Azberatucdetectareplagiatrogmail.com 69 Pdfsam Licenta Tudor Petre Radu (1) [607275]

Capitolul 2
Concepte Teoretice
2.1 Statistică s ,i Teoria Probabilităt ,ii
Definit ,iile,teoremele,propozit ,iiles,iecuat ,iiledinaceastăsect ,iuneaufostpreluatedin
[1], [2].
2.1.1 Eveniment. Spat ,iul de Evenimente.
Teoriaprobabilităt ,iiesteoramurăamatematiciicareseocupădestudiuls ,imodelarea
experimentelor aleatoare. În acest sens se defines ,te evenimentul elementar pentru un
experimentaleatoriualescafiindoricaredintrerezultateleposibileobt ,inuteînurmaunei
singure realizări a experimentului respectiv (cu condit ,ia ca fiecare realizare să producă
exact un rezultat) s ,i se defines ,te spat ,iul de evenimente
,;ca fiind mult ,imea tuturor
evenimentelor elementare. În acest context, un eveniment Areprezintă o submult ,ime a
lui
(deci o mult ,ime de evenimente elementare): A
. Un eveniment Aare loc în
urmauneirealizăriaexperimentuluialeatoriu("serealizează")dacă Rrezultatulrealizării
respective apart ,ine mult ,imii evenimentului: R2A. Astfel,
este denumit evenimentul
sigur, deoarece toate rezultatele posibile unei realizări a experimentului aleatoriu vor fi
evenimente elementare s ,i, deci, conform definit ,iei, vor apart ,ine
, iar;este denumit
evenimentul imposibil, deoarece fiecare realizare a experimentului aleatoriu are exact
un rezultat, ci nu mai put ,in. Se împrumută din teoria mult ,imilor terminologia pentru
operat ,iile pe evenimente, a căror însemnătate urmează intuit ,ia:
5

Capitolul 2. Concepte Teoretice
•Reuniunea : evenimentul A[Bserealizeazădacăcelput ,inunuldintreevenimentele
AsauBse realizează
•Intersect ,ia: evenimentul A\Bse realizează dacă se realizează atât evenimentul
A, cât s ,i evenimentul B
•Complementarea : evenimentul Acse realizează dacă evenimentul Anu se reali-
zează
•Diferent ,a: evenimentul ABserealizeazădacăserealizeazăevenimentul As,inu
se realizează evenimentul B
Două evenimente A;B2
sunt incompatibile (sau disjuncte) dacă A\B=;.
2.1.2 Probabilitate. Spat ,iu de Probabilitate.
Pentrudefiniprobabilitateacafunct ,iedeevenimente,estenecesarăîntâidefinireaunei
-algebre a lui
. Dată fiind o mult ,ime nevidă
,;, se numes ,te algebră a lui
o
familie nevidăFP (
)(Pmult,imea părt ,ilor lui
i.e.P=fAjA
g) astfel încât:
1.A2F) Ac2F(închiderea la complementare)
2.A;B2F) A[B2F(închiderea la reuniune)
Fse numes ,te-algebră a lui
dacă este închisă la reuniune numărabilă:
A1;A2;:::2F)1[
i=1Ai2F (2.1)
(
;F)se numes ,te spat ,iu măsurabil dacăFeste o-algebră a lui
.
În acest context, o măsură de probabilitate pe spat ,iul măsurabil (
;F)este o funct ,ie
P:F! [0;1)cu următoarele proprietăt ,i:
1.P(
)=1
2.P(1S
i=1Ai)=1P
i=1P(Ai),8A1;A2;:::2Fdisjuncte două câte două
Astfel, spat ,iul de probabilitate complet aditiv se defines ,te ca tripletul (
;F;P)unde

,;este spat ,iul evenimentelor, Feste o-algebră a lui
, iar Peste măsură de
probabilitate pe spat ,iul măsurabil (
;F).
6

2.1. Statistică s ,i Teoria Probabilităt ,ii
Pentru un spat ,iu de probabilitate (
;F;P)sunt adevărate următoarele:
1.P(;)=0
2.P(A)P(B),8A;B2F,AB
3.0P(A)1,8A2F
4.P(Ac)=1P(A),8A2F
5.P(BA)=P(B)P(A),8A;B2F,AB
6.P(A[B)=P(A)+P(B)P(A\B),8A;B2F
2.1.3 Independent ,a Evenimentelor
Într-un spat ,iu de probabilitate (
;F;P), se numes ,te probabilitate condit ,ionată de un
eveniment B2F, notată P(
jB) :F!R, raportul:
P(AjB)=P(A\B)
P(B);8A2F (2.2)
Evenimentele A1;A2;:::; An2F(n2)sunt independente dacă:
P(A1\A2\:::An)=P(A1)P(A2):::P(An) (2.3)
Totodată, As,iBsunt independente condit ,ionat de C2Fdacă:
P(A\B\C)P(C)=P(A\C)P(B\C) (2.4)
2.1.4 Variabile Aleatoare
Fie mult ,imea S(R)=f(a;b)ja<b;a;b2Rg. O variabilă aleatoare reală pe spat ,iul
de probabilitate (
;F;P)este o funct ,ieX:
!Rcu proprietatea că
X1(B)=f!2
jX(!)2Bg2F;8B2B(R) (2.5)
undeB(R)=(S(R))este-algebra mult ,imilor boreliene pe R, sau cea mai mică -
algebră ce cont ,ine toate mult ,imile de forma S(R).
7

Capitolul 2. Concepte Teoretice
O funct ,ie':R!R;n1se numes ,te măsurabilă dacă
'1(B)2B(R);8B2B(R) (2.6)
În acest context, se numes ,te funct ,ia de distribut ,ie sau de repartit ,ie a unei variabile
aleatoare X:
!Rfunct,iaFX:R![0;1]
FX(a)=P(X<a);a2R (2.7)
O variabilă aleatoare poate fi discretă sau continuă. X:
!Reste discretă ddacă
mult,imea valorilor posibile ale lui Xeste finită sau infinită s ,i numărabilă. În acest caz,
valorileposibilealelui Xsenoteazăcu x1;x2;:::s,iprobabilităt ,ilecorespunzătoarelorcu
P(X=xi);i=1;2;:::, iarXpoate fi reprezentată în felul următor:
X=0
BBBBBB@x1x2:::
p1p2:::1
CCCCCCA(2.8)
Xse numes ,te continuă dacă funct ,ia de distribut ,ie corespunzătoare FX:R![0;1],
FX(a)=P(X<a)esteofunct ,iecontinuă. Înacestcaz,senumes ,tedensitatedeprobabili-
tate a unei variabile aleatoare continue Xo funct ,ief=fX:R![0;+1)integrabilă cu
proprietatea că
P(X2B)=Z
Bf(x)dx;8B2B(R) (2.9)
Media unei variabile aleatoare X:
!Rse defines ,te în felul următor:
E[X]=X
i1xiP(X=xi)=X
i1xipi, dacă Xeste discretă (2.10)
E[X]=Z+1
1x f(x)dx, dacă Xeste continuă s ,i integrala respectivă există s ,i este finită
(2.11)
Momentul de ordin ral lui Xse defines ,te ca fiind media variabilei aleatoare Xr.
Momentulcentratdeordin restemediavariabileialeatoare (XE[X])r. Dinacestpunct
de vedere, o proprietate semnificativă a variabilelor aleatoare este momentul centrat de
8

2.2. Învăt ,area Automată
ordin doi, sau dispersia, totodată pătratul deviat ,iei standard, care are, conform definit ,iei,
următoarea formă:
2(X)=X
i1(xiE[X])2pi, dacă Xeste discretă (2.12)
2(X)=Z+1
1(xE[X])2f(x)dx, dacă Xeste continuă s ,i integrala respectivă există s ,i este finită
(2.13)
Două variabile aleatoare X;Y:
!Rse numesc independente dacă
P(X2A;Y2B)=P(X2A)
P(Y2B);8A;B2B (2.14)
Două variabile aleatoare X;Y:
!Rse numesc necorelate dacă
E[XY]=E[X]E[Y] (2.15)
2.2 Învăt ,area Automată
Definit ,iile,teoremele,propozit ,iiles,iecuat ,iiledinaceastăsect ,iuneaufostpreluatedin
[3].
Un algoritm de învăt ,are automată (eng. "Machine Learning"), sau un "agent inteli-
gent",esteunprogramcapabilsă"învet ,e"dindateledeintrare. Înacestcontext,sespune
căunprogram"învat ,ă"dintr-oexperient ,ăE,relativlaoclasădesarcini Ts,iconformunei
măsuri a performant ,eiP, dacă performant ,a acestuia pe sarcinile din clasa T, măsurată
conform P, se îmbunătăt ,es,te o dată cu experient ,aE.
2.2.1 Sarcinile, T
Sarcinile de învăt ,are automată sunt definite în funct ,ie de modul în care trebuie al-
goritmul/agentul inteligent să proceseze exemple. Se numes ,te exemplu o colect ,ie de
trăsături măsurate ale unui obiect sau eveniment care se dores ,te a fi procesat. În acest
sens, un exemplu este reprezentat matematic sub forma unui vector x2Rn,n1, unde
9