Arta Fractala

Arta fractala

Istoric

Matematică care stă la baza fractalilor, a început să fie conturată în sec. al 17-lea, în momentul în care filozoful și matematicianul Gottfried Leibniz, a reușit să remarce, auto-asemanarea de tip repetitiv, deși acesta a făcut greșeala de a considera că, numai linia dreaptă, deține aceasta carcateristica.

Abia la 1872, a fost elaborată o funcție matematică, a cărei reprezentare grafică, poate să fie considerată fractala, în momentul în care, Karl Weierstrass, a oferit un exemplu de funcție neintuitiva, continua însă nediferentiabila. În anul 1904, Helge von Koch, nefiind satisfăcut de definiția abstractă și analitică a lui Weierstrass, a oferit o definiție cu precădere geometrică, unei funcții identice, denumită, în prezent, curba lui Koch.

Funcții iterative complexe, plane, au fost de altfel analizate, la finalul secolului al 19-lea și debutul secolului 20, de Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou și Gaston Julia, însă în absența sprijinului grafic al unui calculator modern, chiar și așa, aceștia nu au avut posibilitatea de a vizualiza frumusețea matematică, a multor funcții pe care le-au identificat. În perioada anilor '60, Benoit Mandelbrot, a început să analizeze proprietăți precum auto-asemanarea, în articole cum ar fi: "Cat de lungă e linia costiera a Marii Britanii" și "Auto-asemanarea statistică și dimensiunea fracțională", care erau bazate pe descoperiri ale matematicianului Lewis Fry Richardson.

În final, în 1975, Mandelbrot a inventat conceptul de "fractal", cu scopul de a diferenția un obiect, a cărui mărime, Hausdorff–Besicovitch, e mai mare comparativ cu dimensiunea să topologica, indicându-și spusele și definițiile matematice, cu vizualizări computerizate impresionante, imagini care se bazează pe definiții recursive, care au reușit să capteze atenția publică și au impus definitiv conceptul de "fractal".

Mulțumită impresionantei opere a lui Mandelbrot, care a putut regândi dimensiuni vitale, reușind să intuiască ordinea din dezordine, matematicienii încep, în prezent, să le întrevadă potențialul imens, aventurându-se în cadrul unui teritoriu necartografiat, al unor, momentan neucnoscute, ale matematicii și vieții, descoperirile acestora remarcabile, accentuând cunoștințele noastre pentru natura și dezvoltând un actual val de inovații de ordin științific, medical și artistic, plecând de la ecologia pădurii tropicale, la urmările speciale cinematografice.

Prin aportul anumitor unor asemenea minți iscoditoare și perfect intuitive, ale anumitor rebeli din știință, cum ar fi Halton C. Arp, Benoit Mandelbrot și Nassim Haramein, deținem azi explicații, pentru tot ce părea, într-o anumită perioadă, să fie un haos, revelației remarcabile a unui Univers holografic și fractal, urmându-i, în mod evident, cea a unei naturi în niciun caz aleatoare, care poate să fie cuprinsă în ecuații și formule matematice complexe, spulberându-se, în acest fel, oricare dubiu, în prezența unei Minți Supreme, care a reușit să imagineze totul, în cel mai mic și la prima vedere neimportant, amănunt.

Definiție

Fractalii reprezintă tipuri și modele extraordinare elaborate cu sprijinul ecuațiilor matematice. O definiție de tip intuitiv a fractalului o reprezintă următoarea: Un fractal reprezintă o figura geometrică fragmentata ori franța, care poate să fie divizată în părți, în acest fel încât oricare dintre acestea să fie (măcar aproximativ) o copie în miniatură a întregului.

Termenul “fractal” a fost implementat de matematicianul Benoit Mandelbrot în 1975 și își are originea în latinescul “fractus”, care semnifica spart ori fracturat. Fractalul, ca și obiect geometric, deține în mod normal următoarele trăsături:

– e auto-similar (cel puțin aproximativ ori stochastic): în cazul în care se mărește oricare porțiune dintr-un fractal, vor fi obținute (măcar aproximativ) detalii similare cu acelea ale fractalului întreg.

– deține o definiție simplistă și recursiva

– cu scopul de a va imagina fractalul adecvat unei funcții f(x), considerați elementele x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), etc.

– deține o detaliere și complexitate infinită: oricare nivel al magnificarii pare similar și deține o structură fină la niveluri infinit de mici.

Dimensiunea de tip fractal a curbei lui Koch e de 1.26. O dimensiune fracțională nu este posibil de perceput, însă are sens. Comparativ cu o simplă linie ori curbă, care prezintă o singură dimensiune, curba Koch e încrețită și brută. Din acest motiv aceasta ocupa spațiu mai facil, însă nu îl poate umple similar unui pătrat cu 2 dimensiuni, întrucât nu prezintă o arie. 

Astfel, dimensiunea curbei Koch e undeva între cele 2. Conceptul de fractal a reușit să ofere o descriere despre orice imagine ce prezintă carcateristica de auto-similaritate. Ulterior, un cercetător numit Feigenbaum analiza bifurcațiile unei diagrame și încercă să își dea seama cât de rapid sunt prezente acele bifurcații.

A reușit să afle că prezintă o viteză de apariție constantă. Acesta a calculat-o la 4.669. Altfel spus, a descoperit scara la care diagrama devine auto-similara.  În cazul în care se micșora diagrama de 4.669 ori, aceasta ar fi semănat cu una din regiunile bifurcației. A decis astfel să analizeze și restul ecuațiilor căutând un factor de scalare a lor. Spre uimirea lui, factorul de scalare era identic. Nu doar că această ecuație complexă a dat dovadă de regularitate, însă regularitatea era similară cu aceea a unei ecuații mult mai simple.

Aceasta reprezenta o descoperire revoluționară. Acesta a reușit să descopere că o întreaga clasa de funcții matematice se comportau într-un mod similar. Aceasta universalitate putea să îi sprijine pe alți cercetători care analizau ecuațiile haotice. Universalitatea conferise cercetătorilor mijlocul util cu scopul de a analiza sistemele haotice.

Acum aceștia puteau să folseasca o simplă ecuație cu scopul de a identifica rezultatul unei ecuații mai ample. Structurile fractale au fost identificate și în alte locuri în exteriorul minții unui matematician.

Vasele de sânge care sunt ramificate, crengile unui copac, structură interioară a plămânilor, graficele bursei, etc. Totalitatea acestora au un unic lucru în comun: auto-similaritatea.

Exemple

Waclav Sierpinski a plecat de la un triunghi pe care a decis să-l divizeze în 4 părți egale. Ulterior a divizat cele 3 părți marginale în același mod, continuând acțiunea la infinit. Figura rezultată este denumită "Triunghiulqlui Sierpinski".

Figura 1.1 – Triunghiulqlui Sierpinski

O altă modalitate de construcție a unei forme identice pleacă de la un triunghi plin, în cadrul căruia "decupam" găuri similare, în loc de a trasa linii. Finalul este identic chiar dacă este denumit "Sita lui Sierpinski".

Figura 1.2 – Sita luiqSierpinski

"Covorul lui Sierpinski" constituie o altă formă care a reușit să nedumerească matematicienii, alcătuit la fel, prin ambele variante:

Figura 1.3 – Covorulqlui Sierpinski 1

Figura 1.4 – Covorul luiqSierpinski 2

Problema de bază se referea la aria acestor figuri. În timp ce acestea erau formate din segmente de dreapta, care, din punct de vedere matematic, nu prezintă nici arie, nici lățime, matematicienii au ajuns la concluzia că aria figurilor este 0, mai mult însa întrucât nu puteau să spună cât este aria, dacă n-ar fi 0.

Dimensiunea fractala

Dimensiunea unui obiect ofera o descriere despre modalitatea in care ocupa acesta spatiul si astfel modalitatea in care poate sa fie masurat (cantitativ). Dimensiunea euclidiana, care va fi notata de aici incolo D, reprezinta dimensiunea spatiului euclidian in cadrul caruia poate sa fie scufundat obiectul analizat.

Dimensiunea topologica se defineste pe proprietati locale ale punctelor obiectului studiat F si corespunde termenului prin intermediul caruia un punct detine dimensiunea 0, o linie ori o curba subtire prezinta dimensiunea 1, suprafetele au dimensiunea 2, formele solide – volumele- au dimensiunea 3 etc., in absenta sa tina cont de dimensiunea, mai mare ori cel mult egala, a spatiului euclidian in cadrul caruia astfel de tipuri vor fi scufundate.

Astfel, dimensiunea topologica se pastreaza la transformarile omomorfe. In continuare este prezentata o definitie recursiva a dimensiunii topologice:

– dT=0 in cazul in care F nu e conectata (spre exemplu punctele izolate);

– dT=k , k>=1 in cazul in care oricare pIF detine o vecinatate V(p) ale carei margini prezinta dimensiunea

– dT=k-1. Imediat se poate vedea, de exemplu, ca punctele unei curbe subtiri (k=2) au vecinatati sub forma de segmente, ale caror margini sunt cate 2 puncte de dimensiune dT = k – 1 = 1.

In mod identic, un cerc poate sa fie vecinatatea unui punct care se afla pe o arie (aici, k=2), frontiera cercului constituind o curba, asa cum s-a observat mai sus, de dimensiune dT= k-1=1 etc. In acest fel, o arie unduita e scufundata in cadrul unui spatiu euclidian de dimensiune D = 3, chiar daca dimensiunea sa topologica e 2 (dT = 2).

Figura 1.5 Formeqgeometrice cu dimensiuniqtopologice 1 si euclidiene 2 (primul rand), precumqsi topologica 2 si euclidianaq3 (randul 2).

Simultan cu aparitia fractalilor, caracterizarea unui tip prin intermediul dimensiunii sale topologice, indicata prin intermediul unui numar intreg, se prezinta a fi insuficienta.

Un exemplu concret in acest sens il reprezinta Curba lui Koch. Aceasta prezinta un fenomen straniu: reprezinta o multime de puncte, de arie 0, insa de perimetru infinit: la oricare iteratie lungimea se maximizeaza de 4/3 ori. 

Astfel, folosind geometria euclidiana, nu vom putea sa evaluam cantitativ dimensiunea curbei lui Koch: nu e oportun sa privim curba lui Koch ca obiect euclidian de dimensiune 1, aceasta prezentand un perimetru infinit, insa nici 2-dimensional deoarece aria sa e 0.

Figura 1.6 Curbaqlui Koch – obiect fractalqavand perimetru infinit siqaria 0

In acest fel va fi implementat termenul de dimensiune fractala, acesta fiind indicat prin intermediul unui numar rational. De asemenea, chiar termenul de fractal e strans corelat de cel de dimensiune fractala.

Un fractal reprezinta o figura a carei dimensiune fractala e una strict mai mare comparativ cu dimensiunea topologica. Asa cum se poate observa in tabelul de mai jos, amploarea unei figuri se maximizeaza concomitent cu dimensiunea sa.

Tabel 1 – Complexitateaqimaginii in functie de dimensiuneaqacesteia

in care ¥ inseamna un numar infinit, iar F unul finit.

Fractali matematici precum curba lui Koch vor fi autosimilari exact, la un numar infinit de scari. O multime de fenomene naturale sunt autosimilare statistic si, astfel, pot sa fie mai bine descrise prin intermediul tehnicilor fractale comparativ cu metodele euclidiene.

Geometria fractala a fost aplicata de altfel in situatia obiectelor naturale, precum norii, liniile de coasta, plasarea punctelor de spargere a valurilor pe aria oceanului, expansiunea poluarii etc.

Dimensiunea acoperirii Hausdorff

O caracteristica definitorie a obiectelor fractale o reprezinta dependenta marimii lor de unitatea de masura folosita. Acest lucru a fost semnalat pentru prima oara de catre Richardson.

Vrand sa stabileasca lungimea liniei de granita dintre Spania si Portugalia, acesta a consultat enciclopedii ale ambelor state. In acest fel, in cadrul enciclopediei spaniole se pretindea ca granita detine 987 km lungime, in vreme ce enciclopedia portugheza avea cam 1214 km.

Explicatia ciudatului fenomen o reprezinta folosirea a 2 unitati de masura separate, unitatea mai scazuta avea sa parcurga o multime de detalii ale granitei si, astfel, sa obtina o masura mai ridicata. Iata in continuare, reprezentata sugestiv, dependenta lungimii unei curbe de unitatea de masura folosita.

Figura 1.7 Dependentaqdimensiunii unei curbe de unitatea deqmasura folosita

Pe masura ce pasul va fi mai mic, cu atat se parcurg o multime de detalii ale obiectului si, astfel, masura obtinuta reprezinta mai mare. Dependenta marimii de scara folosita determina obiectele fractale sa fie greu de masurat in conditiile geometriei clasice.

Caracteristicile lor de ordin fizic (lungimea, aria, volumul) tin cont de rezolutia de reprezentare. Utilizand rationamentul lui Richardson, Mandelbrot a dovedit ca liniile de coasta, de granita etc. reprezinta fractali. In jurul anului 1914, Hausdorff a definit un actual concept pentru spatiile topologice, sugerand in acest fel ca dimensiunea fractala e proportionala cu numarul minim de sfere, de raza data, necesar cu scopul de a acoperi obiectul masurat.

Cu scopul de a ne apropia de metodele folosite de calculator, in continuare vom considera cuburi in locul sferelor. In acest fel, pentru a acoperi o curba de lungime 1, vor fi utile N(s)=1/s cuburi de latura s. Pentru a acoperi o suprafata de arie 1 vor fi utile N(s)=1/s2 cuburi de latura s si, in sfarsit, pentru a acoperi un cub de volum 1 vor fi utile N(s)=1/s3 cuburi de latura s. In mod normal, se verifica relatia:

N(s) ~1/sD

in care:

–          N(s) reprezinta numarul de cuburi necesare;

–          s reprezinta latura unui cub;

–          D constituie dimensiunea obiectului.

Figura 1.8 Acoperireaqa 3 figuri euclidiene cu cuburi deqlaturi egale

Logaritmand relatia anterioara, putem sa deducem D:

D~log(N(s))/log(1/s)                              (1)

Astfel, dimensiunea Hausdorff, denumita si dimensiunea Hausdorff-Besicovich, este definita prin intermediul celei mai eficiente acoperiri, dupa cum urmeaza:

Considerand d,s IR si fie  un set de functii de test, in asa fel incat N(s) reprezinta numarul sferelor de diametru s (cuburi de latura s) necesare pentru acoperirea multimii date F. Atunci, este prezenta o valoare reala unica d=DH, denumita  dimensiune Hausdorff a lui F, astfel ca:

Masura care descrie un obiect cu dimensiunea Hausdorff este oferita de relatia:

Iata, de exemplu, reprezentarea grafica a dependentei masurii curbei lui Koch fata de dimensiunea obiectului, in care Nn reprezinta numarul sferelor de acoperire de diametru sn, iar d constituie dimensiunea presupusa a obiectului, care ia, demonstrativ, diverse valori. Se poate vedea ca valoarea adecvata pentru d e cuprinsa intre 1.2 si 1.3, deoarece in cazul valorilor sub 1.2 masura obtinuta tinde spre infinit, iar in cazul valorilor superioare lui 1.3 masura tinde spre 0.

Figura 1.9 Dependentaqdimensiunii curbei luiqKoch de lungimeaqsa

Dimensiunea Hausdorff reprezinta cea mai acceptata definitie a dimensiunii fractale, insa reprezinta greu de calculat. In practica, dimensiunea fractala poate fi estimata cu sprijinul dimensiunii autosimilare ori a dimensiunii box-counting. La inceput, Mandelbrot a definit fractalii, astfel cum au fost si numiti (fractus), ca acele tipuri cu detalii infinite, la oricare nivel.

Ulterior, a revenit la definitie, formuland conceptul autosimilaritatii, mentionand ca fractalii reprezinta acele tipuri formate din parti similare, in cadrul unui anume fel, cu intregul. In final a oferit o definitie noua, singura formala de altfel, prin intermediul careia fractalii reprezinta formele a caror dimensiune Hausdorff depaseste strict dimensiunea topologica: DH>Dt.

Dimensiunea fractala autosimilara

O caracteristica fundamentala a fractalilor o reprezinta similaritatea.

Mandelbrot a observat ca o linie de coasta, vazuta din avion, e prezentata ca o dreapta, insa cu cat ne apropiem, aceasta devine tot mai fragmentata, mai delicata, la oricare grad de detaliere aceasta semanand cu intregul. Pornind de la o astfel de observatie, Mandelbrot a oferit o prima definitie a fractalilor ca reprezentand acele obiecte formate din copii ale lor, la o scara diferita.

Exista o multime de tipuri de similaritate:

– autosimilaritatea (similaritatea perfecta) – obiectul e format din copii ale sale, la diverse scari de reprezentare. In mod normal, acest tip de similaritate poate fi intalnit in cazul fractalilor artificiali, realizati pe calculator si prezinta atuuri majore in aplicatii precum compresia fractala. Astfel cum am mentionat mai sus, triunghiul lui Sierpinski e format din 3 copii ale sale la scara ½.

Figura 1.10 Fractalulqautosimilar – Triunghiul luiqSierpinski, alcatuit din copii aleqintregului la scara ½

– similaritatea pe portiuni – obiectul e format din copii identice intre ele. Acest tip de similaritate poate fi intalnit atat in cazul fractalilor artificiali dar si in cazul celor naturali. Similaritatea pe portiuni a fost identificata de Jaquin, care a construit, conform ei, un amplu algoritm de compresie de imagini care se bazeaza pe tehnici fractale, ale carui rezultate au fost unele promotatoare atat pentru imagini artificiale, cat in mod special pentru cele reale.

– browniana – obiectul e impartit in parti aleatoare, care are detalii la oricare nivel. Similaritate browniana putem intalni la plasma-fractali, folositi la crearea liniilor de coasta reale ori a peisajelor. O categorie semnificativa de tipuri fractale analizate de catre geometria fractala, e reprezentata de fractali artificiali (realizati pe calculator), dintre care o mare pondere are capacitatea de autosimilaritate (triunghiul lui Sierpinski, linia de coasta Koch, praful lui Cantor, dragonul lui Heighway si o multime de alte tipuri). 

Pornind de la ideea ca dimensiunea fractala detine ca scop evaluarea nivelului fragmentarii unui obiect, pentru categoria obiectelor fractale autosimilare exista o interpretare simplista a formulei

(1): Df=log(Numar copii autosimilare) / log(factor de contractie). De exemplu, in situatia triunghiului lui Sierpinski, avem 3 copii ale imaginii, cu magnificatia 2, astfel dimensiunea fractala va fi: Df=log(3) / log(2) = 1.5849

Astfel, dimensiunea autosimilara va masura invarianta (de scara) a obiectului F la modificari afine (redimensionari, translatii, rotatii). Aceasta tehnica de calcul implica ca obiectul studiat e autosimilar.

Chiar si asa, este o generalizare, denumita auto-afinitate, care semnifica o invarianta statistica de scara.

Algoritmul box-counting

Algoritmul box-counting e folosit pentru a determina in mod automatizat dimensiunea fractala in situatia imaginilor digitale binare monocrome, pastrate ca matrici de pixeli (bitmap).

Dimensiunea box-counting

Asa cum am mentionat anterior, cu ajutorul acoperirii obiectului fractal cu cuburi de latura data s, se ajunge ca:

D~log(N(s))/log(1/s)                              (1)

Este previzibil ca, pentru s cat mai mic, aproximatia anterioara sa fie cat mai eficienta:

D = lims -> 0log(N(s))/log(1/s)

In cazul in care aceasta limita exista, ea este numita si dimensiunea box-counting a obiectului masurat. Pentru ca, in practica, aceasta limita converge lent, se foloseste o metoda alternativa. Deoarece,

log(N(s)) = D*log(1/s)

constituie ecuatia de variabila s a unei drepte de panta D, se traseaza curba log-log, descrisa prin intermediul punctelor de coordonate (log(N(s), log(1/s)), si, prin intermediul regresiei liniare (metoda celor mai mici patrate), este determinata panta curbei, aceasta reprezentand dimensiunea fractala cautata:

in care xi=log(1/s), iar yi=log(N(s)), pentru diverse valori ale factorului de scara s.

Descrierea algoritmului

Algoritmul box-counting implica stabilirea dimensiunii fractale tinand cont de evolutia marimii obiectului fata de factorul de scara folosit. El inseamna fragmentarea succesiva a imaginii in 4, 16, 64 etc. patrate egale si numararea, mereu, a patratelor care acopera obiectul. Punctele de coordonate (log(N(s), log(1/s)) – in care s reprezinta latura comuna a patratelor de acoperire, iar N(s) reprezinta numarul patratelor care detin informatie – vor fi localizate aproximativ pe o dreapta a carei panta reprezinta dimensiunea box-counting.

Sa luam in considerare imaginea urmatoare:

Figura 1.11 Imagineaqmonocroma

Vom utiliza ulterior algoritmul box-counting, descris anterior (nu au fost trasate decat patratele care cuprind informatie).

Figura 1.12 Aplicareaqunui algoritm box-counting

Se vor obtine valorile:

Tabelul 2 Variatia N(s) fataqde factorul deqscara  s

Figura 1.13 Curbaqlog-log alcatuita din puncteleqde coordonate (log(N(s), log(1/s))