Aurelian Claudiu VOLF [628949]

Aurelian Claudiu VOLF
Structuri algebrice și aplica ții

Universitatea „Al. I Cuza” Ia și
-2004-
(ultima modificare: 14 martie 2012 )

Cuprins
Cuprins ………………………………………………………………………………………………………… ……… 2
Către cititor…………………………………………………………………………………………………….. …… 4
Prefață………………………………………………………………………………………………………………. … 5
I. Logică, mulțimi, axiome …………………………………………………………………………………….. 8
I.1. Limbaj formal, logic ă……………………………………………………………………………………………… 10
I.2. Axiomatica mul țimilor ……………………………………………………………………………………………. 15
I.3. Clase, rela ții, funcții ……………………………………………………………………………………………….. 18
I.4. Ordinale, axioma infinit ății și mulțimea numerelor naturale…………………………………………. 27
I.5. Comentarii și complet ări privind axiomatica mul țimilor ……………………………………………… 36
Exerciții…………………………………………………………………………………………………………….. ……….. 40
II. Mulțimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale ……………………. 42
II.1. Rela ții de echivalen ță și mulțimi factor…………………………………………………………………….. 42
II.2. Inelul numerelor întregi……………………………………………………………………………………. ……. 44
II.3. Corpul numerelor ra ționale. Inele și corpuri de frac ții………………………………………………… 46
Exerciții…………………………………………………………………………………………………………….. ……….. 51
II.4. Inele de clase de resturi Zn, inele factor ……………………………………………………………………. 52
II.5. Corpul numerelor reale……………………………………………………………………………………… …… 59
Exerciții…………………………………………………………………………………………………………….. ……….. 66
III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri …………………………………………. 68
III.1 Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale ………………………………………………….. 69

3
III.2 Corpul numerelor complexe construit ca inel factor…………………………………………………… 78
III.3 Corpuri finite și criptografie …………………………………………………………………………………… 85
Exerciții…………………………………………………………………………………………………………….. ……….. 90
III.4 Polinoame simetrice………………………………………………………………………………………… ……. 91
IV. Aritmetic ă în inele și aplicații ………………………………………………………………………… 96
IV.1 Divizibilitate ……………………………………………………………………………………………… ………… 96
IV.2 Algoritmul lui Euclid, teorema fundamental ă a aritmeticii ……………………………………….. 101
IV.3 Ireductibilitate în inele polinomia le……………………….. ……………….. ………………. …………… 10 8
Exerciții…………………………………………………………………………………………………………….. ……… 115
V. Spații liniare, matrice și aplicații……………………………………………………………………. 120
V.1 Algebre de matrice…………………………………………………………………………………………… ….. 120
V.2 Coduri liniare corectoare de erori …………………………………………………………………………… 12 2
Exerciții…………………………………………………………………………………………………………….. ……… 134
VI. Acțiuni ale grupurilor………………………………………………………………………………….. 136
VI.1. Acțiuni ale grupurilor pe mul țimi …………………………………………………………………………. 136
Exerciții…………………………………………………………………………………………………………….. ……… 142
Index ………………………………………………………………………………………………………….. ……. 143
Bibliografie……………………………………………………………………………………………………. …. 148

4 Către cititor
Acest curs poate fi citit de un absolvent al anului I al Facult ății de Matematic ă. Sînt
presupuse cunoscute: no țiuni generale despre structuri algebrice (monoid, grup, inel, corp),
construcția grupului factor, a inelului factor, no țiuni de baz ă despre spa ții vectoriale, matrice,
polinoame, no țiuni elementare despre grupurile de permut ări, aritmetica elementar ă a
cardinalelor. Exist ă un num ăr relativ mare de c ărți și cursuri în literatura matematic ă
româneasc ă în care se trateaz ă aceste lucruri. Unele direc ții de aprofundare sînt indicate prin
referințe bibliografice.
Parcurgerea unui text matematic este un proces activ prin excelen ță. În primul rînd, toate
definițiile nou introduse trebuie sa capete rapid un suport intuitiv și să fie legate de no țiunile
deja cunoscute prin c ăutarea de exemple (și contraexemple ) de obiecte care s ă satisfacă
definițiile. În plus, cititorul trebuie s ă verifice pe cazuri concrete și să demonstreze afirmațiile
din text. În particular, toate apari țiile unor fraze de tipul „se verific ă ușor că …”, „evident,
…”, … sînt o invita ție la demonstrarea efectiv ă a afirma țiilor respective. Aceste exerci ții
intelectuale sînt un pas indispensabil spre asimilarea conceptelor și tehnicilor introduse și,
totodată, o verificare a în țelegerii de c ătre cititor a textului.

Paragrafele care au o bar ă la stînga sînt foarte importante pentru în țelegerea textului.
Dacă merită reținută doar o singur ă frază dintr-o anumit ă secțiune, aceasta ar trebui s ă fie
fraza marcat ă în acest mod.

Peste tot, în text: – | A | desemneaz ă cardinalul mul țimii A (numărul elementelor lui A, dacă A este finită).
– x := y înseamnă „x este egal prin defini ție cu y” (unde y este deja definit ) sau „notăm pe
y cu x”.
– † marcheaz ă sfîrșitul sau absen ța unei demonstra ții.

5
Prefață
Matematica are o reputa ție de disciplin ă aridă, abstractă, greu de asimilat, cu aplicabilitate
restrînsă. De multe ori, cei care o studiaz ă – de voie sau de nevoie – (î și) pun întreb ări de
genul „la ce folosesc toate aceste defini ții, notații, axiome, teoreme, … ?”. Dintre ramurile
matematicii, algebra exceleaz ă în aceast ă direcție, în special algebra „abstract ă” (sau
„axiomatic ă”, sau încă „modern ă”), care se ocup ă de structurile algebrice .
De unde provine aceast ă reputație? Convingerea noastr ă este că ea se formeaz ă din
experiența contactelor cu algebra din cursul gimnaziului și liceului. Adesea, însu și profesorul
de matematic ă nu este foarte convins de utilitatea studiului anumitor no țiuni și, în consecin ță,
transmite elevilor doar o imagine formal ă și seacă, din care motiva țiile, exemplele și
aplicațiile sînt neglijate sau absente cu totul (uneori este „de vin ă” volumul mare de
cunoștințe ce trebuie predat). Doar o cunoa ștere aprofundat ă a conceptelor, care nu are cum s ă
fie cantonat ă la nivelul unui manual de liceu, poate duce la conceperea unor lec ții atractive, în
care noțiunile nu sînt introduse în mod artificial, ci sînt înso țite permanent de exemple și
aplicații.
Unul din scopurile rîndurilor ce urmeaz ă este de a aduce argumente în sprijinul ideii c ă
structurile algebrice, departe de a fi crea ții teoretice și auto-suficiente, au ap ărut în mod
natural, au un rol determinant în fundamentarea, simplificarea și unificarea matematicii și au
aplicații consistente în practic ă și în matematica îns ăși.
Un alt scop al lucr ării este de a oferi profesorilor de matematic ă un material care s ă arate
că algebra este apropiat ă de realitate și să îi conving ă de frumuse țea și aplicabilitatea ei. De
aceea, s-a avut în vedere și latura didactic ă, punîndu-se accentul pe no țiunile care au leg ătură
directă cu matematica studiat ă în învățămîntul preuniversitar.
Lucrarea se adreseaz ă studenților Facult ăților de Matematic ă, profesorilor de matematic ă
și, în general, oric ărui cititor interesat de algebr ă.
Titlul acestei lucr ări face referire la Algebr ă. Ce este îns ă algebra? Încercăm să dăm un
răspuns la aceast ă întrebare, dup ă o argumenta ție a lui I.R. Shafarevich (KOSTRIKIN ,
SHAFAREVICH [1990] ), care reia o idee a lui Hermann Weyl 1.

1 Matematician german (1885-1955).

6 Prefa ță

În procesul de cunoa ștere a lumii fizice sînt esen țiale procedee de măsurare și de
structurare , care permit ca impresiile subiective ale indivizilor umani s ă fie traduse în entit ăți
obiective, cel mai adesea în numere . Aceste entit ăți, cu toate c ă nu redau integral experien ța
subiectivă, pot fi păstrate și transmise nealterate. Mai mult, cu rezultatele m ăsurătorilor se pot
face diverse operații (mai general, se pot structura ), în scopul extragerii de noi informa ții, de
a face predic ții etc. Spre exemplu, structura matematic ă N a numerelor naturale este adecvat ă
măsurării „mărimii” mul țimilor finite (făcînd abstrac ție de natura elementelor lor ). Numerele
raționale2 au fost construite din motive evidente de m ăsurare a diverselor „m ărimi
fracționare”, dar s-au dovedit incapabile de a m ăsura obiecte geometrice simple, cum este
diagonala unui p ătrat de latur ă 1. Astfel a ap ărut necesitatea construc ției numerelor ira ționale3
și, ulterior, a numerelor reale . Numerele complexe au avut o genez ă asemănătoare, între altele
din nevoia de a rezolva ecua ții algebrice care nu au solu ții reale. S-au imaginat și alte
extinderi ale conceptului de num ăr (numerele cardinale și numerele ordinale sînt generaliz ări
ale numerelor naturale; cuaternionii generalizeaz ă numerele complexe etc. ).
Structura matematic ă R (corpul total ordonat al numerelor reale ) este folosit ă pentru
exprimarea multor m ărimi fizice (lungimi, intensit ăți, … ). Cu ajutorul mul țimilor numerice
(cel mai adesea R) se pot construi structuri care pot m ăsura (un termen mai adecvat ar fi
coordonatiza ) multe obiecte și fenomene. De pild ă, spațiul liniar R3 modeleaz ă (cu ajutorul
coordonatelor carteziene ) spațiul fizic.
Extinderile succesive ale conceptului de num ăr (mai bine zis, construc țiile de structuri
numerice din ce în ce mai largi ) nu pot îns ă fi adecvate tuturor nevoi lor de coordonatizare care
pot apărea. De exemplu, „m ăsurarea” simetriei figurilor plane este cel mai bine realizat ă prin
structura algebric ă de grup : fiecărei figuri i se ata șează grupul s ău de simetrie (format din
acele izometrii ale planului care invariaz ă figura dat ă). Clasificarea cristalelor se realizeaz ă
tot cu ajutorul grupurilor lor de simetrie. În mecanica cuantic ă, spațiile Hilbert complexe
descriu sistemele cuantice: o stare a unui sistem cuantic este identificat ă cu un vector de
normă 1 într-un astfel de spa țiu.
Un alt exemplu este dat de curbele plane : o curbă ireductibil ă C în R2 este mul țimea
punctelor (x, y) din plan care satisfac ecua ția F(x, y) = 0, unde F ∈ R[X, Y] este un polinom
ireductibil fixat. Se presupune c ă curba C are o infinitate de puncte (se exclud deci curbe de
tipul x2 + y2 = 0, care con ține un singur punct ). Atunci curbei C (polinomului F) i se asociaz ă
corpul funcțiilor raționale pe C , care în limbaj algebric modern poate fi descris ca fiind corpul
de fracții al inelului integru R[X, Y]/(F). Acest corp reflect ă proprietăți geometrice importante
ale curbei C. În plus, prin schimbarea coordonatelor în care exprim ăm ecuația curbei C,
polinomul F se schimb ă, însă noul corp al func țiilor raționale este izomorf cu cel ini țial. Iată

2 De la ratio , care înseamn ă raport (în latin ă).
3 Denumirea de num ăr irațional provine de la faptul c ă acel num ăr nu poate fi exprimat ca un raport ( ratio ).

I.1. Limbaj formal, logic ă
7
un exemplu de proprietate a curbei care este reflectat ă în structura algebric ă a corpului
funcțiilor raționale pe curb ă. Curbele care pot fi parametrizate prin func ții raționale (adică
există două funcții raționale f, g : R → R astfel încît F( f(t), g(t)) = 0 pentru to ți t, cu excep ția
unui num ăr finit și ∀(x, y) cu F(x, y) = 0 (cu excep ția unui num ăr finit ), ∃t ∈ R cu
(x,y) = ( f(t), g(t))) sînt caracterizate de faptul c ă li se asociaz ă un corp izomorf cu R(t) (corpul
fracțiilor raționale cu coeficien ți reali ). Desigur, aceast ă construc ție poate fi generalizat ă la
alte corpuri decît R și dimensiuni mai mari decît 2.
Se poate concluziona c ă:
În studiul obiectelor fizice sau abstracte apare nevoia de m ăsurare (coordonatizare) a
fenomenelor sau a anumitor propriet ăți ale obiectelor. Procesul de coordonatizare asociaz ă
fiecărui obiect (fenomen, proprietate…) o structur ă matematic ă (grup, inel, corp, spa țiu
Hilbert…), care descrie, total sau par țial, obiectul respectiv sau unele caracteristici ale sale.
Aceste considera ții conduc la enun țarea următoarei descrieri de natur ă generală – și inerent
vagă – a Algebrei :

Obiectul de studiu al Algebrei este construc ția și studiul structurilor matematice ap ărute în
acest mod.

8
I. Logică, mulțimi, axiome
Includerea capitolului privind logica și teoria mul țimilor porne ște de la premisa c ă un
profesor de matematic ă nu se poate limita la punctul de vedere al unui manual de liceu, fiind
necesară o viziune mai profund ă asupra acestor tematici.
Mulțimile apar ca obiecte matematice foarte devreme în înv ățămîntul modern, sub o form ă
intuitivă (în varianta teoriei naive a mul țimilor). Este exclus ă o tratare axiomatic ă a teoriei
mulțimilor la nivel preuniversitar; totu și, un profesor de matematic ă trebuie să fie familiarizat
cu conceptele ei de baz ă și să înțeleagă utilitatea, necesitatea și mecanismele teoriei
axiomatice a mul țimilor.
Teoria modern ă a mulțimilor începe odat ă cu lucrarea „Teoria ra țională a infinității” a lui
Georg Cantor4, în care se manevreaz ă liber mulțimile infinite și se dezvolt ă o tehnic ă de
măsurare a lor (teoria cardinalelor ). Pînă la Cantor, matematicienii adoptau punctul de vedere
al filozofilor Greciei antice: exist ă noțiunea de infinit actual (o infinitate de obiecte concepute
ca existînd simultan ) și cea de infinit poten țial (o mulțime sau o m ărime finit ă, dar care se
poate mări oricît de mult ). Filozoful Zenon, prin faimoasele sale aporii (paradoxuri ) a atras
atenția asupra consecin țelor absurde care par s ă apară introducînd infinitul actual în
raționamente. Se considera de aceea c ă infinitul actual nu este accesibil intui ției și doar
infinitul poten țial poate fi folosit în gîndirea matematic ă.
Cantor are meritul de a fi spart aceast ă barieră mentală și de a fi încercat s ă „numere
infinitul”. El a avut ideea de a compara mul țimile (finite sau nu ) cu ajutorul funcțiilor
bijective : două mulțimi sînt „la fel de mari” (echipotente ) dacă există o bijecție între ele.
Cantor a ob ținut rezultate precum: N este echipotent cu Q și cu mulțimea numerelor algebrice
(numerele complexe care sînt r ădăcini ale unui polinom nenul cu coeficien ți raționali ). Deja
aceste afirma ții nu sînt în acord cu percep ția obișnuită și arată că uneori „partea este la fel de
mare ca și întregul”. A mai ar ătat că N nu este echipotent cu R; în general, o mul țime A nu
este echipotent ă cu mulțimea părților sale P(A). Există, deci, mai multe tipuri de infinitate.
Alte rezultate contrazic și mai mult sim țul comun: exist ă tot atîtea puncte pe un segment cîte
sînt pe o dreapt ă sau în întregul plan sau în întregul spa țiu!

4 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918), matematician german.

I.1. Limbaj formal, logic ă
9
În cadrul teoriei lui Cantor a mul țimilor (astăzi numită „naivă”), prin mulțime se înțelege o
colecție (un ansamblu, un set ) de obiecte distincte (elementele mulțimii) bine determinat ă și
considerat ă ca o entitate. Georg Cantor spunea „Unter eine Menge verstehen wir jede
Zusammenfassung M von bestimmten Wohlunterschiedenen Objekten m unseres Denkens zu
einem Ganzen“ : „Prin mulțime înțelegem orice grupare într-un tot M a unor obiecte distincte
și bine determinate m ale gîndirii noastre”.
Însă teoria mul țimilor în forma descris ă de Cantor conducea la paradoxuri care provin din
„definiția” foarte permisiv ă și vagă a conceptului de mul țime. Însu și Cantor în 1895 observ ă
că nu se poate vorbi de „mul țimea tuturor ordinalelor” (paradox publicat de Burali-Forti în
1897 ); mai tîrziu, s-a constatat c ă există și alte „mul țimi contradictorii”: „mul țimea tuturor
cardinalilor”, „mul țimea tuturor mul țimilor”, „mul țimea mul țimilor care nu se con țin ca
element” (paradoxul lui Russel5). Prezentăm acest paradox: presupunem c ă există mulțimea
mulțimilor care nu se con țin ca element și o notăm cu C (în notație modern ă,
C = {A | A ∉ A}). Evident, are loc: sau C ∈ C, sau C ∉ C. Dacă C ∈ C, atunci C ∉ C din
definiția lui C, contradic ție. Dacă C ∉ C, atunci C nu satisface condi ția de defini ție a lui C,
deci C ∈ C, contradic ție.
Aceste paradoxuri au putut fi eliminate de teoria axiomatic ă a mulțimilor , care stabile ște
reguli clare de construc ție de mul țimi. Printre altele, nu se permite considerarea mul țimilor
„foarte mari”, care apar mai sus. O prim ă axiomatizare a fost dat ă de Zermelo6 în 1908. Una
din axiomele sale (care evită apariția paradoxurilor de tipul de mai sus ) este Axioma selec ției,
care în esen ță spune că, dată o „proprietate” 7 P și o mulțime A , există „mulțimea elementelor
din A care satisfac proprietatea P”. Cu alte cuvinte, o proprietate nu determin ă o mulțime (ca
în definiția original ă a lui Cantor ), ci, dată o mulțime A , se poate vorbi doar de existen ța
submulțimii formată de elementele lui A care satisfac P.
În 1905 Richard construie ște un paradox de alt tip (simplificat ulterior de Berry și publicat
de Russel în 1906 ). Să consider ăm următorul concept: „cel mai mic num ăr natural care nu
poate fi definit cu mai pu țin de 17 cuvinte”. Dac ă acest num ăr ar exista, atunci el poate fi
definit cu 16 cuvinte , chiar de enun țul anterior (care are 16 cuvinte, num ărați). Contradic ția
obținută arată că nu există un astfel de num ăr. Pe de alt ă parte, mul țimea numerelor naturale
care pot fi definite cu cel mult 16 cuvinte este finit ă (căci mulțimea frazelor cu cel mult 16
cuvinte care definesc un num ăr natural este finit ă) și deci există numere naturale care nu pot fi
definite cu mai pu țin de 17 cuvinte. Cel mai mic dintre acestea este un num ăr… care nu poate
exista, conform celor de mai sus!

5 Bertrand Russel (1872-1970), matematician și filozof britanic.
6 Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo (1871-1953), matematician german.
7 Mai precis, este vorba de un predicat cu o variabil ă liberă.

10 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Paradoxul de mai sus are alt ă sursă, și anume ambiguitatea limbajului natural, obi șnuit. Ce
înseamnă exact a defini un număr natural?
Din cele spuse reiese c ă, pe lîngă o axiomatizare a teoriei mul țimilor, trebuie restrîns
limbajul natural la cîteva modalit ăți bine precizate și simple de exprimare. În acela și timp,
posibilitățile trebuie s ă fie suficient de permisive pentru a putea formula orice enun ț
matematic. Aceste scopuri sînt realizate de un limbaj formalizat .
Vom prezenta intuitiv un astfel de limbaj (o prezentare riguroas ă depășește cu mult cadrul
și scopul acestei c ărți). Cu aceast ă ocazie, vom sublinia anumite aspecte de logic ă matematic ă.
În continuare vom descrie axiomele teoriei mul țimilor, aplica ții (ordinale și numere naturale ).
Vom încerca s ă reliefăm și modul în care aceste axiome trebuie con știentizate în procesul
didactic.
I.1. Limbaj formal, logic ă
Un minim de cuno ștințe privind logica este indispensabil oric ărui individ, cu atît mai mult
profesorilor de matematic ă. În manualele de matematic ă există un capitol dedicat logicii, în
clasa a IX-a. No țiunile și tehnicile de logic ă sînt bine alese, în general bine prezentate, și ar
trebui să fie cunoscute de to ți elevii și profesorii. Din p ăcate, de multe ori acest capitol este
privit drept ceva exotic, preferîndu-se o re ducere a sa în favoarea unor teme precum func ția de
gradul II, lîng ă care coexist ă – cel pu țin temporal. O asemenea alegere facil ă este oarecum
justificată: e mai ușor de predat o serie de formule și rețete care solicit ă mai mult memoria,
decît de a încerca o adev ărată formare a unei gîndiri logice la elevi. Desigur, o astfel de
formare nu se realizeaz ă doar prin cîteva lec ții în clasa a IX-a, ci trebuie v ăzută ca un obiectiv
permanent al lec țiilor de matematic ă. Existența unor deficien țe în gîndirea logic ă a elevilor
este o chestiune serioas ă, care se reflect ă nu numai în matematic ă, ci în orice domeniu: apar
dificultăți în înțelegerea leg ăturilor între diversele no țiuni, se confund ă definițiile cu
teoremele; în cele din urm ă este compromis ă însăși comunicarea coerent ă și înțelegerea
informațiilor uzuale.
În teoria axiomatic ă a mulțimilor (axiomatizarea Zermelo-Fraenkel-Skolem, acceptat ă în
cvasitotalitatea matematicii moderne ) toate obiectele sînt mul țimi. Altfel spus, nu se face
distincție între conceptele „element” și „mulțime”. Acest punct de vedere este firesc, dac ă ne
gîndim că o mulțime poate fi element al altei mul țimi; în plus, o teorie axiomatic ă trebuie s ă
pornească de la un minim de no țiuni primare, iar distinc ția între element și mulțime ar
complica lucrurile inutil.

I.1. Limbaj formal, logic ă
11
Pentru a putea enun ța axiomele teoriei mul țimilor, avem nevoie de prezentarea (intuitivă) a
limbajului formal al acestei teorii. Subliniem c ă nu este vorba de o formalizare propriu-zis ă.
Un limbaj formal prezentat riguros ar ocupa zeci de pagini (un exemplu de formalizare, în
cadrul axiomatiz ării von Neumann-Gödel-Bernays a teoriei mul țimilor, poate fi g ăsit în
REGHIȘ [1981] ). Mai întîi descriem sintaxa limbajului (regulile dup ă care putem forma
expresii corecte ale limbajului formal ).
1.1 Defini ție. Un enunț al limbajului formal (numit și expresie a limbajului formal ) este un
șir finit de simboluri , format dup ă anumite reguli descrise mai jos. Intuitiv, un enun ț exprimă
un fapt bine determinat despre obiectele la care se refer ă (în cazul nostru, toate obiectele sînt
mulțimi).
Descriem acum tipurile de simboluri și construc ția expresiilor limbajului formal :
i) Există simboluri de tip nume , care denumesc mulțimi (acestea sînt singurele obiecte pe
care le consider ăm!). Numele sînt de dou ă feluri: un nume constant (pe scurt, o constant ă) se
referă la un obiect bine precizat, iar un nume variabil (pe scurt, o variabil ă) notează un obiect
generic (arbitrar, neprecizat ). Se presupune c ă avem la dispozi ție o colec ție suficient de mare
de nume constante și variabile. Exemple de nume: x, y, a, b, c, A, B,…
ii) Simbolurile care noteaz ă relații: relația de egalitate , notată cu simbolul = , și relația de
apartenen ță, notată cu simbolul ∈ . Dacă x, y sînt nume (constante sau variabile ), atunci
următoarele șiruri de simboluri sînt expresii ale limbajului formal:
x = y (citit „ x este egal cu y”);
x ∈ y (citit „ x aparține lui y” sau „ x este element al lui y”).
iii) Conectorii logici se folosesc pentru a exprima propriet ăți mai complexe, pentru a
combina mai multe expresii într-una nou ă. Conectorii sînt: ∧ (conjuncția, „și”), ∨ (disjuncția,
„sau” ), ¬ (negația, „non” ). Dacă E, F sînt expresii (deja construite ), atunci sînt expresii și
următoarele șiruri de simboluri:
E ∧ F (citită „E și F”);
E ∨ F (citită „E sau F”);
¬E (citită „non E”).
iv) Cuantificatorii logici sînt: ∀ (cuantificatorul universal, „oricare” ), ∃ (cuantificatorul
existențial, „exist ă”). Cu ajutorul cuantificatorilor (numiți uneori și cuantori ) se precizeaz ă
dacă, într-o expresie, o variabil ă se referă la toate obiectele sau la măcar un obiect . Dacă E
este o expresie a limbajului și x este o variabil ă, atunci:
(∀x)E este expresie (citită „pentru orice x are loc E” sau „pentru orice x, E este
adevărată”);
(∃x)E este expresie (citită „există x astfel încît are loc E” sau „exist ă x astfel încît E
este adevărată”).
v) Parantezele rotunde ( și ) au rolul de a elimina ambiguit ățile. Astfel, în construc țiile
precedente, se scrie de exemplu (E) ∧ (F) în loc de E ∧ F, sau (∀x)(E) în loc de (∀x)E dacă pot

12 I. Logic ă, mulțimi, axiome

apărea confuzii. Uneori, pentru un plus de claritate, se folosesc și parantezele p ătrate [ ] sau
acoladele { }.
Singurele expresii (enunțuri) admise ale limbajului formal sînt cele construite respectînd
regulile de mai sus.
Variabilele unei expresii pot fi libere sau legate . Spunem c ă variabila x este liber ă în
expresia E dacă x apare în E, dar E nu conține nici o cuantificare a lui x (adică nici ∀x, nici ∃x
nu apar în E). Spunem c ă variabila x este legat ă în E dacă E conține un sub șir de simboluri de
forma (∀x)F sau (∃x)F (unde F este o expresie ).
Dacă expresia E conține variabilele libere x1, …, xn, vom sublinia uneori acest lucru scriind
E(x1, …, xn). Fiind date constantele c1, …, cn, prin înlocuirea peste tot în E a variabilei x1 cu
c1, a lui x2 cu c2, …, a lui xn cu cn se obține o nou ă expresie (demonstra ți!), notată cu
E(c1, …, cn). Dacă x1, …, xn sînt toate variabilele libere din E, atunci E(c1, …, cn) este o
propoziție (adică o expresie care nu are variabile libere ). O expresie care are variabile libere se
mai nume ște predicat .
Vom reveni asupra problemei variabilelor libere sau legate, care are o mare importan ță în
modul de scriere a enun țurilor matematice.
1.2 Exemple. Presupunem c ă x, y, z sînt variabile și a, b sînt constante. Ar ătați că
următoarele șiruri de simboluri sînt expresii: x ∈ y; (∀x)(x ∈ y); (a ∈ b) ∧ (x = y);
¬((a ∈ b) ∧ (x = y)); (∀z)(∃y)(x ∈ y). Care sînt variabilele libere din fiecare? Șirurile de
simboluri: x(∀y); x = ∈ ; ∀y nu sînt expresii corecte ale limbajului formal (de ce? ).
Să trecem acum la interpretarea sensului expresiilor (semantica limbajului ). Reamintim
că o expresie care nu con ține variabile libere se nume ște propoziție. Oricărei propoziții îi
asociem o unic ă valoare de adev ăr. Valorile de adev ăr sînt: 0 (sau fals), și 1 (sau adevărat). O
propoziție cu valoarea de adev ăr 0 se nume ște propoziție falsă; o propozi ție cu valoarea de
adevăr 1 se nume ște propoziție adevărată. O propozi ție nu poate fi simultan fals ă și
adevărată). Descriem acum regulile prin care se determin ă valoarea de adev ăr a unei
propoziții8 date.
Fie a, b constante și x, y variabile.
i) Propozițiile de forma a = b sînt adev ărate exact atunci cînd a și b denumesc acela și
obiect.
ii) Valoarea de adev ăr a propozi țiilor de forma a ∈ b nu poate fi precizat ă acum; acest
lucru este descris de axiome (în paragraful urm ător). Evident, intuitiv, a ∈ b este

8 Subliniem c ă doar propozițiile au valori de adev ăr. Unei expresii cu variabile libere nu i se d ă nici o valoare
de adevăr.

I.1. Limbaj formal, logic ă
13
adevărată dacă și numai dac ă obiectul numit de a este un element al obiectului
numit de b.
iii) O propozi ție de forma E ∧ F (unde E și F sînt propozi ții) este adev ărată dacă și
numai dac ă E și F sînt ambele adevărate.
iv) O propozi ție de forma E ∨ F este adev ărată dacă și numai dac ă măcar una din
propozițiile E și F este adev ărată (adică sau E, sau F, sau atît E cît și F sînt
adevărate).
v) O propozi ție de forma ¬E este adev ărată dacă și numai dac ă propoziția E este falsă.
vi) O propozi ție de forma (∀x)E(x) (unde variabila x este liber ă în E) este adev ărată
dacă și numai dac ă pentru orice obiect c propoziția E(c) este adev ărată.
vii) O propozi ție de forma (∃x)E(x) (unde variabila x este liber ă în E) este adev ărată
dacă și numai dac ă există măcar un obiect c astfel încît propozi ția E(c) să fie
adevărată.
1.3 Observa ție. Valoarea de adev ăr a propozi țiilor de tipul E ∧ F, E ∨ F, ¬E se poate
defini prin tabele de adev ăr. Iată tabelul de adev ăr pentru E ∨ F, construit dup ă regula iv):

E F E ∨ F
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
S-au scris pe linii toate combina țiile posibile de valori de adev ăr pentru E și F. Tabelul se
citește pe linii: de exemplu, linia 3 a tabelului spune, c ă, dacă E are valoarea de adev ăr 0, iar F
are valoarea de adev ăr 1, atunci E ∨ F are valoarea de adev ăr 1.
1.4 Defini ție. a) Două propoziții E și F se numesc echivalente dacă au aceea și valoare de
adevăr. Scriem aceasta sub forma E ≡ F.
b) Definiția se poate extinde la expresii oarecare. Dou ă expresii E și F ce conțin aceleași
constante și aceleași variabile (fie x1, …, xn variabilele din E și F) sînt numite echivalente
dacă: orice variabil ă care este liber ă în E este liber ă în F (și reciproc ) și propozițiile
(∀x1)(∀x2)…(∀xn)E(x1, …, xn) și (∀x1)(∀x2)…(∀xn)F(x1, …, xn) au aceea și valoare de adev ăr.
Scriem atunci E ≡ F, sau E(x1, …, xn) ≡ F(x1, …, xn) dacă vrem să evidențiem variabilele
libere.
1.5 Exerci țiu. Dacă E, F și G sînt expresii, avem echivalen țele :
¬(E ∧ F) ≡ (¬E) ∨ (¬F); ¬(E ∨ F) ≡ (¬E) ∧ (¬F); (legile lui DeMorgan )
(E ∧ F) ∨ G ≡ (E ∨ G) ∧ (F ∨ G); (distributivitatea lui ∨ față de ∧ )
(E ∨ F) ∧ G ≡ (E ∧ G) ∨ (F ∧ G); (distributivitatea lui ∧ față de ∨ )

14 I. Logic ă, mulțimi, axiome

¬((∀x)E) ≡ (∃x)(¬E); ¬((∃x)E) ≡ (∀x)(¬E) (legile de negare a cuantificatorilor ).
De exemplu, ¬(E ∧ F) ≡ (¬E) ∨ (¬F) se poate demonstra cu urm ătorul tabel de adev ăr:

E F E ∧ F ¬(E ∧ F) ¬E ¬F (¬E) ∨ (¬F)
1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 1 1 1
Identitatea coloanelor ¬(E ∧ F) și (¬E) ∨ (¬F) demonstreaz ă echivalen ța cerută.
Legile lui DeMorgan arat ă că am fi putut reduce setul de conectori logici și cuantificatori,
de exemplu la ∀, ¬, ∧.
Introducem urm ătoarele prescurtări uzuale. Fie E, F expresii. Atunci scriem:
E → F în loc de (¬E) ∨ F și citim „ E implică F” sau „dac ă E, atunci F”;
E ↔ F în loc de (E → F) ∧ (E → F) și citim „ E este echivalent cu F”.
1.6 Exerci țiu. Scrieți tabelele de adev ăr pentru conectorii → și ↔. Demonstra ți că, dacă E
și F sînt propozi ții, E ↔ F este adev ărată dacă și numai dac ă E și F au aceea și valoare de
adevăr.
Insistăm asupra implicației, →. Se justific ă intuitiv c ă E → F este acela și lucru cu
(¬E) ∨ F, astfel: " E → F" înseamn ă "dacă E este adev ărată, atunci F este adev ărată". Altfel
spus, sau E este fals ă (adică are loc ¬E), sau E este adev ărată și atunci automat F este
adevărată (adică are loc F); pe scurt, (¬E) ∨ F. Este important de con știentizat aceast ă
echivalen ță logică, utilă mai ales cînd trebuie negat ă o implica ție (lucru care intervine
frecvent, de exemplu în cazul demonstra țiilor prin reducere la absurd ). Astfel, faptul c ă E → F
este falsă înseamn ă că are loc (E → F) ≡ ¬(¬E) ∨ F) ≡ E ∧ (¬F) (ipoteza este adev ărată și
totuși concluzia este fals ă). Această interpretare este conform ă cu intuiția („bunul-sim ț”). De
altfel, concluziile bazate pe un calcul logic formal trebuie totdeauna interpretate intuitiv,
proces absolut necesar în în țelegerea unor demonstra ții (sau în găsirea unor solu ții la o
problemă dată).
Vom mai folosi și alte prescurt ări, larg utilizate, de exemplu x ≠ y pentru ¬ (x = y) sau
x ∉ y în loc de ¬ (x ∈ y).
Dacă propoziția E → F este adev ărată, scriem atunci E ⇒ F. Analog, scrierea E ⇔ F
înseamnă că propoziția E ↔ F este adev ărată.
1.7 Observa ție. Orice teorem ă matematic ă (propoziție, lemă etc.) poate fi scris ă în limbaj
formal. Expresia ob ținută trebuie s ă fie din punct de vedere logic o propoziție (nu trebuie s ă
aibă variabile libere ). De exemplu, teorema împ ărțirii cu rest în N se poate scrie formal:
(∀a)(∀b)[(a ∈ N ∧ b ∈ N ∧ b ≠ 0) ⇒ (∃q)(∃r)(q ∈ N ∧ r ∈ N ∧ a = bq + r ∧ r < b)].

I.2. Axiomatica mul țimilor
15
I.2. Axiomatica mul țimilor
Prezentăm cîteva elemente din teoria axiomatic ă Zermelo-Fraenkel-Skolem (ZFS) a
mulțimilor. Pentru o tratare mai detaliat ă, incluzînd multe teme interesante (ordinali, cardinali,
axioma alegerii etc. ), vezi S CORPAN [1996].
Nu putem defini un obiect f ără a face referire la alte obie cte, presupuse cunoscute. Aceste
obiecte "cunoscute" trebuie la rîndul lor definite… Se vede c ă acest proces nu poate continua
la infinit.
Așadar, trebuie s ă consider ăm în cele din urm ă noțiuni care nu se definesc (noțiuni
primare ); cu ajutorul lor vom putea defini alte obiecte. Aceasta este un principiu de baz ă în
orice teorie axiomatic ă.

În axiomatizarea teoriei mul țimilor, no țiunile de mulțime și de relație de apartenen ță se
consideră noțiuni primare (nu se definesc) și toate obiectele teoriei sînt mul țimi (în particular,
toate elementele unei mul țimi sînt tot mul țimi!). Aceste no țiuni satisfac un set de axiome
(care, într-un anumit sens, definesc obiectele respective). Altfel spus, nu ne interesaz ă ce sînt
mulțimile, ci cum se comport ă unele față de altele și față de relația de apartenen ță. Axiomele
stabilesc regulile care se aplic ă obiectelor abstracte numite mul țimi și relației de apartenen ță.
Axiomele nu sînt decît propoziții (din limbajul formal construit anterior ) care sînt declarate
și acceptate ca adev ărate. Orice alt ă afirmație despre mul țimi trebuie demonstrat ă pornind de
la axiome. În acest mod se deduc toate propriet ățile „uzuale” ale teoriei mul țimilor.

Deși, după cum am spus, în teoria axiomatic ă elementele unei mul țimi sînt tot mul țimi, vom
adopta (pe cît posibil ), pentru a nu crea confuzii cititorului, distinc ția tradițională în notație: în
general, se noteaz ă mulțimile cu majuscule (A, B, …), iar elementele mul țimilor cu minuscule
(a, b, …). Dacă A este o mul țime și a este un element al lui A, atunci scriem a ∈ A (citit „ a
aparține lui A” sau „ A conține pe a” ). Dacă a nu este element al mul țimii A, scriem a ∉ A.
2.1 Axioma extensionalit ății: Pentru orice dou ă mulțimi A și B, avem :
[(∀a) (a ∈ A ↔ a ∈ B)] → A = B.
Mai riguros spus, propozi ția următoare este adev ărată:
(∀A) (∀B) {[(∀a) (a ∈ A ↔ a ∈ B)] → A = B}.
Această axiomă nu spune decît c ă o mulțime este determinat ă de elementele sale . Cu alte
cuvinte, dacă două mulțimi au acelea și elemente, atunci mul țimile coincid .
Observăm că are loc și implicația inversă: dacă A = B, atunci orice element a care aparține
lui A aparține și lui B. Acest fapt este evident: A și B denumesc acela și obiect, deci orice enun ț
referitor la A este adev ărat și pentru B (și reciproc ).

16 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Dacă A și B sînt dou ă mulțimi, vom scrie A ⊆ B (și citim A inclus în B sau A este
submulțime a lui B ) dacă orice element al lui A aparține și lui B: (∀a) [(a ∈ A) → (a ∈ B)]. În
caz contrar, not ăm A ⊄ B.
Cu aceast ă notație, avem: (∀A) (∀B) [ (A = B) ↔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A)].
Pe aceast ă proprietate se bazeaz ă majoritatea demonstra țiilor de egalitate de mul țimi:
pentru a demonstra c ă A = B, arătăm că orice element al lui A aparține și lui B (adică A ⊆ B) și
reciproc ( B ⊆ A).

Axiomele care urmeaz ă sînt toate de urm ătorul tip: fiind date una sau mai multe mul țimi,
se garanteaz ă existența unei noi mul țimi cu anumite propriet ăți (construită cu ajutorul
mulțimilor ini țiale). Cu alte cuvinte, axiomele descriu construcții permise în cadrul teoriei . Se
regăsește astfel motivul pentru care a fost construit ă teoria: evitarea paradoxurilor generate de
construcții de mulțimi „prea mari”.
2.2 Axioma mul țimii părților unei mul țimi. (∀M) (∃P) ((∀A)(A ∈ P ↔ A ⊆ M)).
În cuvinte: fiind dat ă o mulțime M, exist ă o mulțime P astfel încît elementele lui P sînt
exact submul țimile lui M.
Mulțimea P a cărei existen ță este postulat ă mai sus este unic determinat ă de mulțimea M.
Într-adevăr, dacă și Q satisface condi ția (∀A (A ∈ Q ↔ A ⊆ M)), atunci avem, pentru orice
mulțime A: A ∈ Q ↔ A ⊆ M ↔ A ∈ P. Din axioma extensionalit ății obținem că P = Q.
Notația tradițională pentru P este P(M) (mulțimea părților lui M).
2.3 Axioma reuniunii . Pentru orice mul țime A (subînțeles: avînd ca elemente tot mul țimi),
se admite existen ța unei mul țimi ale cărei elemente sînt elementele mul țimilor din A , adică:
(∀A) (∃U) (∀x) [(x ∈ U) ↔ (∃a) (a ∈ A ∧ x ∈ a)].
Pentru înțelegerea acestei axiome, este util s ă privim A ca pe o familie de mul țimi. Axioma
de mai sus nu face decît s ă postuleze existen ța reuniunii acestei familii de mul țimi.
Mulțimea U – a cărei existen ță este garantat ă de axiom ă – este unic determinat ă de A
(demonstra ți!) și se noteaz ă ∪A sau ∪x ∈ A x sau ∪{x | x ∈ A}. A se remarca în acest context
futilitatea distinc ției dintre element și mulțime.
2.4 Axioma-schem ă a substitu ției
Nu este vorba de o simpl ă axiomă, ci de o schemă de axiome. Mai precis, pentru orice
expresie (de un anumit tip ) a limbajului formal se ob ține o axiom ă. Așadar, avem de a face cu
o infinitate de axiome.
Pentru enun ț, avem nevoie de o definiție. O expresie E(x, y) cu exact dou ă variabile libere
x și y se numește relație funcțională dacă pentru orice x există cel mult un y astfel încît E(x, y)
să fie adevărată:
(∀x)(∀y)(∀z) ((E(x, y) ∧ E(x, z)) → y = z).

I.2. Axiomatica mul țimilor
17
Intuitiv, putem privi o rela ție funcțională ca pe o „func ție parțial definit ă”: pentru anumi ți x
există un unic y astfel încît E(x, y) să aibă loc; se noteaz ă uneori chiar „func țional”, y = E~(x)
în loc de E(x, y). Observăm că nu este neap ărat adevărat că (∀x)(∃y)E(x, y).
În termeni mai pu țin formali, axioma-schem ă a substitu ției afirmă că: Pentru orice rela ție
funcțională E(x, y) și pentru orice mul țime a, exist ă „imaginea prin E a mul țimii a” .
Evident, trebuie s ă definim formal conceptul de „imagine a unei mul țimi printr-o rela ție
funcțională”. Spunem c ă mulțimea b este imaginea mulțimii a prin relația funcțională E(x, y)
dacă „elementele lui b sînt de forma E~(x), cu x ∈ a”, adică:
(∀y)[y ∈ b ↔ (∃x)(x ∈ a ∧ E(x, y))].
Axioma-schem ă a substitu ției este: pentru orice rela ție funcțională E(x, y), are loc:
(∀a)(∃b)(∀y)[y ∈ b ↔ (∃x)(x ∈ a ∧ E(x, y))].
Subliniem din nou c ă se obține cîte o axiom ă pentru fiecare alegere a unei rela ții
funcționale E . Nu se pot condensa toate aceste enun țuri într-unul singur, de tipul
(∀E relație funcțională)(∀a)(∃b)(∀y)[y ∈ b ↔ (∃x)(x ∈ a ∧ E(x, y))],
deoarece acesta nu este o expresie a limbajului formal: E nu denume ște un obiect legitim (o
mulțime), ci o expresie .
Folosind axioma extensionalit ății, se demonstreaz ă imediat c ă imaginea unei mul țimi
printr-o rela ție funcțională este unic determinat ă (mulțimea b a cărei existen ță este postulat ă
de axioma schem ă a substitu ției este unic determinat ă de E și b).
2.5 Consecin ță (Schema de comprehensiune ). Pentru orice mul țime A și pentru orice
expresie cu o variabil ă liberă P(x), există submulțimea elementelor din A pentru care P este
adevărată. Formal, (∀A)(∃B)(∀x)[x ∈ B ↔ (x ∈ A ∧ P(x))].9
Demonstra ție. Fie expresia E(x,y) : "(x = y) ∧ P(y)". Afirmăm că E este o rela ție funcțională.
Într-adevăr, fie x, y, z cu E(x,y) și E(x,z) adevărate. Atunci x = y și x = z, deci y = z.
Conform axiomei substitu ției, pentru mul țimea A există o mulțime B astfel încît:
(∀y)[y ∈ B ↔ (∃x)(x ∈ A ∧ E(x, y))],
adică y ∈ B ↔ (∃x)(x ∈ A ∧ (x = y) ∧ P(y)), ceea ce revine la a spune c ă y ∈ B ↔ (y ∈ A
∧ P(y)), ceea ce trebuia demonstrat. †
Iarăși, axioma extensionalit ății asigură că A și P(x) determin ă unic mulțimea B din enun ț.
Această mulțime se noteaz ă tradițional:
{ x ∈ A | P(x)} (citit „mul țimea elementelor din A care satisfac P”).
2.6 Observa ție. Dacă se presupune c ă există măcar o mul țime10 A, rezultatul de mai sus
asigură existența unei (unice ) mulțimi ce nu con ține nici un element, numit ă mulțimea vidă și

9 În axiomatizarea lui Zermelo din 1908, acest rezultat era enun țat ca axiom ă și era numit Axioma selec ției.

18 I. Logic ă, mulțimi, axiome

notată cu ∅.11 Într-adev ăr, fie P(x) : " x ≠ x". Din schema de comprehensiune, exist ă
∅ := {x ∈ A | x ≠ x}. Pentru orice x, avem x ∉ ∅ (dacă x ∈ ∅, atunci x ≠ x, absurd ). Unicitatea
lui ∅ este o consecin ță a axiomei extensionalit ății. Notăm deci ∅ := {x ∈ A | x ≠ x}.
Pentru orice mul țime M are loc ∅ ⊆ M. Este instructiv s ă prezentăm în detaliu acest
argument. Conform defini ției, avem ∅ ⊆ M dacă și numai dac ă ∀x (x ∈ ∅ → x ∈ M). Dar
expresia x ∈ ∅ → x ∈ M este, conform defini ției, o prescurtare pentru ¬(x ∈ ∅) ∨ (x ∈ M),
care este adev ărată, căci ¬(x ∈ ∅) este adev ărată.
Termenul de comprehensiune descrie modalitatea de a preciza o mul țime prin enun țarea
unei propriet ăți pe care o au doar elementele mul țimii și numai ele. S-a v ăzut că acest
concept, care a stat la baza teoriei naive a mul țimilor, duce la paradoxuri; schema de
comprehensiune restrînge aceast ă modalitate doar la posibilitatea urm ătoare: pentru orice
mulțime dată M și orice „proprietate” P, există submulțimea elementelor lui M care satisfac P.
Cealaltă modalitate de a da o mul țime este prin extensiune , adică prin enumerarea tuturor
elementelor sale. Astfel, fiind date elementele distincte x1, …, xn, există mulțimea X ale cărei
elemente sînt exact x1, …, xn. Acest lucru este asigurat de schema de comprehensiune;
scrierea X = {x1, …, xn} este o prescurtare a scrierii (∀x)(x ∈ X ↔ (x = x1 ∨ x = x2 ∨ … ∨
x = xn)).
2.7 Observa ție. Putem acum defini și alte „opera ții cu mulțimi”. Astfel, pentru orice dou ă
mulțimi A și B, arătați că există mulțimile:
{ x ∈ A | x ∈ B} (notată A∩B și numită intersecția lui A și B)
{ x ∈ A | x ∉ B} (notată A \ B și numită diferența lui A și B).
Demonstra ți că A∩B = B∩A.
I.3. Clase, rela ții, funcții
Nu există o „mulțime a tuturor mul țimilor”, c ăci acest concept conduce la paradoxuri.
Dacă ar exista mul țimea tuturor mul țimilor, fie aceasta A, atunci, conform schemei de
comprehensiune, ar exista și mulțimea C = {B ∈ A | B ∉ B}. Se vede c ă regăsim paradoxul lui
Russel. Astfel de colec ții „foarte mari” de obiecte apar îns ă frecvent în matematic ă (dorim de
exemplu s ă vorbim de o proprietate pe care o au „toate” grupurile ) și este necesar ă precizarea
unui cadru riguros pentru aceste situa ții. O rezolvare rezonabil ă este dată de conceptul de
clasă.

10 Acest fapt este postulat de axioma infinit ății, enunțată mai jos.
11 Nu este litera greceasc ă majuscul ă phi, Φ, ci un simbol matematic derivat dintr-o liter ă norvegian ă, Ø.

I.3. Clase, rela ții, funcții
19
În cadrul teoriei Gödel-Bernays (GB), clasa este o no țiune primar ă (nu se define ște clasa,
ci este dat un set de axiome referitoare la clase; mul țimile vor fi un tip particular de clase –
cele care sînt elemente ale altor clase ). Teoria astfel dezvoltat ă este însă considerabil mai
complicat ă decît ZFS 12.
În teoria ZFS, prin clasă se înțelege o expresie cu o variabil ă liberă (un predicat cu o
variabilă)13. Cu alte cuvinte, o proprietate nu mai define ște o mulțime de obiecte, ci este
privită ea însăși ca o entitate și o numim clasă. O clasă nu este însă un obiect al teoriei ZFS, ci
este o expresie a limbajului formal (cf. comentariul de la axioma-schem ă a substitu ției). De
exemplu, predicatul P(x) : „x = x” este evident satisf ăcut de orice mul țime x; acest predicat
definește „clasa tuturor mul țimilor”. Abuzînd de limbajul de la mul țimi, fiind dat ă o clasă
P(x), în loc s ă se spună ca un anumit x satisface P sau „ P(x) este adev ărată”, se spune „ x
aparține clasei P” sau „ x este un element al clasei P”.
Observăm că orice mul țime a definește o clasă, anume „x ∈ a”.
Reciproc, spunem c ă o clasă P(x) corespunde unei mul țimi M dacă are loc ∀x (P(x) ↔
x ∈ M): obiectele care satisfac P sînt exact elementele lui M. Uneori spunem în acest caz chiar
că P este o mulțime.
În acest sens, clasa tuturor mul țimilor nu corespunde unei mul țimi. Demonstra ția a fost
dată chiar la începutul acestui paragraf!
Se pot defini și operații cu clase , prin analogie cu cele de la mul țimi. Astfel, dac ă P(x) și
Q(x) sînt clase, definim reuniunea claselor P și Q ca fiind clasa P(x) ∨ Q(x); intersecția lor
este clasa P(x) ∧ Q(x). Cum s-ar defini diferența lor? Dar faptul c ă clasa P este inclusă în
clasa Q?
În această terminologie, schema de comprehe nsiune nu spune altceva decît c ă intersecția
dintre o clas ă și o mulțime este o mul țime.
Apare acum destul de clar c ă exprimări de genul „mul țimea tuturor grupurilor” nu sînt
legitime, o exprimare corect ă fiind „clasa tuturor grupurilor”. No țiunea de clas ă este esen țială
în teoria categoriilor .
Să trecem la un alt concept fundamental, anume la cel de funcție. Pentru aceasta, avem
nevoie de no țiunea de cuplu (pereche ordonat ă). Începem cu un rezultat interesant și prin sine.
3.1 Propozi ție (Teorema perechii ). Fie a și b două mulțimi. Atunci exist ă o mulțime c care
are ca elemente pe a și pe b și numai pe ele. Formal:
(∀a)(∀b)(∃c)(∀x) [(x ∈ c) ↔ (x = a ∨ x = b)]
Mulțimea c de mai sus este unic determinat ă de a și b și se noteaz ă {a, b}.

12 În plus, s-a ar ătat că orice enun ț despre mul țimi demonstrabil în GB este demonstrabil în ZFS.
13 Această interpretare pentru clase a fost prezentat ă de W. Quine în 1963.

20 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Demonstra ție. Ideea este de a construi o mul țime cu dou ă elemente D și de a obține { a, b}
ca imaginea lui D printr-o rela ție funcțională bine aleas ă (se aplică deci axioma substitu ției).
Știm că există mulțimea vidă ∅. Construim (cu axioma mul țimii părților) mulțimea P(∅),
care are un element (avem ∅ ⊆ ∅, deci ∅ ∈ P(∅); ∅ este chiar unicul element al lui
P(∅), deci P(∅) = {∅}). Cum ∅ nu are nici un element, deducem c ă P(∅) ≠ ∅. Construim
acum P(P(∅)) = P({∅}). Unicele mul țimi incluse în { ∅} sînt ∅ și {∅}, deci P({∅})} = {∅,
{∅}} are dou ă elemente (cum am dorit ).
Fie E(x, y): "(x = ∅ ∧ y = a) ∨ (x = {∅} ∧ y = b)" (verificați că este o rela ție funcțională)
Imaginea prin E a lui P({∅}) este chiar mul țimea căutată c.
Unicitatea lui c rezultă din axioma extensionalit ății. †
3.2 Exerci țiu. Fie a și b mulțimi. Demonstra ți că există reuniunea lor a ∪ b (adică unica
mulțime cu proprietatea ∀x[(x ∈ a ∪ b) ↔ (x ∈ a ∨ x ∈ b)]).
Intuitiv, no țiunea de cuplu (pereche ordonat ă) format de elementele a și b diferă de { a, b},
prin faptul c ă avem o „ordine”: a este primul, iar b este al doilea. Aceast ă distincție între a și b
se realizeaz ă prin:
3.3 Defini ție. Fie a și b mulțimi. Aplicînd propozi ția de mai sus mul țimilor a și a, există
mulțimea { a}; există și {a, b}. Aplicînd din nou propozi ția, există mulțimea {{ a}, {a, b}},
care se noteaz ă cu (a, b) și se nume ște perechea ordonat ă (cuplul ) format de a și b. Observa ți
că, dacă a = b, atunci (a, b) = {{a}}.
Această idee de introducere a no țiunii de cuplu este atribuit ă lui Kuratowski. Are loc
proprietatea fundamental ă următoare (demonstra ți!):
3.4 Propozi ție. Fie a, b, a', b' mul țimi. Atunci are loc: (a, b) = (a', b' ) ↔ a = a' și b = b'. †
Astfel, spre deosebire de mulțimea {a, b}, în cuplul (a, b) contează ordinea elementelor a
și b; dacă a ≠ b, atunci (a, b) ≠ (b, a), însă {a, b} = {b, a}.
Avînd definit ă noțiunea de cuplu, definim no țiunea de triplet :
(a, b, c ) := ((a, b), c)
și, prin recuren ță, n-uplu , ∀n ≥ 3 (pentru o tratare riguroas ă a inducției și recurenței, vezi
I.4.20 )
(a1, …, an) := ((a1, …, an−1), an).
Are loc: (a1, …, an) = (b1, …, bn) ↔ a1 = b1 ∧ … ∧ an = bn.
În manualele de liceu (și în multe alte c ărți de matematic ă), o funcție definită pe o mul țime
A cu valori într-o mul țime B este „definit ă” (mai bine spus descris ă) ca fiind „ un procedeu
(lege), prin care oric ărui element din A i se asociaz ă un unic element din B ”. Intuitiv,
descrierea este corect ă (dar vagă, deoarece folose ște noțiunea nedefinit ă de procedeu (lege));
în plus, se subîn țelege că pentru orice func ție se poate descrie un procedeu (algoritm ) de

I.3. Clase, rela ții, funcții
21
obținere a imaginii oric ărui element prin func ția dată. Acest lucru nu este necesar și în
matematic ă se întîlnesc exemple de func ții pentru care acest fapt nu are loc.
Se observ ă însă că o funcție f : A → B este perfect determinat ă de graficul său, adică de
mulțimea cuplurilor { (a, f (a)) | a ∈ A}. Aceasta este și ideea defini ției conceptului de func ție
în cadrul unei trat ări riguroase. Începem cu alte dou ă noțiuni, și ele fundamentale:
3.5 Defini ție. Fie A și B mulțimi. Numim produsul cartezian14 al mulțimilor A și B
mulțimea A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Avem dreptul de a defini o astfel de mul țime? Ar trebui s ă arătăm că ne încadr ăm în
schema de comprehensiune, adic ă să indicăm o mulțime a cărei existen ță este cert ă, care să
conțină toate perechile de forma (a, b) cu a ∈ A și b ∈ B. Dar (a, b) = {{a}, {a, b}}.
Observăm că avem { a} ∈ P(A∪B) și {a, b} ∈ P(A∪B), deci {{ a}, {a, b}} ∈ P(P(A∪B)).
Astfel, putem defini, respectînd schema de comprehensiune:
A × B := {c ∈ P(P(A∪B)) | (∃a)(∃b)[c = (a, b) ∧ a ∈ A ∧ b ∈ B]}.
Folosind produsul cartezian putem defini no țiunile de relație și de funcție:
3.6 Defini ție. Fie A și B două mulțimi.
a) Numim relație binară între A și B (sau de la A la B ) orice triplet de forma (A, B, ρ), unde
ρ ⊆ A × B. Uneori vom exprima acest fapt sub forma „ ρ este o rela ție între A și B”. Dacă
A = B, scriem (A, ρ) și spunem c ă ρ este o relație pe A . Adeseori, în loc de (x, y) ∈ ρ se scrie
xρy. Dacă sînt subîn țelese mul țimile A și B, se spune, simplu, rela ția ρ în loc de (A, B, ρ).
b) O relație binară f de la A la B se numește funcție (sau aplicație) definită pe A cu valori în
B dacă pentru orice a ∈ A există un unic b ∈ B astfel încît (a, b) ∈ f. Formal, tripletul ( A, b, f )
este funcție de la A la B dacă:
( f ⊆ A×B) ∧ (∀a){(a ∈ A) → (∃b)[(b ∈ B) ∧ (a, b) ∈ f ]} ∧
(∀a)(∀b)(∀b'){(a ∈ A) ∧ (b ∈ B) ∧ (b' ∈ B) ∧ (a, b) ∈ f ∧ (a, b') ∈ f → (b = b')} (*)
Întrucît pentru orice a ∈ A există un unic b ∈ B astfel încît (a, b) ∈ f, se scrie:
„f(a) = b” în loc de „ (a, b) ∈ f ”.
Se mai spune „ f este o func ție (aplicație) de la A la B ” și se noteaz ă aceasta prin f : A → B
sau B Af⎯→⎯ . Notația f : A → B nu este decît o prescurtare a expresiei (*).
Mulțimea A se numește domeniul funcției f și B se numește codomeniul lui f. Orice element
a din domeniul lui f se nume ște argument al funcției f. Dacă a ∈ A și b ∈ B astfel încît
f(a) = b, b se numește valoarea func ției f în a.
Pentru orice mul țime A, notăm cu 1A sau cu idA funcția identitate a mulțimii A, anume:
idA(a) = a, ∀a ∈ A.

14 În onoarea lui René Descartes (1596-1650), al c ărui nume latinizat era Cartesius .

22 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Dacă adoptăm punctul de vedere naiv: o func ție f : A → B este o „lege de coresponden ță”
prin care oric ărui element a din A i se asociaz ă un unic element f(a) din B, atunci mul țimea
{(a, f(a)) | a ∈ A} ⊆ A × B se numește graficul lui f. Astfel, defini ția 3.6.b) identific ă o funcție
cu graficul ei.
3.7 Observa ție. Condiția (*) se scrie, mai pu țin formalizat:
( f ⊆ A×B) și ∀a ∈ A, ∃ b ∈ B astfel încît (a, b) ∈ f și
∀a ∈ A, ∀b, b' ∈ B, (a, b) ∈ f și (a, b') ∈ f implică b = b'.
Observăm că, în expresii, șirurile de forma " (∀a)(a ∈ A)" se scriu adesea prescurtat
"∀a ∈ A". Aceast ă convenție, larg r ăspîndită, ascunde o capcan ă: o implica ție, de genul
(∀a)[(a ∈ A) → P(a)], se scrie adesea " ∀a ∈ A, P(a)", în care implica ția → nu apare explicit.
Trebuie con știentizat acest fapt, mai ales cînd apare necesitatea neg ării unei astfel de expresii:
negația ei este (∃a){(a ∈ A) ∧ ¬P(a)}, lucru care nu este clar din scrierea prescurtat ă (dar este
destul de clar din punct de vedere intuitiv ).
3.8 Observa ție. O expresie cu exact dou ă variabile libere se nume ște relație. Pentru orice
relație R(x, y) putem defini " domeniul" DR și "imaginea" I R ca fiind clasele :
DR(x): "(∃y)R(x, y)"
IR(y): "(∃x)R(x, y)"
Demonstra ți că, dacă clasele DR și IR sînt mul țimi, atunci rela ției R(x, y) i se asociaz ă o
relație ρ între DR și IR (în sensul defini ției 3.6.a), ρ := {(x, y) ∈ DR × IR | R(x, y) adevărată}.
Mai mult, aceast ă relație este funcție (în sensul defini ției 3.6.b) dacă și numai dac ă R este
relație funcțională. Invers, unei func ții f : A → B i se asociaz ă o relație funcțională F(x, y) :
"x ∈ A ∧ y = f(x)".
Demonstra ți că, dacă R este relație funcțională și DR este mulțime, atunci IR este mulțime.
Reciproca este adev ărată?
3.9 Exercițiu. Fie A o mulțime. Cîte func ții ϕ : ∅ → A (respectiv ϕ : A → ∅) există?
3.10 Definiție. Fie f : A → B o funcție. Dacă A' ⊆ A, se define ște imaginea lui A' prin f ca
fiind imaginea mul țimii A' prin relația funcțională asociată lui f. Cu alte cuvinte, definim
f[A'] = {y ∈ B | (∃x)(x ∈ A' ∧ f(x) = y)}
Notația tradițională pentru imaginea lui A' prin f este f(A'); nu se poate folosi o astfel de
notație în teoria axiomatic ă a mulțimilor, pentru c ă A' poate fi simultan submul țime a lui A și
element al lui A (puteți da exemplu de un astfel de caz? ) și este foarte posibil ca f(A') (valoarea
în A' a lui f ) să difere de f [A'] (imaginea submul țimii A' prin f ).
3.11 Defini ție. Fie I o mulțime (interpretat ă ca mulțime de „indici” ). O funcție b : I → M,
unde M este o mul țime, se nume ște familie de mul țimi indexat ă după I. Notații tradiționale
pentru aceast ă noțiune: (Bi)i ∈ I (unde Bi := b(i)), sau { Bi | i ∈ I}.

I.3. Clase, rela ții, funcții
23
Dacă (Bi)i ∈ I este o familie de mul țimi ca mai sus, reuniunea familiei {Bi}i∈I este reuniunea
imaginii func ției b:
∪ A = ∪i∈I Bi := {x ∈ M | ∃i ∈ I astfel încît x ∈ Bi}.
Intersecția familiei {Bi}i∈I este, prin defini ție
∩i∈I Bi := {x | ∀i ∈ I, x ∈ Bi}.
De exemplu, dac ă I = {1, 2} și {Bi}i∈I = {B1, B2},
∪{B1, B2} = ∪i∈I Bi = B1∪B2; la fel, ∩{B1, B2} = ∩i∈I Bi = B1∩B2.
Se spune c ă reuniunea familiei {Bi}i∈I este disjunct ă dacă {Bi}i∈I sînt disjuncte dou ă cîte
două: Bi∩Bj = ∅ dacă i ≠ j.
3.12 Propozi ție. Pentru orice mul țimi A, B, C, au loc egalit ățile:
i) ∅∩A = ∅, ∅∪A = A, A \ ∅ = A, A \ A = ∅;
ii) A∩B ⊆ A, A∩B ⊆ B, A ⊆ A∪B, B ⊆ A∪B;
iii) A∩B = B∩A, A∪B = B∪A;
iv) A∩(B∩C) = (A∩B)∩C, A∪(B∪C) = (A∪B)∪C;
v) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);
vi) A∪A = A = A∩A. †
3.13 Defini ție. Se nume ște inversă a unei rela ții (A, B, ρ) relația (B, A, ρ −1) unde
ρ −1 = {(b, a) | (a, b) ∈ ρ} ⊆ B × A.
Fie relațiile (A, B, ρ) și (B, C, τ). Relația (A, C, τ ◦ρ), unde
τ ◦ρ = {(a, c) ∈ A × C | (∃b)(b ∈ B ∧ aρb ∧ bτ c)}
este numit ă compusa (sau compunerea ) relațiilor τ și ρ.
3.14 Propozi ție. a) Fiind date func țiile u : A → B, v : B → C, compusa v ◦u este tot o
funcție, v◦u : A → C, și, ∀a ∈ A, are loc:
(v◦u)(a) = v(u(a)).
b) Pentru orice rela ții (A, B, ρ), (B, C, τ), (C, D, η), avem (η ◦τ)◦ρ = η ◦(τ ◦ρ) (compunerea
relațiilor este asociativ ă). În particular, compunerea func țiilor este asociativ ă. †
Se disting urm ătoarele tipuri remarcabile de func ții:
3.15 Defini ție. Fie f : A → B o funcție. Spunem c ă f este:
i) funcție injectiv ă dacă ∀x, y ∈ A, f(x) = f(y) ⇒ x = y;
ii) funcție surjectiv ă dacă ∀y ∈ B, ∃ x ∈ A astfel încît f(x) = y;
iii) funcție bijectiv ă dacă este injectiv ă și surjectiv ă;
iv) funcție inversabil ă dacă ∃ g : B → A (numită inversa lui f ) astfel încît (g◦f )(x) = x,
∀x ∈ A și ( f◦g)(y) = y, ∀y ∈ B.

24 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Notînd, pentru o mul țime M, prin 1M : M → M funcția 1M(x) = x, ∀x ∈ M (numită și funcția
identitate a lui M, notată și cu id M sau id ), condițiile ce definesc func țiile inversabile pot fi
rescrise în modul urm ător: g◦f = 1A, f◦g = 1B. Dacă există, inversa lui f se notează f −1.
3.16 Propozi ție. Fie f : A → B și g : B → C funcții. Atunci:
a) f este inversabil ă ⇔ f este bijectiv ă;
b) g◦f este bijectiv ă ⇒ g este surjectiv ă și f este injectiv ă;
c) Compunerea a dou ă funcții injective (surjective ) este func ție injectiv ă (surjectivă). †
Definiția produsului cartezian poate fi extins ă prin recuren ță la o familie de trei sau mai
multe mul țimi, sau, mai general, la o familie oarecare de mul țimi:
3.17 Defini ție. a) Fiind date mul țimile A1, A2, A3 15, definim produsul lor cartezian:
A1 × A2 × A3 := (A1 × A2) × A3.
Astfel, ∀a1 ∈ A1, ∀a2 ∈ A2, ∀a3 ∈ A3, notăm ((a1, a2), a3), mai simplu, cu (a1, a2, a3).
b) Pentru orice n ≥ 3 și orice familie de n mulțimi A1, A2, …, An, definim (prin recuren ță16):
A1 × A2 ×…× An := (A1 × A2 ×…× An − 1) × An.
A1 × A2 ×…× An se mai noteaz ă cu ∏
=n
iiA
1 sau ∏1≤ i ≤ n Ai. Dacă ∀i ∈ {1,2, …, n}, ai ∈ Ai, se
notează ((a1, a2, …, an − 1), an) ∈∏
=n
iiA
1cu (a1, a2, …, an). Astfel,
A1 × A2 ×…× An = {(a1, a2, …, an) | ai ∈ Ai, i = n,1}
În cazul A1 = A2 = … = An = A, A × A ×…× A (de n ori) se noteaz ă cu An.
c) Este necesar ă și o defini ție în cazul general al unei familii de mul țimi (Ai)i∈I indexată
după o mulțime de indici I. Se define ște produsul cartezian ∏i∈I Ai:
∏i∈I Ai := {ϕ : I → ∪i∈I Ai | ϕ(i) ∈ Ai, ∀i ∈ I}.
3.18 Observa ție. Produsul cartezian definit ca la c), în cazul unei familii finite de mulțimi,
nu este acela și cu cel definit la a) și b) și la 3.5. Există însă o bijecție natural ă între mul țimile
obținute prin cele dou ă definiții. De exemplu, dac ă I = {1, 2}, avem func ția bijectiv ă β,
definită pe { ϕ : {1, 2} → A1 ∪ A2 | ϕ(i) ∈ Ai, ∀i ∈ I} cu valori în A1 × A2, dată de
β(ϕ) = (ϕ(1), ϕ(2)). Se pot astfel identifica no țiunile de produs cartezian definite mai sus.
Definim urm ătoarele tipuri remarcabile de rela ții pe o mul țime:
3.19 Defini ție. Fie o mul țime nevid ă A și ρ o relație pe A. Spunem c ă ρ este:
– reflexivă dacă aρa, ∀a ∈ A. Formal: (∀a)(a ∈ A → aρa);

15 În aceast ă ordine! De fapt, se d ă o familie de mul țimi indexată după {1,2,3}.
16 Folosim deocamdat ă o accepție intuitiv ă a noțiunii de defini ție prin recuren ță. Pentru o tratare riguroas ă,
vezi 4.20 și următoarele.

I.3. Clase, rela ții, funcții
25
– ireflexivă dacă ∀a ∈ A, nu are loc aρa;
– simetrică dacă ∀a, b ∈ A, aρb → bρa;
– asimetrică dacă ∀a, b ∈ A, aρb → ¬bρa;
– antisimetric ă dacă ∀a, b ∈ A, aρb și bρa → a = b;
– tranzitivă dacă ∀a, b, c ∈ A, aρb și bρc → aρc;
– relație de echivalen ță dacă este reflexiv ă, simetric ă și tranzitiv ă. Pentru rela ții de
echivalen ță se folosesc nota ții de tipul a ≡ b, a ∼ b în loc de aρb.
– relație de preordine dacă este reflexiv ă și tranzitiv ă;
– relație de ordine dacă este reflexiv ă, tranzitiv ă și antisimetric ă. Pentru rela ții de
(pre)ordine se folosesc în general nota ții de tipul a ≤ b în loc de aρb.
– relație de ordine strictă dacă este ireflexiv ă și tranzitiv ă. Pentru rela ții de ordine strict ă
se folosesc în general nota ții de tipul a < b în loc de aρb.
Relațiile de ordine și de echivalen ță sînt deosebit de importante în toat ă matematica și este
esențială o bună cunoaștere a propriet ăților lor.
3.20 Exerci țiu. a) Scrieți formal condi țiile de mai sus referitoare la o rela ție ρ.
b) Cum se generalizeaz ă definițiile anterioare la relații (în sensul de expresii cu dou ă
variabile libere )? De exemplu, o rela ție R(x, y) se numește reflexiv ă dacă (∀x)R(x, x).
c) Exprima ți definițiile de mai sus în termeni de incluziuni și compuneri de rela ții (și
eventual de inverse ). De exemplu, ρ este reflexiv ă însemnă că idA ⊆ ρ ; ρ este simetric ă
înseamnă că ρ−1 ⊆ ρ.
Dacă ≤ este o rela ție de ordine pe A, scriem (A, ≤) și spunem c ă (A, ≤) este mulțime
ordonată. Dacă pentru orice a, b ∈ A avem a ≤ b sau b ≤ a, atunci (A, ≤) se numește mulțime
total ordonat ă (sau lanț) și relația ≤ se nume ște relație de ordine total ă. Uneori, pentru a
sublinia c ă o anumit ă relație de ordine nu este total ă, se spune relație de ordine par țială. În
loc de a ≤ b se scrie și b ≥ a. Se observ ă că, dacă ≤ este o rela ție de ordine pe A, atunci ≥ este
tot o relație de ordine.
3.21 Observa ție. Dacă ≤ este o rela ție de ordine pe A, atunci rela ția < pe A, definită prin:
x < y ↔ (x ≤ y ∧ x ≠ y) este o rela ție de ordine strict ă pe A. Reciproc, dac ă < este o ordine
strictă pe A, atunci, definind x ≤ y ↔ (x < y ∨ x = y) se obține o rela ție de ordine pe A.
Verificați! Așadar, exist ă o bijecție între rela țiile de ordine pe A și relațiile de ordine strict ă pe
A. De aceea, orice defini ție sau rezultat aplicabil unei rela ții de ordine se aplic ă și relației de
ordine strict ă asociate (și reciproc ). Cum trebuie adaptate aceste considera ții la relațiile văzute
în sensul de la 3.8?
3.22 Defini ție. Fie (A, ≤) o mulțime ordonat ă și B o submul țime a lui A. Un element m ∈ A
se numește minorant al lui B dacă m ≤ b, ∀b ∈ B. Un element M ∈ A se numește majorant al
lui B dacă b ≤ M, ∀b ∈ B. Submulțimea B se numește minorată (resp. majorată) dacă are un

26 I. Logic ă, mulțimi, axiome

minorant (resp. majorant ). Dacă B conține un minorant m pentru B, spunem c ă m este cel mai
mic element (sau primul element ) al lui B . Dacă B conține un majorant M pentru B, M se
numește cel mai mare element (sau ultimul element ) al lui B .
Dacă B are un prim element m ∈ B, acesta este unic : ∀m' ∈ B, avem m ≤ m' (m este prim
element ) și m' ≤ m, deci m = m' din antisimetrie. La fel, ultimul element al lui B este unic
(dacă există).
Ca exerci țiu, exprima ți definițiile și propriet ățile de mai sus (date pentru rela ții de ordine )
pentru rela ții de ordine strictă.
3.23 Exemplu. Relația de divizibilitate "|" pe N, dată de:
∀a, b ∈ N (a|b ↔ ∃c ∈ N astfel încît b = ac)
este o rela ție de ordine, care nu este total ă (nu are loc nici 2|3, nici 3|2 ); 0 este ultimul element
al lui (N, |) și 1 este primul element al lui (N, |). Relația uzuală de ordine " ≤" pe N este totală,
0 este primul element al lui (N, ≤); nu există ultimul element al lui (N, ≤).
O mulțime (A, ≤) cu proprietatea c ă orice submul țime nevid ă B a lui A are un prim element
se numește mulțime bine ordonat ă (caz în care rela ția ≤ pe A se nume ște relație de bun ă
ordine ). Mulțimile bine ordonate sînt foarte importante: pe o mul țime bine ordonat ă se poate
aplica un ra ționament prin inducție.
Orice mul țime bine ordonat ă este total ordonat ă (demonstra ți!).
3.24 Defini ție. Un element m al unei mul țimi ordonate (A, ≤) se numește element maximal
al lui A dacă, ∀b ∈ A cu m ≤ b rezultă m = b. Un element m se numește element minimal al lui
A dacă, ∀b ∈ A cu b ≤ m rezultă m = b. De exemplu, în mul țimea ordonat ă N \ {0, 1} cu
divizibilitatea, 2 este element minimal. Care sînt toate elementele sale minimale?
3.25 Defini ție. Fie (A, ≤) o mulțime ordonat ă și B o submul țime a sa. Fie Maj(B) mulțimea
majoranților lui B. Dacă există cel mai mic element al lui Maj(B), acest element se nume ște
supremumul (sau marginea superioar ă a) lui B și se noteaz ă sup B. Dacă există sup B = c,
atunci c este „ cel mai mic majorant al lui B”, adică satisface condi țiile:
– ∀b ∈ B, b ≤ c (c este majorant al lui B).
– ∀c' ∈ A astfel încît ∀b ∈ B, b ≤ c', rezultă c ≤ c' (c este mai mic decît orice alt majorant c'
al lui B).
„Dual” (considerînd rela ția de ordine ≥) se obține noțiunea de infimum (sau margine
inferioară) al submul țimii B a lui (A, ≤), notat (dacă există!) cu inf B.
O mulțime ordonat ă (A, ≤) cu proprietatea c ă orice submul țime cu dou ă elemente a sa are
supremum și infimum se nume ște latice . Dacă orice submul țime a lui A are sup și inf, A se
numește latice complet ă.

I.4. Ordinale, axioma infinit ății și mulțimea numerelor naturale
27
De exemplu, pentru o mul țime nevid ă oarecare M, mulțimea P(M) a părților lui M este
ordonată de relația de incluziune; dac ă A, B ∈ P(M), atunci sup{ A, B } = A∪B, inf{ A,
B} = A∩B. (P(M), ⊆) este chiar o latice complet ă. La fel, (N, |) este o latice.
În R, ordonat cu ordinea uzual ă, orice submul țime nevid ă majorată are supremum (aceasta
este o proprietate fundamental ă a lui R, esențială în Analiz ă). În Q, nu orice submul țime
nevidă are supremum (justifica ți!).
I.4. Ordinale, axioma infinit ății și mulțimea numerelor naturale
În toată matematica este esen țială mulțimea numerelor naturale N. Se pune problema unui
mod de a construi aceast ă mulțime (sau, fiind vorba de un concept care poate ap ărea drept
primar, de a axiomatiza N). Vom arăta că, în cadrul teoriei axiomatice a mul țimilor, se poate
da o construc ție satisfăcătoare a lui N. Mai mult, modul de construc ție duce la o generalizare
posibilă a mulțimii N, sub forma clasei ordinalelor .
O modalitate de abordare a introducerii lui N este dată de axiomatica Dedekind-Peano .
Noțiunile primare sînt cele de număr natural și funcție succesor17. Limbajul acestei teorii
axiomatice este format din:
– simbolul = (notează egalitatea a dou ă obiecte );
– simbolul 0 (notează un număr natural privilegiat fixat );
– nume variabile, constante, conectorii logici (ca la limbajul teoriei axiomatice a
mulțimilor ), cu deosebirea c ă numele denumesc acum obiectele acestei teorii, adic ă numere
naturale .
Axiomele acestei teorii sînt:
1. Există un număr natural notat 0.
2. Pentru orice num ăr natural n, există un număr natural unic determinat, numit succesorul
lui n și notat s(n) sau n+: (∀n)(∃n+).
3. Orice dou ă numere naturale cu acela și succesor sînt egale: (∀m)(∀n)(m+ = n+ → m = n).
4. 0 nu este succesorul nici unui num ăr natural: (∀n)(n+ ≠ 0).
5. (Axioma induc ției) Pentru orice predicat cu o variabil ă A(n) are loc:
[A(0) ∧ (∀n)(A(n) → A(n+)] → (∀m)A(m).

17 Întrucît este vorba de o teorie axiomatic ă, funcția succesor nu este a priori o funcție în sensul teoriei
mulțimilor (ci este o no țiune primar ă); este adev ărat însă că în modelul pe care îl construim, rolul func ției
succesor va fi jucat de o func ție în sens uzual.

28 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Observăm că axioma 5 (binecunoscutul principiu de demonstra ție prin induc ție) este de
fapt o schemă de axiome .
Introducerea opera țiilor cu numere naturale, a rela ției de ordine și deducerea principalelor
proprietăți ale acestora folosind axiomatica Dedekind-Peano sînt interesante și instructive.
Aceste aspecte fiind îns ă destul de cunoscute (vezi de ex. B ECHEANU et al. [1983]), nu
insistăm în aceast ă direcție. Vom ar ăta, în schimb, c ă se poate modela sistemul axiomatic de
mai sus în cadrul teoriei mul țimilor, dac ă mai introducem o axiom ă (de fapt, acest model se
expune în general, cînd se vorbe ște de axiomatica Peano ). Mai precis, vom construi o mulțime
N, un element 0 ∈ N și o funcție (în sens uzual ) s : N → N, s(n) = n+, care să satisfacă
axiomele de mai sus.
Începem cu o abordare intuitiv ă. Instrumentele oferite pîn ă acum de axiomele teoriei
mulțimilor permit considerarea urm ătorului „șir de mulțimi”:
∅; {∅}; {∅, {∅}}; { ∅, {∅}, {∅, {∅}}}; … (1)
Se observ ă că, pentru fiecare termen x al șirului, urm ătorul termen este x ∪{x}. Primul
termen are 0 elemente, al doilea are 1 element ș.a.m.d. Ar fi tentant s ă consider ăm drept
mulțime a numerelor naturale „mul țimea tuturor termenilor acestui șir”, ∅ să joace rolul lui 0,
iar funcția succesor s ă fie s(x) = x ∪{x}. Apar dou ă probleme: definirea riguroas ă a „mulțimii
tuturor termenilor șirului (1)” și garantarea existenței unei astfel de mul țimi. Faptul c ă există o
mulțime care include toți termenii șirului (1) este asigurat de o nou ă axiomă:
4.1 Axioma infinit ății. (∃M) [∅ ∈ M ∧ (∀y)(y ∈ M → y ∪ {y} ∈ M)].
Intuitiv, este clar c ă axioma de mai sus garanteaz ă existența unei mul țimi M care să conțină
toate mul țimile șirului (1); aceasta nu înseamn ă că M conține doar aceste mul țimi. Vom
adopta urm ătoarea strategie: definim riguros clasa mulțimilor din șirul (1) (aceasta va fi clasa
ordinalelor finite , noțiune pe care o vom defini în cele ce urmeaz ă); atunci mul țimea N a
numerelor naturale va fi ob ținută prin comprehensiune, ca fiind mul țimea acelor elemente din
M (dată de axioma infinit ății) care sînt în plus ordinale finite. Apoi demonstr ăm că toate
aceste obiecte satisfac axiomele Dedekind-Peano.
4.2 Defini ție. O mulțime α se numește ordinal dacă are următoarele propriet ăți:
i) α este tranzitivă, adică (∀x)(x ∈ α → x ⊆ α).
ii) relația de apartenen ță definește o relație de ordine strict ă pe α, care este o bună ordine
pe α. Detaliind, aceast ă condiție este echivalent ă cu:
– ∀x, y, z ∈ α, din x ∈ y și y ∈ z rezultă că x ∈ z (tranzitivitatea relației ∈ );
– ∀x, y ∈ α, din x ∈ y rezultă că y ∉ x (ireflexivitatea relației ∈ );
– orice submul țime nevid ă a lui α are un prim element (față de relația ∈ ):
∀β {(β ⊆ α ∧ β ≠ ∅) → ∃x [x ∈ β ∧ ∀y(y ∈ β → (x = y ∨ x ∈ y))]}.

I.4. Ordinale, axioma infinit ății și mulțimea numerelor naturale
29
4.3 Exemplu. Orice element din șirul (1) este ordinal.
Clasa ordinalelor se noteaz ă cu On. Astfel, scrierea On(α) înseamnă „mulțimea α este un
ordinal”.18
Înainte de a defini ordinalele finite , avem nevoie de unele preg ătiri.
4.4 Defini ție. Fie (A, ≤) o mulțime ordonat ă. O submul țime S a lui A se numește segment
inițial al lui A dacă are proprietatea c ă, odată cu un element x, conține toate elementele mai
mici decît x: ∀x [x ∈ S → (∀y (y ∈ A ∧ y ≤ x ) → y ∈ S].
De exemplu, dac ă fixăm a ∈ A, mulțimea Sa(A) := {x ∈ A | x < a} este un segment ini țial în
A. Este remarcabil c ă în mulțimi bine ordonate , toate segmentele ini țiale sînt de acest tip:
4.5 Propozi ție. Fie (A, ≤) o mulțime bine ordonată și S un segment ini țial al lui A. Atunci:
sau S = A, sau exist ă a ∈ A astfel încît S = Sa(A) := {x ∈ A | x < a}.
Demonstra ție. Presupunem c ă S ≠ A. Atunci A \ S este nevid ă și (A fiind bine ordonat ă) are
un prim element a. Afirmăm că Sa(A) = S. Într-adev ăr, fie x ∈ S. Dacă a ≤ x, atunci a ∈ S, din
definiția segmentului ini țial. Cum A este total ordonat ă, rezultă că x < a, adică x ∈ Sa(A).
Incluziunea cealalt ă o lăsăm cititorului. †
4.6 Propozi ție. Fie α un ordinal și s un segment ini țial în α. Atunci s = α sau exist ă β ∈ α
astfel încît s = β = Sβ (α).
Demonstra ție. Reamintim c ă relația de ordine strict ă pe α este ∈, față de care α este bine
ordonată. Din propozi ția precedent ă rezultă că s = α sau exist ă β ∈ α astfel încît s = Sβ (α).
Dar Sβ (α) = {x ∈ α | x ∈ β} = α ∩ β. Cum α este ordinal, din β ∈ a rezultă β ⊆ α, deci
α ∩ β = β. †
4.7 Propozi ție. Orice element al unui or dinal este tot un ordinal.
Demonstra ție. Fie α un ordinal și β ∈ α. Atunci β = Sβ (α), care este un segment ini țial în
α. În general, orice submul țime nevid ă a unei mul țimi bine ordonate A este bine ordonat ă de
relația de ordine de pe A (demonstra ți!), deci β = Sβ (α) este bine ordonat de ∈. Avem și că β
este tranzitiv ă: dacă x ∈ β, iar y ∈ x, atunci x ∈ α (căci β ∈ α și α este tranzitiv ă). Acum, din
x ∈ α și y ∈ x deducem c ă y ∈ α. Am obținut că y, x, β ∈ α, y ∈ x și x ∈ β. Relația ∈ este
tranzitivă pe α, deci y ∈ β. †
4.8 Propozi ție. Dacă α este un ordinal, atunci α ∉ α.
Demonstra ție. Relația de apartenen ță ∈ este de ordine strict ă pe α, deci este ireflexiv ă:
∀x ∈ α, avem x ∉ x. Dacă presupunem c ă α ∈ α, obținem astfel c ă α ∉ α, absurd. †

18 Ideea de a defini ordinalele în aceast ă manieră îi aparține lui John von Neumann. Un ordinal se poate defini
și ca o clasă de izomorfism de mul țimi bine ordonate. În aceast ă abordare îns ă, clasa ordinalelor ar fi o "clas ă de
clase", o complicare tehnic ă evitată de prezentarea aleas ă aici.

30 I. Logic ă, mulțimi, axiome

4.9 Propozi ție. Pentru orice ordinale α și β, are loc una și numai una din afirma țiile:
α ∈ β, α = β sau β ∈ α.
Demonstra ție. Fie γ = α ∩ β = {x ∈ α | x ∈ β}. Se verific ă imediat c ă γ este un segment
inițial în mul țimea ordonat ă (α, ∈) (vezi def. 4.4). Din 4.6 rezultă că γ = α sau γ ∈ α. Simetric,
avem γ = β sau γ ∈ β. Analizăm toate posibilit ățile: 1) γ = α și γ = β. Atunci α = β. 2) γ = α și
γ ∈ β. Atunci α ∈ β. 3) γ ∈α și γ = β. Atunci β ∈ α. 4) γ ∈α și γ ∈ β. Atunci γ ∈ α ∩ β = γ,
imposibil: γ este ordinal și s-ar contrazice 4.8.
Cele trei situa ții din enun ț sînt mutual incompatibile: dac ă α ∈ β, atunci α = β ar
contrazice 4.8, iar β ∈ α implică (pentru că α este tranzitiv ă) α ∈ α, aceeași contradic ție. †
Putem enun ța proprietatea de mai sus sub forma: Clasa ordinalelor este total ordonat ă de
relația de ordine strict ă ∈.
Mai mult, clasa ordinalelor este bine ordonat ă de relația de apartenen ță. Acest enun ț
necesită precizări: nu am definit înc ă noțiunea de clasă bine ordonat ă. O analogie direct ă cu
mulțimile bine ordonate ar conduce la urm ătoarea „defini ție”: o clas ă C(x) ordonată de o
relație (în sensul de la 3.8) de ordine R(x, y) este bine ordonat ă dacă orice subclas ă nevidă a sa
are un prim element. Sintagma „orice subclas ă” inclusă în definiție conduce de fapt la a da o
schemă de definiții, căci clasele nu sînt obiecte ale teoriei, ci expresii ale limbajului formal
(cf. comentariul de la Axioma-schem ă a substitu ției). Se adopt ă următoarea defini ție, mai
restrictivă, dar care nu are dezavantajul descris anterior:
4.10 Defini ție. O clasă C(x) se numește bine ordonat ă de o rela ție de ordine strict ă R(x, y)
dacă este total ordonat ă de R și orice segment ini țial al lui C în raport cu rela ția R este o
mulțime bine ordonat ă de R. Mai precis, au loc afirma țiile:
– R este o rela ție ireflexiv ă pe C: ∀x(C(x) → ¬R(x, x)).
– R este o rela ție tranzitiv ă pe C: ∀x ∀y ∀z(C(x)∧C(y)∧C(z)∧R(x,y)∧R(y,z) → R(x, z)).
– R este o rela ție totală pe C: ∀x ∀y (C(x)∧C(y) → (R(x, y) ∨ R(y, x) ∨ x = y)).
– Pentru orice mul țime t, segmentul ini țial al clasei C determinat de t în raport cu rela ția R,
adică clasa St(C)(mod R) := C(x) ∧ R(x, t), este o mulțime bine ordonat ă de R:
(∀t)(∃s)[(∀x)(x ∈ s ↔ (C(x)∧R(x, t))] ∧ (∀u)[(u ≠ ∅ ∧ u ⊆ s) → ∃p(p primul element al lui u)]
Dacă C este bine ordonat ă de R în sensul defini ției anterioare, atunci orice clas ă nevidă
inclusă în C are prim element . Într-adev ăr, fie D o clasă nevidă inclusă în C și fie t un element
din D (adică D(t) adevărată). Dacă t este prim element în D în raport cu R, atunci am terminat.
Dacă nu, există q în D mai mic strict decît t: D(q) ∧ R(q, t). Dar segmentul ini țial St(C)(mod R)
este o mul țime; deci intersec ția clasei D cu St(C)(mod R), adică clasa
D(x) ∧ (x ∈ St(C)(mod R)) este o submul țime S a lui St(C)(mod R) (nevidă, căci conține q). Din
buna ordonare a lui St(C)(mod R) deducem c ă există primul element m al mulțimii S. Acesta
este primul element al clasei D: dacă ar exista n în D, mai mic decît m, atunci n este mai mic

I.4. Ordinale, axioma infinit ății și mulțimea numerelor naturale
31
decît t și deci n ∈ St(C)(mod R). Astfel, n ∈ S și obținem o contradic ție cu faptul c ă m este
primul element al lui S.
Să demonstr ăm acum:
4.11 Propozi ție. Clasa ordinalelor On este bine ordonat ă de relația de apartenen ță.
Demonstra ție. Am văzut (4.9) că relația de apartenen ță este total ă pe clasa ordinalelor. Fie
α un ordinal și segmentul ini țial Sα(On)(mod ∈) = On(t)∧(t ∈ α). Evident, aceast ă clasă este o
mulțime, anume α (orice element t al lui α este ordinal ). Din defini ția ordinalelor, α este bine
ordonat de apartenen ță. †
Ordonarea „nestrict ă” pe clasa On este incluziunea . Mai precis, pentru dou ă ordinale α și
β, (α ∈ β ∨ α = β) este echivalent cu α ⊆ β. Cel mai mic ordinal este ∅. Care este îns ă cel
mai mic ordinal mai mare decît un ordinal α dat?
4.12 Propozi ție. Pentru orice ordinal α, α ∪{α} este tot ordinal (numit succesorul lui α) și
este cel mai mic ordinal, mai mare decît α.
Demonstra ție. Propunem spre demonstra ție afirmația: α ordinal implic ă α ∪{α} ordinal.
Fie acum β un ordinal mai mare decît α. Atunci α ∈ β (adică {α} ⊆ β). Deci α ⊆ β (căci β
ordinal ), și astfel α ∪{α} ⊆ β. Aceasta demonstreaz ă că orice ordinal mai mare decît α este
mai mare sau egal cu α ∪{α}. Pe de alt ă parte, este evident c ă α ∈ α ∪{α}. †
4.13 Defini ție. Dacă pentru ordinalul β există α astfel încît β = α ∪{α} (β este succesorul
lui α), atunci α este ordinal, unic determinat de β (de ce? ) și se nume ște predecesorul lui β.
Un ordinal α se numește ordinal finit dacă: sau α = ∅, sau orice element al lui α și α însuși
au un predecesor. Un ordinal care nu este finit se nume ște ordinal infinit .
Se observ ă că toate mul țimile din șirul (1) sînt ordinale finite. De altfel, șirul a fost
construit plecînd de la ∅ și luînd succesorul fiec ărui ordinal construit deja.
Dacă α este ordinal finit, atunci se verific ă imediat c ă:
– orice ordinal β ⊆ α este ordinal finit.
– succesorul lui α, α ∪{α}, este ordinal finit.
4.14 Propozi ție. Axioma infinit ății este echivalent ă cu afirma ția:
Ordinalele finite formeaz ă o mulțime (notată cu ω).
Demonstra ție. Presupunem axioma infinit ății adevărată și consider ăm mulțimea
ω := {α ∈ M | α ordinal finit}, unde M este dată de 4.1. Să arătăm că ω conține orice ordinal
finit. Dac ă nu ar fi a șa, ar exista un ordinal finit β, cu β ∉ M. Cum clasa ordinalelor finite este
bine ordonat ă, există cel mai mic ordinal finit μ cu proprietatea c ă μ ∉ M. Cum ∅ ∈ M,
μ ≠ ∅. Însă atunci μ are un predecesor λ, care (din modul de alegere al lui μ) este în M. Însă
atunci succesorul lui λ (adică μ) aparține lui M, contradic ție.

32 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Invers, dac ă ordinalelele finite formeaz ă o mulțime ω, atunci ω satisface propriet ățile din
axioma 4.1: ∅ ∈ ω și ∀α ∈ ω, avem α ∪{α} ∈ ω. †
Acum se poate da urm ătorul model (în cadrul teoriei axiomatice a mul țimilor ) pentru
axiomele Dedekind-Peano:
– numerele naturale sînt ordinalele finite ;
– numărul natural 0 este mulțimea vidă ∅;
– funcția succesor este func ția s : ω →ω care asociază fiecărui ordinal finit α succesorul
său α ∪{α}.
Clar, axiomele 1-4 sînt verificate. S ă verificăm și axioma induc ției:
4.15 Propozi ție. (Teorema induc ției pe mul țimea ordinalelor finite ) Fie P o clas ă de
ordinale finite astfel încît P (∅) este adev ărată și, ∀α ordinal finit cu P (α) adevărată, rezultă
că P(α ∪{α}) adevărată. Atunci P (α) adevărată pentru orice ordinal finit α.
Demonstra ție. Clasa P corespunde unei submul țimi (notată tot P) a lui ω. Dacă P ≠ ω,
atunci ω \ P ≠ ∅ și deci ω \ P are un prim element β, cu β ≠ ∅ din ipoteza P(∅) adevărată. Fie
α predecesorul lui β. Avem α ∉ ω \ P, deci P(α) adevărată, de unde rezult ă P(α ∪{α}) = P(β)
adevărată, adică β ∈ P, contradic ție cu β ∈ ω \ P. †
4.16 Observație. Mulțimea ω a ordinalelor finite este un ordinal (demonstra ți!), care nu
este finit.
Alte rezultate despre ordinale sînt propuse ca exerci ții. Detalii și dezvoltări ale teoriei
ordinalelor pot fi g ăsite de exemplu în S CORPAN [1996].
În continuare vom identifica mul țimea ordinalelor finite ω cu mulțimea numerelor naturale
N. Notăm cu ≤ relația de ordine pe N (numită relația de ordine uzual ă) și cu n + 1 succesorul
numărului natural (ordinalului finit ) n. Prin aceast ă identificare, 0 corespunde lui ∅, 1 lui
{∅}, ș.a.m.d.; n + 1 corespunde lui n ∪ {n}. Observ ăm că atunci n = {0, 1, …, n − 1}.
Prin analogie cu N, se noteaz ă cu < relația de ordine strict ă pe On (pentru orice ordinale
α, β, α < β înseamnă deci α ∈ β) și cu α + 1 succesorul ordinalului α (deci α + 1 = α ∪ {α}).
Este deosebit de important urm ătorul enun ț, care stă la baza ra ționamentelor prin induc ție:
Mulțimea numerelor naturale N este bine ordonat ă în raport cu rela ția de ordine uzual ă.
Considerăm utile cîteva remarci și rezultate privind tehnica de demonstra ție prin induc ție,
respectiv de definire prin recuren ță. Mai întîi d ăm un rezultat care este cunoscut uneori ca o
„variantă a principiului de induc ție”:
4.17 Propozi ție. Fie P (x) o expresie cu proprietatea c ă, pentru orice num ăr natural n,
dacă P(k) este adev ărată pentru orice k < n, rezultă că P(n) este adev ărată. Atunci P (n) este

I.4. Ordinale, axioma infinit ății și mulțimea numerelor naturale
33
adevărată pentru orice num ăr natural n. Mai precis, are loc (subînțelegem c ă toate
variabilele sînt în N):
{ ∀n [(∀k (k < n → P(k)) → P(n)]} → (∀n)(P(n)).
Demonstra ție. Mai întîi observ ăm că, în condi țiile din enun ț, P(0) este adev ărată.
Într-adevăr, pentru n = 0 are loc implica ția: [∀k(k < 0 → P(k)] → P(0). Dar ∀k(k < 0 → P(k))
este adev ărată, deoarece k < 0 este fals ă pentru orice k ∈ N (o expresie de forma p → q este
adevărată dacă p este falsă!). Deci P(0) adevărată. 19
Presupunem prin absurd c ă există n ∈ N astfel încît P(n) să fie falsă. Atunci mul țimea
nevidă {n ∈ N | P(n) falsă} are un prim element a. Deci P(k) este adev ărată, ∀k < a, din modul
de alegere a lui a. Cum are loc implica ția (∀k(k < a → P(k)) → P(a), rezultă că P(a) este
adevărată, absurd. †
Este remarcabil faptul c ă acest rezultat are loc în orice mul țime bine ordonat ă. Propunem
cititorului s ă reia ideea demonstra ției de mai sus pentru a ar ăta :
4.18 Propozi ție. Fie (A, ≤) o mulțime bine ordonat ă și fie P (x) o expresie cu proprietatea
că, pentru orice n ∈ A, dacă P(k) este adev ărată pentru orice k < n, k ∈ A, rezultă că P(n)
adevărată. Atunci P (n) adevărată pentru orice n ∈ A. Mai precis, are loc (subînțelegem că
toate variabilele sînt în A ):
{ ∀n [(∀k (k < n → P(k)) → P(n)]} → (∀n)(P(n)). †
Un exemplu de aplicare a acestei propozi ții este demonstra ția teoremei polinoamelor
simetrice (unde mulțimea bine ordonat ă este N n, cu ordinea lexicografic ă).
Mai mult, se poate face induc ție pe clase bine ordonate . Dacă R(x, y) este o rela ție de
ordine, vom scrie, mai sugestiv, x < y (mod R) în loc de R(x, y) ∧ (x ≠ y). Demonstra ția
rezultatului ce urmeaz ă este similar ă cu cea de la mul țimi bine ordonate.
4.19 Propozi ție. Fie A (x) o clasă bine ordonat ă de o rela ție R(x, y) și fie P (x) o expresie cu
proprietatea c ă, pentru orice n din clasa A, dac ă P(k) este adev ărată pentru orice k din A, cu
k < n (mod R), rezultă că P(n) adevărată. Atunci P (n) adevărată pentru orice n din A. Mai
precis, dac ă are loc :
∀n{[A(n) ∧ (∀k (A(k) ∧ k < n(mod R)) → P(k)] → P(n)},
atunci are loc (∀n)(A(n) → P(n)). †
În general, astfel de ra ționamente se fac pe clasa ordinalelor On și se numesc ra ționamente
prin inducție transfinit ă.
Strîns legat de principiul demonstra ției prin induc ție este definirea șirurilor prin recuren ță
(numită uneori definire prin induc ție, denumire improprie, c ăci inducția este o metod ă de

19 Așadar, nu are rost s ă se arate c ă P(0) este adev ărată cînd se folose ște acest ra ționament prin induc ție!

34 I. Logic ă, mulțimi, axiome

demonstra ție). De exemplu, este clar c ă relațiile x0 = 1, xn + 1 = 2xn + 1, ∀n ∈ N, definesc unic
șirul de numere naturale: x0 = 1, x1 = 3, x2 = 7, x3 = 15, … .
4.20 Defini ție. Fie A o mulțime nevid ă. Se nume ște șir (indexat dup ă ω ) 20, cu valori în A,
orice func ție s : ω → A (ω este ordinalul tuturor ordinalelor finite ). Mai general, dac ă α este
un ordinal oarecare, vom numi șir (indexat dup ă α) cu valori în A orice func ție definită pe α
cu valori în A.
Pentru un șir s : α → A se folosesc nota ții de tipul (si)i∈α sau { si | i ∈ α}. Pentru orice
β ∈ α (β este deci ordinal! ), notăm cu s|β restricția lui s la β (s|β este atunci șir indexat dup ă β).
De exemplu, dac ă (sn)n∈ω este un șir indexat dup ă ω, atunci:
s|0 = s|∅ = ∅; s|1 = s|{0} = {(0, s(0))}; s|2 = s|{0,1} = {(0, s(0)), (1, s(1))}, …,
s|n = s|{0,1, …, n − 1} = {(0, s(0)), (1, s(1)), …, (n − 1, s(n − 1))}.
Ce înseamn ă a defini prin recuren ță un șir (sn)n∈ω? Intuitiv, pentru orice n ∈ ω, termenul sn
„depinde de termenii preceden ți s0, …, sn − 1”, adică este dată o „relație de recuren ță” de forma
sn = f(s0, …, sn − 1). Observăm că putem rescrie aceasta sub forma sn = f(s|n), folosind nota țiile
de mai sus. Deci f este o func ție cu domeniul format de mul țimea șirurilor (cu valori în A),
indexate dup ă un n = {0,1, …, n − 1}. Mai general, putem da urm ătoarea:
4.21 Defini ție. Fie A o mulțime nevid ă și α un ordinal. Pentru fiecare β ∈ α notăm cu
Sβ(A) = {b | b : β → A}
mulțimea șirurilor cu valori în A, indexate dup ă β. Fie
S(A, α) = ∪β ∈ α Sβ(A) = {b | (∃β) (β ∈ α și b este func ție de la β la A)}
mulțimea șirurilor cu valori în A, indexate dup ă ordinale din α. Dacă s : α → A și β ∈ α,
atunci s |β ∈ Sβ(A) ⊆ S(A, α), deci exist ă f(s |β) ∈ A.
O relație de recuren ță este o func ție f : S(A, α) → A. Spunem c ă șirul s : α → A este definit
recurent de rela ția de recuren ță f dacă, ∀β ∈ α, avem :
s(β) = f(s |β).
4.22 Teorem ă. Fie α un ordinal și A o mul țime. Pentru orice rela ție de recuren ță
f : S(A, α) → A există un unic șir s : α → A care este definit recurent de f.
Demonstra ție. Unicitatea : presupunem c ă există două șiruri s : α → A și t : α → A,
definite recurent de f, astfel încît s ≠ t. Deci mul țimea { β ∈ α | s(β) ≠ t(β)} este nevid ă și are
un prim element π. Atunci s(γ) = t(γ), ∀γ ∈ π, adică s|π = t|π. Dar s(π) = f(s|π) = f(t|π) = t(π),
contradicție.

20 Reamintim c ă am identificat N cu ordinalul ω.

I.4. Ordinale, axioma infinit ății și mulțimea numerelor naturale
35
Existența: Notăm cu δ mulțimea ordinalelor β din α pentru care exist ă un șir sβ indexat
după β, definit recurent de f, adică: δ := {β ∈ α | ∃ sβ : β → A ∧(∀γ ∈ β → sβ(γ) = f(sβ|γ))}.
Evident, δ ⊆ α. Avem de ar ătat că δ = α.
Afirmăm că δ este un ordinal . E suficient s ă demonstr ăm că δ este segment ini țial (vezi
4.6). Observăm că ∅ ∈ δ (funcția ∅ : ∅ → A este definit ă recurent de f !), deci δ este
nevidă. Fie β ∈ δ. Vrem s ă arătăm că γ ∈ δ, ∀γ < β. Cum β ∈ δ, există s : β → A definit
recurent de f. Pentru s|γ avem, ∀λ ∈ γ : s|γ (λ) = s(λ) = f(s|λ) = f((s|γ)|λ), deci s|γ este definit pe γ
și este definit recurent de f. Astfel, γ ∈ δ.
Cum δ este ordinal și δ ⊆ α, avem δ = α sau δ ∈ α. Dacă δ = α, am terminat. Presupunem
prin absurd c ă δ ∈ α.
Observăm că, ∀β ∈ δ , șirul sβ definit recurent de f este unic determinat, din prima parte a
demonstra ției. Mai mult, ∀β ∈ δ și ∀γ ∈ β, restricția lui sβ la γ coincide cu sγ (tot din
unicitate ). Definim atunci s : δ → A prin : ∀β ∈ δ, s(β) = f(sβ). Definiția are sens: sβ este un șir
indexat dup ă β (unicul șir definit recurent pe β de f ) și există f(sβ) ∈ A.
Să demonstr ăm că s : δ → A este definit recurent pe δ de f, adică: ∀β ∈ δ are loc
s(β) = f(s|β). Comparînd cu defini ția lui s, aceasta revine la a ar ăta că ∀β ∈ δ, avem s|β = sβ.
Fie β ∈ δ și fie γ ∈ β. Avem, din cele de mai sus: s(γ) = f(sγ) = f(sβ |γ) = sβ(γ), ∀γ ∈ β. Deci
s|β(γ) = sβ(γ), ∀γ ∈ β, adică s|β = sβ.
Deci δ ∈ α și există s : δ → A definit recurent de f. Din defini ția lui δ, avem δ ∈ δ; absurd.†
Definițiile prin recuren ță pe un ordinal oarecare sînt cunoscute ca defini ții prin recurență
transfinită. Acest tip de defini ții se utilizeaz ă, între altele, în teoria dimensiunii laticelor și a
modulelor (vezi de exemplu N ĂSTĂSESCU [1983] ).
Prezentăm o proprietate foarte important ă a lui N, a cărei demonstra ție ilustreaz ă principiul
de demonstra ție prin induc ție. Se presupun cunoscute opera țiile de adunare și înmulțire în N și
proprietățile lor.
4.23 Teorem ă (Teorema împ ărțirii cu rest în N). Pentru orice numere naturale a, b, cu
b ≠ 0, există q, r ∈ N astfel încît a = bq + r și r = 0 sau r < b (q se nume ște cîtul iar r restul
împărțirii lui a la b ). În plus, q și r sînt unic determinate cu aceste propriet ăți.
Demonstra ție. Fie b ≠ 0 fixat. Demonstr ăm prin induc ție după a, aplicînd 4.17. Mai precis,
considerăm P(a): ∃q ∃r (q ∈ N ∧ r ∈ N ∧ a = bq + r ∧ r < b).
Pentru orice a < b, P(a) este adev ărată, luînd q = 0, r = a. Presupunem acum c ă a ≥ b și P(k)
este adev ărată, ∀k ∈ N, k < a. Să demonstr ăm P(a). Cum a ≥ b avem a − b ∈ N și a − b < a.
Deci are loc P(a − b): ∃q, r astfel încît a − b = bq + r și r < b, adică a = b(q + 1) + r, cu r < b.
Unicitatea: presupunem c ă a = bq + r = bt + s, cu r < b și s < b. Pentru a face o alegere, fie
q ≥ t, adică q − t ≥ 0. Atunci b(q − t) = s − r. Cum s < b, rezultă că s − r < b. Astfel,
b(q − t) < b, de unde ob ținem q − t = 0 și s − r = 0. †

36 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Teorema împ ărțirii cu rest este de o importan ță covîrșitoare în matematic ă. O prim ă
aplicație a ei este reprezentarea numerelor naturale într-o baz ă dată (vezi Exerci ții).
Un alt punct de vedere privind ordinalele este descris în continuare.
4.24 Defini ție. Fie (A, ≤) și (B, ≤) mulțimi ordonate. O aplica ție ϕ : A → B se nume ște
morfism de ordine (sau aplicație crescătoare ) dacă ∀x, y ∈ A, din x ≤ y rezultă ϕ(x) ≤ ϕ(y).
Morfismul ϕ se numește izomorfism de ordine dacă ϕ este bijectiv ă și inversa sa ϕ −1 este tot
morfism. Mul țimile ordonate (A, ≤) și (B, ≤) se numesc izomorfe dacă există măcar un
izomorfism de ordine ϕ : A → B, caz în care scriem A ≅ B.
4.25 Observa ție. Dacă (A, ≤) și (B, ≤) sînt total ordonate, atunci orice morfism bijectiv
ϕ : A → B este și izomorfism. Demonstra ți! Pentru mul țimi ordonate în general, nu orice
morfism bijectiv este izomorfism, dup ă cum arat ă exemplul aplica ției identitate
id : (N*, |) → (N*, ≤), unde (N*, |) este mulțimea numerelor naturale nenule înzestrat ă cu relația
de ordine divizibilitatea, iar ≤ este relația de ordine uzual ă.
Comparați rezultatul urm ător cu 4.9:
4.26 Propozi ție. Fie A și B mulțimi bine ordonate . Atunci are loc exact una din situa țiile:
A ≅ B; A izomorf cu un segment ini țial al lui B; B izomorf cu un segment ini țial al lui A. †
Clasa mul țimilor ordonate izomorfe cu o mul țime ordonat ă dată (A, ≤) se numește tipul de
ordine al lui (A, ≤). Orice mul țime bine ordonat ă este izomorf ă cu un unic ordinal:
4.27 Propozi ție. Fie (A, ≤) o mulțime bine ordonat ă. Atunci exist ă un unic ordinal (α, ∈)
izomorf cu (A, ≤). †
Astfel, pentru orice tip de bună ordine, exist ă un unic ordinal în acel tip (și, evident, orice
ordinal se afl ă într-un unic tip de bun ă ordine ). Din acest motiv, uneori prin ordinal se
înțelege un tip de ordine de mul țimi bine ordonate . Rezultatele enun țate arată echivalen ța
celor dou ă abordări.
I.5. Comentarii și complet ări privind axiomatica mul țimilor
În această secțiune vom discuta cu titlu informativ anumite aspecte ale teoriei axiomatice a
mulțimilor. Pentru detalii, se pot consulta lucr ări precum S CORPAN [1996], MANIN [1977].
Sistemul ZF propriu-zis con ține 4 axiome și o schem ă de axiome: axioma extensionalit ății,
axioma reuniunii, axioma mul țimii părților, schema de axiome a substitu ției și axioma
infinității.

I.5. Comentarii și completări privind axiomatica mul țimilor
37
Este de dorit ca orice teorie axiomatic ă (deci și ZF) să satisfacă următoarele propriet ăți:
Consisten ța (sau necontradictorietatea ) teoriei: din axiomele teoriei nu se poate deduce
simultan o propozi ție și negația ei (adică nu se poate ob ține o contradic ție). O teorie care nu
este consistent ă nu are nici o valoare științifică: dacă există o propozi ție p astfel încît p și ¬p
sînt adev ărate, atunci orice propozi ție q este adev ărată (ceea ce elimin ă orice interes în
stabilirea adev ărului unei propozi ții). Într-adev ăr, este clar c ă, dacă p și p → q sînt adevărate,
atunci q este adev ărată. Însă p e adevărată din ipotez ă, iar p → q este ¬p ∨ q, adevărată căci
¬p este adev ărată.
Independen ța axiomelor : nici o axiom ă nu este o consecin ță a celorlalte. O teorie în care
axiomele nu sînt independente nu este îns ă lipsită de interes (poate fi, cel mult, acuzat ă de
redundanță).
Problemele stabilirii consisten ței și independen ței unui sistem axiomatic sînt dificile și
profunde.
Strîns legat ă de problema consisten ței este modelarea unui sistem axiomatic. Se nume ște
model al unei teorii axiomatice o structur ă de obiecte care satisfac axiomele teoriei. Se pot da
exemple numeroase: un model al axiomelor geometriei plane este R×R, un model pentru
axiomele inelului este (Z, +, · ) etc. Are loc urm ătorul rezultat: o teorie axiomatic ă este
consistent ă dacă și numai dac ă are un model .
Se observ ă că, în exemplele de mai sus, modelele teoriilor sînt obiecte construite în cadrul
teoriei (axiomatice ) a mulțimilor (care este mai larg ă decît teoriile respective ). O teorem ă a lui
Gödel afirm ă, într-o exprimare neriguroas ă, că un model pentru o teorie axiomatic ă poate fi
construit doar într-o teorie mai larg ă. Așadar, un eventual model pentru ZF (care i-ar
demonstra consisten ța) nu ar putea fi construit decît într-o teorie mai larg ă. Însă ZF este
suficient de cuprinz ătoare pentru a putea servi drept fundament al întregii matematici; pe de
altă parte, verificarea consisten ței unei ipotetice teorii mai largi revine la construc ția unei
teorii și mai largi ș.a.m.d. Se vede c ă această cale nu conduce la o demonstra ție a consisten ței
teoriei ZF. Se poate doar presupune c ă teoria ZF nu conduce la apari ția de contradic ții (de
fapt, am v ăzut că a fost creat ă tocmai pentru a elimina contradic țiile apărute în teoria naiv ă a
mulțimilor ). În acest sens, este gr ăitor următorul citat din M ANIN [1977], p. 102:
Problema consisten ței formale a axiomelor Zermelo-Fraenkel trebuie s ă rămînă o chestiune de
credință, cu excep ția cazului cînd o eventual ă inconsisten ță formală este demonstrat ă. Pînă acum
toate demonstra țiile bazate pe aceste axiome nu au dus niciodat ă la o contradic ție; dimpotriv ă, au
deschis în fa ța noastră bogata lume a matematicilor clasice și moderne. Aceast ă lume are o
anumită realitate și o viață proprii, care depind în mic ă măsură de formalismele alese pentru a le
descrie. O descoperire a unei contradic ții în oricare din diversele formalisme, chiar dac ă ar apărea,
ar servi doar la clarificarea, rafinarea și poate reconstruc ția unor anumite idei, dar nu ar conduce la
falimentul lor, cum s-a întîmplat de mai multe ori în trecut.
Independen ța axiomelor are și ea legătură cu consisten ța. Să exemplific ăm aceasta pe cazul
unei noi axiome, axioma fund ării.

38 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Axioma fund ării (AF). Orice mul țime nevid ă conține un element de care este disjunct ă:
(∀a)[a ≠ ∅ → (∃b)(b ∈ a ∧ b∩a = ∅)].
Acest enun ț implică: Nici o mul țime nu este element al ei îns ăși. Într-adev ăr, dacă avem o
mulțime x astfel încît x ∈ x, atunci { x} contrazice axioma fund ării: singurul element al lui { x}
este x și avem x∩x nevidă, căci conține pe x. Mai mult, nu exist ă „lanțuri de mul țimi” de
forma x0 ∈ x1 ∈ x2 ∈ … ∈ xn ∈ x0. Dacă ar exista un asemenea lan ț, atunci mul țimea
{x0, x1, …, xn} contrazice AF (de ce? ). La fel, nu poate exista un șir (xn)n ∈ ω astfel încît
xn + 1 ∈ xn, ∀n ∈ ω. AF își datoreaz ă numele faptului c ă, pentru orice mul țime x, orice lan ț de
forma x , x0 , x1 , … , xn , … este finit și se termin ă cu ∅: ∃n astfel încît
x , x0 , x1 , … , xn , ∅: orice șir descresc ător (față de relația ∈) este finit și „fundat” pe
∅.21
S-a demonstrat c ă, dacă acceptăm că ZF este consistent ă, atunci ZF + AF (sistemul ZF la
care se adaug ă AF) nu conduce la contradic ții. Aceast ă probare a consistenței relative a AF
s-a realizat prin construirea unui model (în cadrul ZF ) care satisface ZF + AF. În plus, s-a
construit un alt model (tot în cadrul ZF ) care satisface ZF și negația AF. Din aceste dou ă
rezultate se vede c ă AF este independent ă de ZF (nu poate fi dedus ă din axiomele ZF ).
Un alt rezultat în aceast ă direcție este demonstrarea independen ței axiomei infinit ății față
de restul axiomelor ZF , printr-un procedeu principial asem ănător cu cel de mai sus.
Axioma alegerii (AC)22 este o nou ă axiomă care joac ă un rol deosebit în matematic ă,
datorită faptului c ă, pe de o parte, are un enun ț aparent „evident”; pe de alt ă parte, are un
caracter neconstructiv care i-a atras multe critici. Exist ă multe enun țuri echivalente cu aceast ă
axiomă. În formularea lui Zermelo, AC se enun ță:
Pentru orice mul țime A în care elementele sînt disjuncte dou ă cîte două 23, există o mulțime
care conține exact un element din fiecare mul țime nevid ă din A :
(∀A)[(∀x)(∀y)(x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ x ≠ y) → x∩y = ∅] →
(∃c)[(∀x)(x ∈ A ∧ x ≠ ∅) → (∃z)(c∩x = {z}].
Altfel spus, putem „alege” cîte un element din fiecare mul țime nevid ă din A și forma cu ele
o nouă mulțime. Controversele privind aceast ă axiomă provin și din faptul c ă se postuleaz ă
existența unei astfel de mul țimi și implicit a unui „procedeu de alegere” a unui element dintr-o
mulțime nevid ă. În 1963 s-a demonstrat c ă AC nu poate fi dedus ă din ZF. În majoritatea
matematicilor contemporane, AC este acceptat ă alături de ZF, în sistemul numit ZFC.
Există numeroase enun țuri echivalente cu Axioma Alegerii. Iat ă cîteva:

21 Astfel, întregul univers descris de ZF și AF este "creat" pornind de la ∅ (universul "von Neumann", vezi
MANIN [1977], p. 95-102).
22 Acronimul expresiei Axiom of Choice.
23 Reamintim c ă elementele lui A sînt tot mul țimi.

I.5. Comentarii și completări privind axiomatica mul țimilor
39
Principiul bunei ordon ări (Zermelo 1904 ). Orice mul țime nevid ă A poate fi bine ordonat ă
(există o relație de bună ordine pe A ).
Produsul cartezian al unei familii de mul țimi nevide este nevid .
Pentru orice mul țime a, exist ă o funcție de alegere f : a → ∪a (adică f are proprietatea c ă,
∀x ∈ a, x ≠ ∅ → f(x) ∈ x). 24
Pentru orice func ție surjectiv ă ϕ : E → F există ψ : F → E astfel încît ϕψ = idF.
Lema lui Zorn . Fie (A, ≤) o mulțime ordonat ă nevidă în care orice submul țime total
ordonată este majorat ă (mulțime „inductiv ordonat ă”). Atunci A con ține un element maximal.
Lema lui Zorn este folosit ă în algebr ă în demonstrarea unor teoreme importante: existen ța
unei baze într-un spa țiu vectorial oarecare, existen ța idealelor maximale într-un inel, existen ța
închiderii algebrice a unui corp comutativ.
În continuare prezent ăm cîteva no țiuni de teoria cardinalilor . Pentru o tratare mai în
detaliu, vezi M IRON , NĂSTĂSESCU [1974], S CORPAN .
5.28 Defini ție. Fie A și B două mulțimi. Spunem c ă A și B sînt echipotente (sau că sînt
cardinal echivalente , sau că au același cardinal ) dacă există o bijecție f : A → B. Scriem
atunci A ∼ B sau | A | = | B |.
Pentru orice mul țimi A, B, C , au loc:
a) A ∼ A (reflexivitate );
b) Dacă A ∼ B, atunci B ∼ A (simetrie );
c) Dacă A ∼ B și B ∼ C, atunci A ∼ C (tranzitivitate ).
Astfel, putem spune c ă relația de echipoten ță " ∼ " este o rela ție de echivalen ță pe clasa
mulțimilor. Clasa25 tuturor mul țimilor echipotente cu o mul țime dată A se numește cardinalul
mulțimii A și se noteaz ă card A sau | A |. Spunem c ă A este o mul țime finită cu n elemente
(n ∈ N) dacă A ∼ {1, …, n} și atunci not ăm | A | = |{1, …, n}| =: n. O mulțime care nu este fi-
nită se numește infinită. Se poate demonstra c ă: mulțimea A este infinit ă ⇔ există o funcție
injectivă ϕ : A → A care nu este surjectiv ă ⇔ există o funcție injectiv ă ψ : N → A.
Dacă | A | = | N |, spunem c ă A este o mul țime numărabilă.
Se introduce o relație de ordine între cardinali: spunem c ă | A | ≤ | B | dacă există o funcție
injectivă ϕ : A → B. Definiția este corect ă: dacă A ∼ A', B ∼ B' și există o funcție injectiv ă
ϕ : A → B, atunci exist ă o există o funcție injectiv ă ϕ' : A' → B' (demonstra ți!).
Se verific ă imediat c ă, pentru orice mul țimi A, B, C are loc:
a) | A | ≤ | A | (reflexivitate );
b) | A | ≤ | B | și | B | ≤ | C | implică | A | ≤ | C | (tranzitivitate );

24 Altfel spus, func ția f "alege" cîte un element f(x) din fiecare mul țime nevid ă x ∈ a.
25 Nu putem vorbi de " mulțimea tuturor mul țimilor echipotente cu A".

40 I. Logic ă, mulțimi, axiome

Are loc urm ătoarea teorem ă important ă, care arat ă că ≤ este și antisimetric ă (deci are
într-adevăr aceleași proprietăți ca o rela ție de ordine ).
5.29 Teorem ă. (Cantor-Schröder-Bernstein ) Fie A și B două mulțimi. Dacă | A | ≤ | B | și
| B | ≤ | A |, atunci | A | = | B |.
Demonstra ție. Idee: să găsim D ⊆ A astfel încît A \ D ⊆ Img și α : A → B, dată de:
()()
() ⎩⎨⎧
∉∈=−Da agDa afaă dacă dac
1α
să fie o bijec ție (faceți un desen! ). Trebuie s ă avem atunci A \ D = g(B \ f(D)), adică
D = A \ g(B \ f(D)).
Pentru a g ăsi D ca mai sus, definim ϕ : P(A) → P(A), ϕ(E) := A \ g(B \ f(E)), ∀E ∈ P(A).
Noi căutăm un D cu ϕ(D) = D.
Se arată ușor că ϕ este cresc ătoare : dacă E ⊆ F, atunci ϕ(E) ⊆ ϕ(F).
Definim M := {E ⊆ A | E ⊆ ϕ(E)}. Evident, M este nevid ă căci, de exemplu, ∅ ∈ M.
Fie D := ∪{E | E ∈ M}. Să arătăm că ϕ(D) = D. Avem ϕ(D) = ϕ(∪{E | E ∈ M}) =
∪{ϕ(E) | E ∈ M} ⊇ ∪{E | E ∈ M} = D. Deci D ⊆ ϕ(D). Aplicînd ϕ acestei incluziuni, ob ținem
ϕ(D) ⊆ ϕ(ϕ(D)) adică ϕ(D) ∈ M. De aici, D = ∪{E | E ∈ M} ⊇ ϕ(D). Astfel, ϕ(D) = D. Lăsăm
cititorului verificarea faptului c ă α este bijec ție. †
Relația de ordine ≤ este și totală (demonstra ția face apel la Axioma Alegerii):
5.30 Teorem ă. Oricare ar fi dou ă mulțimi A, B, are loc | A | ≤ | B | sau | B | ≤ | A |. †
Această ultimă proprietate este echivalent ă cu Axioma Alegerii.
Exerciții
1. Fie A, B mulțimi. Scrie ți o expresie a limbajului formal care s ă semnifice c ă:
a) Mulțimea A nu este inclus ă în mulțimea B.
b) A ≠ B (folosiți doar rela ția de apartenen ță).
b) Dacă f : A → B este o func ție, iar C, D ⊆ A, scrieți că f(C) = f(D).
2. Demonstra ți că axioma infinit ății este echivalent ă cu enunțul: Există un ordinal infinit.
3. Demonstra ți că clasa ordinalelor On nu este mul țime („paradoxul Burali-Forti” ).
4. Demonstra ți că reuniunea unei mul țimi A de ordinale este un ordinal și este marginea
superioară a lui A în On.
5. Un ordinal se nume ște ordinal limit ă dacă nu are un predecesor. Ar ătați că ω este cel mai
mic ordinal limit ă și că axioma infinit ății este echivalent ă cu afirma ția: Există un ordinal
limită. Care este succesorul lui ω?

I.5. Comentarii și completări privind axiomatica mul țimilor
41
6. Arătați că ordinalul α este ordinal limit ă dacă și numai dac ă α = sup { β | β ∈ α} (margine
superioară în On).
7. Inducția transfinit ă (pe clasa ordinalelor On) se face adesea distingînd cazul ordinalelor
limită. Mai precis, demonstra ți că dacă o expresie P(x) are propriet ățile:
a) P(∅) adevărată;
b) ∀α [(On(α) ∧ P(α)) → P(α + 1)];
c) Pentru orice ordinal limit ă λ, dacă P(β) adevărată, ∀β < λ, atunci P(λ) adevărată,
atunci P(α) adevărată pentru orice ordinal α.
8. Axioma infinit ății face referire la mul țimea vidă ∅, a cărei existen ță rezultă din existen ța
măcar a unei mul țimi. Dar acest lucru este asigurat de axioma infinit ății. Cum se poate ie și din
acest (aparent ) cerc vicios?
9. Arătați că, pentru orice mul țime A, are loc | P(A) | > | A |.
10. (Reprezentarea unui num ăr în baza b) Fie b un număr natural nenul fixat (numit bază de
numerație). Demonstra ți că, ∀a ∈ N, există și sînt unice n ∈ N* și c0, …, cn − 1 ∈ {0, 1, …,
b − 1}, astfel încît
a = cn − 1bn − 1 + … + c1b + c0 (R)
În cazul în care are loc egalitatea (R) de mai sus, se mai scrie a = cn − 1…c1c0;⎯,
scriere numit ă reprezentarea lui a în baza b . Numerele naturale 0, 1, …, b − 1 se numesc
cifre26 în baza b (pentru scrierea concret ă se dau b simboluri care reprezint ă aceste cifre și nu
se folose ște bara superioar ă, scrisă aici pentru a evita confuzia cu produsul cn − 1…c1c0).
Uneori, în nota ție, se mai specific ă baza b, ca indice. De exemplu, 105 7 = 54 10. (Ind. Din
teorema împ ărțirii cu rest aplicat ă lui a și b, ∃! q, r ∈ N astfel încît a = bq + r. Se pune c0 = r
și se repetă procedeul pentru q – sau, mai riguros, se aplic ă o inducție după a. Pentru unicitate,
se observ ă că c0 este restul împ ărțirii lui a la b și se aplică o inducție după cel mai mic num ăr
de cifre din ipoteticele reprezent ări ale lui a în baza b).
11. Reprezenta ți în baza 10 numerele 1011 2, 1212 3. Scrieți în bazele 2, 7, 16, numerele 129 10,
1152 10.

26 A se remarca distinc ția între număr și cifră (într-o baz ă fixată). De exemplu, cifrele în baza 16 (sistem
hexadecimal ) sînt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, unde A reprezint ă pe 10 (scris în baza zece ), B pe
11, …

42 II. Mulțimi factor și construc ții de structuri numerice
fundamentale
Presupunînd cunoscut ă mulțimea N a numerelor naturale, înzestrat cu opera țiile de
adunare și înmulțire (cu propriet ățile cunoscute ) și cu structura sa de ordine uzual ă (N este o
mulțime bine ordonat ă), se pune problema construirii celorlalte structuri numerice de baz ă:
Z, Q, R, C, la care putem ad ăuga inelele de clase de resturi Zn.
Se impune un comentariu privind no țiunea de „num ăr”. În multe c ărți se pun întreb ări
(probleme ) de genul „ce este numărul (eventual ra țional sau real sau complex )”, urmînd ca
autorul să dea un răspuns de natur ă filozofică sau matematic ă. Noțiunea de număr (privit ca
element individual, izolat ) nu are o semnifica ție deosebit ă în matematic ă, mult mai important ă
fiind cea de structură pe o mul țime numeric ă. Astfel, de pild ă mulțimea R a numerelor reale
este important ă prin structurile cu care este înzestrat ă: structura algebrică de corp comutativ,
cea de ordine (este total ordonat ă și orice submul țime majorat ă are supremum ), cea topologic ă
derivată din acestea (este spațiu metric complet ); un număr real, luat ca element individual al
lui R, nu poate fi pus nicidecum în leg ătură cu astfel de propriet ăți. Insistăm asupra acestei
distincții pentru c ă o conștientizare a ei î și poate pune amprenta și asupra stilului de predare a
acestor concepte fundamentale.
II.1. Rela ții de echivalen ță și mulțimi factor
Relațiile de echivalen ță sînt un instrument esen țial în matematic ă, mai ales în problemele
de construcții de obiecte (structuri ) noi. Vom descrie un procedeu general, construcția
mulțimii factor (cît) în raport cu o rela ție de echivalen ță, care, aplicat în diverse cazuri
particulare, duce la construc ții importante. Trebuie subliniat c ă mulțimea factor ob ținută se
înzestreaz ă cu o structur ă care este de obicei legat ă de structura mul țimii inițiale (ceea ce
presupune o compatibilitate între rela ția de echivalen ță și structura ini țială). Această metodă
permite construc ția unor structuri matematice importante: Z (construit ca mul țime factor a lui
N × N), Q (mulțime factor a lui Z × Z*; același procedeu d ă în general inele și corpuri de
fracții), R (mulțime factor a mul țimii șirurilor Cauchy de numere ra ționale ), C (mulțime factor

II.1. Rela ții de echivalen ță și mulțimi factor
43
a inelului de polinoame R[X]). Remarc ăm că majoritatea construc țiilor în matematic ă sînt
mulțimi factor în raport cu o anumit ă relație de echivalen ță: produsul tensorial a dou ă module,
grupul liber pe o mul țime, spațiile proiective din geometrie, spa țiile Lp din analiz ă, … și lista
este departe de a fi complet ă.
Fie A o mulțime și ρ o relație de echivalen ță pe A. Mulțimea
{x ∈ A | xρa}
poartă numele de clasa de echivalen ță a elementului a relativ la rela ția ρ și se noteaz ă cu a ;[.
Se folosesc adesea multe alte nota ții, depinzînd de cazul particular ales și de dorin ța de a
include sau nu rela ția ρ în notație. De exemplu, clasa lui a se mai noteaz ă Ca, a ;−, a ;[ρ, [a]ρ
etc.
Dacă pentru elementele a și b are loc aρb, mai spunem c ă a și b sînt echivalente modulo ρ.
1.1 Defini ție. Mulțimea claselor de echivalen ță în raport cu rela ția ρ se numește mulțimea
cît (sau factor ) a lui A în raport cu ρ și se noteaz ă cu A/ρ. Deci A/ρ := {a ;[| a ∈ A}.
1.2 Propozi ție. Fie ρ o relație de echivalen ță pe A. Atunci:
a) ∀a ∈ A are loc a ∈ a ;[ (deci a ;[ este nevid ă).
b) ∀a, b ∈ A, avem: a ;[ = b ;[ ⇔ aρb.
c) ∀a, b ∈ A, are loc fie a ;[ = b ;[, fie a ;[∩ b ;[ = ∅.
d) ∪
Aaa
∈ˆ = A. †
O mulțime P de submul țimi nevide ale lui A, disjuncte dou ă cîte două, a căror reuniune
este A, este numit ă partiție a lui A. Mai precis, avem:
a) ∀B (B ∈ P) → B ≠ ∅ ;
b) ∀B [(B ∈ P) ∧ (C ∈ P) ∧ (B ≠ C)]→ ( B ∩ C = ∅);
c) ∪{B | B ∈ P} = A.
Propoziția anterioar ă nu spune altceva decît c ă mulțimea factor a lui A în raport cu o
relație de echivalen ță este o parti ție a lui A. Reciproc, orice parti ție poate fi ob ținută dintr-o
relație de echivalen ță:
1.3 Propozi ție. Fie P o partiție a mulțimii A. Atunci rela ția ρ definită prin:
∀a, b ∈ A, aρb ⇔ ∃B ∈ P astfel încît a ∈ P și b ∈ P
este o rela ție de echivalen ță pe A și P este chiar mul țimea cît A /ρ. †
În aplicații, mulțimea inițială are de obicei o structură (algebrică, topologic ă, de ordine,… ),
iar relația de echivalen ță este compatibil ă cu structura dat ă (sensul precis al acestei
compatibilit ăți fiind definit în fiecare caz în parte; în general, defini ția este „natural ă”). Atunci
mulțimea factor ob ținută va moșteni o structur ă de acela și tip ca mul țimea inițială. Vom
prezenta exemple de aplicare în algebr ă a acestei construc ții fundamentale (trecerea de la o
mulțime la mul țimea factor în raport cu o rela ție de echivalen ță) în paragrafele urm ătoare.

44 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

Un concept important este cel de sistem de reprezentan ți.
1.4 Defini ție. Fie ρ o relație de echivalen ță pe mulțimea A. Spunem c ă submulțimea S ⊆ A
este un sistem de reprezentan ți 27 pentru clasele de echivalen ță (modulo ρ) dacă orice element
din A este echivalent modulo ρ cu exact un element din S. Intuitiv, un sistem de reprezentan ți
se obține „alegînd” din fiecare clas ă de echivalen ță cîte un element („reprezentantul” clasei
respective ). Astfel S este sistem de reprezentan ți dacă și numai dac ă:
(∀a ∈ A)(∃s ∈ S)(aρs) ∧ (∀s, t ∈ S)( (sρt) → s = t).
1.5 Exerci ții. a) Fie rela ția de echivalen ță definită pe R2 (identificat cu un plan în care s-a
ales un sistem de coordonate Oxy): (x, y)~(z, t) ⇔ x = z. Clasele de echivalen ță sînt dreptele
paralele cu Oy. Un sistem de reprezentan ți este (de exemplu ) {(x,0) | x ∈ R}. Mulțimea factor
R2/~ este în bijec ție cu R. Cum se poate defini o rela ție de echivalen ță pe R2 astfel încît
clasele de echivalen ță să fie dreptele paralele cu o dreapt ă fixată ce trece prin origine, de
ecuație y = αx?
b) Puteți defini o rela ție de echivalen ță pe R2 astfel încît clasele de echivalen ță să fie
cercurile concentrice cu centrul în origine? Dar p ătrate centrate în origine, cu laturile paralele
cu axele? Dar p ătrate centrate în origine, cu laturile paralele cu bisectoarele sistemului de axe?
c) Pe R definim rela ția de „congruen ță modulo Z”: pentru x, y ∈ R, spunem c ă
x ≡ y (mod Z) dacă x − y ∈ Z. Un sistem de reprezentan ți este dat de intervalul [0, 1 ). Acesta
este un caz particular de grup factor (în cazul nostru R/Z).
d) Închiderea tranzitiv ă a unei rela ții. Fie ρ o relație pe mulțimea A. Definim o nou ă relație
τρ pe A, astfel: ∀a, b ∈ A, aτρ b ⇔ ∃n ∈ N și x1, …, xn ∈ A astfel încît a = x1, b = xn și
xi ρ xi + 1, i = 1,…, n − 1. Atunci τρ este o rela ție tranzitivă pe A. Mai mult, τρ este cea mai
mică (în sensul incluziunii ) relație tranzitiv ă pe A care include rela ția ρ.
II.2. Inelul numerelor întregi
Necesitatea consider ării numerelor negative apare din considerente practice, binecunoscute
cititorilor (pentru a modela situa ții precum: temperaturi negative, datorii în conturi bancare
etc.), dar și din considerente matematice: diferen ța a două numere naturale nu este întotdeauna
definită ca un num ăr natural. Formulat altfel, nu pentru orice a, b ∈ N ecuația x + a = b are
soluții x ∈ N.

27 O denumire mai corect ă, dar mai greu de manipulat, este sistem complet și independent de reprezentan ți.

II.2. Inelul numerelor întregi
45
De aici apare și ideea de a concepe un „num ăr întreg negativ” ca o diferență de numere
naturale. Bineîn țeles, pentru o „diferen ță” dată există mai multe (chiar o infinitate de ) perechi
de numere naturale care au aceea și diferență: de exemplu perechile (0, 1), (1, 2), (2, 3), … au
aceeași diferență (numărul întreg −1). A r t r e b u i d e c i s ă vedem un num ăr întreg ca pe o
pereche de numere naturale (de forma (a, b)), cu conven ția că „se consider ă egale” dou ă
perechi (a, b) și (c, d) dacă a − b = c − d. Cum scăderea nu este definit ă pentru orice pereche
de numere naturale, rescriem aceast ă condiție sub forma a + d = b + c. Exprimăm riguros
aceste considera ții euristice:
Pe mulțimea N × N se consider ă relația ~, definit ă prin:
∀(a, b), (c, d) ∈ N × N : (a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c
Se demonstreaz ă (verificați!) că aceasta este o rela ție de echivalen ță. O clasă de echivalen ță
în raport cu aceast ă relație o numim număr întreg , iar mulțimea factor N × N/~ se nume ște
mulțimea numerelor întregi și se noteaz ă cu Z.
Notația Z provine de la cuvîntul german zahl (pronunțat țal, cu un a lung ), care înseamn ă
număr. A se observa grafia (Z și nu Z ), litera Z scrisă astfel fiind rezervat ă exclusiv not ării
mulțimii numerelor întregi (după cum N este folosit ă exclusiv pentru mul țimea numerelor
naturale ).
Nu ne putem opri aici cu construc ția. Trebuie ar ătat că obiectul pe care l-am construit
(riguros ) satisface toate propriet ățile pe care ne-am a ștepta să le aibă mulțimea numerelor
întregi: „include” mul țimea N, orice num ăr întreg este sau num ăr natural, sau opusul unui
număr natural, este definit ă o adunare și o înmulțire în raport cu care este inel, este o mul țime
total ordonat ă, iar ordinea este compatibil ă cu adunarea și înmulțirea.
Mai întîi s ă determin ăm un sistem de reprezentan ți. Mulțimea
Z := {(a, 0) | a ∈ N} ∪ {(0, a) | a ∈ N*}
este sistem de reprezentan ți: dacă a ≥ b, atunci (a, b) ~ (a − b, 0), iar dac ă a < b, atunci
(a, b) ~ (0, b − a). Vom identifica numărul natural a cu clasa de echivalen ță a lui (a, 0) (lucru
permis de faptul c ă aplicația care duce a în (a, 0) este injectiv ă de la N la N × N/~,
demonstra ți!) și vom nota cu − a clasa de echivalen ță a lui (0, a). Ce mai trebuie verificat
pentru a demonstra c ă Z, definit mai sus, este sistem de reprezentan ți?
Cu aceste identific ări, putem scrie:
Z = {a | a ∈ N} ∪ { − a | a ∈ N*}.
Să definim operațiile de adunare și înmulțire pe Z (pornind de la cele de pe N). Pentru
aceasta, se definesc opera ții pe clasele de echivalen ță din Z = N × N/~, folosind reprezentan ți
oarecare, urmînd s ă se demonstreze c ă nu depind de reprezentan ți și deci sînt corect definite.
De exemplu, notînd cu (a, b);⎯ ∈ N × N/~ clasa lui (a, b) ∈ N × N, definim
(a, b);⎯ + (c, d);⎯ := (a + c, b + d);⎯.

46 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

Bineînțeles, a + c semnific ă suma în N a numerelor naturale a și c. Operația este corect
definită.28 Aceasta înseamn ă că, ∀(a, b), (c, d) ∈ N × N cu (a, b) ~ (a', b') și (c, d) ~ (c', d'),
atunci (a + c, b + d) ~ (a' + c', b' + d'). Verificarea este u șoară și constă în aplicarea defini țiilor
relației de echivalen ță și a operației + .
Invităm cititorul s ă defineasc ă înmulțirea, să demonstreze corectitudinea defini ției și
proprietățile uzuale ale opera țiilor, care confer ă lui Z structură de inel comutativ și unitar,
fără divizori ai lui 0 (se mai spune c ă Z este inel integru sau domeniu de integritate ).
Relația de ordine pe Z: fie (a, b), (c, d) ∈ N × N. Spunem c ă (a, b);⎯ ≤ (c, d);⎯ dacă și
numai dac ă a + d ≥ b + c în N (de ce am definit astfel? ). Demonstra ți corectitudinea defini ției
și faptul că se obține o relație de ordine total ă pe Z = N × N/~.
Se mai pot defini opera țiile pe Z (respectiv rela ția de ordine pe Z) folosind sistemul de
reprezentan ți Z de mai sus și operațiile din N (cum? ). Ce avantaje și dezavantaje au cele dou ă
abordări?
O funcție deosebit de important ă este func ția valoare absolut ă (sau modul ) | | : Z → Z,
⎩⎨⎧
< −≥=00
x xx xxdacădacă
Importanța acestei func ții apare în leg ătură cu faptul c ă Z este inel euclidian , adică are loc:
2.1 Teorem ă. (Teorema împ ărțirii cu rest în Z) Pentru orice numere întregi a, b, cu b ≠ 0,
există q, r ∈ N, astfel încît a = bq + r, cu r = 0 sau |r| < |b| (q se nume ște cît, iar r rest al
împărțirii lui a la b). Dacă se impune și r > 0, q și r sînt unic determinate cu aceste
proprietăți. †
II.3. Corpul numerelor ra ționale. Inele și corpuri de frac ții
În gimnaziu, se introduc mai întîi doar numerele ra ționale pozitive , din motive didactice.
Această distincție oarecum artificial ă nu își are locul aici. Din punct de vedere algebric,
construcția lui Q pornind de la Z este principial aceea și cu construc ția corpului de frac ții al
unui inel integru oarecare R .
Introducerea lui Q este motivat ă, printre altele, de imposibilitatea efectu ării unor împ ărțiri
în Z. De exemplu, nu este definit rezultatul (cîtul) împărțirii lui 3 la 2; altfel spus, ecua ția
3x = 2 nu are solu ții în Z. Mai general, dac ă b, a ∈ Z și a nu divide b, ecuația bx = a nu are

28 Subliniem c ă necesitatea demonstr ării corectitudinii defini ției apare tot timpul cînd se dau defini ții pe o
mulțime factor, folosind reprezentan ți oarecare ai claselor.

II.3. Corpul numerelor ra ționale. Inele și corpuri de frac ții
47
soluții în Z. Apare ideea (similară cu aceea de la construc ția precedent ă a lui Z) de a
introduce o nou ă mulțime de numere (numerele raționale ) ca fiind „toate cîturile posibile de
numere întregi”. De exemplu, cîtul împ ărțirii lui 3 la 2 va fi „num ărul rațional” („fracția”) 3/2.
Deoarece acela și cît este dat și de împărțirea lui 6 la 4 (sau a lui 9 la 6 etc. ), este necesar s ă
precizăm cînd două fracții a/b și c/d sînt egale . Aceasta revine la a defini o rela ție de
echivalen ță pe mulțimea perechilor de forma (a, b), cu a, b ∈ Z, b ≠ 0 (o fracție va fi o clas ă
de echivalen ță de perechi ). Relația de echivalen ță este definit ă de
∀ (a, b), (c, d) ∈ Z×Z*, (a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = bc.
Cititorul poate demonstra u șor că este vorba într-adev ăr de o rela ție de echivalen ță.
O clasă de echivalen ță (un element al mul țimii Z×Z*/∼) este notat ă cu a/b sau ba și este
numit (ă) fracție; a este numărătorul , iar b este numitorul fracției a/b. Mulțimea frac țiilor
(mulțimea cît Z×Z*/∼) se noteaz ă prin tradi ție cu Q (de la inițiala cuvîntului quotient , care
înseamnă cît în englez ă și în francez ă). Mulțimea Z se poate identifica cu o parte a lui Q:
numărul întreg a se identific ă cu fracția 1a. Pe Q se introduc opera țiile de adunare și
înmulțire, inspirate de regulile cunoscute din gimnaziu (aducerea la acela și numitor etc. ):
∀ a/b, c/d ∈ Q, bdac
dc
ba
bdbc ad
dc
ba=⋅+= + : ; :
Ca și la construc ția lui Z, trebuie ar ătat că definițiile sînt corecte (nu depind de alegerea
reprezentan ților fracțiilor) și că Q, înzestrat cu aceste opera ții, este inel comutativ unitar
(elementul nul este frac ția 0/1, iar elementul unitate este frac ția 1/1). Mai mult, Q este corp:
orice element nenul ba are invers fa ță de înmul țire: ab
ba=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−1
.
Importanța construc ției de mai sus dep ășește cadrul elementar al construc ției lui Q; aceeași
idee, cu modific ări minore, se aplic ă la construcția inelului de frac ții al unui inel comutativ
relativ la un sistem multiplicativ închis al său, construc ție fundamental ă în toată matematica.
3.1 Defini ție. Fie R un inel comutativ unitar. O submul țime nevid ă S a lui R se numește
sistem multiplicativ închis dacă 1 ∈ S și, oricare ar fi x, y ∈ S, rezultă xy ∈ S.
3.2 Observa ție. Ideea care motiveaz ă introducerea no țiunii de mai sus este urm ătoarea: se
dorește o construc ție a unei mul țimi de frac ții cu numitori din S . Cum produsul a doi numitori
trebuie să fie tot un numitor, este natural ă impunerea condi ției ca S să fie parte stabil ă la
înmulțire. De asemenea, este natural ă considerarea frac țiilor cu numitorul 1 (adică 1 ∈ S).
Exemple de sisteme multiplicative închise: Z* = Z \ {0} în Z; Z \ 2Z în Z; K[X] \ {0} în K[X]
(cu K un corp fixat și K[X] inelul polinoamelor cu coeficien ți în K).

48 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

Fixăm un inel comutativ unitar R și un sistem multiplicativ închis S al său. Ghidîndu-ne
după echivalen ța binecunoscut ă tb
sa= ⇔ at = bs, enunțăm următoarea:
3.3 Defini ție. Pe mulțimea R × S se define ște următoarea relație:
∀ (a, s), (b, t) ∈ R×S, scriem (a, s) ∼ (b, t) dacă și numai dac ă at = bs. (D)
Dacă 0 ∉ S și S nu conține divizori ai lui zero în R (un element nenul x ∈ R se nume ște
divizor al lui zero dac ă ∃y ∈ R, y ≠ 0, astfel încît xy = 0), atunci rela ția definită este relație de
echivalen ță (Exercițiu!).
În cazul în care S poate con ține divizori ai lui zero este necesar ă modificarea defini ției (D) :
∀ (a, s), (b, t) ∈ R × S, (a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S astfel încît u(at − bs) = 0. (D')
Este clar c ă, dacă S nu conține divizori ai lui zero și 0 ∉ S, (D) și (D') coincid.
Arătăm că D' este rela ție de echivalen ță:
– reflexivitatea: ∀(a, s) ∈ R × S, avem (a, s) ∼ (a, s) căci ∃1 ∈ S astfel încît 1 (as − as) = 0.
– simetria: dacă (a, s) ∼ (b, t), atunci ∃u ∈ S astfel încît u(at − bs) = 0, deci u(bs − at) = 0,
adică (b, t) ∼ (a, s).
– tranzitivitatea: fie (a, s), (b, t), (c, u) ∈ R × S, astfel încît (a, s) ∼ (b, t) și (b, t) ∼ (c, u). Din
definiție, rezultă că ∃x ∈ S astfel încît x(at − bs) = 0 și ∃y ∈ S astfel încît y(bu − ct) = 0. Vrem
să obținem o rela ție de forma z(au − cs) = 0, pentru un z ∈ S. Înmulțind cu uy, respectiv sx,
obținem:
uyxat − uyxbs = 0
sxybu − sxyct = 0
Adunînd membru cu membru și observînd c ă uyxbs = sxybu , rezultă uyxat − sxyct = 0,
adică xyt(au − cs) = 0. Cum xyt ∈ S (sistem multiplicativ închis ), aceasta înseamn ă că
(a, s) ∼ (c, u).
3.4 Defini ție. Fie (a, s) ∈ R × S. Clasa de echivalen ță a lui (a, s) în raport cu rela ția ∼ se
notează cu sa sau a/s și se nume ște fracție (de numitor s și numărător a). Mulțimea
R × S/∼ (mulțimea claselor de echivalen ță în raport cu rela ția ∼) se noteaz ă cu S −1R. Deci
S −1R := { a/s | a ∈ R, s ∈ S}.
Direct din defini ție rezultă regula de „amplificare a frac țiilor” cu numitori din S:
tsta
sa= , ∀s, t ∈ S, ∀a ∈ R.
Înzestrăm S −1R cu o structur ă de inel, inspirîndu-ne din regulile uzuale de adunare și
înmulțire a două fracții. Fie (a, s), (b, t) ∈ R × S. Definim:
stsbta
tb
sa +=+:
stab
tb
sa=⋅:

II.3. Corpul numerelor ra ționale. Inele și corpuri de frac ții
49
3.5 Propozi ție. Operațiile + și · pe S −1R sînt bine definite și înzestreaz ă pe S −1R cu o
structură de inel comutativ și unitar. Elementele 0 și 1 în S −1R sînt:
s0
100 == , ∀s ∈ S;
ss==111 , ∀s ∈ S.
Aplicația ϕ : R → S −1R, ϕ(a) = a/1, ∀a ∈ R, este un morfism unitar de inele, numit
morfismul canonic (deci S −1R este o R -algebră comutativ ă (vezi defini ția III.1.1 )).
Demonstra ție. Adunarea este corect definit ă. Fie (a, s), (b, t), (a', s'), (b', t') ∈ R × S, astfel
încît (a, s) ∼ (a', s') și (b, t) ∼ (b', t'). Avem de ar ătat că (ta + sb, st ) ∼ (t'a' + s'b', s't' ). Fie u,
v ∈ S astfel încît u(s'a − sa') = 0 și v(t'b − tb') = 0. Înmulțim prima egalitate cu tt'v și a doua cu
ss'u și le adunăm. Obținem
vu ((ta + sb)s't' − (t'a' + s'b')st) = 0.
Restul verific ărilor sînt l ăsate cititorului. †
Observăm că orice s ∈ S are imaginea prin ϕ inversabil ă în S −1R: ϕ(s) = s/1 are inversul
1/s. Deci construc ția efectuat ă rezolvă problema pus ă la început: chiar dac ă ecuația sx = b nu
are soluții în R (unde s ∈ S), în S −1R există soluția x = sb. Această proprietate a inelului de
fracții este foarte important ă (vezi 3.9 mai jos ).
3.6 Observa ție. a) Avem: x /1 = 0 în S −1R ⇔ ∃s ∈ S astfel încît sx = 0. Acest fapt este
imediat din defini ție.
b) Morfismul ϕ este injectiv ⇔ S nu conține divizori ai lui 0.
Într-adevăr, fie ϕ injectiv. Dac ă, prin absurd, s ∈ S este divizor al lui 0, atunci ∃x ∈ R,
x ≠ 0, astfel încît xs = 0. Atunci ϕ(x) = x/1 = 0 (căci sx = 0), contradic ție cu injectivitatea lui ϕ.
Reciproca e propus ă ca exerci țiu.
c) Dacă 0 ∈ S, atunci S −1R este inelul nul (căci a/s = 0/1, ∀a ∈ R, ∀s ∈ S: ∃0 ∈ S astfel
încît 0· a = 0). De aceea, în definiția sistemului multiplicativ închis se pune adesea condi ția
0 ∉ S.
3.7 Cazuri particulare importante. Dacă R este inel integru și S = R \ {0} , atunci S −1R
este corp, numit corpul total de frac ții al lui R și notat uneori cu Q (R). Într-adevăr, orice
fracție nenulă a/b (a, b ∈ R, b ≠ 0) are inversul b/a. În particular, Q(Z) = Q (corpul de frac ții
al lui Z este Q). Corpul de frac ții al unui inel de polinoame K[X] (unde K este corp) se
notează cu K(X) și se nume ște corpul frac țiilor raționale cu coeficien ți în K.
3.8 Teorem ă. (Proprietatea de universalitate a inelului de frac ții) Fie R un inel unitar,
comutativ și S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci S −1R este un inel comutativ unitar și
ϕ : R → S −1R este un morfism unitar astfel încît ϕ(s) este inversabil în S, ∀s ∈ S. Mai mult:

50 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

Pentru orice inel comutativ unitar T și orice morfism unitar γ : R → T astfel încît γ(s) este
inversabil în T, ∀s ∈ S, există un unic morfism de inele g : S −1R → T astfel încît γ = gϕ.
Demonstra ție. Definim g(a/s) = γ(a)(γ(s)) −1, ∀a ∈ R, ∀s ∈ S. Lăsăm cititorului verificarea
faptelor c ă g este corect definit, c ă este morfism și că este unic astfel încît γ = gϕ. †
În termeni de R-algebre , partea a doua a teoremei se formuleaz ă echivalent: pentru orice
R-algebră comutativ ă T de morfism structural γ : R → T, astfel încît γ(s) este inversabil în T,
∀s ∈ S, există un unic morfism de R-algebre g : S −1R → T.
Teorema urm ătoare exprim ă faptul că proprietatea de universalitate a inelului de frac ții
determină inelul de frac ții pînă la un (unic) izomorfism:
3.9 Teorem ă. Fie R un inel unitar, comutativ și S un sistem multiplicativ închis în R.
Presupunem c ă B este un inel comutativ unitar și β : R → B este un morfism astfel încît:
Pentru orice inel comutativ unitar T și orice morfism unitar γ : R → T astfel încît γ(s) este
inversabil în T, ∀s ∈ S, există un unic morfism de inele g : B → T astfel încît γ = gβ.
Atunci exist ă un unic izomorfism unitar de inele h : S −1R → B astfel încît h ϕ = β.
Demonstra ție. Definim g(a/s) = γ(a)(γ(s)) −1, ∀a ∈ R, ∀s ∈ S. Lăsăm cititorului verificarea
faptului c ă definiția lui g este corect ă, că g este morfism și că este unicul astfel încît γ = gϕ. †
Un exemplu important, destul de genera l, de sistem multiplicativ închis și de inel de frac ții
corespunz ător este urm ătorul:
3.10 Propozi ție. Fie P un ideal prim în inelul R. Atunci S := R \ P este un sistem
multiplicativ închis în R și inelul de frac ții S −1R are un unic ideal maximal (este inel local ).
Demonstra ție. Condiția de ideal prim este: dac ă a, b ∉ P, atunci ab ∉ P, ceea ce arat ă că S
este sistem multiplicativ închis. Dac ă I ≤ R, I ∩ S ≠ ∅, atunci S −1I = S −1R. Într-adev ăr, dacă
s ∈ I ∩ S, atunci s/1 ∈ S −1I și este inversabil, deci S −1I = R. Așadar, idealele proprii în S −1R
sînt de forma J = S −1I, cu I ∩ S = ∅ (⇔ I ⊆ P), adică J ⊆ S −1P. Dar S −1P este ideal propriu:
dacă 1/1 = p/s, cu p ∈ P, s ∈ S, atunci ∃u ∈ S astfel încît u(s − p) = 0 ⇒ us ∈ P ⇒ u ∈ P sau
s ∈ P, contradic ție cu S = R \ P. Astfel, S −1P este unicul ideal maximal în S −1R. †
Dacă S = R \ P, cu P ideal prim, inelul de frac ții S −1R se noteaz ă de obicei prin RP și se
numește localizatul în P al lui R. Avantajul acestei treceri este c ă se reduc multe probleme
referitoare la idealul prim P din R la idealul maximal S −1P din localizatul S −1R. De exemplu,
dacă R este integru, atunci (0) este ideal prim și R(0) este corpul de frac ții al lui R.
Menționăm că se pot construi inele de frac ții – în anumite condi ții – și în cazul inelelor
necomutative (vezi de ex. N ĂSTĂSESCU [1976] ).
Revenim la corpul numerelor ra ționale Q, care, în terminologia de mai sus, este corpul
total de frac ții al lui Z. Rămîne să definim ordinea uzual ă pe Q.
3.11 Defini ție. Fie a/b și c/d ∈ Q, unde a, b, c, d ∈ Z, cu b, d > 0. Definim:

II.3. Corpul numerelor ra ționale. Inele și corpuri de frac ții
51
a/b ≤ c/d ⇔ ad ≤ bc.
Corectitudinea defini ției este propus ă ca exerci țiu.
3.12 Defini ție. Un corp comutativ (K, + , ·) se numește corp ordonat dacă este înzestrat cu
o relație de ordine total ă " ≤ " pe K astfel încît, ∀a, b, c ∈ K, au loc:
i) a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c;
ii) a ≤ b și c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc.
Q este un corp ordonat fa ță de relația de ordine uzual ă; mai mult, orice rela ție de ordine pe
Q în raport cu care acesta devine un corp ordonat coincide cu ordinea uzual ă (vezi Exerci ții).
O funcție deosebit de important ă pentru un corp ordonat K este valoarea absolut ă (modulul )
| | : K → K, definit la fel ca valoarea absolut ă pe Z:
⎩⎨⎧
< −≥=00
x xx xxdacădacă
Exerciții
1. Fie Z[X] inelul polinoamelor cu coeficien ți în Z. Atunci Q(Z[X]) (corpul de frac ții al lui
Z[X]) este izomorf cu corpul frac țiilor raționale Q(X) := Q(Q[X]).
2. Este adev ărat că, dacă inelele integre R și S au proprietatea Q(R) ≅ Q(S), rezultă că R ≅ S?
3. Demonstra ți că orice element din Q se poate scrie ca o frac ție a/b, cu a, b ∈ Z și b > 0.
4. Fie I un ideal în inelul R. Atunci S −1I := {a/s | a ∈ I, s ∈ S} este ideal în S −1R. Mai mult,
orice ideal din S −1R este de forma S −1I, cu I ideal în R.
5. Demonstra ți că relația de ordine uzual ă pe Q (vezi def. II.3.11 ) este corect definit ă și Q
devine corp ordonat.
6. Fie (K, + , ·, ≤) un corp ordonat, cu element nul 0 și element unitate 1. Atunci, ∀a, b, c ∈ K,
au loc: a) a ≤ b ⇒ − a ≥ − b; b) 0 < 1; c) 0 < n·1, ∀n ∈ N; d) 0 < a și 0 < b ⇒ 0 < ab și
0 < a −1; e) 0 < a < b ⇒ 0 < b −1 < a −1.
În particular, car K = 0 (adică n·1 ≠ 0, ∀n ∈ N*) și există un unic morfism de corpuri
ϕ : Q → K (cf. proprietatea de universalitate II.3.8 aplicat ă funcției n 6 n·1 de la Z la K).
Morfismul ϕ este cu necesitate injectiv; ar ătați că este și morfism de ordine.
7. Demonstra ți că relația de ordine uzual ă este singura rela ție de ordine pe Q în raport cu care
acesta devine corp ordonat.
8. Fie K un corp ordonat. Demonstra ți că funcția valoare absolut ă | | : K → K are propriet ățile
uzuale ale modulului: a) ∀x ∈ K ⇒ |x| ≥ 0; b) ∀x ∈ K, are loc: |x| = 0 ⇔ x = 0; c) ∀x, y ∈ K
⇒ |x + y| ≤ |x| + |y| (inegalitatea triunghiular ă); d) ∀x, y ∈ K ⇒ |x·y| = |x|·|y|.

52 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

9. Arătați că nu orice submul țime nevid ă majorată a lui Q are margine superioar ă.
II.4. Inele de clase de resturi Zn, inele factor
În mod tradi țional, structurile „numerice” N, Z, Q, R, C sînt considerate de baz ă în
matematic ă; cînd se face referire la no țiunea de „num ăr”, este de obicei vorba de un element
al uneia din aceste mul țimi. Acest loc privilegiat este asigurat, în mare m ăsură, de rolul
important pe care îl au aceste structuri în modelarea lumii reale (deși numerele complexe au
fost mult timp privite ca ni ște creații pur abstracte 29), lucru reflectat în importan ța ce li se
acordă în manualele de liceu și gimnaziu.
Considerăm că și structurile Zn (inelele de clase de resturi modulo n) merită să ocupe un
loc alături de aceste structuri, m ăcar din urm ătoarele motive:
– construc ția lor riguroas ă este intuitiv ă și simplă (în compara ție cu cea a lui R, de
exemplu ), iar cunoa șterea lor de c ătre elevi prezint ă evidente avantaje didactice.
– generalizarea direct ă la inele factor deschide calea c ătre metodele algebrei moderne.
– au aplica ții semnificative în matematic ă (mai ales în probleme de divizibilitate ).
– calculatoarele, tehnologia informa ției și a comunica țiilor digitale (reprezentarea
numerelor în calculator, implementarea opera țiilor cu ele, codurile corectoare de erori,
criptografia, securitatea datelor, … ), omniprezente în via ța de astăzi, folosesc în mod intens
inelele și corpurile finite , între care inelele de tip Zn sînt cele mai la îndemîn ă.
Prezentăm mai întîi, pe scurt, etapele construcției inelului de clase de resturi modulo n , Zn.
Apoi vom da construc ția general ă a inelului factor al unui inel R în raport cu un ideal I al său.
Inelele factor intervin în multe alte construc ții importante în matematic ă: corpurile R și C,
corpurile finite; o construc ție asemănătoare celei a lui R (construit pornind de la Q și valoarea
absolută uzuală pe Q) permite ob ținerea corpurilor de numere p-adice (pornind de la Q, un
număr prim p și valoarea absolut ă p-adică pe Q).
Fie n un număr întreg, fixat (numit modul ).
4.1 Defini ție. Spunem c ă numerele întregi a și b sînt congruente modulo n dacă n divide
a − b. Scriem aceasta sub forma a ≡ b (mod n).
4.2 Propozi ție. Relația „ ≡ (mod n)” de congruen ță modulo n este o rela ție de echivalen ță
pe Z. †

29 Vezi, de exemplu, sintagma "num ăr pur imaginar"…

II.4. Inele de clase de resturi Zn, inele factor
53
Pentru orice a ∈ Z, se noteaz ă cu a;[ clasa lui a în raport cu rela ția de congruen ță modulo
n. Avem deci a;[ = {b ∈ Z | a ≡ b (mod n)}. Observ ăm că notația este ambigu ă, în sensul c ă
nu precizeaz ă modulul (numărul n); este deci necesar ă atenție și notații adecvate pentru
evitarea confuziilor ce pot ap ărea în cazul folosirii mai multor rela ții de congruen ță. Mulțimea
factor Z/≡ (mod n) (adică {a;[ | a ∈ Z}) se noteaz ă cu Zn și se nume ște mulțimea claselor de
resturi modulo n .
4.3 Exerci țiu. a) Ce devine rela ția de congruen ță modulo n și mulțimea Zn dacă n = 0 sau
n = 1?
b) Două numere întregi a și b sînt congruente modulo n dacă și numai dac ă „dau acela și
rest la împ ărțirea cu n”.
Pe Zn se pot defini dou ă operații (numite adunarea , respectiv înmulțirea modulo n ), în
raport cu care Zn devine inel comutativ și unitar . Pentru orice a, b ∈ Z, definim:
a;[ + b;[ := a + b;[
a;[ · b;[ := a · b;[
Demonstrarea corectitudinii defini țiilor de mai sus (adică independen ța de alegerea
reprezentan ților) și a axiomelor inelului este propus ă cititorului.
Vom aplica ideea construc ției de mai sus într-o situa ție mai general ă. În acest scop,
observăm că putem defini rela ția de congruen ță modulo n pe Z și în felul urm ător:
Notăm nZ := {nk | k ∈ Z}. Avem atunci, ∀a, b ∈ Z:
a ≡ b (mod n) ⇔ a − b ∈ nZ.
Mai mult, se vede imediat c ă a;[ = {a + nk | k ∈ Z}, motiv pentru care a;[ se mai noteaz ă
cu a + nZ. Deci, 0;[ = nZ, 1;[ = 1 + nZ etc.
Mulțimea nZ este ideal în Z, în sensul c ă este parte stabil ă la adunare și, ∀x ∈ Z, ∀a ∈ nZ,
rezultă că xa ∈ nZ (nZ este parte stabil ă la înmulțirea cu orice element din Z).
Mai general, dac ă R este inel (presupus pentru simplitate comutativ și unitar ), o
submulțime nevid ă I a sa se nume ște ideal în R (fapt notat I ≤ R) dacă satisface condi țiile:
– ∀a, b ∈ I, rezultă a + b ∈ I;
– ∀a ∈ I, ∀r ∈ R, rezultă ra ∈ I.
Se observ ă imediat c ă orice ideal I al lui R este subgrup al grupului aditiv
(R, +) (demonstra ți!) și deci 0 ∈ I. Idealul I se numește propriu dacă I ≠ R.
Propoziția următoare arat ă că ideea de construc ție a lui Zn pornind de la Z și un ideal al s ău
(de forma nZ) se generalizeaz ă cuvînt cu cuvînt la cazul unui inel R și al unui ideal I al său.30

30 Afirmațiile rămîn valabile pentru un inel nu neap ărat comutativ R și un ideal bilateral I al lui R.

54 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

Demonstra ția constă în verificarea direct ă a propriet ăților enunțate și o lăsăm cititorului (și
poate fi g ăsită în orice carte introductiv ă de algebr ă „modern ă”).
4.4 Propozi ție. Fie R un inel comutativ unitar și I un ideal al s ău.
a) Relația (de congruență modulo I), definită de:
a ≡ b (mod I) ⇔ a − b ∈ I
este o rela ție de echivalen ță pe I. Notînd cu a;[ = {b ∈ R | a ≡ b (mod I)} (numită clasa lui a
modulo I), are loc a;[ = {a + x | x ∈ I} (a;[ se mai noteaz ă a + I din acest motiv ).
b) Relația de congruen ță modulo I este compatibil ă cu adunarea și înmulțirea din R, în
sensul că, ∀a, a', b, b' ∈ R, au loc implica țiile:
a ≡ a' (mod I) și b ≡ b' (mod I) ⇒ a + b ≡ a' + b' (mod I) și a·b ≡ a'·b' (mod I).
c) Opera țiile pe mul țimea factor R /I := {a;[ | a ∈ R}, date de:
a;[ + b;[ := a + b;[ și a;[·b;[ ≡ a·b;[, ∀a, b ∈ R,
sînt corect definite și înzestreaz ă pe R/I cu o structur ă de inel comutativ unitar (numit inelul
factor al lui R în raport cu I).
d) Aplica ția π : R → R/I, π(r) = r;[ = r + I, ∀r ∈ R, este un morfism surjectiv de inele
(numit surjecția canonic ă a inelului factor R/I). †
În termeni mai pu țin riguroși, trecerea de la inelul R la inelul factor R/I „duce toate
elementele din I în zero” sau „anuleaz ă elementele lui I”. Multe afirma ții referitoare la idealul
I în R se traduc prin afirma ții referitoare la idealul 0 în R/I (un exemplu este 4.8 ), idee aplicat ă
adesea în ra ționamente.
4.5 Observa ție. Are loc o afirma ție reciproc ă celei de la b): dacă ρ este o rela ție de
echivalen ță pe inelul R care este compatibil ă cu operațiile de pe R (∀a, a', b, b' ∈ R cu aρa' și
bρb' ⇒ (a + b)ρ(a' + b') și (a·b)ρ(a'·b')), atunci clasa de echivalen ță a lui 0 în raport cu ρ (adică
Iρ := {a ∈ R | a ρ0}) este ideal în R și ρ coincide cu rela ția de congruen ță modulo Iρ. Pe de alt ă
parte, o rela ție de echivalen ță pe R, cu proprietatea c ă mulțimea factor poate fi înzestrat ă cu
două operații după regula de la c) din propozi ția de mai sus, trebuie s ă fie o rela ție
compatibil ă cu structura de inel (pentru a asigura corectitudinea defini țiilor! ). Apare în acest
fel legătura strîns ă dintre no țiunea de ideal într-un inel și cea de inel factor.
Este de a șteptat ca un rol esen țial în ce prive ște propriet ățile inelului factor R/I să îl aibă
idealul I. În acest sens, sînt importante urm ătoarele no țiuni:
4.6 Defini ție. Fie R un inel comutativ. Un ideal P al lui R se nume ște ideal prim dacă
P ≠ R și oricare ar fi x, y ∈ P, din xy ∈ P rezultă x ∈ P sau y ∈ P. Un ideal M al lui R se
numește ideal maximal dacă M ≠ R și nu există ideale proprii ale lui R care includ strict pe M:
pentru orice J ≤ R, din M ≤ J rezultă M = J sau J = R.

II.4. Inele de clase de resturi Zn, inele factor
55
4.7 Exemple. a) Dacă p este un num ăr întreg prim (∀a, b ∈ Z, dacă p divide produsul ab,
atunci p|a sau p|b), atunci idealul generat de p în Z, notat pZ, este ideal prim în Z. Reciproc,
dacă pZ este ideal prim, atunci p este num ăr prim.
b) Un ideal I este maximal în inelul R dacă este element maximal al mul țimii ordonate (cu
incluziunea ) a idealelor proprii ale lui R. În inelul Z, orice ideal este de forma nZ, cu n ∈ Z.
De aici rezult ă că idealul nZ este maximal dac ă și numai dac ă n este num ăr prim. Într-adev ăr,
fie nZ ideal maximal. Atunci, ∀m ∈ Z, din nZ ⊆ mZ rezultă nZ = mZ sau mZ = Z; cu alte
cuvinte, din m|n rezultă m = ±n sau m = ±1. Aceasta înseamn ă că n este ireductibil (nu are alți
divizori decît cei triviali, ±n și ±1), deci prim. Reciproca se ob ține în acela și mod.
c) Inelul R este integru dac ă și numai dac ă (0) este ideal prim.
d) Dacă K este corp, (0) este singurul s ău ideal propriu, deci (0) este și ideal maximal și
ideal prim.
4.8 Teorem ă. Fie R un inel comutativ și I un ideal propriu în R.
a) I este ideal prim dac ă și numai dac ă inelul factor R /I este integru (adică 0 este ideal
prim în R /I).
b) I este ideal maximal dac ă și numai dac ă inelul factor R /I este corp (adică 0 este ideal
maximal în R /I).
Demonstra ție. a) Fie I un ideal prim. Fie α = a + I, β = b + I (cu a, b ∈ R) elemente din
R/I. Dacă αβ = 0, atunci (a + I)(b + I) = 0 + I, adică ab ∈ I. Cum I este prim, ob ținem a ∈ I
sau b ∈ I, adică a + I = α = 0 + I sau b + I = β = 0 + I. Așadar, R/I este integru. Reciproc,
presupunem c ă R/I este integru și fie a, b ∈ R cu ab ∈ I. Aceasta înseamn ă că
(a + I)(b + I) = 0 + I, deci a + I = 0 + I sau b + I = 0 + I. Astfel, a ∈ I sau b ∈ I.
b) Presupunem c ă I este ideal maximal în R. Vrem să arătăm că orice element nenul al
inelului R/I este inversabil. Fie deci α = a + I, cu α ≠ 0 + I, deci a ∉ I. Atunci idealul generat
de I și a, adică I + Ra, include strict pe I; din maximalitatea lui I obținem I + Ra = R. În
particular, 1 ∈ R se scrie sub forma i + ra, cu i ∈ I și r ∈ R. Avem deci
1 + I = (ra + i) + I = ra + I = (r + I)(a + I), ceea ce arat ă că a + I este inversabil. Fie acum R/I
corp și J un ideal care include strict pe I. Există așadar x ∈ J, x ∉ I. Aceasta înseamn ă că
x + I ≠ 0 + I, deci x + I este inversabil în R/I. Putem scrie atunci 1 + I = (r + I)(x + I), cu r ∈ R,
adică există i ∈ I astfel încît 1 = rx + i. De aici rezult ă că 1 ∈ J, adică J = R. †
Propoziția de mai sus d ă un procedeu simplu și valoros, des utilizat, de a construi corpuri
ca inele factor în raport cu ideale maximale . Această metodă apare, între altele, la
construcțiile corpurilor finite, a lui R și C. De exemplu, Zp = Z/pZ, inelul claselor de resturi
modulo p (unde p este un num ăr prim ) este un corp finit.
4.9 Observa ție. a) Idealul I este maximal în R dacă și numai dac ă ∀x ∈ R cu x ∉ I, rezultă
că ∃i ∈ I și r ∈ R astfel încît i + rx = 1 (vezi demonstra ția precedent ă).

56 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

b) Dacă ϕ : R → S este un morfism surjectiv de inele, atunci exist ă o coresponden ță
bijectivă, care păstrează incluziunile, între idealele lui R care includ Ker ϕ și idealele lui S.
Coresponden ța asociază idealului J în R idealul ϕ(J) (imaginea lui J prin ϕ), care este ideal în
S. Aplicînd aceast ă afirmație situației în care I este ideal maximal în R și surjecției canonice
π : R → R/I (cu Ker π = I), rezultă că R/I nu are ideale proprii în afar ă de 0 și R/I (căci
singurele ideale în R care să includă pe I sînt I și R). Dar un inel comutativ care nu are alte
ideale în afar ă de 0 și inelul însu și este corp (demonstra ți!).
4.10 Corolar. Orice ideal maximal este prim. †
Reciproca este fals ă: idealul (X) al inelului Z[X] este prim și nu este maximal, dup ă cum se
vede considerînd inelul factor: []()X XZ ≅ Z, care e integru dar nu e corp. Propunem
cititorului s ă demonstreze aceste fapte cu ajutorul defini țiilor.
Tot în leg ătură cu idealele maximale, are loc urm ătorul rezultat, care folose ște în mod
esențial Lema lui Zorn:
4.11 Teorem ă. (Lema lui Krull 31) Fie R un inel unitar comutativ. Atunci orice ideal
propriu al lui R este inclus într-un ideal maximal. În particular, R are ideale maximale.
Demonstra ție. Fie I ≤ R R, I ≠ R. Notăm cu P mulțimea idealelor proprii ale lui R, care
includ pe I. P este o mul țime ordonat ă cu incluziunea; elementele ei maximale (dacă există!)
sînt exact idealele maximale ale lui R, care includ pe I. Vom folosi lema lui Zorn pentru a
demonstra existen ța elementelor maximale în P. Fie deci un lan ț (Ej)j∈J, cu Ej ∈ P, ∀i ∈ J.
Acest lan ț de ideale are un majorant în P, anume ∪j∈J Ej =: E. Într-adev ăr, E este ideal32: dacă
x, y ∈ E, atunci exist ă i, j ∈ J cu x ∈ Ei, y ∈ Ej; cum (Ej)j∈J este lanț, rezultă că Ei ⊆ Ej sau
Ej ⊆ Ei. Deci x − y ∈ Ej (căci Ej ≤ R R) sau x − y ∈ Ei. În orice caz, x − y ∈ E. La fel se
demonstreaz ă că ∀r ∈ R, ∀x ∈ E, rezultă rx ∈ E. Deci E este ideal, care include evident pe I.
Trebuie s ă demonstr ăm și că E ≠ R. Dacă, prin absurd, E = R, atunci 1 ∈ E = ∪j∈J Ej, deci
există j ∈ J cu 1 ∈ Ej. Însă atunci Ej = R, contradic ție cu Ej ∈ P (Ej este ideal propriu! ).
Din lema lui Zorn, exist ă un element maximal al lui P.
Luînd I = 0, rezultă existența unui ideal maximal în R. †
Aplicații la criterii de divizibilitate . Utilizarea congruen țelor (a inelelor de resturi )
modulo n) conduce la demonstrarea rapid ă (și chiar fabricarea ) de criterii de divizibilitate
pentru numere scrise într-o anumit ă bază (de obicei baza 10 ). Iată un exemplu binecunoscut:

31 Wolfgang Adolf Ludwig Helmuth Krull (1899-1971), matematician german cu importante contribu ții în
algebră.
32 În general, reuniunea unei familii oarecare de ideale nu este ideal.

II.4. Inele de clase de resturi Zn, inele factor
57
4.12 Propozi ție. (Criteriul de divizibilitate cu 3) Un număr scris în baza 10 este divizibil
cu 3 dacă și numai dac ă suma cifrelor sale este divizibil ă cu 3.
Demonstra ție. Fie a = cn − 1…c1c0;⎯ un număr în baza 10, cu ci ∈ {0, …, 9}. Vom
demonstra, mai general, c ă a ≡ ∑ci (mod 3 ). Dar (toate congruen țele sînt modulo3 ):
a ≡ ∑ci10i ≡ ∑ci1i ≡ ∑ci,
căci 10 ≡ 1 (mod 3 ). †
Ideea care st ă la baza tuturor criteriilor de divizibilitate cu d pentru numere scrise în baza b
este aceea și cu cea de mai sus: fiind dat a = cn − 1…c1c0;⎯ în baza b, se calculeaz ă
a ≡ ∑i ≥ 0 cibi (mod d). Pentru aceasta, se calculeaz ă bi modulo d, pentru i = 0, 1, … . Se poate
demonstra c ă acest șir este periodic (cu posibila excep ție a unui num ăr finit de termeni ), adică
există k, t ∈ N, t > 0, astfel încît bi ≡ bi + t(mod d), ∀i ≥ k.
4.13 Exerci ții. a) (Criteriul de divizibilitate cu 9 ) Un număr scris în baza 10 este divizibil
cu 9 dacă și numai dac ă suma cifrelor sale este divizibil ă cu 9.
b) (Criteriul de divizibilitate cu 2, respectiv 5, respectiv 10 ) Un număr scris în baza 10 este
divizibil cu 2 (respectiv 5, respectiv 10 ) dacă și numai dac ă ultima sa cifr ă (c0) este divizibil ă
cu 2 (respectiv 5, respectiv 10 ).
c) Generaliza ți a) și b) pentru o baz ă oarecare b.
d) (Criteriul de divizibilitate cu 7 )33 Restul împ ărțirii la 7 a unui num ăr
cn − 1…c1c0;⎯ scris în baza 10 este acela și cu restul împ ărțirii la 7 a lui
c0 + 3c1 + 2c2 − c3 + 4c4 + 5c5 + c6 + 3c7 + …
4.14 Teorem ă. (Lema chinez ă a resturilor ) Fie R inel comutativ, n ≥ 2 și I1,…, I n ideale ale
lui R.
a) Dacă Ii + Ij = R pentru i ≠ j,34 atunci produsul 35 I1·…·I n este egal cu intersec ția
I1 ∩…∩ In și există un izomorfism natural de inele ( și de R-module):
n n n IR
IR
I IR
I IR××≅ =⋅⋅…∩…∩ …1 1 1 , r + I1 ∩…∩ In 6 (r + I1, …, r + In), ∀r ∈ R.
b) Reciproc, dac ă morfismul ϕ : R →
nIR
IR××…
1, ϕ(r) = (r + I1, …, r + In), ∀r ∈ R este
surjectiv (inducînd un izomorfism
n n IR
IR
I IR××≅…∩…∩1 1, ca mai sus), atunci idealele I i și
Ij sînt comaximale pentru i ≠ j.

33 Utilitatea practic ă acestui criteriu este discutabil ă…
34 Idealele Ii și Ij se numesc în acest caz comaximale . De exemplu, idealele Za și Zb ale lui Z sînt
comaximale dac ă și numai dac ă a și b sînt prime între ele.
35 Reamintim c ă produsul IJ a două ideale I și J este idealul generat de mulțimea produselor ij, cu i ∈ I, j ∈ J.
Se arată ușor că produsul de ideale este asociativ și că întotdeauna IJ ⊆ I ∩ J.

58 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

Demonstra ție. a) Aplicăm o induc ție după n pentru a demonstra c ă I1·…·I n = I1 ∩…∩ In și
că are loc izomorfismul cerut. Pentru n = 2, din I1 + I2 = R deducem c ă există x ∈ I1, y ∈ I2
astfel încît x + y = 1. Fie z ∈ I1 ∩ I2. Atunci z = z·1 = zx + zy, cu zx, zy ∈ I1·I2, adică
I1 ∩ I2 ⊆ I1I2. Astfel, I1 ∩ I2 = I1I2.
Fie ϕ : R →
2 1IR
IR×, ϕ(r) = (r + I1, r + I2), ∀r ∈ R. E ușor de văzut că ϕ este morfism de
inele și de R-module (este produsul direct al surjec țiilor canonice R → R/Ij). Avem
Kerϕ = {r ∈ R| (r + I1, r + I2) = (0 + I1, 0 + I2)} = I1 ∩ I2; teorema de izomorfism asigur ă că
R/I1 ∩ I2 ≅ Imϕ. E suficient a șadar să demonstr ăm surjectivitatea lui ϕ. Fie (r1 + I1,
r2 + I2) ∈
2 1IR
IR×. Trebuie s ă găsim r ∈ R cu r − r1 ∈ I1, r − r2 ∈ I2. Un astfel de element este
r = r1 y + r2 x. Într-adev ăr,
r − r1 = r1y + r2x − r1x − r1y = (r2 − r1)x ∈ I1.
Analog se arat ă că r − r2 ∈ I2.
Presupunem c ă pentru orice k < n și orice ideale I1,…, Ik, comaximale dou ă cîte două, are
loc I1·…·I k = I1 ∩…∩ Ik și are loc izomorfismul cerut. Fie n ideale I1,…, In ca în enun ț. Din
Ij + In = R, 1 ≤ j ≤ n − 1, rezultă că există aj ∈ Ij, bj ∈ In astfel încît aj + bj = 1. Înmulțind aceste
n − 1 egalități membru cu membru ob ținem
()∏−
=+1
1n
jj jba = a1·…·a n−1 + b = 1, unde b ∈ In, a1·…·a n−1 ∈ I1·…·I n−1.
Deci I1·…·I n−1 + In = R. Aplicînd cazul n = 2 idealelor comaximale I1·…·I n−1 și In, rezultă că
I1·…·I n−1·In = (I1·…·I n−1) ∩ In = (I1 ∩…∩ In−1) ∩ In (am folosit și ipoteza de induc ție I1·…·I n−1 =
I1∩…∩ In−1). Mai rezult ă că:
()n n n n IR
I IR
I I IR×⋅⋅≅⋅ ⋅⋅− − 1 1 1 1 … … prin r + I1·…·In 6 (r + I1…In−1, r + In), ∀r ∈ R.
Folosind ipoteza de induc ție, avem izomorfismul:
1 1 1 1 − −××≅⋅⋅n n IR
IR
I IR……prin r + I1·…·In−1 6 (r + I1, …r + In−1), ∀r ∈ R.
Combinînd aceste izomorfisme, ob ținem rezultatul din enun ț.
b) Vom demonstra c ă I1 și I2 sînt comaximale. Fie (1 + I1, 0 + I2, …, 0 + In) ∈
nIR
IR××…
1.
Există y ∈ R astfel încît (y + I1, y + I2, …, y + In) = (1 + I1, 0 + I2, …, 0 + In), adică y ∈ I2 și
y − 1 =: x ∈ I1. Deci 1 = −x + y ∈ I1 + I2, adică I1 + I2 = R. †
4.15 Exemplu. În Z, idealele aZ și bZ sînt comaximale ⇔ (a, b) = 1. Avem în acest caz,
conform lemei chineze a resturilor, Z/abZ ≅ Z/aZ × Z/bZ (cu notațiile clasice pentru inelele
de clase de resturi Zab ≅ Za × Zb, izomorfismul fiind dat de x + abZ 6 (x + aZ, x + bZ). În
particular, pentru orice pereche de numere naturale (c, d) cu 0 ≤ c < a, 0 ≤ d < b, există un
unic x, 0 ≤ x < ab, astfel încît x ≡ c (mod a) și x ≡ d (mod b).

II.5. Corpul numerelor reale
59
II.5. Corpul numerelor reale
Necesitatea introducerii numerelor întregi și a celor ra ționale este aproape evident ă din
experiența imediat ă. Nu acesta este cazul numerelor reale, care au ap ărut din ra țiuni mai
profunde. Descoperirea de c ătre matematicienii Greciei antice c ă diagonala p ătratului de
lungime 1 nu poate fi exprimat ă ca un raport de numere întregi (în termeni moderni, ∉2Q)
a condus la o adev ărată criză a științei și filozofiei în acea vreme.
Imaginea intuitiv ă cea mai simpl ă despre R, care reflect ă cel mai bine structura de ordine,
este cea a punctelor de pe o dreaptă (alt concept abstract, dar mai accesibil gîndirii ), unde s-a
fixat un punct O (originea , corespunzînd lui 0 ) și un alt punct U, diferit de primul
(corespunz ător lui 1 și avînd rolul de a fixa unitatea de m ăsură pe acea dreapt ă). Orice num ăr
real corespunde în mod unic unui punct de pe dreapt ă: numărul real corespunz ător punctului P
este distanța de la O la P (dacă P este de aceea și parte ca și U față de O), respectiv distan ța de
la O la P luată cu semnul minus dac ă O este între U și P. Se contureaz ă astfel ideea intuitiv ă
că numerele reale „pot m ăsura orice distan ță”. Este semnificativ acest punct de vedere dac ă se
observă rolul esen țial pe care îl are R în defini ția general ă a spațiilor metrice (spații în care
este definit ă o noțiune de distanță).
În multe c ărți (între care și manualele de Analiz ă de liceu ) structura numerelor reale este
dată „axiomatic”: se nume ște corp al numerelor reale un corp comutativ (R, +, · ) înzestrat cu
o relație de ordine total ă " ≤ ", satisfăcînd propriet ățile:
R1. R este corp ordonat , adică ∀a, b, c ∈ R au loc:
a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c;
a ≤ b și c ≥ 0 ⇒ ac ≤ bc.
R2. Orice submul țime nevid ă majorată a lui R are margine superioar ă.
Evident, aceast ă definiție ridică două probleme: existența unei structuri cu propriet ățile de
mai sus și unicitatea sa. Unicitatea este tran șată de următorul rezultat:
5.1 Teorem ă. Pentru orice dou ă corpuri comutative ordonate (K, +, ·, ≤ ) și (L, +, ·, ≤ )
care satisfac proprietatea R2 există un unic izomorfism de corpuri ϕ : K → L, care este și
izomorfism de ordine: ∀x, y ∈ K, x ≤ y ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y). †
Problema existen ței se rezolv ă printr-o construcție efectivă a lui R, presupunînd dat Q.
Cele mai cunoscute procedee sînt construcția zecimal ă, construcția prin tăieturi în Q și
construcția cu ajutorul șirurilor Cauchy (șiruri fundamentale ). Construc ția folosind șirurile
Cauchy prezint ă avantajele elegan ței și rapidității și se folose ște și la alte construc ții
importante: completatul unui corp normat oarecare, completatul unui spa țiu metric,
completatul unui spa țiu vectorial normat .
Pentru edificarea cititorului, vom schi ța construc ția zecimal ă și apoi prezent ăm construc ția
cu șirurile Cauchy. Construc ția prin tăieturi, apar ținînd lui Dedekind, este descris ă la exerciții.

60 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

Construc ția zecimal ă a lui R (datorată lui Weierstrass36) identifică un număr real cu o
„fracție zecimal ă infinită”. De exemplu,
1,4142135623730950488016887242097…, 3,1415926535897932384626433832795…
sînt numerele reale 2 , respectiv π (de fapt, e vorba de „trunchieri” ale lor; nu am scris toate
zecimalele, din motive evidente de spa țiu…; ). Formal, se consider ă mulțimea :
ℜ = {b0,b1b2…bn… | b0 ∈ Z, bi ∈ {0, 1, …, 9}, ∀i ∈ N*}
Interpretarea intuitiv ă este: „ b0,b1b2…bn… este suma seriei b0 + ∑≥−⋅110ni
ib ” (dar,
evident, nu putem defini astfel un num ăr real. De ce? ).
Alegerea lui 10 ca baz ă este mai degrab ă legată de tradiție, în locul s ău putînd fi ales orice
număr natural b ≥ 2 (evident, avem atunci bi ∈ {0, 1, …, b − 1}, adică bi sînt cifre în baza b).
Apar însă probleme : 0,9999… , scris și ca 0, (9) („cu perioada 9” ) este de fapt 1 (formal
1,000… ), după cum se vede f ăcînd suma seriei corespunz ătoare; cum nu dorim ca un acela și
număr real să aibă două reprezent ări zecimale distincte, trebuie f ăcută următoarea
„identificare”: orice șir de forma b = b0,b1b2…bn… , cu proprietatea c ă ∃k ≥ 0 astfel încît
bi = 9, ∀i > k și bk < 9, este identificat cu șirul b0,b1b2…(bk + 1)000… (dacă k ≥ 1), respectiv
cu (b0 + 1),000… (dacă k = 0). Pentru rigurozitate, se define ște o relație de echivalen ță ~ pe ℜ,
ca mai sus, iar mul țimea factor ℜ/~ va fi prin defini ție R. Alte dificult ăți apar la definirea
adunării și înmulțirii a dou ă fracții zecimale infinite (de fapt a unor clase de echivalen ță din
ℜ/~), fiind necesar ă apelarea la opera țiile pe „trunchierile ra ționale” ale șirurilor respective și
la definirea unei no țiuni de limit ă în ℜ/~. Invităm cititorul s ă încerce s ă dea singur aceste
definiții și să demonstreze pe baza lor propriet ățile uzuale ale opera țiilor cu numere reale,
pentru a m ăsura dificult ățile construc ției. Avantajele acestei abord ări (în măsura detalierii
efective de c ătre cititor! ) constau în apropierea de imaginea intuitiv ă a conceptului de num ăr
real și la definirea relației de ordine , care coincide cu cea lexicografic ă37: se define ște
b0,b1b2…bn… < c0,c1c2…cn… ⇔ ∃k ∈ N astfel încît bk < ck și, ∀i < k, are loc bi = ci.
Construc ția lui R cu ajutorul șirurilor Cauchy (G. Cantor )
Q este un corp normat . Mai precis, aplica ția valoare absolut ă (sau modùl ) | · | : Q → Q,

⎩⎨⎧
< −≥=00
x xx xxdacădacă
are propriet ățile (binecunoscute ) următoare:
N1. ∀x ∈ Q are loc |x| ≥ 0.
N2. ∀x ∈ Q are loc |x| = 0 ⇔ x = 0.
N3. ∀x, y ∈ Q are loc |x + y| ≤ |x| + |y| (inegalitatea triunghiular ă).
N4. ∀x, y ∈ Q are loc |x·y| = |x|·|y|.

36 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897), matematician german, considerat "p ărintele analizei
moderne".
37 Lexicon = dic ționar. Pute ți spune de ce se nume ște așa ordinea definit ă?

II.5. Corpul numerelor reale
61
Altfel spus, valoarea absolut ă este o normă38. Cu ajutorul normei definim o distanță (o
metrică)39, adică o aplicație d : Q × Q → Q, d(x, y) := |x − y|, ∀(x, y) ∈ Q, cu propriet ățile:
D1. ∀x, y ∈ Q are loc d(x, y) = d(y, x) ≥ 0.
D2. ∀x, y ∈ Q are loc d(x, y) = 0 ⇔ x = 0.
D3. ∀x, y, z ∈ Q are loc d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (inegalitatea triunghiular ă).
Ca o consecin ță, se obține |x − y| ≥ ||x| − |y||, ∀x, y ∈ Q.
Metrica determin ă o topologie40 pe Q. Propriet ățile metrice și topologice ale lui Q nu sînt
prea bune, tocmai din cauzele amintite la început: nu orice șir de numere ra ționale „care ar
trebui să fie convergent la ceva” este convergent la un num ăr rațional (de exemplu, șirul
aproximărilor zecimale ale lui 2).
Construcția lui R cu șiruri Cauchy pornește de la ideea c ă un număr real este o „limit ă a
unui șir de numere ra ționale”. În loc s ă ne îndrept ăm atenția asupra unui tip particular de șiruri
de numere ra ționale, ca la construc ția zecimal ă (șirurile cu termen general de forma b0
+ ∑
=−⋅n
ii
ib
110 ), se consider ă toate șirurile de numere ra ționale (xn)n ≥ 1 „care au o limit ă, nu
neapărat în Q”.
Bineînțeles, nu orice șir de numere ra ționale „are o limit ă” în sens intuitiv (de exemplu
șirul ((−1)n)n ≥ 1). Pe de alt ă parte, nu putem defini „existen ța limitei” șirului (xn) direct (∃l
astfel încît xn → l), căci l este în general un num ăr real, concept pe care tocmai îl construim!
Din fericire, știm de la Analiz ă că șirurile care au limit ă în R sînt exact șirurile Cauchy
(noțiune în care nu apare explicit limita șirului ).
5.1 Defini ție. Șirul de numere ra ționale (xn)n ≥ 1 se nume ște șir Cauchy (sau șir
fundamental ) dacă satisface condi ția:
∀ε ∈ Q, ε > 0 ⇒ ∃N ∈ N astfel încît ∀m, n ≥ N să aibă loc | xm − xn| < ε.
Fie C := {(xn)n ≥ 1 | xn ∈ Q, ∀n ≥ 1, (xn)n ≥ 1 șir Cauchy}.
Putem aplica acum ideea intuitiv ă expusă la început și să definim dou ă șiruri (xn), (yn) ∈ C
ca fiind echivalente41 dacă „au aceea și limită”. Și această idee se poate exprima f ără a invoca
explicit valoarea limitei:
( xn)n ∼ (yn)n ⇔ ∀ε ∈ Q, ε > 0 ⇒ ∃N ∈ N astfel încît ∀n ≥ N să aibă loc | xn − yn| < ε. (R)
În sfîrșit, definim un număr real ca o clasă de echivalen ță de șiruri din C; mai precis,
mulțimea factor C/∼ o notăm cu R și o numim mulțimea numerelor reale . Se observ ă că orice

38 În general, o normă ia valori în R, pe care nu l-am construit înc ă… , deci titulatura este pu țin forțată.
39 Aceeași observație ca mai sus: o distanță ia în general valori reale.
40 Nu mai definim topologia, vezi orice manual de Analiz ă elementar ă.
41 Adică "definesc" acela și număr real.

62 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

număr rațional a poate fi identificat cu clasa în C/∼ a șirului constant (a, a,… ) ∈ C (adică am
obținut într-adev ăr o extindere a lui Q).
Rămîn sarcinile: de a defini opera țiile, de a demonstra corectitudinea defini țiilor și de a
verifica axiomele de corp comutativ pentru R. Apoi trebuie definit ă relația de ordine și arătat
că: R este total ordonat , relația de ordine este compatibil ă cu structura de corp și orice
submulțime nevid ă majorată are margine superioar ă.
Aceste sarcini se pot u șura considerabil dac ă folosim instrumente algebrice elementare:
ideale și inele factor . Observăm că C este inel comutativ unitar și că (xn)n ∼ (yn)n ⇔
(xn − yn) → 0 (unde scriem (zn) → 0 dacă ∀ε ∈ Q, ε > 0 ⇒ ∃N ∈ N astfel încît ∀n ≥ N să aibă
loc |zn| < ε). Dacă notăm
Z := {(zn)n ≥ 1 ∈ C | (zn) → 0 },
se demonstreaz ă că Z este ideal maximal în C (și relația "∼" coincide cu rela ția de congruen ță
modulo Z). Rezultă imediat atunci c ă R = C/Z este corp comutativ și cu aceasta se încheie
partea „algebric ă” a construc ției lui R. Notăm cu [ (xn)] imaginea în C/Z a șirului (xn) ∈ C.
Sumarizăm construc ția în următoarea:
5.2 Teorem ă. a) Mulțimea C a șirurilor Cauchy de numere ra ționale este un inel
comutativ unitar 42 în raport cu opera țiile de adunare și înmulțire definite „punctual”:
(xn)n + (yn)n := (xn + yn)n,
(xn)n·(yn)n := (xn·yn)n,
∀(xn), (yn) ∈ C.
b) Mulțimea Z = {(zn)n ≥ 1 ∈ C | (zn) → 0 } a șirurilor din C care au limita 0 este un ideal
maximal în C, deci inelul factor C/Z =: R este corp comutativ.
c) Pentru orice a ∈ Q, consider ăm „șirul constant” (an)n ∈ C, an = a, ∀n ∈ N*. Aplicația
care asociaz ă lui a ∈ Q clasa în C/Z = R a șirului constant (an)n este un morfism de corpuri.
Clasa [(an)] ∈ R a șirului constant (an) va fi numit ă prin abuz „num ărul rațional a”.
d) Definim pe C/Z relația binară " < " :
[(xn)] < [(yn)] ⇔ ∃ε ∈ Q, ε > 0 și ∃N ∈ N astfel încît xn + ε ≤ yn, ∀n ≥ N.
Atunci " < " este bine definit ă (nu depinde de reprezentan ți) și este o rela ție de ordine strict ă
pe C/Z (ireflexivă și tranzitiv ă). Relația de ordine nestrict ă asociată, notată " ≤ ", este o
relație de ordine total ă pe R; mai mult, R devine corp ordonat în raport cu aceast ă ordine.
e) (Valoarea absolut ă pe R) Fie |·| : R → R,|[(xn)]| = [(|xn|)], ∀(xn) ∈ C. Definiția este
corectă și au loc propriet ățile normei N1-N4 de mai sus (bineînțeles, Q este înlocuit cu R).
f) Orice șir Cauchy (rn)n ≥ 1 de numere reale este convergent la un num ăr real.43
g) Orice submul țime nevid ă majorată a lui R are margine superioar ă.

42 Este și integru?
43 Lăsăm cititorului sarcina de a defini no țiunile de șir Cauchy și de limită în R.

II.5. Corpul numerelor reale
63
h) Q este dens în R (orice num ăr real este limita unui șir de numere ra ționale ).
Demonstra ție. a) Demonstrarea faptului c ă suma și produsul a dou ă șiruri Cauchy este tot
șir Cauchy este un exerci țiu elementar de Analiz ă (cf. demonstra ția la „suma, resp. produsul, a
două șiruri convergente este un șir convergent” ). Este util ă demonstrarea în prealabil a
faptului c ă orice șir Cauchy (xn) este mărginit (∃M ∈ Q astfel încît | xn| ≤ M, ∀n ∈ N*). Care
este elementul nul, respectiv unitate, în C?
b) Z este ideal: argument standard de Analiz ă, ca la punctul precedent (se adapteaz ă
demonstra ția propriet ăților lim (xn + yn) = lim xn + lim yn, lim (xn·yn) = lim xn·lim yn).
Z este maximal: dac ă (xn) ∈ C \ Z, atunci exist ă N ∈ N și δ > 0 astfel încît | xn| > δ, ∀n ≥ N.
Într-adevăr, cum (xn) nu tinde la 0, ∃ε > 0 astfel încît ∀n ∈ N, ∃kn > n astfel încît | xkn| > ε. Însă
(xn) este Cauchy, deci, pentru ε/2, există N ∈ N astfel încît ∀m, n ≥ N, |xn − xm| < ε/2. Fie
m = kN dat de proprietatea precedent ă. Atunci, ∀n ≥ N,
|xn| = |xm + xn − xm| ≥ |xm| − |xn − xm| > ε − ε/2 = ε/2.
Raționamentul, ca și multe altele de acela și gen, se vede mai bine (și poate fi intuit! )
reprezentînd numerele pe ax ă.
Revenind la (xn), rezultă că ∃N ∈ N astfel încît xn ≠ 0 dacă n ≥ N. Definim atunci șirul (yn)
prin: yn = 0 dacă n < N și yn = 1/xn dacă n ≥ N. Șirul (yn) este Cauchy (demonstra ți!) și
xnyn = 1 + zn, unde zn este 0 pentru n ≥ N, deci (zn) ∈ Z.
e) Trebuie ar ătat mai întîi c ă (|xn|) este șir Cauchy și că definiția nu depinde de
reprezentan ți. Demonstra ția propriet ăților normei se face apelînd la propriet ățile corespunz ă-
toare pentru norma în Q.
f) Argumentul este tipic de Analiz ă, dar îl includem, fiind mai delicat. Fie (rn)n ≥ 1 un șir
Cauchy de numere reale. Fie rn = [(rnk)k ≥ 1], unde (rnk)k ≥ 1 este un șir Cauchy de numere
raționale (pentru orice n fixat ). Notăm rnk =: r(n, k), ∀n, k ≥ 1. Vom ar ăta că (rn)n ≥ 1 are limită
în R, anume [(r(in, jn)n ≥ 1], unde in, jn sînt niște șiruri strict cresc ătoare de numere naturale pe
care le definim inductiv, astfel:
Cum (rn)n ≥ 1 este șir Cauchy în R, pentru ε = 1/4, ∃i1 ∈ N astfel încît ∀s, t ≥ i1 avem
|rs − rt| < 1/4.
Cum (ri1k)k ≥ 1 e șir Cauchy în Q, ∃j1 ∈ N astfel încît | r(i1, u) − r(i1, v)| < 1/4, ∀u, v ≥ j1.
Fie n ∈ N, n ≥ 2 și presupunem c ă am definit i1 < i2 < … < in − 1 și j1 < j2 < … < jn − 1,
numere naturale astfel încît, ∀k ∈ {1, …, n − 1}:
| rs − rt| < 1/2k + 1, ∀s, t ≥ ik (inegalitate în R) ( 1)
| r(ik, u) − r(ik, v)| < 1/2k + 1, ∀u, v ≥ jk (2)
| r(ik, u) − r(ik − 1, u)| < 1/2k, ∀u ≥ jk (3)
Condiția (3) este vidă pentru k = 1.
Să găsim in și jn încît (1), (2) și (3) să fie satisfăcute pentru k = n.
Șirul (rn)n ≥ 1 este Cauchy în R; luînd ε = 1/2n + 1, există in ∈ N astfel încît in > in − 1 și
| rs − rt| < 1/2n + 1, ∀s, t ≥ in (inegalitate în R).

64 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

Cum (r(in, k))k ≥ 1 e șir Cauchy în Q, ∃pn ∈ N astfel încît
| r(in, u) − r(in, v)| < 1/2n + 1, ∀u, v ≥ pn
Pe de altă parte, din (1) aplicat pentru k = n − 1 și s = in, t = in − 1, avem | rin − rin − 1| < 1/2n
(inegalitate în R), deci (din defini ția relației de ordine în R) ∃qn astfel încît
| r(in, u) − r(in − 1, u)| < 1/2n, ∀u ≥ qn.
Luînd jn = max (jn − 1 + 1, pn, qn), rezultă că (2) și (3) sînt satisf ăcute, cu k = n și că jn > jn − 1.
Am construit inductiv șirurile strict cresc ătoare in, jn, satisfăcînd (1), (2), (3), pentru orice k ≥ 1.
Notăm xn := r(in, jn), ∀n ≥ 1. Să arătăm că (xn)n ≥ 1 e șir Cauchy în Q. Pentru orice n, m ∈ N
cu n < m, avem:
| xm − xn| = |r(im, jm) − r(in, jn)| ≤ |r(im, jm) − r(in, jm)| + |r(in, jm) − r(in, jn)| (4)
Dar, folosind (3), avem
| r(im, jm) − r(in, jm)| = () ( )∑
+=− −m
nkm k mk j ir jir
11, , <nm
nkk21
21
1< ∑
+=. (4')
Pe de altă parte, | r(in, jm) − r(in, jn)| < 1/2n pentru că jm > jm și se aplică (2).
Înlocuind în (4), avem:
| xm − xn| < |r(im, jm) − r(in, jn)| < 1/2n + 1/2n = 1/2n − 1,
ceea ce arat ă că (xn) este șir Cauchy.
Să arătăm că rn are limita x := [(r(in, jn))n ≥ 1]. Fie ε > 0 și k ∈ N astfel încît 1 /2k < ε/3. Din
(1) avem:
| rs − rt| < 1/2k + 1, ∀s, t ≥ ik (5)
Dacă n ≥ ik, arătăm că |rn − x| < ε (ceea ce va termina demonstra ția). Aceasta revine la a
proba existen ța unui N (depinzînd posibil de n) astfel încît ∀t ≥ N să avem
|rnt − xt| = |r(n, t) − r(it, jt)| < ε.
Fixăm q ∈ N cu iq ≥ n. Din (5), |rn − riq| < 1/2k + 1, deci exist ă un N0 astfel încît, ∀t ≥ N0:
| r(n, t) − r(iq, t)|< ε/3 (6)
Cum rn e Cauchy, exist ă N1 astfel încît, ∀s, t ≥ N1,
| r(n, t) − r(n, s)|< ε/3 (7)
Fie N := max (N0, N1, iq). Dacă t ≥ N, avem:
| r(n, t) − r(it, jt)| ≤ |r(n, t) − r(n, jt)| + |r(n, jt) − r(iq, jt)| + |r(iq, jt) − r(it, jt)| (8)
Primul termen din dreapta inegalit ății (8) e mai mic decît ε/3 din (7). Al doilea termen e
mai mic decît ε/3 din (6) (clar, jt > t ≥ N). Al treilea termen e mai mic decît 1 /2q din (4').
g) Cititorii care au parcurs teoria elementar ă a convergen ței în R se vor fi întrebat de ce am
dat o demonstra ție separat ă pentru f), deși rezultă din g) (vezi Exerci ții). Pentru r ăspuns, vezi
construcția de mai jos a completatului unui corp normat .
h) Exercițiu. †
Metoda complet ării prin șiruri Cauchy este folosit ă și la completatul unui spa țiu metric
oarecare, construc ție fundamental ă în Analiz ă și topologie:

II.5. Corpul numerelor reale
65
5.3 Defini ție. Fie X o mulțime nevid ă. O func ție d : X × X → R se nume ște distanță
(metrică) pe X dacă satisface axiomele: i) ∀x, y ∈ X are loc d(x, y) = d(y, x) ≥ 0.; ii) ∀x, y ∈ X
are loc: d(x, y) = 0 ⇔ x = 0; iii) ∀x, y, z ∈ X are loc d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (inegalitatea
triunghiular ă). Un cuplu (X, d ), unde d este o distan ță pe X, se nume ște spațiu metric ;
elementele lui X se mai numesc și puncte ale lui X.
Pentru orice x ∈ X, sfera (bila) deschisă de rază r cu centrul în x este mulțimea
S(x, r) := {y ∈ X | d (x, y) < r}.
Distanța d definește o topologie pe X, în care un sistem fundamental de vecin ătăți al unui
punct x ∈ X este { S(x, r) | r ∈ R, r > 0} (mulțimea sferelor deschise centrate în x). Altfel spus,
o submul țime D a lui X este declarat ă deschisă dacă ∀x ∈ D, ∃r > 0 astfel încît S(x, r) ⊆ D.
Un șir (xn)n ≥ 1 este convergent la x ∈ X dacă și numai dac ă ∀ε > 0, ∃N ∈ N astfel încît ∀n > N
are loc d(xn, x) < ε. Spațiul metric (X, d) se nume ște complet dacă orice șir Cauchy de
elemente din X este convergent la un element din X.
Am văzut că Q este spațiu metric, cu distan ța d(x, y) = |x − y|, dar nu este complet. Din
punct de vedere topologic, construc ția lui R prezentat ă mai sus este un caz particular al
completării unui spa țiu metric , care, plecînd de la un spa țiu metric (X, d), construie ște un
spațiu metric complet (X;[, d;[ ) și o aplica ție injectiv ă ϕ : X → X;[, astfel încît ϕ(X) este
densă în X;[ și ϕ păstrează distanțele. Construc ția este asem ănătoare cu cea de mai sus, cu
deosebirea c ă nu putem face apel la ideale, nefiind definit ă nici o structur ă algebrică pe X. Se
folosește direct o rela ție de echivalen ță "∼" definită pe mulțimea C a șirurilor Cauchy de
elemente din X; mulțimea C/∼ se înzestreaz ă cu o metric ă (cum? ) și este spa țiul metric
complet c ăutat.
Mai important ă pentru Algebr ă și Teoria numerelor este completarea unui corp normat .
5.4 Defini ție. Fie K un corp comutativ. O func ție N : K → R se nume ște normă dacă
satisface condi țiile:
N1. ∀x ∈ K are loc N(x) ≥ 0.
N2. ∀x ∈ K are loc N(x) = 0 ⇔ x = 0.
N3. ∀x, y ∈ K are loc N(x + y) ≤ N(x) + N(y) (inegalitatea triunghiular ă).
N4. ∀x, y ∈ K are loc N(x·y) = N(x)·N(y).
Un cuplu (K, N), unde K este corp și N o normă pe K se numește corp normat . Exemple
uzuale sînt (Q, | |), (R, | |).
Norma pe K definește o metric ă d : K × K → R prin rela ția d(x, y) := N(x − y) (verificați!).
Dacă spațiul metric (K, d) nu este complet, se poate construi ca mai sus completatul s ău K;[,
care e spa țiu metric; în plus, se pot defini opera ții pe K;[ față de care acesta devine corp
normat. O abordare mai rapid ă reia ideea de a folosi idealul Z al șirurilor cu limita 0 în inelul
C al șirurilor Cauchy de elemente din K și construie ște K;[ := C/Z.

66 II. Mul țimi factor și construc ții de structuri numerice fundamentale

5.5 Exemplu. (Corpul numerelor p-adice ) Fie p ∈ Z un număr prim. Dac ă n ∈ Z și
α ∈ N, scriem pα ||n dacă pα |n și pα + 1 – n. Pentru orice n ∈ Z, ∃!α ∈ N astfel încît pα ||n.
Definim vp(n), valuarea p-adic ă a lui n, ca fiind unicul num ărul natural α astfel încît pα ||n.
Dacă r = m/n ∈ Q, cu m, n ∈ Z, definim44 vp(m/n) := vp(m) − vp(n). Norma p-adică a lui r este
()rv
ppp r−=: .
Se demonstreaz ă că norma p-adică este o norm ă pe Q și îndepline ște o proprietate mai tare
decît axioma N3 (inegalitatea triunghiular ă), anume:
NA: ∀x, y ∈ Q are loc | x + y|p ≤ max (|x|p, |y|p).
Un corp normat (K, | | ) care satisface proprietatea NA se nume ște non-arhimedian (sau
ultrametric ), deoarece nu satisface proprietatea lui Arhimede 45: ∀x, y ∈ K cu x ≠ 0, ∃n ∈ N*
astfel încît | nx| ≥ |y|.
Completatul lui Q în raport cu norma p-adică se noteaz ă cu Qp și se nume ște corpul
numerelor p-adice . Aceste corpuri joac ă un rol important în teoria numerelor.
Aceeași idee, a șirurilor Cauchy, apare și la construc ția completatului unui spa țiu liniar
normat . Nu mai intr ăm în detalii (vezi de ex. M ARINESCU [1983] ).
Exerciții
1. a) Fie a, b ∈ N, (a, b) = 1. Folosind algoritmul extins al lui Euclid (vezi Index ), arătați că
există α ∈ aZ, β ∈ bZ astfel încît 1 = α + β. Descrieți un procedeu efectiv de determinare a
lui α și β.
b) Scrieți efectiv izomorfismul canonic ϕ : Za × Zb → Zab dat de lema chinez ă a resturilor
(Ind. Aplicați metoda din demonstra ția lemei. )
c) Determina ți n ∈ N astfel încît n ≡ 7 (mod 13 ) și n ≡ 10 (mod 18 ).
2. a) Fie p număr natural prim. Ar ătați că, în inelul de polinoame Zp[X, Y],
(X + Y)p = X p + Y p(Ind. Are loc binomul lui Newton, cu coeficien ții binomiali calcula ți mod
p.)
3. (Mica teorem ă a lui Fermat ) Fie p număr natural prim și a ∈ N. Arătați că a p ≡ a (mod p).
(Ind. Se poate folosi exerci țiul precedent și o induc ție după a. Sau, folosi ți teorema lui
Lagrange în grupul (Zp*, ·))
4. a) Demonstra ți că Z11 × Z31 ≅ Z341 și scrieți efectiv acest izomorfism.

44 Verificați corectitudinea defini ției!
45 Q și R sînt corpuri arhimediene , căci satisfac aceast ă proprietate.

II.5. Corpul numerelor reale
67
b) Calcula ți 2341(mod 11 ) și 2341(mod 31 ).
c) Demonstra ți că 2341 ≡ 2 (mod 341 ).
d) Este adev ărat că, dacă 2n ≡ 2 (mod n), atunci n este prim?
5. Demonstra ți că în R (construit cu șiruri Cauchy ) orice submul țime nevid ă majorată are
margine superioar ă.
6. Fie K un corp comutativ total ordonat în care orice submul țime nevid ă majorată are
margine superioar ă. Demonstra ți că orice șir Cauchy în K este convergent.
7. (Construcția lui Dedekind a lui R prin tăieturi în Q) Se nume ște tăietură în Q o pereche
(A, B) de submul țimi ale lui Q cu propriet ățile: i) A ≠ ∅, B ≠ ∅; ii) A∪B = Q; iii) ∀a ∈ A,
∀b ∈ B are loc a < b; iv) A nu are cel mai mare element.
Fie T(Q) := {(A, B) | (A, B) tăietură în Q}. Demonstra ți că:
a) Dacă (A, B) este tăietură în Q, atunci A∩B = ∅ și B = Q \ A.
b) Definind rela ția " ≤ " pe T(Q) prin (A, B ) ≤ (C, D ) ⇔ A ⊆ C (⇔ D ⊆ B), se obține o
relație de ordine total ă pe T(Q).
c) Aplica ția ϕ : Q → T(Q), ϕ(x) = (Lx, Rx), cu Lx = {y ∈ Q | y < x} și Rx = {y ∈ Q | y ≥ x},
este injectiv ă și crescătoare (deci x poate fi identificat cu ϕ(x) ∈ T(Q), iar Q cu ϕ(Q)).
d) Orice submul țime (Ai, Bi)i ∈ I a lui T(Q) care este majorat ă în T(Q) are margine
superioară, anume (∪i ∈ I Ai, ∩i ∈ I Bi) ∈ T(Q).
e) Definind: (A, B) + (C, D) := (A + C, B + D), ∀(A, B), (C, D ) ∈ T(Q),
(unde A + C = {a + c |a ∈ A, c ∈ C}), se obține o lege de compozi ție pe T(Q); (T(Q), +) este
grup abelian, iar ϕ : Q → T(Q) definit mai sus este morfism de grupuri.
f) Fie α = (A, B), β = (C, D) ∈ T(Q). Definim "·": T(Q)×T(Q) → T(Q) prin:
( )
⎪⎩⎪⎨⎧
⋅−< ⋅≥
=⋅
cazuri celelalte îndacădacă
βαβα βαβα
βα 0 ,0 , ,BDAC

(unde A·C = {a·c |a ∈ A, c ∈ C} și | | este func ția modul pe K). Atunci (T(Q), +, ·, ≤) este corp
ordonat și ϕ : Q → T(Q) este morfism de corpuri.
8. Verificați afirmațiile nedemonstrate de la exemplul II.5.5.

68 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri
Conceptul de polinom (cu coeficien ți într-un inel dat, adesea Z, Q, R, C) joacă un rol
central în matematic ă și este legat de no țiunea de funcție polinomial ă, cu care este de altfel
confundat adesea. Aceast ă confuzie este inofensiv ă în cazul inelelor integre infinite, dar nu și
în cazul inelelor care nu sînt integre sau infinite; mai mult, conceperea polinoamelor într-o
manieră structural ă (ca elemente ale unui nou inel construit plecînd de la un inel dat ) are
avantajul de a conduce la construc ții importante și nebanale. În plus, se poate generaliza
construcția riguroas ă a inelului clasic de polinoame la inele monoidale, grupale…
Intuitiv, un polinom (cu coeficien ți într-un inel dat, s ă zicem corpul numerelor reale R)
este o „expresie” de forma
f = a0 + a1 X + … + an X n (1)
în care apare o „variabil ă” sau „nedeterminat ă” X, iar a0, a1, …, an sînt „coeficien ții
polinomului”: ni ște elemente fixate ale inelului dat (în cazul nostru numere reale fixate ).
Cea mai la îndemîn ă interpretare riguroas ă a acestui obiect matematic este cea a funcției
f~: R → R, f~(x) = a0 + a1 x + … + an x n, ∀x ∈ R. Să considerăm însă inelul Z3 al claselor de
resturi modulo 3 și polinoamele f = X 3 și g = X cu coeficien ți în Z3. Se observ ă că funcțiile
f~: Z3 → Z3 și g~: Z3 → Z3 date de f~(x) = x3 și g~(x) = x sînt egale! Polinoamele f și g nu sînt
totuși identice.
O soluție ar fi să definim un polinom cu coeficien ți într-un inel dat R ca o „sum ă formală”
de tipul (1), în care a0, a1, …, an ∈ R sînt „coeficien ții polinomului”, iar X are un rol special,
de „nedeterminat ă”, putînd fi înlocuit ă cu orice element al lui R . Aceste „sume formale” se
adună și înmulțesc după regulile binecunoscute. Mul țimea acestor „sume formale de tipul
(1)” cu coeficien ți în R devine atunci un inel, notat R[X].
Dar, în aplica ții, nedeterminata X este adesea înlocuit ă cu un element dintr-un inel S diferit
de inelul ini țial R. De exemplu, în cazul polinoamelor cu coeficien ți în R, X poate fi înlocuit ă
cu un număr complex sau cu o matrice pătratică cu elemente numere reale. Mai general, se
pot da nedeterminatei valori alese într-o R-algebră (noțiune detaliat ă mai jos ). Procedeul de
„înlocuire a nedeterminatei” sau de „evaluare a unui polinom într-un punct”, asociaz ă la
fiecare polinom f și fiecărui a ∈ A (unde A este o R-algebră) un element f(a) ∈ A și trebuie s ă
satisfacă regulile:
( f + g)(a) = f(a) + g(a); ( f·g)(a) = f(a)·g(a), pentru orice polinoame f și g ∈ R[X]

III.1 Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
69
Este util s ă fixăm a ∈ A și să consider ăm „evaluarea în a” ca o func ție va : R[X] → A,
va(f ) = f(a). Proprietățile de mai sus revin atunci la a spune c ă va este morfism de inele .
Aceste idei intuitive despre polinoame se exprim ă riguros și formal în sec țiunea urm ătoare,
unde, pornind de la un inel R și un monoid G, se construie ște R-algebra monoidal ă R[G]. În
cazurile particulare G = (N, +) și G = (Nn, +) se regăsesc algebrele clasice de polinoame R[X],
respectiv R[X1,…, Xn].
Cititorii care sînt familiariza ți cu noțiunea de R-algebră și inelele clasice de polinoame și
nu sînt interesa ți de algebre monoidale pot trece direct la III.2 , construc ția lui C.
III.1 Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
Fie (R, +, · ) un inel comutativ unitar , cu elementul unitate notat cu 1, fixat pe tot cuprinsul
acestui paragraf. Începem cu unele defini ții referitoare la R-algebre.
1.1 Defini ție. Se nume ște R-algebră un inel (A, +, ·) (nu neapărat asociativ sau unitar ),
înzestrat cu o operație externă "·" : R × A → A, (r, a) 6 ra, care îi confer ă o structur ă de
R-modul46, astfel încît s ă aibă loc condi țiile:
r(ab) = (ra)b = a(rb), ∀r ∈ R, ∀a, b ∈ A.
R-algebra A se nume ște asociativă (respectiv unitară, comutativ ă) dacă inelul A are
proprietatea corespunz ătoare. Not ăm cu Cen (A) := {a ∈ A | ab = ba, ∀b ∈ A} centrul lui A,
adică subinelul format din elementele care comut ă cu orice element al lui A.
Pentru R-algebrele asociative și unitare există următoarea caracterizare (care poate fi luat ă
drept definiție a noțiunii de R-algebră):
1.2 Propozi ție. a) Fie A o R-algebr ă asociativ ă și unitară și e elementul s ău unitate.
Atunci aplica ția α : R → A definită de α(r) := re, ∀r ∈ R, este un morfism unitar de inele cu
proprietatea c ă α(r)a = aα(r), ∀r ∈ R, ∀a ∈ A (adică α(R) ⊆ Cen (A)).
b) Reciproc, dac ă A este un inel asociativ și unitar, iar α : R → A este un morfism unitar
de inele cu α(R) ⊆ Cen (A), atunci A devine o R-algebr ă definind opera ția de R-modul prin
ra := α(r)a, ∀r ∈ R, ∀a ∈ A.
Demonstra ție. a) Dacă r, s ∈ R, atunci, folosind defini ția R-algebrei, avem:
α(r + s) = (r + s)e = re + se = α(r) + α(s)
α(r)α(s) = (re)(se) = r(e(se)) = r(se) = (rs)e = α(rs).

46 Reamintim c ă axiomele din defini ția unui R-modul M sînt exact cele ale unui K-spațiu liniar M (înlocuind
peste tot corpul K cu inelul R).

70 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

Avem α(1) = 1e = e (căci A este R-modul ). Astfel, α este morfism unitar de inele. Dac ă
r ∈ R, a ∈ A, α(r)a = (re)a = r(ea) = ra = r(ae) = a(re) = aα(r). †
Morfismul α : R → A dat de teorema de mai sus se nume ște morfismul structural al
R-algebrei asociative și unitare A. Evident, un inel A poate avea mai multe structuri de
R-algebră (depinzînd de morfismul structural, respectiv de opera ția externă "·" : R × A → A).
1.3 Exemple. a) Inelul de matrice p ătratice Mn(R) este o R-algebră asociativ ă și unitară
(necomutativ ă dacă n ≥ 2). Morfismul structural asociaz ă lui r ∈ R matricea cu r pe diagonala
principală și 0 în rest.
b) Inelul de polinoame R[X] este o R-algebră comutativ ă. Dacă K ⊆ L este o extindere de
corpuri, L este o K-algebră. Care sînt morfismele structurale (echivalent, care este structura de
modul ) pentru aceste exemple?
1.4 Defini ție. Fie A și B două R-algebre. Un morfism de inele ϕ : A → B care este și
morfism de R-module se nume ște morfism de R-algebre . Mai precis, ϕ este morfism de
R-algebre dac ă și numai dac ă, ∀r ∈ R, ∀a, b ∈ A, au loc:
ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b); ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (ϕ este morfism de inele );
ϕ(ra) = rϕ(a) (ϕ este și morfism de R-module ).
Dacă A și B sînt asociative și unitare , iar α, respectiv β sînt morfismele structurale, un
morfism unitar de inele ϕ : A → B este morfism de R-algebre dac ă și numai dac ă ϕ ◦α = β
(Verificați!).
În continuare, prin R-algebr ă vom înțelege o R-algebr ă unitară și asociativ ă.
1.5 Defini ție. O submul țime C a R-algebrei A se numește R-subalgebr ă a lui A dacă C este
subinel în A și ∀r ∈ R, ∀a ∈ C, rezultă ra ∈ C (adică C este și R-submodul în A).
Intersecția unei familii de subalgebre ale lui A este tot o subalgebr ă a lui A (demonstra ți!).
Astfel, pentru o submul țime oarecare S a lui A, se poate defini subalgebra generat ă de S: este
intersecția tuturor subalgebrelor lui A care includ S .
1.6 Exerci țiu. a) Fie A o R-algebră unitară și x ∈ A. Atunci subalgebra generat ă de { x}
(notată cu R[x]) este mulțimea „expresiilor polinomiale în x cu coeficien ți în R”, adică:
R [x] = {a0 + a1x + … + an x n | n ∈ N, a0, a1, …, an ∈ R}.
b) Fie A o R-algebră unitară și S ⊆ Cen (A). Atunci subalgebra generat ă de S (notată cu
R[S]) este mulțimea „expresiilor polinomiale în elementele lui S, cu coeficien ți în R”, adică:
R [S] =
() ⎪⎭⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧
∈ ∈ ∑
∈Ss sR as s an ii
i ii
ni
iin
n
nn
n… ……
…… ,,1
,,11
11
1
N,
unde sumele sînt finite (doar un num ăr finit dintre
niia…1sînt nenuli ). Acest rezultat d ă forma
subalgebrei generate de orice submul țime S a unei R-algebre comutative și unitare.

III.1 Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
71
Pentru R-algebre și morfisme de R-algebre au loc propriet ățile uzuale de la inele și
morfisme de inele. Astfel, au loc urm ătoarele propriet ăți și construc ții, întru totul analoage
celor de la inele (demonstra ți!):
a) Dacă ϕ : A → B este morfism de R-algebre , atunci ϕ(A) este o subalgebr ă a lui B .
b) Un ideal bilateral I al inelului A se mai nume ște ideal al R-algebrei A. Dacă I este ideal
bilateral al R-algebrei A de morfism structural α, atunci inelul factor A/I este o R-algebr ă, de
morfism structural π ◦α, unde π : A → A/I este proiec ția canonic ă. Această algebră se
numește algebra factor a lui A relativ la idealul I.
c) Dacă ϕ : A → B este un morfism de R-algebre, atunci Ker ϕ = {a ∈ A | ϕ(a) = 0} este
ideal al lui A și are loc teorema fundamental ă de izomorfism:
ϕKerA ≅ Imϕ (izomorfism de R-algebre ).
Construcția clasică a inelului de polinoame R[X] cu coeficien ți în inelul comutativ R (în
care un polinom este definit ca un șir de elemente din R, șir în care un num ăr finit de termeni
sînt nenuli ) este predat ă în liceu și o presupunem cunoscut ă. Vom prezenta o generalizare a
acestei construc ții, care permite între altele ob ținerea direct ă a inelului de polinoame de mai
multe nedeterminate și scoate în eviden ță rolul esen țial al morfismului de evaluare .
Fiind dat un monoid (G, ·) și un inel comutativ R, vom construi algebra monoidal ă R[G]
peste inelul R. Se obțin drept cazuri particulare inelele de polinoame de una, dou ă, sau o
mulțime oarecare de nedeterminate.
Ideea ce stă la baza construc ției este urm ătoarea: fiind date inelul comutativ R și monoidul
(G, ·), pe R (G) (R-modulul liber peste mul ți m e a G ) s e d e f i n e ște o opera ție de înmul țire
asociativă și distributiv ă față de adunarea din R (G), care pentru elementele lui G s ă coincidă
cu înmulțirea din G. Orice element din R (G) se scrie în mod unic ca o sum ă finită de forma
∑
∈Gggga
, (cu ag ∈ R, ∀g ∈ G).
Altfel spus, elementele lui G sînt văzute ca elementele unei baze în R-modulul liber
R (G). Produsul dintre g, h ∈ G (văzute ca elemente în baza lui R (G)) este gh (văzut tot ca
element în baza lui R (G)); acest produs se extinde la orice element al lui R (G) de forma de mai
sus, astfel încît s ă fie respectat ă distributivitatea înmul țirii față de adunare. Detalierea acestei
idei este f ăcută în continuare.
Fie deci (G, ·) un monoid (adică G este o mul țime nevid ă înzestrat ă cu o opera ție „·”,
asociativă și cu element neutru e). Construim mai întîi mulțimea suport pe care o vom
structura cu opera ții.
Definim suportul unei aplica ții ϕ : G → R ca fiind mul țimea supp (ϕ) := {g ∈ G | ϕ(g) ≠ 0}.
Notăm R[G] := {ϕ : G → R | supp (ϕ) este finit}.

72 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

O funcție din R[G] se nume ște funcție de suport finit .47 Pe R[G] definim adunarea și
înmulțirea: ∀ϕ, ψ ∈ R[G], ∀g ∈ G, punem
(ϕ +ψ)(g) := ϕ(g) +ψ (g)
(ϕ ·ψ)(g) := ()()
()∑
=×∈
guvGGvuv u
,ψϕ .
Prima egalitate define ște cu claritate ϕ +ψ ca funcție de la G la R. Trebuie ar ătat că și ϕψ
este corect definit ă, adică suma din defini ția lui ϕ ·ψ are un num ăr finit de termeni nenuli.
Într-adevăr, mulțimea perechilor (u,v) ∈ G×G cu proprietatea c ă ϕ(u)ψ(v) ≠ 0 este inclus ă în
supp (ϕ)×supp (ψ), care este finit ă.
1.7 Observa ție. Definiția adunării ϕ +ψ este natural ă. Să explicăm de ce s-a definit ca mai
sus înmulțirea ϕ ·ψ. În cazul clasic, în care ( G, ·) este ( N, +), fie ϕ = (a0, a1,…, an, …),
ψ = (b0, b1,…, bn, …), adică ϕ(i) = ai …etc. Atunci ϕ ·ψ este definit ca (c0, c1,…, cn, …), unde:
ck = a0bk + a1bk −1 + … + akb0 =
()()()
()∑ ∑
=+×∈
=+×∈=
kvuvu
kvuvuvu v u ba
NN NN , ,ψϕ
Trebuie s ă arătăm că ϕ +ψ și ϕψ sînt funcții de suport finit . Se observ ă că supp (ϕ +ψ) ⊆
supp (ϕ) ∪ supp (ψ), care e finit ă. Pentru ϕψ, dacă g ∈ G \ {uv |u ∈ supp (ϕ) și v ∈ supp (ψ)},
atunci (ϕψ)(g) este 0, c ăci toți termenii din suma din defini ție sînt nuli. Deci supp (ϕψ) este
inclus în { uv | u ∈ supp (ϕ) și v ∈ supp (ψ)}, care este finit ă.
Așadar, „ +” și „ · ” sînt corect definite și sînt legi de compozi ție internă pe R [G]. Se poate
defini și o operație externă „·” : R × R[G] → R[G], prin
(rϕ)(g) := rϕ(g), ∀r ∈ R, ∀ϕ ∈ R[G], ∀g ∈ G.
În raport cu aceast ă operație, R[G] devine R-modul , care este (izomorf cu ) R-modulul liber
de bază G (dacă se face abstrac ție de opera ția de înmul țire în R[G]).
1.8 Propozi ție. (R[G], + , ·) este inel asociativ unitar.
Demonstra ție. Probăm asociativitatea înmul țirii. Fie ϕ, ψ, η ∈ R[G] și g ∈ G.
()() ( ) ( ) ( ) ()
()∑
=∈=
guvGvuvu g
2,η ϕψ ηϕψ = () ()
()()
()() ( )()
()∑ ∑∑
=∈
=∈
=∈=
⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝⎛
gstvGvts
guvGvu
ustGtsvts v ts
3 22,, ,,ηψϕ η ψϕ .
Calculînd (ϕ(ψη))(g), se obține același lucru, deci (ϕψ)η = ϕ(ψη).
Existența elementelor neutre pentru adunare și înmulțire este demonstrat ă mai jos.
Verificarea celorlalte axiome este propus ă ca exerci țiu. †

47 A se observa analogia cu cazul clasic, în care ( G, ·) este ( N, +). Un „șir de elemente din R cu un num ăr
finit de termeni nenuli” este de fapt o func ție ϕ : N → R, de suport finit.

III.1 Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
73
1.9 Observa ție. Din construc ție, rezultă că R[G] este izomorf cu R-modulul liber de baz ă
G. Putem scrie elementele lui R[G] ca sume „formale” finite de forma ∑g∈G agg, cu (ag)g∈G o
familie de suport finit de elemente din R, indexată după elementele lui G. Se „identific ă”
a ∈ R cu „suma” cu un termen a·e; la fel, identific ăm g ∈ G cu 1· g. Aceste identific ări revin
de fapt la a defini dou ă morfisme injective i : R → R[G] și j : G → R[G] (vezi propozi ția de
mai jos ). Adunarea se face dup ă regula ∑g∈G agg + ∑g∈G bgg = ∑g∈G (ag + bg)g, iar înmul țirea
satisface distributivitatea la stînga și la dreapta fa ță de adunare și regula (1·g)·(1·h) = 1·(gh).
Avem :
() ∑∑ ∑ ∑
∈= ∈ ∈⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛⋅⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Ggg uvvu
Ggg
Ggg gba gb ga
.
Astfel, R[G] satisface condi țiile de la începutul acestui paragraf. Orice element al lui R[G]
se scrie în mod unic sub forma ∑g∈G agg, subînțelegîndu-se c ă este vorba de sume finite. În
particular, ∑g∈G agg = 0 ⇔ ag = 0, ∀g ∈ G.
Să facem leg ătura cu inelele de polinoame clasice și să arătăm că această construc ție
satisface cerin țele de la începutul paragrafului. Consider ăm următoarele elemente din R[G]:
∀g ∈ G, definim ηg : G → R prin ()
⎩⎨⎧
=≠=ghghhgă dac ,1 ădac ,0η , ∀h ∈ G;
∀r ∈ R, definim ψr : G → R prin ()
⎩⎨⎧
=≠=eh rehhr ădac , ădac ,0ψ , ∀h ∈ G.
Este evident c ă ηg, ψr ∈ R[G], ∀ g ∈ G,∀r ∈ R. Au loc urm ătoarele propriet ăți:
1.10 Propozi ție. a) Aplica ția i : R → R[G], dată prin i (r) = ψr, ∀r ∈ R, este un morfism
injectiv de inele. În plus, Im i ⊆ R[G] (adică R[G] este o R-algebr ă de morfism structural i).
De aceea, vom scrie r în loc de ψr (identificînd pe r ∈ R cu imaginea sa ψr ∈ R[G]).
b) Aplicația j : G → (R[G], ·), j(g) = ηg, ∀g ∈ G, este un morfism injectiv de monoizi. Vom
scrie g în loc de ηg (identificînd pe g ∈ G cu imaginea sa ηg ∈ R[G]).
c) Pentru orice g, h ∈ G și r ∈ R, avem (ψr·ηg)(h) =
⎩⎨⎧
=≠
gh rgh
ădac , ădac ,0.
d) Fie ϕ ∈ R[G]. Notăm ϕ(g) cu a g, ∀g ∈ G. Atunci ϕ se scrie sub forma unei sume finite:
ϕ =
()∑
∈ ϕ supp ggga,
unde am identificat pe ηg cu g și pe
gaψcu a g = ϕ(g), ∀g ∈ G.
Scrierea lui ϕ este unic ă: dacă ∑ ∑
∈ ∈=
Ggg
Ggg gb ga
, pentru dou ă aplicații de suport finit
g 6 ag și g 6 bg de la G la R, atunci a g = bg, ∀g ∈ G.
e) Elementul neutru pentru adunare este ψ0 (scris ca sum ă de tipul ∑
∈Gggga
sub forma sumei
cu un termen 0e). Elementul neutru la înmul țire este ηe = 1e.

74 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

Demonstra ție. a) Evident, ψr + s = ψr + ψs, ∀r, s ∈ R. Calculînd ψr·ψs, obținem ψr·ψs(g)
= () ()∑
=guvs r v uψ ψ . Dacă g ≠ e, atunci, pentru orice cuplu (u, v) cu proprietatea c ă uv = g, avem
că u ≠ e sau v ≠ e, deci () ()v us rψ ψ = 0. Așadar, dac ă g ≠ e, atunci ψr·ψs(g) = 0. La fel se
observă că (ψr·ψs)(e) = ψr(e)·ψs(e) = rs. În concluzie, avem ψr·ψs = ψrs. Injectivitatea este
clară.
b) Arătăm că ηgηh =ηgh, ∀g, h ∈ G. Pentru ∀x ∈ G, x ≠ gh, avem (ηgηh)(x)
= () ()∑
=xuvh g v uη η = 0, căci din uv = x ≠ gh rezultă că u ≠ g sau v ≠ h. Pe de alt ă parte,
(ηgηh)(gh) = 1 (verificare u șoară).
d) Avem, ∀h ∈ G,
()()() ()
()()
() ()()hh hhh hga
ggg
gg ϕϕ ϕϕη ψ
ϕϕ
ϕ=
⎩⎨⎧
∈∉= =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛∑ ∑
∈ ∈ supp ădac , supp ădac ,0
supp supp .
Am folosit în ultima egalitate faptul c ă ()() ()()⎩⎨⎧
=≠=gh gghhgg ădac , ădac ,0
ϕη ψϕ , după punctul c).
Unicitatea rezult ă din ()h
Ggg a hga =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛∑
∈ , ∀h ∈ G.
e) Demonstr ăm că ηe este unitatea inelului R[G]. Pentru orice g ∈ G, avem ηgηe =ηge =
ηg =ηeηg (am aplicat c)). Cazul general rezult ă folosind d) și distributivitatea. †
Dacă G este monoid comutativ, atunci și R[G] este inel comutativ. Dac ă G nu este
comutativ, atunci nici R[G] nu este comutativ (vezi b) de mai sus ).
Algebrele polinomiale clasice
1. Pentru (G, ·) = (N, +) se obține construc ția uzuală a R-algebrei de polinoame într-o
nedeterminat ă 48 cu coeficien ți în R . Într-adev ăr, R[N] este format din func țiile ϕ : N → R de
suport finit (adică șiruri finite de elemente din R). Notînd ϕ(i) =: ai, ∀i ∈ N, forma general ă a
unui element f din R[N] este f =∑
∈N iiiaη. Ținînd cont c ă ηiηj = ηi + j, pentru orice i, j ∈ N, avem
că ηi = (η1)i, ∀i ∈ N. Notînd η1 cu X, se obține scrierea uzual ă f = ∑i∈N ai X i(sumă finită).
R[N] se noteaz ă de obicei cu R[X].
2. Considerînd monoidul comutativ (N n, +) (pentru n ∈ N* fixat ), unde adunarea este
definită pe componente, se ob ține construc ția R-algebrei R[N n], numită R-algebra de
polinoame în n nedeterminate . Un element din R[N n] se nume ște polinom (în n
nedeterminate ). Pentru a face leg ătura cu scrierea clasic ă a polinoamelor, fie ei :=
(0,…,1,…,0 ) ∈ N n (1 pe locul i, 0 în rest ), pentru fiecare i ∈ {1, …, n}. Se vede u șor că orice
element din N n se scrie în mod unic – pîn ă la o ordine a termenilor – ca o sum ă de ei (cu alte

48 Se mai folose ște terminologia „necunoscut ă” sau „variabil ă” în loc de „nedeterminat ă”.

III.1 Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
75
cuvinte, ei genereaz ă monoidul N n). Notăm elementul
ieη cu Xi și îl numim nedeterminat ă.
Un produs de nedeterminate (de forma ni
niX X…1
1 ) se nume ște term. Orice polinom g din
R[N n] se scrie în mod unic sub forma unei sume finite:
g =
()∑
∈n
nn
n
i ii
ni
ii X X a
N,,1
11
1
……… ,
unde ( )()n
nn i iiiaN∈,,11…… este o familie de suport finit de elemente din R. Deci g este o
combinație liniară cu coeficien ți în R de termi. Orice termen al sumei din membrul drept (de
forman
ni
ni
ii X X a……1
1 1 , cu
niia…1∈ R, nenul ) se numește monom al lui g.
Invităm cititorul s ă verifice afirma țiile nedemonstrate de mai sus. R[N n] se noteaz ă de
obicei cu R[X1,…, Xn].
3. Inelul de polinoame de S nedeterminate , unde S este o mul țime nevid ă oarecare. Se
consideră mulțimea N(S) a funcțiilor de suport finit definite pe S cu valori în N. Interpret ăm
elementele lui N(S) ca „multiindici” și le notăm cu i, j,… . Înzestr ăm N(S) cu o opera ție notată
aditiv: dac ă i, j ∈ N(S), punem (i + j)(s) = i(s) + j(s), ∀s ∈ S. Se vede imediat c ă se obține o
structură de monoid comutativ. Inelul R[N(S)] se nume ște inelul de polinoame de S
nedeterminate cu coeficien ți în R . Pentru orice s ∈ S, consider ăm funcția es ∈ N(S), dată prin
()
⎩⎨⎧
≠==tststsdacă dacă
,1,0e , ∀t ∈ S și notăm cu Xs elementul
seη∈ R[N(S)]. Orice element i din N(S)
se scrie în mod unic sub forma i =∑
∈Ssssme, unde (ms)s∈S este o familie de suport finit de
numere naturale49 indexată după S. Așadar,
()∏
∈=
ii
suppsm
ssX η . În consecin ță, un polinom
oarecare f din R[N(S)] se scrie sub forma f =∑
∈Fa
iiiη, cu F o submul țime finită a lui N(S); dacă
notăm ∪i∈F supp (i) cu { s1, …, sn} (este o submul țime finită a lui S), atunci avem o scriere
f =
()∑
∈n
nn
n n
m mm
sm
s m m X X a
N ,,11
1 1
……… ,
unde suma este finit ă, adică familia ( )()n
nn m mm maN∈,,11 …… este de suport finit.
Se observ ă că orice polinom de S nedeterminate este polinom de un num ăr finit de
nedeterminate din S . Inelul R[N(S)] se noteaz ă cu R[(Xs)s∈S] sau R[Xs]s∈S sau R[X; S].
Teorema care urmeaz ă este de prim ă importan ță și generalizeaz ă într-un cadru abstract
procedura de „înlocuire a nedeterminatei (nedeterminatelor ) cu o valoare (valori )dintr-o
R-algebră”.

49 Evident, înmul țirea dintre m ∈ N și i ∈ R[N(S)] este dată de (mi)(s) := m·i(s), ∀s ∈ S.

76 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

1.11 Teorem ă. (Proprietatea de universalitate a algebrei monoidale ) Fie R un inel
comutativ, (G, ·) un monoid și i : R → R[G], j : G → R[G] aplicațiile canonice definite la 1.10.
Tripletul format din algebra monoidal ă R[G] împreună cu aplica țiile i și j are urm ătoarea
proprietate de universalitate : pentru orice R-algebr ă T de morfism structural α : R → T și
orice morfism de monoizi β : G → (T, ·), există un unic morfism de R-algebre ϕ : R[G] → T
astfel încît ϕ ◦i = α și ϕ ◦j = β:
Demonstra ție. Presupunem c ă ϕ este un morfism cu propriet ățile din enun ț. Așadar,
ϕ(r) = α(r), ∀r ∈ R și ϕ(g) = β(g), ∀g ∈ G. Dacă ∑g∈G agg este un element oarecare din R[G],
atunci () () ∑ ∑
∈ ∈=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
Ggg
Ggg g a ga
ϕ ϕ ϕ = ()() ∑
∈Ggg g a
β α , ceea ce arat ă că ϕ este unic determinat de
α și β. Un calcul direct arat ă că ϕ dat de egalitatea de mai sus este morfism de inele și
satisface condi țiile cerute. †
1.12 Observa ție. Proprietatea de universalitate a algebrei monoidale determină această
algebră pînă la un (unic) izomorfism : dacă tripletul (A, γ, δ) (cu A o R-algebră de morfism
structural γ : R → A și cu δ : G → (A, ·) un morfism de monoizi ) satisface aceea și proprietate
de universalitate ca tripletul (R[G], i, j), atunci exist ă un unic izomorfism de R-algebre
ϕ : R[G] → A astfel încît ϕi = γ și ϕj = δ. Demonstra ți!
În cazul algebrelor polinomiale clasice se ob ține următoarea teorem ă important ă, care
formalizeaz ă și dă un sens precis expresiei „ se dau valorile a 1, …, an nedeterminatelor X 1,
…, Xn” :
1.13 Teorem ă. Fie R un inel comutativ și A o R-algebr ă.
a) (Proprietatea de universalitate a algebrei de polinoame R[X]) Pentru orice a ∈ A există
un unic morfism de R-algebre v a : R[X] → A cu proprietatea c ă va(X) = a.
b) (Proprietatea de universalitate a algebrei de polinoame R[X1,…, X n]) Fie n ∈ N* fixat.
Pentru orice n-uplu a = (a1,…,a n) ∈ A n există un unic morfism de R-algebre
va : R[X1,…, X n] → A astfel încît v a(Xi) = ai, ∀i ∈ {1,…, n}.
c) (Proprietatea de universalitate a inelului de polinoame R[X; S]) Fie S o mul țime nevid ă.
Pentru orice aplica ție γ : S → A există un unic morfism de R-algebre v γ : R[X; S] → A astfel
încît v γ(Xs) = γ(s), ∀s ∈ S.
Demonstra ție. Propunem cititorului s ă demonstreze direct a) și b). Punctul a) este un caz
particular al lui b), care se ob ține la rîndul s ău din c) punînd S = {1, …, n}. Pentru a
demonstra c), observăm că γ induce un morfism de monoizi β []GRjG⎯→⎯
Tϕ

III.1 Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
77
β : N(S) → (A, ·), β(i) = ()
()()s
ssi
i∏
∈suppγ , ∀i ∈ N(S)
Aplicînd proprietatea de universalitate a algebrei monoidale R[N(S)] = R[X; S], rezultă
existența unui morfism de R-algebre vγ : R[X; S] → A astfel încît vγ ◦j = β, unde
j : N(S)→ R[X; S] este aplica ția canonic ă; în cazul nostru j(es) = Xs, ∀s ∈ S. Deci
vγ (Xs) = β(es) = γ(s).
Unicitatea lui vα rezultă astfel: dac ă v : R[N(S)] → A este un morfism de R-algebre cu
v(Xs) = γ(s), atunci v◦j = β, unde β este morfismul definit mai sus. Din partea de unicitate a
proprietății de universalitate a algebrei monoidale rezult ă că v = vα. †
Morfismul va (respectiv va) care apare la punctele a) și b) se nume ște morfismul de
evaluare ; dacă a = (a1, …, an) ∈ A n și f ∈ R[X1, …, Xn], atunci va( f ) se noteaz ă prin tradi ție
f (a1, …, an) și se nume ște valoarea polinomului f în (a1, …, an). Așadar:
∀ f = ∑
=n
ii
iXb
0∈ R[X], ∀a ∈ A, avem va( f ) = f (a) = ∑
=n
ii
iab
0;
∀f =
()∑
∈n
nn
n
i ii
ni
ii X X b
N,,1
11
1
……… ∈ R[X1,…, Xn], ∀a = (a1, …, an) ∈ A n, avem
va( f ) =()
()∑
∈=
n
nn
n
i ii
ni
ii n a a b a af
N,,1 1
11
1,,
……… … .
Este important de observat c ă procedura de „a da valori nedeterminatei”, formalizat ă în
teorema de mai sus, determin ă algebra polinomial ă pînă l a u n i z o m o r f i s m (cf. Obs. 1.12 ).
Cum formula ți această proprietate pentru R[X], respectiv R[X1,…, Xn]?
O proprietate util ă a R-algebrelor R[X1,…, Xn] (uneori folosit ă pentru a le defini recursiv
după n) este:
1.14 Teoremă. Fie n ≥ 1. Atunci exist ă un izomorfism canonic de R-algebre:
R[X1,…, Xn] ≅ R[X1,…, Xn−1][Xn] .
Demonstra ție. Folosim 1.13. b): ∃! ϕ : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn−1][Xn], ϕ morfism de
R-algebre, cu ϕ(Xi) = Xi, 1 ≤ i ≤ n. Fie A := R[X1,…, Xn−1].
Invers, din 1.13. b) aplicat lui R[X1,…, Xn−1], ∃! α : R[X1,…, Xn−1] → R[X1,…, Xn], α mor-
fism de R-algebre, cu α(Xi) = Xi, 1 ≤ i ≤ n − 1. Astfel, R[X1,…, Xn] devine o A-algebră de
morfism structural α. Proprietatea de universalitate a A-algebrei de polinoame A[Xn] arată că
există un unic β : A[Xn] → R[X1,…, Xn], β morfism de A-algebre și β(Xn) = Xn. Evident, β este
și morfism de R-algebre.
Arătăm că βϕ = id. βϕ : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] este morfism de R-algebre cu
βϕ(Xi) = Xi, 1 ≤ i ≤ n, iar id : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] are acelea și propriet ăți. Partea de
unicitate de la 1.13. b) arată că βϕ = id. La fel, ϕβ = id, deci ϕ este izomorfism. †
În continuare, facem cîteva considera ții asupra no țiunii de grad al unui polinom.

78 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

Dacă aX n este un monom în R[X] (cu a ≠ 0), n se nume ște gradul lui aX n. Punem
grad 0 = −∞.
Dacă g ∈ R[X], g = a0 + a1X + … + anX n, cu an ≠ 0, numărul natural n se nume ște gradul
lui g, notat grad g (sau deg g) 50. Deci gradul lui g este cel mai mare grad al monoamelor lui g.
Elementele a0, …, an ∈ R se numesc coeficienții polinomului g, iar an se numește coeficientul
dominant al lui g.
Dacă ni
niX aX…1
1 este un monom în R[X1,…, Xn] (cu a ≠ 0), și 1 ≤ k ≤ n, definim gradul în
Xk: ( )ki
niX X aXn, grad1
1… := ik (exponentul lui Xk în monom ). Pentru un polinom
g ∈ R[X1,…, Xn], grad (g, X k) este cel mai mare grad în Xk al monoamelor lui g. Dacă R este
inel integru, atunci gradul este aditiv : ∀g, h ∈ R[X1,…, Xn],
grad (gh, X k) = grad (g, X k) + grad (h, X k).
Avem și:
grad (g + h, X k) ≤ max (grad (g, X k), grad (h, X k)).
Este utilă și noțiunea de grad total : gradul total al monomului ni
niX aX…1
1 este i1 + … + in;
gradul total al unui polinom g este cel mai mare grad total al monoamelor sale. În general,
cînd se vorbe ște fără alte preciz ări de „gradul” unui polinom în mai multe nedeterminate, este
vorba de gradul s ău total. Un polinom care are toate monoamele de acela și grad se nume ște
polinom omogen sau formă. Și gradul total este aditiv, dac ă R este integru.
III.2 Corpul numerelor complexe construit ca inel factor
Unul din motoarele dezvolt ării matematicii, a algebrei în special, a fost, pîn ă la mijlocul
secolului XIX, rezolvarea ecua țiilor polinomiale cu coeficien ți reali (remarcăm totuși că o
teorie riguroas ă a corpului numerelor reale apare abia în a doua jum ătate a sec. XIX ). Însă
ecuații polinomiale foarte simple, de exemplu X 2 + 1 = 0, nu au solu ții reale : formal,
„soluția” acestei ecua ții este „rădăcina pătrată din − 1” care, evident, nu este un num ăr real.
Încă din sec. XVI s-au folosit „cantit ăți” de tipul i = 1− în exprimarea solu țiilor ecua țiilor
și s-a observat c ă se poate opera în mod coerent cu „numere” de forma a + bi, cu a și b
numere reale: ele se adun ă și se înmul țesc conform regulilor „uzuale” (adică se respect ă
proprietățile de comutativitate, distributivitate, …, care se reg ăsesc în axiomele corpului ), cu
mențiunea (oarecum șocantă) că i 2 = − 1. Numerele de forma bi au fost numite numere pur
imaginare , pentru a sublinia c ă nu este vorba de numere reale. Cum se poate face îns ă pe baze
riguroase construc ția „numerelor complexe”?

50 De la englezescul degree (sau francezul degré ).

III.2 Corpul numerelor complexe construit ca inel factor
79
În general, construc ția care se d ă corpului C al numerelor complexe este urm ătoarea: se
definește C = R×R = {(a, b) | a, b ∈ R } și se înzestreaz ă C cu două operații, adunarea și
înmulțirea, astfel:
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d); (a, b)·(c, d) := (ac − bd, ad + bc), ∀(a, b), (c, d) ∈ C
Dacă definiția adunării este natural ă și este clar c ă (C, +) este grup abelian, nu este clar de
ce se define ște astfel înmulțirea; în plus, nu este deloc evident c ă avem de a face cu o opera ție
asociativă, distributiv ă față de adunare, care are element neutru și că orice element nenul
(diferit de (0, 0)) are invers. Aceste fapte sînt consecin ța unor verific ări directe care aduc prea
puțină lumină în motivarea definiției înmulțirii.
Există o abordare natural ă a construc ției lui C, folosind no țiuni elementare de algebr ă:
inele factor, teorema de izomorfism și teorema împ ărțirii cu rest în inele de polinoame .
Începem cu aceast ă ultimă teoremă, de o importan ță ce nu poate fi îndeajuns subliniat ă.
2.1 Teorem ă (teorema împ ărțirii cu rest în inele de polinoame ) Fie K un corp comutativ și
f, g ∈ K[X], cu g ≠ 0. Atunci exist ă două polinoame q, r ∈ K[X] astfel încît f = gq + r, unde
r = 0 sau grad r < grad g.
În plus, q, r sînt unic determinate cu propriet ățile de mai sus.
Demonstra ție. Demonstra ția este inspirat ă din algoritmul de împ ărțire a polinoamelor
predat în școală. Fie f = a0 +… + an X n și g = b0 + … + bm X m polinoame din K[X], cu g ≠ 0
(adică bm ≠ 0). Facem o induc ție după n = grad f. Dacă n < m, punem q = 0, r = f. Dacă n ≥ m,
polinomul h := g Xabfmn
n m− −−1 are gradul strict mai mic decît n (termenii de grad n se
reduc, de aceea am și ales coeficien ții astfel ) și, din ipoteza de induc ție, putem scrie h = gq +
r, cu grad r < m. Astfel, f =() r Xabqgmn
n m + +− −1. Unicitatea e propus ă ca exerci țiu. †

Problema construc ției lui C poate fi reformulat ă în termeni mai preci și astfel:
Considerăm în R[X] polinomul f = X 2 + 1, care este ireductibil în R[X] (căci nu are
rădăcini în R și este de grad 2 ). Căutăm o extindere a lui R (adică un corp C, în care R să fie
subcorp ) în care polinomul f să aibă o rădăcină. Acesta este un caz particular al unei probleme
fundamentale în teoria ecua țiilor polinomiale:
2.1 Problem ă. Fie K un corp și f ∈ K[X] un polinom ireductibil, grad f ≥ 2 (deci f nu are
rădăcini în K ). Există un corp L, extindere a lui K, în care f s ă aibă o rădăcină? Se poate
construi efectiv?
Presupunem problema rezolvat ă. Fie L un corp care include K, astfel încît f are o rădăcină
α în L. Afirmația „polinomul f ∈ K[X] are rădăcina α în L” se interpreteaz ă riguros astfel:
morfismul de evaluare în α, vα : K[X] → L, f 6 f(α), are proprietatea c ă vα(f) = 0. (L fiind o
K-algebră, vα este bine definit, vezi III.1.13 )
Consider ăm morfismul de evaluare în α,

80 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

vα : K[X] → L, vα(g) = g(α), ∀g ∈ K[X].
Atunci vα( f ) = 0. În consecin ță, Ker vα ( = {g ∈ K[X] | vα(g) = 0) este nenul, c ăci f ∈ Ker vα.
Teorema fundamental ă de izomorfism spune c ă
K[X]/Ker vα ≅ Imvα
g + Ker vα 6 vα(g) (1)
Imvα e s t e u n s u b i n e l a l l u i L, care con ține α (de ce? ), deci Im vα (sau mai degrab ă
K[X]/Ker vα, cu care e izomorf! ) ar fi un bun candidat la solu ția problemei (dacă ar fi corp! ).
Să vedem cine e Ker vα. Cum f este ireductibil, idealul generat de f, notat ( f ), este maximal .
Cum ( f ) ⊆ Ker vα și ( f ) este maximal, ( f ) = Ker vα (Ker vα ≠ K[X], căci polinomul constant
1 ∉ Ker vα)).51 Astfel, K[X]/Ker vα = K[X]/( f ) este chiar corp, conform teoremei II.4.8 .
Am găsit soluția problemei: punem L = K[X]/( f ). Putem îns ă să consider ăm corpul K
drept un subcorp al lui K [X]/( f )? Există aplicația canonic ă ϕ : K → K[X]/( f ), ϕ(a) = a;[
(clasa lui a modulo ( f ), notată și a + ( f )), ∀a ∈ K, care este morfism de corpuri (de ce? ).
Cum ϕ este injectiv ă52, se poate identifica a ∈ K cu imaginea sa ϕ(a) ∈ L, deci K este izomorf
cu subcorpul ϕ(K) al lui L. Această situație apare des în teoria corpurilor:
2.2 Definiție. Fie K un corp. Dac ă σ : K → L este un morfism de corpuri, atunci tripletul
(K, L, σ) se numește o extindere a lui K. În acest caz, pentru orice element a ∈ K, obișnuim să
identificăm σ(a) ∈ L cu a ∈ K. Astfel, dac ă a ∈ K și x ∈ L, vom scrie a·x în loc de σ(a)·x etc.
Prin aceast ă identificare, K este subcorp al lui L și scriem, prin abuz, „extinderea K ⊆ L” în
loc de „extinderea (K, L, σ)”. Observ ăm că L este o extindere a lui K dacă și numai dac ă L
este un corp care are o structur ă de K-algebră.
Putem acum formula solu ția la problema 2.1 de mai sus:
2.3 Teorem ă. Fie K un corp și f ∈ K[X] un polinom ireductibil. Atunci exist ă un corp L,
extindere a lui K, în care f are o r ădăcină. Mai precis, inelul factor L := K[X]/( f ) este corp și
K-algebră prin intermediul aplica ției naturale a 6 a + ( f ) = a;[ (clasa lui a modulo idealul
( f )), iar elementul α = X + ( f ) = X; [ este rădăcină a lui f în L.
Demonstra ție. Faptul c ă L = K[X]/( f ) este corp a fost justificat mai sus; d ăm și o
demonstra ție „elementar ă”, care furnizeaz ă și un mijloc efectiv de a g ăsi inverse în K[X]/( f ).
Fie g;[ ≠ 0;[ un element nenul din L, unde g ∈ K[X]. Cum g ∉ ( f ), rezultă f -g;
ireductibilitatea lui f arată că ( f, g) = 1. Deci exist ă u, v ∈ K[X] astfel încît 1 = uf + vg 53.
Trecînd la clase modulo f, obținem 1;[ = uf + vg;[ = vg;[. Deci g;[ are invers, anume
v;[ ∈ L.

51 Cititorul "pierdut" de aceasta demonstra ție poate g ăsi una elementar ă citind toat ă pagina.
52 Orice morfism de corpuri este injectiv!
53 Polinoamele u și v se pot găsi efectiv cu algoritmul extins al lui Euclid .

III.2 Corpul numerelor complexe construit ca inel factor
81
Rădăcina lui f în L este X; [ (lucru care poate fi intuit dac ă privim la izomorfismul (1) și
căutăm contraimaginea lui α). Într-adev ăr, fie f = a0 + a1X + … + anX n; atunci:
f (X; [) = a01;[ + a1X; [ + … + an X; [ n = a0 + a1X + … + anX n;[ = f ;[
= 0;[. †

Construc ția lui C. Revenind la K = R și f = X 2 + 1, rezultă că R[X]/(X 2 + 1) este un corp
în care i := X; [ (clasa lui X modulo idealul (X 2 + 1)) este rădăcină a polinomului X 2 + 1:
i 2 + 1;[ = X; [2 + 1;[ = X 2 + 1;[ = 0;[
Să arătăm că putem scrie elementele din R[X]/(X 2 + 1) sub forma familiar ă a + bi, cu a,
b ∈ R. Un element oarecare din R[X]/(X 2 + 1) este de forma g;[ = g + (X 2 + 1), cu g ∈ R[X].
Aplicînd teorema împ ărțirii cu rest polinoamelor g și X 2 + 1, există q, r ∈ R[X] astfel încît:
g = (X 2 + 1)q + r, cu grad r < 2.
Deci r = a + bX, cu a, b ∈ R. Trecem la clase modulo (X 2 + 1) în egalitatea de mai sus:
g;
[ = (X 2 + 1)q + r;[ = r;
[ = a + bX; [ = a;
[ + b; [X; [
Dacă ținem cont c ă identificăm elementele a din R cu imaginile lor a;
[ = a + (X 2 + 1)) din
R[X]/(X 2 + 1), iar X; [ = i, egalitatea de mai sus se scrie
g;[ = a + bi
Scrierea aceasta este unic ă: dacă a + bi = c + di, cu a, b, c, d ∈ R, atunci (X 2 + 1) divide
a + bX − (c + dX) și rezultă imediat c ă a = b și c = d.
Ceea ce am f ăcut nu este altceva decît determinarea unui sistem de reprezentan ți pentru
clasele din R[X]/(X 2 + 1); acesta este { a + bX; [ | a, b ∈ R} = {a + bi | a, b ∈ R}, clasele
tuturor resturilor posibile la împ ărțirea cu X 2 + 1.
Să verificăm și regula uzual ă de înmul țire a două elemente scrise sub forma a + bi. Pentru
aceasta, ținînd cont de distributivitate și că i 2 = −1, avem
(a + bi)·(c + di) = ac + bdi2 + adi + bci = ac − bd + (ad + bc)i.
Avantajele introducerii lui C ca R[X]/(X 2 + 1) sînt următoarele:
– se folose ște o construc ție (inelul claselor de resturi modulo (X 2 + 1)) care are aceea și idee
de bază ca și construc ția inelului de clase de resturi modulo n, Zn;
– construc ția este natural ă, are legătură directă cu polinomul X 2 + 1 și ilustreaz ă importan ța
teoremei împ ărțirii cu rest în R[X] și a noțiunii de ireductibilitate;
– nu mai este necesar calculul de verificare a îndeplinirii axiomelor corpului (asociativitate,
existența elementului neutru la adunare și înmulțire etc. );
– posibilitatea generaliz ării imediate la construc ții de extinderi de corpuri oarecare, pornind
de la polinoame ireductibile.
Vom trece în revist ă cîteva dezvolt ări ale acestor idei la extinderi oarecare de corpuri.
Teorema 2.3 are drept consecin ță:

82 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

2.4 Teorem ă. Fie K un corp și f ∈ K[X], grad f ≥ 1. Atunci exist ă o extindere L a lui K,
astfel încît f se descompune în factori de gradul 1 în L[X] (f „are toate r ădăcinile în L” ).
Demonstra ție. Inducție după grad f. Mai precis, consider ăm afirmația P(n): „pentru orice
corp K și pentru orice polinom f ∈ K[X], grad f = n, există o extindere L a lui K astfel încît f se
descompune în factori de grad 1 în L[X]”. Dacă n = 1, atunci extinderea c ăutată este chiar K.
Presupunem afirma ția adevărată pentru orice t < n și o demonstr ăm pentru n. Fie deci
f ∈ K[X], grad f = n și g ∈ K[X] un factor ireductibil al lui f (f se scrie ca un produs de
polinoame ireductibile, vezi IV.2.5 ). Teorema 2.3 asigur ă că există o extindere E a lui K în
care g are o rădăcină α. În E[X], f = (X − α)h, cu h ∈ E[X]. Cum grad h = n − 1, îi putem
aplica ipoteza de induc ție și deci exist ă o extindere L a lui E în care h (deci și f) se
descompune în produs de factori de grad 1. †
2.5 Defini ție. Fie K ⊆ L o extindere de corpuri. Atunci L are o structur ă canonică de
K-spațiu vectorial54: înmulțirea unui „scalar” din K cu un „vector” din L este înmul țirea din L.
Dimensiunea lui L văzut ca spa țiu vectorial peste K se numește gradul extinderii K ⊆ L și se
notează [L : K].
2.6 Defini ție. Fie K ⊆ L o extindere și x ∈ L. Spunem c ă x este algebric peste K dacă există
un polinom nenul f ∈ K[X] astfel încît f (x) = 0. Spunem c ă x este transcendent peste K dacă
nu este algebric peste K.
În extinderea R ⊆ C, elementul i ∈ C este algebric peste R, deoarece este r ădăcina
polinomului X 2 + 1 ∈ R[X]. Gradul extinderii este [ C : R] = 2, deoarece {1, i} este o baz ă a
R-spațiului liniar C.
Dacă K ⊆ L este o extindere și x ∈ L este algebric peste K, atunci exist ă un polinom nenul
de grad minim în K[X] care are r ădăcina x. Acest polinom este unic determinat dac ă cerem să
fie unitar (cu coeficientul dominant egal cu 1 ) și se numește polinomul minimal al lui x peste
K , notat Irr (x, K). Are loc urm ătoarea caracterizare a polinomului minimal:
2.7 Teoremă. Fie K ⊆ L o extindere de corpuri și x ∈ L, algebric peste K și vx : K[X] → L,
vx(g) = g(x), ∀g ∈ K[X] (morfismul de evaluare în x ). Fie f un polinom unitar cu coeficien ți în
K. Următoarele afirma ții sînt echivalente:
a) f (x) = 0 și grad f = min{grad g | g ∈ K[X], g(x) = 0, g ≠ 0}.
b) f (x) = 0 și f este ireductibil .
c) f este un generator al idealului Ker vx = {g ∈ K[X] | g(x) = 0}.
d) f (x) = 0 și, oricare ar fi g ∈ K[X] cu g(x) = 0, rezultă că f |g. †

54 Această interpretare este fundamental ă în toată teoria extinderilor de corpuri.

III.2 Corpul numerelor complexe construit ca inel factor
83
2.8 Exemple. a) Irr(2, Q) = X 2 – 2 căci X 2 – 2 ∈ Q[X], este unitar, se anuleaz ă în 2 și
este ireductibil în Q[X].
b) Irr(2, R) = X −2 . În general, pentru orice corp K și a ∈ K, Irr(a, K) = X − a.
Fie extinderea K ⊆ L și x ∈ L. Sînt de prim ă importan ță următoarele no țiuni:
– subinelul lui L generat55 de K și {x}, notat K[x]. Are loc (demonstra ți):
K [x] = {a0 + a1 x + … + an x n | n ∈ N, ai ∈ K, 0 ≤ i ≤ n} = Im vx. (S)
– subcorpul lui L generat de K și {x}, notat K(x). Are loc:
K(x) = {αβ −1 | α, β ∈ K[x], β ≠ 0}.
De exemplu, subcorpul lui C generat de Q și 2 e s t e Q(2) = Q[2] = {a + b2 | a,
b ∈ Q} (demonstra ți!). Se observ ă că nu este nevoie s ă luăm toate expresiile polinomiale (de
orice grad ) în 2 , cu coeficien ți în Q, ca în caracterizarea (S), ci doar cele de grad mai mic
decît 2 = grad Irr (2, Q). De asemenea, are loc și Q(2) = Q[2]. Lucrul acesta nu este
întîmplător și este caracteristic elementelor algebrice :
2.9 Teorem ă (de caracterizare a elementelor algebrice ). Fie K ⊆ L o extindere de corpuri
și x ∈ L. Următoarele afirma ții sînt echivalente:
a) x este algebric peste K.
b) K[x] este corp.
c) K[x] = K(x).
d) Extinderea K ⊆ K(x) este finită.
Dacă x este algebric peste K și f = Irr(x, K), grad f = n, atunci K [X]/{ f } ≅ K(x). În
particular, [K(x) : K] = n și o bază a K-spațiului liniar K (x) este {1, x, …, xn − 1}.
Demonstra ție. a)⇒b) Fie f = Irr(x,K) ∈ K[X] și vx : K[X] → L morfismul de evaluare în x.
Avem Ker vx = f. Din teorema de izomorfism pentru inele, K[X]/{ f } ≅ Im vx = K[x]. Cum f
este ireductibil în K[X], idealul { f } este maximal și K[X]/{ f } este corp. Atunci K[x], izomorf
cu K[X]/{ f }, este și el corp.
b)⇔c) Evident.
c)⇒a) Presupunem c ă x ≠ 0 și fie x−1 = a0 + a1x + … + anx n ∈ K[x] inversul lui x.
Înmulțind cu x, obținem a0x + a1x 2 + … + anx n+1 − 1 = 0, adică x este rădăcina unui polinom
nenul cu coeficien ți în K.
d)⇒a) Familia infinit ă {x i | i ∈ N} de elemente ale K-spațiului vectorial finit dimensional
K(x) este liniar dependent ă. Deci, exist ă o relație de dependen ță liniară de forma a0·1 + a1x +
… + anx n = 0, cu n ∈ N și a0, a1, …, an ∈ K, nu toți nuli, adic ă x este algebric peste K.
a)⇒d) Avem K-izomorfismul de corpuri K[X]/{ f } ≅ K(x). Acesta este și un izomorfism de
K-spații vectoriale. Fie n = grad f. Demonstr ăm că în K-spațiul vectorial K[X]/{ f }, clasele

55 Subinelul lui L generat de o submul țime S a lui L este definit ca intersec ția tuturor subinelelor lui L care
includ S. La fel se define ște subcorpul generat de S.

84 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

elementelor 1, X, …, X n − 1 sînt elementele unei baze. Dac ă a01;[ + a1X; [ + … +
an − 1 X n −1;[ = 0;[, cu a0, a1, …, an − 1 ∈ K, atunci g = a0 + a1X + … + an − 1X n −1 ∈ { f },
adică f |g. Cum grad f = n, rezultă că g = 0, adică a0, a1, …, an − 1 sînt nule. Pe de alt ă parte,
folosind teorema împ ărțirii cu rest, orice clas ă modulo f a unui polinom h ∈ K[X] are un
reprezentant de grad mai mic decît n. Aceasta înseamn ă că h;[ este combina ție liniară cu
coeficienți în K de 1;[, X; [, …, X n −1;[ .
Izomorfismul K[X]/{ f } ≅ K(x) duce X + { f } în x, deci baza { 1, X, …, X n − 1} este dus ă în
baza { 1, x, …, x n − 1} în K[x]. †
2.10 Defini ție. Fie K un corp și x un element algebric peste K. Gradul extinderii K ⊆ K[x]
(egal cu grad Irr (x, K)) se numește gradul elementului x peste K .
Fie K un corp. Teorema III.2.4 arat ă că, pentru f ∈ K[X] dat, există o extindere K ⊆ L în
care f are toate r ădăcinile. Ar fi de dorit s ă putem găsi un corp Ω, extindere a lui K, încît orice
polinom f ∈ K[X] de grad ≥ 1 are toate r ădăcinile în Ω. În acest sens, este esen țial conceptul
următor:
2.11 Defini ție. Un corp Ω se numește corp algebric închis dacă orice polinom de grad ≥ 1
din Ω[X] are cel pu țin o rădăcină în Ω.
2.12 Teoremă (Caracterizarea corpurilor algebric închise ). Fie Ω un corp. Urm ătoarele
afirmații sînt echivalente:
a) Ω este corp algebric închis.
b) Orice polinom cu coeficien ți în Ω, de grad n ≥ 1 se descompune în factori liniari în
Ω[X] (are n rădăcini în Ω ).
c) Nu exist ă extinderi finite proprii ale lui Ω.
d) Singurele polinoame ireductibile din Ω[X] sînt cele de grad 1.
Demonstra ție. a)⇒b) Presupunem prin reducere la absurd c ă există f ∈ Ω[X], grad f ≥ 1,
astfel încît f nu se scrie ca un produs de factori liniari în Ω[X]. Alegem f de grad minim cu
această proprietate. Din ipotez ă, f are o rădăcină a ∈ Ω, deci f = (X − a)g, cu g ∈ Ω[X]. Dar
grad g < grad f, deci g se descompune în factori liniari. Egalitatea f = (X − a)g arată că și f se
descompune în factori liniari, contradic ție.
b)⇒c) Dacă Ω ⊆ L este o extindere finit ă, iar α ∈ L \ Ω, atunci α este algebric peste Ω; fie
g = Irr(α, Ω). Cum g ∈ Ω[X], g are o rădăcină în Ω, deci grad g = 1 (g este ireductibil! ). Deci
α ∈ Ω, contradic ție.
Restul implica țiilor sînt l ăsate cititorului. †
Are loc urm ătorul rezultat fundamental:
2.13 Teorem ă. Orice corp K are o extindere care este corp algebric închis. †

III.3 Corpuri finite și criptografie
85
Demonstra ția este neconstructiv ă și folosește Axioma Alegerii (mai precis Lema lui Zorn ).
Vezi, de exemplu, I ON și RADU [1981] sau TOFAN și VOLF [2001].
Un exemplu clasic important de corp algebric închis este C. Nu includem o demonstra ție,
fiind mai mult tehnic ă. Așadar, are loc:
2.14 Teorem ă.56 Corpul C al numerelor complexe este algebric închis. †
III.3 Corpuri finite și criptografie
Corpurile finite au dep ășit de mult stadiul de curiozitate matematic ă. Corpurile finite sînt
esențiale în tehnologiile legate de transmisia, stocarea, secretizarea și prelucrarea informa ției
digitale. Codurile liniare co rectoare de erori se bazeaz ă pe corpuri finite, iar unele din cele
mai puternice scheme criptografice moderne au la baz ă logaritmul discret într-un corp finit.
Clasificarea corpurilor finite este simpl ă: pentru orice num ăr q, putere a unui prim, exist ă
un unic (pînă la izomorfism ) corp finit cu q elemente, notat Fq. Acestea sînt toate corpurile
finite (pînă la izomorfism ). În plus, grupul (Fq*, ·) este ciclic. Vom demonstra în continuare
aceste fapte.
În acest paragraf, „corp” înseamn ă „corp comutativ”.
3.1 Teorem ă. Fie F un corp finit cu q elemente. Au loc urm ătoarele afirma ții:
a) Există un număr prim p și n ∈ N* astfel încît |F| = p n.
b) Pentru orice num ăr prim p și n ∈ N*, există un corp finit cu p n elemente.
Demonstra ție. a) Fie e elementul unitate al lui F. Atunci mul țimea multiplilor lui e,
P := {n·e | n ∈ N*}, este o submul țime a lui F și este finit ă. Deci exist ă p ∈ N* astfel încît
p·e = 0. Alegem p să fie minim cu aceast ă proprietate (p = car F, vezi exerci țiul III.3.1 ). Dacă
p nu ar fi prim, atunci p = ab, cu 1 < a, b < p. Cum p·e = (ab)·e = (a·e)·(b·e) = 0, rezultă că
a·e = 0 sau b·e = 0, contradic ție cu minimalitatea lui p.
Rămîne că există un unic p prim astfel încît p·e = 0. Deci P = {0, e, 2e, …, (p − 1)e}.
Observăm că există o bijecție între P și Zp = {0;[, 1;[, …, p − 1;[ } (inelul claselor de

56 Această teoremă e cunoscut ă sub numele de teorema fundamental ă a algebrei sau teorema
d’Alembert-Gauss . Jean le Rond d’Alembert propune o demonstra ție (incomplet ă) în 1746. C.F. Gauss d ă patru
demonstra ții corecte acestei teoreme, prima oar ă în 1797. Alte demonstra ții au mai fost date de Jean Argand
(1814), Augustin Louis Cauchy (1820). Teorema lui Liouville (datorat ă de fapt lui Cauchy, 1844) –„orice func ție
olomorfă mărginită pe C este constant ă”– demonstreaz ă teorema într-un rînd. Remarc ăm că toate demonstra țiile
fac apel și la rezultate de analiz ă matematic ă, datorită faptului c ă proprietăți fundamentale (topologice) ale
corpului R nu admit descrieri pur algebrice. Rolul esen țial îl joacă mai degrab ă proprietățile de ordine ale lui R.

86 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

resturi modulo p), dată de i·e 6 i; [. Este chiar un izomorfism, dup ă cum se verific ă imediat.
Deci P este corp (fiind izomorf cu corpul Zp), iar F este o extindere a sa.
Interpretăm F ca un spa țiu liniar peste P. Atunci dimensiunea lui F peste P este finit ă, fie
dim PF = n. Deci F ≅ P n (izomorfism de spa ții liniare ), adică |F| = pn.
b) Presupunem problema rezolvat ă: dacă F este corp finit cu q := p n elemente, grupul
(F*, ·) are q − 1 elemente. Aplicînd teorema lui Lagrange, ob ținem că x q −1 = 1, deci x q = x,
∀x ∈ F. Pe de alt ă parte, din punctul a), F conține un subcorp izomorf cu Zp. Deci F este o
extindere a lui Zp, iar X q − X ∈ Zp[X] se descompune în factori liniari în F[X] (ca în teorema
2.4). Argument ăm acum astfel existen ța unui corp cu q = p n elemente: fie corpul Zp și
f = X q − X ∈ Zp[X]. Din 2.4, exist ă o extindere E a lui Zp încît f se descompune în factori
liniari în E[X]. Consider ăm mulțimea F := {x ∈ E | x q = x}. Să demonstr ăm că F este subcorp
al lui E (va fi corpul cu q elemente c ăutat). Fie x, y ∈ F. Atunci (xy)q = xqyq = xy, deci xy ∈ F.
Avem și (x + y)q = xq + yq (vezi lema urm ătoare ), deci x + y ∈ F. Dacă x ≠ 0, atunci
(x−1)q = (xq)−1 = x−1, deci x−1 ∈ F. Elementele lui F sînt exact r ădăcinile polinomului f, iar
acestea sînt în num ăr de exact q. Într-adev ăr, un polinom de grad q are cel mult q rădăcini
(IV.3.13 ); pe de alt ă parte, f nu are rădăcini multiple, dup ă cum se vede folosind criteriul cu
derivata formal ă IV.3.16: f' = qXq − 1 − 1 = − 1, deci (f, f') = 1. †
3.2 Lemă. Fie F un corp de caracteristic ă p > 0. Atunci aplica ția ϕ : F → F, ϕ(x) = x p,
∀x ∈ F, este un morfism de corpuri (numit endomorfismul lui Frobenius57 al lui F ). Dacă F
este finit, atunci ϕ este bijectiv (este un automorfism al lui F ). Notînd q = pn, atunci
ϕ n = ϕ ◦…◦ϕ (de n ori ) este morfism, iar ϕ n(x) = xq, ∀x ∈ F.
Demonstra ție. Fie x, y ∈ F. Este clar c ă ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y). Corpul F fiind comutativ, are loc
formula binomului lui Newton:
ϕ(x + y) = (x + y) p =∑
≤≤−
piiipi
p yxC
0= x p + y p,
ultima egalitate avînd loc pentru c ă p divide coeficien ții binomiali i
pC dacă 1 ≤ i < p (de ce? ).
Morfismul de corpuri ϕ : F → F este injectiv, deci bijectiv dac ă F este finit.
Avem (ϕ ◦ϕ)(x) = ϕ(xp) = (ϕ(x))p = 2px și, prin induc ție, ϕ n(x) = npx, ∀x ∈ F, ∀n ∈ N. †
Grupul multiplicativ al unui corp finit este ciclic , proprietate care are multe aplica ții:
3.3 Teorem ă. Fie F un corp finit cu q elemente. Atunci grupul (F*, ·) este ciclic: exist ă
α ∈ F* astfel încît F* = {α i |1 ≤ i ≤ q − 1}. Un astfel de element se nume ște element primitiv58
al lui F.

57 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917 ), matematician german.
58 În cazul extinderi lor oarecare, dac ă pentru extinderea K ⊆ L există a ∈ L astfel încît L = K(a), atunci a se
numește element primitiv al extinderii. Un element primitiv al unui corp finit F este și un element primitiv al
oricărei extinderi K ⊆ F.

III.3 Corpuri finite și criptografie
87
Demonstra ție. Fie m exponentul lui (F*, ·) (vezi exerci țiul III.3.2 ). Tot din exerci țiu rezultă
că există α ∈ F* cu ord α = m. Rămîne să arătăm că m = q − 1. Dacă m < q − 1, atunci
polinomul X m − 1 ar avea q − 1 rădăcini (toate elementele lui F*), contradic ție. †
3.4 Teorem ă. Orice dou ă corpuri finite care au acela și cardinal sînt izomorfe.
Demonstra ție. Fie F, E corpuri finite cu q = pn elemente (cu p prim ) și α ∈ F un element
primitiv. Atunci f = Xq − X ∈ Zp[X] are rădăcina α în F. Pe de alt ă parte, f este produs de
polinoame ireductibile în Zp[X]; deci exist ă un (unic) factor ireductibil g al lui f astfel încît
g(α) = 0. Din III.2.9, grad g = [Zp(α) : Zp] = [F : Zp] = n. Fie β o rădăcină a lui g în E (g are
toate rădăcinile în E), atunci [ Zp[β] : Zp] = grad g = n = [E : Zp], deci Zp[β] = E. Avem acum
izomorfismele (cf. III.2.9 ): F = Zp[α] ≅ Zp[X]/(g) ≅ Zp[α] = E. †
Corpul finit cu p n elemente (unic pînă la izomorfism ) se noteaz ă cu GF (p n) (Galois
Field = corp Galois )59 sau Fpn .
Din existen ța unui corp finit F cu pn elemente rezult ă că există polinoame ireductibile de
grad n cu coeficien ți în Zp: de exemplu, polinomul minimal al unui element primitiv al lui F.
3.5 Propozi ție. Pentru orice n ∈ N*, există măcar un polinom ireductibil de grad n în
Fp[X]; pentru orice astfel de polinom f, Fp[X]/{ f } este un corp cu p n elemente. †
Problema construc ției efective a unui corp cu pn elemente se reduce la c ăutarea unui
polinom ireductibil g de grad n în Zp[X]. Corpul c ăutat va fi inelul factor Zp[X]/(g).
Am determinat corpurile finite în ipoteza c ă sînt comutative. Este remarcabil faptul c ă
ipoteza aceasta este superflu ă: orice corp finit este comutativ (Teorema lui Wedderburn60). Nu
includem o demonstra ție.
Aplicație. Logaritmul discret într-un corp finit. Criptografie. Semn ături digitale
Fie p un număr prim fixat și q = pt, cu t ≥ 1. Fie F = Fq, corpul cu q elemente. Fie b un
element primitiv al lui F, adică b genereaz ă grupul multiplicativ F*. Atunci orice a ∈ F* poate
fi scris în mod unic sub forma
a = br,
unde r ∈ N și 0 ≤ r ≤ q − 2. Numărul r se numește logaritmul discret al lui a în baza b și se
notează log b(a) sau ind ba.
Date b și a ca mai sus, determinarea algoritmic ă a lui log b(a) este cunoscut ă ca problema
logaritmului discret (Discrete Logarithm Problem, DLP ). Pe baza unui mare num ăr de fapte
teoretice și practice, DLP este presupusă ca fiind dificil ă (pentru q mare, ales judicios ), mai

59 Structura corpurilor finite a fost determinat ă de Galois în 1830.
60 Joseph Henry MacLagen Wedderburn (1882-1948), matematician sco țian.

88 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

precis spus intratabil ă computațional , în sensul c ă un calcul efectiv al lui log b(a) ar lua sute de
ani cu algoritmii și mijloacele cunoscute de calcul, pentru valori curent folosite ale lui q și b.
Fie w = [log 2r] + 1 (numărul de bi ți din reprezentarea lui r în baza 2 ). Algoritmul de
ridicare la putere dat de exerci țiul III.3.8 calculeaz ă b r (b și r fiind date ) și cere cel mult 2 w
înmulțiri, adică are un timp de rulare de ordinul O (w). Astfel, verificarea faptului c ă
r = log b(a) poate fi f ăcută foarte rapid.
Algoritmul evident (și total ineficient ) de găsire a lui log b(a) prin căutare exhaustiv ă (se
calculează toate puterile lui b pînă se găsește a) cere în cel mai r ău caz q − 1 ridicări la putere
(sau înmul țiri) și teste de egalitate, fiind prohibitiv din acest punct de vedere. De exemplu,
dacă q are 512 cifre binare (se folosesc astfel de q în scheme criptografice actuale ), iar o
ridicare la putere în Fq durează 10−12s, 1000 de calculatoare calculînd în paralel au nevoie cam
de 2512·10−15 secunde de g ăsire a lui log b(a) prin aceast ă metodă, adică aproximativ 10140
secunde. Vîrsta Universului este estimat ă la 14 miliarde de ani, aproximativ 5·1017 secunde.
Întrebare . Vi se par plauzibile aceste estim ări? De ce? Dar dac ă q are 128 de cifre binare?
Criptosistemul ElGamal
Se fixează următorii parametri: q (o putere a unui num ăr prim ) și un element primitiv g al
lui Fq și se fac publice c ătre toți utilizatorii . Utilizatorul A are o cheie privat ă a, 2 ≤ a ≤ q − 2
(a este cunoscut ă doar de A ) și publică y = ga ∈ Fq*. Dacă un utilizator B vrea s ă trimită un
mesaj secret m (presupunem c ă m ∈ Fq*) lui A, atunci B alege la întîmplare k, 2 ≤ k ≤ q − 2 și
calculează în Fq*
y1 = gk și y2 = myk.
Cuplul (y1, y2) („mesajul cifrat” ) este trimis de B lui A. Deoarece
m = (mgak)g−ak = y2(g−k)a = y2(y1 −1)a,
A poate descifra mesajul m calculînd m = y2(y1 −1)a.
Dacă o persoan ă neautorizat ă C intercepteaz ă (y1, y2) (și, evident, cunoa ște y, cheia public ă
a lui A ), C nu poate descoperi mesajul m decît calculînd k sau a (ambele implicînd calcularea
logaritmului discret în baza g: k = log g y1, a = log g y). Un ipotetic algoritm rapid de g ăsire a
DLP ar permite deci descifrarea rapid ă a mesajului secret m. Nu s-a g ăsit un mijloc de a
sparge aceast ă metodă de cifrare f ără calculul logaritmului discret.
Algoritmul de semn ătură digitală ElGamal
Semnarea digital ă a unui mesaj m este o modalitate de a asigura un utilizator B c ă un
anumit mesaj m (despre care B crede c ă provine de la un utilizator A ) este într-adev ăr trimis
de A și nu de cineva care dore ște să se dea drept A.61 Pentru aceasta, se anexeaz ă mesajului m
o „semnătură digitală” (un șir de simboluri62). Iată un mod de a face aceasta:

61 Puteți da exemplu de o astfel de situa ție în practic ă?
62 Semnătura electronic ă trebuie să depindă de A (evident), dar și de m! De ce?

III.3 Corpuri finite și criptografie
89
Algoritmul de semn ătură ElGamal
Fie {0, 1}* mulțimea șirurilor de elemente din mul țimea {0, 1}* (șiruri de bi ți, interpretate
ca mulțimea tuturor mesajelor posibile).
A publică un număr prim p, un element primitiv g ∈ Zp*, și un întreg α, 1 ≤ α ≤ p − 2, care
este generat prin alegerea unui întreg aleator a, care este ținut secret, și calculînd α = ga.
Cheia public ă a lui A este ( p, g, α). Cheia privat ă este a.
Numărul prim p și elementul primitiv g pot fi acelea și pentru to ți utilizatorii, caz în care
cheia public ă a lui Alice este doar α. Alice are nevoie de o funcție hash 63 public cunoscut ă
h : {0, 1}* → {1, 2, …, p − 2}. O func ție hash transform ă un mesaj (lung) m ∈ {0, 1}* într-un
cuvînt de lungime fixat ă numit valoarea hash a mesajului (eng. hashcode ). Valoarea hash are
rolul unui reprezentant scurt al șirului de intrare, și poate fi folosit ca și cum are identifica în
mod unic acel șir. O func ție hash trebuie sa fie tare rezistent ă la coliziuni (strong collision
resistant ) dacă este nefezabil s ă se calculeze dou ă mesaje distincte x, y ∈ {0, 1}* astfel încît
h(x) = h(y) (o coliziune a lui h). Există la ora actual ă mulți algoritmi de calcul pentru func ții
hash (MD5, MD6, SHA-512, )

Pentru semnarea unui mesaj m ∈ {0, 1}*, Alice calculeaz ă o pereche de numere întregi
(r, s), 1 ≤ r, s < p − 1, astfel încît
gh(m) = α rr s mod p
Pentru a genera r și s, Alice alege un întreg aleator k cu (k, p − 1) = 1 și calculeaz ă
r = g k modp . Cum α = ga
, aceasta înseamn ă că s trebuie să satisfacă
gh(m) = gar + ks mod p ,
ceea ce e echivalent cu h(m) = ar + ks (mod p − 1). Cum ( k, p − 1) = 1, această ecuație are o
unică soluție modulo p − 1, s = k −1(h(m) − ar)(mod p − 1).
Semnătura mesajului m este perechea ( r, s). Alice trimite mesajul m și semnătura ( r, s) lui
Bob.
Verificare. Bob verific ă dacă (r, s) este semn ătura lui Alice a documentului m. Mai întîi,
verifică dacă 1 ≤ r < p − 1. Dacă aceasta nu este adev ărat, semn ătura e respins ă; altminteri
semnătura e acceptat ă dacă și numai dac ă:
gh(m) = α rr s mod p
Un algoritm eficient de calcul al logaritmului discret ar face aceast ă schemă nesigură, căci
ar da posibilitatea falsificatorului s ă calculeze a din α și să genereze semn ături care trec testul
de verificare a semn ăturilor lui Alice, pentru orice m dorește (falsificare universal ă). Nu s-a
găsit vreo modalitate de a sparge aceast ă schemă fără calculul logaritmului discret.
Institutul Na țional de Standarde și Tehnologii al S.U.A. (National Institute of Standards
and Technology, NIST) a stabilit Standardul de Semn ătură Digitală (Digital Signature

63 Unul din sensurile cuvântului hash (eng.) este "m ărunțire urmată de amestecare".

90 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

Standard, DSS ), care este bazat pe o variant ă a algoritmului de semn ătură ElGamal de mai
sus. DSS este standardul de autentificare digital ă al guvernului Statelor Unite.
Exerciții
1. (Caracteristica unui inel ) Fie K un inel și e elementul s ău unitate. Dac ă există k ∈ N* astfel
încît ke = 0, atunci definim car K = min{ k ∈ N* | ke = 0}. În caz contrar, punem car K = 0.
a) Demonstra ți că, dacă K este integru, atunci car K = 0 sau un num ăr prim.
b) Dacă K este corp de caracteristic ă p > 0, atunci K are un unic subcorp izomorf cu Zp.
c) Dacă K este corp de caracteristic ă 0, atunci K are un unic subcorp izomorf cu Q.
2. Fie (G, ·) un grup finit. Definim exponentul lui G, exp (G) := cmmmc{ord a |
a ∈ G} = min{ n | xn = 1, ∀x ∈ G}.64 Să se arate c ă:
a) Dacă a, b ∈ G, ab = ba și (ord a, ord b) = 1, atunci ord ab = (ord a)·(ord b).
b) Pentru orice a, b ∈ G cu ab = ba, există c ∈ G cu ord c = [ord a, ord b].
c) Dacă G este abelian, exist ă un element al lui G care are ordinul egal cu exp (G).
3. Dacă R este inel comutativ integru, iar G este un subgrup finit al lui (U(R), ·), atunci G este
ciclic.
4. Dacă F este un corp cu p n elemente, iar K este un subcorp al s ău, atunci exist ă m|n astfel
încît | K| = p m. Reciproc, pentru orice divizor m al lui n există un unic subcorp al lui F cu
p m =: r elemente, anume K = {x ∈ F| x r = x}.
5. Fie F un corp finit și m ∈ N*. Demonstra ți că există un polinom ireductibil de grad m în
F[X].
6. Construiți corpuri finite cu 4, 8, 16, 25, 9 și 27 elemente. Pentru fiecare din ele g ăsiți cîte
un element primitiv.
7. (Numărul polinoamelor ireductibile de grad m cu coeficien ți într-un corp finit ) Fie F ⊆ L o
extindere de grad m de corpuri finite, unde F are q elemente. Pentru orice d ∈ N*, notăm
Pq, d = {f ∈ F[X] | grad f = d, f ireductibil și unitar}.
a) Demonstra ți că () ∏∏ ∏∈ ∈= − =−mdP f Lq
dqmf X X X
, αα .
b) Notăm cu Rf = {α ∈ L | f(α) = 0}, ∀f ∈ F[X]. Arătați că ∪{Rf | f ∈ Pq, d, d|m} = L
(reuniune disjunct ă).
c) Demonstra ți că qm = ∑d|m |Pq, d|·d.
d) Calcula ți P2, m și P3, m, 1 ≤ m ≤ 6.

64 Din teorema lui Lagrange, exp( G) divide cardinalul lui G.

III.4 Polinoame simetrice
91
8. Scrieți un algoritm eficient de calcul al lui br, unde b este un element dintr-un inel sau
monoid pentru care se cunoa ște un algoritm de înmul țire a două elemente oarecare, iar r este
un număr natural. (Ind. Folosi ți ridicări la pătrat repetate și pe înmul țiri cu b, cînd e cazul.
Exemplu: pentru a calcula a = b22, scriem mai întîi 22 10 în baza 2, 22 = 10110 2 și calculăm
succesiv a = b, b2 = a*a, b5 = (a*a)*b, b10 = a*a, b21 = (a*a)*b. Vezi tabel:
Pasul 0 1 2 3 4
Cifra binar ă a lui r 1 0 1 1 0
Valoarea lui a b b2 = a*ab5 = (a*a)*b b11 = (a*a)*b b22 = a*a

III.4 Polinoame simetrice
Fie R un inel comutativ unitar, fixat. Fie n ∈ N* și σ ∈ Sn (grupul permut ărilor de n
obiecte ). Există un unic morfism de R-algebre ϕσ : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] astfel încît
ϕσ(Xi) = Xσ(i), ∀i = 1,…, n (am folosit 1.13 − proprietatea de universalitate a R-algebrei de
polinoame R[X1,…, Xn]). Dacă g ∈ R[X1,…, Xn], atunci
ϕσ(g) = g(Xσ(1),…, Xσ(n)).
4.1 Defini ție. Fie R un inel comutativ unitar și g ∈ R[X1,…, Xn]. Spunem c ă g este polinom
simetric în R[X1,…, Xn] dacă, ∀σ ∈ Sn, are loc ϕσ(g) = g.
Dacă R e s t e i n t e g r u , d e c o r p d e f r a c ții K, consider ăm K(X1,…, Xn) (corpul de frac ții al
inelului integru R[X1,…, Xn], numit corpul frac țiilor raționale în nedeterminatele X1,…, Xn cu
coeficienți în K). Se define ște noțiunea de frac ție rațională simetrică, astfel: ϕσ se prelunge ște
la un unic morfism de corpuri (notat tot cu ϕσ) ϕσ : K(X1,…, Xn) → K(X1,…, Xn); are loc, ∀g,
h ∈ R[X1,…, Xn], h ≠ 0: ϕσ(g/h) = ϕσ(g)/ϕσ(h). Fracția rațională g/h ∈ K(X1,…, Xn) se numește
simetrică dacă, ∀σ ∈ Sn, are loc ϕσ(g/h) = g/h.
4.2 Exemple. În R[X1, X2, X3], polinoamele urm ătoare sînt simetrice: X1 + X2 + X3,
X1 X2 X3, 22
3 12
3 32
2 12
2 32
1 22
1 XX XX XX XX XX XX + + + + + . Polinomul X1 + X2 nu este simetric
în R[X1, X2, X3] (dar este simetric în R[X1, X2]).
4.3 Observa ții. a) Mulțimea polinoamelor simetrice este o subalgebr ă a lui R[X1,…, Xn]:
dacă g, h ∈ S, atunci ϕσ(g + h) = ϕσ(g) + ϕσ(h) = g + h, ∀σ ∈ Sn. Analog se verific ă celelalte
condiții.
Arătați că, dacă K este corp, atunci frac țiile raționale simetrice din K(X1,…, Xn) formează
un subcorp .

92 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

b) Dacă ni
niX aX…1
1 apare ca monom în polinomul simetric g ∈ R[X1,…, Xn], atunci,
∀σ ∈ Sn, () ( )ni
niX aXσ σ…1
1 apare ca monom în g.
4.4 Defini ție. Fie n ∈ N* și 0 ≤ k ≤ n. Se nume ște polinom simetric fundamental (sau
elementar ) de grad k în R[X1,…, Xn] polinomul
sk := ∑{∏i∈I Xi | I ⊆ {1, …, n}, |I| = k}.
sk este așadar suma tuturor produselor de k nedeterminate distincte alese din { X1,…, Xn}; sk
are așadar k
nC monoame. Prin conven ție, se pune sk = 0 pentru k > n și s0 = 1. Polinomul sk
este omogen de grad k (toate monoamele sale au gradul k). Întrucît sk depinde de num ărul
nedeterminatelor, uneori vom nota sk(X1,…, Xn) pentru a evita confuziile. De exemplu, pentru
n = 4:
s0 = 1
s1 = X1 + X2 + X3 + X4
s2 = X1 X2 + X1 X3 + X1 X4 + X2 X3 + X2 X4 + X3 X4
s3 = X1 X2 X3 + X1 X2 X4 + X1 X3 X4 + X2 X3 X4
s4 = X1 X2 X3 X4
Polinoamele simetrice fundamentale apar în rela țiile dintre coeficien ții și rădăcinile unui
polinom.
4.5 Teorem ă. a) Fie n ∈ N* și sk = sk(X1, …, Xn). În R [X1,…, Xn][X] are loc rela ția:
(X − X1)…(X − Xn) = X n − s1 X n−1 + s2 X n−2 − … + (−1)nsn.
b) Dacă R este subinel al inelului integru S și g = a0 + a1X + … + anX n ∈ R[X] are
rădăcinile x 1, …, xn ∈ S, atunci a nsk(x1, …, xn) = (–1) kan − k.
Demonstra ție. a) Inducție după n (exercițiu).
b) Există un unic morfism de R-algebre ϕ : R[X1,…, Xn][X] → S[X] astfel încît ϕ(Xi) = xi și
ϕ(X) = X. Avem, din a):
ϕ(an(X − X1)…(X − Xn)) = an(X − x1)…(X − xn) = an(X n − s1 X n−1 + s2 X n−2 − … + (−1)nsn).
Pe de altă parte, an(X − x1)…(X − xn) = g (în corpul de frac ții K al lui S, au acelea și rădăcini
și același coeficient dominant ). Se identific ă acum coeficien ții. †
4.6 Lemă. a) Fie (A, ≤) și (B, ≤) două mulțimi bine ordonate. Atunci A ×B este o mul țime
bine ordonat ă de ordinea lexicografic ă dată de:
(a, b) ≤ (a', b' ) dacă și numai dac ă a < a' sau (a = a' și b ≤ b').
b) Într-o mul țime bine ordonat ă (A, ≤) nu există șiruri infinite strict descresc ătoare.
c) ∀n ∈ N, mulțimea T n a termilor din R[X1,…, Xn] este bine ordonat ă de ordinea
lexicografic ă (deci nu exist ă un șir infinit strict descresc ător de termi).
Demonstra ție. a) Reamintim c ă mulțimea ordonat ă (A, ≤) se numește bine ordonat ă dacă
orice submul țime nevid ă a lui A are un prim element . Fie S ⊆ A×B, nevidă. Cum
S1 := {a ∈ A| ∃b ∈ B cu (a, b) ∈ S} ≠ ∅, iar A este bine ordonat ă, există primul s ău element

III.4 Polinoame simetrice
93
α ∈ S1 (deci ∀(a, b) ∈ S, α ≤ a). Fie S2 := {b ∈ B| (α, b) ∈ S}. Există primul element β al lui
S2. Atunci (α, β) este primul element al lui S: ∀(a, b) ∈ S, avem sau α < a (deci (α, β) < (a, b))
sau α = a, caz în care b ∈ S2, deci β ≤ b.
b) Fie (an)n ≥ 1 un șir descresc ător de elemente din A. Atunci mul țimea { an | n ≥ 1} are un
prim element, fie acesta ak. Pentru n ≥ k, avem deci ak ≤ an; cum an ≤ ak (șirul este descres-
cător), rezultă an = ak și șirul nu este strict descresc ător.
c) Inducție după n. Dacă n = 1, T1 = {X n | n ∈ N} este izomorf ă ca mulțime ordonat ă cu
(N, ≤), care este bine ordonat ă. Dacă n > 1, Tn cu ordinea lexicografic ă este izomorf ă cu
Tn−1 × T1 cu ordinea definit ă ca la punctul a). Din ipoteza de induc ție, Tn−1 este bine ordonat ă
și din a) rezultă Tn−1 × T1 bine ordonat ă.
4.7 Teorem ă. (Teorema fundamental ă a polinoamelor simetrice ) Fie R un inel comutativ
unitar și g un polinom simetric din R [X1,…, Xn]. Atunci exist ă un unic polinom
h ∈ R[X1,…, Xn] astfel încît g = h(s1, …, s n).
Cu alte cuvinte, notînd cu S subalgebra polinoamelor simetrice din R [X1,…, Xn], unicul
morfism de R-algebre ψ : R[X1,…, Xn] → S cu proprietatea c ă ψ(Xi) = si (pentru 1 ≤ i ≤ n)
este un izomorfism.
Demonstra ție. Notăm cu T := () { }n
ni
nii i X Xn N∈,,1 11 … … mulțimea termilor din
R[X1,…, Xn]. Definim o rela ție de ordine pe T (ordinea lexicografic ă): ordonăm total
{X1,…, Xn} (de exemplu X1 > X2 >… > Xn) și definim 11
11nnik ik
nn XXX X <…… ⇔ ∃r, 1 ≤ r ≤ n,
astfel încît it = kt, ∀t < r și ir < kr. Se obține o rela ție de ordine strict ă (ireflexivă și tranzitiv ă)
pe T. De exemplu, avem 2
2 1 12
327
3 1 XX X XX X < < < < . Ca de obicei, not ăm cu ≤ relația de
ordine (nestrict ă) asociată. Această relație de ordine este total ă65 și compatibil ă cu înmul țirea,
adică, ∀λ, μ, ν ∈ T, din μ ≤ ν rezultă λμ ≤ λν. Relația astfel definit ă este chiar singura ordine
pe T, compatibil ă cu înmul țirea, care satisface X1 > X2 >… > Xn).
Ordinea lexicografic ă induce o rela ție de preordine66, notată tot „ ≤ ”, pe mul țimea
{aλ | λ ∈ T, a ∈ R, a ≠ 0} a monoamelor din R[X1,…, Xn], prin aλ ≤ bμ ⇔ λ ≤ μ.
Demonstrarea afirma țiilor precedente este un exerci țiu de rutin ă. Dacă p ∈ R[X1,…, Xn],
există un unic monom care este cel mai mare monom al lui p (față de preordinea
lexicografic ă), numit monom dominant al lui p. Îl notăm cu hm(p). Are loc urm ătoarea
proprietate:
Dacă p, q ∈ R[X1,…, Xn], astfel încît hm (p) = aλ, hm(q) = bμ, unde λ, μ ∈ T, a, b ∈ R și
ab ≠ 0, atunci hm (pq) = hm(p)hm(q) = abλμ.

65 Mai mult, T este o mul țime bine ordonat ă de ordinea lexicografic ă (orice submul țime nevid ă a lui T are un
prim element). Se pot face deci demonstra ții prin induc ție după această ordine (cum este demonstra ția de față).
66 Adică o relație reflexiv ă și tranzitiv ă, dar nu neap ărat antisimetric ă.

94 III. Polinoame, corpul complex și extinderi de corpuri

Într-adevăr, orice monom al lui pq este o sum ă de monoame de forma rα ·sβ, unde rα este
monom al lui p, sβ este monom al lui q. Dar α ≤ λ și β ≤ μ, deci αβ ≤ λβ ≤ λμ. Astfel,
abλμ = hm(pq).
Fie deci g un polinom simetric și fie hm(g) =ni
niX aX…1
1 . Atunci i1 ≥ i2 ≥ …≥ in (dacă ∃k
astfel încît ik < ik+1, atunci n k k i
ni
ki
kiX X X aX … …1 11 1
++ este monom în g, strict mai mare decît
hm(g)). Căutăm un polinom p de forma nj
njs as…1
1 astfel încît hm(p) să fie hm(g). Din
proprietatea de mai sus, () () ( )n n j
nj j j
njX X XX aX s ashm …… …1 21 1 12 1 1 = . Acest monom este
egal cu hm(g) dacă și numai dac ă j1 + … + jn = i1, j2 + … + jn = i2, …, jn = in. Rezultă jn = in,
jk = ik − ik + 1 pentru 1 ≤ k < n. Polinomul
g1 := g − nj
njs as…1
1
este simetric și are hm(g1) < hm(g). Dacă hm(g1) = 0, avem g1 = 0 și am terminat. Dac ă
hm(g1) ≠ 0, aplicăm același procedeu pentru g1. Algoritmul se termin ă după un număr finit de
pași deoarece nu poate exista un șir infinit strict descresc ător de termi, conform lemei 4.6.
Aceasta încheie demonstra ția părții de existen ță.
Arătăm unicitatea (cu alte cuvinte, Ker ψ = 0). Presupunem c ă există un polinom nenul
p ∈ R[X1,…, Xn] astfel încît ψ(p) = p(s1, …, s n) = 0. Afirmăm că există un unic monom nenul λ
al lui p astfel încît hm(ψ(p)) = hm(λ(s1, …, s n)). Dacă α =ni
niX X…1
1 , β =nj
njX X…1
1 ∈ T, cu
α ≠ β , atunci:
hm(α(s1, …, s n)) =n n n n j
nj j i
ni iX X X X … …… … ++ ++≠1 1
1 1 = hm(β(s1, …, s n)).
Deci ∃! λ ≠ 0 monom al lui p astfel încît hm(λ(s1, …, s n)) = max { hm(α(s1, …, s n))|α monom al
lui p}. Cum p(s1, …, s n) = ∑{α(s1, …, s n)|α monom al lui p}, rezultă că
hm(p(s1, …, s n)) = hm(λ(s1, …, s n)) ≠ 0, contradic ție cu p(s1, …, s n) = 0. †
Teorema 4.7 se extinde u șor și la fracții raționale simetrice:
4.8 Corolar. (Teorema fundamental ă a fracțiilor raționale simetrice ) Fie R un inel integru
și K corpul s ău de fracții. Dacă p, q ∈ R[X1,…, Xn], q ≠ 0, astfel încît p /q este o frac ție rațio-
nală simetrică, atunci exist ă polinoamele f, g ∈ R[X1,…, Xn] astfel încît ()
()nn
s sgs sf
qp
,,,,
11
……= . Cu
alte cuvinte, subcorpul frac țiilor raționale simetrice din corpul K (X1,…, Xn) este K (s1,…, sn).
Demonstra ție. Dacă q este polinom simetric, atunci p este simetric (ca produs în subcorpul
fracțiilor raționale simetrice dintre q și p/q). Din 4.7 rezultă că p, q ∈ R[s1,…, sn]. Dacă q nu
este simetric, fie s = ∏σ ∈Snϕσ(q). Atunci s este simetric și
()
sq p
qp ∏ ≠=idσ σϕ,
și am revenit la primul caz. †
Să exprimăm polinomul simetric tm := X m;1 +…+ X m;n ∈ R[X1,…, Xn] (m ∈ N) în funcție de
polinoamele simetrice s1, …, sn. Identitățile următoare permit un calcul recursiv al lui tm ca
polinom de s1, …, sn.

III.4 Polinoame simetrice
95
4.9 Propozi ție. (Identitățile lui Newton ) În R [X1,…, Xn] are loc rela ția:
tm = s1 tm − 1 − s2 tm − 2 + … + (−1)m − 2sm − 1 t1 + (−1)m − 1msm.
Demonstra ție. Dacă m > n, atunci conven ția sk = 0 pentru k > n trunchiază formula de mai
sus (sînt numai n termeni ).
Fie r ≤ n și (a1, …, ar) un r-uplu de numere naturale cu a1 ≥ a2 ≥ … ≥ ar. Notăm cu
s(a1, …, ar) unicul polinom simetric din R[X1,…, Xn] cu monomul dominant ra
ra aX XX…2 1
2 1 .
De exemplu, s(m, 0, …, 0 ) = X m;1 +…+ X m;n = tm, s(1, 1, 0, …, 0 ) = X1 X2 + X1 X3 + … = s2.
Pentru a simplifica nota ția, punem 1 i := (1, …, 1 ) (1 apare de i ori) și (a, 1i) := (a, 1, …, 1 ) (1
apare de i ori); de asemenea, vom omite s ă scriem un șir de 0: s(m, 0, …, 0 ) = s(m),
s(1, 1, 0, …, 0 ) = s(1, 1) = s2, s(1i, 0, …, 0 ) = s(1i) = si. Relațiile următoare se verific ă ușor:
s1 tm − 1=tm + s(m − 1, 1)
s2 tm − 2=s(m − 1, 1) + s(m − 2, 1, 1 )
s3 tm − 3=s(m − 2, 1, 1 ) + s(m − 3, 1, 1, 1 )
…
Mai general, pentru orice i ≤ min{ m − 1, n},
si tm − i=s(m − i + 1,1 i) + s(m − i,1i).
Dacă m ≤ n și i = m − 1, atunci
sm − 1t1=s(2,1m − 2) + msm.
Dacă m > n = i, atunci
sn tm − n=s(m − n + 1,1 n − 1).
Identitățile lui Newton rezult ă folosind rela țiile de mai sus în suma ∑1≤ i< m (−1)i−1si tm−i. †

96 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații
Considerăm indispensabil ă o bună cunoaștere de către profesorii de matematic ă a teoriei
divizibilit ății („aritmetica” ) în Z și în inele de forma K[X], cu K corp, aceast ă teorie ap ărînd
sub diverse forme pe tot parcursul algebrei studiate în gimnaziu și liceu. Conceptele și
rezultatele privind divizibilitatea în Z prezintă multe analogii cu cele din K[X], fenomen care
nu este întîmpl ător, ci este consecin ța faptului c ă ambele sînt inele euclidiene .
O clasă largă de inele în care se poate dezvolta o teorie a divizibilit ății care să o urmeze pe
cea din Z este clasa inelelor integre. O astfel de generalizare, pe lîng ă un interes intrinsec,
aduce de multe ori clarific ări și rezultate noi privind chiar divizibilitatea în Z.
Se vor trece în revist ă proprietățile generale mai importante ale rela ției de divizibilitate
într-un inel integru. Clase importante de inele (euclidiene, principale, factoriale ) apar prin
abstractizarea unor propriet ăți aritmetice ale lui Z. Noțiunile și rezultatele expuse sînt
fundamentale pentru toat ă algebra, în special pentru teoria algebric ă a numerelor și teoria
extinderilor de corpuri.
IV.1 Divizibilitate
Definiția divizibilit ății în Z se transpune cuvînt cu cuvînt pentru un inel oarecare R.
1.1 Defini ție. Dacă a, b ∈ R, spunem c ă a divide b în R (notație: a|b sau b # a) dacă există
c ∈ R astfel încît b = ac. Exprimări echivalente: a este divizor (uneori se spune și factor ) al lui
b; b este multiplu al lui a; b este divizibil cu a.
Faptul că a|b în R depinde în mod esen țial de inelul R . De exemplu, 2|3 în Q, dar nu și în
Z! Notăm a – b dacă a nu îl divide pe b.
O teorie relevant ă a divizibilit ății se poate dezvolta în inele cu propriet ăți care le apropie
cumva de Z. Un set minimal de astfel de propriet ăți este: inelul s ă fie unitar , comutativ și fără
divizori ai lui zero (adică ∀a, b ∈ R, din ab = 0 rezultă a = 0 sau b = 0). Un astfel de inel
(notat în continuare cu R) se numește inel integru sau domeniu de integritate , denumire care
provine chiar din faptul c ă proprietățile sale sînt oarecum apropiate de cele din inelul Z al

IV.1 Divizibilitate
97
întregilor. În aceast ă secțiune, toate inelele vor fi integre, toate corpurile ce intervin vor fi
presupuse comutative, iar subinelele care apar vor con ține elementul unitate al inelului
(subinele unitare ). Vom nota cu R* mulțimea R \ {0}.
1.2 Exemple. Orice corp este inel integru. Teoria divizibilit ății într-un corp K este trivial ă:
∀a, b ∈ K, are loc a|b (cu excepția cazului cînd a = 0 și b ≠ 0). Orice subinel al unui inel
integru este la rîndul s ău integru. În particular, orice subi nel al unui corp este integru. Dac ă R
este inel integru, atunci inelul de polinoame cu coeficien ți în R, R[X], este integru.
În inele integre se pot simplifica factorii nenuli:
1.3 Propozi ție. Fie R un inel integru și a, b, c ∈ R, cu c ≠ 0. Dacă ac = bc, atunci a = b.
Demonstra ție. Avem ac = bc ⇔ ac − bc = 0 ⇔ (a − b)c = 0. Nu putem avea a − b ≠ 0, căci
atunci (a − b)c ≠ 0 din integritatea lui R. Deci a − b = 0. †
Proprietățile generale ale rela ției de divizibilitate sînt binecunoscute (demonstra ți-le!):
1.4 Propoziție. Fie R un inel integru. Atunci:
a) Pentru orice a ∈ R are loc a|a.
b) Pentru orice a, b, c ∈ R astfel încît a|b și b|c, rezult ă a|c.
c) Pentru orice a ∈ R, are loc a| 0 și 1|a.
d) Oricare ar fi x, y ∈ R și a, b, c ∈ R astfel încît a|b și a|c, rezult ă a|(bx + cy). †
Relația de divizibilitate este a șadar o rela ție reflexivă și tranzitivă, adică o relație de
preordine pe R. Relația de echivalen ță asociată acestei preordini se nume ște relația de
asociere în divizibilitate :
1.5 Definiție. Spunem c ă elementele a și b din R sînt asociate în divizibilitate (pe scurt,
asociate ) dacă a|b și b|a. Notație: a ∼ b. Dacă d, a ∈ R, spunem c ă d este divizor propriu al lui
a (sau divide propriu pe a ) dacă d|a și d nu este nici inversabil, nici asociat cu a.
Relația "∼" definită mai sus este o rela ție de echivalen ță pe inelul R și este deosebit de
important ă în studiul aritmeticii lui R: două elemente asociate în divizibilitate au acelea și
proprietăți din punct de vedere al divizibilit ății (au aceiași divizori și aceiași multipli ).
Mulțimea elementelor asociate cu 1, adic ă
U(R) = {x ∈ R | ∃ y ∈ R astfel încît xy = yx = 1},
are un statut special: se nume ște grupul unit ăților lui R, deoarece este grup fa ță de înmul țirea
inelului (chiar dacă R nu este comutativ ).
1.6 Propozi ție. Fie R un inel integru. Atunci:
a) Pentru orice u ∈ R, avem: u ∈ U(R) ⇔ u ∼ 1 ⇔ u|a, ∀ a ∈ R ⇔ uR = R.
b) Pentru orice a, b ∈ R, avem: a ∼ b ⇔ există u ∈ R astfel încît a = bu. †

98 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

Se justific ă denumirea de „unit ăți” dată elementelor inversabile: unitățile se comport ă ca și
1 (unitatea inelului ) față de divizibilitate . De aceea, determinarea grupului unit ăților este
important ă în studiul divizibilit ății în R.
1.7 Exemple. a) U(Z) = {−1, 1}.
b) Dacă K este un corp, U(K[X]) = { f ∈ K[X] | grad f = 0} = K*.
Pe mulțimea claselor de echivalen ță în raport cu rela ția „∼” de asociere în divizibilitate,
relația de divizibilitate „ | ” define ște în mod natural o relație de ordine . Traducînd no țiunile
de margine inferioar ă (respectiv superioar ă) a unei submul țimi într-o mul țime ordonat ă, se
ajunge la no țiunile clasice de cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun :
1.8 Defini ție. Fie R un inel integru, n ∈ N* și a1, …, an ∈ R. Spunem c ă elementul d din R
este un cel mai mare divizor comun (pe scurt, cmmdc ) al elementelor a1, …, an dacă:
i) d|a 1, …, d|a n.
ii) Pentru orice e ∈ R astfel încît e|a1, …, e|a n, rezultă e|d.
Spunem c ă elementul m din R este un cel mai mic multiplu comun (pe scurt, cmmmc ) al
elementelor a1, …, an dacă satisface condi țiile:
i') a1|m, …, a n|m.
ii') Pentru orice e ∈ R astfel încît a1|e, …, a n|e, rezultă m|e.
1.9 Observa ție. Pentru a1, …, an ∈ R, dacă există un cmmdc al lor d ∈ R, atunci d este
unic determinat pînă la o asociere în divizibilitate : dacă și e este un cmmdc al a1, …, an,
atunci e ∼ d. Aceeași observație se aplic ă cmmmc.
În continuare vom nota cu (a1, …, an) sau cu cmmdc{ a1, …, an} un cmmdc al a1, …, an, în
cazul cînd acesta exist ă. Scrierea d = (a1, …, an) semnific ă faptul că d este asociat cu un
cmmdc al a1, …, an. De exemplu, în Z, putem scrie 1 = (1, 2) și (1, 2) = −1, dar aceasta nu
înseamnă că 1 = −1 (ci 1 ∼ −1). Spunem c ă a1, …, a n sînt relativ prime (prime între ele ) dacă și
numai dac ă (a1, …, an) = 1 ⇔ orice divizor comun al lor este o unitate în R.
Notăm cu [ a1, …, an] sau cu cmmmc{ a1, …, an} un cmmmc al a1, …, an, dacă există.
1.10 Observa ție. ∀a ∈ R, ∃ (a, 0) = a și ∃ [a, 0] = 0.
Pentru un inel integru oarecare R și x, y ∈ R, nu este garantat ă existența unui cmmdc al
lor. Un inel integru R cu proprietatea c ă, pentru orice dou ă elemente x, y ∈ R, există un
cmmdc al lor, se nume ște GCD-inel (Greatest Common Divisor înseamnă cel mai mare
divizor comun ).
Iată cîteva propriet ăți elementare generale ale cmmdc și cmmmc:

IV.1 Divizibilitate
99
1.11 Propoziție. Fie R un domeniu de integritate și a1, …, a n, r ∈ R \{0}.
a) Dacă există d = (a1, …, a n), atunci a 1/d, …, a n/d au cmmdc, egal cu 1.67
b) Dacă există (a1, …, an) =: d și există (ra1, …, ran) =: e, atunci e = rd, adică:
(ra1, …, ran) = r(a1, …, an).
c) Dacă există [a1, …, an] = m și există [ra1, …, ra n] =: μ, atunci μ = rm, adică:
[ra1, …, ra n] = r[a1, …, a n].
Demonstra ție. a) Fie xi ∈ R astfel încît ai = dxi, pentru 1 ≤ i ≤ n . Evident, 1 este un divizor
comun al elementelor x1, …, xn. Dacă e ∈ R este un alt divizor comun al lor, atunci de este un
divizor comun al a1, …, a n, deci de|d. De aici rezult ă că e|1.
b) Din rd|ra i, pentru ∀i, rezultă că rd|e. Fie u ∈ R cu e = rdu. Arătăm că u|1. Fie xi, yi ∈ R
astfel încît ai = dxi și rai = eyi, pentru 1 ≤ i ≤ n. Avem, pentru orice i: rai = rdx i = rduy i. De aici
rezultă că u este divizor comun al elementelor xi, care au cmmdc 1, conform punctului a). †
Rezultatul urm ător este fundamental în argumentele legate de divizibilitate.
1.12 Corolar. Fie R un inel integru în care orice dou ă elemente au cmmdc (GCD-inel) și
a, b, c ∈ R cu proprietatea c ă a|bc și a este prim cu b. Atunci a|c.
Demonstra ție. Din (a, b) = 1 și din propozi ția precedent ă, punctul b), rezultă că
(ac, bc ) = c. Cum a|ac și a|bc, din defini ția cmmdc ob ținem a|(ac, bc ) = c. †
1.13 Propozi ție. Fie R un inel integru astfel încît orice dou ă elemente din R au un cmmdc.
Atunci, ∀a, b ∈ R, există și cmmmc al lor [a, b] și avem ab = (a, b)·[a, b]. Mai mult, pentru
orice n ∈ N*, orice n elemente a 1, …, a n din R au cmmdc și cmmmc.
Demonstra ție. Fie a, b ∈ R cu a, b ≠ 0 și fie d = (a, b). Există x, y ∈ R cu a = dx, b = dy.
Elementul m = dxy este un multiplu comun al elementelor a și b. Fie µ un alt multiplu comun
al elementelor a și b. Există z, t ∈ R astfel încît µ = az = dxz și µ = bt = dyt. Deci m divide
elementele µy = dxyz și µx = dxyt. Știm că există (µx, µy ), deci m divide și pe (µx, µy ) = µ(x, y)
= µ. Aceasta arat ă că m este un cmmmc al elementelor a și b și că ab = dm.
Partea a doua se demonstreaz ă prin induc ție după n. (Exercițiu!). †
Pentru scurtarea exprim ării, dacă R este inel integru, not ăm
R° := {x ∈ R | x este nenul și nu este inversabil} = R* \ U(R).
Un rol important în divizibilitatea în Z îl au numerele prime. Definiția elementar ă uzuală
care se d ă noțiunii de num ăr natural prim este „num ărul p > 1 este prim dac ă singurii s ăi
divizori naturali sînt 1 și p”. Aceasta este de fapt no țiunea de element ireductibil (se va vedea
legătura cu no țiunea de element prim definită mai jos ).

67 Dacă d ≠ 0 și d|a, am notat cu a/d unicul element x din R cu proprietatea c ă a = dx.

100 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

1.14 Defini ție. Fie R un inel integru și p ∈ R.
a) Spunem c ă p este ireductibil (în R) dacă p ∈ R° și p nu are divizori proprii: ∀d ∈ R,
d | p ⇒ d ∼ 1 sau d ∼ p.
b) Spunem c ă p este prim (în R) dacă p ∈ R° și oricare ar fi a, b ∈ R astfel încît p|ab ,
rezultă p|a sau p|b.
Subliniem c ă un element prim sau ireductibil este prin defini ție nenul și neinversabil . Se
demonstreaz ă imediat c ă dacă p este prim și p divide un produs de m elemente din R, atunci p
divide unul din factori.
1.15 Propozi ție. Fie R un inel integru. Atunci orice element prim este ireductibil. †
Noțiunile de element prim și element ireductibil (care sînt echivalente pentru Z, după cum
se va vedea ) nu coincid în general, dar coincid pentru GCD-inele:
1.16 Propozi ție. Fie R un GCD-inel. Atunci orice element ireductibil în R este prim în R.
Demonstra ție. Fie p ∈ R, ireductibil și x, y ∈ R astfel încît p|xy. Dacă p – x, atunci ∃
(p, x) = 1. Într-adev ăr, dacă d|x și d|p, atunci este imposibil ca d ∼ p (ar rezulta p|x), deci d ∼ 1.
Astfel , p|xy și p este prim cu x. Corolarul 1.12 asigur ă că p|y. †
Noțiunea de divizibilitate poate fi exprimat ă în termeni de ideale :
1.17 Propozi ție. Fie R un inel integru, n ∈ N* și a, b, x1, …, x n ∈ R. Atunci:
a) a|b dac ă și numai dac ă Ra ⊇ Rb. 68
b) a ∼ b dacă și numai dac ă Ra = Rb.
c) a este inversabil dac ă și numai dac ă Ra = R.
d) a este prim în R dac ă și numai dac ă Ra este ideal prim.
e) a este ireductibil în R dac ă și numai dac ă Ra este ideal maximal printre idealele
principale proprii ale lui R (mai precis: ∀ x ∈ R astfel încît Ra ⊆ Rx, rezult ă Ra = Rx sau
Rx = R).
f ) a este divizor comun al x 1, …, x n dacă și numai dac ă Rx 1 +…+ Rxn ⊆ Ra.
g) Dacă Rx 1 +… + Rxn = Ra, atunci a = (x1, …, x n).69
h) a este multiplu comun al x 1, …, x n dacă și numai dac ă Rx 1 ∩… ∩ Rxn ⊇ Ra.
i) a = [x1, …, x n] dacă și numai dac ă Rx 1 ∩ …∩ Rxn = Ra.
Demonstra ție. a) a|b ⇔ există c ∈ R cu b = ca ⇔ b ∈ Ra ⇔ Rb ⊆ Ra.
e) Presupunem c ă a este ireductibil. Dac ă Rx este un ideal principal propriu al lui R astfel
încît Ra ⊆ Rx, rezultă că x|a. Cum a nu are divizori proprii, x este asociat cu a sau x este o
unitate. Dar x nu poate fi o unitate, c ăci Rx nu coincide cu inelul R. Astfel x ∼ a, adică Rx =

68 Am notat cu Ra idealul generat de a: Ra = {ra | r ∈ R} = aR. O altă notație pentru Ra este ( a).
69 Reciproca este fals ă în general. Pentru un contraexemplu, a se vedea sec țiunea „Inele principale”.

IV.2 Algoritmul lui Euclid, teorema fundamental ă a aritmeticii
101
Ra. Reciproc, dac ă Rx e maximal printre idealele principale proprii, iar d ∈ R este un divizor
al lui a, atunci Ra ⊆ Rd, deci Rd = Ra sau Rd = R. Aceasta înseamn ă că d ∼ a sau d ∼ 1.
g) Din f) rezultă că a este divizor comun al x1, …, xn. Fie d ∈ R un alt divizor comun al lor.
Cum a ∈ Rx1 +… + Rxn, ∃ c1, …, cn ∈ R cu a = c1x1 + …+ cnxn. Din d|x1, …, d|xn rezultă că
d|a. †
IV.2 Algoritmul lui Euc lid, teorema fundamental ă a aritmeticii
Un rol esen țial în aritmetica lui Z îl are teorema împ ărțirii cu rest:
– Pentru orice a, b ∈ Z, cu b ≠ 0, există q, r ∈ Z, astfel încît a = bq + r și |r| < |b| sau r = 0.
Această teoremă are drept consecin ță încă două teoreme fundamentale în Z:
– Orice ideal al lui Z este principal (adică de forma nZ, cu n ∈ Z).
– Orice num ăr întreg nenul și neinversabil se poate scrie în mod unic ca un produs finit de
numere întregi prime (unicitatea fiind în țeleasă pînă la ordinea factorilor și la o asociere a
lor în divizibilitate). („Teorema fundamental ă a aritmeticii” sau „Teorema de descompunere
unică în factori primi” )
Prin abstractizare, se ob țin noțiunile generale de inel euclidian (inel în care are loc o
teoremă de împărțire cu rest ), inel principal (în care orice ideal e principal ) și, respectiv, de
inel factorial (în care este valabil ă o teorem ă de descompunere unic ă în factori primi ).
2.1 Defini ție. Un inel integru R se numește inel euclidian dacă există o funcție ϕ : R* → N
astfel încît: pentru orice a, b ∈ R cu b ≠ 0, există q, r ∈ R cu propriet ățile:
a = bq + r și (r = 0 sau ϕ(r) < ϕ(b)).
Vom spune în acest caz c ă R este inel euclidian față de funcția ϕ.
Proprietatea din defini ție este cunoscut ă sub numele de „teorema împ ărțirii cu rest în R”; q
este numit cît, iar r rest al împărțirii lui a prin b. Definiția de mai sus e inspirat ă din teoremele
corespunz ătoare din inelul Z (unde rolul func ției ϕ este jucat de valoarea absolut ă pe Z),
respectiv din inelele K[X] cu K corp, unde ϕ este func ția grad. Aceste inele constituie și cele
mai importante exemple de inele euclidiene.
2.2 Teorem ă (Algoritmul lui Euclid ). Fie R un inel euclidian și a, b ∈ R, cu b ≠ 0. Atunci
există un cmmdc d al elementelor a și b. În plus, exist ă (și se pot determina algoritmic) u,
v ∈ R astfel încît d = au + bv.
Demonstra ție. Fie următorul șir de împărțiri cu rest în R ("Algoritmul lui Euclid" ):
(1) a = bq1 + r1 cu r1 = 0 sau ϕ(r1) < ϕ(b);
(2) b = r1q2 + r2 cu r2 = 0 sau ϕ(r2) < ϕ(r1);

102 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

(3) r1 = r2q3 + r3 cu r3 = 0 sau ϕ(r3) < ϕ(r2);
…
(n − 2) rn − 4 = rn − 3qn − 2 + rn − 2 cu rn − 2 = 0 sau ϕ(rn − 2) < ϕ(rn − 2);
(n − 1) rn − 3 = rn − 2 qn − 1 + rn − 1 cu rn − 1 = 0 sau ϕ(rn − 1) < ϕ(rn − 2);
(n) rn − 2 = rn − 1 qn + rn cu rn = 0.
Existența elementelor qi, ri ∈ R cu propriet ățile specificate este asigurat ă la fiecare pas de
definiția inelului euclidian. Întrucît șirul de numere naturale ϕ(b), ϕ(r1), ϕ(r2), … este strict
descrescător, există n ∈ N* cu rn = 0 (algoritmul se termin ă după un număr finit de pa și).
Afirmăm că rn − 1 („ultimul rest nenul” ) este cmmdc al lui a și b.
Din relația (n) avem rn − 1|rn − 2. Relația (n − 1) arată că rn − 1| rn − 3. Folosind în continuare
egalitățile (n − 2), …, (3), (2), (1), obținem (prin induc ție70) că rn − 1|b și rn − 1|a. Fie acum e ∈ R
un divizor comun al elementelor a și b; atunci e va divide și pe r1 = a − bq1. Din rela ția (2),
obținem că e|r2 = b − r1q2. Procedînd inductiv, rezult ă că e|ri pentru orice i < n, deci e|rn − 1.
Pentru a ob ține scrierea lui d = rn − 1 sub forma au + bv, observăm că r1 = a − bq1; înlocuind
r1 în (2), obținem scrierea lui r2 sub forma au' + bv' ș.a.m.d. Urm ătorul algoritm (numit
algoritmul extins al lui Euclid ) realizeaz ă acest lucru (la fiecare pas variabilele u și v sînt
astfel încît ultimul rest g ăsit este au + bv):
Se dau : a, b ∈ R. Se obțin : d = (a, b) ∈ R și u, v ∈ R astfel încît d = au + bv.
Începe
Dacă b = 0, atunci d := a; u := 1, v := 0; Stop .
Altfel u1 := 1; v1 := 0; u := 0; v := 1;
Pas 1. Găsește q, r ∈ R cu a = bq + r și r = 0 sau ϕ(r) < ϕ(b);
Dacă r = 0, atunci pune d := b; Stop.
Altfel a := b; b := r; u1 := u1 − q·u; v1 := v1 − q·v;
t := u; u := u1; u1 := t; „aici se schimb ă între ele cuplurile (u, v) și
t := v; v := v1; v1 := t; (u1, v1)”
Mergi la Pas 1.
Sfîrșit †
2.3 Exemple. a) Z este inel euclidian fa ță de funcția „valoarea absolut ă”. Cîtul și restul
unei împărțiri cu rest nu sînt unic determinate: de exemplu, 3 = 2·1 + 1 = 2·2 + (−1).
b) Fie K un corp . Inelul K[X] este euclidian fa ță de funcția grad : K[X] \ {0} → N, conform
teoremei III.2.1. Z și K[X] sînt cele mai importante exemple de inele euclidiene.
2.4 Definiție. Un inel integru R se numește inel principal dacă orice ideal al inelului R este
principal. Cu alte cuvinte, oricare ar fi idealul I al lui R, există a ∈ R astfel încît I = Ra.

70 Detaliați raționamentul prin induc ție!

IV.2 Algoritmul lui Euclid, teorema fundamental ă a aritmeticii
103
Orice corp K este inel principal (singurele sale ideale sînt 0 și K). Exemple importante de
inele principale sînt furnizate de urm ătoarea propozi ție.
2.5 Teorem ă. Orice inel euclidian este inel principal.
Demonstra ție. Fie R un inel euclidian fa ță de funcția ϕ și I un ideal nenul al lui R. Fie
{ϕ(x) | x ∈ I, x ≠ 0}, submul țime nevid ă a lui N. Această submulțime are cel mai mic element,
fie acesta ϕ(a), cu a ∈ I, a ≠ 0 (a poate să nu fie unic determinat ). Demonstr ăm că I = Ra.
Evident, Ra ⊆ I. Pentru incluziunea invers ă, presupunem c ă există un element b ∈ I \ Ra. Din
teorema împ ărțirii cu rest, există q, r ∈ R cu proprietatea c ă b = aq + r, r ≠ 0 (căci b ∉ Ra) și
ϕ(r) < ϕ(a). Cum a, b ∈ I, rezultă că r ∈ I. Însă ϕ(r) < ϕ(a) contrazice alegerea lui a. †
Astfel, dac ă K este corp, inelul K[X] este principal; dat un ideal I ≠ 0 în K[X], un generator
al lui I este un polinom g ∈ I de grad minim printre gradele polinoamelor nenule din I.
Există inele principale care nu sînt euclidiene, dar nu sînt u șor de construit. Un astfel de
inel este Z⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
219 1i (vezi A LBU și ION [1984] ).
Inelele principale sînt GCD-inele; oricare ar fi a, b ∈ R, există un cmmdc al lor, anume
orice generator al idealului aR + bR:
2.6 Propozi ție. Fie R un inel principal și a, b ∈ R. Atunci:
a) Elementul d ∈ R este un cmmdc al a și b dacă și numai dac ă dR = aR + bR. În
particular, exist ă un cmmdc d al lui a și b și există u, v ∈ R astfel încît d = au + bv.
b) Elementul d ∈ R este un cmmmc al a și b dacă și numai dac ă dR = aR ∩ bR.
Demonstra ție. a) R fiind inel principal, exist ă un generator d al idealului aR + bR = {ax +
by | x, y ∈ R}. Atunci a, b ∈ dR, deci d|a, d|b . Dacă e ∈ R astfel încît e|a, e|b , atunci e|ax +
by, ∀x, y ∈ R. În particular, e|d. Astfel, d este un cmmdc al a și b. Reciproc, dac ă d este un
cmmdc al a și b, rezultă că d|a și d|b, deci dR ⊇ aR și dR ⊇ bR, adică dR ⊇ aR + bR. Fie e un
generator al idealului aR + bR. Cum e|a, e|b , rezultă că e|d, adică d ∈ eR = aR + bR. †
Propoziția de mai sus justific ă notația (a, b), folosită atît pentru cmmdc al elementelor a și
b, cît și pentru idealul generat de a și b, aR + bR.
2.7 Exemplu. Fie R un inel integru care nu e corp și r ∈ R, nenul, neinversabil. Atunci
idealul (r, X) al inelului R[X] nu este principal, deci inelul R [X] nu este principal . Într-adev ăr,
presupunem c ă există f ∈ R[X] cu ( f ) = (r, X). Atunci rezult ă că f |r. Trecînd la grade, ob ținem
că grad f = 0, adică f ∈ R. Din f |X, adică ∃g ∈ R[X] cu X = fg, avem că f este inversabil în R.
Deci cmmdc al lui r și X este 1. Dar idealul generat de r și X nu conține pe 1, c ăci altfel ar
exista h, q ∈ R[X] astfel încît 1 = hr + qX. Punînd X = 0 în aceast ă egalitate de polinoame,
rezultă 1 = h(0)·r, adică r este inversabil, contradic ție.
În particular, inelele Z[X], K[X, Y] cu K corp nu sînt principale . Deci, proprietatea „dac ă a,
b ∈ R și există d = (a, b), atunci ∃u, v ∈ R astfel încît d = au + bv” este fals ă în inele care nu

104 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

sînt principale. De exemplu, în K[X, Y], avem (X, Y) = 1, dar 1 nu se poate scrie ca X·u + Y·v,
cu u, v ∈ K[X, Y].
Din Propozi ția 1.16 și din faptul c ă inelele principale sînt GCD-inele, rezult ă:
2.8 Propozi ție. Într-un inel principal, no țiunile de element ireductibil și element prim
coincid. †
2.9 Corolar. Într-un inel principal R, idealele pr ime nenule sînt ideale maximale. Orice
ideal maximal este de forma pR, unde p este ireductibil în R. Un element p ∈ R este
ireductibil dac ă și numai dac ă pR este ideal maximal.
Demonstra ție. Este suficient s ă observăm că orice ideal prim nenul este principal, generat
cu necesitate de un element prim p (Propoziția 1.17. d)). Elementul p este ireductibil, deci
(Propoziția 1.17. e)) idealul pR este maximal. Celelalte afirma ții sînt evidente, ținînd cont de
propoziția citată și de faptul c ă R este principal. †
Cazul particular R = Z al Propozi ției următoare este cunoscut sub numele de „Teorema
fundamental ă a aritmeticii”. Reamintim c ă R° = {x ∈ R | x este nenul și nu este inversabil}.
2.10 Teorem ă. Fie R un inel principal. Atunci orice element nenul și neinversabil din R se
poate scrie ca un produs finit de elemente prime.
Demonstra ție. Presupunem c ă există r0 ∈ R° astfel încît r nu se poate scrie ca un produs
finit de elemente prime (sau, echivalent, ireductibile, c ăci R este principal ). În particular, r0 nu
este ireductibil, deci r0 = r1s1, cu r1, s1 ∈ R°, neasociate cu r0. Dacă r1 și s1 sînt produse finite
de ireductibile, atunci r0 este produs de ireductibile, fals. Deci m ăcar unul dintre ele (fie acesta
r1) nu se scrie ca produs de elemente ireductibile. Înlocuind în ra ționamentul de mai sus pe r0
cu r1, rezultă că există r2 ∈ R°, r2|r1, r2 ¿ r1. Procedînd recursiv, rezult ă existența unui șir
(rn)n ≥0 de elemente din R, astfel încît pentru orice n ∈ N, rn + 1 este un divizor propriu al lui rn.
Altfel spus, am ob ținut un șir infinit strict cresc ător de ideale r0R ⊂ r1R ⊂ … ⊂ rnR ⊂ …. Dar
acest lucru este imposibil într-un inel principal, dup ă cum arată lema urm ătoare.
2.11 Lem ă. Fie R un inel principal și (rn)n ≥ 0 un șir de elemente din R astfel încît
rnR ⊆ rn + 1R, pentru orice n ∈ N. Atunci exist ă m ∈ N astfel încît r m R = rm + i R, pentru orice
i ∈ N. (Orice șir ascendent de ideale este sta ționar) .
Demonstra ție. Fie I reuniunea idealelor rn R, n ∈ N. Se arată imediat c ă I este ideal în R.
Cum R este principal, exist ă a ∈ R astfel încît I = aR. Întrucît a ∈ I, există m ∈ N astfel încît
a ∈ rm R, adică aR = rm R. Deci rm R = aR = I = rm + i R, ∀i ∈ N. †

IV.2 Algoritmul lui Euclid, teorema fundamental ă a aritmeticii
105
2.12 Defini ție. Un inel integru R cu proprietatea c ă orice element nenul și neinversabil se
scrie ca un produs finit71 de elemente prime se nume ște inel factorial sau inel cu
descompunere unic ă în factori (primi) . În literatura anglo-saxon ă, astfel de inele sînt numite
Unique Factorization Domains (UFD ).
Din teorema 2.10 rezult ă că inelele principale (deci și cele euclidiene ) sînt factoriale. Orice
corp este inel factorial, c ăci nu are elemente nenule și neinversabile.
2.13 Propozi ție. Într-un inel factorial R orice element ireductibil este prim.
Demonstra ție. Fie p ireductibil. Cum p ∈ R°, p este un produs de elemente prime. Acest
produs nu poate avea decît un factor, altfel elementul p ar admite divizori proprii. Cu alte
cuvinte, p este el însu și prim. †
Propoziția următoare justific ă și precizeaz ă denumirea de inele cu descompunere unic ă în
factori primi, care se mai d ă inelelor factoriale.
2.14 Propozi ție. Fie R un inel integru și r ∈ R°. Dacă r admite o descompunere în factori
primi, atunci aceast ă descompunere este unic determinat ă pînă la o ordine a factorilor și
pînă la o asociere a acestora în divizibilitate. Mai precis, dac ă r = p1…pn = q1…qm sînt două
scrieri ale lui r ca produse de elemente prime, atunci m = n și există o permutare σ a mulțimii
{1, …, n} astfel încît p i să fie asociat în divizibilitate cu q σ(i), ∀i ∈ {1, …, n}.
Demonstra ție. Demonstr ăm afirmația propozi ției prin induc ție după n.
Dacă n = 1, atunci r = p1 = q1 … qm, cu p1, q1, …, qm prime. Deci r este prim și divide
q1… qm; rezultă că r divide unul din factori, fie acesta (după o eventual ă renumerotare ) q1.
Întrucît q1 este ireductibil, rezult ă că r ∼ q1, adică r = q1u, cu u inversabil. Dac ă m ≥ 2, din
egalitatea q1u = q1q2 … qm, obținem q2 … qm = 1, adică q2, …, qm sînt inversabile, contradic ție.
Deci m = 1.
Fie n > 1 și presupunem c ă afirmația este adev ărată pentru orice x ∈ R° care admite o
descompunere în factori primi cu mai pu țin de n factori. Fie r ∈ R cu r = p1 … pn = q1 … qm,
cu p1, …, pn, q1, …, qm prime. Din faptul c ă pn este prim, rezult ă că există i ∈ {1, …, n} astfel
încît pn|qi. Cum qi este ireductibil, rezult ă că pn ∼ qi, adică vpn = qi, cu v inversabil.
Simplificînd prin pn, obținem p1 … pn−1 = vq1 … qi−1qi+1 … qm. Putem acum aplica ipoteza de
inducție pentru produsul p1 … pn−1 și se obține că n − 1 = m − 1 și p1, …, pn − 1 sînt asociate cu
q1, …, qi − 1, qi + 1, …, qm, eventual în alt ă ordine. †
2.15 Teorem ă. Fie R un inel integru. Urm ătoarele afirma ții sînt echivalente:
a) R este inel factorial.

71 Un astfel de produs se mai nume ște descompunere în factori a elementului respectiv. Produsele pot avea și
un singur factor (adic ă elementul însu și este prim).

106 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

b) Orice element din R° este un produs de elemente ireductibile și orice element ireductibil
este prim.
c) Orice element din R° are o descom punere în factori ireductibili, unic ă pînă la ordinea
factorilor și pînă la o asociere în divizibilitate a acestora.
d) Orice element din R° are o descompunere în factori ireductibili și orice dou ă elemente
au un cmmdc.
Demonstra ție. a)⇒b) Evident, din Propozi ția 2.13.
b)⇒c) Rezultă din Propozi ția 2.14.
c)⇒d) Fie a, b ∈ R° (dacă a, b sînt nule sau inversabile, exist ă evident un cmmdc al lor ).
Pentru a g ăsi un cmmdc al elementelor a și b, se folose ște procedeul de determinare a cmmdc
învățat în gimnaziu : „se iau factorii primi comuni la puterea cea mai mic ă”. Trebuie îns ă
puțină atenție la asocierea în divizibilitate. Fie P un sistem de reprezentan ți ai claselor de
echivalen ță ale elementelor ireductibile din R (în raport cu rela ția de asociere în divizibilitate ).
Aceasta înseamn ă că orice element ireductibil din R este asociat cu exact un element din P.
Atunci exist ă și sînt unic determinate p1, …, pn ∈ P, distincte, s1, …, sn, t1, …, tn ∈ N, u, v ∈
U(R) astfel încît a = up pns
ns…1
1 și b = vp pnt
nt…1
1 . Faptul că aceste elemente sînt unic
determinate rezult ă imediat din unicitatea descompunerilor în R. Fie ri = min (si, ti) și definim
d =nr
nrp p…1
1 . Se observ ă că d|a, d|b. Dacă e|a, e|b , atunci orice factor ireductibil c ∈ P care îl
divide pe e divide pe a și pe b. Aceasta implic ă c ∈ {p1, …, pn}, căci altfel a (sau b) ar avea
două descompuneri în factori ireductibili, dintre care una îl con ține pe c, iar cealalt ă nu, ceea
ce contrazice unicitatea descompunerilor. Deci e este de forma qp pnw
nw…1
1 , cu w1, …, wn ∈
N, q ∈ U(R). Din e|a rezultă că wi ≤ si, iar din e|b rezultă că wi ≤ ti, i = n,1. D e c i wi ≤ ri și e|d.
d)⇒a) Prop. 1.16 asigur ă că orice element ireductibil este prim, c ăci R este GCD-inel.
Implicația e acum evident ă. †
Într-un inel factorial R orice dou ă elemente a și b au un cmmmc, produsul „factorilor primi
comuni și necomuni la puterea cea mai mare”. Cu nota țiile din demonstra ție, se define ște qi =
max(si, ti), iar elementul m = nq
nqp p…1
1 este un cmmmc al lui a și b. Demonstra ți!
Proprietatea urm ătoare apare adesea în ra ționamentele privind divizibilitatea:
2.16 Propoziție. Fie R un inel factorial, n ∈ N* și a, b 1, …, b n ∈ R. Dacă a este prim cu
orice b i, 1 ≤ i ≤ n, atunci a este prim cu produsul b 1…bn.
Demonstra ție. Vom arăta că nu există nici un element prim p care să dividă atît pe a cît și
produsul b1…bn. Dacă p este un astfel de element, atunci exist ă j, 1 ≤ j ≤ n astfel încît p|bj.
Cum p|a, rezultă că p|(a, bj) = 1. Deci p este inversabil, contradic ție. †
Vom demonstra urm ătorul rezultat important privitor la inelele de polinoame:
2.17 Teorem ă. Dacă R este inel factorial, atunci inelul de polinoame R [X] este inel
factorial.

IV.2 Algoritmul lui Euclid, teorema fundamental ă a aritmeticii
107
Pentru demonstra ție sînt necesare cîteva no țiuni și rezultate, care au și un interes de sine
stătător.
2.18 Defini ție. Fie R un inel factorial și f = a0 + a1X + … + anX n ∈ R[X]. Cmmdc al
coeficienților a0, a1, …, an este numit conținutul polinomului f, notat c{ f }. Un polinom cu
conținutul asociat cu 1 se nume ște polinom primitiv .
Polinomul f este primitiv dac ă și numai dac ă nu există p prim în R astfel încît p să dividă
toți coeficien ții lui f. Orice polinom f ∈ R[X] se poate scrie sub forma f = c{ f }·f ', unde f ' este
polinom primitiv. Reciproc, dac ă f = a·f ', cu a ∈ R și f ' primitiv, atunci a = c{ f }.
2.19 Propozi ție. a) Fie R un inel integru. Dac ă p este un element prim în R, atunci p este
prim și în R [X].
b) (Lema lui Gauss ) Fie R un inel factorial și f, g ∈ R[X] două polinoame primitive. Atunci
și produsul fg este polinom primitiv.
c) Fie R un inel factorial și f, g ∈ R[X]. Atunci c { f g} = c{ f }·c(g).
Demonstra ție. a) Remarcăm mai întîi c ă p divide un polinom în R[X] dacă și numai dac ă p
divide toți coeficien ții polinomului. Fie f = a0 + a1X + … + anX n, g = b0 + b1X + … + bmX m ∈
R[X] astfel încît p – f și p – g. Să demonstr ăm că p – fg. Din p – f rezultă că există i, 0 ≤ i ≤ n,
astfel încît p – ai . Alegem i minim cu aceast ă proprietate. La fel, fie j minim astfel încît p – bj.
Atunci coeficientul lui X i + j în produsul fg este
∑
+=+ jilklkba
În această sumă, aibj nu este divizibil cu p, iar ceilal ți termeni sînt divizibili cu p, fiind
produse de doi factori dintre care m ăcar unul este divizibil cu p. Deci coeficientul lui X i + j nu
este divizibil cu p și nici polinomul fg nu este.
b) Dacă fg nu ar fi polinom primitiv, atunci ar exista p ∈ R, prim, astfel încît p| fg. Din
punctul precedent ob ținem că p| f sau p|g, contradic ție.
c) Fie f = c{ f }·f ', g = c(g)·g', unde f ' și g' sînt polinoame primitive. Atunci
fg = c{ f }c(g)·f '·g',
cu f 'g' polinom primitiv din b). Este clar acum c ă c{ fg} = c{ f }c(g). †
2.20 Propoziție. Fie R un inel factorial, K corpul s ău de frac ții și f ∈ R[X], grad f ≥ 1.
Atunci f este ireductibil în R [X] dacă și numai dac ă f este primitiv și este ireductibil în K [X].
Demonstra ție. Fie f ireductibil în R[X]. Atunci e clar c ă f este primitiv. S ă arătăm că f este
ireductibil în K[X]. Dacă f = gh, cu g, h ∈ K[X], atunci, înmul țind cu cmmmc al numitorilor
coeficienților polinoamelor g și h, obținem o rela ție de forma af = g1h1, cu g1, h1 ∈ R[X],
a ∈ R. Trecînd la con ținutul polinoamelor, avem a = c(g1)c(h1), căci c{ f } = 1. Fie g1 = c(g1)·g2,
h1 = c(h1)·h2, unde g2, h2 sînt polinoame primitive. Deci, af = c(g1)·c(h1)·g2·h2; simplificînd
prin a, obținem f = g2h2. Ireductibilitatea lui f implică grad g2 = 0 (de exemplu ). Cum
grad g = grad g1 = grad g2, rezultă grad g = 0.

108 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

Reciproc, dac ă f ∈ R[X] este ireductibil în K[X], nu are divizori proprii (de grad ≥ 1) în
K[X]; cu atît mai mult nu are divizori de grad ≥ 1 în R[X]. Dacă f este și primitiv, nu are nici
factori de grad 0 neinversabili, deci este ireductibil în R[X]. †
Propoziția are o importan ță practică: studiul ireductibilit ății unui polinom în K[X] se reduce
la ireductibilitatea în R[X], în principiu mai abordabil ă.
Demonstra ția teoremei 2.17 . Arătăm mai întîi c ă în R[X] orice ireductibil este prim: fie
f ∈ R[X], ireductibil. Dac ă f |gh, cu g, h ∈ R[X], din faptul c ă f este ireductibil în K[X] (deci și
prim în K[X]) rezultă că f |g sau f |h în K[X]. Presupunem c ă f |g în K[X]; există deci a ∈ R,
q ∈ R[X] astfel încît ag = fq. Trecînd la con ținutul polinoamelor, avem a·c(g) = c(q). Scriind
că q = c(q)·q', g = c(g)·g', cu q', g' primitive în R[X], obținem ac(g)·g' = f·c(q)·q'; simplificînd
prin c(q) = ac(g), rezultă g' = fq', adică f |g în R[X].
Rămîne de ar ătat că orice f nenul și neinversabil din R[X] este un produs de ireductibile.
Vom demonstra aceasta prin induc ție după grad f. Dacă grad f = 0, atunci f ∈ R° și deci are o
descompunere în factori ireductibili în R, care rămîn ireductibili în R[X]. Dacă grad f > 0, fie
f = c{ f }f ', cu f ' primitiv; este suficient s ă găsim o descompunere pentru f '. Dacă f ' este
ireductibil, am terminat; dac ă nu, f ' are un divizor propriu în R[X], care este un polinom de
grad strict mai mic decît grad f ( f ' nu are divizori proprii în R, căci este primitiv ). În
concluzie, f ' = gh, cu g, h ∈ R[X], de grade strict mai mici decît grad f. Aplicînd ipoteza de
inducție pentru g și h, rezultă că f ' este un produs de factori ireductibili în R[X]. †
Deci inelele Z[X], Z[X1, …, Xn], K[X1, …, Xn] cu K corp sînt inele factoriale .
IV.3 Ireductibilitate în inele polinomiale
Fiind dat un inel integru (sau un corp ) R, problema deciderii ireductibilit ății unui polinom
în inelul de polinoame R[X] nebanal ă și adesea deosebit de important ă. De aici rezult ă
utilitatea cunoa șterii unui arsenal cît mai bogat de criterii de ireductibilitate. Mai întîi
determinăm toate polinoamele inversabile în R[X].
3.1 Propozi ție. Fie R un inel integru. Atunci U (R[X]) = U(R). În particular, pentru K corp,
U(K[X]) = K*. †
3.2 Observa ție. Dacă R este inel integru și f ∈ R[X] este un polinom unitar reductibil ,
atunci exist ă o descompunere a lui f de forma f = gh, cu g, h ∈ R[X] unitare , de grade > 1.
(demonstra ți!). Aceast ă observa ție simpl ă este util ă în investigarea ireductibilit ății
polinoamelor.

IV.3 Ireductibilitate în inele polinomiale
109
Dacă R este inel care nu e corp, inelul R[X] nu este principal, deci cu atît mai mult nu este
euclidian (nu are loc teorema împ ărțirii cu rest în R[X]). Totuși, dacă f, g ∈ R[X], iar g are
coeficientul dominant inversabil în R, se poate face „împ ărțirea cu rest” a lui f la g:
3.3 Propozi ție. (teorema împ ărțirii întregi ) Fie R un inel și f, g ∈ R[X]. Dacă coeficientul
dominant al lui g este inversabil în R, atunci exist ă q, r ∈ R[X] astfel încît f = gq + r, cu r = 0
sau grad r < grad f.
Demonstra ție. Se aplică exact aceea și idee ca la demonstra ția teorremei împ ărțirii cu rest
în K[X], cu K corp. †
3.4 Corolar (teorema lui Bézout ). Fie R un inel integru, f ∈ R[X] și a ∈ R. Atunci a este
rădăcină a lui f dac ă și numai dac ă polinomul X − a îl divide pe f în R [X].
Demonstra ție. Există q, r ∈ R[X] astfel încît f = (X − a)q + r, unde grad r = 0 sau r = 0.
Observăm că (X − a)| f dacă și numai dac ă r = 0. Din egalitatea f (a) = (a − a)q(a) + r(a) = r,
deducem c ă f (a) = 0 echivaleaz ă cu r = 0. †
Deci, dacă grad f ≥ 2 și f are o rădăcină a ∈ R, atunci f este reductibil în R [X] (fiind
divizibil cu X − a). Reciproca este fals ă: polinomul (X 2 + 1)2 nu are rădăcini în Q, dar este
evident reductibil în Q[X]. Are loc o reciproc ă „parțială”:
3.5 Propozi ție. Fie K un corp. Atunci un polinom f de grad 2 sau 3 din K[X] este
ireductibil dacă și numai dac ă nu are rădăcini în K. În particular, dac ă R este inel factorial,
un polinom primitiv de grad 2 sau 3 din R[X] este ireductibil în R [X] dacă și numai dac ă nu
are rădăcini în K.
Demonstra ție. Fie f ∈ K[X], reductibil și de grad 2 sau 3. Din examinarea gradelor într-o
descompunere a lui f, rezultă că are un factor de grad 1, care are o r ădăcină în K. Restul
rezultă din echivalen ța „ f este ireductibil în R[X] dacă și numai dac ă f este primitiv și
ireductibil în K[X]”. †
Criteriul de mai sus trebuie aplicat cu precau ție pentru stabilirea ireductibilit ății
polinoamelor cu coeficien ți într-un inel integru (mai ales dac ă nu e factorial ):
3.6 Exemple. a) Polinomul f = (2X + 1)2 este evident reductibil în Z[X], dar nu are r ădăcini
în Z. Însă f are rădăcini în corpul de frac ții al lui Z, Q.
b) Fie R = {a + 2bi | a, b ∈ Z}. Se verific ă imediat c ă R este subinel integru al lui Z[i].
Polinomul X 2 + 1 este ireductibil în R[X] (demonstra ți!), dar are r ădăcinile i, −i în corpul de
fracții al lui R, Q[i]. Aceasta arat ă că existența rădăcinilor unui polinom de grad 2 sau 3 din
R[X] în corpul de frac ții al lui R nu implic ă în general reductibilitatea polinomului în R[X].
În cazul corpurilor C și R, ideile simple de mai sus, cuplate cu Teorema fundamental ă a
algebrei, furnizeaz ă lista tuturor polinoamelelor ireductibile peste aceste corpuri:

110 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

3.7 Propozi ție. a) Polinomul f ∈ C[X] este ireductibil dac ă și numai dac ă este polinom de
grad I.
b) Polinomul f ∈ R[X] este ireductibil dac ă și numai dac ă: sau este polinom de grad I, sau
este de grad II (de forma aX 2 + bX + c, cu a ≠ 0) și discriminantul s ău b2 − 4ac este negativ.
Demonstra ție. a) Evident, orice polinom de grad I este ireductibil. Reciproc, dac ă
f ∈ C[X] și grad f > 1, atunci f are o rădăcină z ∈ C (conform teoremei fundamentale a
algebrei ), deci f nu poate fi ireductibil.
b) Exercițiu. †
Pentru găsirea rădăcinilor unui polinom este util urm ătorul criteriu (vezi și Exerc. 13 ).
3.8 Propozi ție. Fie R un inel factorial, K corpul s ău de fracții și f = a0 + … + anX n ∈ R[X].
Dacă p/q ∈ K este o r ădăcină a lui f, cu p, q ∈ R, ( p, q) = 1, atunci p|a 0 și q|a n.
Demonstra ție. Scriind c ă p/q este rădăcină a lui f și înmulțind cu q n, avem
−a0q n = a1 pq n−1 + … + an p n,
deci p|a 0q n. Cum ( p, q) = 1, avem și ( p, q n) = 1 (R este factorial ) și deci p|a0. Analog se
demonstreaz ă că q|a n. †
3.9 Exemplu. Fie f = X 3 − X + 2 ∈ Z[X]. Dacă p/q ∈ Q este rădăcină a lui f, (p, q) = 1,
atunci p|2 și q|1. Rădăcinile raționale ale lui f (dacă există) se găsesc așadar printre elementele
mulțimii {1, −1, 2, −2}. Prin testare direct ă, obținem că nici unul din aceste elemente nu este
rădăcină. Deci f nu are rădăcini raționale. Cum f este de grad 3, rezult ă că este ireductibil în
Q[X] (și în Z[X], fiind primitiv ).
Fie R un inel. Teorema lui Bézout afirm ă că polinomul f ∈ R[X] are rădăcina a ∈ R dacă și
numai dac ă X − a divide f în R[X]. Este așadar natural ă considerarea urm ătoarei defini ții:
3.10 Defini ție. Fie R un inel integru, f ∈ R[X] un polinom nenul, a ∈ R o rădăcină a lui f și
n ∈ N. Spunem c ă a este rădăcină multiplă de ordin n a lui f dacă (X − a)n | f și (X − a)n + 1- f.
Numărul natural n se nume ște ordinul de multiplicitate al r ădăcinii a. Dacă n = 1, a se
numește rădăcină simplă, dacă n = 2, 3, …, a se numește rădăcină dublă, triplă… . Atunci
cînd se num ără rădăcinile unui polinom, se numără fiecare r ădăcină de atîtea ori cît este
ordinul său de multiplicitate .
3.11 Propozi ție. Fie R un inel factorial și f ∈ R[X] un polinom nenul. Dac ă a1, …, a n ∈ R
sînt rădăcini distincte ale lui f, de ordine de multiplicitate m 1, …, m n, atunci f se divide cu
() ( )1
1n mm
n Xa Xa−−… în R[X].
Demonstra ție. Prin induc ție după n. Dacă n = 1, afirma ția rezultă din defini ție. Presu-
punem afirma ția adevărată pentru n − 1 și fie f ca în enun ț. Din ipoteza de induc ție,
f = () ( )11
11n mm
n Xa Xa g−
− −−… , cu g ∈ R[X]. Polinoamele X − ai, cu 1 ≤ i ≤ n, sînt

IV.3 Ireductibilitate în inele polinomiale
111
ireductibile și neasociate dou ă cîte două; deci ()1
1mXa− , …, ()nm
n Xa− sînt două cîte două
relativ prime. Din Prop. IV.2.16 rezult ă că ( )nm
n Xa− este prim cu produsul
( )( )11
11n mm
n Xa Xa−
− −−… . Dar ( )nm
n Xa− divide pe ( )( )11
11n mm
n Xa Xa g−
− −−… , deci
( )nm
n Xa− | g. †
3.12 Observa ție. În C[X], orice polinom se scrie în mod unic sub forma
b() ( )nm
n nma X a X − −1
1 1… , unde a1, …, an ∈ C sînt distincte dou ă cîte două (sînt rădăcinile
polinomului ), iar b este coeficientul s ău dominant. Acest lucru rezult ă din faptul c ă C[X] este
inel factorial (orice polinom se scrie ca un produs de polinoame ireductibile ), ținînd cont de
lista polinoamelor ireductibile din Z[X]. Care este forma general ă a unei descompuneri în
factori ireductibili a unui polinim din R[X]?
3.13 Corolar. Fie R un inel integru și f ∈ R[X], grad f = n. Atunci f are cel mult n r ădăcini
în R.
Demonstra ție. Fie K corpul de frac ții al lui R. Interpretînd f ca polinom în K[X], afirmația
decurge din propozi ția precedent ă. †
Vom da un criteriu pentru a decide dac ă un polinom are r ădăcini multiple, folosind
noțiunea de derivată formală a unui polinom.
3.14 Defini ție. Fie R un inel comutativ unitar și f = a0 + a1X + … + anX n ∈ R[X]. Numim
derivată (formală) a polinomului f polinomul
df := a1 + 2a2 X + … + nan X n −1.
Se mai folose ște notația df = f ' sau d f = f (1).
Un calcul direct arat ă că derivata formal ă are propriet ățile uzuale ale derivatei cunoscute
din Analiz ă:
{ f + g}' = f ' + g', {af }' = af ', { fg}' = f 'g + fg', ∀a ∈ R, ∀f, g ∈ R[X].
Compunerea morfismului d cu el însu și de n ori (n ∈ N*) se noteaz ă dn; dn : R[X] → R[X].
Avem deci dn = d◦dn−1, ∀n ∈ N*, cu conven ția că d0 = id. Mai not ăm dnf = f (n), ∀f ∈ R[X].
3.15 Propozi ție. Fie R un inel integru, f ∈ R[X] un polinom de grad n > 0 și α ∈ R.
a) Există și sînt unice elementele b 0, …, bn ∈ R astfel încît ()∑
≤≤− =
nii
iXb f
0α.
b) Dacă α este rădăcină multiplă de ordin m (m ∈ N*) a polinomului f, atunci f (i)(α) = 0,
pentru orice i ∈ {0, …, m − 1}.
c) Dacă f (α) = f '(α) = 0, atunci α este rădăcină multiplă a lui f (de multiplicitate cel pu țin
2).
Demonstra ție. a) Prin induc ție după grad f. Dacă f = a0 + a1X, atunci f = a0+ a1α +
a1(X − α). Dacă grad f = n > 1, aplicînd teorema împ ărțirii întregi (IV.3.3 ), obținem

112 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

f = (X − α)g + b0, cu b0 ∈ R și g ∈ R[X], grad g = n − 1. Scriind pe g sub forma dat ă de ipoteza
de inducție și înlocuind în rela ția precedent ă, se obține rezultatul.
Unicitatea scrierii este echivalent ă cu R-liniara independen ță a mulțimii de polinoame
{(X − α)i | i ∈ N} în R[X], ușor de demonstrat.
b) Din relația dedusă la punctul a ), rezultă că (X − α)m | f dacă și numai dac ă b0, b1,…, bm−1
sînt nuli. Pe de alt ă parte, se demonstreaz ă ușor că f (i)(α) = i!bi, ∀i ∈ {0, …, n}. De aici
rezultă că f (i)(α) = 0, ∀i ∈ {0, …, m − 1}.
c) Din cele demonstrate pîn ă acum, ob ținem că f (α) = b0 = 0 și f '(α) = b1 = 0. Deci
(X − α)2 | f. †
În cazul polinoamelor cu coeficien ți într-un corp K, un element α dintr-o extindere E a lui
K este rădăcină multiplă a polinomului f dacă și numai dac ă este simultan r ădăcină a
polinomului și a derivatei sale, adic ă (X − α)| f și (X − α)| f '. Aceasta implic ă faptul că cmmdc
al lui f și f ' în E[X] este de grad ≥ 1. Însă cmmdc a dou ă polinoame se ob ține cu algoritmul lui
Euclid și nu depinde de corpul considerat : dacă K ⊆ L este o extindere de corpuri, iar f,
g ∈ K[X], atunci ( f, g)K[X] = ( f, g)L[X]. În concluzie:
3.16 Propozi ție. Fie K un corp și f ∈ K[X]. Atunci f are r ădăcini multiple dac ă și numai
dacă f și f ' nu sînt prime între ele. †
Astfel, se poate decide dac ă un polinom are r ădăcini multiple fără a cunoaște rădăcinile .
Iată o aplicație important ă a teoremei împ ărțirii cu rest în inele de polinoame: teorema de
descompunere a unei func ții raționale în sum ă de funcții raționale simple, instrument esen țial
pentru găsirea primitivei unei func ții raționale.
3.17 Teorem ă (Descompunerea unei func ții raționale în sum ă de funcții raționale simple ).
Fie P, Q ∈ R[X], cu Q ≠ 0. Fie descompunerea lui Q în factori ireductibili în R[X]:
Q =() () ( )( )rk
r r k cXb X cXb X aX aXβ β α α+ + + + − −2
1 12
111… …
unde: k ∈ N, a1, …, a k sînt reale, distincte dou ă cîte dou ă și α1, …, αk ∈ N; r ∈ N,
X 2 + biX + ci, 1 ≤ i ≤ r, sînt polinoame ireductibile (bi2 − 4aici < 0) și distincte dou ă cîte două,
iar β1, …, βr ∈ N.
Atunci func ția rațională P/Q se scrie în mod unic sub forma:
() () () ()∑ ∑
= =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
+ ++
++
+ +++⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−++−+=r
jj jj j
j jj jk
i ii
ii
jj j
ii
cXb Xf X e
cXb Xf Xe
aXd
aXdLQP
12, ,
21, 1,
1, 1,
ββ β
αα… …
unde: L ∈ R[X], di,t ∈ R, (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ t ≤ αk), ej,s, fj,s ∈ R, (1 ≤ j ≤ r, 1 ≤ s ≤ βr).
Demonstra ție. Vezi exerci țiile. †
Propoziția următoare dă cîteva criterii generale de ireductibilitate.

IV.3 Ireductibilitate în inele polinomiale
113
3.18 Propozi ție. Fie R un inel integru, K corpul s ău de fracții și f = a0 + a1X + … + anX n
un polinom nenul cu coeficien ți în R (n ≥ 2).
a) Fie c, d ∈ R, cu c inversabil în R. Atunci f este ireductibil dac ă și numai dac ă f (cX + d)
este ireductibil.
b) Presupunem c ă a0 ≠ 0. Atunci f este ireductibil dac ă și numai dac ă polinomul
r{ f } = an + an − 1X + … + a0X n,
numit „polinomul reciproc al lui f” este ireductibil.
c) Presupunem c ă f nu are divizori neinversabili de grad 0. Dacă S este un inel comutativ
și ϕ : R → S este un morfism de inele astfel încît ϕ(an) ≠ 0 și polinomul ϕ(a0) + ϕ(a1)X + … +
ϕ(an)X n este ireductibil în S [X], atunci f este ireductibil în R [X].
d) (Criteriul lui Eisenstein ) Fie R un inel factorial . Dacă există un element prim p ∈ R
astfel încît p|a i, ∀ i < n, p – an , p2-a0, atunci f este ireductibil în K [X] (deci f ireductibil și în
R[X] dacă este primitiv ).
Demonstra ție. a) Fie ϕ : R[X] → R[X] unicul morfism de R-algebre cu proprietatea c ă
ϕ(X) = cX + d. Altfel spus, ϕ{ f } se obține înlocuind nedeterminata X în polinomul f cu cX + d.
Elementul c este inversabil dac ă și numai dac ă ϕ este izomorfism de R-algebre (morfismul de
R-algebre ψ : R[X] → R[X] care duce X în c −1X − c −1d este inversul lui ϕ). Avem a șadar
f = gh ⇔ ϕ{ f } = ϕ(g)ϕ(h), ∀g, h ∈ R[X]. Observînd c ă ϕ păstrează gradele și că ϕ |R = idR, se
obține imediat c ă f este ireductibil dac ă și numai dac ă ϕ{ f } este ireductibil.
b) Dacă g și h sînt polinoame din R[X], cu termenul liber nenul, atunci r(gh) = r(g)r(h).
Într-adevăr, observăm că () ⎟⎠⎞⎜⎝⎛1=XfX frn (pentru rigurozitatea argumentului se consider ă
egalitățile în K(X), corpul de frac ții al lui K[X]). Deci, dac ă grad g = m, grad h = p, avem
() () () () hrgrXhXXgXXgh X ghrp m pm=⎟⎠⎞⎜⎝⎛1
⎟⎠⎞⎜⎝⎛1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛1=+.
Concluzia rezult ă observînd c ă r păstrează gradele și că, pentru orice d ∈ R, avem d | f ⇔
d | r{ f }.
c) Fie ψ : R[X] → S[X] unicul morfism de R-algebre (adică ψ este morfism de inele și
ψ|R = ϕ) astfel încît ψ(X) = X. Avem de demonstrat c ă ψ{ f } ireductibil implic ă f ireductibil.
Presupunem c ă f = gh, cu g, h ∈ R[X]. Atunci ψ{ f } = ψ(g)ψ(h) ; condiția ϕ(an) ≠ 0 asigură că
gradψ(g) + grad ψ(h) = grad ψ{ f } = n. Cum grad ψ(q) ≤ grad q, ∀q ∈ R[X], obținem că
gradψ(g) = grad g și grad ψ(h) = grad h. Din ireductibilitatea lui ψ{ f } deducem c ă ψ(g) (pentru
a face o alegere ) este inversabil, deci are grad 0. Astfel, 0 = grad ψ(g) = grad g. Cum f nu are
divizori neinversabili de grad 0, g ∈ U(R).
d) Scriind f = c{ f }·f ', cu f ' primitiv, avem c ă f și f ' sînt asociate în K[X]. Înlocuind
polinomul f cu f ', putem presupune c ă f este primitiv. Este suficient acum s ă demonstr ăm că f
este ireductibil în R[X]. Dacă f ar fi reductibil, atunci:
f = a0 + a1X + … + anX n = (b0 + b1X + … + bmX m) (c0 + c1X + … + cpX p),

114 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

unde m > 0, p > 0, b0, b1, …, bm, c0, c1, …, cp ∈ R, bm ≠ 0, cp ≠ 0. Avem b0c0 = a0, deci p | b0c0
și p2 – b0c0 ; de aici rezult ă că p divide exact unul din elementele b0 și c0. Presupunem c ă p | b0
și p – c0. Întrucît p – an, p nu divide to ți coeficien ții bi; există așadar un i minim, 1 ≤ i ≤ m,
astfel încît p – bi (și deci p | bj, ∀j < i ). Atunci p – bic0 și deci elementul
ai = bic0 + ∑1−
1=−i
jjijcb
nu se divide cu p, contradic ție cu ipoteza. †
Există algoritmi de decizie a ireductibilit ății pentru polinoame din Z[X] (deci și pentru cele
din Q[X]), un asemenea algoritm (datorat lui Kronecker ) fiind descris în exerci țiul 19. O
aplicare repetat ă a unui astfel de algoritm conduce la un algoritm de factorizare (de
descompunere în factori ireductibili ) a oricărui polinom din Q[X]. Programele moderne de
calcul simbolic (Maple, Mathematica, Macaulay, Axiom, etc.) au implementate rutine
puternice de decizie a ireductibilit ății, inclusiv pentru polinoame de mai multe variabile și
pentru polinoame cu coeficien ți în extinderi algebrice ale lui Q sau într-un corp finit. Se poate
demonstra c ă, dacă există un algoritm de factorizare pentru K[X], cu K un corp, atunci exist ă
unul și pentru L[X], oricare ar fi L o extindere finit generat ă a lui K. În particular, exist ă
algoritm de factorizare pentru K[X1,…, Xn]. Pentru detalii și dezvoltări recente, vezi de ex.
ALBU și ION [1997], SPINDLER [1994], G EDDES , CZAPOR , LABAHN [1992], WINKLER [1996].
3.19 Exemple. a) Polinomul 6 X 9 + 13X 2 + 26 este ireductibil în Q[X] (și în Z[X], căci este
primitiv ), conform criteriului lui Eisenstein aplicat cu p = 13.
b) Pentru orice num ăr prim p și orice n ∈ N*, X n − p este ireductibil în Q[X] și în Z[X] (tot
cu criteriul lui Eisenstein ).
c) Fie p un număr prim și f = X p−1 + X p−2 + … + X + 1 ∈ Z[X]. Criteriul lui Eisenstein nu
este aplicabil direct lui f. Considerînd îns ă polinomul
g =()()∑
=−=−+− +=+p
iii
pp
XCXXXf
11
111 11,
observăm că lui g i se poate aplica criteriul lui Eisenstein, c ăci p divide to ți coeficien ții
binomiali i
pC cu 1 ≤ i < p. Deci g este ireductibil și astfel, conform punctului a) al propozi ției
de mai sus, f este ireductibil.
d) Polinomul f = Y 9 + X 9Y 7 − 3X 2Y + 2X este ireductibil în Z[X, Y]. Pentru demonstra ție,
considerăm f ca polinom în Y cu coeficien ți în inelul factorial Z[X]. Aplicăm acum criteriul lui
Eisenstein cu p = X (X este element ireductibil în Z[X]). Remarc ăm că inelul Z putea fi
înlocuit cu orice inel factorial de caracteristic ă diferită de 2.
e) Consider ăm polinomul f = X 5 + X 2 + 1 ∈ Z2[X]. Polinomul f nu are rădăcini în Z2, deci
divizorii proprii ai lui f nu pot fi de grad 1 (sînt de grad 2 sau 3 ). O descompunere a lui f poate
fi doar de forma:
X 5 + X 2 + 1 = (X 3 + aX 2 + bX + 1)(X 2 + cX + 1),

IV.3 Ireductibilitate în inele polinomiale
115
cu a, b, c ∈ Z2. Identificînd coeficien ții, se obține un sistem de ecua ții în a, b, c , despre care
se vede imediat c ă nu are solu ții în Z2. Așadar, f este ireductibil în Z2[X].
f) O aplicare tipic ă a criteriului 3.18. c) la un polinom f cu coeficien ți întregi const ă în a
„reduce coeficien ții modulo n”. Mai precis, pentru un n ∈ N convenabil ales, se consider ă
unicul morfism de inele ϕ : Z → Zn și se cerceteaz ă ireductibilitatea polinomului „ f redus
modulo n” (notat cu ψ{ f } în demonstra ție). Fie, de exemplu, polinomul
f = 7X 5 + 4X 3 − X 2 + 6 X + 9 ∈ Z[X]. Redusul modulo 2 al lui f este X 5 + X 2 + 1 ∈ Z2[X],
despre care am v ăzut că este ireductibil. Condi țiile de la 3.18. c) sînt îndeplinite, deci f este
ireductibil în Z[X] (deci și în Q[X], fiind primitiv ).
g) Polinomul 10 X 7 + 5X 2 + 2 este ireductibil în Z[X], căci reciprocul s ău este
2X 7 + 5X 5 + 10, căruia i se poate aplica criteriul lui Eisenstein cu p = 5.
Exerciții
În exerciții, R este un inel integru și K este corpul s ău de fracții (dacă nu se specific ă altfel ).
1. Orice inel integru finit este corp.
2. Fie R un inel unitar infinit. Demonstra ți că mulțimea R° a elementelor nenule și
neinversabile este infinit ă. (Ind. Dac ă R° este finit ă, atunci U(R) este infinit ă. Fie
S(R°) mulțimea bijec țiilor de la R° la R°. Aplica ția ϕ : U(R) → S(R°) x 6 ϕx, ϕx(a) = xa,
∀a ∈ R°, este injectiv ă, contradic ție.)
3. Fie R un inel integru în care orice dou ă elemente au cmmdc. Atunci orice element din K se
poate scrie sub forma a/b, (b ≠ 0), cu a, b ∈ R, prime între ele („fracția a/b este ireductibil ă”).
Ce se poate spune despre unic itatea unei astfel de scrieri?
4. Arătați că un inel comutativ R este integru dac ă și numai dac ă R[X] este integru.
5. Fie p ∈ R°. Demonstra ți că idealul generat de p în R[X], pR[X], este prim dac ă și numai
dacă p este element prim în R. (Ind.: Arătați că R[X]/(pR[X]) ≅ (R/pR)[X]). Deduceți o nouă
demonstra ție pentru 2.19. a).
6. Fie d ∈ Z, liber de p ătrate (adică d nu se divide cu p ătratul nici unui întreg > 1), și
Z[d] := { dba+ | a, b ∈ Z}. Definim „ norma ” N : Z[d] → Z, ( )2 2N db a dba − = + ,
∀ a, b ∈ Z. Atunci:
a) N(α)N(β) = N(α)N(β), ∀α, β ∈ Z[d].
b) U{Z[d]} = {α ∈ Z[d] | N(α) = ±1} = { dba+ | a, b ∈ Z, a 2 − db 2 = ±1}.
Determina ți efectiv U{Z[d]} dacă d < 0.
7. Elementele 6 și 2 + 5− nu au cmmdc ( și deci nici cmmmc ) în inelul Z[ 5−].
8. Un număr prim p ∈ Z este prim și în inelul Z[i] dacă și numai dac ă 4 | p − 1.

116 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

9. Fie R un inel euclidian fa ță de funcția ϕ. Atunci exist ă u ∈ R nenul și neinversabil cu
proprietatea: ∀x ∈ R, ∃q ∈ R astfel încît x − qu este inversabil sau 0. Cîtpoate fi ales u pentru
R = Z, K[X] ? (Ind. min { ϕ(v) | v ∈ R°} = ϕ(u) pentru un u ∈ R°.)
10. Fie d un întreg liber de p ătrate, d ≡ 1 (mod 4 ). Atunci inelul Z[d] nu este GCD-inel.
(Ind. 2 este ireductibil și nu este prim. )
11. Să se arate c ă în Z există o infinitate de elemente prime neasociate în divizibilitate.
12. Fie R un inel principal, n ∈ N*, a1, …, an ∈ R și d un cmmdc al lor. Demonstra ți că există
u1, …, un ∈ R astfel încît d = a1u1 + … + anun.
13. Fie R un inel factorial și f = a0 + a1 X + … + an X n ∈ R[X].
a) Dacă p/q ∈ K este o rădăcină a lui f, unde p, q ∈ R și ( p, q) = 1, atunci p|a 0, q|a n și
(p − qr)| f (r), ∀r ∈ R. Ce devin rela țiile pentru an = 1?
b) Fie g =n n
nn
nn
n X Xa Xaaaa + ++ +−
−− − 1
1 12
01… . Atunci () ( ) Xag Xfann
n =−1. Descrie ți
legătura dintre r ădăcinile lui g și cele ale lui f.
c) Găsiți rădăcinile din Q ale polinoamelor 2 X 3 + 5X 2 + 9X − 15 și 4X 3 − 7X 2 − 7X + 15.
14. Fie K un corp. Demonstra ți că orice polinom nenul f ∈ K[X] are cel mult grad f rădăcini în
K (fiecare fiind num ărată cu multiplicitatea sa ).
15. Fie R un inel. Demonstra ți echivalen ța următoarelor afirma ții:
a) Orice polinom nenul f ∈ R[X] are cel mult grad f rădăcini în R (fiecare fiind num ărată cu
multiplicitatea sa ).
b) Orice polinom de grad 1 are cel mult o r ădăcină în R.
c) R este inel integru.
(Ind. Considera ți corpul de frac ții al lui R și folosiți problema precedent ă).
16. Fie K un corp. Vrem s ă demonstr ăm, într-un caz mai general, teorema de descompunere a
unei funcții raționale în sum ă de funcții raționale simple.
a) Fie Q ∈ K[X], ireductibil. Atunci, pentru orice k ∈ N și P ∈ K[X], există o scriere de
forma:
kk
Qf
QfLQP++ += …1,
unde L, f 1, …, fk ∈ K[X] și grad fi < grad Q. (Ind. Cazul k = 1 se reduce la teorema împ ărțirii
cu rest a lui P la Q. În continuare se aplic ă o inducție după k.)
b) Fie Q ∈ K[X], Q = k
kq qα α…1
1 , cu qi ireductibile în K[X], prime între ele dou ă cîte două.
Atunci, pentru orice P ∈ K[X], există o scriere de forma:
∑
=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++ +=k
i ii
ii
ii
qf
qfLQP
1, 1,
αα… ,
unde L, fi,t ∈ K[X] și grad fi,t < grad qi, pentru orice i și t.

IV.3 Ireductibilitate în inele polinomiale
117
(Ind. Fie ui =
i
iqQ
α ∈ K[X]. Avem (u1, …, un) = 1, deci exist ă v1, …, vn ∈ K[X] astfel încît
u1v1 + … + unvn = 1 ⇒ P = Pu1v1 + … + Punvn ⇒
k
kk
qPv
qPv
QP
α α++ =…
1
11. Se aplic ă acum a)
pentru fiecare termen. )
c) (unicitatea scrierii ) Dacă ∑ ∑
= =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++ + =⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++ +k
i ii
iik
i ii
ii
ii
ii
qg
qgM
qf
qfL
1, 1,
1, 1,
αα
αα… … , unde L, M,
fi,t, gi,t ∈ K[X] și grad fi,t, grad gi,t < grad qi, pentru orice i și t, atunci L = R și fi,t = gi,t, ∀i, t.
(Ind. Înmulțind cu Q, se obține o rela ție de forma LQ + R1 = MQ + R2, unde grad R1 și grad R1
sînt < grad Q. Din unicitatea împ ărțirii cu rest la Q rezultă că L = M și R1 = R2. Rămîne de
demonstrat c ă, dacă 0
1, 1,=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛++ ∑
=k
i ii
ii
ii
qQf
qQf
αα… și grad fi,t < grad qi, atunci fij = 0, ∀i, j. Pentru
i fixat, se observ ă că qi apare ca factor pentru to ți termenii din membrul stîng, cu excep ția lui
ii
ii
qQf
αα,. Cum qi este prim cu
i
iqQ
α, rezultă că
iiifqα,, deci 0,=
iifα din motive de grade. Se
împarte acum rela ția la qi și se repetă raționamentul, ob ținîndu-se 01 , =−iifα etc.)
d) Demonstra ți teorema IV.3.17, punînd K = R.
17. Fie R un inel. Dac ă f ∈ R[X], i se asociaz ă funcția polinomial ă f~: R → R unde, ∀x ∈ R,
f~(x) = f (x) (valoarea polinomului f în x). Demonstra ți că, dacă R este integru infinit, atunci
funcția ϕ : R[X] → RR, ϕ{ f } =f~, ∀f ∈ R[X], este injectiv ă. Rămîne valabil ă concluzia dac ă se
renunță la ipoteza R infinit?
18. (Polinomul de interpolare Lagrange ) Fie K un corp, n ≥ 1, x0, …, xn ∈ K, (n + 1 elemente
distincte ) și y0, …, yn ∈ K. Demonstra ți că există un unic polinom L ∈ K[X] de grad cel mult n
astfel încît L(xi) = yi, 0 ≤ i ≤ n.
19. (Algoritmul de factorizare al lui Kronecker în Z[X]) Fie p ∈ Z[X], primitiv, grad p = n.
Notăm cu m cel mai mare întreg ≤ n/2.
a) Arătați că p reductibil în Z[X] ⇔ p are un factor neconstant de grad ≤ m.
b) Fie (x0, …, xm) ∈ Z m + 1, cu xi distincte dou ă cîte două. Arătați că următorul algoritm se
termină într-un num ăr finit de pa și și furnizeaz ă un factor neconstant al lui p de grad ≤ m sau
demonstreaz ă ireductibilitatea lui p:
1. Dacă ∃i cu p(xi) = 0, atunci X − xi este un factor al lui p și am terminat. Dac ă nu, treci
la 2.
2. Fie D = {d = (d0, …, dm) ∈ Z m + 1 | di| p(xi), ∀i}. D este o mul țime finită.
Pentru orice d ∈ D, fie Ld ∈ Q[X] polinomul (de interpolare Lagrange ) cu propriet ățile
Ld(xi) = di, ∀i, și grad Ld ≤ m. Dacă există d ∈ D cu Ld ∈ Z[X] și Ld | p, atunci Ld este
un factor al lui p și am terminat. Dac ă nu, atunci p este ireductibil .
c) Deduce ți un algoritm de decizie a ireductibilit ății pentru polinoame din Q[X].

118 IV. Aritmetic ă în inele și aplicații

d) Presupunem c ă m = 2. Ce alegere pentru (x0, …, xm) propuneți?
e) Presupunem c ă în inelul factorial R există un algoritm de factorizare (de descompunere a
oricărui element din R° în factori primi ). Ce propriet ăți trebuie s ă aibă R pentru a putea
generaliza la R[X] algoritmul de mai sus?
f) Presupunem c ă R este factorial și că în R[X] există un algoritm de factorizare. Atunci
există un algoritm de factorizare în K[X].
20. Decideți ireductibilitatea polinomului X 4 + X 2 + 2X − 1 din Z[X] cu algoritmul
Kronecker.
21. Fie R un inel integru.
a) Fie f ∈ R[X], grad f = m. Dacă f are cel pu țin m + 1 rădăcini în R, atunci f = 0.
b) Fie g ∈ R[X1,…, Xn], cu R infinit . Dacă g(a1, …, an) = 0, ∀(a1, …, an) ∈ R n, atunci g este
polinomul nul. (Ind. Inducție după n.) Deduceți că două polinoame din R[X1,…, Xn] sînt egale
dacă și numai dac ă funcțiile polinomiale asociate sînt egale.
c) Dați exemplu de corp finit K și de polinoame distincte din K[X] care au aceea și funcție
polinomial ă asociată.
22. Fie K un corp de caracteristic ă diferită de 2 (adică 1 + 1 ≠ 0 în K) și p un polinom omogen
de grad 2 în K[X, Y], adică p = aX 2 + bXY + cY 2, cu a, b, c ∈ K. Demonstra ți că p este
reductibil în K[X, Y] ⇔ b 2 − 4ac este un p ătrat în K ⇔ b 2 − 4ac = 0 sau exist ă α, β ∈ K, (α,
β) ≠ (0, 0), cu p(α, β) = 0.
23. Să se descompun ă în factori ireductibili polinomul X13 + X23 ∈ K[X1, X2]. Discuție după
caracteristica lui K.
24. Fie K un corp de caracteristic ă diferită de 3 și f = X13 + … + Xn3 ∈ K[X1,…, Xn]. Arătați că
f este ireductibil dac ă și numai dac ă n ≥ 3. Generalizare. (Ind. Pentru n = 3, folosiți criteriul
Eisenstein pentru f ∈ K[X1, X2][X3]. Se face apoi o induc ție după n.)
25. Fie n 2 nedeterminate Xij, 1 ≤ i, j ≤ n și matricea A = (Xij)1 ≤ i, j ≤ n ∈ Mn(Z[Xij;1 ≤ i, j ≤ n]).
Atunci polinomul det A = ∑{X1σ(1) … Xnσ(n) | σ ∈ Sn} este ireductibil în Z[Xij;1 ≤ i, j ≤ n].
26. Fie x, y ∈ R. Dacă există un cmmmc al lor [ x, y] ∈ R, atunci exist ă și un cmmdc al lor (x,
y) și avem xy ∼ [x, y](x, y).
27. Fie R un subinel unitar al unui inel comutativ S. Un element al lui S se nume ște întreg
peste R dacă este rădăcină a unui polinom unitar nenul din R[X]. Demonstra ți că, dacă R este
GCD-inel și x ∈ K este întreg peste R, atunci x ∈ R.
28. Fie R un inel principal și S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci inelul de frac ții
S −1R este principal.
29. Fie R un inel factorial și S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci inelul de frac ții S −1R
este factorial.
30. Proprietatea unui inel R de a fi euclidian (respectiv principal, factorial ) se transmite și la
subinelele unitare ale lui R?

IV.3 Ireductibilitate în inele polinomiale
119
31. Fie R un inel factorial care nu este corp, astfel încît grupul unit ăților U(R) este finit. Atunci
în R există o infinitate de elemente prime neasociate în divizibilitate. (Ind. Dacă p1, …, pn sînt
toate elementele prime pîn ă la asociere, atunci exist ă m ≥ 1 astfel încît 1 + (p1…pn)m ∈ R°.)
32. Fie R un inel factorial și p ∈ R un element prim. Folosind morfismul canonic
π : R → R/pR și prelungirea sa la un morfism ψ : R[X] → (R/pR)[X], dați o nouă demonstra ție
criteriului lui Eisenstein. (Ind. Dacă f = a0 + a1 X + … + an X n satisface ipotezele criteriului și
f = gh, atunci ψ { f } = π(an)X n = ψ(g)ψ(h). Dacă grad g, grad h ≥ 1, atunci termenii liberi ai lui
g și h sînt multipli de p.)

120 V. Spații liniare, matrice și aplicații
V.1 Algebre de matrice
Scopul acestei sec țiuni este de a da demonstra ții scurte și relativ elementare teoremelor
Cayley-Hamilton și Frobenius folosind polinoamele matriciale.
1.1 Defini ție. O matrice m×n cu elemente polinoame din K[X] se nume ște polinom
matricial peste corpul K. Putem scrie un polinom matricial P ∈ M(m, n, K[X]) sub forma:
P =
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
nn nn
p pp p
…#…
11 11
, cu pij ∈ K[X], ( 1)
sau (grupînd dup ă puterile lui X) sub forma:
P = P0 + X P1 + … + X rPr, (2)
unde P0, P1, …, Pr ∈ M(m, n, K).
De exemplu, avem:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
+ −+
0030
1000
2002
2105
22 13 25 3 2
23
X X XXXX X
1.2 Defini ție. Fie P ∈ M(n, K[X]) un polinom matricial de forma (2), cu Pi matrice
pătratice (∈ M(n, K)), iar A ∈ M(n, K). Definim P(A), valoarea lui P în A:
P(A) := P0 + AP1 + … + A rPr ∈ M(n, K).
1.3 Observa ție. Dacă P, Q ∈ M(n, K[X]) sînt polinoame matriciale, atunci avem definite
P + Q, PQ (operațiile uzuale în M (n, K[X])). Pentru ∀A ∈ M(n, K), au sens (P + Q)(A) și
(PQ)(A), definite ca mai sus. Are loc (P + Q)(A) = P(A) + Q(A) (demonstra ție ușoară), însă în
general (PQ)(A) ≠ P(A)Q(A). De exemplu, dac ă P și Q sînt "de grad 1", P = XP1 și Q = XQ 1,
cu P1, Q1 ∈ M(n, K), atunci PQ = X 2P1Q1. Avem P(A)Q(A) = AP1AQ 1, (PQ)(A) = A 2P1Q1 și
AP1AQ 1 ≠ A 2P1Q1 în general. Totu și, are loc:

V.1 Algebre de matrice
121
1.4 Propozi ție. Dacă P = P0 + X P1 + … + X rPr și AP i = Pi A, 1 ≤ i ≤ r (A comută cu Pi,
∀i), atunci (PQ)(A) = P(A)Q(A), ∀Q = Q0 + X Q1 + … + X dQd ∈ M(n, K[X]).
Demonstra ție. PQ se obține prin regula uzual ă (atenție la ordinea factorilor! ):
PQ = P0Q0 + X(P0Q1 + P1Q0) + … + X r + dPrQd,
iar P(A)Q(A) = (P0 + AP1 + … + A rPr)(Q0 + AQ 1 + … + A dQd).
Un termen oarecare al produsului P(A)Q(A) este de forma A iPi A jQj = A iA jPiQj = A i + jPiQj
(căci Pi comută cu A j).Grupînd termenii ce con țin Ak (0 ≤ k ≤ r + d), rezultă că
P(A)Q(A) = P0Q0 + A(P0Q1 + P1Q0) + … + Ar + dPrQd = (PQ)(A).
1.5 Teoremă.(Teorema Cayley-Hamilton72) Fie K un corp, A ∈ M(n, K) și fA = det(XI − A)
polinomul s ău caracteristic. Atunci f A(A) = 0.
Demonstra ție. Se știe că, dacă B = (bij) ∈ M(n, R) este o matrice cu coeficien ți într-un inel
comutativ R, are loc: B·ad(B) = det(B)·I, unde este ad (B) matricea reciproc ă (adjunctă) a lui B
(pe locul (i, j) al lui ad (B) este complementul algebric al lui bij în B). Aplicînd aceast ă
observație matricei XI − A ∈ M(n, K[X]), are loc
(XI − A)·ad(XI − A) = ( )
() ⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
−−
A XIA XI
det 00 det
% =: P,
Din lema urm ătoare rezult ă P(A) = 0, iar P(A) = fA(A), deci fA(A) = 0. †
1.6 Lemă. Fie P ∈ M(n, K[X]) un polinom matricial și A ∈ M(n, K). Atunci P (A) = 0 ⇔
există Q ∈ M(n, K[X]) astfel încît P = (XI − A)·Q.
Demonstra ție. Fie P = P0 + X P1 + … + X rPr. Avem:
P − P(A) = P0 + X P1 + … + X rPr − (P0 + A P1 + … + A rPr) =
(XI − A)P1 + (X 2I − A 2)P2 + … + (X rI − A r)Pr.
Însă X kI − A k = (XI − A)(X k − 1I + X k − 2A + … + A k − 1), ∀k. Înlocuind în rela ția de mai sus,
avem P − P(A) = (XI − A)Q, cu Q ∈ M(n, K[X]). Dacă P(A) = 0, rezultă P = (XI − A)Q.
Reciproc, fie P = (XI − A)Q. Cum coeficien ții lui XI − A sînt I și A ∈ M(n, K) (care comut ă
cu A), din observa ția 1.4 rezultă că P(A) = (AI − A)Q(A) = 0. †
Pentru o matrice dat ă A ∈ M(n, K), polinomul caracteristic fA nu este neap ărat de grad
minim printre polinoamele p ∈ K[X] cu p(A) = 0.
1.7 Propozi ție. Fie A ∈ M(n, K). Există un unic polinom unitar μA ∈ K[X] cu propriet ățile:
a) μA(A) = 0;
b) ∀p ∈ K[X] cu p(A) = 0 rezultă că μA | p.
În plus, μA este polinomul unitar de gr ad minim printre polinoamele p ∈ K[X] cu p (A) = 0.

72 Arthur Cayley (1821-1895 ) și Sir William Rowan Hamilton (1805-1865 ), matematicieni britanici. Cazul
general al teoremei a fost demonstrat îns ă de Frobenius.

122 V. Spa ții liniare, matrice și aplicații

Demonstra ție. Fie M = {p ∈ K[X] | p ≠ 0, p(A) = 0}. M este nevid ă ( fA ∈ M). Mulțimea de
numere naturale {grad p | p ∈ M} are un cel mai mic element, deci exist ă μA ∈ M (îl putem
alege unitar ) astfel încît grad μA ≤ grad p, ∀p ∈ M. Fie p ∈ M. Atunci exist ă q, r ∈ K[X] astfel
încît p = μAq + r, cu grad r < grad μA. Avem 0 = p(A) = μA(A)q(A) + r(A) = r(A), deci r = 0 (dacă
r ≠ 0, ar rezulta r ∈ M și grad r < grad μA, contradic ție cu alegerea lui μA). Astfel, μA | p. Dacă
q ∈ K[X] este unitar și satisface condi țiile a) și b), atunci μA | q și q |μa. Cum μA este unitar,
rezultă μA = q. †
1.8 Defini ție. Fie A ∈ M(n, K). Polinomul unitar μA ∈ K[X] din propozi ția precedent ă se
numește polinomul minimal al lui A.
1.9 Teorem ă. Fie A ∈ M(n, K). Atunci:
a) Polinomul minimal μA divide polinomul caracteristic f A.
b) (Frobenius73) Polinomul minimal μA și polinomul caracteristic f A au acelea și rădăcini74
(posibil cu multiplicit ăți diferite).
Demonstra ție. a) Clar, din defini ția lui μA.
b) Dacă fA(λ) = 0, atunci λ este valoare proprie a lui A, deci Ax = λx pentru un x ∈ E, nenul.
Rezultă că Arx = λrx, ∀r ∈ N și, mai general, p(A)·x = p(λ)x, ∀p ∈ K[X]. Deci 0 = μA(A)·x =
μA(λ)·x, de unde μA(λ) = 0. Invers, orice r ădăcină a lui μA este rădăcină a lui fA, căci μA | fA. †
V.2 Coduri liniare corectoare de erori
Algebra liniar ă își găsește un domeniu fertil și neașteptat de aplicabilitate în teoria
codurilor corectoare de erori , teorie n ăscută în anii 1940, odat ă cu era calculatoarelor și a
comunica țiilor digitale. Vom prezenta ideile de baz ă din aceast ă teorie și cîteva aplica ții ale
algebrei liniare, relativ elementare, dar cu utilitate practic ă deosebită.
Prin "informa ție digitală" înțelegem un șir de simboluri (elemente) dintr-un alfabet finit.
De exemplu, 011110101100 este un șir de simboluri din alfabetul {0,1} (în acest caz,
simbolurile se numesc biți). Transmiterea unei informații digitale75 între dou ă puncte diferite
în spațiu (de exemplu o transmisie de date pe o linie telefonic ă) sau în timp (stocarea pe un

73 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917 ), matematician german.
74 Este vorba de r ădăcinile din K. Enunțul rămîne valabil și pentru r ădăcinile dintr-o extindere L a lui K (un
corp L astfel încît K este subcorp în L).
75 Transmiterea de sunete, imagini, texte etc. ca un șir de 0 și 1 pare azi evident ă, dar în anii 1940 a fost o
idee revolu ționară și îi aparține lui Claude Shannon (1916-2001), matematician american, unul din fondatorii
teoriei informa ției (articolul A mathematical theory of communication, 1948).

V.2 Coduri liniare corectoare de erori
123
suport material cum ar fi un compact disc, pentru o citire ulterioar ă), este supus ă erorilor
cauzate de o varietate de factor i: zgomot pe linia telefonic ă, deteriorarea suportului fizic al
informației etc. Presupunem c ă o eroare cauzează receptarea altui simbol decît cel transmis
(dar nu „pierderea” simbolului prin transmisie ). Se impune g ăsirea unui procedeu prin care
mesajul s ă poată ajunge în form ă corectă la receptor (sau receptorul s ă poată detecta
eventualele erori și să ceară retransmisia mesajului ).

Ideea care st ă la baza teoriei codurilor bloc corectoare de erori este următoarea: se fixeaz ă
k, n ∈ N*, cu k < n. Se împarte mesajul original (un șir finit de simboluri din A) în „blocuri”
(numite „cuvinte” ) de k simboluri. Fiec ărui cuvînt76 de lungime k i se asociaz ă un cuvînt mai
lung, de lungime n, după o lege prestabilit ă; cele n − k simboluri „în plus” sînt puse pentru
detectarea și eventual corectarea erorilor ce pot ap ărea în transmisie. Pe canal se transmite
cuvîntul de n simboluri, la recep ție urmînd ca, prin analizarea cuvîntului recep ționat, să se
decidă dacă au apărut erori (sau să se reconstituie cuvîntul transmis ).
2.1 Exemplu. Fie A = {0, 1} (alfabet binar ). O idee simpl ă și nu prea eficient ă de codare
pentru corectarea erorilor este de a transmite fiecare bit de 3 ori, urmînd ca decodarea s ă se
facă după „regula majorit ății”. Mai precis, lu ăm k = 1, n = 3 și stabilim urm ătorul procedeu de
codare: 0 este codat ca 000, iar 1 ca 111. Astfel, dac ă mesajul original este 0101, el va fi codat
ca 000111000111. S ă presupunem c ă acest mesaj este afectat de erori pe canal, încît la
recepție se prime ște 001111000011. La decodare, fiecare grup de 3 bi ți este tratat individual:
de exemplu grupul 001 este decodat în 0 (se presupune c ă 001 provine din 000 în care unul
din 0 a devenit 1 ), 011 este decodat în 1 etc. Acest procedeu de corec ție a erorilor func ționea-
ză atît timp cît nu apare mai mult de o eroare la fiecare grup de trei simboluri transmise.
Modelăm o situa ție de tipul descris, astfel: transmițătorul trimite un mesaj către receptor
pe un canal de transmisie . Mesajul este un șir finit de simboluri , care sînt elemente ale unei
mulțimi finite A, numită alfabet . Orice șir de simboluri poate fi mesaj77. Posibilitatea de
apariție de erori pe canal este modelat ă de o funcție de tranzi ție P : A × A → [0, 1], cu
semnifica ția că ∀x, y ∈ A, P(y, x) reprezint ă probabilitatea ca la transmiterea simbolulului x, la
recepție să fie primit simbolul y.
Unul din cele mai r ăspîndite modele pentru un canal de transmisie este canalul q-ar
simetric de probabilitate p : A are q elemente (este un „ alfabet q -ar”); funcția de tranzi ție P are
proprietatea c ă P(y, x) = p, ∀y, x ∈ A cu y ≠ x. Altfel spus, probabilitatea de apari ție a unei

76 Prin cuvînt de lungime k se înțelege un k-uplu de simboluri din A (un element din Ak).
77 Desigur, acest lucru e fals dac ă se transmit numai mesaje din limba român ă, de exemplu. Îns ă această
presupunere e valabil ă dacă se efecueaz ă în prealabil o compresie fără pierderi a mesajului, lucru curent în
practica transmisiei de date (de exemplu compresiile zip, rar, lha etc). Acest procedeu, formalizat de Huffman, se bazează pe o analiz ă statistică a mesajului și codarea simbolurilor cele mai probabile în șiruri scurte și a celor
mai puțin probabile în șiruri mai lungi.

124 V. Spa ții liniare, matrice și aplicații

erori (simbolul primit difer ă de cel trimis78) este (q − 1)p, indiferent de simbolul transmis (de
unde și denumirea de canal simetric ) și indiferent de locul simbolului în mesaj (canal „fără
memorie” ). Deci, probabilitatea ca un simbol transmis x să fie recep ționat corect este
P(x, x) = 1 − (q − 1)p. Se presupune c ă 0 ≤ p < 1/2(q − 1) (altfel este mai probabil s ă se
recepționeze un simbol eronat decît cel corect! ). Dacă q = 2, se vorbe ște de un canal binar .
Formalizăm ideea de codare bloc de mai sus: se fixeaz ă k, n ∈ N, cu k ≤ n; se dă o funcție
injectivă E : Ak → An care codează fiecare a = a1…ak ∈ A k într-un cuvînt cod c = c1…cn ∈ A n.
(Un element oarecare din A n, (x1, …, xn), (unde xi ∈ A,∀i) îl scriem mai simplu x1…xn.)
Mulțimea C := E(Ak) = {E(a1…ak) | a1…ak ∈ Ak} a tuturor cuvintelor cod se nume ște cod
(în cazul nostru, cod bloc de tip [n, k]). Pentru func ționarea codului trebuie dat ă și o funcție de
decodare D : An → C, care asociaz ă oricărui cuvînt x din An cuvîntul cel mai probabil
transmis D(x) ∈ C. Evident, D(c) = c, ∀c ∈ C.
În acest caz, |C| = q k. Este util ă și o accepție mai largă a noțiunii de cod:
2.2 Defini ție. Un cod de lungime n peste alfabetul A este o submul țime C a lui An.
Elementele lui C se numesc cuvinte cod . Dacă |A| = q, C se numește cod q-ar .
Un cod bloc de tip [ n, k] transform ă orice bloc de k simboluri într-un cuvînt cod de
lungime mai mare n, ceea ce va permite (se speră) detecția sau corec ția erorilor. Îns ă acest
procedeu mărește lungimea mesajelor transmise (ceea ce nu este de dorit ). Pentru a m ăsura
eficiența unui cod din acest punct de vedere, se define ște rata de transmisie a unui cod C de
tip [n, k] ca fiind R(C) := k/n. Rata măsoară proporția de simboluri care poart ă informație
(restul sînt simboluri redundante , care folosesc la detec ție sau corectare de erori ). Dacă C este
ca în def. 2.2, rata e definită ca R(C) := log q|C|/n (de ce? ).

Posibilitatea unui cod C de a corecta erori se bazeaz ă în întregime pe ideea c ă, dacă un
cuvînt cod c ∈ C este afectat pe canalul de transmisie de (un număr mic de ) erori, cuvîntul
receptat ct ≠ c nu este cuvînt cod (nu aparține lui C), dar este „suficient de apropiat” de c încît
să putem reconstitui c din ct. Acest lucru este posibil doar dac ă ct nu este el însu și un alt
cuvînt cod sau nu e „mai apropiat” de alt cuvînt cod c' !
Aceste idei se pot formula riguros. Avem nevoie de cîteva preg ătiri.
2.3 Defini ție. Fie A o mulțime nevid ă. Distanța Hamming 79 pe An se define ște astfel:
∀ x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn), d(x, y) := |{i | 1 ≤ i ≤ n, xi ≠ yi}|.
Deci, distan ța între dou ă cuvinte este numărul de locuri în care cuvintele difer ă.

78 Se presupune c ă nu "se pierd" simboluri la transmisie: num ărul de simboluri transmise este egal cu
numărul celor recep ționate.
79 În onoarea lui Richard Hamming (1915-1998), matematician american, fondator, al ături de Shannon, al
teoriei informa ției (articolul Error detecting and error correcting codes , 1950).

V.2 Coduri liniare corectoare de erori
125
2.4 Propozi ție. Distanța Hamming d : An × An → R este o distan ță (o metrică) pe An,
adică:
a) ∀x, y ∈ An, avem d (x, y) ≥ 0 ;
b) ∀x, y ∈ An, avem: d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
c) ∀x, y, z ∈ An, avem: d (x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Demonstra ție. c) Pentru orice x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn) ∈ An, fie C(x, y) := {i |xi = yi}.
Arătăm că d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ An. Cum d(x, y) = n − |C(x, y)|, inegalitatea
devine: n ≥ |C(x, z)| + |C(z, y)| − |C(x, y)|. Evident, avem C(x, z) ∪ C(z, y) ⊆ {1,… , n}, deci
|C(x, z) ∪ C(z, y)| ≤ n, adică |C(x, z)| + |C(z, y)| − |C(x, z)∩C(z, y)| ≤ n. Însă C(x, z)∩C(z, y) ⊆
C(x, y), deci n ≥ |C(x, z)| + |C(z, y)| − |C(x, z)∩C(z, y)| ≥ |C(x, z)| + |C(z, y)| − |C(x,y)|. †
Pentru x ∈ An și r > 0, sfera (bila) de rază r centrată în x este mulțimea cuvintelor care sînt
la distanță cel mult r față de x:
S(x, r) := {y ∈ An | d(x, y) ≤ r}.
Pentru x ∈ An, unde | A| = q, există ()i i
nqC 1−cuvinte aflate la distan ță exact i de x. Deci:
2.5 Propozi ție. Fie |A| = q. Numărul de elemente al unei sfere de raz ă r din An este
| S(x, r)| = ()∑
=−r
ii i
nqC
01. †
2.6 Defini ție. Distanța minimă a unui cod C ⊆ An este:
d(C) := min { d(x, y) | x, y ∈ C, x ≠ y}.
Capacitatea de corec ție a codului C este:
e(C) := [(d(C) − 1)/2].
Fie C un cod cu d(C) = d și e(C) = e = [(d − 1)/2]. Atunci orice dou ă sfere centrate în
cuvinte cod distincte și de rază e sînt disjuncte (demonstra ți!). Drept consecin ță, dacă la
transmiterea unui cuvînt cod c ∈ C au apărut cel mult e erori, iar cuvîntul receptat este ct,
atunci d(c, ct) ≤ e, deci ct este mai aproape de c decî t de orice alt cuvînt cod .
Pentru a g ăsi c, plecînd de la ct, se poate folosi un algoritm de distan ță minimă, adică un
algoritm care, dat un cuvînt x ∈ An, găsește un cuvînt cod wx ∈ C care este cel mai aproape de
x, adică d(x, w x) = min { d(x, y) | y ∈ C}.
2.7 Observa ție. Utilizarea unui cod C de lungime n, distanță minimă d și capacitate de
corecție e se poate face în dou ă moduri distincte:
– modul „corectare de erori”: se presupune c ă orice bloc de n simboluri c este afectat de cel
mult e erori. Dac ă cuvîntul recep ționat este ct, ct poate fi decodat în mod univoc în c. 80

80 De aici și denumirea de capacitate de corec ție a lui C ce se dă lui e.

126 V. Spa ții liniare, matrice și aplicații

– modul „detectare de erori”: se presupune c ă la transmiterea oric ărui bloc de n simboluri
apar cel mult d − 1 erori. Atunci nici un cuvînt cod c nu poate fi transformat pe parcursul
transmiterii în alt cuvînt cod c'. Astfel, dac ă receptorul prime ște un cuvînt ct care nu este
cuvînt cod, semnaleaz ă „eroare” (și cere eventual retransmiterea cuvîntului ).
2.8 Exerci țiu. a) Demonstra ți afirmațiile din observa ția de mai sus.
b) Arătați că există două sfere centrate în cuvinte cod distincte și de rază e + 1 care nu sînt
disjuncte. În consecin ță, există o situație în care un cuvînt afectat de e + 1 erori nu este
decodat corect prin algoritmul de distan ță minimă.
În general, teoria codurilor bloc corectoare de erori se poate dezvol ta pentru acele coduri C
care au o anumit ă structură. O astfel de situa ție este cea în care alfabetul este un corp finit F
(cu q elemente81, unde q este o putere a unui num ăr prim ), iar codul C ⊆ F n este subspațiu
liniar în F n. Deși aceste condi ții limiteaz ă drastic clasa codurilor pe care le studiem, aceast ă
clasă este suficient de larg ă pentru a furniza coduri importante și eficiente, folosite pe scar ă
largă în practic ă. În continuare presupunem c ă cititorul este familiarizat cu no țiuni și rezultate
elementare de Algebr ă Liniară: spațiu liniar, dependen ță liniară, sistem de generatori, baze,
dimensiune, produsul scalar standard în F-spațiul liniar F n.
2.9 Defini ție. Fie F un corp finit cu q elemente. Se nume ște cod liniar de lungime n peste
F orice subspa țiu liniar C al lui F n. Cu alte cuvinte, C este o mul țime de cuvinte de lungime n
în care simbolurile sînt elemente din F, închisă la adunarea (pe componente ) din F n și la
înmulțirea cu scalari din F.82
Dimensiunea codului liniar C este dimensiunea lui C ca spațiu liniar peste F. Dacă
dim C = k și distanța minimă a lui C este d, spunem c ă C este cod liniar de tip [n, k, d]q (sau
cod liniar q-ar de tip [n, k, d]); n, k, d se numesc parametrii codului C.
Corpul finit cu q elemente este notat cu Fq.
2.10 Exemplu. Codul „de repeti ție de 3 ori” din exemplul 2.1 este C = {000, 111}, care
este subspa țiu în F23. Distanța minimă a lui C este 3, deci C este un cod liniar binar de tip
[3, 1, 3] 2. Astfel, e(C) = 1, ceea ce a fost deja remarcat.
Pentru un cod C dat, determinarea distan ței minime este foarte important ă. A priori, pentru
aceasta ar trebui s ă consider ăm toate distan țele d(x, y) cu x, y ∈ C distincte, adic ă
|C|·(|C| − 1)/2 distanțe, ceea ce este practic inabordabil (la codurile Reed-Solomon folosite în
CD-uri, | C| este de ordinul 2224 ). La coduri liniare , avem deja o sarcin ă ușurată:

81 Foarte adesea, F este F2, corpul cu dou ă elemente.
82 Condiția ca C să fie parte stabil ă la înmul țirea cu scalari este redundant ă pentru cazul corpului cu dou ă
elemente. De ce? Mai pute ți da exemple de corpuri pentru care se întîmpl ă același fenomen?

V.2 Coduri liniare corectoare de erori
127
2.11 Propozi ție. Fie F un corp finit. Atunci distan ța Hamming pe F n este invariant ă la
translații: d (x, y) = d(x + z, y + z), ∀x, y, z ∈ F n. În particular, d (x, y) = d(x − y, 0) și deci
distanța minimă a unui cod liniar C ≤ F n este:
d (C) = min{ d(x, 0) | x ∈ C, x ≠ 0}. †
Ponderea (Hamming ) wt(x) a unui cuvînt (vector ) x = x1…xn ∈ F n se define ște ca num ărul
coordonatelor sale nenule (echivalent, wt (x) = d(x, 0))83. Deci, distanța minimă a unui cod
liniar este ponderea minim ă nenulă a cuvintelor cod .
Cum putem preciza în mod concret un cod liniar? Exist ă două moduri naturale de a da un
subspațiu liniar C (un cod liniar ) de dimensiune k în F n: se dă o bază a lui C (adică se dau k
vectori liniar independen ți în C ) sau se descrie C ca mulțimea solu țiilor unui sistem omogen
de n − k ecuații liniar independente :
2.12 Defini ție. Fie C ≤ F n un cod liniar de dimensiune k ≤ n peste corpul F. O matrice
generatoare a lui C este o matrice G ∈ M(k, n, F ) ale cărei linii (văzute ca vectori în F n)
formează o bază în C (deci liniile lui G sînt liniar independente, adic ă rang G = k).
O matrice de paritate84 a lui C este o matrice H = (hij) ∈ M(n − k, n, F ) astfel încît,
∀x = (x1, …, xn) ∈ F n:
x ∈ C ⇔ hi1x1 + … + hinxn = 0, 1 ≤ i ≤ n − k.
Deci, pentru ca H să fie o matrice de paritate pentru codul C de dimensiune k, trebuie ca
rang H = n − k și să aibă loc: x ∈ C ⇔ HxT = 0 ∈ M(n − k, 1, F).
2.13 Observa ție. Denumirea de matrice de paritate (parity-check matrix ) provine din cazul
particular al codului binar urm ător: se fixeaz ă k ∈ N* și orice vector x1…xk ∈ F2k este codat ca
x1…xkxk + 1, unde xk + 1 este astfel încît x1 + … + xk + xk + 1 = 0 (în F2). Codul este a șadar
C = {x1…xkxk + 1 ∈ F2k + 1 | x1 + … + xk + xk + 1 = 0}. Orice cuvînt cod are un num ăr par de bi ți
egali cu 1 și de aceea bitul xk + 1 este numit bit de paritate . Verificarea faptului c ă un cuvînt x
este cuvînt cod revine la a verifica „paritatea” cuvîntului, adic ă un tip particular de sistem
liniar omogen pe care îl satisfac coordonatele lui x. Determina ți parametrii acestui cod!
Fie 〈x, y〉 = x1y1 + … + xnyn, ∀x = (x1, …, xn), y = (y1, …, yn) ∈ F n produsul scalar standard
pe F n; dacă S ⊆ F n, fie S⊥ := {y ∈ F n | 〈x, y〉 = 0, ∀x ∈ S} ortogonalul lui S (doi vectori x,
y ∈ F n se numesc ortogonali sau perpendiculari dacă 〈x, y〉 = 0). Lăsăm ca exerci țiu
demonstrarea propriet ăților următoare:
2.14 Teorem ă. Fie C un cod liniar de tip [n, k, d] peste corpul F. Atunci:

83 Notația wt vine de la weight (greutate, pondere).
84 Se mai folos ște terminologia "matrice de control".

128 V. Spa ții liniare, matrice și aplicații

a) C ⊥ este un cod liniar de dimensiune n − k (numit codul dual lui C ).
b) (C ⊥)⊥ = C.
c) Dacă G este o matrice generatoare a lui C, at unci G este o matrice de paritate pentru
C ⊥. Dacă H este matrice de paritate pentru C, atunci H este matrice generatoare pentru C ⊥.†
Folosind no țiunea de ortogonalitate putem spune: H ∈ M(n − k, n, F ) este matrice de
paritate pentru codul C ≤ F n ⇔ liniile lui H sînt liniar independente și C este mul țimea
vectorilor ortogonali pe liniile lui H (văzute ca vectori în F n).
Observăm că un vector nenul în F n poate fi ortogonal pe el însu și (de ex. (1, 1) în F22), deci
este posibil ca C și C ⊥ să aibă intersecție nenulă85. Dacă C = C ⊥, C se nume ște autodual .
Distanța minimă a unui cod liniar poate fi citit ă de pe matricea sa de paritate:
2.15 Teorem ă. Fie C un cod liniar peste F și H ∈ M(n − k, n, F) o matrice de paritate
pentru C. Atunci distan ța minimă d a lui C este
d = min{ δ | există δ coloane în H care sînt liniar dependente} .
Demonstra ție. Fie Hi ∈ F n − k coloana i a lui H, 1 ≤ i ≤ n. Avem (x1, …, xn) ∈ C dacă și
numai dac ă x1H1 + … + xnHn = 0. Fie d' = min{ δ | există δ coloane în H, liniar dependente}.
Fie (x1, …, xn) ∈ C, de pondere minim ă d. Atunci coloanele Hi pentru care xi ≠ 0 (în număr
de d) sînt liniar dependente, deci d' ≤ d. Reciproc, fie o mul țime de d' coloane { Hi}i ∈ J, liniar
dependent ă. Atunci exist ă (x1, …, xn) ∈ F n cu x1H1 + … + xnHn = 0 și xi ≠ 0 ⇒ i ∈ J. Deci
x = (x1, …, xn) ∈ C și d ≤ wt(x) ≤ d'. †
Observăm că avem și
d = 1 + max{ m ∈ N | orice m coloane în H sînt liniar independente}.
O clasă important ă de coduri corectoare de erori a fost descoperit ă de Hamming.
2.16 Defini ție. (Coduri Hamming) Fie F = Fq și r ∈ N* fixat. Definim codul Hamming
q-ar de redundan ță r, Hq, r, astfel:
Construim o matrice de paritate H care să aibă orice 2 coloane liniar independente, dar
există 3 liniar dependente (deci distan ța minimă a codului va fi 3 ). Alegem cîte un vector
nenul din fiecare subspa țiu de dimensiune 1 din F r; construim matricea H ce are drept
coloane ace ști vectori (într-o ordine arbitrar ă). Matricea H este prin defini ție matricea de
paritate H a codului Hq, r.
Un alt mod de a exprima ideea de mai sus este: pe F r \ {0} definim o rela ție de
echivalen ță: x ∼ y ⇔ ∃α ∈ F * astfel încît y = α·x. Din fiecare clas ă de echivalen ță alegem cîte
un vector86. Acești vectori sînt coloanele matricei de paritate H.

85 Adică, deși dim C + dim C⊥ = n, nu are loc în general C⊕C⊥ = F n. Ce pute ți spune dac ă F este de
caracteristic ă 0?

V.2 Coduri liniare corectoare de erori
129
Cîte coloane are H ? Se observ ă că clasele de echivalen ță de mai sus au fiecare cîte q − 1
elemente (clasa de echivalen ță a lui x ∈ F r \ {0} este { α·x | α ∈ F*}). Cum reuniunea lor
(disjunctă) este F r \ {0}, avem q r − 1 = n(q − 1), unde n este num ărul claselor de echivalen ță.
Deci H are n = (q r − 1)/(q − 1) coloane și r linii.
Pentru ca H ∈ M(r, n, K) să fie matrice de paritate, trebuie ca rang H = r. Există într-adev ăr
r coloane liniar independente în H, de exemplu (multipli scalari de ) (1, 0, …, 0 )T, (0, 1, …, 0 )T,
…, (0, 0, …, 1 )T.
2.17 Observa ție. Construc ția de mai sus nu determin ă în mod unic matricea de paritate H.
De exemplu, pentru dou ă ordonări diferite ale coloanelor se ob țin două matrice de paritate H,
H' distincte și deci coduri Hamming corespunz ătoare distincte C , C'. Însă aceste coduri sînt
echivalente pîn ă la o permutare , în sensul c ă ∃σ ∈ Sn (grupul permut ărilor mulțimii {1, 2, …,
n}) astfel încît ∀x1…xn ∈ F n, avem x1…xn ∈ C ⇔ xσ(1)…xσ(n) ∈ C'.
Dacă în matricea de paritate H a codului Hamming C se înlocuie ște coloana i (fie aceasta
Pi) cu coloana αPi, unde α ∈ F*, atunci se ob ține o matrice H', de paritate pentru un cod C'
astfel încît avem x1…xi…xn ∈ C ⇔ x1…(α − 1xi)…xn ∈ C.
Această situație sugereaz ă definirea unui alt tip de echivalen ță: două coduri C, C' de
lungime n peste corpul F se numesc diagonal echivalente dacă ∃ (α1, …, αn) ∈ (F*)n astfel
încît ∀(x1,…, xn) ∈ F n, avem (x1,…, xn) ∈ C ⇔ (α1×1,…, αnxn) ∈ C'. Două coduri C, C' care
sînt echivalente (diagonal sau pîn ă la o permutare ) au în esen ță „aceleași”87 proprietăți: de
exemplu, C este liniar ⇔ C' este liniar.
Reuniunea celor dou ă relații de echivalen ță pentru coduri de lungime n peste F se numește
echivalen ță monomial ă. Deci, codul Hamming H q, r este unic determinat pîn ă la o echivalen ță
monomial ă.
2.18 Exemplu. (codul binar Hamming [7, 4, 3]) Pentru q = 2 și r = 3, avem n = 7 și H este:
H =
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡
111100011001101010101

În cazul F = F2, coloanele lui H sînt unic determinate pîn ă la o ordine a lor (fiecare
subspațiu de dimensiune 1 din F r are exact un vector nenul ). Ordinea coloanelor adoptat ă aici
este cea lexicografic ă (altfel spus, am scris „pe vertical ă” toate numerele nenule de 3 cifre în
baza 2, în ordinea lor natural ă). Acest cod are o importan ță istorică deosebită:
Studiile superioare ale lui Hamming erau de matematic ă pură, iar teza sa de doctorat era despre ecua ții
diferențiale. A făcut parte din "Manhattan Project", proiectul ultrasecret de fabricare a bombei atomice de la Los
Alamos din timpul celui de al doilea r ăzboi mondial. În 1946 a plecat de la Los Alamos la Bell Laboratories :

86 Se vede o leg ătură strînsă cu spațiile proiective .
87 Enunțați cît mai multe propriet ăți ale unui cod care se conserv ă prin echivalen țele definite aici. Pute ți
defini și alte tipuri de echivalen țe?

130 V. Spa ții liniare, matrice și aplicații

I was a pure mathematician – I felt somewhat lost at the place. Every once in a while I got terribly
discouraged at the department being mostly electrical engineering.
La Bell Labs aveau un computer Model V, care ocupa 90 metri p ătrați, cîntărea 10 tone și putea rezolva
sisteme liniare de 13 ecua ții în mai pu țin de 4 ore. Hamming avea acces doar în weekend la computer; cum nu
exista personal de supraveghere în weekenduri, dac ă computerul descoperea o eroare, abandona pur și simplu
sarcina și trecea la urm ătoarea.
Two weekends in a row I came in and found that all my stuff had been dumped and nothing was done. I
was really aroused and annoyed because I wanted those answers and two weekends had been lost. And so I said “Damn it, if the machine can detect an error, why can’t it locate the position of the error and
correct it?”
Codul pe care l-a descoperit Hamming este chiar codul binar tip [7, 4, 3] de mai sus, care poate corecta o
eroare la 7 simboluri. Nu este totdeauna de dorit s ă obținem coduri care s ă corecteze cît mai multe erori,
deoarece rata de transmisie ar putea fi prea mic ă sau decodarea ar putea consuma prea mult timp. Este necesar ă
obținerea de coduri suficient de bune pentru o anumit ă sarcină. Hamming spunea în leg ătură cu aceasta:
The Relay Computer, operating with a self-checking code, stops whenever an error is detected. Under normal operating conditions this amounts to two or three stops per day. However, if we imagine a
comparable electronic computing machine operating 10
5 times the speed and with elements 103 times
more reliable than relays, we find two to three hundred stops per day.
Putem spune c ă Hamming a prev ăzut apariția atît a computerelor rapide de ast ăzi, cît și a sistemelor de
operare Windows.
Să descriem o modalitate practic ă de codare și de decodare pentru acest cod H2, 3. Întrucît
este un cod tip [7, 4], fiecare mesaj de 4 bi ți este codat pe un cuvînt cod de 7 bi ți.
Coordonatele unui cuvînt cod d = d1 … d7 ∈ H2, 3 satisfac ecua ția Pd T = 0, adică
d1 + d3 + d5 + d7 = 0
d 2 + d3 + d6 + d7 = 0 (*)
d4 + d5 + d6 + d7 = 0
Alegem bi ții d1, d2, d4 să fie „de control”, iar bi ții mesajului original sînt plasa ți în pozițiile
3, 5, 6, 7. Bi ții d1, d2, d4 se obțin din ecua țiile de mai sus, adic ă d1 = d3 + d5 + d7 etc.88
La recepția unui cuvînt de 7 bi ți r = r1 … r7, se verific ă dacă r este cuvînt cod (adică dacă
r1, …, r7 satisfac ecua țiile (*)). Altfel spus, se calculeaz ă (c1, c2, c3) = H(r1, …, r7)T. Dacă
(c1, c2, c3) = (0, 0, 0 ), atunci nu au avut loc erori. Dac ă (c1, c2, c3) ≠ (0, 0, 0 ), atunci eroarea
(presupusă a fi singura ) e plasată în bitul a c ărui poziție este dat ă de numărul binar c3c2c1 (și
deci poate fi corectat ă!).89
2.19 Propozi ție. Fie F = Fq și r ∈ N*. Atunci codul Hamming H q, r este un cod liniar de
lungime n = (q r − 1)/(q − 1), dimensiune n − r și distanță minimă 3.
Demonstra ție. Rămîne să vedem c ă distanța minimă este 3. Este clar c ă putem alege 3
coloane liniar dependente în H, de exemplu (1, 0, …, 0 )T, (0, 1, …, 0 )T, (1, 1, …, 0 )T , (ultima
este suma primelor dou ă). Orice dou ă coloane sînt liniar independente din construc ție. †
2.20 Teorem ă (inegalitatea Hamming) . Fie C un cod q-ar de lungime n cu capacitate de
corecție e. Atunci

88 De ce s-a ales astfel pozi ția biților de control?
89 Justificați această procedur ă de decodare!

V.2 Coduri liniare corectoare de erori
131
()∑
=−e
ii i
nqC C
01≤ qn.
Demonstra ție. Sînt q n elemente în An și |C| cuvinte cod în C. Sferele de raz ă e centrate în
cuvintele cod sînt disjuncte dou ă cîte două, deci |C|·|S(x, e)| ≤ q n. Se aplică propoziția 2.5. †
Pentru orice cod C (nu neapărat liniar ) de capacitate de corec ție e, sferele centrate în
cuvintele cod de raz ă e sînt disjuncte; dac ă reuniunea lor este întreg F n, atunci codul se
numește (e-)perfect . Echivalent, un cod este perfect dac ă are loc egalitate în inegalitatea
Hamming.
2.21 Exerci țiu. Orice cod e-perfect are distan ță minimă 2e + 1.
Codurile Hamming sînt 1- perfecte (verificați!). Altfel spus, orice cuvînt din F n se găsește
la distanță ≤ 1 de exact un cuvînt cod. Acest fenomen are aplica ții oarecum surprinz ătoare.
2.22 Aplicație. Jocul Pronosport constă în ghicirea rezultatelor a 13 partide de fotbal.
Rezultatul unei partide este un element al mul țimii {x, 1, 2} (x = egalitate; 1 = cîștigă gazdele;
2 = cîștigă oaspeții). Jucătorii completeaz ă variante ; numim variant ă orice 13-uplu (s1,…, s13),
cu si ∈ {x, 1, 2}. Pentru a cî știga cu siguran ță premiul I (13 rezultate exacte ), este necesar ă a
priori completarea a 313 variante. Se pune întrebarea: care este num ărul minim de variante ce
trebuie completate pentru a cî știga cu siguran ță premiul II (12 rezultate exacte )?
Reformul ăm problema în termenii teoriei codurilor: Fie F = F3, corpul cu 3 elemente. S ă se
găsească o submul țime (un cod ) S ⊆ F13 (cît mai „mic ă”), astfel încît orice cuvînt din F13 să
se găsească la distan ță cel mult 1 de un cuvînt din S . Altfel spus, s ă se găsească un cod
1-perfect de lungime 13 peste F3.
Răspunsul este dat de codul Hamming cu q = 3 și r = 3: avem n = (33 − 1)/2 = 13, deci este
un cod tip [13, 10, 3] 3. Numărul de cuvinte cod (de „variante” ) este 310 = 59049.
2.23 Exerci țiu. Scrieți o matrice de paritate pentru codul Hamming de mai sus.
2.24 Aplica ție. Problema p ălăriilor . Se dă o echipă de 3 persoane care joac ă următorul
joc: în mod aleator, pe capul fiec ărei persoane se pune o p ălărie roșie sau albastr ă, fără ca
persoana s ă știe culoarea p ălăriei. În schimb, fiecare poate vedea p ălăriile tuturor celorlal ți.
Fiecare persoan ă ghicește culoarea p ălăriei proprii sau se ab ține (spune „pas” ). Echipa cî știgă
dacă toate persoanele care au ghicit, au ghicit corect. Dac ă toată lumea s-a ab ținut, echipa
pierde.
Membrii echipei nu au voie s ă comunice între ei dup ă ce au primit p ălăriile; în schimb, pot
stabili o strategie înaintea jocului.
Se pune problema de a de termina o strategie optim ă și probabilitatea de cî știg a echipei cu
această strategie. O strategie evident ă, cu 50% șanse de cî știg, este de a desemna un membru
al echipei care s ă ghicească la întîmplare, iar restul s ă se abțină. Se poate mai bine?

132 V. Spa ții liniare, matrice și aplicații

Pentru aceasta, s ă definim cîteva no țiuni relativ la acest joc. Consider ăm cazul mai general
a n persoane, iar mul țimea culorilor o consider ăm C = {0, 1} (0 = roșu, 1 = albastru ).
Să numerotăm persoanele de la 1 la n. Fiecare persoan ă i ghicește în func ție de configura ția
de pălării pe care o vede la ceilal ți. Vom defini deci :
– o configura ție este un n-uplu de culori, adic ă un element (x1, …, xn) ∈ C n.
– o strategie este o familie de func ții ϕ = (ϕi)1 ≤ i ≤ n, cu ϕi : C n − 1 → {0, 1, pas}, cu sensul
că: persoana i declară ϕi(x1, …, xi;[,…, xn), pentru o configura ție dată (x1, …, xn) (am notat cu
(x1, …, xi;[,…, xn) faptul că xi este omis din n-uplul (x1, …, xn)).
– configura ția (x1, …, xn) ∈ C n este configura ție cîștigătoare pentru strategia (ϕi)1 ≤ i ≤ n
dacă există i astfel încît ϕi(x1, …, xi;[,…, xn) = xi.
– mulțimea cîștigătoare pentru strategia ϕ = (ϕi)1 ≤ i ≤ n este Wϕ = {(x1, …, xn) ∈ C n |
(x1, …, xn) este configura ție cîștigătoare pentru ϕ}.
Pentru n = 3, să considerăm următoarea strategie: dac ă persoana i (i ∈ {1, 2, 3} ) vede dou ă
pălării identice, ghice ște culoarea opus ă; dacă nu, spune pas 90. Configura țiile posibile sînt
toate tripletele de forma 000, 001, …, 111 (în număr de 8 ). Configura țiile în care se pierde
sînt 000 și 111 (de ce? ). Orice alt ă configura ție este cîștigătoare pentru aceast ă strategie (de
ce?). Astfel, probabilitatea de cî știg este: (numărul cazurilor favorabile )/(numărul total de
cazuri ) = 1 − 2/8 = 0,75.
Observăm că mulțimea configura țiilor pierz ătoare este chiar codul Hamming binar H2, 2, de
tip [3, 1, 3]. Acest lucru nu este întîmpl ător.
În cazul general, este esen țial următorul rezultat: Fie W ⊆ C n. Atunci exist ă o strategie ϕ
astfel încît W este mul țime cîștigătoare pentru ϕ dacă și numai dac ă P := C n \ W are
proprietatea:
∀x ∉ P, ∃x' ∈ P astfel încît d(x, x') = 1. (P)
Cu d s-a notat distan ța Hamming. Proprietatea (P) înseamnă că: ∀x = (x1, …, xn) ∉ P, există
un i astfel încît, modificînd xi (în 1 − xi), se obține cuvîntul (x1, …, 1 − xi,…, xn) ∈ P.
Demonstra ție. Presupunem W cîștigătoare pentru ϕ. Fie x = (x1, …, xn) ∉ P. Deci x ∈ W,
adică ∃i astfel încît ϕi(x1, …, xi;[,…, xn) = xi. Atunci ϕi(x1, …, 1 − xi;[
,…, xn) = ϕi(x1, …, xi;[,…, xn) = xi ≠ 1 − xi, deci x' := (x1, …, 1 − xi,…, xn) ∈ P, iar d(x, x') = 1.
Fie acum P cu proprietatea enun țată. Definim strategia ϕ = (ϕi)1 ≤ i ≤ n astfel:
Pentru (x1, …, xi − 1, xi + 1,…, xn) ∈ C n − 1, ϕi(x1, …, xi − 1, xi + 1,…, xn) = ε, unde ε este definit
astfel:
– dac ă ∃xi ∈ {0, 1} astfel încît (x1, …, xi − 1, xi, xi + 1,…, xn) ∈ P, atunci ε = 1 − xi.
– pas, în caz contrar.

90 Definiți funcțiile ϕi pentru acest caz!

V.2 Coduri liniare corectoare de erori
133
Demonstr ăm că W = C n \ P este mulțime cîștigătoare pentru ϕ. Fie x = (x1, …, xn) ∉ P. Din
proprietatea (P), există un i astfel încît (x1, …, 1 − xi,…, xn) ∈ P. Atunci, conform strategiei de
mai sus, ϕi(x1, …, xi;[,…, xn) = 1 − 1 + xi = xi. †
Astfel, a da o strategie ϕ revine la a da o mul țime P (o putem numi pierzătoare pentru ϕ)
cu proprietatea (P). Pentru ca stragtegia s ă fie optim ă, trebuie ca mul țimea cîștigătoare
W = C n \ P să fie cît mai mare, deci P să fie cît mai mic ă. Astfel, a g ăsi strategii optime revine
la a găsi mulțimi P cu proprietatea (P), care să fie cît mai mici. Proprietatea (P) spune că
reuniunea sferelor centrate în cuvintele din P, de rază 1, acoper ă C n. Altfel spus, s ă se
găsească un cod 1-perfect de lungime n peste C = F2. Se vede analogia cu problema jocului
Pronosport.
Pentru n de forma 2r − 1, o solu ție este dat ă de codul Hamming H2, r. Acest cod, de tip
[n, n − r, 3] are 2n − r cuvinte, deci probabilitatea de cî știg este 1 − 2n − r/2n = 1 − 2− r. De
exemplu, pentru n = 7, probabilitatea este 1 − 2− 3 = 7/8.
O altă familie de coduri cu aplica ții practice importante este urm ătoarea.
2.25 Definiție (coduri Reed-Solomon ). Fie q o putere a unui prim și F = Fq. Fixăm un
element primitiv α ∈ F*, (deci F \{0} = {1, α, …, α q − 2}, α este de ordin q − 1 în F*) și k,
1 ≤ k ≤ q − 1. Codul Reed-Solomon RS(k, q) este:
RS(k, q) := {( f (1), …, f (α q − 2)) ∈ Fq − 1 | f ∈ F[X], deg f ≤ k − 1}
Se observ ă că RS(k, q) este cod de lungime n = q − 1 peste F. Notăm
Lk − 1 := f | f ∈ F[X], gr f ≤ k − 1}
Lk − 1 este un subspa țiu liniar în F[X], de dimensiune k. Atunci RS(k, q) este imaginea
aplicației de evaluare ev : Lk − 1 → F q − 1, ev( f ) = ( f (1), …, f (α q − 2)), care este evident liniar ă,
deci RS(k, q) este subspa țiu liniar în Fq − 1. Avem dim RS(k, q) = k, căci ev este injectiv ă (orice
f ∈ Lk − 1 cu ev( f ) = (0, …, 0 ) are q − 1 > gr f rădăcini și deci este 0 ). Ponderea (distanța)
minimă a lui RS(k, q) este d = q − k = n − k + 1 (exercițiu!), adică are loc egalitate în
inegalitatea de mai jos:
2.26 Teorem ă. (inegalitatea Singleton ) Fie C un cod de lungime n și distanță minimă d
peste un alfabet A cu q simboluri. Atunci |C| ≤ q n − d + 1. Dacă C este liniar, atunci
d ≤ n − k + 1.
Demonstra ție. Rezultă din faptul c ă, pentru (x1, …, xn − d + 1) ∈ An − d + 1 fixat, exist ă cel
mult un cuvînt cod în C ale cărui coordonate de pe primele n − d + 1 locuri sînt
(x1, …, xn − d + 1) (justificați!). †
Codurile liniare pentru care d = n − k + 1 se numesc coduri MDS (Maximum Distance
Separable ) și sînt „cele mai bune” dintr-un anumit punct de vedere (distanța minimă a codului
este maxim posibil ă dacă dimensiunea și lungimea codului sînt fixate ).

134 V. Spa ții liniare, matrice și aplicații

Codurile Reed-Solomon (RS) sînt deci MDS. Vom ar ăta că ele sînt adaptate la transmisia
pe canale afectate de pachete de erori (în englez ă burst errors ): erorile apar mai probabil
unele dup ă altele (în „pachete” ). Această situație apare adesea în practic ă, de pildă la stocarea
datelor pe band ă sau CD (o zgîrietur ă pe CD afecteaz ă un șir de biți succesivi ), comunica ții
radio etc.
Presupunem c ă mesajul ini țial (necodat ) este o succesiune de cuvinte de cîte k simboluri
binare. Alegem un t astfel încît q := 2t > k, punem F = corpul cu q elemente și folosim un cod
RS(k, q). Cum | F| = 2t, există o bijecție între F și {0, 1}t; putem atunci ca în fiecare cuvînt cod
c = (x1, …, xq − 1) ∈ RS(k, q) ⊆ F q − 1să consider ăm xi ca un cuvînt de t cifre binare. Astfel,
cuvîntul cod c = (x1, …, xq − 1) ∈ F q − 1 este transmis ca un cuvînt binar w de lungime t(q − 1).
Un pachet de b erori în cuvîntul binar w corespunde unui pachet de b/t erori în c, care poate fi
corectat dac ă b/t ≤ e, unde e = [(q − k −1)/2] este capacitatea de corec ție a codului.
De exemplu, alegînd k = 240, t = 8, q = 28 = 256, d = 16, e = 7, se pot corecta pachete de 56
biți eronați. Prin tehnici de concatenare și întrețesere , se ajunge în practic ă la posibilitatea de
corecție a circa 4000 erori binare (corespunzînd unei lungimi pe CD de 2,5 mm ).
Teoria codurilor corectoare de erori este mult mai vast ă decît am putut schi ța aici. Este un
domeniu dinamic, în care se reg ăsesc în mod spectaculos și alte ramuri ale matematicii
precum geometria algebric ă, combinatorica, teoria grafurilor etc.
Exerciții
1. Fie F un corp cu q elemente, n ∈ N și m < q n. Cîte coduri de lungime n peste F cu m
cuvinte exist ă? Cîte din acestea sînt liniare? (Ind. Dacă m nu este de forma q k, nu exist ă
subspații liniare cu m elemente în F n. Dacă m = q k, trebuie g ăsit numărul subspa țiilor liniare
de dimensiune k din F n.)
2. (Coduri de repeti ție) Consider ăm următorul procedeu de codare: pentru a coda cuvinte
oarecare de lungime k (peste alfabetul binar {0, 1} = F) se repetă fiecare bit de r ori; astfel,
orice cuvînt x1…xk este codat ca x1…x1x2…x2…xk…xk (fiecare xi apare de r ori). Se obține un
cod de lungime kr.
a) Arătați că acest cod este liniar, de dimensiune r.
b) Arătați că distanța sa minim ă este r.
c) Folosim codul de repeti ție de tip [3,1]. Dac ă se prime ște mesajul 000101111100, unde
au apărut erori? Corecta ți-le.
d) Care este rata de transmisie a codului de repeti ție tip [ kr, r]?
3. Scrieți toate cuvintele codului Hamming H2, 2, Care este rata sa de transmisie?

V.2 Coduri liniare corectoare de erori
135
4. Scrieți toate cuvintele codului binar Hamming tip [7, 4, 3]. Care este rata sa de transmisie?
5. Calculați numărul de cuvinte și rata de transmisie ale codului Hamming Hq, r (în general ) și
pentru q = 2, r ≤ 5.
6. Fie C un cod liniar de tip [ n, k, d ] peste F, corp cu q elemente.
a) Arătați că: ori toate cuvintele din C încep cu 0, ori exact 1 /q din cuvinte încep cu 0. (Ind.
Fie D := {x1…xn ∈ F n | x1 = 0}, subspa țiu liniar în F n. Aplicați formula pentru dim (C + D)).
b) Demonstra ți că suma ponderilor tuturor cuvintelor lui C este cel mult n(q − 1)q k − 1.
c) Demonstra ți că d ≤ ()
111
−−−
kk
qq qn. (Ind. Distanța minimă este mai mic ă decit media
ponderilor cuvintelor nenule. )
d) (Inegalitatea Plotkin ) Demonstra ți că, dacă qq
nd 1−> , atunci
nqqddC1−−≤ .
7. Demonstra ți că dualul unui cod liniar MDS este tot cod MDS.
8. Demonstra ți că un cod binar MDS de lungime n este unul din urm ătoarele: un cod de
repetiție, codul de paritate sau tot spa țiul F2n.

136 VI. Acțiuni ale grupurilor
VI.1. Acțiuni ale grupurilor pe mul țimi
Conceptul de grup este strîns legat de no țiunea de acțiune. Cauchy are ideea de a privi
substituțiile (permutările) unei mul țimi ca obiecte în sine și observă că aceste substitu ții se pot
compune. Lagrange studiase deja comportarea polinoamelor la permutarea nedeterminatelor;
mai precis, „ac țiunea” unei permut ări a nedeterminatelor asupra unui polinom dat. Galois
duce aceast ă idee mai departe și o utilizeaz ă în studiul rezolvabilit ății ecuațiilor polinomiale,
studiind ac țiunile permut ărilor asupra r ădăcinilor ecua ției. Tot la Galois apare utilizarea
termenului de grup de permut ări și folosirea unui singur simbol pentru a nota o permutare.
1.1 Exemplu. Fie polinomul (în 4 nedeterminate ) p = X1 + X2 + X3 + X4. Oricum am per-
muta cele 4 nedeterminate, polinomul p rămîne acela și. În schimb, pentru
q = X1X2 + X3X4, putem ob ține prin permutarea nedeterminatelor polinoamele: X1X3 + X2X4,
X1X4 + X2X3 și, bineînțeles, polinomul ini țial X1X2 + X3X4.
Lagrange a demonstrat c ă, pentru orice polinom p de n nedeterminate, num ărul polinoame-
lor ce se pot ob ține din p prin permutarea nedeterminatelor este un divizor al lui n!. Vom ve-
dea că acest enun ț este un caz particular al cunoscutei teoreme (numită chiar „Teorema lui
Lagrange” ): ordinul oric ărui subgrup al unui grup finit divide ordinul grupului .
1.2 Defini ție. Fie (G,·) un grup, e elementul s ău unitate și X o mulțime. Spunem c ă este
dată o acțiune la stînga a lui G pe X (sau că grupul G acționează la stînga pe X, sau că X este
o G-mulțime) dacă este definit ă o funcție ϕ : G × X → X, cu următoarele propriet ăți (notăm cu
gx elementul ϕ(g, x) ∈ X, ∀g ∈ G, ∀x ∈ X):
a) (gh)x = g(hx), ∀g, h ∈ G, ∀x ∈ X;
b) ex = x, ∀x ∈ X.
Dacă se dă o funcție ϕ : X × G → X (notăm cu xg elementul ϕ(x, g) ∈ X), astfel încît:
a') x(gh) = (xg)h, ∀g, h ∈ G, ∀x ∈ X;
b') xe = x, ∀x ∈ X,

VI.1. Ac țiuni ale grupurilor pe mul țimi
137
spunem c ă grupul G acționează la dreapta pe X .
Dacă G acționează la stînga pe X, iar g ∈ G, fie ϕg : X → X aplicația dată de ϕg(x) = gx,
∀x ∈ G. Observăm că ϕg este o bijec ție, deoarece avem, ∀x ∈ G, x = (gg−1)x = g(g−1x) =
(ϕg◦ϕg−1)(x), deci ϕg◦ϕg−1 = id (la fel, ϕg−1◦ϕg = id); astfel, ϕg−1 este inversa lui ϕg. Acest fapt
conduce la urm ătoarea:
1.3 Observa ție. Notăm cu S(X) grupul permut ărilor mulțimii X (numit și grupul simetric pe
X), adică :
S(X) = {σ : X → X | σ bijecție}.
Operația cu care este înzestrat S(X) este compunerea uzual ă a funcțiilor: ∀σ, τ ∈ S(X),
(σ ◦τ)(x) = σ(τ(x)), ∀x ∈ X.
A da o ac țiune la stînga a lui G pe X revine la a da un morfism de grupuri λ : G → S(X).
Într-adevăr, dacă G acționează la stînga pe X, definim λ : G → S(X) prin λ(g) = ϕg, ∀g ∈ G.
Am văzut mai sus c ă ϕg ∈ S(X). A spune c ă λ este morfism este o alt ă formulare a propriet ății
a) din defini ție. Reciproc, dac ă λ : G → S(X) este morfism de grupuri, definim gx = λ(g)(x),
∀g ∈ G, ∀x ∈ X. Se verific ă imediat c ă se obține o acțiune la stînga a lui G pe X.
1.4 Observa ție. A da o ac țiune la dreapta a lui G pe X revine la a da un morfism de gru-
puri ρ : G → S(X)op, unde S(X)op = (S(X), *) este grupul „opus” lui S(X), adică mulțimea
S(X) înzestrată cu opera ția de compunere a func țiilor „scrise la dreapta argumentului”:
(σ *τ)(x) = τ(σ(x)), ∀x ∈ X. 91
În continuare, vom considera ac țiuni la stînga , cazul ac țiunilor la dreapta fiind asem ănător
(cf. exerci țiul 1). Introducem urm ătoarea terminologie, inspirat ă din interpretarea „dinamic ă”
a acțiunilor grupale:
1.5 Defini ție. Fie (G,·) un grup, X o mulțime pe care G acționează și x ∈ X. Mulțimea:
Ox = {gx | g ∈ G}
este numit ă orbita (sau traiectoria ) lui x (sub acțiunea lui G). Elementul x se numește fixat de
g ∈ G (sau punct fix al lui g ) dacă gx = x. Dacă gx = x, ∀g ∈ G (echivalent, Ox are un singur
element ), x este numit punct fix al ac țiunii lui G . Notăm cu Fix G(X) mulțimea punctelor fixe
ale acțiunii lui G pe X.
Pentru orice x ∈ G, definim stabilizatorul lui x în G (sau grupul de izotropie al lui x în G),
Stab G(x) := {g ∈ G | gx = x} (notat uneori și Gx). Vom omite indicele G dacă nu este pericol de
confuzie, scriind Stab (x).

91 Această compunere a func țiilor este natural ă dacă se scrie (x)σ în loc de σ(x): avem (x)(σ *τ) = ((x)σ)τ.

VI. Acțiuni ale grupurilor

138
1.6 Exemple. a) Fie R un inel comutativ și n un num ăr natural, n ≥ 2. Grupul Sn al
permutărilor mulțimii {1, 2, …, n} acționează asupra mul țimii R[X1,…, Xn] (inelul polinoame-
lor de n nedeterminate cu coeficien ți în R), astfel :
∀σ ∈ Sn, ∀p(X1,…, Xn) ∈ R[X1,…, Xn], (σp)(X1,…, Xn) := p(Xσ(1),…, X σ(n)).
Punctele fixe ale ac țiunii lui Sn sunt polinoamele simetrice. La Exemplul 1, polinoamele
listate reprezint ă orbita lui X1X2 + X3X4 sub acțiunea lui S4.
b) Orice grup G acționează asupra mul țimii G prin translații la stînga : ∀g ∈ G, ∀x ∈ X,
gx := gx (înmulțirea lui g cu x în grupul G). O altă acțiune a lui G pe G este prin conjugare :
∀g ∈ G, ∀x ∈ X, g*x := gxg−1. De obicei, ac țiunea prin conjugare se consider ă la dreapta
definindu-se xg := g−1xg, ∀g ∈ G, ∀x ∈ G. Un element x ∈ G are orbita format ă dintr-un
singur element (x) ⇔ x ∈ C(G) (centrul lui G, elementele care comut ă cu toate elementele lui
G).
c) Iată un exemplu din teoria ecua țiilor diferen țiale. Fie u : Rn → Rn o funcție cu
proprietatea c ă, ∀p ∈ Rn, problema Cauchy
x'(t) = u(x(t)), x(0) = p (1)
are o unic ă soluție xp : R → Rn. De pildă, o condiție suficient ă ca u să satisfacă proprietatea
cerută este ca u să fie lipschitzian ă pe Rn (∃ C > 0 astfel încît || u(x) − u(y)|| ≤ C||x − y||, ∀x,
y ∈ Rn). Pentru detalii, vezi, de exemplu, B ARBU [1985].
Definim atunci ac țiunea " *" a grupului (R, +) pe Rn prin: t*p = xp(t), ∀t ∈ R, ∀p ∈ Rn.
Să verificăm că am definit o ac țiune. Avem de ar ătat că (t + s)*p = t*(s*p), ∀s, t ∈ R,
∀p ∈ Rn, adică xp(t + s) = xs*p(t) = ()sxpx (t). Pentru s fixat, func ția z(t) := xp(t + s) este solu ție a
problemei
z'(t) = u(z(t)), z(0) = xp(s).
Dar soluția acestei probleme este unic ă și am notat-o ()sxpx (t). Deci avem egalitatea de
funcții ()sxpx (t) = z(t) = xp(t + s).
Avem și 0*p = xp(0) = p, ∀ p ∈ Rn.
O interpretare a acestei ac țiuni este urm ătoarea: problema (1) define ște, pentru orice
p ∈ Rn, o traiectorie a unui punct material M în Rn care, la momentul t = 0, este în punctul p.
Rezultatul ac țiunii lui t asupra lui p este pozi ția punctului M la momentul t.
d) Izometrii. Acest exemplu este extrem de sugestiv în ilustrarea faptului c ă grupurile sînt
o măsură a simetriei .
Fie (X, d) un spațiu metric. O func ție bijectiv ă Τ : X → X care „păstrează distanțele”, adic ă
∀x, y ∈ X, are loc d(T(x), T(x)) = d(x, y), se nume ște izometrie .
Condiția de bijectivitate este important ă pentru a putea defini grupul izometriilor lui X ,
Izom (X) := {Τ : X → X | Τ izometrie}. Mai general, pentru orice submul țime Y ⊆ X, se

VI.1. Ac țiuni ale grupurilor pe mul țimi
139
definește grupul de simetrie al lui Y, S (Y) := {Τ : X → X | Τ (Y) = Y}.92 Există spații metrice și
aplicații care păstrează distanțele, dar nu sînt izometrii (vezi Exerci țiile). Deci Izom (X) este un
subgrup al grupului tuturor permut ărilor lui X (o permutare este o bijec ție definită pe X cu
valori în X).
Luînd X = R2, cu distan ța euclidian ă, Izom (R2) este un grup care con ține cu siguran ță
translațiile de vector oarecare , simetriile fa ță de o dreapt ă dată și rotațiile în jurul unui punct
dat.
Fie u ∈ R2. Translația de vector u este func ția Tu : R2 → R2, Tu(v) = u + v, ∀v ∈ R2.
Simetria fa ță de dreapta d duce orice punct P ∈ R2 în „simetricul s ău față de dreapta d”
(unicul punct Sd(P) cu proprietatea c ă d este mediatoarea segmentului PSd(P)).
Rotația de unghi α în jurul punctului C duce un punct oarecare P în punctul P' = RC, α(P) cu
proprietatea c ă d(C, P) = d(C, P') și unghiul orientat (în sens trigonometric ) PCP' ;[ are
măsura α.
Observăm că izometria identitate este și rotație (de unghi 0 ) și translație (de vector 0 ). Are
loc următoarea teorem ă important ă:
O izometrie oarecare a planului este o transla ție urmată de o rota ție și eventual de o
simetrie fa ță de o dreapt ă. (pentru demonstra ție, vezi Exerci ții)
Pentru teoria grupurilor este impor tant grupul de simetrie al unui poligon regulat cu n
laturi , numit grupul diedral Dn.
1.7 Propozi ție. Fie O centrul cercului circumscris unui poligon regulat cu n laturi. Grupul
diedral D n are 2n elemente și este generat de rota ția ρ de unghi 2π/n și de simetria σ față de
o axă de simetrie a poligonului (o axă de simetrie a poligonului este o dreapt ă ce unește
centrul cercului circumscris cu un vîrf dac ă n este impar și o mediatoare a unei laturi dac ă n
este par ). Aceste izometrii satisfac rela țiile ρn = σ2 = id și σρ = ρn − 1σ. †
Pentru detalii,vezi Exerci țiile. Iată heptagonul regulat și octogonul regulat, cu cîte o ax ă de
simetrie:

92 Arătați că Izom( X) este grup și S(Y) este subgrup al s ău.

VI. Acțiuni ale grupurilor

140

Proprietăți elementare ale ac țiunilor grupurilor pe mul țimi sînt colectate în:
1.8 Propozi ție. Fie G un grup care ac ționează pe o mulțime X. Atunci au loc afirma țiile:
a) Definind x ~ y ⇔ ∃g ∈ G astfel încît y = gx, se ob ține o rela ție de echivalen ță pe X.
Clasa de echivalen ță a unui element x este orbita lui x, Ox.
b) Pentru orice x ∈ X, Stab(x) este un subgrup al lui G. Notînd cu G /s Stab(x) mulțimea
claselor la stînga ale lui G relativ la Stab(x) (adică {g·Stab(x) | g ∈ G}), aplicația
α : G/s Stab(x) → Ox, α(g·Stab(x)) = gx (∀g ∈ G) este bine definit ă și este o bijec ție. În
particular, avem
| Ox| = [G : Stab (x)]
(cardinalul orbitei lui x este indicele stabilizatorului lui x în G ).
c) Fie S un sistem de reprezentan ți pentru orbitele lui G în X care au cel pu țin 2 elemente.
Altfel spus, orice element din X este sau în Fix G(X), sau în orbita unui unic element din S.
Atunci
X = Fix G(X) ∪ ∪Saa∈O (reuniune disjunct ă)
Trecînd la cardinali, rezult ă relația:
|X| = |Fix G(X)| + () [ ] ∑∈Saa GStab:
Demonstra ție. Exercițiu. †
Se pune problema calcul ării numărului de orbite al unei ac țiuni.
1.9 Defini ție. Pentru orice g ∈ G, notăm cu Fix (g) := {x ∈ X | gx = x} mulțimea acelor
x ∈ X fixați de g. Mai general, dac ă T ⊆ G, punem Fix (T) = {x ∈ X | gx = x, ∀g ∈ T}.
Observăm că Fix(g) = Fix(< g >), unde < g > este subgrupul generat de g.
1.10 Propozi ție. (Lema lui Burnside ) Fie G un grup finit care ac ționează pe o mul țime
finită X. Atunci num ărul k al orbitelor în X sub ac țiunea lui G este „num ărul mediu de puncte
fixate” :
k = ()∑
∈GggGFix1.
Demonstra ție. Consider ăm mulțimea M := {(g, x) ∈ G × X | gx = x}. Calculăm |M|.
Observăm că (g, x) ∈ M ⇔ g ∈ Stab (x); deci M = ∪x∈X Stab (x) × {x} (reuniune disjunct ă).
Astfel,
| M| = ∑x∈X | Stab (x)| = () []∑ ∑
∈ ∈=
Xx x XxG
x GG
O Stab:.
Însă X este reuniunea disjunct ă a celor k orbite în X sub acțiunea lui G (fie acestea T1,…,
Tk); putem scrie în continuare:

VI.1. Ac țiuni ale grupurilor pe mul țimi
141
| M| = Gk GTG Gk
ik
iTx ik
iTx xi i⋅= = = ∑ ∑∑ ∑∑
= =∈ =∈ 1 1 1 O.
Pe de alt ă parte, ∀g ∈ G, (g, x) ∈ M ⇔ x ∈ Fix(g), deci M = ∪g∈G {g} × Fix(g) (reuniune
disjunctă), deci:
| M| = () ∑
∈GggFix .
Comparînd cele dou ă expresii pentru |M|, obținem formula. †
Aplicații
a) „Problema coroanei”. Fie m, n ∈ N. Se consider ă o coroan ă cu m vîrfuri (vîrfurile
coroanei sînt vîrfurile unui poligon regulat cu m laturi ). Se dau perle de n culori, în cantit ăți
suficiente. Cîte modele de coroan ă distincte se pot crea ata șînd perle în fiecare vîrf al
coroanei?
Soluție. În fiecare din cele m vîrfuri putem pune n culori, ceea ce d ă nm posibilități. Dar
acesta nu e r ăspunsul corect: dou ă astfel de configura ții dau coroane identice dac ă se obțin
una din alta printr-o rota ție a coroanei.
Traducem problema în termeni de acțiuni ale grupurilor pe mul țimi.
Se consider ă X mulțimea color ărilor cu n culori a vîrfurilor unui poligon regulat cu m
laturi, de centru O. Consider ăm X = {(c0, …, cm − 1) | ci ∈ {1, 2, …, n}}; ci este "culoarea
vîrfului i". Fie Rm grupul rota țiilor planului (în jurul lui O) de unghiuri multiplu de 2 π/m. Rm
este un grup ciclic cu m elemente, Rm = {r0, r1, …, rm − 1} unde rk este rotația de unghi 2 kπ/m.
G acționează asupra lui X. Cu notațiile de mai sus, avem r−k(c0, …, cm − 1) = (ck, …, cm − 1 + k)
(indicii se consider ă modulo m, adică ct = ci, ∀t ∈ Z, unde i este restul împ ărțirii lui t la m).
Două colorări dau aceea și coroană dacă și numai dac ă sînt în aceea și orbită a acestei
acțiuni. Deci num ărul orbitelor lui Rm în X este num ărul cerut.
Pentru a g ăsi numărul de orbite, aplic ăm lema lui Burnside. Fie rk ∈ Rm; calculăm |Fix (rk)|.
Fie d = (k,m); atunci < rk > = < rd > (demonstra ți!). Cum Fix (rk) = Fix(< rk >) = Fix(< rd >) =
Fix(rd), calculăm |Fix (rd)|. Dacă (c0, …, cm − 1) este o colorare invariat ă de rd, atunci
c0 = cd = c2d = … = cid, ∀i ∈ Z; în general, fixarea unei culori a unui vîrf determin ă culorile a
m/d vîrfuri. Astfel, putem alege d vîrfuri distincte pe care s ă le colorăm arbitrar (de ex.
c0, …, cd − 1), culorile celelalte fiind determinate de faptul c ă (c0, …, cm − 1) este o colorare
invariată de rd. Sînt nd = n(k, m) posibilit ăți de colorare, deci |Fix (rk)| = n(k, m). Formula lui
Burnside d ă numărul de orbite:
()∑=m
kmknm1, 1
Propunem cititorului s ă trateze direct (fără a folosi formula de mai sus ) cazul m = 5, n = 3.
b) „Problema colierului”. Fie m, n ∈ N. Cîte coliere distincte formate din m perle de n
culori se pot fabrica? Se presupune c ă există suficiente perle de fiecare culoare.
Indicație. Aici acționează grupul diedral Dm (al simetriilor unui poligon regulat cu m laturi )
asupra mul țimii X a colorărilor (colierul poate fi și „întors”, spre deosebire de coroan ă). Dm

VI. Acțiuni ale grupurilor

142
are ca subgrup grupul Rm al rotațiilor, dar con ține și reflecții față d e d r e p t e c a r e t r e c p r i n
centrul O. Se disting cazurile m par și m impar.
c) În cîte moduri se poate scrie 1000 ca un produs de trei numere naturale (la un produs dat
nu conteaz ă ordinea factorilor )?
Exerciții
1. Fie (G, ·) un grup și (Gop, *) grupul opus lui G, adică mulțimea G înzestrat ă cu opera ția
x*y := y·x, ∀x, y ∈ G. Arătați că (Gop, *) este grup și că a da o ac țiune la stînga a lui G pe o
mulțime X este echivalent cu a da o ac țiune la dreapta a lui Gop pe X.
2. Fie M mulțimea șirurilor reale m ărginite. Ar ătați că M este un spa țiu liniar normat în raport
cu norma || (xn)n ≥ 1|| = sup{ | xn| | n ≥ 1}. Dați exemplu de func ție ϕ : M → M care păstrează
norma (deci și distanțele), dar care nu este bijec ție.
3. Fie T o izometrie a planului. Demonstra ți că:
a) T duce dreapta AB în dreapta T(A)T(B).
b) Dacă T are trei puncte necoliniare fixe, atunci T este identitatea. Deduce ți că o izometrie
este determiunat ă de imaginile a trei puncte necoliniare.
c) Dacă T are două puncte fixe A și B și T ≠ id, atunci T este simetria fa ță de dreapta AB.
d) Dacă T are exact un punct fix O, atunci T este o rota ție în jurul lui O.
4. Două figuri plane (submulțimi ale planului ) X și Y se numesc congruente dacă există o
izometrie T a planului astfel încît Y = T(X). Arătați că, dacă X și Y sînt congruente, atunci
grupurile lor de simetrie sînt izomorfe. Reciproca este adev ărată?
5. Fie X un spațiu metric și Y ⊆ X, |Y| = n. Atunci grupul de simetrie S(Y) este izomorf cu un
subgrup al grupului simetric Sn (grupul permut ărilor de n obiecte ).
6. Fie O centrul cercului circumscris unui poligon regulat cu n laturi A0A1…An − 1 și ϕ o
izometrie din grupul s ău de simetrie Dn. Demonstra ți că:
a) ∀i, 0 ≤ i ≤ n − 1, are loc ϕ(O) = O și ϕ(Ai) ∈ {A0, A1,…, An − 1}. Deduce ți că Dn este un
subgrup în Sn.
b) ϕ este determinat de imaginile a dou ă vîrfuri consecutive. În plus, dac ă ϕ(A0) = Ai,
atunci ϕ(A1) este unul din vîrfurile adiacente cu Ai.
c) Deduce ți că Dn are cel mult 2 n elemente.
d) Fie ρ rotația de unghi 2 π/n în jurul lui O și σ simetria fa ță de o axă de simetrie a
poligonului. Atunci elementele : id, ρ, ρ 2, …, ρ n − 1, σ, ρσ, ρ 2σ, …, ρ n − 1σ sînt distincte.
e) Scrieți tabla opera ției grupului Dn.

143 Index
A
acțiune a unui grup, 136, 137
alfabet, 123
algebra
factor, 71
algebră, 69
algebric (element), 82
algoritm de distan ță minimă, 125
algoritm de factorizare, 114 algoritmul de semn ătură ElGamal, 89
algoritmul extins al lui Euclid, 102
algoritmul lui Euclid, 101 Algoritmul lui Euclid, 101 apartenen ță, 11
aplicație, 21
crescătoare, 36
argument, 21 asociere în divizibilitate, 97
axioma
alegerii, 38 extensionalit ății, 15
fundării, 38
inducției, 27
infinității, 28
mulțimii părților, 16
reuniunii, 16
axioma-schem ă a substitu ției, 16
axiome, 15 axiomele Dedekind-Peano, 27 B
bilă, 65
bine ordonat ă (mulțime), 92
C
canal de transmisie, 123
canal q-ar simetric de probabilitate p, 123
capacitatea de corec ție a unui cod, 125
caracteristica unui inel, 90 cardinal, 39
cel mai mare divizor comun, 98
cel mai mic multiplu comun, 98 centrul unui inel, 69 cît, 101
clasa
ordinalelor, 29
clasă, 19
bine ordonat ă, 30
clasă de echivalen ță, 43
cmmdc, 98 cmmmc, 98 cod, 124
Hamming, 128
perfect, 131
cod liniar, 126 codomeniul unei func ții, 21
coduri
diagonal echivalente, 129 echivalente pîn ă la o permutare, 129
coeficient al unui polinom, 78

144
coeficientul dominant, 78
comaximale, 57 compunerea a dou ă relații, 23
conectori, 11
conjugare, 138 conjuncția, 11
constantă, 11
corp
algebric închis, 84
corpul frac țiilor raționale, 49, 51, 91
corpul total de frac ții, 49
cuantificatori, 11
cuantori, 11 cuplu, 20 cuvînt cod, 124
D
definiții prin recuren ță, 33
derivată (formală), 111
diferență, 18
dimensiunea unui cod liniar, 126 disjuncția, 11
distanța Hamming, 124
distanța minimă a unui cod, 125
distanță, 65
divizor al lui zero, 48 domeniu de integritate, 96
domeniul unei func ții, 21
E
egalitate, 11
element
întreg, 118
enunț, 11
exponentul unui grup, 90
expresie, 11
expresii echivalente, 13 extensiune, 18 extindere de corpuri, 80
F
familie de mul țimi, 22
figuri congruente, 142 formă, 78
fracție, 48
fracție rațională
simetrică, 91
funcția identică, 21
funcția polinomial ă, 117
funcție, 21
bijectivă, 23
identitate, 24 injectivă, 23
inversabil ă, 23
surjectivă, 23
G
GCD-inel, 98
G-mulțime, 136
grad, 77
al unui element, 84
total, 78
graficul
unei funcții, 22
grup
al izometriilor, 138
de simetrie, 139
grupul diedral, 139
I
ideal
al unei R-algebre, 71
maximal, 54
prim, 54
Identitățile lui Newton, 94, 95
imagine, 22

145
imagine printr-o rela ție funcțională, 17
inducție
transfinită, 33
inel
euclidian, 101 factorial, 105 integru, 96
principal, 102
infimum, 26 intersecție, 18
a unei familii, 23
inversa
unei relații, 23
inversa unei func ții, 23
ireductibil, 100
izometrie, 138
izomorfism
de ordine, 36
L
lanț, 25
latice, 26
completă, 26
lema chinez ă a resturilor, 57
Lema lui Zorn, 39 lexicografic ă (ordine), 93
liber de p ătrate, 115
localizatul, 50
lungimea unui cod, 124
M
majorant, 25
majorată (submulțime), 25
maximal (element), 26 metrică, 65
minorant, 25
minorată (submulțime), 25
model, 37 modul (func ția), 51
monom, 75
dominant, 93
morfism
de algebre, 70 de ordine, 36
morfism structural (al unei algebre), 70
mulțime, 9
bine ordonat ă, 26
finită, 39
inductiv ordonat ă, 39
infinită, 39
numărabilă, 39
ordonată, 25
total ordonat ă, 25
mulțime cît, 43
mulțime factor, 43
mulțimea vidă, 17
mulțimi
cardinal echivalente, 39
echipotente, 39
N
negația, 11
normă, 65
noțiuni primare, 15
numărător, 48
nume constant, 11
nume variabil, 11 numitor, 48
O
orbită, 137
ordin de multiplicitate, 110 ordinal, 28, 36
finit, 31
infinit, 31 limită, 40

146
predecesor, 31
succesor, 31
ordine
lexicografic ă, 60
P
parametrii (unui cod), 126
partiție
a unei mul țimi, 43
pereche ordonat ă, 20
polinom
omogen, 78
reciproc, 113 simetric elementar, 92 simetric fundamental, 92
polinom matricial, 120
polinom minimal, 82 polinom simetric, 91 polinom unitar, 82
polinomul
de interpolare Lagrange, 117
polinomul minimal
al unui endomorfism, 122
pondere a unui cuvînt, 127
predicat, 12 prim, 100 prime între ele (elemente), 98
primul element, 26
Principiul bunei ordon ări, 39
produs cartezian, 21 propoziție, 12
proprietatea de universalitate
a algebrei monoidale, 76 a inelului de frac ții, 49
a inelului de polinoame, 76
punct fix, 137 R
rata unui cod, 124
rădăcină
multiplă, 110
simplă, 110
relativ prime (elemente), 98 relație
antisimetric ă, 25
de bună ordine, 26
de echivalen ță, 25
de ordine, 25
de ordine strict ă, 25
de ordine total ă, 25
de preordine, 25 ireflexivă, 25
reflexivă, 24
simetrică, 25
tranzitivă, 25
relație (clasă), 22
relație binară, 21
relație funcțională, 16
reprezentarea unui num ăr într-o baz ă, 41
rest, 101
reuniune
a unei familii, 23 disjunctă, 23
S
schema de comprehensiune, 17
segment ini țial, 29
sferă, 65
simbol, 11
sistem de reprezentan ți, 44
spațiu metric, 65
complet, 65
stabilizator, 137
subalgebra generat ă, 70
subalgebr ă, 70

147
submulțime, 16
suport, 71 supremum, 26
Ș
șir, 34
șir Cauchy, 61
șir fundamental, 61
T
tare rezistent ă la coliziuni, 89
tăietură, 67
teorema împ ărțirii cu rest, 101
teorema perechii, 19 term, 75
tip de ordine, 36
transcendent, 82 U
UFD, 105
ultimul element, 26
V
valoare de adev ăr, 12
valoarea absolut ă, 51
valuarea p-adică, 66
variabilă, 11
variabilă legată, 12
variabilă liberă, 12
Z
Zermelo, 9
ZFS, 15

148
Bibliografie
1. ALBU, T., ION, I.D. [1984] Capitole de teoria algebric ă a numerelor, Ed. Academiei
R.S.R., Bucure ști.
2. ALBU, T., ION, I.D. [1997] Itinerar elementar în algebra superioar ă, Ed. All, Bucure ști.
3. ALBU, T., MANOLACHE , N. [1987] 19 Lecții de teoria grupurilor, Ed. Universit ății Bucu-
rești, Bucure ști.
4. ALBU, T., RAIANU , Ș. [1984] Lecții de algebr ă comutativ ă, Ed. Universit ății Bucure ști,
București.
5. ANDERSON , F.W., FULLER , K.R. [1974] Rings and categories of modules,
Springer-Verlag, New York.
6. AYAD, M. [1997] Théorie de Galois. 122 exercices corrigés , Ellipses, Paris.
7. BARBU , V. [1985] Ecuații diferențiale, Ed. Junimea, Ia și.
8. BECHEANU , M. et al. [1983], Algebră pentru perfec ționarea profesorilor, Ed. didactic ă
și pedagogic ă, București.
9. BOREVICI , Z.I, ȘAFAREVICI , I.R. [1985], Teoria numerelor, Ed. Științifică și Enciclope-
dică, București.
10. BOURBAKI , N. [1958] Eléments de mathématique , Fasc. VII, Livre II: Algèbre , Chapitre
3, Algèbre multilinéaire , Hermann, Paris.
11. BOURBAKI , N. [1967] Eléments de mathématique , Fasc. VI, Livre II: Algèbre , Chapitre
2, Algèbre linéaire , Hermann, Paris.
12. BOURBAKI , N. [1981] Algèbre , Chapitres 4 à 7, Masson, Paris.
13. BOURBAKI , N. [1985] Eléments de mathématique : Algèbre commutative , Chapitres 1 à 4,
Masson, Paris.
14. ESCOFIER , J.P. [1997] Théorie de Galois , Masson, Paris.
15. FRIED, M., JARDEN , M. [1986], Field Arithmetic , Springer Verlag, Berlin.
16. FREUDENTHAL , H. [1973], Limbajul logicii matematice, Ed. Tehnic ă, București.
17. GEDDES , K., C ZAPOR , S., LABAHN , G. [1992], Algorithms for Computer Algebra , Kluwer
Academic Publishers.
18. GOZARD , I. [1997] Théorie de Galois , Ellipses, Paris.
19. HALL, M. [1959] The Theory of Groups , Macmillan, New York.
20. HUNGERORD , T.W. [1974], Algebra, Springer-Verlag, New York.

149
21. ION, I.D., NĂSTĂSESCU , C., NIȚĂ, C. [1984] Complemente de algebr ă, Ed. Științifică și
enciclopedic ă, București.
22. ION, I.D., RADU, N. [1981a] Algebra , Ed. Didactic ă și pedagogic ă, București.
23. ION, I.D., RADU, N., NIȚĂ, C., POPESCU , D. [1981b] Probleme de algebr ă, Ed. Didactic ă
și pedagogic ă, București.
24. JACOBSON , N. [1964], Lectures in Abstract Algebra III. Theory of Fields and Galois
Theory , Springer-Verlag, New York.
25. JACOBSON , N. [1974], Basic Algebra I , W.H. Freeman and Co., San Francisco.
26. KAPLANSKY , I. [1973], Fields and Rings , The University of Chicago Press, Chicago.
27. KOSTRIKIN , A.I, SHAFAREVICH , I.R. (Eds.) [1990] Algebra I. Basic Notions of Algebra
(I.R. S HAFAREVICH ), Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 11, Springer Verlag.
28. LAFON , J.P. [1977] Algèbre commutative. Langages géometrique et algébrique , Her-
mann, Paris.
29. LINT, J.H. VAN [1982], Introduction to Coding Theory , Springer-Verla g, New York.
30. MACCARTHY , P.J. [1966], Algebraic Extensions of Fields , Blaisdell Publishing,
Waltham, Massachusets.
31. MANIN , YU. I. [1977], A Course in Mathematical Logic , Springer Verlag, New York.
32. MARINESCU , GH. [1983], Analiză matematic ă, vol. I , Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
33. MORANDI , P. [1996] Field and Galois Theory , Springer-Verlag, New York.
34. NĂSTĂSESCU , C. [1974] Introducere în teoria mul țimilor , Ed. Didactic ă și pedagogic ă,
București.
35. NĂSTĂSESCU , C. [1976] Inele. Module. Categorii , Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
36. NĂSTĂSESCU , C., NIȚĂ, C. [1979] Teoria calitativ ă a ecuațiilor algebrice , Ed. Tehnic ă,
București.
37. NĂSTĂSESCU , C., NIȚĂ, C., VRACIU , C. [1986] Bazele Algebrei, vol. I , Ed. Academiei
R.S.R., Bucure ști.
38. NĂSTĂSESCU , C. [1983] Teoria dimensiunii în algebra necomutativ ă, Ed. Academiei
R.S.R., Bucure ști.
39. NEUKIRCH , J. [1986] Class Field Theory , Springer-Verlag, Berlin.
40. NIȚĂ, C., SPIRCU , T. [1974] Probleme de structuri algebrice , Ed. Tehnic ă, București.
41. PARENT , D.P. [1978] Exercices en théorie des nombres, Gauthier-Villars, Paris.
42. POPESCU , N. [1971] Categorii abeliene , Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
43. PURDEA , I. [1982] Tratat de algebr ă modernă, vol II, Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
44. RADU, GH. [1988] Algebra categoriilor și functorilor , Ed. Junimea, Ia și.
45. RADU, N. [1968] Inele locale, vol. I, Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
46. REGHIȘ, M. [1981] Elemente de teoria mul țimilor și logică matematic ă, Ed. Facla, Timi-
șoara.
47. SAMUEL , P. [1963] Anneaux factoriels , Sociedade de Matemática de São Paulo.

150
48. SAMUEL , P. [1968] Théorie algébrique des nombres , Hermann, Paris.
49. SCORPAN , A. [1996] Introducere în teoria axiomatic ă a mulțimilor , Ed. Universit ății
București, Bucure ști.
50. SIREȚCHI, GH. [1978] Analiză matematic ă, vol. I , ed IV., Tipografia Univ. Bucure ști.
51. SHPARLINSKI , I., [2003] Cryptographic applications of analytic number theory.
Complexity lower bounds and pseudorandomness , Progress in Computer Science and
Applied Logic, 22. Birkhäuser Verlag, Basel.
52. SPINDLER , K. [1994] Abstract Algebra with Applications , vol. I, II, M. Dekker, New
York.
53. ȘTEFĂNESCU , M., [1993] Introducere în teoria grupurilor, Ed. Universit ății „Al. I.
Cuza”, Ia și.
54. TEODEORESCU , P.P., NICOROVICI -PORUMBARU , N. [1985], Aplicații ale teoriei grupuri-
lor în mecanic ă și fizică, Ed. Tehnic ă, București.
55. TIGNOL , J.-P. [1987] Galois' Theory of Algebraic Equations, Longman Scientifical and
Technical.
56. WINKLER , F. [1996], Polynomial Algorithms in Computer Algebra, Springer Verlag
Wien-NewYork.
57. VAN DER WAERDEN , B.L. [1967], Algebra II (Fünfte auflage der Modernen Algebra )
Springer-Verlag, Berlin.
58. VAN DER WAERDEN , B.L. [1971], Algebra I (Achte auflage der Modernen Algebra )
Springer-Verlag, Berlin.
59. VAN DER WAERDEN , B.L. [1985], A History of Algebra, Springer-Verlag, Berlin.
60. WALKER , R.J. [1950] Algebraic Curves , Dover Publications, New York.