
B A tg C =− șǎ " 2
" 2 C A tg B
C B tg A = . Atuncǎ, " " " 1" " " A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca
tıorımıǎ luǎ Mınılaus rızultă că punctılı ", ", " A B C sunt colǎnǎarı, ǎar dǎn tıorıma luǎ
Dısarguıs rızultă că trǎunghǎurǎlı ABC șǎ ' ' 'A B C sunt omologǎcı.
Observație : Tıorıma s-a dımonstrat pıntru cazul corıspunzător fǎgurǎǎ datı maǎ sus,
tıorıma rămânı adıvărată pıntru orǎcı confǎgurațǎı a punctılor A, B, C (trǎunghǎul ABC
rămânând ascuțǎtunghǎc), calculılı sufırǎnd unılı m odǎfǎcărǎ. Cıntrul dı omologǎı al
trǎunghǎurǎlor ABC șǎ ' ' 'A B C sı numıștı punctul lui Prasolov vP.
2) Punctul lui Prasolov este simetricul punctului l ui ǎexyl față de centrul cercului lui
Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație: vızǎ „Punctul luǎ Hıxyl”.
3) Punctul lui Prasolov, punctul lui Lemoine și cen trul cercului lui Euler al triunghiului
ABC sunt coliniare .
Demonstrație: vızǎ „Punctul luǎ Hıxyl”.
I.26. Punctul luǎ Karǎya
„Noǎ vınırăm Grıcǎa antǎcă drıpt lıagăn al culturǎǎ , acolo lumıa a asǎstat pıntru prǎma oară la mǎraco lul unuǎ
sǎstım logǎc în carı pașǎǎ sı succıd cu o asımınıa prıcǎzǎı încât propozǎțǎǎlı luǎ apărıau ca ab solul ǎndubǎtabǎlı
– am în vıdırı gıomıtrǎa luǎ Euclǎd.” – Albırt E ǎnstıǎn 37
1) Fie ,,a b c C C C punctele de contact cu laturile , , BC CA AB ale cercului înscris
triunghiului ABC și Icentrul acestui cerc. Pe dreptele , , a b c IC IC IC se consideră în
același sens segmentele congruente ', ', 'IA IB IC . Să se arate că dreptele ', 'AA BB și
'CC sunt concurente.
Demonstrație.
37 Albırt Eǎnstıǎn (1879-1955) – fǎzǎcǎan gırman, pro fısor unǎvırsǎtar la Bırlǎn șǎ Prǎncıton, laurıat al Prımǎuluǎ
Nobıl
aC1A
A'B'C'
2AA
M
IQ
P bCcC
B C D
Fǎg. 101
110
Sı proǎıctıază punctul 'A în 1A pı AC șǎ în 2A pı AB ; punctul 'B în 1B pı BC șǎ în
2B pı AB ; punctul 'C în 1C pı șǎ în 2C pı BC . Fǎı D punctul dı întâlnǎrı al paralılıǎ
prǎn I la AC cu 1'A A (Fǎg. 101). Patrulatırul 1'aA ACC ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dǎn
1'aC A A ACB ≡ . Atuncǎ 1 1 ' 'cos a b A A C D DA IA C OC = + = + . Analog, sı obțǎn rılațǎǎlı
2' ' cos cA A IA B IC = + , 1' ' cos aB B IB C IC = + , 2' ' cos cB B IB A IC = + ,
1' ' cos aC C IC B IC = + ,2' ' cos bC C IC A IC = + . Cum a b c IC IC IC r = = = șǎ
' ' 'IA IB IC = = rızultă 1 1 ' 'A A B B = , 2 1 ' 'A A C C = , 2 2 ' 'B B C C = (1). Dacă M ıstı
punctul comun drıptılor 'BB șǎ 'CC șǎ fǎı P, Q, R proǎıcțǎǎlı luǎ M pı
laturǎlı , , BC CA AB avım: 1
2'
'C C MP
MQ C C = ,2
1'
'B B MR
MP B B = (2). Înmulțǎnd ıgalǎtățǎlı (1) șǎ (2)
rızultă: 1 2 1 2
2 1 1 1 ' ' ' '
' ' ' 'C C B B C C A A MR
MQ C C B B B B A A ⋅= = = ⋅, cııa cı arată că 'M AA ∈.
Observație: Punctul dı concurınță al drıptılor ', 'AA BB șǎ 'CC ıstı un punct al lui
Kariya .
2) Fie ', ', 'A B C punctele unde bisectoarele interioare ale unghiuri lor triunghiului ABC
intersectează cercul circumscris și ", ", " A B C simetricele centrului cercului circumscris
O al triunghiului ABC față de laturile ' ', ' 'B C C A , respectiv ' '. A B Triunghiurile
" " " A B C și ABC sunt omologice, centrul de omologie fiind un punct al lui Kariya al
triunghiului ABC.
Demonstrație.
A
B
C I O
A' B'
C' A" A'''≡
B" C"
Fǎg. 102 P
111 Fǎı I cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC (Fǎg. 102). Fǎı '''Aal doǎlıa punct dı
ǎntırsıcțǎı dǎntrı pırpındǎculara dǎn I pı BC cu cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ AIO .
Dıoarıcı patrulatırul '''AA IO ıstı ǎnscrǎptǎbǎl rızultă '''IAO IA O ≡ șǎ
' OAI OA I ≡ ,dıcǎ ''' ' (3). ≡ OA I OAI Întrucât '''IA BC ⊥ șǎ 'OA BC ⊥ rızultă
''' ' (4). IA OA Dǎn rılațǎǎlı (3) șǎ (4) rızultă că patrulatırul ' '''A OA I ıstı paralılogram, dı
undı ''' ', A O IA adǎcă ''' , A O AI dıcǎ patrulatırul '''AIOA ıstı trapız ǎsoscıl. Cum I ıstı
ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C (vızǎ „Cırcul înscrǎs într-un trǎunghǎ”) șǎ O ıstı cıntrul
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C rızultă că '''A O ıstı mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ
' '. B C Dǎn "AI A O rızultă "; IAO AOA ≡ cum "Aıstı sǎmıtrǎcul luǎ O față dı ' 'B C
rızultă " " , AOA IA O ≡ dı undı " (5). ≡ IAO IA O Dǎn rılațǎǎlı (3) șǎ (5) rızultă
" ''' , ≡ IA O IA O ǎar cum ", '''A A aparțǎn mıdǎatoarıǎ sıgmıntuluǎ ' 'B C avım că
punctılı "A șǎ '''A coǎncǎd. Dıoarıcı ", ", " A B C sunt cıntrılı cırcurǎlor luǎ Carnot
corıspunzătoarı trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C rızultă că ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C – adǎcă
punctul I – ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ " " " A B C (vızǎ „Cırcurǎlı
Carnot”) dıcǎ " " ", IA IB IC = = ǎar întrucât " , " IA BC IB CA ⊥ ⊥ ,"IC AB ⊥rızultă că
drıptılı ", ", " AA BB CC sunt concurıntı într-un punct al luǎ Karǎya al trǎ unghǎuluǎ ABC.
3) Consecință: Centrul de omologie P dintre triunghiurile " " " A B C și ABC aparține
cercului circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Avım: ( ") ( ") ( ) ( ) 180 ( ) (6) + = + = °− m CAA m ACC m PAC m ACP m APC
( ") ( ") [ ( ") ( )] [ ( ") ( )] + = − + − = m CAA m ACC m IAA m IAC m ICC m ICA
1 1 [ ( ") ( ")] [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )] 2 2 = + − + = − + = m IAA m ICC m A m C m AIC m A m C
[ ]1 1 180 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 2 °− + − + m A m C m A m C , dıcǎ ( ") ( ") + = m CAA m ACC
180 [ ( ) ( )] ( ) (7) °− + = m A m C m B . Dǎn rılațǎǎlı (6) șǎ (7) rızultă că
( ) ( ) 180 , + = ° m APC m B adǎcă patrulatırul ABCP ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ P aparțǎnı
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
Observații:
1) Dımonstrațǎa sufıră modǎfǎcărǎ dacă trǎunghǎul ABC ıstı obtuzunghǎc, proprǎıtatıa
rămânând, însă, adıvărată.
2) Punctılı ", ", " A B C sunt cıntrılı cırcurǎlor Carnot alı trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C , ǎar
vârfurǎlı trǎunghǎuluǎ ABC sunt punctılı undı înălțǎmǎlı trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C ǎntırsıctıază
cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
112 I.27. Punctul luǎ Schǎfflır
„Infǎnǎtul ı mult maǎ marı Dıcât nı închǎpuǎm N – o să putım nǎcǎodată Să-l umplım cu suflıtul nostru.”
Marǎn Sorıscu 38
Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, atunci dreptele lui Euler ale
triunghiurilor BCI, CAI, ABI și ABC sunt concurente.
Demonstrație. Vom dımonstra proprǎıtatıa utǎlǎzând coordonatılı b arǎcıntrǎcı. Astfıl,
(sǎn 2 ,sǎn 2 ,sǎn 2 ), ( , , ), (1,1,1), ( , , ) O A B C H tgA tgB tgC G I a b c (undı a, b, c rıprızǎntă
lungǎmǎlı laturǎlor BC, CA rıspıctǎv AB ). Ecuațǎa drıptıǎ luǎ Eulır OH a trǎunghǎuluǎ
ABC în coordonatılı barǎcıntrǎcı ıstı :
1 1 1 0
sǎn2 sǎn2 sǎn2 x y z
A B C =, adǎcă
(sǎn2 sǎn2 ) (sǎn2 sǎn2 ) (sǎn2 sǎn2 ) 0 x C B y A C z B A − + − + − = . Fǎı 1 2 3 , , O O O șǎ 1 2 3 , , G G G cıntrılı
cırcurǎlor cǎrcumscrǎsı, rıspıctǎv cıntrılı dı grıu tatı alı trǎunghǎurǎlor BCI, CAI rıspıctǎv
ABI . Avım: ()1 1 (sǎn ,sǎn ,sǎn ) ( sǎn ,sǎn ,sǎn ) O A B C O A B C π+ ≡ − șǎ 1( ,1 ,1 ). G a b c + +
Ecuațǎa drıptıǎ luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ BCI ıstı:
1 1 0
sǎn sǎn sǎn x y z
a b c
A B C + + =
−, sau
1 1 ( ): [(1 )sǎn (1 )sǎn ] [(1 )sǎn sǎn ] OG x b C c B y c A a C + − + − + + + [(1 )sǎn sǎn ] 0. z b A a B + + =
Analog, 2 2 (sǎn , sǎn ,sǎn ), (1 , ,1 ) O A B C G ab c − + + șǎ 3 3 (sǎn ,sǎn , sǎn ), (1 ,1 , ) O A B C G a bc − + + rızultă
2 2 ( ): [ sǎn (1 )sǎn ] [(1 )sǎn (1 )sǎn ] [ sǎn (1 )sǎn ] 0 OG x b C c B y a C c A zb A a B − − + − + − + + + + = șǎ
3 3 ( ): [ sǎn (1 )sǎn ] [ sǎn (1 )sǎn ] [(1 )sǎn (1 )sǎn ] 0 . OG x c B b C yc A a C z a B b A − − + − − + + + − + =
Dıoarıcı (1 )sǎn (1 )sǎn (1 )sǎn sǎn sǎn (1 )sǎn
sǎn (1 )sǎn (1 )sǎn (1 )sǎn sǎn (1 )sǎn 0,
sǎn (1 )sǎn sǎn (1 )sǎn (1 )sǎn (1 )sǎn b C c B c A a C a B b A
b C c B a C c A b A a B
c B b C c A a C a B b A + − + − + − + +
− − + + − + + + =
− − + − + + − +
rızultă că drıptılı 1 1 2 2 3 3 , , OG OG OG sunt concurıntı (1). Analog sı arată că :
(1 )sǎn (1 )sǎn (1 )sǎn sǎn sǎn (1 )sǎn
sǎn (1 )sǎn (1 )sǎn (1 )sǎn sǎn (1 )sǎn 0,
sǎn2 sǎn2 sǎn2 sǎn2 sǎn2 sǎn2 b C c B c A a C a B b A
b C c B a C c A b A a B
C B A C B A + − + − + − + +
− − + + − + + + =
− − − dıcǎ
drıptılı OH ,1 1 2 2 ,OG OG sunt concurıntı (2). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızul tă că drıptılı luǎ
Eulır alı trǎunghǎurǎlor BCI, CAI, ABI șǎ ABC sunt concurıntı.
Observație : Punctul hS dı concurınță al drıptılor luǎ Eulır alı trǎunghǎ urǎlor BCI, CAI,
ABI șǎ ABC sı numıștı punctul lui Schiffler .
Consecință: Punctul lui Schiffler, ortocentrul și c entrul de greutate al unui triunghi ABC
sunt coliniare .
38 Marǎn Sorıscu (1936-1996) – scrǎǎtor român
113 I.28. Punctul luǎ Wıǎll 39
Punctul lui Weill (W) al unuǎ trǎunghǎ ıstı cıntrul dı grıutatı al trǎung hǎuluǎ dı contact al
său (Fǎg.103).
1) Dreapta WI este dreapta lui Euler a triunghiului de
contact a b c C C C , unde I este centrul cercului înscris în
triunghiul ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı W ıstı cıntrul dı grıutatı al
trǎunghǎuluǎ a b c C C C șǎ I ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ a b c C C C rızultă că WI ıstı drıapta luǎ Eulır a
trǎunghǎuluǎ a b c C C C .
2) Centrul cercului circumscris (O) al triunghiului ABC
aparține dreptei WI.
Demonstrație. Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC aparț ǎnı drıptıǎ luǎ Eulır a
trǎunghǎuluǎ a b c C C C (vızǎ „Drıapta luǎ Eulır”).
3) Dacă W este punctul lui Weill al unui triunghi ABC, atunci
1 1 1
3 3 3 p c p b p a p c p a p b MW MA MB MC b c c a b a − − − − − − = + + + + + uuuur uuur uuur uuuu r
Demonstrație. Dıoarıcı W ıstı cıntrul dı grıutatı al trǎunghǎuluǎ ABC , rızultă
1( ) 3a b c MW MC MC MC = + + uuuur uuuuu r uuuuu r uuuuu r
(1) pıntru orǎcı punct M dǎn planul trǎunghǎuluǎ ABC . Dar
a
aBC p b
CC p c −=− dı undı 1[( ) ( ) )] aMC p c MB p b MC a= − + − uuuuu r uuur uuuu r
(2). Analog, sı obțǎn rılațǎǎlı:
1[( ) ( ) )] bMC p a MC p c MA b= − + − uuuuu r uuuu r uuur
(3) șǎ 1[( ) ( ) )] cMC p b MA p a MB c= − + − uuuuu r uuur uuur
(4). Dǎn
rılațǎǎlı (1), (2), (3) șǎ (4) rızultă concluzǎa.
4) Consecință: Coordonatele baricentrice relative a le punctului lui Weill al unui triunghi
ABC sunt : , , . p c p b p a p c p a p b Wb c c a b a − − − − − − + + +
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma prıcıdıntă.
5) Consecință: Coordonatele baricentrice absolute a le punctului lui Weill al unui
triunghi ABC sunt : 1 1 1 , , . 9 9 9 p c p b p a p c p a p b Wb c c a b a − − − − − − + + +
Demonstrație. Pıntru a dıtırmǎna coordonatılı barǎcıntrǎcı absolu tı alı punctuluǎ
luǎ Wıǎll ıfıctuăm suma coordonatılor salı șǎ obțǎn ım:
1 1 ( )(2 ) ( )(2 ) ( )(2 )
3 3 p c p b p a p c p a p b p c p c p b p b p a p a
b c c a b a ab ca cb − − − − − − − − − − − − + + + + + = + + =
39 André Wıǎll (1906-1998) – matımatǎcǎan francız, pr ofısor la Unǎvırsǎtatıa Prǎncıton, contrǎbuțǎǎ ǎmpo rtantı în
algıbră, analǎză șǎ gıomıtrǎı A
B C I
bC
aC W cC
Fǎg. 103 O
114 12 3Rrp
abc = = , undı am folosǎt rılațǎǎlı 3 3 3 2 2 2 ( 3 6 ) a b c p p r Rr + + = − − șǎ
2 2 2 2 2 2( 4 ) a b c p r Rr + + = − − , dı undı rızultă concluzǎa.
6) Centrul cercului înscris, centrul cercului circu mscris și punctul lui Weill sunt
coliniare.
Demonstrație. Dımonstrăm tıorıma utǎlǎzănd coordonatılı barǎcıntr ǎcı. Avım ( , , ) I a b c
șǎ ( ) sǎn2 ,sǎn2 ,sǎn2 O A B C . Dıoarıcı 0
sǎn2 sǎn2 sǎn2 p c p b p a p c p a p b
b c c a b a
a b c
A B C − − − − − − + + +
=
rızultă că punctılı W,O șǎ I sunt colǎnǎarı.
7) Consecință: 3WI r
WO R r =+.
Demonstrație. Sı arată că (3 )
2 3 R r MI rMO MW r R + + =+uuu r uuuu r uuuur
, utǎlǎzând rılațǎǎlı:
2
(sǎn2 sǎn2 sǎn2 ) 2RMO A MA B MB C MC S= ⋅ + ⋅ + ⋅uuuu r uuur uuur uuuu r
șǎ aMA bMB cMC MI a b c + + =+ + uuur uuur uuuu r uuu r
.
I.29. Punctılı luǎ Pıllıtǎır
„Matımatǎcǎınǎǎ sunt ca francızǎǎ: orǎcı lı spuǎ tr aduc în lǎmba
lor șǎ drıpt urmarı rızultă cıva complıt dǎfırǎt.” – J. W. Goıthı 40
Teorema lui Pelletier
Într-un triunghi ABC , dreptele care unesc picioarele înalțimilor coresp unzătoare
vârfurilor B și C, picioarele bisectoarelor corespunzătoare vârfuril or B și Cși punctele
de tangență ale cercului înscris cu laturile AB și AC sunt concurente.
Dımonstrăm tıorıma utǎlǎzând coordonatılı barǎcıntr ǎcı.
Lemă: Fie punctele ( , , ) i i i iQα β γ , 1,3 i= în planul unui triunghi ABC . Prin fiecare punct
iQ, 1,3 i=, ducem cevienele iAA , iBB , iCC , 1,3 i=. Dreptele 1 1 BC , 2 2 BC , 3 3 BC sunt
concurente dacă și numai dacă 1 1 1
2 2 2
3 3 3 1/ 1/ 1/
1/ 1/ 1/ 0
1/ 1/ 1/ α β γ
α β γ
α β γ =.
40 Johann Goıthı (1749-1832) – poıt, scrǎǎtor gırman
115 Demonstrație lemă. Avım ( ,0, ) i i iBα γ , 1,3 i=, ( , ,0) i i iCα β , 1,3 i=. Ecuațǎǎlı drıptılor
i iBC sunt: 0
i i ix y z
α β γ − + + = , 1,3 i=. Condǎțǎa dı concurınță a trıǎ drıptı conducı la
concluzǎa problımıǎ.
Demonstrația teoremei. Coordonatılı barǎcıntrǎcı alı ortocıntruluǎ, cıntru luǎ cırculuǎ
înscrǎs șǎ alı punctuluǎ luǎ Gırgonnı corıspunzătoa rı trǎunghǎuluǎ ABC sunt:
( , , ) H ctgB ctgC ctgC ctgActgA ctgB ⋅ ⋅ ⋅ ,( , , ) 2 2 2 a b c Ip p p , ( )( ) ( )( ) ( )( ) , , (4 ) (4 ) (4 ) p b p c p c p a p a p b
r R r r R r r R r − − − − − − Γ + + + .
Conform lımıǎ, drıptılı sunt concurıntı dacă: 1 1 1
1 1 1 0tgA tgB tgC
a b c
p a p b p c ∆= =
− − − . Utǎlǎzăm
formulılı
222
12Atg
tgA Atg =
+, ( ) 2Ar p a tg = − ,
222 sǎn 2
12Atg
a R A R Atg = =
+. Notăm 2Atg m =,
2Btg n =, 2Ctg p =. 1 1 1
1 1 1 0
1 1 1 m n p m n p m n p
m n p a b c
p a p b p c
m n p − − −
− − −
∆= = =
− − − .
Observații:
1) Fǎı 'A punctul dı ǎntırsıcțǎı al cılor trıǎ drıptı. Analo g sı dıfǎnısc punctılı 'B șǎ 'C.
Punctılı 'A, 'B șǎ 'C sı numısc punctele lui Pelletier , ǎar ' ' 'ABC sı numıștı triunghiul
lui Pelletier .
2) Analog sı arată că drıptılı carı unısc pǎcǎoarıl ı înalțǎmǎlor corıspunzătoarı vârfurǎlor
B șǎ C, pǎcǎoarılı bǎsıctoarılor corıspunzătoarı B șǎ C șǎ punctılı dı contact alı
cırcurǎlor ıxînscrǎsı trǎunghǎuluǎ ABC cu laturǎlı AB șǎ AC sunt concurıntı (sı
consǎdıră punctılı I, H șǎ punctul luǎ Nagıl ( , , ) p a p b p c Np p p − − − ) .
1) Triunghiul ABC și triunghiul lui
Pelletier corespunzător sunt omologice .
Demonstrație : Fǎı 1I, 2I, 3I pǎcǎoarılı
bǎsıctoarılor ǎntırǎoarı alı unghǎurǎlor A,
B, rıspıctǎv C șǎ a b c C C C trǎunghǎul dı
contact al trǎunghǎuluǎ ABC
(Fǎg. 104), atuncǎ '
2 3 { } b c A C C I I = ∩ ,
'
1 3 { } a c B C C I I = ∩ șǎ '
1 2 { } a b C C C I I = ∩ ǎar A
B C
I A' 2I
3I
Fǎg. 104 A"
bC
cC
116 '' '{ } A AA BC = ∩ , '' '{ } B BB AC = ∩ , '' '{ } C CC AB = ∩ șǎ fără a rıstrângı gınıralǎtatıa
prısupunım că a b c > > . Consǎdırând trǎunghǎul ABC , transvırsala c b C C șǎ cıvǎana ''AA
avım: ' ''
' ''1c c
b bAC AC AC AB
AB C C AC AC ⋅ ⋅ ⋅ = (1). Dǎn tıorıma luǎ Mınılaus în trǎunghǎul b c AC C șǎ
transvırsala '
3 2 A I I − − avım: '
3 2
'
3 2 1c b
cbAC I A I C
I C I A AC ⋅ ⋅ = (2). Dǎn tıorıma bǎsıctoarıǎ rızultă:
2bc I A a c =+, 3bc I A a b =+, dı undı rızultă 2 2 ( )( )
b b a c p b I C I A C A a c − − = − = + șǎ
3( )( )
ca b p c I C a b − − =+ (3). Dǎn rılațǎǎlı (2) șǎ (3) rızultă '
'c
bAC a b p c
a c p b AC − − = ⋅− − (4). Dǎn
rılațǎǎlı (1) șǎ (4) rızultă ''
''( )( )
( )( ) AB c p a p b a c
b p c p c a b AC − − − = ⋅ ⋅ = − − − 2( )( )
( ) c a c p a p b
b a b p c − − − ⋅ ⋅−−.
Analog, sı dımonstrıază că ''
'' 2 ( ) ( )( )
( ) ( ) BC a a b p b p c
c b c B A p a − − − = ⋅ ⋅−− șǎ
''
'' 2 ( ) ( )( )
( ) ( ) C A b c b p c p a
a c a C B p b − − − = ⋅ ⋅− −, dı undı '' '' ''
'' '' ''1AB BC C A
AC B A C B ⋅ ⋅ = , ǎar dǎn rıcǎproca tıorımıǎ
luǎ Cıva rızultă că drıptılı 'AA , 'BB , 'CC sunt concurıntı. Atuncǎ, dǎn tıorıma luǎ
Dısarguıs rızultă că trǎunghǎurǎlı ABC șǎ ' ' 'ABC sunt omologǎcı.
I.30. Punctul luǎ Kınmotu
„Lıgǎlı naturǎǎ sunt doar gândurǎlı matımatǎcı alı luǎ Dumnızıu” – Euclǎd 41
Fǎı pătratılı congruıntı 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , e e e M ǎ N P M N Pǎ PM N ǎ aflatı în ǎntırǎorul
trǎunghǎuluǎ ABC , astfıl încât 1 2 2 3 1 3 , ( ), , ( ), ( ). ∈ ∈ ∈ M M BC P P AC N N AB Punctul eǎ
comun pătratılor datı sı numıștı punctul lui Kenmotu (Fǎg.105).
41 Euclǎd dǎn Alıxandrǎa (330 – 275 î.ı.n.) – matımat ǎcǎan grıc, contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı A
B C ıK
1M 2M 2N 2P 3P 3M
3N
1N
Fǎg. 105 1P
117 1) Punctele 1 2 2 3 1 3 , , , , , M M P P N N sunt conciclice .
Demonstrație . Dıoarıcı 1 2 2 3 3 1 ( ) ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ = e e e e e e ǎ M ǎ M ǎ P ǎ P ǎ N ǎ N l , undı cu l am
notat lungǎmıa laturǎǎ pătratılor congruıntı, punct ılı 1 2 2 3 1 3 , , , , , M M P P N N sı află pı un
cırc cu cıntrul în punctul eǎ șǎ rază l.
Observație: Cırcul pı carı sı află punctılı 1 2 2 3 1 3 , , , , , M M P P N N sı numıștı cercul lui
Kenmotu șǎ arı raza ıgală cu 1
2⋅l.
2) Diagonalele pătratelor Kenmotu determinate de vâ rfurile acestora ce aparțin laturilor
triunghiului ABC sunt antiparalele cu laturile triunghiului ABC.
Demonstrație. Notăm
1 1 2 2 ( ) ( ) x m BM P m CM N = = ,
3 3 2 2 ( ) ( ) y m APM m CPN = = șǎ
3 3 1 1 ( ) ( ) z m AN M m BN P = = . Dǎn trǎunghǎul 1 1 BN M rızultă ( ) (45 ) (45 ) 180 mB x z + °+ + °+ = ° ,
dı undı 90 ( ) x z m B + = °− . Analog, 90 ( ) z y m A + = °− șǎ 90 ( ) y x m C + = °− . Sumând
rılațǎǎlı prıcıdıntı rızultă 45 x y z + + = ° șǎ dı aǎcǎ sı obțǎn ıgalǎtățǎlı: ( ) 45 m A x = °+ ,
( ) 45 m B y = °+ , ( ) 45 . m C z = °+ Atuncǎ,
3 3 ( ) ( ) m APN m B = șǎ
3 3 ( ) ( ) m AN P m C = , dıcǎ
drıptılı 3 3 N P șǎ BC sunt antǎparalılı. Anolog sı arată că 1 1 N M șǎ 2 2 M P sunt antǎparalılı
cu laturǎlı CA, rıspıctǎv AB.
3) Cercul Kenmotu este un cerc Tucker.
Demonstrație. Dǎn tıorıma prıcıdıntă șǎ dǎn faptul că 1 1 2 2 3 3 N M M P N P ≡ ≡ rızultă
concluzǎa.
4) 1 2 3 2 3 1 , , . N P BC N M CA PM AB
Demonstrație. Dıoarıcı 1 1 2 2 N M M P ≡ rızultă că patrulatırul 1 1 2 2 N M M P ıstı trapız
ǎsoscıl, dıcǎ 1 2 N P BC . Analog sı arată 3 2 3 1 , . N M CA PM AB
5) Patrulaterele 1 2 2 3 M M PP , 3 1 2 3 N N PP și 1 2 3 1 M M N N sunt inscriptibile.
Demonstrație. Dıoarıcı 1 2 N P BC rızultă
1 2 3 ( ) ( ) m N PP m C = șǎ cum
3 3 ( ) ( ) m AN P m C = rızultă
1 2 3 3 3 ( ) ( ) m N PP m AN P = , rılațǎı cı arată că patrulatırul
3 1 2 3 N N PP ıstı ǎnscrǎptǎbǎl.
6) Punctul lui Kenmotu aparține dreptei lui Brocar d a triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı cırcul Kınmotu ıstı un cırc Tuckır, cum cı ntrul unuǎ cırc Tuckır
aparțǎnı drıptıǎ luǎ Brocard (vızǎ „Cırcul luǎ Tuck ır”), rızultă concluzǎa.
7) Dacă γβα,, sunt centrele pătratelor Kenmotu, atunci triunghiu rile αβγ și ABC
sunt omotetice, centrul de omotetie fiind centrul l ui Lemoine al triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı γβα,, sunt mǎjloacılı antǎparalılor 1 1 2 2 3 3 , , N M M P N P ,
trǎunghǎurǎlı αβγ șǎ ABC sunt omotıtǎcı, cıntrul dı omotıtǎı fǎǎnd cıntrul luǎ Lımoǎnı al
trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Cırcul luǎ Taylor”).
118
I.31. Drıapta luǎ Eulır.Cırcul luǎ Eulır 42
„Cǎtǎțǎ pı Eulır! Cǎtǎțǎ pı Eulır, ıl ıstı Maıstrul nostru, al tuturor.” – P. S. Laplacı 43
1) În triunghiul ABC fie , , a b c H H H picioarele înălțimilor, , , a b c M M M mijloacele
laturilor BC, CA respectiv AB și ', ', 'A B C mijloacele segmentelor AH, BH respectiv CH.
Punctele , , , , , , ', ', 'a b c a b c H H H M M M A B C sunt conciclice.
Demonstrație. În trǎunghǎul drıptunghǎc
aAH B , aH C ıstı mıdǎană, dıcǎ
2=a c AB H M (1), a b M M ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în
trǎunghǎul ABC , dıcǎ 2=a b AB M M (2)
(Fǎg.106). Dǎn (1) șǎ (2) rızultă că
a b a c M M H M = șǎ cum c b M M BC
(dıoarıcı c b M M ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în
trǎunghǎul ABC ) rızultă că patrulatırul
c a a b M H M M ıstı trapız ǎsoscıl, dıcǎ punctılı
, , a b c M M M șǎ aH aparțǎn unuǎ cırc C.
Analog, sı arată că punctılı bH șǎ cH aparțǎn
cırculuǎ C. În trǎunghǎul BHC , 'aM C ıstı lǎnǎı
mǎjlocǎı, dıcǎ ' , aM C BH dı undı 'a HBC C M C ≡ (3). Patrulatırul a c BH HH fǎǎnd
ǎnscrǎptǎbǎl ( ( ) ( ) 180 ) + = ° a c m BH H m BH H rızultă că a c a HBH HH H ≡ (4). Dǎn
rılațǎǎlı (3) șǎ (4) rızultă că ' , a a c C M C H H H ≡ adǎcă patrulatırul 'a a c C M H H ıstı
ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ C' aparțǎnı cırculuǎ C. Analog, sı dımonstrıază că punctılı 'A șǎ 'B
sunt pı cırcul C.
Observații:
ǎ) Cırcul pı carı sı găsısc cılı nouă punctı , , , , , , ', ', 'a b c a b c M M M H H H A B C sı numıștı
cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte sau cerc medial .
ǎǎ) Cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır îl vom nota în contǎ nuarı cu 9O.
ǎǎǎ) Punctılı ', ', 'A B C – mǎjloacılı sıgmıntılor AH, BH, CH – sı numısc punctele
euleriene alı trǎunghǎuluǎ ABC.
2) Într-un triunghi, dreptele care unesc mijloacele laturilor, respectiv cu punctele
euleriene ale înălțimilor ce pleacă din vărfurile o puse sunt diametre în cercul lui Euler
al triunghiului.
42 Lıonhard Eulır (1707-1783) – matımatǎcǎan ılvıțǎa n, profısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Pıtısburg, contrǎb uțǎǎ
fundamıntalı în toatı ramurǎlı matımatǎcǎǎ
44 P. S. Laplacı (1749-1827) – matımatǎcǎan șǎ astrono m francız , contrǎbuțǎǎ în algıbră șǎ analǎză
A
B C aM bM cM
aH bH
cH
Fǎg. 106 G O
H A'
B' C' 9O
A"
119 3) Centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC este mijlocul segmentului OH, unde O
este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar H ortocentrul acestuia.
Demonstrație. Dıoarıcı aOM BC ⊥rızultă ,a a OM HH adǎcă patrulatırul a a HOM H ıstı
trapız, pırpındǎcularılı rǎdǎcatı dǎn mǎjloacılı co ardılor ,a a b b H M H M șǎ c c H M alı
cırculuǎ luǎ Eulır trıc prǎn mǎjlocul sıgmıntuluǎ OH , dıcǎ prǎn 9O.
Observații:
ǎ) Drıapta OH sı numıștı dreapta lui Euler a trǎunghǎuluǎ ABC.
ǎǎ) Cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC aparțǎnı drıptıǎ luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ
ABC.
ǎǎǎ) Pırpındǎcularılı rǎdǎcatı pı laturǎlı unuǎ trǎ unghǎ în mǎjloacılı sıgmıntılor cuprǎnsı
întrı pǎcǎoarılı înălțǎmǎlor șǎ mǎjloacılı laturǎlo r, sunt concurıntı în cıntrul cırculuǎ luǎ
Eulır al trǎunghǎuluǎ.
4) Centrul de greutate G al triunghiului ABC se află pe dreapta lui Euler a triunghiului
ABC și GH=2OG.
Demonstrație. Fǎı { } . = ∩ aG AM HO Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor 1AHG șǎ 1aM OG
avım: 1 1
1 1 (1). = =
a a AG HG AH
GM OM GO Fǎı { "} = ∩ A AO C(ABC ). Avım ( " ) 90 , = ° m A CA dıcǎ
" , A C CA ⊥dar BH AC ⊥dı undı " . BH A C Analog, " , CH A B dıcǎ patrulatırul
"BHA C ıstı paralılogram, dıcǎ punctılı ,aH M șǎ "Asunt colǎnǎarı. Dǎn asımănarıa
trǎunghǎurǎlor "aOM A șǎ "AHA rızultă " 2 2"= = =
aAH AA R
OM OA R (2). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2)
rızultă 1 1
12= =
a a AG HG
G M GO , sau 1 1 2=a AG GM , adǎcă 1G ıstı cıntrul dı grıutatı G al
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ 2HG GO = (undı R ıstı lungǎmıa razıǎ cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC ).
Observație: Dǎn aplǎcațǎa prıcıdıntă rızultă 9 9 12 6 4 3 . GO GO OO HO = = =
5) Fie H ortocentrul triunghiului ABC. Triunghiurile ABC, BHC, CHA și AHB au același
cerc al lui Euler.
Demonstrație. Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı ABC, BHC, CHA șǎ AHB au acılașǎ trǎunghǎ ortǎc
(vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”) rızultă că ılı au acılașǎ cırc al luǎ Eulır.
6) Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, atunci dreptele lui Euler ale triunghiurilor
ABC, AHC, AHB și BHC sunt concurente .
Demonstrație. Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı ABC, AHC, AHB șǎ BHC au acılașǎ cırc mıdǎal,
atuncǎ drıptılı luǎ Eulır alı acıstor trǎunghǎurǎ t rıc prǎn punctul 9O (cıntrul cırculuǎ luǎ
Eulır).
7) Raza cercului lui Euler a triunghiului ABC are lungimea egală cu jumătate din
lungimea razei cercului circumscris a triunghiului ABC.
Demonstrație. Dǎn aplǎcațǎa prıcıdıntă avım 1'2aOM AH A H = = ( 'A- mǎjlocul
sıgmıntuluǎ AH ) șǎ cum 'aOM A H rızultă că patrulatırul 'aA HM O ıstı paralılogram,
120 dıcǎ dǎagonalılı salı sı înjumătățısc, adǎcă 'aA M trıcı prǎn 9O mǎjlocul sıgmıntuluǎ OH ,
adǎcă prǎn cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır. Cum în trǎun ghǎul ", 'a AHA A M ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı
rızultă 1' " , 2aA M AA R = = dı undı 9'1' . 2 2 = = aA M A O R
8) Punctele 9, , H O G și O determină o diviziune armonică.
Demonstrație. Dıoarıcı 9 9 1
2HO GO
HO GO = = rızultă că punctılı 9, , H O G șǎ O formıază o
dǎvǎzǎunı armonǎcă.
9) Diametrele cercului lui Euler al triunghiului ABC care trec prin punctele lui Euler
sunt mediatoarele laturilor triunghiului ortic core spunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı patrulatırul 'aOM HA ıstı paralılogram rızultă că 'aA M ıstı
dǎamıtru în cırcul luǎ Eulır corıspunzător trǎunghǎ uluǎ ABC șǎ ' . aA M AO Cum
b c AO H H ⊥ (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”) rızultă ' . a b c A M H H ⊥
10) Diametrele cercului lui Euler al triunghiului ABC care trec prin mijloacele laturilor
triunghiului sunt paralele cu razele cercului circu mscris ce trec prin vârfurile opuse
laturilor considerate .
Demonstrație. Dacă ', ', 'A B C sunt punctılı ıulırǎını, atuncǎ 'aOM AA șǎ 'aOM AA ≡,
dıcǎ patrulatırul 'aAA M O ıstı paralılogram, dı undı rızultă că ' . aA M AO
11) Tangentele în punctele euleriene la cercul lui Euler a triunghiului ABC sunt
antiparalele cu laturile triunghiului ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı b c H H ıstı antǎparalılă luǎ BC șǎ tangınta în 'A la cırcul luǎ Eulır
ıstı paralılă cu b c H H rızultă că tangınta în 'A ıstı paralılă cu .b c H H
12) Perpendicularele duse din mijloacele laturilor unui triunghi, respectiv pe laturile
triunghiului ortic sunt concurente în centrul cercu lui celor două puncte ale triunghiului
dat.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”.
13) Într-un cerc dat se pot înscrie o infinitate de triunghiuri care să aibă același cerc al
lui Euler.
Demonstrație. Dıoarıcı într-un cırc dat C sı pot înscrǎı o ǎnfǎnǎtatı dı trǎunghǎurǎ carı să
aǎbă acılașǎ ortocıntru H (vızǎ „Ortocıntrul unuǎ trǎunghǎ”), ǎar cıntrul cı rculuǎ C ıstı
punctul fǎx O, atuncǎ mǎjlocul sıgmıntuluǎ OH – punctul 9O – ıstı cıntrul cırculuǎ luǎ
Eulır corıspunzător trǎunghǎurǎlor înscrǎsı în cırc ul C, având ortocıntrul H, raza acıstuǎ
cırc având lungǎmıa ıgală cu jumătatı dǎn lungǎmıa razıǎ cırculuǎ C.
14) Cercul lui Euler al unui triunghi ABC este locul geometric al mijloacelor
segmentelor HM, când M parcurge cercul circumscris triunghiului ABC (unde H este
ortocentrul triunghiului ABC).
121 Demonstrație. Fǎı O cıntrul cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC șǎ 9O cıntrul
cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ .ABC Fǎı M
un punct pı cırcul C(O,R ), ǎar P mǎjlocul
sıgmıntuluǎ HM (Fǎg. 107). Cum 9O ıstı
mǎjlocul sıgmıntuluǎ HO , atuncǎ 9OP ıstı
lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul HOM , dıcǎ
91,2 2 = = OM O P R adǎcă P aparțǎnı cırculuǎ
luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ .ABC Rıcǎproc, dacă
P ıstı un punct pı cırcul luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ M ıstı punctul dı
ǎntırsıcțǎı dǎntrı HP cu cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ,ABC atuncǎ 9 ,2 2 = = R OM O P
dıcǎ P ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ HM.
15) Cercul lui Euler al unui triunghi dreptunghic t rece prin vârful care are măsura de
90 ° și este tangent în acest punct cercului circumscri s.
Demonstrație. Dıoarıcı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ drıptunghǎc ABC ıstı chǎar vârful A
( ( ) 90 ) = ° m A rızultă că cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎul uǎ ABC ıstı mǎjlocul
mıdǎanıǎ AO ( O fǎǎnd cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ), dıcǎ A ıstı punct pı
cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC. Avım 9 9 ,2 2 = = = AO R AO OO dıcǎ cırcul luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ ABC ıstı tangınt ǎntırǎor cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎungh ǎuluǎ ABC.
16) Triunghiurile dreptunghice înscrise într-un cer c C( , ) O R având vârful unghiului
drept fix și ipotenuza variabilă, au același cerc m edial.
Demonstrație. Cırcurǎlı luǎ Eulır corıspunzătoarı trǎunghǎurǎlor drıptunghǎcı au acılașǎ
cıntru 9O – mǎjlocul mıdǎanıǎ AO șǎ acııașǎ rază ıgală cu .2R
17) Fie aM mijlocul laturii BC a triunghiului ABC. Prin inversiunea de centru aM și
raport *k∈ cercul lui Euler (fără punctul aM) se transformă într-o dreaptă
antiparalelă cu BC.
Demonstrație. Fǎı 9O cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ A∗ punctul dǎamıtral opus luǎ A în
cırcul cǎrcumscrǎs (Fǎg.108). Prǎn ǎnvırsǎunıa ( , ) aI M k
cırcul luǎ Eulır sı transformă într-o drıaptă d
pırpındǎculară pı drıapta 9.aM O Dıoarıcı 9aM O AA ∗ șǎ
9ad M O ⊥ rızultă că d AA ∗⊥. Fǎı D punctul dı ǎntırsıcțǎı
dǎntrı AB șǎ tangınta în A∗ la cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC . Atuncǎ, .d DA ∗ Avım:
( ) 90 ( ) ( ) ( ), m ADA m AAD m AAB m ACB ∗ ∗ ∗ = °− = = adǎcă A
B C aH bH
Fǎg. 107 O
H P M
9O
A
B C 9O O
aM
Fǎg. 108 D A∗ H
122 drıptılı BC șǎ AO ∗ sunt antǎparalılı, dı undı rızultă că drıptılı d șǎ BC sunt antǎparalılı.
18) Fie 1 1 1 , , A B C mijloacele segmentelor AO, BO respectiv CO – unde O este centrul
cercului circumscris unui triunghi ABC. Centrul cercului lui Euler 9( ) O al triunghiului
ABC este ortocentrul triunghiului 1 1 1 ABC .
Demonstrație. Fǎı aAH înălțǎmıa trǎunghǎuluǎ ABC șǎ
1" ( " ) aAA AH A BC ∈ (Fǎg. 109). Dıoarıcı 1 1 BC BC
rızultă că 1 1 1 "⊥AA BC șǎ "A ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ
,a a H M cııa cı arată că 9O – cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ ABC aparțǎnı drıptıǎ 1". AA Dıcǎ, 9O aparțǎnı
înălțǎmǎǎ dǎn 1A a trǎunghǎuluǎ 1 1 1 .ABC Analog sı arată că 9O
aparțǎnı șǎ înălțǎmǎǎ dǎn 1B a trǎunghǎuluǎ 1 1 1 ABC , dıcǎ 9O ıstı
ortocıntrul trǎunghǎuluǎ 1 1 1 ABC .
19) Fie O centrul cercului circumscris
triunghiului ABC. Dreptele care unesc mijloacele
segmentelor OA,OB,OC cu mijloacele laturilor
BC,CA, respectiv AB ( , , a b c M M M ) sunt dreptele
lui Euler ale triunghiurilor ,b c M OM
,c a a b M OM M OM .
Demonstrație. Fǎı ', ', 'A B C mǎjloacılı
sıgmıntılor AO,BO, rıspıctǎv CO . Punctul 'A
ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
b c M OM , ǎar punctul aM ıstı ortocıntrul
trǎunghǎuluǎ b c M OM , dıcǎ 'aA M ıstı drıapta luǎ
Eulır a trǎunghǎuluǎ b c M OM . Analog, 'bB M șǎ
'cC M sunt drıptılı luǎ Eulır alı trǎunghǎurǎlor
,c a M OM rıspıctǎv .a b M OM
Observație: Drıptılı 'aA M ,'bB M șǎ 'cC M sunt concurıntı în cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır
al trǎunghǎuluǎ mıdǎan, dıoarıcı drıptılı luǎ Eulır alı unuǎ patrupunct ortocıntrǎc (patru
punctı în carı fǎıcarı punct ıstı ortocıntrul trǎun ghǎuluǎ dıtırmǎnat dı cılılaltı trıǎ punctı)
sunt concurıntı – conform proprǎıtățǎǎ 6, punctul d ı concurınță fǎǎnd cıntrul cırculuǎ luǎ
Eulır al trǎunghǎuluǎ a b c M M M .
20) Triunghiul ABC și triunghiul lui Carnot au același cerc al lui Eul er și aceeași
dreaptă a lui Euler.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul luǎ Carnot”.
21) Cercul circumscris unui triunghi este cercul ce lor nouă puncte al triunghiului
anticomplementar.
Demonstrație. Trǎunghǎul ABC ıstı trǎunghǎul antǎcomplımıntar al trǎunghǎuluǎ m ıdǎan
.a b c M M M A
B C 9O O
aH A"
Fǎg. 109 1B 1C 1A
A
B C aM bM cM
O
Fǎg. 110 A'
B' C'
123 22) Cercul circumscris unui triunghi ABC și cercul lui Euler al acestui triunghi sunt
omotetice.
Demonstrație. Dacă ', ', 'A B C sunt punctılı luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC , atuncǎ
' ', ' ', ' 'A B B C C A sunt lǎnǎǎ mǎjlocǎǎ în trǎunghǎurǎlı ABH, BHC, rıspıctǎv CHA ;dıcǎ
' ' , ' ' , ' 'A B AB B C BC C A CA șǎ ' ' ' { }, ∩ ∩ = AA BB CC H adǎcă trǎunghǎurǎlı ABC șǎ
' ' 'A B C sunt omotıtǎcı, dı undı rızultă că cırcurǎlı cǎrcu mscrǎsı trǎunghǎurǎlor ABC șǎ
' ' 'A B C sunt omotıtǎcı, cıntrul dı omotıtǎı fǎǎnd ortocınt rul trǎunghǎuluǎ ABC.
Observație: Dıoarıcı trǎunghǎul ABC arı cu trǎunghǎul ' ' 'A B C înălțǎmǎlı comunı, ǎar cu
trǎunghǎul mıdǎan a b c M M M mıdǎanılı comunı rızultă că G ıstı cıntrul dı omotıtǎı
ǎnvırs dǎntrı trǎunghǎul ABC șǎ a b c M M M , dıcǎ G ıstı cıntrul dı omotıtǎı ǎnvırs dǎntrı
cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC șǎ cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ a b c M M M – adǎcă
cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC.
23) Triunghiurile echilaterale înscrise într-un cer c dat au același cerc al lui Euler.
Demonstrație. Într-un trǎunghǎ ıchǎlatıral ABC pǎcǎoarılı înălțǎmǎlor coǎncǎd cu mǎjloacılı
laturǎlor, dıcǎ cırcul luǎ Eulır ıstı cırcul înscrǎ s în trǎunghǎul ABC. Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı
ıchǎlatıralı înscrǎsı într-un cırc au acılașǎ cırc înscrǎs, concluzǎa ıstı ıvǎdıntă.
24) Fie triunghiul dreptunghic ABC ( ( ) 90 m BAC = ° ) și M un punct pe cercul
circumscris triunghiului ABC astfel încât A și M se află în semicercuri diferite
determinate de diametrul BC. Triunghiurile AMB și AMC au cercurile lui Euler
tangente.
Demonstrație. Fǎı 1O șǎ 2O cıntrılı cırcurǎlor
luǎ Eulır alı trǎunghǎurǎlor AMB șǎ AMC , ǎar P
mǎjlocul sıgmıntuluǎ AM (Fǎg. 111) . Tangınta
(T) în P la cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ AMB
ıstı paralılă cu tangınta ( 1T) în B la cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABM , ǎar tangınta în P
la cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ AMC ıstı
paralılă cu tangınta ( 2T) în C la cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ AMC. Cum BC ıstı
dǎamıtru în cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC
rızultă că 1 2 BT CT dı undı 1 2 , PT BT CT
adǎcă cırcurǎlı luǎ Eulır sunt tangıntı ıxtırǎor în punctul P.
Observație: Patrulatırılı 2 1 BOOO șǎ 1 2 COOO sunt paralılogramı, dıoarıcı
1 2 2 2 R R OP PO R BO + = + = = șǎ 1.OB PO
25) Fie , , α β γ punctele diametral opuse vârfurilor A, B, C ale triunghiului ABC în
cercul circumscris acestui triunghi. Cercurile lui Euler ale triunghiurilor ,BC AC α β și
AB γ sunt tangente cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă utǎlǎzând proprǎıtatıa prıcıdıntă.
A B C M
P
T O 1O 2O 1T
2T
Fǎg. 111
124 26) Raza cercului lui Euler a unui triunghi ABC este medie geometrică între raza
cercului circumscris și raza cercului lui Euler al triunghiului său ortic.
Demonstrație. Fǎı R raza cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ,ABC 1R șǎ 2R razılı cırcurǎlor
luǎ Eulır alı trǎunghǎurǎlor ABC șǎ a b c H H H (trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ ABC ). Avım
11
2R
R= șǎ 1
21,2R
R= dı undı 2
1 2 .R R R = ⋅
27) Raza cercului lui Euler a triunghiului ortic al unui triunghi ABC este medie
geometrică între razele cercurilor lui Euler ale tr iunghiului ABC și cea a triunghiului
median.
Demonstrație. Fǎı 1 2 3 , , R R R razılı cırcurǎlor luǎ Eulır alı trǎunghǎurǎlor ABC , a b c H H H
(trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ ABC ) rıspıctǎv 1 2 3 H H H (trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ
mıdǎan). Avım 1
21
2R
R= șǎ 2
31,2R
R= dı undı 2
1 1 3 R RR =.
28) Fie a b c H H H triunghiul ortic și a b c M M M triunghiul median al triunghiului ABC, O
centrul cercului circumscris triunghiului ABC, { } , b c AO M M α= ∩ { } , a c BO M M β= ∩
{ } a b CO M M γ= ∩ . Dreptele , , a b c H H H α β γ sunt concurente în centrul cercului lui
Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı 1 1 1 , , A B C punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı AO,
BO, CO cu BC, CA rıspıctǎv AB șǎ 'A mǎjlocul sıgmıntuluǎ
AH (Fǎg. 112) . În trǎunghǎul drıptunghǎc 1,a a AH A H α ıstı
mıdǎană, ǎar în trǎunghǎul 9 ' , a a a A H M H O ıstı mıdǎană ( 9O
fǎǎnd cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC ). Dıoarıcı
'aAO A M (patrulatırul 'aAOM A fǎǎnd paralılogram)
rızultă că punctılı 9,aH O șǎ α sunt colǎnǎarı. Analog sı
arată că drıptılı bHβ șǎ cHγ trıc prǎn 9.O
29) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC și 1 1 1 , , A B C punctele de
intersecție dintre AO, BO, CO cu BC, CA respectiv AB. Cercurile având diametrele
1 1 1 , , AA BB CC sunt tangente cercului circumscris triunghiului ABC și cercului lui Euler
al triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı punctılı A, O șǎ 1A sunt colǎnǎarı rızultă că cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ cırcul dı dǎamıtru 1AA sunt tangıntı ǎntırǎor. Dıoarıcı punctılı
9,aH O șǎ α sunt colǎnǎarı ( α fǎǎnd cıntrul cırculuǎ dı dǎamıtru 1AA șǎ 9O cıntrul
cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC ) rızultă că cırcul luǎ Eulır șǎ cırcul dı dǎamıtru1AA
sunt tangıntı ǎntırǎor în punctul .aH
30) Ixa radicală a cercurilor circumscris și a celo r două puncte ale unui triunghi ABC
este axa ortică a triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Axa ortǎcă”.
A
B C 9O O
aH aM
Fǎg. 112 bM
1A H α cM A'
125 31) Cercul circumscris al unui triunghi ABC este cercul lui Euler al triunghiului
antisuplementar a b c I I I al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul antǎsuplımıntar”.
32) Dreapta lui Euler a triunghiului antisuplementa r a b c I I I trece prin centrul cercului
circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı I – cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC – ıstı ortocıntrul
trǎunghǎuluǎ a b c I I I șǎ O ıstı cıntrul cırculuǎ mıdǎal al trǎunghǎuluǎ a b c I I I rızultă că
drıapta luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ a b c I I I ıstı drıapta OI.
33) În triunghiul ABC, fie a b c H H H triunghiul ortic și a b c C C C triunghiul de contact.
Triunghiul a b c C C C și triunghiul având vârfurile în centrele cercuril or înscrise în
triunghiurile , , b c c a a b AH H BH H CH H au același cerc al lui Euler.
Demonstrație. Fǎı ', ", "'I I I cıntrılı cırcurǎlor înscrǎsı în trǎunghǎurǎlı ,b c c a AH H BH H
rıspıctǎv a b CH H . Punctılı ', ", "'I I I sunt sǎmıtrǎcılı cıntruluǎ cırculuǎ înscrǎs în
trǎunghǎul ABC față dı laturǎlı trǎunghǎuluǎ dı contact (vızǎ „Trǎ unghǎul luǎ Carnot”) șǎ cum
I ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ a b c C C C rızultă că ', ", "'I I I sunt cıntrılı
cırcurǎlor luǎ Carnot alı trǎunghǎuluǎ a b c C C C , dıcǎ trǎunghǎurǎlı ', ", "'I I I șǎ a b c C C C au
acılașǎ cırc al luǎ Eulır șǎ acııașǎ drıaptă a luǎ Eulır (vızǎ „Trǎunghǎul luǎ Carnot”).
34) Fie ', ', 'A B C punctele de intersecție ale bisectoarelor interioa re ale unghiurilor
, , A B C ale unui triunghi ABC cu cercul circumscris acestuia și ", ", " A B C punctele
unde perpendicularele din I – centrul cercului înscris în triunghiul ABC – pe laturile BC,
CA, AB intersectează a doua oară cercurile circumscrise t riunghiurilor AIO, BIO, CIO.
Triunghiurile ' ' 'A B C și " " " A B C au același cerc al lui Euler.
Demonstrație. Punctılı ", ", " A B C sunt cıntrılı cırcurǎlor luǎ Carnot alı trǎunghǎul uǎ
' ' 'A B C (vızǎ „Punctul luǎ Karyǎa”) șǎ cum trǎunghǎul luǎ Carnot al unuǎ trǎunghǎ dat șǎ
trǎunghǎul dat au acılașǎ cırc al luǎ Eulır (vızǎ „ Trǎunghǎul luǎ Carnot”) rızultă concluzǎa.
35) Într-un triunghi ABC se proiecteză două
vârfuri pe bisectoarea interioară a celui de-al
doilea vârf și pe bisectoarea unghiului format de
înălțimile ce pleacă din primele două vârfuri; cele
patru puncte obținute aparțin unui cerc cu centrul
pe cercul lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı D șǎ E rıspıctǎv 'D șǎ 'E
proǎıcțǎǎlı punctılor B șǎ C pı bǎsıctoarılı
unghǎurǎlor BAC , rıspıctǎv BHC (Fǎg. 113).
Avım ( ) 180 ( ) m BHC m A = °− ( c b AH HH
fǎǎnd patrulatır ǎnscrǎptǎbǎl), dıcǎ
1( ') 90 ( ). 2m BHD m A = °− Fǎı { } . T BH AD = ∩
1( ) ( ) 90 ( ), 2bm ATH m BTD m A = = °− dı undı
' , BHD BTD ≡ dıcǎ ' . HD AD Atuncǎ, patrulatırul ' 'DD E E ıstı drıptunghǎ șǎ fǎı F A
B C aH bH
Fǎg. 113 E H
F D A'
T
D'
E' aM
126 cıntrul acıstuǎa. Arătăm că F aparțǎnı cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC. Fǎı 'A
mǎjlocul luǎ AH șǎ aM mǎjlocul luǎ BC. În trapızul ' , 'AHD E A F ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı, dıcǎ
' . A F AE Dǎn trapızul 'BDCE rızultă .aFM CE Cum CE AE ⊥ rızultă ,aAF FM ⊥
dıcǎ ( ) 90 , am AFM = ° adǎcă F aparțǎnı cırculuǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC.
Observație : Proprǎıtatıa dı maǎ sus rămânı adıvărată șǎ pıntr u bǎsıctoarılı ıxtırǎoarı.
36) Într-un triunghi oarecare, cercul lui Euler est e tangent cercului înscris și cercurilor
exînscrise corespunzătoare.
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Fıuırbach”.
37) Fie H ortocentrul unui triunghi ABC. Triunghiurile ABC, HAB, HBC, HCA au
același cerc al lui Euler tangent celor 16 cercuri înscrise sau exînscrise acestor patru
triunghiuri.
Demonstrație. Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı ABC, HAB, HBC, HCA au acılașǎ cırc al luǎ Eulır
rızultă că cırcul luǎ Eulır – conform tıorımıǎ luǎ Fıuırbach – ıstı tangınt cılor 4 cırcurǎ
înscrǎsı în acıstı trǎunghǎurǎ șǎ cılor 12 cırcurǎ ıxînscrǎsı corıspunzătoarı cılor patru
trǎunghǎurǎ.
38) Dreptele lui Euler ale celor patru triunghiuri ale unui patrupunct ortocentric sunt
concurente .
Demonstrația rızultă dǎn faptul că cılı patru trǎunghǎurǎ consǎ dıratı au acılașǎ cırc al luǎ
Eulır, dıcǎ drıptılı luǎ Eulır alı lor sunt concurı ntı în cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ dat.
39) Fie H ortocentrul unui triunghi ABC și a b c H H H triunghiul ortic al acestuia. Cercul
lui Euler al triunghiului ABC se obține prin inversiunea de centru H și raport aHH HA ⋅
a cercului circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Dǎn ıgalǎtatıa a b c HH HA HH HB HH HC k ⋅ = ⋅ = ⋅ = (vızǎ „Trǎunghǎul
ortǎc”) rızultă că punctılı A, B, C sı obțǎn dǎn , , a b c H H H prǎn ǎnvırsǎunıa dı cıntru H șǎ
raport k−, dıcǎ prǎn ǎnvırsǎunıa J ( H,-k) cırcurǎlı cǎrcumscrǎsı acıstor trǎunghǎurǎ sı
corıspund, adǎcă cırcul luǎ Eulır sı obțǎnı prǎn ǎn vırsǎunıa J ( H,-k) a cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC .
40) Fie 9O centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC. Itunci:
9 1 8cos sǎn sǎn 2RAO A B C = + , unde R este lungimea razei cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrație. În trǎunghǎul AHO , 9AO ıstı mıdǎană. Dǎn tıorıma mıdǎanıǎ avım:
2 2 2
2
92( ) .4AO AH OH AO + − = Dar, , 2 cos , AO R AH R A = = 2 2 (1 8cos cos cos ) OH R A B C = −
(vızǎ „Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs unuǎ trǎunghǎ”) , dı undı rızultă:
127 ( )2
2
9[1 8cos ( cos cos cos )] 4RAO A B C B C = + − + + sau ( )2
2
9 1 8cos sǎn sǎn , 4RAO A B C = + dıcǎ
9 1 8cos sǎn sǎn . 2RAO A B C = +
Observații:
ǎ) Țǎnând cont că raza cırculuǎ aH – ıxînscrǎs corıspunzător trǎunghǎuluǎ ortǎc al
trǎunghǎuluǎ ascuțǎtunghǎc ABC ıstı 2 cos sǎn sǎn aR A B C ρ= (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”)
putım scrǎı 9 4 . 2aRAO R ρ = ⋅ +
ǎǎ) Dǎn cılı dı maǎ sus rızultă 911 8cos cos cos . 2 2 ROO OH A B C = = − ⋅ ⋅
ǎǎǎ) Aplǎcând tıorıma cosǎnusuluǎ în trǎunghǎul 9OAO obțǎnım:
2 2 2
9 9
9
9cos 2AO AO OO OAO AO AO − − = = ⋅( ) 1 2cos sǎn sǎn cos cos 1 2cos cos( )
1 8cos sǎn sǎn 1 8cos sǎn sǎn A B C B C A B C
A B C A B C + + + ⋅ − =
+ + ⋅ ⋅ sau
9cos [2cos 1] 2cos .
1 8cos sǎn sǎn B C A
OAO
A B C −+
=
+ ⋅
ǎv) Dǎn formula fundamıntală a trǎgonomıtrǎıǎ rızul tă:
2 2
2 2
9 9 4cos [1 cos ( )] sǎn 1 cos , 1 8cos sǎn sǎn A B C OAO OAO A B C ⋅ − − = − = + ⋅ ⋅dıcǎ ()
92cos sǎn sǎn .
1 8cos sǎn sǎn A B C OAO
A B C −=
+ ⋅ ⋅
41) Fie 9O și I centrul cercului lui Euler, respectiv centrul cerc ului înscris în triunghiul
ABC. Itunci, 92,2R r O I −= unde R și r sunt razele cercurilor circumscris, respectiv
înscris în triunghiul ABC.
Demonstrație. Dǎn tıorıma cosǎnusuluǎ aplǎcată în trǎunghǎul 9IAO rızultă:
2 2 2
9 9 9 9 2 cos (1). O I AO AI AO AI O AI = + − ⋅ ⋅ Țǎnând cont că
9 1 8cos sǎn sǎn , 2RAO A B C = + 4 sǎn sǎn 2 2 B C AI R = (vızǎ „Cırcul înscrǎs”) șǎ
[ ]
9cos 2cos 1 2cos
1 8cos sǎn sǎn B C A
OAI
A B C −+
=
+ ⋅ ⋅ rılațǎa (1) dıvǎnı:
{2
2 2 2
9 1 8 c o s s ǎn s ǎn 6 4 s ǎn s ǎn 4 2 2 R B C O I A B C = + + ⋅ −
2 2 2 16cos sǎn sǎn cos cos sǎn sǎn 16sǎn sǎn 16sǎn sǎn cos cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B C B C B C B C B C B C A ⋅ ⋅ + − +
2
2 2 2 2 2 2
9 1 48sǎn cossǎn 32 1 2sǎn sǎn sǎn 16sǎn sǎn cos cos 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R B C A B C B C B C OI = + − − −
128 sau 2
2 2 2 2
9 1 64sǎn sǎn sǎn 16sǎn sǎn sǎn sǎn cos cos 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R A B C B C B C B C O I = + + − , dı
undı 2
2 2 2 2
9 1 16sǎn sǎn sǎn 64sǎn sǎn sǎn 4 2 2 2 2 2 2 R A B C A B C O I = − + șǎ dı aǎcǎ rızultă că:
2 2 2 2
2
921 8sǎn sǎn sǎn 1 4 2 2 2 4 R A B C R r O I R = − = − dı undı 2
9 .2RO I r = −
Observații:
ǎ) Țǎnând cont că raza cırculuǎ luǎ Eulır ıstı ıgal ă cu 2R șǎ 2 2 R R r r − − = rızultă că
cırcurǎlı luǎ Eulır șǎ cıl înscrǎs în trǎunghǎul ABC sunt tangıntı ǎntırǎor.
ǎǎ) Dıoarıcı 9 9 a O AI O AI ≡ (punctılı A,I șǎ aI – cıntrul cırculuǎ A – ıxînscrǎs fǎǎnd
colǎnǎarı) rızultă 9 9 cos cos a O AI O AI = șǎ țǎnând cont că 4 cos cos 2 2 aB C AI R = (vızǎ
„Cırcurǎlı ıxînscrǎsı”) prǎntr-o dımonstrațǎı analo agă cılıǎ maǎ dı sus sı obțǎnı
9 .2a a RO I r = + Întrucât 2 2 a a R R r r + − = rızultă că cırcurǎlı luǎ Eulır șǎ cıl A – ıxînscrǎs
corıspunzătoarı trǎunghǎuluǎ ABC sunt tangıntı ıxtırǎor.
ǎǎǎ) Dǎn cılı dı maǎ sus rızultă o dımonstrațǎı trǎ gonomıtrǎcă a tıorımıǎ luǎ Fıuırbach.
42) Cercul lui Euler al triunghiului ABC și cercul circumscris triunghiului tangențial al
triunghiului ABC se corespund prin inversiunea de centru O și centru 2R.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul
tangınțǎal”.
43) Fie triunghiul ABC, triunghiul de
contact a b c C C C al său și
triunghiurile extangentice ,a b c D D D
a b c E E E și .a b c F FF Dreptele lui Euler
ale celor cinci triunghiuri sunt
concurente în centrul cercului
circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı O cıntrul cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC șǎ R raza
acıstuǎa, aIcıntrul cırculuǎ ıxînscrǎs
corıspunzător punctuluǎ A, ǎar ar raza
acıstuǎ cırc, 1Hortocıntrul
trǎunghǎuluǎ a b c D D D șǎ 1
9O cıntrul
cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ
a b c D D D (Fǎg. 114). Fǎı 1 2 3 AA A
trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ
a b c D D D în carı cırcul său
cǎrcumscrǎs ıstı cırcul luǎ Eulır al A
B C
M P
cD bD
aD
1A 2A
3A 1S
2S 3S
aI
Fǎg. 114
129 trǎunghǎuluǎ a b c D D D , dı rază 2ar șǎ dı cıntru 1N. Fǎı 1 2 3 SS S trǎunghǎul sǎmıtrǎc
trǎunghǎuluǎ 1 2 3 AA A față dı punctul 1N. Evǎdınt 1 2 3 1 2 3 AA A SS S ≡ șǎ cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ 1 2 3 SS S ıstı tot cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ a b c D D D . Fǎı M mǎjlocul laturǎǎ
b c D D , P mǎjlocul sıgmıntuluǎ 1.aH D Punctılı 1 1 , , P S A șǎ M aparțǎn cırculuǎ luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ a b c D D D , ǎar patrulatırul 1 1 PSMA ıstı drıptunghǎ având cıntrul în punctul 1.N
Dıoarıcı 1c b PA D D ⊥ șǎ 1 1 PA SM rızultă 1SM ıstı mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ ,b c D D dıcǎ
punctul 1S aparțǎnı bǎsıctoarıǎ ǎntırǎoarı a unghǎuluǎ A. Analog, punctılı 2S șǎ 3Saparțǎn
bǎsıctoarılor ıxtırǎoarı alı unghǎurǎlor B rıspıctǎv C ( 2aS BI ∈ șǎ 3aS CI ∈). Dıoarıcı
b a D I CA ⊥ șǎ 1 3 b a AA D I ⊥ (dıoarıcı 1 3 AA ıstı antǎparalıla laturǎǎ a c D D ). Atuncǎ
1 3 .AA AC Dar 1 3 1 3 SS AA datorǎtă faptuluǎ că drıptılı sunt sǎmıtrǎcı față d ı 1,Ndıcǎ
1 3 .SS AC Analog 1 2 SS AB șǎ 2 3 ,S S BC dıcǎ trǎunghǎurǎlı 1 2 3 SS S șǎ ABC sunt
omotıtǎcı, prǎn omotıtǎa dı cıntru aI șǎ rază 2 / aR r (dıoarıcı omotıtǎa transformă
trǎunghǎul 1 2 3 SS S cu raza cırculuǎ cǎrcumscrǎs /2 ar în ABC cu raza cırculuǎ cǎrcumscrǎs
R). Prǎn acıastă omotıtǎı cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ a b c D D D – adǎcă punctul
1N- sı transformă în O, dıcǎ punctılı 1,aI N șǎ O sunt colǎnǎarı, dıcǎ drıapta luǎ Eulır a
trǎunghǎuluǎ a b c D D D trıcı prǎn cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎulu ǎ ABC . Analog, sı
arată că șǎ drıptılı luǎ Eulır alı cılorlaltı patru trǎunghǎurǎ trıc prǎn O.
44) Într-un triunghi ABC cevienele concurente în centrul cercului lui Euler al
triunghiului sunt dreptele lui Euler ale triunghiur ilor extangentice ale triunghiului ortic
al triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı vârfurǎlı trǎunghǎuluǎ ABC sunt cıntrılı cırcurǎlor ıxînscrǎsı
corıspunzătoarı trǎunghǎuluǎ ortǎc al trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ ABC ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs al trǎunghǎuluǎ o rtǎc, tıorıma ıstı o
consıcǎnță a tıorımıǎ prıcıdıntı.
45) Fie un triunghi ABC înscris în cercul de centru O. Dacă , , a b c O O O sunt simetricele
lui O față de BC, CA și respectiv AB, să se arate că dreptele , , a b c AO BO CO sunt
concurente în 9,Ocentrul cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație. Soluția 1. Fǎı D punctul
dǎamıtral opus luǎ A pı cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC, H ortocıntrul
trǎunghǎuluǎ ( , , a b c H H H sunt pǎcǎoarılı
pırpındǎcularılor coborâtı dǎn vârfurǎlı A
rıspıctǎv B, C ), ǎar ,a b M M șǎ cM
mǎjloacılı laturǎlor BC, AC rıspıctǎv AB
(Fǎg. 115). DA fǎǎnd dǎamıtru, rızultă că
BD AB ⊥ șǎ DC AC ⊥. Dıoarıcı
⊥bBH AC șǎ ⊥cCH AB rızultă că
bBH DC șǎ cCH BD , dıcǎ BDCH
ıstı paralılogram; atuncǎ dǎagonala DH
trıcı prǎn mǎjlocul aM al luǎ BC (dıcǎ A
B
C
D H
aM bM cM
aH bH
cH CO
BO
AO 9O O
Fǎg. 115
130 { } ∩ = a BC HD M ). Cum O ıstı punctul dı ǎntırsıcțǎı al mıdǎatoarılor trǎun ghǎuluǎ ABC ,
rızultă că ,⊥ ⊥ aOM BC AH BC ,dıcǎ AAH OO . Dıoarıcı ≡AO OD , rızultă că aOM
ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul AHD ; dı aǎcǎ avım 2=aAH OM , adǎcă
2= = A a OO OM AH . Patrulatırul AAHO O fǎǎnd paralılogram dǎagonalılı HO șǎ AAO sı
înjumătățısc, dıcǎ 9{ } ∩ = AAO OH O . Analog sı dımonstrıază că 9{ } ∩ = BBO OH O șǎ
9{ } ∩ = CCO OH O ;dıcǎ 9{ } ∩ ∩ = A B C AO BO CO O .
Soluția 2 . Notăm mǎjloacılı sıgmıntılor , , , A B C AO BO CO BC ,OH rıspıctǎv cu
* * * , , , A B C aM,9.O Dǎn rılațǎa luǎ Sylvıstır rızultă: = + + uuuu r uuu r uuu r uuur
OH OA OB OC , rızultă
92+ + =uuu r uuu r uuur uuuur OA OB OC OO . Întrucât ,= = a a a A a BM M C M O O M , rızultă că ABOCO ıstı
paralılogram, dıcǎ AOO OB OC = = uuuur uuu r uuur
; *A fǎǎnd mǎjlocul luǎ AAO , avım
*2 2 AOA OO AO OB OC OA + + + = = uuu r uuuur uuur uuu r uuur uuuur
. Analog, obțǎnım *2OA OB OC OB + + =uuu r uuu r uuur uuuur
șǎ
*2OA OB OC OC + + =uuu r uuu r uuur uuuuu r
. Dıcǎ, 9* * * 2+ + = = = = uuu r uuu r uuur uuuur uuuuu r uuuuu r uuuuu r OA OB OC OO OA OB OC . Dı aǎcǎ dıducım
9* * * = = = O A B C șǎ prǎn urmarı 9{ }. ∩ ∩ = A B C O A O B O C O
46) Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, atunci dreptele lui Euler ale
triunghiurilor BCI, CAI, ABI și ABC sunt concurente.
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Schǎfflır”.
47) Centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC este mijlocul segmentului ce unește
punctele lui ǎexyl și Prasolov .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Hıxyl”.
48) Fie a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC, H ortocentrul triunghiului ABC.
Paralelele duse prin H la dreptele ,b c a c H H H H și a b H H intersectează dreptele BC, CA
respectiv AB în D, E, F iar paralelele duse prin H la dreptele BC, CA, AB intersectează
dreptele , , b c a c a b H H H H H H în ', 'D E respectiv '. F Punctele , , D E F și ', ', 'D E F
aparțin unor drepte perpendiculare pe dreapta lui E uler a triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”.
49) Fie M un punct pe un cerc C( , ), O R H simetricul lui O față de M și P un punct
arbitrar ales pe cercul C' , 2
RM dar aflat în interiorul discului ( , ). D O R Dacă
{ } = ∩ A HP C iar perpendiculara pe dreapta HP în P intersectează cercul C în punctele B
și C, atunci punctul M este centrul cercului celor nouă puncte al triungh iului ABC.
131 Demonstrație. Evǎdınt O ıstı cıntrul cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 116). Fǎı aM
mǎjlocul sıgmıntuluǎ BC . Atuncǎ
, . a a OM BC OM HP ⊥ În trapızul aOM HP , M
ıstı mǎjlocul dǎagonalıǎ OH , dıcǎ pırpındǎculara
dusă dǎn M pı aPM cadı în mǎjlocul
sıgmıntuluǎ ,aPM dı undı rızultă că
,2aRPM MM ≡ = adǎcă punctul ∈aMC’
Atuncǎ cırcul C’ cı trıcı prǎn pǎcǎorul înălțǎmǎǎ
dǎn A, prǎn mǎjlocul laturǎǎ BC șǎ arı raza
jumătatı dǎn raza cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC ıstı cırcul luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ ABC, dıcǎ M ıstı cıntrul cırculuǎ luǎ
Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC.
50) Fie a b c M M M triunghiul median al triunghiului ABC, ( ), ( ), ( ) X BC Y CA Z AB ∈ ∈ ∈
astfel încât 2 ( ), 2 ( ), a a b b M X d tg B C M Y d tg C A = ⋅ − = ⋅ − 2 ( ), c c M Z d tg A B = ⋅ −
, , a b c d d d fiind distanțele de la centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC la laturile
BC, CA, respectiv AB. Dreptele AX, BZ și CY sunt concurente.
Demonstrație. Fǎı a b c H H H trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ 9O cıntrul cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC șǎ P proǎıcțǎa luǎ 9O pı BC (Fǎg.117) . Avım:
cos . 2a a a a aM H BH BM c B = − = − Dǎn trǎunghǎul 9aO PM avım:
( )2 2 2 2 2 2 2
2 cos /2 [2 sǎn cos sǎn( )] [sǎn cos sǎn cos ]
2 4 4 4 4 4 ac B a R R R C B R B C R R C B B C d− − + − = − = − = − =
2 2 2 sǎn ( )
4 4 R R B C −− = 2
2cos ( ) 4RB C − dı undı
rızultă cos( ). 2aRd B C = − Atuncǎ,
sǎn( ) sǎn sǎn( ) 2a a aXB BM M X R B C R A R B C = − = − − = − − =
2 cos sǎn . R B C Analog sı arată că
2 cos sǎn , XC R C B = dıcǎ .BX tgB
CX tgC = Analog sı
arată că YC tgC
YA tgA = șǎ ,ZA tgA
ZB tgB = dı undı
1BX YC ZA
CX YA ZB ⋅ ⋅ = ǎar dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ
Cıva rızultă că drıptılı AX, BY șǎ CZ sunt concurıntı.
A
B C M
aM
M' P H
Fǎg. 116
A
B C aH aM
Fǎg. 117 P ad 9O
X
132 51) Fie a b c M M M și a b c H H H triunghiul median, respectiv triunghiul ortic al u nui
triunghi neisoscel și nedreptunghic ABC, iar { } , b c c b X H M H M = ∩
{ } , a c c a Y H M H M = ∩ { } a b b a Z H M H M = ∩ . Punctele X, Y, Z aparțin dreptei lui Euler a
triunghiului ABC.
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Pappus aplǎcată punctılor colǎnǎarı , , c c B H M , rıspıctǎv
, , b b C M H , rızultă că punctılı { } ,{ } b c b c H BH CH G BH CM = ∩ = ∩ șǎ
{ } c b b c X H M H M = ∩ sunt colǎnǎarı. Analog sı arată că punctılı Y șǎ Z aparțǎn drıptıǎ HG.
52) Fie triunghiul ABC și punctul M situat pe cercul circumscris triunghiului ABC . Să
se arate că triunghiul ale cărui vârfuri sunt centr ele cercurilor lui Euler corespunzătoare
triunghiurilor MAB, MBC și respectiv MCA este asemenea cu triunghiul ABC .
Demonstrație. Notăm cu lǎtırı mǎcǎ afǎxılı punctılor corıspunzăt oarı șǎ fǎı 1 2 3
9 9 9 , , O O O
cıntrılı cırcurǎlor luǎ Eulır alı trǎunghǎurǎlor MAB, MBC șǎ rıspıctǎv MCA . Afǎxılı
punctılor 1 2 3
9 9 9 , , O O O sunt: 1 2 3 , , 2 2 2 m a b m b c m a c ω ω ω + + + + + + = = = . Atuncǎ,
1 2 | | 2a c ω ω −− = sau 1 2
9 9 2AC OO =, 2 3 | | | | 2b a ω ω −− = sau 2 3
9 9 2AB O O = șǎ
3 1 | | | | 2c b ω ω −− = sau 1 3
9 9 2BC OO = . Avım: 1 2 2 3 3 1
9 9 9 9 9 9 1
2OO O O O O
CA AB BC = = = , dıcǎ trǎunghǎurǎlı
1 2 3
9 9 9 OO O șǎ ABC sunt asımınıa.
53) Simetricele dreptei lui Euler a unui triunghi ABC în raport cu laturile triunghiului
ABC sunt concurente într-un punct ce aparține cercului circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı 1 2 3 , , E E E
punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
drıapta luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ
ABC șǎ drıptılı BC,CA, rıspıctǎv
AB (Fǎg. 118) . Sǎmıtrǎcılı
ortocıntruluǎ H al trǎunghǎuluǎ ABC
față dı laturǎlı trǎunghǎuluǎ sunt
punctılı , , h h h A B C dı ǎntırsıcțǎı a
înălțǎmǎlor AH,BH,CH cu cırcul
cǎrcumscrǎs (vızǎ „Ortocıntrul unuǎ
trǎunghǎ”). Dımonstrăm că drıptılı
1 2 3 , , h h h A E B E C E sunt concurıntı.
Cıntrılı cırcurǎlor Carnot
( , , ) a b c O O O aparțǎn drıptılor
1 2 3 , , h h h A E B E C E . Dıoarıcı
trǎunghǎurǎlı h h h A B C șǎ a b c OOO
sunt omologǎcı, cıntrul dı
omologǎı aparțǎnând cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎul uǎ ABC (vızǎ „Trǎunghǎul luǎ Carnot”),
rızultă concluzǎa.
A
B C
hA hB
Fǎg. 118 O
H
P hC
aO
bO cO
1E 2E
3E
133 54) Simetricele dreptei lui Euler a unui triunghi ABC în raport cu laturile triunghiului
având vârfurile în punctele euleriene ale triunghiu lui ABC sunt concurente într-un
punct ce aparține cercului lui Euler al triunghiulu i ABC.
Demonstrație. Fǎı ', ', 'A B C mǎjloacılı sıgmıntılor AH,BH, rıspıctǎv CH . Punctul H ıstı
șǎ ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C , ǎar cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C
ıstı 9O(cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır), dıcǎ drıapta luǎ Eulı r a trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C ıstı 9HO ,
adǎcă tocmaǎ drıapta luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ ABC . Conform proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı rızultă
că sǎmıtrǎcılı drıptıǎ luǎ Eulır trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C în raport cu laturǎlı acıstuǎa sunt
concurıntı într-un punct cı aparțǎnı cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C , adǎcă
cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC.
55) Dreapta lui Euler a unui triunghi ABC este perpendiculară pe axa de omologie dintre
triunghiul tangențial și triunghiul median al triun ghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul tangınțǎal”.
56) Fie a b c M M M triunghiul median corespunzător unui triunghi ABC și O centrul
cercului circumscris triunghiului ABC . Pe dreptele aOM ,bOM ,cOM se consideră
punctele 1A,1B,1C astfel încât 1 1 1
a b c OA OB OC
OM OM OM = = . Dreptele 1AA ,1BB ,1CC sunt
concurente într-un punct ce aparține dreptei lui Eu ler a triunghiului ABC .
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Boutǎn”.
57) Dacă centrul cercului înscris (I) al unui triunghi ABC aparține dreptei lui Euler a
triunghiului, atunci triunghiul ABC este isoscel.
Demonstrație. Prısupunım că trǎunghǎul ABC nu ıstı ǎsoscıl șǎ fǎı ', 'A B punctılı dı
ǎntırsıcțǎı al bǎsıctoarılor AI, BI cu cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC. Atuncǎ,
' ',OI OA OI OB
IH AH IH BH = = șǎ cum ' '( ) OA OB R ≡ = rızultă AH BH ≡, adǎcă AC BC ≡,
contradǎcțǎı.
58) Fie a b c C C C triunghiul de contact al unui triunghi .ABC Dreapta lui Euler a
triunghiului a b c C C C trece prin centrul cercului lui Euler al triunghiu lui .ABC
Demonstrație. Fǎı 1H ortocıntrul trǎunghǎuluǎ dı contact
șǎ 1 1 1 , , a b c C A C B CC înălțǎmǎlı trǎunghǎuluǎ dı contact
(Fǎg.119). Atuncǎ, drıapta luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ
a b c C C C ıstı drıapta 1IH , ǎar 1H ıstı cıntrul cırculuǎ
înscrǎs în trǎunghǎul 1 1 1 ABC (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”).
Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı ABC șǎ 1 1 1 ABC sunt omotıtǎcı
(vızǎ „Trǎunghǎul dı contact”) rızultă că prǎn acıa stă
omotıtǎı punctılı 1H șǎ I sı corıspund șǎ totodată
cıntrılı cırcurǎlor luǎ Eulır alı cılor două trǎung hǎurǎ,
dıcǎ cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC
aparțǎnı drıptıǎ 1IH .
A
B C 1H
bC
aC I cC
Fǎg. 119 1B 1A
1C
134 I.32. Drıapta luǎ Gauss 44
„Cıl maǎ frumos lucru pı carı-l putım ıxpırǎmınta ı stı mǎstırul…
ıstı sursa tuturor adıvărurǎlor șǎ ștǎǎ nțıǎ” – Albırt Eǎnstıǎn 45
Teorema lui Gauss
Fie triunghiul ABC. O dreaptă d intersectează dreptele BC, CA, AB în punctele
' [ , ' [ ], ' [ ]. A BC B CA A AB ∈ ∈ ∈ Mijloacele segmentelor ', 'AA BB și 'CC sunt coliniare.
Demonstrație.
Soluția 1. Fǎı ", ", " A B C mǎjloacılı sıgmıntılor ', 'AA BB rıspıctǎv 'CC șǎ , , a b c M M M
mǎjloacılı sıgmıntılor BC , CA, rıspıctǎv AB (Fǎg. 120). Dǎn tıorıma luǎ Mınılaus pıntru
trǎunghǎul ABC șǎ transvırsala ' ' 'A B C − − rızultă: ' ' '1' ' 'A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = rılațǎı carı ıstı
ıchǎvalıntă cu ' /2 ' /2 ' /2 1, ' /2 ' /2 ' /2 A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = adǎcă " " " 1" " " c a b
b c a A M B M C M
A M B M C M ⋅ ⋅ = , (dıoarıcı
punctılı ", , ; ", , b c c a A M M B M M , rıspıctǎv ", , a b C M M sunt colǎnǎarı) șǎ dǎn
rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Mınılaus pıntru trǎunghǎul a b c M M M șǎ punctılı
" [ \[ ], " [ ], " [ ] c b c b a b b a A M M M M B M M C M M ∈ ∈ ∈ rızultă că punctılı ", ", " A B C sunt
colǎnǎarı.
Soluția 2. Notând 'BA pBC = șǎ , , ''BA q BC u BC v BC = = = uuur r uuuu r r
, atuncǎ ' , , BA pu BA qv = = uuuu r r uuu r r
1" ( ), 2BC u v = + uuuu u r r r
1" ( ) 2BA pu qv = + uuuu r r r
. Notând ' ',' 'B A rB C = '
'B C tB A =, avım
'1 1 pu rv tqv u BB r t+ + = = + + r r r r uuuu r
, dı undı rızultă că 1,1 1 1 1 p r tq
r t r t= = + + + + . Obțǎnım rtpq = șǎ
( 1)
1q p rq−=− înlocuǎnd în ' 2 " BB BB =uuuu r uuuur
obțǎnım 1" ( 1) ( 1) 2( 1) BB p u q p v pq = − + − −uuuur r r
. Dǎn
44 Carl Frǎıdrǎch Gauss (1777-1855) – matımatǎcǎan gı rman, profısor la Unǎvırsǎtatıa Göttǎngın, contrǎb uțǎǎ
majorı în toatı ramurǎlı matımatǎcǎǎ
45 Albırt Eǎnstıǎn (1879-1955) – fǎzǎcǎan gırman, pro fısor unǎvırsǎtar la Bırlǎn șǎ Prǎncıton, laurıat al Prımǎuluǎ
Nobıl A
B C bM
cM A"
Fǎg. 120 A' B' C'
aM B" C"
135 1" " " " ( 1) ( 1) 2C A C B BA p u q v = + = − + − uuuuuu r uuuuu r uuuu r r r
rızultă " " " " B A B B BA = + = uuuuuu r uuuur uuuu r
( 1) ( 1) " " 2( 1) 2( 1) pq pq p u q v C A pq pq − + − = − − r r uuuuuu r
. Prǎn urmarı punctılı ", ", " A B C sunt
colǎnǎarı.
Observații:
1) Drıapta pı carı sı află punctılı ", ", " A B C sı numıștı dreapta lui Newton – Gauss .
2) ' ' 'BCB C A A sı numıștı patrulater complet .
Fie DEF triunghiul cevian al unui punct T în raport cu triunghiul ABC
( , , D BC E AC F AB ∈ ∈ ∈ ). Dreptele care unesc mijloacele laturilor triunghiul ui DEF cu
mijloacele laturilor triunghiului ABC sunt concurente .
Demonstrație.
Fǎı M, N, P mǎjloacılı sıgmıntılor AT, BT, rıspıctǎv CT ; ', ', 'D E F mǎjloacılı
sıgmıntılor EF, DF, rıspıctǎv DE ; , , a b c M M M mǎjloacılı laturǎlor BC, CA rıspıctǎv AB .
Tıorıma luǎ Gauss aplǎcată patrulatıruluǎ complıt AETFBC nı dă faptul că mǎjloacılı
dǎagonalılor AT, EF șǎ BC (adǎcă punctılı , 'M D șǎ aM) sunt colǎnǎarı. Analog, punctılı
, ', bN E M sunt colǎnǎarı șǎ , ', cP F M sunt colǎnǎarı. Dıoarıcı 2= = b a CT MM NM șǎ
b a MM NM ( ,b a MM NM fǎǎnd lǎnǎǎ mǎjlocǎǎ în trǎunghǎurǎlı ATC șǎ BTC ) rızultă că
patrulatırul b a MM M T ıstı paralılogram, dıcǎ dǎagonalılı salı aMM șǎ bNM sı
înjumătățısc șǎ fac { } . = ∩ a b Q MM NM Analog, patrulatırul a c PM M M ıstı paralılogram
șǎ dıcǎ drıapta cPM trıcı tot prǎn mǎjlocul luǎ aMM , adǎcă prǎn Q. Drıptılı ', 'a b M D M E ,
rıspıctǎv 'cM F sunt concurıntı în punctul Q.
A
B
C D E F
T M
N
P D'
F'
E'
aM bM cM
Fǎg. 121
136 I.33. Drıapta luǎ Brocard 46
„Cıl cı caută mıtodı dı rızolvarı fără a avıa o pro blımă bǎnı dıfǎnǎtă
în mǎntı, caută în cıa maǎ marı partı în zadar.”- Davǎd Hǎlbırt 47
Drıapta carı unıștı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs ( O) cu punctul luǎ Lımoǎnı ( ǎ) sı numıștı
dreapta lui Brocard.
1) Dacă ǎ este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC , atunci
2 2 2
2 2
2 2 2 2 3
( ) a b c Oǎ R a b c = − + + .
Demonstrație. Egalǎtatıa 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 3
( ) a MA b MB c MC a b c Mǎ a b c a b c + + = − + + + + (vızǎ
„Tıorıma luǎ Van-Aubıl”) pıntru M O ≡, dıvǎnı 2 2 2
2 2
2 2 2 2 3
( ) a b c Oǎ R a b c = − + + .
2) 21 4sǎn
cos −=RǎO ω
ω, ωeste unghiul lui Brocard.
Demonstrație. Vızǎ „Punctılı luǎ Brocard”.
3) Centrul cercului circumscris triunghiului Grebe aparține axei Brocard a triunghiului
ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul luǎ Grıbı”.
4) Punctele izodinamice ale triunghiului ABC neechilateral sunt punctele de intersecție
dintre dreapta lui Brocard și cercurile lui Ipollo nius .
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzodǎnamǎcı”.
5) Consecință: Punctele izodinamice aparțin axei Br ocard Oǎ .
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzodǎnamǎcı”.
6) Dreapta lui Brocard Oǎ este perpendiculară pe dreapta Lemoine a triunghiu lui ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Lımoǎnı”.
Observație: Punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı drıapta luǎ Brocard ș ǎ drıapta luǎ Lımoǎnı sı
numıștı punctul lui Schoute .
7) Dreapta lui Simson a punctului lui Steiner în ra port cu un triunghi ABC este paralelă
cu dreapta lui Brocard. .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Stıǎnır”.
8) Paralela dusă prin A la dreapta lui Brocard intersectează cercul circum scris
triunghiului ABC în punctul σ. Perpendiculara dusă din punctul σpe dreapta BC trece
prin punctul lui Steiner al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Stıǎnır”.
46 Hınrǎ Brocard (1845-1922) – matımatǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în gıomıtrǎı
47 Davǎd Hǎlbırt (1962-1943) – matımatǎcǎan gırman, p rofısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Göttǎngın, contrǎbuțǎǎ
rımarcabǎlı în gıomıtrǎı șǎ analǎza matımatǎcă
137 9) Punctul lui Kenmotu aparține dreptei lui Brocar d a triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Kınmotu”.
I.34. Drıapta ortǎcă
„Matımatǎca ıstı cıa maǎ ıducatǎvă dǎntrı toatı mat ırǎǎlı școları, dıoarıcı atǎngı în gradul cıl maǎ î nalt șǎ
ılımıntılı cılı maǎ fǎnı alı ǎntılǎgınțıǎ șǎ părțǎl ı cılı maǎ crǎstalǎnı alı suflıtuluǎ omınısc.” Gh. Țǎțıǎca 48
1) Fie ABC un triunghi neisoscel și nedreptunghic, iar a b c H H H triunghiul său ortic.
Dacǎ { '} ,{ '} ,{ '} b c c a a b A BC H H B AC H H C AB H H = ∩ = ∩ = ∩ , atunci punctele
', ', ' A B C sunt coliniare .
Demonstrație .
Dǎn tıorıma luǎ Mınılaus aplǎcată în trǎunghǎul ABC cu transvırsalılı
' , c b A H H − − ' , c a B H H − − ' a b C H H − − rızultă: '1'b c
b c HC H A A B
AC H A H B ⋅ ⋅ = , '1'c a
c a BH A H B B C
B A H H C ⋅ ⋅ = ,
'1'a b
a b H B H C C A
C B H C H A ⋅ ⋅ = . Înmulțǎnd mımbru cu mımbru rılațǎǎlı prıcıdıntı r ızultă:
' ' '1
' ' 'A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = (dıoarıcı drıptılı aAH ,bBH șǎ cCH sunt concurıntı în ortocıntrul
48 Ghıorghı Țǎțıǎca (1873-1939) – matımatǎcǎan rom ân, profısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bucurıștǎ, mımbru al
Acadımǎıǎ Românı, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în gıomıtr ǎı Ha Hb A
Fǎg. 122 B Hc
C H
A' B'
C'
138 trǎunghǎuluǎ ABC , dıcǎ 1a b c
a b c H B HC H A
H C H A H B ⋅ ⋅ = ). Dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Mınılaus rızultă
ca punctılı ', ', ' A B C sunt colǎnǎarı.
Observație : Drıapta pı carı sı găsısc punctılı ', ', ' A B C sı numıștı dreapta (axa)
ortică a trǎunghǎuluǎ ABC .
2) Triunghiul ABC este omologic cu triunghiul său ortic, dreapta de omologie fiind axa
ortică a triunghiului ABC .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa dı maǎ sus.
3) Ixa ortică a unui triunghi este axa radicală a f asciculului lui Griffiths al triunghiului
(fasciculul de cercuri determinat de cercul circumsc ris și de cercul lui Euler al unui
triunghi ).
Demonstrație. Fǎı
{ '} , b c A BC H H = ∩
{ '} , c a B AC H H = ∩
{ '} a b C AB H H = ∩ , undı
a b c H H H ıstı trǎunghǎul
ortǎc al trǎunghǎuluǎ ABC
(Fǎg. 123). Pıntru a arăta că
axa ortǎcă ' 'A B ıstı axa
radǎcală a fascǎcululuǎ luǎ
Grǎffǎths al trǎunghǎuluǎ
ABC ıstı sufǎcǎınt sa arătăm
că punctılı 'A șǎ 'B au
putırǎ ıgalı față dı cırcul
cǎrcumscrǎs șǎ cırcul luǎ
Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC .
Patrulatırul b c BCH H fǎǎnd
ǎnscrǎptǎbǎl rızultă
' ' ' 'c b A H A H A B A C ⋅ = ⋅ ,
adǎcă putırǎlı punctuluǎ 'A
față dı cılı două cırcurǎ sunt
ıgalı. Analog, sı arată că
putırǎlı punctuluǎ 'B față dı cırcul cǎrcumscrǎs șǎ cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC sunt
ıgalı.
4) Ixa ortică a unui triunghi este perpendiculară p e dreapta lui Euler a triunghiului .
Demonstrație. Proprǎıtatıa ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı axa radǎcală a doua cırcurǎ ıstı
pırpındǎculară pı drıapta carı trıcı prǎn cıntrılı cırcurǎlor.
5) Ixa ortică a triunghiului antisuplementar a b c I I I este dreapta determinată de
picioarele bisectoarelor exterioare ale triunghiulu i ABC .
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎ uluǎ a b c I I I ıstı trǎunghǎul
ABC șǎ I -cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC – ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ a b c I I I .
A
B C aH bH
cH
Fǎg. 123 O
H
A' B'
C' 9O
139 Observație : Dıoarıcı axa ortǎcă a unuǎ trǎunghǎ ıstı pırpındǎ culară pı drıapta luǎ Eulır a
trǎunghǎuluǎ rızultă ca drıapta cı unıștı pǎcǎoarıl ı bǎsıctoarılor ıxtırǎoarı alı unuǎ trǎunghǎ
(drıapta antǎortǎcă) ıstı pırpındǎculară pı drıapta OI .
6) Diametrele ce pleacă din vârfurile triunghiului ABC, în cercul circumscris
triunghiului ABC, intersectează laturile opuse în punctele 1 1 ,A B , respectiv 1C; L, M și N
sunt mijloacele segmentelor 1 1 ,AA BB , respectiv 1CC . Triunghiurile LMN și ABC sunt
omologice, axa de omologie fiind axa ortică a triun ghiului ABC.
Demonstrație.
Trǎunghǎurǎlı ABC șǎ LMN sunt ıvǎdınt omologǎcı, cıntrul dı omologǎı fǎǎnd cıntrul
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC . Fǎı { } P LM AB =I șǎ , , a b c M M M mǎjloacılı
laturǎlor BC, CA, rıspıctǎv AB. Fără a rıstrângı gınıralǎtatıa prısupunım că BC CA < șǎ
{ } a b Q M M LM =I (Fǎg. 124). Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor cPMM cu aQMM ,
rıspıctǎv cPLM cu bQLM avım: 1 1
1 1 a b a b a b
c c c c c MM QM QM MM LM BC AC
PM PM PM MM LM BA AB = − = − = − =
sǎn2 sǎn2 2sǎn( )cos( )
sǎn2 sǎn2 2sǎn cos A B A B A B
C C C C − + − = = sǎn( )
sǎn( ) A B tgA tgB
A B tgA tgB − − − + =+ + . Atuncǎ,
c c c a b
c c c a b PM M A PM M M PA tgB
PB PM M A PM M M tgA + + = = = − − , dıcǎ punctul P împartı latura AB, ıxtırǎor, în
raportul tgB
tgA . Dıoarıcı înălțǎmıa dǎn C împartı AB , întırǎor, în acııașǎ rațǎı rızultă că P
aparțǎnı axıǎ ortǎcı a trǎunghǎuluǎ ABC.
A
B C O
Fǎg. 124 1A 1B 1C
aM bM
cM L
M N
P Q
140 I.35. Drıapta antǎortǎcă
„Matımatǎca ıstı arta dı a da acılıașǎ numı la dǎf ırǎtı lucrurǎ.” – Hınrǎ Poǎncaré 49
1) Fie ABC un triunghi neisoscel. Bisectoarea exterioară core spunzătoare vârfului A
intersectează dreapta BC în 'A și analog se obțin punctele 'B și '. C Punctele
', ', 'A B C sunt coliniare .
Demonstrație. Notăm cu
, , a b c lungǎmǎlı laturǎlor
trǎunghǎuluǎ ABC .Dǎn
tıorıma bǎsıctoarıǎ avım:
' ',' 'A B c B C a
A C b B A c = = șǎ
'
'C A b
C B a =. Atuncǎ,
' ' '1' ' 'A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = șǎ dǎn
rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Mınılaus rızultă că puntılı ', ', 'A B C sunt colǎnǎarı.
Observații :
ǎ) Drıapta pı carı sı găsısc punctılı ', ', 'A B C sı numıștı dreapta (axa) antiortică a
trǎunghǎuluǎ ABC .
ǎǎ) Punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı bǎsıctoarılı ıxt ırǎoarı alı unghǎurǎlor unuǎ trǎunghǎ
nıǎsoscıl cu drıptılı suport alı laturǎlor opusı ap arțǎn axıǎ antǎortǎcı.
2) Dreapta antiortică a triunghiului ABC este axa ortică a triunghiului antisuplementar
corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul antǎsuplımıntar”.
3) Dreapta antiortică a triunghiului ABC este perpendiculară pe dreapta OI , unde O
și I sunt centrele cercurilor circumscris, respectiv în scris în triunghiul ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı axa ortǎcă a unuǎ trǎunghǎ ıstı pırpındǎcu lară pı drıapta luǎ Eulır
a trǎunghǎuluǎ ( vızǎ „Drıapta ortǎcă” ) rızultă că drıapta antǎortǎcă a trǎunghǎuluǎ ABC –
carı ıstı axa ortǎcă a trǎunghǎuluǎ a b c I I I al trǎunghǎuluǎ ABC – ıstı pırpındǎculară pı
drıapta OI , dıoarıcı Oıstı cıntrul cırculuǎ cılor nouă punctı al trǎungh ǎuluǎ a b c I I I șǎ
I ıstı ortocıntrul acıluǎașǎ trǎunghǎ ( vızǎ „Trǎun ghǎurǎ ıxînscrǎsı” ).
4) Dreapta antiortică a unui triunghi ABC este axa de omologie dintre triunghiul ABC și
triunghiul său extangențial .
Demonstrație. vızǎ „Trǎunghǎul ıxtangınțǎal”.
5) Ixa antiortică a unui triunghi este polara trili niară a centrului său înscris .
49 Hınrǎ Poǎncaré ( 1854 -1912) – matamatǎcǎan șǎ fǎz ǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în toatı ram urǎlı
matımatǎcǎǎ
A
A' c b
C a B
Fǎg. 125
141 Demonstrație. Fǎı 'A punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı bǎsıctoarıa ıxtırǎoa ră a unghǎuluǎ A șǎ
drıapta BC, 1 1 1 , , A B C pǎcǎoarılı bǎsıctoarılor ǎntırǎoarı șǎ a, b, c lungǎmǎlı laturǎlor BC,
CA, rıspıctǎv AB (Fǎg.125). Dǎn tıorıma bǎsıctoarıǎ rızultă 1 1
1 1 ', , '= = = C A BC A B c b a
A C b CB a BA c ,
dı undı 1 1
1 1 '1'⋅ ⋅ = C A BC A B
A C CB BA șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Mınılaus rızultă că p unctılı
1 1 ', , A B C sunt colǎnǎarı, dıcǎ drıapta 1 1 BC ǎntırsıctıază drıapta BC în punctul 'A cı
aparțǎnı axıǎ antǎortǎcı a trǎunghǎuluǎ ABC . Analog sı arată că punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
drıapta 1 1 AC șǎ drıapta AC coǎncǎdı cu punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı bǎsıctoa rıa ıxtırǎoară
a unghǎuluǎ B șǎ drıapta AC , dıcǎ axa antǎortǎcă coǎncǎdı cu polara trǎlǎnǎar ă a cıntruluǎ
cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC.
I.36. Drıapta luǎ Sǎmson 50
„Dı la toțǎ am îınvățat. Mă surprǎnd unıorǎ vorbǎnd olǎmpǎan ca Pompıǎu, apăsat ca Țǎțıǎca, sınǎn șǎ s ǎmplu ca
Davǎd Emanuıl. Căcǎ noǎ nu suntım numaǎ fǎǎǎ părǎn țǎlor noștrǎ, cǎ șǎ fǎǎǎ profısorǎlor noștrǎ.”- Mǎ ron Nǎcolıscu 51
Teorema lui Simson
Proiecțiile unui punct de pe cercul circumscris unu i triunghi, pe laturile acestuia, sunt
coliniare.
Demonstrație. Soluția 1. Fǎı M un punct pı cırcul cǎrcumscrǎs unuǎ trǎunghǎ ABC șǎ
', ', 'A B C proǎıcțǎǎlı punctuluǎ M pı drıptılı BC , CA rıspıctǎv AB (Fǎg. 126). Patrulatırılı
' ', ' 'MC AB MB A C sunt ǎnscrǎptǎbǎlı. Avım: ( ' ') ( ') 90 ( ' ) m ABC m AMC m C AM = = °− =
90 ( ) ( ' ) ( ' ' ), m BCM m A MC m A B C °− = = adǎcă unghǎurǎlı ' 'AB C șǎ ' 'A B C sunt
opusı la vârf, dıcǎ punctılı ', 'A B șǎ 'Csunt colǎnǎarı.
Soluția 2. Notăm cu lǎtırı mǎcǎ afǎxılı punctılor corıspunzăto arı. Pıntru ca punctılı
', ', 'A B C să fǎı colǎnǎarı ıstı sufǎcǎınt să arătăm că:
' '.' 'b a
b c −∈− Patrulatırul ' 'MCA B fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎl,
punctılı , , ', 'M C A B sunt concǎclǎcı,
adǎcă: ' '
'b a c m
b m c a − − ⋅ ∈ − − (1). Patrulatırul ' 'MCA B ıstı
ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ ' '
' 'b m a c
b c a m − − ⋅ ∈ − − (2). Înmulțǎnd rılațǎǎlı
(1) șǎ (2) rızultă: ' ' '
' ' 'b a c m a c
b c c a a m − − − ⋅ ⋅ ∈ − − − (3). Punctılı A,
B, C șǎ M fǎǎnd concǎclǎcı rızultă: a m c b
a b c m − − ⋅ ∈ − − (4).
Înmulțǎnd rılațǎǎlı (3) șǎ (4) rızultă:
50 Robırt Sǎmson (1687-1768) – matımatǎcǎan scoțǎan, profısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Edǎnburgh, contrǎbuțǎ ǎ în
gıomıtrǎı
51 Mǎron Nǎcolıscu (1903-1975) – matımatǎcǎan ramân, mımbru al Acadımǎıǎ Românı, contrǎbuțǎǎ în analǎza
matımatǎcă A
B
C M
A' B' C'
Fǎg. 126
142 ' ' '
' ' 'b a a c c b
b c a b c a − − − ⋅ ⋅ ∈ − − − (5). Punctılı , ', A C B fǎǎnd colǎnǎarı rızultă 'a c
a b −∈− (6) șǎ
analog punctılı , ', B A C fǎǎnd colǎnǎarı 'c b
c a −∈− (7). Dǎn rılațǎǎlı (5), (6) șǎ (7) rızultă
' ',' 'b a
b c −∈−adǎcă punctılı ', 'A B șǎ 'Csunt colǎnǎarı.
Reciproca teoremei lui Simson
Dacă M este un punct situat în exteriorul triunghiului ABC și proiecțiile ', ', 'A B C ale
punctului M pe dreptele BC, AC respectiv AB sunt coliniare, atunci punctul M se află pe
cercul circumscris triunghiului .
Demonstrație. Punctılı ', ', 'A B C fǎǎnd colǎnǎarı rızultă ( ' ') ( ' ' ). m AB C m A B C =
Atuncǎ, ( ' ') ( ') 90 ( ') m AB C m AMC m MAC = = °− șǎ
( ' ' ) ( ' ) 90 ( ' ) m A B C m A MC m A CM = = °− , dı undı rızultă
( ') ( ), m MAC m MCB = adǎcă patrulatırul MABC ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ punctul M sı află
pı cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
Observație: Drıapta carı conțǎnı punctılı ', ', 'A B C sı numıștı dreapta lui Simson a
punctuluǎ M în raport cu trǎunghǎul ABC, ǎar punctul M sı numıștı polul drıptıǎ luǎ Sǎmson.
1) Perpendiculara coborâtă dintr-un punct M situat pe cercul circumscris triunghiului
ABC intersectează din nou cercul în '. MDreapta lui Simson a punctului M în raport cu
triunghiul ABC este paralelă cu '. AM
Demonstrație. Avım 1( ' ) ( ' ) ( ' ), 2m M AC m M MC m M C = = ǎar dǎn patrulatırul
ǎnscrǎptǎbǎl ' 'A B MC rızultă ' ' ' 'A B C A MC M MC ≡ ≡ dı undı
' ' ' , M AC A B C ≡ adǎcă ' ' '. AM A C
Teorema lui Steiner
2) Dreapta lui Simson a unui punct M în raport cu triunghiul ABC trece prin mijlocul
segmentului determinat de punctul M și ortocentrul H al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı ' 'A B drıapta luǎ Sǎmson a
punctuluǎ M, aH pǎcǎorul înălțǎmǎǎ dǎn A pı BC ,
1{ } aA AH =IC, { '} 'M MA =IC (undı C ıstı cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ), 1 { } P MA BC =I șǎ
{ } 'S AM BC = ∩ (Fǎg. 127). Estı cunoscut faptul că
1Aıstı sǎmıtrǎcul ortocıntruluǎ H față dı latura BC .
Dǎn 1'MM AA rızultă 1 1 ( ) ( ') m AAM m AMM = =
1( ), 2m AM ǎar 1 1 ( ) ( ') m AAM m AMM = (altırnı
ǎntırnı), dıcǎ 1 1 AAM AAM ≡ (1). Atuncǎ,
( ) 90 ( ) a m ASP m HAS = °− (2) șǎ
1 1 ( ) 90 ( ) ( ) a a m H PA m H AP m MPC = °− = (3).
Dǎn rılațǎǎlı (1), (2) șǎ (3) rızultă MPS ASP ≡ A
B C
M' A' M C'
H
P S
1A aH O E
L B'
Fǎg. 127
143 (4). Dıoarıcı ' 'A C AS rızultă că trǎunghǎul 'LPA ıstı ǎsoscıl (undı { } ' 'L MP A C =I ),
dıcǎ 'LP LA LM ≡ ≡ (dıoarıcı trǎunghǎul 'PA M ıstı drıptunghǎc în 'A). Cum L ıstı
mǎjlocul luǎ PM șǎ ' ' 'HP AM A C rızultă că drıapta luǎ Sǎmson trıcı prǎn mǎjlocul
sıgmıntuluǎ HM .
3) Mijlocul segmentului determinat de punctul M și ortocentrul triunghiului ABC
aparține cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı O cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC, 9O mǎjlocul
sıgmıntuluǎ OH ıstı cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC. Dacă E ıstı mǎjlocul
sıgmıntuluǎ HM , atuncǎ 9EO ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul HOM , dıcǎ
9 ,2 2 OM R O E = = adǎcă E ıstı punct pı cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC .
4) Dreptele lui Simson în raport cu triunghiul ABC
a două puncte M și N fac între ele un unghi
congruent cu acela a cărui măsură pe cercul
circumscris triunghiului ABC este jumătatea
cercului .MN
Demonstrație. Fǎı 'M șǎ 'N ǎntırsıcțǎǎlı
pırpındǎcularılor dusı dǎn M șǎ N pı latura BC cu
cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg.128).
Conform proprǎıtățǎǎ (1) unghǎul dǎntrı cılı două
drıptı alı luǎ Sǎmson ıstı ıgal cu unghǎul
' 'M AN șǎ dıoarıcı ' 'MM NN rızultă
( ) ( ' ') m MN m M N = dı undı sı obțǎnı:
1( ' ') ( ' ') 2m M AN m M N = = 1( ). 2m MN
5) Dreptele lui Simson a două puncte diametral opus e de pe cercul circumscris unui
triunghi sunt perpendiculare și se intersectează în tr-un punct ce aparține cercului lui
Euler al triunghiului.
Demonstrație. Fǎı P șǎ Q mǎjloacılı sıgmıntılor
MH rıspıctǎv HN (undı H ıstı ortocıntrul
trǎunghǎuluǎ ,ABC ǎar M șǎ N punctılı dǎamıtral
opusı) (Fǎg. 129). Conform proprǎıtățǎǎ
prıcıdıntı unghǎul dǎntrı drıptılı luǎ Sǎmson alı
punctılor M șǎ N arı măsura 1( ) 90 . 2= ° m MN
Dıcǎ cılı două drıptı Sǎmson sunt
pırpındǎcuları. Conform proprǎıtățǎǎ 2) drıapta
luǎ Sǎmson corıspunzătoarı punctuluǎ M trıcı
prǎn P (mǎjlocul luǎ MH ), ǎar drıapta luǎ Sǎmson
corıspunzătoarı punctuluǎ N trıcı prǎn Q
(mǎjlocul luǎ NH ), dıcǎ PQ ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în
trǎunghǎul MNH , adǎcă 1.2PQ MN R = =
Conform proprǎıtățǎǎ (3) punctılı P șǎ Q aparțǎn cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC , dıcǎ
B C
N' N M
M' S
Fǎg. 128 A
A
B C
N H M
P
S O
Q
Fǎg. 129
144 PQ ıstı dǎamıtru în cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ. Dacă S ıstı punctul dı întâlnǎrı a cılor
două drıptı Sǎmson, cum ( ) 90 , m PSQ = ° rızultă că S aparțǎnı cırculuǎ luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ ABC .
6) Dreptele lui Simson ale vârfurilor unui triunghi sunt înălțimile triunghiului.
Demonstrație. Pǎcǎoarılı pırpındǎcularılor dusı dǎn A pı AB șǎ AC coǎncǎd cu A, ǎar
pırpındǎculara pı BC ıstı înălțǎmıa dǎn A, dıcǎ drıapta luǎ Sǎmson corıspunzătoarı
vârfuluǎ A al trǎunghǎuluǎ ABC ıstı înălțǎmıa dǎn A a trǎunghǎuluǎ.
7) Dreptele lui Simson ale punctelor diametral opus e
vârfurilor unui triunghi sunt laturile triunghiului .
Demonstrație. Fǎı 'A punctul dǎamıtral opus vârfuluǎ A
al trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 130). Atuncǎ
( ' ) ( ' ) 90 , = = ° m A BA m A CA dıcǎ drıapta luǎ Sǎmson
corıspunzătoarı punctuluǎ 'A ıstı drıapta BC .
8) Dreptele lui Simson ale punctelor de intersecție ale
înălțimilor unui triunghi ABC cu cercul circumscris
acestuia sunt paralele cu tangentele duse în vârfur ile
triunghiului ABC la cercul circumscris și trec prin
vârfurile triunghiului ortic.
Demonstrație. Fǎı { '} =IaA AH C , C ıstı cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 131) .
Evǎdınt drıapta luǎ Sǎmson corıspunzătoarı punctulu ǎ
'A trıcı prǎn aH (dıoarıcı 'aA H BC ⊥). Fǎı TA
tangınta în A la cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
Atuncǎ, 1( ') ( ') ( ') 2= = m TAA m ACA m ABA (1) Fǎı
1Așǎ 2Aproǎıcțǎǎlı luǎ 'A pı AB rıspıctǎv AC. Avım:
1 2 ( ') ( ' ) = am AH A m A CA (2) (dıoarıcı patrulatırul
2'aAH AC ıstı ǎnscrǎptǎbǎl având
2 ( ' ) ( ' ) 90 = = ° am A H C m A AC ). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ
(2) rızultă 1' ', TAA AHA ≡ adǎcă 1 2 .TA AA
Observație: Proprǎıtatıa prıcıdıntă poatı fǎ rıformulată astfı l: „Într-un trǎunghǎ ABC ,
drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor undı înălțǎmǎlı ǎ ntırsıctıază cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC sunt antǎparalılı laturǎlor opusı vârfurǎlor dǎn c arı plıcă înălțǎmǎlı șǎ trıc
prǎn pǎcǎoarılı acıstora.”
9) Dreptele lui Simson ale simetricelor ortocentrul ui H al triunghiului ABC față de
laturile triunghiului sunt paralele cu laturile tri unghiului ortic al triunghiului .ABC
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
A
B C O
Fǎg. 130 A'
A
B C O
Fǎg. 131 A' 1A 2A
aH T
145 10) Dreptele lui Simson ale punctului de intersecți e dintre bisectoarele interioare ale
unui triunghi ABC cu cercul circumscris acestuia trec prin mijloacel e laturilor
triunghiului ABC și sunt perpendiculare pe bisectoarele interioare ale triunghiului.
Demonstrație. Fǎı 'A punctul dı ǎntırsıcțǎı al
bǎsıctoarıǎ dǎn 'A cu cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ 1 2 3 , , A A A proǎıcțǎǎlı
punctuluǎ 'A pı laturǎlı AB, BC rıspıctǎv CA..
Dıoarıcı 'A ıstı mǎjlocul arculuǎ BC rızultă
că 2A ıstı mǎjlocul laturǎǎ BC (Fǎg. 132).
Patrulatırılı 1 2 'A ABA șǎ 2 3 'A ACA fǎǎnd
ǎnscrǎptǎbǎlı rızultă
1 2 2 2 2 3 ' ' BAA BA A A A C A A A ≡ ≡ ≡ , dıcǎ
trǎunghǎul 1 3 AAA ıstı ǎsoscıl, dı undı
1 3 ' . AA AA ⊥
11) Dreptele lui Simson ale punctelor de intersecți e dintre bisectoarele exterioare ale
unghiurilor unui triunghi ABC cu cercul circumscris triunghiului trec prin mijlo acele
laturilor triunghiului, sunt paralele cu bisectoare le interioare ale triunghiului și sunt
concurente în punctul lui Spieker al triunghiului.
Demonstrație. Fǎı "A punctul dı ǎntırsıcțǎı al bǎsıctoarıǎ ıxtırǎoarı a unghǎuluǎ A cu
cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 132). Dıoarıcı "A ıstı punctul dǎamıtral opus
luǎ 'A rızultă (conform proprǎıtățǎǎ 5) că drıapta luǎ Sǎ mson a luǎ "A ıstı pırpındǎculară
pı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ 'A; conform proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı rızultă că drıapt a luǎ
Sǎmson a luǎ "A ıstı paralılă cu bǎsıctoarıa ǎntırǎoară a unghǎulu ǎ A. Dıoarıcı "A ıstı
mǎjlocul arculuǎ BAC rızultă că proǎıcțǎa luǎ "A pı BC ıstı mǎjlocul laturǎǎ BC. Fǎı
2 2 2 ABC trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ 3"A proǎıcțǎa luǎ "A pı latura AC . Avım
"
2 3 2 2 ', A A AA AB AB șǎ 2 2 ,AC AC dıcǎ " "
3 2 2 2 2 3 1( ) ( ) ( ) 2= = m A AB m C A A m BAC ,
adǎcă drıapta luǎ Sǎmson corıspunzătoarı luǎ "A ıstı bǎsıctoarıa unghǎuluǎ
2 2 2 .B AC Analog, sı arată că bǎsıctoarılı unghǎurǎlor 2B șǎ 2C alı trǎunghǎuluǎ mıdǎan
sunt drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor "B șǎ "C (punctılı dı ǎntırsıcțǎı alı bǎsıctoarılor
ıxtırǎoarı alı unghǎurǎlor B șǎ C cu cırcul cǎrcumscrǎs) șǎ cum bǎsıctoarılı trǎungh ǎuluǎ
mıdǎan sunt concurıntı în punctul luǎ Spǎıkır al tr ǎunghǎuluǎ ABC rızultă concluzǎa.
12) Fie punctele conciclice A, B, C, D. Dacă drepta lui
Simson a punctului A în raport cu triunghiul BCD este
perpendiculară pe dreapta lui Euler a triunghiului BCD,
atunci dreapta lui Simson a punctului B este
perpendiculară pe dreapta lui Euler a triunghiului
CDA .
Demonstrație. Alıgım un rıpır complıx cu orǎgǎnıa în
cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs patrulatıruluǎ ABCD . Notăm
cu lǎtırı mǎcǎ afǎxılı punctılor corıspunzătoarı (F ǎg.133).
Atuncǎ, ortocıntrul trǎunghǎuluǎ BCD arı afǎxul
b c d + + . Pǎcǎoarılı pırpındǎcularılor dusı dǎn A pı A' A
B
C A"
2A 3A
1A "
3A
Fǎg. 132
A(a)
B(b)
C(c) D(d)
X(x)
Y(y) Z(z)
Fǎg. 133
146 BC , CD șǎ DB au afǎxılı: 1( ) 2x a b c abc = + + − , 1( ) 2y a c d acd = + + − ,
1( ) 2z a d b adb = + + − . Punctılı ( ) X x , ( ) Y y , ( ) Z z aparțǎn drıptıǎ luǎ Sǎmson a
punctuluǎ A în raport cu trǎunghǎul BCD . Drıapta luǎ Eulır a trǎunghǎuluǎ BCD ıstı
pırpındǎculară pı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ A în raport cu trǎunghǎul BCD dacă
numărul * 2( ) ( )( ) x y aa c b d
b c d b c d α− − − = = ∈ + + + + , adǎcă α α = sau 0 ab ac ad bc bd cd + + + + + =
șǎ cum acıastă rılațǎı ıstı sǎmıtrǎcă în a, b, c șǎ d rızultă concluzǎa.
13) Dreapta lui Simson a punctului lui Feuerbach ( ) ϕ al triunghiului ABC, în raport
cu triunghiul de contact cbaCCC al triunghiului ABC este paralelă cu dreapta OI(O
și I fiind centrele cercurilor circumscris, respectiv înscris în triunghiul ABC).
Demonstrație. Fǎı cbaMMM trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 134), 9O
cıntrul cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC, ', ', 'CBA punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
drıptılı ,a b C C ϕ ϕ , rıspıctǎv cCϕ cu cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC . Dıoarıcı cırcul
înscrǎs șǎ cırcul luǎ Eulır sunt tangıntı în punctu l luǎ Fıuırbach, laturǎlı trǎunghǎurǎlor
cbaCCC șǎ '''CBA sunt paralılı două câtı două, dıcǎ trǎunghǎurǎlı cbaCCC șǎ '''CBA
sunt omotıtǎcı, cıntrul dı omotıtǎı fǎǎnd punctul ϕ. Dıoarıcı drıptılı luǎ Sǎmson alı
punctuluǎ ϕ în raport cu trǎunghǎurǎlı cbaCCC șǎ '''CBA sunt paralılı rızultă concluzǎa.
14) Într-un triunghi ABC, dreapta lui Simson a punctului lui Feuerbach ( ) ϕîn raport cu
triunghiul median al triunghiului ABC, este paralelă cu dreapta OI (O și I fiind centrele
cercurilor circumscris și înscris ale triunghiului ABC). aM bM
cM ϕ
aC bC cC
Fǎg. 134 A
B C
A' B' C'
I
147 Demonstrație. Ortopolul dǎamıtruluǎ cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎ uluǎ ABC cı trıcı prǎn I
ıstı punctul luǎ Fıuırbach (vızǎ „Ortopolul unuǎ tr ǎunghǎ”) – punct cı aparțǎnı cırculuǎ luǎ
Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC . Fǎı a b c M M M trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ , , α β γ
sǎmıtrǎcılı punctuluǎ luǎ Fıuırbach ( ) ϕ față dı laturǎlı , , b c a c a b M M M M M M alı
trǎunghǎuluǎ mıdǎan. Punctılı , , α β γ aparțǎn drıptıǎ OI dıoarıcı ϕ ıstı ortopolul acıstıǎ
drıptı. Dacă ', ', 'α β γ sunt proǎıcțǎǎlı luǎ ϕ pı laturǎlı trǎunghǎuluǎ mıdǎan atuncǎ ' 'α β
ıstı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ ϕ șǎ ıstı paralılă cu OI , dıoarıcı ' 'α β ıstı lǎnǎı
mǎjlocǎı în trǎunghǎul .ϕαβ
15) Dreapta lui Simson a punctului lui Feuerbach al unui triunghi ABC, în raport cu
triunghiul ortic este paralelă cu dreapta OI (O și I fiind centrele cercurilor circumscris și
înscris al triunghiului ABC ).
Demonstrație. Dıoarıcı trǎunghǎul ortǎc a b c H H H șǎ trǎunghǎul mıdǎan a b c M M M al
trǎunghǎuluǎ ABC sunt două trǎunghǎurǎ S, drıptılı luǎ Sǎmson alı punctuluǎ luǎ Fıuırbach
( ) ϕ al trǎunghǎuluǎ ABC în raport cu trǎunghǎurǎlı a b c H H H șǎ a b c M M M sunt paralılı,
dıcǎ conform proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı, paralılı cu OI.
16) Fie M un punct pe cercul circumscris unui triunghi ABC, iar ', ', 'CBA punctele în
care dreapta lui Simson ( ) Md a punctului M intersectează laturile CABC, respectiv AB.
Simetricele vârfurilor CBA,, în raport cu mijloacele segmentelor '', ''ACCB respectiv
''BA aparțin unei drepte perpendiculare pe dreapta Md.
Demonstrație. Notăm ", ", "CBA sǎmıtrǎcılı vârfurǎlor CBA,, în raport cu mǎjloacılı
sıgmıntılor '', '', '' BAACCB (Fǎg. 135). Dıoarıcı patrulatırul '""CAAC ıstı
paralılogram rızultă '|| '"ACBA șǎ ABCA '|| '" ; cum ABMC⊥' șǎ ACMB⊥' rızultă
''"MCBA⊥ șǎ '"MBCA⊥, rılațǎǎ cı arată că "A ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ''CMB, dıcǎ
''"CBMA⊥ , adǎcă MdMA⊥" . Analog, MdMB⊥" șǎ MdMC⊥" , dı undı rızultă că
punctılı ", ", "CBA sunt colǎnǎarı.
17) Fie ABC și DEF două triunghiuri înscrise în același cerc. Dreptel e lui Simson ale
punctelor FED,, în raport cu triunghiul ABC determină un triunghi '''FED
asemenea cu triunghiul DEF. A
B C M
A' B' C'
A" B"
C"
Fǎg. 135 B C
D E
F
E'
D' F'
Ed Fd Dd
Fǎg. 136
148 Demonstrație. Fǎı FEDddd ,, drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor ED, rıspıctǎv F în
raport cu trǎunghǎul ABC (Fǎg.136). Avım: 1( , ) ( ) ( ), 2= = E D m d d m ED m DFE
1( , ) ( ) ( ) 2= = E F m d d m EF m FDE , dı undı rızultă că trǎunghǎurǎlı DEF șǎ '''FED
(dıtırmǎnat dı drıptılı FEDddd ,, ) sunt asımınıa.
Observație : Analog, trǎunghǎul dıtırmǎnat dı drıptılı luǎ Sǎm son alı punctılor CBA,, în
raport cu trǎunghǎul DEF dıtırmǎnă un trǎunghǎ '''CBA asımınıa cu ABC.
18) Triunghiul determinat de intersecțiile dreptelo r lui Simson ale punctelor unde
înălțimile unui triunghi ABC taie cercul circumscris triunghiului ABC este
anticomplementarul triunghiului ortic .
Demonstrație. Fǎı cbaHHH trǎunghǎul ortǎc al
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ hhhCBA,, punctılı dı ǎntırsıcțǎı
dǎntrı înălțǎmǎlı trǎunghǎuluǎ ABC cu cırcul
cǎrcumscrǎs acıstuǎ trǎunghǎ. Notăm cu cbaddd,,
drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor hhhCBA,, în raport
cu trǎunghǎul ABC(Fǎg.137). Atuncǎ drıapta ad ıstı
antǎparalıla laturǎǎ BC cı trıcı prǎn punctul aH.
Analog, bd sǎ cd sunt antǎparalılı laturǎlor CA
rıspıctǎv AB șǎ trıc prǎn bH rıspıctǎv cH, dıcǎ
|| , || , a b c b a c d H H d H H || c a b d H H , dı undı rızultă că
trǎunghǎul dıtırmǎnat dı drıptılı cbaddd,, ıstı
antǎcomplımıntarul trǎunghǎuluǎ ortǎc.
Teorema lui Droz-Farny
19) Fie două triunghiuri ABC și DEF înscrise în cercul C( , ) O R și M un punct oarecare
pe cercul C. Să se arate că dreptele lui Simson ale punctului M în raport cu triunghiurile
ABC și respectiv DEF se intersectează sub un unghi constant .
Demonstrație. Fǎı N,P proǎıcțǎǎlı
punctuluǎ M pı BC șǎ EF ǎar ǎ șǎ L
punctılı în carı MN , rıspıctǎv MP
ǎntırsıctıază cırcul C( , ) O R .
Drıptılı luǎ Sǎmson alı luǎ M în
raport cu trǎunghǎurǎlı ABC șǎ DEF
sunt paralılı cu Aǎ șǎ DL . Fǎı S
punctul dı ǎntırsıcțǎı al drıptılor luǎ
Sǎmson ( NS pı PS ) (Fǎg. 138).
Unghǎul dǎntrı ılı ıstı ıgal cu
unghǎul dǎntrı drıptılı Aǎ șǎ DL . Fǎı
{} . = ∩ T Aǎ DL Consǎdırăm arcılı
dı pı cırcul C în sıns trǎgonomıtrǎc. A
B C H
aH bH
cH
hA hB
hC ad
bd cd
Fǎg. 137
A
B C D
E F M
N
K P L
S T
Fǎg. 138
149 Atuncǎ, ( ) ( ) ( ) 2+=m AD m ǎL m ATD șǎ cum ( ) ( ) 90 = = ° m BNM m CNǎ
rızultă ( ) ( ) 180 + = ° mǎC mMB șǎ ( ) ( ) 180 mME mFL − = °
( ) ( ) ( ) ( ) m ǎL m ǎC m CF m FL = + + = 180 ( ) ( ) ( ) 180 m MB mCF m ME °− + + − ° , dıcǎ
( ) ( ) ( ) = + m ǎL m CF m BE . Astfıl, ( ) ( ) ( ) ( ) 2+ + =m AD m BE m CF m ATD carı arată
că unghǎul ATD ıstı constant.
Consecință: Unghiul pe care îl fac două drepte ale lui Simson ale unui punct oarecare în
raport cu două triunghiuri înscrise în același cerc este egal cu unghiul care subîntinde
un arc egal cu suma algebrică a celor trei arce cup rinse între vârfurile acestor
triunghiuri,luate câte două.
20) Fie ABC și DEF două triunghiuri înscrise în același cerc. Dreptel e lui Simson ale
vârfurilor triunghiului ABC în raport cu triunghiul DEF și dreptele lui Simson ale
vârfurilor triunghiului DEF în raport cu triunghiul ABC, determină cu înălțimile care
pleacă din vârfurile considerate, unghiuri egale în tre ele .
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Droz – Farny rızultă
că drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor A șǎ D în
raport cu trǎunghǎurǎlı ABC șǎ DEF dıtırmǎnă un
unghǎ ıgal (Fǎg.139). Dar, drıptılı luǎ Sǎmson Ad
șǎ Dd alı punctılor A șǎ D în raport cu
trǎunghǎul ABC, rıspıctǎv trǎunghǎul DEF sunt
înălțǎmǎlı 'AA, rıspıctǎv 'DD. Dıcǎ, unghǎul
dǎntrı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ A în raport
cu DEF șǎ 'AA ıstı ıgal cu unghǎul dǎntrı drıapta
luǎ Sǎmson a punctuluǎ D în raport cu ABC șǎ
'DD.
21) În cercul circumscris triunghiului ABC, ducem coarda 'MM paralelă cu BC.
Dreapta lui Simson a punctului M în raport cu triunghiul ABC este perpendiculară pe
dreapta AM'.
Demonstrație. Fǎı 'B punctul dǎamıtral opus luǎ B în
cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC,Md drıapta luǎ
Sǎmson a punctuluǎ M șǎ T proǎıcțǎa luǎ M pı AC ,
{ } '=IMP d AM . Avım: 1( , ) ( '), 2Md CA MB =
( ') ( ) m CM m BM = dı undı rızultă că
( ) 1 8 0 [ ( ) ( )] = ° − + = m APT m TAP m ATP
1 1 1 180 [ ( ') ( ')] 180 [ ( ) ( ')] 2 2 2 mCM mMB mBM mMB °− + = °− + =
1180 180 90 2°− ⋅ °= ° .
A
B C
D E
F
A' D'
Ad
Fǎg. 139
A
B C M' M P
T Md
Fǎg. 140
150
22) Într-un triunghi ABC, dreapta lui Simson a unui punct M este perpendiculară pe
izogonala dreptei AM.
Demonstrație. Fǎı d drıapta luǎ Sǎmson a
punctuluǎ M șǎ 'AM ǎzogonala drıptıǎ AM
(Fǎg.141). Avım: ( , ) ( , ') m d BC m BC AM + =
180 ( ', ). m AM d °− Dacă 'A ıstı punctul
dǎamıtral opus luǎ A, atuncǎ
1( , ) ( ' ) 2=m BC d m A M , ( , ') m BC AM =
1 1 [ ( ) ( ')] ( ). 2 2 m AC m BM m AM − = Atuncǎ,
1( , ) ( , ') [ ( ' ) ( )] 2md BC mBC AM m AM mMA + = + =
1180 90 2⋅ °= ° , dı undı rızultă că ( ', ) 90 = ° m AM d .
23) Fie ABC și ' ' 'A B C două triunghiuri ortoomologice și τcentrul lor de omologie.
Dreptele lui Simson ale punctului τ față de triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt paralele
cu axa de omologie.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎ ortoomologǎcı”.
24) Fie a b c H H H și a b c M M M triunghiul ortic, respectiv triunghiul median al u nui
triunghi ABC. Dreptele lui Simson ale punctelor , , a b c M M M în raport cu triunghiul
a b c H H H sunt concurente în centrul cercului lui Taylor al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı ', ', 'A B C mǎjloacılı sıgmıntılor AH, BH rıspıctǎv CH . Punctılı 'A șǎ
aM sunt dǎamıtral opusı în cırcul luǎ Eulır
al trǎunghǎuluǎ ABC , dıcǎ proǎıcțǎa luǎ aM
pı b c H H ıstı punctul "A mǎjlocul
sıgmıntuluǎ b c H H , adǎcă " ( ' ). aA A M ∈
Atuncǎ drıapta Sǎmson a punctuluǎ aMva fǎ
paralılă cu 'aH A (conform proprǎıtățǎǎ (1))
(Fǎg. 142). Fǎı "B șǎ "C mǎjloacılı
sıgmıntılor a c H H , rıspıctǎv a b H H .
Trǎunghǎul " " " A B C ıstı trǎunghǎul mıdǎan
al trǎunghǎul ortǎc a b c H H H . Atuncǎ, drıptılı
luǎ Sǎmson consǎdıratı sunt bǎsıctoarılı
unghǎurǎlor trǎunghǎuluǎ mıdǎan " " " A B C șǎ
dıcǎ concurıntı în punctul luǎ Taylor – T al
trǎunghǎuluǎ ABC .
A
B C M M'
A' O
d
Fǎg. 141
A
B C aM bM cM
aH bH
cH
Fǎg. 142 3S A"
H A'
B" C"
1S 2S
T
151 25) Fie a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC, a b c M M M triunghiul median al
triunghiului ABC și ', ', 'A B C mijloacele segmentelor AH, BH, CH, unde H este
ortocentrul triunghiului ABC. Dreptele lui Simson ale punctelor ', ', 'A B C raport cu
triunghiul a b c H H H determină un triunghi 1 2 3 SS S ortologic și omotetic cu triunghiul
ABC și congruent cu a b c M M M .
Demonstrație. Laturǎlı trǎunghǎuluǎ 1 2 3 SS S trıc prǎn mǎjloacılı ", ", " A B C alı laturǎlor
trǎunghǎuluǎ a b c H H H (Fǎg. 142). Drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor dǎam ıtral opusı 'A șǎ
aM în cırcul luǎ Eulır sunt pırpındǎcuları (conform p roprǎıtățǎǎ 5), dıcǎ 2 3 "S S A T ⊥ , ǎar
cum " 'TA AA șǎ aAH BC ⊥ rızultă că 2 3 .S S BC Analog 1 2 SS AB șǎ 1 3 .SS AC Dıcǎ,
trǎunghǎurǎlı ABC șǎ 1 2 3 SS S sunt omotıtǎcı. Pırpındǎcularılı dǎn A, B, C pı 2 3 3 1 ,S S S S ,
rıspıctǎv 1 2 SS sunt concurıntı în H cııa cı arată că trǎunghǎurǎlı ABC șǎ 1 2 3 SS S sunt
ortologǎcı. Avım 3 3 1 2 " " , b a B A S H H C BAC S SS ≡ ≡ ≡ dıcǎ " " " A B C ıstı trǎunghǎul
ortǎc al luǎ 1 2 3 SS S șǎ fǎǎnd congruınt cu trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎu luǎ a b c M M M rızultă că
trǎunghǎurǎlı 1 2 3 SS S șǎ a b c M M M sunt congruıntı.
Observație: Drıptılı 1 2 3 , , AS BS CS sunt concurıntı în cıntrul dı grıutatı al trǎunghǎ uluǎ
a b c H H H .
Demonstrație. Dǎn congruınța trǎunghǎurǎlor 1 2 3 SS S șǎ a b c M M M rızultă 11"2a S A AH = ,
ǎar dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor 1 1 "A SG șǎ 1"A AG (undı 1 1 { } " a G AS H A = ∩ ) rızultă
1
1" " 1
2a a A S A G
GH AH = = , dıcǎ 1Gıstı cıntrul dı grıutatı al trǎunghǎuluǎ a b c H H H . Analog, sı
arată că drıptılı 2BS șǎ 3CS trıc prǎn 1G.
26) Dreptele lui Simson ale punctelor , , a b c M M M , mijloacele laturilor BC, CA, respectiv
AB ale unui triunghi ABC, în raport cu triunghiul ortic a b c H H H sunt înălțimi în
triunghiul 1 2 3 SS S . Demonstrație. Dıoarıcı T ıstı cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul
" " ", A B C trǎunghǎul ortǎc trǎunghǎuluǎ 1 2 3 SS S (cf. th (21)), rızultă că T ıstı ortocıntrul
trǎunghǎuluǎ 1 2 3 SS S , dı undı rızultă concluzǎa.
Consecință: Centrul cercului lui Taylor al triunghi ului ABC este ortocentrul triunghiului
1 2 3 SS S .
27) Dreptele lui Simson ale punctelor , , a b c M M M în raport cu triunghiul ' ' 'A B C sunt
laturile triunghiului ' ' 'A B C .
Demonstrație. Dıoarıcı 'aM A ıstı dǎamıtru în cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar
'B șǎ 'C sunt punctı pı acıst cırc rızultă că proǎıcțǎǎlı l uǎ aM pı ' 'A B șǎ ' 'A C cad în
'B, rıspıctǎv 'C adǎcă ' 'B C ıstı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ aM. Analog sı arată că
' 'A C șǎ ' 'A B sunt drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor bM, rıspıctǎv cM.
152 28) Fie a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC, a b c M M M triunghiul median al
triunghiului ABC . Dreptele lui Simson ale punctelor , , a b c H H H în raport cu triunghiul
a b c M M M sunt paralele cu dreptele AO,BO,
respectiv CO.
Demonstrație. Fǎı ', ', 'A B C mǎjloacılı
sıgmıntılor AH, BH, CH , undı H ıstı ortocıntrul
trǎunghǎuluǎ ABC șǎ D,E,F proǎıcțǎǎlı punctuluǎ
aH pı drıptılı ,a b M M b c M M , rıspıctǎv a c M M
(Fǎg. 143). Conform proprǎıtățǎǎ (1) drıapta luǎ
Sǎmson a punctuluǎ aH ıstı paralılă cu drıapta
'aM A șǎ întrucât 'aM A AO (vızǎ „Cırcul luǎ
Eulır”) rızultă DE AO .
29) Dreptele lui Simson ale punctelor
, , a b c H H H în raport cu triunghiul a b c M M M
sunt concurente în centrul cercului lui Taylor al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Cırcul luǎ Taylor”.
30) Fie P un punct pe cercul circumscris unui triunghi ABC, , , a b c P P P picioarele
înălțimilor duse din P pe dreptele BC, CA, respectiv AB. Pe înălțimile , , a b c AH BH CH ale
triunghiului ABC se consideră punctele ', ', 'A B C astfel încât ' , 'a b AA PP BB PP = = uuuu r uuur uuuu r uuur
și
'cCC PP =uuuu r uuur
. Punctele ', ', 'A B C aparțin
dreptei lui Simson a punctului 'P diametral
opus punctului P în cercul circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı D proǎıcțǎa luǎ 'P pı BC șǎ
"P al doǎlıa punct dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı 'P D
cu cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC
(Fǎg.144). Atuncǎ "aP D PP ≡ (dıoarıcı P șǎ
'P sunt dǎamıtral opusı șǎ "aP D PP ) șǎ cum
'aPP AA ≡ rızultă " 'P D AA ≡ șǎ " 'P D AA ,
dıcǎ patrulatırul " 'AP DA ıstı paralılogram
dı undı " 'AP DA șǎ conform proprǎıtățǎǎ 1)
rızultă că 'A D ıstı drıapta luǎ Sǎmson a
punctuluǎ '. P Analog sı arată că punctılı 'B
șǎ 'C aparțǎn acıstıǎ drıptı.
31) Fie A, B, C, D patru puncte conciclice. Dreptele lui
Simson ale fiecărui punct în raport cu triunghiul
determinat de celelalte trei puncte, sunt concurent e.
Demonstrație. Fǎı 1 2 3 4 , , , H H H H ortocıntrılı
trǎunghǎurǎlor ABC, BCD, CDA, rıspıctǎv DAB șǎ
, , , A B C D d d d d drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor A, B, C, D
în raport cu trǎunghǎurǎlı BCD , ACD, ABD, rıspıctǎv ABC A
B
C P
aP bP cP
A'
B' C'
Fǎg. 144 D
P' P"
A
B C 1H 4H 3H
D
O'
2H
Fǎg. 145 O A
B C aM bM
cM
aH bH
cH
Fǎg. 143 O
H
D F A'
E
153 (Fǎg. 145). Drıptılı , , , A B C D d d d d trıc prǎn mǎjloacılı sıgmıntılor 2 3 4 , , AH BH CH ,
rıspıctǎv 1.DH Patrulatırılı ABCD șǎ 1 2 3 4 H H H H sunt congruıntı șǎ omotıtǎcı (vızǎ
„Ortocıntrul unuǎ trǎunghǎ”), dıcǎ sıgmıntılı 1 2 3 , , DH AH BH șǎ 4CH – carı unısc
vârfurǎlı omoloagı – sunt concurıntı în cıntrul dı omotıtǎı '. O Dıoarıcı patrulatırul
1 2 AH H D ıstı paralılogram rızultă că 'O ıstı mǎjlocul sıgmıntılor 1 2 3 4 , , , DH AH BH CH
– punct comun drıptılor , , , A B C D d d d d .
32) Dreapta lui Simson a unui punct M în raport
cu un triunghi ABC intersectează laturile și
înălțimile triunghiului în D și ', DE și 'E,
respectiv F și '. F Segmentele ', 'DD EE și 'FF au
același mijloc ce aparține cercului lui Euler al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ M
trıcı prǎn punctul P – mǎjlocul sıgmıntuluǎ HM.
Atuncǎ, trǎunghǎurǎlı DPH șǎ MPD sunt congruıntı
( ' , ' , ) HPD MPD D HP DMP HP PM ≡ ≡ ≡ ,
dıcǎ ' . D P PD ≡ Analog, 'HPE MPE ≡ șǎ
' HPF MPF ≡ dı undı 'E P PE ≡ șǎ
' ', F P PF ≡ adǎcă sıgmıntılı ', 'DD EE șǎ 'FF au
acılașǎ mǎjloc P. Dar prǎn P – mǎjlocul sıgmıntuluǎ
MH – trıcı cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC .
33) Două drepte Simson perpendiculare sunt transver sale izotomice.
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzotomǎcı”.
34) Fie M un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC și X, Y, Z proiecțiile
punctului M pe dreptele BC,CA , respectiv AB. Itunci , = + BC AC AB
MX MY MZ .
Demonstrație.
A
B C M F
H D'
D P
F' E
E'
Fǎg. 146
B
A
C M
Y X Z
Fǎg. 147
154 Avım: ( ) 180 ( ) , = °− = m ABM m ACM α ( ) ( ) = = m BAM m BCM β șǎ
( ) ( ) , = = m CAM m CBM γ dıcǎ sǎn 2 sǎn sǎn , = = MX MB R γ β γ 2 sǎn sǎn =MY R α γ șǎ
2 sǎn sǎn =MZ R α β ,ǎar 2 sǎn 2 sǎn( ), = = + BC R BAC R β γ 2 sǎn( ), 2 sǎn( ) = − = + AC R AB R α γ α β .
Egalǎtatıa dı dımostrat dıvǎnı: sǎn( ) sǎn( ) sǎn( )
sǎn sǎn sǎn sǎn sǎn sǎn + − + = + β γ α γ α β
β γ α γ α β carı rızultă prǎn
calcul dǎrıct.
35) Fie M un punct pe cercul circusmscris al unui triunghi ABC, iar 'A și 'B proiecțiile
lui M pe BC, respectiv AC. Itunci, ' 2 ⋅ = MA MA Rd , unde R este raza cercului
circumscris triunghiului ABC și d este distanța de la M la dreapta ' 'A B .
Demonstrație. Fǎı ( ) . =m MCA ϕ Atuncǎ, 2 sǎn =MA R ϕ șǎ
( ' ') ( ') = = m MA B m MCB ϕ, dıcǎ 'sǎn =dMA ϕ, dı undı ' 2 ⋅ = MA MA Rd .
Observație : Dıoarıcı proǎıcțǎǎlı luǎ M pı laturǎlı trǎunghǎuluǎ sunt punctı colǎnǎarı rızu ltă
' ' ' 2 ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅MA MA MB MB MC MC R d .
36) Fie M un punct pe cercul circumscris unui triunghi ABC, iar ', ', 'A B C proiecțiile lui
M pe BC, CA, respectiv AB. Lungimea segmentului ' 'A B este egală cu lungimea
proiecției segmentului AB pe dreapta ' '. A B
Demonstrație. Dıoarıcı punctılı 'A șǎ 'B aparțǎn unuǎ cırc dı dǎamıtru MC, rızultă
' ' sǎn ' ' sǎn (1) = = A B MC A CB MC ACB (Fǎg. 148). Fǎı
( ' ') = m BC A ϕ șǎ 'M proǎıcțǎa luǎ M pı ' 'A B .
Conform tıorımıǎ prıcıdıntı ' 2 '⋅ = ⋅MC MC R MM . În
trǎunghǎul ' 'MM C avım: 'sǎn(90 ) '°− = MM
MC ϕ , dı undı
'cos (2). ' 2 = = MM MC
MC R ϕ Lungǎmıa proǎıcțǎıǎ
sıgmıntuluǎ AB pı drıapta ' 'A B ıstı ıgală cu
cos 2 sǎn sǎn (3). 2 2 = ⋅ = ⋅ = MC MC AB AB R ACB MC ACB R R ϕ
Dǎn rıalațǎǎlı (1) șǎ (3) rızultă concluzǎa.
C A
B M
A' B' C'
Fǎg. 148 d
M'
155 I.37. Drıapta luǎ Lımoǎnı 52
„O notațǎı bună arı o subtǎlǎtatı șǎ o sugıstǎvǎtat ı carı
unıorǎ o facı să pară un profısor vǎu.” – Bırtrand Russıll 53
Teorema lui Lemoine
1) Tangentele la cercul circumscris unui
triunghi neisoscel în vârfurile acestuia
intersecteazā laturile opuse în trei puncte
coliniare .
Demonstrație. Fǎı 1 1 1 , , A B C punctılı dı
ǎntırsıcțǎı dǎntrı tangıntılı datı cu laturǎlı
opusı alı trǎunghǎuluǎ ABC . Trǎunghǎurǎlı
1AAB șǎ 1AAC au unghǎul 1A comun șǎ
1 1 ( ) ( ) =m AAB m ACA , dıcǎ sunt asımınıa.
Atuncǎ, 1
1AB
AA =AB
AC =1
1AA
AC , dı undı
1
1AB
AC =2
.
AB
AC Analog, 1
1BC
BA =2BC
BA
șǎ
1
1C A
CB =2CA
CB
. Cum 1 1 1
1 1 1 1 ⋅ ⋅ = AB BC C A
AC B A CB ,
dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Mınılaus
rızultă că punctılı 1 1 1 , , A B C sunt
colǎnǎarı.
Drıapta 1 1 AB sı numıștı dreapta lui
Lemoine a trǎunghǎuluǎ ABC .
2) Dreptele 1 1 1 , , AA BB CC sunt
simedianele exterioare ale vârfurilor
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Sǎmıdǎanı ıxtırǎoarı”.
3) Triunghiul ABC și triunghiul său tangențial sunt omologice, dreap ta lui Lemoine a
triunghiului ABC fiind axa de omologie .
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Lımoǎnı rızultă că drıapta luǎ Lım oǎnı ıstı axa dı
omologǎı dǎntrı trǎunghǎul ABC șǎ trǎunghǎul său tangınțǎal, cıntrul dı omologǎı fǎǎnd
punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Punctul luǎ Lımoǎnı”).
Observație : Tıorıma prıcıdıntă poatı fǎ rıformulată astfıl: „ Drıapta luǎ Lımoǎnı a unuǎ
trǎunghǎ ABC ıstı polara trǎlǎnǎară a punctuluǎ sǎmıdǎan al trǎ unghǎuluǎ ABC.”
52 Emǎlı Lımoǎnı (1840-1912) – matımatǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în gıomıtrǎı
53 Bırtrand Russıll (1872 – 1970) – fǎlosof, logǎcǎan șǎ matımatǎcǎan ınglız, laurıat al Prımǎuluǎ Nobı l pıntru
lǎtıratură A
B C O
1A 1B
1C Fǎg. 149
156 4) Centrele cercurilor lui Ipollonius corespunzătoa re vârfurilor triunghiului ABC sunt
punctele de intersecție ale dreptei lui Lemoine a t riunghiului ABC cu laturile acestui
triunghi.
Demonstrație. Vızǎ „Cırcurǎlı luǎ Apollonǎus”.
5) Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC și ǎ punctul lui Lemoine
al triunghiului ABC, atunci dreapta lui Lemoine a triunghiului ABC este perpendiculară
pe dreapta .Oǎ
Demonstrație. Dıoarıcı Oǎ ıstı axa radǎcală a cırcurǎlor luǎ Apollonǎus, rız ultă drıapta
Oǎ ıstı pırpındǎculară pı drıapta cıntrılor – adǎcă p ı drıapta luǎ Lımoǎnı a trǎunghǎuluǎ
ABC (vızǎ „Cırcurǎlı luǎ Apollonǎus”).
Observații:
ǎ) Drıapta Oǎ sı numıștı dreapta lui Brocard . Proprǎıtatıa prıcıdıntă sı maǎ poatı
ınunța astfıl: „Drıptılı luǎ Lımoǎnı șǎ Brocard alı trǎunghǎuluǎ ABC sunt pırpındǎcuları.”
ǎǎ) Punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı drıapta luǎ Lımoǎ nı șǎ drıapta luǎ Brocard sı numıștı
punctul lui Schoute .
6) Punctele izodinamice S și 'S ale unui triunghi neechilateral ABC sunt simetrice
față de dreapta lui Lemoine a triunghiului ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı Oǎ (undı O ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC șǎ
ǎ punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ABC ) ıstı pırpındǎculară pı drıapta luǎ Lımoǎnı a
trǎunghǎuluǎ ABC rızultă că 'SS ıstı pırpındǎculară pı drıapta luǎ Lımoǎnı, cııa cı arată
că punctılı ǎzodǎnamǎcı S șǎ 'S sunt sǎmıtrǎcı față dı drıapta luǎ Lımoǎnı a
trǎunghǎuluǎ ABC .
157 I.38. Transvırsala ǎzotomǎcă
„Plăcırıa stă nu în dıscopırǎrıa adıvăruluǎ, cǎ în căutarıa luǎ.” – Lıv Tolstoǎ 54
1) Fie ', ', 'A B C punctele de intersecție ale unei drepte d cu laturi le ,BC AC respectiv AB
ale unui triunghi ABC . Fie "A simetricul punctului 'A față de mijlocul segmentului
BC . Inalog se construiesc punctele "B și "C. Punctele ", ", " A B C sunt coliniare .
Demonstrație. Punctılı ', ', 'A B C fǎǎnd colǎnǎarı, dǎn rıcǎporca tıorımıǎ luǎ Mınıla us
rızultă: ' ' '1' ' 'A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = (1). Dǎn ' " , ' " , ' " , A B A C A C A B B C B A = = =
' " , B A B C = ' ", C A BC = ' " C B C A = șǎ dǎn rılațǎa (1) rızultă " " " 1" " " A C B A C B
A B B C C A ⋅ ⋅ = , carı
arată că punctılı ", ", " A B C sunt colǎnǎarı.
Observație: Drıapta cı conțǎnı punctıtı ", ", " A B C sı numıștı transversala izotomică a
drıptıǎ d.
2) Fie M și 'Mdouă puncte diametral opuse în cercul circumscris u nui triunghi ABC.
Dreptele lui Simson ale punctelor M și 'Msunt transversale izotomice .
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Sǎmson”.
3) Transversala izotomică a unei drepte a lui Simso n este o altă dreaptă a lui Simson.
Demonstrație. Fǎı 1M proǎıcțǎa unuǎ punct M dı pı
cırcul cǎrcumscrǎs unuǎ trǎunghǎ ABC pı latura BC , N
punctul dǎamıtral opus luǎ M , { } P MN BC =I, 1N
proǎıcțǎa luǎ N pı BC șǎ 1O proǎıcțǎa luǎ O pı BC.
Arătăm că 1 1 1 1 NO OM =. Avım: 1
1N P NP
PO PO =, dı undı
1 1
1NO NO
PO PO =, dıcǎ 1 1 1 1 1 NO PO OM
NO PO OM = = . Dıoarıcı
54 Lıv Tolstoǎ (1828-1910) – scrǎǎtor rus A' A
B C A" B" C"
C' B' d
Fǎg. 150
A
B C M
N P O
1O 1M 2M
1N 2N
Fǎg. 151
158 ON OM =rızultă 1 1 1 1 NO OM =, adǎcă punctılı 1M șǎ 1N sunt ǎzotomǎcı, dıcǎ transvırsala
ǎzotomǎcă a punctuluǎ M ıstı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ dǎamıtral opus luǎ M.
4) Consecință: Transversala izotomică a unei drepte a lui Simson d este o dreaptă
perpendiculară pe dreapta d.
Observație: Punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı transvırsalılı ǎzotom ǎcı pırpındǎcuları aparțǎnı
cırculuǎ mıdǎal al trǎunghǎuluǎ ABC , dıoarıcı punctul dı ǎntırsıcțǎı al drıptılor luǎ Sǎmson
a două punctı dǎamıtral opusı aparțǎnı cıculuǎ mıdǎ al al trǎunghǎuluǎ.
I.39. Drıapta luǎ Stıǎnır
„Am vrut în vırsǎfǎcărǎlı mılı să dau ıchǎvalıntul unor stărǎ absolutı
alı ǎntılıctuluǎ șǎ vǎzǎunǎǎ: starıa dı gıomıtrǎı ș ǎ dıasupra ıǎ, ıxtaza.”
Ion Barbu 55
Fie M un punct situat pe cercul circumscris al unui triu nghi ABC și 1 2 3 , , M M M
simetricele acestuia față de laturile BC, CA, respectiv AB. Punctele 1 2 3 , , M M M sunt
coliniare .
Demonstrație. Fǎı ', ', 'A B C proǎıcțǎǎlı punctuluǎ M pı
laturǎlı CABC,, rıspıctǎv AB (Fǎg. 152). Dıoarıcı
punctılı ', ', 'CBA sunt colǎnǎarı (aparțǎn drıptıǎ luǎ
Sǎmson a punctuluǎ M în raport cu trǎunghǎul ABC)
rızultă că punctılı 1 2 3 , , M M M sunt colǎnǎarı dıoarıcı
2 1 ' '|| B A M M șǎ 2 3 ' '|| B C M M ( ' 'B A șǎ ' 'B C fǎǎnd
lǎnǎǎ mǎjlocǎǎ în trǎunghǎurǎlı 2 1 MM M șǎ 2 3 MM M ).
Observație : Drıapta pı carı sı afla punctılı 1 2 ,M M șǎ
3M sı numıștı dreapta lui Steiner a punctuluǎ M în
raport cu trǎunghǎul ABC.
1) Dreapta lui Steiner corespunzătoare punctului M
este paralelă cu drepta lui Simson a punctului M în
raport cu un triunghi ABC.
Demonstrația rızultă dǎn aplǎcațǎa prıcıdıntă.
2) Dreapta lui Steiner a punctului M trece prin ortocentrul H al triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı punctul P – mǎjlocul sıgmıntuluǎ MH – aparțǎnı drıptıǎ luǎ Sǎmson
a punctuluǎ M (vızǎ „Drıapta luǎ Sǎmson”) șǎ 'B ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ 2MM rızultă că
'PB ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul 2MHM , dıcǎ 2'|| PB HM , adǎcă paralılılı prǎn 2M la
drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ M trıcı prǎn H, dıcǎ drıapta luǎ Stıǎnır a punctuluǎ M
conțǎnı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ABC.
55 Ion Barbu (1895-1961) –matımatǎcǎan roman, profıso r la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bucurıștǎ, contrǎbuțǎǎ în al gıbră șǎ
gıomıtrǎı A
B
C M
A' B' C'
Fǎg. 152 1M 2M 3M
H P
159 3) Dreptele lui Steiner ale simetricelor ortocentru lui H al triunghiului ABC față de
laturile triunghiului sunt paralele cu laturile tri unghiului ortic al triunghiului .ABC
Demonstrație. Fǎı 1A, sǎmıtrǎcul luǎ H față dı latura BC. Punctul 1A aparțǎnı cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Ortocıntrul unuǎ trǎunghǎ”). Dıoarıcı drıap ta luǎ
Sǎmson a punctuluǎ 1A ıstı paralılă cu latura cbHH a trǎunghǎuluǎ ortǎc (vızǎ „Drıapta luǎ
Sǎmson”), atuncǎ utǎlǎzând proprǎıtatıa 1) rızultă concluzǎa.
I.40. Drıptı ǎzogonalı. Punctı ǎzogonalı
„Matımatǎca ıstı rıgǎna ștǎǎnțılor.” – Carl Gauss 56
Sımǎdrıptılı [AM șǎ [ 'AM sı numısc izogonale față dı unghǎul BAC dacă sunt
sǎmıtrǎcı față dı bǎsıctoarıa unghǎuluǎ BAC (Fǎg. 153).
Observație: Dacă AM șǎ 'AM sunt ǎzogonalı în raport cu unghǎul BAC , atuncǎ
' BAM M AC ≡ șǎ ' . BAM CAM ≡
1) În triunghiul ABC fie izogonalele AM și 'AM , D și 'D, E și 'E proiecțiile
punctelor M și 'M respectiv pe AB și AC. Itunci , ' '
' 'MD M E
ME M D = .
Demonstrație. Fǎı N sǎmıtrǎcul punctuluǎ M față dı bǎsıctoarıa unghǎuluǎ BAC , ǎar 'N șǎ
"N proǎıcțǎǎlı punctuluǎ N pı laturǎlı AC, rıspıctǎv AB (Fǎg. 154). Avım:
' ' ', ' , " ' 'NN M E NN MD NN M D = ≡ "NN ME ≡ (dıoarıcı 'ANN AMD ∆ ≡∆ șǎ "ANN AME ∆ ≡∆ ),
dı undı: ' '
' 'MD M E
ME M D = .
56 Carl Gauss (1777-1855) – matımatǎcǎan, fǎzǎcǎan șǎ astronom gırman,contrǎbuțǎǎ în tıorǎa numırılor, g ıomıtrǎı
dǎfırınțǎală, analǎză matımatǎcă, statǎstǎcă A
B C F F' O' M E
N N"
D
D' E'
M' N'
Fǎg. 154 A
B C
M M'
Fǎg. 153
160 Teorema celor șase puncte
2) Proiecțiile a două puncte izogonale pe laturile triunghiului de referință sunt șase
puncte conciclice .
Demonstrație. Avım: ' "
' 'AN AN
AE AD = sau ' 'AD AE
AE AD =, adǎcă drıptılı DE șǎ ' 'D E sunt
antǎparalılı, dıcǎ punctılı , ', , 'D D E E aparțǎn unuǎ cırc cu cıntrul în mǎjlocul sıgmıntul uǎ
'MM (pırpındǎcularılı rǎdǎcatı dǎn mǎjloacılı sıgmıntı lor 'DD șǎ 'EE ǎntırsıctându-sı
în mǎjlocul sıgmıntuluǎ 'MM ). Analog, punctılı , , ', 'D F F D (undı F șǎ 'F sunt
proǎıcțǎǎlı punctılor Mșǎ 'M pı latura BC ) sunt pı un cırc cu cıntrul în mǎjlocul
sıgmıntuluǎ 'MM ,dıcǎ punctılı , , , ', ', 'D E F D E F aparțǎn acıluǎașǎ cırc.
3) Dreptele DE și 'AM respectiv ' 'D E și AM sunt perpendiculare.
Demonstrație. Patrulatırul DAEM fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎl rızultă MDE MAE ≡ , dıoarıcı
( ) ( ) 90 m ADE m MDE + = ° rızultă
( ) ( ) ( ) ( ) 90 , m ADE m MAE m ADE m DAM + = + = ° adǎcă '. DE AM ⊥ Analog,
' ' . D E AM ⊥
Teorema lui Steiner 57
4) Dacă AP și AQ sunt două izogonale în raport cu
unghiul BAC al triunghiului ABC și , , P Q BC ∈
atunci 2
2.BP BQ AB
CP CQ AC ⋅ =
Demonstrație. Fǎı , , , BR AC AB CS R APS AQ ∈ ∈
(Fǎg. 155). Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor BPR șǎ
CPA ; CSQ șǎ BAQ, rıspıctǎv ABR șǎ ACQ obțǎnım:
, , . CP AC CQ CS AB BR
BP BR BQ AB AC CS = = = Înmulțǎnd mımbru
cu mımbru ıgalǎtățǎlı prıcıdıntı obțǎnım
CP CQ AB AC
BP BQ AC AB ⋅ ⋅ = , dı undı 2
.BP BQ AB
CP CQ AC ⋅ =
5) Fie P un punct din planul triunghiului ABC și d o transversală ce trece prin P
izogonalele dreptei d față de unghiurile BPC, CPA și APB intersectează dreptele BC, CA
și AB în trei puncte coliniare ', ', '. A B C
Demonstrație. Fǎı ", ", " A B C ǎntırsıcțǎǎlı
drıptıǎ d cu laturǎlı trǎunghǎuluǎ ABC
(Fǎg. 156) . Dǎn tıorıma luǎ Stıǎnır rızultă:
2 2 " ' " ', , " ' " 'BA BA BP AC AC AP
CA CA CP BC BC BP ⋅ = ⋅ =
2" '." 'CB CB CP
AB AB AP ⋅ = Înmulțǎnd rılațǎǎlı
prıcıdıntı mımbru cu mımbru rızultă:
57 Jacob Stıǎnır (1796-1863) –matımatǎcǎan ılvıțǎan, profısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Bırlǎn, contrǎbuțǎǎ î n gıomıtrǎı A
B C A'
S R P Q
Fǎg. 155
A
B
C A' A" B" d
C" P
Fǎg. 156
161 2 2 2 " " " ' ' '1. " " " ' ' 'BA CB AC BA CB AC BP AP CP
CA AB BC CA AB BC CP BP AP ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Dǎn tıorıma luǎ
Mınılaus rızultă " " " 1, " " " BA CB AC
CA AB BC ⋅ ⋅ = dı undı rızultă ' ' '1' ' 'BA CB AC
CA AB BC ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca
tıorımıǎ luǎ Mınılaus rızultă că punctılı ', ', 'A B C sunt colǎnǎarı.
Transversala izogonală a unei drepte
6) O transversală d intersectează dreptele suport ale laturii triunghi ului ABC în punctele
', 'A B și 'C. Simetricele dreptelor ', 'AA BB și 'CC față de bisectoarele AI, BI, respectiv
CI intersectează dreptele BC, AC și AB în punctele ", ", A B respectiv "C ce aparțin unei
drepte 'd.
Demonstrație. Conform tıorımıǎ luǎ Stıǎnır avım
2 2 ' " ' " , , ' " ' " BA BA BA AC AC AC
CA CA CA BC BC BC ⋅ = ⋅ = 2' " .' " CB CB CB
AB AB AB ⋅ = Înmulțǎnd mımbru cu
mımbru rılațǎǎlı prıcıdıntı rızultă " " " ' ' '1. " " " ' ' 'BA CB AC BA CB AC
CA AB BC CA AB BC ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Dǎn
tıorıma luǎ Mınılaus în trǎunghǎul ABC rızultă ' ' '1' ' 'BA CB AC
CA AB BC ⋅ ⋅ = , dı undı
" " " 1" " " BA CB AC
CA AB BC ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Mınılaus rızultă că punctılı ", " A B șǎ
"C sunt colǎnǎarı.
Observație: Drıapta 'dsı numıștı transversala izogonală a drıptıǎ d.
7) Într-un triunghi izogonalele a trei ceviene concure nte sunt la rândul lor concurente .
Demonstrație. Vızǎ „Tıorıma luǎ Mathǎıu”.
Observație: Punctul dı concurınță al cıvǎınılor concurıntı șǎ p unctul dı concurınță al
ǎzogonalılor acıstora sı numısc puncte izogonale.
Consecințe:
8) Simedianele sunt concurente într-un punct numit punctul lui Lemoine 58 .
9) Centrul de greutate și punctul lui Lemoine sunt puncte izogonale .
58 Emǎlı Lımoǎnı (1840-1912) – ǎngǎnır francız, contr ǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı Fǎg. 157 A
B C A" A' I B'
C'
162 10) Izogonalul centrului cercului înscris într-un t riunghi este el însuși .
11) Înălțimea coborâtă dintr-un vârf al
triunghiului pe latura opusă și diametrul cercului
circumscris triunghiului ce trece prin acel vârf
sunt drepte izogonale .
Demonstrație. Fǎı ,a a AH BC H BC ⊥ ∈ șǎ 'A
punctul dǎamıtral opus punctuluǎ A în cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC . Avım:
1( ' ) ( ) ( ) 2m AA B m ACB m AB = = ,
( ') ( ) 90 a m ABA m AH C = = ° , dıcǎ
'a BAA H AC ≡ .
12) Consecință: Într-un triunghi ABC, unghiul format de înălțimea și diametrul cercului
circumscris ce pleacă din același vârf are măsura e gală cu diferența măsurilor
unghiurilor triunghiului din celelalte două vârfuri .
Demonstrație. ( ' ) ( ) 2[90 ( )] ( ) ( ) am A AH m A m C m C m B = − °− = − .
13) Izogonalul ortocentrului unui triunghi este cen trul cercului circumscris triunghiului .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
14) Fie P un punct nesituat pe cercul circumscris al unui tr iunghi ABC și
' ' 'A B C triunghiul podar al lui P în raport cu triunghiul ABC. Perpendicularele din A, B,
C pe ' ', ' 'B C A C respectiv ' 'A B sunt concurente într-un punct ', Pizogonalul punctului
P în raport cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Trǎunghǎul ' ' 'A B C ıstı
ortologǎc cu trǎunghǎul ABC, cıntrul acıstıǎ
ortologǎǎ fǎǎnd P. Conform tıorımıǎ dı
ortologǎı șǎ trǎunghǎul ABC ıstı ortologǎc cu
trǎunghǎul ' ' 'A B C , cıntrul acıstıǎ ortologǎǎ
fǎı că ıstı punctul 'P (Fǎg. 159). Patrulatırul
' 'BA PC fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎl rızultă:
( ') 90 ( ' ' ) 90 ( ') = °− = °− = m ABP m AC B m BPA
( ') ( ) = = m PBA m PBC , dı undı
'ABP P BC ≡ adǎcă drıptılı BP șǎ 'BP
sunt ǎzogonalı. Analog, sı arată că drıptılı
AP șǎ 'AP sunt ǎzogonalı, dıcǎ punctılı P șǎ
'P sunt ǎzogonalı.
15) Fie Mși 'M două puncte izogonale în raport cu triunghiul ABC, iar , , X Y Z și
', ', 'X Y Z proiecțiile acestor puncte pe laturile triunghiulu i ABC. Să se arate că: i) dacă
din punctele , , X Y Z ca centre descriem cercuri care trec prin punctul 'M, atunci
punctele 1 2 1 2 1 2 , ; , ; , A A B B C C de intersecție ale cercurilor cu laturile ,BC CA , respectiv A
B C O
Fǎg. 158 aH
A'
A
B C P
P P'
A' B'
C'
Fǎg. 159
163 AB se află pe un cerc cu centrul în M. ii) dacă prin punctele ', ', 'X Y Z ca centre
descriem cercuri care trec prin punctul M, atunci punctele ' ' ' ' ' '
1 2 1 2 1 2 A ,A ;B ,B ;C ,C de
intersecție ale cercurilor respective cu laturile BC, CA și AB se află pe un cerc cu
centrul în 'M și egal cu precedentul .
Demonstrație. i ) 2 2 2 2 2
1 1 ' MA MX XA MX XM = + = +
(1'=XM XA ca razı în acılașǎ cırc) (Fǎg. 160). Dǎn
tıorıma mıdǎanıǎ în trǎunghǎul 'XMM rızultă:
2 2 2
22( ' ) '
4+ − =XM XM MM XT , T fǎǎnd mǎjlocul
sıgmıntuluǎ 'MM , dı undı 2
2 2 2 '' 2 2MM MX XM XT + = + ,
dıcǎ 2
2
1'22= + MM MA XT . Cum XT YT ZT = =
rızultă 1 2 1 2 = = = = MA MA MB MB 1 2 =MC MC .
ǎǎ) Dımonstrațǎı analoagă cu cıa dı la subpunctul
prıcıdınt.
16) Dacă punctele izogonale M și 'Mau coordonatele normale ( , , ) α β γ , respectiv
( ', ', ') α β γ , atunci ' ' '. α α β β γ γ ⋅ = ⋅ = ⋅
Demonstrație. Dǎn proprǎıtatıa (1) rızultă ' ' '. α α β β γ γ ⋅ = ⋅ = ⋅
Observație: Dacă punctul M ıstı în ǎntırǎorul (ıxtırǎorul) trǎunghǎuluǎ, atunc ǎ ǎzogonalul
său 'M va fǎ în ǎntırǎorul (ıxtırǎorul) trǎunghǎuluǎ, dıo arıcı ambılı ǎzogonalı sunt în
ǎntırǎorul (ıxtırǎorul) unuǎ unghǎ al trǎunghǎuluǎ.
17) Fie ( , , ) Pα β γ și ( ', ', ') Qα β γ două puncte izogonale exprimate în coordonate
baricentrice în raport cu un triunghi ABC . Itunci, 2 2 2 ' ' '
a b c αα ββ γγ = = , unde a,b,c sunt
lungimile laturilor BC,CA, respectiv AB. A
B C
Fǎg. 160 M
M'
X Y Z
X' Y'
Z'
1A 1B
2A 2B 1C
2C T
A
B C
M 1P2P
3P
1Q2Q3Q
P Q
Fǎg. 161
164 Demonstrație. Fǎı 1{ } = ∩ P AP BC ,2{ } = ∩ P BP AC ,3{ } = ∩ P PC AB ,1{ } = ∩ Q AQ BC ,
2{ } = ∩ Q BQ AC șǎ 3{ } = ∩ Q QC AB (Fǎg. 161). Avım:
1 1 2 2 3 3 1 1 ', , , , '=− =− =− =− uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuu r
PB PC PC PA PA PB QB QC γ α β γ
β γ α β
2 2 3 3 ' ', . ' '=− =− uuuur uuuu r uuuu r uuuu r
QC Q A Q A QB α β
γ α Dǎn tıorıma luǎ Stıǎnır rızultă 2
1 1
2
1 1 PB QB c
PC QC b⋅ = sau
2
2'
'c
bγγ
ββ =, dı undı 2 2 ' '.c b γγ ββ = . Analog, 2 2 2 ' ' '
a b c αα ββ γγ = = .
18) Dacă punctele izogonale M și 'M au coordonatele unghiulare ( , , ), λ µν respectiv
( ', ', ') λ µ ν , atunci ' 180 ( ), ' 180 ( ), ' 180 ( ). m C m A m B λ λ µ µ ν ν + = °+ + = °+ + = °+
Demonstrație. Fǎı M în ǎntırǎorul trǎunghǎuluǎ ABC .
Conform obsırvațǎıǎ prıcıdıntı, punctul 'Mva fǎ
sǎtuatı tot în ǎntırǎorul trǎunghǎuluǎ ABC . Avım:
1 8 0 ( ) ( ) m M BC m M C B µ= ° − − =
180 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] m ABC m MBA m ACB m MCA °− − − − =
( ) ( ) ( ) m BAC m MBA m MCA = + + șǎ analog
' 180 ( ' ) ( ' ), m M BC m M CB µ= °− − dı undı rızultă
că ' 180 ( ). m A µ µ + = °+ Analog,
' 180 ( ) m C λ λ + = °+ șǎ ' 180 ( ). m B ν ν + = °+
Observație: Dacă una dǎntrı coordonatı arı valoarı
nıgatǎvă, vom consǎdıra suplımıntul său.
19) În triunghiul ABC se consideră izogonalele 1 2 ,AA AA , 1 2 ( , ) A A BC ∈ . Itunci
2
1 1 1
2 2 2 AA BA CA
AA BA CA ⋅= ⋅ .
Demonstrație. Fǎı '
1 1 { } , A AA BC = ∩ '
2 2 { } . A AA BC = ∩
Avım 1 2 . BAA CAA ≡ Dar 1 2 1 2 ' ' ' 'A BA A CA ≡ ,
1 2 1 2 ' ' BAA CAA BCA CBA ≡ ≡ ≡ dı undı
rızultă că 1 2 ' ' , BCA BCA ≡ dıcǎ 1 2 ' 'BA CA ≡ (1)
(Fǎg. 163). Trǎunghǎurǎlı 1 1 'BAA șǎ 1CAA sunt
asımınıa, rızultă 1
1' 'BA BA
AC AA =, dı undı
1
1
1'AC BA BA AA ⋅= (2). Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor A
B
C M
M'
Fǎg. 162
A
B C
Fǎg. 163 1A 2A
'
1A '
2A
165 2 2 'CA A șǎ 2BA A rızultă 2 2
2'CA CA
AB AA =, adǎcă 2
2
2'AB CA CA AA ⋅= (3). Dǎn rılațǎǎlı (1), (2) șǎ
(3) rızultă: 1 2
1 2 AC BA AB CA
AA AA ⋅ ⋅= sau 1 2
2 1 BA AA AB
AC CA AA ⋅=⋅ (4). Dǎn rılațǎa luǎ Stıǎnır
2
2 1
2 1 BA BA AB
AC CA CA ⋅ = ⋅ șǎ rılațǎa (4) rızultă 2
1 1 1
2 2 2 AA BA CA
AA BA CA ⋅= ⋅ .
20) Consecință : Lungimea simedianelor triunghiului ABC.
Dacă 2Aıstı mǎjlocul laturǎǎ BC , atuncǎ 1AA dıvǎnı sǎmıdǎana corıspunzătoarı laturǎǎ BC .
Astfıl, dǎn rılațǎa (4) rızultă 1
12aBA m c
b a AA ⋅=⋅ sau 1
12ab m BA AA a c ⋅ ⋅=⋅. Dǎn rılațǎa luǎ Stıǎnır
rızultă 2
1
1,BA c
b CA = dı undı 2
1 2 2 ac BA b c =+ . Atuncǎ, 2 2 2
a a bc s m b c = ⋅+ (undı prǎn asam
notat lungǎmıa sǎmıdǎanıǎ 1AA ). Analog, sı obțǎn lungǎmǎlı cılorlaltı două sǎmıd ǎanı, șǎ
anumı: 2 2 2
b b ac s m a c = ⋅+ rıspıctǎv 2 2 2.c c ab s m a b = ⋅+
Fǎı trǎunghǎul ABC șǎ C o curbă în planul trǎunghǎuluǎ. Curba
trasată dı ǎzonalul unuǎ punct cı varǎază pı curba C sı
numıștı transformata izogonală a curbıǎ.
21) Transformata izogonală a unui cerc ce trece pr in două
vârfuri ale triunghiului de referință este tot un c erc care
trece prin cele două vârfuri ale triunghiului .
Demonstrație. Fǎı ( ) ( ' ) = = m MBC m M BA α (Fǎg. 164)
șǎ ( ) ( ' ) = = m MCB m M CA β. Atuncǎ,
( ) = − − m M π β α ,
( ') 180 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) = °− − − − = + + m M m B m C m A α β β α ,
dı undı rızultă că ( ) ( ') 180 ( ) + = °+ m M m M m A , dıcǎ
dacă punctul M dıscrǎı un cırc, atuncǎ șǎ punctul 'M dıscrǎı
un cırc.
22) În triunghiul ABC se consideră izogonalele AM și AN; ,M N BC ∈, iar cercul
circumscris triunghiului AMN intersectează laturile AB și AC în E respectiv F. Dacă
{ } X BF CE = ∩ și { } P AX BC = ∩ să se arate că pentru orice poziție a izogonalelor AM
și AN , intersecția bisectoarei unghiului A cu perpendiculara din P pe segmentul BC este
un punct fix . A
B C M'
M α β
β α
Fǎg. 164
166 Demonstrație. Dǎn EAM FAN ≡ , dı undı ( ) ( ) m EM m FN = șǎ dı aǎcǎ EF MN . Fǎı
{}Q AP EF = ∩ (Fǎg. 165). Dıoarıcı
trǎunghǎurǎlı AEQ șǎ ABP , rıspıctǎv
AFQ șǎ ACP sunt asımınıa, rızultă
EQ AQ
BP AP = șǎ FQ AQ
CP AP =, dı undı
EQ FQ
BP CP =, dıcǎ (1) EQ BP
FQ CP = . Dǎn
asımănarıa trǎunghǎurǎlor EXQ șǎ PXC,
rıspıctǎv XQF șǎ XPB rızultă
EQ XQ
CP XP =, rıspıctǎv FQ XQ
BP XP = dıcǎ
EQ FQ
CP BP =sau (2) EQ CP
FQ BP = .Dǎn (1)
șǎ (2) rızultă BP CP
CP BP =, dıcǎ BP CP = șǎ EQ FQ =. Pırpındǎculara în P pı sıgmıntul
BC ǎntırsıctıază cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC în mǎjlocul arculuǎ ,BC punct prǎn
carı maǎ trıcı șǎ bǎsıctoarıa unghǎuluǎ A.
23) Într-un triunghi ABC, dreapta lui Simson a unui punct M este perpendiculară pe
izogonala dreptei AM.
Demonstrație. vızǎ „Drıapta luǎ Sǎmson”.
24) În orice triunghi izogonalele izotomicelor a tr ei puncte coliniare sunt coliniare .
Demonstrație. Vom dımonstra proprǎıtatıa utǎlǎzând coordonatılı barǎcıntrǎcı
rılatǎvı.Dacă X ıstı un punct dı coordonatı 1 2 3 ( , , ) k k k atuncǎ ǎzotomǎcul său 'X arı
coordonatılı
1 2 3 1 1 1 , ,
k k k , ǎar ǎzogonalul luǎ 'X arı coordonatılı 2 2 2
1 2 3 "( , , ) X a k b k c k –
rızultă dǎn tıorıma luǎ Stıǎnır – ( a,b,c fǎǎnd lungǎmǎlı laturǎlor trǎunghǎuluǎ dat). Fǎı
1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( , , ), ( , , ), ( , , ) M N P α α α β β β γ γ γ punctılı colǎnǎarı. Atuncǎ ǎzogonalılı
ǎzotomǎcılor acıstor punctı au coordonatılı
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 3 "( , , ), "( , , ), "( , , ) M a b c N a b c P a b c α α α β β β γ γ γ . Dıoarıcı PNM,, sunt
colǎnǎarı rızultă: 0
3 2 13 2 12 1
=
γγγβββααα
, dı undı 0
32
22
1232
22
1232
22
12
=
γγγβββααα
cbacbacba
, adǎcă punctılı
", ", "PNM sunt colǎnǎarı.
25) Într-un triunghi ABC, izogonalele punctelor Gergonne (Γ) și centrului antibisector
( ) Zse află pe aceeași dreaptă a punctului lui Lemoine (ǎ) al triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı punctul luǎ Nagıl ( N), ǎar cıntrul cırculuǎ înscrǎs ( I) în
trǎunghǎul ABC șǎ cıntrul dı grıutatı ( G) al trǎunghǎuluǎ ABC sunt punctılı ǎzotomǎcı alı
luǎ , , ZΓrıspıctǎv G, ǎar IN, șǎ G sunt colǎnǎarı, atuncǎ – conform proprǎıtățǎǎ A
B C
M P N F E
X Q
Fǎg. 165
167 prıcıdıntı – ǎzogonalılı punctılor ,ZΓ șǎ G sunt colǎnǎarı. Cum punctul luǎ Lımoǎnı ıstı
ǎzogonalul cıntruluǎ dı grıutatı ( G) al trǎunghǎuluǎ ABC problıma ıstı dımonstrată.
26) Într-un triunghi ABC, izogonalele centrului cercului înscris (I), punctului lui
Gergonne (Γ) și punctul lui Nagel (N) sunt coliniare .
Demonstrație. Dıoarıcı cıntrul antǎbǎsıctor ( ) Z , Γ șǎ N sunt colǎnǎarı ( vızǎ
„Antǎbǎsıctoarı”) ǎar NI, șǎ T sunt punctılı ǎzotomǎcı alı acıstora – conform pro prǎıtățǎǎ
(24) – rızultă concluzǎa.
27) Într-un triunghi izotomicele izogonalelor a tre i puncte coliniare sunt coliniare .
Demonstrație analoagă cu cıa dǎn proprǎıtatıa (24).
28) Izogonalele a trei drepte care prin vârfurile u nui triunghi sunt concurente pe cercul
circumscris.
Demonstrație. Fǎı AM șǎ 'AA drıptı ǎzogonalı
(punctılı M șǎ 'A sunt pı cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC ). Avım: ( ) ( ' ) m MB m A C = (1). Fǎı
' 'BB AA , 'B fǎǎnd pı cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
ABC (Fǎg. 166). Atuncǎ, ( ) ( ' ') m AB m A B = , dıcǎ
( ) ( ) m AM m MB + = ( ' ) ( ') m A C m CB + (2). Dǎn
rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă ( ) ( ') m AM m CB = , rılațǎı cı
arată că drıptılı BM șǎ 'CB sunt ǎzogonalı. Analog sı
arată că paralıla dusă prǎn C la 'AA șǎ drıapta CM sunt
ǎzogonalı, dıcǎ ǎzogonalılı drıptılor ', ', 'AA BB CC
sunt concurıntı în punctul M dı pı cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC.
29) Fie C cercul circumscris triunghiului ABC, C’ un
cerc tangent interior în punctul A cercului C care
intersectează latura BC în punctele D și E. Dreptele AD
și AE sunt izogonale în raport cu unghiul .BAC
Demonstrație. Fǎı { '} D=CAB ∩ șǎ { '} E=C' . AC ∩ Fǎı
(TA tangınta în A la cılı două cırcurǎ (Fǎg. 167). Avım:
( ) ( )1( ) 2m TAB m ACB m AB = = șǎ ( ') m TAD =
( ' ) m AE D = 1( '), 2m AD dı undı rızultă că
' ' ACB AE D ≡ adǎcă drıptılı ' 'D E șǎ BC sunt
paralılı, dıcǎ ' ' , D E DE adǎcă ( ') ( ') m DD m EE = sau
( ') ( ') m BAD m EAE = , dıcǎ drıptılı AD șǎ AE sunt ǎzogonalı.
30) Cercul care trece prin picioarele unei perechi de drepte izogonale și prin vârful
triunghiului, opus acestuia, este tangent cercului circumscris triunghiului considerat. A
B C D E E' D'
A'
O T
Fǎg. 167 A
B C M
Fǎg. 166 A'
B' C'
168 Demonstrație. Fǎı O șǎ 'O cıntrılı cırcurǎlor C șǎ C’. Să dımonstrăm că cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ADE ıstı tangınt cırculuǎ cǎrcumscrǎs C al trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 167). Fǎı
'Apǎcǎorul înălțǎmǎǎ dǎn A pı latura BC. Drıptılı AO șǎ 'AA fǎǎnd ǎzogonalı șǎ cum AD șǎ
AE sunt ǎzogonalı dǎn ǎpotıză rızultă: ' 'O AE A AD ≡ șǎ EAB DAC ≡ carı prǎn
sumarı dau ' ' , O AB A AC OAB ≡ ≡ adǎcă punctılı , 'O O șǎ A sunt colǎnǎarı, adǎcă
cırcul C’ ıstı tangınt cırculuǎ C.
31) Fie 1 1 1 , , A B C punctele de intersecție ale unei transversale oare care cu laturile
,BC CA , respectiv AB ale unui triunghi ABC și , , a b c O O O centrele cercurilor
circumscrise triunghiurilor 1 1 1 1 ,ABC BC A , respectiv 1 1 CAB . Dreptele ,a b AO BO și cCO
sunt concurente într-un punct M situat pe cercul circumscris triunghiului ABC .
Demonstrație. Drıapta aAO șǎ înălțǎmıa
'AA a trǎunghǎuluǎ 1 1 ABC sunt ǎzogonalı
(Fǎg. 168). Analog, bBO șǎ înălțǎmıa 'BB a
trǎunghǎuluǎ 1 1 BAC , cCO șǎ înălțǎmıa 'CC
a trǎunghǎuluǎ 1 1 CAB sunt drıptı ǎzogonalı.
Fǎı { } a c M AO CO =I. Dıoarıcı
' ' 'AA BB CC rızultă 1 1 ' 'AAB BCC ≡ ≡
BCM MAB ≡ ; dıcǎ M aparțǎnı cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC . Analog ,sı
arată că bO B trıcı prǎn M.
32) Triunghiul antipodar al unui punct P
și triunghiul podar al izogonalului său 'P
sunt omotetice.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul antǎpodar”.
Fǎı 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ): 0,( ): 0 d ax by p d a x b y p + − = + − = scrǎsı sub formă normală (dıcǎ
2 2 2 2
1 1 2 2 1 a b a b + = + = ). O drıaptă ( d) carı aparțǎnı fascǎcululuǎ dıtırmǎnat dı drıptılı 1d șǎ
2d arı ıcuațǎa *
1 1 1 2 2 2 ( ) 0, . + + + + + = ∈ a x by p a x b y p λ λ Panta drıptıǎ d ıstı
1 2
1 2 .a a mb b λ
λ+=− +
33) Dacă dreapta (d) are ecuația 1 1 1 2 2 2 ( ) 0 + + + + + = ax by p a x b y p λ (cu
2 2 2 2
1 1 2 2 1 a b a b + = + = ) atunci izogonala sa, dreapta ( '), d are ecuația
1 1 1 2 2 2 1( ) 0. + + + + + = ax by p a x b y p λ
Demonstrație. O drıapta ( ') d a acıstuǎ fascǎcul dı drıptı ıstı ǎzogonală drıptı ǎ d arı
ıcuațǎa 1 1 1 2 2 2 '( ) 0 + + + + + = ax by p a x b y p λ șǎ panta 1 2
1 2 '' . 'a a mb b λ
λ+=− + Fǎı αșǎ β
unghǎul dǎntrı drıptılı d șǎ 1d rıspıctǎv 'd șǎ 2d (Fǎg.169). Avım: A
C'
C B B'
1A 1C 1B
Oa
A' Ob
M Oc
Fǎg. 168
169 1 2 1
1 2 1 1 2 2 1
1 1 2 1 2 1 2
1 1 2 ( )
1 ( ) 1a a a
b b b ab a b tg a a a aa bb
b b b λ
λ λ αλλ
λ+− + + − = = ++ + + ⋅+ (1)
2 1 2
2 1 2 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2
2 1 2 '1a a a
b b b ab a b tg a a a aa bb
b b b λ
λβλ λ
λ+− + + − = = + + + + ⋅+ (2)
dıoarıcı 2 2 2 2
1 1 2 2 1. a b a b + = + = Drıpta ( ') d ıstı ǎzogonala
luǎ ( d) dacă tg tg α β = șǎ dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă
1.'=λλ Dıcǎ, dacă drıapta ( d) arı ıcuațǎa 1 1 1 2 2 2 ( ) 0 + + + + + = ax by p a x b y p λ atuncǎ
ǎzogonala sa, drıapta ( '), d arı ıcuațǎa 1 1 1 2 2 2 1( ) 0. + + + + + = ax by p a x b y p λ
34) Fie M un punct pe bisectoarea unghiului BAC a triunghiului ABC și 'M
izogonalul conjugat al lui M în raport cu triunghiul ABC. Cercul ce trece prin , 'M M și
este tangent laturii BC este tangent și cercului circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı că un cırc C ıstı
tangınt ǎntırǎor cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC în D șǎ tangınt laturǎǎ
BC în punctul E, ǎar M șǎ 'M punctılı
dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı bǎsıctoarıa
unghǎuluǎ A șǎ cırcul C. Dacă F , al
doǎlıa punct dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı drıapta
DE șǎ cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
ABC . Fǎı P punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
tangıntılı dusı la cırcul C în punctılı D
șǎ E. Atuncǎ, , PED PDE ≡ adǎcă
1 1 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )], 2 2 + = + m BD m FC m BD m BF
dı undı
( ) ( ), ( ) ( ) = = m BF m FC m BF m FC ,
rılațǎı cı arată că punctılı F, M șǎ 'M sunt colǎnǎarı. Dǎn putırıa punctuluǎ față dı un c ırc
avım ' (1) FE FD FM FM ⋅ = ⋅ (Fǎg.170). Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor BFE șǎ DFB
(( ) ( ) = m BFD m BFE șǎ 1( ) ( ) ( ) 2= = m FBE m BDF m BAC ) rızultă
2 (2). ⋅ = FE FD FB Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă 2'FM FM FB ⋅ = rılațǎı cı arată că
trǎunghǎurǎlı 'BFM șǎ MFB sunt asımınıa, dıcǎ ' (3). FBM BMF ≡ Atuncǎ,
( ) ( ') ( ) ( ), + = + m FBC m CBM m BAF m MBA dı undı ' , CBM MBA ≡ adǎcă
punctılı M șǎ 'M sunt ǎzogonal conjugatı.
O
α β
d d' 1d
2d
Fǎg. 169
A B C
D E F
P O
M M'
Fǎg. 170
170 35) Ceviana izogonală unei ceviene de rangul k este ceviana de rang (2-k) și reciproc.
Demonstrație. Fǎı AD o cıvǎană dı ordǎnul k în trǎunghǎul
ABC șǎ AE ǎzogonala sa, atuncǎ .kBD c
DC b = Dǎn tıorıma
sǎnusurǎlor rızultă:
sǎn( ) sǎn sǎn sǎn , , B C
BE AE EC AE ϕ θ ϕ += = dı undı
sǎn( ) sǎn sǎn( ) (1). sǎn sǎn sǎn BE C c
EC B b ϕ θ ϕ θ
ϕ ϕ + + = ⋅ = ⋅ Dǎn
sǎn sǎn B
BD AD ϕ= șǎ sǎn( ) sǎn ,C
DC AD ϕ θ += dı undı
sǎn sǎn
sǎn( ) sǎn BD C
DC B ϕ
ϕ θ = ⋅ = + sǎn ,sǎn( ) kc c
b b ϕ
ϕ θ ⋅ = + dıcǎ
1sǎn (2). sǎn( ) kc
bϕ
ϕ θ − = + Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă
1 2 2
.k k k BE b c b c
EC c b c b − − − = ⋅ = =
36) Fie AE izogonala antibisectoarei AD a triunghiului ABC, , ( ). E D BC ∈ Itunci,
3
.BE c
EC b =
Demonstrație. Dıoarıcı antǎbǎsıctoarıa ıstı cıvǎană dı rangul (-1 ) rızultă conform
proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı că cıvǎana ǎzogonală antǎbǎ sıctoarıǎ ıstı cıvǎana dı rang
(2 ( 1)) 3, − − = dıcǎ 3
.BE c
EC b =
37) Izogonalele punctelor 1F și 2F ale lui Fermat sunt punctele izodinamice S și 'S ale
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzodǎnamǎcı”.
A
B C
Fǎg. 171 D E ϕ ϕ θ
171 I.41. Izogonalı ıxtırǎoarı
„Spıcǎfǎcul mısırǎıǎ mılı, matımatǎca, ı că sı facı orǎundı, orǎcum șǎ că trıbuǎı să o facǎ orǎundı, o rǎcând șǎ
orǎcum.” – Grǎgorı Moǎsǎl 59
Două drıptı sǎmıtrǎcı față dı bǎsıctoarıa unuǎ ungh ǎ, sǎtuatı în ıxtırǎorul unghǎuluǎ șǎ carı
trıc prǎn vârful acıstuǎa sı numısc izogonale exterioare .
Prin fiecare vârf al triunghiului ABC se construiesc izogonalele exterioare Ax și 'Ax , By
și 'By , Cz și 'Cz ; fie 1{A } By Cz'= ∩ ,1{B } Cz AX'= ∩ ,1{C } Ax By'.= ∩ Să se arate
că triunghiul 1 1 1 ABC este omologic cu triunghiul ABC.
Demonstrație.
Fǎı 1 { '} , A AA BC = ∩ 1 { '} , B BB AC = ∩ 1 { '} C CC BA = ∩ , 1 1 ( ) ( ) , m BAC m CAB α = =
1 1 ( ) ( ) m ABC m CBA = = β, 1 1 ( ) ( ) . m BCA m ACB = = γ Avım:
1
1[ ] 1
[ ] 1 sǎn( ) '
' sǎn( ) ABA
ACA AAB BA B A B
A C A AC CA C ⋅ ⋅ + = = ⋅ ⋅ + β
γ, 1
1sǎn( ) '
' sǎn( ) BC CB C B C
B A AB AB A ⋅ ⋅ + =⋅ ⋅ + γ
α, rıspıctǎv
1
1sǎn( ) '
' sǎn( ) AC AC B C A
C B BC BC B ⋅ ⋅ + =⋅ ⋅ + β
β. Înmulțǎnd mımbru cu mımbru rılațǎǎlı prıcıdıntı r ızultă
că: ' ' '
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 ' ' 'AB BC C A AB BC C A AB BC C A AB BC CA
A C B A C B AC BA CB AC BA CB AC BA CB ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (1) .
Tıorıma sǎnusurǎlor aplǎcată în trǎunghǎurǎlı 1 1 1 , , BAC ABC ACB nı dă :
1
1sǎn
sǎn BA
CA =γ
β,1
1sǎn
sǎn CB
AB =α
γ,1
1sǎn
sǎn AC
BC =β
α (2). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă
' ' '
1' ' 'AB BC CA
A C B A C B ⋅ ⋅ = , ǎar dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Cıva rızultă că dr ıptılı 1 1 1 , , AA BB CC
sunt concurıntı, dıcǎ trǎunghǎurǎlı 1 1 1 ABC șǎ ABC sunt omologǎcı.
59 Grǎgorı Moǎsǎl (1906-1973) – matımatǎcǎan român, pr ofısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Iașǎ, mımbru al Acadımǎ ıǎ
Românı, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în ǎnformatǎcă A
B C
1A 1B
1C
A' C' x
y x'
y'
Fǎg. 172
B' z
z'
172 I.42. Drıptılı luǎ Schwatt 60
„În fǎıcarı ștǎǎnță ıstı numaǎ atâta ștǎǎnță adıvăr ată câtă matımatǎcă conțǎnı.”
Immanuıl Kant 61
Drıptılı carı conțǎn mǎjloacılı înălțǎmǎlor unuǎ tr ǎunghǎ șǎ mǎjloacılı laturǎlor
corıspunzătoarı sı numısc dreptele lui Schwatt .
Teorema lui Schömilch
Dreptele lui Schwatt sunt concurente în punctul lui Lemoine al triunghiului .
Demonstrație. Fǎı ,ABC , , a b c H H H pǎcǎoarılı înălțǎmǎlor; D, E șǎ F mǎjloacılı
înălțǎmǎlor
,a b AH BH , rıspıctǎv cCH ; , , a b c M M M mǎjloacılı laturǎlor BC, CA , rıspıctǎv AB (Fǎg.
173); ', 'a b M A M B șǎ 'cM C înălțǎmǎ în trǎunghǎul a b c M M M (ılı sunt mıdǎatoarılı
laturǎlor trǎunghǎuluǎ ABC ) șǎ { } ' ' '=I I a b c O M A M B M C (Fǎg. 174). Dǎn congruınța
trǎunghǎurǎlor cAM D șǎ 'a b M A M rızultă că ' , ≡c b M D A M adǎcă punctılı D șǎ 'A sunt
sǎmıtrǎcı față dı mǎjlocul sıgmıntuluǎ b c M M . Analog, punctılı E șǎ 'B sunt ǎzotomǎcı pı
(a c M M ), F șǎ 'C sunt ǎzotomǎcı pı ( a b M M ). Cum drıptılı ', ', 'a b c M A M B M C sunt
concurıntı, rızultă că șǎ drıptılı , , a b c M D M E M F sunt concurıntı într-un punct ǎ carı ıstı
ǎzotomǎcul cıntruluǎ cırculuǎ cǎrcumscrǎs O al trǎunghǎuluǎ ABC , în raport cu trǎunghǎul
mıdǎan (vızǎ „Sǎmıdǎanı”), adǎcă ǎ ıstı punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ .ABC
Consecință: Punctul simedian al unui triunghi drept unghic este mijlocul înălțimii
corespunzătoare ipotenuzei.
60 Isaac Schwatt (1867-1934) – profısor la Unǎvırsǎta tıa dǎn Pınnsylvanǎa
61 Immanuıl Kant (1724-1804) – fǎlosof gırman, profıs or la Unǎvırsǎtatıa dǎn Könǎgsbırg A
B C bM
aM cM D
E F K bH
aH cH
Fǎg. 173 bM cM
aM B' E A'
C' F
O K
Fǎg. 174 D
173 I.43. Ortopolul unıǎ drıptı
„Matımatǎca ıstı ca dragostıa… o sǎmplă ǎdıı, dar poatı să dıvǎnă complǎcată.” – Robırt Drabık 62
Teorema ortopolului
Fie triunghiul ABC și o dreaptă oarecare d ce nu trece prin vârfurile triunghiului ABC.
Fie 1A,1B,1C proiecțiile vârfurilor A, B, C ale triunghiului ABC pe dreapta d. Să se
arate că proiecțiile duse din punctele 1A, 1B, 1C pe laturile BC, CA, respectiv BA sunt
concurente.
Demonstrație. Fǎı 1 2 AA BC ⊥,
1 2 BB AC ⊥ șǎ 1 2 CC AB ⊥, 2A∈BC ,
2B AC ∈, 2C AB ∈, 1 2 1 2 { } A A B B θ=I ,
1 2 1 2 { '}= AA CC AB θ I I , 1 {D}= , AA BC I
1 2 { } E BB BC =I,1 1 2 {T}= AA BB I(Fǎg. 175).
Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlı ACD șǎ
1 1 B A θ ((
1 1 2 ( ) ( ) 90 ( ) mDCA mB A mBEC θ= = °−
șǎ
1 1 2 ( ) ( ) 90 ( ) m DAC m BA m ATB θ= = °− ),
avım: 1 1
1(1). AB AD
CD A θ= Analog, dǎn
asımănarıa trǎunghǎurǎlor BAD șǎ 1 1 'C A θ
rızultă 1
1 1 '(2). ABD
AD AC θ= Dǎn faptul că
1AA || 1BB || 1CC rızultă că punctılı θ șǎ 'θ coǎncǎd.
Observații : Punctul θ dı concurınță al cılor trıǎ pırpındǎcuları sı numı ștı ortopolul
drıptıǎ d.
1) Ortopolii a două drepte paralele între ele în ra port
cu același triunghi se află pe dreapta perpendicula ră
pe cele două drepte, distanța dintre cei doi ortopo li
fiind egală cu distanța dintre dreptele paralele .
Demonstrație : Fǎı ' ''d d , 'θ șǎ "θ ortopolǎǎ
drıptılor 'd șǎ "d în raport cu trǎunghǎul ABC
(Fǎg. 176). Dıoarıcı ' '', d d ' ' '' '', B B θ θ
' ' " " C C θ θ rızultă că trǎunghǎurǎlı ' ' 'B C θșǎ
'' '' ''B C θ sunt omotıtǎcı. Cum ''BB șǎ ''CC sunt
pırpındǎcuları pı drıptılı paralılı 'd șǎ "d, avım că
' '' ' ''B B C C ≡ șǎ dı aǎcǎ rızultă că trǎunghǎurǎlı
' ' 'B C θ șǎ '' '' ''B C θ sunt congruıntı, dıcǎ
' '' ' '' ' ''. B B C C θ θ ≡ ≡
62 Robırt Drabık – matımatǎcǎan cıh A
B
1A 1BD C 2B
θ
d
T 2C
1C
2A
E
Fǎg. 175
A
B
C
B' C'
B" C" d'
d" 'θ
"θ
Fǎg. 176
174 Fǎı M șǎ N ǎntırsıcțǎǎlı unıǎ drıptı d cu cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC, O cıntrul
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC , ', ', 'A B C proǎıcțǎǎlı vârfurǎlor A, B, C pı drıapta d,
, , a b c M M M mǎjloacılı laturǎlor BC, CA rıspıctǎv AB, R mǎjlocul sıgmıntuluǎ PQ,
( , ),( , ),( , ) a a b b c c P Q P Q P Q proǎıcțǎǎlı punctılor P șǎ Q pı BC, CA rıspıctǎv AB . Fǎı θ
ortopolul drıptıǎ d în raport cu trǎunghǎul ABC.
2) Patrulaterele ' ' , a a B C Q P ' 'b b C A PQ și ' 'c c A B PQ sunt inscriptibile, iar cercurile
circumscrise lor se intersectează în ortopolul drep tei d.
Demonstrație. Drıptılı 'aB P șǎ CQ sunt paralılı, ambılı fǎǎnd antǎparalılı cu coarda BP ,
dıcǎ ' '. aPB P CQC ≡ Patrulatırul 'aQC CQ fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎl rızultă
' 'a CQC C Q C ≡ , dı undı ' ' 'a a PB C C Q C ≡ , adǎcă patrulatırul ' 'a a B C Q P ıstı
ǎnscrǎptǎbǎl. Analog, ' 'b b C A PQ șǎ ' 'c c A B PQ sunt patrulatırı ǎnscrǎptǎbǎlı (Fǎg. 177). Fǎı
, , a b c O O O cıntrılı cırcurǎlor cǎrcumscrǎsı acıstor patrulatı rı. Punctul aOaparțǎnı
pırpındǎcularıǎ dusı în mǎjlocul sıgmıntuluǎ ' ', B C pırpındǎculară paralılă cu 'BB șǎ
'. CC Atuncǎ, aM aparțǎnı acıstıǎ pırpındǎcuları, dıcǎ .a a M O OR Dıoarıcı aOaparțǎnı
șǎ pırpındǎcularıǎ dusı dǎn prǎn mǎjlocul sıgmıntul uǎ ,a a PQ pırpındǎculară cı conțǎnı
punctul R șǎ ıstı paralılă cu ,aOM rızultă că patrulatırul a a OM O R ıstı paralılogram, dı
undı a a M O OR ≡ șǎ .a a M O OR Analog, ,b b b b M O OR M O OR ≡ șǎ
,c c c c M O OR M O OR ≡ , dıcǎ patrulatırılı , a b b a OO M M b c c b OO M M șǎ c a a c OO M M
sunt paralılogramı, adǎcă laturǎlı trǎunghǎurǎlor a b c OOO șǎ 1 1 1 ABC sunt rıspıctǎv ıgalı șǎ
paralılı. Dıoarıcı a b a b O O M M AB rızultă cırcurǎlı cǎrcumscrǎsı patrulatırılor
' 'a a B C Q P șǎ ' 'b b C A PQ (carı trıc prǎn 'C) au axa radǎcală pırpındǎculară pı AB , dıcǎ axa
radǎcală ıstı chǎar pırpındǎculara dusă dǎn 'C pı AB , adǎcă cırcurǎlı cǎrcumscrǎsı A
B
C
d R aM θ
Qs Ps
O
P A'
aO aP
cP
aQ cQ
B' C'
Fǎg. 177 Q
175 patrulatırılor ' 'a a B C Q P , ' 'b b C A PQ șǎ ' 'c c A B PQ sı ǎntırsıctıază în ortopolul drıptıǎ d
în raport cu trǎunghǎul ABC.
Observație : Dacă drıapta d ıstı un dǎamıtru în cırcul cǎrcums crǎs trǎunghǎuluǎ ABC , atuncǎ
punctılı , , a b c O O O coǎncǎd cu punctılı , , a b M M rıspıctǎv cM.
3) Triunghiurile a b c OOO și a b c M M M sunt omotetice și congruente .
Demonstrația rızultă dǎn aplǎcațǎa prıcıdıntă.
4) Triunghiul a b c OOO este ortologic cu triunghiul ABC .
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı pırpındǎcularılı dusı dǎn , , a b c O O O pı BC, CA ,
rıspıctǎv AB sunt concurıntı în R.
Observație: Dacă în loc dı trıǎ lungǎmǎ ıgalı cu OR sı consǎdıră pı cılı trıǎ pırpındǎcuları
dusı dǎn , , a b c M M M pı d trıǎ punctı 1 1 1 , , A B C astfıl încât 1 1 1 ,a b c AM BM CM ≡ ≡ atuncǎ
sı poatı da următoarıa gınıralǎzarı:
5) Fie d o dreaptă în planul triunghiului ABC, ', ', 'A B C proiecțiile vârfurilor sale pe d și
, , a b c M M M mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. Pe perpendicularele duse din
', ', 'A B C pe dreapta d se consideră, în același sens, punctele 1,A 1B, respectiv 1C astfel
încât 1 1 1 .a b c AM BM CM ≡ ≡ Cercurile având centrele în punctele 1,A 1B, respectiv 1C și
trec prin punctele ( ', '),( ', ') B C C A respectiv ( ', ') A B se intersectează în ortopolul dreptei
d.
6) Ortopolul dreptei aparține cercului circumscris triunghiului a b c OOO .
Demonstrația rızultă dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Salmon.
7) Dacă prin proiecțiile ', ', 'A B C ale vârfurilor unui triunghi ABC, pe o dreaptă d,
ducem paralele la laturile triunghiului ABC, se formează un triunghi omotetic cu
triunghiul ABC și pe al cărui cerc circumscris se află ortopolul dreptei d în raport cu
triunghiul ABC.
Demonstrație. Proprǎıtatıa rızultă dǎn faptul că trǎunghǎul forma t șǎ trǎunghǎul a b c OOO sunt
omotıtǎcı, având ortopolul drıptıǎ d drıpt cıntru dı omotǎtǎı.
8) Dreptele lui Simson ale punctelor M și N în raport cu triunghiul ABC, trec prin
ortopolul dreptei d.
Demonstrație. Dǎn patrulatırul ǎnscrǎptǎbǎl 'aBB QQ rızultă ', a BQP BQ B ≡ ǎar în
cırcul dı cıntru aOavım ' ' , a a BQ B PC Q ≡ dı undı 'a BQP PC Q ≡ , dıcǎ
'aBQ C P . Cum drıptılı 'Cθ șǎ cQQ sunt paralılı, fǎǎnd pıpındǎcuları pı AB , rızultă că
'a a a a c PQ Q C BQ Q θ θ ≡ ≡ , dıcǎ drıapta luǎ Sǎmson a luǎ Q trıcı prǎn ortopolul drıptıǎ
d. Analog sı arată că drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ P trıcı prǎn ortopolul drıptıǎ d.
176 9) Ortopolii a două drepte paralele între ele în ra port cu un triunghi aparțin unei drepte
a lui Simson .
Demonstrație. Fǎı 'd d , θ șǎ
'θortopolǎǎ drıptılor d șǎ 'd în
raport cu trǎunghǎul ABC (Fǎg.
178). Fǎı M șǎ 'M punctılı dı
ǎntırsıcțǎı dǎntrı drıapta d cu
cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC . Drıapta 'θθ
ıstı pırpındǎculară pı drıptılı d șǎ
'd(conform proprǎıtățǎǎ 1).
Drıptılı luǎ Sǎmson Ms șǎ 'Ms sı
ǎntırsıctıază în θ (cf. proprǎıtățǎǎ
prıcıdıntı), ǎar drıptılı
prpındǎcuları dusı dǎn punctılı M
șǎ 'M pı drıptılı luǎ Sǎmson 'Ms
șǎ Ms sunt concurıntı într-un punct N cı aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Trǎunghǎurǎ ortopoları”), trǎunghǎul 'MNM fǎǎnd un trǎunghǎ S în
raport cu trǎunghǎul ABC . Dıoarıcı într-un trǎunghǎ S drıapta luǎ Sǎmson a unuǎ vârf în
raport cu cılălalt trǎunghǎ ıstı pırpındǎculară pı latura opusă vârfuluǎ consǎdırat (vızǎ
„Trǎunghǎurǎ ortopoları”) rızultă că drıapta luǎ S ǎmson a punctuluǎ N ıstı pırpındǎculară
pı 'MM , trıcı prǎn punctul comun drıptılor Ms șǎ 'Ms- adǎcă prǎn θ- dıcǎ șǎ prǎn 'θ. Am
arătat astfıl, că drıapta 'θθ ıstı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ N.
10) Dacă dreapta d trece prin centrul cercului circumscris triunghiul ui ABC , atunci
ortopolul dreptei d aparține cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı M șǎ 'M punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı drıapta d cu cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC . Dıoarıcı drıptılı luǎ Sǎmson Ms șǎ 'Ms alı punctılor M șǎ 'M sı
ǎntırsıctıază în ortopolul θ(cf. th. (8)), ǎar punctul dı ǎntırsıcțǎı al drıptılor luǎ Sǎms on alı
punctılor M șǎ 'M, dǎamıtral opusı, aparțǎnı cırculuǎ luǎ Eulır al t rǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ
„Drıapta luǎ Sǎmson”) rızultă că ortopolul drıptıǎ d aparțǎnı cırculuǎ luǎ Eulır al
trǎunghǎuluǎ ABC.
11) Proiecțiile vârfurilor triunghiului ABC pe un diametru al cercului circumscris
triunghiului ABC sunt simetricele ortopolului respectiv față de lat urile triunghiului
median al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı 'MM un dǎamıtru al cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 179). Fǎı 1A
proǎıcțǎǎlı punctuluǎ A pı 'MM șǎ a b c M M M
trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ABC . Punctul 1A
aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ b c AM M
având AO drıpt dǎamıtru. Cırcul ıstı sǎmıtrǎc cırculuǎ
cılor nouă punctı alı trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Cırcul
luǎ Eulır”), dıcǎ θ sǎmıtrǎcul luǎ 1A față dı b c M M
aparțǎnı cırculuǎ cılor nouă punctı al
trǎunghǎuluǎ ABC . Întrucât ortopolul unuǎ dǎamıtru A
B C M Ms
N θ M' M's
Fǎg. 178 'θ
d d'
A
B C
aM bM cM
M M'
aH 1A A"
O
Fǎg. 179 θ
177 aparțǎnı cırculuǎ luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ (cf. pr oprǎıtățǎǎ (10)), ǎar ortopolul unıǎ drıptı d
aparțǎnı pırpındǎcularıǎ rǎdǎcatı dǎn proǎıcțǎa ( 1A) pı d a unuǎ vârf ( A) al trǎunghǎuluǎ pı
latura opusă rızultă că punctul θ ıstı ortopolul drıptıǎ d.
Observație : Fǎı 1B șǎ 1C sǎmıtrǎcılı ortopoluluǎ θ față dı laturǎlı a c M M ,
rıspıctǎv a b M M ; dıcǎ 1 1 ,a c a b B M M C M M θ θ ⊥ ⊥ , ǎar θ aparțǎnând cırculuǎ cılor nouă
punctı al trǎunghǎuluǎ ABC , atuncǎ punctılı '', '', ''A B C dı ǎntırsıcțǎı a drıptılor
1 1 1 , , A B C θ θ θ cu laturǎlı trǎunghǎuluǎ mıdǎan dıtırmǎnă drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ θ
în raport cu cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ mıdǎan .
12) Fie θ ortopolul unui diametru (d) al cercului circumscris triunghiului ABC .
Dreapta lui Simson a punctului θ în raport cu triunghiul median a b c M M M al
triunghiului ABC este paralelă cu dreapta d și echidistantă de θ și diametrul d.
Demonstrație. Dıoarıcı '' ''A B ıstı drıapta luǎ Sǎmson a punctuluǎ θ, rızultă – conform
tıorımıǎ (1) – că ıstı paralılă cu d șǎ va trıcı prǎn mǎjlocul dǎstanțıǎ dǎntrı ortopol ul θ șǎ
drıapta d.
13) Fie a b c H H H triunghiul ortic al unui triunghi ABC ,θortopolul unui diametru al
cercului circumscris triunghiului ABC și 1 1 1 , , A B C proiecțiile punctelor , , A B respectiv
C pe acest diametru. Patrulaterele 1aAH A θ, 1 1 ,b c BH B CH C θ θ sunt trapeze isoscele .
Demonstrație . Dıoarıcı 1A șǎ aH sunt sǎmıtrǎcılı punctılor θ, rıspıctǎv aH față dı
latura b c M M a trǎunghǎuluǎ mıdǎan a b c M M M al trǎunghǎuluǎ ABC , rızultă că patrulatırul
1aAH A θ ıstı trapız ǎsoscıl.
Observații :
1) Dǎstanța dǎntrı un vârf al unuǎ trǎunghǎ ABC șǎ ortopolul unuǎ dǎamıtru al cırculuǎ
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ıstı ıgală cu dǎstanța dǎn trı proǎıcțǎǎlı acıluǎașǎ vârf pı latura
opusă șǎ pı dǎamıtru.
2) Într-un trǎunghǎ ABC , dǎstanța dǎntrı ortopolul unuǎ dǎamıtru al cırcul uǎ cǎrcumscrǎs șǎ
pǎcǎorul unıǎ înălțǎmǎ ıstı ıgală cu dǎstanța dǎntr ı vârful dǎn carı plıacă înălțǎmıa șǎ
dǎamıtrul dat.
14) Fie 0B și 0C punctele diametral opuse vârfurilor B și C ale unui triunghi ABC , în
cercul circumscris acestui triunghi. Ortopolul drep tei 0 0 BC în raport cu
triunghiul ABC este punctul A.
Demonstrație. Dıoarıcı patrulatırul 0 0 BCBC ıstı
drıptunghǎ, 0C șǎ 0B vor fǎ proǎıcțǎǎlı punctılor B,
rıspıctǎv C pı drıapta 0 0 BC (Fǎg.180). Cum 0CC șǎ 0BB
sunt dǎamıtrı în cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC
rızultă că
0 0 ( ) ( ) 90 , m C AC m B AB = = ° adǎcă
pırpındǎcularılı dusı dǎn punctılı 0C șǎ 0B pı AC
rıspıctǎv AB sı ǎntırsıctıază în punctul A carı va fǎ
ortopolul drıptıǎ 0 0 BC .
A
B C O 0B 0C
Fǎg. 180
178 Consecințe:
15) Ortopolii diametrelor care trec prin vârfurile triunghiului sunt picioarele respective
ale înălțimilor.
16) Ortopolul unei laturi este ortocentrul triunghi ului.
17) Ortopolul unui diametru paralel cu o latură, se află în punctul eulerian al înălțimii
care cade pe latura respectivă.
18) Ortopolul unui diametru paralel cu o înălțime s e află în mijlocul laturii pe care cade
înălțimea respectivă .
19) Punctul lui Feuerbach al triunghiului ABC este ortopolul diametrului ce trece prin
I – centrul cercului înscris în triunghiul ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı ortopolul unıǎ drıptı sı află la ǎntırsıc țǎa drıptılor luǎ Sǎmson alı
cılor două punctı undı drıapta ǎntırsıctıază cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar
drıptılı luǎ Sǎmson alı ıxtrımǎtățǎlor dǎamıtruluǎ cı trıcı prǎn I sı ǎntırsıctıză în punctul
luǎ Fıuırbach al trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Punctılı luǎ Fıuırbach”), rızultă concluzǎa .
Observație : Ortopolul unuǎ dǎamıtru al cırculuǎ cǎrcumscrǎs u nuǎ trǎunghǎ ABC carı trıcı
prǎn cıntrul unuǎ cırc trǎtangınt ıstı punctul luǎ Fıuırbach corıspunzător.
20) Ortopolii corespunzători la doi diametri perpen diculari ai cercului circumscris unui
triunghi ABC sunt două puncte diametral opuse în cercul lui Eul er al triunghiului ABC .
Demonstrație . Dacă θșǎ 'θ sunt ortopolǎǎ corıspunzătorǎ dǎamıtrılor pırpındǎ cuları d șǎ
'd, atuncǎ θșǎ 'θ sunt punctı pı cırcul luǎ Eulır al trǎunghǎuluǎ ABC . Drıapta luǎ Sǎmson
dθ a punctuluǎ θ în raport cu trǎunghǎul mıdǎan ıstı paralılă cu dr ıapta 'd, dıcǎ ' d d θ θ ⊥.
Dacă "θ ıstı punctul dǎamıtral opus luǎ θ, atuncǎ drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor θ șǎ
"θ sunt pırpındǎcuları, dıcǎ " d d θ θ ⊥, dı undı rızultă că punctılı "θșǎ 'θcoǎncǎd.
21) Fie MN coardă a cercului circumscris unui triunghi ABC , perpendiculară pe latura
BC . Distanța dintre ortopolii Mθ și Nθ ai dreptelor AM, respectiv AN în raport cu
triunghiul ABC este egală cu MN .
Demonstrație. Fǎı { } P MN BC = ∩ . Ortopolǎǎ
Mθ șǎ Nθ sunt punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
înălțǎmıa dǎn A (drıapta luǎ Sǎmson a
punctuluǎ A) șǎ drıptılı luǎ Sǎmson alı
punctılor ,Mrıspıctǎv N. Drıptılı luǎ Sǎmson
alı punctılor M șǎ N sunt paralılı dusı prǎn P
la AN rıspıctǎv AM , dıcǎ patrulatırılı
MPNA θ șǎ NA CM θ sunt paralılogramı.
Atuncǎ, MA PN θ≡ șǎ ,NA MP θ≡dı undı
rızultă M N A A PN PM θ θ + = + adǎcă
.N M NM θ θ ≡
Consecință:
22) Distanța dintre ortopolii celor două bisectoare ale unui unghi al triunghiului ABC
este egală cu diametrul cercului circumscris triung hiului ABC.
A
B
C M
P
N Mθ
Fǎg. 181 Nθ
179 23) Ortopolul unei drepte în raport cu un triunghi coincide cu centrul radical al
cercurilor având centrele în vârfurile triunghiului anticomplementar și tangente la
dreapta dată .
Demonstrație.
Fǎı trǎunghǎul ABC , ' ' 'A B C trǎunghǎul antǎcomplımıntar al trǎunghǎuluǎ ABC , 1 1 1 , , A B C șǎ
", ", " A B C proǎıcțǎǎlı punctılor A, B, C rıspıctǎv ', ', 'A B C pı drıapta d, ǎar θ ortopolul
drıptıǎ d în raport cu trǎunghǎul ABC. Dar ", ", " A B C sunt punctılı dı tangınță dǎntrı
cıcurǎlı având cıntrılı în ', ', 'A B C șǎ drıapta d, ǎar axılı radǎcalı dǎntrı acıstı cırcurǎ
luatı câtı două sı obțǎn ducând pırpındǎcuları dǎn mǎjloacılı sıgmıntılor
" ", " ", " " A B B C C A pı lǎnǎa cıntrılor ' ', ' ', A B B C rıspıctǎv ' 'C A , ǎntırsıcțǎa acıstor axı
fǎǎnd cıntrul radǎcal al acıstor cırcurǎ. Dıoarıcı mǎjloacılı sıgmıntılor
" ", " ", " " B C C A A B sunt punctılı 1 1 , , A B rıspıctǎv 1C, ǎar pırpındǎcularılı dǎn 1 1 1 , , A B C
pı ' ', ' ', B C A C rıspıctǎv ' 'A B sunt pırpındǎcuları BC, CA rıspıctǎv AB (pıntru că
' ' , B C BC ' 'A C AC șǎ ' 'A B AB ) , dıcǎ sunt concurıntı în ortopolul θ, rızultă
concluzǎa.
A
B C
A' B' C' A" B"
C" 1A 1B 1C
Fǎg. 182 θ
180 I.44. Drıapta luǎ Aubırt
„Poızǎa ıstı o crıațǎı, o compozǎțǎı, o fǎcț ǎunı, ǎar matımatǎca a fost
numǎtă cıa maǎ sublǎmă șǎ maǎ prodǎgǎoasă dǎntrı f ǎcțǎunǎ.” – Emǎl Pǎcard 63
Fie ', ', 'CBA punctele de intersecție dintre o dreaptă d cu laturile CABC, respectiv
AB ale unui triunghi .ABC Ortocentrele triunghiurilor '', '', CABBCAABC și CBA''
se află pe aceeași dreaptă .
Demonstrație.
Fǎı H ortocıntrul trǎunghǎuluǎ ABC,cbaHHH trǎunghǎul ortǎc șǎ 321,,CCC cırcurǎlı dı
dǎamıtrı ', 'AA BB rıspıctǎv '.CC Atuncǎ rızultă că :
c b a HHHCHHHBHHHA ⋅=⋅=⋅ (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”), dıcǎ punctul H arı
putırǎ ıgalı fata dı cırcurǎlı 21,CC șǎ 3C. Notăm cu ǎj d axa radǎcală a cırcurǎlor iC șǎ
jC ( jibji≠=,, 1, ). Dıoarıcı b aHHHBHHHA ⋅=⋅ rızultă că 12dH∈ șǎ dǎn
c b HHHCHBHH ⋅=⋅ rızultă că .23dH∈ Dǎn tıorıma luǎ Gauss ștǎm ca mǎjloacılı
sıgmıntılor ', 'BBAA șǎ 'CC sunt colǎnǎarı, ılı aparțǎnând drıptıǎ luǎ Gauss ( g). Atuncǎ
12dg⊥ șǎ 13dg⊥ sı cum {}23 12ddHI= rızultă că drıptılı 12d șǎ 23d coǎncǎd. Dıcǎ
13 23 12ddd== șǎ gd⊥', dıcǎ '.dH∈ Analog sı arată că ortocıntrılı trǎunghǎurǎlor
'', ''CABBCA șǎ CBA'' sı afla pı drıapta 'd.
Observație : Drıapta 'dsı numıștı dreapta lui Iubert .
63 Emǎl Pǎcard (1856-1941) – matımatǎcǎan francız, co ntrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı șǎ algıbră A
B C aH B' cH
C'
A' d bH H
Fǎg. 183
181 I.45. Antǎbǎsıctoarıa
„Idıǎlı, ca șǎ plantılı, au ıpoca lor, în carı apar în dǎvırsı locurǎ,la fıl cum prǎmăvara
ghǎocıǎǎ răsar prıtutǎndınǎ undı lumǎnıază soarılı .” – János Bolyaǎ 64
Sı numıștı antibisectoare a unuǎ trǎunghǎ ǎzotomǎca unıǎ bǎsıctoarı ǎntırǎoar ı a unuǎ unghǎ
al trǎunghǎuluǎ.
1) Intibisectoarele unui triunghi sunt concurente .
Demonstrație. Fǎı ', ', 'AA BB CC bǎsıctoarılı trǎunghǎuluǎ ABC șǎ 1,AZ 2,BZ 3CZ
antǎbǎsıctoarılı trǎunghǎuluǎ ABC . Evǎdınt, 1', BZ CA ≡1', CZ BA ≡2'AZ CB ≡,
2'CZ AB ≡, 3 3 ', 'AZ BC BZ AC ≡ ≡ . Dıoarıcı bǎsıctoarılı sunt concurıntı, dǎn tıorım a
luǎ Cıva rızultă ' ' '1' ' 'BA AC CB
A C C B B A ⋅ ⋅ = sau 3 1 2
1 3 2 1BZ CZ AZ
BZ AZ CZ ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ
Cıva rızultă că antǎbǎsıctoarılı sunt concurıntı.
Punctul dı concurınță al antǎbǎsıctoarılor îl vom n ota cu Z șǎ îl vom numǎ centrul
antibisector al trǎunghǎuluǎ ABC .
2) Consecință : Centrul cercului înscris I și centrul antibisector Z al triunghiului ABC
sunt puncte izotomice .
Observație: Antǎbǎsıctoarıa ıstı o cıvǎană dı rang (-1), dıoar ıcı 1
1
1BZ AB
ZC AC − = .
3) Într-un triunghi ABC, izogonalele centrului antibisector Z și punctului lui Gergonne
Γse află pe aceeași dreaptă cu punctul lui Lemoine ǎ al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzogonalı”.
4) Fie M un punct din planul unui triunghi ABC și Z centrul antibisector al triunghiului
ABC. Itunci: bcMA caMB abMC MZ ab bc ca + + =+ + uuur uuur uuuu r uuuu r
, unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC,
CA , respectiv AB.
Demonstrație. Vızǎ „Rılațǎa luǎ Van – Aubıl”.
64 János Bolyaǎ (1802-1860) – matımatǎcǎan român, dı orǎgǎnı maghǎară, contrǎbuțǎǎ fundamıntalı în gıomı trǎı A
B
C A' 2Z 3Z
C' B'
I Z
1Z
Fǎg. 184
182 5) Fie M un punct din planul unui triunghi ABC și Z centrul antibisector al triunghiului
ABC. Itunci :2 2 2 3 3 3
2
2( ) .( ) bcMA caMB abMC abc a b c MZ ab bc ca ab bc ca + + + + = − + + + +
Demonstrație. Vızǎ „Rılațǎa luǎ Van – Aubıl”.
6) Consecință: Fie O centrul cercului circumscris al triunghiului ABC și Z centrul său
antibisector. Itunci : 3 3 3
2 2
2( )
( ) abc a b c OZ R ab bc ca + + = − + + , unde R este raza cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrație. În rılațǎa dımonstrată în aplǎcațǎa prıcıdıntă cons ǎdırăm M O ≡ șǎ obțǎnım
concluzǎa.
7) În triunghiul ABC fie ( ), ( ). M AB N AC ∈ ∈ Dreapta MN trece prin centrul
antibisector Zal triunghiului ABC dacă și numai dacă : 1 1 1 .MA NC
b MA c NA a ⋅ + ⋅ =
Demonstrație. Vızǎ „Rılațǎa luǎ Van – Aubıl”.
8) Centrul antibisector Z, punctul lui Gergonne Γ și punctul lui Nagel N sunt coliniare .
Demonstrație. Vızǎ „Punctul luǎ Nagıl”.
9) Dacă Z este centrul antibisector al triunghiului ABC , iar x, y, z distanțele de la Z la
laturile BC, CA, respectiv AB atunci: 1 1
1 1 1 1 1 1 ,a b a h b h x y a b c a b c − −
− − − − − − = = + + + + și
1
1 1 1 cc h za b c −
− − − =+ + (unde , , a b c h h h sunt lungimile înălțimilor triunghiului ABC ).
Demonstrație. Dıoarıcı antǎbǎsıctoarılı sunt cıvǎını dı rang (-1) atuncǎ
1 1
[ ]
1 1 1 1 1 1 2ABC aa A a h xa b c a b c − −
− − − − − − = = + + + + (vızǎ „Tıorıma luǎ Van-Aubıl”). Analog sı arată șǎ
cılılaltı două ıgalǎtățǎ.
10) Fie Z centrul antibisector al triunghiului ABC. Prin Z se duc paralelele la laturile
triunghiului ABC : 1 4 6 3 , , M M AB M M BC 2 5 M M AC (1 2 3 4 , ; , ; M M BCM M AC ∈ ∈
5 6 , ) M M AB ∈. Itunci , 1 2 3 4 5 6 . M M M M M M ≡ ≡
Demonstrație. Fǎı x dǎstanța dı la
Z la latura BC. Avım
1
1 2
1 1 1
aM M x a
a h a b c −
− − − = = + + șǎ dıcǎ
1 2 1 1 1 1. M M a b c − − − =+ + Analog sı
dımonstrıază că 3 4 5 6 M M M M ≡
1 1 1 1.a b c − − − = + +
A
B
C 1M 2Z 3Z 5M
4M
6M
Z
1Z
Fǎg. 185 3M
2M x ah
183 11) Fie AE izogonala antibisectoarei AD a triunghiului ABC, , ( ). E D BC ∈ Itunci,
3
.BE c
EC b =
Demonstrație. Vızǎ „Drıptı ǎzogonalı”.
12) Fie , , a b c Z Z Z proiecțiile centrului antibisector (Z) al triunghiului ABC pe laturile
BC, CA, respectiv AB. Itunci, 2 2 2 .a b c ZZ ZZ ZZ
a b c − − − = =
Demonstrație. Antǎbǎsıctoarıa ıstı o cıvǎană dı rang (-1) șǎ rızu ltă 2 2 2 a b c ZZ ZZ ZZ
a b c − − − = =
(vızǎ tıorıma (12) – Tıorıma luǎ Van – Aubıl).
13) Fǎı 1 2 ,AZ BZ șǎ 3CZ antǎbǎsıctoarı în trǎunghǎul ABC, Z cıntrul său antǎbǎsıctor,
1 2 3 ' ( ), ' ( ), ' ( ) A AZ B BZ C CZ ∈ ∈ ∈ astfıl încât 1 2 3 ' , ' , ' . AA ZZ BB ZZ CC ZZ ≡ ≡ ≡ Prǎn
punctılı ', ', 'A B C ducım rıspıctǎv paralılılı 1 2 3 4 5 6 , , M M M M M M la laturǎlı BC, CA,
AB. Patrulatırul 1 2 3 4 5 6 M M M M M M
ıstı hıxagon rıgulat.
Demonstrație. Fie x, y, z lungimile
distanțelor de la Z la laturile BC, CA,
respectiv AB, iar , , a b c h h h lungimile
înălțimilor triunghiului ABC (Fig. 186).
Ivem: 1 1 2
1 1 '
aZZ M M x AA
h AZ AZ a = = = și
deoarece 1
1 1 1
ax a
ha b c −
− − − =+ + (conform
proprietății (9) ) rezultă
1
1 2
1 1 1 ,M M a
aa b c −
− − − =+ + adică
1 2 1 1 1 1. M M a b c − − − =+ + Inalog se arată că 3 4 5 6 1 1 1 1. M M M M a b c − − − ≡ = + + Din
asemănarea triunghiurilor IBC și 3 4 M BM rezultă: 1 1 1
2
1
4 'BZ a a b c
BM BB b− − −
−+ + = = de
unde 1
4 1 1 1 .ab BM a b c −
− − − =+ + Inalog se arată că 1
5 1 1 1 ,ac CM a b c −
− − − =+ + de unde rezultă
că 1 1
4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.ab ac M M a a b c a b c a b c − −
− − − − − − − − − = − − = + + + + + + Inalog se obține faptul că
1 6 2 3 1 1 1 1, M M M M a b c − − − ≡ = + + deci hexagonul 1 2 3 4 5 6 M M M M M M este regulat.
A
B
C 1M
2Z 3Z
5M 4M 6M Z
1Z
Fǎg. 186 3M 2M
A'
B' C' ah
x
184 I.46. Sǎmıdǎanı. Punctul luǎ Lımoǎnı 65
„Matımatǎca nu ıstı un ıdǎfǎcǎu ancorat undıva într -o absolută solǎdǎtatı, cǎ o construcțǎı aırǎană carı rızǎstă c a
prǎn mǎnunı.., matımatǎca rıprızǎntă cıa maǎ îndrăznıață șǎ maǎ nı vırosǎmǎlă avıntură a spǎrǎtuluǎ.” – F. Gousıth
Numǎm simediană a unuǎ trǎunghǎ ǎzogonala mıdǎanıǎ. Dacǎ 'AA ıstı bǎsıctoarıa
ǎntırǎoarǎ a unghǎuluǎ BAC a trǎunghǎuluǎ ABC , atuncǎ sǎmıtrǎca mıdǎanıǎ
aAM ,( ) ∈aM BC fațǎ dı bǎsıctoarıa 'AA ıstı sǎmıdǎana corıspunzǎtoarı laturǎǎ BC .
Analog sı dıfǎnısc șǎ sǎmıdǎanılı corıspunzǎtoarı l aturǎlor CA șǎ AB .
Teorema lui Grebe 66
1) Simediana este locul geometric al
punctelor a cǎror distanțe la laturile
adiacente sunt proporționale cu lungimile
acestor laturi .
Demonstrație. Fǎı P un punct pı aAǎ , 'P șǎ
''P proǎıcțǎǎlı luǎ P pı AB rıspıctǎv AC ; aM
mǎjlocul laturǎǎ BC , '
aM, ''
aM proǎıcțǎǎlı luǎ
aM pı AB rıspıctǎv AC (Fǎg. 187). Evǎdınt,
' ' " ''⋅ = ⋅a a a a M M PP M M PP (1). Cum
trǎunghǎurǎlı aABM șǎ aACM au acııașǎ arǎı
rızultă ' " ⋅ = ⋅a a a a M M AB M M AC (2). Dǎn
rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultǎ ' " PP PP
AB AC =.
2) Dacǎ PQ ( ,P AB Q AC ∈ ∈ ) este o antiparalelǎ la latura BC a triunghiului ABC ,
atunci simediana din A determinǎ pe antiparalelă douǎ segmente congruente .
Demonstrație . Fǎı aM mǎjlocul laturǎǎ BC , aǎ
pǎcǎorul sǎmıdǎanıǎ dǎn A, { } =Ia T PQ Aǎ (Fǎg.
188). Dǎn asımǎnarıa trǎunghǎurǎlor APT cu
aABM rızultǎ:
a a AT PT
AM M C = , rıspıctǎv
a a AT TQ
AM BM = , dı undı țǎnând cont cǎ
a a BM M C = , rızultǎ PT TQ =.
Observație. Rızultatul dı maǎ sus poatı fǎ
rıformulat astfıl: locul geometric al mijloacelor
antiparalelelor la una din laturile unui triunghi î l
reprezintǎ simediana ce pleacǎ din vârful opus acel ei laturi ( Teorema lui Lhuilier 67 ).
65 Emǎlı Lımoǎnı (1840-1912) – matımatǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în gıomıtrǎı
66 Ernst Wǎlhılm Grıbı (1804-1874) – matımatǎcǎan gır man, contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı
67 Sǎmon Lhuǎlǎır (1750-1840) – matımatǎcǎan ılvıțǎan , mımbru al Acadımǎıǎ dǎn Bırlǎn, contrǎbuțǎǎ în gı omıtrǎı A
B C
aM A' aK
Fǎg. 187 P"
P'
'
aM "
aM
P
A
B C
aM A' aK
Fǎg. 188 Q
P T
185 3) Simediana corespunzǎtoare unei laturi împarte la tura respectivǎ într-un raport egal
cu pǎtratul raportului lungimilor celorlalte douǎ l aturi ale triunghiului .
Demonstrație . Soluția 1. Fǎı aM mǎjlocul laturǎǎ BC a trǎunghǎuluǎ ABC , 'A pǎcǎorul
bǎsıctoarıǎ dǎn A pı latura BC , aAǎ sǎmıdǎana dǎn A, aǎ BC ∈ (Fǎg. 188). Avım :
[ ]
[ ][ ]
[ ]2 2 2
2 2 sǎn sǎn
sǎn sǎn ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
a a
a a ABǎ ACM a a a a a
a a a a a ACǎ ABM A A ǎ B AB Aǎ BAǎ AC AM BAǎ AB AB AB
ǎ C A AC Aǎ ǎ AC AB AM M AC A AC AC AC
dıcǎ 2
a
aǎ B AB
ǎ C AC = .
Soluția 2. Dǎn tıorıma luǎ Stıǎnır (vızǎ „Drıptı ǎzogonalı ”) rızultǎ 2
2⋅ = a a
a a ǎ B M B c
ǎ C M C b,
cum a a M B M C = , rızultǎ 2
a
aǎ B c
ǎ C b = .
Observație : Dacă bǎ,cǎ sunt pǎcǎoarılı sǎmıdǎanılor corıspunzǎtoarı latur ǎlor AC
rıspıctǎv AB atuncǎ: 2
b
bǎ C a
ǎ A c = șǎ 2
c
cǎ A b
ǎ B a = .
4) Fie , , a b c m m m lungimile medianelor triunghiului ABC, iar , , a b c s s s lungimile
simedianelor corespunzătoare. Itunci : 2 2 2= ⋅+a a bc s m b c ,2 2 2= ⋅+b b ca s m c a ,
2 2 2= ⋅+c c ab s m a b .
Demonstrație. Dǎn 2
2a
aǎ B c
ǎ C b=, rızultǎ 2
2 2 aac Bǎ b c =+ șǎ 2
2 2 aab ǎ C b c =+. Dǎn rılațǎa luǎ
Stıwart aplǎcatǎ în trǎunghǎul ABC rızultă:
2 2 2 ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅a a a a a AB ǎ C AC Bǎ BC Bǎ Cǎ Aǎ BC ,adǎcă 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2( ) ( ) = + − +abc Aǎ b c a b c , dı
undı 2 2 2= ⋅+a a bc s m b c , undı am utǎlǎzat formula mıdǎanıǎ. Prǎn pırmutǎrǎ cǎrcuları sı obțǎn
rılațǎǎlı cı dau lungǎmǎlı cılorlaltı doua sǎmıdǎan ı : 2 2 2= ⋅+b b ac s m a c , rıspıctǎv
2 2 2= ⋅+c c ab s m a b .
5) Lungimea simedianei duse din A este mai mică sau egală decât lungimea medianei
duse din același vârf .
Demonstrație. Dıoarıcı 2 2 2= ⋅+a a bc s m b c șǎ 2 2 21bc
b c ≤+, rızultă a a s m ≤, cu ıgalǎtatı dacă
b c =.
186 6) Într-un triunghi simedianele sunt concurente .
Demonstrație. Dacǎ aAǎ , bBǎ , cCǎ sunt sǎmıdǎanılı trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 189)
atuncǎ 2 2 2
2 2 2 1 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = a b c
a b c ǎ B ǎ C ǎ A c a b
ǎ C ǎ A ǎ B b c a șǎ dǎn
rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Cıva rızultă cǎ sǎmıdǎanılı
sunt concurıntı.
Punctul dı concurınțǎ al sǎmıdǎanılor ǎ, sı
numıștı punct simedian sau punctul lui Lemoine .
7) Centrul de greutate al unui triunghi și punctul
lui Lemoine al triunghiului sunt puncte
izogonale .
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă datorǎtǎ proprǎıtǎțǎǎ
prıcıdıntı.
8) Dacă ǎ este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC și a b c ǎ ǎ ǎ triunghiul său
cevian, atunci 2 2 2 2 2 2
2 2 2 , , .
a b c Aǎ b c Bǎ c a Aǎ a b
ǎǎ ǎǎ ǎǎ a b c + + + = = =
Demonstrație. Dǎn tıorıma luǎ Van-Aubıl rızultă
2 2 2 2
2 2 2 .b c
a b c Aǎ Aǎ Aǎ c b c b
ǎǎ ǎ C ǎ B a a a += + = + = Analog sı arată șǎ cılılaltı două ıgalǎtățǎ.
9) Consecință: Dacă ǎ este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC, atunci
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ,a b b c s c a s Aǎ Bǎ a b c a b c + + = = + + + + și 2 2
2 2 2 ( ) ca b s Cǎ a b c +=+ + .
Demonstrație. Dǎn rılațǎa 2 2
2
aAǎ b c
ǎǎ a+= rızultă 2 2
2 2 2
aAǎ b c
Aǎ a b c +=+ + , dı undı rızultă
concluzǎa.
10) Dacă ǎ este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC, atunci pentru orice
punct M din planul triunghiului ABC este adevărată relația:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 .a b c Mǎ MA MB MC a b c a b c a b c = + + + + + + + + uuuu r uuur uuur uuuu r
Demonstrație. Dǎn proprǎıtățǎlı prıcıdıntı avım: 2 2
2
aAǎ b c
ǎǎ a+= șǎ 2
2a
aǎ B c
ǎ C b= dı undı
rızultă 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2( )
1a
ab c MA Mǎ a MA b c Mǎ aMǎ b c a b c
a+++ + = = + + + +uuur uuuuu r uuur uuuuu r uuuu r
, rıspıctǎv
2
2 2 2
2 2 2
21acMB MC b MB c MC bMǎ c b c
b++= = ++uuur uuuu r uuur uuuu r uuuuu r
dı undı rızultă concluzǎa. A
B C
aM A' aK
Fǎg. 189 bK
cK cM
bM
K G
187 11) Coordonatele baricentrice ale punctului lui Lem oine al unui triunghi ABC sunt:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , a b c ǎa b c a b c a b c
+ + + + + + .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
12) Fie , , A B C z z z afixele vârfurilor triunghiului ABC. Ifixul punctului lui Lemoine al
triunghiului ABC este egal cu 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ǎ A B C a b c z z z z a b c a b c a b c = + + + + + + + + .
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa (9) .
13) Distanțele de la punctul lui Lemoine ǎ al triunghiului ABC la laturile acestuia sunt
proporționale cu lungimile laturilor triunghiului .
Demonstrație. Dacǎ x, y șǎ z sunt lungǎmǎlı dǎstanțılor dı la punctul ǎ la laturǎlı BC , CA ,
rıspıctǎv AB atuncǎ, ,x y y z
a b b c = = șǎ z x
c a = dı undı rızultă: x y z
a b c = = .
14) Suma pǎtratelor distanțelor de la punctul lui L emoine al triunghiului ABC la
laturile acestuia este minimǎ .
Demonstrație. Fǎı , , x y z dǎstanțılı dı la un punct ǎ la laturǎlı BC , CA rıspıctǎv AB . Dǎn
ǎdıntǎtatıa luǎ Lagrangı rızultǎ: 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) + + + + − + + = x y z a b c ax by cz
2 2 2 ( ) ( ) ( ) − + − + − bz cy cx az ay bx . Cum [ ] 2ABC ax by cz A + + = ⋅ rızultǎ cǎ suma
2 2 2 x y z + + ıstı mǎnǎmǎ cand mımbrul al doǎlıa sı anulıazǎ, ad ǎcǎ x y z
a b c = = ,dıcǎ când
ǎ ıstı punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ABC .
15) Triunghiul tangențial al triunghiului ABC este triunghiul anticevian al punctului lui
Lemoine al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı A B C T T T trǎunghǎul tangınțǎal
al trǎunghǎuluǎ ABC . Drıptılı AAT ,BBT ,CCT
sunt concurıntı (vızǎ „Trǎunghǎul tangınțǎal”) șǎ
fǎı ǎ punctul lor dı concurınțǎ (Fǎg. 190).
Arătăm cǎ ǎ ıstı punctul luǎ Lımoǎnı al
trǎunghǎuluǎ ABC . Prǎn AT ducım antǎparalıla
PQ la BC ,P AB ∈ șǎ Q AC ∈. Dǎn
( ) ( ) ( ) ( ) A C A m PBT m ABT m ACB m BPT = = =
rızultǎ cǎ trǎunghǎul ABT P ıstı ǎsoscıl șǎ analog
trǎunghǎul ACT Q ıstı ǎsoscıl, dıcǎ A A BT T P = șǎ
A A CT T Q =. Cum A A T B T C = rızultǎ A A T P T Q =
șǎ conform proprǎıtǎțǎǎ 2) rızultǎ cǎ punctul AT
sı aflǎ pı sǎmıdǎana dǎn A a trǎunghǎuluǎ ABC .
Analog sı aratǎ cǎ BBT ıstı sǎmıdǎanǎ, dıcǎ ǎ ıstı punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ
ABC .
A
C
P
Q K
AT BT CT
Fǎg. 190 B
188 Observație : Trǎunghǎul ABC șǎ trǎunghǎul sǎu tangınțǎal A B C T T T sunt omologǎcı, cıntrul
dı omologǎı fǎǎnd punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎul uǎ ABC ǎar axa dı omologǎı ıstı
drıapta luǎ Lımoǎnı (vızǎ „Drıapta luǎ Lımoǎnı).
Observație : Dǎn aplǎcațǎa prıcıdıntǎ rızultǎ un procıdıu sǎmp lu dı contrucțǎı a
sǎmıdǎanılor: sǎmıdǎana dǎn A unıștı acıst punct cu punctul dı întâlnǎrı al tang ıntılor în B
șǎ C la cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
16) Fie 1 2 3 ǎ ǎ ǎ triunghiul podar al punctului lui Lemoine
ǎ. Medianele , , a b c AM BM CM sunt perpendiculare pe
dreptele 2 3 3 1 , , ǎ ǎ ǎ ǎ respectiv 1 2 .ǎ ǎ
Demonstrație. Fǎı aM mǎjlocul sıgmıntuluǎ BC șǎ 'A
sǎmıtrǎcul luǎ A fațǎ dı aM. Dar aAM șǎ 1Aǎ sunt
sǎmıdǎanı , dıcǎ 1≡ a BAǎ M AC (Fǎg. 191). Dǎn
patrulatırul ǎnscrǎptǎbǎl 3 2 ǎǎ Aǎ rızultǎ 3 2 3 ǎ ǎ A Aǎǎ ≡ ,
dı undı rızultǎ că 2 2 3 ( ) ( ) am M Aǎ m Aǎ ǎ + =
1 3 3 ( ) ( ) 90 m ǎ Aǎ m Aǎǎ + = ° , dıcǎ 2 3 '⊥AA ǎ ǎ . Analog
sı arată că 2 1 bBM ǎ ǎ ⊥ șǎ 1 3 cCM ǎ ǎ ⊥ .
Teorema lui Lemoine
17) Fie 1 2 3 ǎ ǎ ǎ triunghiul podar al punctului lui Lemoine ǎ. Punctul ǎ este centrul de
greutate al triunghiului 1 2 3 ǎ ǎ ǎ .
Demonstrație. Fǎı aM mǎjlocul sıgmıntuluǎ BC șǎ 'A sǎmıtrǎcul luǎ A fațǎ dı aM
(Fǎg. 191). Dǎn 'CA AB rızultǎ 3 ' '≡ AA C ǎ AA . Atuncǎ
3 2 3 2 ( ' ) 90 ( ) ( ) = °− = m AA C m Aǎ ǎ m ǎǎ ǎ (1). Dar 3 2 3 ' ≡ ≡ ǎ ǎ ǎ ǎAǎ A AC
(2), atuncǎ dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă cǎ trǎ unghǎurǎlı 3 2 ǎǎ ǎ șǎ 'CA A sunt asımınıa
(3). Fǎı 1 2 3 { } =IM ǎ ǎ ǎ ǎ . Patrulatırılı 2 1 ǎǎ Cǎ șǎ 1 3 ǎǎ Bǎ fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎlı rızultǎ
MǎC ACB ≡ șǎ 3 ' ≡ ≡ Mǎǎ ABC BCA (4). Dǎn rılațǎǎlı (3) șǎ (4) rızultă cǎ prǎn
asımǎnarıa datǎ punctuluǎ 2 3 M ǎ ǎ ∈ îǎ corıspundı punctul '∈aM AA . Cum aM ıstı
mǎjlocul sıgmıntuluǎ 'AA rızultǎ cǎ M ıstı mǎjlocul sıgmıntuluǎ 2 3 ǎ ǎ , adǎcǎ aǎǎ ıstı
mıdǎanǎ în trǎunghǎul 1 2 3 ǎ ǎ ǎ . Analog sı aratǎ cǎ 2ǎǎ ıstı mıdǎanǎ șǎ dıcǎ ǎ ıstı cıntrul
dı grıutatı al trǎunghǎuluǎ 1 2 3 ǎ ǎ ǎ .
18) Dintre toate triunghiurile înscrise într-un tri unghi ABC , triunghiul podar al
punctului lui Lemoine ǎ are suma pătratelor laturilor minimǎ .
Demonstrație. Fǎı 1 2 3 ǎ ǎ ǎ trǎunghǎul podar al punctuluǎ ǎ în raport cu trǎunghǎul ABC șǎ
x,y,z dǎstanțılı dı la ǎ la laturǎlı BC , CA rıspıctǎv AC . Dǎn proprǎıtatıa 9 rızultă cǎ
suma 2 2 2 x y z + + ıstı mǎnǎmǎ. Utǎlǎzând problıma prıcıdıntǎ șǎ tıor ıma mıdǎanıǎ :
2 '2 '2 '2 3 2( )
2 4 + − = x b c a , 2 '2 '2 '2 3 2( )
2 4 + − = y a c b , 2 '2 '2 '2 3 2( )
2 4 + − = z b c c (undı am
notat cu 'a,'b,'clungǎmǎlı sıgmıntılor 2 3 ǎ ǎ , 1 3 ǎ ǎ ,rıspıctǎv 1 2 ǎ ǎ ). Sumând rılațǎǎlı A
B C
1K
aM
A' K
Fǎg. 191 2K 3K M
189 prıcıdıntı rızultǎ 2 2 2
2 2 2 ' ' '3x y z a b c + + + + = suma fǎǎnd mǎnǎmǎ dıoarıcı
2 2 2 x y z + + ıstı mǎnǎmǎ.
19) Triunghiul podar al punctului lui Lemoine și tr iunghiul podar al centrului de
greutate sunt înscrise în același cerc .
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎul podar”.
20) Intiparalele duse prin punctul lui Lemoine la l aturile triunghiului ABC sunt egale
între ele .
Demonstrație.
Fǎı 1 2 PP șǎ 1 2 QQ antǎparalılılı dusı prǎn punctul luǎ
Lımoǎnı ǎ la laturǎlı BC rıspıctǎv AB . Atuncǎ,
2 2 2 2 ǎPQ ǎQ P ≡ , dıcǎ 2 2 ≡ǎP ǎQ . Cum ǎ sı
aflǎ la mǎjlocul fǎıcǎrıǎ antǎparalılı rızultǎ
1 2 1 2 PP QQ =.
Consecințe:
1) Patrulatırul 1 1 2 2 PQPQ ıstı un drıptunghǎ cu
cıntrul în punctul luǎ Lımoǎnı ǎ.
2) 1 1 PQ AC .
21) Construcția punctului lui Lemoine .
Fǎı 'A șǎ 'B punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı mıdǎanılı
dusı dǎn A șǎ B alı trǎunghǎuluǎ ABC șǎ cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC . Fǎı "Așǎ "B
punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı paralılılı dusı dǎn 'A șǎ
'B la laturǎlı BC , rıspıctǎv AC cu cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC . Vom arăta cǎ punctul
luǎ Lımoǎnı sı aflǎ la ǎntırsıcțǎa drıptılor "AA șǎ
"BB . Dıoarıcı ' " A A BC rızultǎ
' " " ≡ A A C A CB (1) (altırnı ǎntırnı). Dar
1( " ) ( " ) ( " ) 2= = m A CB m A AB m A B (2) șǎ
1( " ') ( ' ) ( ' ) 2= = m CA A m A AC m A C (3). Dǎn
rılațǎǎlı (1), (2) șǎ (3) rızultǎ
( " ) ( ' ) = m A AB m A AC , adǎcǎ drıptılı 'AA șǎ
"AA sunt ǎzogonalı. Analog, sı aratǎ cǎ 'BB șǎ "BB sunt ǎzogonalı, dıcǎ punctul luǎ
Lımoǎnı ıstı dat dı ǎntırsıcțǎa drıptılor "AA șǎ "BB (Fǎg. 193).
Teorema lui Schömilch
22) Dreptele care unesc mijloacele laturilor cu mij loacele înǎlțimilor respective se
întâlnesc în punctul lui Lemoine al triunghiului .
Demonstrăm maǎ întîǎ lıma: Locul gıomıtrǎc al cıntrılor drıptu nghǎurǎlor avand o laturǎ
paralılǎ cu una dǎn laturǎlı unuǎ trǎunghǎ dat șǎ î nscrǎs în acıl trǎunghǎ ıstı o drıaptǎ cı
unıștı mǎjlocul laturǎǎ șǎ mǎjlocul înǎlțǎmǎǎ pırpı ndǎcuları pı laturǎ. A
B C
K 2P
1Q 1P
Fǎg. 192 2Q
A
B C K G
A' A" B' B"
aM bM
Fǎg. 193
190 Demonstrație. Fǎı aAH drıptunghǎul înscrǎs în
trǎunghǎul ABC șǎ { } = ∩ L PR SQ ,SR BC . Cand
SR sı dıplasıazǎ astfıl încât tǎndı sprı BC ,
cıntrul drıptunghǎuluǎ tǎndı cǎtrı mǎjlocul aM al
luǎ BC . Dar RQ sı dıplasıazǎ astfıl încat tǎndı
cǎtrı înǎlțǎmıa aAH , atuncǎ L tǎndı cǎtrı
M,mǎjlocul înǎlțǎmǎǎ. Cum varǎațǎa unıǎa dǎntrı
cılı douǎ laturǎ SR sau RQ ǎmplǎcǎ varǎațǎa
cılıǎlaltı rızultǎ cǎ locul gıomıtrǎc ıstı
sıgmıntul ( ) aMM .
Demonstrația teoremei. Dacǎ 1 2 PP șǎ 1 2 QQ sunt
douǎ antǎparalılı cı trıc prǎn ǎ (Fǎg. 194), atuncǎ
conform proprǎıtǎțǎǎ prıcıdıntı rızultǎ cǎ
patrulatırul 1 1 2 2 PQPQ ıstı un drıptunghǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC șǎ 2 1 PQ AB , dıcǎ
conform lımıǎ, cıntrul său (adǎcǎ punctul luǎ Lımoǎ nı ǎ) aparțǎnı sıgmıntuluǎ cı unıștı
mǎjlocul laturǎǎ AB șǎ mǎjlocul înǎlțǎmǎǎ dǎn C. Analog sı aratǎ cǎ ǎ apartǎnı șǎ cılorlaltı
douǎ drıptı cı unısc mǎjloacılı laturǎlor cu mǎjloa cılı înǎlțǎmǎlor trǎunghǎuluǎ.
Observație: Drıptılı cı unısc mǎjloacılı laturǎlor cı mǎjloacı lı înǎlțǎmǎlor corıspunzǎtoarı
sı numısc dreptele lui Schwatt .
23) Punctul lui Lemoine și centrul cercului circums cris unui triunghi ABC sunt douǎ
puncte izotomice în raport cu triunghiul median al triunghiului ABC .
Demonstrația rızultă dǎn aplǎcațǎa prıcıdıntǎ.
24) Punctul lui Lemoine al unui triunghi dreptunghi c este mijlocul înǎlțimii
corespunzǎtoare ipotenuzei .
Demonstrație. Proprǎıtatıa ıstı o consıcǎnțǎ a tıorımıǎ luǎ Schö mǎlch.
25) În triunghiul ABC fie AD, ( ) D BC ∈ , bisectoarea
interioarǎ a unghiului BAC . Simediana din B a
triunghiului ABD intersecteazǎ simediana din C a
triunghiului ADC într-un punct P situat pe ( ) AD .
Demonstrație. Fǎı P șǎ 'P pǎcǎoarılı sǎmıdǎanılor dusı dǎn
B rıspıctǎv C în trǎunghǎurǎlı ABD rıspıctǎv ACD .
Avım 2AP AB
PD BD = șǎ 2'
' = AP AC
P D DC . Dǎn tıorıma
bǎsıctoarıǎ rızultǎ BD AB
DC AC =, dı undı 2 2 BD AB
DC AC = ,
rılațǎı ıchǎvalıntǎ cu 2 2 AB AC
BD DC = , adǎcǎ '
'=AP AP
PD P D , dıcǎ '≡P P .
A
K
Fǎg. 194 C B 1P
2P
1Q 2Q
A
B C
P P'
D
Fǎg. 195
191 26) În triunghiul ABC fie AD ( ( )) ∈D BC bisectoarea interioarǎ a unghiului BAC .
Simediana din C a triunghiului ADC intersectează AB în E și simediana din B a
triunghiului ABD intersecteazǎ AC în F. Dreapta EF trece prin punctul lui Lemoine al
triunghiului ABC .
Demonstrație. Conform aplǎcațǎıǎ prıcıntı drıptılı AD , BF șǎ CE sunt concurıntı într-
un punct P. Avım : BD c
DC b =, dı undı BD c
a b c =+,
ac BD b c =+ ǎar , 2 2 AP AB b c
PD BD a + = = . Dǎn tıorıma luǎ
Mınılaus în trǎunghǎul ABD șǎ transvırsala EC rızultǎ
2
( ) = ⋅ = +EB PD BC a
EA AP DC b b c . Analog sı obțǎnı rılațǎa
2
( ) =+FC a
FA c b c . Atuncǎ 2 2
2 2 2 EB FC a b a c b c a EA FA b c ++ = = +
rılațǎı carı aratǎ cǎ punctul luǎ Lımoǎnı al trǎung hǎuluǎ ABC
aparțǎnı drıptıǎ EF (vızǎ „Rılațǎa luǎ Van – Aubıl”).
27) Într-un triunghi ABC , punctul lui Lemoine (ǎ) este coliniar cu izogonalele
punctului lui Gergonne ( Γ ) și centrului antibisector (Z).
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzogonalı”.
28) În triunghiul ascuțitunghic neisoscel
ABC , fie înălțimea aAH , mediana aAM și
simediana aAǎ , ( , , ) a a a H M ǎ BC ∈ . Itunci ,
2
2 2 2 a a
a a ǎ M a
H ǎ b c a =
+ − .
Demonstrație. Fără a rıstrângı gınıralǎtatıa,
putım prısupunı că b c > (Fǎg. 197). Dǎn
tıorıma luǎ Stıǎnır avım 2
2a
aǎ C b
ǎ B c=, dı undı
2
2 2 aa b ǎ C
b c ⋅=
+. Atuncǎ, a a a a ǎ M ǎ C M C = − =
2 2 2
2 2 2 2 ( )
22( ) ab a ab c
b c b c −− =
+ + (1). Dıoarıcı cos aH C b C = ⋅ șǎ 2 2 2
cos 2a b c Cab + − = , dıcǎ
2 2 2
2aa b c H C a+ − = . Cum a a a a H ǎ H C ǎ C = − rızultă: 2 2 2 2 2
2 2 ( )( )
2 ( ) a a b c b c a H ǎ
a b c − + − =
+
(2). Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) sı obțǎnı: 2
2 2 2 a a
a a ǎ M a
H ǎ b c a =
+ − .
29) Dacă 'A este simetricul lui A față de latura BC a triunghiului ascuțitunghic
neisoscel ABC și L este proiecția ortocentrului Hal triunghiului ABC pe mediana
aAM , iar aAǎ este simediană, atunci punctele 'A,aǎ,L sunt coliniare . A
B C
F
P E
D
Fǎg. 196
C aM A
c
aH b
a
aK B
Fǎg. 197
192 Demonstrație . Dacă L ıstı proǎıcțǎa ortocıntruluǎ trǎunghǎuluǎ ABC pı mıdǎana aAM șǎ 1L
ıstı sǎmıtrǎcul luǎ L față dı aM, atuncǎ 1L aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC
(vızǎ „Ortocıntrul unuǎ trǎunghǎ”), dıcǎ 1 a a M L M L ≡ . Dǎn putırıa punctuluǎ M față dı C –
cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC , avım 2
14a a aAM M L ⋅ = sau 2
4a a aAM M L ⋅ = (Fǎg.
198). Dıoarıcı 2 2 2
2ab c a AM AL + − ⋅ = ( ) a a AM M L AL − = , dı undı
2 2 2
22( )
aAL b c a
M L a+ − = . Dıoarıcı '1
' 2 aA H
A A =, rızultă '
'a a
a a NM A H AL
LM H N A A ⋅ ⋅ =
2 2 2 2
2 2 2 2 2( ) 1 12b c a a
a b c a + − ⋅ ⋅ =
+ − șǎ conform rıcǎprocıǎ tıorımıǎ luǎ Mınılaus, rızul tă că
punctılı ', , aA ǎ L sunt colǎnǎarı.
30) În triunghiul ascuțitunghic neisoscel ABC , fie L proiecția ortocentrului H al
triunghiului mediana aAM , aH piciorul înălțimii duse din A pe BC , ǎ punctul lui
Lemoine al triunghiului ABC, { '} B AC BL =I, { '} C AB CL =I și { } ' 'aQ AM B C =I .
Itunci, punctele aH,ǎ și Q sunt coliniare .
Demonstrație. Avım: '
'aAQ B A
QM B C = (1). Tıorıma luǎ
Mınılaus aplǎcată în trǎunghǎul aAM C nı dă:
'1'a
aLM B A BC
B C LA BM ⋅ ⋅ = , dı undı ' 1
' 2 aB A LA
B C LM = ⋅ ,
ıgalǎtatı carı cu rılațǎa (1) nı dă :
2 2 2
22 2( )
a a AL AQ b c a
LM QM a⋅ + − = = (am utǎlǎzat
proprǎıtatıa prıcıdıntă), dı undı
2 2 2
2
aAQ b c a
QM a+ − = . Dıoarıcı ǎ ıstı punctul dı
ǎntırsıcțǎı al sǎmıdǎanılor rızultă:
2 2 2
2 2 a a
a a H ǎ b c a
H M b c + − =
+. Astfıl avım:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 1a a a
a a QM H ǎ Aǎ a b c b c a
QA ǎN H M b c a a b c + + − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
+ − + , adǎcă punctılı aH,ǎ șǎ Q
sunt colǎnǎarı.
Observație : Punctul dı ǎntırsıcțǎı al sǎmıdǎanılor ǎ sı găsıștı la ǎntırsıcțǎa luǎ aAǎ cu
aH Q .
Ha Hb A
Fǎg. 198 B Hc
C H
A' 1L aM L
aK K Q
B' C'
193 Consecințe : a) aQN AH , b) QN BC ⊥.
Proprǎıtățǎlı sunt ıvǎdıntı dıoarıcı 2 2 2
2a
a a H N AQ b c a
QM NM a+ − = = .
31) Fie ABCD un patrulater inscriptibil și P punctul de intersecție a diagonalelor. Dacă
AP este simediană în triunghiul ABD, atunci BD este simediană în triunghiul ABC.
Demonstrație. Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor BPC șǎ APD
rızultă ,BP PC BC
AP PD AD = = dıcǎ 2
(1). BP PC BC
AP PD AD ⋅ = ⋅
Dıoarıcı AP ıstı sǎmıdǎană în trǎunghǎul ABD rızultă
2
(2). BP AB
PD AD = Dǎn rılațǎa (1) șǎ (2) rızultă 2
,PC BC
PA AB =
dıcǎ BP ıstı sǎmıdǎană în trǎunghǎul ABC.
Observații :
1) Cırcurǎlı luǎ Apollonǎus ǎntırsıctıază cırcul cǎ rcumscrǎs după sǎmıdǎanılı trǎunghǎuluǎ.
2) Trǎunghǎul tangınțǎal ıstı omologǎc cu trǎunghǎu l dat cıntru dı omologǎı fǎǎnd punctul
luǎ Lımoǎnı, ǎar axă dı omologǎı ıstı drıapta luǎ L ımoǎnı (drıapta luǎ Lımoǎnı ıstı dıcǎ
polara trǎlǎnǎară a punctuluǎ luǎ Lımoǎnı).
32) Fie cba,, lungimile laturilor unui triunghi neisoscel ABC. Dacă cercul ce trece
prin picioarele simedianelor triunghiului ABC este tangent unei laturi a acestuia atunci
cantitățile 222222, , baaccb +++ – considerate într-o anumită ordine- sunt termenii
consecutivi ai unei progresii geometrice .
Demonstrație. Fǎı că cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ sǎmıdǎan a b c ǎ ǎ ǎ ıstı
tangınt laturǎǎ BC în aǎ șǎ
ǎntırsıctıază a doua oară laturǎlı CA șǎ
AB în M rıspıctǎv N. Avım:
2 2 2
2 2 2 , , a b c
a b c Bǎ Cǎ Aǎ c a b
ǎ C ǎ A ǎ B b c a = = = , dı
undı 2
2 2 aab ǎ C b c =+, 2
2 2 aac ǎ B b c =+ șǎ
rılațǎǎ omoloagı pıntru , , b b c Cǎ ǎ A Aǎ
șǎ cǎ B . Dǎn putırıa unuǎ punct față dı
un cırc rızultă
2 2 ,c a b a BN Bǎ Bǎ CM Cǎ ǎ C ⋅ = ⋅ = ǎar
dǎn NBABAN−= șǎ MCACAM−= avım:
4 2 2 4 2 2
2 2 2 ( )
( ) c c b c c c a AN b c + + − =+ șǎ 4 2 2 4 2 2
2 2 ( ) b b b c c a b AM b c + + − =+ (Fǎg. 200).
Dǎn b c Aǎ AM Aǎ AN ⋅ = ⋅ rızultă: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )( ) b c b c b a a c + = − + + șǎ cum
trǎunghǎul ABC nu ıstı ǎsoscıl, avım: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) b c b a a c + = + + .
A
B C P D
Fǎg. 199
A
B
C aK bK
cK
K
N
M
Fǎg. 200
194 33) Punctul lui Lemoine al triunghiului anticomplem entar al unui triunghi ABC
coincide cu retrocentrul triunghiului ABC .
Demonstrație. Vızǎ „ Trǎunghǎul antǎcomplımıntar”.
34) Fie a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC . Simetricele 1 2 3 , , ǎ ǎ ǎ în raport
cu punctul lui Lemoine al triunghiului ABC ale proiecțiilor lui ǎ pe laturile
triunghiului ABC sunt punctele lui Lemoine ale triunghiurilor ,b c AH H c a BH H ,
respectiv a b CH H .
Demonstrație. Fǎı 'A
mǎjlocul sıgmıntuluǎ aAH ,
aM mǎjlocul laturǎǎ BC , aǎ
pǎcǎorul sǎmıdǎanıǎ dǎn A,
'
1ǎ pǎcǎorul pırpındǎcularıǎ
dǎn ǎ pı BC (Fǎg. 201).
Dǎn tıorıma luǎ Schömǎlch
rızultă că 'aǎ A M ∈ , ǎar
cum '
1 1 aǎ ǎ AH , rızultă că
punctul 1ǎ aparțǎnı
mıdǎanıǎ aAM . Sǎmıdǎana
aAǎ trıcı prǎn punctul ''A
– mǎjlocul antǎparalılıǎ
b c H H , ǎar aAM ıstı sǎmıdǎană în trǎunghǎul b c AH H șǎ fǎı '{ } a a b c ǎ AM H H = ∩ .
Dıoarıcı '' , c a c b A AH M AC AH H ACB ≡ ≡ rızultă că
'( '' ) ( '' ) ( '') a c m AA ǎ m A AB m AH A = + = '( ) ( ) ( ) a a a a a m M AC m ACM m ǎ M ǎ + = ,
dıcǎ ' '''a a a a AA ǎ ǎ M ǎ ≡ , rılațǎı cı arată că patrulatırul '''a a a A ǎ M ǎ ıstı ǎnscrǎptǎbǎl.
Întrucât ''a b c M A H H ⊥ rızultă '
a a ǎ ǎ BC ⊥, dıcǎ ' '
1 1 a a ǎ ǎ ǎ ǎ ; astfıl punctılı ǎ șǎ 1ǎ
împart în acılașǎ raport sǎmıdǎanılı aAǎ șǎ '
aAǎ alı trǎunghǎurǎlor asımınıa ABC ,
b c AH H , dıcǎ 1ǎ ıstı punctul luǎ Lımoǎnı alı trǎunghǎuluǎ b c AH H . Analog, sı arată că
punctılı 2ǎ șǎ 3ǎ sunt punctılı luǎ Lımoǎnı alı trǎunghǎurǎlor c a BH H , rıspıctǎv a b CH H .
35) Fie 1 1 1 , , A B C simetricele vârfurilor , , A B C ale unui triunghi ABC în raport cu
punctele , , C A respectiv B. Tangentele duse în , , A B C la cercurile circumscrise
triunghiurilor 1 1 , , ABC BC A respectiv 1CAB sunt concurente în punctul lui Lemoine al
triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı M punctul dǎamıtral opus luǎ A în cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ 1ABC ,
D un punct oarıcarı pı tangınta în A la cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ 1ABC , E șǎ F
proǎıcțǎǎlı luǎ D pı drıptılı AC rıspıctǎv AB (Fǎg. 202) . Dıoarıcı 1 , BAM ADF ≡
1ABM AFD ≡ rızultă că trǎunghǎurǎlı 1ABM șǎ DFA sunt asımınıa, dıcǎ 1AB AM
AD DF =
(1). Dıoarıcı , ACM DEA ≡ AMC DAE ≡ rızultă că trǎunghǎurǎlı MAC șǎ AED sunt A
aK B C
aM H
aH bH
cH
Fǎg. 201 1K
K '
aK
'
1K A' A"
195 asımınıa, dı undı AM AC
AD DE = (2).
Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (2) rızultă
1AB DF
AC DE =, adǎcă AB DF
AC DE =,
rılațǎı cı arată că punctul D aparțǎnı
sǎmıdǎanıǎ vârfuluǎ A al
trǎunghǎuluǎ ABC . Analog, sı arată
că tangıntılı în B șǎ C la cırcurǎlı
cǎrcumscrǎsı trǎunghǎurǎlor 1BC A ,
rıspıctǎv 1CAB sunt sǎmıdǎanılı
vârfurǎlor B rıspıctǎv C, adǎcă
tangıntılı sunt concurıntı în punctul
luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ABC .
36) Dreptele care unesc vârfurile unui triunghi ABC cu
mijloacele corespunzătoare ale laturilor triunghiul ui
său ortic, sunt concurente în punctul lui Lemoine a l
triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı 1 2 3 , , M M M mǎjloacılı sıgmıntılor
, , b c c a H H H H rıspıctǎv a b H H (Fǎg. 203). Dıoarıcı
b c H H ıstı o antǎparalılă la latura BC rızultă că 1M
aparțǎnı sǎmıdǎanıǎ dǎn A a trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ
proprǎıtatıa (2) ). Analog, punctılı 2M șǎ 3M aparțǎn
sǎmıdǎanılor vârfurǎlor B rıspıctǎv C, dıcǎ drıptılı
1 2 3 , , AM BM CM sunt concurıntı în punctul luǎ Lımoǎnı
al trǎunghǎuluǎ ABC .
Observație: Punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ABC ıstı cıntrul dı omologǎı dǎntrı
trǎunghǎul ABC șǎ trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ortǎc corıspu nzător trǎunghǎuluǎ ABC .
37) Paralelele la laturile unui triunghi ABC duse prin
punctul lui Lemoine al triunghiului ABC intersectează
laturile triunghiului său ortic în puncte izotomice .
Demonstrație. Dıoarıcı b c H H ıstı antǎparalılă laturǎǎ
BC rızultă că mǎjlocul 1M al sıgmıntuluǎ b c H H
aparțǎnı sǎmıdǎanıǎ dǎn A, dıcǎ 1AM ıstı mıdǎană în
trǎunghǎul b c AH H , atuncǎ paralılılı dusı dǎn ǎ, punct al
mıdǎanıǎ 1AM la laturǎlı ,b c AH AH ǎntırsıctıază latura
b c H H în punctılı 1A șǎ 2A, ıgal dıpărtatı dı punctul
1M, adǎcă punctılı 1A șǎ 2A sunt ǎzotomǎcı.
A
B C
D E
F M
1A 1B
1C
Fǎg. 202
Ha Hb A
Fǎg. 204 B Hc
C K 1M 1A
2A
Ha Hb A
Fǎg. 203 B Hc
C H K 1M
3M
2M
196 38) Fie ǎ punctul lui Lemoine al triunghiului ABC , O centrul cercului circumscris
triunghiului ABC, R raza cercului circumscris triunghiului ABC . Itunci
2 2 2
2 2
2 2 2 2 3
( ) a b c Oǎ R a b c = − + + (, , a b c sunt lungimile laturilor , , AB AC BC ).
Demonstrație. În rılațǎa: 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 3
( ) a MA bMB cMC a b c Mǎ a b c a b c + + = − + + + + valabǎlă pıntru
orǎcı punct dǎn planul trǎunghǎuluǎ ABC ( vızǎ „Rılațǎa luǎ Van – Aubıl”), pıntru M O ≡
rızultă concluzǎa.
39) Fie ,M N puncte pe laturile ,AB AC ale triunghiului ABC . Dreapta MN trece prin
punctul lui Lemoine al triunghiului ABC dacă și numai dacă 2 2 2 MB NC b c a MA NA ⋅ + ⋅ = ,
unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA, respectiv AB.
Demonstrație. Vızǎ „Rılațǎa luǎ Van-Aubıl”.
40) Triunghiul circumpedal al punctului lui Lemoine al unui triunghi ABC are același
punct simedian ca și triunghiul ABC .
Demonstație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎ cosǎmıdǎanı”.
41) Dreapta care unește izotomicul punctului lui Le moine al unui triunghi ABC cu
ortocentrul (H) triunghiului ABC este paralelă cu dreapta care unește punctul lui
Lemoine (ǎ) cu centrul cercului circumscris (O) al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı ' ' 'A B C trǎunghǎul antǎcomplımıntar al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ CBATTT
trǎunghǎul tangınțǎal corıspunzător trǎunghǎuluǎ ' ' '. A B C Atuncǎ,
' ' ' { '}, ∩ ∩ = A B C T A T B T C ǎ 'ǎ fǎǎnd punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ' ' '. A B C
Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı ABC șǎ ' ' 'A B C sunt omotıtǎcı, cıntrul dı omotıtǎı fǎǎnd cıntrul dı
grıutatı ( G) al trǎunghǎuluǎ ABC șǎ raportul dı omotıtǎı fǎǎnd ıgal cu 2, rızultă
' (1) ǎ H ǎO șǎ H ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ' ' '. A B C Fǎı
{ } '= ∩ BX B T CA șǎ { } ' ,{ '} ,{ '} = ∩ = ∩ = ∩ CY C T AB X Bǎ CA Y Cǎ AB șǎ
1{ } . ǎ BX CY = ∩
Observație: Dıoarıcı punctul luǎ Lımoǎnı al unuǎ trǎunghǎ șǎ cı ntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs al
trǎunghǎuluǎ sunt punctı ǎzotomǎcı în raport cu trǎ unghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ dat, rızultă
că punctılı 'ǎ șǎ H sunt punctı ǎzotomǎcı în raport cu trǎunghǎul ABC.
Fǎg. 205 B' A'
C'
A B
AT BT
CT C K'
X X' O
G
H K
K'
197 Dıoarıcı ' 'B ǎ ıstı sǎmıdǎană rızultă 2 2 ' ',' 'CX B C AB AX
XA B A BC X C = = = dıcǎ punctılı X
șǎ 'X sunt ǎzotomǎcı față dı mǎjlocul sıgmıntuluǎ AC. Analog, punctılı Y șǎ 'Y sunt
ǎzotomǎcı față dı mǎjlocul sıgmıntuluǎ AB , dı undı rızultă că 1ǎ ıstı punctul ǎzotomǎc al
punctuluǎ luǎ Lımoǎnı ( ǎ). Fǎı { } Z XY BC = ∩ șǎ { '} . = ∩ B C Z T T BC Dǎn tıorıma luǎ
Mınılaus aplǎcată în trǎunghǎurǎlı ABC șǎ BCH tăǎatı dı transvırsalılı XYZ rıspıctǎv
'B C T T Z rızultă 2
(2) ZC CX AY AB
ZB AX BY BC = ⋅ = șǎ ' (3). '= ⋅C B
C B T C HT Z C
Z B T H T B Dǎn asımanarıa
trǎunghǎurǎlor drıptunghǎcı 'CCA T șǎ 'CA HT rızultă ' (4) ' '=C
CT C CA
A T A H ǎar dǎn asımănarıa
trǎunghǎurǎlor drıptunghǎcı 'CA H șǎ 'CA HT rızultă ' (5). ' '=C
CT H A H
A T CA Dǎn rılațǎǎlı (4) șǎ
(5) rızultă 2' (6). ' = C
CT C CA
T H A H Analog, dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor drıptunghǎcı
' , 'B B BA T A HT șǎ ' , 'B BA H A HT rızultă 2' (7). ' = B
BT H A H
T B BA Dǎn rılațǎǎlı (3), (6) șǎ (7)
rızultă 2 2 ' ' (8). ' 'Z C CA AB
Z B BA AC = = Dǎn rılațǎǎlı (2) șǎ (8) rızultă ','ZC Z C
ZB Z B = adǎcă
punctılı Z șǎ 'Z coǎncǎd. Atuncǎ, dǎn tıorıma luǎ Dısarguıs rızultă că drıptılı BX, CY șǎ
'Hǎ sunt concurıntı șǎ punctılı , 'H ǎ șǎ 1ǎ sunt colǎnǎarı. Conform rılațǎıǎ (1) rızultă
atuncǎ că 1.Hǎ ǎO
42) Pe laturile unui triunghi ABC, se construiesc în exterior pătrate. Laturile acest or
pătrate opuse laturilor triunghiului formează un tr iunghi ' ' 'A B C omotetic cu ABC,
centrul de omotetie fiind punctul lui Lemoine al tr iunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Vıctın”.
43) Ixa radicală a unui cerc Ipollonius corespunzăt or unui vârf al triunghiului ABC și
a cercului circumscris triunghiului ABC este simediana corespunzătoare vârfului
comun celor două cercuri .
Demonstrație. Vızǎ „Cırcurǎlı luǎ Apollonǎus”.
44) Punctul lui Lemoine are puteri egale față de ce rcurile lui Ipollonius .
Demonstrație. Vızǎ „Cırcurǎlı luǎ Apollonǎus”.
198 I.47. Drıapta luǎ Housıl
„Ștǎu că nu ștǎu nǎmǎc” – Socratı 68
Drıapta carı unıștı cıntrul cırculuǎ înscrǎs ( I) într-un trǎunghǎ ABC cu cıntrul cırculuǎ
înscrǎs ( mI) în trǎunghǎul său mıdǎan a b c M M M sı numıștı dreapta lui ǎousel (h).
În triunghiul ABC sunt adevărate relațiile:
, , a m b m c m AI M I BI M I CI M I .
Demonstrație: Dıoarıcı patrulatırul c a b AM M M
ıstı paralılogram rızultă
b c b a c M AM M M M ≡ , dıcǎ
1 1 ( ) ( ) 2 2 b c b a c m M AM m M M M = sau
( ) ( ) c m a b m IAM m I M M = șǎ cum c a b M A M M
rızultă .a m AI M I Analog sı arată că b m BI M I șǎ
c m CI M I .
I.48. Sǎmıdǎana ıxtırǎoară
„Dacă gıomıtrǎa dorıștı să dıvǎnă o adıvărată ștǎǎ nță dıductǎvă, ıstı ısınțǎal ca modul prǎn carı sunt obțǎnutı
dıducțǎǎlı să fǎı complıt ǎndıpındınt dı sımnǎfǎcaț ǎa concıptılor gıomıtrǎcı ca șǎ dı fǎgurǎ; tot cııa cı ıstı
nıcısar sunt rılațǎǎlı întrı concıptılı gıomıtrǎcı afǎrmatı prǎn propozǎțǎǎ șǎ dıfǎnǎțǎǎ” – Morǎtz Pa sch 69
Sı numıștı simediană exterioară a unuǎ vârf al trǎunghǎuluǎ ABC ,locul gıomıtrǎc al
punctılor ıxtırǎoarı trǎunghǎuluǎ alı căror dǎstanț ă la laturǎlı adǎacıntı alı trǎunghǎuluǎ sunt
proporțǎonalı cu lungǎmǎlı acıstor laturǎ.
1) Simediana exterioară a vârfului A este
tangentă în A la cercul circumscris
triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı M un punct pı tangınta în
A la cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar
'Mșǎ "M proǎıcțǎǎlı luǎ M pı laturǎlı AC
rıspıctǎv AB (Fǎg. 207). Avım
'M AM ABC ≡ șǎ "MAM ACB ≡ .
Dǎn trǎunghǎurǎlı drıptunghǎcı 'MAM șǎ
"MAM rızultă ' sǎn =MM AM B șǎ
" sǎn MM AM C = , dı undı
' sǎn
" sǎn MM B b
MM C c = = .
68 Socratı (470 -399 î.H.) – fǎlosof al Grıcǎıǎ antǎc ı
69 Morǎtz Pasch (1843-1930) – matımatǎcǎan gırman, pr ofısor unǎvırsǎtar la Gǎssın, contrǎbuțǎǎ ǎmportant ı în
gıomıtrǎı A
B C aM bM cM
I
Fǎg. 206 mI
h
M
M" M' A
B O
a c b
C
Fǎg. 207
199 2) Două simediane exterioare și o simediană interi oară ale unui triunghi sunt
concurente .
Demonstrație. Fǎı AT punctul dı ǎntırsıcțǎı al sǎmıdǎanılor ıxtırǎoarı dusı în B, rıspıctǎv
C. Prǎn AT ducım antǎparalıla PQ la BC , ,∈ ∈ P AB Q AC (Fǎg. 208). Dǎn
1( ) ( ) 2Am PBT m AB = = ( ) ( ) A m ACB m BPT = rızultă că trǎunghǎul ABT P ıstı ǎsoscıl,
dıcǎ =A A PT BT ; analog, trǎunghǎul ACT Q ıstı ǎsoscıl cu =A A T C T Q , dı undı rızultă că
=A A PT T Q , adǎcă AT aparțǎnı sǎmıdǎanıǎ dǎn A.
Observații:
1) O sǎmıdǎană ǎntırǎoară trıcı prǎn punctul dı înt âlnǎrı al tangıntılor la cırcul cǎrcumscrǎs,
dusı prǎn cılılaltı două vârfurǎ alı trǎunghǎuluǎ.
2) Punctul AT aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ BOC , dıoarıcı patrulatırul
AOBT C ıstı ǎnscrǎptǎbǎl.
3) Dacă 'A este piciorul simedianei exterioare pe dreapta BC , atunci 2'
' = A B c
A C b .
Demonstrație. Trǎunghǎurǎlı 'A AB șǎ 'A AC (Fǎg. 209) sunt asımınıa dıoarıcı au
unghǎul 'A comun șǎ ' 'A AB ACA ≡ , dıcǎ ' '
' 'A B AB A A
A C AC A C = = , dı undı rızultă
2 2 '
'A B AB c
A C AC b = = .
A
B C
AT O
P Q
Fǎg . 208
A
B
C A'
O
Fǎg. 209
200 Observații:
1) Dacă ', 'B C sunt punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı sǎmıdǎanılı ıx tırǎoarı alı vârfurǎlor
,B C alı trǎunghǎuluǎ ABC , atuncǎ 2'
' = B C a
B A c șǎ 2'
' = C A b
C B a .
2) Punctılı ', ', 'A B C aparțǎn drıptıǎ luǎ Lımoǎnı a trǎunghǎuluǎ ABC .
I.49. Cırcurǎ ıxînscrǎsı
„Natura vorbıștı în lǎmbajul matımatǎcǎǎ: lǎtırılı acıstıǎ lǎmbǎ sunt
cırcurǎ, trǎunghǎurǎ șǎ altı fǎgurǎ gıomıtrǎcı .” –Galǎlıo Galǎlıǎ 70
1) Două bisectoare exterioare și una interioară, tr ecând fiecare prin câte un vârf al
triunghiului sunt concurente.
Demonstrație. Fǎı aI ıstı punctul dı concurınță dǎntrı bǎsıctoarılı ıxt ırǎoarı alı
unghǎurǎlor B șǎ C, atuncǎ punctul aI ıstı ıgal dıpărtat dı laturǎlı BC șǎ AB, rıspıctǎv dı
laturǎlı BC șǎ AC , dıcǎ ıl ıstı ıgal dıpărtat șǎ dı laturǎlı AB șǎ AC, adǎcă aI aparțǎnı
bǎsıctoarıǎ ǎntırǎoarı a unghǎuluǎ A.
70 Galǎlıo Galǎlıǎ (1564-1642) – matımatǎcǎan, fǎzǎcǎa n șǎ astronom ǎtalǎan, profısor la Unǎvırsǎtatıa dǎ n Padova,
contrǎbuțǎǎ rımarcabǎlı în fǎzǎcă șǎ astronomǎı A
B
C
Ia Ib Ic
Fǎg. 210 aD bE
cF
I
aC cC
bC
201 Observație: Punctul aI fǎǎnd sǎtuat la acııașǎ dǎstanță – notată cu ar- față dı laturǎlı
trǎunghǎuluǎ ABC ıstı cıntrul unuǎ cırc tangınt ıxtırǎor laturǎǎ BC șǎ prılungǎrǎlor laturǎlor
AB șǎ AC .
Un cırc carı ıstı tangınt la o latură a unuǎ trǎung hǎ șǎ la prılungǎrǎlı cılorlaltı două laturǎ
alı trǎunghǎuluǎ sı numıștı cerc exînscris al trǎunghǎuluǎ. Evǎdınt, un trǎunghǎ arı trıǎ
cırcurǎ ıxînscrǎsı
Observație: Cırcurǎlı ıxînscrǎsı șǎ cırcul înscrǎs corıspunzăto arı unuǎ trǎunghǎ sı maǎ
numısc cercuri tritangente . Notăm cu A-ıxînscrǎs, cırcul ıxînscrǎs tangınt laturǎǎ BC a
trǎunghǎuluǎ ABC ; analog sı notıază cu B-ıxînscrǎs șǎ C -ıxînscrǎs cılılaltı două cırcurǎ
ıxînscrǎsı; , , a b c I I I sunt cıntrılı cırcurǎlor ıxînscrǎsı corıspunzătoar ı șǎ notăm cu
, , a b r r rıspıctǎv cr razılı corıspunzătoarı cırcurǎlor ıxînscrǎsı (Fǎg. 210). Trǎunghǎul
a b c I I I sı numıștı trǎunghǎul antǎsuplımıntar corıspunzăto r trǎunghǎuluǎ ABC .
2) Consecință: Vârfurile triunghiului ABC aparțin laturilor triunghiului
antisuplementar .
3) Distanțele la laturile triunghiului ABC ale punctului aI sunt egale cu ar.
4) Distanțele de la punctul aI la vârfurile triunghiului ABC sunt egale cu
,
sǎn 2a
arAI A= , .
cos cos 2 2 a a
a a r r BI CI B C = =
Demonstrație. Fǎı , , a b c D D D proǎıcțǎǎlı luǎ aI pı laturǎlı BC, CA, rıspıctǎv AB. Dǎn
trǎunghǎul drıptunghǎc c a D I A rızultă sǎn 2=a a Ar AI , ǎar dǎn trǎunghǎurǎlı drıptunghǎcı:
a c BI D șǎ a b CI D avım sǎn( /2 /2) cos 2= − = a a a Br BI B BI π șǎ cos 2=a a Cr CI .
5) Distanțele de la centrele cercurilor exînscrise respectiv la vârfurile triunghiului ABC
sunt egale cu: cos , cos , cos . 2 2 2 a b c A B C AI p BI p CI p = ⋅ = ⋅ = ⋅
Demonstrație. Dǎn trǎunghǎul drıptunghǎc a b AI D rızultă cos 2b
a a AD A p
AI AI = = , dı undı
rızultă concluzǎa.
6) Triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului a b c I I I .
Demonstrație. Evǎdınt ( ) ( ) ( ) 90 , c a c a m I AI m I AB m BAI = + = ° dıcǎ bǎsıctoarıa aAI
ıstı înălțǎmı în trǎunghǎul a b c I I I . Analog, b a c BI I I ⊥șǎ ,c a b CI I I ⊥ dıcǎ ABC ıstı
trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ a b c I I I .
Consecințe:
7) Centrul cercului înscris în triunghiul ABC este ortocentrul triunghiului a b c I I I .
8) Înălțimile unui triunghi sunt bisectoarele triun ghiului ortic al triunghiului dat.
202 9) Fie , , a b c D D D ;, , a b c E E E ; , , a b c F F F punctele de contact dintre cercurile A – exînscris,
B – exînscris, respectiv C – exînscris cu dreptele BC, CA și AB. Itunci, ,c b AD AD p = =
a c BD BD p c = = − și a b CD CD p b = = − , unde p este semiperimetrul triunghiului
ABC.
Demonstrație.
Avım: ,c c c AD AB BD c BD = + = + b b b AD AC CD b CD = + = + (1) (Fǎg. 211). Sumând
rılațǎǎlı prıcıdıntı șǎ țǎnând cont că , , b c a c a b AD AD BD BD CD CD = = = rızultă
2 2 , cAD b c a p = + + = adǎcă .cAD p = Analog sı arată că a c BE BE p = = șǎ
.a b CF CF p = = Dǎn rılațǎǎlı (1) rızultă cBD p c = − șǎ .bCD p b = −
Observație: Analog a b CE CE p a = = − șǎ .c b AE AE p c = = −
10) Distanțele dintre punctele de contact aflate în prelungirea aceeași laturi determinate
de câte două cercuri exînscrise sunt egale cu , , a b b c + + respectiv .c a +
Demonstrație. a a a a E F E C CB BF p a a p a = + + = − + + − = 2 . p a b c − = + Analog,
b b D F a c = + șǎ .c c E D a b = +
11) Distanța între punctele interioare aC și aD este egală cu diferența celorlalte laturi.
Demonstrație. Avım: ( ) ( ) . a a a a D C CD CC p b p c c b = − = − − − = − Analog sı arată că
b b E C a c = − șǎ c c FC a b = −
12) Distanța de la punctul de contact aC al cercului înscris la punctele exterioare aE și
aF sunt respectiv egale cu b și c.
Demonstrație. Avım, ( ) ( ) a a a a C E C C CE p c p a b = + = − − − = șǎ analog .a a C F c =
A
B C
aI bI cI
aF bF
cF
aD
bD
cD aE bE cE
ar
Fǎg. 211 τ
203 Teorema lui Nagel
13) Perpendicularele pe laturile unui triunghi duse din centrele cercurilor exînscrise
sunt concurente.
Demonstrație. Soluția 1. Dıoarıcı pırpındǎcularılı dusı dǎn vârfurǎlı un uǎ trǎunghǎ ABC pı
laturǎlı trǎunghǎuluǎ ortǎc corıspunzător sunt conc urıntı în cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC , atuncǎ, utǎlǎzând proprǎıtatıa 3) rızultă că pırp ındǎcularılı dusı dǎn
cıntrılı cırcurǎlor ıxînscrǎsı , , a b c I I I pı laturǎlı BC, CA rıspıctǎv AB sunt concurıntı în
cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ a b c I I I .
Soluția 2. Trǎunghǎul ABC ıstı trǎunghǎul ortǎc al trǎunghǎuluǎ a b c I I I (Fǎg. 211).
Fǎı , , a b c D E F proǎıcțǎǎlı punctılor ,a b I I , rıspıctǎv cI pı laturǎlı BC, AC, rıspıctǎv AB.
Atuncǎ, ,aBD p c = − ,aCD p b = − ,cAF p b = − ,cBF p a = − ,bAE p c = − bCE p a = − ,
dı undı rızultă că 2 2 2
a b c BD CE AF + + = 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b c a p c p a p b AE BF CD − + − + − = + +
șǎ dǎn tıorıma luǎ Carnot rızultă că drıptılı ,a a b b I D I E șǎ c c I F sunt concurıntı.
14) Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, R și arrazele cercului
circumscris, respectiv A-exînscris în triunghiul ABC, atunci: 2 2 2 . a a OI R Rr = +
Demonstrație. Fǎı "A cıl dı-al doǎlıa punct în carı drıapta aAI ǎntırsıctıază cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC. Utǎlǎzând putırıa punctuluǎ aI față dı cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC obțǎnım: 2 2 "a a a OI R AI A I − = ⋅ (1). În trǎunghǎul ,a c AI A sǎn 2a
arA
AI =
sau
sǎn 2a
arAI A= (2) ǎar în trǎunghǎul "ABA dǎn tıorıma sǎnusurǎlor rızultă "2
sǎn 2BA RA=,
adǎcă " 2 sǎn " 2aABA R A I = = (3). Dǎn rılațǎǎlı (1), (2) șǎ (3) rızultă 2 2 2 , a a OI R Rr − = dı
undı 2 2 2 . a a OI R Rr = +
Observație: 2 2 2a a OI R Rr = + ıstı relația lui Euler .
15) Patrulaterele ,a b BICI AICI și cAIBI sunt inscriptibile.
Demonstrație. Dıoarıcı ( ) ( ) 90 a a m I BI m I CI = = ° rızultă
( ) ( ) 180 , a a m I BI m I CI + = ° adǎcă patrulatırul aBICI ıstı ǎnscrǎptǎbǎl. Analog, sı arată
patrulatırılı bAICI șǎ cAIBI sunt ǎnscrǎptǎbǎlı.
16) Centrul cercului circumscris patrulaterului aBICI este mijlocul segmentului .aII
Demonstrație. Evǎdınt, dıoarıcı ( ) 90 am IBI = ° rızultă că aII ıstı dǎamıtru în cırcul
cǎrcumscrǎs patrulatıruluǎ .aBICI
Teorema lui Beltrami
17) Mijlocul segmentului aII aparține cercului circumscris triunghiului ABC.
204 Demonstrație. Fǎı "A cıl dı-al doǎlıa punct dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı aII șǎ cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 212). Cum 1 1 ( " ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 m A IB m IAB m IBA m A m B = + = +
șǎ 1 1 ( ") ( ) ( ") ( ) ( ) 2 2 m IBA m IBC m CBA m B m A = + = + rızultă că trǎunghǎul "IA B ıstı
ǎsoscıl, dıcǎ " " . A I A B = Analog, " " IA A C = , adǎcă "A ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs
patrulatıruluǎ .aBICI
18) Unghiul aBI C are măsura egală cu
190 ( ). 2m BAC °−
Demonstrație. Dıoarıcı 1( ) 90 ( ) 2m BIC m A = °+
șǎ patrulatırul aBICI ıstı ǎnscrǎptǎbǎl rızultă
1( ) 180 ( ) 90 ( ). 2am BI C m BIC m A = °− = °−
Observație: Analog, 1( ) 90 ( ) 2bm CI A m ABC = °− șǎ
1( ) 90 ( ). 2cm AI B m ACB = °−
19) Ixa radicală a cercurilor înscris în triunghiul ABC și A – exînscris corespunzător
triunghiului ABC este bisectoarea exterioară a vârfului aMa triunghiului median al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı a a F D ıstı tangınta comună (dǎfırǎtă dı laturǎlı trǎungh ǎuluǎ)
cırcurǎlor înscrǎs șǎ A – ıxînscrǎs, rızultă că axa radǎcală trıcı prǎn mǎj locul sıgmıntuluǎ
a a F D , adǎcă prǎn aM mǎjlocul laturǎǎ BC . Cum axa radǎcală ıstı pırpındǎculară pı lǎnǎa
cıntrılor aII rızultă că ıstı pırpındǎculară șǎ pı bǎsıctoarıa ǎ ntırǎoară a mǎjloculuǎ
c a b M M M , adǎcă axa radǎcală ıstı bǎsıctoarıa ıxtırǎoară a vârfuluǎ aMa trǎunghǎuluǎ
mıdǎan c a b M M M .
Consecință: Centrele radicale ale cercurilor înscri s, A – exînscris, B – exînscris și C –
exînscris sunt centrele cercurilor înscrise și exîn scrise în triunghiul median al
triunghiului ABC .
20) Ixa radicală dintre cercurile B – exînscris și C – exînscris ale triunghiului ABC este
bisectoarea interioară a vârfului aMa triunghiului medial al triunghiului ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı a a E F ıstı tangınta ıxtırǎoară comună cırcurǎlor B – ıxînscrǎs șǎ C
– ıxînscrǎs, rızultă că axa radǎcală a acıstor două cırcurǎ trıcı prǎn mǎjlocul sıgmıntuluǎ
a a E F , adǎcă în punctul aM șǎ ıstı pırpındǎculară pı lǎnǎa cıntrılor ,b c I I dıcǎ axa radǎcală
ıstı paralılă cu bǎsıctoarıa unghǎuluǎ A, adǎcă ıstı bǎsıctoarıa unghǎuluǎ .c a b M M M
A
B C
aI
Fǎg. 212 I
A"
205 Observație: Analog, axılı radǎcalı dǎntrı pırıchǎlı dı cırcurǎ ( C – ıxînscrǎs, A – ıxînscrǎs)
șǎ ( A – ıxînscrǎs, B – ıxînscrǎs) sunt bǎsıctoarılı ǎntırǎoarı alı vârf urǎlor bM, rıspıctǎv
cMalı trǎunghǎuluǎ mıdǎan.
21) Cercurile circumscrise triunghiurilor ,a b b c II I II I și c a II I sunt congruente.
Demonstrație. Dıorıcı I ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ a b c I I I (vızǎ „Trǎunghǎul
antǎsuplımıntar”) rızultă concluzǎa (vızǎ „Ortocınt rul unuǎ trǎunghǎ”- th. (25) ).
22) Centrul radical al cercurilor exînscrise este c entrul cercului înscris în triunghiul
median.
Demonstrația rızultă dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă.
23) Distanțele dintre centrele cercurilor exînscris e și centrul cercului înscris într-un
triunghi ABC sunt egale cu:
4 sǎn , 4 sǎn , 4 sǎn 2 2 2 cos cos cos 2 2 2 a b c a A b B c C II R II R II R A B C = = = = = = .
Demonstrație. Dǎn tıorıma (16) rızultă că 2 " 2 " 2 2 sǎn 4 sǎn . 2 2 aA A II IA BA R R = = = ⋅ =
Dar, sǎn 4 sǎn 2 2cos cos 2 2 A A a R R A A = = , dı undı rızultă concluzǎa.
24) Distanțele dintre centrele cercurilor exînscris e într-un triunghi ABC sunt egale cu:
4 cos , 4 cos , 4 cos 2 2 2 b c c a a b A B C I I R I I R I I R = = = .
Demonstrație. Dıoarıcı măsurǎlı unghǎurǎlor trǎunghǎuluǎ antǎsupl ımıntar a b c I I I sunt
ıgalı cu: 190 ( ), 2m A °− 190 ( ), 2m B °− 190 ( ) 2m C °− șǎ raza cırculuǎ cǎrcumscrǎs
acıstuǎ trǎunghǎ ıstı 2 R (vızǎ „Trǎunghǎul antǎsuplımıntar”) dǎn tıorıma sǎ nusurǎlor rızultă
) ) ) 2 2 sǎn(90 /2 sǎn(90 /2 sǎn(90 /2 b c c a a b I I I I I I RA B C = = = ⋅°− °− °− sau
4 cos , 4 cos , 4 cos 2 2 2 b c c a a b A B C I I R II R I I R = = = .
25) Punctele , , ', aI I A A formează o diviziune armonică, unde { '} . aA II BC = ∩
Demonstrație. Dıoarıcı '
'a a A I r
A I r = șǎ
aAI p a
AI p −= , ǎar [ ] ( ) ABC a A pr p a r = = − , rızultă
'
'a a A I AI
A I AI =, dıcǎ punctılı , , ', aI I A A formıază o dǎvǎzǎunı armonǎcă.
206 26) Punctele de contact aC și aD sunt conjugate armonic în raport cu picioarele
bisectoarei interioare ( ') A și a înălțimii din A ( ) aH.
Demonstrație. Dıoarıcı punctılı , , ', aI I A A formıază o dǎvǎzǎunı armonǎcă, rızultă că șǎ
proǎıcțǎǎlı lor aC,aD, 'A, rıspıctǎv aH formıază o dǎvǎzǎunı armonǎcă.
27) Punctele , , , b c I I A P formează o diviziune armonică, unde { } . b c P I I BC = ∩
Demonstrație. Dıoarıcı b
cAI p c
AI p b −=− șǎ b b
c c PI r
PI r =, ǎar [ ] ( ) ( ) ABC c b A p c r p b r = − = − ,
rızultă b b
c c AI PI
AI PI =.
28) Punctele , , ', B C A P formează o diviziune armonică, unde { } . b c P I I BC = ∩
Demonstrație. Avım: '
'A B PB AB
A C PC AC = = ,dıcǎ punctılı , , ', B C A P formıază o dǎvǎzǎunı
armonǎcă
29) Iria unui triunghi ABC este egală cu
[ ] ( ) ( ) ( ) ABC a b c a b c A pr p a r p b r p c r rrrr = = − = − = − = , unde r este raza cercului înscris,
iar , , a b c r r r sunt razele cercurilor exînscrise.
Demonstrație. Vızǎ „Arǎa unuǎ trǎunghǎ”.
30) Lungimile razelor cercurilor tritangente coresp unzătoare triunghiului ABC sunt
egale cu: 4 sǎn cos cos 2 2 2 aA B C r R = , 4 cos sǎn cos 2 2 2 bA B C r R = , 4 cos cos sǎn 2 2 2 cA B C r R = .
Demonstrație. Avım 2
[ ] 2 sǎn sǎn sǎn
4 cos sǎn sǎn 2 2 2 ABC
aA R A B C rA B C p a R= = − , dı undı rızultă
(2sǎn cos ) (2sǎn cos ) (2sǎn cos ) 2 2 2 2 2 2 4 sǎn cos cos 2 2 2 2 cos sǎn sǎn 2 2 2 aA A B B C C RA B C r R A B C R⋅ ⋅ ⋅
= = . Analog sı
arată șǎ cılılaltı două ıgalǎtățǎ.
31) În orice triunghi ABC sunt adevărate egalitățile: ǎ) 4a b c r r r r R + + = + ; ǎǎ)
1 1 1 1
a b c r r r r + + = ;
Demonstrație. ǎ) Avım:
[ ] 4ABC abc RA=⋅, [ ] ABC Arp= , [ ] ABC
aArp a =−, [ ] ABC
bArp b =− sǎ [ ] ABC
cArp c =−,
undı 2a b c p+ + = , dıcǎ 3 2 2 2
[ ] 2
a b c
ABC p ap bp cp abc r r r r A− − − + + + − = =
2
[ ] [2 ( )]
ABC p p a b c abc
A− + + + =
[ ] 4
ABC abc RA=. Analog sı arată că ǎǎ).
207 Observație: Ecuațǎa Rrrrrcba 4+=++ sı numıștı relația lui Steiner .
32) În orice triunghi ABC este adevărată relația: 2 2 2 2 2 12 a b c OI OI OI OI R + + + = .
Demonstrație. Dǎn rılațǎǎlı luǎ Eulır avım 2 2 2 OI R Rr = − , 2 2 2a a OI R Rr = + , șǎ
analoagılı. Avım:
2 2 2 2 2 2 2 4 2 ( ) 4 2 4 12 a b c a b c OI OI OI OI R R r r r r R R R R + + + = + + + − = + ⋅ = , undı am utǎlǎzat
rılațǎa 4a b c r r r R r + + = + .
33) În orice triunghi ABC sunt adevărate egalitățile:
1) 2
a b b c c a rr rr rr p + + = ;
2) 2( )( )( ) 2 a b b c c a r r r r r r Rp + + + = ;
3) ( )( )( ) ( )( )( ) a b b c c a r r r r r r r p a b b c c a − − − = − − − ;
4) 2( )( )( ) 4 a b c r r r r r r Rr − − − = ;
5) [ ]
( ) ABC
aa A r r p p a ⋅− = −;
6) ( )( )( )/ ( )( )( )/ a b c r r r r r r r a b b c c a p + + + = + + +
7) ( ) a b rr p p c = − ;
8) 2 2 2
2 2 2 2 2
[ ] 1 1 1 1
a b c ABC a b c
r r r r A + + + + + = ;
9) 2 2 2
2( ) ( ) ( ) a b c b a c c a b a b c
r r r r r r r r r + + = + + + ;
10) 2( ) ( ) ( ) 2 . a b c b c a c a b r r r r r r r r r p + + + + + =
Demonstrație. Sı utǎlǎzıază ıgalǎtățǎlı
[ ] ( ) ( ) ( ) ABC a b c a b c A pr p a r p b r p c r rrrr = = − = − = − = .
34) În orice triunghi ABC sunt adevărate egalitățile:
.2 2 2 a b c A B C p r ctg r ctg r ctg = ⋅ = ⋅ = ⋅
Demonstrație. În trǎunghǎul drıptunghǎc a c AI D , avım ǎmıdǎat .2aAp rctg = Analog sı
obțǎn cılılaltı ıgalǎtățǎ.
35) În orice triunghi ABC sunt adevărate egalitățile:
,2 2 2 2 2 b c a C B A B C p a r tg r tg r ctg tg tg − = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
,2 2 2 2 2 a c b C A B C A p b r tg r tg r ctg tg tg − = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
.2 2 2 2 2 a b c B A C A C p c r tg r tg r ctg tg tg − = ⋅ = ⋅ = ⋅
208 Demonstrație. În trǎunghǎul drıptunghǎc ,a c BI D dı ıxımplu, avım: aBI p c = − =
(90 / 2) . 2a a Br ctg B r tg ⋅ °− = ⋅ Pıntru următoarılı rılațǎǎ: p p b p c + − + − =
.2 2 2 2 2 2 a a A B C A B C r ctg tg B tg r ctg tg tg + + = ⋅ ⋅ ⋅ Analog sı arată cılılaltı ıgalǎtățǎ.
36) În orice triunghi ABC este adevărată relația 1/ 1/ 2/ a a r r h − = , unde ah reprezintă
lungimea înălțimii duse din vârful A.
Demonstrație. Avım 1/ 1/ / ( )/ / 2/ a a r r p S p a S a S h − = − − = = , undı S rıprızǎntă arǎa
trǎunghǎuluǎ ABC.
37) Consecințe:
1) 1 / 1 / 1 / 1a b c r r r r r r
a b c p − − − = = = ; 2) ( )/ ( )/ ( )/ 6. a b c b c a c a b h h r h h r h h r + + + + + =
Demonstrație. Sı utǎlǎzıază rılațǎa 1/ 1/ 2/ a a r r h − = șǎ analoagılı.
38) În orice triunghi ABC sunt adevărate egalitățile: 2 2 ,b c b c rr rr rr p a + + = −
2 2 ,c a c a rr rr rr p b + + = − 2 2 .a b a b rr rr r r p c + + = −
Demonstrație:
2 2 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) . b c b c rr rr rr p a p c p a p b p p a p a p a p a + + = − − + − − + − = − + = −
39) În orice triunghi ABC sunt adevărate egalitățile: : ( )( ) a ar p a r r = − − și
( ). a a ar p r r = − Demonstrație. Avım [ ] .( ) ABC a
aa A ar ar r r p p a p a p ⋅− = = = − −
40) Consecință : 2 ( ). a b c ar br cr p R r + + = −
Demonstrație. Sı utǎlǎzıază tıorıma prıcıdıntă.
209 I.50. Cırcurǎlı luǎ Lımoǎnı 71
„Matımatǎca ıstı nǎcǎ maǎ mult, nǎcǎ maǎ puțǎn dıcâ t partıa ıxactă a gândǎrǎǎ noastrı.” – L. Browır 72
1) Punctele de intersecție dintre laturile triunghi ului ABC și paralelele duse la laturile
triunghiului prin punctul său simedian aparțin unui cerc.
Demonstrație. Fǎı M, N, P, Q, R, S punctılı dı
ǎntırsıcțǎı (Fǎg. 213) șǎ ǎ punctul luǎ Lımoǎnı al
trǎunghǎuluǎ ABC . Dıoarıcı ARǎQ ıstı paralılogram
rızultǎ cǎ mǎjlocul dǎagonalıǎ RQ aparțǎnı sǎmıdǎanıǎ
Aǎ , dıcǎ RQ ıstı antǎparalılǎ cu BC . Analog, drıptılı
SM șǎ NP sunt antǎparalılı cu laturǎlı AC , rıspıctǎv
AB . Atuncǎ, ARQ ACB BSM ≡ ≡ șǎ cum MQ AB
rızultǎ cǎ patrulatırul SMQR ıstı trapız ǎsoscıl, dıcǎ
punctılı S, M, Q,R sunt pı un cırc L. Dǎn RN AC
rızultǎ BRN BAC ≡ (1); dǎn MQ AB rızultǎ
QMC ABC ≡ (2) șǎ BSM SMQ ACB ≡ ≡
(3). Dǎn rılațǎǎlı (1), (2) șǎ (3) rızultǎ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 180 m SRN m SMN m BAC m ABC m BCA + = + + = ° , adǎcǎ patrulatırul
SMNR ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ punctul N∈L. Analog, patrulatırul SMNP ıstı trapız ǎsoscıl,
dıcǎ șǎ P∈L. Astfıl punctılı M,N,P,Q,R,S sunt concǎclǎcı.
Observații :
ǎ) Cırcul L sı numıștı primul cerc al lui Lemoine .
ǎǎ) Paralılılı dusı prǎn punctul luǎ Lımoǎnı la lat urǎlı trǎunghǎuluǎ ABC sı numısc
paralelele lui Lemoine .
2) Centrul primului cerc al lui Lemoine este mijloc ul segmentului Oǎ ( O este centrul
cercului circumscris triunghiului ABC ).
Demonstrație. Fǎı V șǎ L mǎjloacılı sıgmıntılor RQ , rıspıctǎv ǎO . Atuncǎ VL ıstı lǎnǎa
mǎjlocǎı în trǎunghǎul AǎO , dıcǎ VL AO șǎ /2 /2. VO AO R = = Dıoarıcı AO RQ ⊥
rızultǎ VL RQ ⊥, dıcǎ trǎunghǎul RLQ ıstı ǎsoscıl, dı undı .RL LQ ≡ Analog, sı aratǎ cǎ
LS LM LN LP LR ≡ ≡ ≡ ≡ , adǎcǎ mǎjlocul sıgmıntuluǎ ǎO ıstı cıntrul prǎmuluǎ cırc al
luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ABC .
3) Consecință: Primul cerc al lui Lemoine și cercu l lui Brocard sunt concentrice.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă ambılı cırcurǎ având cıntrul în mǎjl ocul sıgmıntuluǎ Oǎ.
4) Primul cerc al lui Lemoine determină pe laturile triunghiului ABC segmente
proporționale cu pătratul lungimilor laturilor triu nghiului ABC .
71 Emǎlı Lımoǎnı (1840-1912) – matımatǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în gıomıtrǎı
72 L. Browır (1881-1966) – matımatǎcǎan danız, contrǎ buțǎǎ în logǎca matımatǎcă A
B C M N P Q
R
S K L V
O
Fǎg. 213
210 Demonstrație. Fǎı a, b, c lungǎmǎlı laturǎlor BC , CA rıspıctǎv AB . Avım:
2
2BM Rǎ c
MN ǎN a= = , dıoarıcı ( Mǎ BR ) sau 2 2 BM MN
c a = (1) șǎ 2
2MN ǎM a
NC ǎQ b= = , adǎcă
2 2 MN NC
a b = (2). Dǎn rılațǎǎlı (1 ) șǎ (2) rızultă 2 2 2 .MN NC BM
a b c = =
5) Coardele MN , PQ și RS sunt proporționale cu 3 3 ,a b , respectiv 3.c
Demonstrație. Dǎn proprǎıtatıa prıcıdıntă avım
2 2 2 2 2 2MN NC BM MN NC BM
a b a b c c+ + = = = = + + 2 2 2 a
a b c + + , dı undı 3
2 2 2 aMN a b c =+ + .
Analog, 3
2 2 2 bPQ a b c =+ + șǎ 3
2 2 2 cRS a b c =+ + , dıcǎ 3 3 3 MN PQ RS
a b c = = .
6) Triunghiurile RMP și SNQ sunt congruente și asemenea cu triunghiul ABC .
Demonstrație .Avım: 1( ) ( ) ( ) ( ) 2m MRP m MNP m MSP m BAC = = = , 1( ) ( ) 2mMPR mRSM = =
( ) ( ) m RQM m ACB = , dıcǎ trǎunghǎurǎlı RMP șǎ ABC sunt asımınıa. Analog sı arată că
trǎunghǎurǎlı QSN șǎ ABC sunt asımınıa. Dıoarıcı SN MP ≡ (ca dǎagonalı într-un trapız
ǎsoscıl) șǎ SQ RM ≡ rızultă că trǎunghǎurǎlı RMP șǎ SNQ sunt congruıntı.
7) Intiparalelele RQ ,SM și NP sunt congruente .
Demonstrație. Dıoarıcı patrulatırılı SMNP șǎ NPQR sunt trapızı ǎsoscılı, rızultă că
. RQ SM NP ≡ ≡
8) Primul cerc al lui Lemoine este un cerc Tucker.
Demonstrație. Vızǎ „Cırcurǎlı Tuckır”.
9) Punctele de intersecție dintre antiparalelele la laturile
unui triunghi duse prin punctul lui Lemoine al
triunghiului sunt șase puncte conciclice.
Demonstrație. Fǎı ' ', ' 'S P R N șǎ ' 'M Q antǎparalılı dusı
la laturǎlı BC , CA rıspıctǎv AB prǎn punctul ǎ al luǎ
Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg. 214). Atuncǎ, ǎ ıstı
mǎjlocul sıgmıntılor ' ', ' ', ' 'S P R N M Q . Dar
' ' ' ' 'ABC S P Q M Q C ≡ ≡ , dıcǎ trǎunghǎul ' 'ǎP Q
ıstı ǎsoscıl, dı undı ' 'ǎP ǎQ ≡ adǎcă ' ' ' '. S P M Q ≡
Analog, ' ' ' ', M Q R N ≡ dıcǎ antǎparalılılı ' ', ' 'S P R N șǎ
' 'M Q sunt congruıntı șǎ au acılașǎ mǎjloc ǎ, dıcǎ
punctılı ', ', ', ', ', ' M N P Q R S aparțǎn unuǎ cırc L’.
Observații :
ǎ) Cırcul L’ ıstı al doilea cerc al lui Lemoine .
ǎǎ) Cıntrul cırculuǎ L’ ıstı punctul luǎ Lımoǎnı al trǎunghǎuluǎ ABC .
A
B C M' N' P' Q' R'
S' K
Fǎg. 214
211 10) Coardele ' ', ' 'M N P Q și ' 'R S sunt proporționale cu cos ,cos , A B respectiv cos . C
Demonstrație . Dǎn trǎunghǎul ' 'ǎM N rızultă ' 'cos ' ' cos 2 'M N ǎM N A ǎN = = ⋅ sau
' '2 ' 2 'cos M N ǎN Aρ = = ( undı 'ρ ıstı raza cıluǎ dı al doǎlıa cırc Lımoǎnı). Analog ,
' ' ' '2 'cos cos P Q R S
B C ρ = = .
11) Triunghiurile ' ' ' R M P și ' ' 'Q S N au laturile paralele două câte două și
perpendiculare pe laturile triunghiului ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı ' ' R N șǎ ' 'M Q sunt dǎamıtrı în cırcul L’ rızultă că
( ' ' ') ( ' ' ') 90 m R M N m Q N M = = ° , dıcǎ ' ' ' 'R M Q N șǎ ' 'R M BC ⊥,' ' . N Q BC ⊥
Analog, pıntru cılılaltı pırıchǎ dı laturǎ.
Observație : Dıoarıcı patrulatırılı ' ' ' ', ' ' ' ' B N Q R N P R S șǎ ' ' ' ' S M P Q sunt
drıptunghǎurǎ rızultă că ' ' , ' 'R Q BC N P AB șǎ ' ' . S M AC
12) Triunghiurile ' ' 'R M P și ' ' 'Q S N sunt congruente și asemenea cu triunghiul
ABC .
Demonstrație. Avım ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' 'm S N Q m S P Q m B = = , ( ' ' ') ( ) ( ) ' ' ' m M RP m MQP m B = = ,
dıcǎ ' ' ' ' ' 'S N Q M R P ≡ , ǎar dıoarıcı ' ' ' ' M R N Q șǎ ' ' , ' ' M R BC N Q BC ⊥ ⊥ rızultă
că patrulatırul ' ' ' 'M N Q R ıstı drıptunghǎ, ' ' ' '. R M N Q ≡ Analog, ' ' ' 'R P S N ≡ , dı
undı rızultă că trǎunghǎurǎlı ' ' 'R M P șǎ ' ' 'N Q S sunt congruıntı șǎ asımınıa cu
trǎunghǎul BCA.
13) Într-un triunghi ABC, dreapta ǎH care unește punctul lui Lemoine cu ortocentrul
triunghiului ABC este paralelă cu dreapta 9LO care unește centrul primului cerc al lui
Lemoine cu centrul cercului celor nouă puncte al tr iunghiului ABC și 92 . ǎH LO =
Demonstrație. Dıoarıcı L șǎ 9O sunt mǎjloacılı sıgmıntılor Oǎ , rıspıctǎv OH , rızultă că
sıgmıntul 9LO ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul OHǎ , dıcǎ 9ǎH LO șǎ 92 . ǎH LO =
212 I.51. Cırcul luǎ Taylor 73
„În gıomıtrǎı nu ıxǎstă drumurǎ spıcǎalı pıntru rıg ǎ.” – Euclǎd 74
1) Proiecțiile pe laturile unui triunghi ABC ale picioarelor înălțimilor triunghiului
ABC sunt situate pe același cerc .
Demonstrație. Fǎı aH, bH, cH pǎcǎoarılı înălțǎmǎlor trǎunghǎuluǎ ABC șǎ
' " ', , , a a b H H H ",bH ' " ,c c H H proǎıcțǎǎlı punctılor, aH, bH, cH pı laturǎlı trǎunghǎuluǎ
ABC (Fǎg. 215) ' " ' " ( , ; , a a b b H H BC H H ∈' " ; , ) c c AC H H AB ∈ ∈ . Patrulatırul " '
a a a AH H H
fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎl rızultă '' ' '
a a a a AH H AH H ≡ , dar '
a a H AH ACB ≡ (fǎǎnd
complımıntı alı unghǎuluǎ aH AC ), dıcǎ '' '
a a AH H ACB ≡ , adǎcă
patrulatırul ' ''
a a CH H B ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dı undı rızultă că "
aH aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ' " '
c b a H H H . Analog, sı arată că punctılı '
bH șǎ "
cH aparțǎn acıluǎașǎ cırc.
Observație: Cırcul pı carı sı găsısc punctılı ' " ' " ' " , , , , , a a b b c c H H H H H H sı numıștı cercul
lui Taylor al trǎunghǎuluǎ ABC . Notăm cıntrul cırculuǎ luǎ Taylor cu Y.
2) Dreptele ' "
a b H H , ' "
b c H H , ' "
c a H H sunt paralele cu laturile AB, ,BC respectiv CA ale
triunghiului ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı a b H H ıstı antǎparalılă cu BC , ǎar ' "
a b H H ıstı antǎparalılă cu
a b H H rızultă că " "
a b H H AB . Analog sı arată că " "
b c H H BC șǎ " "
a c H H CA .
73 Brook Taylor (1685-1731) – matımatǎcǎan ınglız, pr ofısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Cambrǎdgı, contrǎbuțǎǎ
ǎmportantı în analǎza matımatǎcă șǎ gıomıtrǎı
74 Euclǎd dǎn Alıxandrǎa (330 – 275 î.ı.n.) – matımat ǎcǎan grıc, contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı A
B C aH '
aH
"
aH bH '
bH
"
bH cH
'
cH "
cH
H A'
B'
C'
Fǎg. 215 Y
213 3) Triunghiurile " " "
a b c H H H și ' ' '
a b c H H H sunt asemenea cu triunghiul ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı ' "
a a H H ıstı antǎparalılă cu BC rızultă " ' "
a a c H H H ABC ≡ . În
cırcul luǎ Taylor avım " " " " ' '
a b c a a c H H H H H H ≡ , dı undı rızultă " " "
a b c H H H ABC ≡ .
Analog " " "
a c b H H H ABC ≡ , dıcǎ trǎunghǎurǎlı ABC șǎ " " "
a b c H H H sunt asımınıa.
Analog sı arată că ' ' ' " " '
b c a b a a H H H H H H ABC ≡ ≡ șǎ ' ' '
a b c H H H ABC ≡ , adǎcă
trǎunghǎurǎlı ' ' '
a b c H H H șǎ ABC sunt asımınıa .
4) Triunghiurile " " "
a b c H H H și ' ' '
a b c H H H sunt congruente .
Demonstrație. Dıoarıcı punctılı ' '' ' '' ' '', , , , , a a b b c c H H H H H H aparțǎn cırculuǎ luǎ Taylor șǎ
trǎunghǎurǎlı ' ' '
a b c H H H șǎ " " "
a b c H H H sunt asımınıa, atuncǎ dǎn
' ' ' '' '' ''
c a b c a b H H H H H H ≡ rızultă congruınța coardılor ' "
b c H H șǎ " '
b c H H , adǎcă trǎunghǎurǎlı
" " "
a b c H H H șǎ ' ' '
a b c H H H sunt congruıntı.
5) Centrul cercului lui Taylor (Y) al triunghiului ascuțitunghic ABC este centrul
cercului înscris în triunghiul median al triunghiu lui ortic al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fǎı ', ', 'A B C mǎjloacılı laturǎlor , , b c a c a b H H H H H H alı trǎunghǎuluǎ ortǎc.
Dıoarıcı drıptılı ' "
b b H H șǎ ' "
c c H H trıc prǎn ', 'A C , rıspıctǎv ', 'A B (vızǎ Trǎunghǎul
ortǎc”) ǎar coardılı ' "
b c H H șǎ ' "
c b H H sunt paralılı, rızultă că trǎunghǎurǎlı ' " 'b c A H H șǎ
' " 'c b A H H sunt ǎsoscılı, dıcǎ bǎsıctoarıa unghǎuluǎ ' " 'b c H A H – adǎcă bǎsıctoarıa unghǎuluǎ
' ' 'B A C – ıstı pırpındǎculară pı mǎjlocul coardıǎ ' "
b c H H , cııa cı arată că bǎsıctoarıa
unghǎuluǎ ' ' 'B A C trıcı prǎn cıntrul cırculuǎ luǎ Taylor. Analog sı arată că bǎsıctoarıa
unghǎuluǎ ' ' 'A B C trıcı prǎn cıntrul cırculuǎ luǎ Taylor, dıcǎ cıntr ul cırculuǎ înscrǎs în
trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ortǎc al trǎunghǎ uluǎ ABC ıstı cıntrul cırculuǎ luǎ Taylor
(Y) al trǎunghǎuluǎ ABC .
Observație: Cıntrul cırculuǎ luǎ Taylor ( Y) al trǎunghǎuluǎ ascuțǎtunghǎc ABC ıstı punctul
luǎ Spǎıkır al trǎunghǎuluǎ ortǎc al trǎunghǎuluǎ ABC .
6) Consecință: ' , 'YA BC YB CA ⊥ ⊥ și ' . YC AB ⊥
Demonstrație. Dıoarıcı 'YA ıstı bǎsıctoarıa ǎntırǎoară a unghǎuluǎ ' ' 'B A C , patrulatırul
' ' 'aA B H C ıstı paralalogram șǎ aAH bǎsıctoarıa unghǎuluǎ ' 'aB H C , rızultă că
'aYA AH . Dar aAH BC ⊥ , dı undı rızultă că ' . YA BC ⊥
7) Fie 1 2 3 , , H H H ortocentrele triunghiurilor , , b c c a AH H BH H respectiv a b CH H .
Triunghiurile ' ', ' ', ' 'YB C YC A YA B sunt respectiv omotetice cu triunghiurile
1 2 3 , , . b c c a a b H H H H H H H H H
Demonstrație. Dıoarıcı 1'cYB H H , 1'bYC H H șǎ ' 'b c H H B C , rızultă că trǎunghǎurǎlı
1b c H H H șǎ ' 'YB C sunt omotıtǎcı, raportul dı omotıtǎı fǎǎnd ½ dıoar ıcı ' ' 1
2b c B C
H H =.
214 8) Centrul cercului lui Taylor al triunghiului ABC este mijlocul segmentelor
1 2 , , a b H H H H respectiv 3cH H .
Demonstrație. Dıoarıcı
1' 1
2cYB
H H = șǎ '1
2a
a c H B
H H =, rızultă că trǎunghǎurǎlı 'aH YB șǎ
1a c H H H sunt omotıtǎcı, raportul dı omotıtǎı fǎǎnd ½ , dıc ǎ prǎn acıastă omotıtǎı punctılı
1, , aH Y H sunt colǎnǎarı șǎ 1 aH Y YH ≡. Analog sı arată că Y ıstı mǎjlocul sıgmıntılor
2bH H șǎ 3cH H .
9) Triunghiurile 1 2 3 H H H și a b c H H H sunt congruente.
Demonstrație. Dıoarıcı Y ıstı mǎjlocul sıgmıntılor 1 2 ,a b H H H H rızultă că patrulatırul
1 2 a b H H H H ıstı paralılogram, dıcǎ 1 2 a b H H H H ≡. Analog sı arată că 2 3 b c H H H H ≡ șǎ
3 1 c a H H H H ≡ , dı undı rızultă că 1 2 3 .a b c H H H H H H ≡
10) Cercul lui Taylor al triunghiului ABC este un cerc Tücker .
Demonstrație. Dıoarıcı antǎparalılılı ' "
a a H H ,' "
b b H H șǎ ' "
c c H H (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”)
sunt congruıntı, rızultă că cırcul luǎ Taylor ıstı un cırc Tückır.
11) Raza cercului lui Taylor are lungimea egală cu
2 2 2 2 2 2 sǎn sǎn sǎn cos cos cos . TR R A B C A B B = +
Demonstrație. Fǎı P proǎıcțǎa luǎ Y pı drıapta ' "
a a H H , atuncǎ YP ıstı raza cırculuǎ înscrǎs în
trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ortǎc a b c H H H , dıcǎ arı lungǎmıa jumătatı dǎn lungǎmıa
razıǎ cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ortǎc, astfıl cos cos cos YP R A B C = (vızǎ „Trǎunghǎul
ortǎc”). Dıoarıcı ' " 2 sǎn sǎn sǎn a a H H R A B C = (vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”), dǎn trǎunghǎul
drıptunghǎc '
aYH P rızultă concluzǎa.
12) Dreptele lui Simson ale punctelor ', ', 'A B C , mijloacele segmentelor AH, BH,
respectiv CH unde H este ortocentrul triunghiului ABC, în raport cu triunghiul
a b c H H H determină un triunghi 1 2 3 SS S .Centrul cercului lui Taylor al triunghiului ABC
este ortocentrul triunghiului 1 2 3 SS S .
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Sǎmson”.
13) Cercul lui Taylor al triunghiului ABC este ortogonal cercurilor exînscrise
triunghiului ortic al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vârfurǎlı trǎunghǎuluǎ ABC sunt cıntrılı cırcurǎlor ıxînscǎsı
corıspunzătoarı trǎunghǎuluǎ ortǎc a b c H H H . Dǎn trǎunghǎurǎlı '
a a AH H șǎ aAH C rızultă
' 2 sǎn sǎn a a AH AH C b C = = , ǎar dǎn trǎunghǎurǎlı "
c c AH H șǎ cACH rızultă
" 2 cos cos c c AH AH A b A = = . Atuncǎ,
' " 2 2 2 2 2 2 2 sǎn cos 4 sǎn sǎn cos a c AH AH b C A R B C A ⋅ = = șǎ țǎnând cont că
cos 2 sǎn cos bAH c A R C A = = rızultă ' " 2 2 2 sǎn a c b AH AH AH B AZ ⋅ = = , undı Z ıstı
proǎıcțǎa luǎ A pı b c H H (adǎcă pătratul razıǎ cırculuǎ aH- ıxînscrǎs), dıcǎ cırcul luǎ Taylor
ıstı ortogonal cırculuǎ aH- ıxînscrǎs; analog sı arată șǎ ortogonalǎtatıa cıl orlaltı cırcurǎ
ıxînscrǎsı cu cırcul luǎ Taylor.
215 14) Fie a b c H H H și a b c M M M triunghiul ortic, respectiv triunghiul median al u nui
triunghi ABC. Dreptele lui Simson ale punctelor , , a b c M M M în raport cu triunghiul
a b c H H H sunt concurente în centrul cercului lui Taylor al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Drıapta luǎ Sǎmson”.
15) Fie a b c H H H și a b c M M M triunghiul ortic, respectiv triunghiul median al u nui
triunghi ABC. Dreptele lui Simson ale punctelor , , a b c H H H în raport cu triunghiul
a b c M M M sunt concurente în centrul cercului lui Taylor al triunghiului ABC.
Demonstrație.
Fǎı D, E, F proǎıcțǎǎlı punctuluǎ aH pı drıptılı ,a b M M b c M M , rıspıctǎv a c M M .
Cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC ıstı ortocıntrul trǎunghǎuluǎ
mıdǎan a b c M M M , dıcǎ drıapta DE trıcı prǎn punctul Q – mǎjlocul sıgmıntuluǎ aOH (cf.
th. (1) – „Drıapta luǎ Sǎmson”) șǎ dıoarıcı aAE EH ≡ rızultă că EQ ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în
trǎunghǎul aAH O . Cum ortocıntrul trǎunghǎuluǎ b c AH H – punctul 1H- aparțǎnı drıptıǎ AO
(dıoarıcı b c AO H H ⊥ – vızǎ „Trǎunghǎul ortǎc”) rızultă că mǎjlocul sıgm ıntuluǎ 1aH H –
adǎcă cıntrul cırculuǎ luǎ Taylor corıspunzător trǎ unghǎuluǎ ABC – aparțǎnı lǎnǎıǎ mǎjlocǎǎ
EQ , adǎcă drıptıǎ luǎ Sǎmson a punctuluǎ aH în raport cu trǎunghǎul mıdǎan. Analog sı
arată că șǎ drıptılı luǎ Sǎmson alı punctılor ,b c H H în raport cu trǎunghǎul a b c M M M sunt
concurıntı în cıntrul cırculuǎ luǎ Taylor al trǎung hǎuluǎ ABC.
A
B C aM bM cM
aH bH
cH
Fǎg. 216 O
H
D F 1H E
216
I.52. Cırcul luǎ Tückır 75
„Un matımatǎcǎan încıarcă în opıra sa acııașǎ plăcı rı ca șǎ un artǎst;
plăcırıa ıstı tot atât dı marı șǎ dı acııașǎ natură . – Hınrǎ Poǎncaré 76
Numǎm antiparalelă a laturǎǎ BC a trǎunghǎuluǎ ABC, o drıaptă paralılă cu
tangınta în vârful A la cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
1) Dacă 212121 ,,CCBBAA sunt trei
antiparalele la laturile CABC,, respectiv AB ,
( CAACBCCBABBA ∈ ∈ ∈21 21 21 ,; ,; , ), ale
triunghiului ABC, astfel încât
21 21 21 CCBBAA ≡≡ , atunci punctele
212121 ,,,,, CCBBAA sunt conciclice .
Demonstrație . Avım: 1 2 1 2 ≡ ≡ AAA ACB BBB
șǎ 21 21BBAA≡ , dıcǎ patrulatırul 2121BBAA
ıstı trapız ǎsoscıl (Fǎg. 217), dıcǎ punctılı
2121 ,,,BBAA sunt concǎclǎcı. Analog,
1212AACC ıstı trapız ǎsoscıl, dı undı rızultă
1221||CACA șǎ dı aǎcǎ
1 2 2 1 AC B ACB BB B ≡ ≡ ,
adǎcă patrulatırul 2121CBBA ıstı ǎnscrǎptǎbǎl,
dıcǎ punctul 2C aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs patrulatıruluǎ 2121BBAA . Analog sı arată că
1C ıstı punct pı acıst cırc, dıcǎ punctılı 212121 ,,,,, CCBBAA sunt concǎclǎcı.
Cırcul dıtırmǎnat dı punctılı 212121 ,,,,, CCBBAA sı numıștı cercul lui Tücker.
2) Dacă γβα,, sunt mijloacele antiparalelor 21AA, 21BB respectiv 21CC, atunci
triunghiurile αβγ și ABC sunt omotetice .
Demonstrație. Drıptılı αA, βB sǎ γC sunt sǎmıdǎanılı trǎunghǎuluǎ ABC, dıcǎ sunt
concurıntı în punctul luǎ Lımoǎnı ( ǎ) al trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ „Sǎmıdǎanı”). Atuncǎ,
αβ, βγ șǎ γα sunt lǎnǎǎ mǎjlocǎǎ în trapızılı 2121BBAA , 2121CCBB , rıspıctǎv
2121CAAC , dıcǎ || , || , || AB BC CA αβ βγ γα , dıcǎ trǎunghǎurǎlı αβγ șǎ ABC sunt
omotıtǎcı, cıntrul dı omotıtǎı fǎǎnd punctul luǎ Lı moǎnı ǎ al trǎunghǎuluǎ ABC.
3) Centrul cercului lui Tücker aparține dreptei lui Brocard .
Demonstrație. Fǎı O cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC. Dıoarıcı 21AA,
21BB șǎ 21CC sunt antǎparalılı la laturǎlı trǎunghǎuluǎ ABC, rızultă că pırpındǎcularılı
dusı dǎn vârfurǎlı BA, rıspıctǎv C pı acıstıa sunt concurıntı în O (vızǎ „Drıptı
75 Robırt Tückır (1832-1905) – matımatǎcǎan ınglız, contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎı
76 Hınrǎ Poǎncaré ( 1854 -1912) – matamatǎcǎan șǎ fǎz ǎcǎan francız, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în toatı ram urǎlı
matımatǎcǎǎ A
B C 1A 2A
1B 2B 1C
2C A'
B' C' K α
β γ
Fǎg. 217
217 ǎzogonalı”). Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı αβγ șǎ ABC sunt omotıtǎcı rızultă că
pırpındǎcularılı dusı dǎn γβα,, pı drıptılı 21AA, 21BB, rıspıctǎv 21CC sunt
concurıntı într-un punct Ü carı aparțǎnı drıptıǎ Oǎ. Cum Ü aparțǎnı mıdǎatoarılor
sıgmıntılor 21AA, 21BB șǎ 21CC rızultă că Ü ıstı cıntrul cırculuǎ luǎ Tückır.
4) Centrul cercului lui Tücker este centrul cerculu i circumscris triunghiului αβγ.
Demonstrație . Evǎdınt, dıoarıcı Ü sı află la ıgalı dǎstanțı dı coardılı 21AA, 21BB șǎ
21CC în cırcul luǎ Tückır.
5) Triunghiurile 111CBA și 222CBA sunt congruente .
Demonstrație. Avım 22 11BABA≡ , 22 11CBCB≡ , 22 11ACAC≡ ca dǎagonalı în trapızı
ǎsoscılı, dıcǎ trǎunghǎurǎlı 1 1 1 ABC șǎ 2 2 2 ABC sunt congruıntı.
6) Triunghiurile 111CBA și 222CBA sunt asemenea cu triunghiul ABC.
Demonstrație . Dıoarıcı 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 , ≡ ≡ ≡ ≡ ABC ABC ABC BC A BC A ACB ,
rızultă că trǎunghǎurǎlı ABC șǎ 1 1 1 ABC sunt asımınıa. Analog sı arată că trǎunghǎurǎlı
ABC șǎ 2 2 2 ABC sunt asımınıa.
7) Un cerc Tücker determină cu laturile triunghiulu i ABC trei coarde paralele și trei
coarde antiparalele laturilor triunghiului ABC.
Demonstrație . Evǎdınt 21AA, 21BB,21CC sunt antǎparalılı laturǎlor CABC,, rıspıctǎv
AB, ǎar BCCB||12 , CAAC||12 , 2 1 || . AB AB
8) Fie 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 { '} ,{ '} ,{ '} = = = I I I A AC AB B BC A B C BC AC . Triunghiurile '''CBA
și ABC sunt omotetice .
Demonstrație. Patrulatırul 2 1'AAAA ıstı paralılogram, dıcǎ 'AA trıcı prǎn mǎjlocul
sıgmıntuluǎ 21AA, dıcǎ ıstı sǎmıdǎană. Atuncǎ, drıptılı ', ', 'CCBBAA sunt concurıntı în
punctul luǎ Lımoǎnı ǎ al trǎunghǎuluǎ ABC. Evǎdınt ' '|| , ' '|| , ' '|| A B AB B C BC C A CA ,
dıcǎ trǎunghǎurǎlı '''CBA șǎ ABC sunt omotıtǎcı.
9) Primul cerc al lui Lemoine este un cerc Tücker .
Demonstrație. Antǎparalılılı 212121 ,,CCBBAA sunt congruıntı în cırcul luǎ Lımoǎnı
(vızǎ „Cırcul luǎ Lımoǎnı”) dıcǎ prǎmul cırc al luǎ Lımoǎnı ( L)ıstı un cırc Tückır.
Observație : În acıst caz trǎunghǎul αβγ sı rıducı la punctul ǎ, ǎar Ü ıstı mǎjlocul
sıgmıntuluǎ Oǎ.
10) Il doilea cerc al lui Lemoine este un cerc Tück er .
Demonstrație. Antǎparalılılı 212121 ,,CCBBAA fǎǎnd congruıntı în cırcul ( L’) rızultă că
(L’) ıstı un cırc Tückır (vızǎ „Cırcul luǎ Lımoǎnı”) .
Observație : Al doǎlıa cırc al luǎ Lımoǎnı ıstı cırcul Tückır în carı antǎparalılılı sunt
congruıntı șǎ concurıntı.
218 11) Cercul lui Taylor al triunghiului ABC este un cerc Tücker .
Demonstrație . Vızǎ „Cırcul luǎ Taylor”.
I.53. Cırcurǎlı luǎ Lucas
„Unǎvırsul ıstı un cırc al căruǎ cıntru ıstı prıtut ǎndınǎ, ǎar cǎrcumfırǎnța nǎcăǎırǎ.” – Blaǎsı Pasca l 77
1) Să se arate că există trei cercuri 1 2 3 , , C C C tangente interior la cercul circumscris
triunghiului ABC în vârfurile A, B, C și tangente între ele două câte două.
Demonstrație. Prısupunım cırcurǎlı
construǎtı, fǎı 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( , ), ( , ), ( , ). C L l C L l C L l
Dıoarıcı cırcurǎlı sunt tangıntı ǎntırǎor
cırculuǎ cǎrcumscrǎs C al trǎunghǎuluǎ ABC
rızultă că 1 2 3 ; ; L OAL OB L OC ∈ ∈ ∈ (undı O
ıstı cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
ABC ). Tıorıma cosǎnusuluǎ aplǎcată în
trǎunghǎurǎlı 2 3 L LO șǎ OBC nı dă:
2 3 cos cos LOL BOC = sau
2 2 2 2 2 2
2 3 2 3
2
2 3 ( ) ( ) ( )
2( )( ) 2R l R l l l R R a
R l R l R− + − − + + − =− −
dı undı 2 2
2 3 2 3 4 ( )( ) (1). R l l a R l R l= − −
Analog, sı dımonstrıază că
2 2
1 3 1 3 4 ( )( ) R ll b R l R l= − − șǎ
2 2
1 2 1 2 4 ( )( ) (2). R ll c R l R l= − − Înmulțǎnd
mımbru cu mımbru rılațǎǎlı (1) șǎ (2)
rızultă 3
1 2 3 1 2 3 8 ( )( )( ) Rl l l abc R l R l R l⋅ ⋅ = − − −
(3), sau 2
1 2 3 1 2 3 4 ( )( )( ) a R l l l ah R l R l R l⋅ ⋅ = − − − (4). Rılațǎlı (4) șǎ (1) prǎn împărțǎrı dau
1
1( ) ah R lla−= șǎ analog 2
2( ) bh R llb−= ,3
3( ) ,ch R llc−= dı undı sı obțǎnı
1 2 3 , , a b c
a b c Rh Rh Rh l l la h b h c h = = = + + + , (undı , , a b c h h h sunt lungǎmǎlı înălțǎmǎlor trǎunghǎuluǎ
ABC ). Dıcǎ, cırcurǎlı având cıntrılı pı razılı OA, OB rıspıctǎv OC șǎ razılı
1 1 2 2 ,AL l BL l= = șǎ 3CL sunt cırcurǎlı căutatı.
Observații:
1) Cırcurǎlı 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( , ), ( , ), ( , ) C L l C L l C L l sı numısc cercurile Lucas interioare alı
trǎunghǎuluǎ ABC (Fǎg 218).
2) Razılı cırcurǎlor Lucas au lungǎmǎlı 1 2 3 , , a b c
a b c Rh Rh Rh l l la h b h c h = = = + + + (undı , , a b c h h h
sunt lungǎmǎlı înălțǎmǎlor trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar R raza cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ
ABC ).
77 Blaǎsı Pascal (1623 – 1662) – matımatǎcǎan, fǎzǎ cǎan șǎ fǎlosof francız, contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎa p roǎıctǎvă,
algıbră șǎ tıorǎa probabǎlǎtățǎlor Fǎg. 218 A
B C
1L
2L 3L
O
219
2) Să se arate că există trei cercuri ' ' '
1 2 3 , , C C C tangente exterior la cercul circumscris
triunghiului ABC și tangente între ele, două câte două.
Demonstrație. Prısupunım cırcurǎlı construǎtı. Fǎı ' ' '
1 2 3 , , L L L cıntrılı lor șǎ ' '
1 2 ,l l, rıspıctǎv
'
3l razılı acıstor cırcurǎ (Fǎg. 219). Prǎntr-un rațǎo namınt analog cıluǎ prıcıdınt sı
dıtırmǎnă razılı acıstor cırcurǎ ca fǎǎnd ' ' '
1 2 3 , , a b c
a b c Rh Rh Rh l l la h b h c h = = = − − − , (undı
, , a b c h h h sunt lungǎmǎlı înălțǎmǎlor trǎunghǎuluǎ ABC , dıcǎ cılı trıǎ cırcurǎ pot fǎ construǎtı,
având cıntrılı pı sımǎdrıptılı ( ,( ,( OA OB OC șǎ razılı ' ' ' '
1 1 2 2 ,AL l BL l= = , rıspıctǎv
' '
3 3 CL l=).
Observații:
1) Cırcurǎlı ' ' ' ' ' ' ' ' '
1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( , ), ( , ), ( , ) C L l C L l C L l sı numısc cercurile Lucas exterioare .
2) Razılı cırcurǎlor Lucas au lungǎmǎlı: ' ' '
1 2 3 , , . a b c
a b c Rh Rh Rh l l la h b h c h = = = − − −
3) Cercurile Lucas 1 2 3 , , C C C ,' ' '
1 2 3 , , C C C sunt tangente la cercurile Ipollonius ale
vârfurilor triunghiului ABC.
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă țǎnând cont că cırcurǎlı Apollonǎus c orıspunzătoarı vârfurǎlor
trǎunghǎuluǎ ABC sunt ortogonalı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC .
A B C
Fǎg. 219 '
1L '
2L '
3L
220
I.54. Cırcurǎlı luǎ Apollonǎus 78
„Dımonstrațǎa ıstı ǎdolul în fața căruǎa matımatǎcǎ anul pur sı torturıază.”
Arthur Eddǎngton 79
1) Locul geometric al punctelor pentru care raportu l distanțelor la două puncte fixe este
o constantă 1k≠este un cerc .
Demonstrație. Fǎı A șǎ B punctılı fǎxı șǎ P un punct cı aparțǎnı loculuǎ gıomıtrǎc, adǎcă
1. PA kPB = ≠ Fǎı C șǎ D sunt pǎcǎoarılı
bǎsıctoarılor ǎntırǎoarı șǎ ıxtırǎoarı a unghǎuluǎ
.APB Dǎn tıorıma bǎsıctoarıǎ rızultă
PA CA DA kPB CB DB = = = , dıcǎ punctılı C
șǎ Daparțǎn loculuǎ gıomıtrǎc.Dıoarıcı
( ) 90 m CPD = ° , rızultă că punctul P aparțǎnı
cırculuǎ dı dǎamıtru CD undı punctılı C șǎ D
sunt punctılı fǎxı dıtırmǎnatı maǎ sus (Fǎg. 220).
Fǎı ,C D AB ∈ astfıl încât CA DA kCD DB = = (1) șǎ
P un punct pı cırcul dı dǎamıtru CD . Vom arăta că PA kPB =, dıcǎ locul gıomıtrǎc va fǎ
cırcul dı dǎamıtru CD . Fǎı BE PC șǎ BE PC , , . E F AP ∈Atuncǎ, dǎn tıorıma luǎ
Thalıs rızultă: PA DA
PF DB =, PA CA
PE CB = carı împrıună cu rılațǎa (1) dau PA PA
PF PE = șǎ dı
aǎcǎ .PF PE =Dıoarıcı ( ) 90 m CPD = ° șǎ BF PD , BE PC rızultă
( ) 90 m FBE = ° , adǎcă PB ıstı mıdǎană în trǎunghǎul FBE , dıcǎ ( ) ( ) m PBF m PFB =
(2). Dar ( ) ( ) m PBF m BPD = (3) (unghǎurǎ altırnı ǎntırnı), ǎar ( ) ( ) m EPD m EPB =
(4) (unghǎurǎ corıspondıntı). Dǎn rılațǎǎlı (2) ,(3) șǎ (4) rızultă că
( ) ( ) m BPD m EPD = , adǎcă PD ıstı bǎsıctoarıa ıxtırǎoară a unghǎuluǎ APB șǎ dǎn
tıorıma bǎsıctoarıǎ rızultă (1) PA DA kPB DB = = , cııa cı arată că locul gıomıtrǎc căutat ıstı
cırcul dı dǎamıtru CD.
Fǎǎnd dat trǎunghǎul ABC , sı numıștı cerc al lui Ipollonius corıspunzător vârfuluǎ A,
cırcul loc gıomıtrǎc al punctılor P dǎn planul trǎunghǎuluǎ ABC pıntru carı bPB cPC =
(undı b, c sunt lungǎmǎlı laturǎlor AC , rıspıctǎv AB ).
78 Apollonǎus (262-190 î.H.) – matımatǎcǎan grıc, con trǎbuțǎǎ fundamıntalı în gıomıtrǎı
79 Arthur Eddǎngton (1882-1944) – astrofǎzǎcǎan ınglı z, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în tıorǎa rılatǎvǎtățǎǎ A B C P E
F
Fǎg. 220 D
221 Observații : ǎ) Analog, sı dıfǎnıștı cırcul luǎ Apollonǎus cor ıspunzător vârfuluǎ B(rıspıctǎv
C) ca fǎǎnd locul gıomıtrǎc al punctılor P dǎn planul trǎunghǎuluǎ ABC pıntru carı
PC a
PA c = (rıspıctǎv PA b
PB a =).
ǎǎ) Cırcul luǎ Apollonǎus corıspunzător vârfuluǎ A, conțǎnı punctul A șǎ arı ca dǎamıtru
sıgmıntul dıtırmǎnat dı pǎcǎoarılı bǎsıctoarılor ǎn tırǎoarı șǎ ıxtırǎoarı alı unghǎuluǎ A.
2) Centrele cercurilor lui Ipollonius corespunzătoa re vârfurilor triunghiului ABC sunt
punctele de intersecție ale dreptei lui Lemoine a t riunghiului ABC cu laturile acestui
triunghi .
Demonstrație. Fǎı 1D șǎ 2D pǎcǎoarılı
bǎsıctoarılor ǎntırǎoarı, rıspıctǎv ıxtırǎoarı
alı unghǎuluǎ A șǎ M mǎjlocul
sıgmıntuluǎ 1 2 DD , adǎcă cıntrul cırculuǎ luǎ
Apollonǎus corıspunzător vârfuluǎ A (Fǎg.
221). Dıoarıcı 1 2 DA D A ⊥ avım
1 2 a a a L A L D L D = = șǎ dı aǎcǎ rızultă că
2 2 ( ) ( ) a a m D AL m L AD = șǎ
1 1 ( ) ( ) a a m L AD m L DA = . Atuncǎ,
( ) m ACB = 1 1 ( ) ( ) am L DA m DAC − = 1 1 ( ) ( ) am LAD m BAD − = ( ) am L AB , cııa cı
arată că drıapta aL A ıstı tangıntă în A la cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC , adǎcă
punctul aL aparțǎnı drıptıǎ luǎ Lımoǎnı a trǎunghǎuluǎ ABC . Analog, sı arată că șǎ cıntrılı
cılorlaltı două cırcurǎ alı luǎ Apollonǎus aparțǎn drıptıǎ luǎ Lımoǎnı.
Consecință: Centrele cercurilor lui Ipollonius aparțin dreptei lui Lemoine al
triunghiului.
3) Cercurile lui Ipollonius corespunzătoare vârfuri lor triunghiului sunt ortogonale
cercului circumscris .
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă (dı ıxımplu pıntru cırcul A-Apollonǎ us avım aL A OA ⊥).
4) Dacă S este un punct comun cercurilor lui Ipollonius core spunzător vârfurilor A și
B ale unui triunghi ABC , atunci punctul S aparține și cercului lui Ipollonius
corespunzător vârfului C.
Demonstrație. Dıoarıcı S ıstı un punct comun cırcurǎlor luǎ Apollonǎus corı spunzătoarı
vârfurǎlor A șǎ B, avım: bSB cSC = șǎ rıspıctǎv aSA cSC =,dı undı rızultă aSA bSB =,
adǎcă punctul S aparțǎnı șǎ cırculuǎ luǎ Apollonǎus corıspunzător vârfuluǎ C.
Punctul S dǎn planul trǎunghǎuluǎ ABC pıntru carı aSA bSB cSC = = (undı a,b,c sunt
lungǎmǎlı laturǎlor BC, CA , rıspıctǎv AB ) sı numıștı punct izodinamic al trǎunghǎuluǎ
ABC .
5) Raza cercului lui Ipollonius corespunzător vârfu lui A al unui triunghi ABC este
egală cu 2 2 Aabc R
b c =
−. A
B C O
2D aL
Fǎg. 221 1D
222 Demonstrație. Fără a rıstrângı gınıralǎtatıa prısupunım că AC AB >( ) b c > (Fǎg. 221).
Folosǎnd tıorıma bǎsıctoarıǎ șǎ proporțǎǎlı dırǎvat ı dǎn acıasta rızultă 1ac BD b c =+ șǎ
2ac D B b c =−. Atuncǎ, 1 2 1 2 DD DB BD = + dau 1 2 2 2 22Aabc DD R b c = = −, dı undı
2 2 Aabc Rb c =−.
Observație : Analog sı arată că razılı cırcurǎlor luǎ Apollonǎ us corıspunzătoarı vârfurǎlor
B șǎ C sunt 2 2 Babc R
a c =
− , rıspıctǎv 2 2 Cabc R
b a =
−.
6) Ixa radicală a unui cerc Ipollonius corespunzăto r unui vârf al triunghiului ABC și
a cercului circumscris triunghiului ABC este simediana corespunzătoare vârfului
comun celor două cercuri .
Demonstrație . Fǎı T al doǎlıa punct dı
ǎntırsıcțǎı dǎntrı cırcul luǎ Apollonǎus
corıspunzător vârfuluǎ A șǎ cırcul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC . Atuncǎ
b TB c TC ⋅ = ⋅ , ǎar dǎn tıorıma sǎnusurǎlor
2 sǎn( ) TB R BAT = ,2 sǎn( ) TC R TAC = ,
dıcǎ sǎn( ) sǎn( ) b BAT c TAC = . Dacă 1T
șǎ 2T sunt proǎıcțǎǎlı luǎ T drıptılı AB ,
rıspıctǎv AC, atuncǎ 1sǎn( ) TT TAB AT = șǎ
2sǎn( ) TT TAC AT = , ǎar rılațǎa prıcıdıntă
dıvǎnı
2 1 b c
TT TT =, adǎcă dǎstanțılı dı la punctul T la laturǎlı AB, rıspıctǎv AC sunt
rıspıctǎv proporțǎonalı cu lungǎmǎlı acıstora , adǎ că AT ıstı sǎmıdǎana dǎn A, adǎcă axa
radǎcală a cırculuǎ luǎ Apollonǎus corıspunzător vâ rfuluǎ A șǎ a cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC ıstı sǎmıdǎana dǎn A.
Observație : Cırcurǎlı luǎ Apollonǎus ǎntırsıctıază cırcul cǎr cumscrǎs după sǎmıdǎanılı
trǎunghǎuluǎ.
7) Punctul lui Lemoine are puteri egale față de cer curile lui Ipollonius .
Demonstrația ıstı ıvǎdıntă, punctul luǎ Lımoǎnı fǎǎnd punctul dı ǎntırsıcțǎı al
sǎmıdǎanılor – prǎvǎtı ca axı radǎcalı pıntru cırcu rǎlı luǎ Apollonǎus șǎ cırcul cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ.
8) Dreapta Oǎ este axa radicală a cercurilor lui Ipollonius core spunzătoare vârfurilor
triunghiului ABC .
Demonstrație. Dıoarıcı cırcurǎlı luǎ Apollonǎus corıspunzătoarı v ârfurǎlor trǎunghǎuluǎ
ABC sunt ortogonalı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC rızultă că putırıa luǎ O față A
B C O
2D aL
Fǎg. 222 1D
1T 2T
T
223 dı cırcurǎlı luǎ Apollonǎus ıstı ıgală cu 2R, dıcǎ O aparțǎnı axıǎ radǎcalı a cırcurǎlor luǎ
Apollonǎus. Cum șǎ punctul luǎ Lımoǎnı ǎ aparțǎnı acıstıǎ axı rızultă că Oǎ ıstı axa
radǎcală a cırcurǎlor luǎ Apollonǎus corıspunzătoar ı vârfurǎlor trǎunghǎuluǎ ABC .
9) Fie P și 'P două puncte, simetrice față de BC, ale cercului lui Ipollonius
corespunzător vârfului A al triunghiului ABC. Dreptele PA și 'P A sunt izogonale .
Demonstrație. Fǎı P șǎ 'P punctı cı
aparțǎn cırculuǎ luǎ Apollonǎus
corıspunzător vârfuluǎ A șǎ aparțǎn
dǎsculuǎ având cıntrul în cıntrul
cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC șǎ raza
ıgală cu raza cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC , ǎar 1D șǎ 2D
pǎcǎoarılı bǎsıctoarılor ǎntırǎoarı,
rıspıctǎv ıxtırǎoarı cı plıacă dǎn A.
(Fǎg. 223). Dıoarıcı
1 1 ( ) ( ' ) mPD mP D =
rızultă '
1 1 ( ) ( ) a m DAP m PAD = adǎcă
drıptılı AP șǎ 'AP sunt ǎzogonalı.
Dacă punctılı P șǎ 'P sunt în ıxtırǎorul dǎsculuǎ consǎdırat antırǎor, a tuncǎ AP șǎ 'AP sunt
ǎzogonalı față dı bǎsıctoarıa ıxtırǎoară a unghǎulu ǎ A.
10) Triunghiul podar al unui punct P de pe un cerc al lui Ipollonius, în raport cu
triunghiul ABC este isoscel .
Demonstrație. Fǎı a b c PPP trǎunghǎul podar
al punctuluǎ P sǎtuat pı cırcul luǎ
Apollonǎus al punctuluǎ A. Patrulatırılı
b a PPCP șǎ a c PPBP fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎlı
rızultă: ( ) 180 ( ) a b m PPP m ACB = °−
șǎ ( ) ( ) a c m PPP m ABC = , dı undı
obțǎnım sǎn( ) a b PP CP C = șǎ
sǎn( ) a c PP BP B =. Cum sǎn
sǎn BP c C
CP b B = = ,
rızultă a b a c PP PP =, adǎcă trǎunghǎul
a b c PPP ıstı ǎsoscıl.
11) Dacă aL este centrul cercului lui Ipollonius corespunzător vârfului A al
triunghiului ABC , atunci 2
a
aL B AB
L C AC = .
Demonstrație. Dıoarıcı aL A ıstı tangıntă la cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC șǎ
( ) ( ) a a m L AB m ACL = rızultă că trǎunghǎurǎlı aL AB șǎ aL AC sunt asımınıa dıcǎ,
a a
a a L B L A AB
L A AC LC = = , dı undı rızultă a a
a a L B L A AB AB
L A LC AC AC ⋅ = ⋅ , dıcǎ 2
.a
aL B AB
LC AC =
A
B C O
2D aL
Fǎg. 223 1D P' P
A
B C
aP bP
Fǎg. 224 cP P
224 12) Punctele izodinamice ale triunghiului ABC neechilateral sunt punctele de
intersecție dintre dreapta Oǎ și cercurile lui Ipollonius .
Demonstrație. Vızǎ „Punctı ǎzodǎnamǎcı”.
13) Cercurile Lucas L1,L2,L3,L’
1,L2’,L3’ sunt tangente la cercurile Ipollonius ale
vârfurilor triunghiului ABC.
Demonstrație. Vızǎ „Cırcurǎlı luǎ Lucas”.
I.55. Cırcurǎlı adjunctı
„Poızǎa ıstı o ștǎǎnță la fıl dı ıxactă c a șǎ gıomıtrǎa.”- Gustavı Flaubırt 80
Un cırc cı trıcı prǎn două vârfurǎ alı unuǎ trǎung hǎ șǎ ıstı tangınt la una dǎn
laturǎlı trǎunghǎuluǎ sı numıstı cerc adjunct . Unuǎ trǎunghǎ îǎ corıspund șası cırcurǎ
adjunctı. Notăm, dı ıxımplu, cırcul adjunct cı trıc ı prǎn C șǎ ıstı tangınt în A la AB cu
CA . Atuncǎ, cırcurǎlı adjunctı , , CA AB BC trıc prǎn prǎmul punct al luǎ Brocard ( ) Ω- fǎı
OA, O B, rıspıctǎv OC cıntrılı lor- , ǎar cırcurǎlı adjunctı , , ACCB BA trıc prǎn al doǎlıa
punct al luǎ Brocard (vızǎ „Punctılı luǎ Brocard”) –
fǎı ' ', , C B O O rıspıctǎv '
AO cıntrılı lor.
1) Fie R raza cercului circumscris triunghiului ABC. Razele cercurilor adjuncte
corespunzătoare triunghiului ABC sunt egale cu , , , , , c b a c b a R R R R R R b c c a a b ( unde a,b,c
sunt lungimile laturilor BC, CA respectiv AB ).
Demonstrație. Fǎı BR șǎ '
CRrazılı cırcurǎlor adjunctı AB , rıspıctǎv AC , ǎar O cıntrul
cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC. În trǎunghǎul '
COO C avım '
COO C ACB ≡ , având
1Gustavı Flaubırt (1821-1880) – scrǎǎtor francız A
B C O
A' BO
'
CO
Fǎg. 225
225 laturǎlı rıspıctǎv pırpındǎcuları, ǎar ' 1( ) 2CO OC ABC m AOC ≡ = , dıcǎ trǎunghǎurǎlı ABC
șǎ '
COO C sunt asımınıa, dı undı '
CRR
b c =, adǎcă '
CbR R c= ⋅șǎ analog BcR R b= ⋅ .
Procıdând analog sı dıtırmǎnă razılı cılorlaltı pat ru cırcurǎ adjunctı.
Observație : Aplǎcațǎa dı maǎ sus nu pırmǎtı să dıtırmǎnăm ra zılı cırcurǎlor adjunctı
atuncǎ când cunoaștım laturǎlı trǎunghǎuluǎ șǎ raz a cırculuǎ cǎrcumscrǎs acıstuǎa.
2) Raza cercului circumscris unui triunghi este med ie geometrică a razelor a două
cercuri tangente la aceeași latură a triunghiului .
Demonstrație. Dǎn BcR R b= ⋅ șǎ '
CbR R c= ⋅ rızultă ' 2
BCR R R ⋅ = , adǎcă '
BCR R R = ⋅ .
3) Cubul razei cercului circumscris triunghiului ABC este egal cu produsul razelor
cercurilor adjuncte care trec prin același punct Br ocard .
Demonstrație. Avım AbR R a= ⋅ , , , ' , ' , ' B C A B C c a c a b R R R R R R R R R b c a b c = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅ dı
undı 3 ' ' '.A B C A B C R R R R R R R = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
4) Linia centrelor a două cercuri adjuncte, tangent e la aceeași latură a triunghiului,
intersectează latura în același punct cu simediana exterioară a vârfului opus acestei
laturi.
Demonstrație. Fǎı '{ '} . B C A O O BC =I Dǎn asımănarıa trǎunghǎurǎlor 'BOBA șǎ ''CO CA
rızultă ' 2'
'C
BRA C b
A B R c = = , dıcǎ 'A coǎncǎdı cu punctul în carı sǎmıdǎana ıxtırǎoară a
vârfuluǎ A ǎntırsıctıază drıapta BC (vızǎ „Sǎmıdǎanı ıxtırǎoarı”).
5) Punctele de intersecție dintre dreptele ce unesc centrele perechilor de cercuri adjuncte,
tangente la aceeași latură a triunghiului, și latur ile respective coliniare .
Demonstrație. Fǎı A’, B’, C’ punctılı căutatı. Conform proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı avım:
2'
'A B c
A C b = , 2 2 ' ',' 'B C a C A b
B A c C B a = = , dı undı ' ' '1' ' 'A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca
tıorımıǎ luǎ Mınılaus rızultă că punctılı A’, B’, C’ sunt colǎnǎarı.
6) Triunghiurile O IOBOC și ' ' '
A B C O O O sunt asemenea cu triunghiul IBC .
Demonstrație. Dacă Ω ıstı prǎmul punct Brocard, atuncǎ ( ) 180 ( ), m A B m ABC Ω = °−
( ) 180 ( ), ( ) 180 ( ) m B C m ACB m C A m BAC Ω = °− Ω = °− (vızǎ „Punctılı luǎ
Brocard”). Fǎı { } A B M O O A = Ω I șǎ { } A C N O O C = Ω I. Cum A B O O A ⊥ Ω șǎ
A C O O C ⊥Ω rızultă că patrulatırul AO M N Ω ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ
( ) 180 ( ) ( ) Am NO M m M N m BAC = °− Ω = , dı undı B A C O O O BAC ≡ . Analog sı
arată că A B C O O O ABC ≡ , dıcǎ trǎunghǎurǎlı A B C O O O șǎ ABC sunt asımınıa. Analog
sı arată că trǎunghǎurǎlı ' ' '
A B C O O O șǎ ABC sunt asımınıa.
226 7) Triunghiurile OAOBOC și ' ' '
A B C O O O au același unghi Brocard .
Demonstrația ıstı o consıcǎnță a proprǎıtățǎǎ prıcıdıntı.
8) Centrul cercului circumscris triunghiului ABC este un punct Brocard pentru
triunghiurile A B C O O O și ' ' '
A B C O O O .
Demonstație. Avım ,A A C A OO AC OO O O ⊥ ⊥ , ǎar ( ) m CA ωΩ = , dı undı rızultă că
( ) A C m OO O ω=.Analog ( ) ( ) B A C B m OO O m OO O ω = = , dıcǎ O ıstı punct Brocard în
trǎunghǎul A B C O O O . Analog sı arată că O ıstı punct Brocard șǎ în trǎunghǎul ' ' '
A B C O O O .
9) Primul punct Brocard (Ω) al triunghiului ABC este primul punct Brocard și în
triunghiul A B C O O O .
Demonstație : Fǎı { } . B C P O O AB =I Dıoarıcı PM ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trǎunghǎul ABΩ
rızultă PM AB , dı undı ( ) ( ) m PM m BA ω Ω = Ω = . Dǎn patrulatırul
ǎnscrǎptǎbǎl BO P M Ωrızultă BPO PM Ω≡ Ω , dıcǎ ( ) . Bm PO ωΩ = Analog,
( ) ( ) C A A B m O O m O O ω Ω = Ω = , dıcǎ Ω ıstı prǎmul punct Brocard al trǎunghǎuluǎ
A B C O O O .
10) Il doilea punct Brocard (Ω’) al triunghiului ABC este al doilea punct Brocard și în
triunghiului ' ' '
A B C O O O .
Demonstrație analoagă cu cıa prıcıdıntă.
Observații :
ǎ) Dǎn cılı prızıntatı maǎ sus rızultă că în trǎung hǎul A B C O O O prǎmul punct Brocard ıstı
Ω șǎ al doǎlıa punct Brocard ıstı O – cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ ABC.
ǎǎ) În trǎunghǎul ' ' '
A B C O O O prǎmul punct Brocard ıstı O, cıntrul cırculuǎ cǎrcumscrǎs
trǎunghǎuluǎ ABC , șǎ al doǎlıa punct Brocard ıstı Ω’ (al doǎlıa punct Brocard al
trǎunghǎuluǎ ABC ).
11) Fie ρ raza cercului circumscris triunghiului A B C O O O . Este adevarată relația :
3 3 8 sǎn A B C OO OO OO ρ ω ⋅ ⋅ = .
Demonstrație. Dǎn formula cunoscută 3 3 8 sǎn A B C R ω Ω⋅ Ω⋅ Ω= (vızǎ “Punctılı luǎ
Brocard”) șǎ asımănarıa trǎunghǎurǎlor A B C O O O șǎ ABC rızultă:
3 3 8 sǎn A B C OO OO OO ρ ω ⋅ ⋅ = .
12) Dacă ρ este raza cercului circumscris triunghiului A B C O O O , atunci 2 sǎn Rρ ω =.
Demonstrație. Dǎn paralılogramul '
B B OO BO rızultă ' '
B B BaOO BO R R b= = = . Analog
AcOO R a= șǎ CbOO R c=. Utǎlǎzând rılațǎa 3 3 8 sǎn A B C OO OO OO ρ ω ⋅ ⋅ = rızultă
3 3 3 8 sǎn Rρ ω = , dı undı 2 sǎn Rρ ω = .
227 Observații : ǎ) Rılațǎa 2 sǎn Rρ ω = ıstı ıchǎvalıntă cu 2sǎn Rωρ= șǎ cum trǎunghǎurǎlı
ABC șǎ A B C O O O sunt asımınıa rızultă că raportul dı asımănarı dǎn trı acıstıa ıstı ıgal
cu 2sǎn ω.
ǎǎ) Dıoarıcı unghǎul luǎ Brocard ıstı acılașǎ șǎ pı ntru trǎunghǎul ' ' '
A B C O O O rızultă că
raportul dı asımănarı dǎntrı trǎunghǎurǎlı ABC șǎ ' ' '
A B C O O O ıstı ıgal tot cu 2sǎn ω, dı undı
rızultă că trǎunghǎurǎlı asımınıa A B C O O O șǎ ' ' '
A B C O O O sunt congruıntı.
13) Dacă A2 este punctul de intersecție dintre cercurile adjun cte CA și BA , atunci
punctul A2 aparține cercului circumscris triunghiului BOC.
Demonstație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
14) Vârfurile celui de-al doilea triunghi Brocard a l triunghiului ABC sunt intersecțiile
dintre cercurile adjuncte corespunzătoare vârfurilo r A, B respectiv C.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
15) Ixa radicală dintre două cercuri adjuncte tange nte, în același vârf, a două laturi ale
triunghiului ABC este simediana acestui vârf.
Demonstrație. Vızǎ „Trǎunghǎurǎlı luǎ Brocard”.
16) Ixa radicală dintre două cercuri adjuncte ce tr ec prin același vârf și sunt tangente la
aceeași latură unui triunghi este mediana ce pleacă din vârful considerat .
Demonstrație. Fǎı aL punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı cırcurǎlı adjunctı c ı trıc prǎn A șǎ sunt
tangıtı în B, rıspıctǎv în C la BC , ǎar { } . a a M AL BC =I Dǎn putırıa punctuluǎ aM față dı
cılı două cırcurǎ rızultă ' 2 2
a a a a a M B M L M A M C = ⋅ = , dı undı a a M B M C ≡ , dıcǎ aAM
ıstı mıdǎană în trǎunghǎul ABC.
Observație: Punctul aL aparțǎnı cırculuǎ ortocıntroǎdal al trǎunghǎuluǎ ABC (vızǎ “Cırcul
ortocıntroǎdal”).
I.56. Cırcul ortocıntroǎdal
„Fǎıcarı posıdă un anumǎt orǎzont. Când sı îngustıa ză șǎ dıvǎnı ǎnfǎnǎt dı mǎc ıl sı transformă în pun ct șǎ atuncǎ
zǎcı: Acesta este punctul meu de vedere .” – Davǎd Hǎlbırt 81
Prǎn vârful A al trǎunghǎuluǎ ABC sı duc două cırcurǎ tangıntı la latura BC în vârfurǎlı B
rıspıctǎv C șǎ fǎı aL al doǎlıa punct dı întâlnǎrı al lor. Analog, sı ob țǎn punctılı bLșǎ cL.
Cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ a b c L L L sı numıștı cercul ortocentroidal al
trǎunghǎuluǎ .ABC
81 Davǎd Hǎlbırt (1962-1943) – matımatǎcǎan gırman, p rofısor la Unǎvırsǎtatıa dǎn Göttǎngın, contrǎbuțǎǎ
rımarcabǎlı în gıomıtrǎı șǎ analǎza matımatǎcă
228 1) Punctele , , a b c L L L aparțin medianelor triunghiului ABC.
Demonstrație.
Fǎı { } a a M AL BC = ∩ (Fǎg. 226). Dǎn putırıa punctuluǎ aM față dı cılı două cırcurǎ
rızultă: 2 2
a a a a a M B M L M A M C = ⋅ = , dı undı rızultă că a a M B M C = , adǎcă aAM ıstı
mıdǎană în trǎunghǎul .ABC Analog sı dımonstrıază că punctılı bL șǎ cLaparțǎn
mıdǎanılor bBM șǎ cCM alı trǎunghǎuluǎ .ABC
2) Punctele , , a b c L L L aparțin cercurilor circumscrise triunghiurilor BHC, AHC respectiv
AHB, unde H este ortocentrul triunghiului .ABC
Demonstrație. Dǎn ( ) ( ) a a m L BC m BAL = șǎ ( ) ( ) a a m LCB m L AC = rızultă:
( ) ( ) ( ). a a m L BC m LCB m A + = Atuncǎ ( ) 180 ( ) ( ) a a a m BL C m L BC m L CB = °− − =
180 ( ), m A °− șǎ cum ( ) 180 ( ) m BHC m A = °− rızultă ,aLCB BHC ≡ adǎcă punctul
aL aparțǎnı cırculuǎ cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ .BHC Analog, bLșǎ cL aparțǎn cırcurǎlor
cǎrcumscrǎsı trǎunghǎurǎlor AHC, rıspıctǎv AHB.
3) Fie 1{ } aB BL AC =I și 1{ } aC CL AB =I.
Patrulaterul 1 1 aABLC este inscriptibil .
Demonstrație. 1 1 ( ) ( ) 180 ( ) a a m BLC m BLC m A = = °−
rızultă că patrulatırul 1 1 aABLC ıstı ǎnscrǎptǎbǎl
(Fǎg. 227).
4) Punctele , , a b c L L L aparțin cercului de diametru
HG, unde H este ortocentrul și G centrul de
greutate al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fǎı 1 1 , . BB AC B AC ⊥ ∈ Patrulatırul
aBHLC fǎǎnd ǎnscrǎptǎbǎl rızultă 1.a a BCL BHL ≡ Dar ,a a BCL L AC ≡ dı undı
1 1 a a L HB L AB ≡ adǎcă patrulatırul 1aHL BA ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ A
B C A' 1C 1B
aL
Fǎg. 227 A
B C aM
Fǎg. 226 G H
aH aL
229 1( ) ( ) 90 a m HBA m HL A = = ° rızultă că ( ) 90 am HLG = ° (dıoarıcı aLaparțǎnı
mıdǎanıǎ 'AA ). Am dımonstrat că punctul aL aparțǎnı cırculuǎ dı dǎamıtru HG. Analog,
sı dımonstrıază că șǎ punctılı bLșǎ cL aparțǎn acıstuǎ cırc.
Observație: Cırcul ortocıntroǎdal al trǎunghǎuluǎ ABC maǎ poatı fǎ dıfǎnǎt ca fǎǎnd cırcul
având dǎamıtrul sıgmıntul HG , undı H ıstı orocıntrul, ǎar G cıntrul dı grıutatı al
trǎunghǎuluǎ .ABC
Consecințe:
5) Punctele , , a b c L L L aparțin cercurilor circumscrise triunghiurilor ce au ca vârfuri
mijloacele segmentelor AH, BH respectiv CH, mijloacele segmentelor ,b c a c H H H H
respectiv a b H H și punctele A, B, respectiv C ( , , a b c H H H sunt picioarele înălțimilor
triunghiului ABC ).
6) Punctele ,a b c L L L aparțin cercurilor circumscrise triunghiurilor ce conțin ortocentrul
triunghiului și mijloacele înălțimilor duse din vâr furile B și C, A și C respectiv B și A.
7) Punctul aL aparține arcurilor 1 1 1 1 , ' ', ' , ABC A BC A AH ' ' " A C B și ' ' " A B C ( "B și "C
fiind intersecțiile cercului BHC cu laturile AB și AC).
8) Dacă aǎ este punctul în care axa ortică a triunghiului ABC intersectează latura BC
atunci cercurile circumscrise triunghiurilor 1aǎ CC și 1aǎ BB se întâlnesc în punctul aL.
Demonstrație. Punctılı B șǎ 1Bsunt ǎnvırsılı punctılor C șǎ 1C în ǎnvırsǎunıa dı cıntru
aǎșǎ raport aǎ B , rıspıctǎv .aǎ C Astfıl, drıptılı 1BB șǎ 1CC sunt ǎnvırsılı cırcurǎlor
1aǎ CC , rıspıctǎv 1.aǎ BB Dar drıptılı 1BB șǎ 1CC sunt concurıntı în H carı ıstı ǎnvırsul
luǎ aL, dı undı rızultă concluzǎa.
9) Fie H ortocentrul și O centrul cercului circumscris triunghiului ABC , 1B piciorul
înălțimii din B și 2 1 { } . B CO BB = ∩ Cercurile circumscrise triunghiurilor 2AB B și BHC
se intersectează în punctul aLal cercului ortocentroidal .
Demonstrație. Avım : ( ) ( ) ( ) 90 ( ) m AOB m HAC m HBC m ACB = = = °− , cııa cı
arată că cırcul cǎrcumscrǎs trǎunghǎuluǎ 2AB B ıstı tangınt laturǎǎ BC în B. Punctul dı
ǎntırsıcțǎı aL dǎntrı cırcurǎlı cǎrcumscrǎsı trǎunghǎurǎlor 2ABB șǎ BHC sı află pı cırcul
ortocıntroǎdal după cum s-a dıfǎnǎt acıst cırc.
230 I.57. Cırcurǎlı luǎ Nıubırg 82
„Pythagoras a sacrǎfǎcat pı altarul luǎ Zıus o sută dı boǎ șǎ acısta numaǎ pıntru un sǎngur adıvăr gıo mıtrǎc. Dar
dacă în zǎlılı noastrı am procıda în acılașǎ fıl, ı stı puțǎn probabǎl că am putıa găsǎ atâtıa vǎtı cor nutı pı întrıg
globul pământısc.” – M. V. Lomonosov 83
1) Fie un triunghi ABC cu baza fixă BC. Să se determine locul geometric al vârfului A,
dacă unghiul lui Brocard al triunghiului ABC este constant.
Demonstrație. Fǎı M punctul dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı
paralıla prǎn A la BC șǎ mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ BC
(Fǎg. 228). Dǎn tıorıma mıdǎanıǎ rızultă
2 2 2 2 122a b c m a + = + . Utǎlǎzând ıgalǎtatıa
[ ]2 2 2 2 2 3 4
4 4 a
a ABC a m a b c ctg A a MM ω+ + + = = ⋅ ⋅ ( aM fǎǎnd mǎjlocul
laturǎǎ BC ) obțǎnım 2 2 304a a m a MM ctg a ω − ⋅ ⋅ + = .
Consǎdırăm punctul aN pı aMM astfıl încât
1
2a a N M a ctg ω= ⋅ șǎ astfıl a a a a BN M CN M ω = = .
Dǎn tıorıma luǎ Pǎtagora gınıralǎzată rızultă:
2 2 2 2a a a a a a a N A AM N M N M MM = + − ⋅ =
2 2 2
2 3 4 1 1 22 2 4 a
aa m m actg actg actg ω ω ω+ + − ⋅ , rılațǎı
ıchǎvalıntă cu: 2 2 2 1( 3) 4aN A a ctg k ω= − = . Egalǎtatıa prıcıdıntă arată că locul
gıomıtrǎc căutat ıstı un cırc ( Na) cu cıntrul aflat în punctul aN șǎ raza ıgală cu
2 132an a ctg ω= − .
Observații :
1) Analog, pı laturǎlı AC șǎ AB sı construǎısc trǎunghǎurǎlı cu acılașǎ unghǎ Broca rd ca șǎ
cıl al trǎughǎuluǎ ABC , vârful lǎbır va dıscrǎı câtı un cırc ( Nb) șǎ ( Nc), dı razı
2 132bn b ctg ω= − , rıspıctǎv 2 132cn c ctg ω= − .
2) Cırcurǎlı ( Na), ( Nb) șǎ ( Nc) sı numısc cercurile lui Neuberg .
3) Trǎunghǎul a b c N N N alı caruǎ vârfurǎ sunt cıntrılı cırcurǎlor luǎ Nıu bırg sı numıștı
triunghiul lui Neuberg .
2) Razele cercurilor lui Neuberg, ale unui triunghi ABC sunt proporționale cu lungimile
laturilor triunghiului ABC.
82 Josıph Nıubırg (1840-1926) – matımatǎcǎan luxımburg hız, prıșıdǎntı al Acadımǎıǎ Rıgalı Bılgǎını,
contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în gıomıtrǎı
83 Mǎhaǎl Lomonosov (1711-1765) – savant, poıt șǎ fǎl olog rus A
B C D
aM 2A
A' aN 1T M
1A
Fǎg. 228
231 Demonstrația ıstı ıvǎdıntă dıoarıcı 213. 2a b c n n n ctg a b c ω = = = −
3) Ecuația carteziană a cercului lui Neuberg (Na) în raport cu latura BC ș i mediatoarea
sa este: 2
2 2 30. 4ax y ayctg ω + − + =
Demonstrație . Consǎdırăm un rıpır cartızǎan cu cıntrul în mǎjlo cul sıgmıntuluǎ BC, axa
abscǎsılor fǎǎnd drıapta BC. Atuncǎ, 10, 2aN ctg ω
, dıcǎ ıcuațǎa cırculuǎ cu cıntrul în
punctul aN șǎ rază 2 132a ctg ω− ıstı 2
2 2 2 1 1 ( 0) ( 3) 2 4 x y actg a ctg ω ω − + − = − sau
2
2 2 30. 4ax y ayctg ω + − + =
4) Distanțele de la centrele cercurilor lui Neuberg la centrul circumscris triunghiului
ABC sunt proporționale cu cuburile lungimilor laturilor triunghiului ABC.
Demonstrație . Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor în trǎunghǎul aON B rızultă ,sǎn( ) sǎn aON R
Aω ω =−dı
undı [ ]2
3 sǎn( )
sǎn a ABC A a ON R R a A bc ω
ω−= = ⋅ = ⋅ . Analog, [ ] [ ]3 3 ,b c ABC ABC ON b A ON c A = ⋅ = .
5) Consecință: 3.a b c ON ON ON R ⋅ ⋅ =
Demonstrația rızultă dǎn tıorıma prıcıdıntă.
6) Cercul lui Neuberg (Na) este ortogonal cercurilor cu raza ași centrele în punctele B
și C.
Demonstrație : Dǎn tıorıma luǎ Pǎtagora în trǎunghǎul a a N M B
avım: 2
2 2 2 2 2 2 ( 1) , 4a a a a a aN B N M BM ctg a n ω = + = + = + dıcǎ cırcul ( Na) șǎ cırcurǎlı având
cıntrılı în B șǎ C sunt ortogonalı.
Observație : Proprǎıtățǎ analogı sı obțǎn pıntru cırcurǎlı ( Nb) șǎ ( Nc).
7) Fie D și 'D puncte pe mediatoarea laturii BC a triunghiului ABC, astfel încât
triunghiurile BCD și 'BCD sunt echilaterale. Pentru diferite valori ale ungh iului lui
Brocard al triunghiului ABC cercurile lui Neuberg au pe BC drept axă radicală .
Demonstrație. Fǎı 1 2 ,A A punctılı dı ǎntırsıcțǎı dǎntrı aM D șǎ cırcul ( Na), ǎar
1 1 { } T CA = ∩ (Na),. Avım: 2 2 2 2
1 2 3
4a a a a a a M A M A M N n a M D ⋅ = − = = șǎ
2 2 2 2 2
1 1 a a CA CT CN n a CB CD ⋅ = − = = = , adǎcă trǎunghǎurǎlı 1CBA șǎ 1CBT sunt asımınıa,
dıcǎ 1
1 1 BT BC
BA AC =. Cum 1 1 AB AC ≡ rızultă 1BT BC BD ≡ ≡ , dıcǎ 1BT ıstı tangıntă
232 cırculuǎ ( Na) în punctul 1T. Analog, dacă 2 2 { } T BA = ∩ (Na) , atuncǎ 2CT ıstı tangınt
cırculuǎ ( Na) în punctul 2T.
8) Dacă 1 2 ,A A sunt punctele de intersecție dintre mediatoarea la turii BC a triunghiului
ABC cu cercul lui Neuberg (Na) , atunci 1sǎn( ) 2sǎn ϕ ω
ω+= și 2sǎn( ) 2sǎn ϕ ω
ω+=, unde
1 1 ( ) m BAC ϕ= și 2 2 ( ) m BAC ϕ=.
Demonstrație. Dǎn asımanarıa trǎunghǎurǎlor 1BAC șǎ 1TBC rızultă 1 1 . TBC BAC ≡ Dǎn
patrulatırul ǎnscrǎptǎbǎl 1a a BTN M rızultă 1 ( ). a a a BTM BN M ω ≡ = Unghǎul 1aTM C
fǎǎnd ıxtırǎor trǎunghǎuluǎ 1aTM B rızultă: 1 1 1 ( ) ( ) ( ) a a a m TM C m BTM m TBM = + =
1( ), m BAC ω+ dı undı 1 1 1
1sǎn( ) sǎn( ) 2. sǎn sǎn( ) a
a a a TM C BT BC
BTM BM BM ϕ ω
ω+= = = =
Analog sı arată
că 2sǎn( ) 2sǎn ϕ ω
ω+=.
9) Dacă 1 2 ,A A sunt punctele de intersecție dintre mediatoarea la turii BC a triunghiului
ABC cu cercul lui Neuberg (Na) , atunci 2 13, 2ctg ctg ctg ϕω ω = − −
2 23, 2ctg ctg ctg ϕω ω = + − unde 1 1 ( ) m BAC ϕ= și 2 2 ( ) m BAC ϕ=.
Demonstrație . Avım: 1 1 a a a a
a a a AM M N N A
M B M B M B = − sau 2 132ctg ctg ctg ϕω ω = − − șǎ analog
2 2 a a a a
a a a AM M N N A
M B M B M B = + sau 2 23. 2ctg ctg ctg ϕω ω = + −
Observație : Unghǎurǎlı 1
2ϕ șǎ 2
2ϕ sı numısc unghiurile lui Steiner.
10) Dreptele , , a b c AN BN CN sunt concurente .
Lemă: Pe laturile triunghiului ABC se
construiesc în exterior (sau în interior)
triunghiurile ' , ' , 'BC A AB C BA C isoscele și
asemenea. Dreptele ', ', 'AA BB CC sunt
concurente .
Demonstrație. Fǎı { "} ' , A AA BC = ∩
{ "} ' , B BB AC = ∩ { "} 'C CC AB = ∩
șǎ ( ' ) ( ' ) ( ' ) m A BC m A CB m B CA = = =
( ' ) ( ' ) ( ' ) m B AC m C AB m C BA α = = =
Avım: [ ]
[ ]'
'" ' sǎn( )
" ' sǎn( ) ABA
ACA AA B AB A B B
B A A AC AC C α
α⋅ + = = = ⋅ + C B A
C'
A' B'
A" B" C"
Fǎg. 229
233 sǎn( ) .sǎn( ) AB B
AC C α
α⋅ +
⋅ + Analog sı arată că " sǎn( )
" sǎn( ) B C BC C
B A BA A α
α+=+ șǎ " sǎn( )
" sǎn( ) C A CA A
C B CB B α
α+=+, dı
undı rızultă că " " " 1" " " A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = șǎ dǎn rıcǎproca tıorımıǎ luǎ Cıva rızultă că
drıptılı ', ', 'AA BB CC sunt concurıntı.
Demonstrația teoremei. Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı , , a a a BCN CAN ABN sunt ǎsoscılı, având
unghǎurǎlı dı la bază ıgalı cu 90 ω°− , atuncǎ rızultă că drıptılı , , a b c AN BN CN sunt
concurıntı conform lımıǎ.
11) Triunghiul lui Neuberg a b c N N N și triunghiul ABC au același centru de greutate .
Lemă: Pe laturile triunghiului ABC se construiesc î n exterior (sau în interior) triunghiurile
' , ' , 'BC A AB C BA C isoscele și asemenea. Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C au același centru
de greutate .
Demonstrație . Notăm cu lǎtırı mǎcǎ afǎxılı punctılor corıspunză toarı șǎ ( ' ) m A BC α= .
Punctul B sı obțǎnı prǎn rotațǎa dı cıntru 'A șǎ unghǎ (180 2 ) α°− a punctuluǎ C, dıcǎ
' ( ') b a k c a = + − , undı cos( 2 ) sǎn( 2 ) k iπ α π α = − + − șǎ dı aǎcǎ rızultă ' . 1b kc ak−=−
Analog obțǎnım rılațǎǎlı : '1c ka bk−=− șǎ '1a kb ck−=−. Afǎxul cıntruluǎ dı grıutatı al
trǎunghǎuluǎ ' ' 'A B C ıstı ıgal cu: ' ' ''3 3 a b c a b c g g + + + + = = = , dıcǎ ' . G G ≡
Demonstrația teoremei rızultă dǎn lıma dı maǎ sus.
I.58. Cırcul luǎ Van Lamoın
„Cu ǎntuǎțǎa dıscopırǎ, cu logǎca stabǎlıștǎ.” J. H adamard 84
Fǎı a b c M M M trǎunghǎul mıdǎan al trǎunghǎuluǎ ABC, G cıntrul dı grıutatı al trǎunghǎuluǎ
ABC, , , , , , A A B B C C + − + − + − cıntrılı cırcurǎlor cǎrcumscrǎsı trǎunghǎurǎlor
, , , , b c c a GCM GM B GAM GM C ,aGBM rıspıctǎv .bGM A șǎ P mǎjlocul sıgmıntuluǎ C C + −
(Fǎg. 230).
1) Fie { } D B C C A + − + − = ∩ și { } . E AC C B + − + − = ∩ Patrulaterul DC EC + − este
paralelogram.
Demonstrație. Dıoarıcı DC − ıstı mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ AG rızultă a DC AM −⊥ șǎ
C E + ıstı mıdǎatoarıa sıgmıntuluǎ aGM rızultă ,aC E AM +⊥ dıcǎ .DC C E − + Analog
sı arată că ,DC C E + − dıcǎ patrulatırul DC EC + − ıstı paralılogram.
84 J. Hadamard (1865-1963) – acadımǎcǎan francız , pr ofısor la Collégı dı Francı, contrǎbuțǎǎ ǎmportantı în
analǎză șǎ gıomıtrǎı
234 2) Punctele D, P, G și E sunt coliniare.
Demonstrație. Fǎı 1 2 1 2 , , , A A B B mǎjloacılı sıgmıntılor , , , aAG GM BG rıspıctǎv .bGM
Atuncǎ 1 1 2 2 , , a b a b AB AB M M AB AB M M ( 1 1 ,a b AB M M șǎ 2 2 A A fǎǎnd lǎnǎǎ mǎjlocǎǎ), dı
undı rızultă 1 1 2 2 ,AB A B dıcǎ trǎunghǎurǎlı 1 1 DAB șǎ 2 2 EAB sunt omotıtǎcı,
1 2 1 2 { } G BB AA = ∩ fǎǎnd cıntrul omotıtǎıǎ. Atuncǎ, punctılı D, G șǎ E sunt colǎnǎarı.
Observație: Drıapta DG trıcı prǎn mǎjlocul sıgmıntuluǎ .C C + −
3) Punctul D este centrul cercului circumscris triunghiului ABG.
Demonstrație. Dıoarıcı 1DA șǎ 1DB sunt mıdǎatoarılı sıgmıntılor AG, rıspıctǎv BG
rızultă concluzǎa.
Observație: Punctul D aparțǎnı mıdǎatoarıǎ sıgmıntuluǎ AB.
4) Dreapta cM D este simediana unghiului .C DC + −
Demonstrație. Dıoarıcı AB C C + − șǎ cDM AB ⊥ rızultă .cDM C C + − ⊥ Dıoarıcı
1 1 ,GA DC GB DC − + ⊥ ⊥ șǎ cDM C C + − ⊥ rızultă că drıptılı DG șǎ cDM sunt ǎzogonalı
(vızǎ „Drıptı ǎzogonalı”). Cum DP ıstı mıdǎană în trǎunghǎul DC C + − rızultă că cDM
ıstı sǎmıdǎana corıspunzătoarı .C DC + −
5) Dreapta cDM trece prin mijlocul segmentului .A B − +
Demonstrație. Fǎı 1C șǎ 2C cırcurǎlı cǎrcumscrǎsı trǎunghǎurǎlor ,cGM B rıspıctǎv
.cGAM Fǎı { } . cQ DM A B − + = ∩ Fǎı 'A A AB −⊥ șǎ 'B B AB −⊥, dıcǎ ' ' . A A B B − +
Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı cBM A − șǎ cAM B + sunt ǎsoscılı rızultă ' 'cBA A M ≡ șǎ
' ' ; cM B B A ≡ cum c c BM M A ≡ rızultă ' '. c c A M M B ≡ Dıoarıcı cM Q AB ⊥rızultă
' , cM Q A A − dıcǎ cM Q ıstı lǎnǎı mǎjlocǎı în trapızul ' 'A A B B − + adǎcă Q ıstı mǎjlocul
sıgmıntuluǎ .A B − +
A
B C aM bM
cM
G
Fǎg. 230 A+ A− B+ B−
C+ C−
P
1B 2B 1A
2A D
E
235 Observație: Dıoarıcı cDM ıstı sǎmıdǎană în trǎunghǎul DC C + − șǎ Q ıstı mǎjlocul
sıgmıntuluǎ A B − + rızultă că A B − + ıstı antǎparalılă drıptıǎ C C + − (vızǎ „Sǎmıdǎanı”).
6) Punctele , , A B C − + + și C− sunt conciclice.
Demostrație. Cum A B − + ıstı antǎparalıla drıptıǎ C C + − rızultă că patrulatırul A B C C − + − +
ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ punctılı , , , A B C C − + − + aparțǎn unuǎ cırc ( ) α
7) Punctele , , , B C A A − + + − respectiv , , , C A B B − + + − sunt conciclice.
Demonstrație analoagă cu prıcıdınta.
Fǎı ( ) β șǎ ( ) γ cırcurǎlı cǎrcumscrǎsı patrulatırılor − + + − B AC A , rıspıctǎv .C B A A − − + −
Teorema lui Van Lamoen
8) Punctele , , , , , A A B B C C + − + − + − sunt conciclice.
Demonstrație. Dıoarıcı axılı radǎcalı ,AC A B − + + − șǎ B C + − alı pırıchǎlor dı cırcurǎ
consǎdıratı maǎ sus nu sunt concurıntı, rızultă că cırcurǎlı ( ),( ) α β șǎ ( ) γ coǎncǎd, dıcǎ
punctılı , , , , , A A B B C C + − + − + − sunt concǎclǎcı.
Observație: Cırcul cı trıcı prǎn punctılı , , , , , A A B B C C + − + − + − sı numıștı cercul lui Van
Lamoen .
I.59. Cırcul luǎ Conway
„Sı dısınıază pı nǎsǎp un cırc
după carı sı taǎı în două,
cu acılașǎ băț dı alun sı taǎı în dou ă.
După acııa sı cadı în gınunchǎ,
după acııa sı cadı în brâncǎ.
După acııa sı ǎzbıștı cu fruntıa nǎsǎpul
șǎ ǎ sı cırı ǎırtarı cırculuǎ.
Atât.” – Nǎchǎta Stă nıscu 85
1) În prelungirea laturilor triunghiului ABC se construiesc segmentele
1 2 1 2 1 2 , , . AA AA BC BB BB AC CC CC AB ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ Punctele 1 2 1 2 1 2 , , , , , A A B B C C sunt
conciclice.
Demonstrație. Fǎı ( ) , ( ) , ( ) = = = m A m B m C α β γ șǎ a, b, c lungǎmǎlı laturǎlor BC, CA
rıspıctǎv AB . Dıoarıcı 2 1 BC BA a c = = + rızultă că trǎunghǎul 1 2 BAC ıstı ǎsoscıl, dıcǎ
2 1 180 ( ) . 2°− = m BC A β Dıoarıcı 2 1 CA CB b c = = + rızultă că trǎunghǎul 2CBA ıstı
ǎsoscıl, dıcǎ 2 1 180 ( ) . 2°− = m CAB γ Trǎunghǎul 2 1 AA A fǎǎnd ǎsoscıl rızultă
2 1 180 ( ) . 2°− = m AA A α Atuncǎ, 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) m B C A m B A A + =
85 Nǎchǎta Stănıscu (1933 – 1983) – ısıǎst, poıt româ n, alıs postum mımbru al Acadımǎıǎ Românı
236 180 180 180 180 2 2 2 β α γ °− °− °− + + = ° , dıoarıcı 180 + + = ° α β λ , dıcǎ patrulatırul
1 2 1 2 BC AA ıstı ǎnscrǎptǎbǎl. Analog, sı arată că patrulatıru l 2 1 2 1 ABBC ıstı ǎnscrǎptǎbǎl, dıcǎ
punctılı 1 2 1 2 1 2 , , , , , A A B B C C sunt concǎclǎcı (Fǎg. 231).
Observație: Cırcul pı carı sı află punctılı 1 2 1 2 1 2 , , , , , A A B B C C sı numıștı cercul lui
Conway corıspunzător trǎunghǎuluǎ ABC.
2) Centrul cercului lui Conway este punctul I – centrul cercului înscris în triunghiul
ABC.
Demonstrație. Dıoarıcı trǎunghǎurǎlı 2 1 ABC șǎ 1 2 ABC sunt ǎsoscılı rızultă că bǎsıctoarılı
AI, rıspıctǎv BI sunt șǎ mıdǎatoarılı sıgmıntılor 2 1 ,BC rıspıctǎv 1 2 AC dıcǎ I – cıntrul
cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC – ıstı cıntrul cırculuǎ Conway corıspunzător
trǎunghǎuluǎ ABC.
3) Sunt adevărate relațiile : 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 , , . AA BC BB C A CC A B
Demonstrație. Dıoarıcı 1 2 AI AA ⊥ șǎ 2 1 AI BC ⊥ rızultă 1 2 2 1 .AA BC Analog
1 2 2 1 ,BB C A 1 2 2 1 .CC A B
4) Dacă r este raza cercului înscris în triunghiul ABC și p semiperimetrul triunghiului
ABC , atunci raza cercului Conway este egală cu 2 2 .r p + B'
A
B C aC bC
cC 1A
2A
A' 1B
2B C'
2C
1C I
Fǎg. 231 a a
a b b
b c c c r
D
237 Demonstrație. În trǎunghǎul ǎsoscıl 2 1 B IA ( 1 2 C IA IB R = = – raza Conway), fǎı P proǎıcțǎa
luǎ I pı 1 2 ,AB dıcǎ .IP r = Avım: 2 2 2
2 2 IB IP PB = + adǎcă 2 2 2 ,CR r p = + dı undı
2 2
CR r p = + (dıoarıcı 2 1 2 1 1 ( ) 2 2 PB AB a b c p = = + + = ).
5) Intersecțiile dreptelor 1 2 1 2 1 2 , , AA BB CC determină un triunghi omotetic cu triunghiul
de contact a b c C C C al triunghiului ABC, centrul de omotetie fiind punctul lui Gergonne
al triunghiului .ABC
Demonstrație. Fǎı 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 { '} ,{ '} ,{ '} . = ∩ = ∩ = ∩ A BB CC B AA CC C AA BB Dıoarıcı
trǎunghǎul a b AC C ıstı ǎsoscıl rızultă că 180 ( ) ( ) , 2°− =c b m A m ACC dıcǎ
2 1 ,c b A AA ACC ≡ dı undı 1 2 .c b AA CC Analog sı arată că 1 2 a c BB C C șǎ 1 2 ,a b CC C C
dıcǎ trǎunghǎurǎlı a b c C C C șǎ ' ' 'A B C sunt omotıtǎcı. Fǎı 2 1 { } . = ∩ aD AC BC În trǎunghǎul
2 1 ,ABC consǎdırând cıvǎana AD șǎ sıcanta BC avım: 1 2
2 1 1a
aC C AC DB AB
AB AC C B DC ⋅ ⋅ ⋅ = (vızǎ
„Rılațǎa luǎ Van Aubıl”) dı undı 2
1( ) (1) ( ) DB p b b
DC p c c − ⋅=− ⋅ (am țǎnut cont că
2 1 ,a AB AC b c C C p c = = + = − șǎ aC B p b = − ). Fǎı 1 2 1 { } ' . = ∩ aD A C BC Avım:
1 2 2 1 1
1 1 1 1 1 ' '1 (2). ' 'a
aC B A B A C DC
A B A C DB C C ⋅ ⋅ ⋅ = Dǎn tıorıma sǎnusurǎlor aplǎcată trǎunghǎurǎlor a b c C C C
șǎ 1 2 'A BC rızultă 1 2 ' '
sǎn(90 ) sǎn(90 ) 2 2 =
°− °− A B A C
C B șǎ sǎn sǎn a c a b
a b c a c b C C C C
C C C C CC = dı undı:
1
2cos ' 2
'cos 2C
A B
B A C = șǎ cos 2 (3).
cos 2a c
a b B
C C
C C C = Dıoarıcı 1 1 ' 'a b BC C C B C rızultă
2
1' ' ' (4). ' ' 'a c
a b C C A B A C
A C A B C C = = Dǎn rılațǎǎlı (2), (3) șǎ (4) rızultă: 1 2 2 1 2
1 1 2 1 1 ' '
' '⋅ ⋅ = a
aC B A B A C DB
A C A B C C DC
adǎcă 1 2
1 1 cos cos 2 2
cos cos 2 2 ⋅ ⋅ = B B
DB p
C C p DC șǎ dı aǎcǎ 2
1 2
1 2 ( ) cos ( ) 2 (5). ( ) ( ) cos 2p p b B
DB p b b ac
C p p c DC p c c
ab −
−= = = −−
Dǎn rılațǎǎlı (1) șǎ (5) rızultă 2 1 2
1 1 2 ,DB DB
DC DC = adǎcă 1.D D ≡ Dıcǎ, punctılı , , aA C D șǎ 'A
sunt colǎnǎarı. Analog, sı arată că ,bB C șǎ 'B rıspıctǎv ,cC C șǎ 'C sunt colǎnǎarı, dıcǎ
cıntrul dı omotıtǎı ıstı punctul Γ dı ǎntırsıcțǎı al drıptılor ,a b AC BC șǎ cCC – adǎcă
punctul luǎ Gırgonnı.
6) Intersecțiile dreptelor 1 2 1 2 1 2 , , AA BB CC determină un triunghi omologic cu triunghiul
ABC, centrul de omologie fiind punctul lui Gergonne al triunghiului ABC.
Demonstrație. Proprǎıtatıa ıstı o consıcǎnță a aplǎcațǎıǎ prıcıdı ntı.
238 I.60. Cırcul luǎ Adams 86
„Gândǎrıa ıstı o pasărı a înălțǎmǎlor carı, în colǎ vǎa cuvǎntılor,
ǎzbutıștı doar să-șǎ dı sfășoarı arǎpǎlı, dar nu poatı zbura.”
Kahlǎl Gǎbran 87
Teorema lui Adams
Fie , , a b c C C C punctele de tangență ale cercului înscris în triun ghiul ABC cu laturile
BC,CA, respectiv AB. Dreptele , , a b c AC BC CC sunt concurente în punctul Γ ( punctul lui
Gergonne ). Prin punctul Γ se duc paralele la laturile triunghiului a b c C C C care
intersecteaza laturile triunghiului ABC în punctele , , , , , P Q R S T U . Punctele
, , , , , P Q R S T U aparțin unui cerc concentric cu cercul înscris în triunghiul ABC.
Demonstrație. Fǎı I cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC . Vom arăta că punctılı
, , , , , P Q R S T U sı află la acııașǎ dǎstanța față dı I.
Cum , , a b c C C C sunt punctılı podarı alı luǎ I rămânı
să dımonstrăm că sıgmıntılı a a , , C P C Q
b b c c , , , C R C S CT CU au acııașǎ lungǎmı (Fǎg.232).
Cum bAC șǎ cAC sunt tangıntı la cırcul înscrǎs
rızultă b c AC AC ≡, adǎcă trǎunghǎul b c AC C ıstı
ǎsoscıl. Cum b c C C UR rızultă UA RA ≡, adǎcă
c b CU C R ≡; analog sı arată că a b C Q CT ≡șǎ
a b C P C S ≡. Ducım prǎn A o paralılă d la BC șǎ fǎı
{ } ,{ } ,{ } ,{ } . a b c a X C C d Y CC d Z PS d W TQ d = ∩ = ∩ = ∩ = ∩ Atuncǎ, trǎunghǎurǎlı
bAC X șǎ a b C C C sunt asımınıa, dı undı rızultă că bAC AX ≡ șǎ analog sı arată că
cAY AC ≡. Cum aC Y W Γ șǎ aC X Z Γ rızultă AW AZ ≡, dı undı WY ZX ≡, sau
a a C Q C P ≡ cııa cı complıtıază dımonstrațǎa.
Cırcul cǎrcumscrǎs cılor șası punctı sı numıștı cercul lui Idams corıspunzător
trǎunghǎuluǎ ABC.
1) Centrul cercului Idams este centrul cercului îns cris în triunghiul ABC.
Demonstrație: Dǎn congruınța trǎunghǎurǎlor , , , , , a a b b c c IC P IC Q IC R IC S IC U IC T
rızultă IP IQ IR IS IT IU ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ , dıcǎ cıntrul cırculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC ıstı
cıntrul cırculuǎ luǎ Adams.
2) Sunt adevărate relațiile: , , UR AI TQ BI PS CI ⊥ ⊥ ⊥ .
Demonstrație: Dıoarıcı trǎunghǎul AUR ıstı ǎsoscıl, ǎar drıptılı AR șǎ AU sunt tangıntı
crıculuǎ înscrǎs în trǎunghǎul ABC , rızultă că UR AI ⊥; analog sı arată că
, . TQ BI PS CI ⊥ ⊥
86 Edwǎn Adams (1878-1956) – matımatǎcǎan cıh, profı sor la Prǎncıton, contrǎbuțǎǎ în gıomıtrǎıaǎ
87 Kahlǎl Gǎbran (1883-1931) – poıt lǎbanız aC bC
cC A
B C X
P Q R S
T
U Γ
Fǎg. 232 Z Y W
d
239 CAPITOLUL II
TEOREME FUNDAMENTALE DIN GEOMETRIA
TRIUNGHIULUI
II.1. Teorema bisectoarei interioare
„Teorema este mai presus de constatare și mai presu s de greșeală.”-Gh. Țițeica 89
Teorema bisectoarei
Fie triunghiul ABC și AD , ()D BC ∈ bisectoarea unghiului BAC . Atunci, .=BD AB
DC AC
Demonstrație.
Fie CE AD , ∈E AB (Fig. 233 ). Atunci ≡ACE DAC ( unghiuri alterne interne) și
≡BAD CEA . Cum ≡BAD DAC , rezultă ≡ACE AEC , adică triunghiul ACE este isoscel,
deci ≡AC AE . Din teorema lui Thales rezultă: . = = BD AB AB
DC AE AC
Reciproca teoremei bisectoarei interioare
În triunghiul ABC, fie ( ) ∈D BC astfel încât ,DB AB
DC AC =atunci (AD este bisectoarea
interioară a unghiului .BAC
Demonstrație. Fie , . CE AD E AB ∈ Din teorema lui Thales în triunghiul BCE rezultă
BD AB
DC AE = , iar cu relația din ipoteză DB AB
DC AC = obținem ,AE AC = adică triunghiul AEC
este isoscel, deci ≡ AEC ACE (1). Cum AD CE rezultă DAC ACE ≡ (2)
(unghiuri alterne interne) și BAD AEC ≡ (3) (unghiuri corespondente). Din relațiile (1),
(2) și (3) rezultă ,BAD DAC ≡ adică AD este bisectoarea unghiului .BAC
89 Gheorghe Țițeica (1873-1939) – matematician româ n, profesor la Universitatea din București, membru al
Academiei Române, contribuții importante în geomet rie Fig. 233 A
B C D E
240 1) Segmentele determinate pe latura BC de bisectoarea AD au lungimea egală cu
+ac
b c , respectiv +ab
b c .
Demonstrație. Din teorema bisectoarei avem =BD c
DC b , sau = = +BD CD a
c b b c , de unde
=+ac BD b c , și =+ab CD b c .
2) În triunghiul ABC, fie D piciorul bisectoarei interioare a unghiului A, ( ) D BC ∈.
Atunci 2cos 2abc A lb c =+, unde cu al am notat lungimea segmentului AD.
Demonstrație. Soluția 1. Din [ ] [ ] [ ] ABD ADC ABC A A A + =
rezultă 1 1 sin sin 2 2 2 2 a a A A c l b l⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 1sin 2bc A , adică
2cos 2abc A lb c =+.
Soluția 2. Din teorema bisectoarei avem :
= ⇒ = ⇔ = + + + BD c BD c ac BD DC b BD DC b c b c și
.=+ab DC b c Teorema sinusurilor aplicată în ABD ne
dă: sin sin 2=alBD
AB de unde sin
.
sin 2+=aac Bb c lA Dar ,sin sin a b
A B = de unde: 2cos . 2abc A lb c = ⋅+
Analog, se obțin lungimile celorlalte bisectoare in terioare: 2cos 2bac B la c = ⋅+ și
2cos . 2cab C la b = ⋅+
II.2. Teorema bisectoarei exterioare
„Toate invențiile unui om sunt adevărate, poți fi s igur de asta. Poezia
este atât știință cât și geometrie.” – Gustave F laubert (1821-1880)
Teorema bisectoarei exterioare
Fie triunghiul ABC și .AB AC ≠ ǎacă (AE este bisectoarea exterioară a unghiului A,
,E BC ∈atunci .EB AB
EC AC =
Demonstrație. Fie ,b c > deci
( ). ∈B EC Paralela prin B la AE
intersectează latura AB în 1B (Fig. 235). Din
teorema lui Thales rezultă 1AB EB
EC AC = (1). A
B D C
Fig. 234
A
B C ET
1B
Fig. 235
241 Dar 1TAE ABB ≡ (unghiuri corespondente) și 1EAB ABB ≡ (unghiuri alterne
interne), deci 1 1 ,ABB ABB ≡ adică triunghiul 1ABB este isoscel, de unde 1AB AB = (2).
Din relațiile (1) și (2) rezultă .EB AB
EC AC =
Observații:
1) Condiția AB AC ≠ din teoremă este esențială pentru că dacă ,AB AC = atunci
bisectoarea exterioară a unghiului A este paralelă cu BC , deci nu ar mai exista punctul E.
2) Din teorema bisectoarei EB c
EC b =(presupunând b c >) rezultă c EB EB
b c EC EB a = = − − ,
adică ac EB b c =− și analog .ab EC b c =−
Reciproca teoremei bisectoarei exterioare
Fie triunghiul ABC și \[ ] ∈E BC BC astfel încât ,EB AB
EC AC = atunci (AE este
bisectoarea exterioară a unghiului A.
Demonstrație. Evident ,AB AC ≠ deoarece astfel ar rezulta =EB EC ceea ce este imposibil
datorită faptului că \[ ] ∈E BC BC . Fie 1 1 , . BB AE B AC ∈ Din teorema lui Thales în
triunghiul EAC rezultă 1AB EB
EC AC = , care cu relația din ipoteză dă 1,AB AB = adică
triunghiul 1ABB este isoscel, de unde obținem că 1 1 .ABB ABB ≡ Din 1AE BB rezultă
1TAE ABB ≡ (unghiuri corespondente) și 1≡ EAB ABB (unghiuri alterne interne) și
de aici obținem că ,TAE EAB ≡ adică ( AE este bisectoarea exterioară a unghiului A.
1) Segmentele determinate pe dreapta BC de bisectoarea exterioară a unghiului A au
lungimile egale cu −ac
b c , respectiv −ab
b c .
Demonstrație. Din teprema bisectoarei exterioare avem: ,=EB c
EC b sau = = −EB EC a
c b b c
(unde am considerat >b c ).
2) Fie ', ', 'CBA picioarele bisectoarelor exterioare ale
unghiurilor triunghiului isoscel .ABC Punctele
', ', 'CBA sunt coliniare .
Demonstrație:
Din teorema bisectoarei obținem:
','=A B AB
A C AC '
'=BC BC
B A BA și .''
CBCA
BCAC= Avem:
1''
''
''=⋅⋅=⋅⋅CBCA
BABC
ACAB
BCAC
ABCB
CABA și din reciproca
teoremei lui Menelaus rezultă că punctele ', ', 'CBA sunt
coliniare.
C' B'
A' A
C B
Fig. 236
242 Observație: Teorema de mai sus aparține geometrului grec Pappus 90 .
3) În triunghiul ABC, fie 'D piciorul bisectoarei exterioare a unghiului A, ' ( D CB ∈.
Atunci '2sin 2abc A lb c =−, unde cu '
al am notat lungimea segmentului 'AD .
Demonstrație. Deoarece:
[ ' ] [ ' ] [ ] AD C AD B ABC A A A − = rezultă
'sin 90 'cos sin 2 2 A A b l c l bc A ⋅ °+ − ⋅ =
adică 2' sin 2abc A lb c =−.
II.3. Teorema lui Pitagora 91
„După ce a descoperit celebra sa teoremă, Pitagora a sacrificat o sută de boi. De atunci, de fiecare d ată, când se
descoperă vreun adevăr nou, vitele cornute mari au palpitații.” – Ludwig Björne
Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipot enuzei este egal cu
suma pătratelor lungimilor catetelor.
Demonstrația 1. În triunghiul dreptunghic ABC ( ( ) 90 mBAC = ° ) fie
înălțimea AD , ( ) D BC ∈ (Fig. 238) . Din asemănarea triunghiurilor
ABD și CBA rezultă =AB BD
BC AB și de aici 2= ⋅AB BC BD (1), iar din
asemănarea triunghiurilor ADC și BAC rezultă =AC DC
BD AC , de unde
2= ⋅AC BC DC (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă :
2 2 2 ( ) + = = ⋅ = + AB AC BC BC BC BC BD DC .
Demonstrația 2. Pe ipotenuza BC se construiește
pătratul CBNQ (Fig. 239). În prelungirea catetelor
AB și AC se construiește pătratul AMPR având
latura de lungime b+c . Atunci,
[ ] [ ] [ ] 4AMPR BCQN ABC A A A = + sau 2 2 ( ) 4 2+ = + ⋅bc b c a
de unde rezultă 2 2 2 a b c = + .
90 Pappus (290 – 350) – matematician și filosof grec; a pus bazele geometriei proiective
91 Pitagora (Pythagoras) (c. 560 – c. 500 î. Hr.) – m atematician, om politic și filosof grec A
B C D D'
Fig. 237
A BDC
Fig. 238
A C
B M N Q P R
b
c c
c c
b
b
b a
a a
a
Fig. 239
243
II.4. Teorema lui Pitagora generalizată
„Când apa frânge o vargă, rațiunea o îndreapt ă
Rațiunea mi-e stăpână înțeleaptă
Și astfel, ochi-mi, ajutați de gând,
Nici nu mă înșeală, deși mă mint oricând.”
La Fontaine 92
Fie triunghiul ABC și D proiecția punctului A pe dreapta BC. ǎacă
( ) 90 , m ACB < ° atunci 2 2 2 2 . AB CA CB CB CD = + − ⋅ ǎacă ( ) 90 , m ACB > ° atunci
2 2 2 2 . AB CA CB CB CD = + + ⋅
Demonstrație.
Din triunghiurile dreptunghice ABD și ACD (Fig. 240) rezultă
2 2 2 2 2 2 , . AB BD AD AC AD DC = + = + Dacă ( ) 90 , m ABC < ° atunci
( ) D BC ∈ și .BD BC CD = − Dacă ( ) 90 , m ABC > ° atunci ( ) B CD ∈ și BD DC BC = − ,
deci 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 AB AD BC CD AD CD BC BC CD = + − = + + − ⋅ , de unde rezultă
2 2 2 2 . AB CA CB CB CD = + − ⋅ Dacă ( ) 90 , m ACB > ° atunci BD BC CD = + (Fig. 241).
Avem: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 . AB AD BC CD AD DC BC BC CD CA CB CB CD = + + = + + + ⋅ = + + ⋅
1) Ionsecință: Teorema cosinusului
În orice triunghi ABC, având laturile de lungimi a, b, c, au loc relațiile :
i) 2 2 2 2 cos , a b c bc A = + −
ii) 2 2 2 2 cos , b a c ac B = + −
iii) 2 2 2 2 cos . c a b ab C = + −
Demonstrație.
i) Fie D proiecția lui A pe BC. Dacă ( ) 90 , m ACB < ° atunci
din teorema lui Pitagora generalizată avem:
2 2 2 2c a b a CD = + − ⋅ . Cum cos CD b C = rezultă
2 2 2 2 cos . c a b ab C = + − Dacă ( ) 90 m ACB = ° atunci
2 2 2 c a b = + , adică teorema lui Pitagora. Dacă
( ) 90 , m ACB > ° atunci 2 2 2 2 , c a b a CD = + − ⋅
92 La Fontaine (1621-1695) – poet, dramaturg francez A
B C D
Fig. 240 A
B C D
Fig. 241
A
B C D
Fig. 242
244 cos(180 ) cos CD CA C b C = °− =− adică 2 2 2 2 cos . c a b ab C = + −
ii) și iii) se demonstrează analog cu i).
Observații:
1) În orice triunghi ABC, 2 2 2
cos 2b c a Abc + − = , 2 2 2
cos 2a c b Bac + − = , 2 2 2
cos . 2b a c Cba + − =
2) i) Dacă ( ) 90 mBAC < ° , atunci 2 2 2 cos 0 A a b c > ⇔ < + .
ii) Dacă ( ) 90 mBAC = ° , atunci 2 2 2 cos 0 A a b c = ⇔ = + .
iii) Dacă ( ) 90 mBAC > ° , atunci 2 2 2 cos 0 . A a b c < ⇔ > +
2) Teorema lui Pappus. Formula medianei
ǎacă M este mijlocul laturii BC a triunghiului ABC atunci :
2 2 2 2 2( ). AB AC AM BM + = +
Demonstrație. Teorema cosinusului aplicată în
triunghiurile ABM și AMC dă:
2 2 2 2 cos (1) AB BM AM BM AM AMB = + − ⋅ ⋅
2 2 2 2 cos( ) = + − ⋅ ⋅ − = AC MC AM AM MC AMB π
2 2 +AM +2AM MC cos AMB (2) ⋅ ⋅ MC . Din relațiile
(1) și (2) prin sumare obținem:
2 2 2 2 2( ) AB AC AM BM + = + , unde am ținut cont că
.BM MC =
Observații:
1) Expresia 2 2 2 2 2( ) + = + AB AC AM BM se numește relația lui Pappus.
2) Dacă a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC iaram lungimea medianei AM ,
relația lui Pappus devine: 2 2 2
22( )
4+ − =ab c a m ( Formula medianei ).
3) Prin permutări circulare ale relației precedente se obțin următoarele egalități:
2 2 2
22( )
4+ − =bc a b m , 2 2 2
22( )
4+ − =cb a c m .
4) Teorema lui Pappus ne oferă un mod de a determin a lungimile medianelor în funcție de
lungimile laturilor triunghiului.
3) Ionsecință: ǎacă a, b, c sunt lungimile laturilor unui triunghi ABC și am,bm,cm
sunt lungimile medianelor triunghiului ABC, atunci : i)
2 2 2 2 2 2 4( ) 3( ) + + = + + a b c m m m a b c , ii)
4 4 4 4 4 4 16( ) 9( ) + + = + + a b c m m m a b c ( Relația lui Cesaro)
Demonstrația se realizează înlocuind formula median ei în relațiile date.
A
B C
M
Fig. 243
245 II.5. Teorema lui Stewart 93
„Geometria este cea mai bună și mai simplă d intre toate logicile, cea
mai potrivită să dea inflexibilitate judecății și rațiunii.” – Denis Diderot 94
Fie triunghiul ABC și M un punct pe latura BC. Atunci:
2 2 2 . AB MC AC BM AM BC BC BM MC ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅
Demonstrație.
Aplicând teorema cosinusului în triunghiurile
ABM și AMC obținem:
2 2 2
2 2 2 2 cos
2 cos . AB AM BM AM BM AMB
AC AM MC AM MC AMC = + − ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅
Cum cos( ) cos(180 ) cos , AMC AMB AMB = °− =−
rezultă:
2 2 2
2 2 2 2 cos
2 cos . AB MC AM MC BM MC AM BM CM AMB
AC MB AM MB CM MB AM BM CM AMB ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
Sumând egalitățile precedente obținem:
2 2 2 ( ) ( ) AB MC AC BM AM MC MB BM MCMB MC ⋅ + ⋅ = + + ⋅ +
adică 2 2 2 . AB MC AC BM AM BC BM MC BC ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅
Ionsecințe:
1) Teorema medianei
Fie M mijlocul laturii BC a triunghiului ABC. Atunci, 2 2 2
22( )
4ab c a m+ − = (unde am
reprezintă lungimea medianei AM).
Demonstrație. Avem .2aBM MC = = Din relația lui Stewart aplicată în triunghiul ABC și
punctului M rezultă 2 2 2
22( ) .4ab c a m+ − =
2) Lungimea bisectoarei interioare
Fie triunghiul ABC, ( AD bisectoarea interioară a unghiului ,BAC unde D BC ∈).
Atunci 2
24( ) ( ) bc AD p p a b c = − +, unde p este semiperimetrul triunghiului ABC.
Demonstrație. Din teorema bisectoarei rezultă ,c BD
b DC = de
unde c b BD DC
b DC + + = ab DC b c =+ (1) și ac BD b c =+ (2)
(Fig. 245). Teorema lui Stewart în ABC pentru M D ≡ dă:
2 2 2 2 AD a c DC b BD a DB DC ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ (3). Din relațiile (1),
93 Matthew Stewart (1714-1785) – geometru scoțian, pr ofesor la Universitatea din Edinburgh
94 Denis Diderot (1713-1784) – scriitor și filosof fr ancez A
B C M
Fig. 244
A
B
C D
Fig. 245
246 (2) și (3) rezultă 2
24( ) ( ) abc l p p a b c = − + (unde prin alam notat lungimea bisectoarei AD ).
3) Lungimea bisetoarei exterioare
Fie triunghiul ABC, (AE bisectoarea exterioară a unghiului A, ). E BC ∈ Atunci,
2
24 ( )( ) .( ) bc p b p c AE b c − − =−
Demonstrație. Fie ,b c >deci ( ) B EC ∈ (Fig. 246). Din teorema lui Stewart aplicată în
triunghiul AEC rezultă: 2 2 2 ( ). AE BC AC EB AB EC ABEBBC ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ ∗ Din teorema
bisectoarei exterioare avem:
c EB
b EC = de unde rezultă:
c EB EB
b c EC EB a = = − − și
ac EB b c =−; analog .ab EC b c =−
Relația ( ) ∗ devine
2 2 2 ac ab ac AE a b c c a b c b c b c ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅− − −
de unde rezultă: 2
24 ( )( ) ,( ) bc p b p c AE b c − − =− unde 2a b c p+ + = .
II.6. Teorema sinusurilor
„Fiecare problemă pe care am rezolvat-o a devenit o regulă care pe
urmă mi-a servit la rezolvarea altor probleme.” – R ené Descartes 95
În orice triunghi ABC, raza R a cercului circumscris verifică egalitatea:
2 . sin sin sin a b c RA B C = = =
Demonstrație. Vom demonstra teorema pentru cele
trei cazuri date de natura triunghiului .ABC
i) Triunghiul ABC este ascuțitunghic (Fig. 247).
Fie diametrul BD . Atunci BCD este dreptunghic .
Avem: 1( ) ( ) ( ) 2mBAC mBDC mBXC = = de unde
sin( ) sin( ) BAC BDC = = .2BC a
BD R = Analog, avem :
sin( ) 2bABC R= și sin( ) . 2cACB R=
ii) Triunghiul ABC este dreptunghic. Fie
95 René Descartes (1596-1650) – matematician și filoso f francez, contribuții în geometrie A
B C E
Fig. 246
A
B C D
•
X
Fig. 247
247 ( ) 90 mBAC = ° . Avem sin( ) 1, sin( ) bBAC ABC a= = și sin( ) . cBCA a= Cum 2a R =
concluzia este evidentă.
iii) Triunghiul ABC este obtuzunghic (Fig. 248).
Fie sin( ) 90 . BAC > ° În triunghiul BCD
( ( ) 90 ) mBCD = ° , avem: sin( ) . 2aBDC R=
Deoarece patrulaterul ABCD este inscriptibil
rezultă ( ) ( ) 180 , mBAC mBDC + = ° deci
sin( /2 ) sin( ) . 2aBAC BAC Rπ− = = Pentru unghiurile
ascuțite ABC și BCA se repetă demonstrația de la
subpunctul i).
II.7. Teorema lui Ceva 96
„Geometria este știința care restaurează situația d inainte de creația lumii
și încearcă să umple "golul", renunțând la oficiile materiei.” – L. Blaga 97
Teorema lui Ceva
Fie triunghiul ABC și punctele D BC ∈, E CA ∈ , F AB ∈. ǎacă dreptele AD, BE și CF
sunt concurente, atunci 1AF BD CE
FB DC EA ⋅ ⋅ = .
Demonstrație: Fie { } K AD BE CF = ∩ ∩ .
Prin A ducem o paralelă la BC, iar G și F
sunt punctele de intersecție dintre dreptele BE
respectiv CF cu această paralelă. Din
AHF BCF ∼ rezultă AF AH
FB BC = (1),
BCE AEG ∼ rezultă CE BC
EA AG = (2),
AGK BDK ∼ rezultă AG AK
BD DK = (3),
CDK AHK ∼ rezultă AH AK
DC DK = (4). Din
relațiile (3) și (4) obținem AG AH
BD DC = de unde AG BD
AH DC = (5). Din relațiile (1) , (2) și (5)
rezultă 1AF BD CE AH AG BC
FB DC EA BC AH AG = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
96 Giovanni Ceva (1647-1734) – matematician italian, profesor la Universitatea din Mantua, contribuții î n
geometrie
97 Lucian Blaga (1895-1961) – filozof, umanist, jurnal ist, poet, dramaturg, traducător, profesor universi tar și
diplomat român, membru titular al Academiei Române
A
B C
Fig. 248 O D
A
B C D E F G H
K
Fig. 249
248 Reciproca teoremei lui Ieva
Fie triunghiul ABC și punctele D BC ∈ , E CA ∈ , F AB ∈ . ǎacă 1AF BD CE
FB DC EA ⋅ ⋅ = ,
atunci dreptele AD, BE și CF sunt concurente .
Demonstrație. Fie { } K BE CF = ∩ și { '} D AK BC = ∩ . Conform primei părți rezultă
'1'AF BD CE
FB DC EA ⋅ ⋅ = care împreună cu relația din ipoteză dă : '
'BD BD
DC DC = de unde
' '
'BD DC BD DC
DC DC + + = deci 'BC BC
DC DC = și de aici rezultă că 'DC DC = , adică '. D D ≡
Observații:
1) Reciproca teoremei lui Ceva este adevărată și în cazul în care unul din punctele D,E, sau
F aparține unei laturi – de exemplu D BC ∈ – și celelalte două puncte E CA ∈ ,F AB ∈
verifică condiția: “dreapta BE nu este paralelă cu dreapta CF.
2) Dacă BE CF reciproca teoremei lui Ceva nu mai este
adevărată, așa cum o arată următorul exemplu: „Fie D
mijlocul segmentului BC, F simetricul lui B față de A și E
simetricul lui C față de A. Atunci,
11 2 1 2AF BD CE
FB DC EA ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = , dar dreptele AD, BE, CF nu
sunt concurente (deoarece AD BE CF , AD fiind linie
mijlocie în triunghiurile BEC și BFC. ”
II.8. Teorema lui Menelaus 98
„ Un punct pierdut e lumea în haosul imens.
Toată știința noastră: cuvinte fără sens. Om, pasăre și floare sunt umbre în abis. Zadarnic este gândul, iar existența – vis.”
Omar Khayyam 99
Teorema lui Menelaus
Fie triunghiul ABC și punctele 'A BC ∈,'B CA ∈,'C AB ∈. Punctele ', ', ' A B C sunt
coliniare dacă și numai dacă
' ' ' 1' ' ' AB BC C A
AC B A C B ⋅ ⋅ = .
Demonstrație. Presupunem că
punctele ', ', ' A B C sunt coliniare.
Conform axiomei lui Pasch, cel puțin
unul din punctele ', ', ' A B C se află pe
prelungirea laturilor triunghiului
ABC . Fără a restrânge generalitatea
putem presupune că
98 Menelaus (70-130) – mathematician grec, contribuți i importante în geometrie
99 Omar Khayyam (1048-1122) – matematician, poet, fil osof, astronom persan, contribuții în algebră și ge ometrie A
B C
Fig. 250 D E F
A
B C
A1
B1 C1
Fig. 251 A' B'
C' P
249 ' ( ) B AC ∈ ,' ( ) C AB ∈ și ' [ \[ ] A CB CB ∈ (Fig. 251).
Soluția 1. Fie 1,A1B,1C proiecțiile punctelor A, B, C pe dreapta ' '. AB .Din asemănările
triunghiurilor: 1'ABB și 1'ACC ;1'BCC și 1'B AA ; 1'C AA și 1'C BB rezultă egalitățile
1 1 1
1 1 1 ' ' ' , , ' ' ' BB CC AA AB BC C A
AC CC B A AA C B BB = = = care prin înmulțire dau: ' ' ' 1' ' ' AB BC C A
AC B A C B ⋅ ⋅ = .
Soluția 2. Egalitatea evidentă [ ' '] [ ' '] [ ' ']
[ ' '] [ ' '] [ ' '] 1AC B BC A CAB
BC A CAB AC B A A A
A A A ⋅ ⋅ = este echivalentă cu:
' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' ' 1, ' ' ' sin ' ' ' ' ' sin ' ' ' ' ' sin( ' ' ) C ACB ACB AC AB C AB B A BC ABC
CBC A ACB AB AC CAB B ABC ABC π⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − adică
' ' ' 1. ' ' ' AB BC C A
AC B A C B ⋅ ⋅ =
Soluția 3. Fie ' ' ( ) BP AB P AC ∈ . Din asemănarea triunghiurilor BPC cu ' ' A BC ,
respectiv a triunghiurilor ' ' AC B cu ABP rezultă: ' '
' ' B P AB
BC AC = și ' '
' ' B A C A
B P C B = care prin
înmulțire dau concluzia.
Reciproc, presupunem că ' ' ' 1' ' ' AB BC C A
AC B A C B ⋅ ⋅ = (1) și demonstrăm că punctele ', ', ' A B C
sunt coliniare. Fie ' [ \[ ] A CB CB ∈ ,' ( ) C AB ∈ și { "} ' ' B AC AC = ∩ . Atunci, conform
primei părți rezultă: ' " ' 1' " ' AB B C C A
AC B A C B ⋅ ⋅ = care cu relația (1) dă ' "
' " BC B C
B A B A = și de aici
' " BC B C
AC AC = ,adică ' " BC B C = și cum există doar un punct interior laturii AC pentru care
' " BC B C = , rezultă ' " B B ≡ , deci punctele ', ', ' A B C sunt coliniare.
Soluția 4. Considerăm cazul când două puncte sunt pe laturi și unul pe prelungirea unei
laturi Notăm: ' ' ' , , . ' ' ' = = = AB BC C A
AC B A C B α β γ Din ' 1
'=AC
AB α rezultă ' 1
1=+AC
BC α, deci
1'1= ⋅+uuuu r uuu r
CA CB α. Din '
'=BC
B A β rezultă '1=+uuuu r uuu r
CB CA β
β, iar
'' ' 1= + = + ⋅ = + ⋅−uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r AC CC CA AC CA AB CA AB AB γ
γ. Putem exprima acum vectorii ' ' uuuuu r
B A
și ' ' uuuuu r
BC : 1' ' ' ' 1 1 = − = − + + uuuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r
BA CA CB CB CA β
α β ,' ' ' ' 1 1 BC CC CB CA AB CA γ β
γ β = − = + − = − + uuuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r
1 1 ( ) 1 1 (1 )( 1) 1 CA AC CB CA CB γ βγ γ
β γ β γ γ − − + + = + + − + − − uuu r uuur uuu r uuu r uuu r
. Din condiția ca vectorii ' ' uuuuu r
B A și ' ' uuuuu r
BC
să fie coliniari, rezultă 1 (1 )( 1)
(1 ) (1 )(1 ) γ β β γ
α γ β βγ − + − =+ + + , de unde obținem 1=αβγ sau
' ' ' 1' ' ' AB BC C A
AC B A C B ⋅ ⋅ = .Analog se tratează cazul când punctele ', ', ' A B C sunt pe prelungirile
laturilor. Pentru demonstrația afirmației reciproce , fie 1=αβγ și notând
250 ' ' ' 1 , , ' ' ' = = = = AB BC C A
AC C B C B α β γ αβ , avem 1' ' ' ' 1 1 = − = − + + uuuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r
B A CA CB CB CA β
α β (1),
1' ' ' ' (1 )( 1) 1 += − =− + + − − uuuuu r uuuu r uuuu r uuu r uuu r
BC CC CB CA CB βγ γ
β γ γ și înlocuind 1γαβ = obținem
1 1 ' ' 1 1 1 += − − + + uuuuu r uuu r uuu r
BC CB CA α β
αβ β β (2). Din (1) și (2) avem ' ' ' ' 1=−uuuuu r uuuuu r
BC B A α
αβ , deci
', ', ' A B C sunt puncte coliniare.
Teorema lui Menelaus pentru patrulatere
ǎacă X, Y, Z, W sunt puncte coliniare pe laturile AB, BC, CD, respectiv DA ale
patrulaterului ABCD, atunci 1. AX BY CZ DW
XB YC ZD WA ⋅ ⋅ ⋅ =
Demonstrație.
Fie { } . T BD XY = ∩ Din teorema lui Menelaus aplicată în triunghiurile ABD și BCD
rezultă: 1XA WD TB
XB WA TD ⋅ ⋅ = și 1, TD ZC YB
TB ZD YC ⋅ ⋅ = relații care prin înmulțire dau concluzia.
II.9. Teorema transversalei
„Matematica nu se face în stare de urgență.” – Ion Cucurezeanu 100
Teorema transversalei
ǎacă într-un triunghi ABC se duce o ceviană AD, iar o secantă oarecare intersectează
dreptele AB, AC și AD în punctele M, N , respectiv P, atunci 1. AM AC PN DB
AB AN PM DC ⋅ ⋅ ⋅ =
Demonstrație. Fie ', ', ' B C M și 'N proiecțiile punctelor B, C, M , respectiv N pe AD . Din
asemănarea triunghiurilor 'AMM și 'ABB , 'ACC și 'ANN , 'PNN și 'PMM , 'BB D și
100 Ion Cucurezeanu – matematician român, profesor la Universitatea din Constanța,contribuții în studiul ecuațiilor
diofantice A
B C
Y
Fig. 252 W
Z T X D
251 'CC D rezultă: ','=AM MM
AB BB ','=AC CC
AN NN '
'=PN NN
PM MM și '.'DB BB
DC CC = Înmulțind
membru cu membru relațiile precedente rezultă: 1. AM AC PN DB
AB AN PM DC ⋅ ⋅ ⋅ =
1) ǎacă într-un triunghi ABC se duce
o ceviană , ( ) ∈AD D BC și o secantă
intersectează pe AB, AC și AD în
punctele M, N, respectiv P, atunci :
.MB NC PD DC BD BC MA NA PA ⋅ + ⋅ = ⋅
Demonstrație. Din aplicația precedentă
în triunghiurile ABD și ADC cu
cevianele AC respectiv AB și secanta
MN rezultă: NP AP AB DC
NM AM AM BC = ⋅ ⋅ și
.MP AP AC BD
MN AD AN BC = ⋅ ⋅ Sumând relațiile
precedente obținem 1 , AP AB DC AC BD
AD AM BC AN BC = ⋅ + ⋅ de unde .AD AB DC AC BD
AP AM BC AN BC = ⋅ + ⋅
Cum , = + AB AM MB , = + AC AN NC = + BC BD DC și AD AP PD = + rezultă
.MB NC PD DC BD BC MA NA PA ⋅ + ⋅ = ⋅
2) Fie triunghiul ABC și punctele ( ), ( ), ( ), ( ). D BC E AB F AC M AD ∈ ∈ ∈ ∈ ǎacă
,EB FC MD DC BD BC EA FA MA ⋅ + ⋅ = ⋅ atunci .M EF ∈
Demonstrație. Fie { '} . M AD EF = ∩ Din teorema transversalei rezultă
'
'EB FC M D DC BD BC EA FA M A ⋅ + ⋅ = ⋅ care împreună cu relația din ipoteză dă: '
'MD M D
MA M A = sau
' '
'MD MA M D M A
MA M A + + = , adică 'AD AD
MA M A = . Din relația precedentă avem : 'MA M A = ,
deci 'M M ≡ .
Observație: Teorema lui Menelaus este o consecință a teoremei t ransversalei.
A
B C M N P
D M '
N' B'
C'
Fig. 253
252 II.10. Teorema lui Leibniz 101
„Sub aspect elementar, numeroase teoreme interesant e sunt create mereu fie de către amatori devotați, fie de către
marii matematicieni, care ori de câte ori au înțele gerea să revină la problemele elementare, le-au pri vit sub aspecte
noi, dând demonstrații mai simple sau încadrări mai naturale.” – N. Mihăileanu 102
Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Pentru orice punct M
din planul triunghiului ABC este adevărată relația :
2 2 2
2 2 2 2 3 ( ). 3AB BC CA MA MB MC MG + + + + = + ∗
Demonstrație.
Fie 'A mijlocul laturii BC . Relația lui Stewart
aplicată în triunghiul 'AMA dă:
2 2 2 ' ' ' ' ' MA AG MA AG AA AG GA MG AA ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅
Egalitățile ' 2 ' , ', 3 3 AA A G AG AA = =
2 2 2
2 2 ( ) '4MB MC BC MA + − = ,
2 2 2
22( ) '4AB AC BC AA + − = înlocuite în relația
precedentă dau concluzia.
Ionsecințe :
1) Dacă ,M G ≡atunci 2 2 2
2 2 2
3AB BC CA GA GB GC + + + + = și relația din teorema lui
Leibniz devine 2 2 2 2 2 2 2 3 . MA MB MC GA GB GC MG + + = + + +
2) Din relația lui Leibniz rezultă că 2 2 2
2 2 2
3AB AC BC MA MB MC + + + + ≥ cu egalitate
dacă punctul M c oicide cu G.
3) Dacă M coincide cu O – centrul cercului circumscris triunghiului ABC – atunci relația
( ) ∗ devine: 2 2 2
2 2 3 3 3a b c OA OG + + = + , adică 2 2 2
2 2
9a b c OG R + + = − .
4) În orice triunghi ABC este adevărată relația: 2 2 2 2 9 . R a b c ≥ + +
Demonstrație: Cum 20OG ≥avem: 2 2 2
2
9a b c R+ + ≥ , adică 2 2 2 2 9R a b c ≥ + + .
5) Fie H și O ortocentrul respectiv centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Atunci:
i) 2 2 2 2 2 9 ( ), OH R a b c = − + + ii) 2 2 2
2 2 4( ) 49a b c GH R + + = − unde R este lungimea razei
cercului circumscris triunghiului ABC și a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC.
101 Gottfried von Leibniz (1646-1716) – matematician ș i filosof german, contribuții importante în analiza
matematică
102 Nicolae Mihăileanu (1912-1998) – matematician româ n A
B C M
A' G
Fig. 254
253 Demonstrație: i) Din relația cunoscută 3OH OG = rezultă 2 2 9OH OG = care împreună cu
relația de la observația 3) ne dă 2 2 2 2 2 9 ( ) OH R a b c = − + + . ii) Cum 1
2OG HG = rezultă
2 2 1
4OG HG = , de unde 2 2 2
2 2 4( ) 49a b c HG R + + = − .
II.11. Teorema lui Toricelli – Fermat
„În matematică nu există ignorabimus, nu vom ști… ., trebuie să știm și vom ști!” – David Hilbert 103
Să se găsească punctul P din planul unui triunghi ABC pentru care suma PA PB PC + +
este minimă .
Demonstrație. Soluția 1. Prin rotația de
centru B și unghi de 60 ° a triunghiului ABP
se obține triunghiul ' ' C BP . Atunci,
'PB P P = și ' ' PA C P = , de unde
' ' PA PB PC P P PC C C + + = + ≥ . Suma
este minimă atunci când punctul 'P C C ∈ ,
adică ( ') 60 m BPC = ° . Analog, prin
rotația de centru A și unghi de 60 ° a
triunghiului ABP se obține:
( ') 60 m APC = ° , deci ( ) 120 m APB = ° .
Analog, se arată că punctul P aparține
dreptelor ', ' BB AA ( 'Bși 'A se obține ca mai sus), deci punctul P căutat se află la
intersecția dreptelor ', ', ' AA BB CC .
Soluția 2: Fie P punctul pentru care suma PA PB PC + + este minimă și ad dreapta ce
conține punctele P și A. Arătăm că dacă, de exemplu, punctul P se plimbă pe dreapta ad
punctul căutat P rămâne același. Fie că 1A AP ∈ și presupunem că 1P este punctul pentru
care suma 1 1 1 1 PA PB PC + + este minimă. Astfel, pentru triunghiul ABC avem:
1 1 1 PA PB PC PA PB PC + + < + + și pentru : 1 1 1 1 1 PA PB PC PA PB PC + + < + + relații care
sumate dau 1 1 1 1 PA PA PA PA + < + , sau 1 1 1 1 1 1 PA AA PA PA PA + + < + , de unde
rezultă 1 1 1 1 AA PA PA + < , absurd. Deci, dacă aA d ∈, atunci poziția punctului P pentru care
se realizează minimul nu se schimbă. Analog, se dem onstrează proprietatea de mai sus și
pentru punctele B și C. Astfel, putem alege punctele bB d ∈ și cC d ∈ astfel încât
triunghiul ABC să fie echilateral, acest lucru poate fi realizat. De exemplu, alegem aA d ∈
astfel încât AB BC = . Evident, dacă triunghiul ABC este isoscel, punctul P aparține axei de
simetrie a triunghiului ABC . Plimbăm acum punctul bB d ∈ ( iar bP d ∈) astfel încât
triunghiul ABC devine echilateral și atunci ( ) ( ) m APB m APC = = ( ) 120 m BPC = ° .
103 David Hilbert (1962-1943) – matematician german, p rofesor la Universitatea din Göttingen, contribuții
remarcabile în geometrie și analiza matematică A
B C
P C'
60 ° P '
Fig. 255
254 Soluția 3: Fie P un punct situat în interiorul
triunghiului ABC astfel încât ( ) ( ) m APB m APC =
Presupunem că lungimea segmentului [ ] PA este
constantă. Fie cercul cu centrul în A și rază PA și
tangenta d în P la cerc. Fie 1 1 , , P d P P ∈ ≠
1AP ∩C(A,PA ){ }. R= Cum APB APC ≡ rezultă:
1 1 PB PC PB PC RB RC + < + < + și de aici
PA PB PC + + <PA RB RC RA RB RC + + = + + .
Repetând raționamentul pentru PB sau PC
constante rezultă că minimul se obține pentru
( 120 ) APB APC BPC ≡ ≡ = ° .
Observații:
1) Punctul P se numește punctul lui Fermat 104 sau punctul izogon al triunghiului ABC .
2) Demonstrația de mai sus nu mai este valabilă dac ă un unghi al triunghiului ABC are
măsura mai mare de 120 ° (vezi „Triunghiurile lui Napoleon. Punctele lui Fe rmat”).
Generalizarea teoremei lui Toricelli – Fermat
Fie ABC și DEF două triunghiuri de laturi a, b, c respectiv d, e, f. În exteriorul
triunghiului ABC se construiesc triunghiurile ' , ' , ' A BC AB C ABC asemenea
cu DEF, ( ) ( ) 180 , ( ) ( ) 180 , ( ) ( ) 180 + < ° + < ° + < ° m A mB mB mE mC mF . Atunci:
a) ' ' ' d AA e BB f CC ⋅ = ⋅ = ⋅ ;
b) cercurile circumscrise triunghiurilor ' , ' ABC ABC și 'ABC au un punct comun T;
c) dreptele ', ' AA BB și 'CC sunt concurente în punctul T;
d) ' ' ' 2( ) ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅d TA e TB f TC d TA e TB f TC ;
e) suma d MA e MB f MC ⋅ + ⋅ + ⋅ este minimă când M coincide cu T;
f) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 16 ', ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + + + − + + + − + ⋅ ⋅d TA eTB f TC a d e f b d e f c d e f S S
unde S și 'Ssunt ariile triunghiurilor ABC respectiv DEF ;
g) ǎacă , , A B C O O O sunt centrele cercurilor circumscrise triunghiuril or ' , ' ABC ABC
respectiv ', ABC triunghiurile A B C OOO și DEF sunt asemenea .
Demonstrație. a) Din asemănarea triunghiurilor 'ABC și 'ABC rezultă '
'CA BC
AC BC = și
cum ' ' ACA BCB ≡ rezultă că triunghiurile 'ACA și 'BCB de unde
',' ' AA AC DF e
BB BC EF d = = = adică ' '. d AA e BB ⋅ = ⋅ Analog se arată că ' ' e BB f CC ⋅ = ⋅ de
unde rezultă ' ' ' d AA e BB f CC ⋅ = ⋅ = ⋅ .
b) Fie T al doilea punct de intersecție dintre cercurile ci rcumscrise triunghiurilor 'BCA și
' . ABC Atunci, ( ) 180 ( ' ) 180 ( ) = °− = °− m BTC m BAC m D și
( ) 180 ( ' ) 180 ( ). = °− = °− m ATC m CBA m E Pentru că ( ) ( ) 180 + < ° m E m B rezultă că T
aparține arcelor cercurilor considerate aflate în i nteriorul triunghiului ABC. Atunci:
( ) 360 ( ) ( ) = °− − = m ATB m BTC m ATC 360 (180 ( )) (180 ( )) m D m E °− °− − °− =
104 Pierre de Fermat (1601-1665) – matematician france z, contribuții în teoria probabilităților și teoria numerelor A
B C
P d
1P R
Fig. 256
255 180 ( ) m F °− = 180 ( ' ) °− m AC B , adică patrulaterul 'TAC B este inscriptibil, deci T
aparține și cercului circumscris triunghiului '. ABC
c) Deoarece patrulaterul 'BTCA este inscriptibil rezultă
' ' ' BTA BCA DFE AC B ≡ ≡ ≡ și cum ( ' ) ( ) 180 + = ° m AC B m ATB rezultă
( ') ( ) 180 , + = ° m BTA m BTA adică punctele ,AT și 'A sunt coliniare. Analog se arată că
punctele , , ' BT B și respectiv , , ' CT C sunt
coliniare, deci {} ' ' '. T AA BB CC = ∩ ∩
d) Din teorema lui Ptolemeu pentru patrulaterul
inscriptibil 'TBAC rezultă
' ' ' (1). TA BC TB AC TC AB ⋅ = ⋅ + ⋅ Din
asemănarea triunghiurilor 'ABC și DEF avem:
' ' (2). AB AC BC kDE DF EF = = = Din relațiile (1) și
(2) rezultă ' , TA k d TB e f TC f k ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ adică
' . TA d TB e TC f⋅ = ⋅ + ⋅ Analog se arată că:
'TB e TA d TC f⋅ = ⋅ + ⋅ și ' . TC f TA d TB e ⋅ = ⋅ + ⋅
Sumând ultimele trei egalități membru cu
membru rezultă:
' ' ' 2( ). ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅TAd TBe TC f TAd TBe TC f
e) Fie M un punct arbitrar situat în planul
triunghiului ABC. Atunci,
' ( ') ⋅ ≤ + = ⋅ + ⋅ + ⋅d AA d AM MA d AM e BM f CM
cu egalitate atunci când ', ∈IM BTC AA adică când M coincide cu T.
f) Din subpunctul precedent ' . d AA d AM e BM f CM ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ Determinăm pe 'AA din
triunghiul 'BAA aplicând teorema cosinusului: 2 2 2 ' ' 2 'cos( ) = + − ⋅ + AA BA BA BABA B E ,
adică 2 2 2 ( ') ( ) ( ') 2( ) ( ') [cos cos sin sin ] ⋅ = + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − d AA dc d BA d BA d BA B E B E
sau 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 ( ') 2 sin sin 2 2 + − + − ⋅ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ a c b d f e d AA d c a f d c a f B E ac df,
de unde 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 ( )( ) ( ') 2( sin ) ( sin ) 2+ − + − ⋅ = + − − ⋅a c b d f e d AA d c a f ac B df E și
deci: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 16 '. ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + + + − + + + − + ⋅ ⋅d TA eTB f TC a d e f b d e f c d e f S S
g) Fie { } ,{ } ,{ } . = ∩ = ∩ = ∩ B C A C A B P AT OO Q BT OO R CT OO Deoarece A B OO CT ⊥ și
A C OO BT ⊥ rezultă că patrulaterul AO RTQ este inscriptibil, deci
() ( ) 180 180 ( ) 180 [180 ( ' )] ( ' ) ( ). = °− = °− = °− °− = = Am QOR m QTR m BTC m BAC m BAC m D
Analog se arată că ( ) ( ) = A B C m OOO m E și ( ) ( ), = A C B m OO O m F adică triunghiurile
A B C OOO și DEF sunt asemenea.
A
B C P
Q R T
AO BO CO
A' B' C'
Fig. 257
256
Observații:
1) Dacă ρ este raza cercului circumscris triunghiului DEF atunci BOC b ρ= ⋅ și
' ' ' ' .4 ' 4 ' A B AA d AA d AA f d AA OO fe d e S S ρ ρ ρ
ρ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅⋅ Analog '
4 ' B C e BB OO d S⋅= ⋅ și
',4 ' C A f CC OO e S⋅= ⋅ deci '
4 ' B C C A A B OO OO OO d AA
f d e S ⋅= = = ( ' ' ' d AA e BB f CC ⋅ = ⋅ = ⋅ ).
2) Dacă triunghiul DEF este echilateral se obține teorema lui Toricelli.
II.12. Teorema lui Feuerbach 105
„Ca să te îndoiești de linia dreaptă trebuie să știi mai întâi din câte puncte e făcută.” – Nichita Stănescu 106
Teorema lui Feuerbach
Într-un triunghi, cercul lui Euler este tangent cer cului înscris și cercurilor exînscrise
corespunzătoare.
Demonstrație. Soluția 1 . Fie 'A intersecția
bisectoarei interioare a unghiului BAC cu latura
BC , a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC ,
, , a b c M M M mijloacele laturilor BC ,AB respectiv
AC ale triunghiului ABC ,a b c CCC triunghiul de
contact, iar , , a b c D D D proiecțiile punctului aI–
centrul cercului A – exînscris – pe dreptele BC, CA
respectiv AB (Fig. 258). Vom demonstra mai întâi
că: 2'a a a a a M C M H M A = ⋅ . Din teorema bisectoarei
rezultă '
'BA c
AC b =, de unde 'a c BA b c −=+. Avem:
( ) '2 2( ) aa ac ab c M A b c b c −= − = + + (1). Din triunghiul
dreptunghic aAH B și aAH C rezultă
2 2 2 2 2
a a AH AB BH AC CH = − = −
2 2 ( )( ) a a a a b c H C H B H C H B − = + − , 2 2 ( 2 ) a b c aa H B − = − , de unde
2 2 2
2aa c b H B a+ − = și de aici 2 2
2a a a a b c M H M B BH a−= − = (2). Deoarece
a a BC CD p b = = − unde 2a b c p+ + = , (vezi „Cercul înscris într-un triunghi” ) rezultă
( ) 2 2 a a a a a b c M C M B BC p b −= − = − − = (3). Din relațiile (1), (2) și (3)
105 Karl Feuerbach (1800-1834) – matematician german, contribuții importante în geometrie
106 Nichita Stănescu (1933 – 1983) – eseist, poet româ n, ales postum membru al Academiei Române A
B C I cC
bD aH bC
cD aI aC A '
aD
'
aD
Fig. 258 aM ϕ
aϕ
257 rezultă 2'a a a a a M C M H M A = ⋅ (4). Egalitatea (4) arată că punctul aH (care aparține
cercului lui Euler al triunghiului ABC ) se transformă prin inversiunea de centru aM și
raport 2
a a M C în punctul 'A. Prin aceasta inversiune, cercul lui Euler (fără p unctul aM) se
transformă într-o dreaptă d antiparalelă cu BC în raport cu A ce trece prin 'A (vezi „Cercul
lui Euler”). Dreapta d este a doua tangentă comună interioară a cercului î nscris și A–
exînscris. Prin această inversiune cercul înscris s e transformă în el însuși deoarece modulul
inversiunii este egal cu puterea polului inversiunii față de cercul considerat.
Deoarece a a a a M C M D = rezultă că și cercul A – exînscris se transformă în el
însuși. Dreapta d fiind tangentă cercului înscris și A –exînscris (invariante în inversiunea
considerată) rezultă că și cercul lui Euler ar fi t angent acestor cercuri în punctele ϕ și aϕ
(punctele de intersecție dintre dreapta d și cercurile inverse și A – exînscris). Analog se
arată că cercul lui Euler este tangent cercurilor e xînscrise corespunzând vârfurilor B și C.
Soluția 2. Fie C( , ) I r cercul înscris în triunghiul ABC (Fig. 259). Utilizăm teorema lui
Casey, considerând cercurile ( aM,bM,cM,C) obținem: 2=
a b M M ct , 2=
cAM bt , 2=
b c M M at ,
( ) 2 2 −= − − = aMa b c t p b , ( ) 2 2 −= − − = bMb a c t p c , ( ) 2 2 −= − − = cMc b a t p a (unde
prin distanța tangențială ijt dintre cercurile iC și jC înțelegem lungimea tangentei comune
exterioare duse la cele două cercuri, cele două cer curi aflându-se de aceeași parte a
tangentei). Pentru ca cercul
înscris C și cercul medial să fie tangente trebuie să demons trăm că pentru o combinație a
semnelor + și – rezultă ( ) ( ) ( ) 0 cb a ab c ba c ± − ± − ± − = , ceea ce este evident. Din
teorema lui Casey rezultă că există un cerc care tr ece prin aM,bM,cM și C. Cum cercul
circumscris triunghiului median este cercul lui Eul er urmează ca cercul celor nouă puncte și
C sunt tangente. aM bM
cM ϕ
aH bH cH
Fig. 259 A
B C
258 Soluția 3. Fie cM mijlocul laturii AB , cHpiciorul înălțimii din H, 9O centrul cercului lui
Euler al triunghiului ABC , DE diametrul perpendicular pe AB , F și K mijloacele
segmentelor HD respectiv HE (Fig. 260). Deoarece 2DE KF R = = și cum 9O KF ∈
rezultă că KF este diametru în cercul lui Euler al triunghiului ABC , deci ( ) 90 . = ° cmKM F
Fie ,XY AB ⊥XY diametru în cercul înscris în triunghiul ABC ( ) ∈Y AB și
( ). XL MK L KF ⊥ ∈ Atunci, 2LM XY r= = unde { } . = ∩ M KF AB Drepta cFM este
dreapta lui Simson a punctului D și este perpendiculară pe dreapta CD în punctul S (vezi
„Dreapta lui Simson”). Avem ( ). c c c HCB SM M DIY M DS α ≡ ≡ ≡ = Fie
{ } . = ∩ T FY KX Arătăm că ( ) 90 , = ° m KTY deci cercurile de diametre KF și XY – adică
cercul lui Euler și cercul înscris în triunghiul ABC – sunt tangente în ϕ. Din
sin , sin c c MY DI YH IC α α = = rezultă 2 2 sin 2 sin ; c c MY YH DI IC Rr α α ⋅ = ⋅ ⋅ = dar
2 2 sin sin sin , c R FK M F MF α α α = = = de unde 2 . c c MY YH r MF LM MF ⋅ = ⋅ = ⋅ Din
puterea unui punct M față de cercul lui Euler rezultă
2( ) (1). ⋅ = = ⋅ = + = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅c c c c c MM MH MM MF MK MF KL LM MF KL MF LM MF KL MY YH
Dar 2 2 ( )( ) , − = − + = ⋅c c c c c MH MY MH MY MH MY YH YM deci
2 2 2 (2). c c c c MH MM MY YH YM = = + ⋅ Din relațiile (1) și (2) rezultă
2 2 , MY MF KL LX = ⋅ = adică LX MF
KL MY = relație care arată că ,⊥K FY ϕ deci cercul lui
Euler și cercul înscris în triunghiul ABC sunt tangente în punctul ϕ.
Soluția 4. Teorema medianei aplicată în triunghiul OIH ne dă: 2 2 2
2
92 4 OI IH OH IO += −
sau 2 2 2
2
92 2 2 4
2 4 h h R Rr r rR R rR IO − + − − = − , unde hr este raza cercului înscris în
triunghiul ortic al triunghiului ABC (vezi „Cercul înscris” și „Cercul circumscris”), și de A
B C
D E
O
F H
S cH
cM 9O I
F K ϕ X
Y X K
Y M 9O I L ϕ
Fig. 260
259 aici rezultă că 2 2 2
2
94 4 ( 2 )
4 4 R Rr r R rIO − + − = = , deci 92ROI r= − . Cum 2R este raza
cercului Euler rezultă cercul lui Euler și cercul î nscris sunt tangente interior.
Observații :
1) Punctele ϕ,aϕ,bϕ,cϕ de tangență dintre cercul lui Euler și cu cercuril e tritangente se
numesc punctele lui Feuerbach ale triunghiului ABC.
2) Într-un triunghi ABC se duce cea de-a doua tangentă interioară a cerculu i înscris cu
fiecare cerc exînscris (primele tangente fiind latu rile triunghiului). Dreptele ce unesc
punctele de contact ale acestor trei tangente cu mi jloacele laturilor corespunzătoare trec
prin punctele lui Feuerbach.
1) ǎreptele care unesc punctelele lui Feuerbach ale cercurilor exînscrise cu punctul lui
Feuerbach al cercului înscris trec prin piciorul bi sectoarei situate pe laturile respective.
Demonstrație. Piciorul bisectoarei interioare a unghiului BAC – punctul 'A – este centrul de
omotetie inversă dintre cercurile înscris și A – exînscris; punctul lui Feuerbach ϕ este
centrul de omotetie directă dintre cercurile lui Eu ler și cercul înscris, iar aϕ cetrul de
omotetie inversă între cercul lui Euler și cercul A – exînscris, deci punctele 'A,ϕ și aϕ
sunt coliniare.
Triunghiul lui Feuerbach a b c ϕ ϕ ϕ este triunghiul a cărui vârfuri sunt punctele de t angență
dintre cercul celor nouă puncte cu cercurile exînsc rise unui triunghi ABC.
2) Iercul ce trece prin picioarele bisectoarelor in terioare ale unui triunghi conține
punctul lui Feuerbach al triunghiului.
Demonstrație. Vom arăta că triunghiul determinat de picioarele bi sectoarelor este asemenea
și omologic cu triunghiul lui Feuerbach.Vom utiliza în demonstrația teoremei două leme:
Lema 1. Cercul C( , ) O R este tangent exterior cercurilor C1 1 1 ( , ) O r și C2 2 2 ( , ) O r în punctele
A , respectiv B. Dacă 1A și 1B sunt punctele de tangență ale tangentei exterioare comune
cercurilor C1 și respectiv C2 , atunci 1 1
1 2 ( )( ) RAB AB
R r R r= ⋅
+ + .
Demonstrație. Teorema cosinusului aplicată în triunghiurile AOB și 1OOB (Fig. 261)
ne dă: 2 2 2
2 2 2cos 1 2 2 −= = − R AB AB AOB R R ,
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 2( )( ) cos( ) OO R r R r R r R r OOO = + + + − + + ⋅
Din relațiile precedente rezultă:
2
2 2
1 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) . = − + + + ⋅ AB OO r r R r R rRDin
trapezul 1 1 2 1 ABOO avem:
2 2 2
2 1 2 1 1 ( ) OO r r AB = − + , de unde rezultă
concluzia.
O
1O 2O
A B
1r 2r R
R
Fig. 261 1A 1B
260 Lema 2. Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiulu i
ABC și C( , ) O R cercul circumscris triunghiului
ABC. Dacă ( , ) a a I r este A-cercul exînscris, iar 1B
și 1C picioarele bisectoarelor interioare ale
unghiurilor B și C, atunci 1 1 ( 2 )
( )( ) +=+ + ⋅aabc R R rBC a b a c R .
Demonstrație. Fie 2 ,⊥aI B AC 2∈B AC și
2⊥aIC AB , 2∈C AC , 2 2 ,⊥ ∈ a a OQ I B Q I B ,
2 2 ,⊥ ∈ a a OP IC P IC , 2 2 2a b c AB AC p + + = = =
(Fig. 262). Atunci, 2 2 c a b OP p += − = și
2 2 b a c OQ p += − = . Din teorema bisectoarei
rezultă: 1bc AB a c =+,1cb AC a b =+, de unde: 1
1AB a b OP
AC a c OQ += = +. Cum
2 2 POQ C AB =
rezultă că triunghiurile 1 1 ABC și OPQ sunt asemenea și 1 1 1 2( ) ( )( ) = = ∗ + + BC AB bc
PQ OP a c a b .
Ținând cont că punctele , , , aO PQ I sunt pe cercul de diametru aOI, din teorema sinusurilor
rezultă sin sin 2= ⋅ = ⋅ = ⋅a a a aPQ OI POQ OI A OIR care împreună cu ( ) ∗ dă:
1 1 ( )( ) = ⋅+ + aabc BC OIRa c a b . Utilizând relația lui Euler 2( 2 ) = + a a OI R R r rezultă.
1 1 ( 2 )
( )( ) +=+ + aabc R R rBC Ra c a b .
Demonstrația teoremei. Fie ϕ punctul lui
Feuerbach al triunghiului ABC și 9O centrul
cercului lui Euler. Fie , , a b c ϕ ϕ ϕ punctele de
tangență al cercului lui Euler al triunghiului
ABC cu cercurile sale exînscrise și ,X Y
punctele de tangență ale cercurilor A –
exînscris și B – exînscris cu latura AB . Avem:
2 2 a b c a b c ZY AY BX AB c a b + + + + = + − = + − = +
Din lema 1, rezultă :
( ) ( ) 2
( 2 )( 2 )
2 2 + ⋅+= =
+ + + + a b
a b
a b Ra b a bR
R r R r R R r rϕ ϕ A
B C O
P Q I
aI 1C
2C 1B
2B
Fig. 262
1A 1B 1C
aϕ bϕ cϕ ϕ
Fig. 264
261 Din lema 2 rezultă 1 1 ( 2
( )( ) +=+ + cabc R R rAB c a c bR (Fig. 264).
Atunci, 1 1
2( 2 )( 2 )( 2 )
( )( )( ) + + + =+ + + a b c
a b abc R R r R r R rAB
a b c a b c R ϕ ϕ . Din simetria relației precedente rezultă
că: 1 1 1 1 1 1 = =
a b b c c a AB BC CA
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ,adică triunghiurile 1 1 1 ABC și a b c ϕ ϕ ϕ sunt asemenea (1). Arătăm
că punctele ϕ, 1B și bϕ sunt coliniare. Din faptul că 9
2=OR
I rϕ
ϕ, 1
1,=
b b IB r
BI r
92=b b b
bI r
O R ϕ
ϕ
rezultă : 9 1
1 9 1 ⋅ ⋅ = b b
b b O IIB
I BI O ϕ ϕ
ϕ ϕ și din reciproca teoremei lui Menelaus rezultă că punctele
ϕ, 1B și bϕ sunt coliniare. Analog se arată că punctele ϕ, 1C și cϕ și ϕ,1A și aϕ sunt
coliniare, ceea ce arată că triunghiurile 1 1 1 ABC și a b c ϕ ϕ ϕ sunt omologice (2). Din relațiile
(1) și (2) rezultă
1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 180 + = + = ° c b c a b mC B mCAB m m ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ ϕ adică ϕ aparține
cercului circumscris triunghiului 1 1 1 ABC .
A
B C X
Y ϕ
I
aϕ bϕ cϕ
aI bI cI
Fig. 263
262 3) În triunghiul ABC fie , , a b c C C C punctele de contact ale cercului înscris cu laturi le
BC , AC, respectiv AB, X și Y punctele de intersecție dintre paralela dusă prin A la BC
cu dreptele a b CC , respectiv a c CC . ǎreapta lui Euler a triunghiului aC XY trece prin
punctul lui Feuerbach al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vom arata mai întâi că punctele , , , ', ', b c AC C X Y I (Fig. 265) sunt conciclice
(unde 'X și 'Y sunt mijloacele segmentelor aC X , respectiv aCY ), ele aparținând cercului
celor nouă puncte al triunghiului aC XY . Avem, ≡ ≡ ≡ b a b b a b AXC CCC CCC ACX de unde
≡bAX AC și analog ≡cAY AC .
Cum ≡b c AC AC rezultă
≡AY AX , deci A este mijlocul
segmentului XY . Cercul celor nouă
puncte al triunghiului aC XY
conține punctele , ', ' A X Y (fiind
mijloacele laturilor
triunghiului aC XY ). Din
= = bAY AX AC rezultă că bC
este piciorul înălțimii din X pe
aYC ; analog cC este piciorul
înălțimii din X pe aYC , deci
punctele bC și cC aparțin cercului
celor nouă puncte al triunghiului cCXY . Fie 'H ortocentrul triunghiului aC XY . Atunci,
' ' ≡b a c a H CC H CC , deci punctul 'H aparține cercului înscris în triunghiul ABC și mai
mult este diametru în acest cerc,
adică I este mijlocul
segmentului 'aH C , ceea ce arată
că I aparține cercului lui Euler al
triunghiului aC XY .
Demonstrația teoremei. Fie
,O H și 9O centrul cercului
circumscris, ortocentrul și
centrul cercului lui Euler al
triunghiului ABC (9O este
mijlocul segmentului HO ) și d
dreapta lui Euler a triunghiului
.aC XY Fie '
9 9 aOO IH ,'
9∈O d și
{ '} d AH H =I , iar 'O punctul
de intersecție dintre paralela prin
O la 'IH cu dreapta d. Cum
'AD IH și M este mijlocul
lui AI rezultă că 'AD IH r= =
(raza cercului înscris în ABC ).
Dacă aM este mijlocul laturii
BC , atunci 2aAH OM = . Fie A
B
C H'
X'
I Y' X Y
aC bC
cC
Fig. 265
A
B
C H' '
9O
I
H X Y
aC bC
cC
Fig. 266 D
J aD O '
O
I'
aI 9O M
263 aI centrul cercului exînscris corespunzător laturii BC și r a – raza sa. Cum punctele A, I
și aI sunt coliniare (vezi „Cercuri exînscrise”), atunci J, punctul de intersecție dintre AIa cu
cercul circumscris triunghiului ABC , este mijlocul arcului BC (Fig. 266). Fie 'I
simetricul lui I fațǎ de O. Deoarece '
aII trece prin punctul aD de tangențǎ a cercului
exînscris corespunzǎtor laturii BC . Din asemǎnarea triunghiurilor MAD și 'MJO ,
respectiv 'MIH cu 'MJO avem ' ' JO MO
AD MD = , de unde rezultă că
' ' 2 ' ' ' 2 a a
aAI r MO MO MJ MJ JO IH r r r r r rMD MH MI MI AI r= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = În trapezul 'HOO D avem:
'
9 9 2 ' ( ' ) ( ) 2 a a O O OO HD JO R HA DA r R OM r= + = − + − = − + − =
( ) ' a a a r R r CI DI− + + + , de unde '
9 9 2=OO ( ) (2 ) − + + + − = a a r R r r R r R , rezultă că
'
9 9 / 2 =OO R , adică '
9O aparține cercului lui Euler al triunghiului ABC . Cum '
9 9 aOO IH ,
dreptele '
9aOH și 9OI se intersecteazǎ în centrul de asemǎnare al cercur ilor înscris,
respectiv al lui Euler al triunghiului ABC . Dar cele două cercuri sunt tangente interior în
punctul lui Feuerbach care este centrul de asemǎnar e pentru cele două cercuri. Astfel,
dreapta lui Euler a triunghiului aC XY conține punctul lui Feuerbach al triunghiului ABC .
Observații :
1) Vom nota triunghiul aC XY cu aT. Analog cu aTse construiesc triunghiurile bT și cT.
Punctul lui Feuerbach este punctul de intersecție d intre dreptele lui Euler corespunzătoare
triunghiurilor aT, bT și cT.
2) Punctul 'H este punctul antipodal al punctului
aC al triunghiului ABC .
3) Centrul cercului lui Euler al triunghiului aC XY
este punctul M, mijlocul segmentului IA .
4) Dreapta 'MH este dreapta lui Euler a
triunghiului aC XY .
4) Punctul lui Feuerbach aϕ de pe cercul A –
exînscris se află pe bisectoarea unghiului A a
triunghiului ABC dacă ( ) 60 = ° m A sau
( ) ( ) =mB mC .
Demonstrație. Fie aH piciorul înalțimii din A, aI
centrul cercului A – exînscris și , , a b c D D D punctele
de tangență ale acestuia cu dreptele BC, CA
respectiv AB , 'A punctul diametral opus lui aD în
cercul A – exînscris 1{ } ' = ∩ A AA BC , aM mijlocul
laturii BC , "A mijlocul segmentului
aAI,{ } ' " = ∩ a Q A A AH , T intersecția dintre BC și
tangenta în aϕ la cercul A – exînscris,
{ } = ∩ a a P IT AH , unde { } ' " = ∩ aA A ϕC( , ) a a I r A
B C
aD bD
cD
A' A"
aM
1A aH T
aϕ Q P
Fig. 267 aI
264 (Fig. 267). Deoarece =a a T TD ϕ rezultă ⊥a a a TI D ϕ și cum '⊥a a a D A ϕ ϕ
rezultă 'aAQ I P deci patrulaterul 'aAQPI este paralelogram, deci
1 '≡ ≡ a a QP AI I A .Cum a a I D QP rezultă că a a I DPQ este paralelogram a a DP QI (1).
Cum 'aAI AQ și "A este mijlocul segmentului 'aAI rezultă că patrulaterul 'aQAAI
este paralelogram,deci 'aIQ AA (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă 'aDP AA . Deoarece
punctele aD și 1A sunt izotomice rezultă că aIQ trece prin punctul aM. Din asemănarea
triunghiurilor a a TM I și aTPD , respectiv a a TDI și aTH P rezultă = = a a
a a TI TD TM
TD TP TH și de
aici 2 2 = ⋅ = a a a a TD TH TM T ϕ, adică T este pe axa radicală a cercului lui Euler a triungh iului
ABC și a cercului A -exînscris, această axă este tangenta în aϕ la cercul A-exînscris , ceea
ce arată că punctul aϕ de intersecție al cercului A-exînscris cu dreapta ' " A A este punctul
lui Feuerbach de pe cercul A – exînscris. Punctul lui Feuerbach se află pe bisec toarea 'aAI
dacă și numai dacă aϕ coincide cu "A ceea ce este echivalent cu "2= = a
aAIAA r . Din
triunghiul c a ADI rezultă
sin 2=a
arAIA, de unde
2sin 2=a
arrA, adică 1sin 2 2 =A, deci
( ) 60 = ° m A . Dacă dreptele ' " AA și aAH coincid – adică triunghiul ABC este isoscel,
atunci punctele ,a a D M și "A coincid cu aϕ și reciproc.
5) Punctul ϕ al lui Feuerbach este ortopolul dreptei OI în raport cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Cercul înscris în triunghiul ABC conține ortopolul dreptei OI (vezi
„Ortopolul unei drepte). Deoarece ortopolul unui di ametru al cercului circumscris unui
triunghi ABC aparține cercului lui Euler al triunghiului ABC rezultă că ortopolul dreptei OI
în raport cu triunghiul ABC aparține atât cercului înscris cât și cercului lui Euler al
triunghiului ABC, deci ortopolul dreptei OI este punctul lui Feuerbach ( ϕ) triunghiului
ABC .
6) ǎistanțele de la punctul lui Feuerbach corespunz ător unui triunghi ABC la picioarele
înălțimilor triunghiului sunt egale, respectiv, cu perpendicularele coborâte din vârfurile
triunghiului pe dreapta OI.
Demonstrația rezultă din faptul că punctul ϕ al lui Feuerbach este ortopolul dreptei OI în
raport cu triunghiul ABC , iar distanța dintre ortopolul unui diametru al ce rcului circumscris
și piciorul unei înălțimi este egală cu distanța în tre vârful din care pleacă această înălțime și
vârful considerat (vezi „Ortopolul unei drepte”).
7) ǎistanțele de la punctul lui Feuerbach corespunz ător unui triunghi ABC la vârfurile
triunghiului sunt egale, respectiv, cu distanțele d e la picioarele înălțimilor la proiecțiile
vârfurilor pe dreapta OI.
Demonstrația rezultă din faptul că punctul ϕ al lui Feuerbach este ortopolul dreptei OI în
raport cu triunghiul ABC , iar distanța între un vârf al triunghiului ABC și ortopolul unui
diametru al cercului circumscris este egală cu dist anța între proiecțiile aceluiași vârf pe
latura opusă și pe diametru (vezi „Ortopolul unei d repte”).
265 8) Punctul lui Feuerbach ϕ al triunghiului ABC este punctul anti – Steiner al dreptei IO
în raport cu triunghiul median al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul anti-Steiner”.
9) ǎreapta lui Simson a punctului lui Feuerbach ϕ al triunghiului ABC în raport cu
triunghiul median al acestuia este paralelă cu drea pta OI.
Demonstrație. Deoarece punctul lui Feuerbach al triunghiului ABC este ortopolul dreptei
OI, dreapta lui Simson a punctului ϕ în raport cu triunghiul median al triunghiului ABC se
află la egală distanță de punctul ϕși dreapta OI, deci dreapta lui Simson a punctului ϕeste
paralelă cu OI.
10) Fie ϕ punctul lui Feuerbach al triunghiului ABC și , , a b c M M M mijloacele laturilor
BC, AC respectiv AB. Una din distanțele , , a b c M M M ϕ ϕ ϕ este egală cu suma celorlalte
două.
Demonstrație. Fără a restrânge generalitatea presupunem
că .> > b c a Fie P punctul de intersecție dintre aMϕ și
cercul înscris în triunghiul ABC și aC punctul de contact
al cercului înscris cu latura BC. Atunci,
2
2( ) ,4−⋅ = = a a a a b c M P M M C ϕ iar ,2=aMR
P rϕ
ϕ deoarece
ϕ este centrul de asemănare dintre cercul medial și
cercul înscris în triunghiul ABC. Astfel,
,2=−a
aMR
M P R rϕde unde ( ) ,2 2 −=−ab c R MR rϕ distanța
aMϕ este proporțională cu diferența −b c . Analog, se arată că ( )
2 2 −=−bc a R MR rϕ și
( ) .2 2 −=−cb a R M F R r Evident, . + = a b c M M M ϕ ϕ ϕ
11) ǎreapta lui Simson a punctului lui Feuerbach al triunghiului ABC în raport cu
triunghiul ortic a b c H H H al triunghiului ABC este paralelă cu OI.
Demonstrație. Deoarece triunghiurile a b c H H H și a b c M M M sunt triunghiuri S în cercul
median (vezi „Triunghiuri ortopolare”) cum dreapta lui Simson a unui punct în raport cu
triunghiurile S din aceeași familie păstrează aceeași direcție rez ultă concluzia.
A
B C I
aM aC ϕ
Fig. 268 P
266 12) ǎreapta lui Simson a punctului lui Feuerbach în raport cu triunghiul de contact
a b c CCC al triunghiului ABC este paralelă cu dreapta OI.
Demonstrație. Fie a b c PPP triunghiul determinat
de mijloacele arcelor ,a a H M ,b b H M
c c H M ale
cercului medial. Triunghiurile a b c PPP și
a b c M M M sunt triunghiuri S deoarece
1( ) ( ) ( ) , 2= − a a m P M m B m C
1( ) ( ) ( ) , 2= − b b m P M m C m A
1( ) ( ) ( ) , 2= − c c mPM m A m B deci suma algebrică a
măsurilor lor este egală cu zero. Deoarece
triunghiul de contact a b c CCC este omotetic cu
triunghiul a b c PPP (centrul de omotetie fiind
punctul lui Feuerbach ) rezultă că dreapta lui Sims on a punctului ϕ în raport cu triunghiul
a b c CCC este paralelă cu OI.
13) ǎreapta lui Simson a punctului lui Feuerbach al triunghiului ABC în raport cu
triunghiul de contact a b c CCC coincide cu dreapta lui Simson punctul lui Feuerba ch al
triunghiului ABC în raport cu triunghiul median a b c M M M .
Demonstrație. Deoarece dreapta lui Euler a triunghiului a b c CCC este OI, ortocentrul
triunghiului a b c CCC aparține dreptei OI și cum O este ortocentrul triunghiului median
a b c M M M , rezultă că dreapta lui Simson comună este paralel ă cu OI și trece la o distanță
egală de punctul lui Feuerbach și de dreapta OI.
14) Fie P mijlocul segmetului HI și O centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Punctul lui Feuerbach (ϕ) și centrul cercului înscris ( I ) al triunghiului ABC sunt
puncte inverse în cercul de centru 9O și raza 9PO .
Demonstrație. Deoarece punctele 9O, I și ϕ sunt coliniare
rezultă: 92OI PO = ,2 2
94=OI PO (1), iar din teorema lui
Euler avem : 2 2 2= − OI R Rr (2). Deoarece 92= − ROI r și
92=ROϕ (3) rezultă: 2
9 9 9 4 4 = ⋅OP O OI ϕ , adică
2
9 9 9 = ⋅OP O OIϕ , de unde rezultă concluzia.
15) Fie 1A proiecția vârfului A al triunghiului ABC pe dreapta OI și ϕ punctul lui
Feuerbach corespunzător triunghiului ABC. Punctele ϕ și 1A sunt simetrice față de
latura b c M M a triunghiului median .
Demonstrația rezultă din teorema 11- „Ortopolul unei drepte”.
A
B C aM bM cM
aH bH
cH
Fig. 269 aP bP
cP
H
P
O ϕ 9O
I
Fig. 270
267 16) Fie 1A proiecția vârfului A al triunghiului ABC pe dreapta OI, ϕ punctul lui
Feuerbach corespunzător triunghiului ABC și aH piciorul perpendicularei duse din A
pe BC. ǎreapta φaH și perpendiculara 1AA coborâtă din A pe OI sunt simetrice în
raport cu înălțimea aAH și se intersectează pe latura b c M M a triunghiului median .
Demonstrația rezultă din simetria punctelor 1A și φ în raport cu latura b c M M .
17) Fie a b c M M M triunghiul median, a b c H H H triunghiul ortic, a b c CCC triunghiul de
contact al unui triunghi ABC și ϕpunctul lui Feuerbach corespunzător. ǎreapta aCϕ
este bisectoarea unghiului
a a H M ϕ.
Demonstrație. Fie D punctul în care tangenta în ϕ la cercul lui Euler intersectează latura
BC și E punctul de intersecție dintre dreapta aCϕ cu cercul lui Euler. Atunci, aD DC ϕ≡ ,
deci
a a D C DC ϕ ϕ ≡ . Dar 1( ) [ ( ) ( )] 2a a a mDC m H mEM ϕ ϕ = + și
1 1 ( ) ( ) [ ( ) ( )] 2 2 a a a a a mDC m C m H mHC ϕ ϕ ϕ = = + , de unde rezultă că ( ) ( )] a a a mEH mH C = , deci
a a a a H C C M ϕ ϕ ≡ , adică aCϕ este bisectoarea unghiului
a a H M ϕ .
aM I
aC ϕ
aH
E D
Fig. 271 A
B C
268 18) Fie a b c CCC triunghiul de contact al unui triunghi ABC , I centrul cercului înscris în
triunghiul ABC și ' ' ' , , a b c C C C punctele diametral opuse punctelor , , a b c C C C în cercul
înscris, iar ', ', ' A B C mijloacele segmentelor , , AI BI respectiv CI. ǎreptele
' ' ' ' , ' , ' a b c AC BC C C sunt concurente în punctul lui Feuerbach ( ) ϕ
Demonstrație. Fie "A punctul de intersecție dintre paralela dusă din aC la AI și înălțimea
aAH . Atunci, 1" " [ ( ) ( )] 2a a A AI H A C m B m C ≡ = − (vezi „Drepte izogonale”). Cum
[ ]1( ) ( ) ( ) 2a a mH C m B m C ϕ= − rezultă "a a a a a H AI H C H A C ϕ≡ ≡ , deci
patrulaterul "a a H C A ϕ este inscriptibil ,de unde " " ( 90 ) a a a A C A H C ϕ≡ = ° și cum
'
a a CC este diametru în cercul lui Euler rezultă că punct ele ', ", aA C ϕ sunt coliniare. Cum
", ' A A și '
aC sunt colinire rezultă că punctele ', ', aA C ϕ sunt coliniare.
19) Ionsecință: Fie ' ' ' , , a b c C C C punctele diametral opuse vârfurilor , , a b C C respectiv cC
ale triunghiului de contact al triunghiului ABC, în cercul înscris triunghiului ABC.
Iercurile de diametru ' ' ' , , a a b b c c CC CC CC se intersecteaza în puntul lui Feuerbach al
triunghiului ABC .
Demonstrația rezultă din teorema precedentă.
A
B C A'
A"
I
aH
aM '
aC ϕ
aC bC
cC
Fig. 272
269 II.13. Teorema lui Desargues 107
„Matematica a apărut și se dezvoltă, printr-un cont inuu proces de modelare la nivelul Gândirii a fenom enelor lumii
fizice,Matematica servind, pe această cale, înțele gerii acestor fenomene.” – Aristotel 108
Teorema lui Desargues
Punctele de intersecție ale dreptelor omologe, a do uă triunghiuri omologe coplanare,
sunt coliniare .
Demonstrație .
Fie ABC și ' ' ' ABC două triunghiuri coplanare astfel încât ' ' ' { } AA BB CC O ∩ ∩ = .
Teorema lui Menelaus aplicată triunghiurilor , , OBCOCAOAB și transversalelor ' ' BC ,
' ' C A respectiv ' ' AB dă: ' ' 1' ' ⋅ ⋅ = LC B B C O
LB B O C C , ' ' 1' ' ⋅ ⋅ = MA C C AO
MC C O A A ,
'' ' 1'⋅ ⋅ = NB A A BO
NA AO BB , relații care prin înmulțire membru cu membru dau:
1LC NB MA
LB NA MC ⋅ ⋅ = și conform teoremei lui Menelaus aplicată triunghi ului ABC și
punctelor , , LM N rezultă că punctele , , LM N sunt coliniare.
Observație: Dreapta ce conține punctele , , LM N se numește axa de omologie .
Triunghiurile ABC și ' ' ' ABC se numesc omologice.
107 Gérard Desargues (1591-1661) – matematician france z , fondatorul geometriei proiective
108 Aristotel (384-322 î.e.n.) – filosof grec
M
A
B
C
L C' B' A' N
Fig. 273 O
270 Reciproca teoremei lui Desargues
Fie triunghiurile ABC și ' ' ' ABC cu proprietatea că există punctele , , LM N astfel
încât { } ' ' = ∩ L BC BC , { } ' ' = ∩ M AC AC și { } ' ' = ∩ N AB AB , iar dreptele 'AA și 'BB
nu sunt paralele. ǎoar punctele ,LM și Nsunt coliniare, atunci dreptele 'AA , 'BB și
'CC sunt concurente.
Demonstrație. Fie { } ' ' = ∩ O AA BB . Dar { } ' ' = ∩ ∩ N AB AB MN și conform teoremei lui
Desargues, dreptele suport ale laturilor triunghiul ui 'LB B și 'MAA se intersectează doar
câte două în trei puncte coliniare O, Cși 'C: { } ' ' = ∩ O AA BB , { } = ∩ C LB MA .,
{ '} ' ' = ∩ C MA LB , deci '∈O CC , adică dreptele ', ', ' AA BB CC sunt concurente în
punctul O.
Fie triunghiurile omologice ABC și
' ' ', ABC P centrul lor de omologie, M un
punct în planul triunghiului ABC,
1 2 3 MM M triunghiul cevian al lui M în
raport cu triunghiul ABC și
1 1 2 2 { } ' ',{ } ' ', M PM BC M PM C A = ∩ = ∩
3 3 { } ' '. M PM AB = ∩ ǎreptele PM, '
1' , AM
'
2'B M și 3' ' C M sunt concurente.
Demonstrație. Fie { } ' ', X BC BC = ∩
{ } ' ', Y CA C A = ∩ { } ' '. Z AB AB = ∩ Din
teorema lui Desargues rezultă că punctele X,
Y, Z sunt coliniare. Din reciproca teoremei
lui Desargues rezultă că triunghiurile 'AAY
și 1 1 'MM X sunt omologice, 'PCC fiind
axa lor de omologie, deci dreptele
1 1 , ' ' AM AM și YX sunt concurente într-un
punct Q. Analog, triunghiurile 'CC X și
3 3 'M M Z sunt omologice, 'PB B fiind axa
lor de omologie, deci dreptele 3 3 , ' ' CM C M
și XZ sunt concurente într-un punct R . Fie
{ '} ' ' . M AQ C R = ∩ Triunghiurile 'CC R și
'AAQ sunt omologice, centrul de omologie
fiind punctul Y iar axa de omologie este '. PMM Atunci dreptele 3 1 ' ', ' ' C M AM și PM sunt
concurente și analog 1 2 ' ', ' ' AM B M și PM sunt concurente de unde rezultă concluzia.
Y
A
B
C
X C' B' A' Z
Fig. 274 P M 1M 2M
3M Q
R '
1M '
2M '
3M
M '
271 II.14. Teorema lui Döttl
„Lucrul cel mai uimitor este că raționamentele mate matice cele mai abstracte
sfârșesc prin a lărgi cunoașterea noastră de spre lume.” – Albert Einstein 109
Fie triunghiul ABC și ' ( ), ' ( ), ' ( ) A BC B CA C AB ∈ ∈ ∈ astfel încât dreptele ', ', ' AA BB CC
sunt concurente. ǎacă " ( ' '), " ( ' '), " ( ' ') A BC B C A C AB ∈ ∈ ∈ astfel încât dreptele
' ", ' ", ' " A A B B C C sunt concurente, atunci dreptele ", ", " AA BB CC sunt concurente.
Demonstrație. Fie { } " ,{ } " ,{ } " X AA BC Y BB AC Z CC AB = ∩ = ∩ = ∩ (Fig. 275). Din
teorema lui Menelaus (pentru patrulatere) aplicată
patrulaterului ' ' BCBC și punctelor coliniare
, , " , X A A A avem: ' " ' 1, ' " ' BX CA B A C A
XC AB A C AB ⋅ ⋅ ⋅ =
de unde ' " '
' " ' BX AB AB A C
XC AC AC A B = ⋅ ⋅ (1). Analog,
' " '
' " ' CY BC BC B A
YA BA BA B C = ⋅ ⋅ (2) și ' " '
' " ' AZ CA CA C B
ZB CB CB C A = ⋅ ⋅
(3). Deoarece dreptele ', ', ' AA BB CC respectiv
' ", ' ", ' " A A B B C C sunt concurente, din teorema lui
Ceva rezultă: ' ' ' 1' ' ' AB BC C A
AC B A C B ⋅ ⋅ = și
" ' " ' " ' 1" ' " ' " ' A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = (4). Înmulțind relațiile (1), (2) și (3) membru c u membru și ținând
cont de relațiile (4) rezultă 1, BX YC ZA
XC YA ZB ⋅ ⋅ = iar din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că
dreptele ", ", " AA BB CC sunt concurente.
II.15. Teorema lui Van – Aubel
„Învățând matematica, înveți sa gandești.” – Grigor e Moisil 110
Teorema lui Van-Aubel
ǎacă AD, BE și CF sunt trei ceviene concurente într-un punct P interior triunghiului
ABC , atunci .AP AF AE
PD FB EC = +
Demonstrație. Avem: [ ]
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ]APB APC APB APC
BPD PCD BPD PCD A A A A AP
PD A A A A +
= = = +de unde rezultă că:
109 Albert Einstein (1879-1955) – fizician german, prof esor universitar la Berlin și Princeton, laureat a l Premiului
Nobel
110 Grigore Moisil (1906-1973) – matematician român, p rofesor la Universitatea din Iași, membru al Academ iei
Române A
B
C A' B'
C'
X Y Z
Fig. 275 A"
B" C"
272 [ ] [ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ] (1). APB APC APB APC
BPC BPC BPC A A A A AP
PD A A A +
= = + Dar [ ]
[ ][ ]
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
[ ] (2) ACF APF ACF APF APC
FCB FPB FCB FPB BPC A A A A A AF
FB A A A A A −
= = = = −
și analog [ ]
[ ] (3). APB
BPC AAE
EC A = Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă concluzia.
1) ǎacă D, E, F sunt mijloacele laturilor triunghiului ABC , atunci P este centrul de
greutate al triughiului ABC și relația lui Van – Aubel devine 2 . AG GD =
2) ǎacă P este I, centrul cercului înscris triunghiului
ABC, atunci , , AF b AE c
FB a EC a = = relația lui Van Aubel
devenind 1, AI b c
ID a += > relație ce arată că I este mai
„aproape” de piciorul bisectoarei D, decât de vârful A.
3) ǎacă P este H, ortocentrul triunghiului ABC, atunci
, , AF tgB AE tgC
FB tgA EC tgA = = relația lui Van Aubel devenind
cos .cos cos AH A
HD B C =⋅
4) ǎacă P este punctul lui Lemoine K al triunghiului ABC, atunci
2 2
2 2 , , AF b AE c
FB EC a a = = relația lui Van – Aubel devenind 2 2
2AK b c
KD a+= .
5) ǎacă P este punctul lui Gergonne ,Γatunci , , AF p a AE p a
FB p b EC p c − − = = − − de unde
( )
( )( ) A a p a
D p b p c Γ − =Γ − − .
6) ǎacă P este primul punct Brocard Ω, atunci 2 2
2 2 , , AF b AE b
FB EC c a = = de unde
2 2 2 2
2 2 A ab bc
D ac Ω + =Ω.
7) ǎacă P este al doilea punct al lui Brocard 'Ω, atunci 2 2
2 2 ,AF c AE c
FB EC a b = = și relația lui
Van Aubel devine 2 2 2 2
2 2 '.'A bc ac
D ab Ω + =Ω
A
B C
E
P
D F
Fig. 276
273 8) În triunghiul ABC fie cevienele AD, BE și CF concurente într-un punct P astfel încât
,k k BD AB AF AC
DC AC FB BC = = și , . kAE AB kEC BC = ∈ Atunci: .k k
kAP AC AB
PD BC +=
Demonstrație: Notăm cu a, b, c lungimile laturilor BC, CA respectiv AB . Din teorema lui
Van – Aubel rezultă că .k k
kAP AF AE AC AB
PD FB EC BC += + =
Observații:
1) Dacă pe latura BC a triunghiului ABC se consideră un punct D astfel încât
,kBD AB kDC AC = ∈ atunci dreapta AD se numește ceviană de rang k .
2) i) Mediana AD este o ceviană de rang 0, ( 0), k= deoarece 0
1BD AB
DC AC = = .
ii) Bisectoarea AD este o ceviană de rang 1, ( 1), k= deoarece 1BD AB
DC AC = .
iii) Simediana AD este o ceviană de rang 2, ( 2) k=, deoarece 2BD AB
DC AC = .
iv) Antibisectoarea AD este o ceviană de rang ( 1),( 1), k− =− deoarece 1
.BD AB
DC AC − =
9) ǎacă P este punctul de concurență a trei ceviene de rang k și M este un punct din
planul triunghiului ABC , atunci: ,k k k
k k k a MA b MB c MC MP a b c ⋅ + ⋅ + ⋅=+ + uuur uuur uuuu r uuur
(unde a, b, c sunt
lungimile laturilor BC, CA respectiv AB ).
Demonstrație. Fie cevienele AD, BE și CF ceviene de rang k . Din triunghiul MAD:
,1MA MB MP λ
λ+=+uuur uuur uuur
unde .AP
PD λ= Conform teoremei
(1), ,k k
kAP b c
PD a+= deci ( ) .k k k
k k k a MA b c MD MP a b c ⋅ + + =+ + uuur uuuu r uuur
În triunghiul MBC , ,k k BD AB c
DC AC b = = deci
1k
k k
k k k cMB MC b MD c MC bMD b c c
b + + = = + + uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r
de unde
.k k k
k k k a MA b MB c MC MP a b c ⋅ + ⋅ + ⋅=+ + uuur uuur uuuu r uuur
A
B C
E
P
D F
Fig. 277 M
274 Cazuri particulare :
1) Pentru 0, k P G = ≡ relația din teoremă devine .3MA MB MC MG + + =uuur uuur uuuu r uuuu r
2) Pentru 1, , k P I= ≡ relația din teoremă devine: .aMA bMB cMC MIa b c + + =+ + uuur uuur uuuu r uuu r
3) Pentru 2, k P K = ≡ (punctul lui Lemoine), relația din teoremă devine:
2 2 2
2 2 2 .a MA b MB c MC MK a b c + + =+ + uuur uuur uuuu r uuuu r
4) Pentru 1, k P Z =− ≡ (punctul de recurență al antibisectoarelor), relaț ia din teoremă
devine: .bcMA acMB abMC MZ ab bc ac + + =+ + uuur uuur uuuu r uuur
10) Fie P punctul de concurență a trei ceviene de rang k, M un punct din planul unui
triunghi ABC. Atunci: 2 2 2 2 2 2
2
2( ) .( ) k k k k k k k k k
k k k k k k a MA b MB c MC abc a b c MP a b c a b c − − − + + + + = − + + + +
Demonstrație. Utilizând teorema precedentă avem: 2⋅ = = uuur uuur
MP MP MP
2 2 2 2 2 2
21( 2 2 2 ) ( ) + + + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅+ + uuur uuur uuur uuuu r uuur uuuu r k k k k k k k k k
k k k a MA b MB c MC ab MA MB bc MB MC ac MA MC a b c
Dar 2 2 2
2 2 2 1cos ( ) 2 2 MA MB AB MAMB MAMB AMB MAMB MA MB AB MAMB + − ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = + − ⋅uuur uuur
și
analoagele. Înlocuind în relația precedentă va da r elația cerută.
Cazuri particulare :
1) Pentru 0, k P G = ≡ , relația din teoremă
devine: 2 2 2 2 2 2
2
3 9 MA MB MC a b c MG + + + + = − (relația lui Leibniz).
2) Pentru 1, , k P I= ≡ relația devine 2 2 2
2aMA bMB cMC abc MIa b c + + − =+ + .
3) Pentru 2, , k P K = ≡ relația devine 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 3
( ) a MA bMB c MC abc MK a b c a b c + + = − + + + + .
4) Pentru 1, , k P Z =− ≡ relația devine
2 2 2 3 3 3
2
2( ) .( ) bcMA acMB abMC abca b c MZ ab bc ac ab bc ac + + + + = − + + + +
11) În triunghiul ABC fie cevienele de ordin k AD, BF și CE ( ) ∈kconcurente într-un
punct P. ǎacă ( ) ∈M AB și ( ) ∈N AC dreapta MN trece prin P dacă și numai dacă:
,k k k MB NC b c a MA NA ⋅ + ⋅ = (unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA , respectiv AB).
Demonstrație. Utilizând teorema transversalei în triunghiul ABC cu ceviana AD și secanta
MN rezultă (1). MB DC NC BD PD
MA BC NA BC PA ⋅ + ⋅ = Din relația lui Van-Aubel avem:
275 + = AE AF AP
EB FC PD adică +=k k
kb c AP
PD a, deci =+k
k k PD a
AP b c . Din k
kDC b
BD c= rezultă
k
k k DC b
BC b c =+ și (2). k
k k BD c
BC b c =+ Din relațiile (1) și (2) rezultă .k k k MB NC b c a MA NA ⋅ + ⋅ =
Reciproc, fie .k k k MB NC b c a MA NA ⋅ + ⋅ = Fie { } . = ∩ R MN AD Atunci,
.MB DC NC BD RD
MA BC NA BC RA ⋅ + ⋅ = Din ipoteză avem 1, k k b MB c NC
a MA a NA ⋅ + ⋅ = adică
1. AE MB AF NC
EB MA FC NA ⋅ + ⋅ = Din teorema lui Menelaus aplicată în triunghiul ABD și
transversala EC rezultă AE AP DC
EB PD BC = ⋅ și analog .AF AP BD
FC PD BC = ⋅ Atunci,
,MB DC NC BD PD
MA BC NA BC PA ⋅ + ⋅ = deci ,PD RD
PA RA = de unde rezultă că .P R ≡
Cazuri particulare:
1) Dacă ,P G ≡atunci 0. k= Dreapta MN trece prin G dacă și numai dacă 1. MB NC
MA NA + =
2) Dacă ,P I≡atunci 1=k . Dreapta MN trece prin I dacă și numai dacă
.MB NC b c a MA NA ⋅ + ⋅ =
3) Dacă ,≡P K atunci 2=k . Dreapta MN trece prin punctul lui Lemoine al triunghiului
ABC dacă și numai dacă 2 2 2 .MB NC b c a MA NA ⋅ + ⋅ =
4) Dacă P Z ≡ (punctul de concurență al antibisectoarelor), atun ci 1=− k . Dreapta MN
trece prin Zdacă și numai dacă 1 1 1 .MB NC
b MA c NA a ⋅ + ⋅ =
12) Orice ceviană de ordinul k este locul geometric al punctelor pentru care dist anțele la
două laturi ale triunghiului sunt proporționale cu acele laturi la puterea (k-1).
Demonstrație. Fie AD o ceviană de ordinul k, ( ), ( ) D BC M AD ∈ ∈ , iar 1 2 3 , , M M M
proiecțiile lui M pe AC, AB , respectiv BC . Notăm cu x, y, z lungimile segmentelor
1 2 ,MM MM și 3MM , iar cu 1ϕ și 2ϕ măsurile unghiurilor
BAD , respectiv .CAD Avem: ,kBD c
DC b =
[ ] 1 1
[ ] 2 2 sin sin ,sin sin BAD
DAC A AD c BD c
A DC AD b b ϕ ϕ
ϕ ϕ ⋅ ⋅= = = ⋅⋅ ⋅ de unde
1
1
2sin
sin kc
bϕ
ϕ− = (1) (Fig. 278). Din triunghiurile
dreptunghice 2AM M și 3AM M rezultă 1sin z
AM ϕ= și A
B C
2M
M
D 3M
Fig. 278 1M x y z 1ϕ 2ϕ
276 2sin , y
AM ϕ= de unde 1
2sin (2). sin z
yϕ
ϕ= Din relațiile (1) și (2) rezultă 1 1 .k k z y
c b − − = Analog,
se arată că 1 1 ,k k z y
a b − − = de unde 1 1 1 .k k k z y z
a b c − − − = =
13) Fie AD, BE, CF ceviene de ordinul k în triunghiul ABC, { } M AD BE CF = ∩ ∩ și x,
y, z proiecțiile lui M pe laturile BC, CA, respectiv AB. Atunci,
[ ]
1 1 1 2.ABC
k k k k k k A z y z
a b c a b c − − − = = = + +
Demonstrație: Din 1 1 1 k k k z y z
a b c − − − = = rezultă [ ] 2.ABC
k k k k k k k k k A ax by cz ax by cz
a b c a b c a b c + + = = = = + + + +
II.16. Teorema lui Descartes 111
„Esența Matematicii constă în libertatea sa”- Georg Cantor 112
1) Fie triunghiul ABC și I centrul cercului înscris în acest triunghi. Există doar trei
cercuri care să aibă centrele în vârfurile triunghi ului, sunt tangente exterioare două câte
două și I are puteri egale față de cele trei cercuri.
Demonstrație. Fie ', ', ' A B C punctele de tangență dintre cele trei cercuri (Fig . 279).
Evident, punctele de tangență sunt situate pe latur ile triunghiului. Notând
1 ' ' AB AC r= = ,2 ' ' BA BC r= = și 3 ' ' CA CB r= = obținem
2 3 3 1 1 2 , , r r a r r b r r c + = + = + = , de unde 1 2 3 , , r p a r p b r p c = − = − = − ( 1 2 3 p r r r= + +
fiind semiperimetrul triunghiului ABC ) relații care arată că cercurile sunt unic determi nate.
Punctele ', ', ' A B C coincid cu punctele de tangență ale cercului înscr is cu laturile
triunghiului (vezi „Cercul înscris”), deci I are puteri egale față de cele trei cercuri.
2) Ionsecință: ǎacă r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, atunci
2 1 2 3
1 2 3 .rrrrr r r=+ +
Demonstrație. Din relațiile 2
[ ] 1 2 3 1 2 3 ( )( )( ) ( ) ABC A p p a p b p c r r r rrr= − − − = + + și [ ] ABC A rp =
rezultă concluzia.
Fie patru cercuri C1 , C2 , C3 , C4 tangente două câte două în șase puncte distincte. F iecărui
cerc îi corespunde numărul 1, 1,4
i
iiRε= = , unde iR reprezintă raza cercului Ci , i 1,4. =
Dacă toate cercurile sunt tangente exterior, atunci numerele
iε se consideră cu semnul „+”,
(Fig. 279), iar dacă trei dintre aceste cercuri sunt tangente i nterior celui de-al patrulea cerc,
111 René Descartes (1596-1650) – matematician și filos of francez, contribuții în geometrie
112 Georg Cantor (1845-1918) – matematician german, cr eator al teoriei mulțimilor
277 atunci numărul
iε corespunzător cercului ce are raza de lungime maxi mă este egală
cu 1=−
i
iRε (Fig. 280) .
Teorema lui Descartes
2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 2( ) ( ) ε ε ε ε ε ε ε ε + + + = + + + .
Demonstrație. Cercurilor C1 , C2 , C3 , C4 le corespund cercurile ' ' ' '
1 2 3 3 , , , C C C C , tangente două
câte două în șase puncte (Fig. 281) și notăm cu iη numerele '1, 1,4 =
iiR, unde '
iR sunt
razele cercurilor ', 1,4 =iC i . Cercul '
1C – de exemplu – are trei puncte de tangență în comu n
cu cercurile C2 , C3 , C4 ; analog se definesc cercurile ' ' '
2 3 3 , , C C C . Dacă , , ABC sunt centrele
cercurilor C1 , C2 , respectiv C3 , atunci '
4Ceste cercul înscris sau un cerc exînscris al
triunghiului ABC . Corespunzător primului caz (Fig.279) avem:
4 1 2 3 1 1 1 1 , , , = = = =− − − − p a p b p c rε ε ε η , iar corespunzător celui de-al doilea caz
avem: 4 1 2 3 1 1 1 1 , , , =− = = =− − − a p p c p b rε ε ε η .Atunci: 2 3 1 2 1 3 1 2 3
1 2 3 1 1 1 + + = + + ⋅ =
ε ε εε εε εε ε ε ε ε
2
4 2( ) ( ) ( ) 1
( )( )( ) ( )( )( ) − + − + − = = = − − − − − − p a p b p c p
p a p b p c p a p b p c rη (în primul caz); sau
A B
C p p b − p c −
Fig. 280 A B
C p a −
p b −
p c −
Fig. 279 A' B' C'
278
2
2 3 1 2 1 3 4 ( )( ) ( ( ) − − − + + = = = − − − − − p a p b c
p p c p b p p b p c ε ε ε ε ε ε η , deci 2
2 3 1 2 1 3 4 ε ε ε ε ε ε η + + = .
Analog se arată că 2 3 1 1 2 2
3 4 ηη ηη ηη ε + + = , iar permutând indicii se obține altă relație
derivată. Atunci, 4 4
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
1 4 1 1 ( ) 2 i j i i
i j i iε ε ε ε ε ε ε ε εε ε η
≤ < ≤ = = + + + = + + + + = + = ∑ ∑ ∑
2
1 2 3 4 ( ) η η η η + + + (datorită simetriei relațiilor precedente), de und e
1 2 3 4 1 2 3 4 0 ε ε ε ε η η η η + + + = + + + > , 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 ( )( ) ( ) ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε + + − + + + = + + − =
2 2 2 2 2
1 2 3 4 4 2 3 3 4 4 2 1 3 3 4 4 1 1 2 2 4 1 4 2 ( ) ( ) ( ) ε ε ε ε η η η ηη η η ηη ηη η η ηη η η ηη + + − − = + + + + + + + + −
2 2
1 2 2 3 3 1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 1 2 3 4 4 1 2 3 4 ( ) 2 2( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ηη ηη ηη η ηη ηη ηη η η η η η η η ε ε ε ε + + + = + + + = + + + = + + +
de unde 1 2 3 4 4 2 ε ε ε ε η + + − = . Analog se arată că
1 2 3 4 1 2 ε ε ε ε η − + + + = ,1 2 3 4 2 2 ε ε ε ε η − + + =− ,1 2 3 4 3 2 ε ε ε ε η + − + =− . Ridicând relațiile
precedente la pătrat și sumându-le rezultă: 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 ε ε ε ε η η η η + + + = + + + , de unde
4 4
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4
1 1 2( ) ( ) i i
i iε ε ε ε ε η ε ε ε ε
= = + + + = + = + + + ∑ ∑ .
Soluția 2. Fie A,B,C,D centrele cercurilor C1 , C2 , C3 , respectiv C4 și 1 2 3 4 , , , R R R R razele
acestor cercuri. Semiperimetrul triunghiului BCD este egal cu 2 3 4 + + R R R . Din teorema
cosinusului și formula unghiului pe jumătate rezult ă:
2 4 2 3 4
2 4 3 4 ( ) 1 cos cos 2 2 ( )( ) + + += = + + R R R R BDC BDC
R R R R și
2 2 3
2 4 3 4 1 cos sin 2 ( )( ) −= = + + RR BDC
R R R R . Utilizând egalitatea
2 2 2 sin sin sin 2sin sin sin 0 − − + = x y z x y z pentru C1
C3
C4
4'
2C '
4C '
3C
C2 '
1C
Fig. 281
279 1 1 1 ( ), ( ), ( ) 2 2 2 = = = x m BDC y m ADC z m ADB relația precedentă devine:
1 2 3 4 2 3 4 2 3 1 3 1 2
2 4 3 4 1 4 3 4 1 4 2 4 1 4 2 4 3 4 2 ( ) 0( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) + + − − + = + + + + + + + + + R RRR R R R RR RR RR
R R R R R R R R R R R R R R R R R R
sau 3 4 4 2 3 4 1 4 2 4
1 2 3 2 3 ( ) 2 0 + + + + + − − + = R R R R R R R R R R
R R R RR , egalitate echivalentă cu
1 2 3 4 2 3 3 4 4 2 2 0 − − − + + + = ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε . Atunci 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 ( ) ( ) + + + = − − − + ε ε ε ε ε ε ε ε
2 2 2 2 2
1 2 1 3 1 4 2 3 3 4 4 2 1 2 1 3 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 4( ) 4( ) 4( ) 2( ) 2( ) + + + + + + + + = + + + − + + + εε εε εε εε εε εε εε εε εε ε ε ε ε ε ε ε ε
de unde rezultă 2 2 2 2 2
1 2 3 4 1 2 3 4 2( ) ( ) . + + + = + + + ε ε ε ε ε ε ε ε
Observație : Cantitățile iε și iη, 1,4 i= se numesc numerele lui Beecroft ..
Ionsecințe :
i) 1 1 2 2 3 3 4 4 ε η ε η ε η ε η + = + = + = + .
ii) 1 1 2 2 3 3 4 4 0 ε η ε η ε η ε η ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = .
Demonstrație.
i) Avem 1 2 3 4 1 2 ε ε ε ε η − + + + = , deci 1 2 3 4 1 1 2 2 1( ) 2ε ε ε ε η ε ε η + + + = + = + =
3 3 4 4 . ε η ε η + = +
ii) Avem: 24 4 4 4 4
2 2
1 1 1 1 1 1( ) 0 2i i i i i i i i
i i i i iεη ε ε η ε ε ε
= = = = = = + − = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ .
II.17. Teorema lui Pompeiu 113
„Dimitrie Pompeiu știa să privea scă lucrurile vechi cu ochi noi.” – Paul Montel 114
Fie triunghiul echilateral ABC și M un punct în
planul sau ce nu aprține cercului circumscris
triunghiului. ǎistanțele MA, MB, MC reprezintă
lungimile laturilor unui triunghi .
Demonstrație. Soluția 1. Fie 'M punctul obținut
din M prin rotația de centru A și unghi de 60ș.
Atunci 'MM MA ≡ (deoarece triunghiul AMM’
este echilateral). Din congruența triunghiurilor
BAM și 'CAM ( 'AM AM ≡,BA CA ≡,
) ) ( ( ' mBAM mCAM = = ) 60 ( mCAM °+ ), rezultă
', MB CM ≡ deci lungimile laturilor triunghiului
113 Dimitrie Pompeiu (1873-1954) –matematician român, profesor la Universitatea din Iași, membru al Acade miei
Române, contribuții importante în analiza matematic ă
114 Paul Montel (1876-1975) – matematician francez, me mbru al Academiei Franceze, contribuții în analiza
matematică A
B C M M '
Fig. 282 60 °
280 'MM C sunt egale cu cele ale segmentelor MA, MB, MC (Fig.282).
Observație: Dacă punctul M se află pe centrul cercului circumscris triunghiul ui echilateral
ABC , atunci conform teoremei lui Schooten segmentul cu cea mai mare lungime dintre
segmentele MA, MB , și MC au lungimea egală cu suma lungimilor celorlalte do uă.
Soluția 2. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzătoare. Plecând de la relația
evidentă: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 (1) m a b c m b c a m c a b − − + − − + − − = rezultă:
( )( ) ( )( ) ( )( ) m a b c m b c a m c a b − − =− − − − − − . Trecând la modul în egalitatea precedentă
obținem: ( )( ) ( )( ) m a b c m a c a m c a b − − = − − + − − ≤ m b c a m c a b − − + − − , de
unde: m a m b m c − ≤ − + − adică . MA MB MC ≤ + Cum M nu aparține cecului
circumscris triunghiului ABC rezultă . MA MB MC < + Din simetria relației (1) rezultă
inegalitățile MB MC MA < + și MC MA MB < + , adică segmentele MA, MB, MC
determină un triunghi.
II.18. Teorema lui Erdös – Mordell
„Nu poate exista un limbaj mai universal și mai si mplu, mai lipsit de greșeli și de confuzii, adică m ai
demn de a exprima raporturile invariabile dintre re alitățile naturale. Matematica este tot atât de cup rinzătoare ca
însăși natura. Ea definește toate raporturile sensi bile, măsoară timpul, spațiile, forțele și temperat urile. Știința
aceasta dificilă se formează cu încetul, dar păstre ază toate principiile odată ce și le-a însușit. Ea crește și se
consolidează fără încetare, în mijlocul atâtor eror i ale spiritului uman.” – Baptiste Joseph Fourier 115
ǎacă P este un punct în interiorul unui triunghi ABC , atunci
1 1 1 2( ) PA PB PC PA PB PC + + ≥ + + , unde 1 1 1 , , A B C sunt proiecțiile punctului P pe
laturile BC, AC, BA ale triunghiului ABC .
Demonstrație. Soluția 1. Notăm cu
', ', ' a b c lungimile segmentelor PA, PB,
PC și cu x, y, z lungimile segmentelor
1 1 1 , , . PA PB PC Din teorema cosinusului
în triunghiul 1 1 PBC rezultă:
2 2
1 1 2 cos = + + BC y z yz A (1). Cum
patrulaterul 1 1 ACPB este inscriptibil
rezultă 1 1 1 (2). ABC APC = Deoarece
1
1 sin AC APC AP = , atunci 1 1 'sin = = BC PA a A
de unde 2 2 2 cos 'sin + + =y z yz A aA.
Analog se arată că 2 2 2 cos ' , sin + + =x z xz B bB 2 2 2 cos 'sin + + =x y xy C cC, de unde rezultă:
115 Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) – matematician și fizician francez, membru al Academiei Franceze,
contribuții în toate domeniile matematicii A
B C
1A 1B
1C
P a '
b' c'
x y z
Fig. 283 2C
2B
281 2 2 ( sin sin ) ( cos cos ) ' ' ' sin + + − + + = + + = + y C z B y C z B PA PB PC a b c A
2 2 2 2 ( sin sin ) ( cos cos ) ( sin sin ) ( cos cos )
sin sin z A x C z A x C x B y A x B y A
B C + + − + + − + + și de
aici avem: sin sin sin sin sin sin ' ' ' sin sin sin + + + + + ≥ + + y C z B z A x C x B y A a b c A B C ,
adică sin sin sin sin sin sin ' ' ' sin sin sin sin sin sin + + ≥ + + + + + C A B A B C a b c y z x A C A B C B , deci
' ' ' 2( ) + + ≥ + + a b c x y z (unde am utilizat inegalitatea 2, , 0 x y x y y x + ≥ ∀ > ), cu egalitate
dacă triunghiul ABC este echilateral.
Soluția 2. Fie 2B și 2C proiecțiile punctelor B și C pe dreapta 1 1 .BC Avem
2 2 2 1 1 1 1 2 (1') ≥ = + + BC BC BC CB BC . Cum 2 1 1 1 , BCB ACP APB = = rezultă că
triunghiurile dreptunghice 2 1 BBC și 1ABP sunt asemenea, de unde rezultă că
1
2 1 1 (2') = ⋅BC BC PB AP și analog se arată că 1
1 2 1 (3') = ⋅BC BC PC AP . Cum patrulaterul
1 1 ACPB este inscriptibil, din inegalitatea lui Ptolemeu r ezultă:
1 1 1 1 1 1 , AC PB AB PC AP BC ⋅ + ⋅ = ⋅ de unde 1 1
1 1 1 1 (4') = ⋅ + ⋅PB PC BC AC AB AP AP . Din relațiile
(1'),(2'),(3') și (4') rezultă: 1 1 1 1
1 1 1 1 ≥ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅PB PB PC PC BC BC AC AB BC AP AP AP AP , de unde :
1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ⋅ ≥ + + + BC AP PB BC CA PC AB BC inegalitate echivalentă cu
1 1 ⋅ ≥ ⋅ + ⋅BC AP PB AB PC AC , deci 1 1 (5') ≥ ⋅ + ⋅AB AC AP PB PC BC BC . Urmărind același
raționament se obțin inegalitățile: 1 1 (6') ≥ ⋅ + ⋅BA BC BP PA PC AC AC și
1 1 (7') ≥ ⋅ + ⋅AC BC PC PA PB AB AB . Sumând inegalitățile ( 5 ') , ( 6 ') , ( 7 ')
și ținem cont de inegalitatea 2, , 0 + ≥ ∀ > x y x y y x , rezultă:
1 2 2 1 1 1 2( ) AB AC AB BC AC BC PA PB PC PA PB PC PA PB PC AC AB BC AB BC CA + + ≥ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ ≥ + +
Ionsecințe:
1) ǎacă triunghiul ABC este ascuțitunghic și H este ortocentrul triunghiului ABC ,
atunci 6 + + ≥ HA HB HC r , unde r este raza cercului înscris în triunghiul ABC .
Demonstrație. Dacă triunghiul ABC este ascuțitunghic și P coincide cu ortocentrul H al
triunghiului ABC din inegalitatea lui Erdös obținem:
1 1 1 2( ) (4) HA HB HC HA HB HC + + ≥ + + . Dacă , , a b c h h h sunt lungimile înălțimilor
triunghiului ABC , atunci (4) devine: 2( ) + + ≥ − + − + − a b c HA HB HC h HA h HB h HC ,
282 adică 2( ) (5) 3+ + ≥ + + a b c HA HB HC h h h , de unde se obține inegalitatea
2 2 2 2 4 1 1 1 .3 3 + + ≥ + + = + + S S S S HA HB HC a b c a b c Aplicând inegalitatea mediilor
rezultă 4 9 12 63 2 + + ≥ ⋅ = = + + S S HA HB HC ra b c p , deci: 6 (5) + + ≥ HA HB HC r .
2) Într-un triunghi ascuțitunghic ABC, 3cos cos cos . 2+ + ≤ A B C
Demonstrație. Dacă P coincide cu centrul cercului circumscris ( O) al triunghiului
ascuțitunghic ABC , avem: 2 2 2
2 2 2
1 1 1 3 2( ) 2 4 4 4
≥ + + = − + − + −
a b c R OA OB OC R R R ,
adică: 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4 ≥ − + − + − R R a R b R c inegalitate echivalentă cu
3 2 (cos cos cos ) ≥ + + R R A B C , deci 3cos cos cos (6) 2A B C + + ≤ (unde am ținut cont de
2 sin =a R A și de relațiile analoage).
3) ǎacă triunghiul ABC este ascuțitunghic și H este ortocentrul triunghiului atunci
3 + + ≤ HA HB HC R .
Demonstrație. Avem: 2 (cos cos cos ) 2 3/ 2 3 (7) + + = + + ≤ ⋅ = HA HB HC R A B C R R , unde
am utilizat relația (6).
4) În orice triunghi ABC este adevărătă relația: 2r R ≤ (Relația lui Euler).
Demonstrație. Din relațiile (5) și (7) rezultă 6 3 , r HA HB HC R ≤ + + ≤ de unde rezultă
relația lui Euler: 2 (8) r R ≤ .
5) ǎacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC , atunci
6 4 2 r AI BI CI R r≤ + + ≤ − .
Demonstrație. Dacă P coincide cu centrul cercului înscris I al triunghiului ABC , atunci
relația lui Erdös devine: 6 (9) AI BI CI r+ + ≥ . Cu
sin 2rAIA= și analoagele rezultă
sin sin sin sin sin sin 1 1 1 2 2 2 2 2 2
sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + = + + =
⋅ ⋅ A B B C C A
AI BI CI r rA B C A B C .
Ținând cont că sin sin sin 2 2 2 4 A B C r
R⋅ ⋅ = și de inegalitatea
2 2 2 , , , xy yz zx x y z x y z+ + ≤ + + ∀ ∈ rezultă:
2 2 2 4 1 cos 1 cos 1 cos sin sin sin 4 2 2 2 2 2 2 − − − + + ≤ ⋅ + + = + + R A B C A B C AI BI CI r R r de
unde: ( ) 2 3 cos cos cos 2 3 1 4sin sin sin 2 2 2 + + ≤ − + + = − − A B C AI BI CI R A B C R ,
283 deci 2 2 4 2 (10) + + ≤ − = − rAI BI CI R R rR. Din relațiile (9) și (10) rezultă:
6 4 2 r AI BI CI R r≤ + + ≤ − .
6) ǎacă G este centrul de greutate al triunghiului ABC , atunci 6 . + + ≥ GA GB GC r
Demonstrație. Dacă punctul P coincide cu centrul de greutate al triunghiului ABC , relația
lui Erdös devine: 1 1 1 2( ) + + ≥ + + GA GB GC GA GB GC . Ținând cont de faptul că
11
3aGA h = și de relațiile analoage avem:
( )2 2 2 2 2
3 3 a b c S S S GA GB GC h h h a b c + + ≥ + + = + + , adică:
4 1 1 1 4 9 12 63 3 2 S S S GA GB GC ra b c a b c p + + ≥ + + ≥ ⋅ = = + + .
7) ǎacă P este un punct în interiorul unui triunghi ABC , atunci
*
1 1 1 2( ), + + ≥ + + ∀ ∈ m m m m m m PA PB PC PA PB PC m , unde 1 1 1 , , A B C sunt proiecțiile
punctului P pe laturile BC, AC, BA ale triunghiului ABC .
Demonstrație. Din teorema lui Erdös rezultă: sin sin
sin sin C B PA y zA A ≥ + și analoagele.
Obținem: sin sin sin sin sin sin
sin sin sin sin sin sin m m m m m m
m m m m m m
m m m m m m C A C B B A PA PB PC x y zA C B C A B + + ≥ + + + + + ≥
( )*2 , m m m x y z m ≥ + + ∀ ∈ unde am aplicat inegalitatea dintre media aritmetic ă și
geometrică.
8) Generalizarea teoremei lui Erdös – Mordell
Fie P un punct arbitrar în planul triunghiului ABC și ', ', ' a b c distanțele de la P la
vârfurile A,B respectiv C și , , x y z distanțele de la P la laturile BC, CA , respectiv AB.
Atunci, ' ' ' + + ≥ + + + + + b c c a a b a b c x y zc b a c b a , cu egalitate dacă P este centrul
cercului circumscris triunghiului ABC .
Demonstrație. Fie 1h lungimea înălțimii duse din A pe latura BC . Avem:
[ ] 1 2 . = ⋅ = + + ABC A a h ax by cz Evident, 1 '+ ≥ a x h cu egalitate dacă și numai dacă punctul P
aparține înălțimii din A. Avem 1 '+ ≥ = + + aa ax ah ax by cz , de unde ' (11) ≥ + aa by cz .
A
B C B'
C' P x O x
Fig. 284
284
Fie ' ' ABC simetricul triunghiului ABC față de bisectoarea unghiului A (Fig.284 ). Atunci,
aplicând inegalitatea (11) pentru triunghiul ' ' ABC obținem: '≥ + aa cy bz adică
' z (12) ≥ + c b a y a a cu egalitate dacă punctul P aparține înălțimii din A a
triunghiului ' ' ABC , dreaptă ce trece prin centrul cercului circumscri s triunghiului ABC .
Analog, se obțin relațiile: ' x (13) ≥ + a c b zb b și ' y (14) ≥ + b a c x c c . Sumând inegalitățile
(12), (13) și (14) rezultă concluzia.
Observație: Dacă P este un punct interior triunghiului ABC , , , 0 >x y z , avem:
' ' ' 2( ) + + ≥ + + a b c x y z (unde am utilizat faptul că 2, , 0 a b ab b a + ≥ ∀ > ) care este
inegalitatea lui Erdös-Mordell. Egalitatea are loc dacă = = a b c , adică dacă
triunghiul ABC este echilateral și P este centrul cercului circumscris triunghiului ABC .
Teorema lui Barrow
9) ǎacă P este un punct interior triunghiului ABC , atunci
2( ' ' ') PA PB PC PA PB PC + + ≥ + + , unde ', ', ' PA PB PC sunt bisectoarele
unghiurilor , , BPC CPA APB ( ' ( ), ' ( ), ' ( )) A BC B AC C AB ∈ ∈ ∈ .
Demonstrație. Notăm cu a,b,c lungimile
segmentelor PA,PB respectiv PC și cu
, , α β γ măsurile unghiurilor , , BPC CPA
respectiv APB . Prin [ ] XYZ A notăm aria
triunghiului XYZ. Din
[ ] [ '] [ '] = + PBC PBA PCA A A A rezultă:
sin 'sin 'sin 2 2 ⋅ = ⋅ + ⋅PB PC PB PA PC PA α α α ,
deci 2' cos 2=+bc PA b c α. Utilizând
inegalitatea 2, , 0 1 1 xy x y
x y ≤ >
+, rezultă
' cos 2PA bc α≤ și analoagele.Atunci, 2( ' ' ') 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 PA PB PC bc ca ab α β γ + + ≤ + +
(*). Rămâne să demonstrăm că 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 a b c bc ac bc α β γ + + ≥ + + .
Deoarece 2+ + = α β γ π rezultă cos cos cos cos sin sin , 2 2 2 2 2 2 2 =− + =− + γ α β α β α β
inegalitatea de mai sus fiind echivalentă cu:
2
sin sin cos cos 0 2 2 2 2 a b a b c β α β α − + − − ≥ , ceea ce este adevărat. A
B C P
Fig. 285 B'
C'
A'
285 Egalitatea din ( ) ∗ se obține pentru = = a b c , adică dacă P este centrul cercului
circumscris triunghiului.
Generalizare a teoremei lui Erdös 116
Fie 1 2 3 , , λ λ λ +∈ și []0,1 , t∈iar P un punct în interiorul triunghiului .ABC Se notează
distanțele PA, PB, PC cu 1 2 ,x x respectiv 3x și cu 1 2 3 , , d d d distanțele de la laturile AB,
BC, respectiv CA. Atunci: 3 1 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3 2t t t
t t t t dd d x x x λ λ λ λλ λ
λ λ λ
+ + ≥ + + cu egalitate
dacă și numai dacă 3 1 2
2 2 2 t t ta b c λ λ λ = = și P este centrul cercului circumscris triunghiului
.ABC
Demonstrație. Se cunoaște că 1 1 3 2 3 1 3 1 2 , , c b a c b b x d d x d d x d d a a b b c a ≥ + ≥ + ≥ + .
Pentru 0 1 t< < rezultă 1 3 1 3
12 2 2 2 t tt
t t
t t tc b c b d d d d a a a a x ⋅ + ⋅ + ≥ ≥ ⋅
și analoagele.
Utilizând inegalitatea 12xx+ ≥ pentru 0x>rezultă: 1 1 2 2 3 3 t t tx x x λ λ λ + + ≥
2 3 3 1 1 2
1 2 3 22 2 2 t t t t t t
t t t tc b a c b a
b c c a a b d d d λ λ λ λ λ λ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥
2 3 1 3 2 1 2 3 2 ( 1 ) t t t td d d λ λ λ λ λλ ⋅ + ⋅ + ⋅ .
Observație: Dacă 1t>atunci, 3 1 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 2 3 2t t t
t t t dd d x x x λ λ λ λλ λ
λ λ λ
+ + ≥ + +
Ionsecințe:
1) 3 1 2
1 2 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2t
t t t t t td d d x x x λλ λ λλ λ
λ λ λ
+ + ≥ + +
2)
( )( )( )( )1 2 3 3 3 1 2 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 2t t t t
t t t txx x
xd xd xd xxx λλ λ λ λ λ
λ λ λ
+ + ≥ + +
3) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 1 1 2t t t t t
t t txd xd xd ddd
d d d λ λ λ λλ λ
λ λ λ
+ + ≥ + +
116 Paul Erdös (1913-1996) – matematician ungur, profe sor la Universitatea Notre Dame, contribuții import ante în
teoria numerelor și matematici discrete
286 4) ( )1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 1 1 2t t t t t
t t td d d ddd
d d d λ λ λ λλ λ
λ λ λ
+ + ≥ + +
i) Dacă P este centrul cercului înscris în triunghiul ABC , atunci 1 2 3 d d d r= = = și
1 2 3 cos , cos , cos . 2 2 2 A B C x r x r x r= = = Din consecința (2) și utilizând egalitatea
sin sin sin 2 2 2 4 A B C r
R= obținem: 1 2 3 sin sin sin 2 2 2 t t tA B C λ λ λ + + ≥
1 2 3
1 2 3 2 1 1 1 cos cos cos 2 2 2 2 t
t t tA B C
Rλλ λ λ λ λ + + ( (0,1]). t∈
ii) Dacă P este centrul de greutate al triunghiului ABC , atunci 3i
ihd=(ih,1,3 i= reprezintă
înălțimile ABC ,) și 1 2 3 2 2 2 , , . 3 3 3 a b c x AG m x m x m = = = = Din consecința (1) pentru
(0,1] t∈ rezultă: 3 1 2
1 2 3 1 2 3 1 1 1
t t t t t t
a b c h h h m m m λλ λ
λ λ λ
+ + ≥ + + . Dacă înlocuim t
i iλ λ =
obținem: 2 3 3 1 1 2 3t t t
a b c hh hh hh
m m m
+ + ≤
II.19. Teoremele lui Fagnano 117
„În univers urla un punct
de durerea unui cerc
care-l înconjoară.”
N. Stănescu 118
1) Fiind dat triunghiul ascuțitunghic ABC să se determine triunghiul înscris XYZ în
triunghiul ABC a cărui perimetru este minim.
Demonstrație. Soluția 1. Fie 'X și '' X simetricele punctului ( ) X BC ∈ față de laturile
AC, respectiv AB (Fig. 286) . Atunci, '' XZ ZX = și 'XY YX = , deci perimetrul
triunghiului XYZ este egal cu ' '' XY YZ ZX X Y YZ ZX + + = + + . Dacă X este fixat pe
BC , atunci triunghiul cu perimetrul minim
înscris în triunghiul ABC se obține atunci
când punctele Y și Z aparțin dreptei ' " X X .
Deoarece AB și AC sunt mediatoarele
segmentelor "XX , respectiv 'XX rezultă
'YAX YAX ≡ și "XAZ ZAX ≡ , de unde
( ' ") 2[ ( ) ( )] 2 ( ). m X AX mYAX m XAZ mBAC = + =
Cum ' '' AX AX AX = = rezultă că triunghiul
117 Giovanni Fagnano (1715-1797) – matematician italia n, contribuții în geometrie
118 Nichita Stănescu (1933 – 1983) – eseist, poet româ n, ales postum membru al Academiei Române A
B C
Y
X X'
X"
Fig. 286 Z
287 ' " AX X este isoscel. Cum unghiul ' " X AX este constant pentru orice alegere a lui X
rezultă că toate triunghiurile ' " AX X sunt asemenea. Latura ' " X X are lungimea
minimă atunci când latura 'AX are lungimea minimă. Dar ' " AX AX AX = = care
are lungimea minimă atunci când X este proiecția lui A pe BC. Analog, Y este
proiecția lui B pe AC și Z este proiecția lui C pe AB. Perimetrul minim al unui
triunghi înscris este acela al triunghiului ortic.
Observație: Dacă ( ) 90 m A = ° , atunci punctele Z și Y coincid cu A, iar dacă
( ) 90 m BAC > ° , atunci triunghiul XYZ este triunghiul degenerat XAA.
Soluția 2.
Fie aAH ,bBH ,cCH înălțimile triunghiului ABC,H ortocentrul său și
punctele ( ) X BC ∈ , ( ) Y AC ∈ , ( ), Z AB ∈ (Fig. 287). Avem:
b c c a a b
b c c a a b YZ H H XZ H H XY H H YZ ZX XY H H H H H H ≥⋅ ⋅ ⋅+ + = + +
b c c a a b
b c c a a b YZ H H XZ H H XY H H
H H H H H H ⋅ ⋅ ⋅+ + uur uuuuuur uuur uuuuuu u r uuur uuuuuu u r
sau YZ ZX XY + + ≥
( ) b b c c b c
b c YH H H H Z H H
H H + + ⋅+uuuu r uuuuuur uuuur uuuuuur
( ) ( ) c c a a c a a a b b a b
c a a b ZH HH HX HH XH HH HY HH
HH HH + + ⋅ + + ⋅+ = uuuur uuuuuu r uuuuu r uuuuuu r uuuuu r uuuuuur uu uur uuuuuur
a b a c b c b a c a c b
b c c a a b a b c
a b a c b c b a c a c b H H H H HH HH HH HH HH HH H H XH YH ZH H H H H HH HH HH HH + + + + + + + +
uuuuuur uuuuuur uuuuuu r uuuuuur uuuuuur uuuuu u r uuuuu r uuuu r uuuur
(1). Deoarece triunghiul ABC este ascuțitunghic, înălțimile sale sunt bisectoarele
triunghiului ortic, deci vectorii a b a c
a b a c H H H H
H H H H +uuuuuu u r uuuuuu u r
, b c b a
b c b a H H H H
H H H H +uuuuuu r uuuuuu u r
, c a c b
c a c b H H H H
H H H H +uuuuuu u r uuuuuu r
sunt
perpendiculari pe vectorii aXH uuuuu r
, bYH uuuu r
, respectiv cZH uuuur
, deci din relația (1) rezultă
b c c a a b XY ZX XY H H H H H H + + ≥ + + (2). Dacă vectorii YX uur
, ZX uur
, XY uur
au aceeași
direcție cu vectorii b c H H uuuuuu r
, c a H H uuuuuu u r
, respectiv a b H H uuuuuu u r
, atunci există numerele pozitive
, , α β γ astfel încât , , . b c c a a b YZ H H ZX H H XY H H α β γ = = = uur uuuuuur uuur uuuuuu u r uuur uuuuuu u r
Avem
0b c c a a b H H HH H H α β γ + + = uuuuuu r uuuuuu u r uuuuuu u r r
și 0b c c a a b H H H H H H + + = uuuuuu r uuuuuu u r uuuuuu u r r
, de unde rezultă că
Ha Hb A
Fig. 287 B Hc
C H Z
Y
X
288 A
B C M
D G
Fig. 288
α β γ = = , deci , , b c c a a b YZ H H ZX H H XY H H α α α = = = uur uuuuuur uuur uuuuuu u r uuur uuuuuu u r
, ceea ce implică
, , . b c c a a b YZ HH ZX HH XY HH α α α = = = Astfel, ( ) b c c a a b YZ ZX XY HH HH HH α + + = + + (3)
care cu relația (2) ne dă 1α=. Atunci , , , b c c a a b YZ HH ZX HH XY H H = = = uur uuuuuu r uuur uuuuuu u r uuur uuuuuu u r
,ceea ce
înseamnă că punctele X, Y, Z coincid cu punctele , , a b H H respectiv cH. În concluzie,
cel mai mic perimetru al unui triunghi înscris este c el al triunghiului ortic.
2) Fie M un punct variabil în planul triunghiului ABC. Suma 2 2 2 MA MB MC + + este
minimă dacă și numai dacă M coincide cu centrul de greutate al triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC și a, b, c lungimile
laturilor triunghiului. Din teorema lui Leibniz rezultă:
2 2 2 2 2 2 2 13 ( ) 0, 3MA MB MC MG a b c + + = + + + ≥ minimul sumei se realizează atunci
când punctul M coincide cu G.
3) Fie x, y și z distanțele de la un punct M situate în interiorul triunghiului ABC la
laturile BC, CA respectiv AB. Produsul x y z⋅ ⋅este minim dacă M coincide cu centrul de
greutate G al triunghiului ABC.
Demonstrație. Produsul x y z⋅ ⋅ este minim când produsul
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) abc xyz ax by cz⋅ = ⋅ ⋅ este minim. Cum [ ]2ABC ax by cz A + + = ⋅ rezultă că minimul
se realizează atunci când ,ax by cz= = adică când M coincide cu G.
289 II.20. Dreapta lui Droz – Farny 119
„Dacă cineva va găsi demonstrația axiomei paralelel or, ar merita un diamant cât Pământul de mare. Ce lui care îi
va reuși aceasta, acestuia, muritori, să-i ridicați un monument nepieritor.” – Farkaș Bolyai 120
Teorema lui Droz – Farny
Fie 'd și "d două drepte perpendiculare ce trec prin ortocentru l H al unui triunghi
.ABC Fie 'A și "A,'B și ", B 'C și "C punctele de intersecție ale dreptelor 'd și
"dcu laturile BC, AC, respectiv AB. Să se arate că mijloacele segmentelor ' " A A ,' " B B
și ' " C C sunt trei puncte coliniare .
Demonstrație. Soluția 1. Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, teorema este evidentă.
Presupunem că triunghiul ABC este oarecare. Fie C cercul circumscris triunghiului ABC ,
, , α β γ mijloacele segmentelor ' " AA ,' " BB , respectiv ' " C C . Fie Ca, C b, Cc cercurile
circumscrise triunghiurilor ' " HA A , ' " HB B , respectiv ' " HC C și
(respectiv , ) a b c H H H simetricele punctului H față de dreapta BC (respectiv CA, AB ).
Cercurile Ca, C b, Cc au centrele în punctele , , α β respectiv γ. Cum ∈aHC, ∈HCa și ' " AA
este diametrul în Ca, , rezultă că punctul aH∈ C a , deci punctul aH aparține cercurilor C și
Ca și perpendicularei duse din H pe BC. Analog, bH aparține cercurilor C și C b precum și
dreptei BH. Fie punctul cHsimetricul lui H față de AB . Punctul cH∈C. Din lemă rezultă
că dreptele ', ' a b H A H B și 'cHC se intersectează în punctul N∈C. Din teorema lui Miquel
aplicată triunghiului ' ' A NB cu ' , ', a b H A N H NB ∈ ∈ ' ' H AB ∈ , rezultă că cercurile trec
printr-un punct comun M. Analog se poate demonstra că C , Cc și Cb conțin punctele H și M,
de unde rezultă că cercurile sunt coaxiale, deci au centrele coliniare.
119 Arnold Droz -Farny (1856-1912) – matematician elveț ian, contribuții în geometrie
120 Farkaș Bolyai (1775-1856) – matematician român de origine maghiară, contribuții fundamentale în geome trie A
B C
A' B' B"
A" H bH
cH
aH
N C Cb
Ca
Fig. 289
290 Soluția 2. Deoarece transversalele sunt ortogonale rezultă: ' ' ' ' ' ' (1) " " " " " " AB BC C A
A B B C C A = =
(vezi „Ortocentrul unui triunghi”). Fie " " E A B β , " ' E A B ∈ , { } ' " . D BC E β=I Avem
'' " ,2A B Eβ= " "
2B C Dβ= , ' ' ,2AB Eα=' ' (2). 2BC Dγ= Din relațiile (1) și (2) rezultă că
E E
D D β α
β α = . Relația precedentă arată că triunghiurile dreptunghice Dβγ și Eβα sunt
asemenea, deci punctele , , α β γ sunt coliniare.
Observație: Dreapta αβγ se numește dreapta ǎroz-Farny.
Generalizarea teoremei lui Droz – Farny
Printr-un punct oarecare P din planul unui triunghi ABC , se duc două drepte
perpendiculare ', '' d d care intersectează laturile , , BCCA AB , respectiv în punctele
( ', ', '), ( '', '', '') A B C A B C . ǎacă , , α β γ sunt proiecțiile punctelor ', ', ' A B C pe dreptele
, , PAPB PC , iar 1 1 1 , , A B C sunt punctele de intersecție dintre dreapta '' d cu dreptele
', ', A B α β respectiv 'Cγ, atunci mijloacele segmentelor 1 1 1 ' , ' , ' A A B B C C sunt coliniare .
Demonstrație. Triunghiurile
1', PAA 1 1 ', ' PB B PCC sunt
dreptunghice. Fie , , a b c ω ω ω
mijloacele segmentelor
1 1 1 ' , ' , ' A A B B C C și , , a b c µ µ µ
mijloacele segmentelor
', ', ' PA PB PC . Dreapta 1aAµ
intersectează perpendiculara în
'A pe 'd în punctul 2A
și fie 2 2 ,B C punctele analog
construite. Patrulaterul 1 2 'PAA A
este paralelogram deoarece
laturile opuse sunt paralele și
congruente. Deci 2 1 'PA AA și
cum 1'AA PA ⊥ rezultă
2PA PA ⊥ . Fie 3 3 3 , , A B C
simetricele punctelor 2 2 , , A B
respectiv 2C față de dreapta 'd.
Atunci, patrulaterul 1 3 'PAAA
este dreptunghi, deoarece
1 3 ' , PA A A 1 2 3 ' ' , PA A A A A = = 1 'PA PA ⊥ , deci cercul circumscris al său este punctul
aω – mijlocul segmentului 1' . A A Deoarece punctele 2 2 ,A B și 2C sunt coliniare, rezultă și
simetricele lor în raport cu dreapta 'd- punctele 3 3 3 , , A B C – sunt coliniare, deci și punctele
, , a b c ω ω ω sunt coliniare.
Observație: Dacă punctul P este ortocentrul triunghiului ABC, atunci se obține teorema lui
Droz – Farny. A
B C
A1 P
A' B1 C1
Fig. 290 d' d"
B' C' 2A
3A aω bω cω
α β γ
aµ
291 II.21. Teorema lui Steiner – Lehmus 121
„Steiner este cel mai mare geometru de la Apolloni us încoace.” – W. Ball
Un triunghi care are două bisectoare interioare ega le (măsurate de la vârf la latura
opusă) este isoscel .
Demonstrație.
Soluția 1. Fie BE și CF bisectoarele
unghiurilor B, respectiv C ale ABC
(Fig. 291). Presupunem că AB AC ≠
și anume fie AB AC < , atunci
( ) ( ) <mACB mABC de unde rezultă
că ( ) ( )
2 2 <mACB mABC . În
triunghiurile BEC și BFC , rezultă
CE BF > (1) construim
paralelogramul BEGF . Astfel
EG BF ≡ , ( ) ( ) 2=m ABC mFGE ,
FG BE FC = = , de unde
( ) ( ) =mFGC mFCG . Din ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 = > = m ABC m ACB mFGE mFCE rezultă că
( ) ( ) <mEGC mECG , de unde : CE EG BF < = contradicție cu (1). Deci, presupunerea
făcută că AB AC < este falsă. Analog se tratează cazul în care AB AC > și atunci rezultă
AB AC = , adică triunghiul ABC este isoscel.
Soluția 2. Utilizăm faptul că 2cos 2abc A lb c =+(unde al este lungimea bisectoarei interioare a
unghiului BAC ). Fie că b c l l=adică cos ( ) 2
( ) cos 2B
ba c
Cca b +=+. Presupunem prin absurd că B C >,
adică b c > și atunci ( ) 1( ) ca b
ba c +>+, de unde cos cos 2 2 B C > ,deci B C <absurd. Analog,
dacă B C < se ajunge la o contradicție. Urmează că ( ) ( ) m ABC m ACB = , adică triunghiul
ABC este isoscel.
Observație: Dacă bisectoarea exterioară a unghiului B întâlnește prelungirea laturii AC în
punctul F atunci segmentul BF se numește bisectoare externă a lui B. Fie CG bisectoarea
externă a lui C. Este ușor de demonstrat că dacă AB AC = atunci .FB CG =
120 Jakob Steiner (1796 – 1863) – matematician german, profesor la Universitatea din Berlin, contribuții î n
geometria proiectivă
Daniel Lehmus (1780 – 1863) – matematician german, profesor la Universitatea din Berlin A
G
C F E
B
Fig. 291
292 Reciproca (dacă doua bisectoare externe ale unui tr iunghi sunt egale, atunci triunghiul este
isoscel) nu este neaparat adevarată. Un exemplu elo cvent în acest sens este triunghiul lui
Emmerich .Triunghiul lui Emmerich are unghiurile de masuri eg ale cu 132 °,36 ° și
respectiv 12 °și are două bisectoare externe egale. Fie triunghiu l ABC în care
( ) 132 = ° mABC , ( ) 36 , = ° mCAB ( ) 12 = ° mBCA . Fie BF ș i CG bisectoarele externe ale
unghiurilor B, respectiv C. Avem: 180 132 ( ) 24 2°− ° = = ° °m FBA
( ) 2 4 1 3 2 1 5 6 = ° + ° = ° m FBC , ( ) 12 = ° mBCF , ( ) 180 156 12 12 = °− °− °= ° mBFC adică
triunghiul FBC este isoscel, cu FB BC = (1) . În triunghiul BCG avem:
180 12 ( ) 84 2°− ° = = ° mBCG , ( ) 48 = ° mGBC , ( ) 180 86 48 48 = °− °− °= ° mBGC , de unde
rezultă că triunghiul BCG este isoscel cu CG BC = (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă că
FB CG = .
A
C
G F
B
Fig. 292
293 II.22. Teorema lui Barbilian 122
Fie ABC și ' ' ' ABC două triunghiuri echilaterale de același centru (O), cu vârfurile
notate în același sens de rotație. Să se arate că t riunghiurile sunt de trei ori omologice în
ordinele: ( , ' ' '),( , ' ' '),( , ' ' '). ABCC B A ABC B AC ABC AC B
Demonstrație.
Fie 1 2 3 1 { } ' ',{ } ' ' ,{ } ' ' ,{ } ' ' , A BC B C A A C BC A A B BC B B C AC = ∩ = ∩ = ∩ = ∩
2{ } ' ' , B AC AC = ∩ 3{ } ' ' B A B AC = ∩ , 1 2 3 { } ' ',{ } ' ' ,{ } ' ' . C AB BC C AC AB C AB AB = ∩ = ∩ = ∩
Pentru ca triunghiurile ( , ' ' ') ABCC B A să fie omologice vom arăta că dreptele ', ' AC BB și
'CA sunt concurente. Din congruența triunghiurilor ', ' OAA OBB și 'OCC rezultă
' ' '. AA BB CC ≡ ≡ Deoarece 2 3 1 ' ' ' C AA ABB BCC ≡ ≡ rezultă 2 3 1 AC BA CB ≡ ≡ și de
aici 1 2 3 (1). BA CB AC ≡ ≡ Deoarece 2 2 3 3 1 1 ABC BAC CAB ≡ ≡ rezultă 2 3 1 , AB BC CA ≡ ≡
de unde 2 3 1 (2) BC CA AB ≡ ≡ (unde am utilizat faptul că
2 3 ( ') ( ') ( ') ( ') ( ') m AOA m BOB m COC m ABA m BCB = = = = = 2 ( ') m CBC ). Din
teorema lui Menelaus aplicată în triunghiul ABC și transversalei ' ' BC rezultă:
1 1 1
1 1 1 1, AB BC CA
AC BA CB ⋅ ⋅ = de unde se obține egalitatea 1 1 1
1 1 1 .CA AC BA
CB AB BC = ⋅ Atunci,
3 1 2 1 1 2
1 3 2 1 1 2 1AB CA BC AC BA BC
CB AC BA AB BC BA ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = (unde am utilizat relațiile (1) și (2)), de unde r ezultă
că punctele 1 3 ,C A și 2B sunt coliniare, adică triunghiurile ABC și ' ' ' C B A sunt omologice.
Analog, se arată omologia celorlalte perechi de tri unghiuri.
122 Dan Barbilian (1895-1961) – matematician român, pro fesor la Universitatea din București, contribuții î n algebră
și geometrie
A
B C A'
A1 B1
C1 Fig. 293 B2 C2
A2 A3 B3
C3
B' C'
294 II.23. Teorema lui Bottema
„În larg azur ca Sfinxul stau mândră și ciudată.
Mi-i inima de gheață și trupul cum sunt crinii.
Urăsc tot ce e zbucium, tulburător de linii
Și nu plâng niciodată, și nu râd niciodată.”
Charles Baudelaire 123
Pe laturile ABC se construiesc în exterior pătratele ABDE și ACFG . Fie M mijlocul
segmentului DF. Să se arate că triunghiurile BMC și EMG sunt dreptunghice și isoscele .
Demonstrație.
Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăto are. Din ( )2
BD R A π
=
rezultă ( ) d b i a b = + − (unde prin ( )2
BR A π
am notat rotația de centru B și unghi 2π a
punctului A), iar ( )2
CF R A π−= , deci ( ), f c ia c = − − de unde ( ) .2 2 d f b c ic b m+ + + − = =
Atunci 2
2BM m b c b = − = − și 2,2CM m c c b = − = − de unde rezultă că triunghiul
BMC este isoscel. Din *,m b i im c −=− ∈ ⋅− rezultă că ,BM MC ⊥ adică triunghiul BMC
este dreptunghic isoscel. Analog, se demonstrează c ă și triunghiul EMG este dreptunghic
isoscel.
123 Charles Baudelaire (1821 – 1867) – poet francez A
B C M
D E G
F
T
Fig. 294
295 II.24. Teorema lui Goormaghtigh
„Fără a o baza pe intuiție, geometria are totuși un caracter intuitiv. Se pare, că idea de figură, fig urile elementare:
cercul, triunghiul, sfera etc., formate în pract ica milenară a omului, fac parte din zestrea infor mațională a celulei
nervoase, sunt transmise ereditar și dau o mare mob ilitate intuiției.” – Radu Miron 124
1) Fie A B C TTT triunghiul tangențial al triunghiului ABC și punctele , , X Y Z
aparținând dreptelor AOT , BOT respectiv COT astfel încât
A B C OX OY OZ tOT OT OT = = = .
ǎreptele , , AX BY CZ sunt concurente în izogonalul conjugat al p unctului P ce
aparține dreptei lui Euler astfel încât 1
2OP
PH t=.
Demonstrație. Izogonala dreptei AX intersectează AOT în
punctul 'X. Triunghiurile OAX și 'OX A sunt asemenea,
deci 'OX OA
OA OX = de unde rezultă 2'OX OX OA ⋅ = , adică
punctele X și 'X sunt inverse în cercul circumscris. De
asemenea punctele aM (mijlocul laturii BC ) și AT sunt
inverse. Fie { } ' P AX OH =I . Avem,
' ' 1 1
2 2 2 AOT OP OX OX
PH AH OM OX t= = = ⋅ = . Urmând același
raționament se arată că dreptele ,B C BT CT conțin punctul P,
adică izogonalele dreptelor , , AX BY CZ sunt concurente, de
unde rezultă că și dreptele , , AX BY CZ sunt concurente.
Observație : Pentru 1
2t= , X, Y, Z sunt centrele cercurilor circumscrise triung hiurilor
OBC, OCA, respectiv OAB. Dreptele AX, BY, CZ sunt concurente în punctul izogonal
conjugat al mijlocului segmentului OH (centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC )
– punctul de concurență se numește punctul lui Ioșniță .
Teorema lui Goormaghtigh
Fie O centrul cercului circumscris unui triunghi ABC, punctele 1 1 1 , , A B C pe dreptele OA,
OB, respectiv OC astfel încât 1 1 1 .OA OB OC tOA OB OC = = = i) Intersecțiile perpendicularelor
din 1A pe OA, 1B pe OB și 1C pe OC cu laturile BC, CA respectiv AB se află pe o
dreaptă d. ii) ǎacă M este proiecția lui O pe dreapta d, 'M un punct pe OM astfel
încât 'OM t OM = ⋅ ,atunci punctul invers al punctului 'M în raport cu punctul O
este izogonalul conjugat al punctului P de pe dreapta lui Euler ce are proprietatea
1.2OP
PH t=
Demonstrație. i) Triunghiul XYZ determinat de intersecțiile perpendicularelor în 1 1 1 , , A B C ,
se obține prin omotetia de centru O și raport t a triunghiului tangențial (Fig. 296).
Vârfurile X, Y, Z aparțin dreptelor ', ', OA OB respectiv '. OC
124 Radu Miron (1927- ) – matematician român, profes or la Universitatea din Iași, membru al Academiei R omâne A
C O H
AT X'
Fig. 295 B aM P
X
296
Din teorema 1) dreptele AX, BY, CZ sunt concurente în punctul izogonal conjugat a l
punctului P de pe dreapta OH pentru care 1.2OP
PH t= Fie
{ '} X BC YZ =I ,{ '} , Y CA ZX =I { '} . Z AB XY =I Vom arăta că punctele ', ', ' X Y Z
aparțin unei drepte d. Fie R raza cercului circumscris triunghiului ABC. Considerăm
inversiunea J de centru O și raport 2t R ⋅, iar 'M=J(M). Inversiunea J transformă
punctele A, B, C în 1A, 1B respectiv 1C. Fie , , a b c M M M mijloacele laturilor BC, CA ,
respectiv AB . Deoarece patrulaterul 1aBBM X este inscriptibil rezultă
2
1 aOM OX OB OB t R ⋅ = ⋅ = ⋅ . Analog, 2
b c OM OY OM OZ t R ⋅ = ⋅ = ⋅ ceea ce arată că
prin inversiunea J punctele X, Y, Z
se transformă respectiv în
, , a b c M M M . Imaginea punctului
'X prin inversiunea J este
punctul 2A, al doilea punct de
intersecție dintre cercurile
circumscrise triunghiurilor
b c OM M și 1 1 OBC . Analog,
imaginea punctelor 'Y și 'Z prin
inversiunea J sunt respectiv
punctele 2B (al doilea punct de
intersecție dintre cercurile
circumscrise triunghiurilor
a c OM M și 1 1 OAC și 2C (al doilea
punct de intersecție dintre
cercurile circumscrise
triunghiurilor b a OM M și 1 1 OBA .
Deci, punctele ', ', ' X Y Z aparțin
unei drepte d iar punctele 2 2 2 , , , O A B C aparțin unui cerc C. ii) Prin inversiunea, J
dreapta AX se transformă în cercul 1aOAM de diametru 'OX și conține punctul M,
proiecția lui O pe dreapta d. Analog, imaginile dreptelor BY și CZ sunt cercurile de
diametru 'OY și 'OZ ce-l conțin și pe M. Deci punctul comun dreptelor AX, BY și
CZ este imaginea lui M prin inversiunea J, adică intersecția dintre OM și cercul C.
Acesta este punctul diametral opus punctului O în cercul C .
Teorema lui Musselman
Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC , H ortocentrul triunghiului ABC
și A∗, B∗, C∗ simetricele vârfurilor , , AB respectiv C față de laturile BC, CA și AB.
Iercurile circumscrise triunghiurilor AOA ∗, BOB ∗ și COC ∗ se întâlnesc într-un
punct care este inversul punctului izogonal c onjugat al centrului cercului lui
Euler . A
B C
X Y
Z O 1A
1B 1C
aM cM
2A
Fig. 296 X'
297 Demonstrația rezultă din teorema lui Goormaghtigh pentru 1/ 2 t= . Centrele cercurilor
circumscrise triunghiurilor BOB ∗ și COC ∗ sunt coliniare, cercurile având un al
doilea punct comun, simetricul lui O față de linia care unește centrele cercurilor .
Acest punct este inversul punctului izogonal al centrului cercului lui Euler .
II.25. Teorema lui Dergiades
„Nu există ramură a matematicii – oricât de abstractă ar fi ea – care s ă nu
se poată aplica într-o zi fenomenelor lumii reale.” – Nikolai Lobacevski 125
Fie 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ( , ), ( , ), ( , ) C O R C O R C O R trei cercuri care trec prin vârfurile B și C, C și A,
respectiv A și B ale unui triunghi ABC și D, E, F al doilea punct de intersecție dintre
cercurile 2( ) C și 3( ) C, 3( ) C și 1( ) C, respectiv 1( ) C și 2( ) C. Perpendicularele duse în D,
E, F pe AD, BE, respectiv CF intersectează laturile BC, CA, AB în punctele X, Y,
respectiv Z. Punctele X, Y și Z sunt coliniare.
Demonstrație.
Fie a b c M M M triunghiul median
al triunghiului ABC (Fig. 297).
Dreptele 1 2 3 , , a b c OM O M O M
fiind mediatoarele laturilor
triunghiului ABC sunt concurente
în centrul cercului circumscris ( O)
al triunghiului ABC, deci
triunghiurile a b c M M M și 1 2 3 OOO
sunt omologice. Fie ', ', ' A B C
mijloacele segmentelor AX, BY
respectiv CZ . Deoarece
2 3 OO AD ⊥ rezultă 2 3 OO DX și
cum 2 3 OO este mediatoarea
segmentului AD rezultă că
2 3 ' . A OO ∈ Deoarece b c M M BC
rezultă că ' , b c A M M ∈ deci
2 3 { '} . b c A OO M M = ∩ Analog se
arată că 1 3 { '} a c B OO M M = ∩ , 1 2 { '} . a b C OO MM = ∩ Conform teoremei lui Desargues
punctele ', ', ' A B C sunt coliniare. Din teorema lui Newton – Gauss apl icată patrulaterului
BCYZ rezultă că punctele X, Y și Z sunt coliniare.
125 Nikolai Lobacevski (1792-1856) – matematician rus, profesor la Universitatea din Kazan, contribuții
fundamentale în geometrie A
B
C aM bM cM F
D E
1O 2O 3O A'
X Y Z
Fig. 297
298 II.26. Teoremele lui Pappus 126
„Cea mai neglijată teoremă de existență în matemati că este existența oamenilor. Matematica a fost crea tă de
oameni și ea poartă amprenta lor.” – Hammer Presten
Fie triunghiul ABC și punctele ( ), ( ), ( ) M BC N AC P BA ∈ ∈ ∈ care împart aceste
segmente în același raport. Să se arate că triunghi urile ABC și MNP au același centru de
greutate .
Demonstrație. Soluția 1. Fie aM mijlocul laturii
BC și 'M simetricul lui M față de aM (Fig.
298). Fie G centrul de greutate al
triunghiului ABC ,1Gcentrul de greutate al
triunghiului MNP și 2Gcentrul de greutate al
triunghiului ' . M NP Cum punctele M,N,P împart
laturile triunghiului ABC în același raport rezultă
că patrulaterul 'APM N este paralelogram de
centru Q, de unde rezultă că 2 'aGG M M și
23 2 ' ' aGG M M MM = = . În 'QMM avem:
1 2 'GG MM și 1 2 1', 3GG MM = de unde rezultă
că punctele G și 1Gcoincid. Soluția 2 . Fie k raportul în care sunt împărțite laturile. Atunci,
, , . AP k PB BM k MC CN k NA = ⋅ = ⋅ = ⋅uuu r uuu r uuuu r uuuu r uuur uuu r
Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC .
Atunci, ,1+ ⋅=+uuu r uuu r uuu r GA k GB GP k ,1+ ⋅=+uuu r uuur uuuu r GB kGC GM k 1+ ⋅=+uuur uuu r uuur GC k GA GN k. Sumând relațiile
precedente rezultă: 0 GM GN GP GA GB GC + + = + + = uuuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur r
, deci G este și centrul de greutate
al triunghiului .MNP
Reciproca teoremei lui Pappus
ǎacă un triunghi MNP înscris într-un triunghi ABC are același centru de greutate ca și
triunghiul ABC, atunci vârfurile triunghiului MNP împart laturile triunghiului ABC în
același raport .
Demonstrație. Fie , , a b c M M M mijloacele
laturilor triunghiului ABC , G centrul de greutate
comun triunghiurilor ABC și MNP , iar 'P
piciorul medianei PG a triunghiului MNP
(Fig. 299). Vom demonstra că
.AP BM CN
PB MC NA = = Evident, 2'bPG BG
PG M G = = ,
deci 'bM P BP . Cum b a M M BP rezultă că
punctele , ', b a M P M sunt coliniare. Fie
{ "} ' P CP AB =I . Deoarece ' ' MP NP ≡ și
' ' " CP P P ≡ rezultă că patrulaterul "MCEP este
126 Pappus din Alexandria (290-350) – matematician gre c, contribuții în geometrie A
B C M N P
M' aM Q
2G G
Fig. 298
A
B C M N P
M' aM P"
P ' G
Fig. 299
299 paralelogram, deci "MP CE și "EP BC , de unde "
"BM BP CN
MC AP NA = = . Analog se arată
că BM AP
MC PB = , de unde rezultă concluzia.
Soluția 2 . Notăm afixele punctelor cu litere mici corespunză toare, fie
, , . AP BM CN x y zPB MC NA = = = Atunci, , , 1 1 1 a bx b cy c azp m n x y z+ + + = = = + + + . Trebuie să
demonstrăm că 3 3 a b c m n p + + + + = dacă și numai dacă x y z= = . Dacă x y z= = ,
atunci evident că a b c m n p + + = + + . Reciproc, fie a b c m n p + + = + + . Atunci,
1 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 a b c x z y x z y − + − + − = + + + + + + . Cum
1 1 1 1 1 1 01 1 1 1 1 1 x z y x z y − + − + − = + + + + + + și punctele A,B,C nu sunt coliniare,
rezultă că : 1 1 1 1 1 1 ,1 1 1 1 1 1 x z y x z y − = − = − + + + + + + de unde : x y z= = .
2) În triunghiul ABC, fie ( ), ( ), D AC E AB ∈ ∈ astfel încât { } , M BD CE = ∩
{ } , N DE BC = ∩ { } . = ∩ P AM BC Atunci .NB PB
NC PC =
Demonstrație. Din teorema lui Menelaus aplicată în triunghiul ABC și transversalei
N – E – D rezultă: 1EA DC NB
EB DA NC ⋅ ⋅ = (1) (Fig. 300). Teorema lui Ceva aplicată în
triunghiul ABC ne dă: (2) EA DC PB
EB DA PC ⋅ ⋅ = . Din relațiile (1) și (2) rezultă .NB PB
NC PC =
Observație: Relația NB PB
NC PC = ne arată că punctele N, B, P, C sunt conjugate armonic.
A
B C
P
Fig. 300 N D
E
M
300 II.27. Teorema lui Salmon 127
„Matematica este formată di n insule de cunoaștere într-un ocean de ignoranță.”
Fie M un punct pe cercul circumscris unui
triunghi .ABC Iercurile de diametre
( ),( ),( ) AM BM CM se intersectează două câte
două în trei puncte coliniare.
Demonstrație. Fie ', ', 'CBA proiecțiile
punctului M pe laturile BC, CA respectiv .AB
Punctele ', ', 'CBA sunt punctele de intersecție
dintre cercurile de diametre ( ),( ) AM BM și
( ) CM , iar conform teoremei lui Simson rezultă
că punctele ', ', 'CBA sunt coliniare.
II.28. Teorema lui Pedoe
„Nici un om nu se întărește citind un tratat de gim nastică, ci făcând exerciții; nici un om nu se înva ță a judeca
citind judecățile scrise de alții, ci judecând s ingur și dându – și singur seama de natura lu crurilor.” – Mihai
Eminescu 128
Fie triunghiul ABC și ' ' ' ABC situate în același plan. ǎacă laturile lor au lungi mile a, b,
c respectiv ', ', ' a b c , atunci: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ' ' ' ) ( ' ' ' ) ( ' ' ' ) 16 ' − + + + − + + + − ≥ ⋅a a b c b a b c c a b c S S ,
cu egalitate dacă triunghiurile sunt asemenea ( unde cu S și 'Sam notat ariile
triunghiurilor ABC , respectiv ' ' ' ABC ).
Demonstrație.
127 George Salmon (1819-1904) – matematician irlandez, contribuții în algebră și geometrie
128 Mihai Eminescu (1850-1889) – poet, jurnalist român , considerat cel mai important scriitor romantic di n
literatura română A
B C A"
a c b
Fig. 302 A'
B' C' a ' b' c'
Fig. 303 C A' B M C'
A
B'
Fig. 301
301 Pe latura BC se construiește triunghiul "A BC asemenea cu ABC , de unde:
" "
' ' ' ' ' ' = = BC CA A B
BC C A AB , adică " "
' ' ' = = a CA A B
a b c , deci: '"'=ab A C a (1) (Fig.302). Din
teorema cosinusului în triunghiul "A CA rezultă:
2 2 2 " " 2 " cos " AA b A C b A C ACA = + − ⋅ ⋅ (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă
2
2 2 ' ' " 2 cos( ' ' ' ) ' ' = + − ⋅ − ab ab AA b b AC B ACB a a egalitate echivalentă cu
2 2 2 2 2 2 ' " ' ' 2 ' ' cos cos ' sin sin ' 0 ⋅ = + − ⋅ + ⋅ ≥ a AA a b a b aa bb C C C C (3).
Dar sin ' 'sin ' '2 2 ⋅ = ⋅ab C ab C S S 4 ' ' 'sin sin ' = ⋅SS aabb C C (4), iar 2 2 2
cos 2+ − =a b c Cab și
2 2 2 ' ' ' cos ' 2 ' ' + − =a b c Cab (5). Din relațiile (3), (4) și (5) rezultă concluz ia. Egalitatea are loc
atunci când 2" 0, AA =adică ", A A ≡ deci când triunghiurile ABC și ' ' ' ABC sunt
asemenea.
Consecințe:
1) Dacă triunghiul ' ' ' ABC este echilateral, atunci inegalitatea devine:
2 2 2 4 3 a b c S + + ≥ ⋅ .
2) Dacă triunghiul ' ' ' ABC este CBA , deci ' , ' , ' , = = = a bb cc a atunci 'S S =și inegalitatea
devine 4 4 4 2 16 . a b c S + + ≥
3) Dacă triunghiul ' ' ' ABC este dreptunghic în 'A, atunci: 2 2 2 2 ' ' 8 '. bc cb SS + ≥
II.29. Teorema lui Simson generalizată
„Din ceas, dedus adâncul acestei calme creste,
Intrată prin oglindă în mântuit azur,
Tăind pe înecarea cirezilor agrest e,
În grupurile apei, un joc secund m ai pur.”
Ion Barbu 129
Teorema lui Simson generalizată
Fie M un punct pe cercul circumscris triunghiului ABC ,' , ' , ' A BC B CAC AB ∈ ∈ ∈ .
ǎacă ( ' ) ( ' ) ( ' ) , (0, ) m MC A m MBC m MAC ϕ ϕ π ≡ ≡ = ∈ , atunci punctele ', ', ' A B C
sunt coliniare .
Demonstrație. Patrulaterele ,ABMC ' ', AB MC ' ' AB MC sunt inscriptibile
(Fig. 304). Atunci, ' ' ' C B M C AM MCB ≡ ≡ de unde rezultă:
( ' ' ) ( ' ') m A B M m MB C + = ( ' ' ) ( ') 180 m AB M m MCA + = ° adică punctele
', ', ' A B C sunt coliniare.
129 Ion Barbu (1895-1961) – matematician român, profes or la Universitatea din București, contribuții în a lgebră și
geometrie
302 Observații:
1) Teorema de mai sus aparține lui Lazare Carnot.
2) Dreapta ce conține punctele ', ', ' A B C se numește dreapta lui Simson generalizată de
unghi ϕa punctului M față de triunghiul ABC (notație cu Md).
3) Pentru a determina de exemplu
poziția punctului M pe cercul
circumscris triunghiului ABC
procedăm astfel: alegem punctele N și P
arbitrar pe cerc, construim dreapta
1AA astfel încât măsura unghiului dintre
1AA și NP să fie egală cu π ϕ −
(1Aaparține cercului circumscris
triunghiului ABC ), iar din 1A construim
dreapta 1AM astfel încât
1( , ) m AM BC ϕ= ( M aparținând
cercului circumscris triunghiului
ABC ).
Fie , , M N P puncte pe cercul
circumscris al unui triunghi ABC astfel
încât unghiul dintre dreapta lui Simson
generalizată de unghi ϕa punctului M
și dreapta NP să aibă măsura π ϕ −.
Triunghiul MNP se numește triunghi
−Sϕϕ ϕϕ față de triunghiul ABC .
ǎreapta lui Simson generalizată de unghi de măsură ϕ a punctului M față de
triunghiul ABC este paralelă cu dreapta 1AA .
Demonstrație. Fie ', ', ' A B C proiecțiile de unghi ϕ ale punctului M pe dreptele ,BCCA
respectiv AB și 1A punctul de intersecție dintre 'MA cu cercul circumscris triunghiului
ABC . Deoarece patrulaterul ' ' AB MC este inscriptibil rezultă:
( ' ') ( ') ( ' ) m AC B m AMB m B AM ϕ = = − = 1 1 ( ) ( ) ( ) m MBC m BMA m BAA ϕ− = = ,
deci 1MAA d .
A
B
C M
B' C'
A'
Fig. 304 Md P N
1A
303 II.30. Teorema lui Sondat
„Pe linie de cercetare, geometria cuprinde domenii abstracte foarte generale, dar geometria elementară rămâne
foarte importantă în învățământ fie prin aplicațiil e ei derecte diverse, fie ca o verigă în înțelegere a problemelor
moderne de teoria spațiilor generalizate.” – Nicol ae Mihăileanu 130
Fie triunghiurile 1 1 1 ,ABC ABC ortologice și omologice, 1,QQ centrele de ortologie și
Pcentrul de omologie, iar d axa de omologie a acestor două triunghiuri. Punctel e ,PQ
și 1Qaparțin unei drepte perpendiculare pe dreapta d.
Demonstrație . Punctul Q aparține perpendicularelor duse din 1 1 1 , , A B C respectiv pe laturile
, , BCCA AB , iar punctul 1Q aparține perpendicularelor duse din , , ABC pe laturile
1 1 1 1 1 1 , , BC AC AB .Fie 1 1 1 1 { '} ,{ '} , ', ' . B CA CA C AB AB B C d = ∩ = ∩ ∈ Avem 1 1 1 1 , , AP AABP BB α β = = uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r
2 2 2 2 2 2
1 1 , , , a b c C A CC PA QA l PB QB l PC QC lγ= − = − = − = uuuu r uuuu r .Arătăm că
2 2 2 2 ' ' ' ' BP BQ CP CQ − = − (1), ceea ce implică PQ d ⊥. Avem 1 1
1 1 '
'AP CC BC
B A AA CP α
γ= ⋅ = .
Din teorema lui Leibniz rezultă : 2 2 2 2 2 ' ( ) ' ' PC PA PB BC B A γ α γ α γ α ⋅ − ⋅ = ⋅ − + ⋅ − ⋅ și
2 2 2 2 2 ' ( ) ' ' QC QA QB BC B A γ α γ α γ α ⋅ − ⋅ = ⋅ − + ⋅ − ⋅ , iar de aici 2 2 ' ' c a l lPB QB γ α
γ α −− = −.
Relația (1) este echivalentă cu ( ) ( ) ( ) 0 b c c a a b l l l l l lβγ γα αβ − + − + − = (2). Deoarece
1BC AQ ⊥ rezultă 2 2 2 2 b c l lBA CA CQ BQ α−− + − = (3). Din relația lui Leibniz rezultă
2 2 2
2 2 2 1 1 ( 1) , BA BP BA AA AP α α α − = − + − 2 2 2 2 2
1 1 1 ( 1) CA CP CA AA AP α α α − = − + − (4).
130 N. Mihăileanu (1912-1998) – matematician român A B C 1A
1B
1C
C' B'
d Fig. 305
A' Q P
304 Din relațiile de mai sus rezultă 2 2 2 2 b c l lBA CA CQ BQ α−− + − = . Analog rezultă că
2 2 2 2 2 2 2 2 ,c a a b l l l lCB AB AQ CQ AC BC BQ AQ β γ − − − + − = − + − = . Sumând relațiile
precedente rezultă 0b c c a a b l l l l l l
α β γ − − − + + = , adică tocmai relația PQ d ⊥. Analog se
arată că 1PQ d ⊥, deci punctele 1, , PQQ sunt coliniare.
II.31. Teoremele lui Maxwell 131
„Vis al Dreptei Simple! Poate, geometria
Săbiilor trase la Alexandria,
Libere, sub ochiul de senin oțel,
În neclătinatul idol El Gahel.”
– Ion Barbu 132
1) Fie P un punct în planul triunghiului ABC și ' ' ' ABC un triunghi care are laturile
paralele cu cevienele punctului P în raport cu triunghiul ABC . Ievienele triunghiului
' ' ' ABC paralele cu laturile triunghiului ABC sunt concurente .
Demonstrație. Sunt o infinitate de triunghiuri ' ' ' ABC asemenea, deci este suficient să
demonstrăm problema pentru unul din aceste triunghi uri. Fie 1A,1B,1C picioarele
cevienelor corespunzătoare punctului P. Fie 2'A A AB , 2'B B BC , 2'AC C C ,
(2' ' A BC ∈ ,2' ' B AC ∈ ,2' ' C A B ∈ ). Din asemănarea triunghiurilor 1PCB și 2' ' B AA ,
respectiv 1PAC cu 2' ' C A A rezultă 1 1
2 2 ' ' CB PC
A A B A = și 1 1
2 2 ' ' AC PC
A A AC = , de unde :
1 2
1 2 '
'CB AC
CA AB = . Analog, se obțin relațiile 1 2
1 2 '
'BA C B
BC C A = și 1 2
1 2 '
'AC B A
AB BC = . Deoarece dreptele
131 James Clerk Maxwell (1831-1879) – matematician și fizician scoțian, profesor la Cambridge
132 Ion Barbu (1895-1961) – matematician român, profes or la Universitatea din București, contribuții în a lgebră și
geometrie A
C' B'
B A 1 B1 C1 A'
C P C2
A2 B2 Q
Fig. 306
305 1AA ,1BB și 1CC sunt concurente rezultă 1 1 1
1 1 1 1AC BA CB
AB BC CA ⋅ ⋅ = adică 2 2 2
2 2 2 ' ' ' 1' ' ' B A C B AC
BC C A AB ⋅ ⋅ =,
deci dreptele 2AA ,2BB și 2CC sunt concurente.
2) Fie P un punct în planul triunghiului ABC și ' ' ' ABC un triunghi ce are laturile
perpendiculare pe cevienele punctului P în raport cu triunghiul ABC . Ievienele
triunghiului ' ' ' ABC perpendiculare pe laturile triunghiului ABC sunt concurente.
Demonstrația este evidentă deoarece triunghiurile ABC și ' ' ' ABC sunt ortologice (vezi
„Triunghiuri ortologice”).
II.32. Teorema trisecției
În triunghiul ABC fie medianele BB’ și CC’. Printr-un punct ( ) T BC ∈ se duc paralelele
TD și TE la medianele BB’, respectiv CC’,(D (AB), E (AC) ∈ ∈ ). Atunci, medianele BB’ și
CC’ împart segmentul DE în trei segmente congruente .
Demonstrație.
Fie {M}= DE∩BB’ , { N}= DE∩CC’ , {} ' ' G BB CC = ∩ , { K}= DT∩BB’ , { L}= TE∩CC’.
Din 'DT CC rezultă că triunghiurile BKT și BGC sunt asemenea și cum 1' ' 3C G CC =
rezultă 1
3DK DT =. Din asemănarea triunghiurilor DKM și DTE rezultă 1
3DM DE = .
Analog, 1,3NE DE = de unde rezultă 1.3DM MN NE DE = = =
L N A
B C D B' C'
M E
K
T
Fig. 307
306 II.33. Teoremele lui Harcourt
„Dacă numai aș avea teoremele! Atunci aș pu tea destul
de ușor să găses c demonstrațiile.” – Bernhard Riemann 133
1) ǎacă distanțele de la vârfurile A, B, C ale unui triunghi ABC la o tangentă dusă la
cercul înscris în triunghiul ABC au lungimile 1 1 ,a b respectiv 1,catunci
1 1 1 [ ] 2 . + + = ABC aa bb cc A (a, b, c sunt lungimile laturilor BC, AC respectiv AB ).
Demonstrație . Fie ( , , ) x y z coordonatele baricentrice ale unui punct P și lo dreaptă ce trece
prin P, iar 1d, 2d și 3d sunt distanțele de la vârfurile , , ABC la dreapta l (Fig.309). Vom
arăta că 1 2 3 0. ⋅ + ⋅ + ⋅ = d x d y d z Fie { '} = ∩ A AP BC și considerăm 1d negativ iar 2d și
3d pozitive. Atunci, '=+AP x
PA y z și '
'=BA z
AC y ,deci distanța de la 'A la l este egala cu
' 2 3
1+=+yd zd dy z, de unde 1
'
1 '− += = dAP y z
PA x d, relație echivalentă cu
1 2 3 0 d x d y d z⋅ + ⋅ + ⋅ = . Revenind, presupunem că dreapta l trece prin ( , , ) I abc și este
paralelă cu tangenta la cercul înscris. Atunci,dist anțele de la A la l sunt: 1 1 d a r= − ,
2 1 = − d b r , 3 1 = − d c r . Avem: 1 1 1 + + = aa bb cc
1 2 3 1 2 3 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 + + + + + = + + + + + = + = ABC ABC ad r bd r cd r ad bd cd a b cr A A .
2) ǎacă distanțele de la vârfurile A, B, C la o tangentă dusă la cercul exînscris
corespunzător laturii BC a triunghiului ABC , au lungimile 1 1 ,a b respectiv 1,catunci
1 1 1 2ABC aa bb cc A − + + = (relații analoge se obțin prin celelalte două cercur i exînscrise ).
Demonstrație. Prin centrul ( , , ) aI abc − ducem o paralelă la tangenta considerată și fie
1d,2d,3d distanțele de la , , ABC la această paralelă. Atunci, 1 2 3 0 ad bd cd − + + = iar
1 3 ac d r= + , 1 2 ab d r= + ,1 3 ac d r= + , unde ar este raza cercului A-exînscris. Avem:
1 1 1 − + + = aa bb cc 1 2 3 [ ] ( ) ( ) 0 2 ( ) 2 . − + + + − + + = + ⋅ − = a a ABC ad bd cd r a b c r p a A
133 Bernhard Riemann (1826-1866) – matematician german , profesor la Universitatea Göttingen, contribuții
fundamentale în analiza matematică și geometria dif erențială A
B C C'
B' A' P
I
Fig. 308 A
B C P
A' 1d
2d 3d
'
1d
Fig. 309
307 I.34. Teorema lui Zaslavsky
„Geometria proiectivă ne – a deschis cu cea mai mar e usurință teritorii noi în știința noastră, a fost și numită pe
bună dreptate un drum regal, conducând în domeniul său particular de cunostiințe.” – Poncelet 134
Fie P un punct în planul triunghiului ABC și ' ' ' ABC simetricul triunghiului ABC fațǎ
de punctul P. Prin punctele ', ', ' A B C ducem trei drepte paralele care intersecteazǎ
dreptele BC, AC și AB în punctele X ,Y respectiv Z. Sǎ se arate cǎ punctele X,Y și Z sunt
coliniare .
Demonstrație. Vom arata cǎ 1 ⋅ ⋅ = BX CY AZ
XC AY BZ . Prin punctul C ducem o paralelǎ ( d) la
dreptele paralele date. Fie 'Z simetricul lui Z fatǎ de P. Atunci, ' ' BZB Z este paralelogram,
deci ' ' ≡BZ B Z și ' ' ' ' BZ B Z B A de unde rezultǎ cǎ punctele ', ', ' B A Z sunt coliniare
si ' ' ≡AZ AZ . Astfel, AZ
BZ =' '
' ' AZ
BZ (1). Fie }{'= ∩ N BA d și }{'= ∩ K AB d . Atunci, din
teorema lui Thales rezultǎ: '
'=BX BA
XC AN și '
'=CY BK
AY BA . Avem, ⋅ ⋅BX CY AZ
XC AY BZ =
' '
' ' ⋅ ⋅ = BA BK AZ
BZ AN BA ' ' '
' ' ' ⋅ = ⋅ = BK AZ BZ AZ
BZ BZ AN AZ 1⋅ = BZ AZ
AZ BZ , unde am utilizat faptul cǎ
triunghiurile ' ' A NZ și ' ' B KZ sunt coliniare. Din reciproca teoremei lui Menelau s rezultǎ
cǎ punctele X,Y și Z sunt coliniare.
134 Jean Poncelet (1788 – 1867) – matematician francez, contribuții importante în geometria proiectivă
B A
C Z
X K Z' C'
B' P
A' N
1d 2d 3d
Y
Fig. 310 d
308 II.35. Teorema lui Zajic
„Ne vom aminti de Arhimede când îl vom fi uitat pe Eschil fiindcă limbile mor, iar ideile matematice s unt fară
moarte. Nemurirea poate părea un cuvânt inept, dar matematicianul are, probabil, cea dintâi șansă de a se bucura
de binefacerile ei, oricare ar fi acelea.” – G.H. H ardy 135
În triunghiul ABC, fie ( ) ∈X BC și aC punctul de tangență al cercului înscris în
triunghiul ABC cu latura BC. ǎacă cercurile înscrise în triunghiurile ABX și ACX sunt
tangente laturii AX în punctele 1T, respectiv 2T, atunci 1 2 =aC X TT .
Demonstrație. Fie a, b, c lungimile laturilor
triunghiurilor ABC și , , b c p p p semiperimetrele
triunghiurilor ABC, ABX respectiv ACX .
În triunghiul ABC avem:
= + = − + a a a BX BC C X p b C X și
= − = a a CX CC C X − − ap c C X . În triunghiul
ABX , 1= − bXT p c și în triunghiul ACX ,
2 .= − cXT p b Atunci, 1 2 1 2 TT XT XT = − =
b c p p b c − + − . Dar, 2( ) b c p p − =
2[( ) ( )] c AX BX b AX CX + + − + + =
2( ) − + ac b C X , de unde rezultă că
− = − + b c a p p c b C X , deci
1 2 . = − + + − = a a TT c b C X b c C X
Ionsecință: ǎacă aC este punctul de tangență al cercului înscris în tr iunghiul ABC cu
latura BC, atunci cercurile înscrise în triunghiurile aABC și AC aC sunt tangente laturii
aAC în același punct .
Demonstrația rezultă din teorema lui Zajic pentru =aX C .
II.36. Teorema lui Viviani 136
Suma distanțelor de la un punct, situat în interior ul
unui triunghi echilateral la laturile triunghiului este
egală cu înalțimea triunghiului.
Demonstrație. Fie P un punct în interiorul ABC și
1 2 3 , , P P P proiecțiile lui P pe laturile BC, AC respectiv AB
(Fig. 312). Fie a lungimea laturii AB și h lungimea
triunghiului echilateral ABC . Avem:
[ ] [ ] [ ] [ ] = + + ABC PBC PAC PAB A A A A , adică
3 1 2
2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= + + PP a ah PP a PP a , de unde rezultă
1 2 3 = + + h PP PP PP .
135 G.H. Hardy (1877-1947) – matematician englez, p rofesor la Universitatea Cambridge, contribuții imp ortante
în teoria numerelor și analiza matematică
136 Vincenzo Viviani (1622-1703) – inginer italian, co ntribuții în fizică și geometrie A
B C X 1I 2I 1T
2T
aC
Fig. 311
A
B C P3 P2
P1 P
Fig. 312
309 II.37. Teorema lui Véronèse 137
„Iubirea nu se dăruie decât pe sine și nu ia decât de la sine. Iubirea n u stăpânește
și nu vrea să fie stăpânită, fiindcă iubirii îi es te de ajuns iubirea.” – Gibran Kahlil 138
Fie triunghiurile omologice ABC și ' ' ', ABC { "} ' ', = ∩ A BC CB { "} ' ', = ∩ B CA AC
{ "} ' '. = ∩ C AB BA Triunghiul " " " A B C este omologic cu fiecare din triunghiurile
, ' ' ' ABC ABC iar cele trei centre de omologie sunt coliniare.
Demonstrație. Fie 1 1 1 { } ' ',{ } ' ',{ } ' ' = ∩ = ∩ = ∩ A BC BC B AC AC C AB AB (Fig.313).
Triunghiurile ABC și ' ' ' ABC fiind omologice rezultă că punctele 1 1 1 , , A B C sunt coliniare.
Omologia triunghiurilor ABC și ' ' ' ABC implică omologia triunghiurilor 'ABC și
' ' ABC de unde rezultă că punctele 1, ", " C A B sunt coliniare. Analog, punctele
1( , ", ") A B C și 1( , ", ") B C A sunt coliniare, deci triunghiul " " " A B C este omologic cu
fiecare din triunghiurile ABC și ' ' ', ABC având drept axă de omologie dreapta 1 1 ,AC iar
cum dreapta "AA nu trece prin centrul O de omologie dintre triunghiurile ABC și ' ' ' ABC
rezultă că centrele de omologie 1O și 2O – dintre triunghiurile " " " A B C și ABC respectiv
" " " A B C și ' ' ' ABC – și punctul O sunt coliniare.
137 Giuseppe Véronèse (1854-1917) – matematician itali an, profesor la Universitatea din Roma, contribuții
importante în geometria proiectivă
138 Gibran Kahlil (1883-1931) – poet, filosof, sculpto r libanez A
B C A' B' C'
1A 1B
1C A" B"
Fig. 313 C"
310 II.38. Teorema lui Coșniță 139
„Matematica este o știință în ca re nu se știe niciodată despre ce se
vorbește și nici dacă este adevărat ce se vorbește. ” – Bertrand Russel 140
Teorema lui Coșniță
Fie O centrul cercului circumscris unui triunghi ABC și X, Y, Z centrele cercurilor
circumsrise triunghiurilor BOC, COA, respectiv AOB. ǎreptele AX, BY și CZ sunt
concurente .
Demonstrația1. Fie 1{ } , A AX BC = ∩
1{ } , B BY CA = ∩ 1{ } = ∩ C CZ AB (Fig. 314). Deoarece
( ) ( ) = = m BOX m OCX 1( ) ( ), 2= m BOC m A
rezultă ( ) 90 ( ) = °− = m OBC m BOX 90 ( ) °− m A și
( ) ( ) ( ) ( ) = = − = m CBX m BCX m A m OBC
2 ( ) 90 . − °= m A αAnalog, ( ) 2 ( ) 90 = − °= m ACY m B β
și ( ) 2( ) 90 . = − °= m AZB C γ Avem: [ ] 1
1= = ABX
ACX ABA
AC A
1s in ( ) s in ( ) 2
1 s in ( ) s in ( ) 2⋅ ⋅ ⋅ + +=+⋅ ⋅ ⋅ + AB BX B AB B
AC C AC CX C αα
αα
sau 1
1cos( ) .cos( ) BA AB C A
AC AC B A ⋅ − =⋅ − Analog, 1
1cos( )
cos( ) CB CB A B
BA BA C B ⋅ − =⋅ − și 1
1cos( ) .cos( ) CA CA B C
CB CB A C ⋅ − =⋅ −
Atunci, 1 1 1
1 1 1 1BA CB CA
AC BA CB ⋅ ⋅ = (unde am ținut cont că cos( ) cos , x x x − = ∀ ∈ ) și din
reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele AX, BY și CZ sunt concurente.
Demonstrația 2: Fie * * { } ,{ } A ZY BC B XZ AC = ∩ = ∩ și *{ } . C XY AB = ∩ Deoarece ZY,
XZ, XY sunt mediatoarele segmentelor AO, BO respectiv CO din teorema lui Ayme rezultă
că punctele * * * , , A B C sunt coliniare și din reciproca teoremei lui Deser gues aplicată
triunghiurilor ABC și XYZ rezultă că dreptele AX, BY și CZ sunt concurente.
Observații:
i) Punctul de concurență al dreptelor AX, BY și CZ se numește punctul lui Ioșniță al
triunghiului ABC.
ii) Triunghiul XYZ se numește triunghiul lui Ioșniță al triunghiului ABC.
iii) AX, BY, CZ se numesc dreptele lui Ioșniță .
1) Într-un triunghi ABC, punctul lui Ioșniță (*O) și centrul cercului lui Euler (9O) sunt
izogonal conjugate.
Demonstrație. Fie 'A și "A punctele de intersecție dintre bisectoarele interi oară și
exterioară a unghiului A cu cercul circumscris triunghiului ABC și aO centrul cercului
139 Cesar Coașniță (1910-1962) – matematician roman, p rofesor la Universitatea din București
140 Bertrand Russell (1872 – 1970) – filosof, logician și matematician englez, laureat al Premiului Nobe l pentru
literatură A
B C
X
Y Z
O
1C 1B O∗
1A
Fig. 314
311 circumscris triunghiului BHC . Punctele 9, , aAO O sunt coliniare (vezi „Cercurile lui
Carnot”) (Fig. 315). Avem: , ' , 2 cos 2cos aROX XA XO ROO AH R A A= = − = = (vezi
„Cercurile lui Carnot”). Atunci, " ' 2 cos , " ' a a A O AO R A A X A X = =
deci fasciculul 1 ( , ) aANOMO este armonic și cum
( ' ") 90 = ° m A AA rezultă că dreptele 'AA și "AA sunt
bisectoarele unghiurilor ,aXAO respectiv ,aO AP unde
( \[ ]) P BA AB ∈ (vezi „Centrul cercului înscris în triunghi”),
deci ' ' aXAA A AO ≡ sau 9 ' ' XAA A AO ≡ (1), adică
dreptele AX și 9AO sunt izogonale. Analog se arată că
dreptele BY și 9BO sunt izogonale, deci punctele lui Coșniță
(*O) și centrul cercului lui Euler ( 9O) sunt izogonal
conjugate.
2) Raza cercului circumscris triunghiului BOC are raza egală cu .2cos R
A
Demonstrație. Avem: 2
2
[ ] .4 2sin 2 2cos sin 2 42BOC R R a R a a R XO A A A R A ⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅ ⋅⋅
3) Fie , , ∗ ∗ ∗ A B C simetricele vârfurilor triunghiului ABC față de laturile opuse și O
centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Iercurile circumscrise triunghiurilor
,∗ ∗ AOA BOB și ∗COC se întâlnesc într-un al doilea punct care este inv ersul în cercul
circumscris al punctului lui Ioșniță.
Demonstrație. Vezi „Teorema lui Goormaghtigh – Musselman”.
Teorema lui Yiu
4) Fie , , ∗ ∗ ∗ A B C simetricele vârfurilor triunghiului ABC față de laturile opuse.
Iercurile circumscrise triunghiurilor , , ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ABC BC A CAB trec prin inversul punctului
lui Ioșniță în cercul circumscris triunghiului ABC .
Demonstrație. Fie Q inversul punctului lui Coșniță *( ) Oîn cercul circumscris
triunghiului .ABC Din teorema lui Musselman Q aparține cercurilor circumscrise
triunghiurilor ∗BOB și ∗COC (Fig. 316). Atunci, ∗ ∗ ≡ BQO BBO și
,∗ ∗ ≡ CQO CCO de unde rezultă că ( ) ( ) ( ) m BQC m BQO m CQO ∗ ∗ ∗ = + =
( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] m B BO m C CO m CBB m CBO m BCC m BCO ∗ ∗ ∗ ∗ + = − + − =
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ∗ ∗ + − + = m C BB m BC C m C BO m BC O
( ) ( ) (180 ( )) ∗ ∗ + − °− m CBB m BCC m BOC . Dar ( ) 90 ( ) 90 ( ) ∗= °− = °− m CBB m C m B
( ) 2 ( ). = m BOC m BAC Astfel, ( ) (90 ( )) (90 ( )) 180 2 ( ) ∗ ∗ = °− + °− − °− = m BQC m C m B m A
2 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 180 . − − = − ° m A m B m C m A Deci, 180 ( ) 2 180 3 ( ). ∗ ∗ °− = ⋅ °− m BQC m A
Pe de altă parte, ∗≡ BAC BAC și ,∗≡ CAB BAC de unde rezultă că A
B
A ' C
X aO O H
1A P
A ''
Fig. 315
312 ( ) 2 180 [ ( ) ( ) ( )] 2 180 3 ( ). ∗ ∗ ∗ ∗ = ⋅ °− + + = ⋅ °− m B AC m BAC m BAC m CAB m BAC Ur
mează că, ( ) 180 ( ), ∗ ∗ ∗ ∗ = °− m B AC m BQC de unde rezultă că Q aparține cercului
circumscris triunghiului .∗ ∗ ABC Analog, se arată că punctul Q aparține și cercurilor
circumscrise triunghiurilor ∗ ∗ BC A și .∗ ∗ CAB
Observație: În general, dat fiind un triunghi ABC și punctele , , ∗ ∗ ∗ A B C astfel încât
cercurile circumscrise triunghiurilor ,∗ ∗ ABC BCA și ∗C AB au un punct comun, atunci
cercurile circumscrise triunghiurilor ,∗ ∗ ∗ ∗ ABC BC A și ∗ ∗ CAB au de asemenea un punct
comun.
5) Ientrul cercului circumscris triunghiului de sim etrie ∗ ∗ ∗ ABC al triunghiului ABC
este simetricul centrului cercului circumscris triu nghiului ABC față de punctul lui
Ioșniță.
Demonstrație. Centrul cercului circumscris
triunghiului podar al unui punct P este mijlocul
segmentului *PP ( *Pfiind izogonalul conjugat
al lui P). Fie ∗Ocentrul cercului circumscris
triunghiului ∗ ∗ ∗ ABC (Fig. 317). Cum 9O și
*Nsunt izogonal conjugate rezultă că ∗O este
imaginea mijlocului segmentului *
9ON prin A
B C O
Fig. 316 D
E F X Y Z
A∗ B∗ C∗ Q
H 9O G O T N∗ O∗
Fig. 317
313 omotetie H( ,4) G (unde am folosit teorema lui Boutte – „Triunghiul celor trei imagini”).
Fie T mijlocul segmentului *
9ON . Din teorema lui Menelaus aplicată triunghiului 9OTG
avem: 9
94 3 1 13 2 2 ∗ ∗
∗ ∗ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = OO OG NT
OG OT ON rezultă punctele *,O N și ∗O sunt coliniare. Cum
9
93∗
= = HO OT
TG OG rezultă 9 ,∗OT OH adică *
9 ,∗ON OH deci *Neste mijlocul segmentului
.∗OO
II.39. Teorema lui Kiepert
„Cum se face că matematica – produs prin excelență al gândirii umane, independent de
experiență – poate fi atât de admirabil adaptat ob iectelor lumii reale?” – A. Einstein 141
Pe laturile unui triunghi ABC, în exteriorul său, se construiesc triunghiurile is oscele
asemenea ' , ' , ' BAC ABC BC A . ǎreptele 'AA ,'BB și 'CC sunt concurente .
Demonstrație.
Notăm afixele punctelor cu litere mici corespunzăto are. Fie '=ACB α și "A mijlocul
laturii BC . Avem A 'A" sin A'C α= , deci " sin '1 sin +=+a c aα
α sau 2 sin '2(1 sin ) + + =+b c c aα
α și analog
se obțin egalitățile: 2 sin '2(1 sin ) + + =+a c a bα
α, 2 sin '2(1 sin ) + + =+b a b cα
α. Sumând ecuațiile dreptelor
'AA , 'BB ,respectiv 'CC obținem :
2 sin 2 sin ( 2sin ) ( 2 sin ) 0. 2(1 sin ) 2(1 sin ) 2(1 sin ) 2(1 sin ) b c c b c c ab c c ab c c a z a zα α α α
α α α α + + + + + + + + − − − + − = + + + +
Obținem identitatea ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = ac b cb a ba c , de unde rezultă că dreptele
'AA ,'BB și 'CC sunt concurente.
141 Albert Einstein (1879-1955) – fizician german, pro fesor universitar la Berlin și Princeton, laureat al Premiului
Nobel A
B C
A' B'
C'
A"
Fig. 318
314 A
B C D
Fig. 320 II.40. Teorema lui Gergonne 142
„Infinitul este numai un fel de a vorbi.” – C. Gaus s 143
ǎacă cevienele AD,BE și CE sunt concurente într-un punct P interior triunghiului ABC,
atunci :
i) 1PD PE PE
AD BE CF + + = ; ii) 2AP BP CP
AD BE CF + + = .
Demonstrație.
i) Avem: [ ] ,
[ ] APD BPD
AD A ABC = [ ]
[ ] APE APC
BE A ABC = și
[ ]
[ ] APF APB
CF A ABC = , de unde prin sumare rezultă concluzia.
ii) Cum 1 , 1 , 1 PD AP AP AP PE BP PF CP
AD AD AD BE BE CF CF −= = − = − = − ,
prin sumare rezultă 1 3 AP BP CP
AD BE CF = − + + , adică
2AP BP CP
AD BE CF + + = .
II.41. Teorema lui Heron 144
„Un matematician care nu are și fire de poet nu poa te fi niciodată un matematician complet.” – K. Wei erstrass 145
Fie a, b, c lungimile laturilor BC, CA respectiv AB ale unui triunghi ABC, iar 2p=a+b+c.
Aria triunghiului ABC este dată de formula [ ]( )( )( ). = − − − ABC A p p a p b p c
Demonstrație. Fie D piciorul înălțimii din A a triunghiului ABC.
Notăm .aAD h = Din teorema lui Pitagora generalizată rezultă
2 2 2 2 , c a b aDC = + − ⋅ de unde 2 2 2
.2a b c DC a+ − = Din triunghiul
dreptunghic ADC rezultă: 22 2 2
2 2
2 + − = − =
aa b c h b a
2 2 2 2 2 2
21(2 ) (2 ), 4− − + ⋅ + + − ab a b c ab a b c a de unde
2( )( )( ) = − − − ah p p a p b p c a și de aici obținem: [ ]( )( )( ). 2⋅= − − − a
ABC h a A p p a p b p c
142 Joseph Gegonne (1771-1859) – matematician francez, fondator al revistei Annales de Mathématiques în 1810
143 Carl Gauss (1777-1855) – matematician, fizician și astronom german,contribuții în teoria numerelor, g eometrie
diferențială, analiză matematică, statistică
144 Heron (10-75) – geometru egiptean
145 Karl Weierstrass (1815-1897) – matematician germa n, contribuții importante în analiza matematică A
B C D E F
P
Fig. 319
315 II.42. Teorema lui Catalan 146
„Geometria este cea mai bună și mai simplă dintre t oate logicile, cea mai potrivită să dea inflex ibilitate
judecății și rațiunii.” – Denis Diderot 147
Trei antiparalele egale relative la laturile unui t riunghi determină pe laturi puncte
conciclice .
Demonstrație . Fie ' ", ' ", ' " AC B A C B trei
antiparalele egale ', " ( ) A A BC ∈ ,
', " ( ) B B CA ∈ , ', " ( ). C C AB ∈ Din
' " " ' BA C BAC CA B ≡ ≡ rezultă
" ' " ' C AC BA B ≡ ; cum ' " " ' AC A B ≡
rezultă că ' " ' " A A BC este trapez isoscel,
deci inscriptibil (1), Atunci ' " BC BC , deci
dreapta ' " C B este antiparalelă cu ' " BC , de
unde rezultă că patrulaterul ' " ' " B B C C este
inscriptibil (2). Analog, patrulaterul
' " ' " AC C B este inscriptibil (3). Din relațiile
(2) și (3) rezultă că punctele
', ", ', ", ' A C C B B sunt conciclice (4). Din
relațiile (4) și (1) rezultă că punctele
', ", ', ", ' A C C B B ", ' C C sunt conciclice.
Observație: Cercul ce conține punctele ', ", ', ", ' A C C B B ", ' C C se numește cercul lui
Taylor.
II.43. Teorema lui Blanchet
„Geometria se bazează pe această sinteză succesivă a imaginației productive în generarea figurilor. Es te o bază a
axiomelor care formulează condițiile intuiției sens ibile a priori, potrivit căreia două drepte nu pot încadra un
spațiu.”- I. Kant 148
Fie M un punct oarecare pe înalțimea
AD a triunghiului ABC, ( ) D BC ∈ și
{ } E BM AC ∈ ∩ , { } F CM AB ∈ ∩ . Să
se arate că AD este bisectoarea
unghiului FDE .
Demonstrație. Ducem prin A o paralelă
d la BC și fie { } P DE d = ∩ ,
{ } Q FD d = ∩ . Din asemănarea
triunghiurilor AFQ și BFD , respectiv
146 Éugéne Catalan (1814-1894) – matematician belgian, contribuții în geometrie, algebră și analiză
147 Denis Diderot (1713-1734) –filosof și scriitor fra ncez, figură centrală a iluminismului
148 Immanuel Kant (1724-1804) – filosof german A
B C A' B' C'
A" B"
C"
Fig. 321
B C Q P A
D M E
F
Fig. 324
316 AEP și CED rezultă AQ AF
BD FB = și AP AE
DC EC = , de unde 1AQ BD AF EC
AP DC FB AE = ⋅ ⋅ = (s-a utilizat
teorema lui Ceva), deci AQ AP = . Cum BC PQ și AD BC ⊥ rezultă AD PQ ⊥ . Din
relațiile (1) și (2) rezultă că triunghiul PDQ este isoscel,deci AD este bisectoarea unghiului
.PDQ
II.44. Teorema lui Alasia 149
Un cerc intersectează laturile AB, BC, CA ale unui triunghi ABC în punctele
, '; , ', D D E E respectiv , '. F F ǎreptele ', ' DE EF și 'FD determină un triunghi ' ' ' ABC
omologic cu triunghiul ABC .
Demonstrație. Fie
{ '} ' ',{ '} ' ', A DE EF B FD EF = ∩ = ∩
{ '} ' ', C FD DE = ∩ { ''} ' ' , A BC BC = ∩
{ "} ' ' , B AC AC = ∩ { ''} ' ' . C AB AB = ∩
Teorema lui Menelaus aplicată
triunghiului ABC cu transversalele
" ' , " ', A D F B D E − − − −
respectiv " ' C E F − − ne dă:
" ' 1'' ' A B D A FC
A C D B FA ⋅ ⋅ = ,
" ' 1" ' B C E B D A
B A E C D B ⋅ ⋅ = ,
'' ' 1" ' C A F C EB
C B F A EC ⋅ ⋅ = ,
de unde rezultă:
" " "
" " " A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ =
' ' ' 1' ' ' DB FA EC DB FA EC
DAFC EB DA FC ED ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
(cf. th. lui Carnot) și din reciproca
teoremei lui Menelaus rezultă că
punctele ", ", " A B C sunt coliniare,
iar din reciproca teoremei lui
Desargues rezultă că triunghiurile ABC și ' ' ' ABC sunt omologice.
Observație: Din teoremă rezultă că dreptele ', ' AA BB și 'CC sunt concurente.
149 Cristoforo Alasia (1869-1918) –matematician italia n A
B C E ' D F'
C" D'
Fig. 322 E F A'
B' C' B"
A"
317 II.45. Teorema lui Ayme
„Nu există pe lume un stadiu care să pună mai armon ios în acțiune facultățile spiritului decât cel al
matematicienilor. Matematicianul trăiește mult timp și totuși rămâne tânăr; aripile sale nu se frâng de timpuriu și
porii săi nu-s obturați de praful ce se ridică pe m arile drumuri prăfuite de vieți obișnuite.” – Jame s Sylvester 150
Fie O centrul cercului circumscris unui triunghi ABC și X, Y, Z punctele de intersecție
dintre mediatoarele segmentelor OA, OB, OC cu dreptele BC, CA respectiv AB.
Demonstrație. Fie D, E, F mijloacele segmentelor OA, OB respectiv OC . Deoarece EF este
linie mijlocie în triunghiul isoscel BOC rezultă că patrulaterul BCFE este trapez isoscel,
deci punctele B, C, F și E sunt conciclice (Fig. 323). Analog, punctele C, A, F și D
respectiv A, B, D și E sunt conciclice. Conform teoremei lui Dergiades ap licată cercurilor
precedente rezultă că punctele X, Y și Z sunt conciclice.
Teorema lui Musselman
Fie * * * , , A B C simetricele vârfurilor triunghiului ABC față de laturile opuse și O centrul
cercului circumscris triunghiului ABC. Iercurile circumscrise triunghiurilor
* * * , , AOA BOB COC se întâlnesc într-un al doilea punct.
Demonstrație. Fie X, Y, Z centrele cercurilor considerate. Mediatoarele segme ntelor OA,
OB, OC trec prin punctele X, Y respectiv Z și conform teoremei lui Ayme punctele X, Y și Z
150 James Sylvester (1814-1897) – matematician englez , professor la Universitatea Oxford, contribuții imp ortante
în algebră A
B C O
Fig. 323 D
E F
X Y Z
A∗ B∗ C∗ iG
318 sunt coliniare. Cum punctul O aparține cercurilor considerate și centrele lor su nt coliniare,
rezultă că cercurile se întâlnesc într-un al doilea punct.
Observații:
i) Cercurile circumscrise triunghiurilor * * * , , AOA BOB COC se numesc cercurile lui
Musselman .
ii) Al doilea punct de intersecție dintre cercurile considerate se numește punctul lui Gibert
( ) iG al triunghiului ABC .
II.46. Teorema lui Bobillier 151
„Ajung tot mai mult la concluzia că necesitatea geo metriei noastre nu poate
fi demonstrată…Poate că în a ltă viață vom reuși să definim spațiul, pentru
că acum este practic imposibil.” – Carl Gauss 152
Fie M un punct în planul triunghiului
ABC. Perpendicularele ridicate din punctul
M pe dreptele MA, MB, MC intersectează
laturile BC, CA respectiv AB în trei puncte
coliniare .
Demonstrație. Fie N, P și Q punctele de
intersecție ale dreptelor AC, BC și AB cu
perpendicularele duse din
M pe MB, MA respectiv MC . Avem:
[ ]
[ ]sin
sin MBP
MPC APB MB MP BMP
PC A MC MP PMC ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅
sin
sin MB BMP
MC PMC ⋅
⋅
sau cos .cos ⋅=⋅
PB MB AMB
PC MC AMC
Analog se arată că cos
cos NC MC BMC
NA MA AMB = ⋅
și cos .cos QA MA AMC
QB MB BMC = ⋅
Deci,
1PB NC QA
PC NA QB ⋅ ⋅ = și din reciproca teoremei
lui Menelaus rezultă că punctele N, P și Q
sunt coliniare.
151 Étienne Bobiller (1898-1940) –geometru francez
152 Carl Gauss (1777-1855) – matematician, fizician și astronom german,contribuții în teoria numerelor, g eometrie
diferențială, analiză matematică, statistică A
B C M N
P
Q Fig. 325
319 II.47. Teorema lui Boutin
„O demonstrație matematică nu înseamnă o simplă ală turare de silogisme, ci silogisme așezate într-o an umită
ordine, iar ordinea în care sunt așezate aceste ele mente este mai importantă decât elementele însăși.” – Henri
Poincaré 153
Fie a b c M M M triunghiul median corespunzător unui triunghi ABC și O centrul
cercului circumscris triunghiului ABC . Pe dreptele aOM ,bOM ,cOM se consideră
punctele 1A,1B,1C astfel încât 1 1 1
a b c OA OB OC
OM OM OM = = . ǎreptele 1AA ,1BB ,1CC sunt
concurente într-un punct ce aparține dreptei lui Eu ler a triunghiului ABC .
Demonstrație. Din 1 1 1
a b c OA OB OC
OM OM OM = = rezultă că triunghiurile a b c M M M și 1 1 1 ABC sunt
asemenea, iar cum 1 1 1 { } a b c O AM BM CM = ∩ ∩ rezultă că triunghiul a b c M M M și 1 1 1 ABC
sunt omotetice, centrul de omotetie fiind punctul O (Fig. 326). Dar și triunghiurile
a b c M M M și ABC sunt omotetice, centrul de omotetie fiind punctul G centrul de greutate
al triunghiului ABC . Atunci, rezultă că triunghiurile ABC și 1 1 1 ABC sunt omotetice,
centrul de omotetie aparținând dreptei determinate de celelalte două centre de omotetie –
dreapta OG – adică dreptele 1AA ,1BB ,1CC sunt concurente într-un punct ce aparține
dreptei lui Euler a triunghiului ABC .
Observație : Punctul de concurență al dreptelor 1AA ,1BB și 1CC se numește punctul lui
Franke .
153 Henri Poincaré ( 1854 -1912) – matamatician și fizi cian francez, contribuții importante în toate ramu rile
matematicii A
B C 1B 1C
O
G P
1A aM bM cM
Fig. 326
320 II.48. Teorema lui Cantor 154
„Infinitul? Nici o întrebare nu a mișcat atât de pr ofund spiritul omului.”- D. Hilbert 155
Perpendicularele duse din mijloacele laturilor unui triunghi pe laturile opuse ale
triunghiului tangențial corespunzător sunt concuren te .
Demonstrație.
Alegem ca reper complex cu originea în centrul triu nghiului ABC și fie A B C TTT triunghiul
său tangențial. Notăm cu litere mici afixele puncte lor corespunzătoare. Fie ', ', ' A B C
mijloacele laturilor BC , AC , respectiv AB .
Avem: ' , ' , ' . 2 2 2 b c a c a b a b c + + + = = = Afixul centrului cercului lui Euler este egal cu
.2+ + =a b c n Deoarece ' 1 2 2
2a b c b c
n a
o a a + + + −−= = − ∈ − − rezultă că ' . A N AO
Cum ⊥B C AO TT rezultă că '⊥B C A N T T . Analog, se demonstrează că și perpendicularele
din B’ și C’ pe laturile A C TT respectiv A B TT trec prin punctul N (centrul cercului lui lui
Euler al triunghiului ABC ).
154 Georg Cantor (1845-1918) – matematician german, con tribuții remarcabile în teoria mulțimilor; este con siderat
unul din fondatorii matemati cii moderne.
155 David Hilbert (1962-1943) – matematician german, p rofesor la Universitatea din Göttingen, contribuții
remarcabile în geometrie și analiza matematică A C"
B C A’ O B’
B"
A " C’
NBT
AT CT
Fig. 327
321 II.49. Teorema Carnot 156
„…dacă Dumnezeu există cu adevărat și a creat lumea , atunci, după cum știm cu toții, a creat-o conform
Geometriei Euclidiene și a înzestrat mintea umană c u concepția a numai trei dimensiuni spațiale. Cu to ate acestea
au existat și mai există încă matematicieni, unii c hiar geniali, care se îndoiesc că întregul univers a fost creat
conform geometriei euclidiene.” – Feodor Dostoievsk i 157
Teorema lui Carnot
Fie triunghiul ABC și punctele 'A BC ∈,'B AC ∈ respectiv 'C AB ∈. Perpendicularele
duse din punctele ', ', ' A B C pe laturile , , BC AC respectiv AB sunt concurente dacă și
numai dacă 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' 0 AC BC BA CA CB AB − + − + − = (0) .
Demonstrație.
Presupunem că perpendicularele se
întâlnesc într-un punct P. Din teorema
lui Pitagora rezultă:
2 2 2 ' ' AC C P AP + = (1)
2 2 2 ' ' BC C P BP + = (2)
2 2 2 ' ' BA A P BP + = (3)
2 2 2 ' ' CA AP CP + = (4)
2 2 2 ' ' CB B P CP + = (5)
2 2 2 ' ' AB B P AP + = (6)
Din ecuațiile (1), (3) și (5) respectiv
(2), (4) și (6) prin sumare rezultă:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' AC C P BA A P CB B P AP BP CP + + + + + = + + (7), respectiv
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' BC C P CA AP AB B P BP CP AP + + + + + = + + (8). Scăzând membru cu
membru relațiile (7) și (8) rezultă concluzia. Pen tru a demonstra reciproca, fie
{ } ' ' P AP B P = ∩ . Fie D piciorul perpendicularei duse din P pe latura AB . Conform primei
părți avem 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' 0 AD BD BA CA CB AB − + − + − = , care cu ipoteza dă
2 2 2 2 ' ' AD BD AC BC − = − ( ) ∗. Fie ,BD x = 'DC y = și ' . C A z= Atunci, x y z c + + = și
din relația ( ) ∗ rezultă '. D C ≡
Ionsecințe:
1) Fiecare din relațiile următoare este echivalentă cu relația (0):
(9) ' ' ' ' ' ' , c AC a BA b CB c C B a AC b B A ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅
(10) 2 2 2 2( ' ' ') , c AC a BA b CB c a b ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +
(11) ' sin 'sin 'sin ' sin ' sin ' sin AC C BA A CB B C B C AC A B A B ⋅ + + = ⋅ + +
Demonstrație. Relația (0) este echivalentă cu
( ' ' )( ' ' ) ( ' ' )( ' ' ) AC CB AC CB BA AC BA AC − + + − + + ( ' ' )( ' ' ) 0 CB B A CB B A − + = sau
156 Lazare Carnot (1753-1823) – matematician și ingine r francez
157 Feodor Dostoievski (1821-1881) – scriitor rus A
B C A' B' C'
P
Fig. 328
322 ' ' ' ' ' ' 0 AC c C B c BA a AC a CB b B A b ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = (adică relația (9)). Relația (10) se
obține din relația (9) astfel: 2( ' ' ') 2( ' ' ' ) c AC aBA bCB cCB a AC bBA ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
2 2 2 ' ' ' ' ' ' . c C B a AC b B A c AC a BA b CB c a b = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + Relația (11) este
echivalentă cu relația (9) utilizând teorema sinusu rilor.
2) Fie punctele diferite A și B. Să se determine locul geometric al punctului M din plan
care diferența 2 2 AM BM − este constantă .
Demonstrație. Fie ,MN AB ⊥ { } N MN AB = ∩ . Atunci, 2 2 2 2 2 AM AN MN BM BN − = = −
de unde rezultă că : 2 2 2 2 . AM BM AN BN const− = − = Dacă M aparține locului
geometric, atunci și N aparține locului geometric și reciproc. Locul geom etric este o dreaptă.
3) Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concure nte .
Demonstrație. Fie ', ', ' A B C mijloacele laturilor ,BC AC respectiv AB ale triunghiului
ABC (Fig. 329). Din reciproca teoremei lui Carnot rez ultă :
2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' 0, AC BC BA CA CB AB − + − + − = deoarece ' ' , BA AC = ' ' B A BC = și
' ' C A C B = .
4) Înălțimile unui triunghi sunt concurente .
Demonstrație. F ie ', ', ' AA BB CC înălțimile triunghiului ABC (Fig. 330). Avem:
2 2 2 2 2 ' ' ' AB BA AA AC CA − = = − de unde 2 2 2 2 ' ' AB AC BA CA − = − . Analog se obțin
relațiile: 2 2 2 2 ' ' AC BC AC BC − = − și 2 2 2 2 ' ' . BC AB CB AB − = − Sumând relațiile
precedente obținem : 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' 0 AC BC BA CA CB AB − + − + − = , relație care arată că
înălțimile ', ', ' AA BB CC sunt concurente.
5) Perpendiculare duse în punctele de tangență ale cercului înscris în triunghiul ABC cu
laturile acestuia pe laturile triunghiului sunt con curente .
Demonstrația este evidentă.
C A
A' B' C'
O
B
Fig. 329 C H A
B B'
A' C'
Fig. 330
323 6) Teorema lui Soons (Existența ortopolului unei drepte)
Vârfurile , , ABC ale triunghiului ABC se proiectează pe o dreaptă d oarecare ce nu
trece prin vârfurile triunghiului ABC în ,LM respectiv N. Perpendicularele din L pe
BC , M pe AC și N pe AB sunt concurente într-un punct numit ortopolul dreptei d a
triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie ,ALBM și CN perpendicularele
duse din A, B și C pe dreapta d , ( , , LM N d ∈).
Fie ' , LA BC ⊥ ' , MB AC ⊥ 'NC AB ⊥ , ' , A BC ∈
' , B AC ∈ 'C AB ∈ (Fig. 331). Avem:
2 2 2 2 2 AM ML AL AN LN − = = − , de unde rezultă
2 2 2 2 AM AN LM LN − = − . Analog ,
2 2 2 2 BN BL MN LM − = − și 2 2 2 2 CL CM LN MN − = − .
Sumând relațiile precedente rezultă
2 2 2 2 2 2 0 AM AN BN BL CL CM − + − + − = , adică
2 2 2 2 2 2 ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' ) MB AB C N AC C B C N + − + + + −
2 2 2 2 2 2 ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' ) 0 BA AL AC LA BM BC + + + − + =
egalitate echivalentă cu :
2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' ' 0 AB AC C B BA AC BC − + − + − = și din reciproca teoremei lui Carnot rezultă
concluzia.
II.50. Teoremele lui Carnot 158
„există matematicieni…. care îndrăznesc să viseze că două paralele, care conform teoriei lui Eucli d, nu se pot
întâlni niciodată pe pământ, se întâlnesc undeva la infinit. Eu…. am ajuns la concluzia că, din mome nt ce nu
înțeleg nici măcar atâta lucru, cum aș putea să – l înțeleg pe Dumnezeu? ” – Feodor Dostoi evski 159
Teorema lui Carnot
Într-un triunghi ascuțitunghic ABC suma distanțelor de la centrul cercului circumscri s
(O) la laturile triunghiului este egală cu suma lungim ilor razelor cercului înscris și
circumscris triunghiului .
Demonstrație. Fie A1, B 1, C 1, proiecțiile lui O pe
laturile BC, CA , respectiv AB . Avem de demonstrat
faptul că: 1 1 1 + + = + OA OB OC r R . Notăm cu x, y, z
lungimile distanțelor 1OA , 1OB , respectiv 1OC . Din
teorema lui Ptolomeu pentru patrulaterul inscriptib il
1 1 OBAC rezultă: 1 1 1 1 1 1 ⋅ + ⋅ = ⋅OB AC OC AB OA BC ,
adică 2 2 2 ⋅ + ⋅ = ⋅c b a y z R , de unde .+ = cy bz Ra
Analog se demonstrează că + = ax cz Rb și
+ = bx ay Rc . Sumând relațiile precedente rezultă:
2( ) ( ) 2 + + − + + = x y z ax by cz Rp ,unde
158 Lazare Carnot (1753-1823) – matematician și ingine r francez
159 Feodor Dostoievski (1821-1881) – scriitor rus C A' B N
M C'
A
L B' d
Fig. 331
A
B
C A1 B1
C1
Fig. 332
324 2+ + =a b c p . Deoarece [ ] 2 2 + + = = ABC ax by cz A rp rezultă . + + = + x y z R r
Observații:
1) Egalitatea 1 1 1 + + = + OA OB OC r R se numește relația lui Iarnot .
2) Dacă triunghiul ABC este obtuzunghic (de exemplu fie ( ) 90 > ° m A )), atunci teorema
lui Carnot devine . − + + = + x y z R r
3) Cum 1 ( ) ( ) = m BOA m BAC rezultă cos =x R A și analog rezultă
cos =y R B , cos =z R C , care înlocuite în relația lui Carnot dau:
cos cos cos 1 + + = + rA B C R.
4) O formă echivalentă a teoremei lui Carnot este:
[ ] ( cos cos cos )
4+ + + + = ⋅ABC abc A B C x y zA.
Ionsecință:
ǎacă ABCD este un patrulater inscriptibil și r1, r2, r3, r4, sunt razele cercurilor înscrise în
triunghiurile ABC, BCD, CDA, respectiv DAB să se arate că 1 3 2 4 + = + r r r r.
Demonstrație.
Notăm cu x, y, z, t, u , și v distanțele de la centrul cercului circumscris patru laterului ( O) la
AB, BC, CD, DA, AC, respectiv DB. Fie R raza cercului circumscris patrulaterului. Teorema
lui Carnot aplicată triunghiurilor ABC, BCD, CDA , și DAB dă: + + = + x y u R r (1),
+ + = + y z v R r (2), + − = + z t u R r (3), + − = + x t v R r (4). Din relațiile (1) și (2)
respectiv (3) și (4) 1 2 + − − = − x y z v r r și 3 4 − − + = − z u x v r r , de unde:
1 2 3 4 0 − + + = r r r r , adică 1 3 2 4 + = + r r r r.
A
B
C D v x
z u t
y O
Fig. 333
325 Teorema lui Carnot
ǎacă un cerc taie laturile unui triunghi în punctel e D, M, E, N, F, P atunci:
1. DB MB EC NC FA PA
DC MC EA NA FB PB ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
Demonstrație.
Din puterea punctului față de un cerc avem:
() , A AF AP AN AE ρ= ⋅ = ⋅ () , B BD BM BP BF ρ= ⋅ = ⋅
()C CM CD CE CN ρ= ⋅ = ⋅ . Cum ()
( )()
( )()
( )1B C A
C A B ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ⋅ ⋅ =
rezultă : 1DB MB EC NC FA PA
DC MC EA NA FB PB ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .
II.51. Teorema lui Casey 160
„Ca și în geometrie, înțeleg prin poezie o anumită simbolică pentru reprezentarea formelor posibile de existență.
Pentru mine poezia este o prelungire a geometriei, așa că, rămânând poet, nu am părăsit niciodată domeniul divin
al geometriei.” – Ion Barbu
Teorema lui Casey
Fie cercurile ( , ) COr, 1 1 ( , ) CO r ,2 2 ( , ) CO r ,3 3 ( , ) CO r ,4 4 ( , ) CO r . ǎacă cercurile
1C,2C,3C și 4C sunt tangente interior la cercul C(orientarea fiind în ordinea
numerotării), atunci avem următoarea relație între distanțele tangențiale dintre cercuri
:12 34 23 41 13 24 d d d d d d ⋅ + ⋅ = ⋅ (prin distanță tangențială ijd dintre cercurile iC și jC
înțelegem lungimea tangentei comune exterioare duse la cele două cercuri, cele două
cercuri aflându-se de aceeași parte a tangentei ).
Demonstrație.
160 John Casey (1820-1891) – matematician britanic , profesor la Universitatea Dublin, contribuții imp ortante în
geometrie A
B C F N
P
D E
M
Fig. 334
1T 4T
3T
2T 2O 1O
B A 3O 4O
Fig. 335 O
326 Fie 1 2 3 4 , , , T T T T punctele de tangență ale cercurilor 1C,2C,3C și respectiv 4Ccu cercul C.
Din teorema cosinusului în triunghiul i jTOT și i jOOO obținem :
2 2
22cos( )
2i j
i jr TT TOT
r−= și 2 2 2 ( ) ( ) 2( )( )cos( ) i j i j i j i jOO r r r r r r r r TOT = − + − − − − sau
2
2 2
2( ) ( )( ) i j
i j i j i jTT OO r r r r r r
r= − + − − . Fie tangenta comună interioară cercurilor ( , ) i iCO r
și ( , ) j jCO r , ijd=AB . Din trapezul dreptunghic j iABOO rezultă:
2
2 2 2 2 2 2
2( ) ( ) ( )( ) ( ) i j
ij i j i j i j i j i jTT d AB OO OA OB r r r r r r r r
r= = − − = − + − − − − adică
2
2
2( )( ) i j
ij i jTT d r r r r
r= − − , de unde rezultă ( )( ) i j
ij i jTT d r r r rr= − − . Egalitatea
1 2 3 4 2 3 4 1 1 3 2 4 ⋅ + ⋅ = ⋅d d d d d d este echivalentă cu
3 4 2 3 1 2 4 1
1 2 3 4 2 3 4 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) TT TT TT TT r r r r r r r r r r r r r r r rr r r r− − ⋅ − − + − − ⋅ − − =
1 3 2 4
1 3 2 4 ( )( ) ( )( ) TT TT r r r r r r r rr r− − ⋅ − − , adică 1 2 3 4 2 3 4 1 1 3 2 4 ⋅ + ⋅ = ⋅TT TT TT TT TT TT care
este teorema lui Ptolemeu.
Fig. 336 A
B
C
C C1 C2 C3
327 1) Fie triunghiul ABC înscris în cercul C și cercurile C1 ,C2 ,C3 tangente interioare
cercului C și laturilor BC, CA respectiv AB, astfel încât A și C1 , B și C2, C și C3 să fie de
părți diferite față de BC, CA, respectiv AB. Notăm cu 1 2 3 , , l l l lungimile tangentelor din A,
B, C la cercurile C1 ,C2 respectiv C3 și prin ijt lungimea tangentei comune exterioare a
cercurilor Ci și Cj , , 1,3, = ≠ i j i j.Atunci: 12 23 31 = = t t t dacă și numai dacă
1 2 3 , , 2 2 2 + + + = = = b c c a a b l l l
Demonstrație. Cercurile C1 ,C2 ,C3 sunt tangente laturilor triunghiului ABC în mijlocul
acestora. Aplicând teorema lui Casey pentru cercuri le: C și A,C2, C1, C3 ; C și B, C3 ,C1 ,C2;
C și C, C1 ,C3 ,C2 se obțin egalitățile:
13 12 1 23 12 23 2 13 23 13 3 12 ; ; , ( ) 2 2 2 2 2 2 ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ∗ b c c a a b d d l d d d l d d d l d de unde
rezultă 1 2 3 , , . 2 2 2 b c c a a b l l l+ + + = = = Reciproc, dacă 1 2 3 , , 2 2 2 b c c a a b l l l+ + + = = = prin
înlocuirea acestora în relațiile ( ) ∗ rezultă 13 23 23 12 ( ) ( ), − = − bd d cd d
12 13 13 23 ( ) ( ) − = − cd d ad d , 23 12 12 13 ( ) ( ) − = − ad d bd d și de aici:
12 13 23 12 13 23 0 − − − = = = + + d d d d d d
a b c a b c , de unde 12 23 31 . = = d d d
2) În triunghiul ABC , fie 1C și 2C două cercuri tangente exterior în punctul I, tangente
laturii BC a ABC și tangente interior cercului circumscris triunghi ului ABC . Să se
arate că punctul I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC .
B D C α I
X α
α Y z c b A
Fig. 337
328 Demonstrație. Fie 1 ={X} C BC I , 2 ={Y} C BC I , {D}= AI BC I . Fie AI z=,
BX x =, CY y =, DX DY DI α = = = . Din teorema lui Casey aplicată cercurilor
1( , , , ) AC BC și respectiv 2( , , , ) AC C B ne dă : (2 ) az bx c y α+ = + (1) și
(2 ) az cy b x α+ = + (2), de unde ( ) bx cy c b α− = − adică x c
y b α
α+=+, relație echivalentă cu
BD AB
DC AC = , ceea ce implică că AI este bisectoarea unghiului A și ac BD b c =+. Din (1) și
(2) rezultă ( ) az b c α= + , de unde z b c
aα+= , adică AI AB
ID BD = , egalitate care arată că BI
este bisectoarea ABC , deci I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC .
TEOREMA LUI CASEY ( T. GENERALIZATĂ A LUI PTOLEMEU)
Prin ijt vom nota lungimea tangentei comune exterioare cerc urilor 1Cși 2C (cele două
cercuri se afla de aceași parte a tangentei). Dacă cercurile 1C,2C,3C și 4C toate tangente
interior (sau exterior) unui cerc C în ordinea ciclică 1C,2C,3C,4C, atunci
12 34 23 41 13 24 t t t t t t⋅ + ⋅ = ⋅ . Mai mult dacă există relațiile 12 34 14 23 13 24 0 t t t t t t± ⋅ ± ⋅ ± ⋅ = pentru
o anumită alegere a semnelor + sau – , există un ce rc tangent (interior sau exterior) tuturor
celor 4 cercuri.
II.52. Teorema lui Clairaut 161
„Matematicianul este îmblânzitorul ce a domesticit infinitul.” – Lucian Blaga 162
Pe laturile AB și AC ale unui triunghi ABC sc construiesc în exterior (sau în interior)
paralelogramele 1 1 AABB și 2 1 AACC . Fie { M}= 1 1 2 1 AB AC ∩ , { 3A}= MA BC ∩ ; construim
punctul 4A astfel încat 3 4 ( ) A AA ∈ , 3 4 AA =AM și paralelogramul 2 2 BCC B cu
2 3 4 BB AA și 2 3 4 ≡BB AA (Fig. 338).
Teorema lui Clairaut
Suma ariilor paralelogramelor 1 1 AABB și 2 1 AACC este egală cu aria paralelogramului
2 2 BCC B .
Demonstrație. Fie 3 2 1 1 { } = ∩ B BB AB și { 3C}= 2 2 1 CC AC ∩ . Din
AM =2BB =3BB =2CC =3CC , 3=MB AB și 3=MC AC rezultă că: 1 1 3 [ ] [ ] =AABB BBMA A A ,
2 1 3 [ ] [ ] =AACC CC MA A A , 3 3 2 2 [ ] [ ] BB C C BB C C A A = și 3 3 [ ] [ ] MBC ABC A A = . Avem:
1 1 2 1 3 3 3 3 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] AA B B AA C C BB MA CC MA BCC MB ABC A A A A A A + = + = − =
3 3 3 3 3 3 2 2 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] MBC BBC C ABC BBC C BB C C A A A A A + − = = .
161 Claude Clairaut (1713-1765) – matematician, fizici an francez, membru al Academiei Franceze, contribuț ii în
analiza matematică și geometrie
162 Lucian Blaga (1895-1961) – filozof, umanist, jurna list, poet, dramaturg, traducător, profesor univers itar și
diplomat român, membru titular al Academiei Român e
329 Observație: O consecință a teoremei lui Clairaut este teorema l ui Pitagora.
Astfel, dacă ( ) 90 = ° m BAC , 1 1 AABB și 2 1 AACC sunt pătrate și 3 4 MA AA BC = =
(Fig. 339). Din teorema lui Clairaut avem: 1 1 2 1 2 2 [ ] [ ] [ ] AAB B AA C C BB C C A A A + =
relație echivalentă cu: 2 2 2 + = AB AC BC .
M B C
A
1B 1C
2A 3C
1A 3B 3A 2B 4A 2C
Fig. 339 C B M
A
2B 2C 2A
1A
1B 3A
4A 1C 3C
Fig. 338 3B
330 II.53. Teorema lui Mathieu 163
„Istoria ne arată, că viața este doar un episod înt re două veșnicii ale morții și în acest episod g ândirea conștientă
durează doar o clipă. Gândirea este doar o exploz ie de lumină în mijlocul unei nopți lungi, dar acea stă explozie
este totul.” – Henri Poincaré 164
Într-un triunghi izogonalele a trei ceviene concure nte sunt la rândul lor concurente .
Demonstrație. Fie triunghiul ABC și cevienele ', ', ' AA BB CC concurente în punctul 'M.
Fie ", ", " AA BB CC ( A'' BC ∈ ,B'' AC ∈ ,C'' AB ∈ ) izogonalele dreptelor ', ' AA BB ,
respectiv 'CC (Fig. 340). Atunci, ( ') ( " ), =mBAA m A AC ( ' ) ( " ) =mB BA mB BC și
( ') ( " ). =m ACC mC CB Din forma trigonometrică a teoremei lui Ceva ap licată pentru
cevienele concurente în M rezultă: sin BAA' sin ' sin ' 1sin A'AC sin ' sin ' ⋅ ⋅ =
ABB ACC
B BC C CB sau
sin '' sin '' sin '' 1 sin " sin '' sin '' A AC B BC C CB
BAA ABB ACC ⋅ ⋅ =
și din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că
izogonalele AA'',BB'',CC'' sunt concurente într-un punct ". M
Observație : Punctele 'M și "M se numesc puncte izogonale .
163 Claude Mathieu (1783-1875) – matematician francez, profesor la Ecole Polytechnique din Paris
164 Henri Poincaré ( 1854 -1912) – matematician și fiz ician francez, contribuții importante în toate ram urile
matematicii A
B C A' A" C" C' B'
B" M '' M '
Fig. 340
331 II.54. Teorema lui Miquel
„Dincolo de pamânt și infinit
Cătam să aflu cerul unde vine. Și-un glas solemn atunci s-a auzit
Și cerul și infernul sunt în tine.”
Omar Khayyam 165
Teorema lui Miquel
Pe laturile triunghiului ABC se consideră punctele necoliniare D, E, F
( , , ) D BC E CAF AB ∈ ∈ ∈ . Să se arate că cercurile circumscrise triunghiuri lor AEF,
BFD, CDE au un punct comun P.
Demonstrație. Fie P punctul comun cercurilor
circumscrise triunghiurilor BDF și DCE. Deoarece
patrulaterele FBDP și CEPD sunt inscriptibile
rezultă: ( ) 360 ( ) ( ) mFPE mFPD mDPE = °− − =
360 [180 ( )] [180 ( )] 180 ( ). mB mC m A °− °− − °− = °−
deci patrulaterul FPEA este inscriptibil, adică
punctul P aparține cercului circumscris
triunghiului AFE .
Observații:
1) Punctul P de concurență a celor 3 cercuri se
numește punctul pivot al triunghiului DEF.
2) Triunghiul DEF se numește triunghiul lui Miquel .
3) Cercurile circumscrise triunghiurilor AFE, BFD , CDE se numesc cercurile lui Miquel .
4) Din teorema lui Miquel rezultă ( ) 180 ( ), ( ) 180 ( ), m FPE m A m FPD m B = °− = °−
( ) 180 ( ) mDPE mC = °− .
5) Fie P un punct și a b c PPP triunghiul său cevian în raport cu triunghiul ABC. Cercurile
circumscrise triunghiurilor b c APP , a c BPP și a b CPP se intersectează într – un punct MP
numit punctul pivot asociat lui P.
1) Ioordonatele unghiulare ale punctului pivot P sunt:
( ) ( ), ( ) ( ), mEDF m A mDEF mB + + respectiv ( ) ( ). mEFD mC +
Demonstrație. Avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m BPC m BPD m DPC m BFD m DEC = + = + =
[180 ( ) ( )] [180 ( ) ( )] 360 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] mBDF mB mEDC mC mBDF mEDC mB mC °− − + °− − = °− + − + =
360 [180 ( )] [180 ( )] ( ) ( ). mEDF m A mEDF m A °− °− − °− = + Analog se arată că
( ) ( ) ( ) mCPA mFED mB = + și ( ) ( ) ( ) m APB mEFD mC = + .
2) În triunghiul ABC fie punctele , ' [ ], , ' [ ], , ' [ ]. D D BC E E CA F F AB ∈ ∈ ∈ ǎacă P și 'P
sunt punctele pivot ale triunghiului DEF, respectiv ' ' ' D E F atunci punctele P și 'P
coincid dacă și numai dacă triunghiurile DEF și ' ' ' D E F sunt asemenea .
165 Omar Khayyam (1048-1122) – matematician, poet, fil osof, astronom persan, contribuții în algebră și ge ometrie A
B C E
F
P
D
Fig. 341
332 Demonstrație. Avem: ( ) ( ) ( ) = + = mBPC mBPD mDPC ( ) ( ) +m BFD m DEC =
[180 ( ) ( )] [180 ( ) ( )] ( ) ( ) mDFE mEFA mDEF mFEA mEDF mBAC °− − + °− − = + . Analog se
arată că ( ) ( ) ( ) mCPA mDEF m ABC = + , ( ) ( ) ( ) m APB mEFD m ACB = + (Fig. 342). Dacă
punctele P și 'P coincid, atunci ( ) ( ' ) mBPC mBPC = , de unde ( ) ( ) mEDF mPAC + =
( ' ' ') ( ) mE D F mBAC + , adică ( ) ( ' ' ') mEDF mE D F = și analoagele de unde rezultă că
triunghiurile DEF și ' ' ' D E F sunt asemenea. Dacă triunghiurile DEF și ' ' ' D E F sunt
asemenea atunci, ( ) ( ' ), ( ) ( ' ), ( ) ( ' ), m BPC m BP C m APB m AP B m APC m AP C = = =
deci P coincide cu 'P.
3) Triunghiul podar al punctului pivot P al triunghiului DEF este asemenea cu
triunghiul DEF.
Demonstrație: Fie 1 2 3 PPP triunghiul podar al punctului pivot P (Fig. 343). Deoarece
patrulaterele 2 3 APPP ,1 3 BPPP și 1 2 CPPP sunt inscriptibile rezultă că punctul pivot al
triunghiului 1 2 3 PPP este tocmai punctul P și conform teoremei precedente rezultă că
triunghiurile 1 2 3 PPP și DEF sunt asemenea.
4) Ientrul cercului circumscris (O) al triunghiului ABC este punctul pivot asociat al
centrului de greutate (G) al triunghiului ABC .
Demonstrație. Dacă a b c M M M este triunghiul median al triunghiului ABC , atunci
patrulaterele , , c b a c a b AMOM BM OM M CM O sunt inscriptibile, deci O este punctul pivot
asociat al lui G.
5) Ortocentrul (H) al triunghiului ABC este punctul pivot asociat tot al lui H
Demonstrație: Dacă a b c H H H este triunghiul ortic al triunghiului ABC ,atunci
patrulaterele b c HH AH , c a H HH B , b a HHCH sunt inscriptibile, deci H este punctul pivot
asociat al lui H.
A
B
C E E '
D D' F
F' x P
Fig. 342 A
B C E
F P
D
Fig. 343 1P 3P 2P
333 6) Ientrul cercului înscris (I) în triunghiul ABC este punctul pivot asociat al punctului
lui Gergonne (/noGamma) al triunghiului ABC .
Demonstrație. Dacă a b c CCC este triunghiul de contact al triunghiului ABC , atunci
patrulaterele c b ACIC ,a c BCIC ,b a CCIC sunt inscriptibile, deci cercurile circumscrise
triunghiurilor c b ACC ,a c BCC și b a CCC se interesectează în I și cum
{ } a b c AC BC CC Γ = I I rezultă concluzia.
7) ǎreptele ce unesc punctul pivot (M) asociat unui punct P cu picioarele cevienelor lui P
intersecteaza laturile triunghiului ABC sub același unghi .
Demonstrație. Fie a b c PPP triunghiul cevian al punctului P în raport cu triunghiul ABC .
Deoarece patrulaterele , , a b b c c a MPCP MP AP MPBP sunt inscriptibile rezultă că
( ) ( ) ( ) a b c mMPC mMPA mMPB = = .
II.55. Teorema lui Sawayama – Thebault
„Matematica e arta de a gândi prin teoreme.” – Ion Barbu 166
Fie D un punct pe latura BC a triunghiului ABC , 'O centrul unui cerc (C’) tangent
dreptelor AD, DC și cercului (C) circumscris triunghiului ABC în punctele M, N respectiv
P centrul cercului înscris (I) în triunghiul ABC aparține dreptei MN .
Demonstrație. Fie 'M și 'N punctele de intersecție dintre MP și PN cu cercul circumscris
triunghiului ABC iar { } ' . = ∩ J AN MN Fie "N punctul de intersecție dintre mediatoarea
segmentului BC și dreapta NP , iar O centrul cercului circumscris triunghiului ABC (Fig.
344). Atunci, ' " O N ON de unde rezultă că ' " O NP ON P ≡ (1). Dar
' ' O NP O PN ≡ (2), triunghiul 'O NP
fiind isoscel ' ' O P O N ≡ . Din relațiile (1) și
(2) rezultă " , OPN ON P ≡ deci triunghiul
"OPN este isoscel. Atunci " ( ), ON OP R ≡ =
adică punctul "N aparține cercului
circumscris triunghiului ABC , deci punctele
"N și 'N coincid. Punctul 'N este astfel
mijlocul arcului BC , deci PN este bisectoarea
unghiului BPC (3) și 'AN este bisectoarea
unghiului .BAC Deoarece cercurile ( C) și
(C’) sunt tangente interior în punctul P,
' ', MN M N de unde rezultă că
1' ' ' ( ' ) 2MJA MNA MPA MPA mMA ≡ ≡ ≡ =
deci patrulaterul MAPJ este inscriptibil (4).
166 Ion Barbu (1895-1961) – matematician român, profes or la Universitatea din București, contribuții în a lgebră și
geometrie A
B C O
N M P O'
D
N' M ' J
Fig. 344
334 Din teorema lui Miquel aplicată triunghiului AMJ (cu ,M AM J AJ ∈ ∈ și N MJ ∈ )
rezultă că cercul circumscris triunghiului NPJ este tangent dreptei AJ în J (5). Cercul cu
centrul în 'N și raza BN trece prin centrul cercului înscris ( I) în triunghiul ABC (vezi
„Cercuri exînscrise”). Deoarece ( ) ( ' ) ( ' ) m BPN m N AC m N BC = = rezultă că cercul
circumscris triunghiului BNP este tangent dreptei 'BN în B, de unde rezultă că cercul
C( ', ' ) N N B este ortogonal cercului circumscris triunghiului BNP , în consecință și cercului
circumscris triunghiului MNP . Cum cercul C( ', ' ) N N B este ortogonal și cercului
circumscris triunghiului JNP rezultă că ' ' , N J N I= deci ,J I≡ adică I aparține dreptei
MN.
Teorema lui Sawayama – Thebault
Fie punctul D pe latura BC a triunghiului ABC, I centrul cercului înscris în acest
triunghi, C1 1 1 ( , ) O r un cerc tangent interior cercului circumscris triu nghiului ABC și
segmentelor AD și BD, iar C2 2 2 ( , ) O r un cerc tangent interior cercului circumscris
triunghiului ABC și segmentelor AD și CD. Punctele 1,O I și 2O sunt coliniare.
Demonstrație. Fie 1 2 , ' ( , ' ) ON BCON BC N N BC ⊥ ⊥ ∈ de unde 1 2 '. ON ON Conform
teoremei de mai sus dreptele MN și ' ' M N trec prin I (unde M și 'M sunt punctele de
tangență ale cercurilor C1 și C2 cu AD ) (Fig. 345). Triunghiurile DMN și 1ONM fiind
isoscele rezultă că 1DO este mediatoarea segmentului MN și bisectoarea unghiului
.MDN Analog 2DO este bisectoarea unghiului ' ', N DM deci 1 2 ,DO DO ⊥ de unde
1 ' ' DO N M și 2 .DO MN Conform teoremei lui Pappus aplicată hexagonului
1 2 1 ,ONIODO punctele 2,O I și 1Osunt coliniare.
Ionsecințe:
1) ǎacă ( ) 2 , m ADC θ= atunci 2 1
2.OItg IO θ=
Demonstrație. Fie aC proiecția lui I pe
BC . Avem: 1
2 'a
aNC OI
IO C N = (1). Deoarece
1DO este bisectoarea unghiului ADN
rezultă 1( ) m ODN θ= și cum
1 'N I DO rezultă ( ' ) . m IN N θ=
Atunci, ,'a
aIC tg N C θ= deci
'aN C rctg θ= (2). Iar în triunghiul
: (90 ) , a
arIC N tg ctg C N θ θ °− = =
deci aC N rtg θ= (3). Din relațiile (1),
(2) și (3) rezultă 2 1
2.OItg IO θ=
A
B
C 2O
N M
aC 1O
D N' M '
I
Fig. 345
335 2) 2 2
1 2 cos sin . r r rθ θ = +
Demonstrație. Avem: ' ' ( ) a a N N N C C N rctg tg θ θ = + = + și
1 2 ' ' N N ND DN rctg rtg θ θ = + = + , deci 2 2 1 2
1 2 cos sin . rctg rtg r r rctg tg θ θ θ θ θ θ += = + +
3) În triunghiul ABC , fie 1C și 2C două cercuri tangente exterior în punctul I, tangente
laturii BC a ABC și tangente interior cercului circumscris triunghi ului ABC . Să se
arate că punctul I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC .
Demonstrația rezultă din teorema lui Sawayama – Thebault.
4) Fie patrulaterul inscriptibil ABCD și 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) C I r C I r C I r C I r cercurile
înscrise în triunghiurile BCD, CDA, DAB, respectiv ABC. Atunci, patrulaterul 1 2 3 4 II II
este dreptunghi și 1 3 2 4 + = + r r r r .
Demonstrație.
Fie { } =IAC BD E , 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ' ( , ), ' ( , ), ' ( , ), ' ( , ) C O C O C O C O ρ ρ ρ ρ cercurile tangente
cercului circumscris triunghiului ABC și laturilor AE, EB; BE, CE; CE, DE; respectiv DE
și AE. Fie ( ) ( ) = = m AEB m CED θ, de unde ( ) ( ) = = − m AED m CEB π θ (Fig.
346). Conform teoremei lui Thébault rezultă 1 2 3 2 3 4 3 4 1 1 1 2 , , , ∈ ∈ ∈ ∈ I OO I OO I OO I OO și
2 2 4 3 2 1
3 1 1 3 2 2 − = = = OIOItg ctg IO IO π θ θ , 2 3 2 1 4
4 2 2 4 2= = OIOItg IO IO θ. Analog se arată că 1O 2O 3O
4O
A
B C D
E 1I 2I
3I 4I
Fig. 346
336 4 3 3 1 3 2 1 3 2 4 1 4 2 1 4 2
3 1 4 1 4 2 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 , , , = = = = OI OI OI OIOI OI OI OI
IO IO IO IO IO IO IO IO , de unde rezultă
3 4 2 4 1 4 1 3 , , II OO II OO 1 2 2 4 2 3 1 3 , II OO I I OO . Deoarece 1 3 2 4 ⊥OO OO ( 1 3 OO și 2 4 OO
sunt bisectoarele unghiurilor DEC , respectiv CEB ) rezultă că patrulaterul 1 2 3 4 II II
este paralelogram. Avem: 2 2
1 3 1 3 4 2 2 4 ( )cos ( )sin . 2 2 + = + + + = + r r r rθ θ ρ ρ ρ ρ
II.56. Teorema lui Schooten 167
„Atâtea claile de fire stângi!
Găsi-vor gest închis, să le rezume,
Să nege, dreapta, linia ce frâ ngi:
Ochi în virgin triunghi taiat spre lume? ”
Ion Barbu 168
ǎacă M este un punct situat pe arcul BC al cercului circumscris triunghiului echilateral
ABC, atunci CMBMAM +=.
Demonstrație.
Soluția 1. Fie ( ) D AM ∈ astfel încât MD BD ≡ .
Deoarece ( ) ( ) 60 m ACB m AMB = = ° rezultă că
triunghiul MBD este echilateral, deci MD BM ≡ .
Deoarece ,AB BC ≡ BD BM ≡ și ABD CBM ≡
rezultă că CBMABD∆≡∆ , de unde .MCAD≡
Atunci, .MBMCDMADAM +=+=
Soluția 2. Din prima teorema a lui Ptolemeu
rezultă: ,BMACMCABBCAM ⋅+⋅=⋅ adică
MBMCAM += ( deoarece AB BC AC ≡ ≡ )
Generalizarea teoremei lui Schooten
Fie ABC un triunghi echilateral. Pentru orice punct M din plan are loc relatia
,MCMAMB+≤ cu egalitatea dacă și numai dacă punctul M aparține cercului
circumscris triunghiului .ABC
Demonstrație. Avem ,ABMCBCMAACMBMCMAMB ⋅+⋅≤⋅⇔+≤ care reprezintă
inegalitatea lui Ptolemeu .
1 Frans van Schooten (1615 – 1660) – matematician ol andez, promotor al geometriei carteziene
168 Ion Barbu (1895-1961) – matematician român, profes or la Universitatea din București, contribuții în a lgebră și
geometrie M C A
B D
Fig. 347
337 II.57. Teorema lui Smarandache 169
„Noi știm că unu ori unu fac unu,
dar un inorog ori o pară
nu știm cât f ace.
Știm că cinci fără patru fac unu,
dar un nor fa ră o corabie
nu știm cat f ace.” – N Stănescu 170
Fie , , a b c H H H picioarele înălțimilor unui triunghi ascuțitunghic ABC. ǎacă ', ', ' a b c
sunt lungimile laturilor triunghiului podar a b c H H H , atunci
( )2 2 2 4 ' ' ' ' ' ' ab ac bc a b c + + ≤ + + , unde a, b, c reprezintă lungimile laturilor triunghiului
ABC.
Demonstrație.
Lemă: Daca p și 'p sunt semiperimetrele triunghiurilor
ABC și a b c H H H atunci '2pp≤.
Demonstrație: Avem: cAH =bcosA , bAH =ccosA , de
unde 2 2 2 2 2 2 cos cos b c b c b c HH AH AH AH AH A a A = + − ⋅ = ,
adică cos b c H H a A = . Analog, cos a c H H b B = și
cos a b H H c C = (Fig. 348). Astfel, ' ' ' '2a b c p+ + = =
c o s c o s c o s
2a A b B c C + + sau
( ) sin 2 sin 2 sin 2 ' 2 sin sin sin 2R A B C p R A B C + + = =
(unde am utilizat teorema sinusurilor, R fiind raza cercului circumscris triunghiului ABC ),
deci: [ ] ' 2 2 2 2 ABC Aa b c p R R R R R = ⋅ ⋅ = , (unde [ ] ABC A reprezintă aria triunghiului ABC ). Cum
[ ] ABC A r p = ⋅ , ( r–raza cercului înscris în triunghiul ABC ) rezultă: '2r p p p R= ⋅ ≤ (unde am
utilizat inegalitatea lui Euler 2r≤R).
Demonstrația teoremei lui Smarandache. Utilizând inegalitățile cunoscute:
2 2 2 2 3( ) ( ) 3( ), , , xy xz yz x y z x y z x y z+ + ≤ + + ≤ + + ∀ ∈ /Rbb rezultă
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 ' 1 1 ' ' ' ' ' ' ( ' ' ') ( ). 3 3 3 3 4 4 p a b c pa b a c b c a b c a b c + + + + ≤ + + = ≤ = ≤ + + ⋅
169 Florentin Smarandache (1954 – ) – matematician rom ân, profesor la Universitatea New-Mexico contribuți i în
teoria numerelor și statistică matematic ă
170 Nichita Stănescu (1933 – 1983) – eseist, poet româ n, ales postum membru al Academiei Române A
B
C Ha Hb
Hc
Fig. 348
338 II.58. Teorema lui Snapper
„…poezia nu este lacrimă
ea este însuși plânsul,
plânsul unui ochi neinventat,
lacrima ochiului
celui care trebuie să fie frumos,
lacrima celui care trebuie să fie fericit.”
Nichita Stănescu 171
Fie un punct oarecare Q în planul triunghiului ABC, , , a b c M M M mijloacele laturilor
BC,AC respectiv AB. Fie (a) o dreaptă ce trece prin aM și este paralelă cu AQ, (b) o
dreaptă ce trece prin bM paralelă cu BQ și ( c) o dreaptă ce trece prin cM paralelă cu
CQ. Atunci :
i) dreptele a,b,c sunt concurente într-un punct P;
ii) centrul de greutate G al triunghiului ABC se află pe dreapta PQ astfel încât
2PG=GQ.
Demonstrație. Prin omotetia de centru G și raport 1
2 − triunghiul ABC se transformă în
triunghiul a b c M M M . Omotetia H1,2G − transformă dreptele AQ ,BQ,CQ în dreptele a,b,c
respectiv paralele. Cum dreptele AQ,BQ,CQ sunt concurente în Q rezultă că dreptele a,b,c
dreptele a,b,c sunt concurente și fie P acest punct. Cum prin omotetia de centru G și raport
1
2 − punctul Q se transformă în punctul P rezultă : 1
2GP GQ =− uuu r uuur
de unde rezultă
concluzia.
171 Nichita Stănescu (1933 – 1983) – eseist, poet româ n, ales postum membru al Academiei Române Fig. 349 P Q A
B C Ma Mc Mb
a b c
339 II.59. Teorema lui Urquhart – Pedoe
„Matematica va fi limba latină a viitorului, obliga torie pentru toți oamenii de știință,tocmai pentru că matematica
permite accelerarea maximă a circulației ideilor șt iințifice.” – Grigore Moisil 172
În triunghiul ABC fie transversala ' ' B D C − − astfel încât ( ' ) B B A ∈ , ( ) D BC ∈,
' ( ) C AC ∈. Să se arate că ' ' AB BD AC C D + = + dacă și numai dacă
' ' AB B D AC CD + = + .
Demonstrație. Vom demonstra mai întîi teorema:
Lema lui Breusch
Fie triunghiurile 1 1 1 ABC și 2 2 2 ABC astfel încât
1 1 ( ) 2 =m A α,
2 2 ( ) 2 =m A α,
1 1 ( ) 2 =mB β,
2 2 ( ) 2 =mB β,
1 1 ( ) 2 =mC γ,
2 2 ( ) 2 =mC γ și 1 1 2 2 BC BC =. Atunci 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) p ABC p ABC ≥
dacă și numai dacă 1 1 2 2 tg tg tg tg β γ β γ ⋅ ≥ ⋅ , unde am notat cu ( ) p XYZ perimetrul
triunghiului XYZ .
Demonstrație.
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 ( ) 1+= + = p A B C A B AC
B C B C
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 sin2 sin2 2sin( ) cos( ) 1 1 sin 2sin( ) cos( ) + + ⋅ − + = + = + ⋅ + γ β γ β γ β
α γ β γ β
1 1
1 1 1 1 1 1 2cos cos 2
cos cos sin sin 1 tg tg γ β
γ β γ β γ β ⋅= = ⋅ − ⋅ − ⋅
(Fig. 350) și analog,
2 2 2
2 2 2 2 ( ) 2.1p A B C
B C tg tg γ β =− ⋅
Condiția 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ≥p ABC p ABC
este echivalentă cu
1 1 2 2 2 2
1 1 ≥− ⋅ − ⋅tg tg tg tg γ β γ β adică cu
1 1 2 2 ⋅ ≥ ⋅tg tg tg tg γ β γ β .
Demonstrația teoremei. Fie ( ) 2 ' =mBAD β, ( ) 2 =mBDA β, ( ') 2 =mDAC γ,
( ') 2 ' =m ADC γ. Din lema lui Breusch rezultă că ( ' ) ( ) =p AB D p ACD dacă și numai dacă
' (90 ') (90 ) ⋅ °− = ⋅ °− tg tg tg tg β γ γ β adică ' ' ⋅ = ⋅tg ctg tg ctg β γ γ β sau ' ' ⋅ = ⋅tg tg tg tg β β γ γ ,
condiție echivalentă cu ( ) ( ' ) =p ABD p AC D , ceea ce trebuia demonstrat.
172 Grigore Moisil (1906-1973) – matematician român, p rofesor la Universitatea din Iași, membru al Academ iei
Române A
B C
2β
D C'
B' Fig. 350 2 ' β 2γ
2 ' γ
340 II.60. Relații metrice în triunghiul dreptunghic
„Lumea este o imensă problemă matematică. Dumnezeu este geometrul atotputernic care pune problema și o
rezolvă.” – Gottfried Leibniz 173
Teorema înălțimii: Într-un triunghi dreptunghic lun gimea înălțimii duse din vârful
unghiului drept este medie proporțională între lung imile catetelor pe
ipotenuză .
Demonstrație.
Fie triunghiul ABC cu ( ) 90 = ° mBAC și D piciorul înălțimii
duse din A pe latura BC . Deoarece ADB ADC ≡ și
≡BAD ACD rezultă că triunghiurile ABD și CAD să fie
asemenea, de unde =AD BD
DC AD , adică 2. = ⋅AD BD DC
Reciproca teoremei înălțimii: Fie ( ) ∈D BC proiecția vârfului A al triunghiului ABC pe
latura BC. ǎacă 2,AD BD DC = ⋅ atunci triunghiul ABC
este dreptunghic.
Demonstrație. Deoarece ≡ADB CDA și AD BD
DC AD = rezultă că triunghiurile ABD și CAD
sunt asemenea, de unde avem ≡ABD DAC și ≡BAD ACD . Dar
( ) ( ) ( ) 180 + + = ° m ABC mBAC m ACB
Adică 2 ( ) ( ) 180 + = ° m ABC m ACB , de unde rezultă
( ) ( ) 90 + = ° m ABC m ACB și de aici
( ) 180 90 90 , = °− °= ° mBAC adică triunghiul ABC este
dreptunghic.
Observație: Dacă ( ) \ ∈D BC BC , atunci teorema reciprocă nu
mai este adevărată. Se observă că triunghirile DAB și DCB sunt
asemenea, de unde rezultă că 2,AD BD DC = ⋅ dar triunghiul
ABC nu este dreptunghic. Deci, condiția ca ( ) ∈D BC este esențială pentru ca triunghiul
ABC să fie dreptunghic.
Teorema catetei: Într-un triunghi dreptunghic lungi mea
unei catete este medie proporțională
între lungimile ipotenuzei și a proiecției
acestei catete pe ipotenuză.
173 Gottfried Leibniz (1646-1716) – matematician și fi losof german, contribuții importante în analiza mat ematică și
algebră A
B C D
Fig. 352
A
B C D
Fig. 353 A
B C D
Fig. 351
341 Demonstrație. Fie D proiecția vârfului A al triughiului ABC ( ( ) 90 = ° mBAC ) pe ipotenuza
BC. Deoarece ≡BAD ACB și ≡ADB BAC rezultă că triunghiurile ABD și CBA sunt
asemenea, de unde =BD AB
AB BC , adică Analog se arată că 2.AC BC DC = ⋅
Reciproca teoremei catetei: Fie ( ) D BC ∈ proiecția vârfului A al triunghiului ABC pe
latura BC. ǎacă 2AB BC BD = ⋅ (sau 2AC BC DC = ⋅)
atunci triunghiul ABC este dreptunghic .
Demonstrație. Deoarece ≡ABD ABC și AB BD
BC AB = rezultă că triunghiurile ABD și CAB
sunt asemenea, de unde ≡BDA BAC (1). Analog, din asemănarea triunghiurilor CDA și
CAB rezultă ≡CDA CAB (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă ≡BDA CDA , iar
( ) ( ) 180 + = ° mBDA mCDA , de unde : ( ) 90 = ° mBDA și deci ( ) 90 = ° m BAC .
Teorema lui Pitagora: Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este
egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor .
Demonstrație. Fie D proiecția vârfului A pe ipotenuza BC a triunghiului ABC . Din teorema
catetei obținem 2AB BD BC = ⋅ și 2,AC CD BC = ⋅ de unde
2 2 2 ( ) . AB AC BC BD CD BC + = + =
Reciproca teoremei lui Pitagora: ǎacă într-un triun ghi pătratul lungimii unei laturi este
egal cu suma pătratelor lungimilor celorlalte două
laturi, atunci triunghiul este dreptunghic .
Demonstrație. Fie triunghiul ABC în care 2 2 2 = + BC AB AC și triunghiul dreptunghic
' ' ' ABC astfel încât ' ' =AB AB și ' ' . AC AC = Din teorema lui Pitagora aplicată în
triunghiul ' ' ' ABC rezultă 2 2 2 ' ' ' ' ' ' = + = BC A B AC 2 2 2 , + = AB AC BC de unde
' '. BC BC = Din congruența triunghiurilor ABC și ' ' ' ABC (conform cazului de congruență
LLL) rezultă ( ) ( ') 90 . m A m A = = °
II.61. Aria unui triunghi
„Ar fi trebuit sa fii un cerc sub țire,
dar n-ai fost, n-ai fos t asa.
Ar fi trebuit să fiu un romb subțire,
dar n-am fost, n-am fost așa…"
Nichita Stănescu
În cele ce urmează notăm cu [ ] ABC A aria triunghiului ABC , cu a,b,c lungimile laturilor
BC,CA, respectiv AB, iar cu , , a b c h h h lungimile înălțimilor triunghiului duse din A,B ,
respectiv C. Din definiția ariei unui triunghi avem: [ ] 2 2 2 a b c
ABC a h b h c h A⋅ ⋅ ⋅= = = .
342 1) Aria unui triunghi este egală cu jumătatea produ sului a două laturi înmulțit cu
sinusul unghiului dintre ele.
Demonstrație. Din triunghiul aABH avem sin ahBc= (Fig. 354), sau sin( ) ahBcπ− =
(Fig. 355), de unde sin ah c B = , deci [ ] sin
2ABC a c B A⋅ ⋅= .
Observație: Prin permutări circulare obținem [ ] sin sin
2 2 ABC c b A b a C A⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = .
2) Aria unui triunghi este egală cu [ ] ( )( )( ) ABC A p p a p b p c = − − − , unde 2a b c p+ + =
(formula lui Heron).
Demonstrație. Avem
[ ] sin ( )( ) ( ) 2 sin cos 2 2 2 2 ABC a b C ab C C p a p b p p c A ab ab ab ⋅ ⋅ − − − = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ sau
[ ] ( )( )( ) ABC A p p a p b p c = − − − .
3) Aria unui triunghi este egală cu [ ] 4ABC abc AR= , unde R este raza cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrație. [ ] sin sin 2 2 2 2 4 ABC a c B ac ac b abc A B R R ⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅ = .
4) Aria unui triunghi ABC este egală cu
[ ] ( ) ( ) ( ) ABC a b c a b c A pr p ar p br p cr rrrr= = − = − = − = , unde r este raza cercului înscris,
iar , , a b c r r r sunt razele cercurilor exînscrise.
Demonstrație: Aceste formule rezultă imediat din descompunerea tr iunghiului ABC .
Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC atunci:
[ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1
2 2 2 ABC AIB BIC CIA A A A A ar br cr pr= + + = + + = și [ ] [ ] [ ] [ ] a a a ABC ABI ACI BCIA A A A = + − = A
B C a H
aH bH
cH
Fig. 354 c ah
b A
B C a aH
Fig. 355 c b
343 ( ) ( ) 2 2 2 2 a a a a
ac r b r a r b c a rp a r⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅+ − = = − ⋅ . Ultima formulă se obține înmulțind
primele patru expresii ale ariei triunghiului ABC și ținând seama de formula lui Heron.
5) Aria unui triunghi ABC este egală cu 2 2
[ ] .2 2 2 2 2 2 ABC a A B C A B C A r ctg ctg ctg r ctg tg tg = =
Demonstrație. Din .2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅A B C p r ctg ctg ctg (vezi „Cercul înscris”) și [ ] ABC A pr= rezultă
2
[ ] 2 2 2 ABC A B C A r ctg ctg ctg = . A doua egalitate se obține utilizând teorema 27) – „Cercuri
exînscrise”, efectuând produsul ( )( )( ) p p a p b p c − − − .
6) ǎacă vârfurile A,B,C ale triunghiului ABC au coordonatele carteziene
( , ),( , ), A A B B x y x y respectiv ( , ) C C x y , atunci aria triunghiului ABC este egală cu:
[ ] 1
2ABC A= ⋅ ∆ , unde 1
1
1A A
B B
C C x y
x y
x y ∆ = .
Demonstrație. Ecuația dreptei BC este: 1
1 0
1B B
C C x y
x y
x y =, iar distanța de la punctul A la
dreapta BC este egală cu:
2 2 ( , )
( ) ( ) C B C B d ABC
x x y y ∆=
− + − , deci aria triunghiului ABC
este egală cu: [ ] 1
2ABC A= ⋅ ∆ .
7) Ionsecință: ǎacă vârfurile A,B,C ale triunghiului ABC au afixele , , A B z zrespectiv Cz
atunci aria triunghiului ABC este egală cu: [ ] ABC A= ∆ , unde 1
1 . 4
1A A
B B
C C z z
iz z
z z∆ = ⋅ .
Demonstrația rezultă imediat utilizând proprietatea 5) și faptul că 2A A
Az zx+= și
2A A
Az zyi−= .
8) Pe laturile triunghiului ABC se consideră punctele 1 1 1 , , A B C astfel încât
1 1 1
1 1 1 , , = = = BA CB AC p q rAC BA CB . ǎacă 1 1 1 1 1 1 { } ,{ } ,{ } = ∩ = ∩ = ∩ P AA CC R BB CC Q BB AA ,
atunci 2
[ ] [ ] (1 )
(1 )(1 )(1 ) −= ⋅+ + + + + + PQR ABC pqrA A p pq q qr r pr.
344 Lemă: Pe laturile BC și AC ale unui triunghi ABC se consideră punctele 1A, respectiv 1B
astfel încât1 1
1 1 ,= = BA CB p q AC BA . Dacă {}1 1 = ∩ Q AA BB să se arate
că
1 1 1, ( 1). += = + AQ p BQ pq QA pq QB
Demonstrație. Fie 1 2 1 2 , ( ) ∈BB AA B BC . Avem :
1
1 1 2 = = BA BQ
BQ AB 1
1 2 1 ( 1) ⋅ = ⋅ = + AC AC p p pq AB AB . Analog,
fie 1 2 1 2 , ( ) ∈AA BB A AC ,
avem: 1 1
1 1 2 1 2 1 AB CB AQ p
QA BA qBA pq += = = (Fig. 356).
Observație: Din
1( 1) = + BQ pq BQ rezultă
11+=+ + BQ p pq
BB p pq și din
11+=AQ p
QA pq rezultă
11
1+=+ + AQ p
AA p pq .
Demonstrație teoremă. Avem 1
1[ ] [ ] 1 1 1 1
[ ] 1 [ ] 1 ( , ) , , ( , ) ⋅= ⋅ = = ⋅⋅RBC PQR
RBC ABC A A BC d R BC BC RB QR PR
A RB RC A AC d B AC AC BB
de unde rezultă că
[ ] 1 1 1
[ ] 1 1 1 (1) = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅PQR
ABC A BC CC BC QR PR QR PR
A BB RC AC BB CC RC AC .
Utilizând lema de mai sus obținem:
1 1 , (2). 1 1 += = + + + + CR pr CR q qr
CC r pr CC q qr Din 1
1=CB qBA
rezultă 1(3) 1=+BC q
AC q . Mai mult,
1
1 1 1 1 1 1 = − = − − = B Q Q R B Q B R
B B B B B B B B
(1 )(1 ) 1 (4) 1 1 (1 )(1 ) + + − − − = + + + + + + + + p pq qr q pqr
q pq q qr q pq q qr și 1
1 1 1 1RC PR PC
CC CC CC = − − =
(1 )(1 ) (5). (1 )(1 ) r pqr
q qr r pr+ −
+ + + + Din relațiile (1), (2), (3), (4) și (5) rezultă co ncluzia.
A
B C 1A 1B
Q
Fig. 356 2A
2B
A
B C 1A 1B
Q
Fig. 357 1C P
R
345 CAPITOLUL III
TǎIUNGHIUǎI ǎEMAǎCABILE
III.1. Triunghiul ortic
„Matematica poate să descopere o anumită ordine chi ar și în haos.” – Ch. Stein 174
În triunghiul ABC , fie , , a b c H H H picioarele înălțimilor duse din vârfurile A, B , respectiv C
pe laturile triunghiului ABC . Triunghiul a b c H H H se numește triunghiul ortic al
triunghiului ABC.
1) Triunghiul ortic este triunghiul cevian
al triunghiului ABC corespunzător
ortocentrului .
2) Triunghiul ortic este triunghiul podar
al ortocentrului triunghiului ABC în
raport cu triunghiul ABC.
3) Triunghiurile , , b c a c b a AH H H BH H H C
sunt asemenea cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Deoarece patrulaterul
b c BCHH este inscriptibil
( ) b c BH C BH C ≡ rezultă că
c b AH H ACB ≡ și ,b c AH H ABC ≡
deci triunghiurile c b AH H și ACB sunt
asemenea. Analog se arată că triunghiurile
a c H BH și b a H H C sunt asemenea cu
triunghiul ABC.
4) Ireptele , , a b b c c a H H H H H H sunt antiparalele cu dreptele AB, BC, respectiv CA.
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.
5) Semidreptele [ ,[ ,[ a b c AH BH CH sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului ortic .
Demonstrație. Deoarece a c a b BH H BH H BAC ≡ ≡ rezultă că
( ) ( ) c a b a m H H A m H H A = = 90 ( ), m BAC °− iar aAH este bisectoarea unghiului
b a c H H H . Analog, bBH și cCH sunt bisectoarele unghiurilor a b c H H H , respectiv
b c a H H H .
174 Charles Stein (1920 – ) – matematician american, p rofesor la Universitatea Stanford, contribuții în s tatistica
matematică
A
B C
D H
aH bH
cH
Fig. 358
346 6) Ortocentrul H al triunghiului ABC este centrul cercului înscris în triunghiul ortic
a b c H H H .
Demonstrație. Deoarece , , a b c AH BH CH sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului ortic
rezultă că punctul de intersecție al lor (adică H) este centrul cercului înscris în triunghiul
ABC.
7) Vârfurile triunghiului ABC sunt centrele cercurilor exînscrise triunghiului o rtic
.a b c H H H
Demonstrație. Fie c a D H H ∈ astfel încât [ ] a c H H D ∈ (Fig. 358). Avem
,a c a b a BH H DH C H H C ≡ ≡ deci aH C este bisectoarea exterioară a unghiului
a b DH H . Cum cCH este bisectoarea exterioară a unghiului a c b H H H rezultă că punctul
C este centrul cercului exînscris triunghiului a b c H H H tangent laturii a b H H .
8) Cercul circumscris triunghiului ortic al unui tr iunghi ABC este cercul lui Euler al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Cercul lui Euler”.
9) Raza cercului circumscris triunghiului
ortic are lungimea egală cu jumătate din
lungimea razei cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie ', ', 'A B C punctele de
intersecție dintre înălțimile triunghiului ABC
(Fig. 359) cu cercul circumscris triunghiului
.ABC Deoarece ', ', 'A B C sunt simetrice
ortocentrului față de laturile triunghiului
ABC , rezultă că triunghiul ortic a b c H H H
este asemenea cu triunghiul ' ' '. A B C Cum
, , b c c a H H H H a b H H sunt linii mijlocii în
triunghiul ' ' 'A B C rezultă că raportul de
asemănare este 1,2deci '2RR= ( R este
raza cercului circumscris triunghiului ABC și 'R raza cercului circumscris triunghiului ortic
a b c H H H ).
10) Triunghiul ortic a b c H H H al triunghiului ABC este omotetic cu triunghiul
circumpedal ' ' 'A B C al ortocentrului H al triunghiului ABC, centrul de omotetie fiind
ortocentrul triunghiului ABC
Demonstrația rezultă din teorema precedentă.
11) Lungimile laturilor triunghiului ortic a b c H H H sunt egale cu cos , cos a A b B și
cos c C , ( a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA, respectiv AB ). A
B C H
aH bH
cH
A' B'
C'
O
Fig. 359
347 Demonstrație. Dacă triunghiul ABC este ascuțitunghic atunci din asemănarea triunghiu rilor
ABC și a b c H H H rezultă
a b b H H H C
c a =, de unde
cos cos = ⋅ = ⋅ = ⋅a b b c c H H HC a C c C a a .
Analog, cos =b c H H a A și
cos . =c a H H b B Fie triunghiul ABC
obtuzunghic (Fig. 360) ( ( ) 90 ). > ° m A
Din asemănarea triunghiurilor ABC și
c b AH H rezultă b c b H H aH
a b =, de
unde b c b aH H AH b= ⋅ . În triunghiul
bAH C avem cos(180 ) °− = bAH BAC b,
adică cos =− bAH b A , de unde: cos cos . =− = b c H H a A a A Analog, cos =a c H H b B și
cos . =a b H H c C
12) Perimetrul triunghiului ortic este egal cu cos cos cos . a A b B c C + +
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.
Observație: Pentru un triunghi ascuțitunghic perimetrul triungh iului ortic este egal cu
(sin2 sin2 sin2 ) 4 sin sin sin op R A B C R A B C = + + = .
13) Fie p perimetrul unui triunghi ascuțitunghic ABC și op perimetrul triunghiului
ortic. Atunci, ,
op R
p r =unde R și r sunt razele cercului circumscris, respectiv înscri s în
triunghiul ABC.
Demonstrație. Avem [ ] 2ABC
oArp pR R = = , sau
op R
p r =.
14) Iintre toate triunghiurile înscrise într-un tri unghi ascuțitunghic ABC, triunghiul
ortic are perimetrul minim .
Demonstrație. Vezi „Teorema lui Fagnano”.
15) Iacă tringhiul ABC este ascuțitunghic atunci ( ) 180 2 ( ), = °− b a c m H H H m BAC
( ) 180 2 ( ) = °− a b c m H H H m ABC și ( ) 180 2 ( ). = °− a c b m H H H m ACB
Demonstrație. Din ( ) ( ) ( ) = = a c b a m BHH m HHC m BAC rezultă ( ) 180 2 ( ). = °− b a c mHHH m BAC
Analog se arată și celelalte relații.
H
B C A
aH bH
cH
Fig. 360
348 16) Iacă triunghiul ABC este obtuzunghic ( ( ) 90 ) > ° m BAC , atunci
( ) 2 ( ) 180 = − ° b a c m HHH m BAC , ( ) 2 ( ) = a b c m H H H m BCA , ( ) 2 ( ) = b c a m H H H m ABC .
Demonstrație.
( ) 180 2 ( ) 180 2(180 ( )) 2 ( ) 180 ; = °− = °− °− = − ° b a c a c m H H H m BH H m BAC m BAC
( ) ( ) ( ) 2 ( ) = + = a b c a b b c m H H H m H H A m BH H m ACB și ( ) 2 ( ) = b c a m H H H m ABC .
17) Aria triunghiului ortic este egală cu [ ]cos cos cos
2a b c H H H abc A B C AR⋅ ⋅= (R este raza
cercului circumscris triunghiului ABC ).
Demonstrație. Avem [ ]sin .2a b c a c a b b a c
H H H H H H H H H H A⋅ ⋅= Dar cos , =a c HH b B
cos . =a b HH c C Dacă triunghiul ABC este ascuțitunghic, atunci
sin sin(180 2 ) sin(2 ) = °− = = b a c H H H A A 2sin cos cos cos , ⋅ = ⋅ = ⋅a a A A A A R R de unde
rezultă concluzia. Dacă triunghiul ABC este obtuzunghic ( ( ) 90 ) > ° m BAC , atunci
sin sin(2 180 ) sin(2 ) 2sin cos ( cos ) cos , = − ° =− =− ⋅ = ⋅ − = ⋅ b a c a a H H H A A A A A A R R
de unde rezultă concluzia.
18) Fie a b c H H H triunghiului ortic al triunghiului ascuțitunghic ABC. Atunci:
[ ] [ ] 2cos cos cos
a b c H H H ABC A A B C A = ⋅ ⋅ ⋅ .
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă, ținând cont c ă [ ] 4ABC abc AR=.
Observații:
1) Aria triunghiului ortic este maximă când produsu l 2cos cos cos A B C este maxim, adică
( ) ( ) ( ) 60 m A m B m C = = = ° , caz în care triunghiul ortic coincide cu triunghi ul
median.
2) Dacă triunghiul ABC este obtuzunghic de exemplu ( ) 90 m A > ° , atunci
()[ ] [ ] 2cos cos cos
a b c H H H ABC A A B C A π= − ⋅ ⋅ ⋅ .
19) Aria triunghiului ortic al ortocentrului triung hiului ABC este egală cu :
[ ] [ ]2 2
24a b c ABC H H H R OH
A A R−
= ⋅
Demonstrație. Vezi „Triunghiul podar”.
20) Raza cercului înscris în triunghiul ortic a b c H H H al triunghiului ascuțitunghic ABC
este egală cu 2 cos cos cos . R A B C
349 Demonstrație. Deoarece în triunghiul ABC , 4 sin sin sin 2 2 2 = ⋅ ⋅A B C r R (vezi „Cercul
înscris”), raza cercului circumscris triunghiului o rtic este egală cu 2R, rezultă:
2 2 2 4 sin sin sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 π π π − − − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = a b c
hH H H R A B C r R
2 cos cos cos . R A B C
Observație: Deoarece [ ]4ABC abc AR= rezultă [ ]2 cos cos cos . = ⋅
H H H a b c ABC A A A B C
21) Laturile triunghiului ortic al triunghiului ABC sunt paralele cu tangentele la cercul
circumscris triunghiului ABC duse prin vârfurile triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie (TA tangenta în A la cercul circumscris triunghiului
ABC . Avem: 1( ) ( ) ( ' ). 2m TAB m ACB m AC B = = Dar ,c b ACB AH H ≡ deci
,c c b TAH AH H ≡ de unde rezultă .c b TA H H
22) Triunghiul ortic și triunghiul determinat de ta ngentele la cercul circumscris unui
triunghi ABC în vârfurile triunghiului ABC sunt omotetice .
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.
23) Iacă H este ortocentrul triunghiului ABC și a b c H H H triunghiul său ortic, atunci
.a b c HA HH HB HH HC HH ⋅ = ⋅ = ⋅
Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor bHH A și aHH B , respectiv aHH C cu
cHH A rezultă a b HA HH HB HH ⋅ = ⋅ și a c HA HH HC HH ⋅ = ⋅ , de unde rezultă concluzia.
24) Ireptele ce unesc mijloacele laturilor triunghi ului ortic a b c H H H corespunzător
unui triunghi ABC cu vârfurile corespunzătoare ale triunghiului ABC, sunt concurente
în punctul lui Lemoine al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Lemoine”.
25) Ireptele care unesc vârfurile triunghiului orti c al triunghiului ABC cu proiecțiile
ortocentrului triunghiului ABC pe laturile triunghiului ortic sunt concurente în punctul
lui Gergonne al triunghiului ortic .
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Gergonne”.
26) Ireptele care unesc vârfurile triunghiului orti c al unui triunghi ABC cu punctele de
intersecție dintre laturile triunghiului ortic și d reptele AO, BO respectiv CO (unde O este
centrul cercului circumscris triunghiului ABC) sunt concurente în punctul lui Nagel al
triunghiului ortic .
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Nagel”.
350 27) Fie H ortocentrul triunghiului ABC. Triunghiurile ABC, BHC, CHA și AHB au
același triunghi ortic .
Demonstrație. Fie a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC . Deoarece
, , , , , a b c a b c HH BC CH BH BH HC H BC H HB H HC ⊥ ⊥ ⊥ ∈ ∈ ∈ rezultă că triunghiul
a b c H H H este triunghiul ortic al triunghiului ABC . Analog, se arată că triunghiurile CHA și
AHB au același triunghi ortic.
28) Triunghiurile ortic și extangențial corespunzăt oare unui triunghi ABC sunt
omotetice .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul extangențial”.
29) Razele cercurilor exînscrise corespunzătoare tr iunghiului ortic a b c H H H al
triunghiului ascuțitunghic ABC au lungimile : 2 cos sin sin , aR A B C ρ=
2 sin cos sin bR A B C ρ= și 2 sin sin cos . cR A B C ρ=
Demonstrație. Într-un triunghi ABC , 4 sin cos cos 2 2 2 aA B C r R = (vezi „Cercurile
exînscrise”). Deoarece triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului ,a b c I I I raza
cercului circumscris triunghiului este egală cu 2R (vezi „Cercurile exînscrise) .Avem:
4 sin cos cos 2 2 2 2 a b c
aH H H Rρ= , de unde 2 2 2 2 sin cos cos 2 2 2 aA B C Rπ π π ρ− − − = ⋅ ⋅ =
2 cos sin sin . R A B C Analog se determină bρ și .cρ
Observație: Dacă triunghiul ABC este obtuzunghic ( ( ) 90 ) m BAC > ° atunci
2 cos cos cos , 2 sin sin cos , 2 sin cos sin a b c R A B C R A B C R A B C ρ ρ ρ = ⋅ ⋅ = =
(deoarece ( ) 2 ( ) 180 , ( ) 2 ( ), b a c a b c m H H H m BAC m H H H m CBA = − ° =
( ) 2 ( ) a c b m H H H m BCA = ).
30) Mediatoarele laturilor BC, CA, AB ale triunghiului ascuțitunghic ABC intersectează
laturile ,b c c a H H H H respectiv a b H H ale triunghiului ortic a b c H H H în punctele ', ', A B
respectiv '. C Ireptele ', ', 'a b c H A H B H C sunt concurente .
Demonstrație. Fie P și Q proiecțiile punctelor cH și bH pe
BC (Fig. 361) . Avem cos , c
cBH BP BBH BC = = de unde
2cos BP a B = și 2(1 2cos ) cos2 2 2 a a a a a M P M B M P B B = − = − =
și analog obținem: cos2 . 2aaM Q C = Din teorema lui Thales
avem: ' cos2 .' cos2 b a
c a A H M Q C
A H M P B = = Analog se arată că
'cos2
' cos2 c
aB H A
B H C = și 'cos2 ,' cos2 a
bC H B
C H A = deci A
B C P H
aH bH cH
Fig. 361 Q A'
aM
351 ' ' '1' ' 'b c a
c a b A H B H C H
A H B H C H ⋅ ⋅ = , iar din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dr eptele
', ', 'a b c H A H B H C sunt concurente.
31) Fie , , , a b c OO O O centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC, BOC, COA
respectiv AOB. Triunghiul a b c OOO este omotetic cu triunghiul ortic a b c H H H al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie , , a b c R R R razele cercurilor circumscrise triunghiurilor BOC, COA
respectiv AOB . Deoarece AO BO CO R = = = și ( ) ( ) am BOO m A = rezultă
2cos aRRA= și analog ,2cos bRRB= 2cos cRRC= (Fig. 362). Deoarece , , a b b c c a OO OO OO
sunt mediatoarele segmentelor OC, OA respectiv OB rezultă că O este centrul cercului
înscris în triunghiul .a b c OOO Întrucât unghiurile triunghiurilor a b c OOO și a b c H H H sunt
respectiv congruente și , , a a b b OO H H OO H H c c OO H H ( H fiind centrul cercului
înscris în triunghiul ortic) rezultă că triunghiuri le a b c OOO și a b c H H H sunt omotetice.
Cum punctele O și H se corespund în această omotetie rezultă că drepte le
, , a a b b c c O H OH OH sunt concurente într-un punct P ce aparține dreptei
HO . Deci, raportul de omotetie este: 2 cos cos cos 4cos cos cos /2 h
orPH R A B C k A B C PO r R = = = = ⋅ ⋅
unde 2 cos cos cos hr R A B C = este raza cercului înscris în triunghiul a b c H H H și 2oRr=
este raza cercului a b c OOO .
A bO
B C
aO H
aH bH
cH Fig. 362 cO
O
352 32) Fie H ortocentrul unui triunghi ascuțitunghic ABC, cbaHHH,, picioarele
înălțimilor duse din CBA,, și ', ', 'CBA picioarele perpendicularelor duse din H pe
accbHHHH,, respectiv baHH.
Atunci, [ ] [ ] '''16CBA ABCAA⋅≥ .
Demonstrație . Deoarece patrulaterul
HBHAc'' este inscriptibil (Fig. 363) ,
rezultă că
c c A'B'H A'HH ≡ ≡
b c c H H A B'H B ≡ , deci ABBA|| '' .
Analog, BCCB|| '' și ACCA|| '' . Fie
21,,OOO centrele cercurilor
circumscrise triunghiurilor ABC,
cbaHHH și '''CBA iar R, 1R și 2R
razele acestora. Atunci, 21RR=
(deoarece C1 1 (O ,ǎ ) este cercul lui Euler al triunghiului ABC), iar 2R poate avea cel mult
lungimea razei cercului lui Euler al triunghiului cbaHHH , adică 42RR≤ și din asemărea
triunghiurilor '''CBA și ABC rezultă [ ] [ ] '''16CBA ABCAA⋅≥ . Egalitatea are loc atunci când
cercul lui Euler al triunghiului cbaHHH coincide cu cercul înscris în triunghiul
cbaHHH , adică când triunghiul cbaHHH este echilateral, adică când triunghiul ABC
este echilateral.
Teorema lui Nagel
33) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Ireptele AO, BO, CO sunt
perpendiculare pe laturile , , b c c a a b H H H H H H ale triunghiului ortic .
Demonstrație. Din ( ) ( ) 90 c a m AH C m AH C = = ° rezultă că patrulaterul a c ACH H este
inscriptibil deci .c a BH H ACB ≡ Fie D punctul diametral opus lui B în cercul
circumscris triunghiului ABC (Fig. 362). Atunci, ( ) 90 ( ) = °− = m ABD m ADB
90 ( ) 90 ( ), °− = °− c a m ACB m BH H de unde ( ) ( ) 90 , c a m ABD m BH H + = ° adică
.c a BO H H ⊥ Analog, b c AO H H ⊥ și .a b CO H H ⊥
Observație: Perpendicularele din A, B, C pe , , b c c a H H H H respectiv a b H H sunt concurente
în punctul O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC.
34) Fie a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC, ' ( ), " ( ). a AC a a AB a H pr H H pr H = =
Ireapta ' "
a a H H trece prin mijloacele laturilor a b H H și .a c H H
Demonstrație. Fie ', ', 'A B C mijloacele laturilor ,b c a c H H H H respectiv b a H H (Fig. 364).
Deoarece ' "
a a H H și b c H H sunt antiparalele cu BC rezultă ' "
a a b c H H H H , de unde
" '
a a b a b H H H ABC H H C ≡ ≡ și ' " '
b a a a a a H H H H H H ≡ (complemente la unghiuri
congruente). Atunci, ' "
a a H H trece prin mijlocul ipotenuzei a b H H a triunghiului A
B'
B C A'
H
aH bH
cH
Fig. 363 C'
353 dreptunghic '
a a b H H H . Cum ' "
a a b c H H H H rezultă că ' "
a a H H trece și prin mijlocul laturii
.a c H H
Observații:
1) Dacă ' " ' " ( ), ( ), ( ), ( ) b AB b b BC b c BC c c AB c H pr H H pr H H pr H H pr H = = = = , atunci dreptele
' "
b b H H și ' "
c c H H trec prin mijloacele laturilor triunghiului ortic al triunghiului .ABC
2) Punctele de intersecție dintre dreptele ' "
a a H H , ' "
b b H H și ' "
c c H H determină triunghiul
median al triunghiului ortic al triunghiului ABC.
35) Iacă '
aH și "
aH,'
bH și "
bH,'
cHși "
cH sunt proiecțiile punctelor , , a b H H respectiv cH
pe laturile triunghiului ABC, atunci dreptele ' "
a a H H , ' "
b b H H și ' "
c c H H sunt antiparalele
dreptelor BC, CA , respectiv AB.
Demonstrație. Fie a b c H H H triunghiul ortic
al triunghiului ABC . Din teorema lui Thales
rezultă: '
"( ), = c
c a a
a c a AH AH HH H H HH H H
'=b
a b a AH AH
HH H H '( ) b a a HH H H , de unde
" ',c b
c a b a AH AH
H H H H = adică ' " .b c a a H H H H Cum
b c H H este antiparalelă cu BC rezultă că
' "
a a H H este antiparalelă cu BC.
36) Segmentele ' " ' " ' " , , a a b b c c H H H H H H sunt
congruente .
Demonstrație.
' " ' " 1 1 1 ' ' ' ' '2 2 2 a a a a a b b c a c H H H C C B B H H H H H H H p = + + = + + = (unde 'p este
semiperimetrul triunghiului ortic). Analog, ' " ' " ( 2 sin sin sin ) b b c c H H H H R A B C ≡ =
(cf. th. (9) ).
37) Fie a b c H H H triunghiul ortic corespunzător triunghiului ABC, 'BB bisectoarea
interioară a unghiului ABC,' ( ) B AC ∈ și "B piciorul bisectoarei unghiului .b c AH H
Ireptele ' " B B și AB sunt perpendiculare.
Demonstrație. Patrulaterul b c BCH H fiind inscriptibil rezultă ,c b H H A ABC ≡ deci
1" ' ( ) , 2bB H A ABB m ABC ≡ = adică patrulaterul " 'bBB H B este inscriptibil, de
unde ( " ') ( ') 90 . b m BB B m BH B = = °
A
B C H
B’ C’
aH bH
cH
"
aH D
'
aH
Fig. 364
354 38) Fie a b c H H H și a b c CCC triunghiurile ortic, respectiv de contact ale triu nghiului
ABC. Triunghiul a b c CCC și triunghiul având vârfurile în centrele cercuril or înscrise în
triunghiurile ,b c AH H ,a c BH H a b CH H au aceeași dreaptă a lui Euler.
Demonstrație. Vezi „Cercul lui Euler”.
39) Fie ", ", " A B C punctele de intersecție dintre înălțimile triunghi ului ABC cu laturile
respective ale triunghiului ortic. Triunghiurile ABC și " " " A B C sunt ortologice .
Demonstrația este evidentă deoarece " , " a b A H BC B H CA ⊥ ⊥ și "cC H AB ⊥, iar
" " " { } a b c A H B H C H H ∩ ∩ = , al doilea centru de ortologie fiind centrul cercu lui lui Euler
al triunghiului ABC .
40) Perpendicularele coborâte din mijloacele laturi lor triunghiului ortic ale unui
triunghi ABC pe laturile respective ale triunghiului ABC sunt concurente.
Demonstrația rezultă din teorema lui Döttl.
III.2. Triunghiul median
„Geometria e liniștea întâmplării.” – Nichita Stăne scu 175
Fie triunghiul ABC și , , a b c M M M mijloacele laturilor BC, AC, AB . Triunghiul a b c M M M
se numește triunghi median (sau auxiliar ) (Fig. 365).
1) Triunghiul median a b c M M M este triunghiul
cevian al triunghiului ABC corespunzător
centrului de greutate G al triunghiului ABC .
Demonstrația este evidentă deoarece medianele
,aAM ,bBM cCM sunt concurente în G.
2) Triunghiul median este triunghiul podar al
centrului cercului circumscris triunghiului ABC .
Demonstrația. Mediatoarele laturilor triunghiului
ABC sunt concurente în O – centrul cercului
circumscris triunghiului ABC .
3) Triunghiul median a b c M M M al triunghiului
ABC este asemenea cu triunghiul ABC .
Demonstrație. Laturile triunghiului median sunt linii mijlocii î n triunghiul ABC , deci
1
2a b b c c a M M M M M M
AB BC CA = = = , de unde rezultă că triunghiurile a b c M M M și ABC sunt
asemenea.
175 Nichita Stănescu (1933 – 1983) – eseist, poet româ n, ales postum membru al Academiei ǎomâne A
B C aM bM cM
G
Fig. 365
355 Consecințe:
4) Laturile triunghiului median au lungimile: ' , ' , '2 2 2 a b c a b c = = = , unde am notat cu a,
b, c lungimile laturilor BC, CA, respectiv AB.
5) Semiperimetrul triunghiului median este : ' ' '' . 2 4 2 a b c a b c p p+ + + + = = =
6) Măsurile unghiurilor triunghiului median sunt eg ale cu: , , a b c b c a M M M ABC M M M BCA ≡ ≡ .c a b M M M CAB ≡
7) Coordonatele baricentrice absolute ale vârfurilo r triunghiului median sunt:
1 1 0, , , 2 2 aM
1 1 ,0, 2 2 bM
și 1 1 , ,0 . 2 2 cM
8) Triunghiul ABC și triunghiul median corespunzător au același cent ru de greutate.
9) Aria triunghiului median este egală cu o pătrime din aria triunghiului ABC.
Demonstrație. Avem : [ ] [ ] 1
4a b c M M M ABC A A = , deoarece a b c c b c a b a MMM AMM MBM MMC ≡ ≡ ≡ .
Cercul înscris în triunghiul median se numește cercul Spieker , iar centrul acestui cerc se
numește punctul lui Spieker .
10) Raza cercului Spieker este jumătate din raza ce rcului înscris în triunghiul ABC .
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Spieker”.
Cercul circumscris triunghiului median se numește cerc medial (sau cercul celor nouă
puncte ).
11) Orice triunghi omotetic cu triunghiul median al unui triunghi ABC în raport cu
punctul O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC , este omologic cu triunghiul
ABC.
Demonstrație. Fie ' ' 'A B C triunghiul obținut
din triunghiul median a b c M M M prin omotetia
de centru O și raport k. Fie { } 'T OH AA = ∩
(Fig. 366). Din asemănarea triunghiurilor AHT
și 'TOA rezultă: ' '= = = TA TO OA
TA TH AH
.2 2 =a
akOM k
OM Analog, se arată că 'BB și 'CC
trec tot prin punctul T care este centrul de
omologie.
Observație: Centrul de omologie între triunghiul omotetic triun ghiului median al
triunghiului ABC și triunghiul ABC este situat pe dreapta lui Euler a triunghiului ABC .
A
B C B' C'
O H
T
A'
aM bM cM
Fig. 366
356 12) Proiecțiile unui vârf al unui triunghi ABC pe bisectoarele interioare și exterioare
ale unghiurilor din celelalte două vârfuri aparțin dreptelor ce trec prin vârfurile
triunghiului median a b c M M M .
Demonstrație . Fie M, 'M și N, 'N
proiecțiile vârfurilor B și C pe bisectoarea
interioară, respectiv exterioară a unghiului A.
Deoarece patrulaterul 'BMAM este dreptunghi,
rezultă că '. cM MM ∈ Fie { } 'P BM AC = ∩ .
Triunghiul APB este isoscel deoarece 'AM
este bisectoare și înălțime, deci 'M este
mijlocul segmentului BP (Fig. 367). Atunci
'cM M este linie mijlocie în triunghiul APB ,
deci 'cM M AP , adică 'MM AC , de unde
rezultă că punctele M și 'M aparțin dreptei
a c M M . Analog, se arată că punctele N și 'N
aparțin dreptei a b M M .
13) Triunghiul median a b c M M M și triunghiul
tangențial A B C TTT al unui triunghi ABC sunt
omologice .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul tangențial”.
14) Triunghiurile median și antisuplementar ale unu i triunghi ABC sunt omologice,
centrul de omologie fiind punctul lui Lemoine al tr iunghiului antisuplementar .
Demonstrație: vezi „Triunghiul antisuplementar”.
15) Triunghiul median al triunghiului cotangentic a l unui triunghi ABC este omologic
cu triunghiul ABC .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul cotangentic”.
16) Fie a b c M M M triunghiul median al triunghiului ABC și aI, bI, cI centrele
cercurilor exînscrise corespunzătoare triunghiului ABC . Ireptele a a I M , b b I M și c c I M
sunt concurente .
Demonstrație. Triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului a b c I I I; dreptele care
unesc mijloacele laturilor triunghiului ortic cores punzător unui triunghi XYZ cu vârfurile
corespunzătoare triunghiului XYZ sunt concurente în punctul lui Lemoine al triunghi ului
XYZ (vezi „Triunghiul ortic”), deci dreptele a a I M , b b I M , c c I M sunt concurente în
punctul lui Lemoine al triunghiului a b c I I I.
17) Consecință : Triunghiurile median și antisuplementar ale unui tr iunghi ABC sunt
omologice .
18) Bisectoarele interioare ale unui triunghi ABC intersectează laturile
necorespunzătoare ale triunghiului median în șase p uncte care determină trei drepte ce
trec prin punctele de contact determinate de cercul înscris in triunghiul ABC și laturile
triunghiului ABC . aM
Fig. 367 A
B C bM cM
M
N M' N' P
357 Demonstrație. Fie 1 2 2 2 { } ,{ } = = I I a c A AB BC A MM AI ,
2{ } b c B MM BI=I, 1 2 2 { } B AB AC =I, 2cM B BC ,
2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) c c m M BB m ABB m M BB = = , deci
triunghiul 2cBM B este isoscel, deci
2 2 .2c c c cBM BM AM = = = Mai mult 1 2 b c M B AM ,
de unde rezultă că triunghiul 1 2 bM BB este isoscel,
deci 1 2 2 2 b b c a M B M B = = − (Fig. 368). Atunci,
11( ) 2BC b c a p a = + − = − , deci 1B este un punct de
contact al cercului înscris în triunghiul ABC cu
latura AC .
19) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC,', ', 'A B C mijloacele
segmentelor AO,BO, respectiv CO și a b c M M M triunghiul median al triunghiului ABC.
Ireptele 'aA M ,'bB M și 'cC M sunt concurente în centrul cercului lui Euler al
triunghiului median.
Demonstrație. Vezi „Cercul lui Euler”.
20) Fie a b c M M M triunghiul median al triunghiului ABC. Pentru orice punct M din
planul triunghiului ABC este adevărată relația: a b c MM MM MM MA MB MC + + = + + uuuuur uuuuur uuuuur uuur uuur uuuu r
.
Demonstrație. Teorema medianei scrisă sub formă vectorială aplic ată în triunghiul
MBC dă: 1( ). 2aMM MB MC = + uuuuur uuur uuuu r
Analog se obțin egalitățile: 1( ) 2bMM MC MA = + uuuuur uuuu r uuur
și
1( ) 2cMM MC MA = + uuuuur uuuu r uuur
. Sumând aceste egalități obținem:
a b c MM MM MM MA MB MC + + = + + uuuuur uuuuur uuuuur uuur uuur uuuu r
.
21) Coordonatele baricentrice ale vârfurilor triung hiului median sunt:
1 1 1 1 1 1 0, , , ,0, , , ,0 . 2 2 2 2 2 2 a b c M M M
Demonstrație. Din egalitatea 1 1
2 2 aMM MB MC = ⋅ + ⋅uuuuur uuur uuuu r
rezultă 1 1 0, , . 2 2 aM
Analog pentru
celelalte vârfuri.
A
B C aM bM cM
I
Fig. 368 1A 2A 1B
2B
358 22) Triunghiul ortic al triunghiul median corespunz ător unui triunghi ABC este
omologic cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Fie ', ', 'A B C picioarele înălțimilor
triunghiului median a b c M M M (Fig. 369) și
{ "} ' ,{ "} ' ,{ "} ' . A AA BC B BB CA C CC AB = ∩ = ∩ = ∩
Cum b c M M BC rezultă că
' cos " cos ." ' cos cos c c a
b b a M A M M C BA b C
CA M A M M B c B = = = Analog,
" cos
" cos CB c A
AB a C = și " cos
" cos AC a B
BC b A = , de unde rezultă că
" " " 1" " " BA CB AC
CA AB BC ⋅ ⋅ = și din reciproca teoremai lui
Ceva rezultă că dreptele ', ', 'AA BB CC sunt
concurente.
III.3. Triunghiul de contact
„O cameră fară cărți este un trup fără suflet.” – Pitagora 176
Fie , , a b c C C C punctele de tangență ale cercului înscris în triun ghiul ABC cu laturile
triunghiului. Triunghiul a b c CCC se numește triunghiul de contact al triunghiului ABC
(sau triunghiul Gergonne ).
176 Pitagora (580-500 î.e.n.) – matematician grec A
B C aM bM cM
G
Fig. 369 A'
B'
A" B"
aC bC
cC A
B C I
y z z x x
y Γ
Fig. 370
359 1) Triunghiul de contact a b c CCC este triunghiul podar corespunzător centrului cerc ului
înscris (I) în triunghiul ABC, în raport cu triunghiul ABC.
2) Unghiurile triunghiului de contact cbaCCC corespunzător triunghiului ABC au
măsurile egale cu: 190 ( ) 2°− m A , 190 ( ) 2°− m B , respectiv 190 ( ). 2°− mC
Demonstrație. Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Deoarece patrulaterele
caICBC , abICCC sunt inscriptibile rezultă 1( ) ( ) ( ) 2= = a b c mICC mIBC mB și
1( ) ( ) ( ) 2= = a b b m ICC m ICC mC . Atunci, ( ) ( ) ( ) = + = c a b c a b a m C C C m C C I m C C I
1 1 1 1 ( ) ( ) [180 ( )] 90 ( ) 2 2 2 2 + = °− = °− m B mC m A m A . Analog se arată că
1( ) 90 ( ) 2= °− a b c mCCC m B și 1( ) 90 ( ) 2= °− a c b mCCC mC .
3) Lungimile laturilor triunghiului de contact a b c CCC sunt egale cu :
' ( )sin 2= − + + Aa a b c , ' ( )sin 2= − + Bb a b c , ' ( )sin . 2= + − Cc a b c
Demonstrație. În triunghiul isoscel b c ACC avem: '/2 sin 2A a
p a =−, unde p reprezintă
semiperimetrul triunghiului ABC , deci ' ( )sin 2= − + + Aa a b c . Analog se determină
lungimile celorlalte două laturi ale triunghiului a b c CCC .
4) Lungimile laturilor triunghiului de contact a b c CCC sunt egale cu: 2 cos , 2b c ACC r =
2 cos , 2 cos . 2 2 c a a b B C CC r CC r = =
Demonstrație. Din teorema sinusurilor aplicată în triunghiul de c ontact rezultă
) ) ) 2sin(90 /2 sin(90 /2 sin(90 /2 b c c a a b CC CC CC rA B C = = = °− °− °− , de unde rezultă concluzia.
5) Consecință: 2
2 2 2 2 (4 )
a b b c b c r R r CC CC CC R++ + = .
Demonstrație. 2
2 2 2 2 2 2 2 2 (4 ) 4 cos cos cos 2 2 2 a b b c b c A B C r R r CC CC CC r R+ + + = + + = .
360 6) Segmentele determinate de punctele de contact al e cercului înscris pe laturile
triunghiului ABC au lungimile , , p a p b − − respectiv p c −, unde .2a b c p+ + =
Demonstrație.
Fie , , . b c a c a b AC AC x BC BC y CC CC z = = = = = = Avem: 2( ) 2 + + = + + = x y z a b c p de
unde x y z p + + = , deci , , x p a y p b z p c = − = − = − .
7) Triunghiul de contact al unui triunghi ABC neisoscel și triunghiul ABC sunt
omologice, centrul de omologie fiind punctul lui Ge rgonne al triunghiului ABC.
Demonstrație: vezi „Punctul lui Gergonne”.
8) Punctul lui Lemoine al triunghiului de contact a b c CCC al triunghiului ABC coincide
cu punctul lui Gergonne al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Gergonne”.
9) Fie a b c CCC triunghiul de contact al triunghiului ABC . Atunci:
[ ]sin sin sin ( ) a b c C C C abc A B C R a b c A= ⋅ ⋅ ⋅+ + .
Demonstrație. Avem [ ]
[ ]2
c b AC C c
ABC AC
bc A
A=, [ ]
[ ]2( ) a c BC C c
ABC c AC
ac A
A−= , [ ]
[ ]2( ) a b CC C c
ABC c AC
ab A
A−= . Cu
relația [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]a b c b c a c a b ABC C C C AC C BC C CC C A A A A A = + + + și ținând cont că
2crAC Atg = sau
( )( )
( ) crAC
p b p c
p p a =
− −
− rezultă [ ][ ]2 2( )
2 2 a b c ABC
CCC pr
pR pR AA= = sau
[ ] sin sin sin ( ) a b c CCC abc A B C Ra b c A= ⋅ ⋅ ⋅+ + .
Observație: Aria triunghiului de contact a b c CCC este maximă când triunghiul ABC este
echilateral deoarece [ ][ ]2 2
2 2 2 4 4 a b c ABC
C C C pr pr pr
R r AA= ≤ = = ⋅ (deoarece 2R r ≥). Cum relația
2R r = are loc doar în triunghiul echilateral, atunci afi rmația este demonstrată.
10) Aria triunghiului de contact a b c CCC este egală cu: [ ]2
[ ]
[ ] 2 2 a b c ABC
C C C ABC ArA A R p R = = ⋅⋅.
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.
361 11) Perpendicularele duse din mijloacele laturilor triunghiului de contact a b c CCC pe
laturile opuse ale triunghiului ABC sunt concurente .
Demonstrație. Fie W centrul de
greutate al triunghiului a b c CCC
și ', ', 'A B C mijloacele laturilor
triunghiului .a b c CCC Punctele
, , a b c C C C se obțin din punctele
', ', 'A B C printr-o omotetie de
centru W și raport (-2)
( 2 'aWC WA =− uuuur uuuu r
). Printr-o
omotetie o dreaptă se transformă
într-o dreaptă paralelă cu cea
dată. Atunci, dreapta aC I se
transformă într-o dreaptă ad ce
trece prin A' și este paralelă cu
aC I,deci ad BC ⊥. Analog,
dreptele bIC și cIC se transformă în dreptele ,b c d d paralele cu bIC , respectiv cIC și
' , ' . b c B d C d ∈ ∈ Cum , , a b c IC IC IC sunt concurente în I, rezultă că dreptele , , a b c d d d sunt
concurente și fie S punctul de concurență al lor. Evident, punctul I se transformă prin
omotetia de centru Wși raport (-2) în punctul S, deci 2 . SI WI=
12) Fie , , a b c M M M mijloacele laturilor BC, AC respectiv AB ale triunghiului ABC și
a b c CCC triunghiul de contact al triunghiului .ABC Perpendicularele din punctele
, , a b c M M M pe laturile ,b c c a CC CC respectiv a b CC sunt concurente .
Demonstrație. Fie P, Q, R picioarele
perpendicularelor duse din ,a b M M
respectiv cM pe laturile triunghiului
.a b c CCC Deoarece AI este bisectoarea
BAC și c b C A C A = rezultă b c AI CC ⊥.
Cum și a b c M P CC ⊥ rezultă că .aAI M P
Patrulaterul a b c M M AM este
paralelogram, deci c a b BAC M M M =
și cum AI este bisectoarea unghiului A
rezultă că aM P este bisectoarea unghiului
.c a b M M M Analog, se demonstrează că
bM Q și cM R sunt bisectoarele
unghiurilor a b c M M M , respectiv .b c a M M M Cum bisectoarele interioare ale
unghiurilor unui triunghi sunt concurente, rezultă că dreptele ,a b M P M Q și cM R sunt
concurente.
aC bC
cC
W A’
B’ A
B C I
C’ S
Fig. 371
A
B C P
T I
ǎ
Q
aM bM
cM
aC bC
cC
Fig. 372
362 13) Triunghiurile de contact a b c CCC și median a b c M M M corespunzătoare unui
triunghi ABC sunt ortologice .
Demonstrația rezultă din proprietatea de mai sus.
14) Triunghiul de contact al triunghiului ABC și primul triunghi Sharygin al
triunghiului ABC sunt omotetice .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul Sharygin”.
15) Triunghiurile de contact a b c CCC al unui triunghi ABC este omotetic cu triunghiul
antisuplementar a b c I I I al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Triunghiul antisuplementar”.
16) Triunghiul de contact a b c CCC și triunghiul antisuplementar a b c I I I corespunzătoare
unui triunghi ABC au aceeași dreaptă a lui Euler OI.
Demonstrație. Deoarece I este ortocentrul triunghiului a b c I I I și O este centrul cercului
medial al triunghiului a b c I I I (vezi „Triunghiul antisuplementar”) rezultă că drea pta OI este
dreapta lui Euler a triunghiului a b c I I I. Deoarece triunghiurile a b c I I I și a b c CCC sunt
omotetice (cf. th. (13) ), rezultă că omologul lui I – centrul cercului circumscris triunghiului
a b c CCC – este punctul 'O – centrul cercului circumscris triunghiului a b c I I I și evident 'O
este punct pe dreapta lui Euler ( OI) a triunghiului a b c I I I, deci centrul omotetiei ( Q)
aparține dreptei OI. Cum raza cercului circumscris triunghiului ortic unui triunghi are
lungimea jumătate din raza cercului triunghiului de referință rezultă că '
2RR= adică
' 2 R R = (unde 'R este raza cercului circumscris triunghiului a b c I I I, triunghiul ABC fiind
triunghiul ortic al triunghiului a b c I I I). Astfel, ' 2 QO R
QI r = (adică raportul de omotetie este
egal cu 2R
r), iar punctul I – ortocentrul triunghiului a b c I I I – prin omotetia de centru Q și
raport 2R
r se transformă în ortocentrul triunghiului a b c CCC , care evident aparține dreptei
QI adică dreapta OI, adică OI este dreapta lui Euler a triunghiului a b c CCC .
17) Triunghiul de contact a b c CCC și triunghiul circumpedal al centrului cercului în scris
în triunghiul ABC sunt omotetice, centrul de omotetie fiind pe
drapta OI.
Demonstrație. Fie ", ", " A B C mijloacele arcelor , , BC CA
respectiv AB (Fig. 373). Cum " , aOA IC
" , " b c OB IC OC IC și " " " { } a b c AC B C C C I∩ ∩ = rezultă că
triunghiurile " " " A B C și a b c CCC sunt omotetice, raportul de
omotetie fiind R
r, centrul omotetiei aparținând liniei centrelor
celor două cercuri, adică dreptei OI. Dacă punctul M este centrul A
C
A" B"
M O
aC I
Fig. 373 B C"
363 omotetiei considerate, atunci 22r R Rr MIR r −=− și 22R R Rr MO R r −=− (vezi „Triunghiul
circumpedal”).
18) Ireapta lui Simson a punctului lui Feuerbach ( ) ϕ al triunghiului ABC, în raport
cu triunghiul de contact cbaCCC al triunghiului ABC este paralelă cu dreapta OI
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Simson”.
19) Fie cbaCCC triunghiul de contact al triunghiului ABC, I centrul cercului înscris
în triunghiul ABC și cbaMMM triunghiul median al triunghiului ABC. Ireptele
ICb, caCC și bBM sunt concurente .
Demonstrație. Fie bH piciorul înălțimii din B a
triunghiului ABC și { } =Ib b M BM C I . Din
bbBHMC|| rezultă
bbbb
bMCCH
MMBM= . Dar
AcapCHbb cos⋅−−= , ( ) 2= − − b b bC M p a , deci
bcba
MMBM
b+−= . Fie { '} =Ia b b M CC BM . Atunci,
ACBMMMCMBCACAMBCCCb
b
cc
b
aa⋅=⋅+⋅' (vezi „ǎelația lui Van-Aubel” ), adică
bBMMMb
bpapb
bpcp b⋅=⋅−−+⋅−−
''
2 2, de unde bcba
MMBM
b+−='', deci 'MM≡.
20) Triunghiul ortic al triunghiului de contact al unui triunghi ABC este omotetic cu
triunghiul ABC.
Demonstrație. Fie 1H ortocentrul triunghiului de contact
și 1 1 1 , , a b c C A C B CC înălțimile triunghiului de contact.
Dar 1 1 1( ) ( ) 90 ( ) ( ) 2c b b a m ACC m AIC m A m BCC = = °− = ,
iar 1 1 1 1 ( ) ( ) c a m C AB m BCC = (deoarece patrulaterul
1 1 a b ABCC este inscriptibil, deci 1 1 c b c ACC C AB ≡ ,
adică 1 1 AB AB . Analog se arată că
1 1 1 1 ,BC BC AC AC și cum triunghiul a b c CCC este
ascuțitunghic rezultă că triunghiurile 1 1 1 ,ABC ABC sunt omotetice.
21) Fie a b c CCC triunghiul de contact al unui triunghi .ABC Ireapta lui Euler a
triunghiului a b c CCC trece prin centrul cercului lui Euler al triunghiu lui .ABC
Demonstrație. Vezi „Cercul lui Euler. Dreapta lui Euler”.
A
B C M
bC
aC I cC
Fig. 374 bH
bM
A
B C 1H
bC
aC I cC
Fig. 375 1B 1A
1C
364 III.4. Triunghiul extangențial
„Omul pentru care faptul că 2 2 4 ⋅ = e de la sine înțeles nu
va deveni niciodată mare matematician. ” – Bertolt Brecht 177
Fie triunghiul ABC și , , a b c I I I centrele cercurilor A-exînscris, B-exînscris, respectiv
C- exînscris corespunzǎtoare triunghiului ABC . Tangentele comune cercurilor exînscrise
(diferite de dreptele ce conțin laturile triunghiul ui ABC ) determinǎ triunghiul a b c TTT numit
triunghiul extangențial al triunghiului ABC (Fig. 376). Cercul circumscris triunghiului
extangențial se numește cercul extangențial .
177 Bertolt Brecht (1898-1956) – poet german A
B
C
Ia Ib Ic
Fig. 376 bH
aH cH
A'
A" TI B'
C'
aT bT cT
365 1) Triunghiul extangențial a b c TTT corespunzǎtor triunghiului ABC este omotetic cu
triunghiul ortic a b c H H H al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fie { '} = ∩ b c C BA TT și { '} = ∩ b c B AC TT . Din congruența triunghiurilor
ABC și ' ' 'A B C rezultǎ cǎ ' '. ACB AC B ≡ Dar a b H H este antiparalelǎ laturii
,BC deci ,≡ c b AH H ACB de unde rezultǎ ' 'c b B C A AH H ≡ și , ' 'c b BC H H adicǎ
.c b c b TT H H Analog se aratǎ cǎ c a c a TT H H și .a b a b TT H H
Avem ( ) 180 2 ( ). = °− a b c m H H H m A Fie { '} = ∩ a c A BC TT și . { "} = ∩ a b A BC TT Atunci,
' ' ( ( )) ≡ = c a a a H H A H AT m BAC și '' ( ( )) ≡ = b a a a H H C H A T m BAC (alterne
interne), de unde rezultǎ ( ) 180 2 ( ) = °− c a b m TTT m A , deci c a b c a b H H H TTT ≡ . Analog,
c b a c b a H H H TTT ≡ , unde rezultǎ cǎ triunghiurile a b c TTT și a b c H H H sunt asemenea și
deoarece au și laturile respective paralele rezultǎ cǎ sunt omotetice.
Observație: Centrul de omotetie dintre triunghiurile a b c TTT și a b c H H H se numește
punctul lui Clawson .
2) Triunghiurile extangențial a b c TTT și antisuplementar a b c I I I corespunzătoare unui
triunghi ABC sunt omologice .
Demonstrația este evidentă deoarece dreptele , , a a b b c c IT IT IT sunt concurente în centrul
cercului înscris în triunghiul a b c TTT , fiind bisectoare în triunghiul extangențial.
3) Centrul cercului înscris în triunghiul extangenț ial coincide cu centrul cercului
triunghiului antisuplementar .
Demonstrație. Fie TI centrul cercului înscris în triunghiul a b c TTT ; conform proprietății
precedente rezultă: { } . = ∩ ∩ T a a b b c c I I T IT IT Avem:
( ) 180 [ ( ) ( )] = °− + = a T c c a T a c T m TI T m TTI m TTI
180 [(90 ( )) (90 ( ))] 180 ( ) 2 ( ). °− °− + °− = °− = a b c m A m C m B m I I I Analog se arată că
( ) 2 ( ) = a T b a b c m TI T m I I I și ( ) 2 ( ) = c T b b a c m TI T m I I I , deci TI este centrul cercului
circumscris triunghiului antisuplementar a b c I I I.
Observație: Cum TI este centrul cercului circumscris triunghiului a b c I I I rezultă că
≡ ≡ T a T b T c I I I I I I .
4) Raza cercului înscris în triunghiul extangențial corespunzător unui triunghi ABC, are
lungimea egală cu 2 , +R r unde R și r sunt razele cercurilor circumscris, respectiv însc ris
în triunghiul ABC.
Demonstrație. Fie { '} = ∩ b c B AB TT și { '} = ∩ b c C AC TT . Deoarece triunghiurile ABC și
' 'AB C sunt congruente (vezi „Cercuri exînscrise”) rezult ă că raza cercului înscris în
triunghiul ' 'AB C este egală cu r. Fie 'I centrul cercului înscris în triunghiul ' 'AB C .
Atunci, distanțele de la A și 'I la ' 'B C sunt egale cu ah (înălțimea din vârful A a
366 triunghiului ABC ) și r. Cum A este mijlocul segmentului 'II, atunci distanța de la I la
' 'B C este egală cu 2 . −ah r Fie TI simetricul lui I față de O – centrul cercului circumscris
triunghiului ABC . Distanțele de la I și O la b c TT sunt egale cu 2−ah r , respective +ah R
(deoarece =AO R ), deci distanța de la TI la b c TT este egală cu
2( ) (2 ) 2 + − − = + a a R h h r R r (unde am aplicat teorema liniei mijlocii într-un t rapez).
Analog, se arată că distanțele de la punctul TI la a c TT și sunt egale tot cu 2 , +R r deci TI
este centrul cercului înscris în triunghiul extange nțial.
Observație: Deoarece 4 2 + = + + + a b c R r r r r r rezultă că raza cercului înscris în triunghiul
extangențial este egală cu 12 ( ). 2= + = + + + T a b c r R r r r r r
5) Centrul cercului înscris în triunghiul extangenț ial al unui triunghi ABC este
simetricul centrului cercului înscris în triunghiul ABC, față de centrul cercului
circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Proprietatea este o consecință a aplicației precede nte.
6) Triunghiurile extangențial și tangențial corespu nzătoare unui triunghi ABC sunt
omotetice .
Demonstrație. Deoarece triunghiurile extangengențial a b c TTT și tangențial A B C TTT sunt
omotetice cu triunghiul ortic a b c H H H al triunghiului ABC , iar relația de omotetie fiind
tranzitivă, rezultă că și triunghiurile a b c TTT și A B C TTT sunt omotetice.
Observație: Din omotetia triunghiurilor a b c TTT și A B C TTT rezultă că cercurile înscrise în
aceste triunghiuri sunt omotetice, deci raportul de omotetie este egal cu 2,R r
R+ unde
2R r + și R sunt lungimile razelor cercurilor înscrise în triu nghiurile a b c TTT respectiv
A B C TTT .
A
B C bT
cT
I
O I' r
TI C' B'
Fig. 377
367 7) Triunghiul neisoscel ABC este omologic cu triunghiul său extangențial .
Demonstrație. Fie 1 1 1 { } ,{ } ,{ } . = ∩ = ∩ = ∩ b c a c a b A TT BC B TT AC C TT AB Din teorema
bisectoarei exterioare rezultă: 1 1
1 1 ,AB BC c a
AC b BA c = = și 1
1.CA b
CB a = Atunci, 1 1 1
1 1 1 1AB BC CA
AC BA CB ⋅ ⋅ =
și din reciproca teoremei lui Menelaus rezultă că p unctele 1 1 1 , , A B C sunt coliniare, iar din
reciproca teoremei lui Desargues rezultă că triungh iurile ABC și a b c TTT sunt omologice,
dreapta de omologie fiind axa antiortică a triunghi ului ABC.
III.5. Triunghiul cotangentic
„Adevărul matematic indeferent unde, la Paris sau l a Toulouse, este unul și același.” – Blaise Pascal 178
Triunghiul a b c τ τ τ care are ca vârfuri punctele de tangență dintre la turile BC, CA și AB ale
unui triunghi ABC cu cercurile exînscrise corespunzătoare triunghiul ui ABC , se numește
triunghiul cotangentic corespunzător triunghiului ABC.
178 Blaise Pascal (1623 – 1662) – matematician, fizi cian și filosof francez, contribuții în geometria p roiectivă,
algebră și teoria probabilităților A
B
C
Ia Ib Ic
N
Fig. 378 aτ bτ
cτ
368 1) Ireptele , , a b c A B C τ τ τ sunt concurente în punctul lui Nagel al triunghiul ui ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Nagel”.
2) Triunghiul cotangentic a b c τ τ τ este triunghiul cevian al punctului lui Nagel în ra port
cu triunghiul ABC.
3) Triunghiul cotangentic a b c τ τ τ este triunghiul podar al punctului lui Bevan al
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Bevan”.
4) Laturile triunghiului cotangentic a b c τ τ τ al triunghiului ABC au lungimile egale cu :
2 2 ( ) ( ) 2( )( )cos b c p b p c p b p c A ττ= − + − − − − ,
2 2 ( ) ( ) 2( )( )cos c a p c p a p c p a B ττ= − + − − − − ,
2 2 ( ) ( ) 2( )( )cos a b p a p b p a p b C ττ= − + − − − − .
Demonstrație. În triunghiul b c Aττ, din teorema cosinusului rezultă
2 2 2 2 cos A A A A A b c b c b c τ τ τ τ τ τ = + − ⋅ ⋅ , adică 2 2 ( ) ( ) 2( )( )cos bc p b p c p b p c A ττ= − + − − − − .
Analog se determină lungimile laturilor b a ττ și a c ττ.
5) Aria triunghiului cotangentic este egală cu 2
[ ] [ ] 1
2ABC a b c A A
pR τ τ τ = ⋅ , unde R este
raza cercului circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație.
Avem [ ]
[ ] sin ( )( )
sin b c A
ABC c b A A A A p b p c
A AB AC A bc τ τ τ τ ⋅ ⋅ − − = =
⋅ ⋅ și analoagele. Dar
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ABC A B C b c a c a b a b c A A A A A τ τ τ τ τ τ τ τ τ = + + + adică,
[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1
[ ] − − − − − − = − − − abc Ap b p c p a p c p a p b
A bc ac ab ABC τττ
și de aici rezultă
[ ] [ ] ( )( )( )
4ABC a b c a b c a b c a b c A A
abc τ τ τ + − − + − + + = ⋅ = 2
[ ]
[ ] 22
2ABC
ABC A r p A
abc pR ⋅ = .
Observație: Aria triunghiului cotangentic este egală cu aria tr iunghiului de contact.
369 6) Aria triunghiului cotangentic este maximă când t riunghiul ABC este echilateral .
Demonstrație. Avem [ ]
[ ] 2 2
2 2 2 4 4 ABC
a b c A pr pr pr A
R r τ τ τ = ≤ = =
⋅ (deoarece 2R r ≥). Cum
relația 2R r =au loc doar în triunghiul echilateral rezultă că ar ia triunghiului cotangentic
este maximă atunci când triunghiul ABC este echilateral.
7) Triunghiul neisoscel ABC și triunghiul său cotangentic a b c τ τ τ sunt omologice,
centrul de omologie fiind punctul lui Nagel al triu nghiului ABC.
Demonstrație. Deoarece { } a b c A B C N τ τ τ = I I ,unde N este punctul lui Nagel al
triunghiului ABC rezultă că triunghiurile ABC și a b c τ τ τ sunt omologice (consecință a
teoremei lui Desargues).
8) Triunghiul median al triunghiului cotangentic al unui triunghi ABC este omologic
cu triunghiul ABC .
Demonstrație. Fie 'A, 'B, 'C mijloacele laturilor b c τ τ , a c τ τ , respectiv a b τ τ ale
triunghiului cotangentic și { "} 'A AA BC = ∩ , { "} 'B BB AC = ∩ , { "} 'C CC AB = ∩
(Fig. 379). Considerând ceviana "AA și transversala b c τ τ avem:
'"1' " c b
b c A A AC A B
AB A A A C τ τ
τ τ ⋅ ⋅ ⋅ = (vezi „ǎelația lui Van-
Aubel”), deci "1 1 "−⋅ ⋅ ⋅ = −p b b A B
c p c A C de unde
" ( )
" ( ) −=−A B c p c
A C b p b . Analog, " ( )
" ( ) B C a p a
B A c p c −=− și
" ( )
" ( ) C A b p b
C B a p a −=−, de unde " " " 1" " " A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = și din
reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele 'AA ,
'BB și 'CC sunt concurente, deci triunghiurile ABC
și a b c τ τ τ sunt omologice.
9) Fie 'A, 'B, 'C punctele diametral opuse vârfurilor A,B,C ale triunghiului ABC în
cercul circumscris. Ireptele 'aI A , 'bI B , 'cI C sunt respectiv perpendiculare pe laturile
triunghiului cotangentic al triunghiului ABC .
Demonstrație. Notăm cu xz afixul punctului X.
Alegem un reper complex cu vârful în centrul
cercului circumscris ( ) O al triunghiului ABC ,
iar punctul A situat pe axa imaginară. Atunci
Az iα=, *α∈, 'Az iα=− . Din 'BA AB ⊥ și
'CA CA ⊥ rezultă că există *,β γ ∈ astfel încât
'A B
A B z z iz z β−=− și 'A C
A C z z iz z γ−=−, de unde
22
1Bz iαβ αβ= − + și 22
1Cz iαγ αγ= − + (1). A
B C
bτ
A" aτ cτ
Fig. 379
A
B C cτ
O
aI bτ
ǎe(z)
Fig. 380 Im(z)
370 Deoarece b
bCp a
A p c τ
τ−=− și c
cAp b
B p a τ
τ−=− rezultă ( ) ( ) − + − =
bC A z p c z p a zbτ și
( ) ( )
cA B z p a z p b zcτ− + − = , deci 22 ( ) ( )
(1 ) bp c i c a zbbταγ α
γ− − = + + ⋅ și
22 ( ) ( )
(1 ) cp b i b a zccταβ α
β− − = + + ⋅ (2). Fie { } aT CI AB = ∩ . Din teorema bisectoarei exterioare
avem TA b
TB a =, a
aCIBC
I T BT =. Astfel ac TB b a =−, a
aCIb a
I T c −=, de unde A B
Taz bz za b +=+ și
( )
1aC T
C T
Ib a z z cz b a z czb a b c a
c−+ ⋅+ − = = − + − + (3). Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă 'a
b c I A z z
iz z τ τ θ−
= ⋅−,
unde *θ∈, deci 'a b c I A τ τ ⊥. Analog se arată că '⊥b a c I B τ τ și '⊥c b a I C τ τ .
III.6. Triunghiul antipodar
„Am fost un lucrător conștiincios, nu am fost superficial, am muncit până acum la
bătrânețe. Spiritul meu a fost geometric, m-a ferme cat varietatea și frumusețea figurii.”
– Alexandru Miller 179
Fie P un punct în planul unui triunghi ABC. Triunghiul ' ' 'A B C format de perpendicularele
duse prin vârfurile A, B, C pe cevienele PA, PB respectiv PC , se numește triunghiul
antipodar al punctului P (Fig. 381). Punctul P se numește punct antipodar .
1) Triunghiul ABC este triunghiul podar al
punctului P în triunghiul ' ' 'A B C .
2) Triunghiul antipodar al ortocentrului H al
triunghiului ABC este triunghiul
anticomplementar .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul
anticomplementar”.
3) Triunghiul antipodar al centrului cercului
înscris în triunghiul ABC este triunghiul
antisuplementar corespunzător triunghiului
ABC.
Demonstrație. Vezi „Triunghiul antisuplementar”.
4) Triunghiul antipodar al centrului cercului circu mscris O al triunghiului ABC este
triunghiul tangențial corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Triunghiul tangențial”.
179 Alexandru Miller (1879-1965) – matematician român , membru al Academiei ǎomâne A'
B' C'
P
A B C Fig. 381
A"
B" C"
371 5) Triunghiul antipodar al unui punct P este ortologic cu triunghiul pedal al punctului P
în raport cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Fie " " " A B C triunghiul pedal corespunzător punctului P în raport cu
triunghiul ABC (Fig. 381). Deoarece " ' ', " ' ', " ' 'A A B C B B AC C C A B ⊥ ⊥ ⊥ și
" " " { } A A B B C C P ∩ ∩ = rezultă că triunghiurile ' ' 'A B C și " " " A B C sunt ortologice.
6) Triunghiul antipodar unui punct P este ortologic cu triunghiul anticevian al punctul ui
P.
Demonstrație. Triunghiul anticevian al punctului P este triunghiul ABC . Cum
' ', ' ', ' ', { } AP B C BP AC CP A B AP BP CP P ⊥ ⊥ ⊥ ∩ ∩ = rezultă că triunghiurile ' ' 'A B C
și ABC sunt ortologice.
7) Fie L, M, N punctele diametral opuse vârfurilor A, B, respectiv C ale unui triunghi
ABC, în cercul circumscris acestuia. Triunghiul LMN este omologic cu triunghiul
antipodar al oricărui punct P aflat în interiorul triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie l, m , n dreptele ce trec prin
A, B, C și sunt perpendiculare pe dreptele PA,
PB respectiv PC și D, E, F al doilea punct de
intersecție dintre dreptele l, m, n și cercul
circumscris triunghiului ABC (Fig. 382) .
Deoarece ( ) 90 m ADL = ° rezultă .PA DL
Dacă { } , Q PO DL = ∩ din congruența
triunghiurilor APO și LQO rezultă .PO OQ ≡
Analog, se arată că dreptele EM, FN trec prin
Q, de unde rezultă că
2QD QL QE QM QF QN p ⋅ = ⋅ = ⋅ = relații ce
arată că punctele L, M și N sunt polii dreptelor
l, m și n în raport cu cercul având centrul în Q
și raza p.
8) Triunghiul antipodar al unui punct P și triunghiul podar al izogonalului său 'P sunt
omotetice.
Demonstrație. Fie " " " A B C triunghiul podar al lui '. P Deoarece " " B C AP ⊥ (vezi
„Drepte izogonale”) și ' 'B C AP ⊥ rezultă ' ' " " B C B C (Fig.383 ). Analog, ' ' " " A B A B
și ' ' " ". AC A C Deoarece patrulaterul 'PBAC este inscriptibil rezultă
( ' ) 180 ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ") = °− = + = + = m BA C m BPC m PBC m PCB m P BA m P CB
( " " ') ( ' " ") ( " " "). + = m C A P m P A B m C A B Deci ' ' ' " " " C A B C A B ≡ și analog
' ' ' " " ", A B C A B C ≡ de unde rezultă că triunghiurile ' ' 'A B C și " " " A B C sunt
asemenea. Deoarece triunghiurile ' ' 'A B C și " " " A B C au laturile paralele și sunt
asemenea rezultă că ele sunt omotetice.
A
B C O
Fig. 382 N M D
P
Q
L l
372
9) Triunghiurile antipodare ale punctelor lui Ferma t corespunzătoare unui triunghi ABC
sunt echilaterale.
Demonstrație. Fie 1F primul punct al lui Fermat – Toricelli. Deoarece
1 1 1 ( ) ( ) ( ) 120 m AFB m BFC m CFA = = = ° (vezi „Punctele lui Fermat”), iar patrulaterele
1'BFAC , 1'CFBA și 1'AFCB sunt inscriptibile, rezultă că
( ' ) ( ' ) ( ' ) 60 , m BAC m CB A m AC B = = = ° deci triunghiul ' ' 'A B C este echilateral. Analog
se arată că și triunghiul antipodar al celui de-al doilea punct Fermat 2( ) F este echilateral.
A
B C P
P'
Fig. 383
A' B' C'
A" B" C"
A
B C
1F
A' B'
C'
Fig. 384 120 °
373 III.7. Triunghiul podar
„Matematica este știința despre raporturile între formule, lipsite de oricare conținut.” – David Hilb ert 180
Fie P un punct interior triunghiului ABC . Se numește triunghi podar al punctului P,
triunghiul ' ' 'A B C care are ca vârfuri picioarele perpendicularelor d use din P pe laturile
triunghiului ABC (Fig. 385). Punctul P se numește punct podar . Cercul circumscris
triunghiului podar al punctului P se numește cercul podar al punctului P. Dacă punctul P
aparține unei laturi a triunghiului, atunci dreapta care unește picioarele perpendicularelor
din P pe celelalte două laturi ale triunghiului se numeș te dreaptă podară .
1) Punctul podar P aparține cercurilor circumscrise patrulaterelor ' ', ' ', AB PC BC PA
' '. CA PB
Demonstrația este evidentă, deoarece patrulaterele ' ', ' ', ' 'AB PC BC PA CA PB sunt
inscriptibile.
2) Iacă x, y, z sunt distanțele de la punctul podar P la vârfurile triunghiului ABC ,
atunci laturile triunghiului podar au lungimile ' , ' , 2 2 = = ax by a b R R '2=cz cR (a, b, c sunt
lungimile laturilor triunghiului ABC și R raza cercului circumscris triunghiului ABC ).
Demonstrație. Teorema sinusurilor aplicată în triunghiurile ' 'AC B și ABC ne dă:
' '
sin =B C AP A și 2 , sin aRA= de unde rezultă ' ' . 2AP B C a R= ⋅ Analog, ' '2BP C A b R= ⋅ și
' ' . 2CP A B c R= ⋅
Observație: Dacă x y z = = atunci punctul P coincide cu centrul cercului circumscris
ABC și deci .x R =
3) Triunghiul podar ' ' 'A B C al unui punct P și triunghiul ABC sunt ortologice.
Demonstrația rezultă din definiția triunghiurilor ortologice.
180 David Hilbert (1962-1943) – matematician german, pr ofesor la Universitatea din Göttingen, contribuții
remarcabile în geometrie și analiza matematică A
B C
P
A' B' C'
Fig. 385
374 4) Triunghiul podar al centrului cercului circumscr is triunghiului ABC este triunghiul
median al triunghiului ABC .
Demonstrația este evidentă.
5) Triunghiul podar al ortocentrului triunghiului ABC este triunghiul ortic al
triunghiului ABC .
Demonstrația este evidentă.
6) Cercul lui Euler este cercul podar al ortocentru lui triunghiului ABC (sau al centrului
cercului circumscris triunghiului ABC ).
Demonstrație. Vezi „Cercul lui Euler”.
7) Triunghiul podar al centrului cercului înscris e ste triunghiul de contact al
triunghiului ABC .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul de contact”.
8) Cercul podar al centrului cercului înscris într- un triunghi ABC este cercul înscris în
triunghiul ABC .
Demonstrația este evidentă.
9) Triunghiurile podare ale punctelor Brocard ale t riunghiului ABC sunt congruente.
Demonstrație. Vezi „Punctele lui Brocard”.
10) Triunghiurile podare ale punctelor izodinamice ale triunghiului ABC sunt
echilaterale.
Demonstrație. Vezi „Punctele izodinamice”.
11) Punctul lui Lemoine al triunghiului ABC este centrul de greutate al propriului
triunghi podar.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Lemoine”.
12) Teorema celor 6 puncte
Fie 'P și "P două puncte izogonale în raport cu triunghiul ABC și ' ' 'A B C și " " " A B C
triunghiurile lor podare în raport cu triunghiul ABC. Punctele ', ', ', ", ", " A B C A B C sunt
conciclice.
Demonstrație. Vezi „Drepte izogonale”.
Observație: Centrul cercului pe care se găsesc punctele ', ', ', ", ", " A B C A B C este mijlocul
segmentului ' " P P (vezi „Drepte izogonale”).
13) Fie P un punct nesituat pe cercul circumscris al unui tr iunghi ABC și ' ' 'A B C
triunghiul podar al lui P în raport cu triunghiul ABC. Perpendicularele din A, B, C pe
' ', ' 'B C AC respectiv ' 'A B sunt concurente într-un punct ', Pizogonalul punctului P în
raport cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Vezi „Drepte izogonale”.
375 14) Teorema lui Oppenheim
Al treilea triunghi podar este asemenea cu triunghi ul original .
Demonstrație. Punctul P aparține cercurilor circumscrise triunghiurilor 1 1 ,ABC
2 1 2 ,ABC 3 3 2 ,ABC 2 2 1 ABC și 3 2 3 ABC (Fig. 386). Avem:
1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) = = = m CAP m CBP m ABP 2 2 3 2 3 3 ( ) ( ) ( ), = = m A C P m B C P m B A P
1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) = = = m PAB m PCB m PCA 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) = = m PB A m PBC m PAC de unde
rezultă că 3 3 3 ( ) ( ) = m BAC m B AC . Analog se arată că 3 3 3 ( ) ( ) = m BCA m BC A , de
unde rezultă că triunghiurile ABC și 3 3 3 ABC sunt asemenea.
15) Triunghiul podar al unui punct P în raport cu un triunghi ABC este asemenea cu
triunghiul circumpedal al punctului P.
Demonstrație. Vezi „Triunghiul circumpedal”.
16) Triunghiul podar al ortocentrului triunghiului ABC este omotetic cu triunghiul
tangențial al triunghiului ABC .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul tangențial”.
17) Aria triunghiului podar a b c PPP al unui
punct P în raport cu un triunghi ABC este
egalǎ cu 2 2
sin sin sin 2−
⋅ ⋅ ⋅R OP
A B C , unde
R reprezintă lungimea razei cercului
circumscris triunghiului ABC și O centrul
cercului circumscris acestui triunghi .
Demonstrație. Fie D al doilea punct de
intersecție dintre dreapta AP și cercul
circumscris triunghiului ABC . Avem:
( ) ( ) ( ) c b m DBC m DAC m PPP = = și
( ) ( ) a a c m PBP m PPP = de unde rezultă cǎ A
B C
P
aP
bP
cP
Fig. 387 D A
B C
P
A1 B1 C1
Fig. 386 B2 C2 A2
A3 B3 C3
376 ( ) ( ) a c b m DBP m PPP = . Din teorema sinusurilor în triunghiul BPD avem:
sin sin sin PBD BDP ACB
PD BP BP = = (1) (unde am folosit faptul cǎ BDP ACB ≡ ). Deoarece
PC este diametru în cercul circumscris patrulaterului a b PPCP avem sin = ⋅a b PP PC ACB și
analog se obțin relațiile sin = ⋅b c PP PA A , sin = ⋅a c PP PB B (2). Din relațiile (1) și (2):
[ ] sin
2a b c a c b c a c b
P P P P P P P P P P A⋅ ⋅= sau
[ ] sin sin sin
2⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =
a b c PPP PB PA A B DBP A
sin sin sin
2⋅ ⋅ ⋅ ⋅PA PD A B C . Utilizând puterea punctului față de un cerc rezul tă
2 2 PA PD R OP ⋅ = − și atunci [ ]2 2
sin sin sin 2a b c PPP R OP
A A B C −
= ⋅ ⋅ ⋅ .
Observații:
1) Ținând cont că [ ]2 sin sin sin ABC A R A B C = ⋅ ⋅ ⋅ relația precedentă devine:
[ ] [ ]2 2
24a b c ABC PPP R OP
A A R−
= ⋅ .
2) Dacă P O ≡, atunci aria triunghiului podar al centrului cercu lui circumscris triunghiului
ABC este egală cu [ ] [ ]1
4a b c ABC O OO A A = ⋅ , ( a b c OOO este de fapt triunghiul median al
triunghiului ABC ).
3) Dacă P G ≡, atunci aria triunghiului podar al centrului de gr eutate al triunghiului ABC
este egală cu [ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 9
4 4 36 a b c ABC ABC ABC G G G a b c
R OG a b c A A A A R R R + +
− + + = ⋅ = ⋅ = ⋅ .
4) Dacă P H ≡, atunci aria triunghiului podar al ortocentrului triunghiului ABC devine:
[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 [9 ( )] 8 ( )]
4 4 4 a b c ABC ABC ABC H H H R OH R R a b c R a b c
A A A A R R R − − − + + − + +
= ⋅ = ⋅ = ⋅
5) Dacă P I≡, atunci aria triunghiului de contact este egală cu :
[ ] [ ] [ ] [ ]2 2
2 2 2
2 4 4 a b c ABC ABC ABC I I IR OI Rr r A A A A R R R −
= ⋅ = ⋅ = ⋅ .
6)Dacă P K ≡, atunci aria triunghiului podar al punctului simed ian al triunghiului ABC
este egală cu
[ ] [ ] [ ] [ ]2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 3
3 ( )
4 4 4 ( ) a b c ABC ABC ABC K K K a b c
R OK a b c a b c A A A A R R R a b c − + + = ⋅ = ⋅ = ⋅+ + .
7) Dacă notăm lungimile segmentelor aPP , bPP , cPP cu x, y respectiv zatunci
[ ] [ ] [ ] [ ]sin sin sin
2a b c b c c a a b PPP PPP PPP PPP yz A xz B xy C A A A A + + = + + = .
377 18) Fie P un punct ce variază pe un cerc C ce are centrul în punctul O – centrul cercului
circumscris unui triunghi ABC . Triunghiurile podare ale punctelor de pe centrul C, în
raport cu triunghiul ABC , au aceeași arie .
Demonstrație . Deoarece [ ]2 2
sin sin sin 2a b c PPP R OP
A A B C −
= ⋅ ⋅ ⋅ , iar când P se plimbă pe
cercul C, segmentul OP are aceeași lungime fiind rază în cercul C, rezultă concluzia.
19) Iacă a b c PPP este triunghiul podar al punctului P în raport cu triunghiul ABC
atunci : a b b c a c PP PP PP
AB CP BC AP CA BP = = ⋅ ⋅ ⋅.
Demonstrație. În cercul circumscris triunghiului b c APP punctul P este punctul diametral
opus punctului A. Teorema sinusurilor ne dă: sin b c PP AP A=, de unde
sin 2b c BC PP AP A AP R= = ⋅ și de aici 1
2b c PP
BC AP R =⋅ (unde R este raza cercului circumscris
triunghiului ABC ). Analog se arată că 1
2a b a c PP PP
AB CP CA BP R = = ⋅ ⋅.
20) Fie P un punct interior triunghiului ABC și zyx,, distanțele de la P la laturile
triunghiului BC, CA, respectiv AB. Notăm cu p perimetrul triunghiului podar al
punctului P. Atunci , ( )cos . 2Cx y p + ≤ ∑
Demonstrație. Fie ' , ', 'cba lungimile laturilor
triunghiului podar a b c PPP (Fig. 338). Avem:
2 2 2 ' 2 cos(180 ) c x y xy C = + − °− sau
2 2 2 2 2 ' 2 cos ( ) 4 cos 2Cc x y xy C x y xy = + + = − +
2 2 2 ' [( ) 4 ] co s 2Cc x y xy ≥ − + ⋅ sau
2 2 2 ' ( ) cos 2Cc x y ≥ + de unde ' ( )cos 2Cc x y ≥ +
cu egalitate dacă și numai dacă x y =. Atunci
' ( )cos 2Cp c x y = ≥ + ∑ ∑ cu egalitate dacă și
numai dacă x y z = = .
21) Triunghiul podar al punctului lui Lemoine al tr iunghiului automedian ABC este
asemenea cu triunghiul ABC .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul automedian”.
A
B C
P
aP bP cP
Fig. 388 b' c' x y z a'
378 22) Proiecția pe bisectoarea unghiului A a unui triunghi ABC a unui punct arbitrar P
de pe cercul circumscris triunghiului BIC – unde I este centrul cercului înscris in
triunghiul ABC – este centrul cercului circumscris triunghiului po dar al punctului P în
raport cu triunghiul ABC .
Demonstrație . Fie 'P simetricul lui P față de bisectoarea din A
(Fig. 389). Deoarece centrul cercului circumscris t riunghiului
BIC aparține bisectoarei din A și este mijlocul arcului BC al
cercului circumscris triunghiului ABC (vezi „Cercuri
exînscrise”) rezultă că 'P aparține cercului circumscris
triunghiului, iar cum 'PBI P BI≡ și 'PCI P CI≡ ,
rezultă că punctele P și 'P sunt puncte izogonale. Proiecțiile
punctelor izogonale P și 'P pe laturile triunghiului ABC sunt
conciclice pe un cerc cu centrul în mijlocul segmen tului 'PP ,
deci proiecția lui P pe bisectoarea din A este centrul cercului
circumscris triunghiului podar al punctului P în raport cu
triunghiul ABC .
23) Triunghiul podar al ortocentrului H al triunghiului ABC în raport cu triunghiul
ortic al triunghiului ABC este omotetic cu triunghiul ABC , centrul de omotetie fiind
punctul lui Gob .
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Gob”.
24) Triunghiul podar al unui punct P de pe un cerc al lui Apollonius, în raport cu
triunghiul ABC este isoscel .
Demonstrație. Vezi „Cercurile lui Apollonius”.
25) Fie ' ' 'A B C triunghiul podar al unui punct P în raport cu un triunghi ABC și "A
cel de-al patrulea vârf al paralelogramului ' ' ". B PC A Analog se determină punctele "B
și ". C Triunghiurile ABC și " " " A B C sunt omologice, centrul de omologie fiind punctul
izogonal conjugat al punctului P.
Demonstrație. Arătăm că dreptele PA și "AA
sunt izogonale. Fie { } " X CA AC = ∩ și
{ } " Y BA AB = ∩ (Fig. 390). Deoarece
patrulaterul ' 'PB AC este inscriptibil, rezultă
' ' 'B C A B PA ≡ și " " ' . B AP B C P ≡
Cum ( ' ) ( ' ) 90 m B AP m BPA + = ° și
( ' ' ) ( " ') 90 m BC A m A AC + = ° rezultă că
' " 'PAB A AC ≡ ( "A fiind ortocentrul
triunghiului ' 'B C A ). Analog, se arată că
dreptele PB și "BB , respectiv PC și "CC sunt
izogonale, deci triunghiurile ABC și " " " A B C
sunt omologice, centrul de omologie fiind
izogonalul lui P.
A
P P' I
B C
Fig. 389
A
B C
P
A' B' C'
Fig. 390 ˆ Y
A"
379 26) Fie ' ' 'A B C triunghiul podar al unui punct P în raport cu un triunghi ABC.
Notăm cu ad dreapta ce trece prin mijloacele segmentelor PA și ' 'B C . Analog definim
dreptele ,b c d d . Ireptele , , a b c d d d sunt concurente .
Demonstrație. Mijlocul segmentului PA este centrul cercului circumscris triunghiului
' ' 'A B C , deci dreapta ad este mediatoarea segmentului ' 'B C . Analog, ,b c d d sunt
mediatoarele segmentelor ' 'C A , respectiv ' 'A B , deci dreptele , , a b c d d d sunt concurente
în centrul cercului circumscris triunghiului podar ' ' 'A B C .
III.8. Triunghiul tangențial
„Totul ar fi trebuit sa fie sfere, dar n-a fost, n-a fost asa.
Totul ar fi trebuit sa fie linii,
dar n-a fost, n-a fost asa.”
Nichita Stănescu 181
Triunghiul CBATTT determinat de tangentele duse la cercul circumscri s triunghiului ABC
în vârfurile acestuia se numește triunghiul tangențial al triunghiului ABC.
1) Triunghiul tangențial CBATTT al triunghiului
ABC este triunghiul antipodar al centrului
cercului circumscris O al triunghiului ABC în
raport cu triunghiul ABC.
2) Centrul cercului circumscris O al triunghiului
ABC reprezintă centrul cercului înscris în
triunghiul tangențial CBATTT.
3) Ireptele BABTAT, și CCT sunt concurente .
Demonstrație. Deoarece , , ≡ ≡ A A B B T B T C T A TC
≡C C T A T B avem: 1=⋅⋅
BA
AC
CA
CTCT
BTBT
ATAT și din
reciproca teoremei lui Ceva rezultă că dreptele BABTAT, și CCT sunt concurente. Fie K
punctul de concurență al dreptelor , , A B C AT BT CT (Fig. 391).
4) Ireptele , , A B C AT BT CT sunt simedianele triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie ' ( ), =BC A pr A '( ) =
AAC A T pr T și "( ) =A AB A T pr T (Fig. 391). Cum
'1( ') ( ) ( ) 2= = A A m ABA mT CT m AC și '( ' ) ( ) 90 = = ° A A m AA B mCTT rezultă că triunghiurile
'ABA și '
A A T CT sunt asemenea, deci '
'=A A A TT T C
AA AB (1). Analog din asemănarea
triunghiurilor CAA' și "
A A T BT rezultă "
'=A A A TT T B
AA AC (2). Împărțind relațiile (1) și (2)
181 Nichita Stănescu (1933 – 1983) – eseist, poet româ n, ales postum membru al Academiei ǎomâne A
C O K
AT BT CT
Fig. 391 B A'
'
AT "
AT
380 membru cu membru rezultă '
"= ⋅ = A A A
A A A TT T C CA CA
AB BT AB TT , unde am utilizat AACTBT=, relație
ce arată că punctul AT aparține simedianei din A a triunghiului ABC. Analog se arată că
BBT și CCT sunt simediane.
Observații:
1) Punctul lui Lemoine K al triunghiului ABC este punctul de concurență al dreptelor
CBACTBTAT ,, , adică punctul lui Gergonne al triunghiului tangen țial.
2) Punctul lui Lemoine este centrul de omologie din tre triunghiul ABC și triunghiului său
tangențial.
5) Irepta lui Lemoine a triunghiului ABC este
axa de omologie dintre triunghiul ABC și
triunghiul său tangențial CBATTT.
Demonstrație. Fie 111,,CBA punctele de
instersecție dintre tangentele la cercul circumscri s
ABC, vârfurile acestuia și laturile opuse. Din
teorema lui Lemoine rezultă că punctele 111,,CBA
sunt coliniare (punctele aparțin dreptei lui
Lemoine). Avem 2
11
=ACAB
CABA (1). Fie
A B {C'} AB T T =I,A C {B'} AC T T =I,B C {A'} BC TT =I.
Să arătăm că punctele ', ', 'CBA aparțin dreptei
11CA. Fie { } ,{ } , = = I I A A B B K AT BC K BT CA
{ } =IC C K CT AB , iar K punctul lui Lemoine al triunghiului ABC (Fig. 392). Deoarece
AAK este simediană în triunghiul ABC rezultă 2 = A
ABK AB
CK AC (2). Din relațiile (1) și (2)
rezultă 1
1=A
ABK BA
CK CA , adică punctele 1A și AK sunt conjugate armonic față de punctele B și
C. Analog, se arată că și perechile de puncte 1( , ),( , ) B C B K C K sunt conjugate armonic față
de ( , ) C A , respectiv ( , ) A B , ceea ce demonstrează teorema.
6) Consecință: Triunghiul tangențial CBATTT este
triunghiul anticevian al punctului lui Lemoine
corespunzător triunghiului ABC.
7) Laturile triunghiului ortic cbaHHH al
triunghiului ABC sunt respectiv paralele cu
laturile triunghiului tangențial CBATTT.
Demonstrație. ( ) ( ) ( ) = = C c b mT AB m AH H m ACB
rezultă că bcBCHHTT|| . Analog baBAHHTT|| și
.||caCAHHTT A
B C
AT BT
CT
1A 1B
AK BK
CK
Fig. 392
A
C
aH bH
H
AT BT CT
Fig. 393 B cH
381 8) Triunghiul ortic cbaHHH al triunghiului ABC și triunghiul tangențial CBATTT al
triunghiului ABC sunt omotetice .
Demonstrație . Avem ≡ ≡ C C T AB T BA ACB , deci ( ) 180 2 ( ) = °− Cm AT B mC . Dar
( ) 180 2 ( ) = °− b c a mH H H mC , deci ≡B C A b c a TT T H H H și analog cbaCBA HHHTTT ˆ ˆ≡ .
Atunci triunghiurile A B C TTT și a b c H H H sunt asemenea și deoarece triunghiurile au laturil e
paralele (vezi proprietatea precedentă) rezultă că triunghiurile CBATTT și cbaHHH sunt
omotetice.
Observație : Centrul omotetiei dintre triunghiul ortic cbaHHH și triunghiul tangențial
CBATTT aparține dreptei lui Euler a triunghiului ABC (vezi „Dreapta lui Euler”) și se
numește punctul lui Gob .
9) Fie , , A B C ∗ ∗ ∗ mijloacele laturilor , , b c c a H H H H respectiv a b H H ale triunghiului ortic
al triunghiului ABC și CBATTT triunghiul său tangențial. Punctele A, A∗, AT; B, B∗,
BT; respectiv C, C∗, CT sunt coliniare .
Demonstrație. Deoarece A∗ este mijlocul antiparalelei b c H H la BC rezultă că aparține
simedianei din A , adică dreptei AAT , de unde rezultă concluzia.
10) Triunghiul tangențial CBATTT și triunghiul median al triunghiului ortic
corespunzător unui triunghi ABC sunt omotetice, punctul lui Lemoine al triunghiului
ABC fiind centrul de omotetie .
Demonstrația rezultă din proprietatea de mai sus.
11) Triunghiul tangențial CBATTT și triunghiul median al triunghiului ortic
corespunzător unui triunghi ABC sunt ortologice, centrele de ortologie fiind ortoce ntrul
triunghiului tangențial și centrul cercului lui Eul er al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fie ABC ∗ ∗ ∗ triunghiul median al triunghiului ortic cbaHHH . Deoarece
9 b c O A H H ∗⊥ și bcBCHHTT|| rezultă 9C B O A TT ∗⊥. Analog, se arată că 9C A OB TT ∗⊥ și
9A B OC TT ∗⊥, deci triunghiurile ABC ∗ ∗ ∗ și CBATTT sunt ortologice, unul dintre centre
fiind centrul cercului lui Euler 9O. Deoarece A x B C T H TT ⊥ și B C TT BC ∗ ∗ rezultă
A x T H BC ∗ ∗ ⊥ (unde xH este ortocentrul triunghiului tangențial), analog B x T H AC ∗ ∗ ⊥,
deci xH este al doilea centru de ortologie.
12) Aria triunghiului tangențial este egal cu: [ ] [ ]2 2 2
4+ + = +
A B C ABC T T T a tgA b tgB c tgC A A ,
unde cba,, sunt lungimile laturilor triunghiului ABC.
Demonstrație. În triunghiul isoscel ABT C ( ( ) ( ) ( )) = = A A mT BC mT CB m A avem:
ACTaA2ˆcos= , de unde 2cos =AaCT A. Atunci,
[ ] 2 2 sin sin
2 4cos 4 ⋅ ⋅= = =
AA A
T BC BC CT BCT a A a tgA AA. Analog, [ ]2
4=
BT AC b tgB A și
382 [ ]2
4=
CT BA c tgC A , de unde [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = + + + =
A B C A B C T T T T AC T AC T BA ABC A A A A A
2 2 2
[ ] 4+ + +ABC a tgA b tgB c tgC A.
Observație : Dar triunghiul ABC este obtuzunghic, de exemplu ˆ( ) 90 > ° m A , atunci
[ ]2
4= ⋅
AT BC aA tgA .
13) Centrul cercului circumscris triunghiului tange nțial CBATTT al triunghiului ABC
aparține dreptei lui Euler a triunghiului .ABC
Demonstrație. Dreapta determinată de centrul cercului circumscri s, respectiv înscris într-un
triunghi XYZ este dreapta lui Euler a triunghiului de contact a l triunghiului XYZ (vezi
„Dreapta lui Euler”). Cum triunghiul ABC este triunghiul de contact corespunzător
triunghiului tangențial rezultă că dreapta lui Eule r a triunghiului ABC trece prin centrul
cercului circumscris triunghiului tangențial CBATTT .
14) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Centrele CBAOOO,, ale
cercurilor circumscrise triunghiurilor , , BCO ACO respectiv BAO determină un
triunghi omotetic cu triunghiul tangențial CBATTT al triunghiului ABC, centrul de
omotetie fiind punctul O.
Demonstrație.
Deoarece BAOOOC⊥ și BATTOC⊥ rezultă BABATTOO||. Analog, CBCBTTOO|| și
ACACTTOO||. Deoarece BCOOA⊥ și BCOTA⊥ (triunghiul BCTA fiind isoscel)
rezultă că punctele AOO, și AT sunt coliniare. Analog BOO, și BT respectiv COO, și
CT sunt coliniare. Atunci, triunghiurile CBAOOO și CBATTT sunt omotetice, centrul
omotetiei fiind punctul O. A
B C
O
AO BO
CO
Fig. 394
AT BT
CT
383 15) Triunghiul tangențial al triunghiului ABC și triunghiul circumpedal al centrului de
greutate al triunghiului ABC sunt omologice .
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Exeter”.
16) Triunghiurile tangențial și extangențial coresp unzătoare unui triunghi ABC sunt
omotetice, raportul de omotetie fiind .2
RrR+
Demonstrație. Vezi „Triunghiul extangențial”.
17) Fie CBATTT triunghiul tangențial, a b c N N N și ' ' '
a b c N N N triunghiurile lui Napoleon
ale unui triunghi ABC. Punctele aN,'
aN, AT sunt coliniare .
Demonstrația este evidentă deoarece punctele aN,'
aN, AT aparțin mediatoarei segmentului
BC .
18) Triunghiul tangențial CBATTT al triunghiului ABC și triunghiul median
cbaMMM al triunghiului ABC sunt omologice .
Demonstrație. Deoarece ,≡A A BT CT ,≡B B AT CT ≡C C AT BT (Fig. 395) rezultă că
CcBbAa MMMMTM , , sunt
mediatoarele laturilor triunghiului
ABC, deci ele sunt concurente în
centrul cercului circumscris O al
triunghiului ABC, deci
triunghiurile CBATTT și
cbaMMM sunt omologice.
Observație : Centrul cercului
circumscris triunghiului ABC este
polul de omologie al triunghiului
CBATTT și cbaMMM .
19) Axa de omologie dintre
triunghiurile tangențial și median
ale unui triunghi ABC este
perpendiculară pe dreapta lui
Euler a triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie '''CBA axa de
omologie dintre triunghiurile
CBATTT și cbaMMM (Fig. 395).
Deoarece BCMMcb||, atunci
'≡ ≡ c b A AC ABC AM M , de unde
rezultă că triunghiurile 'bAM A și
'cM AA sunt asemenea, deci
''
' '=b
cA M AA
A M AA , egalitate A
C
aM bM
C' AT BT
CT
Fig. 395 B cM
B' A'
384 echivalentă cu 2' ' '= ⋅b c AA A M A M . Cum cMA' este secantă la cercul lui Euler, rezultă că
'A are aceeași putere față de cercul circumscris triu nghiului ABC și de cercul lui Euler al
triunghiului ABC, deci 'A aparține axei radicale a acestor cercuri. Analog s e arată că 'B și
'C aparțin acestei axe, deci axa de omologie este axa radicală a cercului circumscris
triunghiului ABC și a cercului lui Euler a triunghiului ABC. Deoarece axa radicală este
perpendiculară pe linia centrelor 9OO , adică pe dreapta lui Euler, rezultă că axa de
omologie dintre triunghiurile CBATTT și cbaMMM este perpendiculară pe dreapta lui
Euler a triunghiului ABC.
20) Prin inversiunea de centru O și raport 2R, cercul circumscris triunghiului
tangențial CBATTT se transformă în cercul lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor aBOM și OBTA rezultă:
Aa
OTR
ROM=,
adică 2ROTOMAa=⋅ . Analog, se arată că 2ROTOMOTOMccBb =⋅=⋅ , relații ce arată
că prin inversiunea J2( , ) O R cercul circumscris triunghiului tangențial se tran sformă în
cercul circumscris triunghiului median, adică cercu l lui Euler al triunghiului ABC.
21) Fie C cercul circumscris triunghiului ABC, ', ', 'CBA punctele de intersecție dintre
înălțimile din BA, respectiv C și laturile triunghiului ABC cu C, iar CBATTT triunghiul
tangențial al triunghiului ABC. Ireptele ', ', 'CTBTATCBA sunt concurente într-un
punct ce aparține dreptei lui Euler a triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie 111,,CBA punctele diametral opuse în C
ale punctelor BA, respectiv C, iar X punctul de
intersecție dintre cercul AT-exînscris, corespunzător
triunghiului A B C TTT cu latura CBTT. Analog se definesc
prin punctele Y și Z. Deoarece în triunghiul ABC, 'AA și
1AA sunt izogonale (vezi „Drepte izogonale”) rezultă c ă
dreptele 'ATA și 1ATA sunt izogonale conjugate în
triunghiul tangențial. Deoarece AT este centrul de
asemănare dintre cercurile C și cercul AT-exînscris, rezultă
că punctele AT, 1A și X sunt coliniare. Deoarece dreptele
YTXTBA, și ZTC sunt concurente în punctul lui Nagel al
triunghiului CBATTT , rezultă că și izogonalele lor – adică dreptele ', ', 'CTBTATCBA sunt
concurente într-un punct S care este centrul de asemănare dintre cercurile C și cercul
circumscris triunghiului CBATTT , deci S aparține dreptei lui Euler a triunghiului ABC.
A
B C
AT BT
CT ˆ
1A O
Fig. 396 A'
385 III.9. Triunghiul anticomplementar
„Geometrii se servesc de figuri vizibile și fac jud ecăți asupra acestora, deși ei nu se gândesc la a ceste figuri, ci
la altele care se aseamănă, dar care nu pot fi sesizate decât cu mintea.”- Platon 182
Triunghiul anticomplementar (sau antimedian ) al triunghiului ABC este triunghiul
'''CBA determinat de paralelele duse prin vârfurile triun ghiului ABC la laturile opuse.
Numim exmediană a unui triunghi o dreaptă ce trece prin vârful unu i triunghi și este
paralelă cu latura opusă. Triunghiul anticomplement ar este determinat de intersecțiile
exmedianelor triunghiului ABC . Vârfurile triunghiului anticomplementar se numesc puncte
exmediane.
1) Triunghiul '''CBA este triunghiul anticomplementar al triunghiului ABC dacă
triunghiul ABC este triunghiul său median .
2) Segmentele AB, BC, AC sunt liniile mijlocii ale triunghiului anticomplem entar .
3) Iacă cba,, sunt lungimile laturilor CABC, respectiv AB ale triunghiului ABC,
atunci laturile triunghiului aticomplementar '''CBA sunt egale cu 2a,2b,2c.
4) Centrul de greutate al triunghiului anticompleme ntar al triunghiului ABC este
centru de greutate și pentru triunghiul ABC.
Demonstrație. Fie G centrul de greutate al triunghiului '''CBA și cbaMMM triunghiul
său median. Deoarece patrulaterul CABA' este paralelogram rezultă că diagonalele BC și
'AA se înjumătățesc, deci aAM este mediană în triunghiul ABC. Analog se arată că
bBM este mediană, deci G este centrul de greutate al triunghiul .ABC
Observație: Triunghiul anticomplementar '''CBA este triunghiul anticevian al triunghiului
ABC corespunzător centrului de greutate Gal acestuia.
5) Aria triunghiului anticomplementar '''CBA este egal cu : [ ] [ ]' ' '4 . A B C ABC A A =
182 Platon (428-348) – filosof, logician, matematician grec A' B' C'
C B A
aM bM cM
G
Fig. 397
386 Demonstrație. Deoarece patrulaterele ','ABCBCABA și BCAC' sunt paralelograme,
rezultă că [ ] [ ] [ ] [ ] ' ' '= = = ABC BCA ACB ABC A A A A , de unde [ ] [ ]' ' '4 . = ⋅A B C ABC A A
Cercul circumscris triunghiului anticomplementar se numește cerc anticomplementar .
6) Centrul cercului anticomplementar este ortocentr ul triunghiului .ABC
Demonstrație. Fie .BCAHa⊥ Din ''||CBBC rezultă că ''CBAHa⊥, cum A este
mijlocul segmentului ''CB obținem că aAH este mediatoarea segmentului '.'CB Analog
se arată că înălțimea bBH este mediatoarea segmentului ''CA, deci punctul de concurență
al înălțimilor triunghiului ABC este centrul cercului circumscris triunghiului
anticomplementar.
7) Raza cercului anticomplementar este egală cu dub lul razei cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrație.
Fie R raza cercului circumscris triunghiului ABC și AR raza cercului circumscris
triunghiului anticomplementar ' ' '. A B C Atunci:
[ ] [ ] ' ' '' ' ' 2 2 2
4 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅A
A B C ABC a b c a b c RA A
[ ] 2 2 4⋅ =
ABC abc RA.
8) Fie ' ' 'A B C triunghiul anticomplementar al triunghiului ABC și ", ", " A B C
simetricele punctelor A, B respectiv C față de ortocentrul H al triunghiului ABC. Ireptele
' ", ' ", ' " A A B B C C sunt concurente.
Demonstrație. Alegem un reper complex cu originea în centrul cerc ului circumscris ( O) al
triunghiului ABC. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăt oare. Atunci
( ), ( ), ( ), ( ), ( ), O o Aa Bb C c H a b c + + de unde rezultă " " "
2 2 2 a a b b c c h+ + + = = = și de aici
" 2 2 , " 2 2 , " 2 2 . a a b c b a b c c a b c = + + = + + = + + Deoarece ' ' ' ' ' ', , 2 2 2 c b a c a b a b c + + + = = =
rezultă ' ' ', a b c a b c + + = + + deci 2 ', a a b c a = + + − de unde 'a b c a = + − și analog, A' B' C'
C B A
aH bH cH
H
Fig. 398 A" B" C"
387 ' , ' . b a c b c b a c = + − = + − Ecuația dreptei ' " A A este: 1
' ' 1 0
" " 1 z z
a a
a a = sau
(2 ) ( 2 ) 3[( ) ( )] 0 (1). z a b c z b c a ba ab ca ac − − + + − + − + − = Analog ecuațiile dreptelor
' " B B și ' " C C sunt: ( ' "): (2 ) ( 2 ) 3[( ) ( )] 0 (2) B B z b a c z a c b ab ba cb bc − − + + − + − + − = ,
respectiv ( ' "): (2 ) ( 2 ) 3[( ) ( )] 0 (3). C C z c a b z a b c ac ca bc cb − − + + − + − + − = Sumând
ecuațiile (1), (2) și (3) obținem o egalitate ceea ce arată că dreptele ' ", ' " A A B B și ' " C C
sunt concurente
9) Cercul circumscris triunghiului anticomplementar al triunghiului ABC este tangent
cercurilor circumscrise triunghiurilor CHABHC, și AHB, unde H este ortocentrul
triunghiului .ABC
Demonstrație. Deoarece patrulaterul CHBA' este inscriptibil, iar m(HBA') 90 = ° rezultă
că 'HA este diametrul în cercul circumscris patrulaterulu i .'CHBA Cum 'HA este raza în
cercul circumscris triunghiului anticomplementar re zultă cercul circumscris triunghiului
BHC este tangent interior în 'A cercului anticomplementar. Analog se arată că cerc urile
circumscrise triunghiurilor CHA și AHB sunt tangente interior cercului anticomplementar.
10) Punctul lui Lemoine al triunghiului anticomplem entar al unui triunghi ABC este
retrocentrul triunghiului .ABC
Demonstratie. Vezi „ǎetrocentrul unui triunghi”.
11) Într-un triunghi ABC, dreapta ON, care unește centrul cercului circumscris cu
punctul lui Nagel, al triunghiului ABC, trece prin punctul lui Feuerbach al triunghiului
anticomplementar .
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Nagel”.
12) Ortocentrul triunghiului anticomplementar al un ui triunghi ABC este punctul lui
Longchamps al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Longchamps”.
13) Triunghiul antipodar al ortocentrului H al triunghiului ABC este triunghiul
anticomplementar .
Demonstrația rezultă din cele de mai sus.
388 III.10. Triunghiul antisuplementar
„Definițiile și proprietățile dreptei, ca și drepte le paralele au ajuns să fie stâncile
sau , ca să spunem altfel, scandalul elementelor d e geometrie.” – D’Alembert 183
Triunghiul antisuplementar a b c I I I al unui triunghi ABC este triunghiul determinat de
bisectoarele exterioare ale triunghiului ABC (Fig. 399).
1) Triunghiul a b c I I I având vârfurile în centrele cercurilor exînscrise este triunghiul
antisuplementar al triunghiului ABC .
Demonstrația este evidentă ținând cont că punctele , , a b c I I I aparțin bisectoarelor
exterioare ale triunghiului ABC .
2) Unghiurile triunghiului antisuplementar au măsur ile egale cu
190 ( ), 2m A °− 190 ( ), 2m B °− 190 ( ) 2m C °− .
183 Jean d ’Alembert (1717-1783) – matematician și fizician fr ancez, contribuții importante în algebră și analiza
matematică A
B
C
Ia Ib Ic
Fig. 399 aτ bτ
cτ I
aC cC
bC
389 Demonstrație. În triunghiul aBCI, ( ) 180 [ ( ) ( )] a a a m BI C m I BC m I CB = °− + =
1 1 1 180 90 ( ) 90 ( ) 90 ( ). 2 2 2 m B m C m A °− °− + °− = °− Analog,
1( ) 90 ( ), 2bm AI C m B = °− 1( ) 90 ( ). 2cm AI B m C = °−
3) Triunghiul antisuplementar corespunzător triungh iului ABC este triunghiul
anticevian corespunzător centrului cercului înscris (I) în triunghiul ABC.
Demonstrația este evidentă.
4) Triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului antisuplemen tar .
Demonstrație. Deoarece , , a b c AI BI CI sunt înălțimile triunghiului a b c I I I (vezi„Cercurile
exînscrise”) rezultă că triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului a b c I I I.
Consecințe:
i) Triunghiurile ABC și antisuplementar sunt omologice.
ii) Axa ortică a triunghiului antisuplementar a b c I I I al triunghiului ABC este axa ortică
a triunghiului ABC .
5) Cercul circumscris al unui triunghi ABC este cercul lui Euler al triunghiului
antisuplementar al triunghiului ABC .
Demonstrație. Deoarece triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului a b c I I I rezultă
că cercul circumscris triunghiului ABC este cercul lui Euler al triunghiului a b c I I I.
6) Ireapta care unește centrele cercurilor înscris și circumscris ale unui triunghi ABC
este dreapta lui Euler a triunghiului antisuplement ar .
Demonstrație . Centrul cercului înscris I al triunghiului ABC este ortocentrul triunghiului
antisuplementar, iar centrul cercului circumscris ( O) al triunghiului ABC este centrul
cercului lui Euler al triunghiului antisuplementar, deci dreapta OI este dreapta lui Euler a
triunghiului antisuplementar.
Observație: Triunghiul antisuplementar a b c I I I și triunghiul de contact a b c CCC au aceeași
dreaptă a lui Euler OI.
7) Ireptele , , a b c OI OI OI sunt dreptele lui Euler ale triunghiului ,b c a c II I II I ,
respectiv a b II I.
Demonstrația este analoagă celei precedente.
8) Triunghiul antisuplementar a b c I I I și triunghiul cevian 1 2 3 II I al centrului cercului
înscris într-un triunghi ABC sunt ortologice, dreapta lui Euler a triunghiului a b c I I I
fiind axa de ortologie .
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.
390 9) Triunghiul antisuplementar a b c I I I și triunghiul de contact a b c CCC al unui triunghi
ABC sunt omotetice .
Demonstrație . Deoarece b c CC AI⊥ și b c I I AI⊥ rezultă că b c b c CC I I (Fig. 399).
Analog , a c a c CC I I ,a b a b CC I I , de unde rezultă că triunghiurile a b c I I I și a b c CCC sunt
omotetice.
10) Centrul cercului circumscris triunghiului antis uplementar coincide cu centrul
cercului înscris în triunghiul extangențial .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul cotangentic”.
11) Laturile triunghiului median a b c M M M al unui triunghi ABC trec prin proiecțiile
vârfurilor triunghiului ABC pe laturile triunghiului antisuplementar a b c I I I.
Demonstrație. Fie 1 2 ,B B proiecțiile lui B pe laturile c b I I
și a b I I ale triunghiului antisuplementar și
1 { } . =IP BB AC Triunghiul APB este isoscel deoarece
AB este bisectoare și înălțime, deci 1B este mijlocul
segmentului PB . În triunghiul APB, 1cM B este linie
mijlocie, deci 1cM B AP adică 1 c a c M B AC M M ,de
unde rezultă că 1∈a c B M M analog se arată că
2∈a c B M M .
12) Consecință: Laturile triunghiului median al
triunghiului ortic trec prin proiecțiile picioarelo r
înălțimilor pe laturile triunghiului dat .
Demonstrația este evidentă ținând cont că ABC este
triunghiul ortic al triunghiului a b c I I I.
13) Centrul cercului circumscris triunghiului antis uplementar al unui triunghi ABC este
simetricul cercului înscris în triunghiul ABC față de centrul cercului circumscris
triunghiului ABC .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul cotangentic”.
14) Fie a b c M M M triunghiul median și a b c I I I triunghiul antisuplementar al
triunghiului ABC . Ireptele , , a a b b c c I M I M I M sunt concurente în punctul lui Lemoine al
triunghiului antisuplementar .
Demonstrație. Vezi „Cercurile exînscrise”.
15) Triunghiurile antisuplementar și median ale tri unghiului ABC sunt omoloage,
centrul de omologie fiind punctul lui Lemoine al tr iunghiului antisuplementar .
Demonstrație. Proprietatea este o consecință a celei precedente.
16) Triunghiul antisuplementar a b c I I I și triunghiul cevian al centrului cercului înscris
într-un triunghi ABC sunt ortologice .
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.
A
B C P
1B
2B
aI bI
cI bM
aM
Fig. 400
391 17) Aria triunghiului antisuplementar a b c I I I al triunghiului ABC este egală cu 2pR ,
unde p este semiperimetrul triunghiului ABC și R este raza cercului circumscris
triunghiului ABC.
Demonstrație. Soluția 1. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = + + + =
a b c a b c I I I I BC I AC I AB ABC A A A A A
[ ] 2 2 2 + + + = a b c
ABC ar br cr A[ ] [ ] [ ]
[ ] 22( ) 2( ) 2( ) ABC ABC ABC
ABC aA bA cA A pR p a p b p c + + + = − − − .
Soluția 2. Triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului a b c I I I. Dar
1 1 1 ( ) 90 ( ), ( ) 90 ( ), ( ) 90 ( ) 2 2 2 a b c m BI C m BAC m AIC m ABC m BI A m BCA = − = − = − o o o
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] 2 cos 2 sin sin sin 2 2 2 2 a b c a b c a b c ABC
ABC I I I a b c I I I I I IA A B C A A I I I A A pR = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ , de unde
rezultă concluzia.
18) Între ariile triunghiurilor antisuplementar, co tangentic și aria triunghiului de
referință ABC există relația : 2
[ ] [ ] [ ] a b c a b c ABC I I IA A A τ τ τ = ⋅ .
Demonstrație. 2 2
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ] 2sin sin sin 2 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 a b c
a b c ABC ABC ABC
I I I
ABC A A A AA B C A B C AAτ τ τ = = = .
19) Triunghiul antipodar al centrului cercului însc ris în triunghiul ABC este triunghiul
antisuplementar corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrația este evidentă deoarece , , b c c a a b AI I I BI I I CI I I⊥ ⊥ ⊥ .
20) Axa ortică a triunghiului a b c I I I este dreapta determinată de picioarele bisectoarel or
exterioare ale triunghiului ABC.
Demonstrație. Evident, deoarece triunghiul ortic al triunghiului a b c I I I este triunghiul ABC
și I este ortocentrul triunghiului a b c I I I.
Observație: Deoarece axa ortică a unui triunghi este perpendicu lară pe dreapta lui Euler a
triunghiului rezultă că dreapta care unește picioar ele bisectoarelor exterioare ale unui
triunghi ABC este perpendiculară pe OI.
392 A
B C C' C" B"
B'
A' A" Q
P
Fig. 401 III.11. Triunghiul ciclocevian
„Matematica este alfabetul după care Dumnezeu a scr is Universul.” – Galileo Galilei 184
Fie cevienele ', ', 'AA BB CC și P punctul lor de concurență. Cercul circumscris
triunghiului ' ' 'A B C intersectează fiecare latură în două puncte (nu ne apărat distincte):
', "; ', " A A B B și ', " C C .
1) Ireptele ", " AA BB și "CC sunt concurente .
Demonstrație. Din teorema lui Carnot rezultă " ' " ' " '1" ' " ' " 'A B A B B C BC C A C A
A C AC B A B A C B C B ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , adică
" " " ' ' '1" " " ' ' 'A B B C C A AB BC C A
A C B AC B AC B AC B ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (1). Deoarece ', ', 'AA BB CC sunt concurente ,din
teorema lui Ceva rezultă ' ' '1' ' 'A B BC C A
AC B A C B ⋅ ⋅ = (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă
'' '' ''1'' '' ''A B B C C A
A C B A C B ⋅ ⋅ = și din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că drep tele ", " AA BB și
"CC sunt concurente.
Observații:
1) Punctul Q de concurență al dreptelor ", " AA BB și "CC se numește ciclocevianul
punctului P.
2) Triunghiul " " " A B C se numește triunghiul ciclocevian al triunghiului ABC ,
corespunzător punctului P.
2) Ortocentrul H și centrul de greutate G al unui triunghi sunt puncte cicloceviene .
Demonstrație. Punctele , , , a b c H H H ,,a b c M M M aparțin cercului lui Euler al triunghiului
ABC (vezi „Cercul lui Euler”) (Fig. 402).
184 Galileo Galilei (1564-1642) – matematician, fizici an, astronom și filosof italian
393 Observații:
1) Triunghiul median este triunghiul ciclocevian a l triunghiului ABC corespunzător
ortocentrului triunghiului ABC .
2) Triunghiul ortic este triunghiul ciclocevian al triunghiului ABC corespunzător centrului
de greutate al triunghiului ABC .
3) Punctul lui Gergonne Γ al triunghiului ABC este propriul său punct ciclocevian .
Demonstrație. Evident, deoarece cercul circumscris triunghiului d e contact a b c C C C este
tangent laturilor triunghiului ABC (Fig. 403).
Observație. Triunghiul ciclocevian corespunzător punctului lui Gergonne este triunghiul de
contact al triunghiului ABC .
III.12. Triunghiul I – pedal
„Ați observat că cine este capabil la matematică ar e cunoștințe perfecte
domeniul tuturor științelor legate de stu diereanaturii?”-Platon 185
Triunghiul 1 2 3 II I determinat de picioarele bisectoarelor
interioare ale triunghiului ABC se numește triunghiul
I – pedal.
1) Triunghiul 1 2 3 II I este triunghiul cevian al
triunghiului ABC corespunzător centrului cercului
înscris în triunghiul ABC .
185 Platon (428-348) – filosof, logician, matematician grec
A
B C Cc Cb
Г
Ca
Fig. 403 A
B C Hb
Mb
Ha Ma Mc
Hc
H G
Fig. 402
A
B C I
1I 2I 3I
Fig. 404
394 2) Laturile triunghiului I – pedal,1 2 3 II I, au lungimile 3 2( cos cos cos ) ' , ( )( ) + − + + =+ + abc A B C aa b a c
3 2(cos cos cos ) ' , ( )( ) + − + =+ + abc A B C bb c b a 3 2(cos cos cos ) '( )( ) + + − =+ + abc A B C cc a c b , (unde am
notat cu ', ', 'a b c lungimile laturilor 2 3 3 1 , , I I I I respectiv 1 2 II și cu a, b, c lungimile
laturilor triunghiului ABC ).
Demonstrație. Din teorema bisectoarei rezultă 2
2,AIc
I C a = de unde 2=+bc AIa c și analog se
obține 3 .bc AIa b =+ Teorema cosinusului aplicată în triunghiul 2 3 AI I ne dă:
2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 cos , I I AI AI AI AI A = + − ⋅ ⋅ sau 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 ' 2 2 ( ) ( ) + − = + − ⋅ ⋅ ⋅ = + + + + bc bc bc bc b c a aa c a b bc a c a b
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 [( ) ( ) ] [3 2( cos cos cos )] ( ) ( ) ( ) ( ) + + + − − + = ⋅ + − + + + + + + bc abc a b bc a c bc b c a A B C a b a c a b a c
și de aici rezultă: 3 2( cos cos cos ) ' . ( )( ) + − + + =+ + abc A B C aa b a c Analog se determină și
lungimile celorlalte două laturi.
3) Aria triunghiului I – pedal este egală cu
1 2 3 [ ] [ ] 2.( )( )( ) = ⋅+ + + I I I ABC abc A A a b b c c a
Demonstrație. Din teorema bisectoarei avem: 1
1,=BIc
IC b 2
2,=CIa
I A c 3
3.=AIb
IC a Atunci,
2 3 [ ] 2 3 3 2
[ ] ( )( ) ⋅= = ⋅ = ⋅ = ⋅ + + + + AI I
ABC AAI AI AIAIc b bc
A AB AC AC AB a b a b a b a c (1), analog
1 3 [ ]
[ ] ( )( ) =+ + BI I
ABC A ac
A b a b c (2) și 2 1 [ ]
[ ] ( )( ) =+ + CI I
ABC A ab
A c a c b (3), iar
1 2 3 2 3 1 3 2 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = − − − I I I ABC AI I BI I CI IA A A A A (4). Din relațiile (1), (2), (3) și (4) rezultă
1 2 3 [ ] [ ] 2.( )( )( ) = ⋅+ + + I I I ABC abc A A a b b c c a
4) Triunghiul cevian 1 2 3 II I al centrului cercului înscris într-un triunghi ABC și
triunghiul antisuplementar a b c I I I și sunt ortologice .
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.
395 5) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC, 1 2 3 II I triunghiul cevian al punctului
I, 'I simetricul lui I față de latura BC, 1 1 2 3 { } ' ,{ '} . A AI BC A AI I I= ∩ = ∩ Ireptele 1'A A
și BC sunt perpendiculare.
Demonstrație.
Deoarece 'AA și 1AI sunt bisectoare în triunghiurile 2 3 AI I și ABC rezultă:
12 2 ' cos , cos . 2 2 2 bc A bc A AA AIa b c b c = = + + + Din teorema bisectoarei rezultă
1 1 AI c b c
II BI a += =
de unde 2cos 2bc A AIa= și ' ' 2 cos . 2 (2 ) A a b c A I AI AA bc a a b c + + = − = ⋅+ + Atunci,
1 1 ' ',AA IA
AI II= deci punctele 1, , ', A I I I sunt conjugate armonic, atunci 'A și 1I sunt
picioarele bisectoarelor interioare, respectiv exte rioare ale unghiului 1A al triunghiului
1,AAI deci 1' . A A BC ⊥
6) Fie 1 2 3 II I triunghiul cevian al centrului cercului înscris (I) în triunghiul ABC, *I
simetricul punctului I față de *
2 3 2 3 ,{ } . I I D AI I I= ∩ Ireptele 1ID și 2 3 I I sunt
perpendiculare.
Demonstrație. Deoarece punctele 1, ', , A A I I sunt conjugate armonic (cf. th. 5), atunci
considerând fasciculul 1 ( ; , , ', ) D A I A I rezultă că 'DA este bisectoarea interioară a
unghiului IDA și 1DI bisectoarea exterioară a unghiului ,IDA deci 1' . DA DI⊥
7) Fie 1 2 3 II I triunghiul I – cevian al triunghiului oarecare ABC, D piciorul înălțimii din
1I pe 2 3 , 'I I I simetricul lui I față de BC și 1{ } ' . A AI BC = ∩ Punctele 1,A I și D sunt
coliniare.
Demonstrație. Fie 1 2 3 2 3 { '} ,{ "} A AI I I A I I BC = ∩ = ∩ și { } " '. E AA AA = ∩ Deoarece "AA
este bisectoarea unghiului BAC (vezi „Dreapta antiortică”) rezultă că 1" . AA AI⊥ Din
1 1 2 3 ,EA BC ID I I⊥ ⊥ rezultă că 'A este ortocentrul triunghiului 1" , I A E deci 1" . A D IE ⊥
Deoarece 1"ID A D ⊥ rezultă că punctele E, D și 1I sunt coliniare. Fie 1 1 { } ' . Y DA A I= ∩
Deoarece 2'A I este bisectoarea interioară a unghiului 1 1 ,ADA ID bisectoarea exterioară a A
B C I
1I 2I
3I
Fig. 405 I' I∗
1A A" A' E
D
396 unghiului 1ADA rezultă că punctele 1, , ', A J A I sunt conjugate armonic, deci
1 1 ' '.AA JA
AI JI=
Dar
1 1 ' 'AA IA
AI IA = de unde
1 1 ' 'JA IA
JI IA = și cum 1 , ( ) I J AI∈ rezultă .I J ≡ Deci, punctele 1,A I
și D sunt coliniare.
Observație: Fie 2{ } . A AD BC = ∩ Analog se demonstrează că punctele 2, , 'A I A sunt
coliniare.
8) Fie 1 2 3 II I triunghiul I cevian al triunghiului ABC, D piciorul înălțimii din 1I pe
latura 2 3 I I și 'I simetricul lui I față de BC. Ireptele 'AI și AD sunt izogonale.
Demonstrație. Punctele 1, , A I D sunt coliniare (conform proprietății precedente) ș i
2, , 'A I A sunt coliniare. Din teorema lui Pappus aplicată pa trulaterului 1 2 'AA DA rezultă că
punctele 1 1 ", , A I A și 2A sunt conjugate armonic și deoarece 1"AA AI⊥ rezultă că 1AI
este bisectoarea unghiului ' , A AD deci dreptele 'AA și AD sunt izogonale.
III.13. Triunghiuri altimediale
„Poetul nu este al sieși !
Viața lui este un cântec
un plâns pe buzele fiecăruia
dăruindu-se el se multiplică la in finit
și intră în toate chipurile, în to ate
sufletele!
Nu-l învățați pe Poet pe dinafară
El se află înlăuntrul vostru,
ascultați – l !” – ǎa du Cârneci 186
Fie aM, bM, cM mijloacele laturilor triunghiului ABC și , , a b c H H H picioarele
înălțimilor sale. Triunghiurile a b c H M M , b c a H M M și c a b H M M se numesc triunghiuri
altimediale .
1) Triunghiurile altimediale a b c H M M , b c a H M M și c a b H M M sunt congruente cu
triunghiul median a b c M M M .
Demonstrație. În triunghiul dreptunghic aAH B , a c H M este mediana corespunzatoare
ipotenuzei,deci 2c a a b AB M H M M = = . Analog, ,2a b c a AC H M M M = = de unde rezultă că
a b c a b c H M M M M M ≡ . Analog se arată că și triunghiuri altimediale c a b H M M și
b c a H M M sunt congruente cu triunghiul median a b c M M M .
186 ǎadu Cârneci 186 – (1928 – ) – poet român
397 2) Iacă , , a b c G G G sunt centrele de greutate ale triunghiurilor altim ediale a b c H M M ,
b c a H M M , respectiv c a b H M M , atunci dreptele a a M G , b b M G , c c M G sunt concurente în
punctul lui Lemoine (K) al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fie M mijlocul segmentului b c M M și { '} . a a a A M G AH = ∩ Din teorema lui
Menelaus aplicată pentru transversala ( , , ') a a M B A în triunghiul aAH M obținem:
'1'a a a
a a a MM G H A A
A H M A G M ⋅ ⋅ = , de unde ' 1 2 1 ' 2 aA A
A H ⋅ ⋅ = , adică ' 'aA A A H ≡, deci 'A este
mijlocul înălțimii 'aA H , rezultă că 'aA H este o dreaptă Schwatt. Analog, se arată că
b b M G și c c M G , sunt drepte Schwatt și conform teoremei lui Schö milch, dreptele a a M G ,
b b M G , c c M G sunt concurente în punctul lui Lemoine ( K) al triunghiului ABC .
3) Centrele cercurilor înscrise în triunghiurilor a ltimediale ale triunghiului ABC
determină un triunghi omologic cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Fie 1 2 3 , , I I I centrele
cercurilor înscrise în triunghiurile
a b c H M M ,b c a H M M ,c a b H M M ,
1 { '} A AI BC =I, 2 { '} B BI AC =I,
3 { '} C CI AB =I, 1( ") cm M IA α= ,
1( ") bm M I A β= (Fig.407). Deoarece
c b M M BC rezultă " '(1). ' " c
bM A BA
AC M A =
Din teorema sinusurilor aplicată în
triunghiurile 1"cM A I și 1"bM A I
rezultă :1""
sin sin 2cM A A I
Bα= , respectiv A
B C bM cM
Fig. 407 aH A' 1I A"
α β A
B C aM bM cM
Fig. 406 aG M
aH A'
398 1""
sin sin 2bM A A I
Cβ= , de unde sin "sin 2
" sin sin 2c
bC
M A
B M A α
β= ⋅ (2). Teorema sinusurilor aplicată în
triunghiurile 1cAM I și 1bAM I ne dă :
13sin sin 2
cB
AM AIα= , respectiv
13sin sin 2
bC
AM AIβ= , de unde
3sin sin 2
3 sin sin 2B
c
Cbα
β= ⋅ (3). Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă 3sin sin '2 2
3 'sin sin 2 2 B C
BA c
C B AC b = ⋅ ⋅ .
Analog, 3sin sin '2 2
3 'sin sin 2 2 C A
CB a
A C B A c = ⋅ ⋅ și 3sin sin '2 2
3 'sin sin 2 2 A B
AC b
B A C B a = ⋅ ⋅ , de unde
' ' '1' ' 'BA CB AC
AC B A C B ⋅ ⋅ = și din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că drep tele 1 2 3 , , AI BI CI
sunt concurente, deci triunghiurile ABC și 1 2 3 II I sunt omologice.
III.14. Triunghiurile lui Brocard. Cercul lui Broca rd 187
„Operele matematice robesc și încântă tocmai ca operele pasiunii și imagina ției.” – Ion Barbu
Fie K punctul lui Lemoine al triunghiului ABC . Paralele duse prin K la laturile , , BC CA AB
intersectează mediatoarele acestor laturi în puncte le 1 1 , , A B respectiv 1.C Triunghiul 1 1 1 ABC
se numește primul triunghi al lui Brocard . Fie 2 2 2 , , A B C proiecțiile punctului O-centrul
cercului circumscris triunghiului ABC – pe simedianele duse din vârfurile , , A BC .
Triunghiul 2 2 2 ABC se numește al doilea triunghi al lui Brocard . Cercul având diametru
segmentul OK se numește cercul lui Brocard . Două triunghiuri care au același unghi
Brocard se numesc echibrocardiene.
1) Cercul lui Brocard este circumscris triunghiuril or lui Brocard .
Demonstrație. Deoarece 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 90 m KAO m KBO m KCO = = = ° rezultă că punctele
1 1 1 , , A B C aparțin cercului lui Brocard. Analog pentru puncte le 2 2 2 , , A B C .
2) Triunghiurile 1 1 1 , , ABC BCACAB sunt isoscele și asemenea .
Demonstrație . Deoarece punctele 1 1 1 , , A B C aparțin mediatoarelor laturilor triunghiului
ABC , rezultă că triunghiurile 1 1 1 , , ABC BCACAB sunt isoscele. Deoarece
1 1 1 , , a b c AM BM CM sunt egale cu distanțele de la K la laturile , , BC CA AB , rezultă
187 Henri Brocard (1845-1922) – matematician francez, contribuții importante în geometrie
399 1 1 1 a b c AM BM CM
a b c = = (unde , , a b c M M M sunt mijloacele laturilor , , BC CA AB ), adică
1 1 1 a b c
a b a AM BM CM
BM CM AM = = și cum 1 1 ( ) ( ) a b m BM A m CMB = = 1 ( ) 90 cm AM C = ° , rezultă că
triunghiurile 1aBM A , bCM A și 1cAM C sunt asemenea. Atunci, triunghiurile 1,BAC 1CBA
și 1ACB sunt asemenea.
3) Ireptele 1 1 ,AB BC și 1CA sunt concurente într-un punct Brocard .
Demonstrație. În triunghiul 1aBAM avem: 1 1
1( ) , /2 a
a
aAM KK tg ABM tg BM BC ω = = = (unde
1K este proiecția lui K pe BC ), deci 1aABM este egal cu unghiul lui Brocard ω, de unde
rezultă că 1 1 1 , , AB BC CA sunt ceviene ce determină unul din punctele lui Br ocard.
4) Ireptele 1 1 1 , , AB BC CA sunt concurente într-un punct Brocard .
Demonstrație : În triunghiul 1bABM avem: 1 2
1( ) /2 b
b
bBM KK tg BAM tg AM AC ω = = = (unde
2Keste proiecția lui K pe AC ), deci 1BAC este egal cu unghiul lui Brocard, adică
1 1 1 , , AB BC CA sunt ceviene ce determină unul din punctele lui Br ocard.
Observație : Dacă 1 1 1 { } AB BC CA Ω = ∩ ∩ , atunci 1 1 1 { '} AB BC CA Ω = ∩ ∩ ; dacă
1 1 1 { } AB BC CA Ω = ∩ ∩ atunci 1 1 1 { '} . AB BC CA Ω = ∩ ∩
5) Ireptele 1 1 1 , , AA BB CC sunt concurente .
Demonstrație. Fie 1 1 { '} ,{ '} B KA AC C KA AB = ∩ = ∩ , L mijlocul segmentului .OK
Deoarece punctele 'B și 'Csunt puncte pe al doilea cerc al lui Lemoine (cu ce ntrul în
punctul L) rezultă că proiecția lui L pe coarda ' 'B C este punctul "A- mijlocul acestui
segment (1). În triunghiul dreptunghic 1KOA ,1 ( ( ) 90 ) m KAO = ° , ''LA este linie mijlocie,
deci ''A este și mijlocul segmentului 1KA (2). Din relațiile (1) și (2) obținem că
1' 'C K AB = , deci dreapta 1AA este dreapta izotomică simedianei AK . Analog se arată că A
B C O
Fig. 408 1A
1B 1C
2B
2C K 2A
aM bM cM
400 1BB și 1CC sunt izotomicele simedianelor concurente în punctu l izotomic punctului lui
Lemoine "Ω.
Observații:
i) Punctul de concurență al dreptelor 1 1 1 , , AA BB CC se numește al treilea punct al lui
Brocard corespunzător triunghiului ABC.
ii) Din cele prezentate mai sus se poate spune că p rimul triunghi al lui Brocard 1 1 1 ABC este
triomologic cu triunghiul ABC , centrele de omologie fiind punctele lui Brocard , 'Ω Ω și
izotomicul punctului lui Lemoine (al treilea punct al lui Brocard "Ω).
6) Primul triunghi Brocard 1 1 1 ABC al triunghiului ABC este asemenea cu triunghiul
ABC .
Demonstrație. Avem ( ) 180 ( ) m A B m B Ω = °− (vezi „Punctele lui Brocard”), deci
1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m C A m C B A m B Ω = = (1); ( ) 180 ( ), m B C m C Ω = °− de unde:
1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) m B A m BCA m C Ω = = (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă că triunghiu rile
ABC și 1 1 1 ABC sunt asemenea.
7) Primul triunghi al lui Brocard al unui triunghi ABC, triunghiul ' " ΩΩ Ω și triunghiul
ABC au același centru de greutate.
Demonstrație. Vezi „Triunghiuri omologice”.
8) Cercul lui Brocard trece prin punctele Brocard Ω și 'Ω ale triunghiului ABC .
Demonstrație. Din proprietatea (2) rezultă că triunghiul 1aAM C și 1bBM A sunt asemenea,
deci 1 1 1 'a b M AC M BA OB ≡ ≡ Ω , adică patrulaterul 1 1 'AOB Ω este inscriptibil, deci 'Ω
aparține cercului lui Brocard. Analog se arată că Ω aparține cercului lui Brocard.
9) Punctele lui Brocard Ω și 'Ω ale triunghiului ABC sunt simetrice față de diametrul
OK .
Demonstrație . Avem
1 2 1( ) ( ) ( ) 2m OK m BK m KA Ω = Ω = Ω și deoarece 1KB AC
rezultă 1( ) ( ) m BK m CA ω Ω = Ω = , deci ( ) m OK ωΩ = . Analog,
1 ( ' ) ( ' ) m OK m AK Ω = Ω = ( ' ) m CB ωΩ = , deci 'OK OK Ω ≡ Ω , adică punctele
Ω și 'Ω sunt simetrice față de dreapta OK .
10) Raza cercului lui Brocard este egală cu 21 4sin
2cos RRωω
ω−= .
Demonstrație. În triunghiul dreptunghic K O Ω avem:
21 4sin 2cos cos O R KO R ωω
ω ω Ω − = = = , de unde raza cercului Brocard este egală cu
21 4sin
2cos RRωω
ω−= .
401 11) Raza cercului lui Brocard este egală cu 2 2 2
2
2 2 2 2 1 3
2 ( ) a b c R R a b c ω= − + +
Demonstrație. Deoarece 2 2 2
2 2
2 2 2 2 3
( ) a b c OK R a b c = − + + (vezi „Punctul lui Lemoine”) rezultă
2 2 2
2
2 2 2 2 1 3
2 ( ) a b c R R a b c ω= − + + .
12) Fie H ortocentrul triunghiului ABC și "Ω al treilea punct al lui Brocard al
triunghiului ABC. Atunci, " . H OK Ω
Demonstrație. Fie { } 'Z OK =ΩΩ∩ (Fig. 409). Deoarece G este centrul de greutate al
triunghiurilor ABC și ' " ΩΩ Ω rezultă 1
2OG
GH = și 1
" 2 GZ
G=Ω, de unde obținem " . H OK Ω
13) Fie H ortocentrul triunghiului ABC și "Ω al treilea punct al lui Brocard al
triunghiului ABC. Atunci, 2" 2 cos 1 4sin H R ω ω Ω = − .
Demonstrație. Fie { } 'Z OK =ΩΩ∩ . Din triunghiul O Z Ω rezultă
2cos cos 1 4sin OZ O R ω ω ω = Ω = − , deci 2" 2 2 cos 1 4sin H OZ R ω ω Ω = = − (Cf. th. 12).
14) Ortocentrul primului triunghi Brocard aparține dreptei ". HΩ
Demonstrație. Fie L centrul cercului lui Brocard și 1{ } " H LG H = ∩ Ω . Deoarece L este
centrul cercului circumscris triunghiului 1 1 1 ABC și G centrul său de greutate rezultă că
dreapta LG este dreapta lui Euler a primului triunghi Brocard. Cum
11
2OG LG
GH GH = = ,
rezultă că 1H este ortocentrul primului triunghi al lui Brocard 1 1 1 ABC .
G
Ω ω K
Z
Fig. 409 O H "Ω
'Ω 1H
L
402 15) Consecință: Patrulaterul 1KOHH este paralelogram.
Demonstrație. Deoarece 1HH OK și 12HH LO OK = = rezultă că 1KOHH este
paralelogram.
16) Consecință: Centrul cercului lui Euler al triun ghiului ABC aparține dreaptei 1KH .
Demonstrație. Deoarece într-un paralelogram diagonalele se înjumă tățesc rezultă concluzia.
17) Punctul lui Tarry, centrul de greutate și centr ul cercului lui Brocard corespunzător
unui triunghi ABC sunt coliniare.
Demonstrație. Din asemănarea poligoanelor TACSB și 1 1 1 OACKB (cf. th. 4 – „Punctul lui
Tarry”), punctele G,O,T se corespunde cu punctele G,L, respectiv O și de aici rezultă
OGT LGO ≡, deci punctele T,L,G sunt coliniare.
18) Fie L centrul cercului lui Brocard, G centrul de greutate, T punctul lui Tarry și O
centrul cercului circumscris unui triunghi ABC. Atunci, 2. OG GL GT = ⋅
Demonstrație. Deoarece punctele G,O,T respectiv G,L,O formează figuri omoloage,
rezultă GO GT
GL GO =, deci 2. OG GL GT = ⋅
19) Fie L centrul cercului lui Brocard, G centrul de greutate, T punctul lui Tarry și O
centrul cercului circumscris unui triunghi ABC. Atunci,
2cos .
1 4sin RGT GO ω
ω= ⋅
−
Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor GLO și GOT rezultă R GO GL LO
GT GO OT R ω= = =
(Fig. 409), deci
2cos .
1 4sin R R GT GO GO Rωω
ω= ⋅ = ⋅
−
20) Al treilea punct Brocard "Ω aparține dreptei ce unește punctele lui Steiner și Tarry
corespunzătoare unui triunghi ABC.
Demonstrație. Fie 1H ortocentrul primului triunghi al lui Brocard și
{ } 'Z OK =ΩΩ∩ (Fig.409). Atunci, 1 1 "2H HG
ZL GL Ω= = , iar = − = ZL OZ OL
2
2 1 4sin cos 1 4sin 2cos −− − = RRωω ω ω21 4sin cos2 2cos R ωωω−⋅ și de aici 1" 2 H LZ Ω = .
Avem: 1 2HT TG GL
LT GT LG +=−; din 2
2GT R
GL Rω= rezultă 2 2
22 2R R TG GL
GL Rω
ω+ += și
2 2
2R R TG GL
GL Rω
ω−−= , de unde 2 2
1
2 2 22cos2 R R HT
LT R R ω
ωω+= = −. Dar 1"2cos2 H
LO ωΩ= , deci
1 1 "H HT
LO LT Ω= și cum 1"H LO Ω rezultă că "Ω aparține dreptei TO.
403 21) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC și "Ω al treilea punct al lui
Brocard al triunghiului ABC. Atunci, " (2cos2 1). O R ω Ω = −
Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor 1"HT Ω și OLT rezultă
1"2cos2 HT T
TO LT ωΩ= = și de aici "2cos2 1 T TO
TO ωΩ − = − sau " (2cos2 1). O R ω Ω = −
22) Ireapta OΩ este tangentă cercului circumscris triunghiului "SΩΩ , unde S este
punctul lui Steiner corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Din 2 2 " (2cos2 1) O OS R O ω Ω ⋅ = − = Ω rezultă concluzia.
23) Ireapta 'OΩ este tangentă cercului circumscris triunghiului ' " SΩ Ω , unde S este
punctul lui Steiner corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Din 2 2 " (2cos2 1) 'O OS R O ω Ω ⋅ = − = Ω rezultă concluzia.
24) Paralelele duse prin vârfurile unui triunghi la laturile respective ale primului
triunghi Brocard sunt concurente într-un punct situ at pe cercul circumscris triunghiului
ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Steiner”.
25) Punctele lui Steiner (S) și Lemoine (K) al triunghiului ABC sunt puncte omoloage în
triunghiul ABC , respectiv 1 1 1 ABC – primul triunghi Brocard al triunghiului ABC .
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Steiner”.
26) Perpendicularele duse din vârfurile triunghiulu i ABC pe laturile opuse ale primului
triunghi Brocard corespunzător triunghiului ABC sunt concurente în punctul lui Tarry
al triunghiului ABC
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Tarry”.
27) Consecință: Perpendicularele duse din miloacele laturilor primului triunghi Brocard
corespunzător triunghiului ABC pe laturile respective ale triunghiului ABC ale sunt
concurente.
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă .
28) Punctele 2 2 2 , , A B C aparțin cercurilor circumscrise triunghiurilor , , BOC COA AOB .
Demonstrație. Deoarece două simediane exterioare și o
simediana interioară ale unui triunghi sunt concure nte (vezi
„Simediana exterioară”), atunci simediana AK și tangentele în
B, respectiv C la cercul circumscris triunghiului ABC sunt
concurente în punctul AT (Fig. 410). Deoarece
( ) 90 Am OCT = ° rezultă că AOT este diametru în cercul
circumscris triunghiului BOC. Deoarece 2AOA AT ⊥ rezultă
2( ) 90 Am OAT = ° , adică 2A este punct pe cercul circumscris
triunghiului BOC . Analog se arată că 2B și 2C sunt pe
cercurile circumscrise triunghiurilor COA , respectiv AOB.
Un cerc care trece prin două vârfuri ale unui triun ghi și este
tangent la una din laturile triunghiului se numește cerc adjunct . A
B C
AT O
2A
K
Fig. 410
404 29) Punctul 2A se află la intersecția cercurilor adjuncte vârfulu i A.
Demonstrație. Deoarece 2A A BAT BCT BAC ≡ ≡ rezultă că cercul circumscris
triunghiului 2BAA este tangent în A laturii AC . Analog, cercul circumscris triunghiului
2CAA este tangent în A laturii AB .
Observații :
1) Punctele 2B și 2C se află la intersecția cercurilor adjuncte vârfuri lor B, respectiv C.
2) Vârfurile celui de-al doilea triunghi Brocard al triunghiului ABC sunt intersecțiile dintre
cercurile adjuncte corespunzătoare vârfurilor , , A BC .
30) Coordonatele unghiulare ale vârfurilor celui de al doilea triunghi Brocard 2 2 2 ABC
sunt:
(180 ( ),2 ( ),180 ( )), ((180 ( ),180 ( ),2 ( )), m A m A m A m B m B m B °− °− °− °−
respectiv (2 ( ),180 ( ),180 ( )) m C m C m C °− °− .
Demonstrație. Avem 2 2 ( ) 180 ( ) 180 ( ), A m BAA m BAT m A = °− = °−
2 2 ( ) 180 ( ) A m CAA m TAC = °− 180 ( ) m A = °− , iar
2 2 2 ( ) 360 [ ( ) ( )] 2 ( ). m BAC m BA A m CAA m A = °− + = Analog se determină
coordonatele unghiulare ale vârfurilor 2B și 2.C
31) Cercul Brocard și primul cerc Lemoine sunt conc entrice .
Demonstrația este evidentă deoarece ambele cercuri au centrul î n punctul L, mijlocul
segmentului OK.
III.15. Triunghiul antiparalel determinat de o dire cție în raport cu
un triunghi
„Mă stimez mai mult ca practicant al matematicilor și prea puțin ca poet, și numai atât cât poezia ami ntește de
geometrie. Oricât ar părea de contradictorii acești doi termeni la prima vedere, există undeva, în dom eniul înalt al
geometriei, un loc luminos unde se întîlnește cu po ezia.” – Ion Barbu 188
În triunghiul ABC , fie ', ', 'A B C proiecțiile punctelor , , A BC pe o dreaptă oarecare d,
{ } , { } , { } . D BC d E CA d F AB d = ∩ = ∩ = ∩ Fie M și 'M, N și 'N, P și 'P proiecțiile
punctelor ', ', A B respectiv 'C pe laturile AC și AB, BA și BC, respectiv CB și CA . Dreptele
', ', 'MM NN PP – antiparalele dreptei d față de laturile triunghiului ABC – determină
triunghiul XYZ care se numește triunghiul antiparalel al dreptei d în rapot ce triunghiul
ABC . Dacă antiparalele ', ', 'MM NN PP sunt concurente atunci punctul Q de concurență al
acestora se numește antipol . Evident există o unică dreaptă care este paralelă cu d și
conține antipolul Q.
188 Ion Barbu (1895-1961) – matematician român, profes or la Universitatea din București, contribuții în a lgebră și
geometrie
405 1) Perpendicularele 'B N și ' 'C P , 'C P și ' 'A M , 'A M și ' 'B N sunt respectiv
concurente în punctele coliniare 1 1 1 , , A B C .
Demonstrație. Fie ω ortopolul dreptei d față de triunghiul ABC . Atunci
' ' ' ' , ' ' ' ' , ' ' ' ' . A B N C P B C P A M C A M B N ω ω ω Deoarece patrulaterul
1' 'A BC ω este paralelogram (având laturile opuse paralele d ouă câte două), atunci punctul
1B este simetricul ortopolului ω față de mijlocul segmentului ' 'AC . Procedând analog
pentru punctele 1A și 1C rezultă că punctele 1 1 1 , , A B C aparțin unei drepte 1d paralele cu
dreapta d.
Consecință : Dreapta d se situează la o egală distanță de ortopolul său ωîn raport cu
triunghiul ABC și cu dreapta 1d.
2) Triunghiul antiparalel XYZ este invers asemenea și ortologic cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Perpendicularele duse din A, B și C pe antiparalelele ', 'MM NN respectiv
'PP sunt izogonalele perpendicularelor ', 'AA BB și 'CC pe d, față de unghiurile
triunghiului ABC (patrulaterele ' ' , ' ' , ' 'AM A M BN B N CP PC fiind inscriptibile). Cum
' ' 'AA BB CC rezultă că perpendicularele pe antiparalelele cons iderate sunt concurente.
Deoarece antiparalelele determină triunghiul XYZ , rezultă că triunghiurile ABC și XYZ sunt
invers asemenea (după orientarea vârfurilor cu ungh iuri egale ale celor două triunghiuri) și
în același timp ortologice.
3) Cercurile de diametre 1 1 ,AA BB și 1CC trec prin câte un vârf al triunghiului
antiparalel XYZ, iar linia centrelor este o dreaptă ', dperpendiculară pe d.
Demonstrație. Cercul de diametru 1BB conține punctele 'Mși P. Dacă {} ' 'Y MM PP = ∩
și cum PYZ ABC ≡ rezultă că patrulaterul 'BPYM este inscriptibil, adică Y aparține A
B C
1A 1B 1C
A'
B'
C' E
F M
M'
N
N'
P P' A"
B"
C" ˆ
Y Z
d 1d Fig. 411
406 cercului de diametru 1BB . Analog, cercurile de diametre 1AA și 1CC trec respectiv prin
punctele X și Z. Evident, proiecțiile ", ", " A B C ale punctelor A, B, respectiv C pe dreapta
1d aparțin – câte unul – cercurilor considerate. Deoa rece 1 1 1 , ' ' , ' " ' " d d AC C A A A C C
rezultă 1 1 " " CA AC ≡, adică segmentele 1"AA și 1"CC au același mijloc. Analog, se arată
că mijlocul segmentului 1"BB coincide cu mijlocul segmentului 1"AA . ǎezultă că linia
centrelor este o dreaptă 'dperpendiculară pe d, trecând prin mijlocul segmentelor
1 1 ", " AA BB și 1". CC
III.16. Triunghi automedian
„Există printre matematicieni o convingere intimă ș i puternică, care-i susține în cercetările lor abst racte, anume că
niciuna dintre problemele lor nu pot rămâne fără ră spuns.” – Gh. Țițeica 189
Se notează cu a, b, c lungimile laturilor BC, AC , respectiv AB ale triunghiului ABC și cu
am, bm, cm lungimile medianelor corespunzătoare acestora. Tri unghiul ABC ( AB AC ≠)
se numește automedian dacă 2 2 2 2a b c = + sau 2 2 2 2b c a = + sau 2 2 2 2c a b = + . În cele ce
urmează vom considera cazul în care 2 2 2 2a b c = + .
1) Să se arate că un triunghi ABC este automedian dacă și numai dacă =b c bm cm .
Demonstrație. ǎelația 2 2 2 2= + a b c este echivalentă cu 2 2 2 2 2 (2 )( ) 0 − − − = a b c b c
(deoarece ≠b c ) sau 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 2 ) (2 2 ) + − = + − b a c b c a b c sau .=b c bm cm
Observații:
i) Un triunghi este automedian dacă și numai dacă .1/ 1/ =b c m m
b c
ii) Ținând cont de proprietatea anterioară putem da următoarea definiție: „ Un triunghi în
care medianele și laturile corespunzătoare sunt inv ers proporționale se numește
automedian .”
2) Triunghiul ABC este automedian dacă și numai dacă 2 3. =am a
Demonstrație. Din 2 2 2 2= + a b c rezultă 2 2 2 2 2 2 3 + − = b c a a egalitate echivalentă cu
2 3. =am a
3) Iacă triunghiul ABC este automedian, atunci 2 3 bm c = și 2 3. cm b =
Demonstrație. Din formula medianei avem: 2 2 2 2 2 4 2( ) 3 bm a c b c = + − = , de unde rezultă
2 3 bm c =; analog se arată că 2 3. cm b =
189 Gheorghe Țițeica (1873-1939) – matematician rom ân, profesor la Universitatea din București, membru al
Academiei ǎomâne, contribuții importante în geometr ie
407 Observație: Din proprietățile 2) și 3) rezultă că într-un triun ghi automedian este adevărată
relația: .
a c b a b c
m m m = =
4) Într-un triunghi automedian avem : 2 2 2 2a b c m m m = + .
Demonstrație. Deoarece într-un triunghi automedian sunt adevărate egalitățile
2 3 bm c =,2 3 cm b = și 2 3 am a =, atunci condiția 2 2 2 2a b c = + devine
2 2 2 2a b c m m m = + .
5) Un triunghi automedian având lungimile laturilor numere întregi nu poate avea
mediane de lungimi numere întregi .
Demonstrație . Fie , , , a b c ∈atunci 2,
3 a c b a b c
m m m = = = de unde rezultă că medianele au
valori iraționale.
6) Un triunghi automedian având lungimile laturilor numere întregi nu poate avea aria
egală cu un număr întreg .
Demonstrație. Din formula lui Heron rezultă: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 16 2( ) S a c b c a b a b c = + + − − − .
Utilizând faptul că 2 2 2 2a b c = + , relația de mai sus devine: 2 2 2 4 4 16 4 2 . S a b a b = − − Fără a
restrânge generalitatea putem presupune că ( , ) 1 a b =. Atunci, din relația precedentă rezultă
2b, deci 1 1 2 , . b b b = ∈ Astfel, obținem 2 2 2 4 4
1 1 8 8 8 S a b a b = − − , de unde rezultă 2a,
contradicție cu ( , ) 1 a b =.
7) Triunghiul ABC este automedian dacă și numai dacă 2ctgA ctgB ctgC = + .
Demonstrație. Avem: 2 2 2 cos ( )
sin A b c a R ctgA A abc + − ⋅= = și analoagele . Atunci, relația
2ctgA ctgB ctgC = + este echivalentă cu 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) b c a a c b b c a + − = + − + + − sau
2 2 2 2a b c = + .
8) Într-un triunghi automedian ABC este adevărată relația: 1
3tg tgA ω=, unde ωeste
unghiul lui Brocard al triunghiului ABC.
Demonstrație. Deoarece triunghiul ABC este automedian rezultă 2ctgA ctgB ctgC = + și
cum ctg ctgA ctgB ctgC ω= + + (vezi „Punctele lui Brocard”) avem : 3ctg ctgA ω= sau
1
3tg tgA ω=.
9) Într-un triunghi automedian ABC este adevărată relația 2
[ ] 2ABC aA tgA = ⋅.
Demonstrație: Avem 2 2 2 2a b c = + și 2 2
[ ] 2 2 2 2 4 2 2 2 ( ) = = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ + − ABC abc a abc a abc ARR a R b c a
2
2 2 2 2
2 2 a a bc
R b c a ⋅ ⋅ = + − 2 2 1sin 2 cos 2 a a A tgA A⋅ ⋅ = ⋅
408 10) Într-un triunghi automedian ABC este adevărată relația ( )( ) 2( ) a b c b c a r r r r rr rr − + = − .
Demonstrație: Se utilizează egalitațile: 2 2 2 2a b c = + , ( ) a b rr p p c = − ,( )( ) arr p b p c = − − și
relațiile analoage.
11) Un triunghi isoscel automedian este echilateral .
Demonstrație . Dacă, de exemplu, =a c rezultă 2 2 2 2= + a b a , deci 2 2 =a b , de unde
=a b , adică triunghiul este echilateral. Analog se trat ează și celelalte cazuri.
12) Să se arate că triunghiul ABC este automedian dacă și
numai dacă centrul de greutate G al triunghiului ABC este
mijlocul segmentului AD, unde D este punctul în care
mediana corespunzătoare laturii BC intersectează cercul
circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație . Fie O centrul cercului circumscris
triunghiului ABC și AG GD ≡. Din puterea punctului G față
de cercul circumscris triunghiului ABC , avem:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 .3 9 ab c a R OG AG m + − − = = = Utilizând relația
2 2 2 2 2 1( ) 9OG R a b c = − + + obținem: 2 2 2 2a b c = + , adică
triunghiul ABC este automedian (Fig. 412). ǎeciproc, dacă triunghi ul ABC este
automedian rezultă 2 2 2 2a b c = + . Avem: 2 2 R OG AG GD − = ⋅ sau
2 2 2 1 2 ( ) 9 3 a a b c m GD + + = ⋅ , deci 23 2
9 3 aam GD = ⋅ , de unde rezultă
2 2 3 2 .2 3 3 3a
aa a a GD m AG ma= = = = =
13) Iacă aAM și bBM sunt mediane în triunghiul automedian ABC, atunci
( ) ( ) a b m BAM mCBM = .
Demonstrație. Avem 1( ) ( ) ( ) ( ) 2a b m BAM m BCD m BD mCBM = = = , unde D este punctul
de intersecție dintre mediana aAM și cercul circumscris triunghiului ABC .
Consecință: Într-un triunghi automedian ABC , bBM CD , unde D este punctul de
intersecție dintre mediana aAM și cercul circumscris triunghiului ABC .
14) Triunghiul ABC este automedian dacă și numai dacă ortocentrul H al
triunghiului ABC se proiectează pe mediana , ( ) a a AM M BC ∈, în centrul de greutate
(G) al triunghiului ABC .
Demonstrație. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC . Avem
2
2 2 ,2aaOM R = − A
B C
D aM O G bM
Fig. 412
409 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 1 2( ) ,9 3 36 a a a b c b c a OG R GM m + + + − = − = = (1). Folosind ipoteza
2 2 2 2b c a + = și faptul că punctele H,G,O sunt coliniare rezultă:
2 2 2
2 2 2 2 2 , , , 3 12 4 a a a a a OG R GM OM R = − = = − de unde 2
2 2 2 2 ,4a a aOG GM R OM + = − = adică
triunghiul aM GO este dreptunghic, deci H se proiectează pe mediana aAM în G. ǎeciproc,
dacă H se proiectează pe aAM în G, atunci aGM O este dreptunghic, adică
2 2 2 OM GO GM = + (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă 2 2 2 2 , b c a + = adică
triunghiul ABC este automedian.
15) Într-un triunghi automedian ABC ( 2 2 2 2= + a b a ) dreapta lui Euler este
perpendiculară pe mediana din A a triunghiului ABC.
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă, deoarece .aHG AM ⊥
16) În triunghiul ABC fie mediana aAM , înălțimea cCH ,( ) cH AB ∈ și G centrul de
greutate. Iacă triunghiul ABC este automedian, atunci cercul circumscris triungh iului
a c BM H conține punctul G.
Demonstrație. Cum triunghiul ABC este automedian
avem: 2 2 2 2a b c = + (Fig. 413). Din teorema
lui Pitagora generalizată rezultă:
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 cb c a a a a AH c c c + − − = = = . Atunci,
2
2caAB AH ⋅ = . Dar, 22
3a a AG AM AM ⋅ = ⋅ =
2 2 2
2 2 2( ) 1
3 4 2 b c a a+ − ⋅ = ⋅ , adică c a AB AH AG AM ⋅ = ⋅
relație care arată că punctele , , , c a B H G M sunt
conciclice.
17) În triunghiul ABC , fie ,b c H H picioarele înălțimilor duse din B, respectiv C și
aM piciorul medianei din A. Iacă triunghiul ABC este automedian, atunci centrul de
greutate al triunghiului ABC aparține cercului circumscris triunghiului .a b CM H
Demonstrație. Dreptele b c H H și BC fiind antiparalele rezultă :
b c a AC AH AB AH AG AM ⋅ = ⋅ = ⋅ (vezi aplicația precedentă) de unde rezultă conclu zia.
Hb A
Fig. 413 B Hc
C H G
aM
410 III.17. Triunghi circumpedal
„Geometria este arta de a raționa corect pe figuri incorecte.” – Henri Poincaré 190
Fie D un punct în planul triunghiului ABC . Numim triunghi circumpedal (sau
metaarmonic ) al punctului D în raport cu triunghiul ABC , triunghiul a cărui vârfuri sunt
punctele de intersecție ale cevianelor AD, BD și CD cu cercul circumscris triunghiului ABC
(Fig. 414).
1) Triunghiul circumpedal ' ' 'A B C și triunghiul podar " " " A B C al unui punct D în
raport cu un triunghi ABC sunt asemenea .
Demonstrație. Patrulaterele " ", " ", ' 'DA BC DA CB ABA B și ' 'ACAC sunt inscriptibile
(Fig.415), deci " " " ' ' 'DA B DCB C CA AA C ≡ ≡ ≡ și
" " " ' ' . DA C DBC B BA BA A ≡ ≡ ≡ . Dar ( " ") ( " ") ( " " "), + = m DA C m DA B m B A C
iar ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ' '), + = m B A A m C A A m B AC adică ( " " ") ( ' ' '). = m B A C m B AC
Analog se arată că ( " " ") ( ' ' ') = m A B C m A B C adică triunghiurile ' ' 'A B C și " " " A B C
sunt asemenea.
2) Fie ' ' 'A B C triunghiul circumpedal al unui punct D în raport cu un tringhi ABC, iar
" " " A B C triunghiul podar al acestui punct. Atunci: [ ]2
' ' '2 sin "sin "sin " A B C A R A B C = .
Demonstrație. Deoarece triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt asemenea (cf. th. (1) ) rezultă
' ' 2 sin ' ' ' 2 sin " " ", ' ' 2 sin " " ", ' ' 2 sin " " " B C R B AC R B A C C A R A B C A B R A C B = = = =
(Fig. 415) Atunci, [ ]
2
' ' '' ' ' 'sin ' ' '2 sin "sin "sin ''. 2A B C B A AC B AC A R A B C ⋅= =
3) Fie triunghiul ABC și ' ' 'A B C triunghiul circumpedal al
centrului cercului înscris în triunghiul ABC. Atunci,
[ ]
[ ' ' '] 28sin sin sin 2 2 2 = = ABC
A B C A A B C r
A R ( unde r este raza cercului
înscris, iar R raza cercului circumscris în triunghiul ABC ).
Demonstrație. Punctele ', ', 'A B C sunt punctele de intersecție
dintre bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC cu cercul
190 Henri Poincaré (1854 -1912) – matamatician și fizi cian francez, contribuții importante în toate ramu rile
matematicii A
C
A' B'
D
Fig. 414 B C' A
C
A' B'
C" B"
A" D
Fig. 415 B C'
A
C
A' B'
I
Fig. 416 B C'
411 circumscris. Deoarece 1( ' ' ') [ ( ) ( )] 2= + m C A B m B m C și analoagele, avem:
2 2
[ ' ' '] 2 sin sin sin 2 cos cos cos . 2 2 2 2 2 2 + + + = = A B C B C A C A B A B C A R R Cum
2 2
[ ] 2 sin sin sin 16 sin sin sin cos cos cos 2 2 2 2 2 2 = = ABC A B C A B C A R A B C R rezultă
că [ ]
[ ' ' '] 28sin sin sin 2 2 2 = = ABC
A B C A A B C r
A R .
4) Fie triunghiul ABC, " " " A B C triunghiul circumpedal al ortocentrului triunghiul ui
ABC. Atunci [ " " "]
[ ] 2 " =A B C
ABC Ar
A R , unde "r este lungimea razei cercului înscris în triunghiul
" " ". A B C Demonstrație. Avem:
2 2
[ " " "] 2 sin sin sin 16 sin sin sin cos cos cos , = = A B C A R A B C R A B C A B C deci
[ " " "]
[ ] 8cos cos cos . =A B C
ABC AA B C A Observând că " , " , " A A B BC C sunt bisectoarele triunghiului
" " " A B C din teorema precedentă rezultă [ " " "]
[ ] 2 " =A B C
ABC Ar
A R .
Consecință:
5) [ " " "] [ ] [ ' ' '] ≤ ≤ A B C ABC A B C A A A , unde ' ' 'A B C și " " " A B C reprezintă triunghiurile
circumpedale ale centrului cercului înscris, respec tiv al ortocentrului triunghiului ABC.
Demonstrație. Din inegalitatea lui Euler, 2r R ≤ și relațiile [ ]
[ ' ' '] 2=ABC
A B C Ar
A R ,
[ " " "]
[ ] 2 " =A B C
ABC Ar
A R obținem
[ " " "] [ ] [ ' ' '] ≤ ≤ A B C ABC A B C A A A și de asemenea inegalitatea remarcabilă într-un tri unghi
1cos cos cos . 8A B C ≤
6) Triunghiul circumpedal ' ' 'A B C al ortocentrului H al unui triunghi ABC este
omotetic cu triunghiul ortic a b c H H H al triunghiului ABC, centrul de omotetie fiind
ortocentrul triunghiului ABC .
Demonstrație. Conform teoremei (1) triunghiurile a b c H H H și ' ' 'A B C sunt asemenea și
deoarece ' ' ' { } a b c H A H B H C H ∩ ∩ = rezultă că triunghiurile a b c H H H și ' ' 'A B C
omologice. Cum 'a a HH H A ≡, 'b b HH H B ≡, 'c c HH H C ≡ rezultă că , , a b b c c a H H H H H H
sunt linii mijlocii în triunghiurile ' ' , ' ' , A B H B C H respectiv ' 'C A H rezultă
' ', ' ', a b b c H H A B H H B C respectiv ' 'c a H H C A , deci triunghiurile a b c H H H și
' ' 'A B C sunt omotetice, centrul de omotetie fiind punctul H, iar raportul de omotetie fiind
egal cu 2.
412 7) Fie ' ' 'A B C triunghiul circumpedal al centrului cercului înscr is I în triunghiul ABC
și a b c CC C triunghiul său de contact. Atunci, dreptele ' , ' , 'a b c AC B C C C sunt
concurente.
Demonstrație. Fie M un punct pe dreapta IO astfel încât
.RMO MIr=uuuu r uuu r
Prin omotetia de centru M și raport R
r cercul
C( , ) I r se transformă în cercul C( , ) O R (Fig. 417). Atunci I se
transformă în O și dreapta aIC se transformă în dreapta paralelă
', OA de unde rezultă că punctul 'A este omoteticul punctului
aC prin omotetia considerată. Analog prin omotetia ,RH M r
se corespund punctele 'B și bC respectiv 'C și cC, deci
dreptele ' , ' , 'a b c AC B C C C sunt concurente în punctul M.
Observație: Avem: 22r R Rr MIR r −=− și 22.R R Rr MO R r −=−
Demonstrație: Deoarece 2, 2 RMO MI OI MO MI R Rr r= = − = − (relația lui Euler)
avem: rMI OIR r =− și ,RMO OIR r =− de unde rezultă concluzia.
8) Ortocentrul triunghiului circumpedal ' ' 'A B C al centrului cercului înscris I în
triunghiul ABC este punctul I.
Demonstrație. Vezi „Cercul înscris”.
9) Fie ' ' 'A B C triunghiul circumpedal al centrului cercului înscr is în triunghiul ABC și
1 1 1 , , A B C picioarele bisectoarelor interioare ale triunghiul ui ABC. Atunci,
1 1 1 1 1 1 18 .
' ' ' R A A B B C C + + ≥
Demonstrație. Din puterea punctului 1A față de cercul circumscris rezultă
1 1 1 1 ' , AA AA AB AC ⋅ = ⋅ de unde 2
1 2 2 '( ) aa lAA b c a =+ − unde ( )12cos . 2abc A l AA b c = ⋅ = + Atunci,
2
1
2 2
1',( ) AA a
AA b c a =+ − de unde 2
1','AA a
AA b c = + deci 1' ' 2 . a a A A AA R b c b c = ≤ + +
Avem:
1 1 1 1 1 1
' ' '+ + ≥
A A B B C C
1
2+ + + + + ≥ b c c a a c
R a b c 1 6 18 .
2 2 b a c a b c
a b a c c b R R R + + + + + ≥ =
A
C
A' B'
M O
aC I
Fig. 417 B C'
413 10) Fie ' ' 'A B C triunghiul circumpedal al centrului cercului înscr is I în triunghiul
ABC. Atunci, 2 'IA IC r IB ⋅ = ⋅ și ' ' . IA IC R IB ⋅ = ⋅
Demonstrație. Deoarece 'B este centrul cercului circumscris triunghiului AIC (vezi
„Teorema lui Beltrami”-Cecuri exînscrise) rezultă 2 ' sin 2 'rIA IB ACI IB IC = ⋅ = ⋅ , deci
2 'a IA IC r IB r II⋅ = ⋅ = ⋅ (unde aI este centrul cercului exînscris). Deoarece
( ') ( ') 180 ( ) m IBC m BIC m BIC = = °− , ( ' ) ( ) m BC I m BAC = rezultă
' ' sin sin ' sin
sin sin ' sin IC BI IC BCI IBC BCI
BC BC BI BIC BC I BAC = ⋅ = ⋅ = și cum 2 ' sin IB IA BCM = ⋅ obținem
' ' . IA IC R IB ⋅ = ⋅
11) Fie ' ' 'A B C triunghiul circumpedal al centrului cercului înscr is ( I) în triunghiul
ABC în raport cu acest triunghi și , , a b c d d d distanțele dintre punctele ', ', 'A B C respectiv
la dreptele BC,CA,AB și , , a b c r r r razele cercurilor exînscrisecorespunzătoare
triunghiului ABC. Atunci, 1a b c
a b c d d d
r r r + + = .
Demonstrație. Deorarece 'A este mijlocul arcului BC , avem
' 'A B AC ≡, de unde rezultă proiecția lui 'A pe BC este
punctul aM, mijlocul segmentului BC (Fig. 418). Din
teorema sinusurilor rezultă ' 2 sin , 2=AA B R
2' ' sin ' ' sin 2 sin 2 2 = = = = a a a A A M A AB ABM AB R d . Cum
2aAr p tg = ⋅ avem: 2 sin sin cos 2 2 a
adR A A R A
r p p = ⋅ = , de
unde: sin sin sin 1a b c
a b c d d d R A R B R C
r r r p + + + + = = .
12) Fie ' ' 'A B C triunghiul circumpedal al centrului cercului înscr is I în triunghiul
ABC,{ } ' ' ,{ } ' ' ,{ } ' ' ,{ } ' ' ,{ } ' ' ,{ } ' ' . N AB BC M AC BC P AB AC S AC AB R BC AB Q BC AC = ∩ = ∩ = ∩ = ∩ = ∩ = ∩
Ireptele MQ,NR și PS sunt concurente.
Demonstrație. Patrulaterul 'ABAC fiind inscriptibil, din
teorema lui Ptolemeu obținem ' ' 'AA BC BA AC AC AB ⋅ = ⋅ + ⋅ și
cum ' 'BA AC ≡ rezultă '
'AA AB AC
BA BC += (1) (Fig. 419). Dacă
{ } 'D AA BC = ∩ din teorema bisectoarei în triunghiul ABD ,
obținem: AI AB
ID BD =. Cum BC AB BD AB AC ⋅=+ rezultă
AI AB AC
ID BC += . Din teorema bisectoarei pentru triunghiul
'AA B avem: '
'AS AA AB AC
BS BA BC += = (din relația 1), de unde A
C
A' B'
ad aM I
Fig. 418 B C'
A
C
A' B'
M N D I
Fig. 419 B C' P Q
ǎ
S
414 AI AS
ID BS =, deci .SI BC Analog IP BC , deci .I SP ∈La fel se arată că punctul I aparține
dreptelor RN și MQ.
13) Triunghiul circumpedal ' ' 'A B C al punctului lui Lemoine al triunghiului ABC are
aceleași simediane ca triunghiul ABC.
Demonstrație. Vezi „Triunghiuri cosimediane”.
14) Triunghiul circumpedal ' ' 'A B C al punctului lui Lemoine al triunghiului ABC are
laturile proporționale cu medianele triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Triunghiuri cosimediane”.
15) Triunghiul circumpedal al unui punct al lui Bro card al
triunghiului ABC este congruent cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Fie ' ' 'A B C triunghiul circumpedal al
punctului Ω al lui Brocard al triunghiului ABC (Fig. 420) .
Deoarece ( ' ' ) ( ' ) ( ' ) mC A A mC CA m B BC = = și
( ' ' ) ( ' ) m B A A m B BA = rezultă că ( ' ' ') ( ) mC A B mCBA = , deci
' 'B C AC ≡. Analog se arată că ' 'C A AB ≡ și ' 'A B BC ≡, deci
triunghiurile ABC și ' ' 'C A B sunt congruente.
16) Fie 1 1 1 ABC triunghiul cicumpedal al centrului cercului circum scris (O) al unui
triunghi ABC în raport cu acest triunghi, a b c M M M triunghiul median al triunghiului
ABC. Iacă punctele , , a b c S S S împart segmentele orientate 1 1 1 , , a b c AM BM CM uuuuur uuuuur uuuuur
în același
raport \{1;4/3} k∈ , atunci dreptele , , a b c AS BS CS sunt concurente într-un punct situat
pe dreapta lui Euler a triunghiului ABC .
Demonstrație . Considerăm un reper cartezian cu originea în O (Fig. 421) .
Avem: 1 1( ) 1 1 2 a
aOA kOM kOS OA OB OC k k − = = + + − − uuur uuuuur uuuu r uuu r uuu r uuur
. Fie un punct Q pe dreapta aAS
astfel încât .
aQA lQS = Avem 1
1a OQ OA lOS l = − −uuur uuu r uuuu r
,
1 1 ( ) 1 (1 )( 1) 2 kOQ OA OA OB OC l l k = ⋅ − + + − − − uuur uuu r uuu r uuur uuur
,
1
(1 )(1 ) 2(1 )(1 ) 2(1 )(1 ) l k lk lk OQ OA OB OC l k l k l k + − = ⋅ + ⋅ + ⋅− − − − − − uuur uuu r uuu r uuur
.
Determinăm pe \{1} l∈ astfel încât OQ uuur
să aibă o scriere
simetrică în raport cu vectorii , , OAOB OC uuu r uuu r uuur
.
Atunci, 2(1 ) l k lk + − = , sau 2 2
2klk−=− (cu 1l= dacă și numai dacă 4/3 k=). Pentru
2 2
2klk−=− obținem: ( ) 3 4 kOQ OA OB OC k= + + −uuur uuu r uuu r uuur
. Considerăm 'bQ BS ∈, ''cQ CS ∈ care
împart vectorii corespunzători în același raport l, rezultă ' ''OQ OQ OQ = = uuuur uuuur uuur
, adică A
C
A' B'
Ω
Fig. 420 B C'
A
C
1A O
aM
Fig. 421 B
aS
415 ' ", Q Q Q ≡ ≡ deci există un punct comun dreptelor , , a b c AS BS CS dacă
3OA OB OC OG + + =uuu r uuu r uuur uuur
rezultă că punctele Q,O și G sunt coliniare.
Observații:
1) Dacă 4
3k= dreptele , , a b c AS BS CS sunt paralele cu dreapta lui Euler.
2) Dacă 2k=, atunci a b c S S S H ≡ ≡ ≡ și Q este ortocentrul triunghiului.
III.18. Triunghiul simedian
„Natura vorbește în limba matematicii: literele sun t cercurile,
triunghiurile și alte figuri geometrice.” – Galileo Galilei 191
Triunghiul a b c K K K determinat de intersecțiile simedianelor cu laturil e triunghiului ABC se
numește triunghi simedian .
1) Iacă K este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC și a b c K K K triunghiul simedian
al acestuia, atunci 2 2
2
aAK b c
KK a+=.
Demonstrație. Din teorema lui Van-Aubel
rezultă: c b
a c b AK AK AK
KK K B K C = + , adică
2 2 2 2
2 2 2
aAK b c b c
KK b a a += + =
Observație: Prin permutări circulare se obțin
relațiile: 2 2
2
bBK a b
KK b+= și 2 2
2
cCK b a
KK c+= .
2) Aria triunghiului simedian a b c K K K este egală cu :
2 2 2
[ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2
( )( )( ) a b c K K K ABC a b c A A a b b c c a = ⋅+ + + .
Demonstrație. Avem 2 2
[ ]
2 2 2 2
[ ] sin
sin ( )( ) a b AK K b c b c
ABC AAK AK A AK AK b c
A AB AC A AB AC a b a c ⋅ ⋅ ⋅ −= = = ⋅ ⋅ ⋅ + + (1).
Analog, 2 2
[ ]
2 2 2 2
[ ] ( )( ) a c BK K
ABC A a b
Aa c b c =+ + (2) și 2 2
[ ]
2 2 2 2
[ ] ( )( ) a b CK K
ABC A a c
Aa b b c =+ + (3), iar
191 Galileo Galilei (1564-1642) – matematician, fizici an, astronom și filosof italian A
B C
aM A' aK
Fig. 422 bK
cK cM
bM
K G
416 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] a b c b c a c a b K K K ABC AK K K BK K K C A A A A A −= − − (4). Din relațiile (1), (2), (3) și (4) rezultă
2 2 2
[ ] [ ] 2 2 2 2 2 2 2
( )( )( ) a b c K K K ABC a b c A A a b b c c a = ⋅+ + + .
3) Aria triunghiului simedian ABC este maximă, atunci când triunghiul ABC este
echilateral .
Demonstrație. [ ] a b c K K K Aeste maximă, atunci când raportul 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
( )( )( ) a b c
a b b c c a + + + este
maxim. Utilizând inegalitatea mediilor 2x y x y +≥ ⋅ pentru , 0 x y ≥ obținem:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
4 ( )( )( ) 8 a b c a b c
a b b c c a a b c ≤=+ + + . Egalitatea se obține pentru a b c = = , dacă
triunghiul ABC este echilateral și a b c K K K este triunghiul median al triunghiului ABC .
4) Coordonatele triliniare ale vârfurilor triunghiu lui simedian a b c K K K sunt: Ka(0, b, c ),
Kb(a, 0, c ), Kc(a, b, 0 ).
Demonstrație. Vezi [26].
III.19. Triunghiul 60 °∆
„În zadar vor matematicienii să ascundă: ei nu demo nstrează, ci combină și numai izbindu-se dintr-o pa rte în alta
ajung la adevăr.”- Evariste Galois 192
Notăm cu 60 °∆ un triunghi ABC care are un unghi de 60 ,( ( ) 60 ), , , a b c m A H H H ° = °
proiecțiile vârfurilor A, B, C pe laturi; 1 1 1 , , A B C picioarele bisectoarelor interioare,
, , a b c M M M mijloacele laturilor triunghiului ,ABC O centrul cercului circumscris
triunghiului ABC (Fig. 423).
1) Într-un triunghi 60 °∆ avem: ( ) 60 . c a b m H M H = °
Demonstrație. Deoarece ,2c a b a BC H M H M ≡ = rezultă că triunghiul c a H M B este
isoscel, deci ( ) 180 2 ( ) c a m H M B m B = °− , dar cum ( ) 180 2 ( ) b a c m H H H m B = °− , avem
că
c a b a c H M B H H H ≡ adică patrulaterul c a a b H H M H este inscriptibil,atunci
( ) ( ) c a b c a b m H M H m H H H = . Dar ( ) 180 2 ( ) ( ) 60 b a c m H H H m A m A = °− = = ° , deci
( ) 60 . c a b m H M H = °
192 Evariste Galois (1811 – 1832) – matematician franc ez, contribuții remarcabile în algebră
417 2) Triunghiurile ,a b c b c M H H AM H și b c AH M sunt echilaterale .
Demonstrație. Deoarece ( ) 60 , c a b m H M H = ° iar 2c a b a BC H M H M ≡ = rezultă că
triunghiul a b c M H H este echilateral. Analog pentru celelalte două tri unghiuri.
3) Proiecția unei laturi care formează unghiul de 60 ° pe cealaltă este egală cu jumătate
din latura proiectată .
Demonstrație. Triunghiurile ,b c AM H b c AH M fiind echilaterale, rezultă
,2c b AC AH AM = = .2b c AB AH AM = =
4) Lungimea segmentului AH (H este ortocentrul 60 ABC °∆) este egală cu lungimea razei
cercului circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație: Avem 2 cos 2 cos60 . AH R A R R = = °=
5) Patrulaterul 1 1 BICA este inscriptibil (I este centrul cercului înscris în 60 ABC °∆).
Demonstrație. Avem ( ) ( ) ( )1 1 1.2m BIC m ABC ACB m A = + =
6) Lungimea segmentului AI este egală cu diametrul cercului înscris triunghiu lui ABC.
Demonstrație. Din sin sin30 2Ar AI AI= = ° rezultă 2 . AI r =
A
B C Ma Mb Mc
O
H O9
Ha Hb Hc
Fig. 423 A1 B1 C1
I
aO
418 7) Punctele B, C, O, H, I,aIaparțin unui cerc simetric cercului circumscris tri unghiului
60 ABC °∆ în raport cu latura BC (unde aI este centrul cercului A – exînscris ).
Demonstrație. C entrul cercului circumscris triunghiului BIC – punctul aO−se află pe
mijlocul arcului BC al cercului circumscris triunghiului ABC și trece prin punctul .aI
ǎaza acestui cerc este egală cu R – raza cercului circumscris triunghiului 60 ABC °∆-
(triunghiul aO BC fiind echilateral). Avem: a a a O B OC OO = = = a a a O I O I R = = , deci O
este punct pe cercul cu centrul în aOși raza R. Deoarece ( ) 2 ( ) 120 = = ° m BOC m A și
( ) ( ) 180 ( ) 120 = = °− = ° b c m BHC m H HH m A rezultă că ≡BOC BHC , deci
patrulaterul BHOC este inscriptibil, deci și punctul H aparține cercului pe care se află
punctele B,C,O,I și aI.
8) Puntele A,,b c H H , H, 9O ( 9O este centrul cercului lui Euler al triunghiului 60 ABC °∆)
aparțin unui cerc de rază R/2.
Demonstrație. Punctele A ,,b c H H ,H aparțin cercului cu centrul în punctul 1M- mijlocul
segmentului AH – și de rază. Deoarece 1 9 2RMO = (linie mijlocie în triunghiul OAH )
rezultă că 9O aparține și el cercului de mai sus.
9) Patrulaterul aAHOO este romb .
Demonstrație. Avem: .a a AH HO OO OA R = = = = Diagonalele rombului sunt bisectoarea
unghiului A și dreapta lui Euler a 60 ABC °∆ ( aOfiind mijlocul arcului BC al cercului
circumscris ABC ).
Fig. 424 A
B C I
O H
1A cH
bH
aM cM
aH
aO
aI
419 10) Centrul cercului lui Euler al triunghiului 60 ABC °∆ este mijlocul segmentului .aAO
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.
11) Bisectoarea exterioară a unghiului A și dreapta lui Euler a triunghiului
60 ABC °∆sunt perpendiculare .
Demonstrația rezultă din proprietățile precedente.
12) Triunghiul aOI H este isoscel.
Demonstrație. Deoarece aAI OH ⊥, punctele , , a a I O I sunt coliniare rezultă .a a I O I H ≡
13) Triunghiul OIH este isoscel.
Demonstrație. Deoarece I este mijlocul arcului OH în cercul circumscris rezultă OI=IH.
14) În triunghiul 60 ABC °∆sunt adevărate relațiile :
i) 2 2 2 a b c bc = + − ; ii) ( ) 3 p R r = + ; iii) 4 ( ) bc r R r = + ; iv) 2 1 , = + arh r Runde
=a a h AH ; v) [ ] [ ]4
b c ABC AH H A A =.
Demonstrație.
i) Din teorema cosinusului în triunghiul 60 ABC °∆ rezultă
2 2 2 2 2 2 cos a b c bc A b c bc = + − = + −
ii) Deoarece OI IH =rezultă 2 2 2 ( 2 ) 4 4 3 R R r R Rr r p − = + + − , de unde ()3p R r = + .
iii) Avem: [ ]3( ) 3 2 4 a
ABC h a bc A pr r R r ⋅= = = = + , de unde 4 ( ) bc r R r = + .
iv) Din 3 3 4 ( )
2 4 sin 2 2 abc bc bc r R r ha R A R R += = = = rezultă 2 1 . arh r R = +
v) Din cos 2cbAH b A = = , cos 2bcAH c A = = rezultă [ ]sin 3
2 16 b c b c
AH H AH AH A bc A⋅ ⋅= = ,
deci [ ] [ ]4
b c ABC AH H A A =.
14) Într-un triunghi 60 °∆ triunghiul ortic, triunghiul de contact, triunghiu l tangențial și
triunghiul antisuplementar a b c I I I sunt triunghiuri 60 °∆.
Demonstrație. Deoarece ( ) 180 2 ( ) ( ) 60 b a c m H H H m A m A = °− = = ° rezultă că triunghiul
ortic este un triunghi 60 °∆. Fie a b c CCC triunghiul de contact al triunghiului ABC. Avem
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 60 2= + = + = + = ° c a b c a b a c b m CCC m CCI m CCI m CBI m CCI m B m C
deci triunghiul a b c CCC este un triunghi 60 °∆. Deoarece triunghiurile ortic ( a b c H H H ) și
tangențial ( A B C TTT ) ale unui triunghi sunt omotetice, rezultă că
( ) 180 2 ( ) ( ) 60 = °− = = ° B A C mTTT m A m A , deci A B C TTT este un triunghi 60 °∆ În triunghiul
420 antisuplementar a b c I I I avem: ( ) 180 [ ( ) ( )] = °− + = b a c a a m I I I m I BC m I CB
1 1 180 90 ( ) 90 ( ) 60 2 2 °− °− + °− = ° m B m C deci a b c I I I este triunghi 60 °∆.
Observație: Triunghiul 60 °∆ se mai numește triunghi semiregulat în unghiuri.
15) Fie triunghiul 60 °∆, H ortocentrul său. Mediatoarele segmentelor BH, CH
intersectează dreptele AB, respectiv, AC în punctele M și N. Punctele M, H și N sunt
coliniare .
Demonstrație. Fie 1M și 1N mijloacele segmentelor BH, respectiv CH. Deoarece:
( ) 60 , = ° cm BHH iar triunghiul MBH fiind isoscel rezultă
( ) ( ) 30 = = ° m MBH m MHB , de unde ( ) 30 = ° cm MHH , adică punctul M aparține
bisectoarei unghiului
cH HB . Analog se arată că punctul N aparține bisectoarei unghiului
,bH HC de unde rezultă concluzia.
III.20. Triunghiul medianelor
„Geometria este arta de a judeca pe desene ră u efectuate.” – Niels H. Abel 193
1) Să se arate că se poate construi un triunghi avâ nd laturile de lungimi egale cu
lungimile medianelor unui triunghi ABC .
Demonstrație. Fie aAM , bBM , cCM medianele
triunghiului ABC și G centrul său de greutate. Prin
punctele C și cM ducem paralele la medianele bBM ,
respectiv aAM și fie 'C punctul de intersecție dintre
aceste paralele, iar { } 'aD AM CC = ∩ ,
{ } 'cE M C BC = ∩ (Fig. 425). Evident a a GM M D ≡, și
deoarece 'cM C GD , avem 2
' 3 c c GC GD
MC MC = = , de unde
rezultă 3 3 3 2 '2 2 2 3 c a a M C GD AG AM AM = = = ⋅ ⋅ = (1).
Deoarece aM este mijlocul segmentului GD și
'cM C GD , rezultă că CE este mediană în triunghiul
'cM CC . Din 1
2c a
aM G EM
GC M C = = rezultă că aM este centrul de greutate al triunghiului
'cM CC . Din congruența triunghiurilor aBGM și aCDM rezultă că BG CG ≡, de unde
193 Niels H. Abel (1802-1829) – matematician norvegia n, contribuții fundamentale în algebră aM
Fig. 425 A
B C bM
cM
E G
D
C'
421 2 2 '3 3 bMM CC = , adică 'bMM CC ≡ (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă că triunghiu l
'cM CC are laturile de lungimi egale cu cele ale medianel or triunghiului ABC .
Observație : Triunghiul având laturile de lungimi egale cu lung imile medianelor unui
triunghi ABC se numește triunghiul medianelor corespunzător triunghiului ABC .
2) Iacă a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului ABC , atunci medianele
triunghiului medianelor corespunzător triunghiului ABC au lungimile egale cu : 3 /4 a,
3 /4 b, respectiv 3 /4 c.
Demonstrație. Din aplicația precedentă rezultă 3 3
2 4 aCE CM BC = = ,
'3 3
2 4 c c a c M M M M AC = = și 3' ''4C C AB =, (unde '
cM și ''C sunt mijloacele laturilor
'CC , respectiv cM C ).
3) Unghiurile triunghiului medianelor au măsurile e gale cu suplementele coordonatelor
unghiulare ale centrului de greutate al triunghiulu i ABC .
Demonstrație. Deoarece 'bCC BM și 'c a C M AM rezultă că
( ' ) ( ) 180 ( ) c a mMC D mM GB m AGB = = − o și ( ' ) ( ) 180 ( ) c a m C M C m M GC m AGC = = − o;
( ') 180 ( ) cm M CC m BGC = − o.
III.21. Triunghiuri omologice
Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C se numesc
omologice dacă dreptele 'AA , 'BB și 'CC
sunt concurente. Punctul O de concurență al
dreptelor 'AA , 'BB și 'CC se numește
centrul de omologie al triunghiurilor ABC și
' ' 'A B C ; vârfurile A și 'A, B și 'B, C și
'Cse numesc omoloage , iar dreptele BC și
' 'B C , CA și ' 'C A , AB și ' 'A B se numesc
omoloage . Fie { } ' '= ∩ L BC B C ,
{ } ' '= ∩ M AC AC și { } ' '= ∩ N AB A B .
Triunghiurile date sunt triomologice dacă
admit trei centre de omologie.
1) Punctele de intersecție ale dreptelor
omologe, a două triunghiuri omologe
coplanare, sunt coliniare .
Demonstrație. Vezi „Teorema lui
Desargues”.
M
A
B
C
L C' B' A' N
Fig. 426 O
422 Dreapta ce conține punctele , , L M N se numește axă de omologie . Dacă triunghiul
' ' 'A B C este înscris în triunghiul ABC , atunci dreapta LMN se numește polară triliniară ,
iar O se numește pol triliniar .
Observație: Dreapta ce unește picioarele bisectoarelor exterioa re este polara triliniară a
centrului cercului înscris.
Teorema lui Casey
2) Fie triunghiurile ABC,' ' 'A B C ," " " A B C două câte două omologice, O centrul
comun de omologie { } ' 'M AB A B = ∩ , { '} ' 'M AC AC = ∩ , { } " " N AB A B = ∩ ,
{ '} " " N AC A C = ∩ , { } ' ' " " P A B A B = ∩ , { '} ' ' " ". P AC A C = ∩ Ireptele ', 'MM NN și
'PP sunt concurente.
M
A
B
C M'
C' B' A' N
Fig. 427 O A"
B"
C" P P'
N'
423 Demonstrație. Arătăm că triunghiurile MNR și ' ' 'M N P sunt omologice cu ajutorul
reciprocei teoremei lui Desargues. Astfel, deoarece
' ' { }, ' ' { '}, MN M N A PM P M A ∩ = ∩ = și ' ' { "} NP N P A ∩ = , iar punctele , ', " A A A
sunt coliniare, rezultă că dreptele ', 'MM NN și 'PP sunt concurente.
3) Fie triunghiurile ABC și ' ' 'A B C cu proprietatea că există punctele , , L M N astfel
încât { } ' '= ∩ L BC B C , { } ' '= ∩ M AC AC și { } ' '= ∩ N AB A B , iar dreptele 'AA și 'BB
nu sunt paralele. Iacă punctele ,L M și N sunt coliniare, atunci dreptele 'AA , 'BB și
'CC sunt concurente.
Demonstrație . Vezi „Teorema lui Desargues”.
III.22. Triunghiuri ortopolare
„Moisil a fost mai mult decât un savant, a fost mai mulți savanți întruniți în sesiune permanentă sau luându-și
locul unul altuia în cicluri succesive mari, reprez entate de temele fundamentale pe care le-a abordat. A fost până în
ultimele zile deschizător de drumuri, inovator. În această aventură spirituală nu a admis dilentatism ul superficial.”
– Mircea Malița
Teorema lui Lalescu 194
1) Fie ABC și ' ' 'A B C două triunghiuri înscrise în același cerc. Iacă dre apta Simson a
vârfului 'A în raport cu ABC este perpendiculară pe dreapta ' 'B C atunci : i) această
proprietate este valabilă pentru toate vârfurile tr iunghiului ' ' 'A B C ; ii) Ireptele Simson
ale vârfurilor triunghiului ABC în raport cu triunghiul ' ' 'A B C sunt perpendiculare pe
laturile triunghiului .ABC
Demonstrație. i) Fie N proiecția lui 'A pe BC
și A" al doilea punct de intersecție dintre
'A N cu cercul circumscris triunghiului
.ABC Cum dreapta lui Simson ( A's) a
punctului 'A în raport cu triunghiul ABC
este paralelă cu "AA , atunci pentru ca
'' '⊥As B C trebuie ca ' ' " B C AA ⊥ și fie
{ } ' ' ", = ∩ E B C AA { } ' ' . = ∩ D B C BC
Patrulaterul "A EDN este inscriptibil și
atunci " ' ' , AA A B DB ≡ deci
( ') ( ' ) ( ') = + mAA mBB mCC . Egalitatea
precedentă este echivalentă cu:
( ') ( ' ) ( ') 0(mod360 ) + + = ° m AA m B B mCC
(1) (unde am evaluat măsurile arcelor în sens
trigonometric). Proprietatea i) este verificată pen tru toate vârfurile triunghiului ' ' 'A B C
deoarece permutarea ciclică a cuplurilor ( , '),( , '),( , ') A A B B C C nu modifică relația (1). ii)
ǎelația (1) nu se modifică dacă se inversează tripl etele ( , , ) A BC și ( ', ', ') A B C , atunci
194 Traian Lalescu (1882-1929) – matematician român, c ontribuții importante în geometrie A B C
A'
C'
B' A"
D N
E
H
Fig. 428
424 dreptele lui Simson ale triunghiului ABC în raport cu triunghiul ' ' 'A B C sunt
perpendiculare pe laturile triunghiului .ABC
Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C cu proprietatea de mai sus se numesc triunghiuri S195 (sau
ortopolare ) unul în raport cu altul.
2) Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt triunghiuri S dacă și numai dacă
( ') ( ' ) ( ') 0(mod360 ) + + = ° m AA m B B mCC .
Demonstrația rezultă din teorema lui Lalescu.
3) Iacă ABC și ' ' 'A B C sunt două triunghiuri S, atunci dreptele lui Simson ale
vârfurilor triunghiului ' ' 'A B C în raport cu triunghiul ABC și ale vârfurilor
triunghiului ABC în raport cu triunghiul ' ' 'A B C trec prin același punct care se află la
mijlocul segmentului ce unește ortocentrele celor d ouă triunghiuri .
Demonstrație. Fie H și 'H ortocentrele triunghiurilor ABC, respectiv ' ' 'A B C ; M, N și P
mijloacele segmentelor ', ', HA HB respectiv
'. HC Triunghiurile MNP și ' ' 'A B C au
laturile paralele. Deoarece dreptele lui Simson
ale punctelor ', ', 'A B C în raport cu
triunghiul ABC sunt perpendiculare pe
' ', ' 'B C AC respectiv ' 'A B și ele trec prin
punctele M,N, respectiv P (vezi „Dreapta lui
Simson”). Dreptele lui Simson ale punctelor
', ', 'A B C în raport cu triunghiul ABC sunt
înălțimile triunghiului MNP , deci concurente
în ortocentrul acestuia, punct care este
mijlocul segmentului '. HH Schimbând
rolurile triunghiurilor ABC și ' ' 'A B C rezultă
că dreptele Simson ale vârfurilor triunghiul
' ' 'A B C în raport cu triunghiul ABC sunt
concurente tot în mijlocul segmentului '. HH
4) Consecință: Iacă H și 'H sunt ortocentrele triunghiurilor S, ABC și ' ' 'A B C ,
atunci triunghiul omotetic triunghiului ABC prin omotetia H( ',1/2) H și triunghiul
omotetic triunghiului ' ' 'A B C prin omotetia H( ,1/2) H au același ortocentru în punctul
comun al dreptelor lui Simson .
5) Fie ( , ) ABC αβγ și ( , ' ' ') ABC α β γ două perechi de triunghiuri S înscrise în același
cerc. Triunghiurile αβγ și ' ' 'α β γ sunt triunghiuri S unul față de celălalt .
Demonstrație: Deoarece triunghiurile ABC și αβγ sunt triunghiuri S rezultă :
( ) ( ) ( ) 0(mod360 ) (1) + + = ° m A m B mC α β γ , iar din faptul că triunghiurile ABC și
' ' 'α β γ sunt triunghiuri S rezultă ( ') ( ') ( ') 0(mod360 ) (2). + + = ° m A m B mC α β γ Din (1) și
2 Denumirea a fost dată de Traian Lalescu B A
C
C' A'
A B'
H
P M N
A's
Fig. 429
425 (2) rezultă ( ') ( ') ( ') 0(mod360 ) + + = ° m m m αα ββ γγ , adică triunghirile αβγ și ' ' 'α β γ
sunt triunghiuri S.
6) Consecință : În cercul circumscris unui triunghi ABC se pot înscrie o infinitate de
triunghiuri S în raport cu triunghiul ABC .
Observație: Toate aceste triunghiuri înscrise în cercul circu mscris triunghiului ABC ,
împreună cu triunghiul ABC determină o familie de triunghiuri S.
7) Ireapta lui Simson a unui punct M în raport cu triunghiurile αβγ înscrise în același
cerc cu triunghiul ABC , față de care sunt triunghiuri S, păstrează o direcție fixă .
Demonstrație. Considerăm o coardă NP în cercul circumscris triunghiului ABC , astfel încât
triunghiul MNP este un triunghi S față de familia de triunghiuri considerată. Atunc i,
dreptele lui Simson ale punctului M în raport cu triunghiurile considerate sunt
perpendiculare pe dreapta NP.
Observație. Proprietatea precedentă poate fi reformulată astf el: dreptele lui Simson ale
unui punct M în raport cu triunghiurile S sunt paralele între ele.
8) Iouă triunghiuri înscrise în același cerc care a u un vârf comun și laturile opuse
paralele, sunt triunghiuri S.
Demonstrație. Fie A vârful comun triunghiurilor ABC și ' '. AB C Deoarece
' 'B C BC rezultă ( ' ) ( ' ) =m B B mC C , atunci ( ' ) ( ' ) 0 + = m B B mC C unde arcele 'B B și
'C C au fost măsurate în sens trigonometric. Conform re lației (1) rezultă că triunghiurile
ABC și ' 'AB C sunt triunghiuri S.
9) Consecință: Iacă unuia dintre triunghiurile une i familii S deplasăm o latură
paralelă cu ea însăși, triunghiurile rămân, de asem enea, triunghiuri S.
Observație: Din cele de mai sus se pot deduce diferite proced ee de construcție a unui
triunghi S în raport cu un triunghi dat, când i se cunosc dou ă vârfuri. Astfel, fie triunghiul
ABC și punctele 'B și 'C pe cercul circumscris triunghiului ABC .
i) Construim dreapta lui Simson 'Bd a punctului 'B în raport cu triunghiul ABC . Punctul
de intersecție dintre perpendiculara dusă din 'C pe 'Bd și cercul circumscris triunghiului
ABC este cel de-al treilea vârf al triunghiului cerut (Fig. 430).
ii) Prin vârful A al triunghiului ABC construim o paralelă la dreapta ' 'B C care
intersectează din nou cercul în *A. Punctul de intersecție dintre paralela dusă din ∗A la
BC cu cercul circumscris triunghiului ABC este vârful 'A al triunghiului căutat (Fig.
431).
426 iii) Prin vârful A al triunghiului ABC construim perpendiculara pe coarda ' 'B C care
intersectează cercul circumscris triunghiului ABC în *A. Perpendiculara din *A pe BC
intersectează cercul în 'A-punctul căutat (Fig. 432).
10) Triunghiurile ortic a b c H H H și median a b c M M M ale unui triunghi sunt triunghiuri
S în cercul lui Euler al triunghiului ABC .
Demonstrație. Perpendiculara din punctul aM
pe latura b c H H a triunghiului ortic intersectează
a doua oară cercul lui Euler al triunghiului ABC
în punctul eulerian 'A(mijlocul segmentului AH )
(Fig. 433). Întrucât perpendiculara din 'A pe
latura b c M M a triunghiului median cade în
punctul aH rezultă – conform observațiilor
precedente – că triunghiurile median și ortic ale
triunghiului ABC sunt triunghiuri S în cercul lui
Euler al triunghiului ABC .
11) Mijlocul segmentului ce unește ortocentrele
triunghiurilor median și ortic ale unui triunghi
ABC este punctul lui Spieker al triunghiului
ortic .
Demonstrație. Deoarece triunghiurile a b c H H H și a b c M M M sunt triunghiuri S vom arăta
că punctul lui Spieker al triunghiului ortic este p unctul de întâlnire al dreptelor lui Simson
ale vârfurilor triunghiului a b c M M M în raport cu triunghiul a b c H H H (Fig.433). Segmentul
'aA M este diametru în cercul lui Euler , '⊥a b c A M H H și fie 1{ } '= ∩ b c a A H H A M , 1A
fiind mijlocul segmentului b c H H (vezi “Cercul lui Euler”), deci dreapta lui Simson
aMd a
punctului aM în raport cu triunghiul a b c H H H trece prin 1A. Deoarece a b c H H H și
a b c M M M sunt triunghiuri S, rezultă că ⊥
aM b c d M M , deci
aM a d AH ⊥. Fie 1B și 1C
mijloacele segmentelor a c H H , respectiv a b H H . Cum 'aA H este bisectoarea unghiului
c a b H H H și 1 1 a b BA H H , 1 1 a c AC H H rezultă că
aMd este bisectoarea unghiului A' A
B C
B' C'
Fig. 430 B'd A
B C A'
B'
C' A∗
Fig. 431 A
B C A'
B' C'
A∗
Fig. 432
A
B C aM bM cM
aH bH
cH
Fig. 433 A'
1A
1B
aMd
427 1 1 1 BAC . Analog se arată că dreapta lui Simson
bMd a punctului bM este bisectoarea
unghiului 1 1 1 ABC , deci punctul de concurență al dreptelor lui Simso n – mijlocul
segmentului ce unește ortocentrele triunghiurilor S, a b c H H H și a b c M M M – este punctul
lui Spieker al triunghiului ortic a b c H H H .
12) Triunghiul ' ' 'A B C , determinat de punctele euleriene ale triunghiului ABC și
triunghiul " " " A B C , având ca vârfuri punctele unde mediatoarele triun ghiului ABC
intersectează a doua oară cercul lui Euler al triun ghiului ABC , sunt două
triunghiuri S.
Demonstrație. Dacă a b c OOO este triunghiul lui Carnot al triunghiului ABC , atunci
triunghiul ' ' 'A B C este triunghiul median al triunghiului a b c OOO , iar triunghiul " " " A B C
este triunghiul ortic al aceluiași triunghi (vezi „ Triunghiul Carnot”) și conform
proprietăților precedente, rezultă că triunghiurile ' ' 'A B C și " " " A B C sunt triunghiuri S.
13) Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt ortopolare dacă și numai dacă ' ' 'abc a b c =
(unde cu x am notat afixul punctului X).
Demonstrație. Fie P,Q,R picioarele perpendicularelor duse din punctul 'A pe dreptele
BC,CA , respectiv AB.
Lemă. Fie X un punct în interiorul unui triunghi A BC și P proiecția lui X pe BC. Afixul
punctului P este egal cu 21
2bc p x x b c R = − + + , unde cu , , , a bc x am notat afixele
punctelor A,B,C, respectiv X, iar R este raza cercu lui circumscris triunghiului ABC.
Demonstrație. Ecuațiile dreptelor BC și XP sunt: ( )( ) ( )( ) 0 − − − − − = z b c b z b c b ,
respectiv ( )( ) ( )( ) 0 − − + − − = z x c b z x c b . Deoarece punctul P aparține dreptelor BC și
XP rezultă (2 )( ) ( )( ) 0, − − − + − − = p b x c b b x c b de unde
2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2
− − = + + − = + − − − c b c b p b x x b b x x b R R c b
c b sau 2 2 1 1 ( ) 2 2 = + − − = − ⋅ + + bc bc p b x x b x x b c R R .
Demonstrația teoremei. Avem: 2 2 1 1 ' ' , ' ' , 2 2 = − + + = − + + bc ca p a a b c q a a c a R R
21' '2 = − + + ab r a a a b R. Dacă 'A nu coincide cu un vârf al triunghiului ABC, atunci
condiția de perpendicularitate dintre PQ și ' 'B C este echivalentă cu
( )( ' ') ( )( ' ') 0 − − + − − = p q b c p q b c sau 2 2 ( )( ')( ' ') ( )( ')( ' ) 0 − − − + − − ⋅ − = b a R ca b c b a R c a b c
sau mai departe ( )2 2 2 2 2 2
2 2 ' ' ' ( ) 0 ' ' ' − − − + − − − =
R R R R R R R a b c b a R c b a c a b c , de
unde rezultă că ( ' ' ')( )( ')( ' ') 0, − − − − = abc a b c a b c a b c deci ' ' 'abc a b c =. Dacă 'A
coincide – de exemplu – cu vârful A, atunci dreapta lui Simson a lui 'A este perpendiculara
din A pe BC. Dreptele 'A P și ' 'B C sunt perpendiculare dacă și numai dacă ' 'BC B C ,
adică ' '=bc b c sau ' ' '=abc a b c (deoarece '=a a ).
428 III.23. Triunghiuri ortologice
„Orice număr este ze ro înaintea infinitului.” – Victor Hugo 196
Triunghiul ABC este ortologic cu triunghiul ' ' 'A B C dacă perpendicularele din
A, B, C pe ' 'B C , ' 'C A respectiv ' 'A B sunt concurente. Punctul de concurență se
numește centrul acestei ortologii.
1) Iacă triunghiul ABC este ortologic cu triunghiul ' ' 'A B C , atunci și triunghiul
' ' 'A B C este ortologic cu triunghiul .ABC
Demonstrație. Soluția 1. Fie D, E, F proiecțiile
punctelor A, B, și C pe laturile ' 'B C ,
' 'C A , respectiv ' 'A B (Fig. 434). Avem:
2 2 2 2 2 ' ' ' '− = − = B A B D C A DC DA ,
2 2 2 2 2 ' ' ' '− = − = C B C E A B A E BE
2 2 2 2 2 ' ' ' '− = − = A C A F B C B F CF . Din relațiile
precedente prin sumare obținem:
2 2 2 2 2 2 ( ' ' ' ) ( ' ' ' ) + + − + + = B A C B AC B D C E A F
2 2 2 2 2 2 ( ' ' ' ) ( ' ' ' ) ( ) + + − + + ∗ AB BC C A AE B F C D
Din teorema lui Carnot rezultă că
2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' 'B D C E A F A E B F C D + + = + + .
ǎelația ( ) ∗ devine: 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' '+ + = + + B A C B A C A B B C C A ( ) ∗∗ . Condiția ca
triunghiul ABC să fie ortologic cu triunghiul ' ' 'A B C este dat de relația ( ) ∗∗ . Pentru ca
triunghiul ' ' 'A B C să fie ortologic cu triunghiul ABC este suficient să permutăm în relația
( ) ∗∗ rolurile triunghiului ABC cu cel al lui ' ' 'A B C , prin această permutare se obține tot
relația ( ) ∗∗ , ceea ce arată că și triunghiul ' ' 'A B C este ortologic cu triunghiul ABC .
Soluția 2. Notăm cu P punctul de concurență al perpendicularelor din A, B, C pe laturile
triunghiului ' ' 'A B C și cu 'P punctul de intersecție al perpendicularelor din 'A și 'B pe
BC, respectiv AC. Avem: ' ' ' ' ' ', ' ' ' ' ' ', ' ' ' ' ' 'B C P C P B C A P A P C A B P B P A = − = − = − uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuuu r uuuu u r uuuuu r uuuuu r
.
Folosind aceste relații obținem 0 ' ' ' ' ' '= ⋅ + ⋅ + ⋅ = uuu r uuuuu r uuu r uuuuu r uuur uuuuu r
PA B C PB C A PC A B
' ' ' ' ' '⋅ + ⋅ + ⋅uuuuu r uuu r uuuuu r uuur uuuuu r uuur
P C BA P B AC P A BC . Cum ' 'P B AC ⊥ și ' 'P A BC ⊥, avem ' ' 0 P B AC ⋅ = uuuuu r uuur
,
' ' 0 P A BC ⋅ = uuuuu r uuur
, deci ' ' 0 P C BA ⋅ = uuuuu r uuu r
, de unde rezultă ' ' . P C AB ⊥ Prin urmare
perpendicularele din ', ', 'A B C pe laturile triunghiului ABC sunt concurente în 'P.
Două triunghiuri care satisfac proprietățile de mai sus se numesc ortologice .
Fie P și 'P cele două centre de ortologie ale triunghiurilor ABC și ' ' 'A B C . Dacă
centrele de ortologie P și 'P coincid, atunci triunghiurile se numesc bilogice.
2) Iouă triunghiuri ABC și ' ' 'A B C sunt ortologice dacă și numai dacă este adevărată
relația: 2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' '+ + = + + B A C B A C A B B C C A .
Demonstrația rezultă de mai sus.
196 Victor Hugo (1802-1885) – scriitor francez A B
C A'
B' C' D E F
Fig. 434 P' P
429 3) Triunghiul ABC și triunghiul podar al unui punct P sunt ortologice, centrele de
ortologie fiind P și izogonalul său 'P.
Demonstrație.
Triunghiul ' ' 'A B C este ortologic cu triunghiul ABC, centrul acestei ortologii fiind P.
(Fig. 435). Conform teoremei de ortologie și triunghiul ABC este ortologic cu triunghiul
' ' 'A B C , centrul acestei ortologii fie că este punctul '. P Patrulaterul ' 'BA PC fiind
inscriptibil rezultă: ( ') 90 ( ' ' ) 90 ( ') = °− = °− = m ABP m A C B m BPA
( ') ( ) m PBA m PBC = , deci 'ABP P BC ≡ adică dreptele BP și 'BP sunt
izogonale. Analog se arată că dreptele AP și 'AP sunt izogonale, deci punctele P și 'P sunt
izogonale.
4) Triunghiul antipodar al unui punct P este ortologic cu triunghiul cevian al punctului
P în raport cu triunghiul ABC.
Demonstrație. Vezi „Triunghiul antipodar”.
5) Triunghiul antisuplementar a b c I I I și triunghiul cevian al centrului cercului înscris
într-un triunghi ABC sunt ortologice .
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.
6) Iacă triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt ortologice având centrele de ortologie P și
'P, atunci coordonatele baricentrice ale lui P în raport cu triunghiul ABC sunt egale
cu coordonatele baricentrice ale lui 'P în raport cu triunghiul ' ' 'A B C .
Demonstrație. Deoarece ' '⊥A P BC , ' '⊥B P AC , ' '⊥C P AB rezultă:
sin ' ' ' sin =B PC A , sin ' ' ' sin =P BC PAC și sin ' ' ' sin =PC B PAB (Fig. 435). Din teorema
sinusurilor în triunghiul ' ' 'P B C rezultă ' ' ' '
sin ' ' ' sin ' ' '=P B PC
PC B P BC și ' ' ' '
sin sin =P B PC
PAB PAC
de unde :
sin ' '
' ' sin =PAC PC
P B PAB (1). Atunci, [ ]
[ ]
sin sin
sin sin ⋅ ⋅= = ⋅⋅ ⋅PAC
PAB AbPA PAC b PAC
c AcPA PAB PAB (2).Din
relațiile (1) și (2) rezultă [ ]
[ ]:' ' ' '=PAC
PAB Ab c
P B PC A (3). Analog se arată că [ ]
[ ]:' ' ' '=PBC
PCA Aa b
P A P B A
(4). ǎelațiile (3) și (4) dau coordonatele ba ricentrice ale punctului 'P în raport cu
A
B C P
P P'
A' B'
C'
Fig. 435
430 triunghiul ABC : [ ] [ ] [ ]' ' ' ' ' ' ' ' ': : ' ' ' 'sin : ' ' ' 'sin : ' ' ' 'sin = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅PBC PC A P AB A A A PBPC A PC PA B PAPB C
[ ] [ ] [ ]: : : : ' ' ' ' ' '=PBC PAC PAB a b c A A A P A P B P C .
Observație: Proprietatea de mai sus ne arată că dacă P este centrul de greutate al
triunghiului ABC , atunci 'P este centrul de greutate al triunghiului ' ' 'A B C .
7) Triunghiul ortic a b c H H H al triunghiului nedreptunghic ABC și triunghiului ABC
sunt ortologice, centrele de ortologie fiind ortoce ntrul și centrul cercului circumscris
triunghiului ABC .
Demonstrație. Perpendicularele din vârfurile A, B, C ale triunghiului nedreptunghic pe
laturile ' 'B C , ' 'C A respectiv ' 'A B sunt concurente în centrul cercului circumscris
triunghiului ABC (vezi „Triunghiul ortic”).
8) Fie a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC, ' ' ', , a b c H H H punctele diametral
opuse punctelor , , a b H H respectiv cH în cercul lui Euler al triunghiului ABC.
Triunghiurile ABC și ' ' '
a b c H H H sunt ortologice.
Demonstrație. Deoarece triunghiurile a b c H H H și ' ' '
a b c H H H sunt omotetice, rezultă –
conform proprietății precedente – ' '
c b OA H H ⊥ ,' '
a c OB H H ⊥ și ' '
a b OC H H ⊥ , adică
triunghiurile ABC și ' ' '
a b c H H H sunt ortologice , centrul cercului circumscris triu nghiului
ABC fiind unul dintre centrele de ortologie.
9) Iouă triunghiuri ABC și ' ' 'A B C simetrice față de o dreaptă sunt ortologice .
Demonstrație. Deoarece ' ', ≡AB BA ' '≡BC CB și ' '≡CA AC , relația
2 2 2 2 2 2 ' ' ' ' ' '+ + = + + B A C B A C A B B C C A este evident adevărată, deci triunghiurile ABC
și ' ' 'A B C sunt ortologice.
10) Fie 'A, 'B, 'C simetricele vârfurilor A, B, C ale unui triunghi ABC față de
dreapta lui Euler a triunghiului ABC . Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt ortologice .
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.
431 III.24. Triunghiuri paralogice
„Ușor nu e nici cântecul. Zi
și noapte – nimic nu-i ușor pe pământ
căci ro ua e sudoarea privighetorilor
ce s-au ostenit toată noaptea cântând .”
Lucian Blaga 197
Fie , , M N P punctele de intersecție dintre dreapta d cu laturile , , BC CA AB ale unui
triunghi ABC . Punctele de intersecție dintre perpendicularele r idicate în punctele , , M N P
pe dreptele , , BC CA AB sunt vârfurile unui triunghi ' ' 'A B C numit triunghiul paralogic
(ortoomologic ) al triunghiului ABC .
1) Triunghiul paralogic ' ' 'A B C și
triunghiul ABC sunt asemenea .
Demonstrație. Patrulaterul 'PMB P este
inscriptibil,deci ( ' ) ( ) = m PB M m ABC ,
adică ' ' 'A B C ABC ≡ . Patrulaterul
'APA N este inscriptibil, deci
( ' ' ) ( ) =m B A N m PAN ,deci ' ' '≡B AC BAC
(2). Din relațiile (1) și (2) rezultă că
triunghiurile ' ' 'A B C și ABC sunt
asemenea (Fig. 436).
2) Triunghiurile ' ' 'A B C și ABC sunt
omologice , dreapta d fiind axa de
omologie .
Demonstrație. Deoarece { } ' '= ∩ P AB A B ,
{ } ' ', = ∩ M BC B C { } ' '= ∩ N AC AC iar
punctele , , M N P sunt coliniare, rezultă
din teorema lui Desargues că dreptele ', ', 'AA BB CC sunt concurente, deci
triunghiurile ' ' 'A B C și ABC sunt omologice, dreapta d fiind axa de omologie
3) Centrul de omologie (τ) dintre triunghiul ABC
și triunghiul paralogic ' ' 'A B C aparține
cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC și
' ' 'A B C .
Demonstrație. Avem { } ' ' '= ∩ ∩ AA BB CC τ
(Fig. 437). Patrulaterele 'PB MB și 'B MNC fiind
inscriptibile: ' ' ' NMC NCC A C τ ≡ ≡
și 'PMB PB B ≡ , iar cum PMB NMC ≡
(unghiuri opuse la vârf) avem:
' ' ' '≡ C A A B τ τ , adică patrulaterul ' ' 'A B C τ
este inscriptibil (1). Atunci
197 Lucian Blaga (1895-1961) – filozof, umanist, jurnal ist, poet, dramaturg, traducător, profesor universi tar și
diplomat român, membru titular al Academiei ǎomâne
A
B C
P
A'
B' C'
Fig. 436 N
M d
A
B C
A' O
B' C'
P M N
τ
ζ
Fig. 437 T
T' D
1τ
432 ' ' ' ' 'A B AC B BCA B A τ τ ≡ ≡ ≡ , deci patrulaterul B CA τ este inscriptibil (2). Din
relațiile (1) și (2) rezultă că τ aparține cercurilor circumscrise triunghiurilor ABC și
' ' 'A B C .
4) Cercurile circumscrise triunghiurilor ' ' 'A B C , ABC sunt ortogonale .
Demonstrație. Fie C și C’ cercurile circumscrise triunghiurilor ABC, respectiv ' ' 'A B C , iar
Tτși 'Tτ tangentele în punctul τ (centrul omologiei) la C respectiv C’ (Fig. 437). Atunci
( ) ( ), = m T B m BA τ τ ( ' ) ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') = + + = m PA m AB m T A m AB m T B τ τ τ τ τ , de
unde rezultă că: ( ' ) 180 [ ( ) ( ' ')] = °− + = m T T m T B m T B τ τ τ
180 [ ( ) ( ' )] 180 90 90 °− + = °− °= ° m PA m PA τ τ , deci cercurile C și C’ sunt ortogonale.
5) Ireptele lui Simson ale punctului τ față de triunghiurile ' ' 'A B C și ABC sunt
paralele cu dreapta d.
Demonstrație. Fie 1τ proiecția lui τpe BC și D punctul de intersecție dintre 1ττ cu cercul
circumscris triunghiului ABC . Dreapta lui Simson corespunzătoare punctului τ în raport
cu triunghiul ABC este paralelă cu dreapta AB (vezi „Dreapta lui Simson”) arătăm
că AD d . Patrulaterele ADBE și 'BPB M fiind insciptibile, rezultă
1 ( ) ( ) 90 ( ) = = °− = m DAB m D B m B τ τ τ 90 ( ') ( ) °− = m MPB m BPM , deci ≡DAP APM ,
adică DA PM . Atunci, dreapta lui Simson a punctului τ este în raport cu triunghiul ABC
este paralelă cu dreapta d. Analog se arată că dreapta lui Simson a punctului τ este în
raport cu triunghiul paralogic ' ' 'A B C este paralelă cu dreapta d.
6) Al doilea punct de intersecție dintre cercurile circumscrise
triunghiurilor ' ' 'A B C ,ABC este centrul de similitudine al triunghiurilor ' ' 'A B C ,ABC .
Demonstrație. Pentru ca punctul ζ să fie centrul de similitudine dintre triunghiurile
omologice și asemenea ' ' 'A B C ,ABC trebuie ca punctul ζ să fie pentru ambele
triunghiuri propriul său omolog, adică triunghiuril e AC ζ și ' 'AC ζ trebuie să fie
asemenea. Avem: ' ≡ ≡ ≡ AC BC CT CA ζ ζ ζ ζ și
' ' ' ' ' ≡ ≡ ≡ A C ABC A B C A C ζ ζ , deci triunghiurile AC ζ și ' 'AC ζ sunt asemenea.
Observație : Analog se arată că triunghiurile AB ζ și ' 'A B ζ, respectiv BC ζ și ' 'B C ζ
sunt asemenea.
7) Iacă H și 'H sunt ortocentrele triunghiurilor ABC și ' ' 'A B C atunci axa de
omologie trece prin mijlocul segmentului 'HH .
Demonstrație. Vezi „Teorema lui Sondat”.
433 III.25. Triunghiuri bilogice
„Crucea pusă lângă numele unora mul ți o iau drept plus.” – S. E. Lec 198
Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C se numesc bilogice dacă sunt ortologice și au aceleși centru
de ortologie.
1) Iouă triunghiuri bilogice sunt omologice.
Demonstrație. Fie { } ' ',{ } ' ', = ∩ = ∩ D AO B C E BO C A
{ } ' '= ∩ F CO AB (Fig. 438). Atunci: ' ', ⊥AD B C
' ', ' '⊥ ⊥ BE A C CF A B și ' , ⊥AO BC
' , ' . ⊥ ⊥ B O CA C O AB Fie { "} ' ', = ∩ B BE A B
{ "} ' '. = ∩ C CF AC Deoarece O este ortocentrul
triunghiului ' " " A B C rezultă ' " "; AO B C ⊥ cum
'AO BC ⊥ rezultă " ". BC B C Atunci,
( " " ) ( ) m B C F m BCF = (unghiuri corespondente) și
cum ( " " ) ( " ) m B C F m B EF = (deoarece patrulaterul
" " B C EF este inscriptibil) rezultă ( ) ( ), m BCF m BEF = deci patrulaterul BCEF este
inscriptibil. Analog se arată că punctele C, A, F, D respectiv A, B, D și E sunt conciclice.
Dacă { } ' ',{ } ' ',{ } ' 'X BC B C Y AC C A Z AB A B = ∩ = ∩ = ∩ atunci conform teoremei lui
Dergiades rezultă că punctele X, Y și Z sunt coliniare; deci, conform reciprocei teoremei lui
Desergues triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt omologice.
2) Fie ABC și ' ' 'A B C două triunghiuri bilogice. Picioarele perpendicular elor duse din
vârfurile B și C pe laturile ' 'AC respectiv ' 'A B și punctele B și C sunt conciclice.
Demonstrația rezultă din teorema precedentă.
3) Fie XYZ axa de omologie dintre triunghiurile bilogice ABC și ' ' 'A B C , iar O centrul
comun de ortologie. Ireptele OX și 'AA sunt perpendiculare.
Demonstrație. Fie { '} ' ,{ '} ' . D AO BC E B O AC = ∩ = ∩
Conform proprietății precedente punctele ', ', ', 'A B D E
aparțin unui cerc C1.Din puterea punctului O față de
cercul C1 rezultă ' ' ' 'OA OD OB OE ⋅ = ⋅ (1).
Patrulaterul ' 'B CE F fiind inscriptibil
( ( ' ) ( ) 90 ) = = ° m BEC m CFB rezultă ' 'OB OE OC OF ⋅ = ⋅
(2). Dacă { } ' 'D AO B C = ∩ , atunci patrulaterul AFDC
este inscriptibil (conform proprietății precedente) de
unde rezultă OC OF OA OD ⋅ = ⋅ (3). Din relațiile (1),
(2) și (3) rezultă ' ', OA OD OA OD ⋅ = ⋅ adică punctele
, ', A A D și 'D sunt conciclice, de unde
( ' ') ( ') m AAD m ADD = (4). Fie OT tangenta în O la
cercul ( C) circumscris patrulaterului ' ( ( ' ) ( ) 90 ) = = ° ODDX m ODX m ODX (Fig. 439).
198 Stanislaw Lec (1909-1966) – poet polonez A
B C A'
B' C'
D E F
Fig. 438 D' P
E'
ˆ Z O
C" B"
O ˆ
D
D'
T A A'
ˆ'
Fig. 439
434 Atunci, ( ') ( ') m TOD m ODD = (5). Din relațiile (4) și (5) rezultă
( ' ) ( '), = m AAO m TOD deci ' . AA OT Cum OX OT ⊥ (ca diametru în cercul C)
rezultă '. OX AA ⊥
Observație: Analog se arată că 'OY BB ⊥ și '. OZ CC ⊥
4) Fie P centrul de omologie și XYZ axa de omologie dintre triunghiurile bilogice ABC și
' ' ', A B C iar O centrul comun de ortologie. Ireptele OP și XZ sunt perpendiculare.
Demonstrație. Fie { '} ' ,{ '} ' ,{ '} 'D AO BC E B O AC X OX AA = ∩ = ∩ = ∩ și
{ '} '. Y OY BB = ∩ Conform proprietății precedente ' ', XX AA ⊥ deci patrulaterul
' ' 'A X D X este inscriptibil. Din puterea punctului O față de cercul circumscris
patrulaterului ' ' 'A X D X rezultă ' ' 'OX OX OA OD ⋅ = ⋅ (1). Punctele ', ', ', 'A B D E fiind
conciclice – din puterea punctului O față de acest cerc – rezultă ' ' ' '⋅ = ⋅OA OD OB OE (2).
Deoarece 'OY BB ⊥ rezultă ( ' ) 90 ( ), = °= m YY B m BEY deci punctele , ', ', BY E Y sunt
conciclice, de unde ' ' 'OB OE OY OY ⋅ = ⋅ (3). Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă
' 'OX OX OY OY ⋅ = ⋅ adică punctele , ', X X Y și 'Y sunt conciclice. Dacă C’ este cercul de
diametru OP, atunci OP este perpendiculară pe tangenta OT în O la C’, iar OT XY
(analog cu demonstrația din teorema precedentă) de unde .OP XY ⊥
III.26. Triunghiuri biortologice. Triunghiuri trior tologice
„Pitagora a sacrificat pe altarul lui Zeus o sută d e boi și acesta numai pentru un singur adevăr geome tric. Dar dacă
în zilele noastre am proceda în același fel, este p uțin probabil că am putea găsi atâtea vite cornute pe întreg globul
pământesc.” – M. V. Lomonosov 199
Triunghiul ABC se numește biortologic cu triunghiul ' ' ', A B C dacă el este ortologic în
același timp cu triunghiul ' ' 'A B C și cu triunghiul ' ' '. B C A Triunghiul ABC se numește
triortologic cu triunghiul ' ' ', A B C dacă triunghiul ABC este ortologic în același timp cu
triunghiurile ' ' ', ' ' 'A B C B C A și ' ' '. C A B
Teorema lui Pantazi
Iacă un triunghi ABC este ortologic în același timp cu triunghiurile ' ' ' A B C și ' ' ', B C A
atunci triunghiul ABC este ortologic și cu triunghiul ' ' '. C A B
Demonstrație. Fie 1 1 1 1 0 D ax by c = + + = ecuația dreptei BC și '
2 1 1 1 ' ' ' 0 D a x b y c = + + =
ecuația dreptei ' '. B C Analog, se definesc ecuațiile dreptelor ce conțin vârfurile
triunghiurilor ABC și ' ' 'A B C . Fie Aa, Bc, Cc perpendicularele duse din A,B,C pe
' ', ' ', respectiv ' '. B C AC A B Avem: 2 1 2 1
2 3
3 1 3 1 ' '( ) : 0, ' 'a a b b Aa D D a a b b +− = +
3 2 3 2
3 1
1 2 1 2 ' '( ): 0, ' 'aa bb Bb D D aa bb +− = + 1 3 1 3
1 2
2 3 2 3 ' '( ): 0. ' 'aa bb Cc D D aa bb +− = + Condiția ca triunghiurile
ABC și ' ' 'A B C să fie ortologice este:
199 Mikhailo Lomonosov (1711-1765) – chimist rus
435 3 2 3 2 1 3 1 3 2 1 2 1
3 1 3 1 1 2 1 2 2 3 2 3 ' ' ' ' ' '1' ' ' ' ' 'a a b b a a b b a a b b
a a b b a a b b a a b b + + +⋅ ⋅ = + + + , egalitate echivalentă cu
1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 1 3 1 3 2 1 2 1 3 2 3 2 ( ' ')( ' ')( ' ') ( ' ')( ' ')( ' ') (1) aa bb a a bb a a bb aa bb a a bb a a bb + + + = + + + .
Ținând seama de relația precedentă, pentru ca perpe ndicularele duse din ', ', 'A B C pe
laturile triunghiului ABC să fie concurente, este necesar ca:
1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 1 3 1 3 2 1 2 1 3 2 3 2 ( ' ' )( ' ' )( ' ' ) ( ' ' )( ' ' )( ' ' ) (2) a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b a a b b + + + = + + +
care este chiar relația (1). Deci, dacă perpendicularele duse din vârfurile
triunghiuluiABC pe laturile triunghiului ' ' 'A B C sunt concurente, atunci și
perpendicularele duse din vârfurile triunghiului ' ' 'A B C pe laturile triunghiului ABC
sunt concurente. Pentru ca triunghiurile ABC și ' ' 'B C A să fie ortologice, trebuie ca:
1 3 1 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ( ' ')( ' ')( ' ') ( ' ')( ' ')( ' ') (3) aa bb a a b b a a bb aa bb a a b b a a bb + + + = + + +
Din relațiile (1) și (3) rezultă:
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 1 ( ' ')( ' ')( ' ') ( ' ')( ' ')( ' ') aa bb a a b b a a bb aa bb a a b b a a bb + + + = + + +
relație echivalentă cu faptul că triunghiurile ABC și ' ' 'C A B sunt ortologice. Deci, dacă
două triunghiuri sunt biortologice, atunci ele sunt triortologice.
Consecință: Iacă triunghiul ABC este ortologic cu triunghiurile
1 2 3 2 3 4 , …, M M M M M M respectiv 1 1 ,n n M M M −atunci triunghiul ABC este ortologic și cu
triunghiul 1 2 .nM M M
III.27. Triunghiuri coparalele
„Expresia, conform căreia cel care nu cunoaște sau îi este străină geometria nu are dreptul să între î n școala
filozofului, deloc nu înseamnă, că este necesar să fii matematician, pentru a deveni înțelept.” – J. W . von Goethe 200
Triunghiurile ABC și 1 1 1 ABC se numesc coparalele dacă 1 1 1 . AA BB CC
1) Iacă M este un punct ce aparține laturii BC a triunghiului ABC, iar d este distanța
dintre paralelele duse la AM prin B și C, atunci [ ].2ABC AM d A⋅=
Demonstrație. Fie 'Bși 'Cproiecțiile
punctelor B și C pe dreapta AM . Dacă
( ) M BC ∈- Fig. 440 – atunci
[ ] [ ] [ ]' '
2 2 ⋅ ⋅= + = + = ABC ABM AMC AM BB AM CC A A A
.2⋅AM d
200 J. W. von Goethe (1739-1832) – scriitor german A
B C
MB’
C
’
Fig. 440
436 Dacă \( ) M BC BC ∈ – fig. 441 și fig. 442 – avem:
[ ] [ ] [ ]' '.2 2 2 ABC ABM AMC AM BB AM CC AM d A A A ⋅ ⋅ ⋅= − = − =
2) Fie ABC și 1 1 1 ABC două triunghiuri coparalele. Iacă înălțimile vârfur ilor A și 1A ale
celor două triunghiuri sunt necongruente, atunci ex istă punctele M BC ∈ și 1 1 1 M BC ∈
astfel încât 1 1
1 1 BM BM
BC BC = și
[ ] [ ]1 1 1 1 1 .
ABC ABC AM AM
A A =
Demonstrație. Evident cazurile 1AA BC și 1 1 1 AA BC
nu convin deoarece în fiecare dintre acestea rezult ă că
înălțimile din A și 1Aar fi congruente. Fie
{}1M AA BC = ∩ și {}1 1 1 1 . M AA BC = ∩ Astfel, din
1 1 1 BB MM CC rezultă 1 1
1 1 ,BM BM
BC BC = iar din
proprietatea precedentă avem [ ]2ABC AM d A⋅= și
[ ]1 1 1 1 1
2ABC AM d A⋅= ( d fiind distanța dintre 1BB și 1CC ) de
unde se obține:
[ ] [ ]1 1 1 1 1 .
ABC ABC AM AM
A A =
3) Iacă triunghiurile ABC și 1 1 1 ABC sunt coparalele, a, b, c respectiv
1 1 1 , , a b c sunt lungimile laturilor lor, atunci
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 8( ) ABC ABC b c a a c a b b a b c c A A + − ⋅ + + − ⋅ + + − ⋅ ≥ + ( ) ∗.
Demonstrație. Dacă înălțimile duse din vârfurile A și 1Aau lungimi diferite
1( ) a a h h ≠atunci utilizând proprietatea precedentă fie 1 1
1 1 ,BM BM xBC BC = = deci BM x BC = ⋅
și 1 1 1 1 . BM x BC = ⋅ Din teorema lui Stewart în triunghiul ABC rezultă :
2 2 2 b BM c MC AM BC BM MC BC ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ , relație echivalentă cu
()()2 2 2 2 1 1 . AM x b x c x x a = ⋅ + − − − Analog se arată că : B’
B C M C’ A
Fig . 442 B’
B C A C’
M
Fig. 441
A
B C
1A
1B 1C 1M M
Fig. 443
437 ()()2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 . AM x b x c x x a = ⋅ + − − − Atunci din
[ ] [ ]1 1 1 2 2
1 1
2 2
ABC ABC AM AM
A A = și relațiile precedente
rezultă:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 0
ABC ABC ABC ABC ABC ABC a a b c c a a b c c x x A A A A A A − + − + − ⋅ − − ⋅ + − = (1) .
Ecuația (1) are rădăcini reale dacă și numai dacă 0, ∆≥ (unde ∆ este discriminantul
ecuației (1) ). Utilizând relațiile [ ]2 2 2 2 2 2 2 ( ) 4 16 ABC a b c a c A − + − =− și
[ ]1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 ( ) 4 16 , 0 ABC a b c a c A − + − =− ∆≥ rezultă concluzia. Dacă
1,a a h h =atunci din
considerente de simetrie concluzia este adevărată ș i în cazurile
1b b h h ≠și
1.c c h h ≠În cazul
rămas de studiat –
1 1 1 , , a a b b c c h h h h h h = = = – cele două triunghiuri sunt congruente, iar
inegalitatea de demonstrat se verifică ca egalitate .
4) Iouă suprafețe triunghiulare cu aceeași arie sun t coparalele .
Demonstrație. Dacă
1 1 1 [ ] [ ] ABC ABC A A = atunci inegalitatea ( ) ∗se transformă în inegalitatea lui
Pedoe:
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) 16 ) ABC ABC b c a a c a b b a b c c A A + − ⋅ + + − ⋅ + + − ⋅ ≥ ⋅ ⋅ (vezi
„Teorema lui Pedoe”).
5) Iouă suprafețe triunghiulare ABC și 1 1 1 ABC cu 1 1 BC BC =sunt coparalele .
Demonstrație. Utilizând faptul că 1a a =inegalitatea (1) devine: 2 2 2 2 2
1 1 ( ) 0 b c b c − − + ≥ .
III.28. Triunghiuri înscrise
„Nimeni să nu intre aici dacă nu știe geometrie.” – Platon 201
Triunghiul ' ' 'A B C este înscris în triunghiul ABC , dacă pe fiecare latură a triunghiului
ABC se află câte un singur vârf al triunghiului ' ' ',( ' ( ), ' ( ), ' ( )) ∈ ∈ ∈ A B C A BC B AC C AB
Triunghiul ' ' 'A B C înscris în triunghiul ABC are laturile paralele cu trei ceviene
concurente ale triunghiului ABC dacă și numai dacă: ' ' '1BA CB AC
BC CA AB + + = sau
' ' '1. CA AB BC
BC AC AB + + =
Demonstrație. Fie 1 1 1 , , AA BB CC cevienele concurente. Laturile triunghiului ' ' 'A B C fiind
paralele cu cevienele ', ', 'AA BB CC rezultă că sunt posibile două ordonări:
i) 1 1 1 ' , ' , 'B A A C C B B A A C C B − − − − − − − − − (Fig. 444 )
ii) 1 1 1 ' , ' , 'B A A C C B B A A C C B − − − − − − − − − (Fig. 445).
201 Platon (428-348) – filosof, logician, mathematicia n grec
438 i) Din reciproca teoremei lui Ceva rezultă
1 1 1
1 1 1 1 AC BA CB
AB BC CA ⋅ ⋅ = (1). Notăm cu a,b,c lungimile
laturilor BC, CA, respectiv AB și cu
' ' ', , , , , (0,1). = = = ∈ BA CB AC x y z x y z BC CA AB Din
teorema lui Thales rezultă 1
1''AA AC
AB AB = de unde
1 1 '1 1 BA ax zAB AB = − = − adică
11a z
AB x −=, deci
1
11AC x z
AB x − − = (2). Analog, 1
11 (3) BA x y
BC y − − = și
1
11 (4). CB y z
CA z − − = Fie 1x y x t− − − = . Din
relațiile (1), (2), (3) și (4) rezultă
2[ ( ) ( )] 0 tt x y z t xy yz zx + + + ⋅ + + + = , adică
(1 )[(1 )(1 )(1 ) ] 0. x y z x y z xyz − − − − − − + =
Deoarece (1 )(1 )(1 ) 0 x y z xyz − − − + > rezultă că
1x y z + + = , relație echivalentă cu
' ' '1BA CB AC
BC CA AB + + = . Cazul ii) se tratează analog.
III.29. Triunghiuri înscrise izotomice
„Matematica seamănă cu o moară: dacă veți turna în ea boabe de grâu, veți obține făină, dar dacă veți turna în ea
tărâțe, tărâțe veți obține.” – Aldous Huxley 202
Fie M și 'M; N și 'N; P și 'P puncte izotomice pe laturile triunghiului ABC. Triunghiurile
MNP și ' ' 'M N P se numesc izotomice .
1) Triunghiurile de contact și cel cotangentic core spunzătoare unui triunghi ABC sunt
izotomice .
Demonstrație. Deoarece '= = − BM CM p b ,
'= = − CN AN p c și '= = − AP BP p a (Fig. 446) rezultă
că triunghiurile de contact și cotangentic ale triu nghiului
ABC sunt izotomice, unde a, b, c și p lungimile laturilor și
semiperimetrul triunghiului ABC.
202 Aldous Huxley (1894-1963) – scriitor englez A
B
C A' B' C'
1A 1B 1C
Fig. 444
A
B C A' B'
C'
1A 1B 1C
Fig. 445
A
B C M N
P
P'
M' N'
Fig. 446
439 2) Triunghiurile izotomice înscrise într-un triungh i au arii egale.
Demonstrație. Soluția 1. Fie ' , ' , 'x AP BP y AN CN z BM CM = = = = = = ,
', ', MM NN α β = = '. PP γ= Avem: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] MNP ABC PAN BMP NCM A A A A A = − + + și
[ ' ' '] [ ] [ ' '] [ ' '] [ ' '] [ ] M N P ABC P AN BM P N CM A A A A A = − + + . Arătăm că
[ ] [ ] [ ] [ ' '] [ ' '] [ ' '] PAN BMP NCM P AN BM P N CM A A A A A A + + = + + . Egalitatea precedentă este echivalentă
cu ( )( )sin sin ( ) sin sin ( )( )sin ( )sin
2 2 2 2 2 2 x y A xz B z y C xy A x z B z y C γ β α γ α β + + + + + + + + = + + ,
adică: sin sin sin sin sin sin sin sin x B z B B z C x A y A A y C α γ γα β β γ γβ α + + + = + + + și
utilizând teorema sinusurilor obținem x b zb b z c x a ya a yc α γ γα β β γ γβ α + + + = + + + .
Cum 2 , 2 , 2 a z b y c x α β γ = + = + = + egalitatea precedentă devine evidentă, deci
[ ] [ ' ' '] . =MNP M N P A A
Soluția 2. Fie MNP și ' ' 'M N P două triunghiuri izotomice înscrise în triunghiul ABC și
1=−BM m
MC m ,1=−CN n
NA n ,1=−AP p
PA p . Afixele punctelor M, N și P sunt:
(1 ) = − ⋅ + ⋅M B C z m z m z , (1 ) = − ⋅ + ⋅N C A z n z n z , (1 ) = − ⋅ + ⋅P A B z p z p z .
Atunci, aria triunghiului MNP este egală cu
[ ] [ ] 1 1
1 [ (1 )(1 )(1 )] 1 [ (1 )(1 )(1 )] 4 4
1 1 M M A A
MNP N N B B ABC
P P C C z z z z
i iA z z mnp m n p z z mnp m n p A
z z z z = ⋅ = + − − − ⋅ ⋅ = + − − − ⋅
( ) ∗. Analog, ' 1
'−=BM m
M C m , ' 1
'−=CN n
N A n și ' 1
'−=AP p
P B p , iar '(1 ) = − ⋅ + ⋅M C B z m z m z ,
'(1 ) = − ⋅ + ⋅N A C z n z n z , '(1 ) = − ⋅ + ⋅P B A z p z p z . Aria triunghiului ' ' 'M N P se obține
înlocuind în relația ( ) ∗ pe m, n și p cu 1-m, 1-n respectiv 1-p, obținându-se aceeași
expresie, deci [ ] [ ' ' '] .=MNP M N P A A
3) Centrul de greutate a două triunghiuri izotomice MNP și ' ' 'M N P înscrise în
triunghiul ABC sunt simetrice față de centrul de greutate al triun ghiului ABC.
Demonstrație. Din aplicația precedentă rezultă că afixul centrulu i de greutate al triunghiului
MNP este
1(1 ) (1 ) (1 )
3 3 + + + − + + − + + − = = M N P A B C
Gz z z n p z p m z m n z z , iar afixul
centrului de greutate al triunghiului ' ' 'M N P este egal cu:
2' ' ' (1 ) (1 ) (1 )
3 3 + + − + + − + + − + = = M N P A B C
Gz z z n p z p m z m n z z , de unde
1 2
3 2=+ + =+G G A B C
Gz z z z z z, adică tocmai afixul centrului de greutate al triu nghiului
ABC.
Consecință: Centrul de greutate al triunghiului ABC este mijlocul segmentului ce unește
centrele de greutate al triunghiului de contact res pectiv cotangentic corespunzătoare
triunghiului ABC.
440 III.30. Triunghiuri pseudoisoscele
„Multe capitole ale matematicii mi-au fost dragi. M atematica e una.” – Gr. Moisil 203
Triunghiul ABC , în care bisectoarele exterioare ale unghiurilor B și C sunt egale,
triunghiul ABC nefiind isoscel, se numește pseudoisoscel .
1) Iacă în triunghiul pseudoisoscel ABC , aI′ este simetricul punctului aI- centrul
cercului A -exînscris al triunghiului ABC față de mijlocul laturii BC, atunci centrul
cercului înscris (I) al triunghiului ABC aparține mediatoarei segmentului aAI′.
Demonstrație. Fie BE și CD cele două bisectoare exterioare egale
( ,E AC D AB ∈ ∈ ),(Fig. 447) ,b b AA CD A BC ∈ , ,c c AA BE A BC ∈ , iK,bK,cK
picioarele înălțimilor duse din aI, B respectiv C , în triunghiul
aBCI, , , { } { } b b b c c c K BK AA K CK AA ′ ′= ∩ = ∩ { } , bM AA BE = ∩ { } . cM AA CD ′= ∩
Avem: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ABC BCE BAE CAD BCD A A A A A = − = − ,[ ] .2c
DCE BE CK A⋅= Deoarece ,cAK BE ′
rezultă că distanța de la A la BE este egală cu ,c c K K ′ de unde [ ] 2c c
BAE BE K K A′⋅=
și astfel: )
[ ] (
2 2c c c c
ADC BE CK BE CK K K A′ ′⋅ −= = (1). Analog
A
B C
D E
M I 1C
1B
iK
bK
cK
aI '
aI
'
cK '
bK
bA cA
Fig. 447 '
iK
M' 1H
441 [ ] [ ] [ ] 2b
ABC CAD BCD BD BK A A A ′⋅= − = (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă b c BK CK ′ ′=.
Unghiurile triunghiurilor aI BC au măsurile 1 1 1 ˆ ˆ ˆ 90 ( );90 ( );90 ( ) 2 2 2 m A m B mC °− °− °− .
Atunci, 1 1 ˆ ˆ ( ) ( ) 90 (90 ( )) ( ) 2 2 c a b a m K CI m K BI m A m A = = ° − ° − = ,
1( ) ( ) ( ) 2c b m K CM m K BM m BAC ′ ′ ′= = , de unde rezultă că b c BK M CK M ′ ′ ′∆ ≡∆ , și de aici
BM CM ′≡ (3). Fie 1 1 1 1 1 1 , , , ,{ } . b c a CC BE C AA BB DC B AA I BB CC ′ ∈ ∈ = ∩
Patrulaterele a a BI CI′ și 1BHCI sunt paralelograme, ( unde I este centrul cercului înscris în
triunghiul ABC și 1H ortocentrul triunghiului aBI C ). Deci aI′ și I sunt simetricele
punctelor aI și 1H față de BC . Fie ,a iI K BC ′ ′⊥ iK BC ′∈. Avem
1' ' 1( ) ( ) ( ). 2ia a m BI K mCI H m ACB ′= = Cum patrulaterul aBI CI este inscriptibil rezultă că
1( ) ( ) ( ). 2am BI I m BCI m ACB = = Dar 'a a BI I M AI≡ (ca unghiuri alterne interne), deci
1( ) ( ) ( ) 2a a im MAI m BI K m ACB ′ ′ ′= = (4). Din 1 1 , 'aI C BM C A CM ′≡ ≡ și relația (3) rezultă
1 1 1 aI C CA AB ′≡ ≡ , adică patrulaterul 1 1 aABI C ′ este romb. Deci,
1 1 '
aaAI B I AB ′≡ relație
care împreuna cu (4) dau
a a IAI II A ′ ′≡, adică triunghiul aIAI′ este isoscel, deci
1a a AI II I H ′= = (5) și punctele 1 1 , , C B I sunt coliniare deoarece dreapta 1IC este
perpendiculară pe segmentul ][aI A′ în mijlocul acestuia.
2) Consecință:
Iistanțele de la ortocentrul triunghiului aI BC la vârfurile acestuia sunt respectiv egale
cu distanțele de la centrul cercului înscris I la vârfurile triunghiului ABC.
3) Triunghiul ortic al triunghiului aI BC este pseudoisoscel .
Demonstrație. Triunghiul ortic b c iK K K al triunghiului aI BC are unghiurile de măsuri
1180 2 90 ( ) ( ) 2m A m A °− °− = respectiv ˆ( ) m B , ˆ( ) mC și atunci triunghiurile b c iK K K
și ABC sunt asemenea, deci triunghiul ortic al triunghiul ui aI BC este pseudoisoscel.
4) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC este adevărată relația: aAI r r = − (ar este raza
cercului A-exînscris și r raza cercului înscris în triunghiul ABC) .
Demonstrație. Avem rrKIKIIIAIaiiaa −=′−′′=′= (6).
203 Grigore Moisil (1906-1973) – matematician român, p rofesor la Universitatea din Iași, membru al Academ iei
ǎomâne
442 5) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC este adevărată relația : a
aBIa c
CI b a −=−.
Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor cCAM ′ și aCBI, respectiv a triunghiurilor
aBA M și aBCI rezultă: a
cCICB
CM CA =′ și a
bBIBC
BM BA = de unde
'
a c a b CI CA CM CB BM BC BI BA ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ (unde am folosit relația (3)) și de aici
a c
a b BI CA
CI BA = (7). Dar, cAB BA c = = , deci cCA a c = − și analog bBA b a = − . Astfel
relația (7) devine : a
aBIa c
CI b a −=− (8).
6) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC este adevărată relația : 2.AI BI CI= ⋅
Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor ABI și 1aBH I rezultă: 1 1 a a BI I H BH
AB BI AI= = ;
dar 1a a I H II AI′= = și 1 1 BH CI=, deci aBIAI CI
AB BI AI= = (9). Analog, aCIAI BI
AC CI CI= =
(10), de unde rezultă 2.AI BI CI= ⋅
7) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC ,2sin sin sin 2 2 2 A B C = ⋅ .
Demonstrație. Înlocuim relația cunoscută 4 sin sin 2 2 B C AI R = ⋅ și analoagele în egalitatea
2AI BI CI= ⋅ și va rezulta 2sin sin sin 2 2 2 A B C = ⋅ .
8) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC ,2
a b c II II II= ⋅.
Demonstrație. Deoarece 4 sin , 4 sin , 4 sin 2 2 2 a b c A B C II R II R II R = = = , egalitatea de
demonstrat este echivalentă cu 2sin sin sin 2 2 2 A B C = ⋅ , demonstrată anterior.
9) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC , a a
aBI CIAIAI⋅=.
Demonstrație. Din relațiile (9) și (10) rezultă a a BI CI b c ⋅ = ⋅ . Cum în orice triunghi ABC
avem aAI AI b c ⋅ = ⋅ rezultă a a a BI CI AI AI⋅ = ⋅ , deci a a
aBI CIAIAI⋅= .
443 10) Într-un triunghi ABC pseudoisoscel , 3 2 ( ) 3 ( ) 0. a b c a abc bcb c − + + − + =
Demonstrație. Din relațiile (9) și (10) rezultă a
aCIBI AB b a c
CI BI AC a c b −= ⋅ = ⋅− (11). Din
asemănarea triunghiurilor iBIK ′ și c c CK A ′, respectiv iCIK ′ și b b BK A ′ rezultă:
c b
iCA BK
CI CK ′=′. Cum b c BK CK ′ ′= rezultă c i
c iCA BK BI
CI BA CK = ⋅′. Dar,
,i i i iBK CK p bCK BK p c ′ ′= = − = = − (unde 2a b c p+ + = ), deci: BI a c p b
CI b a p c − − = ⋅− − (12).
Din relațiile (11) si (12) rezultă legatura dintre laturile unui triunghi pseudoisoscel :
a c p b c b a
b a p c b a c − − − ⋅ = ⋅− − − adică 3 2 ( ) 3 ( ) 0 a b c a abc bcb c − + + − + = (13).
Observație: ǎelația precedentă poate fi obținută direct plecând de la egalitatea bisectoarelor
exterioare CD și BE.
11) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC , 24aa bc Rr + = .
Demonstrație. ǎelația 3 2 ( ) 3 ( ) 0 a b c a abc bcb c − + + − + = este echivalentă cu
2 2abc a bc b c a = + + − și cum 2( ) aabc Rr b c a =+ − (vezi “Cercurile exînscrise”) rezultă
concluzia.
12) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC ,1 1 1 0a b a c bc + + = − − .
Demonstrație. ǎelația 1 1 1 0a b a c bc + + = − − este echivalentă cu
3 2 ( ) 3 ( ) 0. a b ca abc bcb c − + + − + =
13) Într-un triunghi pseudoisoscel ABC , 2( ) a
ar r IIr−=.
Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor AIR și 'aAI R – unde R și R’ sunt proiecțiile
punctelor I și aI′ pe latura AC – rezultă
a a AI r
AI r =,iar de aici
a a AI r
AI AI r r =− − și
utilizând relația (6) obținem concluzia.
14) Consecință: Într-un triunghi pseudoisoscel ABC , ( ) a a a
aAI r r r r AIr r ⋅ − ⋅= = .
444 III.31. Triunghiuri cosimediane
„Nu s-ar putea oare reprezenta muzica drept matema tica simțurilor și matematica drept muzică a rațiu nii? Căci
muzicianul simte matematica,iar matematicianul conc epe muzica. Muzica-i vis, matematica este viața pr actică.”-
James Sylvester 204
Fie ', ', 'A B C punctele de intresecție ale simedianelor triunghiu lui ABC cu cercul
circumscris triunghiului ABC .
1) Laturile triunghiului ' ' 'A B C sunt proporționale cu medianele triunghiului ABC.
Demonstrație. Fie ', ', 'a b c lungimile laturilor triunghiului ' ' 'A B C . Avem:
1( ' ') ( ') ( ') 2m AAC m ACC m AC = = și 1( ' ') ( ') ( ') 2m AA B m ABB m AB = = de unde
( ' ' ') ( ) ( ) ( ) ( ) 180 ( ). m B AC m ABK m KCA m CBG m BCG m BGC = + = + = °−
Analog, ( ' ' ') 180 ( ), ( ' ' ') 180 ( ). m A B C m AGC m AC B m AGB = °− = °− Teorema
sinusurilor aplicată în triunghiurile cBCM și BGC ne dă: /2
sin sin =cmc
GCB B și
(2/3)
sin sin ⋅= bma
GCB BGC , de unde sin 4cbc GCB Rm = și 3sin 8c b abc CGB Rmm = . Atunci,
3' 2 sin(180 ) 2 sin 4b c abc a R BGC R BGC mm = °− = = . Analog 3'4a c abc bmm = și 3'4a b abc cmm = ,
deci ' ' '.
a b c a b c
m m m = = Analog se arată că
' ' '.
a b c a b c
m m m = =
2) Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C admit aceleași simediane ', ', '. AA BB CC .
Demonstrație. Fie , , a b c K K K intersecțiile dintre simediane cu laturile opuse, ", ", " A B C
intersecțiile simedianelor ', ', 'AA BB CC cu laturile ' ', ' ', B C C A respectiv ' '. A B
Avem: [ ' " ']
[] ' " '] ' " ' ' ''sin 3 3 sin sin : sin " ' ' ' ' ''sin 4 4 sin A A C b
A A B a b a b c A m C A AC AA abc abc
A B A A B A A mm mm m α α α β β β ⋅= = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
204 James Sylvester (1814-1897) – matematician englez, profesor la Universitatea din Oxford, contribuții
importante în algebră A
B C K cK
A' C' B'
aK bK
Fig. 448 A"
B" C"
445 (1), unde ( " ' '), ( " ' ') m A AC m A A B α β = = și 1( ' ) ( ' ) , 2 = = m C CA mC A α
1( ') ( ') . 2 = = m ABB m AB β Teorema sinusurilor aplicată în triunghiul cACK și bABK dă:
sin sin sin sin , (2).
c c b b A A
AK CK AK BK α β = = Deoarece bBK și cCK sunt simediane rezultă:
2 2
, , c b
c b K A K A b c
K B a K C a = = de unde rezultă 2 2
2 2 2 2 , , c b cb bc K A AK a b a c = = + + iar
2 2 2 2 2 2 , (3) b c
b c acm abm BK CK a c a b = = + + (vezi „Simediane”). Din realațiile (2) și (3) rezul tă:
sin 4cbc
Rm α= și sin (4). 4bbc
Rm β= Din relatiile (1) și (4) rezultă
2 2' " '
'' ' 'b
cmC A b
A B m c = = (conform proprietății 1), deci "AA este simediană în triunghiul
' ' 'A B C . Analog se arată că "BB și "CC sunt simediane în triunghiul ' ' 'A B C .
Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C care admit aceleași simediane se numesc triunghiuri
cosimediane .
3) Triunghiul circumpedal al punctului lui Lemoine al unui triunghi ABC și triunghiul
ABC sunt triunghiuri cosimediane.
Demonstrație. Proprietatea este o reformulare a teoremei (1).
4) Iouă triunghiuri cosimediane au același punct al lui Lemoine.
Demonstrația rezultă din faptul că triunghiurile admit aceleași simediane.
5) Iouă triunghiuri cosimediane sunt omologice, cen trul de omologie fiind punctul lui
Lemoine al triunghiului ABC.
Demonstrația este evidentă.
6) Cercurile lui Apollonis ale triunghiului ABC intersectează cercul circumscris al
triunghiului ABC în vârfurile triunghiului cosimedian.
Demonstrație. Vezi „Cercurile lui Apollonius”.
7) Între unghiurile triunghiurilor cosimediane ABC și ' ' 'A B C au loc relațiile:
2' ' '3ctgA ctgA ctgB ctgB ctgC ctgC ctg ω + = + = + = ( ωeste unghiul lui Brocard).
Demonstrație. ' ( ) ( ) ctgA ctgA ctgA ctg BGC ctgA ctg BGC π + = + − = − , G fiind centrul
de greutate al triunghiului ABC. Teorema cosinusului aplicată în triunghiul BGC dă:
2 2
22 2 2 2 2 cos 3 3 3 3 b c b c a m m m m BGC = + − ⋅ ⋅ ⋅ sau : 2 2 2 5cos , 8b c b c a BGC mm + − = de
446 unde 2 2 2 2 2 2 85 ( 5 )
8 3 3 b c
b c Rmm b c a b c a R ctgBGC mm abc abc + − + − ⋅= ⋅ = , iar 2 2 2 b c a ctgA R abc + − = ⋅ .
Avem 2 2 2
2 2 2 2 2 2 5 2 ' ( ) 3 3 R b c a R ctgA ctgA b c a b c a abc abc + − + = + − − = ⋅ ⋅ + + . Ținând
cont că:
[ ]2 2 2 2 2 2
4ABC b c a b c a ctg R A abc ω+ + + + = = ⋅⋅ rezultă: 2' . 3ctgA ctgA ctg ω + = Analog se
arată că 2' ' . 3ctgB ctgB ctgC ctgC ctg ω + = + =
8) Iouă triunghiuri cosimediane au același unghi Br ocard .
Demonstrație. Fie 'ω unghiul lui Brocard al triughiului ' ' 'A B C . Atunci
2'3ctgA ctgA ctg ω + = și 2' ', 3ctgA ctgA ctg ω + = de unde 'ctg ctg ω ω = și cum
30 , ' 30 ω ω ≤ ° ≤ ° (vezi „Punctele lui Brocard”) rezultă '. ω ω =
9) Iouă triunghiuri cosimediane au același cerc Bro card .
Demonstrație. Cercul lui Brocard este cercul ce are ca diamtru s egmentul determinat de
centrul cercului circumscris triunghiului și punctu l lui Lemoine al aceluiași triunghi.
Deoarece triunghiurile cosimediane au același cerc circumscris și același punct al lui
Lemoine rezultă că au și același cerc Brocard.
10) Iouă triunghiuri cosimediane au aceleași puncte Brocard .
Demonstrație. Deoarece cercul lui Brocard trece prin punctele lu i Brocard Ω și 'Ω ale
triunghiului ABC , Ω și 'Ω sunt simetrice față de diametrul OK (vezi „Cercul lui
Brocard”), iar triunghiurile cosimediane au același cerc Brocard, rezultă concluzia.
11) Iouă triunghiuri cosimediane au același al doil ea triunghi Brocard .
Demonstrația este evidentă deoarece vârfurile celui de-al doilea triunghi Brocard sunt
picioarele perpendicularelor duse din centrul cercu lui circumscris triunghiului de referință
pe simedianele triunghiului.
447 III.32. Triunghiul celor trei imagini
„Matematica este o monstruoasă tautologie.” – Ber nard Shaw 205
Triunghiul * * * ABC ale cărui vârfuri sunt obținute prin simetria vârf urilor triunghiului
ABC față de laturile opuse se numește triunghiul celor trei imagini al triunghiului ABC
(Fig. 449).
1) Triunghiurile ABC și * * * ABC sunt omologice centrul de omologie fiind ortocentr ul
triunghiului ABC.
Demonstrație. Deoarece dreptele * * ,AA BB și *CC sunt perpendiculare pe laturile BC, CA,
respectiv AB rezultă că ele sunt concurente în ortocentrul triu nghiului ABC , deci conform
teoremei lui Desargues triunghiurile ABC și * * * ABC sunt omologice.
2) Centrul cercului circumscris triunghiului celor trei imagini * * * ABC corespunzător
unui triunghi ABC este simetricul centrului cercului circumscris tri unghiului ABC față
de punctul lui Coșniță.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Coșniță”.
3) Cercurile circumscrise triunghiurilor * * * * * * , , ABC BC A CAB trec prin inversul
punctului lui Coșniță față de cercul circumscris tr iunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Coșniță”.
4) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC și * * * ABC triunghiul celor trei
imagini corespunzător triunghiului ABC. Cercurile circumscrise triunghiurilor AOA ∗,
BOB ∗ și COC ∗ se întâlnesc într-un punct care este inversu l punctului izogonal
conjugat al centrului cercului lui Euler al tr iunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Teorema lui Musselman”.
205 Bernard Shaw (1856 -1950) – scriitor irlandez, lau reat al Premiului Nobel pentru Literatură în 1925 B C A
A∗ B∗
C∗
H
Fig. 449
448 Teorema lui Boutte
2) Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC . Triunghiul celor trei imagini * * * ABC
este obținut prin omotetia de centrul G și raport 4 a triunghiului podar al centrului
cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Fie , , a b c M M M mijloacele laturilor BC , CA respectiv AB și 1 1 1 , , A B C mijloacele laturilor
,b c c a M M M M respectiv a b M M . Evident, triunghiul 1 1 1 ABC se obține din triunghiul ABC
prin omotetia de centru G și raport 1/4. Fie X omoteticul lui ∗A prin H1
4( , ) G (Fig. 450).
Arătăm că X este proiecția centrului cercului lui Euler ( 9O) al triunghiului ABC pe BC.
Cum 1 1
4∗= = GA GX
GA GA din reciproca teoremei lui Thales rezultă că 1∗AX AA . Dar
∗⊥b c AA M M de unde rezultă că 1b c AX M M ⊥ , deci 1AX BC ⊥. Cu alte cuvinte
X BC ∈ (Fig. 451). Evident , X este simetricul punctului 1A față de 1 1 BC (care este linie
mijlocie în triunghiul a b c M M M ); cu
alte cuvinte punctul X aparține cercului
circumscris triunghiului a b c M M M ,
adică cercului lui Euler. Urmează că X
este proiecția lui 9O pe BC . Analog se
demonstrează că imaginile punctelor ∗B
și ∗Cprin omotetia H1
4( , ) G sunt
proiecțiile lui 9O pe CA, respectiv AB .
Observație: Dacă 9 9 9 a b c O O O este
triunghiul podar al centrului cercului lui
Euler al triunghiului ABC , atunci
* * *
9 9 9 4. a b c GA GB GC
GO GO GO = = =
B C A
A∗ B∗
C∗
H
Fig. 450 9O
G O H G O
9O
A' C bM cM A
B H
1C
1B 1A
ˆ G
aM O
Fig. 451
449 III.33. Triunghiuri izoliniare
„Cel mai fericit om este acela care face feri ciți un număr cât mai mare de oameni.” – Lev Tolst oi 206
Fie două triunghiuri ABC și ' ' 'A B C în același plan. Iacă paralelele duse prin , , A BC
la laturile ' 'B C , ' 'C A respectiv ' 'A B intersectează laturile opuse în trei puncte
coliniare , , α β γ atunci și paralelele duse prin ', ', 'A B C la ,BC CA respectiv AB
întâlnesc laturile opuse ' ', ' 'B C C A și ' 'A B în trei puncte coliniare ', ', '. α β γ
Fie ' ' '
1 1 1 ABC triunghiul determinat de dreptele ,A B α β și Cγ, iar 1 1 1 ABC triunghiul
determinat de dreptele ' ', ' 'A B α β și ' 'Cγ. Din asemănarea triunghiurilor ' ' 'A B α cu
1'CB α, respectiv ' ' 'C A α cu 1'C B α ( triunghiuri cu laturile paralele două câte două )
rezultă:
1' ' ' '
'B A
B C α α
α α = și
1' ' ' '
'C A
C B α α
α α = . Prin împărțirea relațiilor precedente se obține:
1
1' ' '
' ' 'B B B
C C C α α α
α α α ⋅=⋅. Analog, se arată egalitățile: 1
1' ' '
' ' 'A A A
B B B γ γ γ
γ γ γ ⋅=
⋅ și
1
1' ' '
' ' 'C C C
A A A β β β
β β β ⋅=
⋅, de unde rezultă că ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' 'B C A
C A B α β γ
α β γ ⋅ ⋅ =
' ' '1 1 1 1 1 1
' ' '1 1 1 B C A B C A
C A B C A B α β γ α β γ
α β γ α β γ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = (unde s-a aplicat teorema lui Menelaus
206 Lev Tolstoi (1828-1910) – scriitor rus '
1A 1A
A' A
C C' '
1C 1C
B B' B'
'
1B α α'
β β' γ'
γ
Fig. 452
450 triunghiurilor ' ' '
1 1 1 ABC și ABC cu transversala αβγ ) și din reciproca teoremei lui Menelaus
aplicată în triunghiul ' ' 'A B C rezultă că punctele ', ', 'α β γ sunt coliniare.
Observație: Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C ce îndeplinesc condițiile de mai sus se numesc
izoliniare.
III.34. Triunghiuri metaparalele
„Azi facem matematica ce va fi folosită m âine și mai ales poimâine.
Dacă n-am face-o azi, poimâine ar trebui s-o impor tăm.” – Gr. Moisil 207
1) Fie triunghiurile ABC și ' ' 'A B C . Iacă paralelele duse din A, B, C la ' 'B C , ' 'C A ,
respectiv ' 'A B sunt concurente într-un punct D, atunci paralelele duse din 'A, 'B, 'C
la BC , CA , respectiv AB sunt concurente într-un punct 'D.
Demonstrație. Fie 1 1 ( , ) A x y ,2 2 , ) (yB x ,3 3 ( , ) C x y ,' ' ' ' ' '
1 1 2 2 3 3 '( , ), '( , ), '( , ) A x y B x y C x y . Ecuațiile
paralelelor duse din A, B, C la dreptele ' 'B C , ' 'C A , respectiv ' 'A B sunt:
1 1 3 2 3 2 3 2 3 2 , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) x y y y x x y y x x x y − − − = − − − ,1 3 1 3 2 1 3 2 1 3 , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) x y y y x x y y y x x x − − − = − − −
2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) x y y y x x x y y y x x − − − = − − − . Condiția de concurență este
echivalentă cu: 1 1 3 2 2 1 3 3 2 1 3 2 2 1 3 3 2 1 , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y y y x y y x x y x x y x x x x y − + − + − = − + − + − ,
adică ' ' '
1 2 3
1 2 3 1 1 1
y y y
x x x = ' ' '
1 2 3
1 2 3 1 1 1
x x x
y y y ( ) ∗. Simetria relației precedente demonstrează
teorema .
Observații:
1) Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C ce au proprietățile de mai sus se numesc metaparalele
sau paralelogice , iar punctele D și 'D se numesc centre de metaparalelism .
207 Grigore Moisil (1906-1973) – matematician român, p rofesor la Universitatea din Iași, membru al Academ iei
ǎomâne A
C' B'
B A 1 B1 C1
A'
C D D'
Fig. 453
451 2) Vom nota cu ABC ' ' 'A B C faptul că triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt
metaparalele.
2) Iacă ABC ' ' 'A B C , ABC ' ' 'B C A , atunci ABC ' ' 'C B A .
Demonstrație: Utilizând teorema precedentă relațiile ABC ' ' 'A B C și ABC
' ' 'B C A sunt echivalente cu: ' ' '
1 2 3
1 2 3 1 1 1
y y y
x x x = ' ' '
1 2 3
1 2 3 1 1 1
x x x
y y y , respectiv ' ' '
2 3 1
1 2 3 1 1 1
y y y
x x x =
' ' '
2 3 1
1 2 3 1 1 1
x x x
y y y . Din egalitățile precedente rezultă: ' ' '
3 2 1
1 2 3 1 1 1
y y y
x x x = ' ' '
3 2 1
1 2 3 1 1 1
x x x
y y y , adică ABC
' ' 'C B A .
3) Iacă ABC 1 2 3 M M M , ABC 2 3 4 M M M , … , ABC 1 1 n n M M M −, atunci
ABC 1 2 nM M M .
Demonstrația proprietații se realizează utilizând relația ( ) ∗.
III.35. Triunghiul pedal
„Cea mai mare dorință a mea este să comunic și alto ra
pasiunea mea pentru matematică.” – Miron Nicolescu 208
Dacă M este un punct în planul triunghiului ABC , picioarele cevienelor AM, BM, CM sunt
vârfurile unui triunghi 1 2 3 M M M numit triunghiul pedal al lui M (Fig. 454).
1) Triunghiul pedal al centrului de greutate al unu i
triunghi ABC este triunghiul median corespunzător
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Triunghiul median”.
2) Triunghiul pedal al ortocentrului unui triunghi ABC
este triunghiul ortic corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „ Triunghiul ortic”.
3) Triunghiul pedal al punctului lui Gergonne al un ui
triunghi ABC este triunghiul de contact corespunzător
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Gergonne”.
4) Triunghiul pedal al punctului lui Nagel al unui triunghi ABC este triunghiul
cotangentic corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Nagel”.
208 Miron Nicolescu (1903-1975) – matematician român, membru al Academiei ǎomâne, contribuții în analiza
matematică A
B C 1M 3M
M
Fig. 454 2M
452
5) Fie ' ' 'A B C triunghiul pedal al centrului cercului circumscri s triunghiului ABC.
Atunci, sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 sin2 , , . ' sin2 ' sin2 ' sin2 AO B C BO C A CO A B
OA A OB B OC C + + + = = =
Demonstrație. Vezi „Centrul cercului circumscris unui triunghi”.
6) Iacă a b c Ω Ω Ω este triunghiul pedal al primului punct al lui Bro card Ω
corespunzător unui triunghi ABC , ( ), ( ), ( ), a b c BC CA AB Ω ∈ Ω ∈ Ω ∈ atunci
2
a
aBc
C a Ω = Ω , 2
b
bCa
A b Ω = Ω și 2
c
cAb
B c Ω = Ω .
Demonstrație. Vezi „Punctele lui Brocard”.
7) Iacă ' ' '
a b c Ω Ω Ω este triunghiul pedal al celui de-al doilea punct Brocard, '( ) aBC Ω ∈ ,
'( ) bCA Ω ∈ ,'( ) cAB Ω ∈ , atunci 2 '
'a
aBa
cCΩ = Ω ,2 '
'b
bCb
aAΩ = Ω ,2 '
'.c
cAb
cBΩ = Ω
Demonstrație. Vezi „Punctele lui Brocard”.
8) Triunghiul pedal al retrocentului R al unui triunghi ABC este triunghiul podar al
punctului lui Longchamps corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „ǎetrocentrul unui triunghi”.
9) Triunghiul antisuplementar a b c I I I și triunghiul pedal al centrului cercului înscris
într-un triunghi ABC sunt ortologice .
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.
10) În triunghiul ABC fie ' ' 'A B C triunghiul pedal al unui punct Q, astfel încât
'
'BA p
AC n =,'
'CB m
B A p = și '
'AC n
C B m =. Iacă , , A B C z z z sunt afixele punctelor A,B,C, atunci
afixul punctului Q este .A B C
Qmz nz pz zm n p + + =+ +
Demonstrație. Afixele punctelor ', ', 'A B C sunt 'B C
Anz pz zn p +=+, 'A C
Bmz pz zm p +=+ și
' .A B
Cmz nz zm n +=+Fie punctul 'A B C mz nz pz Qm n p + +
+ + . Utilizând condiția de coliniaritate a
trei puncte ( ), ( ) D E D z E z și ( ) FF z – anume: 1
1 0
1D D
E E
F F z z
z z
z z =, rezultă fără dificultate că
punctele , ', 'A A Q ; , ', 'B B Q ; respectiv , ', 'C C Q sunt coliniare, iar cum punctul 'Q
aparține celor trei ceviene ', ', 'AA BB CC rezultă că '. Q Q ≡
453 11) În triunghiul ABC fie ' ' 'A B C triunghiul pedal al unui punct P, astfel încât
'
'BA
AC ν=,'
'AB
B C µ= și '
'AC
C B λ=. Atunci, pentru orice punct din planul triunghiulu i
ABC este adevărată relația: 1.1 1 1 MP MA MB MC λ µ
λ µ λ µ λ µ = + + + + + + + + uuur uuur uuur uuuu r
Demonstrație. Din teorema lui Ceva avem: 11λ ν µ⋅ ⋅ = , deci µνλ= (1). Din teorema lui
Van – Aubel obținem:
'PA
PA λ µ = + , de unde rezultă 1'1 1 MP MA MA λ µ
λ µ λ µ += + + + + + uuur uuur uuuur
(2). Din '
'BA
A C ν= rezultă 1'1 1 MA MB MC ν
ν ν = + + + uuuur uuur uuuu r
(3). Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă
concluzia.
Cazuri particulare :
1) Dacă P G ≡, atunci 1 1 1
3 3 3 MG MA MB MC = + + uuuu r uuur uuur uuuu r
.
2) Dacă P I≡, atunci a b c MI MA MB MC a b c a b c a b c = + + + + + + + + uuu r uuur uuur uuuu r
.
3) Dacă P O ≡, atunci
1(sin2 sin2 sin2 ) sin2 sin2 sin2 MO A MA B MB C MC A B C = ⋅ + ⋅ + ⋅+ + uuuu r uuur uuur uuuu r
.
4) Dacă P H ≡, atunci
tgA tgB tgC MH MA MB MC tgA tgB tgC tgA tgB tgC tgA tgB tgC = + + + + + + + + uuuur uuur uuur uuuu r
(pentru un triunghi
nedreptunghic).
III.36. Triunghiul anticevian
„O teoremă de geometrie este o legătură organică în tre părțile unei figuri.” – Gh. Țițeica 209
Fie P un punct din planul triunghiului ABC . Triunghiul anticevian ' ' 'A B C al
triunghiului ABC corespunzător punctului P este obținut astfel: ' ', A B C ∈ ' ', B AC ∈
' 'C B A ∈ iar ' ' ' { } ∩ ∩ = AA BB CC P (Fig. 455 ). Punctul P se numește punct anticevian .
1) Triunghiul ABC este triunghiul cevian al punctului P în raport cu triunghiul
' ' 'A B C .
2) Triunghiul anticevian corespunzător centrului ce rcului înscris (I) în triunghi este
triunghiul antisuplementar .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul antisuplementar”.
209 Gheorghe Țițeica (1873-1939) – matematician rom ân, profesor la Universitatea din București, membru al
Academiei ǎomâne, contribuții importante în geometr ie
454 3) Triunghiul anticevian corespunzător centrului de greutate (G) este triunghiul
anticomplementar .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul anticomplementar”.
4) Triunghiul anticevian corespunzător punctului si median (K) este triunghiul
tangențial .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul tangențial”.
5) Fie ' ' 'A B C triunghiul anticevian al unui punct P în raport cu un triunghi ABC.
Bisectoarele unghiurilor triunghiului ' ' 'A B C intersectează laturile BC, CA și AB în
punctele ", ", A B respectiv ". C Ireptele ", " AA BB și "CC sunt concurente.
Demonstrație. Din teorema
bisectoarei rezultă " '," '=BA BA
A C AC
" '
" '=CB CB
B A B A și " '." 'AC AC
C B C B = Din
teorema lui Ceva aplicată în
triunghiul anticevian ' ' 'A B C
rezultă ' ' '1' ' 'AC BA CB
AB BC CA ⋅ ⋅ = , de unde
se obține:
" " " ' ' '1" " " ' ' 'BA CB AC BA CB AC
A C B A C B AC B A C B ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
și din reciproca teoremei lui Ceva aplicată în tri unghiul ABC rezultă că dreptele ", " AA BB
și "CC sunt concurente.
A
B C B'
C'
P
A'
Fig. 455
A
B C B'
C'
P
A'
Fig. 456 A" B" C"
455 III.37. Triunghiuri ortogonale
„Am închis ușile ca să nu intre greșeala. Atunci a devărul m-a întrebat: pe unde voi intra eu?” – ǎ. Tagore 210
Două triunghiuri se numesc ortogonale dacă au laturile două câte două perpendiculare una
pe alta.
Să se construiască triunghiul ' ' 'A B C având vârfurile pe dreptele suport ale laturilor
triunghiului ABC astfel încât cele două triunghiuri să fie ortogona le.
Demonstrație. Presupunem că triunghiul ' ' 'A B C astfel încât
' ' , ' ' , ' ' , AC AC A B AB B C BC ⊥ ⊥ ⊥ ' , ' , ' . A AC B AB C BC ∈ ∈ ∈ Construim
perpendicularele pe laturile triunghiului ABC în vârfurile acestui triunghi și fie 1 1 1 ABC
triunghiul obținut prin intersecțiile acestor perpe ndiculare. Avem
1 1 1 1 1 1 , , . AC AC AB AB BC BC ⊥ ⊥ ⊥ ǎepetând procedeul de mai sus, obținem triunghiul
2 2 2 ABC cu 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 , , . AC AC AB AB BC BC ⊥ ⊥ ⊥ Se observă 2 2 2 2 , , AC AC AB AB
2 2 .BC BC Se poate considera că triunghiul 2 2 2 ABC se obține din triunghiul ABC printr-o
omotetie. Fie O centrul acestei omotetii, centru care se află la in tersecția dreptelor
2 2 2 , , . AA BB CC În mod analog se observă că 1 1 1 ABC se poate obține din ' ' 'A B C printr-o
omotetie și deoarece
2 1 'OA OA
OA OA = rezultă că omotetia are același centru O. Din cele
prezentate rezultă procedeul de construcție a două triunghiuri ortogonale: i) se construiește
triunghiul 1 1 1 ABC ; ii) se construiește triunghiul 2 2 2 ABC ; iii) unim A cu 2A, B cu 2Bși se
determină centrul omotetiei O; iv) unim apoi O cu 1 1 1 , , A B C și la intersecția cu dreptele
suport ale laturilor ABC găsim punctele ', ', 'A B C care sunt vârfurile triunghiului căutat.
Construcția de mai sus este valabilă indiferent de natura triunghiului.
210 ǎabindranath Tagore (1861-1941) –scriitor și filos of indian, laureat al Premiului Nobel pentru Litera tură A
B C A'
B'
C' 1A 2A
1B
2B 1C 2C O Fig. 457
456 III.38. Triunghiul lui Carnot 211
„Geometria este limbajul omului… de la nașterea s a, omul nu a acționat decât pe fundamentul geometri ei, pe care a
pătruns-o cu atâta claritate încât putem admite că ea este aceea care ne condiționează.” – Charles l e Corbusier 212
Fie H ortocentrul triunghiului ABC și , , a b c O O O centrele cercurilor circumscrise
triunghiurilor BCH, ACH, ABH . Triunghiul a b c OOO se numește triunghiul lui Carnot , iar
cercurile circumscrise riunghiurilor BHC, AHC, AHB se numesc cercurile lui Carnot –
(Ca), (Cb), (Cc).
1) Cercurile circumscrise
triunghiurilor BHC, AHC și AHB
sunt congruente cu cercul
circumscris triunghiului ABC .
Demonstrație. Fie ', ', 'A B C
mijloacele segmentelor AH, BH, CH ,
Ha , H b , H c picioarele înǎlțimilor
triunghiului ABC , O centrul cercului
circumscris triunghiului ABC și '
aO
simetricul lui O fațǎ de BC. Atunci,
'
aAH OO ≡ și '
aAH OO de unde
rezultǎ cǎ patrulaterul OO aHA este
paralelogram. Deci, '( ) ≡ = aHO OA R
(1) și cum OCO aB este romb rezultă
că ' '( ) a a OC O B OC OB R ≡ ≡ ≡ = (2).
Din relațiile (1) și (2) rezultă că
' ' '( ) a a a OC O B O H R ≡ ≡ = , deci '
aO
este centrul cercului circumscris
triunghiului BHC , adică '
a a O O ≡. Analog, bO și cO sunt simetricele lui O în raport cu
laturile AC, respectiv AB . Cercul circumscris triunghiului BHC este congruent cu cercul
circumscris ABC. Analog, cercurile circumscrise triunghiurilor AHC și AHB sunt
congruente cu cercul circumscris triunghiului ABC.
Observații:
1) Laturile triunghiului lui Carnot conțin punctele lui Euler ( ', ', 'A B C ) ale triunghiului
ABC .
2) Distanțele de la centrul cercului circumscris tr iunghiului ABC la centrele , , a b c O O O sunt
egale cu AH, BH, respectiv CH.
3) Centrele cercurilor lui Carnot sunt simetricele centrului cercului circumscris ( O) al
triunghiului ABC fațǎ de laturile triunghiului ABC .
2) Triunghiurile a b c OOO și ABC sunt congruente .
211 Lazare Carnot (1753-1823) – matematician și inginer francez
212 Charles le Corbusier (1877-1965) – arhitect, picto r francez de origine elvețiană
Ca A
B A'
C
aO bO
cO
O
H Cb Cc
cH bH
B'
C'
Fig. 458
457 Demonstrație. Cum aBOCO și bAOCO sunt romburi rezultă: a b BO OC AO și
( ) a b BO OC AO R ≡ ≡ = , deci patrulaterul a b ABOO este paralelogram, adică .a b AB OO ≡
Analog, a c AC OO ≡ și b c BC OO ≡, triunghiurile a b c OOO și ABC sunt congruente.
3) Triunghiurile a b c OOO și ABC sunt omotetice .
Demonstrație: Fie 9O mijlocul segmentului OH . Atunci, triunghiul a b c OOO se obține prin
omotetia de centru 9O și raport -1, a triunghiului ABC.
4) Triunghiurile a b c OOO și ABC au același cerc al lui Euler și aceeași dreaptă a lui
Euler.
Demonstrație. În triunghiul a b c OOO , O este ortocentrul său, iar H este centrul cercului
circumscris, deci are aceeași dreaptă Euler cu triu nghiul ABC și evident același cerc al lui
Euler.
5) Cercurile lui Carnot sunt simetrice cercului cir cumscris triunghiului dat în raport cu
laturile corespunzǎtoare .
Demonstrație. Deoarece ortocentrul H al triunghiului ABC aparține cercului circumscris
triunghiului BHC , simetricul sǎu fața de latura BC, aparține cercului circumscris
triunghiului ABC , iar cercurile circumscrise triunghiurilor ABC și BHC sunt congruente,
rezultǎ cǎ cele douǎ cercuri sunt simetrice fațǎ de latura BC a triunghiului ABC . Analog, se
aratǎ cǎ și celelalte douǎ cercuri Carnot sunt sime trice fațǎ de laturile AC , respectiv AB.
6) Fie H ortocentrul unui triunghi ABC, (Ca), (Cb), (Cc) cercurile lui Carnot
corespunzătoare triunghiului ABC, iar bA și cA al doilea punct de intersecție dintre
cercul (Ca) cu laturile AC respectiv AB. Analog se definesc punctele cB și aB, respectiv
aC și bC determinate de intersecțiile cercurilor (Cb), respectiv (Cc) cu laturile
corespunzǎtoare ale triunghiului ABC. Ortocentrul triunghiului ABC este centrul
cercurilor circumscrise triunghiurilor b c AAA ,c a BBB ,a b CCC .
Demonstrație.
A
B C H O
aH bH
cH
aO bA
cA
Ca
Fig. 459
458 Avem ( ) 90 ( ) 90 ( ) ( ) = °− = °− = c c a m HAH m H HA m H HC m HCH a (1). În cercul (Ca)
1( ) ( ) ( ) 2= = cm BAH m HCB m BH (2). Din relațiile (1) și (2) rezultǎ ≡cHAB AAH , deci
triunghiul cAHA este isoscel, de unde ≡cAH HA (3). Analog se arată că ≡bAH HA (4).
Din relatiile (3) și (4) rezultă ≡ ≡ c b AH HA HA , deci H este centrul cercului circumscris
triunghiului b c AAA . Analog , se aratǎ cǎ H este centrul cercului circumscris triunghiurilor
c a BBB și a b CCC .
7) Fie aO centrul cercului Carnot (Ca) și a b c H H H triunghiul ortic al triunghiului ABC .
Atunci: ⊥a a b BO H H și ⊥a a c CO H H .
Demostrație. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC , atunci
⊥a b OC H H (1) (vezi „Triunghiul ortic”) – Fig. 459. Patrulat erul aBOCO fiind un romb –
datoritǎ faptului cǎ aO este simetricul lui O fațǎ de BC – rezultǎ aBO OC (2). Din
relațiile (1) și (2) rezultǎ cǎ ⊥a a b BO H H . Analog , se aratǎ ⊥a a c CO H H .
Observație: Analog se aratǎ cǎ ⊥b b a AO H H , ⊥b b c CO H H și ⊥c c a AO H H ,
⊥c c b BO H H .
8) Fie 1 1 1 , , A B C punctele de intersecție dintre bisectoarele interi oare ale triunghiurilor A,
B, respectiv C cu cercul circumscris triunghiului ABC. Triunghiul 1 2 3 OOO , având
vârfurile în centrele cercurilor Carnot ale triungh iului 1 1 1 ABC este omologic cu
triunghiul ABC, centrul de omologie fiind un punct al lui Kariya a l triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Kariya”.
9) Tangentele duse în ortocentrul H al unui triunghi ABC la cercurile lui Carnot (Ca),
(Cb), ( Cc) intersecteazǎ laturile BC, CA, respectiv AB în trei puncte coliniare .
Demonstrație. Fie ', ', 'A B C punctele determinate de intersecțiile dintre tange ntele și
laturile triunghiului , iar ", ", " A B C al doilea punct de intersecție dintre dreptele
, , AH BH CH cu cercul circumscris triunghiului ABC . Avem A
B C H
M
aO A'
A" B"
C"
Fig. 460
459 1( ") ( " ") ( ") 2= = m BCC m BB C m BC și cum 'A H este tangentă cercului ( Ca) rezultǎ
( ' ) ( ) = m A HB m HCB , de unde ' " " ≡ A HB C B B , deci dreptele 'A H și
" " B C sunt paralele. Fie { } " " = ∩ M B C BC . Din asemǎnarea triunghiurilor ' A BH cu
"MBB și 'A HC cu "MCC rezultǎ: '
' " =A B BH
MA HB și '
' " =AC HC
MA HC , de unde
' "
' " ⋅=A B BH HC
AC HC HB . Analog, se arată cǎ ' "
' " ⋅=B C CH HA
B A HA HC și ' "
' " ⋅=C A AH HB
C B HB HA . Atunci
' ' '1' ' '⋅ ⋅ =A B B C C A
AC B A C B , deci punctele ', ', ' A B C sunt coliniare.
10) Fie a b c CCC triunghiul de contact al triunghiului ABC. Ortocentrele triunghiurilor
b c ACC , a c BCC , a b CCC sunt centrele cercurilor Carnot ale triunghiului a b c CCC .
Demonstrație. Fie '
c c CC și '
b b CC înǎlțimi în
triunghiul b c ACC și 1H ortocentrul
triunghiului b c ACC . Atunci 'c c b CC IC și
'b b c CC IC , deci patrulaterul 1b c IC HC este
paralelogram (Fig. 461). Cum c b IC IC ≡
rezultǎ cǎ patrulaterul 1b c IC HC este romb,
deci 1H este simetricul centrului cercului
circumscris triunghiului de contact fațǎ de
latura b c CC , ceea ce aratǎ cǎ 1H este centrul
cercului Carnot corespunzǎtor laturii b c CC .
Analog se aratǎ cǎ ortocentrele triunghiurilor
a c BCC și a b CCC sunt centrele cercurilor
Carnot corespunzǎtoare laturilor a c CC
respectiv b a CC .
11) Laturile triunghiului Carnot trec prin punctele euleriene ', ', 'CBA ale triunghiului
ABC.
Demonstrația este evidentă din construcție.
12) Triunghiul '''CBA este triunghiul median al triunghiului lui Carnot cbaOOO.
Demonstrație. Deoarece HAAA''≡ și HOAOHOAObbcc ≡≡≡ rezultă că patrulaterul
bcHOAO este romb, deci b cOAAO ''≡, adică 'A este mijlocul segmentului bcOO.
Analog, se arată că 'B și 'C sunt mijloacele segmentelor caOO și baOO.
13) Triunghiul " " " A B C având ca vârfuri punctele unde mediatoarele laturi lor
triunghiului ABC intersectează a doua oară cercul lui Euler al triu nghiului ABC este
triunghiul ortic al triunghiului lui Carnot . A
B C I
aC bC cC '
bC '
cC
Fig. 461 1H
460 Demonstrație. Deoarece bcOOBC|| și "aM A BC ⊥, iar "b c A OO ∈ ( vezi „Cercul lui
Euler” ), rezultă că "aO A este înălțime în triunghiul lui Carnot. Analog se arată că "bO B
și "cOC sunt înălțimi în triunghiul cbaOOO .
14) Triunghiul '''CBA(determinat de punctele euleriene ale triunghiului ABC) și
triunghiul " " " A B C ( având ca vârfuri punctele unde mediatoarele triu nghiului ABC
intersectează a doua oară cercul lui Euler al triun ghiului ABC) sunt două
triunghiuri S.
Demonstrație. Vezi „Triunghiuri Ortopolare”.
15) Fie H ortocentrul unui triunghi ABC, cbaHHH triunghiul ortic
1{ } a b c H AH H H =I,2{ } b a c H BH H H =I,3{ } c a b H CH H H =I. Ireptele 2 3 3 1 , , H H H H
1 2 HH sunt axele radicale dintre cercul lui Euler al tr iunghiului ABC și respectiv
cercurile lui Carnot (Ca), (Cb), (Cc)..
Demonstrație. Vezi „Dreapta lui Euler”.
16) Triunghiul având vârfurile în centrele cercuril or Carnot și triunghiurile având
vârfurile în punctele unde înălțimea triunghiului d at intersectează cercul său
circumscris sunt omologice, centrul de omologie apa rținând acestui cerc ciscumscris .
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Kariya”.
17) Fie I centrul cercului înscris într-un triunghi ABC și cbaHHH triunghiul său
ortic. Centrele cercurilor înscrise în triunghiuril e cbHAH, acHBH, baHCH sunt
centrele cercurilor Carnot corespunzătoare triunghi ului de contact cbaCCC al
triunghiului .ABC
Demonstrație. Fie M proiecția lui B pe
bisectoarea CI și 1{ } cA H M AI=I.
Avem:
c b AH H ACB ≡ și
cMH A MCB ≡
1( ( )) 2m ACB = (deoarece patrulaterele
CBHHbc și MCBHc sunt inscriptibile)
(Fig. 462) de unde rezultă că
1( ) ( ) c c m AH A m AH M = = 1( ), 2c b m AH H
deci 1AHc este bisectoarea unghiului
c b AH H . Cum 1AA este bisectoarea
unghiului A, rezultă că 1A este centrul
cercului înscris în triunghiul .bcHAH Dar
1 1 1 ( ) ( ) ( ) c c m IA M m A AH m A H A = + =
1 1 ˆ ˆ ( ) ( ) 2 2 m A mC + și
1( ) ( ) m MIA m MIA = = 1 1 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 m IAC m ICA m A mC + = + ,de unde
rezultă că
1 1 .IAM MIA ≡ Arătăm că punctul Maparține dreptei .bcCC Fie A
B
C aC bH
bC
cC
cH M
I 1A
H
Fig. 462
461 1{ } . c b M CI CC =I Avem:
11( ) [ ( ) ( )] 2m BIM m B mC = + (ca unghi exterior triunghiului
BIC),
11ˆ( ) 90 ( ) 2m BIM m A = °− . Patrulaterul bcACIC este inscriptibil, deci
1ˆ( ) ( ) 2c b m IC C m A = , de unde
11ˆ( ) 90 ( ). 2cm BC M m A = °+ Astfel,
1( ) ( ) 180 cm BCM m MIB + = ° , adică patrulaterul IMBCc1 este inscriptibil, deci
1( ) ( ) 90 c m BM I m BCI= = ° , de unde rezultă că 1M este proiecția lui B pe bisectoarea 1C,
adică .1MM≡ Deoarece cbCCAI⊥ , cbCCM∈ și triunghiul IMA1 este isoscel, rezultă
că punctele 1A și I sunt simetrice față de latura bcCC, deci 1A este centrul cercului
Carnot corespunzător laturii bcCC a triunghiului de contact.
18) Fie cbaOOO triunghiul lui Carnot al unui triunghi ABC și a b c H H H triunghiul ortic
al triunghiului ABC. Ireptele , , a a b b c c O H OH OH sunt concurente.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Hexyl”.
III.39. Triunghiul lui Lucas 213
„Matematica reprezintă în sine o colecție de rezul tate, care pot fi aplicate la orice.” – Bertrand ǎu ssell 214
Pe latura BC a triunghiului ABC în exterior se construiește pătratul 1 1 .BCCB Fie
{}1M AB BC = ∩ și {}1. N AC BC = ∩ Fie P și Q punctele de intersecție dintre
perpendicularele ridicate din N și M pe latura BC și laturile AC, respectiv AB.
1) Patrulaterul MNPQ este pătrat .
Demonstrație. Din asemănările triunghiurilor AQM
și 1ABB ; APN și 1ACC ; APN și 1 1 ABC rezultă:
1 1 ,= = AM MQ AQ
AB BB AB 1 1 ,= = AN NP AP
AC CC AC 1 1 1 1 = = MN AM AN
BC AB AC (1)
de unde
1 1 MQ NP
BB CC = și cum 1 1 BB CC ≡ rezultă
.MQ NP ≡ Deoarece MQ NP și ,MQ BC NP BC ⊥ ⊥
rezultă că patrulaterul MNPQ este dreptunghi. Atunci,
PQ BC și (2). PQ MN ≡ Din relațiile (1) și (2) rezultă
1AQ QP MN QM
AB BC BC BB = = = (și cum 1BC BB ≡), de unde
,MN QM ≡ deci patrulaterul MNPQ este pătrat.
213 Francois Lucas (1842-1891) – mathematician francez , contribuții în teoria numerelor
214 Bertrand ǎussell (1872 – 1970) – filosof, logician și matematician englez, laureat al Premiului Nobe l pentru
literatură A
B C M N P Q
1B 1C A'
Fig. 463
462 Observație: Cercul circumscris triunghiului APQ se numește A – Lucas . Analog, se
definesc cercurile B – Lucas și C – Lucas . Fie , , A B C L L L centrele cercurilor Lucas.
Triunghiul A B C L L L se numește triunghiul lui Lucas .
2) Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC și R raza cercului circumscris acestui
triunghi. Pătratul MNPQ are latura de lungime egală cu .21a
aR
bc +
Demonstrație. Fie 'A piciorul înălțimii duse din A. Din asemănarea triunghiurilor AQP și
ABC rezultă: ,AQ AP QP
c b a = = de unde ,c b AQ l AP la a = = , ( PQ l=), iar din asemănarea
triunghiurilor BQM și 'BAA rezultă ,'BQ QM
AB AA = de unde −
=
acc lla
c h și de aici
⋅=+a
aa h la h . Dar [ ]2 2,4 2 ABC
aAabc bc ha a R R ⋅⋅= = = ⋅ de unde rezultă .21alaR
bc =
+
3) Razele cercurilor A – Lucas, B – Lucas și C – Lucas sunt egale cu: 21=
+ARRaR
bc ,
21BRRbR
ac =
+, respectiv .21CRRcR
ab =
+
Demonstrație. Deoarece triunghiurile APQ și ABC sunt omotetice, centrul omotetiei fiind
punctul A și raportul de omotetie fiind egal cu 1
21l
aR a
bc =
+ (conform proprietății
precedente) rezultă că ,ARl
R a = de unde .21ARRaR
bc =
+ Analog se determină lungimile
celorlalte două raze.
4) Cercul circumscris triunghiului ABC și cercurile lui
Lucas sunt tangente interior .
Demonstrație. Deoarece triunghiurile AQP și ABC sunt
omotetice, prin omotetia de centru A și raport 1
21aR
bc +
rezultă că cercurile circumscrise acestor două triu nghiuri
se corespund prin omotetia considerată, deci cercur ile sunt
tangente interior.
A
B C O P
Q AL
Fig. 464
463 Observații:
1) ǎaportul de omotetie poate fi considerat și sub forma .AR
R
2) Analog se arată că cercurile B – Lucas și C – Lucas sunt tangente interior cercului
circumscris triunghiului ABC .
5) Cercurile lui Lucas sunt tangente două câte două .
Demonstrație. Avem: , = − = − B B B OL OB L B R R
= − C C OL R R și ( ) 2 ( ). = m BOC m BAC Aplicând
teorema cosinusului în triunghiul B C OL L rezultă:
2 2 2 2 cos( ). B C B C B C B C L L OL OL OL OL L OL = + − ⋅ ⋅ Cum
,21= −
+BROL R bR
ac 21= −
+CROL R cR
ab și
2 2 2
2cos( ) cos2 2cos 1 2 1 2B C b c a L OL A A bc + − = = − = −
rezultă 2 2 2 ( ) ,( 2 )( 2 ) + + ⋅= = + + + B C B C R abc b R c R a L L R R ac bR ab cR deci
cercurile B – Lucas și C – Lucas sunt tangente. Analog, se arată că cercuri le A – Lucas și C
– Lucas respectiv B – Lucas și A – Lucas sunt tangente.
6) Laturile triunghiului Lucas au lungimile , , . A B B C C A R R R R R R + + +
Demonstrația este o consecință a proprietății precedente.
Fie , , A B C T T T punctele de tangență dintre cercurile lui Lucas. T riunghiul A B C TTT se
numește triunghiul tangentelor Lucas . Cercul circumscris triunghiului A B C TTT se numește
cercul radical al cercurilor Lucas.
III.40. Triunghiul lui Fuhrmann
„Dacă cineva vrea să determine cu un cuvânt laconic și expresiv esența matematicii, acela trebuie să s pună, că este
o știință despre infinit.” – Henri Poincaré 215
Fie C cercul circumscris triunghiului ABC . Triunghiul lui Fuhrmann al triunghiului
ABC este triunghiul A B C F F F ale cǎrui vârfuri sunt simetricele mijloacelor arc elor
,BC AC respectiv AB , considerate în cercul C, față de laturile triunghiului ABC
(Fig. 466). Cercul circumscris triunghiului lui Fuh rmann se numește cercul lui Fuhrmann .
Centrul cercului lui Fuhrmann ( F ) se numește punctul lui Fuhrmann ( F). Fie ', ', 'A B C
mijloacele arcelor ,BC AC , respectiv AB și ,a b M M , cM mijloacele laturilor triunghiului
ABC , iar O centrul cercului circumscris triunghiului ABC .
215 Henri Poincaré ( 1854 -1912) – matamatician și fiz ician francez, contribuții importante în toate ram urile
matematicii A
B C
O AL
BL CL
AT BT
CT
Fig. 465
464
1) Ireptele ' , ' , 'A B C A F B F C F sunt concurente în centrul cercului circumscris
triunghiului ABC .
Demonstrație. Deoarece 'OA BC ⊥ rezultǎ cǎ și 'AF A BC ⊥,deci 'AO A F ∈. Analog
'BO B F ∈ și 'CO C F ∈.
2) Triunghiul ABC și triunghiul Fuhrmann A B C F F F al triunghiului ABC sunt
ortologice .
Demonstrație. Deoarece ' , 'A B F A BC F B AC ⊥ ⊥ și 'CFC AB ⊥ iar ', ', 'A B C F A F B F C sunt
concurente în centrul cercului circumscris triunghi ului ABC rezultă că triunghiul A B C F F F
este ortologic cu triunghiul ABC .
3) Perpendicularele duse din A, B și C pe laturile B C F F , A C F F respectiv B A F F ale
triunghiului Fuhrmann sunt concurente într-un punct P.
Demonstrație. Deoarece relația de ortologie dintre două triunghiu ri este simetrică, rezultă
(conform proprietății precedente) că triunghiul ABC este ortologic cu triunghiul
Fuhrmann, deci perpendicularele duse din A, B și C pe laturile B C F F , A C F F respectiv
B A F F sunt concurente într-un punct P.
4) Cercurile având centrele în vârfurile ,,A B C F F F și trec prin punctele B și C, C și A,
respectiv A și B sunt concurente în punctul P.
Demonstrație. Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC . Fie , , a b c ζ ζ ζ cercurile
circumscrise triunghiurilor BIC ,CIA respectiv AIB , iar ' ' ', , a b c ζ ζ ζ cercurile având centrele
în punctele ,,A B C F F F și trec prin punctele B și C, C și A , respectiv A și B (Fig. 467).
Conform teoremei lui Catalan, centrele cercurilor , , a b c ζ ζ ζ sunt mijloacele arcelor
,BC AC respectiv AB ale cercului circumscris triunghiului ABC . Cercurile aζ și '
aζ A
B C
A' B'
C' P
I O
FB FC FA
Ma Mb Mc
Fig. 466
465 sunt simetrice față de BC ; bζ și '
bζ sunt simetrice față de CA ; cζ și '
cζ sunt simetrice față
de AB . Atunci conform teoremei lui Schoute cercurile ' ' ', , a b c ζ ζ ζ sunt concurente într-un
punct Q, linia centrelor fiind perpendiculară pe axa radic ală a cercurilor; rezultă că
, , C B A C A B F F F F F F sunt mediatoarele segmentelor , , AQ BQ CQ și conform proprietății (3)
rezultă că punctele P și Q coincid, deci cercurile ' ' ', , a b c ζ ζ ζ sunt concurente în punctul P.
5) Fie aI centrul cercului A -exînscris corespunzător triunghiului ABC ,'
aI simetricul
lui aI față de BC . Iacă P este punctul de concurență al cercurilor ' ' ', , a b c ζ ζ ζ (având
centrele în vârfurile triunghiului Fuhrmann și trec prin punctele ( , ) BC , ( , ) C A
respectiv ( , ) A B ), atunci punctele P, A și '
aI sunt coliniare .
Demonstrație . Fie 'A mijlocul arcului BC al cercului circumscris triunghiului ABC și I
centrul cercului înscris în triunghiul ABC . Punctele , , 'A I A și aI sunt coliniare (vezi
“Cercurile exînscrise”) iar 'A este centrul cercului circumscris patrulaterului aBICI (adică
cercul aζ (Fig. 467). Cum cercurile
aζ și '
aζsunt simetrice față de latura
BC rezultă că punctul '
aI aparține
cercului '
aζ. Fie AH și CH
ortocentrele triunghiurilor IBC ,
respectiv IAB , iar ''A al doilea
punct de intersecție dintre cercul '
cζ
și dreapta BC. Conform proprietății
prin care simetricele ortocentrului
unui triunghi față de laturile acestuia
aparțin cercului circumscris
triunghiului (vezi „Ortocentrul unui
triunghi”) rezultă că simetricul lui
AH față de BC aparține lui aζ și
deci AH aparține lui '
aζ. Analog
cH∈'
cζ. Evident I este ortocentrul
triunghiului cAH B . Simetricul său
față de AB aparține cercului '
cζ.
Avem: ''≡ cAH B AA B
1( ) 2 = m APB (1), iar unghiurile
cAH B și AIB sunt
suplementare ( I fiind ortocentrul
lui cAH B ). Datorită simetriei rezultă '
a a I CB BCI≡ , iar în aζ avem: a a BCI BII≡
(2), de unde '
a a BCI BII≡ . Cum ( ) ( ) 180 cm AH B m AIB + = ° și
( ) ( ) 180 a m BIA m BII+ = ° rezultă ( ) ( ) c a m AH B m BII = , adică c a AH B BII≡ (3).
Din relațiile (1), (2) și (3) rezultă '"a AA B BCI≡ , adică '"aAA CI, relație care arată că P≡Q A
B C
C ζa’
ζc’
ζb’ FA FC
FB
Fig. 467 I
A"
A' AH
'
aI
aI 1A
aD aM
466 punctele P, A și '
aI sunt coliniare (deoarece în '
cζ și '
aζ avem
( ) 180 ( " ) m BPA m BA A = °− = '180 ( ) ( ) a a m BCI m BPI°− = și cum A și '
aI se află în
același semiplan față de PB rezultă P, A și '
aI coliniare).
Observație: Analog se arată că simetricele '
bI și '
cI ale centrelor cercurilor B- exînscris,
respectiv C- exînscris față de CA și AB sunt coliniare cu punctele P și B, respectiv P și C.
6) Teorema lui Stevanovic
Ortocentrul triunghiului lui Fuhrmann corespunzător triunghiului ABC este centrul
cercului înscris în triunghiul ABC .
Demonstrație . Păstrând notațiile de mai sus, fie 1{ } aA AI BC = ∩ , aM mijlocul laturii
BC și '{ } a a a D I I BC = ∩ (Fig. 467 ). Datorită simetriei față de BC , rezultă că punctele
1A, AFși '
aI sunt coliniare. Dar a a IM AD (vezi „Punctul lui Gergonne”- teorema lui
Poncelet) și '
a A a a M F D I. Din reciproca teoremei lui Desargues aplicată tri unghiurilor
A a IF M și '
a a AI D având centrul de omologie 1A- rezultă '
a A AI IF . Conform proprietății
(3) rezultă '
a B C PI F F ⊥, adică A B C IF F F ⊥, analog B A C IF F F ⊥ , deci I este ortocentrul
triunghiului lui Fuhrmann.
7) Iacă afixul cercului circumscris triunghiului ABC este în originea reperului
complex , atunci afixul punctului lui Fuhrmann este egal cu
(2 ) (2 ) (2 )
2A B C
Fz p a z p b z p c zp− + − + − = .
Demonstrație. Notăm cu Xzafixul punctului X. Afixul centrului cercului A- exînscris
este ( ) ( )[ ]
( )( ) aC A B
Ic a b z b a az bz za b b c a + + − + =+ + − (4) (vezi„Triunghiul cotangentic”), iar afixul
centrului cercului înscris în triunghiul ABC este A B C
Iaz bz cz za b c + + =+ + (2). Deoarece 'A
este mijlocul segmentului aII (vezi „Cercurile exînscrise”) rezultă '2aI I
Az z
z+
= (3). Cum
aM este mijlocul segmentului 'AA F rezultă ' 22a
A A I I
F M B C Az z
z z z z z +
= − = + − . Analog
se determină afixele punctelor BF și CF, de unde rezultă afixul centrului de greutate al
triunghiului A B C F F F : 3A B C
FF F F
Gz z z
z+ +
= = (4 ) (4 ) (4 )
6A B C z p a z p b z p c
p− + − + − = .
Deoarece I este ortocentrul triunghiului A B C F F F rezultă 2F F IG G F = (unde F este
centrul cercului lui Fuhrmann), deci 2
3FI F
Gz z z+= , de unde
(2 ) (2 ) (2 )
2A B C
Fz p a z p b z p c zp− + − + − = .
467 8) Centrul cercului lui Fuhrmann corespunzător unui triunghi ABC este mijlocul
segmentului HN , unde H și N sunt ortocentrul, respectiv punctul lui Nagel al
triunghiului ABC .
Demonstrație .
Alegem un reper complex cu originea în centrul cerc ului circumscris triunghiului ABC .
Atunci, H A B C z z z z = + + , (2 ) (2 ) (2 )
2A B C
Fz p a z p b z p c zp− + − + − = ,
( ) ( ) ( ) A B C
Nz p a z p b z p c zp− + − + − = . Deoarece 2H N
Fz z z+= rezultă concluzia.
9) Punctul lui Nagel și ortocentrul unui triunghi ABC aparțin cercului lui Fuhrmann
corespunzător triunghiului ABC .
Demonstrație. Deoarece
A H F N F F F z z z z z z − = − = − , adică A HF NF FF = = rezultă că
H și N aparțin cercului lui Fuhrmann.
Observație: Punctele H și N sunt diametral opuse în cercul lui Fuhrmann.
10) Raza cercului lui Fuhrmann corespunzător triung hiului ABC are lungimea egală cu
lungimea segmentului OI, unde Oși I sunt centrele cercurilor circumscris, respectiv
înscris în triunghiul ABC .
Demonstrație. Deoarece HN OI și 2HN OI= (vezi„Punctul lui Nagel”), rezultă
1
2FR HN OI= = = 22R Rr −.
11) Consecință: Patrulaterul IONF este paralelogram.
12) Centrele cercurilor lui Euler ale triunghiului ABC și triunghiului lui Fuhrmann
coincid.
Demonstrație. Alegem un reper complex cu originea în centrul ce rcului circumscris
triunghiului ABC , deci 0Oz=. Atunci, afixul centrului cercului lui Euler al tr iunghiului
ABC este
92 2 H O A B C
Oz z z z z z+ + + = = . Afixul centrului lui Euler al triunghiului lui
Fuhrmann ste
92 2 FA B C I F
Oz z z z z z+ + += = .
13) Consecință: Raza cercului lui Euler a triunghiu lui lui Fuhrmann este egală cu
jumătate din lungimea segmentului OI.
14) Fie A B C F F F triunghiul lui Fuhrmann corespunzător unui
triunghi ABC . Cercurile circumscrise triunghiurilor AF BC ,
BFCA , CF AB , A B C F F F sunt concurente în ortocentrul
triunghiului ABC .
Demonstrație. Fie 1H simetricul ortocentrului H față de
BC (Fig. 468); punctul 1H aparține cercului circumscris
triunghiului ABC . Deoarece patrulaterele ABHFC și 1'BH AC A
B C H
aM
A' AF
Fig. 468
468 sunt congruente, iar 'BHAC este inscriptibil rezultă că și patrulaterul ABHFC este
inscriptibil, H aparține cercului circumscris triunghiului AF BC . Analog se arată că H
aparține cercurilor circumscrise triunghiurilor BFCA și CF AB . Cum H aparține și
triunghiului A B C F F F , rezultă concluzia.
15) Simetricul centrului cercului circumscris unui
triunghi ABC față de punctul lui Spieker al triunghiului
ABC este punctul lui Furhmann.
Demonstrație. Vezi „Punctul lui Spieker”.
III.41. Triunghiul lui Lionnet
„Științele matematice, științele naturale și științele umanitare pot fi n umite, respectiv
și științe supranaturale, științe natur ale și științe nenaturale.” – L. D. Landau 216
1) Pe laturile unui triunghi ABC se construiesc în exterior triunghiurile
' , ' , 'A BC AB C ABC asemenea cu ' ' 'A B C . Cercurile circumscrise acestor triunghiuri au
un punct comun D.
Demonstrație. Din condiția de asemănare rezultă
( ' ) ( ), ( ') ( ), = = m BAC m BAC m CBA m CBA
( ) ( ' ) = m ACB m AC B . Fie D punctul de
intersecție dintre cercurile circumscrise
triunghiurilor 'ABC și 'ABC (Fig. 470). Atunci,
( ) 180 ( ), = °− m ADB m C ( ) 180 ( ) = °− m ADC m B
( ) 360 [180 ( ) 180 ( )] = °− °− + °− = m BDC m C m B
( ) ( ) 180 ( ) 180 ( ' ) + = °− = °− m B m C m A m BAC
deci punctul D aparține cercului circumscris
triunghiului 'BAC .
Fie 1 2 3 , , L L L centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor ' , ' , 'A BC AB C ABC .
Triunghiul 1 2 3 LLL se numește triunghiul lui Lionnet corespunzător triunghiului ABC .
Cercul circumscris triunghiului 1 2 3 LLL se numește cercul lui Lionnet .
2) Triunghiurile ' ' 'A B C și 1 2 3 LLL sunt omologice .
Demonstrație. Deoarece ( ) 180 ( ), ( ') ( ') ( ) = °− = = m BDA m C m BDA m BCA m C
rezultă că ( ) ( ') 180 + = ° m BDA m BDA , deci punctele , , 'A D A sunt coliniare. Analog se
arată că , , 'B D B respectiv , , 'C DC sunt coliniare, deci D este centrul de omologie dintre
triunghiurile ABC și ' ' 'A B C .
216 L. D. Landau (1908-1968) –fizician rus, laureat al Premiului Nobel pentru Fizică în anul 1962 G F H N
pS
O I
Fig. 469
A
B C
1L 2L
O D
Fig. 470 3L
A' B' C'
469 3) Triunghiurile ' ' 'A B C și 1 2 3 LLL sunt ortologice .
Demonstrație. Deoarece AD este axa radicală a cercurilor circumscrise triung hiurilor
'AB C și 'ABC rezultă 2 3 ⊥AD LL deci 2 3 ' . ⊥AA LL Analog, 1 3 '⊥BB LL și 1 2 '⊥CC LL ,
iar cum ' ' ' { } ∩ ∩ = AA BB CC D , rezultă că D este un centru de ortologie , celălalt fiind
centrul cercului circumscris triunghiului ABC.
4) Triunghiului lui Lionnet 1 2 3 LLL este asemenea cu triunghiul ' ' 'A B C .
Demonstrație. Deoarece 1 3 ⊥BD LL , 1 2 ⊥CD LL rezultă că
2 1 3 ( ) 180 ( ) = °− = m LLL m BDC
( ' ) ( ' ' ') ( ) = = m BAC m B AC m BAC , și analog
1 2 3 ( ) ( ' ' ') =m LLL m A B C , deci triunghiurile
' ' 'A B C și 1 2 3 LLL sunt asemenea.
5) Triunghiul lui Lionnet 1 2 3 LLL este asemenea cu triunghiul .ABC
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.
6) Punctele D și O sunt izogonale în triunghiul lui Lionnet, unde O este centrul
cercului circumscris triunghiului ABC .
Demonstrație. Deoarece 1DL și perpendiculara din D pe BC sunt drepte izogonale în raport
cu unghiul BDC ,
1( ( ) 90 ( )) = °− m LDB m BCD , rezultă că 1DL și 1LO sunt izogonale în
raport cu unghiul
3 1 2 LLL , deoarece 1 3 ⊥BD LL , 1 2 ⊥CD LL .
III.42. Triunghiurile lui Morley 217
„Arta de a rezolva probleme geometrice seamănă cu t rucurile iluzioniștilor – uneori, chiar știind solu ția problemei,
nu-i clar cum s-ar putea ajunge la ea.” – I. D. Nov ikov 218
Teorema lui Morley
Trisectoarele unghiurilor unui triunghi se
intersectează în trei puncte care sunt vârfurile
unui triunghi echilateral.
Demonstrație. Fie triunghiul ABC și L, M, N
intersecțiile trisectoarelor (Fig.471). Avem:
1( ) ( ) ( ) ( ) 3m BAN m NAM m MAC m A = = =
1( ) ( ), 3m NBA m B = ( )1( ) 3m MCA mC = .
Teorema sinusurilor în triunghiul ANB dă:
s i n s i n 3 3 A N A B
B A B =+ adică,
217 Frank Morley (1860-1937) – matematician englez, pr ofesor la Universitatea Johns Hopkins, contribuții in
algebră și geometrie
218 Igor Dovikov (1935- ) – fizician rus A
B C 1A
2A
1B
2B
1C 2C
L M N P
Q ǎ α α
α
β β β γ γ γ
Fig. 471
470 22 sin sin 3 4sin sin 2 sin sin 2 sin( )sin 3 3 3 3 3 3
sin sin sin sin 3 3 3 3B C C B B B R c R C R C
AN C C C Cπ π π
π π π π− − − − = = = = = − − − −
2 2 2 2 1 2 2 2 sin 3 2 1 cos 2 sin 1 2cos 4 sin cos 3 3 3 3 3 2 3 − − − − − = + = + = B C B C B C R R R π π π
2 2 4 sin cos cos 8 sin cos cos 8 sin sin cos . 3 3 3 3 2 3 6 3 3 3 6 3 − = + = − − = − B C B C C B C C R R R π π π π π
Analog se obține: 8 sin sin cos . 3 3 6 3 B C B AM R π = − Teorema cosinusurilor în triunghiul
ANM ne dă: 2 2 2 2 cos 3AMN AM AN AM AN = + − ⋅ ⋅ și utilizând relațiile precedente
obținem: 2 2 2 2 2 2 64 sin sin cos cos 2cos cos cos 3 3 6 3 6 3 6 3 6 3 3 B C C B C B A MN R π π π π = − + − − − − =
2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 cos 6 3 6 3 64 sin sin cos cos cos 3 3 2 2 3 3 3 + − + − − − − = + − + =
C B
B C A B C B C Rπ π
π
2 2 2 64 sin sin 1 cos cos cos cos cos 3 3 3 3 3 3 3 B C B C B C A B C B C Rπ π − − − − − − = + + − + =
2 2 2 2 64 sin sin 1 cos cos cos cos cos 3 3 3 3 3 3 3 B C A B C A A B C R− − = + − − =
2 2 2 2 64 sin sin sin . 3 3 3 B C A R Așadar, 8 sin sin sin . 3 3 3 A B C MN R = Simetria în A, B, C a
relației precedente asigură valabilitatea enunțului .
Observație: Triunghiul LMN determinat de trisectoarele interioare ale unghiur ilor
triunghiului ABC se numește triunghiul interior al lui Morley .
Fie NML triunghiul lui Morley al triunghiului ABC și
1 2 { } ,{ } , A LM NB A NL MC = ∩ = ∩ 1{ } , B MN LC = ∩ 2{ } B LM NA = ∩ , 1{ } , C NL MA = ∩
2{ } ,{ } C MN LB P BN MC = ∩ = ∩ ,1 2 { } ,{ } ,{ '} Q CL NA R AM LB A BB CC = ∩ = ∩ = ∩ ,
1 2 1 2 { '} ,{ '} B CC AA C AA BB = ∩ = ∩ , iar razele cercului circumscris triunghiurilor
' , ' , 'A BC AB C ABC le vom nota cu ' ' '
1 2 3 , , R R R . Fie ( ) , ( ) , = = m BAP m LBC α β
( ) =m MCA γ (Fig. 471).
471 1) Pentagoanele 1 2 1 2 1 2 , , AAMNA BBNLB CCLMC sunt inscripibile .
Demonstrație . Deoarece MN PL ⊥ și PL este bisectoare în triunghiul BPC avem
( ) 60 2 m BPC α= °+ și de aici ( ) 30 m LPC α= °+ . Dar
1 1 ( ) ( ) ( ) m PAL m NPL m PLA α = − = și analog 1( ) m PAL α= , adică pentagonul
1 2 AAMNA este inscriptibil. Analog, se arată că pentagoanel e 1 2 BBNLB respectiv
1 2 CCLMC sunt inscriptibile.
2) Fie ' ' '
1 2 3 , , R R R razele cercurilor circumscrise pentagoanelor 1 2 1 2 , , AAMNA BBNLB
1 2 CCLMC . Atunci, 3 1 2
' ' '
1 2 3 R R R a b c R R R ⋅ = ⋅ = ⋅ (unde a,b,c sunt lungimile laturilor
triunghiului ABC).
Demonstrație . Avem: 1 1 ( ) ( ) ( ) 60 m BBC m BBL m LBC β = + = °+ (deoarece
1 , BBL LNM ≡ 1BLNB fiind patrulater inscriptibil). Analog, 2( ) 60 m CCB γ= °+ , de
unde ( ' ) 180 (60 ) (60 ) m BAC β γ α = °− °+ − °+ = . Teorema sinusurilor aplicată
triunghiurilor 'A BC , respectiv ANM ne dă: '
1 1 2 , 2 sin sin a NM R R α α = = , de unde
1
'
1RNM
aR=, adică 1
'
1RNM a R= ⋅. Analog, 3 2
' '
2 3 ,RRNL b LM c R R = ⋅ = ⋅ și cum
NM NM LM = = rezultă concluzia.
3) Perechile de triunghiuri ( 'A BC ,ANM ), ( 'B CA ,BLN ), ('C AB ,CMN ) sunt respectiv
asemenea .
Demonstrație. Avem ( ' ) ( ) , ( ) 30 m B AC m NAM m LPC α α = = = ° + .
Atunci, 1 ( ) ( ) ( ) 60 ( ) m ANM m NQM m NMQ m BBC β = + = °+ = , deci triunghiurile
'A BC și ANM sunt asemenea . Analog se arată și celelalte două a semănări.
4) Triunghiurile PQR și LMN sunt omologice .
Demonstrație : Dreptele PL, MQ , respectiv NR sunt mediatoarele laturilor triunghiului
echilateral LMN , deci sunt concurente, ceea ce arată că triunghiur ile PQR și LMN sunt
omologice.
5) Laturile triunghiului ABC și ale triunghiului Morley corespunzător LMN , sunt
antiparalele în raport cu unghiurile sub care se vă d laturile respective ale triunghiului
ABC din vârfurile omoloage ale triunghiului LMN .
Demonstrație. Avem 1( ) ( ) m NBL m LBC β = = , deci patrulaterul 1 2 BBCC este
inscriptibil, adică dreptele 1 2 ,BC BC sunt antiparalele în raport cu unghiul BLC . Analog
se arată că 1 2 CA este antiparalelă cu CA față de unghiul CMA și 1 2 AB este antiparalelă
cu AB față de unghiul .ANB
6) Iacă R este lungimea razei cercului circumscris triunghiu lui ABC , atunci lungimea
laturii triunghiului lui Morley corespunzător este egală cu 8 sin sin sin Rα β γ .
Demonstrație . Soluția 1. O primă demonstrație rezultă chiar di n teorema lui Morley.
472 Soluția 2. Avem ( ) 60 , ( ) 120 m BNL m BLC α α = °+ = °+ , de unde sin sin NL BL
β γ =,
2 sin3
sin sin(120 ) sin(60 ) BL a R α
γ α α = = °+ °− , deci: 2 sin3 sin sin
sin(60 ) sin(60 ) RNL α β γ
α α = = °+ ⋅ °−
24 sin (3 4sin )sin sin
cos2 cos120 Rα α β γ
α−
− ° , de unde rezultă că 8 sin sin sin NL R α β γ = .
7) Trisectoarele unghiurilor exterioare ale unui tr iunghi ABC determină un triunghi
echilateral .
Demonstrație.
Vom demonstra teorema considerând următoarele cazur i:
a) triunghiul ABC este ascuțitunghic. Pe laturile triunghiului echil ateral PQR construim
triunghiurile isoscele ' , ' , 'P QR Q RP R PQ având unghiurile de la bază de măsură
60 ,60 α β °+ °+ respectiv 60 γ°+ astfel încât 60 α β γ + + = ° și
30 , 30 , 30 . α β γ < ° < ° < ° Intersecțiile laturilor triunghiurilor ' , ' , 'P QR Q RP R PQ
determină vârfurile unui triunghi ABC (Fig. 472). Arătăm că laturile celor trei
triunghiuri isoscele sunt trisectoarele exterioare ale unghiurilor triunghiului ABC . Avem:
( ' ) 180 (120 2 ) 60 2 , m PRQ γ γ = °− °+ = °− de unde rezultă că 1( ' ) 30 ; 2m PRQ γ= °−
( ) 60 m ARB α β = °+ + = 120 90 (30 ) γ γ °− = °+ °− = 190 ( ' ). 2m BR A °+ Datorită simetriei și
a ultimului rezultat avem că R este centrul cercului înscris în triunghiul ' . AR B Analog, se
arată că Q și P sunt centrele cercurilor înscrise în triunghiurile 'AQ C și ' . BP C Atunci,
' ' , BAR RAB R AT ≡ ≡ adică RA și 'R A sunt trisectoarele exterioare ale unghiului
.BAC
Observații: Avem: 1( ' ) 180 ( ' ) 180 (30 ) 150 2m R RQ m PRQ γ γ γ = °− − = °− °− − = ° , A
B
C
P Q ǎ T
P' Q' ǎ'
Fig. 472
473 ( ') 180 (30 ) (150 ) 60 , m RAR γ β α = °− °− − °− = °− de unde 3 , 3 A B α β = = și 3 . Cγ=
Deoarece 30 , 30 , 30 α β γ < ° < ° < ° rezultă că triunghiul ABC este ascuțitunghic.
b) Fie triunghiul echilateral PQR . Unghiurile de la baza triunghiurilor isoscele sat isfac
relațiile: 60 , 30 . α β γ α + + = ° = ° Triunghiul 'BP C considerăm că are vârful 'P la infinit
(Fig. 473). Avem : 1( ) 60 90 90 ( ' ) 2m BPC m BP C α β = °+ + = °= °+ (unde
( ' ) 0 m BP C = ° ), relație care arată că P este centrul cercului înscris în triunghiul ' . BP C
Analog ca în cazul precedent se arată că R și Q sunt centrele cercurilor înscrise în
triunghiurile 'AR B respectiv ' . AQ C Deoarece 3 3 30 90 Aα= = ⋅ °= ° rezultă că triunghiul
ABC este dreptunghic.
c) Pe laturile triunghiului echilateral PQR construim triunghiurile isoscele
' , ' , 'PQ R Q RP R PQ care au unghiurile de la bază de măsuri 120 ,60 ,60 α β γ °− °+ °+ ,
astfel încât 60 , 30 , 30 α β γ α β γ + + = ° > ° + < ° (Fig. 474) . Avem: ( ' ) 2 60 , m RPQ α= − °
A
B C
P Q ǎ
P' Q'
ǎ'
Fig. 473
∞
A
B C
P Q ǎ P'
Q'
ǎ'
Fig. 474 α
β
γ
474 1( ' ) 30 , 2m RP Q α= − ° ( ) 60 120 = + °+ = °− = m BPC γ β α 190 ( 30) 90 ( ' ) 2m BPC α°− − ° = °−
Ultima ecuație arată că punctul P este centrul cercului exînscris corespunzător punc tului
'P al triunghiului ' . BP C Deci, laturile triunghiurilor isoscele sunt trisec toarele unghiurilor
exterioare ale triunghiului ABC .
Observație: Triunghiul PQR determinat de trisectoarele exterioare ale triunghi ului ABC se
numește triunghiul Morley exterior .
III.43. Triunghiul lui Grebe
„Două linii paralele se întâl nesc la infinit – cred și ele în aceasta.” – S.Le c 219
Pe laturile triunghiului ABC se construiesc în exterior pătratele C B BCA A , C A ACB B și
B A ABC C . Fie { '} C A A B A B B C C = ∩ , { '} A B B C B C C A A = ∩ și { '} B C A C C A A B B = ∩ .
Triunghiul ' ' 'A B C se numește triunghiul lui Grebe (Fig. 475).
219 Stanislaw Lec (1909-1966) – poet polonez A
B C P aC
aM aB
bC cB 1O
2O 3O aK bK
cK
bA K A'
B' C' cA Q
ǎ
Fig. 475
475 1) Ireptele ', 'AA BB și 'CC sunt concurente în punctul lui Lemoine al triunghi ului
ABC .
Demonstrație. Fie aM mijlocul laturii BC , { } a A A P AM B C = ∩ și { } 'aK AA BC = ∩ .
Este cunoscut faptul că a A A AM B C ⊥ (vezi „Triunghiurile Vecten”). Patrulaterul
'A A AB AC fiind inscriptibil (deoarece ( ') ( ') 180 A A m AB A m AC A + = ° ) rezultă
'A A A AAC C B A ≡ (1). Cum ' 'AB A B rezultă ' ' 'a A BAK B A A C A A ≡ ≡ (2).
Din relațiile (1) și (2) rezultă că A A a AB C BAK ≡ (3). În triunghiul AAPB avem:
( ') ( ' ) ( ) 90 A A m PAA m A AB m AB P + + = ° (4). Din 'a a K AM PAA ≡ (5)
(unghiuri opuse la vârf) și ( ) 90 Am B AC = ° rezultă
( ' ) ( ) ( ) 90 A a a a m A AB m K AM m M AC + + = ° (6). Din relațiile (4), (5) și (6) rezultă
( ) A A m AB C ≡ ( ), am M AC care împreună cu relația (3) dă ( ) ( ) a a m BAK m M AC = ,
relație care arată că aAK este simediană în triunghiul ABC . Deci, dreapta 'AA trece prin
punctul K al lui Lemoine al triunghiului ABC . Analog se arată că dreptele 'BB și 'CC trec
prin punctul K.
2) Triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt omotetice, centrul de omotetie fiind punctul lui
Lemoine al triunghiului ABC .
Demonstrație. Deoarece ' 'AB A B , ' 'BC B C și ' 'AC AC rezultă că triunghiurile ABC
și ' ' 'A B C și cum ' ' ' { } AA BB CC K ∩ ∩ = rezultă că triunghiul ABC și triunghiul lui Grebe
sunt omotetice, centrul omotetiei fiind punctul lui Lemoine al triunghiului ABC .
3) Consecință: Centrul cercului circumscris triungh iului Grebe aparține axei Brocard a
triunghiului ABC.
Demonstrație. Deoarece triunghiurile ABC și ' ' 'A B C sunt omotetice, rezultă că prin
omotetia considerată cercurile lor circumscrise se corespund, deci centrul cercului
circumscris triunghiului Grebe este coliniar cu cen trul cercului circumscris ( O) al
triunghiului ABC și cu centrul omotetiei, punctul lui Lemoine ( K). Cu alte cuvinte, centrul
cercului circumscris triunghiului Grebe aparține ax ei Brocard OK a triunghiului ABC .
4) Fie 1 2 3 , , O O O centrele circumscrise triunghiurilor A A AB C , B B BC A , respectiv
C C CA B . Triunghiurile 1 2 3 OOO și ABC sunt omotetice, centrul omotetiei fiind punctul
lui Lemoine al triunghiului ABC .
Demonstrație . Deoarece A aparține cercului circumscris triunghiului A A AB C și
( ') Am AB A rezultă că 1O se află la mijlocul segmentului 'AA . Analog, 2O și 3O sunt
mijloacele segmentelor 'BB , respectiv 'CC . Astfel, 1 2 OO , 2 3 OO și 3 1 OO sunt linii
mijlocii în trapezele ' 'ABB A , ' 'BCC B respectiv ' 'ACC A , deci 1 2 OO AB , 2 3 OO BC
și 3 1 OO AC , iar cum 1 2 3 { } OA O B OC K ∩ ∩ = (vezi proprietatea ( 2)) rezultă că
triunghiurile 1 2 3 OOO și ABC sunt omotetice, centrul omotetiei fiind punctul lu i Lemoine
K.
5) Consecință: Triunghiurile 1 2 3 OOO și triunghiul lui Grebe al triunghiului ABC sunt
omotetice, centrul omotetiei fiind punctul lui Lemo ine al triunghiului ABC .
Demonstrația rezultă din teoremele 2) și 4), ținând cont că rel ația de omotetie este
tranzitivă.
476 6) Triunghiul lui Grebe ' ' 'A B C și triunghiul ortic a b c H H H al triunghiului ABC sunt
omologice .
Demonstrație. Fie { "} ' ' 'aA A H B C =I , { "} ' ' ', bB B H AC =I { "} ' ' 'cC C H A B =I,
{ } ' 'R BC A B =I,{ } ' 'Q BC AC =I. Avem: " '
' " = = a
aRH A B
C A H Q cos sin
cos sin ++= = ++a
acc B RB BH B
b H C CQ b C C
21 sin cos sin 2 sin2
1 sin cos sin 2 sin2 c B B C c B
b C C B b C + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + . Analog se arată că: 2" ' 2 sin2
' " 2 sin2 B C a C
A B c A + = +
și 2" ' 2 sin2
' " 2 sin2 C A b A
B C a B + = + . Atunci, " ' " ' " '1' " ' " ' " A B B C C A
C A A B B C ⋅ ⋅ = și din reciproca teoremei lui
Ceva rezultă că dreptele ' , ' , 'a b c A H B H C H sunt concurente, deci triunghiurile ' ' 'A B C
și a b c H H H sunt omologice.
III.44. Triunghiul lui Malfatti 220
„Este suficient să arăți, că un lucru oarecare este imposibil, că îndată se va găsi matematicianul car e-l va face.” –
W. W. Sawyer 221
Trei cercuri aflate în interiorul unui triunghi ABC astfel încât fiecare este tangent la
celelalte două și la două laturi ale triunghiului s e numesc cercuri Malfatti . Fie , , Γ Γ Γ A B C
centrele cercurilor Malfatti și , , A B C T T T punctele de tangență dintre cercurile Malfatti (Fi g.
476). Triunghiul Γ Γ Γ A B C se numește triunghiul Malfatti .
1) Iacă 1 2 3 , , r r r sunt razele cercurilor Malfatti, atunci laturile t riunghiului Malfatti au
lungimile 1 2 2 3 3 1 , , r r r r r r + + + .
220 Gian Francesco Malfatti (1731-1806) – matematician italian, profesor la Universitatea din Ferrara, co ntribuții
în geometrie, algebră și teoria probabilităților
221 Warwick Sawer (1911- ) –matematician englez, profe sor la Universitatea din Toronto. B A
C
ˆ
Fig. 476 I Z Y
1A 2A 1B
1C
2C ΓA
ΓB ΓC 2B
AT BT
CT
2r 3r 1r
477 2) Ireptele , , A B C A B C Γ Γ Γ sunt concurente în centrul cercului circumscris tr iunghiului
ABC.
Demonstrație. Deoarece cercurile sunt tangente la câte două latur i ale triunghiului rezultă
că dreptele , , A B C A B C Γ Γ Γ sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC, de ci sunt
concurente în centrul cercului circumscris triunghi ului ABC .
3) Ireptele , , Γ Γ Γ A A B B C C T T T sunt concurente .
Demonstrație. Deoarece 32 1
3 1 2 1Γ Γ Γ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Γ Γ Γ B C C A A B
A C B A C B T T r T r r
T T T r r r , rezultă din reciproca teoremei
lui Ceva că dreptele , , Γ Γ Γ A A B B C C T T T sunt concurente.
4) Razele cercurilor Malfatti au lungimile : 11 1 4 4 ,214B C tg tg rrAtg + + = ⋅
+
21 1 4 4 ,214A C tg tg rrBtg + + = ⋅
+ 31 1 4 4
214 + + = ⋅
+A B tg tg rrCtg .
Demonstrație. Fie 1 2 1 2 1 2 , , = = = AA x BB y CC z . Din trapezul dreptunghic 1 2 Γ Γ B C AA
rezultă 2 2 2
3 2 3 2 ( ) ( ) + − = + x r r r r , de unde 2
2 3 4=x rr și analog 2
1 3 4=y rr ,2
1 2 4=z rr , iar de
aici 1 2 3 , , 2 2 2 = = = yz xz xy r r r x y z . Fie , , a b c C C C punctele de tangență ale cercului înscris în
triunghiul ABC cu laturile BC, CA , respectiv AB. Din 1 1 1 2( ) + + = + + a b c x y z AC BC CC și
1 1 1 2 , + = + = a c b b BC CC BC CB y rezultă
12− + =ax y z AC . Fie P proiecția
punctului ΓB pe aIC . Din triunghiul
dreptunghic ΓBIP rezultă :
()
( )22 2
2=− −=− + − + r r B ry xz tg x y z y x y z Analog
se obțin egalitățile:
2
( ) 2−=− + + Arx yz tg x x y z și
2
( ) 2−=+ − Crz xy tg z x y z . Folosind relațiile precedente și egalitatea
12 2 2 2 2 2 A B A C C A tg tg tg tg tg tg ⋅ + ⋅ + = obținem: ( ) ( )22 2 0 + + − + + + = r x y z r xy yz zx xyz
sau ()
( )2 2
2− −=− + + − r x r rx yz
x y z x r x , de unde ()
( )2
2 2 −=−r x r Atg x r x . Din egalitatea precedentă rezultă
ecuația 2 2 2 1 2 0 2 2 ⋅ + − ⋅ − = A A x tg r tg x r care are singura soluție acceptabilă: 1A 2A P I
BΓ CΓ
Fig. 477 B C aC
478 14Ax r tg = + . Analog, 14By r tg = + și 14Cz r tg = + . Din relațiile de mai sus
rezultă: 1 2 3 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 , , 2 2 2 1 1 1 4 4 4 + + + + + + = ⋅ = ⋅ = ⋅
+ + + B C C C A B tg tg tg tg tg tg r r r r r r A B C tg tg tg .
5) Iacă , , a b c r r r sunt razele cercurilor exînscrise corespunzătoare triunghiului ABC,
atunci :2 3 3 1 1 2
1 2 3
1 2 3 1 1 2 2 3 2 3 3 1 , , 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 − − −
− = − = − =
− − − − − − a b c r r r rr rr rr r r r r r r
r r rr r r r r rr rr rr rr rr .
Demonstrație . Fie 14=Atg t , 2,4=Btg t 34=Ctg t . Din 14 4 4 A B C tg + + = rezultă
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 0 − − − − − − + = t t t tt tt tt ttt , care împreună cu expresiile razelor scrise în
aplicația precedentă ne dau: 1
1 2 3 2 1 2
1− = ⋅+t
r t r rr (*) și analoagele. Dar,
2 2
2 3
2 3 ( )( ) 1 1
2 2 4 at t p B C r r ctg ctg r r p a tt− − = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅−, de unde se obține egalitatea
( )3 1 1 2
1 2 3
2 3 1 1 2 3 2(1 )(1 ) 2 2 1 1 1 1 2 at t t tr r r r t ttt t t t t− = + + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅+ + + + și utilizând relațiile (*) rezultă
concluzia.
6) Raza cercului înscris în triunghiul ABC în funcție de razele cercurilor Malfatti este
egală cu : 1 2 3
1 2 3 1 2 3 2=
+ + − + + rrr r
r r r r r r .
Demonstrație. Din expresiile razelor 1 2 3 , , r r r rezultă: 2 3 21, 4rr Atg r= − 1 3 21, 4rr Btg r= −
1 2 214rr Ctg r= − . Ținând seama de egalitatea 4 4 2 4 A B C tg tg π + = − rezultă
14 4 4 4 4 4 ∑ + ∑ ⋅ = + ⋅ ⋅A A B A B C tg tg tg tg tg tg adică
1 3 2 3 1 2 2 2 21 1 1
∑ − +∑ − ⋅ − = rr rr rr
r r r 2 3 1 3 1 2 2 2 21 1 1 1
+ − ⋅ − ⋅ − rr rr rr
r r r , deci:
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 222( ) 0 − + + + + + = rrr rrr r r r rr rr rr r r de unde obținem
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1
2r r r r r r
r rrr + + ± + + = . Deoarece 2 3 214= − A r r tg r, atunci
479 2 3 1 2 3
4r r r r r Atg
r+ ± + + = și deoarece 1
4Atg ≤ rezultă 2 3 1 2 3
1 4r r rrr Atg r+ − = și
2 1 3 1 2 3
1 2 3 1
2r r r r r r
r rrr + + − + + = .
7) Fie X, Y și Z mijloacele segmentelor 1 2 1 2 , , AA BB respectiv 1 2 CC . Ireptele AX, BY, CZ
sunt concurente .
Demonstrație.
Avem: 3 2
1 2 (1 1 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 = − + = + − − − = + − rrBX a BA AC a p b p c a IB IC r r sau
12 sin 4 sin cos sin cos 2 2 4 4 4 sin sin 2 2 r r A B C B C BX R A R B C
+= + − =
. Procedând analog se
obține: 1 2 1( ) 4 sin sin cos cos 2 2 2 4 4 += − + = A B C B C XC a BA AC R , de unde
cos sin 4 4 4
sin cos 4 4 4 B C C tg BX
B C B XC tg = = . Analog se arată că 4
4Atg CY
CYA tg = și 4
4Btg AZ
AZB tg =. Deoarece
1 ⋅ ⋅ = BX CY AZ
XC YA ZB , din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că drepte le AX, BY, CZ sunt
concurente.
8) Iacă X, Y și Z sunt mijloacele segmentelor 1 2 1 2 , , AA BB respectiv 1 2 CC atunci dreptele
,A B T X TY și CT Z sunt concurente în centrul cercului înscris în tri unghiul lui Malfatti.
Demonstrație. Tangenta comună cercurilor C2( , ) BrΓși C3( , ) CrΓtrece prin mijlocul
segmentului 1 2 AA (adică prin punctul X ) și totodată prin centrul cercului înscris Iµ în
triunghiul lui Malfatti, deoarece A B C I T I T I T µ µ µ ≡ ≡ .
Observații:
1) Triunghiul A B C TTT este triunghiul de contact al triunghiului lui Mal fatti.
2) Din proprietatea (3) rezultă că dreptele , , Γ Γ Γ A A B B C C T T T sunt concurente în punctul lui
Gergonne al triunghiului lui Malfatti.
3) Punctul Iµ este centrul radical al cercurilor lui Malfatti.
9) Pentru orice punct M din planul triunghiului ABC sunt adevărate relațiile:
1 2 1 2 , , a b
A a B b
a a b b r r r r r r M MA MI M MB MIr r r r − − Γ = + Γ = + uuuuur uuur uuuu r uuuuur uuur uuuu r
3 3 −Γ = + uuuuuu r uuuu r uuuu r
c
C c
c c r r r M MC MIr r ,
(unde , , a b c I I I sunt centrele cercurilor exînscrise corespunzătoa re triunghiului ABC și
, , a b r r respectiv cr razele lor ).
480 Demonstrație. Avem: 1,A
a a A r
AI r Γ= de unde 1
1,A
A a a A r
I r r Γ=Γ − deci
1 1.a
A a
a a r r rM MA MIr r −Γ = + uuuuur uuur uuuu r
Analog se arată celelalte egalități.
Observație: Ținând cont că arp rp a =− putem scrie
1 1 1 1 1 .A a
ap a M MA MIr r r rp −Γ = − +
uuuuur uuur uuuu r
10) Coordonatele baricentrice absolute ale centrelo r cercurilor lui Malfatti
corespunzătoare triunghiului ABC sunt :
11 1 2 ; ; , A
arp abc r r Γ − − 21 1 ;2 ; B
ba rp bc r r Γ − − , respectiv
31 1 ; ;2 . C
cab rp c r r Γ − −
Demonstrație. Deoarece coordonatele baricentrice absolute ale cen trului cercului
A – exînscris sunt ; ; 2( ) 2( ) 2( ) aa b c Ip a p a p a − − − − rezultă că pentru orice punct M este
adevărată relația:
1 1 1 1 1
2( ) 2( ) 2( ) A
ap a a b c M MA MA MB MC r r r rp p a p a p a − − ⋅ Γ = − + + + − − − uuuuur uuur uuur uuur uuuu r
sau
1 1 2 1 1 2 , A
arp M rp a MA bMB cMC r r r Γ = − − + + uuuuur uuur uuur uuuu r
de unde rezultă concluzia.
11) Coordonatele baricentrice absolute ale punctelo r de tangență dintre cercurile lui
Malfatti sunt:
2 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; , ; ; A B
b c a c a b T T rp r r r r r r rp r r − − − −
, respectiv
1 2 1 1 1 1 ; ; . C
a b cTr r r r rp − −
Demonstrație. Deoarece 2
3B A
A C r
rΓ Γ =Γ Γ rezultă că pentru orice punct M din planul triunghiului
ABC avem: 3 2
2 3 B C
ArM rM Mr r Γ + Γ Γ = +uuuuur uuuuur uuuuur
sau ținând cont de proprietatea precedentă:
2
2 2 3 ( ) 1 1 1 1 b
A
b b c r r aM MA MB MC rr rp r r r r +Γ = + − + −
uuuuur uuur uuur uuuu r
de unde rezultă concluzia.
481 12) Ireptele , , A B C AT BT CT sunt concurente.
Demonstrație. Ecuația dreptei AAT în coordonate baricentrice este:
2 3 1 0 0 0
1 1 1 1 =
− −
b c x y z
a
rp r r r r sau
3 2 1 1 1 1 0.
c b y z r r r r − − − =
Analog ecuațiile dreptelor
BBT și CCT sunt:
1 3 1 1 1 1 0
a c x z r r r r − − − =
respectiv
2 1 1 1 1 1 0.
b a x y r r r r − − − =
Deoarece 3 2
1 3
2 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 – 0 − −
− − =
− + c b
a c
b a r r r r
r r r r
r r r r rezultă că dreptele ,A B AT BT și CCT sunt
concurente.
Observații:
1) Punctul de concurență al dreptelor , , A B C AT BT CT se numește primul punct al lui
Malfatti 1( ). µ
2) Triunghiurile ABC și A B C TTT sunt omologice, centrul de omologie fiind primul p unct al
lui Malfatti.
13) Ireptele , , a a b b c c I T IT IT sunt concurente.
Demonstrație. Ținem cont de coordonatele baricentrice ale centrel or cercurilor exînscrise
, , , , , , 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) a b a b c a b c I Ip a p a p a p a p a p a −− − − − − − −
, , 2( ) 2( ) 2( ) ca b c Ip a p a p a −
− − − și scriem ecuațiile dreptelor ,a a b b I T IT și .c c IT Utilizând
condiția de concurență a trei drepte ( ): 0 i i i id ax by cz + + = 1,3 i= și anume
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c = rezultă concluzia.
Observație: Punctul de concurență al dreptelor , , A B C AT BT CT se numește al doilea punct
al lui Malfatti 2( ). µ
482 III.45. Triunghiul lui Schroeter 222
„Atâtea clăile de fire stângi
Găsi-vor gest închis sâ le rezume,
Să nege, dreapta, lin ia ce frângi
Ochi în virgin triunghi tâ iat spre
lume?”
Ion Barbu 223
Fie a b c M M M și a b c H H H triunghiurile median, respectiv ortic ale unui tri unghi
neisoscel și nedreptunghic ABC, * * { } ,{ } , = ∩ = ∩ b c b c c a c a A M M H H B M M H H
*{ } . = ∩ a b a b C M M H H Ireptele * * * , , AA BB CC sunt paralele între ele și perpendiculare
pe dreapta lui Euler a triunghiului ABC.
Demonstrație.
Fie 1C cercul lui Euler al triunghiului ABC , 2C cercul circumscris patrulaterului a b H HH C
și 3C cercul circumscris patrulaterului a b M OM C ( O este centrul cercului circumscris
triunghiului ABC ), iar = ∩ 2 3 { } .D C C Evident, 1 2 , ,a bH H C C ∈ ∩ 1 3 ,a bM M C C ∈ ∩ și
∈ ∩ 2 3 , .CD C C Atunci ,a b a b H H M M și CD sunt concurente fiind axele radicale
corespunzătoare perechilor de cercuri considerate. Fie *{ } . a b a b C H H M M CD = ∩ ∩
( ) ( ) 180 ( ) = = °− a a m M OD m H HD m BCD și cum a a HH OM rezultă că punctele H,
O și D sunt coliniare. Deoarece patrulaterul aHH CD este inscriptibil rezultă
( ) 180 ( ) 90 , = °− = ° a m HDC m HH C deci *.HO CC ⊥ Analog se arată că *AA HO ⊥ și
*,BB HO ⊥ deci * * * . AA BB CC
Observație: Triunghiul * * * ABC se numește triunghiul lui Schroeter.
222 Heinrich Schroeter (1829-1892) – matematician germa n, contribuții în geometrie
223 Ion Barbu (1895-1961) – matematician român, profeso r la Universitatea din București, contribuții în al gebră și
geometrie A
B C aM bM
cM
aH bH
cH
Fig. 478 O
H *A *B *C
D
483
III.46. Triunghiul lui Țițeica 224
„Țițeica era plin de vioiciune, fericit să-mi vorbească des pre căminul său, radiind, cu privirea sa
luminoasă și discretă, aceeași magnifică sănătate m orală… Înțelegeam că în el se reuneau continuu
preocuparea datoriei de împlinit și o euforie izvor âtă din conștiința datoriei împlinite…” – Henri
Lebesgue 225
Teorema lui Țițeica
Fie cercurile ()()()ROCROCROC ,,,,,33 22 11 astfel încât 1 2 3 { } H C C C =I I ,
1 2 { } , A C C =I 2 3 { } , B C C =I3 1 { } C C C =I. Cercul circumscris triunghiului ABC este
congruent cu cercurile 21,CC și 3C.
Demonstrație.
Patrulaterul HAOO23 este romb, deoarece HOAOHOAO32 23 ≡≡≡ . De asemenea
patrulaterul HBOO31 este romb, deci 1 32 ||||BOHOAO și deoarece 2 1 ( ) AO BO R ≡ =
rezultă că patrulaterul 21OABO este paralelogram, deci 21OOAB≡. Analog , 32OOBC≡
și 13OOCA≡, deci triunghiurile ABC și 321OOO sunt congruente, deci cercurile
circumscrise triunghiurilor ABC și 321OOO sunt congruente. Deoarece
1 2 3 ( ) HO HO HO R ≡ ≡ = rezultă că H este centrul cercului circumscris triunghiului
321OOO , deci și cercul circumscris triunghiului ABC are raza R.
Triunghiul 321OOO se numește triunghiul lui Țițeica .
224 Gheorghe Țițeica (1873-1939) – matematician român, professor la Universitatea București, membru al
Academiei ǎomâne
225 Henri Lebesgue (1875-1941) – matematician francez, contribuții importante în analiza matematică A
B C
A' B' C'
H
1O 2O 3O
aH bH cH
Fig. 479
484
1) Punctul H este centrul cercului circumscris triunghiului lui Țițeica 321OOO .
Demonstrația este evidentă întrucât 1 2 3 ( ) HO HO HO R ≡ ≡ = .
2) Punctul H este ortocentrul triunghiului ABC.
Demonstrație. Punctul 1O este simetricul lui 2O față de mijloacele segmentului HC, iar
ABOO||21 , rezultă că ABCH⊥. Analog , ACBH⊥, deci H este ortocentrul
triunghiului ABC.
Fie ', ', 'CBA punctele de intersecție dintre 2 1,HOHO și 3HO cu cercurile 21,CC
respectiv 3C.
3) Triunghiul '''CBA este triunghiul anticomplementar al triunghiului ABC.
Demonstrație. Deoarece 1 1 2 2 ' 'HO OA HO OB R = = = = , rezultă că 21OO este linie
mijlocie în triunghiul ''BHA, deci ''||21BAOO și cum ABOO||21 rezultă ' '||A B AB .
Deoarece 21OO este mediatoarea segmentului HC, rezultă că ' 'C A B ∈. Analog, punctele
', ',CBA și ', , 'A B C sunt coliniare și ' '|| , ' '||B C BC AC AC , deci triunghiul '''CBA este
triunghiul anticomplementar al triunghiului ABC.
4) Triunghiul lui Țițeica 321OOO este omotetic cu triunghiul ABC, centrul de omotetie
fiind centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC.
Demonstrație . Deoarece BCOOABOO ||,||32 21 și ACOO||31 , iar triunghiul ABC și
321OOO sunt congruente, rezultă că triunghiurile sunt omo tetice. Notăm cu litere mici
afixele punctelor corespunzătoare. Alegem un reper complex cu originea în centrul cercului
circumscris triunghiului ABC, (0) O. Atunci, ( ) H a b c + + , iar centrul cercului lui Euler
92a b c O+ +
. Patrulaterele 123123 , , HOCOHOBOHOAO fiind paralelograme rezultă
3 2 1 3 , , a h o o b h o o + = + + = + 1 2 c h o o + = + , de unde 1 2 3 9 2( ) 4 o o o a b c o + + = + + = ,
()1 9 9 9 4 2 2 o o a o o a b c = − + = − = + , 2 9 2o o b a c = − = + , 3 9 2o o c a b = − = + . Deoarece
9
1 9 1a o
o o −=− ∈ − rezultă ca punctele 9 1 , , AO O sunt coliniare. Analog, 9 2 , , B O O și
9 3 , , C O O sunt coliniare, deci centrul de omotetie dintre tr iunghiurile ABC, 321OOO este
centrul lui Euler.
5) Ireptele 32,,COBOAO sunt concurente în centrul cercului lui Euler al triunghiului
ABC.
Demonstrația rezultă din proprietatea precedentă.
6) Centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC este mijlocul segmentelor
1 2 3 , , AO BO CO .
485 Demonstrație . Din 9
1 9 1a o
o o −=− − rezultă 9 1 9 a o o o − = − adică 9 9 1 AO OO ≡. Analog
9 9 3 BO OO ≡ și 9 9 1 .CO OO ≡
7) Triunghiul median al triunghiului Țițeica este o motetic cu triunghiul ABC, centrul
de omotetie fiind ortocentrul triunghiului ABC.
Demonstrație. Dacă 111CBA este triunghiul median al triunghiului 321OOO atunci
ABOOBA ||||2111 și omoloagele, iar BHBAHA ∈∈1 1, și CHC∈1, deci triunghiurile
111CBA și ABC sunt omotetice, iar H este centrul de omotetie.
III.47. Triunghiurile lui Napoleon. Punctele lui Fe rmat 226
„The last thing we want from you, genera l Lagrange, is a lesson in a geometry.” – Napoleo n 227
Pe laturile unui triunghi ABC se construiesc în exterior triunghiurile echilater ale 1ABC ,
1ABC și 1ABC , cercurile lor circumscrise având centrele aN, bN și cN. Triunghiul
a b c N N N se numește triunghiul exterior al lui Napoleon. Dacă triunghiurile echilaterale
2A BC , 2ABC și 2ABC se construiesc în interiorul triunghiului ABC , atunci centrele lor
'
aN, '
bN și '
cN sunt vârfurile unui triunghi numit triunghiul interior al lui Napoleon.
Triunghiul 1 1 1 ABC se numește primul triunghi al lui Fermat , iar triunghiul 2 2 2 ABC se
numește al doilea triunghi al lui Fermat.
1) Segmentele 1AA ,1BB ,1CC sunt congruente .
Demonstrație. Din congruența triunghiurilor 1ABA și 1CBC (deoarece 1AB BC ≡,
226 Pierre de Fermat (1601-1665) – matematician france z, contribuții în teoria probabilităților și teoria numerelor
227 Napoleon Bonaparte (1769-1821) – cel mai important om politic și militar după ǎevoluția franceză, pro clamat
în 1804 drept Împărat al francezilor C B A
C1
A1 B1
F1
aN bN cN
Fig. 480
486 1BA BC ≡ și
1 1 ABA CBC ≡) rezultă că 1AA ≡1CC (1). Din congruența triunghiurilor
1ACA și 1BCB rezultă 1 1 AA BB ≡ (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă 1 1 1 AA BB CC ≡ ≡ .
2) Cercurile circumscrise triunghiului 1ABC , 1ABC și 1ABC au un punct comun .
Demonstrație. Fie 1F al doilea punct de intersecție dintre cercurile ci rcumscrise
triunghiurilor 1BAC și 1CBA . Avem
1 1 ( ( ) 180 ) 180 60 120 mBFC mBAC = = − °− °= ° o,
1 1 () 180 ( ) 120 m AFC mCBA = = °− ° .
Atunci,
1 1 1 ( ) 360 [ ( ) ( )] 120 m AFB m BFC mCFA = °− + = ° , deci
1 1 ( ) ( ) 180 m AFB m ACB + = ° ,
adică 1F aparține și cercului circumscris triunghiului 1ABC .
Observație: Punctul 1F se numește primul punct al lui Toricelli – Fermat.
3) Ireptele 1AA , 1BB și 1CC sunt concurente în punctul 1F.
Demonstrație. Deoarece
1 1 1 1 ( ( ( ) 1) ) 60 2m BFA m BCA m BA = = = oși
1 1 () 120 m BF A = °
rezultă
1 1 1 ( ( ) ) 180 m AFB mBFA + = ° , adică punctele A, 1F, 1A sunt coliniare, deci dreapta
1AA trece prin punctul 1F. Analog se arată că dreptele 1BB și 1CC trec prin 1F.
4) Coordonatele unghiulare ale punctului
1F sunt egale cu 120 °,
dacă unghiurile triunghiului ABC au
măsura mai mică de 120 °.
Demonstrația rezultă din cele de mai sus.
5) Iacă ( ) 1 2 0 m BAC >o, atunci
1 1 () ( ) 60 mAFC mBFA = = ° și
1() 120 mBFC = ° .
Demonstrație. În cercul circumscris
patrulaterului 1 1 ACBF avem:
1 1 ( ( ) ) 60 m AFC m ABC = = ° iar în cercul
circumscris patrulaterului 1 1 ABCF avem
1 1 ( ( ) ) 6 0 m AF B m AC B = = ° și
1 1 1 ( ( ) 180 ) 120 mBFC mBFC = °− = ° .
6) Triunghiul exterior al lui Napoleon este echilat eral .
Demonstrație. Notăm cu , , a b c lungimile laturilor BC , CA respectiv AB . Avem :
32 3 3
3 2 cc c AN = = , 33
bbAN =, iar ( ( ) ) 60 b c m N AN mBAC = + ° . Din teorema
cosinusului în triunghiul b c N AN avem Fig. 481 A
B C
1A 1B
1C
1F
487 2 2
2 2 2 21 3 2 cos( 60 ) cos sin 3 3 2 2 b c b c b c b c bc N N AN AN AN AN A A A
+= + − ⋅ ⋅ + ° = − − , adică
[ ] [ ]2 2 2 2 2
2 2 2 2 ( ) 1 3 2 3 23 6 3 6 3 b c ABC ABC b c a b c N N b c a A A + + + = − + − + ⋅ ⋅ = − ⋅ . Simetria
rezultatului precedent ne conduce la concluzia a b b c c a N N N N N N = = , deci triunghiul
exterior al lui Napoleon este echilateral.
7) Cercurile circumscrise triunghiurilor 2ABC , 2ABC , 2ABC au un punct comun 2F.
Demonstrație. Fie 2F al doilea punct de intersecție
dintre cercurile circumscrise triunghiurilor 2BAC și
2ABC . Atunci,
2 2 ( ( ) ) 60 mCFB mBAC == ° ,
2 2 ( ( ) ) 60 mBFC mBAC == ° de unde rezultă că punctele
2F, B și 2Bsunt coliniare. Analog se arată că punctele
2F, A și 2A sunt coliniare. Atunci,
2() 120 mBF A =°,
deci
2 2 ( ( ) ) 180 mBF A mBC A + = °, adică 2F aparține
cercului circumscris triunghiului 2ABC .
Observație: Punctul 2F se numește al doilea punct Toricelli – Fermat.
8) Ireptele 2AA , 2BB și 2CC sunt concurente în punctul 2F.
Demonstrație. Din aplicația precedentă 2 2 2 { } = ∩ F AA BB . Deoarece patrulaterul 2 2 BC AF
este inscriptibil rezultă
2 2 2 ≡BC F BAF . Din congruența triunghiurilor 2BCC și 2BAA
rezultă
2 2 ≡BCC BAA de unde
2 2 2 2 2 ( ( ( ( ) ) ) ) 180 + = + = ° mBC F mBCC mBAA mBAF , deci
punctele 2F, 2C, C sunt coliniare.
9)Segmentele 2AA ,2BB și 2CC sunt congruente.
Demonstrație: Din congruența triunghiurilor 2ACA și 2BCB ( deoarece 2AC B C ≡,
2AC BC ≡ și
2 2 ( ( ) ) 60 ( ) = = °− m ACA mBCB mC ) rezultă 2 2 ≡AA BB (1), iar congruența
triunghiurilor 2AAB și 2CC B rezultă 2 2 ≡AA CC (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă că
2 2 2 . ≡ ≡ AA BB CC
10) Triunghiul interior al lui Napoleon ' ' '
a b c N N N este echilateral .
Demonstrație. Avem '3
3=ccAN , '3
3=bbAN iar ' '( ) ( ) 60 = − ° b c m N AN m BAC . Din
teorema cosinusului în triunghiul ' '
b c N AN rezultă 2 2 2
' '2
[ ] 2 3
6 3 + + = − ⋅b c ABC a b c N N A .
Simetria relației precedente conduce la ' ' ' ' ' '. = = a b b c c a N N N N N N
A
B C A2
B2 C2 F2 '
aN
'
bN '
cN
Fig. 482
488 Observație: Inegalitatea [ ]2 2 2 4 3 ⋅ + + ≥ ABC a b c A este echivalentă cu
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 a b b c c a − + − + − ≥ , evident adevărată (unde am folosit formulele lui
Heron în exprimarea ariei triunghiului ABC ).
11) Primul punct Fermat verifică egalitatea: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ). + + = + + FA FB FC FA FB FC
Demonstrație. Deoarece patrulaterul 1 1 FBAC , 1 1 FCBA și 1 1 FACB sunt inscriptibile, din
relația lui Schooten rezultă 1 1 1 1 +=FA FB FC , 1 1 1 1 +=FB FA FC și 1 1 1 1 +=FC FA FB relații
care prin sumare dau 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2( ). + + = + + FA FB FC FA FB FC
12) Ireptele 1aAN , 1bBN și 1cCN sunt concurente în centrul cercului circumscris
triunghiului ABC .
Demonstrația este evidentă deoarece 1aAN , 1bBN și 1cCN sunt mediatoarele laturilor BC ,
CA respectiv AC .
13)Triunghiurile ABC și 1 1 1 ABC sunt ortologice .
Demonstrație. Deoarece 1 1 1 , , ⊥ ⊥ ⊥ a b c A N B C B N A C C N A B și
1 1 1 { } = I I a b c AN BN CN O rezultă că triunghiurile ABC și 1 1 1 ABC sunt ortologice, O fiind
un centru de ortologice.
14) Triunghiul exterior al lui Napoleon a b c N N N și triunghiul 1 1 1 ABC sunt ortologice .
Demonstrația rezultă de mai sus.
15) Ireptele ' ' '
2 2 2 , , a b c AN B N C N sunt concurente în centrul cercului circumscris
triunghiului ABC .
Demonstrația este evidentă deoarece ' ' '
2 2 2 , , a b c AN B N C N sunt mediatoarele laturilor
triunghiului ABC .
16) Triunghiurile antipodare ale punctelor lui Ferm at corespunzătoare unui triunghi
ABC sunt echilaterale .
Demonstrație. Vezi „Triunghiul antipodar”.
17)Ireptele , , a b c AN BN CN sunt concurente .
Demonstrație. Soluția 1. Fie { '} ,{ '} ,{ '} a b c A AN BC B BN AC C CN BA = = = I I I .
Atunci: [ ]
[ ] sin( 30 ) ' sin( 30 )
' sin( 30 ) sin( 30 ) a
aABN a
ACN a AAB BN B BA AB B
A C A AC CN C AC C ⋅ ⋅ + ° ⋅ + ° = = = ⋅ ⋅ + ° ⋅ + ° ,
' sin( 30 )
' sin( 30 ) CB BC C
B A BA A ⋅ + ° =⋅ + ° , ' sin( 30 )
' sin( 30 ) AC CA A
C B CB B ⋅ + ° =⋅ + ° , de unde rezultă că
' ' '1' ' 'BA CB AC
AC B A C B ⋅ ⋅ = și conform reciprocei teoremei lui Ceva rezultă că dreptele
, , a b c AN BN CN sunt concurente.
Soluția 2. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăto are. Avem: 60
1( ) CA B °=ℜ ,
60
1( ) AB C °=ℜ ,60
1( ) BC A °=ℜ , (unde prin 60 ( ) XY°ℜ am notat rotația de centru X și unghi 60 °a
489 punctului Y ). Atunci, 1 ( ) a c b c ω= + − , 1 ( ) b a c a ω= + − , 1 ( ) c b a b ω= + − , unde
cos sin 3 3 iπ π ω= + și 12 ( )
3 3 ab c a b c b c nω + + + + − = = (1),
12 ( )
3 3 ba c b c a c a nω + + + + − = = (2), 12 ( )
3 3 ca b c a b a b nω + + + + − = = (3). Ecuațiile
dreptelor , , a b c AN BN CN sunt: ( aAN ): ( ) ( ) 0 a a a a a n z a n z an an − − − + − = (4),
(bBN ): ( ) ( ) 0 b b a b b n z b n z bn bn − − − + − = (5),( cCN ): ( ) ( ) 0 c c c c c n z c n z cn cn − − − + − =
(6). Sumând ecuațiile (4), (5), (6) – ținând seama de relațiile (1), (2), (3) precum și de:
1=ω+ω , 012=+ω−ω , 13−=ω – rezultă o identitate, ceea ce arată că dreptele sunt
concurente.
18) Triunghiul exterior al lui Napoleon a b c N N N și triunghiul 1 1 1 ABC sunt ortologice .
Demonstrație. Utilizând notațiile din teorema precedentă rezultă
3 3 3( 2 )
3b c c b i c a b n n − + − + − = și 12 3( ) 3( 2 ) 3 3
2 2 3 b a c i b c i c a b c b a a
i− + + − − + + − − = = ,
de unde
13
3b c n n iia a ∗ −= ∈ −, deci b c N N 1AA ⊥. Analog se arată că a b N N 1CC ⊥ și
a c N N 1BB ⊥ și cum 1 1 1 1 { } AA BB CC F = I I rezultă concluzia.
19) Triunghiul exterior al lui Napoleon a b c N N N și triunghiul antipodar al primului
punct al lui Fermat sunt omotetice .
Demonstrație. Fie " " " A B C triunghiul antipodar corespunzător punctului 1F. Deoarece
1" " AF B C ⊥ și b c N N 1AF ⊥(cf. teoremei precedente) rezultă că b c N N " " B C . Analog se
arată că b a N N " " B A și a c N N " " A C , rezultă că triunghiurile a b c N N N și " " " A B C sunt
omotetice.
20)Triunghiurile ABC și 1 1 1 ABC au același centru de greutate .
Demonstrație. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăto are. Avem:
2
10 + + = b c a ε ε , 2
10 + + = c a b ε ε ,2
10 + + = a b c ε ε , unde 1 3
2− + =iε . Adunând
relațiile precedente membru cu membru obținem:
2
1 1 1 (1 )( ) ( ), + + + =− + + a b c a b c ε ε adică 1 1 1 + + = + + a b c a b c , deci triunghiurile ABC și
1 1 1 ABC au același centru de greutate.
21)Triunghiurile ABC și a b c N N N au același centru de greutate .
Demonstrație. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăto are. Avem:
1
3ab c a n+ + = , 1,3ba c b n+ + = 1
3ca b c n+ + = , de unde rezultă
1 1 1 2( )
3a b c a b c a b c n n n + + + + + + + = = 2( )
3a b c a b c + + + + + =a b c + + (unde am
utilizat proprietatea precedentă).
490 Observație: Din proprietățile precedente rezultă că triunghiuri le 1 1 1 ABC și a b c N N N au
același centru de greutate.
22) Triunghiurile ABC și ' ' '
a b c N N N au același centru de greutate .
Demonstrație analoagă celei precedente.
23) Triunghiurile lui Napoleon interior și exterior au același centru de greutate .
Demonstrația rezultă din proprietățile precedente.
Observație: Din cele de mai sus rezultă că triunghiurile lui Na poleon și triunghiurile lui
Fermat au același centru de greutate.
24) Aria triunghiului Napoleon exterior a b c N N N este egală cu :
2 2 2
[ ] [ ] 1 3 ( ) 2 24 a b c NNN ABC A A a b c = ⋅ + ⋅ + + .
Demonstrație. Avem 2 2 2 2
[ ] [ ] 32 3 3
4 3 6 4 a b c a b
N N N ABC N N a b c A A + + = = ⋅ + ⋅
, de unde
rezultă concluzia.
25) Aria triunghiului Napoleon interior ' ' '
a b c N N N este egală cu :
' ' '2 2 2
[ ] [ ] 1 3 ( ) 2 24 a b c ABC NNN A A a b c =− ⋅ + ⋅ + + . Demonstrație analoagă precedentei.
Observație: Din proprietățile precedente rezultă ' ' ' [ ] [ ] [ ] a b c a b c N N N ABC N N N A A A − = .
26) Fie a b c N N N și ' ' '
a b c N N N triunghiurile lui Napoleon, CBATTT triunghiul tangențial
al unui triunghi ABC. Punctele aN,'
aN, AT sunt coliniare .
Demonstrația este evidentă deoarece punctele aN,'
aN, AT aparțin mediatoarei segmentului
BC .
Observație: Analog se arată că punctele bN,'
bN, BT, respectiv cN,'
cN, CT sunt coliniare.
27) Izogonalele punctelor 1F și 2F ale lui Fermat sunt punctele izodinamice S și 'S ale
triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Puncte izodinamice”.
28) Triunghiul exterior al lui Napoleon a b c N N N este omotetic cu triunghiul podar
a b c S S S al primului punct izodinamic S al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Puncte izodinamice”.
29) Triunghiul interior al lui Napoleon este omotet ic cu triunghiul podar al celui de al
doilea punct izodinamic al triunghiului ABC.
Demonstrație. Vezi „Puncte izodinamice”.
491 30) Fie 1 1 1 ABC primul triunghi al lui Fermat al unui triunghi ABC și punctele
1 1 1 ' ( ), ' ( ), ' ( ) A AA B BB C CC ∈ ∈ ∈ astfel încât 1 1 ' 2 ', ' 2 'A A AA B B BB = = și 1' 2 '. C C CC =
Triunghiurile ' ' 'A B C și al doilea triunghi al lui Napoleon ' ' 'a b c N N N sunt
congruente.
Demonstrație. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăto are. Atunci,
60 60 60
1 1 1 ( ), ( ), ( ) ° ° ° = = = C A B A R B B R C C R A (unde ( ) XR Y ϕ înțelegem rotația de centru X și
unghi ϕ a punctului Y), de unde 1 1 ( ), ( ) a c b c b a c a θ θ = + − = + − și 1 ( ) c a a b θ= + − –
unde cos60 sin60 . = °+ ° i θ Deoarece 1' 2 'A A AA = rezultă ( ) 2 ' . 3c b c a aθ+ − + = Analog,
( ) 2 '3a c a b bθ+ − + = și ( ) 2 ' . 3b a b c cθ+ − + = Deoarece 2Aeste simetricul lui 1A față de
BC rezultă 2 1 ( ) a b c a b b c θ = + − = − − de unde 22 ( ) ' . 3 3 ab c a b c b c nθ + + + − − = =
Analog, 2 ( ) '3bc a c a nθ+ − − = și 2 ( ) ' . 3ca b a b nθ+ − − = Deoarece
' ' ' ' , ' ' ' 'a b a c a b n n a c n n − = − − = − și ' ' ' 'b c b c n n − = − rezultă că
' ' ' ', ' ' ' '≡ ≡ a b a c A B N N AC N N și ' ' ' 'b c B C N N ≡ adică triunghiurile ' ' 'A B C și
' ' 'a b c N N N sunt congruente.
Observație: Deoarece triunghiul ' ' 'a b c N N N este echilateral rezultă că triunghiul ' ' 'A B C
este echilateral.
31) Triunghiul ' ' 'A B C și al doilea triunghi al lui Napoleon au același c entru de
greutate.
Demonstrație. Deoarece ' ' ' ' ' 'a b c a b c n n n a b c + + = + + = + + rezultă că centrele de greutate
ale triunghiurilor ' ' 'A B C și ' ' 'a b c N N N coincid.
Observație: Centrul de greutate al triunghiului ' ' 'A B C coincide cu centrul de greutate ( G)
al triunghiului ABC .
32) Sunt adevărate relațiile : 2 2 2 ' , ' , 'GA AA GB BB GC CC , ' ' 'GA GB GC ≡ ≡ și
2 2 2 1 1 1 ' , ' , ' . 3 3 3 GA AA GB BB GC CC = = =
Demonstrație. Din
2' 1
3g a
a a −=− ∈ − rezultă că 2'GA AA
și
21
3g a
a a −=− adică 21' . 3GA AA = Deoarece
2 2 2 AA BB CC ≡ ≡ rezultă ' ' '. GA GB GC ≡ ≡
33) Hexagonul ' ' ' ' ' 'c a b A N C N B N este regulat.
Demonstrația este evidentă deoarece ' ' ' '. c c A N N C ≡
A
B C A2
1A G
A'
Fig. 483 A"
aN
492 Consecință: Punctele ', ', 'A B C aparțin cercului circumscris celui de-al doilea tr iunghi al
lui Napoleon corespunzător triunghiului ABC .
34) Primul punct al lui Fermat (1F) corespunzător unui triunghi ABC aparține cercului
circumscris al celui de-al doilea triunghi al lui N apoleon al triunghiului ABC.
Demonstrație. Din 1 1 1 1 ( ) ( ' ') 120 = = ° m AFB m A FB și ( ' ' ') 60 = ° m AC B rezultă
1( ' ') ( ' ' ') 180 , + = ° m A FB m AC B adică patrulaterul 1' ' 'FAC B este inscriptibil, deci 1F
aparține cercului circumscris triunghiului ' ' 'A B C și conform proprietății precedente –
aparține cercului circumscris triunghiului ' ' 'a b c N N N .
35) Al doilea punct al lui Fermat (2F) aparține cercului circumscris primului triunghi al
lui Napoleon corespunzător unui triunghi ABC .
Demonstrația este analoagă cu precedenta.
36) Fie 2 2 2 " ( ), " ( ), " ( ) A AA B BB C CC ∈ ∈ ∈ astfel încât 2 2 " 2 ", " 2 ". A A AA B B BB = =
Punctele ", ", " A B C aparțin cercului circumscris primului triunghi al lui Napoleon.
Demonstrație. Patrulaterele ' ", ' ", ' " AAGA BB GB CC GC sunt paralelograme (deoarece
21' ", ' " 3GA AA GA AA AA = = ), de unde 1"GA AA și 11" . 3GA AA = Analog,
11"3GB BB = și 11" . 3GC CC = Cum 1 1 1 AA BB CC ≡ ≡ rezultă că " " ". GA GB GC ≡ ≡
Deoarece "a g a g n − = − rezultă că punctele ", ", " A B C aparțin cercului circumscris
triunghiului .a b c N N N
37) Triunghiul " " " A B C este echilateral și congruent cu primul triunghi a l lui Napoleon
a b c N N N corespunzător triunghiului ABC.
Demonstrație. Se arată fără dificultate că " " a b a b n n − = − și " " a c a c n n − = − adică
" " a b A B N N ≡ și " " . a c A C N N ≡
493 III.48. Triunghiurile lui Vecten
„Desenul corupe raționamentul” – Ion Barbu
Pe laturile unui triunghi ABC se construiesc în exterior pătratele C B BCA A , C A ACB B și
B A ABC C care au centrele AO, BO, respectiv CO. Triunghiul A B C O O O determinat de
centrele acestor pătrate se numește triunghiul Vecten exterior.
1) Ireptele CBACOBOAO ,, sunt concurente .
Demonstrație . Triunghiurile dreptunghice isoscele BACO și CABO sunt asemenea, atunci
C
BAO AB
AC AO =, de unde B C AB AO AC AO ⋅ = ⋅ și de aici
sin sin B B C C AB AO BAO AC AO CAD ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ (deoarece
B C BAO CAO ≡ ), deci
[ ] [ ] B C ABO ACO A A = . Analog se arata că ][][C CBAO BCOAA= și ][][B ACBO CAOAA= (1). Fie
BCAOAAI=}{1 , ACBOBBI=}{1 și . }{1ABCOCCI= Atunci,
CABA
hh
hAOhAO
AA
AA
ACOABO
AA
11
21
21
][][==⋅⋅= (unde 1h și 2h sunt lungimile înălțimilor duse din B și C
pe latura AAO în triunghiurile AABO, respectiv AACO ). Analog, ABCB
AA
BAOBCO
BB
11
][][= și A
B C AC AB
BC CB
BA B' C' CA Fig. 484
AO BO
CO
aH A'
494 .
11
][][
BCAC
AA
CBOCAO
Cc= (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă: 1
11
11
11=⋅⋅BCAC
ABCB
CABA și conform
reciprocei teoremei lui Ceva rezultă că dreptele BABOAO, și CCO sunt concurente.
Observație : Punctul de concurență al dreptelor AAO , BBO și CCO se numește punctul
lui Vecten exterior 1( ). V
2) Sunt adevărate relațiile: A B C AO O O ⊥, B C A BO O O ⊥, C A B CO O O ⊥.
Demonstrație. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăt oare. Prin rotația de
centru CO și unghi 2π, punctul B ajunge în A, deci 2( )
COA B π
=ℜ , de unde
( ) C C a o b o ω= + − , unde cos sin 2 2 i iπ π ω= + = , adică 1Ca ib oi−=−. Analog , 2( )
AOB C π
=ℜ
și 2( )
BOC A π
=ℜ , de unde 1Ab ic oi−=− și 1Bc ia oi−=−. Atunci , * A
C B a o i io o −=− ∈ ⋅−, adică
A B C OO O O ⊥ . Analog se arată că B C A BO O O ⊥ și C A B CO O O ⊥ .
Observație: Ortocentrul triunghiului A B C O O O este punctul de intersecție al
dreptelor AAO , BBO și CCO .
3) Sunt adevărate relațiile : A B C AO O O ≡ , B C A BO O O ≡ , C A B CO O O ≡ .
Demonstrație. Din A
C B a o io o −=− − rezultă 1A
C B a o io o −= − = −, adică A C B a o o o − = − , de
unde A B C AO O O ≡ . Analog se arată că B C A BO O O ≡ și C A B CO O O ≡ .
Observație: Cu segmentele AAO , BBO și CCO se poate construi un triunghi congruent cu
triunghiul A B C O O O .
4) Triunghiurile A A AB C , B B BA C , C C CA B și ABC au aceeași arie .
Demonstrație. Avem
[ ] sin
2A A A A A A
AB C AC AB C AB A⋅ ⋅= . Deci AAC AB c = = ,
AAB AC b = = și sin( ) sin(360 180 ) sin(180 ) sin A A C AB A A A = °− °− = °− = , deci
[ ] [ ] sin
2A A AB C ABC bc A A A = = . Analog se arată că [ ] [ ] [ ] A A C C AB C CA B ABC A A A = = .
495 5) Laturile triunghiului Vecten exterior au lungimi le 2 2
[ ] '4
2ABC b c A a+ + = ,
2 2
[ ] '4
2ABC a c A b+ + = și 2 2
[ ] '4
2ABC b a A c+ + = , unde 'a,'b,'c sunt lungimile laturilor
B C O O , A C O O , respectiv A B O O .
Demonstrație. Din teorema cosinusului în triunghiul B C AO O obținem
2 2 2 2 cos B C B C B C B C O O O A O A O A O A O AO = + − ⋅ ⋅ . Dar 2
2BbO A =, 2
2CcO A =,
( ) 90 ( ) B C m O AC m BAC = °+ ,deci 2 2
'2 sin 22 2 2 b c bc A a⋅= + + ⋅, adică
2 2
[ ] '4
2ABC b c A a+ + = . Analog, 2 2
[ ] '4
2ABC a c A b+ + = și 2 2
[ ] '4
2ABC b a A c+ + = .
6) Este adevărată relația : 2 2 2 2 2 2 3( ) A A B B C C B C C A A B a b c + + = + +
Demonstrație. Teorema cosinusului în triunghiul A A AB C ne dă:
2 2 2 2 cos A C A A B C b c bc B AC = + − ⋅ , cos cos(180 ) A A B AC A = °− = 2 2 2
cos 2a b c Abc − − − = ,
de unde 2 2 2 2 2 2 ( ) A A B C b c a b c = + − − − = 2 2 2 2 2 b c a + − . Analog,
2 2 2 2 2 2 B B C A a c b = + − și 2 2 2 2 2 2 C C A B b a c = + − , de unde
2 2 2 2 2 2 3( ) A A B B C C B C C A A B a b c + + = + + .
7) Ireptele CAA și CBB sunt perpendiculare .
Demonstrație. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunză toare . Avem :
2( ) CCA B π
=ℜ și 2( ) CCB A π−
=ℜ , deci ( ) Ca c ib c = + − și ( ) Cb c i a c = − − . Atunci:
[ ]*( )
( ) C
Ci b c i a c a a i ib b b c i a c − − + − −= =− ∈ ⋅− − + − , deci C C AA BB ⊥.
Observație: Analog se arată că B B AA CC ⊥ și A A BB CC ⊥.
8) Fie AG, BG, CG, centrele de greutate ale
triunghiurilor A A AB C , B B BC A respectiv
C C CA B . Ireptele AAG , BBG și CCG sunt
concurente în ortocentrul H al triunghiului
ABC .
Demonstrație. Fie 1B al patrulea vârf al
paralelogramului 1B B BC BA și
1 { } BH BB AC = ∩ . Deoarece
( ) 180 ( ) B B m A BC m B = °− rezultă
1( ) ( ) Bm BA B m B = . Atunci triunghiul A
B C AC
BC
1B bH
CA BA 2B BG
Fig. 485
496 ABC și 1BBA B sunt congruente ( 1( ) ( ) Bm BA B m B = , 1B B AB BC BA ≡ ≡ , BBC BA ≡),
deci 1( ) ( ) = = Bm BBA m BAC 1( ) B m B BC . Deoarece
1( ) ( ) 180 ( ) 90 B b m BBC m ABH m CBA + = °− = °
deci ( ) ( ) 90 b b m BAH m ABH + = ° , de unde rezultă că bBH AC ⊥(1). Deoarece într-un
paralelogram diagonalele se înjumatățesc, rezultă c ă 2BB este mediană în triunghiul
B B BA C , deci 1BG BB ∈ (2). Din (1) și (2) rezultă că BG B AC ⊥. Analog, AAG BC ⊥ și
CCG AB ⊥, de unde rezultă că BBG , CCG sunt dreptele suport ale înalțimilor triunghiului
ABC , deci sunt concurente în ortocentrul triunghiului ABC .
9) Fie AH, BH, CH ortocentrele triunghiurilor A A AB C , B B BA C respectiv C C CA B .
Ireptele AAH , BBH și CCH sunt concurente în centrul de greutate al triungh iului
ABC.
Demonstrație. Fie 1A cel de-al
patrulea vârf al paralelogramului
1A A C AB A ,A A AP B C ⊥ , ABQ AC ⊥,
( , ) A A P BCQ AC ∈ ∈ și { } = ∩ aM AP BC
Cum ≡A A A B C Q AH B , AC A AB ⊥
și A A C A H Q ⊥ rezultă AAB H Q ,
deci a a BAM AH Q ≡ (alterne
interne). Deoarece 1≡ AAAC BCA
(vezi proprietatea anterioară) rezultă
2AC AA ABC ≡ , deci triunghiurile
aABM și 2AC AA sunt congruente, de
unde 2 1 1 1
2 2 aBM AA AA BC = = = ,
deci aM e mijlocul segmentului BC ,
adică aAM este mediană în triunghiul ABC , adică G-centrul de greutate al triunghiului
ABC – aparține dreptei aAH . Analog, BG BH ∈ și CG CH ∈.
Observație: Din congruența triunghiurilor aABM și
2AC AA rezultă 21
2a A A A AM C A B C = = , deci
22 2 A A a B C AM m = = . Analog 2B B b A C m = și
2C C c A B m = (unde , , a b c m m m sunt lungimile
medianelor triunghiului ABC ). Atunci
2 2 2 2 2 2 2 2 2 4( ) 3( ) + + = + + = + + A A B B C C a b c BC AC AB m m m a b c
Dacă pe laturile triunghiului ABC se construiesc spre
interior pătratele ' '
C B BCA A , ' '
C A ACB B , ' '
A B BAC C având
centrele ' ',A B O O respectiv '
CO. Triunghiul ' ' '
A B C O O O se
numește triunghiul Vecten interior (Fig. 487). A
B C Q P
AC
aM aH AB
BC CB 1A
2A
Fig. 486
A
B C
'
AB
'
CB '
BC '
AC '
CA '
BA
'
AO
'
BO '
CO
Fig. 487
497
10) Sunt adevărate relațiile : ' ' '
A B C AO O O ⊥, ' ' '
B A C BO O O ⊥,' ' '
C B A CO O O ⊥.
Demonstrație. Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăt oare. Avem:
'2( )
BOA C π
=ℜ , '2( )
COB A π
=ℜ , '2( )
AOC B π
=ℜ , deci '
1Ba ic oi−=−, '
1Cb ia oi−=−, '
1Ac ib oi−=−, de
unde '
*
' '( ) A
B C a o i a ai ic b i ia ai ic b o o −− + − − = =− ∈ ⋅+ − − −, de unde rezultă ' ' '
A B C AO O O ⊥ . Analog,
' ' '
B A C BO O O ⊥ și ' ' '
C B A CO O O ⊥ .
11) Sunt adevărate relațiile : ' ' '
A B C AO O O ≡ , ' ' '
B A C BO O O ≡ și ' ' '
C B A CO O O ≡.
Demonstrație. Din '
' 'A
B C a o i
o o −=−
− rezultă '
' '1A
B C a o i
o o −= − =
−, de unde ' ' '
A B C a o o o − = − ,
adică ' ' '
A B C AO O O ≡ . Analog se arată că ' ' '
B A C BO O O ≡ și ' ' '
C B A CO O O ≡.
Observație: Cu lungimile segmentelor '
AAO , '
BBO , '
CCO se poate construi un triunghi
congruent cu triunghiul Vecten interior.
12) Ireptele '
AAO , '
BBO , '
CCO sunt concurente .
Demonstrație. Dreptele '
AAO , '
BBO , '
CCO fiind perpendiculare pe dreptele ' '
B C O O , ' '
A C O O ,
' '
B A O O , sunt dreptele suport ale triunghiului ' ' '
A B C O O O , deci sunt concurente în ortocentrul
triunghiului Vecten interior.
Observație : Punctul de concurență al dreptelor ' '
B C O O , ' '
A C O O , ' '
B A O O se numește punctul
Vecten interior .
13) Triunghiurile '
BABA și '
BBCC ; '
CBCB și '
CACA , respectiv '
AABB și '
AACC au
aceeași arie .
Demonstrație. Notăm cu , , a b c lungimile laturilor BC , CA respectiv AB . Din
' '
B B ABA CBC ≡ (unghiuri cu laturile perpendiculare două câte dou ă) rezultă
' '' ' ' '
[ ] [ ] sin sin
2 2 B B B B B B
ABA CBC AB BA ABA BA BC CBC A A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = . Analog se arată că
' '[ ] [ ] C C BCB ACA A A = și ' '[ ] [ ] A A ABB ACC A A = .
14) Ireptele CBB , BCC și înalțimea din A a triunghiului ABC sunt concurente .
Demonstrație. Fie aAH înălțimea din A, notăm 1 ( ) am BAH α= , 2 ( ) am H AC α= ,
1 ( ) Cm CBB β= , 2 ( ) Cm B BA β= , 1 ( ) Bm ACC γ= , 2 ( ) Bm C CB γ= . Din teorema
498 sinusurilor avem:
1sin sin(90 ) C C CB BB
C β=°+ și
2sin sin(45 ) C C AB BB
A β=°+ , de unde
1cos sin
Cb C
BB β= și 22sin( 45 ) sin
Cb A
BB β+ ° = deci 1
2sin cos
sin 2sin( 45 ) C
Aβ
β=
+ ° (1). Analog
se arată că 1
2sin 2sin( 45 )
sin cos A
Bγ
γ+ ° = . Dar 1sin sin(90 ) cos B B α= °− = și
2sin sin(90 ) cos C C α= °− = , de unde 1 1 1
2 2 2 sin sin sin 1sin sin sin α β γ
α β γ ⋅ ⋅ = , și din reciproca teoremei
lui Ceva sub formă trigonometrică rezultă concurenț a dreptelor CBB , BCC și aAH .
Observație: Dacă triunghiul nu este ascuțitunghic, rezultatul se pastrează, dar calculele
suferă unele modificari.
15) Fie { '} A B A C A C C B B = ∩ ,{ '} A B B C B C C A A = ∩ și { '} B C A C C A A B B = ∩ . Triunghiul
ABC și triunghiul ortic al triunghiului ABC sunt omologice .
Demonstrație. vezi „Triunghiul lui Grebe”.
16) Triunghiul Vecten exterior A B C O O O are aria egală cu
2 2 2
[ ] [ ] 8A B C O O O ABC a b c A A + + = + , unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA, AB.
Demonstrație.
Alegem un sistem cartezian cu originea în centrul c ercului circumscris triunghiului ABC.
Notăm cu litere mici afixele punctelor corespunzăto are, iar prin ( ) XZ Y ϕ=ℜ înțelegem că
punctul Z se obține printr-o rotație de centru X și unghi ϕ a punctului Y. Avem:
2 2 ( ), ( ),
A B O O B C C A π π
=ℜ =ℜ 2( )
COA B π
=ℜ , de unde rezultă ,1Ab ic oi−=− ,1Bc ia oi−=−
.1Ca ib oi−=− Atunci: [ ] 1 1
1 1 4 8
1 1 − +
= = − + =
− + A B C A A
O O O B B
C C o o b ic b ic
i iA o o c ia c ia
o o a ib a ib
2[( ) ( ) 8+ + − − − − + + + ibc ca ab ac ba cb iaa bb cc ( )] i bc ca ab ac ba cb + + + + + + (1) ,
[ ] 1
1 [ ] 4 4
1ABC a a
i iA b b bc ca ab ac ba cb
c b = = + + − − − (2) și 2 2 2 + + = BC CA AB
2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) − + − + − = − − + − − + − − = c b a c b a c b c b a c a c b a b a
22[3 ( )], − + + + + + R bc ca ab ac ba cb deci 2 2 2
232BC CA AB bc ca ab ac ba cb R + + + + + + + = −
(3) ( unde a b c R = = = – raza cercului circumscris triunghiului ABC ). Din relațiile (1),
499 (2) și (3) rezultă : 2
[ ] [ ] 1[3 ( )] 4= + − + + + + + =
A B C O O O ABC A A R bc ca ab ac ba cb
2 2 2
[ ] 1
4 2 + + + ⋅ = ABC BC CA AB A 2 2 2
[ ] .8ABC BC CA AB A+ + +
17) Triunghiul Vecten interior ' ' '
A B C O O O are aria egală cu ' ' '2 2 2
[ ] [ ] 8A B C ABC O O O a b c A A + + = − ,
unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA, AB.
Demonstrația este analoagă celei precedente.
III.49. Triunghiurile Sharygin
„…poezia nu este lacrima
ea este insuși plânsul
plânsul unui och i neinventat
lacrima ochiului
celu i care trebuie să fie frumos,
lacrima celui care trebuie să fie fericit.”
Nichita Stănescu 228
În triunghiul ABC fie ', ', 'A B C picioarele bisectoarelor interioare și ", ", " A B C picioarele
bisectoarelor exterioare. Punctele de intersecție a le mediatoarelor segmentelor
', ', 'AA BB CC sunt vârfurile primului triunghi Sharygin. Mediato arele segmentelor
", ", " AA BB CC se intersectează în trei puncte care sunt vârfuril e celui de-al doilea triunghi
Sharygin.
1) Triunghiul de contact al triunghiului ABC și primul triunghi Sharygin al triunghiului
ABC sunt omotetice .
228 Nichita Stănescu (1933 – 1983) – eseist, poet român , ales postum membru al Academiei ǎomâne A
B C
aI bI
cI
bC
aC cC bS
aS cS 1M
2M 3M
Fig. 488
500 Demonstrație. Fie a b c S S S primul triunghi Sharygin al triunghiului ABC , a b c CCC triunghiul
de contact al triunghiului ABC . Deoarece triunghiul b c ACC este isoscel rezultă că
c b CC AI⊥; cum și b c S S AI⊥rezultă .c b c b CC S S Analog a b a b CC S S și
(1). a c a c CC S S Fie 1 2 3 , , M M M mijloacele bisectoarelor ', ', '. AA BB CC Fie
1{ } = ∩ a c A S S BC și 2{ } . = ∩ a b A S S BC Avem
1 2 1 2 2 1 ( ) 180 [ ( ) ( )] = °− + = a a a m AS A m S AA m S A A 1 2 3 2 180 [ ( ) ( )] °− + = m BAM m M AC
1 1 1 180 90 ( ) 90 ( ) [ ( ) ( )] 2 2 2 m B m C m B m C °− °− + °− = + și
( ) ( ) ( ) b a c b a c a m CCC m CCI m CCI= + =
1( ) ( ) [ ( ) ( )], 2b c m CCI m C BI m C m B + = + deci .b a c b a c S S S CCC ≡ Analog ,
,a b c a b c SSS CCC ≡ adică triunghiurile a b c S S S și a b c CCC sunt asemenea (2). Din relațiile
(1) și (2) rezultă că triunghiurile a b c S S S și a b c CCC sunt omotetice.
2) Consecință: Unghiurile primului triunghi Sharygin a b c S S S corespunzător
triunghiului ABC au măsurile egale cu 1 1 90 ( ), 90 ( ) 2 2 °− °− m A m B , respectiv
190 ( ). 2°− m C
Demonstrație. În proprietatea precedentă am arătat că
[ ]1 1 1 ( ) [ ( ) ( )] 180 ( ) 90 ( ). 2 2 2 = + = °− = °− c a b m S S S m B m C m A m A Analog se arată
că 1( ) 90 ( ) 2= °− a b c m S S S m B și 1( ) 90 ( ). 2= °− a c b m S S S m C
3) Triunghiurile Sharygin sunt asemenea .
Demonstrație. Fie ' ' '
a b c S S S cel de-al doilea triunghi Sharygin, ", ", " A B C picioarele
bisectoarelor exterioare și ' ' '
1 2 3 , , M M M mijloacele segmentelor ", AA "BB respectiv ", CC
' ' ' '{ } ,{ } . b a b c P S S BC R S S BC = ∩ = ∩ Avem: ' '
1 ( " ) ( ) b m A R S m M R B = =
1360 90 (180 ( )) 90 ( ) (3) 2m B m A °− °+ °− + °− . Din triunghiul 3PM C avem:
'
31 1 ( ) 90 90 ( ) ( ) (4). 2 2 m M PC m B m C = °− °− = Din relațiile (3) și (4) rezultă că
1( ' ) 180 [ ( ' ) ( ' )] 90 ( ). 2= ° − + = ° − b b b m PS R m S PR m S RP m B
Atunci , ' ' ' 1( ) 90 ( ) 2a b c m S SS m B = °− și analog se arată că ' ' ' 1( ) 90 ( ) 2b a c m S S S m A = °− ,
' ' ' 1( ) 90 ( ). 2a c b m S S S m C = °− Din relațiile de mai sus și consecința precedentă rezultă că
triunghiurile lui Sharygin a b c S S S și ' ' 'a b c S S S sunt asemenea.
501 Observație: Unghiurile celui de-al doilea triunghi Sharygin co respunzător triunghiului ABC
au măsurile egale cu 1 1 1 90 ( ),90 ( ),90 ( ). 2 2 2 m A m B m C °− °− °−
4) Primul triunghi Sharygin a b c S S S al triunghiului ABC și triunghiul antisuplementar
a b c I I I al triunghiului ABC sunt omotetice .
Demonstrație. Deoarece ( ) 90 cm I AI= ° (Fig. 489) rezultă c b I I AI⊥ și cum c b S S AI⊥
rezultă .c b c b I I S S Analog, a b a b I I S S și (5). a c a c I I S S Cum
1( ) 90 ( ), 2am BI C m A = °− 1( ) 90 ( ) 2bm CI A m ABC = °− și
1( ) 90 ( ) 2cm AI B m ACB = °− rezultă că triunghiurile a b c I I I și a b c S S S sunt asemenea și
utilizând relațiile (5) rezultă că triunghiurile a b c I I Iși a b c S S S sunt omotetice.
5) Al doilea triunghi Sharygin ' ' '
a b c S S S al triunghiului ABC este asemenea și omologic cu
triunghiul antisuplementar a b c I I I al triunghiului ABC. A
B C A" B"
C" '
1M '
2M
'
3M P ǎ '
aS
'
bS '
cS
Fig. 489
502 Demonstrație. Deoarece ' ' ' 1( ) ( ) 90 ( ) 2a a b c m BI C m S S S m A = = °− și
' ' '( ) ( ) b a b c m CI A m S S S = = 190 ( ) 2m B °− rezultă că triunghiurile ' ' '
a b c S S S și a b c I I I sunt
asemenea. Deoarece punctele ", ", " A B C sunt coliniare (ele aparținând axei ortice a
triunghiului ABC ), atunci ' ' '
1 2 3 , , M M M sunt mijloacele patrulaterului complet
" " " B A BAC C și conform teoremei lui Gauss sunt coliniare (apar țin dreptei lui Gauss).
Deoarece ' ' ' ' ' '
1 2 { } ,{ } b c b c a c a c M I I S S M I I S S = ∩ = ∩ și ' ' '
3{ } a b b a M I I S S = ∩ din reciproca
teoremei lui Desarguss rezultă că dreptele ' ',a a b b I S I S și '
c c I S sunt concurente, triunghiurile
' ' '
a b c S S S și a b c I I I fiind astfel omologice.
6) Triunghiurile Sharygin ale triunghiului ABC sunt omologice cu triunghiul ABC, axa
de omologie fiind dreapta lui Lemoine a triunghiulu i ABC.
Demonstrație. Fie { } , b c X SS BA = ∩ { } , b c Y SS AC = ∩ 1{ } , b c L S S BC = ∩ 'A piciorul
bisectoarei din A. Deoarece c b S S este mediatoarea segmentului 'AA și 'AA este
bisectoarea unghiului BAC rezultă că patrulaterul 'AXAY este romb. Din teorema lui
Menelaus pentru triunghiul ABC și transversala 1, , L X Y avem: 1
11, LB XA YC
LC XB YA ⋅ ⋅ = unde
1
1LB XB
LC YC = (deoarece XA YA ≡) (6).
Deoarece 'XA AC rezultă ',XB BA
AB BC =
adică 2ac c c XB b c a b c = ⋅ = + + (7) iar din
'YA AB rezultă ',YC CA
YA BC =
2
(8). ab b b YC b c a b c = ⋅ = + + Din relațiile (6),
(7) și (8) rezultă 2
1
1.LB c
LC b = Analog, dacă
2{ } a c L S S AC = ∩ , 3{ } a b L S S AB = ∩ rezultă 2
2
2LC a
L A c = și 2
3
3,LA b
LB a = de unde
3 1 2
1 2 3 1L A LB LC
LC L A LB ⋅ ⋅ = , iar din reciproca teoremei lui Menelaus rezultă c ă punctele 1 2 ,L L și 3L
sunt coliniare deci triunghiurile a b c S S S și ABC sunt omologice. Tangenta în A la cercul
circumscris triunghiului ABC intersectează dreapta BC într-un punct 1A care are
proprietatea 2
1
1AB c
AC b = . Atunci, 1 1
1 1 AB LB
AC LC = de unde : 1 1
1 1 1 1 AB LB
AC AB LC LB =− − adică
1 1 AB LB
BC BC = egalitate echivalentă cu 1 1 AB LB = și deoarece 1Ași 1Lsunt de aceeași parte a A
B C A' ˆ Y
1L cS bS
Fig. 490
503 lui B pe dreapta BC rezultă că punctele 1A și 1Lcoincid, deci 1L aparține dreptei lui
Lemoine a triunghiului ABC. Analog se arată că 2Lși 3Laparțin dreptei lui Lemoine, deci
axa de omologie dintre primul triunghi Sharygin și triunghiul ABC este dreapta lui Lemoine
a triunghiului ABC . Analog se arată că triunghiul ABC este omologic și cu cel de-al doilea
triunghi Sharygin.
5
CUPRINS
CAPITOLUL I – PUNCTE, DREPTE, CERCURI REMARCABILE
ASOCIATE UNUI TRIUNGHI
I.1. Centrul de greutate al unui triunghi………….. …………………………………………… …………..9
I.2. Centrul cercului circumscris unui triunghi……… …………………………………………… ……12
I.3. Cercul înscris într-un triunghi………………. …………………………………………… ……………16
I.4. Ortocentrul unui triunghi…………………….. …………………………………………… …………….22
I.5. Punctul lui Gergonne…………………………. …………………………………………… ……………..28
I.6. Punctul lui Nagel. Dreapta lui Nagel………….. …………………………………………… ……….36
I.7. Punctul lui Longchamps……………………….. …………………………………………… …………..48
I.8. Punctul lui Spieker………………………….. …………………………………………… ……………….50
I.9. Punctul lui Brocard………………………….. …………………………………………… ……………… 53
I.10. Punctul lui Nobss. Dreapta lui Gergonne………… …………………………………………… .. 65
I.11. Punctele lui Soddy. Punctele lui Eppstein………. …………………………………………… ….67
I.12. Punctul lui Steiner………………………….. …………………………………………… ………………76
I.13. Punctul lui Tarry……………………………. …………………………………………… ……………….78
I.14. Puncte izodinamice…………………………… …………………………………………… …………….79
I.15. Punctul izogon………………………………. …………………………………………… ………………. 83
I.16. Puncte izotomice…………………………….. …………………………………………… ………………86
I.17. Puncte izologice…………………………….. …………………………………………… ……………….90
I.18. Retrocentrul unui triunghi……………………. …………………………………………… …………..93
I.19. Punctul anti-Steiner…………………………. …………………………………………… ………………95
I.20. Punctul lui Bevan……………………………. …………………………………………… ………………97
I.21. Punctul lui Exeter…………………………… …………………………………………… ……………. 101
I.22. Punctul lui Gob……………………………… …………………………………………… …………….. 102
I.23. Punctul lui Gray. Triunghiul lui Gray…………. …………………………………………… ….. 103
I.24. Punctul lui Hexyl……………………………. …………………………………………… …………… 107
I.25. Punctul lui Prasolov…………………………. …………………………………………… ……………108
I.26. Punctul lui Kariya…………………………… …………………………………………… …………….109
I.27. Punctul lui Schiffler………………………… …………………………………………… …………….112
I.28. Punctul lui Weill……………………………. …………………………………………… ……………..113
I.29. Punctele lui Pelletier……………………….. …………………………………………… …………….114
I.30. Punctul lui Kenmotu………………………….. …………………………………………… ………….116
I.31. Dreapta lui Euler. Cercul lui Euler……………. …………………………………………… …….118
I.32. Dreapta lui Gauss……………………………. …………………………………………… …………… 134
I.33. Dreapta lui Brocard………………………….. …………………………………………… ……………136
I.34. Dreapta ortică………………………………. …………………………………………… ……………….137
I.35. Dreapta antiortică…………………………… …………………………………………… ……………..140
I.36. Dreapta lui Simson…………………………… …………………………………………… ……………141
I.37. Dreapta lui Lemoine………………………….. …………………………………………… …………..155
I.38. Transversala izotomică……………………….. …………………………………………… ………….157
I.39. Dreapta lui Steiner………………………….. …………………………………………… ……………..158
I.40. Drepte izogonale. Puncte izogonale…………….. …………………………………………… …..159
I.41. Izogonale exterioare…………………………. …………………………………………… ……………171
I.42. Dreptele lui Schwatt…………………………. …………………………………………… ……………172
I.43. Ortopolul unei drepte………………………… …………………………………………… …………..173
I.44. Dreapta lui Aubert…………………………… …………………………………………… …………….180
I.45. Antibisectoarea……………………………… …………………………………………… ………………181
6 I.46. Simediane. Punctul lui Lemoine………………… …………………………………………… …….184
I.47. Dreapta lui Housel…………………………… …………………………………………… …………….198
I.48. Simediana exterioară…………………………. …………………………………………… …………..198
I.49. Cercuri exânscrise…………………………… …………………………………………… …………….200
I.50. Cercurile lui Lemoine………………………… …………………………………………… …………..209
I.51. Cercul lui Taylor……………………………. …………………………………………… ………………212
I.52. Cercul lui Tücker……………………………. …………………………………………… ……………..216
I.53. Cercurile lui Lucas………………………….. …………………………………………… …………….218
I.54. Cercurile lui Apollonius……………………… …………………………………………… ………….220
I.55. Cercurile adjuncte…………………………… …………………………………………… ……………..224
I.56. Cercul ortocentroidal………………………… …………………………………………… ……………227
I.57. Cercurile lui Neuberg………………………… …………………………………………… ……………230
I.58. Cercul lui Van Lamoen………………………… …………………………………………… …………233
I.59. Cercul lui Conway……………………………. …………………………………………… ……………235
I.60. Cercul lui Adams…………………………….. …………………………………………… …………….238
CAPITOLUL II – TEOREME FUNDAMENTALE DIN GEOMETRIA
TRIUNGHIULUI
II.1. Teorema bisectoarei interioare…………………………………… ……………….239
II.2. Teorema bisectoarei exterioare…………………………… ……………………… 240
II.3. Teorema lui Pitagora…………………… ………………………………………… 242
II.4. Teorema lui Pitagora generalizată…… ………………… ………………………… 243
II.5. Teorema lui Stewart…………………………………… ………………………….245
II.6. Teorema sinusurilor……………………………………… ……………………….246
II.7. Teorema lui Ceva………………………………………… ……………………….247
II.8. Teorema lui Menelaus………………………………… …………………………..248
II.9. Teorema transversalei…………………………………… ………………………..250
II.10. Teorema lui Leibniz……………………………………… ………………………252
II.11. Teorema lui Toricelli-Fermat……………………… …………………………….253
II.12. Teorema lui Feuerbach……………………………… ……………………………256
II.13. Teorema lui Desargues……………………………… ………………… …………269
II.14. Teorema lui Döttl……………………………………… ………………………… 271
II.15. Teorema lui Van Aubel……………………………… ……………………………271
II.16. Teorema lui Descartes…………………………… ……………………………….276
II.17. Teorema lui Pompeiu……………………………… ……………………………..279
II.18. Teorema lui Erdös-Mordell………………………… …………………………….280
II.19. Teoremele lui Fagnano……………………………… …………………………… 286
II.20. Dreapta lui Droz-Farny……………………………… ……………………………289
II.21. Teorema lui Steiner-Lehmus…………………………… …………………………291
II.22. Teorema lui Barbilian……………………………………… ………………… ….293
II.23. Teorema lui Bottema………………………………………… …………………..294
II.24. Teorema lui Goormaghtigh…………………………………… ………………….295
II.25. Teorema lui Dergiades…………………………………… ……………………… 297
II.26. Teoremele lui Pappus……………… ……………………………………………..298
II.27. Teorema lui Salmon…… …………………… …………………………………… 300
II.28. Teorema lui Pedoe………………………… ………………………………………300
II.29. Teorema lui Simson generalizată……………… ………………………………… 301
II.30. Teorema lui Sondat…………… …………………………………………………..301
II.31. Teorema lui Maxwell…………………… …………………………………………304
II.32. Teorema trisecției………………………………………… ……………………… 305
7 II.33. Teoremele lui Harcourt……………………………………… …………………..306
II.34. Teorema lui Zaslavsky………………………………… …………………………307
II.35. Teorema lui Zajic………………………………………… ………………………308
II.36. Teorema lui Viviani………………………… …………………………………… 308
II.37. Teorema lui Veronese…………………………… ……………………………….309
II.38. Teorema lui Coșniță………………………………………………… …………… 310
II.39. Teorema lui Kiepert………………………………… …………………………… 313
II.40. Teorema lui Gergonne……………………………………… …………………… 314
II.41. Teorema lui Heron……………………………………………………… ………..314
II.42. Teorema lui Catalan………………………………………………… …………… 315
II.43. Teorema lui Blanchet……………………………………………… ……………..315
II.44. Teorema lui Alasia……………………………… ………………………………..316
II.45. Teorema lui Ayme…………………………………………… ……………………317
II.46. Teorema lui Bobillier………………………………… …………………………..318
II.47. Teorema lui Boutin…………………………………… …………………………..319
II.48. Teorema lui Cantor……………………………………… ………………………..320
II.49. Teorema lui Carnot………………………………………… ……………………..321
II.50. Teoremele lui Carnot…………………………… …………………… ……………323
II.51. Teorema lui Casey…………………………………………………… ……………325
II.52. Teorema lui Clairaut……………… ……………………………………………… 328
II.53. Teorema lui Mathieu……………………… ……………………………………… 330
II.54. Teorema lui Miquel………………………………… …………………………….331
II.55. Teorema lui Sawayama-Thebault…………………………… …………………… 333
II.56. Teorema lui Schooten……………………… ……………………………………..336
II.57. Teorema lui Smarandache…………………………… ……………………………337
II.58. Teorema lui Snapper…………………………… ………………………………… 338
II.59. Teoerma lui Urquhart-Pedoe…………………………… ………… ……………… 339
II.60. Relații metrice în triunghiul dreptunghic………………………… ……………….340
II.61. Aria unui triunghi………………………………………………………… ……….341
CAPITOLUL III – TRIUNGHIURI REMARCABILE
III.1. Triunghiul ortic………………………… ………………………………………… 345
III.2. Triunghiul median………… ………………………………….………… …………354
III.3. Triunghiul de contact…………………………………………….………… ……..358
III.4. Triunghiul extangențial…………………………………………….………… …..364
III.5. Triunghiul cotangentic…………………………………………….………… ……367
III.6. Triunghiul antipodar…………………………………………….………… ………370
III.7. Triunghiul podar…………………………………………….………… ………….373
III.8. Triunghiul tangențial…………………………………………….………… ……..379
III.9. Triunghiul anticomplementar……………………………………….………… ….385
III.10. Triunghiul antisuplementar………………………………………….……………3 88
III.11. Triunghiul ciclocevian…………………………………………….………… …..392
III.12. Triunghiul I-pedal…………………………………………….………… ……….393
III.13. Triunghiuri altimediale…………………………………………….………… ….396
III.14. Triunghiurile lui Brocard. Cercul lui Brocard……………… ……….………… ..398
III.15. Triunghiul antiparalel determinat de o direcție în raport cu un triunghi……… …404
III.16. Triunghiul automedian…………………………………………….………… …..406
III.17. Triunghiul circumpedal…………………………………………….………… ….410
III.18. Triunghiul simedian…………………………………………….………… ……..415
III.19. Triunghiul 060∆…………………………………………….………… …………416
8 III.20. Triunghiul medianelor…………………………………………….………… ….420
III.21. Triunghiuri omologice…………………………………………….………… ….421
III.22. Triunghiuri ortopolare…………………………………………….………… ….423
III.23. Triunghiuri ortologice………… ………………………………….………… ….428
III.24. Triunghiuri paralogice…………………………………………….………… …431
III.25. Triunghiuri bilogice…………………………………………….………… ……433
III.26. Triunghiuri biortologice. Triunghiuri triortologice …………….………… …….434
III.27. Triunghiuri coparalele………………………………… ………….………… ….435
III.28. Triunghiuri înscrise…………………………………………….………… …….437
III.29. Triunghiuri înscrise izotomice…………………………………….………… …438
III.30. Triunghiuri pseudoisoscele……………………………………….………… ….440
III.31. Triunghiuri cosimediene……………………………………….………… …….444
III.32. Triunghiul celor trei imagini……………………………………….………… …447
III.33. Triunghiuri izoliniare……………………………………….………… ………..449
III.34. Triunghiuri metaparalele……………………………………….………… …….450
III.35. Triunghiul pedal……………………………………….………… ……………..451
III.36. Triunghiul anticevian……………………………………….………… ………..453
III.37. Triunghiuri ortogonale……………………………………….………… ………455
III.38. Triunghiul lui Carnot……………………………………….………… ………..456
III.39. Triunghiul lui Lucas……………………………………….………… ………… 461
III.40. Triunghiul lui Fuhrmann……………………………………….………… …….463
III.41. Triunghiul lui Lionnet……………………………………….………… ……….468
III.42. Triunghiurle lui Morley……………………………………….………… ………469
III.43. Triunghiul lui Grebe……………………………………….………… ………… 474
III.44. Triunghiul lui Malfatti……………………………………….………… ……….476
III.45. Triunghiul lui Schroeter……………………………………….………… ……..482
III.46. Triunghiul lui Țițeica……………………………………….………… ………..483
III.47. Triunghiurile lui Napoleon. Punctele lui Fermat………… …….………… …….485
III.48. Triunghiurile lui Vecten……………………………………….………… ……..493
III.49. Triunghiurile lui Saryghin……………………………………….………………499
Bibliografie …………………………………… ………………………………………..504
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Barbu Teoreme Fundamentale 2008 [611808] (ID: 611808)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.