Aspecte Metodice Privind Predarea Notiunii de Grup

Pedagogie

Aspecte Metodice Privind Predarea Notiunii de Grup

Byadmin ianuarie 1, 2024

CUPRINS

Argument

Matematica are o reputație de disciplină aridă, abstractă, greu de asimilat, cu aplicabilitate restrînsă. De multe ori, cei care o studiază – de voie sau de nevoie – își pun întrebări de genul „la ce folosesc toate aceste definiții, notații, axiome, teoreme, … ?”. Dintre toate ramurile matematicii, algebra excelează în această direcție.

Rolul profesorului este de a-l face pe elev să conștientizeze că, matematica, ca o disciplină reală, are cea mai largă aplicabilitate și fără ea foarte multe discipline nu ar putea fi studiate. Adesea, însuși profesorul de matematică nu este foarte convins de utilitatea studiului anumitor noțiuni și, în consecință, transmite elevilor doar o imagine formală și seacă, din care motivațiile, exemplele și aplicațiile sunt neglijate sau absente cu totul (uneori este „de vină” volumul mare de cunoștințe ce trebuie predat). Doar o cunoaștere aprofundată a conceptelor, care nu are cum să fie cantonată la nivelul unui manual de liceu, poate duce la conceperea unor lecții atractive, în care noțiunile nu sînt introduse în mod artificial, ci sînt însoțite permanent de exemple și aplicații.

Cel mai important lucru este, ca atunci când se prezintă o noțiune nouă elevilor, să se prezinte și disciplinele, domeniile și alte concepte care beneficiază de aplicabilitatea noțiunii respective, prin exemple.

Unul din scopurile lucrării de față este de a aduce argumente în sprijinul ideii că algebra, și în particular noțiunea de grup, departe de a fi o creație teoretică și auto-suficientă, a apărut în mod natural, cu un rol determinant în fundamentarea, simplificarea și unificarea matematicii și are aplicații consistente în practică și în matematica însăși.

Un alt scop al lucrării este de a încerca realizarea unei colecții de aplicații legate de noțiunea de grup, material care să arate că algebra este apropiată de realitate și să convingă de frumusețea și aplicabilitatea ei. De aceea, s-a avut în vedere și latura didactică, punându-se accentul pe noțiunile care au legătură directă cu matematica studiată în învățământul preuniversitar.

În procesul de cunoaștere a lumii fizice sânt esențiale procedee de mãsurare și de structurare, care permit ca impresiile subiective ale indivizilor umani sã fie traduse în entitãți obiective, cel mai adesea în numere. Aceste entitãți, cu toate cã nu redau integral experiența subiectivã, pot fi pãstrate și transmise nealterate. Mai mult, cu rezultatele mãsurãtorilor se pot face diverse operații (mai general, se pot structura), în scopul extragerii de noi informaþii, de a face predicții etc.

Parcurgerea unui text matematic este un proces activ prin excelență. În primul rînd, toate definițiile nou introduse trebuie să capete rapid un suport intuitiv și să fie legate de noțiunile deja cunoscute prin căutarea de exemple (și contraexemple) de obiecte care să satisfacă definițiile.

Această lucrare este compusă din două mari părți: prima parte – partea teoretică – conține conceptele teoretice legate de grup, morfisme de grupuri și grupuri ciclice; partea a doua – partea de metodică – este structurată în două părți: prima parte conține aplicații rezolvate utilizând noțiunea de grup iar partea a doua planificarea unității de învățare Grupuri de la clasa a XII și 2 proiecte de tehnologie didactică.

În realizarea acestei lucrări m-am documentat utilizând lucrări științifice de specialitate, manualele alternative de clasa a XII, variantele de la Examenul de Bacalaureat 2009, culegeri de exerciții și probleme dar și site-uri de specialitate.

I. Grupuri

I.1. Noțiuni introductive

I.1.1. Legi de compoziție

O operație algebrică (binară) pe o mulțime M combină componentele oricărui cuplu (x,y) de elemente din M și are ca rezultat un element tot din M, notat cu x*y.

Definiție: Fie M o mulțime nevidă. O aplicație

x -> xy-> (x,y),

se numește lege de compoziție (internă) sau operație (algebrică binară) pe mulțimea suport M. Elementul (x,y)M se numește compusul lui x cu y prin .

Exemple de legi de compoziție:

1) xy = 2x + 4y – 4, x,y R

2) ay = 8y + 4a + 5, a,yN*

3) an = an , a,nN*

4) xn = , x,n R

Tabela unei legi de compoziție:

Tabla lui Cayley asociată legii de compoziție pe mulțimea M este un tabel cu linii și coloane corespunzătoare elementelor mulțimii M obținut astfel: la intersecția liniei ai cu coloana aj se află compusul lui ai cu aj prin operația .

Exemplu: Să considerăm mulțimea M = Z3 = { , , }.

Să considerăm legea de compoziție „o” definită pe M x M dată prin operația

xoy = x + y

Mulțimea M×M are 9 elemente. Compușii acestor elemente prin legea de compoziție dată pot fi descrise print-un tablou care are 3 linii și 3 coloane, formate din elementele mulțimilor M.

Pe linii așezăm elementele lui M și pe coloane elementele lui M. La intersecția unei linii și a unei coloane se trece compusul celor 2 elemente scrise pe linie, respectiv pe coloană astfel:

Acest tablou se numște tabela legii de compoziție și are un rol deosebit în verificarea calculelor și a proprietăților legilor de compoziție date.

I.1.2. Proprietățile legilor de compoziție

Asociativitatea

Vom presupune în continuare ca M este o mulțime nevidă echipată cu o lege de compozitie ,,*’’,

Expresia x*y se citeste: x compus cu y sau x stea y.

Definițiile și rezultatele vor fi date folosind această notație urmând să fie făcute precizările ce se impun și în alte notații pentru legea de compozitie.

Fie x,y,z apartinand lui M. Prezenta parantezelor in expresia (x*y)*z cere urmatoarea procedura de calcul: se află întâi compusul lui x cu y și apoi x*y se compune cu z, obținându-se în final elementul (x*y)*z care aparține lui M. Prezența parantezelor în expresia x*(y*z) impune să aflam întâi y*z și să-l compunem apoi cu x, obținandu-se astfel elementul x*(y*z) care aparține lui M.

Definiție: O lege de compoziție MxM cu valori în M, (x,y) cu valori in x*y se numește asociativă dacă:

(x*y)*z = x*(y*z), () x,y,z aparținând lui M.

Dacă legea de compoziție este dată în notație aditivă sau multiplicativă atunci proprietatea de asociativtate a acesteia se scrie:

(x+y)+z = x+(y+z)

respectiv

(xy)z = x(yz) () x,y,z aparținând lui M.

Exemple de legi de compoziție care sunt asociative:

1) Adunare și înmulțirea numerelor reale sunt legi de compozitie asociative pentru ca:

(x+y)+z = x+(y+z) și (xy)z=x(yz).

2) Adunarea și înmulțirea matricilor din M2(R) sunt legi de compozitie asociative, caci:

(A+B)+C = A+(B+C) și (AB)C = A(BC).

3) Reuniunea și intersecția părților unei multimi E sunt legi de compozitie asociative, caci:

(XUY)UZ = XU(YUZ).

4) Compunerea funcțiilor unei mulțimi E în ea însăși este o lege de compozitie asociativă, caci:

(f*g)*h = f*(g*h).

Exemplu de legi de compoziție care nu sunt asociative:

1) Legea de compoziție x*y = 3x +3y – 1 nu este asociativă deoarece:

(x*y)*z = (3x + 3y – 1)*z = 3(3x + 3y – 1) + 3z -1 = 9x + 9y +3z – 4 (1)

x*(y*z) = x*(3y + 3z – 1) = 3x + 3(3y + 3z – 1) – 1 = 3x + 9y + 9z – 4 (2)

Din (1) și (2) rezultă că legea * nu este asociativă.

2) Legea de compoziție xoy = xy nu este asociativă deoarece:

xo(yoz) = xo(yz) = (1)

(xoy)oz = (xy)oz = (xy)z = xyz (2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă că legea de compoziție o nu este asociativă.

Comutativitatea

Proprietatea de asociativitate lărgește mult aria posibilităților în perfectarea calcului algebric. O altă sursă în acest sens este dată de legile de compoziție pentru care produsul a doua elemente oarecare este independent de ordinea în care se face compunerea acestora. Mai precis:

Definitie: O lege de compoziție MxM cu valori în M, (x, y) cu valori în x*y

se numește comutativă, dacă:

x*y=y*x, () x,y M.

Adunarea și înmulțirea numerelor reale, reuniunea și întersecția părților unei mulțimi sunt legi de compoziție comutative.

Numeroase legi de compoziție se definesc cu ajutorul altora deja cunoscute. Asemenea operații pot prelua unele proprietăți de la cele de plecare prin mecanismul dat

chiar de definiția lor. Astfel comutativitatea adunarii matricelor din M2(R) este o consecință a proprietății de comutativitate a adunării numerelor reale. Întradevar, dacă A, B aparțin lui M2(R), A=(aij), B=(bij), atunci:

Să observăm că înmulțirea matricilor din M2(R) nu este comutativă, cu toate că înmulțirea numerelor reale este comutativă. Aceasta rezultă din exemplul urmator:

Deci dacă A,B M2(R) atunci AB BA.

Element neutru

Numerele reale 0 si 1 au pruprietățiile:

0+x = x+0 = x, () x R,

respectiv

1x = x1 = x, () x R.

Dacă E este o mulțime și 1E:EE este aplicația identică a lui E, atunci:

1Ef=f1E=f, () f F(E).

De asemenea, pentru orice matrice A M2(R) avem:

si analog A+0=A.

Definiție: Un element e M se numește element neutru pentru o lege de compoziție MMM, (x, y) x*y, dacă

e*x=x*e=x, () xM.

Teorema: Dacă o lege de compoziție are element neutru, atunci acesta este unic.

Demonstratie:

Fie e și e` două elemente neutre pentru o lege de compoziție MMM, (x, y)x*y. Avem e*e`=e` căci e este element neutru. De asemenea, e*e`=e căci și e` este element neutru, de unde e=e`. Așadar, elementul neutru, în cazul că există, este unic determinat.

În notație aditivă elementul neutru se notează de regula cu 0 și se numește elementul zero, iar în notație multiplicativă elementul neutru se notează cu 1 sau chiar cu e și poartă numele de elementul unitate. Avem

0+x = x+0 = x, () x M,

respectiv

1x = x1 = x, () x M.

Exemple:

1) Numărul real 0 este elementul neutru al adunării numerelor reale, numarul real 1 este elementul neutru al înmulțirii numerelor reale.

2) Aplicația identică 1E a multimii E este elementul neutru al operației de compunere a funcțiilor din F(E).

3) Mulțimea 2N={2k/ k N} a numerelor naturale pare, o parte stabilă a lui N în raport cu înmulțirea și legea de compoziție indusă de către aceasta pe 2N, nu admite element neutru.

Element simetrizabil

Ca și până acum, M este o mulțime nevidă înzestrată cu o lege de compoziție

MMM, (x, y)x*y

Vom presupune în plus că această lege de compoziție este asociativă și că admite element neutru, fie acesta e.

Definitie: Uu element x M se numește simetrizabil în raport cu legea de compoziție (asociativă și cu element neutru) MMM, (x,y) x*y, daca există x’ M astfel încât:

. x`*x = x*x`= e.

Să observăm că dacă x’’M satisface ca si x` condițiile

x„*x=x*x„=e

atunci x`=x„. Intr-adevar

x`=x`*e = x`*(x*x„) = (x`*x)*x„= e*x„=x„.

Dacă xM este simetrizabil, atunci unicul element x`M cu proprietatea x`*x = x*x` = e se numește simetricul lui x.

În notația multiplicativă simetricul lui x, în caz că există, se notează de regula cu x` și se numește inversul lui x. În notația aditivă se noteaza cu -x și se numește opusul lui x. Asadar,

x`x = xx`= 1,

respectiv

(-x) + x = x + (-x) = 0.

Exempl.

Exemple:

1) Cum e*e = e, rezultă că elementul neutru este și simetrizabil și simetricul lui e este tot e. In notație multiplicativă avem 1`=1, iar în notație aditivă -0 = 0.

2) Orice numar întreg este simetrizabil în raport cu adunarea numerelor întregi; numerele întregi simetrizabile față de înmulțire sunt 1 și –1, 1`= 1, (-1)`= -1.

3) Consultând tabla operațiilor induse pentru compunerea funcțiilor din F(E), unde

E={1, 2}, se observă că ee = e si ff = e, deci funcțiile e si f sunt simetrizabile (inversabile) și e` = e, f ’= f.

Teorema: Dacă x, y M sunt elemente simetrizabile în raport cu o lege de

compoziție MM M, (x, y) x*y (asociativă și cu element neutru)

atunci x*y si x` sunt simetrizabile. Mai mult:

1) (x*y)`=y`*x`,

2) (x`)`=x

Demonstratie:

Avem:

(y`*x`)*(x*y) = y`*(x`*(x*y)) = y`*((x`*x)*y) = y`*(e*y) = y`*y = e

și analog (x*y)*(y`*x`) = e. Rezultă că x*y este simetrizabil și (x*y)` = y`*x`.

Pentru a doua afirmație x’*x = x*x’ = e.

Proprietațile 1) și 2) din enunțul teoremei precedente se transcriu multiplicativ astfel:

1) (xy)` = y`x`, 2) (x`)` = x,

iar în notația aditivă

1) -(x+y) = (-y)+(-x), 2) –(-x) = x.

Pentru aceasta s-a făcut urmatoarea convenție de notație

Definiție: Un dublet (M, ×) format dintr-o mulțime nevidă M și o operație algebrică pe M se zice semigrup dacă operația algebrică respectivă este asociativă. Dacă operația algebrică are și element neutru, semigrupul (M, ×) se numește monoid. Dacă operația algebrică este comutativă, monoidul se numește comutativ.

De multe ori, în cazul unui semigrup se specifică doar mulțimea subiacentă M (fară a se mai specifica operația algebrică de pe M; dacă este pericol de confuzie atunci și aceasta trebuie neapărat menționată).

Exemple:

1) Dacă T Ø și M = P(T), atunci (M, ∩), (M , ∪) și (M, Δ) sunt monoizi comutativi.

2) Dacă A Ø , atunci (Hom(A),o) este monoid necomutativ.

Definim două operații algebrice pe N : adunarea (notată ,,+”) și înmulțirea (notată ,,×’’) în raport cu care N devine monoid.

Teoremă: Există o unică operație algebrică pe N pe care o vom nota prin „+” și o vom numi adunarea numerelor naturale a. î. pentru orice m, n∈N să avem :

A1 : 0+m=m

A2 : s(n)+m=s(n+m) .

Demonstrație. Să probăm la început unicitatea și pentru aceasta să presupunem că mai există o operație algebrică ⊕ pe N ce verifică A1 și A2.

Fie P={n∈IN | n+m = n⊕m, pentru orice m∈N }⊆ N.

Din A1 deducem că 0∈P iar din A2 deducem că dacă n∈P,

atunci s(n)+m = s(n)⊕m ⇔ s(n+m) = s(n⊕m),

ceea ce este adevărat deoarece s este injectivă și am presupus că n∈P. Deci P=N, adică cele

două operații coincid.

Considerăm un element m ∈N (pe care îl fixăm) și tripletul (N, m, s); conform T

Există o unică funcție fm : N→N a. î. fm(0)=m și s(fm(n))= fm(s(n)) pentru orice n∈N .

Pentru n∈N definim n+m=fm (n).

Atunci 0+m = fm(0) = m iar s(n)+m = fm (s(n)) = s(fm (n)) =s ( n+m ).

Propoziție: Pentru orice m, n IN avem

A1) m+0=m

A2) n+s (m)= s(n+m) .

Demonstrație.

Fie P = { mN/ m+0=m }N.

Dacă în A1 facem pe m = 0, deducem că 0+0 = 0, adică 0P. Dacă mP,

adică m+0=m, atunci s(m)+0=s(m+0)=s(m),

adică s(m) P, deci P=N. Analog se probează și a doua relație.

Propoziție: Dubletul (N, +) este monoid comutativ cu proprietatea de simplificare.

Demonstrație. Din cele stabilite anterior, deducem că 0 este element neutru pentru adunarea numerelor naturale.

Pentru a proba comutativitatea adunării să considerăm

P={n∈N : n+m = m+n pentru orice m∈N} ⊆N .

Evident 0∈P. Dacă n∈P, adică n+m=m+n pentru orice m∈N, atunci

s(n)+m=m+s(n) ⇔ s(n+m)=s(m+n) ⇔ n+m=m+n,

ceea ce este adevărat (deoarece s este injecție). Deducem că P=N, adică adunarea numerelor naturale este comutativă .

Pentru a demonstra asociativitatea adunării numerelor naturale, să considerăm

P ={n∈N: (n+m)+p=n+(m+p) pentru orice m, p∈N }⊆ N.

Evident, 0∈P. Fie acum n∈P. Atunci

(s(n)+m)+p=s(n+m)+p=s((n+m)+p) iar s(n)+(m+p)=s(n+(m+p))

și cum (n+m)+p=n+(m+p) deducem că s(n)∈P, adică P= N.

Pentru partea finală fie P={p∈N : dacă m+p=n+p ⇒ m=n}⊆ N.

Evident 0∈P și să presupunem că p∈P. Atunci

m+s(p)=n+s(p) ⇔ s(m+p)=s(n+p) ⇔ m+p=n+p ⇔ m=n

(căci p∈P), adică s(p)∈P și astfel din nou P= N.

Observație: Dacă n∈N, atunci s(n)=s(n+0)=n+s(0)=n+1.

Propoziție: Dacă m, n∈N și m+n=0, atunci m=n=0.

Demonstrație. Dacă m ≠ 0 sau n ≠ 0, atunci există p, q∈N a. î. m = s(p) sau n = s(q). În

primul caz, obținem că m+n = s(p)+n = s(p+n) ≠ 0 – absurd și analog în al doilea caz. Deci m = n = 0 .

Propoziție: Există o unică operație algebrică pe N notată „·” și numită înmulțirea numerelor naturale a.î. pentru orice m, n∈N să avem :

I1 : m·0=0

I2 : m·s(n)=mn+m.

Demonstrație. Fie m∈ℕ fixat ; considerând tripletul (N, 0, fm ), unde fm: N → N este definită prin fm(n)=n+m pentru orice n∈N, atunci există o unică funcție g m : N → N a.î. gm (0)=0 și fm∘gm = gm ∘s.

Definim m·n=gm(n) și astfel m·0=gm(0)=0 iar

m·s(n) = gm(s(n)) = fm(gm(n)) = fm(m·n) = m·n+m.

Unicitatea operației de înmulțire cu proprietățile I1 și I2 se probează analog ca în cazul adunării.

Observație: I1 și I2 poartă numele de axiomele înmulțirii numerelor naturale.

În cele ce urmează, dacă nu este pericol de confuzie, vom scrie m·n = mn pentru m, n∈ℕ.

Analog ca în cazul adunării numerelor naturale, se demonstrează că pentru oricare numere naturale m, n avem :

I1 : 0·m=0

I2 : s(n)·m=nm+m.

Lemă: Înmulțirea numerelor naturale este distributivă la stânga față de adunarea numerelor naturale.

Demonstrație. Fie P={p∈N : m(n+p)=mn+mp pentru oricare m, n∈N }⊆ N.

Ținând cont de I1 deducem că 0∈P. Să presupunem acum că p∈P și fie m, n∈N.

Avem m(n+s(p)) = m(s(n+p)) = m(n+p)+m = mn+mp+m = mn+ms(p),

adică s(p)∈P și astfel P= N .

Propoziție: Dubletul (N, ·) este monoid comutativ. Dacă m, n∈ N și mn=0, atunci m=0 sau n=0.

Demonstrație. Pentru a proba asociativitatea înmulțirii fie

P={p∈N : (mn)p=m(np) pentru oricare m, n∈N }⊆ N.

În mod evident, 0∈P. Să presupunem acum că p∈P și să demonstrăm că s(p)∈P. Avem

(mn)s(p) = (mn)p+mn iar m(ns(p)) = m(np+n) = m(np)+mn,

de unde egalitatea (mn)s(p) = m(ns(p)), adică s(p)∈P, deci P=ℕ.

Deoarece pentru orice n∈N avem n·1 = n·s(0) = n·0+n = n iar

1·n=s(0)·n=0·n+n=n deducem că 1 este elementul neutru al înmulțirii numerelor naturale.

Pentru a proba comutativitatea înmulțirii numerelor naturale fie

P={n∈N : nm=mn pentru orice m∈N }⊆ N.

În mod evident 0∈P și să presupunem că n∈N. Atunci pentru orice m∈N, s(n)·m=n·m+m iar m·s(n)=mn+m, de unde s(n)·m=m·s(n), adică s(n)∈P, deci P= N.

Fie acum m, n∈N a.î. mn=0 și să presupunem că m¹0. Atunci m=s(k) cu k∈N și cum 0 = mn = s(k)n = kn+n trebuie ca n = n·k = 0.

Definiție: Pentru m, n∈N vom scrie m≤n (și vom spune că m este mai mic sau egal decât n sau că n este mai mare sau egal decât m) dacă există p∈N a.î. m+p=n ; convenim în acest caz să notăm p = n-m.

Dacă p∈N *, atunci m≤n și m≠n ; în acest caz vom scrie m<n și vom spune că m este strict mai mic decât n.

Lemă: Dacă m, n∈N și m<n, atunci s(m)≤n.

Demonstrație. Deoarece m<n, există p∈N * a.î. m+p = n. Cum p∈N *, există k∈N a. î. p=s(k).

Atunci din m+p = n deducem că m+s(k) = n ⇒ s(m+k)=n ⇒ s(m)+k=n

⇒s(m)≤ n .

Corolar: Pentru orice n∈N, n<s(n).

Propoziție: Dubletul (N, ≤) este o mulțime total ordonată.

Demonstrație. Deoarece pentru orice n∈N, n+0=n deducem că n≤n, adică relația ≤ este reflexivă. Fie acum m, n∈N a. î. m≤n și n≤m. Atunci există p, q∈N a.î. m+p = n și n+q = m. Deducem că n+(p+q) = n, de unde p+q=0, iar de aici p=q=0, adică m=n, deci relația ≤ este antisimetrică .

Fie acum m, n, p∈N a. î. m≤n și n≤p. Atunci există r, s∈N a. î. m+r=n și n+s=p. Deducem imediat că m+(r+s) = p, adică m≤p, deci relația ≤ este și tranzitivă, adică ≤ este o relație de ordine pe N.

Pentru a proba că ordinea ≤ de pe N este totală, fie m∈N fixat iar

Pm ={n∈N: n≤m sau m≤n}⊆ N.

În mod evident 0∈Pm și fie n∈Pm . Dacă n=m, atunci cum n<s(n) avem m<s(n), adică s(n)∈Pm . Dacă n<m. avem s(n)≤m și din nou s(n)∈Pm . Dacă m<n, cum n<s(n) avem că m<s(n) și din nou s(n)∈Pm. Rezultă că Pm=ℕ și cum m este oarecare deducem că ordinea ≤ de pe ℕ este totală.

Observație: Relația de ordine ≤ definită anterior pe ℕ poartă numele de ordinea naturală de pe ℕ.

Teoremă. Dubletul (N, ≤) este o mulțime bine ordonată.

Demonstrație. Trebuie să demonstrăm că orice submulțime nevidă A⊆N are un cel mai mic element. Pentru aceasta fie: P={n∈N: n≤x pentru orice x∈A}⊆ N.

Evident 0∈P. Dacă pentru orice n∈P ar rezulta s(n)∈P, atunci am deduce că P= N, astfel că alegând un x0∈A atunci x0∈P, deci s(x0)∈P. În particular ar rezulta că

s(x0 )≤x0 – absurd . Deducem că P≠ N, adică există a∈P a.î. s(a)∉P.

Vom demonstra că a∈A și că a este cel mai mic element al lui A. Dacă a∉A, atunci pentru orice x∈A avem a<x, de unde s(a)≤x, adică s(a)∈P – absurd, deci a∈A și cum a ∈P deducem că a ≤x pentru orice x∈A, adică a este cel mai mic element al lui A .

Definiție: Vom spune despre un monoid M că este grup dacă U(M)=M. Altfel zis, dubletul (M, ×) format dintr-o mulțime M și o operație algebrică pe M este grup dacă operația algebrică este asociativă, admite element neutru și orice element din M este inversabil.

Grupul M se va zice comutativ ( sau abelian ) dacă operația algebrică este comutativă.

Exemple:

1) Dacă T este o mulțime nevidă atunci (P(T), Δ) este grup comutativ.

2) Dacă A este o mulțime nevidă, atunci ( , o) este grup ( în general necomutativ).

3) Mai general, dacă (M, ×) este un monoid atunci (U (M), ×) este grup.

În cele ce urmează prin (G, ×) vom desemna un grup multiplicativ (dacă nu este pericol de confuzie nu vom mai specifica operația algebrică). Cardinalul mulțimii G se va nota | G | și se va numi ordinul grupului G .

În consecință, elementul neutru al lui G va fi notat cu 1 iar pentru x∈G inversul său va fi notat prin x-1 .

Analog ca în cazul semigrupurilor, dacă pentru x∈G definim x0 = 1, atunci (x-1)-1= x iar dacă m, n∈N, atunci xm xn = xm+n și (xm)n = =xmn. De asemenea, dacă x, y ∈G și xy=yx, atunci pentru orice n∈N (xy)n= xn y n.

Definiție: O submulțime nevidă S a lui G se zice subgrup al lui G dacă S împreună cu restricția operației algebrice de pe G la S formează grup.

Vom nota prin L(G) mulțimea subgrupurilor lui G; pentru a exprima că H∈L(G) vom indica lucrul acesta scriind că HG.

Propoziție: Pentru o mulțime nevidă S a lui G următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) S∈L(G)

(ii) 1∈S și pentru orice x, y∈S, xy∈S și x-1∈S

(iii) pentru orice x, y∈S , x-1y∈S.

Demonstrație. Implicațiile (i)(ii) și (ii)(iii) sunt imediate. (iii)(i). Cum S ¹ Ø există x0∈S și atunci 1=x0 -1×0∈S. Alegând un element oarecare x∈S, cum 1∈S avem că și x-1=x-11∈S adică (S, •) este grup.

În mod evident, {1}∈L(G) și G∈L(G). Oricare alt subgrup S al lui G diferit de {1} și G se zice propriu. Subgrupul {1} se zice subgrup nul și se notează de obicei prin 0.

Propoziție: Fie (Si)i∈I o familie nevidă de subgrupuri ale lui G . Atunci, ∈ L(G).

Demonstrație. Fie S= și x, y ∈S . Atunci pentru orice i∈I, x, y∈Si și cum Si≤G avem că x-1y∈Si , adică x-1y∈S, deci S≤G.

Observație: În ceea ce privește reuniunea a două subgrupuri ale lui G să demonstrăm că dacă H, K∈L(G), atunci H∪K∈L(G) Û ⇔H∈K sau K∈H. Implicația de la dreapta la stânga fiind evidentă să presupunem că H∪K∈L(G) și totuși HK și KH , adică există x∈H astfel încât x∈K și y∈K astfel încât y∈H.

Considerând elementul z = xy atunci cum am presupus că H∪K∈L(G) ar trebui ca z∈H∪K. Dacă z∈H, atunci cum y=x-1z am deduce că y∈H – absurd. Dacă z∈K atunci ar rezulta că x=zy-1∈K – absurd .

Din cele expuse mai înainte deducem că în general, dacă H, K∈L(G) nu rezultă cu necesitate că și H∪K∈L(G). Este una din rațiunile pentru care vom introduce noțiunea ce urmează.

Definiție: Dacă M este o submulțime nevidă a lui G, prin subgrupul lui G generat de M înțelegem cel mai mic subgrup al lui G ( față de relația de incluziune ) ce conține pe M și pe care îl vom nota prin <M>. Altfel zis

<M>= .

Dacă M∈L(G), în mod evident <M>=M.

Propoziție: Dacă M∈G este o submulțime nevidă, atunci

<M> = {x1 …xn | n∈N iar xi ∈M sau xi-1 ∈M pentru orice 1≤i≤n }.

Demonstrație. Fie H={x1 …xn | n∈N iar xi∈ M sau xi-1 ∈M pentru orice 1≤i≤n } și x, y∈H, adică x=x1 … xn , y=y1 …ym cu xi sau xi-1 în M și yj sau yj-1 în M pentru 1≤i≤n și 1≤j≤m.

Cum x-1y = xn-1 … x1-1 y1 … ym deducem că x-1y∈H, adică H≤G. Deoarece M∈H iar <M> este cel mai mic subgrup al lui G ce conține pe M deducem că <M>H .

Fie acum S≤G astfel încât M∈S. Atunci H∈S, deci

H = <M>, de unde egalitatea <M> = H.

Corolar: <x>={xn | n∈N }∪{(x-1)n | n∈ℕ}.

Definiție: <x> poartă numele de grupul ciclic generat de x. Ordinul unui element x∈G notat o(x) se definește ca fiind o(x)=|<x>|. Evident, o(1)=1 iar dacă x1 și o(x)=n, atunci n este cel mai mic număr natural pentru care xn = 1. Dacă o(x)=, atunci xn 1, pentru orice n≥1.

Observație:

1. Dacă x∈G este de ordin finit și există n∈N * a.î. xn = 1, atunci o(x) / n .

Într-adevăr, împărțind pe n la o(x) găsim c, r ∈N a.î n = c × o(x) + r și r < o(x). Din xo( x) = xn = 1 deducem imediat că și xr = 1, adică r = 0 (ținând cont de minimalitatea lui o(x)), deci o(x) / n .

2. Dacă x, y ∈G , a.î. o(x) și o(y) sunt finite, xy = yx și (o(x), o(y)) = 1, atunci o(xy) = o(x)o(y). Într-adevăr, dacă notăm m = o(x), n = o(y) și p = o(xy), din xm = yn = 1 deducem că (xy)mn = xmn × ymn = 1, adică p / mn . Din o(xy) = p deducem că (xy) p = 1, deci x p =y – p iar de aici xnp = ( y n )- p = 1 , adică m / np și cum (m,n) = 1 deducem că m / p .

Analog n / p și cum (m,n) = 1 deducem că mn / p , adică p = mn.

3. Din cele de mai înainte deducem recursiv că dacă x1, x2 ,…, xn ∈G ( n 2 ) și cele n elemente comută între ele iar ordinele a oricare două (diferite) sunt prime între ele, atunci

o(x1…xn ) = o(x1 )…o(xn ).

I.2. Morfisme de grupuri

Propoziție: Dacă M este un semigrup, x∈M iar m, n∈N *, atunci

xm×xn = xm+n iar (xm)n = xmn.

Dacă mai avem y∈M a.î. xy = yx, atunci (xy)n = xnyn.

Definiție: Dacă M, M’ sunt monoizi, o funcție f:M→M’ se numește morfism de monoizi dacă f(1)=1 și f(xy)=f(x)f(y) pentru orice x, y∈M.

Vom nota prin Mon clasa monoizilor iar pentru M, M’∈Mon vom nota prin HomMon(M, M’) (sau mai simplu Hom(M, M’) dacă nu este pericol de confuzie) toate morfismele de monoizi de la M la M’, adică Hom(M, M’)={f:M→M’/ f este morfism de monoizi}.

Propoziție: Dacă M, M’, M’’ sunt monoizi iar f∈Hom(M,M’) și g∈Hom(M’, M’’) , atunci gof∈Hom(M, M’’).

Demonstrație. Cum f(1) = g(1), (gof)(1) = g(f(1)) = g(1) = 1 iar pentru x, y∈M avem (gof)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = (gof)(x)(gof)(y), adică gof ∈Hom(M, M’’).

Definiție: Dacă M și M’ sunt doi monoizi, numim izomorfism de monoizi un morfism f∈Hom(M, M’) care ca funcție este bijecție; în acest caz vom spune despre monoizii M, M’ că sunt izomorfi și vom scrie MM’.

Se deduce imediat că dacă f∈Hom(M, M′) este izomorfism de monoizi, atunci și f -1:M’→M este morfism de monoizi.

Definiție: Dacă G și G’ sunt două grupuri, vom spune că o funcție f:G→G’ este morfism de grupuri dacă pentru orice x, y∈G, f(xy)=f(x)f(y).

Vom nota HomGr(G, G’)={f:G→G’|f este morfism de grupuri}. Dacă nu este pericol de confuzie în loc de HomGr(G, G’) vom scrie Hom(G, G’).

Exemple:

1) Funcția 1G:G→G este morfism de grupuri.

2) f : G→G’, f(x)=1 pentru orice x∈G este de asemenea morfism de grupuri (numit morfismul nul).

3) Dacă H⊴G atunci pH :G→G/H, pH(x)=xH pentru orice x∈G este morfism surjectiv de grupuri (numit morfismul surjectiv canonic).

Observație: Ca și în cazul monoizilor se demonstrează imediat că dacă G, G’, G’’ sunt grupuri și f∈Hom(G,G’), g∈Hom(G’,G’’), atunci gof∈Hom(G,G’’).

Propoziție: Dacă G, G’ sunt grupuri și f∈Hom(G, G’), atunci f(1)=1 și f(x-1) = (f(x))-1 pentru orice x∈G.

Demonstrație. Din 1=1×1 deducem că f(1)=f(1×1)=f(1)×f(1) iar de aici că f(1) =1. Dacă x∈G, cum xx-1 = 1 deducem 1 = f(1) = f(xx-1) = =f(x) f(x-1), de unde f(x-1)=f(x)-1.

Propoziție: Fie G, G’ grupuri iar f∈Hom(G, G¢).

(i) Dacă H≤G atunci f(H)≤G’

(ii) Dacă H⊴G și f este funcție surjectivă atunci f(H)⊴G’

(iii) Dacă H’≤G’, atunci f-1(H’)≤G

(iv) Dacă H’⊴G’, atunci f-1(H’)⊴G.

Demonstrație. (i). Dacă x’, y’∈f(H), atunci x’=f(x), y’=f(y) cu x, y∈H și cum

x’-1y’ =(f(x))-1 f(y)=f(x-1y) iar x-1y∈H deducem că x’-1y’∈f(H), adică f(H)≤G’.

(ii). Dacă x’∈G’ și h’∈f(H) atunci cum f este surjecție x’=f(x) cu x∈G și h’=f(h) cu h∈H. Deoarece x’h’x’-1=f(xhx-1) iar xhx-1∈H (căci H⊴G) deducem că x’h’x’-1 ∈f(H), adică f(H)⊴G.

(iii). Dacă x, y∈f-1(H’), atunci f(x), f(y) ∈H’ și cum H’≤G’ deducem că

f(x)-1 f(y)=f(x-1y) ∈H’, adică x-1y∈ f-1(H’), deci f-1(H’)≤G.

(iv). Fie x∈G și y∈f-1(H’) (adică f(y)∈H’). Cum H’⊴G’ avem f(x)f(y)f(x)-1∈H’ sau f(xyx-1)∈H’, deci xyx-1∈f-1(H’), adică f- 1(H’)⊴G.

Observație: Dacă f∈Hom(G, G’), conform propoziției precedente deducem că

f-1({1})⊴G iar f(G)≤G’. Convenim să notăm f- 1({1})=Ker(f) și să-l numim nucleul lui f iar f(G)=Im(f) și să-l numim imaginea lui f. Astfel, pentru orice f∈Hom(G, G’), Ker(f)⊴G iar Im(f)⊴G’.

Propoziție: Dacă G, G’ sunt grupuri iar f∈Hom(G, G’), următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) f este funcție injectivă

(ii) Ker(f)={1}

(iii) Pentru orice grup G’’ și α, β∈Hom(G’’, G), dacă foα=foβ, atunci α=β.

Demonstrație. (i) (ii). Evident {1}∈Ker(f). Dacă x∈Ker(f) atunci f(x)=1=f(1) și cum f este injecție deducem că x=1, adică Ker(f)={1}.

(ii) (i). Dacă x, y∈G astfel încât f(x)=f(y), cum f(x-1y)=(f(x))-1f(y)=1 deducem că

x-1y∈Ker(f)={1}, adică x-1y=1 deci x=y, rezultând astfel că f este injecție.

(iii) (i). Să presupunem prin absurd că f nu este injectivă (deși verifică (iii)). Cum (i) (ii), deducem că Ker(f){1}. Dacă notăm G’’=Ker(f) și considerăm α, β:G’’→ G, α= incluziunea iar β= morfismul nul (adică β(x)=1 pentru orice x∈G’’), atunci αβ și foα=foβ (căci ambele dau morfismul nul) – absurd .

Observație: Datorită propoziției precedente (și ținând cont de felul în care se definesc monomorfismele într-o categorie oarecare) vom numi morfismele injective de grupuri monomorfisme. Monomorfismele se numesc și scufundări.

Propoziție: Dacă G, G’ sunt grupuri iar f∈Hom(G, G’), atunci în ipoteza că G’ este comutativ, următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) f este surjecție

(ii) Im(f)=G’

(iii) Pentru orice grup G’’ și orice morfisme α, β∈Hom(G’,G’’), dacă αof=βof, atunci α=β.

Demonstrație. Echivalența (i) (ii) este imediată. (i) (iii). Dacă y∈G’ cum f este surjecție există x∈G astfel încât f(x)=y. Atunci (αof)(x)=( βof)(x) α(f(x))= β(f(x)) α(y)=β(y), adică α=β.

(iii) (i). Să presupunem că f verifică (iii) și totuși nu este surjectivă, adică Im(f) G’. Alegând G’’= G’/Im(f) (lucru posibil deoarece prin ipoteză G’ este comutativ și deci Im(f)⊴G¢) avem că G’’{1} și astfel alegând α = pIm(f):G’→G’’ și β= morfismul nul de la G’ la G’’ avem că αβ deși αof = βof (căci ambele compuneri dau morfismul nul) – absurd.

Observație: Datorită propoziției precedente morfismele surjective f∈Hom(G, G’) cu G’ comutativ se mai zic și epimorfisme.

Definiție: Dacă G, G’ sunt grupuri, vom spune că f∈Hom(G, G’) este izomorfism de grupuri dacă există g∈Hom(G’, G) astfel încât gof=1G și fog=1G’. În acest caz vom spune despre grupurile G și G’ că sunt izomorfe și vom scrie G ≈ G’.

Se verifică imediat că morfismul f este izomorfism de grupuri dacă și numai dacă f este bijecție.

Vom privi noțiunile de nucleu și conucleu ale unui morfism de grupuri într-un context mai general. În acest sens vom introduce noțiunea de nucleu și conucleu a unei perechi de morfisme de grupuri și vom proba existența lor.

Definiție: Fie f, g:G1→G2 o pereche de morfisme de grupuri. Un dublet notat prin Ker(f, g)=(G, i) și format dintr-un grup G și un morfism de grupuri i:G→G1 se numește nucleul perechii (f, g) dacă îndeplinește următoarele condiții:

(i) foi=goi

(ii) Dacă (G’, i’) este un alt dublet format dintr-un grup G’ și un morfism de grupuri i’:G¢’→G1 a.î. foi’=goi’, atunci există un unic morfism de grupuri u:G’→G astfel încât iou=i’.

Teoremă: Pentru orice pereche de morfisme de grupuri f, g:G1→G2 există Ker(f, g) care este unic până la un izomorfism de grupuri.

Demonstrație. Demonstrația unicității fiind asemănătoare cu cea de la nucleul unei perechi de funcții se poate proba doar existența nucleului.

În acest sens vom considera K = {x∈G1| f(x) = g(x) } și să arătăm că K≤G1. Dacă x, y∈K, atunci f(x)=g(x), f(y)=g(y) și cum f(xy-1)=f(x)f(y)-1= g(x)g(y)-1= g(xy-1) deducem că xy-1∈K, adică K≤G1. Morfismul i:K→G1 va fi incluziunea și în mod evident foi=goi.

Dacă mai avem un alt dublet (K’, i’) cu K’ grup și i’:K’→G1 morfism de grupuri astfel încât foi’=goi’, atunci pentru orice x∈K’, f(i’(x)) ∈K astfel că u:K’→K, u(x)=i’(x) pentru orice x∈K’ va fi unicul morfism de grupuri pentru care iou=i’.

Definiție: Fie f, g:G1→G2 o pereche de morfisme de grupuri. Un dublet notat prin Coker(f, g)=(G, p) format dintr-un grup G și un morfism de grupuri p:G2→G se numește conucleu al perechi (f,g) dacă îndeplinește următoarele condiții:

(i) pof=pog

(ii) Dacă(G’, p’) este un alt dublet format dintr-un grup G’ și un morfism de grupuri p’:G2→G’ astfel încât p’of=p’og, atunci există un unic morfism de grupuri u:G→G’ astfel încât uop=p’.

Teoremă: Pentru orice pereche de morfisme de grupuri f, g:G1→G2 există Coker(f, g) care este unic până la un izomrfism de grupuri.

Demonstrație. Cum probarea unicității conucleului se face ca pentru funcții, să probăm doar existența conucleului. În acest sens vom considera

M={f(x)g(x)-1 | x∈G1 }, H=[M]= subgrupul normal al lui G2 generat de M iar pH : G2→G2/H morfismul surjectiv canonic și să probăm că (G=G2/H, pH)=Coker(f, g).

H=[M]= <{a-1 f(x)g(x)-1a |a∈G2 , x∈G1}>.

Deoarece pentru orice x∈G1, f(x)g(x)-1∈MH, deducem că H(f(x))=H(g(x)), adică pH(f(x))=pH(g(x)), deci pHof=pHog.

Fie acum (G’, p’) un alt dublet format dintr-un grup G’ și un morfism p’:G2→G’ astfel încât p’of=p’og. Atunci pentru orice x∈G1

p’(f(x))=p’(g(x)) f(x)g(x)-1∈Ker p’ de unde deducem că

MKer(p’) și deci și H=[M]Ker(p’) (căci Ker(p’)⊴G2 iar H este cel mai mic subgrup normal al lui G2 ce conține pe M).

Avem deci diagrama

cu HKer(p¢). Definim u:G2/H→ G’ prin u(xH) = p’(x) pentru orice

x∈G2.

Dacă mai avem y∈G2 astfel încât xH=yH atunci x-1y∈HKer(p’), adică

x-1y∈Ker(p) deci p’(x)=p’(y) și astfel u este corect definită. În mod evident u este morfism de grupuri și uopH=p’.

Dacă mai avem u’:G2 / H→G’ astfel încât u’opH=p’, atunci pentru orice x G2 avem u’(pH(x))= u(pH(x)), adică u’=u.

Observație: Dacă f:G1→ G2 este un morfism de grupuri, atunci considerând morfismul nul 1:G1→ G2 definit prin 1(x)=1 pentru orice xG1, avem că Ker(f)=Ker(f, 1) iar Coker(f)=Coker(f, 1).

În vederea construirii mulțimii numerelor întregi ℤ, vom prezenta la început o teoremă a lui Malțev de scufundare a unui monoid comutativ cu proprietatea de simplificare într-un grup comutativ urmând ca prin particularizare la cazul monoidului (ℕ,+) să obținem grupul aditiv (ℤ,+).

Teoremă: ( Malțev ) Fie (M, ·) un monoid comutativ cu proprietatea de simplificare. Atunci există un grup comutativ G(M) și un morfism injectiv de monoizi iM:M→G(M) ce verifică următoarea proprietate de universalitate :

pentru orice grup comutativ G și orice morfism de monoizi f:M→G există un unic morfism de grupuri fʹ: G(M)→G a.î. diagrama

este comutativă (adică fʹ∘ iM =f ).

Demonstrație. Pe mulțimea Mʹ=M×M definim relația(x, y) ∼ (xʹ, yʹ) xyʹ= yxʹ și să probăm că ∼ este o echivalență pe Mʹ compatibilă cu structura de monoid a lui Mʹ (adică ∼ este o congruență pe monoidul produs Mʹ=M×M ). În mod evident, relația ∼ este reflexivă și simetrică. Dacă (x, y)∼(xʹ, yʹ) și (xʹ, yʹ)∼(xʹʹ, yʹʹ) atunci xyʹ = yxʹ și xʹyʹʹ = xʹʹyʹ, de unde xxʹyʹyʹʹ = xʹxʹʹyyʹ, deci xyʹʹ = yxʹʹ (am simplificat prin xʹyʹ), adică

(x, y)∼(xʹʹ, yʹʹ), deci relația ∼ este și tranzitivă, de unde concluzia că ∼ este o echivalență pe Mʹ .

Fie acum (x, y), (xʹ, yʹ), (a, b), (aʹ, bʹ)∈Mʹ a.î. (x, y)∼(a, b) și (xʹ, yʹ)∼(aʹ, bʹ) și să probăm că și (xxʹ, yyʹ)∼(aaʹ, bbʹ ).

Avem deci xb = ya și xʹbʹ = yʹaʹ, de unde xxʹbbʹ = yyʹaaʹ, adică (xxʹ, yyʹ)∼(aaʹ, bbʹ), adică relația ∼ este o congruență pe monoidul produs Mʹ în care reamintim că operația de compunere se definește prin (x, y)·(xʹ, yʹ)=(xxʹ,yyʹ).

Vom considera monoidul cât G(M)=Mʹ/∼ iar pentru (x, y)∈Mʹ vom nota prin [x, y] clasa sa de echivalență în G(M).

Datorită faptului că relația ∼ este o congruență pe Mʹ deducem imediat că G(M) devine în mod canonic monoid comutativ, definind pentru [x, y], [xʹ, yʹ]∈G(M), [x, y]·[xʹ, yʹ]=[xxʹ, yyʹ] (elementul neutru al lui G(M) va fi [1, 1], 1 fiind elementul neutru al lui M). Deoarece pentru [x, y]∈G(M), [x, y]·[y, x]=[xy, xy]=[1, 1] deducem că [y, x]= =[x, y] – 1 , adică G(M) este grup (comutativ).

Definim iM :M→G(M) prin iM (x)=[x , 1] pentru orice x∈M.

Pentru x, y∈M avem iM (x)·iM (y)=[x, 1]·[y, 1]=[xy, 1]=iM (xy) adică i M este morfism de monoizi. Dacă iM (x)=iM (y), atunci [x, 1]=[y, 1] ⇔x1=y1 ⇔ x=y, adică iM este chiar morfism injectiv de monoizi .

Să arătăm acum că dubletul (G(M), iM) verifică proprietatea de universalitate din enunț. Pentru aceasta fie G un grup comutativ oarecare și f:M→G un morfism de monoizi. Pentru [x, y]∈G(M), definim fʹ([x, y])=f(x)f(y)–1. Observăm că dacă [x, y]=[xʹ, yʹ], atunci xyʹ=xʹy, deci

f(x)f(yʹ)=f(xʹ)f(y) ⇔ f(x)f(y)–1=f(xʹ)f(yʹ)-1,

adică fʹ este corect definită.

Să probăm acum că fʹ este morfism de grupuri. Avem

fʹ([x, y]·[xʹ, yʹ])=fʹ([xxʹ, yyʹ])=f (xxʹ)f(yyʹ)-1=

=f(x)f(xʹ)[f(y)·f(yʹ)]-1=(f(x)f(y)–1)( f(xʹ)f(yʹ)-1)=fʹ([x, y])fʹ([xʹ, yʹ]).

Pentru xM avem (fʹ∘iM)(x)=fʹ(iM (x))= fʹ([x,1])=f(x)f(1)-1=f(x), de unde concluzia că fʹ∘iM=f .

Pentru a proba unicitatea lui fʹ (cu proprietatea din enunț) să presupunem că mai există un morfism de grupuri fʹʹ:G(M)→G a.î. fʹʹ∘iM=f. Atunci, pentru [x, y]∈G(M) avem

[x,y]=[x,1]·[1,y]=[x,1]·[y,1]-1, de unde fʹʹ([x, y])=fʹʹ([x,1]·[y,1]–1) =

=fʹʹ(iM (x)iM(y)-1)=fʹʹ(iM (x))(fʹʹ(iM (y))-1=f(x)(f(y))–1=fʹ([x, y]), adică fʹʹ=fʹ.

Observație:

1. Dacă f este un morfism injectiv de grupuri, atunci și fʹ este morfism injectiv de grupuri .

Într-adevăr, dacă [x, y]∈G(M) și fʹ([x, y])=1, atunci f(x)(f(y))–1 =1, deci f(x)=f(y), de unde x=y, adică [x, y]=[x, x]=1.

2. Dacă pe mulțimea dubletelor (G, f) cu G grup abelian și f:M→G morfism injectiv de monoizi definim relația (G, f )≤(Gʹ, fʹ)⇔există h:G→Gʹ a.î. h este morfism injectiv de grupuri și h∘f=fʹ, atunci se verifică imediat că relația de mai sus este o relație de ordine iar dubletul (G(M), iM ) din Teorema lui Malțev este cel mai mic element față de această relație de ordine.

Definiție: Considerând monoidul (N, +) (ce are proprietatea de simplificare) și urmând tehnica dată de Teorema lui Malțev, mulțimea subiacentă grupului aditiv

(G(ℕ), +) se notează prin ℤ și poartă numele de mulțimea numerelor întregi iar grupul (ℤ, +) grupul aditiv al numerelor întregi .

Ținând cont de faptul că iℕ: N →ℤ , iℕ(n)=[n, 0] pentru orice n∈N este morfism injectiv de monoizi, vom identifica fiecare număr natural n∈N prin elementul întreg [n, 0], astfel că N va fi privită în continuare ca submulțime a lui ℤ.

Fie acum z=[m, n]∈ℤ. Dacă m=n, atunci z=0. Dacă m<n, atunci există p∈N* a.î. m+p=n (în acest caz convenim să notăm p=n-m și astfel m+(n-m)=n) iar z=[0, p]=-[p, 0] se identifică cu numărul întreg –p iar dacă n<m, atunci există q∈N* a.î. n+q=m și astfel

z=[q, 0] identificându-se cu numărul natural q.

Ținând cont de acestea putem scrie pe ℤ sub forma ℤ=(-N*)∪ N unde

-N*={-n|n∈N*}, sau ℤ={0 , ±1 , ±2 , ….}.

Lemă: Fie x, y, z, t, xʹ, yʹ, zʹ, tʹ∈N a.î. [x, y]=[xʹ, yʹ] și [z, t]=[zʹ, tʹ].

Atunci [xz+yt, xt+yz]=[xʹzʹ+yʹtʹ, xʹtʹ+yʹzʹ] .

Demonstrație. Din ipoteză avem x+yʹ=y+xʹ și z+tʹ=zʹ+t astfel că

[xz+yt, xt+yz]=[xʹzʹ+yʹtʹ, xʹtʹ+yʹzʹ] ⇔ (xz+yt)+(xʹtʹ+yʹzʹ) = (xt+yz)+(xʹzʹ+yʹtʹ)⇔

x(z-t)+y(t-z) = xʹ(zʹ-tʹ)+yʹ(tʹ-zʹ) ⇔ (x-y)(z-t) = (xʹ-yʹ)(zʹ-tʹ)

ceea ce este adevărat deoarece x-y = xʹ-yʹ și z-t = zʹ-tʹ.

Fie acum α=[x, y] și β=[z, t] două numere întregi.

Definind α·β=[xz+yt, xt+yz], conform Lemei 6.4. deducem că această definiție este corectă .

Propoziție: (ℤ, · ) este monoid comutativ, înmulțirea este distributivă față de adunare iar dacă a,a’∈ℤ și aa’ = 0, atunci a=0 sau a’=0.

Demonstrație. Pentru a demonstra că (ℤ, ·) este monoid

comutativ fie α=[x, y], αʹ=[xʹ, yʹ], αʹʹ=[xʹʹ, yʹʹ] trei elemente oarecare

din ℤ. Atunci :

α(αʹαʹʹ) = [x,y][xʹxʹʹ+yʹyʹʹ,xʹyʹʹ+yʹxʹʹ] = [x(xʹxʹʹ+yʹyʹʹ)+y(xʹyʹʹ+yʹxʹʹ),

x(xʹyʹʹ+yʹxʹʹ)+y(xʹxʹʹ+yʹyʹʹ)]=[xxʹxʹʹ+xyʹyʹʹ+xʹyyʹʹ+xʹʹyyʹ,xxʹyʹʹ+xxʹʹyʹ+xʹxʹʹy+yyʹyʹʹ] iar (ααʹ)αʹʹ = [xxʹ+yyʹ, xyʹ+xʹy][xʹʹ, yʹʹ] =

= [(xxʹ+yyʹ)xʹʹ+(xyʹ+xʹy)yʹʹ, (xxʹ+yyʹ)yʹʹ+(xyʹ+xʹy)xʹʹ] =

= [xxʹxʹʹ+xyʹyʹʹ+xʹyyʹʹ+xʹʹyyʹ, xxʹyʹʹ+xxʹʹyʹ+xʹxʹʹy+yyʹyʹʹ] ,

de unde deducem că α(αʹαʹʹ)=(ααʹ)αʹʹ adică înmulțirea numerelor întregi este asociativă.

În mod evident, ααʹ=αʹα (deoarece înmulțirea numerelor naturale este comutativă), adică înmulțirea numerelor întregi este comutativă.

Deoarece α[1, 0]=[x, y][1, 0]=[x, y]=α, deducem că elementul neutru pentru înmulțirea numerelor întregi este [1, 0].

Să arătăm acum că înmulțirea numerelor întregi este distributivă față de adunarea numerelor întregi . Într – adevăr,

α(αʹ+αʹʹ) = [x, y][xʹ+xʹʹ , yʹ+yʹʹ]

= [x (xʹ+xʹʹ)+y(yʹ+yʹʹ), x(yʹ+yʹʹ)+y (xʹ+xʹʹ)]

= [xxʹ+xxʹʹ+yyʹ+yyʹʹ, xyʹ+xyʹʹ+yxʹ+yxʹʹ] iar

ααʹ+ααʹʹ = [x, y][xʹ,yʹ]+[x, y] [xʹʹ, yʹʹ]

= [xxʹ+yyʹ, xyʹ+yxʹ]+[xxʹʹ+yyʹʹ, xyʹʹ+yxʹʹ]

= [xxʹ+yyʹ+xxʹʹ+yyʹʹ, xyʹ+yxʹ+xyʹʹ+yxʹʹ]

de unde se observă că α(αʹ+αʹʹ)=ααʹ+ααʹʹ .

Fie ααʹ=0=[0, 0] cu α≠0 (adică x≠y). Atunci xxʹ+yyʹ=xyʹ+xʹy, de unde (x-y)(xʹ-yʹ)=0 și cum x-y≠0, atunci xʹ-yʹ=0, adică xʹ=yʹ , deci αʹ=0.

Definiție: Pentru x, y∈ℤ definim x ≤y ⇔ y-x∈ N.

Teoremă: Dubletul (ℤ, ≤) este mulțime total ordonată.

Demonstrație. Fie x, y, zℤ ; deoarece x-x=0 N deducem că x≤x. Dacă x≤y și y≤x atunci există m, n N a.î. y-x=m și x-y=n, de unde m+n=0 și deci m=n=0, adică x=y.

Dacă x≤y și y≤z, atunci există m, n N a.î. x+m=y și y+n=z. Cum x+(m+n)=z deducem că x≤z, adică ( ℤ, ≤ ) este o mulțime ordonată. Faptul că ordonarea de pe ℤ este totală rezultă din aceea că ℤ=(- N*)∪ N iar (-N *)∩ N =∅.

Observație: Din felul în care am definit relația de ordine ≤ pe ℤ deducem că

ℕ={xℤ : x≥0} iar – N ={xℤ : x ≤0}.

Propoziție: Fie x, y, z∈ℤ a.î. x ≤ y . Atunci (i) -y ≤ -x

(ii) dacă z ≥ 0 atunci xz ≤ yz

(iii) dacă z ≤ 0 atunci xz ≥ yz .

Demonstrație.(i). Din x ≤ y deducem că y-x N și cum

(–x)–(-y)=y-x N rezultă că –y ≤- x.

(ii). Cum y-x N și z N avem (y-x)z N adică yz-xz N, deci xz ≤ yz .

(iii). Cum –z N și y-x N deducem că și (y-x)(-z) N iar cum (y-x)(-z)=xz-yz N rezultă că xz ≥ yz.

Observație: Dacă G este un grup, xG și nℤ atunci definim

Se probează imediat că dacă xG și m, nℤ atunci xmxn=xm+n și (xm)n = xmn. De asemenea, dacă x, yG, xy=yx și nℤ, atunci (xy)n=xnyn .

Să caracterizăm acum subgrupurile grupului (ℤ,+) iar în acest sens pentru n N, notăm nℤ={nk / kℤ}.

Teoremă: Următoarele afirmații sunt echivalente

(i) H≤(ℤ,+)

(ii) Există n N astfel încât H=nℤ.

Demonstrație. (ii) (i). Să arătam că dacă H=nℤ, atunci H≤(ℤ,+) iar pentru aceasta fie x, yH, adică x=nk, y=nt cu k, tℤ. Atunci x-y=n(k-t)H, adică H≤(ℤ+).

(i) (ii). Fie H≤(ℤ,+). Dacă H={0}, atunci H=0ℤ. Să presupunem că există xH astfel încât x¹0. Dacă x>0, atunci x N*∩H iar dacă x<0, atunci –x N*∩H (căci H≤(ℤ,+)). În concluzie A= N*∩H N și AØ.

A are un cel mai mic element n și să demonstrăm că H=nℤ. Cum nH∩N* și H≤(ℤ,+), atunci pentru orice kℤ, nkH, adică nℤH.

Pentru cealaltă incluziune, fie mH. Atunci m≥n și conform teoremei împărțirii cu rest din N există c, r N astfel încât m=cn+r iar 0≤r<n. Deducem că r=m-cn și cum m, nH iar c N, atunci rH, deci cu necesitate r=0 (altfel din r<n am contrazice minimalitatea lui n). În concluzie m=cnnℤ, adică Hnℤ, deci H=nℤ.

Fie n N, n2 și ρnℤℤ definită prin (x,y)ρn n | xy.

Deoarece pentru orice xℤ, n|x-x = 0 deducem că ρn este reflexivă iar dacă n|x-y, atunci n|y-x, adică (y,x)ρn astfel că ρn este și simetrică. Dacă (x,y), (y,z)ρn, atunci n|x-y, y-z și atunci n|(xy)+(y-z)=x-z, deci (x,z)ρn, adică ρn este și tranzitivă, deci o echivalență pe ℤ.

Dacă xℤ, atunci împărțind pe x la n avem x=cn+r cu cℤ și r{0,1,…,n-1}

Atunci x-r = cn adică (x, r)ρn și deci n ρn ρn astfel că

ℤ/ρn ={ 0 ρn, 1 ρn , …, n-1 ρn }

Pentru a respecta tradiția notațiilor, vom nota ℤ/ρn=ℤn iar k ρn= pentru orice k{0,1,…,n-1} (dacă nu este pericol de confuzie); astfel

ℤ n = {, , … , } iar ={k+cn|cℤ} pentru orice k {0,1,…,n-1}.

Elementele lui ℤn se numesc clasele de resturi modulo n.

Observație: Dacă notăm H=nℤ am văzut că H≤(ℤ,+) iar cum (ℤ,+) este grup comutativ, de fapt H⊴(ℤ,+).

Deoarece pentru orice 0≤ k ≤ n-1, = {k+cn | c∈ℤ}, =k+H, astfel că ℤn = ℤ/H.

Astfel, dacă pentru , ℤn definim += atunci (ℤn, +)devine grup (comutativ) în care elementul neutru este iar – =pentru orice 0≤k≤n-1. Deducem imediat că ℤn=< >, adică (ℤn,+) este un grup ciclic cu n elemente.

Să definim acum și înmulțirea claselor de resturi modulo n, pentru , ℤ prin

=

Dacă = și = atunci n | k-k’ și n | t-t’, astfel că dacă scriem

kt-k’t’=k(t-t’)+t’(k-k’) deducem că n | kt-k’t ,

adică înmulțirea claselor de resturi este corect definită.

Propoziție: (ℤn, ) este monoid comutativ iar U(ℤn, ) ={ | (k, n) = 1 } .

Demonstrație. Asociativitatea înmulțirii pe ℤn este imediată (ea reducându-se la asociativitatea înmulțirii pe ℤ ) . Elementul neutru este deoarece = , pentru orice kℤn. Dacă kU(ℤn ,×) atunci există ℤn a.î. = ⇔ n | kt-1, de unde cu

necesitate (k, n)=1.

Reciproc, dacă (k, n)=1, atunci există α, βℤ a.î. αk+βn=1 de unde

= , adică U(ℤn ,×), iar k 1 a .

Observație: Funcția : N*→ N, definită prin (1)=(2)=1 iar pentru n≥3, (n)=numărul numerelor naturale m a.î. m<n și (m,n)=1 poartă numele de indicatorul lui Euler. Astfel, pentru n>2, | U(ℤn,) | = (n).

I.3. Grupuri ciclice

Definiție. Un grup G se numeste ciclic daca exista aє G astfel încat G = <a> (adica toate elementele sale sunt puteri ale unui anumit element aєG). Elementul a se numeste generator al grupului ciclic G.

Propoziție:

Propoziție: Fie G un grup ciclic, G=<x>, x1. Dacă o(x)=∞, atunci G≈(ℤ,+) pe când dacă o(x)=n (n≥2) atunci G ≈(ℤn , +).

Demonstrație. Dacă o(x)=∞ , atunci xk1 pentru orice kℤ* iar G={xk : kℤ}.

Definim f: (ℤ, +)→ (G, ×), f(k)=x k pentru orice kℤ. Dacă k, tℤ și kt , atunci xkxt (căci în caz contrar ar rezulta că xkt 1 sau xtk 1, după cum k>t sau t>k), adică f(k) f(t), deci f este funcție injectivă. În mod evident f este surjectivă, adică bijectivă.

Deoarece f(k+t)= xkt =xk×xt = f(k)×f(t) pentru orice k, tℤ deducem că f este și morfism de grupuri adică izomorfism de grupuri și deci G≈(ℤ , +).

Dacă o(x)=n, atunci G={1, x, x2,…, x n1 } și atunci definim f: (ℤn ,+)→(G,×) prin

f()= xk pentru orice 0kn-1.

Dacă xk = xt (cu 0≤k,t≤n-1) atunci presupunând că k>t deducem că n| k-t și astfel , adică f este injectivă. În mod evident f este și surjectivă, adică f este bijectivă.

Deoarece

f( )=f()= xkt =xk ×xt=f( )×f()

pentru orice ,ℤn deducem că f este și morfism de grupuri, adică izomorfism de grupuri.

Fie (G,∙) un grup si H un subgrup al lui G. Pentru x€G , notam

Observatie: Rezultatul anterior ne arată că , dacă H este un subgrup al grupului (G,∙) , mulțimea paote fi partiționat în submulțimi cu acelați număr de elemente de forma xH cu x element din G .

Teorema lui Lagrange: Fie (G,∙) un grup finit si n = ord(G).

Daca H este un subgrup al lui G , atunci ord(H)|ord(G).

Daca aєG, atunci ord(a)| ord(G).

Demonstratie . a) Grupul G , avand ordinul n , poate fi scris sub forma

Probleme rezolvate

1). Fie (G,∙) un grup finit cu ord(G)=p. Sa se arate ca daca p este un numar prim , atunci G nu are subgrupuri proprii.

Solutie .

2). Sa se arate ca toate grupurile care au ordinul un numar prim sunt izomorfe.

Solutie. Fie (G,∙) un grup de ordin p. Deoarece p este numar prim , grupul G are doar subgrupuri improprii.

Observatie: Din problemele anterioare rezulta ce grupurile cu 2,3,4,5 elemente sunt comutative fiind izomorfe cu Z2, Z3 ,Z4 , Z5 sau K deci sunt commutative.

4) Sa se arate ca (Z4,+) si (Z9,+) au un singur subgrup propriu .

5) Fie (G,∙) un grup finit necomutativ de ordin n . Sa se arate ca nu exista x є G astfel incat ord(x)=n.

Demonstratie: Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem ca exista xє G\{e} astfel incat ord(x)=n.

Atunci G=<x> si G este comutativ. Contradictie. Rezulta ca presupunerea facuta este falsa, deci G este grup necomutativ.

În cadrul acestui paragraf prin G vom desemna un grup finit. Conform teoremei lui Lagrange ordinul oricărui subgrup al lui G divide ordinul lui G. După cum am demonstrat

reciproca teoremei lui Lagrange este falsă (în sensul că există grupuri finite cu proprietatea că pentru un anumit divizor al grupului respectiv grupul nu are subgrupuri de ordin egal cu acel divizor). Există în teoria grupurilor anumite rezultate pe care le vom prezenta în continuare (datorate matematicianului L. Sylow (1832-1918)) și care permit să se stabilească existența subgrupurilor de ordin pn ale lui G (cu p prim și nℕ*) și care dau informații importante despre aceste subgrupuri.

Astfel, teoremele lui Sylow sunt de importanță fundamentală în teoria grupurilor finite. .

Definiție: Fie p un număr prim și să presupunem că |G| = pmr cu mIN, r* și (p,r)=1. Numim p- subgrup Sylow al lui G orice subgrup al lui G de ordin pm. Pentru H≤G vom nota NG(H)={gG | gH=Hg}. În mod evident avem H≤ NG(H) ≤G și pentru orice subgrup K≤G a.î. H≤K avem K≤NG(H), deci NG(H) este cel mai mare subgrup al lui G (față de incluziune) ce conține H ca subgrup normal). În particular, H≤G ⇔NG(H)=G.

Subgrupul NG(H) poartă numele de normalizatorul lui H în G .

Teoremă: (Prima teoremă a lui Sylow) Pentru orice grup finit G și orice număr prim p există un p-subgrup Sylow al lui G.

Teoremă: ( A doua teoremă a lui Sylow) Fie G un grup finit și p un număr prim . Dacă H este un p-subgrup Sylow al lui G iar K este un p-subgrup al lui G, atunci există gG a.î. K ≤ g-1Hg. În particular, dacă K este p-subgrup Sylow al lui G, atunci K=g-1Hg.

Teoremă: (A treia teoremă a lui Sylow) Dacă notăm prin np numărul p-subgrupurilor Sylow distincte ale lui G, atunci np = |G:NG(H)| (unde H este un p-subgrup Sylow particular al lui G), np divide | G:H | iar np≡1(mod p).

Aplicații ale acestor teoreme:

Teoremă: Fie p și q numere prime distincte, p>q și să presupunem că | G | = pq.

(i) Dacă q ∤ p-1 atunci G este ciclic

(ii) Dacă q | p-1 atunci G este generat de două elemente a și b

satisfăcând condițiile aq=bp=1, a-1ba=br cu r≢1 (mod p) însă rq≡1 (mod p).

Demonstrație.

(i). Conform teoremei lui Cauchy pentru grupuri finite, G conține un element b de ordin p; fie H=<b>. Cum H este un psubgrup Sylow, atunci conform celei de a treia teoreme a lui Sylow numărul conjugaților lui H (adică a subgrupurilor de forma gHg-1 cu gG) este de forma 1+up cu uℕ. Însă 1+up=|G:NG(H)| și trebuie să dividă |G|=pq. Cum (1+up, p)=1 atunci 1+up | q iar cum q<p deducem că u=0, deci H⊴G.

De asemenea, există un element aG al cărui ordin este q; fie K = <a>. Ca și mai înainte K este q-subgrup Sylow al lui G astfel că | G : NG(H) |=1+kq cu kℕ. Cum 1+kq | p iar prin ipoteză q ∤ p-1 deducem că k=0. Astel K ⊴ G, deci G ≈ H × K ≈ ℤp × ℤq ≈ ℤpq , deci G este ciclic în acest caz.

(ii). Să presupunem că q | p-1 . Atunci K nu mai este subgrup normal în G. Cum S ⊴ G,

a-1ba=br cu rℕ. Putem presupune r≢1 (mod p) (căci în caz contrar ne reântoarcem la cazul comutativ). Prin inducție se arată ușor că a-jbaj = . În particular pentru j=q avem

b = , adică rq ≡ 1 (mod p).

Corolar: Orice grup cu 15 elemente este ciclic (deci izomorf cu (ℤ15 , +)).

Demonstrație. Totul rezultă pentru p=5 și q=3 observând că q=3 ∤ p-1 = 4

Definiție: Un grup de ordin 8 având doi generatori a și b ce satisfac relațiile a4=1, b2=a2 și b-1ab=a-1 se notează prin Q și poartă numele de grupul quaternionilor.

Teoremă: Grupurile Q și D4 sunt singurele grupuri necomutative de ordin 8.

Demonstrație. Dacă G este un grup necomutativ cu 8 elemente atunci G nu conține elemente de ordin 8 și nu toate elementele sale au ordinul 2, de unde concluzia că G conține un element a de ordin 4.

Alegem bG a.î. b<a>. Cum |G : <a>| = 2 deducem că <a> ⊴ G și G/<a> ≈ ℤ2, de unde cu necesitate b2 <a>. Dacă b2=a sau b2=a3 atunci o(b)=8 – contradicție, deci avem doar cazurile b2 = a2 sau b2 = 1. Cum <a> ⊴ G deducem ca b-1ab <a> iar cum o(a2)=2 avem doar posibilitățile b-1ab=a sau b-1ab=a3.

Cazul b-1ab=a îl excludem căci el implică ab=ba, adică G este comutativ astfel că avem doar situațiile :

(i) a4 = 1, b2 = a2 și b-1ab=a3 =a-1 sau

(ii) a4 = 1, b2 = 1 și b-1ab=a3 =a-1.

În cazul (i) avem descrierea lui Q (deci G≈Q) iar în cazul (ii) avem descrierea lui D4 deci (G≈D4).

În continuare vom caracteriza grupurile finite cu 12 elemente, iar pentru aceasta avem nevoie să introducem un nou tip de grup finit.

Definiție: Dacă n N, n 2 prin grup diciclic de ordin 4n (notat DIn ) înțelegem un grup cu 4n elemente :

DIn={1, x, …, x2n-1, y, xy, … , x2n-1y}

ale cărui elemente le multiplicăm astfel:

xaxb = xa+b

xa(xby) = xa+b y

(xa y) xb = xa-b y

(xa y) (xby) = xa-b+n

unde 0≤a, b≤2n-1 iar puterile lui x sunt considerate modulo 2n.

Se observă că pentru n=2, DI2 = Q (grupul quaternionilor).

Suntem acum în măsură să prezentăm teorema de structură a grupurilor finite cu 12 elemente:

Teoremă: Fie G un grup finit cu 12 elemente.

(i) Dacă G este comutativ, atunci G este izomorf cu ℤ12 sau ℤ6 x ℤ2

(ii) Dacă G este necomutativ atunci G este izomorf cu D3, DI3 sau A4.

Demonstrație. (i). Rezultă din teorema de structură a grupurilor abeliene finit generate.

(ii). Fie t numărul subgrupurilor Sylow distincte ale lui G cu 3 elemente. Conform teoremelor lui Sylow t≡1 (mod 3) și t|4.

Astfel, G are fie un singur subgrup de ordin 3 (care trebuie să fie subgrup normal) fie 4 subgrupuri (conjugate). Tot conform teoremelor lui Sylow deducem că G trebuie să aibă unul sau 3 subgrupuri de ordin 4.

Cazul 1. Presupunem că G conține un singur subgrup (normal) H de ordin 3 generat de x.

Dacă K este un subgrup al lui G de ordin 4 atunci K este ciclic (K≈ℤ4) sau K este izomorf cu grupul lui Klein (K≈ℤ2 × ℤ2).

(a) Să analizăm cazul când K este ciclic, K=<y>.

Cum H∩K={1}, atunci clasele H, Hy, Hy2, Hy3 sunt toate distincte și HK=G.

Cum H⊴G deducem că yxy-1H.

(1) Dacă yxy-1 = x, atunci xy = yx, deci G este comutativ și avem

G ≈ H × K ≈ ℤ3 × ℤ4 ≈ ℤ12.

(2) Dacă yxy-1 = x2, atunci yx = x2y, de unde

y2x = yx2y = x2yxy = x4y2 = xy2.

Astfel, xy2 = y2x și dacă considerăm z = xy2 avem că o(z)=6.

De asemenea z3 = x3y6 = y2 și yz = yxy2 = y3x = y2x2y = z-1y.

Cum o(y)=4, y<z> și deci clasele <z> , <z>y dau o partiție a lui G.

Multiplicând în acest caz elementele lui G ca în cazul grupului diciclic și anume

zazb=za+b,

za(zby)=za+b y,

(zay)zb=za-b y,

(zay) (zby)=za-b y2= za-b+3 (unde puterile lui z se reduc modulo 6) obținem în acest caz că G≈DI3.

(b) Să presupunem că K este grupul lui Klein (deci K≈ℤ2 × ℤ2) și să notăm elementele sale cu 1,u,v,w unde w=uv și u2=v2=1. Atunci H∩K={1} iar clasele H, Hu, Hv, Hw partiționează pe G, de unde HK=G. Cum H⊴G avem

uxu-1=xa, vxv-1=xb, wxw-1=xab unde a, b, ab{ ± 1}.

(3) Dacă a = b = ab = 1, cum G este abelian,

G≈H×K ≈ ℤ3× ℤ2× ℤ2 ≈ ℤ6 × ℤ2.

(4) Să considerăm cazul când două dintre a, b, ab sunt egale cu –1 iar al treilea egal cu 1.

Renumerotând u, v, w (dacă este necesar) putem presupune că a = 1 și b = -1. Atunci ux=xu iar z=ux are ordinul 6. Astfel, G=<z,v> iar z6=1,v2=1 iar vz=z-1v vzv=z-1 de unde concluzia că în acest caz G≈D6.

Cazul 2. Să presupunem că G conține 4 subgrupuri (conjugate) de ordin 3.

Elementele nenule (diferite de 1) ale celor 4 subgrupuri de ordin 3 ne dau 8 elemente diferite de 1 ale lui G restul de 4 urmând a forma singurul subgrup K de ordin 4 al lui G.

(c) Să arătăm că grupul K nu poate fi ciclic.

Presupunem prin absurd că totuși K este ciclic, K=<y> și fie xG\K. Atunci o(x)=3 iar clasele K, Kx și Kx2 dau o partiție a lui G.

Cum K⊴G avem că xyx-1K. Dacă xyx-1=y, atunci ar rezulta că G este comutativ (în contradicție cu faptul că G conține 4 subgrupuri conjugate distincte de ordin 3).

De asemenea xyx-1y2 (căci y și y2 au ordine diferite).

În sfârșit, dacă am avea

xyx-1 = y3, atunci y = x3yx-3 = y27 = y3 – absurd,

de unde concluzia că grupul K nu este ciclic.

(d) Atunci K trebuie să fie grupul lui Klein. Considerând ca mai sus K={1, u, v, w}, fie xG a.î. o(x)=3. Atunci clasele K, Kx, Kx2 sunt toate distincte astfel că G=<u, v, x>. Conjugarea prin x permută cele 3 elemente u, v, w între ele (căci K⊴G) iar permutarea este sau identică sau un 3-ciclu (deoarece x3=1).

(5) Nu putem avea permutarea identică căci în acest caz G ar deveni comutativ (caz studiat deja).

(6) Renumerotând eventual, putem presupune că xux-1 = v, xvx-1 = w, xwx-1 = u și atunci considerând asocierile u↔(12)(34), v↔(13)(24), x↔(234) obținem un izomorfism între G și A4.

În concluzie avem 5 tipuri de grupuri cu 12 elemente, 2 comutative (ℤ12, ℤ6×ℤ2) și 3 necomutative (D6, DI3 și A4).

Suntem acum în măsură să prezentăm tabelul de caracterizare a grupurilor cu cel mult 15 elemente:

În continuare ne vom ocupa de studiul grupului Sn cu n≥2.

Evident, grupul S2 având 2 elemente este comutativ pe când începând cu n≥3, Sn nu mai este comutativ.

Definiție: Numim ciclu de lungime k (2≤k≤n) o permutare σSn pentru care există elementele distincte i1,i2,…,ik din {1,2,…,n} a.î.

σ(i1)=i2, σ(i2)= i3, …, σ(ik)=i1 iar σ(i)=i

pentru orice i{1,2,…,n} \ {i1,i2, …, ik}.

Convenim să notăm un astfel de ciclu σ prin σ = (i1 i2 … ik).

Ciclii de lungime 2 se mai numesc și transpoziții.

De exemplu, în S5

(1 3 5) = și (2 4) =

Dacă σ = (i1 i2 … ik) este un ciclu de lungime k, convenim să numim mulțimea

{i1,i2, …, ik} ca fiind orbita lui σ .

Dacă τ = (j1 j2 … jt) este un alt ciclu de lungime t din Sn , vom spune că σ și τ sunt ciclii disjuncți dacă {i1, i2, …, ik}∩{j1, j2, …, jt}=Ø.

Propoziție: Dacă σ, τ sunt ciclii disjuncți din Sn, atunci

στ = τσ.

Demonstrație. Dacă i {1, 2, …, n} \ ({i1, i2, …, ik} {j1,j2, …, jt}), atunci (στ)(i) = =(τσ)(i) =i. Să presupunem că i{i1, i2, …, ik}, să zicem de exemplu că i=i1.

Atunci (στ)(i) = σ(τ(i)) = σ(i) = σ(i1) = i2, iar

(τσ)(i) = τ(σ(i)) = τ(i2) = i2 de unde concluzia că (στ)(i) = (τσ)(i).

Analog se arată că (στ)(i) = (τσ)(i) dacă i{j1, j2, …, jt}, de unde deducem egalitatea

στ = τσ.

În esență am folosit faptul că dacă i{i1, i2, …, ik} atunci τ(i) = i iar dacă j{j1, j2, …, jt}, atunci σ(j) = j.

Observație: Deoarece pentru orice 2≤k≤n avem

(i1 i2 … ik) = (i2 i3 … ik i1) = … = (ik i1 … ik-1) deducem că în Sn există

ciclii distincți de lungime k.

Propoziție: Ordinul oricărui ciclu de lungime k (2≤k≤n) este k . Dacă σ,τ sunt 2 ciclii disjuncți de lungimi k și respectiv t (2≤k, t≤n), atunci o(στ)=[k,t]. În particular, dacă (k,t)=1, atunci o(σt)=o(σ)×o(τ).

Demonstrație. Trebuie în prima parte să demonstrăm că σk(i)=i pentru orice

i{1,2, … ,n}, unde σ=(i1, i2, … , ik) este un ciclu de lungime k.

Dacă i{1,2 , … , n} \ {i1 , i2 , … , ik}, atunci în mod evident σk(i)=i. Dacă i{i1 , i2 , … , ik}, de exemplu i = i1, atunci

σ2(i) = σ(σ(i)) = σ(σ(i1)) = σ(i2) = i3, deci σk-1(i) = ik i iar σk(i)=i și analog pentru orice i{i1 , i2 , … , ik}, ii1 , de unde concluzia că σk=e iar k este cel mai

mic număr natural cu această proprietate, adică o(σ)=k.

Fie σ = (i1 i2 … ik) , τ=(j1 j2 … jt) ciclii disjuncți de lungime k și respectiv t (2≤k, t≤n), ε = στ = τσ, s=[k,t] iar r=o(ε). Va trebui să demonstrăm că r = s.

Deoarece k,t | s deducem că εs=e, adică r|s. Cum εr= e deducem că σrτr=e adică σr=τ-r . Dacă am avea σre, atunci există i{i1, i2, … ,ik} a.î. σr(i)i. Cum σr = τ-r deducem că și τr(i)i, adică i{j1, j2, …, jt} – absurd .

În concluzie σr = τr = e, de unde deducem k|r și t|r. Cum s=[k,t] deducem că s|r, adică s = r.

Corolar: Dacă σ1, … σk sunt ciclii disjuncți doi câte doi din Sn de lungimi

t1, … ,tk , atunci o(σ1 … σk)=[t1, …,tk].

Teoremă: Orice permutare σSn, σe se descompune în mod unic în produs de ciclii disjuncți (exceptând ordinea în care aceștia sunt scriși) .

Demonstrație. Fie t=|{ i{1,2,…,n} | σ(i)i }| ; cum σe deducem că există i{1,2.,…,n} a.î . σ(i)i și astfel și σ(σ(i))σ(i), de unde concluzia că t≥2. Vom face acum inducție matematică după t.

Dacă t=2 totul este clar căci în acest caz σ se reduce la o transpoziție.

Să presupunem acum teorema adevărată pentru toate permutările ce schimbă efectiv mai putin de t indici și să arătăm că dacă σ este o permutare ce schimbă efectiv t indici atunci σ se descompune în produs de ciclii disjuncți. Alegem i0{1,2,…,n} pentru care σ(i0)i0 și fie q=o(σ). Alegând i1=σ(i0), i2=σ(i1), … ,ik+1=σ(ik), … se vede că ik=σk(i0) pentru orice k≥1. Cum σq= e deducem că σq(i0)=i0, deci iq=i0.

Putem alege atunci cel mai mic numar natural m cu proprietatea că im=i0. Atunci numerele i0,i1,…,im-1 sunt distincte între ele.

Într-adevăr, dacă ir=is cu 0≤r, s<m, atunci σr(i0)=σs(i0). Dacă r>s, notând p=r-s obținem σp(i0)=i0 și deci ip=i0 contrazicând alegerea lui m (căci p<m).

Analog dacă r<s. Cu i0,i1, …. ,im-1 formăm ciclul τ=( i0i1 …. im-1) și să considerăm permutarea σ=τ-1σ. Dacă avem un i a.î. σ(i)=i , atunci i{ i0,i1, …. , im-1} și deci

τ-1(i)=i de unde σ(i)=i. Cum i1=σ(i0), i2=σ(i1), … , i0=σ(im-1) deducem că pentru orice i{ i0,i1, …. ,im-1} avem σ(i)=i.

Rezultă că σschimbă efectiv mai puțin de t-m elemente iar cum m≥2 atunci t-m<t, deci putem aplica ipoteza de inducție lui σ. Rezultă atunci că putem scrie σ=τ2 … τs cu τ2 … τs ciclii disjuncți. Punând τ1=τ obținem că σ= τ1τ2 … τs iar τ1 este disjunct față de ceilalți ciclii. Din modul efectiv de descompunere de mai înainte deducem că scrierea lui σ sub forma σ= τ1τ2 … τs este unic determinată.

Observația: Dacă σ=( i1 , i2 , …. ,ik) este un ciclu de lungime k din Sn (2≤k≤n), atunci se probează imediat prin calcul direct că avem următoarele descompuneri ale lui σ în produs de transpoziții:

σ=(i1i2)(i2i3)…(ik-1 ik)=(i1ik)(i1ik-1) … (i1i2).

Se deducem imediat următorul rezultat:

Corolar: Orice permutare σSn (n≥2) este un produs de transpoziții (să observăm că dacă σ=e, atunci σ=(12)(12)).

Definiție: Fie σSn. Signatura lui σ este numărul

sgn = evident, sgn()1.

O inversiune a lui σ este o pereche (ij) cu 1≤i<j≤n a.î. σ(i)>σ(j). Dacă r este numărului de inversiuni ale lui σ, atunci evident sgn(σ) = (-1)r . Dacă r este par spunem că σ este permutare pară iar dacă r este impar spunem că σ este permutare impară .

Vom nota prin An mulțimea permutărilor pare.

Astfel, σSn este pară sgn(σ)=1 și impară sgn(σ)=-1.

Propoziție: Dacă σ,τSn, atunci sgn(σ◦τ)=sgn(σ)×sgn(τ).

Corolar: Pentru orice n≥2, An⊴Sn iar .

Demonstrație. Funcția sgn : Sn → { 1} este un morfism surjectiv de la grupul (Sn,◦) la grupul multiplicativ ({ 1},).

Deoarece Ker(sgn) = {σSn | sgn(σ)=1}=An deducem imediat că An⊴Sn . Conform teoremei fundamentale de izomorfism pentru grupuri deducem că Sn/An ≈ { 1}, de unde concluzia că |Sn/An | = 2 | Sn | : | An | =2

Observație: Orice transpoziție (rs) cu 1≤r≤n este o permutare impară . Într-adevăr, inversiunile sale sunt de forma (r,i) cu r<i<s sau (i,s) cu r<i<s astfel că numărul lor este egal cu 2(s-r)-1.

Astfel dacă σSn și scriem pe σ ca un produs de transpoziții σ=t1t2…tm , atunci

sgn(σ) = sgn(t1) sgn(t2) … sgn(tm)= (-1)m și deci σ va fi permutare pară sau impară după cum m este par sau impar.

În particular, dacă σ=(i1 i2 …. ik) cum σ=(i1i2)(i2i3)…(ik-1 ik) deducem că

sgn(σ)=(-1)k-1 .

Teoremă: Două permutări α, βSn sunt conjugate în Sn dacă și numai dacă ele au aceeași structură ciclică.

Demonstrație. ,,” . Dacă α, β sunt conjugate în Sn, atunci există γSn a.î. β=γαγ-1 . Însă γαγ-1 are aceeași structură ciclică cu α (căci dacă α= … ( i1 i2 … ik) … , atunci γαγ-1= …( γ(i1) γ(i2) …. γ(ik))… de unde concluzia că α și β au aceeași structură ciclică.

Faptul că γαγ-1 acționează asupra lui α de maniera descrisă mai sus se probează astfel : se descompune α în ciclii disjuncți α = c1c2 … ct și se observă că

γαγ-1=(γc1γ-1) (γc2γ-1) … (γctγ-1) iar dacă de exemplu c1=(i1i2 … ik), atunci γc1γ-1=[γ(i1i2)γ-1] [γ(i2i3)γ-1] … [γ(ik-1 ik)γ-1], totul reducându-se astfel la a proba de exemplu că γ(i1i2)γ-1=(γ(i1)γ(i2)) ⇔γ◦(i1i2)=(γ(i1)γ(i2))◦γ.

Dacă i{1,2, …,n} \ {i1,i2} atunci γ(i)γ(i1),γ(i2) și

(γ◦(i1,i2))(i)=γ((i1,i2)(i))=γ(i) iar

((γ(i1)γ(i2))◦γ)(i) =(γ(i1)γ(i2))(γ(i))= γ(i)

iar dacă de exemplu i=i1 atunci (γ◦(i1i2))(i1)= γ((i1i2)(i1))=γ(i2) iar

((γ(i1)γ(i2))◦γ)(i1)=(γ(i1)γ(i2))(γ(i1))= γ(i2), de unde egalitatea dorită.

,,”. Să presupunem acum că α și β au aceeași structură ciclică și să construim γ a.î. β=γαγ-1.

Vom face lucrul acesta pe un exemplu concret (la general raționîndu-se analog) . Să presupunem că suntem în S5 și avem α = (1 5) (4 2 3) și β = (3 4)(2 1 5) . Ținând cont de felul în care acționează γαγ-1 asupra lui α deducem că:

γ = 1 3 5 4 2

Ținând cont de teoremele anterioare putem determina cu ușurință numărul permutărilor α din Sn de o structură ciclică dată.

De exemplu numărul de permutări din S4 de forma (1 2)(3 4) este (factorul apărând datorită egalității (a b)(c d)=(c d)(a b) pentru {a,b,c,d}={1,2,3,4}). Găsim astfel pentru S4 următorul tabel de structură:

II Metodică

II. 1. Aplicații rezolvate – grupuri

1. Pe mulțimea Z a numerelor întregi defnim legea de compoziție:

ZZZ, (x, y)xy = x+y-xy,

numită compunerea circulară. Să se arate că legea de compoziție este asociativă și comutativă.

Rezolvare:

a) (xy)z = (x+y-xy)z = x+y-xy+z-(x+y-xy)z = x+y+z-xy-yz-zx+xyz (*)

x(yz) = x(y+z-yz) = x+y+z-yz-x(y+z-yz) = x+y+z-xy-yz-zx+xyz (**)

din (*) și (**) (xy)z=x(yz)

b) xy = x+y-xy = y+x-yx = yx (conform proprietăților de comutativitate a adunării și înmulțirii numerelor întregi)

2. Fie M si N doua mulțimi, * o lege de compoziție pe M, o lege de compoziție pe N și f:MN o funcție surjectivă astfel încât

f(x*y) = f(x)f(y), () x, y M.

a) Daca legea de compozitie * este asociativa (comutativa) atunci legea de compozitie este asociativa (comutativa).

b) Functia f:ZZ, f(x)=1-x are proprietatea

f(xy) = f(x)f(y), () x, y Z

unde xy este produsul uzual în Z, iar este compunerea circulară.

Rezolvare:

a) Fie u, v, w N.

f surjectiva () x, y, z M a. i. u = f(x), v = f(y), w = f(z).

uv = f(x)f(y) = f(x*y) = f(y*x) = f(y)f(x) = vu

(uv)w = (f(x)f(y))f(z) = f(x*y)f(z) = f((x*y)*z) =

= f(x*(y*z)) = f(x)f(y*z) = f(x)(f(y)f(z)) = u(vw)

b) ()x, y Z

f(x)f(y) = f(x)+f(y)-f(x)f(y) = 1-x+1-y-(1-x)(1-y) =

= 2-x-y-1+y+x-xy = 1-xy = f(xy).

3. Fie d un număr întreg liber de pătrate și:

a) H este o parte stabila a lui M2(Q) in raport cu inmultirea matricelor.

b) () matrice AH este inversabila in raport cu operatia indusa.

Rezolvare:

a) Fie A, B H,

a„ = aa`+dbb` Q, b„= ba`+ab` Q

dacă AB H a„0 sau b„0.

Presupunem că a„= 0 si b„= 0 x = a` și y = b` soluție a sistemului:

d este liber de pătrate și a 0 sau b 0 det A 0 căci altfel d Q. Contradicție

Dar din det A0 soluția sistemului este x = y = 0 a„ 0 sau b„ 0 AB H.

b) I2 H și A H. Arătăm că există X H

a.i. XA=AX=I2

Cum a0 sau b0 x0 sau y0.

Așadar:

Se verifică și egalitatea XA = I2, deci A` există și A`=X H.

4. Fie M = N N.Pe mulțimea M introducem legile de compoziție:

(x, y)+(z, w)=(x+z, y+w),

(x, y)(z, w)=(xz+yw, xw+yz)

oricare ar fi perechile (x, y) si (z, w) din M. Arătați că aceste legi de compoziție sunt asociative, comutative și cu element neutru.

Rezolvare:

Asociatiovitatea: = (x, y), = (z, w), = (u, t) M.

,,+’’ (+)+ = [(x+z, y+w)]+(u, t) = ((x+z)+u, (y+w)+t) = (x+z+u, y+w+t) =

= (x+(z+u), y+(w+t)) = (x, y)+(z+u, w+t) = +(+)

,,’’ () = (xz+yw, xw+yz)(u, t) =

= (xzu+ywu+xwt+yzt, xzt+ywt+xwu+yzu)

() = (x, y)(zu+wt, zt+wu) =

= (xzu+xwt+yzt+ywu, xzt+xwu+yzu+ywt)

Comutativitatea:

+ = (x, y)+(z, w) = (x+z, y+w) = (z+x, w+y) = +

= (x, y)(z, w) = (xz+yw, xw+yz) = (zx+wy, wx+zy) =

Element neutru:

() e1 M a.i. +e1 = e1+ = , () M

e1 = (0, 0) +e1 = (x, y)+(0, 0) = (x, y) = e1=(0, 0) element neutru pentru ,,+’’

() e2 M a.i. e2 = e2 = , () M

e2 = (1, 0) e2 = (x, y)(1, 0) = (x, y) = e2 = (1, 0) element neutru pentru ,,’’

5. Fie a, b, c Z, b 0. Pe Z definim legea de compoziție ,,*’’

x*y = axy+b(x+y)+c, () x, y Z.

a) Aratati ca * este lege de compoziție asociativă dacă și numai dacă

b) Când are loc a) legea de compozitie * are element neutru dacă și numai daca b/c.

Rezolvare:

a)* asociativa () x, y, z Z, (x*y)*z = x*(y*z)

b) ,,’’() e Z a.i. x*e = e*x = x, () x Z x*e=x

axe+b(x+e)+c = x

(ae+b-1)x+be+c = 0

ae+b-1 = 0 și be = -c e = -c/b Z b divide pe c.

,,’’() k Z a.i. c = kb, (), x Z,

x*(-k) = -axk+b(x-k)+c = x(-ak+b)+c-kb = x(-ac/b+b) =

= x(b-ac)/b = xb/b = x

-k element neutru.

6. Pe R se definește legea de compoziție

*:RRR, (x, y) x*y = xy+2ax+by.

Determinati a si b astfel incat legea de compozitie sa fie comutativa si asociativa.

Rezolvare:

* comutativa x*y = y*x xy+2ax+by = yx+2ay+bx

2a(x-y) = b(x-y) 2a = b

* asociativa (x*y)*z = x*(y*z)

(x*y)*z = [xy+2ax+by]*z = (xy+2ax+by)z+2a(xy+2ax+by)+bz =

= xyz+2axz+byz+2axy+4a2x+2aby+bz

x*(y*z) = x*[yz+2ay+bz] = x(yz+2ay+bz)+2ax+b(yz+2ay+bz) =

= xyz+2axy+bxz+2ax+byz+2aby+b2z

Deci soluția este a = , b = 1.

7. Pe R+={a R/ a>0} definim legile de compoziție:

Arătați că aceste legi de compoziție sunt comutative și nu sunt asociative. Admit element neutru?

Rezolvare:

Comutativitatea

datorită proprietăților de comutativitate a adunării și înmulțRii numerelor reale.

Non asociativitatea pentru fiecare lege de compoziție:

Element neutru:

:() e R a.i. ae=ea=a, () a R

(a+e)/2 = a

a+e = 2a

e = a fals, a variabilă e unic.

T:() e R a.i. aTe = eTa = a, () a R

8. Pe M2(R) se defineste legea de compozitie *

A*B = AB+BA, () A,B M2(R)

Studiați dacă legea de compoziție * este asocitivă, comutativă și dacă admite element neutru.

Rezolvare:

asociativitatea

(A*B)*C = (AB+BA)*C = ABC+BAC+CAB+CBA

A*(B*C) = A*(BC+CB) = ABC+ACB+BCA+CBA

(A*B)*CA*(B*C) * nu este asociativă

comutativitatea

A*B = AB+BA = BA+AB = B*A * este comutativă

element neutru

() E M2(R) a.i. A*E = E*A = A, () A M2(R)

A*E = A AE+EA = A E = I2/2.

9. Fie n>0 un număr întreg și

M={(a, b)|a, b Z, (a, n)=1}

a) Dacă (a, b), (c, d) M (ac, ad+bc) M

b) Legea de compoziție * definită pe M prin:

(a, b)*(c, d)=(ac, ad+bc)

este comutativă si asociativă.

c) Determinați elementul neutru și elementele simetrizabile.

Rezolvare:

a) (a, b) M; (c, d) M; a,b,c,d Z

(a, n) = 1 (c, n) = 1

a Z; c Z ac Z (ac, n) = 1

a Z; d Z; b Z; c Z ad+bc Z (ac, ad+bc) M

b) (a, b)*(c, d) = (ac, ad+bc) = (ca, cb+da) = (c, d)*(a, b) * este comutativa

[(a, b)*(c, d)]*(g, h) = (ac, ad+bc)*(g, h) = (acg, ach+adg+bcg) (¤)

(a, b)*[(c, d)*(g, h)] = (a, b)*(cg, ch+dg) = (acg, ach+adg+bcg) (¤¤)

Din (¤) și (¤¤) * este asociativa

c)elementul neutru

() e = (x, y) M a.i. (a, b)*(x, y) = (x, y)*(a, b) = (a, b), () (a, b) M

(a, b)*(x, y) = (a, b)

(ax, ay+bx) = (a, b)

ax=a x=1

ay+bx=b ay+b=b ay = 0 y = 0

(x, y) = (1, 0) element neutru

elemente simetrizabile

() (a, b) M, () (a`, b`) M a.i. (a, b)*(a`, b`) = (1, 0)

(aa`, ab`+ba`) = (1, 0) aa`= 1 a`= 1/a a` Z a`= 1

și ab`+ba`=0 b`= b Deci (a`, b`) = (1,b) sunt elementele simetrizabile

10. Să se arate că (G,) este grup abelian.

a) x y = xy – x – y + 2, G = ( 1, ) .

b) x y = 2xy – 2x – 2y + 3, G = ( 1, ) .

c) x y = 3xy – 3x – 3y + 4, G = ( 1, ) .

d) x y = 4xy – 4x – 4y + 5, G = ( 1, ) .

e) x y = 5xy – 5x – 5y + 6, G = ( 1, ) .

f) x y = xy + x + y , G = ( -1, ) .

g) x y = 2xy + 2x + 2y + 1 , G = ( -1, ) .

h) x y = 3xy + 3x +3 y + 2 , G = ( -1, ) .

i) x y = 4xy + 4x + 4y + 3 , G = ( -1, ) .

j) x y = 5xy + 5x + 5y + 4 , G = ( -1, ) .

k) x y = 7xy + 7x + 7y + 6 , G = ( -1, ) .

l) x y = xy + 2x + 2y + 2 , G = ( -2, ) .

m) x y = 2xy + 4x + 4y + 6 , G = ( -2, ) .

n) x y = 3xy + 6x + 6y + 10 , G = ( -2, ) .

o) x y = 4xy + 8x + 8y + 14 , G = ( -2, ) .

p) x y = 5xy + 10x + 10y + 18 , G = ( -2, ) .

q) x y = xy – 2x – 2y + 6 , G = ( 2, ) .

r) x y = 2xy – 4x – 4y + 10 , G = ( 2, ) .

s) x y = 3xy – 6x – 6y + 14 , G = ( 2, ) .

t) x y = 4xy – 8x – 8y + 18 , G = ( 2, ).

ț) x y = 5xy – 10x – 10y + 22 , G = ( 2, ).

u) x y = xy – 3x – 3y + 12 , G = ( 3, ).

v) x y = 2xy – 6x – 6y + 21 , G = ( 3, ).

x) x y = 3xy – 9x – 9y + 30 , G = ( 3, ).

y) x y = 4xy – 12x – 12y + 39 , G = ( 3, ).

z) x y = 5xy – 15x – 15y + 48 , G = ( 3, ).

Rezolvare:

a) Pentru legea de compoziție x y = xy – x – y + 2, G = ( 1, ) .

asociativitatea

() x, y, z G = ( 1, ) are loc (x*y)*z = x*(y*z)

(x*y)*z = (xy – x – y + 2)*z = (xy – x – y + 2)z – (xy – x – y + 2) – z + 2 =

= xyz – xz – yz + 2z – xy + x + y – 2 – z + 2 =

= xyz – xy – xz – yz + x + z + z (¤)

x*(y*z) = x * (yz – y – z + 2) = x(yz – y – z + 2) – x – (yz – y – z + 2) + 2 =

= xyz – xy – xz + 2x – x – yz + y + z – 2 + 2 =

= xyz – xy – xz – yz + x + z + z (¤¤)

Din (¤) și (¤¤) legea este asociativă

element neutru

() e G = ( 1, ) () x G = ( 1, ) a. î. e*x = x*e = x

e*x = x ex – e – x + 2 = x (e – 1)x – e + 2 = x e = 2 ( 1, )

elementele sunt simetrizabile

() x G = ( 1, ) () x’ G = ( 1, ) a. î. x*x’ = x’*x = 2

x’*x = 2 x’x – x’ – x + 2 = 2 x’(x – 1) = x x’ = care există oricare ar fi x G = ( 1, ) și din faptul că x > 1 și x- 1 > 0 x’ = > 1 x’ G = ( 1, )

comutativitate

() x, y G = ( 1, ) are loc x*y = y*x

x*y = xy – x – y + 2 = yx – y – x + 2 = y*x conform proprietăților de comutativitate a operațiilor de scădere și înmulțire a numerelor reale

Pentru celelalte legi de compoziție se demonstrează similar, observând că x și y au același coeficient, mulțimea G este un interval deschis în numărul opus numărului obținut din împărțirea coeficientului lui x la coeficientul lui xy iar elementul neutru va fi, pentru fiecare lege de compoziție, termenul liber al expresiei.

11. Să se demonstreze că între grupurile (G1, *), (G2, ) există un izomorfism de forma

f : G1 G2, f(x) = x + a, unde a este o constantă ce trebuie determinată.

x * y = x + y -7, G1 = R, x y = x + y – 5, G2 = R.

x * y = xy + x + y , G1 = (-1,+ ),

x y = x y – x – y + 2, G2 = (1,+ ).

x * y = x + y – 3, G1 = Z , x y = x + y + 5, G2 = Z.

x * y = xy + 2x + 2 y + 2 , G1 = (-2,+ ),

x y = x y – x – y + 2, G2 = (1,+ ).

x y = xy – 3x – 3y + 12 , G1 = ( 3, ),

x y = x y – 2 x – 2 y + 6, G2 = (2,+ ).

x y = xy – 4x – 4y + 20 , G1 = ( 4, ),

x y = x y – 5 x – 5 y + 30, G2 = (5,+ ).

x * y = xy + 3x + 3y + 6, G1 = (-3,+ ),

x y = x y + 2x + 2 y + 2, G2 = (-2,+ ).

x * y = xy + 5x + 5y + 20, G1 = (-5,+ ),

x y = x y + 2x + 2 y + 2, G2 = (-2,+ ).

x * y = 2xy +2x + 2y + 1, G1 = (-1,+ ),

x y = 2x y + 4x + 4 y + 6, G2 = (-2,+ ).

x * y = 3xy +3x + 3y + 2, G1 = (-1,+ ),

x y = 3x y + 6x + 6 y + 10, G2 = (-2,+ ).

Rezolvare:

1) Pentru legile de compoziție x * y = x + y -7, G1 = R, x y = x + y – 5, G2 = R.

f : G1 G2, f(x) = x + a este izomorfism de grupuri dacă f este o funcție bijectivă și dacă are loc relația f(x * y) = f(x) f(y) (*)

f(x * y) = f(x + y -7) = x + y -7 + a (**)

f(x) f(y) = (x + a) (y + a) = x + a + y + a – 5 (***)

Din (*), (**) și (***) -7 + a = 2a – 5 a – 2a = – 5 + 7 a = -2 f(x) = x – 2

f funcție bijectivă f injectivă f surjectivă

f injectivă () x, y G1 din f(x) = f(y) x = y

f(x) = f(y) x – 2 = y – 2 x = y

f surjectivă () y G2 () x G1 y = f(x)

() y G2 y = f(x) y = x – 2 x = y + 2 x G1

Similar se găsesc valorile lui a pentru celelalte perechi de grupuri.

12. Fie

a) Aratati ca

b) Calculati , unde e este elementul neutru al

c) rezolvați ecuația

Rezolvarea:

a)

b)

.

c) Avem succesiv

13. Fie

a) Arătați că ,,” este asociativă

b) Arătați că verifică relația

c) Calculați

Rezolvare:

a)

(1)

(2)

Din (1) și (2) rezultă că ,,” este asociativă

b)

c) Folosim rezultatul de la punctual b)

14. Fie clasele de resturi și

a) Rezolvați în corpul ecuația

b) Să se determine ordinul elementului în grupul

c) Să se arate că nu există niciun morfism de grupuri

Rezolvare:

a) Verificăm pentru fiecare din cele 7 elemente din și obținem soluțiile și

b) , , , , ,

c) Dacă există un astfel de morfism, atunci .

Dar

15. Fie

a) Să se arate că G este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor

b) Să se arate că este grup abelian

Rezolvare:

a) Fie ,

deoarece

b) Înmulțirea matricelor este asociativă în general, deci este asociativă și pe G.

Elementul neutru este deoarece se obține pentru și

A inversabilă .

16. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție:

x o y = ax + by + ab.

a) Să se afle parametrii reali si nenuli a si b, astfel incat perechea (R, o ) sa fie grup abelian.

b) Să se calculeze în (R, o), pentru n natural, n > 1:

c) Să se afle mulțimea S a rădăcinilor intregi din grupul (R, o), ale ecuației

unde n este număr natural și nenul.

Rezolvare:

a) Legea de compozitie trebuie sa fie asociativa, comutativa, sa existe element neutru si

toate numerele reale sa fie simetrizabile.

Din comutativitate se deduce ca a = b, deci legea devine: x o y = ax + ay + a².

Din asociativitate se obtine a = 1, deci legea devine: x o y = x + y + 1.

Elementul neutru este e = – 1 (numar real !)

Simetricul oricarui numar real x este: x' = – x – 2 (care este tot numar real !).

Deci cuplul (R, o) este grup abelian pentru a = b = 1.

b) Se gaseste usor ca x² = 2x + 1, x³ = 3x + 2 si se intuieste ca:

oricare ar fi n natural, n > 1.

Demonstratia formulei se realizeaza prin metoda inductiei matematice.

c) Tinand cont de b), ecuatia devine succesiv:

2nx + 2n – 1 + nx + n – 1 – 4 = 0 < = > … < = > nx = 2 – n < = > x = (2 – n) / n etc.

17. Sa se demonstreze ca legea de compozitie definita prin

confera multimii G = (0;1) U (1; ) o structura de grup abelian.

Rezolvare:

Evident, multimea G este parte stabila fata de legea din enunt.

Asociativitatea:

Aratam ca pentru orice x, y si z din G, are loc egalitatea:

Obtinem succesiv:

Comutativitatea:

Aratam ca pentru orice x si y din G, are loc egalitatea:

Obtinem succesiv:

Existenta elementului neutru:

Aratam ca pentru orice x din G, exista ε (unic!) in G, astfel incat:

Obtinem succesiv:

Simetrizabilitatea tuturor elementelor din G:

Aratam ca pentru orice x din G, exista x' (unic!) in G, astfel incat:

Obtinem succesiv:

18. Pe mulțimea se consideră legea de compoziție “ “ definită prin relația , unde semnifică partea întreagă.

a) Să se arate că

pentru orice .

b) Să se întocmească tabla legii de compoziție “ “ pe mulțimea .

c) Să se stabilească dacă legea de compoziție “ “ admite element neutru pe mulțimea .

d) Să se stabilească dacă legea de compoziție “ “ este comutativă.

e) Să se arate că legea de compoziție “ “ nu este asociativă.

f) Să se rezolve în mulțimea ecuația .

Rezolvare:

a) Dacă și au aceiași paritate atunci este număr par și . Prin calcul găsim . Dacă și au parități diferite atunci este număr impar și . Prin calcul găsim .

b) Tabla legii de compoziție este

c) Din tabla legii de compoziție se vede că aceasta nu admite element neutru.

d) Tabla legii de compoziție este simetrică față de diagonala principală ceea ce înseamnă că legea ” * ” este comutativă.

c) Pentru elementele se obtin relațiile

și

ceea ce arată că legea ” * ” este nu este asociativă.

d) Din tabla legii de compoziție se vede că ecuația are soluțiile .

19. Determinați toate morfismele de monoizi de la monoidul (N,+) la monoidul (N,·).

Rezolvare:

Din definiția morfismelor observăm că trebuie să determinăm toate funcțiile f: N→N cu proprietatea că pentru oricare x, y∈N avem

f(x+y) = f(x)f(y) (1)

Astfel, pentru x=0 și y=0 relația (1) devine:

f(0+0) = f(0)f(0) ⇒ f(0) = f 2(0) ⇒ f(0)(f(0)-1) = 0. Deci f(0) = 0 sau f(0) = 1.

Vom cerceta pe rând cele două

cazuri:

caz 1. Presupunem că f(0) = 0. Fie x∈N. Evident , x = x+0. Astfel:

f(x) = f(x+0) = (1)f(x)·f(0) = 0 Deci f(x) = 0 pentru oricare x∈N.

Am obținut în acest caz morfismul f: N→N definit prin f(x) = 0 pentru oricare x∈N.

caz 2. Presupunem că f(0) = 1

Pentru x =1și y=1 relația (1) devine:

f(1+1) = f(1)f(1) ⇒ f(2) = ((f(1))2

Pentru x=2și y = 1 relația (1) devine:

f(2+1) = f(2)f(1) ⇒ f(3) = f 2(1)f(1) ⇒ f(3) = ((f(1))3.

Se poate presupune astfel căpentru oricare n∈N avem f(n) = ((f(1))n. Această afirmație trebuie însă demonstrată prin inducție.

Cum etapa de verificare a fost făcută mai sus pentru n = 2și n = 3, iar pentru n = 1 este evidentă, putem trece la partea a doua a demonstrației. Așadar, în acest caz am obținut că morfismele de monoizi de la (N,+) la (N, ·) sunt aplicațiile f: N→N cu proprietatea că pentru oricare x∈N, f(x) = (f(1))x. După cum se poate observa f(1) nu se poate determina efectiv. Astfel f(1) poate lua practic orice valoare din N, pentru diferite valori ale lui f(1) obținându-se diferite morfisme.

De exemmplu, pentru f(1) = 3 obținem morfismul f: N→N, f(x) = 3x, pentru f(1) = 12 obținem morfismul f: N→N, f(x) = 12x.

Așadar morfismele de monoizi de la (N,+) la (N, ·) sunt:f: N→N, f(x) = 0 pentru oricare x∈N.

f: N→N, f(x) = ax pentru a∈N și pentru oricare x∈N.

20. Fie m∈R. Se consideră legea de compoziție „*” pe R definită prin

x*y = mx+y, pentru oricare x, y∈R.

Determinați m astfel încât (R, *) să fie grup abelian.

Rezolvare:

Pentru ca (R, *) să fie grup abelian trebuie ca, printre altele, legea de compoziție „*” să fie asociativă și să aibă element neutru.

Acestea au loc pentru m = 1, iar elementul neutru este e = 0. Așadar, pentru m = 1 legea devine x*y = x+y

mai trebuie verificată pentru legea „*” doar comutativitatea și existența elementului simetric. Vom verifica în continuare doar existența elementului simetric. Astfel, conform definiției, trebuie ca pentru oricare x∈R să existe x′∈ R astfel încât

x*x′ = x′*x = e (1)

Fie x∈R. Cum x*x’ = x +x’ , iar din relația (1) avem x*x’ = e, rezultă că x +′x = e.

Dar cum e = 0 obținem că x +x’ = 0, deci x’ = -x.

Deci, pentru oricare x∈R, există x′∈ R, x′= -x, astfel încât x*x’ = e.

Evident x’ *x = e (deoarece legea „*” este comutativă, deci x*x’ =x′*x).

21. Fie H=

a) Să se arate ca (H,) este grup abelian (operația "", este operția de înmultire a matricilor).

b) Sa se arate ca (H,) este izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale (R,+).

Rezolvare:

a) Fie AxH si AyH sa aratam ca operatia este bine definita ,sau ca (H, ) stabila

dar AxAy= deci

AxAy=Ax+yH pentru ca xR,yIR si x+yR.

Asociativitatea : (AxAy)Az=Ax(AyAz;Ax,Ay,AzH evident pentru ca A(x+y)+z=Ax+(y+z)

Comutativitatea AxAy=AyAx , Ax,AyH evident pentru ca Ax+y=Ay+x

Elementul neutru AeAx=AxAe=A dar AxAe=Ax Ax+e=Axx+e=x =>e=0 deci Ae=A0=

Simetricul: AxH, AH astfel [ncat Ax A= AAx=A0 dar

Ax A=A0 =>A=A0 =>x+x1=0 =>x1=-x => A=H

Deci (H,) este grup abelian.

b) Se considera f : RH, x -> f(x)

1) Se verifica f bijectivă f injectivă și f surjectivă

2) iar relatia f(x)f(y) = f(x+y) evident pentru ca f(x)=Ax, f(y)=Ay, AxAy=Ax+y deci

f(x)f(y) = AxAy = Ax+y = f(x+y).

II. 2. Aplicatii referitoare la noțiunea de grup din

Variantele Bacalaureat 2009.

Pe mulțimea numerelor reale definim operația , pentru orice .

Să se verifice că pentru orice .

Să se calculeze

Știind că operația „” este asociativă, să se calculeze

Rezolvare:

a) Din definirea legii de compoziție, dând factor comun, se obține

b) După legea de compoziție definiță se obține

c) Utilizând modul de definire al legii de compoziție, rezultatul demonstrat la punctul b) se obține:

deoarece pentru orice număr a,

Pe mulțimea numerelor reale definim operația pentru pentru orice .

Să se verifice că pentru orice .

Să se rezolve, în mulțimea numerelor reale, ecuația

Știind că operația „” este asociativă, să se calculeze

Rezolvare:

a) Conform definitii legii de compoziție se obține

b)

ambele soluții fiind numere reale.

c) Conform rezultatului de la punctul a) pentru orice număr real a se poate calcula

.

Printre elementele compuse se află și . În acest context, asociind termenii convenabil se obține

Similar se demonstrează și pentru urmâtoarele exerciții:

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție

Să se verifice că

Să se demonstreze că, .

Știind că legea „” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

Să se calculeze

Să se verifice că pentru orice .

Știind că legea „” este asociativă, să se rezolve în mulțimea numerelor reale, ecuația

Se consideră mulțimea și operația

Să se determine astfel încât 2*3=2.

Pentru k=2, să se rezolve în M ecuația x*x=6.

Să se demonstreze că pentru rezultă că

Pe mulțimea numerelor întregi se definesc legile de compoziție și

Să se rezolve în mulțimea numerelor întregi ecuația

Să se determine numărul întreg a care are proprietatea oricare ar fi numărul întreg x.

Să se rezolve sistemul de ecuații unde

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție

Să se demonstreze că , .

Să se determine elementul neutru al legii de compoziție „”.

Știind că legea de compoziție „” este asociativă să se rezolve în mulțimea numerelor reale ecuația

Se consideră legea de compoziție pe R definită prin

Să se arate că legea „” este asociativă.

Să se arate că , dacă atunci .

Să se determine cu proprietatea , oricare ar fi .

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se rezolve ecuația

Să se demonstreze că legea de compoziție „” este asociativă.

Să se determine elementul neutru al legii de compoziție „”.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se arate că , .

Să se arate că legea de compoziție „” este asociativă.

Să se rezolve în R ecuația

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție .

Să se rezolve în R ecuația

Să se determine astfel încât , .

Știind că legea de compoziție „” este asociativă să se calculeze

Pe mulțimea Z se consideră legile de compoziție cu și funcția definită prin

Să se demonstreze că .

Să se determine pentru care legea de compoziție „” este asociativă.

Dacă să se arate că funcția f este morfism între grupurile și .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție .

Să se calculeze .

Să se rezolve în R ecuația

Să se demonstreze că nu există pentru care .

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se calculeze

Să se demonstreze că legea de compoziție „” este asociativă.

Știind că și să se arate că

Se consideră mulțimea și operația

Să se arate că

Să se demonstreze că pentru

Să se afle elementele simetrizabile ale mulțimii G în raport cu legea „”.

Se consideră mulțimea și operația

Să se determine mulțimea soluțiilor reale ale ecuației unde e este baza logaritmului natural.

Să se demonstreze că pentru

Să se că operația „” este asociativă pe mulțimea G.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție pentru .

Să se arate că

Să se rezolve în R ecuația

Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea „”.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție asociativă

Să se calculeze

Să se rezolve în R inecuația

Fie mulțimea

Să se determine numărul elementelor mulțimii A.

Se consideră mulțimea și legea de compoziție

Să se rezolve în G ecuația

Să se verifice egalitatea

Să se arate că pentru rezultă că .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție .

Să se arate că ,

Să se determine elementul neutru, știind că legea de compoziție „” este asociativă și comutativă.

Să se determine astfel încât

Pe mulțimea numerelor întregi definim legile de compoziție și .

Să se rezolve în Z ecuația .

Să se arate că .

Să se rezolve în mulțimea ZxZ sistemul .

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

Să se arate că legea de compoziție „” este asociativă.

Să se rezolve ecuația

Să se demonstreze că este grup comutativ.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție

Să se verifice că ,

Să se demonstreze că , .

Știind că legea „” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei

Pe mulțimea se consideră legea de compoziție Fie funcția ,

Să se calculeze

Să se verifice că , .

Să se demonstreze că legea de compoziție „” este asociativă.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legile de compoziție și

Să se verifice că .

Știind că este elementul neutru în raport cu legea de compoziție „” și este elementul neutru în raport cu legea de compoziție „” să se calculeze

Se consideră funcția , . Să se determine astfel încât ,.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție , .

Să se arate că , .

Să se arate că legea „” are elementul neutru e=4.

Să se determine elementele simetrizabile ale mulțimii R în raport cu legea „”.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se determine astfel încât legea „” să fie comutativă.

Să se arate că pentru a=3 și b=6 legea „” admite element neutru.

Să se determine a și b astfel încât pentru .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

.

Să se arate că .

Să se demonstreze că .

Să se calculeze

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se rezolve ecuația .

Să se demonstreze că legea „” este asociativă.

Să se demonstreze că este grup.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se verifice că ,

Să se calculeze

Să se rezolve ecuația unde .

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se demonstreze că .

Să se demonstreze că legea „” este asociativă.

Să se calculeze

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție pentru.

Să se arate că

Să se rezolve în R ecuația

Să se calculeze

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție

.

Să se arate că .

Să se determine elementul neutru al legii de compoziție „” pe mulțimea R.

Știind că legea „” este asociativă, să se calculeze

Pe Z se definește legea de compoziție asociativă .

Să se determine elementul neutru al legii „”.

Să se rezolve în R inecuația

Să se determine elementele simetrizabile în raport cu legea „”.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se verifice că .

Să se determine perechile pentru care

Să se determine două numere astfel încât

Pe mulțimea Z se consideră legile de compoziție și respectiv .

Să se demonstreze că .

Să se determine elementele neutre ale fiecăreia dintre cele două legi de compoziție.

Să se rezolve sistemul .

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție .

Să se demonstreze că , .

Să se rezolve ecuația .

Știind că operația „” este asociativă, să se calculeze

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție .

Să se demonstreze că , .

Să se determine perechile pentru care

Știind că legea „” este asociativă, să se calculeze valoarea expresiei

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legile de compoziție și respectiv .

Să se verifice că, .

Să se rezolve în R ecuația

Să se rezolve sistemul de ecuații

Se consideră mulțimea unde matricea ,

Să verifice că unde .

Să se determine elementul neutru din grupul .

Să se demonstreze că funcția este morfism de grupuri.

Se consideră matricea și mulțimea și

Să se arate că dacă atunci

Să se arate că dacă atunci există astfel încât .

Să se arate că G este grup comutativ în raport cu adunarea matricelor.

Se consideră matricea , pentru și mulțimea

Să verifice că. unde .

Să demonstreze că unde .

Să se arate că este grup în raport cu înmulțirea matricelor.

Se consideră inelul

Să se calculeze numărul elementelor inversabile în raport cu înmulțirea din inelul

Se consideră S suma soluțiilor ecuației și P produsul soluțiilor ecuației unde Să se calculeze S+P.

Să se calculeze probabilitatea ca alegând un element din inelul acesta să fie soluție a ecuației

În mulțimea se consideră submulțimea și matricele și .

Să se arate că și .

Să se arate că dacă atunci .

Să se verifice că mulțimea G împreună cu operația de adunare a matricelor este grup comutativ.

Se consideră inelul claselor de resturi modulo 8.

Să se calculeze în suma

Să se calculeze în produsul elementelor inversabile ale inelului.

Să se rezolve în sistemul .

Fie mulțimea

Să se verifice dacă 0 și 1 aparțin mulțimii G.

Să se demonstreze că pentru avem

Să se arate că dacă atunci .

În mulțimea se consideră , și unde .

Să se calculeze , unde .

Să se verifice dacă ,

Să se calculeze suma .

Se consideră mulțimea , unde matricea

Să se verificeunde .

Să se determine elementul neutru din grupul

Să se arate că funcția este morfism între grupurile și

Fie mulțimea .

Să se verifice dacă

Să se arate că este element neutru față de operația de înmulțire a matricelor pe M.

Să se determine simetricul elementului în raport cu operația de înmulțire a matricelor pe mulțimea M.

Se consideră mulțime

Să se verifice și

Să se arate că pentru are loc egalitatea

Să se demonstreze că inversa oricărei matrice din G aparține mulțimii G.

Se consideră mulțimea Pentru se notează , unde.

Să se arate că , .

Să se arate că dacă atunci

Să se determine astfel încât

Se consideră funcția .

Să se calculeze

Să se arate că , unde .

Să se demonstreze că , .

În mulțimea se consideră matricele , și submulțimea unde .

Să se verifice că .

Să se calculeze .

Să se determine că, dacă atunci .

Se consideră mulțimea .

Să se verifice că .

Să se demonstreze că , pentru .

Să se arate că orice element din mulțimea G are invers în G în raport cu înmulțirea numerelor reale.

III Proiecte didactice

III.1. PROIECTUL UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE GRUPURI

UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: GRUPURI

DISCIPLINA: MATEMATICĂ

CLASA: a-XII-a

COMPETENȚE SPECIFICE:

C1. Identificarea proprietăților operațiilor cu care este înzestrată o mulțime de numere;

C2. Evidențierea asemănărilor și a deosebirilor dintre proprietățile unor operații definite pe diferite mulțimi;

C3.1. Utilizarea unor modalități elementare de identificare a morfismelor și izomorfismelor;

C3.2. Determinarea și verificarea proprietăților unei structuri algebrice;

C4. Caracterizarea unei structuri algebrice prin intermediul proprietăților operațiilor;

C5.1 Utilizarea proprietăților operațiilor pentru identificarea legăturilor între structuri izomorfe sau neizomorfe.

NUMĂR ORE:

III.2 Proiect didactic – Grupuri de matrice

PROIECT DIDACTIC

Clasa : a-XII-a

Obiectul : Matematică – Algebră

Subiectul lecției : GRUPURI DE MATRICE

Tipul lecției : Lecție de formare de priceperi și deprinderi de calcul.

Conpetențe generale :

Identificarea unor date si relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice.

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.

Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă în scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor.

Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.

Competențe specifice :

1. Recunoașterea structurilor algebrice, a mulțimilor de numere și de matrice.

2.1 Identificarea unei structuri algebrice, prin verificarea proprietăților acesteia

2.2 Determinarea și verificarea proprietăților unei structuri

Strategia didactică: activ-participativă.

Metode și procedee didactice: conversația euristică , exercițiul, demonstrația, munca independentă.

Material didactic utilizat : manual clasa a-XII-a , fișe de lucru .

Tipuri de actități : frontală și individuală.

Procedee de evaluare: analiza răspunsurilor, observarea sistematică a atenției, verificarea cantitativă si calitativă a temei.

Scenariu didactic:

1. Moment organizatoric: Verificarea prezentei elevilor și notarea absențelor (dacă sunt) în catalog;

Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfășurare a orei ;

2. Captarea atenției: Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (în cazul în care apar diferențe se rezolvă exercițiile la tablă ).

3. Informarea elevilor asupra obiectivelor lecției: Se anunță și se scrie pe tablă titlul lecției: GRUPURI DE MATRICE

GRUPURI DE MATRICE

Fie n IN* și Mn (R) mulțimea matricelor pătratice de ordinul n cu elemente numere reale.

După cum se știe, mulțimea Mn (R) împreună cu adunarea matricelor formează un grup comutativ, iar cu înmulțirea matricelor formează un monoid necomutativ.

În continuare se vor pune în evidență câteva submulțimi ale mulțimii Mn (R), care împreună cu înmulțirea matricelor formează grupuri.

~Grupul liniar general de grad n~

Fie A Mn (R). Se știe că matricea A este inversabilă în monoidul (Mn (R), ) dacă și numai dacă det (A) ≠ 0. Mulțimea unităților monoidului (Mn (R), ) se notează GLn (R) și avem :

GLn (R) ={A Mn (R) | det (A) R*}.

TEOREMĂ

Perechea ( GLn (R) , ) este grup necomutativ, numit grup liniar general de grad n peste R.

▪ Demonstrație

Fie A, B GLn(R). Rezultă că det(A·B)=det(A) · det(B) R* , deci AB GLn (R). Așadar, mulțimea GLn (R) este parte stabilă a mulțimii Mn (R) în raport cu înmulțirea matricelor.

Înmulțirea matricelor este asociativă și admite elementul neutru In Mn (R). Deoarece det(In) =1 R* , rezultă că In GLn(R).

În consecință, înmulțirea matricelor pe mulțimea GLn (R) admite element neutru și anume matricea In.

Dacă A GLn(R), atunci det(A-1) = R* și se obține că A-1 GLn(R).

În concluzie, (GLn(R), .) este grup.

~Grupul matricelor ortogonale~

Fie A Mn (R).

• Definiție: Matricea A Mn (R) se numește matrice ortogonală dacă = In. Mulțimea matricelor ortogonale de ordinul n se notează On (R).

˝Observații˝

1.Dacă A On (R), atunci det (A)={-1, 1}.

Într-adevăr, din A On (R) se obține că =In. (1)

Din relația (1) se obține succesiv:

1 = det(In) = det() = det() · det(A) = (det (A))².

Așadar, det (A) {-1, 1}.

2.Există incluziunea On (R) GLn (R).

TEOREMĂ

Perechea (On(R), ) este un grup necomutativ, numit grupul matricelor ortogonale de ordinul n.

▪ Demonstrație

Fie A, B On (R); rezultă că = In și = In.

Avem: · (AB)= ( · ) · (AB)= ·( ) · B== In.

Așadar, AB On (R), iar mulțimea On (R) este parte stabilă a mulțimii Mn (R) în raport cu înmulțirea matricelor.

Să verificăm axiomele grupului.

(G1) Axioma asociativității. Înmulțirea matricelor pe mulțimea On (IR) este asociativă, fiind operație indusă de înmulțirea matricelor pe Mn (R) ( proprietate de ereditate a asociativității).

(G2) Axioma elementului neutru. Deoarece In = In se obține că In · In = In, deci In On (R). Rezultă că In este elementul neutru al înmulțirii matricelor pe mulțimea On (R).

(G3) Axioma elementelor simetrizabile.

Fie A On (R). Din observația 1 rezultă că det(A) = ± 1, deci matricea A este inversabilă în monoidul Mn (R). Din relația = In se deduce că A-1 = . Folosind această relație se obține (A-1) · A-1 =() · A-1 = A · A-1 = In, deci A-1 On (R), iar elementul simetric al matricei A în On (R) este matricea A-1.

Înmulțirea matricelor nu este comutativă. În concluzie (On (R), .) este grup necomutativ.

~Exerciții~

1. Se consideră matricea , pentru xR și mulțimea .

Să se verifice că , unde .

Să se demonstreze că .

Să se arate că este grup comutativ.

Rezolvare:

a)

b)

c) Conform punctului b) G este parte stabilă a lui în raport cu “”.

G1) Asociativitatea . Înmulțirea matricelor pe mulțimea G este asociativă deoarece este operație indusă de înmulțirea matricelor pe .

G2) Comutativitatea:

“ “ comutativă.

G3) Elementul neutru:

astfel încât element neutru.

G4) Elementele simetrizabile:

astfel încât

este simetricul lui .

2. Fie . Să se arate că este grup comutativ.

Rezolvare:

Fie . Calculăm puterile matricei A, pentru a determina mulțimea M.

.

Înmulțirea matricelor pe mulțimea M este asociativă deoarece este operație indusă de înmulțirea matricelor pe .

Alcătuim tabla operației de înmulțire pe M:

Din care deducem că “” pe M este comutativă, admite elementul neuru I3, și orice element din M este simetrizabil.

În concluzie este grup comutativ.

3. Fie . Să se arate că G este grup comutativ în raport cu înmulțirea matricelor.

Rezolvare:

.

G este parte stabilă a lui în raport cu înmulțirea matricelor .

Fie și .

G1) Asociativitatea .

Înmulțirea matricelor pe G este asociativă .

G2) Comutativitatea: “” comutativă

Fie și

G3). Elementul neutru

Verificăm dacă și

,

astfel încât .

G4). Elementele simetrizabile:

astfel încât

Fie , .

,

4. Fie G= M2 (R)

Să se arate că (G,) este grup abelian

Rezolvare:

G parte stabilă a lui M2 (R) în raport cu „·”

[ A(a),A(b) G A(a)·A(b) G]

A(a) ·A(b) = ·== , unde = a+b R G parte stabilă.

„·” pe G este asociativă fiind operație indusă de înmulțirea matricelor pe M2(R)

„·” comutativă A(a), A(b) G, A(a) · A(b) = A(b) · A(a)

„·” comutativă

„Elementul neutru „: A(0) = = I2

A(0) G astfel incât A(a) · A(0) = A(0) · A(a) = A(a) ; A(a) G

„Elementele simetrizabile„:

A(0) G; Є G astfel incât A(a) · = · A(a) = I2 A(a+) = A(+a) = A(0) = = -a R .

[A(a)]ˉ¹ = A(-a) G .

5. Consolidarea cunostințelor și asigurarea feed-back-ului : Fiecare elev va primi cate o fișă de lucru . Pe parcursul rezolvării exercițiilor, profesorul intervine cu întrebări, adresate atât elevilor de la tablă cât și celor din clasă, pentru a se clarifica demersul rezolvării.

6. Tema pentru acasă : Se vor propune spre rezolvare ca temă pentru acasă , exercițiile rămase nerezolvate din fișă .

7. Aprecieri: se notează elevii care s-au evidențiat în timpul orei.

III.3. Proiect didactic – Morfisme și izomorfisme de grupuri

PROIECT DIDACTIC

Clasa: a XII-a

Unitatea de învățare: Grupuri

Titlul lecției: Morfisme și izomorfisme de grupuri

Tipul lecției: Predare de noi cunoștințe

Durata: 50 minute

Locul desfășurării: sala de clasă

COMPETENȚE GENERALE:

CG1. Folosirea corectă a terminologiei specifice matematicii în contexte variate de aplicare.

CG2. Exprimarea și redactarea corectă și coerentă în limbaj formal sau cotidian a rezolvării sau a strategiilor de rezolvare a unei probleme

CG3.Analiza unei situații problematice și determinarea ipotezelor necesare pentru obținerea concluziei

CG4.Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual, cuprinse în enunțuri matematice

CG5. Utilizarea corectă a algoritmilor matematici în rezolvarea de probleme cu diferite grade de dificultate, sau pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete

CG6. Generalizarea unor proprietăți prin modificarea contextului inițial de definire a problemei sau prin îmbunătățirea și generalizarea algoritmilor

COMPETENȚE SPECIFICE:

CS1. Utilizarea unor modalități elementare variate de identificare a morfismelor sau a izomorfismelor

CS2. Determinarea și verificarea poprietăților unei structuri algebrice

CS3. Utilizarea proprietăților operațiilor pentru identificarea legăturilor între structuri (izomorfe sau neizomorfe)

CS4.Utilizarea aplicațiilor liniare pentru a identifica proprietăți și legături între structuri

CS5.Transformarea între structuri izomorfe a datelor inițiale și a rezultatelor pe baza proprietăților operațiilor, corelarea proprietăților unor structuri algebrice prin intermediul unei funcții bijective

STRATEGII DIDACTICE

Principii didactice:

– Principiul participării și învățării active

– Principiul asigurării progresului gradat al performanței

– Principiul explicativ-demonstrativ(conversația și exercițiul)

– Principiul conexiunii inverse (feed-back)

Metode de învățare/instruire:

– Conversația euristică

– Explicația

– Exercițiul

– Problematizarea

– Descoperirea dirijată

Forme de organizare a clasei:

– Frontală

– Individuală

– Pe grupe

Forme de evaluare:

– Observația

– Prin lucru individual

Resurse materiale:

-Materiale didactice: fișe de lucru,manual, proiect didactic

-Mijloace de învățământ: tabla, creta

Resurse procedurale:

– Investigația științifică

– Observarea sistematică a elevului

– Rezolvarea de probleme/ situații problemă

Resurse psihologice:

Capacitatea de învățare de care dispune clasa: elevii posedă cunoștințe legate de legi de compoziție, noțiunea de grup, funcții surjective, injective, bijective, compunerea funcțiilor

Elevii prezintă interes pentru lecție deoarece li s-a descris câmpul de aplicabilitate al acesteia

Etapele activității didactice:

I. Moment organizatoric( 2 minute)

Notarea absențelor în catalog, asigurarea condițiilor ergonomice necesare lecției, verificarea materialului didactic necesar.

II. Reactualizarea și verificarea cunoștințelor asimilate anterior:

(7 minute)

Se reamintesc definițiile funcțiilor injective, surjective, bijective și compunerea funcțiilor, precum și noțiunea de grup.

III. Anunțarea competențelor (1minut)

IV. Prezentarea conținutului lecției noi (24minute)

Fie (G, ) și (G, ) două grupuri.

DEFINIȚII

■ Funcția f : G→G se numește morfism (omomorfism) de grupuri dacă:

f (xy) =f(x) f(y), x ЄG

■ Funcția f : G→G se numește izomorfism de grupuri dacă f este morfism de grupuri și este funcție bijectivă

■ Grupurile (G, ) și (G, ) se numesc grupuri izomorfe și se scrie

G G, dacă între ele există cel puțin un izomorfism de grupuri.

Fie (G, ) un grup

■Un morfism f: G→G, se numește endomorfism al grupului G

■Un izomorfism f: G→G, se numește automorfism al grupului G.

Mulțimea endomorfismelor unui grup se notează End (G), iar mulțimea automorfismelor lui G se notează Aut(G).

Exemple:

▪Funcția f: Z→{-1, 1}, f(n)=(-1) este izomorfism între grupurile (Z, +) și

( {-1, 1}, ·)

▪Funcția f : R→ (0, ∞), f(x)= este izomorfism între grupurile (R, +) și

( (0, ∞), ·).

TEOREMĂ:

Fie (G, ) și (G, ) două grupuri cu elementele neutre e și e, și

f : G→G, un morfism de grupuri. Atunci :

a) f(e1)= f(e2)

b) f(x)=(f(x)) , x ЄG

c) f(x )= ( f(x)) , x ЄG și nЄZ

OBSERVAȚIE

În scriere aditivă, relațiile anterioare se scriu:

f(0)= 0

f(-x)= – f(x), oricare x Є G

f(nx)= nf(x), x ЄG și n x Є Z

TEOREMĂ:

Fie grupurile (G1,·), (G2,·) și (G3,·).

Dacă f: G1→G2 și g: G2→G3 sunt morfisme de grupuri, atunci h: G1→G3, h=g◦f este morfism de grupuri.

Dacă f: G1→G2 este izomorfism de grupuri, atunci fֿֿ¹: G2→G1este izomorfism de grupuri.

Demonstrație

Avem succesiv: h(xy)=g(f(xy))=g(f(x)· f(y))=g(f(x))·g(f(y))=h(x)·h(y),x,y ЄG

Funcția f ֿ¹: G2→G1 este bijectivă.

Fie y și y Є G2. Deoarece f bijectivă, rezultă că există xși xЄ G1, astfel ca f(x)=yși f(x)= y .

Avem:

f ֿ¹( y· y )= f ֿ¹(f(x)· f(x))= f ֿ¹(f(x· x))= x· x= = f ֿ¹( y)· f ֿ¹( y )

Deci, f ֿ¹ este izomorfism de grupuri.

TEOREMĂ:

Fie (G, ) un grup. Atunci:

a) (End(G), ) este monoid;

b) Aut(G), ) este grup.

V. Realizarea feed-back-ului

Clasa a XII-a

Fișă de lucru

1. Fie ( C, +) grupul aditiv al numerelor complexe. Să se arate că f: C→ C unde f(z)= , este automorfism de grupuri.

2. Fie ( C, · ) grupul multiplicativ al numerelor complexe.

Să se arate că f: C→ C, f(z)= este automorfism de grupuri

3. Fie (Z, +) grupul aditiv al numerelor întregi.

a) Să se determine monoidul ( End (Z), ).

b) Să se determine Aut(Z) și să se arate că grupurile (Aut(Z), ) și (Z, +) sunt izomorfe .

4.Să se arate că funcția f: C→R, f(z)= este morfism între grupurile (C,·) și (R,·)

5. Se consideră :

M = .

Să se arate că :

a) (M, +) este grup.

b) f: R→M, f(x)= A (x) este izomorfism de grupuri între (R,+) și (M, +)

6. Pe mulțimea R se definesc legile de compoziție:

xy=x+y+a, x┴y =x+ay-1.

Să se determine a și b real pentru care f: R→R, f(x) =x+b, să fie izomorfism între grupurile (R, ◦) și (R,┴).

7. Fie F= { f1, f2, f3, f4} unde f : R→ Rși f1(x)= x, f2 = -x, f3 = ,

f4= . Să se arate că:

a) (F, ) este grup comutativ

b) (F, ) este izomorf cu grupul lui Klein.

Notă :

Exercitiile din fișă vor constitui și tema pentru acasă.

Fișele de lucru, însoțite de rezolvări vor completa portofoliul elevului

Concluzii

Însușirea cunoștințelor este cu atât mai eficientă, cu cât se sprijină pe activitătea proprie a elevului, care trebuie pus în fața unor întrebări, fiind antrenat continuu în găsirea de noi legaturi, în stabilirea unor concluzii, în “descoperirea” unor noi adevaruri.

Munca în grup favorizează asimilarea conștientă a cunostințelor de matematică de către toți elevii, deoarece obligă la o gândire activă a tuturor în cadrul cooperării și întrajutorării cu prilejul rezolvării problemelor și exercițiilor.

Programele liceale trebuie regândite pe direcția formării capacităților de bază ale specialistului de astăzi:

capacitatea de abstractizare;

capacitatea de a gândi sistematic o problemă;

capacitatea de testare a soluțiilor;

capacitatea de a folosi tehnicile informaționale.

Odată cu reducerea numărului de ore de matematică la clasă, au fost scoase o serie de noțiuni, fără să se țină cont de importanța lor în studiul altor noțiuni. Ceea ce influențează cel mai mult învățarea sunt cunostințele pe care elevul le posedă la plecare. Prin exersare, atât la clasă cât și acasă, pe seama unor conținuturi mai mult sau mai puțin similare, se fixează strategiile formate sau se elaborează altele. În fiecare școală profesorul de matematică trebuie să aibă la dispoziție un calculator pentru a realiza fișe de lucru bazate pe o sistematizare a problemelor pentru crearea unor programe de rezolvare a probemelor de matematică și pentru realizarea unor lectii fovorizând o motivație mai puternică pentru studiul matematicii. În mod ideal, ora de matematică ar trebui să se desfășoare în cabinetul de matematică, care ar trebui să fie dotat măcar cu un calculator la 2 elevi (ideal ar fi ca fiecare elev să poată lucra individual) și un videoproiector. În această situație s-ar putea realiza lecții interactive AEL sau diverse aplicații pe soft-uri educaționale achiziționate de la firme specializate sau create de profesorul de matematică, în funcție de dificultățile întâmpinate de elevii săi sau de programa școlară. În lipsa dotării ideale, profesorului de matematică nu-i rămâne altceva de făcut de cât să realizeze părți din aceste lucruri: doar atunci când orarul școlii îi permite să facă ore de matematică în laboratorul de informatică, să utilizeze doar videoproiectorul uneori în predare, să facă acasă fișe de lucru, fișe de evaluare și alte materiale didactice.

Evident, există elevi slabi la matematică, dar foarte importantă este strădania profesorilor de matematică de a face ca numarul celor buni să tindă către numarul total de elevi, iar numarul celor slabi să tindă către zero. Motivele pentru care există elevi slabi la matematică sunt diverse. Dintre acestea este bine să amintim în primul rând lipsa comunicării: a comunicării familiei cu școala, care la nivel de liceu nu se mai face decât la acei elevi care sunt susținuți de familie în vederea admiterii la facultate și în general în anul terminal, și a comunicării elevilor cu profesorul de matematică, care se face minimal deoarece matematica nu este ‚poiezie’ sau muzică, sau nu ajută prea mult la nevoile lor caci cea mai mare lipsă este comunicarea dintre familie și elev, astfel ei ajung din ce în ce mai mult să-și găsească modele neadecvate.

O altă problemă întâlnită în activitatea didactică este necorelarea noțiunilor utilizate la materiile școlare. Astfel la fizică sau chimie se utilizează noțiuni matematice care se tratează la disciplina matematică după saptămâni, chiar luni. Astfel nu se pot realiza lecții interdisciplinare și aplicații la noțiuni din alte discipline într-un mod eficient.

Cel mai important actor în realizarea transferului de informații în matematică rămâne profesorul. Un bun profesor știe să găsească întotdeauna soluția cea mai bună, metoda cea mai eficientă, știe să stimuleze, să facă plăcută o disciplină care, din totdeauna, a fost socotită dificilă.

Bibliografie

Variantele pentru examenul de bacalaureat – publicate de Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului și sportului, 2009

Emil Stoica și Mircea Neagu, Culegere de probleme de algebră, Polirom, București, 2008

Ion D. Ion, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

Ganga Mircea, Matematică pentru clasa a XII, Editura MathPress, 2007

Culegere de probleme de matematica pentru admitere la faculatate, Timisoara, 2009

Găuroiu Camelia Aurelia, Otărășanu Ion, Despa Radu, Complemente de algebră, Editura Universitară, București, 2008

Ion Goian, Raisa Grigor, Vasile Marin, Florentin Smarandache, Algebră în exerciții și probleme pentru liceu, Cartier Educațional, București, 2000

Ionescu-Tău C., Mușat Șt. Exerciții și probleme de matematică pentru clasele IX – X. – București: Editura didactică și pedagogică, 1978.

Militaru C. "Algebra", Exerciții §i probleme pentru liceu și admitere în facuItate.- București: Editura "Alux" S.R.L, 1992.

Stamate 1., Stoian 1. Culegere de probleme de algebrã pentru licee. – București: Editura didacticã și pedagogicã, 1971.

Năstăsescu Niță, Culegere de exerciții pentru liceu, Rotech Pro, Bucurețti, 2004

Năstăsescu Constantin, Niță Constantin, Manual de matematică pentru clasa a XII-a, Editura Niculescu, București, 2007

Burtea Marius, Georgeta Burtea, Manual de matematică pentru clasa a XII-a, Editura Carminis, București, 2007

Bibliografie

M. Burtea, Georgeta Burtea, Manual de matematică pentru clasa a XII-a, Editura Carminis, București, 2007

M. Ganga, Matematică pentru clasa a XII, Editura MathPress, 2007

C. Găuroiu, I. Otărășanu, R. Despa, Complemente de algebră, Editura Universitară, București, 2008

I. Goian, Raisa Grigor, V. Marin, F. Smarandache, Algebră în exerciții și probleme pentru liceu, Cartier Educațional, București, 2000

I. D. Ion, Algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981

C. Ionescu-Țiu, Șt. Mușat, Exerciții și probleme de matematică pentru clasele IX – X. – București: Editura didactică și pedagogică, 1978.

C. Militaru, Algebra, Exerciții §i probleme pentru liceu și admitere în facuItate.- București: Editura Alux S.R.L, 1992.

C. Năstăsescu, C. Niță, Culegere de exerciții pentru liceu, Rotech Pro, Bucurețti, 2004

C. Năstăsescu, C. Niță, Manual de matematică pentru clasa a XII-a, Editura Niculescu, București, 2007

I. Stamate., I. Stoian, Culegere de probleme de algebrã pentru licee. – București: Editura didacticã și pedagogicã, 1971.

E. Stoica, M. Neagu, Culegere de probleme de algebră, Polirom, București, 2008

x x x, Variantele pentru examenul de bacalaureat – publicate de Ministerul Educației, Cercetării și Tineretului și sportului, 2009

x x x, Culegere de probleme de matematica pentru admitere la faculatate, Universitatea Politehnică, Timisoara, 2009

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Aspecte Metodice Privind Predarea Notiunii de Grup (ID: 158707)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Aspecte Metodice Privind Predarea Notiunii de Grup

Copyright Notice

Esecul Scolar

Jocul, Factor de Socializare Si de Sociabilitate la Copii

Rolul Metodelor Interactive In Dezvoltarea Limbajului Copiilor Prescolari

Aspecte Lexicale Si Terminologie Medicala

Specificitate Si Valante Formative ale Integrarii Jocului Didactic In Activitatea Scolara

Modalitati de Stimulare a Creativitati Scolarului Mic

Copyright Notice

Similar Posts