Aspecte ale Predarii, Invatarii, Evaluarii. Operatii Aritmetice de Inmultire a Numerelor Naturale In Ciclul Primar

CUPRINS

Cuprins

CAPITOLUL I

INTRODUCERE

I.1 Matematica și rolul matematicii ca știință și obiect de studiu. Importanța învățării matematicii în învățământul primar

Dezvoltarea continuă a științei, succesele sale spectaculoase din ultima vreme nu s-ar fi realizat fără dezvoltarea uneia dintre cele mai mari creații ale genului uman- matematica .

Învățarea matematicii se situează, analogic vorbindm în același plac cu învățarea limbii sau cu a alotor discipline care dispun de o anumită ordine logică, mai dificil de explorat de unul singur .

În acest context se plasează și Didactica matematicii, ea reprezentând ”ceva diferit” față de o aplicare a pedagogiei generale la matematică . De aici, a rezultat nevoia construirii unei psihopedagogii specifice , proiectate să trateze de pe poziții profesioniste tripletul

COPIL/ELEV –MATEMATICĂ- REALITATE.

Problematica psihopedagogiei este una complexa .Această lucrare încearcă să ofere câteva motivații ale aceste complexități, ele fiind delimitate de interesul manifestat, în special, de cadrele didactice.

Metodicile sau ”didacticile speciale ” sunt discipline ce aparțin sistemului științelor educației, având ca obiect studierea și descoperirea legalitaților care guvernează procesul de predare-învățare-evaluare.

Studiul matematicii în clasele primare își propune să asigure pentru toți elevii învățarea și formarea conceptelor de bază vizând: ciclul aritmetic, noțiuni introductive si intuitive de geometrie, măsurare și măsuri .

Obictivele predării matematicii în ciclul primar sunt următoarele :

Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;

Dezvoltarea capacităților de explorare –investigare și rezolvare de probleme;

Formarea și dezvoltarea capacității de a comunica, utilizând limbajul matematic;

Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate .

În ansamblul său, concepția care stă la baza actualei programe de matematică vizează următoarele aspecte :

Trecerea de la o aritmetică teoretică la o varietate de contexte problematice care configurează disciplina aritmetică în sens pragmatic ;

Trecerea de la aplicarea unor algoritmi la folosirea unor strategii în rezolvarea de probleme;

Trecerea de la memorare la explorare-investigare și anticipare ;

Trecerea de la statutul de transmițător de activități variate de învățare pentru toți copiii, în funcție de nivelul lor de învățare;

Trecerea de la subiectivitatea și rigiditatea modelului de notare la transformarea evaluării într-un mijloc autentic de autoapreciere si stimulare a elevului.

Obiectivele cadru ale predării matematicii în ciclul primar sunt următoarele:

Cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii .

Dezvoltarea capacităților de explorare-investigare și rezolvare de probleme.

Formarea și dezvoltarea de capacități de a comunica, utilizând limbajul matematic.

Dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate.

Studiul matematicii în ciclul primar își propune șă asigure pentru toți elevii învățarea și formarea conceptelor de bază vizând:

Ciclul aritmetic

Noțiuni intuitive de geometrie

Măsurare și măsuri .

I.2 Importanța și motivarea alegerii temei

Motivația alegerii acestei teme este importanța disciplinei Matematică în formarea, dezvoltarea elevilor, dar și în formarea unor abilități ale acestora bazate pe logică și gândirea algoritmică. De asemenea, pentru elevul din ciclul primar, Matematica va viza formarea unor abilități primare legate de sensul operațiilor, a rezultatelor fiecărei operații în parte. Se urmărește ca elevul să poată corela operațiile aritmetice cu cele logice , să îsi optmizeze calculul mintal și utilizarea lui în situații practice.

Învățământul pe parcursul claselor I-IV are un caracter formativ, în această perioadă punându-se practic bazele sistemului de noțiuni care se dezvoltă și se aprofundează pe parcursul întregului interval școlar.

În egală măsură, sunt vizate formarea și însușirea noțiunii de mărime și necesitatea măsurării , cunoașterea marimilor și unităților de măsurare, a instrumentelor de măsură, aplicarea în practica a noțiunilor legate de unitățile de măsură.

În clasa a II-a apare operația de înmulțire ca noțiune nouă, pe care o poate aprofunda cu ajutorul operațiilor studiate anterior, de adunare și scădere. De asemenea, este deosebit de importantă în aprofundarea acestor noțiuni de înmulțire și maiestria învățătorului în formarea elevului .

Alegerea operației de înmulțire ca temă a lucrării este motivată de faptul că aceasta este una dintre cele mai importante operații, alături de cele de adunare și scădere. Ea va fi necesară pe tot parcursul vieții, în diverse calcule uzuale (aflarea unei suprafețe, a costurilor, a reducerilor, a unor dobânzi etc.).

De-a lungul anilor, activitatea didactică m-a ajutat să realizez că elevii pot întâmpina dificultăți în înțelegerea și fixarea noțiunilor de înmulțire a numerelor naturale. Este foarte important însă ca aceste noțiuni să fie fixate la timp, fără să afecteze desfășurarea altor activităși viitoare, ci să vină în ajutorul lor .

În această perioadă, sunt necesare aplicarea anumitor metode pentru a-i ajuta pe elevi să deprindă cunoștiințele necesare . Am constatat că jocul didactic este una dintre aceste metode, foarte eficientă pentru elevii din clasele primare.

Matematica este o disciplină care îl va ajuta pe elev pe tot parcursul dezvoltării lui ca îndivid, dar și mai departe în viață. De asemenea, se dorește să se ofere altenative tehnico-metodologice, norme, metode și tehnici posibile de lucru care să asigure optimizarea învățamântului matematic în ciclul primar .

Se urmăresc următoarele aspecte: cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii, dezvoltarea capacităților de explorare, investigare și rezolvarea de probleme, formarea si dezvoltarea comnunicarii utilizând limbajul matematic .

Așadar, disciplina Matematica și înțelegerea corectă a noțiunilor de înmulțire a numerelor naturale în ciclul primar sunt definitorii în formarea școlarului .

I.3. Ipoteza de lucru și obiectivele cercetării

Procesul formării conceptului de înmulțire a două numere naturale și a celorlalte operații cu numere naturale se bazează pe noțiunile de mulțimi. Acestea reprezintă baza pentru înțelegerea de către elevi a operațiilor cu numere naturale, dar și pentru principiile pe care se bazează calculele și proprietășile operațiilor.

Ipoteza aleasă de mine in cercetarea facută pe parcursul acestei lucrări este următoarea: folosirea si integrarea adecvată pe parcursul orelor de matematică a metodelor active de predare−învățare−evaluare vor duce la eficientizarea învățării noțiunilor operațiilor matematice cu numere naturale, în special, înmulțirea, astfel crescând randamentul școlar al elevilor.

Pentru a se proba ipoteza aleasă, am efectuat o cercetare pedagogică, în cadrul căreia am inclus mai multe metode de cercetare : observația, experimentul, testarea cunoștințelor .

Obiectivele cercetării:

Realizarea unei sinteze teoretice a modului în care tema este prezentată în literatura de specialitate;

Stabilirea unei strategii didactice eficiente, personalizată, orientată spre elev;

Analiza rezultatelor obținute de eșantionul de elevi și elaborarea unor concluzii.

Finalitațile cercetării asupra elevilor sunt urmatoarele :

Formarea unor deprinderi de învățare individuală și dezvoltare a gândirii elevilor

Formarea unor noțiuni științifice privind dezvoltarea gândirii sistematice (capacitate de gândire rapida, sistematică, imaginație, transfer informativ etc. )

În cercetarea psiho−pedagogică am inclus următoarele :

Utilizarea unor strategii didactice pentru amplificarea performanței școlare

Integrarea metodelor de predare în activități școlare pentru stimularea si motivarea procesului instructiv- educativ;

Adaptarea metodelor de predare, învățare, evaluare la specificul clasei de elevi;

Dezvoltarea si adaptarea unor algoritmi specifici operațiilor matematice cu numere naturale .

Cunoașterea și utilizarea unor tehnici moderne de evaluare

Analizarea datelor inițiale și finale;

Folosirea metodelor și a descriptorilor drept criterii de măsurare obiectivă a rezultatelor;

Evaluarea finală a cunoștiințelor acumulate despre operațiile cu numere naturale.

Sistematizearea observației realizare pe parcursul cercetării didactice și conceperea unor materiale didactice adaptate la nivelul psihic și intelectual al elevilor – desprinderea de concluzii cu privire la realizarea lucrării.

CAPITOLUL II

FUNDAMENTAREA TEORETICĂ

Metodicile sunt discipline ce aparțin sistemului științelor educației, având ca obiect studierea și descoperirea legalităților care guvernează procesul de predare-învățare-evaluare al unei anumite discipline școlare. Metodica predării-învățării matematicii analizează în spiritul logicii științelor moderne obiectivele, conținuturile, strategiile didactice, mijloacele de învățământ folosite, formele de activitate și de organizare a elevilor și cadrelor didactice, modalitățile de evaluare a randamentului școlar și a progresului rezultatelor, bazele cultivării unor repertorii motivaționale favorabile pentru învățarea matematicii. De asemenea, metodica își propune să ofere alternative tehnico-metodologice, norme, metode și tehnici posibile de lucru care să asigure optimizarea procesului de învățământ pentru disciplina matematică în ciclul primar .

Studiul matematicii în școala primară are ca scop să asigure pentru toți elevii învățarea și formarea conceptelor de bază vizând :

Ciclul aritmetic;

Noțiuni intuitive de geometrie;

Măsurare și măsuri.

Elementele pregătitoare pentru înțelegerea conceptului de număr natural sunt exerciții

practice pentru formarea ideii de corespondență între mulțimi de obiecte, pentru clasificarea unor obiecte după forma și/sau culoare.

Se consideră că pentru a putea desfășura activități didactice privind introducerea noțiunii

de număr natural, învățătorul trebuie să cunoască câteva noțiuni referitoare la modelul matematic al conceptului de număr natural.

Necunoașterea acestor noțiuni poate duce la formarea la elevi a unor reprezentări greșite asupra noțiunii de număr natural, fapt ce ar atrage după sine însușirea incorectă a noțiunilor și relațiilor natematice și chiar a limbajului matematic corespunzător .

În general, în matematică există două puncte de vedere privind introducerea noțiunii de număr natural: unul bazat pe mulțimi echivalente, iar celălalt pe noțiunea succesor (aritmetica lui Peano).

În continuare, vor fi prezentate câteva aspecte privind predarea-învâțarea conceptului de număr natural pe baza abordărilor menționate anterior.

II.1 Constituirea mulțimii numerelor naturale

Matematica este știința conceptelor abstracte, construite la diferite nivele prin inducție, deducție sau transducție.

Copilul din clasele primare se caracterizează printr-o gândire cu caracter intuitiv, el gândește operând cu mulțimi concrete.

În continuare sunt prezentate cîteva noțiuni de bază despre mulțimea numerelor naturale și maniera de prezentare a acestora elevilor din clasele primare.

Numere naturale

Fie A si B două mulțimi. Spunem că cele două mulțimi sunt echipotente, dacă există o funcție bijectivă .

Acest fapt îl scriem și citim că mulțimea A este echipotentă cu mulțimea B.

Exemplu: și . Aceste mulțimi sunt echipotente, conform diagramei de mai jos :

Relația de echlpotență are următoarele proprietăți:

(reflexivitate )

Dacă (simetrie)

Dacă și (tranzitivitate)

Justificarea acestor proprietăți este imediată. Relația de echipotență fiind reflexivă, simetrică și tranzitivă, este o relație de echivalență.

Clasele de echipotență determinate de relația de echipotență se numesc cardinale. Noțiunea de număr cardinal este destul de abstractă și imposibil de prezentat elevului mic. Pentru a defini numerele naturale este suficient însă să ne referim la mulțimi finite echipotente.

Se numește așadar număr natural, cardinalul unei mulțimi finite de elemente. Mulțimea numerelor naturale se notează cu si este formată din următoarele elemente

În ceea ce privește introducerea axiomatică a noțiunii de număr natural, Giuseppe Peano (1858- 1932), a arătat în 1891 că toate proprietățile numerelor naturale rezultă din următoarele cinci axiome care îi poartă numele :

A1 : 0 este număr natural

A2: orice număr natural are un singur succesor

A3: 0 nu este succesorul niciunui număr natural

A4: două numere distincte au succesori diferiți

A5: mulțimea numerelor naturale este cea mai mică mulțime cu proprietățile:

Îl conține pe 0

O dată cu orice număr, conține și succesorul său.

Relația de ordine in

Axioma a 2-a a lui Peano arată că orice număr natural dat are un succesor. De aici rezultă că în șirul numerelor naturale nu există niciun număr despre care să spunem că este ultimul.

Din axioma a 3- a rezultă că zero este primul număr natural .

Prin relația de succesiune s-a introdus o relație între două elemente vecine notate cu semnul ”>” și anume succesorul lui n este mai mare decât n.

Pentru două numere oarecare a și b, se introduce o relație notată tot cu ”>”, astfel spunem că a este mai mare decât b dacă există un număr c≠0, astfel încât a=b+c. Spunem că a≥b, dacă

a >b sau a=b.

Relația ”≥” este o relație de ordine pe mulțimea numerelor naturale deoarece are următoarele proprietăți:

P1: (reflexivitate)

P2: și (simetrie )

P3: și (tranzitivitate )

Mulțimea numerelor naturale este mulțimea total ordonată, deoarece pentru oricare două numere naturale m, n, există una din relațiile următoare :

n este mai mare decât m (n>m)

m este egal cu n (m=n)

m este mai mare sau egal cu n (m≥n).

II.2 Metodologia formării conceptului de număr natural .Operații cu numere naturale

Pentru o mai bună întelegere și însușire a conceptului de număr natural de către elevi, învățătorul trebuie să reia unele jocuri logico-matematice din învățământul preprimar, jocuri legate de însușirea conectorilor logici, de formare a unei mulțimi, de ordonare a elementelor unei mulțimi etc.

Se va acorda o deosebită atenție utilizării limbajului matematic adecvat posibilităților de înțelegere ale copiilor și nivelului lor de pregătire. Prin activități concrete elevii vor fi capabili să stabilească corespondența între elemente a două mulțimi și, pe această bază, să exprime prin cuvinte că două mulțimi au tot atâtea elemente, sau că una din ele are ”mai multe ” sau ”mai puține” elemente. Aceste lucruri stau la baza familiarizării elevilor cu noțiunea de mulțimi echivalente (mulțimi care au tot atâtea elemente) și a noțiunii de clasă de echivalență.

La început este util ca învățătorul să utilizeze o serie de jocuri legate de experiența de viață a copilului, iar apoi, treptat, să utilizeze obiecte matematice care pot duce la concretizări. Aceste activități de punere în corespondență a elementelor a două mulțimi se pot desfășura fie prin stabilirea echivalentă a două mulțimi de obiecte realizând corespondența element cu element (unu la unu), fie prin construirea unor mulțimi echivalente cu o mulțime dată (mulțimi cu tot atâtea elemente ).

Pentru realizarea acestor activități, se recomandă utilizarea reprezentării mulțimilor prin diagrame Venn-Euler și marcarea corespondenței elementelor prin săgeți sau utilizarea rigletelor care dă posibilitatea elevilor să compare lungimi și să utilizeze termenii ”mai mic”, ”mai mare”, ”tot atât de mare”.

Obiectivele generale pentru predarea-învățarea operațiilor cu numere naturale sunt următoarele :

Conștientizarea sensului operațiilor, a rezultatelor specifice fiecărei operații, denumirea termenilor dintr-o operație;

Cunoașterea relațiilor dintre termenii componenți și rezultat, a relațiilor dintre operații (adunare-scădere, adunare-înmulțire, înmulțire-împărțire, scădere-împărțire);

Corelarea operațiilor aritmetice cu operațiile logice dintre mulțimi;

Însușirea proprietăților specifice celor patru operații aritmetice și aplicarea lor în calcul;

Optimizarea (eficientizarea) deprinderilor de calcul mintal și folosirea lor în situații practice ;

Însușirea unor algoritmi stabili de calcul, atât oral cât și scris și aplicarea acestor algoritmi în rezolvarea și compunerea de probleme .

Realizarea acestor obiective se poate observa în cele ce urmează:

Adunarea și scăderea numerelor naturale

După însușirea conceptului de număr natural, a numerației și a relațiilor de ordine

Definită pe munțimea numerelor naturale, se va trece la studiul operațiilor de adunare și scădere cu un caracter intuitiv corespunzător particularităților de vârstă.

Introducerea operațiilor de adunare și de scădere se poate face , fie folosind reuniunea a două mulțimi, fie folosind rigletele.

Noțiunile de adunare și scădere vor ajuta mai târziu în însușirea corectă a operației si noțiunii de înmulțire a numerelor naturale .

Pentru formarea și însușirea noțiunii de adunare se pornește de la operații cu mulțimi de obiecte concrete uzuale- etapa perceptivă, după care se trece la efectuarea de operații cu reprezentări care au tendințe de generalizare- etapa reprezentării – apoi , la final se întroduce conceptul de adunare .

Pentru conceptul de adunare, învățătorul va explica elevilor săi că pentru a arăta că am reunit două mulțimi se folosesște semnul ”+” , numit plus . Acesta este semnul grafic prin care descriem operația de adunare.

Se definesc cele două numere care se adună ca fiind termenii operației de aducare și se spune că rezultatul se numește sumă.

Deoarece termen1+termen2 și termen2 +termen 1 reprezintă același număr, vom spune că operația de adunare a numerelor naturale este comutativă ( sau are proprietatea de comutativitate ) .

Consolidându-se operația de adunare a două numere naturale, elevii vor reuși să adune în acest concentru trei numere. Astfel, se introduce proprietatea de asociativitate a adunării, atât pe baza mulțimilor (prin reuniunea a trei mulțimi disjuncte două câte două), cât si folosind metoda măsurării. De exemplu, aranjând trei riglete, una cu o unitate, a doua cu două unități și a treia cu cinci unități, se obține o rigletă a cărei mărime are opt unități. De aici vom evidenția și proprietatea de asociativitate a adunării numerelor naturale atât pe baza mulțimilor (prin reuniunea a trei mulțimi disjuncte două câte două), cât și folosind metoda măsurării . Vom evidenția astfel proprietatea de asociativitate a adunării numerelor naturale .

Operația de scădere se introduce :

În stânsă legătură cu operația de diferență dintre o mulțime și o submulțime a sa, la baza operației de scădere aflându-se conceptul de mulțimi complementare

Utilizarea analogiei sau a corespondenței, bazată pe utilizarea rigletelor – este o altă cale de a introduce scăderea numerelor naturale .

Astfel, dintr-o mulțime de obiecte care au o proprietate comună ( aceeași culoare, formă, mărime, grosime etc.), se izolează o submulțime de obiecte, rămânând o mulțime de obiecte cu un număr mai mic decât cel al mulțimii inițiale .

Se trece, după aceea la etapa reprezentărilor simbolice, apreciind că: simbolul operației de scădere este semnul grafic ”-”, numit minus , se numește descăzut numărul din care se scade, cel care se scade se numește scăzător, rezultatul scăderii (diferenței ) se numesțe rest.

Prin exemple se scoate în evidență faptul că descăzutul trebuie să fie mai mare sau cel puțin egal cu scazătorul pentru a se putea efectua scăderea.

Introducerea operației de scădere se poate realiza cu ajutorul rigletelor . Ca și pentru însușirea operației de adunare se pot compune și rezolva probleme simple .Astfel, elevii vor fi obișnuiți să utilizeze formulări de genul ”mai puțin cu ”, ”dăm la o parte”, ”mai tânăr cu ” etc. , care se traduc simbolic prin operația de scădere, iar proba scăderii prin acțiunea și reprezentarea mentală : dacă unitățile care au fost luate, le aducem la aunitățile rămase, se reconstituie numărul inițial.

De asemenea, elevii pot rezolva exerciții cu numere naturale însoțite de unități de măsură îmtâlnite în experiența lor de viață și probleme ce implică o singură operație sau cel mult două operații .

Înmulțirea și împărțirea numerelor naturale

Operațiile de înmulțire și de împărțire sunt introduse în studiul matematicii începând cu clasa a II-a, după ce elevii au acumulat o suficiență experiență în legătură cu operațiile de adunare și scădere a numerelor naturale de la 0 la 100.

Studierea înmulțirii și împărțirii se poate face în paralel sau înmulțirea unui număr și imediat împărțirea la acel număr. Pentru elevii care învață pentru prima dată aceste operații matematice, apelând la legătura dintre acestea cu celelalte operații cunoscute de ei- adunarea și scăderea- este de preferat șă învețe întâi înmulțirea și apoi împărțirea.

Învățând înmulțirea și apoi împărțirea, elevii se concentrează un anumit timp asupra unei singure operații, ceea ce le da posibilitatea să și-o însușească temeinic.

Pentru a-și înmulțirea în mod conștient noțiunile de înmulțire și împărțire , elevii trebuie șă înțeleagă mai întâi sensul fiecărui exercițiu ca o generalizare a ceea ce este esențial într-un mare număr de cazuri particulare .

Este important să se țină cont de faptul că înmulțirea are un pronunțat caracter abstract față de adunare, aceasta reprezentând un alt mod de scriere a adunării repetate de termeni egali.

În cazul adunării și scăderii, abstractizarea și generalizarea au loc printr-o trecere directă de la concret la abstract, de la perceperea sau reprezentarea unor relații concrete spre generalizări.

Înmulțirea presupune sinteza superioară a adunării repetată a unei mulțimi de obiecte luate de atâtea ori.

Aceasta presupune formarea unor legături temporare care se includ în sistemul de conexiuni anterioare, dar la un nivel mai ridicat de generalizare.

În însușirea înmulțirii, gândirea elevului trece de la analiză la sinteză, de la parte la întreg.

Împărțirea reprezintă un proces mai ridicat de generalitate decât înmulțirea, pornind de la parte la întreg, de la sinteză spre analiză.

În procesul de însușire a împărțirii se produce a interferență între înmulțire și împărțire.

Pentru început, împărțirea se însușește pe baza scrierii de termeni egali, dar odată cu stăpânirea precedeului, elevii nu mai apelează la scădere, ci la inmulțire. Se stabilește în felul acesta legătura dintre înmulțire și împărțire .

Operația de împărțire se studiază în stânsă legătură cu înmulțirea, atât în ceea ce privește stabilirea și motivarea rezultatului împărțirii, cât și prin sesizarea relațiilor care duc la constatarea că cele două oprații se verifică una pe cealaltă, că ceea ce se face prin înmulțirea se desface prin împărțire și invers .

Împărțirea a apărut din nevoia omului de a distribui în mod egal anumite bunuri și a evoluat odata cu progresul științelor .

Să urmărim cum a evpluat în științele matematice definiția împărțirii, pe la sfârșitul sec. XIX-lea.

Au existat încă pe la sfârșitul secolului al XIX- lea definții ale împărțirii care conțineau sintegme, valabile și astăzi, cum sunt : ”de câte ori se cuprinde ”, ”în câte părți egale”, ”scădere repetată de termeni ” etc.

Iată câteva formulări date în manualele de matematică de-a lungul timpului

”Împărțirea este operația care are ca scop să afle de câte ori un număr dat numit împărțitor se cuprinde într-un număr dat de deîmpărțit. ”

Împărțirea este o lucrare prin care numărul numit deîmpărțit se împarte în atâtea părți egale câte unități are numărul împărțitor sau prin care căutăm de câte ori împărțitorul se cuprinde în deîmpărțit . (Constantinescu D. et. al., 1897, Didactica matematicienilor, Ed. Asociațiunii revistei ”Convorbiri didactice”, București ).

”Împărțirea este operațiunea prin care aflăm de câte ori un număr se cuprinde într-un alt număr sau de câte ori un număr se poate scădea dintr-un alt număr”. ( Stoicescu Șt., 1904, ”Curs de aritmetică rațională pentru a II- a de licee, gimnazii și școli secundare, gradul I, de fete ”).

”A împărți exact un număr numit deîmpărțit printr-un alt număr numit împărțitor înseamnă a afla un al treilea numit cât, care înmulțit cu împățitorul sa ne dea pe deîmpărțit sau : a împărți un număr numit deîmpărțit prin alt număr numit împărțitor, înseamnă a vedea de câte ori se cuprinde împărțitorul în deîmpărțit . ” (Bratu, Gh. et . al., 1929, Aritmetica pentru clasa I secundară, Ed. Librăriei Socec. București).

Operația de împărțirea este cea mai dificilă dintre operațiile aritmetice, datorită complexității, varietății cazurilor și caracteristicilor pe care le prezintă, cât și datorită faptului că utilizează simultan toate cele trei operații precedente. De aceea, studiul operației de împărțire și tratarea varietății cazurilor ei solicită o mai mare concentrare a eforturilor și a atenției elevilor, o bună orientare metodică a învățătorului și o adevărată măiestrie didactică în prezentarea sub formă simplă, accesibilă, a diferetelor cazuri, cu gradarea treptată a dificultăților.

O atenție deosebită trebuie acordată împărțirii cu rest, deoarece experiența arată că însușirea acestor noțiuni întâmpină serioase dificultăți, gândirea elevilor trebuie să se ridice pe o treaptă mai înaltă de abstractizare operațională.

Din aceste sugerăm alegerea unor strategii didactice cât mai apropiate de nivelul de înțelegere al elevilor, cât mai atractive și cât mai relevante matematic.

Primele exemple de împărțire cu rest trebuie să reprezinte expresia matematică a unor acțiuni concrete și apoi cu extindere spre cazuri semisbstracte și abstracte.

II.3 Bazele psihopedagogice și metodologia rezolvării și compunerii de probleme

Rezolvarea de probleme de matematică pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora imaginația, motiv pentru care se acordă o mare importanță acestui capitol, în programa ciclului primar.

Etapele rezolvării problemelor de matematică sunt:

Cunoașterea enunțului problemei ;

Înțelegerea enunțului problemei ;

Analiza problemei și întocmirea unei schițe logice de rezolvare ;

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din schița logică (plan de rezolvare);

Activități suplimentare (facultative):

Verificarea rezultatului;

Scrierea sub forma de exercițiu;

Găsirea altei căi sau metode de rezolvare;

Generalizare;

Compunerea unor probleme pornind de la o schemă asemănătoare.

Cunoașterea enunțului problemei de matematică

Rezolvitorul trebuie să afle care sunt datele problemei, cum se leagă între ele, care este cerința problemei, elementul necunoscut al acesteia .

Se va citi problema de către învățător sau de către elevi, sau se va enunța liber . Se va repeta problema de mai multe ori, până la însușirea ei de către toți elevii din clasă.

Textul problemei se va citi expresiv, scoțând în evidență anumite date și legăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei.

Înțelegerea enunțului problemei

În măsura în care elevul cunoaște termenii problemei, el va fi capabil să formuleze ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării problemei.

Învățătorul are un mare rol în a-i ghida pe elevii săi în delimitarea datelor unei probleme, a relațiilor dintre ele și mai ales în depistarea întrebării sau întrebarea problemei. Prin discuții cu elevii, învățătorul va urmări să-i determine pe aceștia, să desprindă foarte clar cele mai importante elemente ale unei probleme, să deosebească ipoteza de concluzie, prin citirea și recitirea textului problemei, prin ilustrarea lui cu imagini sugestive și dacă este cazul chiar prin acțiuni concrete.

Analiza problemei și întocmirea schiței –plan de rezolvare (schiță logică )

În această etapă se elimină elementele nesemnificative din punct de vedere al cerinței matematice și se trece la elaborarea planului logic de rezolvare, adică se construiește drumul de legătură între datele problemei și necunoscuta problemei .

Elevii transpun problema în relații matematice prin exerciții de analiză a datelor, a semnificației lor, a relațiilor dintre ele, descoperind practic soluția problemei.

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul de rezolvare

În această etapă elevii aleg și efectuează calculele din schița de rezolvare, conștientizează semnificația rezultatelor fiecărui calcul, realizează conexiunile necesare și ajung la rezultatul final.

O mare semnificație în formarea priceperilor și deprinderilor de a rezolva probleme, o are etapa de verificare a soluției problemei care deși este o etapă facultativă, realizează autocontrolul asupra felului în care s-a efectuat raționamentul matematic, asupra corectitudinii lui și a demersului logic de rezolvare.

Cele mai multe probleme de matematică ce se rezolvă în ciclul primar, urmăresc unanumit algoritm specific tipului, familiei de probleme din care fac parte . O problemă este teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

Desigur, nu ne referim la utilizarea unor ”șabloane universale”, dar rămâne evident faptul că nu orice problemă de matematică este ”tipică” .

Metodele reprezintă elementul esențial al strategiei didactice, constituind latura executorie, de punere în acțiune a întregului ansamblu ce caracterizează un curriculum dat.

Metodele reprezintă modalități de realizarea acțiunilor complexe, planificate și repetabile, modalități de soluționare a problemelor confirmate de experiență, întregul proces de învățământ se derulează pe baza unui ansamblu de căi de instruire, facilitând accesul spre cunoașterea și modelarea realității. Caracterul multifuncțional al metodelor este dat de capacitatea lor de a atinge concomitent mai multe obiective educative.

Metodele se compun din procedee de operare standardizate care pot fi selectate, combinate și utilizate în funcție de nivelul și interesele elevilor .Atingerea lor nu este aleatoare, trebuie să se subordoneze conținutului, procesului instructiv, particularităților psihice și de vârstă ale elevilor.

A examina o problemă prin metoda sintetică înseamnă a orienta gândirea elevilor asupra datelor problemei, astfel încât să le grupeze după relațiile dintre ele și să formuleze aceste probleme într-o succesiune logică , astfel încât să se încheie cu acea problemă simplă a cărei întrebare coincide cu întrebarea problemei.

Metoda sintetică este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea și creativitatea rezolvitorului.

Metoda analitică. În rezolvarea pe cale analitică a problemei, se pornește de la întrebarea problemei. Se caută să se ”analizeze” ce date sunt necesare pentru a răspunde la întrebarea problemei. Este extrem de util ca examinarea analitică a unei probleme să fie însoțită de o schemă logică, care se va realiza urmând comentariul propus.

Metoda analitică este mai complexă, mai dificilă, solicită mai mult gândirea și creativitatea elevilor .

Cultivarea creativității elevilor în activitatea de compunere a problemelor de matematică

Compunerea de probleme de matematică este una din cele mai importante tehnici/activități de dezvoltare a gândirii elevilor, de cultivare și educare a creativității lor.

Imediat după ce au înțeles conceptul de problemă, elevii pot exersa crearea de probleme, pornind de la modele deja studiate, respectând cerințele specifice fiecărui tip de problemă.

Criteriile care determină complexitatea acestui gen de activitate sunt aceleași ca la rezolvarea de probleme:

Stăpânirea tehnicilor și regulilor de calcul ;

Deprinderea de a efectua raționamente logice;

Utilizarea unui vocabular bogat și a unui limbaj matematic specific;

Capacitatea de a restructura cunoștințele dobândite pentru a elabora textele cu conținut legat de viața practică, de zi cu zi.

În perioada de început,se va porni de la formarea deprinderilor de alcătuire a problemelor pe cale intuitivă, astfel încât elevii să poată să înțeleagă în mod conștient înbinările de cuvinte cu numere, folosind mai multe nuanțe de exprimare.

Primele probleme create de elevi sunt asemănătoare cu cele formulate de învățătorul lor, probleme rezolvate de ei în clasă.

Se pot compune și crea probleme în următoarea succesiune graduală:

Probleme referitoare la o acțiune concretă;

Compuneri de probleme după tablouri și imagini;

Compuneri de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;

Probleme cu indicarea operațiilor matematice ce trebuie efectuate;

Compuneri de probleme după un plan stabilit;

Compuneri de probleme cu cât mai multe întrebări posibile;

Compuneri de probleme cu o întrebare dată și cu cât mai multe conținuturi date precum și relații între date ale conținutului;

Compuneri de probleme cu întrebare probabilistică;

Compuneri de probleme cu un început dat, cu sprijin de limbaj;

Compuneri de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;

Compuneri de probleme după un exercițiu simplu sau compus;

Compuneri de probleme după un model simbolistic;

Compuneri de probleme cu modificarea conținutului și a datelor;

Crearea liberă de probleme;

Probleme de perspicacitate, rebusistice etc.

În elaborarea textului unei probleme este necesar să utilizăm date și expresii reale, acele mijloace și procedee de natură să ofere elevilor împrejurări din viața de zi cu zi .

În activitatea de compunere a problemelor trebuie să se țină cont de posibilitățile intelectuale și de particularitățile de vârstă ale elevilor, prin trasarea unor sarcini gradate, trecându-se treptat de la compunerea liberă la cea îngrădită de anumite cerințe din ce în ce mai restrictive .

Creativitatea poate fi considerată ca o expresie a personalității umane, dar aceasta nu exclude, ci dimpotrivă, presupune eforturi deosebite și activități îndelungate.

Pentru dezvoltarea creativității elevilor în activitățile de compunere a problemelor de aritmetică, învățătorul va utiliza acele metode didactice cu valențe formative și înalt activizatoare, cum ar fi : problematizarea, descoperirea, modelarea, conversația euristică, jocul didactic.

Aceste metode îl amplifică direct pe elev, favorizează descoperirea personală, facilitează transferul, formează aptitudini și capacități cognitiv-operatorii, intelectuale, formează acele aptitudini și motivații pozitive pentru învățare și mai ales, stimulează creativitatea. În continuare sunt prezentate câteva formulări clasice ale unor probleme din ciclul primar:

Câte mere primește fiecare copil, dacă mama dă 6 mere în mod egal, celor 3 copii ai săi?

3 x 2=6 verificarea prin înmulțire numerelor naturale

Pe strada mea au înflorit 3 trandafiri galbeni și de 4 ori mai mulți trandafiri rosii mai mult decât cei galbeni.

Câți trandafiri au înflorit pe strada mea?

3x 4+ 3= 15 trandafiri

Lui Ionuț îi trebuie doar 1 l de apă, dar nu are decât un vas de 5 l și altul de 2 l.Cum va proceda ?

5:2= 2 rest 1

2×2+ 1=5 folosim înmulțirea la verificarea soluției .

Așa cum am amintit anterior, una dintre modalitățile oportune în dezvoltarea capacităților creatoare ale elevilor este reprezentată de utilizarea jocului didactic .

Competiția generală de joc va contribui nu numai la activitatea intelectuală a tuturor elevilor, dar și la formarea personalității lor, la manifestarea unei conduite atitudinale pozitive față de muncă, față de întrecerile din cadrul unei clase de elevi.

Totodată, se va avea în vedere creșterea mobilității gândirii, a capacităților sale divergente, creatoare, dezvoltarea calotăților de bază ale gândirii:

Rapiditate;

Operativitate;

Mobilitate, flexibilitate, fluență etc.

Compunerea de probleme cu înmulțirea numerelor naturale în ciclul primar poate constitui o premisă reală și eficientă pentru o viitoare muncă de cercetare, pentru activitatea ulterioară de creație, inovație și cu certitudine, o modalitate sigură de sporire a rolului formativ al învățământului matematic, într-o corelație naturală cu celelalte discipline de învățământ .

II. 4 Folosirea jocurilor didactice pentru aprofundarea noțiunilor legate de înmulțire

Atunci când prezentarea clasică a unor conținuturi matematice prin explicație, prin conversație etc. Nu dau roade, în sensul însușirii noțiunilor respective de către elevi, mai ales cei de vârstă mică și foarte mică, jocul didactic imprimă lecției de matematică un caracter mai atrăgător, aduce acea varietate și stare de bună dispoziție, menite să contribuie la atingerea obiectivelor lecției.

Jocul didactic este un ansamblu de acțiuni și operații care, paralel cu destinderea, buna dispoziție și bucuria pe care le stârnește, urmărește un set de obiective de pregătire intelectuală, tehnică, morală, fizică etc., a elevului.

Prin intermediul jocului didactic, învățătorul precizează, consolidează și chiar verifică temeinicia cunoștiințelor elevilor, contribuie la îmbunătățirea nivelului de cunoștiințe, pune în valoare și antrenează capacitățile creatoare ale acestora.

O dată cu trecerea pragului celor 7 ani, copilul începe procesul de integrare în viața școlară, ca o necesitate determinată de cerințele instruirii li dezvoltării sale. În programul zilnic al unui copil, grijile legate de învățat, de realizarea temelor pentru acasă, nu diminuează cu nimic pofta lui de joacă, astfel încât integrarea jocului didactic în lecțiile de matematică nu face decât să răspundă unei nevoi lăuntrice de a se juca a elevului, nevoie care se menține pe parcursul întregii copilării.

În ceea ce privește integrarea jocului în lecțiile de matematică și pentru ca un exercițiu matematic să poată fi transpus în joc didactic este necesar:

Să realizeze un scop și o sarcină didactică din punct de vedere al conținutului matematic ;

Să se utilizeze acele elemente de joc în vederea realizării obiectivelor propuse;

Să utilizeze un conținut matematic atractiv și foarte accesibil pentru elevi;

Să utilizeze reguli de joc, cunoscute și respectate de toți elevii.

Componenetele de bază ale jocului matematic sunt:

Scopul didactic respectă cerințețe programei (conținutul științific) și al noului Curriculum Național, în conformitate cu specificul vârstei copiilor clasei respective, se formulează clar și oglindește problemele specifice, impuse de realizarea jocului.

O bună formulare a corespunzătoare a jocului înseamnă o bună orientare, organizare și desfășurare a activității respective.

Unele jocuri se referă la probleme de natură cognitivă, altele urmăresc aspecte de ordin formativ. De asemenea, există și jocuri didactice care se adresează ambelor categorii de probleme.

De exemplu, într-un joc în care se urmărește transmiterea sau fixarea unor cunoștiințe referitoare la culori, se realizează un exercițiu cu caracter formativ prin analiza sau comparația pe care le implică de la sine .

Într-un joc în care se urmărește trecerea de la noțiunea de formă triunghiulară, pătrată, rotundă la noțiunea de formă (scop cognitiv) se realizează și un exercițiu de selectare, de abstractizare, de generalizare, care răspunde unui scop formativ.

Sarcina didactică este legată de conținutul jocului, de structura lui, conținând diverse referiri la ceea ce trebuie să facă elevii în mod concret pe parcursul jocului. Sarcina didactică este îm fapt esența întregului joc, antrenând operațiile gândirii : analiza, sinteza, comparația, dar și imaginația copilului.

Jocul didactic matematic cuprinde în mod obișnuit o singură sarcină didactică.

Elementul de joc se stabilește în raport cu cerințele și sarcinile didactice ale jocului.

Ele pot fi foarte variate:

Întrecere individuală sau pe grupe;

Cooperare, spirit de colectivitate, de echipă;

Recompensare, fie de ordin moral, fie de ordin material;

Penalizare, pentru a determina respectarea regulilor jocului (în cazul abaterilor de la regulile jocului se vor aplica penalizări).

Alte elemente ale jocului pot fi aplauzele, cuvintele stimulative, încurajările.

Conținutul matematic al jocului didactic este corespunzător particularităților de vârstă ale elevilor cărora se adresează și sarcinii didactice .

Conținutul trebuie să fie accesibil, recreativ și atractiv, prin forma în care se desfășoară, prin mijloacele de învățământ utilizate, prin volumui de cunoștințe la care apelează.

Un joc didactic utilizează de regulă noțiuni referitoare la mulțimi, operații cu mulțimi, elemente de logică,relații de ordine, relații de echipotență, numere naturale, unități de măsură, elemente de geometrie .

Materialul didactiv trebuie ales și realizat înaintea derulării jocului, el trebuie să contribuie la reușita acestuia.

Materialul didactic trebuie să fie cât de poate de variat :

Creioane

Cărți

Baloane

Jucării

Jetoane cu desene

Jetoane cu numere, cu operații

Figuri geometrice

Planșe

Riglete.

Materialul didactic trebuie să fie mobil, ușor de manipulat de către elevi și trebuie să conțină o problemă didactică de rezolvat, după caz.

Regulile jocului asigură modalitatea de transpunere în acțiuni concrete a sarcinii didactice.

Regulile trebuie să fie formulate corect, clar, concis, să fie înțelese de către toți participanții la joc și, în funcție de etapele jocului se stabilesc și punctajele corespunzătoare.

Subordonarea intereselor personale, celor ale echipei, lupta pentru depășirea eventualelor obstacole, respectarea unor reguli prestabilite contribuie la dezvoltarea personalității elevului.

Exemple de jocuri didactice folosite la clasă pentru însușirea operației de înmulțire

Jocul ”să învățăm să socotim !”- în care elevii fac legătura între operațiile cu mulțimi (reuniunea) și operația matematică de înmulțire.

Folosind jetoane ca material didactic, elevii formează mulțimi egale pe care le reunesc observând că elementele mulțimii sunt tot atâtea câte au la loc cele două mulțimi disjuncte reunite. Jocul se va desfășura individual și este legat de preocupările copiilor, câștigând cel care a rezolvat mai repede sarcina și a intervenit în desfășurarea jocului.

Jocul ”alege produsul corect !”

Elevii vor alege din diversele numere pe cele care reprezintă produse de numere naturale (de exemplu: produse de 5 și 6). Se poate lucra pe grupe și individual, având un barem de timp acordat pentru calcule.

Joc didactic: “Istețel”

Reguli de joc:

– Evaluarea jocului se face la încheierea jocului;

– Fiecare grup rezolva exercitiile urmarind sageata, de jos in sus;

– Rezultatul final este scris pe palaria lui „Istețel”;

– Câștigătorii vor fi cei care termină primii șirul și obțin rezultatul corect.

Desfășurare

Elevii sunt împărțiți în patru grupe. Se desemnează liderul fiecărei grupe. Se anunță titlul jocului și sarcina didactică. Se prezintă materialul didactic și se explică regulile jocului.

Se face un joc de probă, apoi începe jocul propriu-zis la un semnal stabilit.

Dacă rezultatul final va fi corect, învățătorul va desena pe Istețel râzând, iar dacă s-a greșit, Istețel va fi desenat plângând. Dacă toate grupele lucrează corect, va câștiga grupa care a terminat prima și va fi aplaudată de celelalte grupe.

Jocul ”săculeț cu surprize”- fiecare elev va extrage din săculeț câte o bilă în care se găsește scrisă o sarcină de lucru :

Exemplu:

 Găsește numărul de 5 ori mai mare decât 7:

 Află produsul numerelor 5 și 8;

 x 5=45 etc.

5. Jocul ”consultă-ți colegul”

– Activitatea se desfășoară pe perechi;

– Se propune de către fiecare partener al perechii o operație de înmulțire și se scrie fiecare rezultat în caiet;

– Învățătorul mediatizează activitatea

Organizarea și desfășurarea jocului matematic

Pentru o bună proiectare, organizare și desfășurare a jocului didactic este necesar ca învățătorul să asigure o deplină concordanță între toate elementele care îl definesc.

În continuare sunt prezentate câteva dintre cerințele de bază pe care le va avea în vedere învățătorul pentru reușita jocului didactic :

Pregătirea jocului didactic;

Organizarea minuțioasă a acestuia; respectarea momentelor jocului didactic;

Respectarea momentelor jocului didactic;

Ritmul si strategia dirijării jocului didactic ;

Stimularea elevilor în vederea participării active la joc ;

Asigurarea unei atmosfere prielnice de joc;

Varietatea elementelor de joc (complicarea jocului, introducerea unor variante noi etc.)

Pentru pregătirea jocului didactic sunt necesare :

Studierea atentă a conținutului acestuia, a structurii sale;

Pregătirea materialului didactic necesar;

Elaborarea planului după care se va derula jocul didactic.

Pentru organizarea jocului didactic matematic se vor lua următoarele măsuri:

împărțirea corespunzătoarea a elevilor clasei (grupei) în funcție de acțiunea jocului;

reorganizarea mobilierului sălii de clasă;

distribuirea materialelor didactice, necesare jocului didactic.

Etapele desfășurării unui joc didactic sunt :

discuții pregătitoare pentru introducerea în atmosfera de joc;

Anunțarea titlului jocului și a scopului acestuia;

Prezentarea materialului didactic, necesar desfășurării jocului;

Explicarea și demonstrarea regulilor jocului;

Fixarea regulilor;

Executarea jocului de către elevi;

Eventuarea complicare a jocului; introducerea altor variante ale jocului;

Încheierea jocului prin evoluarea conduitelor echipelor sau evaluarea individuală.

Introducerea în atmosfera de joc se poate face în funcție de tema jocului, printr-o dicuție deschisă cu efect motivator, sau printr-o scurtă expunere sau descriere care să fie capabilă să stârnească interesul elevilor.

Anunțarea jocului se face în termeni exacți, cât mai sintetic, fără cuvinre inutile, pentru a nu prelungi începutul acestei activități.

Prezentarea materialului didactic se va face cât mai explicit, punându-se accent pe obiectivele urmărite.

Se vor da explicații pentru materialul model cât și pentru cel individual, iar prezentarea va fi însoțită și de câteva exerciții de folosire și de mânuire concretă a materialului didactic.

Explicarea jocului este un moment hotărâtor în derularea și defășurarea ulterioară a acestuia.

Fixarea regulilor este recomandată pentru jocurile cu o acțiune mai complicată, care impun sublinierea specială a acestor reguli.

Executarea jocului începe la semnalul conducătorului jocului. Acesta poate interveni pe parcursul jocului, dacă este nevoie să reamintească regulile jocului, sau pentru a mai da unele indicații organizatorice.

Se deprind, în general, două moduri de a conduce jocul elevilor:

Conducerea jocului chiar de către propunător;

Conducătorul ia parte activă la joc, fără a interpreta rolul de conducător (conducere indirectă).

Sunt situații când pe parcursul jocului pot interveni elemente noi:

elevii devin ei înșiși conducătorii jocului;

schimbarea materialului didactic între elevi, pentru a le da posibilitatea să rezolve probleme cât mai diferite în cadrul aceluiași joc;

complicarea sarcinilor jocului;

introducerea unor elemente noi;

introducerea unor materiale noi.

Este recomandat ca învățătorul să dea libertate elevilor în timpul jocului, pentru a spori rolul formativ pe care acesta îl deține în diferite moduri de desfășurare ale unei lecții de matematică .

Verbatizarea acțiunilor, exprimarea rezultatelor obținute, deși sunt importante, nu se situează pe același plan cu activitatea propriu-zisă, putându-se utiliza un limbaj obișnuit.

Încheierea jocului se realizează la finalul jocului, moment în care învățătorul formulează concluziile și aprecierile în legătură cu modul în care s-a realizat jocul, asupra modului în care s-au respectat regulile, cum s-au executat sarcinile primite. De asemenea, învățătorul va face referiri asupra comportamentului elevilor, făcând unele recomandări cu caracter individual și general. Foarte importantă pentru finalitatea jocului este anunțarea și evidențierea câștigătorului jocului și eventuala recompensare a acestuia prin mici cadouri sau prin aplauzele colegilor.

CAPITOLUL III

Aspecte metodice ale predării operației de înmulțire în ciclul primar.

Numerele naturale se pot clasifica, pentru a-i ajuta pe elevi, astfel :

De la 0 la 10;

De la 10 la 20;

De la 20 la 100;

De la 100 la 10000 .

Astfel vom avea:

Adunarea și scăderea numerelor în concentrul 0-10.

Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20 fără trecere peste ordin.

Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-20 cu trecere peste ordin, cu obiecte.

Terminologia specifică :termen, sumă, ”cu atât mai mult”, ”cu atât mai puțin ” etc.

Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30, fără trecere peste ordin : cu numere din zeci întregi și cu numere formate din zeci și unități.

Adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100, fără trecere peste ordin : cu numere din zeci întregi și cu numere formate din zeci și unități.

-Terminologia specifică: factor, produs, ”de atâtea ori mai mare ”.

-Tabla înmulțirii în concentru 0-100.

-Evidențierea unor proprietăți ale adunării și înmulțirii (comutativitate, asociativitate, element neutru ) cu ajutorul obiectelor și al reprezentărilor , fără a folosi terminologia specifică ;

-împărțirea numerelor naturale mai mici decât 100, folosind scăderea repetată și relația cu înmulțirea.

Terminologia specifică : deîmpărțit, împărțitor, ”de atâtea ori mai mic ”;

Recunoașterea orelor fixe și a jumătăților de ora pe ceas.

Unități de măsura :ora, ziua, săptămâna, luna.

Probleme care se rezolvă prin cel puțin două operații

Aflarea unui număr necunoscut în cadrul unei relații de tipul ?+a=b sau ?+a<b, (prin încercări, utilizarea de obiecte sau desene, sau folosind modelul balanței), unde a și b sunt numere date .

Probleme care se rezolvă prin cel mult două operații/ probleme care se rezolvă prin mai mult de două operații:

Aflarea unui numar necunoscut în cadrul unei relații de tipul sau , unde a și b sunt numere în concentrul 0-20, 0-100 sau 0-1000, sau de tipul unde c≠0, d este un multiplu al lui c, în concentrul 0-100 (prin încercări, utilizarea de obiecte sau desene, sau folosind modelul balanței ).

Probleme care se rezolvă prim mai mult de trei operații.

Probleme de logică și probabilități.

Fracții:

Noțiunea de fracție, fracții egale, reprezentări prin desene;

Fracții echiunitare, subunitare, supraunitare;

Compararea fracțiilor;

Adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor;

Aflarea unei fracții dintr-un întreg.

III.1 Activități legate de operațiile cu numere naturale

La sfârșitul clasei I, elevii au fost capabili să realizeze și să rezolve::

Exerciții de formare a grupurilor de obiecte (bile, bețișoare, puncte ) prin încercuire ;

Jocuri de numărare cu obiecte în care grupele de câte 10 se înlocuiesc cu alt obiect;

Gruparea și regruparea obiectelor ;

Exerciții –joc de reprezentare prin obiecte sau desene (puncte, cerculețe, liniuțe etc.) a oricărui număr din concentrul 0-100 și grupurilor de obiecte sau desene cu numărul de obiecte corespunzător ;

Exerciții de numărare din 1în 1, din 2 în 2, din 3 în 3 etc., ”înainte” și ”înapoi ”cu și fără sprijin în obiecte sau desene ;

Exerciții de adunare și scădere cu numere naturale de la 0 la 30 fără trecere peste ordin; verificarea rezultatelor cu ajutorul obiectelor ;

Exerciții de descompunere a numerelor în sumă de numere mai mici ;

Rezolvarea problemelor în care numerele sunt date obiectual sau figurate prin desene simple ;

Rezolvarea de probleme de tipul a+b=x, a-b=x, a-b+c=x, a-b-c=x, folosin obiecte, reprezentări, numere ;

Decuparea unor figuri geometrice desenate ;

Descrierea verbală , empirică (preconceptuală), a figurilor și a corpurilor deometrice întâlnite;

Exemple de activități de învățare :

Execiții de adunare și scădere a numerelor naturale formate din zeci și unități, în concentrul 0-30 ;

Exerciții – joc de grupare a unor obiecte câte două ;

Exerciții de identificare a elementelor unei mulțimi, fiind date regula de corespondență și elementele celei de-a doua mulțimi;

Jocuri de estimare a numărului de obiecte din mediul cotidian;

Exerciții-joc de estimare a distanțelor cu ajutorul pasului ;

Crearea de probleme simple, utilizând tehnici variate : cu sprijin concret îm obiecte; pornind de la o temă dată; pornind de la numerele date.

Se urmărește ca elevii șă verbalizeze în mod frecvent modalitățile de calcul folosite în rezolvarea de exerciții , să manifeste plăcere în a utiliza numere și a opera cu ele în diferite situații adecvate .

Exemple de activități de învățare :

Exprimarea cu voce tare a etapelor de calcul matematic;

Jocuri cu numere .

Activități realizate în clasa a II- a

La sfârșitul clasei a II-a , elevii au fost capabili să realizeze și să rezolve :

Exerciții de numărare cu obiecte în care grupele de câte 10 se pot înlocui cu alt obiect;

Exerciții –joc de reprezentare a numerelor, punând în evidență sistemul pozițional de scriere a cifrelor;

Exerciții-joc de reprezentare prin obiecte sau desene (puncte, cerculețe, liniuțe etc) a oricărui număr din concentrul 0-100 și asocierea grupurilor de obiecte sau desene cu numărul de elemente corespunzător ;

Exerciții de numerație din 1 în 1, din 2 în 2 și din 3 în 3, în sens ”înainte ” sau ”înapoi”, cu și fără sprijin în obiecte .

Exerciții de comparare a grupurilor de obiecte (cu simboluri ) prin încercuirea părților comune ;

Compararea și ordonarea utilizând modele semnificative (figuri geometrice de poziționare, numărătoarea de poziționare etc. ) ;

Exerciții de adunare și de scădere cu numere naturale de la 0 la 100 fără și cu trecere peste ordin, verificarea rezultatelor cu ajutorul obiectelor sau reprezentărilor ;

Rezolvarea unor probleme în care numerele sunt exprimare obiectual sau figurate prin desene simple :puncte, cerculețe, linii etc.;

Intuirea operației de înmulțire în concentrul 0-100 prin exerciții de adunare repetată;

Intuirea operației de împărțire în concentrul 0-100 prin exerciții de scădere repetată sau cuprindere;

Exerciții de recunoaștere și utilizare corectă a sintagmelor care sugerează o anumită operație (”au venit”, ”s-au pierdut ”, ”sunt n obiecte ”, ”câte p pe un rând” etc.);

Exerciții de verificare a rezultatelor înmulțirii prin împărțire și invers;

Decuparea unor figuri geometrice desenate ;

Recunoașterea și descrierea verbală a formei obiectelor din mediul înconjurător ;

Exerciții –joc de poziționare a obiectelor în spațiu (stânga, dreapta, sus, jos , deasupra, sub, interior, exterior);

Exerciții- joc de măsurare cu palma, creionul, paharul, bile, cuburi etc. a lungimii, masei sau capacității (unor obiecte );

Comparări de lungimi de obiecte având aceleași lungime sau lungimi diferite ;

Comparări de lungimi de obiecte dintre care lungimea unuia se cuprinde de un anumit număr întreg în lungimea celuilalt ;

Ordonarea unor obiecte date, în funcție de lungimea, grosimea, întinderea sau forma lor, folosind expresii ca ”mai lung”, ”mult mai lung”, ”cel mai lung”, ”mai scurt ” etc. ;

Realizarea unor măsurări folosind etaloane neconvenționale date ( etaloane din carton sau plastic , având diverse forme și mărimi) ;

Identificarea și utilizarea instrumentelor de măsură postrivite – linia gradată, metrul, balanța- pentru efectuarea unor măsurători ;

Fixarea în timp a unor evenimente în funcție de un reper :

Exerciții de ordonare cronologică a unor imagini, cu posibile motivări verbale ;

Compararea duratelor unor activități;

Citirea ceasului ; reprezentarea pe un ceas –model a diverselor ore ;

Schimburi echivalente în și cu bani ;

Compararea diverselor sume de bani .

Se urmărește ca elevul să fie capabil :

Să înțeleagă sistemul pozițional de formare a numerelor din sute, zeci și unități, utilizând obiecte pentru justificari;

Să scrie, să citească numerele naturale de la 0 la 1000 și să compare numere naturale mai mici de 1000 utilizând simbolurile <, >, =.

Să efectueze : operații de înmulțire până la 100 prin adunare repetată sau utilizând tabla înmulțirii până la 50;

Operații de împărțire cu numere mai mici decât 50 prin scădere repetată sau ca probă a înmulțirii ;

Înmulțirea și împărțirea în concentrul 0-100.

Se rezolve probleme care presupun o singură operație din cele învățate , sau două operații din cele învățate ;

Să compună oral exerciții și probleme cu numere de la 0 la 100 care se rezolvă printr-o singură operație ;

Să sesizeze asocierea dintre elementele a două categorii de obiecte (șiruri, numere mai mici ca 100) pe baza unor reguli date ; să continue seria unor modele repetitive reprezentate prin obiecte sau numere mai mici decât 100- crearea de șiruri după reguli date;

Să înteleagă și să extragă înformații din tabele simple și liste , să colecteze date prin observarea pe o anumită temă ;

Să exprime oral și scris, cu cuvinte proprii, etape ale rezolvării unor probleme ;

Să manifeste curiozitate pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme .

Exemple de activități de învățare

Exerciții de descompunere a numerelor în sume de numere mai mici;

Exerciții de aflare a termenului necunoscut, rezolvarea de ecuații simple ;

Exerciții-joc de estimare a numărului de obiecte dintr-o mulțime fixată din mediul cotidian ;

Exerciții-joc de verificare cu ajutorul obiectelor a operațiilor mentale de adunare, scădere, înmulțire, împărțire;

Exerciții- joc de estimare a distanțelor ;

Estimarea rezultatului unei operații cu numere, folosind rotunjiri la sute sau zeci ale numerelor solicitate ;

Rezolvarea unor probleme de calcul, în care numerele sunt exprimate în mod obiectual sau în mod figurat prin anumite simboluri: cerculețe , puncte, figuri geometrice de poziționare etc. ;

Rezolvarea de probleme cu date numerice ;

Recunoașterea expresiilor și situațiilor care impun efectuarea unor adunări sau scăderi ( ”au fost și au mai venit ”, ”s-au pierdut ” etc );

Recunoașterea contextelor care presupun efectuarea unor înmulțiri sau împărțiri (”sunt n obiecte, câte p pe fiecare rând”, ”se repartizează n obiecte la p persoane ” etc );

Recunoașterea expresiilor sau a situațiilor care presupun efectuarea unor comparări corelate cu operații de adunare , scădere, înmulțire, împărțire (”cu atât mai mult ”, ”cu atât mai puțin ”, ”de atâtea ori mai mult ”, ”de atâtea ori mai puțin ”);

Creearea unor probleme de matematică utilizând tehnici variate : cu sprijin concret în obiecte; pornind de la o temă dată; pornind de la numere date , fără sprijin ;

Exerciții de completare a uneor tabele de valori de forma :

Prelucrarea unor date culese prin alegerea după un anumit criteriu sau două, prin numărare și/sau comparare; utilizând datele dintr-un tabel etc.

Citirea enunțului unei probleme ; redarea libera cu voce tare a enunțului

Utilizarea de scheme simple pentru a expune pe scurt datele si pasii de rezolvare ai unei probleme ;

Exerciții de ghicire a soluțiilor unor probleme ;

Exerciții și probleme care au rezultate surprinzatoare .

Activități realizate în clasa a III-a

La sfârșitul clasei a III-a , elevii au fost capabili să realizeze și să rezolve :

Reprezentarea numerelor, punând în evidență sistemul pozițional de scriere a cifrelor;

Trecrea unui număr de la o formă de reprezentare la alta ;

Numărarea cu un start și pași dați, crescător și descrescător, cu și fără sprijin în obiecte sau desene; gruparea și regruparea obiectelor sau a desenelor în funcție de pasul numărării;

Scrierea unui număr natural ca sumă de produse în care unul dintre factori este 10, 100, 1000 șamd;

Jocuri de numărare cu obiecte în care grupurile de câte 10, 100, 1000 se înlocuiesc cu un alt obiect; jocuri care pun în evidență ideea de schimburi echivalente;

Reprezentarea numerelor studiate prin obiecte sau desene adecvate ; compararea și ordonarea numerelor, utilizând modele semnificative (figuri geometrice de poziționare, numarătoarea pozițională etc. );

Rezolvarea de probleme de adunare și de scădere în care numerele sunt date prin simboluri:puncte, cerculețe, figuri geometrice de poziționare etc. ;

Folosirea proprietăților adunării pentru efectuarea unor calcule rapide;

Observarea unor legăturilor între adunarea și scăderea numerelor naturale; efectuarea probei;

Verificarea cu ajutorul reprezentărilor simbolice a operațiilor de adunăre, scădere, înmulțire, împărțire;

Efectuarea unor succesiuni de calcule mentale cu numere de cel mult două cifre pe principiul ” preluării ștafetei ”, implicând majoritatea elevilor clasei;

Observarea legăturilor între înmulțirea și împărțirea exacte prin inmulțire și invers;

Verificarea corectitudinii câtului și a restului prin efectuarea probei împărțirii;

Utilizarea cu scopul de a a preciza dacă un numar este ”mai departe” sau ”mai aproape ” de un altul, a axei numerelor naturale ;

Conștientizarea erorilor posibile prin propunerea unor exerciții și probleme cu erori tipice, ușor de observat și cu un anumit grad de relevanță (de exemplu : suma a două numere naturale nu poate fi mai mică decât unul dintre cele două numere);

Identificarea sau/și crearea de scheme pentru descompuneri echivalente ale unui număr ; folosirea acestor scene pentru calcule mintale;

Identificarea și aplicarea unor reguli și scheme pentru efectuarea adunărilor, scăderilor, inmulțirea și împărțirilor;

Rezolvarea de exerciții variate care au ca scop aflarea unui număr necunoscut notat în diverse moduri ; de exemplu:

Rezolvarea ecuațiilor :

în plan mental:- rezolvarea unui exercițiu de tipul: ”M-am gândit la un număr adunat cu 3 și am obținut 5. La ce număr m-am gândit ?”

în plan simbolic : -descrierea unei secvențe de tipul

codificarea unei întrebări de tipul ”3 plus cât este egal cu 6?”; aflarea numărului necunoscut se face prin încercare, înlocuire și verificare ;

recunoașterea situațiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea unor operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire (”cu cât mai mult”, ”cu atât mai puțin”, ”de atâtea ori mai mult”, ”de atâtea ori mai puțin ”, ”sunt n obiecte, câte p pe fiecare rând”, ”se distribuie în mode egal n la un număr de p persoane” etc. );

crearea de probleme utilizând variate tehnici: cu sprijin concret, în obiecte pornind de la numere date;sau fără sprijin ;

Creearea unor probleme, avînd la bază exerciții și invers ; transformarea problemelor în exerciții;

Crearea unor probleme de către elevi pentru colegii lor;

Crearea unor probleme, pornind de la expresii simbolice (a+b=x, a-b=x etc.);

Realizarea analizei părților componenente ale unei probleme;

Schmbarea componentelor unei probleme fără ca tipul de problemă să se schimbe;

Transformarea problemelor de adunare în probleme de scădere și invers, a celor de scădere în probleme de adunare ;

Schimbarea numerelor dintr-o problemă dată, cu păstrarea tematicii;

Transformarea problemelor, păstrând numerele neschimbate;

Analiza cuvintelor care sugereaza operații aritmetice, inclusiv a celor derutante;

Stimularea creșterii treptate a vitezei de operare cu numere prin crearea de situații competitive între elevi și prin probe date într-un interval de timp precizat inițial ;

Colectarea și prelucrarea datelor numerice culese ;

Reprezentarea datelor prin diagrame grafice simple;

Interpretarea datelor rezultate prin compararea numerelor/ informațiilor implicate, identificarea de asemănări și deosebiri, extragerea unor informații particulare semnificative;

Descrierea unor situații ce reprezintă evenimente sigure ( de exemplu :”primavara, copacii înfloresc”), imposibile (”vara, la noi în țară ninge”), probabile (”mâine plouă”) etc.;

Furnizarea de exemple care să ilustreze evenimente sigure, posibile sau imposibile;

Exerciții de transpunere a unor enunțuri simple din limbajul matematic simbolic în limbaj cotidian și invers;

Exerciții- competiție de găsire a cât mai multe soluții la anumite probleme;

Jocuri-competiție între grupuri .

Se urmărește ca elevul să fie capabil :

Să cunoască și să utilizeze semnificația poziției cifrelor în formarea unui număr natural mai mic decât 1000;

Să scrie și să citească, să compare, să pună în ordine numere naturale până la 1000000;

Să efectueze operații de adunare și de scădere cu numere mai mici decât 1000;

Să efectueze înmulțiri în concentrul 0-1000, utilizând tabla înmulțirii, sau utilizând proprietăți ale înmulțirii;

Să efectueze împărțirea unui număr mai mic decât 100 la un număr de o cifră- să împartă un număr de trei cifre la un număr de o cifră ;

Să estimeze ordinul de mărire al rezultatului unui exercițiu cu o singură operație prin exprimarea rotunjirii numerelor care fac parte din calcul, cu scopul de a depista greșelile;

Să sorteze și să clasifice obiecte și desene după forma lor, să remarce proprietăți simple de simetrie ale unor desene;

Să cunoască unitățile de măsură standard pentru lungime, masă, timp și unități monetare și să exprime legătura dintre unitatea principală de măsură și multiplii, respectiv submultiplii ei uzuali;

Să exploreze modalități de a descompune numere naturale mai mici decât 1000, utilizând oricare dintre operațiile învățate;

Să efectueze împărțirea cu rest la un număr de o cifră și să o coreleze cu formula d=îxc+r, r<î, prin scădere repetată sau prin cuprindere, pe baza tablei înmulțirii;

Să descopere, să redescopere și să utilizeze corespondențe simple și șiruri de obiecte sau numere asociate după anumite reguli date;

Să folosească numere necunoscute în rezolvarea de probleme date;

Să rezolve și să compună probleme de tipul :

unde a,b,c sunt numere naturale mai mici decât 1000, iar x este necunoscuta;

Să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea de probleme;

Să manifeste inițiativă în a propune modalități diverse de abordare a unei probleme;

Să manifeste un comportament adecvat în relațiile cu colegii din cadrul unui grup de lucru în timpul activităților practice de rezolvare de probleme .

Activități realizate în clasa a IV-a

La sfârșitul clasei a IV- a, elevii au fost capabili să realizeze și să rezolve :

Reprezentarea numerelor, punând în evidență sistemul pozițional de scriere a cifrelor; trecerea de la o formă dată de reprezentare la o alta;

Numerația cu start și pași dați, crescător și descrescător, cu și fără sprijin în obiecte sau desene; gruparea și regruparea obiectelor sau desenelor în funcție de pasul numărării;

Scrierea unui număr natural ca sumă de produse, în care unul din factori este 10, 100 sau 1000;

Jocuri de numărare cu obiecte în care grupurile de câte 10, 100, 1000 se înlocuiesc cu alt obiect;

Scrierea numerelor cu cifre romane;

Ordonarea numerelor, utilizând modele semnificative (figuri geometrice de poziționare, numărătoarea pozițională etc.);

Introducerea intuitivă (prin desene, decupaje, hașurare, colorare) a noțiunii de fracție;

Scrierea și citirea unei fracții;

Compararea și ordonarea fracțiilor,utilizând cât mai multe modele ;

Exerciții practice de obținere a unor fracții echivalente (”egale”) cu fracții date și scrierea șirului de egalități; se va realiza corelarea cu activități de la educație tehnologică;

Scrierea întregului sub forma unor fracții echivalente ;

Exerciții de calcul cu numere naturale, respectându-se ordinea de efectuare a operațiilor și utilizarea corectă a parantezelor;

Exerciții de calcul utilizând proprietățile operațiilor ;

Exerciții semnificative, care să scoată în evidență faptul că scăderea și împărțirea nu sunt comutative și nici asociative;

Folosirea proprietăților operațiilor pentru efectuarea unor calcule rapide;

Observarea legăturilor între operațiile cu numere naturale; efectuarea probei;

Efectuarea de succesiuni pentru calcule mentale folosind numere de cel mult două cifre pe principiul ”predării ștafetei ”, implicând majoritatea elevilor clasei;

Calcularea sumei (diferenței) a două fracții cu același numitor;

Scrierea unei fracții ca sumă de două fracții cu același numitor;

Calcularea sumei și a diferenței a două fracții, apelând la diferite suporturi intuitive;

Folosirea axei numerelor pentru a evidenția dacă un număr este ”mai îndepărtat” sau ”mai apropiat ” de un altul ;

Conștientizarea erorilor posibile prin propunerea unor exerciții și probleme cu erori tipice, ușor de observat și cu un anumit grad de relevanță (de exemplu : produsul a două numere) ;

Explorarea sistematică a posibilităților de descompunere a numerelor naturale pe baza operațiilor de adunare, scădere, înmulțire (cu și fără sprijin concret ) ;

Identificarea și crearea unor scheme pentru a efectua descompuneri echivalente ale unui numar ; folosirea de scheme pentru calcule mintale ;

Evidențierea și aplicarea unor reguli și scheme pentru efectuarea adunărilor, scăderilor, înmulțirilor, împărțirilor ;

Deducerea unor consecințe posibile (previzibile) ce decurg dintr-un set de ipoteze sau din efectuarea unui experiment (fără a folosi această terminologie și utilizând exemple simple);

Exemplu: ”dacă știu că : atunci ”;

Completarea unor șiruri de simboluri sau de numere ordonate după o anumită regulă;

Realizarea de șiruri pe baza de reguli date;

Exerciții de adunare și de înmulțire cu același număr

” Ghicirea regulii”pentru o corespondență de următorul tip :

Rezolvarea de exerciții variate care solicită aflarea unui număr necunoscut notat în diverse moduri ; de exemplu :

Rezolvarea de ecuații și inecuații, folosind : metoda încercării și erorii; operații inverse; metoda figurativă; metoda balanței;

Recunoașterea situațiilor concrete sau/și a expresiilor care impun efectuarea unor operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire (”cu atât mai mult”, ”cu atât mai puțin”, ”de atâtea ori mai mult”, ”de atâtea ori ori mai puțin”, ”sunt n obiecte, cu câte p pe fiecare rând”, ”se distribuie în mod egal n obiecte la un număr p de persoane” etc.) ;

Transpunerea unor situații -problemă, în limbaj matematic, înlocuind numere necunoscute cu simboluri;

Analizarea unor probleme de tipul menționat: identificarea datelor și a necunoscutelor; identificarea operațiilor prin care se ajunge la rezolvare, identificarea tipului de problemă (a formulei );

Alcătuire/ modificarea unor probleme ;

Formularea de generalizări ale unor enunțuri date: crearea și rezolvarea unor probleme de text, pe baza unor scheme, modele, reguli date;

Alcătuirea de probleme, utilizând tenici variate: cu sprijin-concret în obiecte pornind de la numere date; fără sprijin;

Alcătuirea de probleme, pornind de la exerciții și invers; transformarea problemelor în exerciții;

Alcătuirea de probleme de catre elevi pentru colegii lor ;

Alcătuirea de probleme pornind de la expresii simbolice (a+b=x, a-b=x etc.);

Analiza părților componente ale unei probleme;

Schimbarea datelor unei probleme fără ca tipul de problemă să se schimbe;

Transformarea problemelor de adunare în probleme de scădere și invers, a celor de scădere în probleme de adunare;

Schimbarea datelor numerice într-o problemă dată, cu păstrarea tematicii;

Transformarea problemelor, păstrând numerele nemodificate;

Analiza cuvintelor care sugerează operații aritmetice, inclusiv a celor derutante;

Stimularea și ajutarea creșterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competiții între elevi și prin probe date într-un interval de timp precizat inițial;

Strângerea și prelucrarea datelor culese;

Reprezentarea datelor numerice prin diagrame grafice simple;

Interpretarea datelor numerice prin compararea numerelor implicate, găsirea de asemănări și deosebiri, extragerea unor informații particulare semnificative;

Generarea de exemple care să ilustreze evenimente sigure, posibile sau imposibile;

Ordonarea evenimentelor din cotidian pe o scală a preferințelor ;

Formularea și rezolvarea de probleme pe baza datelor colectate în urma măsuratorilor ;

Rezolvarea și compunerea de probleme care implică utilizarea măsurilor unor mărimi;

Transpunerea unui context problematic în problemă și exercițiu;

Transpunerea unui context problematic pornind de la un exercițiu dat;

Jocuri de exerciții- competiție în care nivelul de dificultate este variabil;

Jocuri de grup:

Competiții de grup.

Se urmărește ca elevul să fie capabil :

Să cunoască și să folosească semnificația poziției cifrelor pentru a forma un unui număr natural, inclusiv până la ordinul miliardelor;

Să scrie, să citească, să compare, să ordoneze numere naturale;

Să folosească fracții pentru exprimarea de subdiviziuni ale întregului;

Să înțeleagă semnificația operațiilor de adunăre și scădere a numerelor fracționale, să efectueze adunări și scăderi cu aceste numere ;

Să estimeze ordinul de mărime al rezultatului unui exercițiu cu o singură operație prin rotunjirea numerelor care intervin în calcul, in scopul depistării greșelilor;

Să descopere modalitățile de descompunere a numerelor naturale mai mici decât 1000, folosind oricare dintre operațiile învățate sau combinații ale lor;

Să descopere, să recunoască și să folosească corespondențe simple și succesiuni de obiecte sau numere asociate după reguli date;

Să folosească simboluri pentru a pune în evidență numere necunoscute în rezolvarea de probleme ;

Să rezolve și să compună probleme cu text;

Să colecteze date numerice, să le selecteze și clasifice pe baza unor criterii simple, să le reprezinte în tabele și să ofere interpretări elementare ale acestora ;

Să exprime pe baza unui plan de idei, oral sau în scris , demersul parcurs în rezolvarea de probleme ;

Să arate interes pentru analiza și rezolvarea de probleme practice prin metode matematice ;

Să depășească blocaje în rezolvarea unor probleme, să caute prin încercare-eroare noi căi de rezolvare;

Să arate disponibilitate pentru a învăța de la alții și pentru a-i ajuta pe ceilalți în rezolvarea de probleme .

III.2 Predarea și învățarea operațiilor de adunare și scădere

Operația de adunare a numerelor naturale stă la baza realizării operației de înmulțire. Acesta este motivul pentru care este important să precizăm principalele aspecte legate de predarea – învățarea tehnicilor de efectuarea a adunării.

Predarea-învățarea numerelor până la 20

Predarea-învățarea numerelor până la 20 se face prin metode și procedee similare cu cele utilizate în concentrul 0-10.

De exemplu, pentru numărul natural 11 se formează o mulțime cu zece obiecte, o mulțime cu un obiect, apoi se reundesc cele două mulțimi și se obține o mulțime cu zece elemente și încă un element.

Se explică elevilor că despre o asfel de mulțime spunem că are unsprezece elemente și se introduce semnul grafic pentru acest număr ”11”.

Analog se procedează și pentru 12, 13 etc.

Prin scrierea numerelor mai mici ca 20, elevii iau pentru prima dată contact cu ideea de bază a sistemului zecimal de scriere a numerelor naturale.

În continuare este bine să se efectueze exerciții de scriere și citire a acestor numere, astfel ca elevii să-și însușească pronunțarea și scrierea corectă a acestor numere.

Se vor arăta abaterile și se vor corecta greșelile frecvente la pronunție și scriere (legătura între matematică și lingvistică).

Predarea-învățarea numerelor până la 100, 1000 și mai mari decât 1000

Reunind o mulțime formată din 20 de elemente cu o mulțime formată dintr un singur element, se obține o mulțime formată din ”douăzeci și unu” de elemente (21). Analog se pot obține 22, 23,.., 29, apoi 20+10=30 etc.

Ca material didactic se pot folosi abacul, numărătoarea cu bile, trusa de riglete, tabla magnetică etc. Se introduc apoi denumirile de sută, apoi de mie cu simbolurile corespunzătoare.

Predarea-învățarea numerelor de mai multe cifre

În această etapă are loc extinderea sistemului zecimal de numerație prin introducerea noțiunilor de ordin și clasă.

În studiul anterior al numerelor (până la 1000) elevii au luat la cunoștiință următoarele unități de calcul:

Unitatea simplă

Zecea

Suta

Mia.

Pentru numerele mai mari decât 1000 se extinde convenția de experiență anterioară introducându-se denumirile zeci de mii, sute de mii, milioane etc.

Este recomandat ca, în această etapă, să se folosească numărătoarea cu discuri care înlocuiește tradiționala numărătoare cu bile.

Pe măsură ce elevii fac cunoștiință cu ordinele, ei constată că grupuri de trei ordine consecutive începând cu primul conțin unități care se numesc la fel (unități, mii, milioane), introducându-se asfel noțiunea de clasă. Trei ordine consecutive formează o clasă.

Ordinele 1, 2, 3 formează clasa unităților; ordinele 4, 5, 6 clasa miilor, ordinele 7, 8, 9 clasa milioanelor etc.

După însușirea ordinelor și claselor se trece la scrierea și citirea numerelor de mai multe cifre. Se face precizarea că marcarea claselor se face lăsând între acestea un spațiu mai mare și nu este bine să fie folosit punctul care se poate confunda cu operația de înmulțire.

Exemplu: 12 352 473 și nu 12.352.473 .

Nu lipsite de importanță sunt în acest moment și citirea numerelor de mai multe cifre și cifră cu cifră sau pe grupe de cifre, care pregătesc pentru mai târziu citirea numerelor ce reprezintă unități de măsură cu ajutorul multiplilor sau submultiplilor unităților principale.

Sisteme de numerație

Totalitatea procedeelor de definire și scriere a numerelor se numește numerație. După modul de grupare și ordonare a semnelor folosite pentru scrierea numerelor, sunt cunoscute două sisteme de numerație :

Sistemul aditiv;

Sistemul pozițional.

Cel mai cunoscut sistem aditiv este sistemul roman, în care sunt folosite șapte simboluri, numite cifre romane. Aceste simboluri corespund următoarelor numere :

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Utilizând aceste șapte cifre romane, toate numerele, în acest sistem de numerație, se scriu alăturând una lângă alta, începând cu cea mai mare.

Exemplu: 637=DCXXXVII=500+100+10+10+10+5+1+1.

O succesiune de mai multe cifre romane identice reprezintă suma lor.

Exemplu: XX=douăzeci; III=trei.

Este de reținut că în scrierea unui număr în sistem roman nu pot să apară decât cel mult trei semne consecutive de același fel .

Într-un sistem roman, dacă într-o succesiune de două cifre, cifra de rang inferior se află în stânga celei de rang superior, atunci numărul reprezentat de acea succesiune de cifre este dat de diferența celor două cifre. Exemplu:

IV= cinci-unu=patru

IX=zece-unu=nouă

CM=o mie-o sută= nouă sute.

Dacă, însă, într-o succesiune de două cifre romane, cifra de rand superor se află în stânga celei de rang inferior, atunci numărul reprezentat de acea succesiune este dat de suma celor două cifre.

Exemplu:

VI=cinci+unu=șase

LX=cinzeci+zece

XII=zece+doi=doisprezece.

Pentru numere foarte mari, grupul cifrelor care reprezintă clasa miilor se scrie cu o bară deasupra lor, cel care reprezintă clasa milioanelor cu două bare deasupra lor și așa mai departe.

Exemplu:

De menționat este faptul că o cifră, în scrierea unui număr în sistemul roman, are aceeași valoare indiferent de poziția pe care o ocupă.

În scrierea unui număr în sistemul pozițional, valoarea oricărei cifre se modifică atunci când poziția ei se schimbă într-o succesiune de cifre.

Numărul cifrelor distincte care sunt folosite într-un sistem de numerație pozițional se numește baza sistemului de numerație respectiv. Cel mai utilizat sistem de numerație este sistemul zecimal (cu baza zece), care folosește pentru scrierea oricărui număr natural zece cifre diferite : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

În sistemul zecimal, valorile de poziție reprezintă puteri ale lui 10. De exemplu, 2356 se scrie :

Un alt sistem utilizat mai ales în tehnica de calcul este sistemul binar (cu baza 2). De exemplu, numărul se scrie sistematic astfel :

Deci, se observă că pentru a trece un număr dintr-o bază oarecare în baza zece se scrie numărul sistematic și se efectuează calcule în baza zece.

Trecerea unui număr din baza zece într-o bază oarecare se face astfel : prin împărțirea numărului scris în baza zece și apoi a câturilor obținute la noua bază se obțin, ca resturi, cifrele necesare scrierii sistematice în noua bază a numărului, luate în ordine, de la ultimul către primul. De reținut este faptul că împărțirea se efectuează până când se obține un cât mai mic decât noua bază, iar acest ultim cât este tocmai de ordin superior în scrierea în noua bază a numărului dat.

De exemplu :

Tehnica efectuării operațiilor este asemănătoare cu cea din baza 10, numai că trebuie ținut cont de tabla adunării și înmulțirii în baza respectivă.

Adunarea numerelor în concentrul 0-20

Adunarea unui număr mai mic decât 20 (format din zeci și unități ) cu un număr mai mic decât zece, a căror sumă este mai mică decât 20 sau egală cu 20.

Pentru a aduna unu număr format dintr-o zece și din unități cu un număr format din unități se adună unitățile între ele, apoi rezultatul se adună cu zecea primului număr.

12+5=10+2+5=10+(2+5)=10+7=17

16+3=10+6+3=10+(6+3)=10+9=19

14+4=10+4+4=10+(4+4)=10+8=18

Dacă la adunarea unităților se obține chiar o zece, atunci se aplică trecerea peste ordin.

Exemplu:

16+4=10+6+4=10+(6+4)=10+10=20

12+8=10+2+8=10+(2+8)=10+10=20.

Adunarea a două numere mai mici decât zece și a căror sumă trece de zece.

Exemple:

7+6=7+(3+3)=(7+3)+3=10+3=13

7+5=7+(3+2)=(7+3)+2=10+2=12

8+4=8+(2+2)=(8+2)+2=10+2=12

6+9=6+(4+5)=(6+4)+5=10+5=15

3+8=3+(7+1)=(3+7)+1=10+1=11.

Descompunerea unui termen în suma a două numere se aplică de obicei numărului mai mic .

Este recomandabil ca această descompunere să se facă pe rând, atât pentru primul termen, cât și pentru al doilea și să se accentueze faptul că se utilizează proprietatea de asociativitate a adunării.

Pe lângă materialul didactic intuitiv, se poate utiliza și trusa de piese magnetice sau trusa de riglete, necesare operațiilor de adunare cu numere mai mari decât zece.

Trusa cu piese magnetice se poate folosi pentru demonstrarea modului în care se compune și se descompune un număr, precum și în operațiile de adunare și scădere.

Învățătorul va explica elevilor că pentru a aduna mai multe numere, le vom scrie unul sub altul astfel încât să corespundă: unități sub unități, zeci sub zeci etc.

De exemplu, pentru a aduna numerele 12 și 3 se procedează astfel :

Se formează tabla magnetică folosind un triunghi și două discuri, numărul 12;

Sub această mulțime se formează numărul 3 din 3 discuri (o mulțime din trei discuri);

Se reunesc cele două mulțimi și se obține o mulțime formată dintr-un triunghi și cinci discuri, deci o unitate de ordinul al doilea (zece) și cinci unități de ordinul întâi.

Cardinalul reniunii mulțimilor este egal cu suma cardinalelor mulțimilor care se reunesc

Astfel 12+3=15.

Trusa cu riglete. În formarea conceptului de număr natural (numere mai mari) se utilizează trusa de riglete; în efectuarea de adunări și scăderi în concentrul 0-10 este recomandată, de asemenea trusa de riglete din carton colorat, plastic colorat etc .

În cazul numerelor naturale mai mari decât zece, de exemplu, pentru adunarea numerelor 13 și 24, se formează pe cartonul suport cele două numere, pentru 13 se asează riglete cu trei discuri pe coloana unităților și rigleta cu un triunghi pe coloana zecilor. Li se alătură pe coloana unităților o rigletă cu 4 discuri, iar pe coloana zecilor o rigletă cu două triunghiuri (pentru numărul 24) . Numărul obținut, adică rezultatul adunării dintre 13 și 24, este numărul 37.

Scăderea numerelor mai mici decât 20

La scăderea dintr-un număr format din zeci și unități a unui număr format numai din unități se întâlnesc două cazuri :

Scăzătorul are un număr mai mic de unități decât descăzutul, situație în care se face descompunerea unui număr din acest concentru într-o zece și numărul unităților cu proprietatea de asociere:

16-4=(10+6)-4=10+(6-4)=10+2=12

18-5=(10+8)-5=10+(8-5)=10+3=13.

Scăzătorul are un număr mai mare de unități decât descăzutul:

Ca recomandare, li se vor prezenta elevilor ambele procedee, pentru ca aceștia să poată alege o metodă care pare mai usor de aplicat.

Dacă atât descăzutul cât și scăzătorul sunt formate din zeci și unități (cu descăzutul mai mare decât scăzătorul), se aplică procedeul general de scădere a zecilor din zeci și a unităților din unități .

17-13=4 19-13=6

10-10=0 10-10=0

7-3=4 9-3=6

Astfel, putem scădea din primul număr zecile scăzătorului, iar din rest se scad unitățile scăzătorului:

18-12=6 20-13=7

10-10=0 20-10=10

8-2=6 10-3=7

Consolidarea si aplicarea adunării și scăderii numerelor naturale de la 0 la 20

Pentru extinderea ariei de aplicabilitate a operațiilor de adunare și scădere și, mai ales, pentru consolidarea deprinderilor de calcul, trebuie să se realizeze aplicarea cunoștiințelor despre operațiile învățate într-o mare varietate de sarcini, atât ca formă, cât și ca cerință de calcul, de exerciții și probleme.

Aplicații care vizează formarea deprinderilor cu privire la interdependența existentă între operațiile de adunare și scădere ?

5+?=13 12=3+? 3=8-?

6-?=2 12=?+8 9=15-?

?-4=3 5=?+3 ?+3=3.

Asemenea exerciții se pot rezolva și cu ajutorul rigletelor. Aflarea răspunsului corect se va face prin încercări, găsindu-se rigleta care corespunde cerinței.

Se vor face următoarele precizări :

Un termen al adunării se află prin scăderea termenului cunoscut din suma lor;

Descăzutul se află prin adunarea scăzătorului cu restul;

Scăzătorul se află prin scăderea din descăzut a restului.

Se pot rezolva, în continuare, exerciții de înlocuire a unei litere cu numere corespunzătoare :

a+8=12 a-2=14

7+a=10 7+5=a

16-a=9 a+7=13

a-11=5 10+a=16.

De asemenea, se pot rezolva exerciții de înlocuire a două litere, cu numere corespunzătoare:

a+b=14 a-b=4

a+6=b sau a-11=b

10+a=b 16-a=b,

punând elevii în situația de a găsi toate posibilitățile existente în concentrul 0-20.

Pentru aceste exemple se vor scoate în evidență modalitățile de compunere și descompunere a numerelor naturale, relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale, proprietățile de comutativitate a adunării și de simetrie a egalității între numere, precum și algoritmul de calcul pentru adunarea și scăderea în concentrul 0-20.

De asemenea, se pot rezolva și exerciții mai complexe, în care gândirea elevilor să fie mai mult solicitată.

Pentru a realiza o adunare cu mai mulți termeni se va cere elevilor să așeze rigletele cap la cap, corespunzător termenilor adunării, astfel încât rigleta obținută în acest mod să fie carespunzătoare sumei sau totalului.

Pentru a scădea succesiv mai multe numere dintr-un număr dat se așează cap la cap rigletele corespunzătoare numerelor care se scad, lângă rigleta corespunzătoare descăzutului (începând cu prima unitate).

Diferența devine egală cu numărul unităților din rigleta descăzut, care nu au corespondat cu unitățile corespunzătoare rigletelor care se scad.

La adunările cu mai mulți termeni, învățătorul va insista asupra utilizarii proprietăților de comutativitate și asociativitate ale adunării și va scoate în evidență proprietatea de simetrie a egalității între numere.

În lecțiile de consolidare a operațiilor de adunare și scădere, se vor rezolva exerciții mult mai variate, ca formă, conținut și grad de dificultate, cum sunt:

5+8-3+2=?

19+3-?+1=16

?=7+4=10

…+2=14

…+6-…=7

3…10…4=9.

Se pot rezolva și exerciții care presupun completarea unor tabele, cum ar fi :

De asemenea, se pot utiliza jocuri matematice pentru găsirea unui număr la care se adaugă și se scad alte numere și se cunoaște rezultatul final.

Probleme specifice predării-învățării adunării și scăderii numerelor naturale până la 100 cu și fără trecere peste ordin

Elemente pregătitoare

După adunări și scăderi de tipul 2+5=5 sau 1+1=2, se va trece la adunări de tipul 10+10=20, iar de la 4-1=3 și 10-8=2, se va trece la scăderi de tipul 40-20=20.

Un caz particular il constituie numerele a căror sumă este 100 și scăderea unui număr format numai din zeci dintr-un scăzător egal cu 100.

30+70=100

50+50=100

100-20=80

100-40=60

Se va utiliza material didactic corespunzător și se vor face demonstrații frontale, implicând cât mai mulți elevi .

Materialul didactic necesar :

Bețisoare legate în grupe de câte 10;

Bețisoare de câte 10 unități;

Tabla cu piese magnetice pe care se va lucra cu triunghiul ca simbol pentru ”o zece” și cu pătrarul pentru ”o sută”;

Trusa cu riglete;

Creta colorată.

Elevii se pot confrunta cu unele dificultăți la transformarea a zece unități de ordinul al doilea într-o unitate de ordinul al treilea, la compunerea unei sute din 10 zeci și reciproc, la descompunerea unei sute în 10 zeci.

Adunarea numerelor naturale mai mici decât o sută, fără trecere peste ordin

Învățătorul va preda adunarea numerelor mai mici decât o sută, fără trecere peste ordin în trei etape :

Adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format numai din unități;

Adunarea unui numar format din zeci și unități cu un numar format numai din zeci;

Adunarea a două numere formate din zeci și unități fără trecere peste ordin.

Pentru a aduna un număr format din zeci și unități cu un număr format numai din unități, fără trecere peste ordin, se va utiliza descompunerea numărului în zeci și unități și proprietățile de comutativitate și asociativitate ale adunării.

Exemplu:

47+2=(40+7)+2=40+(7+2)=40+9=49

33+5=(30+5)+2=30+(5+2)=30+7=38

La adunarea unui număr format din zeci și unități cu unul format numai din zeci se va proceda după cum urmează:

Se va descompune numărul format din zeci și unități în două numere, unul format din zeci, iar celălalt numai din unități;

Se adună apoi numărul format numai din zeci pe care l-am obținut prin descompunere, cu numărul format numai din zeci dat inițial, pentru a fi adunat;

În final, se adună numărul obținut prin adunarea numerelor formate numai din zeci cu numărul format din unități și obținut prin descompunerea realizată în prima etapă:

Exemple:

38+20=(30+8)+20=(30+20)+8=50+8=58

40+56=40+(50+6)=(40+50)+6=90+6=96

La adunarea a două numere naturale formate din zeci și unități, fără trecere peste ordine, se procedează ca în exemplele următoarele:

25+34=(20+5)+(30+4)=(20+30)+(5+4)=50+9=59

61+27=(60+1)+(20+7)=(60+20)+(1+7)=80+8=88

42+34=(40+2)+(30+4)=(40+30)+(2+4)=70+6=76.

După ce s-au efectuat suficiente exerciții de acest tip, învățătorul le cere elevilor sa efectueze astfel de operații, prin scrierea numerelor pe verticală, unul sub celălalt, având grija să se așeze unități sub unități și zeci sub zeci.

Exemple:

25+34=59 sau 25+

34

59

61+27=88 sau 61+

27

88

42+34=76 sau 42+

34

76

Scăderea numerelor naturale mai mici decât o sută, fără trecere peste ordin

Algoritmul de scădere a unui număr format din zeci și unități dintr-un număr format tot din zeci de unități, cu scăzătorul neapărat mai mic sau egal cu descăzutul, cuprinde mai multe etape, după cum se vede în următoarele exemple :

38-4=30+8-4=30+(8-4)=30+4=34

76-5=70+6-5=70+(6-5)=70+1=71

87-40=80+7-40=(80-40)+7=40+7=47

69-20=60+9-20=(60-20)+9=40+9=49

97-82=90+7-80-2=(90-80)+(7-2)=10+5=15

54-31=50+4-30-1=(50-30)+(4-1)=20+3=23

Astfel:

87-51=87-(50+1)=87-50-1=(87-50)-1=37-1=36

74-43=74-(40+3)=74-40-3=74-40-3=(74-40)-3=34-3=31=34-3=31

sau 87- 74-

51 43

36 31

Învățătorul le va arăta elevilor toate procedeele prin care se poate efectua o asfel de scădere, lăsând apoi la latitudinea fiecărui elev, folosirea în practică de zi cu zi, a unuia sau altuia dintre preocedeele învățate.

Adunarea și scăderea numerelor naturale mai mici decât o sută, cu trecere peste ordin

Aceste operații se învața în mai multe etape:

Adunarea la un număr format din două cifre a unui număr format din mai multe unități și zeci, astfel încât suma să fie un număr format numai din zeci;

Adunarea unui număr format din zeci și unități cu un număr format numai din unități și asemănător, scăderea dintr-un număr format din zeci și unități a unui număr format numai din unități;

Adunarea și scăderea numerelor formate din două cifre.

În fiecare dintre situațiile amintite, se pot utiliza mai multe procedee, după cum urmează:

43+7=(40+3)+7=40+(3+7)=40+10=50

65+15=(60+5)+(10+5)=60+10+5+5=70+10=80

70-6=(60+10)-6=60+(10-6)=60+4=64

80-26=(70+10)-(20+6)=(70-20)+(10-6)=50+4=54

sau 80-26=80-20-6=60-6=54.

Pentru a aduna un număr format din zeci și unități cu un număr format numai din unități se poate proceda în mai multe moduri :

Se adună la unitățile primului număr, unitățile celui de-al doilea și apoi se adaugă la zecile primului număr astfel obținut:

27+8=20+7+8=20+15=35

42+9=40+2+9=40+11=51;

Se adună la unitățile primului număr, acel număr de unități ale celui de-al doilea, necesare pentru a completa o zece și apoi se adună la numărul format numai din zeci unitățile rămase de la al doilea număr

56+7=56+(4+3)=(56+4)+3=60+3=63

83+9=83+(7+2)=(83+7)+2=90+2=92;

Se ”rotunjește” unul dintre termeni, prin lipsă sau prin adaos, obținându-se un număr format numai din zeci; se aadună acest număr cu al doilea termen, iar din rezultat se scad sau se adună unitățile care au fost necesare pentru rotunjire; de exemplu :

47+8=? se rotunjește prin adaos cu 3 unități

50+8=58 se adaugă zecile (50 cu cele 8 unități rămase)

58-3=55 se scad cele 3 unități folosite.

Astfel, obținem 47+8=55.

Alte exemple :

86-9=86-6-3=80-3=77

73-8=73-3-5=70-5=65

64-8=? se rotunjește 64 prin lipsă (se scad 4 unități)

60-8=52

52+4=56 64-8=56.

72-9=? (9 rotunjit cu o unitate prin adaos dă 10)

72-10=62

62+1=63 72-9=63.

Învățătorul va insista asupra procedeului de adunare și scădere prin rotunjire, deoarece, pentru un elev aceasta presupune depășirea unui șir de dificultăți:

61-32=?

32-2=30

61-30=31

31-2=29 61-32=29.

Metoda ”rotunjirii ” este un instrument util în efectuarea mintală rapidă, a operațiilor cu numere naturale, mai ales în studiul operațiilor de înmulțire și împărțire.

III. 3 Predarea-învățarea operației de înmulțire

Înmulțirea numerelor naturale de la 0 la 10

În dobândirea cunoștințelor și priceperilor de adunare a numerelor naturale din intervalul

0-100, învățătorul folosește cu precădere principiul intuiției .

Pentru învățarea operației de înmulțire se recurge la reactualizarea cunoștiințelor despre adunare, dar se pune accent pe adunarea repetată cu termeni egali.

Se reactualizează proprietățile adunării (comutativitate și asociativitate), scrierea și citirea numerelor naturale.

Materialul didactic se folosește ți în această etapă, dar intuiția nu mai ocupă un rol atât de important ca la operația de adunare .

Elevii sunt solicitați să observe că 3+3+3+3 se citește 3 luat de 4 ori sau 3 ori 4.

Se explică elevilor că adunarea repetată se scrie și sub o altă formă.

Un moment foarte important este acela când elevii identifică operația de adunare repetată cu operația de înmulțire și substituie o operație prin alta.

Putem concluziona că indiferent de obiectele cu care operăm (figurine, bețișoare, bile, desene etc. ) esențială rămâne relația, în cazul de față, de exemplu, 2 luat de 3 ori este egal cu 6, adică:

2+2+2=2 3.

Pentru început, se folosește o exprimare pe înțelesul celor mici : 2 luat de 3 ori .

Elevii mici leagă mai ușor această formă de exprimare de forma scrisă a exercițiului . Se introduc apoi noțiunile de ”înmulțit” sau ”ori”.

Folosindu-se pentru început de materialul intuitiv, elevii sunt ajutați in depășirea dificultății de transcriere a adunării repetate sub formă de inmulțire.

După ce se efectuează un numar suficient de exerciții, elevii vor sesiza legătura între adunarea repetată și înmulțire.

Prin înmulțirea a două numere a și b se obține un alt număr ab, numit produsul lor.

Produsul ab se obține adunând numărul a de b ori.

Se trece la însușirea vocabularului matematic. Numerele care se înmulțesc se numesc factori. Primul factor (deînmulțit) se repetă de câte ori arată cel de-al doilea factor (înmulțitorul). Se insistă încă de la primele lecții de predare a înmulțirii numerelor naturale pe proprietatea de comutativitate a factorilor. Rezultatul înmulțirii se numește produs.

Procedeul adunării repetate în întocmirea ”tablei înmulțirii” devine mai greoi atunci când înmulțitorul se mărește.

Metodic se poate recurge la următoarele procedee:

Procedeul grupărilor, care constă în descompunerea înmulțitorului într-o sumă de termeni cu care înmulțirea se face mai simplu. Procedeul se transformă într-o sumă de produse.

Exemplu:

Procedeul grupărilor nu se face într-un singur mod, ceea ce crează condiții pentru manifestarea inițiativei elevilor, reprezentând un pas înainte pe drumul sintezei.

Acest procedeu de însușire a înmulțirii îl pune pe elev în legătură cu proprietatea de distributivitate (fără a o denumi), proprietate ce se va folosi mai târziu la justificarea regulilor de calcul scris.

Exemplu:

Procedeul devine și un mijloc de autoverificare, atunci când elevul și-a format acel mecanism de răspuns, precizând repede produsul, dar verificându-l mintal, printr-un calcul conștient.

În învățarea înmulțirii, acest procedeu constituie o îmbinare a însușirii conștiente cu însușirea temeinică și activă în cadrul formării deprinderilor de calcul matematic la elevii din învățământul primar.

Procedeul permutabilității (comutativității):

Exemplu:

Elevii operează, spre exemplu, mai ușor repetân 7 de 3 ori decât repetându-l pe 3 de 7 ori.

Se poate demonstra, pornind de la ce concret, că deînmulțitul devine înmulțitor și invers, elevii fiind familiarizați în felul acesta cu proprietatea de comutativitate. Comutativitatea înmulțirii nu este atât de simplă ca aceea a adunării.

Dacă 2+3 și 3+2 înseamnă același lucru, operațiile de înmulțire 23 și 32 nu trebuie privite în mod mecanic ca fiind identice, pentru că 23 înseamnă 2 luat de 3 orim adică 2+2+2=6, iar

32 înseamnă 3 luat de 2 ori, adică 3+3=6 (conform definiției înmulțirii).

Procedeul înmulțirii cu 9 (conform definiției înmulțirii)

Exemplu:

Ca urmare a celor analizate anterior, putem considera că ”tabla înmulțirii ” se poate alcătui în două moduri :

Cu deînmulțitul constant în care variază înmulțitorul

Exemplu:

Păstrându-se deînmulțitul constant, tabla înmulțirii este mai accesibilă elevilor și, de aceea, sugerăm ca atunci când elevii fac pentru prima dată cunosștiință cu operația de înmulțire, aceștia să o învețe cu deînmulțitul constant și apoi să apeleze la comutativitatea factorilor.

Folosindu-se deînmulțitul constant, se face o mai strânsă legătură cu adunarea repetată.

Când se alcătuiește tabla înmulțirii cu înmulțitorul constant, lipsește legătura cu înmulțirea precedentă, deoarece numerele care se repetă se schimbă de fiecare dată.

De exemplu pentru :

34 (3 luat de 4 ori=33+3)

53 (5 luat de 3 ori=52+5)

se face legătura cu înmulțirea precedentă, nu însă și în cazul :

14=4; 1 luat de 4 ori 1+1+1+1=4

24=8; 2 luat de 4 ori 2+2+2+2=8

34=12; 3 luat de 4 ori 3+3+3+3= 12

când se repetă de fiecare dată alt număr.

Etapele pe care le poate parcuge o lecție în care se învață înmulțirea când un factor este un număr dat :

Repetarea tablelor înmulțirii cu numărul precedent;

Stabilirea înmulțirilor cunoscute care au ca factor numărul respectiv (folosind comutativitatea);

Obținerea rezultatelor celorlalte înmulțiri cu acest număr, pornind de la înmulțirile învățate anterior;

Scrierea completă a tablei înmulțirii cu acel număr ;

Folosirea unor procedee variate care să-i ajute pe elevi să învețe tabla înmulțirii cu acel număr ;

Rezolvarea de exerciții și probleme în care se aplică înmulțirile învățate .

Pentru memorarea logică a tablei înmulțirii este necesar să se rezolve cât mai multe exerciții orale și scrise care au un rol deosebit, deoarece:

Imprimă activității didactice un caracter activ-participativ și formativ, elevii înțelegând relația ce există între factori pentru obținerea produsului;

Conduc la conștientizarea procesului însușirii acestei operații matematice,

renunțându-se la memorarea mecanică;

Stimulează atenția și capacitatea de concentrare;

Trezesc interesul elevilor pentru operația de înmulțire;

Solicită la maximum gândirea elevilor, în special flexibilitatea ei.

În continuare sunt prezentate câteva exerciții de logică matematică cu privire la ”tabla înmulțirii”:

Mulțimea produselor înmulțirii cu un număr (din cercul 0-10) este de fapt numărarea din 1 în 1, din 2 în 2 ș.a.m.d., ținându-se cont de facpul că înmulțirea este o adunare repetată;

Produsele înmulțirilor cu 2, 4, 6, 8 și 10 sunt numere pare (cu soț);

Produsele înmulțirilor cu factor 5 sunt numere care se termină în 5, atunci când celălalt factor este impar (fără soț), sau în zero, când factorul celălalt este par (cu soț);

La produsele înmulțirii cu 9 suma cifrelor fiecărui produs este 9, iar pe coloană se observă, înscris șirul numerelor naturale de la 0 la 9 în ordine crescătoare și descrescătoare .

9 1= 9 suma cifrelor =9

9 2=18 1+8=9

9 3=27 2+7=9

9 4=36 3+6=9

910=90

Apelând la aceste observații de logică matematică ne asigurăm permanent de însușirea temeinică a ” tablei înmulțirii” .

Elevii au învățat temeinic ”tabla înmulțirii” dacă sunt capabili :

Să spună = calculeze mental selectiv produsul a două numere;

Să facă înmulțiri cu un factor dat;

Să prezinte factorii unui produs dat;

Să exprime o adunare repetată printr-o înmulțire și invers ;

Să găsească rapid produsul a două numere, bazându-se permanent pe acțiunea de autoverificare mintală, folosindu-se un alt procedeu de calcul al produsului (al grupărilor, permutărilor, aproximărilor).

Înmulțirea numerelor naturale formate din mai multe cifre

Pentru predarea-învățarea celor două operații matematice cu numere scrise cu mai multe cifre este important ca activitățile să se bazeze pe proprietățile de scriere în baza zece a numerelor naturale, pe proprietățile operațiilor de adunare și înmulțire a numerelor naturale (asociativitatea, comutativitatea, distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere), pe simetria relației de egalitate, pe procedeele de calcul învățate, pe folosirea probelor operațiilor .

Înmulțirea numerelor formate din mai multe cifre

În cadrul numerelor de la 0 la 100 s-au învățat înmulțirile numerelor de o singură cifră, precum și înmulțirea cu un număr cu o singură cifră.

În cazul numerelor scrise cu mai multe cifre se studiază operația de înmulțire cu toate particularitățile ei.

Pentru însușirea temeinică a operației de înmulțire, este necesar ca elevii săcunoască :

Înmulțirea numerelor scrise cu o singură cifră;

Formarea, compunerea și descompunerea numerelor, numerația orală și scrisă a numerelor de mai multe cifre;

Efectul numărului zero în cazul înmulțirii;

Noțiunile teoretice referitoare la denumirea factorilor și a rezultatului înmulțirii;

Adunarea în scris, deoarece înmulțirea în scris utilizează adunarea ca operație auxiliară.

Înmulțirea fără trecere peste ordin a numerelor de o cifră cu numere formate din sute, zeci și unități se grupează după gradul de dificultatea astfel :

Înmulțirea numerelor până la 10 cu un număr format din zeci .

În acest caz înmulțirile se bazează pe descompunerea numerelor în produse de factori și pe proprietatea de asociativitate a înmulțirii. De exemplu:

230=2(310)=(23) 10=610=60.

Calculul oral se face înmulțind cifrele distincte ca simple unități și apoi adăugând produsul obținut pe 0.

Calculul în scris se efectuează apelând la adunarea repetată de temeni egali :

În paralel, se explică elevilor ca 230=302=60, înmulțirea fiind comutativă, acest lucru fiind foarte împortant la așezarea calculului scris.

Înmulțirea numerelor până la 10 cu un număr format din zeci și unități.

Calcului oral se bazează atât pe descompunerea numărului în zeci și unități, cât și pe aplicarea proprietății de distributivitate a înmulțirii față de adunare. De exemplu:

231=2(30+1)=230+21=60+2=62

Calculul în scris se bazează pe efectuarea înmulțirii ca adunare repetată și pe substituirea acesteia prin înmulțire .

Înmulțirea numerelor mai mici decât 10 cu numere formate din sute

Calculul oral se bazează pe descompunerea numerelor într-un produs de factori și aplicarea proprietății de asociativitate a înmulțirii. De exemplu:

Calculul în scris se efectuează prin același procedeu :

2003=200+200+200 200+

=600 200 sau

200

600

Înmulțirea numerelor formate dintr-o cifre cu numere formate din sute, zeci și unități.

Se folosește proprietatea :”înmulțirea este distributivă față de adunare”.

De exemplu :

Se scrie înmulțirea ca adunare repetată cu același termen:

231+ sau

231

231

693

Înmulțirea cu trecere peste ordin, a numerelor scrise cu trei cifre

Această categorie se bazează pe procedeele însușite la înmulțirea cu numere formate din zeci și unități, cu proprietatea că zece unități de un anumit ordin formează o unitate de ordin imediat următor.

Calculul orar se efectuează începând cu unitățile de ordinul cel mai mare, iar calculul scris începând cu unitățile de ordinul cel mai mic (de la dreapta la stânga).

Exemplu : 3241=

Calculul oral :

3241=3200+340+31=

=600+120+3=

=723

Calculul scris:

Înmulțirea a două numere formate din două sau mai multe cifre

Se ține cont, în acest caz, de faptul că fiecare unitate a numărului cu care înmulțim se

înmulțește succesiv cu toate unitățile de orice ordin și se obțin produse parțiale. Scrierea produselor parțiale este esențială, ea începând de la dreapta la stânga, cu cifra unităților numărului cu care înmulțim.

Prin adunarea produselor parțiale se obține produsel celor două numere.

De exemplu – calcul scris:

Fără trecere peste ordin:

2313= 23(10+3)

=2310+233 sau

=230+69

=299

Cu trecere peste ordin:

3218=32(10+8)

=3220+328 sau

=320+256

=576

Cazuri particulare de înmulțire. Înmulțirea cu 10, 100, 1000

Elevii sunt solicitați să observe că în cazul acestor înmulțiri unele produse parțiale sunt zero și, ca atare, la adunarea tuturor produselor parțiale, ele nu influențează rezultatul.

Se poate observa că la înmulțirea cu 10 primul produs parțial este egal cu zero, iar la adunarea lui la produsul parțial obținut prin înmulțirea numărului cu 1, nu influențează rezultatul.

Exemplu: 23510=2350 235

10

000

235 5

2350

Deci, pentru aflarea produsului, adăugăm la sfârșitul numărului pe care îl înmulțim cu 10, cifra 0. Pentru înmulțirea unui număr cu 100, se adaugă la sfârșitul numărului care se înmulțește două zerouri (două produse parțiale au fost egale cu zero), iar cifrele inițiale reprezintă numărul unităților de ordin superior cu două poziții față de ordinele reprezentate anterior. Același procedeu și pentru înmulțirea cu 1000.

Din aceleași considerente, în cazul în care o cifră de un anumit ordin zero, la calculul în scris, rezultatul parțial al înmulțirii acesteia cu deînmulțitul nu se mai trece peste linia respectivă, dar trebuie să se aibă în vedere ca cifra unităților din produsul parțial următor să fie scrisă sub cifra corespunzătoare ordinului pe care îl reprezintă.

III.4 Predarea-învățarea operației de împărțire

Împărțirea numerelor naturale

Elevii învață împărțirea nu numai pe bază intuitivă, ci și pe bază logică, cunoscând tot mai temeinic împărțirea ca operație inversă înmulțirii.

Împărțirea numerelor naturale se efectuează prin două procedee:

Împărțirea în părți egale

Împărțirea prin cuprindere.

Împărțirea în părți egale este mai accesibilă școlarului de vârstă mică, având la bază separarea unei mulțimi în submulțimi disjuncte de elemente două câte două, fiecare având același număr de elemente.

Se cunoaște astfel numărul submulțimilor care se formează, iar prin împărțire se găsește numărul de elemente pe care le are fiecare submulțime .

Etapele principale folosite în cadrul împărțirii în părți egale sunt următoarele :

Stabilirea numărului de obiecte ce trebuie să se împartă în mod egal și numărul părților;

Exemplu: 12 mere se distribuie în mod egal la 4 elevi.

Se repartizează fiecărei părți (elev) câte un obiect ( măr), deci se iau 4 obiecte (mere), au mai rămas 8, apoi se repartizează încă 4 mere, au mai rămas 4 mere, care se distribuie, în final, câte unul fiecărui copil și nu mai rămâne niciun măr nerepartizat ;

Se stabilește numărul obiectelor (merelor) distribuite fiecărei părți (elevi);

Se evidențiază raționamentul matematic, se formulează concluzia :

dacă se împart 12 mere în mod egal la 4 elevi, atunci fiecare elev va primi câte 3 mere.

Raționamentul matematic se scrie : 12:4=3

Se familiarizează elevii cu semnul operației de împărțire ;

Semnul ”:” se citește ”împărțit”;

Se fixează vocabularul matematic referitor la operația de împărțire :

”deîmpărțitul ” este numărul care se împarte;

”împărțitorul ” este numărul la care se împarte;

”câtul” este rezultatul operației de împărțire.

Câtul este chiar numărul de scăderi repetate din deîmpărțit .

Exemplu:12-4=8; 8-4=4; 4-4=0.

Scăderea repetată se folosește numai la început, cand se familiarizează elevii cu operația de împărțire.

În această etapă se folosește materialul intuitiv pentru a pune în evidență semnificația acestei operații matematice. Pe măsură ce se formează noțiunea de împărțire ca scădere repetată se trece la întocmirea tablei împărțirii pe baza legăturii dintre împărțire și înmulțire.

De exemplu:

14:7=2 pentru că 27=14

21:3=7 pentru că 37=21.

Împărțirea prin cuprindere prezintă dificultăți de reprezentare intuitivă. Ca și la împărțirea în părți egale și la împărțirea prin cuprindere se folosesc scăderile repetate.

În cadrul enunțului problemei, care se rezolvă prin acest procedeu se cunoaște numărul total de elemente și numărul de elemente dintr-o submulțime, dar nu se cunoaște numărul submulțimilor .

Exemplu: ”Într-un coș erau 15 gutui.Acestea au fost așezate câte câte 5 pe câte o farfurie. Pe câte farfurii s-au așezat gutuile?”

Se poate observa cu ușurință că deîmpărțitul și împărțitorul au același fel de elemente.

Etape metodice în abordarea împărțirii ”prin cuprindere”

Formarea noțiunii de împărțire ”prin cuprindere”, scrierea și citirea aceste împărțiri.

Pentru a înțelege acest procedeu, trebuie să se însușească sensul expresiei ”prin cuprindere”.

Pentru aceasta este necesar să se utilizeze exemple concrete, concludente, legate de experiența de viață și cunoștiințele elevilor .

Pentru o mai bună înțelegere a problemei se poate lua un grup/ eșantion de 12 elevi și se fac toate grupările posibile (grupe egale): câte 1, câte 2, 3, 4, 6.

Elevii observă cu ușurință de câte ori se cuprinde fiecare grupă formată din 12.

Se pot folosi apoi alte materiale intuitive, la nivel individual, exersând de fiecare dată de câte ori se cuprinde submulțimea (grupa ) în numărul total de elemente.

Se precizează că scrierea aceste împărțiri este cea cunoscută, dar citirea pentru folosirea procedeului ”prin cuprindere ” se face astfel :

-pentru operația 12:3=4 se citește : 12 împărțit în grupe de câte 3 dă restul 4;

sau 3 se cuprinde de 4 ori în 12.

Rezolvarea problemelor de împărțire ”prin cuprindere ”

Ceea ce s-a prezentat până acum a avut ca obiectiv familiarizarea elevilor cu exprimarea caracteristică aceste împărțiri și pătrunderea în esența aceste operații.

Dacă însă o problemă se poate rezolva fie prin procedeul ”prin părți egale ” sau ”prin cuprindere”, se stabilește numai după analiza textului problemei.

Pentru a face distincția clară între cele două procedee de împărțire, este necesar să se formuleze pe aceleași date o problemă de împărțire ”în părți egale” și alta ”prin cuprindere” .

Spre exemplu, folosind relația 12:3=4, se pot formula următoarele probleme:

O cantitate de 12 l de apă s=a pus în mod egal în 3 bidoane. Câți litrii de apă s-au pus într-un bidon (fig. a)?

Operația se scrie :

12 l :3=4 l

și se citește :

12 l împărțit în mod egal în 3 părți egale este egal cu 4 l.

O cantitate de 12 l apă s-a turnat în bidoane de câte 3 l fiecare. Câte bidoane sunt necesare (fig b)?

Operația se scrie :

12 l :3 l=4

Și se citește:

12 l împărțit în bidoane de câte 3 l dă câtul 4, deci 4 bidoane sau 3 l se cuprind de 4 ori în 12 l, deci sunt 4 bidoane.

După ce elevii si-au însușit conștient noțiunile de împărțire în părți egale și prin

cuprindere se trece la alcătuirea tablei împărțirii.

Stabilirea rezultatelor tablei împărțirii se bazează pe legătura acestei operații matematice cu cea de înmulțire.

Trebuie să recunoaștem că și un om matur, care nu operează permanent cu problemele de aritmetică, rezolvarea unei probleme prin unul din procedeele menționate sus , creează unele probleme .

Cum s-ar putea rezolva o operație de împărțire folosind ambele procedee? Luăm, spre exemplu , 15:5.

Folosindu-ne de diferite materiale intuitive (bile, figurine, culori etc. ) se procedează la scăderea a câte 5 elemente, dar de fiecare dată 5 fiind format din câte 5 de unu, după cum se poate observa :

Deci:

Pe rândurile orizontale 5 se cuprinde în 15 de 3 ori;

Pe rândurile verticale 15 s-a împărțit în 5 părți egale și s-a obținut câte 3.

Se poate concluziona că indiferent de procedeul folosit, împărțind 15 la 5 se obține câtul 3.

În rezolvarea problemelor, însă, este necesar să se țină seama că o problemă de împărțire se poate rezolva folosind numai unul din cele două procedee.

Oferim spre exemplificare, două probleme care se rezolvă prin procedeele :

Prin părți egale;

”Ileana a pus în mod egal 12 garoafe în 4 vaze . Câte garoafe a pus în fiecare vază? ”

În acest caz se cunoaște numărul total de elemente și numărul submulțimilor (părților) care se formează și nu se cunoaște numărul elementelor din fiecare submulțime . Câtul acestor împărțiri va avea elemente de același fel cu deîmpărțitul .

Prin cuprindere:

”Pe o masă erau 12 garoafe care s-au pus câte 3 în fiecare vază. În câte vaze s-au pus garoafele?”

Elevii pot observa cu ușurință că, în al doilea caz, se cunoaște numărul total de garoafe (de elemente) și numărul de garoafe din fiecare grupă (submulțime ), urmând să se găsească numărul de grupe (submulțimi) care se formează cu un număr egal de garoafe (elemente).

Situații a căror rezolvare solicită operația de împărțire

Aflarea câtului, când se cunoaște deîmpărțitul și împărțitorul

Exemplu: 15:3= □ ;

Aflarea împărțitorului, când se cunoaște deîmpărțitul și câtul

Exemplu: 15: □=5;

Micșorarea unui număr ”atâtea ori”;

Când trebuie să aflăm de câte ori se poate scădea un număr din alt număr;

Când comparăm două numere (de câte ori este mai mare sau mai mic un număr decât celălalt);

Când trebuie să aflăm de câte ori se cuprinde un număr în celălalt (împărțirea prin cuprindere).

Aflarea unui factor când se cunoaște celălalt factor și produsul celor două numere :

Exemplu : □ 5=15;

Când se află partea dintr-un întreg: (jumătatea, sfertul).

Fiind familiarizați cu acest vocabular matematic, elevii rezolvă într-un timp record și cu multă exactitate situații practice, care solicită operația de împărțire.

Diversitatea unor astfel de solicitări are drept obiective : cunoașterea, fixarea și aplicarea tablelor înmulțirii și împărțirii.

Rezolvarea unui număr mare de exerciții și probleme formează la elevi capacitatea de a recunoaște situații matematice și practice în care se impune efectuarea înmulțirilor și împărțirilor.

Prin exerciții și rezolvări de probleme se vor pune în evidență și se vor însuși procedeele de realizare a probei celor două operații.

Proba operației de înmulțire se poate realiza prin:

Comutativitatea factorilor: ab=ba

Împărțirea produsului la unul din cei doi factori și obținerea celuilalt factor:

astfel încât pentru ab=c; a=c:b; b=c:a

Proba împărțirii se face prin :

Înmulțirea câtului (când împărțirea este exactă r=0) cu împărțitorul pentru a obține deîmpărțitul

cî=D, r=0 , î≠0

Împărțirea deîmpărțitului la cât pentru a obține împărțitorul (în cazul împărțirii exacte) :

D:c=î, r=0, î≠0

Înmulțirea câtului cu împărțitorul și adunarea la acest produs a restului pentru a obține deîmpărțitul (D=cî+r, î≠0, r<î)

Aflarea diferenței dintre deîmpărțit și rest, diferență care să fie egală cu produsul între cât și împărțitor.

Împărțirea numerelor de mai multe cifre

Pentru început se predă împărțirea fără și cu trecere peste ordin a numerelor formate din mai multe cifre la un număr mai mic decât zece.

Clasificarea diferitelor cazuri de împărțire prezintă pentru elev unele dificultăți care pot fi depășite numai prin exercițiu.

Cea mai frecventă clasificare o constituie aceea care se referă la structura cifrică a împărțitorului.

În clasele primare elevii exersează împărțirea la un număr de o cifră, diferit de zero.

Se poate preciza că cele mai importante cazuri de împărțire se studiază în cadrul numerelor până la 1000, urmând ca procedeele stabilite la împărțirea numerelor de trei cifre să fie extinse asupra împărțirii numerelor de mai multe cifre.

Procedeul pentru împărțirea sutelor se stabilește prin comparație cu împărțirea unităților și a zecilor.

În clasa a III-a elevii învață împărțirea cu rest.Deoarece implică un înalt grad de abstractizare, este necesar să se acorde o suficientă atenție acestei împărțiri.

Odată ce noțiunile sunt înțelese, se conștientizează și se aplică în rezolvarea cazurile de împărțire cu resturi succesive.

Primele exerciții de împărțire cu rest trebuie să reprezinte formularea matematică a unor acțiuni ce se petrec în fața elevilor, făcând constatări pe cazuri concrete și extinzând apoi aceste constatări la alte cazuri asemănătoare, concrete, semiconcrete sau abstracte.

Spre exemplu, elevii sunt solicitați să împartă 4 creioane la 4 elevi, să constate că împărțirea

s-a făcut exact și să scrie matematic concluzia:

4:4=1.

Când vor împărți 5 creioane la 2 copii, vor constata că fiecare elev primește câte 2 creioane, dar mai rămâne un creion, deci concluzia scrisă matematic este :

5:2=2 rest 1.

Din analiza unor exemple cum sunt :

4:3=1 rest 1 ; 5:3=1 rest 2; 7:3=2 rest 1,

elevii observă că împărțind la 3 se obțin resturile 1 sau 2; precum și că fiecare dintre aceste resturi este mai mic decât împărțitorul.

Numai după ce elevii și-au format în mod clar și complet noțiunea de împărțire cu rest, se poate trece la împărțirea cu rest a unui număr format din zeci, zeci și unități, apoi numere scrise cu mai multe cifre.

Împărțirea numerelor formate din două cifre la numere formate din unități

În cadrul exercițiilor de acest gen, eccentul va cădea pe formarea deprinderilor de lucru, pe cunoașterea și însușirea tehnicilor de calcul.

Exercițiile de împărțire a unui număr natural format din două cifre la un număr natural format dintr-o singură cifră se pot clasifica astfel :

Numărul zecilor și numărul unităților deîmpărțitului se împart exact la împărțitor.

Există două situații:

Deîmpărțitul conține numai zeci. Acest gen de exerciții se bazează pe împărțirea numerelor formate dintr-o singură cifra. De exemplu:

80:4=8 zeci :4=2 zeci; deci 80:4=20

Calcul în scris :

sau

Deîmpărțitul conține zeci și unități

Procedeul de calcul se bazează pe descompunerea numerelor scrise cu două cifre diferite de zero în unități de ordin componente. De exemplu:

68:2=(60+8):2=60:2+8:2=30+4=34

Calcul în scris:

Numărul unităților nu se împarte exact la împărțitor .

Exercițiile de acest tip se rezolvă după același procedeu ca și în cazul anterior: se împart zecile și unitățile deîmpărțitului la împărțitor. De exemplu :

65:3=(60+5):3=60:3+5:3=20+1 (rest 2)=21 rest 2

Calcul în scris :

Numărul zecilor nu se împarte exact la împărțitor.

Algoritmul de calcul în cadrul acestei categorii de împărțiri este mai dificilă pentru școlarii mici.

Se cere din partea învățătorului preocuparea pentru îndrumarea elevilor în a efectua cât mai multe exerciții.

Dificultatea constă în transformarea uneia sau mai multor unități de ordinul al II-lea în de zece ori mai multe unități de ordinul I, la care se adaugă numărul de unități de ordin I pe care le are deîmpărțitul .

De exemplu, pentru 58:2 avem:

Calcul oral :

58:2=(40+18):2

=40:2+18:2

=20+9

=29

Pentru 97:4 avem:

Calcul oral :

97:4= (80+17):4

= 80:4+17:4

=20+4(rest 1)

=24(rest 1).

Calculul în scris se folosește și pentru împărțirea numerelor scrise cu două cifre pentru ca elevii să se obișnuiască și să rețină procedeul de scriere și de așezare a calculului în scris, procedeu ce se va aplica la împărțirea numerelor scrise cu mai multe cifre.

Împărțirea unui număr format din sute, zeci și unități (sau mai multe cifre) la un număr format din unități se realizează prin procedee și etape ca și în cazurile prezentate anterior.

Astfel:

Când toate cifrele deîmpărțitului se împart exact la împărțitor;

Când numărul unităților nu se împarte exact la împărțitor;

Când atât numărul unităților, cât și al zecilor nu se împarte exact la împărțitor;

Când nici sutele, nici zecile și nici unitățile nu se împart exact la împărțitor .

Scrierea operației în unul din aceste cazuri este următoarea:

639:3-213

Calcul oral: Calcul în scris:

După ce elevii au repetat procedeul de lucru și au explicat în cuvinte modalitatea de lucru, se stabilește următoarea concluzie:

”Împărțirea în scris se face ca și împărțirea orală, împărțind fiecare cifră a deîmpărțitului la împărțitor”.

Procedeul de calcul se extinde și la numerele scrise cu mai multe cifre.

Exercițiile de împărțire pe care le rezolvă elevii trebuie să asigure formarea unor deprinderi temeinice de calcul.

Elevii învață tehnica specifică operației de împărțire în condițiile respectării unui pseudoalgoritm, fiindcă numai în acest fel vor putea înțelege particularitățile pe care le prezintă celelalte cazuri.

CAPITOLUL IV

ORGANIZAREA ȘI DESFĂȘURAREA CERCETĂRII

IV. 1 Metodologia cercetării

Progresul continuu al dezvoltării sistemului educativ și necesitatea perfecționării neostenite a muncii educative implică faptul că dascălii trebuie, în parallel cu activitatea lor practică, să desfășoare și o muncă de cercetare și studiere a experienței înaintate.

Pe parcursul cercetării efectuate s-a pornit de la următoarea ipoteză: folosirea și integrarea adecvată în lecțiile de matematică a metodelor active de predare-învățare poate duce la creșterea eficienței școlare , a asimilării noțiunilor matematice referitoare la operațiile cu numere naturale, crescând astfel randamentul școlar al elevilor din ciclul primar.

Metodele folosite pentru verificarea ipotezei cercetării sunt:

Observația;

Metoda testului;

Conversația;

Experimental;

Jocul școlar.

Una dintre metodele folosite pentru verificarea ipotezei de cercetare a fost observația, pe care am corelat-o de metoda experimentului, astfel obținând anumite rezultate ajutatoare pentru cercetarea prezentată, mai ales din punct de vedere calitativ.

Observația este metoda principal care se regăsește în orice tip de cercetare, ea permițând acumularea unui bogat material de studiu. Avantajul utilizării aceste metode este ca problematica cercetării poate fi urmărită în condiții obișnuite, permițând stabilirea locului și a rolului pe care acest studiu îl are în cadrul sistemului unitar al procesului instructiv- educativ. Observația sistematică și îndelungată a fenomenului instructiv-educativ este folositoare, în special deoarece permite înțelegerea schimbării și dezvoltării și stabilirea eficienței mijloacelor utilizate.

Pe parcursul lecțiilor de matematică am observat modul de participare și implicare al elevilor, capacitatea de efort intelectual, ritmul de lucru, interesul și indemânarea, gradul de curiozitate și influnța aprecierilor. Pe baza acestor observații, s-a realizat fișa psiho-pedagogică a elevilor; observațiile facute s-au realizat pe parcursul activităților teoretice și practice.

Prin aceste activități matematice, am dorit sa surprind si să evidențiez capacitățile intelectuale ale elevilor, am remarcat elevii cu aptitudini și pe cei care întâmpinau dificultăți în învățarea operației de adunare a numerelor naturale.

O alta metoda folosită a fost conversația cu elevii, metoda pe care am integrat-o altor metode (experimentul și observația). Conversația reprezintă un dialog între cercetător și subiecții cercetării cu scopul acumulării unor informații, opinii, în legătură cu anumite fenomene, manifestări. Această metodă are numeroase valențe formative, solicitând personalitatea din punct de vedere intelectual, moral, estetic etc.

Pe parcursul orelor de matematică am purtat discuții cu elevii, uneori individuale, pentru ca aceștia să poată ințelege anumite sarcini, după principiul tratării diferențiate a elevilor .

Un avantaj al conversației este faptul că permite colectarea informațiilor într-un timp scurt, dezavantajul ar fi lipsa de receptivitate a alevilor, motiv pentru care am asociat cercetării și alte metode. Conversația a avut loc pe parcursul cercetării : în ierarhizarea subiecților în vederea formării celor două grupuri echivalente, în experimentul constatativ și cel formativ, pe parcursul observației și în organizarea jocurilor didactice .

Metoda testelor este prezentată ca o metodă individuală, de sine stătătoare. Testul este un instrument de investigație experimentală, o probă de durată scurtă, reprezentând o situație standardizată aplicată individual sau colectiv, pentru a se diagnostica însușirea unor cunoștiințe, aptitudini, trasături psihice și a măsura diferențele individuale mai ales în perspectiva unei evaluări corecte. Testele reprezintă tehnici psihometrice alcătuite dintr-o serie de itemi, probe și sarcini școlare (teoretice, practice), având un caracter unitar, utilizate pentru stabilirea nivelului de dezvoltare a unor aptitudini senzorio-motorii, intelectuale sau ale unor dimensiuni ale personalității.

Testele școlare conțin sarcini teoretice sau practice și reprezintă instrumente ale experimentului.

Probele de evaluare au fost folosite pentru a se măsura cât mai exact volumul și cunoștințele dinainte, din timpul si de după experiment .

Testul final a avut un caracter mixt de cunoștințe și aptitudini, verificând atât capacitatea de reproducere a unor cunoștințe dar și nivelul de dezvoltare a capacităților de analiză și sinteză de aplicare a cunoștințelor în noi situații. Punctajul s-a acordat în funcție de gradul de dificultate al itemului sau problemei și de calitatea soluțiilor gasite sau propuse de elevi.

Pentru demonstrarea acestei ipoteze, cercetarea pedagogică intreprinsă are ca obiectiv probarea eficienței metodelor active în predarea-învățarea-evaluarea operațiilor cu numere naturale.

Metodele folosite sunt :

Metoda ciorchinelui

Jocurile didactice

Problematizarea

Metoda cadranelor

Alegerea ca metoda de baza a cercetării – experimentul- s-a datorat faptului că experimentul este cea mai importantă metodă de cercetare care poate furniza date precise, obiective. Valoarea experimentului constă în aceea că permite verificarea imediată a eficienței practice a cercetării.

IV. 2Caracterizarea clasei de elevi

Lotul de subiecți a fost format din 20 de elevi înscriși la Școala Gimnazială cu Clasele I-VIII Mihaești, jud Olt, în anul școlar 2012-2013, clasa I, elevi aflați sub îndrumarea mea.

Toți subiecții s-au născut și au crescut în mediul rural, iar in procent de 90% au frecventat gradinița din localitate.

Aceștia reprezintă o clasă unde se poate desfășura în bune condiții procesul instructiv-educativ.

Având în vedere că am aplicat un exeperiment formativ în două situații experimentale, din cei 20 de subiecți am format două grupuri .

Pentru o bună desfășurare a activităților în clasă a fost necesar să li se dea elevilor mai multe responsabilități.

Am încercat să le formez deprinderi igienico sanitare efectuând zilnic controlul igienic cu ajutorul unor elevi responsabili. Timp de 3 ani, elevii au avut ca opțional disciplina ”Educație pentru sănătate”, unde și-au însușit cunoștințe, și-au format deprinderi și obișnuințe necesare unei vieți civilizate, echilibrate, respectând un regim corect de odihnă, de recreere și de studiu, cunoscând meniuri de alimentație corectă.

Am discutat și cu privire la cunoașterea regulilor de circulație, realizând teme și activități practice specifice, pe care le-am planificat de la începuul anului școlar .

În cadrul colectivului clasei, elevii au avut următoarele responsabilități:

Responsabilul clasei- ales în mod democratic prin vot secret de către elevi;

Casierul clasei- elevul care strânge bani pentru spectacole, excursii etc.

Sanitarii clasei- trei elevi, câte unul pentru fiecare rând, care fac zilnic controlul igienic;

Responsabilul cu activitatea sportivă- elevul care răspunde de concursurile sportive și de cheia de la sala de sport;

Responsabilul cu activitatea culturală- elevul care se ocupă de activitățile extracurriculare (serbări, concursuri, lansări de carte etc.);

Responsabilul cu circulația rutieră- elevul care ajută învățătorul în activitățile din parteneriatul cu Poliția;

Bibliotecarul clasei- elevul care colaborează cu învățătorul și bibliotecarul școlii pentru asigurarea materialului bibliografic la orele de limba și literatura română;

Geograful clasei- responsabilul cu harta ;

Istoricul clasei- răspunde de materialele necesare orei de istorie;

Fotograful clasei- elevul care fotografiază sau filmează în timpul activităților pe care le desfășurăm cu clasa.

Informaticianul clasei- elevul care consemnează la calculator toate activitățile clasei.

Elevii de serviciu-sunt grupați câte doi, pe bănci și răspund de ordine și de curățenie (șterg praful, udă florile, aerisesc clasa și șterg tabla etc).

Se poate constata că aproximativ jumătate din elevii clasei au responsabilități.

Metode utilizate pentru formarea grupurilor :

Observația;

Conversația cu elevii;

Jocul didactiv.

În urma probelor folosite pentru echivalarea grupurilor, în cadrul grupului 1, 5 dintre subiecți au obținut calificativul FB, ceea ce înseamnă 50 % din cei 10 subiecți ai primului grup- fiind foarte buni, 3 subiecți au obținut B, ceea ce înseamă 30% fiind buni, iar 2 subiecți au obținut calificativul S, adica 20% fiind considerați slabi.

Subiecții grupului experimental au fost ierarhizați și prezentați în funcție de această ierarhie: 5 foarte buni, următorii 3 buni iar cei 2 slabi în ceea ce privește dezvoltarea gândirii.

IV.3. Etapele și evaluarea cercetării

Cercetarea a avut trei etape :

Etapa inițială- cu caracter constatativ;

Etapa intervenției ameliorative cu caracter formativ pentru implementarea proceselor psihice și dezvoltarea personalității elevilor;

Etapa evaluării – cu caracter comparativ.

IV.3.1 Etapa inițială

Această etapă a constat în aplicarea unui test de evaluare inițială cu scopul de a se stabili punctul de plecare pentru desfășurarea experimentului.

Testul a fost conceput pentru capitolul ”Tabla înmulțirii în concentrul 0-100” ținând cont de programa școlară de clasa a II-a și a obiectivelor operaționale vizate în lecție.

Testul reflectă calitatea și volumul cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor de calcul aritmetic al elevilor, constituind un punct de pornire în demersul formativ.

Descriptori de performanță:

Rezultatele obținute în urma aplicării testului inițial la eșantionul studiat:

Tabelul analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul reprezentativ studiat:

Procentul de realizare a obiectivelor pentru testul inițial pe eșantionul reprezentativ studiat:

Procent de realizare:

Procentaj mediu de realizare:

Analizând rezultatele înregistrate în tabele s-au constatat următoarele:

Aproximativ 78% dintre elevi cunosc operația de înmulțire și terminologia specifică;

22% dintre elevi întâmpină dificultăți la relizarea sarcinilor de la itemii 3,4,6.

2 elevi cu rezultate slabe au dificultăți la rezolvarea exercițiilor cu necunoscute, iar 3 elevi nu reușesc transformarea unui enunț matematic în exercițiu;

Referitor la rezolvarea și compunerea de probleme, elevii folosesc în general operațiile gândirii, doar 6 dintre ei ajungând la un rezultat corect.

Situația este reprezentată astfel pentru eșantionul studiat:

IV.3.2.Etapa intervenției ameliorative

Această etapă a avut un caracter formativ:

Pentru consolidarea cunoștiințelor la unitatea de învățare ”Operații cu numere naturale în concentrul 0-100”, la eșantionul experimental s-au folosit metode active de predare –învățare și metoda jocului didactic în vederea obiectivelor propuse;

Pentru eșantionul de control la aceeași unitate de învățare s-au folosit metode tradiționale de predare –învățare : exercițiul, demonstrația, conversația etc.

După această etapă s-a aplicat ambelor eșantioane un test de emeliorare.

Descriptori de performanță:

Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului de ameliorare pe eșantionul studiat:

Tabel analitic cu rezultatele testului de ameliorare pe eșantionul experimental :

Frecvența rezultatelor la testul de ameliorare pe eșantionul experimental :

Din datele prezentate anterior se observă o creștere atât a procentului de realizare a itemilor propuși, cât și a procentului pe clasă de la 78% la testul inițial, la 88% la testul de ameliorare. A avut loc o scădere a numărului de elevi cu rezultate insuficiente și a crescut numărul elevilor cu rezultate bune sau satisfăcătoare.

Acest lucru reprezintă atât un progres pentru elevi, al capacităților lor intelectuale, cât și al aportului jocurilor didactice aplicate .

Din datele înregistrate anterior se constată o oarectare stagnare a procentajului pe grup a sarcinilor propuse spre rezolvare. Promovabilitatea eșantionului studiat este de 88 %.

IV.3.3Etapa de evaluare

Această etapă constă în aplicarea unor teste de evaluare finală pentru a se compara rezultatele obținute în urma proiectării și desfășurării lecțiilor cu ajutorul jocului didactic, cu rezultatele testelor inițiale.

Metodele aplicate au fost următoarele:

Pentru eșantionul studiat:

Jocul didactic si metodele active;

Aplicarea unui curriculum diferențiat ;

Stimulări și aprecieri pozitive în caz de reușită;

Jocuri diverse de echipă

Testul de evaluare finală are ca scop să împlinească obiective asemănătoare testului inițial, dar cu o dificultate sporită .

Se aplica pentru unitatea de învățare ”Înmulțirea numerelor naturale în concentrul 0-1000”.

Descriptori de performanță:

Rezultatele obținute în urma aplicării testului final pentru eșantionul studiat:

Tabelul analitic cu rezultatele testului final pentru eșantionul studiat :

Procentul de realizare a obiectivelor testului final pentru eșantionul studiat:

În urma analizei rezultatelor obținute, remarcăm faptul ca gradul de promovabilitate al testului final aplicat lotului studiat este 100%.

Calificative obținute la testul final :

Gradul de promovabilitate pentru eșantionul studiat este de 100.

S-a constatat:

Calcului matematic a fost fixat mai bine cand a fost sprijinit de jocul didactic și alte metode active de învățare.

V CONCLUZII

Cerința obiectivă de a conferi activității de instruire și de educație o eficiență sporită- generată de exigențele vieții contemporane- face necesară intensificarea eforturilor de a asigura procesului de învățământ un caracter cât mai rațional și riguros, prin : determinarea cât mai precisă a obiectivelor instruirii, organizarea conținuturilor în concordanță cu programa școlară și nivelul elevilor, stabilirea strategiilor de predare- învățare în raport cu obiectivele vizate și cu conținuturile definite, perfecționarea activităților de evaluare a rezultatelor și proceselor desfășurate.

Evaluarea a asigurat o modalitate de analiză cantitativă și calitativă a rezultatelor învățării pe parcursul etapei experimentale. Jocul a constituit o modalitate stimulativă , de antrenare și motivare a învățării.

Progresul elevilor este evidențiat de creșterea gradului de realizare a obiectivelor intruirii.

Consider că scopul propus a fost realizat și ca predarea-învățarea-evaluarea operației matematice de înmulțire se datorează în mare parte atât capacităților intelectuale așe elevilor, cât și utilizării corecte a metodelor de predare moderne .

Preocupările insistente privind procesele evaluative sunt stimulate de recunoașterea faptului că evaluarea este o componentă esențială a activității de învățământ, în general și a procesului didactic, în particular. Ea este punctul final într-o succesiune de evenimente care cuprinde următoarele etape : stabilirea scopurilor pedagogice prin prisma comportamentului dezirabil al elevilor, proiectarea și executarea programului de realizare a scopurilor propuse, măsurarea rezultatelor aplicării programului.

În consecință, problematica pe care o generează acțiunea de evaluare face parte din ansamblul teoriei educației, iar teoria evaluării – ca sistem de concepții, principii și tehnici referitoare la măsurarea și aprecierea rezultatelor școlare și a procesului didactic este o componentă a tehnologiei didactice.

Pe parcursul acestei lucrări, am evidențiat importanța numerelor naturale pentru disciplina matematica, în viziunea elevilor, am prezentat principalele operații matematice cu numere naturale : adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea. De asemenea, au fost prezentate etapizat, predarea diferitelor clase de numere, a operațiilor corespunzătoare lor, pe diferite clase de vârstă ale elevilor .

Au fost propuse și diferite tipuri de evaluare și exemplificate probe de evaluare în acest sens (Anexe).

Consider că scopul propus a fost realizat și ipoteza a fost confirmată. Predarea-învățarea-evaluarea operației matematice de înmulțire se datorează în mare parte atât capacităților intelectuale așe elevilor, cât și utilizării corecte a metodelor de predare

BIBLIOGRAFIE

N. Bărbieru, E.Pițuru, V.Cărbunaru, Matematica. Ghidul învățătorului, clasa I, Editura Teora, București, 2000

J.Bruner, Pentru o teorie a instruirii, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2000

I. Cerghit, Metode de învățământ, Editura Didactică și Pedagogică București, 1980, Ediția a II-a, revăzută și adăugită

C. Crețu, Curriculum diferențiat și personalizat, Metode didactice, Editura Polirom, Iasși, 2004

C.Cucoș (coordonator), Psihopedagogia pentru examenele de definitivare și grade didactice, Editura Polirom, București, 2005

S.Cristea, Pedagogie, Ed. Hadiscom, Bunurești, 2001

C. Dumitriu, Introducere în cercetarea psihopedagogică, Editura Didactică și Pedagogică București, 2003

C.Lupu, Didactica matematicii, Editura Coba, București, 2006

E.Joița, Didactica aplicată, învățământul primar, Partea I, Editura Gheorghe Alexandrescu, Craiova, 1994

G.Keleman, Psihologia Jocului, Editura Universității Aurel Vlaicu, Arad, 2012

M. Manolescu, Teoria și metodologia evaluării , Editura Universitară București, 2010

E. Meyer, De ce și cum evaluăm?, Ed. Polirom, București, 2002

M.E:N. Programa școlară pentru clasele primare, disciplina matematică aprobată cu ordinul Ministrului nr. 5198 din 01.11.2004

I. Neacșu, M. Gălateanu, P.Predoi, Didactica Matematicii în învâțământul primar, Ed. Aius, Craiova , 2001

I. Nicola- Pedagogie , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1992

E.Păun, Școala.O abordare sociopedagogică, Ed Polirom, Iasi, 2003

J. Piaget, Psihologia inteligenței, Editura Științifică, București, 1965

I.T. Radu, Teorie și practică în evaluarea eficienței învățământului, Editura Didactică și Pedagogică București, 1981

E.Simionică, F. Caraiman, Matematica prin joc, Ed. Polirom, Iași, 2003

C.Ungureanu, V.Pometescu, G.Ioana, M.Stănescu, Didactica Matematicii, Ed Sitech Craiova, 2006

M. Singer, Învățarea matematicii în școala primară- perspectiva noilor programe, Revista de pedagogie, nr. 4/1998

U.Șchiopu, Psihologia generală a copilului, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2001

www.didactic.ro

ANEXE

Anexa 1: Maxime și cugetări despre matematică

”Matematicile pun în joc puteri sufletești nu mult diferite de cele solicitate de poezie și artă” (Ion Barbu sau Dan Barbilian, matematician și poet ).

”În infinita complexitate a lucrurilor se pot stabili anumite corespondențe care se traduc prin formule simple și ușor de înțeles ”(Jules Tennery, filosof și matematician francez).

”Din obiectele exterioare noi nu cunoaștem decât rapoarturile lor și numerele ne aduc o mulțime de semne în stare șă exprime aceste raporturi.. Cu cât o știință se dezvoltă, cu atât crește rolul numărului.” (Emile Picard, matematician francez).

” E drept că matematica pare uneori să ne îndrume spre ținuturi ce nu au nicio legătură cu lumea faptelor, în mijlocul căreia respirăm… De atâtea ori însă tocmai aceste născociri iși găsesc ulterior aplicarea cea mai surprinzătoare ” (Lucian Blaga).

”Nu poți număra vietățile mării, nici stelele cerului ” (Mihail Sadoveanu).

”Lumea este condusă de numere ” (Pitagora)

”Cu intuiția descoperi, cu logica stabilești!” (J.Hadamart)

”Matematicianul este, obișnuit, nu senzitiv, un om căruia îi place să contemple seninătatea înălțimilor olimpice, sufletești sau fizice, el fiind, ca orice om, sensibil la frumusețile lumii, la măreția universului până la frumusețea particulară a Capelei Sixtine. ” (G.Șt. Andone)

”Matematica este știința care se ocupă cu studierea relațiilor cantitative și a formelor spațiale ale lumii reale ” (A.I. Boiarski)

”Matematica nu se aplică numai acolo unde lucrurile se petrec relativ simplu și nici nu este exactă afirmația că domeniul ei se limitează la sectoarele unde se pune numai problema cantităților și a relațiilor dintre cantități .”(Georg Klaus)

”Matematica, intrument de analiză a realității, dă posibilitatea ca să se descopere ce este esential , tipic sau general în noianul datelor concrete. Ca un imperativ al prezentului și al viitorului este faptul că , din ce în ce mai mult, viața social-econoică caută să-si rezolve unele probleme specifice, apelând la instrumentul matematic .”(Nicolae Mihăilă)

”Matematician nu este cel care știe matematică, ci cel care creează matematică .” (Gr.C.Moisil)

”Interesul pentru matematică se naște și se dezvoltă o dată cu înțelegerea tot mai clară și cu pătrunderea tot mai adâncă în lumea adevărurilor ei ”(S. Stoilov).

”Cu greu va admite cineva care nu este matematician că matematica are un farmec cultural și estetic, că ea constituie ceva ce are legătură cu frumusețea, vigoarea și inspirația .” (Norbert Weiner)

”Un pisc de-ai cucerit,

Te-așteaptă altul ” (N. Labiș)

”Nu îndraznim nu pentru că problemele sunt dificile, ci fiindcă nu îndraznim sunt dificile. ”

Anexa 2

-Proiecte de lecție –

Proiect de lecție 1

Școala cu clasele I-VIII Mihailești Olt

Clasa a II-a

Disciplina: Matematică

Aria curriculară : Matematică și științe ale naturii

Capitolul : Numere naturale

Tema : Operații cu numere naturale. Înmulțirea când avem factor pe 5

Obiective de referință:

Să efectueze operații de înmulțire până la 100 folosind adunarea repetată sau utilizând tabla înmulțirii până la 50;

Să rezolve și să compună exerciții și probleme care se rezolvă printr-o operație de înmulțire ;

Să manifeste curiozitate pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme.

Obiective operaționale:

Cognitive :

La sfârșitul activității matematice elevii vor fi capabili :

Să găsească rezultatul înmulțirii cu 5, având la dispoziție diferite materiale didactice;

Să afle produsul a două numere naturale când unul dintre factori este 5;

Să completeze tabla înmulțirii cu 5 cu produsul corespunzător, după memorarea logică a acesteia;

Să opereze cu relația ” de 5 ori mai mare ”, aplicând cunoștințele însușite în lecțiile anterioare.

Să rezolve sarcini de lucru, îmbunătățindu-și performanțele.

Afective:

Să colaboreze în cadrul grupului la rezolvarea unor sarcini comune;

Să participe cu interes la activitățile didactice propuse.

Psiho-motorii:

Să-și controleze mișcările și gesturile în conformitate cu cerințele disciplinei școlare.

Strategia didactică:

Resurse procedurale : conversația euristică, explicația, demonstrația, exercițiul, problematizarea, algoritmizarea, jocul didactic.

Resurse materiale: jetoane cu imagini, diferite obiecte, planșe cu problema ilustrată, fise de lucru.

Forme de origanizare: activitatea frontală, pe grupe, individuală, cu forme de muncă independentă.

Tipul de lecție : mixtă- prin combinarea sarcinilor de învățare.

Desfășurarea lecției

Moment organizatoric :

Se asigură condițiile de desfășurare a lecției- organizatorice, atenționale și motivaționale.

Reactualizarea cunoștințelor anterioare:

Verificarea cantitativă a temei, concomitent cu rezolvarea unei activități independente:

4 4= 4 7=

9 4= 3 4=

5 4= 8 4=

Verificarea exercițiilor date, cu evaluări adecvate.

Calcul oral (sarcini):

Aflați produsul numerelor 6 și 3;

Găsiți numere mai mari de patru ori decât 2,5, 6.

Calculați :

3 1 4=

2 4 8=

3 2 4 =

Rezolvarea problemei: Pe o sârmă întinsă sunt 7 rândunele, iar pe alta de 4 ori mai multe. Câte rândunele sunt pe a doua sârmă?

Alcătuiți o problemă care să se rezolve prin exercițiul 3 5.

Mobilizarea/ Captarea atenției :

Se prezintă o planșă care cuprinde urmăroarele versuri :

Vin cinci rațe pe carare

Ia ghiciti !

Câte picioare ? (5 2=10)

Câte aripi, aripioare

Strălucesc acum în soare?

Sugestie : Elevii vor folosi jetoane pentru rațe și bețișoare pentru aripi și picioare.

Anunțarea titlului lecției și a obiectivelor operaționale :

Se scrie pe tablă, iar elevii pe caiete;

”Înmulțirea având ca factor pe 5”

Dirijarea învățării:

Planșă cu o problemă ilustrată :

Se compune problema cu ajutorul imaginilor :

Sunt 5 vaze a câte 5 flori în fiecare. Câte flori sunt în cele 5 vaze?

Se dicută conținutul ei;

Se rezolvă problema cu ajutorul adunării repetate:

5f+5f+5f+5f+5f= 25f

Se scrie anunarea repetată sub formă de înmulțire :

5f 5=25 f

Elevii sunt solicitați să precizeze operația prin care se dă răspunsul la întrebarea problemei . Deci 5 5=25.

Se va trece la alcătuirea tablei înmulțirii cu 5.

Elevii vor completa coloanele de exerciții de pe tablă, facând apel la cunoștințele anterioare:

5 3= 5 4=

5 1= 5 0=

5 2= 5 5=

Se ordonează crescător factorul constant în cadrul înmulțirii cu 5.

Celelalte înmulțiri din ”tablă” se completează cu ajutorul elevilor, folosind mijloace diferite :

Operare directă cu obiecte :

♥ ♥ ♥ ♥ ♥ repetate de 6 ori

5 jetoane

5+5+5+5+5+5=30, deci 5 6=30.

Etapa semiconcretă (desen la tablă):

☼ ☼

☼ repetate de 7 ori

☼ ☼

5 7= 35.

Pentru celelalte înmulțiri 5 8, 5 9, 5 10, se va folosi doar adunare repetată, adăugând mereu încă un cinci.

Se scrie tabla lui 5 pe caiete

Se citesc în ordine de pe tablă toate înmulțirile scrise, apoi se șterg rezultatele și se completează cu factorii care lipsesc (se folosesc diferite procedee de memorare logică a tablei).

Obținerea performanței și realizarea feed-back-ului

Se distribuie fișe- elevii rezolvă următoarele exerciții :

05= 35= 65= 95=

15= 45= 75= 105=

25= 55= 85=

Se evaluează activitatea

Activitatea se va desfășura pe trei grupe (în etapa următoare):

GRUPA A

6 elevi vor rezolva la tablă pe rând, următoarele exerciții:

□5=20 524=

5□=30 235=

□5=40 5210=

GRUPA B

Elevii lucrează independent 10 înmulțiri, având ca factor pe 5.

Evaluare- rezultatele se verifică la nivel frontal, cei din grupă având posibilitatea să verifice rezultatele.

GRUPA C

Elevii lucrează independent fișa ce conține o activitate creativă: să compună o problemă folosind expresia ”de 5 ori mai mult”.

Fișele se evaluează de către învățător și se comunică rezultatele

JOC DIDACTIC

”săculeț cu surprize”- fiecare elev va extrage din săculeț câte o bilă în care se găsește scrisă o sarcină de lucru :

Exemplu:

Găsește numărul de 5 ori mai mare decât 7:

Află produsul numerelor 5 și 8;

□ 5=45 etc.

”consultă-ți colegul”

Activitatea se desfășoară pe perechi;

Se propune de către fiecare partener al perechii o operație de înmulțire și se scrie fiecare rezultat în caiet;

Învățătorul mediatizează activitatea.

Evaluarea rezultatelor vizează :

Aprecierile învățătorului privind desfășurarea lecției, accentuâdu-se gradul de atingere a obiectivelor operaționale;

Autoaprecierea elevilor;

Aprecierea elevilor prin calificative (conform standardelor)

Asigurarea transferului :

Precizarea temei pentru acasa;

Discuții despre pregătirea temei.

Notă: După realizarea lecției propriu-zise, învățătorul notează reușitele și/sau nereușitele elevilor, cu unele soluții posibile pentru viitor.

Proiect de lecție 2

Școala cu clasele I-VIII Mihailești Olt

Clasa a III-a

Disciplina: Matematică

Aria curriculară : Matematică și științe ale naturii

Capitolul : Numere naturale

Tema : Operații cu numere naturale. Înmulțirea numerelor în concentrul 0 -100

Obiective de referință:

Să efectueze operații de înmulțire până la 100 folosind adunarea repetată sau utilizând tabla înmulțirii până la 100;

Să rezolve și să compună exerciții și probleme care se rezolvă printr-o operație de înmulțire ;

Să manifeste curiozitate pentru aflarea rezultatelor unor exerciții și probleme.

Obiective operaționale:

Cognitive :

La sfârșitul activității matematice elevii vor fi capabili :

Să realizeze înmulțiri în concentrul 0-100;

Să utilizeze terminologia și proprietățile înmulțirii;

Să rezolve exerciții respectând ordinea operațiilor;

Să afle factorul necunoscut din exerciții;

Să rezolve sarcini de lucru, îmbunătățindu-și performanțele.

Afective:

Să colaboreze în cadrul grupului la rezolvarea unor sarcini comune;

Să participe cu interes la activitățile didactice propuse.

Psiho-motorii:

Să-și controleze mișcările și gesturile în conformitate cu cerințele disciplinei școlare.

Strategia didactică:

Resurse procedurale : conversația euristică, explicația, demonstrația, exercițiul, problematizarea, algoritmizarea, jocul didactic.

Resurse materiale: jetoane cu imagini, diferite obiecte, planșe cu problema ilustrată, fise de lucru.

Forme de origanizare: activitatea frontală, pe grupe, individuală, cu forme de muncă independentă.

Tipul de lecție : de consolidare și sistematizare de cunoștințe.

Desfășurarea lecției

Moment organizatoric :

Se asigură condițiile de desfășurare a lecției- organizatorice, atenționale și motivaționale.

Reactualizarea cunoștințelor anterioare:

Verificarea cantitativă a temei, concomitent cu rezolvarea unei activități independente:

14 4= 4 5=

9 2= 13 4=

5 14= 8 10=

Verificarea exercițiilor date, cu evaluări adecvate.

Calcul oral (sarcini):

Aflați produsul numerelor 6 și 13;

Găsiți numere mai mari de 12 ori decât 2, 8, 6.

Aflați:

• Care este produsul nr. 4 si 6, 5 si 9, 2 si 7?

• Aflati nr de 7 ori mai mare decat 3, 7, 6, 2?

• Măriți numărul 5 de 6 ori !

• Măriți cu 10 produsul numerelor 6 și 8.

Rezolvarea problemei: Pe o sârmă întinsă sunt 12 păsărele 4 ori mai multe. Câte păsărele sunt pe a doua sârmă?

Alcătuiți o problemă care să se rezolve prin exercițiul 13 5.

Elevii vor rezolva de exerciții de pe tablă, facând apel la cunoștințele anterioare:

5 x 8 + 10 =

4×4 – 6=

6 x 3 + 9 x 5 =

2 x 4 x 9 =

2 x 6 + 7 x 4 – 25 =

Obținerea performanței și realizarea feed-back-ului

În curtea bunicii 4 pisici pândesc 7 păsări. Câte picioare sunt în curte , în total ?

Se lucreaza pe grupe. Se impart fise elevilor cu cele 4 sarcini:

l grupa: datele problemei

ll grupa: intrebarea problemei

lll grupa: rezolvarea problemei

lV grupa: raspunsul problemei

După timpul de lucru acordat se clarifică modul în care trebuia rezolvată problema, prin afisarea fiselor la table si discutarea lor.

Evaluarea rezultatelor vizează :

Aprecierile învățătorului privind desfășurarea lecției, accentuâdu-se gradul de atingere a obiectivelor operaționale;

Autoaprecierea elevilor;

Aprecierea elevilor prin calificative (conform standardelor)

Asigurarea transferului :

Precizarea temei pentru acasa;

Discuții despre pregătirea temei.

Notă: După realizarea lecției propriu-zise, învățătorul notează reușitele și/sau nereușitele elevilor, cu unele soluții posibile pentru viitor.

Anexa 3.

FIȘĂ DE EVALUARE

Clasa a II-a

Subiectul : Înmulțirea numerelor de la 0 la 10; Rezolvarea de probleme

Capacitatea/Competența: Rezolvarea și formularea de probleme care presupun efectuarea a cel mult două operații matematice .

Obiective operaționale :

Să identifice operațiile corespunzătoare noțiunilor : diderență, produs.

Să găsească operațiile corespunzătoare relațiilor :

”de n ori mai mare”;

”cu n mai mare ”.

Să rezolve o problemă simplă de înmulțire după un algoritm cunoscut.

Să rezolve o problemă cu două operații după un algoritm cunoscut;

Să compună o problemă după o operație de înmulțire dată.

Construcția și aplicarea itemilor evaluativi :

I1) Aflați diferența dintre numerele 69 și produsul numerelor 8 și 6.

I2) Care numere naturale sunt :

De 4 ori mai mari decât 7 și 9;

De 4 ori mai mari deât 9 și 7 .

I3) În livada bunicilor sunt 6 rânduri a câte 8 pomi. Câți pomi sunt în livadă?

I4) Andrei a citit 7 cărți, iar fratele său de două ori mai multe. Câte cărți a citit fratele lui Andrei?

I5) a) Rezolvați problema:

Cosmin are 9 ani, iar tatăl său de 4 ori mai mulți. Câți ani au împreună?

b)Scrieți rezolvarea problemei într-o expresie numerică.

I6) Compuneți o problemă după exercițiul : 76= .

Standarde de apreciere :

F.B.: Elevul rezolvă toți itemii, toate obiectivele propuse fiind realizate.

B. : Elevul reușește să identifice cele două operații (înmulțire și adunare), corespunzătoare relațiilor matematice enunțate la I2.

S. : Rezolvă singur I3 și I4, este ajutat de învățător să rezolve I1 și I2.

Probă evaluare sumativă

Clasa a II-a

Temă:Citirea, scrierea, compararea și compunerea numerelor naturale mai mici decât 100

Obiectiv cadru: cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii

Obiective de referință:

Să înțeleagă sistemul de formare a numerelor naturale;

Să scrie, să citească și să compare numerele de la 0 la 100;

Să efectueze operații de adunare și scădere cu numere în concentrul 0-100;

Să aproximeze cu erori convenabile numerele date.

Competența: formarea și dezvoltarea competenței de a comunica, eficient și corect, utilizând vocabularul matematic.

Conținutul probei :

O1: Să scrie și să citească numerele naturale < 100.

Itemi tip pereche:

I1: Stabilește corespondența între scrierea cu cifre din coloana A și scrierea cu litere din coloana B:

A B

98 șaptezeci și nouă

87 nouăzeci și opt

79 optzeci și șapte

51 cincizeci și unu

O2: Să se determine numerele care respectă anumite condiții date:

I2: Găsește pentru fiecare cerință din coloana A, numărul corespunzător din coloana B:

A B

Cel mai mic număr de două cifre 98

Cel mai mare număr de două cifre 10

Cel mai mic număr de două cifre diferite 99

Cel mai mare număr de două cifre diferite 11

O2: Să se efectueze adunări și scăderi cu numere <100.

I3: Unește cu o singură linie fiecare rezultat din coloana A cu operația corespunzătoare din coloana B:

A B

79 74+17=

81 63-35=

28 23+56=

O4: Să se aproximeze cu erori convenabile numerele date:

I4: Unește cu o săgeată fiecare număr din coloana A cu numărul aproximat din coloana B

A B

23 90

48 20

62 50

86 60

O5: Să se estimeze rezultatul unui exercițiu cu o singură operație, utilizând aproximarea convenabilă:

I5:

A B

53+27= 70

31+42= 80

94-28= 60

89-41= 50

O6: Să se descompună numerele scrise cu 2 cifre:

I6: 18 27 86 88

10 8 10 7 80 9 8 8

Da Nu Da Nu Da Nu Da Nu

Standarde de apreciere:

F.B. Elevul rezolvă toate sarcinile de lucru.

B. Elevul rezolvă sarcinile de lucru cu mici erori.

S. Elevul rezolvă sarcinile de lucru cu ajutorul învățătorului, parțial itemii 3 și 5.

3.Probă de evaluare continuă

Temă: Rezolvarea de probleme

Obiectiv cadru: Dezvoltarea capacității de explorare / investigare și rezolvare de probleme

Obiective de referințe:

Să efectueze operații de adunare și scădere fără și cu trecere peste ordin;

Să rezolve probleme care presupun în rezolvare cel mult două operații matematice;

Să compună oral probleme cu numere de la 0 la 100;

Să exprime oral și în scris prin cuvinte proprii adecvate etapele de rezolvare a problemei;

Să manifeste curiozitate pentru aflarea și verificarea rezultatelor problemelor.

Conținutul și verificarea probei

O1: Să se rezolve probleme în care intervin adunări și scăderi cu numere < 100.

I1: Să se rezolve problema :

Într-un coș erau 57 bile albe și cu 18 mai puține bile roșii. Câte bile erau în coș?

Formularea primei judecăți:

Alegerea operației corespunzătoare :

57-18

Efectuarea calculului:

57-18=39

Formularea judecății a II- a:

Câte bile erau în coș ? (corelarea judecății cu datele corespunzătoare)

57 și 39

Alegerea operației corespunzătoare:

57+39

Efectuarea adunării:

57+39=96.

O2: Să se rezolve probleme în care se utilizează termenii corespunzători operațiilor de adunare și scădere.

I2: Într-o livadă sunt 63 de meri și cu 47 mai puțini peri. Câți pomi sunt în livadă?

Formularea primei judecăți:

Câți peri s-au plantat?

Transferul limbajului matematic în limbaj operațional (cu .. mai puțini)

63-47=

Efectuarea calculului:

63-47=16 peri

Formularea judecății a II- a:

Câți pomi s-au sădit:

Corelarea judecății cu datele corespunzătoare:

63+16=

Efectuarea calcului

63+16=79 pomi.

O3:Să compună probleme care se rezolvă prin două operații, pornind de la date numerice precizate în item.

I3: Compune o problemă pornind de la următoarele date:

Fete:27

Băieți : cu 36 mai mulți

Conceperea părții de enunț ce cuprinde datele problemei.

Alegerea temei.

Competiție sportivă.

Corelarea datelor cu tema aleasă.

(Câți elevi au participat la competiție?)

(Conceperea) Formularea întrebării.

Posibilitatea 1:

-rezultatul final se află prin adunare.

Câți sportivi au participat la concurs;

Posibilitatea 2:

-rezultatul final se află prin scădere.

Cu cât este mai mare numărul băieților decât numărul fetelor ?

Standarde de evaluare:

F.B.:Elevii rezolvă cei 3 itemi;

B. Elevul rezolvă cei 3 itemi cu mici erori (de raționament sau de calcul);

S.Elevii rezolvă 2 itemi cu ajutorul învățătorului.