Aspecte Metodice Privind Conceptul DE Număr Natural

Universitatea deVest ,,Vasile Goldiș" din Arad

Facultatea de Șiințe ale Educației, Psihologie și Educație Fizica și Sport

Specializarea: Pedagogia învățământului primar și preșcolar

LUCRARE DE LICENȚĂ

Coordonator: Absolvent:

PROF. UNIV. DR. TEODOR PĂTRĂUȚĂ ANTONESCU(GRĂMESCU) MIOARA CAMELIA

2016

Universitatea deVest ,,Vasile Goldiș" din Arad

Facultatea de Șiințe ale Educației, Psihologie și Educație Fizica și Sport

Specializarea: Pedagogia învățământului primar și preșcolar

ASPECTE METODICE PRIVIND CONCEPTUL DE NUMĂR NATURAL

Coordonator: Absolvent:

PROF. UNIV. DR. TEODOR PĂTRĂUȚĂ ANTONESCU(GRĂMESCU) MIOARA CAMELIA

2014

CUPRINS:

I. Introducere: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………………. 3

IIAspecte metodice privind conceptul de număr natural . . . . ………………………………………………… 4

2.1. Conceptul de număr natural…………………………………………………………………………….4

1. Considerații istorice.. ……………………………………………………………………………………………4

2. Numere naturale…………………………………………………………………………………………………..6

2.2. Formarea conceptului de număr natural; aspecte metodice……………………………….9

2.2.1 Obiectivele predării numerelor naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . … 12 2.2.2.Specificul procesului de predare-învățare… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ………….13

2.2.3. Stimuli motivaționali în lecțiile de predare-învățare a numerelor naturale

la clasele I-IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………. . 27

2.2.4. Deficiențe înregistrate în etapa formării noțiunii de număr natural.. . . . . . . . . . . . . 30

2.2.5. Probleme de evaluare privind numeratia………………………………………………………….32

III Obiectivele si ipoteza cercetarii………………………………………………………………………..36

3.1 Aspecte documentare………………………………………………………………………………………..36

3.2.Ipoteza cercetarii………………………………………………………………………………………………36

3.3Obiectivele cercetarii…………………………………………………………………………………………36

IVMetodologia cercetarii.Prezentarea rezultatelor………………………………………………..37

V. Concluzii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..48

Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …………………………… 49

I. INTRODUCERE

Matematica este studiată ca disciplină de bază alături de alte discipline din domeniul educației, prevăzute în Curriculum pentru clasele I-IV.

Cunoștințele de matematică, prin utilizarea unui limbaj universal, au aceleași obiective ce sunt urmărite cu strictețe pe întreaga perioadă de vârstă și individuale ale elevilor.

Recepționarea pe rând a noțiunilor este în permanență în atenția învățătorului. Primele informații vor fi folosite și stocate, păstrându-se ca bază, urmată continuu de noi și noi orientări. Cunoștințele primare sunt identificate, folosite și completate pe toată perioada învățământului primar sau gimnazial.

În acest context, esența modernizării învățământului în mileniul care vine este inversarea relației dintre informație și formație.

În cadrul activității învățătorul cunoaște elevii cu care lucrează, îi îndrumă acolo unde aceștia au nevoie, urmărește sau participă la acțiuni care, paralel cu destinderea, buna dispoziție și bucuria participanților, urmăresc formarea, exersarea cunoștințelor, formarea mugurilor gândirii matematice. Metodica predării matematicii este o disciplină de graniță între matematică, pedagogie și psihologie. Obiectul ei de studiu se conturează din analiza relațiilor ei cu matematica și pedagogia. Metodica predării matematicii pentru învățământul preșcolar și școlar trebuie să indice cum să se organizeze predarea-învățarea eficientă a noțiunilor de aritmetică, algebră și geometrie. Matematica constituie conținutul asupra căruia metodica predării își exersează metodele. Ea se adaptează și devine specifică acestui conținut. Prin acest fapt devine o disciplină matematică, înțeleasă ca știință a metodelor utilizate în procesul de învățământ, ca teorie a naturii, locului și a strategiilor, metodelor, tehnicilor și procedeelor întrebuințate în predare și învățare.

Printre finalitățile învățământului primar se află și însușirea numerației, iar în conținuturi-numerele naturale. Primul obiectiv urmărit în evaluarea conceptului de număr natural, pe concentre diferite, este ca elevii să citească și să scrie corect numerele naturale.

Am ales ca temă "Aspecte metodice privind conceptul de număr natural" din două motive, și anume: 1.) deoarece cu noțiunea de număr natural, elevii operează încă din primele zile ale școlarității, este o noțiune indispensabilă gândirii matematice și 2.) să realizez un studiu comparativ pe două eșantioane de elevi, privind modalitățiile de predare și feedback-ul acestora.

II FORMAREA CONCEPTULUI DE NUMAR NATURAL

2.1.Conceptul de numar natural.

2.1.1.Consideratii istorice

Toată lumea admite că matematica este utilă,”ea a fost și este pâinea cea de toate zilele a civilizației”.

Istoria numerelor începe din secolul VII – î.e.n. și după unii cercetători cu mult înainte

Secole de-a rândul numărarea obiectelor era o corespondență de unu la unu,iar atunci când schimbul de obiecte o cerea s-a ajuns la corespondența de doi sau trei la unu.

Azi fiecare dintre noi folosește sistemul de numerație zecimal dar putini știu că această invenție, a avut drept model mulțimea degetelor. Cine știe cum ar fi arătat civilizația noastră, dacă omul nu ar fi avut cinci degete la o mână?

Degetele pot arăta mai mult de zece. Și astăzi în China sau în alte țări din Orientul Îndepărtat în câte un bazar negustorii își vând marfa strângând mâna cumpărătorului care cunoaște și el codul: articulațiile fiecărui deget atinse de jos în sus, lateral dreapta sau stânga și într-o anumită ordine exprima numărul dorit.

In antichitate, această metodă a avut o largă circulație și în Europa, fiind practicată mai ales de greci și de romani. Pliniu povestește că la începutul veacului al VII- lea î.e.n., cu ocazia reformei calendarului, a fost ridicată o statuie zeului Ianus, ale cărui degete reprezentau numărul zilelor unui an, adică 355, atâtea fiind considerate atunci că ar fi fost zilele unui an.

Abacul, primul instrument de calcul al antichității a dat multe bătăi de cap celor ce-l foloseau datorită lipsei cifrei zero. Zero a fost introdus de hinduși. Ei l-au notat cu un cerc mic căruia ii spuneau Kha (gaura) sau sunya (nimic). Hindușii sunt inventatorii scrierii poziționale imposibile fără folosirea lui zero. Despre folosirea cifrelor hinduse, Al-Horezmi, renumit matematician din Asia Centrală a scris o carte care tradusă în latină a cunoscut un răsunet nemaipomenit încât numele autorului latinizat în Algoritm și-a schimbat înțelesul identificându-se cu însăși opera sa. Azi, prin algoritm se înțelege metoda sau regula de calcul africane, fie cu pieile roșii din America, fie cu locuitorii unor insule din Oceanul Pacific, povestesc că la multe din aceste popoare nu existau cuvinte cu care să se poată număra mai departe de doi. Ei foloseau numai termenii "unu", "doi" și "mai mult". Dacă voiau să spună că au grămadă de mai mult de două obiecte, atunci pronunțau cuvântul "atâta" și unii dintre ei smulgeau o tufă de iarbă și o arătau, alții luau un pumn de nisip, iar alții o grămadă de frunze.

Numerația la diferite popoare

Grecii au scris numerele cu cuvinte întregi până în veacul al III-lea înaintea erei noastre. Numai pentru numerele 5, 10, 100 și 1000 foloseau inițialele acestor cuvinte. Mai târziu, spre sfârșitul acelui veac ei au imaginat un sistem zecimal de scriere a numerelor, și anume, pentru primele nouă numere au folosit primele litere ale alfabetului, pentru primele nouă zeci următoarele nouă litere și apoi patru sute ultimele. Deoarece alfabetul lor avea numai douăzeci și patru de litere, ei au intercalat încă trei litere împrumutate probabil de la fenicieni. Cu ajutorul lor grecii puteau scrie toate numerele de la 1 la 1000 prin alăturarea literelor corespunzătoare sutelor, zecilor și unităților care formau acel număr. Așa de exemplu, 832 se scria wµB căci w=800, µ=30 și B=2.

În secolul V-VI î.e.n., când matematicienii greci au pus bazele științei despre numere, știință pe care tot ei au numit-o aritmetică (în grecește "arithmos" însemna număr și "tehne" însemna artă), numărul 1 a fost îndepărtat din familia numerelor. În lucrarea rămasă celebră Elementele, scrise de Euclid prin secolul al III-lea î.e.n. se găsesc următoarele definiții despre unitate și pentru număr: "Unitatea este aceea potrivit căreia fiecare lucru se numește unu. Iar număr este o mulțime compusă din unitate". Deci, grecii nu priveau unitatea ca pe un număr, ci ca originea și baza numerelor. De la greci, această idee a fost luată de arabi și așa a ajuns în Europa.Problema "numărului 1" a putut fi rezolvată definitiv de abia la sfârșitul veacului al XIX-lea, când unu a redevenit număr. Deci, cel mai bătrân dintre numere, este totodată și cel mai tânăr

Romanii au luat procedeul de scriere a numerelor de la etrustici și el nu se deosebește de cel folosit de egipteni sau de greci, decât prin forma semnelor. Astfel romanii au notat unitatea cu o bară verticală, iar pentru zece aveau semnul X, ce pare fonuat din două mâini cu degetele răsfirate, puse una sub alta. Prin C (inițiala de la cuvântul "centium" =100) ei însemnau numărul 100, iar prin litera M (initiala lui "mille" =1000), ei reprezentau numărul 1000. Cu aceste patru semne, romanii au scris la început, prin repetare și alăturare numerele care aveau nevoie. Sistemul era foarte greoi. Din aceste motive, mai târziu ei au adus o simplificare în scrierea numerelor, adăugând trei semne noi: V pentru 5, L pentru 50 și D pentru 500, precum și următoarea regulă de folosire a acestora: orice număr pus la dreapta altuia care este mai mare sau egal cu el se adaugă; scris la stânga unuia cu valoare mai mare decât el, se scade. Cu această notație, numărul 694 se scrie: DCXCIV.

2.1.1 Numerele naturale ca numere cardinale

Pentru a contura conceptul de număr natural, vom porni de la noțiunile de mulțime și de relație.

Fie A și B două mulțimi. Vom spune că cele două mulțimi sunt echipotente dacă există o bijecție f a mulțimii A pe mulțimea B. Acest fapt îl scriem astfel:

"A~B" și citim: mulțimea A este echipotentă cu mulțimea B. De exemplu, mulțimile

A={al, a2, a3} și B = {b1, b2, b3} sunt echipotente – lucru ce rezultă din diagrama alăturată:

Relația de echipotență "~״ se bucură de următoarele proprietăți:

Relația de echipotență "~″ este reflexivă, adică A ~ A;

Este simetrică, adică A ~ B =>B~A;

Este tranzitivă, adică, dacă A~B și B~C=>A~C.

Acestea se verifică imediat:

A~A, oricare ar fi mulțimea A, pentru că funcția f : A->A, f(x)=x este o bijecție.

2. A~B=> A~B, căci dacă există o bijecție f : A->B, atunci există funcția inversă f-l :B-> A care este tot o bijecție.

A~B și B~C =>A~C, deoarece dacă există funcțiile bijective f: A->B și g : B->C, atunci funcția compusă g o f: A->C este tot bijecție.

Relația de echipotență fiind reflexivă, simetrică și tranzitivă este o relație de echivalență. Înseamnă că mulțimile sunt împărțite de relația de echipotență "~″, în clase disjuncte, pe care le vom numi clase de echipotență.

Definiție: Se numesc cardinale, clasele de echipotență determinate de relația "~".

Clasa de echipotență căreia îi aparține mulțimea A se numește cardinalul mulțimii și se notează A, sau card A. Din definiție rezultă că =<=>A~B.

Definiția noțiunii de număr cardinal este abstractă și ea nu poate fi introdusă astfel la copiii mici. Este necesar ca învățătorul să înțeleagă foarte bine semnificația noțiunii de aspect cardinal care stă la baza noțiunii de număr natural. Relația de echipotență definită pe mulțimea părților unei mulțimi o împarte în clase disjuncte, numite clase de echipotență.

Să considerăm o mulțime A și să considerăm apoi mulțimea părților ei. O asemenea mulțime ar fi formată din mulțimea vidă, din mulțimi cu câte un element, din mulțimi cu câte două elemente ș.a.m.d. Nu interesează natura elementelor acestor mulțimi. Prin desen o asemenea multime ar arăta astfel (fig. 1).

În această mulțime A avem submulțimi vide, submulțimi cu câte un element, cu câte două elemente, cu câte trei elemente etc.

Prin această mulțime definim relația de echipotență "~". Cum?

Fig. 1

Mulțimea care are un triunghi este echipotentă cu mulțimea care are o steluță sau cu mulțimea formată dintr-un dreptunghi ș.a.m.d. Deci, relația de echipotență "strănge" toate mulțimile care au această proprietate, anume aceea de a avea un singur element, într-o clasă de echipotență.

Această clasă o numim numărul cardinal unu și o notăm cu semnul 1.

La fel, toate submulțimile cu cîte două elemente sunt echipotențe și ele formează o nouă clasă pe care o numim numărul cardinal doi și o notăm cu simbolul 2. Această clasă nu are elemente comune cu prima, deci ele sunt disjuncte.

Procedând în același mod, relația de echipotență adună într-o nouă clasă toate submulțimile cu câte trei elemente, obținând astfel clasa numită numărul cardinal trei pe care o notăm cu semnul 3. Mulțimea vidă, va determina clasa căreia îi zicem zero.

Construim progresiv toate clasele de echipotență, deci toate numerele cardinale.

Ce trebuie înțeles așadar, prin numărul cardinal 5? Vom înțelege clasa tuturor mulțimilor cu cinci elemente indiferent de natura elementelor lor. Reținem numai proprietatea comună de a avea cinci elemente. Trebuie, așadar, să ajungem ca elevul să înțeleagă faptul că numărul doi, de pildă, este proprietatea comună a tuturor mulțimilor formate cu două elemente etc..

Se numește număr natural cardinalul mulțimilor finite, echipotente între ele. Deci, cardinalele pe care le-am construit pe această cale în exemplul de mai sus sunt numere naturale.Mulțimea numerelor naturale este mulțimea pe care o notăm cu N și este formată din următoarele elemente:N={ O, 1, 2, 3, . . . }

Mulțimea numerelor naturale este "materia primă" cu care lucrează școlarul mic.

Aspectul cardinal al numărului natural

Omul încă din cele mai vechi timpuri a trebuit să compare diferite mulțimi de obiecte pentru a vedea care mulțime conține mai multe obiecte. Astăzi se face prin numărarea și compararea numerelor obținute ca rezultat al numărării. Se presupune că se cunosc deja numerele și că se știe a se număra. Școlarul realizează o ordonare în perechi a elementelor mulțimilor ce se compară, adică realizează ceea ce numim "corespondență unu la unu". Cele două mulțimi au "tot atâtea" elemente sau cele două mulțimi diferite prin natura elementelor lor sunt echipotente, adică au aceeași putere.

Dacă elementele primei mulțimi sunt puse în corespondență numai cu o parte a elementelor celei de a doua mulțimi, atunci se spune că prima mulțime are "mai puține" elemente decât a doua sau că a doua mulțime are "mai multe" elemente decât prima. O reprezentare grafică a acestor lucruri se prezintă în figura II.

Fig. II a

Fig. II b

În primul caz, fig. II a, mulțimile A și B au "tot atâtea" elemente. Ele sunt de aceeași putere. În cazul al doilea, fig. II b, mulțimea C are "mai puține" elemente decât mulțimea D, sau mulțimea D are "mai multe" elemente decât mulțimea C.

Toate mulțimile care pot fi ordonate complet în acest fel au o proprietate comună, anume aceea că au același număr de elemente. Astfel se formează noțiunea de număr cardinal.

Aspectul ordinal al numărului natural

Stabilirea unei ordini în interiorul unei mulțimi a condus la aspecutul ordinal al numărului. După un anumit criteriu rezultatele la învățătură exprimate prin mediile obținute, se poate alcătui o ierarhie a elevilor. Într-o clasă stabilind cine este primul la învățătură, cine este al doilea, al treilea, ș.a.m.d. (sau la o disciplină, sau ca medie generală etc.).

Numărul de ordine atașat într-o asemenea succesiune se numește număr ordinal.

Aspectele cardinale și ordinale s-au dezvoltat într-o legătură permanantă unele cu altele și formează cele două aspecte ale numerelor naturale, la care se adaugă numărul zero.

Axiomatica lui Peano

Pentru cercetarea proprietăților numerelor naturale ar fi foarte incomod să se facă mereu apel la clase de mulțimi, adică la definiția numerelor naturale.

Giuseppe Peano (1858-1932) a arătat (în anul 1891) că toate proproprietățile numerelor naturale rezultă din următoarele cinci axiome care-i poartă numele.

Axiomele lui Peano sunt:

O este un număr natural;

orice număr natural n are un singur succesor n' ;

zero nu este succesorul nici unui număr;

două numere distincte au succesorii distincți;

mulțimea numerelor naturale este cea mai "mică" mulțime cu proprietățile:

îl conține pe zero;

odată cu orice număr n conține și orice succesor n'.

Relația de ordine în N

Fie A o mulțime și R o relație definită pe această mulțime. Spunem că relația R

este de ordine dacă sunt satisfăcute următoarele proprietăți:

Reflexivitatea (V) x A; x R x.;

Antisimetria (V) x, y A, (x R y ^ y R x =>) x = y;

Tranzitivitatea (V) x, y, z A (x R y ^ y R z)=>x R z.

2.2 Formarea conceptului de numar natural. Aspecte metodice

Învățarea matematicii necesită un stil de muncă adecvat. Obținerea rezultatelor depinde atât de cantitatea de efort depusă, dar mai ales de calitatea rezultatului. Este important să se sporească atât randamentul muncii, al lecțiilor cât și a muncii personale a elevului: in acelasi timp cu aceeași cheltuială de energie, elevul trebuie să asimileze mai mult, mai temeinic, mai organizat.

Idealul educațional al școlii românești, constă în dezvoltarea liberă, integrală și armonioasă a individualității umane, în formarea personalității autonome și creativă definește aceste cerințe.

Cadrele didactice asigură climatul școlar de dezvoltare a curiozității și creativității copiilor, de educare a capacităților, potențialul și aspirațiile fiecăruia, conducând la formarea unui stil de muncă și învățare care să faciliteze integrarea socială, pregătirea pentru o profesie și pentru viata de familie. Predarea, ca activitate a profesorului și cea de învățare, a elevului, obiectivează mereu în interfața conturată de rezultatele obținute. Această interfață cuprinde informația relevantă asupra activității celor doi agenți ai activității scolare.

Manualele poartă însemnul modernizării predării acestei discipline. S-au conturat direcțiile de modernizare a predării matematicii în școală prin sporirea rolului formativ al ei și îmbunătățirea metodologiei predării.

Noua programă oglindită în manualele alternative, pentru fiecare clasă în parte, este folosirea la nivelul de înțelegere al copiilor, a unor noțiuni elementare despre mulțimi și relații, acestea oferind posibilitatea explicării bazei științifice a conceptului de număr natural și de operații cu numere naturale, precum și a adâncirii caracterului intuitiv, dar și de abstractizare în procesul predării.

Pe cale tradițională, conștientizarea dobândirii cunoștințelor de aritmetică se făceau apelându-se la intuiție, la material didactic. Dar aceasta însemna de fapt a apela la mulțimi de obiecte, la relații între acestea.

Noile manuale au fost concepute ca instrumente de lucru pentru elevi. Manualul îl pregătește pe elev și pentru formarea unor deprinderi de muncă independentă, analizând unele exerciții sau probleme, gata rezolvate în manual și apoi rezolvând altele prin completări în scris, direct în manual. Timpul economisit prin asemenea exerciții, elevul scriind mai puțin, depune mai puțin efort fizic, în schimb îi rămâne timp pentru gândire.

Realizarea noilor manuale de matematică este, așa cum precizează și unul dintre autori, Gheorghe Herescu, "rodul valorificării atât a experienței pe plan mondial, cât și a cercetărilor teoretice și experimentale desfășurate de către diverse colective din țara noastră".

Cercetările experimentale axate pe domeniul predării-învățării matematicii au

ajuns la concluzia că cele trei structuri fundamentale ale științei matematicii corespund structurilor învățământului matematic se bazează pe organizarea progresivă a acestor structuri operatorii.

Înțelegerea conceptului de număr natural are un caracter concret. Procesul de predare – învățare a matematicii în ciclul primar trebuie efectuat prin operații cu obiecte care se structurează și se interiorizează, devenind progresiv operații logice abstracte.

Conceptul de număr natural a fost obiectivul central al multor cercetări de pedagogia matematicii.

Piaget consideră fundamentale operațiile de clasificare și scriere în formarea conceptului de număr,. Clasificarea obiectivelor pe grupe omogene și neomogene, compararea grupelor de obiecte, stabilirea corespondențelor și a deosebirilor permit ajungerea la conceptul de număr, conform structurilor, relațiilor și proprietăților pe care le relevă teoria mulțimilor. Formarea reprezentărilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general si abstract, la niveluri succesive, unde relația între concret si logic se modifică in direcția esențializării realității.

Pe măsură ce elevii își însușesc noțiunea de număr , ei încep, chiar în cadru însușirii acestei noțiuni , să opereze cu numere cunoașterea numerației presupunînd calculul cu numere.

Învățarea conceptului de număr natural este o consecință a muncii elevilor, a dorinței lor de a obține rezultate bune, dar și a strădaniilor institutorului de a educa elevii cat mai inteligenți și capabili să se descurce in orice situație.

Materialul Cuisenaire se compune din zece riglete dreptunghiulare cu lățimea de un centimetru și colorate diferit, simbolizând fiecare dintre ele câte un număr natural de la 1 la 10, în raport cu lungimea și culoarea rigletei respective, (ex. rigleta roșie cu lungimea de 2 centimetri, simbolizează numărul 2)

. Elevul asociază astfel rigletei ideea (simbolul) de număr, pentru că aceasta este formată din tot atâtea unități ca și mulțimile de aceeași putere (cu același număr de elemente), culoarea diferită pentru fiecare rigletă nefiind esențială, ea reprezentând un atribut de "întărire" și de "facilitare" pentru asocierea unei riglete altui număr natural; culoarea rigletelor mai poate fi considerată și un "element de joc", atât de necesar copiilor de aceeași vârstă.

În acest fel, rigletele devin un material didactic clasic, dar și modern pentru facilitarea înțelegerii de către micii școlari: trecerea de la mulțimi la numere naturale; descompunerea numărului natural într-o sumă de alte numere naturale; operațiile de adunare și scădere a numerelor naturale.

Predarea noțiunilor de relație, mulțime, operații cu mulțimi, permit învățătorului să fundamenteze corect din punct de vedere științific o serie de concepte de matematică elementară, unul dintre ele fiind conceptul de număr natural ca proprietate echivalentă a mulțimilor echivalente.

Noțiunea de număr natural face parte din acele "noțiuni apriori și evident clare, care sunt indispensabile gândirii matematice, chiar sub forma specifică în care ele se prezintă".

Într-o disciplină construită axiomatic, există două feluri de noțiuni: noțiuni care se construiesc cu ajutorul altora și noțiuni fundamentale (primare) care nu se definesc, ele având alt înțeles decât acela care este cuprins în enunțul axiomelor.Noțiunea de număr se bazează pe noțiunea de mulțime, care este o noțiune fundamentală a matematicii.

Ideea de mulțime este foarte obișnuită. Chiar dacă nu folosim termenul de "mulțime" (o "mulțime de elemente"), cu diverse nuanțe, ideea de mulțime este evocată atunci când spunem: o clasă de obiecte, o colecție de lucruri, grup, colectivitate, echipă, familie, turmă, roi, ceată, societate, școală.

Noțiunea de mulțime este una dintre cele mai generale și importante noțiuni,deoarece joacă un rol unificator al conceptelor matematice. În general, în toată lumea se consideră că un învățământ modern al matematicii trebuie să se întemeieze pe noțiunea de mulțime, introducerea noțiunii de număr făcându-se ca proprietate a mulțimii.

2.2.1. Obiectivele predării numerelor naturale

Invățământul primar vizează realizarea unor funcții specifice pe trei planuri: instrumental, formativ și informativ.

Învățământul primar asigură elemente fundamentale ale cunoașterii, îndeplinind un rol decisiv pentru reușita tuturor elevilor în asimilarea cunoștințelor de bază, pentru continuarea cu succes a învățământului gimnazial și pentru propria dezvoltare.

Criteriile de evaluare a orizontului cognitiv al individului nu mai rezidă în aspecte

cantitative cât de multă informație deține într-un domeniu sau altul, ci în cele de ordin funcțional -instrumental – cât de multe lucruri poate să facă el cu un volum cât mai mic de informație.

Funcția principală a învățământului primar a fost dintotdeauna funcția instrumentaIă, aceea de a dota copiii cu instrumentele elementare de muncă intelectuală: citit, scris, socotit. Cu timpul, la acestea s-au mai adăugat și alte capacități (după cum am menționat mai sus): de a observa, a analiza, a sesiza esențialul, etc.

Dacă în învățământul tradițional, clasic, se consideră că dascălul îl învață pe elev, el fiind agentul principal al actului instruirii și învățării în învățământul modern, elevul este agentul principal al procesului de învățământ, el învățând sub îndrumarea și cu sprijinul educatorului.

Dacă pornim de la considerentul că procesul de învățământ este un sistem care dispune de o structură proprie cu componente care interacționează pentru a-i da funcționalitate, nu putem considera obiectivele pedagogice în afara acestui sistem. Obiectivele se conjugă cu conținuturile.

2.2.2Specificul procesului de predare -invatare a numerelor naturale

a. Numerele naturale de la 0 la 10.

Primele zece numere constituie fundamentul pe care se dezvoltă ulterior întregul edificiu al gândirii matematice a copilului și, de aceea, trebuie să i se acorde o atenție deosebită. Acesta este primul contact al copiilor cu matematica, este perioada când aceștia încep să folosească cuvintele pentru denumirea numerelor și a cifrelor, pentru scrierea lor. Metodologia formării conceptului de număr natural se bazează pe faptul că elevii din clasele I-IV se află în stadiul operațiilor concrete, învățând în special prin intuire și manipulare directă a obiectelor. Pe măsura apropierii de clasa a IV-a are loc trecerea treptată către general și abstract. În formarea conceptului de număr natural, acțiunea va precede intuiția, parcurgându-se următoarele etape: -activități și acțiuni cu mulțimi de obiecte (etapa acțională); -schematizarea acțiunii și reprezentarea grafică a mulțimilor (etapa iconică); -traducerea simbolică a acțiunilor (etapa simbolică).

La conceptul de număr elevul ajunge progresiv. În această perioadă este inițiat în activități de compunere și punere în corespondență a mulțimilor pentru a desprinde ideea de mulțimi echivalente sau mulțimi cu același număr de elemente, de constituire, după anumite criterii, de submulțimi date, de numărare a elementelor unei mulțimi, de transpunere prin simboluri a unei mulțimi. Scrierea numerelor ridică, de cele mai multe ori, dificultăți de ordin psihologic pentru copil, unele chiar mai mari decât greutățile pe care el le întâmpină când învață să scrie primele semne ale alfabetului. Cifra reprezintă semnul grafic al numărului, așa cum litera reprezintă semnul grafic al sunetului.

Numărarea pe care o știu elevii mici când vin la școală este mecanică, lipsită de conținut. Numărul este văzut de copii nu ca o proprietate a unei mulțimi, ci văd în număr obiectul numărat.

Activitățile de stabilire a corespondenței element cu element a mulțimilor urmăresc să dezvolte la copii înțelegerea conținutului esențial al noțiunii de număr, ca o clasă de echivalență a mulțimilor finite echipotente cu o mulțime dată.

Elevii construiesc mulțimi echivalente cu o mulțime dată și în acest proces activ de comparare, înțeleg mai bine proprietățile numerice ale mulțimilor care au același număr de elemente. Folosind denumirea de mulțimi cu "tot atâtea elemente" se detașează, progresiv noțiunea de număr ca o clasă de echivalență.

Procesul construcției șirului numerelor până la zece se face progresiv. Din clasa mulțimilor echivalente cu o mulțime dată se aleg 2-3 mulțimi model, ca reprezentanți ai clasei. Esențial este ca elevii să înțeleagă faptul că există un număr nesfârșit de mulțimi echivalente cu mulțimea model.

Fig. III

Elevii trebuie însă să observe că nu orice corespondență între mulțimi este biunivocă. De exemplu, dacă sunt. mai puține cercuri decât patrate, atunci fiecărui cerc îi corespunde un patrat, dar nu-i corespunde fiecărui patrat un cerc.

Fig. IV

În exercițiile de acest gen pe care le-am efectuat în clasă am căutat să dau posibilitatea elevilor de a compara elemente ale unor mulțimi care se găsesc în relații asemănătoare în realitate (găini – ouă, iepure – morcovi), pentru ca relațiile de echivalență să fie sesizate în situații naturale de realitatea înconjurătoare.

Introducerea noțiunii de număr natural se bazează pe conceptul de mulțimi echivalente.

Fig. V

Relația de echivalență grupează mulțimile în clase de echivalență (o clasă cuprinde mulțimile cu același număr de elemente).

O clasă de echivalență este caracterizată printr-o proprietate comună tuturor mulțimilor ce-i aparțin: proprietate a de a conține același număr de elemente.

Această proprietate este reprezentată printr-un număr numit număr natural. "Astfel, proprietatea caracteristică mulțimii vide este reprezentată prin numărul O, deci este un număr natural datorită faptului că el caracterizează clasa de echivalență a mulțimilor ce nu au nici un element. Proprietatea caracteristică mulțimilor cu un singur element este reprezentată prin nuntărul 1, cea a mulțimilor cu un element și încă unul este reprezentată prin nuntărul 2, prin urmare O, 1, 2, . . . , n caracterizează mulțimile echivalente formate respectiv din O, 1,2, . . . , n elemente și se numesc naturale".

Important este să se facă o delimitare conceptuală clară între numărul cardinal care arată câte obiecte sunt într-o mulțime dată, câte elemente cuprinde mulțimea respectivă (sau puterea ei) și numărul ordinal sau numărul de ordine care arată ordinea sau al câtelea este obiectul respectiv într-un șir de obiecte, al câtelea este numărul respectiv în șirul numerelor naturale.

A număra deci elementele unei mulțimi înseamnă a pune în corespondență biunivocă aceste elemente cu numerele dintr-o secțiune a șirului natural restrâns, adică a atribui fiecărui element un număr astfel încât nici un element să nu rămână fără număr și un număr oarecare din șir să nu fie atribuit decât unui singur element. În felul acesta spunem că am numerotat băncile din clasă, operația respectivă numindu-se numerotare. Dacă numerotarea elementelor unei mulțimi se poate termina, înseamnă că mulțimea respectivă este finită; în caz contrar, mulțimea este infinită.

Elevii din clasă sunt înscriși în catalog într-o anumită ordine, și anume după alfabet. Numărul pe care îl are fiecare elev în ordinea înscrierii în catalog reprezintă numărul ordinal. Numărul pe care îl are ultimul elev este și el ordinal, fiindcă arată al câtelea elev în ordine alfabetică este acesta, dar în același timp este și număr cardinal, fiindcă indică numărul total al elevilor din clasă.

Pentru a stabili numărul cardinal, numărarea se poate face într-o ordine oarecare, arbitrar aleasă. Astfel, numărul elevilor din clasă poate fi stabilit prin numărarea în ordine alfabetică, în ordinea în care sunt așezați în bănci, în ordinea în care se prezintă dimineața la școală, în ordinea în care ies în recreație, în ordinea mediilor obținute la finele anului sau după oricare alte criterii, obținându-se de fiecare dată același rezultat. Înțelegând lucrurile în acest fel, se poate enunța și accepta fără rezerve axioma numărării: "Rezultatul numărării elementelor unei mulțimi nu depinde de ordinea de numărare".

Numărarea se face, în prima etapă, cu câte o unitate, în sens crescător sau descrescător. De aceea, primele exerciții de adunare și scădere pe care le învață copiii sunt cele în care la un număr se adaugă o singură unitate, sau din care se scade o unitate, întrucât prin acestea se reia, sub formă de operații aritmetice, numărarea ascendentă sau descendentă pe baza principiului de formare a numerelor naturale.

De îndată ce elevii își înșusesc în mod conștient numărarea cu câte o unitate, se poate trece la numărarea cu două, cu trei sau cu mai multe unități, scoțându-se în relief faptul că adunarea unei unități la un număr, ori a două sau mai multe unități, constituie o numărare în sens ascendent cu una sau mai multe unități și, analog, scăderea este o numărare în sens descendent.

Coborând ideea caracterului stadial al dezvoltării intelectuale (după Jean Piaget) cu modalitățile principale de reprezentare a realității în învățare – acțional, iconic și simbolic putem, încă din clasa I, pe baza teoriei mulțimilor, a compunerii și descompunerii numerelor, să trecem într-un mod rațional și eficient de la gândirea reproductivă la cea probalistică, de la formele operatorii mentale concrete la cele abstracte chiar dacă la această vârstă simbolurile nu se desprind de suporturile lor obiective.

Deosebirea dintre numărul cardinal și numărul ordinal este cunoscută ca "deosebirea între număr și numărare".

Însușirea conștientă a noțiunii de număr se fundamentează pe:

a) înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor cu același număr de elemente (cardinalul mulțimilor echivalente);

b) înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor de la O la 10 (aspectul ordinal al numărului);

c) înțelegerea semnificației reale a relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale și a denumirilor corespunzătoare (mai mare, mai mic);

d) cunoașterea cifrelor corespunzătoare numărului;

e) citirea cifrelor de tipar și scrierea cifrelor de mână.

Lucrând cu materialul didactic pe baza indicațiilor date de învățător, elevul observă de data aceasta nu forma, culoarea, mărimea creioanelor, a bilelor, a bețișoarelor, ci atenția lui se concentrează asupra mulțimii de obiecte, el ajungând apoi să compare mulțimea de obiecte din grupa respectivă cu o altă grupă de obiecte.

Din observarea mai multor grupe de obiecte, el va înțelege că poate face abstracție de mărimea, forma și culoarea obiectelor, că esențialul în aceste grupe de obiecte este puterea mulțimii care rămâne constantă pentru un număr determinat, indiferent de aspectele exterioare ale grupei de obiecte pe care o reprezintă. De exemplu, grupe de cinci obiecte au aceeași valoare cantitativă, reprezintă mulțimi echivalente, indiferent dacă este vorba de cinci creioane roșii, cinci crete albe, cinci bile maro, etc.

Desprinderea puterii mulțimii – chiar și în acest stadiu concret de observare și mânuire a materialului didactic – presupune o participare activă a gândirii, fără de care nu se poate ajunge la sesizarea generalului și a esențialului.

Noțiunea de număr nu apare dintr-o dată în gândirea elevilor, ci se elaborează și se prelucrează conștient pe baza experienței lor cu mulțimile concrete, prin desprinderea puterii mulțimilor echivalente din perceperea grupelor de obiecte, prin transpunerea acestei experiențe pe planul reprezentărilor și prin generalizarea ei.

Noțiunea de număr se consolidează și se adâncește în sensul că elevul își reprezintă din ce în ce mai exact mărimea numărului prin compararea mulțimilor corespunzătoare, prin compunerea și descompunerea fiecărui număr.

Desigur că odată formată noțiunea de număr abstract nu rămâne ruptă de baza intuitivă pe care a fost construită, ci păstrează legătura cu o anumită imagine intuitivă, cu reprezentarea generalizată a grupării corespunzătoare de obiecte, cu figura numerică respectivă.

Insușirea numerației orale în concentrul 0-10 presupune:

a) formarea numerelor de la 0 la 10 cu ajutorul mulțimilor și a reuniunilor;

Cunoașterea fiecărui număr începe cu formarea lui pe baza succesiunii, din numărul precedent, la care se adaugă o unitate.

Elevul observă cum învățătorul adaugă la patru bile (bețișoare, cuburi) încă o bilă și formează grupa de cinci bile. De fiecare dată, după formarea grupei se pune întrebarea: "Câte bile, bețișoare, cuburi sunt acum?"

În felul acesta elevul va putea să facă abstracție de proprietățile particulare ale fiecărui material didactic cu care lucrează și să sesizeze că toate mulțimile concrete ce i s-au prezentat au aceeași putere, același număr de elemente.

Observarea grupelor naturale de obiecte reprezintă un grad mai înalt de generalizare. Acum copilul nu mai are în mână obiectele cu care să formeze numărul respectiv, ci el este condus să observe în realitatea înconjurătoare o grupă de obiecte pe care să le poată denumi cu numărul respectiv: 5 degete la o mână, 4 picioare ale scaunului, 2 ochi, etc. Se poate ajunge la o generalizare la un nivel superior atunci când copilul spune, de exemplu, 4 referindu-se nu numai la puterea mulțimii de 4 obiecte pe care le-a perceput în clasă, ci apelează și la reprezentări mai vechi pe care le integrează în această generalizare .

b) cunoașterea succesiunii numerelor

Numărarea în ordine crescătoare și în ordine descrescătoare înseamnă o primă activitate cu numerele. Această numărare se face mai întâi cu obiecte și apoi abstract.

c) cunoașterea denumirii numerelor de la 0 la 10 și utilizarea corectă a acestor denumiri;

Numărarea pe care o știu elevii mici când vin la școală în clasa I este mecanică, lipsită de conținut, iar pronunțarea numerelor – defectuoasă, greșită și trebuie corectată.

d) cunoașterea locului pe care-l ocupă un număr în șirul numerelor naturale;

Elevii ajung la determinarea locului numerelor nu numai după succesiunea denumirii lor, ci și după puterea mulțimii de obiecte pe care o reprezintă,

e) cunoașterea componentei numărului;

Cunoașterea componenței numărului reprezintă un proces de analiză și sinteză, care precizează în mintea elevului mărimea numărului prin demonstrarea posibilităților de compunere și descompunere a lui.

De exemplu (fig. 6) numărul 8 este format din:

Fig. VI

Cifra reprezintă semnul numărului, așa cum litera reprezintă semnul sunetului. De aceea, metodica predării scrierii cifrelor este similară cu metodica predării scrierii literelor. În însușirea numerației scrise se parcurg următoarele etape:

a) prezentarea cifrei de tipar și de mână corespunzătoare unui număr dat

b) evidențierea asemănării prin compararea cifrelor de tipar și de mână corespunzătoare unui număr

Cifra se descompune în componente, De exemplu:

c) recompunerea cifrei de mână din elementele componente și scrierea ei pe tablă;

d) parcugerea conturului în aer a cifrei respective de către elevi_

e) scrierea cifrei și corectarea greșelilor de către învățător.

b) Numerele naturale de la 0 la 20

În predarea matematicii trebuie să formăm la elevi, printre altele, trei categorii de noțiuni principale: noțiunea de număr, noțiunea de sistem zecimal al numerației, noțiunea de operații matematice fundamentale.

Noțiunea de număr natural, precum și cea de operație matematică le formăm începând cu primele zece numere și le dezvoltăm treptat cu fiecare cerc de numere pe care le învață elevii.

Noțiunea de sistem zecimal al numerației (sistematizarea numerelor în ordine și clase zecimale) o întâlnește elevul pentru prima dată atunci când a terminat de studiat primele zece numere și când "zecea" devine baza sistemului zecimal.

Trecerea peste prima zece provoacă o schimbare importantă în dezvoltarea reprezentărilor copilului despre număr. Reprezentarea fiecărui număr își lărgește conținutul în sensul că depășește limitele raportării ei directe la o mulțime de obiecte, devenind o reprezentare mijlocită. De aceea, în formarea numerelor noi, începe să se afirme mai mult ideea de succesiune și se apelează mai puțin la considerarea unor mulțimi concrete. Deci, însușirea numerelor mai mari de 10 se face pe un plan superior de abstractizare față de însușirea primelor zece numere, prin faptul că ele se raportează la "zecea", care este o noțiune abstractă.

În felul acesta se dau primele noțiuni privitoare la sistemul de numerație zecimal. Fiecare număr apare acum în raportul său cu zece. De acum, copilul nu mai are de-a face numai cu mulțimea ordonată a numerelor 0-10, ci numerele încep să fie legate într-un sistem, pe baza raportării lor la 10, în sistemul zecimal.

De asemenea, pentru prima dată, elevul întâlnește în scrierea numerelor o nouă semnificație a cifrelor după locul pe care-l ocupă. Se prezintă semnificația poziției cifrei în număr și se dau primele noțiuni de sistem de numerație pozițional-locul cifrei în număr indică numărul de unități de un anumit ordin.

Aceleași cifre, ocupând locuri diferite, capătă o semnificație diferită și, astfel, prin combinarea cifrelor, se poate exprima orice număr, de exemplu: 12 și 21. Faptul că aceeași cifră capătă o semnificație diferită după locul pe care-l ocupă, înseamnă că însăși cifra devine o noțiune complexă și mai abstractă.

Inexistența unităților de un anumit ordin se indică prin ocuparea locului respectiv cu cifra 0 (zero).

În predarea numerației orale până la 20, o atenție deosebită trebuie să se acorde formării noțiunii de zece. .

Pentru aceasta folosim ca material didactic bogat și variat existent în școală (numărătoare cu bile, abac, trusă de riglete, cuburi, tablă magnetică), material confecționat de învățător în perioada de pregătire a lecțiilor (planșe, jetoane, desene), sau procurat de elevi (creioane, bețișoare, pietricele).

Cum se poate folosi trusa de riglete? Se liniază pe o hârtie două coloane: cea a unităților și respectiv cea a zecilor. O mulțime formată din 10 elemente o vom asocia unei riglete, unitate pe care este marcat un triunghi (deci acesta este semnul distinctiv al zecilor) în timp ce pe rigleta unitate este marcat un disc (fig.VII).

Fig. VII

O mulțime de 20 de elemente o vom marca cu rigleta formată din două riglcte-unitate de zeci.

Exemplu: Numărul 24 (douăzeci și patru) se reprezintă pe cele două coloane prin două riglete: rigleta doi pentru zeci și rigleta patru pentru unități (vezi fig. VIII).

Fig. VIII

Predarea numerelor până la 20 se realizează prin următoarele etape metodice:

1 ) se consolidează și se precizează noțiunea de unitate simplă;

Până acum 10 era considerat .ca un număr oarecare, la fel ca 8 sau 3, doar că se scria cu două cifre. În mulțimea 0-10 s-a urmărit formarea noțiunii de unitate. Se număra câte unul fie concret, fie prin reprezentări.

2) se formează noțiunea de zece ca unitate de calcul;

După ce lucrează cu bețișoarele pe care le leagă în mănunchi și se stabilește că în loc de zece bețișoare vom spune "o zece" (de bețișoare) se lucrează apoi la numărătoarea cu bile și se desprinde "o zece" (de bile) pe o sârmă și se ajunge la concluzia că orice am lua, grupul de 10 obiecte formează o "zece".

De exemplu, numărul 14 (patrusprezece) nu trebuie văzut numai ca simbolul unei mulțimi cu 14 elemente, ci și semnul grafic care reprezintă numărul corespunzător unei mulțimi formată dintr-o submulțime de 10 elemente și o submulțime formată din 4 elemente (fig. IX)

Fig. IX

3) se formează numerele de la 11 la 20 și se insistă asupra pronunțării corecte a acestora;

Trecerea de la numărul 10 (clasa mulțimilor cu câte 10 elemente) la numărul 11 (clasa mulțimilor fonnate din 10 elemente și încă un element) se poate face în mod analog cu trecerea de la numărul 4, la numărul 5. Procedura metodică este următoarea:

– se formează o mulțime de zece elemente;

– se formează o mulțime cu un element;

– se reunesc cele două mulțimi și se obține o mulțime formată din zece elemente și încă un element (fig. X);

– se explică elevilor că despre o astfel de mulțime spunem că are unsprezece

elemente și că semnul grafic sau simbolul numărului unsprezece este" 11 “

Fig. X

În mod asemănător se procedează și în continuare, considerând o mulțime cu 10 elemente și o mulțime cu două elemente ș. a. m. d.

4) se stabilește și se memorează succesiunea numerelor de la 11 la 22;

Se numără, la început, cu obiecte concrete, crescător, apoi descrescător și se ajunge la numărare abstractă.

5) se stabilește locul pe care-l ocupă fiecare număr în șirul numerelor naturale;

Elevii își însușesc aspectul ordinal al numerelor prin exerciții diverse de tipul: "Care sunt vecinii numărului 15? Dar vecinii acestuia?"

6) se stabilește componența numerelor de la 1l la 20;

De fiecare dată se analizează componența numărului, apoi pe figura numerică se stabilește coloana zecilor, care se notează cu 1 , și coloana unităților, care crește treptat și se notează cu cifre de la O la 9. Pe măsură ce se scrie fiecare număr se desprinde tot mai valid faptul că unitățile se scriu pe primul loc din dreapta, iar zecile în al doilea loc (fig. X.

XI Fig. /XII

O mare atenție trebuie să se acorde confecționării figurii numerice a numărului 20 (fig. XII). Cele două coloane de câte 10 cerculețe trebuie încadrate în partea zecilor, lăsând loc gol în dreptul unităților. Cu această ocazie se revine asupra explicării rolului lui zero care s-a făcut după predarea primelor zece numere.

După ce elevii au văzut în cadrul numerelor studiate, unitățile de la 1 până la 9, acum pot să înțeleagă mai bine că atunci când lipsesc unitățile punem zero.

Au apărut pe tablă numerele de la 10 la 20 pe care elevii le-au studiat, le-au analizat și le-au scris pe caietele lor. Se analizează apoi 2-3 din aceste numere pentru a le reține elementele esențiale ale scrierii lor și a se ajunge la regulă.

Se arată copiilor că atunci când vorbim de locul unde am scris unitățile ne uităm întotdeauna de la dreapta la stânga și vedem în al câtelea loc din dreapta le-am scris (am scris 3 unități în primul loc din dreapta).

În concluzie se enunță regula: "Unitățile se scriu pe primul loc din dreapta iar zecile în al doilea loc. Când lipsesc unitățile punem zero".

Această regulă se consolidează apoi cu aplicarea ei în practică, prin diferite exerciții. Se dau copiilor cifre decupate să le pună la locul cuvenit pentru a forma diferite numere. De asemenea, se fac exerciții de scriere a numerelor de la 1 la 20.

c) Numerele naturale mai mici sau egale cu 100.

In aceasta etapa se lărgește sistemul zecimal al numerației, elevii sesizand că 10 zeci formează o sută si ca zecea are un rol important.

Elevii învață lucruri noi despre componența zecimală a sutei, învață să încadreze zecile într-un ordin superior "suta", sa numere în ordine crescătoare și descrescătoare, sa compuna și descompuna numerele până la 100 în zeci și unități. Intuiția continuă să joace un rol important,iar materialu didactic folosit este vast.

d) Numerele naturale mai mici sau egale cu 1 000

Unul din momentele esentiale ale învatarii matematicii în clasele mici il constituie familiarizarea elevilor cu ordinele si clasele numerelor.Numerația se predă in continuare după aceeași metodică folosită la numerelor precedente. Se explica elevilor formarea miei din 10 sute, considerarea sutei ca element de calcul în cadrul miei, precum și compunerea și descompunerea numerelor formate din 3 cifre.

Se parcurg următoarele etape:

– se formează noțiunea de sută ca unitate de calcul;

Important este ca elevii să vadă că sutele se numără ca și unitățile, ca și zecile, și că suta este element de calcul cu numere până la 1000.

-se numără crescător sau descrescător insistandu-se acolo unde aceasta prezintă dificultăți, adică în trecerea peste ordin (se numără, spre exemplu, de la 598 la 601 cu ajutorul materialului concret; ajungând la numărul 600, acesta se descompune: 600; 90; 9; elevii vor înțelege că prin adăugarea unei unități la 9 se obține o "zece'" această "zece" adăugată celor 9 "zeci" formează 10 zeci sau o "sută" iar aceasta adăugată la 5 sute formează numărul 600)

-fac exerciții de comparare a numerelor, exerciții de stabilire a locului unor numere în șirul numerelor naturale,

e) Numerele naturale mai mici sau egale cu 1 000 000

Predarea – învățarea numerelor de mai multe cifre prezintă următoarele caracteristici:

– se extinde considerabil sistemul zecimal de numerație

– se introduc noțiunile de ordin și clasă;

– se consolidează înțelegerea conceptului de sistem pozițional de numerație

– se îmbogățește limbajul matematic;

Aceasta etapa asigură înțelegerea unor probleme de bază în învățarea matematicii. Acum elevii învață noțiunile de ordin și clasă.

Ordinul unei unități de calcul arată locul pe care îl ocupă acea unitate în succesiunea unităților de calcul din sistemul zecimal, care corespunde cu locul pe care îl ocupă o cifră în cadrul unui număr scris în acest sistem (fig. XVI).

Fig. XVI

Se stabilește în felul acesta locul fiecărui ordin: pe primul loc din dreapta se găsesc unitățile (U), pe al doilea zecile (Z), . . . , pe al nouălea sutele de milioane (S. MIL.) .

Trei ordine consecutive începând cu primul formează o clasă.

După însușirea ordinelor și claselor se trece la formarea, scrierea și citirea numerelor de mai multe cifre.

Pentru aceasta învățătorul scrie pe tablă și elevii pe caiete un tabel în care se evidențiază ordinele și clasele.În acest tabel numerotarea ordinelor și a claselor se face de la dreapta la stânga și ea coincide cu poziția cifrelor în cadrul unui număr.

Marcarea claselor ce alcătuiesc numărul se face lăsând între acestea un spațiu liber. Clasele nu se despart prin punct (.) deoarece acesta este consacrat operației de înmulțire.

Se precizeaza si se exemplifica semnificația unei cifre după poziția (locul) pe care o ocupă în scrierea numărului.

Forme ale activității de învățare și practic-aplicative

Copiii de vârstă școlară mică se găsesc în stadiul operațiilor concrete. Ei învață îndeosebi prin intuiție și manipulare directă de obiecte concrete, iar activitatea matematică reproduce între anumite limite, spațiul fizic în care aceștia se dezvoltă.

Cercetările psihologice arată că la începutul vârstei școlare mici apar și se dezvoltă primele operații logice elementare: conjuncția, disjuncția logică și negația.

Formarea mulțimilor după una sau mai multe proprietăți ale elementelor cultivă și dezvoltă la elevi capacitatea de a lega între ele proprietățile obiectelor care alcătuiesc o mulțime cu ajutorul elementelor de relație: "sau" – corespunzător disjuncției (pătrat sau triunghi), "și" – corespunzător conjuncției a două proprietăți (pătrat și roșu) și "nu"- pentru negația unei proprietăți (nu este pătrat). În același timp tot prin activități practice și folosind disjuncția, conjuncția și negația se introduc operațiile cu mulțimi: reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi.

În activitățile cu mulțimi de obiecte, învățătorul va folosi întotdeauna un limbaj matematic clar, precis, pe înțelesul și la nivelul de pregătire a copiilor. Când afirmațiile copiilor conțin idei concrete, dar formulate într-un limbaj nesigur, aprecierea învățătorului trebuie să fie pozitivă, subliniindu-se partea corectă a răspunsului dat de elevi și ajutându-i să-și corecteze modul de a se exprima matematic.

Una din premisele psiho-pedagogice esențiale ale formării conceptului de număr natural la copil este apariția, la această vârstă (6-7 ani), a primelor reprezentări asupra invarianței cantității. Copiii sunt capabili să stabilească corespondența între elementele a două mulțimi și să exprime rezultatul acestei activități prin cuvintele: "mai mult", "mai puțin" sau "tot atât".

Plecând de la activități logice de comparare a mulțimilor, elevii vor deveni conștienți de modul în care se stabilește corespondența (element cu element) a două mulțimi – suportul constituindu-l numeroase situații de viață. Introducerea conceptului de număr natural impune, ca o etapă premergătoare, familiarizarea elevilor cu noțiune a de relație de echivalență a mulțimilor, de clasă de echivalență, de funcție bijectivă , folosindu-se expresiile: "tot atât", "mai puțin".

La început e bine să se folosească o serie de jocuri sau scurte istorioare care să-l plaseze pe copil în universul lui (preferințe, mediu obiectual) pentru a-i utiliza propria sa experiență de viață.O atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul mijloacelor materiale și de comunicare utilizate, formulării concluziilor, manipulării (în timp și spațiu) obiectelor prin care se formează sau se pun în corespondență mulțimile, folosirii unui limbaj adecvat. De exemplu, în loc de expresia "funcție bijectivă" se va folosi "corespondență element cu element" sau" 1 la 1", iar în loc de "mulțimi echivalente" se va folosi "mulțimi cu tot atâtea elemente".

Corespondența element cu element a două mulțimi se poate indica grafic prin unirea cu o linie a unui element din prima mulțime cu un element din cea de-a doua mulțime sau prin alăturarea la fiecare element din prima mulțime a unui element din cea de-a doua mulțime (vezi fig. 1, 2 și 3).

Fig. I

Mulțimea de obiecte din stânga are tot atâtea elemente ca și cea din dreapta.

Fig. II

Mulțimea de obiecte din stânga are mai multe obiecte decât cea din dreapta.

Fig. III

Mulțimea de obiecte din stânga are mai puține obiecte decât cea din dreapta.

Se va insista asupra faptului că elementele unei mulțimi trebuie să fie în mod obligatoriu de aceeași natură. Criteriul pe care îl alegem pentru a alcătui o mulțime nu trebuie să dea naștere la îndoieli asupra următorului aspect: dacă un anumit element aparține sau nu mulțimii respective.

În parcurgerea diferitelor momente ale lecției este necesar să ținem seama de cele trei etape ale formării noțiunii abstracte:

1 – etapa "activităților cu obiecte" – denumită și "concret – obiectuală " – când copilul operează cu materialul concret, obiectul (piese, figuri geometrice, cerculețe, riglete, 2 – etapa "reprezentărilor intuitive grafice", sau a "activităților cu imagini grafice ale obiectelor", etapă în care elevii construiesc curbe și desenează în interiorul lor figuri geometrice sau folosesc fișe pe care sunt reprezentate – prin diagrame – mulțimi;

3 – etapa "traducerii simbolice", când se introduc simbolurile ("+", "-", ">", "<" sau "=") și conceptele matematice. Această etapă este "formal-conceptuală" sau “logic-deductivă"

Prima etapă are un caracter concret. Copiii operează cu materialul obiectual și descoperă, prin activitățile dirijate, o mulțime de posibilități.

Cea de-a doua etapă este destinată manipulării imaginilor care înlocuiesc obiectele reale.

Cea de-a treia etapă constă în elaborarea materialului semiconcret prezentat sub forma unor scheme grafice, urmată de introducerea simbolurilor matematice, cum ar fi, de exemplu, simbolul de număr natural.

Folosirea rigletelor oferă învățătorului posibilitatea să efectueze cu elevii corespondențe între elementele unei mulțimi oarecare, iar o mulțime formată din "riglete unități" dispuse în linie, dă posibilitatea micilor școlari să găsească riglete cu același număr de unități cât este numărul elementelor unei mulțimi (prin punerea în funcție bijectivă) (Vezi fig. IV).

Fig. IV

Familiarizarea elevilor cu . rigletele se realizează, la început, sub atenta supraveghere a învățătorului. Se recomandă ca ei să fie încurajați "să se joace", efectuând exerciții de folosire a culorilor și de egalizare a lungimilor. Comparând două riglete, copiii vor deduce dacă au aceeași lungime sau nu, vor așeza în prelungire două sau mai multe riglete pentru a egala o rigletă cu o lungime mai mare. Pentru egalizarea lungimii unei riglete vor forma mai multe modele, vor compara lungimile, utilizând termenii "mai mare", "mai mic", "tot atât de mare", sau "egală", vor forma din riglete "scări" crescătoare sau descrescătoare, etc.

Pe măsură ce elevii dobândesc o experiență matematică, se reduce treptat etapa operațiilor cu mulțimi concrete de obiecte, ajungând să se înceapă cu operații cu reprezentări grafice ale unor obiecte sau chiar cu simboluri ale acestora.

2.2.3 Stimuli motivaționali în lecțiile de predare-învățare a numerelor naturale la clasele I-IV

Este unanim acceptată ideea că un om motivat pentru ceea ce face, realizează acțiunea respectivă la maximul capacităților sale, sau foarte aproape de maxim. Motivația reprezintă modalitatea fundamentală de mobilizare, activare, dobândire, ele sunt considerate drept cauze interne ale conduitei umane.

În raport cu acțiunea ce trebuie îndeplinită, motivația poate fi intrisecă (cu motive interne acțiunii) sau extrinsecă (cu motive exterioare acțiunii respective).

Un loc deosebit de important revine motivației cognitive, exprimată într-un comportament explorator, care depinde de noutate, schimbare și complexivitate, reflectându-se într-un conflict ce rezultă fie din confruntarea dintre starea de așteptare și stimulii prezenți, fie din apariția neobișnuită a stimulilor.

Asupra motivației umane acționează trei tipuri de factori: trebuințele, relațiile afective, atitudinile față de diversele aspecte ale mediului și față de propria persoană, ce conduc la diverse stări emoționale – obiectele și împrejurările imediate sau imaginare, ce dobândesc funcție de scopuri.

În concluzie, condiția necesară succesului școlar este motivarea acțiunilor elevilor.

Deoarece, la începutul școlarității, elevii învață din motive colaterale obiectului de studiu, am încercat să-i determin, prin diverse modalități, să învețe din plăcere, din interes cognitiv pentru conținutul obiectului.

Lecțiile de matematică, caracterizate printr-un grad sporit de abstractizare și generalizare, ce poate conduce la o aparentă rupere de realitate și la ieșirea din sfera de preocupări, impun în mod deosebit, acțiuni didactice care să-i motiveze pe elevi pentru învățare.

Voi prezenta În continuare câteva modalități prin care am încercat să captez atenția elevilor, să le trezesc și să le mențin interesul pentru lecția de matematică, să sporesc activitatea acesteia, în vederea unei motivații pozitive, de angajare și activizare:

informații despre scrierea numerelor de-a lungul timpului;

În cadrul învățării numerației, se urmărește, alături de alte aspecte , conștientizarea de către elevi a faptului că sistemul nostru de numerație este un sistem zecimal pozițional

La clasa a IV –a , se arată elevilor un alt mod de scriere a numerelor naturale, prin folosirea cifrelor romane. Pe această linie, pentru trezirea interesului elevilor și formarea unei motivații pozitive am utilizat o parte din informațiile prezentate pe larg în capitolul doi al lucrării de față și anume caracteristicile numerației la o serie de popoare: egipteni, greci, romani. De asemenea, le-am dat o serie de informații referitoare la instrumentele folosite de-a lungul timpului în numărare – pietricele, abacuri – , le-am explicat împrejurările apariției sistemului pozițional de scriere a numerelor și le-am furnizat date referitoare la semnificația cuvântului "cifră", în secolul trecut.

B. corelații interdisciplinare ;

Ilustrarea și conștientizarea necesității de a utiliza numerele în diverse contexte, pot deveni elemente motivaționale pentru elevi, în învățarea numerației.

Astfel, în clasa I, le-am solicitat elevilor să găsească, într-un text dat, toate cuvintele ce au un anumit număr de litere sau de câte ori apare o anumită literă.

În clasele a III – a și a IV- a am încercat să le trezesc elevilor interesul pentru

numerele mari și alte obiecte de învățământ precum: geografia, științele despre natură. Le trezeam curiozitatea prin întrebări de tipul: "Vreți să știți cum se scriu și se citesc numerele care arată câte fire de nisip sunt pe o plajă, câte kilograme are Pământul, ce distanță străbate o navă cosmică?". Consolidarea priceperilor vizând numerația în aceste cazuri am realizat-o solicitându-le elevilor să citească texte în care apar astfel de numere, exprimând distanțe astronomice, diametre de planete, temperaturi stelare, ș.a.

C. Jocuri:

Jocul didactic, ca metoda , cunoaste o larga aplicabilitate regasindu-se în cadrul tuturor orelor de matematica. Restabilind un echilibru în activitatea scolarului, jocul fortifica energiile intelectuale si fizice ale acestuia, generând o motivatie secundara, dar stimulatoare, constituind o prezenta indispensabila în ritmul accentuat al muncii scolare .Prin intermediul acestuia învatatorul dinamizeaza actiunea didactica într-o perspectiva pronuntat formativa. Astfel, prin utilizarea jocului ca metoda, se accentueaza rolul formativ al activitatilor matematice: exersarea operatiilor gândirii (analiza, sinteza, comparatia, generalizarea, abstractizarea ); dezvoltarea spiritului de observatie; dezvoltarea imaginatiei si creativitatii elevilor; dezvoltarea spiritului de initiativa, de independenta dar si de echipa; formarea unor deprinderi de lucru corect si rapid, deprinderi de munca independenta; însusirea constienta într-o forma accesibila, temeinica, placuta si rapida a cunostintelor matematice .

În cadrul orelor de matematica se pot folosi ( dupa Ioan Cerghit si Ioan Necsu (5) ):

– dupa forma de exprimare : jocurile simbolice, jocurile conceptuale, jocurile ghicitori ;

– dupa resursele folosite : jocurile materiale, jocurile orale , jocurile pe baza de întrebari, jocurile pe baza de fise individuale, jocuri pe calculator ;

– dupa regulile instituite : jocuri cu reguli transmise prin traditie, jocuri cu reguli inventate, jocuri spontane ;

-dupa competentele psihologice stimulate : jocuri de observatie, jocuri de atentie, jocuri de memorie, jocuri de gândire, jocuri de imaginatie .

Un exercitiu sau o problema matematica poate deveni joc didactic daca îndeplineste urmatoarele conditii : realizeaza un obiectiv sau o sarcina din punct de vedere matematic ; foloseste elemente de joc-întrecere individuala sau pe grupe de elevi, cooperarea între participanti, reconpensarea rezultatelor bune sau penalizarea greselilor comise, aplauze, surpriza, asteptarea, cuvântul stimulator etc.; foloseste un continut matematic accesibil, atractiv si recreativ prin forma de desfasurare, prin materialul didactic ilustrativ utilizat, prin volumul de cunostinte la care se apeleaza ;

În cadrul activităților cu clasa de elevi învățătorul urmărește să folosească jocuri matematice sau logice deoarece, paralel cu destinderea, buna dispoziție și bucuria participanților se completează cunoștințele. Se pot organiza întreceri, se pot prezenta curiozități matematice, etc.

Dacă în concentrul 0 – 10, consolidarea cunoștințelor și priceperilor vizând numerația se poate realiza și prin numărarea efectivă, lărgirea treptată a concentrului conduce la imposibilitatea utilizării acestui procedeu. În acest caz, o soluție alternantă este oferită de solicitarea de a găsi numere care îndeplinesc anumite condiții. Gradul de antrenare a elevilor la lecție este sporit dacă sarcina admite mai multe soluții.

Exemple:

1) aflarea tuturor numerelor mai mici decât 100 care au cifra unităților 1;

2) aflarea numerelor mai mici decât 100 în care cifra zecilor să fie cel puțin 8,

iar a unităților cel mult 2;

Pentru că fără o bază motivațională angajarea elevilor în instruire sau autoinstruire este greu de realizat, am încercat spre ceea ce urmează să fie învățat, sau spre problemele, respectiv exercițiile propuse spre rezolvare. Sensibilizarea presupune realizarea surprizei, a momentelor de disjuncție între ineditul situației prezentate și așteptările elevilor.

Crearea și menținerea unui climat de încredere, asigurarea unei atmosfere de lucru corespunzătoare, stimulează încrederea în forțele proprii, încurajându-i în activitatea de învățare.

2.2.4. DEFICIENȚE ÎNREGISTARTE ÎN ETAPA FORMĂRII NOȚIUNII DE NUMĂR NATURAL

Copiii își însușesc denumirea numerelor încă din grădiniță. Când vin la școală, ei știu să spună "cuvintele număr" în succesiunea numerelor naturale. Părinții sunt mulțumiți de acest "succes" al copiilor, uneori chiar și învățătorul manifestă mulțumire pentru această experiență cu care vine copilul la școală. Dar în spatele cuvintelor care denumesc numerele nu mai există nimic sau cel mult există o vagă imagine despre mărimea numărului după locul pe care-l ocupă în șirul de "cuvinte număr". Lipsește conținutul noțiunii de număr din cauza insuficienței capacității de sinteză, precum și a caracterului preponderent concret al gândirii sale.

Pentru micul școlar începător, numărul este o simplă însușire a obiectului pe care-l desemnează în procesul numărării. "Unu", "doi", "trei" sunt pentru el niște însușiri ale obiectelor respective, așa cum cuvintele "casă", "bancă", "creion", denumesc obiecte. EI consideră numărul ca o însușire a obiectului numărat și nu ca o mulțime de obiecte. În acest caz, nu poate fi vorba de sesizarea trăsăturii esențiale a noțiunii de număr natural, deoarece esența acesteia o constituie tocmai ideea de echivalență care caracterizează mulțimile de obiecte. Elevul trebuie să-și reprezinte mărimea numărului, valoarea lui după elementele care compun mulțimile respective ce pot fi puse în corespondență biunivocă, să vadă în spatele numărului mulțimea obiectelor pe care le reprezintă, să fie conștient de grupele mici din care se poate alcătui sau în care se poate descompune numărul respectiv, să vadă în număr o proprietate obiectivă a unei mulțimi, proprietate pe care mulțimea o păstrează, indiferent dacă noi o exprimăm sau nu printr-un cuvânt, sau dacă i-am acordat ori nu un nume și un simbol.

Școlarul începător întâmpină dificultăți și în numărarea concretă a unei mulțimi de obiecte. Numărarea unui grup de obiecte reprezintă o sarcină mult mai grea decât reproducerea mecanică a șirului numerelor naturale, care constituie un automatism verbal, la început lipsit – în bună măsură – de semnificația reală. Numărarea efectivă a unui grup de obiecte implică nu numai declanșarea unor asociații verbale, automatizate, ci și posibilitatea de atribuire a unui conținut adecvat cuvintelor.

Copilul își formează deprinderea de a număra, dar, în realitate, încă nu posedă conceptul de număr. Aceasta necesită dezvoltarea raporturilor reversibile și sinteza șirului numeric. "Dificultatea constă în aceea că inițial numărul nu e cardinal, ci ordinal, fiind termen al unei serii de la mai ,mic la mai mare, deci reper al unei succesiuni de cantități". Elevul trebuie să înțeleagă că ordinea numerelor nu este dată de ordinea denumirii lor (ordine care de multe ori se învață pe de rost), ci este dată de mulțimile a căror putere o simbolizează.

De aceea, însușirea conștientă a numărului nu se rezumă la un simplu efort al memoriei, ci presupune activitatea și efortul gândirii, cu ajutorul căreia – prin analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare – se ajunge la desprinderea și generalizarea trăsăturii esențiale ce caracterizează noțiunea de număr.

Elevii trebuie să sesizeze că cifra nu este același lucru cu numărul pe care acesta îl reprezintă, tot așa cum numele unei persoane, scris pe foaie de hârtie, nu este același lucru cu persoana însăși. Cifra nu este decât un simbol grafic ce reprezintă numărul. Numărul rămâne distinct de simbolul său.

Totuși, în situațiile în care anumite semne sunt folosite exclusiv pentru scrierea numerelor, acestea semne își pierd orice altă importanță. Privind de exemplu semnul 3, noi nu ne gândim la nimic în legătură cu acest semn (nici la mărime, nici la formă, etc.), ci doar la numărul pe care îl reprezintă. De aceea, în mod obișnuit, semnele cu care sunt scrise numerele nu sunt privite ca fiind distincte de numerele însăși. Spunem, de exemplu, că 3 este un număr și nu că 3 reprezintă un număr (deși sensul corect este acesta din urmă).

Anumite dificultăți pot apărea în scrierea numerelor din două sau mai multe cifre și sunt legate de locul pe care îl ocupă cifrele în scrierea pozițională a numărului.

Toate aceste dificultăți, neclarități, se pot înlătura printr-un exercițiu sistematic și îndelungat.

2.2.5 Probleme de evaluare privind insusirea numeratiei la ciclu primar

Se știe că un lucru bine făcut are la bază o etapă pregătitoare. Proiectarea didactică este etapa pregătitoare a actului didactic. Ea nu poate să lipsească din preocupările noastre,

ale cadrelor didactice, deoarece o lecție bună este întotdeauna rezultatul unei proiectări corespunzătoare.

Rezultatele școlare ale elevilor se raportează la obiectivele prestabilite și obținem astfel măsura performanțelor în învățământ.

Cu cât un număr mai mare de elevi ajunge să-și însușească o cantitate mai mare de informații și să-și dezvolte la un nivel cât mai înalt deprinderile intelectuale și profesionale, cu atât activitatea instructivă este mai eficientă.

Criteriul de optimalitate este reprezentat de creșterea performanțelor în învățare ale elevilor.Rezultatele elevilor sunt raportate la performanțele standard stabilite pentru un elev, pentru o clasă de elevi, pentru un an de studiu sau un ciclu școlar.

Performanțele standard (etalon) sunt formulate în termen de conținut sau relativi.

Performanțele standard formulate în termen de conținut sunt reprezentate de obiectivele operaționale de tip cognitiv, afectiv sau psihomotor.

Performanțele standard formulate în termeni relativi reprezintă rezultatele unui elev prin comparație cu ale altor elevi din același grup, din alte clase paralele sau din alte perioade de instruire.

Evaluarea eficienței procesului de învățământ prin raportarea performanțelor obținute de elevi la obiectivele instructiv-educative prezintă avantajul unei informații imediate și continue, pe baza căreia se poate interveni prompt, cu măsuri adecvate în vederea eficientizării activității de predare-învățare.

Pentru elev, feed-back-ul oferit prin acțiunea de evaluare s-a dovedit a avea o însemnătate educativă în sensul stimulării capacității de autocunoaștere și autoevaluare, a dorinței de a se depăși, de a progresa.

Pentru cadrul didactic, aspectele concrete, relevate prin evaluarea continuă, constituie sursa principală de cunoaștere științifică a particularităților intelectuale ale elevilor, manifestate în acțiunea de învățare, precum și a dinamicii rezultatelor obținute. Pe această bază, el poate organiza și desfășura mai eficient procesul de învățământ. Totodată, urmărind pregătirea elevilor și dezvoltarea diferitelor laturi ale personalității lor, cadrul didactic va putea trage concluzii relevante asupra propriei sale munci, asupra eficienței metodelor, tehnicilor și forma lor de activitate pe care le-a folosit, prilej de a-și reevalua strategiile de instruire și perfecționa stilul de muncă.

Diversificarea formelor și metodelor de verificare a pregătirii elevilor reprezintă condiții de bază a realizării funcției complexe pe care o are evaluarea în cadrul procesului de învățământ și a sporirii gradului de obiectivitate în folosirea sistemului de notare.

În acest sens, este binecunoscut faptul că verificarea curentă – realizată lecție de lecție – și cea periodică – realizată după parcurgerea unui capitol, a unei părți din programă, la sfârșit de semestru, etc. desfășurându-se în formă individuală sau frontală se completează reciproc, favorizând cunoașterea evoluției elevilor în diferitele momente ale acțiunii de învățare a orizontului și temeiniciei pregătirii lor.

De asemenea, îmbinarea judicioasă a celor mai variate metode de verificare orală și în scris asigură o evidențiere mai completă a nivelului real de pregătire a elevilor, ceea ce constituie temeiul unei notări mai obiective. De altfel, practica didactică dovedește că pregătirea elevilor nu poate fi pusă în evidență în toată complexitatea decât prin modalități variate și corelate în mod corespunzător. Combinarea diverselor forme și metode de verificare trebuie să se facă, de la caz la caz, în funcție de obiectivele urmărite, de trebuințele colectivului clasei etc.

În funcție de destinația pe care o au, testele (probele) de control (de randament) sunt de trei tipuri:

– inițiale, respectiv cele care se dau la începutul unei etape de instruire, treaptă de învățământ, an școlar, semestru, capitol din programă, cu scopul de a se pune în evidență nivelul de pregătire atins de elevi prin instruirea anterioară, pentru a se putea adopta strategii mai eficiente în etapa ce urmează;

– finale sau sumative , care se aplică la sfârșitul unei etape de instruire și vizează evaluarea nivelului de realizare a unor obiective generale ce trebuie atinse prin studiul disciplinei;

– formative sau de progres, respectiv cele ce se dau în timpul activității de instruire, pe parcursul întregului an școlar, cu scopul de a se urmări realizarea anumitor obiective parțiale și a se identifica dificultățile pe care le întâmpină elevii, precum și cauzele care le generează pentru a putea interveni prompt cu măsuri ameliorative.

Scopul analizei rezultatelor verificării este acela de a determina adoptarea unor decizii pe deplin adecvate situației concrete, relevate prin acțiunea de verificare, știut fiind că orice măsură ameliorativă sau de optimizare permanentă a procesului instructiv-educativ este cu atât mai pertinentă și mai eficientă cu cât se întemeiază pe cunoașterea temeinică a ceea ce s-a realizat în etapa anterioară. Verificarea nivelului de pregătire a elevului rămâne deci un scop în sine dacă nu este urmată de analiza și interpretarea rezultatelor ca suport științific pentru reglarea în continuare a procesului de învățământ.

Descriptorii de performanță sunt elaborați în concordanță cu noul Curriculum

pentru învățământul primar. La fiecare disciplină se aleg un număr de capacități și subcapacitati esențiale pe care elevii trebuie să le demonstreze după perioade de instruire.

Pentru fiecare capacitate sau subcapacitate au fost elaborați descriptorii de performanță pentru calificativele foarte bine, bine și suficient. Cu alte cuvinte se descrie ceea ce trebuie să știe și să facă elevul pentru a obține calificativul F. B, B. sau S.

Aceste capacități corespund obiectivelor cadru sau obiectivelor de referință

descrise în Curriculum.

În continuarea lucrării voi prezenta diferite exemple. Pe baza lor se pot elabora alte exemple ținând seama de Curriculum și de situația concretă de evaluare astfel:

Pasul 1: formulează o capacitate (și / sau subcapacitate) pe care dorește să o evalueze, dedusă din obiectivele cadru sau obiectivele de referință.

Pasul 2: elaborează descriptorii de performanță pe trei niveluri: F.B., B. și S.

Pasul 3: aplică o probă de evaluare și notează elevii în concordanță cu descriptorii de performanță elaborați.

CAPITOLUL III

OBIECTIVELE SI IPOTEZELE CERCETARII

3.1. Aspecte documentare și punerea problemei

Cercetarea pedagogică este o acțiune de observare și investigare, pe baza căreia cunoaștem, ameliorăm sau inovăm fenomenul educațional. Practica educativă constituie, pentru cercetător, o sursă de cunoaștere, un mijloc de experimentare, de verificare a ipotezelor și de generalizare a experienței pozitive. In acest timp cercetarea pedagogică, prin concluziile ei, contribuie la inovarea și perfecționarea procesului de învățământ și de educație.

Matematica a devenit o parte foarte importantă a culturii generale și de aceea reprezentările matematice nu trebuie deloc neglijate deoarece aceasta ar putea avea repercusiuni asupra dezvoltării personalității copilului.

Primele zece numere constituie fundamentul pe care se dezvoltă ulterior întregul edificiu al gândirii matematice a copilului și, de aceea, trebuie să i se acorde o atenție deosebită. De aici, rezultă necesitatea introducerii unor metode active îmbinate cu mijloace de învățare eficiente și adecvate încă de la începutul școlarității, aceasta constituind una dintre cele mai active, operative și eficiente metode.

Folosirea acestor metode la nivelul copiilor școlari oferă numeroase avantaje pedagogice,dintre care: constituie o admirabilă modalitate de a-i determina pe copii să participe activi la lecție ; antrenează la lecție atât copiii timizi cât și pe cei slabi ;dezvoltă spiritul de cooperare; dezvoltă la elevi iscusința,spiritul de observație, ingeniozitatea, inventivitatea.

Pornind de la dorința de a stimula folosirea metodelor active în formarea conceptului de număr natural, mi-am propus o cercetare experimentală prin care să stabilesc rolul pe care îl au metodele active în cadrul lecțiilor cu conținut matematic.

Lucrarea este legată teoretic de aspecte privind formarea conceptului de număr natural la școlarii mici prin lecțiile de matematică. Pentru realizarea unei cercetări este nevoie, în plus, de o documentare practică, privind clasele, dificultățile întâmpinate de copii în însușirea unor noțiuni specifice, în formarea unor deprinderi și abilități. Aplicarea învățării prin folosirea metodelor active este benefică, pentru faptul că elevii sunt scoși din ipostaza de obiect al formării și sunt transformați în subiecți activi, coparticipanți la propria formare.

In activitatea la clasă am utilizat metode active în vederea formării conceptului de număr natural Specificul clasei mi-a permis acest lucru. Trebuie să remarc buna colaborare pe care am avut-o cu învățătoarele claselor cuprinse în cercetare. Problema care să merite o cercetare pedagogică se referă la calitatea deprinderilor și capacităților care se formează, la atmosfera de lucru în clasă în cadrul colectivului de elevi, la identificarea unei motivații puternice în ceea ce privește învățarea desfășurată în această manieră.

3.2. Ipoteza cercetării

Ipoteza este alcătuită din identificarea unei situații care ar putea îmbunătăți calitatea unui proces sau produs.

In cazul prezentei lucrări, am ținut să realizez o cercetare experimentală spre a îmbunătăți procesul metodologic de formare a conceptului de număr natural, referindu-mă la două clase I paralele.

Pornind de la obiectivele urmărite în cadrul activității experimentale au fost stabilite următoarele ipoteze de lucru:

Este posibil ca lecțiile de matematică, caracterizate printr-un grad sporit de abstractizare și generalizare, ce pot conduce la o aparentă rupere de realitate și la ieșirea din sfera de preocupări,să devină acțiuni didactice care să-i motiveze pe elevi pentru învățare?

Este mai eficientă predarea-învățarea numerelor naturale, dacă se vor folosi în cadrul lecțiilor matematice metode active, cum ar fi:problematizarea, învățarea prin descoperire, algoritmizarea, modelarea didactică, jocul didactic? ?

– Este posibilă o îmbunătățire a activității de învățare a matematicii (prin activitatea în
perechi sau în grupe, independentă) și de dezvoltare a operațiilor gândirii, a spiritului de
observație, a încrederii în forțele proprii ?

Ipoteza de lucru ar fi: dacă institutorul utilizează metode active, atunci conceptul de număr natural va fi însușit într-un mod atractiv și plăcut și vor conduce la dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii. Acest lucru va fi benefic și pentru celelalte discipline de studiu,pentru dezvoltarea unor trăsături pozitive de caracter.

3.3. Obiectivele cercetării

Întregul program experimental depinde de obiectivele cercetării. Ele au fost stabilite astfel:

– formarea conceptului de număr natural prin folosirea de metode active;

– evidențierea efectelor produse de utilizarea metodelor active în lecțiile de matematică.

IV METODOLOGIA CERCETARII. PREZENTAREA REZULTATELOR

Tipul cercetării: aplicativ – ameliorativă

Perioada de cercetare: întregul an școlar

Locul de desfășurare a cercetării: Scoala Gimaziala nr. 16 Timișoara

Aria curriculară: Matematică și Științe

Colaboratori: învățătoarele celor două eșantioane de elevi

Metode și instrumente de cercetare

Metoda este definită de S. Chelcea (2001) ca fiind "modul de cercetare, sistemul de reguli și principii de cunoaștere și transformare a realității obiective ".

Metode de cercetare folosite:

– observația directă – vizând acțiunea mecanismelor învățării, procesul dezvoltării
motivației, gradul de asimilare a unor cunoștințe matematice necesare pregătirii copilului
pentru formarea conceptului de număr natural, în conformitate cu cerințele programei;

– metoda testelor – vizând evaluarea formativă și sumativă a progresului înregistrat de

către elevi.

– metode de măsurare a rezultatelor cercetării, de prelucrare și interpretare a datelor (numărarea, întocmirea tabelelor de rezultate și consemnare a datelor după administrarea probelor și înregistrarea performanțelor, tabele, reprezentări grafice etc);

• Stabilirea eșantionului de subiecți (elevi) cuprinși în cercetare: eșantionul A ce va îndeplini funcția de eșantion experimental și eșantionul B, respectiv funcția de eșantion de control. Se vor urmări rezultatele elevilor înainte și după administrarea factorului experimental.

Caracterizarea subiecților

1. Eșantionul A este formată (la începutul anului școlar) din 24 de copii, având vârste cuprinse între 6, 7 ani.

Grupa experimentala

fete 6 ani fete 7 ani baieti 6 ani baieti 7 ani

Diagrame areolare redand structura grupei, dupa varsta si sex

2.Eșantionul B (de control) a fost formată din 24 copii, cu vârste cuprinse între 6-7 ani.

Grupa de control

fete 6 ani fete 7 ani baieti 6 ani baieti 7 ani

Diagrame areolare redând structura grupei, după vârstă și sex

Etapele cercetării

Cercetarea a cuprins următoarele etape:

Etapa constatativă- (pretest)- au fost recoltate datele de start, pe bază de observații, probe de control, teste, conturându-se nivelul de cunoștințe și deprinderi, existent în momentul inițierii experimentului, în clasa experimentală și de control.

Etapa experimentală -etapa fundamentală, cu caracter instructiv/ formativ, în care a fost introdusă variabila independentă/modalitatea nouă de lucru (conținut, metode, tehnici, forme de organizare).

Etapa finală – o etapă de control, în care au fost evaluate rezultatele: datele fmale au fost raportate la datele de start, pentru a testa relevanța diferențelor obținute, urmărindu-se în paralel evoluția clasei de control, pentru a se constata dacă rezultatele obținute în clasa experimentală sunt similare, semnificativ superioare/inferioare. Atât probele inițiale cât și cele finale au fost aplicate la clasă.

Aplicarea cercetării și interpretarea datelor

În vederea desfășurării cercetării experimentale, am procedat astfel:

a) am verificat nivelul general al celor două eșantioaneA și B în perioada preabecedară (octombrie 2015) prin aplicarea unei probe de evaluare inițiale ; Scopul a fost acela de a stabili punctul de plecare în desfasurarea demersului experimental.

b) am aplicat experimentul la eșantionul A (noiembrie-februarie);

c) am aplicat o probă de evaluare comună pentru ambele eșantioane A și B –experimentalășimartor ( aprilie 2016);

d) am retestat elevii ambelor clase (iunie).

Pentru prima situație am aplicat copiilor o probă de evaluare predictivă, având următoarele obiective :

Ol -să formeze mulțimi de obiecte (figuri geometrice) de aceeași formă;

O2-să identifice mulțimile « cu tot atâtea elemente »;

O3 -să precizeze figurile geometrice care urmează în șir.

Menționez că situația identificabilă se referea la ceea ce știu copiii de acasă sau de la grădiniță.

Proba de evaluare aplicată

Formează mulțimi de figuri geometrice de aceeași formă.

Unește mulțimile cu tot atâtea elemente.

Continuă șirul:

1.

2.

………………………

Testul de mai sus a fost aplicat, în mod individual, copiilor din cele două eșantioane A și B, având ca timp de lucru 15 minute, în cadrul organizat al clasei. Aprecierea s-a făcut pe baza următorilor descriptori de performanță.

Descriptori de performanță

Rezultatele au fost următoarele :

GRAFIC I – Test de evaluare inițială

b) In continuare am aplicat mai multe variabile: Pentru explorarea unor modalități de introducere a noțiunii de număr natural folosind mulțimi, am utilizat metode active. Le-am aplicat pe cât mai mulți elevi,în activitățile de învățare utilizând munca pe echipe, precum și o abordare transdisciplinară a învățării. Am procedat în acest fel deoarece am considerat că învățarea integrată este benefică deoarece leagă această disciplină, asigură o viziune globală asupra obiectivelor, o anumită înțelegera a copilului considerat ca întreg, dar și o maximă coordonare în diferitele etape ale procesului de învățare.Astfel, predarea și învățarea, sunt văzute într-o perspectivă holistă, reflectând lumea reală care este interactivă.

c) După o perioadă de cinci luni, urmărind obiectivele programei școlare am realizat un test de control pentru ambele eșantioane. Realizarea obiectivelor programei m-a determinat să utilizez în anumite situații și strategiile didactice consacrate. Testul a avut următoarele obiective:

să descompună numerele date în zeci și unități;

să precizeze regula și să continue șirul;

– să identifice numere formate din zeci și unități, care îndeplinesc anumite condiții.

Proba de evaluare

1. Descompune numerele date în zeci și unități

2. Observa regula si continua:

a) 2 4

b) 10 15

c) 11 22

3. Scrie toate numerele naturale formate din zeci și unități care au:

a) cifra zecilor 2;

b) cifra unităților 9;

c) cifra zecilor mai mare decât 3 și mai mică decât 5 ;

d) cifra unităților egală cu diferența dintre 9 și 6.

Descriptori de performanță

Testul de mai sus a fost multiplicat în 45 de exemplare, a fost oferit fiecărui copil din cele două clase, având ca timp de lucru 45 de minute,în mod independent,în cadrul organizat al clasei. Corectarea testelor a fost făcută de fiecare institutoare și de către mine.Lucrările au fost notate cu calificative, iar rezultatele au constituit reper de analiză și interpretare a datelor experimentale.

GRAFIC II – Test de control

Interpretarea datelor experimentale

Comparând rezultatele testelor celor două clase am observat că toți elevii sunt la nivelul programei școlare. Nu au fost diferențe semnificative între nivelul celor două clase, majoritatea copiilor având deprinderi sigure de descompunere a unor numere în zeci întregi și unități,de a găsi regula și de a continua șirul nr. naturale, de a găsi numere naturale care îndeplinesc anumite condiții. Diferențe s-au constatat în găsirea numerelor naturale care să îndeplinească anumite condiții, copiii din eșantionul experimental găsind mai multe numere, dovedesc o mai mare flexibilitate în ceea ce privește situațiile de învățare create.

Cele de mai sus evidențiază că metodele utilizate de cele două învățătoare la clasele au avut eficiență identică în ceea ce privește realizarea obiectivelor programei școlare. Din acest punct de vedere ipoteza cercetării este nulă. Nu există relevanță privind diferențierile eventuale de performanță ale copiilor. Din fiecare clasă au fost 2-3 copii cu dificultăți de înțelegem a sarcinii, așa cum din fiecare clasă au fost 3-6 copii cu comportamente excelente în ceea ce privește continuarea șirului numeric după o anumită regulă, identificarea numerelor care îndeplinesc anumite condiții sau pentru scris ordonat și livizibil.

d) La începutul lunii iunie am retestat elevii celor două eșantioane A și B. Am avut în vedere modul în care elevii celor două eșantioane implicate în cercetare și-au format și dezvoltat capacitatea de a comunica utilizând limbajul matematic, precum și măsura în care au dezvoltat interes și motivație pentru aplicarea matematicii în contexte variate, ajungând chiar la o abordare transdiciplinară a învățării.

Am fixat următoarele obiective:

-manifestarea unei atitudini pozitive și disponibilitate pentru utilizarea numerelor;

-conștientizarea utilității matematicii în viața cotidiană.

– crearea suportului afectiv si motivational necesar participarii active la lecții;

Aplicarea testelor de evaluare finala se face în scopul compararii rezultatelor obtinute dupa proiectarea si desfasurarea lectiilor cu ajutorul metodelor active cu rezultatele de la testele initiale.

Proba de evaluare

1.Unește fiecare număr cu scrierea sa corectă în litere:
patruzeci și trei 75 57 șaptezeci și cinci
șaizeci și nouă 43 69 cincizeci și șapte

2.Completează cu numere potrivite:

*cel mai mic număr natural format din două cifre identice

este

*cel mai mic număr natural impar format din două cifre diferite este……..

*cel mai mare număr natural format din două cifre,cu cifra zecilor 6
este…………..

3.Incercuiește cu creionul numerele care reprezintă aproximarea
corectă:

27- 20 30 40 64- 60 70 80

39- 20 30 40 71- 60 70 80

4.Compară perechile de numere, folosind semnele <, >, =:
25 52 34 31 97 67 29 29

Descriptori de performanță:

In urma corectării s-au obținut următoarele rezultate:

GRAFIC III – Testare finală

CONCLUZII

Concluzia experimentului este că formarea conceptului de număr natural poate fi influențată prin demersuri didactice active, prin folosirea unor strategii active. De ce? Pentru că aceste strategii active vizează solicitări complexe din partea elevului. Impletindu-se metodele tradiționale cu cele moderne, învățătorul pune accent pe: dezvoltarea motivației, implicarea activă și dezvoltarea gândirii critice-sesizarea generalului și a esențialului.Aceste metode au un caracter anticipativ și participativ.

Efortul mintal solicitat în activitatea cu conținut matematic a fost gradat și a avut efecte pozitive nu numai asupra dezvoltării intelectuale(gândire, creativitate, spirit de observație) ci și asupra laturii afective, copilul trăind momente de satisfacție când a reușit să rezolve singur, dovedind astfel încredere în forțele proprii. .

Pe baza observației directe asupra activității elevilor s-a mai constatat că elevii sunt "scoși" din ipostaza de obiect al formării și sunt transformați în subiecți active, coparticipanți la propria formare.

Utilizarea metodelor active-participative trezesc interesul elevului pentru învățare,îl ajută sâ-și mobilizeze energiile, să-și concentreze atenția,să urmărească cu curiozitate lecția.

Analizând și comparând rezultatele pe care le obțin elevii de la o etapă la alta, ne edificăm asupra evoluției și ritmului în care progresează însușirea și consolidarea cunoștințelor prin utilizarea metodelor active, în concordanță cu obiectivele cercetării: -formarea unor deprinderi de muncă intelectuală;

-motivația pentru învățare prin succesele ce se înregistrează, angajându-i în realizarea sarcinilor didactice diferite ca grad de dificultate;

-stimularea încrederii în sine, adaptarea la cerințele mereu crescânde ale școlii; – asigură participarea creatoare și stimulează interesul cognitiv al elevului.

BIBLIOGRAFIE