Aspecte Psiho Pedagogice ale Predarii Geometriei

INTRODUCERE

Matematica este disciplina care, prin însăși existența ei, are menirea de a forma o gândire investigatoare. Este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai complexe legături de viață. De aceea, se impune o permanentă preocupare în perfecționarea continuă a metodelor și mijloacelor de învățământ pentru a realiza nu o simplă instruire matematică, ci o educație matematică, cu implicații serioase în dezvoltarea tineretului și formarea lui ca om folositor societății din care face parte.

Geometria este o parte integrantă din viața noastră. O studiem în școală, în forma sa teoretică. După aceea, o putem analiza în modelele pe care le vedem, în proporțiile clădirilor și în stilul din bijuterii.

De când există, oamenii au căutat modele în natură. De multe ori le vedem în lumea plantelor, iar culturile timpurii au folosit geometria din plante pentru a se ajuta de divinele lor calități medicinale si spirituale. Lumea este plină de geometrie, care apare în mod natural. De-a lungul existenței, oamenii au învățat din această geometrie din natură, iar înțelegerea noastră asupra ei a evoluat alături de civilizație. De la începutul istoriei consemnate, oamenii au înțeles modelele și geometria, ca fiind sacre. Noi încă înțelegem geometria în acest mod, deși de multe ori aceasta este o cunoaștere subconștientă sau intuitivă.

  Pornind de la ideea ca matematica a devenit în zilele noastre un instrument esențial de lucru pentru totalitatea științelor și domeniilor tehnice, este firesc ca în centrul preocupărilor actuale ale școlii românești să se situeze cultivarea accentuată a gândirii elevilor , prin evidența relațiilor matematice , prin fundamentarea științifică a conceptelor , prin introducerea progresivă , gradată a limbajului matematic modern .

          Activitatea la clasa ne oferă posibilitatea să constatăm că de multe ori, elevii din ciclul gimnazial întâmpină greutăți în însușirea noțiunilor de geometrie. Se constată că pentru a oferi posibilitatea de însușire de către toți elevii a unui minimum de cunoștințe și tehnici utile de lucru este necesar să se țină seama de următoarele aspecte:

⦁ în toate formele de predare să  se respecte etapele dezvoltării psihopedagogice ale copilului ;

⦁ trezirea interesului pentru aplicarea în practică a cunoștințelor dobândite .

Pentru a-i învăța pe elevi să învețe, pentru realizarea unui învățământ activ formativ al matematicii, stilul de lucru,  metodele si procedeele au o importantă deosebită . Predarea tradițională în sensul în care profesorul ține o prelegere, face o demonstrație, iar rolul elevilor este acela de a urmări, nu produce învățare decât în foarte mică măsură. Este insuficient pentru învățare dacă în timpul orei elevii doar ascultă explicațiile profesorului și văd o demonstrație făcută de profesor. Cauza acestui fenomen, ține de însuși funcționarea creierului. Creierul nu funcționează ca un DVD sau casetofon. Creierul nu este un simplu receptor de informație.

Metodele învățământului tradițional nu pot face față avalanșei de cunoștințe și acestei dispersii accentuate a calificărilor, meseriilor și domeniilor de activitate, care devin tot mai specializate și mai interconectate. Astfel, în sprijinul educației intervin noile tehnologii ale societății informaționale. Cu ajutorul programelor didactico-informatice, a softurilor educaționale, se eficientizează procesul de predare-învățare-evaluare a cunoștințelor.

Utilizând softurile educaționale în cadrul activităților se vor dezvolta:

⦁ gândirea logică,

⦁ spiritul de observație,

⦁ memoria vizuală,

⦁ atenția voluntară,

⦁ operațiile intelectuale prematematice,

⦁ deprinderile de lucru cu calculatorul,

⦁ abilitățile de utilizare a informațiilor primite prin intermediul softurilor educaționale.

Utilizarea softurilor matematice în predarea geometriei este deosebit de importantă și constituie tema acestei lucrări.

În primul capitol sunt prezentate câteva aspecte psiho-pedagogice ale predării geometriei în gimnaziu, bazele și obiectivele predării geometriei la ciclul gimnazial.

Al doilea capitol prezintă metodele și procedeele de rezolvare a problemelor de geometrie în gimnaziu.

O scurtă prezentare a câtorva softuri matematice și metode de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând softurile matematice sunt în capitolul trei.

Capitol patru este dedicat experimentului pedagogic realizat la două clase paralele, a VII-a A și a VII-a B, realizat pe parcursul anului școlar 2013-2014.

Prin elaborarea lucrării de față, am încercat să ating următoarele obiective:

1. elaborarea unui studiu teoretic privind predarea geometriei în învățământul gimnazial folosind metode complementare de predare- învățare ( utilizarea de software matematic);

2. realizarea unui experiment pedagogic și valorificarea experienței dobândite de pe urma acestei cercetări pedagogice.

CAPITOLUL I

ASPECTE PSIHO- PEDAGOGICE ALE PREDĂRII GEOMETRIEI

ÎN GIMNAZIU

1.1. Aspecte psiho-pedagogice ale predării geometriei

Aspectele psihologice ale formării conceptelor geometrice sunt multiple și deosebit de complexe. Aceste lucruri explică faptul că, acestei teme, i-au fost consacrate volume întregi și că pentru ilustrarea dezvoltării inteligenței la copil, în mod frecvent, în cursul unor experimente, psihologii au apelat la activități cu conținut geometric.

O teză unanim acceptată în psihologie este aceea că evoluția mentală a copilului are un caracter stadial prin faptul că se realizează pe o perioadă de câțiva ani, activitatea mentală a acestuia prezentând anumite particularități.

Cel care a fundamentat științific această teză a fost Jean Piaget, meritul lui fiind acela că indică în fiecare stadiu, perioadele de vârstă corespunzătoare și caracteristicile de bază ale fiecărei etape. De asemenea, el nu stabilește niște limite rigide pentru acestea, ci demonstrează că nu poate fi atins un anumit stadiu fără să se fi realizat toate achizițiile celui precedent, că trecerea de la o etapă la alta nu înseamnă eliminarea în totalitate a elementelor celei precedente și că saltul poate fi realizat numai printr-o valorificare, cu mijloace noi, a tuturor celor căștigate în stadiul anterior. În fiecare etapă se însumează elementele care pregătesc saltul la următoarea etapă, aceasta însemnând creșterea capacității copilului de a-și reconsidera mijloacele anterioare, astfel încât să-și asigure o adaptare mai bună la varietatea condițiilor.

Principalele stadii ale dezvoltării inteligenței la copil, după Jean Piaget, sunt:

1,6 ani (2ani): inteligența senzorio-motorie

Deși nu folosește drept instrumente decât percepțiile și mișcările, fără a fi capabilă de reprezentare sau de gândire, această inteligență cu totul practică atestă, în cursul primilor ani, existența unui efort de înțelegere a situațiilor. Ea duce la construirea unor scheme de acțiune, care vor servi drept structuri operatorii și noționale ulterioare.

1,6 (2 ani)- 4 ani: gândirea simbolică, preconceptuală

În această perioadă copilul poate utiliza limbajul ca mijloc de evocare, cu ajutorul unor simboluri sau semne diferențiate, a unor obiecte sau acțiuni care nu sunt prezente în acel moment. Funcția simbolică permite inteligenței senzorio-motorii să se prelungească în gândire. În această perioadă gândirea rămâne preoperatorie, copilul având nevoie de timp pentru a interioriza acțiunile în gândire, își reprezintă mai greu desfășurarea unei acțiuni, a rezultatelor ei. De exemplu, dacă colorăm diferit laturile unui pătrat, el nu-și poate imgina poziția laturilor după o rotație de 90̊ a pătratului în jurul centrului său. Deși își formează imagini, reprezentări, copilul nu are concepte generale despre unele clase de obiecte, ci raționează numai prin analogii imediate.

4 ani- 7 ani: gândirea intuitivă

În această perioadă crește capacitatea de intuire a unor acțiuni. El utilizează intuiția, gândește în imagini. Intuiția conduce la apariția unor elemente incipiente de logică sau îl aduce pe copil până în pregul operațiilor logice. Caracteristicile de bază ale acestei perioade sunt edificator formulate de Jean Piaget în următoarele: „Nefiind capabil de operații, copilul nu reușește în această perioadă să construiască noțiunile cele mai elementare de conservare, care sunt condiții ale unor deductibilități logice”

7 ani- 11 (12) ani: stadiul operațiilor concrete

Copilul ajunge la o coordonare mobilă și reversibilă a activității mintale, dar aceasta funcționează numai în raport cu relitatea concretă a lucrurilor. Tot în această perioadă sunt posibile clasificările, ierarhizările, sintetizările, comparațiile. Tot acum copilul își formează convingeri privind conservarea distanțelor, a greutăților, a volumelor, a substanței, chiar atunci când forma unora suferă modificări. Operațiile mintale se referă direct și imediat la operații cu obiecte și nu la ipoteze enunțate verbal prin propoziții. Rezultă că în primele clase primare nu vom vorbi despre forma unor corpuri geometrice, despre desene geometrice, ci le vom prezenta în mod concret.

Judecățile copilului sunt foarte apropiate de acțiunile concrete din care derivă. Deci, în clasele I-V, vom pune accentul pe abstragerea unor forme geometrice din cercetarea unor obiecte materiale, pe desenarea unor figuri geometrice, pe măsurarea concretă a unor distanțe. În această perioadă se pot forma unele reprezentări geometrice, dar acestea vor fi în mod necesar legate de forma și dimensiunile unor obiecte reale, concrete.

11ani- 12 ani și în cursul adolescenței: gândirea formală

În această etapă, în general, copilul este capabil să treacă de la acțiuni mentale raportate la obiecte concrete la operații cu propoziții, deci să efectueze raționamente asupra acestora. Și în etapa anterioară elevul a efectuat raționamente dar acestea au fost consecințele imediate ale observării unor acțiuni cu obiecte concrete. Gândirea formală este capabilă să opereze într-o manieră ipotetico-deductivă. El are capacitatea de a raționa pornind de la ipoteze, deci de a aplica operații logice asupra unor propoziții.

Analizând unele propoziții, el poate trage concluzii, fără să se pronunțe anterior asupra rezultatului implicațiilor. Copilul efectuează, pe lângă operațiile concrete și operații propoziționale, învață să treacă de la posibil la real. Ei pot efectua raționamente de forma: dacă……..atunci, pot sesiza incompatibilități, disjuncții (fie…fie …), conjuncții, etc. De la această vârstă copilul devine capabil să înțeleagă o demonstrație matematică, să simtă necesitatea ei, numai după asigurarea unei dezvoltări corespunzătoare acestui stadiu.

Jean Piaget concluziona: „În realitate, dacă studiul matematicii se bazează pe structuri care de altfel corespund structurilor inteligenței, înseamnă că tocmai pe o organizare porgresivă a acestor structuri operatorii trebuie bazată didactica matematicii. Ori, psihologic, operațiile derivă din acțiuni concrete care, interiorizându-se, se coordonează în structuri.”

Din citatul de mai sus rețin atenția două aspecte:

Dezvoltarea progresivă a inteligenței face posibil studiul geometriei bazate pe demonstrații numai pe un anumit „palier” al acestei dezvoltări;

Principiul intuiției își păstrează o valoare didactică de necontestat.

Cu privire la primul aspect sunt posibile două întrebări:

a) Poate fi accelerată această dezvoltare?

b) Ce s-ar întâmpla dacă, fără a fi atins acest stadiu, încercăm să-i învățăm pe elevi geometria bazată pe demonstrații?

Ne interesează, în mod deosebit, răspunsul la a doua întrebare. O astfel de încercare cu siguranță va favoriza handicapul școlar. Un răspuns, mai edificator, la această întrebare îl dă H. Freudenthal, spunând: „ Într-o zi copilul va întreba, de ce, și nu este de folos să începem geometria sistematică înainte ca acel moment să fi venit. Ba mai mult, i-ar dăuna cu adevărat. Dacă am căzut de acord asupra predării geometriei ca un mijloc de a-i face pe copii să simtă forța spiritului omenesc, a propriului spirit, nu trebuie să-i lipsim de dreptul de a face ei înșiși descoperiri. Cheia geometriei este expresia: „de ce?”. Numai ucigașii de bucurii vor înmâna cheia mai devreme”.

Scopul tuturor achizițiilor geometrice ale elevilor din clasele I-V trebuie să fie pregătirea, prefigurarea abilităților specifice etapei gândirii formale. Aceasta presupune necesitatea pregătirii elevului pentru a descoperi perfecțiunea raționamentului geometric.

Cu privire la principiul intuiției, în geometrie, sunt necesare câteva precizări. Intuiția geometrică este o intuiție activă și nu o simplă imagine, o „urmă” senzorială a obiectelor percepute. Ea este o imagine mintală, „interiorizată”, construită printr-o activitate perceptivă. Considerăm că această etapă, a gândirii formale, poate fi atinsă numai atunci când elevul își poate forma concepte, deoarece el nu va supune unor operații logice obiectele materiale pe care le-a cercetat (desenele geometrice), ci conceptele abstracte pe care și le-a format.

Conceptele geometrice fiind abstracțiuni, în ele nu reținem imaginea concretă a obiectelor, așa cum am perceput-o senzorial, ci ideea care rămâne prin abstragerea proprietăților comune, generale și esențiale, îmbinate într-o unitate în plan mintal. Conceptele geometrice sunt reflectări idealizate ale unor proprietăți de spațialitate ale obiectelor și fenomenelor lumii reale. De exemplu, conceptul de poliedru nu cuprinde nicio referire la forma fețelor, la măsura diedrelor care apar etc. Acestea (dimensiunile date) nu sunt proprietăți comune tuturor poliedrelor. La baza formării acestui concept stă, însă, cercetarea unor obiecte reale, desprinderea de către elev a proprietăților lor pur spațiale. El trebuie să neglijeze natura materialului, culoarea etc. și să desubstanțializeze aceste forme până la a obține entități mintale, de o perfecțiune care nu este posibilă decât pe plan mintal.

Un concept geometric nu se poate crea spontan; el se formează în cursul unui proces psihic asupra căruia își pun amprenta imaginația, creativitatea, puterea de generalizare și abstractizare, deci fiecare din ele are o „istorie” a sa de formare.

O altă caracteristică a conceptelor geometrice constă în aceea că ele formează sisteme ierarhice și că nu sunt entități mintale izolate. Unele au un grad mai mare de generalitate iar altele, mai restrâns. Conceptul de triunghi, de exemplu, care reflectă ceea ce este general pentru această întreagă clasă de figuri geometrice, este mai general decât cel de triunghi isoscel, echilateral, dreptunghic etc.

Operațiile cu conceptele geometrice se realizează întotdeauna pe plan mintal. Din această cauză nu vom confunda secționarea reală a unui cub (tăierea efectivă) cu determinarea secțiunii, deoarece uneori nici nu vom face acest lucru, ci doar ni-l vom imagina. O secțiune într-un corp geometric, la clasa a VIII-a va fi doar intuită, ea va fi determinată prin raționamente, adică vom demonstra că aceasta este triunghi, paralelogram, trapez etc.

Toate aceste forme pure vor fi situate de elev într-un spațiu idealizat, obiectiv, ale cărui submulțimi vor fi figurile geometrice. Această idee de spațiu obiectiv, apare numai atunci când copilul își dă seama de independența poziției unor corpuri față de altele sau față de poziția sa.

Profesorul trebuie să cunoască evoluția acestor concepte la copil. Pentru a rezolva o problemă sau a demonstra o teoremă referitoare, de exemplu, la triunghi, desenăm un triunghi. Triunghiul desenat este, pe de o parte, oarecare, deoarece el reprezintă o întreagă clasă de triunghiuri având o anume proprietate, iar pe de altă parte, el a devenit un triunghi particular, determinat, cu dimensiuni date. Esențial este ca elevii să înțeleagă că demonstrația efectuată, utilizând această figură, este adevărată, oricare ar fi triunghiul cu proprietatea dată.

Dacă elevii cu care începem studiul sistematic al geometriei, respectiv cei din clasa a VI-a, nu și-au format conceptele geometrice (de punct, dreaptă, segment, unghi) ca entități mintale, confundând figura geometrică cu desenul geometric (căruia îi atașează atribute materiale), atunci poate apărea următoarea contradicție: profesorul supune unor operații logico-deductive figurile geometrice, în timp ce elevul încearcă să aplice aceste operații unor desene, să se situeze încă într-o pregeometrie grafică.

În procesul de desubstanțializare a figurilor geometrice, distingem în gimnaziu următoarele etape:

Interpretarea grafică, în care figura geometrică este o figură desenată. Proprietățile ei sunt proprietățile desenului;

Interpretarea conceptuală în care ea este un mijloc de intuire a unui concept, având toate atributele acestuia.

În predarea geometriei o atenție deosebită trebuie să se dea și simbolurilor, notațiilor, convențiilor de desen, de reprezentare, de redactare simbolică a unui raționament.

Deoarece toate cunoștințele de geometrie constituie o disciplină integral deductivă, neînțelegerea unei verigi generează dificultăți din ce în ce mai mari, astfel încât elevul care a eșuat în acea verigă își pierde încrederea în corectitudinea raționamentelor sale, în posibilitățile sale. Este necesar deci ca profesorul să sesiseze la timp acea verigă, să urmărească ierarhizarea conceptelor geometrice, procesele psihologice implicate în formarea lor.

1.2. Bazele predării geometriei în gimnaziu

În clasa a VI-a, deci la vârsta de 11-12 ani, elevii abordează, pentru prima dată studiul riguros al geometriei.Acest studiu trebuie să pornească de la ceea ce elevul cunoaște din clasele anterioare, de la modul în care el s-a familiarizat cu unele noțiuni elementare de geometrie.

Pentru a ști ce imagini geometrice au acumulat elevii până în clasa a VI-a , este necesar ca profesorul să cunoască atât conținutul programelor și manualelor pentru clasele I-V, privind elementele de geometrie, cât și obiectivele ce s-au urmărit prin modul de introducere a unor noțiuni ca : punct, segment, dreaptă etc. .

O premisă importantă de la care trebuia să pornească este aceea că geometria, în clasele anterioare clasei a VI-a, este o geometrie a unor imagini grafice, a unor desene, si nu a unor abstracțiuni supuse unor considerații logice .

La clasele I- IV, accentul se pune, mai mult pe suportul material al noțiunilor geometrice, pe concretizarea prin desene a ceea ce mai târziu se va abstractiza. Așa cum sunt date aceste elemente în clasele I- IV, ele au menirea ca, prin manevrarea unor corpuri materiale sau a unor desene, pe care copilul le vede și le percepe sub raportul formelor, al pozițiilor lor, să-l îndrume pe acesta, mai târziu, spre extragerea unor abstractizări geometrice. Astfel elevii învață să utilizeze noțiunea de segment, să măsoare cu rigla aceste desene, să le compare. Se introduce, de asemenea, noțiunea de linie frântă, linie curbă, deosebirea dintre ele, acest lucru făcându-se pe baza imaginii grafice.Nici una dintre imaginile grafice pe care elevii au învățat să le denumească și să le compare nu poate fi concepută, la acest nivel de vârstă, ca o mulțime de puncte din moment ce nici punctul nu a fost încă desprins de semnul grafic prin care se desenează, de orice proprietate materială. De asemenea, tot din clasele primare, elevii cunosc noțiunea de unghi care le-a fost prezentată ca o imagine grafică. Au învățat să denumească elementele care alcătuiesc acestă imagine (laturi, vârf, deschidere). Deci elevii ar trebui să știe să deseneze un unghi, să-l noteze, să-l citească, să-i denumească elementele. Deoarece la ciclul primar nu se folosește raportorul, compararea unghiurilor se face prin decupare și suprapunere, operații ce conduc la stabilirea relației de “mai mare”, “mai mic” sau “egal” între deschiderile unghiurilor.

Important este că singurele intrumente geometrice pe care învață să le folosească elevii la clasele I–V sunt rigla și echerul. Echerul se folosește pentru a se introduce unghiul drept, pentru a compara celelalte unghiuri cu unghiul drept, cât și pentru clasificarea lor.

Dacă la primele clase elevii desenează segmente, linii frânte sau curbe, în clasele următoare ei trebuie să formeze poligoane, să le recunoască (paralelogramul, dreptunghiul, rombul, pătratul). Cu excepția câtorva jocuri la învățământul preprimari, elevii încă nu au noțiunea de corpuri geometrice, pe care totuși le-au desenat și denumit în primele clase, ca fiind figure geometrice plane, proprietate rezultată din faptul că acestea au fost desenate pe caiet. Corpurile prezentate elevilor au constituit un suport obiectiv pentru formarea conceptelor de paralelipiped, prismă, etc. În raționamentele geometrice nu au intervenit corpurile material cu proprietățile lor privind culoarea, duritatea, asperități etc, ci conceptual figural prin care au reprezentat o clasă de obiecte ale mediului lor înconjurător.

Încă de la primele lecții de la începutul clasei a VI-a, profesorul trebuie să stabilească cât mai exact nivelul de cunoștințe geometrice pe care elevii le-au dobândit în clasele anterioare și măsura în care aceștia pot rezolva probleme cu conținut geometric.

Prima treaptă prin care se face introducerea unor concepte geometrice constă în perceperea, observarea, analiza și generalizarea proprietăților spațiale ale unor obiecte reale. Observarea de către elevi ale unor corpuri geometrice nu trebuie să fie o simplă înregistrare a ceea ce văd, ci trebuie să fie o observare dirijată, o acțiune a elevului asupra obiectului pe care îl cunoaște, profesorul având rolul important în această dirijare.

Prin modul în care, până în clasa a VI-a, au fost realizate la elevi primele reprezentări geometrice s-a urmărit ca intuiția să fie prima treaptă în învățarea geometriei, să formeze la aceștia capacitatea de a reda proprietățile spațiale ale unor corpuri material. Pentru a verifica stocul de reprezentări geometrice ale elevilor la începutul clasei a VI-a sunt necesare câteve lecții recapitulative din care profesorul să poată constata dacă elevii știu să deseneze figurile geometrice plane simple cum ar fi: punctul, segmentul, unghiul, triunghiul, și dacă recunosc câteva corpuri geometrice: prisma, cubul, paralelipipedul, cilindrul etc. De asemenea, se poate verifica dacă elevii știu să măsoare cu rigla gradată segmente, dacă pot scrie lungimile lor, dacă le pot compara, având în vedere că ulterior se va introduce relația de congruență. Deoarece nu au învățat să măsoare unghiuri, profesorul le poate cere să compare unghiuri apreciind vizual deschiderile respective. Important este ca, la sfârșitul clasei a V-a, elevii să știe să deseneze unghiuri, să le noteze, să le citească, să denumească laturile și vârfurile lor.

1.3. Obiectivele predării geometriei în gimnaziu

În predarea gometriei în clasa a VI-a, un prim obiectiv îl constituie edificarea conceptelor geometrice a abstracțiunilor, clarificarea mai bună a relațiilor concret-abstract, intuitiv-conceptual, formarea unor entități mintale bine conturate. Acest lucru este important să fie formulat ca obiectiv, deoarece, la acest nivel, încă mai există tendința de a se confunda figura geometrică cu obiectele reale din ale căror proprietăți ea a fost abstrasă.

Un alt obiectiv important al predării geometriei este acela de a-i deprinde pe elevi să demonstreze, adică să fundamenteze logic, deductiv, unele propoziții pornind de la altele despre care știu că sunt adevărate.

Este necesar să zdruncinăm elevului încrederea în evidența intuitivă a unor desene și să-i formăm dorința de a justifica logic anumite propietăți, precum și capacitatea de a efectua operațiile logice din care se constituie demonstrația.

Deprinderea efectuării de către elevi a unor raționamente deductive nu este ușoară. Acest fapt este ilustrat și de Paul Ruff, astfel : „E foarte greu să aduci un copil care vede lucrurile, în situația de a înțelege necesitatea demonstrației, acolo unde lui i se pare că e suficient să privești, acolo unde pentru el e vorba mai curând de o știință a observației, decât de o știință pur intelectuală”.

Desigur că și în demonstrarea unor propoziții, la început, vom porni tot de la observarea unor proprietăți ale figurilor geometrice. Îi vom pune pe elevi să explice ce constată pe un anumit desen și le vom forma convingerea că oricare dintre aceste constatări va trebui demonstrată. Îi putem convinge pe elevi, încă din primele lecții de geometrie, că nu putem efectua raționamente riguroase bazându-ne numai pe ceea ce vedem. De exemplu, la întrebarea care segment este mai lung, unul orizontal sau unul vertical, elevii îl vor indica pe cel vertical, deși prin măsurare ei vor constata că ele au aceeași lungime. Supraestimarea unuia din segmente depinde, psihologic vorbind, de mai mulți factori (timpul percepției, vârsta, experiența celui care percepe etc.), dar dintre ei un rol important are distribuția spațială a ansamblului grafic de studiat.

Al treilea obiectiv urmărit prin predarea geometriei în gimnaziu (ordinea enumerării nu implică neapărat ordinea importanței lor) este consolidarea deprinderilor de calcul aritmetic și algebric. Pe parcursul efectuării unor demonstrații, rezolvării unor probleme, elevii sunt nevoiți să efectueze și calcule algebrice sau aritmetice. Așa spre exemplu, când rezolvă o problemă în care aplică teorema lui Pitagora este nevoit să efectueze ridicarea la pătrat, extragerea rădăcinii pătrate și altele.

Al patrulea obiectiv poate fi: dezvoltarea la elevi a capacității de a executa construcții geometrice corecte.De exemplu, ei trebuie să dobândească capacitatea de a construi o figură geometrică descrisă în cuvinte prin enunțul unei probleme.Treptat, ei trebuie să poată realiza o figură geometrică care să îndeplinească toate condițiile cerute prin enunțul unei probleme. Proprietățile pot fi redate fie prin termeni din limbajul curent, fie printr-o terminologie matematică, fie prin relații matematice.

Toate obiectivele menționate până acum pot fi urmărite atât în predarea geometriei plane cât și a celei în spațiu. Totuși, predarea geometriei în spațiu la clasa a VIII-a, are și unele obiective specifice. La geometrie în spațiu, pe lângă faptul că se aprofundează unele elemente de geometrie a planului, se urmărește ca elevii să poată situa în spațiu elementele fundamentale (punctul, dreapta, planul), să stăpânească riguros pozițiile relative ale acestora, să poată utiliza cunoștințele privind aceste poziții relative în studiul unor corpuri geometrice. Având în vedere că la baza definirii corpurilor geometrice în spațiu stau pozițiile relative ale punctelor, dreptelor și planurilor (unele față de altele), se înțelege că primul capitol privind situarea elementelor, relațiile de paralelism, perpendicularitate între drepte și plane capătă o importanță deosebită.

1.4.Cerințe ale perfecționării lecției de geometrie

Procesul de învățare a matematicii, ca și al oricărei alte discipline din planul de învățământ, cuprinde următoarele etape: proiectarea activității de instruire, desfășurarea instruirii, activitatea de învățare de către elevi, evaluarea rezultatelor învățării raportate la obiectivele instruirii.

Proiectarea oricărei activități de instruire trebuie să pornească de la obiectivele generale pe care le urmărește predarea disciplinei, de la stabilirea obiectivelor specifice temei, și care bineînțeles se subsumează obiectivelor generale, de la condițile concrete în care urmează să se desfășoare instruirea (numărul de ore afectat prin programă temei, nivelul real de pregătire al elevilor cu care urmează să se desfășoare instruirea, mijloacele didactice de care dispune, instrumentele de evaluare). Deci înainte de a trece la realizarea unui proiect de tehnologie didactică profesorul trebuie să cunoască temeinic obiectivele predării matematicii la treapta respectivă de învățământ, corelația lor cu obiectivele predării ei la celelalte trepte, obiectivele specifice disciplinei matematice respective (algebra, geometrie, trigonometrie etc.). o parte din aceste obiective generale le desprinde profesorul printr-o analiză atentă a conținutului programelor și a modului de prezentare a temelor în manuale, a extinderilor date acestor teme, iar o altă parte sunt, de regulă, prezentate în notele explicative la programele școlare.

Astfel, obiectivele predării geometriei în gimnaziu vor fi derivate din obiectivele generale ale predării matematicii la acest ciclu de învățământ, și care, în nota explicativă la programă, sunt formulate astfel:

Familiarizarea elevilor cu utilizarea și aplicarea în diferite contexte a unor tehnici și metode de operare în domeniul matematicii;

Formarea unor deprinderi de rezolvare a problemelor, utilizând strategii algoritmice, euristice sau euristico-algoritmice.

În programă aceste obiective sunt concretizate prin enumerarea competențelor pe care elevii trebuie să le dobândească după cum urmează:

Să opereze cu conceptele de teoremă, teoremă directă și teoremă reciprocă;

Să-și însușească noțiunile de triunghi, patrulater, paralelogram și cerc și proprietățile acestora;

Să știe să calculeze perimetrele și ariile triunghiului, paralelogramului, dreptunghiului, rombului, pătratului, trapezului, cercului și poligonului regulat;

Să mânuiască instrumentele geometrice în construcția figurilor învățate;

Să-și însușească metoda triunghiurilor congruente și să opereze cu ea în rezolvarea problemelor;

Să aplice relațiile metrice, învățate la triunghiul dreptunghic în rezolvarea problemelor cu conținut practic.

Sintetic, obiectivul de bază al predării geometriei în gimnaziu este formarea la elevi a conceptelor (abstracte) geometrice, deprinderea de către aceștia a metodelor specifice geometriei, a raționamentului inductiv și deductiv, a capacității de a supune unor operații logice conceptele însușite.

Atunci când întocmim proiectul unei teme sau unei lecții vom formula obiectivele predării ei prin derivare din obiectivele generale ale predării geometriei. Pe lângă aceste obiective, care arată în ce măsură tema respectivă contribuie la realizarea obiectivelor predării geometriei în gimnaziu, este necesar să ne formulăm și obiective operaționale, adică acele obiective prin care să precizăm ce anume capacități și deprinderi trebuie să posede elevii la sfârșitul acelei secvențe de instruire. Aceste obiective operaționale trebuie descrise în termeni (acțiuni care să poată fi măsurate, observate), prin utilizarea unor cerințe care exprimă în mod prcis acțiunea (a demonstra teorema, a construi mediatoarea, a recunoaște triunghiurile congruente etc.) pe care elevii să o poată realiza.

Deci după ce ne-am conturat bine obiectivele generale ale predării unei teme, mai sunt necesari următorii pași:

Precizarea comportamentelor esențiale care duc la realizarea obiectivului general;

Formularea unor obiective operaționale, adică ce competențe dorim să obținem de la elevi la finele acelei secvențe de instruire;

Selecționarea acțiunilor specifice care pot conduce la realizarea fiecărui obiectiv operațional.

Nu este suficient să descriem numai performanța finală a elevului, ci trebuie să specificăm, de asemenea, ce posibilități are la dispoziție elevul pentru a demonstra că a realizat performanța cerută. În ce fel de situații va trebui să poată aplica teorema lui Thales; cu ce elemente date trebuie să poată construi un triunghi; dacă să recunoască numai că un patrulater este inscriptibil sau să utilizeze această proprietate a lui în rezolvarea altor probleme; prin ce metode poate arăta el că trei puncte sunt colineare; dacă îi cerem să calculeze unele mărimi prin simpla înlocuire în formule cunoscute sau această înlocuire să fie posibilă după efectuarea unor raționamente inductive sau deductive. De asemenea, este necesar să formăm la elevi deprinderea de a justifica fiecare afirmație, de a arăta că sunt îndeplinite toate condițiile care îi permit să aplice o anuită teoremă sau relație.

Treptat elevii trebuie să deprindă capacitatea de a utiliza elementele teoretice ca suport logic al rezolvării problemelor. Aceasta se poate realiza numai dacă profesorul, pe parcursul tuturor activităților, stabilește un raport just între elementele teoretice și cele practic-aplicative. Un astfel de raport bine realizat, îi va feri pe elevi de deprinderea greșită de a substitui rezolvarea logică, simplă a unor probleme cu aplicare mecanică a unor algoritmi de calcul.

Tehnica proiectării lecțiilor de geometrie trebui astfel concepută încât fiecare activitate concretă a elevilor să conducă spre realizarea unor obiective operaționale clar formate. Exercițiile și problemele ce se rezolvă în clasa să fie astfel structurate și eșalonate încât fiecare din ele să constituie un pas indispensabil al formării la elevi a anumitor abilități, deprinderi și priceperi, al înțelegerii rostului elementelor teoretice. De asemenea, permanent, se va urmări valorificarea valențelor formativ-educative ale lecțiilor de geometrie; dezvoltarea la elevi a sârguinței, atenției, voinței; a spiritului de ordine și exigență față de propriile judecăți.

Profesorul va urmări, nu numai efectuarea la tablă a unor construcții geometrice corecte sau redactarea îngrijită a unor relații, ci și corectitudinea figurilor geometrice din caietele elevilor, modul în care aceștia redactează relațiile care se scriu pe tablă.

Exercițiile și problemele nu vor fi eșalonate după criterii privind ingeniozitatea soluțiilor, a frecvenței lor în probele de examene, ci după locul și rolul lor în obiectivelor obținerea competențelor propuse.

CAPITOLUL II

METODE ȘI PROCEDEE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIE ÎN GIMNAZIU

2.1. Aspecte metodice privind rezolvarea problemelor de geometrie la gimnaziu

Cuvântul metoda are o etimologie grecească, provenind de la cuvintele "metha", care înseamnă "către, spre" si "odos" cu semnificația de "cale", însemnând drum ce conduce spre un țel propus.

Definim metoda didactică drept cale urmată de profesor împreună cu elevul său, în procesul de învățământ, în scopul însușirii informației de către elev și a formării priceperilor și deprinderilor, precizându-se că metoda este în principiu proiectată și controlată de profesor. Cunoașterea unor metode de raționament în studiul geometriei este necesară, deoarece acestea înlesnesc înțelegerea demonstrațiilor și constituie mijloace de cercetare în rezolvarea problemelor. Îl ajută pe elev să-și dea seama ce înseamnă un raționament logic, ce însemnă adevăr probabil, bănuit prin intuiție, sau ghicit, sau conturat prin schițe provizorii de raționament și ce înseamnă a- l pune sub semnul dubiului pentru a-l stabili ferm, sau pentru a-l infirma, ce înseamnă o metodă sigură și generală, un algoritm, ce este stereotip și ce este nou în aplicarea unei astfel de probleme concrete.

Problemele au:

Rol informativ

⦁Direct utile din practică – matematica aplicată în viața curentă, calcul, măsură, în studiul fizicii, studii tehnice.

⦁Matematica privită ca obiect de cultură generală.

Rol formativ

⦁Exercițiul gândirii logice și atracția pentru problematic, educarea gândirii creatoare. O problemă cu rol formativ însemnă că soluția ei are interes și în sine, ca rezultat ce trebuie reținut: ceva ce vom folosi ulterior în alte probleme.

⦁Rolul formativ constituie un exercițiu al gândirii logice și al gândirii inventive.

Metoda este legată de conținut în sensul că fiecare din cele trei moduri de a face matematică: euristică, logică și aplicată, își are stilul său, un mobil psihic specific.

Elementul intuitiv își are rolul lui în înțelegerea acțiunii de a construi acest sistem care este substituit cu rigoarea raționamentului logic. Nu numai pentru legătura lui cu practica, ci și psihologic, ca suport al investigației euristice, elementul intuitiv își are rolul lui. De aceea nu trebuie să eliminăm complet justificările intuitive, limitându-ne la demonstrații complet riguroase. Demonstrația riguroasă este mai bine prinsă în rostul ei când vine după o critică a justificării intuitive, înlocuind-o în fundamentarea logică, dar păstrând-o ca element activ în cercetarea euristică.

Problema de a întelege un text matematic este mai grea decât o problemă propriu-zisă. Pentru a citi și întelege un text matematic, cititorul trebuie să aibă o vastă experiență în rezolvări de probleme, să-și dea seama că descifrarea textului este în fond rezolvarea unei probleme. Deși textul este complet din punct de vedere logic el este incomplet din punct de vedere psihologic.

Însușirea enunțului problemei presupune cunoșterea problemei în așa măsură încât să distingă clar ce se dă și ce se cere în problemă. Cunoșterea unor anumite procedee și metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie care să aibă semnificația lui cum gândim, deci semnificația strategiei punerii și rezolvării problemelor mari și mici.

Esența activității matematice este dezvăluirea implicațiilor logice ascunse, iar actul de cunoaștere pe viu este o îmbinare între informații dobândite senzorial și cele care izvorăsc din acestea pe cale logică, în ambele cazuri vizându-se cunoștințe neevidente.

Discuțiile metodice menite să ducă la descoperirea prin gândire, privită nu numai prin prisma scopului educativ de dezvoltare a puterii de gândire ci și a celui instructiv: nu se poate înțelege și asimila cu adevărat un enunț matematic sau o demonstrație dacă se învață pasiv și se recepționează gata făcută, ci numai atunci când ea se redescoperă. Cunoștințele matematice nu sunt statice, un material depozitat în memorie, ci un instrument de lucru. În acest sens valențele educative ale matematicii (prin rezolvarea de probleme) se extind în sfera personalității elevului (prezente și ulterioare) dezvoltând și influențând pozitiv structuri psihice operaționale, aptitudini, laturi motivaționale și atitudinale, componente voluntariste, ingeniozitate, flexibilitatea gândirii, imaginație, spontaneitate, spiritul critic.

Rezolvarea de probleme în grup înlătură tendința de subordonare, frica de a domina, dezvoltă receptivitatea, interrelații sănătoase prin lipsa unei rivalități dăunătoare.

Învățarea noțiunilor prin probleme este conștientă pentru că elevul nu poate construi un raționament dacă nu posedă itemurile necesare în structura sa cognitivă.

Călăuzirea gândirii prin întrebări trebuie astfel făcută încât să se aibă mereu în atenție problema întreagă și ori de câte ori se rezolvă o secvență a ei, să fie prezentată și legătura acesteia cu întregul. După parcurgerea analitică a demonstrației, care durează mai mult pentru că trebuie rezolvate aspectele ei parțiale, este necesar să se facă o privire sintetică a ei care să sublinieze ideea demonstrației.Elevul nu trebuie să rețină demonstrația în desfășurarea ei analitică; el trebuie să înțelegă și să rețină ideea demonstrației, și în funcție de ea s-o poată reconstitui singur în detaliu.

Principul însușirii temeinice a cunoștințelor: cunoștințele descoperite prin efort propriu sunt fixate mai bine în memorie, sunt ușor de reprodus, identificat și utilizat.

Prin investigarea figurii, corelarea între ce știu și ce nu știu, învățarea se înscrie în cele trei procese ce generează temeinicia învățării:

însușirea informației noi;

transformarea cunoștințelor pentru a le folosi în rezolvarea sarcinilor noi;

evaluarea (adecvarea) informației la noile sarcini.

Observația didactică constă în urmărirea atentă a figurii din problemă sub îndrumarea profesorului, observare sistematică sau autonomă, observare independentă, în scopul depistării unor aspecte ale realității, a unor relații între elementele ce se dau și ce se cer. Poate contribui la operații logice corecte, exprimarea unor deosebiri de relații cu alte figuri.

Este util pentru valențele educative ale acestei metode să zăbovim și în sensul ei întrucât este util să cultivăm calități moral – psihice precum imaginația, răbdarea, perspicacitatea, spiritul de observație și evitarea confuziilor, mai ales la corpurile geometrice.

Exercițiul didactic este util în cadrul problemelor de geometrie, la clasele III – V, unde este predominant caracterul intuitiv: măsurări de arii, volume și mai puțin la problemele tip geometrie preeuclidiană, unde totuși predomină intuiția adevărului cu mai puțin accent pe demonstrații riguroase. Ca orice acțiune motrice are valențe formative: adâncirea înțelegerii algoritmului de rezolvat, dezvoltarea operațiilor mintale și constiuirea lor în structuri operaționale, sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor, deprinderilor, prevenirea uitării, evitarea confuziilor, dezvoltarea unor calități morale ca voința.

Pentru a beneficia de consecințele psihologice și de ordin mental ale metodelor intuitive, profesorul trebuie să confrunte elevul cu materialul concret, nemijlocit exersându-i priceperea, contemplarea, creând mutații ca intuiții superioare, subtile, ajutând și la generalizări și abstractizări. Și aici supralicitarea riscă să transforme matematica în „ lucru manual”.

Descoperirea didactică este o metodă euristică; presupune crearea condițiilor de reactualizare a experiențelor, capacităților individuale și deslușirea unor relații. Se pleacă cu delimitarea a ceea ce este util, oportun să sesizeze elevul dirijat de profesor, lăsându-i acestuia să descopere prin proprie inițiativă restul.

Raționamentele euristice sunt importante deși nu dovedesc nimic. De asemenea, este important să ne clarificăm raționamentele euristice, deși în spatele fiecărui raționament clarificat există multe altele care rămân obscure și sunt uneori poate și mai importante.

În rezolvarea problemelor se ține cont de câteva reguli elementare:

citirea (corectă) a enunțului problemei și construirea corectă a figurii despre care este vorba în problemă (ipoteză, concluzie);

însușirea enunțului problemei (eventual toate noțiunile și teoremele în legătură cu problema, ținând cont de date și relații);

cunoașterea unor anumite procedee și metode pentru rezolvarea problemelor de geometrie;

construirea de raționamente noi pe baza axiomelor, definițiilor și a altor raționamente învățate anterior;

stabilirea de relații între diferite elemente ale figurilor și scrierea lor cu ajutorul simbolurilor din matematică, pe baza raționamentelor construite, ce permit urmărirea lanțului de judecăți ce formează demonstrația problemei;

discutarea problemei (în unele probleme de geometrie, o soluție nu încheie rezolvarea ei, ci trebuie examinate și condițiile care ne arată existența altor soluții, numărul lor, precum și diferite cazuri particulare ce pot apărea, sau generalizarea ei);

verificarea soluțiilor problemei (trebuie facută mai ales în problemele de construcții geometrice; ea constă dintr-o demonstrație care trebuie să arate că figura obținută corespunde cu cea cerută în enunțul problemei).

2.2 .Metode folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor

În matematică, prin metodă se înțelege calea rațională care trebuie folosită pentru a demonstra o teoremă sau pentru rezolvarea unei probleme.

Metodele pentru rezolvarea problemelor de geometrie se împart în două grupe principale: generale și particulare.

Metodele analizei și sintezei sunt singurele metode generale care se aplică în demonstrarea unui număr foarte mare de teoreme și probleme.

Metodele folosite în geometrie pentru rezolvarea problemelor sunt următoarele:

metoda sintezei

metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul;

metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstrație;

metoda analizei

metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul;

metoda analizei în rezolvarea problemelor de demonstrație;

metoda contrucțiilor geometrice

medota reducerii la absurd în problemele de geometrie

metoda analitico – sintetică în problemele de geometrie

metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de demonstrație;

metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de calcul;

metode de rezolvarea a problemelor de coliniaritate

metode de rezolvarea a problemelor de concurență.

2.2.1 Metoda sintezei

2.2.1.a) Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de calcul

Problemele de calcul se împart în: exerciții, probleme cu conținut geometric, dar pentru rezolvarea cărora se cere cunoașterea unor probleme de tip aritmetic și probleme care, pentru rezolvarea lor, cer folosirea mai multor propoziții legate într-un raționament. Exercițiile sunt probleme ușoare, formulate prin propoziții scurte prin a căror rezolvare se urmărește aplicarea directă a unor reguli sau teoreme. Rezolvarea lor nu necesită un efort mare de gândire, construcția unor raționamente complicate, ci numai cunoașterea temeinică a regulilor, formulelor, a teoremelor studiate. Deși rezolvarea lor nu dezvoltă prea mult gândirea logică, ele au o mare importanță, contribuind la formarea priceperilor și deprinderilor pentru a aplica cunoștințele teoretice în rezolvarea problemelor, constituind primul pas în aplicarea teoriei în practică.

Prin sinteză, o problemă de calcul se rezolvă astfel: se iau două date cunoscute ale problemei între care există o legătură și cu ajutorul lor se formulează o problemă ce ne dă posibilitatea să calculăm valoarea unei a treia mărimi, care devine astfel cunoscută. Se iau apoi alte două date cunoscute (fie date prin enunțul problemei, fie calculate anterior) și cu ajutorul lor se formulează altă problemă, care rezolvată ne dă valoarea unei noi mărimi. Se procedează astfel până găsim toate valorile mărimilor ce se cer în problemă.

2.2.1.b) Metoda sintezei în rezolvarea problemelor de demonstrație

Problemele de demonstrație sunt problemele prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unei relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor date sau să se justifice dacă o afirmație referitoare la o proprietate a unei figuri geometrice este adevărată sau nu. Ele ajută la însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie, la dezvoltarea gândirii logice, constituind primi pași spre o gândire creatoare.

La rezolvarea unei probleme de demonstrație prin sinteză se pornește de la propoziția A (ipoteza) și se caută o altă ipoteză C pe care o implică propoziția A. Prin urmare, ținând cont că figura F are proprietățile α, căutăm să vedem ce alte proprietăți δ mai are, iar proprietatea care afirmă că figura F are proprietățile δ o notăm cu C. Căutăm mai departe o propoziție D pe care s-o implice propozițiile A și C, până când propozițiile astfel găsite implică propoziția B (cerută de concluzie).

2.2.2. Metoda analizei

2.2.2.a) Metoda analizei în rezolvarea problemelor de calcul

Se pleacă de la întrebarea problemei, deci de la necunoscut spre cunoscut. Se formulează o problemă astfel încât răspunsul ei să fie același ca și la problema propusă.

Datele problemei formulate pot fi unele cunoscute, altele necunoscute. Cu alte date se formulează o a doua problemă, a cărei întrebare să fie astfel pusă încât prin rezolvarea ei să ducă la găsirea valorilor mărimilor necunoscute din problema formulată. Se poate întâmpla ca și în cea de-a doua problemă formulată unele date să nu fie cunoscute, și atunci se formulează o a treia problemă, a cărei întrebare trebuie să ducă la găsirea datelor necunoscute din problema a doua ș.a.m.d. Acest proces se continuă până când se ajunge la o problemă ale cărei date sunt cunoscute. Din acest moment operațiile se desfășoară pe calea sintezei.

În practică se mai folosește o alta formă de aplicare a analizei. Se pleacă tot de la întrebarea problemei. Presupunem că ea cere să se găsească valoarea mărimii A. Atunci se caută mărimile cu ajutorul cărora putem calcula valoarea mărimii A, fie acele mărimi E și F. Dacă valorile acestor mărimi sunt date în problemă, atunci se fac calculele indicate, se găsește valorea lui A și cu aceasta problema dată este rezolvată. Dacă valorile lor (ale lui E și F) nu sunt cunoscute, atunci trebuie calculate. Astfel, problema propusă se reduce la rezolvarea altor probleme mai puțin complicate. Fie M, N mărimile care ne ajută să găsim pe E și P, Q mărimile cu ajutorul cărora vom calcula mărimea F. Acest procedeu continuă până când valorile mărimilor căutate se pot calcula cu ajutorul unor date din problema propusă. Din acest moment, folosim calea inversă, din aproape în aproape, ajungem să găsim valoarea mărimii A. Deci în forma a doua nu se mai formulează în mod special problemele intermediare, ci numai se menționează mărimile pe care le-ar cuprinde ele în cazul în care s-ar fromula.

2.2.2.b) Metoda analizei în rezolvarea problemelor de demonstrație

La rezolvarea unei probleme prin analiză se pornește de la concluzia B și se caută o propoziție C care să implice B. Căutăm o altă propoziție D din care să deducem pe C, apoi o propoziție E din care s-o deducem pe D ș.a.m.d. până găsim o propoziție A din care să deducem propoziția precedentă. Se procedează astfel:

Se presupune că propoziția de demonstrat este adevărată;

Se pune următoarea întrebare: de unde reiese imediat concluzia teoremei? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi propoziții cu mai puține necunoscute decât cea dată de problemă; s-o numim C;

O întrebare asemănătoare se pune și pentru propoziția C: de unde reiese imediat concluzia propoziției C? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi propoziții cu mai puține necunoscute decât C, s-o numim D;

O dată ajuns la acest adevăr, raționamentul se continuă prin metoda sintezei.

Din felul cum se desfășoară se poate vedea că fiecare etapă nu se aplică prin încercări, ci este legată de propozițiile precedente, așadar raționamentele sunt motivate.

2.2.3. Metoda contrucțiilor geometrice

Problemele de construcții geometrice sunt acele probleme de geometrie în care se cere să se construiască o anumită figură cu ajutorul unor elemente date sau construirea unei figuri astfel încât elementele ce o compun să aibă anumite proprietăți, folosind numai rigla și compasul.

Într-o problemă de construcție se cere să contruim o figură F care să posede anumite proprietăți α. La unele probleme mai simple putem executa construcții imediat pe baza condițiilor α, dar la problemele mai complicate această construcție imediată nu este posibilă. În aceste cazuri mai complicate presupunem problema rezolvată cu figura construită, adică figura construită care posedă proprietățile α și căutăm să descoperim și alte proprietăți ale figurii pe baza cărora putem executa construcția figurii. Fie β aceste proprietăți. Cu alte cuvinte, am demonstrat propoziția:

i) Dacă figura F are proprietățile α, atunci figura F are proprietățile β. Când trecem la construcția figurii folosim proprietățile β și o parte din proprietățile α. Să numim α’ acele proprietăți α pe care l-am folosit în construcția figurii. Figura construită posedă deci proprietățile β și α’, însă nouă ni s-a cerut să construim o figură cu proprietățile α. Este deci necesar să demonstrăm că figura construită îndeplinește condițiile inițiale α.

Pentru aceasta se demonstrează propoziția:

ii) Dacă figura F are proprietățile β și α’, atunci ea posedă și proprietățile α. Condițiile inițiale α ale problemei pot prezenta diferite cazuri și uneori construcția și numărul soluțiilor diferă între ele de la un caz la altul.

În general, se pot deosebi patru etape în rezolvarea unei probleme de construcție:

Aflare soluției – în acestă etapă se presupune figura construită și se caută alte proprietăți pe baza cărora se poate efectua construcția (se demonstrează propoziția i).

Construcția.

Demonstrația – se arată că figura construită în etapa a doua îndeplinește condițiile inițiale (se demonstrează propoziția ii).

Discuția – se consideră toate cazurile pe care le pot prezenta condițiile inițiale α și se arată cum se efectuează constucția și câte soluții sunt în fiecare caz.

În cazul în care pe baza cunoștințelor pe care le avem putem executa construcția, atunci rezolvarea necesită numai ultimele 3 etape. Se spune că s-a făcut rezolvarea prin metoda sintezei. Când rezolvarea cuprinde și prima etapă se spune că s-a făcut prin metoda analizei.

2.2.4. Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd este o metodă veche folosită în geometrie, încă din antichitate pentru demonstrarea unor teoreme sau probleme care au un caracter teoretic. Ea constă în a admite în mod provizoriu ca adevărată propoziția contradictorie a teoremei date, apoi în baza unei asemenea presupuneri se deduc o serie de consecințe care duc la un rezultat absurd, deoarece ele contrazic ipoteza problemei sau un adevăr stabilit mai înainte.

Practic, această metodă se aplică astfel:

Se presupune că tot ce trebuie demonstrat nu este adevărat, adică se neagă concluzia teoremei date, apoi pe baza presupunerii făcute se fac o serie de deducții logice, care scot în evidență faptul că presupunerea făcută duce la o absurditate. Aceasta duce la concluzia ca presupunerea făcută nu este posibilă și rămâne ca adevărată concluzia teoremei (problemei) date.

Metoda reducerii la absurd se întrebuințează de multe ori în demonstrarea teoremelor reciproce.

EXEMPLU

Într-un triunghi ascuțitunghic neechilateral, printr-un vârf este dusă înălțimea, prin altul mediana, iar prin cel de-al treilea bisectoarea. Arătați că aceste linii nu pot forma prin intersecție un triunghi echilateral.

Ipoteza: 1)∆ABC ascuțitunghic Concluzia: ∆DEL neechilateral

2)AA´⊥BC, A´ϵ[BC]

3)[BB´]-mediana,B´ϵ[AC]

4)[CC´]- bisectoarea∢C

Demonstrație:

Aplicăm metoda reducerii la absurd. Presupunem că ∆DEL este echilateral.

Din ∆CDA´=>m(∢DCA´)=90 ͦ – 60 ͦ = 30 ͦ =>m(∢C)= 60 ͦ => m(∢B´CE)= 30 ͦ .

Dar ∢DEL≡∢B´EC (∢ opuse la vârf) =>m(∢B´EC)=60 ͦ

În ∆ B´EC avem: m(∢EB´C)=180 ͦ – ( 30 ͦ + 60 ͦ)= 90 ͦ.

Fiindcă [BB´] este mediană =>[BA]≡[BC].

Dar m(∢C)= 60 ͦ =>∆ABC este echilateral ceea ce contrazice ipoteza problemei.Deci presupunerea făcută ( și anume că ∆DEL este echilateral ) este falsă. Deci ete adevărată contrara sa, adică ∆DEL nu este echilateral.

2.2.5. Metoda analitico – sintetică

2.2.5.a) Metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de demonstrație

În rezolvarea problemelor de geometrie, de obicei se folosesc cele două metode generale: analiza și sinteza, în stânsă legătură, neputând fi separate.

Într-adevăr, atunci când rezolvăm o problemă prin sinteză, plecăm de la anumite date sau de la unele cunoștințe învățate înainte, însă avem mereu în minte întrebarea problemei la care trebuie să răspundem.

De asemenea, când rezolvăm o problemă prin analiză, plecăm de la întrebarea problemei, însă trebuie să ținem cont și de ceea ce cunoaștem în problemă și de multe ori aceasta ne sugerează întrebarea pe care trebuie să o punem problemei noi pe care o formulăm.

Practic, se procedează astfel: folosim calea sintezei atât cât reușim, după care, mai departe, folosim metoda de raționament a analizei.

În unele probleme sau teoreme putem începe demonstrarea lor prin metoda analizei până găsim elementele de care trebuie să ne folosim în demonstrație, după care apoi se aplică metoda sintezei.

2.2.5.b) Metoda analitico – sintetică în rezolvarea problemelor de calcul

În practică, rar se întâmplă ca o problemă să fie rezolvată numai prin metoda sintezei sau numai prin metoda analizei; ele se aplică adesea începând prin sinteza cât reușim, după care se recurge la analiză, sau se începe cu analiza și urmează sinteza. Se apelează la analiză până când se găsesc două date care pot determina o mărime, iar pentru a afla necunoscuta, mai departe, calculele merg în ordine sintetică.

EXEMPLU:

Problemă:

Laturile unui ∆ ABC sunt AB=c, BC=a, AC=b. O paralelă la latura BC a triunghiului intersectează laturile AB și AC respectiv în M și N. Se cere:

Să se afle lungimea segmentului MN astfel încât perimetrul ∆ AMN să fie egal cu perimetrul trapezului BMNC.

Să se afle aria ∆ AMN .

Rezolvare:

Aplicăm metoda analizei.

Presupunem că perimetrul ∆ AMN este egal cu perimetrul trapezului BMNC

AM + MN + AN = BM+MN+ CN+BC

AM + AN = BM + CN + BC (1)

Se observă că, dacă în membrul drept al egalității (1) adunăm membrul stâng obținem perimetrul . Adunăm ambii membrii din (1) cu AM + AN

2(AM + AN) = a+b+c

De aici mai departe aplicăm metoda sintezei.

asemnea cu

Începem tot cu analiza..

Problema s-a redus la aflarea lui AF. Aplicăm metoda sintezei: unde

2.2.6. Metode de rezolvarea a problemelor de coliniaritate

Coliniaritatea a trei puncte se poate demonstra prin mai multe metode:

1. folosind identitatea AB = AC + CB, unde AB,AC,BC sunt segmente de dreaptă;

2. utilizând reciproca teoremei unghiurilor opuse la vârf;

3. cu ajutorul unghiului alungit;

4. identificarea apartenenței punctelor la o dreaptă remarcabilă (linie mijlocie, mediatoare,

bisectoare, etc.) în configurația respectivă.

5. folosind postulatul lui Euclid: Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralelă și numai una la acea dreaptă.

6. cu ajutorul proprietăților paralelogramului;

7. folosind unicitatea perpendicularei dintr-un punct pe o dreaptă;

8. utilizând reciproca teoremei lui Menelaus;

9. prin utilizarea axiomei de incidenta (sau de situare): Dacă două plane distincte au un punct comun atunci intersecția lor este o dreaptă;

10. prin metoda analitică;

11. prin metoda vectorială;

12. folosind transformări geometrice,etc.

Problemele de coliniaritate și concurență prezintă deseori dificultăți pentru elevi. Varietatea și multitudinea situațiilor în care apar astfel de probleme ca și a modalităților de soluționare nu permit încadrarea lor într-un număr finit de scheme sau tehnici de lucru. Există totuși posibilitatea evidențierii unor căi de rezolvare, de demonstrare a propozițiilor despre coliniaritate:

Folosind unicitatea paralelei printr-un punct la o dreaptă. Dacă[BA || d și [BC ||d, atunci A, B, C sunt coliniare.

Arătând că măsura unghiului format de punctele A, B, C este de 180° , sau că există un punct M astfel încât A și C fiind în semiplane diferite determinate de dreapta BM.

Folosind unicitatea semidreptei ce formează cu aceeași semidreaptă, în același semiplan două unghiuri congruente. Dacă și punctele B și C sunt în același semiplan determinat de dreapta AD, atunci punctele A, B, C sunt coliniare.

2.2.7. Metode de rezolvare a problemelor de concurență

Metode de demonstrare a concurenței unor drepte sunt:

Pentru a demonstra concurența a două sau mai mulor drepte putem folosi una dintre

următoarele metode:

1. folosind definiția dreptelor concurente, adică să arătam că dreptele au un punct comun;

2. concurența a trei drepte constă în a arăta că punctul de intersecție a două drepte aparține și celei de a treia drepte;

3. pentru a demonstra concurența a trei drepte putem să folosim teoremele referitoare la concurența liniilor importante în triunghi;

4. folosind reciproca teoremei lui Ceva;

5. prin metoda analitică, folosind ecuațiile analitice ale dreptelor;

6. pentru concurența a trei drepte, demonstrăm că se intersectează două câte două și aria poligonului obținut este 0.

Între problemele de concurență și coliniaritate există o strânsă legătură. Astfel, pentru a demonstra că dreptele d1, d2 și d3 sunt concurente putem considera punctul A comun dreptelor d1 și d2 și punctele B și C situate pe d3 și arătăm că punctele A, B, C sunt coliniare.

Există și căi specifice, la nivelul ciclului gimnazial, pentru a demonstra concurența unor drepte. Iată câteva metode specifice ilustrate prin probleme:

Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului și reciproc orice punct egal depărtat de laturile unui unghi aparține bisectoarei unghiului respectiv.

Orice punct de pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului și reciproc orice punct din planul unui segment este egal depărtat de capetele unui segment aparține mediatoarei segmentului.

În plan două drepte distincte sunt sau paralele sau concurente.

Într-un triunghi două mediatoare sunt concurente.

Într-un triunghi două mediane sunt concurente.

Într-un triunghi două bisectoare sunt concurente.

Diagonalele unui paralelogram sunt concurente.

Dacă avem ordinea A – E – M, B – E – N, C – E – P, atunci dreptele AM, BN și CP sunt concurente.

Două puncte interioare unui segment ce formează anumite rapoarte egale coincid.

2.3. Aspecte metodice privind rezolvarea problemelor recapitulative

Recapitularea de la începutul și sfârșitul unui an școlar se face, la matematică, prin rezolvarea de probleme recapitulative. Acest lucru presupune reamintirea unor teoreme, relații de cunoașterea cărora depinde posibilitatea elevilor în a rezolva problemele propuse pe care profesorul le apreciază, ca fiind reprezentative pentru materia parcursă în anul respectiv.Profesorul este cel care concepe aceste lecții astfel încât să se realizeze un raport corespunzător între noțiunile teoretice și cele practic-aplicative.

În geometria clasei a VI-a, pe lângă formarea conceptelor geometrice de bază (punct, dreaptă, segment, unghi) s-a introdus și relația de congruență referitoare la segmente, unghiuri, triunghiuri. Aceasta a stat la baza deducerii unor proprietăți importante ale triunghiurilor. În acest caz recapitularea trebuie să aibă ca obiectiv principal consolidarea și aprofundarea relației de congruență și a unor condiții necesare și suficiente ca unele figuri geometrice să aibă anumite proprietăți. Problemele în cadrul lecției de recapitulare trebuie să solicite în mai mare măsură gândirea elevilor, puterea lor de analiză, sinteză, generalizare și abstractizare și să le dezvolte capacitatea de a folosi cele învățate în situații noi. După rezolvarea unor probleme sau a unui grup de probleme este bine să precizăm ce cunoștințe anterioare am aplicat, la ce teoreme am apelat.

2.3.1. Rolul memoriei în lecțiile de recapitulare

O primă etapă a lecțiilor de recapitulare este aceea în care profesorul se asigură de nivelul cunoștințelor elevilor introduse în anul școlar precedent, de cunoașterea unor definiții, a unor relații de bază și chiar a demonstrațiilor unor probleme. Rolul memorării în învățarea matematicii este foarte important: reținerea rezultatului unor demonstrații, a unor definiții. De multe ori se întâmplă însă să utilizăm relații, teoreme, rezultate pe care le-am reținut chiar dacă nu mai refacem raționamentele prin care am ajuns la ele. De exemplu, la tema de recapitulare „Triunghiul. Metoda triunghiurilor congruente. Linii importante în triunghi.” poate exista garanția că fondul de cunoștințe al elevilor nu s-a „șters” pe timpul vacanței și atunci am putea integra revederea cunoștințelor conținute de această temă în rezolvarea de probleme. Există de asemenea și situații în care trebuie formulat un set de întrebări astfel încât să reamintim elevilor unele noțiuni de bază. În timpul rezolvării problemelor vom menționa la momentul potrivit, de exemplu, în ce constă metoda triunghiurilor congruente. Nu-i vom obliga însă pe elevi să rețină o anumită formulare a acestei metode, ci să o înțeleagă și să o utilizeze cu ușurință atunci când este cazul. Referitor la liniile importante în triunghi profesorul trebuie să se asigure că elevii știu, în primul rând să le construiască corect. Se vor desena diferite triunghiuri care nu sunt particulare pentru început și elevii vor construi bisectoarele, înălțimile, medianele corespunzătoare unor vârfuri și vor scrie relațiile matematice ce definesc aceste linii. Apoi se poate trece la analiza liniilor importante ale triunghiurilor particulare (dreptunghice, isoscele, echilaterale) și concurențele lor. După ce profesorul s-a asigurat că elevii stăpânesc noțiunile fundamentale implicate de această temă, poate trece la rezolvarea de probleme în care se folosesc cu preponderență noțiunile respective.

2.3.2. Rolul figurilor geometrice în rezolvarea problemelor recapitulative

Enunțul unei probleme se clarifică pe deplin pe măsură ce se realizează figura ipotetică, adică acea figură despre care presupunem că îndeplinește toate condițiile din enunț. Nu se poate realiza pentru orice problemă o construcție geometrică riguroasă, cu rigla, compasul sau raportorul, ci se va desena o figură folosind cel mult o riglă. Rolul desenului în rezolvarea problemelor de geometrie este foarte important mai ales în clasa a VI-a când profesorul trebuie să-i învețe pe elevi să deseneze chiar cu mâna liberă diferite figuri geometrice. Efectuarea construcției cu instrumentele geometrice presupune un interval de timp prea mare între enunțul problemei și rezolvarea ei. Pentru a învăța elevii să execute corect figurile geometrice, mai ales în clasa a VI-a, profesorul trebuie să urmărească obligatoriu modul în care aceștia realizează în caietele de clasă desenele de pe tablă. Urmărirea corectitudinii desenelor făcute de către elevi trebuie să fie un obiectiv permanent al activității profesorului la clasă. Figura realizată nu trebuie să conțină unele particularități care ar putea crea unele confuzii. De exemplu, o problemă în care realizarea figurii geometrice prezintă unele particularități este:

„ABCD este un paralelogram (fig. 3) și dacă înălțimea din A pe CD este congruentă cu cea din A pe BC, atunci paralelogramul este romb.”

Elevii nu vor desena un romb, ci un paralelogram oarecare despre care vor demonstra că este romb. Paralelogramul oarecare trebuie totuși astfel desenat încât să pară plauzibilă congruența celor două perpendiculare. Abia după rezolvarea problemei elevii vor putea realiza figura geometrică care îndeplinește toate condițiile din enunț. Profesorul poate cere uneori elevilor, după analizarea enunțului problemei, ca fiecare să-și deseneze figura geometrică corespunzătoare pe caiet și abia apoi să o deseneze pe cea de pe tablă după care se va face demonstrația problemei. Enunțul de mai sus este o problemă tipică pentru folosirea metodei triunghiurilor congruente deoarece segmentele AB și AD sunt comparate ca fiind laturi omoloage în două triunghiuri dreptunghice congruente. Se va menționa chiar de la începutul rezolvării că urmărim să încadrăm segmentele AB și AD în două triunghiuri despre care putem arăta că sunt congruente. Astfel, se pot pune următoarele întrebări:

Ce condiții trebuie să îndeplinească un paralelogram ca el să fie romb?

Dacă ABCD este paralelogram, ce relație există între dreptele AB, BC, CD, DA?

Ce relație există între înălțimile coborâte din A pe BC și pe CD?

În general sunt congruente sau nu cele două înălțimi?

Astfel, pe baza răspunsurilor la aceste întrebări, ipoteza și concluzia acestei probleme:

IPOTEZĂ: CONCLUZIE:

AB‖CD (1) ABCD romb

AD‖BC

AM⊥BC

AN⊥CD

[AM]≡[AN]

DEMONSTRAȚIE

A B

D C

Fig. 3

Pentru a demonstra că ABCD este romb se pot folosi definiția sau proprietățile rombului. După analiza datelor din ipoteză se observă că se va folosi definiția rombului. Deci pentru a arăta că ABCD este romb este necesar și suficient să arătăm că AB=AD.

Din (1) și (2) => ∢B ≡∢ D (*)

Din (3) și (4) => m(∢AMB)=m(∢AND)= 90̊ => ∆AMB, ∆AND-triunghiuri dreptunghice

Considerăm ∆ AMB, ∆ AND : [AM]≡[AN] (din ipoteza 5) și ∢B≡ ∢D (*).

Rezultă conform C.U.=>∆AMB≡ ∆AND=> AB=AD => ABCD romb .

Scopul tuturor întrebărilor profesorului trebuie să fie acela de a concentra toată atenția elevilor asupra celor două segmente despre care vrem să arătăm că sunt congruente. După rezolvarea acestei probleme vom face observația că nici una dintre relațiile din ipoteză nu a rămas nefolosită. Această observație este deosebit de importantă pentru că dacă cel puțin una din relațiile de la ipoteză ar rămâne neutilizată pe parcursul rezolvării atunci înseamnă că enunțul problemei nu este corect formulat. Cu alte cuvinte, am obținut de la problemă prea puțin în comparație cu ceea ce „am pus” în ea.

În continuare vom da un exemplu de problemă ce poate fi utilizată la recapitularea temei „Linii importante în triunghi”, dar la care ipoteza este mai „bogată” decât avem nevoie pentru a demonstra concluzia pe care o dorim:

„Pe latura AB a triunghiului isoscel OAB ( [OA]≡[OB] ) se iau punctele C și D astfel încât [AC]≡[CD]≡[DB]. Să se demonstreze că unghiurile AOC, COD, DOB nu pot fi congruente( fig. 4).

Este o problemă a cărei rezolvare se face prin metoda reducerii la absurd. În cazul problemei noastre trebuie să arătăm că propozițiile [AC]≡[CD]≡[DB] și ∢AOC≡ ∢COD≡ ≡∢DOB sunt incompatibile.

Fig.4

DEMONSTRAȚIE:

Presupunem că ∢ AOC≡ ∢COD≡ ∢DOB. Din ∢AOC≡ ∢COD și [AC]≡[CD] =>∆AOD este isoscel rezultă bisectoarea OC este și mediană rezultă OC ⊥ AD. În mod analog se demonstrează că și OD ⊥ CD. Cum punctele A, C, D și B sunt coliniare ar însemna că din punctul O exterior dreptei AB se pot duce două perpendiculare pe AB, ceea ce este imposibil. Astfel, am ajuns la o contradicție. Deci presupunerea făcută și anume că ∢AOC≡ ∢COD≡ ∢DOB este falsă.

Dacă se analizează toate datele din ipoteză se constată faptul că ∆ OAB isoscel nu a fost utilizată. Deci propoziția demonstrată este adevărată in orice fel de triunghi, iar formulare corectă ar putea fi: „Dacă OAB este un triunghi și C, D sunt două puncte interioare segmentului AB astfel încât [AC]≡[CD]≡[DB], atunci unghiurile AOC, COD și DOB nu pot fi toate trei congruente. Astfel de probleme consolidează teoremele directe și reciproce referitoare la liniile importante corespunzătoare bazei unui triunghi isoscel.

În concluzie, atenția elevului trebuie îndreptată nu spre orice concluzie care s-ar putea deduce din ipoteza problemei, ci numai spre acele propoziții care ne ajută să demonstrăm că concluzia este adevărată sau falsă. Deci elevii trebuie deprinși să separe ipoteza și concluzia, să ia în considerare mai multe adevăruri care se deduc din ipoteză iar dintre ele să le detașeze pe cele pe care le-ar putea folosi la demonstrarea concluziei.

2.3.3. Metoda descompunerii unei probleme în altele mai simple

Elevii nu vor fi încurajați să memoreze unele probleme, ci profesorul va accentua rezultatele importante și ve atrage atenția elevilor să rețină particularitățile unora dintre ele și în ce condiții ar putea folosi aceste concluzii. De asemenea, elevii trebui obișnuiți să recunoască într-o problemă „complicată” o înșiruire de probleme mai simple.

De exemplu:

„ Pe latura AB a triunghiului echilateral ABC( fig. 5) se ia E astfel încât 2BE=EA. La fel pe latura AC se ia D astfel încât DC=2AD. Demonstrați că măsura unghiului AFC=90̊, unde F este punctul de intersecție al segmentelor BD și EC.”

Recunoașterea problemelor mai simple dintr-o problemă mai complicată se realizează mai ușor dacă începem de fapt cu concluzia problemei (vezi metoda analizei). În cazul problemei de mai sus trebuie să se demonstreze că AF⊥EC. După cum se observă AF nu este nici mediatoare a lui EC și nici înălțime a triunghiului AEC. Dacă s-ar putea arăta că unghiul AFE este congruent cu un alt unghi despre care se știe că este drept atunci problema ar fi rezolvată. Pentru a rezolva aceasta trebuie să recunoaștem în figură datele problemei: „în ∆ AED, AE=2AD și m(∢A)=60̊ și concluzia: m(∢EDA)=90̊ ”. dacă unghiurile AFE și EDA ar fi congruente atunci patrulaterul AFED ar fi inscriptibil. Atunci, apare o nouă problemă: „ Patrulaterul AFED este inscriptibil”.

Deci, pornind de la concluzie am fost „împinși” mereu spre alte probleme, pe care recombinându-le putem obține rezolvarea problemei inițiale. Această descompunere se realizează printr-un dialog continuu cu clasa, prin formularea unor întrebări bine concepute, prin reformularea lor atunci când nu primim răspuns. Astfel am obținut de fapt o succesiune de probleme simple a căror rezolvare reprezintă de fapt soluția problemei inițiale. Mersul invers, de la concluzie către ipoteză, conduce la descompunerea acestei probleme în următoarele probleme:

∆ADB≡ ∆BCE

∆ADE-dreptunghic

Patrulaterul AEFD-inscriptibil

∢AFE≡ ∢ADE

2.3.4. Probleme de construcții geometrice

În acestă categorie intră problemele de geometrie în care se cere să se construiască o anumită figură geometrică, cu ajutorul riglei și compasului, acesta având câteva elemente date.

Se știe că la construcțiile geometrice plane Euclid a folosit un sistem de axiome :

A: Prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una.

A: Descrierea cercurilor cu raze egale cu distanța între două puncte arbitrar alese.

Deci, din însuși sistemul de axiome al lui EUCLID , decurge posibilitatea ca o anumită construcție să se facă numai cu rigla și compasul.

Datorită slabei dezvoltări a tehnicii de calcul, grecii antici căutau soluțiile principalelor probleme prin construcții cu rigla și compasul.În matematica modernă s-a demonstrat când este posibilă o construcție cu rigla și compasul și când nu.

Dacă o figură se poate construi cu rigla și compasul atunci fiecare punct al ei se află la intersecția a două drepte sau a unei drepte cu un cerc sau a două cercuri. Pentru a găsi, cu mijloacele geometriei analitice astfel de puncte ar trebui să rezolvăm sisteme de ecuații cu două necunoscute, de gradul I și II. Potrivit teoriei lui GALOIS, figurile respective pot fi construite, numai cu rigla și compasul, căci aceste sisteme pot fi rezolvate cu ajutorul celor patru operații algebrice și al extragerii rădăcinii pătrate.

În geometrie, de obicei, se dau elevilor figuri geometrice și li se cere să descopere proprietățile acestora. În problemele de construcții, elevii recunosc unele proprietăți și caută să execute figuri geometrice care să aibă proprietățile respective.

Astfel , problemele de construcții se rezolvă în două moduri:

1)se construiesc direct elementele date și se obține astfel figura cerută. Etapele rezolvării în acest caz sunt:

– construcție

– discuție .

2)se presupune figura ( cu proprietățile date) , se construiește și se descoperă și alte proprietăți care stau la baza construcției cu rigla și compasul, etapele fiind următoarele:

-soluția,

-construcția,

-demonstrația ,

-discuția.

EXEMPLE:

I)Să se construiască triunghiul ABC în care se cunosc: latura BC, mediana AM și unghiul A.

Discuție.

Construim un segment BC care să aibă lungimea egală cu cea a segmentului dat. Cu rigla și compasul știm să determinăm mijlocul său M. Vârful A va fi la distanța dată, AM, de M, deci se va găsi pe cercul cu centrul în M și raza AM. Descriem acest cerc. Cum unghiul BAC este dat, înseamnă că A se află pe cele două arce capabile de unghiul A și cu extremitățile B și C.

Punctul A se află la intersecția a două locuri geometrice: arcul capabil de unghiul A și cercul anterior construit.

Analiza.

Aceasta constă în a analiza dacă cele două locuri geometrice au un punct comun, mai multe, sau nici unul. Discuția are la bază intuiția. O discuție riguroasă ar depăși nivelul de cunoștințe al elevilor.

1)Dacă AM > BC/2 și MA < MN (MN ⊥ BC) problema are patru soluții: ∆ABC, ∆A’BC, ∆A’’BC, ∆A’’’BC.

2)Dacă MA > BC/2 și MA = MN problema are două soluții.

3)Dacă MA > MN problema nu are nicio soluție.

4)Dacă MA = BC/2 și m(∢A) = 90̊ problema are o infinitate de soluții.

5)Dacă MA < MC, problema nu are nicio soluție.

II)Fie trei semidrepte OX, OY, OZ (OZ interioară unghiului XOY) și un punct M pe OZ. Să se construiască o dreaptă care să treacă prin M și să intersecteze pe OX, OY în A și B astfel încât MA = MB.

1)Presupunem problema rezolvată. Construim cele trei semidrepte și presupunem că MA = MB, deci că OM este mediană în ∆ OAB.

La rezolvarea problemelor în care intervine mediana folosim construcția uzuală: prelungim OM cu un segment MP congruent cu el. Deci, dacă M ar fi mijlocul lui [AB], OAPB ar fi paralelogram.

Am găsit deci soluția, urmează să realizăm construcția.

2)Construcția. În realizarea practică a construcției vom urmări respectarea succesiunii logice a etapelor. Nici un punct, cerc sau dreaptă, nu poate fi desenat dacă poziția lui nu este legată de elemente anterior determinate sau date prin enunțul problemei.

Deci:

Prelungim OM cu PM = OM

Prin P ducem paralele la OX și respectiv OY

Dacă cele două drepte paralele cu laturile unghiului prin P taie OX în A și respectiv OY în B, AB este dreapta căutată.

3)Demonstrația. OBPA este paralelogram, M fiind mijlocul diagonalei OP, va fi mijloc și pentru diagonala AB. Deci AB taie OZ în M și MA = MB.

4)Discuție. Punctul P aparținând OZ, astfel ca MP = OM, este unic. Paralelele prin P la OX și respectiv OY sunt unice. Deci problema are o singură soluție.

CAPITOLUL III.

METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE GEOMETRIE UTILIZÂND SOFTURILE MATEMATICE

3.1.TIC în educație – software-ul educațional

Era noastră este era globalizării și a Internetului. Piața, comunicarea, informația și cunoștințele nu mai au limite. Informația și sursele acesteia se dezvoltă cu rapiditate și sunt transmise într-un ritm incredibil. Orice se întâmplă la un capăt al lumii este transmis la celălalt capăt în timp real, aproape instantaneu. În ultimii ani, cunoștințele au crescut dramatic și este imposibil pentru elevi să le asimileze numai prin educație, indiferent de cât de mult este extinsă perioada de învățare. În acest context, școala nu se poate limita la modul tradițional de organizare, operare și transfer de informație. Mai mult decât vreodată, acum este imperativ ca școala să se schimbe și să se transforme într-un centru modern, deschis, bazat pe experiență, concentrat pe elev, colaborativ și explorativ, depărtându-se de imaginea de instituție închisă, alienată, bazată pe memorie și centrată pe profesor, pe care a avut-o până acum.

Dezvoltarea noilor tehnologii ale informației și comunicațiilor și impactul pe care acestea îl au asupra educației este un subiect mult discutat în comunitatea internațională educațională și științifică. Nu mai există niciun seminar informativ sau educațional care să nu includă introducerea noilor tehnologii în procesul educativ. În același timp, au fost făcute anunțuri, au fost realizate planuri și programe, în încercarea de a le introduce în fiecare parte a procesului educativ, oriunde are acesta loc.

Termenul de „Tehnologia Informației și Comunicațiilor” se referă la tehnologii moderne digitale care utilizează calculatorul și rețele de calculatoare și ne permit să codăm, să procesăm, să stocăm, să căutăm, să recuperăm și să transmitem informația în formă digitală (text, tabel, imagini fixe sau mobile și sunet).

Multe probleme au fost indicate cu referire la introducerea noilor tehnologii în procesul educațional; principalele fiind necesitatea, utilitatea și finalitatea acestui proiect, metodologia integrării, redirecționările și ajustările necesare, instruirea și mecanismele sprijinului educațional și tehnic, infrastructura și software-urile.toate acestea conduc inevitabil la discuții, reacții și întrebări care divid comunitatea științifică în trei „grupuri”.

Susținătorii convinși ai noilor tehnologii afirmă că acestea pot „face minuni”. Sute de studii de cercetare au fost realizate pentru a demonstra că utilizarea calculatorului este mult mai eficientă decât metodele tradiționale. Evaluarea acestor studii nu a adus rezultatele dorite. Istoria educației poate oferi multe exemple în care abordările inovative au fost supraestimate. Așteptările exagerate eșuează de obicei și sunt respinse în aceeași manieră exagerată, fără a putea reuși să profite de adevăratul potențial. Suporterii acestei convingeri se concentrează pe un mod de predare și învățare creat să funcționeze numai prin utilizarea noilor tehnologii; în consecință, problemele devin strict tehnice, separate de parametrii socio-culturali.

În direcția opusă se regăsesc cei care resping complet utilizarea noilor tehnologii în educație. Aceștia argumentează efectele secundare și schimbările radicale pe care această metodă le aduc formei tradiționale de învățământ. Aceștia susțin că micile diferențe observate în cercetări sunt doar rezultatul unor falsificări.

Aceste două abordări ne conduc pe calea periculoasă a viziunii că există doar lucruri „pozitive” sau „negative”, judecând după consecințe. „tehno-fobia” și „tehno-prietenia” nu sunt decât două fețe ale aceleiași monede. Dogmatismul lor este atât redundant cât și contraproductiv.

Undeva la mijlocul acestor abordări se găsesc viziunile gânditorilor critici. Ei cred că introducerea noilor tehnologii în educație este atât necesară, cât și utilă. Ei accentuează rolul profesorului ca un intermediar în timpul interacțiunii de învățare și nevoia de evaluare constantă, și analizează consecințele utilizării acestor tehnologii. Acestea nu pot fi nici benefice, nici dăunătoare în sine. Utilizatorii, mai precis profesorii, trebuie să fie atenți și întotdeauna să pună în balanță efectele negative și cele pozitive.

Mai mult, dacă ar trebui să prezentăm toate problemele educaționale, incluzând pluralismul elevilor și nenumăratele situații educaționale, am alege uneori cărțile ca fiind mai eficiente, uneori profesorii, uneori experiența reală, iar alte ori utilizarea calculatoarelor. Nu este surprinzător faptul că multe cercetări utilizând multiple subiecte, situații și diferiți elevi au dus la concluzia că influența într-un singur mediu este mică, dacă nu inexistentă.

Pentru a beneficia de potențialul calculatoarelor, prima regulă în ceea ce privește utilizarea sau structurarea adecvată a predării centrate pe acestea, este să fie folosite în situații în care s-ar putea dovedi într-adevăr benefice.

3.2.Utilizarea noilor tehnologii în educație

Utilizarea noilor tehnologii în educație se poate dovedi a fi extrem de eficientă și benefică în următoarele cazuri:

Managementul procesului educațional prin calculatoare

Utilizarea calculatoarelor a crescut și s-a maturizat pentru munca administrativă în școli de toate nivelele de pregătire. Majoritatea școlilor, în zilele noastre, folosesc calculatoare pentru a-și satisface nevoile administrative. Gama de activități administrative și aplicări ale calculatoarelor este destul de largă și include:

Procesarea textelor: diferitele documente ale școlii pot fi produse și reproduse mai rapid, mai clar, cu un aspect îmbunătățit și mai uniform. De asemenea, pot fi suporturi pentru predare și notițe pentru lecții, cataloage de cărți și alte tipuri de suporturi pentru lecții, dar și materiale pentru examene.

Dosarele elevilor: datele și informațiile școlii despre elevi (nume, adrese, note, datele absențelor, etc.). O bază de date conținând aceste informații poate face recuperarea acestora mai rapidă și mai eficientă.

Orarul: orarul unei școli este un model multidimensional cu multe variabile: orele, lecțiile, profesorii, clasele. Avantajele utilizării utilizării unui calculator sunt multiple. Facilitățile disponibile sunt folosite mai eficient, iar angajații ce lucrează la realizarea orarului economisesc timp.posibilitatea modificării în timpul redactării permite, de asemenea, ajustări în cel mai eficient mod posibil.

Bibioteca: un calculator poate ajuta la organizarea și funcționarea bibliotecii unei școli. Noua „generație” de biblioteci utilizând o bază de date poate fi de mare ajutor în lecții și în activitățile curriculare.

Managementul financiar și contabilitate: aceste tipuri de programe sunt utile pentru școlile mai mari.

Calculatorul ca un instrument pentru informare și comunicare.

Societatea progresează datorită informației obținute de la generațiile anterioare. Dezvoltarea noastră este bazată pe utilizarea și procesarea la momentul potrivit a cantității de informație în continuă creștere. Trăim în era informației iar accesul nostru la aceasta este un semn de prosperitate. Posibilitățile de procesare a informației (salvare, organizare, recuperare), asociera și interconectarea datelor cu alte rețele de calculatoare fac din calculator o bogată sursă de informații. Achiziția responsabilă de informație este legată integral de dreptatea socială și de egalitatea de șanse, datorită dimensiunilor sale educaționale, științifice, financiare și culturale.

Din punct de vedere educațional, în afară de existența unui sistem modern de accesare a informației în toate instituțiile educaționale, este de asemenea importantă capacitatea de a utiliza toate aceste surse de informație și deținerea unui software pentru a o procesa. Folosirea calculatorului ca o sursă de informație în educație ar trebui să aibă ca scop achiziția de aptitudini active de căutare și citirea critică a informației obținute.

Managementul informației trebuie să fie principalul scop al oricărui curriculum, și nu achiziția de cunoștințe și informații concrete. Profesorul trebuie să se distanțeze de modelul care se concentrează pe reținerea informației, spre modelul care sprijină dezvoltarea aptitudinilor de accesare, citire critică și manipularea informației și a cunoștințelor.

Calculatorul ne oferă nu numai posibilitatea de procesare a informației, ci și oportunitatea de comunicare prin diferite tehnologii de telecomunicație. Comunicarea prin calculator se referă la un set de funcții prin care acesta este utilizat pentru a o îmbunătăți. Această comunicare variază de la un simplu schimb de mesaje până la întărirea interacțiunii dintre profesori și elevi sau doar dintre elevi, în contextul unui program educațional sau a unui program de studii la distanță. Tipurile de comunicare facilitate de utilizarea calculatorului – bazate pe gradul la care contribuie la procesarea informației – pot fi împărțite în trei categorii:

Calculatorul ca un simplu intermediar în comunicare fără a interveni în procesarea informației. În acest tip de comunicare, calculatorul funcționează ca o simplă legătură pentru schimbul de mesaje care sunt, în același timp, stocate și recuperate (poșta electronică, conferințe, etc.)

Calculatorul ca un participant activ la comunicare. Calculatoarele pot fi implicate mai activ în comunicare la nivelul conservării, organizării, procesării și prezentării infromației produse de diferite entități, care pot fi utilizate de persone interesate de ele. Utilizatorul poate avea o conexiune simultană sau non-simultană cu principalele servere și cu rețelele ce oferă această informație, printr-un proces ce presupune antrenament în utilizarea instrumentelor specifice, necesare pentru urmărirea/localizarea datelor dorite. Rețelele pentru uz educativ sunt multe. Multe țări își dezvoltă propriile rețele, dar odată cu dezvoltarea și dominația Internetului, rețelele dezvoltate sunt integrate în World Wide Web.

Utilizând Internetul în învățare, elevii pot avea acces la diferite biblioteci și rețele, sau participă la cursuri prin programe de studii la distanță. Profesorii se pot conecta la mari sisteme ce utilizează calculatoare și au acces la informații valoroase pe care câteva centre de cercetare și universități sunt capabile să le creeze și să le mențină. Ce este cel mai important pentru educație este că o întragă lume de surse de informație și cunoștințe este acum accesibilă și poate îmbunătăți învățarea, fie ca parte a unui proiect școlar, fie independent de el, sau chiar în opoziție cu acesta. Rețelele mari, precum Internetul, sunt accesibile tuturor și sunt transparente; rămâne de văzut dacă își vor putea păstra această calitate. Adesea, interese îndoielnice se ascund în spatele acestor inițiative, care ar putea pune în pericol acest efort și crea probleme serioase. De aceea, în paralel cu utilizarea aspectelor pozitive, ar trebui evidențiate fenomenele sociale, culturale și morale periculoase. Astfel, este evident ca diferitele tipuri de comunicare prin calculatoare poate prezenta și probleme. Este oricum clar că dezvoltarea acestui tip de comunicare va alimenta, în viitor, studiul comunicării și educației, cu intenția unei mai bune înțelegeri și a unei îmbunătățiri.

Calculatoarele ca instructori și participanți activi la comunicare. Parte din funcția comunicativă a calculatorului este de asemenea un tip de comunicare în care acesta oferă instrucțiuni și îndrumare și își asumă rolul unui „profesor”. În aceste cazuri, participarea calculatorului în procesarea mesajelor schimbate între mașina însăși și utilizator este mai mare decât cea menționată în celelalte categorii.

Calculatorul ca un instrument de învățare

Utilizarea calculatorului în educație poate facilita și promova scopuri educaționale importante în cadrul oricărei materii. Aceasta poate fi obținută prin intermediul folosirii software-urilor educaționale, ce reprezintă mult mai mult decât un manual în formă electronică. Software-ul educațional este o categorie specială de aplicații ale software-ului care facilitează învățarea fie ca un mijloc suplimentar pentru profesor de a-și susține procesul educațional, fie ca un mijloc de suport pentru elevi în auto-instruire, care crează noi oportunități de promovare și sprijinire a procedurilor cu care profesorul nu este adecvat familiarizat, sau a țintelor la care profesorul are dificultăți în a le atinge, în circumstanțele realității școlii de zi cu zi. Astfel de scopuri sunt: învățarea individualizată, participarea activă a elevilor la învățare, creșterea productivității elevilor, structurarea informațiilor astfel încât elevul să le poată asimila și să creeze noi informații, permiterea elevilor să lucreze la nivel mai avansat de gândire simbolică, critică și creativă, etc. Potrivit cercetătorilor, utilizarea unui calculator în procesul educațional poate face învățarea foarte creativă pentru elevi. Acesta poate deveni interactiv, ghidat de elev, îmbogățit, interdisciplinar și explorator.

Când predarea este îndrumată de un calculator, astfel de ținte sunt mai ușor de atins. Motivul este că atunci când predarea este structurată să fie ajutată de un calculator sau alte mijloace, adoptarea inovațiilor instructive este încurajată poate fi modificat. Utilizarea calculatoarelor poate fi facilitată de:

Schimbarea stării de spirit, a interacțiunilor și a relațiilor în sala de clasă, astfel încât comunicarea și colaborarea dintre elevi să fie binevenită.

Schimbarea rolului profesorului, dintr-un purtător și transmițător de informație, într-un co-coordonator al procesului de învățare.

3.3.Teorii ale învățării și noile tehnologii

Introducerea oricărui tip de mijloace de facilitare a învățării în educație presupune înțelegerea și aprecierea principiilor ce guvernează mecanismele umane ale învățării. Așa cum mecanica reprezintă aplicarea principiilor fundamentale ale fizicii, predarea reprezintă aplicarea principiilor primare ale învățării. În acest sens, structurarea oricărui material educativ inovator trebuie să fie bazat pe principiile învățării. Este evident că pentru a preda orice materie corect și eficient trebuie aplicată cel puțin una din teoriile învățării (în funcție de caz), altfel se va improviza sau doar reproduce manualul, niciuna dintre aceste variante nefiind acceptabilă. Teoriile învățării menționate în bibliografiile din zilele noastre și pe care se bazează utilizarea TIC în educație – indiferent de nivelul de educație – sunt următoarele:

1)Comportamentalismul: principiul fundamental al acestei teorii este că învățarea are loc ca un rezultat al stimulilor externi, mediul elevului modificând comportamentul acestuia. În acest fel, învățarea și achiziția de informație sunt rezultatul co-dependențelor dintre stimulii pe care o persoană îi percepe din mediul înconjurător și răspunsul persoanei la aceștia. Învățarea, pentru comportamentaliști, este descrisă ca o schimbare în probabilitatea apariției unui anumit comportament într-o situație dată.

Conceptul de instrucție directă, unde un instructor oferă informația elevilor fie direct, fie printr-un sistem de contingențe (dependența dintre antecedente și răspuns/consecință), este un exemplu de mod comportamentalist de învățare. În plus, utilizarea examenelor pentru a măsura comportamente observabile de învățare și utilizarea recompenselor și pedepselor în sistemele școlare sunt ambele exemple de teorii comportamentale în aplicare. Rolul instructorului în abordarea comportamentală este de a aranja contingențele și de a le prezenta elevilor.

Educatorul promovează învățarea prin transmiterea informației cu ajutorul repetiției în cerințe secvențiale mici, progresive și concrete, folosind întăriri pozitive sau negative continue pe tot parcursul. În consecință, responsabilitatea învățării îi aparține profesorului. Mediul de învățare este centrat pe profesor, care crează, controlează și manipulează învățarea și comportamentul.

Comportamentalismul a fost dominant pentru mare parte din secolul XX în toate sistemele educaționale ale țărilor dezvoltate. Mai mult, proiectele privind acest tip de predare au declanșat numeroase cercetări în învățare și au jucat un important rol în introducerea calculatoarelor în educație.

Acest mod de învățare și instruire joacă un rol însemnat în aplicarea tehnologiei în setările educației. În funcție de secvența așteptată de la elev, anumite metode pot fi utilizate de profesori și creatori pentru a obține efectul dorit. Diferite tipuri de software și hardware pot fi folosite ca instrumente sau antecedentele în care un răspuns comportamental dorit este activat.

Exemple pentru modul în care perspectiva cognitivă se leagă de aplicarea tehnologiei în programele: Drill and Practice, Tutorials și Educational Games. Aceste programe pun accentul pe transmiterea informației și modificarea comportamentului uman și au scopuri educaționale precise.

2)Cognitivismul: comportamentaliștii se bazau numai pe comportamente observabile fără a examina cum procesează elevii informația. Abordarea cognitivă pune accentul pe modul în care informația este procesată de individ. Principiul central este că învățarea sau comportamentul sunt guvernate de procesele interne ale memoriei elevului și apoi inițiate de stimuli externi. Elevii procesează activ informația iar învățarea are loc prin eforturile acestuia în timp ce organizează, stochează și găsește relația dintre diferite informații, legând cunoștințele noi de cele vechi. În această perspectivă, profesorul trebuie să creeze condiții care să ajute elevii să codeze și să recupereze informația. Varii strategii cognitive pot fi angajate pentru a ajuta elevii să facă aceasta.

West, Farmer și Wolff (1991) propun opt strategii cognitive diferite care pot fi utilizate pentru a ajuta procesarea informației de către elevi:

(1)Încorporarea informației în categorii pentru recuperarea mai ușoară prin gruparea sau secvențierea subiectelor similare;

(2)Încadrarea unor cantități substanțiale de informație în afișări precum grafice sau tabele;

(3)Structurarea conceptelor pentru a genera relații între diferite concepte;

(4)Utilizarea unui organizator avansat pentru a lega informațiile vechi de cele noi de învățat;

(5)Utilizarea metaforelor, analogiilor sau comparațiilor, parte din înțelesul unui lucru este transferat altuia;

(6)Repetarea informației pentru a ajuta procesarea materialului prin memoria de scurtă durată (luarea de notițe, sublinierea, reformularea);

(7)Utilizarea de imagini mentale pentru învățarea informației concrete;

(8)Utilizarea de mnemonice ca ajutoare artificiale pentru memorarea termenilor care nu sunt conectați logic.

Cu aceste strategii în minte, profesorul poate utiliza tehnologia pentru a stimula procesarea informației într-o formă în care elevii și-o pot aminti ulterior.

Calculatoarele au fost tehnic „structurate” pe funcția intelectului uman, fiind studiat și prezentat de oamenii de știință din domeniul psihologiei cognitive. Software-ul care promovează „învățarea prin înțelegere” este caracterizat secvență evoluționară strict structurată. Sunt stabilite scopuri precise și, pentru a fi atinse, elevul trebuie să urmeze anumiți pași care vor conduce la achiziția de cunoștințe.

Software-urile educaționale cognitive, în contrast cu cele comportamentale, plaseză elevul în centru în toate stadiile lecției. Profesorul îndrumă, sfătuiaște și răspunde la întrebările elevilor. Feedback-ul cunoștințelor oferite de acest software încurajează elevii să participe la procesul achiziției acestora și să-și dezvolte încrederea în sine. Elevii pot compara și separa conceptele în minte cu ușurință. De asemenea le este oferită oportunitatea de evaluare de către profesor dar și de autoevaluare.

Exemple primare pentru modul în care perspectiva cognitivistă se leagă de aplicarea tehnologiei pot fi găsite în programe de simulare, de rezolvare a problemelor și de structurare a conceptelor. Aceste programe utilizează principiile din modul de învățare cognitiv prin concentrarea pe modul în care elevii caută, reflectează, sintetizează, organizează și își prezintă achizițiile de informație altora. Astfel, spre deosebire de programele de tip comportamentalist care se concentrează pe abordarea stimul-răspuns, aceste software-uri permit ca un nivel mai ridicat de aptitudini cognitive să fie exersate.

3)Constructivismul: în contrast direct cu perspectiva cognitivistă, constructiviștii văd educația ca fiind inseparabilă de viața de zi cu zi. În loc ca profesorul să preia controlul asupra procesului de învățare, elevii înșiși sunt cei care descoperă regulile și conceptele în timpul interacțiunilor sociale dintr-un mediu.

Mai mult, acestă interacțiune încurajează utilizarea strategiilor de rezolvare a problemelor, care sunt astfel dezvoltate ajutând în acest timp elevii să descopere cum să gândească.

Cunoștințele, în perspectiva constructivistă, sunt produse de elev, și nu procesate din informații primite din surse externe. Elevul devine producător de informație, opus consumatorului. Astfel, construirea de cunoștințe este un proces de gândire și interpretare a experiențelor. Acesta este un contrast major cu teoriile tradiționale în care învățarea este dependentă de memorarea faptelor și conceptelor, constructiviștii încep cu noțiunea că își construiesc propriile înțelesuri diferite ale lumii înconjurătoare și caută instrumente care să-i ajute să înțeleagă experiențele. Deoarece fiecare individ este diferit, acesta construiește un sistem unic de înțelesuri. În acest cadru, învățarea a apărut atunci când cunoștințele s-au modificat astfel încât să-i permită individului să-și interpreteze experiențele într-un mod mai complet sau mai rafinat.

Aplicații practice ale perspectivei constructiviste se împart în două arii:

Învățarea într-un context autentic;

Colaborarea cu ceilalți.

Rolul profesorului se schimbă adesea în această perspectivă. Profesorul învață acum, împreună cu elevii, și devine un îndrumător, un ajutor și un sprijin în acest proces. Scopurile sunt încă fixate, dar elevului i se dă o însemnată libertate în modul în care să le atingă. Evaluarea este de asemenea încă realizată, dar sunt stabilite standarde iar profesorul utilizează măsuri autentice precum evaluarea unui produs sau examinarea unui portofoliu, în opoziție cu utilizarea evaluării formale precum examenul. Astfel, responsabilitatea primară pentru profesor este să stabilească și să mențină un mediu colaborativ în care elevii pot elabora scenarii de rezolvare a problemelor. Pentru a realiza aceasta, profesorii pot oferi elevilor posibilități de studiu într-un context realist, să creeze activități de învățare în grup care să încurajeze conversația și explorarea, și să ofere un model al procesului propriu-zis de construire a cunoștințelor.

Constructivismul este nou apărut în câmpul tehnologiei instructive. Metode primare de aplicare a tehnologiei pentru a reprezenta perspectiva constructivistă sunt diverse. Aceste metode pot lua forma utilizării de multimedia sau hypermedia în predarea materialului conținut, creării de proiecte bazate pe probleme sau promovarea activităților de grup.

Software-ul le cere elevilor să selecteze o investigație, să dezvolte un plan și apoi să pună în aplicare acel plan. Formarea de grupuri de colaborarea încurajează utilizarea constructivismului în proiectele bazate pe tehnologie. Proiectele de cercetare cu final deschis (elevul este încurajat să învețe cât de mult poate) și conduse de elevi (aceștia sunt responsabili de selectarea metodelor adecvate de adunare și prezentare a informației) sunt exemple în care echipe de elevi lucrează împreună pentru a cerceta, a descifra, a conluziona și a prezenta rezultatele utilizând tehnologia.

Microworlds și Modelling Software sunt programe care utilizează calculatorul pentru a crea un mediu de rezolvarea a problemei într-un anumit obiect de învățare. Seymour Papert, de exemplu, a introdus limbajul Logo în școli pentru a-i încuraja pe copii să învețe matematica într-un microunivers al matematicii. Pe de altă parte, SketchPad este un microunivers al geometriei care oferă elevului instrumentele pentru reprezentarea și investigarea conceptelor geometrice. Aceste programe sunt exemple pentru modul în care perspectiva constructivistă relaționează cu aplicații ale tehnologiei, dar și cu simulări deschise.

Un tip de software închis nu îi permite elevului să introducă date; răspunsul sistemului este prestabilit. Un tip de software deschis, din contră, este în mare parte bazat pe teoriile moderne de învățare (constructivismul, dimensiunile sociale și culturale ale cunoștințelor) și îi permite elevului să intervină și să definească subiectul explorat, în funcție de propriile nevoi și potențiale.

3.4. Tipuri de software educațional

În funcție de modul în care sunt folosite și de țintele stabilite, software-urile educaționale pot fi împărțite în următoarele categorii principale:

Exersare;

Tutorial;

Sisteme de recuperare a informației;

Rezolvare de probleme;

Simulări – mediu artificial;

Jocuri educaționale sau instructive;

Modelare ;

Microuniversuri.

În practică, clasificarea nu este clar definită. În zilele noastre, pot exista software-uri educaționale care să aibă caracteristici variate, de la simple programe de exersare la programe de simulare sau tutoriale.

Exersarea

Pachetele de exersare oferă întărirea structurată a conceptelor învățate anterior. Se bazează pe interacțiuni de tipul întrebare și răspuns și ar trebui să le ofere elevilor feedback-ul adecvat. Acestea ar putea de asemenea să utilizeze jocuri pentru a spori motivația.

Tutoriale

Tutorialele sunt utilizate pentru predarea de noi concepte și procese. Materialul este prezentat elevului într-o formă structurată. Software-urile de tutoriale includ, de obicei, exemple rezolvate și îi dau elevului oportunitatea de a-și evalua înțelegerea prin întrebări, răspunsuri și feedback. Sistemele inteligente de tutoriale sunt capabile de feedback corector și își adaptează prezentarea pentru a se potrivi elevului, pe baza acțiunilor acestuia.

Sisteme de recuperare a informației

Sistemele de recuperare a informației stochează cunoștințele într-un mod structurat și îi permit elevului să răsfoiască sau să caute informația după cum i se cere. Aceste includ baze de date on-line; sistemele de informație structurată precum dicționarele și enciclopediile sunt de asemenea sisteme hipertext și hipermedia de referință.

Simulări

Simulările prezintă un esperiment sau o situație imaginară ori din viața reală. Contextul simulării poate fi un plan de afaceri, un experiment de laborator sau animarea lucrului chimic al unei plante. Simulările sunt, de obicei, bazate pe grafice interactive și îi oferă elevului abilitatea de a vizualiza procesul și de a explora efectele schimbării parametrilor asupra operării sistemului.

Microuniversurile

Microuniversurile utilizează calculatorul pentru a crea un mediu de rezolvare a problemelor și derivă din munca psihologului cognitiv Jean Piaget. Seymour Papert, de exemplu, a introdus limbajul Logo în școli pentru a-i încuraja pe copii să învețe matematica într-un microunivers al matematicii.

Instrumente cognitive pentru învățare

Instrumentele cognitive pentru învățare au la bază principiul constructivist potrivit căruia elevii au nevoie să-și contruiască propriile înțelesuri ale noilor concepte. Aceste instrumente îi dau elevului un mod (adesea grafic) de reprezentare a înțelesului noilor cunoștințe și concepte și felul în care se leagă de cunoștințele și conceptele existente. Sisteme și instrumente de creare experte pot fi de asemenea utilizate, permițându-i elevului să-și prezinte propriile înțelesuri într-o formă care poate fi accesată de alți elevi.

Instrumente de comunicare

Comunicarea mediată de calculator ia câteva forme, incluzând poșta electronică, conferința electronică, conferința video și World Wide Web-ul. Aceste instrumente îi permit elevului să împărtășească idei și informații, să coopereze, să colaboreze și pot de asemenea fi folosite pentru trimiterea și publicarea muncii elevilor și a comentariilor profesorior cu privire la acestea.

Poșta electronică (e-mail) este un mediu de comunicare asincron, care nu necesită ca destinatarul unui mesaj să fie coordonat în timp și spațiu cu emițătorul. Mai mult, e-mail-ul poate avea un destinatar unic sau multiplu. Aceste caracteristici sunt de ajutor în întreținerea comunicării între profesor și elev, profesor și elevi și între elevi, având în vedere că depășesc limitările spațiului și timpului. E-mail-ul este de asemenea un instrument util pentru managerii de cursuri în special în situațiile în care sunt implicate componente de învățare deschisă sau la distanță.

La fel ca e-mail-ul, conferința electronică este asincronă și poate fi folosită într-o locație la alegerea utilizatorului, cu acces la echipamentul necesar. Pune la dispoziție un forum structurat pentru schimbul de idei și, datorită naturii asincrone, promovează participarea reflectivă. Poate fi utilizată pentru înlocuirea sau augmentarea, de exemplu, a seminariilor față în față, un elev prezentând electronic un caz, iar restul grupului realizând o dezbatere electronică. Aici, cum contribuțiile sunt „salvate” electronic, sunt la dispoziția participanților și a profesorilor pentru a fi revăzute în timpul sau la sfârșitul conferinței, un factor care oferă posibilitatea evaluării. Conferința electronică nu este limitată la text, oricare din fișierele calculatorului putând fi mânuite inclusiv grafice sau sunete stocate, de exemplu.

Spre deosebire de conferința electronică, conferința video este sincronă, participanții interacționând în timp real, fie unul-la-unu, fie unul-la mai mulți, fie mai mulți-la-mai mulți. Deși unul din principalele beneficii ale conferinței video este evitarea călătoriei, este adesea necesar ca participanții să meargă la un centru local care dispune de facilitățile adecvate, dacă nu au un ecran care să o suporte.

3.5. Evaluarea software-ului educațional

Cea mai importantă întrebare, înainte de a alege un software și a-l încorpora în predare ca un instrument instructiv, este dacă există vreun mod de a-i evalua calitatea și potrivirea pentru nevoile nostre. Evaluarea unui software educațional este un proces fundamental și include, potrivit cercetărilor, atât ținte specifice cât și generale.

Scopurile generale ale evaluării sunt examinarea structurii instructive și educaționale și indicarea aspectelor pozitive și negative.

Scopurile specifice ale evaluării sunt explorările capacității software-ului de a răspunde, cu referire la următoarele caracteristici:

poate asigura atingerea țintelor instructive și educaționale;

este tehnic de încredere ca software;

ce tip de interfață de interacțiune prezintă, în relație cu cererile grupului țintă căruia i se adresează;

ce tip de metodologie de integrare în mediul școlii necesită, pentru ca producerea și transferul de cunoștințe să fie asigurate;

purtătorii naturali de informație, profesorii, și receptorii, elevii, îl vor accepta ca un instrument instructiv.

Aspecte ale evaluării:

Caracteristici tehnice;

Caracteristici pedagogice;

Conținut;

Prezentare – documentare.

Caracteristici tehnice

programul este prietenos cu utilizatorul și ușor de instalat;

este posibilă utilizarea capacităților interactive ale calculatorului, la un nivel satisfăcător, pentru profesor și elev;

mânuirea corectă a datelor introduse de elev este posibilă, astfel încât să fie evitate fenomene procedurale neplăcute, la nivel tehnic;

programul pune la dispoziție grafice, sunete și animații de înaltă calitate;

mesajele oferite de program sunt exacte și descifrabile.

Caracteristici pedagogice

programul are la bază o anumită teorie de învățare și urmează anumite metode de predare;

programul este interactiv, la ce nivel îi permite profesorului sau elevului să controleze sau să interfereze cu conținutul sau cu pașii urmați in proces;

programul se concentrează pe stiluri diferite de învățare;

programul este adaptat la dificultățile în învățare ale elevilor;

programul sprijină investigarea conceptelor și rezolvarea de probleme;

programul oferă modalități multiple de ilustrare a conceptelor;

programul pune la dispoziție grafice, sunete, animații, etc. care să contribuie la învățarea constructivă și să nu funcționeze numai ca efecte vizuale;

programul ajută elevii să reușească și în ce mod (oferind opțiuni de „ajutor”, instrucțiuni clare, opțiuni de corectare a erorilor sau feedback ușor);

programul oferă evaluarea răspunsurilor elevilor, ce fel de feedback oferă;

evaluarea (de exemplu corectarea greșelilor) este realizată într-o manieră corectă din punct de vedere pedagogic sau este bazată pe convențiile tradiționale;

întărirea performanței și reacțiilor elevului este eficientă și aplicată într-o manieră corespunzătoare;

este oferit un potențial pentru activități de colaborare și pentru dezvoltarea aptitudinilor, atitudinilor și valorilor;

abordarea pedagogică adoptată și faptul că nu întâmpină efecte secundare precum întărirea prejudecăților sau a stereotipurilor, și în general a comportamentelor inacceptabile în societate .

Conținut

Acoperirea adecvată a curriculumului;

Informația oferită de program trebuie să fie clară, concisă, reactualizată și corectă din punct de vedere științific;

Compatibilitatea conținutului cu dezvoltarea cognitivă a elevului;

Compatibilitatea conținutului cu scopurile predării;

Conținutului trebuie să fie lipsit de stereotipuri de rasă, etnie, gen, vârstă, etc.;

Conținutul trebuie să fie lipsit de erori gramaticale sau de scriere.

Prezentare – documentare

mediul software-ului este atractiv și interesant pentru elevi;

Structura informației trebuie să urmeze aceleași reguli în toate componentele software-ului;

software-ul are o calitate înaltă a interfeței cu elevul;

programul include instrucțiuni adecvate de utilizare și funcționare și material de suport pentru profesor atractiv;

activitățile puse la dispoziție de program sunt adaptabile în funcție de sex, vârstă, limbă nativă, interese și nevoi speciale de învățare ale elevului;

3.6. Ce este un software matematic ?

Noțiunea de "Software matematic" se referă la proiectarea și utilizarea unor sisteme soft destinate rezolvării unor probleme ce apar în știință și tehnică. Aceste sisteme sunt concepute astfel încât să asiste utilizatorul în efectuarea unor calcule complicate și/sau voluminoase corespunzătoare unor probleme reale precum și în vizualizarea facilă a rezultatelor.

Etapele parcurse în rezolvarea unei probleme specifice unui anumit domeniu sunt:

(a) Enunțarea problemei. Este realizată de către un expert uman al domeniului respectiv. Corespunde stabilirii datelor de intrare și a scopului urmărit.

(b) Formalizarea problemei. Este realizată de către un expert uman al domeniului respectiv eventual în colaborare cu un matematician. Rezultatul acestei etape este un model mathematic mai simplu sau mai complex care poate conține: formule, funcții, sisteme de ecuații/inecuații etc.

(c) Rezolvarea problemelor matematice ce intervin în model. Aceasta este etapa in care poate interveni un sistem de software matematic. Rezultatul va fi un obiect matematic (număr, expresie, mulțime, funcție, vector, matrice, grafic etc.)

(d) Interpretarea rezultatului. Este realizată de către un expert uman al domeniului. Rezultatul este un răspuns la problema enunțată enunțat folosind termeni specifici domeniului din care a provenit problema.

Principala motivație a proiectării sistemelor de software matematic o reprezintă necesitatea de a obține rapid și fără erori rezultate pentru probleme de dimensiuni mari. Prelucrări de rutină, cum este rezolvarea unui sistem liniar, pot fi realizate manual doar dacă dimensiunea problemei (de exemplu, a sistemului) este rezonabilă (de exemplu, mai puțin de 10 ecuații). Cu ajutorul calculatorului, însă, pot fi rezolvate sisteme care au sute și mii de ecuații. Pe de altă parte rezolvarea unor probleme necesită utilizarea unor metode matematice ce nu sunt întotdeauna la îndemâna specialiștilor dintr-un domeniu științific sau tehnic oarecare. Software-ul matematic elimină această dificultate întrucât are implementate o clasă largă de metode matematice, utilizatorul trebuind doar să le apeleze fără să fie necesar să cunoască detaliile implementării lor.

Nu trebuie neglijat faptul că aceste sisteme pot fi utilizate și în scop didactic, la diferite nivele, pentru predarea de discipline științifice (matematică, fizică, chimie).

3.6.1. Structura unui sistem de software matematic

Module soft pentru prelucrări matematice au fost realizate încă din anii 1960 când calculatoarele au început să devină un instrument în rezolvarea problemelor tehnice și științifice. Aceastea erau însă dedicate unui anumit tip de probleme și erau grupate în biblioteci de unde erau apelate de către programe scrise în limbaje de uz general. Adesea setul de parametri ai acestor module era mare iar utilizatorul trebuia sa cunoască cel puțin câteva dintre detaliile de realizare a modulului.

Sistemele integrate, care permit abordarea unei palete largi de calcule au apărut în anii 1980 o dată cu dezvoltarea puterii de calcul și evoluția conceptelor de programare. Oferind adesea o interfață ușor de utilizat, aceste sisteme permit utilizatorului să se concentreze mai mult asupra problemei și mai puțin asupra metodelor matematice de rezolvare a acesteia.

In continuare prin sistem de software matematic (prescurtat SSM) vom înțelege un astfel de sistem integrat. Un SSM este de regulă constituit din trei componente:

Nucleu. Conține funcțiile de bază (care se apelează prin intermediul unui limbaj de comandă specific).

Subsistem de interfață. Permite transmiterea de comenzi sistemului și furnizarea rezultatelor.

Interfața poate fi de tip text (sistemul lucrează ca un interpretor) sau grafică (bazată pe documente de lucru). In cazul interfeței tip text comenzile sunt preluate și executate secvențial fiind dificilă revenirea la o comandă anterioară. În cazul interfeței grafice dialogul cu utilizatorul se realizează prin intermediul uneia sau mai multor ferestre. Fiecare corespunde unui document care conține comenzi, răspunsuri sau texte descriptive introduse de către utilizator. Comenzile pot fi evaluate în ordinea aleasă de către utilizator. Anumite sisteme se bazează pe utilizarea unui limbaj de comandă (care poate fi văzut ca un limbaj de programare) pe când altele permit rezolvarea problemei prin selectarea unor funcții dintr-un sistem de meniuri.

Ansamblu opțional de pachete. Conține funcții suplimentare celor de bază destinate problemelor specifice unui anumit domeniu. Pentru a utiliza funcțiile din cadrul lor, pachetele trebuie încărcate explicit. Posibilitatea de a adăuga pachete de noi funcții oferă fexibilitate acestor sisteme.

3.6.2. Principalele tipuri de prelucrări

Principalele prelucrări efectuate de către un SSM pot fi grupate în următoarele categorii:

1) Numerice. Rezultatele acestor prelucrări sunt numere. Exemple de astfel de prelucrări sunt:

-calculul integralei definite a unei funcții, determinarea rădăcinilor unui polinom cu coeficienți numerici, determinarea limitei unui șir numeric etc.

2) Simbolice. Rezultatele prelucrărilor simbolice sunt de regulă expresii algebrice sau chiar propoziții matematice. Exemple de astfel de prelucrări sunt: calculul primitivei unei funcții, determinarea rădăcinilor unui polinom cu coeficienți simbolici, efectuarea unui raționament logic etc.

3)Grafice. Rezultatele acestor prelucrări sunt de fapt reprezentări grafice ale unor funcții, curbe, suprafețe sau alte obiecte grafice descrise prin ecuații sau prin punctele pe care le conțin. Pot fi create si obiecte grafice pornind de la primitive.

Sistemele de software matematic oferă posibilitatea efectuării fiecăreia dintre aceste prelucrări. Unele prelucrări pot fi efectuate direct existând comenzi specifice iar altele pot fi descrise în limbajul de programare specific sistemului. Spre deosebire de limbajele de programare de uz general sistemele de software matematic conțin un limbaj de comandă mult mai bogat în sensul că pot fi specificate printr-o singură comandă și prelucrări bazate pe algoritmi relativ complicați (de exemplu inversarea unei matrici, rezolvarea simbolică sau numerică a unui sistem de ecuații diferențiale etc).

3.6.3. Caracteristici

Un SSM are următoarele caracteristici care îl diferențiază de alte sisteme de programare:

1. Implementarea obiectelor matematice. Majoritatea obiectelor cu care se operează în matematică (mulțimi, vectori, matrici, funcții, operatori, ecuații etc) sunt implementate prin tipuri sau obiecte proprii.

2. Implementarea prelucrărilor matematice. O serie de prelucrări asupra obiectelor matematice (calculul limitelor, al derivatelor, al integralelor, rezolvarea ecuațiilor, reprezentări grafice) sunt implementate pentru a fi apelate prin intermediul unei singure comenzi.

3. Limbaj avansat de descriere a problemelor. Sistemele de software matematic oferă un limbaj propriu de descriere a problemelor și modelelor matematice complexe.

4. Interfața cu utilizatorul. Sistemele actuale posedă interfețe grafice care permit introducerea și obținerea formulelor matematice în forma clasică folosind simbolurile cunoscute din matematică. In aceste condiții nu e necesar ca utilizatorul să cunoască comenzile sistemului fiind suficient să selecteze simbolurile adecvate dintr-o "paletă" de simboluri pentru a construi formulele.

5. Caracterul deschis și flexibil. Majoritatea sistemelor actuale permit completarea funcționalității sistemului prin adăugarea de funcții noi (descrise în limbajul specific sistemului).

6. Interfața cu alte sisteme. Există posibilitatea de a prelua/transmite date de la/către alte

aplicații. Funcțiile unora dintre sisteme pot fi apelate prin intermediul unui protocol de

interfață (de exemplu, MathLink și J/Link din Mathematica) din programe scrise în limbaje

de programare de uz general (de exemplu, C respectiv Java).

7. Elaborarea de documente. Sistemele recente conțin și facilități de editare de texte științifice astfel încât pot fi elaborate documente care conțin atât texte cât și rezultate ale unor prelucrări efectuate în cadrul sistemului.

8. Completitudine. Asistă utilizatorul în analiza și rezolvarea problemelor precum și în prezentarea rezultatelor.

3.6.4. Domenii de aplicabilitate

Sistemele de software matematic se pot aplica în domenii diferite, cum ar fi:

Matematică (pentru verificarea unei teorii, enunțarea de noi conjecturi, elaborarea unor demonstrații care implică doar calcule de rutină sau raționamente standard, vizualizarea grafică a unor obiecte geometrice etc.);

Fizică (pentru prelucrarea datelor experimentale și simularea soft a unor fenomene fizice);

Chimie (pentru simularea soft a structurilor moleculare si prelucrarea relațiilor ce descriu reacțiile chimice);

Statistică (pentru vizualizarea grafică și analiza datelor, efectuarea de inferențe statistice pornind de la date obținute din sondaje, analiza corelației dintre date etc.);

Inginerie (pentru prelucrarea semnalelor și modelarea sistemelor, proiectare asistată de calculator);

Biologie și medicină (pentru simularea fenomenelor biomecanice, prelucrarea semnalelor și imaginilor din medicină etc.);

Economie și finanțe (pentru modelare financiară, planificare și analiză economică, efectuare de predicții etc.).

3.6.5. Exemple de sisteme

La ora actuală există o multitudine de pachete soft destinate efectuării de prelucrări numerice, simbolice sau grafice. Pentru a facilita identificarea și accesarea pachetului adecvat unei anumite probleme au fost constituite colecții de date care conțin informatii privind diferite pachete. O astfel de colecție este accesibilă la [http://gams.nist.gov].

Unele dintre pachetele de software matematic sunt orientate spre sarcini precise și oarecum

limitate la un anumit domeniu (cum sunt, de exemplu, pachetele de reprezentări grafice (Data- Plot, GnuPlot), programele de prelucrare a datelor experimentale (TableCurve, Origin, DataFit, GnuFit etc), pachetele destinate prelucrărilor statistice (Statistica, SPSS, SPlus, S, R), sistemele de rezolvare a problemelor de optimizare (MinOpt), sistemele de rezolvare a ecuațiilor diferențiale ordinare și cu derivate parțiale etc.), iar altele au caracter mai general oferind facilități care permit utilizarea lor în diverse domenii.

Dintre sistemele ce fac parte din ultima categorie, cele mai frecvent utilizate sunt enumerate în continuare.

Mathematica (versiune curentă: Mathematica 7.0)[www.wolfram.com] Este un sistem integrat care permite efectuarea de calcule simbolice si numerice precum și vizualizarea rezultatelor. Există atât variante pentru industrie cât și pentru educație. Face parte din categoria software-ului matematic și, adeseori, este desemnată ca un program care oferă posibilitatea de a face matematică cu ajutorul calculatorului.Mathematica poate fi folosită ca și: calculator numeric și simbolic, sistem de vizualizare grafică, limbaj de programare de nivel înalt, platformă soft destinată rulării unor pachete cu aplicații specifice unui domeniu, sistem de reprezentare a cunoștințelor din domenii științifice și tehnice. Mathematica a fost concepută de către fizicianul Stephen Wolfram, prima versiune apărâand în 1988. Următoarele versiuni (pâană la cea actuală, 6.0) au fost elaborate în cadrul firmei Wolfram Research Inc (http://www.wolfram.com). De-a lungul evoluției sale nucleul a fost îmbogățit cu noi algoritmi eficienți extinzâandu-se sfera de probleme care pot fi rezolvate. Pe de altă parte a evoluat și interfața cu utilizatorul de la simpla comunicare în mod text prin introducere secvențială de comenzi până la interfațe grafice ale versiunilor recente și cele ale produselor derivate: CalculationCenter, WebMathematica, gridMathematica. CalculationCenter este un SSM construit pornind de la nucleul din Mathematica șicompletat cu o interfață grafică bazată pe selecția tipului de prelucrare dintr-un set de palete cu simboluri, operatori, comenzi etc. Nu e necesar ca utilizatorul sa fie familiar cu comenzile din Mathematica ci este suficient să știe ce problemă are de rezolvat și să selecteze simbolurile corespunzătoare. A fost conceput ca un "asistent" pentru nespecialiștii în matematică care au de rezolvat probleme ce necesită utilizarea unor metode matematice.

Maple (versiune curentă: Maple 13)[www.maplesoft.com] Este un sistem integrat (similar cu Mathematica) care permite efectuarea de calcule simbolice si numerice, vizualizarea rezultatelor și toate prelucrările necesare simulării și modelării specifice diferitelor domenii (știintă, inginerie, finanțe etc.). La fel ca și Mathematica posedă o puternică componentă de calcul simbolic. Oferă facilități de interfațare cu alte sisteme. De exemplu permite generare de cod C, Fortran, Visual Basic, Java precum și asigură conexiune ușoară cu Excel și Matlab.

Matlab (versiune curentă: Matlab R2009a) [www.mathworks.com]. Este tot un sistem integrat care excelează prin facilitățile oferite pentru modelare și simulare precum și pentru colecția foarte mare de "toolbox-uri" dedicate unor domenii știintifice și inginerești variate. Facilitățile de calcul simbolic (destul de limitate in primele versiuni) au fost extinse prin interfațarea cu Maple.

Scilab [http://www.scilab.org/] este o variantă gratuită a lui Matlab caracterizată prin facilități de bază și interfață similară cu cea din Matlab fără a pune însă la dispoziția utilizatorilor instrumente similare "toolbox-urilor" din Matlab.

MathCad (versiune curentă:MathCAD 14.0) [www.mathsoft.com] Este tot un sistem integrat orientat în particular către facilitarea calculelor numerice și vizualizarea grafică a rezultatelor. Deși posedă facilități de calcul simbolic, acestea nu le egalează pe cele oferite de Mathematica sau Maple.

WebMathematica este un produs recent care oferă posibilitatea de a efectua calcule interactive și de a vizualiza rezultatele (inclusiv în manieră grafică) prin intermediul unui browser Web.Prin WebMathematica (concepută folosind tehnologia Java servlet) se pot proiecta site-uri dedicate rezolvării problemelor specifice unui domeniu. Se beneficiază de întreaga putere de calcul algoritmic a Mathematicii iar utilizatorul nu trebuie decâat să folosească un browser nefiind necesară cunoașterea comenzilor din Mathematica. Un exemplu de site bazat pe WebMathematica este Integrator (http://integrals.wolfram.com) care permite calculul integralelor.

GridMathematica este conceput ca un sistem care permite efectuarea de prelucrări distribuite exploatând resursele oferite de clusterele de calculatoare.

3.7.Importanța folosirii softului educațional în orele de matematică

Softul educațional conține părți de teorie și probleme și instrucțiuni de utilizare sau navigare în program. Îi ajută pe elevi să rezolve mai ușor problemele de matematică și să le înțeleagă logic.

Softul educațional este un mijloc de învățământ pentru profesorii care doresc să-și modernizeze metodele de predare.

Învățarea este o activitate informațională – se produc și se prelucrează informații și cunoștințe. Educația este factorul principal al dezvoltării fiecărui individ. Cum calculatorul este prezent în aproape fiecare familie, am considerat necesar și util să-i învățăm pe elevi să- l folosească în scop educativ, stimulându-i să renunțe la acele jocuri care, pe lângă faptul că nu educă, incită la violență.

3.8.Rolul activităților educative în predarea matematicii

Conceptul de învățare, ca și cele mai bune metode pentru realizarea acesteia, au reprezentat un punct de interes major pentru cercetători încă de acum mulți ani. În ceea ce privește predarea matematicii există două teorii dominante.

Prima, existentă de multe decenii, pune accentul pe îmbogățirea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor și este asociată cu învățarea directă sau „centrată pe profesor”, unde acesta controlează scopul instrucției și alege materialele potrivite, judecând în funcție de abilitățile elevilor. În acest caz, există o cantitate dată de informație, oferită de profesorul-transmițător, pe care elevii-receptori încearcă să o înțeleagă și să o asimileze.

Potrivit acestei abordări, predarea matematicii se referă în principiu la transferul de cunoștințe și la atingere unui anumit nivel de aptitudini. Structura sa se bazează pe obiective de învățare concrete și măsurabile, exprimate prin termeni ai comportamentului așteptat.

A doua teorie și-a făcut apariția la începutul anilor 1970 și se concentrează pe elev ca fiind o entitate separată, pe stările acestuia, pe modul cel mai eficient în care acesta poate învăța, dar și pe soluții pentru a spori creativitatea și aptitudinile mentale; cu alte cuvinte, este un mod de învățare „centrat pe elev”. Acest model alternativ la ,,transmiterea cunoștințelor” constă în teoria „construirea cunoștințelor”(constructivismul).

Principiile care stau la baza construirii de cunoștințe sunt următoarele:

Învățarea prin acțiune. Informația este transferată dintr-o stare de echilibru în alta, trecând prin faze tranzitive, în timpul cărora cunoștințele precedente se dovedesc a fi greșite;

Fiecare individ își creează propriile reprezentări și nu există o singură „reprezentare corectă” a informației;

Învățarea apare într-un cadru social. Crearea unei dezbateri verbale între elevi poate facilita achiziția de cunoștințe;

Individul trebuie să reflecte în încercarea de a realiza modul în care percepțiile li s-au modificat.

Dimensiunile cele mai importante ale învățării din principiile de mai sus sunt: colaborarea, reflecția ș iparticiparea activă.

Potrivit viziunilor sociale și constructiviste moderne despre construirea cunoștințelor, învățarea matematicii constituie un proces activ, constructiv, diferit de la un elev la altul. Mai mult, acestea pun accentul pe importanța utilizării de instrumente pentru realizarea acestui proces. Printre varii instrumente care pot fi folosite, cele mai utilizate sunt cele pe calculator, puse la dispoziție de software-uri special create. În acord cu viziunile moderne cu privire la informație și învățare, profesorul este creatorul mediului potrivit de învățare în care elevii sunt activi, în care își pot exprima opiniile personale despre matematică și construiesc cunoștințe în funcție de trăsăturile lor personale. Profesorul este de asemenea un cercetător și un creator de modele. Mai precis, în timpul procesului de învățare acesta distinge în mod conștient matematica pe care el o știe de cea pe care elevii o construiesc și rămâne flexibil, astfel încât să poată în orice moment să creeze un model adecvat care să se potrivească elevilor și care să-i ajute – cu intervenția adecvată – să avanseze și să-și dezvolte cunoștințele, prin propriile puteri.

În acest scop, profesorii pun la dispoziția elevilor instrumentele potrivite și structurează activități educative adecvate. Aceste activități le oferă elevilor motivație, încurajându-i să se implice. Pentru acest motiv, astfel de activități sunt extrem de importante în învățare. Astfel, aceste activități trebuie să dețină o însemnătate pentru elevi, să se regăsească, într-adevăr, în interesele lor. Pe de altă parte, ar trebui să motiveze elevii să investigheze pentru a construi aceste cunoștințe. Printre multiplele tipuri de activități, cele mai importante sunt cele care se pot rezolva în mai multe moduri, deoarece le permit elevilor să pună în practică diferite tipuri de cunoștințe, cum ar fi cele intuitive, reprezentative/vizuale sau cele tipice. În mediul unui software educațional, multiple soluții pot fi materializate prin intermediul instrumentelor.

Astfel, activitatea este un termen cheie în jurul cărora sunt structurate toate abordările moderne de învățare. Activitatea poate fi definită ca fiind o stare – problemă sau procesul de a rezolva o problemă. Oricare ar fi terminologia pe care o adoptăm, este general acceptat faptul că activitatea este utilă elevilor pentru a construi noi cunoștințe, dar și pentru a aplica informațiile deținute în moduri variate.

În structurarea unei activități, oricare ar fi subiectul predat, trebuie considerat că acesta trebuie:

Să aibă instrucțiuni concise, astfel încât să fie înțelese de către toți elevii.

Să nu aibă un răspuns evident. Pentru ca elevii să răspundă întrebării puse în contextul acestei activități, ei trebuie să descopere informația care se desprinde din această activitate, prin activarea și reorganizarea conceptelor deja știute.

Problema pe care activitaea se bazează trebuie să fie bogată, în alte cuvinte să fie accesibilă printr-o multitudine de abordări și să le ofere elevilor oportunitatea să formuleze și să proceseze întrebări intermediare, singuri sau în grup.

3.9.Scenariul educativ și rolul său în structurarea predării matematicii, utilizând Tehnologia Informației și Comunicațiilor (TIC)

Introducerea TIC în educație ne permite să le acordăm elevilor un rol mai activ. Lucrând la calculator, nu înseamnă neapărat că învățarea va fi promovată. Un scenariu ne ajută să echilibrăm „libertatea” activității cu structura necesară astfel încât informația să fie produsă. Dacă ignorăm acest scop, întreaga activitate se află sub riscul de a rămâne un simplu joc; dacă exagerăm, riscăm să ghidăm elevii spre activități pe care nu le înțeleg.

Un scenariu educativ este un mod structurat de a crea activități educative, care ne permit să planificăm lecția în termeni de activitate a elevilor. Majoritatea profesorilor ar putea, dacă ar fi întrebați, să descrie lecția utilizând persoana I singular, ca o serie de activități pe care ei le dasfășoară. În contrast, un scenariu descrie ce se întâmplă în clasă, nu sub forma „Ce predau?”, ci din perspectiva „Ce fac elevii?” și „Ce vreau ca elevii să obțină din acestă activitate?”.

Introducerea TIC în educație schimbă inevitabil dinamica clasei și ritmul activității. Oricine predă folosind calculatorul ajunge la concluzia că nu mai sunt în centrul atenției elevilor. Poate chiar găsesc că este dificil să atragă atenția întregii clase și că nu este fezabil să se aștepte ca toți elevii să facă același lucru, în același timp. Într-o clasă tradițională, profesorul reprezintă punctul principal de la care pornesc toate activitățile iar elevii desfășoară aceeași activitate simultan. Dacă profesorul acceptă faptul că fiecare grup va rezolva ceva diferit la un anumit moment iar calculatorul va funcționa ca un punct de referință, atunci își poate organiza activitatea astfel încât să se adreseze fiecărui grup separat, în funcție de întrebările și nevoile acestora, fără a întrerupe activitățile celorlalte grupuri, luând în considerare faptul că activitățile clasei nu mai sunt uniforme, un scenariu constituie un instrument extrem de util pentru managementul activității: elevii se pot afla în puncte diferite la un moment dat, dar toți lucrează într-un cadru comun, permițându-i profesorului să le urmărească progresul.

TIC oferă oportunitatea (de dezvoltare a) activităților de învățare ce sunt considerabil mai bogate și mai variate și care au o durată mai lungă și sunt mai profunde decât a fost posibil până acum. Ceea ce le-am putut până acum cere elevilor să facă în clasă era de fapt restricționat de materialele, resursele și instrumentele pe care le puteam pune la dispoziție zilnic. Scenariul este extrem de potrivit atunci când vine vorba de structurarea activităților complexe și interdisciplinare.

În final, este evident că planificare unei lecții unde TIC este disponibil, necesită eforturi considerabile și timp. Înregistrarea acestor planuri sub forma unur scenarii facilitează comunicarea între profesori, cooperarea și schimbul de scenarii și acumularea de materiale educative prin intermediul bibliotecilor electronice.

Mai precis, un scenariu ne permite să:

Organizăm acțiunile proprii ale elevilor astfel încât să servească scopul învățării

Oferim un motiv elevilor pentru ca activitățile să nu fie realizate într-o maniară mecanică, ci să aibă o însemnătate specială.

De fapt, un scenariu educativ este descrierea unui context de învățare concentrat pe obiectul cognitiv și pe ținte educative concrete, principii pedagogice și exersarea în școală.

Un scenariu de acest tip poate fi materializat printr-o serie de activități aducative. Structura și fluxul fiecărei activități, dar și rolurile asumate de profesori cât și de elevi, interacțiunea cu mijloacele și materialele utilizate sunt descrise într-un plan de activitate. Parte din acest plan rezervă loc pentru utilizarea software-ului. Desigur, pot exista scenarii structurate pentru activități care nu includ utilizarea TIC. Acesta este, oricum, modul recomandat de planificare, dacă vrem să folosim TIC în avantajul nostru în procesul de învățare, scopul nostru fiind, în acest caz, să organizăm activități care să nu plece direct de la profesor.

Este metoda utilizată pentru a analiza metoda sugerată și strategia care ar trebui implementată pentru a aplica toate activitățile în clasă, cu referire atât la rolurile sugerate pe care participanții (elevi, profesori, educatori, administrația școlii) trebuie să le îndeplinească, cât și la modelele de cooperare dintre diferite grupuri ( clasa ca un întreg, grupuri mici de elevi din aceeași clasă sau grupuri de elevi din clase diferite).

O definire mai analitică a elementelor concrete care definesc scenariile educative este prezentată în cele ce urmează. În funcție de situație, vor necesita mai multă sau mai puțină analiză.

Rezumatul scenariului

Acesta include scurte referiri la:

Ideea principală a scenariului;

Instrumentele tehnologice sugerate (software);

Utilizarea de materiale suplimentare;

Realizările educaționale și de învățare așteptate;

Metoda sugerată de predare;

Strategii de aplicare / implementare.

Scopuri educaționale, sociologice și culturale

O definire analitică a caracteristicilor mai largi ale scenariului, cu referire la impactul educativ, social și cultural pe care îl are asupra comunității școlare;

Rolul pe care scenariile și instrumentele tehnologice îl joacă în îmbunătățirea rolului participanților (profesori, elevi, administrația școlii, autoritățile comunității);

Rolul jucat de instrumentele sugerate (tehnologice sau altele) în scenariul respectiv;

Referirea la aspectele inovative ale scenariului și ale instrumentelor, influența lor asupra comunității școlare și impactul așteptat asupra participanților.

Procesul de învățare așteptat

O definire analitică a obiectului de învățare ales;

Definirea entității epistemologice a obiectului de învățare, dar și a termenilor legați de aceasta;

Referire la dificultățile în învățare a elevilor într-un subiect anume care au fost detectate prin studiu;

Descrierea analitică a procesului de învățare dorit și așteptat care trebuie activat cu ajutorul scenariului și relația cu dificultățile menționate.

Procedura de predare

O dezvoltare analitică a procedurilor didactice necesare, pentru a atinge scopurile menționate

Descrierea metodelor de predare;

Analiza modului în care lucrează elevii (în grup sau individual) și gradul de acțiune pe cont propriu și autonomie acordat;

Referire la nevoia care ar putea apărea de schimbare a rolului profesorului și a convingerilor acestuia, în ceea ce privește predarea unui anumit subiect, prin scenariul sugerat;

Evaluarea elemntelor scenariului și descrierea analitică a calității, tipului și scopului evaluării.

Activități educative

Descrierea activităților educative separate „planurile” de aplicare mai precis, elementele care definesc orice activitate educativă sunt:

Scopurile materiei curente care este tratată în această activitate;

Condiții necesare (de exemplu, conexiuni cu alte activități educative, facilități, seminarii despre software și activități aplicative, etc.);

Ramificări posibile ale aplicării activității în managementul / administrarea școlii și măsuri care trebuie luate în consecință;

Evaluarea duratei aplicării activității și coordonarea cu orarul școlii (durata estimată, cooperarea, integrarea și ajustarea programului școlii, cu perioadele de predare, etc.);

Pregătirea (materiale, sală de clasă, grupuri de elevi, personalizare, etc.);

Software-uri/instrumente necesare sau alte materiale (utilizarea de software-uri suplimentare ar putea de asemenea să fie indicată);

Descrierea fluxului activității, cu accent pe secvența de pași urmată în aplicarea activității. Pentru fiecare din acești pași, interacțiunea profesorilor și elevilor cu software-ul este, de asemenea, indicat să fie descrisă;

Fișe de lucru;

Sugestii de extindere sau diferențiere.

Planurile menționate vor defini probabil „familiile” de activități care ar putea fi aplicate ușor modificate. Este importantă asigurarea că fiecare activitate este fezabilă în condițiile sălii de clasă, considerând limitările perioadei de predare și toți factorii ce pot influența implicarea în activitățile sugerate.

Pentru ca scenariul să fie aplicat cu succes este imperativ să acordăm atenție tuturor stadiilor separate ale dezvoltării. Este, de asemenea, important ca toate entitățile participante să colaboreze în mod armonios, oricare ar fi natura colaborării. Aceasta este valabilă pentru toate stadiile, de la începutul structurării, până la stadiul execuției și la cel final al evaluării critice.

Rezultatele așteptate mai generale (educative, culturale, sociale) trebuie să fie clare. Creatorii acestor scenarii trebuie să aibă cunoștințe excelente cu privire la oamenii care vor fi implicați, dar și cu privire la circumstanțele în care vor avea loc acestea. Ei trebuie, de asemenea, să știe potențialul pus la dispoziție de acest nou mijloc de predare în procesul educativ, posibilitățile de combinare cu alte mijloace, posibilitatea intervenției creative și de completare a materialului educativ suplimentar de către participanți.

În final, o activitate educativă bazată pe calculator trebuie să introducă o abordare educațională diferită care să fie deschisă, exploratoare și flexibilă, să asigure comunicarea creativă, dar și evaluarea mecanismelor și eficiența acesteia, nu doar a activității, ci și a participanților.

3.10.Structurarea și implementarea activităților educative adecvate utilizând software-ul educațional potrivit

Dat, astfel, mediul unui software adecvat, avem la dispoziție o serie de funcții care pot fi folosite astfel încât profesorul poate crea și apoi materializa activități exploratorii. Întrebarea este: „Cum este un software „adecvat”?” Potrivit cercetărilor, un software este potrivit atunci când oferă elevului oportunitatea de:

A fi activ;

A exprima diferențe individuale în învățare;

A reflecta la cunoștințele lor prioritare;

A construi cunoștințe, în loc să fie un simplu observator;

A se autocorecta;

A explora;

A formula sugestii, ipoteze, concluzii și generalizări.

În termeni tehnici, un software adecvat pentru învățare trebuie să ofere:

Un nivel ridicat de interacțiune;

Posibilitatea manipulării directe a obiectelor matematice;

Feedback vizual;

Feedback aritmetic;

varietate de instrumente pentru construcția conceptelor matematice;

Multiple sisteme reprezentaționale (vizuale, reprezentări grafice, tabele, ecuații, calcule);

Instrumente ajutătoare;

Posibilitate de expansiune.

Factori care trebuie să influențeze structurarea activității educative

Definirea științifică a obiectului de studiu în cauză;

Principalele activități care pot fi utilizate pentru structurarea obiectului de studiu;

Moduri în care elevii învață;

Profilul elevilor;

Moduri de a inspira motivația interioară elevilor (activități din viața de zi cu zi, jocuri, oportunitatea ca elevii să studieze propriile materii și subiecte preferate).

3.11.Descrierea activităților educative cu TIC:

Rolul profesorului

Rolul profesorului în ceea ce privește utilizarea TIC are la bază două arii principale:

Planificarea;

Sprijinirea activităților educative în care elevii vor fi implicați.

Cea de-a doua pare să atragă interesul cercetătorilor în domeniul educațiilor, în detrimentul primei. Totuși, un fapt confirmat și de experiența în cercetare este că profesorul are responsabilitatea și privilegiul să planifice activitățile, atât timp cât îi recunoaștem rolul constructiv. Aceasta presupune perceperea profesorului ca un profesionist care construiește și reorganizează o pedagogie personală prin interacțiune cu o cultură a clasei cât și cu cea generală, acționând ca un mediator al unei inovații,evitând implementarea unor metode preconcepute.

Termenul de „descriere” se referă mai mult la un set de alegeri, decizii și acțiuni preparatorii ale profesorului înainte de actul educațional, decât la înregistrarea precisă și detaliată a pașilor care conduc la rezultatul dorit. Care activitate, care scopuri, care software, care așteptări sunt întrebări ce necesită un răspuns înainte. Deși, după cum experiența arată, dacă există o certitudine în privința evoluției procesului educativ aceea este că lucrurile nu se materializează așa cum au fost planificate, iar aceasta nu diminuează, ci crește importanța unui design original care să-l plaseze pe profesor în poziția puternică de a prevedea…neprevăzutul. În lumina acestui argument se evidențiază meritul concentrării pe componentele cheie ale descrierii procesului.

Primul pas este de a selecta subiectul sau problema în care alege să-și implice elevii. Criteriile selecției includ respectarea scopului propus de curriculum și corespondența necesară cu nivelul de cunoștințe și cu interesele elevilor. După cum afirmă și Bruner (1966), problema trebuie să fie cu un pas înainte față de ceea ce este deja stăpânit astfel încât să provoace dar să nu descurajeze. Acest aspect este de o importanța majoră și necesită flexibilitate din partea profesorului, ce alege în mod conștient să își schimbe rolul din „autoritatea” care le cere elevilor să urmeze o cale prestabilită, în cel de consilier sau coleg investigator. Intenția este de a implica elevii în situații problematice cu însemnătate personală astfel încât să le fie stârnit interesul și să maximizeze probabilitatea implicării personale.

De aceea, profesorul trebuie să încurajeze elevii cu stimuli introductori, să rămână atenți la comentarii și remarci și, în final, să depună eforturi pentru a încorpora aceste comentarii.

Trebuie notat faptul că utilizarea software-urilor care oferă facilități precum unelte dinamice pentru „vizualizare” și managementul datelor, folosirea combinată a unor multiple reprezentări de concepte și fenomene, formularea întrebărilor de căutare structurate, și varietatea de moduri de exprimare (manipulare directă, expresii simbolice sau scrise) fac utilizarea TIC dinamică și flexibilă. În lumina acestui argument, folosirea TIC asigură oportunități adiționale (în comparație cu situația în care TIC nu este folosit) de a integra comentariile și sugestiile elevilor și astfel de a le oferi senzația participării în formularea obiectivelor investigării.

În relație strânsă cu subiectele investigate se află stabilirea obiectivelor predării. Aceasta înseamnă definirea cunoștințelor, competențelor și aptitudinilor cu care dorim ca elevul să fie familiarizat. S-ar putea remarca utilitatea clasificării în ceeea ce privește problema subiectului, tehnologia, abordarea educativă etc.. Totuși, aici este important să nu clasificăm strict obiectivele predării, ci să clarificăm și să înțelegem descrierea acestor obiective. Aceasta va permite apoi structurarea unei abordări a predării și va contribui la pregătirea profesorului să-și adapteze intervenția în funcție de evoluția procesului educativ.

Mai mult, profesorul ar trebui să ia deciziile respectând organizarea clasei . Provocarea aici este de a facilita comunicarea și interacțiunea dintre elevi. Elevii trebuie tratați ca membrii unui mic grup, care în mod colectiv și nu individual, construiesc cunoștințe prin interacțiune cu mediul social. Experiența în cercetare pare să conducă spre organizarea elevilor în grupuri mici, de 2- 3 membri la un computer, ca fiind cea mai eficientă organizare.

O componentă cheie a structurării activității educative este selecția sau crearea unor unelte pe computer care să fie la dispoziția elevilor. Literatura care abordează acest subiect este destul de bogată, respectând criteriile necesare pentru a aborda această temă. Cel mai important criteriu poate fi condensat în întrebarea : ”Care este scopul meu exact și care software este cel mai potrivit pentru acesta ?”. Răspunsul la această întrebare este, la o scară largă, definirea valorii educative adiționale a utilizării oricărui instrument deoarece răspunde imediat la întrebarea ”Ce aduce în plus utilizarea calculatorului la procesul educativ ?”.

Profesorul poate utiliza un software existent, îl poate modifica sau poate chiar crea unul cu ajutorul oricăror instrumente disponibile. Fiecare dintre aceste opțiuni prezintă propriile avantaje și dezavantaje. De exemplu, crearea unui software necesită timp, efort și cunoștințe specifice din partea profesorului. În schimb, prin crearea propiului software, profesorul are la dispoziție instrumentul „potrivit” pentru a sprijini activitatea educativă pe care a conceput-o. Cu alte cuvinte, crearea unui software pe care profesorul îl are în minte îi conferă rolul de creator al materialului, nu numai cel de utilizator. Astfel, deși folosirea unui software existent nu presupune cereri specifice pentru profesor, s-ar putea dovedi a fi dificilă găsirea unui instrument care va satisface în totalitate nevoile specifice unei anumite activități educative.

Selecția sau crearea software-ului determină rolul pe care profesorul îl atașează calculatorului, fapt ce aduce în discuție problema rolurilor. În stadiul de planificare, profesorul poate fi văzut ca un „regizor” care creează „scena” (bazată pe deciziile luate în prealabil) și în același timp (ca o consecință a acestor decizii) crează și distribuie rolurile actorilor (lui și elevilor) în procesul educativ.

În această fază, înainte de implementarea activității educative, profesorul trebuie să se întrebe:

Ce mă aștept să se întâmple?

Ce sunt pregătit să accept?

Cum aș acționa de exemplu, într-o extindere a ceea ce am planificat? O extindere ce ar putea apărea în cursul unei activități sau chiar o digresiune care nu a fost prevăzută;

Care sunt rolurile pe care i le atrbui calculatorului, roluri pe care vreau ca elevii să le preia / dezvolte și roluri pe care le rezerv pentru mine?

Ce fișe de lucru va trebui să realizez pentru a-mi ajuta elevii?

Răspunsul la aceste întrebări este strâns legat de opțiunile disponibile și de modul de abordare al profesorului. De exemplu, organizarea clasei afectează și în același timp influențează rolurile acordate elevilor. În mod similar, selectarea sau crearea unui software depinde de problema obiectivului activității. De aceea, elementele enumerate nu trebuie tratate linear, ci ca un întreg, având în vedere faptul că există o strânsă interacțiune între acestea. Astfel, alegerea făcută pentru fiecare dintre ele influențează și, în final, delimitează opțiunile disponibile pentru restul acestora.

3.12.Software-uri geometrice interactive

Software-urile geometrice interactive (SGI sau mediile geometrice dinamice, DGEs) sunt programe ce permit crearea și apoi manipularea construcțiilor geometrice, în special în geometria plană. În majoritatea acestora, construcția începe cu fixarea unor puncte și continuă cu utilizarea acestora pentru definirea de noi obiecte precum linii, cercuri sau alte puncte. După ce o astfel de construcție este realizată, punctele pot fi mutate pentru observarea modificărilor care apar.

Primul SGI a fost Geometric Supposer, care a fost dezvoltat în anii 1980. Acesta a fost curând urmat de Cabri și The Geometer’s Sketchpad.

Există trei tipuri principale de medii digitale pentru studierea geometriei în școală: de presupunere, mediile geometrice dinamice (DGEs) și programele bazate pe Logo.

Majoritatea sunt DGE-uri: software ce permite utilizatorului să manipuleze obiectul geometric în diferite forme și poziții. Principalul exemplu de software de presupunere este Geometric Supposer, care nu are obiecte mobile, dar care îi permite elevului să studieze forme prestabilite aproape toate programele următoare sunt DGE-uri.

Licența și platforma

Următorul tabel oferă o primă comparație a diferitor software-uri în funcție de licența și platforma lor.

Software-uri 2D

PROGRAME 3D

Archimedes Geo3D

Cabri 3D

Euler 3D

Euler 3D este un program ce permite crearea și manipularea propriilor poliedre. Are un număr de facilități precum: transformări, animații, import/export VRML, etc. înregistrarea gratuită este obligatorie.

Geometria

Geometria este un software (GPL) trans-platformă bazat pe un model în două roluri ( profesor, elev). Profesorul crează o problemă, oferă un răspuns și salvează problema într-un fișier elevul deschide fișierul și rezolvă problema, iar acțiunile acestuia sunt înregistrate. Profesorul evaluează lucrarea și o notează corespunzător. Figurile sunt limitate la poliedre convexe, care pot fi măsurate, modificate, transformate, tăiate și unite.

3.13.Rezolvarea problemelor de geometrie utilizând softurile matematice

3.13.1 Rezolvarea problemelor de construcții geometrice cu CABRI și GeoGebra

În general, problemele de geometrie care se pot rezolva cu ajutorul softurilor matematice sunt problemele de constructie si problemele de calcul.

În 1985, “Centre National de la Recherche Scientifique” de la Universitatea “J. Fourier” din Grenoble a realizat CABRI, primul software destinat geometriei pe calculator. În 1988, Ministerul Educației din Franța recunoaște softul și acordă echipei care l-a creat Premiul de Excelență, promovând softul în sistemul național de educaței. Echipa de cercetare s-a extins în anul 1990 incluzând informaticieni, matematicieni, profesori practicanți din domeniul educației, cu scopul dezvoltării și extinderii proiectului la studiul geometriei spațiului tridimensional dar și a diversificării și îmbunătățirii calităților lui digitale. În 2000, echipa dezvoltă Fundația CABRIOLOG, prin care distribuie în întreaga lume actualele versiuni : CABRI 3D, CABRI II Plus, CABRI Jr. Utilites.

În materie de educație și de pedagogie, pachetul de softuri CABRI a revoluționat atât procesul de învățare-evaluare al geometriei euclidiene, cât și metodele de instruire matematică din învățământul preuniversitar al multor țări din Europa, America și Asia, prin deplina concordanță cu suportul matematic teoretic, rigoarea raționamentului geometric, conținutul programelor și manualelor școlare, dar mai ales prin valorificarea relației pe care adolescenții de astăzi o au cu lumea imaginii digitale animată de performanțele informatice, care stimulează creativitatea elevilor și dezvoltă capacitatea lor de proiecție spațială. Procesul de învățare-evaluare a geometriei euclidiene presupune eforturi susținute din partea profesorului, având în vedere necesitatea de a proiecta și pregăti, în funcție de potențialul colectivului de elevi, suportul teoretic și aplicațiile practice care asigură condițiile bunei înțelegeri a noțiunilor și conceptelor, realizarea figurilor corecte, timpul necesar modelării corpurilor și desfășurărilor acestora (cu ajutorul hârtiei, cartonului, plasticului, etc), dificultatea evidențierii elementelor componente ale construcțiilor, preocuparea pentru însușirea raționamentului geometric, cultivarea capacității native de vedere spațială, etc. Aplicațiile CABRI géométrie facilitează învățarea, fiind instrumente cu care aceste dificultăți sunt depășite prin numeroasele avantaje oferite: realizarea construcțiilor geometrice pe monitorul calculatorului, în condiții grafice de excepție, evidențierea elementelor componente și mobilitatea lor controlată, vizualizarea diverselor perspective spațiale prin animație, salvarea și imprimarea desenelor, etc. Aplicațiile CABRI Geometrie II și CABRI D3 sunt softuri educaționale prietenoase ce pot fi folosite cu succes pentru învățarea geometriei, atât în grup, cât și individual. Parcurgerea procesului digital prin care sunt realizate construcțiile geometrice motivează și provoacă elevii să exploreze, să facă propriile descoperiri, să analizeze rezultatele obținute. Aceste atitudini și reacții conduc la dialog euristic, înlesnesc descoperirea proprietăților figurilor sau corpurilor și verificarea lor, analiza evoluției elementelor variabile, argumentarea opiniilor și ideilor personale, exprimarea ipotezelor, sintetizarea concluziilor.

Programul CABRI are o solidă bază teoretică elaborată de specialiști în geometrie. Calitatea esențială a softului este aceea că explorarea proprietăților geometrice este posibilă numai cu respectarea tuturor rigorilor impuse de teorie. Impactul utilizării aplicațiilor CABRI în procesului de învățarea a geometriei, fie în ciclul gimnazial, fie în cel liceal, are beneficii imediate pentru elevi:

creșterea încrederii în capacitățile personale de înțelegere și învățare;

dobândirea deprinderilor de a dialoga euristic, atât cu profesorul și colegii, cât și cu softul;

dezvoltarea imaginației și a capacității de vizualizare spațială;

exersarea conexiunii rezultatelor teoretice cu aplicabilitatea lor practică;

scurtarea timpului de învățare;

asimilarea în ritm propriu, ceea ce, implicit, determină calitatea rezultatelor învățării;

stimularea încrederii în rezultatele muncii în echipă;

creșterea stimei de sine prin evaluarea aportului propriu la obținerea rezultatelor, etc.

Impactul pe termen lung al învățării geometriei asistată de CABRI constă în stimularea motivării elevilor pentru studiul individual și progresul școlar, dar și creșterea încrederii în propria capacitate de a face față cu succes testelor, concursurilor de matematică și examenelor vieții în general.

CABRI 3D deține catracteristicile esențiale necesare unui soft destinat instruirii asistate de calculator, fiind un soft dinamic și interactiv. CABRI 3D este un soft ușor de utilizat deoarece:

interfața combină simplitatea, ordinea și claritatea, ceea ce face ca învățarea să fie posibilă într-o perioadă scurtă de timp;

înțelegerea și accesarea tuturor facilităților oferite de aplicație este posibilă cu competențele digitale minime;

în etapa inițială de învățare sunt necesare cunoștințele elementare de geometrie;

permite posibilitatea particularizării meniurilor prin eliminarea sau adăugarea de macro-comenzi, în funcție de nevoile grupului (tema de studiu, nivel de vârstă, etc.) și contextul utilizării.

Oricare versiune CABRI poate fi descărcată de pe site-ul http://www.cabri.com, fiind ușor de instalat. Programul rulează eficient pe orice computer cu platforme (Windows 95, 98, Me, 2000, XP).

Exemple de activități care pot fi realizate la clasă cu ajutorul programului CABRI72

1)Teorema lui Thales în spațiu : Două sau mai multe plane paralele determină pe două drepte oarecare segmente respectiv proporționale.

Demonstrația se face pentru cele două cazuri:

– a și b sunt drepte secante,

– a și b sunt drepte oarecare în spațiu.

Pentru studierea celor două situații se poate folosi programul CABRI. Se construiesc, pe rând, figurile și, rotind construcția realizată, se oferă elevilor posibilitatea de a o viziona din perspective diferite. Elevii verbalizează demonstrația, indicând elementele pe figura realizată cu ajutorul softului și, în etapa următoare, redactează demonstrația.

2)Unghiul diedru,

Lecția Unghi diedru este una din lecțiile de geometrie în spațiu considerate dificile însuși prin faptul că de multe ori desenul realizat pe tablă nu reflectă o imagine clară asupra perpendicularelor pe muchia a două plane, duse printr-un punct al acesteia (laturile unghiului plan al diedrului).

Programul CABRI oferă posibilitatea realizării unei imagini clare și determinării cu ușurință a măsurii unghiului diedru.

După definirea conceptului de unghi diedru, fiecare elev va primi următoarele sarcini:

să realizeze reprezentările pe computer ale unor piramide (piramida patrulateră regulată piramida triunghiulară regulată, piramida hexagonală regulată);

să identifice unghiul dintre o față laterală și bază pentru fiecare dintre piramidele create;

să calculeze o funcție trigonometrică a unghiului diedru de la punctul anterior.

La sfârșitul orei se vor printa figurile realizate și calculele efectuate de fiecare elev și se vor acorda note.

Utilizarea progamului CABRI la această lecție permite:

facilizarea înțelegerii de către fiecare elev a noțiunii de unghi diedru prin crearea imaginilor adecvate și a situațiilor de învățare stimulative;

înțelegererea corectă de către fiecare elev a noțiunii de unghi diedru;

utilizarea de către fiecare elev a noțiunii în aplicații;

familiarizarea elevilor cu softurile educaționale și cu lucrul independent;

realizarea unui volum mare de lucru într-o oră de clasă.

3)Apotema piramidei regulate

După cum se știe, apotema unei piramide regulate reprezintă înălțimea unei fețe laterale a piramidei. Noțiunea de apotemă a piramidei este simplă, iar reprezentarea ei în desen este ușor de realizat. Unii elevi, însă, identifică mai greu triunghiurile care se formează în piramidă și care trebuie considerate pentru aflarea lungimii apotemei, sau pentru aflarea măsurii unghiului dintre o față laterală și planul bazei:

triunghiul format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei;

triunghiul format de o muchie laterală, o muchie a bazei și apotema piramidei.

Cu ajutorul programului CABRI 3D, fiecare elev poate construi în timpul orei piramide regulate, poate măsura (cu obțiunea de măsurare din aplicație), pe desenele realizate, muchiile și înălțimile, și, cu formula lui Pitagora, poate calcula lungimile apotemelor. Rezultatele obținul vor fi validate prin măsurarea pe desene a lungimilor apotemelor.

Este o certitudine că instruirea asistată de calculator tinde să devină instrument de utilitate universală, iar informatica o a doua limbă maternă, ceea ce face ca dobândirea competențelor digitale să fie o necesitate a educației în oricare din țările lumii. Această necesitate impune o alta, și anume cea a dezvoltării în cadrul colectivelor de profesori a unui nou mod de gândire și motivare pentru adoptarea atitudinilor deschise în ceea ce privește introducerea în procesul de învățare a instruirii asistate de calculator. Ca oricare alt mijloc didactic, folosirea calculatorului nu poate înlocui eficiența dialogului științific și afectiv- emoțional realizat în orele de clasă între profesor și elevi, dar nici munca individuală susținută și serioasă, necesară elevului pentru însușirea temeinică a cunoștințelor de matematică.

Profesionalismul și devotamentul profesorului în a împărtăși cu generozitate elevilor cunoștințele și experiența acumultă vor rămâne întotdeauna cele mai importante condiții ce asigură succesul rezultatelor elevilor, dar, utilizând mijloace didactice informatice, eforturile sale vor fi substanțial reduse, iar satisfacțiile imediate și mai mari.

Cabri II Plus

În continuare vor fi prezentate softurile pentru rezolvare problemelor de construcție.

Filozofia lui Cabri II Plus este să permită maximumul de interacțiuni (mouse, tastatură…) între utilizator și software, și în fiecare caz, să facă ceea ce utilizatorul se așteaptă să facă software-ul, respectând pe de o parte comportamentele uzuale ale aplicațiilor și ale sistemului, și pe de altă parte comportamentul matematic cel mai plauzibil. Un document Cabri II Plus este alcătuit dintr-o figură construită liber pe o foaie de hârtie virtuală de un metru pătrat (1m pe 1m). O figură este alcătuită din obiecte geometrice (puncte, drepte, cercuri,…), dar și din alte obiecte (numere, texte, formule,…). Un document poate de asemenea să cuprindă macro-construcții, care permit, memorizând construcții intermediare, lărgirea funcționalității software-ului. Aplicația permite deschiderea simultană a mai multor documente și suportă comanda Decupare- Copiere/Lipire între documente deschise.

Interfața aplicației:

Figura de mai jos arată fereastra principală a aplicației și diferitele ei zone. La lansarea lui Cabri II Plus, bara de atribute, fereastra de ajutor și fereastra de descriere nu sunt vizibile.

Bara de titlu indică numele fișierului conținând figura, sau Figura nr. 1,2… dacă figura n-a fost încă numită.

Bara de meniuri permite accesul la comenzile aplicației, care corespund comenzilor întâlnite de obicei într-un software.UL

Title bar = Bară de titlu

Menu bar = Bară de meniuri

Tool bar = Bară de instrumente

Attributes bar = Bară de atribute

Figure description Window = Fereastră de descriere

Drawing area = Zonă de lucru

Help window = Fereastră de ajutor

Status bar = Bară de stare

În continuarea acestui document, vom desemna intrarea Acțiune a meniului Meniu prin [Meniu]Acțiune.

Bara de instrumente oferă instrumentele care permit crearea și manipularea figurii. Ea este alcătuită din mai multe cutii cu instrumente, conținând fiecare un instrument vizibil, corespunzând unei pictograme din bară. Instrumentul activ este reprezentat de un buton apăsat, cu un fond alb. Celelalte instrumente sunt reprezentate de butoane care nu sunt apăsate, cu un fond gri. Un click scurt pe un buton activează instrumentul corespunzător. O apăsare prelungită pe un buton desfășoară cutia cu instrumente, și permite alegerea unui alt instrument. Acest instrument devine instrumentul vizibil al cutiei cu instrumente și instrumentul activ.

Bara de instrumente poate fi recompusă liber de utilizator, și eventual zăvorâtă într-o configurație fixată.

Manipulare, Puncte, Linii, Curbe, Construcții, Transformări, Macros, Proprietăți, Măsură, Text și simboluri ,Atribute

În continuarea acestui document, vom desemna instrumentul Instrument al cutiei Cutie prin [Cutie]Instrument, cu pictograma corespunzătoare amintită în margine (unii termeni prea lungi pentru a încăpea în margine au fost prescurtați). De exemplu [Linii]Semidreaptă reprezintă instrumental Semidreaptă din cutia cu instrumente Linii.

Pictogramele barei de instrumente pot fi afișate în două mărimi. Pentru a schimba mărimea, faceți click pe butonul drept al mouse-ului după ce ați deplasat săgeata în bara de instrumente, în dreapta ultimului instrument și selecționați „Pictograme mici”.

Bara de stare din partea de jos a ferestrei indică în permanență instrumentul activ.

Bara de atribute permite modificarea atributelor obiectelor: culori, stiluri, dimensiuni,.. Ea este activată de comanda [Opțiuni]Arată atributele și mascată din nou de [Opțiuni]Ascunde atributele, sau de tasta F9 în Windows, z+F9 pe Mac.

Fereastra de ajutor oferă un ajutor succint referitor la instrumentul selecționat. Ea indică obiectele realizate de instrument, și ceea ce va fi construit. Ea este activată/ mascată de tasta F1 în Windows, z+F1 pe Mac.

Fereastra de descriere conține o descriere a figurii sub formă de text. Aici se găsește ansamblul de obiecte din nou prin [Opțiuni]Ascunde descrierea, sau de tasta F10 în Windows, z+F10 pe Mac construite și metoda de construcție a lor. Ea este activată de comanda [Opțiuni]Arată descrierea, și mascată din nou prin [Opțiuni]Ascunde descrierea, sau de tasta F10 în Windows, z+F10 pe Mac.

In sfârșit, zona de lucru reprezintă o porțiune a foii de lucru. Aici, în zona de lucru se efectuează construcțiile geometrice.

3.13.1.a) Construcții geometrice utilizând softul Cabri

Construirea obiectelor geometrice pe un computer oferă o nouă dimensiune în comparație cu a face exerciții în modul tradițional cu creion, hârtie, riglă, și compas! Cabri II Plus oferă o gamă largă de caracteristici puternice, ușor de utilizat. Puteți desena și manipula figurile în plan și spațiu, de la cele mai simple la cele mai complexe.

Bara de instrumente afișează instrumentele care se pot utiliza pentru a crea și a modifica o figură. Se compune din mai multe toolboxes, fiecare dintre care afișează un instrument din caseta de instrumente ca o pictogramă pe bara. Cu un singur click pe un buton ne putem alege instrumentul corespunzător. Faceți clic și țineți apăsat un buton pentru a deschide caseta de instrumente ca un meniu drop-down.

1.Construcții cu CABRI 2Plus

Vom construi un pătrat, având dată una dintre diagonale. Construim segmentul care va fi diagonala pătratului. În primul rând alegeți [linii] instrument de segment.

Acum mutăm cursorul peste zona de desenare: el va lua forma următoare .
Facem clic o dată pentru a crea primul punct. Continuăm deplasarea cursorului peste zona de desenare. Începem trasarea unei semidrepte cu originea în primul punct. Click pentru a crea al doilea punct. Desenul nostru contine acum două puncte și un segment. Pentru a construi un pătrat, construim un cerc cu acest segment ca diametru. Centrul cercului este mijlocul segmentului. Pentru a construi acest mijloc, alegem [Constructii] instrumentul „Punct de mijloc” apoi mutam cursorul peste segment. Clic pentru a marca punctul de mijloc pe segmentul.

Selectăm [Curbe] instrumentul Cerc și mutăm cursorul în apropierea mijlocului segmentului. Instrumentul Cerc ne cere să selectăm un punct în centrul cercului, deci facem clic pe punctul de mijloc pentru a-l selecta. Apoi,vom descrie un cerc atât timp cât se va muta cursorul. Se va afișa raza. Pentru a completa cercul până la capătul segmentului, facem click pe acest punct.

Pentru a construi un pătrat, construim prima diagonală, care este diametrul cercului, perpendicular pe segmentul ințial. Construim o dreaptă perpendiculară pe segment prin mijlocul său. Selectăm instrumentul „Perpendicular bisector” , apoi selectăm segmentul făcând click pe el și pe mijlocul său. Cabri II Plus construiește mediatoarea segmentului.

Pentru a finaliza pătratul, selectam [linii] instrumentul Poligon . Acest instrument ne ajuta sa selectam o succesiune de puncte pentru a defini vârfurile poligonului. Pentru a termina aceasta succesiune, selectam punctul inițial al secvenței pentru a doua oară, sau dublu-click pentru a selecta ultimul punct din secventa. Cele două puncte de intersecție ale cercului cu bisectoarei perpendiculare nu sunt de fapt construite: Cabri II Plus le permite să fie construite implicit pentru ca acestea sunt necesare.

Cu alte cuvinte, selectăm un capăt al segmentului ca primul vârf al poligonului, apoi mutăm cursorul la unul din punctele de intersecție ale cercului cu mediatoarea segmentului și îl selectăm ca fiind vârful următor al poligonului. Facem click pe această locație pentru a crea acest punct, apoi selectăm celălalt capăt al segmentului și al doilea punct de intersecție dintre cerc si mediatoarea segmentului. Selectăm în cele din urmă, punctul inițial din secvență – a doua oară (sau dublu-click pentru a selecta ultimul punct al poligonului).

2.Dreapta lui EULER

Figura 2.1 – [Stânga] Verificarea coliniarității de trei puncte O, H și G. [Properties] coliniare? instrumentul creează un mesaj text: Punctele sunt coliniare sau puncte nu sunt coliniare. [Dreapta] Linia lui Euler a triunghiului, vizibilă în mod clar prin grosimea sa [atribute] gros … instrument.

Dacă schimbăm forma triunghiului, prin mutarea poziției relative a vârfurilor, este evident că G este întotdeauna între O și H, și, de asemenea, că poziția sa relativă pe segmentul de linie nu se schimbă. Să presupunem că verificăm acest lucru prin măsurarea lungimilor GO și GH. Alegem instrumentul Distanța [măsurare] sau Lungime. Acest instrument măsoară distanța dintre două puncte sau lungimea unui segment, în funcție de obiectul selectat. Selectam G și apoi O: distanta de la G la O apare, măsurată în centimetri. Facem același lucru pentru G și H. Odată măsurate, putem edita mesajul text corespunzător prin adăugarea de caractere «GO =» în fața numărului, de exemplu.

O = centrul cercului circumscris unui triunghi

G = centrul de greutate

H = ortocentru

Figura 2.2 – [Stânga] Utilizarea instrumentului [măsurare] distanță sau Lungime a lungimilor GO și GH. [Dreapta] Utilizarea calculatorului – [Măsurarea] Calculați … pentru a afișa raportul GH / GO și a arăta că acesta este întotdeauna egal cu 2. Prin efectuarea de modificări la triunghiul inițial, putem vedea că GH este întotdeauna de două ori lungimea lui GO. Pentru a verifica acest lucru, putem calcula raportul GH / GO. Alegem instrumentul [măsurare] Calculați ….

Exercitiul 1 – Trasați cercul circumscris triunghiului ABC, folosind instrumentul [Curbe] Cerc.
Exercitiul 2 – Trasați «cercul celor nouă puncte» pentru triunghiul ABC. Acesta este cerc al cărui centru este mijlocul segmentului OH, și care trece prin mijloacele laturilor BC, AC, AB: A ', B’ și C’, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor [HA], [HB], și [HC].

Figura 2.3 – triunghiul ABC cu cercul său circumscris și «cercul celor nouă puncte».

3.13.1.b) Constructii cu GeoGebra 3D

Matematicianul Markus Hohenwarter creatorul softului GeoGebra a inițiat proiectul în anul 2001 la Universitatea din Salzburg. Softul a fost conceput și dezvoltat ca instrument didactic informatic destinat procesului de predare și învățare a geometriei la nivelul gimnaziului, independent sau simultan cu algebra la nivelul liceului. În aprilie 2002, a fost oferită gratuit, prima versiune GeoGebra 1.0, instituțiilor de educație din învățământul preuniversitar.

Istoria dezvoltării softului GeoGebra este istoria unui susținut proces de cercetare colaborativă care a vizat consecvent îmbunătățirea performanțelor informatice, simultan cu respectarea rigorii impuse de teoria matematică. Fiecare versiune a dezvoltat și eficientizat calitățile aplicației lărgind considerabil oportunitățile de utilizare în predarea-învățarea matematicii dar și a altor discipline înrudite. Softul poate fi utilizat offline sau online și download-at gratuit (inclusiv limba română) de pe multi-platforma dinamică www.geogebra.org . În 2012, la bilanțul celor zece ani de existență, Markus Hohenwarter a prezentat rezultatele: softul este utilizat cu succes în sisteme de educație din 190 de țări, a fost tradus în 62 de limbi, au fost înființatate 170 institute GeoGebra (în 75 de țări) care organizează periodic activități de formare pentru utilizarea softului, echipa dezvoltatorilor are 43 de membrii, s-au înregistrat 6 milioane de descărcări ale aplicației, 5,5 milioane de utilizatori în sălile de clasă, 35000 de utilizatori online, etc. În prezent la Universitatea din Linz o echipă de dezvoltatorii open-source și traducători din întreaga lume lucrează pentru extindere softului la spațiul tridimensional, versiunea GeoGebra 5.0 (3D) Beta. Calitățile ultimelor versiuni GeoGebra sunt remarcabile prin faptul că facilitează predarea și înțelegerea noțiunilor cu grad ridicat de abstractizare din geometrie, algebră, analiza matematică, geometria analitică, statistică, calculul probabilităților, calculul diferențial și integral studiate în învățămantul preuniversitar și universitar. GeoGebra realizează construcții geometrice elementare și complexe de o calitate grafică deosebită care folosind instrumentele de glisare pot fi vizualizate din divese perspective. Utilizarea softului în procesul de instruire reduce intevalul de timp necesar elevilor pentru înțelegerea conceptelor și studiul proprietăților lor, în avantajul perioadei dedicate aprofundării prin rezolvarea de probleme, exerciții și aplicații practice. De asemenea, softul dispune de instrumente pentru reprezentarea grafică a funcțiilor elementare sau compuse și de comenzi care facilitează, prin vizualizare sau calcul, studiul variației și respectiv al proprietăților caracteristice.

GeoGebra ajută profesorul să își creeze propriul material educațional, personalizat în funcție de nevoile colectivului și să organizeze activitățile de învățare centrate pe activitatea elevilor. Folosind explorările interactive de învățare ale elevilor cu ajutorul softului se stimulează starea de ludic, curiozitatea și implicit interesul elevului pentru cunoaștere. Softul asigură experimentele metodice inovative de instruire care, anlizate și reproiectate, conduc la opțiuni eficiente privind învățarea prin descoperire și identificarea condițiilor optime necesare elevilor pentru dobândirea propriilor strategii cognitive de învățare. GeoGebra oferă instrumente caracteristice învățarii asistate de calculator. De exemplu în cazul analizei matematice, exersând interpretarea reprezentărilor grafice ale funcțiilor, elevii pot intuii, deduce, inventaria și verifica proprietățile lor caracteristice, pot localiza vizual punctele importante ale graficului (rădăcini, extreme locale, puncte de inflexiune) și determina coordonatele lor, pot verifica corectitudinea: alegerii domeniilor, ecuațiilor asimptotelor, calculului derivatelor, a primitivelor și / sau integralelor asociate. De asemenea, utilizatorii pot introduce direct expresiile algebrice pentru a obține sau verifica reprezentarea grafică a curbei.

Foaia de lucru a ultimelor versiuni GeoGebra sau documentul cu extensia ggb conține „fereastra algebră” și „fereastra geometrie” în care se poate însera și tabelul de calcul Excel al valorilor numerice. Carateristica ultimelor versiuni ale aplicației este aceea că asociază “obiectelor matematice” trei reprezentări:

grafică (puncte, poligoane, curbe reprezentative ale funcțiilor, ….),

algebrică (coordonatele punctelor, ecuațiile dreptelor, conicelor, ….),

valorică în foaia de calcul Excel.

Document ggb. – foie de lucru GeoGebra

GeoGebra este un program dinamic care permite mișcarea și animarea interactivă a obiectelor construite. În timp ce în „fereastra geometrie”, folosind bara de meniu, se realizează construcțiile geometrice, în „fereastra algebră” apar simultan scrise ecuațiile algebrice corespunzătoare. Și „reciproc”, pentru fiecare expresie algebrică scrisă în „fereastra algebră", în ”fereastra geometrie" apare construit obiectul geometric corespunzator. Pentru același obiect toate cele trei reprezentări sunt legate între ele dinamic. Indiferent care din ele este realizată inițial, softul ia în considerare schimbările făcute în una dintre reprezentări și efectueză automat modificări corelate în celelalte două. Trebuie menționat și faptul că softul are impresionante posibilități de modelarea matematică necesară în studiul diverselor fenomene din fizică, chimie, biologie, arhitectură, tehnologie, etc.

GeoGebra este compatibil cu orice sistem de operare (Windows XP, Windows 7, Windows Vista, Linux și Mac OS). Este ușor de instalat și nu necesită multe resurse. Pentru a instala acest program este necesar software-ul Java JDK. Java JDK este un software gratuit, open source, care este utilizat de obicei pentru aplicații web, pentru grafică 3D și multe alte aplicații.

Indiferent de numărul anilor de activitate didactică „adunați” de profesor, matematica predată la gimnaziu este provocatoare și fascinantă. Dar, elevul este adesea derutat la primul contact cu lumea conceptelor ei abstracte și trebuie ajutat să-i descopere pas cu pas frumusețea. Cunoștințele de matematică pentru a fi înțelese necesită un efort consecvent de muncă intensă, softul GeoGebra dă profesorului ocazia de a le prezenta într-un “ambalatj” atractiv. Avantajul este evident ! Fiind pe „gustul” elevului, noul ambalaj are calitatea de a- i capta interesul și de a- l motiva să-i cunoască „conținutul”.

Construcții cu CABRI 3D

b.1. Constructia unei sfere

Dublu Click pe iconita Cabri 3D v2.

Mouse-ul se schimbă într-un creion.
Facem click o dată la aproximativ 1 cm în stânga punctului ce reprezintă centrul planului de bază, apoi facem click din nou la aproximativ 2 cm în stânga primului punct.

Am construit o sfera.

Pentru a modifica sfera, facem click pe caseta de instrumente de manipulare.
Pentru a modifica dimensiunea sferei, folosim mouse-ul și tragem fie primul, fie al doilea punct pe care l-am construit.
Pentru a muta sfera, o selectăm și o translatăm într-o poziție nouă utilizând mouse-ul.

b.2.Constructia unui poliedru

Facem click pe planul de bază gri în dreptul sferei.
Apoi, mutam mouse-ul la aproximativ 2 cm la dreapta și 1 cm în sus. Ținem apăsată tasta Shift și deplasam mouse-ul în sus 5 cm, apoi facek click. Am construit un paralelipiped XYZ.

Pentru a exporta constructia Cabri 3D într-un format HTML sau un PNG, selectam Export … din meniul File.

b.3. Constructia unui con
– construim vârful conului – un punct în spațiu (instrumentul “Punct”)

– construim baza conului – cerc sau elipsă (instrumentul “Circle”)

– selectăm punctul și cercul și am construit conul

Putem să trasăm înălțimea, raza, să alegem stilul, culoarea, etc

– putem să adăugăm și text și să alegem stilul

Putem schimba culoarea și stilul suprafeței laterale a conului (Click dreapta pe obiectul construit).

Atentie: după fiecare element construit – Click pe Manipulare

b.4. Constructia unui cub

Selectăm planul ca fiind o față a cubului

Selectăm un punct din plan

Selectăm al doilea punct din plan

Click pe Butonul Manipulare

Acum putem face modificări cubului nostru (culoarea și stilul fețelor, a muchiilor, a vârfurilor), să adăugăm text, să scriem ce lungime are muchia cubului.

Putem roti cubul, putem translata vârfurile sau cubul, modificându-se poziția cubului și lungimea muchiei.

4.Construcții în plan cu GeoGebra

1)simetricul unui punct față de o dreaptă

2) axa de simetrie a unui pătrat

3) simetrica unei figuri față de o dreaptă

a)

b)

4) o dreaptă paralelă la o dreaptă dată

5)construcția și calculul ariei

a)unui pătrat

b)unui hexagon regulat

6)construcția mediatoarelor laturilor

a)unui triunghi ascuțitunghic

b) unui triunghi dreptunghic

c) unui triunghi obtuzunghic

3.13.2.Rezolvarea problemelor de calcul utilizând software-ul matematic

Cubicus

"Cubicus"este un program care generează probleme de geometrie în spațiu. Include toate tipurile de prisme, trunchiuri si piramide studiate (triunghiulară, patrulateră, hexagonală), unghiuri si distanțe în spațiu etc.
Toate problemele sunt însoțite de răspunsuri.

PyramEasy – Piramida Patrulateră

Aplicația este realizată sub forma unui joc: o maimuță sare pentru a culege banane. Ea primește o banană sau o frunză, în funcție de corectitudinea răspunsului dat de elev la problema propusă.La deschiderea aplicatiei, elevul îsi introduce numele si selecteaza nivelul de dificultate a problemelor: simplu, mediu sau dificil. În vârfurile piramidei sunt plasate personaje hazlii, care, în mod aleator pe parcursul jocului, efectuează mici sărituri, simulând nerăbdarea în așteptarea răspunsului. Problemele pe care elevul trebuie să le rezolve sunt concepute după 75 de sabloane, datele numerice fiind de fiecare dată altele, astfel încât șansa de repetabilitate este, practic, zero.Răspunsurile se pot introduce de la tastatură sau cu ajutorul mouse-ului. Pe măsură ce elevul introduce răspunsurile la probleme, el primește banane (la un răspuns corect) sau frunze (la un răspuns greșit). O facilitate puternică a aplicației este aceea că, în cazul unui răspuns greșit, se afișează răspunsul corect și elevul primește scurte indicații privind modul de rezolvare a problemei. În acest mod, elevul primește un feed-back “permanent, frecvent si imediat” (după cum spune teoria!) pentru îmbunătățirea realizării sarcinilor de lucru.Jocul se încheie în momentul în care jucătorul acumulează 15 banane sau 15 frunze.În cazul unui final “fericit”, personajele din scenă se grupează lânga bananier și îl felicită pe jucător. În cazul unei finalizări ”nefericite”, în scenă apare un elefant care elimină maimuța din fereastra de lucru, iar celelalte personaje îi adresează jucătorului îndemnul de a încerca din nou

GeomBase

"GeomBase" este un program care generează probleme de geometrie plană. Sunt acoperite numeroase noțiuni de bază, cum ar fi: teorema lui Thales, teorema lui Pitagora, elemente de trigonometrie, formulele de calcul a elementelor figurilor geometrice etc.
Toate problemele sunt însoțite de răspunsuri.

Ariator

"Ariator" este o aplicație care generează probleme de geometrie, referitoare la ariile figurilor geometrice. Problemele au grad de dificultate de la elementar spre mediu și acoperă o gama largă de figuri și tipuri de cerințe: aria triunghiului, trapezului, rombului etc. 
Problemele sunt însoțite de răspunsuri.

Pytagora

        "Pytagora" este o aplicație destinată elevilor, pentru învățarea și exersarea teoremei lui Pitagora. Pentru cei care eventual nu au înțeles cum se aplică această teoremă indispensabilă, aplicația va arăta inclusiv procedeul de calcul.

        Se poate verifica gradul de înțelegere a celebrei teoreme prin consultarea "scorului" dat de aplicație.

Se deschide aplicația unde vor apărea lungimile cunoscute a două laturi iar lungimea celei de- a treia trebuie calculată de elev. Aceasta valoare se scrie în căsuța corespunzatoare lui x. În cazul în care valoarea calculată de elev este corectă, în fereastra alăturată apare „Right” (corect).

Exemplu:

În cazul în care valoarea este greșită , apare „wrong” (greșit).

CAPITOLUL IV

EXPERIMENT METODICO-PEDAGOGIC

4.1. Cercetarea pedagogică

Cercetarea a constituit dintotdeauna un domeniu activ prin implicarea noului, captivant prin misterul necunoscutului, interesant prin elementele uneori neprevăzute, provocator-motivat prin efectele și rezultatele obținute. Astfel, mulți oameni de știință s-au orientat către „cercetarea cercetării” vrând să-i identifice cât mai multe elemente specifice – legi, principii, modele – contribuind astfel la fundamentarea științifică a acestei activități umane, numită CERCETARE.

Cercetarea constituie o modalitate de cunoaștere a realității înconjurătoare aflată la îndemâna oricărei ființe umane, știut fiind faptul că orice om poate fi considerat un „cercetător” care se dezvoltă prin descoperirea și redescoperirea cunoașterii acumulate la nivelul omenirii într-un timp îndelungat. Se impune totuși distincția între această cunoaștere comună pe care o poate realiza orice persoană – numită și cunoaștere la nivelul simțului comun, al bunului simț – și cunoaștere științifică realizată de cercetători profesioniști, special pregătiți pentru activitatea de investigație.

Cercetarea pedagogică este un demers sistematic de explicare a fenomenului educativ, o strategie desfășurată în vederea surprinderii unor relații noi între componentele acțiunii educaționale.

Specificul cercetării pedagogice:

tinde spre o explicație și o înțelegere normativă a activității educative;

urmărește definirea și argumentarea legilor și principiilor care reglementează acțiunea de proiectare a educației la nivelul de sistem și proces;

implică o cunoaștere temeinică a finalităților educaționale;

Pentru a obține rezultate pozitive, cercetarea trebuie temeinic pregătită, operație care constă într-o succesiune de pași necesari:

alegerea problemei de cercetat;

documentarea în problema ce s-a considerat pentru cercetare;

stabilirea ipotezei de lucru, a factorilor existenți;

întocmirea planului cercetării ținând cont de condițiile în care se desfășoară cercetarea pedagogică;

prelucrarea și interpretarea datelor culese;

valorificarea cercetării.

Cunoașterea comună se referă la sistemul de reprezentări, cunoștințe, explicații și întrebări obținute în mod spontan, fără o cercetare sistematică după modele științifice, ci doar pe baza activităților realizate în contexte obișnuite.

Cunoașterea științifică se referă la sistemul de reprezentări, cunoștințe, explicații, interpretări obținute în mod intenționat printr-o cercetare sistematică după modele științifice, prin strategii laborioase ce promovează precizia, exactitatea, obiectivitatea.

Cercetarea educațională trebuie încadrată în aria cercetării științifice, fiind un demers investigativ aparte ce urmărește în esență cunoașterea realității educaționale prin identificare, explicare, interpretare și generalizare a datelor, îmbogățind astfel, baza conceptual – teoretică și practic – metodologică în domeniul educației.

Elementele care reflectă importanța și rolul fundamental al cercetării în domeniul educațional sunt:

Cercetarea permite și afirmă necesitatea cunoașterii problemelor educației prin realizarea unor operații investigative specifice de genul: identificare, explicare, interpretare, înțelegere, conceptualizare, generalizare și ulterior ameliorarea, optimizarea practicii sale;

Cercetarea stimulează descoperirile, inovațiile, conturarea de noi cunoștințe, idei, teorii, modele, metodologii care completează / modifică / corectează baza conceptual – teoretică, dar și practica educațională;

Cercetarea promovează, popularizează, face cunoscute diverse soluții, contribuții relevante ce pot fi extinse și în alte contexte pentru a fi aplicate – verificate; se evită astfel o greșeală frecventă constând în extragerea valorii unor date obținute în urma investigațiilor contextuale, particulare și care sunt opinii ce nu întrunesc criteriile de validare științifică și nu pot fi generalizate;

Cercetarea îndeplinește o serie de funcții specifice care se susțin reciproc:

-funcția constatativ – descriptivă care atrage după sine operații specifice de constatare a unei realități educaționale, de descriere a notelor definitorii, de explicare și interpretare a celor constatate și descrise, precum și de generalizare a datelor concludente din punct de vedere științific finalizate în contribuții teoretice sau practice

-funcția ameliorativă a cercetării este generată direct de finalitatea acesteia – a îmbunătăți, a optimiza, a produce transformări calitativ superioare în teoria și practica educațională; efecte ameliorative putem spune că are orice tip de cercetare fie că-și propune numai constatarea – descrierea realității, fie că intervine asupra acesteia modificând-o, ambele perspective oferind de fapt o mai bună cunoaștere , înțelegere a domeniului educațional și implicit o ameliorare a acestuia;

-funcția predicativă este susținută de prezența operațiilor specifice – anticipare, proiectare, planificare – implicare atât în baza pregătitoare unei cereri cât și în faza finalizării prin evidențierea perspectivelor de valorificare a rezultatelor obținute, a evoluțiilor probabile ale fenomenelor studiate în practica educațională;

-funcția referențial – informațională este generată de constituirea cunoașterii specifice prin acumularea sistematică a conceptelor, teoriilor, modelelor identificate în timp în cadrul multiplelor și diverselor cercetări educaționale.

4.2. Metodele cercetării pedagogice

Sistemul metodelor cercetării pedagogice

Stabilirea metodologiei adecvate reprezintă un moment fundamental în derularea unei investigații. Importanța sa capătă amploare dacă ne gândim că metodologia este cea care transformă un proiect de cercetare în acțiuni concrete, practice, la nivelul realității educaționale.

Dată fiind varietatea metodelor folosite în cercetarea educațională s-a încercat clasificarea acestora pe baza unor criterii multiple:

Ioan Nicola diferențiază următoarele categorii:

⦁ metode de descriere și măsurare a diferitelor aspecte și manifestări ale faptului educațional;

⦁ metode acțional

⦁ tehnici corelaționale;

⦁ metode matematico – statistice;

Lazăr Vlăsceanu face o distincție între: metodele de colectare a datelor și tehnicile de prelucrare a acestora;

Dumitru Muster tratează separat metodele de colectare a datelor invocate sau provocate și metodele de prelucrare și prezentare a datelor cercetării;

Traian Rotariu atenționează că principalele metode de cercetare în domeniul socio – uman sunt: observația și evenimentul.

O clasificare realizată după criteriul funcționalității a metodelor utilizate în cercetarea educațională ar fi următoarea:

Metode nonexperimentale de colectare a datelor: observația, ancheta prin chestionar și prin interviu, metoda scărilor de opinii și atitudini, metoda analizei documentelor școlare, metoda analizei produselor activității școlare, testele standardizate, metoda intraevaluării elevilor, studiul de caz, metode și tehnici sociometrice;

Metode acționale sau de intervenție: experimentul pedagogic;

Metode de prelucrare, interpretare și prezentare a datelor cercetării:

⦁ tabel de rezultate;

⦁ reprezentări geografice: ogiva lui Galton, poligonul frecvențelor, histograma;

⦁ teste de semnificație;

⦁ calculul unor indici statisitici: indici ce exprimă tendința centrală (media aritmetică, mediana, modulul), indicii variabilității (abateri de la tendința centrală), indici de corelație.

Metoda observației

Caracteristici:

Observația constă în urmărirea faptelor de educație așa cum se desfășoară ele în condiții naturale, firești, normale.

Sursa observației o constituie realitatea educațională sub diversele ei manifestări concrete: activitatea profesorului și a elevilor în diverse situații instructiv – educative, activitatea altor factori educativi, precum și elemente de context sau climat relațional;

Observația utilizează un demers introductiv care reflectă realitatea educațională în condiții naturale, obișnuite, normale;

Are valoare preponderent constatativ – descriptivă oferind date concrete ce pot fi ulterior supuse unor analize, interpretări și prelucrări statistice, dându-le o mai mare relevanță și validitate;

Observația poate fi aplicată în practică în moduri diferite, ceea ce a determinat crearea unei tipologii după următoarele criterii:

În funcție de gradul de implicare al cercetătorului în domeniul supus observării, observația poate fi:

⦁ observație participativă, atunci când observatorul devine membru al grupului și participă la organizarea și desfășurarea evenimentelor pedagogice studiate;

⦁ observație neparticipativă, atunci când observatorul nu ia parte direct la evenimentul studiat.

În funcție de gradul de organizare și de caracterul intențional, observația mai poate fi:

⦁ observație spontană, realizată în mod curent de orice persoană; nu oferă un statut științific cunoașterii, însă poate suplimenta datele acumulate prin alte metode;

⦁ observația sistematică, recomandată ca metodă de cercetare științifică; presupune elaborarea prealabilă a unui plan de observație care prezumă obiectivele urmărite, cadrul în care se desfășoară și instrumentele – grila de observație – ce vor putea fi folosite pentru înregistrarea datelor observate.

Avantaje:

⦁ Observația permite surprinderea diferielor aspecte investigate în condiții naturale, a comportamentelor reale, firești, nedistorsionate de procesul investigațional al cercetătorului.

⦁ Metoda observației se poate utiliza în toate tipurile de cercetări educaționale și se poate combina de obicei cu toate celelalte metode de investigație, oferind date suplimentare asupra fenomenului studiat.

Dezavantaje:

Principalul dezavantaj este cel al subiectivității mari și lipsei interacțiunii directe cu persoanele sau fenomenele investigate ceea ce duce la imposibilitatea controlului condițiilor și implicit a stabilirii în final a unor legături cât de cât precise de determinare între factori, dimensiunile, fenomenele studiate. Așadar putem spune că:

metoda observației permite urmărirea nemijlocită a evenimentelor pedagogice, dar cercetătorul nu poate interveni în producerea și desfășurarea evenimentelor pentru a controla influența unor factori optimizatori sau nefavorizanți;

observația este o metodă subiectivă, fiind puternic influențată de personalitatea observatorului.

Recomandări:

fundamentarea teoretică a problemei investigate;

observația să fie sistematică propunându-și intenționat anumite aspecte pentru studiere;

utilizarea grilelor de observație;

urmărirea fenomenului studiat în condiții și împrejurări variate pentru a confrunta datele obținute;

pentru a crește validitatea rezultatelor, observația sistematică trebuie să se facă într-un timp îndelungat și pe un eșantion extins care să permită în final generalizarea datelor;

se va utiliza în combinație cu alte metode de investigație pentru a-i reduce dezavantajele;

datele obținute se vor supune prelucrării și interpretării concomitent cu desprinderea unor concluzii teoretice și sugestii practice.

4.3. Experimentul pedagogic

Experimentul este considerat ca fiind metoda fundamentală de investigație în toate domeniile științifice. Ceea ce-l diferențiază net față de metoda precedentă este caracterul intențional clar, de a schimba realitatea educațională prin crearea unor situații noi, prin introducerea unor modificări în desfășurarea procesului instructiv – educativ și constatarea efectelor acestora. Comparând cele două metode fundamentale, observația și experimentul, specialiștii consideră că observatorul ascultă natura, iar experimentul o forțează să se producă și o interoghează.

În cadrul unui experiment intervin trei categorii de variabile:

⦁ variabilele independente reprezentate de inovația introdusă pentru a influența desfășurarea activității, în vederea studierii efectului produs;

⦁ variabile dependente care constau în rezultatele obținute ca urmare a inovației introduse;

⦁ variabilele intermediare care mijlocesc relațiile dintre variabilele independente și variabilele dependente. Acestea sunt de natură socială și psihică, se referă la trăsăturile de personalitate și la climatul psiho – social care se interpune în acest proces.

Caracteristici:

⦁Experimentul presupune provocarea apariției sau variației unuia sau mai multor fenomene într-o situație controlată;

⦁Are în centrul oricărei configurații de legături relația cauzală, dintre fenomenele studiate;

⦁Intervenția cercetătorului se bazează pe presupunerea că modificarea introdusă va avea efecte în optimizarea instructiv – educativă;

⦁Are un caracter obstructiv, de intervenție / acțiune asupra realității investigate;

⦁Este o metodă riguroasă de cercetare datorită controlului pe care-l impune tuturor componentelor: etape, variabile, instrumente de investigație, timp, eșantion, schemă experimentală;

⦁Oferă posibilitatea unor analize comparative realizate pe mai multe planuri;

În privința variabilelor se cunoasc trei astfel de categorii:

⦁ variabile independente – reprezentate de inovațiile / modificările / schimbările introduse pentru a influența pozitiv activitatea educațională;

⦁ variabile dependente – constau în efectele obținute ca urmare a modificărilor / schimbărilor introduse;

⦁ variabile intermediare – sunt cele care mijlocesc relațiile dintre variabilele independente și cele dependente.

Etapele experimentului pedagogic sunt:

⦁ etapa pregătitoare numită și pretest sau preexperimentală;

⦁ etapa experimentală sau de efectuare;

⦁ etapa finală numită și de evaluare sau posttest;

⦁ etapa verificării la distanță, numită și retest.

Avantajele utilizării într-o cercetare pedagogică:

⦁ avantajul principal al experimentului este dat de posibilitatea controlului și al corelării multiple a variabilelor și condițiilor investigate;

⦁ îndeplinește funcții multiple: constatativ – descriptivă, operațional – acțională, predictivă, toate subordonate unui scop ameliorativ, de optimizare a activităților educaționale;

⦁ utilizează raționamente cauzale prin determinarea precisă a relațiilor de determinare dintre diverși factori / variabile supuși investigației;

⦁ declanșează acțiuni educaționale noi, originale, aducând imbunătățiri problemei studiate mai mult decât oricare altă metodă;

⦁ datele sunt înregistrate și prelucrate riguros pentru a demonstra incontestabil valoarea lor;

⦁ poate fi utilizat în combinație cu alte metode cum ar fi: observația, ancheta prin chestionar, interviul, testele standardizate, studiul documentelor;

⦁își propune investigarea unei realități educaționale a cărei apariție sau variație a fost provocată intenționat de către cercetător.

Dezavantaje ale utilizării experimentului în cercetările pedagogice:

⦁dezavantajul principal este dat de caracterul forțat, premeditat de a provoca apariția unor fenomene, caracteristici sau comportamente, care pot modifica fenomenele / comportamentele firești, normale supuse investigației;

⦁dificultatea punerii sub control a tuturor variabilelor implicate într-o situație educațională;

⦁solicită timp îndelungat și competențe solide, multiple ale cercetătorului;

⦁nu toate rapoartele dintre fenomenele socio – umane pot fi exprimate în termenii cauzali ceruți de experiment.

Recomandări pentru reducerea limitelor utilizării experimentului în cercetările pedagogice:

⦁ipoteze bine elaborate, clare și adecvate temei propuse spre cercetare;

⦁obiective și variabile bine determinate, conforme cu tema și ipoteza formulată;

⦁metodologie adecvată, variată și corelată tipului de cercetare;

⦁etape bine conturate;

⦁precizarea exactă a eșantionului, a timpului și a condițiilor de desfășurare corectă a experimentului;

⦁înregistrarea și prelucrarea riguroasă a datelor prin folosirea unor metode și instrumente adecvate.

Cercetarea pedagogică realizată prin experiment conduce la rezultate teoretice și practice deosebit de importante, susținute de un demers investigațional riguros organizat, care reduce posibilele erori și imprimă un caracter valid datelor obținute.

Învățământul pedagogic pretinde structurarea cunoștințelor pe o predare continuă și gradată.Matematica mai întâi se înțelege și apoi se învață. Orice verigă neclară constituie o frână în înțelegerea ei. Cunoștințele trebuie transmise prin informații ușor asimilabile, de dificultate crescândă. Informația este construită element cu element cu o rigurozitate neslăbită, cu perseverență și răbdare neobosită, încât elevul să participle active la procesul de însușire a cunoștințelor.

Pe tot parcursul lecțiilor, elevul se vede confruntat cu propriile sale întrebări, învățarea prin descoperire fiind utilizată în mod intensive, fiecare elev impunându-și un ritm individual de studio. În fiecare lecție se propune o mare diversitate de probleme, rezolvarea lor constituind atât verificarea, adâncirea și consolidarea cunoștințelor teoretice, cât și completarea lor. S-a căutat înlănțuirea logică a cunoștințelor, restructurarea lor, într-o formă cât mai coerentă și mai ușor de înțeles.

Geometria (din greacă: yεωμετρία; geo = pământ, metria = măsură) s-a născut ca fiind ramura de studiu a matematicii care se ocupă cu relațiile spațiale. Este una dintre cele două ramuri ale matematicii moderne, cealaltă fiind studiul numerelor. În ziua de azi, conceptele geometriei au fost generalizate către un nivel mai înalt de abstractizare și complexitate, și a fost făcută obiect de studiu pentru metode de calcul și algebră abstractă, așa că puține ramuri moderne ale geometriei mai pot fi recunoscute ca fiind descendente ale geometriei de la începuturile ei .

Instruirea asistată de calculator crează condiții bune pentru învățarea și însușirea de către un număr mai mare de elevi de gimnaziu a conceptelor geometriei cu ajutorul cărora să poata rezolva un număr mai mare de probleme de geometrie.

În acest sens am efectuat un experiment în care, în locul metodelor tradiționale de predare-învățare, la clasa experimentală am folosit și metode de raționalizare a învățării ( instruirea asistată de calculator ) folosind softurile matematice.

Formularea ipotezei- În orice situație de învățare elevul acționează pe baza unor strategii pe care, în general, și le elaborează singur, mai mult sau mai puțin eficiente și economicoase (din punctul de vedere al consumului de timp și energie nervoasă).

Acesta este totuși un caz fericit; dar există multe situații în care elevul, deși posedă cunoștințele necesare rezolvării unei probleme, el nu este capabil să-și extragă idei relevante și metodele de prelucrare a lor pentru rezolvarea problemei; cauza semnalată constă în modalitățile cum au fost însușite cunoștințele și capacitățile de operare cu ele.

Se pune atunci întrebarea: „Cum să proiectăm instruirea încât să intensificăm activitatea de învățare a elevului în mod conștient?”.

Obiectivele cercetǎrii

Mi-am propus să efectuez o analiză cât mai exactă, privind rolul instruirii pe baza metodelor de raționalizare a învătării( instruirea asistată de calculator) în formarea la elevi, în mod individual, a structurilor de tip cognitiv, operațional și acțional. Mai exact, în cadrul cercetării întreprinse mi-am propus următoarele obiective:

O1 : reducerea procentului de elevi cu rămâneri în urmă la învățătură;

O2 : dezvoltarea motivației intrinseci a elevilor și asigurarea unui caracter conștient al învățării matematicii;

O3 : utilizarea în condiții de eficiență sporită a bazei materiale didactice ( sala de calculatoare);

O4 : creșterea generală a nivelului la învățătură a tuturor elevilor la matematica, indiferent de lacunele pe care aceștia le au la începutul activității experimentale;

O5 : creșterea interesului pentru studiul matematicii;

O6: demonstrarea faptului că rezultatele activităților de predare-învățare în care am folosit si metode complementare de instruire sunt semnificativ mai bune decât cele în care am folosit doar metode tradiționale;

Stabilirea eșantioului

Am ales, pentru a supune investigației, două clase ale Școlii “Gimnaziale Ștefan Ciobotărașu”, Lipovăț : clasa a VII-a A și clasa a VII-a B cu 16, respectiv 17 elevi, clase eterogene, având fiecare elevi de toate nivelurile.

Stabilirea procedeelor prin care se controleazǎ variabilele

Am ales metoda experimentala pe grupuri paralele, și anume:

clasa a VII-a A – eșantionul experimental;

clasa a VII-a B – eșantionul de control sau martor.

Aplicarea planului experimental

Experimentul pedagogic presupune producerea intenționată a unui fenomen, modificându-i condițiile obișnuite de apariție și de desfășurare, deci produce datele în mod special pentru raționamentul experimental.

Voi evidenția, în continuare, modul în care am prezentat teoretic noțiunile legate de relații metrice în triunghiurile dreptunghice la cele două clase. La clasa experimentală, am prezentat capitolul „Relații metrice în triunghiul dreptunghic” utilizând instruirea asistată de calculator cu software prezentate în lucrare. În plus, lecțiile s-au desfasurat in sala de calculatoare si s- au bazat pe munca în grup a elevilor, fiecare grupă fiind alcătuită din 2 elevi la un calculator . La clasa de control, am lucrat obișnuit, folosind doar fișe de lucru, manualul și auxiliarul de matematică, îmbinate cu metoda demonstrației și explicației.

În cadrul acestor lecții am urmărit cooperarea ca modalitate eficientă de realizare a sarcinilor didactice; cooperarea privită în strânsă legătură cu munca individuală, independentă; priceperea și deprinderea de muncă intelectuală independent, de aplicare în practică a celor învățate; dezvoltarea capacităților de investigare ale elevilor; probleme de fixare a teoremelor, de aplicare a lor în diverse condiții date, stimularea gândirii creative; înțelegerea unei teorii matematice unitare, a înlănțuirii teoremelor într-un sistem,

Atât la clasă cât și acasă s-au lucrat multe probleme, prin diverse metode, deoarece un elev știe să se descurce la matematică doar dacă a învățat fiecare noțiune predată și a aplicat-o în probleme. Rezolvarea fiecărei probleme de matematică reprezintă o creație pentru cel ce o rezolvă, învățarea temeinică a lecției respective presupune certitudinea elevului exprimată în afirmația „știu lecția pentru că am rezolvat n probleme (de diferite tipuri) în care am aplicat noțiunile învățate”.

Am abordat aceste două moduri, relativ diferite, de prezentare a noțiunilor la cele două clase pentru a considera comparative rezultatele ce urmează a fi obținute și, în același timp, pentru a-mi da seama, în lecțiile de verificare, de profunzimea noțiunilor ce doream a fi însușite. În urma aplicării testelor, cel inițial, cel de progres și cel final, din punct de vedere al rezultatelor se observă o creștere, diferența între mediile generale ale celor două clase se accentuează în favoarea clasei experimentale. Datorită experimentului făcut, elevii clasei experimentale au manifestat un interes sporit pentru noțiunile proiecție a unui punct pe o dreaptă, teoremele înălțimii, catetei, teoremei lui Pitagora, etc.. Acestea au fost predate la clasa experimentală cu ajutorul softurilor matematice.

Strategiile active, creative au oferit cadrul unei învățări active-conștiente prin descoperire și analogie; o învățare intensivă și eficientă cu un pronunțat caracter formativ, respectând principiile didactice și legitățile psihologice privind principalele aspect ale actului învățării: luarea în seamă a particularităților psiho-cognitive, menținerea unei motivații ridicate, crearea condițiilor pentru înțelegerea și realizarea transferului a ceea ce învață, asigurarea unei ample exersări și a unei bune retenții a celor învățate.

Potrivit caracterului său esențial de instrument de măsurare obiectivă a randamentului școlar, înlăturând subiectivitatea și neomogenitatea, pentru evaluarea precisă a nivelului cantitativ și calitativ al rezolvării sarcinilor școlare, am administrat un test inițial celor două clase. Prin testul initial s-a verificat cunoasterea de catre elevi a următoarelor noțiuni:

recunoasterea si descrierea elementelor unui triunghi dreptunghic;

exprimarea , in limbaj matematic, a perpendicularității a două drepte;

stabilirea relației de asemănare între două triunghiuri;

aplicarea asemănării triunghiurilor în rezolvarea unor probleme,

proprietăți ale triunghiurilor dreptunghice.

În urma analizării rezultatelor obținute la testul inițial, punctajul obținut este prezentat în următorul tabel în care sunt prezentate frecvențele absolute a notelor, comparativ la cele două clase:

Școala Gimnazială “Ștefan Ciobotărașu “Lipovăț

Profesor: Blezneac Alina- Cătălina

Disciplina: Matematică- Geometrie

Proiectul unității de învățare Relații metrice în triunghiul dreptunghic –cls. a VII-a, 2ore/ săpt.

Numele și prenumele elevului

……………………………….

TEST INIȚIAL – CLASA a VII- a

Fie pătratul ABCD și {O}= AC∩BD. Completați astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

piciorul perpendicularei dusă din A pe BD este punctul…….

piciorul perpendicularei dusă din B pe BD este punctul…….

perpendiculara dusă din C pe BD este…………..

perpendiculara dusă din D pe Aceste…………….

Fie ∆ ABC dreptunghic în A. Denumiți:

Latura opusă ∢A,

Latura opusă unui unghi ascuțit al triunghiului.

Fie ∆ ABC și ∆ MNP. Se cunosc AB= 4 cm, BC= 3 cm, AC= 5 cm, MN= 8 cm, NP= 6 cm, MP= 10cm. Cercetați dacă cele două triunghiuri sunt asemenea.

Fie ∆ ABC, m(∢A)= 90 ͦ ,AB=1,2 cm și m(∢B)= 30 ͦ .Calculați m(∢C), BC, AM (M este mijlocul lui BC).

În ∆ MNL dreptunghic în L, se dau: LM= 9 cm, LM= 12 cm, MN= 15 cm. Știind că LO⊥MN, calculați lungimea segmentului LO.

Perimetrele a două triunghiuri sunt 15m și 25 m. Aria celui mai mic este de 36 m². Dacă triunghiurile sunt asemenea, calculați aria celuilalt triunghi.

Timp de lucru – 50 minute

Barem de notare

În urma analizării rezultatelor obținute la testul inițial, punctajul obținut este prezentat în următorul tabel în care sunt prezentate frecvențele absolute a notelor, comparativ la cele două clase:

Punctaj realizat la testul de evaluare inițială:

Folosind rezultatele din tabelul de mai sus putem prezenta într-o formă organizată datele colectate prin intermediul reprezentărilor grafice, printr-o anumită așezare a datelor, într-un sistem de referință – cel de două axe perpendicular, cea orizontală, abscisa (pe care se scriu notele) și cea vertical, ordonata (pe care notăm frecvența absolută-numărul de elevi).

Comparând graficele (histogramele) de mai sus se observă că la clasa experimentală rezultatele sunt mai bune decât la clasa de control. Tot din grafic se mai observă că numărul de elevi ce se situează în jurul notelor mediocre și mici este mai mare la clasa de control decât la clasa experimentală.

O altă reprezentare grafică a datelor obținute este poligonul frecvențelor obținut din reprezentarea anterioară prin unirea mijloacelor coloanelor măsurilor fiecărui caz.

Pentru a exprima și mai bine diferențele dintre cele două clase (deoarece cele două clase au număr diferit de elevi) vom folosi diagramele areolare (cercurile de structură), un alt mod de reprezentare grafică, utilizată pentru mai buna exprimare intuitivă a raporturilor dintre cele două clase.

În continuare voi prezenta datele obținute de fiecare clasă, în funcție de numărul de elevi care au răspuns corect la fiecare item din testul inițial:

Din grafic se observă că cei mai mulți elevi din clasa de control au răspuns corect la itemii 1, 2 și 4, itemi cu un grad de dificultate mic sau mediu. Elevii de la clasa experimentală au mai multe răspunsuri corecte la itemii 4 și 6, cu un grad de dificultate mai mare, ceea ce înseamnă că ei și-au însușit mai bine decât cei de la clasa de control noțiunile din testul inițial și au o capacitate mai mare de a rezolva individual anumite probleme; totuși și ei întâmpină dificulăți în rezolvarea anumitor tipuri de exerciții și probleme.

Prin aplicarea testului inițial s-a verificat nivelul cunoștințelor și al deprinderilor formate în rândul elevilor celor două clase. În același timp, prin acest test s-a pus în evidență realizarea sau nerealizarea obiectivelor stabilite, îndeplinind astfel o funcție diagnostică.

Analizând rezultatele testului inițial s-a constatat că 18,75 % din numărul elevilor de la clasa de experiență au note mai mici decât 4, iar la clasa de control 29,41 % din numărul elevilor au note mai mici decât 4, ceea ce arată că acești elevi nu au învățat temeinic noțiunile teoretice, nu le sunt clare și nu știu să le aplice în rezolvarea problemelor. Acești elevi trebuie, pe lângă memorarea noțiunilor teoretice, să le treacă și prin filtrul rațiunii prin rezolvarea de probleme simple și apoi mai complicate.

Elevii care au obținut note mai mari decât 4 au noțiunile teoretice de baza necesare intelegerii noului capitol , știu să le aplice în rezolvarea problemelor de geometrie, dar unii dintre ei întâmpină o serie de greutăți în a stabili relații între elemente cunoscute din probleme și cele învățate anterior.

Trecând la pasul următor al experimentului, am aplicat ambelor clase testul de progres. Prin acest test se pune în evidență atât nivelul de pregătire al întregii clase cât și nivelul de pregătire al fiecărui elev în parte.

Numele și prenumele elevului

…………………………………

TEST – cls. a VII- a

Unit. de învățare : Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Teorema înălțimii. Teorema catetei. Teorema lui Pitagora și reciproca

1) Se consideră segmentul [AB] și o dreaptă a. Completați spațiile libere astfel încât să obțineți propoziții adevărate:

a)[A´B´]є d și [A´B´]= prₐ[AB] dacă………………

b) dacă [AB] ‖ a atunci proiecția pe a asegmentului AB este…………..

2) În ∆ ABC , m(∢A)= 90 ͦ, construim AD⊥ BC, D є( BC). Dacă AD=10cm și BD=4 cm, calculați lungimea CD.

3) Considerăm trapezul isoscel ABCD cu AB‖ CD și AD= BC. Dacă BD⊥ BC, AB=8cm și CD= 16cm, determinați lungimea înălțimii trapezului ABCD.

4) În ∆ ABC , m(∢A)= 90 ͦ, construim AD⊥ BC, D є( BC). Dacă BC= 5BD și AD=24 cm, calculați lungimea ipotenuzei BC.

5) În ∆ ABC se cunosc AB=2cm, AC= 4√3 cm și BC= 2√13cm.

a) Stabiliți natura ∆ ABC,

b) Dacă AD⊥ BC, D є( BC), calculați AD, BD și DC.

Timp efectiv de lucru – 50 minute.

Barem de corectare:

Se acordă din oficiu 2 puncte

Punctaj realizat la testul de progres:

Comparând datele obținute, rezultă deja, că la ambele clase rezultatele sunt ceva mai bune decât cele de la testul inițial. Totuși, la clasa experimentala, unde s-a folosit mai mult instruirea asistată de calculator , rezultatele sunt mult mai bune decât la clasa de control.

În continuare voi prezenta datele obținute de fiecare clasă, în funcție de numărul de elevi care au răspuns corect la fiecare item din testul de progres:

Constatăm că la clasa experimentală noțiunile au fost mult mai bine însușite, iar gradul de aprofundare s-a extins la mai mulți elevi.

Se observă o creștere a mediilor celor două clase și a procentului elevilor bine pregătiți. Aceasta dovedește că metodele active utilizate la oră au permis fixarea, aprofundarea și dobândirea noțiunilor într-un ritm mai rapid, fiind mai receptive la nou față de colegii a căror lacune în bagajul de cunoștințe au împiedicat realizarea saltului calitativ.

Analizând rezultatele testului de progres s-a constatat ca 0% din numărul elevilor de la clasa experimentală au note mai mici decât 4, iar la clasa de control 23.52% din numărul elevilor au note mai mici decât 4. Se observă o menținere a notelor mai mici decât 4 doar la clasa de control.

Elevii care au obținut la testul de progres note între 4 și 6 au fost convinși să recapituleze noțiunile întregului set de lecții și apoi rezolvarea unui set suplimentar de probleme.

Se observă o creștere la clasa experimentală a numărului elevilor cu note mai mari decât 7 și, ca urmare, acestora li s-a dat posibilitatea să aprofundeze noțiunile în cadrul unor probleme cu grad sporit de dificultate. La clasa de control numărul elevilor cu note mai mari decât 7 tinde să rămână același.

În ultima parte a experimentului am prezentat elevilor de la ambele clase testul final în care am făcut o evaluare sumativă la capitolul „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”. Testul și rezultatele obținute sunt prezentate și analizate în continuare.

TEST DE EVALUARE SUMATIVĂ

Unit. de învățare : Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Partea I.(3p) Completați , astfel încît să obțineți propoziții adevărate.

1)Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă poate fi……………….sau ………………………

2)În ∆ ABC, m(∢A)= 90 ͦ , AD⊥ BC, Dє BC, BC= 15 cm și BD= 40% din lungimea ipotenuzei. Atunci lungimea catetei AB=………cm.

3)În ∆ MNP , avem m(∢M)= 90 ͦ, MN= 12dm și MP= 5dm. Atunci perimetrul ∆ MNP este egal cu………..dm.

Partea a II-a (2p)Alegeți răspunsurile corecte, încercuind litera corespunzătoare.

1)Diagonala unui dreptunghi este de24 cm, iar lungimea dreptunghiului este de 12√3 cm. Atunci lățimea dreptunghiului este de:

A) 12 cm B) 6 cm C)18 cm

2)Un ∆ ABC isoscel are baza BC= 8 cm și înălțimea corespunzătoare ei de 3 cm. Atunci perimetrul ∆ ABC este de:

A) 16 cm B) 18 cm C) 20 cm

3)Fie ABCD un romb în care AB= 26 m și BD= 20 m. Atunci lungimea diagonalei AC este de:

A)24 m B) 48 m C) 28 m

4)În ∆ ABC dreptunghic în A, [AD] este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei și BD= 2cm, DC= 8 cm. Atunci AD este egală cu:

A)5 cm B) 8 cm C) 4 cm

Partea a III-a.(3p) La următoarele probleme realizați desenul corespunzător și treceți pe foaie rezolvările complete.

Fie trapezul isoscel ABCD, AB‖ CD, m(∢A)=m(∢B)=60 ͦ , AC⊥BC, BC= 12 cm.

Să se calculeze perimetrul trapezului ABCD și lungimile diagonalelor sale.

Se dă rombul ABCD cu AB = 18 cm, AO\OB=√3 unde {O}=AC∩BD.

Să se calculeze lungimile diagonalelor și măsurile unghiurilor rombului .

Timp efectiv de lucru- 50 min.

Se acordă din oficiu 2 puncte.

Punctaj realizat la testul final:

Rezultatele obținute la fiecare clasă în funcție de numărul de elevi ce au răspuns corect la fiecare item din testul final:

Concluziile experimentului

Se observă că la testul final mediile celor două clase și numărul elevilor ce au luat note mai mari decât 5 au crescut, în comparație cu mediile obținute la testul de progres, ceea ce demonstrează eficiența metodelor activ-participative folosite la oră.

Elevii cu note mai mici decât 5 au posibilități intelectuale modeste și recepționează mai greu modul de lucru. Din ultimul grafic reiese faptul că elevii ambelor clase știu să rezolve probleme cu un grad de dificultate redus, dar au mari dificultăți în a rezolva probleme cu un grad mediu sau ridicat de dificultate. Acest lucru se datorează faptului că acești elevi învață mecanic, pe un timp limitat, fără a se strădui să înțeleagă deplin noțiunile teoretice. Pentru acești elevi se organizează ore suplimentare în care trebuie să li se arate cum să învețe, ca să înțeleagă ceea ce memorează și să aplice în probleme noțiunile însușite.

Numărul elevilor cu note între 8 și 10 a crescut la ambele clase, ceea ce înseamnă că acești elevi, printr-un lucru susținut în timp, pot să-și depășească actualele rezultate.

Se observă că la clasa experimentală s-au înregistrat progrese mai mari de la testul inițial, la testul de progres și cu mult mai mult la testul final, față de clasa de control, ceea ce arată că metoda învățării pe grupe mici de lucru folosind si metode complementare, pe lângă cele tradiționale, și-a atins scopul. Folosind softurile matematice, elevii au fost interesați de îmbogățirea nivelului de cunoștințe, însușindu-și noțiunile de bază din programă, iar acei elevi care au tendința de a minimiza importanța învățării geometriei, au fost ajutați de această metodă de lucru.

CONCLUZII

Este limpede că astăzi în societatea românească democratică, aflată într-un proces sinuos de trecere la economia de tip concurențial, toți cei aflați pe băncile școlii trebuie să fie cât mai bine pregătiți.

Îmbunătățirea calității pregătirii elevilor pentru profesiune este dependentă în mare măsură de calitatea instruirii în școală.

Se observă că la clasa experimentală s-au înregistrat progrese mai mari de la testul inițial, la testul de progres și cu mult mai mult la testul final, față de clasa de control, ceea ce arată că metoda învățării utilizând softuri matematice îmbinată cu predarea tradițională și-a atins scopul. Folosind softuri matematice, elevii au fost interesați de îmbogățirea nivelului de cunoștințe, însușindu-și noțiunile minime din programă, iar acei elevi care au tendința de a minimiza importanța învățării geometriei, au fost ajutați de această metodă de lucru.

Rezultatele confirmă ipoteza cercetării întreprinse, și anume eficiența aplicării tehnologiilor didactice noi, inovatoare, a sistemului de lecții de predare-învățare-evaluare prin metode moderne, folosind instruirea asistată de calculator în comparație cu sistemul tradițional de predare-verificare.

Matematicianul Grigore Moisil spunea că ”Profesorul este cel care într-o anumită disciplină, știe în fiecare zi mai mult decât ieri, învățându-l pe altul ce știe el azi, îl pregătește pentru ce va afla mâine și care poate să fundeze ceea ce știe într-o anumită disciplină, pe ceea ce știe din celelalte discipline pe care aceasta se reazemă”.

Un prim pas în dezvoltarea creativității și inteligenței elevilor constă în încurajarea acestora în a intreba (chiar dacă uneori răspunsurile sunt elementare) fără a-i certa că sunt obraznici sau a-i face să se simtă stânjeniți. Matematicianul Solomon Marcus subliniază acest fapt precizand că „discursul matematic are totdeauna caracter deschis, generator de întrebări. A învăța să te nedumeresti este lucrul cel mai important. Restul vine aproape ca un corolar.”

Atitudinea elevului relativ la învățarea matematicii trebuie să fie activă. El trebuie învățat să gândească singur, să abordeze și să caute soluții personale la anumite probleme sau demonstrații de teoreme pe care apoi să le confrunte cu altele. Acesta este și începutul activității sale de cercetare. Gândirea matematică presupune capacitatea de a raționa în etape riguros alcătuite, fiecare legată de cele anterioare dar și capacitatea de concentrare a atenției pe durată mare. În acest sens, exercițiile de calcul suficient de lungi, atât de desconsiderate de mulți, le dovedesc elevilor cât sunt de pregătiți în canalizarea atenției și concentrarea asupra lucrului curent.

Scopul strategiei este stabilirea unor relații optime între activitatea de predare și cea de învățare, prin care se dorește declanșarea mecanismelor învățării, potrivit particularităților de vârstă și individuale ale elevilor și a condițiilor concrete în care are loc această învățare. Misiunea strategiei didactice este așadar, de a asigura adaptarea conținuturilor la aceste particularități și de a determina totodată mișcarea interioară a acestora pe o traiectorie ascendentă.

Profesorul de matematică nu are doar menirea de a-i învăța pe elevi matematica. El trebuie să le sublinieze acestora rolul disciplinei în dezvoltarea societății, oferind motivații puternice învățării acesteia. Folosind metode de lucru și limbaj științific, el dezvoltă inteligența, spiritul creator, talentul elevilor, îi învață să gandească logic, să caute adevărul și noutatea, să lucreze singuri, dar și în echipă. De asemenea, el trebuie să le dezvolte spiritul de obiectivitate, de corectitudine, de etică, fiind un exemplu pentru ei în acest sens.

Cum orice strategie impune îmbinarea activității profesorului cu cea a elevului, rolul profesorului se poate deplasa, de la polul în care acesta este doar o sursă de informații, la polul în care conduce activitatea interdependentă a elevilor, în timp ce activitatea lor se poate deplasa de la cea de simplă reproducere la cea creatoare. Considerând că eficiența strategiei (și a instruirii, în general) poate fi apreciată prin această prismă, tocmai acest lucru s-a încercat prin activitatea experimentală desfășurată și descrisă în lucrarea de față. Finalitatea experimentului a fost faptul că s-a înregistrat un progres mai mare de la testul inițial la cel sumativ, la colectivul la care s-a lucrat cu metode și mijloace moderne de predare-învățare.

O dificultate care se resimte tot timpul și la toate clasele este aceea că volumul mare de informații pe care elevii trebuie să și le însușească zilnic, conform programelor.analitice, conduce la o ineficientă organizare a timpului pe care elevii îl au la dispoziție pentru îndeplinirea cu succes a sarcinilor ce le revin (teme pentru acasă, învățare efectivă, consultarea literaturii de specialitate). Elevii învață superficial și discontinuu acumulându-se astfel o serie de lacune în bagajul lor de cunoștințe, care de multe ori fac anevoioasă dobândirea de cunoștințe noi.

Datoria educatorului este să prevină, sau să depisteze la timp și să îndrepte în timp util această situație. Caracterul benefic al acestei atitudini s-a evidențiat și la clasa experimentală prin progresul realizat în urma aplicării metodelor moderne în cadrul procesului instructiv. Formarea personalității elevului activ, investigator, participant conștient și activ la propria sa formare, constituie nu numai un principiu, ci și o orientare a educației contemporane. Urmărind elevii ca subiecți ai cercetării, s-a constatat că învățarea activă (participarea la dialog, la conversație în cadrul lecțiilor) înseamnă mult mai mult decât învățarea pur receptivă (profesorul predă, elevii ascultă sau ascultă și notează).

În cadrul procesului de organizare, îndrumare, susținere și evaluare a activității de învățare, trebuie puse în acțiune toate mecanismele instruirii și învățării, în prim plan fiind obiectivele proiectate prin conținutul informațional, însă elevul este cel care decide asupra rezultatelor , prin efortul direct pe care îl depune, prin gradul de angajare, de participare la activitatea de învățare.

Pe baza observației directe asupra activității elevilor s-a mai constatat că aceștia sunt mai interesați și mai activi, cu cât lecția are un conținut informațional mai apropiat de posibilitatea transpunerii și utilizării lui în practică. Evident, există elevi slabi la matematică, dar foarte importantă este strădania profesorilor de matematică de a face ca numărul celor buni să tindă către numărul total de elevi, iar numărul celor slabi să tindă la zero.

Premisa majoră a eficienței învățării în clasă a constituit-o înțelegerea de către elevi a scopului și importanței activității desfășurate, poziția elevilor fiind aceea de participanți conștienți și activi la lecție, pe fondul motivelor interne ale învățării, al unor interese tot mai înalte pentru această activitate. De aceea motivația învățării se poate ridica la rang de principiu.

BIBLIOGRAFIE

A.Adăscăliței, Instruirea asistată de calculator, Ed. Polirom, 2007

A.Barna , G.Antohe , Curs de pedagogie. Teoria instruirii și evaluării, Editura Istru, Galați, 2003.

A.Bălăucă și colab., Algebră Geometrie- cls. A VII-a, Ed. Taida, 2008

D.Brânzei, Aritmetică, Algebră, Geometrie: clasa a VII-a , Ed. Paralela 45, 2005

I.Cerghit, Metode de învățământ, Editura Polirom, Iași, 2006

F.Cîrjan, Didactica matematicii, Ed. Corint, București , 2008

C.Chirilă și colab., Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii, București ,2012

C. Frigioiu, Capitole speciale de geometrie pentru profesori, Curs masterat, Galați, 2010

L.Gliga, Standarde profesionale pentru profesia didactică, București ,2002

P.Golu, Învățare și dezvoltare, EȘE, București, 1985.

Gh.Iurea, Matematică, Ed. Paralela 45, Pitești, 2012

N.N.Mihăileanu, Fundamentele geometriei, Ed. Diadactică și pedagogică, București, 1973

R.Miron, D.Brânzei, Fundamentele aritmeticii și geometriei, Ed. Academiei, București, 1983

D. Muster, Metodologia cercetării în educație și învățământ, Editura Litera, București, 1985.

A.Petrovici și colab., Cabri 3D instrument de eficientizare a demersului didactic, European Conterence on computer sciences, 3rd Edition, seria informatică, Timișoara, 2010

A.Popa, Metodica predării matematicii, Ed. Sitech, Craiova, 2008

O.Popescu, V.Radu , Metodica predării geometriei în gimnaziu, , Ed. Diadactică și pedagogică, București, 1983

M.Singer, Învățarea geometriei prin exerciții –clasa a VII-a, Ed. Sigma,București 2005

C. Ungureanu și colab., Matematică- Exerciții și probleme pentru clasa a VII- a, Ed. Valeriu, 2005

http://www.cabri.com/

Innovative Maths Tools – Tutorial Cabri ®II Plus

Innovative Math Tools – Tutorial CABRI® 3D V2

http://www.geogebra.org

BIBLIOGRAFIE

A.Adăscăliței, Instruirea asistată de calculator, Ed. Polirom, 2007

A.Barna , G.Antohe , Curs de pedagogie. Teoria instruirii și evaluării, Editura Istru, Galați, 2003.

A.Bălăucă și colab., Algebră Geometrie- cls. A VII-a, Ed. Taida, 2008

D.Brânzei, Aritmetică, Algebră, Geometrie: clasa a VII-a , Ed. Paralela 45, 2005

I.Cerghit, Metode de învățământ, Editura Polirom, Iași, 2006

F.Cîrjan, Didactica matematicii, Ed. Corint, București , 2008

C.Chirilă și colab., Formarea continuă a profesorilor de matematică în societatea cunoașterii, București ,2012

C. Frigioiu, Capitole speciale de geometrie pentru profesori, Curs masterat, Galați, 2010

L.Gliga, Standarde profesionale pentru profesia didactică, București ,2002

P.Golu, Învățare și dezvoltare, EȘE, București, 1985.

Gh.Iurea, Matematică, Ed. Paralela 45, Pitești, 2012

N.N.Mihăileanu, Fundamentele geometriei, Ed. Diadactică și pedagogică, București, 1973

R.Miron, D.Brânzei, Fundamentele aritmeticii și geometriei, Ed. Academiei, București, 1983

D. Muster, Metodologia cercetării în educație și învățământ, Editura Litera, București, 1985.

A.Petrovici și colab., Cabri 3D instrument de eficientizare a demersului didactic, European Conterence on computer sciences, 3rd Edition, seria informatică, Timișoara, 2010

A.Popa, Metodica predării matematicii, Ed. Sitech, Craiova, 2008

O.Popescu, V.Radu , Metodica predării geometriei în gimnaziu, , Ed. Diadactică și pedagogică, București, 1983

M.Singer, Învățarea geometriei prin exerciții –clasa a VII-a, Ed. Sigma,București 2005

C. Ungureanu și colab., Matematică- Exerciții și probleme pentru clasa a VII- a, Ed. Valeriu, 2005

http://www.cabri.com/

Innovative Maths Tools – Tutorial Cabri ®II Plus

Innovative Math Tools – Tutorial CABRI® 3D V2

http://www.geogebra.org