Aritmetică în domenii de integritate și teoria modulelor [629805]

1
Aritmetică în domenii de integritate și teoria modulelor
Note de curs
În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de
domenii de integritate și legăturile dintre acestea. A doua parte a
cursului este dedicată unei introduceri în teoria modulelor.

Cursuri si seminarii 1, 2 – Divizibilitatea in inele
Fie A un inel comutativ c u element unitate. U n element a
A
divide u n element b
A (sau b e ste un multiplu al lui a) si scriem a|b
daca exista un elem ent c
A astfel ca b= ac.
Relatia de divizibilitate in A este o relatie binara care este
reflexiva, caci a|a , a=a·1 si tranzitiva caci din a|b si b|c rezulta
b=ac, c= bc’, deci c=acc’, adica a|c. Deci, relatia de dvizibilitate este o
relatie de cuasiordine pe inelul A. Ea nu este insa in general o relatie
de ordine. In adevar, chiar in inelul
al intregilor avem 1|-1 si -1|1,
insa 1
-1.
Proprietati:
Daca a,b,c sunt elemente din A si a|b, atunci a|bc; daca, in plus , a
divide si pe c, atunci a|(b+c). De ase menea, daca a|(b+c) si a divide
unul dintre termenii sumei atunci el divide si pe celalalt.
Daca a si b sunt elemente in A astfel incat a divide b si b divide a, se
spune ca a este asociat cu b si vom scrie a~b.
Relatia de asocier e este o relatie de echiv alenta.
Daca consid eram multimea factor in raport cu aceasta relatie de
echivalenta, atunci relatia de divizibilitate introduce pe aceasta
multime o relatie de ordine.
Mai mult , daca a~b si c~d, rezulta ac~bd si atunci se constata ca pe
multimea factor p utem introduce o operatie dedusa din operatia de
inmultire in A. Inzestrand multime a factor cu aceasta operatie,
obtinem un semigrup. Multe dintre proprietatile divizibilitatii in inelul A
se reduc la studiul divizibilitatii in acest semigrup : majoritatea
notiunil or si afimatiil or raman adevarate pentru elemente asociate.

2
Lema . Fie A un inel si a, b doua elemente din A. Elementul a
divide pe b daca si numai daca aA include pe bA.
In particular, a si b sunt asociate daca si numai daca aA= bA.
Demonstratie. Daca a divide pe b , rezulta b=aa’ cu a’
A, deci
b
aA, de unde rezulta bA
aA. Avem b
aA, adica b=aa’, cu a’
A
Propozitie . Fie A un inel si a
A. Urmatoarele afirmatii sunt
echivalente:
i) a~1;
ii) a este element ireversibil in A;
iii) aA=A;
iv) a divide orice element al inelului A.
Demonstra tie. i)
ii). Din faptul ca a ~1 rezulta ca a divide pe
1, deci exista a’
A astfel ca 1=aa’ adica a este ireversabil in A.
ii)
iii) rezulta din definitia unui element inversabil .
iii)
iv) rezulta din lema precedenta.
iv)
i) este imedi ata.
Propozitia de mai sus arata ca elementele ireversabile ale
inelului se comporta in raport cu divizibilitatea la fel ca si elementul
unitate al inelului. D e aici provine denumirea lor de unitati.
Propozitie . Fie A un inel integ ru. Doua elemente a,b din A
sunt asociate daca si numai daca a=ub, unde u este un element
inversabil in A.
Demonstratie. Da ca a=ub, unde u este element inversabil in
A, atunci a si b sunt asociate. Reciproc, sa presupunem ca a si b sunt
asociat e. Atunci rezulta ca exista a’, b’
A astfel ca b=ab’ si a=ba’,
adica b=ba’b’, deci b(1 -a’b’)=0. Daca b=0, atunci a=0. In caz contrar,
rezulta 1 -a’b’=0 (caci A este integru), deci a’ si b’ sunt elemente
inversabile in A.
Definiti e. Fie A un inel si a,b elemente din A. Un element c
A
se numes te divizor comun al lui a si daca c divide pe a si c divide pe b.

3
Elementul d
A se numeste cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al
elementelor a si b si se mai noteaza cu (a,b), daca d este un divizor
comun al elementelor a si b si pentru orice alt divizor comun d’ al
elementelor a si b avem d’ divide pe d.
Un element n
A se numeste multiplu comun al elementelor
a,b daca a divide pe n si b divide pe n. Elementul m
A se numeste cel
mai mi c multiplu comun (c.m.m.m.c) al elementelor a si b si se mai
noteaza cu [a,b] daca m este multiplu comun al elementelor a si b
si pentru orice multiplu comun m’ al elementelor a si b avem ca m
divide pe m’.
Doua elemente a,b ale inelului A sunt relativ prime (sau prime
intre ele) daca 1 este cel mai mare divizor comun al lor.
Definitiile date mai sus pentru c.m.m.d.c si c.m.m.m.c. a doua
elemente din inelul A se generalizeaza cu usurinta la un numar finit
sau chiar infinit de eleme nte ale inelului A si vor avea proprietati
analoage celor din cazul a doua elemente.
Daca c.m.m.d.c si c.m.m.m.c. a doua elemente exista, atunci exista
c.m.m.d.c si c.m.m.m.c. pen tru un numar finit de elemente.
Sa remarcam faptul ca pentru doua element arbitrare dintr -un inel
oarecare se poate ca c.m.m.d.c si c.m.m.m.c. sa nu existe .
Propozitie. Fie A un inel si a,b doua elemente din A.
i) Daca d
A este cel mare divizor comun al elementelor a si
b , atunci un element d’
A este cel mai mare divizor comun al
elemen telor a si b daca si numai daca este asociat cu d.
ii) Daca m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a
si b , atunci un elemet m’
A este cel mai mic multiplu comun al
elemetelor a si b daca si numai daca este asociat cu m.
Demonstratie. Vom demonstra doar afirmatia i), deoarece ii)
se demonstreaza analog. Din faptul ca d este cel mai mare divizor
comun al elementelor a si b , iar d’ este cel mai mare divizor al
elementelor a si b rezulta ca d’ divide pe d (pentru ca d’ este in
particular divizor comun al elementelor a si b) si divide d’ (pentru ca in
particular d este divizor comun al elementelor a si b), adica d si d’ sun t
asociate. Reciproc, daca presupunem d’ asociat cu d, atunci din faptul
ca d|a, d|b,d|d’ rezulta ca d’ este divizor comun al elementelor a si b.

4
Fie acum c un divizor comun arbitrar al elementelor a si b;
atunci c|d (caci d este cel mai mare d ivizor comun al elementelor a si
b) si doarece d|d’ rezulta c|d’, adica d’ este cel mai mare divizor
comun al elemntelor a si b.
Asadar, cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu
comun a doua (sau mai multe) elemente dintr -un inel A su nt
determinate pana la o asociere.
Lema . Fie A un inel inegru si a,b doua elemente nenule. Daca
d este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b si a=da’,
b=db’, atunci a’, b’ sunt relativ prime.
Demonstratie. Va fi suficient sa aratam ca orice divizor comun
al elementelor a’ si b’ este in versabil. Fie u un astfel de divizor; atunci
du este divizor comun al lui a si b , deci du divide pe d, adica d=duu’,
u’
A. Deoarece d
0, rezulta 1=uu’, deci u este in versabil.
Lema . Fie A un inel integru, a,b doua elemente nen ule din A si
d cel mai mare divizor comun al a elementelor a si b. Daca pentru un
element c
A, c
0, exista cel mai mare divizor comun al elementelor
ca si cb, atunci acesta este asociat cu cd (deci si cd este cel mai mare
divizor comun al elementelor ca si cb).
Demonstratie. Fie d’ cel mai mare divizor comun al
elementelor ca si cb. Atunci din faptul ca cd divide pe ca si cb divide pe
d’, deci d’=cdu, cu u
A. Din ipoteza rezulta ca exis ta a1, b1 , a’,
b’
A astfel incat ca=d’ a1, unde a=da’ , cb=d’ b1, unde b=db’
Obtinem cdu a1 =cda’ si cdu b1 =cdb’ si, deoarece cd
0 ,rezulta
ua1=a’ si u b1 =b’.
Deci u este divizor comun al elementelor a’ si b’, iar din lema
precedenta rezulta ca u este element i nversabil in A.
Corolar . Fie A un inel integru in care orice doua elemente
au c.m.m.d.c . Daca a, b, c sunt elemente din A astfel incat a|bc si a
este prim cu b atunci a divide pe c.
In adevar, din (a,b)=1 si din lema precendenta rezulta ca
(ac,bc)=c. Cum a|ac si a|bc rezulta ca a divide pe c.
Propozitie . Fie A un inel integru. Daca oricare doua elemente
din A au cel mai mare divizor comun , atunci oricare doua elemente din

5
A au cel mai mic multiplu cmun si produsul (a,b) [a,b] este asociat cu
ab, pentru a,b
A, a
0, b
0.
Demonstratie. Consideram cazul in care a si b sunt elemente
nenule. Fie d un cel mai mare divizor comun al elementelor a si b si
a=da’, b=db’, a’,b’
A. Atunci relatiile da’b’=ab’=a’ arata ca m=da’b’
este multiplu comun al lui a si b. Fie m’ un alt multipli comun al
elementelor a,b.
Deci m’=a a1 =da’ a1,m’=d b1=db’ b1, cu a1, b1 din A. De aici rezulta ca
m este divizor comun al elementelor m’a’ si m’b’, deci divide pe cel
mai mare divizor comun al acestor elemente, care este egal cu m’
(caci (a’,b’)=1). Asadar, am aratat ca m este cel mai mic multiplu
comun al elementelor a si b si avem evident relatia md=ab.
Definitie . Fie a un element nenul si nei nversabil ditr -un inel
integru A. Se spune ca a este ireductibil daca orice divizor al lui a este
sau asociat cu a sau este i nversabil (adica asociat cu 1) si reducti bil in
caz contrar.
Asadar, daca a este un element ireductibil din inelul A si b
este un element oarecare, atunci e’ cel mai mare divizor comun al
elementelor a si b exista si este asociat cu a sau este un element
inversabil.
Propo zitie. Intr-un inel integru A un element asociat cu un
element ireductibil este ireductibil.
Demonstratie. Fie a un element ireductibil din A si b
A un element
asociat cu a. Atunci b este nenul si b nu este i nversabil. Fie c un
divizor al lui b. Atunci c divide pe a, deci este sau asociat cu a, deci si
cu b, sau c este i nversabil.
Propozitie . Fie A un inel integru si a
A un element nenul si
neinversabil in A. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i) a este ireductibil in A;
ii) daca a=bc, atunci a este asocia t cu cel putin unul dintre
elementele b sau c;
iii) daca a=bc, atunci a este asociat cu cel putin unul dintre
elementele b sau c, iar celalalt este inversabil.

6
Demonstratie. i)
ii). Din a=bc rezulta ca b este sau inversabil
sau asociat cu a; similar, c este sau inversabil sau asociat cu a. Nu se
poate ca ambele sa fie inversabile caci ar rezulta ca a este inversabil.
ii)
iii). Fie a=bc. Din ii) rezulta ca unul dintre elementele b sau c, sa
presupunem b, este asociat cu a. Deci conform propozitiei 1.3, b=au
cu u inversabil in A. Atun ci din a=auc si din faptul ca a
0 rezulta
1=uc, deci c este element inversabil. Implicatia iii)
i) este imediata .
Definiti e. Un element neinversabil si nenul p din inelul integru A
se numeste prim daca din faptul ca p|ab cu a,b
A rezulta p|a sau p|b.
Orice element asociat cu un element prim este si el prim.
Propoziti e. Daca A este un inel integru , atunci orice element
prim din A este ireductibil.
Demonstratie. Fie p un element prim in A. Atunci, daca p=ab,
rezulta p|ab, deci p|a sau p|b. In primu l caz rezulta ca p este asociat
cu a, iar in cel de -al doilea p este asociat cu b. Reciproca acestei
teoreme nu este intotdeauna adevarata .
Propoziti e. Fie A un inel integru in care oric e doua elemente au
un cel mai mare divizor comun . Atunci in A orice element ireductibil
este prim.
Demonstratie. Fie q un elemnt ireductibil si sa presupunem ca
q|ab. Daca q|a am terminat. A ltfel, (q,a)=1 implica q|b.
In inelul intregilor numarul 2 este prim, deci si ireductibi l. In
adevar, daca 2|ab, atunci unul dintre numerele a sau b se divid e cu 2,
altfel produsul lor nu se divide cu 2, caci daca a=2a’+1, b=2b’+1,
atunci ab=4a’b’+2(b’+a’)+1, care nu se divide cu 2 . Analog se ar ata
ca 3,5,7 sunt numere prime, deci si ireductibile. Numerele -2,-3,-5
sunt si ele ireductibile, fiind asociate cu cele precedente.
Inelul k[X]
Fie k un corp. I n inelul k [X] orice polinom de gradul 1 este
ireductibil. In adevar, daca f este un astfel de polinom, atunci din f=gh
rezulta g
0, h
0 si
grad(f)=grad(g)+grad(h)=1.

7
Asadar grad (g)=1 si grad (h)=0, sau invers, si afirmatia rezulta din
faptul ca in k[X] un polinom de gradul 0 este inversabil.
Elementul X din k[X] este prim i n k[X], caci daca X|fg, atunci
cel putin unul d intre polinoamele f sau g se divide cu X.
Fie A un domeniu de integritate si a un element ireductibil din
A. Atunci a este ireductibil si in inelul A[X] deoarece este neinversabil
si nenul , iar daca a se descompune in produsul a doua polinoame,
acestea vor fi de grad 0, deci elemente din A.

Cursuri si seminarii 3, 4, 5 – Inele euclidiene

Fie R un domeniu de integritate.

Definiție. R se numește inel euclidian dacă există o funcție

care satisface următoarele proprietăți:

R este inel euclidian față de funcția
.

Proprietatea 2. este cunoscută sub numele de teorema împ ărțirii cu
rest în inelul euclidian R. Elementele q și r se numesc câtul, respectiv
restul împărțirii lui a prin b.

8
Teoremă. Fie E un inel euclidian. Atunci orice două elemente a și b din
au cel mai mare divizor comun d și, d este combinație liniară din a
și b, adică

Demonstrație:
Fie
, multímea combinațiilor dintre a și b.
Fie
Din
astfel
încât
.
Din E inel
euclidian
.
Presupunem

Din modul de alegere al lui d

Din
.
Din E inel
euclidian
.
Presupunem

Din modul de alegere al lui d

Din
.
Dacă
,
stfel încât
și
pentru care
și
.
=
=
.
Deci d este cel mai mare divizor comun pentru a și b.

Teoremă. Fie R un inel euclidian
. Atunci există un
cmmdc d al elementelor a și b.

9

Demonstrație:
Fie

Aplicăm teorema împărțirii cu rest elementelor a și b

(1)
Dacă
aceeași teoremă o aplicăm elementelor

(2)
Dacă
aceeași teoremă o aplicăm elementelor

(3)
Se continuă mereu dacă restul obținut este diferit de zero.
………………………………………………………………………….
Dacă
aceeași teoremă o aplicăm elementelor

(n-2)
Dacă
aceeași teoremă o aplicăm elementelor

(n-1)
Dacă
aceeași teoremă o aplicăm elementelor

(n)
Șirul
este un
șir strict descrescător de numere naturale deci după un număr finit de
pași obținem neapărat un rest nenul

.( algoritmul se
termină după un număr finit de pași ). Trebuie să arătăm că

( ultimul rest nenul ) este cmmdc al numerelor a și b.
Din relația (n)
, din relația (n -1)
, din relația (n –
2)
,…, din relația (3)
, din relația (2)
, din
relația (1)
și
.
Fie
un divizor comun al elementelor a și b

.
Din relația (2)

. Procedând intuitiv
d =
.

10
Șirul de egalități (1), (2), (3),…, (n -2), (n -1), (n) poartă denumirea de
algoritmul lui Euclid .

Exemple.
1) Inelul ( Z, +, ∙) este u n inel euclidian unde considerăm funcția
,
, unde
este valoarea absolută a lui
n.
În acest inel are loc teorema împărțirii întregi: dacă

cu
.
2) Fie K un corp comutativ. Inelul de polinoame î ntr-o singură
variabilă K [X] este un inel euclidian unde considerăm funcția
.
3) Inelul
este un inel euclidian unde
considerăm funcția
. Inelul
se
numește inelul întregilor lui Gauss.
Teoremă. Fie E un ine l euclidian și

1. Dacă
și
, atunci

2. Dacă
și
, atunci

3. Dacă a este inversabil în E, atunci
.

11
Demonstrație:
1. Dacă
,

Dacă
,

Deci
.
2. Din E inel euclidian

Din
.
Presupunem
.
Din

Dacă

3.
avem
.
în E

Deci
.

Teoremă. Fie A un domeniu de integritate și
, o funcție care
satisface condiția:

12

Atunci funcția
,

satisface condiția de mai sus si in plus, satisface conditia

Demonstrație:
Verificăm că
satisface condiția a doua.
Fie
și fie
astfel încât
și
=
.
Din

. Atunci

.
Din
și

astfel încât
.
Din

astfel încât
și cum A este domeniu de
integritate
u este inversabil în A. Deci

unde
sau
.
Verificăm că
satisface condiția 1.
Fie
,
; aA este ideal într -un inel euclidian.Vom arăta că aA
este generat de

, care satisface proprietatea că
Dacă

, astfel încât
( idealul generat de t este inclus în aA ).
Fie
.
Vom arăta că
Presupunem că
deci
. Avem
și
deoarece am presupus
. Din
și
, contradicție cu alegerea lui
t

.
Fie
Atunci din
, deci

13

Deci

. Deci din

Aplicație.
1) Să se arate că Z este inel euclidian, relativ la funcția
,
, unde
este valoarea absolută a lui
n.
Rezolvare:
Trebuie să arătăm că:
1.

2.

1. Din

Din
;
2. Pentru

cu

conform teoremei împărțitii cu rest în
.
Avem următoarele cazuri:
a) Dacă a
și b

14
b) Dacă a
și b

.
Dacă r
notăm
și
, cu
.
c) Dacă a
și b

.
Dacă r
notăm
și
, cu
.
d) Dacă a
și b
, cu
.
Deci în toate cazurile este demonstrată proprietatea 2.
Aplicație.
Fie K un corp comutativ. Atunci K[X] este un inel euclidian cu
funcția
.

Rezolvare:
Trebuie să arătăm că:
1.

2.

15

1. Fie

Din K corp comutativ
K[X] este domeniu de
integritate

2.
Fie
. Vom arăta că există două polinoame
astfel încât
.
și
unde
și

Vom demonstra prin inducție după
că

Dacă
atunci punem
.
Dacă
considerăm polinomul
g. Se observă
că
,
+
, unde
.
g
+
f =
g
+
f =
g
.
Notând
obținem
.
Deci K[X] este inel euclidian.

Aplicație.
Să se arate că inelul
este un inel euclidian
relative la funcția

16
Rezolvare:
Trebu ie să arătăm că:
1.

2.

1. Din
și
cu

Definim funcția
, pe care o vom numi
funcția normă.
Vom arăta că

.

Deci
( norma produsului a două ele mente este egală
cu produsul normelor celor două elemente).

Din
=
Deci
pentru că
.

2. Fie
și
cu

Din

Fie
.
Deci am ajuns la forma de scr iere
cu r, s
.
Fie

17

.
Din modul de definire al lui
, dar și
.
Fie
( am arătat mai
sus)

.
Din r, s
și

și
.
Deci

Aplicație.
Să se determine cel mai mare divizor comun al elementelor 2 +
8i și -3 + i în inelul întregilor lui Gauss
.
Rezolvare:

este un inel euclidian în raport cu funcția
.
Utilizăm algoritmul lui Euclid
2 + 8 i = (-3 + i)(-2i) + 2i și
= 4 < 10 =

-3 + i = (2i)i + (-1 + i) și
= 2 < 4 =

2i = (-1 + i)(1 – i) + 0,

18
deci (2 + 8 i, -3 + i) = -1 + i și [2 + 8 i, -3 + i] =
.

Aplicație.
Să se arate că
este euclidian, relative la
,

Rezolvare:
Fie
cu

Atunci
. Deci
, astfel încât
.
Fie
și
. Avem
.
Notăm

Notăm
. Din

Să verificăm că dacă
atunci

Fie
.
Să verificăm că
, are loc relația

Fie
,
,
a,b,c,d

=
.

. Deci

Dacă

Dacă

19
Deci
.
Deci
este inel euclidian.

Aplicație.
Să se determine elementele inversabile ale inelului
.
Rezolvare:
.
Definim funcția normă
. Știm că
norma produsului a două elemente este egală cu produsul normelor
celor două elemente

.
Fie
un element inversabil în

astfel încât
Deci
este
inversabil în
implică
.
Reciproc dacă
atunci
un element inversabil în
.
Din
este
inversabil î n
.
Deci am arătat că
este inversabil în
dacă și numai dacă
, adică dacă și numai dacă
.

20
Cursurile 6, 7, 8 – Inele principale

Fie R un domeniu de integritate.

Definiție. Un inel integ ru R se numește inel principal dacă orice ideal
al inelului R este principal, adică are forma
.

Exemple:
1) Corpurile comutative sunt inele principale;
2) Inelul întregilor Z este un inel principal .
Teoremă. Un inel euclidian este principal.

Demonstrație:
Fie R un inel euclidian,
funcția respectivă și A un ideal
în R. Vom arăta că acest ideal este principal. Dacă
Dacă
considerăm submulțimea
a lui N. Deoarece N este o mulțime bineordona tă,
rezultă că există un element
astfel ca
să fie elementul
minimal în M. Vom arăta că
A. Din

Fie
. Din

.
Dacă
. Dacă
,
și
rezultă
contradicție cu alegerea lui b.
Din această teoremă rezultă că inelul întregilor lui Gauss
,
și orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți
într-un corp sînt inele principale deoarece sunt inele euclidiene.

21
Propoziție. Fie R un inel integru care nu este corp. Atunci inelul de o
nedeterminată
nu este inel principal.

Demonstrație:
R nu este corp
Să arătăm că idealul
generat de a și X nu este principal. Presupunem că

+X
Din

Din
f este inversabil în R
+X
. Deci
rezultă relația
, relație imposibilă
deoarece
.
Din această propoziție rezultă că inelul
nu este inel principal
și orice inel de polinoame de n > 1 nedeterminate cu coeficienți într -un
corp nu este inel principal și deci nici euclidian.

Propoziție. Fie R un inel principal și
. Atunci:
1. Elementul
este cel mai mare d ivizor comun al elementelor
a și b dacă și numai dacă

2. Elementul
este cel mai mic multiplu comun al elementelor
a și b dacă și numai dacă

Demonstrație:
1. “
”
Dacă
este cel mai mare divizor co mun al elementelor a și b

și
. Din
ideal
principal
este divizor comun al lui a și
b

22
“
”
Fie
astfel încât
d este divizor comun al lui a
și b deci are loc relația
orice divizor comun al
lui a și b divide pe d.
2. “
”
Dacă m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a și
b
.
Din
ideal principal
=
este multiplu co mun
al lui a și b

“
”
Fie
astfel încât
este multiplu comun al lui
a și b. Fie
alt multiplu comun al lui a și
b

Corolar. Într-un inel principal orice două elemente au cel mai mare
divizor comun și cel mai mic multiplu comun, iar dacă
este cel
mai mare divizor comun al elementelor a și b din
, atunci există

.

Corolar. Într-un inel principal orice element ireductibil este pr im.
Din acest corolar deducem că inelul
nu este inel principal.

23
Lemă. Fie R un inel principal și
un șir de elemente din R astfel
încât
(un șir crescător infinit de
ideale din R). Atunci există
astfel încât
.

Demonstrație:
Fie I reuniunea idealelor
,
. Dacă
astfel încât
Deci
, unde
. Dacă
Deci
este ideal al lui R. Inelul R este
principal

Din
astfel încât

adică

.

Teoremă. Într-un inel principal orice element nenul și neinversabil se
descompune în produs finit de elemente prime.

Demonstrație:
Fie R un inel principal. Presupunem prin reducere la absurd că în
inelul R există un element nenul și neinversabil r care nu se poate scrie
ca un produs finit de elemente prime. Din R inel principal rezultă că
elementele prime sunt echivalente cu elemente ired uctibile.
Elementul r nu este ireductibil, deci
neasociate cu r. Dacă

sunt produse finite de elemente ireductibile atunci r este produs de
elemente ireductibile ceea ce este fals. Deci cel puțin unul dintre ele nu
se scrie ca p rodus de elemente ireductibile. Fie
un astfel de element
deci înlocuind în raționamentul de mai sus pe
cu
rezultă că există
un divizor
al lui
, care este neinversabil și neasociat cu
.
Procedând inductiv, rezultă existența unui șir
de elemente din R

24
cu
și că pentru orice
,
este un divizor propriu al lui
.
Din acest șir rezultă șirul strict crescător infinit d e ideale
. Din lema de mai sus rezultă că un
astfel de șir nu poate exista într –un inel principal. Deci presupunerea
făcută este falsă.

Propoziție. Fie R un inel integru și
o funcție care are
proprietatea 2. din definiția inelul ui euclidian.( II.1.)
Atunci funcția
definită prin
când b parcurge
toate elementele asociate cu a, satisface relațiile 1. și 2. din definiția
inelului euclidian.

Demonstrație:
Vom verifica dacă
satisface relația 2. Fie a, b
și

un element asociat cu b pentru care
. Deci
.
Din modul de definire al funcției
rezultă că există q și r astfel încât

.
Din
și că

Pentru a verifica relația 1. observăm că din modul în care s -a definit
rezultă că pentru a asociat cu
avem
. Presupunem că
și
. Din modul de definire al funcției

idealul
este
ideal principal generat de un element
, cu proprietatea că
,
pentru orice
. Din
sunt asociate

, pentru orice element asoci at cu b este în idealul
.

25
Aplicație.
Fie
un inel principal,
, cu

și ecuația

a) Arătați că ecuația
admite soluții
dacă și numai dacă
.
b) Dacă
este o soluție a ecuației
, atunci determinați
toate soluțiile acesteia.
Rezolvare:
a) “
” Dacă
este o soluție a ecuației
.
Din
și

“
”
Dacă
astfel încât
. Fie
cu
proprietatea că
. Atunci
este
soluție a ecuației

b) Dacă
este o soluție a ecuației
atunci
.
Fie
este o soluție oarecare a
ecuației
. Fie
și

Deci

astfel încât
Deci orice
soluție a ecuației
este de forma
Perechea
verifică ecuația

.

26
Cursuri si seminarii 9, 10, 11 , 12 – Inele factoriale

Definiție. Un inel integru R se numește inel factorial sau
descompunere unică în factori primi (ireductibili) , dacă orice
element neinve rsabil și nenul din R se descompune într -un produs finit
de elemente prime. Descompunerea este unică până la asociere și
ordinea factorilor.

Exemple:
Inelele
, Z[i], Z[
] și orice inel de polinoame de o
nedeterminată cu coeficien ți într-un corp sunt inele factoriale.

Unicitatea descompunerii ne spune să nu facem distincție între
descompunerile
ale lui 6 în Z.

Reamintim notiunile de prim si ireductibil.

Definiție. Fie R un domeniu de integritate. Un element
se
numește prim dacă:
1.

2.
ab

Definiție. Un element
se numește ireductibil dacă:
1.

2.
ab

Într-un inel factorial noțiunile de prim și ireductibil coincid. În
general o rice prim este ireductibil, reciproc nu.

27

Exemple:
Fie

. Să verificăm că 2, 3,
și
sunt
ireductibile dar nu sunt prime în
.
Fie

Din
Egalitatea

este imposibilă. Din
Deci 3
este ireductibil în
. Presupunem că 3 este prim în

Deci
ontradicție

Fie

Din
Egalitatea

este imposibilă. Din
Deci 2
este ireductibil în
. Presupunem că 2 este prim în

Deci
ontradicție

Fie

28
Din
Egalitatea
este imposibilă. Egalitatea
este imposibilă. Din
Deci
este ireductibil în
. Presupunem că
este prim în

Deci
ontradicție

Fie

Din
Egalitatea
este imposibilă. Egalitatea
este imposibilă. Din
Deci
este ireductibil în
.
Presupunem că
este prim în

Deci
ontra dicție

Deoarece în inelele factoriale orice element ireductibil este prim
rezultă că inelul
nu este factorial.

Teoremă. Orice inel principal este factorial.
Demonstrație:
Demostrația acestei teoreme rezultă din faptul ca într-un inel
principal orice element nenul și neinversabil se descompune în produs
finit de elemente prime, deci inelul este factorial.
Lemă. Dacă R este un inel factorial, descompunerea unui element în
produs de elemente prime este unică în afară de ordin ea factorilor și o
asociere a lor. Adică dacă

29

atunci
și, schimbând eventual ordinea factorilor, avem
sunt elemente inversabile,

Demonstrație:
Vom face o inducție după numărul minim al factorilor di n cele
două descompuneri. Presupunem că
. Atunci pentru
avem
. Din
ireductibil rezultă că
este asociat cu unul dintre
,
. Putem presupune că acela este
. Atunci produsul
și deci toți
,
, ar fi elemente inversabile ale inelului
R, ceea ce este o contradicție. Deci
și afirmația este demonstrată
în acest caz.
Presupunem că afirmația este adevărată pen tru orice două
descompuneri în care una are mai puțin de n factori. Din
element
prim

,
(cel puțin unul). Presupunem că

și din

ireductibil

, unde u este element inversabil în R.
Din
=
. Deoarece
este element prim rezultă că avem două
descompuneri ale elementului
în produs de elemente prime și d in
ipoteza inductivă

iar după o eventuală renumerotare

,
.

Lemă. Într-un inel factorial R orice element ireductibil este prim.

Demonstrație:
Fie a un element ireductibil d in inelul R. Atunci din faptul că a
este produs de elemente prime rezultă că se divide cu un element prim
p. Dar p este neinversabil
Deci a este prim.

30

Teoremă. Fie R un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1. R este inel facto rial.
2. Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în
produs finit de elemente ireductibile și orice element ireductibil
este prim.
3. Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în
produs finit de elemente ireductibile și două astfel d e
descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de
asociere.
4. Orice element nenul și neinversabil din R este produs finit de
elemente ireductibile și orice două elemente din R au un cel mai
mare divizor comun.
Demonstrație: Aratam doar implicati ile 3
4 si 4
1
3
4
Fie
două elemente nenule și neinversabile. Pentru a găsi
cel mai mare divizor comun al elementelor a și b se ia un sistem de
reprezentanți ai claselor de echivalență ale elementelor ir eductibile din
R în raport cu relația de asociere în divizibilitate, notat cu P. Atunci
există și sunt unic determinate
, distincte,
astfel încât
…
și
…
Elementele sunt unic determinate din unicitatea
descompunerilor în R. Fie
și definim
…
. Se
observă că
și d
. Dacă
și e
atunci orice factor ireductibil
care îl divide p e e divide pe a și pe b. Deci
pentru
că altfel a (sau b) ar avea două descompuneri în factori ireductibili,
dintre care una îl conține pe c, iar cealaltă nu, ceea ce contrazice
unicitatea descompunerilor. Deci e este de forma
…
,cu

31

. Din
Din
. Deci
și
.
4
1
Un inel integru R cu proprietatea că, pentru orice două elemente
există un cmmdc al lor, se numește GCD -inel. Din 4
R este
un GCD -inel. Să arătăm că orice element ireductibil în R este prim în R.
Fie
Dacă
rezultă că cmmdc
al elementelor p și x este1.
Dacă
și p
este prim cu x. Din
Din

p este prim în R. Deci R este inel
factorial.

Propoziție. Fie R un inel inel factorial,
și
. Dacă a
este prim cu orice

, atunci a este prim cu produsul
.

Demonstrație:
Vom arăta că nu există nici un element prim care să dividă atât
pe a cât și produsul
. Presupunem că există un element prim
care să dividă atât pe a cât și produsul
. Dacă p este un astfel
de element, atunci există j,
astfel încât
Din
p este inversabil, contradicție. Deci nu există nici
un element prim p care să dividă atât pe a cât și produsul
.
Fie R un inel integru și
inelul polinoamelor de o
nedetermi nată cu coeficienți în R. Elementele inversabile din
sunt
cele din R și numai ele. De aici rezultă că două polinoame din

sunt asociate dacă și numai dacă se obțin unul din celălalt prin
înmulțire cu un element inversabil din R. Un element
divide un
polinom din
dacă și numai dacă toți coeficienții polinomului se
divid cu a.

32

Lemă. Fie
și
. Dacă
atunci
,
oricare ar fi

Demonstrație:
Din
există
astfel încât
Dacă
, oricare ar
fi i. Presupunem că
deci avem
și

Propoziție. Fie R un inel integru. Dacă p este un element prim în R,
atunci p este p rim și în
.

Demonstrație:
Fie
astfel încât
Presupunem că
și
Din

rezultă că există i,
, astfel încât
Alegem i minim cu
această proprietate. Deci
. Din
rezultă că
există j,
, astfel încât
Alegem j minim cu această
proprietate. Deci
. Coeficientul lui
din
produsul
este elementul

și
, contradicție.
Deci trebuie ca
sau
.

Definiție. Fie R un inel factorial și
.
Cmmdc al coeficienților
,
,…,
este numit conținutul polinomului
f. Notație:

33
Definiție. Un polinom cu conținutul egal cu 1se numește polinom
primitiv. Observăm că
este polinom primitiv dacă și numai dacă
nu există p prim în R astfel încât p să dividă toți coeficienții lui
. Orice
polinom
se poate scrie sub forma
, unde
este
polinom primitiv. Reciproc dacă
,
și
primitiv
atunci

Propoziție. Fie R un inel factorial și f,g două polinoame primitive cu
coeficienți în R. Atunci și produsul fg este polinom primitiv.
Demonstrație:
Presupunem că fg nu este polinom primitiv
există p un element prim
în R astfel încât
. Avem
sau
. Deci avem o contradicție

fg este polinom primitiv.

Propoziție. Fie R un inel factorial și
. Atunci
.
Demonstrație:
Fie
, unde
polinoame primitive.
, cu
polinom primitive. Deci
.

Lemă. Fie R un inel factorial și
, unde
este un polinom
primitiv. Dacă

, atunci
.
Demonstrație:

Din

Din
polinom primitiv

Dar

34
Propoziție. Fie R un inel factorial , K corpul său de fracții și
Atunci f este ireductibil în
dacă și numai dacă f
este primitiv și este ireductibil în
.
Demonstrație:

“
” Din f ireductibil în
f este este polinom
primitiv
. Dacă
, atunci, înmulțind cu cmmmc
al numitorilor coeficienților polinoamelor g și h
cu
Aplicăm conținutul
polinoamelor
Din

unde
sunt primitive. Deci

. Din f ireductibil în
sau
. Din
și
sau

“
” Din f ireductibil în
nu are divizori proprii de
în
nu are divizori proprii de
în
. Cum f este
primitiv, nu are nici factori de grad 0 neinversabili
f ireductibil în
.

Lemă. Dacă R este inel fact orial orice polinom ireductibil din
este
prim.
Demonstrație:
Fie
un polinom ireductibil din
. Dacă
este element ireductibil în R
f este prim în R
f este
prim în
Dacă
este polinom primitiv. Presupunem că
f este element prim în
în
Presupunem
că
Atunci există
astfel încât
Rezultă că
în
.

35

Teoremă. Dacă R este inel factorial, atunci inelul de polinoame

este inel factorial.
Demonstrație:

Fie R un inel factorial și
ireductibil. Trebuie să arătăm că
orice polinom nenul și neinversabil din
este un produs d e
polinoame ireductibile. Vom demonstra aceasta prin inducție după
gradul polinomului. Dacă
și
este neinversabil

este produs finit de elemente prime în R care sunt prime și ireductibile
în
Dacă
, f se scrie sub forma
cu
un polinom primitiv și este suficient să verificăm existența
descompunerii pentru
. Dacă
este ireductibil atunci am terminat.
Dacă
nu este i reductibil rezultă că are un divizor propriu în
care
nu poate fi decât un polinom de grad strict mai mic decât
.
Polinomul
nu are divizori proprii în
pentru că este primitiv. Deci
de grade strict mai mici decât
. Aplicând
ipoteza de inducție pentru g și h

este un produs de factori
ireductibili în

Corolar. Dacă R este un inel factorial, atunci inelul de polinoame în n
variabile
este factorial.
Demonstrație:

Se demonstrează prin inducție după n. Dacă n = 1 rezultă
propoziție adevărată . Presupunem afirmația adevărată pentru n – 1

este inel factorial.
.
Inelele
cu K corp sunt inele factoriale.

36
Cursuri si seminarii 13, 14 – Module

Conceptul de modul peste u n inel este o generalizare a noțiunii de
spațiu liniar, unde cor pul comutativ al scalarilor se înlocuieș te cu un
inel.
Astfel , un modul (ca și un spatiu liniar) este î n primul râ nd un grup
aditiv abelian ; se defineș te apoi un produs extern între elementele
inelului și elementele modulului și au loc anumite proprietăț i.
Module le sunt strâns legate de teoria reprezentă rilor de grupuri. Ele
constituie noț iuni centr ale ale algebre i comutative ș i ale algebrei
omologice, fiind folosite intens în geometria algebrică ș i în topologia
algebrică .

Motivaț ia

Într-un spaț iu liniar, mulțimea scalarilor formează un corp comutativ și
acționează pe elementele spațiului liniar prin înmulț irea cu scalari.
Într-un modul , scalarii sunt elementele unui inel , de aceea conceptu l
de modul reprezintă o generalizare substanțială a conceptului de
spațiu liniar. În algebra comutativă , este important ca atât idealele,
cât și inelele factor să fie module , asa încâ t multe proprie tăți ale
idealelor sau ale inelelor factor pot fi tratate prin intermediul noț iunii
de modul.
În algebra necomutativă, anumite condiț ii referitoare la inele pot fi
exprima te fie cu ajutorul idealelor stângi sau module lor stâ ngi.
O mare parte a teoriei mod ulelor constă în extinderea câ t mai mult
posibil a unor proprietăți ale spațiilor liniare în contextu l modulelor
peste un anumit tip de inele, de exemplu DIP.
Totuș i, modulele sunt mai complicate decât spaț iile linia re. Nu toate
modulele au bază, și chiar atunci când au bază, nu au neaparat același
număr de elemente in bază , spre deosebire de spațiile liniare, pe ntru
care toate bazele unui spațiu liniar au acelaș i cardinal.
Definiț ie. Un R -modul stâ ng peste un inel R constă dintr-un grup
abelian (M, +) și o operatie externa R × M → M (numita înmulțire cu
scalari ș i notata de obicei prin juxtapunere , adică rx pentru r din R și
x din M) astfel încâ t pentru orice r, s din R, x, y din M, avem
1. r(x+y) = rx+ry
2. (r+s)x = rx+ sx
3. (rs)x = r(sx)
4. 1x = x .

37
Dacă notăm acțiunea scalară astfel: fr(x) = rx și cu f fun cția care
asociază fiecarui r pe fr , atunci prima condiție afirmă că fr este un
morfism de grupuri al lui M, iar celelalte trei condiții afirmă că f este un
morfism de in ele de la inelul R la inelul endomorfismelor End(M).
Astfel , un modul este acț iunea unui inel pe un grup abelian .

Un R-modul la dreapta M se definește similar, doar că inelul actionează
la dreapta, adic ă avem o înmulț ire cu scalari de forma M × R → M, iar
condițiile de mai sus sunt scrise cu scalari r și s la dreapta lui x și y.
Atunci câ nd inelele nu sunt unitare, se omite condiția 4 din definiț ia
unui R -modul. De aceea, structurile mai sus de finite se numesc R –
module la stâ nga unitare .

În cele ce ur mează , vom considera doar i nele ș i module unitare.

Un bimodul este un modul atât la stânga, cât și la dreapta, astfel încât
cele doua înmulț iri sunt compatibile.
Dacă R este comutativ , atunci R -modulele la stânga coincid cu R-
modulele la dreapta și le numim simplu R -module .

Exemple (seminar):
1) Dacă K este un corp comutativ , atunci conceptele de K-spațiu
liniar ș i K-modul coincid .
2) Conceptul de Z-modul coincide cu noț iunea de grup abelian. Cu
alte cuvinte, orice grup abelian este un modul peste inelul
întregilor Z. Pentru n > 0, avem nx = x + x + … + x ( de n ori ),
0x = 0 și (−n)x = −(nx). Astfel de module nu au bază (grupurile
care conț in elemente de torsiune nu au bază ). (Totuș i, un corp
comutativ finit , considerat ca modul peste el însuși, are bază ).
3) Dacă R este un inel arbitrar si n este un numă r natural , atunci
produsul cartezian R×R×…×R (de n ori) este atât modul la
stânga, cât și la dreapta peste R, dacă definim operaț iile pe
componente. Pentru n = 1, R este un R -modul , unde înmulțirea
cu scal ari este chiar înmulț irea din inel. Pentru n = 0 obținem R –
modulul trivial {0}. Module le de acest tip sunt libere și numarul
n este rangul modulului liber.
4) Dacă S este o multime nevida, M este un R -modul la stâ nga și
MS este mulțimea tuturor funcț iilor f : S → M, atunci adunarea și
înmulț irea cu scalari din MS definite prin (f + g)(s) = f(s) + g(s)
și (rf)(s ) = rf(s ) dau o structura de R -modul stâ ng lui MS. Cazul

38
R-modulelor drepte este analog . În particular, dacă R este
comutativ atunci mulț imea morfisme lor de R-module h : M → N
este un R -modul.
5) Mulțimea matricelor pă tratice de tip n × n cu elemente re ale
formează un inel R, iar spaț iul euclidian Rn este un R -modul la
stânga peste R dacă definim operația externă ca fiind înmulț irea
matricelor .
6) Dacă R este un inel arbitrar și I este un ide al stâ ng al lui R,
atunci I este un modul la stâ nga peste R. Analog , idealele drepte
sunt module la dreapta .
7) Dacă R este un inel , definim inelul op R, care are aceeași
mulțime suport și aceeași adunare, dar înmulțirea este definită
astfel: daca ab = c in R, atunci ba = c î n op R. Orice R-modul la
stânga M poate fi vă zut ca un modul drept peste op R, și orice
modul la dreapta peste R poate fi considerat un modul la stâ nga
peste op R .
Submodule ș i morfisme
Fie M un R-modul stâng ș i N un subgr up al lui M. Spunem ca N este un
submodul (sau un R -submodul ) dacă pentru orice n din N și orice r din
R, produsul rn este î n N (sau nr pentru un modul drept ).

Multimea submodulelor unui modul dat M, împreună cu cele două
operaț ii binare + and ∩, form ează o la tice modulară, adică :
date submodulele N, N1, N2 ale lui M, astfel încâ t N1 ≤ N 2, avem:
(N1 + N) ∩ N2 = N 1 + (N ∩ N2).

Dacă M și N sunt R -module stâ ngi, atunci funcț ia f : M → N este un
morfism de R-module dacă pentru orice m, n din M și r, s din R, avem
f(rm + sn) = rf(m) + sf(n).

Un morfism bijectiv de module se numeș te izomorfism de module și
cele două module se numesc izomorfe. Nu vom face distincție între
module izomorfe, pentru că ele se comportă la fel în studiul
propr ietăților algebrice.

Nucleul unui morfism de module f : M → N este un submodul al lui M,
ce conț ine toate elementele a căror imagine prin f este 0.

Teoremele de izomorf ism de la grupuri sau de la spații liniare sunt
valabile ș i pentru R-module.

39
R-modu lele stâ ngi, împreună cu morfismel e lor de module formează o
categorie , notată R-Mod și care este o categorie abeliană .

Tipuri de module
Finit gene rat. Un modul M este finit generat dacă există un numă r finit
de elemente x1,…,x n în M, astfel încâ t orice element al lui M este o
combinație liniară a acelor elemente, cu coeficienț i din inelul scalarilor
R.

Modul ciclic. Un modul se numeș te ciclic daca este generat de un
singur element.

Liber. Un modul liber este un modul care are o bază , sau echivalent ,
care este izomorf cu o sumă directă de copii ale inelului de scalari R.
Aceste module sunt foarte similare spaț iilor liniare.

Proiectiv. Modulele proiective sunt sumanț i directi ai unor module
libere.

Injectiv . Module injective sunt definite ca fiind dualele modulelor
proiective.

Simpl u. Un modul simplu S este un modul nenul și ale că rui unice
submodule sunt {0 } și S. Modulele s imple sunt uneori numite
ireductibile .

Indecomposab il. Un modul indecompozabil este un modul nenul care
nu poate fi scris ca o sumă directă de submodule nenule. Orice m odul
simplu este indecompozabil .

Fidel. Un modul fidel M este unul pentru care acț iunea fiecarui
r ≠ 0 din R pe M este netrivial ă (adică rx ≠ 0 pentru un x din M).
Echivalent , anihilatorul lui M este idealul nul .

Noetherian . Un modul noetherian este un modul, pentru car e orice
submodul este finit generat. Echivalent , orice lanț crescă tor de
submodule devine staționar după un număr finit de paș i.

Artinian . Un modul artinian este un modul î n care orice lanț
descrescă tor de submodule devine staționar după un număr finit de
pași.

40
Produs tensorial de module
Fie R un inel, M un R – modul , N un R -modul si G un grup abelian.
O functie φ: M × N → G se numeste R-balansata daca pentru orice m,
m’ din M, n,n ’ din N si r din R au loc urmatoarele conditii:

 φ(m, n + n′) = φ(m, n) + φ(m, n′)
 φ(m + m′, n) = φ(m, n) + φ(m′, n)
 φ(m ⋅ r, n) = φ(m, r ⋅ n)

Multimea tuturor functiilor balansate peste R de la M x N la G se
noteaza cu LR(M, N; G).
Daca φ, ψ sunt R-balansate, atunci si φ + ψ si−φ sunt R-
balansate. Astfel, LR(M, N; G) este un grup abelian in raport ciu
adunarea.

Sa remarcam faptul ca orice inel R este un R -modul , in care inmultirea
este R -balansata .

Definiti e. Pentru un inel R, un R -modul drept M si un R -modul stang
N, produsul tensorial al lui M si N peste R este un grup abelian , care
impreuna cu o functie balansata, satisface urmatoarea proprietate de
universalitate:

Pentru orice grup abelian G si orice funct ie balansata f , exista si este
unic morfismul f~, care face diagram de mai sus comutativa.

41
Produsul tensorial este unic, pana la izomorfism, fiind definit printr -o
proprietate de universalitate.

Pentr u orice x din M si ori ce y din N, notam cu x ⊗ y imaginea lui (x, y)
prin functia ⊗.
Asadar, pentru orice x,x ’ din M, y, y ’ din N si orice r din R, avem
x ⊗ (y + y′) = x ⊗ y + x ⊗ y′
(x + x′) ⊗ y = x ⊗ y + x′ ⊗ y
(x ⋅ r) ⊗ y = x ⊗ (r ⋅ y)

Proprietati:

1. Orice element din M ⊗RN poate fi scris sub forma
∑i xi⊗yi, scrierea nefiind unica.
2. Daca R este un inel comu tativ si M, N siP sunt R-module, atunci
R⊗RM=M, (M⊗RN)⊗RP= M⊗R(N⊗RP), M⊗RN= N⊗RM.

3. Daca M este liber de baza {ei}i in I si N este liber de baza {fj}j in J
atunci M⊗RN este liber de baza {ei⊗ fj }i in I, j in J.

Bibliografie:
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/
[2] Ion, D.I., Radu, N., Algebra , EDP, București, 1981/91
[3] Ion, D.I et al., Probleme de Algebră , EDP, București 1981
[4] Leoreanu, V., Fundamente d e algebră , Ed. MatrixRom, București,
2001
[5] Năstăsescu, C., ș.a., Bazele algebrei , Vol.I., Ed.Acad., București,
1986
[6] Purdea, I., Tratat de algebra moderna , vol II, Ed. Academiei,
București, 1982
[7] Tărnăuceanu, M., Probleme de algebră , vol.II., Ed.U niv.”Al.I.Cuza”
Iași, 2003
[8] Tofan, I, Volf, A.C. Algebra, Inele, Module, Teorie Galois , Ed.
Matrix Rom, București, 2001
[9] Tofan, I., Elemente de algebra, Ed. Univ. Al.I.Cuza, Iasi, 1998