Asamblarea Referatului 2 2 [311134]

Cuprins

ROBOTUL PARALEL PLANAR PRRRP

Descrierea si parametrizarea robotului paralel planar PRRRP

Rezolvarea problemei cinematice inverse (IKP)

Rezolvarea problemei cinematice directe (DKP)

Determinarea matricei Jacobi J

Configurațiile singulare ale robotului paralel planar PRRRP

Spațiul de lucru al robotului paralel planar PRRRP

Determinarea spațiului de lucru

Limitări ale spațiului de lucru

ROBOTUL PARALEL DELTA CU MOTOARE DE ROTATIE

Descrierea si parametrizarea structurii robotului paralel Delta

Rezolvarea problemei cinematice inverse (IKP)

Rezolvarea problemei cinematice directe (DKP)

Determinarea matricei Jacobi J

[anonimizat]-un spațiu de lucru plan [Mer97]. Acesta folosește doi actuatori de translație pentru deplasarea efectorului final. Ȋn următoarea secțiune este descrisă geometric structura acestui robot paralel. S-au ales o serie de notații pentru structura acestui robot și de asemenea pentru ușurarea calculelor. [anonimizat]. Structura de baza a acestui robot paralel planar este reprezentata în figura 1.1 următoare:

Fig. 1.1 Robotul paralel planar PRRRP

Aceasta structura are în componenta doi actuatori de translație. Robotul este format din două lanțuri cinematice planare care sunt legate între ele printr-o cupla de rotație pe care se poate monta și un gripper. Actuatorii liniari sunt poziționați paralel unu fata de celalalt și acționează pe axa x a sistemului de coordonate. Robotul este alcătuit din două cuple active (cele liniare de translatie) [anonimizat]. [anonimizat].

[anonimizat];

– numărul de elemente ale robotului;

– cuplele de clasa a 5-a.

Din moment ce gradul de mobilitate al acestui robot este doi vom avea nevoie de un număr de două motoare pentru a controla mișcările acestui robot. Poziția efectorului final C față de sistemul de coordonate fix dat este descris de coordonatele și de .

Fig. 1.2. [anonimizat]

Ȋn urma calculului realizat pentru determinarea ecuațiilor problemei cinematice au rezultat două variante de poziționare a electorului final. Una dintre acestea se afla în partea pozitivă a coordonatei y, iar cea de-a doua se afla în partea pozitivă a coordonatei y. Pentru calculele ulterioare vom folosi varianta în care efectorul final este poziționat în partea pozitiva a coordonatei. Ȋn figura 1.2. este prezentata poziția efectorului final atât în partea pozitivă a coordonatei y cât și în partea negativă (structură punctată).

Ȋn figura 1.3. este prezentat modelul structurii robotului paralel plan PRRRP cu doua grade de libertate.

Fig. 1.3. Robot paralel planar cu 2 grade de mobilitate de tip PRRRP

După cum se poate observa lungimile brațelor robotului au fost notate cu și , unde . Punctele A și E pe această schiță reprezintă actuatorii liniari care acționează pe axa de coordonată . Trebuie menționat faptul că deșii pe această schiță apare doar un actuator liniar în realitate sunt doi actuatori liniari care sunt poziționați paralel unul fată de celalalt la o distanță stabilită. Cuplele pasive , sunt cuple de clasa a 5-a și sunt cuple de rotație. Cupla reprezintă de asemenea și efectorul final al acestei structuri paralele planare. Pentru a se ajunge la un raport convenabil între spațiul de construcție și spațiul de lucru, cuplele active sunt ordonate paralel una față de cealaltă. reprezintă lungimea deplasării primului actuator liniar pe axa de coordonată , iar este lungimea deplasării celui de-al doilea actuator liniar pe aceeași axă de coordonată . Aceste lungimi ale curselor actuatorilor se calculează față de punctul de 0 care reprezintă și capătul cursei acestora. este parametrul de construcție care reprezintă lungimea totală a cursei actuatorilor.

Tabelul 1.1: Parametrii de construcție

Pentru acest robot paralel planar de tip PRRRP s-a realizat și modelul CAD care este prezentat în figura următoare [Mer98]:

Fig. 1.4. Modelul CAD al robotului paralel cu doua grade de mobilitate PRRRP

Rezolvarea problemei cinematice inverse

Problema cinematica inversa consta în determinarea valorilor parametrilor și care reprezintă cursa actuatorilor liniari față de capătul cursei care reprezintă punctul de 0 a sistemului de coordonate. Aceste două valori ale parametrilor se vor calcula în funcție de poziția efectorului final sau a punctului caracteristic care este punctul de coordonate care vor furniza și valorile pentru calculul problemei cinematice inverse [Sze09], [Sze09b]. Pentru robotul prezentat soluția problemei geometrice inverse este rezolvabilă analitic și sub forma explicita. Aceasta proprietate este avantajoasa pentru controlul robotului deoarece calculele numerice iterative nu mai sunt necesare. De aceea timpul poate fi minimalizat pentru o mai buna performanță a controlului robotului. Pentru rezolvarea problemei cinematice inverse se va folosi metoda bazată pe obținerea ecuațiilor de intrare – ieșire ale robotului, adică a coordonatelor generalizate ale efectorului final notat cu de coordonate și și valorilor parametrilor și . După introducerea coordonatelor efectorului final și cu ajutorul ecuațiilor se determină valorile lui și .

Din

(1.1)

(1.2)

Rezultă:

(1.3)

(1.4)

Relațiile (1.3) și (1.4) reprezintă soluțiile analitice ale problemei cinematice inverse ale robotului paralel planar PRRRP. După cum se poate observa există câte două soluții pentru fiecare parametru și . Cele două soluții corespund cu cele două moduri de funcționare ale robotului [Hes02a], [Hes04], adică robotul poate funcționa în partea pozitivă a axei de coordonată sau în partea negativă. Vom alege ecuațiile în așa fel încât robotul să opereze în partea pozitivă a axei [Sta09], [Sta09b].

Pe baza modelului matematic de calcul în varianta prezentată, corespunzător robotului paralel planar PRRRP, se prezintă în continuare etapele necesare rezolvării problemei cinematice inverse a robotului, cu ajutorul calculatorului și care în ordinea logică a desfășurării lor se constituie în algoritmi ușor de programat, conducând în final la obținerea rapidă a soluțiilor. Etapele algoritmului sunt prezentate împreuna cu relațiile necesare în următorul tabel [Sta08], [Sta08b], [Sta08c].

Tabelul 1.2: Algoritmul de calcul al problemei cinematice inverse pentru robotul paralel planar PRRRP

Pentru rezolvarea problemei cinematice inverse a fost realizată o interfață grafică foarte utilă și ușor de utilizat în mediul de programare MATLAB. Această interfață rezolvă numeric problema cinematică inversă cu ajutorul calculatorului, cu scopul determinării valorice a parametrilor și ai robotului în functie de diferite valori ale coordonatelor generalizate ale efectorului final xc, yc și parametrii geometrici și constructivi ai robotului, cu posibilitatea schimbării datelor de intrare interactiv și reținerii lor, pe baza algoritmului de calcul prezentat.

Fig. 1.5. Interfața grafică pentru rezolvarea problemei cinematice inverse

pentru robotul paralel planar PRRRP

Ȋn scopul determinării principalelor caracteristici ale robotului paralel planar PRRRP studiat, s-a rulat un număr de date cu acest program, din care o parte se prezintă în continuare. Pentru robotul PRRRP având următoarea configurație geometrico-constructiva , ;

Se exemplifică în tabelul 1.3 o parte din rezultatele soluționării numerice a problemei geometrice inverse.

Tabelul 1.3: Soluții numerice ale problemei cinematice inverse pentru robotul PRRRP

Ȋn cele ce urmează se prezintă câteva exemple de configurații ale robotului paralel planar cu două grade de mobilitate PRRRP. Valorile coordonatelor și sunt deplasari ale actuatorilor liniari față de punctul de origine . Coordonatele efectorului final sunt – coordonate carteziene ale punctului în raport cu sistemul fix de coordonate . Prin variația coordonatelor , se poate poziționa actuatorii liniari în funcție de fazele operației de manipulare.

Fig. 1.6. Configurația robotului paralel PRRRP pentru

Fig. 1.7. Configurația robotului paralel PRRRP pentru

Rezolvarea problemei cinematice directe

Rezolvarea problemei cinematice directă a robotului paralel planar PRRRP va fi realizată în acest subcapitol. Problema cinematică directă constă în determinarea poziției efectorului final, respectiv a coordonatelor generalizate ale acestuia: și , atunci când se cunosc valorile parametrilor și [Sze09], [Sze09b].

După introducerea valorilor parametrilor și se determina coordonatele efectorului final și din rezolvarea problemei cinematice directe [Hes02b], [Hel03]:

(1.5)

(1.6)

Pe baza modelului matematic prezentat mai sus, corespunzător robotului PRRRP, vor fi prezentate în continuare etapele necesare rezolvării problemei cinematice directe a robotului, cu ajutorul calculatorului și care în ordinea logica a desfășurării lor se constituie în algoritmi ușor de programat, conducând în final la obținerea rapidă a soluțiilor.

Etapele algoritmului sunt prezentate sintetic împreună cu relațiile necesare în tabelul 1.4.

Tabelul 1.4: Algoritm de calcul al problemei cinematice directe pentru robotul paralel planar PRRRP

Pentru rezolvarea problemei cinematice directe a fost conceputa și realizata o interfață grafică în MATLAB care este utilă și ușor de utilizat (figura 1.6.).

Fig. 1.8. Interfață grafică interactivă pentru rezolvarea problemei cinematice directe

pentru robotul paralel planar PRRRP

Această interfață grafică rezolvă numeric problema cinematică directă cu ajutorul calculatorului, cu scopul determinării valorilor coordonatelor efectorului final și ale robotului în funcție de diferitele valori ale coordonatelor și și parametrii geometrici constructivi ai robotului, cu posibilitatea schimbării datelor de intrare, pe baza algoritmului de calcul prezentat. De asemenea în cadrul aceleiași interfețe grafice a fost integrat și un display pe care se poate monitoriza poziția efectorului final în funcție de datele de intrare introduse și în funcție de calculele realizate de program. După cum se poate observa se pot modifica lungimile brațelor cât și lungimea cursei pe care acționează actuatorii. Ȋn colțul din dreapta jos este calculată și matricea Jacobi pentru această structură și pentru valorile introduse și rezultate.

Pentru robotul paralel planar PRRRP având următoarea configurație geometrico – constructiva sau , , se exemplifică în tabelul 1.5 o parte din rezultatele soluționării numerice a problemei cinematice directe.

Tabelul 1.5: Soluții numerice ale problemei cinematice directe pentru robotul paralel planar PRRRP

Ȋn cele ce urmează se prezintă câteva exemple de configurații ale robotului paralel planar cu două grade de mobilitate PRRRP. Valorile coordonatelor și sunt deplasări ale actuatorilor liniari fata de punctul de origine . Coordonatele efectorului final sunt – coordonate carteziene ale punctului în raport cu sistemul fix de coordonate . Prin variația coordonatelor și , se poate poziționa obiectul manipulat în funcție de fazele operației de manipulare.

Fig. 1.9. Configurația robotului paralel PRRRP pentru

Fig. 1.10. Configurația robotului paralel PRRRP pentru

Determinarea matricei Jacobi J

Există două soluții pentru fiecare lanț cinematic în total fiind patru soluții. Coordonatele efectorului final, , sunt componentele vectorului în planul , iar cursa actuatorilor reprezintă componentele vectorului . Componentele ambilor vectori pot fi cuplate în funcție de închiderea lanțului cinematic după cum urmeaza:

(1.7)

(1.8)

Se va deriva ecuația (1.8) în funcție de timp, iar acest lucru oferă găsirea matricelor A și B (B ca și matrice diagonală). Din aceste două matrice se va obține ulterior matricea Jacobi J. De asemenea matricea Jacobi J este și matricea de transfer cinematic pentru soluția problemei cinematice directe [Hes02]:

(1.9)

Realizarea transferului de putere de la actuatorii liniari la efectorul final se face cu ajutorul altei matrice, matricea Jacobi G, numită și matricea de transfer a puterii [Hes02]:

(1.10)

Matricele Jacobi A și B:

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

Configurații singulare ale robotului paralel PRRRP

Deoarece configurațiile singulare conduc la pierderea controlabilității și degradării rigidității robotului, este necesară determinarea și evitarea lor. Se poate observa că structura robotului paralel PRRRP este una destul de simplă. Având parte de o asemenea structură simplă, determinarea singularităților se realizează relativ ușor. Ȋn cazul acestui tip de structură întâlnim cele două singularități prezentate mai jos în figura 1.11. Robotul intră în singularitate la marginea spațiului de lucru așa cum poate fi observat din figura 1.11. Ȋn prima imagine este prezentat exemplul în care ambele elemente sunt poziționate vertical moment în care punctul efectorului final poate pendula stânga – dreapta. Pentru a se evita acest lucru se poate monta un senzor care să nu permită actuatorilor să ajungă în poziție colineară unul față de celalalt. Ca și consecință a montării acestui senzor spațiul de lucru al acestui robot va avea de suferit în sensul că va fi micșorat.

b)

Fig. 1.11. Configurațiile singulare ale robotului paralel cu două grade de libertate PRRRP

Ȋn a doua imagine este prezentat exemplul în care cele două brațe sunt poziționate orizontal unul în prelungirea celuilalt, astfel efectorul final va ajunge în zona inferioară a spațiului de lucru, punct în care robotul va intra în singularitate. Din această singularitate efectorul final va avea tendința de a urca sau a coborî spre actuatorii de translație. După cum se poate observa în figura 1.11 b) forțând unul dintre actuatorii liniari să iasă de pe capătul de cursa s-a încercat poziționarea lui în punctul de singularitate. S-a găsit și rezolvarea pentru ca structura sa nu mai intre în singularitate. Astfel cursa actuatorilor trebuie sa fie mai mică decât dublul lungimilor brațelor.

Spațiul de lucru al robotului paralel planar PRRRP

Determinarea spațiului de lucru

Aria spațiului de lucru este o caracteristică foarte importantă care trebuie luată în considerare în momentul în care se dorește proiectarea dimensionala a unui robot. Este crucială calcularea cu precizie a spațiului de lucru și graniței acestuia, deoarece acest lucru influențează proiectarea dimensională a robotului, poziționarea lui în mediul de lucru și dexteritatea de a executa sarcinile de lucru. Se pune problema determinării spațiului de lucru al robotului paralel planar PRRRP. Ȋn contextul unei aplicații industriale este foarte importantă forma și mărimea spațiului de lucru. Spațiul de lucru este de asemenea limitat de către cursa actuatorilor și a cuplelor, apariția singularităților și a coliziunilor dintre elemente și platforma mobila. După cum se poate remarca, acest robot paralel planar PRRRP poate realiza un spațiu de lucru destul de vast. Vizualizarea și analiza spațiului de lucru reprezintă un aspect important al analizei performanțelor robotului paralel planar PRRRP [Mer97b].

Ȋn cele ce urmează este prezentată o metodă de determinare a formei și mărimii spațiului de lucru pentru un robot paralel planar cu două grade de mobilitate de tipul PRRRP. Pentru aceasta s-a realizat o interfață grafică în mediul GUI a programului Matlab, interfață care poate sa determine acest spațiu de lucru.

Fig. 1.12. Interfață grafică pentru calculul spațiului de lucru pentru un robot

paralel planar cu 2 grade de mobilitate de tipul PRRRP

Ȋn continuare sunt prezentate două figuri care reprezintă spațiul de lucru al robotului luând în considerare faptul că valorile parametrilor cursei actuatorilor au a fost modificate.

Fig. 1.13. Spațiul de lucru al robotului paralel planar PRRRP pentru

diferite valori ale actuatorilor liniari

Fig. 1.14. Spațiul de lucru al robotului paralel planar PRRRP pentru

diferite valori ale actuatorilor liniari

Limitări ale spațiului de lucru

Spațiul de lucru al robotului paralel planar cu 2 grade de mobilitate PRRRP utilizând actuatori de translație este dependent de următorii factori:

Lungimile minime și maxime ale cursei actuatorilor.

Limitări datorită domeniului de acționare a cuplelor.

Fig. 1.15. Limitele spatiului de lucru al robotului paralel planar PRRRP

ROBOTUL PARALEL DELTA CU MOTOARE DE ROTAȚIE

Ȋn acest capitol se prezintă optimizarea robotului paralel Delta cu motoare de rotație prin determinarea influenței parametrilor geometrici asupra performantelor lui utilizând programul Matlab. Obiectivul acestei parți este să propună o metodă de optimizare pentru robotul paralel Delta ce combina criteriile de evaluare a performanțelor cu următoarele caracteristici ale robotului.

Descrierea și parametrizarea structurii robotului paralel Delta

Robotul paralel Delta sau 3RRR utilizează trei motoare de rotație. Această structură conține trei lanțuri cinematice identice ȋntre platforma fixă, aflată în partea superioară, și platforma mobilă aflată în partea inferioară a robotului. Structura are trei grade de mobilitate în spațiul de lucru. În cazul acestui robot platforma mobilă, cât și platforma fixă vor rămâne paralele cu solul [Mer97].

Acest robot paralel asigură viteză, precizie mare și rigiditate sporită datorită caracteristicilor date de structura lui. Aceștia sunt larg răspândiți în industrie și sunt superiori în termeni de cost, fiabilitate și întreținere. De asemenea spațiul ocupat de acest robot este unul destul de restrâns în comparație cu alte structuri robotizate. Un alt avantaj oferit de această structură este faptul că domeniul de mișcare al platformei mobile se află în interiorul cadrului ocupat de robot, oferind o siguranță sporită celor care lucrează cu robotul și în preajma acestuia.

Alegerea motoarelor pentru robotul paralel Delta – exista două posibilități de alegere a motoarelor pentru aceasta structura. Daca dorim ca robotul să aibă o viteza foarte mare de execuție a comenzilor, atunci se vor alege motoare de rotație cu un reductor cu rata de reducție mică, dar vom pierde din precizia robotului. Dacă se vor alege motoare de rotație cu un reductor cu rata de reducție mare atunci vom pierde din viteza de execuție a comenzilor date către robot dar vom câștiga la capitolul precizie.

Ȋn următorul tabelul 2.1 vor fi prezentați parametrii de construcție:

Tabelul 2.1: Parametrii de construcție ai robotului Delta

Parametrizarea acestei structuri va fi prezentată în figura 2.1.

a)

b)

c)

Fig. 2.1. Parametrii geometrici ai structurii robotului paralel Delta a), b) și c)

Modelul CAD al robotului paralel DELTA realizat în Solid Works este prezentat în figura 2.2. și în figura 2.3 [Mer98]. Pe aceste structuri nu au fost puse motoare de rotație tocmai pentru a facilita o vizibilitate cât mai bună asupra structurii în sine. Astfel în figura 2.2. este prezentată o structură care are în componență cuple de rotație, iar în figura 2.3. este prezentată o structură care are în componență cuple sferice. Ambele modele sunt folosite în industrie, cea care are în componență cuple sferice, fiind cea mai uzitată dintre cele două structuri.

Fig. 2.2. Robot Delta – Variantă cuple de rotație

Fig. 2.3. Robot Delta – Variantă cuple sferice

Rezolvarea problemei cinematice inverse (IKP)

Problema cinematica inversa, prezentată și sub formă de schiță în figura 2.4, constă în determinarea valorilor unghiurilor , atunci când se cunoaște poziția punctului caracteristic sau a efectorului final (TCP – tool centre point), respectiv coordonatele generalizate ale acestuia: , , [Sze09], [Sze09b], [Sze11].

Fig. 2.4. Problema cinematică inversa folosește poziția efectorului final pentru determinarea valorilor unghiurilor

Pentru rezolvarea problemei cinematice inverse se prezintă metoda bazată pe obținerea ecuațiilor de intrare – ieșire ale robotului, adică a relațiilor dintre unghiurile brațelor motoare și platforma fixa și coordonatele generalizate ale obiectului manipulat , , [Com00], [Sta03].

Există mai multe poziții în care se pot găsi brațele motoare ale robotului Delta asta în funcție de semnul + sau – folosit în ecuațiile problemei cinematice inverse. În figura 2.5. sunt prezentate cele opt soluții ale problemei cinematice inverse pentru robotul paralel Delta.

Fig. 2.5. Cele opt soluții ale problemei cinematice inverse pentru robotul paralel Delta

Pentru calculul unghiului vom folosi următoarele ecuații:

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Variabilele , și vor fi introduse în ecuația finală care va calcula unghiul , unghiul primului brat motor. Vom avea două soluții în cazul unghiului :

(2.4)

(2.5)

Fig. 2.6. Prezentarea celor două soluții ale ecuațiilor (2.4) și (2.5)

După cum se poate observa sunt admise două soluții pentru cele 2 poziții posibile ale brațului motor. Dintre cele două soluții vom alege prima variantă, deoarece cu aceasta vom obține unghiul dorit. Aceeași procedură se va realiza și pentru calculul următoarelor 2 unghiuri [Mcc10].

Ȋn concluzie, ecuațiile reprezintă soluțiile analitice ale modelului geometric invers al robotului Delta cu motoare de rotație [Sta09], [Sta09b].

Pe baza modelului matematic de calcul în varianta prezentată, corespunzător robotului Delta cu motoare de rotație, se prezintă în continuare etapele necesare rezolvării modelului geometric invers al robotului, cu ajutorul calculatorului și care în ordinea logică a desfășurării lor se constituie în algoritmi ușor de programat, conducând în final la obținerea soluțiilor[Sta08], [Sta08b], [Sta08c].

Tabelul următor prezintă algoritmul de calcul al problemei cinematice inverse pentru robotul Delta cu motoare de rotație:

Tabelul 2.2: Algoritm de calcul al problemei cinematice inverse pentru robotul paralel Delta cu motoare de rotație

Mai departe vor fi prezentate o parte din liniile de program folosite pentru realizarea interfeței grafice care va calcula problema cinematică inversă, mai exact ecuațiile necesare calculului. Această interfață grafică este realizată în Matlab și poate calcula cu ușurința problema cinematică inversă.

% Motor1

a1 = x^2 + y^2 + z^2 + 2*y*l/sqrt(3) – 2*y*L/sqrt(3) + l^2/3 – 2*l*L/3 + L^2/3 + l1^2 – l2^2 ;

b1 = 2*y*l1 + 2*l*l1/sqrt(3) – 2*l1*L/sqrt(3) ;

c1 = 2*z*l1 ;

% Select Configuration

q1 = -atan2(c1,b1) + acos(a1/sqrt(b1^2+c1^2)) ; % Upper Configuration

%q1 = atan2(c1,b1) – acos(a1/sqrt(b1^2+c1^2)) ; % Lower Configuration

% Motor2

a2 = x^2 + y^2 + z^2 + x*l – x*L – y*l/sqrt(3) + y*L/sqrt(3) + l^2/3 – 2*l*L/3 + L^2/3 + l1^2 – l2^2 ;

b2 = sqrt(3)*x*l1 + 2*l*l1/sqrt(3) – 2*L*l1/sqrt(3) – y*l1 ;

c2 = 2*z*l1 ;

% Select Configuration

q2 = -atan2(c2,b2) + acos(a2/sqrt(b2^2+c2^2)) ; % Upper Configuration

%q2 = atan2(c2,b2) – acos(a2/sqrt(b2^2+c2^2)) ; % Lower Configuration

% Motor3

a3 = x^2 + y^2 +z^2 – x*l + x*L – y*l/sqrt(3) + y*L/sqrt(3) + l^2/3 – 2*l*L/3 + L^2/3 + l1^2 – l2^2 ;

b3 = – sqrt(3)*x*l1 – y*l1 + 2*l*l1/sqrt(3) – 2*L*l1/sqrt(3) ;

c3 = 2*z*l1 ;

% Select Configuration

q3 = -atan2(c3,b3) + acos(a3/sqrt(b3^2+c3^2)) ; % Upper Configuration

%q3 = atan2(c3,b3) – acos(a3/sqrt(b3^2+c3^2)) ; % Lower Configuration

Ȋn figura 2.7. este prezentată interfață realizată în Matlab pentru calculul problemei cinematice inverse [Sze11].

Fig. 2.7. Interfață grafică pentru calculul problemei cinematice inverse

Tabelul 2.3: Soluții numerice ale problemei cinematice inverse pentru robotul p

a)

b)

c)

Fig. 2.8. Interfețe grafice pentru calculul problemei cinematice inverse diverse valori ale parametrilor de intrare a), b) și c)

Ȋn figura 2.8. sunt prezentate interfețele grafice realizate în Matlab pentru rezolvarea problemei cinematice inverse, astfel fiecare interfață prezentată conține valori diferite ale parametrilor de intrare. Valorile introduse pot fi văzute în fiecare dintre aceste interfețe.

Rezolvarea problemei geometrice directe (DKP)

Problema geometrica directa, prezentată și sub formă de schiță ȋn figura 2.9, constă în determinarea poziției punctului caracteristic sau a efectorului final (TCP – tool center point), respectiv coordonatele generalizate ale acestuia, , , atunci când se cunosc coordonatele (variabilele) articulare ale robotului [Com00], [Sta03], [Sze09].

Fig. 2.9. Problema cinematică directă folosește valorile unghiurilor pentru determinarea poziției efectorului final

Rezolvarea problemei geometrice directe a acestui robot este prezentată în continuare. Indexul este folosit pentru a putea identifica cele 3 brațe ale robotului. Fiecare braț este poziționat față de celălalt la un unghi de , astfel , , .

Pentru calculul coordonatelor vom folosi urmatoarele ecuatii:

(2.6)

unde:

(2.7)

Etapele algoritmului de calcul sunt prezentate sintetic împreună cu relațiile necesare în tabelul următor:

Tabelul 2.4: Algoritm de calcul al problemei cinematice inverse pentru robotul paralel Delta cu motoare de rotație

Ȋn figura 2.10. este prezentată interfața realizată în Matlab pentru calculul problemei cinematice directe.

Fig. 2.10. Interfață grafică pentru calculul problemei cinematice directe

Tabelul 2.5: Soluții numerice ale problemei cinematice inverse pentru robotul paralel Delta

a)

b)

c)

Fig. 2.11. Interfețe grafice pentru calculul problemei cinematice directe diverse valori ale parametrilor de intrare a), b) și c)

Ȋn figura 2.11. sunt prezentate interfețele grafice realizate în Matlab pentru rezolvarea problemei cinematice directe, astfel fiecare interfață prezentată conține valori diferite ale parametrilor de intrare. Valorile introduse pot fi văzute în fiecare dintre aceste interfețe.

Determinarea matricei Jacobi J

Relația, pentru un robot paralel plan, intre coordonatele motoare și coordonatele operaționale (ale platformei mobile) poate fi reprezentata astfel:

(2.8)

Prin diferențierea acestei ecuații se obține ecuația cinematică sub forma:

(2.9)

unde

(2.10)

(2.11)

Pentru robotul paralel Delta cu motoare de rotație rezultă matricea Jacobi:

(2.12)

Spațiul de lucru al robotului paralel Delta

Caracteristici generale ale spațiului de lucru

Setul tuturor perechilor de poziție și orientare pe care efectorul final le poate atinge se numește spațiul de lucru al robotului. Spațiul de lucru mai poate fi catalogat ca și spațiul pentru care există soluții cinematice. Unul dintre cele mai importante criterii de evaluare al unui robot paralel este spațiul de lucru (cartezian). Spațiul de lucru cartezian este setul de configurații ce pot fi atinse de către efectorul final. Aceasta definiție care este luată de obicei în considerare totuși nu este suficientă pentru a evalua performantele reale ale robotului paralel din moment ce aceasta nu ia în considerare posibilitatea de a executa mișcări în intervalul spațiului de lucru cartezian.

Aceasta caracteristica are o importanta însemnată pentru roboții paraleli care sunt caracterizați în general de singularitățile interne care nu pot fi intersectate. Pot apărea și auto-coliziunile. Pe primul loc ca i importanța in cadrul evaluării performanțelor geometrice ale roboților paraleli este forma și mărimea spațiului de lucru [Mer97b].

Exista doua criterii de clasificare asupra studiilor referitoare la spațiul de lucru:

Determinarea spațiului de lucru al unui robot dat, procedeu care mai este denumit si analiza;

Producerea unui robot pentru un spațiu de lucru dorit denumit si sinteza.

Determinarea spațiului de lucru se realizează cel mai des folosind metoda discretizării spațiului de lucru. Aceasta metoda constă în discretizarea spațiului de lucru și verificarea condițiilor impuse de cinematica inversă și cinematica directă. Ȋn analiza și evaluarea roboților paraleli spațiul de lucru al acestora reprezintă un criteriu foarte important. Fără abilitatea de a rezolva spațiul de lucru este imposibil sa afirmi ca robotul poate îndeplini orice sarcina de lucru.

Spațiul de lucru cu orientare constanta reprezintă setul locațiilor platformei mobile ce poate fi atins atunci când orientarea sa este fixa. Spațiul de lucru de orientare poate fi considerat ca fiind setul posibilelor rotații in jurul unui punct de referință [Mer00].

Spațiul de lucru maximal sau spațiul de lucru ce poate fi atins este definit ca fiind setul locațiilor punctului caracteristic ce poate fi atins cu cel puțin o orientare a platformei. Este definit ca spațiul total de orientare setul locațiilor punctului caracteristic al efectorului final ce poate fi atins cu toate orientările dintr-un set definit de domeniul parametrilor de orientare. Setul locațiilor punctului caracteristic pentru care toate orientările sunt posibile se numește spațiul de lucru abil.

Vom prezenta in următoarele rânduri câteva criterii care determina spațiul de lucru:

Un rol important asupra volumului spațiului de lucru îl joaca limitele mecanice ale cuplelor pasive;

Un alt rol important îl are limitarea mecanica a cuplelor motoare;

Cubul cursei actuatorilor este în mare măsură proporțional cu volumul spațiului de lucru.

Tabelul 2.6: Clasificarea spațiului de lucru după Merlet [Mer98]

Caracteristici ale spațiului de lucru al roboților paraleli:

Forma și mărimea spațiului de lucru

Mobilitatea în spațiul de lucru

Singularități în spațiul de lucru [Tho99]

Determinarea spațiului de lucru al robotului paralel Delta

Pentru robotul paralel Delta cu motoare de rotație se pune problema determinării spațiului de lucru. Pentru determinarea formei și mărimii spațiului de lucru a fost concepută și realizată o interfață grafică interactivă în programul Matlab.

Pot fi apelate următoarele opțiuni:

Reprezentarea in 3D a spațiului de lucru cu posibilitatea rotirii, măririi sau micșorării acestuia, precum si alegerii unui unghi de vedere dorit

Se poate crea o secțiune a spațiului de lucru in funcție de axele de coordonate, astfel daca dorim sa vizualizam o secțiune a spațiului de lucru pe una din axele de coordonate () acest lucru este posibil folosind programul realizat în Matlab și care este prezentat în figurile de mai jos.

Ȋn figura 2.12 este prezentată interfața grafică care reprezintă determinarea spațiului de lucru a robotului paralel Delta [Com09]. După cum se poate observa, această interfață grafică poate genera spațiul de lucru al robotului paralel Delta folosind slider-ul situat sub acel cub. Ȋn funcție de zona de pe slider pe care vom da click vom putea determina o zonă de acțiune a efectorului final, zonă care poate fi foarte „comună” (daca vom da click în partea din dreapta a slider-ului unde se află culoare roșie) sau o zonă unde efectorul final ajunge mai rar (dacă vom da click în partea din stânga a slider-ului unde se află culoarea albastră). Zona „comună” cum am numit-o mai sus este zona din miezul spațiului de lucru o zonă prin care efectorul final trece de cele mai multe ori în acțiunea sa de a realiza comenzile impuse de operator. Zona în care efectorul final ajunge mai rar este zona din jurul zonei comune până în granița extremă a spațiului de lucru.

Culoarea slider-ului poate fi modificată din setările interfeței grafice astfel gradația culorilor poate satisface o paleta larga de culori oferind utilizatorul mai multe variante de expunere a spațiului de lucru.

Fig. 2.12. Interfață grafică pentru determinarea formei si mărimii spațiului de lucru al robotului paralel Delta cu motoare de rotație

Fig. 2.13. Interfață grafică pentru secționarea spațiului de lucru al

robotului Delta cu motoare de rotație

Ȋn figura 2.13 este prezentată interfața grafică pentru secționarea spațiului de lucru al robotului Delta, interfață care ilustrează un spațiu de lucru realizat doar din multiple secțiuni. După cum se poate observa s-au realizat mai multe click-uri pe cele trei slidere (cel din stânga care este responsabil cu secționarea pe axa , cel de sus care este responsabil cu secționarea pe axa și cel din dreapta care este responsabil de secțiunile realizate pe axa ).

Spațiul de lucru al robotului paralel Delta cu motoare de rotație este determinat de parametrii geometrici R, r, L, l, q1, q2, q3.

Exemplu: Analiza spațiului de lucru pentru robotul paralel Delta cu motoare de rotație

Se utilizează următoarele date de intrare:

Fig. 2.14. Secțiuni ale spațiului de lucru al robotului paralel Delta cu motoare de rotație, secțiune

Ȋn figura 2.14 este făcuta o secțiune a spațiului de lucru pe mijlocul axei x pentru a determina spațiul de lucru total vizibil de pe această axă. Mai departe în figura 2.15 este prezentată o secțiune realizată pe mijlocul axei a spațiului de lucru al robotului paralel Delta.

Fig. 2.15. Secțiuni ale spațiului de lucru al robotului paralel Delta cu motoare de rotație, secțiune

Fig. 2.16. Secțiuni ale spațiului de lucru al robotului paralel Delta cu motoare de rotație, secțiune

Figura 2.16 prezintă o secțiune a spațiului de lucru a robotului paralel Delta, realizată prin mijlocul axei z.

Fig. 2.17. Vedere 3D a spațiului de lucru al unui robot paralel Delta cu motoare de rotație

Ȋn figura 2.17 este prezentata o vedere 3D a spațiului de lucru al robotului paralel Delta. Aceasta interfață în care a fost generat acest spațiu de lucru permite utilizatorului sa rotească cubul care îngrădește spațiul de lucru în așa fel încât sa poată fi observat din toate unghiurile.

b)

c)

Fig. 2.18. Spațiul de lucru al unui robot paralel Delta cu motoare de rotație; a) vedere de sus, b) vedere dreapta, c) vedere stânga

Ȋn figura 2.18 sunt prezentate imaginile din subpunctele a), b) si c) care reprezintă vederi ale spațiului de lucru din anumite unghiuri propuse.

Constrângeri ale spațiului de lucru

Fig. 2.22. Clasificarea constrângerilor spațiului de lucru la roboții paraleli

Ȋn figura 2.22 este prezentată o clasificare a constrângerilor care apar într-o structură, constrângeri care influențează direct spațiul de lucru al roboților paraleli.

După cum se poate observa in modelele CAD realizate în figurile următoare robotul Delta intra în singularitate în ambele modele. Astfel in prima figura se poate observa ca în momentul în care efectorul final atinge valoarea maximă a coordonatei brațele motoare ale robotului vor fi congruente într-un punct imaginar în partea inferioara a platformei mobile. Ȋn momentul în care brațele motoare nu mai sunt perpendiculare pe baza și capetele lor se apropie de centrul structurii, structura intră în singularitate.

Fig. 2.23. Structura complet extinsa, adică coordonată z este la valoare maximă

Ȋn figura 2.24. este prezentat un alt caz în care structura robotului paralel Delta intra în singularitate. Ȋn momentul în care efectorul final atinge valoarea minima a coordonatei brațele motoare ale robotului vor intra in coliziune cu platforma fixa a structurii, iar motoarele se vor bloca.

Fig. 2.24. Structura complet comprimată, adică coordonata z este la valoare minimă

Limitări geometrice ale motoarelor și ale cuplelor cinematice

Limitele cursei motoarelor influențează esențial spațiul de lucru al roboților paraleli. De regula se transforma mișcarea de rotație a motorului în mișcare de translație cu ajutorul mecanismului șurub – piulița. Axele de translație sunt limitate constructiv având cursa minimă și maximă.

Alte elemente care influențează spațiul de lucru sunt cuplele cinematice. Fiecare cuplă are un domeniu limitat de acționare. Aceasta mărime este dependenta de forma constructivă a cuplei. Ȋn cazul cuplelor cu mai multe grade de mobilitate, cum ar fi cuplele sferice și cuplele cardanice, trebuie cunoscut unghiul limită maxim. Coliziunile pot apărea între brațele robotului, între brațe și cuple și înainte de orice între brațe și platforma mobilă.

Referințe bibliografice:

[Com00] Company, O.: Machines-outils rapides à structure parallele. Methodologie de conception, applications et nouveaux concepts. Dissertation. Universite Montpellier II, Sciences et Techniques du Languedoc, 2000.

[Com09] Coman, M., Dan-Stan, S., Manic, M., Balan, R., Design, Simulation and Control in Virtual Reality of a RV-2AJ robot, IEEE IECON’09, 35th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, Porto, Portugal, Nov. 3-6, 2009.

[Hel03] Helm, M., Durchschlagende Mechanismen fur Parallelroboter. Dissertation TU Braunschweig. Verlag: Vulkan GmbH, (Schriftenreihe des IWF), 2003.

[Hes02a] Hesselbach, J., Kerle, H., Krefft, M., Plitea, N., Simnofske, M., Die Bewertung parallelkinematicher Strukturen fur Werkzeugmaschinen aus getriebetechnischer Sicht., DFG 1099, VDI 2002.

[Hes02b] Hesselbach, J., Helm, M., Soetebier, S., Workspace – Optimized Parallel Robot for Placing Tasks, PKS 2002, Chemnitz, 2002.

[Hes04] Hesselbach, J., Kerle, H., Plitea, N., s.a., The Assessment of Parallel Mechanical Structures for Nachimes Talking Account of Their Operational Purposes, Proceedings of the 11th World Congress in Mechanism and Machine Science Aprilie 1-4, 2004, Tianjin, China, China Machine Press.

[Mer97] Merlet, J.-P., Les robot paralleles, 2e edition, Paris: Edition Hermes, 1997.

[Mer97b] Merlet, J.-P., Designing a Parallel Manipulator for a specific Workspace. Journal Of Robotics Reasearch, Bd.16, nr. 4, 1997, S.545-556.

[Mer98] Merlet, J.-P., Efficient design of Parallel Robots. Dusseldorf: VDI-Verlag. VDI Berichte 1427. VDI-Verlag. 1998. S. 1-15

[Mcc10] McCarty, K., Manic, M., Stan, S.D., Contextual Data Rule Generation for Autonomous Vehicle Control, CISSE08, Berlin Heidelberg, 2010.

[Sta03] Stan S. – D., Diplomarbeit, Analyse und Optimierung der strukturellen Abmessungen von Werkzeugmaschinen mit Parallelstruktur, IWF-TU Braunschweig, 2003, Germania.

[Sta08] Stan, S.D, Manic, M., Maties, M., Balan, R., Kinematics Analysis, Design, and Control of an Isoglide3 Parallel Robot (IG3PR), IECON08, The 34th Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society, Orlando, Florida, pp.2636-2641, Noiembrie 10-13, 2008.

[Sta08] Stan, S.D., Gogu, G., Manic, M., Balan, R., Rad, C., Fuzzy Control of a 3 Degree of Freedom Parallel Robot, CISSE08, 2008.

[Sta08] Stan, S.D., Manic, M., Maties, V., and Balan, R., A Novel Virtual Reality Robot Interface for Isoglide3 Parallel Robot, ICIRA 2008, Part I, LNAI 5314, pp. 1265–1275.

[Sta09] Stan, S.D., Manic, M., Balan, R., Maties, V., Kinematics and Workspace Analysis of 3 DOF Compliant Micro Parallel Robots, 6th International Symposium on Mechatronics and its Applications (IEEE), ISMA’09, Sharjah, United Arab Emirates, Martie 23-26, 2009.

[Sta09]Stan, S.D., M. Manic, R. Balan, V. Maties, Genetic algorithms for workspace optimization of planar medical parallel robot, IEEE International Conference on Emerging Trends in Computing, ICETIC 2009, Virudhanagara, Tamil Nadu, India, Ianuarie 8-10, 2009.

[Sze09]Szep, C., Stan, S.D., Csibi, V., Manic, M., Balan, R., Kinematics, Workspace, Design and Accuracy Analysis of RPRPR Medical Parallel Robot, HSI 2009, 2nd IEEE Conference on Human System Interaction, Catania, Italy, 21-23 Mai, 2009.

[Sze09] Szep, C., Stan, S.D., Csibi, V., Manic, M., Balan, R., New approach for accuracy and kinematics analysis of 2 DOF medical parallel robot, DEST 2009, 3rd IEEE International Conference on Digital Ecosystems and Technologies, Special theme: Cyber Engineering and Human Space Computing, Istanbul, Turkey, 1-3 Iunie, 2009.

[Sze11] Szep, C., Stan, S.-D., Csibi, V., Bălan, R., Design, workspace analysis and inverse kinematics problem of Delta parallel robot, Lituania, ISSN 1392 – 1207. MECHANIKA. 2011. Nr.1(80).

[Ver09] Verdes, D., Stan, S.D., Manic, M., Balan, R., Maties, V., Kinematics analysis, Workspace, Design and Control of 3-RPS and TRIGLIDE medical parallel robots, HSI 2009, 2nd IEEE Conference on Human System Interaction, Catania, Italy, 21-23 Mai, 2009.

[Ver10] Verdeș, D., Stan, S.D., Manic, M., Bălan, R., Mechatronic design, kinematics analysis of a 3 DOF medical parallel robot, IEEE ISRCS’10, the 3rd IEEE Symposium on Resilience Control Systems, Idaho Falls, Idaho, Aug. 10-12, 2010.