Autor: Botezatu Marius -Doru [619981]

Universitatea POLITEHNICA din București
FACULTATEA DE ENERGETICĂ
060042 București, Splaiul Independenței, nr. 313, sector 6

PROIECT DE DIPLOMĂ

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE
DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

Autor: Botezatu Marius -Doru

Cadru didacti c îndrumător: Prof. dr. ing. Ga briel Bazacliu

Comisia pentru examenul de diplomă:

1. Prof. dr. ing. Gabriel BAZACLIU
2. Conf. dr. ing. Ion TRIȘTIU
3. Conf. dr. ing. Radu PORUMB
4. Conf. dr. ing. George Cristian LĂZĂROIU
5. Ș.l. dr. ing. Nicoleta ARGHIRA
6. As. dr. ing. Alexandru MANDIȘ – președinte
– membru
– membru
– membru
– membru
– secretar

Promoția iulie 2015

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

2

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

3

CUPRINS

INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 4
1. PUNEREA PROBLEMEI ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………….. 6
2. MODEL UL MATEMATIC ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 8
3. MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE TRANSPORT ………………………….. ………………… 9
4. DETERMINAREA UNEI SO LUȚII DE BAZĂ INIȚIALĂ ………………………….. ……………………….. 12
4.1. Metoda colțului de Nord -Vest………………………….. ………………………….. …………………………. 12
4.2. Metoda costului minim pe linie ………………………….. ………………………….. ………………………. 14
4.3. Metoda costului minim pe coloană ………………………….. ………………………….. ………………….. 15
4.4. Metoda costului minim pe matrice ………………………….. ………………………….. …………………… 16
4.5. Metoda diferențelor maxime (Metoda Vogel) ………………………….. ………………………….. …… 17
4.6. Metoda ASM ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 18
5. METODE DE CALCUL PENTRU DETERMINAREA SOLUȚIEI OPTIME ………………………….. . 20
5.1. Metoda distributivă (Metoda Stepping -Stone) ………………………….. ………………………….. …… 20
5.2. Metoda Distribtivă Modificată (Metoda MO DI) ………………………….. ………………………….. .. 22
6. CAZUL DEGENERĂRII PROBLEMEI DE TRANSPORT ………………………….. ……………………….. 25
7. SITUAȚIA CÂND DISPONIBILUL DEPĂȘEȘTE NECESARUL ………………………….. …………….. 27
8. EXEMPLU DE CALCUL ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 28
8.1. Rezolvarea prin metoda distributivă (Metoda Stepping Stone) ………………………….. ………… 28
8.2. Rezolvarea prin metoda distributivă modificată (Metoda MODI) ………………………….. …….. 44
9. PROGRAM DE CALCUL ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 48
9.1 Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 48
9.2 Elaborarea programului de calcul ………………………….. ………………………….. …………………….. 49
9.3 Interfața grafică a programului de calcul ………………………….. ………………………….. …………… 50
CONCLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 53
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 55
ANEXE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 56

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

4

INTRODUCERE

Rețelele electrice reprezintă un an samblu de linii electrice, dintr -o zonă geografică, conectate
între ele î n vederea tr ansportului de energie electrică de la producă tor la consumator. [1]
În general centralele electrice ș i consumatorii sunt aseza ți din punct de vedere geografic la
distan țe mari unele față de celelalte. Astfel atunci c ând se proiecteaza o reț ea electric ă, se pune
întrebarea din punct de vedere economic, cum este mai ieftin să se fac ă legă turile dintre centrale ș i
consumatori. Aceast ă problem ă de transport se dovedeș te a fi defapt o problem ă de programare liniara,
dar cu o structur ă foarte special ă, întrucât se preferă concepe rea unei soluț ii divizate sau unui algoritm
care s ă preia aceast ă structur ă. Până și cele mai mici probleme au cel puț in patru variabile și fără un
calcul tehnico -economic, este destul de dificil să se fac ă graficul optim al rețelei.
Programarea liniară ( P.L.) este o unealtă pentru dezvoltarea modelă rii și rezolvarea problemelor
de optimizare. Din punct de vedere matematic programarea liniar ă implică opt imizarea unei funcții
liniare care se bazează pe unele cerințe exprimate ca inegalități liniare sau ca egalităț i.
Până la cel de -al doilea r ăzboi mondia l, matematicienii au realizat că sunt necesare un num ăr
mare de operaț ii aritmetice pentru rezolvarea sistemelor , iar acest lucru nu putea fi făcut într -un timp
util. Apariția calculatoarelor a făcut posib ilă rezolvarea rapid ă a problemelor cu ajutorul program ării
liniare. [10]
Programarea liniar ă este un p rocedeu de optimizare matematică . Prin o ptimizare se înț elege o
metod ă prin care se maximizează sau se minimizeaz ă un anumit obiectiv, în timp ce sunt sa tisfăcute un
numă r de condi ții restrictive. Funcț ia obiectiv reprezint ă scopul urmărit în funcț ie de variabilele de
decizie. Restric țiile pot fi exprimate matematic prin egalități sau prin inegalități. Mulț imea restric țiilor,
exprimate cu ajutorul va riabil elor de decizie reprezintă condiții ce trebuie satisfă cute atunci c ând se
determin ă valorile variabilelor de decizie.
Scopul program ării liniare este de a alege deciziile optime.
Programarea liniar ă este utilizat ă în toat e domeniile (energie, industrie, bancar, educa ție,
petrolier, etc.) conduc ând la rezolvarea unei mari variet ăți de probleme cum ar fi: stabilirea resurselor
umane, opera țiile sistemelor hidroenergetice, traseele maș inilor de aprovizionare și nu în ultimul rând
la determinarea configurație i optime a unei reț ele.
Dintr -un studiu efectuat asupra primelor 500 de firme de succes din S.U.A. a rezultat faptul c ă
85% dintre acestea au utilizat programarea liniara. [11]
Modelul problemei de transport a ap ărut din raț iuni economice , pentru companiile de distribuție
și transport. O ptimizarea costurilor de transport a energiei electrice de la producă tori la consumatori era
esențiala, deoarece puteau reduce costuri le de transport foarte mult. Modelul matematic care stă la baza
rezolvă rii acestei probleme ofer ă un algoritm care este în mă sură să determine solu ția optim ă.
Într-o problemă de transport se cunosc cantitățile de producere pentru fiecare sursă în parte ,
cantitățile de consum pentru fiecare consumator în parte și cheltuielile de transport de la fiecare

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

5
producator c ătre fiecare consumator. Problema const ă în găsirea unui plan de transport de la
producatori la consumatori astfel încât costurile aferente să fie minime.
În fig. 1 este prezentat modelul inițial , luat în considerare , atunci când se pun e problema de
optimizare a unui num ăr infinit de surse și consumatori.

a1 c11 b1

a2 b2

. .
. .
. .
. .
. .
am bn

Fig.1

În aceast ă figur ă sursele indic ă locul de unde începe transportul , consumatorii indic ă locul unde
produsul trebuie s ă soseasc ă, iar cij indic ă costurile de transport de la surse la consumatori.
Soluțiile inițiale ale p roblemelor de transport pot fi rezolvate prin mai multe metode și anume :
metoda colțului de nord vest, metoda costului minim pe linie, metoda costului minim pe coloana,
metoda costului minim pe matrice, sau metoda diferențelor maxime (Vogel ). Ultima metodă oferă o
solutie aproximativ ă, destul de aproape de soluția optimă sau c hiar soluția optimă.
Experimentele numerice au arătat că metoda diferențelor maxime produce de foarte multe ori
soluția optimă sau o soluție foarte aproape de aceasta. Din acest motiv, mulți utiliza tori preferă să o
adopte ca și soluție suboptimală.
Pentru determinarea soluțiilor optime avem Metodele MODI ș i Stepping Stone . Acestea sunt
considerate dre pt tehnici standard pentru obț inerea soluț iei optime . Încă d e acum dou ă decenii , cele
două metode sunt folosite pentru a rezolva problemele de transport. [10]
Metoda Stepping Stone derivă din vechile scrieri care au asemă nat procedu rile de traversare a
unui iaz păș ind de pe o piatr ă pe alta pâ nă la destinatie, cu algoritmul de rezolvare a problemei de
transport. Astfel "pietrele" sunt celulele ocupate ale matricei.
Metoda MODI sau metoda distributiv ă modificat ă are la baz ă evaluarea c elulelor libere a le matricei
prin calcularea indicilor de r ând și coloană .

Sursa 1
Sursa 2
Sursa m
Consumator 1
Consumator 2
Consumator n
c22
cmn

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

6

1. PUNEREA PROBLEMEI

Determinarea o ptimă a unei reț ele electrice reprez intă de fapt, o problemă de transport a
energiei electrice de la surse la consumatori, cât mai eficient din punct de vedere economic . Pentru
această problemă de transport se cuno sc amplasamentele pentru surse ș i consumatori, disponibilu l de
putere pentru fiecare sursă și puterea necesară pentru fiecare consumator.
Problema de transport a energiei electrice de la sursă la consumator se poate face prin mai multe
metode de calcul tehnico -economice. [1]
În continuare se prezintă un model matematic care ț ine seama de toate posibilitatile de
alimentare a consumatorilor de către surse. Graficul reț elei tuturor posibilitatilor de ali mentare a trei
consumatori de că tre trei surse este prezentat în figura 1.1. În această figură s-a trasat cu linie întreruptă
graficul rețelei comp lete. Schema de alimentare, rezultată din aplicarea metodei, cu scopul de a se
obține o valoare extremă a alimentării, este trasată cu lin ie întreruptă de două puncte . Graficul obț inut
ca rezultat al metodei de optimizare este trasat cu linie continuă .
Pentru verificarea configurației rețelei este folosită valoa rea pierderilor de putere activă, care
are urmă toarea expresie pentru o line [1]:

√ √

Fig. 2.1. Reprezentarea tuturor variantelor de conexiuni a unei
rețele cu 3 surse și 3 consumatori [1]

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

7

Sursele
Consu ma
orii

graficul reț elei reale
graficul reț elei optime
graficul rețelei complete
Se presupune că durata anuală de utilizare a puterii maxime ș i factorul de puter e au valori
apropiate pentru toț i consumatorii, astfel încât pierderile de pute re pe fiecare linie sunt proporț ionale
Pl, iar factorul de proporț ionalitate este acelaș i.
Pentru determinarea configurației optime a rețelei se vor parcurge următorii cinci paș i:
1) se verifică bilanț ul puterilor
2) se de termină schema optimă de alimentare
3) se construiește graficul reț elei reale
4) se alege t ensiunea reț elei
5) se compară variantele obț inute pe baza unui calcul tehnico -economic.
Pentru o tratare completă a acestui subiect, în cadrul lucr ării sunt prezentate toate situațiile care
pot apărea la acest model, adic ă este tratat atâ t modelul pentru pr oblema de transport echilibrat ă cât ș i
modelul pentru problema de transport neechilibrata. [1]

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

8

2. MODELUL MATEMATIC

Se stabilesc următoarele notaț ii:
mulțimea centralelor (i );
mulțimea consumatorilor (j J);
Pi , este puterea disponibilă la centrala i;
Pj , este puterea cerută de consumatorul j;
lij , este distanța din centrala i ș i consumatorul j
Pij , este valoarea puterii transportată de la centrala i la consumatorul j;
După ce se rezol vă modelul matematic, se obțin valori P ij pozitive, reprezentând laturi ale
graficului rețelei ș i valori P ij nule. Aceste laturi nu se vor realiza în rețeaua reală.
Funcț ia obiect a modelul ui matematic este dată de relaț ia 2.1[1]

[ ] ∑∑

Modelul matematic trebuie să îndeplinească două condiții de bilanț ș i anume:
a) Puterea disponibilă a sursei trebuie să fie cel mult egală cu suma p uterilor
consumatorilor racordați la acea sursă .[1]

∑

b) Puterea cerută de consumator trebuie să fie egală cu suma puterilor primite de că tre toate
sursele care sunt conectate. [1]

∑

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

9

3. MODELUL MATEMATIC AL PROBLEMEI DE TRANSPORT

În acest capitol vor fi introduse noțiunile cu care vom opera în cadrul modelului oferit de
problema de transport și ccele care stau la baza construirii algoritmului de determinare a soluției optime
pentru o astfel de problemă [1]
Problema de t ransport se defineș te astfel: Un produs omogen se produce în localită țile m1,
m2,….mn în cantităț ile a 1, a2…an și este cerut pentru consum î n centrele n1, n2,…nn, în cantităț ile b 1, b2,
…,b n. Se presupune cunoscut costul c ij al transportului unei unităț i de produs de la mi la nj. Se pune
problema astfel încât cererea să fie îndeplinită î n punctele de consum la un cost total de transport
minim. Nu se cunosc cantitățile transportate pe diferite rute x ij, astfel încât totalul cheltuielilor
ocaziț ionale de transport să fie minime. [1]
Se notează :
I – mulțimea centrelor de producț ie.
J – mulțimea centrelor de consum
Facem ipoteza ca întreaga cantitate produsă să fie repartizată . Atunci: [1]

∑ ∑

În aceste condiț ii modelul matematic al problemei de transp ort este urmă torul: [1]

[ ] ∑ ∑

∑

∑

(3.5)

Verificăm relaț ia (3.1), rezult ă: [1]

∑ ∑ ∑

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

10
∑ ∑ ∑
∑
∑

Aceste inegalități reprezintă bilanț urile de putere de la surse. Cu ajutorul unor var iabile de
abatere aceste inegalită ți se transform ă în egalități, obținând u-se astfel o problemă de transport, d in care
se poate afla configurația optimă a reț elei.[1]
Pentru problema de transport s -a întocmit tabelul 3.1, unde liniile corespund surselor , iar
coloanele consumatorilor.
Teoremă : Orice problem ă de transport are întotdeauna o soluție posibilă .

Tabelul 3.1 Tabelul 3.2
b1 b2 ….. bj ….. bn 1 2 ….. j …..
1 x11 x12 ….. x1j ….. x1n
2 x21 x22 ….. x2j ….. x2n

i xi1 xi2 ….. xij ….. xin

…..
….. …..
…..
…..
…..

m xm1 xm2 ….. xmj ….. xmn
a1
a2
a3 x11 x12
x21 x22
x31 x32

b1 b2

a1

a2

ai

am

este soluț ie a p roblemei de transport deoarece îndeplinește condiția relaț iei: ( 3.3), ( 3.4) și (3.5).
În pasul următor se înlocuiește în relația ( 3.3) și rezultă :[1]

∑ ∑

(3.8)

deoarece:

Analog: ∑

∑ ∑

(3.9)

Condi ția (3.5) este îndeplinită deoarece și A sunt pozitive.

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

11
Tabelul 3.2 corespunde problemei de transport având restricțiile: [1]

}
(3.10)

Datorită regulii ∑ i = ∑ j una din ecuații este o consecință a celorlate patru ecuaț ii.
Aceasta este o regulă generală în orice problemă de transport, formâ nd un sistem de ecuaț ii
liniare cu m x n necunoscute. [1]
Orice problemă de transport se poate pune sub forma: [1]

[ ] (3.11)
AX=b (3.12)
X 0 (3.13)

Pentru tabelul 3.2 avem urmă toarele variabile: [1]

c = (c 11, c12, c21, c22, c31, c32), (4.14)
X = [x 11, x12, x21, x22, x31, x32], (4.15)
b = [a 1, a2, a3, b1, b2] și (4.16)

A = (4.17) 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1

În cazul unei probleme de transport cu un numă r de ordinul sutelor de consumator i, s-au
întocmit metode s peciale de rezolvare, deoarece și numă rul ec uațiilor este de ordinul sutelor, iar
necunoscutele sunt de ordinul miilor, astfel pentru rezolvarea problemei este nevoie de un timp foarte
îndelungat. [1]
În acest capitol modelul matematic al problemei de transport este dat de minimizarea funcției
obiectiv ( 3.2), de îndeplinirea restric țiilor date de rela țiile ( 3.3), (3.4) și respectarea condi țiilor de
nenegativitate ( 3.5). [1]
Dacă avem o problem ă de tran sport , pentru care cantitatea de putere disponibil ă, în cele m
centre de produc ție, coincide cu cantitatea necesar ă celor n centre de consum, adic ă:[1]

putem spune că avem o problemă de transport echilibrată.
Dacă condiția ( 3.18) nu este î ndeplinit ă, spunem c ă avem o problemă de transport neechilibrata. [1]

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

12

4. DETERMINAREA UNEI SO LUȚII DE BAZĂ INIȚIALĂ

Problema de transport este un caz particular al problemei de programare liniară . Astfel soluția
optimă are cel mult variabile nenule. La fel c a și î n cazu l problemei de programare lin iară,
trebuie parcurse urmă toarele trei etape: [1]
a) se determină soluția de bază inițială ;
b) se verifică dacă soluția de bază inițială este soluția optimă ;
c) daca soluția de bază, nu este soluția optimă, se calculează o nouă soluție de bază .
Pentru aflarea unei soluții iniț iale într-o problemă de transp ort se cu nosc mai multe metode cum ar fi :
– Metoda colț ului de nord -vest
– Metoda costului minim pe linie
– Metoda costului minim pe coloan ă
– Metoda costului minim pe matrice
– Metoda diferențelor maxime
– Metoda ASM
Elementele tabelului privind problema d e transport, pot fi legate între ele prin linii orizontale și
verticale formând o figură închisă numit ciclu. (tabelul 4.1)

Tabelul 5.1
1 2 3
1

2

3

Pentru fiecare variabil ă din afara bazei se poate construi un ciclu unic. Variabilele din afara
bazei nu formează între ele un ciclu. [1]

4.1. Metoda colțului de Nord -Vest

Această metodă presupune parcurgerea ur mătoarelor etape:
1. Se pornește din colțul cel mai de nord – vest al tabelului , respectiv din celula i=1 și j=1.
2. Se determină x11 din relaț ia 4.1.1

{ }

– dacă { } atunci iar
– dacă { } atunci iar

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

13
3. Se reduce disponibilul și necesarul de pe această linie și coloană cu valoare a alocată celulei
(i,j). Dacă x ij = a i atunci se suprimă linia i. Dacă x ij = bj , se suprimă coloana j. Va rezulta un tabel cu o
linie sau coloană mai puțin. Se alege în continuare următoarea celulă aflată în colțul ce l mai de nord-
vest și se repetă procedeul de la pasul 2, până când au fost sati sfăcute toate cerințele (restri cțiile). [1]
Exemp lu: Se consideră problema de transport cu patru centrale electrice (S 1 = 15 MW , S2 = 35
MW, S3 = 26 MW , S4 = 25 MW ) și șase consumatori (C 1 = 20 MW , C2 = 15 MW , C3 = 25 MW ,
C4 = 25 MW , C5 = 11 MW , C6 = 5 MW ).
Pentru a stabili solu ția ini țială de baz ă, cu datele din enun ț se formeaz ă un tabel în care sunt
trecute puter ile debitate de fiecare centrală pe câte o linie și puterile consumate pe câte o coloană .
Ulterior se determin ă cu metoda col țului de nord -vest configura ția ini țială a rețelei.
Acest lucru s -a realizat în tabelul 4.1-2.

Tabelul 4.1-1

Puterea cerută (inclusive pierderile) este egală cu puterea dispo nibilă și egală cu 101 MW.
Se determină soluția de bază inițială prin metoda colțului de nord -vest prezentată în tabelul 4.1-2
conținând variabile diferite de zero.

Tabelul 4.1-2 Soluț ia de bază inițială

Valoarea funcției obiectiv pentr u această soluție de bază inițială determinat ă prin metod a
colțului de nord vest este calculat ă cu relația 4.1.2. Aceast ă metodă este foarte simplă dar puțin
eficientă deoarece nu ține cont de valorile costurilor .
∑
Pc
Pd20 15 25 25 11 5
15 65 72 23 17 81 9
35 22 12 56 78 35 42
26 36 29 7 49 65 23
25 22 35 76 12 36 31
C1 C2 C3 C4 C5 C6
Pc
Pd20 15 25 25 11 5
S1 15 15
S2 35 5 15 15
S3 26 10 16
S4 25 9 11 5

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

14
4.2. Metoda costului minim pe linie

Această metodă presupune parcurgerea ur mătoarelor etape:
1. Se alege variabila situat ă pe pri ma linie ce corespunde celulei î n care costul este
minim.
2. Se determin ă apoi din relaț ia 4.2.1
{ }

– dacă { } , atunci , iar
– dacă { } , atunci , iar
3. În cazul în care { } se sup rimă prima linie ș i procedeul se repet ă cu linia a
doua. În cazul î n care { } , se suprim ă coloana j și procedeul co ntinuă , aleg ând variabila
situată pe prima linie ce corespunde costului minim r ămas .[12]
Acest procedeu se repet ă până când toate valorile situate pe p rima linie au fost determinate și se
continuă apoi î n mod analog și cu celelalte linii. [12]
Exemplu : Se cons ideră aceleaș i puteri consumate, puteri debitate și costuri de transport ca în
cazul problemei de la metoda colț ului de nord vest . Determinarea soluției iniț iale de baz ă cu ajutorul
metodei costului minim pe linie este prezen tată î n tabelul 4.2-1.

Tabelul 4.2-1

Valorile din partea de jos a fiecărei celule din tabel reprezintă costurile specifice traseului din
care face parte, iar datele din chenarul roșu reprezintă valorile puterilor asociate, după efectuarea
metodei de calcul. Aceste notații se respect ă pentru fiecare me todă prezentată mai jos.
Valoarea funcției obiectiv , pentru această soluț ie de baz ă iniț ială, determinată prin metod a costului
minim pe linie este calculată cu relaț ia 4.2.2

∑
Pc
Pd20 15 25 25 11 5
1565 72 23 17 81 9
3522 12 56 78 35 42
2636 29 7 49 65 23
2522 35 76 12 36 31
5 10
15 20
25 1
14 11

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

15
Soluția optimă calculată cu metoda MODI are valoarea funcției obiectiv de 1589. Se poate
observa c ă această valoare este foarte aproape de soluția calculată cu metoda costu lui minim pe linie,
ceea ce înseamnă că metoda aleasă este destul de eficient ă în cazul problemei prezentate.

4.3. Metoda costului minim pe coloan ă

Această metodă presupune parcurgerea ur mătoarelor etape:
1. Se alege variabila situat ă pe prima coloană ce corespunde celulei î n care costul este
minim.
2. Se determin ă apoi din relaț ia 4.3.1

{ }

– dacă { } , atunci , iar
– dacă { } , atunci , iar
3. În cazul în care { } se suprimă linia i și procedeul continu ă, alegâ nd variabila
situată pe prima coloan ă ce corespunde costului minim rămas după suprimarea liniei i.
În cazul î n care { } se suprim ă prima coloan ă și procedeul continuă cu cea de -a doua
coloană [12].
Exemplu : Se consider ă aceleaș i puteri c onsumate, puteri debitate și costuri de transport ca î n
cazul problemei de la metoda col țului de nord ve st. Determinarea soluției iniț iale de baz ă cu ajutorul
metodei costului minim pe coloană este prezentat ă în tabelul 4.3-1.

Tabelul 4.3-1

Valoarea funcț iei obiectiv pentru aceast ă soluție de bază inițială, determinată prin metod a
costului minim pe coloa nă, este calculat ă cu relaț ia 4.3.2
∑

Se poate observa faptul că valoarea funcției obiectiv este destul de mare în comparație cu
valoarea funției obiectiv a soluției optime.
Pc
Pd20 15 25 25 11 5
15 65 72 23 17 81 9
35 22 12 56 78 35 42
26 36 29 7 49 65 23
25 22 35 76 12 36 31
15
25
5 20 15
1 4 11 5

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

16
4.4. Metoda costului minim pe matrice

Această metodă presupune parcurgerea ur mătoarelor etape:
1. Se alege variabila xij ce corespunde celulei î n care costul cij este minim
2. Se determină apoi xij din relaț ia 4.4.1

{ }

– dacă { } , atunci xij iar
– dacă { } , atunci xij iar
3. În cazul î n care { } se suprim ă linia i și procedeul continu ă, alegâ nd variabila xij
situat ă în tabel ul ce corespunde costului minim ră mas.
În cazul î n care { } se suprim ă coloana j și procedeul continu ă alegând variabila xij
situat ă în tabel ce corespunde c ostului minim r ămas. Procedeul se repetă în mod analog p ână când toate
variabilele xij au fost determinate.
Exemplu : Se consider ă aceleaș i put eri consumate, puteri debitate și costuri de transport ca î n
cazul problemei de la metoda colț ului de nord vest. Determinarea soluției inițiale de bază cu ajutorul
metodei costului minim pe coloană este prezentată î n tabelul 4.4-1

Tabelul 4.4-1

Valoarea funcției obiectiv pentru această soluț ie de baz ă iniț ială determinat ă prin metoda
costului minim pe matric e este calculat ă cu relaț ia 4.4.2

∑

Pc
Pd20 15 25 25 11 5
1565 72 23 17 81 9
3522 12 56 78 35 42
2636 29 7 49 65 23
2522 35 76 12 36 31
5
25
25 15 20
1 10

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

17
4.5. Metoda diferen țelor maxime (Metoda Vogel )

Metoda diferenț elor maxime este o metod ă de calcul iterativ ă pentru determinarea soluț iilor
fezabile în problemele de transport. Metoda Vogel este mai eficient ă decâ t celelalte metode, deoarece
din experien țele de calcul s -a observat că soluția obț inută, este de multe ori și soluț ia optim ă sau destul
de aproape de aceasta, necesitâ nd ulterior un num ăr foarte mic de iterații pentru a se ajunge la aceasta .
Regula de alegere a variabilelor bazice constă în efectua rea diferen țele di ntre cele mai mici
costuri unitare de transport pe fiecare linie ș i fiecare coloană . Se va atribui valoarea maximă variabilei
situată pe linia sau coloana celei mai mari dife rențe, în locul corespunză tor celui mai mic cost. [14]
Această metodă presupune parcurgerea unor pa și:
1. Pentru fiecare linie ș i coloan ă din ta belul de transport se calculează diferen ța dintre cel mai
mic cost de transport și cel imediat superior. Dacă costul minim nu este unic atunci diferen ța se va
considera zero.
2. Se identific ă rândul sau coloana cu cea mai m are diferența, iar apoi se pune în celula cu
valoarea cea mai mică a costului de transport, cantitatea maxim ă de putere posibilă în funcție de
puterea cerută ș i puterea disponibil ă.
3. Câ nd cererea unui consumator este î ndeplinit ă sau câ nd puterea produs ă este epuizată , se taie
linia sau coloana aferent ă și se reia calculul de la pasul 1. [14]
Exemplu : Se consideră aceleaș i puteri consumate, puteri debitate și costuri de transport ca și în
cazul problemei de la metoda colț ului de nord vest. Determinarea soluției inițiale de bază cu ajutorul
metodei Vogel este prezentată în tabelul 4.5-1 și 4.5-2.

Tabelul 4.5-1 Prima itera ție de calcul.

S-a calculat pentru fiecare linie ș i pentru fiecare coloan ă din tabelul de transport dif erența dintre
cele mai mici două costuri. Se observă că valoarea cea mai mare a ieș it din calculul coloanei a doua,
Pc
Pd20 15 25 25 11 5 I
15 65 72 23 17 81 917-9=8
35 22 12 56 78 35 4222-12=10
26 36 29 7 49 65 2323-7=16
25 22 35 76 12 36 3122-12=10
I 22-22=0 29-12=17 23-7=16 17-12=5 36-35=1 23-9=14
Valoarea cea mai mare
15

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

18
astfel s-a pus valoarea puterii maxime posibile în funcție de puterea cerută și puterea disponibilă , iar
apoi s -a suprimat coloana a doua deoarece s -a îndeplinit cerin ța pentru al doilea consumator.
După un numă r de 6 itera ții de calcul a rezultat soluția inițială de bază care este prezentat ă în
tabelul 4.5-2.
Tabelul 4.5-2

∑

Verific ând această problema cu metoda M ODI pentru calculul soluției optime a rezultat aceeași
structură ca soluția iniț ială de baz ă calculat ă prin metoda Vogel av ând aceea și valoarea a func ției
obiectiv de 1589.

4.6. Metoda ASM

În acest subcapitol este prezentat ă o nou ă metod ă pentru g ăsirea soluț iei optime a unei probleme
de transport. Partea cea mai atractiv ă la aceast ă metod ă este faptul că sunt necesare cunoșt ințe foa rte
simple de aritmetic ă și logic ă de calcul.
Aceast ă metod ă a fost concepută nu pentru calcul ul soluției inițiale de bază ci pentru g ăsirea
soluției optime. Î n majoritatea cazurilor dup ă aplicarea acestei metode va rezulta , fără a mai fi nevoie
de alte m etode de calcul, soluția optimă a problemei.
Pentru a parcurge aceast ă metod ă este nevoie să ținem cont de câțiva pași ș i anume:
1. Se construieș te tabelul cu datele problemei de transport.
2. Se caut ă valoarea costu lui minim pentru fiecare linie și se scade din ce lelalte aflate pe aceeași
linie. Se va efectua această operație și pentru datele de pe coloane .
3. Dup ă efectuarea pasul anterior, trebuie s ă avem cel puțin câ te un zero pe fiecare linie și
fiecare coloan ă, apoi se selectează ca pivot primul zero de pe prima linie. Se determină numărul total
de zerouri (excluzând pivotul) de pe linia și coloana aferentă pivotului . Ulterior se alege urmă torul
pivot zero și se determină numă rul total de zerouri în linia ș i coloana corespunzatoar e pivotului. Se
continu ă procesul pentru toate ze rourile din matricea de costuri.
4. În acest moment se alege pivotul care are num ărul minim de zerouri și se suplineș te
cantitatea maxim ă posibil ă în funcț ie de disponibil ș i consum. Dac ă numă rul minim de zerouri se
Pc
Pd20 15 25 25 11 5
1565 72 23 17 81 9
3522 12 56 78 35 42
2636 29 7 49 65 23
2522 35 76 12 36 31
15 5
11
15 10 1 9
25 10

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

19
regăseș te de mai multe ori, se calcule ază pentru fiecare pivot care conține numă rul minim de zerouri ,
suma c heltuielilor de pe linie adunată cu suma cheltuielilor de pe coloană. După calcularea acesto r
sume se va alege celula care îndeplinește valo area maximă a s umei ș i se va aloca celu lei respective,
cantitatea maximă posibil ă.
5. Dup ă realizarea pasului patru , se va elimina linia sau coloana celulei unde este îndeplinită
cantitatea cerută , respectiv epuizată cantitatea disponibil ă,
6. Se verific ă dacă pe fiecare linie și coloană există cel pu țin câte un zero. Dacă nu este
îndeplinită această condiț ie, se va repeta pasul doi, altfel , se trece la pasul șapte.
7. Se repetă pașii de la trei la șase pâ nă când cantitatea cerută este î ndeplinit ă și cantitatea
disponibilă este epuizat ă.[11]
Exemplu :
Se consider ă aceleaș i put eri consumate, puteri debitate și costuri de transport ca î n cazul
problemei de la metoda colț ului de nord vest. Determinarea soluției iniț iale de baz ă cu ajutorul metodei
ASM este prezentat ă în tabelul 4.6-1.

Tabelul 4.6-1

∑

Verific ând această problem ă cu metoda M ODI, a rezultat aceea și structură ca soluția inițială de
bază calculată prin metoda ASM.
Astfel se demonstreaz ă faptul c ă Metoda ASM este o metod ă foarte eficientă cu o probabilitate
destul de mare în găsirea soluției optime, fă ră a mai fi nevoie s ă se aplice ș i alte metode de calcul.

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

20

5. METODE DE CALCUL PENTRU DETERMINAREA SOLUȚ IEI OPTIM E

5.1. Metoda distributivă (Metoda Stepping -Stone)

Metoda Stepping -Stone este o metod ă de calcul iterativ ă, care p ornește de la o solu ție initial ă și
în pa și succesivi identific ă o solu ție optim ă. Pentru a realiza acest deziderat se evalueaz ă eficien ța
transportului produselor pe o rut ă care are ca destina ție o variabil ă ce nu este cuprins ă în solu ția
analizat ă.[1]
Se consider ă tabelul unei probleme de transport cu 3 sur se și 3 consumatori și s e marchează cu
un punct elementele care corespund soluției inițiale de bază (tabe lul 5.1-1).
Pentru a verifica dacă soluția este optimă procedăm ca în cazul programă rii liniare. Vom anal iza deci,
efectul introducerii în soluț ie a unei variabile din bază, asupra funcț iei obiectiv. [1]
Astfel introduce m x13 în soluț ie având valoarea 1, respectând astfel ecuațiile de bilanț , scădem
cu o unitate valoarea lui x11 din bază și creștem cu o unita te pe cea a lui x21 din bază s.a.m.d. Valoarea
funcț iei obiectiv a variat cu :

(5.1.1)

Se desprinde astfel regula de a forma ciclul porni nd de la variabila care trebuie introdus ă în
bază. Variația funcț iei obiectiv este egală cu suma costurilor corespunzatoare variabilelor din ciclu
luate alternativ cu semnele plus ș i minus. [1]
Daca atunci variabila poate fi introdusă în bază . Se va prefera ca aceasta să corespun dă
lui minim.
Tabelul 5.1-1

x11
x12
x13

x21
x22
x23

x31
x32
x33
Tabelul 5.1-2

20 15 15
10 25 21 35
14 26 18 17
26 23 19 15
Tabelul 5.1-3

20 15 15
10 10
14 10 4
26 11 15

De exemplu în tabelul 5.1-1, variabila care iese din baza la introducerea lui este:

{

} { }
iar în cazul lui este:
{

} { }

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

21
Minimul astfel determinat aparține variabilei ce iese din bază.
În concluzie metoda distributivă de trecere de la o soluție de bază a problemei de transport la o
soluție de bază îmbunătățită constă î n:
– formarea ciclului pentru fiecare care nu face parte din bază ;
– calculul valorii ;
– stabilirea variabilei cu cel mai mic negativ;
– determinare a valorii pentru fiecare introducere de variabilă în bază, sau ieșire din bază .
Dacă atunci ultima soluție este optimă .
Numărul de iterații se poate reduce dacă pentru fiecare negativ se calculează produsul: [1]

(5.1.4)

și se introduce în bază variabila pentru care modulul acestui produs are valo area maximă .
Conform datelor din tabelul 5.1-3 care reprezintă soluția de bază după aplicarea metodei
colțului de nord -vest ș i datelor din tabelul 5.1-2 în care sunt specificate distanțele dintre surse și
consumatori, se verifică introducerea în bază a variabilei x 12. Obținem: [1]

(5.1.5)

pentru ciclul arătat î n tabelul 5.1-3. Variabila x 12 nu se introduce î n bază.

Tabelul 5.1-4

10

10
4

11
15

Pentru variabilele x 13 , x23 și x 31 avem tabelele (5.1-4, 5.1-5 și 5.1-6).

Tabelul 5.1-5

10

10
4

11
15

Tabelul 5.1-6

10

10
4

11
15

Tabelul 5.1-7

10

10
4

11
15

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

22
(5.1.5)
(5.1.6)
(5.1.7)

Din rel ațiile (5.1.5, 5.1.6, 5.1.7) rezultă c ă x13 și x23 nu trebuie introduse în bază deoarece
. În schimb x31 va intra în ba ză deoarece rezultatul calculului nu întrunește această condiție .
Din ciclul variabilei x31, realizat în tabelul 5.1-7, deducem variabila care iese din bază.
{ }
Din relația 5.1.8 re zultă că variabila care iese din bază este x 21. Astfel avem soluți a nr. 2, după
introducerea lui x31, și scoaterea lui x21. Această soluție este redată în tabelul 5.1 -8.

Tabelul 5.1 -8

Se efectuează pași i de mai sus până când se îndeplinește condiția ca toate variabilele din afara
bazei s ă aibe variația funcției obiectiv .

5.2. Metoda Distribtivă Modificat ă (Metoda MODI)

Pentru reducerea volumului de calcule se folosește metoda distributiv ă modificată .
Se atribuie fiec ărei linii o necunoscută u i, respectiv vj fiecărei coloane.
Se scrie un sistem de ecuații: [1]

Se ajunge astfel la un sistem de necunoscute ș i ecuații.
Orice necunoscut ă din afara bazei se calculeaz ă cu relaț ia:

( )

Aceast ă proprietate rezult ă din faptul c ă este egal cu suma costurilor variabilelor din baz ă care
formeaz ă ciclu , luate alternativ cu semnele plus și minus ș i din faptul c ă pe o latură a ciclului se gă sesc
două variabile din baz ă, corespunzatoare vâ rfurilor. [1] Astfel avem: [1]

C1 C2 C3
20 15 15
S1 10 10
S2 14 14
S3 26 10 1 15

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

23

( ) ( ) ( ) ( )

S-a ară tat că relația (5.2.4) formează un sistem nedeterminat de ecuaț ii cu
necunoscute. Deci, în funcț ie de o variabil ă aleas ă arbitrar se pot determina cele variabile
rămase. [1]

∑

Deducem faptul c ă nu depinde de valoarea atribuită uneia dintre cele variabile. Astfel
se va considera în general , .
Pentru a rezolva o problema de transport prin metoda distributiv ă modificată , se rezolvă
sistemul ( 5.1.1) luâ nd iar apoi se calculeaz ă după relația (5.1.2).[1]

Exemplu: Pentru proble ma din tabelul 5.2-1, notăm indicii ca în tabelul 5.2-2, rezult ând
sistemul de ecuaț ii 5.2.5

Tabelul 5.2-1

Tabelul 5.2-2

Luând obținem soluț iile:

; ; ; ; (5.2.6)

Rezult ă pentru variabila din afara bazei ,

20 15 15
10 25 21 35
14 26 18 17
26 23 19 15
20 15 15
10 10
14 10 4
26 11 15

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

24

Din relațiile de mai sus rezultă că x 31 va intra în bază . În tabelul 5.2 -3, s-a efectuat ciclul
variabilei care intră în bază pentru a determina variabila care iese din bază.

Tabelul 5.2 -3

10

10
4

11
15
Tabelul 5.2 -4

Din ciclul variabilei x31, realizat în tabelul 5.2-3, deducem variabila care iese din bază.
{ }

În tabelul 5.2 -4, a rezultat din urma efectuării algoritmului MODI, soluția de bază nr. 2, care are
aceeași structură, cu soluția de bază nr.2 determinată prin metoda Stepping Stone.

C1 C2 C3
20 15 15
S1 10 10
S2 14 14
S3 26 10 1 15

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

25

6. CAZUL DEGENERĂRII PROBLEMEI DE TRANSPORT

În cazul problemei de programare lin iară s-a înțeles prin soluția de bază nedegenerat ă soluția
care conț ine un num ăr de variabi le diferite de zero egal cu numărul ecuațiilor. Atunci când numă rul
variabilel or diferite de zero este mai mic dec ât numărul ecuațiilor, soluția de bază se nume ște
degenerată . [1]
Ca și în cazul programelor liniare modelul problemei de transport poate admite soluții
degenerate, ceea ce înseamnă c ă printre variantele care utilizeaz ă cel mult rute exist ă cel
puțin unul care are cel mult rute folosite. [8]
Cazul degenerării problemei de transport conține mai puț in de variabile diferite de
zero. Aceast ă degenerare apare atunci câ nd dup ă calculul s oluției de bază inițială, suma primelor câteva
surse este egală cu suma catităților primilor câțiva consumatori. Î n acest caz pentru a avea un numă r de
variabile diferite de zero , se va adăuga o cantitate infinit mică , pozitivă ultimului
consumator s au ultimei surse dintre primele n 1 sau m 1 și aceeaș i cantitate ultimei surse sau ultimului
consumator din tabel [1]. Astfel se adaugă o perturbație cu o cantitate infinit mică pozitivă notată cu ε
pentru a putea modifica bilanțurile. Pe rturbația poate fi introdusă în oricare din locurile însemnate cu
semnul + din tabelul 6.2.[1]
În acest caz soluț ia de baz ă inițială este cea din tabelul 6.3, fiind acum o soluț ie de baz ă
nedegenerată cu variabile diferite de zero dup ă introducerea în bază a lui x22.
Exemplul pentru acest c az este realizat în tabelul 6.3
Se calculează prin metoda colțului de Nord -Vest solutia de bază inițială și găsim rezolvarea în
tabelul 6.1.

Tabelul 6.1

După ce s -a calculat soluția iniț ială de bază se poate observa că avem un număr de
variabile diferite de zero, ceea ce conduce la o soluție degenerată.
Pentru a ajunge la o soluție nedegenerată se introduce o perturbație în oricare din că suțele
notate cu + din tabelul 6.2.[1]

C1 C2 C3 C4
20 40 30 10
S1 6020 40
S2 2020
S3 2010 10

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

26
Tabelul 6.2

Tabelul 6.3. Soluția de bază inițială după introducerea perturbației

Soluția astfel obținut ă conține un număr de variabile diferite de zero , care ne
conduce la o problemă nedegenerată și putem calcula soluția optimă prin metodele de calcul tehnico –
economice.

C1 C2 C3 C4
20 40 30 10
20 40 + +
+ + 20
+ + 10 10
C1 C2 C3 C4
20 40 30 10
S1 6020 40
S2 2020
S3 2010 10

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

27

7. SITUAȚIA CÂND DISPONIBILUL DEPĂȘEȘTE NECESARUL

În general î n cazul problemei de transport apare situația când puterea disponibilă este mai mare
decât puterea cerut ă de consumatori.
Pentru a aduce aceast ă problemă la tipul unei probleme de transport pentru care avem
disponibilul egal cu necesarul, este util să introducem un consumator fictiv. Pentru ca aceast ă
schimbare s ă nu influen țeze funcț ia obiectiv, se presupun costurile specifice de transport al acestui
consumator, egale cu zero. [1]

Tabelul 7.1

Consumatorul fictiv î nglobează deci, cantit ățile de putere activ ă nedistribuite de centrale.
Spre exemplu, avem problema din tabelul 7.1 care se refer ă la o re țea cu trei surse și patru
consumatori . Problema de transport corespunzatoare, împreună cu soluț ia de baz ă inițială este
prezentată î n tabelul 7.2. Problema de transport corespunzatoare d eterminarii configurației optime a
rețelei din tabelul 7.1 este o problema cu trei sur se și cinci consumatori. Acest ultim consumator
necesită o putere egala cu [1].
Aplicăm metoda colțului de Nord -Vest ș i găsim soluția inițială din Tabelul 7.2

Tabelul 7.2
C1 C2 C3 C4 C5
20 25 30 25 30
S1 60 20 25 15
S2 20 15 5
S3 50 20 30

C1 C2 C3 C4
20 25 30 25
S1 60
S2 20
S3 50

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

28

8. EXEMPLU DE CALCUL

8.1. Rezolvarea prin metoda distributivă (Metoda Stepping Stone )

Se consideră 4 centrale electrice S1, S2, S3 ș i S4 având puterile disponibile Pd1=40 MW,
Pd2=60 MW, Pd3=90 MW ș i Pd4=120 MW. Aceste centrale alimentează 8 consumato ri, C1, C2, C3,
C4, C5, C6, C7 ș i C8 ale căror puteri cerute sunt: Pc1=34, Pc2=30, Pc3=36, Pc4=42, Pc5=22, Pc6=41,
Pc7=38 ș i Pc8=45.
Coordonatele poziției centralelor și consumatorilor pe hartă, față de un sistem de axe
rectangulare xOy cu originea în S1 și cu axa Oy trecând prin punctul în care este situată centrala S4
sunt date în tabelul 8.1-1
Tabelul 8.1-1

Centrala
sau
Consumator
S1
S2
S3
S4

C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8

x[km]
0
30
45
0
20
55
65
90
-10
-20
60
75

y[km]
0
25
60
70
10
20
80
30
40
15
40
35

Cerințele problemei sunt:

a) Să se desenez e harta cu poziția centralelor și consumatorilor ș i să se determine distanț ele de
la centrale la consumatori
b) Să se des eneze graful radial optim al reț elei de alimentare în condi țiile minimiză rii costului
transportului energiei electrice de la centrala la consumatori.

Rezolvare:

a) Harta cu poziția centralelor și consumatorilor este reprezentată în fig. 8.1.1

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

29

Fig. 8.1.1. Graful radial cu poziția centralelor și consumatorilor.

Distanțele de la centrale la consumatori sunt calculate cu formula ( 8.1-1) și sunt afisate în
tabelul 8.1-1

√ (8.1-1)

Tabelul 8.1-2 Rezul atele distanțelor de la central e la consumatori
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
34 30 36 42 22 41 38 45
S1 40 22 58 103 94 41 25 72 82
S2 60 18 25 65 60 42 50 33 46
S3 90 55 41 28 54 58 79 25 39
S4 120 63 74 65 98 31 58 67 82

Soluția de bază inițială determinată prin metoda colțului de nord -vest este dată în tabelul 8.1-3

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

30
Tabelul 8.1-3 Soluț ia de nr. 1
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
34 30 36 42 22 41 38 45
S1 40 34 6
S2 60 24 36
S3 90 42 22 26
S4 120 15 38 45

Soluția de bază nr.1 contine variabile diferite de 0, ceea ce înseamnă că soluția este
degenerată. Astfel se adaugă o perturbație cu o cantitate infinit mică pozitivă notată cu ε pentru a putea
modifica bilanțurile. Perturbația poate fi introdusă în oricare din locurile însemnate cu semnul + din
tabelul 8.1-4.
Tabelul 8.1-4
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8
34 30 36 42 22 41 38 45
S1 40 + + + + +
S2 60 + + + + +
S3 90 + + +
S4 120 + + +

Această perturbație se consideră pe ruta S2 -C4.
Suma puterilor cerute de consumatori este de 288 MW iar suma puterilor debitate de centrale
este de 310 MW, astfel este necesar să punem condiția ca disponibilul să fie egal cu necesarul prin
introducerea unui consumator fictiv, iar costurile specifice de transport către acest consumator să fie
nule. Această soluție este redat ă în tabelul 8.1-5.

Tabelul 8.1-5 Solu ția de bază nr. 2

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40 34 6
S2 60 24 36 ε
S3 90 42 22 26
S4 120 15 38 45 22

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

31
Se observă că solu ția de bază nr. 1 conține variabile nenule, ceea ce î nseamnă
că problema este nedegenerată.
Se testează variabilele din afara bazei pentru a vedea dacă prin introducerea unei noi variabile
în bază, se aduce o îmbunătățire soluției.

Tabelul 8.1-6 Ciclul variabilei

34
6

24
36 ε
42 22 26
15 38 45 22

Tabelul 8.1-7 Ciclul variabilei

34
6

24 36
ε
42 22 26
15 38 45 22

Tabelul 8.1-8 Ciclul variabilei

34
6

24
36
ε

42
22 26
15 38 45 22

Tabelul 8.1-9 Ciclul variabilei

34
6

24 36
ε

42
22
26
15 38 45 22

Tabelul 8.1-10 Ciclul variabilei

34
6

24
36
ε

42
22
26

15
38 45 22

Tabelul 8.1-11 Ciclul variabilei

34
6

24 36
ε

42 22
26

15 38
45 22

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

32
Tabelul 8.1-12 Ciclul variabilei

34
6

24
36
ε

42
22
26

15
38
45
22

Tabelul 8.1-13 Ciclul variabilei

34
6

24 36 ε

42 22 26

15 38 45 22

Tabelul 8.1-14 Ciclul variabilei

34
6

24
36
ε

42
22
26

15
38
45
22

Tabelul 8.1-15 Ciclul variabilei

34 6

24 36
ε

42 22
26

15 38 45 22

Tabelul 8.1-16 Ciclul variabilei

34
6

24
36
ε

42
22
26

15
38
45
22

Tabelul 8.1-17 Ciclul variabilei

34 6

24 36
ε

42 22
26

15 38
45 22

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

33
Tabelul 8.1-18 Ciclul variabilei

34
6

24
36
ε

42
22
26

15
38
45
22

Tabelul 8.1-19 Ciclul variabilei

34
6

24 36
ε

42 22 26

15 38 45 22

Tabelul 8.1-20 Ciclul variabilei

34
6

24
36
ε

42
22 26

15 38 45 22

Tabelul 8.1-21 Ciclul variabilei

34 6

24
36
ε

42 22 26

15 38 45 22

Tabelul 8.1-22 Ciclul variabilei

34
6
24 36 ε

42
22
26

15
38
45
22

Tabelul 8.1-23 Ciclul variabilei

34 6

24 36 ε

42 22
26

15 38
45 22

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

34
Tabelul 8.1-24 Ciclul variabilei

34
6
24 36 ε

42
22
26

15
38
45
22

Tabelul 8.1-25 Ciclul variabilei

34
6

24 36
ε

42 22
26

15 38 45 22

Tabelul 8.1-26 Ciclul variabilei

34
6

24 36
ε

42
22
26

15
38
45
22

Tabelul 8.1-27 Ciclul variabilei

34 6

24
36
ε

42 22
26

15 38 45 22

Tabelul 8.1-28 Ciclul variabilei

34
6
24 36 ε

42
22 26

15 38 45 22

Tabelul 8.1-29 Ciclul variabilei

34 6

24 36 ε

42
22
26

15 38 45 22

Se va introduce în bază acea variabilă pentru care este negativ și minim :
{ }

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

35
min
{

}

Având în vedere calculele efectuate , rezultă din relațiile ( 8.1.2) și ( 8.1.3) că variabila x 16 se va
intro duce în bază iar .
Se obține soluția de bază nr. 3 prin introducerea în bază a lui x 16 și scoaterea din bază a lui x 24.
Această soluție este redată în tabelul 8.1-30

Tabelul 8.1-30 Soluț ia de bază nr. 3

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40 34
6
ε
S2 60
24
36
S3 90
42 22
26
S4 120
15 38 45 22

Se testează variabilele din afara bazei pentru a vedea dacă prin introducerea unei noi variabile
în bază, se aduce o îmbunătățire soluției.
Rezultatele calcului mărimilor pot fi prezentate ca în tabelul 8.1-31

Tabelul 8.1-31

În tabelul 8.1-31, în colțul din stânga sus, sunt trecute costurile transportului, iar în colțul din
dreapta jos, cu roșu sunt trecute rezultatele calcului pentru fiecare variabilă din afara bazei.
Din tabel ul 8.1-31 se poate stabili care mărime este minimă și negativă , pentru a putea
determina, locul în care se va introduce în bază noua variabilă .
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
S122 58 103
594
9441
3725
72
3882
330
33
S218
2925 65 60
9342
7150
5833
3246
300
66
S355
−2141
−7128
−12454 58 79 25
−6239
−640
−21
S463
874
−1765
−6698
6531
−658 67 82 0

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

36
Astfel avem :

{

}

În acest caz variabila se va introduce în bază, iar variabila va ieși din bază.
Se obține soluția de bază nr. 4 prin introducerea în bază a lui x 33 și scoaterea din bază a lui x 12.
Această soluție este redată în tabelul 8.1-32

Tabelul 8.1-32 Soluț ia de bază nr. 4

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40
34
6
S2 60 30
30
S3 90
6 42 22
20
S4 120
15 38 45 22

Se testează variabilele din afara bazei pentru a vedea dacă prin introducerea unei noi variabile
în bază, se aduce o îmbunătățire soluției.
Rezultatele calcului mărimilor pot fi prezentate ca în tabelul 8.1-33

Tabelul 8.1-33

Din tabelul 8.1-33 se poate stabili care mărime este minimă și negativă, pentru a se putea
determina, locul în care se va introduce în bază noua variabilă .

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
S122 58
124103
12994
9441
3725
72
3882
330
33
S218
−9525 65 60
−3142
−5350
−6533
−9246
−940
−58
S355
−2141
5328 54 58 79 25
−6339
−640
−21
S463
8 74
10765
5898
6531
−658 67 82 0

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

37
Astfel avem :
min

{

}

Din relațiile ( 8.1.6) și ( 8.1.7), reiese faptul că se va introduce în bază , iar va ieși din
bază.
Se obține soluția de bază nr. 5 prin introducerea în bază a lui x 21 și scoaterea din ba ză a lui x 36.
Această soluție este redată în tabelul 8.1-34

Tabelul 8.1-34 Soluț ia de bază nr. 5

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40
14
26
S2 60
20 30
10
S3 90
26 42
22
S4 120
15 38 45 22

Se testează variabilele din afara bazei pentru a vedea dacă prin introducerea unei noi variabile
în bază, se aduce o îmbunătățire soluției.
Rezultatele calcului mărimilor pot fi prezentate ca în tabelul 8.1-35

Tabelul 8.1-35

Din tabelul 8.1-35 se poate stabili care mărime este minimă și negativă, pentru determinarea
locul ui în care se va introduce în bază noua variabilă .
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
S122 58
29103
3494
−141
−5825
72
3882
330
33
S218 25 65 60
−3142
−5350
2933
346
10
37
S355
7441
5328 54 58 79
9525
3239
310
74
S463
8 74
1265
−3798
−3031
−10158 67 82 0

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

38
Astfel avem :
min

{

}

Din relaț iile (8 .1.8) și ( 8.1.9), reie se faptul că se va introduce în bază iar va ieși din bază
Se obține soluția de bază nr. 6 prin introducerea în bază a lui x 45 și scoaterea din bază a lui x 23.
Această soluție este redată în tabelul 8.1-33

Tabelul 8.1-36 Soluț ia de bază nr. 6

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40 4
36
S2 60 30 30

S3 90 36 42
12

S4 120
10 5 38
45 22

Se testează variabilele din afara bazei pentru a vedea dacă prin introducerea unei noi variabile
în bază, se aduce o îmbunătățire soluției.
Rezultatele calcului mărimilor pot fi prezentate ca în tabelul 8.1-37

Tabelul 8.1-37

Din tabelul 9.1-37 se poate stabili care mărime este minimă și negativă, pentru a putea determina, locul
în care se va introduce în bază noua variabilă .

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
S122 58
29103
13594
10041
4325
72
3882
330
33
S218 25 65
10160
7042
4850
2933
346
10
37
S355
−2741
−4828 54 58 79
−625
−6939
−700
27
S463
8 74
1265
6498
7131 58 67 82 0

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

39
Astfel avem :
min

{

}

Din relațiile ( 8.1.10) și ( 8.1.11), reiese faptul că se va introduce în bază , iar va ieși din
bază.
Se obține soluția de bază nr. 7 prin introducerea în bază a lui x 38 și scoaterea din bază a lui x 35.
Această soluție este redată în tabelul 8.1-38

Tabelul 8.1-38 Soluț ia de bază nr. 7

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40 4 36
S2 60 30 30
S3 90
36 42
12
S4 120 22 5 38
33 22

Se testează variabilele din afara bazei pentru a vedea dacă prin introducerea unei noi variabile
în bază, se aduce o îmbunătățire soluției.
Rezultatele calcului mărimilor pot fi prezentate ca în tabelul 8.1-39

Tabelul 8.1-39

Din tabelul 8.1-39 se poate stabili care mărime este minimă și negativă, pentru a putea determina, locul
în care se va introduce în bază noua variabilă .

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
S122 58
29103
6594
3041
4325
72
3882
330
33
S218 25 65
3160
042
4450
2933
346
10
37
S355
4341
2228 54 58
7079
6425
139
0
43
S463
8 74
1265
−698
131 58 67 82 0

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

40
Astfel avem :

min
{

}

Din relațiile ( 8.1.12) și ( 8.1.13), re iese faptul că se va introduce în bază , iar va ieși din
bază.
Se obține soluția de bază nr. 8 prin introducerea în bază a lui x 43 și scoaterea din bază a lui x 48.
Această soluție este redată în tabelul 8.1-40

Tabelul 8.1-40 Soluț ia de bază nr. 8

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40 4 36

S2 60 30 30

S3 90
3 42 45
S4 120
33 22 5
38 22

Se testează variabilele din afara bazei pentru a vedea dacă prin introducerea unei noi variabile
în bază, se aduce o îmbunătățire soluției.
Rezultatele calcului mărimilor pot fi prezentate ca în tabelul 8.1-41

Tabelul 8.1-41

Din tabelul 8.1-41 se poate stabili care mărime este minimă și negativă, pentru a putea determina, locul
în care se va introduce în bază noua variabilă .

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
S122 58
29103
7194
3641
4325
72
3882
390
33
S218 25 65
3760
642
4850
2933
346
70
37
S355
3741
1628 54 58
6479
5825
−539
0
37
S463
8 74
1265 98
731 58 67 82
60

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

41
Astfel avem :
min

{

}
Din relațiile ( 8.1.14) și ( 8.1.15), reiese faptul că se va introduce în bază , iar va ieși din
bază.
Se obține soluț ia de bază nr. 9 prin introducerea în bază a lui x 43 și scoaterea din bază a lui x 48.
Această soluție este redată în tabelul 8.1-42

Tabelul 8.1-42 Soluț ia de bază nr. 9

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40 4 36
S2 60 30 30
S3 90 42 3 45
S4 120 36 22 5 35 22

Se testează variabilele din afara bazei pentru a vedea dacă prin introducerea unei noi variabile
în bază, se aduce o îmbunătățire soluției.
Rezultatele calcului mărimilor pot fi prezentate ca în tabelul 8 .1-43

Tabelul 8.1-43

După această iterație a rezultat faptul că pentru toate variabilele din afara bazei ,
ceea ce înseamnă că soluția de bază nr .9 este optimă.
Graful radial optim al rețelei de alimentare în condițiile minimizării costului transportului
energiei electrice de la centrală l a consumatori este reprezentat î n figura 8.1.2
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
S122 58
29103
7194
3141
4325
72
3882
340
33
S218 25 65
3760
142
4850
2933
346
20
37
S355
4241
2128
554 58
6979
6325 39
0
42
S463
8 74
1265 98
231 58 67 82
10

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

42

Fig. 8.1.2 Rețeaua optimă a rețelei de alimentare

Tabelul 8.1-44

Iteratia 1 2 3 4 5 6 7 8
∑ 16740 16740 15996 14096 13086 12246 12048 12033

Soluț ia optim ă ce corespunde minimului sumei momentelor puterilor este pr ezentat ă în tabelul
8.1-44. Aceast ă soluție se atinge dup ă un număr de opt iterații în care scă derea sumei mo mentelor
sarcinilor are loc ca î n figura 8.1.3.

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

43

Fig. 8.1.3. Rezultatele funcției obiectiv pentru fiecare iterație

Se constată că între soluția inițială și cea finală diferența este de aproximativ 28 %, soluție
corespunzătoare constatării generale , privind economia destul de mare obținută prin calculele de
optimizare . Acest aspect este redat în fig 8.1.4.

Fig. 8.1.4. Procentajul funcțiilor obiectiv raportate la valoarea inițială

Putem observa că iterația ș apte este apropiată ca valoare de soluția optimă , fiind necesară ,
atunci când din diferite motive, soluția optimă nu se poate aplica.

16740 16740 15996
14096
13086 12246 12048 12033
020004000600080001000012000140001600018000
1 2 3 4 5 6 7 8Pij∙lij [ MW∙km]
Nr Iteratie
100,00 100,00 95,56
84,21 78,17 73,15 71,97 71,88
020406080100120
1 2 3 4 5 6 7 8Pij∙lij [%]
Nr. Iteratie

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

44
8.2. Rezolvarea prin metoda distributivă modificată (Metoda MODI)

Pentru problema anter ioară avem datele din tabelul 8.1-2. Se atribuie fiec ărei linii o
necunoscută , respectiv fiecărei coloane, obținându-se astfel un sistem de necunoscute ș i
ecuații. Astfel , avem o problem ă degenerat ă și suntem nevoiți să introducem o variabil ă de
valoare infinit mică ș i pozitiv ă notată cu ε , pentru a putea modifica bilanțurile. Această perturbație se
atribuie traseului S2-C4.
Suma puterilor cerute de consumatori este de 288 MW , iar suma puterilor debitate de centrale
este de 310 MW, astfel este necesar să se impună ca disponibilul să fie egal cu necesarul.
Pentru a satisface această condiție introduce m un consumator fictiv (C9), având costurile specifice de
transport nule. Acest ă soluție este redat ă în tabelul 8.2-1.
Indicii și se calculează cu relaț ia 8.2.1

unde reprezintă valoarea costului de transport pe unitate.
nu depinde de valoarea arbitrară pe care o prime ște una din cele variabile. În tabelul
8.2-1 avem soluția de bază iniț ială calculată prin metoda colț ului de nord vest dup ă ce am introdus un
consumator ul fictiv de putere MW și perturbaț ia ε pe ruta S2 -C4.

Tabelul 8.2-1 Soluț ia de bază inițială

34 30 36 42 22 41 38 45 22
40 34 6
60 24 36 ε
90 42 22 26
120 15 38 45 22

Se observă că solu ția de bază inițiala conține variabile nenule, ceea ce
înseamnă că problema este acum nedegenerată.
Se calculeaz ă indicii pentru variabilele din baz ă:

; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

45
Sistemul are 12 ecuații ș i 13 necunoscute. Se va lua pentru rezolvarea tut uror
problemelor prin metoda distributiv ă modificată .
Rezult ă:
;
;
;
;
;
;
;
;
; ;
;
;
;

Se calculează pentru variabilele din afara bazei cu relația 8.2.2:

( )

103

Se verific ă calculele precedente ș i se evalueaz ă care este < 0 și în același timp care
este minim, pentru a stabili care dintre variabile va intra în bază .

Rezultatele calculelor sunt trecute în tabelul 8.2-2.

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

46
Tabelul 8.2-2

Valoarea variabile i nou introdus ă în bază , va căpăta valoar ea celei care iese din bază. Ace astă
modificare se observă în tabelul 8.2-4.

Tabelul 8.2-3

34 30 36 42 22 41 38 45 22
40 34
6
60
24 36
ε
90
42 22
26
120 15 38 45 22

{

}

Din relațiile ( 8.2.3) și ( 8.2.4), reiese faptul că se va introduce în bază, iar variabila va
ieși din bază.
Din punct de vedere al costului de transport , acesta este neschimbat față de so luția inițială de
bază, chiar dacă o variabilă a ieșit sau a intrat în bază. Acest lucru este posibil datorită faptului că
variabila care a ieșit , respectiv a intrat în bază are valoarea 0.
După introducerea lui și scoaterea variabilei din bază se obține noua soluție de bază
care este r edată în tabelul 8.2-4.

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
S122 58 103
594
9441
3725 72
3882
330
330
S218
2925 65 60
9342
7150
5833
3246
300
66−33
S355
−2141
−7128
−12454 58 79 25
−6339
−640
−2154
S463
8 74
−1765
−6698
6531
−658 67 82 033
22 58 98 0 4 25 34 49 −33

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

47
Tabelul 8.2-4

34 30 36 42 22 41 38 45 22
40 34 6 ε
60 24 36
90 42 22 26
120 15 38 45 22

După un num ăr de 8 iterații s -a ajuns la aceeași soluție optimă ca și în cazul rezolvării cu
metoda distributivă. Aceast ă soluție optimă este dată în tabelul 8.2-5.

Tabelul 8.2-5

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9

34 30 36 42 22 41 38 45 22
S1 40 4 36
S2 60 30 30
S3 90 42 3 45
S4 120 36 22 5 35 22

Având în vedere re zultatele celor două metode de calcul, metoda Stepping Stone respectiv
metoda MODI, se obser vă faptul că ambele au nevoie de un num ăr egal de itera ții pentru a ajung e la
soluț ia optim ă. Se mai poate spune că aceste metode că sunt foarte eficiente, fiind ușor de înțeles și de
aplicat pentru orice problem ă de transport.
Făcând o comparație între valoarea funcției obiectiv a soluției iniț iale, determinat ă prin metoda
colțului de nord ves t și valoarea funcției obiectiv a soluției optime, determinată prin metoda distributiv ă
sau metoda distributiv ă modificat ă, se observ ă o diferență foarte mare de cost , de ap roximativ 28%.
Astfel scoatem în evidentă importan ța pe care o are un calcul tehnico -economic, atunci când vorbim de
problemele de transport, deoarece cheltuielile se reduc substanțial .

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

48

9. PROGRAM DE CALCUL

9.1 Introducere

Întrucât în zilele noastre nu se mai practică calculul manual pentru rezolvarea problemelor de
transport din motive de timp și eficiență, am realizat un program de calcul pentru rezolvarea acestora ,
în limbajul de programare Matlab.
Matlab (Matrix Laboratory), est e un limbaj de înaltă performanță pentru proiectarea asistată de
calculator. Acesta este în același timp un limbaj de programare și un sistem de dezvoltare care
integrează calculul, vizualizarea și programarea într -un mediu ușor de utilizat , pentru problem ele și
soluțiile acestora, fiind exprimate într -un limbaj matematic accesibil. [15]
Utilizarea programului Matlab include: [15]
 Matematică și calcul numeric
 Programare și dezvoltare de algoritmi
 Modelare și simulare
 Analiză de date, exploatarea rezultatelor și vizualizare
 Grafică știițifică și inginerească
 Dezvoltare de aplicații sofware, incluzând construcție de interfețe grafice cu
utilizatorul (GUI)
Pentru a construi o interfa ță grafică cu utilizatorul se poate face apel la f acilitățile
MATLAB, dezvoltate în acest sens ș i anume : Matlab GUIDE (Graphical User Interfaces
Development Environment).
Pentru a comanda aceast ă funcție se scrie î n linia de comand ă
>> guide
Pe display va apă rea fereastra de dialog GUIDE Quick Start
Prin această fereastr ă de dialog Quick Start se poate realiza:
– Interfața Grafică după unul din șabloanele GUIDE, prerealizate ș i care pot fi modificate dup ă
dorință .
– Interfa ța Grafică deja exist entă.
Când se deshide o interfață grafică cu GUIDE, Layout Editor , care este panoul de control , toate
instrumentele GUIDE -ului apar pe ecran.
Componentele se pot așeza pe șablon prin tragerea acestora î n aria interfe ței.

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

49
9.2 Elaborarea programului de calcul

Programul de calcul este alcătuit dintr -o serie de subprograme. În compunerea acestuia avem
urmat oarele notaț ii:
numărul consumatorilor este notat cu "c";
numărul de surse cu "s";
cantitatea de putere cerut ă pentru fiecare consumator este Pc(i), i=1,2, …, c ;
cantitatea de putere produs ă de surse este Pd(j), j=1,2, …,s ;
costul de transport al unei unităț i, de la sursa j către centrul de consum i, este reprezentat
cu cij(i,j) ;
matricea m(i,j) conține soluția cu cantităț ile pe care trebuie sa le trasnporte de la sursa j
la consumatorul i.
Program ul principal denumit Program_calcul citește datele, stabile ște egalitatea dintre cerere
și ofert ă și calculeaz ă soluția optim ă. Totodata conține toate subprogramele , pe care le execută într-o
ordine prestabilită și import ă dintr -un fi șier Excel, puteril e disponibile pentru fiecare sursă , puterile
necesare pentru fiecar e consumator, coordonatele poziț iilor centr alelor ș i consumatorilor . Acest
program creeaz ă la sfârșitul execuțiilor tuturor subprogramelor, graficul r ețelei electrice optime.
Subpr ogramul initializare verifică dacă disponibilul depășește necesarul, iar în cazul în care
acest lucru se întâ mplă, se creează î ncă un consumator fictiv care are valoarea puterii egală cu diferenț a
dintre suma puterilor debitate și suma puterilor consumate.
Subprogramul coordonate creeaz ă o matrice cij în care sunt afiș ate rezultatele calculelor
costurilor de la fiecare surs ă către fiecare consumator.
Subprogramul solbazin calculează o soluție de bază după metoda col țului de nord vest. Prima
dată se creează două matrice , m și mm, care la început au t oate elementele egale cu zero. Începâ nd cu
i=1 și j=1, se calculează termenii matricei m astfel:
 dacă atunci , , și
, cresc ând ulterior numă rul consumatorilor i cu câte o unitate.
 dacă atunci , , și
, crescâ nd ulterior num ărul surselor j cu câte o unitate.
După efectuarea pa șilor de mai sus, reies două matrici , m și mm, unde:
– matricea m are ca elemete soluția de bază iniț ială determinată prin metoda col țui de nord vest,
iar celelalte elemente libere ră mân cu valoarea zero.
– matricea mm este format ă numai d in elemente de 1 sau 0; valorile de 1 sunt pentru acele
elemente diferite de zero din matricea m.
În cazul în care problema este degenerată , în matricea mm se pune o variabil ă în plus pentru a satisface
condiția să existe cel mult ecuaț ii.[7]
Subp rogramul calcmult efectueaz ă calculul indicilor și asociaț i consumatorilor
respectiv surselor. Prima dat ă se creeaz ă vectorii , respectiv
care satisfac condiț ia pentru toț i i și j pentru care sunt î n baz ă.

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

50
Deoarece sunt relații ș i necunoscute , soluția depinde de un parametru și de aceea
putem lua la î nceput .
Subprogramul deltaf calculeaz ă valorile variabilelor care nu sunt în bază, cu ajutorul rela ției de
calcul: . Matricea D memorează rezultatele valoril or , dac ă pentru toate
variabile le din afara bazei, atunci soluția de bază obținută este soluția optimă .
Subprogramul calcvarintra determină valoarea minim ă a variației funcț iei obiectiv , calculată în
subprogramul deltaf și deduce variabila care intra î n baz ă.
Subprogramul variese determin ă variabilele care ies din baz ă după ce se creează un ciclu pentru
fiecare variabil ă care intra î n baz ă.
Subprogramul nsolb calculeaz ă cu ajutorul datelor de la cele dou ă subprograme de mai sus , matricea m
care conț ine solu ția optim ă.

9.3 Interfaț a grafic ă a programului de calcul

Pentru a ușura introducerea de date ș i citirea rez ultatelor am realizat o interfață grafic ă cu
ajutorul Matlab GUIDE. Î n fig 9.3.1 este prezentat fisierul Exce l, unde sunt stocate datele inițiale ale
programului ș i anume puterile disponibile, puterile nece sare, coordonatele centralelor ș i surselor.
Aceste date sunt urcate î n memoria programului de calcul cu ajutorul butonului Import ă Date din fig.
9.3.2. Date sunt a fișate în primele ș ase tabele, din interfața grafică.

Fig. 9.3.1. Fișierul Excel cu datele iniț iale

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

51
În câ mpurile din dreptul , Nr. Surse și Nr. Consumatori se trec dup ă cum le spune și numele,
numărul de surse respectiv num ărul de consumatori. Aceste date trebuie s ă coincid ă cu cele din fiș ierul
Excel. Inițial în figura ală turată, în dreptul numă rului de consum atori a fost introdus cifra 8, î nsa dup ă
apăsarea butonului Verific ă, programul a c alculat datele introduse ș i a determinat , că disponibilul de
putere este mai mare dec ât necesarul. Pentru a echilibra problema, programul a introdus un consumato r
fictiv, care are puterea egală cu diferenț a din tre suma puterilor dispo nibile ș i suma p uterilor necesare.

Fig. 9.3.2. Interfața grafică a programului de calcul

În acest moment avem un numar de 9 consumatori, iar problema continuă cu datele modificate.
Distanțele sunt calculate cu datele noi și sunt afișate în secțiunea "Calculul distanțelor" din partea
dreaptă de sus, a figurii prezentate.
Astfel în tabelul imediat următor, din figură, este prezentată soluția optimă a rețelei, determinată
cu ajutorul a două metode de calcil și anume: metoda colțului de nord vest, pent ru a realiza soluția

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

52
inițială de bază, iar apoi cu metoda distributivă modificată (MODI), pentru a determina soluția optimă a
rețelei.
Valoarea funcției obiectiv este și ea afișată, de culoarea albastră, sub tabelul cu soluția optimă.
Pentru a avea o imagine de ansamblu a soluției optime într -un sistem de axe xOy, programul
efectuează și un grafic cu legăturile optime de la surse la consumatori.
Butonul R eset șterge toate datele din memoria programului, pentru a putea modifica valorile
inițial e.
Ultimul buton denumit Export , salvează datele soluției optime a problemei și valoarea funcției
obiectiv, într-un fișier Excel , după cum este prezentat și în fig. 9.3.3.

Fig. 9.3.3 Datele soluției optime salvate într -un fișier Excel

Programul de calcul realizat, are câteva avanje importante , de care utilizatorul are nevoie:
 Importă datele inițiale dintr -un fișier extern;
 Afișează datele sub formă tabelară;
 Realizează graficul rețelei raportat la un sistem de axe xOy,
 Salvează valorile obținute înt r-un alt fișier exter n.

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

53

CONCLUZII

În concluzie determinarea configurației optime a unei rețele de alimentare cu energie electrică
este defapt o problemă de trans port, care reprezintă o problemă de programare liniară. Rezolvarea
problemelor de programare liniară rar se fac manual a vând în vedere că există destul de multe
programe de calcul pentru soluționa rea acestor tipuri de problem e.
Problema de transport este un caz special de programare liniar ă care are aplicabilitate î ntr-o
variatate de domenii incluz ând cele de industrie, bancar, petrolier și educație.
În această lucrare s -au prezentat doi algoritmi de calcul pentru determinarea soluției optime a
unei probleme de transport. Metoda distributiv ă (Metoda Stepping Stone) și Metoda distribut ivă
modificat ă (MODI). Aceste m etode sunt destul de simpl u de înțeles ș i de aplicat pentru majoritate a
utilizatorilor ce doresc a le aplica . Aceste metode sunt considerate drept tehnici standard în obținerea
soluției optime.
În lucrarea de f ață, sunt prezentate încă șase metode de calcul pentru obținerea soluț iei inițiale
de bază și anume: Metoda colțului de Nord Vest, Metoda costului minim pe linie, Metoda costului
minim p e coloan ă, Metoda costului minim pe matrice, Metoda dif erenț elor maxime (Vogel) ș i Metoda
ASM . Aceste a sunt ușor de aplicat , atât în cazul problemei degenerate sau al celei nedegenerate.
Problema determinării configurației optime a unei rețele electrice, este o problemă de
minimizare a costurilor de transport. Se poat e observa în figura 1, că valorea funcției obiectiv scade
considerabil de mult, până să ajung ă la valoarea minimă. Această diferență este de 4707 U.M.

Fig. 1. Rezultatele funcției obie ctiv pentru fiecare iterație

16740 16740 15996
14096
13086 12246 12048 12033
020004000600080001000012000140001600018000
1 2 3 4 5 6 7 8Pij∙lij [ MW∙km]
Nr Iteratie

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

54
În figura 2 este reprezentată valoarea funcției obiectiv corespunzătoare fiecărei itera ții, raportată
la valoarea inițială , exprimată în procente. Se poate vedea, cât de mult scad cheltuielile inițiale, pe
parcursul calculului iterativ, diferența costurilor fiind de ap roximativ 28%, ceea ce demonstreaz ă
efica citatea utilizării metodelor de calcul, într -o asemenea problemă.

Fig. 2 Procentajul funcțiilor obiectiv raportate la valoarea inițială

Funcț ia obiectiv urm ărește în condițiile aplică rii unor ipoteze simplificat oare, minimizarea
pierderilor totale de putere activ ă în rețea.
Calculul manual numai este o soluție în prezent, pentru rezolvarea problemelor de transport din
motive de timp și eficiență, tocmai de aceea am realizat acest program de calcul, în limbajul de
programare Matlab. Acesta ajută la rezolvarea problemelor de transport indiferent dacă sunt
degenerate, nedegenerate, dacă disponibilul depășește necesarul sau nu.
Crearea unui program pentru rezolvarea acestor tipuri de probleme este absolut necesară ,
deoarece timpul de rezolvare se reduce considerabil, iar rezultatele obținute sunt corecte . În cazul
calculu lui manual este nevoie de o verificare ulterioară a rezultatelor , deoarece pot apărea greșeli de
calcul sau de scriere pe parcursul iterațiilor.

100,00 100,00 95,56
84,21 78,17 73,15 71,97 71,88
020406080100120
1 2 3 4 5 6 7 8Pij∙lij [%]
Nr. Iteratie

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

55

BIBLIOGRAFIE

[1] T. Miclescu, G.Bazacliu , "Optimizări în sistemele energetice", EDP, București, 1977.
[2] A. Kaufmann , “Metode și modele ale cercetării operaționale”, volumele I, II și III, Editura Științifică,
București, 1967.
[3] M. Eremia, H. Crisciu, B. Ungureanu, C. Bulac , “Analiza asistată de calculator a regimurilor sistemelor
electroenergetice”, Ed Tehnică, București, 1985.
[4] M. Eremia, J. Trecat, A. Germond , “Réseaux électriques. Aspects actuels”, Ed. Tehnică, București, 2000.
[5] Constantinescu Eliodor, Mihai Bogdan , "Matlab. Caiet de laborator " , Editura Crizon, Constanța, 2008 .
[6] Pelican Elena , "Analiză numerică. Complemente, exerciții și probleme . Programe de calcul "", Editura
MatrixRom, București, 2006 .
[7] Horia Georgescu, Octavian Bâscă , "Programe în limbajul FORTRAN", Colectia Lyceum, editura Albatros,
1975 .
[8] Floare Mustață , Roxana Ciumar a, Sorina Gramatovici , "Analiza economico -matematică a unor modele
liniare" , 2003 .
[9] Dumitru Acu, Petric ă Dicu, Mugur Acu, Ana Maria Acu , "Matematici aplicate în economie – Volumul I ",
Editura ULB, Sibiu, 2001.
[10] Ghosh, D. K. & Mansi, S. G . "A new alternate method of Transportation Problem, Journal of OR Insight",
2011.
[11] Abdul Quddoos, Shakeel Javaid, M. M. Khalid , "A New Method for Finding an Optimal Solution for
Transportation Problems", Article, 2012
[12] Vasile Căruțașu , "Cercetari opera ționale și teoria deciziei" ,Capitolul 5, Editura Academiei For țelor terestre,
Sibiu 2014
[13] Romic ă Trandafir , "Modele și algoritmi de optimizare", Seria Matematic ă, Editura AGIR, Bucure ști 2004.
[14] Ghe. Ciobanu, V. Nica, Floare Mustata, Virginia Maracine, D. Mitrut "Cercetari operationale . Optimizari
în retele. Teorie ș i aplicatii economice", Editura Matrixrom
[15] Daniel N. Pop , "Inițiere În Matlab – Câteva aplicatții practice în diversa domenii de activitate ", Editura
Presa Universitara Clujeană, Cluj -Napoca, 2014

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

56
ANEXE
Model copertă

Universitatea POLITEHNICA din București
FACULTATEA DE ENERGETICĂ

PROIECT DE DIPLOMĂ

(Titlul)

Autor: __________________________________

Cadru didactic îndrumător: _______________________

Promoția___________(luna, anul)

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

57

Model pagina interioară

Universitatea POLITEHNICA din București
FACULTATEA DE ENERGETICĂ
Specializarea_________________________________

PROIECT DE DIPLOMĂ

(Titlul)

Autor: __________________________________

Cadru didactic îndrumător: _______________________

Comisia pentru examenul de diplomă:

Promoția___________(luna, anul)

DETERMINAREA CONFIGURAȚIEI OPTIME A UNEI REȚELE DE ALIMENTARE CU ENERGIE ELECTRICĂ

58
Model Cuprins

CUPRINS

Pag.
INTRODUCERE
1.
2.

CAPITOLUL n
n.1 Denumire paragraf
n.1.1. Denumire subparagraf de ordin 1
……………………………………..
n.2. Denumire paragraf
n.2.2. Denumire subparagraf
……………………………………………………………….
n.2.2.1. Denumire subparagraf de ordin 2
CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

ANEXE