Aspecte Metodice ale Folosirii Diferitelor Sisteme de Coordonate In Fizica Si Astronomie

Aspecte metodice ale folosirii diferitelor sisteme de coordonate

în fizică și astronomie

1. Introducere

Nu ne putem imagina activitatea cotidiană fără utilizarea coordonatelor în așa domenii cum ar fi geografia, fizica și astronomia. În afară de aceasta coordonatele se folosesc la rezolvarea problemelor și exercițiilor atît în matematică cît și în fizică.

În lucrarea dată se propune a face o generalizare la noțiunile ce țin de coordonate, legătura dintre ele și metoda de a trece de la un sistem de coordonate la altele.

2.     ELEMENTE DIN ISTORIA FOLOSIRII DIFERITELOR SISTEME DE COORDONATE ÎN ȘTIINȚĂ ȘI TEHNICĂ

Omul a început să exploreze, mai întâi, mediul înconjurător, adică suprafața Pământului, adâncimile/adâncurile (râuri, prăpastii, peștere etc.) și înălțimile (dealuri, munți, vulcani etc.), toate acestea fiind dictate de necesitățile de existență/viață – pescuit, vânătoare, culegerea de semințe, fructe, ciuperci etc., dobândirea apei ș. a. Pentru aceasta, omul folosea repere (corpuri de referință) și anumite direcții (orientări spre unele corpuri), pentru distanțe mici, considerând pământul plan. În aceste condiții, …

Istoria apariției coordonatelor și sistemului de coordonate a avut loc foarte demult. La început ideea metodei de coordonate a luat naștere încă în lumea antică în legătură cu necisitățile astronomiei și geografiei pentru a determina poziția unui astru pe cer sau a unui loc pe suprafața pămîntului, pentru alcătuirea calendarelor sau a hărților stelare sau geografice. Urmele utilizării ideii coordonatelor dreptunghiulare în formă de plasă pătrată se văd pe peretele unei camere mortuare din Egiptul Antic. Învățatul Greciei Antice Anaximandr Miletschii (circa 610 – 546 î.Hr.) e considerat părintele primei hărți geografice. El a descris concret latitudinea și longitudinea locului, utilizînd proiecțiile dreptunghiulare. Cu mai bine de 100 de ani î.e.n. invățătorulgrec Ghiparx a propus să fie încins pe harta globului pămîntesc cu paralele și meridiane și să fie întroduse bine cunoscutele astăzi coordonatele geografice: latitudinea și longitudineași să fie însemnate cu cifre.[1]

Orientarea pe mare este numită navigație, aceste cunoștințe le aveau de pildă numai: căpitanul, secundul sau cârmaciul vasului, care determinau poziția geografică a vasului cu ajutorul instrumentelor de navigație, farurile din diferite porturi și hărțile de navigație.

Unele izvoare presupun că în India existau deja cunoștințe de navigație în urmă cu 6000 de ani î.e.n., din timpuri străvechi sunt amintiți și egiptenii antici, ulterior corăbieri iscusiți sunt fenicienii care foloseau aștrii pentru orientare pe mare.[2]

Despre cârmuirea unei corăbii prin măsurări de adâncime o amintește și istoricul grec Herodot (500 î.H.)

După descoperirea busolei este ușurată orientarea pe mare, până atunci nordul era stabilit cu ajutorul stelei polare în emisfera nordică.

Corăbieri buni au fost și normanzii, vikingii care navigau de regulă în apropierea țărmurilor cunoscând bine curenții marini și de aer, prin anii 980 – 999 au atins Groenlanda și coastele Americii de Nord. Arabii perfecționează unele instrumente de navigație ca de exemplu Astrolabium, un instrument de măsurare a valorilor unghiulare pe bolta cerească, ca și hărțile de navigație.

Cel mai vechi Jurnal de bord datează din 1490, iar din secolul XIII și secolul XIV sunt evidențiate adâncimile, farurile, mareele din porturi, aceste jurnale erau numite de portughezi Portolan. În anul 1420, regele Portugaliei (Henric Navigatorul) întemeiază o școală de marină pentru a putea continua cercetarea mai departe a țărmului african.

Din anii 1500 apar numeroase hărți, atlase de navigație, apare logul (instrument de determinarea a vitezei vasului), quadrantul (strămoșul sextantului), iar Mercator perfecționează precizia hărților globului terestru prin proiecția Mercator.[2]

Dacă stabilirea latitudinii era deja de mult cunoscută, metoda de satbilirii a longitudinii va fi descoperită abia în secolul XVIII  prin cronometrul lui Harrison 1735 prin comparare a timpului local (ora locală geografică) și a timpul exact de la un ceas care indică ora meridianului 0 (Greenwich) aceasta a fost verificată de navigatorul James Cook (1775).

În anul 1731 este descoperit sextantul cu oglindă, bazele orientării pe mare le va stabili căpitanul Thomas Sumner 1837 prin metoda astronomică de măsurarea distanței poziției unui astru față de orizont.

Această metodă a fost îmbunătățită din 1899 prin navigație cu ajutorul undelor radio aici se poate aminti J.M. Boykow 1935, Siegfried Reisch 1941, care ulterior este perfecționată prin sisteme de navigație prin satelit (sunt necesare datele obținute de la 3 sateliți) acest sistem este azi preluat orientare pe mare de aviație și orientarea terestră.[2]

Sistemul cartezian de coordonate

Numele sistemului de coordonate vine de la Cartesius, numele latinesc al matematicianului și filozofului francez René Descartes (1596 – 1650) care, printre altele, a contribuit la unificarea algebrei și geometriei euclidiene. Vizitînd de multe ori teatrele Parisului, el nu înceta să se minuneze de încurcăturile, certile, iar uniori și chemările la duel, din cauza absenței unei ordini elementare de plasare a publicului în sala de spectacole. Sistema de numerotare, propusă de el, prin care fiecare loc avea numărul rîndului și numărul de ordine de la margine a exclus îndată motivele pentru neînțelegeri și a produs o adevărată vîlvă în societatea înaltă a capitalei. [3]

Munca sa a avut influențe asupra geometriei analitice, analizei matematice, și cartografiei. Ideea acestui sistem a fost dezvoltată în 1637 în două lucrări ale lui Descartes. În partea a doua a Discursului asupra metodei, Descartes introduce ideea nouă a specificării poziției unui punct sau obiect de pe o suprafață, folosind două axe intersectate ca ghizi de măsurare. În La Géométrie, a explorat mai în profunzime conceptele menționate mai sus.

Metoda de descriere a coordonării obiectelor geometrice a pus bazele geometriei analitice. La contribuția metodei de coordonare a introdus, de asemenea, și Pierre Fermat, dar lucrările sale au fost publicate pentru prima dată după moartea sa.[4]

Metoda coordonării Descartes și Fermat se aplică doar pe plan. Metoda de coordonate pentru spațiul tridimensional a fost folosit prima dată de către Leonhard Euler, în secolul XVIII. În afară de matematică, înteresele lui Decart s-au extins și asupra fizicii, formulînd clar legea inerției, a descoperit legea refracției luminii la linia de separarea a două medii diferite (”Dioptrica” 1637).

Coordonate polare.

Conceptele de unghi și rază erau deja folosite de popoarele antice din primul mileniu î.e.n.. Astronomul grec Hipparchus (190-120 î.e.n.) a creat un tabel de funcții armonice care dădeau lungimea unui arc pentru fiecare unghi, și există unele referințe la utilizarea de către el a coordonatelor polare pentru stabilirea poziției stelelor. În Despre spirale, Arhimede a descris Spirala lui Arhimede, o funcție a cărei rază depinde de unghi. Lucrările grecești, însă, nu s-au extins la un întreg sistem de coordonate.[5]

Există mai multe relatări despre introducerea coordonatelor polare ca parte dintr-un sistem oficial. Întreaga istorie este descrisă de profesorul Julian Lowell Coolidge de la Universitatea Harvard în cartea sa Originea coordonatelor polare. Grégoire de Saint-Vincent și Bonaventura Cavalieri au introdus independent unul de altul aceste concepte la jumătatea secolului al XVII-lea. Saint-Vincent a scris despre ele în particular în 1625 și și-a publicat lucrarea în 1647, iar Cavalieri și-a publicat lucrările în 1635, cu o versiune corectată apărută în 1653. Cavalieri a utilizat primul coordonatele polare pentru a rezolva o problemă legată de aria din interiorul unei spirale a lui Arhimede. Ulterior, Blaise Pascal a utilizat coordonate polare pentru calculul arcelor parabolice.

Sir Isaac Newton a examinat și el transformările în coordonate polare, pe care le-a denumit "Al șaptelea mod; pentru spirale", și nouă alte sisteme de coordonate. În periodicul Acta Eruditorum (1691), Jakob Bernoulli a folosit un sistem cu un punct pe o linie, numite pol, respectiv axă polară. Coordonatele erau specificate prin distanța de la pol și unghiul față de axa polară. Lucrarea lui Bernoulli s-a ocupat de găsirea razei de curbură a curbelor exprimate în aceste coordonate.[3]

Termenul efectiv coordonate polare îi este atribuit lui Gregorio Fontana și era utilizat de scriitorii italieni ai secolului al XVIII-lea. Alexis Clairaut a fost primul care s-a gândit la o generalizare a coordonatelor polare în trei dimensiuni, iar Leonhard Euler a fost primul care le-a dezvoltat.[6]

3.     SISTEME DE COORDONATE ȘI APLICAREA ACESTORA ÎN CADRUL DIFERITELOR DISCIPLINE DE STUDIU

Sistemul de coordonate poate fi constituit din una, două, trei sau mai multe axe care se intersectează într-un punct numit punctul de origine și segmente individuale pe fiecare axă. Într-un sistem de coordonate, fiecare punct corespunde unui singur set de coordonate

a.      Sistemul de coordonate cu o axă

O axă a numerelor este o dreaptă pe care s-a luat un punct fix, numit origine, un sens pozitiv și o unitate de măsură. Numerele negative se reprezintă la stânga originii iar cele pozitive la dreapta originii.

b.     Sistemul de coordonate cu două axe

Un sistem de coordonate este numit și sistem de coordonate carteziene după numele matematicianului și filozofului Rene Descartes, care l-a folosit în geometria analitică. Sistemul reprezintă un ansamblu de două axe a numerelor, așezate perpendicular, având aceeași origine. Dacă vom duce paralele la axele sistemului prin punctele de coordonate întregi, ceea ce vom obține seamănă cu o rețea de drepte, din acest motiv i se mai spune rețea. Fiind dat un sistem de coordonate carteziene într-un plan, fiecare punct al planului poate fi identificat prin două numere, abscisa și ordonata punctului, numite coordonatele punctului. Aceste numere precizează poziția punctului în plan, așa cum longitudinea și latitudinea fixează un punct pe hartă. [4]

Localizarea unui punct într-o rețea se face relativ față de un punct fixat, numit originea sistemului, și în raport cu distanțele de la punctul dat la o pereche de axe. Ele sunt axe ale numerelor. (Obs.tr. În literatura de specialitate românească, axele sunt prevăzute cu o singură săgeată care indică sensul de parcurgere sau sensul pozitiv. Orice deplasare, din origine spre un anumit punct, se poate descrie printr-o compunere de două deplasări: una de-a lungul axei absciselor și una de-a lungul axei ordonatelor.

Vom preciza localizarea unui punct într-un sistem de coordonate carteziene indicând, mai întâi, abscisa (x) care reprezintă deplasarea, din origine, la stânga sau la dreapta, apoi ordonata (y) care reprezintă deplasarea în sus sau în jos. Astfel fiecare punct din plan poate fi identificat printr-o pereche (unică) de numere numite coordonate.

Deseori dorim să știm cam în ce zonă a planului se află un anumit punct despre care discutăm. Cele două axe ale sistemului împart planul, în mod natural, în 4 regiuni numire cadrane. Acestea se numerotează, din colțul din drepta-sus, în sens invers sensului acelor de ceasornic. Fiecare cadran poate fi identificat în mod unic printr-o combinație de semne pozitiv-negativ ale celor două componente ale perechii de coordonate

c.      Sistemul cartezian de coordonate, cu trei axe

Sistemul de coordonate carteziene în trei dimensiuni furnizează cele trei dimensiuni fizice ale spațiului — lungime, lățime și înălțimile. Cele trei axe carteziene care definesc sistemul sunt perpendiculare două câte două. Coordonatele relevante sunt de forma (x,y,z). De exemplu, figura 2 arată două puncte trasate într-un sistem cartezian tridimensional: P(3;0;5) și Q (−5;−5;7).

Coordonatele x-, y-, și z ale unui punct pot fi considerate a fi distanțele de la acel punct la planele yz, xz, și respectiv xy.

Planele xy, yz și xz împart spațiul tridimensional în opt subdiviziuni denumite octante, similar cu cadranele din spațiul 2D. Deși au fost stabilite convenții de etichetare a cadranelor din planul xy, în spațiul tridimensional doar primul octant este etichetat. El conține toate punctele ale căror coordonate x, y și z sunt pozitive.

d.     Sistemul polar de coordonate

În matematică, sistemul de coordonate polare este un sistem de coordonate bidimensional în care fiecărui punct din plan i se asociază un unghi și o distanță. Sistemul coordonatelor polare este util mai ales în situații în care relația dintre două puncte este mai ușor de exprimat în termeni de distanțe și direcții (unghiuri); în sistemul cartezian sau ortogonal, o astfel de relație poate fi găsită doar cu ajutorul formulelor trigonometrice.[5]

Deoarece sistemul de coordonate este bidimensional, fiecare punct este determinat de două coordonate polare: coordonata radială și coordonata unghiulară. Coordonata radială (notată de obicei cu ) reprezintă distanța unui punct față de un punct central, numit pol (echivalent cu originea din sistemul cartezian). Coordonata unghiulară (cunoscută și sub numele de unghi polar, sau azimut, și notată cu θ sau ) reprezintă unghiul, în sens trigonometric sau invers orar (invers acelor de ceasornic) necesar pentru a ajunge la el de la direcția de 0°, numită axă polară (echivalentă cu axa absciselor din coordonatele carteziene plane).

De exemplu, coordonatele polare (3, 60°) ar fi reprezentate în plan ca un punct aflat la 3 unități depărtare de pol pe direcția de 60°. Coordonatele (−3, 240°) ar fi reprezentate prin același punct deoarece o distanță radială negativă este măsurată ca o distanță pozitivă pe aceeași direcție în sens opus (direcția reflectată față de origine, care diferă de direcția originală cu 180°).

Aceasta ilustrează un aspect important al sistemului de coordonate polare, aspect care lipsește la cel cartezian: un singur punct poate fi exprimat printr-o infinitate de coordonate diferite. În general, punctul (, θ) poate fi reprezentat ca (, θ ± ×360°) sau ca (−, θ ± (2 + 1)180°), unde  este orice număr întreg. Coordonatele arbitrare (0, θ) sunt utilizate prin convenție pentru reprezentarea polului, pentru că indiferent de coordonata θ, un punct de rază 0 va fi mereu în pol. Pentru a obține o reprezentare unică a unui punct, este uzual a limita  la numere nenegative  ≥ 0 și pe θ la intervalul [0, 360°) sau (−180°, 180°] (sau, în radiani, [0, 2π) sau (−π, π]).[7]

Unghiurile în notație polară sunt în general exprimate fie în grade, fie în radiani, utilizând conversia 2π rad = 360°. Alegerea depinde de context. Aplicațiile nautice folosesc gradele, în timp ce unele aplicații din fizică (mai ales mecanica rotației) și aproape toată literatura matematică legată de analiza matematică folosesc radiani.

Conversia între coordonate polare și coordonate carteziene

Cele două coordonate polare  și θ pot fi convertite în coordonate carteziene  și  prin utilizarea funcțiilor trigonometrice sinus și cosinus:

.

În timp ce două coordonate carteziene x și y pot fi transformate în coordonata polară  prin

 (prin aplicarea teoremei lui Pitagora).

Pentru a determina coordonata polară θ, trebuie să fie luate în considerare următoarele două idei:

Pentru  = 0, θ poate fi orice număr real.

Pentru  ≠ 0, pentru a obține o unică reprezentare a lui θ, aceasta trebuie limitată la un interval de lungime 2π. Alegeri convenționale pentru acest interval sunt [0, 2π) și (−π, π].

Pentru a obține θ în intervalul [0, 2π), se poate de folosit expresia :

Pentru a obține θ în intervalul (−π, π], se poate folosi următoarea expresie:[8]

Aplicații

Coordonatele polare sunt bidimensionale și deci pot fi folosite doar acolo unde locațiile punctelor se află într-un plan bidimensional, legat de direcția și distanta de un punct central. De exemplu, ecuații polare elementare sunt suficiente pentru a defini unele curbe – astfel este spirala lui Arhimede – a cărei ecuație în coordonate carteziene ar fi mai complexă. Mai mult, multe sisteme fizice – cum ar fi cele ce tratează corpuri în mișcare în jurul unui punct central sau cu fenomene ce își au originea dintr-un punct central – sunt mai simplu și mai intuitiv de modelat în coordonate polare. Motivația inițială pentru introducerea sistemului polar a fost studiul mișcării circulare și orbitale.

Poziționare și navigație

Coordonatele polare sunt folosite adesea în navigație, întrucât destinația sau direcția deplasării pot fi date ca unghiul și distanța de la obiectul luat în considerație. De exemplu, avioanele folosesc o versiune ușor modificată a coordonatelor polare la navigație. În acest sistem, cel folosit în general pentru orice fel de navigație, raza de 0° este în general numită direcția 360, iar unghiurile continuă în sens orar, și nu trigonometric, ca în sistemele matematice. Direcția 360 curespunde nordului magnetic, iar direcțiile 90, 180, și 270 corespund estului magnetic, sudului, și vestului, respectiv.

Modelare

Sistemele care prezintă simetrie radială furnizează contexte naturale pentru sistemele de coordonate polare, cu centrul de simetrie comportându-se ca pol. Un prim exemplu de astfel de sistem este ecuația de curgere a apelor subterane aplicată puțurilor cu simetrie radială. Sistemele cu o forță radială sunt și ele bune candidate pentru utilizarea sistemului de coordonate polare. Aceste sisteme includ câmpuri gravitaționale, care respectă legea invers pătratică, precum și sisteme cu surse punctiforme, cum ar fi antenele radio.

Și sistemele radial asimetrice pot fi modelate în coordonate polare. De exemplu, răspunsul proporțional al unui microfon la un sunet exterior poate fi reprezentat prin curbe polare. Curba unui microfon cardioid standard, cel mai comun microfon direcțional, poate fi reprezentată de ecuația

Modelarea tridimensională a disipării puterii date de boxe se poate utiliza pentru a le prezice comportamentul. Sunt necesare mai multe grafice polare, la o gamă largă de frecvențe, șablonul de distribuție a energiei variind puternic cu frecvența. Graficele polare arată că multe boxe tind spre omnidirecționalitate la frecvențe joase.

e.      Sistemul cilindric de coordonate

Sistemul de coordonate cilindrice este un sistem de coordonate care extinde sistemul de coordonate polare în doua dimensiuni prin adăugarea unei a treia coordonate care măsoară distanța între un punct și plan, similar cu felul în care sistemul de coordonate carteziene este extins în trei dimensiuni. A treia coordonată este de obicei notată cu h, rezultând cele trei coordonate cilindrice (r, θ, h).[5]

Cele trei coordonate cilindrice pot fi convertite în coordonate carteziene prin transformarea:

f.      sistemul sferic de coordonate

Coordonatele polare pot fi extinse în trei dimensiuni folosind și coordonatele (ρ, φ, θ), unde ρ este distanța de la origine, φ este unghiul făcut cu axa z (numită colatitudine sau zenit și măsurată de la 0 la 180°) iar θ este unghiul cu axa x (ca și în coordonate polare). Acest sistem de coordonate, numit sistemul de coordonate sferice, este similar cu sistemul de latitudine și longitudine folosit pentru Pământ, cu originea în centrul Pământului, latitudinea δ fiind complementul lui φ, determinat de relația δ = 90° − φ, iar longitudinea l fiind măsurată ca l = θ − 180°.[9]

Cele trei coordonate sferice pot fi convertite în coordonate carteziene prin transformarea:

g.     Sisteme de coordonate folosite în astronomie

Coordonatele cerești – se utilizează pentru determinarea poziției unui astru pe bolta cerească. Putem utiliza mai multe sisteme de coordonate.

1. Sistemul orizontal (zenital, azimutal )

Planul fundamental: planul orizontului matematic (NESV);

Axa fundamentală: verticala locului (OZ);

Cele două coordonate care determină poziția astrului sunt:

h (înălțimea deasupra orizontului) – unghiul format de direcția astrului cu orizontul locului sau arcul de cerc mare arc (σ’σ) , h Є [-90º, 90º];

A (azimutul)– arcul arc( S σ’), A Є [0º, 360º];

Observații:

Înălțimea este dificilă de măsurat datorită orizontului greu accesibil. Din acest motiv, se folosește distanta zenitala, z=90º-h, z Є [0º, 180º], z = arc(Zσ)

Coordonatele orizontale se determină cu ajutorul teodolitului.

Coordonatele orizontale, fiind legate de verticala locului și meridianul locului, variază cu locul și momentul observației.

2. Sistemul orar

Planul fundamental: planul ecuatorului ceresc (QVQ’E);

Axa fundamentală: axa lumii (PP’);

Cele două coordonate care determină poziția astrului sunt:

δ (declinația) – unghiul format de planul ecuatorului ceresc cu direcția astrului, adică arcul arc(σ” σ) , δ Є [-90º, 90º];

H (unghiul orar)– arcul arc(Q σ”), H Є [0h, 24h);

Observații:

Adesea in locul declinației se folosește distanța polară p = arc(Pσ), p Є[0º, 180º];

Cercul mare Pσσ” se mai numește cerc orar al astrului;

Coordonatele orare se determină cu ajutorul instrumentelor în montura ecuatorială;

Declinația nu variază în timpul mișcării diurne, însă unghiul orar, fiind definit cu ajutorul meridianului locului, variază cu locul (dacă localitățile nu sunt pe același meridian) și momentul observației.

3. Sistemul ecuatorial

Planul fundamental: planul ecuatorului ceresc (QVQ’E);

Axa fundamentală: axa lumii (PP’);

Cele două coordonate care determină poziția astrului sunt:

δ (declinația) – unghiul format de planul ecuatorului ceresc cu direcția astrului, adică arcul arc(σ” σ) , δ Є [-90º, 90º];

α (ascensiva dreaptă)– arcul arc(γ σ”), α Є [0h, 24h);

Definiție. Se numește timp sideral unghiul orar al punctului vernal. Timpul sideral se notează prin θ. Evident are loc relația: θ = H + α. (1)

Observații:

Sistemul ecuatorial este un sistem de coordonate absolut. Declinația și ascensiva dreaptă nu variază cu locul și momentul observației;

Formula (1) realizează legătura dintre sistemele de coordonate orar și ecuatorial;

Pentru un astru care trece la meridian (H = 0), obținem θ = α. Putem determina: – timpul sideral dacă este cunoscută ascensia astrului – ascensia dacă cunoaștem timpul sideral;

Coordonatele ecuatoriale sunt utilizate pentru întocmirea cataloagelor și hărților stelare

4. Sistemul ecliptic

Planul fundamental: planul eclipticii (E’γEΩ);

Axa fundamentală: axa eclipticii (ΠΠ’).

Cele două coordonate care determina poziția astrului sunt:

β (latitudinea ecliptica)– β=arc(σ’”σ), β Є [-90º, 90º];

λ (longitudinea ecliptica)– λ= arc(γ σ’”), λ Є [0º, 360º);

Observații:

Coordonate ecliptice nu depind de rotația sferei cerești;

Coordonate ecliptice nu se măsoară. Ele se deduc din coordonatele ecuatoriale;

Coordonate ecliptice se utilizează la studiul mișcării Lunii și a planetelor

Suprafețele de referință

Suprafețele de referință de bază sunt:

geoidul

elipsoidul

planul de proiecție

Față de suprafața de referință, se individualizează mai multe sisteme de coordonate cu ajutorul cărora se poate exprima poziția punctelor.

1 Geoidul

Geoidul, se definește ca fiind figura ce ar rezulta prin prelungirea pe sub continente a nivelului mediu al mărilor și oceanelor. Geoidul este o figură echipotențială, perpendiculară în orice punct al ei la direcția accelerației gravitaționale, adică la verticala dată de firul cu plumb.

Suprafața geoidului, numită și suprafață de nivel zero, reprezintă suprafața de referință pentru determinarea cotelor.

Suprafața geoidului este neregulată datorită eterogenității masei Pământului, denivelărilor scoarței terestre și curenților oceanici. În acest sens este necesar ca geoidul să fie definit față de o figură geometrică cât mai apropiată de forma lui. Acesta este elipsoidul de rotație.

2 Elipsoidul

Elipsoidul este o figură geometrică convențională, față de a cărei suprafață se definește suprafața geoidului cu elementele proiectate pe ea. Se obține prin rotația elipsei meridiane în jurul semiaxei mici b.

Rețelele de triangulație care se desfășoară pe suprafețe mari (o țară sau un grup de țări) sunt reprezentate de regulă pe suprafața elipsoidului de referință sau în raport de această suprafață.

Față de geoid, elipsoidul poate ocupa o poziție oarecare, în funcție de modalitatea practică utilizată la determinarea parametrilor săi (semiaxa mare a și turtirea f) și a orientării sale în interiorul geoidului. În caz general, verticala V la suprafața geoidului G, care trece printr-un punct oarecare P situat pe suprafața Pământului S, nu coincide cu normala N la suprafața elipsoidului E care trece prin acest punct, ci formează cu acesta un unghi oarecare u, denumit unghi de deviație a verticalei (Figura 8).

Elipsoidul folosit la un moment dat de o țară sau de un grup de țări pentru determinări topo-geodezice poartă denumirea de elipsoid de referință.

Elipsoidul, ca figură geometrică de referință a globului Pământesc are o însemnătate deosebită. Pe elipsoidul de referință se definesc pozițiile punctelor în sistemul internațional de coordonate geografice și coordonate geodezice.

3 Cvasigeoidul

Cvasigeoidul (noțiune introdusă de M.S. Molodenski) este suprafața de referință astfel construită încât segmentul de normală la elipsoid să fie întotdeauna egal cu mărimea ξ în fiecare punct în care se cunoaște această valoare. Mărimea ξ înglobează anomaliile altitudinilor (diferențele dintre altitudini raportate la o anumită suprafață de referință, Figura 1.9).

Clasificarea după numărul de dimensiuni ale spațiului în care este amplasată rețeaua geodezică

Rețea geodezică unidimensională

În această categorie de rețele geodezice se pot încadra rețelele de nivelment, deoarece punctele care constituie aceste rețele au doar una dintre coordonate (altitudinea) determinată omogen, într-un sistem de coordonate unitar de referință. Celelalte coordonate atașate punctelor respective au un rol de identificare, fiind determinate aproximativ.

Rețea geodezică bidimensională

În aceste rețele punctele au determinate două coordonate într-un sistem unitar de referință: X, Y în planul de proiecție sau B, L pe elipsoidul de referință. Aceste rețele se mai numesc și rețele planimetrice. Cealaltă coordonată (altitudinea) este determinată separat, într-un sistem de coordonate unidimensional.

Rețea geodezică tridimensională

În aceste rețele toate cele trei coordonate care descriu poziția punctului într-un sistem cartezian de referință sunt determinate omogen și unitar.

Rețea geodezică în spațiul cu patru dimensiuni

Această denumire este atribuită rețelelor geodezice care sunt determinate în mod repetat, la anumite intervale de timp. Cele trei coordonate care definesc poziția spațială a unui punct din rețea nu sunt determinate întotdeauna omogen și unitar. Timpul constituie cea de-a patra coordonată

1.14 SISTEME DE COORDONATE

Pentru determinarea locului pe care-l ocupă un punct oarecare de pe suprafața terestră, trebuie definită poziția acestuia față de un sistem de referință. Această poziție poate fi redată prin:

coordonate geografice sau,

coordonate plane, care pot fi la rândul lor: rectangulare sau polare.

1.14.1 Coordonate geografice

Pentru indicarea exactă a poziției unui punct pe suprafața globului pământesc, se folosesc în general coordonate geografice (în special în navigația aeriană și maritimă).

Pentru simplificare reprezentăm pământul ca o sferă. Planul de referință al coordonatelor geografice îl reprezintă planul ecuatorial. Acesta are o poziție normală față de axa de rotație principală a pământului NS și îl împarte în două părți egale.

Intersecția dintre planul ecuatorial și sfera pământului reprezintă un cerc mare denumit

cerc ecuatorial.

Intersectând sfera cu planuri care conțin axa de rotație a pământului, rezultă tot cercuri mari denumite cercuri longitudinale sau meridiane. Din intersecția sferei cu planuri paralele cu planul ecuatorului rezultă cercuri mici, numite cercuri de latitudine sau paralele.

Raza acestora este întotdeauna mai mică decât raza pământului. Cercurile meridiane și paralele sunt perpendiculare între ele. Cercul ecuatorial este împărțit în 360º, având originea stabilită prin convenție internațională, la intersecția acestuia cu cercul meridian care trece prin observatorul Greenwich (Anglia). Gradarea începe cu 0º înspre est și vest, ceea ce face să avem longitudini estice sau vestice. Arcul de cerc meridian ce pornește de la ecuator către polul nord respectiv polul sud, se împarte în 90º, definind latitudini nordice sau sudice.

Poziția unui punct P pe glob se indică prin:

coordonate geografice unghiulare notate cu și λ

coordonate geografice curbilinii notate cu α și β

În figura 10 se observă că longitudinea punctului P, notată cu λ , este unghiul diedru dintre planul meridianului origine (Greenwich) și planul meridianului ce trece prin punctul P, iar latitudinea este unghiul făcut de verticala punctului P cu planul ecuatorului.

Coordonatele geografice curbilinii sunt:

longitudinea α , care reprezintă lungimea arcului ecuatorial (G’P’) cuprins între intersecția meridianului origine cu ecuatorul și intersecția meridianului punctului P cu ecuatorul.

latitudinea β , reprezintă arcul din cercul meridian (P’P) ce trece prin punctul considerat P, cuprins între ecuator și punctul P.

În situația prezentată în Figura 10, punctul P are latitudine nordică și longitudine estică. România, prin poziția geografică pe care o are, se caracterizează prin latitudine nordică și longitudine estică. Coordonatele geografice nu se utilizează în topografie, însă constituie baza calculului coordonatelor punctelor de triangulație de ordinul I din rețeaua de bază a unei țări.

h.   Coordonatele geografice    

Sistemul de coordonate geografice este un sistem de referință care utilizează coordonatele unghiulare, latitudine (nordică sau sudică) și longitudine (estică și vestică) și servește la determinarea unghiurilor laterale ale suprafeței terestre (sau mai general ale unui sferoid). Globul este împărțit în 360° (grade) latitudine și 180° (grade) longitudine.

Sistemul

Rețeaua liniilor meridianelor și latitudinilor care se intersectează sub un unghi de 90°, este un sistem imaginar care împarte suprafața globului, cu scopul ușurării orientării. Ecuatorul aparține liniilor de latitudine fiind între ele linia cea mai lungă ce împarte globul în două emisfere de nord și sud care sunt așezate perpendicular (90°) pe raza globului terestru, ecuatorul fiind linia care delimitează latitudinea nordică de cea sudică.

Fiecare meridian intersectează liniile de latitudine sub un unghi de 90° și unește cei doi poli ai pământului, puncte unde toate meridianele se întâlnesc.

Meridianul care trece prin observatorul astronomic din localitatea Greenwich, Marea Britanie este azi considerat meridianul zero. Începând de aici se consideră meridiane de longitudinea estică sau vestică în funcție de poziția respectivului meridian față de meridianul zero și de prelungirea acestui meridian (meridianul de 180°).

Până la începutul secolului XX, „meridianul 0” nu era considerat același punct, de exemplu un astfel de punct prin care trecea meridianul 0 era El Hierro cu denumirea veche Ferro situat pe insulele Canare, sau Parisul era considerat la fel punctul prin care trecea în trecut meridianul 0.
Azi fiind acceptat pe plan internațional faptul că meridianul 0 trece prin Greenwich, o localitate lângă Londra, Pământul fiind considerat de formă sferică, mai precis de forma unui geoid.

Un sistem de coordonate geografice definește orice locații de pe Pământ prin 2 sau 3 coordonate ale unui sistem de coordonate sferice care este aliniat la axa în jurul căreia se învârte Pământul. Pornind de la teoriile vechilor babilonieni, extinse ulterior de Ptolemeu, unui cerc întreg i s-au atribuit 360°.

Descriere

latitudinea (Lat.) este unghiul dintre orice punct și ecuatorul. Liniile cu o latitudine constantă sunt numite paralele. Ele trasează cercuri pe suprafața Pământului, dar singura paralelă care este un cerc mare este ecuatorul (latitudine=0 grade), cu fiecare pol geografic aflat la 90 de grade (Polul Nord 90° N; Polul Sud 90° S).

longitudine (Long.) este unghiul spre est sau vest al unui punct arbitrar de pe Pământ: Observatorul din Greenwich (Marea Britanie) este considerat punctul internațional cu longitudine 0 grade. Anti-meridianul Greenwich este atât 180°V cât și 180°E. Liniile de longitudine constantă sunt numite meridiane. Meridianul care trece prin Greenwich este meridianul primar. Spre deosebire de paralele, toate meridianele sunt jumătăți de cercuri complete și nu sunt paralele: ele se intersectează la polul nord și la cel sud.

Combinând aceste două unghiuri, poate fi specificată poziția orizontală a oricărui punct de pe Pământ.

Spre exemplu, Baltimore, Maryland (din SUA) are o latitudine de 39.3° Nord, și o longitudine de 76.6° Vest. Deci, un vector desenat din centrul Pământului spre un punct dispus la 39.3° nord de ecuator și 76.6° vest de Greenwich va trece prin Baltimore.

Gradele sunt împărțite în minute ( ′ ) și secunde ( ″ ). Există mai multe formate pentru grade, toate fiind în ordinea Lat.-Long.:

GM Grade:Minute (49:30.0-123:30.0)

GMS Grade:Minute:Secunde (49:30:00-123:30:00)

GZ Grade Zecimale (49.5000-123.5000), de obicei cu 4 zecimale.

Pentru a face conversia de la primele 2 formate la ultimul, gradele zecimale sunt egale cu numărul întreg de grade, plus minutele împărțite la 60, plus secundele împărțite la 3600. La momentul actual gradele zecimale sunt formatul cel mai utilizat.

Ecuatorul este evident o parte importantă a sistemului de coordonate, reprezentând punctul zero al unghiului latitudine și punctul aflat la jumătatea dintre poli. El este planul fundamental al sistemului geografic de coordonate.

Valorile de latitudine și longitudine sunt stabilite printr-un sistem geodezic asociat, cum ar fi WGS84. Unui același punct de pe Pământ îi pot corespunde diferite latitudini și longitudini, în funcție de sistemul geodetic folosit.

Coordonate geostaționare

Sateliții geostaționari, cum ar fi cei de televiziune, sunt dispuși deasupra ecuatorului. Poziția lor față de Pământ este exprimată în grade zecimale; latitudinea lor nu se schimbă și este întotdeauna egală cu zero ° (= deasupra ecuatorului).

A treia dimensiune: altitudine, înălțime, adâncime

Pentru a specifica absolut un punct deasupra Pământului mai trebuie specificată și elevația. Aceasta definește poziția verticală a punctului față de suprafața planetei. Poate fi exprimată ca distanța verticală față de Pământul de dedesubt, dar, din cauza ambiguității termenilor „suprafață” și „vertical”, se preferă exprimarea lui relativ la un set de date mai precise, cum ar fi nivelul mării. Distanța față de centrul Pământului este, de asemenea, o coordonată practică atât pentru pozițiile adânci cât și pentru cele în spațiu.

4.     Program de transformare a coordonatelor dintr-un sistem de coordonate în altul/altele

Pentru trecerea de la un sistem de coordonate la altul, atît în plan, cît și în spațiu am creat un program, care poate fi instalat pe telefonul mobil și să fie de ajutor profesorilor, studenților și elevilor.

La pornirea aplicației se deschide o fereastră Convertor, în bara de instrumente se află trei butoane:

transformarea coordonatelor în plan:

carteziene → polare și invers polare → carteziene

transformarea coordonatelor în spațiu:

carteziene → cilindrice și sferice;

cilindrice → carteziene și sferice;

sferice → cilindrice și carteziene;

transformarea coordonatelor astronomice:

Mai jos se află casete text pentru introducerea valorilor apoi un meniu derulant pentru selectarea direcției de convertire.

De exemplu: selectăm sistemul cartezian și la casetele text ne apare mesajul: introduceți coordonatele x și y .

Dacă va fi selectat sistemul polar apare mesajul introduceți și , unde – unghiul în radiani.

Scriem de la tastatură valorile pentru fiecare coordonată și apăsăm butonul roșu dincolțul dreapta jos pentru a efectua conversia.

5.     Program didactic (de afișare, de transformare, explicare a diferitelor sisteme de coordonate)

Sistemul de coordonate cu o axă

Un rol important în studierea coordonatelor este oferit de studierea axei numerice și amplasarea pe ea a numerelor. Studiul începe din clasa a V-a cu numere naturale, apoi se extinde în clasa a VI-a cu numere întregi și numai în clasa a VII-a cu numere reale în învățămîntul gimnazial la matematică. La fizică se utilizează la studiul unităților de măsură (instrumente de măsurat) pentru numere naturale și la studierea temperaturii (termometru) pentru numere întregi. Apoi în clasa a VII-a se pot utiliza și numere reale. Mai mult ca atît, tot în clasa a VII-a se introduc și noțiunile de vector, sistem de referință și coordonatele punctului, atît pe axă cît și în plan. Pentru afișare și exersare la determinarea coordonatei unui punct se utilizează aplicația din Geogebra (fig.1), care permite determinarea poziției numărului real pe axa de coordonate: https://tube.geogebra.org/material/simple/id/289531

Fig. 1

Probleme ce pot fi rezolvate la etapa inițială sunt deplasare de la un punct la altul, distanța parcursă, deplasarea în sens și contrasens a două mobile. Se poate întîlni și cazul cînd corpul de referință își schimbă poziția. Atunci coordonatele noi se vor calcula după formula: xʹ=x+d

La etapa următoare se folosesc proiecțiile vectorilor pe axa și probleme care se rezolvă cu ajutorul proiecțiilor:

Proiecția vectorului pe axă se numește o valoare scalară egală cu produsul dintre modulul vectorului la cosinusul unghiului format de vector cu direcția pozitivă a axei. În funcție de unghiul α proiecția vectorului poate fi pozitivă pentru 0 ° ≤ α <90 °, este zero pentru α = 90 °, negativă pentru 90 ° <α ≤ 180 °. În Fig. 2, se arată determinarea proiecției vitezei inițiale Voх pe axa x și în Fig. 2b – proiecția vectorului de accelerație ах.

Sistemul de coordonate cu două axe

Din sistemele cu două axe studiate cea mai mare răspîndire l-a căpătat cel cu axele perpendiculare: sistem rectangular de coordonate sau se mai spune sistem cartezian de coordonate.

În clasa a VII-a se introduce sistemul cartezian de coordonate atît la matematică cît și la fizică. De aceea este binevenit ca elevii să exerseze să se orienteze bine în determinarea corectă a coordonatelor punctelor. Pentru aceasta ne servește aplicația din

http://tube.geogebra.org/student/m22536 :

fig. 2

În aplicația dată punctul poate fi deplasat, iar coordonatele lui vor fi afișate automat. La etapa următoare aplicația poate fi folosită din

De exemplu, sistemul de ecuații care descrie transformarea coordonatelor unui punct la deplasarea d a sistemului de coordonate

poate fi interpretat în două moduri:

Punctul din plan P(x, y) a fost translatat spre dreapta cu distanța d (fig. 1.1a);

Axa y a sistemului de coordonate cartezian 2D a fost translatată cu distanța d spre stânga (fig. 1.1b).

Prin urmare, există două interpretări ale unei transformări grafice a unui punct:

se efectuează transformări asupra coordonatelor unui punct, păstrând același sistem de coordonate;

se efectuează transformări asupra sistemului de coordonate.

Prima interpretare corespunde transformării unui punct raportat la un sistem de coordonate fix și se formulează matematic ca o transformare geometrică aplicată punctului. În acest caz, (x ', y ') sunt coordonatele punctului care rezultă din transformarea lui P. Cea de-a doua interpretare corespunde unei transformări a sistemului de coordonate, (x ', y ') reprezentând coordonatele punctului P în noul sistem de coordonate.

Se consideră un sistem de coordonate carteziene în plan. Orice corp poate fi descris printr-un set de atribute geometrice (coordonate), atribute topologice și atribute de aspect. De exemplu, pentru un segment de dreaptă este suficient să se specifice coordonatele capetelor sale (atributele geometrice), (x1, y1), (x2, y2).

Translația

Translația este transformarea prin care un obiect este deplasat din poziția sa, cu o distanță dată, după o direcție dată. Matematic, translația în plan este specificată printr-un vector:

.

Dacă (x, y) sunt coordonatele unui punct P al unui obiect, atunci prin translația obiectului cu o distanță egală cu mărimea vectorului v, în direcția vectorului v, punctul P se transformă în P'( x', y') (fig. 1.2), unde x' și y' sunt definite astfel:

x' = x + tx

yʹ = y + ty

Exemplu

v = 2i + j , P = (5, 5). Prin translația lui P cu vectorul v se va obține punctul P' = (7, 6). Observație. Obiectul este deplasat fără să se modifice forma, dimensiunea și orientarea.

Scalarea

Scalarea este transformare prin care un obiect este mărit sau micșorat. În cazul 2D scalarea este specificată prin două numere, numite factorul de scalare pe axa x, respectiv factorul de scalare pe axa y .Un factor de scalare supraunitar specifică o mărire, iar unul subunitar o micșorare.

a) Scalarea față de origine

Scalarea unui punct P(x, y) cu factorii sx, sy față de origine înseamnă scalarea vectorului cu poziția OP, care unește originea cu punctul P. Vectorul rezultat din scalare, OP' are componentele x, y date de:

x' = sx • x

y' = sy • y

Dacă sx = sy , atunci scalarea este uniformă (nu produce deformarea obiectului transformat). În caz contrar, scalarea este neuniformă (obiectul este deformat).

Exemplu: Fie pătratul cu vârfurile (1,1), (3,1), (3,3), (1,3) (fig. 1.3a). Prin scalarea față de origine cu factorii sx = 2, sy = 3 se va obține dreptunghiul cu vârfurile: (2,3), (6,3), (6,9), (2,9) (fig. 1.3b).

b) Scalarea față de un punct din plan

Se consideră F(xf, y f) punctul din plan față de care se face scalarea unui punct P(x, y). Punctul F se numește punct fix al transformării, deoarece nu se modifică prin aplicarea transformării. Scalarea punctului P față de F cu factorii de scalare sx, sy înseamnă scalarea vectorului . Componentele vectorului scalat ' sunt:

xʹ – xf = sx·(x – xf) yʹ – yf = sy · (y – yf)

Din relațiile anterioare rezultă:

xʹ = sx · x + xf – xf · sx yʹ = = sy · y + yf – yf

Exemplu: Prin scalarea pătratului din fig.1.3a cu aceiași factori de scalare sx = 2, sy = 3, față de punctul (1,1), se obține dreptunghiul din figura 1.3c.

Rotatia

a) Rotatia fată de origine

Rotația este o transformare specificată printr-un unghi. Dacă unghiul este pozitiv, atunci rotația este efectuată în sensul trigonometric (invers față de sensul de rotație al acelor de ceas). Dacă dorim să efectuăm rotația în sens invers trigonometric, unghiul va fi negativ. Coordonatele punctului P'(x', y'), obținut prin rotația cu a a punctului P în jurul originii se obțin ușor utilizând legătura dintre coordonatele carteziene și cele polare ale lui P, respectiv P'' (fig. 14).

Pentru punctul P putem scrie:

x = r cos θ y = r sin θ

iar pentru punctul P':

x' = r cos (α + θ) y' = r sin (α + θ)

unde r reprezintă lungimea vectorului de potiție OP, iar θ , unghiul său cu orizontala. (fig. 1.3a). Înlocuind cos(α + θ) și sin(α + θ) cu expresiile lor trigonometrice și ținând cont de relația se obține:

x' = x cos α – y sin α y' = x sin α + y cos α

Rotația față de un punct oarecare din plan

Fie P(x, y) punctul din plan care se rotește în jurul unui punct F(Xf, yf). La fel ca în cazul scalării, punctul F nu este afectat de transformare. Coordonatele punctului P ', rezultat din rotația punctului P în jurul lui F cu un unghi a, se obțin din expresiile care calculează componentele vectorului FP' (fig. 1.4b):

x'- xf = (x – xf ) cos u – (y – yf )sin u

y'-yf = (x – xf )sin u + (y – yf )cos u

De fapt relațiile (1.9) pot fi scrise direct din relațiile (1.8) după ce schimbăm originea sistemului în punctul F , printr-o translație cu Xf , respectiv y f. Din relațiile (1.9) rezultă:

x' = x cos u – y sin u + xf – xf cos u + yf sin u

y ' = x sin u + y cos u + yf – xf sin u – yf cos u

Transformări ale sistemului de coordonate

Considerăm două sisteme de coordonate în plan, xOy și x'O'y'. Unui punct fix din plan, P, îi corespund două reprezentări: (x, y) în sistemul xOy și (x', y') în sistemul x 'O'y'. Sistemul x 'O'y' se poate obține prin transformarea sistemului xOy, transformare ce se poate defini prin relația dintre cele două reprezentări ale punctului P .

Sistemul de coordonate polare

Pentru reprezentarea coordonatelor polare și legătura lor cu coordonatele carteziene ne folosim de aplicația http://tube.geogebra.org/student/m1446007

Deplasînd punctul putem observa cum se modifică raza și unghiul pentru coordonatele polare, la fel se modifică și abscisa și ordonata punctului.

Diferite funcții reprezentate în coordonate polare pot fi demonstrate cu ajutorul: http://tube.geogebra.org/student/m102543#material/118976

Sistem de coordonate cu 3 axe

O demonstrare în spațiu a unui vector poate fi observată utilizînd aplicația http://tube.geogebra.org/student/m1578341

Este posibilă și utilizarea unui clip care ne demonstrează cum are loc transformarea coordonatelor cartiziene în coordonate cilindrice, demonstrație însoțită și de explicațiile de rigoare. Clipul poate fi accesat de pe pagina https://www.youtube.com/watch?v=pmuC2iB8wME

Se mai pot de axcesat și alte explicații cum ar fi

Introducerea în sistemul cartezian: https://www.youtube.com/watch?v=55AX5JxzcCY

Sistemul de coordonate XOY: https://www.youtube.com/watch?v=vZhLaEfD62U 

Cadranele sistemului cartezian XOY: https://www.youtube.com/watch?v=dpMH9tOQmSA

Transformarea coordonatelor geografice în coordonate geomagnetice

Pentru transformarea coordonatelor geografice în coordonate geomagnetice ne putem folosi de aplicația http://wdc.kugi.kyoto-u.ac.jp/igrf/gggm/index.html care permite să introducem anul, data și locul geografic și obținem rezultatul în coordonate geomagnetice. Pentru selectarea valorilor de coordonte geografice avem două posibilități: selectăm locația de pe glob cu ajutorul cursorului;

A doua metodă – se introduc coordonatele geografice (latitudinea și longitudinea locației în grade și minute) și se transformă în coordonate geomagnetice. Aplicația mai are și alte posibilități, cum ar fi reprezentarea polului magnetic și cel geografic pentru diferiți ani, imagini cu situația magnetică pentru diferite zile a anului.

Transformări de coordonate astromomice

Relații de transformare între coordonatele topocentrice

Trecerea de la sistemul ecuatorial la cel orar este o rotație de unghi t în jurul axei lumii. Coordonatele unghiulare se transformă conform cu formulele generale:

În cazul nostru, = – H, = α , ω = t ; unghiul de elevație este, în ambele sisteme, declinația δ. Regăsim, deci, relația (2.21):

– H = α – t ⇒ H = t – α

Trecerea de la sistemul orar la cel orizontal este o rotație axială de unghi 90°- în jurul axei OE (Oy). Formulele generale ale unor astfel de rotații sunt :

În cazul nostru, sunt coordonatele carteziene orare, iar sunt coordonatele carteziene ale astrului; luând raza sferei cerești r = 1, Obținem, deci:

Având în vedere că sin = cos și cos = sin , obținem:

Înlocuind în formulele rotației coordonatele carteziene cu expresiile lor în funcție de coordonatele unghiulare, obținem relațiile de transformare:

Ținînd seamă că H = t – α, obținem de aici chiar formulele de trecere de la coordonatele ecuatoriale la cele orizontale:

În ultima din formulele (2.26), δ și ϕ sunt constante și cuprinse între -90° și +90°; cosinusurile lor sunt pozitive. În membrul al doilea al egalității, factorul variabil (cos H, sau cos ( t – α )) este înmulțit cu factorii pozitivi cos δ și cos .

Prin urmare, sin h va atinge valoarea maximă atunci când cos H este maxim. Dar valoarea maximă a lui cos H este + 1, atinsă pentru H = 0. Analog, valoarea minimă a lui sin h este atinsă simultan cu valoarea minimă a lui cos H. Acest lucru se întâmplă pentru H = 180°, unde cos H = -1.

Pozițiile în care astrul atinge înălțimile extreme deasupra orizontului se numesc culminații; culminația la care înălțimea (h) este maximă se numește culminație superioară iar cealaltă se numește culminație inferioară. Conform celor de mai sus rezultă că ambele culminații au loc la trecerea la meridian a astrului respectiv.

Revenim la transformările de coordonate. Trecerea inversă, de la sistemul orizontal la cel orar, este o rotație axială de unghi [ -(90° -) ] în jurul axei OE (Oy). Formulele generale ale rotației în jurul axei Oy, aplicate în acest caz, dau:

Dar

Deci

Formulele de trecere rezultă ca și în cazul precedent:

Algoritmi de calcul

Din grupul de formule () se vede că azimutul și înălțimea unui astru sunt determinate de ascensie și declinație (α și δ), dar și de latitudinea locului (), precum și de timpul sideral local ( t ). Pentru a afla, deci, azimutul și înălțimea unui astru la un moment T,

calculăm timpul sideral t, corespunzător lui T;

calculăm pe sin h cu ultima formulă (2.26);

h fiind cuprins între -90° și +90°, sinusul determină unghiul în mod unic, deci h poate fi aflat imediat;

deoarece cos h > 0, avem: ;

împărțind primele două formule (26) la cos h, putem calcula pe sin A și cos A:

având la dispoziție cele două valori de mai sus, aflăm azimutul A, cuprins între 0° și 360°.

Formulele de trecere de la coordonatele orizontale la cele ecuatoriale, se utilizează în mod analog; aici datele necesare sunt A, h, și T :

calculăm timpul sideral t, corespunzător lui T;

calculăm pe δ (cuprins între -90° și +90°), aflându-i sinusul din ultima relație ();

deoarece cos δ > 0, avem: ;

aflăm funcțiile sin și cos ale unghiului orar H ( t – α );

se află ( t – α ), apoi, deoarece t este cunoscut, se află ascensia α.

O ultimă remarcă se impune cu privire la înălțimile pe care le poate avea un astru față de orizontul unui loc; ultima din relațiile (2.26) conține, în afara unor constante (funcții trigonometrice ale unghiurilor δ și ), un element dependent de timp, unghiul orar H ( t – α ); se vede imediat că înălțimile extreme se obțin pentru H = 0 și H = 12h, deci pentru cele două treceri la meridian ale astrului respectiv.

6.     Set de exerciții (cu conținut din fizică, astronomie, … )

Probleme fizice – aceasta este o problemă care trebuie rezolvată prin raționament logic, operații matematice pe baza legilor și metodelor fizice. Rezolvarea problemelor fizice face parte din metode practice de predare și se bazează pe activității mentale active a elevului, îndeplinește funcțiile educaționale, de învățare și de dezvoltare. Sensul fizic a diferitelor definiții, reguli, legi, devine evident elevilor doar utilizându-le de repetate ori la exemple concrete și probleme specifice. Rezolvarea problemelor dezvoltă la elevi sîrguința, independența în raționamente, interes în procesul de studiere, perseverență în atingerea scopului stabilit. În rezolvarea problemelor se dezvoltă gândirea logică și creativă.

Rezolvarea problemelor de fizică – una dintre cele mai importante instrumente pentru dezvoltarea abilităților mentale și creative ale elevilor.

În funcție de natura întrebărilor și metode de cercetare se disting sarcinile de calitate și de calcul.

Probleme de calitate se numesc acele, la rezolvarea cărora se stabilește doar o relație calitativă între cantitățile fizice. Ca regulă, calculele în rezolvarea astfel de probleme nu se produc. Uneori, aceste probleme se numesc diferit: întrebări – problemă, probleme logice, probleme de calitate, etc.

În calitate de problemă de calcul se înțelege problema în care rezultatul rezolvării se obținute prin calcul, și operații matematice. Astfel de probleme pot fi rezolvate în moduri diferite, dar acum, vom folosi metoda coordonatelor. Ea este folosită cel mai adesea pentru a rezolva problemele de mecanică și în multe probleme combinate, în cazul în care ecuația vectorială se scrie sub formă de proiecții pe axele de coordonate selectate.

În afară de metodele de rezolvare deosebim și diferite moduri de soluționare a problemelor fizice, în funcție de operațiile matematice, care sunt utilizate în procesul de soluționare: algebrice, geometrice, trigonometrice, și grafice.

La rezolvarea problemelor prin metoda algebrică folosim formulele, se compun și se rezolvă ecuații algebrice. Cel mai simplu caz este rezolvarea problemei utilizînd formula fizică, cînd în formula selectată înlocuim datele problemei, iar rezultatul se calculează. În probleme mai complicate formula finală, cu care se calculează valoarea dorită, se determină cu ajutorul mai multor formule, sau un sistem de ecuații.

În procesul de rezolvare a multor probleme fizice sunt utilizate cunoștințe de geometrie. De exemplu, în cinematică, dinamică, statică, optică geometrică, electrostatică și în altă parte se rezolvă probleme care necesită desene, construcții geometrice și utilizarea relațiilor geometrice cunoscute.

Prin natura operațiunilor logice pentru rezolvarea problemelor de calcul distingem metode analitice și sintetice. Metoda analitică de rezolvare a problemelor începe prin exprimarea mărimii necunoscute prin alte valori și aplicînd consecutiv formulele fizice determinăm valoarea căutată. La metodă de sinteză, stabilim mai întâi relația intermediară între mărimile fizice cunoscute. Ca rezultat al tuturor transformărilor derulate, din care o parte pot fi de prisos, obținem expresia, din care putem determina valoarea căutată. Această metodă este cea mai ușoară, astfel încât elevii o folosesc mai des, căutînd relația dintre diferite valori, pînă cînd nu găsesc una ce dă posibilitatea de a determina mărimea căutată. Aceasta, desigur, nu duce întotdeauna la rezultatul dorit, așa că o metodă de sinteză nu este întotdeauna rațională.

Metoda analitică este dificilă, deoarece necesită succesiune strictă și logică de acțiuni, dar aceasta va duce la scopul final, așa ca este mai preferabilă.

Structura activității la rezolvarea problemelor.

Rezolvarea problemei începe cu analiza condițiilor. Elevul nu trebuie numai să memoreze condițiile, dar să le înțeleagă, să observe fenomenul fizic menționat în sarcină. La etapa de căutare a metodei de rezolvare elevul își va reaminti legile fizice, definiții, descrise în problemă, va lua în considerare fenomenul fizic, va construi modelului său matematic.

Principala metodă de a găsi o soluție la problemă este metoda analitică-sintetică. Raționamentul analitic axat de la sarcinile problemei la date. Analiza necesită o împărțire a întregului în părți. În sinteza raționamentul trece de la date la sarcinile dorite. Sinteza integrează elemente separate într-un tot întreg.

În etapa rezolvării se scriu și se deduc formulele, se stabilește planul de rezolvare. În conformitate cu planul se realizează deciziile. Aici se evidențiază pregătirea matematică a elevilor.

Verificarea rezultatului se face pentru a determina fiabilitatea valorii numerice, a dimensiunii dorite sau a dimensiunii sale în absența datelor numerice.

Cercetarea rezolvării este un pas foarte important, având posibilități mari didactice, care permite o analiză mai profundă a fenomenului fizic. O sarcină nu poate fi soluționată până la sfârșit, va ramane mereu ceva peste care putem medita, găsi o altă soluție.

În funcție de complexitate, problemele de fizică sunt împărțite în elementare, standarde și non-standarde.

Pentru a rezolva probleme elementare este necesar și suficient să reproducem și să aplicăm o lege fizică corespunzătoare. Soluția problemei standard necesită un bagaj de cunoaștere obișnuit și metode și tehnici standard. Problema nestandard necesită metode speciale de rezolvare, deoarece punerea în aplicare a legilor și practicilor uzuale nu conduc la rezultat căutat, pentru că sistemul de ecuații obținut este incompatibil. Ca regulă, probleme nestandard se întâlnesc în sarcinile de olimpiadă. În culegerile de probleme se întîlnesc probleme standard.

Analiza programelor de fizică, proiectările de lungă durată arată că problemelor de fizică se atrage atenție doar 20% din timpul lecțiilor. Restul timpului este dat la formarea la elevi a cunoștințelor de concepte, legi fizice, principii, teorii, experimente. Există o contradicție: o mare parte din timp este dedicat studiului materialului teoretic, iar la teste și lucrări se verifică capacitățile de a rezolva probleme, care, practic, nu se învață sau foarte puțin. Se pare că abilitatea de a rezolva probleme este o chestiune de la sine, dacă știi teoria materiei. Cu toate acestea, această capacitate nu poate avea loc de la sine, acesta necesită o pregătire specială.

Potrivit unor autori, principalul motiv pentru incapacitatea de a rezolva problema este că elevii nu învață metode de rezolvare care, pentru anumite clase de probleme sunt exprimate în termeni de algoritmi și prescripții de tip algoritmic. Metoda (din grecescul methodos – modul de studiu.) – o modalitate de a atinge un obiectiv, de a rezolva o anumită problemă; set de metode sau proceduri de cunoaștere practică sau teoretică a realității.

Scopul acestui ghid este de a revizui metoda coordonatelor de rezolvare a problemelor, care ar trebui să aibă un profesor de fizică pentru a ajuta pe elevi să se pregătească pentru examenul de BAC, să aleagă un loc de muncă.

Metoda coordonatelor de rezolvare a problemelor.

Această metodă este utilizată pe scară largă în rezolvarea problemelor de mecanică în toate compartimentele sale: cinematica, dinamica, statica.

  1.. Rezolvarea problemelor de cinematică prin metoda coordonatelor.

Problema principală este de a compune ecuațiile cordonatelor corpului (punctului material) ca o funcție de timp. La cursul de fizică școlar este ecuația de forma

(1.1)

Aici X0 – coordonatele inițiale ale unui punct material, V0х – proiecția vitezei inițiale în axa x, ах proiecția vectorului de accelerație proiectată pe axa x.

Proiecția vectorului pe axă este o valoare scalară egală cu produsul dintre modulul vectorului la cosinusul unghiului format de vector cu direcția pozitivă a axei. În funcție de unghiul α proiecția vectorului poate fi pozitivă pentru 0 ° ≤ α <90 °, este zero pentru α = 90 °, negativă pentru 90 ° <α ≤ 180 °. În Fig. 1, se arată determinarea proiecției vitezei inițiale Voх pe axa x și în Fig. 1b – proiecția vectorului de accelerație ах.

а) b)

fig. 1

а) V0x = V0 cos α ; b) ax = а cos (180o – α ) = – a cos α. (1.2)

Proiecția vectorului de viteză este pozitivă, și proiecția vectorului accelerație – negativă. Semnul proiecției vectorului determinat de semnul cosinusul unghiului alfa.

Din ecuația (1.1) poate obține o ecuație pentru o proiecție pe viteza axa X ca o funcție de timp prin diferențierea (1.1) după timp.

Capacitatea de a compune ecuația(1.1) și (1.3) și este una dintre principalele abilitățile necesare pentru a rezolva problemele cinematice.

Cea mai răspîndită problemă pentru mișcarea corpului în câmp gravitațional este problema de mișcare a unui corp aruncat la un unghi de orizont.

Problema 1.(1.83). Un corp cade liber fără viteză inițială de la înălțimea de 150 m. La ce înălțime deasupra Pămîntului se va aflâ corpul după 5 s de la începutul mișcării? Rezistența aerului se neglijează

Rezolvarea problemei începe cu alegerea punctului de referință cu care să coincidă originea sistemului de coordonate OX. În acest caz, este convenabil ca punctul de referință și originea sistemului de coordonate să coincidă cu punctul selectat la înălțimea de 150 m de la suprafața pământului, orientînd axa X vertical în jos.

Problema 2. (1.127). De pe un mal abrupt cu înălțimea de 10 m se aruncă o piatră în direcție orizontală cu viteza inițială de 15 m/s. Să se afle timpul căderii și viteza pietrei la căderea ei în apă.

La această problemă corpul se mișcă pe o traiectorie parabolică: proiecțiile vor fi ambele axe. Pe axa OX – orientată orizontal, corpul se deplasează uniform, iar pe axa OY – cade liber. Viteza pietreie compusă din două componente Vx și Vy. Scriem proiecțiile pentru fiecare axă.

Problema 3. O mingea este aruncată de la balcon, situat la o înălțime h deasupra solului, la un unghi α la orizont, cu o viteză V0. Determina timpul de zbor a mingei pînă la sol, distanța de zbor (Xmax coordonata punctului de impact), înălțimea maximă a mingea deasupra solului (valoarea maximă a coordonatei Ymax a mingei) și viteza în momentul căderii la pământ.

Rezolvarea problemei începe cu alegerea punctului de referință care să coincidă cu originea sistemului de coordonate XOY orientînd în mod convenabil axele. În acest caz, este convenabil ca punctul de referință și originea sistemului de coordonate să coincidă cu punctul selectat pe suprafața pământului de sub balcon, orientînd axa X și Y, respectiv, orizontal și vertical. Notăm pe axa Y coordonata de poziție inițială a mingii Y0 = h, orientăm vectorul vitezei inițiale V0 sub un unghi α de la orizont și descrie traiectoria mingii, care, după cum știți, este o parabolă. Punctul de intersecție al parabolei cu axa x va determina coordonata Xmax, a cărei valoare va fi distanța parcursă de minge. Înălțimea maximă a balonului este determinată de valoarea coordonatele vârfului parabolei Ymax. Desenul problemei va avea forma din (figura 2). Pentru a compune ecuațiile de mișcare X = X (t) și y = y (t) (1.1) are sens să scriem componentele acestor ecuații

Х0 = 0;

V0x = V0 cos α X = ( V0 cos α) t (1.4)

gx = 0;

У0 = h;

V0y = V0 cos (90o – α) = V0 sinα У = h +V0 sinα t – (1.5)

gy = – g;

În continuare lucrăm cu ecuațiile (1.4) și (1.5). peste timpul tz (timpul de zbor a mingii) coordonatele mingii vor fi Х = Хmax, у = 0. Atunci ecuațiile iau forma:

Хmax = V0(cosα)tz; (1.6)

0 = h + ( V0 sinα) tz– (1.7)

Rezolvînd ecuația de gradul II (1.7), aflăm timpul de zbor a mingii tz.

, (1.8)

care are o singură soluție, a doua – negativă, ceea ce nu poate fi pentru tz. Înlocuind valoarea tz în formula (1.6) determinăm distanța de zbor a mingii Хmax.

Хmax = V0(cosα) tz = V0(cosα) (1.9)

Vîrful parabolei este punctul de înălțime maximă al traiectoriei mingei si proiecția vitezei pe axa y este zero. Pentru a continua, trebuie să rezolvăm ecuațiile proiecțiilor vitezei V pe axa X și Y în funcție de timp. Luând derivați de timp de (1,4) și (1,5), obținem:

Vx = V0 cos α; (1.10)

Vy = V0 sinα – gt. (1.11)

Ecuația (1.10) arată că de-a lungul axa OX mingea zboară uniform cu viteză constantă, și nu depinde de timp. Mișcarea mingei de-a lungul axei OY este uniform accelerată la momentul ts (timp de zbor pîna la punctul de sus) proiecția vitezei Vy devine zero, iar coordonata y ia valoarea sa maximă Ymax

0 = V0 sinα – gts; (1.12)

уmax = h + ( V0 sinα) tв– gts2/ 2. (1.13)

Aflînd din formula (1.12) timpul ts,

Ts = (V0 sinα) / g, (1.14)

Înlocuim valoarea în formula (1.13) și determinăm уmax- înălțimea maximă a zborului mingei.

уmax = h + ( V02 sin2α) / 2g. (1.15)

pentru a determina viteza mingei în timpul căderii (timpul tz) este necesar de determinat valoarea proiecției acestei viteze Vx și Vy în acest moment.

Vx determinăm din formula (1.10), Vy din formula (1.11), înlocuind valoarea tz:

Vy = V0sinα – gtz = V0 sinα – g (1.16) ,

Viteza mingei în timpul căderii V se determină după teorema lui Pitagora:

(1.17)

Proiecția Vy este negativă, dar ridicată la pătrat ne dă valoare pozitivă.

La rezolvarea problemelor cu mișcarea corpurilor pe verticală aruncate în sus, jos sau în cădere liberă (α = 90о) se reduc la o singură formulei:

У = h + V0 t – gt2/2. (1.18)

Formula (1.18) e scrisă pentru cazul aruncării corpului vertical în sus de la înălțimea h. axa OY e orientată în sus, originea coincide cu nivelul pămîntului.

Dacă corpul este aruncat orizontal (α = 0о), atunci ecuațiile mișcării (1.4) и (1.5) iau forma:

Х = V0 t; (1.19)

У = h – gt2/ 2. (1.20)

Dacă în problemă se descriu mișcările a două corpuri, atunci trebuie de alcătuit ecuațiile mișcării pentru fiecare corp. Dacă la un moment un corp ajunge pe altul sau se întîlnesc, atunci aceasta înseamnă că în momentul dat ele au aceleași coordonate X și Y.

.Problemă №2. Un corp A cade liber de la o înălțime h, corpul B, aflat la o distanță L de la punctul prevăzut de impact a corpului A, este aruncat astfel încât să se ciocnească în zbor cu corpul A. La ce unghi α de la orizont trebuie a arunca corpul B și cu ce viteză pentru ca coliziunea să fie posibilă.

Originea coordonatelor o deplasăm în locul aflării corpului B (fig.3).

Scriem ecuațiile de mișcare a corpurilor.

Pentru corpul А: ХА = L; (1.21)

YА = Н – gt2/ 2. (1.22)

Pentru corpul В:

Хв = ( V0 cos α) t; (1.23)

Ув = ( V0 sinα) t – gt2/2. (1.24)

La ciocnire ХА = Хв; УА = Ув, egalăm părțile drepte a formulelor (1.21) și (1.23), la fel (1.22) și (1.24) obținem ecuația :

L = ( V0 cos α) t; (1.25)

Н – gt2/ 2 = ( V0 sinα) t – gt2/2 sau Н = ( V0 sinα) t. (1.26)

împărțind (1.26) la (1.25), obținem

H / L = sinα / cos α = tg α, de unde α = arc tg H/L. (1.27)

Expresia(1.27) arată că vectorul V0 vitezei corpului В trebuie să fie orientat exact în punctul unde inițial se află corpul A. Numai astfel e posibilă ciocnirea corpurilor A și В.

Valoarea minimă a vitezei trebuie să fie așa ca corpul B în timpul căderii corpului A de la înălțimea H să poată parcurge pe axa X distanța L, în acest caz ciocnirea corpurilor va avea loc în punctul de cădere a corpului A. ecuațiile de mișcare a corpurilor au forma:

Pentru corpul А: 0 = Н – gtz2 / 2; (1.28)

Pentru corpul В: L = ( V0 cos α) tz. (1.29)

Aici tz – timpul căderii libere a corpului A. Rezolvând sistemul de ecuații (1.28) și (1.29), în raport cu V0, obținem

(1.30)

Pentru toate vitezele inițiale a corpului B în mărimi mari determinate de raportul (1.30), ciocnirea corpurilor А și В are loc și cu cît e mai mare V0, cu atît coordonata Y a punctului de ciocnire e mai mare, desigur dacă vectorul vitezei inițiale este orientat sub un unghi față de orizont, determinat de relația (1.27).

Problema 3. Se determină timpul de rulare a bilei din planul xOy, care este înclinată față de planul orizontal la un unghi β, dacă este lansată la un unghi α la axă OX cu viteză V0 (fig. 4). Frecare bilei pe suprafața de neglijat.

În acest caz componenta vitezei bilei Voy va varia pe baza componentei accelerației gy, care este

gy = g sinβ. (1.31)

Atunci coordonata y ia forma:

. (1.32)

Rularea bilei pe plan se va termina în momentul tr, cînd va intersecta axa OX în punctul cu coordonata Х =Хmax. În acest moment coordonata Y devine egală cu 0 și formula (1.32) ia forma:

(V0sinα)tk – (g sinβ)t2k/2 = 0, (1.33)

de unde timpul de rulare tk = 2 (V0sinα) / (g sinβ). (1.34)

Din (1.34) se observă că timpul de rulare a bilei pentru aceleași viteze V0 va fi mai mare, cu cît unghiul β de înclinare a planului XOY față de planul orizontal e mai mic.

Problema № 4. O minge căzînd vertical pe un plan înclinat cu unghiul α față de orizont sare cu viteza V0. Determinați la ce distanță de la punctul de cădere va sări mingea pe planul înclinat.. Шарик, падая вертикально, отскакивает от абсолютно твёрдой наклонной плоскости, расположенной под углом α к горизонту, со скоростью V0. Определить на каком расстоянии от точки падения шарик снова упадёт на наклонную плоскость.

La ciocnirea elastică pe un plan înclinat corpul sare sub un unghi egal cu cel de cădere. Așa cum componenta vitezei de-a lungul planului înclinat rămâne constantă, iar componenta perpendiculară pe planul înclinat își schimbă direcția în opusă, păstrîndu-și valoarea. În cadrul acestei probleme este convenabil să orientăm axele de coordonate după cum se arată Fig. 5 (axa x a lungul planului înclinat, axa y – perpendicular pe aceasta).

Ecuațiile de mișcare a mingei de-a lungul axelor de coordonate vor avea forma:

Х = ( V0 sin α) t + (g sin α) t2 / 2; (1.35)

У = ( V0 cos α) t –(g cos α) t2 / 2. (1.36)

Pentru t egal cu timpul de zbor tz Х = Хmax, iar У = 0. Atunci ecuațiile (1.35) și (1.36) iau forma:

Хmax= ( V0 sin α) tz+ (g sin α) tz2 / 2; (1.37)

0 = ( V0 cos α) tz–(g cos α) tz2 / 2. (1.38)

Din (1.38) determinăm timpul de zbor

Tz = 2V0/g. (1.39)

Mingea va cădea pe planul înclinat din punctul de cădere la distanța

Хmax = 4 V02 sin α / g. (1.40)

Metoda coordonatelor este folosită pentru a rezolva probleme ce țin de mișcarea particulelor încărcate într-un câmp electric omogen. În acest caz, este necesară determinarea valorii și direcției vectorului de accelerație transmis de câmpul electric particulei încărcate, iar apoi compunem ecuațiile de mișcare.

Problema № 5. Un electron pătrunde într-un cîmp electric omogen cu intesitatea 200 V/m cu viteza 107 m/s. Determinați la ce distanță de la locul intrarii în cîmp electronul va ieși, dacă a pătruns sub un unghi de 45 față de liniile intensității.

Asupra electronului, în cîmpul electric acționează forța F = eE. Unde Е – vectorul intensității cîmpului electric, е – sarcina electronului. Așa cum sarcina electronului e negativă atunci și forța e orientată contrasens liniilor de forță a cîmpului electric. Această forță determină accelerația

а = F/m = Ee/m, (1.41)

care, ca și forța e orientată contrar cîmpului electric (fig. 6). Orientînd axa ОХ vertical, iar axa ОY orizontal, obținem situația echivalentă mișcării punctului material aruncat sub un unghi față de orizont în cîmpul gravitațional al Pămîntului. Ecuația mișcării electronului va avea forma:

Х = (Vo sin α) t; (1.42)

Y = (Vo cos α)t – at2/2. (1.43)

Electronul va părăsi cîmpul în punctul cu coordonata Х = Хmax și Y = 0. Determinăm timpul aflării electronului în cîmpul electric din ecuația:

0 = (Vo cos α)tz – atz2/2; t z = (2Vo cos α)/a = (2mVo cos α)/Ee. (1.44)

Atunci Хmax = (2m Vo2 sin α cos α)/Ee = (m Vo2 sin 2α)/Ee, (1.45)

Înlocuind valorile mărimilor fizice, datelor problemei (Vo,Е,α) și mărimilor tabelare (e, m) obținem:

Хmax = 2,8 м.

Problema № 6. Un proton și particulă-α se deplasează cu aceeași viteză, intră în condensator plan paralel la plăcile lui. De câte ori deviația protoni de către câmpul condensatorului de la mișcarea rectelinie va fi mai mare ca deviere particule – a?

Cîmpul electric a condensatorului plan este omogen. Liniile de intensitate sunt perpendiculare plăcilor condensatorului și paralele între ele. Intensitatea cîmpului electric E este uniformă. Așa cum protonul și particula – α au sarcini pozitive, atunci forța ce acționează asupra lor din partea cîmpului este orientată ca și vectorul intensității E a cîmpului electric. Aceeași orientare are și vectorul accelerației а, determinat de acțiunea acestei forțe (fig. 7). Axa ОХ o orientăm paralel plăcilor condensatorului., axa ОY – perpendicular plăcilor – în sus. Scriem ecuația mișcării particulelor încărcate în acest cîmp:

Х = Vo t ; (1.46)

У = at2/2. (1.47)

Timpul de mișcare a particulelor prin cîmpul electric se determină din

tп = L/Vo, (1.48)

Unde L – lungimea plăcilor condensatorului

Diviația de la mișcarea rectilinie a particulelor

Уmax = at п2/2 = а L2/2Vo2. (1.49)

Accelerația obținută de particulăîn cîmpul lelctric se determină

a = q E / m. (1.50)

Înlocuind (1.50) în (1.49), obținem

Уmax = q E L2/ 2 m Vo2 . (1.51)

Sarcina particulei – α este de 2 ori mai mare decât sarcina protonului, iar masa de 4 ori mai mare ca masa protonului. Raportul deviațiilor particulelor de către cîmpul electric al condensatorului se determină din relația

Ур max / Уα max = qp mα / qα mp = 2. (1.52)

2. Rezolvarea problemelor de dinamică prin metoda coordonatelor.

пассивные силы (силы трения, натяжения связывающих тела нитей, реакций опор).

Metoda coordonatelor este utilizată în rezolvarea problemelor privind dinamica. Aici se utilizează noțiunea proiecției vectorilor de putere și accelerație pe axa de coordonate. Ecuația de bază a dinamicii și a doua lege a lui Newton, scris sub forma de proiecții de putere și accelerație pe axa x de coordonate, arată astfel: Σ Fix = max. Capacitatea de a face astfel de ecuații este baza pentru rezolvarea problemelor dinamice, în care, de regulă, este necesare de determinat accelerația mișcării unui corp sau a unui sistem de corpuri și a forței pasive (forța de frecare, tensiunea firelor a corpurilor conectate, reacțiile suporturilor).

Problema № 7. Două corpuri legate cu un fir inextensibil cu masele m1 și m2 se află în ascensor, care urcă cu accelerația a. Aflați forța de tensiune T a firului dacă coeficientul de frecare între corpul m1 și suport este μ.

Corpurile sunt legate cu un fir inextensibil, astfel accelerațiile corpurilor față de suport sunt egale cu aʹ. în sistemul de referință staționar accelerația corpului m2 este orientat vertical și egal а2 = а' – а. Accelerația corpului m1 are două componente verticală а1в = а și orizontală а1г = а'.

Scriem legea II lui Newton pentru mișcarea fiecărui corp în formăde proiecții a forții și accelerației pe axele de coordonate:

Pentru corpul cu masa m1 ОХ: Т – Ffr = m1a1г;

ОУ: N – m1g = m1a1в; Ffr = μ N sau

Т – μ N = m1а';

N – m1g = m1a; (1.53)

Pentru corpulcu masa m2

ОУ: m2g – T = m2a2 или

m2g – T = m2 (а' – а). (1.54)

rezolvînd sistemul obținut, format din ecuațiile (1.53) și ecuația (1.54), obținem expresia pentru forța de tensiune a firului.

Т = m1m2 (g + a)(1 + μ) / (m1 + m2). (1.55)

Problema № 8. De vîrful unui con circular drept a fost suspendată o șaibă cu ajutorul unui fir de lungimea L = 1 m. Tot sistemul se rotește în jurul axei conului așezat vertical. Care este unghiul la vîrful conului 2φ, dacă la numărul minim de rotații a șaibei n = 0,7 с -1 presiunea ei pe suprafața laterală a conului devine egală cu zero ?

La rotirea șaibei pe suprafața laterală a conului asupra ei acționează următoarele forțe mg – forța de greutate, Т – forța de tensiune a firului, N – forța de reacție a suprafeței conului. În sumă ele formează forță ce transmite șaibei o accelerație centripetă (fig. 9). Axa ОХ o orientăm după vectorul accelerației ацс, axa ОY – vertical. Atunci ecuația dinamicii în proecții pe axele ОХ și ОY au forma:

ОХ: Т sin φ – N cos φ = maцс; (1.56)

ОУ: Т cos φ + N sin φ – mg = 0. (1.57)

Atît timp cît șaiba nu se desprinde de suprafața laterală a conului forța de reacțiune N > 0. În timpul desprinderei și după desprindere de la suprafață N = 0. Accelerația centripetă

aцс = v2/R ,

unde R – raza cercului descrisă de saibă pe suprafața conului.

R = L sin φ.

Viteza liniară v depinde de numărul de rotții pe secundă n prin relația: v = 2πRn.

Luînd în considerație următoarele putem scrie ecuațiile (1.56) și (1.57) în forma:

Т = m 4π2n2 L; (1.58)

Т cos φ = mg. (1.59)

Înpărțind (1.59) la (1.58), obținem relația:

cos φ = g/ 4π2n2 L. (1.60)

Înlocuind în (1.60) valorile pentru n și L, determinăm unghiul 2φ la vîrful conului:

cos φ = 9,8 / 4 . 3,142 . 0,72 . 1 = 0,5, deci, φ = 60о, iar 2φ = 120о.

1.3. Utilizarea metodei coordonatelor la probleme din statică.

Metoda coordonatelor este utilizată pe scară largă pentru a rezolva problemele statice. Dacă corpul este în echilibru sub acțiunea unui sistem convergent de forțe ale căror linii de acțiune se intersectează într-un punct, atunci starea de echilibru poate fi scrisă ca următoarele relații: Σ Fix = 0 și Σ Fiy = 0, cînd vectori se află în același plan. În cazul în care sistemul este este în spațiu, apoi la ecuația de mai sus se adaugă ecuația Σ Fiz = 0.

Problema № 9. O bilă electrizată de aluminiu cu raza r, suspendată de un fir neextensibil subțire este situată între două plăci verticale paralele aflate la distanța d. Spațiul dintre plăci este umplut cu gaz lampant. Care este sarcina bilei, dacă la plăci se aplică tensiunea U iar unghiul de deviere a fir este α ?

Reprezentăm bila în poziție de echilibru, în care firul formează un unghi α cu verticala. Câmpul electric generat între plăcile la aplicarea tensiunei U, se consideră uniform. Liniile de forță a câmpului sunt paralele între ele și sunt perpendiculare pe suprafața plăcii de la potențial (+) la placa cu potențial (-). Vectorul intensității E este paralelă cu liniile de forță, iar valoarea sa este definită prin: E = U / εd, în care ε – permitivitatea gazului.

Pe bilă acționează forțele: mg – gravitate, FA – forța Arhimede, T – tensiune firului si FE – Forța exercitată asupra bilei de sarcina câmpului electric (Fig 10)..

Scriem starea de echilibru a bilei în formă de proiecții ale forțelor pe axe,

ОХ: Тsin α – FE = 0; (1.61)

OY: Tcos α + FA – mg = 0. (1.62)

Reprezentăm aceste ecuații sub forma:

Т sin α = FE;

Tcos α = mg – FA.

Împărțind părțile stîngi și drepte ale acestor ecuații obținem raportul :

tg α = FE / (mg – FA). (1.63)

Din acestă expresie exprimăm forța FE

FE = (mg – FA) tg α. (1.64)

Din legile electrostaticii această forță se poate determina după formula:

FE = E q = U q / ε d, (1.65)

unde q – sargina bilei.

Egalînd părțile drepte (1.64) și (1.65) obținem ecuația, din care putem afla sarcina bilei:

U q / ε d = (mg – FA) tg α. (1.66)

Înlocuind în (1.66) expresiile pentru forța de greutate și forța Arhimede, utilizînd densitățile aluminiului și gazului lampant corespunzător:

mg = ρa Vg = (4/3) π r3 ρag, (1.67)

FA = ρk Vg = (4/3) π r3 ρkg. (1.68)

Obținem ecuația

U q / ε d = (4/3) π r3g (ρa – ρk) tg α, (1.69)

Din care aflăm sarcina bilei

q = 4π r3g ε d (ρa – ρk) tg α / 3U. (1.70)

Problema № 10. O scară cu masa m este sprijinită de perete. Care este unghiul minim φ dintre scară și podea pentru care scara se află în echilibru dacă coeficientul de frecare dintre scară și perete e μ1 , iar dintre scară și podea μ2 ? determinați forța de reacțiune a peretelui și podelei și forțele de frecare dintre scară și perete, dintre scară și podea..

Presupunem scara ca fiind un corp uniform pe toată lungimea, de aceea С – punctul de aplicare a forței de greutate mg se află la mijlocul scării АВ (fig. 11). Pe scară în punctul A acționează forța de frecare Ffr1 și forța de reacție a peretelui N1, în punctul B – forța de frecare Ffr2 și forța de reacțiune a podelei N2 (fig. 11).

Astfel s-a creat un sistem arbitrar de forțe plane, de aceea condiția de echilibru a scării se va scrie cu ajutorul a trei ecuații egale cu zero sume de proiecții a forțelor din sistem pe axele de coordonate și sume egale cu zero a sumei momentelor față de axa ce trece prin punctele A sau B perpendicular pe planul desenului. Selectarea acestor axe este condiționată prin faptul că în punctul A nu se precaută forțele Ffr1 și N1, iar în cazul punctului B – Ffr2 și N2, deoarece acestea forțe nu au brațe și momentele lor devin egale cu zero.

ОХ: N1 – Ffr2 = 0; (1.56)

ОУ: Ffr1 + N2 – mg = 0; (1.57)

Fig. 11. În calitate de punct de reper selectăm punctul B, atunci suma momentelor în raport cu axa ce trece prin acest punct, va avea forma:

Ffr1 L cos φ + N1 L sin φ – (mgL/2) cos φ = 0. (1.58)

În acest caz momentele forțelor Ffr2 și N2 sunt egale cu zero, așa cum sunt egale cu zero brațele lor. Așa cum Ffr1 = μ1N1, iar Ffr2 = μ2N2, atunci expresiile (1.56) – (1.58) iau forma:

N1 – μ2N2 = 0;

μ1N1 + N2 – mg = 0;

μ1N1 cos φ + N1 sin φ – (mg/2) cos φ = 0. (1.59)

Din primele două expresii determinăm forțele de reacțiune a podelii și a peretelui

N1 = μ2 mg/ (1 + μ1 μ2); N2 = mg/ (1 + μ1 μ2).

Împărțind (1.59) la cos φ, obținem expresia, din care determinăm unghiul minim de înclinație a scării.

μ1N1 + N1 tg φ – (mg/2) = 0. (1.60)

Înlocuind în (1.60) expresia pentru N1 șiîmpărțind la mg, obținem ecuația din care determinăm :

tg φ = (1 – μ1μ2) / 2μ2; φ = arc tg φ[(1 – μ1μ2) / 2μ2].

Forțele de frecare a peretelui N1 și a podelei N2 la determinăm:

Ffr1 = μ1 μ2 mg/ (1 + μ1 μ2); Ffr2 = μ2 mg/ (1 + μ1 μ2).

7.     Elaborarea unor indicații metodice la tema interdisciplinară „Sisteme de coordonate”

8.     Concluzii

9.     Bibliografie

1. Мальцев С. Н. История географических координат, M: Директ-Медиа Год: 2013, 40c, ISBN: 978-5-4458-3048-1

2. https://ro.wikipedia.org/wiki/Orientare_(geografie)

3. Юшкевич А. П. История математики,т 2. М: Наука Год 1970. 303 с.

4. https://ro.wikipedia.org/wiki/Coordonate_carteziene

5. https://ro.wikipedia.org/wiki/Coordonate_polare

6. Anton, Howard; Irl Bivens, Stephen Davis (2002). Calculus (ed. Seventh Edition). Anton Textbooks, Inc.. ISBN 0-471-38157-8

7. Finney, Ross; George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic (ed. Single Variable Version). (1994). Addison-Wesley Publishing Co.. ISBN 0-201-55478-X

8. Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence The Student's Introduction to Mathematica®. (1999). Cambridge University Press. ISBN 0521594618

9. https://ro.wikipedia.org/wiki/Coordonate_sferice

10. http://www.math.uaic.ro/~cgales/astronomie/curs-2.pdf

Anexa 1

Probleme propuse pentru rezolvare prin metoda coordonatelor

Mișcarea rectilinie uniformă

S) 1.14. Două corpuri, mișcîndu-se uniform rectiliniu, efectuează deplasări egale. Se poate oare considera că și distanțele parcurse de ele sînt egale? Dar invers?

1.15. Un automobil se mișcă pe o șosea rectilinie și în fiecare oră parcurge distanța de 60 km. Se poate oare conchide că automobilul se mișcă rectiliniu uniform?

1.16. Să se afle distanța parcursă în 3, 6 și 8 s de corpul a cărui coordonată în funcție de timp este adusă în figura 1.6.

1.17. Trasați graficul vitezei corpului, cunoscînd graficul deplasării lui (fig. 1.7).

1.18. Mișcarea unui biciclist este descrisă de ecuația x = -120 + 10t, unde coordonata x este exprimată în metri și timpul în secunde. Descriețicaracterul mișcării biciclistului. Aflați coordonata și modul deplasării biciclistului după 3 minute de la începutul mișcării. Determinați momentul de timp la care el trece prin origine sistemului de coordonare.

1.19. În figura 1.8 este reprezentat graficul coordonatei unui corp în funcție de timp. Cît timp s-a aflat în mișcare? Construiți graficul proiecției vitezei și a distanței parcurse de corp în funcție de timp.

1.20. La un strung se confecționează un detaliu în formă de trunchi de con. Catre trebuie să fie viteza de deplasare longitudinală a cuțitului, dacă viteza de deplasare transversală a lui este egală cu 0,5 cm /min. Dimensiunile detaliului (în milimetri) sînt indicate în figura 1.9.

1.21. În figura 1.10 este reprezentat graficul dependenței coordonatei corpului de timp. Determinați intervalul de timp pe parcursul cărui el s-a aflat în mișcare. Construiți graficele vitezei și distanței parcurse de corp în funcție de timp.

M) 1.22. Graficele mișcării a două limuzine (I și II) sînt prezentate în figura 1.11. Ce este comun și prin ce se deosebesc mișcările limuzinelor?

1.23. Un automobil și o motocicletă se mișcă pe o șosea rectiliie unul în întîmpinarea celuilalt. La mumentul inițial de timp coordonatele automobilului și motocicletei sînt egale, respectiv cu 100 m și – 600 m, iar proiecțiile vitezelor lor erau – 20 m/s și 15 m/s. Scrieți ecuațiile mișcării automobilului și motocicletei și determinați pozițiile lor după 10 s. Determinați momentele de timp la care automobilul și motocicleta trec prin originea sistemului de coordonate. Determinați locul și timpul întîlnirii lor. Care va fi distanța dintre ele la 20 s de la începutul mișcării?

1.24. În figura 1.12 sînt reprezentate graficele de mișcare a două corpuri. Scrieți ecuașia mișcării fiecărui corp și descrieți caracterul mișcării lor. Ce semnificație are punctul de intersecție a graficelor?

1.25. Graficele mișcării a două corpuri sînt reprezentate în figura 1.13. Ce viteză trebuie să posede un al treilea corp care începe mișcarea rectilinie uniformă cu două secunde mai tîrziu după începutul mișcării corpului II, pentru ca cele trei corpuri să se întîlnească simultant? Să se scrie legile mișcării celor trei corpuri.

1.26. În figura 1.14 sînt trasate graficele mișcării a două corpuri. La ce moment distanța dintre corpuri va fi egală cu cea din momentul de timp t = 0 s.

1.27. Pe un plan înclinat care formează cu orizontul un unghi de α = , se sprijină pe o bară care se poate deplasa numai în direcție verticală (fig. 1.15). Cu ce viteză se ridică bara, dacă planul înclinat se mișcă cu viteza de 2 cm/s?

1.28. În baza graficelor din fig. 1.16 stabiliți coordonatele inițiale ale corpurilor și proiecțiilor vitezelor acestora. Determinați timpul și locul de întîlnire a corpurilor a căror mișcare este descrisă de graficele I și II

Relativitatea mișcării

S) 1.29. Ce traiectorie față de șosea are axa roților unei biciclete la mișcarea sa pe o porțiune rectilinie a șoselei? Față de corpul biciclistului? Față de un punct extrem al roții?

1.30. Un grup de motocicliști, în timpul unei parade militare, defilează pe stradă păstrînd coloana dată. Ce se poate spune despre mișcarea unui motociclist față de altul?

1.31. Un pasager se află într-un autobuz, care pleacă spre nord cu viteza de 80 km/h. Descrie mișcarea pasagerului în sistemul de referință legat cu:

a) autobuzul;

b) un stîlp de telefon care se află la margine drumului;

c) automobilul, care se mișcă spre sud cu viteza de 100 km/h.

1.32. O barcă, se mișcă pe un rîu păstrînd direcția perpendicular la mal cu viteza ν. Viteza apei este egală cu u. Aflați sub ce unghi față de mal plutește barca, dacă se știe că ν = · u.

1.33. O barcă, mișcînduse perpendicular la malul unui rîu, ajunge la celălalt mal la distanța de 30 m mai joos pe cursul apei în timp de un minut. Lățimea rîului este de 60 m. Aflați viteza bărcii și viteza de curgere a apei.

1.34. Viteza unui biciclist față de șosea este de 10 m/s, iar viteza vîntului care îi suflă din spate este de 6

m/s. Care este viteza vîntului față de biciclist? Dar dacă vîntul îi suflă în față?

1.35. Un parașutist coboară vertical în jos cu viteza de 6 m/s pe timp fără vînt. Cu ce viteză de va deplasa el față de Pămînt în timpul unui vînt orizontal cu viteza față de Pămînt egală cu 8 m/s?

1.36. Un tren pleacă spre sud cu viteza de 24 km/h. Fumul de la locomotivă urcă vertical în sus. Care este viteza vîntului față de tren și față de Pămînt?

1.37. Din punctul A în direcții reciproc perpendiculare au plecat două automobile: unul cu viteza de 4 m/s, altul cu viteza de 3 m/s. Cu ce viteze relative se îndepărtează ele unul de altul?

1.38. Un iaht se mișcă cu viteza de 10 km/h. Vîntul suflă din spate cu viteza de 18 km/h. Care este valoarea și direcția vitezei vîntului față de cea a iahtului?

M) 1.39. Un pasager se află într-un tren, a cărui viteză este de 54 km/h. În întîmpinarea acestuia pe calea ferată paralelă se mișcă un tren de marfă de lungimea 800 m cu viteza de 36 km/h. Cît timp pasagerul va vedea trenul de marfă?

1.40. Un tren de marfă de lungimea 800 m se mișcă cu o viteză de 36 km/h. Pe o cale paralelă se deplasează în același timp un tren de pasageri de lungimea 400 m cu viteza de 72 km/h. În cît timp treul de pasageri va întrece trenul de marfă?

1.41. O coloană de ostași de lungimea 100 m se deplasează cu viteza de 4 km/h. Din coada coloanei spre capul ei se mișcă ostașul de legătură cu viteza de 8 km/h care transmite comanda și imediat se întoarce la coada coloanei. Peste cît timp s-a îtors el?

1.42. Viteza unui tren este egală cu 36 km/h. Sub un unghi drept față de direcția trenului suflă un vînt, a cărui viteză este de 10 m/s. Aflați ce unghi formează stegulețul pus pe acoperișul locomotivei cu vectorul vitezei ei?

1.43. Urma lăsată de picătura de ploaie pe sticla ferestrei vagonului formează un unghi de 30 față de verticală în timpul cînd trenul se mișcă cu viteza de 45 km/h. Cu ce viteză se mișcă trenul, dacă urma picăturii face un unghi de 45 cu verticala? Vîntul lipsește.

C) 1.44. Escalatul metropolitanului urcă pasagerul care stă nemișcat pe banda rulantă într-un minut. În mișcarea pe bandă pasagerul urcă în 54 s. În cît timp pasagerul va urca banda imobilă a escalatorului?

1.45. Un vapor plutește spre sud cu viteza de 36 km/h. Văzînd în mare o navă, observatorul de pe puntea vaporului a constatat că nava se mișcă cu aceeași viteză sub un unghi de 60 spre nord-vest. Cu ce viteză se mișcă nava față de apă și în ce direcție?

Viteza medie. Mișcarea rectilinie uniform variată. Accelerația

S) 1.46. Un motociclist în primele 3 ore a parcurs 153 km, iar în următoarele 3 ore s-a deplasat cu viteza de 50 km/h. Care este viteza medie a motociclistului pe întreaga distanță?

1.47. Un corp se mișcă 4 s uniform cu viteza de 2 m/s, iar la următorii 22 m îi parcurge în timp de 80 s. Aflați viteza medie a corpului în această mișcare.

1.48. Un biciclist s-a mișcat prima jumătate din timp cu viteza de 10 m/s, iar a doua jumătate – cu viteza de 12 m/s. Cu ce viteză medie s-a mișcat biciclistul?

1.49. Un biciclist a parcurs 5 km cu viteza de 10 km/h, s-a oprit pentru 0,25 ore, apoi restul distanței de 10 km i-a parcurs cu viteza de 8 km/h. Să se afle viteza medie a biciclistului pe întreaga distanță.

1.50. Un biciclist a parcurs 6 km cu viteza de 12 km/h, a făcut o pauză, apoi următorii 10 km s-a mișcat cu viteza de 10 km/h. Să se afle durata pauzei, dacă viteza medie a biciclistului pe toată porțiunea de distanță este de 8 km/h.

1.51. Prima jumătate a distanței un automobil s-a deplasat cu viteza de 30 km/h, iar a doua jumătate – cu viteza de 70 km/h. Să se afle viteza medie a automobilului pe toată distanța parcursă.

1.52. Un biciclist me mișcă o treime din timp spre nord cu viteza de 9 km/h, a doua treime din timp – spre vest cu viteza de 12 km/h și restul timpului – spre sud cu viteza de 6 km/h. Să se afle viteza medie de distanță și viteza medie de deplasare.

1.53. Un tren a parcurs primul sfert din toată distanța cu viteza de 60 km/h. Viteza medie pe toată distanța este de 40 km/h. Cu ce viteză s-a mișcat trenul pe cealaltă porțiune a distanței?

1.54. Graficele distanței parcurse S, vitezei ν și accelerației a ale trenurilor 1, 2 și 3 sînt prezentate respectiv, în figurile 1.17 a, b și c. Caracterizați mișcările acestor trenuri.

1.55. Caracterizați mișcările corpurilor, ale căror grafice ale proiecțiilor vitezelor în funcție de timp sînt prezentate în figura 1.18.

1.56. În figura 19 sînt prezentate graficele pentru proiecțiile vitezelor a două corpuri care la momentul

t = 0 au coordonatele x egale.
a) care este semnificația punctului de intersecție a graficelor?

b) care este distanța corpurilor la momentul t = 30 s?

c) La ce moment de timp viteza corpului I este de două ori mai mare decît viteza corpului II?

1.57. Un automobil, pornind din repaus, atinge viteza de 20 m/s în timp de 10 s. Care a fost accelerația automobilului? Peste cît timp de la începutul mișcării viteza lui ar fi devenit egală cu 108 km/h?

1.58. Un motociclist ce se deplasa cu viteza de 10 m/s își continuă mișcarea cu accelerația de
0,5 m/s. Ce viteză va avea motociclistul după 20 s?

1. 59. În cît timp a avut loc accelerația unui automobil, dacă el își mărește viteza de 15 m/s pînă la 30 m/s, mișcînduse cu accelerația de 0,5 m/s.

1.60. Un tren, avînd viteza de 16 m/s, a început să frîneze. Ce distanță parcurge el pînă la oprire, dacă mpdulul accelerației lui este de 0,8 m/s?

1.61. În cît timp un automobil își va mări viteza de două ori, dacă el se mișcă cu accelerația constantă de 0,7 m/s, iar viteza lui inițială este de 21 m/s?

1.62. La frînarea bruscă a automobilului, care se mișcă cu viteza de 20 m/s, s-a oprit după 8 s. Ce distanță a parcurs automobilul pînă la oprire?

1.63. Mișcîndu-se cu accelerația egală cu – 0,5 m/s un corp s-a oprit după 8 s. Ce distanță a parcurs corpul pînă la oprire?

1.64. Un tren se mișca cu viteza de 15 m/s. În timpul frînării el a parcurs la oprire o distanță de 250 m. Considerînd mișcarea trenului unifor încetinită, aflați modulul accelerației lui.

1.65. Viteza de aterizare a unui avion este de 45 m/s, iar timpul deplasării pe pista aerodromului este egal cu 30 s. Aflați distanța parcursă de avion pe pistă.

1.66. Să se afle distanța parcursă de un automobil în timpul, în care viteza lui a crescut de la 10 m/s pînă la 18 m/s, dacă accelerația lui era de 2 m/s.

M)1.67. Un autobuz parcurge distanța de 3 km dintre două stații cu viteza medie de 54 km/h. În această mișcare el accelerează timp de 60 s, apoi se mișcă cu o viteză constantă și frînează timp de 40 s. Contruiți graficul vitezei autobuzului ca funcție de timp și aflați viteza lui maximă.

1.68. Un tren parcurge distanța de 1,2 km dintre două stații cu viteza medie de 43,2 km/h. În această mișcare, în timpul = 40 s el se mișcă accelerat, apoi în timpul se mișcă uniform, iar în timpul = 40 s – uniform încetinit pînă la stația finală. Să se afle viteza maximă a trenului. Se consideră accelerația la mișcarea încetinită egală în modul cu accelerația trenului la mișcarea accelerată.

1.69. Determinați accelerația corpului, știind că în secunda a opta după începutul mișcării el a parcurs o distanță de 30 m.

1.70. Proiecția vitezei unui corp în mișcare variază în acord cu legea = 12 + 3t (mărimile sînt exprimate în SI).

a) Explicați caracterul mișcării corpului.

b) Aflați modulul și sensul vitezei inițiale.

c) Aflați accelerația corpului și sensul ei.

d) Ce viteză va avea corpul peste 10 s și 30 s de la începutul mișcării?

e) Construiți graficul dependenței (t).

f) Construiți graficul în funcție de accelerația de timp.

171. Proiecția vitezei unui corp în mișcare variază în acord cu legea = 12 – 2t (mărimile sînt experimentate în SI).

a) Explicați caracterul mișcării corpului.

b) Aflați modulul și sensul vitezei inițiale.

c) Aflați accelerația corpului și sensul ei. Cum este orientat vectorul accelerației în raport cu vectorul vitezei.

d) Construiți graficele accelerației vitezei și accelerației corpului în funcție de timp.

e) Utilizînd graficul, precum și analitic, determinați veteza corpului după 3 s și 12 s de la începutul mișcării. Comentați rezultatele obținute.

f) Care este sensul fizic al punctului de intersecție a graficului cu axa timpului?

1.72. Mișcarea rectilinie a corpului este descrisă de ecuația x = -2 + 4t – 2 (x este exprima în metri, timpul t – în s). Determinați:

a) poziția corpului la momentul inițial de timp;

b) proiecția vitezei corpului în dependență de timp;

c) momentul de timp la care corpul se va afla în originea sistemului de coordonate.

D) 1.73. Punctul material se mișcă după legea x = 2 – 12t + 2 ( x este exprimat în metri, t – în s). De construit graficele dependenței de timp ale:

a) coordonatei; c) vitezei;

b) distanței parcurse; d) accelerației.

1. 74. Folosind datele din figura 1.20, contruiți graficele coordonatei și accelerației în funcșie de timp. La momentul inițial = 0, coordonata corpului = 0.

1.75. În figura 1.21 sunt reprezentate graficele vitezelor a două corpuri în funcție de timp. Caracterizați mișcarea fiecărui corp și determinați:

a) proiecțiile vitezelor inițiale;

b) modulele și sensurile vectorilor accelerației;

c) ecuațiile coordonatelor în funcție de timp;

d) semnificația fizică a punctului de intersecție a graficelor.

1.76. În figura 1.22 sunt prezentate graficele proiecțiilor vitezei în funcție de timp pentru două corpuri. Contruiți graficele vitezei în funcție de timp pentru accelerațiile și coordonatele corpurilor în funcție de timp. La momentul inițial = 0, coordonatele corpurilor = = 0.

1.77. Două particule au început mișcarea lor la momentul de timp t = 0 din același punct. Folosind graficele pentru proiecțiile vitezei din figura 1.23, aflați timpul și locul de întîlnire din nou a particulelor. Ele se mișcă pe linie dreaptă.

1.78. Determinați distanța percursă de 8 s de corpul al cărui grafic pentru proiecția vitezei este prezentat în figura 1.24.

1.79. Cunoscînd graficul calitativ al proiecției accelerației în funcție de timp (fig. 1.25), trasați graficele calitative pentru proicția vitezei, coordonanță și distanța parcursă de corp în funcție de timp. Condițiile inițiale ale mișcării sunt: ν (0) = 0; x(0) = 0.

1.80. La o mișcare uniform accelerată fără viteză inițială un corp a parcurs în secunda a opta o distanță de 30 m. Ce distanță va parcurge el în secunda a treisprezeccea.

1.81. De la un tren în mișcare se decupează ultimul vagon. Trenul continuă să se miște cu aceeași viteză. Cum se vor raporta distanțele parcurse de tren și vagon pînă la oprirea vagonului? De considerat mișcarea vagonului uniform încetinită.

1.82. Un avion decolează timp de 24 s. Să se calculeze distanța parcursă de avion pînă la pistă și teza lui la momentul decolării, dacă la jumptatea distanței de decolare viteza lui era de 30 m/s.

Mișcarea corpului pe verticală

S) 1.83. Un corp cade liber fără viteză inițială de la înălțimea de 150 m. La ce înălțime de asupra Pămîntului se va aflâ corpul după 5 s de la începutul mișcării? Rezistența aerului se neglijează

1.84. Un corp în cădere liberă a obținut la sfîrșitul primei jumătăți a înălțimii viteza de 20 m/s. Peste cît timp de la începutul căderii corpul ajunge la suprafața Pămîntului ?

1.85. Un corp este aruncat vertical în sus cu viteza inițială de 30 m/s. La ce înălțime viteza lui va deveni egală cu 10 m/s?

M) 1.87. Două pietre se află pe aceeași verticală la distanța de 25 m una sub alta. pietrei superioare i se imprimă în jos o viteză inițială de 20 m/s, simultan cea inferioară este lăsată liber. Peste cît timp pietrele se vor ciocni?

1.88. În ultima secundă a căderii sale fără viteză inițială un corp a parcurs 3/4 din înălțimea de la care cade. Cît timp a căzut corpul?

1.89. Un corp a fost aruncat vertical în sus cu viteza inițială de 20 m/s. Peste cît timp el se va afla la înălțimea de 20 m? Dar la înălțimea de 10 m? Comentați rezultatele.

D) 1.90. În ultima secundă a căderii libere un corp a parcurs distanța de douî ori mai mare decît în secunda precedentă. De la ce înălțime a căzut corpul?

1.91. Sunetul de la o împușcătură și glonțul ajung simultan la înălțimea de 1020 m. Care este viteza inițială a glonșului, dacă viteza sunetului este de 340 m/s ?

1.92. Dintr-un balon cu aer cald, care se afla la înălțimea de 240 m, a fost lăsat să cadă liber un corp mic și greu fără viteză inițială față de balon. Să se afle timpul de cădere a corpului dacă:

a) balonul se afla în repaus;

b) balonul coboară vertical cu viteza de 5 m/s;

c) balonul urcă vertical cu viteza de 5 m/s.

1.93. Pentru a afla adîncimea unei mine un om a lăsat să cadă liber o pietricică mică fără viteză inițială și a auzit zgomotul de la ciocnirea ei cu fundul minei după 6 s. Aflați adîncimea minei. Viteza sunetului în aer este egală cu 340 m/s.

C) 1.94. Dintr-un aerostat care coboară uniform cu viteza de de se aruncă în sus un corp cu viteza de față de Pămînt.

a) Ca va fi distanța dintre aerostat și corp la momentul, la care înălțimea corpului față de Pămînt este maximă?

b) Care va fi distanța maximă dintre corp și aerostat?

c) După cît timp de la momentul de aruncare corpul va ajunge aerostatul?

1.95. O minge a fost aruncată vertical în sus. La înălțimea de 5 m ea s-a aflat de două ori la nivelul de 6 s. Să se afle viteza inițială cu care a fost aruncată mingea.

1.96. Două corpuri sînt aruncate din același punct de la înălțime mare cu aceleași viteze inițiale: un corp vertical în sus, altul – vertical în jos. Ele au căzut pe pămînt la intervalul de timp de 6 s. Cu ce viteze sînt aruncate corpurile? Rezistența aerului se neglijează.

1.97. Două corpuri sînt aruncate vertical în sus din același punct cu aceeași viteză inițială de 10 m/s la intervalul de 1 s. Peste cît timp de la momentul aruncării corpului al doilea și la ce înălțime se vor întîlni ele?

1.98. Un corp a fost aruncat vertical în sus cu viteza inițială de 20 m/s. Cu cît mai tîrziu trebuie aruncat în sus cu aceeași viteză inițială un al doilea corp pentru ca ele să se ciocnească la înălțimea egală cu jumătate din înălțimea maximă la care a urcat primul corp?

Mișcarea circulară uniformă

S) 1.99. Cu ce viteză se rotește Pămîntul pe orbita sa în jurul Soarelui? (Raza orbitei 1,5 · m). Rezultatul se va exprima în km/s.

1.100. Un punct al unui volant face 40 rotații în 3 min. Determinați perioada de rotație a volantului.

1.101. O roată, al cărei diametru este egal cu 0,5 m efectuează 2,5 rot/s. Aflați accelerația centripetă a unui punct situat la marginea roții.

1.102. Viteza liniară a unui punct al discului în rotația lui în jurul unei axe fixe este egală cu 0.25 m/s, iar accelerația lui centripetă este egală cu 2,5 m/s. Aflați distanța acestui punct de la axa de rotație.

1.103. Care este viteza unghiulară de rotație a Pămîntului în jurul Soarelui? Dar de rotație în jurul axei sale?

1.104. Viteza liniară a punctelor de la marginea unei roți cu raza de 0,5 m este de 1,95 m/s. Cu ce este egală viteza unghiulară a roții?

1.105. Viteza unghiulară a unei roți de raza 0,5 m este de 12 rad/s. Aflați accelerația centripetă a punctului care se află la marginea roții.

M) 1.106. De cîte ori acul minutar este mai lung decît cel ce indică orele, dacă viteza liniază a punctului extrem al minutarului este de 24 ori mai mare decît cea a vîrfului acului ce indică orele?

1.107. Viteza liniară a punctelor de pe marginea unei roți cu raza de 0,6 m este de 9 m/s. Care este viteza punctelor ce se află cu 0,2 m mai aproape de centrul roții?

1.108. Un disc se rostogolește fără alunecare pe o suprafață orizontală astfel încît viteza centrului său este egală cu 1 m/s. Aflați vitezele punctelor , ,și ale roții în rapor cu Pămîntul (fig. 1.26).

1.109. Pe un arbore de rază 20 cm este înfășurat un cablu. Timp de 8 s de la începutul rotației uniforme pe arbore au fost înfășurați 8 m de cablu. Aflați frecvența de rotație a arborelui și viteza lui unghiulară.

1.110. Cum se va modifica viteza liniară a punctului material în mișcarea circulară uniformă, dacă viteza unghiulară s-ar micșora de două ori, iar distanța de la axa de rotație s-ar mări de trei ori?

D) 1.111. Aflați viteza liniară și accelerația centripetă cu care se mișcă punctele suprafeței terestre la latitudinea Chișinăului ( l.n.) în timpul rotației diurne a Pămîntului.

1.112. Elicea cu raza de 1,5 m a unui avion se rotește cu turația de 3·10 min. , iar viteza lui este de 180 km/h. Care este viteza punctului de la vîrful elicei? Care este traiectoria acestui punct în raport cu avionul și în raport cu Pămîntul?

1.113. Un copil rotește uniform o piatră legată de ață de lungime 0,5 m în plan vertical cu frecvența de 3 s. La ce înălțime se ridică piatra, dacă ața se rupe la momentul, cînd viteza corpului este orientată vertical în sus?

1.114. Un punct se mișcă pe un cerc cu viteza constantă de 30 cm/s. Vectorul vitezei își modifică direcția cu 45 în 2 s. Aflați accelerația centripetă a punctului.

1.115. O bilă suspendată de un fir inextensibil care formează un unghi α = 60 față de verticală se află pe o emisferă netedă de rază = 10 cm (fig. 1.27). Triunghiul este dreptunghic. Bilei i se imprimă viteza constantă
ν = 10 cm/s perpendicular pe planul desenului, bila mișcîndu-se uniform pe suprafața emisferei. Aflați:

a) viteza unghiulară a bilei;

b) perioada de rotație a bilei.

1.116. Discul ferestrăului electric I (fig. 1.28) are diametrul de 40 cm. Pe axa discului este instalată roata II cu diametrul de 4 cm care este pusă în mișcare de o curea de transmisie de la roata motorului electric III cu raza egală cu 10 cm. Determinați viteza punctelor de la marginea discului I, dacă motorul face 1200 rot/min.

1.117. În mecanismul unu indicator cu ac (fig. 1.29) roata dințată de raza se rotește cu o viteză unghiulară egală cu 2 rad/s. Roata 1 este angrenată cu roata 2 de rază = 1,5, de care este fixat acul indicatorului de lungimea = 30 cm. Determinați viteza liniară a vîrfului acului .

1.118. Unghiul de rotație al unui disc cu raza de 0,2 m variază conform legii:

φ = 6,28(rad). Aflați viteza unghiulară, frecvența de rotație, viteza liniară și accelerția centripetă a punctelor de la marginea discului.

1.119. Distanța parcursă de un punct material în mișcarea sa pe o circumferință cu raza de 1 m variază în acord cu legea = 9,42(m). Determinați viteza unghiulară , frecvența și perioada de rotație a punctului material.

1.120. Acul secundar a efectuat 5 rotații complete. Calculați unghiul de rotație al acului, perioada de rotație, viteza lui unghiulară.

1.121. O mașină de perforat este folosită pentru a face o gaură cu raza de 10 mm. Viteza liniară a punctelor exterioare a sfredelului este egală cu 62,8 cm/s, iar avansarea lui – cu 0,2 mm/rot. Care este adîncimea găurii, dacă sfredelirea a durat 1 min.?

1.122. Arborele motorului unei limuzine se rotește cu viteza unghiulară de

180 rad/s. Să se afle viteza liniară a curele de transmisie și viteza unghiulară a ventilatorului limuzinei, dacă diametrul roții de transmisie a motorului este de 9 cm, iar a ventilatorului lui – de 6 cm.

Mișcarea corpurilor pe traiectorii parabolice

S) 1.123. Un corp este aruncat orizontal cu viteza inițială de 1 m/s. Luînd originea sistemului de coordonate în punctul de aruncare și orientînd axa în sensul vitezei inițiale, iar axa – vertical ăn jos, să se construiască graficele proiecțiilor accelerației și vitezei pe axele de coordonate, precum și a coordonatelor, în funcție de timp.

1.124. Dintr-o armă automată s-a produs o singură împușcătură. Ce va cădea mai repede la sol: glonțul sau tubul mecanic în care a fost glonțul, considerînd că și glonțul, și tubul au zburat simultan în direcții orizontale. Rezistența aerului se neglijează.

1.125. În ce direcție trebuie să sară la circ un călăreț de pe cal pentru a trece printr-un inel și a cădea înapoi pe el? Rezistența aerului se neglijează.

1.126. Care este bătaia glonțului care iese cu viteza de 600 m/s dintr-o armă situată orizontal la înălțimea de 1,5 m? Rezistența aerului se neglijează.

1.127. De pe un mal abrupt cu înălțimea de 10 m se aruncă o piatră în direcție orizontală cu viteza inițială de 15 m/s. Să se afle timpul căderii și viteza pietrei la căderea ei în apă.

1.128. Să se afle viteza corpului peste 3 s după ce a fost aruncat orizontal da la înălțime mare cu viteza de 40 m/s.

M) 1.129. Distanța de zbor a unui corp aruncat în direcție orizontală cu viteza de 15 m/s este egală cu înălțimea de la care a fost aruncat. De la înălțime a fost aruncat corpul?

1.130. Un avion zboară în direcție orizontală la înălțimea de 1280 m cu viteza de 540 km/h. La ce distanță pe orizontală de la țintă trebuie eliberată bomba pentru cu ea să ajungă la țintă? Care este viteza bombei la momentul distrugerii țintei?

1.131. Dintr-un elicopter care zbura orizontal la înălțimea de 150 m cu viteza de 72 km/h a fost lăsat liber un corp. La ce înălțime viteza lui va face un unghi de 45 , dacă el aterizează pe pantă la o distanță de 32 m de la trambulină?

1.132. Ce viteză avea schiorul la ieșirea dintr-o trambulină orizontală, instalată pe un munte cu înclinația față de orizont egală cu 45, dacă el aterizează pe pantă la o distanță de 32 m de la trambulină?

1.133. Un corp este aruncat sub un unghi de 60 față de o suprafață orizontală cu viteza inițială de 12 m/s. Să se afle: a) proiecțiile vitezei inițiale pe axele de coordonate; b) timpul de ridicare și timpul de coborîre; c) înălțimea maximă la care se ridică corpul; d) bătaia corpului; e) viteza de aterizare; f) unghiul dintre viteza la cădere pe orizont.

1.134. În ce punct al traiectoriei glonțul lansat sub un unghi față de orizont are viteza minimă?

1.135. O minge este aruncată cu viteza de 10 m/s sub un unghi de 45 față de orizont. Să se afle componenta orizontală și verticală a vitezei inițiale, înălțimea maximă de zbor, timpul de zbor, distanța de zbor.

1.136. Un proiectil iese din țeava tunului cu viteza de 600 m/s sub unghiul 30 față de orizont. Cît timp proiectilul s-a aflat în zbor? La ce distanță de la tun el va cădea pe pămînt?

1.137. La ce înălțime maximă se va ridica corpul aruncat sub un unghi față de orizont, dacă timpul de zbor este de 6 s?

1.138. Un corp este aruncat sub un unghi de 60 față de orizont cu viteza inițială de 10 m/s. Aflați momentele de timp la care viteza corpului face un unghi de 30 cu orizontul.

1.139. Doi evevi aruncă o minge unul spre altul sub un unghi de 45. La ce distanță se află elevii, dacă mingea zboară de la un elev la altul în timp de 2 s?

1.140. Viteza inițială a unui corp aruncat sub un unghi față de orizontală este egală cu 10 m/s. După 0,5 s viteza corpului a devenit egală cu 8 m/s. La ce înălțime maximă s-a ridicat corpul?

D) 1.141. Un motociclist ajunge la un mal înalt al unui șans (fig. 1.30). Un mal al șanțului este mai înalt decît celălalt cu 1,5 m. Lățimea șanțului la nivelul malului mai jos este de 4 m. Ce viteză minimă trebuie să dezvolte motociclistul la desprinderea de la malul înalt pentru a sări șanțul? Șoseaua face cu orizontul un unghi de 18.

1.142. De pe o pantă de deal cu înclinarea de 30 se aruncă o piatră cu viteza inițială de 10 m/s perpendicular la pantă.

a) Care este timpul de zbor al pietrei? b) La ce distanță va cădea ea de pe pantă?

1.143. De la înălțimea de 40 cm cade liber o bilă pe o suprafață, care formează cu orizontul unghiul de 30, și care se reflectă sub un unghi de 60 față de verticală cu viteză egală cu cea de cădere pe suprafață. Să se afle: a) distanța dintre primele două ciocniri cu suprafața; b) timpul de zbor dintre aceste două ciocniri.

1.144. O piatră este aruncată cu viteza inițială de 10 m/s sub un unghi de 45 față de orizont. Care este modul deplasării pitrei dintre punctul inițial și punctul, în care ea ajunge la înălțimea maximă?

1.145. Un corp este aruncat cu viteza de 20 m/s sub un oarecare unghi α. Aflați accest unghi, dacă după 1 s corpul se află la înătțimea de 10 m. După ce intervalul ulterior de timp corpul din nou va fi la această înălțime?

1.146. Planul înclinat face cu orizontul un unghi de 30. De pe el sub unghiul de 60 (gig.1.31) este aruncat un corp cu viteza inițială de 2 m/s. Să se afle coordonata a locului primei căderi a corpului pe plan.

1.147. Două corpuri sînt aruncate de la înălțimea de 20 m cu vitezele inițiale de 15 m/s fiecare: unul vertical sus, iar al doilea – orizontal. Cu ce viteze vor cădea ele pe pămînt?

1.148. O sferă de lemn alunecă pe o podea cu viteza constantă de 2 m/s. La capătul podelei se află o scară cu înălțimea de treptei de 20 cm și lățimea de 30 cm. De care treaptă se lovește prima dată mingea?

1.149. Cu ce viteză minimă trebuie aruncată o piatră de pe un mal al unui rîu de lățime egală cu 20 m, pentru ca ea să cadă pe malul opus? Piatra este aruncată de la înălțimea de 5 m față de malul opus sub un unghi de 60 față de orizont?

1.150. O minge aruncată cu viteza de 10 m/s sub un unghi de 60 față de orizont se lovește de un perete vertical care se află la distanța de 5 m de la locul de aruncare. Să se afle modulul vitezei mingii la momentul ciocnirii.

1.151. Două corpuri sînt aruncate simultan din același loc. Viteza inițială a primului corp este de 10 m/s și este orientată vertical în sus, vitexa corpului al doilea este de 20 m/s și este orientată sub un unghi de 30 față de orizont. Să se afle distanța dintre corpuri la momentul în care primul corp se află la înălțime maximă.