Aspecte ale Predarii Invatarii Evaluarii Operatiei Aritmetice de Inmultire a Numerelor Naturale
Cuprins:
Cap.I.Introducere
I.1.Motivație generală
I.2.Motivație personală
Cap.II.1.1.Fundamentarea teoretică a temei
II.1.Fundamentarea matematică a temei
II.1.1.Definiția înmulțirii
II.1.2.Înmulțirea numerelor naturale
II.1.3.Înmulțirea numerelor întregi
II.1.4.Înmulțirea numerelor raționale
II.1.5.Divizibilitatea numerelor naturale
II.1.6.Ridicarea la putere
II.1.7.Cazuri speciale de înmulțire
II.2.Considerații psihopedagogice privind tema
II.3.Considerații didactice privind tema
II.3.1.Înmulțirea numerelor naturale în concentrul 1-10
II.3.2.Înmulțirea numerelor naturale formate din mai multe cifre
Cap. III. Ipoteza, obiectivele și metodologia cercetării
III.1.Ipoteza generală. Ipoteze particulare
III.2.Obiectivele și metodologia cercetării
III.2.1. Obiectivele cercetării
III.2.2.Metodologia cercetării……………………………………………………..
Cap.IV:Activitate experimentală
IV.1.Prezentarea eșantionului de subiecți
IV.2.Studiul inițial de pregătire al elevilor
IV.3.Etapa intervenției ameliorative
IV4.Studiul final al pregătirii elevilor
Cap.V. Concluzii
Anexe
Bibliografie
CAP. I. INTRODUCERE
I.1.MOTIVAȚIE GENERALĂ
Bogăția cea mai importantă a unui popor este formată din membrii acesteia, calitățile și eficiența ei depind de gradul de instrucție, sănătate și educație ale acestora.
Principalul scop al educației este acela al formării elevilor în vederea integrării lor în societate.
Matematica este cea care intervine în formarea elevului de la o vârstă foarte fragedă. Este ABC-ul cunoașterii științifice, un instrument esențial de lucru pentru totalitatea științelor și domenilor tehnice.
În epoca contemporană se poate afirma că nu se poate trăi fără matematică. Necesitatea culturii matematice devine tot mai acută, făcând parte integrantă din cultura generală.
Învățământul matematic modern contribuie la formarea unei gândiri active și personale, la formarea și dezvoltarea capacităților de analiză și sinteză.
Modernizarea învățământului matematic înseamnă potențarea acestor valențe formative, studiul acestei discipline contribuie cu precădere la dezvoltarea gândirii creatoare.
Înmulțirea este una din cele patru operații matematice de bază ale matematicii, care începe să fie studiată din ciclul primar.
Importanța pe care programa o acordă operației de înmulțire este evidentă de faptul că apare ca obiectiv de referință al unuia din cele patru obiective cadru ale matematicii, începând cu clasa a-III a.
Prin studiul operației de înmulțire se urmărește dezvoltarea gândirii copiilor, sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ-imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, dezvoltarea încrederii în forțele proprii, formarea limbajului matematic necesar, îi pregătește pentru judecarea și rezolvarea problemelor, îi ajută să înțeleagă că orice problemă simplă sau complexă este produsul unei dezvoltări și că la rândul ei poate fi dezvoltată.
Totodată, înmulțirea îi formează pe elevi în vederea integrării lor în societate, le dezvoltă gândirea creatoare, deprinderea de a lucra cu simboluri, de a folosi raționamentul deductiv, de a găsi căi originale de dezvoltare, de a alcătui alte probleme, le dezvoltă personalitatea și determină manifestarea unei conduite atitudinale pozitive față de muncă.
Astfel, crește mobilitatea gândirii, capacitățile sale divergente, creatoare și dezvoltă acele calități de bază, precum rapiditatea, mobilitatea și flexibilitatea.
Efortul pe care elevul îl face în rezolvarea conștientă a unor exerciții care conțin operații de înmulțire presupune mobilizarea proceselor psihice de cunoaștere, volitive și motivațional afective.
Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și antrenată este gândirea prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare, generalizare.
De asemenea, contribuie la clarificarea, aprofundarea, fixarea cunoștințelor învățate la matematică, la formarea deprinderilor eficiente de muncă individuală, la cultivarea și educarea calităților moral-volitive.
Rezolvând exerciții cu înmulțiri, elevii învață să aplice matematica în viața de zi cu zi, capătă deprinderea de a rezolva probleme practice pe care viața le pune în fața lor.
Cunoscând modul de calcul al îmnulțirii numerelor, elevii capătă interes pentru această disciplină, unii dintre ei chiar o îndrăgesc.
I.2.MOTIVAȚIE PERSONALĂ
Pe baza experienței la catedră, cadrul didactic, în activitatea pe care o desfășoară, trebuie să prezinte modalități de abordare și rezolvare a exercițiilor și problemelor, să stimuleze interesul copiilor pentru studiul acestora, pentru a realiza un învățământ plăcut, atractiv, în care să-și găsească loc imaginația creatoare și emoția descoperirii.
Un cadru didactic modern în gândire și eficient în acțiune nu poate să nu fie la curent cu ceea ce este nou în sfera de acțiune a profesiunii sale, el nu își poate permite ca activitatea lui să fie marcată de dogmatism, de șablonism, d rămânere în urmă, de o nefastă cădere în rutină.
Matematica este unul din obiectele care mi-a plăcut încă din primele clase. Operația de înmulțire, împreună cu toate exercițiile sau problemele care o conțin, este una din temele preferate din programa școlară pentru clasele I-IV.
Alegerea acestei teme este motivată de importanța deosebită a înțelegerii noțiunii de operație aritmetică, în acest caz a operației de inmulțire.
În cadrul practicii pedagogice am avut ocazia de a asista la lecții metodice care au avut ca temă înmulțirea și care mi-au plăcut foarte mult. Am avut posibilitatea de a ține lecții care au avut ca temă înmulțirea numerelor naturale și mi-a făcut o deosebită plăcere, iar elevii au fost antrenați în activitățile propuse de mine.
De asemenea, am constatat că elevii din ciclul primar întâmpină dificultăți în însușirea noțiunilor despre operația de înmulțire și pentru a oferi posibilitatea de însușire de către toți elevii a unui minim de cunoștințeși tehnici utile este necesar să se țină cont de particularitățile psihopedagogige ale copiilor.
Consider că învățarea corectă a operației de înmuțire este foarte importantă pentru elevi pentru a se putea integra cu ușurință și cât mai bine în societate, pentru a le dezvolta gândirea acestora.
De asemenea, eu, ca și cadru didactic care îi formez pe elevi, consider că este foarte important să cunosc totul despre înmulțire și despre metodele pe care este bine să le folosesc în predarea acestei operații pentru ca aceștia să o înțeleagă cât mai bine și pentru a-i face să îndrăgească matematica.
Am considerat că procedurile și căile de participare activă a elevilor în procesul de învățare sunt multiple. Important este să găsesc drumul cel mai bun, mai sigur, mai eficient, mai plăcut și mai atractiv către misteriosul, neprevăzutul, dar și fascinantul univers care este copilul cu mintea, inima, sufletul său pur și atras de bunul său prieten- cartea.
CAP. II. FUNDAMENTAREA TEORETICĂ A TEMEI
II.1.FUNDAMENTARE MATEMATICĂ A TEMEI
II.1.1.DEFINIȚIA ÎNMULȚIRII
Definiție: Înmulțirea înseamnă adunarea repetată a aceluiași termen.
8+8+8+8+8=40
Numărul 8 se adună de 5 ori.
factor 2
↑
5×8=40→ produs
↓
factor 1
Numerele care se înmulțesc se numesc factori, rezultatul înmulțirii se numește produs.
Primul factor ne arată de câte ori se adună cel de-al doilea factor.
Înmulțirea este o operație de ordinul al doilea,se efectuează înaintea adunării și scăderii.
Egalitatea și inegalitatea numerelor naturale se păstrează dacă se înmulțesc ambii membrii cu același număr natural, diferit de 0.
Proprietățile înmulțirii
1.Comutativă :
a×b=b×a.
2×3=3×2=6
2.Asociativă:
(a×b) ×c=a× (b×c).
(3×2) ×5=3× (2×5)=30
3.Element neutru 1:
1×a=a×1=a.
5×1=1×5=5
4.Distributivă față de adunare și scădere:
a× (b+c)=a×b+a×c și a× (b-c)=a×b-a×c.
4× (3+4)=4×3+4×4=12+16=28
3× (7-2)=3×7-3×2=21-6=15
II.1.2.ÎNMULȚIREA NUMERELOR NATURALE
Definiție: Produsul numerelor naturale a și b este un număr natural obținut prin adunarea repetată a lui b de a ori sau prin adunarea repetată a lui a de b ori.
Se notează: a×b sau b×a.
Întrucât prin înmulțirea fiecărui cuplu (a, b) de elmente din N i se asociază un alt element din N, notat a×b, rezultă că înmulțirea pe N este totdeauna posibilă. De astfel, ținând seama de faptul că înmulțirea este o adunare repetată și că adunarea este totdeauna posibilă pe N se ajunge la aceeași concluzie. Deci înmulțirea este o lege de compoziție (operație algebrică) definită pe N.
Proprietățile înmulțirii numerelor naturale
1.Înmulțirea este comutativă: oricare ar fi numerele naturale a, b, avem a×b=b×a.
4×6=24 și 6×4=24 rezultă 4×6=6×4=24.
2. Înmulțirea este asociativă: oricare ar fi numerele naturale a, b, c, avem (a×b) ×c=a× (b×c).
(2×4) ×5= 8×5=40 și 2× (4×5)=2×20=40 rezultă (2×4) × 5= 2× (4×5).
3.Numărul natural 1 este element neutru pentru operația de înmulțire:
1×a=a×1=a, oricare ar fi numărul natural a.
1×9=9×1=9
4.Înmulțirea numerelor naturale este distributivă față de adunare: oricare ar fi numerele naturale a, b, c, avem a× (b+c)=a×b+a×c și (b+c) ×a=b×a+c×a.
5× (2+3)=5×2+5×3=10+15=25
(2+3) ×5=2×5+3×5=10+15=25
5.Înmulțirea numerelor naturale este distributivă față de scădere: oricare ar fi numerele naturale a, b, c, avem a× (b-c)=a×b-a×c.
7× (9-3)=7×9-7×3=63-21=42
6.Orice număr natural a înmulțit cu 0 ne va da 0: a×0=0.
6×0=0
0×6=0
Aceste proprietăți conferă mulțimii numerelor naturale o structură de monoid comunicativ față de înmulțire.
Reguli de calcul:
1.Într-un produs de mai mulți factori putem schimba oricum ordinea factorilor, fără ca produsul să se schimbe.
2.Într-un produs de mai mulți factori putem înlocui doi sau mai mulți factori prin produsul lor.
3.Produsul aceluiași factor se numește putere: a×a×a×…=aⁿ
4.Dacă un factor al produsului se înmulțește de m ori, produsul însuși se mărește de atâtea ori.
Aceste proprietăți ale produsului au o mare aplicabilitate în calculul oral.
Astfel:
a)Gândim factorii ca produse și îi asociem convenabil:
24×75=4×6×25×3=(4×25) × (3×6)=100×18=1800
b)Gândim un factor ca sumă:
72×27=72× (25+2)=72×25+72×2=18×4×25+144=1800+144=1944
c)Gândim un factor ca diferență:
13×28=13× (30-2)=13×30-13×2=390-26=364
d)Aplicăm formula: (a+b) × (a-b)
53×47=(50+3) × (50-3)=2500-150+150-9=2491
Factorul comun
a×b+a×c=a× (b+c), oricare ar fi numerele naturale a, b, c.
a×b-a×c=a× (b-c), oricare ar fi numerele naturale a, b, c și b≥c.
Factorul apare în fiecare din produsele a×b și a×c și de aceea spunem că este factorul comun. Egalitățile de mai sus consacră exprimarea scoaterea factorului comun.
6×3+6×5=6× (3+5)=6×8=48
4×9-4×5=4× (9-5)=4×4=16
Teorema împărțirii cu rest:
Oricare ar fi numerele naturale a, b, b0, există două numere naturale q și r, unice, cu rb, astfel încât să satisfacă egalitatea: a = b×q + r. Numerele q și r se numesc câtul și restul împărțirii lui a și b.
a=32, b=6, q=5, r=2
32=6×5 +2
II.1.3.ÎNMULȚIREA NUMERELOR ÎNTREGI
Definiție: Distanța pe axă între punctul corespunzător numărului întreg a și origine se numește modulul numărului a (sau valoare absolută) și se notează│a│.
1.Dacă a și b sunt numere naturale (a și b ϵ N), produsul lor este numărul a×b, calculat folosind înmulțirea numerelor naturale.
6×3=18
2.Dacă a și b sunt numere întregi negative (a și b ϵ Z-N), definim produsul numerelor a și b astfel: a×b=│a│×│b│.
(-4) × (-5)=20
(-8) × (-5)=40
3. Dacă unul din numere a și b este natural și celălalt întreg negativ (a ϵ N și b ϵ Z-N), definim produsul numerelor a și b astfel a×b= – (│a│×│b│).
2× (-8)= -16
(-4) ×4= -16
4. Pentru oricare a ϵ Z, (-1) ×a= -a
4× (-1)= -4 (-5) × (-1)= -(-5)=5
Proprietățile înmulțirii numerelor întregi
1.Înmulțirea numerelor întregi este asociativă, adică pentru orice număr a, b, c ϵ Z, are loc relația (a×b) ×c=a× (b×c)
[3× (-5)] × (-4)=(-15) × (-4)=60 și 3× [(-5) × (-4)]=3×20=60 rezultă [3× (-5)] × (-4)= 3× [(-5) × (-4)]
Această proprietate ne permite să scriem produsul a trei numere întregi a, b, c sub forma a×b×c.
2. Înmulțirea numerelor întregi este comutativă, adică pentru orice două numere a, b ϵ Z, are loc relația a×b=b×a.
4× (-3)= -12 și (-3) ×4= -12 rezultă 4× (-3)= (-3) ×4= -12
3. Numărul întreg 1 este element neutru față de înmulțirea numerelor întregi, adică pentru orice număr a ϵ Z, au loc relațiile 1×a= a, și a×1=a.
1×4=4
1× (-43)= (-43).
4. Înmulțirea numerelor întregi este distributivă față de adunare, adică pentru orice trei numere a, b, c ϵ Z, avem a× (b+c)=a×b+a×c și (b+c) ×a=b×a+c×a.
(-5) × [3+(-6)]=(-5) ×3+(-5) × (-6)=(-15)+30=15
[3+(-6)] × (-5)=3× (-5)+(-6) × (-5)=(-15)+30=15
5. Înmulțirea numerelor întregi este distributivă față de scădere, adică pentru orice trei numere a, b, c ϵ Z, avem relațiile:
a× (b-c)=a×b-a×c și (a-b) ×c=a×c-b×c.
(-4) × [(-6)-2]=(-4) × (-6)-(-4) ×2=24+8=32
[(-4)-2] × (-5)=(-4) × (-5)-2× (-5)=(-20)+10=(-10).
6. Pentru orice număr a ϵ Z, au loc relațiile: a×0=0 sau0×a=0.
(-3) ×0=0× (-3)=0
Dacă produsul a două numere întregi este 0, atunci cel puțin unul din cele două numere este 0.
Proprietățile modulului produsului
1.Dacă a și b ϵ N, atunci a×b ϵN, deci │ a×b │= a×b.
Ținând seama că a=│a│ și b=│b│, obținem │axb│=│a│×│b│.
2.Dacă a și b ϵ Z-N, atunci a×b=│a│ ×│b│. Cum │a│ ϵ N, │b│ ϵ N, rezultă că a×bϵN, deci │a×b │= a×b și ținând seama de definiția produsului a×b avem │a×b│=│a│×│b│.
3.Dacă unul din numerele întregi a sab este număr natural și celălalt este întreg negativ, avem a×b= -│a│ ×│b│.
Această relație ne spune că a și b ϵ Z-N, deci │a×b│= -( a×b)= -(-│a│× │b│), adică │a×b│=│a│×│b│.
Putem să spunem încă o prorietate a modulului: pentru orice număr a și b ϵ Z, are loc relația │a×b│=│a│×│b│.
│-2│=2 │3│=3
│2×(-3)=│2│×│-3│=2×3=6
Teorema împărțirii cu rest:
Oricare ar fi numerele întregi a și b, b0, există un număr întreg q și numai unul, și un număr natural r și numai unul, asfel încât a=b×q+r, rb.
Dacă r=0, atunci a=b×q și se spune că a se împarte exact la b (sau a se divide cu b, sau a este multiplu de b, sau b este un divizor al lui a).
a=31, b=6, atunci q=(-5), r=1, pentru că 31=(-6) × (-5)+1 și 1=6
II.1.4. ÎNMULȚIREA NUMERELOR RAȚIONALE
Definiție: Pentru și ϵ Q vom defini produsul prin × = , a, c ϵ Z, b și d ϵ N*.
× = = =
(-
-4.
Produsul a două numere raționale este pozitiv când cele două numere au același semn și negativ când cele două numere au semne diferite.
Proprietățile înmulțirii numerelor raționale
1.Înmulțirea numerelor raționale este comutativă, adică pentru orice două numere șiϵ Q are loc relația: × = × .
=
2. Înmulțirea numerelor raționale este asociativă, adică pentru orice trei numere ,Q, are loc relația: ( × )×= × ( ).
( × )×= × ( ).
3.Numărul rațional 1 este element neutru față de înmulțirea numerelor raționale, adică pentru oricare Q, are loc relația ×1=1×
4.Orice număr rațional nenul are un invers, adică pentru orice număr Q*, există numărul Q*, astfel încât .
5. Înmulțirea numerelor raționale este distributivă față de adunare și scădere, adică pentru orice numere ,Q, au loc relațiile:
× += ×
× -= × .
6.Pentru orice Q, are loc relația × 0= 0 × = 0.
× 0= 0 × = 0.
7. │ × │= │ │, pentru orice două numere șiϵ Q.
Înmulțirea numerelor mixte
Înmulțire numerelor mixte se poate face după regula înmulțirii a două sume sau după regula înmulțirii numerelor raționale, în prealabil introducându-se întregii în fracție.
(4 × 3 )= (4+) × (3+)==
(4 × 3 )==
II.1.5.DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE
Definiție: Numărul natural a este divizibil cu numărul natural b dacă există un număr natural k astfel încât a=b×k.
153 , pentru că 15=3×5
Proprietățile relației de divizibilitate:
1.Orice numnăr este divizibil cu 1, n.
371, 431
2.Orice număr natural se divide cu el însuși: n n.
4343, 1212.
3.0 este divizibil cu orice număr natural n, 0 n.
0
4.Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu c, atunci a este divizibil cu c:
ab, atunci a.
30 6atunci 30.
5.Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu a, atunci a=b.
ab, , atunci a=b.
a=32, b=32, atunci 32 32.
6.Dacă a și b sunt divizibile cu n, atunci a+b este divizibil cu n și a-b este divizibilcu n;
an, , atunci: (a+b și (a-b
24
7.Dacă a este divizibil cu b, atunci a×c este divizibil cu b, oricare ar fi c ϵ N
ab, atunci a×cb.
8 2, atunci 8×4 2.
8.Dacă b│a, c│a și (b,c)=1, atunci b×c│a.
7│77, 11│77, atunci 7×11│77.
Criterii de divizibilitate:
n2 dacă ultima cifră este divizibilă cu 2,
14
n dacă ultima cifră este divizibilă cu 5, adică este 0 sau 5,
505
n, dacă suma cifrelor lui n este divizibilă cu 3,
363
4. n9, dacă suma cifrelor lui n este divizibilă cu 9,
729
5. n dacă penultima cifră a lui n este 0 și ultima este divizibilă cu 4, sau ultimele două cifre ale lui n formează un număr divizibil cu 4,
2044
6. n25, dacă ultimele două cifre ale lui n sunt 0 sau formează un număr divizibil cu 25,
7. Un număr este divizibil cu 10, 100, 1000 etc, dacă ultimele sale cifre sunt formate din cel puțin un zero, două zerouri, trei zerouri etc.
400100 40001000
8. Un număr se divide cu 8 dacă numărul este divizibil cu 2 și 4 sau dacă ultimele cifre ale numărului luate în ordinea în care sunt scrise formează un număr care este divizibil cu 8.
54008 (54002, 54004, 4008)
9. Un număr este divizibil cu 11 dacă diferența dintre suma cirelor de ordin impar și suma cifrelor de ordin par se divide cu 11.
270611 ( 7+6=13, 2+0=2, 13-2=11, 1111)
10. Un număr se divide cu 7 (sau 13) dacă diferența sumelor numerelor din clasele de ordin impar și al sumei numerelor din clasele de ordin par se divide cu 7 (sau 13).
Divizorii unui număr
Numărul care divide un alt număr se numește divizor al acelui număr.
Din proprietățile 1 și 2 deducem că orice număr n 1 are cel puțin doi divizori, 1 și numărul însuși. Orice divizor d al unui număr n cu proprietatea că d 1, d , se numește divizor propriu al lui n.
Divizorii unui număr se împart în două clase:
-divizori improprii: unitatea și numărul însuși,
-divizori proprii: divizori diferiți de 1 și de numărul însuși.
Exemplu: divizorii numărului 18 sunt: 1, 3, 6, 9, 18, dintre care 1 și 18 sunt divizori improprii, iar 3, 6, 9, sunt divizori proprii.
Definiție: Se numește număr prim orice număr natural diferit de 1, care are ca divizori numai pe 1 și pe el însuși.
Șirul numerelor prime este infinit.
Metoda de aflare a numerelor prime poartă denumirea de „Ciurul lui Eratostene” și constă în scrierea unui tabel cu numerele de la 2 până la a. Pentru a găsi care sunt numerele prime, le vom șterge pe toate cele compuse astfel: 2 este prim, ștergem toți multiplii lui 2, 3 este prim, ștergem toți multiplii de 3 și vom continua până ajungem la a.
Dacă p este un număr prim și p│a×b, atunci p│a sau p│b.
5│2×5 atunci 5│5 .
Definiție: Se numește număr compus numărul care, pe lângă divizorii improprii, are și divizori proprii. Se mai poate defini ca numărul natural care are cel puțin trei divizori comuni.
Exemplu: numerele 8, 10,12 sunt numere compuse.
Orice număr natural n2 se descompune în produs de factori primi (nu neapărat distincți).
30=2×3×4
40=2×2×2×5=2³×5
Dacă a și b sunt numere naturale nenule, atunci DaDb reprezintă mulțimea divizorilor comuni ai lui a și b, adică DaDb=. Această mulțime este nevidă (1ϵ DaDb) și finită (cum a și b sunt nenule, Da și Db dunt mulțimi finite). Cel mai mare element al mulțimii DaDb se numește cel mai mare divizor comun al numerelor a și b și se notează (a, b).
Definim (0, b), oricare ar fi bϵN.
Pentru a, b ϵN*-, cel mai mare divizor comun (a, b) și se calculează astfel:
-se descompun a și b în factori primi,
-(a, b) este produsul factorilor primi comuni luați o singură dată, la exponentul cel mai mic la care apar în descompunere.
216=2³×3³
630=2×3²×5×7
(216,630)=2×3²
Dacă a, b ϵN* sunt disctincte și (a, b)=1, numerele a și b se numesc prime între ele.
Exemplu: 3 și 7, 8 și9, 21 și 25.
Multiplul unui număr
Un număr a este multiplu al unui număr b, ba, dacă a se divide cu b. Se scrie aϵMb și se citește : numărul a este multiplu al numărului b, sau a este multiplu de b. Rezultă a:b=q, adică a=b×q.
Exemplu: 40ϵM5, pentru că 40=5×8.
Un multiplu oarecare al unui număr natural dat se poate obține înmulțind acel număr prin unul din elementele mulțimii numerelor naturale. Notând mulțimea multiplilor unui număr a prin Ma putem scrie:
Ma=, deci:
Ma=
Cu alte cuvinte, mulțimea multiplilor unui număr se poate pune în corespondență biunivocă cu mulțimea numerelor naturale. Dar șirul numerelor naturale este infinit și întrucât orice mulțime poate fi pusă în corespondență biunivocă cu șirul natural al numerelor se numește mulțime numărabilă, rezultă că mulțimea multiplilor unui număr este infinită, numărabilă.
Dacă m0 este multilu a două sau mai multe numere a, b c,…, el se numește multiplu comun al acelor numere.
Exemplu: 15 este multiplu comun al numerelor 3, 5 și anume cel mai mic multiplu comun diferit de 0, următorii multiplii comuni fiind: 30, 45, 60, 75 etc.
Mulțimea multiplilor comuni numerelor a, b de notează Mab și se obține prin intersecția mulțimii multiplilor lui a cu mulțimea multiplilor lui b, adică: Mab= MaMb.
M4=
M6=
M4,6=
0 este multiplu comun al oricăror numere, însă în general este considerat impropriu.
Dacă numerele a,b sunt prime între ele, cel mai mic multiplu comun diferit de zero este produsul lor.
Mulțimea multiplilor comuni a două numere nu este vidă niciodată, având cel puțin două elemente: 0, a×b, dacă a0 și b0
Cel mai mic multiplu comun diferit de 0 a două numere a, b se scrie prescurtat c.m.m.m.c. și se notează [a,b].
Exemplu: c.m.m.m.c. al numerelor 4 și 6 este 12.
Metode pentru a afla c.m.m.m.c.:
1.Se descompun numerele în factori primi, iar cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul factorilor comuni și necomuni, fiecare factor luat o singură dată, la puterea cea mai mare,
90=2×3²×5
168=2³×3×7
m=[90,168]= 2³×3²×5×7=2520
2.Prin relația m= . Referindu-ne la două numere a,b, descompuse în factori primi se constată că c.m.m.m.c. cuprinde factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare, iar D, c.m.m.d.c. cuprinde factorii necuprinși în c.m.m.m.c.
m== = 2³×3²×5×7=2520
Acest procedeu se poate utiliza numai pentru două numere.
Procedeul de aflare a c.m.m.m.c. pe baza descompunerii în factori primi, se poate extinde la trei sau mai multe numere.
II.1.6. RIDICAREA LA PUTERE
Definiție: Operația de ridicare la putere în mulțimea numerelor naturale este un caz particular de înmulțire: un număr natural înmulțit cu el însuși de un anumit număr de ori.
Fie a ϵ N și n ϵ N, vom scrie:
-dacă n 1, aⁿ= a×a×a…… × a, adică se înmulțește a de n ori;
-dacă n=1, aˡ =a;
-dacă n=0, aᵒ=1,a0.
Numărul aⁿ se numește putere, este unic determinat și este natural; a se numește baza putarii iar n se numește exponentul puterii.
Ridicarea la putere este o operație de ordinul al treilea. Dacă într-un exercițiu nu există paranteze, atunci se efectează întâi ridicările la putere, apoi înmulțirile și împărțirile, iar la sfârșit adinările și scăderile.
Cazuri particulare: 1ⁿ =1și 0ⁿ=0, 0ᵒ nu are sens.
Pătratul și cubul unui număr natural:
Un număr obținut prin ridicarea la putere a doua a unui număr natural se numește pătrat perfect.
Ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi : 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
Pentru a evidenția că un număr nu este pătrat perfect, putem arăta că este cuprins între două pătrate de numere consecutive, sau ultima cifră a lui este 2, sau 3, sau 7, sau 8.
Exemplu: 110 nu este pătrat perfect, pentru că 10²=10011011².
Un număr obținut prin ridicarea la puterea a treia a unui număr natural se numește cub perfect.
Pentru a evidenția că un număr natural nu este cubul unui număr natural, se poate arăta că numărul este cuprins între două cuburi de numere naturale consecutive.
Exemplu: 3³=275764=4³
Reguli de calcul cu puteri cu exponent natural:
1. aⁿ ×aⁿ+ᵐ;
2. aⁿ: aᵐ=a ⁿ-ᵐ;
3.(aⁿ)ᵐ=a ⁿxᵐ;
4.(ab)ⁿ=aⁿxbⁿ;
5.()ⁿ=;
6.a=b, rezultă aⁿ=bⁿ(a0 și b0).
Proprietatea 6 ne dă posibilitatea să demonstrăm relația de egalitate între două numere pozitive a și b, demonstrând relația de egalitate între aⁿ și bⁿ ceea ce ne va fi de folos la demonstrarea proprietăților radicalilor.
Compararea puterilor
Puteri cu aceeași bază:
Dintre două puteri cu aceeași bază, este mai mare cea care are exponentul mai mare: aⁿaᵐ, dacă nm, unde a, m, n, sunt numere naturale, a
Două puteri care au aceeași bază sunt egale, dacă au exponenți egali.
aⁿaᵐ, dacă nm, unde a, m, n, sunt numere naturale, a0
Puteri cu același exponent:
Dintre două puteri cu același exponent, diferite de 0, este mai mare puterea care are baza mai mare.
aᵐbᵐ, dacă ab, unde a, b, m sunt numere naturale nenule.
Puteri cu baze și exponenți diferiți:
Pentru a compara două puteri cu baze diferite exponenți diferiți, se aduc puterile, dacă este posibil, fie la aceeași bază, fie la același exponent folosind operațiile cu puteri.
II.1.7. CAZURI SPECIALE DE ÎNMULȚIRE
1.Înmulțirea cu 1: orice număr înmulțit cu 1 ne dă acel număr.
435×1=436
2.Înmulțirea cu 0: orice număr înmulțit cu 0 ne dă 0.
1 753×0=0
3.Înmulțirea cu 10, 100, 1000: atunci când înmulțim un număr cu 10, 100, 1 000, scriem numărul respectiv și adăugăm atâtea zerouri câte avem după 1.
45×10=450
45×100=4 500
45×1 000=45 000
5.Înmulțirea cu 9: atunci când înmulțim un număr cu 9 putem să ne folosim de tabla înmulțirii cu 9 sau să-l scriem pe 9 ca diferența dintre 10 și 1.
36×9=324
36×9=36× (10-1)=36×10-36×1=360-36=324
6.Înmulțirea cu 99: atunci când înmulțim un număr cu 99, putem să înmulțim numerele așa cum se înmulțesc numerele cu un număr de două cifre sau să-l scriem pe 99 ca diferența dintre 100 și 1.
17×99=17× (100-1)=17×100-17×1=1700-17=1 683
La fel se poate proceda la înmulțirea unui număr cu 999 (999=1 000-1), cu 9 999 (9 999=10 000-1), etc.
7.Înmulțirea cu 11: atunci când înmulțim un număr cu 11, putem să înmulțim numerele așa cum se înmulțesc numerele cu un număr format din două cifre sau să-l scriem pe 11 ca suma dintre 10 și 1.
33×11=363
33×11=33× (10+1)=33×10+33×1=330+33=363
8.Înmulțirea cu 101: atunci când se înmulțește un număr cu 101 putem să înmuțim numărul respectiv cu 101 așa cum se înmulțește cu un număr format din trei cifre sau putem să-l scriem pe 101 ca suma dintre 100 și 1.
45×101=4 545
45×101=45× (100+1)=45×100+45×1=4 500+45=4 545
La fel se poate proceda și la înmulțirea cu 1 001(1 001=1 000+1), cu 10 001 (10 001=10 000+1), etc.
9.Înmulțirea când unul din factori este o sumă sau o diferență: aici ne putem folosi de proprietatea înmulțirii că ea este disctributivă față de adunare și scădere, sau calculăm suma sau diferența și apoi facem înmulțirea.
3× (5+4)=3×5+3×4=15+12=27
3× (5+4)=3×9=27
3× (5-4)=3×5-3×4=15-12=3
3× (5-4)=3×1=3
10.Înmulțirea unui număr de două cifre cu un număr de o cifră:
-înmulțirea fără trecere peste ordin poate fi astfel calculată:
3×23=3× (20+3)=3×20+3×3=60+6=69
3×23=69 23× înmulțim numărul 3 mai întâi cu unitățile și apoi cu zecile.
3
6 9
-înmulțirea cu trecere peste ordinul unităților: înmulțim mai întâi unitățile și apoi zecile cu numărul respectiv.
28×3=84 28× 28×
3 3
… 4 8 4
-înmulțirea cu trecere peste ordinul zecilor: înmulțim mai întâi unitățile și apoi zecile cu numărul respectiv.
73×3=219 73× 73×
3 3
..9 219
-înmulțirea cu trecere peste ordinul unităților și al zecilor: înmulțim mai întâi unitățile și apoi zecile cu numărul respectiv.
46×3=138 46× 46×
3 3
…8 138
11.Înmulțirea unui număr de trei cifre cu un număr de o cifră, indiferent că este sau nu trecere peste ordin, înmulțim mai întâi unitățile, apoi zecile și apoi sutele cu numărul respectiv.
203×3=(200+3) ×3=200×3+3×3=600+9=609
203×3=609 203× 203× 203×
3 3 3
…..9 …09 609
519×3=1 557 519× 519× 519×
3 3 3
….7 …57 1557
12.Înmulțirea numerelor de două cifre, indiferent că este sau nu trecere peste ordin: înmulțim cifra unităților celui de-al doilea număr cu primul număr și obținem primul produs parțial, înmulțim cifra zecilor celui de-al doilea număr cu primul număr și obținem al doilea produs parțial, apoi se adună cele două produse parțiale, dar așa cum sunt ele aranjate.
42×21=882 42×
21
42 → primul produs parțial
84 → al doilea produs parțial
882 → suma produselor parțiale
13.Înmulțirea numerelor din trei cifre cu un număr de două cifre, indiferent dacă este sau nu cu trecere peste ordin: înmulțim cifra unităților celui de-al doilea număr cu primul număr și obținem primul produs parțial, înmulțim cifra zecilor celui de-al doilea număr cu primul număr și obținem al doilea produs parțial, apoi se adună cele două produse parțiale , dar așa cum sunt aranjate.
324×61=19 764 324×
61
324 →primul produs parțial
1944 → al doilea produs parțial
19764 → suma produselor parțiale.
II.2. CONSIDERAȚII PSIHOPEDAGOGICE PRIVIND PROCESUL DE PREDARE-ÎNVĂȚARE-EVALUARE A OPERAȚIEI ARITMETICE DE ÎNMULȚIRE
De la naștere și până la maturitate, omul străbate un drum lung de dezvoltare. În decursul anilor se produc transformări fizice și psihice însemnate. Acestea nu constau doar în adaosul de înălțime și greutate sau în simpla sporire a cunoștințelor și deprinderilor copilului. Dezvoltarea copilului nu poate fi privită doar ca un proces de schimbări cantitative. Faptele arată că în dezvoltarea psihică se produc și schimbări calitative importante.
La nivelul ciclului primar, cunoștințele abordate sunt complexe și capabile să formeze capacități psihice de bază, necesare atragerii copilului în sfera raționalului, a cunoașterii, unde se formează deprinderi intelectuale de bază precum operarea cu simboluri matematice și unde se crează un echilibru general stabil în raporturile cu mediul educațional.
Începând cu vârsta de 7 ani, se formează o mulțime de capacități intelectuale, afective, voliționale, deprinderi generale de autoservire, reguli de conduită și o receptivitate și o sensibiltate mentală ce garantează organizarea unor capacități și disponibilități psihice care vor permite desfășurarea activității școlare.
Acum dezvoltarea psihică este într-un echilibru, adică există acea stare de concentrare necesară în asimilarea și completarea cunoștințelor, se dezvoltă judecata prin interesul pentru sensul logic al situațiilor problematice și se dezvoltă simțul critic al copilului.
Cadrul didactic urmărește să asigure însușirea cunoștințelor, formarea de deprinderi și capacități, prin amplificarea rolului de îndrumare, de verificare și de evaluare.
La această vârstă sociabilitatea este relativ complexă, copilul este atent, foarte sensibil, se manifestă diferit în relațiile cu restul persoanelor și apar aspecte formative în dezvoltarea psihică a lui.
În procesul învățării sunt implicate majoritatea proceselor cognitive volitive, afective, apoi atenția și limbajul, motivațiile, aptitudinile, atitudinile, interesele de cunoaștere și profesionale, fiecare având un rol bine definit.
Senzațiile sunt procese psihice elementare prin care se semnalizează separat, în forma imaginilor simple și primare, însușirile concrete ale obiectelor și fenomenelor, în condițiile acțiunii directe a stimulilor asupra organelor de simț.
Rareori omul le realizează separat, în mod obișnuit ele sunt integrate proceselor mai complexe. Ele reflectă doar însușiri separate, dar omul le integrează în procesele perceptive.
Senzațiile sunt imagini primare pentru că ele reprezintă rezultatul imediat al acțiunii stimulului asupra analizatorilor și nu apar decât în aceste condiții.
Consider că învățătorul/ profesorul prin materialul didactic pe care îl utilizează începând cu clasa pregătitoare contribuie la formarea unor senzații, în special vizuale (culori, forme ale obiectelor, mărimi ale obiectelor, etc.), care vor sta la baza formării unor percepții și reprezentări care vor ajuta la învățarea cu ușurință a operației de înmulțire.
Percepțiile sunt procese senzoriale complexe și, totodată, imagini primare, conținând totalitatea informațiilor despre însușirile concrete ale obiectelor și fenomenelor în condițiile acțiunii directe a acestora asupra analizatorilor.
Ele semnalizează însușiri concrete, intuitive, se referă la obiecte în totalitatea însușirilor date unitar și integral.
În procesul învățării operației de înmulțire, profesorul trebuie să aibă în vedere dezvoltarea la elevi a diferitelor tipuri de percepții și mai ales a celei vizuale. Pe baza percepției se dezvoltă și spiritul de observare.
Perceperea în procesul de învățare a operației de înmulțire va fi însoțită de explicațiile verbale ale profesorului, pentru a completa prin informații suplimentare imaginile pe care și le vor forma elevii. Atunci când le vorbește despre înmulțire, le spune că este o adunare repetată a aceluiași termen, le și aratăla tablă sau pe o planșă( 5+5+5+5=20 , 4×5=20).
Atenția și spiritul de observație vor fi dirijate către elementele esențiale. Este foarte important ca în timpul observării profesorul să le ceară elevilor să verbalizeze ceea ce văd.
Reprezentarea este un proces cognitiv-senzorial de semnalizare în forma unor imagini unitare, dar schematice, a însușirilor concrete și caracteristice ale obiectelor și fenomenelor, în absența acțiunii directe a acestora asupra analizatorilor.
Imaginea reprezentării este secundară în raport cu cea perceptivă, ea apărând pe baza percepției și este mai importanță.
Reprezentarea este puternic influențată de acțiunile practice ale subiectului cu obiectele, în cadrul cărora se realizează selecția unor însușiri și estomparea altora. Ea are o dublă natură: una intuitivă-figurativă și alta operațional-intelectivă, făcând trecerea la procesele cognitive superioare.
Consider că reprezentările pe care elevii le au formate până la învățarea operației de înmulțire sunt foarte importante, pentru că pe baza acestora se vor forma reprezentările despre înmulțire, și care se vor forma în special prin exerciții bine alese de profesor.
Aceste reprezentări, ca și celelalte, au o mare pondere în activitatea mintală, având un rol deosebit în formarea noțiunilor și în procesarea informațiilor la nivelul mecanismelor, unde sprijină însușirea autentică a conceptelor și operarea corectă cu acestea.
Memoria este procesul psihic de întipărire, stocare și reactualizare prin recunoaștere sau reproducere a informațiilor și constituie baza activităților de învățare.
Folosind exerciții de repetare logică și creativă, profesorul are în vedere dezvoltarea la elevi a memoriei voluntare, a rapidității, a volumului, promptitudinii șiu fidelității acesteia; va căuta să evite oboseala elevilor pe parcursul lecțiilor, prin crearea motivației, caracterul inteligibil al conținutului transmis și înțelegerea semnificației acestuia, prin realizarea corelației senzorial-rațional, folosind materialul didactic și metode participative.
Învățarea operației de înmulțire are un rol deosebit în dezvoltarea memoriei elevilor. Dacă vor învăța/ memora tabla înmulțirii va putea să efectueze orice înmulțire dorește. Tabla înmulțirii nu se învață toată odată, ci pe rând, astfel încât ea să fie bine fixată în memoria elevilor, iar prin exerciții corespunzătoare să se consolideze și să fie folosită de fiecare dată când dorește.
Matematica este știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate. Ca abstracțiuni ale abstracțiunilor, ele se constituie, la diferite etaje prin inducție, deducție, transducție.
Gândirea este procesul cognitiv de însemnătate centrală în reflectarea realului care, prin intermediul abstractizării și generalizării coordonate în activitățile mentale, extrage și prelucrează informații despre relațiile categoriale și determinative în formarea conceptelor, judecăților și raționamentelor.
Specificul gândirii copilului la vârstă școlară mică se manifestă printr-o proprietate esențială, aceea de a fi concret-intuitiv. Copilul gândește mai mult operând cu mulțimi concrete.
Gândirea este dominată de concret, fiind specifică acestei vârste. Percepția lucrurilor rămâne încă globală, văzul se oprește asupra întregului încă nedescompus, lipsește dubla mișcare rapidă de disociere, recompunere, comparația reușește pe contraste mari, nu sunt sesizate stările intermediare.
Domină operațiile concrete, legate de acțiuni obiectuale, apare ideea de invariație, de conservare.
Esențial este ca legitățile construcției psiho-generice să fie cunoscute, iar formarea noțiunii și operației mintale să pornească de la modele concrete.
Procesul de predare-învățare a matematicii în clasele I-IV trebuie să însemne mai întâi efectuarea unor acțiuni concrete, adică operații cu obiecte, care se structurează și se interiorizează, devenind progresiv operații logice abstracte.
Formarea noțiunilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, unde relația dintre concret și logic se modifocă în direcția esențializării realității.
Prin operațiile gândirii logice de analiză, comparație, sinteză, generalizare, concretizare logică și euristico-algoritmică profesorul îi va ajuta pe elevi să-și însușească noțiuni, concepte, legi, reguli, principii și alte generalizări, stabilind legături logice, de dependență cauzală și funcțională între obiecte și fenomene studiate, pătrunzând în esența lor.
Consider că învățând înmulțirea elevii își dezvoltă gândirea pentru că pe baza algoritmilor studiați și învățați vor face legături între înmulțire și celelalte operații matematice, gândesc cum să rezolve anumite probleme, fac legături cu cunoștințele anterioare.
Imaginația se definește ca proces cognitiv complex de elaborare a unor imagini și proiecte noi, pe baza combinării și transformării experienței. Ea are un rol deosebit nu numai în formarea noțiunilor prin învățare creativă, ci și în elaborarea de produse noi, originale, sub diferite forme, materiale sau ideale.
Crearea de imagini noi are loc cu ajutorul unor procedee cum sunt: reorganizarea cunoștințelor, combinarea și recombinarea, schematizarea, tipizarea, amplificarea, diminuarea, miniaturizarea,etc.
Imaginația elevilor este pusă la încercare atunci când li se cere acestora să compună o problemă când li se dă, spre exemplu, o operație de înmulțire( alcătuiți o problemă care să se rezolve prin operația 6×5), sau după o problemă model, etc.
Imaginația împlică în toate formele ei de manifestare mecanismele limbajului.
Limbajul este activitatea de comunicare interumană, realizată prin intermediul limbii și al tuturor resurselor ei.
Toate științele operează cu un aparat noțional care se învață o dată cu descifrarea noțiunilor respective. Limbajul matematic, fiind limbajul conceptelor celor mai abstracte și mai generale, se introduce la început cu unele dificultăți. De aceea, trebuie asigurată mai întâi înțelegerea noțiunii respective, sesizarea esenței, de multe ori într-un limbaj cunoscut de copii, accesibil lor, făcând unele concesii din partea limbajului matematic. Pe măsură ce se asigură înțelegerea noțiunilor respective, trebuie reprezentată și denumirea științifică.
Pe măsură ce elevul avanseazăîn interpretarea corectă a noțiunilor matematice se introduce și un limbaj riguros științific.
Atenția care se impune este ca în introducerea unei noțiuni să se dea numai acele elemente pentru care există posibiltatea reală a înțelegerii de către elevi. Esențială este alegerea metodelor potrivite pentru atingerea acestui scop. La nivelul claselorI-IV descrierea bazată pe unele exemple de operații concrete, urmată de o atentă abstractizare până la nivelul acesibil sunt cele mai indicate.
Condider că important este ca tot ceea ce se face să fie în limitele care permit dezvoltarea ulterioră corectă a noțiunilor și operațiilor matematice, în acest caz de înmulțire.
Gândirea și limbajul sunt strâns legate și se intercondiționează.
În cadrul activităților matematice din ciclul primar elevii își formează un limbaj specific matematic. Astfel, referitor la înmulțire, ei învață termeni noi precum: „factor”, „produs”, „de atâtea ori mai mare”, „dublul”, „triplul”, „împătritul”, etc, pe care ei le folosesc de câte ori este nevoie, pot crea probleme folosind acești termeni, pot rezolva probleme care conțin acești termeni.
Atenția susține energetic activitatea. Prin atenție se realizaeză tonificarea scoarței cerebrale și concentrarea proceselor psihice în scopul cunoașterii materialului de învățat, care este selectat și filtrat în funcție de interese și motivație.
În ciclul primar școlarul dobândește câteva calități ale atenției care sunt absolut necesare pentru dezvoltarea lui interioră, în primul rând domină atenția involuntară, dar pe viitor este mai frecventă atenția voluntară și prin toate activitățile pe care le desfășoară la clasă, profesorul consolidează și amplifică mecanismele de reglaj voluntar.
De multe ori elevii nu reușesc să-și modeleze gradul de concentrare a atenției în funcție de momentele unei activități și pot să fie neatenți chiar și în cele mai importante secvențe pentru realizarea demersului didactic.
Atunci când se studiază operația de înmulțire, pentru a menține atenția elevilor, consider că profesorul trebuie să găsească și să combine eficient metodele didactice, să-i implice pe toți elevii, ținând cont de particularitățile de vârstă ale fiecăruia, să folosească o diversitate de exerciții și probleme, jocuri didactice specifice vârstei, evitând plictiseala, monotonia.
Prin motivație înțelegem orientarea activă, persistentă și selectivă a unei pesoane către un obiect, fenomen sau situație preferată, care îi dinamizează și direcționează comportamentul. Ea este generată de un ansamblu de trebuințe, dorințe, interese, scopuri, sentimente, convingeri, aspirații și idealuri manifestate în atitudini și acțiuni.
Alături de inteligență, aptitudini și voință, este una din variabilele cele mai importante pentru obținerea performanțelor școlare.
Motivele învățării școlare, precum și cele referitoare la alegerea profesiunii, evoluează o dată cu dezvoltarea intelectuală și afectivă a elevilor.
La școlarul mic sunt de menționat două aspecte importante: trecerea de la motivația extrinsecă la cea intrinsecă și amplificarea motivației sociale a învățării față de cea personală și subordonarea treptată a acesteia din urmă.
Motivația asigură sensul și coerența internă a conduitei, mijlocind stabilirea, acceptarea și atingerea unor scopuri conștientizate; este o pârghie importantă în procesul autoreglării individului.
Acum învățarea școlară este motivată de dorința succesului, de calificative mari, de admirația colegilor și dorința copilului de a răspunde așteptărilor părinților și învățătoarei.
Consider că pentru crearea motivației pentru a învăța operația de înmulțire este necesar să se prezinte elevilor scopul învățării acesteia, domeniile de aplicare a cunoștințelor, să fie apreciați pozitiv și încurajați să-și realizeza scopurile vieții, să li se arate progresele făcute, să li se trezească curiozitatea pentru ceea ce trebuie să învețe, precizându-se sarcinile învățării individuale în raport de ritmul de muncă al fiecăruia și să folosim metode activ-participative.
Orice proces de învățare este plurimotivat. Eficiența învățării scade dacă există un nivel minim de motivare sau de supramotivare, și crește în cazul unui nivel optim, ca zonă între minim și maxim, însă în cazul motivației interne nu există saturație.
Creativitatea reprezintă cel mai înalt nivel de comportament uman, capabil de a antrena toate celelalte nivele de conduită biologică și logică, precum și toate însușirile psihice ale unui individ în vederea realizării unor produse concretizate prin originalitate, noutate, valoare și utilitate socială.
Orice elev dispune de un potențial creativ, pentru că posedă o experiență pe care o prelucrează mereu, și un potențial variabil, uzând de operații, tehnici și scheme mintale.
Se ajunge la idei noi sau proiecte prin transformări și recombinări ale datelor cognitive de care subiectul dispune.
Prelucrarea informațiilor prin adoptarea uor alte scheme operaționale generează noi informații, favorizează producerea unor alte scheme operaționale, generează noi informații, favorizează producerea unor noi cunoștințe ce nu existau la punctul de pornire.
Consider că pot fi dezvoltate înțelesuri sau interpretări creative, se pot ajunge la noi explicații, iar în ceea ce privește problemele, acestea se situează la diverse niveluri de solicitare creativă.
Mai importante și relevante decât rezolvările de probleme date sunt propunerile de noi probleme.
Gândirea logică, imaginația aduc o mare contribuție creativității.
Demersurile creative pot fi intenționate sau spontane.
În procesul de stimulare a creativității o importanță deosebită o are activitatea de compunere de probleme. Aceasta duce implicit la dezvoltarea flexibilității gândirii, a originalității, la creșterea interesului pentru problemele reale ale vieții și la dezvoltarea gândirii divergente și a imaginației creatoare.
Se poate spune că activitatea de compunere trebuie să pornească de la probleme simple și să continue cu probleme cu cerințe din ce în ce mai restrictive. Această activitate stabilește nivelul stăpânirii tehnicii de calcul și îi obligă pe elevi să desfășoare o activitate independentă de creație și de confruntare a cunoștințelor teoretice cu practica vieții.
Profesorul poate să ceară elevilor să alcătuiască probleme după imagini, după modelul alteia rezolvate anterior, cu indicarea operației/operațiilor (Alcătuiți o problemă în care să avem două operații de înmulțire și o scădere.), după un plan stabilit, cu valori numerice date, după un exercițiu dat (3×23+56), cu modificarea conținutului sau a datelor problemei, etc.
Jocul didactic matematic, prin caracterul său atractiv, prin dinamismul său, prin stimularea interesului și a creativității, contribuie atât la consolidarea cunoștințelor, cât și la însușirea unor concepte și noțiuni noi. Jocul exercită o influență mare asupra dezvoltării intelectuale și dezvoltării creativității elevilor prin caracterul competitiv al acestuia.
Pot fi jocuri destinate dezvoltării memoriei, pentru dezvoltarea gândirii, pentru dezvoltarea imaginației( Descoperă și continuă! 0×9+1=1, 1×9+2=11, 12×9+3=111), jocuri didactice de exersare a atenției,etc.
Prin exercițiile, jocurile, problemele care pot fi folosite în predarea operației de înmulțire, duce la dezvoltarea creativității elevilor.
Activitățile pe care le desfășoară copilul de la intrarea în școală sunt factorii cei mai importanți care guvernează schimbările semnificative în planul personalității acestuia, pentru că ele structurează dezvoltarea capacităților formate anterior și dau naștere altora.
Personalitatea copilului din acest stadiu are o anumită instabilitate și fragilitate caracteristice pentru copilărie, pentru că sunt momente când școlarul este dezorientat, inadaptat, ineficient și are nevoie de sprijinul adultului.
Este importantă în această perioadă relația cu ceilalți, care-i oferă elevului alte experiențe sociale decât cele din mediul familial, îi adâncește sociabilitatea, îi dezvoltă atitudinile noi, precum respectul față de punctul de vedere al celuilalt, colaborare, cooperare, apartenența la un anumit grup.
II.3. CONDIDERAȚII DIDACTICE PRIVIND PROCESUL DE PREDARE-ÎNVĂȚARE-EVALUARE A OPERAȚIEI ARITMETIDE DE ÎNMULȚIRE
II.3.1.Înmulțirea numerelor naturale în concentrul 0-10
Operația de înmulțire se introduce începând din acest an la clasa a II-a după ce elevii au dobândit cunoștințe, și-au format priceperi și deprinderi de calcul privitoare la operația de adunare a numerelor naturale.
În predarea-învățare înmulțirii numerelor naturale, intuiția nu mai are rolul predominant pentru că elevii și-au dobândit cunoștințele și și-au format priceperile și deprinderile legate de operația de adunare.
În prima fază am reactualizat cunoștințele despre adunare și am insistat pe adunarea repetată cu termeni egali.
Astfel, dacă avem 6+6+6+6, am observat că 6 a fost adunat de patru ori și că acesta se poate scrie și sub o altă formă și anume: 4×6.
Pentru o mai bună înțelegere am apelat și la material intuitiv: bile, creioane, bețișoare, imagini,etc.
Concluzia a fost că, indiferent de elementele cu care operăm, 6 adunat de patru ori este egal cu 24, adică scriem:
6+6+6+6=4×6 și 6×4=24
Am introdus noțiunile de „ înmulțit” sau „ori”, numerele care se înmulțesc se numesc „factori”, rezultatul înmulțirii se numește „ produs”. Primul factor se numește „deînmulțit” și ne arată de câte ori se repetă al doilea factor care se numește „înmulțitor”.
După efectuarea unui număr suficient de exerciții, elevii au sesizat semnificația operației de înmulțire și legătura dintre adunare și înmulțire.
Am insistat în continuare pe proprietatea de comutativitate a înmulțirii, care este foarte utilă la tabla înmulțirii:
4×6=6×4=24
Pentru întocmirea „tablei înmulțirii” am considerat că este bine să aplicăm o serie de procedee întrucât, atunci când înmulțitorul se mărește, calculele devin mai dificile.
Astfel, pentru aceasta, am folosit următoarele procedee:
a)procedeul grupării, care permite descompunerea înmulțitorului într-o sumă de termeni care ușurează calculele. Acest procedeu are la bază proprietatea de distributivitate, care se prezintă mai târziu:
4×8=4×(5+3)=4×5+4×3=20+12=32
6×9=6×(5+4)=6×5+6×4=30+24=54
Acest procedeu este unul de autoverificare și constituie o metodă de însușire conștientă și temeinică a înmulțirii.
b)procedeul comutativității,
4×6=6×4=24
5×7=7×5=35
Prin acest procedeu elevii au operat mai ușor când înmulțitorul devine mai mic.
c)procedeul înmulțirii cu 9: se înlocuiește 9 cu 10-1,
7×9=7×(10-1)=7×10-7×1=70-7=63
Tabla înmulțirii am scris-o în două feluri:
1.Deînmulțitul este constant și înmulțitorul variabil:
5×1, 5×2, 5×3, 5×4, etc.
2.Deînmulțitul este variabil și înmulțitorul constant:
1×5, 2×5, 3×5, 4×5, etc.
O lecție în care se învață înmulțirea cu un factor dat( de exemplu cu 5) parcurge următoarele etape:
-repetarea tablei înmulțirii pentru numărul precedent, cu 4:
4×1, 4×2, 4×3, 4×4, etc.
-stabilirea produselor cunoscute pe baza comutativității, având factorul 5:
5×1=1×5=5
5×2=2×5=10
5×3=3×5=15
5×4=4×5=20.
-deducerea celorlalte produse cu factorul 5 pe baza grupărilor:
5×5=5×(4+1)=5×4+5×1=20+5=25
5×6=5×(5+1)=5×5+5×1=25+5=30.
-scrierea completă a tablei înmulțirii cu numărul dat (5);
-memorarea tablei înmulțirii.
Aici se am folosit procedee similare celor de la tabla adunării sau scăderii. Momentele de calcul mintal și exercițiile în care lipsește un factor au consolidat tabla înmulțirii.
-rezolvarea de exerciții și probleme în care se aplică tabla înmulțirii.
Am introdus în probleme formulări de tipul „de atâtea ori mai mare”, „încincitul”, „dublul”, „triplul”,etc.
II.3.2.Î nmulțirea numerelor naturale formate din mai multe cifre
După ce prin exerciții și rezolvări de probleme am introdus și au fost însușite de elevi proprietățile înmulțirii, am trecut la înmulțirea cu 10 și cu 100 a numerelor până la 10, apoi la înmulțirea cu 10 a numerelor formate din zeci și unități. Aceste reguli de calcul le.am utilizat mai târziu la înmulțirea numerelor cu mai multe cifre.
La baza operației de înmulțire a numerelor naturale formate din mai multe cifre stau reprezentarea în baza zece, proprietățile adunării și înmulțirii numerelor naturale (asociativitatea, comutativitatea, distributivitatea față de adunare) și procedee de calcul învățate.
Înmulțirea numerelor scrise cu mai multe cifre este posibilă după ce elevii stăpânesc înmulțirea numerelor cu o cifră, iar abordarea se face ca la adunarea și scădere, progresiv.
II.3.2.1. Înmulțirea numerelor naturale de o cifră cu numere naturale formate din sute, zeci și unități, fără trecere peste ordin
Pentru aceasta am parcurs mai multe etape:
1.Înmulțirea numerelor naturale mai mici decât 10 cu un număr format din zeci.
În acest caz m-am bazat pe descompunerea numerelor în produse de factori și pe asociativitatea înmulțirii.
5×30=5×(3×10)=(5×3) ×10=15×10=150
Calcul oral: se scrie direct, se înmulțesc cifrele distinct și se adaugă la produs 0:
5×30=150
Calcul scris:
30×
5
150←5×0
↑
5×3
Scrierea convenabilă se poate face ținând cont de comutativitatea înmulțirii.
2.Înmulțirea numerelor naturale mai mici decât 10 cu un număr format din zeci și unități.
Calcul oral: se bazează pe descompunerea numărului în zeci și unități și pe distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:
3×21=3×(20+1)=3×20+3×1=60+3=63
Calcul scris: se bazează pe efectuarea înmulțirii prin adunare repetată :
3×21=21+21+21=63 sau: 21×
3
63←3×1
↑
3×2
3.Înmulțirea numerelor formate dintr-o cifră cu numere formate din sute:
Calcul oral: se bazează pe descompunerea în factori și pe asociativitatea înmulțirii:
400×2=(100×4)×2=100×(4×2)=100×8=800
Calcul scris:
400×2=400+400=800 sau 400×
2
800
4.Înmulțirea numerelor formate dintr-o cifră cu numere formate din sute, zeci și unități.
Calcul oral:
421×2=(400+20+1)×2=400×2+20×2+1×2=800+40+2=842
Calcul scris:
421×2=421+421=842 sau 421×
2
842
II.3.2.2.Înmulțirea numerelor naturale scrise cu trei cifre, cu trecere peste ordin
În acest caz, calculele se efectuează începând cu cifra care are ordinul cel mai mare, la noi sutele, apoi zecile și unitățile, după care produsele se adună.
Calculul scris încep cu cifrele care au ordinul cel mai mic ( de la dreapta spre stânga).
1.Înmulțirea unui număr de o cifră cu un număr format din sute, zeci și unități.
5×324=
Calcul oral:
5×324=5×300+5×20+5×4=1 500+100+20=1 620
Calcul scris:
324×
5
1620
2.Înmulțirea numerelor formate din două cifre.
-fără trecere peste ordin:
23×12= 276
Calcul oral:
23×12=23×(10+2)=23×10+23×2=230+46=276
Calcul scris:
23×
12
46←23×2
23 ←23×1
276←suma produselor parțiale
-cu trecere peste ordin:
34×15=
Calcul oral:
34×15=34×(10+5)=34×10+34×5=340+170=510
Calcul scris:
34×
15
170
34
510
3.Înmulțirea cu 10, 100, 100.
Acesta reprezintă un caz special și elevii au observat că unele produse parțiale sunt zero și la adunare, acestea nu afectează rezultatul.
435×10=4 350 435×
10
000
435
4350
De obicei se studiază mai multe exemple după care, prin comparare, abstractizare și generalizare, se formează concluzia: rezultatul înmulțirii unui număr cu 10 se obține adăugând la dreapta numărului cifra 0.
În cazul înmulțirii cu 100 se adaugă la sfârșitul numărului care se înmulțește cu 100 două zerouri.
Asemănător am făcut înmulțirile cu orice număr în care prima cifră semnifiativă este 1, iar celelalte cifre sunt 0. Înmulțrea se face adăugând la numărul care se înmulțește atâtea zerouri câte sunt după 1.
324×100 000=32 400 000
Cap.III. IPOTEZA, OBIECTIVELE ȘI METODOLOGIA CERCETĂRII
III.1.IPOTEZA GENERALĂ. IPOTEZE PARTICULARE
Verbul „a cerceta” are mai multe înțelesuri: a observa, a examina cu atenție, a întreba, a căuta, etc.
Obiectul unei cercetări pedagogice îl constituie o problemă, „ un fapt”, pe care cercetătorul îl identifică și îl delimitează din ansamblul structural din care face parte, cu intenția de a-i da o explicație plauzibilă și de a obține date certe privind funcționalitatea sa.
Unul din faptele pedagogice ce pot constitui obiectul unei cercetări pedagogice poate fi :
„Predarea-învățarea-evaluarea operației de înmulțire în ciclul primar”.
Succesul în dobândirea cunoștințelor privind operația de înmulțire depinde în mod semnificativ de învățător, de felul în care acesta reușește să conducă procesul predării-învățării-evaluării, după modul cum sunt orientați copiii să poată conștientiza descoperiri și să aplice prin transfer cunoștințele, priceperile și deprinderile.
În procesul de învățare a operației de înmulțire în clasele primare trebuie să se folosească metode care creează posibilitatea elevului de a transforma cunoștințele pasive în cunoștințe active și de a favoriza descoperirea unor noi cunoștințe, cât și aplicarea lor în activitatea practică.
Alegând această lucrare, am avut în vedere că dezvoltarea impetuoasă a științei, tehnicii și culturii reclamă o pregătire a viitorilor profesioniști, astfel încât să facă față cerințelor crescânde ale societății.
Omul modern nu poate rezolva problemele complicate pe care le întâmpină fără echipamentul intelectual și afectiv-volițional, fiind un constructor de probleme și de sisteme ideatice necesar rezolvării lor, transpunerii din plan ideatic în plan creativ.
Școala este un laborator de cercetare în care elevul vine pentru a face descoperiri.
Analizând lecțiile la care am asistat și predat în cadrul orelor de practică pedagogică cu referire la operațiile cu numere naturale, în special operația de înmulțire, s-au născut o serie de întrebări cărora m-am hotărât să le dau răspuns:
„-Cum pot să-i fac pe elevi să înțeleagă mai bine operațiile cu numere naturale, în special înmulțirea, pe baza strategiilor didactice tradiționale și moderne?
-Cum pot să-i fac pe elevi să înțeleagă necesitatea studierii matematicii, a operației de înmulțire ca o necesitate primordială?
-Cum pot să captez atenția și s-o mențin mereu trează?
-Cum să sporesc eficiența lecțiilor în care voi preda operațiile matematice cu numere naturale, în acest caz înmulțirea?
-Cum să consolidez cunoștințele predate?”
Răspunsul la aceste întrebări îl putem găsi doar printr-o pregătire zilnică și temeinică.
În această lucrare mi-am propus să cercetez modul de a realiza cât mai eficient introducerea metodelor moderne în predarea noțiunilor despre operația de înmulțire.
În această lucrare am urmărit ca studiul operației de înmulțire în clasele primare să constituie o bază solidă pentru activitățile pe care elevii le vor desfășura în viața de zi cu zi.
IPOTEZA GENERALĂ
Dacă în predarea-învătarea-evaluarea din cadrul orelor de matematică, care au ca subiect înmulțirea numerelor naturale, aș elabora și implementa o strategie care combină metode didactice tradiționale cu metode didactice moderne și jocul didactic, atunci aș reuși să îi fac pe elevi să se familiarizeze și să-și însușească mai ușor, mai plăcut, mai temeinic cunoștințele despre înmulțire, iar randamentul școlar va crește.
IPOTEZE PARTICULARE
I1-dacă aș alege metodele didactice tradiționale și moderne, jocurile didactice folosite în cadrul orelor de matematică, într-un moment oportun, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să-și dezvolte personalitatea prin însușirea cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor despre operația de înmulțire;
I2-dacă aș antrena elevii în activități plăcute, interesante, atunci procesele gândirii, atenția, logica, creativitatea se vor dezvolta mai rapid;
I3-dacă aș aplica teste de evaluare, atunci rezultatele acestora îi vor stimula în aprofundarea studierii matematicii pe tot parcursul vieții de elev;
I4-dacă aș fi un bun sfătuitor și un bun conducător, atunci elevii se vor implica, vor iniția și vor prelua rolul de conducător.
III.2. OBIECTIVELE ȘI METODOLOGIA CERCETĂRII
III.2.1.OBIECTIVELE CERCETĂRII
Scopul cercetării: să cunosc aspectele științifico-metodice de predare a operației de înmulțire în ciclul primar
Obiectiv general: să optimizez performanțele școlare prin utilizarea metodelor didactice tradiționale și moderne, a jocului didactic în predarea operației de înmulțire.
Obiective operaționale:
1.să aleg metode didactice moderne și tradiționale, să folosesc jocul didactic astfel încât să reușesc să-i fac pe elevi să-și îmbogățească personalitatea prin cunoștințe despre operația de înmulțire;
2.să-i antrenez pe elevi în activități cât mai plăcute și interesante, astfel încât să reușesc să le dezvolt mai rapid procesele gândirii, atenția, logica, creativitatea;
3.să folosesc rezultatele testelor de evaluare astfel încât să reușesc să-i stimulez pe elevi în aprofundarea studierii matematicii pe tot parcursul vieții de elev;
4.să fiu un bun sfătuitor și un bun conducător, astfel încât să-i fac pe elevi să se implice, să inițieze și chiar să preia rolul de conducător.
III.2.2.METODOLOGIA CERCETĂRII
Metode folosite în cercetare
Laboratorul cercetării pedagogice este școala, activitatea la catedră, unde se întâlnesc atât situații comune, repetative, cât și situații inedite, pentru care dascălul dispune de soluții gata făcute pentru a educa materialul faptic.
Pentru a afla cauzele fenomenelor educațive și a ajunge la generalizări menite să înlăture cu eficiență randamentul scăzut în practica educațivă, pedagogia folosește diferite metode de cercetare (lectura științifică, rezumatul, conspectul, metoda observației, metoda experimentului, metoda testelor etc.).
În elaborarea lucrării am pornit și de la constatarea că latura formativă a procesului de învățământ nu este întotdeauna realizată eficient și am demonstrat că că ea se poate dezvolta nu doar în etapele de predare-învățare, ci și în cele de evaluare curentă sau sumativă, pentru că procesul de verificare a cunoștințelor elevilor și a deprinderilor acestora îi solicită pe elevi să exerseze operații de analiză și sinteză, de algoritmizare, de abstractizare conducând în felul acesta la îmbunătățirea rezultatelor procesului instructiv-educațiv.
Învățământul poate dezvolta într-un grad și ritm sporit gândirea elevilor, atunci când el exersează mai frecvent această capacitate, când elevilor li se solicită într-o mai mare măsură efectuarea operațiilor analitico-sintetice în rezolvarea creatoare a diferitelor activități intelectuale.
Ținând cont de condițiile de prezentare și de perspectiva de modernizare a procesului de învățământ, am pornit de la premisa că îmbinarea accentuată a metodelor didactice tradiționale cu cele moderne, va antrena în mod deosebit gândirea elevilor și va duce la sporirea eficienței procesului instructiv-educativ.
Metodele folosite au fost variate. Acestea m-au ajutat să cunosc disponibilitatea elevilor, să-mi îmbogățesc experiența pedagogică, să contribui la îmbogățirea experienței elevilor și a valențelor formative ale pedagogiei didactice.
Am utilizat în această cercetare următoarele metode de cercetare: observația, convorbirea, experimentul pedagogic, testul.
1.Metoda observației este una din cele mai vechi și mai cunoscute tehnici de cercetare. Ea constă în observarea intenționată, metodică și sistematică a unui subiect uman, a unor manifestări psihice în desfășurarea lor naturală și în înregisrarea exactă a faptelor esențiale, semnificative.
Ea este un act de cunoaștere complex, organizat, planificat și desfășurat pe baza unui plan realizat de o persoană competentă.
Ca metodă de cercetare, observația presupune precizarea obiectivului și a sarcinilor observației, stabilirea condițiilor de desfășurare, elaborarea programului de efectuare, așteptarea manifestărilor fenomenelor pe care le studiem.
Materialele obținute sunt analizate, prelucrate, integrate pentru formularea unor generalizări și concluzii.
Am utilizat metoda observației în perioada premergătoare și în timpul desfăsurării experimentului cu scopul de a compara și surprinde comortamentul, reacțiile elevilor și mai ales condițiile psihopedagogige în care jocul didactic și metodele didactice tradiționale și moderne asigură învățământului o deosebită valoare fomativă, dar și modul în care se adaptează și este aceptată această metodă de către elevi cu diferite grade de pregătire.
Am urmărit elevii în absolut toate activitățile și acțiunile pe care le desfășoară în cadrul orelor în care se folosesc metode tradiționale și moderne în predarea operației de înmulțire în ciclul primar (folosind observația integrală) și să urmăresc eficacitatea metodelor didactice în învățarea operațiilor matematice, în special înmulțirea, împreună cu proprietățile acesteia (folosind observația selectivă).
Observația poate fi directă și indirectă.
De asemenea, am urmărit în ce condiții elevii își însușesc și rețin mai repede noțiunile de: factor, produs, de atâtea ori mai mare, dublul, etc, în condiții clasice sau folosind și metode moderne.
Am observat că elevii au reținut mai repede și mai ușor noțiunile despre operația de înmulțire prin îmbinarea metodelor didactice moderne cu cele tradiționale și a jocului didactic.
Observația mi-a permis să iau măsurile necesare pentru a corecta atunci când a fost nevoie.
2. Convorbirea este metoda care constă în organizarea unei discuții cu subiectul pentru a-i cunoaște interesele, preocupările, convingerile, atitudinile, idealurile, cerând subiectului să găsească motivații pentru anumite manifestări.
3.Testul este un instrument de investigație experimentală, o probă de scurtă durată, alcătuit dintr-un ansamblu de itemi, reprezentând o situație standardizată, practicabilă individual sau colectiv în scopul de a diagnostica prezența unei însușiri, aptitudini, trăsături psihice și a măsura diferențele individuale, mai ales în perspectiva unei juste orientări sau selecții profesionale.
În cadrul cerectării mele, testul m-a ajutat să cunosc stadiul formării noțiunilor teoretice însușit pe baza îmbinări metodelor moderne cu cele tradiționale în predarea poerațiilor matematice cu numere naturale, în special a operație de înmulțire a numerelor naturale, să descopăr stadiul formării deprinderilor de calcul la elevi și în funcție de datele oferite, aprecierea obiectivă a rezultatelor cercetării, în funcție de calificativele obținute.
4.Ca metodă de organizare, prezentare și prelucrare a datelor, am folosit metoda statistică. Ea a fost întrebuințată în dubla sa calitate: de metodă de investigare și metodă de prelucrare și interpretare a datelor cercetării.
5.Metoda cercetării documentelor curriculare și a altor documente școlare mi-au permis selectarea și organizarea celor mai relevante informații prelucrate și interpretate în această lucrare, am ales eșantionul de control care a fost asemănător cu cel experimental.
Am studiat programele școlare, manualele, culegerile, ghidurile, cataloagele, fișele psihopedagogice
6.Experimentul pedagogic
În cadrul experimentului, cercetătorul provoacă intenționat fenomenul ce trebuie studiat, îl repetă ori de câte ori este nevoie, poate schimba condițiile și poate izola fenomenul studiat.
Experimentul pedagogic a fost utilizat cu scopul de a verifica ipoteza cercetării. Prin urmare, experimentul este o observație provocată, este considerată drept cea mai riguroasă metodă de investigare psihopedagogică, pentru că se bazează pe o strategie precisă și presupune elaborarea unei structuri a relațiilor dintre variabile în forma modelului experimental.
Prin folosirea experimentului am constatat că o combinare a metodelor moderne și tradiționale de predare-învățare, cu îmbinarea jocului didactic și o selectare adecvată a mijloacelor de învățământ duce la rezultate bune obținute de elevi la sfârșitul fiecărei unități de învățare și că aplicarea noțiunilor teoretice în practică concomitent cu însușirea teoretică a acestora conduce la însușirea rapidă a noțiunilor teoretice de către elevi, dar și la realizarea unor lecții plăcute pentru aceștia.
Etapele experimentului:
Pornind de la problema formulată în ipoteză, și anume, îmbinarea metodelor tradiționale cu cele moderne, cu jocul didactic și cu aplicarea în mod constant a testelor de evaluare la debutul și finalul unităților de învățare și a fișelor de evaluare cu rol formativ în cadrul orelor de matematică, această disciplină își va spori eficiența formativă, se va dezvolta potențialul intelectual și creativ al elevilor, va crește eficiența procesului instructiv-educativ, am organizat designul experimental în trei etape:
1.Etapa preexperimentală- etapa prealabilă intersecției factorului experimental.
Conținutul acestei etape include diverse acțiuni și operații cum ar fi: stabilirea cadrului investigării, formularea ipotezelor, stabilirea lotului investigat, alegerea și elaborarea metodelor și tehnicilor de experimentare, testarea situației experimentale și a tehnicilor elaborate, înregistrarea datelor privind variabilele înaintea experimentării, precizarea factorului experimental, stabilirea strategiei desfășurării experimentului.
2.Etapa experimentală propriu-zisă reprezintă etapa administrării factorului experimental. Temporal este cea mai lungă etapă. Acum se administrează probele, se urmărește evoluția fenomenelor, se fac măsurători și determinări. Testele și fișele de evaluare pe care le-am folosit mi-au permis să cunosc modul cum și-au format elevii deprinderile de calcul, în funcție de datele obținute, m-au dirijat spre aprecierea obiectivă a rezultatelor cercetării.
3.Etapa finală sau etapa înregisrării rezultatelor se concretizează prin stabilirea diferențelor dintre cele două momente: anterior și posterior experimentului, când am constata efectele ameliorative pe care le produce aplicarea constantă a testelor și a fișelor de evaluare.
CAP. IV. ACTIVITATEA EXPERIMENTALĂ
IV.1.PREZENTAREA EȘANTIONULUI DE SUBIECȚI
Studiul experimental se aplică pe un lot de 18 elevi, colectivul clasei a III-a, de la Școala Gimnazială Lăcusteni, Vâlcea, grupul experimental (Ee) și pe un lot de 18 elevi, colectivul clasei a III-a de la Școala Gimnazială Zătreni, Vâlcea, grupul de control (Ec).
Caracteristic pentru lotul experimental este faptul că asupra lui se acționează cu factorul experimental, în conformitate cu cele propuse în ipoteză, în vederea producerii unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale.
Eșantionul de control este folosit ca martor pentru ca la încheierea cercetării să se poată compara rezultatele obținute pe ambele eșantioane și să se poată conchide pe această bază, că diferențele se datorează factorului experimental.
IV.2. STUDIUL INIȚIAL DE PREGĂTIRE AL ELEVILOR
Etapa evaluării inițiale a constat în aplicarea unui test de evaluare inițială. Scopul a fost acela de a stabili punctul de plecare în desfășurarea demersului experimental. Având un caracter constatativ, testul de evaluare inițială reflectă volumul și calitatea cunoștințelor, deprinderilor și priceperilor de calcul aritmetic al elevilor, constituind un punct de pornire în demersul formativ. Testul a fost aplicat ambelor eșantioane.
Unitatea de învățare: Înmulțirea numerelor naturale 0-100
Obiectivele urmărite:
O1-să transforme înmulțirile date în adunări repetate, aplicând comutativitatea pentru ușurarea calculului(dacă este necesar);
O2-să găsească produsele perechilor de numere naturale date, mai mici sau egale cu 10;
O3-să identifice operațiile corespunzătoare relațiilor matematice: „de n ori mai mare”, „cu n mai mare”, „cu n mai mic”, regăsite în cele trei probleme simple;
O4-să completeze factorul necunoscut în înmulțire cu doi factori sau trei factori;
O5-să rezolve o problemă cu trei operații după un algoritm cunoscut și să sintetizeze rezolvarea unei probleme într-o expresie numerică;
O6-să compună o problemă după o operație de înmulțire.
Itemii testului de evaluare inițială:
1.Calculați prin adunare repetată, pe calea cea mai simplă:
1×6= 9×2= 1×7= 8×1= 2×3=
2.Completați tabelul cu produsul potrivit:
3. a)Ileana are 8 ani, iarfratele are de 2 ori mai mult. Câți ani are fratele?
b) Maricica are 8 ani, iar sora ei Claudia cu 2 ani mai mult. Câți ani are Claudia?
c)Mama are 32 de ani, iar Ionela are cu 2 ani mai puțin. Câți ani are Ionela?
4.Completați cu factorul necunoscut:
6×□=12 4×2×□=8
□×7=14 3×□×□=6
5.La un magazin s-au adus 2 cutii a câte 9 pachete napolitane fiecare și 2 cutii a câte 8 ciocolate fiecare. Câte dulciuri s-au adus? Scrie rezolvarea sub forma unei expresii matematice.
6.Compune o problemă după exercițiul: 2×7.
Descriptori de performanță:
Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului inițial la eșantionul experimental:
Procentul de realizare a obiectivelor la testul inițial pe eșantionul experimental
Tabel analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul experimental:
Procentul mediu de realizare
Analizând rezultatele înregistrate în tabele s-a constatat că 72% din elevi stăpânesc operația de înmulțire și terminologia matematică, iar 28% întâmpină greutăți la realizarea itemilor 3,4,5,6. Un număr de 5 elevi (cu rezultate foarte slabe) întâmpină dificultăți la rezolvarea exercițiilor de identificare a operației de înmulțire după o adunare repetată sau după o grupare de elemente.
Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului inițial pe eșantionul de control:
Procentul de realizare a obiectivelor la testul inițial pe eșantionul control
Tabel analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul de control:
Procentul mediu de realizare
Eșantionul experimental și de control după testul inițial în procente
Analizând rezultatele înregistrate în tabele s-a constatat că 78% din elevi stăpânesc operația de înmulțire și terminologia matematică, iar 22% întâmpină greutăți la realizarea itemilor 3,4,5,6. Un număr de 4 elevi (cu rezultate foarte slabe) întâmpină dificultăți la rezolvarea exercițiilor de identificare a operației de înmulțire după o adunare repetată sau după o grupare de elemente.
Comparând rezultatele obținute de cele două eșantioane la testul inițial, situația se prezintă astfel s-a constatat că obiectivele au fost realizate în proporție de peste 72%, aceasta demonstrând că mulți elevi și-au însușit cunoștințele prevăzute în această secvență de instruire, reușind să stabilească cu ușurință legătura dintre adnarea repetată și înmulțire, să identifice adunările corespunzătoare figurilor date, să distingă cele două modalități de grupare a elementelor unei mulțimi corespunzătoare celor două operații de înmulțire. Cel mai slab obiectiv a fost O7, care le solicita elevilor să aplice comutativitatea.
Primul pas în reorganizarea instruirii l-a constituit aplicarea unor metode active, moderne, folosirea unor exerciții-joc și jocuri didactice cu un grad mai mare de complexitate în comunicarea și reactualizarea cunoștințelor matematice, precum și efectuarea unui număr sporit de exerciții și probleme care să asigure înțelegerea de către fiecare elev a sarcinilor cerute și posibilitatea rezolvării cu ușurință a acestora.
IV.3.ETAPA INTERVENȚIEI AMELIORATIVE
Etapa intervenției ameliorativea avut un pronunțat caracter formativ, constând în aplicarea jocului didactic în orice tip sau variantă de lecție.
La eșantionul experimental s-au utilizat metode tradiționale îmbinate cu cele moderne și jocul didactic pentru atingerea obiectivelor propuse, iar la eșantionul de control lecțiile de matematică s-au desfășurat folosindu-se cu precădere metodele tradiționale.
Am aplicat ambelor eșantioane un test de ameliorare.
Ipoteze parțiale:
I1-dacă aș alege metodele didactice tradiționale și moderne, jocurile didactice folosite în cadrul orelor de matematică, în predarea operației de înmulțire când un factor este 0, 1, 2, 3, 4, 5, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să-și dezvolte personalitatea;
I2-dacă aș folosi și material intuitiv cât mai divers, atunci aș capta foarte bine atenția și aș trezi interesul elevilor;
I3-dacă aș antrena elevii în activități plăcute, interesante, atunci procesele gândirii, atenția, logica, creativitatea se vor dezvolta mai rapid;
I4-dacă aș aplica un test de evaluare ameliorativ, atunci rezultatele acestuia îl vor stimula în aprofundarea studierii matematicii pe tot parcursul vieții de elev;
I5- dacă exercițiile propuse ar fi cât mai diverse, atunci aș reuși să le captez atenția elevilor și ar participa cu mai multă plăcere la activitățile propuse;
I6-dacă aș implica toți elevii, dându-le sarcini didactice diferite în funcție de nivelul de dezvoltare al fiecăruia, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să înțeleagă și să-și însușească mai bine cunoștințele despre operația de înmulțire
I7-dacă i-aș pune pe elevi să lucreze pe echipe sau pe grupe, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să lucreze mai rapid și și-ar dezvolta spiritul de echipă.
Obiectivele testului:
O1-să găsească produsul a două numere naturale când unul din factori este 0, 1, 2, 3, 4, 5;
O2-să identifice operațiile corespunzătoare relațiilor: „de n ori mai mare” și „ cu n mai mare”;
O3-să găsească factorul necunoscut, dându-se celălalt factor și produsul, sau ambii factori, cunoscându-se doar produsul;
O4-să identifice operațiile corespunzătoare noțiunilor: diferență și produs;
O5-să rezolve o problemă cu două operații după un algoritm cunoscut;
O6-să sintetizeze rezolvarea problemei într-o expresie numerică;
O7-să compună o problemă după o operație de înmulțire dată.
Itemii testului ameliorativ:
1.Aflați produsele:
2×4= 0×5= 5×6= 4×9
3×3= 8×1= 9×3= 6×4=
2.Aflați: a) numerele de 5 ori mai mari decât 6;
b) numerele cu 5 mai mari decât 6.
3.Completați cu factorul necunoscut:
□×4=32 □×□=12
6×□=18 □×□=12
4.Aflați diferența dintre numărul 60 și produsul numerelor 4 și 9.
5.Într-o livadă sunt 36 meri și 4 rânduri a câte 5 nuci fiecare. Câți meri și nuci sunt în livadă? Scrie rezolvarea problemei și printr-o expresie matematică,
6.Compune o problemă după exercițiul 7×5=
Descriptori de performanță:
Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului de ameliorare la eșantionul experimental:
Procentul de realizare a obiectivelor la testul ameliorative pe eșantionul experimental
Tabel analitic cu rezultatele testului de ameliorare pe eșantionul experimental:
Procent mediu de realizare
Din datele de mai sus se constată o creștere atât a procentului de realizare a itemilor propuși, cât și a procentului pe clasă de la 72% la testul inițial, la 89% la testul de ameliorare. A scăzut numărul elevilor cu rezultate nesatisfăcătoare (de la 5 la 2) și a crescut numărul elevilor cu rezultate satisfăcătoare bune. Aceasta înseamnă nu numai progres în cunoștințele elevilor, ci și în capacitățile intelectuale, dat fiind și aportul jocurilor didactice aplicate și a metodelor tradiționale îmbinate cu cele moderne.
Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului de ameliorare pe eșantionul de control:
Procentul de realizare a obiectivelor la testul ameliorative pe eșantionul de control
Tabel analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul de control:
Procent mediu de realizare
Din datele înregistrate mai sus se constată o foarte mică creștere a procentajului pe clasă de la 78% la 83% a sarcinii propuse spre rezolvare. A crescut numărul elevilor care au obținut calificativul Bine(de la 7 la 8) și al celor cu Insuficient(de la 4 la 3).
În acest moment se pot compara rezultatele obținute de cele două eșantioane la testul de ameliorare. Astfel, promovabilitatea eșantionului experimental este de 89%, iar a celui de control este de 83%.
Pentru a putea interpreta mai bine datele obținute la testul ameliorativ, am prezentat grafic, în paralel rezultatele pe calificative ale celor două eșantioane:
Eșantion experimental Eșantion de control
Eșantionul experimental și eșantionul de control după testul ameliorativ
Observând acest tabel se constată că rezultatele eșantionului experimental sunt situate deasupra celor obținute de eșantionul de control. Aceste constatări mi-au întărit convingerea că măsurile aplicate au fost eficiente, iar continuarea activității pe această direcție va avea rezultate îmbucurătoare.
IV.4.STUDIUL FINAL AL PREGĂTIRII ELEVILOR
Această etapă constă în aplicarea unui test de evaluare finală în scopul comparării rezultatelor obținute după proiectarea și desfășurarea lecțiilor cu ajutorul metodelor didactice moderne și a jocului didactic, cu rezultatele de la testele inițiale.
În lecțiile pregătitoare testului final s-a acordat o atenție deosebită eliminării lacunelor existente în pregătirea elevilor la matematică prin: la eșantionul experimental prin continuarea utilizării jocului didactic, crearea suportului afectiv și motivațional necesar participării active la lecții, stimulări și aprecieri pozitive în caz de reușită, concursuri pe echipe cu sarcini antrenante; la eșantionul de control prin repetarea cu elevii a noțiunilor matematice despre înmulțirea numerelor naturale și pe care le rețin greu, folosindu-se mai des în exerciții și probleme în clasă și acasă, în condiții obișnuite.
Testul de evaluare final și-a propus să îndeplinească obiective asemănătoare testului inițial, dar cuprinzând sarcini de mai mare dificultate.
Ipoteze parțiale:
I1-dacă aș alege metodele didactice tradiționale și moderne, jocurile didactice folosite în cadrul orelor de matematică, în predarea operației de înmulțire când un factor este 6,7,8,9,10, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să-și dezvolte personalitatea;
I2-dacă aș folosi și material intuitiv cât mai divers, atunci aș capta foarte bine atenția și aș trezi interesul elevilor;
I3-dacă aș antrena elevii în activități plăcute, interesante, atunci procesele gândirii, atenția, logica, creativitatea se vor dezvolta mai rapid;
I4-dacă aș aplica un test de evaluare final, atunci rezultatele acestuia îl vor stimula în aprofundarea studierii matematicii pe tot parcursul vieții de elev;
I5-dacă exercițiile propuse ar fi cât mai diverse, atunci aș reuși să le captez atenția elevilor și ar participa cu mai multă plăcere la activitățile propuse;
I6-dacă aș implica toți elevii, dându-le sarcini didactice diferite în funcție de nivelul de dezvoltare al fiecăruia, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să înțeleagă și să-și însușească mai bine cunoștințele despre operația de înmulțire
I7-dacă i-aș pune pe elevi să lucreze pe echipe sau pe grupe, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să lucreze mai rapid și și-ar dezvolta spiritul de echipă.
I8-dacă aș repeta cunoștințele din orele anterioare, legate de tabla înmulțirii, atunci aș reuși să-i fac pe elevi să rețină mai ușor și aceste cunoștințe să fie mai temeinice.
Obiectivele testului de evaluare finală:
O1-să transforme înmulțirile date în adunări repetate, aplicând comutativitatea pentru ușurarea calculului(dacă este necesar);
O2-să găsească produsele perechilor de numere naturale date, mai mici sau egale cu 10;
O3-să identifice operațiile corespunzătoare relațiilor matematice: „de n ori mai mare”, „cu n mai mare”, „cu n mai mic”, regăsite în cele trei probleme simple;
O4-să completeze factorul necunoscut în înmulțire cu doi factori sau trei factori;
O5-să rezolve o problemă cu trei operații după un algoritm cunoscut și să sintetizeze rezolvarea unei probleme într-o expresie numerică;
O6-să compună o problemă după o operație de înmulțire.
Itemii testului de evaluare finală:
1.Calculați prin adunare repetată, pe calea cea mai simplă:
4×6= 9×3= 0×7= 8×1= 243×3=
2.Completați tabelul cu produsul potrivit:
3. a)Anuța are 8 ani, iar tata are de 5 ori mai mult. Câți ani are tata?
b) Anuța are 8 ani, iar sora ei Maria cu 5 ani mai mult. Câți ani are Maria?
c)Mama are 32 de ani, iar Gina are cu 7 ani mai puțin. Câți ani are Gina?
4.Completați cu factorul necunoscut:
6×□=12 4×2×□=80
□×7=42 3×□×□=48
5.La o librărie s-au adus 3 pachete a câte 9 caiete de matematică fiecare și 2 pachete a câte 8 caiete de matematică fiecare. Câte caiete s-au adus? Scrie rezolvarea sub forma unei expresii matematice.
6.Compune o problemă după exercițiul: 6×9.
Descriptori de performanță:
Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului final la eșantionul experimental:
Procentul de realizare a obiectivelor la testul final pe eșantionul experimental
Tabel analitic cu rezultatele testului final pe eșantionul experimental:
Procent mediu de realizare
Analizând rezultatele înregistrate mai sus e ușor de remarcat că numărul elevilor care au obținut rezultate bune (44%) și foarte bune (28%) a cresct semnificativ. De asemenea absența rezultatelor nesatisfăcătoare dovedesc că elevii și-au însușit bine cunoștințele despre înmulțire și calculează cu ușurință produsul numerelor naturale, află factorul necunoscut, cunosc terminologia specifică matematicii și rezolvă cu ușurință probleme cu mai multe operații. Elevii care au obținut calificativul Bine dovedesc același lucru, ei negreșind la tehnica de lucru, ci la unel calcule fîcute în grabă. Unele lacune le prezintă elevii care au calificatuvul Suficient, care dovedesc nesiguranță la rezolvarea exercițiilor, mai fac confuzii la tabla înmulțirii, nu stăpânesc bine limbajul matematic.
Tabel analitic cu rezultatele obținute în urma aplicării testului final pe eșantionul de control:
Procentul de realizare a obiectivelor la testul final pe eșantionul de control
Tabel analitic cu rezultatele testului inițial pe eșantionul de control:
Procent mediu de realizare
Din rezultatele din tabelele de mai sus s-a constatat că 87% din numărul total al elevilor a obținut calificative de trecere a testului, 6 elevi întâmpină dificultăți de calcul, nu stăpânesc limbajul matematic.
Promovabilitatea eșantionului experimental este de 100%, pe când cea a eșantionului de control este de 89%.
Pentru a putea interpreta mai bine datele obținute la testul final, am reprezentat grafic, în paralel rezultatele obținute de cele două eșantioane:
Eșantion experimental Eșantion de control
Eșantionul experimental și eșantinul de control după testul final
Comparând și rezultatele obținute de cele două eșantioane , la testul inițial și final, situația se prezintă astfel:
Rezultatele obținute la testul inițial și testul final de eșantionul experimental:
Rezultatele obținute la testul inițial și testul final de eșantionul de control:
Analizând datele de mai sus se constată că:
-la grupul experimental s-a remarcat că numărul elevilor care au obținut rezultate bune și foarte bune a crescut semnificativ; de asemenea absența rezultatelor nesatisfăcătoare dovedește că elevii și-au însuțit bine cunoștințele de la acest capitol, calculează cu ușurință produsul a două numere, află factorul necunoscut, folosindu-se de tabla înmulțirii, cunosc terminologia specifică operației de înmulțire și a altor operații, rezolvă cu ușurință problemele cu mai multe operații. Unele lacune le prezintă cei trei elevi care au obținut calificativul Suficient, dovedind nesiguranță la rezolvarea exercițiilor și nu stăpânesc foarte bine limbajul matematic.
-la grupul de control s-a constatat că 88% din numărul de elevi a obținut calificative de trecere a testului de evaluare, iar 2 elevi întâmpină dificultăți în calcul și în tehnica de rezolvare a problemelor, nu stăpânesc limbajul matematic și de aceea transpunerea în exercițiu a unui enunț este o greutate pentru ei.
Comparând rezultatele obținute la cele două eșantioane, la testul inițial și cel final, situația se prezintă astfel: eșantionul experimental și-a îmbunătățit cota de rezultate Bune (de la 33% la 44%) și Foarte Bune (de la 17% la 28%), iar ceea ce este de remarcat absența calificativelor Insuficient la testarea finală; eșantionul de control și-a îmbunătățit cu puțin rezultatele, fără salturi majore la un anumit calificativ, Foarte Bune (de la 17% la 22%), Bune (de la 39% la 44%) și Insuficiente (de la 22% la 12%).
Rezultatele obținute la testul inițial și final, ne arată că progresul este semnificativ la eșantionul experimental.
Din aceste date înregistrate îmi permit să afirm că în urma desfășurării experimentului se confirmă ipoteza formulată: utilizarea unor metode și procedee variate pentru însușirea operațiilor matematice și în special a înmulțirii numerelor naturale, au drept rezultat creșterea performanței elevilor în cadrul procesului instructiv-educativ.
Însumând toate aceste date oferite de cercetare am constatat următoarele:
-folosirea îmbinată a metodelor tradiționale și moderne, a jocului didactic duce la creșterea performanței;
-elevii sunt mai motivați atunci când lucrează în echipă, le place concurența;
-exercițiile și problemele în combinație cu jocurile didactice duc la o mai bună stimulare;
-diversitatea exercițiilor și problemelor are un deosebit rol în captarea atenției elevilor.
V.CONCLUZII
Evaluarea a asigurat o modalitate distinctă de analiză cantitativă și calitativă a rezultatelor învățării pe parcursul întregii etape experimentale.
Jocul a constituit pentru elevi o modalitate stimulativă, de antrenare la lucru, de motivare a învățării.
În urma experimentului efectuat putem spune că utilizarea jocului didactic și a metodelor didactice moderne îmbinate cu cele tradiționale satisface cerințele unui învățământ formativ, pentru că antrenează majoritatea elevilor, sporește gradul de motivație a învățării prin satisfacțiile pe care elevii le obțin prin rezultatele pozitive ale muncii lor.
Progresul elevilor este evidențiat de creșterea gradului de realizare a obiectivelor instruirii, creștere materializată în mărimea valorii notelor pentru nivelul cunoștințelor și deprinderilor atinse.
La orele de matematică am realizat lecții la care elevii să participe cu plăcere și să-și însușească cunoștințele în funcție de posibilitățile lor intelectuale.
Prin multitudinea de jocuri didactice pe care le-am folosit am reușit să realizeze sarcina învățării: însușirea de cunoștințe matematice, atât de necesare etapelor următoare ale învățării matematicii.
Prin testele aplicate am căutat să ilustrez importanța jocului didactic și a metodelor didactice moderne la orele de matematică, faptul că elevii rezolvă cu mai mult interes și plăcere jocurile care nu sunt altceva decât exerciții și probleme prezentate sub o altă formă.
Lecțiile organizate cu introducerea unui joc didactic matematic au asigurat participarea activă a elevilor la dobândirea cunoștințelor, la formarea unui stil de muncă intelectual, lecția devenind o modalitate de organizare a activității de învățare.
Combinând metodele tradiționale cu cele moderne, adoptând cele mai eficiente strategii didactice, am insuflat elevilor dragostea pentru matematică, și-au format deprinderi de rezolvare a problemelor de aritmetică, și-au dezvoltat gândirea, logica, imaginația.
Predarea operației de înmulțire are următoarele valențe: dezvoltă gândirea; antrenează operațiile logice de analiză și sinteză, de comparație, de abstractizare și generalizare; dezvoltă voința, perseverența, spiritul de răspundere, încrederea în forțele proprii; stimulează inițiativa, încrederea în sine, curajul; stimulează și formează priceperi și deprinderi practice.
În urma acestui experiment am ajuns la următoarele concluzii:
-predarea-învățarea operației de înmulțire trebuie privită ca un fenomen complex, dar unitar, care angajează plenar întreaga personalitate umană,
-compunerea și rezolvarea de probleme care conțin și operații de înmulțire dezvoltă creativitatea ca dimensiune psihologică ce este universal existentă, distribuindu-se în rândul tuturor copiilor.
În scopul stimulării potențialului creativ al elevilor, învățătorul trebuie să fie cel puțin neutru față de evoluția acestuia, în sensul de a nu-i înăbuși manifestările și dezvoltarea, să intervină conștient și activ pentru îndepărtarea blocajelor obiective și subiective ale creativității elevilor, să preia și să dezvolte în mod organizat potențialul creativ al fiecărui copil.
Rezultatele obținute în urma testelor de evaluare oferă informații detaliate care pot fi luate în calcul la elaborarea măsurilor ameliorative pentru elevi astfel: elevii cu capacități reduse de înțelegere și asimilare vor primi ca rezolvare sarcini de nivel reproductive și de cunoaștere pentru a-i ajuta să realizeze obiectivele programei, iar celor cu potențial creative, li se vor crea condiții propice, în care să li se poată dezvolta nestânjenit capacitățile creative.
În însușirea cunoștințelor de către elevi un rol important îl are munca independentă, în ora de matematică elevii trebuie să lucreze, să facă efort nu numai aplicativ, cât mai ales mintal creator.
În cadrul activității independente din clasă, trebuie să realizăm și învățarea în ritm propriu, deoarece într-o clasă de elevi există mai multe nivele de gândire și ritmuri de lucru variate, specifice fiecărui copil.
Este necesar ca elevii să fie obișnuiți ca singuri să caute de lucru, să creeze probleme și exerciții pe care să le rezolve și în felul acesta ora de matematică să fie o oră densă, în care elevii să lucreze mai mult, învățătorul lucrând cu clasa cât și cu fiecare elev în parte, astfel elevii înțeleg că matematica este o știință a realității înconjurătoare, indispensabilă diverselor activități umane practice, nu e e doar o activitate abstractă.
Însușirea conștientă a cunoștințelor asigură temeinicia lor, iar însușirea activă prin efort propriu, duce la dezvoltarea intelectuală, în primul rând a gândirii, precum și la dezvoltarea spiritului de independență, de investigație, de creativitate.
A-i învăța pe elevi cum să învețe a devenit o problemă majoră a școlii. Iată de ce un loc important în formarea și dezvoltarea la elevi a capacităților de creație îl ocupă învățarea prin descoperire și redescoperire.
Toate aceste achiziții ale elevilor sunt premise minime pentru orice act de creație, bază a oricăror creații viitoare.
Această lucrarea face simțită armonia interioară a matematicii, capabilă să trezească conștiința că există probleme matematice atrăgătoare, pentru înțelegera lor nu este nevoie de un talent special și nici de o pregătire care să depășească nivelul claselor elementare.
Consider că scopul propus a fost confirmat și că predarea-învățarea-evaluarea operației de înmulțire a numerelor naturale se datorează în mare parte capacităților intelectuale ale elevilor cât și însușirii corecte a metodelor diverse de predare a acestor cunoștințe.
Prin exemplele și prin aspectele teoretice date, lucrarea vine cu o serie de precizări privind specificul predării-învățării-evaluării operației de înmulțire, ceea ce constituie un mijloc important de realizare a unor demersuri didactice creative.
ANEXE
PROIECT DIDACTIC
Propunător: Bogeanu Nicolița Lavinia
Școala Gimnazială Lăcusteni, Vâlcea
Clasa a III-a
Obiectul: Matematică
Aria curriculară: Matematică și Științe ale naturii
Subiectul:Înmulțirea când avem factor pe 0,1,2,3,4,5.
Tipul lecției: formare și consolidare de priceperi și deprinderi
Obiective de referință:
1.4.să efectueze înmulțiri în concentrul 0-1000, utilizând tabla înmulțirii sau proprietățile înmulțirii;
3.1.să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme.
Obiective operaționale:
a)cognitive:
O1-să găsească produsul a două numere naturale când unul din factori este un număr cuprins între 0 și 5;
O2.să identifice operațiile corespunzătoare relațiilor „de n ori mai mare” și „cu n mai mare”;
O3-să găsească factorul necunoscut, când se cunoaște celălalt factor sau doar produsul lor;
O4-să identifice operațiile corespunzătoare noțiunilor de diferență și produs;
O5-să rezolve o problemă cu două operații după un algoritm cunoscut;
O6-să compună o problemă după o operație de înmulțire dată;
b)afective:
O7-să participe cu plăcere la activitățile propuse;
c)psihomotrice:
O8-să adopte o poziție corectă în bancă în timpul lecției.
Strategia didactică:
-Metode și procedee: exercițiul, conversația, problematizarea, munca independentă;
-Mijloace de învățare: diverse fișe individuale de lucru, planșă, fișa de evaluare.
-Forme de organizare: frontal, individual.
Material bibliografic:
-Manolescu, Marin, Constantinescu, Maria Magdalena, Gorcinski, Gabriela, Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar, Editura Steaua Procion, București, 1997,
– Neacșu,Ioan, Gălățeanu, Monalisa, Predoi, Petre, Didactica matematicii în învățământul primar, Editura Aius, 2001,
-Deaconu, Laurențiu, Dinuță, Neculae, „Metodica predării-învățării matematicii în ciclul primar”, Editura Universitatea din Pitești, 2007,
-„Culegere de exerciții și probleme pentru clasele primare”, Editura Aramis, București, 2004,
-Dănilă, Ioan, Gălățeanu, Monalisa, Predoi, Petre, „Îndrumătorul învățătorului”, Editura All, București, 2001.
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
FIȘĂ DE EVALUARE
2p. din oficiu
2p. 1.Află produsul numerelor: 5 și 4, 3 și 6.
2p. 2.Află numărul de trei ori mai mare decât: 2,4,3,1.
2p. 3.Completează cu factorii care lipsesc:
3×_=15 _×5=40
_×_=40 _×_=36
2p. 4.La un magazin s-au adus 9 lădițe a câte 5 kg lădița. Pune singur întrebarea și rezolvă problema.
PROIECT DIDACTIC
Propunător: Bogeanu Nicolița Lavinia
Școala Gimnazială Lăcusteni, Vâlcea
Clasa a III-a
Obiectul: Matematică
Aria curriculară: Matematică și Științe ale naturii
Subiectul:Înmulțirea când avem factor pe 6.
Tipul lecției: însuțire de noi cunoștințe
Obiective de referință:
1.4.să efectueze înmulțiri în concentrul 0-1000, utilizând tabla înmulțirii sau proprietățile înmulțirii;
3.1.să exprime clar și concis semnificația calculelor făcute în rezolvarea unei probleme.
Obiective operaționale:
a)cognitive:
O1-să găsească rezultatul unei înmulțiri cu 6;
O2.să afle produsul a două numere naturale când unul din factori este 6 (prin adunare repetată );
O3-să completeze tabla înmulțirii cu 6 cu produsul corespunzător după memorarea acesteia;
O4-să opereze cu relația „de 6 ori mai mare” sau cu relația „ înseșitul numerelor”, aplicând cunoștințele însușite în lecția anterioară;
O5-să rezolve o problemă cu două operații după un algoritm cunoscut;
b)afective:
O6-să participe cu plăcere la activitățile propuse;
c)psihomotrice:
O7-să adopte o poziție corectă în bancă în timpul lecției.
Strategia didactică:
-Metode și procedee: exercițiul, conversația, problematizarea, jocul didactic, munca independentă;
-Mijloace de învățare: jetoane cu imagini, diferite obiecte, planșa cu problema ilustrată, un sac cu bilețele ce cuprind diferite sarcini didactice.
-Forme de organizare: frontal, individual.
Material bibliografic:
-Manolescu, Marin, Constantinescu, Maria Magdalena, Gorcinski, Gabriela, Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar, Editura Steaua Procion, București, 1997,
– Neacșu,Ioan, Gălățeanu, Monalisa, Predoi, Petre, Didactica matematicii în învățământul primar, Editura Aius, 2001.
-Deaconu, Laurențiu, Dinuță, Neculae, „Metodica predării-învățării matematicii în ciclul primar”, Editura Universitatea din Pitești, 2007,
-„Culegere de exerciții și probleme pentru clasele primare”, Editura Aramis, București, 2004,
-Dănilă, Ioan, Gălățeanu, Monalisa, Predoi, Petre, „Îndrumătorul învățătorului”, Editura All, București, 2001.
DESFĂSURAREA LECȚIEI
FIȘĂ DE EVALUARE
2p.din oficiu
3p. 1.Efectuați înmulțirile:
0×6= 1×6= 4×6=
6×8= 9×6= 7×6=
2p. 2. Află numerele de 6 ori mai mari decât 3,4, 7, 6.
1p. 3.Află înseșitul lui 9.
2 p 4.Într-un penar sunt 8 culori. Câte culori sunt în 6 penare? Dar în 5?
PROIECT DIDACTIC
Propunător: Bogeanu Nicolița Lavinia
Școala Gimnazială Lăcusteni, Vâlcea
Clasa a IV-a
Obiectul: Matematică
Aria curriculară: Matematică și Științe ale naturii
Subiectul: Proprietățile înmulțirii. Exerciții și probleme.
Tipul lecției: recapitulare și sistematizare a cunoștințelor
Obiective de referință:
1.4.să înțeleagă semnificația operațiilor aritmetice și utilizarea algoritmilor de calcul pentru adunarea, scăderea, înmulțirea, împărțirea numerelor naturale;
3.1.să exprime pe baza unui plan simplu de idei demersul parcurs în rezolvarea unei probleme;
Obiective operaționale:
a)cognitive:
O1-să denumească proprietățile înmulțirii, având la îndemână un text lacunar, pe baza cunoștințelor anterioare;
O2.să utilizeze proprietățile înmulțirii în exerciții date;
O3-să rezolve corect o problemă dată, găsind două moduri de rezolvare;
O4-să compună cel puțin trei variante de probleme, după exerciții date;
O5-să efectueze exerciții care conțin mai multe operații pe baza cunoștințelor anterioare;
b)afective:
O6-să participe cu plăcere la activitățile propuse;
c)psihomotrice:
O7-să adopte o poziție corectă în bancă în timpul lecției.
Strategia didactică:
-Metode și procedee: exercițiul,explicația, conversația, problematizarea, munca independentă;
-Mijloace de învățare: fișă de evaluare
-Forme de organizare: frontal, individual.
Material bibliografic:
-Manolescu, Marin, Constantinescu, Maria Magdalena, Gorcinski, Gabriela, Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar, Editura Steaua Procion, București, 1997,
– Neacșu,Ioan, Gălățeanu, Monalisa, Predoi, Petre, Didactica matematicii în învățământul primar, Editura Aius, 2001.
-Deaconu, Laurențiu, Dinuță, Neculae, „Metodica predării-învățării matematicii în ciclul primar”, Editura Universitatea din Pitești, 2007,
-„Culegere de exerciții și probleme pentru clasele primare”, Editura Aramis, București, 2004,
-Dănilă, Ioan, Gălățeanu, Monalisa, Predoi, Petre, „Îndrumătorul învățătorului”, Editura All, București, 2001.
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
JOC DIDACTIC : „ PUNGUȚA FERMECATĂ”
Clasa a III-a
Subiectul: Înmulțirea numerelor formate doar dintr-o cifră
Scopul jocului:
-consolidarea deprinderii de a efectua înmulțiri când unul din factori este format dintr-o cifră.
Sarcina jocului:
-să găsească produsul a două numere naturale când unul din factori este un număr format dintr-o cifră (prin adunare repetată sau folosind comutativitatea);
-să opereze cu relația „de n ori mai mare”, aplicând cunoștințele însușite în lecțiile anterioare.
Materiale folosite:
-săculeț cu bilețele pe care sunt scrise sarcinile didactice.
Regula jocului:
-elevii extrag bilete din săculeț și rezolvă sarcina oral.
Recompensa jocului:
-calificativul F.B. și posibilitatea de a alege următorul elev care va extrage un bilet.
Desfășurarea jocului:
Profesorul aduce un săculeț cu mai multe bilețele pe care vor fi scrise diferite sarcini și le explică elevilor cum se va desfășura jocul. Mai întâi se va face un joc de probă. Profesorul alege un elev care va extrage un bilet, va citi sarcina și o va rezolva oral. Dacă a rezolvat corect, el va alege un alt elev care va extrage următorul bilet. Dacă nu rezolvă corect, profesorul poate propune un alt elev să rezolve sarcina acestuia.
Exemplu:
1.Află numărul care este de 8 ori mai mare decât 5.
2.6x_=42
3._x_=54
4.Află numărul care este de 7 ori mai mare decât 8.
5._x7=35
6. Află numărul care este de 2 ori mai mare decât produsul lui 4 și 2.
7.Află numărul care este de 3 ori mai mare decât diferența numerelor 9 și 5.
Jocul poate continua atât cât consideră profesorul și poate fi complicat prin introducerea unor sarcini mai dificile. Poate fi folosit și la alte operații ale matematicii și de asemenea se pot da și alte recompense elevilor care rezolvă corect sarcinile de pe bilet. Și scopul jocului poate fi altul în funcție de lecția în care este folosit.
JOC DIDACTIC: „ GĂSEȘTE CHEIA POTRIVITĂ!”
Clasa a III-a
Subiectul: Înmulțirea numerelor de două cifre cu un număr format din unități
Scopul jocului:
-consolidarea deprinderii de a efectua înmulțiri când unul din factori este format din două cifre cifre și unul este format din unități.
Sarcina didactică:
-să efectueze înmulțirile scrise pe chei și să le aleagă doar pe cele care au ca rezultat un număr format din două cifre.
Materiale folosite:
-fișe de muncă individuală.
Regula jocului:
-elevii vor descoperii care sunt cheile potrivite prin efectuarea operațiilor de înmulțire.
Recompensa:
-calificativul F.B.
Desfășurarea jocului:
Profesorul le împarte elevilor niște fișe pe care sunt desenate niște chei, iar în interiorul cheii se află câte o operație de înmulțire.
Le spune că recepționerul unui hotel a încurcat cheile de la 10 camere. Camerele de hotel au numere formate din două cifre. Se va face un joc de probă: profesorul are pe o planșă o cheie cu o înmulțire, va cere elevilor să facă înmulțirea și să spună dacă rezultatul este un număr format din două cifre. Dacă este îl vor încercui.
Elevii vor calcula înmulțirile de pe chei și vor alege doar pe cele care au ca rezultat numere formate din două cifre, astfel îl ajută pe recepționer.
Exemplu de înmulțiri care pot apărea pe chei:
13×3= 14×4= 19×3=
43×6= 23×3= 37×6=
16×4= 15×5= 18×4=
21×4= 17×4= 73×2=
17×5= 49×5= 50×2=
Și acest joc poate fi complicat prin scrierea unor sarcini mai dificile pe chei și poate fi folosit și la alte lecții.
TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ (clasa a III-a)
Obiectivele testului de evaluare inițială:
O1-să transforme înmulțirile date în adunări repetate, aplicând comutativitatea pentru ușurarea calculului(dacă este necesar);
O2-să găsească produsele perechilor de numere naturale date, mai mici sau egale cu 10;
O3-să identifice operațiile corespunzătoare relațiilor matematice: „de n ori mai mare”, „cu n mai mare”, „cu n mai mic”, regăsite în cele trei probleme simple;
O4-să completeze factorul necunoscut în înmulțire cu doi factori sau trei factori;
O5-să rezolve o problemă cu trei operații după un algoritm cunoscut și să sintetizeze rezolvarea unei probleme într-o expresie numerică;
O6-să compună o problemă după o operație de înmulțire.
Itemii testului de evaluare inițială:
1.Calculați prin adunare repetată, pe calea cea mai simplă:
1×6= 9×2= 1×7= 8×1= 2×3=
2.Completați tabelul cu produsul potrivit:
3. a)Ileana are 8 ani, iarfratele are de 2 ori mai mult. Câți ani are fratele?
b) Maricica are 8 ani, iar sora ei Claudia cu 2 ani mai mult. Câți ani are Claudia?
c)Mama are 32 de ani, iar Ionela are cu 2 ani mai puțin. Câți ani are Ionela?
4.Completați cu factorul necunoscut:
6×□=12 4×2×□=8
□×7=14 3×□×□=6
5.La un magazin s-au adus 2 cutii a câte 9 pachete napolitane fiecare și 2 cutii a câte 8 ciocolate fiecare. Câte dulciuri s-au adus? Scrie rezolvarea sub forma unei expresii matematice.
6.Compune o problemă după exercițiul: 2×7.
Descriptori de performanță:
TEST DE EVALUARE FINALĂ (clasa a III-a)
Obiectivele testului de evaluare finală:
O1-să transforme înmulțirile date în adunări repetate, aplicând comutativitatea pentru ușurarea calculului(dacă este necesar);
O2-să găsească produsele perechilor de numere naturale date, mai mici sau egale cu 10;
O3-să identifice operațiile corespunzătoare relațiilor matematice: „de n ori mai mare”, „cu n mai mare”, „cu n mai mic”, regăsite în cele trei probleme simple;
O4-să completeze factorul necunoscut în înmulțire cu doi factori sau trei factori;
O5-să rezolve o problemă cu trei operații după un algoritm cunoscut și să sintetizeze rezolvarea unei probleme într-o expresie numerică;
O6-să compună o problemă după o operație de înmulțire.
Itemii testului de evaluare finală:
1.Calculați prin adunare repetată, pe calea cea mai simplă:
4×6= 9×3= 0×7= 8×1= 243×3=
2.Completați tabelul cu produsul potrivit:
3. a)Anuța are 8 ani, iar tata are de 5 ori mai mult. Câți ani are tata?
b) Anuța are 8 ani, iar sora ei Maria cu 5 ani mai mult. Câți ani are Maria?
c)Mama are 32 de ani, iar Gina are cu 7 ani mai puțin. Câți ani are Gina?
4.Completați cu factorul necunoscut:
6×□=12 4×2×□=80
□×7=42 3×□×□=48
5.La o librărie s-au adus 3 pachete a câte 9 caiete de matematică fiecare și 2 pachete a câte 8 caiete de matematică fiecare. Câte caiete s-au adus? Scrie rezolvarea sub forma unei expresii matematice.
6.Compune o problemă după exercițiul: 6×9.
Descriptori de performanță:
FIȘĂ DE RECUPERARE (clasa a III-a)
Obiectivele fișei:
-să găsească produsele perechilor de numere naturale date, mai mici sau egale cu 10, folosindu-se de adunarea repetată;
-să identifice corect operația de înmulțire corespunzătoare relației „ de n ori mai mare”:
– să rezolve corect o problemă după un algoritm dat.
ȚINE MINTE!
Am ajuns la operația de înmulțire adunând de mai multe ori un termen:
5+5+5+5+5+5=30
6×5=30
Află numărul de 4 ori mai mare decât 8.
Află numărul de 7 ori mai mare decât 9.
Află produsul numerelor: 5 și 9, 6 și 3, 8 și 4, 7 și 9.
Ionel are 10 capre. Câte picioare au cele 10 capre?
Bravo!
FIȘĂ DE DEZVOLTARE ( clasa a III-a)
Obiectivele testului:
– să găsească produsele perechilor de numere naturale date, mai mici sau egale cu 10;
-să identifice corect operațiile corespunzătoare relaților „ de n ori mai mare”, „suma numerelor”, „înseșitul numerelor”;
– să rezolve corect o problemă în două moduri, cu plan de idei și folosindu-se de proprietățile înmulțirii.
1.Efectuați:
9×6= 7×8=
9×3= 7×5=
8×4= 9×8=
6×9= 9×10=
7×6= 8×8=
2.Aflați numerele de 5 ori mai mari decât suma numerelor: 2 și 4, 6 și 2, 3 și 7.
3.Aflați înseșitul numerelor 8, 7, 9, 5.
3.Într-un coș sunt 8 mere și 2 nuci. Câtr fructe sunt în 8 coșuri de același fel?
(rezolvă problema în două moduri și cu plan de idei)
PROBLEME DISTRACTIVE
1.Coșul cu mere
Trei tineri mergând la târg, cumpără un coș cu mere. Neputând să-l poarte cu ei, se gândesc să-l pună undeva prin apropiere și la înapoiere să împartă merele. Zis și făcut. Găsesc o tufă și-l dosesc acolo. Unul dintre tineri, terminându-și treaba înaintea celorlalți se abate pe la coșul de mere, face trei părți egale, luându-și partea lui, pleacă acasă.
După aceea, revin toți și făcând haz pe seama celor întâmplate, se hotărăsc prietenește și fără părere de rău să împartă încă o dată ceea ce a rămas, fiecăruia revenindu-i 8 mere. Câte mere au fost în coș?
2.Aniversarea bunicii
Mircea a venit pe la prietenul său Alin.
-De ce n-ai venit ieri pe la noi? Îl întreabă Alin.
-Ieri, bunica mea și-a sărbătorit ziua de naștere.
-N-am știut. Dar câți ani are bunica ta?
Mircea răspunde:
-Bunica mea zice că în viața ei nu i s-a întâmplat vreodată să nu-și serbeze ziua de naștere. Ieri, și-a sărbătorit această zi pentru a cincisprezecea oară. Iată, socotește și tu câți ani are bunica!
Încercați să răspundeți la această întrebare și gândiți-vă la ce dată și în ce lună a avut loc convorbirea dintre cei doi prieteni?
3.Tabla înmulțirii pe degete
Puneți mâinile amândouă pe masă. Cele 10 degete pot servi drept mașină de socotit. Începeți să socotiți de la dreapta la stânga. În acest joc se poate face numai înmulțirea cu 9.
Avem de înmulțit, să zicem, 4 cu 9. Al patrulea deget va da rezultatul: la dreapta lui sunt trei degete, la stânga 6. Citim 36, adică 4×9=36.
Cât face 9×9=?
Al nouălea deget are la dreapta lui 8 degete, iar la stânga lui un deget. Prin urmare 9×9=81.
Cât face 6×9=?
Al șaselea deget are la dreapta lui 5 degete, iar la stânga 4. Așadar 6×9=54.
Și așa mai departe.
4.Cum să ghicim vârsta cuiva?
Cerem persoanei căreia vrem să-i ghicim vârsta să scrie dublul numărului lunii de naștere (adică 2 pentru ianuarie, 4 pentru februarie, 6 pentru martie,etc.). Îi spunem apoi ca această cifră s-o adune cu 5 și totul să-l înmulțească cu 50. La acest produs să adauge vârsta sa și să facă adunarea. Din rezultat să scadă 365 (zilele unui an).
Cereți să vă spună rezultatul. Adăugați la acest număr 115. Din cele trei cifre ale totalului obținut: prima ne arată luna (a câta din an), celelalte două ne arată vârsta persoanei.
5.Un elev pentru rezolvarea unei probleme, trebuie să înmulțească un număr oarecare cu 3 și să adune cu 4 la rezultat. În loc de această operație, el a înmulțit numărul cu 4 și a adunat cu 3 la rezultat. Fără a ține seama de aceasta, el a obținut rezultatul corect. Peste ce număr a dat el în problemă?
6.Alege o cifră de la 1 la 10. Adaugă la această cifră 29. Taie ultima cifră din suma obținută. Numărul rămas înmulțește-l cu 10. Mai adaugă 4. Suma obținută, înmulțește-o cu 3. Din rezultat scade 2. Ai obținut 100?
7.Cornel fiind întrebat de colegii lui ce număr are blocul său, răspunde:
a) este un număr format din trei cifre;
b)prima cifră este întreitul celei de-a treia cifră și de două ori mai mică decât a doua;
c)suma cifrelor este 10.
Care este numărul blocului?
8.Un băiat are tot atâtea surori și frați, dar sora lui are de două ori mai puține surori decât frați. Câți frați și câte surori sunt?
9.Un număr se termină cu 2. Dacă se transcrie ultima cifră din partea dreaptă la cea stângă, atunci numărul se mărește de două ori. Să se afle acel număr.
10.Anton are tot atâtea surori cât și frați. Barbu are de două ori mai multe surori decât frați. În familia altui băiat, Cornel, sunt tot atâtea fete cât băieți. Câți copii sunt în fiecare familie, știind că în total sunt numai două fetițe?
BIBLIOGRAFIE
1.Aramis, ,,Culegere de exerciții și probleme pentru clasele primare”, București, 2004;
2.Cerghit, I., „Metode de învățământ-Ed.a IV-a revizuită și adăugită”, Editura Polirom, Iași, 2006;
3.Cerghit, I., Popescu,E., Radu, T., Vlăsceanu, L., „Didactica-manual pentru școlile normale, clasa a X-a”, Editura Didactica și Pedagogică, București,1994;
4.Cristici, V., Cojocaru, I., Arghirescu,A, „ Matematică, manual pentru clasa a III-a”, Editura Petrion, București, 2005;
5.Dănilă, I., Gălățeanu, M., Predoi, P., „ Îndrumătorul învățătorului”, Editura All, București, 2001;
6.Domnițeanu, P., „ Didactica matematicii în învățământul primar”, Editura Geneze, Galați, 2002;
7.Drugan, Gh., Ghica, I., Moroti, C., Giurgiu M., „ Matematică, exerciții și probleme, clasa a V-a”, semestrul I și semestrul II, Editura Meteor Publishing, 2011;
8.Ghereta, V., Voicilă, J., Mindruleanu, L., „Metode și tehnici de rezolvare a problemelor de aritmetică, clasele I-IV”, Editura Sibila, Craiova, 1994;
9.Ionescu, M., Radu, I., „Didactica modernă”, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 2001;
10.Ioniță, C., „Utilizarea metodelor moderne în însușirea cunoștințelor matematice în ciclul primar”, Editura Sfântul Ierarh Nicolae, Iași, 2005, 2002;
11.Murariu, M., „Metodica predării matematicii”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1974;
12.Manolescu, M., Constantinescu, M., M., Gorcinski, G., „Proiectare și evaluare didactică în învățământul primar”, Editura Steaua Procion, București, 1997,
13.Neacșu, I., „Metodica predării matematicii la clasele I-IV”, Editura Didactica și Pedagogică, București, 1988;
14.Neacșu, I., Gălățeanu, M., Predoi, P., „ Didactica matematicii în ciclul primar”, Editura Aius, Craiova, 2001;
15.Neagu, M., Mocanu, M., „Metodica predării matematicii în ciclul primar”, Editura Polirom, Iași, 2007;
16.Neveanu, P., P.,,Zlate, M., Crețu, T., „Psihologie, manual pentru clasa a X-a, școli normale”,Editura Didactică și Pedagogică, București, 1995;
17.Oprescu, N., „Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1974;
18.Păiși Lăzărescu, M., Tudor, L., Stan, M., „A deveni și a fi educator”, Editura Universității din Pitești,Pitești, 2009;
19.Pârâială, D., Pârâială,V., Pârâială, C, „Aritmetica –ediția a V-a revizuită”, Editura Euristica, Iași, 2000;
20.Radovici, P., M., Deaconu, L., Dinuță, N., „Metodica predării-învățării matematicii în ciclul primar”, ediția a doua revizuită, Editura Universității din Pitești, Pitești, 2007;
21.Roșu, M., Roman, M., „Matematică pentru perfecționarea învățătorilor”,Editura All, Educational, București, 2001;
22.Rusu, E., „Psihologia activității matematice”, Editura Științifică, București, 1969;
23.Udrea, T., Nițescu, D., „Manual pentru clasa a VI-a, algebră”, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București;
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Aspecte ale Predarii Invatarii Evaluarii Operatiei Aritmetice de Inmultire a Numerelor Naturale (ID: 158670)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.