Aritmetic a n domenii de integritate [616478]

Aritmetic a ^ n domenii de integritate
C aluian Georgiana – Mihaela
January 14, 2019

Cuprins
Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Inele 3
1.1 Inele, ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Divizibilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Tipuri speciale de inele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Inel principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Inel euclidian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.3 Inel factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.4 Inelul factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Ecuat ,ii diofantice 22
2.1 Ecuat ,iaax+by+c= 0a;b;c2Z(1) . . . . . . . . . . . . . . 22
1

Introducere
Teoria structurilor algebrice este reprezentat a de algebra contemporan a.
Conceptul de structur a s-a dezvoltat la ^ nceputul secolului XX. Acest concept a
caracterizat g^ andirea algebric a ^ n secolul trecut, av^ and o mare important , a
pentru algebr a. Odat a cu trecerea anilor a mai suferit modic ari s ,i s-a extins s ,i
la alte domenii ale matematicii, ca de exemplu la structurile topologice sau
diferent ,iale. ^In teoria algebric a a numerelor s ,i geometria algebric a ^ nt^ alnim
structurile algebrice de inel s ,i ideal al unui inel, av^ and o mare important , a ^ n
aceste domenii. Cel care a pus bazele teoriei idealelor a fost Richard Dedekind
(1831 – 1916) . Un rol important ^ n studiul inelelor s ,i al idealelor de polinoame
ca aspecte algebrice ale bazelor geometriei algebrice l-a avut s ,coala german a s ,i
^ n primul r^ and matematiciana Emmy Noether (1882 – 1935) , supranumit a s ,i
"Mama Algebrei Moderne".
2

Capitolul 1
Inele
1.1 Inele, ideale
Denit ,ia 1.1.1 O mult ,ime nevid a R, ^ mpreun a cu dou a operat ,ii:+ :RR!R
s,i
:RR!R, una notat a aditiv s ,i numit a adunare , iar cealalt a notat a
multiplicativ s ,i numit a ^ nmult ,ire, se numes ,teinel s,i satisface propriet at ,ile:
a)(R, +) este grup abelian;
b)(R,
) este monoid comutativ;
c)operat ,ia de ^ nmult ,ire este distributiv a fat , a de adunare:
a
(b+c)=a
b+a
c,
(b+c)
a=b
a+c
a,
pentru orice a,b,c 2R
Elementrul neutru al grupului ( R, +) se noteaz a cu 0 (acesta poart a denumirea
deelementul zero al inelului ). Simetricul unui element arbitrar a 2R^ n raport
cu adunarea se noteaz a "-a" s ,i poart a denumirea de opusul lui a .
Inelul se numes ,teinel unitar dac a ^ n plus operat ,ia de ^ nmult ,ire admite element
neutru, notat cu 1 s ,i numit unitate sauelemenul unu al inelului. Astfel, ( R,
)
este monoid. Not am a1inversul lui a, dac a exist a, simetricul unui element a 2
Rfat , a de "
".^In acest caz spunem c a a este inversabil.
Se noteaz a cu U(R)mult ,imea elementelor inversabile s ,i s ,tim c a (U(R);
)este
grup. Dac a ^ nmult ,irea este comutativ a, inelul se numes ,tecomutativ .
Exemplul 1.1.1 Iat a c^ ateva exemple de inele unitare comutative:
i)(Z,+,
), (Q,+,
), (R,+,
);
ii)Inelul claselor de resturi modulo n, ( Zn,+,
), pentru orice ^ ntreg n1;
Observat ,ia 1.1.1 Exist a un singur inel ^ n care 0=1, acesta ind inelul nul
R=f0g.
3

Propozit ,ia 1.1.1 ^In inelul unitar ( R, +,
), au loc:
a)0
x=x
0 = 0 , pentru orice x2R;
b)x
(y) = (x)
y=(x
y), s ,i(x)
(y) =x
y;
c)x
(yz) =x
yx
z, (8) x,y,z2R;
d)(x)n=xn, dac a n este par; (x)n=xndac a n este impar;
e)x
(y1+y2+:::+yn) =x
y1+x
y2+:::+x
yn,8n2N,8x,yi2R,
i=1;n;
f)Dac ax
y=y
x, comut a, atunci:
xnyn= (xy)(xn1+xn2y+:::+xyn2+yn1);
(x+y)n=nX
k=0Ck
nxnkyk,Ck
n=n!
(nk)!k!(Binomul lui Newton).
Demonstrat ,ie: a) T,in^ and cont c a 0 este element neutru la adunare s ,i c a
^ nmult ,irea este distributiv a fat , a de adunare, vom face urm atorul calcul:
0
x= (0 + 0)
x= 0
x+ 0
x)0
x= 0
Analog pentru x
0
b)Folosind rezultatul de la punctul anterior,
0 =x
0 =x
(y+ (y)) =x
y+x
(y))x
(y) =(x
y).
Analog ar at am pentru ( x)
y=(x
y) s,i
(x)
(y) =(x
(y)) =((x
y)) =x
y
c)Acest punct este consecint ,a distributivit at ,ii ^ nmult ,irii fat , a de adunare s ,i a
rezultatului de la punctul anterior.
d)Acest punct se demonstreaz a prin induct ,ie pentrun= 2k. Vom face induct ,ie
dup a num arul k. Pentru k= 1, conform punctului b),
(x)2= (x)
(x) =x
x=x2.
Presupunem adev arat c a ( x)2k=x2k, vom ar ata c a (x)2(k+1)=x2(k+1).
^Intr-adev ar,
(x)2(k+1)= (x)2k
(x)2=x2k
x2=x2k+2
Rezultatele punctelor e)s,if)se demonstreaz a de asemenea prin induct ,ie.
Denit ,ia 1.1.2 Not am cuRmult ,imeaRrf0g. Un element x din mult ,imea
Rse numes ,te divizor al lui zero dac a exist a un element y2Rastfel ^ nc^ at
x
y= 0.
Denit ,ia 1.1.3 Un inel comutativ f ar a divizori se numes ,tedomeniu de
integritate . Numim inel integru un inel f ar a divizori ai lui zero.
4

Exemplul 1.1.2 Exemple de domenii de integritate:
a)(Z,+,
), (Q,+,
), (R,+,
);
b)Toate inelele de ^ ntregi p atratici sunt domenii de integritate;
^In teoria numerelor, inelele de ^ ntregi p atratici au un rol foarte important. ^In
ceea ce urmeaza, prezent am o serie de fapte elementare despre aceste inele.
Denit ,ia 1.1.4 Numim corp de numere p atratice (sau corp p atratic), un
subcorp al lui Ccare, v azut ca spat ,iu vectorial peste Q, are dimensiunea 2.
Orice corp p atratic este de forma Q[p
d] =fa+bp
dja;b2Qg, unded
reprezint a un num ar ^ ntreg liber de p atrate.
Denit ,ia 1.1.5 Numim polinom unitar, un polinom care are coecient ,ii
termenului de grad maxim egal cu 1.
Denit ,ia 1.1.6 Numim element ^ ntreg peste Z(sau ^ ntreg algebric), un
element al lui Ccare este r ad acina unui polinom unitar cu coecient ,i ^ nZ.
Exemplul 1.1.3 Exemplu de element ^ ntreg peste Zestep
2.1
2nu este
element ^ ntreg peste Z. Uneori, pentru a evita confuziile, numerele din Zse
numesc ^ ntregi rat ,ionali.
Denit ,ia 1.1.7 Numim ^ ntreg p atratic, un element al unui corp p atratic care
este ^ ntreg peste Z.
Se arat a c a r ad acina unui polinom unitar de grad 2 av^ and coecient ,i ^ ntregi este
un ^ ntreg p atratic.
^In continuare, x am d2Zliber de p atrate. Se denesc aplicat ,iile:
norm a:N:Q[p
d]!Q
urm a:Tr:Q[p
d]!Q,
cu
N(a+bp
d) :=a2db2,8a;b2Q
Tr(a+bp
d) := 2a,8a;b2Q.
Atunci are loc proprietatea:
Un element x2Q[p
d] este ^ ntreg dac a s ,i numai dac a Tr(x)2Zs,iN(x)2Z.
Mult ,imeafx=a+bp
dja;b2Q,x^ ntreg pesteZg, adic a ^ ntregii p atratici din
Q[p
d], formeaz a inelul ^ ntregilor lui Q[p
d]. Acest tip de idel se numes ,teinel
de ^ ntregi p atratici imaginar dac a d<0, respectiv real dac a d>0.^In acest caz
are loc:
5

Propozit ,ia 1.1.2 Inelui ^ ntregilor lui Q[p
d]esteZ[p
], unde
Z[p
] =fa+bja;b2Zg, cu
=8
<
:p
d; dac ad2sau 3 (mod 4)
(1 +p
d)
2;dac ad1 (mod 4):
Pentrud2Z, liber de p atrate, prin ^ nt ,elegem num arul dat de propozit ,ia
precedent a. Putem observa c a Q[p
d] =Q[p
] =fa+bja;b2Qg. Dac a
d1(mod4) s ,iZ[] =fa+b(1+p
d)
2ja;b2Zg, este caracterizat ca ind mult ,imea
elementelor care au forma u+vp
d, cuu;v2Zde aceeas ,i paritate.
Exemplul 1.1.4 Z[p
2],Z[i],Z[(1+ip
3)
2],Z[(1+p
5)
2].
Restrict ,ia luiNlaZ[] are o proprietate, s ,i anume c a N()2Z,82Z[]. Se
obt ,ine aplicat ,ia:
[N] :Z[]!N,
jNj() =jN()j,82Z[].
Denit ,ia 1.1.8 Un inel ^ n care orice element nenul e simetrizabil fat , a de a
doua operat ,ie se numes ,tecorp .
Propozit ,ia 1.1.3 Orice corp este inel integru.
Demonstrat ,ie:Presupun^ and prin absurd c a un corp A admite x2Aun
divizor al lui zero, astfel exist a un y2Acu proprietatea ca x
y= 0. S ,tiind c a
y2As,i A este corp rezult a c a exist a y12Acu proprietatea c a:
y
y1=y1
y=1.
^Inmult ,im relat ,iax
y= 0 cuy1la dreapta, g asim x= 0. Aceasta este o
contradict ,ie cux2A. Presupunerea pe care am facut-o este fals a, deci A nu
admite divizori ai lui 0 (A este inel integru).
Propozit ,ia 1.1.4 Consider am Run inel integru s ,i elementele a,b,c 2Rcu
condit ,ia ca c6=0.^In cazul ^ n care a
b=b
c, atuncia=b.
Demonstrat ,ie:^In cazul ^ n care a
b=b
c, mut am termenul b
cl^ anga
termenula
bs,i rezult a c a a
bb
c= 0. D am factor comun = )(ab)
c= 0.
Dar (ab)6= 0 nu convine deoarece s ,tim c ac6= 0 s ,i produsul din integritatea
luiReste6= 0. ^In concluzie, ( ab) = 0, deci a=b.
Denit ,ia 1.1.9 Consider am dou a inele ( R1,+,
), (R2,+,
). O funct ,ie f:R1!R2
se numes ,temorsm de inele dac a satisface urm atoarele dou a propriet at ,i:
6

f(a+b) =f(a) +f(b),
f(a
b) =f(a)
f(b),8a,b2R1.
Numimf, morsm unitar dac a f(1) = 1 .
Dac aR1s,iR2sunt corpuri, atunci un morsm unitar de inele f:R1!R2se
numes ,temorsm de corpuri .
Morsmele f:R1!R1se numesc endomorsmele inelului R1(la fel ca s ,i ^ n
cazul grupurilor).
Exemplul 1.1.5 a)Funct ,iaf:Z!Q, cuf(t) =t,8t2Z, este morsm
unitar injectiv de inele;
b)Pentru orice inel unitar (R1;+;
)s,itun num ar ^ ntreg, not am
t1= 1 + 1 +


+1|{z}
t, pentrut>0, s ,it1= 0, respectivt1= 11


1|{z}
-t, pentru
t<0. Funct ,ia
f:Z!R1,f(t) =t1,8t2Z,
este morsm unitar de inele. ^In plus, acest morsm este unic determinat de
f(1) = 1 .
c)Fie (R1,+,
), (R2,+,
) dou a inele oarecare. Funct ,ia
f:R1!R2,f(x) = 0 ,8x2R1,
este morsm (neunitar) de inele, numit morsmul nul , iar funct ,ia
identitate 1R1:R1!R1, este morsm (unitar dac a inelul R1este unitar), de
inele, care poart a numele de morsm identic .
Propozit ,ia 1.1.5 Dac a o funct ,ief:R!R0este morsm de inele, atunci:
a)f(0) = 0 ;
b)f(a) =f(a),8a2R;
c)f(ab) =f(a)f(b),8a,b2R;
Dac af:R!R0este morsm de corpuri, atunci, pe l^ ang a cele de mai sus avem
^ n plus s ,i:
d)f(a1) = (f(a))1,8a2U(R).
Demonstrat ,ie: a)f(0) =f(0 + 0) =f(0) +f(0))f(0) = 0;
b)0 =f(0) =f(a+ (a)) =f(a) +f(a))f(a) =f(a);
c)f(ab) =f(a+ (b)) =f(a) +f(b) =f(a)f(b);
d)1 =f(1) =f(a
a1) =f(a)
f(a1))f(a1) = (f(a))1,8a2U(R).
Propozit ,ia 1.1.6 Dac a dou a funct ,ii sunt morsme de inele, atunci
compunerea lor, dac a exist a, este morsm de inele.
f:R1!R2,g:R2!R3,
fg:R1!R2
7

Propozit ,ia 1.1.7 Se numes ,teizomorsm de inele o funct ,ief:R1!R2,
morsm de inele, dac a exist a o funct ,ieg:R2!R1, morsm de inele, cu
proprietatea c a gf= 1R1s,ifg= 1R2. Un endomorsm bijectiv se numes ,te
automorsm .
Exist a dou a tipuri de submult ,imi remarcabile ^ n inele: subinelul s ,i idealul.
Denit ,ia 1.1.10 Fie(A;+;
)un inel s ,i B o submult ,ime nevid a a sa.
Numim subinel al lui A o submult ,ime B a lui A care este inel ^ n raport cu
operat ,iile induse de cele dou a operat ,ii din A. Dac a B are proprietatea
anterioar a s ,i A este corp, atunci el se numes ,te subinel al corpului A. Dac a A
este corp s ,i B este corp ^ n raport cu operat ,iile induse, atunci B se numes ,te
subcorp al lui A, iar A extindere a corpului B.
Exemplul 1.1.6 a)Pentru (A;+;
)un inel oarecare,f0g, A sunt subinele.
Dac a A este corp, atunci submult ,imeaf0geste subinel, iar A este subcorp.
b)(Z;+;
)este subinel al corpului (Q;+;
), care este subcorp ^ n (R;+;
).
Propozit ,ia 1.1.8 a)Submult ,imea nevid a B a inelului (A;+;
)este subinel
dac a s ,i numai dac a s ,i numai dac a pentru orice elemente x,y2B, au locx+y
2B s ,ix
y2B.
b)Submult ,imea nevid a B a corpului A este subcorp dac a s ,i numai dac a pentru
oricex,y2B s ,iy6= 0 au locx+y2B s ,ix
y12B.
Demonstrat ,ie: a) Din proprietatea de parte stabil a a inelului B ^ n raport cu
operat ,iile din A, implicat ,ia direct a este evident a. Reciproc, dac a pentru orice
elementex,y2B are loc suma x+y2B, atunci (B;+) este subgrup ^ n ( A;+).
Condit ,ia ca produsul x
y2B pentru orice elemente x,y2B, asigur a ( B;
)
parte stabil a. Axiomele caracteristice structurii de inel, valabile ^ n A, se ment ,in
s,i ^ n B.
b)Se va demonstra analog cu rat ,ionamentul punctului a).
Observat ,ia 1.1.2 XReste subinel dac a:
a)(X;+)este subgrup al lui (R;
);
b)(X;
)este submonoid al lui (R;+).
Denit ,ia 1.1.11 Consider am un inel ( R, +,
) s ,i o submult ,ime nevid a a sa I.
Aceast a submult ,ime se numes ,te ideal la st^ anga al luiRdac a elementul 0 al
inelului apart ,ine submult ,imii I, pentru orice elemente x,y care apart ,in
submult ,imii I, suma elementelor x+yapart ,ine lui I s ,i pentru orice element a 2
Rs,i orice x2I, a
x apart ,ine lui I.
02I;
x+y2I,8x,y2I;
a
x2I,8a2R,8x2I.
8

Denit ,ia 1.1.12 Consider am un inel ( R, +,
) s ,i o submult ,ime nevid a a sa I.
Aceast a submult ,ime se numes ,te ideal la dreapta al luiRdac a elementul 0 al
inelului apart ,ine submult ,imii I, pentru orice elemente x,y care apart ,in
submult ,imii I, suma elementelor x+yapart ,ine lui I s ,i pentru orice element a 2
Rs,i orice x2I, x
a apart ,ine lui I.
02I;
x+y2I,8x,y2I;
x
a2I,8a2R,8x2I.
Observat ,ia 1.1.3 Dac a submult ,imea I este ideal la st^ anga s ,i la dreapta se
numes ,te ideal bilateral , mai us ,or spus, aceast a submult ,ime se numes ,te ideal .
Observat ,ia 1.1.4 ^In cazul inelelor comutative, not ,iunile de ideal st^ ang, drept
s,i bilateral coincid. Dac a nu vom specica altfel, prin ideal al unui idel vom
^ nt ,elege ideal la st^ anga.
Teorema 1.1.1 Fief:R1!R2un morsm de inele s ,iR0
1R1,R0
2R2,
subinele,I2Ids(R1) (Idd(R1);Idb(R1))s,iJ2Ids(R2) (Idd(R2);Idb(R2)).
Atunci urm atoarele armat ,ii sunt adev arate:
a)f(R0
1)este subinel al inelului R2s,if1(R0
2)este subinel al inelului R1;
b)f1(J)este ideal la st^ anga al lui R1, respectiv la dreapta sau bilateral, ^ n
funct ,ie de cum este J, s ,iKer(f)f1(J);
c)Dac afe surjectiv, atunci f(I)este ideal al inelului R2, de acelas ,i fel cu
idealulI.
Demonstrat ,ie: a) Demonstr am c a submult ,imile date sunt subinele folosind
condit ,iile din Propozit ,ia 1.1.8 .
Oricare ar  a1;a22f(R0
1), exist ab1;b22R0
1astfel ^ nc^ at:
a1=f(b1),a2=f(b2).
Din proprietatea de morsm a lui fs,i pentru c a R0
1este subinel, atunci b1b2
2R0
1s,ib1
b22R0
1, rezult a:
a1a2=f(b1b2)2f(R0
1),
a1
a2=f(b1
b2)2f(R0
1).
^In nal, rezult a c a f(R0
1) este subinel ^ n R2.
Fieb1;b22f1(R0
2), arbitrar alese, iar f(b1),f(b2)2R0
2. Funct ,iafmorsm de
inele s ,iR0
2este subinel. As ,adar:
f(b1b2) =f(b1)f(b2)2R0
2)b1b22f1(R0
2),
f(b1
b2) =f(b1)
f(b2)2R0
2)b1
b22f1(R0
2).
Am obt ,inut c af1(R0
2) este subinel ^ n R1.
b)S,tim c a 0 = f(0) se a
 a ^ n idealul J, as ,adar 02f1(J).
Fieb1;b22f1(J) s,iaelement arbitrar ales, cu a2R1. Dac afeste morsm s ,i
Jideal ^ nR2, atunci:
9

f(b1+b2) =f(b1) +f(b2)2J)b1+b22f1(J),
f(a
b1) =f(a)
f(b1)2J)a
b12f1(J).
^In concluzie, f1(J) este ideal ^ n R1.
Pentru orice x2Ker(f),f(x) = 02J, atunci rezult a c a x2f1(J).
c)Elementul zero al inelului R1se a
 a ^ n idealul I, as ,adar 0 =f(0)2f(I).
Fiea1;a22f(I) s,ic2R2, arbitrar alese. Exist a b1;b22Iastfel ^ nc^ at
a1=f(b1),a2=f(b2). Din ipoteza de surjectivitate a lui f, exist ad2R1cu
f(d) =c. Astfel, din proprietatea de morsm a lui fs,i din faptul c a Ieste
ideal, rezult a:
a1+a2=f(b1+b2)2f(I),
c
a1=f(d
b1)2f(I).
Rezult af(I) este ideal.
Observat ,ia 1.1.5 DinTeorema 1.1.1 avem urm atoarele consecint ,e:
a)Ker(f)- nucleul morsmului f
Ker(f) =f1(f0g) =fx2R1jf(x) = 0geste subinel s ,i totodat a s ,i ideal
bilateral ^ n R1(mult ,imeaf0geste subinel s ,i ideal bilateral ^ n R2).
b)Imf – imaginea morsmului f
Imf =f(R1)este subinel ^ n R2, iar dac afeste surjectiv a, atunci este ideal.
Mai mult de at^ at ind chiar idealul total R2.
O alt a consecint , a este:
Propozit ,ia 1.1.9 Morsmulfeste surjectiv, atunci urm atoarele asocieri sunt
inverse una celeilalte. Astfel, acestea sunt bijective:
 : [Ker(f);R1]s!Ids(R2),(I) =f(I),8I2[Ker(f);R1]s,
:Ids(R2)![Ker(f);R1]s, (J) =f1(J),8J2Ids(R2),
unde prin [I;R 1]s^ nt ,elegem toate idealele la st^ anga ale lui R1, care cont ,in
idealulI.
Morsmulfde inele este injectiv doar dac a Ker(f) =f0g.
Exemplul 1.1.7 a)Idealul bilateralf0gRse numes ,te ideal nul;
b)Idealul bilateral RRse numes ,te ideal total;
c)Dac a funct ,iaf:R!Seste morsm de inele, atunci Kerf este ideal ^ n
inelulR.
Observat ,ia 1.1.6 Din denit ,ie tragem concluzia c a orice ideal este subinel,
dar nu orice subinel este ideal.
Exemplul 1.1.8 SubinelulZal luiQnu este ideal:
7
8
9=2Z
10

Exemplul 1.1.9 a)^In orice inel (R;+;
),f0g,Rsunt numite idealele
improprii ale inelului (idealul nul, respectiv idealul total). Celelalte ideale se
numesc ideale proprii.
b)Fie elementul x2R, arbitrar ales. Atunci:
x
R=fx
a;a2Rg,R
x=fa
x;a2Rg,
sunt ideale la st^ anga, respectiv la dreapta ale inelului R, numite ideale generate
dex.
Elementulxgenereaz a ideale, numite ideale principale. Dac a Re comutativ,
atuncix
R=R
xs,i se noteaz a (x).
Propozit ,ia 1.1.10 FieXun ideal al inelului R. Avem elementul 12Xdac a
s,i numai dac a X=R.
Demonstrat ,ie:S,tim din denit ,ia idealului c a a
x2X, pentru orice element
a2Rs,ix2X. Dac a elementul 1 2X, atuncia
12Xpentru orice element
a2R. Rezult a c a RX, deciX=R. Reciproca este evident a.
Propozit ,ia 1.1.11 FieXun ideal al inelului R. Are locX=Rdac a s ,i numai
dac aU(R)\X6=.
Demonstrat ,ie:Implicat ,ia direct a este evident a. Reciproc, e x2U(R)\X.
Dac ax2U(R),rezult a c a exist a inversul s au, x12R. Din denit ,ia idealului,
x1
x2X, deci 12X. Conform propozit ,iei anterioare, rezult a c a X=R.
Mult ,imea idealelor (la st^ anga) ale inelului Rle vom nota cu Id(R). Relat ,ia de
incluziune este o relat ,ie de ordine part ,ial a peId(R).
Propozit ,ia 1.1.12 Dac aX1,X22Id(R), atunci intersect ,ia luiX1s,iX2
2Id(R)s,i acest ideal este cel mai mare ideal al lui Rinclus ^ nX1s,i ^ nX2, ^ n
sensul relat ,iei"".
Demonstrat ,ie:IdealeleX1s,iX2ale luiRsunt subgrupuri ale grupului
(R;+). S ,tim c a intersect ,ia a dou a subgrupuri este subgrup, deci intersect ,ia
X1\X2este subgrup ^ n grupul ( R;+).^In plus, oricare ar  a2Rs,i
x2X1\X2)a
x2X1s,ia
x2X2deoareceX1s,iX2apart ,inId(R).^In
concluzie,a
x2X1\X2, adic aX1\X22Id(R). Pentru orice alt ideal K, cu
proprietatea c a KX1s,iKX2)KX1\X2.
Observat ,ia 1.1.7 Propozit ,ia anterioar a are o generalizare natural a, s ,i anume:
intersect ,ia unei familii de ideale este un ideal.
Propozit ,ia 1.1.13 Fie idealele I1,I22Id(R). Atunci mult ,imea
I1+I2=fx1+x2jx12I1s,ix22I2geste ideal ^ n R. Aceast a mult ,ime poart a
numele de suma celor dou a ideale. Mai mult spus, este cel mai mic ideal care
includeI1s,iI2.
11

Demonstrat ,ie:Trebuie s a ar at am c a suma celor dou a ideale veric a condit ,iile
dinObservat ,ia 1.1.3 .I1 siI2ind ideale, avem c a 0 2I1+I2, deoarece
0 = 0 + 0, 02I1 si 02I2. Consider am elementele x;y2I1+I2, arbitrar alese.
Din denit ,ia mult ,imiiI1+I2)exist ax1,y12I1s,ix2,y22I2astfel ^ nc^ at
x=x1+x2s,iy=y1+y2. Calcul am suma x+y:
x+y= (x1+y1) + (x2+y2)
Dinx1s,iy12I1, iarI12Id(R))x1+y12I1.
Analog pentru x2s,iy22I2, iarI22Id(R))x2+y22I2.
Dac ax=x1+x12I1+I2, atuncix= (x1) + (x2)2I1+I1, pentru c a
x1,x12I1s,ix2,x22I2.I1s,iI2sunt ideale.
Fie elementele x1,x2s,ia, arbitrar alese, cu x=x1+x22I1+I2s,ia2R.
Avemax=ax1+ax2. Dina2Rs,ix12I1)a
x12I1, deoareceI1este
ideal. Analog pentru a2Rs,ix22I2s,i atunci:a
x2I1+I2. Astfel, condit ,iile
dinObservat ,ia 1.1.3 sunt satisf acute, deci I1+I22Id(R).
Deoarece 02I1, remarc am faptul c a avem I2I1+I2. Analog 02I2, rezult a
I1I1+I2.
Dac a exist a J2Id(R) astfel ^ nc^ at I1;I2J, demonstr am c a I1+I2J.
Fiexarbitrat ales, x2I1+I2cu proprietatea c a x=x1+x2s,ix12I1,
x22I2. CumI1;I2J, rezult a c a x1;x22J. Dac aJeste ideal, atunci
x1+x22J, mai exact I1+I2J.
Observat ,ia 1.1.8 Propozit ,iile 1.1.19 s,i1.1.10 demonstreaz a faptul c a ^ n
mult ,imea ordonat a (Id(R);)exist a inmum s ,i supremum ( inf(I1;I2) =I1\I2
s,isup(I1;I2) =I1+I2) pentru orice dou a elemente I1;I22Id(R).
^In concluzie, mult ,imea ordonat a (Id(R);), este latice.
Suma a dou a ideale ale unui inel se poate universaliza la suma idealelor dintr-o
familie indexat a:
Fie inelul (R;+;
), I mult ,imea de indici (nit a sau innit a) s ,i (Xj)j2Io familie
de ideale ale lui R, indexat a dup a mult ,imeaI. Produsul cartezian al acestei
familii este:
Y
j2IXj=ff:I![j2IXj;f(j)2Xj;8j2Ig (1.1.1)
Un element al produsului cartezianY
j2IXj^ l scriem sub forma x= (xj)j2Iunde
am notatf(j) =xj2(Xj), pentru orice element j2Is,i ^ l numim familie de
elemente din ( Xj)j2I.
Fie o familie de elemente ca mai sus. Numim xfamilie de suport nit, dac a
toate elementele din x sunt nule cu except ,ia unui num ar nit.X
j2Ixjeste egal a cu suma nit a a elementelor nenule. Acest lucru este evident.
12

Mult ,imea:
X
j2IXj=fX
j2ixj=x= (xj)j2Ieste de suport nit g (1.1.2)
se numes ,te suma familiei ( Xj)j2I.
Putem verica c aX
j2IXj2Id(R) s,i c a este cel mai mic ideal care include Xj,
oricare ar  j2I.
Propozit ,ia 1.1.14 FieRun inel s ,i mult ,imeaS, cuSR, nit a sau innit a.
Este ideal al lui R, numit idealul generat de S, mult ,imea (S)format a din toate
sumele nite de formanX
j=1ajxj, cuaj2R,xj2Ss,in2N. Mai mult de at^ at,
(S)este cel mai mic ideal al inelului Rcare include S.
Demonstrat ,ie:^In propozit ,ia de mai sus, consider am tot ,iaj= 0. Vom obt ,ine
02(S).
Fie elementele x;y2(S), arbitrar alese. Exist a elementele n;m2N,xi;yj2S
s,iai;bj2Rcu elementele i=1;ns,ij=1;mastfel ^ nc^ at:
x=nX
i=1aixi
y=mX
j=1bjyj.
Atunci:
x+y=nX
i=1aixi+mX
j=1bjyj (1.1.3)
Aceasta este o sum a nit a de forma celor din ( S). Rezult a c a x+y2(S).^In
plus:
x=nX
i=1(a)xi2(S),
ax=nX
i=1(aai)xi2(S),8a2R.
Conform Observat ,iei 1.1.3 , (S)2Id(R). Pentru c a elementul 1 2R,
mult ,imea (S) admite s ,i elemente de forma 1
x, oricare ar  elementul x2S.
Rezult a c a S(S).
FieX2Id(R) astfel ^ nc^ at SX. La ^ nmult ,irea s ,i adunarea cu elemente din R,
Xeste parte stabil a, deci Xcont ,ine toate sumele din S, rezult a c a ( S)X.
13

1.2 Divizibilitate
Pentru un inel oarecare, denit ,ia divizibilit at ,ii ^ n inelul numerelor ^ ntregi Zeste
generalizat a us ,or pentru un inel oarecare R, s,i anume: dac a a;b2R, spunem c a
ajb^ nR, (citimadivideb), saub…a, (bdivizibil cu a), dac a exist a c2Rastfel
^ nc^ atb=ac. Faptul c a ajbdepinde ^ n mod esent ,ial de inelul R. 2j3 ^ nQ, dar nu
s,i ^ nZ! Not ama-bdac aanu ^ l divide pe b.
Teoria divizibilit at ,ii dezvoltat a ^ n Reste mai s arac a fat , a de teoria uzual a a
divizibilit at ,ii ^ nZdac a inelull Rnu are propriet at ,i "naturale". De exemplu,
dac aRnu are unitate, nu rezult a c a orice element a2Reste propriul s au
divizor. De asemenea, apar alte dicult at ,i dac aRnu este comutativ sau dac a R
are divizori ai lui zero.
Din aceast a cauz a, ^ n ceea ce urmeaz a, inelele sunt presupuse unitare,comutative
s,i care nu au divizori ai lui zero, dac a altfel nu se specic a. Un asemenea inel
este numit domeniu de integritate sau inel integru (un astfel de inel este notat
cuR). Corpurile ce intervin sunt presupuse comutative, iar subinelele care apar
cont ,in elementul unitar al inelului. Not am cu Rmult ,imeaRnf0g.
Exemplul 1.2.1 a)Orice corp (Q,R,C,


) este domeniu de integritate.
b)Orice subinel al unui inel integru este la r^ andul s au integru. ^In particular,
orice subinel al unui corp este integru. Dac a d2Zeste un ^ ntreg liber de
patrate, mai exact d6= 0,d6= 1 s,i nu se divide cu p atratul nici unui ^ ntreg mai
mare ca 1, subinelul lui Cgenerat de 1 s ,ip
d, notat cuZ[p
d], este integru.
(Z[p
d]este format din numerele complexe de forma a+bp
dcua;b2Z.
c)Dac aReste inel integru s ,in2N, atunci inelul de polinoame ^ n n
nedeterminate cu coecient ,i ^ nR,R[X1;X2;


;Xn]este integru.
Inelele integre au o proprietate important a care este des utilizat a, s ,i anume:
factorii nenuli se pot simplica. (vezi Propozit ,ia 1.1.4 )
1.3 Tipuri speciale de inele
1.3.1 Inel principal
Denit ,ia 1.3.1 Numim inel principal un domeniu de integritate ^ n care toate
idealele sunt principale.
Observat ,ia 1.3.1 IdealulIa ineluluiReste nit generat doar dac a exist a o
submult ,ime nit aSRcuX= (S). Dac a cardinalul lui Seste egal cu 1
(jSj= 1), atunci ^ l numim pe Iinel principal .
Propozit ,ia 1.3.1 FieRun inel principal s ,i elementele a;b2R. Atunci:
14

a)Exist a elementul d2Rs,i reprezint a cel mai mare divizor comun al
elementelor as,ibdac a s ,i numai dac a: dR=aR+bR. Particular, exist a u;v
2Rs,idcel mai mare divizor comun al elementelor a;b. Atuncid=au+bv.
b)Exist a elementul d2Rs,i reprezint a cel mai mic multiplu comun al
elementelor as,ibdac a s ,i numai dac a: dR=aR\bR. Particular, exist a u;v
2Rs,idcel mai mic multiplu comun al elementelor a;b. Atuncid=au\bv.
Demonstrat ,ie: a) Dac aReste inel principal, atunci exist a un generator al
idealului, s ,i anume generatorul dal idealului aR+bR=fax+byjx;y2Rg.
As,adara;b2dR, rezult a c a djas,idjb(d divide a, d divide b). Dac a exist a
elementule2Rcu proprietatea c a eja,ejb, atunci:ejax+by,8x;y2R.^In
mod aparte, ejd. Deci,deste cel mai mare divizor comun al lui as,ib.
^In sens invers, dac a deste cel mai mare divizor comun al elementelor as,ib,
atunci rezult a c a djas,idjb. DecidRaRs,idRbR, rezult a c a
dRaR+bR. Fieegeneratorul idealului aR+bR. Dac aejas,iejb, atunciejd.
Atuncid2eR=aR+bR.
b)Demonstrat ,ia la acest punct este asem an atoare cu demonstrat ,ia de la
punctul a).
Denit ,ia 1.3.2 FieRun inel integru.
Numim element ireductibil (^ n R), elementul p2RnU(R)(nenul s ,i
neinversabil), care nu are divizori proprii. Orice divizor al s au este ori o
unitate, ori asociat cu elementul p: 8d2R,djp)d1saudp.
Numim element prim (^ n R), elementul p2RnU(R),cu proprietatea c a oricare
ar a;b2Rs,ipjab, atuncipjasaupjb.
De ret ,inut c a un element prim sau ireductibil este, prin denit ,ie, element nenul
s,i neinversabil.
Demonstr am imediat prin induct ,ie dup am2Nc a, dac apeste prim s ,ipdivide
un produsmde factori din R, atunci elementul pdivide unul dintre factori.
Teorema 1.3.1 FieRun inel principal. Atunci orice element r2R0poate
scris ca un produs nit de elemente prime.
Demonstrat ,ie:Am notatR0=fx2Rjxeste nenul s ,i nu este inversabil g.
Folosind metoda reducerii prin absurd, exist a elementul r2R0astfel ^ nc^ at rnu
se poate scrie ca un produs nit de elemente prime ( Reste principal, deci
elementele prime sunt ireductibile). ^In particular, rnu este ireductibil, rezult a
c ar=r1s1cur1;s12R, neasociate cu r.^In cazul ^ n care r1;s1sunt produse
nite de ireductibile, atunci reste produs de ireductibile, ceea ce este fals. ^In
acest caz, m acar unul dintre ele nu se poate scrie ca produs de elemente
ireductibile (e acesta r1). Dac a ^ nlocuim ^ n relat ,ia de mai sus pe rcur1,
rezult a c a exist a un element r2care2R0, cu proprietatea c a r2jr1,r2r1. Prin
induct ,ie, rezult a existent ,a unui s ,ir (rn)n>0de elemente din R, cu proprietatea c a
15

pentru orice element n2N,rn+1este un divizor propriu al lui rn. Obt ,inem un
s,ir innit strict cresc ator de ideale: r0Rr1R


rnRrn+1R


.
^Intr-un inel principal, acest lucru este imposibil. Lema urm atoare ne arat a acest
lucru.
Lema 1.3.1 FieRun inel principal s ,i un s ,ir(rn)n>0de elemente din Rastfel
^ nc^ atrnRrn+1R, pentru orice n2N. Astfel exist a m2Nastfel ^ nc^ at
rmR=rm+iR, pentru orice i2N. Mai exact, orice s ,ir ascendent de ideale este
stat ,ionar.
Demonstrat ,ie:FieIreuniunea idealelor rnR,n2N. Trebuie s a demonstr am
c aIeste ideal ^ n R. Dac ax;y2I, atunci exist a i;j2Nastfel ^ nc^ at x2riRs,i
y2rjR. Decix;y2rkR, undek=max(i;j). Mai exact, x+y2rtRI.
Dac ar2R, atuncirx2riRI. CumReste inel principal, atunci exist a
a2Rastfel ^ nc^ at I=aR. Pentru c a a2I, atunci exist a m2Nastfel ^ nc^ at
a2rmR, adic aaR=rmR.^In concluzie, rmR=aR=I=rm+1R,8i2N.
1.3.2 Inel euclidian
Denit ,ia 1.3.3 Numim inel euclidian un inel integru Rdac a exist a o funct ,ie
:R!Ncare satisface urm atoarele condit ,ii:
Pentru orice elemente a;b2Rcu proprietatea ajb, rezult a c a (a)(b);
Pentru orice elemente a;b2Rcu proprietatea b6= 0, exist a elementele q;r2
Rastfel ^ nc^ at:
a=b
q+r, cur= 0 sau(r)<(b),
Observat ,ia 1.3.2 Dac a are loc relat ,iaa=b
q+r, atunciase numes ,te
de^ mp art ,it,bse numes ,te ^ mp art ,itor,qse numes ,te c^ at iarrse numes ,te rest.
Condit ,ia din Denit ,ia 1.1.12 se numes ,te teorema ^ mp art ,irii cu rest ^ n R.
^In acest caz spunem c a Reste inel euclidian fat , a de funct ,ia.
Exemplul 1.3.1 Inelul numerelor ^ ntregi este euclidian, deoarece (a) =jaj,
a2Z;
K[X]- inelul polinoamelor ^ n nedeterminata X, cu coecient ,i ^ n corpulK, cu
(f) =grad f .
Teorema 1.3.2 Orice inel euclidian este inel principal.
Demonstrat ,ie:FieI2Id(R), arbitrar ales. Dac a Ieste idealul nul, atunci el
va  generat de 0 2R, deci este inel principal. Dac a Ieste diferit de 0, exist a
x02Ielementul nenul pentru care (x0) =minx2If(x)g. Existent ,a acestui
element este asigurat a de proprietatea de bun a ordonare. Fie xarbitrar ales,
x2I. Conform denit ,iei inelului euclidian, aplic am a doua proprietate pentru
16

x;x 02R,x06= 0. Astfel exist a q;r2Rastfel ^ nc^ at x=q
x0+r, s,i
0(r)<(x0).
^In cazul ^ n care restul este egal cu 0, atunci x2(x0), iar dac a restul este diferit
de 0, dinr=xq
x0rezult a c arapart ,ineIs,i(r)(x0). Acest lucru
contrazice alegerea lui x0, deci presupunerea restului diferit de 0 este fals a.
As,adar,I(x0) este o incluziune evident a s ,iI=x0. AstfelIeste ideal
principal. Dac a Ia fost ales arbitrar rezult a c a Reste inel principal.
Teorema 1.3.3 (Algoritmul lui Euclid)
FieRun inel euclidian s ,i elementele a;b2R, cub6= 0. Atunci exist a un
cmmdcdal elementelor as,ibcare poate  a
at prin urm atorul algoritm:
Se dau elementele a;b2R. Se obt ,ine cel mai mare divizor comun, d, al
elementelor a;b. Dac ab= 0, atunci cmmdc deste egal cu a. Pasul 1 const a ^ n
g asirea c^ atului ( q) s ,i a restului( r)2Rcua=b
q+r, s ,ir= 0sau(r)<(b).
Dac ar= 0, atuncid=b. Dac ar6= 0, atuncib!as,ir!b, s ,i aplic am din
nou Teorema ^ mp art ,irii cu rest. Continu am procedeul p^ an a obt ,inem un rest nul.
^In plus, exist a elementele u;v2Rastfel ^ nc^ at d=au+bv.
Demonstrat ,ie:Algoritmul de mai sus este o scriere scurt a a urm atorului s ,ir
de ^ mp art ,iri cu rest efectuate ^ n R:
(1)a=b
q1+r1 cur1= 0 sau(r1)<(b);
(2)b=r1
q2+r2 cur2= 0 sau(r2)<(r1);
(3)r1=r2
q3+r3 cur3= 0 sau(r3)<(r2);




(n-1)rn3=rn2
qn1+rn1curn1= 0 sau(rn1)<(rn2);
(n)rn2=rn1
qn+rn curn= 0.
Existent ,a elementelor qi;ri2Rcu propriet at ,ile specicate este sust ,inut a la
ecare etap a de a doua condit ,ie din denit ,ia inelului euclidian. Dac a ri6= 0
pentru orice i2N, atunci ar rezulta un s ,ir innit strict descresc ator de numere
naturale(b);(r1);(r2)


. Deci nu este posibil ca ri6= 0, pentru orice i2N.
Rezult a c a exist a un element n2Ncurn= 0, adic a algoritmul se termin a dup a
un num ar nit de pas ,i.
Trebuie s a demonstr am c a rn1este cmmdc al elementelor as,ib,rn1ind
ultimul rest nenul.
Din ultima relat ,ie, (n), avem c a rn1jrn2. Din relat ,ia (n-1), avem c a rn1jrn3.
^In continuare, folosind egalit at ,ile (n-2), (n-3),


, (3), (2), (1), obt ,inem prin
induct ,ie c arn1jb,rn1ja.
Fiee2Run divizor comun al elementelor a;b.Eva divide s ,i per1=ab
q1.
Din relat ,ia (2),ejr2=br1
q2. Continu^ and prin induct ,ie, rezult a c a ejri
pentru orice i<n , deciejrn1.
Denit ,ia 1.3.4 Fien2Nxat. Se numesc congruente modulo n dou a
elementea;b2Zdac anjab. Se noteaz a ab(modn). Observ am imediat c a
17

ab(modn) dac a s ,i numai dac a as,ibdau acelas ,i rest pozitiv la ^ mp art ,irea
cun.
Relat ,ia de congruent , a moduloneste o relat ,ie de echivalent , a peZ. Mult ,imea
claselor de echivalent , a are o structur a de inel, inelul factor Z=nZ, care se
numes ,teinelul claselor de resturi modulo n.
1.3.3 Inel factorial
Denit ,ia 1.3.5 Numim inel factorial (inel cu descompunere unic a ^ n factori
primi), un inel integru R^ n care orice element nenul s ,i inversabil admite
descompunere unic a ^ n factori ireductibili.
Propozit ,ia 1.3.2 ^Intr-un inel factorial, orice element ireductibil este prim.
Demonstrat ,ie:Consider am elementul pireductibil. Din denit ,ia elementelor
ireductibile, peste nenul si neinversabil. ^In plus,papart ,ine unui inel factorial,
decipadmite o descompunere ^ n factori primi.Dar peste ireductibil, deci nu are
divizori proprii. Obt ,inem c a singura descompunere ^ n factori primi a sa este
p=p, decipeste element prim.
Propozit ,ia 1.3.3 FieRun inel integru s ,ir2R0. Dac aradmite o
descompunere ^ n factori primi, atunci aceast a descompunere este unic
determinat a p^ an a la o ordine a factorilor s ,i p^ an a la o asociere a acestora ^ n
divizibilitate. Mai exact, dac a r=p1


pn=q1


qmsunt dou a scrieri ale lui r
ca produse de elemente prime, atunci m=ns,i exist a o permutare a mult ,imii
f1;2;


;ngastfel ^ nc^ at pis a e asociat ^ n divizibilitate cu q(i),8i
2f1;2;


;ng
Demonstrat ,ie:Dac ar=p1


pneste o descompunere a lui r^ n factori primi,
not am cunlungimea descompunerii date. Demonstr am propozit ,ia prin induct ,ie
dup an.
Dac a lungimea descopunerii date este egal a cu n=1, atunci r=p1=q1;


;qm
cup1;q1;


;qmsunt prime. Deci reste prim s ,i divide produsul q1


qm;
Rezult a c a rdivide unul dintre factori, e acesta q1. Deoarece q1este
ireductibil, rezult a c a rq1, adic ar=q1u, cuuelement inversabil. Avem de
demonstrat c a m= 1. Dac am2, simplic am prin q1^ n egalitatea
q1u=q1


qms,i obt ,inem c aq2


qm= 1, mai exact c a q2;


;qmsunt
inversabile. Acest lucru este o contradict ,ie.
Mai departe, presupunem c a armat ,ia este adev arat a oricare ar  elementul x
care admite o descompunere ^ n factori primi de lungime mai mic a ca n. Avem
elementulr2R,r=p1


pn=q1


qmcup1;


;pn;q1;


;qmelemente prime.
Dac apneste prim, exist a i21;


;nastfel ^ nc^ at pnjqi. Dac aqieste ireductibil,
atuncipnvqi, mai exact vpn=qi,vind inversabil. Simplic am prin pns,i
obt ,inemp1


pn1=vq1


qi1qi+1


qm.
18

^In nal aplic am ipoteza de induct ,ie pentrup1


pn1s,i rezult a c a
n1 =m1 s,ip1;


;pn1vq1;


qi1;qi+1;


;qm(ordinea poate  alta).
Teorema 1.3.4 FieRun inel integru. Armat ,iile care urmeaz a sunt
echivalente:
a)Reste inel factorial;
b)Orice element din R0este un produs nit de factori ireductibili s ,i orice
element ireductibil este prim;
c)Orice element din R0are o descompunere ^ n factori ireductibili , unic a p^ an a
la ordinea factorilor s ,i p^ an a la o asociere ^ n divizibilitate a acestora;
d)Orice element din R0are o descompunere ^ n factori ireductibili s ,i orice dou a
elemente au un cmmdc.
Demonstrat ,ie:a))b) Este evident, din Propozit ,ia 1.3.2 .
b))c) Rezult a din Propozit ,ia 1.3.3 .
c))d) Fie elementele a;b2R0. Pentru a g asi un cmmdc al lor putem folosi
metoda ^ nv at ,at a ^ n gimnaziu pentru determinarea celui mai mare divizor
comun, s ,i anume: descompunem elementele ^ n factori primi s ,i apoi luam tot ,i
factorii comuni la puterea cea mai mic a, o singur a dat a. Mai exact, consider am
Pun sistem de reprezentant ,i ai claselor de echivalent , a (^ n raport cu relat ,ia de
asociere ^ n divizibilitate) ale elementelor ireductibile ^ n R. Acest lucru semnic a
c a orice element ireductibil din Reste asociat cu x un element din P. Astfel
exist a s ,i sunt unic determinate elementele p1;


;pn2P, diferite,
s1;


;sn;t1;


;tn2Ns,i elementele u;v2U(R) astfel ^ nc^ at a=p1s1


pnsnu
s,ib=p1t1


pntnv. Din unicitatea descompunerilor ^ n Rrezult a imediat faptul
c a aceste elemente sunt unic determinate. Consider am ri=min(si;ti) s,i
denimd=p1r1


pnrn. Observ am c a dja;djb. Dac aeja;ejb, atunci orice factor
ireductibilc2P, care ^ l divide pe e, divide s ,i peas,i peb. Aceasta implic a c a
c2fp1


png, altfel elementul asaubar avea dou a descompuneri ^ n factori
ireductibili, una care ^ l cont ,ine pec, iar cealalt a nu. Acest lucru contrazice
unicitatea descompunerilor.
Decieeste de forma e=p1w1


pnwnq,w1;


;wn2N, s,iq2U(R). Dineja
rezult a c awisi. Dinejbrezult a c awiti,i=f1;2;


;ng.^In concluzie,
wiris,iejd.
Propozit ,ia 1.3.4 FieRun inel factorial, cu n2Ns,ia;b1;


;bn2R. Dac a
aeste prim cu orice bi,1in, atunciaeste prim cu produsul b1


bn.
Demonstrat ,ie:Ar at am c a nu exist a nici un element prim pcare s a divid a at^ at
peac^ at s ,i produsulb1


bn. Dac apeste un astfel de element, atunci exist a
elementulj, cu 1jnastfel ^ nc^ at pjbj. Cumpja, rezult a c a p(a;bj) = 1. ^In
concluzie,peste inversabil, contradict ,ie.
Propozit ,ia 1.3.5 Orice inel principal este inel factorial.
19

Demonstrat ,ie:S,tim c a ^ ntr-un inel principal exist a c.m.m.d.c pentru orice 2
elemente(generatorul idealului ( a)+(b) e c.m.m.d.c pentru a s ,i b.^In inelele ^ n
care exist a c.m.m.d.c pentru oricare 2 elemente, orice element ireductibil e prim.
Conform acestei propozit ,ii, mai trebuie s a demonstr am c a inelele principale
sunt semifactoriale.
FieRun inel principal. Presupunem prin absurd c a exist a elementul a2
RnU(R) care nu admite descompunere ^ n factori ireductibili.Rezult a c a anu e
ireductibil, deci9a1ja,a1nu este echivalent cu 1 s ,ia1nu este echivalent cu a.
Dac aa=a1b1, atunci cel put ,in unul dintre a1,b1nu are descompunere ^ n factori
ireductibili. Elementul a1nu are descompunere ^ n factori ireductibili. Analog
putem demonstra c a exist a un element a22RnU(R),a2ja1,a2nu este
echivalent cu 1 s ,ia2nu este echivalent cu a1. Elementul a2nu are
descompunere ^ n factori ireductibili. Obt ,inem un s ,ir innit de diviziuni care nu
admit descompuneri ^ n factori ireductibili:
:::amjam1j:::aja2a1j () (a)(a1)(a2)


 (an) (1.3.4)
S,ir cresc ator s ,i innit de ideale ^ n R
Fie un ideal I^ n inelulR,I=[k0(ak),k0. Am notat a=a0.Ieste ideal ^ n
Rdac a:
02I(02(ak),8k)
8x;y2I, rezult a c a9k;l0,×2(ak) s,iy2(al). Fiekl, atunci
(ak)(al). Dac ax;y2(al), iar (al) este ideal, rezult a c a x+y2(al)2I, deci
x+y2I.
8x2I, rezult a c a9k0,×2(ak). Oricare ar  b2Rs,i (ak) ideal, produsul lui
x
b2(ak)I, decix
b2I.
Dac a aceste condit ,ii sunt ^ ndeplinite, atunci Ieste ideal ^ n R(R- inel
principal) s ,i exist a un element b02Rastfel ^ nc^ at I= (b0).
Avem (b0)=S
k0(ak) s,ib02(b0). De aici rezult a c a exist a un element n0
astfel ^ nc^ at b02(an) s,ianjb0, deci (b0)(an). Dar (an)S
k0(ak), rezult a c a
(b0) = (an), decian=S
k0(ak), oricarek0, (ak)(an).Dac a (an)(ak),
atunci (an) = (ak),k0.
S,irul de ideale este stat ,ionar. Aceasta este o contradict ,ie cu s ,ir innit.
Observat ,ia 1.3.3 ^In inele factoriale, orice element nenul s ,i neinversabil
admite descompunere unic a ^ n factori ireductibili, abstract ,ie f ac^ and de ordinea
factorilor s ,i de o asociere de divizibilitate.
1.3.4 Inelul factor
Fie (R, +,
) un inel s ,iIidealul bilateral al inelului. Idealul bilateral exist a
^ ntotdeauna: Id(R) =ff0gsauRg, sau nucleul unui morsm cu domeniul de
denit ,ieR.
20

Grupul (I;+) este subgrup normal ^ n grupul abelian ( R;+), (din denit ,ia
idealului), deci rezult a c a exist a grupul factor ( R=I; +):
R=I=fx+I=x2Rg
x+I=fy2R=yx2Ig=fx+a=a2Ig.
Elementul neutru este I, iar adunarea elementelor din mult ,imeaR=I se face
prin relat ,ia:
(x+I) + (y+I) = (x+y) +I.
Operat ,ia multiplicativ a folosind ^ nmut ,irea din inelul Ro vom deni astfel:
(x+I)
(y+I) = (x
y) +I.
Propozit ,ia 1.3.6 Numim inel factor al inelului Rprin idealul Idac a operat ,ia
multiplicativ a denit a mai sus nu depinde de reprezentant ,i s ,i(R=I; +;
)este
inel.
Demonstrat ,ie:Fie elementul x`2x+Is,iy`2y+I=)x`x,y`y2I.
Vom calcula:
x`
y`x
y=x`
y`x`
y+x`
yx
y=x`
(y`y) + (x`x)
y.
Acesta este un element din Ipentru c aIeste ideal. Rezult a c a produsul unui
element al s au cu orice element din Reste ^ nI.
Trebuie s a demonstr am c a operat ,ia de ^ nmult ,ire peR=I^ i asociaz a grupului
(R=I; +) o structur a de inel.
^In inelulR=I, pentru orice elemente x+I,y+I,z+I, au loc:
^Inmult ,irea este asociativ a ^ n R, deci ^ nmult ,irea este asociativ a ^ n R=I.
[(x+I)
(y+I)]
(z+I)=[(x
y) +I]
(z+I)=[(x+y)
z] +I=[x
(y
z)] +
+I=(x+I)
[(y+I)
(z+I)].
Elementul unitate este 1, rezult a c a 1 + Ieste element neutru la "
" dinR=I.
(1 +I)
(x+I) = (x+I)
(1 +I) = (x+I).
Din distributivitatea ^ nmult ,irii fat , a de adunare ^ n inelul Rs,i denit ,iile
operat ,iilor ^ nR=I:
[(x+I)
(y+I)]
(z+I)=[(x
y) +I]
(z+I)=[(x+y)
z] +I=(x
z+y
z) +
I=[(x
z) +I] + [(y
z+I]=(x+I)
(z+I) + (y+I)
(z+I)
Distributivitatea la st^ anga se va demonstra analog.
21

Capitolul 2
Ecuat ,ii diofantice
O ecuat ,ie diofantic a este o ecuat ,ie de forma:
f(x1


xn) = 0, cuf2Z[X1;


;Xn].
Denumirea de ecuat ,ii diofantice vine de la numele matematicianului grec
Diofant.
2.1 Ecuat ,iaax+by+c= 0a;b;c2Z(1)
22