Aspecte Privind Dezvoltarea Creativitatii Elevilor Prin Rezolvarea Si Compunerea de Probleme de Matematica

Pedagogie

Aspecte Privind Dezvoltarea Creativitatii Elevilor Prin Rezolvarea Si Compunerea de Probleme de Matematica

Byadmin ianuarie 1, 2024

CUPRINS

CAPITOLUL I: PRECIZAREA TEMEI ȘI MOTIVAREA ALEGERII EI …………………………………………………….. 3

I.1. MOTIVAREA GENERALĂ ………………………………………………. 3

I.2. MOTIVAREA PERSONALĂ ……………………………………………. 5

CAPITOLUL II: FUNDAMENTAREA TEORETICĂ A TEMEI … 8

II.1. FUNDAMENTAREA MATEMATICĂ. NUMERE NATURALE ȘI OPERAȚII CU NUMERE …………………………………………………………………… 8

II.2. CONSIDERAȚII PSIHOPEDAGOGICE ………………………………… 21

II.3. CONSIDERAȚII DIDACTICE ……………………………………….. 40

CAPITOLUL III: PRECIZAREA IPOTEZEI GENERALE ȘI A IPOTEZELOR PARTICULARE. OBIECTIVELE ȘI METODOLOGIA CERCETĂRII ………………………………. 57

CAPITOLUL IV: PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR ………………………………………………. 64

IV.1. PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR EVALUĂRII STADIULUI INIȚIAL DE PREGĂTIRE A ELEVILOR ……………………… 65

IV.2. ENUNȚAREA IPOTEZELOR PARȚIALE. CONTRIBUȚII ADUSE TEMEI ÎN STUDIU …………………………………………………………………….. 70

IV.3. PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR EVALUĂRII STADIULUI FINAL DE PREGĂTIRE A ELEVILOR ……………………… 85

CAPITOLUL V: CONCLUZII. PROPUNERI. PROBLEME DESCHISE ……………………………………………………… 90

BIBLIOGRAFIE ……………………………………………….. 93

ANEXA ………………………………………………………….. 99

CAPITOLUL I

PRECIZAREA TEMEI ȘI MOTIVAREA ALEGERII EI

Învățarea constă în angajarea elevului ca subiect activ al instruirii și educației, în descoperirea soluțiilor la problemele cu care se confruntă pe parcursul vieții. Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor oferă mediul propice din domeniul activităților matematice pentru educarea și dezvoltarea creativității.

Scopul esențial pe care îl urmărește învățământul matematic nu se reduce la latura informativă, ci prin predarea acestei discipline se realizează mai ales dezvoltarea raționamentului și a creativității, a deprinderilor de gândire logică, de definire clară și precisă a noțiunilor de adaptare creatoare la cerințele actuale.

Ciclul primar reprezintă segmentul cel mai stabil al învățământului. Totodată acesta este și cel mai vechi sub raport istoric, dispunând de un corp didactic cu tradiții puternice și pozitive. Începând cu ciclul primar preșcolar, cu precădere, în clasele I-IV, se pun bazele formării noțiunilor matematice elementare și fundamentale ale aceste științe, iar prin transmiterea acestora se dezvoltă gândirea cu operațiile și calitățile ei.

Cultura generală a omului de azi vizează și un minim de cunoștințe din domeniul matematicii, minim impus de dezvoltarea fără precedent a științei și tehnicii actuale. Studiul matematicii (elementare) devine astfel o necesitate. De aceea, acest studiu al matematicii (elementare) începe din grădiniță și continuă în ciclul primar și în cel gimnazial, cu noțiuni din ce în ce mai abstracte, deci mai dificile. Primele noțiuni de matematică elementară vizează numerele naturale și operațiile aritmetice cu acestea (adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea).

Omul va lucra cu noțiunile elementare de matematică pe tot parcursul vieții, aceste noțiuni fiind un factor cheie în dobândirea unui întreg sistem de achiziții absolut necesare pentru societatea contemporană.

I.1. MOTIVAREA GENERALĂ

Învățământul românesc se află în plin proces de modernizare și restructurare, urmărind înușirea de către elevi a numeroase cunoștințe, priceperi și deprinderi necesare în societatea de mâine. Învățământul actual parcurge deci o perioadă marcată de numeroase și profunde schimbări, atât calitative cât și cantitative, ce vizează procesul de predare-învățare-evaluare, cu un deosebit accent pe latura practic-aplicativă și novator-creatoare.

Datorită schimbărilor profunde și continue ce se petrec în societatea contemporană, societatea impune instituțiilor de învățământ noi cerințe de pregătire a noii generații de tineret. Școala, fiind responsabilă de formarea cetățenilor este nevoită să se adapteze în același ritm cu societatea, la schimbările economico-sociale, culturale, schimbări care influențează concepția sistemului de învățământ.

Datorită cerințelor din ce în ce mai complexe ale societății, procesul de învățâmânt este orientat acum spre dezvoltarea unei personalități autonome, flexibile și creative.

Pregătirea elevului pentru însușirea, în procesul invățării matematice, valorilor științifice și a se bucura astfel de fructele cunoașterii omenești, în interesul lui și al semenilor săi, înseamnă a-l angaja la o activitate perseverentă și răbdătoare de cunoaștere.

Societatea ne impune deci o învățare productiv creatoare prin care elevul să participe cu întreaga sa personalitate, cu toate laturile și funcțiile sale: cognitivă, afectivă, volitivă.

Având în vedere toate acestea, mi-am ales această temă de licență intitulată ,,Aspecte privind dezvoltarea creativității elevilor prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică” deoarece, pe de o parte, vizează conținuturi aritmetice importante ale matematicii elementare, iar, pe de altă parte, aceste conținuturi sunt abordate drintr-o perspectivă aparte, aceea a utilizării frecvente a unor metode moderne de dezvoltare a creativității elevilor prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică.

La nivelul ciclului primar, pentru elevi, orice rezolvare de situații problematice constituie în același timp o manifestare a creativității gândirii lor. În această perioadă, principala caracteristică a gândirii lor creative, este noutatea sau originalitatea soluției găsite, a ideii emise.

Eu consider că în ciclul primar se formează premisele pentru dezvoltarea ulterioară a creativității.

Acțiunea de creație solicită unele aptitudini speciale, implicarea factorilor motivaționali, curiozitatea, interes pentru cunoaștere precum și anumite trăsături ale personalității.

Gândirea creatoare necesită un material bogat cu care să opereze și să faciliteze generalizarea. Rezolvarea de probleme, și în mod deosebit compunerea de probleme matematice, prezintă o mare importanță pentru dezvoltarea flexibilității gândirii elevilor în care factorul esențial pentru stimularea sipirtului creator este cadrul didactic prin caracteristicile personalității sale, prin conduita sa profesională, prin atitudinile manifestate atât în clasă cât și în afara ei față de personalitatea și comportamentul copiilor. Cadrul didactic este cel responsabil pentru asigurarea mediului favorabil, pentru exprimarea ideilor proprii, el este responsabil de creearea oportunităților pentru autoînvățare și încurajează gândirea creativă.

În acest context, consider că tema aleasă este una de actualitate, având o multitudine de implicații teoretice și practice deoarece procesul instructiv-educativ urmărește asigurarea realizării fiecărui elev la un nivel optim, în funcție de posibilitățile sale reale, altfel spus, urmărește ameliorarea rezultatelor școlare și îmbunătățirea performanțelor personale ale fiecărui elev în parte.

I.2. MOTIVAREA PERSONALĂ

Ca și viitor cadru didactic, încă din primul an de facultate am fost preocupat de aceste schimbări și de pedagogia modernă, axată pe nevoia de formare a tinerei generații, conform cerințelor schimbătoare ale societății contemporane.

În tot ceea ce am făcut am observat că rolul profesorului în cadrul activităților curente s-a schimbat de la realizarea unei simple informări, la facilitarea activității independente ale elevilor acest lucru schimbând și comportamentul elevilor de la receptarea și reproducerea cunoștințelor transmise de către profesor la dezvoltarea creativității. Fiind conștient de aceste schimbări m-am decis să contribui și eu la formarea tinerei generații și mai ales la dezvoltarea creativității acestora, cum altfel decât prin compunerea de probleme de matematică, acest lucru plâcându-mi încă din clasele primare.

Abordând creativitatea și mai ales metode de dezvoltare a creativității în cadrul disciplinelor studiate în facultate am început să adun material și să caut cât mai multe informații și începând practica în învâțământul preșcolar și școlar am avut ocazia să susțin lecții de matematică, disciplină care mi-a plăcut încă de când eram și eu la rândul meu școlar.

Mi-am ales această temă deoarece am dorit să-mi aduc o contribuție personală cu privire la realizarea unei creșteri reale a randamentului elevilor din ciclul primar la disciplina matematică. Am dorit să aduc unele clarificări privind anumite aspecte ale acestei problematici, prin punerea în valoare a experienței acumulate în cei 3 ani de facultate. Această experiență vizează participarea mea la cursuri de educație non-formală, participarea și coordonarea unui număr mare de proiecte locale, naționale dar și internaționale în cadrul activităților de voluntariat, experiența internațională dobândită în cadrul programului Erasmus+, în anul II de facultate beneficiind de o mobilitate de studiu la UWM, Olsztyn, Polonia. Experiența mea de președinte-fondator al celei mai noi și active organizații studențești din UCV și anume Erasmus Student Network (ESN) Craiova, prin intermediul căreia am coordonat diverse proiecte sociale, educaționale, ecologice, multiculturale în parteneriat cu Universitatea din Craiova și instituții școlare din localitate.

Un alt motiv pentru care am ales această temă a fost acela că am considerat această temă ca fiind o temă deosebit de interesantă și cu multiple oportunități de studiu și aplicabilitate.

Această lucrare, mi-a dat și posibilitatea de a întreprinde o activitate proprie de cercetare, de nare profunzime și anvergură, fiind o experiență necesară și utilă.

Mi-am ales această temă și din dorința de a reconsidera locul și rolul strategiilor didactice moderne, active și interactive pentru dezvoltarea creativității, folosite pe plan internațional iar experiența mea internațională mă îndreptățește să afirm că unele metode moderne de dezvoltare a creativității pot contracara unele deficiențe ale unui învățământ bazat, încă, pe metode tradiționale.

Deoarce am constatat diminuarea interesului pentru matematică la unii elevi, în special la clasele a III-a și a IV-a, am încercat prin folosirea unor strategii didactice variate, să revirgorez și să mențin interesul elevilor pentru matematică determinându-i să caute, să exploreze și să redescopere adevăruri prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică.

Am vrut să demonstrez cu argumente științifice, bine fundamentate, că succesul unei lecții, nu este dat de folosirea unui anumit tip de strategie, fie ea tradițională sau modernă, ci de selctarea și îmbinarea adecvată a mai multor strategii. Diversitatea variantelor strategiilor duce la dezvoltarea creativității și în orice lecție putem face apel la variante de rezervă, de construire de noi situații, în cazul apariției de variabile neprevăzute.

Astfel am vrut să găsesc soluțiile de optimizare a strategiilor printr-o abordare creativă procedurală a situațiilor, prin evitarea generalizării unor strategii în situații neanalizate, alternând tipurile de strategii și deciziile strategice, adaptându-mă la dorințele și aspirațiile elevilor.

Societatea contemporană are nevoie de gândire critică (constructivă) și novatoare, o gândire originală și creatoare pe care matematica modernă o formează.

Astfel, am îndrumat elevii să pătrundă între fenomene, să încorporeze datele cunoscute în experiența proprie, să învețe cum să valorifice cunoștințele în activitatea practică, să-și însușească tehnicile unei continue autoinstruiri.

Urmărind aceste lucruri am ajuns la concluzia că însușirea conștientă a cunoștințelor asigură la temeinicia lor, iar însușirea lor activă, prin efort propriu, duce la dezvoltarea intelectuală, în primul rând a gândirii, precum și la dezvoltarea spiritului de independeță, de investigație, și mai ales dezvoltarea creativității.

Pornind de la aceste considerente, în lucrarea de față mi-am propus să prezint o serie de modalități de aplicare, în cadrul orelor de matematică a acelor strategii didactice ce dezvoltă creativitatea elevilor, vizând în primul rând dezvoltarea capacităților creatoare. Am fost preocupat de găsirea unor forme de organizare, a unor metode de învățare eficiente și a unor mijloace de învățământ care să îmi asigure minimum de timp și eficientță maximă.

CAPITOLUL II

FUNDAMENTAREA TEORETICĂ A TEMEI

II.1. FUNDAMENTAREA MATEMATICĂ. NUMERE NATURALE ȘI OPERAȚII CU NUMERE

În matematică, numerele naturale sunt numerele întregi strict pozitive (1, 2, 3, 4, 5, 6…). În alte contexte, de exemplu în teoria mulțimilor sau în teoria grupurilor, 0 este primul număr natural. Mulțimea tuturor numerelor naturale se notează de obicei cu N (N îngroșat) sau .

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ

ℕ- numere naturale

ℤ – întregi

ℚ – raționale

ℝ- reale

ℂ- complexe

În general, numerele naturale au două întrebuințări importante: sunt folosite pentru numărare (atunci când spunem că sunt 3 mere pe masă) și pentru aranjarea în ordine a unei colecții de obiecte (atunci când ordonăm obiecte: obiectul numărul 1, 'obiectul numărul 2, etc).

Disciplina care studiază proprietățile numerelor naturale cu privire la divizibilitate este teoria numerelor. Disciplina care studiază probleme precum numărarea se numește combinatorică.

Încă din școala primară am învățat să scriem și să citim numerele naturale în sistemul de numerație zecimal.

Astfel fie un număr n=143 275 396

Deci, prima grupa de numere citită de la stânga la dreapta este grupa milioanelor, următoarea grupă este grupa miilor, iar ultima grupă grupa sutelor. Astfel fiind spus ordinul de mărime de la dreapta spre stânga este: untități, zeci, sute

Dacă citim numărul de la stânga la dreapta avem:

n=o sută 4 zeci și 3 de milioane,(grupa milioanelor) 2 sute 7 zeci și 5 de mii,(grupa miilor) 3 sute 9 zeci și 6 (grupa unităților).

Ca să scriem un număr natural n folosim cifrele arabe: 0,1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

În funcție de felul în care scriem un număr natural, folosim un sistem zecimal și un sistem pozițional.

Foarte important pentru exerciții este să știm că trecerea de la un ordin de mărime la un ordin superior se face după 10 unități de ordin inferior: baza de numerație zece.

Exemplu:

Numărul:

se descompune în baza zece astfel:

Astfel numărul:

Sau

Din punct de vedere istoric, primul sistem de numerație folosit a fost sistemul roman, care folosește cifre romane și este un sistem nepozițional.

Astfel cifrele romane sunt:

I=1

V=5

X=10

L=50

C=100

D=500

M=1 000

De exemplu aflarea numerelor care verifică relațiile: .

Astfel dacă scriem numerele le descompunem în baza zece și obținem:

Deci obținem că a>b.

Pentru: a=6, obținem:

Deci obținem b=4.

Astfel numerele obținute sunt:

Operațiile care se efectuează cu numerele naturale sunt: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.

Adunarea.

Definiția pe care o învățăm cu toții din manualele școlare este: „Adunarea este suma a două sau mai multe numere naturale.

Suma a două numere naturale este tot un număr natural.

a + b = sumă, a și b = termenii adunării.

Numerele care se adună se numesc termeni, iar rezultatul sumă.”

Știind că X și Y sunt două mulțimi disjuncte, cu x, respectiv y elemente se numește suma numerelor x și y și se notează a+b, notează a+b, numărul elementelor mulțimii XY.

Operația numerelor naturale care prin orice cuplu de numere naturale (x,y) I se atribuie un alt număr natural z = x + y se numește adunare.

Rezultă că ”+” : N x N N.

În matematică adunarea este definită de legile și proprietățile ei:

legea de compoziție internă pe N:

() x,y N : (x,y)z =x+yN

Prima proprietate: asociativitatea adunării numerelor naturale:

() x,y,z N: (x+y)+z = x+(y+z) = x+y+z

A doua proprietate este comutativitatea adunării numerelor naturale:

() x,y N: x+y = y+x

Numărul natural 0 este elementul neutru față de adunarea numerelor naturale:

() x N: x+0 = 0+x = x.

Putem trage concluzia că suma mai multor numere naturale nu se schimbă dacă:

-se regrupează termenii sau se introduc paranteze ();

-se elimină paranteze;

-se înlocuiesc anumiți termeni cu sume (neefectuate) care sunt egale cu termenii respective

-ordinea termenilor se schimbă

-se elimină sau se adaugă termeni nuli (egali cu 0)

Una dintre cele mai simple modalități de rezolvare a calcului este să

se așeză termenii sumei unul sub altul, ținând cont ca pe fiecare coloană să fie numai unități de același ordin, după care să se efectuează adunarea.

Exemplu: Fie X=5236 și Y=86877

5236+

Pentru a calcula X+Y se procedează astfel:

-se începe adunarea cu unitățile de ordinul 1:

6+7=13 = 1×10+3, înseamnă că cifra 3 va fi cifra reprezentativă unităților de ordinul 1 a sumei și o unitate de ordinul 2 se va aduna cu unitățile de ordinul 2 ale numerelor ce se adună;

-urmează adunarea unităților de ordinul 2:

3+2=5, după care se adună acea unitate de ordinul provenit după adunarea unităților de ordinul 1 ale numerelor:

5+1=6, ceea ce înseamnă că cifra 6 va fi cifra unităților de ordinul 2 a sumei;

-urmează adunarea unităților de ordinul 3 ale termenilor sumei:

2+8=10 = 1×10+0, deci 0 este cifra unităților de ordinul 3 a sumei și o unitate de ordinul 4 se va aduna la suma unităților de ordinul 4 al termenilor;

-se face adunarea unităților de ordinul 4:

5+6=11,

11+1=12, asta înseamnă că cifra 2 va fi cifra unităților de ordinul 4 a sumei, iar 1 se va aduna la suma unităților ,de ordinul următor, 5 ale termenilor;

– cifra unităților de ordinul 5 va fi dată de:

0+8=8
8+1=9, rezultă că cifra 9 va fi cifra unităților de ordinul 5 a sumei.

Rezultatul pentru suma noastră este: 5 236 + 86 827= 92 063.

Se poate face adunarea și folosind scrierea sistematică a numerelor în baza 10. De reținut că oricare ar fi modul de rezolvare, adunarea se începe cu unitățile de ordinul 1și se continuă succesiv până la unitățile de cel mai mare ordin.

Deoarece scrierea explicită a bazei poate fi omisă în sistemul de numerație zecimal trebuie să reținem că atunci când baza de numerație nu este specificată cu excactitate și nici din context nu se subînțelege o altă bază, atunci putem spune că baza de numerație este baza 10.

Operația de adunare a numerelor naturale este folosită în problemele în care trebuie să se determine numărul de obiecte a două sau mai multe mulțimi disjuncte sau trebuie găsit un număr care este mai mare decât un număr dat cu un număr precizat de unități;

Scăderea.

A scădea două numere naturale x și y, primul (adică a) numit descăzut, al doilea (adică b) scăzator, înseamna a găsi restul sau diferența (un număr), care adunat cu scăzătorul să ne dea descăzutul. Operația de scădere a numerelor naturale se noteăză cu semnul "-" .

Sscăderea este operația inversă adunării, tocmai de aceea verificarea rezultatului scăderii se face prin adunare: x – y = z , dacă y + z = x . Operația de scădere în mulțimea numerelor naturale este posibilă numai dacă x ≥ y .

Trebuie reținut faptul că scăderea nu este o lege de compoziție internă pe N, deoarece ()x,y N astfel încât cuplului (x,y)NxN i se va asocia elementul z=x-y, z N.

Proprietățile și regulile de calcul ale adunării sunt:

a) Dacă x,y N avem x +y – y = x ;

b) Pentru a efectua scăderea ununi număr dintr-o sumă este suficient să efectuăm scăderea dintr-un termen al sumei: x + y+ z + q – w = x+ y+ (z – w) + q ,z > w.

c) Atunci când mărim și scăzătorul și descăzutul cu același număr , diferența rămâne aceeași: (x + z) – (y + z)= x – y ;

d) Atunci când micșorăm si scăzătorul și descăzutul cu același număr, diferența râmâne aceeași : (x – z) – (y – z) = x – y ;

e) Atunci când scăzătorul se mărește sau se micșorează cu un număr, atunci și diferența se mărește sau se micșorează cu același număr:

x-(y+z) = x-y-z ;

x-(y-z) = x – y +z ;

f) Atunci când descăzutul se mărește sau se micșorează cu un număr , atunci și diferența se mărește sau se micșorează cu același număr :

(x + z) – y = (x – y) + z ;

(x – z) – y = (x – y ) – z ;

În sistemul de numerație zecimal, operația de scădere (diferența) a două numere naturale se face scăzând între ele unitățile de același ordin.

Ca și în cazul adunării, pentru simplicitatea calculului se vor așeza termenii diferenței unul sub altul, în așa fel încât pe aceeași coloană să fie numai unități de același ordin, după care să se efectuează scăderea.

Exemplu: Fie X=34249 și Y=28630

34 257 –

Pentru a calcula X-Y se procedează astfel:

-în primul rând se scad din unitățile de ordinul 1 ale descăzutului, unitățile de ordinul 1 ale scăzătorului, dar în cazul nostru avem 7<9, rezultă că o unitate de de ordin imediat superior mordinul 2, va fi transformată în unități de ordinul 1 și se adună la unitățile de ordinul 1 ale descăzutului, după care se scad unitățile de ordinul 1 ale scăzătorului:

10 unități de ordinul 1 este 1 unitate de ordinul 2

10+7=17 unități de ordinul 1.

17-9=8, deci 8 este cifra unităților de ordinul 1 a diferenței numerelor;

-se trece la scăderea din unitățile de ordinul 2 ale descăzutului (care sunt mai puține cu o unitate pentru că am luat-o și am transformat-o în 10 unități de ordinul 1) unitățile de ordinul 2 ale scăzătorului:

5-2=3.

3-1=2, înseamnă că cifra 2 este cifra unităților de ordinul 2 a diferenței numerelor; cum în cazul unităților de ordinul 3 avem 2<6, se ia o unitate de ordinul 4 și se transformă în unități de ordinul 3, după care se continuă ca în cazul unităților de ordinul 1:

10 unități de ordinul 3=1 unitate de ordinul 4=

10+2=12 unități de ordinul 3.

12-6=6, deci 6 este cifra unităților de ordinul 3 a diferenței numerelor; în cazul unităților de ordinul 4 și 5 se procedează analog, ținând cont de unitățile luate anterior și transformate în unități de ordin imediat inferior care au fost necesare.

Prin urmare avem: 4-1=3; 3<7.

Luăm 10 unități de ordinul 4 și le transformăm într-o unitate de ordinul 5. 10+2=12 unități de ordinul 4.

12-7=5, reiese că cifra 5 va fi cifra unităților de ordinul 4 a diferenței numerelor.

După care, pentru unitățile de ordinul 5 avem:

3-2=1 unitate de ordinul 5 are descăzutul

1-1=0, deci diferența numerelor are ca cifră a unităților de ordinul 5 cifra 0, pentru că aceasta este la începutul numărului care reprezintă diferența, nu se mai trece. Rezultatul diferenței numerelor este: 34 249 – 28 630 = 5 628.

Diferența celor două numere se poate face și scriind numerele în forma lor sistematică:

Operația de scădere a numerelor naturale este folosită în problemele în care se cere să se determine un număr care este mai mic decât un alt număr dat cu un număr precizat de unități, trebuie comparate două numere sau mărimi pentru a decide care dintre ele este mai maic sau mai mare, ni se spune ca dintr-o mărime dată să se scadă, să se scoată, să se elimine sau să se înlăture o anumită cantitate din aceeași mărime.

Suma algebrică.

În operațiile cu numerele naturale suma algebrică reprezintă o succesiune de adunări și scăderi de numere naturale.

Dacă admitem din start că toate scăderile ce apar sunt posibile în N, atunci putem spune că:

1. Într-o sumă algebrică dacă se schimbă ordinea termenilor se păstrează semnele corespunzătoare fiecărui termen. Ținând cont că schimbarea ordinii termenilor într-o sumă algebrică de numere naturale se poate obține prin mai multe schimbări successive de câte doi termini consecutivi pentru demonstrație folosim doar doi termeni consecutivi.

Dacă notăm cu s suma algebrică care are numerele naturale xi și xi+1 termeni consecutivi. Spunând că rezultatul efectuării tuturor operațiilor algebrice cu teremenii sumei algebrice ce preced pe xi, este s1 iar este rezultatul efectuării tuturor operațiilor algebrice cu termenii ce urmează în suma algebrică după xi+1, este s2 putem avea următoarele posibilități:

s=s1+xi+xi+1+s2= s1+xi+1+xi+s2, deoarece s1+xi+xi+1= s1+xi+1+xi;

s=s1+xi-xi+1+s2= s1-xi+1+xi+s2, deoarece s1+xi-xi+1= s1-xi+1+xi;

s=s1-xi+xi+1+s2= s1+xi+1+xi+s2, deoarece s1-xi+xi+1= s1+xi+1+xi;

s=s1-xi-xi+1+s2= s1-xi-xi+1+s2, deoarece s1-xi-xi+1= s1-xi+1-xi.

Spunem că este adevărată afirmația în general pentru că în toate aceste cazuri afirmația este adevărată.

Există și un caz particular atunci când într-o sumă algebrică de numere naturale apar doi termeni egali și de semne contrare. În cazul acesta, acești doi termini se elimină din sumă și rezultatul nu se schimbă, deoarece cele două numere se pot aduce unul lângă altul prin schimbări successive de termeni consecutivi, iar în acest fel avem: s+a-a=s. Această operație se numește reducere.

2. Orice sumă algebrică a unor numere naturale este egală cu suma termenilor care se adună minus suma termenilor care se scad.

După proprietatea anterioară știm că putem schimba ordinea termenilor sumei algebrice date, în așa fel încât toți termenii care se adună să fie grupați primii și unul după altul, după care să urmeze termenii care se scad și termenii care se scad se trec într-o paranteză în care apar toți cu semnul +, în fața parantezei fiind semnul – .

În general putem spune că într-o sumă algebrică se pot pune mai mulți termeni într-o paranteză: se pot trece cei cu semnul + în față și atunci termenii din paranteză au semnele neschimbate iar în cazul celor cu semnul – în față, termenii din paranteză au semnele schimbate, (adică se schimbă semnul + cu semnul – și semnul – cu semnul +).

3. Suma a două sume algebrice reprezintă suma algebrică ai căror termeni sunt toți termenii celor două sume cu semnele neschimbate.

4. Diferența a două sume algebrice s1 și s2 este o sumă algebrică = s1-s2, unde termenii sunt toți termenii celor două sume:

– dacă termenii sunt termeni ai sumei s1, se trec cu semnul neschimbat;

– dacă termenii sunt termeni ai sumei s2, se trec cu semnul schimbat.

Adunarea și scăderea sunt numerelor naturale sunt operații de ordinul I și se efectuează în ordinea succesiunii lor în exercițiu.

Înmulțirea.

Prin operația de înmulțire a numerelor naturale a și b, primul numit deînmulțit iar al doilea înmulțitor, notat ab, sau ab, sau ab, se înțelege o sumă de b termeni în care fiecare termen este egal cu a.

Atât deînmulțitul cât și înumlțitorul se numesc factori ai produsului.

Mai exact a înmulți două numere naturale a și b înseamnă a găsi produsul lor.

Din definiție putem spune că înmulțirea este adunarea repetată a aceluiași termen (mai exact a deînmulțitului, repetată de un număr de ori egal cu înmulțitorul).

În matematică putem defini „” conform legilor și proprietăților ei:

„NxNN astfel că () a,b N : (a,b) p = ab N.”

De aici rezultă faptul că înmulțirea este o lege de compoziție internă pe N.

Dacă cel puțin unul dintre factorii unui produs este 0, atunci produsul este nul:

a=0, b0 : 0b=0;

a0, b=0 : 0a=0;

a=0, b=0 : 00=0.

Rezultă că, dacă produsul a două numere naturale a și b este diferit de zero, atunci ambele numere sunt diferite de zero și reciproc:

ab0a0 și b0.”

O proprietate a înmulțirii numerelor naturale este comutativitatea:

ab=ba , () a,b N.

Înmulțirea numerelor naturale este asociativă:

abc=(a b) c = a (b c), ()a, b, c N.

În mulțimea N a numerelor naturale există elemntul 1 N, numit element unitate sau element neutru față de înumlțirea numerelor naturale, astfel că pentru oricare a N este adevărată egalitatea:

1 a = a 1 = a.

Înmulțirea este distributivă față de adunarea și scăderea numerelor naturale, atât la dreapta cât și la stânga, adică:

și , .

În cazul unei sume algebrice această proprietate se poate extinde:

1. Într-un produs de mai mulți factori, doi factori consecutivi se pot comuta sau se pot asocia.

2. Într-un produs de mai mulți factori, orice permutare de doi factori poate fi obținută în urma comutări de câte doi factori consectuivi.

3. Într-un produs de mai mulți factori putem schimba oricum dorim ordinea factorilor; putem de asemenea, înlocui un număr oarecare de factori cu produsul lor.

Să observăm că proprietățile enunțate mai sus sunt consecințe ale proprietăților de bază ale înmulțirii numerelor naturale, și anume, comutativitatea și asociativitatea, nedepinzând de înțelesul concret, efectiv, al operației de înmulțire sau de adunare; de aceea aceste proprietăți vor fi valabile pe orice mulțimi (de numere) pe care sunt admise sau verificate de proprietățile de bază menționate.

Să reținem deci că produsul mai multor numere naturale nu se schimbă dacă:

-se modifică ordinea factorilor;

-se regrupează factprii;

-se elimină paranteze;

-se înlocuiesc doi sau mai mulți factori cu produsul lor;

-se adaugă sau se elimină factori egali cu 1.

În baza de numerație 10 (ca de altfe în orice sistem de numerație pozițional) efectuarea produsului a două numere naturale revine la efectuarea produsului a două numere algebrice.

Scrierea numerelor și organizarea calculelor se poate face așezându-le unul sub altul, ținându-se seama că se lucrează în baza de numerație 10 și că pe o coloană trebuie să fie unități de același ordin; se calculează produsele parțiale (atâtea câte are înmnulțitorul), apoi se adună toate produsele parțiale.

Înmulțirea unui număr cu se face scriind k zerouri la dreapta numărului.

Exemplu: A=367 și B =123, atunci: AB=367123;

367

734

Înmulțirea este utilizată în acele probleme în care un număr sau o valoare a unei mărimi care se cere este un număr de ori mai mare decât un unmăr dat sau decât o valoare dată a acelei mărimi.

Împărțirea.

A împărți două numere naturale a și b, un număr natural a numit deîmpărțit la un numpăr natural , numit împărțitor înseamnă a găsi un număr natural q, numit cât, care înmulțit cu împărțitorul să dea deîmpărțitul:, astfel încât .

Operația de împărțire se poate scrie sau .

Împărțirea nu este întotdeauna posibilă, ci doar atunci când (a este multiplu de b) sau (b divide a). Când împărțirea este posibilă câtul este unic.

Împărțirea la 0 nu este posibilă iar 1 este elementul neutru.

Putem defini operația de împărțire a numerelor naturale „ : ” : nu este lege de compoziție internă pe N, deoarece oricărui cuplu îi corespunde (mai precis astfel încât cuplului i se asociază elementul ).

Cum în cazurile în care avem , deducem că împărțirea este operația inversă înmulțirii, de aceea verificarea unei împărțiri se face prin înmulțire.

În cazurile în care , împărțirea se numește împărțire cu rest și este definită de:

Teorema împărțirii cu rest: „Oricare ar fi numerele naturale , există numerele naturale astfel încât să satisfacă egalitatea .”

Să constatăm că:

-împărțirea „exactă” este un caz particular al împărțirii cu rest și anume în cazul în care r=0 (când r=0 relația a=bq+r devine a=bq).

-dacă împărțirea a : b este posibilă în N (deci dacă este „exactă”), atunci rezultatul este unic ( câtul q este unic); în caz contrat, am avea pentru astfel încât adică a=bq1=bq2, ceea ce este fals (b0, q1q2).

-dacă , atunci a:1=a (datorită faptului că numărul natural 1 este element neutru pentru înmulțire):

-dacă , atunci a:a =1 (pentru că a1=a);

-dacă , atunci 0:b=0 (pentru că 0=b0);

-dacă a=b=0, atunci 0:0 nu are sens (pentru că rezultatul este nedeterminat, și nu unic, de veme ce 0=0k, () k, deci 0:0 ar putea fi orice număr natural k );

-dacă și b , atunci a:0 nu are sens (pentru că nu există nici un număr natural q astfel ca a=0q);

-dacă, atunci (a:b) b=a (pentru că, din definiție avem că (ab):b=a).

Să remarcăm următoarele:

Într-un produs de doi factori, unul dintre factori este egal cu câtul dintre produs și celălalt factor.

Dacă , atunci , .

Exemplu: .

Dacă se mărește (se micșorează) deîmpărțitul de un număr de ori în cazul unei împărțiri exacte (posibile în N), atunci se mărește (se micșorează) câtul de acel număr de ori.

Fie astfel că () q N încât să avem a:b=q. Atunci pentru orice număr n0 N avem (n0a):b=n0q.

Exemplu: 35:5=7; (3510):5=710.

Dacă se mărește (se micșorează) împărțitorul de un număr (nenul) de ori în cazul unei împărțiri exacte (posibile în N), atunci se mărește (se micșorează) câtul de acel numpr de ori.

-cifrele diferenței găsite, completate cu cifra unităților de ordin imediat inferior ordinului ultimei cifre a difenrenței, dau un număr cu care se procedează analog cu grupul de cifre despărțit inițial de la împărțitor; se găsește cel mai mare număr de o cifră (cifră care este a doua cifră a câtului) care înmulțit cu împărțitorul să se poată scădea din numărul format cu cifrele diferenței de completare cu cifra unităților de ordin imediat inferior ordinului ultimei cifre a diferenței (acest număr poate fi și 0); se găsește în urma scăderii o nouă diferență;

-cifrele diferenței noi se completează analog și se procedează analog până se epuizează toate cifrele deîmpărțitului; ultima diferență găsită reprezintă restul împărțirii; dacă împărțirea este exactă restul este 0.

Exemplu: 182 653:21. Procedăm ca mai sus.

-despărțim trei cifre la stânga deîmpărțitului (două cifre nu convin pentru că 18<21) ; și anume 182<189

căutăm cel mai mare număr de o cifră astfel ca produsul dintre acest număr de o cifră și 21 să se poată scădea din 182; acest număr este 8, deoarece 821=168 și 168<182, iar 921=189 și 189 > 182; cifra 8 este deci prima cifră a câtului;

-se găsește prima diferență: 182-168=14;

-diferența 14, a cărei ultimă cifră (anume cifra 4) reprezintă unitățile de ordin 4, se completează cu cifra unităților de ordin 3 (imediat inferior) a deîmpărțitului, deci cu cifra 6 și se obține numărul 146, cu care se continuă analog;

-cel mai mare număr de o cifră care înmulțit cu împărțitorul se poate scădea din 146 este 6, deoarece 621=126<146, pe când 721=147>146, cifra 6 este deci a doua cifră a câtului;

-a doua diferență este 146 – 126=20;

-a doua diferență completată analog conduce la numărul 205;

-a treia cifră a câtului este 9, pentru că 921=189<205, iar mai mare decât cifra 9 nu există număr de o cifră;

-a treia diferență este 205 – 189 = 16;

-a patra cifră a câtului este 7, deoarece 721=147<163, în timp ce 821 = 168>147;

-ultima diferență (deci restul împărțirii) este 163 – 147 = 16.

Câtul este deci 8 697, iar restul este 16. Într-adevăr 8 69721+16=182 653.

Scrierea numerelor și organizarea calculelor se poate face în forma următoare, care, de altfel este și cea mai utilizată:

II.2. CONSIDERAȚII PSIHOPEDAGOGICE.

Sarcina actuală primordială a cadrului didactic, aceea de a-i înmarma pe elevi, încă din clasele primare, cu procedee de investigație științifică, a condus învățământul modern la introducerea unor strategii ale gândirii științifice investigatoare, care stimulează și exersează gândirea elevilor pe linia flexibilității, creativității, inventivității.

Societatea prezentului, dar mai ales a viitorului, se circumscrie unei ere a informației și al complexității. De aceea eu consider că investiția în inteligență, în creativitate și capacitatea de inovare a indivizilor, a grupurilor va fi extrem de rentabilă în viitor.

Cele mai substanțiale rezultate în însușirea cunoștințelor de matematică elementară se pot obține într-un cadru problematic, într-o atmosferă mentiă să dezvolte capacitățile creatoare ale elevilor.

Pentru elevii claselor primare traiectoria actului cognitiv: concret-abstract-concret, adică pornirea de la realitate, de la fapte cunoscute și trăite de elevi, pentru deprinderea noțiunilor și regulilor și, apoi, confruntarea lor cu realitatea, aplicarea în diferite activități practice efectuate de elevi, constituie condiții fundamentale ale procesului de învățământ, care dezvoltă creativitatea elevilor prin matematică.

Omul nu se naște cu un sistem psihic gata constituit, nu dispune de la început de cunoștințe, sentimente superioare, sau activități psihice complexe. Toate acestea depind de condițiile dezvoltării individului, în cadrul societății și activitățile pe care le desfășoară.

De-a lungul timpului, în literatura de specialitate, psihologia ca știință a cunoscut diverse formulări cu privire la definiția acesteia, în viziunea autorilor care aveau concepții diferite referitoare la conținutul psihologiei.

P. Popescu-Neveanu (192), în literatura românească de referință, cu privire la psihologie definește: „știința care se ocupă de fenomene și capacități psihice urmărind descrierea și explicarea acestora în baza descoperirii unui ansamblu de legi, regularități sau modalități determinative”, M. Zlate (265) consideră psihologia ca fiind „știinta care studiază psihicul (procese, însușiri, mecanisme psihice), utilizând un ansamblu de metode obiective, în vederea desprinderii legităților lui de funcționare, cu scopul cunoașterii, optimizării și ameliorării existenței umane”.

Definind curent, operațional, „psihologia este știința care studiază fenomenele psihice urmărind descrierea, explicarea și descoperirea legilor acestora”.

Părintele psihologiei este Aristotel ( secolul al IV-lea î. Hr). Chiar dacă nu a fost primul care a abordat fenomenele psihice, Aristotel a sistematizat cunoștințele descoperite până în momentului respectiv legate de viața psihică.

Mă voi opri asupra componentelor de bază ale psihicului uman (procese psihice, însușiri psihice, activități psihice și formațiuni psihice), precum și asupra modului de aplicabilitate în cadrul ciclurilor primar și preșcolar.

În cele ce urmează, am analizat și consemnat, pe scurt, fiecare componentă de bază a psihicului în parte.

A. Din cadrul proceselor psihice fac parte procesele cognitive, afective și volitive.

1. Din punct de vedere cognitiv, procesual, cunoașterea umană evoluează de la a admira lucrurile în forma lor vie, în speță cunoașterea senzorială, la gândirea abstractă, mai exact cunoașterea logico-abstractă.

a) Din categoria cunoșterii senzoriale fac parte senzațiile, percepțiile și reprezentările și, după cum știm, „senzația este procesul psihic primar și elementar, de reflectare a însușirilor separate ale obiectelor și fenomenelor lumii obiective, când acestea acționează nemijlocit asupra receptorilor”. Câteva exemple de însușiri: temperatură, culoare, gust etc.

Acestea sunt considerate cele mai simple procese psihice, fiind primele care indică ceea ce se petrece atât în interiorul, cât și în jurul individului, informându-l pe acesta în legătură cu bogăția și diversitatea caracteristicilor obiectelor și întâmplărilor a tot ceea ce ne înconjoară, reprezentând temelia celorlalte procese psihice de cunoaștere.

Clasificarea cea mai utilizată în randul senzațiilor este reprezentată de poziția internă sau externă a analizatorilor, deci se împart în două categori: exteroceptive (care exprimă caracteristici ale întâmplărilor și lucrurilor înconjurătoare – senzații auditive, olfactive, cutanate, vizuale, gustative) și interoceptive (care exprimă gesturile și poziția corpului sau a părților corpului, precum și schimbările ce intervin la nivel intern – senzații de foame, amețeală, greață, arsuri etc.).

Există câteva legi ale senzațiilor, și anume: legea pragurilor senzoriale, legea adaptării senzoriale, legea sensibilității și legea interacțiunii senzoriale.

Eu consider că senzațiile intervin din ce în ce mai puțin pe măsură ce elevul înaintează în cunoașterea matematică.

Ne este cunoscut faptul că percepția este mai complexă din punct de vedere al procesului de cunoaștere față de senzație.

„Percepția este procesul psihic primar, dar complex, de reflectare – sub formă de imagine intuitivă – a obiectelor și fenomenelor lumii înconjurătoare, în unitatea însușirilor lor în momentul acțiunii lor nemijlocite asupra receptorilor.” Știm că senzațiile sunt așezate la temelia percepțiilor, acestea fiind determinate de activitatea unui stimul complex, care lucrează succesiv sau concomitent în cazul analizatorilor.

Percepția face parte din categoria cunoașterii senzoriale superioare datorită obiectualității, ca trăsătură principală, alte caracteristici ale percepției fiind: integralitatea, structuralitatea, constanță, selectivitate, verbalizare și semnificație.

Percepțiile se caracterizează prin trei funcții esențiale: funcția de semnalizare, funcția informativă și funcția de reglare, iar clasificarea acestora depinde de câteva criterii: în funcție de analizator percepțiile pot fi: auditive, vizuale, gustative, olfactive, tactile; în funcție de obiect sau însușire: percepțiile obiectelor, percepțiile însușirilor temporale sau spațiale, percepțiile mișcărilor etc.; iar după prezența intenției există delimitări ale percepțiilor: nepremeditate și premeditate.

Din perspectiva percepțiilor, sub aspect matematic, foarte importante sunt observația, mai ales spiritul de observație și intuiția. În acest sens, am înteprins o serie de acțiuni care să dezvolte copiilor mei spiritul de observație, dar mai ales intuiția, extrem de importante în matematică, în general, dar și în particular pentru scăderea numerelor naturale atât în activitățile, cât și în lecțiile de matematică.
Eu consider că operațiile aritmetice oferă cel mai propice teren de manifestare a spiritului de observație.

Conform definiției, „reprezentarea este procesul psihic senzorial secundar de reflectare – sub formă de imagine intuitivă unitară, dar schematică – a obiectelor și fenomenelor care au acționat anterior asupra receptorilor.”

Reprezentarea este o reproducere sub aspectul unei imagini intuitive mintale, perfectă a unor trăiri, obiecte etc.

Reprezentările create în absența lucrurilor sunt însoțite de câteva caracteristici, acestea fiind: caracterul intuitiv, însă diferența dintre acestea și perceptii este nivelul de intuitivitate mai scăzut; imaginea – reprezentare, acestea se desfășoară sub forma imaginilor generalizate; reprezentările apar ca imagini panoramice, acestea fiind create mintal, având amănuntele obiectului perceput; au un nivel mai scăzut de stabilitate, intensitate, claritate, detaliile fiind fragmentare și sărace.

Există o clasificare a reprezentărilor conform următoarelor criterii: în funcție de procesele senzoriale aflate la baza lor distingem reprezentări gustative, auditive, vizuale, tactile, olfactive; în funcție de cuprinsul oglindit în imagine există reprezentări algebrice, topografice, muzicale etc.; în funcție de gradul de persistență al imaginilor distingem reprezentări de scurtă durată și reprezentări perseverente; în functie de efortul voluntar există reprezentări voluntare, dar și involuntare; după alcătuirea imaginii mintale, precum și procesul cognitiv în care este efectuată există imagini anticipatoare și reproductive; conform nivelului de generalitate distingem reprezentări particulare, individualizate, schematice și superior generalizate; și după raportul real – ficțiune din alcătuirea lor există reprezentări fictive și reprezentări aberante.

Pentru dezvoltarea reprezentărilor la nivel de cunoaștere senzorială, am propus, în cadrul activităților de matematică susținute în cadrul practicii, diverse exerciții care presupun diverse reprezentări, cum ar fi reproducerea prin diverse obiecte desenate a numărului de obiecte aflat pe un panou.

La fel ca toate celelalte procese și caracteristici cognitive ale personalității capacitatea de percepere și reprezentare a obiectelor și fenomenelor apare ca esențială și absolut necesară în organizarea și desfășurarea oricărei forme de activitate.

Alegerea unor strategii adecvate duce și la exersarea memoriei.

b) Memoria, alături de gândire și imaginație, fac parte din categoria cunoașterii logico-abstracte și, după cum știm, „memoria este procesul psihic complex de memorare (întipărire), păstrare și actualizare (recunoaștere și reproducere) a experienței cognitive, afective și volitive a omului.

Prin funcția mnemică a psicului, individul are posibilitatea de a înregistra, conserva și reproduce experiențele înmagazinate. Memoria are rol decisiv în viața și actiunile întrepinse de individ, lipsa acesteia făcand posibil doar prezentul, omul nefiind capabil de evoluție.

Formele memoriei, aflate în strânsă legătură cu informațiile acumulate, precum și cu experiențele asimilate de către om, sunt următoarele: memorie senzorială, memorie verbal-logică, memorie motrică și memorie afectivă, procesele memoriei fiind memorarea, care la rândul ei poate fi voluntară (intenționată), precum și involuntară (neintenționată), mecanică și logică; păstrarea, recunoașterea și reproducerea, iar uitarea reprezintă opusul păstrarii.

Pentru antrenarea memoriei, în lecțiile de matematică realizate la începutul anului școlar, am urmărit recapitularea proprietăților, regulilor operațiilor cu numerele naturale, tehnicile de lucru și metodele de rezolvare și compunere a problemelor de matematică, la nivelul clasei, prin probleme distractive, încercând sa nu pun pe poziții antagonice memorarea mecanică cu cea logică.

Consider că fără a memora formule, reguli, proprietăți, metode de rezolvare a problemelor etc., un elev nu poate lucra eficient la matematică.

Matematica dezvoltă în mare măsură gândirea logică și creatoare.

„ Gândirea ” este procesul psihic secundar, în sensul realizării lui pe baza celor primare (senzorial – perceptive), dar având un rol net superior în cunoaștere, complex specific uman – de reflectare a însușirilor generale și esențiale ale obiectelor și fenomenelor realității obiective, precum și a relațiilor esențiale dintre ele.”, aceasta având rol extrem de important în cunoaștere.

Gândirea reflectă o cunoaștere abstractă, reprezentând doar ceea ce este general, comun și esențial atât în obiecte, cât și în fenomene, având caracter simbolic, abstract.

Realizarea gândirii presupune câteva operații logice fundamentale, după cum urmează: analiza, sinteza, comparația, abstractizarea, generalizarea, concretizarea, clasificarea și sistematizarea. Aceste operații oferă gândirii un caracter activ, procesual, cunoașterea evoluând de la concret la abstract, iar din punct de vedere istoric, gândirea este o acțiune, datorită originii ei.

La nivelul clasei, în desfășurarea lecțiilor de matematică, am încercat să stimulez gândirea elevilor prin diverse jocuri logico-matematice complicate sau inedite, care presupun rezolvări rapide, originale sau elegante conform calității gandirii fiecărui elev în parte.

Logica didactică a învățământului matematic are drept bază logica internă a științei matematice, dar se construiește ținând seama de particularitățile psihice ale celor care învață matematica.

După cum știm, psihologia copilului este știința care se ocupă cu studiul psihicului copilului, respectiv legile de dezvoltare ale acestuia. Există mai multe etape în dezvoltarea copilului cuprinzând perioada 0 – 18 ani, urmărind trei domenii principale: dezvoltare fizică, cognitivă și psiho-socială. Asupra dezvoltării psihice a copilului acționează trei factori esențiali: ereditatea, mediul social și educația.

Specificul gândirii copilului de vârstă școlară mică se manifestă printr-o prioritate esențială, anume aceea de a fi concret intuitivă.

Situat între 7 și 12 ani, stadiul opreațiilor concrete se caracterizează prin apariția grupărilor operaționale care permit conceptualizări și coordonări de concepte. Grupările care se constituie, se complică și se perfecționează în acest stadiu, din generalizarea unor date rezultă situații concrete, intuitive și ele prefigurează grupul operațiilor formale.

Pentru dezvoltarea gândirii am propus situații de învățare interesante insistând pe aplicabilitatea ți transferabilitatea cunoștințelor, am lucrat în grupe, în perechi.

Activitatea de rezolvare și compunere a problemelor, cum sunt cele ce vizează numerația, contribuie esențial la dezvoltarea gândirii și a creativității.

Elevul, atunci când este pus în fața unei probleme îi restructurează datele și descoperă calea de rezolvare într-un mod personal. Probleme care admit mai multe procedee de rezolvare cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea, perspicacitatea.

Eu consider că este mai bine să se rezolve o problemă în mai multe moduri decât să se rezolve două-trei de același fel și în același mod.

Cel de-al treilea proces psihic cognitiv, bazat pe cunoașterea logico-abstractă este imaginația. „ Procesul psihic complex de elaborare a unor imagini intuitive noi, prin prelucrarea și combinarea datelor experienței cognitive a omului, este denumit imaginație.”

Imaginația are un rol deosebit de important în viața și activitățile omului, prin imaginație elaborându-și acțiunile mintal, obiectivele și traseul acestora, anticipând, de asemenea, și rezultatele lucrurilor propuse. Imaginația este adaptativă, deoarece inovează în plan mintal în primul rând, urmând, în cele din urmă, punerea în aplicare în plan real.

Imaginația este de mai multe feluri, după cum urmează: după sarcina cognitivă (imaginație reproductivă și imaginație creatoare), după nivelul conștientizării (imaginație voluntară și imaginație involuntară), în funcție de felul reprezentărilor care fac parte din procesul imaginativ (imaginație predominant: vizuală, kinestezică sau auditivă), în funcție de conținut (imaginație tehnică-constructivă, literară, artistică, coregrafică etc.), în funcție de tipul de activitate în care se afirmă există următoarele tipuri de imaginație: auditiv-motor, plastic-vizual, verbal-logic etc., iar raportând la realitate, există, de asemenea, imagini nou create: științifico-fantastice, religioase, realist-științifice etc.

Compunerea de probleme fie după modele rezolvate anterior, fie după exerciții date, fie după desene, fie după scheme, cu mărimi date, etc. ce vizează multiple aspecte legate de numerele naturale și operațiile cu numere naturale dezvoltă efectiv imaginația, în special atunci când se cere elevului să găsească anumite numere cu anumite proprietăți date.

În ceea ce privește imaginația, am înteprins o serie de activități la nivelul clasei, în timpul orelor de practică, pentru a le-o stimula, întrucât la vârstă fragedă imaginația se află în primele stadii ale dezvoltării.

2. Procesele psihice afective sunt generate de raportul dintre manifestările subiective ale individului întâmplările obiective ale realității. Cum omul interacționează cu mediul ambiant, stările afective, procesele și trăirile reprezintă fenomene psihice care oglindesc raportul dintre subiect și lucruri, concordanța, respectiv neconcordanța subiect-obiecte/situații, gradul de satisfacție sau insatisfacție al individului fată de situația dată etc.

Așadar, „procesele afective reflectă – sub formă de trăire subiectivă – atitudinea omului față de obiecte, fenomene, oameni, față de mediul ambiant. Trăirea subiectivă este, deci, modul specific de reflectare a relațiilor dintre subiect și obiect , întrucât în cazul proceselor afective, subiectul reacționează complex, cu întreaga lui ființă, afectivitatea implicând vibrații, modificări concomitent organice, psihice și comportamentale.”

Dacă privim afectivitatea ca pe o ramură a personalității, aceasta este structural complexă, prezentând forme care au atât însușiri comune – raportul individ-obiectul trăirii afective -, cât și caracteristici diferite: nivelul de complexitate, gradul de conștientizare, nivelul de stabilitate etc., astfel cele trei niveluri afective sunt: primar, complex, atitudinal.

a) Din categoria formelor simple ale afectivității fac parte emoțiile primare, afectele, care se ivesc brusc, fiind de scurtă durată, realizându-se intens; cum ar fi groaza, extazul, furia etc. Emoțiile primare țin mai mult de biologic și mai puțin de conștiință. Acestea își fac apariția sub forma unor impulsuri, fiind dificil de controlat. Însă acestea sunt și controlabile, depunând un efort intens de moment, de o mare utilitate fiind antrenarea într-o altă activitate.

b) La nivelul trăirilor afective generalizate se încadrează dispozițiile, acestea având caracter nedefinit, durabile uneori, acestea fiind responsabile de tonalitatea vieții și a activităților întreprinse de subiect. Orientarea dispozițiilor nu este exactă, cum se întâmplă în cazul emoțiilor, individul conștientizând motivul apariției lor, acest lucru determinându-l să considere nedeterminate dispozițiile bune sau rele, cu toate că, de fapt, există cauze determinate. De cele mai multe ori, dispozițiile sunt influențate atât de factori externi (naturali sau sociali), cât și de anumiți factori interni (stare fizică nelocalizată).

c) Din categoria formelor secundare ale afectivității fac parte emoțiile complexe, acestea fiind mai evoluate și mult mai prezente atât în viața, cât și în activitatea individului, câteva dintre ele fiind: teama, bucuria, tristețea. Comparativ cu cele primare, emoțiile complexe se caracterizează printr-un grad mai mare de varietate și nuanțare, orientarea lor fiind conștientă (manifestarea afectivității față de o ființă, teama de o anumită situație). Acestea se manifestă atât cât se mențin situațiile provocante, fiind de intensitate medie. Cum caracterul emoțiilor complexe este reflex-condiționat, acestea reprezintă achiziții ale educației și învățăturii.

d) La nivelul formelor complexe afective se încadrează sentimentele cu o intensitate mare, care durează timp îndelungat. Acestea sun formațiuni afective, deținând funcții atitudinal subiective. Se caracterizează printr-un grad mai mare de complexitate față de emoțiile mai sus menționate. Din categoria lor nu fac parte doar emoții, ci și reprezentări, convingeri și elemente voluntare. Spre deosebire de emoții, sentimentele durează și după încetarea acțiunii stimulului determinant asupra omului. Dacă îi sunt cunoscute sentimentele, se poate descoperi traseul evolutiv al conduitei unui individ. Există mai multe tipuri de sentimente, după cum urmează: sentimente intelectuale, sentimente estetice, sentimente morale și sentimente religioase.

e) Formele afective asemănătoare sentimentelor, datorită complexității și oglindirii relațiilor stabile între om și aspectele realității înconjurătoare, sunt pasiunile, cu toate că acestea presupun un grad mai ridicat de intensitate, canalizarea mai mare a energiei în scopul realizării activității respective, implicarea subiectivității, un nivel mai ridicat de durabilitate, în unele cazuri pe întreg parcursul vieții umane. Pasiunile reprezintă tot sentimente , atingând cote mari în ceea ce privește durabilitatea, intensitatea, subiectivitatea și stabilitatea. Pasiunile pot fi atât pozitive, cum ar fi: pasiunea pentru meserie, pasiunea pentru adevăr, cât și negative, spre exemplu: pasiuni în privința jocurilor de noroc, în privința minciunii, în privința avariției.

3. Din categoria proceselor psihice volitive face parte voința.

„Voința este acel proces psihic complex ce constă în capacitatea individului de a iniția conștient acțiuni, de a le desfășura, amâna sau suspenda, cu depunerea unui efort susținut pentru învingerea obstacolelor ivite în calea realizării scopurilor premeditat fixate (A. Bogdan-Tucicov, 241), este procesul psihic complex de reglaj superior, realizat prin mijloace verbale și constând în acțiuni de mobilizare și concentare a energiei psiho-nervoase în vederea depășirii obstacolelor și atingerea scopurilor conștient fixate (T. Crețu).

Așadar, voința presupune o acțiune conștientă, efectul voluntar fiind indispensabil, aceasta având câteva calități, după cum urmează: tăria voinței, perseverența, independența, promptitudinea și curajul.

În opinia mea, în matematică, voința necesită antrenament pentru apariția unor rezultate excelente.

B. Ne este cunoscut faptul că din cadrul însușirilor psihice fac parte: temperamentul, aptitudinile, interesele, precum și caracterul. Acestea sunt definite și ca factori care influențează semnificativ cunoașterea, învățarea, activitatea și conduita, diferențiind indivizii unii de alții.

„Personalitatea, în sens larg, este o caracteristică general-umană, constând într-o structură multidimensională (bio-psiho-socio-culturală), de o mare complexitate factorială și de înaltă organizare, integralitate, esențialitate și specificitate, ce se constituie, se dezvoltă, evoluează, se autoreglează sub influențele determinate ale condițiilor vieții materiale și se afirmă printr-un indice superior în viața socială.”

1. Temperamentul – subsistem bio-energetic al personaității. „Temperamentul constituie acea însușire a persoanei în care se manifestă dimensiunea energetico-dinamică a personalității; el relevă, în esență, intensitatea și dinamica proceselor psihice (nu însă și conținutul și calitatea lor).

Există patru tipuri de temperament, după cum urmează: temperamentul sangvinic, care a fost pus în comparație cu anotimpul primăvara, fiind caracterizat prin violență, înfocare, nestabilitate etc.; temperamentul coleric a fost comparat cu vara, datorită ”căldurii”; temperamentul melancolic este caracterizat prin ”răceală” ca și toamna; iar cel flegmatic a fost pus în comparație cu anotimpul iarna.

2. Caracterul este un subsistem relațional-valoric și autoreglator al personalității. „Caracterul poate fi considerat ca fiind un sistem complex și ierarhic de atitudini stabile și specific individuale , având o semnificație social-morală și definind pe om ca membru al societății.” (A. Bogdan-Tucicov, 241).

Omul nu se naște cu caracterul, ci se formează în decursul vieții, factorii mediului de viață fiind decisivi în formarea acestuia, dar și relațiile intreprinse de individ în timp. Caracterul ocupă un loc fundamental la nivelul personalității, reprezentând amprenta esenței sociale umane, fiind denumit și nucleul psihologic al personalității.

3. Interesele sunt un factor semnificativ al subsistemului de orientare al personalității. „Interpretat atitudinal, interesul se definește ca fiind acea însușire a personalității, ce se manifestă ca orientare selectivă, relativ stabilă a omului, asupra anumitor categorii de obiecte, fenomene sau activități, ca relație cognitivă-conștientă, selectivă, pozitivă, preferențială, constantă, durabilă față de anumite obiecte, fenomene, domenii de activitate, menite sa-i satisfacă acestuia anumite trebuințe materiale sau spirituale.”

Pentru înțelegerea personalității unui individ, sunt necesare cunoștințe cu privire la felul, precum și la intensitatea intereselor. În lipsa acestei cunoașteri, sunt lipsite de o bază solidă atât orientarea educativă, cât și cea profesională.

4. Aptitudinile sunt un subsistem instrumental al personalității. Definitoriu, „aptitudinile sunt acele însușiri psihice – constând într-un sistem , organic integrat, al componentelor senzorio-motorii, cognitive, afectiv-motivaționale și voliționale – care-i conferă omului posibilitatea efectuării ușoare, rapide și calitativ superioare a unor activități, sunt sisteme operaționale superior dezvoltate care mijlocesc performanțe superioare, supramedii în activitate.”, iar inteligența este concepută ca „aptitudine generală și complexă de abstractizare și sinteză”, acest termen indicând organizarea și echilibrarea structurilor cognitive.

S-a demonstrat faptul că între inteligență și învățare există o strânsă legătura, învățarea fiind fundamentală în formarea intelectului, în special latura strategică a învățării. Există o relație de corespondență între procedeele și metodele aplicate în învățământ și operațiile mintale ale copilului.

Pentru a dezvolta intelectul copiilor de la clasă, am propus rezolvarea unei serii de probleme, lucru care are efect asupra capacităților, deprinderilor și competențelor fiecărui elev în parte.

Există o serie de aptitudini speciale ce conduc la o bună funcționare a procesului educațional, după cum urmează: aptitudini pedagogice, aptitudini manageriale, aptitudini școlare.

a) La nivelul profesiei de educator, din punct de vedere vocațional există așa numitele aptitudini pedagogice, care „sunt acele însușiri psihice ale personalității educatorului care asigură îndeplinirea cu deplin succes a diverselor sarcini pe care le implică activitatea educațională a omului.”

b) Aptitudinea managerială face referire la ideea de conducător, încadrându-se la nivelul celor mai importante aptitudini, deoarece în orice profesie au loc și acțiuni organizatorice. Aptitudinea organizatorica este „acea însușire complexă a personalității , ce constă într-un ansamblu de procese și calități ale omului, care-i asigură acestuia posibilitatea de a-i mobiliza pe alti oameni pentru îndeplinirea în comun și cu randament cantitativ-calitativ superior, a unei anumite activități.”

c) În opinia lui T. Kulksar (99), „aptitudinea școlară este o structură complexă și dinamică de funcții psihice, care, alături de motivație și alte aspecte ale personalității , determină reușita școlară a elevului”, aceasta construindu-se pe parcursul procesului școlarizării în funcție de potențialul mintal al fiecărui copil în parte.

De asemenea, există și o serie de aptitudini care necesită prioritate la nivelul procesului educațional, acestea fiind: aptitudini matematice, aptitudini tehnice, aptitudini literare și aptitudini științifice.

Mă voi opri asupra aptitudinilor matematice, care au cunoscut abordări psihologice încă de la începutul secolului XX, observându-se faptul că fiecare om, dezvoltat psihic normal are capacități operative minime, însă anumiți indivizi prezintă particularități psiho-individuale, deținând anumite aptitudini matematice, determinandu-le succesul.

C. Activitățile psihice pe care le voi trata în continuare sunt atenția care îndeplinește, în cunoaștere, învățare și acțiune rol facilizator și limbajul.

1. Atenția are rol esențial în învățare, fiind prezentă în desfășurarea proceselor psihice, definindu-se astfel: „atenția – ca funcție psihică – constă în orientarea selectivă și în concentrarea activității psihice a subiectului asupra unor obiecte, fenomene, activități, în scopul perceperii, înțelegerii, reflectării lor mai clare și mai complete, respectiv al realizării lor eficiente.

2. În opinia lui F. De Saussure, „limbajul – ca fenomen psihologic – este procesul individual, de folosire subiectivă și personală, de către fiecare individ, a sistemului general al limbii.”

Copiii nu prezintă predispoziții pentru una dintre limbile prezente pe mapamond, aceștia născându-se cu anumite capacități in ceea ce privește limbajul, acesta din urmă nefiind ereditar.

D. Cunoștințele, priceperile, deprinderile, obișnuințele, convingerile, precum și motivele (motivația) fac parte din categoria formațiunilor psihice.

1. Cunoștințele constituie fundamentul conținutului învățării și sunt oglindirea în conștient a obiectelor și întâmplărilor lumii înconjurătoare obiective, precum și a relațiilor dintre acestea. Ele prezintă realitatea, adevărul realității obiective fiind diferit din punct de vedere concret, general și esențial.

2. Priceperile constituie temelia comportamentului învățat, iar definitoriu „priceperea constă în posibilitatea, dobândită prin învățare, de a executa o acțiune, de a utiliza practic și eficient, în condiții variate, cunoștințele însușite, realizând o adaptare promptă la schimbări”, gradul înalt de conștientizare fiind o caracteristică priceperilor.

3. Deprinderile, ca și priceperile, reprezintă temelia comportamentului învățat, principala lor caracteristică fiind operativitatea. Deprinderile sunt „moduri de acțiune, învățate, consolidate, automatizate prin exercițiu, și care se desfășoară în afara sau prin reducerea controlului conștient”.

4. Obișnuința este asociată cu deprinderea, fiind considerante tot părți ale activității conștiente, însă, spre deosebire de deprinderi, acestea presupun nevoie interioară, sunt atât pozitive, cât și negative, deprinderile fiind neutre și, în cele din urmă, obișnuințele prezintă note afective.

5. La baza oricărei acțiuni întreprinsă de om există un motiv, orice act al purtării find motivat. Motivația este „un ansamblu de factori dinamici care determină conduita unui individ” conform opiniei lui N. Sillamy (221). La nivelul învățării școlare, motivația reprezintă, după D. Vintilescu (249), „ansamblul factorilor interni ai personalității elevului, care îi determină, orientează și susțin eforturile în învățare.”

Creativitatea a cunoscut abordări începând cu secolul al XIX-lea, cu toate că omul a fost interesat de acest fenomen cu mult timp înaintea abordării propriu-zise. Aceasta este un proces complex al personalității, axat pe nou, bazându-se pe originalitate, foarte importantă fiind relația dintre aptitudini și atitudini.

Termenul de creativitate este utilizat în lucrările de specialitate abia în a doua jumătate a secolului nostru, cu toate că, încă din 1877, Littre a introdus adjectivul "creativ" în suplimentul de la "Dicționarul limbii franceze", cu sensul de "cine are calitatea de a crea".

Conceptul de creativitate nu este clar definit până în prezent , el fiind luat în diferite accepțiuni, unele mai largi, altele cu totul unilateral; inteligența fluidă (R.B. Cottel), gândire divergentă ( I.P.Guilford), rezolvarea specifică de probleme (A. Newell J.C. Shorw si MA Simon), rezolvare de probleme slab structurate (Jeroma Brumer), imaginație creatoare (Teodule RiboL Jean Piaget), imaginație constructivă (A. Osborn), gândire aventuroasă (F.Bartlatt).

Sintetizând diferitele încercări de definire a conceptului de creativitate, Alexandru Roșca ajunge la concluzia că el este luat de obicei, într-una din următoarele trei accepțiuni:

a). În mod obișnuit, acest concept se referă la procesul creator, adică la activitatea psihică care are drept rezultat un produs caracterizat prin noutate (originalitate) și valoare.

b). Conceptul este folosit și în sensul de facultate sau capacitate a persoanei de a inventa sau descoperi ceva.

c). În sens mai larg, creativitatea se referă și la găsirea de soluții sau metode , care nu sunt noi pentru societate, dar la care un individ a ajuns pe cale independență.

În lucrare mă voi referi mai ales la acest din urmă sens, deoarece el are analogii cu activitatea creatoare individuală a elevului în cadrul procesului de învățământ. Elevul nu descoperă adevăruri matematice originale, care să imbogateasca știința matematicii, așa cum au făcut marii matematicieni, începând cu Euclid, Pithagora si continuând cu Descartes, Laibniz, Poincare, Boole, Rioman., etc, ci află prin propriile forțe, reguli, soluții și procedee de rezolvare noi pentru el. Este totuși un act asemănător cu cel de creație, chiar daca-i lipsește o finalitate cu caracter util si original.

Creativitatea este considerată acea dimensiune a personalității care se construiește la nivel educațional, fiind un fenomen multidimensional. În evoluția unui elev pe o cale creatoare este necesar un climatul optim atitudinal al învățătorului în ceea ce privește educatul. Însă rolul esențial în educarea creativității îl constituie participarea afectivă a copilului în activitatea care presupune creativitate.

În procesul de învățământ nu ne propunem să formam neapărat mari creatori ale căror produse sa fie absolut originale si sa contribuie la progresul vieții sociale prin schimbarea unor semnificații existente.

Un număr mare de psihologi precizează că, în procesul de învățământ nu este important produsul elevilor ca valoare socială, ci – în plan psihologic – este importantă suplețea soluției găsite pentru rezolvarea problemelor școlare solicitate de către invatator sau profesor; este importantă măsura in care soluțiile găsite in rezolvarea problemelor școlare – prin caracterul lor relevator -produce elevilor o stare de surpriza si in același timp o trăire intensiva in plan afectiv; aceasta reanimă dorința și curiozitatea de a descoperi și alte căi și soluții mai relevante , sau cum se exprima P. Olerom că " ori de câte ori un copil, pus în fața unei probleme, restructurează datele problemei sau imaginează procedeul ce conduce la soluție, independent de faptul daca aceasta este o sarcina școlara, a vieții curente, sau un test, el înfăptuiește o invenție".

Factorii creativității.

Factorii care influențează creativitatea sunt numeroși, variați si se pot combina în structuri foarte diferite "creativitatea ca formație sintetică de personalitate dispune de o structură complexă ce unifică în ordinea importanței, motivația și orientarea specifică, imaginația constructivă și inteligența". A dispune de acești factori în ordinea importanței lor este un lucru foarte dificil.

Opiniile pedagogilor care s-au ocupat de acest aspect al problemei – J.P. Guilford, JA. Chambers, J E. Anderson, E.P. Torrance. A.Rșca, Paul Popescu – Noveanu – sunt diferite, unii socotind că elementele determinante ale actului de creație sunt de natură intelectuală, alții că aptitudinile speciale sau comportamentale motivaționale sunt principalii parametri. Realizând o sinteza a diferitelor opinii, A.Roșca, în lucrarea sa "Creativitatea" face și o clasificare a factorilor creativității, fară pretenția de a-i ierarhiza după importanța lor :

A – Factori subiectivi, adică însușiri ale persoanei creatoare:

1. Factori intelectuali:

a) gândirea creatoare, cu calitățile ei: fluența, flexibilitatea și originalitatea;

b) imaginația creatoare;

c) memoria, în special a structurilor logice.

Aptitudinile speciale, în cazul nostru aptitudinile pentru matematică;

Factorii motivaționali și de personalitate;

a) motivația care dezlănțuie, susține si orientează activitatea;

b) unele trăsături de temperament și de caracter ca: sensibilitatea față de mediu, inițiativa, tenacitatea, încrederea în forțele proprii.

B. Factorii obiectivi:

Condițiile social-istorice, care pot favoriza sau nu activitatea de creație într-un anumit domeniu;

Educația.

Mă voi referi în continuare, la câțiva din acești factori, care par a fi determinați în actul de creație și în special, în domeniul matematicii:

1. Mai întâi precizăm că, după numeroase cercetări prin teste, majoritatea
psihologilor au ajuns la concluzia că activitatea creatoare presupune o inteligență normală sau peste cea medie, dar nu întotdeauna individual cu un coeficient de inteligență ridicat este și creator.

Constatări asemănătoare am și personal în activitatea cu elevii mei. Puși în fața unor situații problematice la matematică, unii elevi cotați ca mediocri au găsit mai repede căi inedite de rezolvare. În schimb asemenea surprize nu s-au ivit la elevii cu un nivel coborât al inteligenței. Se poate trage concluzia că inteligența este o cerință sine qua non a creativității, dar nu factorul caracteristic.

2. Hotărârea în creație pare să fie o anumită specificitate a gândirii. După Guilford, gândirea creatoare este divergentă, spre deosebire de gândirea obișnuită, care este convergentă. Gândirea convergentă folosește mai ales documentația, silogismul, metodele standard respectând o logică strictă și căutând să meargă pe drumul cei mai scurt la țintă, care de altfel este, de cele mai multe ori și singurul drum corect.

Procesele algoritmice sunt de natură convergentă, deoarece asociațiile se realizează după reguli precise, neluând in considerație decât acele elemente care au strânsa legătură cu țelul urmărit. Cu alte cuvinte se merge pe un drum bine marcat, chiar daca uneori anevoios.

Gândirea divergentă este orientata spre diversitatea de soluții pentru care căile de rezolvare nu sunt date. Ea folosește „traiectorii complicate de ordin reflexiv, mai apropiate sau mai depărtate de situația trăita nemijlocit și de regulă trebuie să folosească traiectorii reflexive aparent desprinse de situațional, prin caracterul incert al problemelor ce le pune viața."

Rezolvatorul trebuie să tatoneze, să-și creeze singur strategii, să facă uneori asociații neașteptate, neprevăzute, cu elemente ce aparent nu au legătura cu problema.

La anexă se află un exemplu de problemă care poate fi oferită elevilor din clasele I-IV, ce face apel la gândirea divergentă.

Gândirea creatoare sau divergentă, cum o numește Guilford, are o serie de caracteristici: fluența, flexibilitatea, originalitatea, restructurarea, redefinirea.

a). Fluența este capacitatea de a realiza cât mai multe asociații de idei și cu o ușurință cât mai mare. Fluența presupune o dezghețare a informațiilor înmagazinate în mintea individului, astfel încât să se poată realiza asociații inedite înlăturând convențional și cenzura rigidă a propriului aparat logico-critic. Ne putem convinge ușor de fluența gândirii elevilor noștri, cerându-le să creeze diferite probleme cu trei numere date. Elevii care nu posedă gândire fluentă găsesc puține probleme și le formulează cu aceeași termeni și în același mod ca modelul dat de învățător sau colegii lor.

Dimpotrivă, elevii cu gândire fluentă găsesc un număr mare de variante, diferite între ele, uneori neașteptate.

De exemplu dându-li-se numerele 5; 9; 13, un elev poate construi o problemă in felul următor:

"Așezați două numere unul lăngă altul, astfel încat numărul obținut să se împartă exact la al treilea."

Soluția: 135 : 9

b). Flexibilitatea este calitatea "sine qua non" a gândirii creatoare. Prin flexibilitate se înțelege capacitatea gândirii de a se adapta la situații noi de a restructura asociațiile vechi în conformitate cu problematica existentă. Ea este opusă rigidității și inerției gândirii.

Majoritatea elevilor își însușesc cu ușurință algoritmii de rezolvare ai problemelor tipice și îi aplică în mod corect, dar greutățile apar atunci când sunt puși în fața unor probleme atipice, când trebuie sa găsească sau sa creeze singuri căile de rezolvare. În asemenea situații intră în acțiune flexibilitatea gândirii, gândire care nu e încorsetată în reguli rigide, elevul caută, revine, se îndoiește, formulează ipoteze, le verifică, învață din greșeli, se modelează după împrejurări.

Un exemplu de problemă care face apel la flexibilitatea gândirii matematice se află la anexă.

Activitatea intelectuală a elevilor în cursul rezolvării acestei probleme este evident creatoare. Ea nu este suficientă fară acel atribut al gândirii, care a fost numit flexibilitate.

c). Originalitatea este un atribut al gândirii creatoare la care mă voi referi mai puțin deoarece își face simțită mai puțin prezența în activitatea elevilor din ciclul primar. "Indiciul originalității îl constituie caracterul neobișnuit al soluțiilor, raritatea lor statistică, ingeniozitatea și caracterul surprinzător al apropierii între cunoștințele utilizate."

d). Și alte forme sau calități ale gândirii contribuie la eficiența actului intelectual creator. Acestea sunt: capacitatea de restructurare a schemelor operaționale, capacitatea de redefinire, gândirea euristică, cunoscută încă din activitate, gândirea probabilistică și analogică, folosite mai ales în știința modernă.

Eu consider că problemele de matematică sunt strâns legate, adesea, prin însuşi enunţul lor, de viaţă, de realitate, de practică, iar prin asta ele generează elevilor un simţ al realităţii de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva problemele practice din viață. Efortul pe care îl face un elev în rezolvarea conştientă a unei probleme presupune o mare mobilizare a proceselor psihice de cunoaştere, volitive, motivaţional-afective. În rezolvarea problemelor gândirea prin operaţiile logice de analiză, sinteză, comparaţie, abstractizare şi generalizare este cel mai solicitat şi antrenat proces cognitiv. Prin rezolvarea de probleme, elevii îşi formează priceperi şi deprinderi de a analiza situaţia dată de problemă, de a intui şi descoperi calea prin care se obţine ceea ce se cere în problemă. Rezolvarea problemelor contribuie astfel la cultivarea şi dezvoltarea capacităţilor creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilităţii ei, a capacităţilor anticipativ-imaginative, la educarea perspicacităţii şi spiritului de iniţiativă, la dezvoltarea încrederii în forţele proprii.

Din punct de vedere pedagogic, eu consider că activitatea de rezolvare a problemelor de matematică contribuie la clasificarea, aprofundarea şi fixarea cunoştinţelor teoretice învăţate. Din experiența mea pot spune că predarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme, subliniindu-se proprietatea, definiţia sau regula ce urmează a fi explicate.

Prin activitatea creativă la matematică elevii îşi formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care vor influenţa pozitiv şi studiul altor discipline de învăţământ, îşi educă şi cultivă calităţile.

De asemenea, activităţile matematice de rezolvare şi compunere a problemelor contribuie la îmbogăţirea culturii generale ale elevilor prin folosirea în textul problemelor a unor cunoştinţe pe care nu le studiază la alte discipline de învăţământ cum ar informaţiile legate de: distanţă, viteză, timp, preţ de cost, cantitate, dimensiune, masă, arie, durata unui fenomen, etc.
Eu consider că rezolvând sistematic probleme de orice tip, elevii îşi formează seturi de priceperi, deprinderi şi atitudini pozitive, care le conferă posibilitatea de a rezolva şi a compune ei înşişi, în mod independent, probleme.
Problemele de matematică prin conţinutul lor, prin tehnicile de abordare în scopul găsirii soluţiei, contribuie la cultivarea şi educarea unor noi atitudini faţă de muncă, la formarea disciplinei conştiente, la dezvoltarea spiritului de competiţie cu sine însuşi şi cu alţii, la dezvoltarea prietenei.

Din punctul meu de vedere rezolvarea problemelor de matematică are efecte benefice și pe planul valorilor autoeducative.
Eu consider că prin enumerarea valenţelor formative în personalitatea elevilor, pe care le generează activitatea de rezolvare şi compunere a problemelor de matematică, se justifică de ce programele şcolare acordă o atât de mare importanţă acestei activităţi şcolare şi de ce eu ca şi viitor cardu didactic îi acord o mare importanţă.
În activitatea personală cu elevii, am constatat că atunci când învățătorul exercită o influență stimulatoare prin îndemnuri, cerințe, apel la perseverență, performanțele creative ale copiilor, în crearea și rezolvarea problemelor cresc.

Educabilitatea creativității.

Este destul de dificil a aprecia dacă creativitatea este educabilă sau nu, trebuie totuși, să încercam să o facem, deoarece de ea depinde dacă tema pe care o tratăm are sau nu o bază de susținere.

La prima vedere prin însăși trăsătura ei definitorie, ca ceva nou și imprevizibil, care sparge șabloanele, creativitatea pare a fi incompatibilă cu ideea de educare deliberată. Skinner afirma că „a invăța adevăratul comportament creator este o contradicție în termeni".

Aceasta aparentă contradicție se explică prin complexitatea procesului de creație, despre care am vorbit mai înainte. Într-adevăr, la o primă vedere, inspirația și perioada de latență sau de activitate subconștiientă, ce o parcurge uneori, s-ar părea că scapă posibilităților educației. Dar să nu uităm că atât incubația cât și iluminarea nu se realizează de la sine, ci sunt pregătite printr-o activitate conștientă, minuțioasă și perseverentă, care nu este posibilă fără o educație corespunzătoare.

Fleming, descoperitorul penicilinei era de părere că „trebuie să lucrăm din greu și să ne cunoaștem bine domeniul, căci o minte nepregătita nu vede mâna pe care i-o întinde întâmplarea".

În stilul său clar și concret, A.D. Loor explică astfel rolul și limitele educației în acest domeniu. „Este absolut sigur că nu va exista vreodată un ghid al creativității astfel alcătuit si indexat, incat sa-1 putem deschide la un anumit capitol pentru a ști ce avem de

făcut sau de gândit in etapa următore. Exista totuși anumite metode si principii călăuzitoare cu caracter general ce se poate aplica in mi uite sau poate chiar in majoritatea problemelor legate de creativitate".

Privitor la problema educabilității creativității putem spune că:

-Toți oamenii cu o dezvoltare normală psihică au dispoziții creatoare, dar nivelul acestora variază de la individ la individ.

-Educarea creativității este posibilă, dar limitată.

-Incubația și inspirația nu pot fi de obicei, influențate direct prin educație.

-Dimpotrivă zestrea intelectulă obținută prin educație are un cuvânt hotărâtor de spus în perioada premergătoare și cea de finalizare.

„Rezolvarea exercițiilor și problemelor – principala activitate prin care se însușesc științele matematice, solicită un efort de gândire independentă șl creatoare. Aș putea spune, pe aceasta bază, că prima calitate formativă a matematicii ar fi aceea de a cultiva de la cea mai fragilă vârstă aptitudini de cercetare științifică".

Activitatea de rezolvare a problemelor are un efect formativ mai evident la clasele mici, unde se pun bazele formării trăsăturilor morale exercitând o influență formtivă asupra elevilor pe toată perioada studiului matematicii.

În zilele noastre, profesorul nu are rolul doar de a educa, ci și de a coordona, de a organiza și de a evalua condițiile și resursele făra de care nu ar fi posibilă realizarea obiectivelor instructiv-educative. Pentru îndeplinirea obiectivelor de la nivelul clasei, profesorul posedă și funcții manageriale. Profesorul îndeplinește funcție managerială, deoarece întreg procesul de învățământ în sine este un proces managerial.

Consider că, la nivelul școlii, relația profesor-elev presupune, de asemenea, îndeplinirea unor funcții de conducere, pe lângă comunicare, un anumit nivel de afectivitate și dezvoltarea unei relații optime pentru îndeplinirea obiectivelor procesului instructiv-educativ, aceste relații fiind considerate, conform lui D. Potolea (1989, p. 128), „noul gordian al oricărei pedagogii practice”.

Profesia managerială are două înțelesuri: pe de-o parte este considerată o ocupație, iar pe de alta indică nivelul de pregătirea al personalului de specialitate, iar în cazul profesorului, care nu face o carieră numai din management, acesta din urmă este parte integrantă a ocupației sale, un atribut, o componentă, observând o ușoară idee de pleonasm în expresia ”profesor-manager”.

Am fost mereu conștient de importanța mea ca învățător, în procesul pregătirii elevilor pe acest conținut matematic și de aceea am acordat atenție sporit atât activității mele de documentare, de proiectare, de realizare, cât și de aplicare efectivă la clasa de elevi.

De asemenea am căutat ca lecțiile să aibă un caracter deschis, și să fie în zona de proximă dezvoltare a elevilor.

De asemenea, am conștientizat faptul că fără o abordare creativă a actului educațional nu se poate obține performanță în învățământ.

II.3. CONSIDERAȚII DIDACTICE.

Cuvântul problemă îşi are originea în limba latină (problema) şi a intrat în vocabularul românesc prin limba franceză (problème).

Din punct de vedere didactic, se consideră drept problemă orice dificultate teoretică sau practică, în care elevul pentru a-i găsi soluţia, trebuie să depună un efort, o activitate proprie de cercetare, în care să se conducă după anumite reguli şi în urma căreia să dobândească noi cunoştinţe şi experienţă.
Din punct de vedere matematic o problemă de matematică este o: “Chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raţionamente, asupra unor date.” Între exercițiu și problemă diferența se face după natura rezolvării, în funcție de prezența sau absența textului din care rezultă date ale problemei și legăturile între aceste date.

În timp ce elevul îşi însuşeşte modalităţi de rezolvare a problemelor, mai generale, și pe măsură ce îi creşte experienţa lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunţuri care constituiau pentru el probleme, devin simple exerciţii.

Rezolvarea problemelor de matematică este fundamentală pentru formarea priceperilor și deprinderilor de aplicare practică a cunoștințelor dobândite, de consolidare și de aprofundare. Tot prin rezolvarea de probleme sm solicitat intens elevilor capacitățile intelectuale, chiar și creativitatea și de aceea are un rol deosebit și important în clasele primare.

Orice problemă pune la încercare capacitățile intelectuale ale elevilor și le solicită toate disponibilitățile psihice, în special creativitatea.

Pentru rezolvarea problemelor de matematică sunt necesare mai multe procedee, moduri de acțiune și deprinderi de muncă intelectuală. Astfel, orientarea activității mentale asupra datelor problemei, separarea datelor cunoscute de cele necunoscute, corelarea lor și selectarea cunoștințelor necesare rezolvării problemei sunt deprinderi care se formează prin exercițiu.

Varietatea problemelor nu duce implicit la disipare, ele putând fi încadrate în anumite categorii, recunoașterea acestei încadrări reprezentând un act creativ.

În activitatea de rezolvare a unei probleme de matematică se parcurg mai multe etape iar la fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor şi de reformulare a problemei. Aceste etape sunt:

1. Cunoaşterea enunţului problemei: în această etapă rezolvitorul trebuie să ia cunoştinţă cu datele problemei, cu legăturile existente între ele şi bineînţeles cu necunoscuta problemei. După citirea textului problemei de către cadrul didactic sau de către elevi, se repetă problema de mai multe ori, până la învăţarea ei de către toţi elevii, scoţându-se în evidenţă anumite date şi legăturile dintre ele, precum şi întrebarea problemei. Apoi se scriu pe tablă şi pe caiete datele problemei.

2. Înţelegerea enunţului problemei: Enunţul problemei conţine informațiile necesare pentru ca elevul să poată formula nişte ipoteze şi să construiască raţionamentul rezolvării problemei, este necesar să cunoască şi să înţeleagă problema. În eunț datele şi condiţia problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei şi sintezei, precum şi a generalizărilor ce au loc treptat, pe măsură ce se înaintează spre soluţie.Direcția este dată de întrebarea problemei în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor. Prin citirea textului problemei și prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acţiuni când este cazul, enunţul problemei este înţeles mai bine de către elevi.

3. Analiza problemei şi întocmirea planului logic și efectuarea operaţiilor corespunzătoare succesiunii judecăţilor din planul logic. În această etapă se elimină aspectele care nu au semnificaţie matematică, se elaborează reprezentarea matematică a enunţului problemei și se construieşte raţionamentul prin care se rezolvă problema. Folosind una dintre metodele de rezolvare ale problemelor de matematică, prin transpunerea problemei într-un desen, într-o imagine sau într-o schemă, prin scrierea relaţiilor dintre ele într-o coloană, se va evidenţia esenţa matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conţinutului ei. Soluţia este descoperită în momentul în care elevii au transpus problema în relaţii matematice, au efectuat operaţiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic de rezolvare, și conştientizează semnificaţiile rezultatelor parţiale care se obţin.

4. Organizarea şi redactarea întregii rezolvări a problemei. Aplicând metodele de rezolvare şi calcul, se va trece în această etapă la redactarea clară şi într-o formă cât mai îngrijită, a întregii rezolvări a problemei. 

5. Activităţi suplimentare: verificarea rezultatului; scrierea rezolvării sub formă de exerciţiu; găsirea altei căi sau metode de rezolvare; generalizare; compunere de probleme după o schemă asemănătoare. Etapa aceasta are o mare importanţă în formarea abilităţilor, a priceperilor şi deprinderilor de a rezolva probleme, deoarece aici intră verificarea soluţiei problemei, găsirea şi a altor metode de rezolvare, cu alegerea celor mai elegante. Putem spune că este etapa prin care se realizează şi autocontrolul asupra felului în care s-a însuşit enunţul problemei, asupra raţionamentului realizat şi a demersului de rezolvare parcurs.

La sfârşitul rezolvării unei probleme, se poate indica, categoria din care face parte problema, se fixează algoritmii ei de rezolvare, se transpune rezolvarea problemei într-un exerciţiu sau, după caz, în fragmente de exerciţiu. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme cu aceleaşi date sau cu date schimbate, dar rezolvabile după acelaşi exerciţiu, cadrul didactic descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o necesitate care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci dimpotrivă, la cultivarea şi educarea creativităţii, la antrenarea permanentă a gândirii elevilor.

Rezolvarea principalelor categorii de probleme aritmetice:

După numărul de operații, problemele aritmetice pot fi clasificarte în: probleme simple (cele rezolvabile printr-o singură operaţie) şi probleme compuse (cele rezolvabile prin cel puţin două operaţii).

Problemele simple sunt specifice clasei I, sunt primul tip de probleme, a căror rezolvare conduce la o adunare sau scădere din concentrele numerice învăţate. De regulă acestea reprezintă soluţionarea unor situaţii problematice reale, pe care copiii le întâlnesc sau le pot întâlni în viaţă și în realitatea înconjurătoare. Din punct de vedere psihologic, rezolvarea unei probleme simple reprezintă un proces de analiză şi sinteză în cea mai simplă formă. În acest sens problema trebuie să cuprindă date (valori numerice şi relaţii între ele) şi întrebarea problemei (ce se cere a fi aflat). La cea mai simplă analiză a întrebării problemei se ajunge la date şi la cea mai simplă sinteză a datelor se ajunge la întrebarea problemei. A rezolva o problemă simplă, înseamnă a cunoaşte bine punctul de plecare (datele problemei) şi punctul la care trebuie să se ajungă (întrebarea problemei), înseamnă a stabili între acestea un drum raţional, o relaţie corectă, adică a alege operaţia corespunzătoare, impusă de rezolvarea problemei.

De aceea predarea oricărui nou conţinut matematic se facae, de regulă, pornind de la o situaţie-problemă care îl presupune. Şi din acest motiv, abordarea problemelor începe suficient de devreme şi este suficient de frecventă pentru a sublinia (implicit, dar uneori şi explicit) ideea că matematica este o cerință a realității înconjurătoare, pe care o reflectă şi pe care o poate soluţiona cantitativ.

Problemele simple sunt:

 -bazate pe adunare, de aflare a sumei a doi termeni, de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unităţi decât un număr dat, probleme de genul cu atât mai mult. 

-bazate pe scădere: de aflare a restului, de aflare a unui număr care să aibă cu un număr de unităţi mai puţine decât un număr dat, de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma şi celălalt termen al sumei, problemele de genul cu atât mai puţin. 

-bazate pe înmulţire: de repetare de un număr de ori a unui număr dat,de aflare a produsului, de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat.

-bazate pe împărţire: de împărţire a unui număr dat în părţi egale, de împărţire prin cuprindere a unui număr prin altul, de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat, de aflare a unei părţi într-un întreg, de aflare a raportului dintre două numere.

Atunci când elevii cunosc numerele naturale dintr-un anumit concentru şi operaţiile de adunare/scădere cu acestea, introducerea problemelor oferă copiilor posibilitatea aplicării necesare şi plauzibile a tehnicilor de calcul, capacitatea de a recunoaşte şi discrimina situaţiile care implică o operaţie sau alta, precum şi exersarea unei activităţi specific umane: gândirea. Stabilirea operaţiei corespunzătoare constituie un proces de gândire dificil, fiind necesară precizarea cazurilor care determină o anumită operaţie, acest lucru realizându-se în urma unei analize pe cât mai multe cazuri particulare.

Copiii pot întâmpina dificultăţi în rezolvarea problemelor simple, din cauza neînţelegerii relaţiilor dintre date (valori numerice), text şi întrebare. Uneori copiii ignoră conținutul problemei deoarece valorile numerice sunt greu legate de conţinut şi de sarcina propusă în problemă şi pentru că numerele exercită asupra copiilor o anumită fascinaţie.

O altă dificultate apare din cauza limbajului matematic, de aceea, una dintre sarcinile importante ale învățătorului este aceea de a învăţa pe copii să traducă textul unei probleme în limbajul operaţiilor aritmetice.

Având în vedere caracterul intuitiv-concret al gândirii micului şcolar, primele probleme ce se rezolvă la clasă sunt prezentate într-o formă cât mai concretă, prin punere în scenă, prin ilustrarea cu ajutorul materialului didactic şi cu alte mijloace intuitive.

Prin rezolvarea de probleme simple elevii conştientizează elementele componente ale problemei, noţiunile de: problemă, rezolvarea problemei, răspunsul la întrebarea problemei mai ales atunci când se prezintă în faţa lor probleme vii, probleme-acţiune, fragmente autentice de viaţă. Din punctul meu de vedere școlarii mici trebuie mai întâi să trăiască problema, ca să înveţe să o rezolve.

În manualul clasei I, prezentarea problemelor se face gradat, trecând de la probleme după imagini la probleme cu imagini şi text și mai apoi la probleme cu text. Introducerea problemelor cu text fiind condiţionată şi de învăţarea de către elevi a citirii/scrierii literelor şi cuvintelor componente.

În manual se sugerează şi modalitatea de redactare a rezolvării unei probleme, urmând ca, în absenţa unui text scris, învățătorul să-i obişnuiască pe elevi să scrie doar datele şi întrebarea problemei. După rezolvarea problemei, menţionarea explicită a răspunsului îi determină pe elevi să conştientizeze finalizarea acţiunii, fapt ce va deveni vizibil şi în caietele lor, unde acest răspuns va separa problema rezolvată de alte sarcini ulterioare de lucru (exerciţii sau probleme).

Deşi rezolvările de probleme simple par uşoare, învățătorul aduce în atenţia copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o singură operaţie aritmetică.

Rezolvarea problemelor compuse nu înseamnă, în esenţă, rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operaţii, ci legătura dintre verigi, constituirea raţionamentului. Știm că este necesară o perioadă de tranziţie de la rezolvarea problemelor simple (cu o operaţie) la rezolvarea problemelor compuse (cu două sau mai multe operaţii). Se pornește de la rezolvarea unor probleme alcătuite din succesiunea a două probleme simple.

În rezolvarea problemelor compuse elevii realizează mersul raţionamentului şi învaţă să elaboreze tactica şi strategia rezolvării prin elaborarea planului de rezolvare a problemei.

Examinarea unei probleme compuse se face, de regulă prin metoda sintetică sau analitică. Cele două metode se pot folosi simultan, metoda analitico-sintetică, sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină îşi impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluţiei. Atât o metodă, cât şi cealaltă constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesivă, duc la găsirea soluţiei finale. Deosebirea dintre ele fiind punctul de plecare al raţionamentului.

O dată cu analiza logică a problemei se formulează planul de rezolvare, plan care se scrie de către cadrul didactic pe tablă şi de elevi pe caietul lor, mai ales la rezolvarea primelor probleme, scopul fiind acela al formării deprinderilor de a formula întrebări şi pentru alte rezolvări de probleme.

O atenție deosebită primesc problemele ce admit mai multe procedee de rezolvare, pentru că prin rezolvarea lor se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea și se formează simţul estetic al şcolarului. Adesea elevii nu observă de la început existenţa mai multor căi de rezolvare, acest rol fiind atribuit nouă, cadrelor didactice care prin tactul pedagogic, prin analiza întreprinsă cu clasa, prin întrebări ajutătoare, îi determinăm pe elevi să se gândească şi la alte modalităţi de rezolvare.

Problemele care se adresează elevilor din ciclul primar se rezolvă după un anumit algoritm specific tipului de problemă, iar o dată identificat tipul problemei și se cunoaște algoritmul specific ei, problema este ca și rezolvată. Aceste probleme se numesc probleme „tipice”, care au rezolvarea algoritmică și se rezolvă cu o anumită metodă. Există și probleme „atipice”, care nu se pretează la aplicarea unei anumite metode de rezolvare iar din punctul meu de vedere acestea sunt ceșe care utilizează creativitatea elevilor și îi ajută la dezvoltarea acesteia.

Metodele aritmetice pentru rezolvarea problemelor de matematică sunt metodele generale sau fundamentale și metodele speciale sau particulare.
Metodele generale sau fundamentale sunt metoda analitică, metoda sintetică și metoda analitico-sintetică.
Metodele speciale cele mai des întâlnite sunt metoda grafică sau figurativă, metoda reducerii la unitate, metoda aducerii la același termen de comparație, metoda falsei ipoteze sau metoda ipotezelor, metoda mersului invers sau metoda retrogradă și metoda rezultatelor intermediare.

Metoda sintezei (Metoda sintetică).

A rezolva o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor spre datele problemei, relațiile dintre ele și gruparea datelor în funcție de acestea, astfel încât să se obțină probleme simple, într-o succesiune logică astfel încât, alcătuite, să se încheie cu acea problemă simplă a cărei rezolvare coincide cu întrebarea problemei date. Putem spune, pe scurt, că metoda sintetică reprezintă rezolvarea unei probleme, plecând de la date spre cerințe.
Metoda sintetică se folosește atunci când trebuie demonstrat un enunț matematic sau să se rezolve diverse probleme de matematică.
Din punct de vedere psihopedagogic, rezolvarea problemelor cu ajutorul metodei sintetice ajută la dezvoltarea gândirii reproductive a elevilor. Dificultatea aplicării acestei metode constă în faptul că elevul trebuie să depisteze și să intuiască datele între care există o legătură matematică, necesare pentru alcătuirea fiecărei probleme simple, este nevoit să găsească date suplimentare sau intermediare necesare pentru formularea fiecărei probleme simple, să formuleze și să rezolve acele probleme simple exact în succesiunea lor logică care în final să îi poată permite să ajungă la concluzia problemei date. Fiind bazată pe gândirea reproductivă, metoda sintetică este ușor accesibilă însă nu ajută foarte mult la dezvoltarea creativității elevilor.

Un exemplu de problemă care se rezolvă prin metoda sintetică ete: În grădina școlii se află 300 de lalele, 100 de garoafe și 150 de crizanteme care aparțin unei clase de elevi. O lalea costă 1 leu, o garoafă costă 0,5 lei, iar o crizantemă costă 1,2 lei. Din banii realizați din vânzarea acestor flori elevii și-au cumpărat manuale. Știind că un manual costă 5 lei, câte manuale au cumpărat elevii?

Se rezolvă astfel:

1. Aplicând metoda sintetică, pornind de la datele problemei știm numărul lalelelor și cât costă o lalea, iar primul pas este să aflăm câți lei au făcut elevii din vânzarea lalelelor: 3001 leu=300 lei;

2. La fel procedăm și în cazul garoafelor deoarece cunoaștem numărul și prețul lor: 1000,5 lei=50 lei;

3. Deoarece se cunoaște numărul crizantemelor și prețul lor se pot afla câți lei au realizat elevii din vânzarea crizantemelor, și anume: 1501,2=180;

4. Aflăm câți lei au realizat elevii în total din vânzarea lalelelor, garoafelor și a crizantemelor: 300 lei+50 lei+180 lei=530 lei.

5. Știind costul unui manual și câți lei au realizat elevii din vânzarea florilor putem afla numărul de manuale cumpărate: 530:5=106.

Metoda analitică.

Rezolvarea unei probleme de matematică prin metoda analitică înseamnă a privi mai întâi problema în ansamblu, apoi pornid de la ce se cere (cerințe, întrebări, relații etc. necunoscute), adică de la concluzie, de la întrebarea ei, prin descompunere în probleme simple din care este alcătuită și prin rezolvarea lor succesivă și logică spre ceea ce se dă(cerințe, întrebări, relații etc. cunoscute), adică spre ipoteze, astfel încât rezolvarea problemelor simple să contribuie la formularea răspunusului pe care îl cere problema. Mai simplu, putem spune că metoda analitică înseamnă abordarea problemei de la cerinte spre date.

La fel ca și în cazul metodei sintetice, gândirea elevilor trebuie dirijată spre datele problemei care trebuiesc privite în ansamblu. În cazul metodei analitice dificultățile întâmpinate de elevi sunt similare cu cele întâmpinate în cazul metodei sintetice, însă din punct de vedere psihopedagogic rezolvarea problemelor prin metoda analitică dezvoltă creativitatea.

Aceste două metode de rezolvare a unei probleme de matematică se află într-o strânsă legătură, deoarece procesul sintetic și/sau analitic nu sunt procese separate, analiza și sinteza (ca și operații ale gândirii) nu sunt separate ci fac parte din acleași proces psihic cognitiv numit gândire. Putem spune că descompunerea unei probleme în probleme simple ce se succed logic este un proces de analiză, iar procesul de sinteză reprezintă realizarea planului de rezolvare al problemei. De aceea, aceste două metode se mai găsesc sub denumirea de metoda analitico-sintetică. În concluzie putem spune că în examinarea unei probleme date poate fi până la un punct sintactică, apoi analitică, sau invers. Fie prin metoda sintetică, fie prin metoda analitică examinarea unei probleme putem observa că planul de rezolvare este același, doar schema de examinare fiind diferită.

Dacă luăm acelați exemplu ca în cazul metodei sintetice, planul de rezolvare este același însă schema de examinare a problemei este următoarea:

Metoda grafică sau figurativă.

În rezolvarea problemelor de matematică, uneori unele relații existente între datele problemei sunt mai puțin evidente iar în anumite situații, utilizând metoda grafică, aceste relații se pot vedea mai ușor. Metoda grafică presupune untilizarea unor elemente grafice, figuri geometrice, scheme, litere și combinații de litere, desene, semne convenționale etc. sau combinații ale acestora, cu condiția să fie adecvate naturii datelor problemei.

Prin utilizarea metodei figurative în rezolvarea problemelor de matematică se facilitează intuiția, permițând deducerea și înțelegerea relațiilor exstente în datele problemei prin transpunerea lor vizuală în grafice. Prin transpunere grafică a datelor problemei metoda grafică dezvoltă gândirea și creativitatea, inventivitatea și experiența rezolvatorului, uneori conducându-l la trepte superioare de abstractizare.

Această metodă se poate aplica unui număr destul de mare de probleme de matematică elementară.

Exemplu 1: Trei prieteni pleacă la mare. Al doilea prieten are jumătate din suma de bani pe care o are primul și încă 4 lei, iar al treilea are cu 8 lei mai puțin decât al doilea. Știind că cei trei au împreună 38 lei, câți lei avea fiecare prieten?

Rezolvare:

I)

II)

III)

Știind că al treilea prieten are cu 6 lei mai puțin decât al doilea, înseamnă că are cu 3 lei mai puțin decât jumătate din suma primului prieten. Dacă al doilea prieten îi dă cei 3 lei celui de-al treilea prieten, înseamnă că fiecare din ei are jumătate din suma primului. Acest lucru înseamnă că al doilea împreună cu al treilea au cât primul. De aici rezultă că primul prieten are 36:2=18 lei, al doilea are 18:2+3=12 lei, iar al treilea 12-6=6 lei.

Metoda ipotezelor sau a falsei ipoteze.

Metoda falsei ipoteze constă în crearea unei ipoteze, pe baza unei presupuneri, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin introducerea datelor ipotetice. La prima vedere această metodă pare o metodă de ghicit răspunsul însă nu acesta este scopul metodei falsei ipoteze, ci de a găsi calea corectă de rezolvare. Metoda falsei ipoteze se utilizează în rezolvarea problemelor care necesită o singură ipoteză, necesită două sau mai multe ipoteze succesive.

De regulă, în rezolvarea problemelor de matematică cu ajutorul metodei falsei ipoteze, se pleacă de la întrebarea problemei, asupra mărimii, făcându-se o presupunere complet arbitrară. Se reface apoi problema pe baza presupunerii făcute anterior. Deoarece mărimile sunt proporţionale, rezultatele obţinute pe baza presupunerii se translatează în minus sau înplus, după cum presupunerea făcută este mai mare, respectiv mai mică decât rezultatul real ajungându-se la un rezultat care nu concordă cu cel real din problemă. El este, fie mai mic, fie mai decât acesta. Se compară rezultatul obținut pe baza presupunerii, cu cel dat, real din punct de vedere al câtului şi se observă numărul greșelilor făcute în presupunere. Se obţine un număr cu ajutorul căruia se corectează presupunerea făcută, în sensul că se măreşte sau se micşorează de acest număr de ori.

Metoda mersului invers. Metoda Retrogradă.

Rezolvarea problemelor sau exercițiilor de matematică prin metoda retrogradă înseamnă a reface calculele în sens invers celor indicate în text, până se ajunge la valoarea inițială pe care s-a construit problema sau exercițiul. De aceea această metodă de rezolvare a problemelor de aritmetică se numeşte a metoda mersului invers, deoarece operaţiile se reconstituie în sens invers acţiunii problemei, adică de la sfârşit spre început, fiecărei operaţii corespunzându-i inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea problemelor care se încadrează în tipul respectiv, cât şi în rezolvarea exerciţiilor numerice care conţin necunoscuta. Rezultă că, nu numai mersul este invers, ci şi operaţiile care se fac pentru rezolvare sunt inverse celor din problemă. Pentru probă se aplică asupra numărului găsit operaţiile indicate în enunţul problemei.

Regula de trei simplă.

Regula de trei simplă înseamnă realizarea unei schemae de aşezare a datelor şi de utilizare a acestor date în orientarea şi desfăşurarea procesului de gândire care intervine în examinarea şi rezolvarea unor probleme cu mărimi proporţionale. În rezolvarea problemelor prin regula de trei simplă intervin două mărimi direct sau invers proporţionale, fiecare mărime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunoscută. În această categorie de probleme se dau trei valori cu ajutorul cărora se găseşte cea de-a patra valoare, de aici și numele pe care îl poartă: regula de trei simplă.

Pentru rezolvarea problemelor de matematică elementară cu regula de trei simplă se așează datele problemei sub forma unei scheme care să aibă scrise pe două linii relațiile ce leagă valorile corespunzătoare mărimilor ce intervin în problemă, în așa fel încât valorile corespunzătoare aceleași mărimi sunt pe aceeași coloană, iar valoarea necunoscută se trece pe a doua linie și a doua coloană.

Se consideră m1 și m2, cele două mărimi ce intervin în problemă, iar valorile corespunzătoare primei mărimi sunt a1 și a2, pentru cea de-a doua b1 și x, atunci avem următoarea schemă:

m1 ………………………. m2
a1 ………………………… b1
a2 ………………………… x

În cazul în care mărimile sunt direct proporționale atunci, , de unde , aceasta se scrie:

a1 ………………………… b1
a2 ………………………… x

În cazul în care mărimile sunt invers proporționale atunci, , de unde , aceasta se scrie:

a1 ………………………… b1
a2 ………………………… x

De reținut faptul că în astfel de probleme apar două mărimi m1 și m2 direct sau invers proportționale și câte două valori ale fiecărei mărimi, a1, b1, a2, x, care se corespund iar una dintre ele este necunoscută și trebuie determinată.

Problemele ce se rezolvă cu regula de trei simplă se pot rezolva și prin metoda proporțiilor și/sau metoda reducerii la unitate.

Exemplu: O motocicletă a parcurs distanța de 300km în 6 ore. Ce distanță va parcurge motocicleta în 10 ore dacă va circula cu aceeași viteză?

Rezolvare:

6 ore ………………………. 300km

10 ore ……………………… x km

Problemele de mișcare.

Problemele de mișcare reprezintă acele probleme în care intervin mărimile spațiu, viteză, timp, se cunosc două dintre ele sau diferite relaţii între acestea.
Timpul se notează cu t și reprezintă numărul de unităţi de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge un spaţiu.
Spațiul se notează cu s și reprezintă lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om, etc.) exprimat în unităţi de lungime (metri, multipli sau submultipli ai acestuia).
Viteza se notează cu v și reprezintă numărul de unităţi de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unităţi de lungime pe unităţi de timp (exemplu: m/s, km/h).
Ecuația care leagă cele trei mărimi este: , numită legea mișcării uniforme, iar din aceasta se deduce că: .
În problemele de mișcare, în general, sunt cunoscute valorile a două dintre cele trei mărimi sau diferite relații dintre acestea și se cere să se găsească valoarea celei de-a treia mărime.

Pentru rezolvarea problemelor de mişcare se pot folosi metodele aritmetice: figurativă, a comparaţiei, a falsei ipoteze, a mersului invers, cât şi cele algebrice, de cele mai multe ori aceste metode fiind întrepătrunse.

Problemele de mişcare se pot clasifica în mai multe grupe:

1) Probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spaţiului, vitezei sau  timpului;  

2) Probleme de mișcare, când deplasarea mobilelor se face în sensuri opuse, purtând și denumirea de probleme de întâlnire;  

3) Probleme de mișcare, când deplasarea mobilelor se face în acelaşi sens, purtând și denumirea de probleme de urmărire.

Exemplu: Un biciclist pleacă dintr-un oraș la ora 6 dimineața pedalând cu 10km pe oră. Cinci ore mai târziu, din același oraș și pe același traseu, pleacă un automobil care merge cu 50km pe oră. Să se afle la ce oră și la ce distanță de oraș automobilul va ajunge biciclistul.

Rezolvare:

Până la plecarea automobilului, în cele 5 ore, biciclistul a parcurs deja
În fiecare oră automobilul se apropie de biciclist cu:

.

Automobilul va ajunge biciclistul după:

Automobilul va ajunge biciclistul la orele: 5h+4h+1 oră și 25 minute=10 ore și 25 de minute.
Automobilul ajunge biciclistul la o distanță de oraș de:

O categorie aparte de probleme sunt problemele atipice sau nonstandard (recreative, rebusistice, de perspicacitate), a căror rezolvare nu se supune exigenţelor vreunui criteriu de clasificare discutat până acum şi care nu permit aplicarea unei metode (învăţate). În această categorie de probleme, în faţa cărora, după citirea enunţului, rezolvitorul, chiar şi cel cu experienţă, nu reuşeşte să le introducă în algoritmul vreunei metode de rezolvare bine ştiute. În această situaţie, gândirea şi imaginaţia sunt intens solicitatea, dezvolând capacitățile creatoare ale elevului. Aceste probleme ajută la dezvoltarea creativității deoarece nici o problemă nu seamănă cu alta, de fiecare dată rezolvitorul fiind obligat să găsească o anume cale de rezolvare proprie fiecărei probleme.

Cel mai întâlnit exemplu de problemă atipică este Problema celor 5 pâini a lui I. Creangă, în care ne spune că trei drumeți se ospătează, primul având 3 pâini, al doilea 2 pâini, iar al treilea niciuna. Drept plată, ultimul le dă celorlalți doi, suma de 5 lei și pleacă. Cum trebuie să-și împartă această sumă, primii doi drumeți, știind că au mâncat toată pâinea, toți trei în mod egal?

Rezolvare:

Putem considera că valoarea totală a pâinlor ca unitate, iar astfel fiecare drumeț a mâncat . Cele 3 pâini ale primului drumeț valorează din unitate, iar cele două pâini ale celui de-al doilea drumeț valorează din unitate. De aici reiese că surplusul primului drumeț valorează , iar surplusul celui de-al doilea drumeț valorează . Rezultă că suma celor două surplusuri este , este mâncată de al treilea drumeț, ceea ce înseamnă că reprezintă valoarea celor 5 lei plătiți de acesta. De aici rezultă că primului drumeț îi revin 4 părți, adică 4 lei, iar celui de-al doilea drumeț îi revine o singură parte, adică un leu, din suma plătită de drumeșul al treilea.

Eu consider că rezolvarea problemelor de matematică este una din cele mai sigure căi ce duce la dezvoltarea gândirii, imaginaţiei, creativității, atenţiei şi spiritului de observaţie al elevilor. Această activitate le solicită elevilor foarte mult capacităţile intelectuale, le solicită acestora toate disponibilităţile psihice, în special inteligenţa și creativitatea, motiv pentru care, programa de matematică din ciclul primar acordă rezolvării problemelor o importanţă deosebită. Aceasta este evidenţiată de faptul că unul dintre cele patru obiective cadru ale programei este centrat pe acest tip de activitate. Din punct de vedere pedagogic nu este vorba de a parcurge cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a-i crea elevului situaţii noi de învăţare, la care să răspundă cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare şi investigaţie și mai ales dezvoltarea creativității.

Din punctul meu de vedere în rezolvarea problemelor sunt mobilizate atât procesele de cunoaştere cât și întreaga personalitate a celui ce rezolvă problema, în toate coordonatele ei raţionale, afective, volitive.

În actualul curriculum noul obiectiv este crearea condițiilor favorabile fiecărui elev de a-I forma și dezvolta competențele într-un ritm individual, de a-I transfera cunoștințele acumulate dintr-o zonă de studiu la alta.

Este promovată intens învățarea activă, care este conform dicționarului, un proces de învățare calibrat pe interesele / nicelul de înțelegere / nivelul de dezvoltare al participanților la proces. În cadrul învățării active, se pun bazele unor comportamente observabile cum ar fi:

-comportamente ce denotă participarea activă a elevilor la ore, răspunde la întrebări, formulează întrebări și ia parte la activități;

-gândirea creativă, elevul are propriile sale sugestii, idei, propune noi interpretări, variante;

-învățarea aplicată, elevul devine capabil să aplice o strategoe de învățare într-o anumită situație de învățare;

-construirea cunoștințelor, în loc să fie pasiv, elevul îndeplinește sarcinile date, care îl vor conduce la înțelegere.

Printre metodele care dezvoltă creativitatea sunt și cele prin care elevii lucrează productiv unii cu alții, își dezvoltă abilități de colaborare și se ajută reciproc. Eu consider că aceste metode au un impact mare asupra elevilor datorită denumirilor foarte ușor de reținut, caracterului ludic și oferind alternative de învățare cu „lipici” la copii.

Dezideratele de modernizare și de perfecționare a metodologiei didactice se înscriu pe direcțiile sporirii caracterului activ, creativ, al metodelor de învățământ, în aplicarea unor metode cu un pronunțat caracter formativ, în verificarea noilor tehnologii instrucționale (platforme e-learning), în problematizarea fiecărei metode și tehnici de învățare, reușind astfel să aducă o însemnată contribuție la dezvoltarea întregului potențial al elevului.

Învățământul modern preconizează o metodologie axată pe acțiune, operatorie, deci pe promovarea metodelor interactive care să solicite mecanismele gândirii, ale inteligenței, ale imaginației și a creativității.

O serie de metode didactice folosite pentru stimularea creativității sunt următoarele:

-Brainstorming;

-Starbursting (Explozia stelară);

-Metoda Pălăriilor gânditoare (Thinking hats-Edward de Bono);

-Caruselul;

-Multi-voting;

-Masa rotundă;

-Interviul de grup;

-Studiul de caz;

-Philips 6/6;

-Tehnica 6/3/5;

-Controversa creativă;

-Fishbowl (tehnica acvariului);

-Tehnica focus grup;

-Patru colțuri (Four corners);

-Metoda Frisco;

-Sinectica;

-Buzz-groups;

-Metoda Pannel (Metoda Panourilor).

Brainstorming-ul este una dintre cele mai răspândite metode în stimularea creativității. Etimologic, brainstorming, provine din engleză, din cuvintele brain (creier) și storm (furtună), plus desinența ing specifică limbii engleze, ceea ce înseamnă furtună în creier, eferveșcență, aflux de idei, o stare intensă de activitate imaginativă, creatoare. Un principiu al brainstorming-ului este cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei valabile ți inedite este necesară o productivitate creativă cât mai mare.

Brainstorming-ul este prezent chiar și în activitatea de compunere de probleme de matematică. În momentul când în fața elevului așezăm două numere și îi cerem să formuleze o problemă în care să le integreze, în mintea acestuia apar o avalanșă de idei, de operații matematice cărora le-am putea asocia enunțul unei probleme. În scopul stimulării creativității, trebuie apreciat efortul fiecărui elev și să nu se înlăture nici o variantă propusă de aceștia, aceasta fiind o regulă de bază a brainstorming-ului.

De exemplu, se poate cere elevilor să compună o problemă folosind numerele 40, 52, 2, utilizând trei operații matematice.

Prin folosirea acestei metode se provoacă și se solicită participarea activă a elevilor, se dezvoltă capacitatea de a trăi anumire situații, de a le analiza, de a lua decizii în ceea ce privește alegerea soluțiilor optime și se exersează atitudinea creativă și exprimarea personalității.

Modalitățile didactice prin care elevlu este pus în situația de a căuta și descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior, sunt denumite „metode euristice”. În cadrul lor întâlnim de mai multe ori încadrate orientările didactice moderne (modelare, problematizare, învățare prin descoperire). De fapt este vorba atât de metode euristice, de tehnici de mobilizare a intelectului și atitudinilor favorabile rezolvării problemelor necunoscute sau nonstandard. În categoria acestor strategii se înscriu metodele de predare-învățare care privesc atât activitatea elevului, cât și pe cea a învățătorului, cât și care-și sporesc eficiența formativă cu cât îi dezvoltă creativitatea elevului.

Un exemplu este angajarea mai adâncă a gândirii elevului, care în clasele mici îl constituie activitățile de elaborare sau de transformare a unui sistem sau structuri pe baza unui model dat. Un alt exemplu îl costituie rezolvarea și compunerea de probleme care să întrunească anumite condiții date de învățător.

CAPITOLUL III

PRECIZAREA IPOTEZEI GENERALE ȘI A IPOTEZELOR PARTICULARE. OBIECTIVELE ȘI METODOLOGIA CERCETĂRII.

Dezvoltarea creativității prin rezolvarea și compunerea de probleme în cadrul lecțiilor de matematică, constituie un element important în realizarea finalităților propuse, deci în obținerea progresului școlar.

Procesul de predare-învățare a oricăror noțiuni de matematică elementară, deci și a operațiilor aritmetice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor naturale, rezolvarea și compunerea de probleme de matematică, trebuie să țină seama de aspectele specifice, de cerințele curriculumului actual, adaptat la nivelul clasei, dar mai ales de faptul că neînțelegerea lor corespunzătoare poate avea repercursiuni negative asupra nivelului de cunoștințe, priceperi și deprinderi matematice ale elevului, afectându-i decisiv pregătirea științifică în general.

Plecând de la importanța actului creativ, în general, educarea creativității și mai ales dezvoltarea creativității prin activitatățile de compunere și rezolvare a problemelor de matematică, în cercetarea mea, am formulat următoarele ipoteze.

Ipoteza generală: Dacă aș implementa o strategie didactică bazată pe metode didactice moderne pentru educarea creativității, atunci aș reuși să îi fac pe elevii mei să își dezvolte latura creativă prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică ?.

Plecând de la ipoteza generală am formulat următoarele ipoteze particulare:

I1. Dacă aș folosi în cadrul activităților de predare-învățare, metode didactice moderne și ingenios combinate, atunci aș reuși să asigur o mai bună asimilare a diferitelor metode de rezolvare a problemelor de matematică ?.

I2. Dacă aș folosi metode didactice moderne de evaluare focalizate pe creativitate, în cadrul activităților de rezolvare a problemelor de matematică, atunci aș reuși să îi determin pe elevii mei să își dezvolte semnificativ nivelul de creativitate ?.

I3. Dacă aș folosi frecvent metode didactice de dezvoltare a creativității, care să vizeze compunerea de probleme de matematică, atunci aș reuși să le dezvolt elevilor mei interesul pentru conținuturile matematice în cauză și să îi fac să își folosească întreg potențialul lor creator în activitățile de rezolvare și compunere a problemelor ?.

Folosindu-mă de ipotezele enunțate anterior am formulat următoarele obiective pentru tema mea de cercetare:

O1. Să folosesc metode didactice moderne de dezvoltare a creativității, astfel încât să asigur o mai bună asimilare a diferitelor metode de rezolvare a problemelor de matematică.

O2. Să folosesc metode didactice moderne de evaluare, focalizate pe creativitate în cadrul activităților de rezolvare a problemelor de matematică, astfel încât să îi determin pe elevi să își dezvolte nivelul de creativitate.
O3. Să folosesc metode moderne didactice de dezvoltare a creativității astfel încât să le dezvolt elevilor interesul pentru conținuturile matematice în cauză și să îi fac să își folosească întreg potențialul lor creator în activitățile de rezolvare și compunere a problemelor.

În cercetarea prezentă am folosit următoarele tipuri de metode de cercetare:

1. Metode pentru sesizarea problemei, clarificarea bazei teoretice și a stadiului cercetării ei, formularea ipotezei și a obiectivelor: tehnicile de documentare și studiu independent, metodele logice de analiză și interpretare (hermeneutica), tehnici de creativitatea individuală și în grup, metoda comparativă, metoda istorică;

2. Metode pentru acumularea empirică și științifică a datelor, în diferite faze ale cercetării: observația, analiza produselor activității elevilor (educaților), analiza documentelor școlare (instituționale), tehnicile sociometrice (ancheta, convorbirea, chestionarul, interviul, testul sociometric, metoda aprecierii obiective), metoda panel, metoda biografică, studiul de caz, tehnici de înregistrare audio-video;

3. Metode pentru introducerea, aplicarea măsurilor ameliorative, de intervenție educativă, verificarea ipotezei: experimentul pedagogic (constatativ, ameliorativ, de verificare, de dezvoltare), cercetare-acțiune (panel);

4. Metode pentru interpretarea parțială sau finală a rezultatelor: metodele de interpretare cantitativă, măsurare (metode, tehnici statistice), metodele de interpretare calitativă, de apreciere (metoda diferențelor, a concordanțelor,a variațiilor concomitente, a comparației criteriale, a rămășițelor, metodele deductive, de interpretare teoretică);

5. Metode pentru finalizarea cercetării, valorificarea rezultatelor: tehnicile specifice de redactare, de comunicare, de generalizare, prin intermediul formelor de formare continuă a cadrelor didactice.

Metoda observației este o metodă de bază în realizarea unei cercetări.

Această metodă constă în consemnarea comportamentelor, răspunsurilor, efectelor la anumite acțiuni, fapte, intervenții provocate. Am început să folosesc această metodă de cercetare încă din primul an de facultate, în cadrul practicii în învățământul primar și preșcolar, lucru care m-a ajutat foarte mult în realizarea cercetării mele. Folosind metoda observației am urmărit atent și sistematic diverse procese și acitivități așa cum se desfășoară ele în mod obișnuit, în scopul de a le înregistra cât mai exact.

Ori de câte ori am utilizat observația am realizat o pregătire prealabilă în legătură cu ce anume trebuie observat, deci am întocmit un plan de observație care a cuprins:

-precizarea obiectivelor;

-momentele lecțiilor de matematică în care am aplicat metoda;

-metodele folosite pentru dezvoltarea creativității în rezolvarea și compunerea de probleme de matematică;

-crearea unor condiții pentru a nu altera desfășurarea naturală a fenomenelor supuse observației;

-repetarea acelorași observații în condiții și împrejurări variate.

Prin urmare, la nivelul observației am consemnat răspunsurile, comportamentele copiilor, precum și efectele în ceea ce privește faptele și acțiunile; am recurs la un plan conceput anterior, însă am reținut și faptele modificate; am consemnat ideile conturate care prezintă un rol explicativ care ar fi putut modifica ipotezele mai sus formulate; am pretestat grila realizată pentru o perfectare la nivel de instrument operațional; am urmărit să diversific modalitatea de consemnare; prin această metodă am antrenat spiritul de observație, am urmărit consemnarea în timpul desfățurării, evitând selectarea în mod subiectiv a datelor; am îmbinat observația spontană cu cea intenționată, neintervenind în timpul desfășurării fenomenului.

Am îmbinat observația spontană cu cea intenționată sau cu alte metode cum ar fi convorbirea, testarea, analiza produselor activității elevilor etc.

În ceea ce privește convorbirea, am pus la punct un plan anterior, format din probleme-întrebări, lăsând libertate de reorganizare, în momentul discuției libere; m-am comportant natural în realizarea dialogului, evitând situațiile artificiale, precum și blocajele; am creat un climat propice de încredere, cât și un climat optim pentru o bună desfășurare a conversației spre o participare deschisă a preșcolarului; am notat atitudinea copiilor, precum și răspunsurile.

Convorbirea a fost utilizită în cercetarea mea pedagogică sub formă de anchetă realizată oral. Aceasta a reprezentat calea de intercomunicare nemijlocită de a mea, ca cercetător, cu elevii mei. Cu ajutorul acestei metode am stabilit:

-influența anumitor situații problematice;

-stadiul la care se află elevii în procseul înțelegerii și însușirii operațiilor aritmetice cu numere naturale, a metodelor de rezolvare și compunere de probleme și a celorlalte noțiuni conexe cu acestea;

-gradul de participare activă al elevilor la lecție;

-nivelul creativității elevilor în activitatea de compunere a problemelor de matematică.

Am combinat această metodă cu metoda observației.

Testul este o probă, prin care se măsoară într-un timp relativ scurt nivelul de pregătire al copiilor privind un anumit conținut matematic. Verificarea curentă a progresului școlar, care se produce la intervale scurte, poate fi realizată cu ajutorul unor tipuri de teste didactice sau probe de cunoștințe. Avantajul pedagogic principal pe care îl oferă testul sau proba de cunoștințe constă în caracterul analitic precis cuantificat, al conținutului, definit cantitativ și calitativ. În acest sens elevul poate face dovada stadiului atins în pregătirea sa la o secvență a programei precis definită. Unitatea de performanță exprimată de test este itemul. Testul trebuie să verifice nu numai pregătirea elevului, ci și calitatea învățătorului. În acest caz, testul trebuie astfel conceput, încât să ceară elevului să rezolve un singur tip de sarcini, date gradat.

Testele folosite de mine, au vizat seturile de întrebări (de itemuri) urmărind înregistrarea și evaluarea randamentului școlar în ceea ce orivește rezolvarea și compunerea de probleme de matematică și a noțiunilor conexe în concordanță cu cerințele curriculare. Aceste teste au măsurat realizarea obiectivelor dintr-o secvență instrucțională bine delimitată și au vizat atât o evaluare inițială, o evaluare pe parcursul cercetării, cât și o evaluare finală, pentru a măsura eficiența demersului ameliorativ.

Am căutat să aplic și să evaluez corect testul, încercând să fiu cât mai obiectiv în aprecieri. Testele au fost aplicate gradat, astfel încât mi-au permis să-mi formez o imagine cât mai corectă privind nivelul de pregătire al fiecărui copil în parte.

Am respectat etapele elaborării unui test:

stabilirea ariei curriculare;

elaborarea testului;

aplicarea testului;

evaluarea și interpretarea rezultatelor.

Testele pe carea le-am aplicat au fost concepute în concordanță cu:

scopul pe care l-am urmărit;

aria curriculară stabilită;

nivelul de pregătire al grupei de copii la momentul respectiv;

standardele impuse.

Am utilizat:

teste de evaluare inițială;

teste pe parcursul demersului didactic;

teste de evaluare finală

Toate aceste teste le-am utilizat pentru determinarea nivelului cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor copiilor vizânad conceptul de număr natural și adunarea și scăderea numerelor naturale.

Am aplicat teste în combinație cu alte metode în ideea de a obține date cât mai concludente.

În ceea ce privește metoda chestionarului, în momentul aplicării metodei chestionarului, am făcut constatări în privința aspectelor problemei, analizând într-un mod mai detaliat atitudinile, opiniile, cât și motivațiile elevilor; am formulat întrebări accesibile, din punct de vedere calitativ, ordonate progresiv și adaptate nivelului de dezvoltare psihică și nivelului de pregătire al preșcolarilor, fără să denote ambiguitate; am aplicat chestionare care presupuneau întrebări deschise, întrebări închise, răspunsuri la alegere sau completarea ideilor; am ordonat întrebările în mod progresiv și logic; la nivel de implicarea, am avut atitudine neutră.

În ceea ce privește analiza produselor activității elevilor am studiat fiecare produs al activității independente a preșcolarului, atât din clasă, cât și de acasă, cum ar fi: desene, fișe de lucru, probe de evaluare, pentru a determina nivelul de pregătire a elevilor în raport cu obiectivele cercetării, nivelul îndrumării, dificultăților, efectelor măsurilor luate, posibilitățile de ameliorare. Cum datele obținute au fost foarte importante pentru a măsura eficiența demersului ameliorativ, le-am acordat întreaga atenție.

Am studiat și am analizat, de asemenea:

-cataloagele școlare;

-fișele psihopedagogice ale elevilor la clasee luate în studiu;

-planurile de învățământ;

-programele școlare;

-didacticile de specialitate;

-analizele și planurile de învățământ ale conducerii școli.

La nivelul studiului documentelor școlare, am utilizat această metodă pentru a analiza comparativ rezultate, evoluția elevilor, cât și experiențele semnalate.

În ceea ce privește interpretarea cantitativă, am numărat cazurile asemănatoare, precum și răspunsurile; am calculat media ritmetică și am raportat totul unui barem, în cele din urmă reprezentând grafic, iar la nivelul metodelor de interpretare calitativă am urmărit evitarea greșelilor, printre care: formularea unor noi ipoteze în urma unor date incomplete sau generalizarea facilă.

În ceea ce privește valorificarea rezultatelor cercetării, am delimitat materialul prezentabil din întreg, am întocmit un plan de prezentare, am redactat prima versiune, urmând perfecționarea ei, în cele din urmă am reluat definitiv pentru a dăuga aprecieri, completări, perfecționa din punct de vedere stilistic și pentru a reordona.

Din punct de vedere al experimentului pedagogic, care este cea mai complexă metodă, ce urmărește ameliorări de amploare, diferențele față de experiența curentă sunt ipoteza, variabilele, timpul de verificare, planificarea intervenției, a consemnării datelor.

În cadrul experimentului pedagogic, am corelat această metodă cu alte metode din punct de vedere organizatoric, al desfășurării, al finalizării și dezvoltării; am stabilit procedeul metodic, așteptările, condițiile realizării experimentului, precum și aspecte legate de datele obținute.

Dintre toate tipurile de experimente: constatativ, aplicativ-formativ, de verificare (în funcție de etapele cercetării), individuale sau colective (în funcție de persoanele antrenate), natural și de laborator (în funcție de condițiile de aplicare), educative și instructive (în funcție de problematica pedagogică), de lungă sau scurtă durată (în funcție de timpul folosit în experiment), am aplicat la nivelul ciclului preșcolar următoarele experimente pedagogice:

Mi-am ales un eșantion, care este omogen din punct de vedere al temei, și eterogen din punct de vedere compozițional.

În cadrul experimentului meu, am încercat să evit apariția anumitor greșeli, cum ar fi: să caut confirmarea cunoștințelor, implicarea mea subiectivă în experiment, aplicarea greșită a tipului de experiment, o interpretare greșită a datelor, o implicare incorectă a tehnicilor care privesc alegerea eșantionului.

Am urmărit ipoteza cercetării și a obiectivelor stabilite. Am realizat analize comparative privind rezultatele elevilor, modul de acțiune al factorilor școlari implicați, am căutat să identific ce aspecte sunt importante pentru activitățile din ciclul primar (cu privire la materialul didactic, la implicarea în rezolvarea de probleme practice, la evaluarea ca parte integrată a instrucției etc.)

Dar experimentul pedagogic a fost cea mai importantă metodă de cercetare utilizată. Această metodă a presupus acțiuni educative și ameliorative de amploare, având caracater dominant în verificarea ipotezei și în construirea, pe parcurs, a ipotezelor parțiale.

Am stabilit ce procedee metodice se pot introduce experimental, ce se așteaptă, în ce condiții, cum se exprimă datele, cum se verifică validitatea lor, cum se interpretează.

Am acordat o atenție deosebită identificării și urmăririi variabelelor independente, variabilelor dependente (ca răspuns la acțiunea celor independente) variabilelor intermediare, dar și variabilelor perturbatoare.

Am urmărit atât aspecte legate de funcția gnoseologică, cât și de funcția practică.

Am ținut seama de cele trei etape ale acestei activități de cercetare, adică ale prezentului meu experiment ameliorativ de cercetare:

-etapa pregătitoare, în care am studiat condițiile în care se va desfășura cercetarea, am stabilit factorul experimental și am precizat strategia aplicării lui;

-etapa de efectuare, care a constat în desfășurarea propriu-zisă a experminetului;

-etapa de evaluare, în care am înregistrat, măsurat și interpretat rezultatele experimentului.

Am acordat toată atenția respectării etapelor experimentului pedagogic, a cerințelor fiecărei etape în parte, a determinării cât mai corecte și mai obiective a variabilelor ce au intervenit etc.

Am desfășurat activitatea de cercetare la două clase a III-a B: o clasă experiment (clasa de practică de la Școala Mircea Eliade, Craiova) și o clasă de control (clasa a III-a A), clase aproximativ egale sub toate aspectele dar mai ales ca nivel de pregătire al elevilor. La clasa de contro, procesul de predare-învățare-evaluare s-a desfășurat în condiții obișnuite, în timp ce la clasa experiment am aplicat factorul ameliorativ.

Datele culese în cadrul experimentului realizat au fost prelucrate și interpretate prin metode matematico-statistice (histograme, grafice, tabele, reprezentări cu sectoare, cu dreptunghiuri etc.).

Am căutat și am reușit să respect cerințele și să evit greșelile, astfel încât să asigur obiectivitatea rezultatelor experimentului, deci validitatea concluziilor științifice.

În urma tuturor activităților desfășurate am probat că factorul ameliorativ implementat a fost unul eficient.

CAPITOLUL IV

PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA REZULTATELOR.

Activitatea de cercetare a vizat trei etape:

-etapa de evaluare inițială a pregătirii elevilor privind operațiile aritmetice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor naturale și metodele de rezolvare și compunere a problemelor de matematică;

-enunțarea și verificarea ipotezelor parțiale și evidențierea unor contribuții personale;

-etapa de evaluare finală cu privire la însușirea de către elevi a operațiilor aritmetice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor naturale și a metodele de rezolvare și compunere a problemelor de matematică;

În etapa de evaluare inițială am realizat o serie de acțiuni pentru a determina cât mai precis condițiile de lucru (nivelul inițial de pregătire al elevilor elevilor cu privre la însușirea noțiunilor, proprietăților, regulilor, algoritmilor legate de operațiile aritmetice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor naturale, tehnicile de lucru și metodeloede rezolvare și compunere a problemelor de matematică, depistarea dificultăților, greșelilor, erorilor, confuziilor, neînțelegerilor etc. și a cauzelor ce le determină);

Activitatea de cercetare a vizat două clase și anume a III-a: o clasă experiment (clasa de practică, clasa a III-a B, de la Școala Mircea Eliade, Craiova) și o clasă de control (clasa a III-a C, de la Școala Mircea Eliade, Craiova), clase aproximativ egale sub multe aspecte, dar în special ca nivel de pregătire al elevilor. La clasa de control, procesul de predare-învățare-evaluare s-a desfășurat în condiții obișnuite, în timp ce la clasa experiment am aplicat o serie de soluții ameliorative. Am aplicat apoi o probă de evaluare finală, iar rezultatele obținute de elevii clasei-experiment la această probă au fost prelucrate și comparate cu rezultatele obținute la proba de evaluare inițială și cu rezultatele elevilor de la clasa de control, pentru a trage concluziile corespunzătoare privind eficiența soluțiilor ameliorative implementate.

Activitatea mea de cercetare s-a desfășurat pe parcursul a șapte luni.

Voi prezenta în cele ce urmează fiecare etapă în parte, cu evidențierea rezultatelor obținute privind ameliorarea procesului de predare-învățare-evaluare a operațiilor aritmetice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor naturale, din perspectiva utilizării unor strategii moderne și adecvate de dezvoltare a creativității prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică în cadrul lecțiilor de aritmetică și pe aceste conținuturi.

IV.1. PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR EVALUĂRII STADIULUI INIȚIAL DE PREGĂTIRE A ELEVILOR.

În etapa inițială am stabilit clasele de control de la alte școli din oraș, cu elevi având la matematică aproximativ același nivel de pregătire cu cel al elevilor din clasa experimentală.

Pentru a determina stadiul inițial de pregătire al elevilor cu privire la însușirea metodelor de rezolvare și compunere a problemelor de matematică am întreprins o serie de acțiuni precum: asistențe la ore, discuții cu cadrele didactice ale claselor de control, studiul cataloagelor școlare, studiul caietelor de clasă și de teme ale elevilor, evaluarea produselor lucrărilor practice și aplicative realizate de elevi, teste și lucrări de control, urmate de consemnarea rezultatelor, studiul documentelor comisiilor metodice și studiul documentelor conducerii unității de învățământ etc.

Am analizat și identificat dificultățile, obstacolele, confuziile etc. din pregătirea anterioară a elevilor (cu privire la rezolvarea și compunerea de probleme de matematică), precum și cauzele generatoare.

Am realizat o analiză a decalajelor existente, atât între elevi (decalaje existente datorită nivelului diferit de cunoștințe, aptitudini, motivații, mediul social, structura familiei etc.), cât și pe diferite aspecte matematice vizând metodele de rezolvare și compunerea a problemelor de matematică în cazul aceluiași elev.

Pentru cunoașterea nivelului inițial al cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor elevilor cu privire la rezolvarea și compunerea de probleme de matematică, am elaborat și aplicat, pe lângă alte metode, o serie de teste și de fișe de lucru conținând probleme cât mai variate, atât teoretice, cât și apicative, concepite atent și în concordanță cu cerințele curriculumului național și standardul pe care l-am stabilit.

De asemenea, am urmărit respectarea cerințelor impuse de realizarea unui experiment pedagogic și anume neinfluențarea în nici un fel a rezultatelor obținute de elevi la proba de verificare inițială, alegerea corectă a clasei experiment și a clasei de control precum și stabilirea standardului după criterii obiective.

Mi-am stabilit direcțiile pe care voi acționa, cu ce mijloace, în ce fel, am căutat și identificat soluțiile optime în funcție de greșelile depistate, de nivelul general al claselor și de situația concretă.

Pentru evitarea confuziilor, erorilor, greșelilor, am consemnat corect și obiectiv rezultatele elevilor, le-am interpretat prin raportarea obiectivă la standard.

Rezultatele testului de evaluare inițială, aplicat atât la clasa experiment, cât și la clasa de control, se pot observa în tabelele ce urmează:

CLASA DE CONTROL ( TOTAL ELEVI 25)

CLASA DE EXPERIMENT ( TOTAL ELEVI 20)

Procentual, rezultatele sunt:

CLASA DE CONTROL ( TOTAL ELEVI 25)

CLASA EXPERIMENT ( TOTAL ELEVI 20)

După obiectivele urmărite, rezultatele obținute, la clasa de control și la clasa experiment, au fost următoarele:

Numeric (câți elevi au îndeplinit obiectivul):

Pocentual (ce procent din numărul total de elevi au îndeplinit obiectivul):

Din analiza comparativă a rezultatelor obținute de elevii celor două clase cuprinse în cercetare, după aplicarea probei de evaluare inițială și în urma tuturor celorlalte activități realizate în vederea stabilirii nivelului de pregătire al elevilor, aceste clase au fost de nivel cel mai apropiat, atât per ansambul, cât și individual.

În concluzie, am constatat că:

-un număr mare de elevi nu au rezolvat corect problemele nonstandard;

-un număr mare de elevi nu au dovedit un nivel corespunzător de creativitate pentru compunerea de probleme de matemtică;

-un număr mare de elevi nu cunoștea și nu aplicau la un nivel satisfăcător metodele, regulile, aloritmii, procedeele de calcul și de lucru folosite în rezolvarea de probleme de matematică;

-mulți elevi nu aveau deprinderi și abilități de calcul (propriu-zis sau mintal, scris sau oral) legate de rezolvarea și compunerea problemelor de matematică;

-mulți elevi nu aveau deprindreile corespunzătoare privind tehnicile de calcul și de lucru legate de rezolvarea și compunerea de probleme de matematică.

Având în vedere aceste constatări, mi-am stabilit următoarele direcții prioritare:

-consolidarea cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor legate de compunerea și rezolvarea de probleme de matematică;

-consolidarea metodelor, regulilor, algoritmilor, procedeelor și tehnicilor de calcul și de lucru legate de rezolvarea și compunerea de probleme de matematică;

-realizarea unui nivel corespunzător de creativitate în lecții a elevilor mei, pe conținutul matematic stabilit, vizând metode de rezolvare și compunere a problemelor de matematică, prin utilizarea unor metode didactice moderne de dezvoltare a creativității, a unor metode didactice care să fie active și interactive, eficiente și adecvate, individuale și de grup.

IV.2. ENUNȚAREA IPOTEZELOR PARȚIALE. CONTRIBUȚII ADUSE TEMEI ÎN STUDIU.

În urma constatărilor făcute în vederea evaluării inițiale și în concordanță cu ipoteza generală și cu ipotezele parțiale, am formulat, pornind de la obiectivele stabilite, câteva ipoteze parțiale.

Cum examinările orale sunt aproape întotdeauna însoțite de prea multe întrebări ajutătoare din partea cadrului didactic, am constatat că elevul, în loc să fie lăsat să își dea singur seama de rezolvarea problemei, în ansamblul ei, este condus pas cu pas de către acesta. Practica psihopedagogică evidențiază că o astfel de examinare orală are efecte nedorite asupra gândirii elevului (deoarece efortul solicit este redus la minim), asupra gradului de mobilizare în a rezolva problema (elevul știe că, indiferent cât efort depune, mai mult sau mai puțin, cu ajuorul cadrului didactic, tot va ajunge la rezultat) și, nu în ultimul rând, asupra gradului de creativitate și, în final, asupra deprinderilor de muncă independetă. Am formulat în consecință ipoteza ce urmează.

Dacă aș înlocui, ori de câte ori este posibil, examinarea tradițională orală, bazată pe multe întrebări ajutătoare adresate elevului de către cadrul didactic, cu examinarea bazată pe efort propriu și pe dezvoltarea creativității a fiecărui elev în lecție, atunci aș reuși să-i fac pe elevii mei să fie mai motivați în rezolvarea de probleme și mai creativi în compunerea de probleme de matematică și în consecință să le ridic nivelul de performanță?

În acest sens, am realizat un test de evaluare scris, bazat pe munca independetă și prezint pe scurt în cele ce urmează rezultatele obținute în urma acțiunilor întreprinse, la tesul final aplicat, comparativ cu rezultatele la testul inițial.

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

Vâzând că elevii au dificultăți la compunerea problemelor de matematică în care se dau doar date, doar relații sau doar valori ale numerelor cu care se operează, care implică un limbaj matematic abstract, am forumlat următoarea ipoteză parțială.

Dacă aș folosi un material didactic și exemple din realitatea înconjurătoare, mai prietenoase, mai interesante și mai distractive, cu imagini, desene și grafice, adapte nivelului lor de vârstă și în concordanță cu obiectivele urmărite, atunci aș reuși să îi fac pe elevi să fie mai creativi și mai activi în activitățile de compunere de probleme de matematică.

După ce am formulat această ipoteză parțială am insistat, la fiecare problemă mai complexă sau mai dificilă abordată în activitățile matematice realizate, pe modul în care se pot reduce diverse cazuri noi, necunoscute, la cazuri deja cunoscute. Pentru aceasta am realizat și am inserat în lecție metode active și interactive, individuale și de grup, am utilizat un material didactic cât mai sugestiv, am realizat o schemă a problemei împreună cu elevii și apoi am aplicat un set de fișe cu probleme relativ asemănătoare, până când am constatat că s-a ameliorat situația.

În tot ceea ce am întreprins, am ținut seama și de direcțiile pe care mi-am propus să acționez cu prioritate pentru a înlătura obstacolele, greșelile, dificultățile întâmpinate de elevi în rezolvarea unor astfel de probleme de matematică.

Astfel am analizat și am selecționat o serie de activități de învățare, precum: recunoașterea situațiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea anumitor operații; transpunerea unei noi situații – problemă, în limbaj matematic, înlocuind numere necunoscute cu simboluri; analiza unor probleme de tipul menționat: identificarea datelor și a necunoscutelor, identificarea tipului problemei și a metodei de rezolvare; formularea de generalizări ale unor enunțuri date, crearea și rezolvarea unor probleme cu text, pe baza unor scheme, modele, reguli date.

Am pus accent pe implementarea acelor metode didactice active și interactive, individuale și de grup, ce vizau crearea de probleme utilizând tehnici variate: după tablouri sau imagini, după modelul unei probleme rezolvate anterior, cu mai multe întrebări posibile, cu un început dat, cu mărimi date ori cu valori numerice, date etc.

Iată rezultatele obținute la testul initțial și final, rezultate pe care le prezint în continuare.

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

În acest context, am urmărit să depistez lacunele, greșelile, erorile, confuziile, neînțelegerile, dificultățile, obstacolele pe care elevii le întâmpină, pornind de la cauzele ce le determină. În consecință, am formulat și ipoteza parțială ce urmează.

Dacă aș realiza o permanentă dezvoltare a creativității elevilor pe obiectivele prevăzute în programă în ceea ce privește rezolvarea și compunerea de probleme de matematică, atunci aș reuși să îi fac să utilizeze situațiile simple învățate într-un ansamblu problematic complex?

În urma a suficient de multe activități realizate în acest sens, cu accent pe implementarea acelor metode active și interactive, individuale și de grup ce vizau aceste conținuturi matematice-numerele naturale și operațiile aritmetice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire cu numere naturale-am constat că cea mai mare parte a acestor neajunsuri s-a rezolvat.

Prezint în continuare rezultatele obținute în acest sens, tot de manieră comparativă.

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

Tot în ideea dezvoltării creativității elevilor în cadrul lecțiilor și a ameliorării rezolvării și compunerii de probleme de către aceștia, văzând că mulți elevi întâmpină greutăți în combinarea și recombinarea datelor vechi într-un context nou, m-am oprit la aflarea numerelor, cunoscând anumite relații dintre acestea. Am început cu probleme simple, am rezolvat probleme atractive și distractive, prin metode moderne de predare-învățare, individuale și de grup, astfel că au învățat și cum să creeze ei înșiși diferite probleme. În acest sens am rezolvat diverse probleme ce vizau cazuri asemănătoare, dar și cazuri diferite și am introdus în lecții probleme de tipul celor menționate mai sus. Am constata o serie de erori, confuzii, neînțelegeri sau greșeli și m-am străduit în activitățile proiectate să pornesc de la cazuele ce le generau. Am ținut seama de unele aspecte psihopedagogice, printre care faptul că trecerea gândirii elevului de la analiză la sinteză, de la parte la întreg, este destul de dificilă. În consecință, am formulat ipoteza parțială ce urmează.

Dacă ori de câte ori aș rezolva (împreună cu elevii) un exercițiu sau o problemă în care intervin numerele naturale și / sau operațiile aritmetice de adunare, scădere, înmulțire sau împărțire cu astfel de numere, ori noțiuni, proprietăți, formule, reguli, algoritmi, procedee sau tehnici de calcul și de lucru legate de acestea, aș pune accent pe implementarea în lecție a acelor metode moderne, active și interactive, individuale și de grup menite să le dezvolte creativitatea elevilor, atunci aș reuși să-i fac să le înțeleagă, să le rețină și să le utilizeze mai rapid, mai ușor și mai bine?

În urma activităților întreprinse, am constatat că cea mai mare parte a acestor neajunsuri s-a rezolvat. Rezultatele obținute la testul final aplicat, comparativ cu rezultatele testului inițial sunt cele ce urmează.

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

Pornind de la faptul că elevii lucrează mai greu individual decât în grup, am formulat și ipoteza parțială următoare.

Dacă aș pune accent pe implementarea unor metode moderne, active și interactive, individuale și de grup ce vizează aplicarea unor fișe de muncă independentă, atunci aș reuși să dezvolt creativitatea elevilor și să ameliorez în consecință nivelul propriu de cunoștințe, priceperi și deprinderi privind numerele naturale, operațiile cu numere naturale, noțiunile, proprietățile, formulele, algoritmii, procedeele și tehnicile de calcul, metodele de rezolvare și compunere a problemei?

Am stabilit un set de obiective operaționale cognitive, apoi am realizat fișe de muncă independentă corespunzătoare, pentru a cunoaște dificultățile întâmpinate de fiecare elev în parte și pentru a le elimina treptat. Astfel am selectat exerciții și probleme cât mai sugestive și mai adecvate etapei sau cazului predat, căutând să-i obișnuiesc pe elevi să propună chiar ei astfel de exerciții și probleme (cu sau fără date prestabilite)

Am inserat în lecții acele metode moderne, active și interactive, individuale și de grup, care s-au dovedit a fi cele mai oportune și eficiente.

Prezint rezultatele obținute în urma utilizării acestor metode moderne, active și interactive, individuale și de grup, corelate cu fișe de muncă independentă.

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

Pornind de la constatările efective de la clasa la care mi-am desfășurat activitatea, am formulat și ipoteza parțială următoare.

Dacă aș pune accent pe implementarea unor metode non-formale de educare a creativității ce vizează reducerea diverselor cazuri noi, necunoscute, la cazuri deja cunoscute, folosind și un suport didactic atent realizat și sugestiv, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să privească noul caz ca un caz parțial cunoscut și deci să îl soluționeze mai repede și mai bine?

Am formulat această ipoteză parțială convins că materialul didactic utilizat în lecții nu trebuie să bareze, prin încărcătura sa, drumul către înțelegerea, rezolvarea și compunerea de probleme de matematică. Am pus accent ăe modul în care este realizat și inserat în lecție astfel de material didactic, auxiliar al metodelor moderne, active și interactive, individuale și de grup, alese.

În final, comparativ, rezultatele obținute au fost cele ce urmează.

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

Observând că unii elevi nu sunt destul de motivați și implicați în rezolvarea și compunerea de probleme de matematică și că randamentul și creativitatea lor scade, atunci am formulat și următoarea ipoteză parțială.

Dacă aș folosi metode moderne interactive, active și participative, individuale sau de grup, de tipul mini-concursurilor, atunci i-aș motiva, implica, dezvolta cretivitatea și per total să cresc randamentul elevilor privind rezolvarea și compunerea de probleme de matematică.

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

Pornind de la constatarea că elevii întâmpinau dificutăți în special la rezolvarea problemelor mai complexe, cu date și relații mai multe și mai dificile, am formulat și următoarea ipoteză parțială.

Dacă aș pune accent pe acțiuni de implementare a unor metode active și interactive, individuale și de grup ce vizează modul în care se pot reduce diverse cazuri noi, necunoscute, la cazuri deja cunoscute și aș insista pe utilizarea algoritmilor, procedeelor și tehnicilor de calcul și de lucru specifice, atunci aș reuși să-i fac pe elevii mei să privească noul caz ca pe un caz parțial cunoscut, pe care să îl rezolve în consecință și astfel să ridic nivelul de creativitate a lor în lecțiile cu acest conținut matematic?

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

Văzând că atenția elevilor scade după jumătatea orei de matematică și automat randamentul lor în rezolvarea și compunerea de probleme de matematică scade, atunci, am formulat și ipoteza ce urmează.

Dacă aș folosi acele metode moderne, interactive, bazate pe captarea atenției, joculețe scurte, care să îi revitalizeze pe elevi și să le dea energie pentru a dezvolta creativitatea, atunci aș reuși să îi fac pe elevi să fie mai atenți, mai captivați, implicați și creativi în rezolvarea și compunerea de probleme de matematică.

INIȚIAL

-numeric:

-procentual:

FINAL

-numeric:

-procentual:

Așadar, am promovat o învățare eficientă, participativă, activă și creativă.

Prin activitățile propuse elevilor am căutat să le dezvolt creativitatea și să le formez și potențez în special gândirea matematică-gândire ce presupune un grad sporit de abstractizare și generalizare, fără a le aplica diverse constrângeri, limitări, direcționări; am proiectat și am realizat activități care cer spontaneitate, creativitate și contribuie la dezvoltarea independenței în gândire și acțiune.

Am îmbinat toate activitățile frontale sau de grup cu activități de muncă independentă. Am utilizat cu prccădere metode de predare-învățare moderne, active și interactive, individuale sau de grup.

M-am folosit de experiența mea dobândită în cadrul practicii, atât în învățământul primar cât și preșcolar, de experiența mea internațională dobândită în cadrul mobilităților Erasmus+, de studiu, în Polonia, de experiența mea ca și formator, teoria învățată în cadrul specializării mele și experiențele mele de voluntariat, și mi-am adus, și eu, contribuția, prin această lucrare, la modernizarea învățământului românesc.

Bineînțeles că cei mai mari beneficiari ai acestei cercetări științifice sunt elevii și pot spune că prin toate acțiunile pe care le-am întreprins am reușit astfel să realizez o devoltare a creativității prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică, reală a elevilor în cadrul lecțiilor de matematică, dezvoltare ce a a avut drept primă consecință obținerea unor rezultate net superioare celor inițiale, pe conținuturile matematice menționate, prin raportare la standardul stabilit.

IV.3. PREZENTAREA ȘI INTERPRETAREA DATELOR EVALUĂRII STADIULUI FINAL DE PREGĂTIRE A ELEVILOR.

Am acordat toată atenția și etapei evaluării stadiului final de pregătire cu privire la numerele naturale și operațiile aritmetice de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a numerelor naturale și a tuturor celorlalte noțiuni legate de acestea.

Am determinat și am consemnat corect rezultatele elevilor, atât a celor de la clasa experiment, cât și a celor de la clasa de control.

Am acordat toată atenția determinării și consemnării obiective a rezultatelor elevilor deoarece acestea servesc analizelor (efective și comparative) care constituie baza concluziilor finale.

Am căutat să realizez o serie de acțiuni asemănătoare cu cele din faza de evaluare a stadiului inițial de pregătire a elevilor, cum ar fi analiza cataloagelor, a caietelor de notițe și teme, a schemelor, a desenelor, a diverselor produse ale activității elevilor, a rezultatelor la testările curente, a fișelor de muncă independentă, a răspunsurilor la întrebările adresate oral, frontal sau individual, a asistențelor la ore etc.

Și în această etapă, hotărâtoare a fost proba de evaluare finală.

Rezultatele obținute de elevi la proba de evaluare finală, atât cei de la clasa de control, cât și cei de la clasa experiment, au fost cele ce urmează.

CLASA DE CONTROL ( TOTAL ELEVI 25)

CLASA DE EXPERIMENT ( TOTAL ELEVI 20)

Procentual, rezultatele sunt:

CLASA DE CONTROL ( TOTAL ELEVI 25)

CLASA EXPERIMENT ( TOTAL ELEVI 20)

DIAGRAMELE DE STRUCTURĂ

CLASA DE CONTROL CLASA EXPERIMENT

La proba de evaluare finală, pe obiectivele urmărite, rezultatele, exprimate atât numeric, cât și procentual, au fost cele din tabelele ce urmează.

Numeric (câți elevi au îndeplinit obiectivul):

Pocentual (ce procent din numărul total de elevi au îndeplinit obiectivul):

Având datele de la proba inițială și finală ale clasei de control și ale clasei experiment, am realizat următoarele analize comparative pentru a observa:

Variația (pe calificative):

-numerică, prin raportare la nivelul inițial al aceleiați clase:

Pocentual, prin raportare la nivelul inițial al aceleiași clase:

Variația (pe obiective):

Pocentuală, prin raprotare la nivelul inițial al aceleiași clase:

Variația (pe calificative):

-procentuală, prin raportare la nivelul final al clasei de control:

Variația (pe obiective):

Pocentuală, prin raprotare la nivelul final al clasei de control:

După acțiunile desfășurate în vederea stabilirii stadiului final de pregătire al elevilor, vizând numerele naturale ți operațiile aritmetice de adunare, scădere, împărțire și înumlțire cu acestea, proprietățile, regulile, algoritmii, procedeele și tehnicile de lucru și de calcul și metodele de rezolvare și compunere a problemelor, dar mai ales după analizele efective și comparative realizate (atât cu rezultatele inițiale ale elevilor de la clasa experiment, cât și rezultatele finale ale elevilor de la clasa de control), pe ansamblu, soluțiile ameliorative implementate, au fost deosebit de eficiente.

Această concluzie este susținută de faptul că:

un număr mare de elevi de la clasa experiment au obținut în final calificativul foarte bine;

nu a existat nici un elev de la clasa experiment care să nu fi rezolvat în final nici o problemă;

mulți din elevii clasei experiment au dovedit o creativitate mai mare în lecții;

cei mai mulți elevi de la clasa experiment au dovedit faptul că și-au însușit temeinic și că au capacitatea de a aplica rapid și corect în rezolvarea și compunerea de probleme.

CAPITOLUL V

CONCLUZII. PROPUNERI. PROBLEME DESCHISE.

Activitatea mea de cercetare a urmărit amelioararea procesului de predare-învățare a diverselor definiții, noțiuni, teoreme, proprietăți, reguli, criterii, procedee, algoritmi, tehnici de lucru și de calcul, metode de rezolvarea și compunerea de probleme de matematică legate de conceptul de număr natural și de operațiile cu numere naturale, precum și toate celelalte noțiuni conexe acestora. Procesul de predare-învâțare a conceptului de număr natural și operațiile aritmetice nu numere naturale este un produs dificil și complex, de mare importanță teoretică și practică, de unde și necesitatea însușirii temeinice de către elevi a acestui conținut matematic. Ameliorarea acestui proces a vizat și inconsecvențele, necorerările, neconcordanțele etc. din cadrul orele de predare-învățare a conceptului de număr natural și operațiile cu numere naturale. Pe tot parcursul experimentului ameliorativ am făcut diverse analize a rezultatelor efective și comparative ale elevilor celor două clase cuprinse în studiu. În urma acestor analize am formulat și unele concluzii și propuneri. Voi prezenta sintetic aceste concluzii ale activității mele de cercetare, concluzii la care am ajuns în final, voi face unele propuneri și voi formula unele probleme deschise.

Voi face o analiză pe obiectivele stabilite, punctând realizările, dar și nearizările, arătând obstacolele și dificultățile întâmpinate și justificând pe scurt unde este cazul.

Propunerile se referă la ameliorarea procesului de predare-învățare a conceptului de număr natural și a operațiilor aritmetice cu numere naturale. În aceeași ordine de idei, probleme deschise prezentate sunt și ele de problematica cercetată.

Referitor la primul obiectiv:

O1. Să folosesc metode didactice moderne de dezvoltare a creativității, astfel încât să asigur o mai bună asimilare a diferitelor metode de rezolvare a problemelor de matematică. Consider că acesta a fost îndeplinit.

Predarea-învățarea conceptului de număr natural și a operațiilor aritmetice cu numere naturale impune identificarea și analizarea aspectelor specifice acestui conținut matematic, de aceea, proiectarea pedagogică a ținut seama de acestea, urmărindu-se eliminarea oricăror discontinuități, inconsecvențe sau incoerențe, dar mai ales o mai bună dezvoltarea a creativității elevilor prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică.

Rezultatele obținute de elevi la proba de verificare finală au dovedit că și-au însușit corespunzotor conceptul de număr natural și operațiile aritmetice cu numere naturale, comparativ cu clasa de control.

Cel de-al doilea obiectiv:

O2. Să folosesc metode didactice moderne de evaluare, focalizate pe creativitate în cadrul activităților de rezolvare a problemelor de matematică, astfel încât să îi determin pe elevi să își dezvolte nivelul de creativitate. A fost în totalitate îndeplinit.

Așa după cum am arătat, am ținut seama în toate activitățile mele (proiectare și aplicare) de particularitățile specifice clasei mele (clasa experiment) în ansamblul ei, dar și de particularitățile specifice fiecărui elev al clasei în parte (particularități de vârstp, particularități psihice, nivel de cunoștințe, priceperi și deprinderi matematice, ritm de lucru, etc.), fapt ce a condus la realizarea acestui obiectiv.

Obiectivul: O3. Să folosesc metode moderne didactice de dezvoltare a creativității astfel încât să le dezvolt elevilor interesul pentru conținuturile matematice în cauză și să îi fac să își folosească întreg potențialul lor creator în activitățile de rezolvare și compunere a problemelor.

Am dezvoltat creativitatea elevilor și prin metode ce au presupus un material didactic corespunzător, jocuri didactice matematice (transformarea unui exercițiu sau a unei probleme de matematică de divizibilitate în joc didactic matematic), diverse jocuri-concurs, mini-concursuri, precum și unele curiozități, amuzamente matematice, probleme recreative, probleme distractive sau probleme celebre, care au avut o contribuție reală la realizarea acestui obiectiv.

Printre dificultățile întâmpinate s-au aflat:

-unele dificultăți rezultate din necunoașterea absolută, în sensul cel mai profund, a fiecărui elev al clasei-experiment;

-unele dificultăți rezultate din nedepistarea integrală a lacunelor, erorilor, greșelilor, neînțelegilor, confuziilor, etc. anterioare ale elevilor;

-unele dificultăți rezultate din lipsa unui material didactic, dar în special a unor culegeri cu metode moderne active și interactive, individuale și de grup, explicate și exemplificate, a unor jocuri didactice matematice, care să vizeze diversele noțiuni, teoreme, proprietăți, reguli de calcul legate de conceptul de număr natural și de operațiile aritmetice cu numere naturale.;

-unele dificultăți rezultate din faptul că am realizat prima activitate de cercetare de această amploare și profunzime.

Rămând deschise probleme ca:

-găsirea unor soluții ameliorative mai eficiente;

-găsirea tuturor disfuncționalitățilorm neconcordanțelor, necorelărilor din procesul de predare-învățare a conceptului de număr natural și a operațiilor aritmetice cu numere naturale;

-găsirea unui raport optim între clasic și modern, între teorie și aspectele practice.

Propunerile urmăresc aspecte privind ameliorarea procesului de predare-învățare a conceptului de număr natural și a operațiilor aritmetice cu numere naturale.

Propun următoarele:

-editarea unor culegeri cu metode moderne active și interactive, individuale și de grup, explicate și exemplificate, de jocuri matematice (eventual moderne, pe calculator) pe capitolele matematicii mai dificile, deci și pe conceptul de număr natural și pe operațiile aritmetice cu numere naturale;

-editarea unor culegeri cu povestiri, anecdote, întâmplări sau fapte matematice, probleme amuzante, curiozități, probleme recreative, probleme distractive sau probleme celebre, probleme de divertisment matematic sau din instoria matematicii care să îi motiveze și să dezvolte creativitatea elevilor prin rezolvarea și compunerea de probleme de matematică.

BIBLIOGRAFIE.

Albu G. Introducerea într-o pedagogie a libertății. Despre libertatea copilului și autoritatea adultului, Editura Polirom, Iași, 1998.

Aron I. Metodica predării aritmetici la clasele I-IV, manual pentru liceele pedagogice, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975.

Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învățători, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.

Aron I., Herescu Gh., Dumitru A., Matematica pentru învățători, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1996.

Berar I., Aptitudinea matematică la școlari, Editura Academiei Române, bucurești 1991.

Catană A., Metodica predării matematicii, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Călin M., Teoria Educației. Fundamentarea epistemică și metodologică a acțiunii educative, Editura All, București, 1996.

Cerghit I. (coord.), Perfecționarea lecției în școala modernă, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Cerghit I. (coord.), Didactica, manual clasa a X-a licee pedagogice, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1985.

Cerghit I., Vlăsceanu L. (coord.), Curs de pedagogie, CMUB, București, 1988.

Cergit I., O investigație în sfera microuniversului pedagogic-procedeele didactice, Revista de Pedagogie, nr. 4, 1984.

Chiței A., Metode pentru rezolvarea problemelor de aritmetică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1958.

Constantinescu D., Dumitrescu P., Probleme de matematică, Editura Offset Color, Râmnicu Vâlcea, 2000.

Cosmovici A., Iacob L. (coord.), Psihologie școlară, Editura Polirom, Iași, 1998.

Crețu C., Psihopedagogia succesului, Editura Polirom, Iași, 1997.

Crețu E., Psihopedagogia școlară pentru învățământul primar, Editura Aramis, 1999.

Cristea S., Pedagogie generală. Managementul educației, Editura Didactică și Pedagogică R.A, București, 1996.

Cristea S., Dicționar de pedagogie, Editura Litera. Litera Internațional, Chișinău-București, 2000.

Cărburaru. C. – „Probleme de matematică pentru clasele II-IV”, EDP, București,1988;

Cîmpeanu. F. – „Cum au apărut numerele”, Editura I. Creangă, București,1974;

Cîmpeanu F. – „Triunghiuri, triunghiuri și iar triunghiuri”, Editura I. Creangă, 1974;

Chatean J. – „Psihologia copilului de la naștere la adolescență”, EDP, București, 1970;

Claparede E. – „Psihologia copilului și pedagogia experimentală”, EDP, București, 1975;

Dienes Z. P. – „Un studiu experimental asupra învățării” (traduceri), EDP, București, 1973;

Debesee M. (coord.), Psihologia copilului, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1970.

Dima S., Pâlcea D., Țarcă E., Jocuri logico-matematice pentru preșcolari și școlari mici. Organizarea-imaginare-realizare, Editată de Revista Învățământului Preșcolar, București, 1998.

Dragu A., Structura personalității profesorului, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1996.

Dumitru A., Matematică, manual pentru clasa I, Editura Didactică și Pedagogică, București 1995.

Dumitru A., Matematică, manual pentru clasa I. Ghidul învățătorului, Editura Didactică și Pedagogică, București 1995.

Enache M., Tutulan Gh. – „99 de exerciții și probleme clasele I – IV”, Editura Porto-Francă, Galați,1990;

Freudenthal H., Limbajul logicii matematic, Editura Tehnică, București, 1973.

Florea B. – „Probleme și jocuri recreative”, Editura tineretului, 1952;

Frîncu A. – „Jocuri didactice și exerciții distrative”, EDP, București, 1972;

Geisller E., Mijloace de educație, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1977.

Georgescu D., Cerchez M., Singer M., Preoteasa L. (coord.), Curriculum național. Planuri-cadru de învățământ pentru învățământul preuniversitar, MEN, Editura Corint, București, 1999.

Golu P., Orientări și tendințe în psihologia socială contemporană, Editura Politică, București 1988.

Gostini G., Instruirea euristică prin unități didactice, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1975.

Guran. E., Matematică recreativă, Editura Junimea, Iași, 1985.

Ilie. V., Problematica educației și învățământului în societatea contemporană. Inovație și reformă în școala românească, Pedagogie și elemente de psihologie școlară. Pentru examenele de definitivare și obținerea gradului didactic II, coord. E. Joița, Craiova, Editura Arves, 2003.

Ilie V., Comunicarea didactică, Pedagogie și elemente de psihologie școlară. Pentru examenele de definitivare și obținerea gradului didactic II, coord. E. Joița, Craiova, Editura Arves, 2003.

Ilie V., Formarea stilului educațional în perspectiva noilor educații, Revista Univers pedagogic, nr.4, Chișinău, Editura Ministerul Educației, 2004.

Ilie V., Eseul-instrument în instruirea constructivistă, Strategii constructiviste în formarea inițială a profesorului, coord. E. Joița, vol 1, Craiova, EUC, 2005.

Ilie V. Semnificația pedagogică a întrebării, Analele Universității din Craiova, Seria Psihologie-Pedagogie, Anul V, nr 11-12, Craiova, Editura Universitaria, 2006.

Ilie V., Cascada întrebărilor, Formarea pedagogică a profesorului. Instrumente de învățare cognitiv-constructivistă, coord. E. Joița, București, EDP, 2007.

Ilie V., Pedagogie. Perspective teoretice și aplicative, Craiova, Editura universitaria, 2007.

Ionel V., Pedagogia situațiilor educative, Editura Polirom, Iași, 2002.

Ionel V., Fundamentele pedagogiei, Editura Universitaria, Craiova, 2005.

Ionel V., Individualizare și socializare în educație, Editura Universitaria, Craiova, 2005.

Ionel V., Comportament și comunicare din perspectiva educațională și psihoterapeutică (colectiv), Scrisul Românesc, Craiova, 2005.

Ionescu M., Demersuri creative în predare și învățare, Editura Presa Universitară Clujană, 2000.

Ionescu M., Radu I. (coord.), Didactica modernă, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1995.

Iucu R.B., Managementul și gestiunea clasei de elevi. Fundamente teoretice și metodologice, Editura Polirom, Iași, 2000.

Joița E., Didactica aplicată, Partea I-învățământul primar, Editura Gheorghe Alexandru, Craiova, 1994.

Joița E., Management educațional. Profesorul-manager, roluri și metodologie, Editura Polirom, Iași, 2000.

Joița E., Curs de pedagogie școlară, Reprografia Universității din Craiova, 2001.

Joița E., Creșterea randamentului școlar, Tribuna Școlii, nr. 248, 1983.

Maciuc I., Pedagogie, repere introductive, Editura Didactică și Pedagogică R.A, București, 2003.

Maciuc I., Elemente de psihopedagogie diferențială, Editura Didactică și Pedagogică R.A, București, 2000.

Maciuc I., Formarea formatorilor. Modele alternative și programe modulare, Editura Didactică și Pedagogică R.A, București, 1998.

Maciuc I., Puncte de reper în pregătirea pentru profesiunea didactică, Universitatea din Craiova, 1998.

Manolescu M., Constantinescu M., Corcinski G., Proiectare și evaluare în învățământul primar-matematică, 1997.

Marcus S. (coord.), Empatia și relația profesor-elev, Editura Academiei, București, 1987.

Matei A., Aritmetică. Fundamente și metode, Editura Economică, București, 1997.

Matei C.N., Educarea capacităților creatoare în procesul de învățământ, clasele I-IV, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1982.

Mitrofan M., Aptitudinea pedagogică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1988.

Monteil J.M., Educație și formare, Editura Polirom, Iași, 1997.

Nanu I., Nanu L., Exerciții și probleme de matematică pentru clasele I-IV, Editura Cardinal, Craiova, 1995.

Neacșu I. – „Metodica predării matematicii la clasele I-IV”, „Manual pentru liceele pedagogice”, EDP, București, 1988;

Nicola G. (coord.), Stimularea creativității elevilor în procesul de învățământ, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981.

Nicola I., Tratat de pedagogie școlară, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1996.

Niculescu R.M., Formarea formatorilor, Editura All Educațional, București, 2000.

Novac C., Psihologia educației, Editura Universitaria Craiova, 2007.

Novac C., Tipuri de personalitate pe fondul asimetriei funcționale cerebrale, Editura Universitaria, Craiova, 2006.

Novac C., Proiectarea pedagogică, Editura Didactica Nova, Craiova, 2004.

Oprescu N., Pedagogie. Bazele teoretice, Editura Fundației România de mâine, București 1999.

Oprescu V., Strategia euristică în rezolvarea de probleme și valoarea ei în dezvoltarea abilităților creatoare, volumul Perfecționarea procesului de învățământ, Craiova, 1979.

Oprescu V., Dimensiunea psihologică a pregătirii profesorului, Editura Scrisul Românesc, Craiova, 1983.

Oprescu V., Curs de psihologie școlară, Tipografia Universității din Craiova, 1992.

Parelman I. – „Artimetică distratică”, Editura tineretului, 1959;

Piaget J., Inhelder B. – „Psihologia copilului”, EDP, București;

Piaget J. – Structurile matematice și structurile operatorii ale inteligenței în „Caiete de pedagogie modernă”, nr. 3, 1971;

Popovici C., Chetic O., Gheba L., Popovici E. – „Culegere de jocuri didactice pentru clasele I-IV”, București, 1971;

Popescu M., Popescu P., Toporan N., Mulțimi. Relații, Editura Repograph, Craiova, 2002.

Popescu M., Popescu P., Toporan N., Numere Naturale, Editura Repograph, Craiova, 2003.

Popescu-Neveanu P., Studii de didactică și psihologia învățării, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1964.

Popescu – Neveanu E. – „Psihologia, manual pentru liceele pedagogice”, EDP, București, 1990;

Radu I. T. – Sinteze pe teme de didactică modernă, culegere editată de revista Tribuna școlii, București, 1986;

Roșca D., Matematici moderne în sprijinul învățătorilot, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1963.

Sima I., Creativitatea la vârsta preșcolară și școlară mică, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1997.

Stoica A., Creativitatea elevilor. Posibilități de cunoaștere și educare, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Schiopu Ursula, Pisoi Viorica – „Psihologia generală a copilului”, manual pentru clasele IX-X, Licee pedagogice, EDP, București, 1982;

Schiopu Ursula Verza E. – „Psihologia vârstelor”, EDP, București, 1981;

Schiopu Ursula – „Probleme psihologice ale jocurile și distracțiilor”, EDP, București, 1970;

Teodorescu N. și alții – „Culegere de probleme în sprijunul claselor I-VIII”, Editura Societatea de Științe Matematice, București, 1985;

Teigg Charles – „Ingeniozitate și surpriză în matematică”, EDP, București, 1977;

Țârcovnicu V., Învățământ frontal, învățământ individualizat, învățământ pe grupe, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981.

Vârtopeanu I., Vârtopeanu O., Metode de rezolvare a problemelor de aritemtică elementară, Editura Sitech, Craiova, 1998.

Udrea Dumitru – „Ochi de floare”, Editura Iter Contempres, București, 1990;

Vodă C., Predescu N. – „Amuzament științific”, Editura Ceres, București, 1975;

Zapletal Milos – „Mica enciclopedie a jocurilor”, Editura sport-turism, București, 1980.

***, Curriculum național-programe școlare pentru învățământul primar, MEN, București, 1998.

***, Evaluarea în învățământul primar-descriptori de performanță, MEN, București, 1998.

***, Învățământul matematic în lumea contemporană, Caiete de pedagogie modernă, nr.3, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973.

***, Manualele de matematică pentru clasele I-IV.

ANEXA

Proba de evaluare inițială

Clasa: a III-a

Capitolul: Operații cu numere naturale

Capacitatea: Înțelegerea operațiilor de adunare, scădere și înmulțire a numerelor naturale în concentrul 0-10000.

Subcapacitatea: Efectuarea de adunări, scăderi și înmulțiri cu numere cu o cifră folosind numere naturale în concentrul 0-10000.

Obiective operaționale:

O1: – să efectueze adunări, scăderi și înmulțiri cu numere cu o cifră folosind numere naturale în concentrul 0-10000;

O2: – să calculeze direct rezultatul unor exerciții bazate pe adunare, scădere sau înmulțire cu numere cu o cifrp, folosind, ținând în minte sau consemnând în scris rezultatele intermediare;

O3: – să folosească în aceeași problemă adunarea, scăderea și înmulțirea;

O4: – să afle un element al unei adunări, scăderi sau înmulțiri, când se cunosc ceilalți doi termeni;

O5: – să recunoască, proprietățile adunării, scăderii și înmulțirii, să le aplice în exerciții și probleme;

O6: – să compună probleme după exerciții în care intervin adunări, scăderi și înmulțiri.

Itemii de evaluare:

I1: Calculează: 1143 + 356 = …

1345 + 478 = …

6236 – 567 = …

7687 – 789 = …

45 x 7 = …

237 x 3 = …

I2: Calculează toate sumele și diferențele posibile între numerele 223, 511 și 5423.

I3: Suma a două numere este 7214. Știind că unul dintre termeni este 6515, cât este produsul celuilalt termen cu 7?

I4: Completează cu cifrele care lipsesc:

…949 – 4…15 = 23…

4…x 7 = …36

3…56 + 7…9 = 424…

2…6 x 8 = 188…

I5: Într-un container sunt 2734 de kilograme de mere și pere. Știind că perele sunt 950 kilograme, iar un kilogram de mere costă 4 lei, află cât costă merele din container.

I6: Compune și rezolvă o problemă după exercițiul următor:

(825+ 955) x 5 = ?

Punctaj:

I1 – 1 punct

I2 – 2 puncte

I3 – 1 punct

I4 – 2 puncte

I5 – 1 punct

I6 – 2 puncte

Din oficiu – 1 punct

Convertirea punctajului în calificative:

9-10 puncte = FOARTE BINE (FB)

7-8 puncte = BINE (B)

5-6 = SUFICIENT (S)

1-4 puncte = INSUFICIENT (I).

Proba de evaluare finală

Clasa: a III-a

Capitolul: Operații cu numere naturale

Capacitatea: Înțelegerea operațiilor de adunare, scădere și înmulțire a numerelor naturale în concentrul 0-10000.

Subcapacitatea: Efectuarea de adunări, scăderi și înmulțiri cu numere cu o cifră folosind numere naturale în concentrul 0-10000.

Obiective operaționale:

O1: – să efectueze adunări, scăderi și înmulțiri cu numere cu o cifră folosind numere naturale în concentrul 0-10000;

O2: – să calculeze direct rezultatul unor exerciții bazate pe adunare, scădere sau înmulțire cu numere cu o cifrp, folosind, ținând în minte sau consemnând în scris rezultatele intermediare;

O3: – să folosească în aceeași problemă adunarea, scăderea și înmulțirea;

O4: – să afle un element al unei adunări, scăderi sau înmulțiri, când se cunosc ceilalți doi termeni;

O5: – să recunoască, proprietățile adunării, scăderii și înmulțirii, să le aplice în exerciții și probleme;

O6: – să compună probleme după exerciții în care intervin adunări, scăderi și înmulțiri.

Itemii de evaluare:

I1: Scrie în ordine descrescătoare din 48 în 48, acele numere naturale care sunt cuprinse între 6924 și 7312 și încep cu 6935.

I2: Înmulțește cu 4 toate diferențele posibile dintre numerele 1232, 767 și 48.

I3: Completează șirurile de numere ce urmează cu încă 3 numere, urmând regula după care se succedă:

73, 96, 109, …

6687, 6610, 6533, …

48, 144, 432, …

I4: O facbrică de piese auto produce 215 de piese pe oră. Știind că în fabrică se lucrează câte 8 ore pe zi, câte piese se produc în cele 5 zile lucrătoare ale unei săptămâni?

I5: Compuneți și rezolvați o problemă cu text, după exercițiul dat:

(2452 – 1324) x 6 = ?

Punctaj:

I1 – 1 punct

I2 – 2 puncte

I3 – 2 puncte

I4 – 2 puncte

I5 – 2 puncte

Din oficiu – 1 punct

Convertirea punctajului în calificative:

9-10 puncte = FOARTE BINE (FB)

7-8 puncte = BINE (B)

5-6 = SUFICIENT (S)

1-4 puncte = INSUFICIENT (I).

JOC DIDACTIC

Obiectiv fundamental: Fixarea cunoștințelor și consolidarea deprinderilor legate de scăderea numerelor naturale în concentrul 1-100.

Obiective operaționale:

congnitive-informaționale:

-formarea deprinderilor de calcul folosin regulile, procedeele, algoritmii, tehnicile de calcul și metodele de rezolvare și compunere a problemelor de matematică, corespunzătoare operației aritmetice de scădere a numerelor naturale;

psihomotorii:

-să mânuiască corect materialul didactic.

afective:

-să coopereze ci echipa;

-să creeze bună dispoziție și deconectare;

-să recepteze afectiv regulile, procedeele, algoritmii, tehnicile de calcul și metodele de rezolvare și compunere a problemelor de matematică învățate corespunzătoare operației aritmetice de scădere a numerelor naturale și cunoștințele legate de acestea.

Sarcina didactică: consolidarea cunoștințelor și deprinderii de calcul vizând regulile, procedeele, algoritmii, tehnicile de calcul și metodele de rezolvare și compunere a problemelor de matematică corespunzătoare operației aritmetice de scădere a numerelor naturale.

Regulile jocului: Elevii sunt distribuiți în mai multe echipe (fiecare echipă la câte un calculator). Începerea jocului se face cu apăsarea tastei Enter. Pe ecran apare enunțul unei probleme, care are mai multe variante de răspuns. Elevii au la dispoziție un minut ca să aleagă, de pe ecran, varianta pe care o apreciază ca fiind cea corectă. Dacă alegerea nu s-a făcut și timpul a expirat, pe ecran se afișează un mesaj pentru a invita elevii să apese o tastă pentru a trece la exercițiul următor. La apăsarea unei taste, pe ecran apare o altă problemă și jocul continuă. După ce problemele s-au terminat, pe ecran apar rezultatele (numărul de răspunsuri corecte) al fiecărei echipe.

Elemente de joc: supriza, aplauzele.

Strategia didactică:

metode: conversația, explicația, exercițiul, problematizarea, algoritmizarea.

mijloace didactice: calculatorul

ORGANIZAREA JOCULUI: frontal, individual, pe echipe.

II. DESFĂȘURAREA JOCULUI:

-captarea atenției: învățătorul deschide calculatorul, pe monitorul căruia vor apărea diferite probleme vizând regulile, procedeele, algoritmii, tehnicile de calcul și metodele de rezolvare și compunere a problemelor de matematică corespunzătoare operației aritmetice de scădere a numerelor naturale.

-anunțarea jocului și enunțarea obiectivelor;

-reactualizarea cunoștințelor: învățătorul explică elevilor că vor juca un joc la calculator, rezolvând probeleme privind regulile, tehnicile de calcul și metodele de rezolvare și compunere a problemelor de matematică învățate. La panou sau pe tablă sunt așezate obiecte sau jetoane, în funcție de problema de pe monitor. Se insistă pe rezolvarea orală a problemei de pe monitor.

-explicarea jocului: învățătorul explică elevilor cum se desfășoară jocul;

-jocul de probă: învățătorul execută un joc de probă;

-executarea jocului: pe monitorul calculatorului apar probleme, pe care elevii le vor rezolva frontal, pe echipe sau individual, după care, apăsând tasta Enter, vor trece la problema următoare.

Variante de joc:

1. Se utilizează un disc pe care elevii trebuie să îl învârtesc; discul se oprește la un număr; numărul de pe disc va indica o problemă privind regulile și metodele de rezolvare învățate. Dacă elevul rezolvă problema, învârte încă o dată discul, iar numărul la care se oprește discul va indica numărul de obiecte, culegeri, pixuri, caiete, cărți, câștigate de elev.

2. Se utilizează o urnă din care elevii extrag bile numerotate de la 1 la 10; numărul bilei extrase indicând numărul problemei pe care elevul urmează să o rezolve; dacă elevul rezolvă problema, mai extrage o bilă, iar numărul bilei va indica numărul de obiecte, culegeri, pixuri, caiete, cărți, câștigate de elev. Jocul poate continua cu următoarea opțiune, în același mod.

III. ÎNCHEIEREA JOCULUI. Se fac aprecieri asupra desfășurării jocului, a participării elevilor la joc și a rezultatelor obținute.

PROIECT DIDACTIC

Clasa: a III -a

Aria curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Înmultirea numerelor naturale mai mici decât 100

Subiectul: Ordinea efectuării operațiilor. Exerciții și probleme

Tipul lecției: consolidarea și sistematizarea cunoștințelor

OBIECTIVE DE REFERINȚĂ:

O.R.1: Să efectueze operații de adunare și scădere cu numere mai mici decât 1000;

O.R.2: Să efectueze operații de înmulțire cu numere mai mici decât 100.

OBIECTIVE OPERAȚIONALE:

– cognitive:

OC1-să opereze cu termeni specifici matematicii;

OC2- să folosească corect algoritmul de rezolvare a exercițiilor și problemelor propuse ;

OC3- să elaboreze planul logic de rezolvare a problemelor, efectuând operațiile corespunzătoare ;

OC4- să compună o problemă după un exercițiu dat ;

-afective:

OA1- să participe cu interes la concurs;

OA2- să manifeste un comportament adecvat în activitatea pe grupe.

-psiho-motorii:

OM1- să-și reprime tendința de efectuare a unor acțiuni inutile în timpul activității;

OM2- să se deplaseze în spațiul clasei pentru soluționarea sarcinile primite;

OM3- să adopte o poziție corectă a corpului în timpul scrisului și pe tot parcursul orei.

STRATEGIA DIDACTICĂ

Resurse procedurale:

Metode și procedee: observația, conversația,explicația, exercițiul, problematizarea, brainstorming, jocul didactic, demonstrația, și munca independentă, tehnica „Știu/Vreau să știu/Am aflat.

Forme de organizare: frontală, în perechi, individuală .

Resurse materiale: fișe de lucru, fișe de evaluare, coli A4 și A3 , carton, marker, pix roșu, tabla, creta albă și colorată, imagini cu frunze și fructe, plicuri.

Forme și tehnici de evaluare: observarea sistematică, proba orală, proba scrisă, probă practică,autoevaluare, aprecierea verbală,chestionarea orală, calificative.

TIPUL DE INTERACȚIUNE: – dialogată, expozitiv, dirijat,bazată pe activitatea elevilor, frontal, pe echipe, individuală

RESURSE TEMPORARE: 45 minute

RESURSE UMANE: 20 elevi

BIBLIOGRAFIE:

****** – ,, Programe școlare pentru clasa a III –a, Matematica ”, București, 2004

Mihaela Singer – „Manual: Matematica pentru clasa a III-a”, Editura Sigma, 2005

Ion Neacșu – „Metododica predarii matematicii la clasele I-IV”,Editura didactică și pedagogică, 2008

Eduard Dăncilă, Ioan Dăncilă, “Culegere de exerciții și probleme de matematică pentru clasele I-IV”, Editura FF PRESS, București, 1995

Angelica Călugărița, “Exerciții și probleme de matematică pentru clasele I-IV”, Editura Universal Pan, București, 1996

***„Didactica matematicii în învățământul primar”, Editura Geneze, Galați, 2002

Mariana Mogoș, ”Culegere matematică- competențe și performanță pentru clasa a III-a”, Editura Paralela 45, 2012

REZULTATE AȘTEPTATE:

-participarea activă la desfășurarea lecției;

-aplicarea informașiilor dobândite iîn rezolvarea sarcinilor didactice;

-manifestarea simtțului răspunderii prin evaluare reciprocă și autoevaluarea rezultatelor muncii personale;

-asumarea responsabilității individuale și de grup.

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ:

DEMERSUL DIDACTIC

FIȘĂ DE LUCRU

Colorează conform explicațiilor de mai jos:

2-galben

4-portocaliu Știi ce culoare au frunzele? Colorează-le!

6-roșu

8-violet

10-maro

Fișa de lucru

Obiective:

să efectueze operațiile de înmulțire;

să colorează conform explicațiilor

Itemii de evaluare

Joc didactic – „Cuvântul magic”

Notați în căsuțele libere litera corespunzătoare pentru fiecare răspuns parțial și pentru cel final al problemei, conform grilei date.

Citiți cuvântul obținut.

Zâna Toamnei.

,, Bună ziua, dragi copii! Sunt Zâna Toamnei. În

curând va trebui să plec în Țara Soarelui . M-am simțit

bine în compania voastră încât aș dori să mai

rămân puțin cu voi. Vântul Năprasnic a suflat și mi-a

golit toți pomișorii de frunze și fructe.

Dacă voi azi veți rezolva sarcinile propuse

de doamna învățătoare veți câștiga merele și frunzele

cu care veți împodobi copacul toamnei. Ajutați-ma!

La revedere!”

PROIECT DIDACTIC

Clasa: a III-a A

Aria Curriculară: Matematică și științe ale naturii

Disciplina: Matematică

Unitatea de învățare: Numerele naturale de la 0 la 1 000 000

Tema lecției: Adunarea și scăderea numerelor naturale de la 0 la 10 000 fără trecere peste ordin

Tipul lecției: consolidare și sistematizare de cunoștințe

Scopul lecției: consolidarea deprinderii de a efectua calcule de adunare și scădere fără trecere peste ordin în concentrul 0 – 10 000, de a utiliza corect terminologia specifică matematicii în rezolvarea de sarcini matematice;

OBIECTIVE OPERAȚIONALE

Pe parcursul și până la sfârșitul lecției elevii vor fi capabili:

O1: să calculeze suma sau diferența a două numere din concentrul 0 – 10 000, fără trecere peste ordin;

O2: să utilizeze corect terminologia specifică operațiilor de adunare și scădere în rezolvarea de exerciții și probleme;

O3: să afle valoarea unui termen necunoscut efectuând calculele corespunzătoare;

O4: să rezolve probleme ce includ operațiile de adunare și scădere, respectând etapele de rezolvare învățate;

O5: să compună probleme pe baza unui exercițiu dat.

STRATEGII DIDACTICE:

metode și procedee: exercițiul, explicația, problematizarea, conversația, explozia stelară, metoda RAI, metoda cadranelor, munca independentă;

mijloace de învățământ: jucărie de pluș, insigne, planșe, fișe de lucru, flipcart, marker.

forme de organizare: frontală, individuală,pe grupe, în perechi;

RESURSE:

temporale: 50 de minute

umane: 30 de elevi

BIBLIOGRAFIE:

Consiliul Național pentru Curriculum – Programe școlare pentru clasa a III-a, București, 2005;

Dăncilă, E., Dăncilă, I., Matematică suport didactic, situații de învățare prin descoperire, Ed. Erc Press, 2007;

Bădescu, A., Caiet de matematică, clasa a III-a, Ed. CD Press;

Oprescu, M., Culegere de matematică pentru clasele a III-a și a IV-a, Ed. Hieropolis;

Pacearcă, Ș., Mogoș, M., Matematică – manual pentru clasa a III-a, Ed. Aramis, 2005.

FIȘĂ DE LUCRU

1. Calculați și faceți proba prin operația opusă:

7 384+ 5 273- 3 756 + 2 243 = 9 418 – 5207 =

605 4 053

2. Aflați:

numărul cu 1 232 mai mare decât 4 346. ………………………………………………………………………………………

suma vecinilor numărului 1 204.

……………………………………………………………………………………….

cu cât este mai mare suma numerelor 4 656 și 321 decât diferența lor.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

numărul din care scad 4 237 și obțin cel mai mic număr de 3 cifre diferite.

………………………………………………

……………………………………………..

………………………………………………

3. Datele problemei

Rezolvare Scrie pe fiecare tractor cantitatea recoltată zilnic și colorează tractorul în care se află cea mai mare cantitate

de cartofi.

.

ACTIVITATE PE GRUPE

Importanța matematicii

Alcătuiește un cvintet despre matematică.

Formulează întrebări pornind de la cuvântul MATEMATICĂ.

UNDE?

CARE? CINE?

DE CE? CUM?

Scrie tot ce îți vine în minte atunci când te gândești la matematică.

MATEMATICĂ

5.Enumeră câțiva matematicieni de seamă și scrie câteva „vorbe înțelepte” despre matematică.

6.Găsește răspunsul următoarei ghicitori:

Pe pășunea satului,

Pasc 25 de cai și 100 de oi.

Câte capete, câte picioare,

Sunt pe pășune, frățioare?

Calculați :……………………………………………………………….

……………………………………………….

Răspuns: …… capete; …….picioare.

Test 1

Numele______________________

1. Scrie ca înmulțiri :

a.

b.

2. Scrie produsul: 3. Completează înmulțirile cu factorul care lipsește:

8 x 5 = ……. 2 x 8 =……. ……. x 7 =14 ……. x 2 =10

4 x 2 = ……. 5 x 7 = ……. ……. x 5 = 50 ……. x 3 =21

9 x 3 = ……. 10 x 3 = ……. ……. x 2 = 6 …… x 9 = 45

3 x 5 = ……. 4 x 5 = ……. ……. x 6 = 30 ……. x 7 =14

4 x 4 = ……. 3 x 6 = ……. ……. x 2 = 4 ……. x 4 =12

4 x 8 = ……. 3 x 3 = ……. ……. x 9 = 18 ……. x 5 =25

4. Află:

a) numărul cu 5 mai mare decât 8: ……………………………………………

b) numărul de 4 ori mai mare decât 9:………………………………………..

c) numărul cu 2 mai mic decât 6: ………………………………………………

d) dublul numărului 6 ………………………………………………………………

e) produsul numerelor 9 și 2……………………………………………………..

f) triplul numărului 3………………………………………………………………..

5. Adevărat sau fals ? Corectează enunțurile false !!!

6. Calculează ținând cont de ordinea operațiilor:

a. 9 x 5 + 29 = b. 60 – 7 x 3 = c. 7 + 2 x 9 – 8=

…………………………. …………………………………… ………………………………………….

d.3 x 6 + 9 x 4 = e. 5 x 8 – 2 x 7 = f. 3 x 5 + 4 x 8 – 2 x 4 =

…………………………. …………………………………… ………………………………………….

7. Mama a cumpărat 4 litri de lapte, cu 7 lei fiecare cutie și 8 pâini , cu câte 3 lei fiecare.

Câți lei a plătit mama ?

Rezolvare :

OBIECTIVE:

O.1 să scrie înmulțirile corecte după desenele și adunările repetate date

O.2 să scrie produsele corecte

O.3 să completeze corect înmulțirile cu factorul care lipsește

O.4 să efectueze corect operațiile cerute de expresiile matematice

O.5 să stabilească valoarea de adevăr a enunțurilor matematice, corectându-le pe cele false

O.6 să calculeze corect exercițiile, respectând ordinea efectuării operațiilor

O.7 să rezolve corect o problemă

DESCRIPTORI DE PERFORMANȚĂ

F.B.

– scrie corect cele șase înmulțiri pe baza desenelor sau adunărilor repetate

– rezolvă corect toate înmulțirile

– completează corect înmulțirile cu factorii care lipsesc

– efectuează corect toate operațiile cerute de expresiile matematice

– stabilește corect valoarea de adevăr a expresiilor matematice, corectând enunțurile false

– calculează corect, respectând ordinea efectuării operațiilor

– rezolvă corect problema

B.

– scrie corect cel puțin patru înmulțiri pe baza desenelor sau adunărilor repetate

– rezolvă corect cel puțin opt înmulțiri

– completează corect cel puțin opt înmulțiri cu factorii care lipsesc

– efectuează corect cel puțin patru operații cerute de expresiile matematice

– stabilește corect valoarea de adevăr a cel puțin patru enunțuri matematice, corectând două

– stabilește planul de rezolvare și efectuează două calcule

S.

– scrie corect cel puțin două înmulțiri pe baza desenelor sau adunărilor repetate

– rezolvă corect cel puțin patru înmulțiri

– completează corect cel puțin patru înmulțiri cu factorii care lipsesc

– efectuează corect cel puțin două operații cerute de expresiile matematice

– stabilește corect valoarea de adevăr a cel puțin două expresii matematice

– efectuează două operații corecte

ANALIZA PROBEI

Jocuri logice – clasele III-IV

Nume și prenume elev: ………………………………….

Găsește în tabelul de mai jos numele activităților sportive din chenarul din partea dreaptă și încercuiește-le. Atenție! Cuvintele pot fi scrise de sus în jos, de jos în sus, de la stânga la dreapta, de la dreapta la stânga și pe diagonală.

Completează pătratul de mai jos cu numerele 1,2,3,4 astfel încât acestea să nu se repete pe linie, coloană sau în pătratele mai mici.

Descoperă umbra fiecărei capre de pe poiană. Uniți printr-o linie animalul cu umbra lui corespunzătoare.

Completează șirul cu încă două numere.

1, 4, 7, 10, ……., ……….

3, 5, 8, 13, …….., ……….

20, 17, 14, 11, ……., ……..

2015, 2005, 1995, 1985, ……….., ………….

1, 10, 2, 20, 3, ……., ………

Se dă următoarea problemă:

„Mama are 30 de ani. Vârsta fiicei sale reprezintă a 10-a parte din cea a mamei, iar vârsta fiului este de 2 ori mai mare decât a surorii.”

Completează tabelul de mai jos cu datele corecte:

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Aspecte Privind Dezvoltarea Creativitatii Elevilor Prin Rezolvarea Si Compunerea de Probleme de Matematica (ID: 158722)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Aspecte Privind Dezvoltarea Creativitatii Elevilor Prin Rezolvarea Si Compunerea de Probleme de Matematica

Copyright Notice

Modalitati de Valorificare a Jocului Didactic In Activitatile de Educare a Limbajului din Gradinita

Structuri Arhetipale Si Coduri Simbolice In Jocurile de Copii

Promovarea Dimensiunii Europene a Educatiei Prin Proiectele Scolare Comenius

Modalitati DE Finantare A Ong Urilor DIN Domeniul Social DIN Judetul Bihor

Dezvoltarea Creativitatii In Cadrul Activitatilor de Matematica din Ciclul Preprimar

Educatie Morala Scolar Mic

Copyright Notice

Similar Posts