Atunci când mișcarea mecanică se raportează la un sistem de referință fix poartă denumirea de mișcare absolută, iar atunci când se raportează la un… [304892]
INTRODUCERE
1.1. [anonimizat]. Având în vedere că în univers nu există corpuri (repere) fixe, se prezumă că mișcarea mecanică este relativă.
Repausul este definit ca fiind starea unui corp sau a unor sisteme de corpuri a [anonimizat], rămân neschimbate. [anonimizat], [anonimizat].
Găsirea unor sisteme de referință s-a dovedit foarte dificilă. De exemplu: sistemul geocentric propus de Ptolemeu considera că Pământul este fix; sistemul heliocentric propus de Copernic propunea Soarele ca element fix. Ceva mai târziu a [anonimizat] – [anonimizat], având axele orientate către stele extrem de îndepărtate; în raport cu care legile mecanicii se verifică experimental.
Newton a [anonimizat] „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (publicată în 1686) a [anonimizat], cea care studiază mișcarea corpurilor materiale macroscopice cu viteze mici în comparație cu viteza luminii.
[anonimizat]; [anonimizat].
Spațiul este o reprezentare generalizată a [anonimizat] a pozițiile lor reciproce și de distanțele dintre ele. [anonimizat], continuu, omogen (diferite porțiuni ale sale nu se deosebesc între ele) și izotrop (proprietățile după diferitele direcții care pleacă din același punct nu se deosebesc între ele).
Timpul este o dimensiune a materiei, o formă obiectivă de existență. [anonimizat], timpul real existent. [anonimizat], continuu, omogen și ireversibil ([anonimizat]).
Masa este considerată o [anonimizat], [anonimizat]: inerția și câmpul atracției universale (sau câmpul gravitațional).
Inerția este proprietatea materiei de a-și conserva starea de mișcare mecanică pe care o are la un moment dat.
Câmpul atracției universale se formează între două corpuri materiale și se manifestă prin forța gravitației universale care.
1.2. Sisteme și unități de măsură
Datorită faptului că între mărimile fizice există o [anonimizat] a [anonimizat] –, [anonimizat]..
În România se utilizează:
Sistemul internațional de unități de măsură [SI] care are 7 unități fundamentale:
metrul (m), pentru lungime;
kilogramul (kg), pentru masă;
secunda (s), pentru timp;
amperul (A), pentru intensitatea curentului electric;
kelvinul (K), pentru temperatura termodinamică;
candela (cd), pentru intensitatea luminoasă;
molul (mol), pentru cantitatea de substanță.
Unitățile de măsură fundamentale utilizate în mecanică sunt: metrul, kilogramul și secunda.
Metrul este lungimea egală cu 1 650 763, 73 lungimi de undă în vid ale radiației care corespunde tranziției atomului de kripton 86 între nivelele sale 2p10 și d5.
Kilogramul este masa prototipului internațional de platină iradiată adoptat în anul 1889 de Conferința Generală de Măsuri și Greutăți și păstrat la Sèvre în Franța.
Principalele unități de măsură derivate, utilizate în mecanică sunt:
Pentru forță: Newtonul (N), reprezentând forța care imprimă unei mase de 1 kg, o accelerație de 1 m/s2.;
Pentru lucru mecanic: Joule-ul (J), reprezentând lucrul mecanic efectuat de o forță de 1 N care se deplasează cu 1 m pe propriul său suport;
Pentru putere: Wattul (W), reprezentând lucrul mecanic de 1 J efectuat într-o secundă;
Pentru presiune: Pascalul (Pa), reprezentând presiunea exercitată de 1 N pe 1 m2.
Având în vedere că mărimile fundamentale utilizate în mecanică sunt lungimea (L), masa (M) și timpul (T), mărimile derivate se deduc din acestea folosind ecuația de dimensiuni:
(1.2)
unde , , sunt numere pozitive, negative, întregi, fracționare sau nule.
Principalele mărimi utilizate în mecanică sunt date în Tabelul 1.1
Tabel 1.
NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL. OPERAȚII CU VECTORI
2.1. Noțiuni de calcul vectorial
Mărimile fizice pot fi:
mărimi scalare (scalari), complet determinate prin valoarea lor numerică, urmată de unitatea de măsură.
Exemple: distanta între două puncte, intervalul de timp, temperatura, energia, etc.
mărimi vectoriale (vectori), sunt complet determinate prin valoarea lor numerică, prin direcția și sensul lor. Spre deosebire de scalari, vectorii sunt mărimi orientate (dirijate).
Un vector reprezentat printr-un segment de dreaptă orientat se numește vector liber.
Exemple: deplasarea și viteza unui corp în mișcare de translație.
Atunci când se impune și precizarea punctului de aplicație, vectorul va purta denumirea de vector aplicat sau legat.
Exemplu: forța care acționează asupra unui punct material.
Dacă se consideră necesară și precizarea suportului, atunci vectorul va purta denumirea de vector alunecător sau glisant.
Exemplu: forța care acționează asupra unui rigid.
Vectorii liberi
Vectorii liberi se notează fie printr-o literă având deasupra ei o bară, fie prin două litere având fiecare dintre ele câte o bară deasupra. În cel de al doilea caz, prima literă va arăta originea vectorului, iar a doua literă extremitatea sa.
Exemplu: , , .
În concluzie, vectorul este de fapt un segment orientat caracterizat prin patru elemente (fig. 2.1):
origine sau punct de aplicație A;
direcție sau dreaptă suport ,;
sens;
modul v (mărime, intensitate, urmă).
Fig. 2. . Elementele unui vector
Versorul este vectorul de modul unitar și este dat de relația 2.1:
(2.1)
Componentele pe axele , și ale versorului sunt definite conform relației 2.2 astfel:
; ; . (2.2)
Un vector oarecare poate fi scris în funcție de componentele pe axe ale versorului său, astfel:
(2.3)
unde:
; ; (2.4)
2.2. Operații cu vectori
1. Adunarea a doi vectori
Se presupune există doi vectori, și , care au același punct de origine O. Suma (rezultanta) celor doi vectori este vectorul , care va fi definit ca valoare numerică, direcție și sens de diagonala OC a paralelogramului format din cei doi vectori și ca laturi (fig.2.2.a).
(2.5)
Se constată că modulul vectorului este:
(2.6)
Fig. 2.. Regula paralelogramului
Expresia analitică. Dacă considerăm că vectorii și definesc planul Oxy, atunci și vectorul rezultant va fi situat în același plan. Dacă se face proiecția celor trei vectori în sistemul de axe menționat, se constatpăââă că (fig.2.2.b):
(2.7)
Conform relației (2.5) putem scrie:
(2.8)
Rezultă componentele pe axe ale vectorului rezultant :
(2.9)
Vectorul rezultant va fi:
(2.10)
Direcția este dată de unghiul format între suportul vectorului rezultant și axa Ox:
(2.11)
Dacă se extinde Regula paralelogramului pentru compunerea unui număr oarecare de vectori concurenți , ,…., va rezulta o construcție grafică denumită regula poligonului vectorilor, cu laturi reprezentând vectorii din sistem.
O latură Vi a poligonului se obține prin construirea unui vector echipolent cu vectorul având ca origine, extremitatea vectorului și ca extremitate, originea vectorului .
Rezultanta sistemului de vectori este suma vectorială a vectorilor ,
(2.12)
Construcția grafică va fi segmentul de dreaptă care unește originea vectorului , cu extremitatea vectorului (fig. 2.2a).
În cazul particular de compunere a doi vectori concurenți, regula poligonului, are denumirea de Regula triunghiului (fig.2.2b).
Expresia analitică. Datorită faptului că suporturile vectorilor sunt orientate în spațiu, componentele pe axe ale vectorilor vor fi exprimate într-un sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz. (fig.2.2c). Notând proiecțiile pe axe ale vectorului cu Vix, Viy, Viz și ale vectorului rezultant , cu Vx, Vy, Vz, conform relației (2.12) se va putea scrie:
(2.13)
Fig. 2. Adunarea vectorilor
Analog, se procedează și cu valorile componentelor pe axe ale vectorului rezultant:
, , (2.14)
Rezultă mărimea vectorului rezultant, care este:
(2.15)
Direcția este exprimată prin cosinusurile directoare:
, , . (2.16)
2. Produsul scalar a doi vectori
Se presupune că avem doi vectori și . Produsul acestora este, conform definiției, un scalar obținut din multiplicarea modulelor celor doi vectori cu cosinusul unghiului dintre ei:
(2.17)
Dacă vectorul este definit prin componentele și vectorul este definit prin componentele , produsul scalar dintre cei doi vectori va fi dat (2.17):
(2.18)
Se observă că:
;
Din definiție rezultă următoarele o proprietăți ale produsului scalar:
este comutativ;
(2.19)
pentru doi vectori și diferiți de zero condiția de orgonalitate este:
(2.20)
cu ajutorul produsului scalar se poate scrie proiecția unui vector pe o axa . Fiind dată o axă () orientată de versorul și un vector , proiecția acestui vector și versorul axei (fig. 2.4):
(2.21)
este distributiv față de adunare
(2.22)
Produsul vectorial a doi vectori liberi
Se presupune că avem doi vectori și . Produsul vectorial este, conform definiției, un vector normal pe planul definit de cei doi vectori, presupuși aplicați în același punct O, având ca valoare numerică aria paralelogramului construit cu ajutorul celor doi vectori, iar sensul astfel încât vectorii ,, să formeze în această ordine un triedru drept (fig. 2.5).
; (2.23)
Produsul vectorial este egal cu aria paralelogramului determinat de cei doi vectori (fig.2.6).
(2.24)
unde:
Atr – reprezintă aria triunghiului determinat de cei doi vectori;
Apar – reprezintă aria paralelogramului determinat de cei doi vectori
Conform definiției, proprietățile produsului vectorial sunt:
Anticomutativitatea, adică:
(2.25)
vectori sunt coliniari dacă și sunt diferiți de zero, iar produsul lor vectorial este egal cu zero:
; și (condiția de coliniaritate) (2.26)
Distributivitatea față de adunare:
(2.27)
Dacă vectorul este definit prin componentele și vectorul este definit prin componentele rezultă că produsul vectorial dintre vectorii și va fi (2.28.):
(2.28)
din dezvoltarea acestuia rezultă componentele pe cele trei axe ale vectorului :
(2.29)
Se observă că:
;
Produsul mixt a trei vectori
Se presupune că avem trei vector, , și . Produsul mixt va fi mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector și produsul vectorial al celorlalți doi.
(2.30)
Analizând din punct de vedere geometric produsul mixt, se constată că reprezintă volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori (fig.2.7)
Fig. 2.. Interpretarea geometrică a produsului mixt a trei vectori
(2.31)
unde V reprezintă volumul paralelipipedului.
Expresia analitică a produsului mixt a trei vectori este dată de relația 2.32.
(2.32)
Dublu produs vectorial a trei vectori liberi
Se consideră trei vectori liberi , și . Produsul vectorial este reprezentat de vectorul egal cu produsul vectorial dintre vectorul și produsul vectorial . Vom scrie:
(2.33)
Din definiția de mai sus se deduce faptul că dublul produs vectorial este un vector situat în planul vectorilor și , existând relația:
(2.34)
Fiind dați trei vectori , și subzistă identitatea:
. (2.35)
Descompunerea unui vector după trei direcții
Notând cu , și unghiurile pe care un vector le face cu axele , și (fig.2.8) ale unui triedru ortogonal , proiecțiile sale sunt:
; ; . (2.36)
Prin urmare, vectorul se poate scrie sub forma:
(2.37)
în care , și sunt versorii axelor , și .
; ; (2.38)
unde , , sunt proiecțiile pe aceste axe ale unui vector .
Modulul rezultantei va fi , iar direcția și sensul ei vor fi date prin cosinusurile directoare:
, , .
STATICA PUNCTULUI. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI
3.1. Statica punctului
3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la legături
Se spune despre un punct material că este liber atunci când el poate ocupa orice poziție în spațiu, nefiind stânjenit de nici o obligație geometrică; pozițiile ocupate de punctul material sunt determinate numai de forțele care acționează asupra lui. În general, poziția punctului se definește prin trei parametrii scalari, independenți între ei, spre exemplu coordonatele carteziene x, y, z ale punctului. Prin urmare, punctul material liber are trei grade de libertate.
Dacă un punct material este obligat geometric să ocupe numai anumite poziții în spațiu, se spune că este supus la legături. De exemplu, punctul material poate fi obligat să rămână pe o suprafață, pe o curbă sau într-un punct fix în spațiu.
Un punct material obligat să rămână pe o suprafață are două grade de libertate, deoarece, așa cum este cunoscut din geometria diferențială, sunt necesari doi parametri pentru a-i defini poziția: coordonatele sale curbilinii; un punct material obligat să rămână pe o curbă are un singur grad de libertate, iar un punct material obligat să rămână într-un punct fix din spațiu nu are nici un grad de libertate.
3.1.2. Echilibrul punctului material liber
Pentru ca un punct material liber aflat în repaus (sau în mișcare rectilinie uniformă) să-și păstreze această stare mecanică atunci când un sistem de forțe concurente acționează asupra lui, adică să rămână în echilibru, este necesară și suficientă condiția ca rezultanta dintre forțele concurente să fie nulă.
Condiția de mai sus se deduce din aplicarea principiilor inerției și acțiunii forței; condiția de echilibru se scrie sub forma ecuației vectoriale:
(3.1)
Sub formă scalară, ecuațiile de echilibru se scriu:
în spațiu:
; ; (3.2)
în plan:
; (3.3)
Din punct de vedere grafic, condiția de echilibru este satisfăcută doar dacă poligonul forțelor se închide. Problemele de echilibru ale punctului material tratează două variante, și anume:
fie se dau forțele care acționează asupra unui punct și se cere poziția acestuia;
fie se dă poziția punctului și se cer forțele care îl acționează.
3.1.3. Probleme rezolvate
Problema 3.1.: Punctul material M este acționat de forțele: , , , coplanare (fig. 3.1). Cunoscându-se unghiurile: și , se cere să se determine rezultanta acestor forțe (modul și direcția).
Rezolvare
Se cunoaște că:
Considerând sistemul de referință din figură, proiecțiile rezultatei sunt:
Modulul rezultatei (fig. 3.1.a) este:
iar unghiul φ este:
Problema 3.1.2.
Se consideră un punct material M solicitat de trei forțe: , , , ca în figura 3.2. Să se determine o forță astfel încât rezultanta forțelor să fie nulă.
Rezolvare
Se consideră forța cerută de forma:
unde , reprezintă proiecțiile pe axele Mx și My ale forței cerute.
Proiecțiile forțelor , , sunt:
,
Punând condiția ca rezultata celor patru forțe să fie nulă:
,
Deci,
și
Problema 3.1.3.
Punctul material M este acționat de sistemul de forțe concurente din fig. 3.3 cu modulele forțelor , , , . Poziția în spațiu a forțelor este precizată cu ajutorul unui paralelipiped de muchii , , .
Să se determine rezultata (modul și direcție).
Rezolvare
Se cunosc modulele forțelor ,, , , și direcțiile lor , , , , . Se scriu vectorii forțelor folosind versorii ,, , ,.
,
,
Rezultanta este:
, .
Direcția rezultantei este dată de cosinusurile directoare:
; ;
Problema 3.1.4.
Un punct material M de greutate neglijabilă, este atras în plan vertical de punctele ; și . Forțele de atracție sunt proporționale cu distanțele de la M la A, B și C, cu coeficienții de proporționalitate k1, k2, k3. Se cere să se afle poziția de echilibru a lui M față de sistemul de referință dat.
Rezolvare
Se notează forțele de atracție ,, , corespunzătoare punctelor A, B, C și se consideră punctul cu x, y necunoscute.
Condiția de echilibru este:
Rezultă:
,
Coordonatele punctului M aflat în echilibru sunt:
și
3.2. Punctul material supus la legături
3.2.1. Axioma legăturilor. Legăturile punctului material
Dacă se consideră un punct material aflat în echilibru pe o suprafață (S) asupra căruia acționează forțele exterioare a căror rezultantă este (fig.3.5), atunci se observă că în acest punct nu se mai poate aplica aceeași ecuație de echilibru () ca în cazul punctului material liber.
Aceasta este o consecință a existenței legăturilor, care exercită asupra punctului respectiv anumite constrângeri mecanice reprezentate prin forța de legătură (reacțiunea). Pentru rezolvarea problemei punctului material supus la legături este necesar a fi folosită axioma legăturilor.
Conform acestei axiome, orice legătură poate fi suprimată și înlocuită cu elemente mecanice (forțe, momente) corespunzătoare. Ca urmare corpul considerat este liber și, în consecință, echilibrul său se studiază cu ecuațiile stabilite pentru corpul liber.
Pentru punctul material legătura va fi înlocuită cu reacțiune . Condiția necesară și suficientă ca un punct material supus la legături să fie în echilibru este ca rezultanta forțelor direct aplicate și a forței de legătură să fie nulă, adică:
(3.4)
Sau proiectat pe axe:
; ; . (3.5)
Analizând relația (3.4), se constată că rezultanta a forțelor direct aplicate și rezultanta a forțelor de legătură trebuie să fie egale și de semn contrar. Legăturile punctului sunt rezemarea pe o suprafață, rezemarea pe o curbă (în spațiu și în plan) și prinderea cu fire, care poate fi considerată echivalentă cu o legătură unilaterală pe o sferă a cărei rază este tocmai lungimea firului respectiv.
Legăturile punctului pot fi:
legături cu frecare (aspre), atunci când suprafața sau curba de reazem aparține unor corpuri reale și care se opun mișcării punctului material, apărând astfel forțe de frecare;
legături fără frecare (lucii, ideale), atunci când se presupune că suprafața sau curba sunt corpuri ideale, perfect lucioase, neexistând deci forțe de frecare.
În realitate astfel de legături nu există dar, dar atunci când forța de frecare este mică și neglijabilă (suprafețe lucii), forțele de frecare pot fi aproximate la zero.
3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legături fără frecare
În legături ideale, fără frecare, . Așa cum am specificat și mai sus, aceste tipuri de legături nu există în realitate, dar sunt întâlnibile suprafețe la care forța de frecare poate fi neglijată într-o primă aproximație. În cazul acestor legături , cu alte cuvinte reacțiunea este normală. Dacă se analizează o suprafață, reacțiunea are direcția normalei la suprafață, iar dacă se analizează o curbă, reacțiunea va avea o direcție oarecare în planul normal la curbă.
Condiția de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală va fi:
(3.6)
Proiectată pe axe, ea va arăta astfel:
; ; . (3.7)
Considerând că în punctul curent parametri directori ai normalei la o suprafață sunt dați de:
(3.8)
Și sunt , atunci ecuațiile (3.6) și (3.7) se pot scrie:
(3.9)
Analog, în cazul unui punct material M rezemat pe o curbă (C) (fig. 3.6) acționează forțele și care, în cazul echilibrului, sunt egale și opuse. Rezultanta a forțelor direct aplicate se descompune în componenta tangențială dirijată după tangenta la curbă în M și în componenta normală dirijată după dreapta ce rezultă din intersecția planului (), normal la curba C în M cu planul determinat de tangenta în M la curbă și forța . Reacțiunea se descompune după aceleași direcții în reacțiunea normală și în forța de frecare .
Ca și în cazul punctului material rezemat pe o suprafață, forța normală caută să se îndepărteze punctul M de curbă și este anihilată de reacțiunea normală . Deci, pentru echilibrul aceste două forțe și , trebuie fie egale și de sens opus.
În cazul unor legături fără frecare, forța de frecare nu poate să apară și în consecință pentru echilibru în acest caz, este necesar ca .
În cazul legăturii cu frecare forțele și trebuie să fie egale și de semn contrar. Pentru ca un punct material sub acțiunea unui sistem de forțe să rămână în echilibru pe o curbă fără frecare, este necesar ca:
rezultanta forțelor exterioare să fie cuprinsă în planul normal la curbă în punctul respectiv;
reacțiunea este o forță situată în același plan normal.
Ecuația de echilibru se scrie:
(3.10)
Dacă ecuațiile curbei sunt:
; (3.11)
atunci se poate considera că planul normal la curbă este determinat de normalele celor două suprafețe date prin ecuațiile (3.11), luate fiecare separat. În acest caz ecuația (3.10) devine:
Dacă se proiectează pe cele trei axe, se obține sistemul:
(3.12)
În cazul în care curba este dată prin ecuațiile parametrice:
, , (3.13)
atunci condiția de echilibru se exprimă prin relația de ortogonalitate dintre rezultanta forțelor exterioare (cuprinsă în planul normal) și tangentă, ai cărei parametrii directori, sunt , , , adică:
(3.14)
Acestea sunt relațiile cu ajutorul cărora poate fi determinată poziția de echilibru.
Problemele care pot să apară în studiul echilibrului punctului material supus la legături fără frecare sunt centralizate în tabelul 3.1.
Se observă că problemele sunt static determinate.
3.2.3. Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare
Legile frecării uscate
Spre deosebire de legăturile ideale, unde componenta tangențială T și reacțiunea erau neglijate, în cazul curbelor și suprafețelor aspre acestea nu pot fi neglijate.
S-a constatat din practică, că modulul componentei tangențiale T (care poartă numele de forță de frecare de alunecare) este limitat.
În fig. 3.7.a este realizată o experiență, redusă la forma cea mai simplă: un corp asimilabil cu un punct material de greutate este așezat pe un plan orizontal și acționat cu o forță orizontală , care poate varia continuu. Se constată că până la o anumită valoare a forței orizontale, corpul nu se pune în mișcare.
Fig. 3.. Punct material supus la legături
Se dovedește astfel că reacțiunea formează un unghi față de normală, așadar poate fi descompusă în două componente: reacțiunea normală și forța , cea din urmă purtând numele de forță de frecare de alunecare (fig. 3.7,b). Forța de frecare de alunecare acționează în planul tangent cu suprafața de reazem, opunându-se tendinței de mișcare. În figura 3.7,c este prezentat cazul la limită, și anume atunci când forțele și iau valori limită și unghiul capătă la rândul lui valoarea limită , numit unghi de frecare. Forța de frecare poate varia între valorile zero și cea limită .
Din figura 3.7 rezultă:
și la limită
și cum formula se poate simplifica:
(3.15)
Cele mai celebre experiențele făcute asupra forțelor de frecare de alunecare sunt cele ale lui Coulomb, de unde au rezultat de altfel legile frecării uscate, și anume:
valoarea forței maxime de frecare nu depinde de mărimea suprafeței în contact dintre cele două corpuri (în cazul experienței, suprafața dintre corp și planul orizontal) iar dacă se produce mișcarea, forța de frecare nu depinde nici de viteza relativă;
valoarea forței maxime de frecare depinde de natura corpurilor și a suprafețelor în contact (de exemplu gradul de prelucrare);
valoarea forței maxime de frecare este proporțională cu modul al reacțiunii normale.
Conform legilor de mai sus, forța de frecare de alunecare este:
(3.16)
sau:
(3.17)
unde este coeficientul de frecare de alunecare (mărime adimensională care depinde de natura și starea suprafețelor în contact).
Comparând relațiile (3.15) și (3.17) se observă că:
(3.18)
În opinia lui Coulomb, forțele de frecare își au originea în existența la suprafața corpurilor a unor asperități care, în cazul a două corpuri în contact, se întrepătrund.
Atunci când unul dintre corpuri se pune în mișcare aceste asperități sunt strivite, iar forța de frecare de alunecare este cea care se opune acestor striviri.
Extinzând domeniul experiențelor făcute de Coulomb, se constată că coeficientul de frecare la alunecare variază invers proporțional în funcție de viteză: el scade atunci când viteza crește. Valoarea coeficientului de frecare pentru corpurile în repaus (coeficientul de aderență 0) este mai mare (fig. 3.8) decât pentru cele în mișcare (coeficientul de frecare dinamic ).
De asemenea, dacă ia valori mari, mărimea forței de frecare de alunecare nu mai variază liniar cu mărimea reacțiunii .
Dacă se reduc înălțimile asperităților, conform teoriei lui Coulomb, forța de frecare de alunecare va scădea. În realitate însă, forța de frecare de alunecare creștere la un moment dat, influențată fiind de alte fenomene, ca de exemplu fi forțele de adeziune intermoleculare (care în acest caz devin importante).
Analizând din nou experiența prezentată în fig. 3.7, se poate deduce aspectul geometric al problemei echilibrului punctului material cu frecare.
Considerând punctul rezemat pe o suprafață și schimbând direcția forței în planul tangent, reacțiunea , respectiv rezultanta , vor descrie în acest caz un con, numit con de frecare, care are vârful în punctul considerat, axa de simetrie este normala Mn la suprafață și unghiul la vârf 2 (fig. 3.9).
Punctul material se află în echilibru atunci când reacțiunea este în interiorul sau la limită pe mantaua conului. În cazul punctului material rezemat cu frecare (ca în cazul rezemării pe o suprafață), generatoarele extreme vor descrie conuri complementare de frecare. Aceste conuri (fig. 3.10) au ca axă de simetrie tangenta la curbă în punctul respectiv și unghiul la vârf .
Punctul material se află în echilibru când reacțiunea se găsește în afara conurilor complementare de frecare sau la limită pe mantaua acestora.
În problemele de echilibru cu frecare ale punctului material rareori soluția este unică. În consecință, la fel ca în cazul echilibrului fără frecare, problemele de echilibru cu frecare se exprimă printr-o inegalitate.
În cazul punctului pe o suprafață, studiul analitic se face prin exprimarea unghiul dintre rezultanta și vectorul , coliniar cu versorul normalei în punctul considerat. Suprafața este dată prin ecuația . Astfel:
(3.19)
unde vectorul este:
. (3.20)
Pentru simplificare, alegem .
Pentru echilibru este necesar ca , adică
(3.21)
Dar
(3.22)
Deci rezultă condiția de echilibru:
respectiv
(3.23)
Dacă punctul se află pe o curbă, pentru a stabili o expresie analitică, se presupune o curba dată prin ecuațiile parametrice:
, , (3.24)
Un vector dirijat după tangentă are expresia:
(3.25)
Unghiul dintre rezultanta și vectorul este dat de:
. (3.26)
Pentru echilibru s-a văzut că este necesar ca , adică
(3.27)
sau .
Dar
(3.28)
Deci condiția de echilibru este:
respectiv
(3.29)
3.3. Probleme rezolvate
Problema 3.3.1.
Un punct material de greutate poate aluneca fără frecare pe un cerc. Asupra punctului acționează forța orizontală (figura 3.11). Să se determine poziția de echilibru a punctului și reacțiunea cercului.
Rezolvare
Se eliberează punctul material de legătura sa cu cercul și se introduce reacțiunea normală . Se proiectează ecuația vectorială de echilibru.
Pe axele de coordonate se obțin:
de unde rezultă:
Calculând raportul dintre cele două relații de mai sus, se obține:
;
Discuție:
când ; ; ;
când ; ; ;
când ; ; ;
Problema 3.3.2
O roată de rază R și greutate , se află în fața unui prag de înălțime h (figura 3.12). Să se determine înclinarea dată de unghiul α, pentru ca roata să treacă peste prag.
Rezolvare
Se eliberează roata de legături, forțele care acționează asupra sa fiind: greutatea , reacțiunile și . În momentul în care roata începe să se rostogolească peste prag, reacțiunea este nulă. Se proiectează ecuația vectorială de echilibru.
pe axele de coordonate:
Se elimină între aceste două ecuații și se obține:
Problema 3.3.3
Un punct M de greutate , care se reazemă cu frecare de coeficient μ pe o suprafață cilindrică, este prins prin intermediul unui fir ce se reazemă fără frecare, un corp de greutate (figura 3.13). Poziția de echilibru a punctului este dată de unghiul α.
Se cere să se determine valoarea lui P pentru echilibru.
Rezolvare:
Se izolează punctul M și se scriu relațiile de echilibru (figura 3.13.a):
Determinând pe T și N din cele două ecuații și înlocuind în condiția de frecare, rezultă:
Luând în considerare ambele tendințe de modificare a echilibrului, se obține:
Problema 3.3.4.
Pe un cadru circular de rază R, dispus într-un plan vertical se află un inel M de greutate . De inel, prin intermediul a două fire, sunt prinse greutățile P și Q.
Firele trec peste doi scripeți situați în centrul cercului, respectiv pe cerc (figura 3.14).
Să se determine unghiul θ pe care îl fac firele de legătură între ele pentru poziția de echilibru a inelului.
Rezolvare
Se eliberează inelul de legături (fig. 3.14.a), si notează cu reacțiunea normală, iar cu și tensiunile din fire:
Se scrie ecuația vectorială de echilibru:
Se proiectează această ecuație în sistemul de axe ales (tangenta și normala la cerc);
Ținând cont că și , din a doua ecuație se determină unghiul θ. Se obține astfel o ecuație de gradul al II-lea:
;
Deoarece (în cadranul II).
În acest caz, soluția este:
Problema 3.3.5.
Un corp M de greutate se reazemă cu frecare pe un plan ABCD înclinat față de planul orizontal cu unghiul α, fiind prins cu un fir de punctul A al planului (fig. 3.15). Asupra corpului acționează și forța Q, conținută într-un plan paralel cu planul înclinat, forță ce este orientată după linia de cea mai mare pantă a planului.
Să se determine valoarea minimă a forței Q pentru echilibru, dacă coeficientul de frecare dintre planul înclinat și corp este μ, iar unghiul pe care firul AM îl face cu latura AB a planului este β.
Rezolvare
Se eliberează punctul M de legături (fig.3.15 a si fig.3.15.b) si se introduc următoarele notații:
– reacțiunea planului înclinat,
– tensiunea din fir,
– valoarea maximă a forței de frecare
Se proiectează ecuația vectorială de echilibru: pe axele de coordonate, se obține:
Din ecuațiile de mai sus se determină valorile reacțiunii normale N, a tensiunii de fir S și a forței Qmin.
Ținând cont de valoarea reacțiunii normale și de condiția de frecare, rezultă:
Problema 3.3.6
O sferă de greutate este suspendată printr-un fir de un punct situat pe linia de intersecție a doi pereți verticali, care formează un unghi de 90°, fiind rezemată pe aceștia (figura 3. 16). Să se determine tensiunea în fir și reacțiunile celor doi pereți, dacă firul face cu verticala unghiul α.
Rezolvare
Se eliberează sfera de legături și se notează cu și reacțiunile celor doi pereți, iar cu tensiunea din fir.
De asemenea, se notează cu proiecția tensiunii în planul xOy (figura 3. 16.a).
Se scrie ecuația vectorială de echilibru:
și se proiectează această ecuație pe cele trei axe de coordonate:
Din primele două ecuații se determină valorile reacțiunilor normale N1 și N2.
,
iar din cea de a treia ecuație, valoarea tensiunii din fir S:
În final, se obține:
Problema 3.3.7
Pe un plan înclinat cu unghiul α față de orizontală, este rezemată o sferă M de greutate P. Bila este legată prin intermediul a două fire AM și BM, care fac unghiul β cu planul vertical și unghiul γ între ele (figura 3.17). Să se determine reacțiunea planului înclinat și tensiunile în cele două fire.
Rezolvare
Se eliberează sfera de legături și se notează cu reacțiunea planului înclinat, și tensiunile din fire.
Acestea se pot observa mai bine în proiecțiile din figura 3.18. În acest caz, ecuația vectorială de echilibru a sferei se va scrie:
Se proiectează ecuația vectorială pe cele trei axe:
De asemenea, rezultanta tensiunilor se poate scrie:
Din ecuațiile de proiecție se obține:
Tensiunile din fire vor fi:
Problema 3.3.8
Un inel M de greutate G, alunecă fără frecare pe un cerc de rază r, fiind respins de extremitatea A a diametrului orizontal și atras de extremitatea B a diametrului vertical, cu forțe proporționale cu distanțele respective.
Să se determine poziția de echilibru a punctului pe cerc și reacțiunea cercului (figura 3.19).
Rezolvare
Ecuația vectorială de echilibru este:
Se obțin ecuațiile de echilibru proiectate pe axele sistemului de referință:
(a)
(b)
unde:
, (c)
Din relațiile (a) și (c) se deduce:
(d)
Din relațiile (b) și (c) se deduce:
(e)
Din relația (d) se obține:
,
Reacțiunea normală N este:
Problema 3.3.9
Inelul M de greutate G, alunecă cu frecare pe o bară situată într-un plan înclinat cu unghiul α, care face cu dreapta de intersecție a planelor înclinat și orizontal unghiul β (figura 3.20). De inelul M este legat cu un fir care trece prin capătul A al barei, printr-un inel fără frecare. La capătul firului este o greutate Q. Se cere reacțiunea normală N și valoarea coeficientului de frecare μ între inelul M și bara AB, pentru echilibru.
Rezolvare
Se consideră planul înclinat care conține bara AB și se notează forțele care apar pe axele sistemului x1My1 (fig.3.20.a). Rezultă:
(a)
(b)
(c)
Se realizează o secțiune verticală prin cele două planuri și inelul M și, alegând sistemul de referință x2My2 (fig. 3.20.b), se scriu ecuațiile proiecțiilor de forțe pe sistemul ales:
(d)
(e)
unde:
(f)
Din (b), (e) și (f) rezultă:
Din (a) și (c) rezultă:
Problema 3.3.10
Pe semielipsa de ecuație aflată într-un plan vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului acționează o forță orizontală F (figura 3.21). Să se determine valoarea forței F și reacțiunea normală N pentru echilibru în cazul în care .
Rezolvare
Se scrie relația vectorială:
unde:
; ;
se cunoaște că:
;.
Rezultă:
.
Înlocuind în relația vectorială, se obține:
Pentru din ecuația elipsei, rezultă: . Înlocuind în relația anterioară, se obține:
.
Rezultă:
;
3.4. Probleme propuse
Problema 3.4.1
O sferă de greutate se sprijină în punctele A și B pe două plane fixe, înclinate cu unghiurile α și β față de orizontală. Să se determine reacțiunile în punctele A și B (figura 3.22).
Răspuns: ;
Problema 3.4.2
O bilă de greutate se reazemă pe un plan înclinat față de orizontală cu unghiul α. Bila este legată de punctul A printr-un fir inextensibil care face cu verticala unghiul β (figura 3.23).
Să se determine tensiunea în fir și reacțiunea planului înclinat.
Răspuns:
Problema 3.4.3
Inelul M, de greutate neglijabilă, alunecă fără frecare pe semielipsa , aflată într-un plan vertical. De inelul M sunt prinse două fire care trec fără frecare prin inelele A și B (AB aparține semiaxei orizontale a elipsei) și au la capete greutățile P și Q cunoscute (figura 3.24). Să se determine reacțiunea N a semielipsei asupra inelului în momentul în care .
Răspuns:
Problema 3.4.4
Printr-un inel M de greutate neglijabilă, care se reazemă cu frecare de coeficient μ pe un cerc de rază r, sunt prinse două fire ce trec fără frecare prin două inele fixe A și B (figura 3.25). La capetele firelor sunt legate două corpuri cu greutățile G1 respectiv G2.
Să se determine raportul , astfel încât punctul M să rămână în repaus în poziția dată de unghiul θ, considerat cunoscut.
Răspuns:
Condiția finală de echilibru este:
Problema 3.4.5
Pe semielipsa de ecuație aflată într-un plan vertical, alunecă fără frecare un inel M de greutate G. Asupra inelului acționează o forță orizontală F (figura 3.26). Să se determine valoarea forței F și reacțiunea normală N pentru echilibru în cazul în care .
Răspuns:
.
IV. Statica rigidului. Centre de greutate
4.1. Statica rigidului
4.1.1. Caracterul de vector alunecător al forței ce acționează un rigid
Dacă atunci când asupra unui corp acționează un sistem de forțe finite și distanța dintre două puncte oarecare ale corpului respectiv rămâne aceeași, atunci corpul se numește rigid.
De fapt, condiția mai sus menționată nu este realizabilă, pentru că toate corpurile sunt deformabile; dar, în cazul în care corpurile sunt din metal, lemn, piatră etc., având în vedere că acestea sunt puțin deformabile, deformațiile pot fi neglijate și, astfel se poate vorbi despre noțiunea de solid rigid sau rigid.
Fig. 4.. Tip de vector alunecător
Se consideră un rigid acționat în punctul A, de forța (fig.4.1a). În punctul B, situat pe suportul forței , se introduc două forțe egale și de sens contrar, și , ceea ce nu schimbă efectul forței , aplicată în punctul A (fig.4.1b). Forța din A și forța din B își anulează efectul, astfel că asupra rigidului acționează numai forța aplicată în punctul B (fig.4.1c). Rezultă că o forță poate fi deplasată pe propriul suport, fără ca efectul ei asupra rigidului să se modifice. Rezultă că vectorul forță care acționează asupra rigidului are proprietatea de vector alunecător.
În continuare vor fi prezentate elemente de calcul algebric cu vectori alunecător, calcul care diferă față de cel cu vectori liberi. Aceste calcule se aplică atât forțelor care acționează asupra unui solid rigid, cât și a altor mărimi asupra cărora se poate aplica metoda vectorilor alunecători. În acest tip de calcule se folosește noțiunea de moment al vectorului nu numai doar față de un punct, ci și față de o axă.
4.1.2. Momentul unei forțe în raport cu un punct
Momentul unei forțe în raport cu un punct redă capacitatea cu care forța poate roti corpul asupra căruia acționează, în jurul unei axe care trece prin punctul respectiv și care este perpendiculară pe planul determinat de suportul forței și acel punctul (fig.4.2).
Prin definiție, momentul unei forțe în raport cu un punct O este produsul vectorial dintre vectorul de poziție , al punctului de aplicație A, al forței și forța .
(4.1)
Luând în calcul proprietățile produsului vectorial, rezultă că momentul este un vector aplicat în punctul O și care este perpendicular pe planul definit de vectorii și . Sensul acestui plan este dat de „regula șurubului drept” (sensul de înaintare al șurubului așezat în punctul O pe suportul momentului , acționat de o cheie cu forța având ca braț, vectorul de poziție ).
Modulul acestui vector este dat fie de relația:
] (4.2)
fie ținând seama de brațul forței, adică de distanța „b” dintre punctul O și suportul forței :
(4.3)
Proprietăți:
Momentul unei forțe în raport cu un punct este nul atunci când:
a) ;
b) ;
c) vectorii și sunt coliniari.
Dacă se exceptează cazul a) (în care ), se poate concluziona că, în celelalte două cazuri, momentul forței în raport cu un punct este nul atunci când prin respectivul punct trece suportul forței.
Momentul unei forțe în raport cu un punct rămâne neschimbat atunci când forța se deplasează pe propriul său suport.
Considerând forța în două poziții, A și B (fig.4.3a) și notând cu , respectiv , vectorii de poziție ai punctelor A și B, momentul în raport cu punctul O al forței în cele două situații devine:
(4.4)
Datorită faptului că , iar vectorii și sunt coliniari.
Fig. 4.. Momentul forței în raport cu un punct
Momentul unei forțe în raport cu un punct este un vector legat, motiv pentru care se modifică la schimbarea polului. Fie O și O’, punctele în raport cu care se calculează momentul forței (fig.4.3b).
(4.5)
Deoarece se considere că punctul O este originea sistemului de axe, poziția tuturor celorlalte puncte se raportează la acest pol, deci rezultă că vectorul . Relația (4.5) exprimă legea de variație a momentului la schimbare polului.
Expresia analitică. Expresiile analitice ale vectorului de poziție și ale forței sunt:
(4.6)
De unde rezultă că expresia analitică a momentului forței în raport cu punctul O este:
(4.7)
Proiecțiile momentului pe axele sistemului triortogonal Oxyz (momentul forței în raport cu axele: Ox, Oy, Oz) sunt:
(4.8)
Aceleași rezultate se obțin și în cazul în care se consideră produsul vectorial sub formă matriceală, ca un produs între matricea antisimetrică asociată vectorului și matricea coloană a vectorului :
(4.9)
sau sub formă restrânsă:
. (4.10)
4.1.2. Momentul unei forțe în raport cu o axă
Prin definiție, momentul unei forțe în raport cu o axă este proiecția pe această axă a momentului forței calculat în raport cu un punct oarecare O de pe axă.
Fig. 4. . Momentul forței în raport cu o axă
În desenul de mai sus (fig. 4.4a) s-a consieerat forța aplicată în A, iar axa caracterizată prin versorul , și s-a ales punctul O1 pe axă.
Se poate scrie că:
,
iar și proiecția pe axa este fie:
, (4.11)
fie
.
Pentru că se este un produs mixt, rezultă că este un scalar, iar alegerea punctului pe axă față de care se calculează momentul, este arbitrară.
Pentru a demonstra asta se calculează , față de un alt punct O2:
(4.12)
deoarece, , vectorii și fiind coliniari.
Din relația (4.11), unde este un produs mixt, se poate observa că momentul unei forțe în raport cu o axă este coplanar, adică concurent, paralel sau confundat.
Una dintre proprietățile momentului forței în raport cu o axă este aceea că valoarea sa rămâne neschimbată dacă forța se deplasează în lungul suportului ei. În continuare, se observă cu ușurință dă, dacă momentul rămâne nemodificat, și proiecția sa va fi neschimbată.
Alta proprietate, dedusă din definiție, este aceea că momentul unei forțe în raport cu axa este egal cu scalarul momentului proiecției a forței pe un plan (P) perpendicular pe axa , calculat în raport cu punctul O unde axa înțeapă planul (P).
Se consideră că:
(4.13)
Se descompune forța în componentele și după normala AA1 (paralelă cu ) și după o direcție paralelă cu proiecția (fig.4.4b).
(4.14)
Înlocuind relația (4.14) în (4.13) rezultă:
(4.15)
Se observă că:
, fiind vectori coplanari.
Pentru simplificarea raționamentului, în aplicații se trasează planul normal pe axă exact din punctul de aplicație al forței.
4.1.3. Cupluri de forțe
Cuplul de forțe este cel mai simplu sistem de forțe care acționează asupra unui rigid, și este considerat a fi un sistem de două forțe egale și de sens contrar, care acționează pe două suporturi paralele asupra aceluiași rigid (fig.4.5).
Un cuplu aplicat unui rigid caută să-l rotească în jurul unei axe perpendiculare pe planul definit de suporturile celor două forțe.
Fig. 4.. Cuplu de forțe
Proprietăți:
Pe orice axă, proiecția cuplului de forțe este nulă. Se deduce că rezultanta cuplului de forțe este nulă. Considerând o axă de versor , se poate scrie:
(4.16)
Momentul cuplului este reprezentat de efectul cuplului de forțe aplicat asupra unui rigid, și este conform relației:
(4.17)
Momentul cuplului de forțe este un vector cu sensul dat de regula produsului vectorial și fiind perpendicular pe planul forțelor care-l compun. Mărimea momentului cuplului de forțe este produsul dintre forță și brațul cuplului, conform relației:
(4.18)
Momentul cuplului de forțe este în același timp un vector liber, deoarece rămâne neschimbat oricare ar fi punctul față de care se stabilește expresia sa. De exemplu, față de un alt punct O’, relația momentului devine:
(4.19)
4.1.4. Vectorul alunecător
S-a specificat anterior că vectorul liber se definește prin a trei mărimi scalare, cum ar fi proiecțiile pe cele trei axe de coordonate carteziene.
În cazul vectorului alunecător, mai trebuie să fie cunoscută și dreapta sport () pe care acesta se deplasează. În cazul în care cele trei proiecții pe axe ale vectorului , sunt cunoscute, sunt cunoscuți și parametrii directori ai dreptei suport.
Pentru ca un vector alunecător să fie determinat, sunt necesare – de obicei – șase mărimi scalare, și anume:
proiecțiile vectorului pe cele trei axe [Fx, Fy, Fz];
proiecțiile momentului [Mx, My, Mz] pe cele trei axe ale al vectorului față de originea O a sistemului de axe.
Între cele 6 mărimi scalare [Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz ] există o relație identic satisfăcută, care se deduce ținându-se seama că vectorii și sunt perpendiculari și, în consecință, produsul lor scalar este nul. Se poate deci scrie relația:
(4.20)
Relația de mai sus poate fi verificată și direct, prin înlocuirea lui Mx , My , Mz cu expresia (4.8), obținându-se astfel:
4.1.5. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon)
Fie un sistem de forțe concurente care acționează asupra unui rigid în punctul A, al cărui vector de poziție în raport cu punctul O este (fig. 4.6).
Fig. 4.. Sistem de forțe concurente în punctul A
Rezultanta sistemului de forțe este:
(4.21)
Momentul cuplului de forțe în raport cu punctul O se află înmulțind vectorial relația (4.21) cu :
(4.22)
altfel spus:
(4.23)
Relația (4.23) reprezintă teorema momentelor sau teorema Varignon, și poate fi definită astfel: Pentru un sistem de forțe care se reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu un punct este egal cu suma vectorială a momentelor forțelor componente, calculate în raport cu același punct.
Pentru a se afla momentul acelorași forțe în raport cu o axă , de versor care trece prin O, se înmulțește scalar relația (4.22)cu :
(4.24)
sau:
(4.25)
Pentru un sistem de forțe care se reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu o axă este egal cu suma algebrică a momentelor forțelor componente, calculate în raport cu aceeași axă.
4.1.6. Sisteme de forțe echivalente și operații elementare de echivalență
Deoarece în paragrafele următoare se vor studia sisteme de forță care acționează asupra rigidului, este necesar a se afla efectul mecanic al acestor forțe, care acționează în diferite puncte ale corpului rigid. Din acest motiv se vor înlocui aceste sistemele de forțe cu unele mai simple, astfel încât efectul mecanic să fie același indiferent în orice punct este produs.
Două sisteme de forțe care acționează asupra unui rigid și produc în orice punct același efect mecanic se numesc sisteme echivalente.
Pentru realizarea unor sisteme mai simple de forțe echivalente se aplică forțelor mai multe operații, astfel încât sistemul de forțe dat să rămână echivalent cu el însuși. Aceste operații poartă numele de operații elementare de echivalență.
Este necesar a se ține seama de:
forța care acționează asupra rigidului poate fi deplasată pe propriul suport;
În sistemul de forțe se pot suprima sau introduce două forțe egale și direct opuse;
Mai multe forțe concurente pot fi înlocuite fie prin rezultanta lor, fie o forță poate fi înlocuită prin componentele sale.
4.1.7. Reducerea unei forțe aplicată într-un punct al unui rigid
Fie un rigid acționat de o forță în punctul A și cu vector de poziție în raport cu un punct O este (fig. 4.7).
Reducerea acestei forțe într-un punct oarecare O,implică determinarea efectului mecanic exercitat în O, de forța , aplicată în A.
Având în vedere operațiile elementare de echivalență prezentate mai sus, se consider forțele și în O. Se observă că forțele, din A și din O formează un cuplu, al cărui moment este:
(4.26)
Forța și cuplul de forțe reprezentat prin momentul se numesc elemente de reducere în O ale forței date. Ansamblul celor două elemente mecanice alcătuiesc torsorul de reducere în O al forței aplicată în A, și se notează:
(4.27)
Dacă se schimbă punctul de reducere în O’, torsorul își va modifica doar momentul a cărei variație la schimbarea polului este dată de relația (4.5).
(4.28)
4.1.8. Reducerea unui sistem de forțe aplicate rigidului. Torsorul de reducere. Variația torsorului cu punctul de reducere. Invarianți
Fie un rigid acționat în punctele A1, A2,……, An, de forțele , ,….., , (fig. 4.8,a). Un punct oarecare Ai, raportat la polul O, este definit de vectorul de poziție . Pentru a afla efectul mecanic produs în O de acțiunea simultană a forțelor din sistem, este necesar să se reducă, pe rând, toate forțele sistemului. Se va obține astfel , în O, două sisteme de vectori concurenți:
sistemul de forțe , ,….., , cu rezultanta
(4.29)
sistemul de cupluri , ,….., , cu momentul rezultant:
(4.30)
Forța rezultantă și momentul rezultant reprezintă împreună un sistem de forțe echivalent cu sistemul dat, și poartă denumirea de torsorul de reducere în punctul O.
(4.31)
Procedând identic pentru ul alt punct O’, și efectuând reducerea sistemului de forțe inițial, se obține torsorul de reducere:
(4.32)
Așadar, momentului față de punctul devine:
(4.33)
Torsorul în punctul O’ exprimat în funcție de elementele torsorului în punctul O este:
(4.34)
Fig. 4.. Variația torsorului cu punctul de reducere
Se observă că rezultanta rămâne aceiași în raport cu puncte diferite de reducere, altfel spus forța rezultantă este un invariant al sistemului de reducere într-un punct al unui sistem de forțe.
De asemenea, se deduce și că momentul rezultant se modifică cu schimbarea punctului de reducere.
Dacă se efectuează produsul scalar , care poartă numele și de trinom invariant, și dacă se ține seama de faptul că produsul mixt pentru că este un produs mixt de vectori coplanari, se va obține:
(4.35)
Din relația (4.35) se observă că trinomul invariant este al doilea invariant al operației de reducere.
Forma analitică a trinomului invariant este:
(4.36)
Proiecția momentului rezultant pe direcția rezultantei este:
(4.37)
Proiecția momentului rezultant pe direcția rezultantei este raportul a două mărimi invariante ( și ), așadar va fi tot o mărime invariantă a operației de reducere (fig. 4.8,b). Astfel:
(4.38)
Conform relațiilor (4.35) și (4.37), trinomul invariant și proiecția momentului rezultant pe direcția rezultantei nu sunt două mărimi invariante independente. La reducerea într-un punct a unui sistem de forțe există doi invarianți, și .
Vectorul , coliniar cu rezultanta se va scrie:
(4.39)
4.1.9. Torsorul minimal. Axa centrală
Atunci când reducerea sistemului de forțe se face în diferite puncte ale rigidului, se constată că torsorul de reducere este diferit dom cauza modificării momentului rezultant.
Se descompune momentul rezultant , în două componente: , în funcție direcția rezultantei și , urmând direcția situată într-un plan normal la direcția rezultantei (intersecția dintre planul normal la rezultanta și planul definit de vectorii și ):
(4.40)
Datorită faptului că componenta este invariantă, rezultă deci că modificările momentului se datorează componentei , care, în funcție de punctul de reducere, poate avea orice valoare și orice poziție în planul normal pe rezultanta . Înseamnă că proiecția momentului rezultant pe direcția rezultantei este valoarea minimă pe care o poate lua momentul atunci când se face reducerea sistemului de forțe în diferite puncte.
(4.41)
Torsorul format din rezultanta și momentul minim, se numește torsor minim.
(4.42)
În cazul torsorului minim, rezultanta și momentul minim sunt vectori coliniari. Locul geometric al punctelor în care torsorul are valoare minimă, se numește axă centrală.
Fie un punct curent P(x, y, z), de pe axa centrală (fig.4.9), momentul în acest punct, conform legii de variație a momentului la schimbarea polului este:
(4.43)
Fig. 4.. Momentul unui punct la schimbarea polului
Condiția de coliniaritate a vectorilor și este:
sau:
(4.44)
Rezultă:
(4.45)
Înlocuind valorile din relația (4.43) în (4.45) se obține ecuația axei centrale, care este de fapt ecuația unei drepte în spațiu:
(4.46)
4.1.10. Cazurile de reducere ale unui sistem de forțe oarecare
Sisteme echivalente
Conform proprietăților de reducere ale unui sistem de forțe aplicat unui rigid, pot fi deduse cele patru cazuri posibile de reducere ale sistemului, la cel mai simplu sistem echivalent:
Cazul 1: ; . Dacă torsorul sistemului de forțe este nul, atunci sistemul dat este egal cu un sistem de forțe în echilibru. În acest caz, rigidul asupra căruia acționează acest tip de sistem de forțe este în echilibru.
Cazul 2: ; . Dacă torsorul sistemului de forțe este format din momentul rezultant , atunci respectivul sistemul de forțe este echivalent cu un cuplu de forțe care acționează într-un plan perpendicular pe .
Cazul 3: ; . Dacă torsorul sistemului de forțe este format din forța rezultantă , atunci sistemul de forțe este echivalent cu o forță unică , aplicată în O.
Cazul 4: ; . În cazul în care cele două elemente ale torsorului sunt diferite de zero, atunci avem:
Subcazul 4a: , în care cei doi vectori sunt ortogonali. În acest subcaz, sistemul de forțe este echivalent cu o forță unică , având ca suport axa centrală, în vreme ce momentul minim are valoarea nulă.
Subcazul 4b: , în care între cei doi vectori se formează un unghi . În acest subcaz, sistemul de forțe este echivalent cu un torsor minim pe axa centrală, adică are o forță și un moment minim . Acest tip de sistem imprimă corpului o mișcare elicoidală în jurul axei centrale.
4.2. Reducerea sistemelor particulare de forțe
4.2.1. Reducerea sistemelor de forțe concurente
Un sistem de forțe concurente este acel sistem care acționează asupra unui rigid, cu condiția ca suporturile lor sunt concurente într-un punct.
Fie un sistem de forțe , aplicate unui rigid în punctele Ai, (i = 1, 2, …, n), cu suporturi concurente în punctul O (fig. 4.10).
Datorită faptului că forțele sunt vectori alunecători, pot fi deplasate pe suporturile lor până când punctele Ai coincid cu punctul O.
În acest caz, torsorul în punctul O pentru acest sistem de forțe este:
(4.47)
Fig. 4. . Sistem de forțe concurente
Se construiește rezultanta , care reprezintă torsorul minim, iar axa centrală va deveni suportul al rezultantei.
Pot fi aplicate în acest caz două cazuri de reducere, și anume:
Cazul 1: ; , caz în care sistemul de forțe este echivalent cu un sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2: ; , caz în care sistemul de forțe este echivalent cu o forță unică , aplicată în O.
4.2.2. Reducerea sistemelor de forțe coplanare
Forțele ale căror suporturi sunt situate în același plan [P] poartă denumirea de forțe coplanare. Dacă se reduce sistemul de forțe în punctul O, aflat pe planul [P], se va obține torsorul sistemului pentru punctul O. Acesta este format din forța rezultantă și momentul rezultant , perpendicular pe planul forțelor (momentul rezultant , reprezintă suma vectorială a momentelor forțelor din sistem, calculate în raport cu punctul O și care sunt prin definiție, perpendiculare pe planul forțelor).
Trinomul invariant este .
În cazul sistemelor de forțe coplanare se pot aplica cazurile de reducere de mai jos:
Cazul 1: ; , caz în care avem de-a face cu un sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2: ; , caz în care sistemul de forțe dat este echivalent cu un cuplu de forțe de moment care acționează perpendicular pe planul forțelor.
Cazul 3: ; , caz în care sistemul de forțe este echivalent cu o forță unică , aplicată pe axa centrală care trece prin O.
Cazul 4: ; ; , caz în care sistemul de forțe este echivalent cu o forță unică , aplicată pe axa centrală.
Dacă se studiază din punct de vedere analitic sistemul de forțe coplanar (fig.4.11), se consideră ca plan al forțelor planul Oxy, de ecuație, z = 0. Forțele și vectorii de poziție , ai punctelor de aplicație Ai, ale forțelor au expresiile:
(4.48)
(4.49)
Dacă se aplică cazul 4 de reducere, și anume ; ; , axa centrală se obține din ecuația generală a acesteia (4.45), termenii ecuației fiind dați de relația (4.49), adică:
(4.50)
sau:
(4.51)
4.2.3. Reducerea sistemelor de forțe paralele
Dacă suporturile sistemului de forțe , (i = 1, 2, …,n) unt paralele cu o direcție comună de versor , atunci se consideră că acestea formează un sistem de forțe paralele (fig.4.12).
În acest caz, O forță din acest sistem poate fi definite în funcție de versorul , astfel:
(4.52)
unde Fi este o mărime algebrică, fie pozitivă, fie negativă, în funcție de orientarea forței versorului (în același sens sau în sens contrar).
În acest caz, rezultanta sistemului este:
(4.53)
Scalarul rezultantei este egal cu suma algebrică a scalarilor forțelor.
Momentul rezultant în punctul O este:
(4.54)
Datorită coliniarității a doi termeni din produsul mixt, trinomul invariant are expresia:
(4.55)
Fig. 4.. Sistem de forțe paralele
Pentru un sistem de forțe paralele, cazurile de reducere sunt:
Cazul 1: ; , în care sistemul de forțe este echivalent cu un sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2: ; , în care sistemul dat este echivalent cu un cuplu de forțe de moment perpendicular pe direcția forțelor.
Cazul 3: ;. , în care sistemul de forțe este echivalent cu o forță unică , aplicată în O.
Cazul 4: ; ; , în care sistemul de forțe este echivalent cu o forță unică , aplicată pe axa centrală.
Axa centrală este reprezentată de locul geometric al punctelor în care momentul este nul, datorită faptului că .
Axa centrală poate fi aflată cu ajutorul relației (4.43), care exprimă momentul într-un punct curent P situat pe axă, în care este vectorul de poziție al acestui punct.
(4.56)
Înlocuind pe și cu expresiile date de relațiile (4.53) și (4.54), obținem:
(4.57)
Dacă în al doilea produs vectorial se schimbă poziția factorului scalar, atunci:
(4.58)
În cazul în care produsul vectorial este nul, cei doi vectori sunt coliniari.
(4.59)
Vectorul de poziție al punctului curent P, de pe axa centrală este:
(4.60)
Dacă notăm , rezultă:
(4.61)
Relația (4.61) este ecuația vectorială a axei centrale, reprezentată în fig. 4.12, și care este o dreaptă paralelă cu direcția comună a sistemului de forțe dată de versorul care trece printr-un punct fix C. Acest punct poartă denumirea de centrul forțelor paralele.
Vectorul de poziție al centrului forțelor paralele este:
(4.52)
Coordonatele centrului forțelor paralele C sunt:
(4.63)
Proprietățile centrului forțelor paralele
În cazul în care toate forțele componente sunt rotite în același sens și cu același unghi, atunci i axa centrală se va roti în același sens și cu același unghi. Datorită faptului că vectorul nu depinde de versorul direcției comune, rezultă că axa va trece întotdeauna prin punctul C.
În cazul în care toate forțele sunt multiplicate sau împărțite cu același raport k, poziția centrului forțelor paralele nu se schimbă.
Înlocuind forțele cu obținem:
Datorită faptului că Centrul forțelor paralele este o caracteristică esențială a sistemului de forțe, acesta nu depinde de sistemul de referință.
Fie noua origine a sistemului, O’ și . Vectorii de poziție ai punctelor de aplicație ale forțelor în raport cu noua origine pot fi scriși sub forma:. În acest caz, vectorul de poziție al centrului forțelor paralele raportat la noul sistem va deveni:
Cu alte cuvinte, chiar dacă vectorul de poziție al centrului forțelor paralele s-a modificat la fel ca pentru oricare punct Ai. poziția centrului C față de punctele Ai nu rămâne neschimbată.
Vectorii forță sunt vectori legați. Din cauză că centrul forțelor paralele are o existență intrinsecă, rezultă că poziția acestuia este în funcție de poziția punctelor de aplicație și scalării forțelor. În cazul în care se consideră că forțele sunt vectori alunecători, atunci punctul C nu mai are semnificație.
4.2.4. Reducerea forțelor paralele distribuite
Forțele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreaptă AB, situat pe axa Ax, de lungime l, sunt distribuite după o lege de variație, p = p(x) (fig.4.13). Se urmărește determinarea rezultantei, și poziția centrului forțelor paralele, xC.
Notăm prin p(x), forța pe unitatea de lungime la distanța x, de capătul A, măsurată în N/m. Mărimea rezultantei se obține prin integrarea pe lungimea x, a forței elementare, dR, creată de forța distribuită p(x) considerată constantă pe elementul infinitezimal dx.
(4.64)
Expresia poziției centrului forțelor paralele distribuite pe C se definește prin abscisa, xC, adică:
(4.65)
Suportul rezultantei R trece prin centrul C de greutate al suprafeței, mărimea acesteia fiind de fapt aria câmpului de distribuție al forței.
Ținând cont de legea variației forțelor distribuite, se pot lua în considerare cazurile de mai jos:
Forță distribuită uniform, caz în care forța este constant distribuită pe lungimea barei (fig. 4.14), iar legea de variație este:
p(x) = p = ct. (4.66)
(4.67)
(4.68)
Sarcină uniform distribuită înseamnă că este echivalentă cu sarcină concentrată R = pl aplicată la mijlocul porțiunii încărcate.
Forță distribuită triunghiular. În acest caz, valoarea maximă a forței distribuite este p (fig.4.15), iar legea de variație pe lungimea barei este:
(4.69)
(4.70)
(4.71)
Sarcina distribuită triunghiular este echivalentă cu forță de mărime , aplicată la distanța , de capătul A.
Forță distribuită parabolic. În acest caz, valoarea maximă a forței distribuite este p (fig. 4.16), iar legea de variație pe lungimea barei este:
(4.72)
(4.73)
(4.74)
Sarcina distribuită parabolic este echivalentă cu sarcina concentrată de mărime, , aplicată la o distanță , de capătul A.
4.3. Probleme rezolvate
Problema 4.3.1
Se consideră un cub rigid de muchie a, asupra căruia acționează forțele , , și de module , ca în figura 4.17. Să se reducă sistemul de forțe în O și să se reprezinte torsorul. Să se determine momentul minim și să se arate cu ce este echivalent sistemul de forțe; să se scrie ecuațiile ariei centrale; să se calculeze torsorul într-un punct oarecare al axei centrale.
Rezolvare
Proiecțiile pe axe ale forțelor și momentelor în raport cu axele de coordonate sunt date într-un tabel de forma:
În acest caz putem vorbi de echivalență pe axa centrală. Pe axa centrală vom avea:
torsorul minimal pe axa centrală:
Torsorul minimal este format din care este un invariant al sistemului și .
Ecuațiile axei centrale:
,
unde M0x, Moy, Moz sunt proiecțiile momentelor pe axe, , , reprezintă proiecțiile rezultantei pe axe și x, y, z sunt coordonatele unui punct mobil care descriu axa centrală.
;
Problema 4.3.2
Se consideră un cub rigid de muchie a, asupra căruia acționează un sistem de forțe, pentru care se cunosc modulul forțelor ; ; . (figura 4.18).
Se cere să se determine torsorul de reducere în punctul O, să se arate cu ce este echivalent sistemul dat pe axa centrală și să se determine ecuațiile axei centrale.
Rezolvare
Proiecțiile pe axe ale forțelor și momentelor în raport cu axele de coordonate, sunt reprezentate într-un tabel de forma:
Torsorul este format dintr-o rezultantă și un moment.
Dacă , rezultă că pe axa centrală vom avea numai rezultantă (avem forță unică).
Dacă , rezultă că pe axa centrală vom avea torsorul minimal, și anume:
cum , rezultă că pe axa centrală avem torsor minimal.
Torsorul minimal este format din și :
Ecuațiile axei centrale:
,
unde M0x, Moy, Moz sunt proiecțiile momentelor pe axe, , , reprezintă proiecțiile rezultantei pe axe și x, y, z sunt coordonatele unui punct mobil care descriu axa centrală.
Problema 4.3.3
Se dă un cub rigid de muchie l, acționat de sistemul de forțe paralele din figura 4.19. Modulele forțelor sunt: ;
Se cere să se determine: a) torsorul de reducere în O; b) suportul rezultantei; c) considerând sistemul de forțe ca vectori legați cu originile în punctele indicate pe figură, să se determine centrul forțelor paralele.
Rezolvare
a) Componentele torsorului de reducere în O sunt date de tabelul următor:
Torsosrul în O are componentele:
b) Suportul rezultantei se poate obține cu formula generală a axei centrale sau cu teorema lui Varignon. Expresia ei este:
De aici, ecuațiile axei centrale se pot pune sub forma: ; .
c) Centrul forțelor paralele are următoarele coordonate, date de expresiile:
; ;
Problema 4.3.4
Se consideră un paralelipiped (figura 4.20) avand dimensiunile ; ; asupra căruia acționează forțele , , și de module ; si 2 doua cupluri de forte de module ;.
Să se reducă sistemul de forțe în O și E. Să se determine momentul minim și să se arate cu ce este echivalent sistemul de forțe; să se scrie ecuațiile ariei centrale.
Rezolvare:
Cazul de reducere:
sistemul este echivalent cu un cuplu de forte.
Axa centrală nu are sens fizic, deoarece rezultanta sistemului de forțe este nulă.
Problema 4.3.5
Se consideră o pisma triunghiulara, avânt dimensiunile laturilor: OA=2a; OB=3a; OC=4a, asupra căruia acționează un sistem de forțe, pentru care se cunosc modulul forțelor ; ; ; . (figura 4.21).
Se cere să se determine torsorul de reducere în punctul O si punctul A, să se arate cu ce este echivalent sistemul dat pe axa centrală și să se determine ecuațiile axei centrale.
Rezolvare
;
Cazul de reducere: torsor minimal.
4.4. Probleme propuse
Problema 4.4.1
Pe un cub rigid de muchie a, (figura 4.22), acționează un sistem de forțe, ale căror module sunt: . Se cere sa se determine:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul de forțe și cupluri;
c) Ecuațiile axei centrale;
Problema 4.4.2
Piramida din figura 4.23, are baza un pătrat de latură a și înălțimea de 3a, iar mărimile forțelor sunt: ; . Se cer: cât este σ0, echivalența și ecuația axei centrale.
Problema 4.4.3
Se consideră sistemul de forțe aplicate paralelipipedului rigid din figura 4.24, unde: ; , iar forțele sunt: ;;. Se cer:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul de forțe și cupluri;
c) Ecuațiile axei centrale;
d) Torsorul de reducere în punctele A1, B1, C1, O1.
Problema 4.4.4
Se dă sistemul de forțe aplicate paralelipipedului rigid din figura 4.25, unde: ; ; ,
iar forțele sunt: ; ; ; .
Se cer:
a) Torsorul în originea O;
b) Cu ce este echivalent sistemul de forțe și cupluri;
c) Ecuațiile axei centrale;
d) Torsorul de reducere în punctul A și C.
4.5. Centre de greutate (centre de masă)
Se știe că toate corpurile de pe suprafața Pământului sunt supuse forței de atracție a acestuia, adică asupra unui corp de masă m se exercită o forță, proporțională cu masa corpului, numită greutate.
(4.75)
unde , este accelerația pământului, formată de rezultanta dintre accelerația gravitațională (adică a forței gravitaționale) și accelerația de transport (rezultanta mișcării de rotație a Pământului).
Este cunoscut faptul că valoarea accelerației terestre variază în funcție de latitudine și altitudine, dar din cauză că aceste variații sunt mici, s-a convenit să fie neglijate. În consecință, în calcule se consideră că valoarea medie g = 9,81 m/s2.
De asemenea, datorită faptului că raportul dintre dimensiunea corpurilor folosite în general și dimensiunea pământului este foarte mic, s-a convenit să se considere că greutățile forțelor, a căror vector este îndreptat după verticala locului, sunt paralele. S-a ajuns astfel ca această problemă să reprezinte de fapt un caz particular de forțe paralele, prezentat mai jos.
4.5.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale
Fie un sistem de puncte materiale Ai de mase mi și vectori de poziție , (i = 1, 2, …,n), în raport cu originea O a sistemului de axe.
Greutatea sistemului este:
(4.76)
Greutatea va fi aplicată în centrul forțelor paralele de greutate, (fig. 4.26), adică în centrul de greutate al sistemului.
Fig. 4. .
Vectorul de poziție al centrului de greutate C, conform relației (4.52) este:
(4.77)
Dacă se înlocuiește relația (4.76) în (4.77), se obține:
(4.78)
Aceasta este demonstrația faptului că centrul de greutate C este un element geometric, care depinde de modul de distribuire a maselor din punctele Ai, justificându-se deci denumirea de centrul de masă.
Proiecțiile pe axe ale vectorului sunt coordonatele centrului de masă:
(4.79)
Expresiile , , se numesc momente statice ale sistemului față de planele , și , iar expresia reprezintă momentul static al sistemului față de punctul O.
Cu ajutorul acestor mărimi se poate caracteriza felul în care este distribuită masa unui sistem de puncte materiale.
Din relațiile (4.78) și (4.79) rezultă că:
; ; ; (4.80)
Aceasta este teorema momentului static, adică momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un punct este egal cu masa sistemului înmulțită cu vectorul de poziție al centrului de greutate în raport cu acel punct. Altfel spus, momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan de referință este egal cu masa sistemului înmulțită cu distanța de la centrul său de greutate la acel plan.
4.5.2. Centrul de greutate al corpurilor
S-a convenit ca în mecanică să se admită că toate corpurile rigide sunt dintr-un material nedeformabil, adică fiecare punct al corpului, considerat la scară macroscopică, are masă, distanțele dintre aceste puncte rămânând aceleași oricare ar fi efortul care acționează asupra corpului.
Pentru a stabili o legătură cu rezultatele obținute în cazul sistemelor de n puncte materiale, se consideră corpul divizat în volume elementare , care au masa . Vectorul de poziție al centrului de greutate, conform relației (4.78) este:
(4.81)
Trecând la limită, când și , atunci sumele din relația (4.81) devin integrale definite pe domeniul ocupat de corp. Acest domeniu se notează cu (D) în cazul general, iar în cazul barelor, plăcilor și al blocurilor, respectiv cu (l ), (S) și (V). Astfel se obțin:
;;; (4.82)
În relația (4.83) , , , sunt vectori de poziție, adică sunt coordonate ale centrului de greutate al elementului de masă dm considerat.
Expresiile , , reprezintă momentele statice ale corpurile în raport cu planele axelor Oyz, Oxz, Oxy, iar reprezintă momentul static în raport cu punctul O.
Din relațiile (4.82) se deduce teorema momentului static în cazul corpurilor, și anume:
;;; (4.83)
Relația (4.83) se poate enunța identic ca în cazul sistemelor de puncte materiale.
În vederea studiului centrului de greutate al corpului, este necesară introducerea noțiunii de densitate medie (altfel spus masă volumică medie), definită conform relației:
(4.84)
Trecând la limită, când se obține densitatea (masa volumică):
(4.84)
În mecanică, corpurile se împart în bare (linii materiale), plăci (suprafețe materiale) și blocuri (volume materiale).
Ele se definesc conform tabelului de mai jos:
Dacă corpurile sunt omogene și izotrope, se consideră că densitatea este constantă, altfel spus.
Dacă corpurilor sunt neomogene, atunci densitatea variază:
(4.85)
Analizând relațiile (4.82) până la (4.85) se obține:
pentru bare omogene
, (4.86)
respectiv:
, , ; (4.87)
pentru plăci omogene:
, (4.88)
respectiv:
, , ; (4.89)
pentru blocuri omogene
, (4.90)
respectiv:
, , ; (4.91)
Se deduce din relațiile (4.86) până la (4.91) faptul că, pentru corpurile omogene, centrul de greutate are un caracter geometric, în vreme ce pentru corpurile neomogene, se poate scrie:
(4.92)
respectiv:
,, (4.93)
Principalele proprietăți ale centrului de greutate sunt:
ca și în cazul centrului forțelor paralele, poziția centrului de greutate nu depinde de sistemul de axe ales, reprezentând deci un punct intrinsec al sistemului.
în cazul în care corpul admite un plan de simetrie (geometric și masic), centrul de greutate se află în acest plan.
4.5.3. Teoremele Pappus – Guldin
Teorema 1. Aria suprafeței generată prin rotirea completă a arcului de curbă în jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează, este egală cu produsul dintre lungimea arcului de curbă și lungimea cercului descris de centrul de greutate al curbei.
Elementul de arc MM’ = dl generează prin rotație, o suprafață conică având generatoarea dl și raza medie y (fig.4.27, a).
(4.94)
Prin integrare rezultă aria:
(4.95)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,
(4.96)
Teorema 2. Volumul generat prin rotirea completă a suprafeței în jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează, este egal cu produsul dintre aria suprafeței respective și lungimea cercului descris de centrul de greutate al suprafeței.
Volumul elementar dV care rezultă prin rotirea completă a elementului de suprafață dA poate fi considerat ca diferența volumelor a doi cilindri elementari de înălțime dx și raze (y+dy), respectiv y (fig.4.27, b).
(4.97)
În relația (4.97), termenul are în produs un infinit mic, de ordin superior.
Volumul total este:
(4.98)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,
(4.99)
Fig. 4.. Teoremele Pappus – Guldin
4.6. Centre de masă pentru corpuri uzuale
1. Arc de cerc
Fie arcul de rază R definit la centrul cercului de unghiul 2α, (fig.4.28).
,
Distanța pe bisectoare de la centrul cercului la centrul de masă este:
(4.100)
2. Sector de cerc
Fie sectorul de cerc de rază R, delimitat la centru de unghiul 2α, (fig.4.29)
unde: ; dA – element de arie.
Distanța, pe direcția bisectoarei, de la centrul cercului până la centrul de masă se află în funcție de jumătate din unghiul la centru:
. (4.101)
3. Con
Fie un con circular drept, omogen, de înălțimea h (fig. 4.30). La o distanță considerată z de vârf se construiește un element de volum definit de 2 secțiuni paralele cu baza la distanța dz între ele, și care poate fi aproximat cu un cilindru de rază r. Centrul de masă se află pe axa Oz, care este și axă de simetrie. Se ține cont de proporționalitatea de unde și deci .
Cota a centrului maselor este:
. (4.102)
Centrul maselor unui con se află pe axa lui de simetrie la o distanță de de vârf și de bază.
4. Semisfera
Fie un element de volum între două secțiuni paralele cu baza la distanța dz și înălțime z, (fig. 4.31). Acesta poate fi aproximat cu un cilindru de volum , unde r se exprimă în funcție de R , .
Centrul de masă se află pe axa de simetrie (axa Oz).
. (4.103)
Rezultă de bază.
4.7. Probleme rezolvate
Problema 4.7.1
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.5.1
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.32 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex BC (vezi fig.4.32.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, .
Problema 4.7.2
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.33.
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.33 în domenii simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, .
, .
Problema 4.7.3
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.34
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.34 în domenii simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, .
Pentru domeniul simplu conex AC (vezi fig.4.34.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
,
.
Problema 4.7.4
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.35
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.35 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex BC (vezi fig.4.35.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, .
Problema 4.7.5
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.36
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.36 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex CD (vezi fig.4.36.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, ,
.
Problema 4.7.6
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.37.
Rezolvare:
Se împarte sistemul de bare omogene din figura 4.37 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex OC (vezi fig.4.37.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, ,
.
Problema 4.7.7
Pentru placa omogenă din figura 4.38 se cere să se determine poziția centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.38 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.38.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, .
Problema 4.7.8
Pentru placa omogenă din figura 4.39 se cere să se determine poziția centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.39 în domenii simplu conexe.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, .
Pentru domeniul simplu conex 2 (vezi fig.4.39.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
, .
Problema 4.7.9
Pentru placa omogenă din figura 4.40 se cere să se determine poziția centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Se împarte sistemul de corpuri omogene din figura 4.41 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.41.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, ,
Problema 4.7.10
Pentru corpul omogen din figura 4.42 se cere să se determine poziția centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Se împarte corpul omogen din figura 4.42 în domenii simplu conexe.
Corpul are axă de simetrie Oz, coordonatele pe Ox și pe Oy ale centrului maselor sunt nule.
.
Pentru con centrul de masă se găsește la din înălțime.
, ,.
Pentru semisferă centrul de masă se găsește la din rază.
.
Se calculează centrul maselor cu formula: .
Problema 4.7.11
Pentru corpul omogen din figura 4.43 se cere să se determine poziția centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Se împarte corpul omogen din figura 4.43 în domenii simplu conexe.
Corpul are axă de simetrie Oz, coordonatele pe Ox și pe Oy ale centrului maselor sunt nule.
.
Pentru con centrul de masă se găsește la din înălțime.
, .
Se calculează centrul maselor cu formula: .
Problema 4.7.12
Se dă placa omogenă din figura 4.44. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor fiind indicate pe desen. Se cere să se calculeze distanța l astfel încât centrul maselor să se găsească pe axa Oy.
Rezolvare:
Se împarte placa omogenă din figura 4.44 în domenii simplu conexe.
Se calculează:
.
Pentru ca centrul de masă să se afle pe axa Oy trebuie ca să fie zero.
.
Rezultă:
,
Se consideră ca soluție acceptată valoarea pozitivă a lui l.
Problema 4.7.13
Să se determine volumul suprafeței obținută prin rotirea plăcilor omogene din figura 4.45 în jurul axei Ox.
Rezolvare:
Se împarte placa omogenă din figura 4.45 în domenii simplu conexe.
Pentru domeniul simplu conex 3 (vezi fig.4.45.a) se calculează poziția centrului de masă pe axa de simetrie a domeniului.
.
Se calculează volumul suprafeței obținută prin rotirea plăcii omogene cu formula:
.
4.8. Probleme propuse
Problema 4.8.1
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare din figura 4.46
Fig. 4.
Rezolvare:
Se calculează centrul maselor cu formulele:
, .
Problema 4.8.2
Să se determine poziția centrului maselor pentru sistemul de bare omogene din figura 4.47
Rezolvare:
,
,
.
Problema 4.8.3
Pentru placa omogenă din figura 4.48 se cere să se determine poziția centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Problema 4.8.4
Pentru placa omogenă din figura 4.49 se cere să se determine poziția centrului maselor. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor sunt indicate pe desen.
Rezolvare:
Se calculează centrul maselor cu formulele:
,
,
.
Problema 4.8.5
Se dă placa omogenă din figura 4.50. Dimensiunile plăcilor și poziția axelor fiind indicate pe desen. Se cere să se calculeze distanța l astfel încât centrul maselor să se găsească pe axa Oy.
Rezolvare:
Se calculează centrul maselor cu formulele
Pentru ca centrul de masă să se afle pe axa Oy trebuie ca să fie zero. .
Rezultă:
Se consideră ca soluție acceptată valoarea pozitivă a lui l.
Problema 4.8.6
Să se determine aria suprafeței obținută prin rotirea barelor omogene din figura 4.51 în jurul axei Ox.
Rezolvare:
.
Problema 4.8.7
Să se determine volumul suprafeței obținută prin rotirea plăcilor omogene din figura 4.52 în jurul axei Oy.
Rezolvare:
.
V. Echilibrul rigidului
5.1. Echilibrul rigidului liber
Rigidul liber este un corpul care poate ocupa orice poziție în spațiu. Poziția rigidului liber depinde numai de sistemul de forțe care acționează asupra lui.
Condiția necesară și suficientă pentru ca un rigid liber să fie în echilibru este ca torsorul sistemului de forțe care acționează asupra acestuia să fie nul în orice punct. Uzual, torsorul se determină alegându-se ca punct de calcul originea O a sistemului de axe respectiv.
(5.1)
Dacă se consideră că:
(5.2)
Atunci condițiile din relația (5.1) sunt:
(5.3)
Pentru un rigid asupra căruia acționează un sistem de forțe spațial (rigid în spațiu), ecuațiile scalare de echilibru sunt:
(5.4)
Pentru un rigid asupra căruia acționează de un sistem de forțe coplanar (rigid în plan), ecuațiile scalare de echilibru sunt:
(5.5)
În problemele referitoare la echilibrului unui rigid liber există două cerințe:
Fie se cunosc forțele care acționează asupra rigidului și trebuie aflată poziția de echilibru;
Fie se cunoaște poziția de echilibru și trebuie aflate forțele care acționează asupra rigidului.
În general, ambele tipuri de cerințe se pot rezolva dacă sunt implicați cel mult șase termeni scalari necunoscuți pentru rigidul asupra căruia acționează un sistem de forțe spațial, și cel mult trei termeni scalari necunoscuți pentru rigidul asupra căruia acționează un sistem de forțe coplanar.
Pentru problemele în care se cunosc forțele, poziția de echilibru, se determină datorită faptului că ea are șase termeni scalari independenți pentru rigidul asupra căruia acționează un sistem de forțe spațial și trei termeni scalari independenți pentru rigidul în plan. Parametrii scalari independenți poartă denumirea de grade de libertate.
Pentru a se putea stabili poziția unui rigid în spațiu trebuie să fie cunoscute coordonatele a trei puncte necoliniare:
.
Se observă că cele trei coordonate se află în dependență una față de cealaltă, pentru că distanțele d1, d2, d3, dintre puncte rămân constante (considerându-se, așa cum am mai spus, că rigidul este nedeformabil).
În consecință se pot deduce relațiile:
(5.6)
Datorită faptului că între cei nouă parametri scalari, x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3, se pot scrise trei relații (5.6), înseamnă că doar șase sunt independenți. Prin urmare, poziția unui rigid liber în spațiu este determinată de cei șase parametri independenți. S-a demonstrat astfel că: Rigidul liber în spațiu are șase grade de libertate.
Din punct de vedere practic, numărul gradelor de libertate este dat de numărul deplasărilor (translații și rotații) independente în raport cu axele de coordonate.
Dar numărul gradelor de libertate pentru un rigid liber în spațiu poate fi aflat și de alți șase parametri scalari independenți (fig. 5.1):
coordonatele xO, yO, zO ale originii O (aferentă sistemului de axe Oxyz), solidar cu rigidul, în raport cu triedrul fix O1 x1 y1 z1;
unghiurile Euler:
– unghiul de precesie (unghiul dintre axa Ox’, paralelă cu axa O1 x1 și linia nodurilor ON – intersecție a planelor Ox’y’ și Oxy);
– unghiul de rotație proprie (unghiul dintre linia nodurilor ON și axa Ox);
– unghiul de nutație (unghiul dintre axa Oz’, paralelă cu O1 z1 și axa Oz).
Pentru rigidului în plan (se consideră că planul Oxy) este necesar să se cunoască poziția a două puncte A1(x1, y1) și A2(x2, y2). Dacă se consideră că distanța d, dintre cele două puncte este constantă, rezultă:
(5.7)
Așadar, se poate constata că dintre cei patru parametri scalari, x1, y1, x2, y2, necesari pentru definirea poziției unui rigid în plan, doar trei sunt independenți. Prin urmare, Rigidul liber în plan are trei grade de libertate.
Problemele în care se cunoaște poziția de echilibru și trebuie aflate forțele care acționează asupra rigidului (b) se pot rezolva dacă numărul necunoscutelor scalare, necesare pentru determinarea forțelor este de cel mult șase, pentru rigidul în spațiu, sau de cel mult trei, pentru rigidul în plan.
5.2 Echilibrul rigidului supus la legături fără frecare
5.2.1 Generalități
Rigidul supus la legături este acel corp căruia i se impune o restricție geometrică. Pentru studiul echilibrului rigidului supus la legături se aplică axioma legăturilor, în baza căreia legătura este înlăturată și înlocuită cu efectul mecanic al acesteia, forțe și momente corespunzătoare.
Aplicând aceste operații, problema devine identică cu cea a unui rigid liber.
Un rigidul care este supus la legături este acționat:
Fie de forțe și momente exterioare, direct aplicate;
Fie de forțe și momente de legătură.
Se consideră un corp (C), care are ca legături corpul C1 (fig. 5.2). Se studiază echilibrul corpului (C), constatându-se că torsorul de reducere în punctul teoretic de contact, O, al forțelor exterioare T0 este format de și , pe când torsorul forțelor de legătură este format din și .
(5.8)
Condiția de echilibru se exprimă cu ecuațiile vectoriale (5.9), care în cazul general conduc la șase ecuații scalare de echilibru.
(5.9)
5.2.2. Legăturile rigidului
Legăturile unui rigid pot fi: reazemul simplu, articulația, încastrarea și prinderea cu fir.
În momentul analizării legăturilor unui rigid trebuie urmărite atât aspectul geometric – care se referă la gradele de liberate care îi rămân rigidului după aplicarea legăturilor –, cât și mecanic – care se referă la elementele mecanice care substituie legăturile. Prin urmare, pentru fiecare legătură se vor studia cele două aspectele legate de:
Aspectul geometric, cu accent pe indicarea posibilităților de mișcare independentă;
Aspectul mecanic, și anume forțele și momentele pe care le introduce legătura.
De cunoaște că o forță produce o mișcare de translație în lungul suportului ei, iar un cuplu produce o mișcare de rotație în jurul unei axe coliniare cu momentul său.
Legăturile în care sunt neglijate forțele de frecare – și, în general, în probleme acestea sunt neglijate – poartă denumirea de legături fără frecare.
5.2.2.1. Reazem simplu
Legătura prin care un punct al rigidului este obligat să rămână permanent pe o suprafață dată se numește reazem simplu.
Din cauza rigidității corpurile rezemate nu se întrepătrund, deci din cele șase mișcări simple pe care le poate efectua un rigid liber, în cazul rezemării este suprimată translația după direcția normală la planul tangent comun celor două corpuri în contact, numit plan de rezemare.
Un rigid rezemat are cinci grade de libertate. Dacă se consideră suprafața de rezemare planul Oxy, atunci cele cinci grade de libertate ale rigidului sunt: câte o rotire în jurul axelor Ox, Oy, Oz și câte o translație în lungul axelor Ox, Oy, deoarece pe axa Oz translația este suprimată de legătură (fig. 5.3.a).
Analizând din punct de vedere geometric, reazemul reduce numărul gradelor de libertate cu o unitate.
Efectul mecanic al sistemului de forțe care acționează asupra corpului (C) este de fapt torsorul acestora în punctul teoretic de contact O, . Cele două elemente ale torsorului se descompun după:
normala comună celor două corpuri în punctul de rezemare On;
dreptele Ot1 și Ot2, obținute ca intersecție dintre planul [P], tangent în punctul teoretic de contact cu planele definite de normala On și vectorul , respectiv On și vectorul (fig. 5.3.b).
Figura 5.. Reazemul simplu
Rezultă:
(5.10)
Componenta produce deplasarea corpului(C), pe direcția normalei la legătură.
Componenta produce deplasarea corpului (C) pe corpul legătură (C1), după direcția Ot1, situată în planul tangent [P], numită alunecare.
Componenta produce rotirea corpului (C) pe corpul legătură (C1), în jurul normalei comune celor două corpuri, On, numită pivotare.
Componenta produce rotirea corpului (C) pe corpul legătură (C1), în jurul axei Ot2, situată în planul tangent [P], numită rostogolire.
Dintre deplasările posibile ale rigidului (C), legătura (C1) limitează doar deplasarea pe direcția normală la legătură, datorită rigidității celor două corpuri, în sensul pătrunderii corpului (C), în corpul (C1), dacă legătura este unilaterală și în ambele sensuri (de a pătrunde și de a părăsi legătura) și dacă legătura este bilaterală. Lipsa frecării dintre cele două corpuri creează posibilitatea efectuării celorlalte mișcări.
Asupra corpului (C) acționează reazemul simplu, cu forța de legătură normală pe suprafața de rezemare , care poartă numele de reacțiune normală. Sensul reacțiunii normale poate fi stabilit doar în cazul legăturii unilaterale, atunci când sensul este acela în care corpul poate părăsi legătura.
Torsorul în O al forțelor de legătură este format din reacțiunea normală, .
Exprimată în ecuații vectoriale, condiția de echilibru este:
(5.11)
Notarea simbolică a reazemul simplu se face printr-un triunghi cu latura perpendiculară pe reacțiunea normală și cu un vârf în punctul de rezemare (fig. 5.3.c).
5.2.2.2. Articulația
O altă legătură a rigidului este articulația. Dacă rigidului i se fixează un punct se numește articulație sferică, iar dacă se fixează printr-o o axă, se numește articulație cilindrică.
Articulația sferică
Atunci când o extremitate a unui rigid (C) este o sferă care intră într-o cavitate practicată în corpul de legătură tot în formă tot de sferă, se spune că rigidul respectiv este articulat sferic.
Poziția rigidului cu un punct fix (fig.5.4.a) este determinată de trei parametri scalari, caz în care corpul are trei grade de libertate; rotațiile corpului (C), în raport cu cele trei axe ale sistemului de coordonate, sau altfel spus unghiurile Euler:
– unghi de precesie;
– unghi de nutație;
– unghi de rotație proprie.
Analizând din punct de vedere geometric, se observă că articulația sferică reduce numărul gradelor de libertate ale unui rigid cu trei unități, și anume cu translațiile corpului (C) în raport cu cele trei axe de coordonate.
Figura 5.. Articulația sferică
În vederea studierii echilibrului rigidului, fie torsorul forțelordirect aplicate în punctul O,. În acest caz, rezultanta forțelor exterioare, are tendința de a imprima corpului (C), o deplasare, în raport cu corpul legătură (C1). Momentul rezultant tinde să rotească corpul (C), în raport cu legătura (C1). Considerându-se că n articulația sferică nu sunt frecări, rezult că nu exista cupluri care să se opună acestei mișcări.
Conform principiului acțiunii și al reacțiunii, efectul mecanic al articulației sferice asupra rigidului (C) este o forță , care are mărime și direcție necunoscută (fig. 5.4.b). Din această cauză se lucrează cu proiecțiile forței pe direcțiile axelor sistemului de coordonate Oxyz: Rx, Ry, Rz..
Torsorul forțelor de legătură în punctul O este format de rezultanta forțelor de legătură, , iar condiția de echilibru este exprimată fie prin ecuațiile vectoriale:
(5.12)
fie exprimată prin cele șase ecuații scalare de echilibru:
(5.13)
Articulația cilindrică
În cazul articulației cilindrice spațiale, extremitatea O, a corpului (C) este prevăzută cu un cilindru (fus), montat coaxial în interiorul unei cavități tot cilindrică (lagăr), practicată în corpul legătură (C1), în raport cu care se poate roti și deplasa (fig. 5.5.a).
Figura 5.. Articulația cilindrică spațială
Se observă că există două mișcări posibile în raport cu axa articulației Oz ale corpului (C) în raport cu legătura (C1), rotația și translația. Acestea reprezintă cele două grade de libertate ale rigidului.
Din punct de vedere geometric, articulația cilindrică spațială reduce numărul gradelor de libertate ale rigidului cu patru unități.
Din punct de vedere mecanic, observându-se că forțele de legătură care acționează pe suprafața cilindrică întâlnesc axa articulației, rezultă că, o articulație cilindrică poate fi înlocuită de obicei, cu o forță și un cuplu de moment , mărimi necunoscute și situate într-un plan normal la axa articulației Oz. De obicei se lucrează cu componentele pe axe ale celor două elemente ale torsorului forțelor de legătură (fig. 5.5.b):
(5.14)
Deoarece torsorul în punctul O al forțelor direct aplicate rigidului (C), exprimat în funcție componente pe axele sistemului triortogonal Oxyz este:
(5.15)
condițiile de echilibru pot fi exprimate sub formă vectorială cu ajutorul relațiilor (5.9).
Dacă se proiectează ecuațiile vectoriale (5.15) pe axele sistemului Oxyz, rezultă cele șase ecuații scalare de echilibru:
(5.16)
Pentru o funcționare corectă a articulației cilindrice, adică în vederea evitării unui blocaj al fusului în lagăr, în tehnică se iau măsuri și în ceea ce privește punctul de vedere constructiv, și în ceea ce privește solicitările rigidului, urmărindu-se ca momentul de legătură să fie nul. Conform acestor condiții, torsorul forțelor de legătură este constituit numai din rezultanta forțelor de legătură, , caz în care ecuațiile scalare de echilibru (5.16) devin:
(5.17)
În unele aplicații practice se poate întâlni și cazul în care un rigid, care are o articulație cilindrică, este acționat de un sistem de forțe situate într-un plan normal la axa de rotație (fig. 5.6.a). Este cazul rigidului în plan, când din cauză că translația în lungul axei nu este posibilă, singura posibilitate de mișcare rămâne rotația în raport cu axa articulației, corpul având un singur grad de libertate.
a) b) c)
Figura 5.. Articulația cilindrică plană
Articulația cilindrică plană este acea articulație care limitează deplasarea pe direcția normală la axa articulației, moment în care apar două necunoscute: mărimea și direcția reacțiunii , dată de unghiul , format cu o direcție de referință.
În acest caz este de preferat lucrul cu componentele reacțiunii pe două direcții perpendiculare (orizontală și verticală), și (fig. 5.6.b), elementele torsorului forțelor direct aplicate și al forțelor de legătură devenind:
; (5.18)
Condițiile vectoriale de echilibru ale rigidului în plan sunt:
(5.19)
Ecuațiile vectoriale de echilibru proiectate pe axele sistemului Oxy, în care se află rigidul (5.19) devin:
(5.20)
Notarea simbolică se face printr-un triunghi cu un cerc în vârf, în care cele două reacțiuni, și , converg (fig. 5.6.c).
5.2.2.3. Încastrarea
Legătura prin care un corp este fixat în alt corp de legătură în așa fel încât să nu fie permisă nicio deplasare poartă numele de încastrare. În consecință, conform definiției, în cazul încastrării se suprimă toate gradele de libertate ale rigidului (C).
Pentru a se putea studia forțele și momentele existente într-o încastrare, se ia în considerare forțele de legătură locale, pe care legătura (C1) le exercită asupra rigidului (C), în regiunea în care acestea vin în contact (fig. 5.7.a).
a) b)
Figura 5.. Încastrarea spațială
Torsorul în punctul O (de obicei, centrul de greutate al secțiunii transversale a corpului în dreptul încastrării) al forțelor direct aplicate, T0 și torsorul forțelor de legătură, O au expresiile:
(5.21)
Condiția de echilibru este exprimată prin ecuațiile vectoriale (5.9).
Datorită faptului că vectorii și au mărimi, suporturi și sensuri necunoscute, vor fi înlocuiți prin componente după direcții cunoscute.
Dacă forțele direct aplicate unui rigid încastrat formează un sistem de forțe spațial, atunci încastrarea se numește spațială. Dacă sistemul de forțe care acționează asupra rigidului formează un sistem de forțe coplanar, atunci încastrarea este plană.
Din punct de vedere geometric, încastrarea spațială reduce numărul gradelor de libertate cu șase unități.
La încastrarea spațială, elementele torsorului în O, al forțelor de legătură și sunt exprimate prin componentele pe cele trei axe ale sistemului Oxyz, care se opun celor șase posibilități de mișcare, fiind introduse șase necunoscute scalare: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz (fig. 5.7.b).
Elementele torsorului în punctul O ale forțelor direct aplicate și de legătură au expresiile:
(5.22)
Ecuațiile scalare de echilibru ale rigidului încastrat spațial devin:
(5.23)
Analizând punct de vedere geometric, se observă că încastrarea plană reduce numărul gradelor de libertate cu trei unități.
Dacă se consideră planul forțelor planul Oxy, în încastrarea plană elementele torsorului în O, ale forțelor de legătură, și sunt în funcție de componentele pe axele sistemului Oxy, care se opun celor trei posibilități de mișcare. În consecință sunt introduse trei necunoscute scalare: H, V și MO (fig. 5.8).
Elementele torsorului în punctul O, ale forțelor direct aplicate și de legătură au expresiile:
(5.24)
Pentru rigidul încastrat în plan, ecuațiile scalare de echilibru sunt:
(5.25)
5.2.2.4. Prinderea cu fir
Prinderea cu fir este o legătură deosebită, echivalentă cu o rezemare unilaterală a unui punct material, pe o sferă de rază egală cu lungimea firului.
Prinderea cu fir este atunci când forța care acționează asupra corpului este un fir, caz în care sensul forței este înspre punctul de suspendare al firului, iar firul, care este legat de rigid, se întinde. (fig. 5.9).
Observații:
Suma dintre numărul reacțiunilor introduse de legătură și numărul gradelor de libertate pe care le are rigidul în momentul în care legătura este aplicată, este egală cu șase – reprezentând numărul gradelor de libertate ale rigidului liber – în cazul rigidului asupra căruia acționează forțe spațiale, și trei, în cazul în care rigidul este acționat de forțe coplanare.
Atunci când reacțiunea este negativă, rezultă că ea acționează în sens contrar celui considerat.
Atunci când rigidul considerat în plan (pe Oxy), nu mai este necesar să se noteze sistemul de axe. La notarea ecuațiilor scalare de echilibru, se va considera axa Ox, orizontală, cu sens pozitiv spre stânga, și axa Oy, verticală, cu sens pozitiv în sus. Punctul O (originea sistemului de axe) va reprezenta punctul de referință pentru calcularea momentelor forțelor, care se vor considera pozitive atunci când sensul de rotație este antiorar.
5.2.3 Cazurile particulare de echilibru
5.2.3.1. Echilibrul rigidului rezemat pe un plan
Fie un rigid de formă oarecare, acționat de sistemul de forțe , rezemat în punctele A1, A2, … An, pe un plan fix Oxy, reazemele fiind unilaterale (fig. 5.10). Față de sistemul de axe ales, coordonatele punctelor de rezemare sunt: A1(x1, y1, 0), A2(x2, y2, 0), … An(xn, yn, 0).
Torsorul în punctul O, pentru forțele direct aplicate este format din rezultanta și momentul .
(5.26)
La eliberarea reazemelor (a corpului de legături) se ține seama de forțele de legătură, care sunt paralele cu Oz și au sensul de orientare spre rigid, reprezentate de reacțiunile normale pe planul de rezemare.
În acest caz, ecuațiile de echilibru sunt:
(5.27)
În aceste ecuații (5.27), condițiile de echilibru sunt evidențiate în prima, a doua și în ultima ecuație, de unde se poate deduce, ca primă concluzie a condițiilor de echilibru, că:
Sistemul de forțe direct aplicate rigidului trebuie să se reducă la o forță unică, normală pe planul de sprijin.
După introducerea rezultatelor din ecuațiile de echilibru (5.27) în expresia axei centrale, se observă că ecuația axei centrale reprezintă totodată și coordonatele forțelor paralele , aplicate în punctele A1, A2, … An, și anume:
(5.28)
În vederea calculării reacțiunilor se vor folosii ecuațiile trei, patru și cinci ale ecuațiilor de echilibru (5.27).
În Statică se consideră că în cazul în care rigidul este rezemat pe mai mult de trei puncte, problema nu poate fi determinată. Dar, pentru rigidul care se reazemă în trei puncte (n = 3), ecuațiile de echilibru sunt:
(5.29)
Determinantul sistemul (5.29) trebuie să fie diferit de zero. Numai în acest caz sistemul admite soluții de determinare, care vor putea exprima condiția de necoliniaritate a punctelor A1, A2 și A3, considerate puncte de rezemare. Astfel, determinantul va fi:
(5.30)
Din ecuațiile de echilibru (5.27) care au fost folosite pentru calculul reacțiunilor, și din sistemul (5.29), luând în considerare că Ni > 0, xi > 0 și yi > 0, se deduc condițiile: Fz<0, Mx < 0, My > 0. Se poate deduce că:
Rezultanta forțelor direct aplicate care acționează pe axa centrală este normală pe planul de sprijin și orientată spre acest plan.
Această rezultantă a forțelor direct aplicate va intersecta planul de sprijin în interiorul unui poligonul de sustentație. Acest poligon este convex, are arie minimă și conține, fie în interiorul lui, fie pe laturi, toate punctele de rezemare, A1, A2, … An.
5.2.3.2. Echilibrul rigidului cu o axă fixă
Fie un rigid cu o axă fixă, definită de articulațiile sferice O1 și O2, cu
O1O2 = h, acționat de un sistem de forțe direct aplicate (fig. 5.11).
Conform axiomei legăturilor se introduc reacțiunile și , în O1 și O2.
(5.31)
Se consideră Oz axă fixă, iar torsorul forțelor aplicate în punctul format din rezultanta și momentul rezultant .
(5.32)
Ecuațiile scalare de echilibru, în raport cu axele sistemului Oxyz sunt:
(5.33)
Ultima ecuație din sistemul de ecuații scalare de echilibru (5.33) este de fapt condiția de echilibru, deci: este necesar c a rezultanta forțelor exterioare direct aplicate să fie coplanară cu axa fixă.
Din primele cinci ecuații ale sistemului (5.33) se pot calcula reacțiunile:
(5.34)
Din punct de vedere static nu se pot afla separat reacțiunile R1z și R2z, (problema este nedeterminată), deoarece există doar cinci ecuații și șase reacțiuni. Constructiv poate fi ridicată nedeterminarea, dacă se consideră că articulația sferică O2 este de fapt o articulație cilindrică, caz în care:
(5.35)
5.2.3.3. Echilibrul rigidului cu un punct fix
Fie un rigid cu un punct fix realizat prin articulația sferică O, acționat de un sistem de forțe direct aplicate (fig. 5.12).
În momentul în care corpul este eliberat de singura sa legătură din O, atunci intervine reacțiunea , adică efectul mecanic al legăturii,
(5.36)
Torsorul în punctul O al forțelor direct aplicate, este format din momentul rezultant și rezultanta :
(5.37)
Ecuațiile scalare de echilibru față de sistemul de axe cu originea în O, sunt:
(5.38)
Primele trei ecuații din sistemul (5.38) se folosesc la calculul reacțiunilor. Ultimele trei ecuații exprimă condiția de echilibru, și anume: rezultanta forțelor direct aplicate trebuie să treacă prin punctul fix O.
5.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare
5.3.1. Generalități asupra fenomenului de frecare
În paragraful de mai sus au fost prezentate legăturile fără frecare ale rigidului, stabilindu-se în acest sens că un rigid rezemat pe un alt rigid se va mișca atunci când , adică rezultanta forțelor exterioare, are o componentă oricât de mică aflată în planul tangent ale celor două corpuri, în punctul comun de contact. Dar această situație nu există în realitate, deoarece, pentru mișca rigidul respectiv, este necesar ca , să fie mai mare decât o anumită limită.
Din punct de vedere fizic, această explicație se poate explica prin faptul că corpurile sunt deformabile și, în momentul în care intră în contact, nu va exista un punct de contact O, ci o suprafață, iar pe această suprafață forțele de legătură sunt distribuite într-un mod diferit, de la caz la caz. (fig. 5.13).
Pe de altă parte, suprafața de contact are asperități care se întrepătrund și se deformează atunci când acționează asupra lor diferite forțe, intervenind și forțele de adeziune care apar între moleculele corpurilor în contact.
Torsorul forțelor direct aplicate, , în punctul teoretic de contact O, este:
(5.39)
Torsorul în punctul O, al forțelor de legătură , aplicate în punctele Ai este:
(5.40)
Condiția de echilibru este exprimată de ecuațiile vectoriale (5.9).
În vederea studierii forțelor și momentelor fiecărui element al torsorului, atât pentru forțele direct aplicate, cât și pentru forțele de legătură, se descompune fiecare element în câte două componente: una dirijată după normala comună On și alta cuprinsă în planul tangent [P], în punctul teoretic de contact O (fig. 5.14).
Forța are tendința să deplaseze corpul (C) în direcția normală la suprafața de contact, dar este împiedicată de reacțiunea normală .
Forța are tendința să deplaseze corpul (C) în planul tangent al suprafeței de sprijin, deplasare care poartă numele de alunecare, dar este împiedicată de reacțiunea adică de forță de frecare de alunecare.
Cuplul de moment are tendința de a roti corpul (C) în jurul normalei la suprafața de contact. Această tendință de rotație poartă numele de pivotare, dar i se opune cuplul de moment denumit și moment de frecare de pivotare.
Cuplul de moment are tendința de a roti corpul (C) în jurul unei axe din planul tangent la suprafața de contact. Această tendință se numește rostogolire , și i se opune cuplul de moment denumit moment de frecare de rostogolire.
Ținând cont de cele de mai sus, ecuațiile vectoriale echilibrului corpului (C) în acest caz devin:
(5.42)
Plecând de la cazul general se pot studia cazurile simple mai importante.
5.3.2. Frecarea de alunecare
Fie un torsor al forțelor direct aplicate și un torsor al forțelor de legătură care acționează asupra corpului (C) într-un punctul teoretic de contact O, și care au ca elemente numai forța rezultantă.
(5.43)
În cazul echilibrului cu frecare (fig. 5.15), reacțiunea este înclinată față de normala On, pentru care în componența sa și componenta normală , și o componentă în planul tangent , care este egală și de sens contrar componentei pe această direcție a rezultantei forțelor direct aplicate, .
Forța poartă denumirea de forță de frecare de alunecare și are punctul de aplicație teoretic de contact O,, direcția conform tendinței de mișcare și sensul opus tendinței de mișcare. Forța de frecare de alunecare nu este o forță preexistentă, ea producându-se doar atunci când corpul are tendința de alunecare.
Din cercetări experimentale întreprinse de Coulomb despre frecarea de alunecare, s-au putut deduce legile frecării.
Mărimea forței de frecare maximă, corespunzătoare stării de echilibru limită, este proporțională cu mărimea reacțiunii normale, coeficientul de proporționalitate se numește coeficient de frecare de alunecare.
În primă aproximație, coeficientul de frecare de alunecare nu depinde de viteza de alunecare și de mărimea reacțiunii normale; depinde de natura și gradul de prelucrare al suprafețelor în contact.
Starea de echilibru limită a corpului (C) este definită ca fiind starea mecanică ce se caracterizează prin faptul că forțele se echilibrează, mișcarea devenind astfel iminentă.
Forța de frecare de alunecare are expresia:
(5.44)
Se consideră că forța minimă de frecare se manifestă în momentul în care nu există o tendință de alunecare, iar forța maximă de frecare se manifestă în momentul în care începe mișcarea.
Din figura 5.20 se poate deduce că:
(5.45)
Comparând relațiile (5.44) și (5.45) rezultă:
(5.46)
în care este unghiul de frecare.
În momentul rotirii complete în jurul normalei On a suportului reacțiunii se realizează conul de frecare, a cărui axă este normala comună On, și a cărui unghi la vârf este 2.
Se consideră că corpul (C) este în echilibru atunci când reacțiunea se află fie în interiorul conului de frecare, fie la limită, pe marginea acestuia.
În opinia lui Coulomb, originea forțelor de frecare se află în existența asperităților de la suprafața corpurilor care se întrepătrund atunci când două corpuri se află în contact. Dacă unul dintre corpuri își începe mișcarea asperitățile sunt strivite, iar forța de frecare este tocmai forța care se opune acestor striviri.
Observații
În conformitate cu legile lui Coulomb, dacă înălțimile asperităților se micșorează, forța de frecare de alunecare se va micșora la rândul ei. Dar în realitate acest fapt este contrazis, deoarece forța de frecare de alunecare crește într-un moment dat din cauză că intervin alte fenomene, ca de exemplul forțele de adeziune intermoleculare, care în acest caz devin importante.
În momentul în care experiențe lui Columb au fost aprofundate, s-a constatat că coeficientului de frecare , variază invers proporțional cu viteza (scade odată cu creșterea vitezei),
De exemplu, valoarea lui coeficient de aderență 0, (coeficientul de frecare pentru corpurile aflate în repaus), este mai mare decât coeficientul de frecare dinamic , (coeficient de frecare pentru corpurile aflate în mișcare). Pentru exemplificare, se poate enumera:
Coeficientul de frecare oțel pe oțel; 0 = 0,25, = 0,1;;
Coeficientul de frecare stejar pe stejar: 0 = 0,55, = 0,35.
5.3.3. Frecarea de rostogolire
Fie cazul în care torsorul forțelor direct aplicate și cel al forțelor de legătură care acționează asupra corpului (C), în punctul teoretic de contact O (fig. 5.16) au expresiile:
Pentru realizarea echilibrului, este necesar ca:
(5.48)
Momentul tinde să producă rostogolirea corpului (C) pe corpul (C1), dar i se opune momentul de frecare de rostogolire . În practică, acest caz este întâlnit, spre exemplu, la roțile autovehiculelor, la bilele de rulmenți etc.
Pentru studierea fenomenului de frecare de rostogolire al roților de autovehicule, se consideră o roată de rază R, acționată de forța de tracțiune și de greutatea pe ax (fig. 5.17).
Figura 5.. Studiul fenomenului de rostogolire
În figura 5.17a se presupune că contactul dintre roată și planul orizontal este realizat într-un singur punct. Dacă se rămâne la ideea că acest contact este unul punctiform în O și nu se introduc și deformațiile, neintroducându-se reacțiunea și forța de frecare , atunci ecuațiile de echilibru sunt:
(5.49)
Din ultima ecuație a sistemului (5.49) se obține că F = 0, dar acest rezultat este contrazis de experiență prin faptul că se știe că roata autovehiculului poate să rămână în repaus chiar dacă asupra ei se acționează cu o forță orizontală , dacă valoare ei este mai mică decât o anumită limită.
În realitate, contactul dintre roată și calea de rulare nu are loc într-un punct, ci printr-o suprafață denumită pată de contact, pe care sunt distribuite reacțiuni normale și tangențiale (fig. 5.17b), putându-se aproxima că atât suportul rezultantei , cât și al reacțiunilor , trec prin punctul O.
Se constată și că suportul rezultantei a reacțiunilor normale se află la o distanța e de punctul teoretic de contact O, care se află în planul median al roții. Această distanță este determinată de faptul că zona de contact este asimetrică față de planul median, fiind mai mare în partea în care roata are tendința să se deplaseze (fig. 5.17c). Dacă roțile au pneuri, deplasarea suportului reacțiunii normale față de planul median este influențată și de fenomenului de histerezis specific cauciucului (energia disipată prin comprimarea părții anterioare este mai mare decât energia recuperată prin întinderea părții posterioare a zonei deformate).
În cazul poziției de echilibru limită, distanța maximă emax cu care se deplasează suportul reacțiunii normale față de O este egală cu s (emax=s) și poartă denumirea de coeficient de frecare de rostogolire.
Acest coeficient de frecare de rostogolire este influențat atât de raza roții, cât și de felul materialelor care intră în contact, și are dimensiunea unei lungimi. De exemplu, în cazul roților de tren (din oțel) în contact cu șina de cale ferată , iar în cazul bilei de rulment pe inel, .
Dacă forțele de legătură în punctul teoretic de contact O sunt reduse, se obține situația din figura 5.17d, în care apar: reacțiunea normală , forța de frecare de alunecare și momentul de frecare de rostogolire , care se opune ca sens tendinței de rostogolire și se calculează astfel:
(5.50)
Momentul minim de frecare de rostogolire este atunci când nu există tendință de rostogolire, iar momentul maxim se realizează atunci când începe rostogolirea.
În practică, este foarte importantă condiția necesară pentru ca o roată să se deplaseze prin rostogolire fără alunecare (patinare), adică forța de frecare de alunecare care se dezvoltă între roată și calea de rulare să fie mai mică decât valoarea ei maximă, . Fără existența forței de aderență , care este o mărime necunoscută, nu s-ar putea realiza rostogolirea roții, datorită faptului că aceasta ar aluneca la cea mai mică valoare a forței de tracțiune .
Aplicații
1. Roata trasă. Se consideră roata unui vehicul, de rază r și greutate la ax, , având coeficienții de frecare de alunecare și de rostogolire s, trasă cu o forță , pe un plan înclinat de unghi (fig.5.18). Să se determine valoarea maximă a forței de tracțiune pentru echilibru.
Rezolvare. Izolând corpul se introduc forțele , și momentul , sensurile acestora fiind date de tendințele de alunecare în sens ascendent și rostogolire în sens orar.
Ecuațiile de echilibru sunt:
Din primele trei relații deducem:
care introduse în cele două inegalități conduc la condițiile de echilibru:
sau explicitând în funcție de F:
Numai una din cele două condiții este hotărâtoare pentru menținerea echilibrului, și anume, cea mai mică:
dacă , , roata se va pune în mișcare prin rostogolire când F depășește această limită.
dacă , , roata se va pune în mișcare prin alunecare când F depășește această limită.
2. Roata motoare. Se consideră roata unui vehicul, de rază r și greutate la ax, , având coeficienții de frecare de alunecare și de rostogolire s, acționată cu o forță de tracțiune și un cuplu motor , pe un plan înclinat de unghi (fig. 5.19). Să se determine valorile maxime ale forței de tracțiune și ale cuplului motor pentru echilibru.
Rezolvare. Sensurile forței de frecare de alunecare și ale momentului de frecare de rostogolire sunt date respectiv de forța și momentul .
Pentru echilibru se scriu ecuațiile:
Din primele trei relații deducem:
care introduse în cele două inegalități conduc la condițiile de echilibru:
sau explicitând prima relație în funcție de F și a doua relație în funcție de M:
Prima inegalitate exprimă condiția ca roata să nu alunece, condiție din care rezultă valoarea minimă a coeficientului de frecare de alunecare, pentru care este posibilă remorcarea.
Dacă , tracțiunea nu este posibilă, oricât de mare ar fi valoarea cuplului motor M.
5.3.4. Frecarea de pivotare
Fie cazul în care torsorul forțelor direct aplicate și cel al forțelor de legătură care acționează asupra corpului (C), în punctul teoretic de contact O (fig. 5.20) au expresiile:
; (5.51)
Pentru echilibru este necesar ca:
(5.52)
Explicația fizică a fenomenului constă în apariția în punctele de contact dintre corpul (C) și legătura (C1) a unor reacțiuni normale pi și a unor forțe tangențiale ti = pi, care provoacă momentul de pivotare .
Forțele care acționează asupra corpului (C ) – sau a arborelui, produc reacțiuni normale pe suprafața de rezemare din capătul arborelui, suprafață care se numește lagăr axial sau lagăr pivot. Sub acțiunea momentului exterior , arborele se rotește în jurul axei sale On, efectul forțelor de frecare care se manifestă pe suprafața de contact dintre capătul arborelui și lagăr, în raport cu axa arborelui, fiind momentul de pivotare .
Se ia în considerare situația arborelui vertical cu suprafața de rezemare în lagăr de forma unei coroane circulare care are razele r și R (fig. 5.27). Se presupune același coeficient de frecare de alunecare , între capătul arborelui și lagăr, în toate punctele de contact. Dacă se exprimă reacțiunea normală totală din condiția de echilibru a arborelui (N = F), atunci rezultă că presiunea de contact dintre arbore și lagăr este:
(5.53)
Se poate spune că suprafața elementară în coordonate polare este,
(5.54)
atunci reacțiunea normală pe suprafața elementară devine:
(5.55)
iar forța de frecare elementară maximă este:
(5.56)
Momentul de frecare elementar produs de forța de frecare elementară maximă în raport cu axa de rotație a arborelui este:
(5.57)
Momentul de frecare total, adică momentul de frecare de pivotare, în cazul echilibrului limită are expresia:
(5.58)
cu specificația că:
(5.59)
În care este coeficientul de frecare de pivotare, care are dimensiunea unei lungimi. Atunci, expresia momentului de frecare de pivotare maxim devine:
(5.60)
sau, în cazul general, ea este:
(5.61)
Momentul minim de frecare de pivotare se realizează atunci când nu există tendință de pivotare, iar cel maxim, în momentul începerii pivotării.
În cazul în care suprafața de rezemare în lagăr este circulară de rază R (r = 0), expresia momentului de frecare de pivotare devine:
(5.62)
În practică, frecarea de pivotare are multe aplicații, de exemplu la ambreiajul cu disc de la autovehicule.
5.3.5. Frecarea în lagărul radial (articulația cilindrică)
Se urmărește determinarea momentului de frecare care se dezvoltă într-o articulație cilindrică cu joc, în ipoteza simplificată a unei frecări uscate (coulombiene). În figura 5.22 este reprezentat lagărul presupus fix, într-un plan perpendicular pe axa de rotație, precum și fusul, adică partea din arbore care intră în lagăr. În aplicațiile practice, între lagăr și fus se introduce o piesă numită bucșă, care este fixată în lagăr și este confecționată dintr-un material mai moale decât cel din care este fabricat fusul, pentru a asigura o protecție la uzură a fusului. Poziția de echilibru limită a fusului care se rotește în momentul în care asupra lui acționează un cuplu de moment orientat după axa de rotație, este caracterizată de unghiul .
Mișcarea fusului este o rostogolire în jurul generatoarei de contact, care se deplasează față de punctul O (punctul de contact dintre fus și lagăr, în poziția de repaus) cu unghiul , în sensul de rostogolire. Mărimea unghiului , depinde de aderența fusului pe lagăr, deoarece fusul se va rostogoli până se va produce alunecarea, adică =, unde este unghiul de frecare dintre fus și lagăr.
Torsorul forțelor direct aplicate fusului, calculat pe axa C a acestuia, este reprezentat din forța orientată perpendicular pe axa fusului, adică după rază (de aici și denumirea de lagăr radial) și din momentul motor , orientat după axa acestuia. Mărimea momentului motor trebuie să fie egal la limita echilibrului cu momentul de frecare din lagăr Mf. Torsorul forțelor de legătură, calculat pe generatoarea de contact I (unde are loc un fenomen de frecare de alunecare și unul de rostogolire) este alcătuit din cele trei elemente specifice rezemării unei roți:
– reacțiunea normală;
– forța de frecare de alunecare;
– momentul de frecare de rostogolire.
Dacă raza fusului este considerată r, atunci ecuațiile de echilibru sunt:
(5.63)
Din primele trei ecuații ale sistemului (5.63) se obține:
(5.64)
care, dacă sunt introduse în cele două inegalități ale sistemului (5.63) conduc la condițiile de echilibru:
(5.65)
Pentru o bună funcționare este necesar ca frecarea în lagăr să fie mică. În cazul echilibrului limită, conform primei relații (5.65) se poate scrie:
(5.66)
Datorită faptului că unghiul este mic, se pot face aproximațiile:
(5.67)
Dacă se introduc aproximațiile (5.67) în a doua inegalitate (5.65), se obține:
(5.68)
Se notează coeficientul de frecare din lagăr cu:
(5.69)
și se fac notațiile:
(5.70)
În momentul în care se introduce expresia coeficientului de frecare din lagăr (5.69) și notațiile (5.70) în relația (5.68), va rezulta expresia momentului de frecare din lagăr.
(5.71)
Explicația notațiilor (5.70) constă în faptul că, conform principiului acțiunii și al reacțiunii, momentul motor , la limita echilibrului este egal și de sens contrar cu momentul de frecare din lagăr , iar forța care reprezintă acțiunea fusului asupra lagărului este egală și direct opusă cu reacțiunea lagărului (articulației cilindrice) . Aceasta din urmă se descompune în plan în două componente, orizontală și verticală , adică .
De fapt, fenomenele de frecare dintr-un lagăr sunt mult mai complexe. Rezultatele care s-au obținut anterior pot conduce la soluții acceptabile din punct de vedere calitativ, dar pentru o mai bună acuratețe a calculului sunt necesare măsurători experimentale pentru determinarea unui a coeficient de frecare din lagăr ’ cât mai aproape de realitate.
Dacă se analizează lagărul cu rulmenți (fig. 5.23), se observă că între fusul de rază r și lagăr are loc o rostogolire a bilelor de rulment. Într-un punct oarecare A, de contact între fus și una din bilele rulmentului (fig. 5.23b) torsorul forțelor de legătură este format din reacțiunea normală , forța de frecare și cuplul de rostogolire, de moment
În acest caz, ecuația de echilibru a fusului devine:
(5.72)
Pentru ca expresiile Ffi și Mri să poată fi determinate, se consideră că una dintre bilele rulmentului de rază r1, acționată de forțele și cuplurile reprezentate în figura 5.23c. Se neglijează în calcul greutatea proprie a bilelor pentru că este foarte mică în comparație cu celelalte forțe.
Conform ecuației de momente în raport cu centrul O al bilei, rezultă:
(5.73)
Din relațiile (5.72) și (5.73) se obține:
(5.74)
Ținând seama că la limita echilibrului, momentul motor M este egal cu momentul de frecare din lagăr Mf, că suma reacțiunilor din lagăr reprezintă reacțiunea totală a lagărului R, și exprimând momentele de frecare de rostogolire Mri în funcție de reacțiunile din lagăr Ni, pot fi scrise relațiile:
(5.75)
unde s este coeficientul de frecare de rostogolire dintre bilă și fus, respectiv lagăr.
Introducând relația (5.75) în (5.74), rezultă:
(5.76)
Notând ”, coeficientul de frecare din lagărul cu rulmenți, a cărui expresie este:
(5.77)
expresia momentului de frecare din lagărul cu rulmenți devine:
(5.78)
Comparând expresiile coeficienților de frecare (5.69) când mișcarea relativă dintre fus și lagăr este o alunecare, cu (5.77) când mișcarea relativă între fus și lagăr este o rostogolire, se constată că:
(5.79)
adică momentul de frecare de rostogolire este mult mai mic în cazul lagărului cu rulmenți decât în cazul lagărului cu bucșă.
5.4. Probleme rezolvate
Problema 5.4.1.
Bara omogenă din figura 5.24, AB = 4a, de greutate G, este înclinată cu unghiul α față de orizontală și rezemată în punctele A, E, D. Date dimensiunile și unghiul, se cer reacțiunile din reazemele A, E și D.
Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducând reacțiunile normale în reazemele A, E și D, apoi se scriu ecuațiile de echilibru în raport cu sistemul de referință xOy ales în figura 5.25.
Rezolvând sistemul de ecuații rezultă că reacțiunile în punctele D, E și A au valorile:
; ;
Problema 5.4.2
Cu datele din figura 5.26 să se determine reacțiunile din articulația A și reazemul B, pentru bara următoare.
Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii din articulația A și reacțiunea normală din punctul B. Sarcina q0, uniform distribuită pe porțiunea BD, se înlocuiește cu o rezultanta egală cu aria suprafeței distribuite și este aplicată în centrul de greutate a suprafeței . Se alege un sistem de referință xOy, figura 5.27 și se scriu ecuațiile de echilibru.
Rezolvând sistemul de ecuații, rezultă că reacțiunile în punctul B și în articulația A au valorile:
; ;
Problema 2.3.3
Placa omogenă din figura 5.28 de greutate G, este ținută în poziție orizontală de trei fire legate în punctele A, B și D. Se dau lungimile , , , . Să se determine coordonatele centrului de greutate al plăcii și tensiunile din fire.
Rezolvare
Pentru a determina centrul de greutate al plăcii se descompune placa omogenă din figura 5.28 în plăci simple, pentru a fi ușor de determinat coordonatele centrelor de greutate, ariile și momentele statice în raport cu axele.
Aplicând teorema momentelor statice în raport cu axele, rezultă pentru centru de masă:
;
Se eliberează bara de legături, introducând forțele de tensiune din fire (figura 5.29). Tensiunile sunt aplicate: S1 în punctul B, S2 în punctul D, S3 în punctul A. În sistemul de referință ales, ecuațiile scalare de echilibru sunt:
Rezolvând sistemul de ecuații, se obțin tensiunile din fire:
S1 = 0,34G; S2 = 0,36G; S3 = 0,29G.
Problema 5.4.4
Bara omogenă din figura 5.30, ,de greutate G este înclinată cu unghiul α față de orizontală; bara este articulată în punctul A. Prin intermediul unui fir înclinat cu unghiul β față de bară din punctul C , este legată greutatea Q care trece printr-un inel fără frecare. Să se determine reacțiunea din articulația A a barei.
Rezolvare
Se eliberează bara de legături, (figura 5.31), introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii din articulația A și forța de tensiune din fir S. În sistemul de referință ales, se scriu ecuațiile scalare de echilibru:
Rezolvând sistemul de ecuații se obțin componentele H și V ale reacțiunii în articulația din punctul A și tensiunea din fir:
; ;
Problema 5.4.5
Cu datele din figura 5.32 să se determine reacțiunile din articulația A și reazemul B pentru bara următoare
Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii din articulația A și reacțiunea normală din punctul B, și alegem un sistem de referință xOy, (figura 5.40).
Figura 5.
Sarcina 2q0, triunghiular distribuită, pe porțiunea AD, se înlocuiește cu rezultanta aplicată în centrul de greutate, și sarcina q0 uniform distribuită pe porțiunea BE, se înlocuiește cu rezultanta aplicată în centrul de greutate, deci la jumătatea lui BE.
Se scriu ecuațiile scalare de echilibru:
Rezolvând sistemul de ecuații se obțin componentele H și V ale reacțiunii din articulația A și reacțiunea normală din punctul B:
; ; .
Problema 5.4.6
Cu datele din figura 5.37 să se determine reacțiunea din încastrarea A pentru bara următoare.
Rezolvare
Se eliberează bara de legături introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii și momentul M din încastrarea A. Sarcina q0 uniform distribuită pe porțiunea CD, se înlocuiește cu rezultanta aplicată în centrul de greutate, deci la jumătatea lui CD. Se alege un sistem de referință xOy, figura 5.35.
Se scriu ecuațiile scalare de echilibru:
Rezolvând sistemul de ecuații, se obțin componentele H și V ale reacțiunii și momentul M din încastrarea A:
; ;
Problema 5.4.7
Cu datele din figura 5.36 să se determine reacțiunile din articulația A și reazemul B, pentru bara următoare.
Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii din articulația A și reacțiunea normală din punctul B. Sarcina trapezoidal distribuită pe porțiunea BD, considerând trapezul format dintr-un dreptunghi și un triunghi, se înlocuiește cu două rezultante și , aplicate în centrele de greutate. Se alege un sistem de referință xOy, figura 5.37 și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezolvând sistemul de ecuații se obțin componentele H și V ale reacțiunii din articulația A și reacțiunea normală din punctul B.
; ;
Problema 5.4.8
Bara AB, considerată fără greutate proprie, este articulată în punctul A și simplu rezemată în punctul B. Cu datele din figura 5.38 să se determine reacțiunile din articulația A și reazemul B, pentru bara următoare.
Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii din articulația A și reacțiunea normală din punctul B. Sarcina q0, uniform distribuită pe porțiunea AC, se înlocuiește cu rezultanta și sarcina triunghiular distribuită pe porțiunea CD cu , sunt aplicate în centrele de greutate.
Se alege un sistem de referință xOy, figura 539 și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezolvând sistemul de ecuații se obțin componentele H și V ale reacțiunii din articulația A și reacțiunea normală din punctul:
;
;
.
Problema 5.4.9
O grindă cotită OABC, de greutate neglijabilă, este articulată în punctul O și simplu rezemată în C. Asupra grinzii din figura 5.40 acționează sarcina uniform distribuită 2q0, sarcina triunghiular distribuită q0, forțele P și cuplul de moment M. Să se determine reacțiunile din articulația O și reazemul C.
Rezolvare
Se eliberează grinda de legături, introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii din articulația O și reacțiunea normală din punctul C. Sarcina uniform distribuită 2q0 se înlocuiește cu rezultanta și sarcina triunghiular distribuită pe porțiunea BC cu . Se alege un sistem de referință xOy, figura 5.41.
Se scriu ecuațiile scalare de echilibru:
Rezolvând sistemul de ecuații, se obțin componentele H și V ale reacțiunii din articulația O și reacțiunea normală din punctul C:
; ;
Problema 5.4.10
Bara omogenă , de greutate G din figura 5.42 este înclinată cu unghiul α față de orizontală, articulată în punctul A și simplu rezemată în punctul B. În punctul C este legat un fir care face unghiul β față de bară, acest fir este trecut peste un scripete fără frecare, de fir atârnând o greutate Q.
Asupra barei mai acționează și cuplul de moment M. Se cer reacțiunile din punctele A și B.
Rezolvare
Se eliberează bara de legături, introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii din articulația A, reacțiunea normală din punctul B și forța de tensiune din fir Q. Se alege un sistem de referință xOy și se scriu ecuațiile scalare de echilibru, figura 5.43.
Rezolvând sistemul de ecuații, se obțin componentele H și V ale reacțiunii din articulația A și reacțiunea normală din punctul B:
5.5. Probleme propuse
Problema 5.5.1
Grinda din figura 5.44 în formă de L, de greutate neglijabilă, având forma și dimensiunile indicate, este rezemată în punctul D și articulată în punctul E. Asupra grinzii acționează forțele verticale 2P, 3P și forța orizontală P.
Se cere să se determine reacțiunile din articulația E și reazemul D.
Rezolvare
Se alege un sistem de referință xOy. Se eliberează grinda de legături, introducându-se cele două componente H și V ale reacțiunii din articulația E și reacțiunea normală din punctul D. Se scriu ecuațiile de echilibru, obținându-se un sistem de trei ecuații și trei necunoscute. După rezolvarea sistemului rezultă:
; ;
Problema 5.5.2
Grinda ABC în formă de L, de greutate neglijabilă, având forma și dimensiunile indicate în figura 5.45, este rezemată în punctul D și articulată în punctul E. Asupra grinzii acționează forțele verticale 2P, 4P și forța orizontală 3P. Să se determine reacțiunile din articulația E și reazemul D.
Rezolvare
; ; .
Problema 5.5.3
O grindă cotită OABC, de greutate neglijabilă, este încastrată la extremitatea O. Forma, dimensiunile și încărcarea grinzii sunt date în figura 5.46. Să se determine reacțiunile din încastrarea O.
Rezolvare
; ;
Problema 5.5.4
O grindă cotită OABC, de greutate neglijabilă, este articulată în punctul O și simplu rezemată în C, figura 5.47. Asupra grinzii acționează forța uniform distribuită q0, forța triunghiular distribuită 2q0 și forța 2P înclinată față de orizontală cu unghiul α. Să se determine reacțiunile din articulația O și reazemul C.
Rezolvare
; ;.
Problema 5.5.5
Bara omogenă AB=l de greutate G din figura 5.48 este înclinată cu unghiul α față de orizontală. Bara este articulată în punctul A iar de capătul B este legat un fir care este prins de un perete, BD=l. Să se determine reacțiunea în punctul A și tensiunea din fir.
Rezolvare
; ;
Statica sistemelor materiale
6.1. Echilibrul sistemelor materiale
6.1.1. Sistemul material
Sistemul material este un ansamblu de puncte, materiale sau corpuri solide, aflate în interacțiune cu mediul înconjurător.
Asupra unui sistem material acționează următoarele forțe:
Forțe aplicate direct, precum și reacțiunile dintre legături, denumite forțe exterioare;
Forțe de interacțiune mecanică dintre elementele din care este constituit sistemul, denumite forțe interioare.
6.1.2. Torsorul forțelor interioare
Fie un sistem de corpuri cu dimensiuni negijabile în raport cu distanțele dintre ele, respectiv un sistem de puncte materiale M1, M2, Mn. Se vor studia mai jos punctele Mi și Mj (fig.6.1).
Asupra punctului Mi acționează forțele exterioare și forțele interioare (j= 1, 2, …n).
Aplicând principiului acțiunii și al reacțiunii, se va observa că forțele interioare sunt egale două câte două în având mărimi și de sensuri opuse. Așadar:
(6.1)
Dacă se consideră vectorii de poziție ai punctelor Mi și Mj, respectiv și , torsorul celor două forțe interioare analizate într-un punct oarecare O conform relației (6.1) este:
(6.2)
Aceste rezultate au fost obținte și datorită coliniarităților vectorilor și ().
În concluzie, se poate spune că, în orice punct, torsorul unei perechi de forțe interioare este nul.
Torsorul în punctul O al tuturor forțelor interioare care acționează asupra punctului Mi este:
(6.3)
Dacă se generalizează ecuația (6.3), atunci se poate afirma că pentru întregul sistemul material se poate spune că:
(6.4)
Rezultatele obținute în relația (6.4) s-au bazat pe relația (6.2), și anume: forțele de legătură interioare formează pentru fiecare două puncte oarecare din sistem, sisteme de două forțe cu torsorul nul, în orice punct.
Rezultă că, într-un sistem material, torsorul forțelor interioare este nul în orice punct.
6.1.3. Echilibrul sistemelor materiale. Teoreme și metode
6.1.3.1. Metoda izolării elementelor
Conform definiției, un sistem de puncte materiale este în echilibru atunci când toate punctele din sistem se află în echilibru.
Având în vedere însă că asupra punctului Mi din sistem acționează atât forțe exterioare – rezultanta lor fiind –, cât și forțele interioare – cu rezultanta , rezultă de aici că condiția de echilibru a punctului Mi este:
(i = 1, 2, …..n) (6.5)
Așa cum s-a specificat în paragrafele anterioare, rezultanta forțelor exterioare și interioare care acționează asupra punctului este nulă.
În urma acestei condiții, s-a dezvoltat în rezolvarea problemelor de statică a sistemelor materiale metoda izolării elementelor, metodă prin care fiecare element constitutiv al sistemului, indiferent dacă este punct material sau solid, se izolează din sistem, studiindu-se apoi echilibrul acestuia sub acțiunea forțelor exterioare și interioare ale sistemului.
6.1.3.2. Teorema solidificării
Teorema solidificării este utilizată pentru eliminarea din calcule a forțelor interioare. Dacă se aplică ecuațiile de forma (6.5), pentru toate punctele dintr-un sistem, rezultă că:
(6.6)
Înmulțind vectorial relația (6.6) cu vectorul de poziție , al punctului Mi și însumând pentru toate punctele din sistem rezultă:
(6.7)
Introducând în relațiile (6.6) și (6.7) rezultatele din (6.4) obținem condiția de echilibru a sistemului material:
(6.8)
Se știe deja că torsorul în punctul O al forțelor exterioare care acționează asupra sistemului este:
(6.9)
Dacă se introduce relația (6.9) în (6.8), se obține o altă formă a condiției de echilibru a unui sistem material.
(6.10)
Atât relația (6.8), cât și relația (6.10), respectă condiția de echilibru a unui sistem material, și anume ca torsorul forțelor exterioare în orice punct al sistemului să fie nul.
Aceste relații exprimă din punct de vedere formal condiția de echilibru pentru solidul rigid, dar ele puteau și puteau fi scrise și direct, prin solidificarea legăturilor interioare sistemului – de unde se poate formula teorema solidificării:
Dacă un sistem deformabil, liber sau supus la legături este în echilibru sub acțiunea unui sistem de forțe exterioare, atunci sistemul considerat ca rigid nedeformabil (prin solidificarea legăturilor interioare) este în echilibru sub acțiunea forțelor direct aplicate și din legăturile exterioare.
Conform acestei teoreme se poate stabili metoda solidificării, o altă metodă de rezolvare a problemelor staticii rigidului sistemelor materiale, deformabile și nedeformabile.
Pentru un sistem deformabil, în care distanțele dintre elemente pot avea modificări, relațiile (6.9) și (6.10) sunt condiții necesare, dar nu suficiente. Astfel, în ecuația (6.10) poate fi îndeplinită condiția pentru sistemele deformabile, dar echilibrul poate să nu fie asigurat pentru că nu implică obligatoriu și îndeplinirea condiției din ecuația (6.5).
Dar, pentru un sistem nedeformabil, condițiile din relațiile (6.9) și (6.10) sunt suficiente, deoarece sunt ecuații de echilibru pentru un rigid.
6.1.3.3. Teorema echilibrului părților
Teoria echilibrului părților este folosită în general pentru verificări sau atunci când este necesară determinarea mai facilă a unor necunoscute.
Conform acestei teorii, în cazul în care un sistem material deformabil – indiferent dacă este liber sau dacă asupra lui acționează legături –, este în echilibru atunci când asupra lui acționează forțe exterioare, rezultă că o parte din sistem considerată ca rigid nedeformabil este în echilibru sub acțiunea forțelor exterioare corespunzătoare și a forțelor interioare reprezentând acțiunea restului sistemului asupra părții considerate.
6.1.4. Sisteme static determinate și static nedeterminate
Ecuațiile rezultate din cele trei teoreme prezentate anterior nu sunt independente.
Prin ecuațiile de echilibru rezultate din teorema solidificării și prin teorema echilibrului părților sunt de fapt combinații liniare rezultate din ecuațiile de echilibru ale metodei izolării elementelor. În cazul unui sistem de corpuri n, numărul ecuațiilor de echilibru independente pentru sisteme spațiale este de 6n, iar pentru sisteme plane de 3n.
Atunci când ecuațiile de echilibru sunt insuficiente pentru rezolvarea problemelor, trebuie introduse în rezolvare relații independente suplimentare geometrice, sau relații care să conțină mărimea forțelor, sau relații conținând mărimea momentelor de frecare etc. În cazul în care și după completarea acestor ecuații sistemul conține mai multe necunoscute decât numărul ecuațiilor, sistemul este static nedeterminat.
Ordinul de nedeterminare este dat de diferența dintre numărul ecuațiilor și numărul necunoscutelor, iar pentru ca problema să poată fi rezolvată, pe lângă ecuațiile de echilibru static este necesar să fie introduse și ecuații de echilibru elastic sau de deformații – tratate de mecanica rigidului deformabil.
6.2. Probleme rezolvate
Problema 6.2.1
Trei bare de lungimi , și greutăți 2G și G sunt articulate între ele în punctele B și C, (figura 6.2). Se cunoaște unghiul α pe care-l face bara CD cu verticala, în punctul D, fiind încastrată, iar bara orizontală AB se reazemă în punctul A. Să se determine reacțiunile în A, B, C și D.
Rezolvare
Se izolează toate corpurile sistemului.
Condițiile de echilibru pentru forțele care acționează asupra fiecărui corp, se scriu utilizând sistemul de axe O’XY.
Pentru corpul 1 (figura 6.2.a):
Pentru corpul 2 (fig. 6.2.b):
Pentru corpul 3 (figura 6.2.c):
Sistemul este format din 9 ecuații și are necunoscutele: NA, HB, VB,, HC, VC ,HD, VD, MD. Rezolvând sistemul rezultă:
; ;
; ; .
Problema 6.2.2
Pentru sistemul din figura 6.3 se știu greutățile barelor articulate, unghiurile α și β și lungimile lor. Se cere să se determine reacțiunile din articulațiile A , O, M și B.
Figura 6.
Rezolvare
Se izolează toate corpurile sistemului.
Condițiile de echilibru pentru forțele care acționează asupra fiecărui corp se scriu utilizând sistemul de axe O’XY.
Pentru corpul 1 (figura 6.3.a)
Pentru corpul 2 (figura 6.3.b.)
Pentru corpul 3 (figura 6.3.c):
Sistemul este format din 9 ecuații și are necunoscutele: HA, VA, HO, VO, HM, VM, HB, VB. Rezolvând sistemul, rezultă:
;
Problema 6.2.3
Se consideră sistemul de corpuri din figura 6.4. Asupra barei orizontale OC de lungime 4a și greutate neglijabilă, acționează o forță P și o sarcină uniform distribuită p0, în O fiind o articulație, iar în C simplu rezemată de bara OaA. Aceasta are și ea greutate neglijabilă și face un unghi α față de orizontală, capătul O fiind încastrat. Pe ea se reazemă în C un corp punctual de greutate G, în echilibru, cu frecare de coeficient μ. Se cere să se determine valoarea greutății G, iar apoi să se determine reacțiunile din O, A, C și O1, știind că .
Figura 6.
Rezolvare
Se izolează toate corpurile sistemului.
Condițiile de echilibru pentru forțele care acționează asupra fiecărui corp se scriu utilizând sistemul de axe O’XY.
Pentru corpul 1 (figura 6.4.a):
Pentru corpul 2 (figura 6.4.b):
Pentru corpul 3 (figura 6.4.c):
La aceste ecuații se mai adaugă și:
,
adică:
Sistemul este format din 8 ecuații și o inecuație și are necunoscutele: P, NA, HO1, VO1, MO1, NC, S, T.
Rezultă că dacă corpul nu poate fi în echilibru oricât ar fi valoarea lui G. Rezolvând sistemul rezultă:
; ; ;
; ;
;
Problema 6.2.5.
Barele omogene din figura 6.5, formează un sistem de corpuri, fiind articulate în B și C. Dacă se cunosc lungimile barelor , greutatea barei G, în A fiind încastrată , G2 și forța F1, se cere să se determine unghiurile α și β la echilibru și reacțiunile din încastrarea A și articulațiile B și C.
Rezolvare:
Se izolează toate corpurile sistemului.
Condițiile de echilibru pentru forțele care acționează asupra fiecărui corp se scriu, utilizând sistemul de axe O’XY.
Pentru corpul 1 (figura 6.5.a.):
Pentru corpul 2 (figura 6.5.b.):
Pentru corpul 3 (figura 6.5.c):
Sistemul este format din 9 ecuații și are necunoscutele: HA, VA, MA, HB, VB, HC, VC, α, β.
Rezolvând sistemul rezultă:
; ;
; ; ;
;
Problema 6.2.5
Se dă sistemul de bare articulate în punctele A’, A, B, B’, C, . Cunoscându-se greutățile barelor BB’, AB, BC, ca fiind 2G, AA’ de greutate neglijabilă cu unghiul α față de orizontală, să se determine reacțiunile din A, B, C, A’, B’, poziția de echilibru fiind cea prezentată în figura 6.6.
Rezolvare
Se izolează toate corpurile sistemului.
Condițiile de echilibru pentru forțele care acționează asupra fiecărui corp, se scriu utilizând sistemul de axe O’XY.
Pentru corpul 1(fig.6.6.a):
Pentru corpul 2 (figura 6.6.b):
Pentru corpul 3 (figura 6.6.c):
S-a obținut un sistem global de 10 ecuații, cu necunoscutele: HA, VA, H’A, V’A, HB, VB, H’B, V’B, HC, VC.
Se rezolvă sistemul global și se obține:
; ;
; ;
Problema 6.2.6.
În figura 6.7. este reprezentat un sistem format din 2 bare articulate în O1 și O2, de greutăți diferite Q și G. Asupra punctului M acționează forța P la un unghi α față de orizontală. Să se determine reacțiunile din articulații pentru cazul aplicării succesive a forței P pe bara O1M, O2M și pe bolțul articulației. Se cunosc: ;
Rezolvare
Când bara (1) este sub acțiunea forței P, avem:
Cazul a)
Pentru (figura 6.7.a):
Pentru (figura 6.7.b):
Cazul b):
Când bara (2) este sub acțiunea forței P (figura 6.7.c) avem:
Pentru figura 6.7.d:
Cazul c):
Când forța P acționează pe bolț (figura 6.7.e):
Pentru (figura 6.7.f.):
Pentru Bolț (figura 6.7.g):
În urma rezolvării celor 3 sisteme pentru cazurile a, b și c se observă că reacțiunile din O1 și O2 sunt aceleași, și anume:
În M avem reacțiuni diferite, acestea fiind în strânsă corelație cu modul în care este aplicată forța
a) ,
b) ,
c)
Problema 6.2.7
În figura 6.8 este prezentat sistemul de corpuri format din bara omogenă AC, de lungime 2l și greutate neglijabilă, înclinată față de orizontală cu unghiul , articulată în A și rezemată în C, pe care se reazemă cu frecare de coeficient μ un corp omogen de greutate Prin intermediul unui fir înfășurat pe troliu (r, R și greutate G) acționează greutatea G1. Se cere să se determine valoarea minimă a greutății G1, astfel ca sistemul să rămână în echilibru, iar dacă , să se calculeze reacțiunile în A, B, C și O, știind că și .
Rezolvare
Figura 6.
Se izolează toate corpurile sistemului.
Condițiile de echilibru pentru forțele care acționează asupra fiecărui corp se scriu utilizând sistemul de axe O’XY.
Pentru corpul 1 (figura 6.8.a.)
Pentru corpul 2 (figura 6.8.b)
Pentru corpul 3, (figura 6.8.c), ecuațiile de echilibru sunt:
Pentru corpul 4 (figura 6.8.d):
Sistemul este format din 9 ecuații și o inecuație și are necunoscutele: G1, S1, S2, T, VA, HA, NB, NC, HO, VO.
Rezolvând sistemul și considerând ambele tendințe de alunecare ale corpului P pe bară, rezultă:
Pentru: .
Rezultă reacțiunile:
,
; ; ;
;
Problema 6.2.8
Într-un punct P este suspendată cu un fir de lungime a o sferă de rază R și greutate G. Bara omogenă de lungime 2a și greutate Q este fixată printr-o articulație în același punct, figura 6.9.
Să se determine mărimea unghiurilor θ și φ astfel încât bara și sfera să fie în echilibru.
Rezolvare:
Se observă că există următoarea relație geometrică:
.
Se aplică teorema solidificării:
;
Rezultă: ,
.
sau
În final:
unde: ; ;
Plecând de la aceste relații, problema poate fi rezolvată numeric.
Problema 6.2.9
Se consideră sistemul din figura 6.10. Troliul are razele R și 2R, greutatea G, iar în punctul A coeficientul de frecare este μ. Bara articulată în punctul O1 are greutatea 2G și lungimile și . De discul mic al troliului este prins un fir, la capătul căruia se găsește o placă articulată în punctul O3, placă de greutate P și rază 2l.
Se cer:
a) forța F pentru echilibru;
b) reacțiunile din punctele O1, O2 și O3 pentru F dat.
Rezolvare
a) Se izolează bara (vezi figura 6.10.a), înlocuindu-se articulația din punctul O1 și reazemul din A cu reacțiunile corespunzătoare.
Condițiile de echilibru cu frecare de alunecare sunt:
a)
b)
c)
d)
Se izolează troliul (vezi figura 6.10.b), se alege un sistem de referință xOy și se scriu ecuațiile de echilibru proiectate:
Ecuațiile de echilibru obținute la izolarea plăcii (figura 6.10.c) sunt:
Înlocuind în inegalitatea (d) forța de frecare T și reacțiunea normală N, se determină forța F.
Din ecuația (c) rezultă: , iar din ecuația (j) se obține , valoare care, înlocuită în ecuația (g), conduce la .
Rezultă: , de unde:
b) Reacțiunile din punctele O1, O2 și O3 se determină din ecuațiile scrise anterior. Astfel, reacțiunea orizontală H01 se găsește din ecuația (a):
.
Pentru a găsi reacțiunea verticală, se înlocuiește în ecuația (b) forța de frecare și rezultă:
.
Din ecuația (e) rezultă , iar reacțiunea verticală din punctul Oi se determină din ecuația (f):
Din ecuațiile (h) și (i) rezultă reacțiunile din punctul O3:
.
Problema 6.2.10
Sistemul din figura 6.11. este alcătuit dintr-un troliu articulat în punctul Or. La capetele firului se află o placă de greutate G și un disc de rază R și greutate P, care este în echilibru pe o bară înclinată cu unghiul α față de orizontală cu coeficient de frecare μ și coeficient de frecare de rostogolire s. Bara este articulată în O2 și rezemată în punctul B fără frecare.
În punctul O1 mai este articulată o bară în formă de l, de greutate neglijabilă, care la capătul O este încastrată. Asupra laturii OA a barei acționează o sarcină liniar distribuită de valoare maximă q. Dimensiunile barelor și ale plăcii sunt figurate pe desen.
Se cer:
a) P pentru echilibru;
b) reacțiunile din O1, O, B, O2.
Figura 6.
Rezolvare:
a) Pentru această problemă există două tendințe de mișcare. Prima tendință este ca discul să urce.
Se izolează fiecare corp în parte. Izolarea discului este prezentată în figura 6.11.a.
Ecuațiile de proiecție sunt:
a)
b)
c)
În plus, trebuie îndeplinite și condițiile de echilibru cu frecare de alunecare și rostogolire:
d)
e)
Înlocuind articulația din punctul O1 (vezi figura 6.11.b), se determină ecuațiile de echilibru:
f)
g)
h)
Înlocuind articulația din punctul O2 și reazemul din punctul B (vezi figura 6.11.c), ecuațiile de echilibru sunt:
i)
j)
k)
Pentru bara OAO1 (vezi figura 6.11.d), ecuațiile de echilibru sunt:
l)
m) n)
unde:
Astfel, relația (n) devine:
Forțele ce acționează asupra plăcii sunt tensiunea din fir S1, reacțiunile în punctul O3 și greutatea plăcii G (vezi figura 6.11.e).
o)
p)
r)
Din ecuația (a) rezultă:
Tensiunea S1 se determină din ecuația (r), deci:
Înlocuind în (h) pe S1, se determină S2:
Forța de frecare se obține din ecuația (b):
Din condiția (d), rezultă:
de unde: pentru ca discul să nu alunece.
La schimbarea tendinței de mișcare (discul coboară), condiția este:
, valoarea maximă a lui P pentru ca discul să nu alunece.
Din relația (c), rezultă valoarea momentului de rostogolire Mr:
, valoare care înlocuită în (e) conduce la:
, de unde , pentru ca discul să nu se rostogolească.
La schimbarea tendinței de mișcare se obține valoarea lui P pentru ca discul să nu se rostogolească:
Condiția de echilibru la alunecare pentru P este:
,
iar condiția de echilibru la rostogolire pentru P este:
sau
,
b) Reacțiunile se determină folosind ecuațiile anterioare.
Astfel, reacțiunea din punctul B se obține din ecuația (k):
Reacțiunile din punctul O2 sunt: HO2 și VO2.
Din ecuația (j) rezultă:
HO2 se determină din ecuația (i):
Pentru a afla reacțiunile din punctul O1, se folosesc ecuațiile (f) și (g).
În punctul O, reacțiunile sunt: VO, HO și MO. Reacțiunea verticală VO se află din ecuația (m):
Din ecuația (l) se determină reacțiunea HO:
Momentul ce apare datorită încastrării, se obține din (n):
6.3. Probleme propuse
Problema 6.3.1.
În figura 6.12 este reprezentat un sistem format dintr-un disc de rază R, articulat în C, de greutate neglijabilă, care se reazemă cu frecare de coeficient μ pe o bară OB încastrată în O și articulată în B de greutate 2G și lungime 2L, și o bară BC articulată la capete, de lungime 2l și greutate G. Discul este menținut în echilibru cu ajutorul greutății Se cere să se determine forța P, știind că
Răspuns:
; ;
; ;
;
Problema 6.3.2
De un troliu este prinsă o greutate Q care determină tendința de mișcare cu frecare a acestuia pe o bară AB de lungime 2l rezemată în B. Această bară este articulată în A de bara , de greutăți neglijabile, încastrată în O și înclinată față de orizontală cu un unghi α, figura 6.13.
Să se determine reacțiunile din O, A și C, știind că .
Figura 6.
Răspuns:
; ; ;
; .
Problema 6.3.3.
Un disc de rază R și greutate P se reazemă cu frecare pe bara orizontală de greutate G și lungime 4l, încastrată în O, figura 6.14.
El este menținut în echilibru de o greutate Q prinsă cu un fir de acesta. Cunoscând μ , s și , se cere să se afle valoarea maximă a lui Q pentru echilibru și reacțiunile din O și B.
Răspuns:
; iar
; ; ;
;
Problema 6.3.4.
O bară de greutate G este înclinată cu un unghi α față de orizontală și prinsă cu un fir de un troliu (R, r). Ea se reazemă fără frecare în punctul B de un perete vertical și cu frecare de coeficient μ în punctul A. Se cere să se determine valoarea forței P astfel încât sistemul să fie în echilibru, și reacțiunile din O, A și B.
Răspuns:
;
;
;
;
Problema 6.3.5.
Fie sistemul de corpuri din figura 6.16. Bata O1O de greutate neglijabilă, este încastrată în punctul O1 , este articulată în punctul O și reazemă cu frecare de alunecare (μ1) corpul de masă Troliul 2, de raze r, 2r și masă 2m, are o legătură prin fir cu corpul 1 și o alta, tot prin fir, pe diametrul mare, cu discul 3 de raze r, 4r și masa 10m.
Corpul 3 se reazemă cu frecare de alunecare și rostogolire (μ, s) pe bara 4 care este articulată în punctul O2 și rezemată în punctul O3. Bara 5 este încastrată cu sarcina liniar distribuită, de valoare maximă q.
Să se calculeze:
a) P pentru echilibrul sistemului;
b) reacțiunile din punctul O1 și O2 pentru Pmin.
6.4. Grinzi cu zăbrele
6.4.1. Ipoteze simplificatoare
Sistemele de bare rigide asamblate la extremități cu șuruburi, nituri sau prin sudură, se numesc sisteme de grinzi cu zăbrele.
Grinzile cu zăbrele sunt întâlnite în practică de exemplu în construcția podurilor, a macaralelor, a acoperișurilor halelor industriale. În cazul în care grinzile sunt orientate în spațiu se numesc grinzi cu zăbrele spațiale, iar în cazul în care barele sunt într-un singur plan, poartă denumirea de grinzi cu zăbrele plane. (fig. 6.17).
Figura 6.
În cazul grinzilor cu zăbrele plane, pentru dimensionarea și verificarea lor este necesară determinarea eforturilor din bare.
În acest sens, studiul grinzilor cu zăbrele plane pleacă de la ipotezele simplificatore de mai jos:
Se consideră nodul ca fiind locul de întâlnire a două sau mai multe bare considerate drepte.
Datorită faptului că nodul este o articulație, grinzile cu zăbrele poartă denumirea de sisteme de bare articulate, iar din cauza faptului că barele au configurație fixă, legăturile dintre ele sunt realizate prin intermediul guseelor, de care se fixează barele fie cu ajutorul niturilor (fig. 6.18.a), fie prin sudură (fig. 6.18b).
Punctele de aplicare a forțelor exterioare care acționează asupra grinzii cu zăbrele sunt nodurile. Datorită faptului că acestea sunt coplanare, legăturile grinzii cu zăbrele cu exteriorul se realizează tot cu ajutorul nodurilor.
Față de celelalte forțe care acționează asupra grinzii cu zăbrele, greutățile barelor sunt neglijabile. Dacă totuși este necesar în anumite probleme să se țină seama de greutatea barelor, aceasta se va repartiza egal în nodurile aflate la extremități.
6.4.2. Eforturi în bare
Fie o bară i–j solicitată în articulațiile i și j de rezultantele forțelor care acționează în aceste articulații, respectiv (fig. 6.19.a).
(6.11)
Din a doua relație (6.11), se observă că , deci rezultă coliniaritatea celor doi vectori este:
(6.12)
de unde rezultă că forța din nodul j care acționează asupra barei i–j trebuie să fie coliniară cu bara.
Din prima relație a ecuației (6.11) se observă că forțele din cele două noduri care acționează asupra barei i–j sunt egale și de sensuri contrare, ceea ce înseamnă că:
(6.13)
Dacă se notează cu , respectiv , forțele cu care nodurile i și j acționează asupra barei i–j, relația (6.13) devine:
(6.14)
De unde se observă că forțele cu care nodurile acționează asupra barei sunt egale, de sensuri contrare și au direcția barei.
În cazul în care bara se secționează în apropierea acestor noduri și se introduc forțele corespunzătoare din noduri, conform principiului acțiunii și al reacțiunii, bara reacționează cu forțe egale și de sensuri contrare, numite eforturi. Există două moduri de solicitare a barei:
Dacă eforturile „ies” și din bară și, respectiv, din nod, rezultă că bara are tendința de alungire, deci bara este solicitată la întindere (fig. 6.19.b).
Dacă eforturile „intră” în bară și, respectiv, în nod, rezultă o tendință de scurtare a barei, deci bara este solicitată la compresiune (fig. 6.19.c).
6.4.3. Grinzi cu zăbrele static determinate
Direcțiile pe care acționează eforturile în bare se pot deduce din ecuațiile de echilibru ale forțelor aplicate acestora, iar sensul și mărimile acestor forțe se pot afla din studiul echilibrului nodurilor.
Dacă se face proiecția pe axele sistemului Oxy a ecuației vectoriale de echilibru a nodului, se pot duce câte două ecuații scalare de echilibru pentru fiecare nod. Rezultanta acestor forțe care acționează în nod va fi nulă.
În consecință, dacă se consideră că n este numărul nodurilor grinzii cu zabrele, atunci 2n va fi numărul ecuațiilor de echilibru.
Așadar, numărul necunoscutelor este dat de:
numărul b al barelor, deci fiecare bară va introduce o necunoscută, adică efortul din bară;
numărul r al reacțiunilor legăturilor exterioare; în cazul grinzii cu zăbrele plane, r = 3.
În studiul grinzilor cu zăbrele se întâlnesc următoarele cazuri:
b + r = 2n
În acest caz grinda cu zăbrele este static determinată, iar necunoscutele pot fi aflate prin intermediul ecuațiilor de echilibru.ț
b + r > 2n
În acest caz grinda cu zăbrele este static nedeterminată, caz în care ecuațiile de echilibru nu sunt suficiente pentru a putea rezolva problema.
La acest caz se ajunge atunci când:
2.1. b = 2n-r; r > 3
adică grinda cu zăbrele este nedeterminată exterior și, în consecință, legăturile exterioare conțin peste trei necunoscute;
2.2. b > 2n-r, r = 3
adică grinda cu zăbrele este nedeterminată interior, numărul barelor fiind mai mare decât 2n – 3;
2.3. b > 2n-r, r > 3
adică grinda cu zăbrele este static nedeterminată interior și exterior.
b+r < 2n
În acest caz grinda cu zăbrele devine mecanism, putându-se mișca sub acțiunea forțelor aplicate. În cazul în care aceste forțe aplicate sunt în echilibru, și grinda cu zăbrele va fi în echilibru.
6.4.4. Metode pentru determinarea eforturilor din bare
6.4.4.1. Metoda izolării nodurilor
Această metodă se aplică în cazul studiul grinzilor cu zăbrele, constând în izolarea fiecărui nod, după care se scriu ecuațiilor de echilibru ale acestuia.
Condiția de echilibru pentru nodul i al grinzii cu zăbrele este:
(6.15)
unde este rezultanta forțelor direct aplicate și de legătură exterioare aplicată nodului i, iar este forța cu care nodul j, aparținând barei i-j acționează asupra nodului i. Ecuația este de fapt rezultanta forțelor interioare aplicate nodului i, de toate barele k concurente în acest nod.
Reguli de calcul:
Pentru calculul recțiunilor exterioare se folosește teorema solidificării;
Datorită faptului că în fiecare nod se pot alic două ecuații scalare de echilibru, se va analiza în primul rând nodul care conține cel mult două bare de efort necunoscut;
Eforturile necunoscute sunt care „ies” din nod sunt eforturi de întindere, iar eforturile negative, care „intră” în nod sunt eforturi de compresiune. În momentul studierii echilibrului nodului din celălalt capăt al barei, acest efort se va considera ca „intrând” în nod, luându-se în valoare absolută;
Se ține seama că din ecuațiile de echilibru ale grinzii cu zăbrele (2n) sunt independente doar 2n – 3 ecuații; cele trei ecuații vor reprezenta ecuații de verificare, una rezultând din penultimul nod și două de la ultimul nod;
Pentru grinda cu zăbrele simetrică din punct de vedere geometric cât și al încărcării, ecuațiile de echilibru se scriu pentru nodurile situate până la axa de simetrie inclusiv, eforturile din cealaltă parte a grinzii cu zăbrele fiind simetrice.
Această metodă are dezavantajul că nu arată în mod precis în care nod este greșit calculul, erorile putând fi constatate abia în nodurile de verificare – moment în care tot calculul trebuie reluat.
6.4.4.2. Metoda secțiunilor
Această metodă are la bază teorema echilibrului părților unui sistem. Primul pas îl reprezintă secționarea imaginară a grinzii în două părți și studierea echilibrului părții care prezintă configurația și încărcarea cea mai simplă.
Se va constata că forțele care acționează asupra părții de grindă sunt analizată sunt: forțele direct aplicate, forțele din legăturile exterioare și eforturile din barele secționate, considerate de întindere.
Reguli de calcul:
Secțiunea poate intersecta cel mult trei bare cu efort necunoscut. Numărul k al barelor secționate poate fi k > 3, cu condiția ca în cele k – 3 bare, eforturile să fie cunoscute.
Nu se va alege o secțiune prin trei bare concurente, deoarece în acest caz metoda ar fi metoda izolării nodurilor. De asemenea, nu se vor alege trei bare paralele, pentru că în acest caz problema este nedeterminată.
Pentru obținerea unor ecuații cu o singură necunoscută pentru determinarea eforturilor dintr-o bară, se va scrie ecuația de momente în raport cu nodul unde sunt concurente celelalte două bare secționate. În cazul în care aceste bare sunt paralele, se scrie o ecuație de proiecție pe direcția normală la cele două bare.
6.5. Probleme rezolvate
Problema 6.5.1.
Se consideră grinda cu zăbrele din figura 6.20 la care se cunosc , , . Utilizând metoda izolării nodurilor, să se determine reacțiunile și eforturile din barele grinzii.
Rezolvare
Reacțiunile din A și B vor fi:
.
,
Astfel, din a treia ecuație se determină valoarea reacțiunii NB:
și implicit:
,
.
Se izolează fiecare nod al sistemului și se pun în evidență eforturile în bare (figurile 6.20.a-e).
Se scriu ecuațiile de echilibru începând cu nodul care are numai două necunoscute.
Se izolează nodul C și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
Se continuă izolarea cu nodul K pentru care se scriu ecuațiile de echilibru:
Se obține:
Se izolează nodul E și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
În continuare, se va izola nodul L:
Se obține:
În final, se izolează nodul D.
Rezultă:
Ecuațiile pentru nodurile A și B pot fi utilizate pentru verificarea eforturilor calculate interior.
Problema 6.5.2.
Să se determine eforturile din barele grinzii cu zăbrele din figura 6.21 folosind metoda izolării nodurilor.
Rezolvare
Se determină reacțiunile exterioare din reazemul B și articulația A (figura 6.21.a), aplicând teorema solidificării, pentru care se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
Se aplică metoda izolării nodurilor și se începe cu nodul în care intră cel mult două bare, în acest caz nodul D.
Se scriu ecuațiile de echilibru pentru nodul D.
Rezultă:
Se izolează nodul C și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
Se continuă izolarea cu nodul E. Se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
În final se va izola nodul B:
Rezultă:
Ecuația de echilibru pe axa y reprezintă ecuație de verificare:
De asemenea, ecuațiile de echilibru din nodul A reprezintă ecuații de verificare.
Problema 6.5.3
Să se determine reacțiunile din articulația A și tensiunea firului din B, precum și eforturile din barele grinzii cu zăbrele din figura 6.22, știind că .
Rezolvare
Pentru determinarea reacțiunilor exterioare din articulația A și a tensiunii T din fir (figura 6.22.a), se scriu ecuațiile de echilibru pentru ansamblul solidificat;
Rezultă:
Se scriu ecuațiile de echilibru începând cu nodul care are numai două necunoscute.
Astfel, se începe izolarea cu nodul C și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
Se continuă izolarea cu nodul D. Se scriu ecuațiile de echilibru:
Se obține:
Se izolează nodul E și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
În continuare, se va izola nodul F :
Din ecuația de echilibru pe axa Fy se va obține efortul din bara 7:
Problema 6.5.4.
Fie grinda cu zăbrele din figura 6.23 pentru care se cunosc lungimile barelor, precum și forța P. Să se determine reacțiunile și eforturile din barele grinzii folosind metoda izolării nodurilor.
Rezolvare
Pentru determinarea reacțiunilor exterioare din articulația A și reazemul B (figura 6.23.a.) se scriu ecuațiile de echilibru pentru întreaga grindă:
Se rezolvă sistemul și în final se obțin:
Se începe izolarea cu nodul E:
Rezultă:
Se izolează nodul D și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
În continuare se va izola nodul C și se scriu ecuațiile de echilibru:
Rezultă:
Pentru determinarea tensiunii din bata 7, se izolează nodul A:
Rezultă:
Ecuațiile de echilibru din nodul B sunt relații de verificare.
Problema 6.5.5.
Bara a unei macarale este susținută de doi tiranți BE și BD. De brațele macaralei BC și AC este prinsă greutatea P (figura 6.24). În plan orizontal, proiecția barei AC coincide cu bisectoarea unghiului EAD (figura 6.24.a). Să se determine eforturile care apar în barele macaralei.
Rezolvare
Se folosește metoda izolării nodurilor. În nodul C forțele acționează în plan. Se vor scrie două ecuații de echilibru:
unde: sin 20° = 0,342
cos 20°= 0,935
Rezultă valoarea eforturilor din barele 1 și 2:
T1 = 0,778P
T2 = -1,461P,
tensiunea din bara 1 fiind de întindere, iar cea din bara 2 de compresiune.
În nodul B eforturile au o configurație spațială; se vor scrie trei ecuații de echilibru:
În final, rezultă că eforturile din barele 4 și 5 sunt de întindere, iar cel din bara 3 de compresiune.
Problema 6.5.6
Troliul din figura 6.25 are articulația fixată în nodul O al unei grinzi cu zăbrele cu . Se cunoscu R și r, razele roților scripetului fix.
Să se determine:
a) forța pentru care sistemul rămâne în echilibru, în cazul în care se neglijează frecările;
b) reacțiunile din A, O, B;
c) eforturile din bare.
Rezolvare
a) Pentru a afla forța pentru care sistemul rămâne în echilibru, se izolează troliul și se înlocuiește articulația din punctul O cu cele două reacțiuni V0 și H0 (figura 6.25.a). Apoi se alege un sistem de referință xOy.
Ecuațiile de echilibru proiectate sunt:
(a)
(b)
(c)
Din (c) rezultă:
b) Pentru a afla reacțiunile din punctele A și B se izolează grinda (figura 6.25.b):
Ecuațiile de echilibru sunt:
(d)
(e)
(f)
Din (a) rezultă că ; înlocuind în (d) rezultă .
Înlocuind în (b) forța F, rezultă:
Ecuația (e) se înmulțește cu l și adunând cu (f) rezultă:
Din (f) se determină valoarea lui VA:
c) Eforturile din bare se găsesc izolând fiecare nod în parte. Astfel, izolând nodul O (figura 6.25.c) ecuațiile de echilibru sunt:
(g)
(h)
Pentru nodul A, cele două ecuații de echilibru sunt prezentate în figura 6.25.d:
(i)
(j)
Izolarea punctului C (figura 6.25.e) conduce la următoarele ecuații de echilibru:
(k)
(l)
Ecuațiile de echilibru pentru nodul B (figura 6.25.f) sunt:
(m)
(n)
Pentru figura 6.25.g corespunzătoare nodului E, ecuațiile de echilibru sunt:
(o)
(p)
Izolând nodul D (figura 6.25.h), ecuațiile de echilibru sunt:
(r)
(s)
Se înlocuiește în ecuația (g) și rezultă că . Din ecuația (h) rezultă:
, deci
, care este echivalent cu:
Valoarea lui T2 se află din ecuația (j):
Astfel, se calculează T1 din ecuația (i):
Efortul din bara 6 se determină din ecuația (n):
Rezultă T4 din ecuația (m):
Înlocuind pe T3 cu T5 în ecuația (k), rezultă:
, de unde T5 = 0.
Revenind în ecuația (l) și înlocuind, rezultă că T3 = 0.
Efortul din bara 7 se află din ecuația (s), rezutlă T7 = 0.
Problema 6.5.7.
Se consideră sistemul din figura 6.26. Acesta este alcătuit dintr-o bară în formă de l, încastrată în capul A și prinsă la celălalt capăt O printr-o articulație de un troliu de greutatea Q și raze R și r. Pe discul mare este înfășurat un fir de care este prinsă o grindă articulată în punctul B. În punctul H al grinzii acționează forța G. Dimensiunile barei și ale grinzii sunt prezentate în figură.
Să se determine:
a) forța F pentru echilibru;
b) reacțiunile din punctul 4;
c) tensiunile din barele 1, 2 și 3.
Rezolvare
a) Se izolează troliul și se alege un sistem de referință xOy (figura 6.26.a). Ecuațiile de echilibru sunt:
(a)
(b)
(c)
Se izolează bara, se înlocuiește încastrarea din punctul A și se determină ecuațiile de echilibru (figura 6.26.b). Sarcina uniform distribuită se înlocuiește cu o forță egală cu 2ql ce acționează la distanța l față de punctul A.
(d)
(e)
(f)
Se izolează grinda (figura 6.26.c) și rezultă ecuațiile de echilibru:
(g)
(h)
(i)
Din (c) reuzultă:
Dar T se determină din ecuația (i):
,
deci F are valoarea:
b) Reacțiunile din punctul A sunt: VA, HA și MA. Acestea se vor afla din ecuațiile anterioare.
Astfel, din relația (e) rezultă: .
V0 se determină din ecuația (b):
și înlocuind în relația anterioară, rezultă:
.
Din ecuația (d) rezultă valoarea lui HA: , de unde:
Momentul în punctul A rezultă din ecuația (f):
c) Pentru a afla tensiunile din barele 1, 2, 3 se aplică metoda Ritter (figura 6.26.d), rezolvându-se partea din dreapta.
Ecuațiile de echilibru proiectate sunt:
(j)
(k)
(l)
Pentru a afla valoarea tensiunii din bara 2 se determină mai întâi VB din ecuația (h):
Înlocuind în ecuația (k) rezultă:
.
Valoarea efortului din bara 3 se determină înlocuind valoarea tensiunii T2 în ecuația (l), rezultă:
Din (j) rezultă tensiunea T1:
6.6. Probleme propuse
Problema 6.6.1.
Să se determine reacțiunile și eforturile din barele grinzii cu zăbrele din figura 6.27, știind că , și .
Problema 6.6.2.
Grinda din figura 6.28. este articulată în A și simplu rezemată în B. Se cunosc: . Să se determine reacțiunile din A și B, precum și eforturile din bare.
Problema 6.6.3.
Se consideră grinda cu zăbrele din figura 6.29, articulată în punctul A și prinsă cu un cablu BC de un cârlig C. Să se determine eforturile în bare, reacțiunea articulației din A, precum și tensiunea în cablu, știind că , și .
Problema 6.6.4
Se dă macaraua din figura 6.30. Să se determine eforturile din barele 1, 2 și 4, utilizând metoda Ritter (a secțiunilor).
Problema 6.6.5
Să se determine tensiunea din firul AO’, reacțiunile din O și eforturile din bare, la grinda cu zăbrele din figura 6.31. Se cunosc unghiurile și secțiunea 2P cu care este încărcată grinda.
Problema 6.6.6
Se consideră grinda simetrică din figura 6.32, articulată în A și liber rezemată în B. Asupra grinzii cu zăbrele acționează în nodul C forța 2P. Să se studieze cu ajutorul metodei grafice (metoda Cremona) echilibrul fiecărui nod în parte.
6.7. Statica firelor
Problema 6.7.1.
Un fir omogen cu greutate pe unitatea de lungime p, este suspendat între două puncte A și B, care au o diferență de nivel h. Se cunosc lungimea L a firului, unghiul α precum și l1, l2 distanțele pe orizontală între punctele A și B (figura 6.33). Să se calculeze valoarea tensiunii din B și să se determine parametrul lănțișorului a.
Rezolvare
Tensiunea în punctul B este
Se cunoaște că:
,
rezultă
.
Cu notațiile din figură se poate scrie:
Lungimea totală a lănțișorului este
,
iar diferența de înălțime:
Ultimele două relații se ridică la pătrat și scăzând a doua din prima, se obține:
,
rezultă
,
sau
Pentru a afla parametrul lănțișorului a în situații concrete, ecuația se rezolvă numeric sau se utilizează tabele cu funcții hiperbolice
Problema 6.7.2.
Se consideră firul suspendat în punctele A și B (figura 6.34). Tensiunea în punctele de suspensie este egală cu greutatea totală a firului. Se cere să se determine lungimea firului L, săgeata f și unghiul făcut de tangenta la fir cu axa orizontală, α.
Rezolvare
Ecuația lănțișorului este
Tensiunile în punctele A și B sunt:
Se înlocuiește yB
Din ecuația de mai sus se obține
,
unde lungimea firului este
.
Rezultă
Ultima relație se mai poate scrie sub forma
,
și se obține
Parametrul lănțișorului este
Înlocuind parametrul lănțișorului, lungimea firului este
Săgeata firului este
Unghiul α este:
rezultă .
Problema 6.7.3.
Se consideră curba funiculară parabolică de forma din figura 6.35, la care cunoaștem lungimea l, unghiul α pe care îl face tangenta în punctul B cu axa orizontală, și greutatea pe unitatea de lungime p. Se cere să se determine tensiunea H, tensiunea la capete TA, TB, lungimea L a parabolei și săgeata maximă f.
Rezolvare
Ecuația parabolei este
Se află panta firului:
Se aplică această ecuație în punctul B, la (figura 6.35.a)
Tensiunea H este
Săgeata maximă fmax este
.
Tensiunile în punctele A și B sunt:
În cazul parabolei, lungimea firului este:
Se dezvoltă radicalul în serie Taylor și se consideră doar primii doi termeni, deoarece derivata are valori mic.
Integrând, se obține lungimea firului:
Problema 6.7.4
Se consideră un fir greu de lungime L, care are capetele fixate pe două inele care pot aluneca cu frecare pe o bară orizontală fixă (figura 6.36). Se cunoaște coeficientul de frecare de alunecare între bară și inele . Se cere să se determine distanța maximă l între inele pentru poziția de echilibru.
Rezolvare
Se izolează inelul din B (fig.6.36.a), se scriu ecuațiile de echilibru și condiția de echilibru.
Din cele două ecuații se obține:
,
Problema se rezolvă considerând:
Se înlocuiesc forța de frecare Ff și reacțiunea normală N în ecuația de mai sus:
rezultă
, adică
Se cunoaște că
Se obține
relație care este echivalentă cu
Rezultă,
Se rezolvă inecuația și se obține
Se logaritmează și se scoate necunoscuta x:
Dar lungimea L este
,
care, cu ajutorul relațiilor de mai sus, se mai poate scrie
,
Rezultă:
.
Distanța maximă AB se obține:
,
adică
Pentru echilibru
Problema 6.7.5
Un fir care este trecut peste doi scripeți ficși are la capete prinse greutățile conform figura 6.37. Între fir și cei doi scripeți ficși există frecare 0. Se cere să se determine coeficientul de frecare dintre fir și scripeți, astfel încât sistemul să rămână în echilibru.
Rezolvare
Sistemul este format din trei corpuri: firul și greutățile G1 și G2. Se izolează corpurile și se scriu ecuațiile și condițiile pentru echilibru.
Corpul 1 (fig.6.37.a):
Corpul 2 (fig.6.37.b)
Firul (fig.6.37.c și d)
Se consideră că există tendința ca G1 să coboare, atunci condițiile pentru echilibru sunt:
(a)
(b)
Deoarece
,
relațiile (a) și (b) se scriu:
Înmulțind ultimele relații între ele, se obține
,
adică
Din inecuația anterioară,
rezultă
.
Problema 6.7.6.
Să se determine eforturile din cureaua de transmisie, precum și forța de întindere a curelei. Se cunosc momentul motor M și raza roții motoare r. (fig.6.38.)
Rezolvare
Prin transmiterea întregului moment motor este necesară o forță de frecare , pentru a se evita alunecarea (patinarea) curelei față de roată. Pentru apariția acestei forțe de frecare este necesară o forță de întindere Q.
Ecuațiile de echilibru ale roții motoare sunt:
Ecuația de echilibru a curelei plate se obține pe baza formulei lui Euler:
Se rezolvă sistemul di care rezultă tensiunile T1 și T2.
Se înlocuiește în inecuație și se obține:
Efortul de întindere al curelei plate Q este:
În cazul curelei trapezoidale, relația de echilibru este:
, în care
unde 2β este unghiul jgheabului.:
Rezultă
Efortul de întindere al curelei trapezoidale este
BIBLIOGRAFIE
Arnold, V.I., Modele matematice ale mecanicii clasice, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1980.
Atanasiu, M., Mecanica tehnică, Editura Tehnică, București, 1969.
Beleș, A., Voinea, R., Rezistența materialelor II, Editura Tehnică, București,195.
Bia, C., Ille, V., Soare, M. V., Rezistența materialelor și teoria elasticității, Editura Didactică și Pedagogică, București,1983.
Buzescu, F.L., Cinematica și Dinamica, Editura Tehnopress, Iași, 2001.
Buzescu, F.L., Curs de Mecanică, Editura Tehnopress, Iași, 2004.
Buzescu, F.L., N. Irimiciuc, Introducere în Mecanică, Editura Tehnopress, Iași, 2001.
Ceaușu, V., Enescu, N., Ceaușu, F., Culegere de probleme de mecanică, I.P.București, vol.I, II, III, 1983.
Ceaușu, V., Enescu, N., Culegere de probleme de mecaniă- statica, Institutul Politehnic, București, 1974.
Ciumașu, S.G., D. Vieru, I. Ibănescu, Complemente de mecanică, Editura Junimea, Iași, 1997.
Enescu, N., Stroe, S., Ion, C., Ivan, M., Magheți, I., Ion, E., Savu, M.,Cazacu, G. Seminar de Mecanică. Probleme. IPBucurești, 1990.
Fetecău, Corina, Mecanica, Editura Tehnico-Info, Chișinău, 2003.
Fetecău, Corina, N. Irimiciuc, Mecanica Teoretică, Vol. I Mecanica rigidului, Editura Periscop, Iași, 1997.
Fetecău, Corina, N. Irimiciuc, Mecanica Teoretică, Vol. II Mecanica sistemelor de rigide, Editura Cermi, Iași, 1998.
Hangan, S., Slătineanu, I., Mecanica, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.
Huidu, T. – Mecanica teoretică și elemente de mecanica solidului deformabil, vol. I, II, Institutul de Petrol și Gaze, Ploiești, 1983.
Iacob, C., Mecanica teoretică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1957.
Ibănescu, R., E. Rusu, Mecanica, Cinematica, Editura Cermi, Iași, 1998.
Irimiciuc, N., I. Ibănescu, Corina Fetecău, A. Crăciunaș, G. Neagu, T. Sîrbu, D. Vieru, M. Stancu, L. Salomeia, F.L. Buzescu, Curs de mecanică, vol. I și II, Rotaprint Univ. Tehnică "Gheorghe Asachi", Iași, 1992.
Irimiciuc, N., V.F. Poterașu, I. Ibănescu, D. Popescu, F.L. Buzescu, Mecanica firelor textile. Teoria generală, Editura Solness, Timișoara, 1999.
Kümbetlian, G., Rezistența materialelor, vol I, Institutul de Marină Civilă, Constanța, 1992.
Mangeron, D., N. Irimiciuc, Mecanica rigidelor cu aplicații în inginerie, Editura Tehnică, București, vol.I 1978, vol.II 1980.
Nicolescu, M., S. Marcu, N. Dinculeanu, Analiză matematică, Edit. Didactică și Pedagogică, București, 1980.
Niță, M., Curs de mecanică teoretică, Academia Militară, București, 1972.
Onicescu, O., Mecanica, Editura Tehnică, București, 1969
Ornea, L.A., A. Turtoi, O introducere în geometrie, Edit. Theta, București, 2000;
Peride, N., Chircor, M., Zăgan, R., Încercări tehnologice și de rezistență ale materialelor metalice, Ovidius University Press, Constanța, 2002.
Peride, N., Rezistența materialelor, Institutul de subingineri, Constanța, 1983.
Peride, N., Rezistența materialelor, Ovidius University Press, Constanța, 2001.
Peride, N., Rezistența materialelor, Ovidius University Press, Constanța, 2002.
Popa A., Teme aplicative de mecanică – Statica, Edit. Universității Ploiești, 2001.
Popa C., D. Stoica, G.C. Ion, Mecanica. Caiet de seminar – Volumul I: Statica și cinematica, Edit. Matrix, Rom, București, 2007.
Popa C., Voiculescu L., Ion G.C., Stoica D., Mecanique – Notions theoriques et problemes resolus – Statique et Cinematique, Editura Bren, București.
Poterasu, V.F., Popescu, D., Curs de mecanică teoretică, vol. I, Iași, 1995.
Poterasu, V.F., Popescu, D., Curs de mecanică teoretică, vol. II, Iași, 1995.
Rădoi, M., Deciu, E., Mecanica, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.
Ripianu, A., Popescu, P., Bălan, B., Mecanică tehnică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1979.
Roșca, I. – Sumar de Mecanica. Editura MatrixRom, București, 1999
Roșca, I., Mecanica pentru ingineri, Editura MatrixRom, București, 1998.
Rusu, E., Mecanica, vol. I și II, Rotaprint Univ. Tehnică "Gheorghe Asachi", Iași, 1989.
Sarian, M., Probleme de mecanică pentru ingineri și subingineri, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975.
Silaș, Gh., Mecanica. Vibrații mecanice, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1986.
Staicu Șt., Introducere în mecanica teoretică, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1983.
Staicu, Șt., Aplicații ale calculului matriceal în mecanica solidelor, Editura Academie Române, București, 1986.
Staicu, Șt., Mecanica analitică și vibrații, Editura MatrixRom, București, 1998.
Stoenescu, A., Ripianu, A., Atanasiu, M., Culegere de probbleme de mecanică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1963.
Stoica D., Aspecte în studiul fenomenelor vibratorii la utilajele din domeniul prelucrăii produselor agricole, Editura Matrix Rom., București.
Țăposu, I., Teorie și probleme de mecanică newtoniană, Editura Tehnică, București, 1996.
Targ, S., Elements de mécanique rationnelle, Editions MIR, Moscou, 1975.
Vieru, D., D. Popescu, Mecanica-Cinematica, Editura TehnicaInfo, Chișinău, 2004.
Vîlcovici, V., Bălan, St., Voinea, R., Mecanica teoretică, Editura Tehnică, București, 1968.
Vinaroski, R., Mecanica teoretică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1968.
Voinea, R., D. Voiculescu, P.P. Simion, Introducere în mecanica solidului cu aplicații în inginerie, Editura Academiei, București, 1989.
Voinea, R., Voiculescu, D., Ceaușu, V., Mecanica, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984.
Voinea, R., Voiculescu, D., Mecanica, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975.
http://documentslide.com/documents/a4mecanica1.html
http://documentslide.com/documents/cinematica-569dd93a8376d.html
http://document.tips/documents/cinematica-569dd93a8376d.html
http://document.mx/documents/cinematica-569dd93a8376d.html
http://document.tips/documents/81-dinamica-punctului-material-in-miscare-absoluta.html
http://documentslide.com/documents/mecanica2prelegeri.html
http://documentslide.com/documents/mecanica2vlase.html
http://document.tips/documents/fizica-parte-i.html
http://docslide.net/documents/curs-mecanica-facultate-tehnica.html
http://documents.tips/documents/curs-de-fizica-generalapdf.html
http://document.tips/documents/cinematic-a-55844c28288f0.html
CUPRINS
I. INTRODUCERE 1
1.1. Cu ce se ocupă mecanica 1
1.2. Sisteme și unități de măsură 2
II. NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL. OPERAȚII CU VECTORI 5
2.1. Noțiuni de calcul vectorial 5
2.2. Operații cu vectori 6
III. STATICA PUNCTULUI. PUNCTUL MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI 14
3.1. Statica punctului 14
3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la legături 14
3.1.2. Echilibrul punctului material liber 14
3.1.3. Probleme rezolvate 15
3.2. Punctul material supus la legături 19
3.2.1. Axioma legăturilor. Legăturile punctului material 19
3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legături fără frecare 20
3.2.3. Echilibrul punctului material supus la legături cu frecare 23
3.3. Probleme rezolvate 28
3.4. Probleme propuse 38
IV. Statica rigidului. Centre de greutate 41
4.1. Statica rigidului 41
4.1.1. Caracterul de vector alunecător al forței ce acționează un rigid 41
4.1.2. Momentul unei forțe în raport cu un punct 42
4.1.2. Momentul unei forțe în raport cu o axă 45
4.1.3. Cupluri de forțe 47
4.1.4. Vectorul alunecător 48
4.1.5. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon) 48
4.1.6. Sisteme de forțe echivalente și operații elementare de echivalență 50
4.1.7.Reducerea unei forțe aplicată într-un punct al unui rigid 50
4.1.8 Reducerea unui sistem de forțe aplicate rigidului. Torsorul de reducere. Variația torsorului cu punctul de reducere. Invarianți 51
4.1.9. Torsorul minimal. Axa centrală 53
4.1.10. Cazurile de reducere ale unui sistem de forțe oarecare 56
4.2. Reducerea sistemelor particulare de forțe 57
4.2.1. Reducerea sistemelor de forțe concurente 57
4.2.2. Reducerea sistemelor de forțe coplanare 58
4.2.3. Reducerea sistemelor de forțe paralele 59
4.2.4. Reducerea forțelor paralele distribuite 62
4.3. Probleme rezolvate 65
4.4. Probleme propuse 75
4.5. Centre de greutate (centre de masă) 76
4.5.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale 77
4.5.2. Centrul de greutate al corpurilor 78
4.5.3. Teoremele Pappus – Guldin 81
4.6. Centre de masă pentru corpuri uzuale 82
4.7. Probleme rezolvate 84
4.8. Probleme propuse 100
V. Echilibrul rigidului 104
5.1. Echilibrul rigidului liber 104
5.2 Echilibrul rigidului supus la legături fără frecare 107
5.2.1 Generalități 107
5.2.2. Legăturile rigidului 108
5.2.2.1. Reazem simplu 108
5.2.2.2. Articulația 110
5.2.2.3. Încastrarea 115
5.2.2.4. Prinderea cu fir 117
5.2.3 Cazurile particulare de echilibru 118
5.2.3.1. Echilibrul rigidului rezemat pe un plan 118
5.2.3.2. Echilibrul rigidului cu o axă fixă 120
5.2.3.3. Echilibrul rigidului cu un punct fix 121
5.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu frecare 122
5.3.1. Generalități asupra fenomenului de frecare 122
5.3.2. Frecarea de alunecare 124
5.3.3. Frecarea de rostogolire 126
5.3.4. Frecarea de pivotare 131
5.3.5. Frecarea în lagărul radial (articulația cilindrică) 133
5.4. Probleme rezolvate 139
5.5. Probleme propuse 148
VI. Statica sistemelor materiale 150
6.1. Echilibrul sistemelor materiale 150
6.1.1. Sistemul material 150
6.1.2. Torsorul forțelor interioare 150
6.1.3. Echilibrul sistemelor materiale. Teoreme și metode 152
6.1.3.1. Metoda izolării elementelor 152
6.1.3.2. Teorema solidificării 152
6.1.3.3. Teorema echilibrului părților 154
6.1.4. Sisteme static determinate și static nedeterminate 154
6.2. Probleme rezolvate 155
6.3. Probleme propuse 175
6.4. Grinzi cu zăbrele 178
6.4.1. Ipoteze simplificatoare 178
6.4.2. Eforturi în bare 179
6.4.3. Grinzi cu zăbrele static determinate 180
6.4.4. Metode pentru determinarea eforturilor din bare 181
6.4.4.1. Metoda izolării nodurilor 181
6.4.4.2. Metoda secțiunilor 182
6.5. Probleme rezolvate 183
6.6. Probleme propuse 199
6.7. Statica firelor 201
BIBLIOGRAFIE 210
CUPRINS 214
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Atunci când mișcarea mecanică se raportează la un sistem de referință fix poartă denumirea de mișcare absolută, iar atunci când se raportează la un… [304892] (ID: 304892)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.