Aspecte Metodice ale Predarii Ecuatiilor Si Problemelor Rezolvate cu Ajutorul Lor In Gimnaziu

Cap 4.

Aspecte metodice ale predării ecuațiilor și problemelor rezolvate cu ajutorul lor în gimnaziu

4.1. Considerații metodice

Deoarece se presupune acceptat faptul că în practica didactică, un elev reține din ceea ce citește 10, din ceea ce aude 20, din ceea ce vede și aude, în același timp 30, din ceea ce spune 80, respectiv din ceea ce spune, realizând un lucru la care reflectează și care îl interesează 90%, putem așadar zice că învățarea devine eficientă doar atunci când îl punem să acționeze, ceea ce implică o altă abordare dată învățări care presupune un stil de învățare activ și integrarea programelor școlare în funcție de ritmul propriu de învățare, adică pe o învățarea activă. Elevul trebuie să fie implicat și responsabil pentru progresele pe care le realizează în ceea ce privește propria lui educație, iar succesul la clasă depinde de competențele profesorului ce îndeplinește roluri cu mult mai nuanțate decât în școala tradițională de a crea oportunitățile optime de învățare pentru fiecare. Astfel, în funcție de conjunctură, acționează mereu, dar adecvat și adaptat nevoilor clasei. Dintre avantajele învățări active enumerăm: creșterea motivației – deoarece elevii sunt conștienți că pot influența procesul de învățare; eficacitate mai mare a învățări și/sau a aplicării celor învățate – deoarece avem o învățare activă; învățarea capătă sens – deoarece a stăpâni noțiunile înseamnă a o înțelege și posibilitate mai mare de includere – deoarece poate fi adaptată funcție de potențialul fiecărui elev, de capacitățile diverse de învățare, de situațiile de învățare specifice.

Învățarea activă oferă alternative de învățare cu ,,priză” la elevi care fac lecțiile interesante, îi sprijină în înțelegerea conținuturilor pe care să fie capabili să le aplice; își dezvoltă abilități de colaborare și ajutor reciproc, așadar învățarea nu mai poate avea ca unic scop memorarea și reproducerea de cunoștințe, ci presupune explicarea și susținerea unor puncte de vedere proprii, precum și realizarea unui schimb de idei cu ceilalți. Pasivitatea elevilor în clasă, consecință a modului de predare prin prelegere, adică că pot asimila aceleași cunoștințe, în același ritm, ceea ce este departe de realitate, nu produce învățare decât într-o mică măsură. Pentru elevi, este insuficient dacă în timpul unei ore, ascultă explicațiile profesorului și/sau văd o demonstrație sau un experiment, fiind mult mai eficient dacă participă activ la procesul de învățare, adică la discuție, argumentare, investigație, experiment, devenind astfel căi indispensabile pentru învățarea eficientă și de durată.

În cele ce urmează, exemplificăm câteva dintre posibilele situații de învățare activă utilizate în predarea ecuațiilor algebrice în gimnaziu, bineînțeles prin exemple la unele metode.

4.2. Exemple de utilizare a strategiilor didactice moderne în predarea – învățarea ecuațiilor

4.2.1. Problematizarea

Problematizarea în învățare constituie una din metodele activ- participative, de însușire și înțelegere a cunoștințelor, care antrenează elevul în învățare prin punerea și rezolvarea de probleme. Aceasta este situația în care profesorul nu comunică cu elevului o sumă de cunoștințe prin metode expozitive, ci îl pune pe acesta în situația de a rezolva probleme. Prin combinarea unor reguli anterior cunoscute, elevul obține o nouă achiziție în cunoaștere. Rolul profesorului este acela de a crea dezacorduri între nivelul de cunoaștere al elevului și cel pe care și l-a propus să-l atingă, astfel încât sesizarea contradicției să stârnească le elevi o motivație intrinsecă de a dobândi noi cunoștințe și nu numai pe acelea necesare în rezolvarea de probleme.

În contextul acestei metode, profesorul se adresează predominant interogativ, sugerând o oarecare modificare a ipotezei, în comparație cu acela indicativ sau imperativ. De cele mai multe ori, metoda se aplică și are rezultate bune dacă relația profesor – elev se aplică principiul ,,laissez- faire” și profesorul coordonează cu tact demersul didactic. În predarea problematizată regăsim patru etape și anume: (1) organizarea situațiilor problematice; (2) formularea problemelor (elevii sunt atrași treptat de acest proces); (3) acordarea ajutorului indispensabil elevilor în rezolvarea problemelor și verificarea soluțiilor; (4) coordonarea procesului de sistematizare și fixare a cunoștințelor.

Sarcina elevului este de a descoperi elementele sau legăturile care lipsesc și de a îmbina elementele date, astfel încât să formeze noi asociații față de cazul în care îi sunt date toate elementele componente și legăturile dintre ele. Acesta este mult mai favorabilă decât învățarea bazată pe transmitere, când elevul trebuie să-și însușească noile cunoștințe organizate într-un sistem în care sunt date toate elementele componente și legăturile dintre ele. Problematizarea presupune crearea condițiilor pentru o gândire euristică ce constă în sesizarea și formularea problemelor, respectiv rezolvarea și verificarea soluțiilor, adică momentelor principale ale învățări prin problematizare, prin rezolvarea problemelor.

Prin această metodă se măsoară gradul de activizare a tuturor elevilor, la nivelul posibilităților fiecăruia. Elevul ajunge la independența deplină în învățare atunci când reușește singur să realizeze etapele (2) și (3). Dacă profesorul realizează etapa (2) se poate spune că gradul de independență al elevului este mai mic și când elevul realizează doar o operație din ceea ce reclamă etapa (3), are un grad foarte mic de independență, până când el devine aproape dependent de sarcină. De aceea metoda problematizări trebuie combinată cu alte metode și aplicată în funcție de posibilitățile de problematizare a conținutului științific.

O altă formă de măsurare a eficienței în învățarea problematizată este și evaluarea cunoștințelor, nu doar imediat după lecție, cât mai ales după trecerea unei perioade mai lungi de timp. Nu în ultimul rând se poate vorbi de eficiența metodei dacă ea conduce la formarea unor deprinderi de tehnică și raționament, precum și a unor capacități intelectuale.

Pornind de la observația că ,,o teoremă dată, poate genera, în procesul problematizări, mai multe probleme, iar profesorul alege dintre ele și programează una în funcție de scopul educativ și de posibilități”, se poate formula o clasificare a modurilor de organizare a procesului de învățare a teoremelor sau rezolvării de probleme: 1). căutăm enunțul o dată cu demonstrația sau prin intuiție și apoi îl demonstrăm; 2). căutăm demonstrația: pentru un enunț evident sau problematic.

Exemplu de activitate 4.2.1. Prezentăm în continuare un exemplu de exercițiu care antrenează elevul în învățare prin punerea și rezolvarea de probleme, a cărei soluționare este rezultatul activității proprii de cercetare:

Etapa 1. Profesorul propune elevilor determinarea formulei de rezolvare a ecuației de gradul al II –lea, așadar o metodă generală, care ne arată dacă o ecuație de gradul al II-lea are sau nu soluții, iar dacă are soluții, cum le obținem.

Etapa 2. Elevii emit ipoteze asupra modalităților de abordare a problemei: să luăm de exemplu ecuația ; împărțim ambii membrii prin 15 (astfel încât coeficientul lui să devină 1), obținând astfel ecuația echivalentă : .

Să ne reamintim formula și vom încerca să scoatem în evidență un pătrat perfect, care să conțină primii doi termeni ai trinomului. Din . Să descompunem în factori: și . Deci ecuația are soluțiile și .

Etapa 3. Elevii ajung la un mic impas în legătură cu obținerea formulei de rezolvare folosind exemplul precedent. Profesorul intervine și sugerează abordarea secvențială folosind

aceeași cale și anume:

. Este din nou necesară intervenția profesorului, care sugerează că numărul numit discriminant joacă un rol important în rezolvare. Se notează de obicei cu litera grecească (se citește ,,delta”). Elevii observă că dacă , nu avem soluții reale sau dacă , avem o singură soluție și respectiv dacă , avem două soluții. Profesorul intervine precizând că în cazul , se continuă rezolvarea . Elevii observă că sau

Etapa 4. Elevii formulează răspunsul pentru problema propusă: pentru a rezolva în ecuația , calculăm numărul , numit discriminant. Vom avea următoarele situații:

.

.

4.2.2. Învățarea prin descoperire

Încercăm să evităm metodele expozitive, acelea prin care se prezintă pur și simplu soluția problemei propuse Se obțin rezultate cu mult mai bune atunci când folosim metode interactive. Una dintre acestea este metoda de învățare prin descoperire care îi cere elevului ,,să descopere regula de ordin superior”, fără un ajutor special, bazându-se pe însușiri anterioare și pe actualizarea regulilor ce intră în combinație, pe care o aplică apoi la o clasă de probleme tip. Indicațiile verbale date elevului, de regulă nu includ și soluția, nu se sugerează nici formula ce trebuie găsită, ci se cere elevului să construiască pe cont propriu.

O astfel de regulă, învățată, este rezistentă la uitare, iar activitatea de rezolvare de probleme se dovedește eficientă nu doar în acumularea de experiență specifică, dar are și efecte formative deoarece generează matrițe rezolutive, exersează coordonări operaționale corespunzătoare, respectiv intervin generalități și transferuri ce se înscriu în constituirea de capacități rezolutive, și de aceea este corectă aprecierea activității de rezolvare de probleme ca ,,un proces superior de învățare”. După cum se poate vedea și prin exemple, nu se poate face o demarcație strictă în ceea ce privește utilizarea metodelor de tip algoritmic și respectiv euristic, ele completându-se reciproc, în întregul proces de rezolvare a problemei.

Dacă luăm în seamă tipurile de probleme (de la simple exerciții la situații problematice) și tipurile de metode de învățare, corelațiile între ele pot fi schematizate astfel:

Metoda problematizări

Modelarea Învățarea prin descoperire

Conversația euristică

Metode expozitive Conversația euristică

Instruirea programată Strategii euristico – algoritmice

Algoritmizarea

Având în vedere gradul de structurare al problemelor cu mai multe sau mai puține elemente de nedeterminare și ambiguitate, putem avea probleme bine definite rezolvate prin algoritmi și/sau slab definite cu o cotă redusă de specificitate ce necesită în rezolvare strategii și procedee euristice. Așa se face că este ușor de înțeles că problemele veritabile sau situațiile problematice sunt cele slab definite, care nu se pot rezolva prin metodele uzuale. Dacă luăm în calcul măsura specificării dată inițial în situația problematică, măsura specificării stării finale vizate și necesarul de operații de transformare, se poate face o împărțire a problemelor în cinci categorii: (1) probleme reproductiv – noncreative, (2) probleme demonstrativ explicative sau inovativ – creatoare, (3) probleme inventiv-creative, (4) probleme euristic – creative și (5) probleme de tip reproiectare creativă.

Pentru profesorul de matematică este important de reținut faptul că indiferent de tipul problemei, în rezolvarea ei, strategiile euristice se împletesc cu cele algoritmice, prin care primele sunt probate, triate, ajungându-se treptat la o strategie tot mai clar conturată. Așadar, de fiecare dată când se analizează strategiile de rezolvare a problemelor, ele nu sunt nici pur standardizate, nici pur euristice, doar uneori pot fi preponderent fie euristice, fie algoritmice, în funcție de natura situației problematice, sau între limitele extreme ale algoritmicului și euristicului se impune o gamă largă de forme intermediare. Astfel, dacă profesorul asigură condițiile interne necesare rezolvării problemelor, elevul este capabil să o facă în funcție de indicațiile furnizate și de capacitatea sa intelectuală.

Îndrumările verbale sunt foarte importante în asigurarea orientării procesului de gândire. Totodată ele trebuie folosite astfel încât elevul să nu devină dependent de îndrumător. Am spune mai degrabă că profesorul trebuie să-l învețe pe elev și să-și adreseze singur întrebări și îndrumări, un fel de autoinstrucțiuni. Sugestiile profesorului și întrebările adresate trebuie să-i

trezească elevului curiozitatea și nevoia de cunoaștere, să-l stimuleze în căutare.

Exemplu de activitate 4.2.2. Prezentăm în continuare un exemplu de exercițiu care coordonează activitatea elevului spre descoperirea faptului că nu orice ecuație algebrică de gradul I cu coeficienți întregi are soluții tot întregi sau naturale ( de unde apare un alt argument al definirii fracțiilor, așadar a mulțimi numerelor raționale):

Etapa 1. Profesorul propune elevilor spre rezolvare următoarele ecuații cu coeficienți întregi:

Rezolvați în ecuațiile:

a) ; b) c)

d) e)

Etapa2. Elevii sesizează că ecuațiile date sunt de gradul I cu coeficienți întregi, apoi determină soluțiile la ecuațiile a), b), c) și observă că sunt cu soluțiile în , așadar : ; și

Etapa 3. Elevii găsesc un obstacol spre final când rezolvă ultimele două ecuații, remarcând că în nu are soluții chiar dacă verifică ecuația.

Etapa 4. Elevii analizează și sintetizează rezultatele obținute și formulează un răspuns la exercițiul dat: o parte din ecuații nu au soluții în , dar dacă completăm cu fracții, în și celelalte au soluții.

4.2.3. Modelarea matematică

Conceptul de modelare matematică are cel puțin două sensuri.

Pe de o parte, modelarea matematică poate fi privită ca o metodă de rezolvarea a unor probleme din diverse domenii de activitate umană, metodă ce ne permite să înțelegem mecanismul ce guvernează aplicațiile matematicii. Rezolvarea unei probleme, prin această metodă, se face printr-un proces, numit proces de modelare matematică, care are următoarele etape:

Etapa 1. Atașarea unei probleme matematice corespunzătoare, cât mai adecvată, cât mai bogată în informații, dar cât mai simplă și optimală, problemă ce portă numele de modelul matematic al problemei de studiat. Astfel zis, aceasta este etapa construiri modelului matematic corespunzător problemei de rezolvat.

Etapa 2. Rezolvarea problemei model matematic cu mijloace matematice.

Etapa 3. Interpretarea rezultatului matematic din punct de vedere al problemei de rezolvat.

Pe de altă parte, modelarea matematică, poate fi privită ca o metodă de cercetare a unor probleme, a unor situații concrete, cu ajutorul modelelor matematice, ce sunt ansamble de noțiuni și relații care dau o reprezentare matematică a acelor situații. În acest caz, procesul de modelare matematică are următoarele etape: formularea problemei de cercetat, în interiorul disciplinei căreia aparține problema; construirea modelului matematic corespunzător problemei de cercetat (pe o cale simplă, cum ar fi simpla prezentare a problemei de cercetat în limbajul matematic, sau pe o cale mai puțin simplă); studiul modelului matematic, prin aplicarea unor rezultate cunoscute sau/și o cercetare matematică mai mult sau mai puțin complicată și interpretarea rezultatului matematic din punctul de vedere al problemei de cercetat, printr-o cercetare interdisciplinară a cărei complexitate ține atât de natura problemei de bază, cât și de natura aparatului matematic ce intervine în această cercetare.

De cele mai multe ori se revine asupra primei etape în scopul îmbunătățirii formulării problemei, aspect care este strâns legată de perfecționarea modelului matematic, model ce poate neglija anumite aspecte ale fenomenului studiat și poate accentua altele. De asemenea, se fac anumite ipoteze privind dezvoltarea fenomenului studiat.

Ca metodă de cercetare, modelara matematică, adică elaborarea de modele are rol esențial în elaborarea unor teorii matematice. În matematică, de cele mai multe ori, o teorie își are punctul de plecare în încercările de a rezolva o problemă pusă de practică sau de matematică însăși. Studiul cu ajutorul modelelor matematice are valoare euristică, întrucât prin utilizarea lor se dezvoltă spiritul de observație, capacitatea de analiză și sinteză, intuiția și imaginația, creativitatea, flexibilitatea raționamentului și se reactualizează experiența anterioară în vederea propunerii de noi soluții. La început, învățarea se poate face cu ajutorul modelelor matematice construite de alții.

Valorificarea formativă a învățării cu ajutorul modelelor matematice crește dacă elevii își construiesc singuri modele și, mai ales, dacă elevii sunt obișnuiți să lucreze cu diferite modele ale aceleiași probleme. Este foarte important să determinăm elevul să descopere singur modelul matematic. Astfel, obișnuim elevul să matematizeze anumite situații, îi dezvoltăm raționamentul și matematica nu mai pare o știință gata făcută, ci ajută elevul să o descopere.

Exemplu de activitate 4.2.2. Prezentăm în continuare un exemplu de model matematic asociat unei probleme care de obicei se formează din (in)ecuații, și pentru că multe probleme ridicate de practică pot fi rezolvate cu ajutorul lor.

Problemă. Pentru construcția a două blocuri de locuințe de același tip au fost pregătite 212 panouri prefabricate. Un tractor cu remorcă transportă, la fiecare drum, câte 3 panouri la blocul mai apropiat. Pentru transportul spre blocul mai depărtat a fost alocat un alt tractor, ce poate transporta în remorcă, la fiecare drum, 4 panouri. După o săptămână, al doilea tractor a făcut cu 14 drumuri mai puțin decât primul și au mai rămas să fie transportate 30 panouri. Aflați câte panouri mai trebuie transportate spre blocul mai apropiat și câte drumuri mai are de făcut primul tractor.

Soluție algebrică: Să notăm cu x numărul de drumuri efectuate de primul tractor (cel care transportă panouri spre blocul mai apropiat), iar cu y numărul de drumuri efectuate de cel de-al doilea, în acea săptămână. Din textul problemei rezultă că y=x-14.

În total primul tractor a transportat 3x panouri, iar al doilea 4y panouri. Rămânând de transportat încă 30 panouri, avem 3x+4y+30=212. Astfel x și y formează soluția sistemului de ecuații: . Acest sistem de ecuații, împreună cu condițiile , formează modelul matematic al problemei.

Deci primul tractor a transportat panouri. Până la epuizarea celor 106 panouri ce trebuie transportate spre blocul mai apropiat, ar mai trebui transportate 4 panouri, deci (2)! transporturi cu primul tractor. Pentru blocul mai depărtat mai sunt de transportat 26 panouri, adică 7(!) transporturi cu al doilea tractor. Puteți găsi o organizare mai bună a transporturilor?

4.2.4. Algoritmizarea

Învățarea matematici printr-o strategie algoritmică presupune o înlănțuire secvențială de etape parcurse sistematic într-o ordine prestabilită și care conduce în mod sigur la rezolvarea unei probleme. De fapt, strategia algoritmică este a doua utilizare sub care este întâlnită și folosită noțiunea de algoritm. Prima este aceea de procedeu, regulă aplicată unei clase de probleme și caracterizată de rezolubilitate, finitudine și generalitate. Strategiile de tip algoritmic sunt eficiente în rezolvare, deoarece, cunoscând anumite relații între ipoteză și concluzie, elevul este scutit de descoperiri repetate, fapt deosebit de important pentru economisirea timpului. Sunt însă și situații în care regulile concrete ale rezolvării nu sunt cunoscute de elev și atunci este necesară găsirea unui mod concret de a rezolva problema, a unui plan care include momente de incertitudine, de încercare, adică un plan euristic, bazat pe metode și procedee euristice.

De fapt, o strategie de rezolvare a unei probleme este un ansamblu de regulii de selectare și combinare a propozițiilor extrase din volumul de cunoștințe. Tot strategia stabilește prioritatea folosiri cunoștințelor și în egală măsură modificarea, sau operarea în alt mod a lor. Astfel spus, strategia algoritmică indică seriile de pași necesare rezolvării problemei. Procedeele algoritmice au proprietatea de a direcționa univoc acțiunile individuale în rezolvarea problemelor, adică elevul știe cu exactitate ce trebuie să facă pentru a rezolva și nu are nici un dubiu cu privire la modul de a acționa. Mai mult, rezolvitori diferiți, acționând după unul și același algoritm, nu numai că rezolvă la fel problema, ci vor și acționa în același mod. Așadar, algoritmul determinând univoc acțiunile, îi ghidează activitatea. Prezentarea algoritmului de către profesor echivalează cu interiorizarea lui într-o anumită manieră, astfel încât elevul să-l poată exterioriza ori de câte ori se găsește în condițiile care cer acest comportament. În realitate, se observă că ar fi posibil să se descrie în termeni algoritmici comportamentul unui elev foarte slab care lucrează pe bază de rutină. Evident nu acesta este scopul final; acesta poate fi unul dintre echivocurile posibile în interpretarea folosirii algoritmilor în învățare sau în interpretarea locuțiunii ,,algoritmizarea învățământului”, care este, de astfel, o variabilă didactică a procesului de instruire, aceasta din urmă fiind complet specificat prin intermediul următoarelor variabile didactice interdependente: sistem de învățare și de predare, obiect de învățământ, obiective, mediu, algoritmul învățământului.

Metoda algoritmică, influențată de aceste variabile, prezintă mari avantaje teoretice și conceptuale, chiar în situații mai complexe și dificile, deoarece sugerează o construcție gradată, într-un mod recursiv, cu procedee efective și repetabile care pot fi continuu supuse criticilor și verificărilor bazate pe confruntarea cu realitatea. Folosirea algoritmilor în învățarea de a rezolva probleme mai este recomandată și pentru că: activitatea de a soluționa probleme este considerată ca fiind situată la nivelul cel mai elevat între activitățile cognitive; practic, demersurile de studiere sistematică și formală a acestei activități într-un context didactic educativ instructiv sunt greu de realizat și nu la îndemâna oricui; există unele curente în psihologie și în studiul inteligenței care au furnizat modele ce nu mai pot fi ignorate și respectiv, pentru a fi justificată, algoritmizarea trebuie să abordeze situații complexe.

Metoda algoritmului este inclusă în strategiile prescrise – bazate pe prescripții, norme, pe dirijarea strictă a învățări clasice. Algoritmul prefigurează o dirijare detaliată pas cu pas a procedeului de învățare, o părere personală: utilizarea acestor strategii timp îndelungat la matematică are darul de a îndepărta elevii de acest obiect, ducând și la o încetinire a gândiri.

Exemplu de activitate 4.2.4.

Algoritmul de rezolvare a ecuațiilor de forma :

Pasul 1: se stabilește mulțimea de definiție D

Pas 2: se efectuează calculele prin care se aduce la forma

Pas 3: aflăm valoarea necunoscutei x:

Pas 4: dacă a) este soluție a ecuației

b) nu este soluție a ecuației

Pas 5: verificarea

Pas 6: concluzia sau redactarea soluției.

Alte algoritme întâlnite în cazul ecuațiilor sunt: algoritmul de rezolvarea al ecuației de grad II, schema lui Horner (pentru ecuațiile studiate în liceu), algoritmul lui Euclid (pentru alte subiecte ale matematicii de liceu și/sau gimnaziu)

4.2.5. Ciorchinele

Ciorchinele, este o metodă de brainstorming neliniară mai simplă care stimulează găsirea conexiunilor logice dintre idei, așadar este o tehnică eficientă de predare – învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis, permițând căutarea căilor de acces spre propriile cunoștințe, evidențiind modul de a înțelege o anumită temă sau conținut și care presupune următoarele etape: (1) se scrie un cuvânt și/sau o propoziție nucleu (care urmează a fi studiată) în mijlocul tablei și/sau a foii de hârtiei; (2) se notează toate idile, sintagmele și/sau cunoștințele care vin în minte în legătură cu tema propusă în jurul acesteia, trăgându-se săgeții între acestea și cuvântul inițial; (3) se leagă ideile/cuvintele propuse pe măsură ce se scriu cu nucleul prin trasarea unor săgeții care vor evidenția conexiunile dintre idei; (4) activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp acordată.

Etapele pot fi precedate de brainstorming în grupuri mici sau perechi. În acest mod, se îmbogățesc și se sintetizează cunoștințele. Rezultatele grupurilor se comunică profesorului care le notează la tablă într-un ciorchine fără a le comenta sau judeca. În etapa finală a lecției, ciorchinele poate fi reorganizat folosindu-se anumite concepte supraordonate găsite de elevi sau de profesor.

Există totuși câteva condiții ce trebuie respectate, și anume: notați tot ce vă trece prin minte referitor la subiectul pus in discuție; nu judecați/evaluați ideile, ci doar scrieți-le; să nu vă opriți până nu se epuizează toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul alocat, iar dacă ideile refuză să apară insistați și zăboviți; să lăsați să apară cât mai multe și mai diferite conexiuni dintre idei; să nu limitați numărul ideilor sau fluxul legăturilor dintre ele.

Printre avantajele folosiri tehnici ciorchinelui enumerăm: în etapa de reflecție, vom utiliza așa numitul ,, ciorchinele revizuit” în care elevii vor fi ghidați cu ajutorul unor întrebări, în gruparea cunoștințelor în funcție de anumite criterii; se fixează mai bine ideile și se structurează cunoștințele, ușurându-se astfel reținerea și înțelegerea acestora și adesea poate rezulta un ciorchine cu mai mulți ,,sateliți”.

Exemplu de activitate 4.2.5. Aplicarea ciorchinelui la recapitularea unități de învățare – ,,Ecuații și inecuații” – clasa a VIII-a, în cazul ecuației de gradul II.

(descompunerea trinomului în factori liniari)

4.2.5. Cubul

Metoda cubului – metodă de explorare a unei situații matematice și/sau concept din multiple perspective cognitive și oferă astfel elevilor posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unor abordări complexe și integratoare .

Pentru derularea optimă a metodei se pot parcurge următoarele etape:

confecționarea unui cub pe ale cărui fețe se notează cuvintele: (1) descrie, (2) compară, (3) analizează, (4) asociază, (5) aplică, (6) argumentează.

anunțarea temei, respectiv a subiectului pus în discuție.

împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre grupe cercetează tema din perspectiva cerinței de pe una dintre fețele cubului: (1) descrie: culorile, formele, mărimile, etc.; (2) compară: Ce este asemănător? Ce este diferit?; (3) analizează: spune din ce este făcut sau se compune; (4) asociază: La ce te îndeamnă să te gândești?; (5) aplică: Ce poți face? La ce merge a fi folosită?; (6) argumentează pro sau contra și înșiră câteva motive

care vin în ajutorul afirmației tale.

elaborarea finală și transmiterea ei celorlalte grupe.

afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.

Metoda poate fi folosită la variate discipline, teme și tipuri de lecții, în diferite etape ale lecției, la diferite probe ( în scris și/sau oral), folosind diverse forme de organizare (individuală și/sau frontală, perechi și/sau grupuri), folosind (în caz de necesitate) doar unele din fețele cubului, și respectiv folosind cuvintele cheie în mod aleatoriu și/sau ordine logică.

Exemplu de activitate 4.2.6. Aplicarea cubului la recapitularea unități de învățare – ,,Ecuații și inecuații” – clasa a VII-a.

Fișa de lucru nr.1 – Verbul „DESCRIE”

1). a) Care dintre propozițiile matematice de mai jos reprezintă o ecuație?

1. 2. 3. 4.

b) Care dintre propozițiile matematice de mai jos reprezintă o inecuație?

1. 2. 3. 4. ,

2). Stabiliți care dintre elementele mulțimii este soluție a inecuației .

3). Determinați valoare știind că ecuația are soluția -3.

4). Rezolvați (in)ecuația, descriind procedeele utilizate în rezolvare:

a)

b)

5). Prezentați pași de rezolvare a unei probleme cu ajutorul ecuațiilor și/sau inecuațiilor.

Fișa de lucru nr.2 – Verbul „COMPARĂ”

1). Stabiliți asemănările și deosebirile dintre ecuații și inecuații.

2). Comparați rădăcinile reale ale ecuațiilor și

3). Comparați numărul de soluții naturale ale inecuațiilor: și .

4). Stabiliți echivalența ecuațiilor: și

5). Determinați valorile întregi ale lui x din figurile de mai jos, astfel încât să fie cel puțin egală cu aria

M

A

5 6

P

450 600 6

C x B N

Fișa de lucru nr.3 – Verbul „ASOCIAZĂ”

1). Asociați fiecărei proprietăți a relației de inegalitate a numerelor reale, din coloana din stânga , denumirea sa din coloana din dreapta:

a) , oricare ar fi 1. tranzitivitate

b) dacă și , atunci 2. simetrie

c) dacă și , atunci 3. reflexivitate

4. antisimetrie

2) Puneți în corespondență, printr-o săgeată, fiecare ecuație cu mulțimea de numere dată în care are rădăcina:

3). Asociați fiecărui număr din coloana A o ecuație din coloana B a cărei soluție este numărul respectiv!

A. B.

a) 2 1.

b) -1 2.

c) 3 3.

d) 4.

e) 14 5.

4). Fie mulțimile și . Găsiți corespondențele corecte între coloana A și coloana B!

A. B.

1. a)

2. b)

3. c)

d)

Fișa de lucru nr.4 – Verbul „ANALIZEAZĂ”

1). Determinați valoarea lui x, exprimată în grade sexagesimale, astfel încât .

2). Merlin, vrăjitorul regelui Arthur spunând o vrajă, a reușit să dubleze numărul de galbeni din vistieria regală. Pentru a-l răsplăti, regele i-a dăruit 15 galbeni, dar a constatat apoi că i-au rămas mai puțini decât avea la început. Câți galbeni a avut regele Arthur?

3). Știind că , găsiți rădăcinilor ecuației .

4). La o lucrare fiecare elev are de rezolvat 10 probleme. Determinați numărul de probleme rezolvate de un elev care a obținut 29 de puncte, știind că pentru fiecare problemă rezolvată corect s-au acordat câte 5 puncte, iar pentru fiecare problemă rezolvată greșit s-au scăzut 2 puncte.

5). Aflați elementele mulțimii

Fișa de lucru nr.5 – Verbul „ARGUMENTEAZĂ”

1). Determinați astfel încât .

2). În figura de mai jos, segmentul are cm, iar segmentul arecm. Aflați valorile întregi pe care le poate lua segmentului astfel încât interioarele celor două pătrate să fie disjuncte.

A C D B

B

3). Găsiți numărul real folosind figura alăturată:

A 900 C

4) Rezolvați inecuația în : .

5) Un biciclist parcurge o distanță dintre două orașe astfel: în prima zi o treime din toată distanța, apoi a doua zi din rest, iar a treia zi restul de 60 km. Aflați distanța parcursă dintre cele două localități.

Fișa de lucru nr.6 – Verbul „APLICĂ”

1). Completați spațiile punctate cu răspunsurile corecte:

a. Propoziția este o …………………………..

b. Dacă , atunci

c. Dacă și , atunci

d. Dacă , atunci

e. Valoarea lui a pentru care ecuația m – x = 5,6 are soluția 2 este …

2). Alegeți, prin încercuire, răspunsul corect:

1). Numărul este soluție a ecuației:

a. b. c. d.

2). Mulțimea soluțiilor ecuației este :

a. b. c. d.

3). Aflați astfel încât ecuațiile și să fie echivalente.

4). Rezolvați inecuația în :

5). Prețul unui frigider se mărește cu , iar după o perioadă se scumpește cu încă din noul preț ajungând astfel la prețul de 890 lei. Cât a costat inițial frigiderul?

4.3. Proiectarea didactică a unei teme de matematică

Procesul de învățare a matematică, ca și al oricărei alte discipline din planul de învățământ, cuprinde următoarele etape: proiectarea activității de instruire; desfășurarea instruirii; activitatea de învățare de către elevi și evaluarea rezultatelor învățării raportate la obiectivele instruirii. Ca primă etapă a procesul de învățământ, proiectarea se intercondiționează cu toate celelalte etape, determină conținutul lor. De aceea, aceeași temă din programa școlară se poate desfășura în mai multe variante, poate fi prezentată elevilor utilizând metodologii didactice diferite.

Proiectarea oricărei activități de instruire trebuie să pornească de la competențele generale pe care le urmărește predarea disciplinei, de la stabilirea competențelor specifice temei și care bineînțeles se subsumează competențelor generale, de la condițiile concrete în care urmează să se desfășoare instruirea (numărul de ore afectat prin programa temei, nivelul real de pregătire al elevilor cu care urmează să se desfășoare instruirea, mijloacele didactice de care dispunem, instrumentele de evaluare). Deci, înainte de a trece la realizarea unui proiect didactic profesorul trebuie să cunoască temeinic competențele predării matematicii la treapta respectivă de învățământ, corelația lor cu competențele predării ei la celelalte trepte, competenței specifice disciplinei matematice respective (algebră, geometrie, etc.). O parte dintre aceste competențe generale le desprinde profesorul printr-o analiză atentă a conținutului programelor și a modului de prezentare a temelor în manuale, a extinderilor date acestor teme, iar o altă parte sunt, de regulă, prezentate în notele explicative la programele școlare.

Astfel, competențele predării algebrei, geometriei, etc. în gimnaziu vor fi derivate din competențele generale ale predării matematicii la acest ciclu de învățământ, și care, se regăsesc în nota explicativă a programei școlare în vigoare (vezi, valori și atitudini). Programa de matematică este structurată pe formarea de competențe generale, șase la număr, care au în vedere să nu îngrădească libertatea profesorului în proiectarea activităților didactice. Aceasta trebuie să creeze condițiile realizării competențelor generale și specifice și parcurge integral conținutul obligatoriu, chiar dacă schimbă ordinea parcurgerii elementelor de conținut sau grupează în diferite moduri aceste elemente. Atunci când întocmim proiectul unei teme sau unei lecții, vom formula competențele predării ei prin derivare din competențele generale ale predării matematicii. Pe lângă aceste competențe, care arată în ce măsură tema respectivă contribuie la realizarea, este necesar să ne formulăm și competențele specifice derivate, adică acele competențe prin care să precizăm ce anume capacități și deprinderi trebuie să posede elevii la sfârșitul acelei secvențe de instruire. Aceste competențe specifice derivate trebuie descrise în termeni (acțiuni care să poată fi măsurate, observate), prin utilizarea unor cerințe care în mod precis acțiune (a demonstra teorema, de exemplu) pe care elevii să o poată realiza.

Deci, după ce ne-am conturat bine competențele generale ale predării unei teme, mai sunt necesari următori pași: 1) precizarea comportamentelor esențiale care duc la realizarea competențelor generale; 2) formularea unor competențe specifice derivate, adică ce performanțe dorim să obținem de la elevi la finalul acelei lecții; 3) selecționarea acțiunilor specifice care pot conduce la realizarea fiecărei competențe specifice derivate.

Ne este suficient să descriem numai performanța finală a elevului, ci trebuie să specificăm, de asemenea, ce posibilități are la dispoziție elevul pentru a demonstra că a realizat performanța cerută. De asemenea, este necesar să formăm la elevi deprinderea de a justifica fiecare afirmație, de arăta că sunt îndeplinite toate condițiile care îi permit să aplice o anumită relație sau teoremă. Treptat, elevii vor deprinde capacitatea de a utiliza elementele teoretice ca suport logic al rezolvării problemelor. Acesta se poate realiza numai dacă profesorul, pe parcursul tuturor activităților, stabilește un raport just între elementele teoretice și cele practic – aplicative. Un astfel de raport bine realizat, îi va feri pe elevi de deprinderea greșită de a substitui rezolvarea logică, simplă, a unor probleme cu aplicarea mecanică a unor algoritmi de calcul.

Tehnica proiectării lecțiilor de matematică trebuie concepută astfel încât fiecare activitate concretă a elevilor să conducă spre realizarea unor competențe specifice derivate clar formulate. Exercițiile și problemele ce se rezolvă în clasă să fie structurate și eșalonate încât fiecare dintre ele să constituie un pas indispensabil al formării la elevi a anumitor abilități, deprinderi și priceperi, al înțelegerii rostului elementelor teoretice. De asemenea, permanent, se va urmări valorificarea valențelor formativ-educative ale lecțiilor de matematică; dezvoltarea la elevii a sârguinței, atenției, voinței, a spiritului de ordine și exigență față de propriile judecăți.

Profesorul va urmări nu numai efectuarea la tablă a unor exerciții corecte sau redactarea îngrijită a unor relații, ci și corectitudinea notițelor elevilor, modul în care aceștia redactează corect relațiile care se scriu pe tablă.

Exercițiile și problemele nu vor fi eșalonate după criterii privind ingeniozitatea soluțiilor, a frecvenței lor în probele de examene, ci după locul și rolul lor în realizarea competențelor specifice (derivate) propuse. Proiectarea unei activități didactice este un act creator din partea profesorului, deoarece el trebuie să aplice anumite norme psihologice, pedagogice, ergonomice, de comunicare în situații noi, în condițiile în care scontează că va reuși să realizeze competențele specifice derivate. Chiar în condițiile în care profesorul predă aceeași temă, cu aceeași formulare în programa școlară și cu aceeași extindere dată de manual, nu poate repeta aceeași formulare a competențelor specifice derivate, deoarece ,,startul” de pornire al elevilor cu care urmează să realizeze instruirea poate să nu fie același, deci nici resursele pentru fiecare competență vizată nu mai sunt aceleași. În cazul în care nu se ține cont de aceste condiții, apare fenomenul de oboseală, solicitările adresate elevilor nu sunt adaptate capacităților lor psihice și fizice. De asemenea, apare dezinteresul sau convingerea elevului că oricât s-ar strădui tot nu poate răspunde solicitărilor.

Pentru a urmări eficiența instruirii proiectate, este necesar să se prevadă realizarea conexiunii inverse atât pentru procesul de învățare, cât și pentru reglarea unor etape ale instruirii. Proiectul se va realiza astfel încât să asigure tuturor elevilor conexiunea inversă.

După rezolvarea unor sarcini didactice, prin modalități cât mai simple, elevii trebuie să primească confirmarea sau infirmarea răspunsurilor lor. Pentru aceasta, proiectul didactic este, în general, diferit de la un colectiv de elevi la altul, realizarea unei etape de instruire este intercondiționată de realizarea etapelor precedente. Proiectul didactic, prin adaptări corespunzătoare ale acțiunilor educative, are în vedere tratarea individuală a elevilor, dezvoltarea capacităților lor intelectuale în raport de aptitudinile și înclinațiile lor personale. Proiectul se va întocmi astfel încât să lase loc profesorului pentru a dirija acțiune fiecărui elev. Este posibil ca la anumite colective de elevi anumiți factori să constituie restricții privind întocmirea proiectului didactic. Înainte de formularea unei competențe trebuie să știm că elevii

cunosc noțiunile teoretice necesare realizării acestuia.

Rezumând, principalele etape ale întocmiri unui proiect didactic sunt:

analiza tuturor informațiilor cu privire la nivelul de cunoștințe al elevilor cu care urmează să se desfășoare instruire; raportarea acestor informații la conținutul programelor școlare; analiza dotării școlii cu materialul didactic și a posibilităților de autodotare.

stabilirea competențelor specifice temei și a celor ce derivă din cele ale predării unei anumite discipline matematice (algebră, geometrie, etc.).

stabilirea competențelor specifice derivate.

redactarea proiectului didactic la care vom ține seama și de tipul lecției.

În sensul celor relatate mai sus, am căutat prin activitatea didactică prestată la clasă să combin metodele de predare clasice cu cele moderne, iar în cazul elevilor am încercat să pun accentul pe aducerea spiritului de joc al matematici, al unor aplicații ale ecuațiilor în diferite situații. Orele s-au desfășurat, în permanență după o planificare sistematică a materiei pe unități de învățare, pe an și semestrială. De mare utilitate și obligatorii sunt, bineînțeles și proiectele didactice, în cadrul cărora s-a urmărit atingerea competențelor specifice (derivate ). Dintre competențele specifice cele mai importante în cadrul temei generale a (in)ecuațiilor algebrice în matematica de gimnaziu se remarcă: deosebirea (in)ecuație de grad I și/sau II de alte enunțuri apropiate ca formă; determinarea soluțiilor unor (in)ecuații și/sau sisteme; identificarea unor reguli decalcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calcule; identificarea unor probleme care se rezolvă cu ajutorul (in)ecuațiilor sau a sistemelor de (in)ecuații, rezolvarea acestora și interpretarea rezultatului obținut. Am crescut eficiența lecțiilor prin tratarea diferențiată a elevilor, pornind de la ideea că se poate spori eficiența numai în măsura în care se stimulează efortul personal al fiecărui elev, în raport cu capacitatea acestuia de a depune efort. Ținând cont de faptul că realizarea concretă a diferențierii este strâns legată de conținutul fiecărei lecții, cât și de nivelul de pregătire al colectivului elevilor clasei respective, am căutat să combin activitatea frontală cu muncă în echipă sau pe grupe, să creez pentru fiecare elev sau grupe de elevi, probleme pe care ei să le poată face și care să le consolideze cunoștințele anterior însușite.

Am pornit în același timp de la descoperirea golurilor din pregătirea anterioară, atât pentru a le elimina cât și pentru a ști în ce măsură ne putem baza pe cunoștințele dobândite în achiziționarea de noi cunoștințe. Din acest motiv de multe ori temele date acasă elevilor au fost alese pe măsura posibilităților lor.

Pentru îndrumarea elevilor buni am ales exerciții și/sau probleme care să le deschidă noi orizonturi de lucru, valorificând conținutul diferitelor culegeri, etc considerând că ponderea muncii independente pentru elevii mai buni să fie mai mare, pe când pentru elevii mai slabi să fie mai mult îndrumații, dirijați în rezolvarea problemelor și a înțelegerii noțiunilor.

În urma studierii programelor de matematică privind studiul ecuațiilor algebrice în gimnaziu am constatat că majoritatea elevilor din clasele VII – VIII și-au însușit algoritmele de rezolvare ale ecuațiilor de grad I și/sau II și/sau sisteme, precum și metodele de rezolvare a unor probleme prin ecuații. există și elevii care întâmpină dificultăți mai ales la ecuațiile reductibile, mai ales la calculul algebric cu litere (schimbarea semnelor, aplicarea formulelor de calcul prescurtat), trecerea membrilor cu necunoscută dintr-o parte în alta. Aceste neajunsuri au fost rezolvate prin munca diferențiată cu elevi ce întâmpină dificultăți utilizând calea pașilor mici.

Pe baza celor spuse ne propunem să prezentam câteva proiecte didactice în Anexe.

4.4. Evaluarea învățării matematici – Testul de evaluare

Evaluarea școlară constă în măsurarea rezultatelor școlare (înregistrarea datelor: numărul răspunsurilor corecte, greșite, etc.), aprecierea rezultatelor școlare (emiterea unor judecăți de valoare) și în adoptarea măsurilor ameliorative.

În orice evaluare deosebim: obiectivele (adică, ceea ce dorim să măsurăm), problemele sau instrumentele de măsurat și elementul măsură ( adică, nota școlară). Prin evaluare se apreciază: nivelul și calificarea cunoștințelor acumulate, capacitatea de utilizare a achizițiilor (priceperi, deprinderi), potențialul intelectual și trăsăturile de personalitate.

Evaluarea randamentului învățării are funcția de constatare și apreciere ( prin evidențierea și estimarea cunoștințelor, abilităților și aptitudinilor dobândite), funcția de diagnoză și prognoză ( prin ierarhizarea rezultatelor și predicția evoluției ulterioare a comportamentului învățat).

Formele de examinare clasice nu răspund întotdeauna cerințelor unor aprecieri obiective ale eficienței muncii educative, fiecare profesor având stilul propriu de notare. Cu ajutorul testelor se pot afla criterii unice de apreciere, indiferent de profesor sau școală. Există trei tipuri fundamentale de evaluare:

evaluarea inițială, are ca scop stabilirea nivelului de pregătire a elevilor, a condițiilor în care aceștia se pot integra în activitatea ce urmează, în vederea stabilirii strategiilor didactice corespunzătoare; se realizează la începutul anului școlar.

evaluarea formativă (continuă-curentă, periodică) are ca obiective verificarea sistematică a progreselor elevilor pe parcursul procesului didactic, de obicei la sfârșitul unei secvențe de învățare, cunoașterea sistematică a rezultatelor, determinând efecte reglatoare asupra activității și ameliorarea ei continuă.

Evaluarea sumativă ( finală, cumulativă) realizată la sfârșitul unei perioade mai lungi de instruire, oferă informații despre nivelul de performanță al elevilor în raport cu obiectivele educaționale.

Pentru elevi, rezultatele obținute constituie o sursă de informații privind performanțele atinse, starea lor de pregătire la un moment dat, iar pentru profesori informațiile obținute contribuie la perfecționarea activității sale didactice prin organizarea predării funcție cu pregătirea inițială a elevilor, constatată prin test; sesizarea în timp util a acelor noțiuni, competențe sau unități de învățare, în asimilarea cărora elevii întâmpină greutăți în scopul luării unor măsuri de recuperare a deficienților, precum și o evaluarea a metodelor sale de activitate didactică.

Testele pot fi valorificate prin lecții speciale de evaluare a cunoștințelor. Prezentăm în continuare un test de evaluare sumativă referitor la ecuațiile de grad I și reductibile la sfârșitul unități de învățare ,,Ecuații și inecuații” dat la clasa a VII-a. în prima parte a lecției am făcut o recapitulare scurtă a unor rezultate teoretice, apoi am redactat conținutul testului la tablă dându-le timp de lucru 45 minute. Într-adevăr , fie testul următor (la sfârșit apare și baremul de corectare):

Test de evaluare – Ecuații de gradul I cu o necunoscută; ecuații reductibile la ecuații de gradul I cu o necunoscută

Completați spațiile punctate astfel încât să obțineți afirmații adevărate:

Soluția ecuației este …

Soluția ecuației este …

Soluția ecuației este …

Pentru fiecare dintre enunțurile următoare, dacă enunțul este adevărat, încercuiți litera ,,A”, în caz contrar încercuiți litera ,,F”:

Mulțimea soluțiilor ecuației este . A F

0 este soluție a ecuației A F

Ecuația nu are soluții reale. A F

Uniți prin săgeți fiecare enunț din coloana A cu rezultatul corespunzător din coloana B:

a) Soluția ecuației este … 1)

b) Soluția ecuației este … 2)

c) Soluția ecuației este … 3)

d) Soluția ecuației 4)

5)

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale următoarele ecuații:

Rezolvați în mulțimea numerelor reale următoarele ecuații:

Barem de corectare și notare

Oficiu – 1 punct

Subiectul 1. (1,5 puncte)

8 (0,5 puncte)

-3 (0,5 puncte)

4 (0,5 puncte)

Subiectul 2. (1,5 puncte)

A (0,5 puncte)

A (0,5 puncte)

A (0,5 puncte)

Subiectul 3. (2 puncte)

(3) (0,5 puncte)

(4) (0,5 puncte)

(5) (0,5 puncte)

(1) (0,5 puncte)

Subiectul 4. (2 puncte)

desfacerea parantezelor (0,25p): 2x+6-3x+3=3x-4-2x

separarea termenilor (0,25p): 2x-3x-3x+2x=-4-6-3

reducerea termenilor (0,25p): -2x=-13

determinarea soluției (0,25p):

desfacerea parantezelor și utilizarea formulelor de calcul prescurtat (0,25p):

separarea termenilor (0,25p):

reducerea termenilor (0,25p):

determinarea soluției (0,25p):

Subiectul 5. (2 puncte)

desfacerea parantezelor și utilizarea formulelor de calcul prescurtat

(0,25p):

separarea termenilor (0,25p):

reducerea termenilor (0,25p):

determinarea soluției (0,25p):

eliminarea numitorului (0,25p):

desfacerea parantezelor (0,25p):

separarea și reducerea termenilor (0,25p):

determinarea soluției ( 0,25p):

Statistică notelor obținute la testul de evaluare este redată în tabelul următor:

Pe baza acestui test am constatat următoarele deficiențe cum ar fi, de exemplu nu stăpânesc calculul cu litere, desfacerea parantezelor, și mai ales regula că minusul din fața parantezei schimbă semnul sau nu separă corect variabila, sau greșesc la aplicarea formulelor de calcul prescurtat și în final foarte puțini nu știu ce înseamnă soluția unei ecuații.

Pentru remedierea situației am făcut în clasă fiecare exercițiu, cu elevii la tablă punând în evidență greșelile făcute de elevii mai slabi care au primit teme suplementare diferențiate pentru orele următoare care ulterior s-au corectat și s-au rezolvat din nou exerciții de aceleași fel.