Argument … .. 3 [617293]

2
CUPRINS

Argument ………………………………………………………………………………… .. 3
Capitolul I
I. Noțiunea de număr natural ……………………………………………………………… 4
I. 1. Introducere …………………………………………………………………………… 4
I. 2. Mulțimea numerelor naturale ………………………………………………………… 5
I. 3. Operații cu n umere naturale ………………………………………………………….. 7
I. 4. Relația de ordine pe mulțimea de numere naturale …………………………………. 10
I. 5. Divizibilitatea în mulțimea numerelor naturale …………………………………….. 13
Capitolul II
II. Inelul numerelor întregi ………………………………………………………… ……. 17
II. 1. Domeniul de integritate al numerelor întregi ………………………………………. 17
II. 2. Ordonarea numerelor întregi ……………………………………………………….. 23
II. 3. Divizibilitatea în inelul numerelor întregi …………………………………………. 24
Capitolul III
III. Corpul numerelor raț ionale ………………………………………………………….. 28
III. 1. Corpul de fracții a unui domeniu de integritate …………………………………… 28
III. 2. Mulțimea numerelor naturale ……………………………………………………… 31
Capitolul IV
IV. Numere reale și numere complexe ………………………………………………….. 36
IV. 1. Axiomele corpului numerelor reale ………………………………………………. 36
IV. 2. Construcția prin șiruri a numerelor raționale ……………………………………… 45
IV. 3. Corpul numerelor complexe ………………………………………………………. 51
Capitolul V
V. Metodica predării noțiunii de număr …………………………… ……………………. 53
V. 1. Aplicții rezolvate cu numere naturale, întregi, raționale, reale și complexe ………. 53
V. 2. Proiecte didactice …………………………………………………………………… 94
Concluzii ……………………………………………………………………………….. 137
Bibliografie …………………………………………………………………………….. 138

3

ARGUMENT

Matematica o folosim în viața de zi cu zi, chiar și în lucruri simple, când spunem
cât e ceasul sau când mergem la cumpărături, ea ne ajută să ne dezvoltăm gândirea.
Am ales ca temă de studiu predarea noțiunii de număr, deoarece se ș tie că numărul
se studiază încă din clasa pregătitoare. În clasele V – VIII elevii își îmbogățesc
cunoștințele despre noțiuni de numere naturale, întregi, raționale și reale urmând ca în
clasa a X – a să studieze și noțiunea de numere complexe.
Lucrarea e ste structurată în două mari părți după cum urmează:
– o parte teoretică, în care este prezentată fiecare mulțime de numere (naturale, întregi,
raționale și reale) în parte
– o parte practică compusă din exerciții cu mulțimi de numere, exerciții de tip eva luare
națională și bacalaureat, respectiv planificarea pe unități de învățare și proiecte didactice.
Lucrarea are ca obiectiv principal evidențierea și demonstrarea progresului școlar al
elevilor prin utilizarea metodelor moderne, care sunt metode de învă țare active.
În realizarea lucrării m -am documentat utilizând lucrări științifice de specialitate,
manuale alternative clasele V – VIII, auxiliare școlare clasele V – VIII, variantele de la
examemele de evaluare națională și bacalaureat, dar și site -uri de specialitate.

4
CAPITOLUL 1
NOȚIUNEA DE NUMĂR NATURAL

I 1. INTRODUCERE

Numerele din șirul indefinit 0, 1, 2, … sunt cunoscute sub numele de numere
naturale. Originea lor trebuie căutată în îndelungatul proces istoric al confruntării omului
cu natura, în activitatea sa socială. Pe o anumită treaptă a evoluției gândirii umane numărul
natural 1 este conceput ca simbol atașat mulțimilor ce conțin un singur element, indiferent
de natura acestuia; numărul natural 2 este conceput ca un simbol atașat mulțimil or care
conțin un element și încă un element, ș. a. m. d. Numărul natural 0 este conceput ca un
simbol atașat mulțimii fără niciun element (mulțimea vidă).
Dezvoltarea internă a matematicii a impus fundarea teoretică a conceptului de
număr natural. G. Pean o (1891), folosind modelul metodei logice, întrebuințat cu succes de
Euclid în geometrie încă din antichitate, a dat o teorie a numerelor naturale ce are ca punct
de plecare un sistem de axiome care -i poartă numele. Succesele obținute ulterior în teoria
mulțimilor, marcate de teoria axiomatică a lui E. Zermelo (1908) inspirată din opera lui G.
Cantor (1878), a permis alinierea problemei fundării teoretice a conceptului de număr
natural al problematica generală a teoriei mulțimilor. Să notăm cu N mulțimea al e cărei
elemente sunt numerele naturale și cu s aplicația lui N în N care asociază lui 0 pe 1, lui 1
pe 2, ș. a. m. d. Cunoștințele uzuale asupra numerelor naturale ne permit să acceptăm ca
adevărate următoarele afirmații:
(i) 0 nu este imagine prin s a un ui element x din N;
(ii) dacă s(x) = s(y), atunci x = y;
(iii) dacă M este o parte a lui N care conține pe 0 și odată cu orice x pe s(x), atunci
M = N (pentru că M conține pe0, 1 = (0), 2 = s (1), ș. a. m. d.).
Teoria axiomatică a mulțimilor în una sau alt a din variantele ei actuale nu asigură
de existența a cel puțin unui triplet (N, 0, s), unde N este o mulțime nevidă, 0 un element al
lui N, iar s o aplicație a lui N în N, care să satisfacă următoarele axiome:
(α) s(x) ≠ 0 oricare ar fi x din N;
(β) dacă s(x) = s(y), atunci x = y;
(γ) dacă M este o parte a lui N care conțin pe 0 și o d ată cu orice x pe s(x), atunci
M = N.

5
Observațiile de mai sus ne permit să întrezărim posibilitatea de a da o teorie a
numerelor naturale care să aibă ca reazim teoria axio matică a mulțimilor. Acest deziderat
va fi îndeplinit în cele ce urmează.

I 2. MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE

Reamintim că o aplicație f : X → Y a mulțimii X în mulțimea Y se numește
injectivă dacă din f(x) = f(y) rezultă întotdeauna x = y. Aplicația f : X → Y se numește
surjectivă dacă oricare ar fi y Y există x X astfel încât y = f(x), deci Y = f(x), unde
f (X) = { y Y | Ǝ x X, f(x) = y}.
Aplicația f : X → Y se numește bijectivă (biunivocă) dacă este injectivă și
surjectivă. Spunem că mulțimea X e ste echivalentă cu mulțimea Y (în sensul lui Cantor)
dacă există cel puțin o aplicație bijectivă f : X → Y. Spunem că o mulțime X este infinită
dacă este echivalentă cu o parte proprie a sa; spunem că X este finită în caz contrar.
Să presupunem că ( N, 0, s) este un triplet care satisface axiomele (α) (β) (γ).
Datorită axiomei (α) 0 ∉ s (N) este o parte proprie a lui N. Datorită axiomei (β) N este
echivalentă cu s (N), deci N este mulțime infinită. Orice element y N, y ≠ 0 este imagine
prin s a unui eleme nt x N. Avem deci următorul rezultat:
Lema 1.2.1 . Dacă ( N, 0, s) este un triplet care satisface axiomele (α) , (β) și (γ),
atunci s (N) = N – {0}.
Demonstrație . Dacă luăm M = s (N) {0}, atunci M N, 0 M și s (N) M.
Aplicând (γ) rezultă M = N și cu m 0 ∉ s (N) avem s (N) = N – {0}.
Dacă (N, 0, s) și (N 1, 01, s1), sunt triplete care satisfac axiomele (α), (β) și (γ), atunci
mulțimile infinite N și N 1 sunt echivalente. Mai precis:
Teorem a 1.2.2. Dacă tripletele (N, 0, s), (N 1, 01, s1) satisfac axiomele (α) (β) (γ),
atunci există o aplicație bijectivă : N → N 1, și numai una, astfel încât (0) = 0 1 și
(s(x)) = s 1 ( (x)) oricare ar fi x N.
Demonstrație . A defini o aplicație pe N revine la a descrie cum „lucrează” pe
orice element x N. definim aplicația : N → N 1 care să satisfacă cerințele teoremei
folosind axioma (γ). În acest scop definim (0) = 0 1 și dacă (x) a fost definit pentru un
x N, atunci definim (s(x)) = s 1 ( (x)). Mulțimea M a elementelor x N pentru care
a fost d efinită satisface ipotezele axiomei (γ) și deci M = N.

6
Pentru a arăta că este aplicată surjectivă fie M 1 = (N). Cum 0 1 = (0), avem
01 M1. Dacă x 1 M1, atunci există x N astfel încât x 1 = (x). Atunci s 1(x1) = s 1 ( (x))
= (s(x)) M1 și aplicâ nd axioma (γ) rezultă M1 = N 1, deci este aplicație surjectivă.
Pentru a arăta că este aplicație injectivă să notăm cu M mulțimea elementelor
x N cu proprietatea că din (x) = (y) rezultă x = y. Dacă (0) = (y) și 0 ≠ y, atunci
din lema 1.2.1. r ezultă că există un u N astfel încât y = s (u). Avem
01 = (0) = (y) = (s(u)) = s 1( (u))
de unde 0 1 s1 (N1) ceea ce nu se poate, datorită axiomei (α). Deci din (0) = (y) rezultă
0 = y și atunci 0 M. Fie acum x M și să presupunem (s(x)) = (z). Ca și mai sus se
arată că z ≠ 0. Atunci z = s(y) cu y N. Deci (s(x)) = (s(y)) de unde s 1 ( (x)) = s 1
( (y)) și aplicând axioma (β) rezultă (x) = (y). Cum x M, din (x) = (y) rezultă x =
y, deci z = s (x) și atunci s (x) M. Acum aplicând l ui M axioma (γ) scoatem M = N și
este deci aplicația injectivă.
Mai rămâne să arătăm că dacă : N → N 1 este astfel încât (0) = 0 1 și
(s(x)) = s 1 ( (x)) oricare ar fi x N, atunci . În adevăr, fie
| M = { x N | (x) = (x)}.
Cum (0) = (0) = 0 1, rezultă că 0 M.
Dacă x M, atunci
(s(x)) = s 1 ( (x)) = s 1 ( (x)) = (s(x)) ,
deci s (x) M. Aplicând axioma (γ) avem M = N, deci = .
Așa cum am observat în § 1, teoria axiomatică a mulțimilor ne furnizează cel puțin
un triple t (N, 0, s) care să satisfacă axiomele (α), (β) și (γ). Teorema 1.2.2. precizează că
niciun triplet (N, 0, s) care satisface axiomele (α), (β) și (γ) nu are o poziție privilegiată
dacă ne este indiferentă natura elementelor lui N. Ne putem deci fixa asupra unuia dintre
tripletele ce satisfac axiomele (α), (β) și (γ); pentru tripletul ales adoptăm notația (N, 0, s).
Numerele naturale sunt prin definiție elementele mulțimii N. Pentru elementele lui
N adoptăm notațiile 0, 1 = s (0), 2 = s (1), 3 = s (2), … și le numim, respectiv, numerele
naturale zero, unu, doi, trei … Aplicația s : N → N se numește aplicația succesor . Dacă
(x) N, atunci s(x) se notează cu x' și se numește succesorul lui x. Cu convențiile de mai
sus, axioma (γ), cunoscută sub numele de „pr incipiul inducției complete”, se poate
reformula astfel:
(γ)* orice mulțime de numere naturale care conține pe 0 și odată cu orice x și pe
succesorul lui x, coincide cu mulțimea tuturor numerelor naturale.

7
I 3. OPERAȚII CU NUMERE NATURALE
Dacă A este o mul țime, atunci o aplicație
: A × A → A
se numește operație algebrică (lege de compunere, lege de compoziție) pe A. Dacă x, y
A, atunci elementul z = (x, y) din A se numește compusul lui x cu y prin . Pentru
compusul lui x cu y folosim fie notația adi tivă (x, y) = x + y (și atunci x + y se numește
suma lui x cu y), fie notația multiplicativă (x, y) = xy (și atunci xy se numește produsul
lui x cu y).
Evident, pe mulțimea N a numerelor naturale se pot defini o infinitate de operații
algebrice. Teorem a 1.3.2. (teorema 1.3.7.) ne asigură că există o operație algebrică pe N, și
numai una, ale cărei proprietăți să se potrivească cu cunoștințele noastre uzuale asupra
adunării (înmulțirii) numerelor naturale.
Lema I 3.1. Pentru orice x N există o aplicați e σx : N → N astfel încât:
(1) σ x (0) = x;
(2) σ x ( y' ) = (σ x (y))' oricare ar fi y N.
Demonstrație . Dacă x = 0, atunci definim σ 0 : N → N ca fiind aplicația identică a
lui N, deci σ 0 (y) = y oricare ar fi y N. Evident σ0 satisface (1) și (2) din enunțul lemei.
Dacă σ x a fost deja definit atunci definim σ x : N → N astfel încât
σx' (y) = (σ x (y))' oricare ar fi y N.
Avem
σx' (0) = (σ x (0))' = x',
σx' ( y' ) = (σ x ( y' ))' = ((σ x (y))')' = (σ x' (y))'
și deci σ x' satisface, o dată cu σx, (1) și (2) din enunțul lemei. Acum lema rezultă
aplicând axioma (γ) .
Teorema I 3.2. Există o operație algebrică pe N (pe care o notăm aditiv), și numai
una, astfel încât:
(i) x + 0 = x oricare ar fi y N;
(ii) x + y' = (x + y)' oricare ar fi x, y N.
Demonstrație . Pentru x, y N definim x + y = σ x (y) și avem
x + 0 = σ (0) = x,
x + y' = σ x ( y' ) = σ x (y))' = (x + y)',
deci condițiile (i) și (ii) din enunțul teoremei sunt satisfăcute.
Dacă : N x N → N satisface condițiile (i) și (ii) din enunțul teo remei, adică

8
(x, 0) = x
( x, y ') = ( (x, y))'
oricare ar fi x, y N, trebuie să arătăm că
(x, y) = x + y oricare ar fi x, y N.
În acest scop, pentru x ales arbitrar în N, definim
M = {y N | (x, y) = x + y}.
Avem (x, 0) = x = x + 0, dec i 0 M. Dacă y M, atunci
( x, y ') = ( (x, y))' = (x + y)' = x + y',
de unde y' M. Aplicând axioma (γ) rezultă M N și teorema este complet demonstrată.
Operația a cărei existență și unicitate a fost dovedită în teorema I 3.2. se numește
adunarea numerelor naturale. Pentru această operație păstrăm notația aditivă în cele ce
urmează.
Lema I 3.3. Oricare ar fi x, y N avem
(a) 0 + x = x
(b) x' + y = (x+y)'.
Demonstrație . (a) Fie M = { x N | 0 + x = x }. Cum 0 + 0 = 0, atunci 0 M.
Avem x M , atunci
0 + x' = (0 + x)' = x'
și deci x' M. Aplicând axioma (γ) rezultă M = N și (a) este dovedit. La fel se
demonstrează (b).
Teorema I 3.4. Adunarea numerelor naturale este asociativă, comutativă și admite
pe 0 element neutru, adică avem
(1) (x + y) + z = x + (y + z),
(2) x + y = y + x,
(3) 0 + x = x + 0 = x,
oricare ar fi x, y, z N.
Demonstrație . (3) rezultă din teorema I 3.2. pct. (i) și lema 1.3.3. pct. (a). Mai
demonstrăm pe (2). Fie pentru aceasta x fixat și M = { y N | x + y = y + x}. Din (3 )
rezultă că 0 M. Dacă y M, atunci folosind teorema I 3.2. pct. (ii) și lema 1.3.3. pct. (b)
avem
x + y' = (x + y)' = (y + x)' = y' + x
și deci y' M. Deci M = N și (2) este demonstrat.
Lema I 3.5. Pentru orice x N există o aplicație x : N → N astf el încât

9
(1) x (0) = 0
(2) x ( y' ) = x (y) + x oricare ar fi y N.
Demonstrație . Dacă x = 0, definim 0 : N → N astfel încât 0 (y) = 0 oricare ar fi
y N. Evident, 0 satisface (1) și (2) din enunțul lemei. Dacă x a fost deja definit, atunci
definim x' : N → N astfel încât
x' (y) = x (y) + y oricare ar fi y N.
Avem
x' (0) = x (0) + 0 = 0 + 0 = 0.
x' ( y' ) = x ( y' ) + y' = x (y) + x + y' = x (y) + y + x' = x' (y) + x'
și deci x' satisface o dată cu x condițiile (1) și (2) din enun țul lemei. Acum lema rezultă
aplicând axioma (γ).
Teorema I 3.6. Există o operație algebrică pe N (pe care o notăm multiplicativ), și
numai una, astfel încât
(i) x 0 = 0 oricare ar fi x N;
(ii) xy' = xy + x oricare ar fi x, y N.
Demonstrație . Pentru x , y N definim xy = x (y) + x = xy + x,
deci condițiile (i) și (ii) din enunțul teoremei sunt satisfăcute. Unicitatea se demonstrează la
fel ca la adunare (teorema I 3.2.).
Operația a cărei existență și unicitate a fost dovedită în teorema I 3.6. se nume ște
înmulțirea numerelor naturale. Pentru această operație păstrăm în cele ce urmează notația
multiplicativă.
Lema I 3.7. Oricare ar fi x, y N avem
(a) 0 x = 0,
(b) x'y = xy + y.
(Se demonstrează analog cu lema I 3.3.).
Teorema I 3.8. Înmulțirea numerelo r naturale este asociativă, comutativă și admite
pe 1 = 0' ca element neutru, deci avem:
(1) (xy)z = x(yz),
(2) xy = yx,
(3) 1x = x1 = x,
oricare ar fi x, y, z N. Mai mult, înmulțirea este distributivă față de adunare, adică:
(4) x (y + z) = xy + xz ori care ar fi x, y, z N.
Se demonstrează la fel ca teorema I 3.4.

10

1.4. RELAȚIA DE ORDINE PE MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE
Fia A o mulțime nevidă și T o mulțime cu două elemente pe care să le notăm cu 0
și 1. Se numește relația binară pe A orice aplicație : A x A → T. Dacă (x, y) = 1 cu
x, y A atunci spunem că x se găsește în relația cu y și scriem x y; dacă (x, y) = 0,
atunci spunem că x nu se găsește în relația cu y și scriem x y.
O relație binară pe A se numește:
(1) reflexivă dacă x x oricare ar fi x A;
(2) simetrică dacă din x y rezultă întotdeauna y x;
(3) asimetrică dacă din x y și y x rezultă întotdeauna x = y;
(4) tranzitivă dacă din x y și y z rezultă întotdeauna x z.
O relație binară pe A cu prop rietățile (1), (3) și (4) se numește relație de ordine
(parțială) pe A. În acest caz în loc de x y scriem x y și citim x mai mic sau egal cu y. O
mulțime nevidă A împreună cu o relație de ordine (parțială) pe A se numește mulțime
(parțial) ordonată. O mulțime ordonată A spunem că este total ordonată dacă oricare ar fi x,
y A avem x y sau y x. O mulțime A total ordonată se numește bine ordonată dacă
oricare ar fi partea nevidă P a lui A există p P astfel încât p x oricare ar fi x P
(oricare parte nevidă a lui A are cel mai mic element).
În acest paragraf vom introduce pe N o relație de ordine „ ”, numită ordine
naturală, față de care N devine o mulțime bine ordonată.
Lema I 4.1. Dacă x, y, z, sunt numere naturale, atunci următoarele afirmați i sunt
adevărate:
(1) dacă x ≠ 0 sau y = 0, atunci x + y = 0;
(2) dacă x ≠ 0 și y ≠ 0, atunci xy ≠ 0;
(3) dacă y ≠ z, atunci x + y ≠ x + z.
Demonstrație .
(1) Dacă x ≠ 0, atunci x = u' cu u N. Deci x + y = u' + y' ≠ 0.
(2) Cum x = u', u N atunci xy = u'y = uy + y ≠ 0 pentru că y ≠ 0 și aplicăm (1).
(3) Fie M = {x N | x + y ≠ x + z}. Cum 0 + x = x ≠ y = 0 + y, avem 0 M. Dacă
x M, atunci
x' + y = (x + y)' ≠ (x + z)' = x' + z,
deci x' M. Se aplică acum axioma (γ).

11
Lema I 4.2. Pentru orice pe reche (x, y) de numere naturale una din afirmațiile
următoare, și numai una, este adevărată:
(1) x = y;
(2) există u ≠ 0 astfel încât x + u = y;
(3) există v ≠ 0 astfel încât x = y + v.
Demonstrație . Aplicând lema I 4.1. se arată fără dificultate că af irmațiile din
enunțul lemei 1.4.2. se exclud două câte două. Mai rămâne să demonstrăm partea de
existență a lemei, ceea ce o să facem acum prin inducție asupra lui x.
Dacă x = 0, atunci avem (1) când y = 0 și (2) cu u = y când y ≠ 0.
Presupunem lema adev ărată când prima componentă a perechii de numere naturale
considerată este x și să demonstrăm lema când prima componentă este x'. Dacă perechea
(x, y) satisface (1), atunci x' = (x + 0) = x + 0' = y + 1 și deci (x', y) satisface (3) cu v = 1.
Dacă (x, y) s atisface (2), atunci (x', y) satisface (1) dacă a = 1 și satisface (2) dacă u ≠ 1. La
fel se analizează cazul când (x, y) satisface (3). Lema este demonstrată.
Dacă (x, y) este o pereche de numere naturale, atunci punem x y dacă (x, y)
satisface (1) sau (2). Din lema 1.4.2. rezultă imediat că „ ” este o relație de ordine pe N.
Dacă x y și x ≠ y atunci scriem x y. Tot din lema I 4.2. rezultă că N împreună cu
relația „ ” este o mulțime bine ordonată.
Teorema I 4.3. (principiul celui mai mic element). Orice parte nevidă P a lui N are
un cel mai mic element.
Demonstrație . Evident 0 < x oricare ar fi x N, x ≠ 0. Dacă x + y = x + z, atunci
y = z. Căci altfel din y ≠ z scoatem x + y ≠ y + z folosind lema 1.4.1. Acum este evident că
dacă y < z, atunci y + x < z + x oricare ar fi x N, atunci y < z. Cu aceste observații să
trecem la demonstrarea teoremei.
Fie P o parte nevidă a lui N. Dacă 0 P, atunci 0 este evident cel mai mic element
în P. Dacă 0 ∉ P fie
M = {x N | x < y oricare ar fi y P}.
Evident 0 N. Există m M astfel încât m + 1 ∉ M căci astfel M = N ceea ce nu
este posibil pentru că M P = și P ≠ . Avem m + 1 y oricare ar fi y P căci astfel
există y 0 P astfel încât y 0 < m + 1. Fie atunci u N, u ≠ 0 astfel ca y 0 + u = m + 1. Cum u
≠ 0 există v N astfel încât u = v'. Cum u = v' = (v + 0)' = v + 0' = v + 1, avem (y 0 + v) +
+1', de unde y 0 + v = m, deci y 0 m ceea ce nu este posibil pentru că m y0. Avem

12
m + 1 P căci astfel am avea m + 1 < y oricare ar fi y P și atunci m + 1 M ceea ce nu
este adevărat. Deci p = m + 1 este cel mai mic element în P.
Corolarul I 4.4. Orice șir descendent de numere naturale
x1 x2 … x …
este staționar, adică există n N astfel încât x n = x n+1 = …
Demonstrație . Fie P mu lțimea ale cărei elemente sunt numerele naturale din șirul
considerat și x n cel mai mic element din P. Atunci, evident, x n = x n+1 = x n+2 = …
Lama I 4.5 (a lui Arhimede). Dacă a, b N, b ≠ 0 atunci există n N astfel încât
nb > a.
Demonstrație . Observăm mai întâi că ab a. În adevăr, dacă a = 0 sau b = 1 avem
ab = a. Presupunem acum a ≠ 0, b ≠ 1. Deci b = c', c ≠ 0. Cum b = c + 1, avem
ab = a (c+1) = ac + a > a pentru că ac > 0.
Pentru a demonstra lema luăm n = a + 1 și avem
nb = (a + 1) b = ab + b > ab a.
Teorema I 4.6. (teorema împărțirii cu rest). Dacă a, b N, b ≠ 0, atunci există
q, r N unic determinați astfel încât
a = bq + r, r < b.
Demonstrație . Fie P = { x N | x = nb > a}. Datorită lemei 1.4.5. mulțimea P este
nevidă și fie p = nb cel mai mic element din P. Evident n ≠ 0 căci altfel 0 b = 0 > a. Fie
atunci q N astfel încât n = q' = q + 1. Avem qb < (q + 1) b = nb, de unde qb a căci
altfel nb nu ar mai fi cel mai mic element din P. Fie atunci r N astfel încâ t qb + r = a.
Dacă b r, atunci b + u = r cu u N. Deci a = qb + r = qb + b + u = (q + 1) b + u = nb +
+u, de unde nb a ceea ce este absurd. Rămâne adevărat r < b.
Presupunem că q', r' N sunt astfel încât a = bq' + r' < b. Dacă q ≠ q', atunci q < q'
sau q' < q. Dacă q < q', atunci există u N, u ≠ 0 astfel încât q + u = q'.
Atunci
bq' + r' = b (q + u) + r' = bq + bu + r',
deci
bq + r = bq + bu + r'
de unde
r = bu + r' bu b
ceea ce este absurd. La fel se arată că nu este posibil ca q' < q. Deci q = q' și atunci rezultă
imediat r = r'

13
I 5. DIVIZIBILITATEA ÎN MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE

I 5.1. DIVIZOR, MULTIPLU
Numărul natural b divide numărul natural a, dacă există numărul natural c, astfel
încât a = b ∙ c
Numărul natural b nu divide număru l natural a, dacă, pentru orice număr natural c,
a ≠ b ∙ c
Pentru m, d, c N, care satisfac relația de mai jos, folosim denumirile:
m = d ∙ c

multiplu multiplu divizor divizor
al lui d al lui c al lui m al lui m

Notăm cu D m mulțimea divizorilor numărului natural m.
Dm = { x | x N și x divide pe m }
Notăm cu M d mulțimea multiplilor numărului natural d.
Md = { x | x N și x = d ∙ k. k N }
Cum procedăm pentru a afla dacă un număr natural a este divizibil cu un număr
natural nenul b, fără a aplica definiția?
Împărțim numărul a la numărul b și obținem numerele naturale c și r, cu a = b ∙ c +
+r, unde r b.
Atenție! a : 0 nu are sens, oricare ar fi a N, dar a | 0 și 0 a oricare ar fi a N.
Dacă restul împărțirii lui a la b este 0, obținem a = b ∙ c, deci a este divizibil cu b.
Dacă restul împărțirii lui a la b este diferit de 0, atunci a nu este divizibil cu b.

I 5.2. PROPRIETĂȚI ALE RELAȚIEI DE DIVIZI BILITATE

Ne reamintim că numărul natural a se divide cu numărul natural b, dacă există
numărul natural c astfel încât a = b ∙ c. În acest caz, spunem că între numerele naturale a și
b are loc o relație de divizibilitate.

0 = 1 ∙ 0; 1 = 1 ∙ 1; 2 = 1 ∙ 2; 3 = 1 ∙ 3; 65 = 1 ∙ 65

Orice număr natural se divide cu 1. n 1, oricare ar fi numărul natural n.
0 = 0 ∙ 1; 1 = 1 ∙ 1; 2 = 2 ∙ 1; 3 = 3 ∙ 1; 356 = 356 ∙ 1

Orice număr natural se divide cu el însuși. n n, oricare ar fi numărul natural n.
0 = 0 ∙ 0; 0 = 1 ∙ 0; 0 = 2 ∙ 0; 0 = 3 ∙ 0; 0 = 127 ∙ 0

0 1
1 1
2 1
3 1
65 1

0 0
1 1
2 2
3 3
356 356

0 0
0 1
0 2
0 3
0 127

14
0 se divide cu orice număr natural. 0 n, oricare ar fi numărul natural n.
Zero este multiplul oricărui număr natural. În particular, 0 este multiplul lui 0.
Fie numerele naturale a , b, c astfel încât a b și b c. Avem a = b ∙ k, k N și
b = c ∙ p, p N, deci a = (c ∙ p) ∙ k = c ∙ (p ∙ k), p ∙ k N. Rezultă că a se divide cu c.
Dacă numărul natural a se divide nu numărul natural b și numărul natural b se
divide cu numă rul natural c, atunci a se divide cu c.
Dacă a b și b c, atunci a c, pentru orice numere naturale a, b, c.
Acesta este proprietatea de tranzitivitate a relației de divizibilitate. Conform acestei
proprietăți, din a | b și b | c, rezultă a | c.
Dacă numărul natural a se divide cu numărul natural b, atunci a se divide cu orice
divizor al lui b.
Dacă un număr natural d divide numerele naturale a și b, atunci d divide suma lor,
a + b.
Cu alte cuvinte, dacă d | a și d | b, atunci d | (a + b).
Demons trație. Dacă d | a și d | b, atunci există m N și n N, astfel încât a = d ∙ m
și b = d ∙ n. Avem: a + b = d ∙ m + d ∙ n = d ∙ (m + n) N.
Dacă un număr natural d divide numerele naturale a și b, a b, atunci d
divide diferența lor, a – b.
Cu alte cuvinte, dacă d | a și d | b, a b, atunci d | (a – b).
Demonstrație. Dacă d | a și d | b, a b, atunci există m N și n N, astfel încât
a = d ∙ m și b = d ∙ n, m n. Avem: a – b = d ∙ m – d ∙ n = d ∙ (m – n) N.
Dacă d divide numărul natural a, d N, atunci d divide produsul lui a cu orice
număr natural.
Demonstrație. Fie a, d N. Dacă d | a atunci există p N cu a = d ∙ p. Avem
a ∙ k = (d ∙ p) ∙ k = d ∙ (p ∙ k), p ∙ k N. Deci d | a ∙ k.
Fie a, d N, d | a. Atunci d | a ∙ k, pentru orice k N.
Fie a, b N. Dacă a | b și b | a, atunci a = b.

I 5.3. CRITERII DE DIVIZIBILITATE

I 5.3.1. Criteriul de divizibilitate cu 10. Dacă ultima cifră a unui număr natural este
0, atunci numărul se divide cu 10. Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este 0, atunci
numărul nu se divide cu 10.

I 5.3.2. Criteriul de divizibilitate cu 5. Dacă ultima cifră a unui număr natural este 0
sau 5, atunci numărul se divide cu 5. Dacă ultima cifră a unui număr natural nu este 0 și
nici 5, atunci numărul nu se divide cu 5.

I 5.3.3. Criteriul de divizibilitate cu 2. Dacă ultima cifră a unui număr natural este
pară, atunci numărul se divide cu 2. Dacă ultima cifră a unui număr natural este impară,
atunci numărul nu se divide cu 2.

I 5.3.4. Crite riul de divizibilitate cu 3. Dacă suma cifrelor unui număr natural se
divide cu 3, atunci numărul se divide cu 3. Dacă suma cifrelor unui număr natural nu se
divide cu 3, atunci numărul nu se divide cu 3.
I 5.3.5. Criteriul de divizibilitate cu 9. Dacă su ma cifrelor unui număr natural este
multiplu de 9, atunci numărul se divide cu 9. Dacă suma cifrelor unui număr natural nu este
multiplu de 9, atunci numărul nu se divide cu 9.
I 5.3.6. Criteriul de divizibilitate cu 4. Dacă numărul format din ultimele do uă cifre
ale unui număr dat este multiplu de 4, atunci numărul dat se divide cu 4. Dacă numărul

15
format din ultimele două cifre ale unui număr dat nu este multiplu de 4, atunci numărul dat
nu se divide cu 4.

I 5.3.7. Criteriul de divizibilitate cu 25. Dac ă numărul format din ultimele două
cifre ale unui număr natural dat se divide cu 25, atunci numărul dat se divide cu 25. Dacă
numărul format din ultimele două cifre ale unui număr natural dat nu este multiplu de 25,
atunci numărul dat nu se divide cu 25.

I 5.3.8. Criteriul de divizibilitate cu 102, 103, 104, … Un număr natural se divide cu
102, 103, 104 etc., dacă ultimele cifre ale sale sunt respectiv: două zerouri, trei zerouri, patru
zerouri, etc.

I 5.4. NUMERE PRIME. NUMERE COMPUSE

Un număr natu ral mai mare decât 1, care are numai doi divizori: pe 1 și pe el însuși,
se numește număr prim.
Numerele prime nu pot fi descompuse într -un produs în care toți factorii sunt
diferiți de 1.
Un număr natural diferit de 1, care are mai mult de doi divizori, se numește număr
compus. Numerele compuse pot fi descompuse în produse de mai mulți factori dintre care
fiecare este diferit de 1.
Observație. numărul 1 nu este nici prim și nici compus. Numărul 2 este singurul
număr prim și par. Numerele prime diferite de 2 sunt impare.

I 5.4.1. Descompunerea numerelor naturale în factori primi. A descompune un
număr natural în factori primi înseamnă a scrie acel număr ca produs de puteri ale căror
baze sunt numere prime distincte.
De obicei, factorii se scriu în o rdinea crescătoare a bazelor. Această scriere este
unică. Exemplu: 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5

I 5.5. CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN

Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a și b, nu ambele nule, este
numărul natural care: ● divide pe a și pe b și ● este di vizibil cu orice număr care divide pe
a și pe b. Cel mai mare divizor comun al numerelor a și b se notează (a; b).
Cum aflăm c.m.m.d.c.?

● Metoda I
◦ descompunem numerele în factori primi
◦ scriem mulțimile divizorilor
◦ cel mai mare element comun t uturor mulțimilor obținute este c.m.m.d.c.
● Metoda a II a
◦ descompunem numerele în factori primi
◦ produsul factorilor primi comuni tuturor numerelor, cu exponenții cei mai mici,
este c.m.m.d.c.
Cel mai mare divizor comun al mai multor numere naturale date, nu toate nule, este
numărul natural care: ● divide toate numerele date și ● este divizibil cu orice divizor
comun al numerelor date. Cel mai mare divizor comun al numerelor a, b, c, se notează (a;
b; c).

16
C.m.m.d.c. al mai multor numere naturale dat e se calculează înmulțind factorii
primi comuni, la puterea cea mai mică la care apar în descompunerea în factori primi a
tuturor numerelor date.
Numere prime între ele
Două sau mai multe numere naturale care au c.m.m.d.c. egal cu 1 se numesc
numere prim e între ele. Dacă numerele naturale a și b sunt prime între ele, notăm astfel: (a;
b) = 1.

I 5.6. CEL MAI MIC MULTIPLU COMUN

Cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale a și b este numărul natural care:
● este multiplul al lui a și al lui b și ● d ivide orice alt multiplu al numerelor a și b .
C.m.m.m.c. al numerelor naturale a și b se notează cu [a; b].
[a; 0] = 0, oricare ar fi numărul natural a.
Exemple: [3; 15] = 15; [6; 2] = 6; [8; 14] = 56
Cum se află c.m.m.m.c.?
● Metoda I
◦ scriem șirurile multiplilor numerelor date.
◦ primul element nenul comun tuturor șirurilor obținute este c.m.m.m.c. căutat.
● Metoda a II a
◦ descompunem numerele date în factori.
◦ luăm toți factorii primi o singură dată, cu exponenții cei mai mari cu care a par în
descompuneri. Produsul lor este c.m.m.m.c.

Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale este numărul natural
care: ● este multiplu al tutror numerelor date și ● divide orice alt multiplu al acelor
numere,
C.m.m.m.c. al numerelor natur ale a, b, c se notează cu [a; b; c].
Exemple: [2; 3; 4] = 12; [20; 15; 45] = [22 ∙ 5; 3 ∙ 5; 32 ∙ 5] = 22 ∙ 32 ∙ 5 = 180.
C.m.m.m.c. al mai multor numere nenule este diferit de 0. Mai multe numere, dintre
care cel puțin unul este 0 au c.m.m.m.c zero.
Dacă numerele date sunt prime între ele, atunci c.m.m.m.c. al lor este chiar produsul
numerelor date.
Dacă unul dintre numerele date se divide cu celelalte, atunci el este c.m.m.m.c. al
lor. Astfel, se constată că
[4; 12] = 12; [5; 10; 60] = 60.

17

CAP ITOLUL II
INELUL NUMERELOR ÎNTREGI

II 1. DOMENIUL DE INTEGRITATE A L NUMERELOR ÎNTREGI

Fie M mulțimea nevidă. O relație binară pe M reflexivă, simetrică și tranzitivă (
[1], § 4) se numește relație de echivalență pe M. Dacă x, y M, iar este o re lație de
echivalență pe M, atunci în loc de x y scriem x ~ y și citim x echivalent cu y. Dacă
a M, atunci mulțimea = { x M | x ~ a } se numește clasa de echivalență a lui a, sau
încă clasa de echivalență de reprezentant a. Cum a ~ a, a vem a și, în particular, rezultă
că este o parte nevidă a lui M. Dacă a, b M atunci = dacă și numai dacă a ~ b. În
adevăr, din a și = rezultă a , deci a ~ b. Reciproc, dacă a ~ b și x , atunci
x ~ a. Din x ~ a și a ~ b rezultă x ~ b, deci x , de unde . Analog, și deci
.
Dacă , sunt două clase de echivalență, atunci = sau = ; două clase de
echivalență sunt sau disjuncte sau co incid. În adevăr, dacă ≠ , fie c .
Atunci c ~ a și c ~ b, deci = = .
Să notăm cu , sau încă cu M / ~, mulțimea ale cărei elemente sunt clasele de
echivalență; se numește mulțimea cît a lui M prin relația de echivalență „~”. Aplicația
: M → , , (a) = , oricare ar fi a în M, se numește aplicația canonică asociată
relației de echivalență „~”. Evident, aplicația canonică asociată unei relații de echivalență
este surjectivă.
Să presupunem acum c ă pe M este definită o operație algebrică pentru care să
folosim, de exemplu, notația multiplicativă. O relație de echivalență pe M spunem că este
compatibilă cu înmulțirea de pe M dacă din a ~ a' și b ~ b' rezultă întotdeauna ab ~ a'b'. În
aceste condiții pe putem defini o operație algebrică pe care, rămânând încă în
terminologia multiplicativă, o numim înmulțirea claselor dedusă din înmulțirea din M.
Anume, dacă , , atunci prin definiție
= .
Definiția dată înmulțirii cl aselor este corectă în sensul că nu depinde de
reprezentanții claselor de echivalență folosiți în constituirea clasei produs. Mai precis, dacă
a' , b' , atunci a' ~ a, b' ~ b, deci a'b' ~ ab, de unde = .

18
Înmulțirea claselor moște nește o serie întreagă de proprietăți ale înmulțirii cu M,
anume: dacă înmulțirea din M este asociativă, comutativă, admite elementul neutru, atunci
aceste proprietăți le are și înmulțirea claselor. Iată un model de demonstrație. Să
presupunem că înmulțire a în M este asociativă. Atunci
( ) = = = = =
oricare ar fi , , , deci înmulțirea claselor este asociativă.
Noțiunea de inel și proprietățile imedia te în legătur ă cu acest concept le
presupunem cunoscute.
Fie S o mulțime nevidă considerată împreună cu două operații algebrice pe S pentru
care adoptăm notația aditivă, respectiv multiplicativă, numite adunarea, respectiv
înmulțirea în S. Spunem că S este semi – inel dacă înmulțire a este asociativă și este
distributivă față de adunare. Deci conceptul de semi – inel poate fi obținut din cel de inel
renunțând la cerința ca orice element să aibă opus. Rezultă, în particular, că orice inel este
semi – inel.
Spunem că un se mi – inel S este comutativ (unitar) dacă înmulțirea lui S este
comutativă (admite element neutru). Spunem că un element a S este regulat
(prescurtabil) relativ la adunare dacă din a + b = a + c cu b, c în S rezultă întotdeauna b = c.
Mulțimea N a numerel or naturale considerată împreună cu operațiile de adunare și
înmulțire este semi – inel comutativ, unitar, cu toate elementel e regulate relativ la adunare .
Un element b al unui semi – inel S este regulat relativ la adunare dacă oricare ar fi a
S ecuația a = x + b are cel mult o soluție în S. Dacă S este chiar inel, atunci orice element
b al lui S este regulat după cum ușor se poate verifica.
Teorema II 1.1 . Un semi – inel S este inel dacă și numai dacă are toate elementele
regulate relativ la adunare și o rice ecuație a = x + b cu a, b S admite soluția în S.
Demonstrație . Dacă S este inel, ecuația a = x + b admite în S soluții x = a + ( – b ) și
numai pe aceasta.
Cât privește reciproca, este suficient să presupunem că ecuațiile de tipul 0 = x + b
cu b S admit soluții în S.
În semi – inelul N al numerelor naturale o ecuație a = x + b cu a, b N admite
soluție în N dacă și numai dacă a b.
Din teorema II 1.1. rezultă că un semi – inel S cu toate elementele regulate relativ
la adunare și care nu este ine l este prea sărac în elemente pentru care ecuațiile de tipul

19
a = x + b cu a, b S să admită soluții în S. Aceeași teoremă ne lasă să întrevedem că acest
cusur al semi – inelului S poate fi depășit „scufundând” pe S într -un inel.
Cu aceste observați i ne propunem următorul program: dat fiind un semi – inel
comutativ și unitar S cu toate elementele regulate față de adunare să construim un inel
comutativ și unitar A astfel încât
(i) S A,
(ii) operațiile inelului A restrânse la S să coincidă cu cele al e lui S, elementul unitate al lui
A să coincidă cu cel al lui S;
(iii) oricare ar fi x A, există a, b S astfel încât a = x + b.
Nu este forma cea mai generală în care poate fi formulată problema pusă mai sus;
am avut totuși grijă ca să nu excludem se mi – inelul N al numerelor naturale. Vom arăta că
problema de mai sus are soluție și, mai mult, soluția este unică mai puțin un izomorfism de
inele unitare (într -un sens care va fi precizat mai jos).
Fie S și T două semi – inele unitare. O aplicație : S → T se numește omomorfism
de semi – inele unitare dacă (a + b) = (a) + (b), (ab) = (a) (b), (1) = 1
oricare ar fi a, b S. Dacă în plus ca aplicație de mulțimi este bijectivă, atunci se
numește izomorfism de semi – inele unita re. Dacă : S → T este izomorfism, atunci în
multe împrejurări este comod să identificăm elementele lui T cu cele ale lui S prin
intermediul lui , punând (a) a oricare ar fi a S. Acesta este un principiu curent
folosit în algebră; rațiunea acest ui principiu trebuie găsită în faptul că algebrei îi este
indiferentă natura elementelor mulțimii subiacente unei structuri algebrice definite pe
mulțimea în cauză și este ușor de demonstrat că asemenea proprietăți nu sunt afectate
printr -un izomorfism.
Definiția noțiunii de izomorfism de inele unitare este analoag ă celei de izomorfism
de semi – inele unitare.
Teorema II 1.2. Fie S un semi – inel comutativ și unitar cu toate elementele
regulate relativ la adunare. Există un inel comutativ și unitar A și u n omomorfism injectiv
de semi – inele unitare : S → A astfel încât:
(*) oricare ar fi x A, există a, b S astfel ca (a) = x + (b).
Dacă (A', ') satisface condiții generale celor impuse cuplului (A, ), atunci există
un izomorfism f : A → A ' de inele unitare, unic determinat astfel încât ' = f ◦ .
Demonstrație . Fie M = S x S. Pe M definim două operații algebrice, adunarea și
înmulțirea perechilor ordonate de elemente din S, punând

20
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) (c, d) = (ac + b d, ad + bc),
Oricare ar fi (a, b), (c, d) în M. Se verifică ușor că adunarea perechilor este asociativă,
comutativă și admite pe (0, 0) ca element neutru. De asemenea, înmulțirea perechilor este
asociativă, comutativă, distributivă față de adunare și admit e pe (1, 0) ca element neutru.
Aceste proprietăți ale operațiilor cu perechi sunt moștenite de la adunarea și înmulțirea
semi – inelului S, via definiția dată pentru operațiile cu perechi.
Pe M definim o relație binară „~” punând pentru (a, b), (c, d) în M,
(a, b) ~ (c, d) a + d = b + c
Din definiție rezultă că „~” este o relație reflexivă și simetrică. Dacă (a, b) ~ (c, d)
și (c, d) ~ (e, f) atunci a + d = b + c și c + f = d + e, de unde
(a + c) + (a + f) = (a + c) + (b + e)
și prescurtând a + c, rezult ă a + f = b + e, deci (a, b) ~ (e, f) și relația „~” este și tranzitivă.
Deci „~” este o relație de echivalență pe M. Mai mult, relația de echivalență „~”
este compatibilă cu operațiile de adunare și înmulțire a perechilor, anume dacă
(a, b) ~ (a'b') și (c, d) ~ (c'd') atunci
(a + c, b + d) ~ (a' + c', b' + d')
și
(ac + bd, ad + bc) ~ (a'c' + b'd', a'd' + b'c').
Fie A mulțimea cît a lui M prin relația de echivalență „~”. Conform cu observațiile
din 2 putem considera operațiile de adunare și înmulțire a claselor: dacă x, y A și (a, b),
(c, d) sunt în M astfel încât x = , y = , atunci
x + y = ,
xy = ,
Adunarea și înmulțirea claselor moștenind proprietățile operațiilor de adunar e și
înmulțire a perechilor, atunci A față de adunare și înmulțirea claselor formează un semi –
inel comutativ și unitar, elementul neutru pentru adunarea claselor fiind 0 = ,
elementul neutru pentru înmulțirea claselor fiind 1 = .
Mai mul t, orice element x A, x = admite opus (față de operația de adunare
a claselor) pentru că dacă x' = , atunci
x + x' = = = 0
deci x' este opusul lui x.

21
Rezultă c A este inel comutativ și unitar față de operaț iile de adunare și înmulțire a
claselor .
Fie acum aplicația
: S → A, (a) = oricare ar fi a S.
Aplicația este un omomorfism injectiv de semi – inele unitare.
În adevăr, dacă (a) = (b), atunci = , deci (a, 0) ~ (b, 0), de unde
a = b și este aplicație injectivă. Cum
(a, b) = = + = (a) + (b)
(ab) = = = (a) (b)
(1) =
rezultă că este omomorfism injectiv de semi – inele unitare.
Dacă x A, x = , atunci
x + (b) = + = = = (a).
Rezultă că inelul constructiv și unitar A împreună cu omomorfismul : S → A
satisfac cerințele teoremei noastre.
Fie acum (A', ) o altă soluție la problema al cărei răspuns îl căutăm în teorema
noastră. Să arătăm că există un izomorfism de inele unitare f : A → A', unic determinat
astfel încât = f ◦

A
S f
A'

Dacă x A, x = , definim f (x) = (a) – (b) A'. Dacă (c, d) este un alt
element din clasa x, atunci (c, d) ~ (a, b), deci c + b = d + a, de unde
(c) + (b) = (c + b) = (d + a) = (d) + (a)
și avem
(c) – (d) = (a) – (b) = f (x).
Rezultă că definiția aplicației f : A → A' este corectă: f (x) nu depinde de reprezentantul
clasei x folosit în definirea lui. Fie x, y A, x = , y = astfel încât f (x) = f (y) .
Avem:
(a) – (b) = (c) – (d),
deci

22
(a + d) = (a) + (d) = (c) + (b) = (c + b)
și cum este aplicația injectivă avem a + d = c + b, deci (a, b) ~ (c, d), de unde x = y și f
este aplicație injectivă.
Dacă x' A', fie a, b S astfel încât (a) = x' + (b) și fie x A, x = .
Avem
x' = (a) – (b) = f (x)
și deci f este aplicație surjectivă.
Dacă x, y A, x = , y = atunci x + y = ,
deci
f (x + y) = (a + c) – (b + d) = (a) – (b) + (c) – (d) = f (x) + f (y).
La fel se arată că f (xy) = f (x) ∙ f (y) și încă f (1) = 1. Rezultă că f : A → A' este un
omomorfism bijectiv de inele unitare, deci izomorfism.
Dacă a S, atunci
(f ◦ ) (a) = f ( (a)) = f = (a) – (0) = (a),
de unde
f ◦ = .
Dacă g : A → A' este un izomorfism de inele unitare astfel încât = g ◦ f, atunci
pentru orice x A, x = (a, b)
avem
g (x) = g ( (a) – (b)) = g ( (a)) – g ( (b)) = (g ◦ f) (a) – (g ◦ ) (b) = (a) – (b)
= f (x)
și deci f = g. Teorema este complet demonstrată.
Fie T = (S) = { (a) | a S}. Evident este un izomorfism al semi – inelului S pe
semi – inelul T. Identificând elementele lui T cu cele ale lui S prin intermediul lui avem
(a) = (a, 0) a oricare ar fi a S. Cu această identificare inelul A construit în cursul
demonstrației teoremei precedente răspunde la problema pusă la începutul acestui paragraf.
Rezu ltatul stabilit în teorema II 1.2. rămâne adevărat pen tru semi – inelul N = {0, 1,
2, ….} al numerelor naturale. Există deci un inel comutativ și unitar Z , unic determinat mai
puțin un izomorfism de inele unitare, astfel încât N Z, operațiile inelului Z restrânse la N
coincid cu cele ale lui N, elementul unitate al lui Z este numărul natural 1, oricare ar fi x
Z există a, b N astfel încât a = x + b.
Elementele inelului Z se numesc numere întregi, Z se numește inelul numerelor
întregi.

23
Elementele lui Z pot fi descrise și mai precis. În adevăr, fie x Z și fie a, b N
astfel încât a = x + b. Dacă a = b. Atunci prescurtând cu a (în inelul Z) găsim x = 0. Dacă a
≠ b, atunci a = c + b sau c + a = b cu c Z, c ≠ 0. Deci c + b = x + b sau a = x + c + a.
Eliminând pe b, respectiv a (prin adunare cu elemen tul opus) , găsim x = c sau x = – c, c
N, c ≠ 0. Deci orice număr întreg este sau număr natural sau opus (față de adunarea lui Z)
al unui număr natural. Dacă x Z, atunci x sau – x este în N; x și – x se găsesc simultan în
N dacă și numai dacă x = 0. Rez ultă că:
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
Inelul Z nu are divizori ai lui zero; dacă x, y Z x ≠ 0, y ≠ 0, atunci xy ≠ 0. În
adevăr, dacă x, y N atunci xy ≠ 0. Dacă x ∉ N, y ∉ N, atunci x = -a, y = -b cu a, b N,
a ≠ 0, b ≠ 0 și xy = ( -a) (-b) = ab ≠ 0. Dacă x ∉ N și y N, atunci x = -a, y = b cu a, b N,
a ≠ 0, b ≠ 0 și xy = ( -a) b = – (ab) ≠ 0 căci ab ≠ 0. Astfel, inelul Z fiind comutativ și lipsit
de divizori ai lui zero, devine un domeniu de integritate.

II 2. ORDONAREA NUMERELOR ÎNTREGI

Pe Z introducem o relație binară „ ” punând pentru x, y Z
x y y – x N.
Se verifică că relația „ ” este reflexivă, antisimetrică și tranzitivă, deci o relație de ordine
totală pe Z. Din definiția dată relației „ ” rezultă direct că dacă x, y, z, w Z, x y și
0 w, atunci
x + y y + z
x w y w
și putem spune că Z este un inel ordonat.
Un număr întreg x se numește pozitiv (negativ) dacă 0 x (respectiv x 0). Din
definiția dată relației „ ” rezultă că numerele întregi pozitive sunt 1, 2, …, numerele întregi
negative sunt -1, -2, …
Dacă x Z, atunci definim
x dacă x a
| x | = 0 dacă x = a
-x dacă x 0

24
Se observă că | x | este în N; | x | se numește modulul numărului întreg x. Propunem
cititorului să demonstreze că
| x | = 0 x = 0,
| xy | = | x | | y |,
| x + y | | x | + | y |,
oricare ar fi x, y Z.
Teorema II 2.1. (teorema împărțirii cu rest).
Dacă x, y Z, y ≠ 0, atunci există z, w Z astfel încât x = yz + w și | w | | y |.
Demonstrație . Fie a = | x |, b = | z |. Avem a, b N, b ≠ 0.
Fie q, r N astfel încât a = bq + r cu r b. Dacă x 0, y 0 teorema este
adevărată luând z = q și w = r.
Dacă x 0, y 0 teorema este adevărată luând z = -q și w = r etc.

II 3. DIVIZIB ILITATEA ÎN INELUL NUMERELOR ÎNTREGI

Pentru funcția valoa re absolută | | : Z → N, definită anterior, se observă că | x | =
max { -x, x }.
Teorema II 3.1. (Algoritmul împărțirii cu rest în Z). Pentru orice numere întregi a,
b cu b ≠ 0, există numere î ntregi unice q (cîtul) și r (restul) încât a = bq + r și 0 r | b |.
Demonstrație . Există numere naturale h, k încât | a | = | b | ∙ h + k și k | b |. Apar
doar următoarele posibilități și corespunzător lor, expresiile lui q și r:
a 0, b 0 q = h, r = k;
a 0, b 0 q = -h, r = k;
a 0, b 0, k = 0 q = -h, r = 0;
a 0, b 0, k ≠ 0 q = – (1 + h), r = b – k;
a 0, b 0, k = 0 q = h, r = 0;
a 0, b 0, k ≠ 0 q = h – 1, r = b – k.
Se consideră relația binară | p e Z definită prin
x | y a Z, y = a ∙ x.
Simbolul x | y se citește „x divide y”. Relația inversă, | -1, beneficiază de notația ; x y
înseamnă y | x și se citește „x se divide prin y” sau „x se împarte exact la y”. Se utilizează
și notația x y cu semnificația „x nu divide y”.

25
Relația binară | este o „preordine” pe Z, adică este reflexivă și tranzitivă. Din x | y și
z | x rezultă că x și y „sunt numere întregi asociate” adică x = y sau x = -y.
Se consideră că restricția la N a relației | este o o rdonare parțial în raport cu care 0
este element maximal. Ordonarea | a lui N nu este totală deoarece, de exemplu, 2 3 și 3
2. Au loc proprietățile:
Teorema II 3.2. Dacă x | y, atunci y = 0 sau | x | | y |.
Într-adevăr, din x | y urmează y = a ∙ x și | y | = | a | ∙ | x |.
Teorema II 3.3.
x | y x | (y ∙ z);
x | y și x | z x | (y + z);
Reținem și următoarele formule ușor de demonstrat
x Z și x ≠ 0 1 | x și ( -1) | x;
x Z x | 0;
x | y (-x) | y x | (-y) (-x) | (-y).
Pentru orice ele ment a din Z se consideră mulțimea D a = { x : x | a } ale cărei
elemente se numesc divizori ai lui a. Pentru a = 0 obținem D 0 = Z. Pentru orice a au loc: 1
Da, -1 Da, a Da, -a Da; numerele 1, -1, a, -a se numesc divizori improprii ai lui a;
celelal te elemente din D a se numesc divizori proprii.
Numărul întreg a este prim dacă mulșimea D a are cardinalul 4.
Condiția revine la a ∉ { -1, 0, 1 } și la faptul că a nu admite divizori proprii. Un
număr întreg a ce satisface a ∉ { -1, 0, 1 } și nu este prim se numește compus.
Teorema II 3.4. Orice număr compus admite cel puțin un divizor prim, număr
natural.
Demonstrație . Dacă n este compus, D n are cardinalul mai mare ca 4, deci D n \ { -1,
+1, -n, +n } este o mulțime nevidă D' n. Mulțimea E = { | x | : x Dn'} admite un prim
element p ce este evident număr natural diferit de 0 și constituie un divizor propriu al lui n.
Am constatat deci că există și un întreg q încât n = p ∙ q. Evident p ∉ { -1, 0, 1 } și dacă,
prin absurd, nu ar fi prim, ar fi compus și am putea relua pentru el etapa de mai sus pentru
a găsi p = p 1 ∙ p2, p1 fiind un număr natural, divizor propriu al lui p . Ar urma că p 1 este un
divizor propriu al lui n, deci p 1 E și p 1 p, contrazicând calitatea de prim element a lui p.
Observație. Mai r ezultă că p | q |, deci p2 | pq | = | n | deci numărul compus n
admite cel puțin un divizor prim p încât 0 p .
Teorema II 3.5. Dacă p este număr prim și p | (x ∙ y), atunci p | x sau p | y.

26
Demonstrație . Putem presupune, fără a restrânge generalitatea, că p este număr
natural. Dacă p x va exista un număr natural nenul x' p încât x = p ∙ q + x'. Analog,
dacă (prin absurd) nu are loc nici p | y găsim s în Z și y' în N* încât y = p ∙ s + y' și y' p.
Urmează xy = p ∙ k + x'y', unde k = p qs + qy' + sx'. Rezultă p | x'y' și se contrazice
observația de mai sus.
Teorema II 3.6. (a descompunerii în factori primi). Pentru orice număr întreg
n ≠ 0 există o descompunere unică de forma
n = ∙ (q1)a
1 ∙ (q2)a
2 … (q k)a
k ,
unde { -1, +1 }, p i sunt numere naturale prime, p 1 p2 … pk și ai sunt
numere naturale nenule.
Determinarea descompunerii mai sus menționate se realizează ușor cu teorema II
3.4. Pentru unicitate se presupune prin absurd că în afară de descompunerea de mai sus ar
mai exista încă o descompunere
n = ' ∙ (q 1)b
1 ∙ (q2)b
2 … (q h)b
h ,
îndeplinind condițiile precizate. Urmează imediat = '. Deducem q 1 | n și urmează
q1 = p 1; simplificăm acest factor de a 1 sau b 1 ori și vom constata a 1 = b 1 etc.
Teorem a II 3.7. Există o infinitate de numere prime.
Demonstrația se realizează presupunând prin absurd că ar exista doar un număr finit
de numere prime, p 1, p2, …, p k. Numărul n = p 1 ∙ p2 ∙ … ∙ p k + 1 nu poate fi prim, și nici nu
are loc n { -1, 0, 1 }. Dacă n ar fi compus, ar admite un factor prim pozitiv p pentru care
nu poate avea loc p = p i etc.
Fie m un număr natural nenul. Introducem o relație binară pe Z definind
x y m | (x – y).
Atunci când m nu este indicat de context în loc de x y se sc rie x y (mod m); relația
binară se citește „congruent cu” iar specificare mod m se citește „modulo” m.
Teorema II 3.8. Congruența modulo m este o echivalență. Mulțimea factor Z m se
dotează cu operații + și ∙ încât (Z m, +, ∙) este inel și proiecția can onică : Z → Z m este
k-omorfism de inele. Dacă m este număr prim (Z m, +, ∙) este corp.
Demonstrația este imediată. Se poate presupune că m este număr natural fără a
restrânge generalitatea. Funcția : Z → Z m asociază unui număr întreg z restul împ ărțirii
sale la m. Elementele lui Z m, clasele factor, se notează cu , , … , , unde este
clasa de echivalență a lui n, adică
n = { n + xm : x Z }.

27
Se poate remarca ușor că este un ideal al inelului (Z, +, ∙). Dacă m nu este prim,
(Zm, +, ∙) nu este domeniu de integritate; de exemplu 2 ∙ 3 0 (mod 6). Pentru m prim ,
calitatea de domeniu de integritate a lui (Z, +, ∙) rezultă din teorema II 3.5. Având în vedere
că Z m are un număr finit de elemente rezultă acum că este corp. Într -adevăr, pentru
Zm \ { } funcția f a : Zm → Z m dată prin f a( ) = ( ) este, pentru m prim, injectivă și
datorită finitudinii lui Z m și surjectivă. Va exista deci o soluție unică a ecuației : = ce
constituie inversul ele mentului etc.
Teorema II 3.9. (Mica teoremă a lui Fermat). Dacă m este prim și a nu este
divizibil prin m, atunci
1 (mod m).
Demonstrație . Vom constata că în șirul de numere a∙ 1, a ∙ 2, … , a ∙ (p – 1) nu există
două congruente modul o m și nici unul nu este congruent cu zero. Prin urmare
{ , , … } = { , , … , }.
În consecință produsele elementelor celor două mulțimi coincid, adică
(m – 1) ! (m – 1) ! (mod m),
sau
m | (m – 1) ! ( – 1).
Dacă m (m – 1) ! pentru că m (prim) nu divide nici unul dintre numerele 1, 2, … ,
,m – 1 strict inferioare lui. Rezultă m | ( – 1), q.e.d.

28
CAPITOLUL III
CORPUL NUMERELOR RAȚIONALE

III 1. CORPUL DE FRACȚII A UNUI DOMENIU DE INTEGRITA TE
Un inel unitar și comutativ A, cu cel puțin două elemente (echivalent cu faptul că
1 ≠ 0) și fără divizori ai lui zero (din ab = 0 cu a, b A rezultă a = 0 sau b = 0) se numește
domeniu de integritate sau încă inel integru. Inelul Z al numerelor înt regi este domeniu de
integritate. Orice corp comutativ este domeniu de integritate pentru că un corp nu are
divizori ai lui zero. Într -adevăr, dacă K este corp și ab = 0, unde a, b, K, a ≠ 0, atunci
b = 1b = (a-1a) b = a-1 (ab) = a-10 = 0. Un domeni u de integritate nu este obligatoriu corp
după cum rezultă considerând, de exemplu, inelul Z al numerelor întregi.
Vom demonstra în paragraful următor că orice domeniu de integritate poate fi
scufundat într -un corp. Mai precis, dacă A este un domeniu de i ntegritate, atunci există un
corp comutativ K, unic determinat mai puțin un izomorfism, astfel încât:
(i) A K;
(ii) operațiile corpului K restrânse la A coincid cu cele ale lui A;
(iii) pentru orice x K, există a, b, A cu b ≠ 0 astfel ca x = ab-1.
Aplicând acest rezultat inelului Z se obține corpul Q al numerelor raționale.
Teorema III 1.1. Fie A un domeniu de integritate. Există un corp comutativ K și un
omomorfism injectiv de inele unitare : A → K cu proprietatea:
(*) oricare ar fi x K, ex istă a, b A, b ≠ 0 astfel încât x = (a) (b)-1.
Dacă (K', ') satisface condițiile similare cuplului (K, ), atunci există un
izomorfism f : K → K' unic determinat astfel încât ' = f ◦ .
Demonstrație. Să notăm cu A' mulțimea elementelor diferi te de zero ale inelului A.
Dacă a, b A', atunci ab A' pentru că A nu are divizori ai lui zero. Pe mulțimea
M = A x A' definim două operații algebrice, adunarea și înmulțirea perechilor ordonate,
punând:
(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)
și
(a, b) (c, d) = (ac, bd)
oricare ar fi (a, b) și (c, d) în M.
Pe M introducem, de asemenea, o relație binară definind pentru (a, b) și (c, d) în M
(a, b) (c, d) ad = bc.

29
Se demonstrează ușor că „ ” este o relație de echivalență pe M. Mai mult, rela ția
de echivalență definită mai sus este compatibilă cu operațiile cu perechi: dacă (a, b) (a',
b') și (c, d) (c', d'), atunci
(ad + bc, bd) (a'd' + b'c', b'd')
(ac, bd) (a'c', b'd').
Fie K mulțimea cît a lui M prin relația „ ”.
Având în vedere observațiile din Teorema III 1.1. putem considera operațiile de
adunare și înmulțire a claselor de echivalență: dacă x, y K, x = , y = , atunci
x + y =
xy = .
Pentru clasa de echivalență se folosește încă notația a / b și atunci definiția
dată pentru operațiile cu clase se transcriu astfel:

și

deci, sunt simulate regulile uzuale de adunare și înmulțire a fracțiilor.
Având în vedere definițiile date pentru operațiile cu perechi și clase se
demonstrează ușor că adunarea claselor es te asociativă și comutativă iar înmulțirea claselor
este asociativă, comutativă și distributivă față de adunarea claselor.
Să notăm cu 0 clasa . Atunci pentru orice x' K, x = avem
x + 0 = = = = x
și deci clasa 0 este element de efect nul pentru adunarea claselor.
Deci x K, x = , iar x' = ( – ), atunci
x + x' = = = 0,
deci orice clasă x = admite opus față de adunarea claselor, anume – x = (- ).
Să notăm cu 1 clasa . Se verifică ușor că această clasă este element de efect
nul pentru înmulțirea clasel or.
Fie x = , x ≠ 0. Atunci a ≠ 0 și are sens să considerăm clasa x' = (b, a). Avem
xx' = = = 1,

30
deci orice clasă x ≠ 0 este inversabilă (față de operația de înmulțire a claselor) și
x-1 = .
Rezumând ob servațiile făcute mai sus asupra operațiilor cu clase, rezultă că
mulțimea cît K este corp comutativ față de operațiile de adunare și înmulțire a claselor.
Fie acum aplicația : A → A, (a) = oricare ar fi a A. Avem
(a + b) = = + = (a) + (b)
(ab) = = = (a) (b),
(1) = = 1,
deci este omomorfism de inele unitare.
Dacă pentru a, b A avem (a) = (b), atunci = , deci (a, 1) (b, 1)
de unde a = b și este aplicația injectivă.
Să arătăm acum că cuplul (K, ) format cu corpul comutativ K și omomorfismul
injectiv de inele unitare : A → K satisface la condiția (*) din enunțul teoremei. Fie
pentru aceasta x K, x = . Avem:
x = = = (a) (b)-1
și condiția (*) este satisfăcută.
Fie (K', ') un cuplu care satisface condiții similare celor satisfăcute de cuplul (K,
). Fie f : K → K', f(x) = '(a) '(b)-1 oricare ar fi x K, x = . Urmând ideea
demonstrației părții de unicitate a teoremei III 1.1. se arată că f este izomorfism, ' = f ◦
și dacă g : K → K' este un omomorfism astfel încât ' = g ◦ , atunci g = f. Cu aceasta
teorema este demonstrată.
Fie B = (A) = { (a) | a A}. Evident este un izomorfism al inelului A pe
inelul B. Identificând elementele lui B cu cele ale lui A prin , deci (a) a oricare ar fi a
A, atunci corpul K răspunde la problema pe care ne -am pus -o mai sus. Corpul K, unic
determinat mai puțin un izomorfism, se numește corpul fracțiilor domeniului de integritate
A. Orice element x K este de forma x = ab-1, sau încă x = a/b, cu a ≠ b A, b ≠ 0.
Așa cum am observat, inelul Z al numerelor întregi este domeniu de integritate.
Datorită teoremei III 1.1. există un corp Q, unic determinat mai puțin un izomorfism, cu
proprietățile Z Q, operațiile corpului Q restrânge la Z coincid cu cele ale lui Z, oricare ar
fi x Q, există a, b, Z b ≠ 0 astfel încât x = ab-1 = a/b. Elementele corpulu i Q se numesc
numere raționale; Q se numește corpul numerelor raționale.
Relația de ordine care a fost introdusă pe inelul numerelor întregi poate fi extinsă la
Q. fie în acest scop x = a/b un număr rațional. Spunem că x este pozitiv, și scriem x 0,

31
dacă ab 0 în Z. Această definiție este corectă (nu depinde de reprezentanți) căci dacă
avem încă x = a'/b', atunci (a, b) (a', b'), deci ab' = a'b, de unde (ab) (a'b') = a'2b2 0 în Z
și cum ab 0 rezultă a'b' 0. Pentru x Q scriem x 0 dacă x 0 sau x = 0.
Pe Q introducem acum o relație binară „ ” punând pentru x, y Q.
x y y – x 0.
Se poate demonstra acum cu ușurință că „ ” este o relație de ordine pe Q (relație
reflexivă, antisimetrică și tranzitivă), iar restricția ei la Z coincide cu rela ția de ordine
considerată pe Z în teorema mai sus menționată. Mai mult, dacă x, y, z, w Q, x y și
0 w, atunci
x + z y + z
xw yw.
De asemenea, dacă x Q, x 0, atunci – x 0.
Pentru x Q, definim
x dacă x 0
| x | = 0 dacă x = 0
– x dacă x 0.
Numărul rațional | x | se numește modului lui x și evident | x | este un număr
rațional 0.
Mai mult, se demonstrează că:
| x | = 0 x = 0
| x + y | | x | + | y |
| xy | = | x | | y |,
oricare ar fi x, y în Q.

III 2. MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE
În Z nu există în general inverse în raport cu înmulțirea; vom construi o extensie Q
a lui Z care să fie corp.
Fie Z* = Z \ {0} și D = Z x Z*. Vom defini o relație binară pe D cerând:
(a, b) (c, d) ad = bc.
Deducem imediat :
Propoziția III 2.1. este o relație de echivalență pe D.
Propoziția III 2.2. Au loc următoarele:
10 a Z, b, c Z*, (a, b) (ac, bc);

32
20 a Z, b, c, d Z*, (a, b) (ac, d) d = bc;
30 a Z*, (a, a) (1, 1) și (0, a) (0, 1);
40 [ (a, b) (c, d) și a ≠ 0] [c ≠ 0 și (b, a) (d, c)] .
Justificarea este elementară. Demonstrăm punctul 40. Dacă (a, b) (c, d), a ≠ 0,
atunci ad = cb. Dacă c = 0, avem contradicția a = 0, sau b = 0. În consecință c ≠ 0.
Urmează că ( b, a) , (d, c) D. Dar ad = cb (b, a) (d, c), q.e.d.
Definiție. Mulțimea Q = D / se numește mulțimea numerelor raționale.
Clasele lui D / sunt numere raționale și vor fi notate cu < a, b >, (a, b) D fiind
un reprezentant al numărului rațional < a, b >.
Din propoziția III 2.2. se deduce imediat:
Propoziția III 2.3. Au loc proprietățile:
10 < a, b > = < ac, bc >, c Z*;
20 < a, b > = < ac, d > d = bc;
30 < a, a > = < 1, 1 > și < 0, a > = < 0, 1 >, a Z*;
40 [ < a, b > = < c, d > și a ≠ 0 ] [ c ≠ 0 și < b, a > = < d, c > ].
Propoziția III 2.4. Dacă au loc (a, b) (a' b') și (c, d) (c' d'). atunci:
10 (ad + bc, bd) (a' d' + b' c', b' d') și
20 (ac, bd) (a' c', b' d').
Demonstrație . 10 (ab' = a' b și cd' = c' d) ab' dd' + cd' bb' = a ' bdd' + c' dbb'
(ad + bc, bd) (a' d' + b' c'. b' d').
20 (ab' = a' b și cd' = c' d) acb' d' = a' c' bd (ac, bd) (a' c', b' d')
Propoziția III 2.5. Aplicațiile + : Q2 → Q și · : Q2 → Q definite prin < a, b > + < c,
,d > = < a d + bc, bd >, r espectiv < a, b > · < c, d > = < ac, bd >, nu depind de reprezentanții
(a, b), (c, d) ai numerelor raționale < a, b >, respectiv < c, d >.
Aplicând propoziția III 2.4., rezultă imediat afirmația.
Așadar + și ·, date de ultima propoziție, sunt operații pe mulțimea Q a numerelor
raționale. Le numim adunarea și înmulțirea numerelor raționale.
Teorema III 2.1 . Mulțimea Q a numerelor raționale, împreună cu operațiile de
adunare „+” și înmulțire „·”, este un câmp (corp comutativ).
Demonstrație
1) (Q, +) est e un grup abelian:
(<a, b> + <c, d>) + <e, f> = <ad +bc, bd> + <e, f> = <adf + bcf + bde, bdf> = <a,
,b> + (<c, d> + <e, f>);

33
<a, b> + <0, 1> = <a, b>, deci <0, 1> este elementul neutru al adunării. Opusul
elementului <a, b> este numărul rațional < – a, b>.
2) (Q, ·) este semigrup abelian cu unitate.
(<a, b> · <c, d>) · <e, f> = <ac, bd> · <e, f> = <abe, bdf> = <a, b> · (<c, d> · <e,
,f>);
<a, b> · <1, 1> = <a, b> și <a, b> · >c, d> = <ac, bd> = <c, d> · <a, b>.
3) Q* = Q \ {<0, 1>} și · este grup comu tativ.
Avem de arătat că <a, b> ≠ <0, 1> are un invers în raport cu înmulțirea. Dar <a, b>
≠ <0, 1> a ≠ 0. Atunci <a, b> · <b, a> = <ab, ab> = <1, 1>, (deoarece ab ≠ 0). Deci,
pentru a ≠ 0, <a, b>-1 = <b, a>.
4) Înmulțirea este distributivă față de adu nare. (<a, b> + <c, d>) · <e, f> = <ad + bc,
,bd> · <e, f> = <ade + bce, bdf> = <a, b> · <e, f> + <c, d> · <e, f>, q.e.d.
Vom construi acum o relație de ordine totală în Q și vom arăta că ea este
compatibilă cu operațiile de adunare și înmulțire a numerel or raționale. Particularizând în
propoziția III 2.3. punctul 10 c = -1, obținem <a, b> = < – a, – b> și rezultă că pentru orice
număr rațional <a, b>, putem determina un reprezentant (a, b) sau ( – a, – b) încât al doilea
factor al său, b sau – b, să fie poz itiv, adică Q = { <a, b> : a Z, b Z+ }. Fie atunci
Q+ = { <a, b> : a Z+, b Z+}, 0 = <0, 1> și
Q- = { <a, b> : a Z-, b Z+}.
Propoziția III 2.6.
10 Mulțimile Q +, Q- și {0} alcătuiesc o partiție pentru Q.
20 Q+ este parte stabilă în (Q, +).
30 (Q+, ·) este grup abelian.
Definiție . Vom spune că numărul rațional <a, b> este mai mic decât numărul
rațional <c, d> și vom scrie <a, b> <c, d> dacă <c, d> – <a, b> Q+. Scriem <a, b>
<c, d> dacă <a, b> <c, d> sau <a, b> = <c, d>.
Teorema III 2 .2. (Q, +, ·, ) este câmp total ordonat adică: mulțimea (Q, ) este
total ordonată și relația de ordine este compatibilă cu operațiile de adunare și înmulțire din
Q.
Demonstrație . Conform definiției mai sus menționate, <a, b> <a, b>. Apoi <a, b>
<c, d > și <c, d> <a, b>, prin propoziția III 2.6. punctul 10, implică <a, b> = <c, d>.
Din <a, b> <c, d>, <c, d> <e, f> avem <c, d> – <a, b> Q+ {0}, <e, f> – <c, d>
Q+ {0}, care implică <e, f> – <a, b> Q+ {0} adică <a, b> <e, f>. Principiul

34
trihotomiei rezultă imediat aplicând propoziția III 2.6. punctul 10. Prima parte a teoremei
este dovedită.
Să arătăm acum:
1) (<a, b> <c, d> și <a 1, b1> <c1, d1>) <a, b> + <a 1, b1> <c, d> + <c 1,
d1>
2) (<a, b> <c, d> și <e, f> Q+ ) <a, b> · <e, f> <c, d> · <e, f>.
Într-adevăr, <c, d> – <a, b> Q+ ,<c1, d1> – <a1, b1> Q+ {0} implică <c, d> +
+<c1, d1> – (<a, b> + <a 1, b1>) Q+ și punctul 1) are loc. La fel se dovedește punctul 2),
q.e.d.
Fie = {<a, 1> : a Z}. Evident, ≠ Q. Elementele lui se numesc întregi
raționali. Restricția relației la determină o ordine totală pe . De asemenea, se vede
ușor că determină o ordine totală pe . De asemenea, se vede ușor că este parte stabilă
în raport cu operațiile + și · din Q. Atunci:
Propoziția III 2.7. ( , +, ·) este domeniu de integritate.
Teorema III 2.3.
10 Mulțimile (Z, ), (Q, ) sunt asemenea.
20 Există un izomorfism între domeniile de integritate (Z, +, ·) și ( , +, ·), care este
și asemănare.
Demonstrație
10 Fie f : Z → aplicația dată de f (a) = <a, 1>. Din f (a) = f (b) se deduce <a, 1> =
= <b, 1> care implică a = b. Deci f este injectivă. Fie <a, 1> un element oarecare din și
(a, 1) un reprezentant al său; atunci f (a) = <a, 1>. Urmează că f este surjectivă. Deci f este
bijectivă. Să admitem acum că a b; atunci f (a) F (b), deoarece <b, 1> – <a, 1> = <b,
,1> + < – a, 1> = <b – a, 1> și b – a 0.
20 Asemănarea precedentă este și izomorfism, deoarece f (a+b) = <a + b, 1 > = <a,
,1> + <b, 1> = f (a) + f (b) și f (a) · f (b) = <a, 1> · <b, 1> = <ab, 1> = f (ab), q.e.d.
În baza acestui rezultat mulțimile Z și pot fi identificate și Q apare ca o extensie a
domeniului de integritate Z.
Teorema III 2.4.
Orice număr raționa l <a, b> Q poate fi scris sub formă de produs al unui întreg rațional
prin inversul unui întreg rațional.
Demonstrație . Fie <a, b> Q, b Z+. Dacă <a, b> = 0, atunci <a, b> = <0, b> · <b,
,1>-1. Dacă <a, b> ≠ 0, atunci <a, b> = <a, 1> · <b, 1>-1, q.e.d .

35
Teorema III 2.5.
Corpul numerelor raționale Q este extensie minimală a domeniului de integritate Z.
Demonstrație. Orice alt corp K, ce conține o submulțime izomorfă cu Z, va
conține și inversele elementelor din \ {0}. După teorema 2, K va conț ine un subcorp
izomorf cu Q și atunci Q se identifică cu un subcorp din K, q.e.d.
Propoziția III 2.8. (Q, ) este o mulțime total ordonată fără prim sau ultim
element, densă.
Caracterul total al ordonării a fost dovedit în teorema 10. Pentru orice x din
găsim x – <1, 1> x și x x + <1,1> deci nu poate exista prim sau ultim element. Fie x =
= <a, b> și y = <c, d> încât x y, adică ad bc. Proprietatea de densitate afirmă existența
măcar a unui z = (e, f) încât x z y. Într -adevăr, putem lua z=
(x + y) = <1, 2> · <ad +
+ bc, bd> = <ad + bc, 2bd> și se verifică ușor x z, z y.
Un ultim rezultat pe care îl prezentăm, referitor la corpul Q, este dat de:
Teorema III 2.6. Câmpul Q al numerelor raționale este arhimedian.
Demonstrație . Avem de arătat că în (Q, ) are loc proprietatea: dacă <a, b> Q+ și
<c, d> Q, atunci există un număr natural n N* încât
n · <a, b> = <n, 1> · <a, b> <c, d>.
Pentru a justifica această proprietate fie numerele întregi ad 0 și cb. Există
n N* încât nad cb. Atunci <n, 1> · <a, b> = <n, 1> · <ad, bd> <cb, bd> = <c, d>,
q.e.d.
Observație . Identificăm mulțimile Z și : întregi raționali <a, 1> cu a și inversul lui
<b, 1>, b ≠ 0, cu
. Atunci <a, b> = <a, 1> · <1, b> = a ·
se poate nota cu
. Avem astfel

+
=
,
·
=
.

36
CAPITOLUL IV
NUMERE REALE ȘI NUMERE COMPLEXE

IV 1. AXIOMELE CORPULUI NUMERELOR REALE
Fie R un corp comutativ: R este deci un inel comutativ și unitar c u 1 ≠ 0 astfel încât
orice element R, ≠ 0 are invers (față de înmulțirea din R). Vom cere ca R să satisfacă
axiomele ( ), ( ) și ( ) a căror formulare este dată mai jos.
Axioma ( ). R este corp ordonat.
Aceasta înseamnă că pe mulțimea subiace ntă corpului R (mulțimea pe care s -a
definit structura de corp R) este dată o relație de ordine totală „ ”, astfel încât:
(i) dacă x y, atunci x + y y + z oricare ar fi z R;
(ii) dacă 0 x și 0 y atunci 0 xy.
Evident, o dată cu (i) și (ii) sunt adevărate:
(j) dacă x y, atunci x + z y + z oricare ar fi z R;
(jj) dacă 0 x și 0 y, atunci 0 xy.
Un element x R se numește pozitiv (strict pozitiv) dacă x 0 (respectiv x 0);
spunem că x este negativ (strict negativ) dacă x 0 (respectiv x 0).
În cele ce urmează trecem în revistă o listă de proprietăți ale relației de ordine într –
un corp ordonat.
(P1) D acă
xi yi, i = 1, 2, … , n,
atunci
x1 + x 2 + … + x n y1 + y 2 + … + y n;
dacă pentru un indice i 0, 1 i0 n avem x i0 yi0 atunci
x1 + x 2 + … + x n y1 + y 2 + … + y n.
Într-adevăr, pentru n = 2 avem datorită lui (j)
x1 + x2 y1 + x 2 y1 + y 2
de unde
x1 + x 2 y1 + y 2.
Dacă x 1 y1 (deci i 0 = 1), atunci datorită lui (i) și (j)
avem
x1 + x 2 y1 + x 2 y1 + y 2
de unde

37
x1 + x 2 y1 + y 2
Demonstrația lui ( P1) se termină printr -un raționament prin inducție asupra lui n.
(P2) D acă
0 xi, i = 1, 2, … , n
atunci
0 x1 + x 2 + … + x n;
dacă pentru un indice i 0, 1 i0 n avem 0 xi0, atunci
0 x1 + x 2 + … + x n.
Rezultă imediat din ( P1).
(P3) D acă
x + z y + z (respectiv x + z y + z),
atunci
x y (respectiv x y)
Într-adevăr, dacă x + z y + z, atunci din (i) rezultă
x + z + ( – z) y + z + ( – z),
de unde x y. Analog se demonstrează cealaltă alternativă.
(P4) Pentru x, y R următoarele relații sunt echivalente:
x y, 0 y – x, x – y 0, – y – x
(respectiv x y, 0 y – x, x – y 0, – y – x).
Se demonstrează folosind (i) și (j). De exemplu, dacă x y, atunci
x + ( – x) y + ( – x),
deci 0 y – x. Reciproc, dacă 0 y – x, atunci 0 + x y – x + x, deci x y.
(P5) D acă
z 0 (respectiv z 0) și x y (respectiv x y), atunci
xz yz (respectiv xz yz).
Într-adevăr, folosind (jj) și ( P4) din x y rezultă 0 x – y, deci
0 (y – x) z = yz – xz,
de unde xz yz. Analog se demonstrează cealaltă alternativă.
(P6) D acă
x 0 și y 0 (respectiv x 0 și y 0),
atunci
xy 0 (respectiv xy 0).
Dacă

38
x 0 și y 0 (respectiv x 0 și y 0),
atunci xy 0 (respectiv xy 0). În particular, pentru orice x R, x ≠ 0 avem x2 0.
Într-adevăr, din x 0 rezultă folosind ( P4) 0 – x. Din 0 – x și 0 y rezultă folosind
(jj)
0 (- x) y = – x y, de unde xy 0.
(P7) D acă x 0, atunci x-1 0. Dacă z 0, atunci x y dacă și numai dacă xz yz.
Avem 0 x y dacă și numai dacă 0 y-1 x-1.
Cum 1 ≠ 0 avem 1 = 12 0, deci xx-1 = 1 0. Dacă x-1 0, atunci folosind ( P6)
rezultă 1 = x-1 x 0 ceea ce este absurd. Rămâne adevărat x-1 0. Dacă xz yz și z 0,
atunci z-1 0 și folosind (5) avem (xz) z-1 (yz) z-1, de unde x y. Pentru reciprocă se
folosește ( P5). Ultima aserțiune din enunțul lui ( P7) este acum evidentă.
Dacă x R, atunci definim modulul lui x, notat | x |, astfel:
| x | =

Avem | x | 0 oricare ar fi x R; | x | = 0 dacă și numai dacă x = 0; | x | = | – x |
oricare ar fi x R.
(P8) D acă R, atunci | x | (respectiv | x | ) dacă și numai dacă – x
(respectiv – x ).
Într-adevăr, dacă x 0, atunci evident x – și cum | x | = x, relația | x | este
echivalentă cu relația x . Dacă x 0, atunci evident x și relația | x | este
echivalentă cu relația – x.
(P9) Oricare ar fi x, y R avem:
| x + y | | x | + | y |,
|| x | – | y || | x – y |,
| x y | = | x | | y |.
Într-adevăr, dacă x 0 și y 0 sau x 0 și y 0, atunci prima inegalitate din ( P9)
rezultă direct din (P 1). Dacă, de exemplu, x 0 și y 0, atunci
x + y y y + | y | + | x |
și
x + y x x – | y | = – | x | – | y | = – (| x | + | y |)
deci, folosind ( P8)
| x + y | | x | + | y |.
Acum avem

39
| x | = | y + ( x – y) | | y | + | x – y |
și
| y | = | x + (y – x) | | x | + | y – x |,
– | x – y | | x | – | y | | x – y |
și folosind ( P8)
| | x | – | y | | | x – y |.
Ultima aserțiune din enunțul lui ( P9) rezultă direct din ( P6).
Lema 1.1. Există un omomorfism injectiv f : Q → R care respectă relația de ordine
a, b Q, a b implică f (a) f (b).
Demonstrație. Pentru uzul acestei demonstrații notăm cu 1, e elementele unitate ale
lui Q, respectiv R.
Pentru n Z și x R definim produsul nx astfel:
nx =

Se verifică cu ușurință că pentru orice m, n Z avem
(*) (m + n)e = me + ne,
(mn)e = (me) (ne).
Fie acum : Z → R, (x) = ne oricare ar fi n Z. Cum e 0 și deci – e ,
atunci folosind (1) avem (n) 0oricare a r fi n 0. În particular, rezultă că este
aplicație injectivă.
Folosind (*) pentru m, n Z avem
(m + n) = (m) + (n)
(m n) = (m) · (n).
Avem încă (1) = e și în definitiv este omomorfism injectiv de inele unitare.
Fie acum
f : Q → R, f (a) = (m) · (n)-1 = (me) (ne)-1
oricare ar fi a Q, a = m / n. Dacă, de asemenea, a = m' / n', atunci mn' = nm' deci
(me) (n'e) = (ne) (m'e)
de unde
(me) (ne)-1 = (m'e) (n'e)-1.
Rezultă că f este corect definită ca aplicație de mulțimi.
Cum : Z → R este omomorfism injectiv, rezultă imediat că f este omomorfi sm
injectiv.

40
Fie acum a Q, a = m / n, a 0.
Avem mn 0 în Z. Deci m 0 și n 0 sau m 0 și n Z. Cum m / n = – m / – n
putem presupune m 0 și n 0. Deci me 0 și ne 0. Din (7) rezultă (ne) -1 0 și
atunci din (ii) rezultă
f (a) = (me) (ne) -1 0 în R.
Dacă a, b Q, a b atunci b – a 0, deci
f (b) – f (a) = f (b – a) 0,
de unde f (a) f (b) și lema este complet demonstrată.
Rezultatul stabilit în lema precedentă permite identificarea a f (a) oricare ar fi a
Q. Cu această identificare avem : Q R; operațiile corpului R restrânse la Q coincid cu
cele ale lui Q.
Axioma ( ). R este corp arhimedian ordonat.
Aceasta înseamnă că R satisface axioma lui Arhimede: dacă x, y R, x 0 și y
0, atunci există n N astfel încât n x y.
Fie X o parte nevidă a lui R. Spunem că X este majorată (sau mărginită superior)
dacă există R astfel încât x pentru orice x X; se numește în acest caz majorant
al mulțimii X. Spunem că un element R este margine superioară a mul țimii X dacă:
este majorant al mulțimii X, (2) dacă este majorant al mulțimii X, atunci .
Evident, marginea superioară în caz de există este unică. Dacă este marginea superioară
a mulțimii X, atunci notăm
= sup X =
X.
Marginea superioară, în caz de există, poate fi caracterizată ca fiind cel mai mic majorant
al mulțimii X.
Dual se definesc noțiunile de: mulțime minorată (sau mărginită inferior), minorant,
margine inferioară.
Dacă este marginea inferioară a mulțimii X atunci notăm
= inf X =
X
fiind de fapt cel mai mare minorant al mulțimii X.
Spunem că mulțimea X R este mărginită dacă este majorată și minorată, deci
există , R astfel încât
x oricare ar fi x X.
Spunem că X este nemărginită în caz contrar (X nu este majorată sau X nu e
minorată sau X nu e nici majorată și nici minorată).

41
În propoziția următoare este descrisă o altă variantă a axiomei ( ).
Propoziția 1.2 . Dacă R este un corp ordonat, următoarele afirmații s unt
echivalente:
(a) R satisface axioma lui Arhimede;
(b) N nu este majorată în R (N nu este mărginită superior).
Demonstrație (a) (b). Să presupunem că N este majorat în R. Atunci există
R astfel încât x oricare ar fi x N. Evident 0. Cum 1 0, atunci folosind axioma
lui Arhimede există n N astfel încât n = n1 . Avem deci n și n ceea ce este
absurd.
(b) (a). Fie x, y R, x 0, y 0. Cum N nu este majorată, există n N astfel
încât n yx-1. Folosind (7) av em nx (yx-1) x = y, deci nx y.
Axioma ( ). Dacă a, b Q, i N sunt astfel încât:
(1) a 0 a1 … ai … bi … b1 b0;
(2) pentru orice Q, 0 există n N astfel încât b i – ai , oricare ar fi i n,
atunci există R astfel încât a i bi oricare ar fi i N.
Înainte de a comenta a xioma ( ) avem nevoie de câteva noțiuni și rezultate în
legătură cu corpurile R ce satisfac axiomele ( ) și ( ).
Dacă , R, (respectiv ), mulțimea
( , ) = { x R | }
respectiv
[ , ] = { x R | }
se numește interval deschis (respectiv închis) de extremitate stângă și extremitate dreaptă
. Elementul – R. ( >0 în primul caz; 0 în ultimul caz) se numește lungimea
intervalului ( , ) (respectiv [ , ]).
Lema 1.3 Fie I i = ( i, i), i = 1, 2 … , n astfel încât I i Ij = oricare ar fi i ≠ j,
1 i, j n. Fie I = ( , ) astfel încâ t

Dacă
li = i – i, i = 1, 2, …, n,
atunci
li + l2 + … + l n l.

42
Demonstrație. Pentru i ≠ j avem i j sau j i căci altfel I i Ij ≠ .
Cu această observație avem, după o eventuală renumerotare a intervalelor I i,
1 1 2 2 … n n .
Dăm o demonstrație prin inducț ie asupra lui n. pentru n = 1 avem 1 1 .
Deci – 1 , 1 și folosind (1) avem 1 – 1 – de unde l 1 l. Fie n 1 și
presupunem lema adevărată când numărul intervalelor I i este mai mic ca n. Fie k astfel
încât 1 k n. Avem

și conform ipotezei inductive avem
l1 + l2 + … + l k k –
lk+1 + … l n – k+1
de unde
l1 + l2 + … + l n k – k+1 + – – = l.
Dacă R satisface a xioma ( ) am arătat în Lema 1.1. că Q R. Când R satisface și
axioma ( ) se poate descrie (cu relația de ordine din R) locul pe care în ocupă N în R: la
dreapta (în sensul relației de ordine din R) oricărui element R, 0 există cel puțin
un num ăr întreg n 0. Evident aceasta este echivalentă cu faptul că la stânga oricărui
element R, 0 există cel puțin un număr întreg n 0. Propoziția următoare aduce
elemente noi pe această linie de idei: între două elemente distincte din R există o infinitate
de numere raționale.
Propoziția 1.4. Dacă R satisface axiomele ( ) și ( ), atunci orice interval deschis I
= ( , ) al lui R conține o infinitate de numere raționale.
Demonstrație. Este suficient să arătăm că există cel puțin un număr raț ional
a ( , ) căci atunci intervalul ( , a) conține, de asemenea un număr rațional a 1, ș.a.m.d.
Fie x = – 0. Din (7) rezultă x-1 0 și cum 1 0 folosind axioma ( ) găsim n astfel
încât n x-1. Folosind din nou (7) avem 1 / n x.
Putem presupune 0 (în caz contrar lucrăm cu intervalul ( – , ) unde –
0). Fie P = {k N | k/n}. Cum 1 / n 0, 0 atunci din axioma ( ) rezultă că
P ≠ . Fie p cel mai mic element din P. Evident p ≠ 0 și m N astfel încât p = m + 1.

43
Avem m / n căci în caz contrar m P ceea ce este absurd. Avem, de asemenea,
m / n căci în caz contrar
( , ) (m / n, m + 1 / n)
și folosind Lema 1.3 scoatem x = – 1 / n ceea ce contrazice alegerea lui n. Notăm a
= m / n Q și avem . Propoziția este demonstrată.
Să facem acum un scurt comentariu asupra axiomei ( ). Cum pentru i j avem
(aj, bj) (ai, bi), atunci folosind Lema 1.3 rezultă b j – aj bi – ai. Deci în (2) din enunțul
axiomei ( ) este suficient să cerem ca b i – ai pentru i = n + 1. O consecință importantă
a axiomei ( ) este unicitatea elementului cu proprietatea descrisă în enunțul acestei
axiome. Mai precis:
Propoziția 1.5. Presupunem că R satisface axiomele ( ) ( ) și ( ). Cu notațiile din
enunțul axiomei ( ), dacă , R sunt astfel încât
ai bi, ai bi
oricare ar fi i N, atunci = .
Demonstrație. Presupunem ≠ , deci sau . Pentru a face o alegere,
fie . Folosind Propoz iția 1.4 alegem
a, b Q, a b, a, b ( , )
și fie
= b – a 0.
Fie n N astfel încât b n+1 – an+1 . Cum
(a, b) ( , ) (an+1 , bn+1)
folosind Lema 1.3 avem
= b – a – bn+1 – an+1
ceea ce este absurd. Rămâne adevăra t = .
În teorema următoare este prezentat rezultatul principal din acest paragraf.
Teorema 1.6. Dacă R satisface axioma ( ), atunci următoarele afirmații sunt
echivalente:
(a) R satisface axiomele ( ) și ( );
(b) orice parte majorată a lui R are margine superioară;
(c) orice parte minorată a lui R are are margine inferioară.
Demonstrație . (b) (a). Datorită Propoziției 1.2 pentru a arăta că R satisface
axioma ( ) revine la a arăta că N nu este majorată în R. Dacă N este majorată, atunci
datori tă lui (6), N nu are margine superioară și fie = sup N. Avem x oricare ar fi

44
x N. Dar atunci x –
n. Atunci n +
n + 1 ceea ce este absurd. Rămâne
adevărat că –
este un majorant pentru N, deci –
pentru că = sup N. Dar
–
este o absurditate. Rămâne adevărat că N nu este majorată în R, deci R satisface
axioma ( ).
Fie acum a i, bi Q, i N astfel încât ipotezele axiomei ( ) sunt satisfăcute. Evident
ai b0 oricare ar fi i N, deci mulțimea X = {a i} i N este majorată în R. datorită lui (b),
X are margine superioară și fie = sup X. Avem deci a i oricare ar fi i N. Rămâne să
arătăm că bi oricare ar fi i N. În caz contrar, există m N astfel încât b m . Cum
ai bm oricare ar fi i N rezultă că b m este majorant pentru X, deci bm ceea ce
contrazice relația b m . Rămâne adevărat că bi pentru orice i N.
(a) (b). Fie X o parte majorată a lui R. Putem alege două numere raționale a, b
astfel încât b să fie majorant pentru X și X [a, b] ≠ . Într -adevăr, dacă X [a, b] ≠
putem lua a un element oarecare din X Q. Altfel fie X și un majorant al lui X.
Cum R satisface axioma ( ) există numere întregi la stânga lui , și fie a un ul dintre
acestea; există, de asemenea, numere întregi la dreapta lui și fie b unul dintre acestea.
Fie l = b – a 0 și punea a 0 = a, b 0 = B. Dacă a i, bi Q au fost construiți, atunci
definim
ai+1 = ai, b i+1 = (a i + b i) / 2
dacă (a i + b i) / 2 est e majorant pentru X și
ai+1 = (a i + b i) / 2, b i+1 = b i
în caz contrar.
Evident,
a0 a1 … ai … bi … b1 b0,
X [ai, bi] ≠ ,
bi – ai =
, ai, bi Q
oricare ar fi i N.
Fie acum Q, . Deci (vezi (7)) și folosind faptul că R satisface
axioma ( ) există n întreg astfel încât n l -1. Folosind din nou (7) avem l / n . Cum
2n n atunci

, deci
bn – an =

.

45
În rezumat, ipotezele axiomei ( ) sunt satisfăcute, deci e xistă R, unic datorită
Propoziției 1.5, astfel încât
ai bi
oricare ar fi i N.
Să arătăm că = sup X. Avem x oricare ar fi x X, deci este un majorant
pentru X. Într -adevăr în caz contrar, există X, . Cum pentru orice i, bi este
majorant pentru X, avem bi, i N. Deci a i bi pentru orice i N, lucru
absurd datorită Propoziției 1.5. Rămâne adevărat că este majorant pentru X.
Fie acum un majorant pentru X. Dacă fie c, d ( , ) astfel înc ât c d,
c, d Q (vezi propoziția 1.4.). Avem = d – c Q, 0. Mai mult, (vezi
Lema 1.3.). Fie n N astfel încât
bn – an și X [an, bn] ≠
Avem
, , ) [an, bn]
deci
bn – an
de unde – adică , ceea ce contrazice faptul că este un majorant pentru X.
Rămâne adevărat că , deci = sup X.
(b) (c). Fie X o parte nevidă a lui R și notăm
– X = { – x | x X}.
Demonstrația faptului că (b) este echivalent cu (c)se concepe cu ușurință pe baza
observației următoare: un element X este majorant (margine superioară) pentru X dacă
și numai dacă – este minorant (margine inferioară) pentru mulțimea – X.

IV 2. CONSTRUCȚIA PRIN ȘIRURI A NUMERELOR REALE
Construcți a mulțimii numerelor reale este o problemă importantă în bazele
aritmeticii. Din acest motiv vom expune aici una dintre căile posibile de construcție a
numerelor reale.
Cum am văzut, câmpul numerelor raționale Q este ordonat și arhimedian. Convine
să notăm acum cu a , b, …. , x, y, … ,
, m Z, n N* elementele sale.
Reamintim că ≤ este o relație de ordine totală pe Q și că ea este compatibilă cu
operațiile din Q.
Avem astfel a, b, c, d Q,

46
IV 2.1

.
Cu notațiile noastre, pentru , avem

Atunci:
IV 2.2

.
Fie funcția , numită valoare absolută, de finită prin
IV 2.3. | x | =

Propoziția IV 2.1. : 10 ; 20 ; 30
; 40 .
Considerăm în continuare șiruri (a n) de elemente din
Definiția IV 2.1 .
10 Șirul (an) se numește mărginit, dacă există încât . Fie
mulțimea șirurilor mărginite.
20 (an) se numește șir Cauchy dacă pentru orice există un număr natural
N(e) încât , pentru toți . Notăm mulțimea șirurilor Cauchy.
30 (an) se numește șir nul dacă , există un număr natural N(e), încât
, pentru toți . Notăm mulțimea șirurilor nule.
Teorema IV 2.1.
Demonstrație. Este clar că . Fie ; atunci
. Dacă b este cel mai mare dintre numerele raționale , atunci
pentru toți , q.e.d.
Pe mulțimea a șirurilor de elemente din Q definim operațiile:
IV 2.4.

și ( ,+,·) este atunci un inel comutativ cu unitate.
Teorema IV 2.2.
10 este parte stabilă în în raport cu oper ațiile „+” și „·”;
20 ( , +, ·) este inel comutativ cu unitate;
30 ;
40 este ideal în .

47
Demonstrație .
10 Fie , N(e) și M(e) întregii din asociați acestor șiruri. Dacă

, atunci . Deci .
Fie acum c și d cu proprietatea . Dacă

, atunci

. Deci .
20 ( , +, ·), după 10 și după observația , este subinel al
inelului comu tativ . Șirul constant (1, 1, …) este șir din și este unitate în raport cu
produsul din .
Proprietatea 30 este evidentă, deoarece .
40 Dacă , atunci evident , deci ( , +) este subgrup
în ( , +). Fie și ; să arătăm că . Cum ( este
mărginit, există încât . Fie apoi oarecare. Există
așa
că pentru
să avem
. Deci, pentru
, avem
. Urmează că , q.e.d.
Definiția IV 2.2. Mulțimea factor R = se numește mulțimea numerelor reale.
Notăm numerele reale cu Ele sunt elementele mul țimii factor , deci au forma
. Notăm cu și
; se numește număr real zero, iar , unitatea din R.
Propoziția IV 2.2. Dacă și sunt numere reale
oarecare, atunci:

depind numai de numerele și nu de reprezentanții și ai lor.
Într-adevăr, dacă

,
atunci fie
și
. Urmează ca
( (

. De asemenea (
(

, q.e.d.
Putem considera atunci operațiile , unde
și , în care + și · sunt date de formula IV 2.4.

48
Teorema IV 2.3. (R, +, ·) este un câmp.
Demonstrație . După teorema IV 2.2., rezultă că (R , +, ·) este inel comutativ, cu
unitate. Rămâne să arătăm că orice din are invers în R în raport cu
înmulți rea „·”.
Fie , adică . Va trebui să determinăm un șir
Cauchy încât să aibă proprietatea adică
sau încă . Cum nu este un șir nul, există un număr
rațional astfel încât pentru orice , există numere naturale pentru care
. Pentru toți
avem
. Fie
astfel că .
Atunci, pentru p arbitrar,
, avem

.
Deci
, dacă
. Notăm
și fie și

dacă . Avem și deci
. Să arătăm acum că șirul . Dacă

, atunci

.
În consecință, dacă c este arbitrar în Q +, luând

avem
, q.e.d.
Definiția IV 2.3. Spunem că elementul din R este pozitiv și notăm
dacă există și un număr natural P(r), încât . Spunem
că elementul considerat este negativ dacă există și un număr natural P(r), încât
; notăm acum .
Se constată ușor că definițiile date sunt independente de reprezentantul ales
pentru . Concepem evident și drept submulț imi în R.
Teorema IV 2.4.
10 și sunt mulțimi disjunctive;
20 ;
30 ;
40 și .
Demonstrațiile acestor afirmații decurg ușor pe baza definiției IV 2.3.

49
Propoziți a IV 2.3.
10 ;
20 ;
30 .
Demonstrație .
10 Dacă , atunci , dacă , atunci și
;
20 ;
30 Dacă ∉ , putem avea și ∉ sau și , astfel că
contrar ipotezei, etc.
Definiția IV 2.4. Pentru și din R scriem , dacă și ,
dacă sau . Se introduce astf el relația binară pe R.
Teorema IV 2.5. Mulțimea este total ordonată și relația de ordine ≤ este
compatibilă cu operațiile din câmpul R.
Demonstrație . în baza definiție IV 2.4. Dacă avem ; în
caz contrar și , absurd. De asemenea,
proprietatea de tranzitivitate este imediată. Fie acum două numere reale oarecare;
este în , în sau în și numai în una dintre aceste mulțimi, deci avem
sau sau și numai una dintre aceste relații. Urmează (R, ≤) este mulțime total
ordonată.
Să arătăm acum că
,
.
Într-adevăr, din , rezultă . De
asemenea, , , q.e.d.
În consecință (R, +, ·, ≤) este un câmp ordonat.
Teorema IV 2.6. Câmpul numerelor rea le R conține un subcâmp izomorf cu
câmpul numerelor raționale Q.
Demonstrație . Să observăm că . Într-adevăr.
. Așadar R este caracteristică zero.
Considerăm aplicația , definită prin
este
morfism de câmpuri, deoarece

50

.
În mod analog,

. Dacă arătăm că f este aplicație injectivă va
rezulta că imaginea lui Q prin f este subcâmp în R. În acest scop es te suficient să arătăm că
f are proprietatea numai pentru întregi raționali. Dar
.
Rezumând, este izomorfism de câm puri. Să arătăm că f este
cresc ătoare. În acest scop să observăm că pentr u
avem
și

cu , . Deci
. Dacă în Q, atunci
și, , deci , q.e.d.
În baza acestei teorem e convine să notăm .
Teorema IV 2.7. Câmpul numerelor reale R este arhimedian.
Fie și două numere reale. Să arătăm că există așa că
, ( fiind , n-termeni). Dacă , atunci existența lui n est e evidentă. Fie
. Se vede ușor că există așa că are proprietatea
. Fie . Șirul fiind mărginit există încât .
Numerele raționale și d le putem aplica axioma lui Arhimede: există încât
; urmează . Atunci ,q.e.d.
Definiția IV 2.5. Spunem că șirul are limita și scriem
sau , dacă pentru orice există un număr natural N (e) încât
, pentru toți .
Propoziția IV 2.4. Orice șir de numere raționale care are limită este șir Cauchy.
Demonstrația este imediat ă folosind inegalitatea .
Observație . Există exemple de șiruri Cauchy de numere raționale care nu au limită.
Din acest motiv se spune despre Q că nu este „complet”. Se poate însă demonstra
următorul rezultat.
Teorema IV 5.8. Câmpul R al numerelor reale este „complet” adică orice șir
Cauchy de numere reale admite limită în R.
Observație . Aplicând câmpului R aceeași construcție pe care am aplicat -o lui Q ca
să obținem R se găsește un câmp , care însă este izomorf cu R. Urmează ca extensia lui
Q, obținută pe calea indicată în prezentul paragraf, es te unic ă până la un izomorfism.

51
IV 3. CORPUL NUMERELOR COMPLEXE
Câmpul R al numerelor reale prezintă și el o lipsă de natură algebrică, în sensul că
nu orice ecuație algebrică cu coeficienți din R are soluții în R. De exemplu ecuația
nu are rădăcinil e în R. Se procedează atunci la o nouă extindere a corpului
numerelor reale într -un corp în care această lacună nu mai are loc.
Construcția acestui corp, numit corpul numerelor complexe, poate fi făcută în
diverse moduri. Prezentăm aici o cale simplă și d irectă.
Fie R[X] inelul polinoamelor peste câmpul R, cu operațiile obișnuite de adunare și
înmulțire. R[X] este inel comutativ cu unitate.
Propoziția IV 3.1. este ideal în inelul R[X].
Într-adevăr, pentru două polinoame din J, diferența lor aparține lui J, iar produsul
unui polinom din J cu un polinom din R[X] aparțin de asemenea lui J.
Definiția IV 3.1. Inelul factor se numește mulțimea numerelor
complexe. Vom nota de acu m în continuare cu 0, 1, a, b, c, … numerele complexe .
Elementele lui C sunt de forma p(X) + J. Operațiile de adunare și înmulțire din
R[X] induc prin factorizare operațiile pe C:
VI 3.1. ,
,
care cuprind numai de numerele complexe considerate și nu de reprezentanții lor.
Propoziția IV 3.2. Orice număr complex poate fi scris în mod unic sub
forma redusă cu a, b numere reale.
Demonstrație . Fie numărul complex considerat. Polinomul p(X) se scrie
în mod unic sub forma

Atunci

Corolarul IV 3.2. Avem
.
De accea este firesc să cons iderăm numerele complexe scrise sub forma redusă.
Propoziția IV 3.3. Suma și produsul numerelor complexe sunt date de:
IV 3.2.

52
Într-adevăr, după IV 3.1. prima dintre aceste egalități este imediată. A doua
egalitate din IV 3.1. conduce la:

.
Teorema IV 3.1. (C, +, ·) este un câmp.
Demonstrație. C fiind dat de factorizarea unui inel comutativ unitar R[X] printr -un
ideal J al său, C este un inel comutativ, cu unitate. Rămâne să dov edim că pentru fiecare
există invers la înmulțire și acesta este din C.
Dar

are proprietatea cerută, q.e.d.
Convenim să scriem numărul complex sub forma ; a se
nume ște partea reală, iar b partea imaginară a numărului complex .
Teorema IV 3.2. Câmpul C al numerelor complexe conține un subcâmp izomorf cu
câmpul numerelor reale.
Într-adevăr, aplica ția , definită prin are proprietățile:
și este injectivă, q.e.d.
Teorema IV 3.3. Nu există o relație de ordine totală pe C compatibilă cu operațiile
din C.
Demonstrație . Să admitem prin absurd că există o relație de ordine totală ≤ pe C.
Atunci a vem fie , fie . Cum ≤ este compatibilă cu operațiile, din rezultă
, sau . Absurd, deoarece restricția lui ≤ la numerele de forma dă
relația pe totală ordonare pe R. Dacă , atunci și , de
asemene a absurd, q.e.d.
Observație. În conformitate cu teorema fundamental ă a algebrei, C este câmp
algebric închis. Adică orice ecuație algebrică cu coeficie nți din C are rădăcinile în C. D e
exemplu , ecuația are rădăcinile i și –i.

53
CAPITOLUL V
METODICA PREDĂRII NOȚIUNII DE NUMĂR

Consider că cea mai bună modalitate de a ilustra aspectele metodice este de a
prezenta rezolvarea unor exerciții alese adecvat, a unor probleme propuse, fișe de lucru și
teste de verificare, precum și a unor proiecte dida ctice alese corespunzator.
V 1. APLICAȚII REZOLVATE CU NUMERE NATURALE, ÎNTREGI,
RAȚIONALE, REALE ȘI COMPLEXE
V. 1. 1. MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE
1. Rezolvați următoarele exerciții respectând ordinea efectuării operațiilor și folosirea
parantezelor
a)
Soluție:

b)
Soluție:

c)
Soluție:

2. Se dau numerele:
,

54

Calculați
Soluție:

3. Ordonați crescător numerele

Soluție:

55

4. Rezolvați în mulțimea numerelor naturale următoarele ecuații
a)
Soluție:

b)
Soluție:

c)
Soluție:

56

d)
Soluție:

5. Aflați x număr natural din

Soluție:
Fiindcă avem numere de la 1 la 100, 2x apare de 100 de ori, rezultă

Suma este calculată astfel după formula

Revenim la exercițiu și avem

57

6. Găsiți suma numerelor naturale din intervalul
Soluție:
Numerele naturale din sunt: 3; 4; 5; 6

7. Arătați că

este număr natural
Soluție:

8. Se consideră numărul complex . Arătați că
Soluție:

9. Arătați că
este număr natural
Soluție:

58

V.1.1.1. TEOREMA ÎMPĂRȚIRII CU REST
( D = Î ⋅ C + R, Î ≠ 0, R < Î )
Definiție. Pentru orice două numere natur ale d și î cu î ≠ 0, există și sunt unice
două numere naturale c și r astfel încât:
d = c ∙ î + r și r < î , unde d = deîmpărțitul î = împărțitorul c = câtul
împărțirii r = restul împărțirii
Proprietăți
1) Dacă adunăm la d un multiplu a lu i î, restul împărțirii nu se schimbă.
d + M î = î ∙ c 1+r
2) Dacă înmulțim deîmpărțitul cu un număr, restul se înmulțește cu acel număr.
d ∙ m = î ∙ c ∙ m + m ∙ r, unde m ∙ r < m ∙ î
3) Dacă numerele d și î se împart cu un număr atunci și r estul se împarte cu același
număr.
d/m = î/m ∙ c +r/m,
4) Dacă două numere dau același rest la împărțirea cu un număr m, diferența lor se
împarte exact la m.
d – î = m ∙ (c 1 – c2)
Tipuri de probleme propuse
1) Efectuați împărțirile și verificați rezultatele obținute folosind teorema împărțirii
cu rest.
a) 39 : 5 = b) 630 : 18 = c) 14 : 73 = d) 0 : 25 =
2) Care poate fi restul împărțirii unui număr natural la:
a) 2 b) 3 c) 18 d) 2013
3) Aflați: a) Numărul natural care împărțit la 11 dă câtul 34 și restul 5.
b) Cel mai mic număr natural care împărțit la 11 dă câtul 34.
c) Cel mai mare număr natural care împărțit la 11 dă câtul 34.
d) Cel mai mic număr natural care împărțit la 11 dă restul 5.
4) Aflați: a) cel mai mic număr de două cifre care împărțit la 6 să dea rest 3.

59
b) cel mai mare număr de două cifre care împărțit la 8 să dea rest 1.
c) cel mai mi c număr de trei cifre care împărțit la 7 să dea rest 2.
d) cel mai mare număr de trei cifre care împărțit la 5 să dea rest 4.
e) cel mai mic număr de patru cifre care împărțit la 9 să dea rest 7.
f) cel mai mare număr de patru cifre care împărțit la 11 să dea rest 1.
5) Aflați: a) câte numere de două cifre dau restul 1 la împărțirea cu 6.
b) câte numere de două cifre dau restul 4 la împărțirea cu 7.
c) cate numere de trei cifr e dau restul 8 la împărțirea cu 13.
d) câte numere de trei cifre dau restul 3 la împărțirea cu 5.
e) câte numere de patru cifre dau restul 2 la împărțirea cu 5.
6) Aflați numărul care împărțit la 13 dă câtul și restul 7.
7) Calculați suma resturilor împărțirii unui număr natural la 5.
8) Să se afle un număr natural care împărțit la un număr natural de
două cifre să dea câtul 72 și restul 98.
9) Aflați cel mai mare număr natural care împărțit la 13 dă câtul egal cu un sfert d in
rest.
10) Un număr natural de patru cifre are primele două cifre identice,
iar cifra unităților 5. Acest număr se împarte la un număr de două cifre și se
obține restul 98. Aflați deîmpărțitul, împărțitorul și câtul.
11) Aflați cel mai mic număr natural a care, împărțit la 169 și apoi la
13, să dea același rest 11 și câturile diferite de zero.
12) Aflați numărul care împărțit la 23 dă câtul și restul 12.
13) Calculați suma resturilor împărțirii unui număr natural la 7.
14) Aflați cel mai mare număr natur al care împărțit la 17 dă câtul egal cu un sfert
din rest.
15) Aflați toate numerele naturale care împărțite la
a) 6 dau restul egal cu câtul.
b) 5 dau restul egal cu dublul câtului.
c) 8 dau restul de două ori mai mic decât câtul.
d) 7 dau restul mai mare cu 2 decât câtul.
e) 6 dau restul mai mic cu 2 decât câtul.
f) 7 dau restul mai mare cu 2 decat câtul.
16) Aflați toate numerele naturale de două cifre care împărțite la un număr natural
format dintr -o singură c ifră dau restul 8.

60
17) Dacă împărțim numărul natural n la 6 obținem restul 1, iar dacă împărțim la 8
obținem restul 3. Ce rest obținem, dacă îl împărțim la 24 ?
18) Dacă cifrele unui număr natural de trei cifre sunt consecutive, atunci numărul
se împarte exact la 3?
19) Suma tuturor numerelor naturale de trei cifre diferite între ele, cu cifrele a, b, c,
se împarte exact la a + b + c ?
20) Aflați câtul împărțirii numărului 2002 prin numărul natural a, dacă restul este 4 –
a.
21) Numerele naturale
bcab, și
ca au fost împărțite la același număr natural nenul
și au rezultat respectiv câturile a, b, c și
respectiv resturile (a + b), (b + c), (c + a). Se cere:
a) să se afle împărțitorul;
b) să se afle cel m ai mare număr
abc , știind că împărțitorul aflat anterior este
mai mare decât suma cifrelor numărului, iar răsturnatul lui
abc , este divizibil cu 5.
22) Prin împărțirea numerelor
bcaabc, și
cab , la același număr natural, obținem
căturile

cabc, și
ab , și resturile a, b, c. Aflați împărțitorul.

61
V.1.1.2. FIȘE DE LUCRU 1
1) Aflați media aritmetica a numerelor: a) 47; 89; 122 b) 127; 143; 174 c) 285;
321; 453 d) 136; 172; 236; 344
2) Media aritmetică a două numere este 98. Dacă unul din numere este 39, aflați
celălalt număr
3) Media aritmetică a trei numere este 75. Dacă două dintre ele sunt 47 și 85, aflați
al treilea număr
4) Media ari tmetică a patru numere este 59. Dacă media aritmetică a două dintre ele
este 39, aflați media aritmetica a celorlalte două
5) Aflați trei numere dacă media aritmetică a câte două dintre ele este 111; 97; 107.
6) Aflați trei numere dacă media lor aritmetică este 144, media primelor două este
138, iar a ultimelor două este 150
7) Media aritmetică a trei numere este 153. Aflați numerele dacă media aritmetică a
primelor două este 135, iar al treilea este mai mare decât al doilea cu 42
8) Media aritmetică a tr ei numere este 89. Aflați numerele dacă primul este
jumătate din al doilea și cu 11 mai mic decât al treilea
9) Media aritmetică a trei numere este 92. Aflați numerele dacă al doilea este
jumătate din primul și cu 8 mai mare decât al treilea
10) Media ari tmetică a trei numere este 153. Aflați numerele dacă al doilea este cu
24 mai mare ca primul și cu 15 mai mic decât al treilea
11) Media aritmetică a trei numere este 161. Aflați numerele dacă media aritmetică
a primelor două este 148, iar al treilea este mai mare decât al doilea cu 28
12) Media aritmetică a trei numere este 244. Aflați numerele dacă al doilea este
dublul primului și cu 17 mai mic decât al treilea
13) Media aritmetică a trei numere este 217. Aflați numerele dacă media aritmetică
a primelor două este 189, iar al doilea este cu 27 mai mic decât al treilea
14) Media aritmetică a patru numere este 74. Aflați numerele dacă media aritmetică
a primelor trei 66, a primelor două 56, iar primul este mai mic decât al doilea cu 16.

62
V.1.1.3. FIȘE DE LUCRU 2
1) Aflați media aritmetica a numerelor: a) 139; 157; 181 b) 115; 139; 172 c) 177;
231; 342 d) 258; 342; 426.
2) Media aritmetică a două numere este 108. Dacă unul din numere este 47, aflați
celălalt număr.
3) Media aritmetică a trei numere este 250. Dacă două dintre ele sunt 123 și 255,
aflați al treilea număr.
4) Media aritmetică a patru numere este 290. Dacă media aritmetică a două dintre
ele este 190, aflați media aritmetica a celorlalte două.
5) Aflați trei numere dacă media aritmetică a câte două dintre ele este 217; 337;
276.
6) Aflați trei numere dacă media lor aritmetică este 202, media primelor două este
171, iar a ultimelor două este 225
7) Media aritmetică a trei numere este 155. Aflați numerele dacă media aritmetică a
primelor do uă este 145, iar al treilea este mai mare decât al doilea cu 22
8) Media aritmetică a trei numere este 146. Aflați numerele dacă primul este un
sfert din al doilea și cu 6 mai mic decât al treilea
9) Media aritmetică a trei numere este 99. Aflați numerele dacă al doilea este
jumătate din primul și cu 15 mai mare decât al treilea
10) Media aritmetică a trei numere este 190. Aflați numerele dacă al doilea este cu
12 mai mare ca primul și cu 24 mai mic decât al treilea
11) Media aritmetică a trei numere este 1 49. Aflați numerele dacă media aritmetică
a primelor două este 138, iar al treilea este mai mare decât al doilea cu 24
12) Media aritmetică a trei numere este 368. Aflați numerele dacă al doilea este
triplul primului și cu 12 mai mic decât al treilea
13) M edia aritmetică a trei numere este 216. Aflați numerele dacă media aritmetică
a primelor două este 192, iar al doilea este cu 36 mai mic decât al treilea
14) Media aritmetică a patru numere este 219. Aflați numerele dacă media
aritmetică a primelor trei 19 6, a primelor două 162, iar primul este mai mare decât al doilea
cu 48.

63
V.1.1.4. TESTE REFERITOARE LA NUMERE NATURALE 1
TEST R I
1) 176+4958; 2) 432 -185; 3) 167·28; 4) 782:17; 5) 14·{8·[31 -(18·7 -108):9] -227}.
6) Câte numere naturale sunt cu prinse între 28 și 141.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+77.
8) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 26, câtul 17 și restul 13.
9) Calculați: 279·23+279·48+279·29.
R II
1) 257+3869; 2) 513 -247; 3) 168·27; 4) 703:19; 5) 16·{7·[41 -(16·8 -119):3] -258}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse între 32 și 171.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+83.
8) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 28, câtul 16 și restul 12.
9) Calculați: 198·39+198·26+198·35.
R III
1) 346+5786; 2) 452 -264; 3) 186·27; 4) 752:16; 5) 18·{8·[21 -(19·6 -106):4] -146}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse între 17 și 132.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+86.
8) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 18, câtul 27 și restul 15.
9) Calculați: 168·36+1 68·27+168·37.
R IV
1) 425+3796; 2) 412 -278; 3) 196·18; 4) 846:18; 5) 17·{7·[22 -(17·8 -118):6] -125}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse între 46 și 182.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+93.
8) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 36 , câtul 18 și restul 12.
9) Calculați: 249·18+249·47+249·35.
R V
1) 567+3859; 2) 621 -376; 3) 217·18; 4) 1008:28; 5) 27·{6·[42 -(28·6 -159):3] -228}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse între 52 și 217.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+91.
8) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 18, câtul 37 și restul 15.
9) Calculați: 237·68+237·17+237·15.
R VI
1) 634+2468; 2) 835 -658; 3) 117·28; 4) 962:26; 5) 26·{6·[42 -(27·8 -198):6] -226}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse între 39 și 181.

64
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+86.
8) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 36, câtul 17 și restul 16.
9) Calculați: 217·38+217·27+217·35.
R VII
1) 734+4987; 2) 314 -286; 3) 176·18; 4) 592:16; 5) 16·{6·[41 -(36·7 -238):7] -217}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse între 32 și 161.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+88.
8) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 27, câtul 18 și restul 16.
9) Calculați: 28 ·48+289·27+289·25.
R VIII
1) 825+1496; 2) 423 -365; 3) 167·1 7; 4) 608:16; 5) 7·{6·[39 -(28·7 -178):9] -208}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse între 27 și 153.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+76.
8) Calculați: 249·29+249·37+249·34.
9) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 36, câtul 17 și restul 15.
R IX
1) 936+2485; 2) 471 -293; 3) 267·18; 4) 592:16; 5) 28·{8·[29 -(17·6 -84):6] -199}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse intre 68 si 193.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+…+92.
8) Calculați: 276·37+276·18+276·45.
9) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 37, câtul 28 și restul 12.
R X
1) 1032+798; 2) 534 -468; 3) 187·16; 4) 486:18; 5) 17·{6·[32 -(28·7 -169):9] -158}.
6) Câte numere naturale sunt cuprinse între 58 și 186.
7) Aflați suma numerelor 1+2+3+… +85.
8) Calculați: 197·13+197·38+197·49.
9) Aflați deîmpărțitul dacă împărțitorul este 38, câtul 16 și restul 12.

65
V.1.1.5. TESTE REFERITOARE LA NUMERE NATURALE 2
R.I
 Toate subiectele sunt obligatorii.Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul e fectiv de lucru este de 50 minute.
PARTEA I .Pe foaia de lucru se scriu doar rezultatele. ( 45 puncte =5p*9)
1. Rezultatul calculului 4 ·4 + 10 este egal cu……
2. Triplul numărului 5 este egal cu……..
3. Un sfert din numărul 24 este egal cu………
4. Numărul cu 27 mai mare decât 234 este egal cu…..
5. Numărul cu 36 mai mic dEcât 487 este egal cu……
6. Diferența dintre numărul 358 și 256 este egală cu…….
7. Rezultatul calculului 216 :2 este egal cu………
8. Dacă trei caiete costă 6 lei ,atunci un caiet costă…….lei
9. Restul împărțirii num ărului 27 cu 5 este egal cu…..
PARTEA a II -a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (45 de puncte )
1.Se știe că : ab +ac = 420 și b +c = 14 .Aflați a. 10 p
2. Comparați numerele : 20 p
X = 70 – [ 16 · 6 + 2 · ( 16 · 3 + 72 : 6 ) -36 ] :12
y= 1325 -10 · [ 280 + 13 · ( 108 – 96 : 6 )] : 12
3. Aflați câtul și restul împărțirii 2715 : 37 și apoi faceți proba. 10 p
4. Un șir de numere începe cu 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, … . Care este următorul
număr din șir? 5 p
R. II
 Toate subiectele sunt obligatori i.Se acordă 10 puncte din oficiu.
 Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
PARTEA I .Pe foaia de lucru se scriu doar rezultatele. ( 45 puncte =5p*9)
1 .Rezultatul calculului 3 ·4 + 10 este egal cu……
2. Triplul numărului 6 este egal cu……..
3. Un sfert din numărul 84 este egal cu………
4. Numărul cu 27 mai mare decât 349 este egal cu…..
5. Numărul cu 36 mai mic decât 357 este egal cu……
6. Diferența dintre numărul 589 și 256 este egală cu…….
7. Rezultatul calculului 216 :2 este egal cu………
8. Dacă trei caiete costă 9 lei ,atun ci un caiet costă…….lei
9. Restul împărțirii numărului 29 cu 5 este egal cu…..
PARTEA a II -a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (45 de puncte )
1. Știind că b -c = 31 și a· b – a· c = 837,calculati a . 10 p
2. Comparați numerele : 20 p
x= 13 + 725 : ( 72 · 15 – 5 · 211 )
y= 15 + 648 : ( 975 : 25 – 3· 7 )
3. Aflați câtul și restul împărțirii 2057 : 24 și apoi faceți proba. 10 p

66
4. . Un șir de numere începe cu 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, … . Care este următorul
număr din șir? 5 p

V.1.1.6. TESTE REFERITOARE LA NUMERE NATURALE 3
Timp de lucru: 50 minute.
Toate subiectele sunt obligatorii . Din oficiu se acordă 10 puncte.
SUBIECTUL I (20 puncte). Completați
1. Scris cu cifre numărul un milion o mie cinci este …………………………………………… …
2. Cel mai mare număr format din trei cifre este………………………………. …………………………………
3. Cel mai mic număr natural format din patru cifre diferite este ……………………………………………
4. Cel mai mare număr care împărțit la 7 dă câtul 6 este……………………………….. ………………………
SUBIECTUL II (20 puncte). Alegeți rezultatul corect
1. Suma numerelor 127 și 123 este
a)240 b)1250 c)250 d)4

2. Diferența numerelor 5002 și 199 este
a)4803 b)4308 c)5201 d)4805

3. Produsul numerelor 23 și 102 este
a)2323 b)2346 c)2216 d)1616

4. Câtul numerelor 1995 și 19 este
a) 109 b)15 c)105 d)19

SUBIECTUL III (20 puncte). Stabiliți valoarea de adevăr
1. ,,Suma primelor 25 numere naturale este 325.”
2. ,,Dacă
5x , atunci
56785x ”
3. ,,Numărul termenilor nenuli ai șirulu i 10,11,12, …., 120, este 110.”
4. ,,Dacă
12ba , atunci
94 10 7 7 ba ”
SUBIECTUL IV (30 puncte). Se cer re zolvările complete
1. Efectuați:
   123:322:64 128 
2. Reprezentați pe o axă punctele
2;4;7;3 A I N L
3. Ionel citește o carte de 161 pagini timp de o săptămână.
În fiecare zi citește câte o pagină în plus față de ziua precedentă.
Câte pagini a citit în ultima zi?

67
V.1.2. MUL ȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI
1. Ordonați crescător numerele

Soluție:

2. Calculați
a)

b)

c)

3. Să se rezolve în ecuațiile:
a)
Soluție:

b)
Soluție:

68

c)
Soluție:
sau

69
V.1.3. MUL ȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE
FIȘE DE LUCRU 1

Calcula ți
1) a) {150 -[18-(16∙7 -144):16]∙9}:15 =
b) {110 -[17-(18∙6 -150):14]∙8}:25 =
c) 12∙{15+[(288:12 -50):13 -9]:7} =

2) a) {10,2 -[4,84-(0,25∙1,16 -1,09):5]:25}:125 =
b) {2,89 -[4,24 -(1,25∙0,16 -1,4):2]:4}:8 =
c) {16,01 -[(0,231:0,15 -1,03):3 -1,88]:9}:27 =

3) a) 0,1∙[1,5∙(1,25∙0,4 -9,23:7,1)+0,2] =
b) 0,3∙[0,01∙(3,9:2,6 -1,4∙2,5) -0,08] =
c) [0,5∙(0,12∙1,5 -70,2: 0,45)+0,91]:11 =

4) a) 5∙{7,1∙[23,5 -13,5∙(33,2∙4,5 -150)] -22,5} =
b) 6∙{2∙[6,9 -3,5∙(135,3:24,6 -106,5:14,2)] -30} =

5) a)






49
32
54
145
169
263
3219
52
b)






54
89:43
45
53
4615
23
154

6) a)



307
27
358
214
12160
b)



1310
4511
187
61
536

7) a) 0,(4)+1,(5)+5,(2) -2,(6) =
b) 15,(12)+23,(17) -7,(31) =
8) Arătați că următoarele numere sunt naturale:
a) 0,(4)+1,(5)+1,( 14)+0,(85) =

70
b) 15,(1)+4,(8)+3,(12)+0,(54)+0,(3) =

Răspuns: 1) a) -2. b) -2. c) 120. 2) a) 0,08. b) 0,21. c) 0,6. 3) a) -0,1. b) -0,03. c) -7. 4) a) –
3,2. b) -13,2. 5)
.31).51)b a 6)
.52).112) b a 7)
.999730).941)b a 8) a) 4. b) 24.

FIȘE DE LUCRU 2

1) a) 13∙{12+[(364:14 -60):17 -14]:8} =
b) {[20+(112:7 -20)∙15]:8 -25}:15 =
c) {[200+(322:14 -31)∙19]:12 -36}:16 =

2) a) {8,6 -[(0,621:1,15 -2,18):4+2, 17]:8}:12 =
b) {[2,9 -(2,05∙1,4 -1,07):9]:3 -4,5}:12 =
c) {2,1 -[0,4-(4,25∙1,4 -3,6∙5,5):2,5]:1,8}:1,2 =

3) a) 10∙[3+(1,638:12,6 -2,15∙0,6):0,4] =
b) (2,3∙10+0,77∙100 -6,23∙2):0,6 =
c) [2,4∙(5,8∙2,5 -140,4:4,5)+0,08]:10 =

4) a) 10 ∙{0,9∙[70+1,5∙(21,4∙3,5 -18,6∙6,5)]+0,1} =
b) {[1,3+(80 -44,5∙1,6):4,4]:15+17}:9 =

5) a)





75
125
67
85
34
52
32
34
b)





1310
65
34
92
109
52
34
53

6) a)



5815
235
558
337
51

71
b)



332
315
407
324
51

7) a) 12,1(3)+11,2(4) -7,0(5) =
b) 15,2(3)+3,4(7) -1,5(6) =

8) Arătați că următoarele numere sunt naturale:
a) 12,(4)+11,(5)+5,(13)+2,( 75)+0,(1) =
b) 1,(3):0,(6)+1,(6)·0,6+14,(45)+15,(54) =

Răspuns: 1) a) 130. b) -2. c) -2. 2) a) 0,7. b) -0,3. c) -1. 3) a) 1. b) 145,9. c) -4. 4) a) 10. b)
1,9. 5)
.3322)a
;2619)b . 6)
.152).41)b a 7)
.901317).902916) b a 8) a) 32. b) 33.

V.1.4. MUL ȚIMEA NUMERELOR REALE
V.1.4.1 . Exerciții
1) –

2)

3)

4)

72

Sume

Exemple:
1)

2)

Ultima cifră a uni număr
Un număr care se termină cu cifra 1 ridicat la orice putere are ultima cifră 1

Un număr care se termină cu cifra 5 ridicat la orice putere are ultima cifră 5

Un număr care se termină cu cifra 6 ridicat la orice putere are ultima cifră 6

Un număr care se termină cu cifra 4:
– ridicat la putere impară are ultima cifră 4
– ridicat la putere pară are ultima cifră 6
Un număr care se termină cu cifra 9:

73
– ridicat la putere impară are ultima cifră 9
– ridicat la putere pară are ultima cifră 1
Exerciții:
1) , ultima cifră
este 2

2) , ultima cifră
este 7

Aflarea a n – a zecimală a unui număr zecimal periodic
Aflați a 101 zecimală a numărului 2,34(125)
Se rezolvă parcurgând următoarele etape:
▪
▪ din 101 se scade numărul de cifre care sunt în afara perioadei:
▪ rezultatul care rămâne se împarte la numărul de cifre din perioadă: rest 0
▪ dacă restul este: 0 atunci zecimala 101 este ultima cifră din perioadă, adică 5
1 atunci zecimala 101 este prima cifră din perioadă, adică 1
2 atunci zecimala 101 este a doua cifră din perioadă, adică 2
Determinarea prin extensie a unor mulțimi
1) Determinați elementele mulțimii

Deoarece

2) Determinați elementele mulțimii
▪ rezolvăm inecuația cu modul de după bara de proprietate

74
▪ deoarece din intervalul determinat alegem numerele întregi

Probleme de divizibilitate
1) Arătați că numărul este divizibil cu 100 oricare ar fi
Rezo lvare:

2) Demonstrați că numărul este divizibil cu 135
Rezolvare:
dar
are ult ima cifră 6 are ultima cifră 5 este divizibil cu 5
Dacă A este divizibil cu 27 și A divizibil cu 5 A este divizibil cu 135

Opera ții cu radicali
1) a)
 8325 b)
 35 122 c)
 18426 d)
 27233

2) a)
 722 7 23 b)
 5 3 5 32
c)
 522 5 23 d)
 6 5 6 52

3) a)





1320
143
45
32
51
31
56 b)





103
113
27
35
31
51
310
c)





116
45
56
32
41
71
1021 d)






25
23
54
56
5910
31
38

4) a)




2
2 75
52 7 b)




2
7 103
37 10

5) a)



76
65
3223
234 b)




6512
65
232
323
c)



810
103
522
253 d)



564
65
223
323

6) Determinați valorile lui m, pentru care
a)
2 3 )3 2 3 2(2 m b)
6 7 )7 4 7 4(2 m

7) a)
23 1 324 b)
2325 154 17

75
c)
2235 106 23 d)
2231 26 19

8) a)
2 2123 322 13 13 23
b)
2 2233 5 32 15 15 32

9) Aflați media aritmetică, geometrică și armonică a numerelor
a) a =
2 33 și b =
2 33 b) a =
2 3 și b =
2 3

V.1.4.2. TEST 1 APROXIMĂRI
1) Calculați cu o zecimală:
.157);23351);527) c b a
2) Rotunjiți cu o zecimala:
.2);516) b a
3) Dați două exemple de numere raționale cuprinse între: a) 4 și 5; b) 2,7 și 2,8; c)
.7 6si

4) Dați două exemple de numere iraționale cuprinse între: a) 17 și 18; b) 2,5 și 3,5;
.13 12) si c

5) Aproximați cu o zecime prin lipsă:
.5);1712) b a
6) Aproximați cu doua zecimi prin adaos:
.3);52)b a
Răspuns Test 1. 1) a) 5,4. b) 15,2. b) 12,5. 2) a) 3,2; 3,2. b) 1,41; 1,4. 3)
.100273;100271).523;29) b a
c) 2,4;…2,6. 4) a)
.323 ,…,290 b)
.9;8 c)
,.10121
.10129,…
5) a) 0,705; 0,7. b) 2,236; 2,2. 6) a) 0,40; 0,40. b) 1,732; 1,74.

V.1.4.3. TEST 2 COMPARĂRI

R 1

1) Ordonați crescător numerele:
.4,1;3;2;7,1).511;512;37;38) b a
c) 5,5; 5,(5); 5,5(3).
.7,1;5 ;3,2;3 ) d
2) Comparați numerele: a) 233 și 322 b) a=212-3·210 și b=210-29
3) Determinați toate fracțiile cu numitorul 162 cuprinse între
.5419
31si
4) Determinați cel mai mare număr întreg care este mai mic decât
.715
5) Dacă
3514a și A={a,2a,3a,…,20a}, aflați: a) Câte elemente are mulțimea A? b) Care
sunt numerele întregi ale mulțimii A? c) Câte elemen te are mulțimea A \Z?

76
Răspuns Test 1. 1)
 .7,1;3;5;3,2).5,5;35,5;5,5).3;7,1;2;4,1).38;512;37;511) d c b a
2) a) (23)11
<(32)11. b) a=210; b=29. 3)
.16256;16255 4) -3. 5) a) 20. b)
.20,15,10,5;52
3514aaaa a c) 20 –
-4=16.

R 2

1) Comparați numerele:
.51
41);23,53,5);4,2 3,2);23 32) si d si c si b si a 
2) Ordonați crescător :
.25,4;50);5(,2;3,2;7;37).24;34;5,1;24;5)   b a
3) Care număr este mai mare:
.23 347) ;12 2 1) ;
65
23)     sau c sau b sau a

4) Comparați numrele:
3)xa și
*,3Rxx
1 )a ab și
2 ,2 1  a a a

5) Determinați n
 N, pentru care
52
5 21n .

Răspuns Test 2. 1)
.51
41).23,53,5).4,2 3,2).2332)    d c b a 2)
.24;5;24;5,1;34)  a
b)
 ;37;5,2
.7;3,2;25,4;50
 3)
.23 347).12 2 1).
65
23)  c b a
4) a) 3×2>
.3
2x
a a b22)
.2 22 a a
5) 15<6n<20, deci n=3.

V.1.4.4. TEST E PENTRU OPERAȚII ÎN R

TEST 1 . recapitulativ

Subiectul A
1) 1,51 + 151 + 1,257 = 2) 0,314 · 100 = 3) 0,6345 : 0,045 = 4) 30 + 30 : 30 · 3 =

   
50 182 72583)913:5 3 11)821183:41
32)7 246065)6801
725)5

77
Subiectul B
;10:9,05,0211,0 75,0213)1 



;21
251:51)202 4










 .24
24
3632234)3 




TEST 2 . recapitulativ

Subiectul A

1) 2,47 – 2,2 + 222 = 2) 52 · 0,1 = 3) 324 : 6,75 = 4) 8 – 8 · 8 : 8 + 330 – 30 · 0 =
  
 


 
2
3223)9 7 15 7 15)82 3 5 2 4 1)7 10:6:18 17)6771
72)5

Subiectul B




  




1396 :
1761
991
441)301,0:4,04,21,0 02,0 100 01,0)2102
54:31527:411:5211:431)1

Răspuns: Test 1. A
. 2050)6.72041)5.33)4.1,14)3.4,31)2.767,153)1 7) 1,5. 8) -2.
.223)9
B 1) 4,35. 2)
.3 16)3.251 Test 2. A 1) 222,27. 2) 5,2. 3) 48. 4) 330. 5)
.113 6)
-2. 7) 36. 8) 8. 9)
.32 B 1)
.1327 2) 22,01 . 3)
.21

78
TEST 3 . recapitulativ
Subiectul A
 
  





   
 4 2 816 19
)6(,0 )6(1,0:6 )911 1 1133)821
21:21)7 30 7 15 13)62815:76
23)5241
365
165)4 2:28,4 28,4)3 04,21,8)2 398 98,32,31)1
Subiectul B
 

















   
   423 4 2
21
31
31
161)32525,0241:607
361)2 10: 2100 13: 1326 202 1001 100)1

TEST 4 . recapitulativ
Subiectul A

 
     
20 1 2 5 2 29103
235)9
324
3524
1227)82850)7(1,2 34,2)5(,0)75 2 3 1)6 4 2: 2)58 7 4 3)451:48,1)3 17:8,227)2 1,40 01,4 400)1

Subiectul B
       



 
3 5 3 5 13 3 1)316 2 25,2415 5
51)2 4:3481 17:625 2)1
2 23

Răspuns: Test 3. A 1) 425,22. 2) 16,524. 3) 6,42. 4)
.14459 5)
.101 6) 9. 7)
.161 8) -30. 9)
96. B 1) 2100. 2)
.607 3) 25. Test 4 . A 1) 355,89. 2) 13,4. 3) 7,4. 4) 15. 5) 32. 6) 7. 7)
.106 23)9.106)8).8(5,290233 
B 1) 1. 2) 6,5. 3)
.3 1

79

TEST 5 . recapitulativ
     


   


 





  
  
3 23 221 3 2
13 223 223 3 2)95 32)8 6 546 54)7 132)6
31:
275
32)55233 3553)449
32
31)36,05,3)5(,2)2(7,2 4,2165)2 1025,15,0:25,03,0)1

TEST 6 . recapitulativ
     

 


 





  
  
22 21 3 2
253)6
101
1018 9,0)53 2 3322)441:21
51)38,0:25,1)3(,3)6(1,2 4,15,1)2 1046,13,0:18,04,0)1
3 2 232 3 5 3 5 12)9 23 23)8 562562)7

TEST 7 . recapitulativ
   

  














3 2 322 221
25 132132 25)9 3 23)8523 523)7 625)6 15 6332)53322 3425)421
253
310
52)39179:5,3)6(,1)7(1,37,35,2)2 1013,1 15:5,47,0)1

80
TEST 8 . recapitulativ
   


   

















 
 
3 2 2221213 2
16 3 23 2 26)9 2 321)8332 332)7 3 52)63 2 3324)5 5372 7 5)4193
23
31
53)3)6(1,0 6,1)8(,2)6(4,11115
1522)2 1052,1 18:6,36,0)1

TEST 9 . recapitulativ
 
  
 
   

48 50
33
22)82 545 2)775: 4,1 4,0:4,04,0)64: 2: 2 2:2)521:3 3)4 2:641:22)351
21
21)2 342)1
211 98 100 48 502 2





 
628 12:
666,6
333,3
222,2)106125
35 2
22 5)9

TEST 10 . recapitulativ
1) – 3 – 6 : 2 + ( – 8) : ( – 2) ; 2) 6 + 2 · {32 : 8 – 5 · [8 · (40 – 200 – 159]};
 
  
 

.55 5:
204 5
123 4
62 3
21 2)10;24 6:
66
323
232)9;29 752 18583 12)8;65
4331
6 6 65 5 5)7; 1000: 101,2 1,21,2)6;2: 2 1 1 1 1:1)5;52:2:22 22:2 2)4;192:913)3
2 1
1 2 33 2 115 22 1 100 5 4 2 22 8 10 0 6 8 4 0 2




 






  

   

81
TEST 11 . recapitulativ
 
 
  


 






























  

       
21212
21 122 11 2 2
2221 2 113 2 122 35 4 1034 5 4 3 10 0 2 10 4
211: 2 )3(,15,3)9 )6(1,0 25,058
52
21
74)82514
53
115161
43)7 931)631
41
31)535 3 3 3 2)42 2 3: 3)3 3:3 3)2 0 5 3 1 1)1

V.1.5. MULȚIMEA NUMERELOR COMPLEXE
1) Să se calculeze suma, diferența, produsul și câtul num erelor complexe și .
a) , ;
b) , ;
c) , .
Rezolvare:
a) ;
;

;

b) ;
;
;

c) ;
;
;

82
2) Să se calculeze:
a)

b)

c)

d)

Rezolvare:
a)

b)

c)

d)

3) Să se simpl ifice fiecare din expresiile:
a)
b)
c)
d)
Rezolvare:
Avem , , , , ,
, , , prin urmare, puterile naturale
ale lui i sunt egale ciclic cu i, 1, – i și 1.
Astfel, pentru , , , . De aici:
a)
b)
c)
d)

4) Să se determine numerele reale x și y astfel încât au loc egalitățile:
a)

83
b)
c)
d)
Rezolvare:
Utilizând definiția egalității a două numere complexe, în fiecare caz se obține și se rezolvă
un sistem de două ecuații cu două necunoscute.
În cazul a) avem

În cazul b), efectuând operațiile, avem

În cazul c), similar b), se obține

Răspuns x=1, y=2 sau x= -1, y=2
În cazul d) avem

Răspuns x=1, y=4 sau x=4, y=1.

5) Să se rezolve în C ecuația:
a)
b)
c)
d)

84
Rezolvare:
Ecuația de gradu l al doilea , unde a, b, c sunt numere complexe, are
rădăcinile
,
, unde și
sunt rădăcinile pătrate ale numărului complex .
În cazul a)
și

. Deci,
În cazul b)
. Deci,
În cazul c)
. Deci,
În cazul d)
. Deci,

6) Să se determine opusul, conjugatul și inversul numărului complex:
a)
b)
c)

Rezolvare:
Fie numărul complex . Cum opusul lui z este – , conjugatul lui
z este și inversul lui z este

avem:
a) opusul lui este , conjugatul lui este , inversul lui
este

b) opusul lui i este –i, conjugatul lui i este –i, inversul lui i este –i
c) avem

și astfel opusul, conjugatul și inversul lui
sunt respectiv

7) Să se determine valorile reale ale lui a și b, astfel încât numerele complexe

să fie:
a) opuse
b) egale

85
c) conjugate
Rezolvare:
Scriem numărul z 2 sub forma algebrică . De aici rezultă:
a)

Răspuns: Numerele z 1 și z2 sunt opuse pentru

b)

Răspuns: Numer ele z 1 și z2 sunt egale pentru

c)

Răspuns: Numerele z 1 și z2 sunt conjugate pentru

8) Să se scrie sub formă trigonometrică numărul:
a)
b)
c)
d)

Rezolvare:
a)

b)

c) calculăm modulul numărului z:

Găsim arg z conform egalităților (5):

De aici obținem . Prin urmare, conform formulei (7)

5 12
d)

86
deoarece

De aici

9) Să se calculeze:
a)
b)
c)

d)

Rezolvare:
Fie z 0 și z1 rădăcinile pătrate ale numărului complex . Dacă , atunci avem:

Dacă , atunci avem:

În cazul a) avem:

În cazul b) avem:

În cazul c) avem:

și

87

În cazul d) avem:

și

V.1.6. EXERCIȚII TIP EVALUARE NAȚIONALĂ ȘI BACALAUREAT

Exerciții cu calcul de numere ; clasele IX – XII
1. Se consideră numerele complexe și .
Arătați că numărul este real.
Rezolvare:

2. Arătați că numărul este real, unde
Rezolvare:

3. Arătați că numărul este natural, unde
Rezolvare:

4. Calculați suma numerelor întregi din intervalul ( -5;5)
Rezolvare:
Numerele întregi din intervalul ( -5;5) sunt: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Notăm suma lor cu S.

5. Calculați suma numerelor întregi din intervalul [ -2;2]
Rezolvare:

88
Numerele întregi din intervalul [ -2;2] sunt -2, -1, 0, 1, 2.
Notăm suma lor cu S.

6. Calculați suma numerelor naturale din intervalul [ -2;3)
Rezolvare:
Numerele naturale din intervalul [ -2;3) sunt 0, 1, 2.
Notăm suma lor cu S.

7. Se consideră numerele complexe
Arătați că numărul este real.
Rezolvare:

8. Demonstraț i că numărul

este natural
Rezolvare:

numărul este natural

9. Determinați numerele reale a și b pentru care
Rezolvare:
Deoarece: atunci

10. Demonstrați că numărul este natural.
Rezolvare:

89

11. Demonstrați că este număr natural.
Rezolvare:
numărul este
natural.

12. Să se demonstreze că numărul

este natural.
Rezolvare:

numărul este natural.

13. Să se arate că numărul este natural.

Atunci: este natural.

14. Să se calculeze știind că numerele a și b au suma egală cu 7 și produsul egal
cu 12.
Rezolvare:
Din enunț avem că:
Folosind formula de calcul prescurtat
avem:

15. Să se arate că numărul este natural
Rezolvare:
numărul
este natural.

16. Să se com pare numerele

Rezolvare:

90

Știm că:
/

17. Comparați numerel e

18. Să se compare numerele:

Rezolvare:

19. Să se arate că este număr natural prim.
Rezolvare:

91
Atunci:
; în
plus, 11 este număr prim numărul este număr natural prim.

20. Să se arate că este natural.
Rezolvare:

Analog:

(sumă de numere pozitive)
Verificăm dacă .
Presupunem:
/ 2

„A” |

numărul este natural.

Exerciții cu numere; clasele V – VIII
1. Numărul natural care împărțit la 2 dă câtul 5 și restul 1, este …
Rezolvare:
Notăm cu a numărul căutat.
Folosim formula
Numărul calculat este 11.

2. Numărul prim din mulțimea este …
Rezolvare:

92

numărul prim din mulțimea M este 37.

3. Numărul natural mai mic cu 7 decât 2007 este egal cu …
Rezolvare:
numărul calculat este 2000.

4. Pentru , determinați valoarea numărului
Rezolvare:

5. Arătați că numărul este natural.
Rezolvare:

p este natural.

6. Arătați ă numărul este natural.
Rezolvare:

numărul este natural.

7. Se consideră numerele

Calculați media geometrică a celor două numere.
Rezolva re:

93

Media geo metrică a celor două numere este 2.

8. Determinați perechile de numere (a; b), știind că:

Rezolvare:
Folosind formula de restrângere:

aducem expresia de mai sus la o altă formulă:

94
V.2. PROIECTE DIDACTICE

V.2.1. CIORCHINELE –Metod ă activ – participativ ă

Ciorchinele este o metodă de brainstorming neliniară . Este o tehnic ă de predare –
învatare care -i încurajeaz ă pe elevi s ă gândeasc ă liber, deschis si creator; este o modalitate de
a construi asociatii noi de idei sau de a releva noi sensuri ale ideilor date; este o tehnic ă de
căutare a c ăilor de acces spre propriile cunostinte si convingeri, evidentiind modul propriu de
a întelege o anumit ă temă.
Metoda este antre nantă, dă posibilitatea fiecărui elev să participe individual, în perechi
sau în grup. Solicită gândirea copiilor, deoarece ei trebuie să treacă în revistă toate
cunoștințele lor în legătură cu un termen – nucleu, reprezentativ pentru lecție, în jurul căru ia
se leagă toate cunoștințele lor.
În urma utilizării la clasă a acestei metode am observat că elevii colaborează,
negociază cu plăcere, comunică și scriu cu mult entuziasm informațiile necesare îndeplinirii
sarcinii date. Nici unul nu -și petrece timpul pasiv, ci fiecare moment este bine valorificat de
fiecare participant.
Metoda se aplica: individual
 în perechi
 în grupuri mici
Aplicata în cadrul muncii în grup, metoda “Ciorchinelui” valorifica activitatea
comună si cooperarea în rezol varea unor sarcini de instruire, îmbină învătarea individuală
cu cea în grup, urmărind dezvoltarea comportamentului social al elevului.
AVANTAJE:
 Elevii îsi însusesc noul într -un mod mai atractiv
 Învatarea e eficienta, de durata , elevul participând acti v la procesul de învatare,
interiorizând, sintetizând, însusind noul activ
 Copiii gândesc, răspund la întrebări, cooperează, comunică, fac asocieri, fac
conexiuni, argumentează, completează;
 Sunt solicitate si dezvoltate operatiile gândirii, capacitătile creatoare, realizându -se
astfel educatia întelectuală a elevilor
 Obisnuieste elevii cu modalităti specifice înstruirii diferentiate: utilizarea fiselor de
activitate, realizarea de scheme s.a

95
 Elevii manipuleaza mai usor informatiile, capătă încredere în capacitatea de
integrare a cunostintelor noi între cele vechi
 Rezolvarea sarcinilor de lucru (unitare sau diferentiate) presupune stabilirea unor
relatii de cooperare, colaborare si ajutor reciproc între membrii grupului,
realizându -se astfel educatia mor ala
 Contribuie la integrarea socială a elevilor, la realizarea comunicării si a colaborării
sociale
 Permite cultivarea unor sentimente, convingeri, atitudini superioare
 Se poate combina cu alte metode și procedee;
 Poate fi introdusă în diferite etape al e unei activități;
 Învățătorul solicită informații, idei, răspunsuri, sintetizează, concluzionează,
formulează întrebări, monitorizează și evaluează.
DEZAVANTAJE:
 Tratarea temelor necesită mai mult timp decât dacă lectia ar fi explicată de către
învătător –
 Activizarea este mai accentuată doar în cazul elevilor buni si foarte buni
 Solicit ă cadrului didactic un efort suplimentar în proiectarea instruirii si în
conducerea acesteia

Momentele aplicarii metodei:
 în prima parte a lectiei “ ciorchine initial”
 dupa citirea textului “ciorchine rev ăzut
 în faza finală a lectiei, pentru fixare
 ca extindere
 ca metodă de evaluare
Pasii metodei :
o Organizarea clasei dupa scopul activitătii
o Distribuirea materialelor de lucru (în functie de tema)
o Anuntarea temei si scr ierea acesteia într -un cerc mai mare – central
o Stabilirea ideilor – satelit (criterii sau domenii de analiz ă a temei propuse)
o Fixarea elementelor particulare pentru fiecare idee – satelit stabilită, de către elevi
(individual, în perechi, în grup)
o Dirij area completării ideilor – satelit – activitate realizată de către învătător

96
o Verificarea în cadrul grupului mare (clasa de elevi) a modului de completare a
ciorchinelui (corectitudine, originalitate coloritul satelitilor, idei noi privind forma
satelitilo r) si completarea acestuia cu elemente noi

Obiectivele metodei :
 Sa găsească mai multe idei despre o tema dată
 Sa desprindă informatiile de detaliu dintr -un text
 Sa sesizeze sensul nuantat al cuvintelor într -un context dat
 Sa transpună mesajul sc ris într -o imagine sau un simbol
 Sa manifeste interes activ pentru realizarea sarcinilor încredintate echipei
 Sa comunice clar si corect concluzia echipei
 Sa respecte opinia echipei, combătând ideea, nu persoana
Reguli pentru utilizarea acestei tehnici
Scrieți tot ceea ce considerați necesar legat de tema respectivă.
Nu judecați ideile expuse, doar luați act de acestea.
Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile pe care le aveți legate de tema dată.
Dintr -o idee dată pot apărea alte idei, astfel puteți construi "sateliți" ai ideeii respective.
Lăsați să apară cât mai multe și mai variate legături intre idei. Nu limitați numărul de
idei, nici fluxul de legături dintre ele.
Aceast ă metod ă va fi exemplificat ă la lec ția: Operații cu numere reale. Aplicatii, predat ă la
clasa a V III-a.

97
LICEUL TEHNOLOGIC “CRIȘAN” CRIȘCIOR Clasa a V – a / 4 ore pe săptămână
Disciplina: Matematică An școlar
Unitatea de învățare: Operații cu numere naturale Profesor
Număr ore alocate: 11
Proiectul unității de învățare
Conținutul Nr. ore Săptămâna Competențe
specifice Activități de
învățare Resurse Evaluarea
Împărțirea cu rest
zero, a numerelor naturale
când împărțitorul are ma i
mult de o cifră
2 (S5)

12 – 16 X 1.2, 1.3,
1.5, 2.1, 4.1 -exerciții
cu împărțiri de
nr. nat. –
Activitate
individuală -Evaluare
frontală
-Autoevaluare
Împărțirea cu rest a
numerelor naturale
1 (S6)

19 – 23 X
1.2, 1.3,
1.5, 2.1, 4.1 -exerciții
cu împărțiri de
nr. nat. –
Activitate
individuală -Raportare frontală a
opiniei grupului
-Explicarea și
argumentarea modului
de lucru
Ordinea efectuării
operațiilor (S6) 1.2, 1.3,
1.5, 2.1, 4.2 -exerciții
de calcul cu nr. Fișe cu Raportare frontală a
opiniei grupului

98
2
19 – 23 X
nat. urmărind
res-pectarea
ordinii
operațiilor și
folosirea corectă
a parantezelor. exerciții de lucru
-Manual,
culegere.
-Explicarea și
argumentarea modului
de lucru
Media aritme tică a
două numere naturale , cu
rezultat număr natural.

1 (S6)

19 – 23 X 1.4, 2.3
-exercitii
folosind media
aritmetica
–
transpunerea
datelor
problemei in
limbaj
matematic -Manual,
culegere.
-Seturi cu
exerciții create de
profesor
Evaluare
frontală;
-Observația
sistematică;
-Analiza
răspunsurilor scrise ale
elevilor.
Noțiunea de
divizor. Noțiunea de
multiplu

1 (S7)

26 – 30 X
1.4,
2.3
-exerciții
de identificare a
divizorilor sau
multiplilor unui -Manual,
culegere.
-Seturi cu
exerciții create de -Raportare frontală a
opiniei grupului;
-Analiza
observațiilor.

99
număr;
-exerciții
de completare a
mulțimii
multiplilor unui
număr
identificând
regula de
completare. profesor

Criterii de
divizibilitate cu 2, 5, 10.
1 (S7)

26 – 30 X
1.4, 3.2 -exerciții de
identificare a
numerelor
divizibile cu 2,
5, 10 dintr -o
mulțime de
numere; -Manual,
culegere.
-Seturi cu
exerciții create de
profesor
-Evaluare
frontală;
-Analiza
observațiilor.

La dispoziția
profesorului 2 (S7)
-rezolvări de
probleme -Seturi cu
exerciții create de
profesor -Evaluare
frontală;
-Analiza

100
26 – 310
X observațiilor.

Test de evaluare 1 (S8)
2 – 6 XI

101
LICEUL TEHNOLOGIC,,CRI ȘAN,,CRI ȘCIOR Clasa: a VII -a / 2 ore săpt .
Disciplina: Algebră An școlar : 2016 -2017
Unitatea de învățare: Mulțimea n umerelor raționale. Prof.
Nr. ore alocate : 10
Proiectul unității de învățare
Conținuturi Nr. ore Săptămâna Competențe
specifice Activități de învățare Resurse Evaluare
Mulțimea
numerelor raționale Q;
Incluziunea NZQ;
Reprezentarea
numerelor raționale pe
axa numerelor

1
28.09 -02.10

săpt. 3 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 -exerciții de scriere și citire a u nui
număr rațional
-exerciții de recunoa ștere a numerelor
naturale, întregi sau ra ționale dintr -o
mulțime de numere date
-exerciții de reprezentare a numerelor
raționale pe axa numerel -Sarcina scrisă pe
tablă;
-Manualul,
culegeri.

Evaluare
frontală

102
Opusul unui
număr rațional;
Modulul unui număr
rațional; Compararea și
ordonarea numerelor
raționale

1
05-09.10

săpt. 4 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 -exerciții de determinare a opusului și
a inversului unui nu măr rațional
-exerciții de determinare a modulului
unui număr rațional;
-exerciții de comparare și ordonare a
nr. raționale, folosind axa numerelor,
valoare absolută, opus -Manual,
culegere.
-Fișe cu sarcini
de lucru.
Compararea
rezultatelor
obținute.
Adunarea
numerelor raționale;
proprietăți; scăderea
numerelor raționale

1
05-09.10

săpt. 4 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 -exerciții de calcul (adun ări, scăderi,)
cu numere ra ționale având
-aceeași formă de scriere (zecimal ă
sau ordinar ă) sau având forme diferite
de scriere
-Utilizarea de propriet ăți ale
operațiilor cu numere ra ționale pentru -Activitate
frontală
colectivă;
-Culegeri de
probleme.
Evaluare
frontală.

103
simplificarea calculelor
Înmulțirea
numerelor raționale;
proprietăți

1
12-16.10

săpt. 5 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 -Exerciții de calcul ( înmulțiri,
împărțiri) cu numere ra ționale având
-aceeași formă de scriere (zecimal ă
sau ordinar ă) sau având forme diferite
de scriere
-Utilizarea de propriet ăți ale
operațiilor cu n umere raționale pentru
simplificarea calculelor -Activitate pe
grupe;
-Culegeri de
probleme.
Explicarea
și argumentarea
modului de lucru
Împărțirea
numerelor raționale 1
12-16.10

săpt. 5 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 -Exerciții de calcul ( înmulțiri,
împărțiri) cu numere ra ționale având
-aceeași formă de scriere (zecimal ă
sau ordinar ă) sau având forme diferite -Manual,
culegere.
-Sarcina scrisă pe
tablă. Compararea
rezultatelor
obținute

104
de scriere
-Utilizarea de propriet ăți ale
operațiilor cu numere ra ționale pentru
simplificarea calculelor
Puterea unui
număr rațional; reguli
de calcul cu puteri

1
19-23.10

săpt. 6 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 – Exerciții cu puteri cu exponent
număr întreg care necesită utilizarea
regulilor de calcul cu puteri -Manual,
culegere.
-Fișe cu sarcini
de lucru. Evaluarea
muncii
independente
Ordinea
efectuării operațiilor.

1
19-23.10

săpt. 6 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 – Respectarea regulilor p rivind
ordinea efectu ării operațiilor într -un
calcul cu/f ără paranteze -Manual,
culegere.
-Sarcina scrisă pe
tablă. Compararea
rezultatelor
obținute
Ecuații de forma
ax+b=0, aQ*. bQ.

1 26-
30.10

săpt. 7 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 -exerciții d e rezolvări de ecuații cu
coeficienți raționali și cu soluții în Q.
-Exerciții de identificare a ecua țiilor
echivalente -Fișe cu sarcini
de lucru.

Analiza
observațiilor

105
Probleme care
se rezolvă cu ajutorul
ecuațiilor.
1
26-30.10

săpt. 7 1.1,
1.2, 1.3, 1.4,
1.5, 1.6 -rezolvarea unor probleme prin
metoda ecuației. -Activitate pe
grupe;
-Culegeri de
probleme. Compararea
rezultatelor
obținute
Test de evaluare
1 02-06.11
săpt. 8 Probă
scrisă

106
LICEUL TEHNOLOGIC,,CRI ȘAN,,CRI ȘCIOR Clasa : a VIII -a / 2 ore săpt.
Disciplina: Algebră An școlar 2016 -2017
Unitatea de învățare : Mulțimi de numere reale. Intervale Prof:
Nr. ore alocate : 6 + 1 test inițial
Proiectul un ității de învățare
Conținutul Nr.
ore Săpt ămâna Compe –
tențe
specifice Activități de învățare Resurse Evaluarea
Test inițial 1 (S1)
12 – 16 IX
Forme de
scriere a unui număr
real.
Mulțimi de
numere:
1 (S1)
12 – 16 IX
1.1,
1.2, 1.3,
1.4,
1.5, 1.6 -exerciții de scriere a numerelor reale în
forme echivalente.
-exerciții de recunoaștere a numerelor
naturale, întregi, raționale, iraționale,
dintr -o mulțime de numere date. -Manual ,
culegeri.
-exerciții
scrise pe tablă. -Evaluare
frontală;
-Analiza
observațiilor.

107
N
 Z
 Q

R.
Reprezentarea
pe axă . Aproximări 1 (S2)
19 – 23 IX 1.4,
1.5, 1.6 -exerciții de reprezentare a numerelor
reale pe axă;
-exerciții de comparare prin diverse
metode a nu merelor reale. -Manual,
culegeri.
-exerciții
scrise pe tablă. -Analiza
observațiilor.
Modulul unui
număr real
Opusul unui
nr. real,.
Parte întreagă
Parte
fracționară 1 (S2)
19 – 23 IX 1.1,
1.2, 1.3
1.4,
1.5, 1.6 -exerciții de definire a modulului unu i
număr real
-exerciții de calcul cu partea întreagă și
partea fracționară -Manual,
culegeri.
-Fișe cu
exerciții de lucru. -Analiza
observațiilor.
-Evaluarea
fi-șelor de lucru.
Intervale de
nr. reale. Intervale
mărginite,
nemărginite. Operații
cu interval e. Aplicatii 2 (S3)
26 – 30 IX 1.1,
1.2, 1.3
1.4,
1.5, 1.6 -exerciții de definire și reprezentare
geometrică a intervalelor de numere
reale;
-exerciții de reprezentare pe axa
numerelor a intervalelor de numere
reale -Manual,
culegeri.
-Seturi de
exerciț ii scrise pe
tablă. -Evaluare
frontală;
-Analiza
observațiilor.

108
La dispoziția
profesorului 1 (S4)
3 – 7 X 1.1,
1.2, 1.3
1.4,
1.5, 1.6 -exerciții pregătitoare pentru testul de
evaluare -fișe de
lucru -Evaluare
frontală;
Test de
evaluare 1
1 (S4)
3 – 7 X

109
PROIECT DIDACTIC

PROFESOR:
DISCIPLINA: Matematică
DATA:
CLASA:
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE Mulțimea numerelor nat urale
TITLUL LECȚIEI Operatii cu numere naturale
SCOPUL LECȚIEI Asimilare de counoștințe
OBIECTIVE OPERAȚIONALE: La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:
1) Să efectueze corect opera ții cu numere naturale
2) Să respecte co rect ordinea efectuarii opera țiilor
3) Să efectueze corect opera țiile din paran teze
4) Să resp ecte ordinea efectuarii opera țiilor intr -un exercitiu in care intervin mai multe
tipuri de paranteze
5) Să ridice corect la puterea a 2 -a sau a3 -a numere naturale
METODE ȘI PROCEDEE DIDACTICE explicația, expunerea, dialogul, exercițiul, conversația.
MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT manualul, culegerea
TIPUL DE LECȚIE lecție de comunicare de noi cunoștințe
DESFĂȘURAREA LECȚI EI:

110
Evenime
ntele lecției Activitatea profesorului
(CNM, metode, mijloace,
materiale folosite) Activitatea elevilor
(CNM, metode,
mijloace, materiale folosite)
Moment
organizatoric

Captarea atenției

Verificarea
lecției anterioare

Informarea
elevilor asupra
obiectivelor
lecției

Predarea noilor
cunoștințe

Verificarea prezenței elevilor și
notarea absențelor.

Verificarea temei elevilor prin
sondaj folosind dialogul profesor – elev,
elev – elev, prin confruntarea rezultatelor.

Profesorul întreabă elevii dacă au
fost exerciții din temă pe care nu au
reușit să le rezolve.
Cheamă un elev la tablă pentru a
rezolva exerciții din temă. Le dă elevilo r
care au făcut toată tema alte exerciții și
eventuale indicații.

Anunță titlul lecției noi și îl scrie
pe tablă: „ Operatii cu numere naturale”.

Multimea numerelor natural este:
={0,1,2,…,n,…}
*= -{0}.
Operatii:
-de ordinul I: adunarea si
scaderea
-de ordinul II: inmultirea si
impartirea
-de ordinul III: ridicarea la
putere.
In calcule, ordinea

111

Consolidarea
cunoștințelor

efectuarii operatiilor este: intai op de ord
II apoi cele de ord II si in final cele de
ord I.
Operatiile de acelasi ordin se
efectueaza in ordinea scrierii lor.

Profesorul propune spre rezolvare
exercițiile:
1.Efectuati, respectand ordinea
efectuarii operatiilor si folosirea
parantezelor:
a)785+115+37 (15+23 12);

b) 624 -120+2025: (226 -17 13);

c) 145+47 [215 110-83 (405-
18 16)];

d)512 -287+10 {15+2 3+[105:15+
+(120 -5 19) 10] 2};

1.a)
900+37 (15+276)=
900+37∙291 =
900+10767=
11667

b)504+2025: (226 –
221)=
504+ 2025: 5=
504+ 405=
909
c) 145+47 [215 110-
83 (405-288)]=
145+47 (215 110-
83 117)=
145+47 (23650 –
9711)=
145+47 13939=
145+65133=
655278.
d) 512 –
287+10 {15+6+[7+(120 -95)
10] 2}=
225+10 {21+[7+25
10] 2}=

112

Tema pentru
acasă

e)43648:64 -15[207 -(202-
1080:90)];

Fisa(culegere paralela 45 pg 7),
ex 2 f) -h) , 3 a),b),c). 225+10 (21+257 2)=
225+10 (21+514)=
225+5350=
5575.
e) 682 -15 [207-(202-
12)]=
682-15 (207-190)=
682-15 17=
682-255=
427.

Elevii isi noteaza
tema in caiete.

113
PROIECT DIDACTIC

Data :
Clasa : a VI-a
Obiectul : Matematică
Profesor :
Unitatea de învățare : Operații cu numere întregi
Tema lecției : Ordinea efectuării operațiilor
Tipul lecției : Lecție de consolidare și fixare a cunoștințelor
Competențe generale:
1. Identificarea unor date și relaț ii matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care
au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțurile
matematice
3. Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracteriza rea locală sau globală a
unei situații concrete
4. Analiza și prelucrarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă.

Competențe specifice:
1.4 Identificarea caracteristicilor numerelor întregi în contexte variate.
5.4. Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utilizând numere întregi
4.3. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea opera țiilor cu
numere întregi
Competențe derivate : să respecte co rect ordinea efectuarii opera țiilor, să resp ecte
ordinea efe ctuarii opera țiilor intr -un exercitiu in care intervin mai multe tipuri de paranteze .
Metode și procedee didactice: conversația euristică, lucrul în echipă, explicația,
algoritmizarea, exercițiul.
Mijloace de învățământ: fișe de lucru, culegeri de probleme .
Metode de evaluare: evaluare frontală, evalu are individuală, aprecieri oral

114
DESFĂȘURAREA LECȚIEI:
ETAPELE
LECȚIEI COMPETENȚE
SPECIFICE CONȚINUTUL LECȚIEI STRATEGII
DIDACTICE
ACTIVITATEA PROFESOR ULUI ACTIVITATE
A ELEVILOR METODE
ȘI
MIJLOACE EVALU
ARE
1. Moment
organizatoric

Asigur condițiile optime pentru desfășurarea lecției.
Verificarea prezenței. Se conformează
cerințelor
profesorului. conversația
euristică,

2. Verificare
temei 1.4; Profesorul verifică tema prin sondaj.

3. Anunțarea
temei și a
obiectivelor

4. Dirijarea
învățării

1.4; 5.4;
4,3
Se anunță și se scrie titlul lecției pe tablă:
Aplicații – mulțimea numerelor întregi
Se anunță obiectivele lecției: aplicarea regulilor de calcul
în mu lțimea numerelor întregi.

Clasa este împărțită de profesor în 5 grupe eterogene.
Profesorul înmânează fișa de lucru elevilor explicându -le
sarcina de lucru:

Prima sarcină:

Notează în
caiete titlul
lecției.

Sunt atenți la
explicațiile
profesorului. Conversația
euristică,

lucrul în
echipă,
explicați a,
algoritmizare
a exercițiul,

Evaluare

115

Cărămizile adunării – fiecare grupă trebuie să completeze
cărămizile respectând cerințele. Prima grupă care finalizează este
solicitată pentru a comunica răspunsul. (5 MIN)

A doua sarcină:
Schema operațiilor de ordinul I. fiecare grupă trebuie să
completeze schema respectivă. Prima grupă care finalizează este
solicitată pentru a co munica răspunsul. (3 MIN)

Sarcina a treia:
Diagrama buclucașă
fiecare grupă trebuie să completeze diagrama respectivă.
Prima grupă care finalizează este solicitată pentru a comunica
răspunsul. (10 MIN)

Sarcina a patra:
Ordonarea cartonașelor: Elevii tre buie să ordoneze
crescător numerele întregi înscrise pe cartonașe. (2 MIN)

Sarcina a cincea:
Găsește eroarea: Elevii trebuie să găsească eroarea în
calculul unor operații cu numere întregi și să propună rezolvarea Rezolvă
exercițiile
solicitate de
profesor.

Elevii rezolvă
sarcinile de
lucru

joc didactic.
individua
lă,
frontală,
orală

116
corectă a exrcițiului. (8 MIN).

Sarcina a șasea:
Probabilități. Elevii trebuie să determine patru numere
întregi respectând regulile de calcul și ordinea efectuării operațiilor
cu numerele întregi. La final trebuie să specifice care este
probabilitatea ca la alegerea unui număr întreg dintre cel e patru,
acesta să fie negativ. (12 min)

5. Încheierea
activității și
tema de casă Profesorul face aprecieri asupra activității elevilor și notează
elevii activi.
Temă: profesorul anunță tema: auxiliar p ag 122 – ex
5(a,b,c,d), 6, 8, 9, 10. Sunt atenți la
explicațiile
profesorului și
notează tema

117
Anexa 1
FIȘĂ DE LUCRU – NUMERE ÎNTREGI (ORDINEA EFECTUĂRII
OPERAȚIILOR)
1. CĂRĂMIZILE ADUNĂRII
Completați, știind că fiecare număr întreg este egal
cu suma nume relor întregi ce se găsesc în cele două căsuțe
de sub căsuța numărului:
2. Completați schema următoare:
3. Diagrama buclucașă
Completați diagrama alăturată:

+

–

118
4. Așezați în ordine crescătoare numerele întregi înscrise pe
cartonașele alăturate
5. Andre i și Lidia efectuează în același timp următorul calcul

Rezolvare Andrei:

Rezolvare Lidia:

Care dintre cei doi a re zolvat corect exercițiul?
……………………………………………………………………………………………
Care sunt erorile de calcul apărute în rezolvare?
……………………………………………………………….. ………………………..
…………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………..
6. Care este probabilitatea ca alegând la întâ mplare unul din următoarele numere acesta să fie număr întreg negativ:

119
Proiect didact ic

Clasa : a VI-a
Data:
Propunator:
Disciplina: Matematică-algebră
Titlul lecției: Num ar intreg.Multimea numerelor intregi.Opusul
Tipul: lecție de predare
Compe tențe generale:
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, struct ural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentr u caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
Compe tențe specifice lecției:
1.Identificarea caracteristicilor numerelor intregi in contexte variate.
5.Interpretarea unor date din probleme care se rezolva utilizand numerele intregi
Obiective operationale (competen țe derivate ):
a) cognitive:
O1:-sa identifice numerele intregi in contexte variate;
O2:-sa scrie sis a citeasca numerele intregi;

120
O3:-sa determine opusul unui numar intreg
O4:-sa reprezinte pe axa numerele intregi.
b) afective:
OA1.Elevii sa fie atenti
OA2.Sa participle cu interes la lectie
OA3.Sa manifeste curiozitate si creativitate in rezolvarea sarcinilor propu se
c) psiho -motorii
OP1.Sa aseze corect in pagina
OP2.Sa scrie lizibil pe caiete si pe tabla
OP3.Sa -si dezvolte interesul pentru studiul matematicii.
Metode si procedee: conv ersația euristica, explicația, demonstrația, exercițiul, observația, munca individuala, expunerea;

Resurs e: a) materiale:- metodica predării matematicii în gimnaziu;
-planse,
– cretă albă, colorată, caiete de notițe
b) umane: – clasă omogenă cu cunoștințe ce necesită consolidare
– activități frontale, individuale;
c) timp: 50 min.

121
Scenariu didactic

Etapele
lectiei Comp. Continutul lectiei Timp Metode si
Procedee Evaluare
Activitatea profesorului Activitaea elevilor
1.Moment
organizatoric -verificare a prezentei elevilor si notarea absentelor in
catalog;
-verificrea tinutei elevilor si cele necesare desfasurarii orei;
-asigurarea unei atmosphere adecvate pentru buna
desfasurare a orei Elevii sunt atenti si
au caietele,manualele
si culegerile pe banci. 2’ Conversatia
2.Captare
atentiei Pentru a introduce notiunea de numar intreg ,profesorul
prezinta o problema din viata cotidiana:,,Intr -o zi de
iarna,la ora12,termometrul indica o temperatura de 50,iar
pana seara scade cu 8 0.Ce temperature indica ter mometrul
seara?’’ Elevii sunt
atenti,raspund la
intrebarile
profesorului 2’ Conversatia
euristica Observarea
sistematica

3.Pregatirea
lectiei
noi Profesorul anunta titlul lectiei ce urmeaza a fi predate si il
scrie pe tabla:
,Numar intreg.Multimea num erelor intregi.Opusul unui
numar intreg.reprezentarea pe axa a numerelor intregi.’’ Elevii noteaza in
caiete titlul lectiei 1’
4.Predarea
noilor
cunostinte Def.Se numeste numar intreg numarul natural 0 sau orice
numar natural diferit de 0precedat fie de semnul ,,+’’ fie de
semnul ,, -‘’. Elevii sunt atenti la
explicatiile
profesorului,noteaza 25’

Observatia
sistematica

122
Multimea numerelor intregi se noteaza cu Z,Z={…… -2,-
1,0,+1,+2….},Z*=Z \{0}-multimea numerelor intregi fara
elementul 0.
Multimea {+1,+2,+3,….}este o submultime a lui Z,se
noteaza cu Z + si se numeste multimea numerelor in tregi
pozitive.
Multimea { -1,-2,-3,…}este o submultime a lui Z,se
noteaza cu Z_ si se numeste multimea numerelor intregi
negative.
Z+
{0}-multimea numerelor intregi nenegative.
 Orice numar pozitiv +x se identifica cu numarul
natural x, si notam +x=x.Astfel putem scrie
+5=5,234=+234,etc.
 Astfel,N={0,1,2,3,….}={0,+1,+2,+3,….},N

Z,Z +=N*.
Z=Z_
 Z}0{
Se cere elevilor sa se rezolve primul exercitiu din fisa de
lucru pe care au primit -o la inceputul orei.

Numerele intregi pot fi reprezentate pe axa numerelor.Axa pe caiete

Raspund la
intrebarile
profesorului

Rezolva exercitiul
din fisa de lucru Conversatia

Conversatia

Exercitiul

Analiza
raspunsurilor

123
numerelor este o dreapta pe care am fixat o origine,un sens
pozitiv si o unitate de masura.

Def.Se numeste opusul unui numar intreg diferit de zero
acel numar intreg care se obtine din numarul intre g
considerat prin schimbarea semnului acestuia.Opusul
numarului intreg 0 este numarul intreg 0.
Doua numere intregi sunt opuse daca sunt coordonatele a
doua puncte de pe axa,egal departate de origine,situate de
o parte si de alta a acesteia.
 Opusul unui nu mar intre +x(sau simplu x) este
numarul intreg negativ –x,iar opusul unui numar
intreg negativ –x este numarul pozitiv +x.Opusul
lui 0 este 0.
 Exemplu: opusul lui -7 este +7;opusul lui +12 este
-12;opusul lui -45 este 45;opusul lui 209 este -209.
Se cere el evilor sa rezolve exercitiul nr.4 din fisa de
lucru

Elevii noteaza pe
caiete

Raspund la intr ebari
Dau exemple de
numare intre opuse

Rezolva exercitiul
din fisa de lucru

Conversatia

exercitiul

Fixarea
cunosti ntelor Profesorul propune spre rezolvare exerciții din culegere.

Profesorul imparte elevilor cate o fisa de lucru,pentru o Câte un elev iese la
tablă pt. fiecare
exercițiu și îl rezolvă, 18’ Aprecieri
verbale

124
fixare mai buna a cunostintelor noi invatate cu ajutorul
profesorul ui.
Elevii rezolva fisa de
lucru si apoi
confrunta rezultatele

Tema pentru
acasa Profesorul le spune care sunt exercițiile pe care le au ca
temă pentru ora următoare.
Tema :exercitii din culegere Mate 2000 pag.22. Elevii notează pe
caiete și sunt atenți la
indicațiile
profesorului. 2’

125
PROIECT DIDACTIC

DATA:
CLASA : a VI -a
PROFESOR :
DISCIPLINA: Matematică – Algebră
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Numere raționale
TEMA LECȚIEI : Operații cu numere raționale pozitive: Aplica ții
TIPUL LECȚIEI : De sistematizare și generalizare
SCOPUL LECȚIEI: Formarea și dezvoltarea deprinderilor de lucru cu operațiile cu numere raționale pozitive

COMPETEN ȚE GENERALE :
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în func ție de contextul în care au fost definite
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enun țuri matematice
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea local ă sau global ă a unei situa ții concrete
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situa ții concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situa ții-problemă

126
6. Modelarea matem atică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cuno ștințelor din diferite domenii

COMPETEN ȚE SPECIFICE
1. Recunoașterea fracțiilor echivalente, a frac țiilor ireductibile și a formelor de scriere a unui num ăr
rațional
2. Utilizarea prop rietăților opera țiilor în efectuarea calculelor cu numere ra ționale pozitive
3. Determinarea regulilor de calcul eficiente în efectuarea calculelor cu numere ra ționale pozitive
4. Interpretarea matematic ă a unor probleme practice prin utilizarea opera țiilor cu numere ra ționale pozitive și a ordinii efectu ării operațiilor

OBIECTIVE OPERAȚIONALE (COMPETEN ȚE DERIVATE ):
La sfârșitul lecției, elevii vor fi capabili:
– să efectueze adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri și ridicări la putere (cu expon ent număr natural)
în mulțimea numerelor raționale pozitive;
– să utilizeze în calcule proprietățile operațiilor cu numere raționale pozitive;
– să respecte ordinea efectuării operațiilor în mulțimea

;
– să recunoască și să folosească regulile de transformare din fracție zecimală în fracție ordinară;
– să rezolve exerciții și probleme cu toate operațiile învățate

127
STRATEGII DIDACTICE:
– METODE ȘI PROCEDEE: conversația euristică, observația, demonstrația, exercițiul, explicația, metodele active: ‘ciorchinele’ și ‘floarea
de nufăr’.
– MIJLOACE DE ÎNVĂȚĂMÂNT : fișe de lucru, manualul/culegerea de matematică, flip-chart, fișe de lucru, fișă de evaluare, marker, tablă,
cretă.
– FORMA DE ORGANIZARE : frontal, individual și pe gr upe.
– RESURSE
1. umane : 21 elevi;
2. temporale: 50 minute;
3. spațiale: sala de clasă.
– BIBLIOGRAFIE :
o Tatiana Udrea, Daniela Nițescu, Matematică – manual pentru clasa a VI a , EDP, București, 2010.
o Ștefan Smărăndoiu, Marius Perianu, Matematică pentru clasa a VI -a. Clubul Matematicienilor, Editura Art, București, 2012.
o Programa de matematică – clasa a VI – a.

128
Scenariul didactic
Etapele lecției Activitatea profesorului Activitatea elevilor Strategii
didactice Forma de
organizare Evaluare
I.
Moment
organizat oric
(2 min) Profesorul notează în catalog elevii absenți
și verifică dacă sunt condiții optime pentru
desfăsurarea lecției.
Se impart elevii în 5 grupe de câte 4 -5
elevi. Elevii se pregătesc cu cele necesare
pentru lecție.
-conversația;

-frontal

II.
Verificarea
temei pentru
acasă
(2 min) Se verifică frontal tema, eventual se lucrează
la tablă exercițiile mai dificile pe care n -au
tiut să le efectueze elevii acasă. Elevii compară răspunsurile din
caiete și argumentează răspunsurile
lor, corectând eventualele greșeli.
-observația;
-conversația;
-explicația.
-frontal

Aprecieri
verbale
III.
Captarea
atenției
(3 min) Se realizează jocul didactic “Prinde
mingea”, profesorul precizează o operație și
elevul care dă răspunsul corect prinde
mingea, spune o altă operație și aruncă
mingea colegului care -i răspunde corect.
Jocul este contra timp, iar la terminarea
acestuia se face o statistică a răspunsurilor Elevii participă la joc. -conversația -frontal Aprecieri
verbale

129
corecte în raport cu întreg numărul de elevi
al clasei.
IV.
Reactualizarea
și fixarea
cunoștințelor
(10 min ) Reactualizarea noțiunilor referitoare la
numere raționale se va realiza prin metoda
activă a “ciorchinelui”: se scrie în centru
“Număr rațional” .
Urmatoarea metodă folosit ă este “floarea de
nufăr”: se prezintă floarea principală care
are ca noțiune centrală: Operații cu
numere raționale, iar fiecare grupă, printr –
un reprezentant, are de completat o petală a
acesteia cu una din operațiile studiate.
Elevii, sub îndrumarea pr ofesorului,
vor nota pe tablă toate ideile care le
vin în minte în acel moment despre
număr rațional.
Elevii vor completa cu operațiile
corespunzătoare: adunarea,
scăderea, înmulțirea, împărțirea și
ridicarea la putere și vor preciza
proprietățile acest ora. -observația;
-conversația;
-explicația;
– metoda
“ciorchi –
nelui”;
– metoda
“floarea de
nufăr”. -frontal;
-individual;
-pe grupe. Aprecieri
verbale;

Se apreciază
cunoașterea
terminologiei
matematice.

V.
Anunțarea temei
și a obiectivelor
(1 min) Se anunță tema și obiectivele urmărite:
Lecția de azi se numește „Operații cu
numere raționale pozitive: Aplicații”. În
cadrul lecției ne propunem consolidarea
cunoștințelor dobândite anterior,
recunoașterea și utilizarea operațiilor cu
numere raționale pozitive, studiate și Elevii notează titlul în caiete
“Operații cu numere raționale
pozitive”. -conversația;
-explicația.
-frontal;
-individual.

130
aplicarea lor în rezolvări de exerciții și
probleme.
VI.
Intensificarea
retenției și
asigurarea
trans ferului
(15 min) Fiecare grupă primește, prin tragere la sorți,
câte o fișă de lucru formată din diferite
exerciții cu un nivel mediu de dificultate.
Se atrage atenția elevilor asupra faptului că
trebuie să fie atenți la prezentarea celorlalți
colegi pen tru a nota corespunzător
producțiile acestora.
Fiecare grupă are la dispoziție 15
minute pentru a rezolva toate
exercițiile de pe fișe.
Un reprezentant din fiecare grup va
prezenta la tablă sarcina de lucru și
modul de realizare a ei.
Fiecare elev urmăre ște cu atenție
modul în care au fost rezolvate
exercițiile, modul de exprimare în
limbaj matematic. -conversația;
-explicația.
-individual;
-pe grupe. Observarea
sistematică a
elevilor

Evaluarea
orală
continuă

Interevaluare
Autoevaluare
Aprecieri
verbale
VII.
Obținerea
performanței și
asigurarea
feedback -ului
(15 min) În continuare, fiecărei grupe i se va cere să
rezolve problemele din fișa de evaluare, pe
care au primit -o, într -un timp limitat astfel
încât fiecare elev să rezolve o sarcină.
Elevii vor fi informați asupra faptului că
grupa câștigătoare va fi premiată
corespunzător, după verificarea acesteia. Elevii vor trebui să se organizeze,
autoevaluându -și cunoștințele și
să-și împartă singuri sarcinile din
fișă. În cadrul grupului pot apărea
discuții/„certuri”, toate însă
constructive. Fiecare membru al
grupului se va strădui să lucreze -exercițiul

-individual;
-pe grupe. Colaborare
de grup

Auto –
evaluarea

131

corect și rapid sarcina proprie
pentru a finaliza fișa de evaluare.
VIII . Evaluarea
și tema pentru
acasă
(2 min) Aprecieri generale asupra modului
participării la activitate ș i acordarea
diplomelor. Profesorul anunță echipa
câștigătoare. Se anunță tema pentru acasă.
Exercițiile 8, 9 si 10 de la paginile 102 -103 Notează tem a -conversația -frontal;
-individual. Aprecieri
verbale
Recompense

132
PROIECT DIDACTIC

PROFESOR :
DATA :
CLASA : a VIII -a
OBIECTUL : Algebră
SUBIECTUL: Mulțimea numerelor reale.
Operații cu numere reale
TIPUL LECȚIEI : Recapitul are și consolidare
OBIECTIVE OPERAȚIONALE :
După parcurgerea lecției elevul va fi capabil:
– să recunoască submulțimile mulțimii numerelor reale;
– să dea exemple de numere reale sub diferite forme;
– să efectueze adunări, scăderi, înmulțiri, împărțiri și ridic ări la putere de numere reale;
– să raționalizeze numitori;
– să reproducă reguli de desfacere a parantezelor și să le aplice;
– să precizeze proprietățile care justifică o regulă de calcul;
– să descopere factori comuni și să scoată factori comuni dintr -o sumă sa u diferență.

133
STRATEGIA DIDACTICĂ
a) Metode și procedee : conversația, învățarea prin descoperire, exercițiul, lucrul cu manualul și culegerea, ciorchinele, brainstorming, fișa de
lucru;
b) Forme de organizare a activității elevilor : în cadrul lecției se va folo si activitatea frontală combinată cu activitatea la tablă a elevilor;
c) Resurse : capacitățile de învățare ale elevilor, cunoștințele însușite anterior de către elevi despre mulțimea numerelor reale și op erațiile cu
numere reale;
Scenariul activității didact ice
Evenimentul
didactic Conținutul lecției Tehnici de
instruire Organizarea învățării Mijloace de
învățământ Colectiv Grup Indiv.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
1. Organizarea
clasei – notarea absențelor;
– stabilirea ordinii în clasă;
– asigurarea celor nec esare lecției.
Conversația Dirijat
2. Captarea
atenției – se verifică temele elevilor;
– printr -o prezentare Power Point vom relua cunoștințele
generale despre mulțimea numerelor reale.
Conversația Dirijat Prezentare Power
Point

134
3. Enunțarea
obiectivelor În această oră vom recapitula cele învățate despre
mulțimea numerelor reale, care sunt submulțimile acesteia și
operațiile care se pot efectua în această mulțime.. Pentru aceasta
elevii vor primii fiecare câte o fișă de lucru. Prima p arte a fișei
conține recapitularea cunoștințelor însușite despre mulțimea
numerelor reale, iar cea de a doua conține probleme aplicative
referitoare la operațiile cu numere reale.
Expunerea Dirijat
4.
Reactualizarea
cunoștințelor
însușite
anterior Pentru a recapitula cunoștințele însușite despre
mulțimea numerelor reale să completăm în figura din fișa
de lucru, aplicând metoda “CIORCHINELUI” și
brainstorming (I).
Pe tablă avem același desen, vă rog să completăm
împreună și desenu l de pe tablă.

Conversația
Fișă de
lucru
Ciorchinele
5. Evaluarea
performanței Iar acum să folosim operațiile cu numere reale
studiate pentru a rezolva exercițiile de la punctul II de pe
fișa de lucru.

Exercițiu
aplicativ

Fișă
de
lucru

135
6. Asigurarea
feed-back -ului Are loc pe parcursul lecției, întărirea făcându -se prin
aprecieri verbale (Corect! Da! Foarte bine!) și prin
efectuarea fulger a câtorva exerciții de identificare.
Conversația Dirijat

7. Asigurarea
transferului Temă:
Din culegerea MATE 2000+10/11 de la pagina 97 testul 1. Exercițiu
aplicativ indepen
dent Caiet de teme
8. Aprecieri
asupra
participării
elevilor la
lecție Profesorul va stimula elevii prin note corespunzătoare
gradului de partic ipare la lecție, insistând asupra aspectelor
pozitive și explicând pe înțelesul elevilor dacă aceștia au
făcut greșeli, în ce constau ele. Conversația

136
FIȘĂ DE LUCRU
MULȚIMEA NUMERELOR REALE.
OPERAȚII CU NUMERE REALE.

II.
1 a) Scoateți factorii de sub radical:

99;180;24
b) Introduceți factorii sub radical:

312;64;72 .
2. Calculați produsul a·b:
a =
;128 108 18 48 
b =
147 32 75 162  .
3. Să se calculeze raționalizând mai întâi numitorii:
a)
26364
35623
24765
32634 
b)
5 94
2 31
3 52




4. Să se calculeze x=
) 2(81ba unde:
a =
64)2 3()3223( 
b =
108)2 5()2552( 

5. Folosind formulele de calcul prescurtat calculați:
a)
)132)(132(3 )132(2 )132(2 2
b)
2)13 56( 
6. Să se calculeze media aritmetică a numerelor:
a =
;3425
b =
.3425
7. Calculați x din proporția:
3332
332
x

137
CONCLUZII

Matematica este o disciplină care are un sp ecific aparte deoarece elevul învață de la
început norme, reguli, pe care ar trebui să le aplice în contexte noi. Prin exerciții aplicative
elevii înțeleg mai bine sensul noțiunilor și regulilor matematice pe care le -au învățat. Cea mai
des întâlnită metod ă la matematică este metoda exercițiului. Partea practică a lucrării a avut
următoarele obiective:
– determinarea nivelului general de cunoștințe a elevilor;
– întcmirea unui set de fișe de lucru cu exerciții variate care vizează toate treptele domeniului
cognitiv (cunoaștere, înțelegere, aplicare, analiză, sinteză și evaluare);
– identificarea modalităților concrete de utilizare a exercițiilor în orele de matematică;
– proiectarea unor activități în care să se îmbine exercițiul cu metodele moderne.
Un asp ect pozitiv al metodelor moderne constă în faptul că se îmbină forme variate de
activitate. Activitățile desfășurate în grup urmăresc implicarea tuturor elevilor, fapt care duce
la o bună coeziune între elevi și la consolidarea aptitudinilor de lucru.
Un alt aspect pozitiv al proiectului este faptul că învățarea a activizat elevii, varietatea
de metode motivând elevii și menținându -le treaz interesul pentru tematica propusă.
Prin lucrarea de față s -a demonstrat importanța pe care o are exercițiul matemati c în
predarea și însușirea de câtre elevi a noțiunilor matematice. În acest sens, s -a încercat
valorificarea experienței de la catedră, punând la dispoziția elevilor un bogat material de
exerciții, în vederea consolidării, aprofundării și recapitulării cun oștințelor despre mulțimi de
numere, completând sfera exercițiilor din manual.
Studiul realizat pentru întocmirea lucrării va fi continuat și materialele elaborate vor fi
utilizate în procesul didactic de predare – învățare – evaluare în anii ce vor urma.

138
BIBLIOGRAFIE
▪ Gazeta Matematică, Seria A, Vol. LXXV, 3, Martie 1970;
▪ Gazeta Matematică, Seria A, Vol. LXXV, 4, Martie 1970;
▪ Gazeta Matematică, Seria A, Vol. LXXV, 5, Martie 1970;
▪ Gazeta Matematică, Seria A, Vol. LXXVI, 4, Martie 1971;
▪ Gazeta Ma tematică, Seria A, Vol. LXXVIII, 5, Mai 1973;
▪ Radu Miron, Dan Brânzei – Fundamentele aritmeticii și geometriei, Editura Academiei
Republicii Socialoste România, 1983;
▪ I.D. Ion, I. Purdea, C.Niță – Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Editura Did actică și
Pedagogică București, 1983;
▪ M. Nicolescu, Analiză matematică, vol. I, Ed. Tehnică, București 1957;
▪ M. Nicolescu, S. Marcus, N. Dinculeanu, Analiză matematică, vol. I, Ed. Didactică și
Pedagogică, București, 1977;
▪ I. Stănescu, Mulțimi de num ere, Ed. Albatros, București, 1975;
▪ I. Colojoară, Analiză matematică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983;
▪ V. Olariu, A. Halanay, S. Turbatu, Analiză matematică, Ed. Didactică și Pedagogică,
București, 1983;
▪ O. Stănășilă, Analiză matematică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981;
▪ F. T. Câmpan, Povestiri despre numere măiestre, Ed. Albatros, București, 1981;
▪ A. Cătană, M. Săcuiu, O. Stănășilă, Metodica predării analizei matematice, Ed. Didactică și
Pedagogică, București, 1983;

139
▪ F. Cîrjan, Didactica matematicii, Ed. Corint, București, 2007;
▪ M. Singher, C. Voica, C. Voica: „Manual pentru clasa a VIII -a”, Editur Sigma;
▪ C. Savu, G. Caba, E. Teodorescu, D. Popoiu: “Manual pentru clasa a VIII -a” Editura Teora;
▪ Tatiana Udrea, Danie la Nițescu, Matematică – manual pentru clasa a VI a , EDP, București,
2010;
▪ Ștefan Smărăndoiu, Marius Perianu, Matematică pentru clasa a VI -a. Clubul
Matematicienilor, Editura Art, București, 2012;
▪ Programa de matematică – clasa a VI – a;
▪ http://religiedolj.blogspot.com/p/materiale -didactice.html
▪ http://docslide.com.br/documents/ref -matem.html
▪ http://myslide.es/documents/ciorchineleprintata.html
▪ A. Negrilă, M. Negrilă: “Mate 2 000+10/11”, partea I, clasa a V -a, Editura Paralela 45, 2010;
▪ A. Negrilă, M. Negrilă: “Mate 2000+10/11”, partea I, clasa a VI -a, Editura Paralela 45,
2010;
▪ A. Negrilă, M. Negrilă: “Mate 2000+10/11”, partea I, clasa a VI I-a, Editura Paralela 45,
2010;
▪ A. Negrilă, M. Negrilă: “Mate 2000+10/11”, partea I, clasa a VI II-a, Editura Paralela 45,
2010.