Aproximarea Functiilor Prin Interpolare

LUCRARE METODICO – ȘTIINȚIFICĂ

PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I ÎN ÎNVĂȚĂMÂNT

Aproximarea funcțiilor prin interpolare

CUPRINS

INTRODUCERE

Capitolul I : Interpolare Polinomială

1.1. Noțiuni Introductive

1.2. Polinomul de interpolare Lagrange

1.3. Interpolarea cu ajutorul programelor Maple și Matlab

1.4. Interpolarea iterativă. Metoda Aitken

1.5. Interpolarea iterativă. Metoda Neville

1.6. Diferențe Divizate.Polinomul Newton de interpolare

1.7. Diferențe finite. Polinomul Newton ascendent și descendent

1.8. Polinoame Cebâșev

Capitolul II : Interpolarea cu ajutorul funcțiilor spline

2.1. Funcții Spline – Introducere

2.2. Funcții Spline de gradul I

2.3. Funcții Spline de gradul II

2.4. Funcții Spline de gradul III

2.5. Evaluarea erorii de interpolare prin funcții spline

2.6. Utilizarea Maple și Matlab pentru interpolare prin funcții spline..pag

Capitolul III : Aplicații ale interpolării funcțiilor

3.1 Utilizarea interpolării la derivarea numerică

3.2 Utilizarea interpolării la integrala numerică

Capitolul VI : Aspecte metodice și metodologice

4.1. Aspecte generale

4.2. Metode de predare învățare

4.3. Metode de rezolvare a problemelor

4.4. Utilizarea interpolării în rezolvarea unor probleme

Bibliografie

INTRODUCERE

În rezolvarea unor probleme practice (de fizică, economice , sociale) suntem puși în situația de a modela funcții necunoscute ca expresie și definite doar prin valorile lor în anumite puncte. De aceea este necesară găsirea unei funcții de aproximare cu o formă analitică mai simplă . Aproximarea mai poate fi utilă și atunci când funcția este cunoscută dar are o formă complicată, dificil de manipulat în calcule .

Pentru determinarea unei funcții de aproximare g(x) pentru o funcție f(x) trebuie impus un criteriu de aproximare. De regulă , criteriile de aproximare se împart în două categorii:

Funcția de aproximare trebuie să treacă prin punctele cunoscute: g(xi) = f(xi)

Funcția de aproximare nu trebuie să treacă prin punctele cunoscute, dar să aproximeze cât mai bine valorile cunoscute. (de ex. Metoda celor mai mici pătrate).

În lucrarea de față , ne vom ocupa de primul caz, funcția g(x) numinduse funcție de interpolare , iar operația de determinare a ei se numește interpolare.

Prin interpolare se înțelege o metodă de calcul a unui nou punct între două puncte cunoscute. Cuvântul interpolare provine de la : ,,inter = între” și ,,pole = punct sau nod” , deci interpolare înseamnă o metodă de calcul a unui nou punct între două puncte cunoscute.

Exemple :

n

interpolare polinomială : f (x) ≈∑ai xi

i=0 n

interpolare trigonometrică : f (x) ≈∑ a k cos kx + bk sin kx

k =0

(serii Fourier)

n

k i x

interpolare exponențială : f ( x) ≈a i e .

i=0

Dintre posibilitățile prezentate mai sus , cea mai utilizată este cea polinomială , datorită ușurinței cu cu care se integrează și se derivează.

Baza teoretică a aproximării polinomiale o constituie teorema lui Weierstrass, în care se arată ca orice funcție continuă f(x) poate fi aproximată cu o precizie oricât de bună pe un interval dat închis, de un polinom Pn (x) .

Teoremă : Fie funcția f : [a,b] → R , o funcție continuă. Atunci f(x) poate fi aproximată uniform de un șir de polinoame {Pk(x)} cu o acuratețe prestabilită.

Adică pentru o funcție continuă , există un șir de

polinoame {Pk(x)} cu proprietatea că

lim Pk (x) = f (x) k→∞

Demonstrație Se consideră funcția ajutătoare F : [0, 1] → R ,

F(t) = f ( a + t (b – a )) , t ∈ [0, 1]

Funcția F îndeplinește condițiile din teorema lui Bernstain , care spune că pentru orice funcție continuă f : [0, 1] → R și (Bn)n≥1 un șir de funcții polinomiale definit astfel :

n  k  k k(1− x)n−k , pentru orice x∈[0,1]

Bn(x) = ∑k=0 f  n ⋅Cn x

Atunci (Bn)n≥1 converge uniform la f.

Deci fie (Bn)n≥1 polinoamele asociate funcției F(t) și

Pk ( )x = B k  x − a  , x∈[a,b]

 b − a 

Atunci : sup f (x)− Pn(x)= sup f (x)− Bn(x) →0

x∈[a,b]x∈[0,1]

NOTĂ : Din păcate , teorema lui Weierstrass nu oferă un criteriu practic de aflare a polinomului potrivit.

Capitolul I INTERPOLAREA POLINOMIALĂ

1.1 NOȚIUNI INTRODUCTIVE

Fie o funcție f : [a,b] → R , se pune problema aproximării ei printr-un polinom când se cunosc valorile funcției în anumite puncte xi ∈ [a, b] , i=0,n.

1.1.1. Definiție Mulțimea de puncte xi ∈ [a, b] , i=0,n cu proprietatea : a ≤ x0 < x1 < x2 <…………. < xn ≤ b se numește diviziune a intervalului [a, b] și o vom nota cu d[a, b] .

Se presupune că se cunosc valorile funcției f în punctele xi și anume : f(xi) = yi , adică :

Se pune problema determinării unui polinom Pn(x) ∈ R[X] ,

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ……………… anxn , cu următoarele proprietăți :

grad Pn ≤ n; (1.1)

Pn(xi) = f(xi) = yi , pentru orice 0 ≤ i ≤ n .

Un astfel de polinom poartă denumirea de polinom de interpolare atașat funcției f(x).

1.1.2. Definiție Pentru orice alt punct x ≠ xi , diferența dintre funcția f(x) și polinomul de interpolare Pn(x) poartă denumirea de rest sau eroare , pe care o notăm cu rn(x).

Deci f(x) = Pn(x) + rn(x) (1.2)

Dacă restul rn(x) →0, atunci din (1.1) și (1.2) rezultă un sistem de n+1 ecuații liniare:

a

 a



a (1.3)

………………………………………………………  a

Soluția acestui sistem o constituie chiar coeficienții polinomului de aproximare căutat. Determinantul acestui sistem:

1 x0 x02 … x0n

1 x1 x12 … x1n

D=1 x2 x22 … x2n

… … … … …

1 xn xn2 … xnn

este cunoscut ca determinantul lui Vandermonde. Acesta este nenul (D≠0) pentru orice xi ≠ x j (i ≠ j). Rezultă deci, ca sistemul de ecuații dat (1.3) admite o soluție unică pentru coeficienții a0,a1,…,an , cu alte cuvinte polinomul de interpolare este unic.

Pentru un număr mic de noduri sistemul se poate rezolva relativ ușor, dar pentru un număr mai mare de noduri este necesar utilizarea unui computer. De-a lungul timpului s-au propus foarte multe variante de generare a polinomului de interpolare .

1.2 POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE

1.2.2. Teoremă Fie f : [a,b] → R și x0, x1, …, xn ; (n+1) noduri din intervalul [a,b]. Atunci există un polinom unic Pn, de grad cel mult n, care interpolează funcția f în nodurile xi , 0 ≤ i ≤ n ( f(xi)=Pn(xi) , 0 ≤ i ≤ n). Acest polinom se numește polinomul de interpolare al lui Lagrange.

Demonstrație :

În spatiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult n , vom construi o bază li ( x) care se anulează în toate punctele cu excepția lui xi , i=0,n

1 daca j = i li ( xj ) = δij = 

0 daca j ≠ i

Deoarece li( xj ) = 0 pentru i≠j , rezultă că li admite rădăcinile x0, x1,

…, xi−1, xi+1,…, xn.

Deci li ( x) = ai (x – x0)(x – x1). . . . . . . . (x – xi-1)(x – xi+1). . . . . . . (x – xn)

Deoarece li(xi)=1 , rezultă că

ai

Atunci li ( x) = =

n (x−x j )

= ∏(xi −x j )

Polinomul de interpolare Lagrange se scrie sub forma :

Pn (x) = l0(x)f(x0) + l1(x)f(x1)+ …………………..+ ln(x)f(xn) = l0(x)y0+ l1(x)y1+ …….. + ln(x)yn .

Scris sub formă condensată , polinomul de interpolare Lagrange este :

n

Pn(x) = ∑ f (xi )⋅li (x) (1.4)

i=0

Evident polinomul (1.4) îndeplinește condiția f(xi)=Pn(xi) , i=0,n.

Polinoamlele li ( x), i=0,n poartă denumirea de polinoame Lagrange fundamentale.

Pentru a demonstra unicitatea polinomului Pn să presupunem că există două polinoame distincte Pn , Qn ∈ R[X] de grad cel mult n astfel încât

Pn (xi ) = Qn (xi ) = f (xi ) , i=0,n. Atunci polinomul Tn(x) = Pn (x ) – Qn (x ) este un polinom de grad cel mult n și Tn(xi) = Pn (xi ) – Qn (xi ) = 0 i=0,n. Deci polinomul Tn(x) are n+1 rădăcini . Cum gradul lui Tn(x) este cel mult n , atunci polinomul Tn(x) este identic nul ⇒ Tn(x) = Pn (x ) – Qn (x ) = 0

⇒ Pn (x ) = Qn (x ) .

Această metodă este mai utilă de determinare a polinomului de interpolare decât metoda (1.3) care necesită un volum mare de calcule.

Cazuri particulare

Fie funcția f : [a,b] → R

Dacă n=2,adică diviziunea intervalului conține doar două noduri, a ≤x0 <x1≤b, atunci polinomul de interpolare Lagrange atașat funcției f și diviziunii este:

x − x1 f (x0) + x − x0 ⋅ f (x1) P(x) = ⋅

x0 − x1 x1 − x0

Dacă n = 3 , adică diviziunea conține 3 noduri : a ≤x0 <x1<x2 ≤ b, polinomul de interpolare Lagrange este :

P(x) =

Dacă n = 4 , a ≤x0 <x1<x2 <x3≤ b, polinomul de interpolare Lagrange este :

P(x) = +

1.2.2. Observație Cu cât creștem numărul de noduri ale diviziunii, cu atât expresia polinomului de interpolare este mai complicată.

1.2.3. Exemplu Determinați polinomul de interpolare Lagrange atasat funcției f(x) :

Rezolvare : Polinoamele Lagrange fundamentale sunt :

l0(x) =

l1(x) = (x−x0)(x−x2) = (x−0)(x−3) = x(x−3) (x1 −x0)(x1 −x2) (1−0)(1−3) −2

l2(x) = x(x −1)

6

Polinomul de interpolare este : P(x) = f(0) l0(x)+ f(1) l1(x)+ f(2) l2(x) ;

P(x) = ;

P(x) = .

1.2.4. Teoremă Operatorul de interpolare Lagrange Pn definit pe mulțimea F= { f : [a,b] → R } și cu valori în mulțimea polinoamelor de grad cel mult n, care face ca unei funcții din F să-i corespundă polinomul de interpolare

Lagrange , este un operator liniar.

Demonstrație :

Fie funcțiile f și g din F , atunci funcția af+bg este de asemenea din F, unde a și b sunt două numere reale. Fie Pn polinomul de interpolare a funcției af+bg ⇒

Pn(x) = ∑n li ( )(x af (xi ) + bg(xi )) = a∑n li (x) f (xi ) + b∑n li (x)g(xi ) = a . Pnf + b . Png

i=0 i=0 i=0

Unde Pnf și Png sunt polinoamele Lagrange atașate funcțiilor f și g , deci Pn este un operator liniar.

1.2.5. Definiție Diferența f(x) – Pn(x) = Rn(x), unde Pn este polinomul de interpolare Lagrange, se numește restul de aproximare a funcției f . Formula f(x) = Pn(x) + Rn(x) se numește formula de aproximare a lui Lagrange.

1.2.6. Teoremă Restul Rn(x) din formula de aproximare Lagrange este un operator liniar.

Demonstrație : Fie funcțiile f și g din F și Pn polinomul de interpolare a funcției af+bg , unde a și b sunt două numere reale .

n

Atunci Rn(x) = [af(x) + bg(x)] – ∑li (x)(af (xi )+ bg(xi )) = [af(x) + bg(x)]

i=0

n n

– [a∑li (x) f (xi ) + b∑li (x)g(xi )] =[ af(x) – a Pnf(x) ] + [ b g(x) – b Png(x) ] =

i=0 i=0

= a Rnf (x) + b Rng(x) . Deci operatorul Rn este un operator liniar.

1.2.7. Observație Evident Rn(xi) = 0 , i=0,n.

1.2.7. Teoremă (evaluarea restului de interpolare)

Dacă f ∈ C(n+1) [a,b], atunci pentru orice x ∈ [a,b] , există ξx ∈ (a, b) astfel încât

Rn(x) = f , unde Un+1(x) = (x – x0)(x – x1). . . . . . (x – xn).

Demonstrație :

Fie funcția auxiliară g(t) = f (t) − Pn (t) − Rn (x) ⋅U n+1(t)

U n+1(x)

Observăm că funcția g se anulează în n+2 puncte : x0 , x1, x2 , …….. , xn , x . Din teorema lui Rolle rezultă că există ξx ∈ (a, b) astfel încât g(n+1)( ξx) = 0.

g(n+1)( t) = f (n+1) (t) − Rn (x) ⋅(n +1)! . Deci Rn(x) = f (n+1) (ξx ) ⋅Un+1(x) .

U n+1(x) (n +1)!

1.2.8. Corolar Dacă există M > 0 astfel încât f (n+1) (x) ≤ M pentru orice

x∈[a,b] , atunci : Rn (x) ≤ M ⋅U n+1(x) , x∈[a,b] .

(n +1)!

Demonstrație |Rn(x)| = | f .

1.2.9. Observație : În cazul în care diviziunea este formată din noduri echidistante, adică xi = x0 + i . h , i=0,n, unde h se numește pasul diviziunii , atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzător acestei diviziuni este:

pn (t) = Pn (a + t ⋅h) = ∑n f (xi )⋅ (−1)n−i Cni ⋅ t t( −1)(t − 2)…….(t − n) i=0 n! t −i

Demonstrație : Considerăm schimbarea de variabilă : x i=0,n.

1.2.7. Teoremă (evaluarea restului de interpolare)

Dacă f ∈ C(n+1) [a,b], atunci pentru orice x ∈ [a,b] , există ξx ∈ (a, b) astfel încât

Rn(x) = f , unde Un+1(x) = (x – x0)(x – x1). . . . . . (x – xn).

Demonstrație :

Fie funcția auxiliară g(t) = f (t) − Pn (t) − Rn (x) ⋅U n+1(t)

U n+1(x)

Observăm că funcția g se anulează în n+2 puncte : x0 , x1, x2 , …….. , xn , x . Din teorema lui Rolle rezultă că există ξx ∈ (a, b) astfel încât g(n+1)( ξx) = 0.

g(n+1)( t) = f (n+1) (t) − Rn (x) ⋅(n +1)! . Deci Rn(x) = f (n+1) (ξx ) ⋅Un+1(x) .

U n+1(x) (n +1)!

1.2.8. Corolar Dacă există M > 0 astfel încât f (n+1) (x) ≤ M pentru orice

x∈[a,b] , atunci : Rn (x) ≤ M ⋅U n+1(x) , x∈[a,b] .

(n +1)!

Demonstrație |Rn(x)| = | f .

1.2.9. Observație : În cazul în care diviziunea este formată din noduri echidistante, adică xi = x0 + i . h , i=0,n, unde h se numește pasul diviziunii , atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzător acestei diviziuni este:

pn (t) = Pn (a + t ⋅h) = ∑n f (xi )⋅ (−1)n−i Cni ⋅ t t( −1)(t − 2)…….(t − n) i=0 n! t −i

Demonstrație : Considerăm schimbarea de variabilă : x = x0 + t . h , h = xn − x0

n , atunci expresia polinomului Lagrange este Pn(x) = i=0 , n (x−xj ) n n

unde li ( x) = (xi −xj ) . Atunci : ∏i≠ j (x − x j ) = hn ∏j≠i (t − j) și

n n i−1 n

∏(xi − x j ) = hn ∏(i − j) = (−1)n−i hn ∏ ∏(i − j) ( j −i) = (−1)n−i ⋅hn ⋅i!⋅(n −i)!

i≠ j j≠i j=0 j=+i 1

Rezultă că Li(t)=li(x0 + t . h) = ∏ (t − j) = (−1)n ⋅ t t( −1)(t −t −2)…..(i t − n) n

Expresia polinomului Lagrange este :

pn ( )t =∑n f (xi )⋅ (−1)n−iCni ⋅t t( −1)(t −2)…….(t −n) i=0 n! t −i

t t( −1)(t − 2)……(t − n) n+1 f (n+1) (ξt )

Eroarea devine rn (x) = ⋅h ⋅

(n +1)!

1.2.10. Exemplu Să se calculeze valoarea aproximativă a lui 15 utilizând un polinom de interpolare Lagrange pentru funcția x ( x ≥ 0) și trei puncte de interpolare convenabil alese.

Fie funcția f : [0 ; +∞) , f(x) = x și nodurile x0 = 9 , x1 = 16 și x2 =

25. Sub formă de tabel funcția arată astfel :

Polinomul de interpolare Lagrange atasat funcției f este :

P(x) = .

Atunci 15 ≈ P(15) = 3,869047619 .

Să evaluăm acum eroarea în punctul x = 15

U3(15) = (15 – 9 )(15 – 16) (15 – 25 ) = 6 . ( – 1) . ( – 10) = 60

f '(x) = 1 x−12 = 1 ; f "(x) =− 1 −23 =− 1 ; f (3) (x) = 3 x−52 = 3 ; x

2 2 x 4 4 x3 8 8 x5

f (4) (x) =−15 x−72 = −15 .

16 16 x7

Deoarece f(4) (x) < 0 rezultă că funcția f(3) este descrescătoare ⇒

f (3) (x) = = 0,001543

R(15) .

Pe de altă parte , cu ajutorul calculatorului obținem 15 ≈ 3,87298334

15 − P(15) =0,0039 , ceea ce confirmă afirmața de mai sus.

1.2.11. Observație Dacă f(x) = Q(x) ∈ R[x] un polinom de grad cel mult n , atunci Rn(x) = 0 .

Demonstrație Deoarece f este un polinom de grad cel mult n , atunci f(n+1)(x) = 0 ⇒ din teorema 1.2.7 că Rn(x) = 0.

1.2.12. Observație Fie o funcție f : [a,b] → R, considerăm șirul de diviziuni dn a intervalului [a, b] cu proprietatea : a≤x0(n) <x1(n) < ……………..<xn(n) ≤b și limn→∞dn = 0 .

Notăm cu Pn polinomul lui Lagrange ce interpolează funcția f în nodurile xi(n) i=0,n. Dacă n este mare , atunci Pn coincide cu f într-un număr mare de puncte , deci ne așteptăm ca eroarea Rn(x) = f(x) – Pn(x) să fie mică , eventual ca lim Rn (x) = 0.

n→∞

În anul 1912, S. N. Bernstein a arătat că pentru funcția f(x)=|x|,

x∈[−1,1], dacă alegem nodurile echidistante xi(n) = −1+ 2i ,i = 0,n, atunci n

limPn (x) ≠ f (x) dacă x∉{−1,0,1}. n→∞

S−ar putea crede că acest lucru se datorează faptului că funcția modul nu este derivabilă în origine.

Exemplu dat de C. Runge în 1901 arată că există funcții indefinit derivabile pentru care {Pn} nu converge la f .

Fie f(x) = , x ∈ [-5 , 5 ] . Evident f ∈ C∞ [-5 ,5 ] , fie nodurile

echidistante xi =−5+ 10 i , i=0,n. n

Se poate arăta că limPn (x) = f (x) , dacă | x | ≤ c și limPn (x) ≠ f (x)

n→∞ n→∞

dacă | x | > c , unde c ≈ 3,6334.

În 1914 , S.N. Bernstein a arătat că pentru orice sistem de noduri {xi(n)} , i=0,n din intervalul [a, b] , dat dinainte, există o funcție continuă f : [a,b] → R astfel încât șirul polinoamelor Lagrange {Pn} care interpolează funcția f în aceste noduri nu converge uniform la f pe [a,b].

Se pune întrebarea dacă interpolarea cu polinoame Lagrange este utilă în practică, din moment ce așa cum am văzut, în general șirul polinoamelor de interpolare { Pn } nu converge la f.

Răspunsul este că interpolarea Lagrange este utilă. Se constată în practică faptul că pentru un punct α ∈ [a,b], eroarea | f (α) – Pn(α ) | scade până la un punct, pe măsură ce n crește, și deci, pentru n relativ mic, Pn(α) aproximează acceptabil valoarea f(α). Pentru valori mari ale lui n, interpolarea Lagrange nu este recomandată.

1.3. INTERPOLAREA CU AJUTORUL LIMBAJELOR DE PROGRAMARE MAPLE ȘI MATLAB

MAPLE și Matlab sunt două limbaje de programare deosebit de utile în domenii diverse, cum ar fi : statistica , matematica, ingineria . Aceste programe sunt folosite și în interpolarea polinoamelor.

MAPLE dispune de funcția predefinită interp care determină polinomul de interpolare Lagrange corespunzător unei funcții tabelate.

Sintaxa : interp ( x, y, var) unde x – listă / vector cu nodurile de interpolare; y – listă / vector cu valorile funcției în nodurile de interpolare; var – nume variabilă

Exemplu >

Pentru determinarea valorii polinomului de interpolare într-un punct se procedează astfel :

Pentru trasarea graficului funcției f și a polinomului de interpolare atasat funcției procedăm astfel:

– definim funcția și determinăm polinomul de interpolare ca mai sus; – trasăm graficul celor două funcții utilizând comanda plot

Programul Matlab dispune de mai multe funcții pentru trasarea polinomului de interpolare Lagrange astfel :

1) v = INTERP(x,y, u), unde x reprezintă vectorul nodurilor , y reprezintă vectorul valorilor funcției pe noduri, de aceeași dimensiune cu x. 2) yi = INTERP1(x, y, xi, METODĂ) Unde x reprezintă vectorul nodurilor y reprezintă vectorul valorilor funcției pe noduri metoda – reprezintă metoda de interpolat (nearest , linear, etc)

Exemplu x = 0:10; y = sin(x); xi = 0:.25:10; yi = interp1(x,y,xi); plot(x, y, 'o', xi, yi)

(interpolează funcția sin în nodurile :

0, 1, 2, 3, …. 10 și trasează graficul funcției interpolate) Pentru a calcula valoarea polinomului Lagrange într-un punct , trebuie mai întâi să scriem mai întâi un program Matlab ce calculează polinomul Lagrange atașat unei funcții și unei diviziuni :

% POLINOMUL DE INTERPOLARE LAGRANGE Ln(x), de gradul n = 2

% fie func?ia f(x) = x pe intervalul [9;25]

%********************************************************* x = [9. 16. 25.]; y = sqrt(x); n1 = length(x); n = n1-1; xs = 15.; % valoarea x* în care se evalueaz? func?ia cu L2(x)

% se calculeaz? valoarea polinomului Lagrange de ordinul n în x*; aici n=2 => L2(x*): L = 0.; for k = 1:n+1 p = 1; for j=1:n+1 if k ~= j

p = p*(xs-x(j))/(x(k)-x(j)); end end

L = L + y(k).*p; end

% afi?area valorii L2(x*)=L2(5) calculate:

L2xs = L % valoarea exact? a func?iei în x*=5 este: Programul o să ne afișeze L2xs =

3.8690

1.4. INTERPOLAREA ITERATIVĂ. METODA AITKEN

Vom nota polinomul lui Lagrange care interpolează funcția f în nodurile xi , cu Pn( x ; x0, x1, …, xn). Evident, P0(x; x0) = f(x0).

1.4.1 Teoremă : Are loc următoarea relație de recurență :

Pn−1(x;x0,x1,……..xn−2,xn−1) xn−1 − x .

P ( x ; x0, x1, …, xn) = Pn−1(x;x0,x1,……..xn−2,xn ) xn − x n

Demonstrație

Pn−1(x;x0,x1,……..xn−2,xn−1) xn−1 − x .

Fie Q(x) =

Pn−1(x;x0,x1,……..xn−2,xn ) xn − x Observăm că pentru orice i=0,n − 2 avem:

f (xi ) xn−1 − xi;

Q( xi ) = = f (xi )

f (xi ) xn − xi

Iar

f (xn−1) 0 = f (xn−1)

Q(xn-1) =

Pn−1(xn−1;x0,x1,……..xn−2,xn ) xn − xn−1

Q(xn) = 1 Pn−1(xn ;x0,x1,……..xn−2,xn−1) xn−1 − xn = f (xn ) xn − xn−1 f (xn ) 0

Așadar, Q este un polinom de gradul n care interpolează funcția f în nodurile xi , i=0,n Din unicitatea polinomului de interpolare al lui

Lagrange, rezultă că Q=Pn .

Metoda Aitken este bine ilustrată de următorul tabel:

1.4.2.Exemplu : Determinați polinomul de interpolare Lagrange atașat funcției f(x) :

utilizând algoritmul lui Aitken.

P1(x;x0) = f(x0) = 1

P1(x;x1) = f(x1) = 3

P1(x;x2) = f(x2) = 5

P(x;x0 ) x0 − x = 1 1 0 − x = 1+2x

P2(x;x0,x1) =

P1(x;x1) x1 − x 1− 0 3 1− x P(x;x0 ) x0 − x = 1 1 0 − x = 4x + 3

P2(x;x0,x2) =

P1(x;x2 ) x2 − x 3− 0 5 3− x 3

P (x;x ,x ) x

P3(x;x0,x1,x2) = x − x P22(x;x00,x12 ) x12 −− xx = 31−1 14x+3+2×3 03−− xxx +1

Polinomul de interpolare este : P3(x;x0,x1,x2) = − x2 + x +1

1.4. INTERPOLAREA ITERATIVĂ. METODA NEVILLE

Algoritmul lui Neville, este foarte asemănător cu algoritmul lui Aitken .

Vom nota polinomul lui Lagrange care interpolează funcția f în nodurile xi ,

cu Pn( x ; x0, x1, …, xn).

1.5.1. Teoremă Dacă f este definită în x0, x1, ………, xn , xi ≠ xj, 0 ≤ i, j ≤ k, atunci:

Pn( x;x0, x1, …, xn)=

(x − xj )P(x;x ,x ,……x ,x ,…x )−(x − x )P(x;x ,x ,……x ,x ,…x )

==

=

Demonstrație: Notăm Q1 = P(x;x0,x1,……xi−1,xi+1,…xn ) cu

(x − x j )Q2 (x) − (x − xi )Q1(x)

Q2 = P(x;x0, x1,……x j−1, x j+1,…xn ) și P(x) = xi − x j

Se observă că Q1(xk) = Q2(xk) = f(xk) pentru orice k ≠ i și k ≠ j

P(xk) = (xk − x j )Q2 (xk ) − (xk − xi )Q1(xk ) = (xi − x j )f (xk ) = f (xk )

xi − x j xi − x j

P(xi) = (xi − x j )Q2 (xi ) − (xi − xi )Q1(xi ) = (xi − x j )Q2 (xi ) = Q2 (xi ) = f (xi )

xi − x j xi − x j

Analog se arată că P(xj) = f(xj), deci din unicitatea polinomului de interpolare rezultă că P(x) = Pn( x ; x0, x1, …, xn).

Metoda Neville este bine ilustrată de următorul tabel:

1.5.2. Exemplu : Determinați polinomul de interpolare Lagrange atașat atasat funcției f(x) :

utilizând algoritmul lui Neville.

P1(x;x0) = f(x0) = 1 ; P1(x;x1) = f(x1) = 3 ; P1(x;x2) = f(x2) = 5

Atunci P(x ; x0,x1) = (x − x1)P(x;x0 ) − (x − x0 )P(x;x1) = (x −1)⋅1− (x − 0)⋅3 = 2x +1

x0 − x1 0 −1

P(x ; x1,x2) = (x − x2 )P(x;x1) − (x − x1)P(x;x2 ) = (x −3)⋅3− (x −1)⋅5 = x + 2

x1 − x2 1−3

Polinomul de interpolare Lagrange este :

P(x;x0,x1,x2)

= (x − x2 )P(x;x0, x1) − (x − x0 )P(x;x1, x2 ) = (x − 3)⋅(2x +1) − (x − 0)⋅(x + 2 =

x0 − x2 0 −3

x2 7x

= − + +1 .

3 3

1.6 DIFERENȚE DIVIZATE . POLINOMUL NEWTON DE INTERPOLARE

Dezavantajele interpolării Lagrange apar atunci când dorim să adăugăm sau să modificăm noduri de interpolare , pentru care trebuiesc refăcute toate calculele ce privesc polinomul. Astfel este mai greu să controlăm aspectul unei curbe folosind interpolarea Lagrange, decât dacă am folosi alte metode de interpolare , cum ar fi Newton.

a) DIFERENȚE DIVIZATE

Pentru construirea polinomului Newton de interpolare avem nevoie de noțiunea de diferență divizată .

Fie funcția f : [a,b] → R și diviziunea a≤ x0< x1< … <xn ≤ b

1.6.1. Definiție: Diferențele divizate de ordin p sunt definite recursiv după cum urmează :

p = 0 f [x0] = f (x0) ;

p = 1 f [x0 , x1] = f (x1) − f (x0 ) ; x1 − x0

f [xi , xi+1] = f (xi+1) − f (xi ) ;

xi+1 − xi

pentru p ≥ 2 f [x0 , x1 , ……. , xp] = f[x1, x2,…..xp ]− f [x0,x1,….xp−1] ;

xp − x0

pentru p = n f [x0 , x1 , ……. , xn] = f[x1, x2,…..xn ]− f[x0, x1,….xn−1] ; xn − x0

(1.5)

1.6.2 Remarcă : Notăm cu Fn mulțimea funcțiilor definite pe intervalul

[a,b], Fn = { f | f : [a,b] → R} . Pentru o funcție f ∈Fn putem considera diferențele divizate :

f (x1) − f (x0 ) ; f (x2 ) − f (x1) ; ……………………. ; f (xn ) − f (xn−1) . x1 − x0 x2 − x1 xn − xn−1

Aceste diferențe constituie un set de m numere ce pot fi atașate punctelor x0< x1< … <xn-1 astfel :

x0→ f (x1) − f (x0 ) = f [x0 , x1] ; x1 − x0 x1 → f (x2 ) − f (x1) = f [x1 , x2] ; x2 − x1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn-1 → f (xn ) − f (xn−1) = f [xn-1 , xn] ;

xn − xn−1

Funcția care se obține în acest fel este definită pe mulțimea { x0; x1; …

; xn-1} și va fi notată cu D1f . Prin urmare funcția D1f este o funcție reală definită pe mulțimea nodurilor { x0< x1< … <xn-1 } în felul următor :

D1f (xr) = f [xr , xr+1] pentru r = 0, 1, 2, …….., n – 1 .

Astfel , alături de mulțimile de funcții Fn și Fn-1 considerăm operatorul D1 : Fn → Fn-1 definit prin : f → D1f , cu D1f(xr) = f [xr , xr+1] .

1.6.3. Definiție : Operatorul D1 : Fn → Fn-1 definit prin D1f(xr) = f [xr , xr+1], r = 0, 1, 2, …….. n – 1 se numește operator de diferență divizată de ordinul întâi .

1.6.4. Propoziție : Operatorul de diferență divizată de ordinul întâi este un operator liniar.

Demonstrație : Fie f , g ∈Fn și a , b ∈ R . Atunci : D1(af+bg)(xr) =

=(af+bg)[xr,xr+1]=

= (af + bg)(xr+1) − (af + bg)(xr ) = af (xr+1) + bg(xr+1) − af (xr ) −bg(xr ) =

xr+1 − xr xr+1 − xr

= a f (xr+1) − f (xr ) + b g(xr+1) − g(xr ) = a D1f(xr) + b D1g(xr) .

xr+1 − xr xr+1 − xr

1.6.5. Definiție : Diferența divizată de ordinul al doilea a funcției f relativ la punctul xr , r ≤ n – 2 este numărul :

D1 f (x )

D2f(xr) = r+1 − D1 f (xr ) = f[xr+1,xr+2]− f[xr ,xr+1] (1.6)

xr+1 − xr xr+2 − xr

f[xr+1,xr+2]− f[xr,xr+1]

Se notează f[xr,xr+1,xr+2] =

xr+2 − xr 1.6.6. Propoziție : Are loc următoarea egalitate: f[xr,xr+1,xr+2]=

f (xr ) f (xr+1) f (xr+2 ) (1.7)

= + +

(xr − xr+1)(xr − xr+2 ) (xr+1 − xr )(xx+1 − xr+2 ) (xr+2 − xr )(xr+2 − xx+1)

Demonstrație : f[xr , xr+1,xr+2 ] = f [xr+1, xr+2 ]− f [xr , xr+1]

xr+2 − xr

= 1  f (xr+2)− f (xr+1) − f (xr+1)− f (xr ) =

(xr+2 − xr ) xr+2 − xr+1 xr+1 − xr 

1  f (xr+2 )(xr+1 − xr ) f (xr+1)(xr+1 − xr + xr+2 − xr+1) f (xr )(xr+2 − xr+1) 

 − + 

(xr+2 − xr )(xr+2 − xr+1)(xr+1 − xr ) (xr+2 − xr+1)(xr+1 − xr ) (xr+2 − xr+1)(xr+1 − xr ) f (xr+2 ) f (xr+1) f (xr ) =

= − +

(xr+2 − xr )(xr+2 − xr+1) (xr 2 − xr 1)(xr 1 − xr ) (xr+2 − xr )(xr+1 − xr ) f (xr+1) (xr+2 )

= + +

(xr − xr+1)(xr − xr+2 ) (xr+1 − xr )(xx+1 − xr+2 ) (xr+2 − xr )(xr+2 − xx+1)

1.6.7. Propoziție : Pentru orice k ≤ n putem defini diferența divizată de ordinul k a funcției f într-un punct xr ( r ≤ n – k ) :

Dk f(xr) = Dk−1 f (xr+1) − Dk−1 f (xr ) = f [xr+1, xr+2,…..,xr+k ]− f [xr , xr+1,….,xr+k−1]

(xr+k − xr ) (xr+k − xr )

1.6.8. Observație : Se poate arăta că :

Dk f(xr) = ∑k f (xr+i )

i=0 (xr+i − xr )(xr+i − xr+1)……..(xr+i − xr+i−1)(xr+i − xr+i+1)……….(xr+i − xr+k )

(1.8)

1.6.9. Observație : Dacă se consideră familia de funcții

Fn-k = { f : {x0,x1,….,xn-k} → R } , atunci folosind diferența divizată de ordinul k se poate asocia fiecărei funcții f ∈Fn o functie din Fn-k astfel :

f → Dk f , unde Dk f(xr) = f [xr,xr+1,……,xr+k] , pentru r ≤ n – k Corespondența f → Dk f se numeste operator de diferență divizată de ordinul k .

1.6.10. Propoziție: Operatorul de diferență divizată de ordinul k, Dk :Fn →

Fn-k este un operator liniar.

1.6.11. Propoziție: Pentru k = n , operatorul de diferență divizată de ordinul n este definit doar în x0 și este dată de :

n f(x0) = k f (xi ) (1.9)

D

1.6.12. Propoziție: Dn f(x0) = (Wf )(x0,x1,…..xn ) (1.10) , unde V(x0,x1,…..xn )

1 x0 x02 … x0n−1 f (x0 )

1 x x 2 … x n−1 f (x )

(Wf )(x0,x1,…..xn )= 1 1 1 1 și V(x0, x1,…..xn )= .. … … … … …

1 xn xn2 … xnn−1 f (xn )

1 x0 x02 … x0n−1 x0n

1 x1 x12 … x1n−1 x1n

.. … … … … …

1 xn xn2 … xnn−1 xnn

Demonstrație : Determinantul V(x0, x1,…..xn )este un determinant de tipul Vandermonde, deci :

1 x0 x02 … x0n−1 x0n

1 x x 2 … x n−1 x n

V(x0, x1,…..xn )= .. …1 …1 … 1… …1= ∏i> j (xi − x j )

1 xn xn2 … xnn−1 xnn

Pentru calculul determinantului (Wf )(x0,x1,…..xn ),dezvoltăm după ultima coloană și obținem:

(Wf )(x0,x1,…..xn )= (−1)m+2 f(x0)⋅V(x1,x2,…..,xn)+(−1)m+3 f(x1)⋅V(x0,x2,…..,xn)+ .

. . …….+(−1)2(m+1) f (xn )⋅V(x0,x1,….., xn−1).

Atunci (WfV()(x0x,0x,1x,…..1,…..xnx)n) = ∏i> j (x1i − x j )∑k=n0 (−1)n+2+k f (xk )ii∏>, jj≠k(xi − x j ) =

∏(xi − x j )

n i> j

= ∑(−1)n+2+k f (xk ) i, j≠k( ) = k=0 ∏ xi − x j

i> j

∑n (−1)n+2+k f (xk ) =

=

k=0 (xk − x0 )(xk − x1)……..(xk − xk−1)(xk+1 − xk )……….(xn − xk )

∑n (−1)n+2+k f (xk ) n−k =

=

k=0 (xk − x0 )(xk − x1)……..(xk − xk−1)(−1) (xk − xk+1)……….(xk − xn )

=∑n= (xk − x0 )(xk − x1)……..(xk −f (xxkk−1))(xk − xk+1)……….(xk − = Dn f(x0) . k 0 xn )

1.6.13. Observație: Pentru orice permutare (i0,i1,…..,in) a numerelor (0, 1, ….,n) avem : f [xi0 ,xi1 ,…..,xin ]= f [x0 ,x1,…..,xn ].

Cu alte cuvinte diferența divizată de ordinul n nu depinde de ordinea nodurilor.

1.6.14. Observație: Dacă notăm Un+1(x) = (x – x0)(x – x1). . . . . . (x – xn) și

U’n+1(xi) = (xi – x0) (xi – x1). . . . . . (xi – xi-1)(xi – xi+1) …….(xi – xn) , atunci f [x0, x1,….., xn]= ∑n f (xk ) (1.11)

k=0U 'n+1 (xk )

1.6.15. Propoziție: Dacă f este un polinom de grad cel mult n – 1 , atunci Dn f(x0) = 0 .

Demonstrație : Dacă f este un polinom de grad cel mult n – 1 , atunci

n−1

f (x) =∑akxk și ținând cont de faptul că Dn f este un operator liniar ,

k=0

obținem Dn f(x0) = ∑n−1 ak Dn (xk )( )x0 .

k=0

n (xk)(x0) = WV(x(kx)(0,xx01,,…..x1,…..xn )xn ) , cu

Din (1.10) avem D

1 x0 x02 … x0n−1 x0k

k 0 1 n1 x1 x12 … x1n−1 x1kn f(x0) = 0 . W(x )(x , x ,…..x ) = = 0 , deci D

.. … … … … …

1 xn xn2 … xnn−1 xnk

1.6.16. Propoziție: Dacă f și g sunt două funcții reale definite pe [a,b] , atunci:

n

f ⋅g[x0,x1,…..,xn]=∑f[x0,x1,…xk]⋅g[xk,xk+1,….xn]

k=0

Demonstrație : Se aplică metoda inducției în raport cu n

– pentru n =1 avem :

f ⋅ g[x0, x1]= f ⋅ g(x1) − f ⋅ g(x0 ) = f (x1)⋅ g(x1) − f (x0 )⋅ g(x0) =

x1 − x0 x1 − x0

= f (x1)⋅ g(x1) − f (x0 )g(x1) + f (x0 )g(x1) − f (x0 )⋅ g(x0 ) =

x1 − x0

= g(x1)[ f (x1) − f (x0 )]+ f (x0 )[g(x1) − g(x0 )] =f(x0) g[x0,x1] + g(x1) f[x0,x1] . x1 − x0

– presupunem adevărată relația :

n−1

f ⋅g[x0,x1,…..,xn−1]=∑f[x0,x1,…xk]⋅g[xk,xk+1,….xn−1] și să calculăm :

k=0

f ⋅ g[x0,x1,…..,xn]= xn −1 x0 (fg[x1,x2,…..xn]− fg[x0,x1,…..,xn−1]) =

1 n−1

= xn − x0 ∑k=0 f [x1, x2,….,xk+1]⋅ g[xk+1,….,xn−1] − f [x0,…,xk ]⋅ g[xk ,….xn−1]=

1 n−1

= xn − x0 ∑k=0 f [x1, x2,….,xk+1]⋅ g[xk+1,….,xn−1] − f [x0,…,xk ]⋅ g[xk ,….xn−1]+

+ f[x0 ,….., xk ]⋅ g[xk+1,…..,xn]− f[x0 ,….., xk ]⋅ g[xk+1,…..,xn]=

1 n−1

= xn − x0 ∑k=0 f [x0, x1,….,xk ]⋅{g[xk+1,….,xn] − g[xk ,….xn−1]} +

1 n−1

+ xn − x0 ∑k=0 g[xk+1,….,xn]⋅{f[x1,…,xk+1]− f[x0,….xk ]}=

1 n−1

= xn − x0 ∑k=0 f [x0, x1,….,xk ]⋅ (xm − xk )g[xk ,….xn] +

1 n−1

+ xn − x0 ∑k=0 g[xk+1,….,xn]⋅ (xk − x0) f [x0,….xk ]} =

1 n−1

{(xn − x0 )⋅ f [x0]⋅ g[x0, x1,….,xn] + ∑(xn − x0 )⋅ f [x0,…,xk ]⋅ g[xk ,…,xn−1] xn − x0 k=1

n

+ (xn – x0) . f[x0,x1,….,xn] . g[xn] = ∑f[x0,x1,…xk]⋅g[xk,xk+1,….xn].

k=0

b) POLINOMUL LUI NEWTON CU DIFERENȚE DIVIZATE

Fie funcția f : [a,b] → R și diviziunea a≤ x0< x1< … <xn ≤ b

1.6.17. Definiție : Se numește polinomul lui Newton cu diferențe divizate corespunzător funcției f în nodurile xi , i=0,n , polinomul de gradul n :

Pn(x) = f[x0]+(x − x0)⋅ f[x0,x1]+(x − x0)⋅(x − x1)⋅ f [x0,x1,x2]+…

….+(x − x0)⋅(x − x1)⋅…⋅(x − xn−1)⋅ f[x0,.x1,…,xn]

(1.12.)

1.6.18. Teoremă : Polinomul lui Newton cu diferențe divizate corespunzător funcției f în nodurile xi , i=0,n verifică condițiile de interpolare , adică

Pn(xi) = f(xi) .

Demonstrație : Fie Pk polinomul lui Lagrange (1.4) corespunzător nodurilor xi , i=0,k . Punem Q0 = f(x0) și Qk = Pk – Pk-1 .

Este evident că polinomul Qk are gradul cel mult k și rădăcinile x0, x1, …, xk-1 .

Deci Qk(x) = ak(x – x0)(x – x1)…….(x – xk-1) = ak Uk(x).

Din Qk(xk) = Pk(xk) – Pk-1(xk) = f(xk) – Pk-1(xk) =ak Uk(xk) rezultă că

ak = f (xk ) − Pk−1(xk ) = f (xk ) − Pk−1(xk ) = f (xk ) –

U k (xk ) U k (xk ) U k (xk ) (xk − x0)(xk − x1)……….(xk − xk−1)

– f (xi )⋅li (xk )= f (xk ) –

U k (xk ) i=0 (xk − x0)(xk − x1)……….(xk − xk−1)

=

k i=0 i 0 i i−1 i i+1 i k−1

= ∑k f (xi ) = f[x0,x1,….,xk] . i=0 (xi − x0 )…(xi − xi−1)(xi − xi+1)…(xi − xk )

Atunci expresia polinoamelor Qk este dată de relația :

Qk(x) = f[x0,x1,….,xk] . (x – x0)(x – x1)…….(x – xk-1)

Polinomul de interpolare Pn = Q0 + Q1 + Q2 + …….. + Qn =

= f (x0) + (x − x0)⋅ f[x0,x1]+ (x − x0)⋅(x − x1)⋅ f[x0,x1,x2]+…

….+ (x − x0)⋅(x − x1)⋅…⋅(x − xn−1)⋅ f[x0,.x1,…,xn ]

O proprietate importantă a polinomului de interpolare Newton cu diferențe divizate este aceea că nu depinde de ordinea nodurilor .

1.6.19. Teoremă (teorema de medie): Fie o funcție f : [a, b] → R , de n- ori derivabilă pe intervalul (a , b) și diviziunea : a≤ x0< x1< … <xn ≤ b , atunci există ξ astfel încât :

f (n) (ξ) f [x0,x1,……,xn ] = , a < ξ < b n!

Demonstrație : Considerăm funcția ajutătoare φ(x) = (Wf )(x0,x1,…..xn ) + f [x0,x1,……,xn ] . V(x0, x1,…..xn ) . Funcția φ(x) are proprietatea că φ(xi) = 0 pentru i = 0,1,….,n . Aplicând teorema lui Rolle pe subintervalele determinate de aceste puncte rezultă că ϕ(n) are cel puțin un zero ξ ∈ (a , b). ϕ(n) (x) = [f n (x) − n!⋅f [x0 ,x1,…., xn ]]⋅V(x0 , x1,…., xn ) . Deoarece φn(ξ) = 0 rezultă că

f [x0,x1,……,xn ] = f (n) (ξ) . n!

Utilizând formula generală pentru o funcție de aproximare , putem scrie că : f(x) = Pn(x) + Rn(x) .

Eroarea sau restul de aproximare se determină după formula :

Rn(x) = (x – x0) . (x – x1) ………… (x – xn) . f [x0,x1,……,xn ] .

Polinoamele Newton și Lagrange diferă doar prin formă , restul fiind același pentru aceeași rețea de noduri . Din punct de vedere practic , este mai convenabil utilizarea polinomului Newton deoarece acesta necesită un număr de calcule mai mic decât polinomul Lagrange.

În practică se recomandă determinarea diferențelor divizate din tabelul următor:

1.6.20. Exemplu : Determinați polinomul de interpolare Newton atașat funcției f(x) :

Atunci polinomul de interpolare Newton se scrie sub forma: P(x)= = f (x0) + (x − x0)⋅ f[x0, x1]+ (x − x0)⋅(x − x1)⋅ f[x0, x1, x2] =

=1 + (x – 0) . 2 + (x – 0)(x – 1) . .

Observăm că polinomul de interpolare se obține mult mai ușor decât polinomul Lagrange de la execițiul 1.2.3 .

C) DIFERENȚE DIVIZATE ȘI POLINOMUL NEWTON ÎN MATLAB

În Matlab putem crea un cod de program pentru calculul diferențelor divizate cât și valoarea polinomului de interpolare într-un punct. function fp = newton_interpolation(x,y,p) % Script for Newton's Interpolation.

% x and y are two Row Matrices and p is point of interpolation x=[0,1,3] y=[1,3,5] p=10 n = length(x); a(1) = y(1); for k = 1 : n – 1

d(k, 1) = (y(k+1) – y(k))/(x(k+1) – x(k)); end for j = 2 : n – 1 for k = 1 : n – j

d(k, j) = (d(k+1, j – 1) – d(k, j – 1))/(x(k+j) – x(k)); end end d for j = 2 : n a(j) = d(1, j-1); end Df(1) = 1; c(1) = a(1); for j = 2 : n

Df(j)=(p – x(j-1)) .* Df(j-1); c(j) = a(j) .* Df(j); end fp=sum(c);

Programul o să ne afișeze : d = 2.0000 -0.3333

1.0000 ans = -9 .

care reprezintă diferențele divizate f[0, 1] = 2.0000; f[1, 3] = 1.0000; f[0, 1, 3] = – 0.3333 și P(10) = – 9 .

1.7 DIFERENȚE FINITE . POLINOMUL LUI NEWTON ASCENDENT ȘI DESCENDENT

Fie o funcție f : [a, b] → R și o diviziune a intervalului : a≤ x0< x1<

… <xn ≤ b cu noduri echidistante , adică există o constantă între punctele diviziunii:

x1 – x0 = x2 – x1= x3 – x2 = ……………… = xn – xn-1 = h , sau xi = x0 + i . h , i=0,n , h se numește pasul diviziunii . a) Diferențe finite progresive

1.7.1. Definiție : Numim diferență finită înainte de ordinul I în x (sau la dreapta) cantitatea :

∆f(x) = f(x+h) – f(x) , unde h este pasul diviziunii

1.7.2. Propoziție : ∆f(x) este un operator liniar

Demonstrație : Fie f și g două funcții definite pe [a, b] și o diviziune de noduri echidistante : xi = x0 + i . h , i=0,n , atunci

∆f(x) = f(x+h) – f(x) și ∆g(x) = g(x+h) – g(x) ⇒ ∆f(x) + ∆g(x) = f(x+h)

+ g(x+h) – [f(x) + g(x)] = ∆[f(x) + g(x)] a ∆f(x) = a[f(x+h) – f(x) ]= af(x+h) – af(x)= ∆af(x)

1.7.3. Observație : Întrucât se presupune cunoscute valorile funcției f doar în nodurile diviziunii , vom calcula diferențele finite doar în aceste noduri: ∆f(xk) = f(xk+h) – f(xk) = f(xk+1) – f(xk) , pentru k =0, 1, 2, …, n-1

Pentru simpificarea calculelor , această relație o notăm: ∆fk = fk+1 – fk

1.7.4. Definiție : Numim diferență finită progresivă(sau înainte) de ordinul k în x (sau la dreapta) cantitatea :

∆kf(x) =∆( ∆k-1f(x) ) =∆k-1 (∆f(x))

Pentru k = 2 ⇒∆2f(x) =∆ f(x+h) – ∆f(x)

k = 3 ⇒ ∆3f(x) =∆2 f(x+h) – ∆2 f(x)

………………………………………………………………….

k = n ⇒ ∆nf(x) =∆n-1 f(x+h) – ∆n-1 f(x)

1.7.5. Propoziție : Fie o funcție f : [a, b] → R și o diviziune de noduri echidistante xi = x0 + i . h , i=0,n , atunci are loc egalitatea :

∆n f (x0)

f [x0,x1,……,xn ] = n!⋅hn (1.13)

Demonstrație : Să demonstrăm prin inducție după n Pentru n = 1 avem :

f [x0,x1] = f (x1) − f (x0 ) = f (x0 + h) − f (x0) = ∆1 f (x0) = ∆1 f (x1 0 ) x1 − xo x0 + h− xo h 1!h

Presupunem relația adevărată pentru orice număr k și să arătăm că relația este

∆ k f ( x 0 )

adevărată și pentru k+1 . Deci f [x0,x1,……,xk ] = k !⋅h k și să demonstrăm că f [x0,x1,……,xk+1 ] = . f [x0,x1,……,xk+1 ] =

∆k f (x1) ∆k f (x0)

f [x1,x2,….,xk+1]-f [x0,x1,….,xk] = k!⋅hk − k!⋅hk =

xk+1 − x0 xk+1 − x0

0

(k +1)⋅h (k +1)⋅h⋅k!⋅h = (k +1)!⋅hk+1 , deci relația este adevărată și pentru k+1 ⇒ relația este adevărată pentru orice număr n .

1.7.6. Propoziție : ∆2 f (xk ) = f (xk+2 ) − 2 ⋅ f (xk+1) + f (xk )

Demonstrație :

∆2 f (xk )=∆f (xk+1)−∆f (xk ) = f (xk+2 )− f (xk+1)− f (xk+1)+ f (xk ) = f (xk+2) − 2⋅ f (xk+1) + f (xk ) = fk+2 – fk+1 + fk .

1.7.7. Propoziție : Au loc relațiile:

n

∆nf(x0) = ∑(−1)kCnk f (x0 + (n − k)⋅h)

k=0

n

f(x0+n . h) = ∑Cnk∆k f (x0 )

k=0

Demonstrație : ∆nf(x0) se exprimă ca o combinație liniară a valorilor lui f în noduri x0 , x0+h , ……., x0+n . h adică este de forma:

n

∆nf(x0) = ∑ak ⋅ f (x0 + k ⋅h) . Pentru determinarea coeficienților alegem

k=0

n

funcția f (x) = ex , atunci exeh −1 n = ∑ak ⋅e(x0+k⋅h)

k=0

Dezvoltăm binomul din membrul stâng și obținem :

n n

∑Cnk(−1)n−k e(x0+k⋅h) = ∑ak ⋅e(x0+k⋅h)

k=0 k=0

n

⇒ ak =Cnk (−1)n−k ⇒∆nf(x ) = ∑(−1)k Cnk f (x0 + (n − k)⋅h)

Analog se demonstrează și b)

1.7.8. Teoremă : (formula lui Leibniz) Fie două funcții f,g : [a, b] → R și o diviziune de noduri echidistante a acestui interval: xi = x0 + i . h , i=0,n , atunci are loc egalitatea :

n

∆n f (x)⋅ g(x) = ∑Cnk∆k f (x)∆n−k g(x + kh)

k=0

Demonstrația teoremei se face prin inducție matematică după n .

1.7.9. Teoremă: Polinomul Newton cu ajutorul diferențelor finite înainte se scrie sub forma :

2

P + (x − x0) (x − x1) 2!⋅ 20 +…

∆n (x ) f

….+ (x − x0)⋅(x − x1)⋅…⋅(x − xn−1)⋅ n!⋅hn0

(1.14)

Demonstrație : Din formula polinomului Newton cu ajutorul diferențelor divizate avem că :

P ( x ) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) ⋅ f [ x0 , x1 ] + ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ f [ x0 , x1, x2 ] + ……. + ( x − x0 ) ⋅ ( x − x1 ) ⋅ … ⋅ ( x − xn−1 ) ⋅ f [ x0 ,. x1,…, xn ]

Înlocuind diferențele divizate cu diferențe finite din formula (1.13) obținem relația (1.14).

1.7.10. Definiție : Polinomul (1.14) poartă denumirea de Polinomul lui

Newton de prima speță . Este recomandat utilizarea lui când se aproximează valorile lui f când x este apropiat de x0 .

Pentru transcrierea lui într-o formă mai compactă se introduce parametrul α , astfel încât x = x0 + h . α , unde 0 ≤ α ≤ n . Atunci :

P.

α(α−1)(α− 2) (….α− n +1) n (1.15)

………+ ∆ f (x0)

n!

1.7.11. Exemplu : Determinați polinomul de interpolare Newton de prima speță atașat funcției f(x) :

Introducem parametrul α : x = x0 + h . α ⇒ α= x − x0 = x − 4

h 2

Atunci polinomul de interpolare este : P(x) =

x − 4  x − 4 

⋅ −1

0 x − 4 2  2  +

f (x ) + ⋅2 + ⋅3

2 2!

x − 4  x − 4  x − 4 

⋅ −1 − 2

+ 2  2  2  ⋅4 =1+ (x − 4) + 3⋅(x − 4) (⋅ x − 6) + (x − 4) (⋅ x − 6) (⋅ x −8)

3! 8 12

b) Diferențe finite regresive

1.7.12. Definiție : Numim diferență finită regresivă (sau înapoi) de ordinul I în x (sau la stânga), operatorul :

∇f (x) = f (x) − f (x − h)

Dacă x = xk , atunci xk – h = xk-1 și xk + h = xk+1 1.7.13. Observație:

∇f (xk) = f (xk) − f (xk − h) = f (xk) − f (xk−1)

Dacă notăm : f(xk) = fk , atunci ∇fk = fk − fk−1 pentru k∈1,n

1.7.14. Propoziție: ∇f (x) este un operator liniar

Demonstrația este la fel ca la propoziția 1.7.2

1.7.15. Definiție : Numim diferență finită regresivă(sau înapoi) de ordinul k în x (sau la dreapta) cantitatea :

∇k f (x) =∇k−1 f (x)−∇k−1 f (x − h) Pentru k = 2 ⇒∇2 f (x) = ∇f (x)−∇f (x −h)

k = 3 ⇒ ∇3 f (x) =∇2 f (x)−∇2 f (x−h)

………………………………………………………………….

k = n ⇒ ∇n f (x) =∇n−1f (x)−∇n−1f (x−h) ∇n f (x) =∇n−1(∇f (x)) =∇(∇n−1f (x))

1.7.16. Propoziție : ∆k f (xi ) = ∇k f (xi+k )

Demonstrație : se demonstrează prin inducție dupa k

Pentru k = 1 avem : ∆f (xi ) = f (xi+1 ) − f (xi ) =∇f (xi+1 ) .

Presupunem relația adevărată pentru orice număr p și să arătăm că este edevărată și pentru p+1 ;

Deci ∆p f (xi) = ∇p f (xi+p) , să calculăm atunci :

∆p+1 f (xi ) =∆(∆p f (xi )) =∆p f (xi+1) −∆p f (xi ) =∇ p f (xi+p+1) −∇ p f (xi+p )

=∇ p+1 f (xi+ p+1)

Deci relația este adevărată și pentru p+1 , atunci relația este adevărată pentru orice număr k .

1.7.17. Propoziție : ∇2 f (xk ) = f (xk )−2⋅ f (xk−1) + f (xk−2 )

Demonstrație :

∇2 f (xk) =∇f (xk)−∇f (xk−1) = f (xk)− f (xk−1)− f (xk−1)+ f (xk−2 ) = f (xk) − 2⋅ f (xk−1) + f (xk−2) = fk – fk-1 + fk-2 .

k

1.7.18. Propoziție : ∇k f (xi ) = ∑(−1)m Cmk f (xi−m )

m=0

Se demonstrează prin inducție după k .

1.7.19. Teoremă: Polinomul Newton cu ajutorul diferentelor finite înapoi se scrie sub forma :

2

P 2n +…

⋅

….+ (x − xn)⋅(x − xn−1)⋅…⋅(x − x1)⋅ ∇nn!f⋅h(xnn) (1.16)

Demonstrație :

Pentru scrierea polinomului de interpolare cu ajutorul diferentelor finite înapoi considerăm nodurile diviziunii scrise în ordine inversă : xn , xn-1 , … , x0. Atunci din scrierea polinomului de interpolare cu ajutorul diferențelor divizate , avem :

P(x) = f (xn )+(x− xn )⋅ f [xn ,xn−1]+(x− xn )⋅(x− xn−1)⋅ f[xn ,xn−1,xn−2]+…

….+(x− xn )⋅(x− xn−1)⋅…⋅(x − x1)⋅ f[xn ,.xn−1,…,x0] =

∆f (xn−1) ∆2 f (x )

1!⋅h 2!⋅h

….+ (x − xn)⋅(x − xn−1)⋅…⋅(x − x1)⋅ ∆nnf!⋅h(xn0)

Din propoziția 1.7.16 , avem : ∆1 f (xn−1) = ∇1 f (xn) ; ∆2 f (xn−2 ) = ∇2 f (xn);

∆3 f (xn−3) = ∇3 f (xn ); ……….; ∆n f (x0) = ∇n f (xn ) .

Deci polinomul de interpolare devine :

2

P 1!⋅ 2n +…

….+ (x − xn)⋅(x − xn−1)⋅…⋅(x − x1)⋅ ∇nn!f⋅h(xnn)

1.7.20. Definiție : Polinomul (1.16) poartă denumirea de Polinomul lui

Newton de speța a doua . Este recomandat utilizarea lui când se aproximează valorile lui f când x este apropiat de xn .

Pentru transcrierea lui într-o formă mai compactă se introduce parametrul α , astfel încât x = xn + h . α , unde 0 ≤ α ≤ n . Atunci :

P

α(α+1)(α+ 2) (….α+ n −1) n (1.17)

+……………..+ ∇ f (xn)

n!

1.7.20. Exemplu : Se dă funcția prin următorul tabel :

Să se determine polinomul newton de speța a II-a atașat nodurilor xi și funcției f.

Construim tabelul diferențelor finite înapoi :

Observăm că pasul h = 1

Polinomul Newton de speța a II-a este :

2

P 1!⋅ 2n +…

….+ (x − xn)⋅(x − xn−1)⋅…⋅(x − x1)⋅ ∇nn!f⋅h(xnn)

f

=

= x3 – x2 + 5x – 4 .

1.8 POLINOAME CEBÂȘEV

Până acum ne-am pus problema determinării unui polinom care interpolează o funcție f în nodurile unei diviziuni a intervalului de definiție . Ne punem problema alegerii unei diviziuni a intervalului pentru ca eroarea de interpolare să fie cât mai mică. Pentru aceasta introducem polinoamele Cebâșev.

1.8.1. Definiție : Polinoamele Cebîșev sunt definite pe intervalul [−1,1] prin relația: Tn(x) = cos(n·arccos(x))

1.8.2. Teoremă : Funcția definită pe intervalul [−1,1] prin relația: Tn(x) = cos(n·arccos(x)) reprezintă un polinom numit polinom Cebâșev de grad n . Demonstrație :

Pentru x ∈[−1,1] notăm α = arc cos(x) . Cu formula lui Moivre avem :

cosnα+ isinnα= (cosα+ isinα)n

Dezvoltând și egalând părțile obținem : cosnα= cosnα−Cn2 cosn−2α⋅sin2α+ Cn4 cosn−4α⋅sin4α−…………..

Cum cosα = x , iar sinα = 1− x2 găsim :

Tn(x) = xn −Cn2xn−2(1−x2) +Cn4xn−4(1−x2)2……………….

Deci Tn(x) este un polinom de grad n , iar coeficientul lui xn este

1+ Cn2 +Cn4 +……….. = 2n−1 .

Ecuația Tn(x) =0 scrisă sub forma cos(n·arccos(x)) = 0 duce la

2k+1 2k +1

n·arccos(x)= π, deci x = cos π,k = 0,n −1, având n soluții

2 2n

distincte . Ecuația are toate rădăcinile reale în intervalul [−1,1] .

Deoarece

Tn+1(x)+Tn−1(x)=cos[(n+1)arccosx]+ cos[(n−1)arccosx]=2xcos(n·arccosx), rezultă următoarea relație de recurență: Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x), n ≥1

Cum T0(x)=1 și T1(x)=x, rezultă

2 3 4 2 5 3

T (x)=2x −1, T3(x)=4x −3x, T4(x)=8x −8x +1, T5(x)=16x −20x +5x etc.

2

1.8.3. Propoziție : Punctele de extrem local ale polinomului Cebâșev

 kπ

Tn = cos(n·arccos(x)) sunt yk=cos ,k ∈1,n −1 .

 n 

Demonstrație: Derivata polinomului Tn este : Tn '(x)

Dacă Tn’(x) = 0 , atunci n . arccos(x) = k . π, și deci

 kπ

yk = cos ,k =1,n −1 sunt zerourile derivatei.. Se observă că rădăcinile

 n 

derivatei Tn’(x) separă rădăcinile polinomului Tn . Într-adevăr :

(2k +1)⋅ π < (k +1)⋅π < (2k + 3)⋅ π și deci

2n n 2n

π xk .

n

 cosknπ = cos(kπ) = (−1)k . Cum De asemenea Tn(yk)=cosn⋅arccos

 kπ

Tn(x) ≤1,x∈[−1;1], rezultă că yk = cos ,k =1,n −1 sunt puncte de

 n 

extrem local pentru Tn(x). Pe de altă parte avem Tn(-1)=(-1)n și Tn(1)=1 , deci Tn(x) are n+1 puncte de extrem local și își schimbă semnul de n ori pe intervalul [-1;1].

2k −1

1.8.4. Teoremă : Fie xk = cos π, k = 0,n , zerourile polinomului 2n

Cebâșev Tn+1(x) . Atunci oricare ar fi (n +1) puncte intermediare zi , zi = 0,n din intervalul [-1 ; 1] avem :

sup (x − x0 )(x − x1)….(x − xn )≤ sup (z − z1)(z − z2 )…….(z − zn )

x∈[−1;1]x∈[−1;1]

Demonstrație:

Deoarece Tn+1(x) = 2n(x−x0)(x−x1)….(x−xn) rezultă că trebuie să

1

arătăm că sup 2n Tn+1 (x)≤ x∈sup[−1;1] (z − z )(z − z2 )…….( z − zn)

x∈[−1;1]

Presupunem prin absurd că există z0;z1;z2;………..;zn ∈[−1;1] astfel încât

1 1

x∈sup[−1;1] (x − z0 )(x − z2 )…….(x − zn) < x∈sup[−1;1] 2n Tn+1(x) = 2n ( * )

Notăm cu qn+1(x) = (x − z0)(x − z2)…….(x − zn) și

rn(x) = . Evident rn este un polinom de grad cel

mult n . Observăm că rn are același semn cu Tn+1 în cele n+2 puncte de extrem ale polinomului Tn+1 . Într-adevăr fie yk un asemenea punct. Presupunem că

Tn+1(yk)=1. Dacă rn(yk) ≤ 0, atunci qn+1(contradicție cu

*)

Dacă Tn+1(yk)=- 1 și presupunem Dacă rn(yk) > 0 , atunci – qn+1(yk) =

1 1

n + rn (yk ) > 2n (contradicție cu * ). Așadar rn își schimbă semnul de n+2 2

ori , deci rn are n+1 rădăcini . Acest lucru este posibil doar dacă rn(x) = 0 , atunci rezultă că (contradicție cu *)

Deci presupunerea făcută este falsă , deci nu există

z0;z1;z2;………..;zn ∈[−1;1]

1

astfel încât sup (x − z0)(x − z2)…….(x − zn) < sup 2n Tn+1(x)

x∈[−1;1]x∈[−1;1]

(n+1)

1.8.5. Propoziție : Fie (n+1) noduri xi în [−1,1] și f∈C [−1,1]. Dacă Pn este

polinomul lui Lagrange care interpolează funcția f în nodurile xi, i = 0,n, atunci eroarea Rn(x)= f(x) – Pn(x) este minimă dacă nodurile

2i −1

xi = cos π,i = 0,n

2n

Demonstrație : |Rn(x)| =| f(x) – P (x) | = | f |

, deci f − Pn ∞ = sup f (x) − Pn (x) ≤ ⋅ sup (x − x0 )(x − x1)……(x − xn ) ,

x∈[−1;1](n +1)! x∈[−1;1]

așadar eroarea f − Pn∞ va fi minimă dacă sup (x−x0 )(x−x1)……(x−xn)

x∈[−1;1]

este minimă . Pe de altă parte din teorema 1.8.4 rezultă că acest lucru se

2i −1

întâmplă dacă alegem nodurile xi = cos 2n π,i = 0,n . (adică xi sunt zerourile polinomului lui Cebâșev) .

1.8.6. Observație : Dacă funcția nu este definită pe [-1,1] , ci pe intervalul [a,b] atunci considerăm o transformare liniară și obținem nodurile :

Capitolul II INTERPOLAREA CU AJUTORUL FUNCȚIILOR SPLINE

În observația 1.2.11 am arătat că interpolarea polinomială are dezavantajul că pentru un număr mare de noduri ale diviziunii unui interval , eroarea de interpolare este destul de mare, deci interpolarea polinomială globală pe întreg intervalul de definiție nu este convenabilă . Pentru remedierea acestei situații vom alege polinoame de interpolare de grad mic pe subintervalele [x0,x1], [x1,x2],…,[xn-1,xn] determinate de nodurile x0 , x1, …., xn ale diviziunii .

2.1. FUNCȚII SPLINE – INTRODUCERE

Fie o funcție f :[a, b] → R și ∆ o diviziune a lui [a, b]: a = x1 < x2 < · · ·

< xn-1 < xn = b.

2.1.1 Definiție : Funcția s :[a, b] → R se numește funcție spline de ordinul k dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

expresia funcției s(x) pe fiecare subinterval [xi, xi+1] este un polinom de grad cel mult k ≥ 1;

funcția s(x) este de k-1 ori derivabilă pe [a,b] , deci s(x)∈C(k−1)[a,b]

Cuvântul spline provine din limba engleză și înseamnă un instrument de trasare a unei curbe netede ce trece prin n puncte Pi , 1≤i≤n dintr-un plan .

Termenul de funcție spline a fost utilizat pentru prima dată de matematiceanul român Isaac Jacob Schoenberg (născut la 21 aprilie 1903, Galați—decedat la 21Februarie 1990) pentru a desemna o funcție formată din polinoame pe subintervale adiacente și care se racordau în noduri împreună cu un anumit număr de derivate ale sale.

(mai multe informații despre I.J. Schoenberg se găsesc pe internet la adresa http://en.wikipedia.org/wiki/Isaac_Jacob_Schoenberg)

2.2. FUNCȚII SPLINE DE GRADUL I

Fie intervalul [a, b] și ∆ o diviziune a lui [a, b] : a = x1 < x2 < · · · < xn-1 < xn = b. Fie o funcție f : [a, b] → R , presupunem cunoscute valorile lui f în nodurile xi , f(xi ) = yi .

2.2.1 Definiție : Funcția spline de gradul (ordinul) I atașată funcției f și diviziunii ∆ este funcția determinată de n -1 polinoame de gradul I Si(x) astfel:

S(x) = Si(x) = ai x + bi , pentru x ∈ [xi , xi+1] .

Coeficienții ai și bi se determină punând condițiile:

– funcția spline să treacă prin fiecare punct xi , adică Si(xi) = ai xi + bi =yi – funcția spline este continuă pe [a, b] , adică Si+1(xi) = Si(xi) . Impunând aceste condiții obținem : ai+1 xi + bi+1 = ai xi + bi = yi

ai+1 xi+1 + bi+1 =yi+1

Scăzând cele 2 expresii obținem ai+1 = yi+1 − yi și bi+1 = yi+1 – ai+1xi+1 , ⇒

xi+1 − xi

bi+1 = yi+1 – xi+1 . yi+1 − yi .

xi+1 − xi

Deci expresia funcției spline de ordinul I este :

yi − yi−1 (x − xi ) (1.18)

Si(x) = yi + xi − xi−1

În aplicații , funcția spline de ordinul I se folosește mai puțin deoarece de obicei nu este derivabilă.

2.2.2. Exemplu : Determinați funcția spline de ordinul I atașată funcției f :[0, 2π] → R , f(x) = cosx , pentru diviziunea ∆ = {0,,2π}

Deci f se scrie astfel:

Deoarece avem 5 noduri rezultă că avem 4 intervale și 4 polinoame de ordinul I . Din (1.18) , funcția spline atașată lui f este :

S1(x) = y1 + yx11 −− xy00 (x − x1) = 0+ 0−−10(x −π2) = −2x +1 pentru x∈[0, π ] , π 2

S2(x) = y2 + yx22 − xy11 (x − x2) = −1+ −1−π0(x −π) = −π2x +1 pentru x∈[π, π],

−2

π−

2

y − y 0

S3(x) = y3 + x3 − x22 (x − x3) = 0+ −(−−π1) (x− 32π) = 2πx −3 pentru x∈[π, 32π],

3

S4(x) = y4 + yx44 −− xy33 (x − x4) =1+ 2π1−−03π(x −2π) = 2πx −3 pentru

2

x]

− 2x π

 +1,x∈[0, 2];

 π

S(x) = −π2x +1,x∈[π2 ,π];

Funcția căutată devine : 2x −3,x∈[π, 3π];

π 2

2x −3,x∈[3π,2π].

π 2

În figura următoare este reprezentată funcția spline împreună cu funcția cosinus cu ajutorul programului MAPLE:

2.3. FUNCȚII SPLINE DE GRADUL II

Fie intervalul [a, b] și ∆ o diviziune a lui [a, b] : a = x1 < x2 < · · · < xn-1 < xn = b. Fie o funcție f : [a, b] → R , presupunem cunoscute valorile lui f în nodurile xi , f(xi ) = yi .

2.3.1 Definiție : Funcția spline de gradul II atașată funcției f și diviziunii ∆ este funcția determinată de n -1 polinoame de gradul II Si(x) astfel:

S(x) = Si(x) = ai + bi (x – xi) +ci (x – xi )2 , pentru x ∈ [xi , xi+1] .

Coeficienții ai , bi și ci se determină punând condițiile:

funcția spline să treacă prin fiecare punct xi , adică Si(xi) =yi – funcția spline este continuă pe [a, b] , adică Si+1(xi) = Si(xi) .

funcția spline este netedă pe [a,b] , adică Si’(xi) =Si’+1 (xi)

Deoarece avem 3n coeficienti și 3n – 1 condiții, mai trebuie să introducem o condiție suplimentară . De regulă se alege ca unul din capetele funcției spline să fie un punct de extrem local , adică S’0(x0) = 0.

2.3.2. Exemplu : Determinați funcția spline de ordinul II atașată funcției f :[0, 2π] → R , f(x) = cos(x) , pentru diviziunea ∆ = {0,,2π}

Deci f se scrie astfel:

Funcția spline de gradul II atașată funcției f este :

S0(x) = a0 + b0 (x – 0) +c0 (x – 0 )2 , pentru x ] ;

S1(x) = a1 + b1 (x – ) +c1 (x – )2 , pentru x ],

S2(x) = a2 + b2 (x – π) +c2 (x – π )2 , pentru x ],

S3(x) = a3 + b3 (x – ) +c3 (x – )2 , pentru x ] .

Pentru determinarea coeficienților, punem condițiile :

1) Si(xi) =yi

S0(0)=1 ⇒ a0 =1 ; S1(π)=0 ⇒ a1 =0 ; S2(π)=-1 ⇒ a2 =-1 ; S3( 3π)=0 ⇒ a3 =0;

2 2 π

S3(2π)=1 ⇒ b3 . + c3 . 2 =1 2) funcția este continuă :

π π2

S0(π2 )= S1(π2 ) ⇒ b0 . 2 + c0 .  2  =-1;

π π2

S1(π)= S2(π) ⇒ b1 . 2 + c1 .  2  =-1;

S2( 32π)= S3( 32π) ⇒ b2 . π2 + c2 . π2 2 =1 ;

derivata este continuă:

π S’0(π)= S’1(π) ⇒ b0 .+2 c0 . 2 =b1;

2 2

S’1(π)= S’2(π) ⇒ b1.+2 c1 . =b2;

S’2( 3π)= S’3( 3π) ⇒ b2.+2 c2 . π2 =b3;

2 2

Condiția suplimentară:

S’0(0) = 0 ⇒ b0= 0

Atunci ceilalți coeficienți sunt: c0 = − 42 , b1 = , c1 = 42 , b2=0, c2= 42 , ππ π

b3= , și c3 = − 42 .

π

Atunci funcția spline de gradul II este :

π− 42 2 1,x∈[0,π2]; x +

 4 x2 − 8 x+3,x∈[π,π];

S(x) =π2 π 2

 4 x2 − 8 x+3,x∈[π, 3π];

π2 π 2

− 4 x2 + 16 x−15,x∈[3π,2π].

π2 π 2

În figura următoare este reprezentată funcția spline împreună cu funcția cosinus cu ajutorul programului MAPLE:

2.4. FUNCȚII SPLINE CUBICE ( DE GRADUL III)

Fie intervalul [a, b] și ∆ o diviziune a lui [a, b] : a = x1 < x2 < · · · < xn-1 < xn = b. Fie o funcție f : [a, b] → R , presupunem cunoscute valorile lui f în nodurile xi , f(xi ) = yi .

2.4.1 Definiție : Se numește funcție spline cubică (sau de gradul III) atașată funcției f și diviziunii ∆ , o funcție S : [a,b] → R cu următoarele proprietăți: – restricția lui S la fiecare subinterval [xi-1 , xi] este un polinom de grad cel mult trei;

– funcția spline trece prin fiecare punct al diviziunii , adică Si(xi) =yi ; – funcțiile S , S’, S” sunt continue pe [a,b] .

2.4.2. Teoremă : Dacă f : [a, b] → R și ∆ o diviziune a lui [a, b] : a = x1 < x2

< · · · < xn-1 < xn = b, atunci există o singură funcție spline cubică S : [a,b] → R , care îndeplinește condițiile : a) Si(xi) =yi

funcția spline este continuă pe intervalul [a,b] , adică Si+1(xi) = Si(xi) ;

funcția spline este netedă pe [a,b] , adică Si’(xi) =Si’+1 (xi) ;

a doua derivată a funcției spline este continuă , adică Si”(xi) =Si”+1xi)

Deoarece avem n+1 noduri și deci funcția spline cubică are n polinoame de gradul cel mult 3. Atunci avem 4n necunoscute (coeficienții polinoamelor). Din condițiile a)-d) obținem 4n -2 ecuații cu 4n necunoscute, deci ne mai trebuie 2 condiții. Acestea pot fi : e) S”(a) = S”(b) = 0 . (I)

În acest caz se obține așa numita funcție spline cubică naturală .

Înainte de a demonstra acest rezultat, trebuie să demonstrăm următoarea propoziție de algebră liniară.

2.4.3. Propozitie : Orice matrice pătratică strict diagonal dominantă este nesingulară.

n

Demonstrație. Fie A ∈ Mn(R) cu proprietatea: aij > ∑ aij ( * )

j=1 j≠i

Dacă vom arăta că sistemul Ax=0 admite numai soluția banală, va rezulta că detA ≠ 0.

Presupunem prin absurd că există α ≠ 0 astfel încât A α = 0

Fie αj = α∞ = max{α1 ,α2 ,…..,αn } . Cum α reprezintă soluție pentru sistemul Ax=0 rezultă că : aj1 α1+……..+ ajj αj+……+ ajn αn=0 sau

a jj +∑n a jk ααkj = 0

k=1 k≠ j

∑n αk ∑n

Atunci avem : a jj ≤ a jk ≤ a jk , ceea ce contrazice (*).

k=1 αj k=1 k≠ jk≠ j

Să demonstrăm acum teorema 2.4.2

Fie Mi = S”(xi), i=0,n. Deoarece restricția Si(x) a funcției spline S(x) la intervalul [xi-1, xi] reprezintă un polinom de grad cel mult 3 , atunci derivata sa de ordinul al doilea va fi pe acest interval funcția liniară :

M i (x − xi−1)+ M i−1(xi − x)

Si"(x) = hi , i=1,n , unde hi = xi – xi-1 , i=1,n .

Prin integrare se obține egalitatea :

M (x−x )3 +M (x −x)3

Si (x) = i i−1 6hi i−1 i +Ci x+Di , pentru x ∈[xi-1, xi], i=1,n.

Constantele de integrare Ci și Di se determină din condițiile de interpolare , adică Si(xi) =yi . Deci :

M

Si(xi-1) = 6i−1 hi2 +Ci xi−1 +Di = yi−1 ;

Si(xi) = M6i hi2 + Ci xi + Di = yi , i=1,n.

Si (x) = Mi (x−xi−1)3 +Mi−1(xi −x)3 +

Se obtine astfel expresia : 6hi

 M h 2  x − x  M h 2  x − x

+ yi−1 − i−1 i  i + yi − i i  i−1 , i=1,n. (1.19)

 6  hi  6  hi

Funcția S(x) este o funcție continuă pe intervalul [a, b], ale cărei valori în punctele xi coincid cu yi , i=1,n. Punem conditia ca derivata să fie o funcție continuă pe intervalul [a, b] .

Mi (x−xi−1)2 −Mi−1(xi −x)2 + yi −yi−1 −Mi −Mi−1 h

Si '(x) = i , i=1,n.

2hi hi 6

Pentru ca funcția S’(x) să fie continuă pe [a, b] trebuie ca restricțiile ei la intervalele diviziunii să îndeplinească condițiile : Si’(xi) =Si’+1 (xi) , i=1,n.Atunci avem :

hi M i−1 + hi + hi+1 M i + hi+1 M i+1 = yi+1 − yi − yi − yi−1 , i=1,n −1.

6 3 6 hi+1 hi

La cele n – 1 ecuații se mai adaugă cele 2 condiții : S”(x0) = S”(xn) = 0 sau dacă se cunosc valorile derivatei funcției f se pot adăuga condițiile S’(x0) =

=f’(x0) = y0’ și S’(xn) = =f’(xn) = yn’ (II)

Se obține astfel un sistem de n+1 ecuații cu n+1 necunoscute (Mi) , sistem tridiagonal și strict diagonal dominant. Un asemenea sistem am arătat că are o soluție unică. Înlocuind soluțiile sistemului în (1.19) obținem funcția spline căutată.

2.4.4. Exemplu : Determinați funcția spline cubică atașată funcției f :[0, 2π] → R , f(x) = cos(x) , pentru diviziunea ∆ = {0,,2π}

Deci f se scrie astfel:

Funcția spline de gradul II atașată funcției f este :

S0(x) = a0 + b0 (x – 0) +c0 (x – 0 )2 + d0(x – 0)3 , pentru x ] ;

S1(x) = a1 + b1 (x – ) +c1 (x – )2 + d1(x – )3 , pentru x ], S2(x) = a2 + b2 (x – π) +c2 (x – π )2 + d2(x – π )3 , pentru x ],

S3(x) = a3 + b3 (x – ) +c3 (x – )2 + d3(x – )3 , pentru x ] Pentru determinarea coeficienților, punem condițiile :

funcția trebuie să treacă prin puncte

S0(0)=1 ; S1(π)=0 ; S2(π)=-1 ; S3( 3π)=0 ; S3(2π)=1;

2 2

funcția este continuă

S0(π)= S1(π) ; S1(π)= S2(π) ; S2( 3π)= S3( 3π) ;

2 2 2

derivata este continuă

S’0(π)= S’1(π) ; S’1(π)= S’2(π) ; S’2( 3π)= S’3( 3π) ;

2 2 2

derivata a doua este continuă

S”0(π)= S”1(π) ; S”1(π)= S”2(π) ; S”2( 3π)= S”3( 3π) ;

2 2 2

condiția suplimentară

S”0(0)=0 ; S”0(2π)=0 ; Derivata funcției S(x) este :

S0’(x) = b0 + 2c0 (x – 0 ) + 3d0(x – 0)2 , pentru x ] ;

S1’(x) = b1 + 2c1 (x – ) + 3d1(x – )2 , pentru x ],

S2’(x) = b2 + 2c2 (x – π ) + 3d2(x – π )2 , pentru x ],

S3’(x) = b3 + 2c3 (x – ) + 3d3(x – )2 , pentru x] .

Derivata a doua a funcției S(x) este :

S0”(x) = 2c0 + 6d0(x – 0) , pentru x ] ;

S1”(x) = 2c1 + 6d1(x – ) , pentru x ],

S2”(x) = 2c2 + 6d2(x – π ) , pentru x ],

S3”(x) = 2c3 + 6d3(x – ) , pentru x ] .

Se obține funcția spline cubică naturală :

 12x 8×3 π

1− 7π− 7π3 ,x∈[0, 2];

1 24x 72×2 40×3 π

S(x) = 7 + 7π− 7π2 + 7π3 ,x∈[ 2 ,π];

817 − 2167πx+ 24πx2 2 − 407πx33 ,x∈[π,32π];

 81 108x 2 8×3 3π

48x

− 7 + 7π − 7π2 + 7π3 ,x∈[ 2 ,2π]

În figura următoare este reprezentată funcția spline împreună cu funcția cosinus cu ajutorul programului MAPLE: >

2.5. EVALUAREA ERORII DE INTERPOLARE PRIN FUNCȚII SPLINE

2.5.1. Propoziție : Dacă f ∈C2[a,b] și funcția spline cubică de interpolare

S(x) pentru funcția f(x) și diviziunea ∆ : a = x1 < x2 < · · · < xn-1 < xn = b . Presupunem că funcția spline îndeplinește condiția S’(x0) = f’(x0) și S’(xn) = f’(xn),sau condiția naturală (S”(a) = S”(b) = 0 ) atunci :

b b b

∫[f "(x)]2dx = ∫[S"(x)]2dx + ∫[f "(x) − S"(x)]2dx

a a

Demonstrație :

[f"(x)]2 =[f"(x)−S"(x)+S"(x)]2 =[f"(x)−S"(x)]2 +[S"(x)]2 +

+ 2⋅[f"(x) − S"(x)]⋅S"(x) , de unde deducem :

b b b

∫[f "(x)]2dx = ∫[f "(x)− S"(x)]2dx+ ∫[S"(x)]2dx +∫ 2 ⋅[f "(x) − S"(x)]S"(x)dx

a a a

Întrucât f ∈C2[a,b] , S ∈C2[a,b] și S’”(x) este o constantă pe intervalul [xi-1 , xi], i=1,n. Prin integrare prin părți , ultimul termen al egalității devine:

∫ab [f "(x) − S"(x)]S"(x)dx = ∑i=n1 xx∫i−i1 S"(x)[f "(x) − S"(x)]dx = ∑i=n1 S"(x)[f '(x) − S'(x)]xxii−1 −

n xi

−∑ ∫S"'(x)[f '(x) −S'(x)]dx = M n[f '(xn ) −S'(xn )]−M0[f '(x0 ) −S'(x0 )]

i=1 xi−1

dacă funcția spline îndeplinește una din condițiile (I) sau (II), atunci ultimul termen este nul , deci propoziția este demonstrată.

2.5.2. Consecință : Dacă funcția spline cubică S(x) ce interpolează funcția f(x) și satisface una din condițiile (I) sau (II) , atunci ea este unică.

Demonstrație : Presupunem că ar exista două funcții spline cubice S1(x) și S2(x) cu aceste proprietăți.

Atunci : S(x) = S1(x) – S2(x) este o funcție spline de interpolare fentru funcția identic nulă. Aplicăm propoziția anterioară pentru funcția f ≡ 0 și funcția S(x), obținem:

b

0= ∫[f "(x)]2dx = 2∫[S"(x)]2dx . Cum S”(x) ∈C0(a,b) rezultă S”(x) =0,

a a

deci S(x) =αx+β. Pe de altă parte funcția S(x) interpolează funcția identic nulă pe intervalul [a,b], deci trebuie ca S(a)=S(b)=0, ceea ce implică S(x) = 0 și deci S1(x) = S2(x) pe [a,b] .

2.5.3. Teoremă : Dacă f ∈C0(a,b) și S(x) este funcția spline cubică de interpolare pentru funcția f(x) și diviziunea ∆: a = x1 < x2 < · · · < xn-1 < xn = b.

Dacă funcția spline îndeplinește una din condițiile (I) sau (II) , atunci:

f '(x) − S'(x) ≤ f " 2 h ;

f (x) − S(x) ≤ f " 2 h3 , unde

h = mi∈1a,nx(xi − xi−1) , iar ⋅ 2 este norma naturală din L(a,b)2 , adică

 b 1/ 2 g 2 =∫ g 2 (x)dx .

 a 

Demonstrație : f(xi)=S(xi) , deci f(xi) – S(xi) = 0 i=0,n. Din teorema lui Rolle rezultă că funcția f(xi) – S(xi) admite câte o rădăcină ξi pe fiecare din intervale (xi-1 , xi) , i=1,n. Fie x ∈ [xi-1 , xi ], dacă x > ξi atunci :

x

f’(x) – S’(x) = [ S"(t)]dt

Din inegalitatea lui Schwarz deducem:

 x 1/ 2  x 1/ 2

f '(x) − S'(x) ≤ ∫[f "(x) − S"(x)]2dt ⋅∫12 dt ≤

ξi  ξi 

≤ ∫b [f "(x) − S"(x)]2 dx1/ 2 ⋅x −ξi 1/ 2 ≤ f "−S"

 a 

Din propoziția anterioară ce poate fi scrisă și sub forma :

f " 22 = S" 22 + f "−S" 22 ⇒ f "−S" 22 ≤ f " 22 , deci

f '(x) − S'(x) ≤ f " 2 ⋅ h .

Pentru a demonstra relația b) plecăm de la inegalitatea :

x

f(x) – S(x) = ∫[f '(t) − S'(t)]dt , deoarece f '(t) − S'(t) ≤ f " 2 ⋅ h

xi−1

x

rezultă că f (x) − S(x) ≤ f" 2 ⋅ h ⋅ ∫dt ≤ f" 2 ⋅h3/2

xi−1

2.6. UTILIZAREA PROGRAMELOR MATLAB ȘI MAPLE PENTRU INTERPOLARE PRIN FUNCȚII SPLINE

2.6.1. Funcții spline în MAPLE

Pentru determinarea funcției spline atașată unei funcții programul MAPLE dispune de o funcție predefinită spline .

Funcția determină funcția spline de gradul unu, doi, trei sau patru.

Sintaxa: spline (x,y,var,d)

Argumente : x – listă/vector cu punctele diviziunii; y – listă/vector cu valorile funcției în punctele diviziunii; var – numele variabilei din funcția spline d – (opț) număr întreg sau nume predefinit.

În lista/vectorul x elementele sunt distincte, în ordine crescătoare. Argumentul d specifică gradul polinoamelor ce definesc funcția spline. El poate fi un număr întreg pozitiv (valoarea implicită este 3) sau un cuvânt cheie : linear, quadratic, cubic, quartic.

Utilizarea funcției trebuie precedată de comanda readlib(spline).

Exemple:

2.6.2. Funcții spline în MATLAB

Matlab utilizarea funcției spline pentru a găsi curba spline asociată unei funcții f. De exemplu pentru cazul funcția f(x) = sin(x)

>> x = 0:10; y = sin(x); xx = 0:.25:10; yy = spline(x,y,xx); plot(x,y,'o',xx,yy)

Capitolul III APLICAȚII ALE INTERPOLĂRII FUNCȚIILOR

3.1. UTILIZAREA INTERPOLĂRII LA DERIVAREA NUMERICĂ

3.1.1. Derivarea numerică cu ajutorul polinoamelor Newton cu diferențe finite

În cazuri practice, când se cere determinarea derivatei, iar funcția este dată în forma unui tabel, utilizarea metodelor analitice de calculul diferențial devine imposibilă și atunci se face apel la aproximare numerică a derivatei căutate – derivarea numerică.

Metoda I:

În clasa a XI –a se studiază derivata unei funcții într-un punct. Una din definițiile derivatei unei funcții într-un punct este :

f (x0 + h) − f (x0)

f’(x0) = limh→0 h și astfel obținem aproximarea derivatei :

f (x0 + h) − f (x0) ∆f (x0)

f (x0) ≈ = aproximarea este cu atât mai bună h h

cu cât h este ales mai mic. Metoda II:

Fie că funcția f(x) este determinată în intervalul [a, b] și este reprezentată tabular prin n+1 puncte. Se cere stabilirea relației analitice pentru derivata acestei funcții. Ca funcția de aproximare se alege un polinom de interpolare.

Dacă nodurile diviziunii, care descriu numeric funcția dată f(x), sunt echidistante, adică xi+1 – xi = h (unde i = 0, 1, 2, … n), atunci pentru stabilirea relației analitice pentru derivata acestei funcții să aproximăm funcția de origine f(x) cu polinomul Newton cu diferențe finite(1.15) .Atunci funcția

f .

α(α−1)(α− 2) (….α−n+1) n f (x0 )

………+ ∆

n!

x − x0 unde: α= ; h= xi+1 – xi h

Desfacem parantezele și obținem: f

(1.20)

df (x) dα dP(x) 1 dP(x)

Întrucât f(x) ≈ P(x) = P(x0 +α⋅h), atunci : ≈ ⋅ = ⋅

dx dx dα h dα

Atunci derivând relația (1.20) obținem :

f ' ( x )

Pentru x = x0 , ce corespunde lui α = 0 se obține:

Pentru derivata a II-a procedăm astfel: (1.21)

d2 f (x)  dα2 d2P(x) 1 d2P(x)

≈   ⋅ = ⋅

d 2x  dx  dα2 h2 dα2 ;

1 

Deci f”(x) ∆2 f (x0)+(α−1)∆3 f (x0)+ 6α2 −18α+11∆4 f (x0)+……

h  12 

Pentru x = x0 , ce corespunde lui α = 0 se obține: .

(1.22)

(1.23)

Analog se pot obține aproximări pentru derivatele de ordin mai mare.

3.1.2: Exemplu: Folosind formulele de derivare (1.21-1.23) cu diferente finite, să se determine derivatele de ordinul I , II pentru funcția

1 f (x) = x2 +1 și nodurile x0= 0 ; x1= 0,2 ; x2= 0,4 ; x3= 0,6; x4= 0,8 ; x4= 1

Pentru a putea compara rezultatele, construim două tabele, unul cu derivata și derivata a doua a funcției f(x) și cel de-al doilea tabel cu aproximările derivatei conform formulelor (1.21) – (1.23).

1 − 2x

f (x) = 2 1 ; f '(x) = (x2 +1)2 ; f "(x)= ; x + f (3) (x)=

Atunci :f’(0)≈

1  1 1 1 1 

0,2 (−0.038461)− 2 ⋅(−0.0610079)+ 3⋅(0,0337026)− 4(−0.00516)+ 5(−0.0088)

=0.013997 f ”(0)≈ (0,12)2 − 0.0610079 − (0,0337026) + 1211 ⋅(−0.00516) − 65 ⋅(−0.0088) = -2.06541 Derivarea cu ajutorul polinoamelor Lagrange :

Metoda constă în înlocuirea funcției cu polinomul Lagrange corespunzător și derivarea acestuia.

3.1.3 Exemplu : Folosind polinomul de interpolare Lagrange, să se

1

determine derivatele de ordinul I , II pentru funcția f (x) = x2 +1 și nodurile

x0= 0 ; x1= 0,2 ; x2= 0,4 ; x3= 0,6; x4= 0,8 ; x4= 1 Polinomul de interpolare Lagrange atașat funcției f este :

P(x)=

Atunci P’(x) = -1.1718×4 + 1.3437×3 + 1.5999×2 – 2.2968 x +0.0135 P’(0) = 0.0135 ; P’(1) = -0.5115, analog pentru celelalte valori.

Pentru derivata a II-a se derivează polinomul P’ . Deci P”(x) = -4.6872×3 +4.0311×2 +3.1998x – 3.2968 .

P”(0)=-3.2968 ; P”(1) = 2.24.

Observăm că dacă creștem ordinul derivatei , eroarea derivatei numerice este mare.

Este recomandat evitarea derivării numerice , deoarece chiar dacă aproximanta este bună, nu rezultă că derivata aproximantei este o derivată bună.

3.1.4 Exemplu : Fie functia f (x) = g(x) + 1 sin n2(x − a) , unde g(x)∈C1[a,b] n

Se observă d(f ;g) →0 dacă n→∞ , dar d(f’ ;g’)=n .

3.2. UTILIZAREA INTERPOLĂRII LA INTEGRAREA NUMERICĂ

În cazul când integrantul (funcția de sub semnul integralei) nu este o simplă funcție, integrarea prin metode analitice este deseori dificilă sau chiar imposibilă. Alteori nici nu se cunoaște expresia analitică a funcției, ci numai o serie de valori ale ei f(xi), pentru o diviziune xi ,unde i=0,2,…,n, a unui interval [a,b]

În astfel de cazuri se caută o funcție g(x) care constituie o bună aproximare pentru f(x) și care poate fi ușor integrată:

b b

∫ f (x)dx ≈∫ g(x)dx

a a

Se utilizează în general următorul algoritm în cadrul metodelor numerice de integrare:

Se împarte intervalul [a, b] în n subintervale cu ajutorul celor n+1 puncte ale diviziunii;

Se aproximează funcția f(x) cu un polinom g(x) , unde g(x) =

n

∑ak gk (x) , unde gk(x) sunt polinoame;

k=1

Se integrează funcția f(x) , obținându-se:

b b b

∫ f (x)dx =∫ g(x)dx +∫r(x)dx

a a

b

4. Se aproximează integrala ∫ f (x)dx cu ∫ g(x)dx prin minimalizarea

a a

b

restului r = ∫r(x)dx .

a

Formulele de integrare numerică se numesc cuadraturi.

3.2.1. Cuadratura Newton – Cotes

Formula de integrare Newton Cotes utilizează pentru aproximarea funcției f(x), polinoamele de interpolare Lagrange. Cele n+1 puncte ale

diviziuni xi sunt echidistante(situate la distanța h) xi = a + i⋅h,i = 0,n ,

b − a h = . n

Polinomul de interpolare Lagrange corespunzător funcției f și diviziunii

n

xi = a +i⋅h,i = 0,n este : Pn (x) = ∑ f (xi )⋅li (x) , unde li(x) =

i=0

n (x − x j )

∏(xi − x j ) , (polinoamele Lagrange fundamentale).

j j

b n

Prin urmare avem : ∫ f (x)dx = ∑ Ai f (xi ) (formula Newton Cotes închisă),

a i=0

b

unde Ai = ∫li (x)dx , i=0,n .

a

Cazuri Particulare:

Cazul I Fie funcția f:[a,b]→R și diviziunea ∆ ce are doar două puncte echidistante : x0 și x1 (x1 = x0+h)

Atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzator funcției f și diviziunii ∆ este:

x − x1 f (x0) + x − x0 ⋅ f (x1) = x − x0 − h ⋅ f (x0) + x − x0 ⋅ f (x1)=

P2(x) = x0 − x1 ⋅ x1 − x0 − h h

)+

= hx[f (x1)− f (x0)]+f (x0 xh0 f (x0)− xh0 f (x1)

Din 1.2.7 Eroarea de interpolare este : R2(x) = f

x1 x1 x1

Atunci : ∫ f (x)dx = ∫ P2(x)dx + ∫ R2(x)dx=

x0 x0 x0

x0+h

x  x0 f (x )− x0 f (x )

]+f (x )+

= x∫0 h[f (x1)− f (x0)  0 h 0 h 1 dx+

+ x0∫+h f (2)(ξx)⋅(x−x0)(x−x1)

x0 2!

Atunci

x0x∫+0hhx[f(x1)− f(x0)]+f(x0)+ xh0 f(x0)− xh0 f(x1)dx = 1h[f (x1) − f (x0 )]⋅ x22 xx00 + h+



x0 + h x0 f (x0 )⋅ xx0 + h − x0 ⋅ f (x1)⋅ xx0 + h=

= f (x0 )⋅ xx0 + h ⋅x0 hx0

=

h

= [f (x1) + f (x0 )]

2

Deoarece putem spune că x0 = a și x1 =b , atunci :

(formula trapezului)

Evaluarea restului formulei trapezului

∫b (2)2!(ξx)⋅(x−a)(x−b)= f"(2ξx)∫ba(x−a)(x−b)= f"(2ξx)∫ab(x2 −ax−bx+ab)dx= f a

f"(ξx) a3 −b3 + 3ab2 −3a2b f"(ξx)⋅(b − a)3 f"(ξx)⋅h3

⋅ = − = −

2 6 12 12

Dacă notăm cu M2 = sup{f”(x); x∈[a,b]}, atunci putem scrie:

Cazul II Fie funcția f:[a,b]→R și diviziunea ∆ ce are trei puncte

echidistante : x0 , x1 și x2 (x1 = x0+h, x2 = x0+2h) sau (a , a + b , b)

2

Atunci polinomul de interpolare Lagrange corespunzator funcției f și diviziunii ∆ este:

P

x2 − x(x1 + x2)+ x1x2 x2 − x(x0 + x2)+ x0x2 x2 − x(x0 + x1)+ x1x2

= ⋅ f (x0)+ ⋅ f (x1)+ ⋅ f (x2) h(2h) h(−h) 2h(h)

Integrând polinomul P3(x) obținem :

b

∫P3(x)dx = h3 ⋅[f (x0) + 4⋅ f (x1) + f (x2)], deci

a

(formula lui Simpson)

Evaluarea restului formulei lui Simpson Analog ca la formula trapezului, obținem

Unde M=sup{f(4)(x), unde x∈[a,b]}

3.2.2. Exercițiu : Folosind formula trapezului, apoi formula lui Simpson, să se calculeze valoarea aproximativă a integralei ∫13 dxx , de unde să se deducă

valoarea aproximativă a lui ln3.

Rezolvare

Cu ajutorul formulei lui Leibnitz-Newton , deducem

3 dx3

∫ x = ln x1 = ln3− ln1= ln3

1

Din formula trapezului deducem că

Din formula lui Simpson obținem :

Se știe că ln3= 1.0986122…….. , deci metoda lui Simpson aproximează mai bine rezultatul.

3.2.3. Exercițiu : Să se calculeze valoarea aproximativă a integralei 1 dx

folosind metoda trapezului, respectiv metoda lui Simpson.

Rezolvare:

Din formula trapezului deducem că

Din formula lui Simpson deducem că

∫01 1+dxx2 ≈ 16[f (0) + 4 f (0,5) + f (1)]= 16 11 + 3.2 + 0.5 = 0,7833333

1 dx

Cu ajutorul formulei lui Leibnitz-Newton , deducem

Capitolul IV CONSIDERAȚII METODICE ȘI METODOLOGICE

4.1. ASPECTE GENERALE

Procesul de învățământ este principalul subsistem al sistemului de învățământ, în cadrul căruia se realizează instruirea și învățarea elevilor și studenților prin intermediul activităților proiectate, organizate și dirijate de către profesori în conformitate cu anumite norme și principii didactice, într-un context metodic adecvat, apelând la resurse materiale și didactice adecvate, în vederea atingerii dezideratelor educației.

Schematic relația funcțională dintre sistemul de educație, sistemul de învățământ, procesul de învățământ se reprezintă astfel:

Sistemul de educație cuprinde și educația permanentă, instituții/organizații economice, politice, culturale; educație de tip formal, nonformal, informal; Sistemul de invățamânt cuprinde și instituții de educație nonformală (cluburi, tabere, centre de pregătire profesională);

Sistemul școlar cuprinde învățământul primar, secundar, postliceal, superior și special; educație formală;

Procesul de învățământ cuprinde activitățile didactice/educative;

Procesul de învățământ funcționează ca o unitate, prin îmbinarea firească și necesară a trei funcții și componente fundamentale: predarea, învățarea și evaluarea.

A preda nu înseamnă ca profesorul să transmită informații, iar elevii să le reproducă. A preda înseamnă a organiza și dirija experiențele de învățare școlară (Chiș 2001). Mai putem spune că predarea este activitatea profesorului de organizare și conducere a ofertelor de învățare, care au drept scop facilitarea și stimularea învățării eficiente la elevi.

În procesul de predare-învățare, profesorul combină diferite mijloace de comunicare (verbale, nonverbale și paraverbale, grafice, scheme realizate pe tablă sau slide-uri puse la retroproiector etc).

Doi cercetători americani (A. Mehrabian și M. Weiner, Decoding of inconsistent communication) au constatat, pe la mijlocul anilor '70, că,în comunicarea orală impactul cel mai mare îl dețin nu cuvintele, ci elementele asociate vizual sau sonor cu anumite mesaje orale. Astfel:

mijloacele vizuale (cuprind atât elemente nonverbale ale comunicării – mimică, gesturi, privire, poziție -, cât și modalitățile de reprezentare vizuală a celor prezentate – scheme, grafice, folii, slideuri etc.) au un impact de 55% asupra ascultătorilor;

mijloacele vocale (ritmul vorbirii, volum, intonația și inflexiunile vocii) au un impact de 38%;

mijloacele verbale (cuvintele rostite) – au un impact de doar 7%. Chiar dacă aceste procente reflectă doar o medie a felului în care oamenii percep mesajele orale, este important pentru un profesor să folosească mijloace vizuale și vocale care să susțină și să întărescă, în folosul elevilor, cele comunicate.

Mijloacele de comunicare vizuală ce stau la îndemâna profesorului sunt: tabla neagră tradițională și, mai modern, cea albă, planșele din hârtie sau carton, videoproiectorul etc. Avantajele folosirii acestor mijloace este că permit o mai bună punere în evidență a mesajului:

mesajul este vizualizat mai simplu;

informația este expusă permanent;

conturează mesajul verbal, acceantuând punctele importante ale temei discutate.

Subsumate vizualului, mijloacele nonverbale ale comunicării au un impact deosebit în relațiile ce se creează între colocutori. Între acestea contactul vizual cu auditoriul (în cazul unei prelegeri) sau cu partenerul de comunicare (în cazul dialogului) are un rol deosebit. E important să privești spre cel/cei căruia/cărora te adresezi, nu să eviți contactul vizual cu aceștia, plecând ochii în pământ sau ținându-ți privirea spre un punct oarecare. De asemenea, gestica și mimica trebuie controlate, pentru a nu induce auditoriului anumite stări emoționale pe care le încearcă vorbitorul (un profesor care frământă un creion, o carte toată ora distrage fără să vrea atenția elevilor asupra stării sale proprii de iritare, emoție, neliniște, nesiguranță etc; de asemenea, un profesor care nu-și poate controla reacțiile mimice față de răspunsurile greșite ale elevilor poate crea inhibiții; de asemenea, ticurile de expresie pot genera distragerea atenției de la temă și chiar enervarea și amuzamentul elevilor).

Între elementele vocale/paraverbale, sunt importante ritmul /viteza vorbirii (un ritm prea rapid poate crea dificultăți în receptarea mesajului, de asemenea un ritm prea lent poate fenera plictiseală și neatenție; aproximativ 125 de cuvinte pe minut este ritmul eficient); acceantuarea trebuie să vizeze punctarea cuvintelor importante ale comunicării (accentuarea poate schimba uneori sensul comunicării); tonalitatea nu trebuie să fie ridicată, ci medie (uneori pentru a înțelege zumzetul clasei, se folosește chiar tonalitatea șoptită, care impune atenția clasei).

Întrebările – deschiderea dialogului cu elevii

Gânditorul chinez Confucius (551-479 î.C.), preocupat de educație, formula câteva precepte care ar putea constitui o concluzie la cele prezentate mai sus și o introducere pentru rolul pe care-l are dialogul în învătare:

Spune-le și vor uita!

Arată-le și își vor aminti!

Pune-i să facă și vor înțelege!

,,Pune-i să facă” se referă desigur la implicarea elevilor în propria învățare. Pentru a-i determina pe elevi să gândească, să rezolve probleme, să găsescă soluții, profesorul trebuie să găsescă strategii de a-i implica pe elevi în învățare și de a gestiona în mod adecvat astfel de situații didactice.

4.2. METODE DE PREDARE – ÎNVĂȚARE

Metodele de învățare sunt scheme de acțiune identificate de teoriile învățării; ele sunt aplicate conținuturilor disciplinei studiate și reprezintă acțiuni interiorizate de elev.

Există mai multe modalități de clasificare a metodelor, dintre acestea prezentăm metodele traditionale, clasice și cele moderne.

La metodele tradiționale centrul acțiunii este pus pe profesor: centrate pe activitate(exercițiul, instruirea programată, algoritmizarea) sau centrate pe conținutul învățării(prelegerea, explicația , povestirea).

La metodele moderne, centrul acțiunii este pus pe elev: centrate pe activitate(lucrări practice, învățare prin descoperire, învățare prin experiment, jocuri didactice, simulare) sau centrate pe conținutul învățării(dezbatere, conversație, dialog).

Noile programe analitice încurajează utilizarea metodelor moderne, dar nu trebuie lăsate deoparte nici metodele tradiționale. Este recomandat îmbinarea celor două metode.

În cele ce urmează vom detalia câteva metode didactice pe care le consider de o importanță deosebită în procesul educațional, datorită faptului că elevii le îndrăgesc și înțeleg mai bine noțiunile predate astfel.

4.2.1. Instruirea asistată de calculator (IAC) reprezinta o metodă didactică ce folosește, ca principal material didactic, calculatorul și soft-ul educațional.

În ultima perioadă toate școlile au fost dotate cu laboratoare informatice, dotate cu platforma AeL (Advance eLearning).

AeL este un pachet de programe educaționale creat de firma SIVECO și oferă suport pentru predare și învățare, testare și evaluare, administrarea conținutului și monitorizarea întregului proces educațional. AeL este o soluție modernă de eLearning oferind facilități de gestionare și prezentare de diferite tipuri de conținut educațional precum și materiale interactive tip multimedia. Aproape fiecare disciplină are pachete de lecții în biblioteca virtuală. Periodic acestea sunt actualizate, îmbunătățite de către SIVECO, iar în absența lor, ele pot fi create de către profesorii care au un minim de cunoștințe în domeniul html sau Office.

,,Vrem să îi oferim profesorului o unealtă în plus pentru a o utiliza alături de tablă și o bucata de cretă.’’ – Ștefan Morcov, AeL product Manager. Lecțiile în AeL se desfășoară astfel:

Elevii și profesorul deschid calculatoarele și intră în programul AeL cu user-ul și parola pe care au primit-o anterior;

Din meniul: Clasa Virtuală, profesorul alege lecția creată anterior pe care dorește să o predea, după care transmite momentele lecției;

Elevii accesează meniul Clasă Virtuală și vor primi momentele lecției.

Momentele lecției pot fi materiale interactive, documente word, slide-uri powerpoint, filmulețe educative, teste etc.

Avantajul acestei metode, constă în faptul că elevii nu pot trece la un nou moment până ce nu au rezolvat corect cerințele momentului respectiv, iar la rezolvarea unui test primesc rezultatul pe loc.

Dezavantajul constă că elevii nu rămân cu multe notițe și de aceea este recomandat a se utiliza această metodă pentru fixarea cunoștiințelor .

De asemenea, calculatorul poate fi folosit concomitent cu videoproiectorul. Astfel se poate crea lecția în powerpoint și apoi se prezintă elevilor. Ei pot primi fișe cu momente din lecția respectivă, economisindu-se timp important. Astfel noțiunile și figurile sunt mult mai clare decât pe tablă și elevii sunt mult mai atenți.

Pentru geometria în spatiu exită un program Cabri 3D, creat de compania franceză Cabriolog. Cu ajutorul acestui program se pot construi toate corpurile geometrice, se pot manipula aceste corpuri, se pot secționa, se pot duce segmente, drepte, vectori în spațiu . Se pot explica ușor elevilor de gimnaziu noțiuni dificile de geometrie, cum ar fi: perpendicularitate în spațiu, perpendicularitate pe un plan, unghi diedru. Dezavantajul acestui program este acela că este destul de scump, dar poate fi încercat 30 de zile.

Despre programele Matlab și Maple am mai amintit în această lucrare. Ele sunt folosite mai mult în matematicile superioare, dar mai pot fi utilizate și în rezolvarea unor exerciții și probleme de liceu. Se pot folosi pentru trasarea graficelor unor funcții, pentru calcul matricial, pentru rezolvarea unor ecuații și sisteme de ecuații etc.

Internetul este o sursă foarte importantă de informații pentru elevi și profesori. Informatizarea școlilor și conectarea acestora la internetul de viteză este un vis realizat într-o procent destul de mare. Chiar și școlile din mediul rural au laboratoare cu calculatoare legate la internet.

De pe internet cadrele didactice pot să se informeze și să se documenteze. Pot comunica cu colegi din alte școli, din alte țări pe teme de interes comun. Pot descărca materiale interesante, pe care le pot utiliza ulterior la clasă. Pot de asemenea să pună la dispoziția altora diferite materiale proprii. Totuși există și câteva dezavantaje: informațiile de pe internet sunt neverificate, de multe ori neprofesioniste, elevii au uneori tendința să descarce materialele(referate) și să le predea profesorului ca și cum ar fi creația lor (uneori chiar fără a le fi citit), dar un profesor bun poate rezolva toate aceste probleme cu destulă ușurință.

În concluzie calculatorul este un mijloc foarte util, de noi depinde cât de eficient îl folosim. 4.2.2.Interdisciplinaritate

În mod tradițional, conținutul disciplinelor școlare a fost conceput cu o accentuată independență a unor discipline față de altele, adică fiecare disciplină de învățământ să fie de sine stătătoare. Astfel, cunoștințele pe care elevii le acumulează, reprezintă cel mai adesea un ansamblu de elemente izolate, ducând la o cunoaștere statică a lumii. În unele cazuri la unele materii sunt necesare noțiuni teoretice de la alte materii , iar aceste noțiuni teoretice sunt predate mai târziu . În alte cazuri aceleași noțiuni teoretice sunt predate la materii diferite, pierzând astfel timp prețios.

Conținutul unui învățământ interdisciplinar poate fi promovat la nivelul planului de învățământ, la nivelul programelor școlare (prin urmărirea legăturilor între obiecte și prin formularea unor obiective instructiv-educative comune), la nivelul manualelor școlare și prin conținutul lecțiilor. Din păcate manualele școlare nu reflectă caracterul interdisciplinar al învățământului. Se impune o corelare mai bună a programelor disciplinelor tehnice cu programa de matematică.

De cele mai multe ori, matematica devansează teoretic celelalte științe, deschizând drumuri, construind modele. Matematica oferă support teoretic pentru multe discipline : fizică, chimie, biologie . O ecuație matematica poate fi o lege in chimie sau fizica. Proporțiile, funcțiile trigonometrice, ca si alte abstractizări ale matematicii se întâlnesc în fizică și chimie la orice pas pentru descifrarea tainelor naturii.

“Interdisciplinaritatea este o forma a cooperarii intre discipline diferite cu privire la o problematica a carei complexitate nu poate fi surprinsa decat printr-o convergenta si o combinare prudenta a mai multor puncte de vedere.” (C.Cucos,1996)

Pentru a utiliza această metodă , profesorul trebuie să cunoască bine și altă disciplină decât cea pe care o predă, să cunoască programele școlare corespunzătoare disciplinelor respective și să găsească aplicații interesante ce utilizează noțiuni de la mai multe materii.

Multe noțiuni matematice pot fi mai bine înțelese dacă sunt integrate în alte ștințe. De exemplu matematica și fizica pot fi predate foarte bine interdisciplinar. Legătura dintre cele două materii este foarte veche, totuși pentru elevi există unele probleme în înțelegerea acestor discipline :

mulți elevi, unii destul de buni la matematică, nu le place totuși fizica și, pe care, dacă o învață o fac dintr-o obligație ;

alți elevi nu înțeleg la ce le folosesc multe noțiuni teoretice din matematică ;

Este foarte important să știm să punem cunoștințele de fizică în strânsă legătură cu matematica, în viata de zi cu zi, să privim evoluția acestora prin prisma aplicațiilor lor și a vieții oamenilor.

Exemplu de interdisciplinaritate :

Stabilirea modelului matematic (funcției empirice) al procesului de fierberea apei , utilzând aproximarea cu polinoame Lagrange:

Considerăm tabelul următor:

Datele se pot obține cu ajutorul site-ului http://www.csgnetwork.com/h2odenscalc.html ce calculează densitatea apei în funcție de temperatură

Determinăm polinomul Lagrange atașat nodurilor : x0 = 30 ; x1 = 60; x2=90; x3 =120 și funcției f(x) definită tabelar astfel:

f(x0) = 995,678 ; f(x1) = 983,211; f(x2) = 965,163; f(x3) = 942,514

Cu ajutorul programului Maple aflăm polinomul de interpolare Lagrange P(x) astfel:

P(x) =0.000006049382716 x3– 0,004189444444 x2 – 0,0766277778 x +

+1001.584

Pentru a aprecia valabilitatea modelului matematic se determină valoarea calculată a densității ρ* pentru temperatura T=1000 C și se compară cu valoarea originală , astfel :

P(100) = 958,0761, iar eroarea este : ε=ρ* −ρ = 958,0761− 958,097 = 0,0209

Modelul matematic al densității în funcție de temperatură va fi :

ρ= 0.000006049382716 T3– 0,004189444444 T2 – 0,0766277778 T +

+1001.584

4.2.3.Metode interactive de grup

,,Învățarea în grup exersează capacitatea de decizie și de inițiativă, dă o notă mai personală muncii, dar și o complementaritate mai mare aptitudinilor și talentelor, ceea ce asigură o participare mai vie, mai activă, susținută de foarte multe elemente de emulație, de stimulare reciprocă, de cooperare fructuoasă.” (Ioan Cerghit)

Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățele lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente. Acest tip de interactivitate determină ,,identificarea subiectului cu situația de învățare în care aceste este antrenat”, ceea ce duce la trans-formarea elevului în stăpânul propriei transformări și formări.

Interactivitatea presupune atât competiția – definită drept ,,forma motivațională a afirmării de sine, incluzând activitatea de avansare proprie, în care individul rivalizează cu ceilalți pentru dobândirea unei situații sociale sau a superiorității” – cât și cooperarea care este o ,,activitate orientată social, în cadrul căreia individul colaborează cu ceilalți pentru atingerea unui țel comun”(Ausubel, 1981). Ele nu sunt antitetice; ambele implică un anumit grad de interacțiune, în opoziție cu comportamentul individual.

Avantajele interactiunii:

în condițiile îndeplinirii unor sarcini simple, activitatea de grup este stimulativă, generând un comportament contagios și o strădanie competitivă; în rezolvarea sarcinilor complexe, rezolvarea unei probleme, obținerea soluției corecte e facilitată de emiterea de ipoteze multiple și variate; (D. Ausubel, 1981)

stimulează efortul și productivitatea individului;

este importantă pentru autodescoperirea propriilor capacități și limite, pentru autoevaluare;

există o dinamică intergrupală cu influențe favorabile în planul personalității;

subiecții care lucrează în echipă sunt capabili să aplice și să sintetizeze cunoștințele în moduri variate și complexe, învățând în același timp mai temeinic decât în cazul lucrului individual;

dezvoltă capacitățile elevilor de a lucra împreună – componentă importantă pentru viață și pentru activitatea lor profesională viitoare.(Johnson și Johnson,1983);

dezvoltă inteligențele multiple, capacități specifice inteligenței lingvistice (ce implică sensibilitatea de a vorbi și de a scrie; include abilitatea de a folosi efectiv limba pentru a se exprima retoric, poetic și pentru a-și aminti informațiile), inteligenței logicematematice (ce constă în capacitatea de a analiza logic problemele, de a realiza operații matematice și de a investiga științific sarcinile, de a face deducții), inteligența spațială (care se referă la capacitatea, potențialul de a recunoaște și a folosi patternurile spațiului; capacitatea de a crea reprezentări nu doar vizuale), inteligența interpersonală (capacitatea de a înțelege intențiile, motivațiile, dorințele celorlalți, creând oportunități în munca colectivă), inteligența intrapersonală (capacitatea de autoînțelegere, autoapreciere corectă a propriilor sentimente, motivații, temeri), inteligența naturalistă (care face omul capabil să recunoască, să clasifice și să se inspire din mediul înconjurător), inteligența morală (preocupată de reguli,comportament, atitudini) –

Gardner H. – 1993;

stimulează și dezvoltă capacități cognitive complexe (gândirea divergentă, gândirea critică, gândirea laterală – capacitatea de a privi și a cerceta lucrurile în alt mod, de a relaxa controlul gândirii);

munca în grup permite împărțirea sarcinilor și responsabilităților în părți mult mai ușor de realizat;

timpul de soluționare a problemelor este de cele mai multe ori mai scurt în cazul lucrului în grup decât atunci când se încearcă găsirea rezolvărilor pe cont propriu;

cu o dirijare adecvată, învățarea prin cooperare dezvoltă și diversifică

priceperile, capacitățile și deprinderile sociale ale elevilor;

interrelațiile dintre membrii grupului, emulația, sporește interesul pentru o temă sau o sarcină dată, motivând elevii pentru învățare;

lucrul în echipă oferă elevilor posibilitatea de a-și împărtăși părerile, experiența, ideile, strategiile personale de lucru, informațiile;

se reduce la minim fenomenul blocajului emoțional al creativității;

grupul dă un sentiment de încredere, de siguranță, antrenare reciprocă a membrilor ce duce la dispariția fricii de eșec și curajul de a-și asuma riscul;

interacțiunea colectivă are ca efect și “educarea stăpânirii de sine și a unui comportament tolerant față de opiniile celorlalți, înfrângerea subiecti-vismului și acceptarea gândirii colective” (Crenguța L. Oprea, 2000, p. 47)

Clasificarea metodelor și tehnicilor interactive de grup:

După funcția didactică principală putem clasifica metodele și tehnicile interactive de grup astfel:

1.Metode de predare-învățare interactivă în grup:

Metoda predării/învățării reciproce (Reciprocal teaching – Palinscar); – Metoda Jigsaw (Mozaicul);

STAD ([anonimizat] Division) – Metoda învățării pe grupe mici;

Știu / vreau să știu / am învățat;

Metoda schimbării perechii (Share-Pair Circles);

Metoda piramidei;

Învățarea dramatizată;

2.Metode de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare interactivă în grup:

Harta cognitivă sau harta conceptuală (Cognitive map, Conceptual map);

Matricele;

Lanțurile cognitive;

Fishbone maps (scheletul de pește);

Diagrama cauzelor și a efectului;

Pânza de păianjăn ( Spider map – Webs);

Tehnica florii de nufăr (Lotus Blossom Technique);

Metoda R.A.I. ;

Cartonașele luminoase;

3.Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativității:

Brainstorming;

Starbursting (Explozia stelară);

Metoda Pălăriilor gânditoare (Thinking hats – Edward de Bono);

Caruselul;

Multi-voting;

Masa rotundă;

Interviul de grup;

Studiul de caz;

Incidentul critic;

4.Metode de cercetare în grup:

Tema sau proiectul de cercetare în grup;

Experimentul pe echipe; – Portofoliul de grup.

În cele ce urmează , vom detalia câteva din aceste metode (pe care le consider mai importante) și cum le-am aplicat la clasă.

1. Metoda predării/Învățării reciproce

Prin această metodă, elevii sunt puși în situația de a fi ei profesori, de a explica colegilor rezolvarea unor probleme.

Am utilizat această metodă astfel: la clasa a VII-a la sfârșitul unității de învățare: ,,Formule de calcul prescurtat”, elevii au primit un test de evaluare. În funcție de rezultatele acestui test, am împărțit clasa în două părți: elevii care au obținut rezultate bune și cei care nu au obținut rezultate bune la acest test. În urma unei trageri la sorți s-au format grupe de câte doi elevi, câte un elev din fiecare parte. Elevul-profesor are sarcina de a-l învăța pe elevul celălalt toate noțiunile pe care acesta nu le-a stăpânit. După o perioadă s-a trecut la verificarea elevilor-elevi și în funcție de rezultatele acestora, au fost notați.

Am constatat în urma verificărilor că aproape toți elevii și-au însușit noțiunile respective. Elevii au lucrat împreună și acasă , ceea ce în mod obișnuit nu o fac. Chiar și elevii din prima grupă mi-au marturisit că au înțeles aceste noțiuni mult mai bine.

Dezavantajul constă în faptul că nu toți elevii sunt interesați de această metodă , mai ales cei din a doua grupă.

2. Metoda mozaicului (Jigsaw)

Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert.

Profesorul stabilește o temă ce poate fi împărțină în 4-5 sub-teme. Se organizează clasa în echipe de câte 4-5 elevi, fiecare dintre aceștia primind câte o fișă de învățare numerotată de la 1 la 4. Fișele cuprind părți ale unui material, ce urmează a fi înțeles și discutat de către elevi. Se prezintă succint subiectul de tratat și se explică sarcinile de lucru și modul în care se va desfășura activitatea.

Fiecare elev studiază sub-tema lui, acest lucru poate fi efectuat în clasă sau poate constitui o temă de casă. După ce au parcurs faza de lucru indepentent, experții cu același număr se reunesc, constituind grupuri de experți. Elevii prezintă un raport individual asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile cunoștințe vor fi transmise și celorlalți membrii din echipa inițială. Experții transmit cunostințele asimilate, reținând la rândul lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți în alte sub-teme.

Grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment elevii sunt gata să demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare. Metoda mozaicului are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte utilă în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă: faptul că se transformă, pentru scurt timp, în ,,profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor.

3. Metoda LOTUS-FLOAREA DE NUFAR

Se dă problema sau tema centrală care se va scrie in mijlocul tablei/plansei. Se cere copiilor sa se gandeasca la ideile sau aplicatiile legate de tema centrală;

Ideile copiilor se trec în cele 8 “petale”,de la A la H,in sensul acelor de ceasornic. Cele 8 idei deduse vor deveni noi teme centrale pentru alte cate

8”petale”;

4. Metoda Brainstorming

Această metodă înseamnă formularea a cât mai multor idei-oricât de fanteziste ar putea părea acestea – ca răspuns la o situație enunțată, după principul cantitatea generează calitatea. Conform acestui principiu, pentru a ajunge la idei viabile și inedite este necesară o productivitate cât mai mare.

La matematică această metodă poate fi aplicată astfel: se alege o sarcină de lucru (rezolvarea unei probleme) și se solicită exprimarea tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei. Toți elevii trebuie să formuleze o idee referitoare la subiectul propus și se scriu toate aceste idei pe tablă. Se face o pauză pentru așezarea ideilor, după care se reiau ideile emise, pe rând, și se grupează pe categorii, simboluri etc. Se selectează ideile originale sau cele mai apropiate de soluții și se pune accent pe acestea.

Avantajul acestei metode constă în faptul că toți elevii sunt implicați în sarcina de lucru și se obțin ușor ideile noi și soluțiile rezolvitoare.

Dezavantajele brainstormigului constau în faptul că oferă doar soluții posibile și nu realizarea efectivă, uneori poate fi prea obositor sau prea solicitant pentru unii participanți.

5. Metoda proiectului

Metoda proiectului înseamnă realizarea unui produs, ca urmare a colectării și prelucrării unor date referitoare la o temă anterior fixată.

Proiectul este activitatea cel mai pregnant centrată pe elev, el încurajează cel mai bine abordarea integrată a învățării: elevilor li se creează ocazia de a folosi, în mod unitar, cunoștințe și tehnici de lucru dobândite la mai multe discipline.

Elevilor de clasa a VIII-a, spre exemplu, li se cere realizarea unui proiect despre un corp geometric studiat anterior. Acesta constă în obținerea de informații teoretice cu privire la corpul respectiv: definiții, clasificări, desen, formule; în aplicarea informațiilor teoretice în aplicații practice, precum și realizarea modelului corpului respectiv din diferite materiale (lemn, carton, fier).

Avantajul constă în faptul că elevii înțeleg mai bine noțiunile despre corpul respectiv, observă utilitatea noțiunilor predate și modelele corpurilor realizate de elevi sunt utilizate mai târziu la alte clase (astfel obținându-se material didactic – unele corpuri astfel realizate sunt chiar excepționale).

6. Metoda știu/vreau să știu/am învățat

Cu grupuri mici sau cu întreaga clasă se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anumită temă și apoi se formulează întrebătri le care se așteptă găsirea răspunsului în lecție.

Pentru început li se cere elevilor să facă o listă cu tot ce știu despre tema ce urmează a fi discutată, iar profesorul construiește pe tablă un tabel cu uirmătoarele coloane: știu/vreau să știu/am învățat, cum este cel de mai jos:

Profesorul cere perechilor să spună ce au scris și notează în coloana din stânga informațiile cu care tot grupul este de acord.

Folosind aceeași metodă elevii vor elabora o listă de întrebări.

Profesorul notează în a doua coloană a tabelului întrebările. Aceste întrebări vor evidenția nevoile de învățare ale elevilor în legătură cu tema abordată.

Elevii citesc textul individual sau cu un coleg sau profesorul îl citește elevilor.

După lectura textului, se revine asupra întrebărilor formulate în a doua coloană, se constată la care s-au gasit răspunsurile în text și se trec în coloana “Am învățat”.

Elevii vor face comparație între ceea ce ei cunoșteau deja despre tema abordată, tipul și conținutul întrebărilor pe care le-au formulat și ceea ce ei au învățat prin lecturarea textelor.

Elevii vor discuta care din întrebările lor au găsit răspuns prin informațiile furnizate de text și care dintre ele încă necesită un răspuns.

Profesorul discută cu elevii unde ar putea căuta respectivele informații.

7. Prelegerea – din perspectivă modernă

Prelegerea este fără îndoială cea mai frecventă alegere într-o abordare tradițională. Această abordare este de obicei puțin eficientă pentru învățare. Cu puțină ,sare și piper” prelegerea poate fi recondiționată însă, și introdusă într-un demers didactic modern, centrat pe achizițiile elevului. Din această perspectivă, profesorul trebuie să se ocupe de:

• stimularea interesului elevilor prin :

intrarea în prelegere prin intermediul unei poante, povești, imagini captivante și în deplină relație cu ceea ce urmează să fie predat prin intermediul prelegerii;

prezentarea unei probleme/studiu de caz pe care se focalizează prezentarea;

lansarea unei întrebări incitante (astfel încât elevii să fie atenți la prelegere pentru a afla răspunsul).

• aprofundarea înțelegerii elevilor prin :

folosirea de exemple și analogii pe parcursul prezentării;

dublarea verbalului cu alte coduri (oferirea de imagini, prezentarea cu ajutorul videoproiectorului)

• implicarea elevilor pe parcursul prelegerii prin întreruperea prelegerii

pentru a incita elevii se vor oferii exemple, analogii, experiențe personale

pentru a da răspunsuri la diferite întrebări

• evitarea unui punct final la final !

încheierea prelegerii prin intermediul unei probleme/aplicații care urmează să fie rezolvate de elevi

solicitarea elevilor pentru a rezuma cele prezentate sau pentru a concluziona.

4.3. METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR

La orele de matematică, una din activitățile principale constă în rezolvarea de probleme.

,,A avea (sau a-ți pune) o problemă înseamnă a căuta, în mod conștient, o acțiune adecvată pentru a atinge un scop clar conceput, dar nu imediat accesibil. A rezolva o problemă înseamnă a găsi o astfel de acțiune.”(G.Polya) O problemă prezintă un anumit grad de dificultate. Dacă ne raportăm doar la experiența celui care este pus să rezolve o problemă dată, o aceeași problemă poate fi ușoară sau dificilă.

Activitatea de rezolvare a problemelor trebuie concepută într-un demers de explorare-investigare; dincolo de obținerea rezultatului, este mult mai important procesul, modul în care rezolvitorul ajunge la capăt. Este de preferat un elev care încearcă, fără succes, să abordeze o problemă, conștientizând fiecare pas făcut, decât un elev care aplică o schemă sau un algoritm, pe care nu le poate explica logic în niciun fel.

Conform lui G.Polya, găsirea drumului către rezolvarea unei probleme evoluează pe patru stadii diferite:

Primul stadiu este cel al imaginii . La acest stadiu, reprezentarea grafică a problemei evoluează în mintea rezolvitorului, care se concentrează asupra diverselor părți componente sau detalii ale acesteia. Uneori este recomandat să se realizeze mai multe reprezentări grafice, din diferite unghiuri.

Al doilea stadiu este cel al relațiilor . Prin acest nivel, întrebările semnificative sunt: ,,Ce putem deduce din ipoteză?, ,,Din ce rezultă concluzia?

Al treilea stadiu este cel matematic. Acesta constă în aplicarea unor rezultate/formule ce leagă între ele datele problemei.

Al patrulea stadiu este cel euristic. Acest stadiu se concretizează prin întrebările: Ce ni se dă? , Ce ni se cere?, Cum putem obține acest ,,lucru “ din datele problemei?, Este rezolvarea completă?

Stadiul euristic poate conduce la scheme de rezolvare a problemelor. De aceea , este bine ca acest stadiu să fie evidențiat de fiecare dată, prin realizarea unui ,,rezumat” a pașilor de rezolvare a problemei.

Deprinderea de a rezolva probleme nu se formează de la sine. Avem în vedere aici acea deprindere ce determină la elev perseverență în rezolvare, căutarea alternativei, manifestarea unui spirit critic și autocritic.

În cele ce urmează, prezentăm câteva metode de rezolvare a problemelor:

1. Recurgerea la situații problemă

În afară de factorii externi (examene, note), elevul este motivat de înțelegerea necesității practice a ceea ce învață. De aceea, este indicat ca, din când în când, să propunem spre rezolvare o situație problemă. În acst fel elevii fac legătura cu viața cotidiană, realizează un model matematic și evaluează soluția obținută.

Exemplu: Se propune spre rezolvare o situație problemă : Determinarea costurilor totale pentru construcția unei case.

Determinarea costurilor totale pentru construcția clădirii va fi realizată rezolvând mai multor probleme practice:

realizarea planului casei (intervin noțiuni de lungimi, perimetru, arie)

calcularea volumului necesar de beton pentru fundație și costul total (intervin noțiuni de volum, mărimi direct proporționale)

calcularea numărului de cărămizi necesar zidurilor și prețul lor (intervin noțiuni de volum)

determinarea prețului acoperișului (intervin noțiuni de relații metrice în triunghiul dreptunghic și de arii).

Utilizarea schemelor de rezolvare

Pentru unele tipuri de probleme, este util să se indice elevilor scheme de rezolvare. Aceste scheme se pot realiza sub diverse forme: algoritm, scheme logice etc.

Exemplu: Rezolvarea ecuațiilor

Învățarea structurată

Această metodă presupune parcurgerea a patru pași de rezolvare, ce vizează: familiarizarea cu subiectul propus, construirea rezolvării, aplicarea unui enunț asemănător, transferul în alt context al metodelor învățate.

Metoda construcțiilor geometrice

Construcțiile geometrice pot fi utilizate, nu numai pentru problemele de geometrie, ele pot fi utilizate și pentru înțelegerea unor situații în care nu este indicat utilizarea unor demonstrații.

Exemplu: Pentru lecția ,,cazurile de congruență” de la clasa a VI-a este recomandată folosirea construcțiilor geometrice. Astfel elevii vor desena un triunghi având diferite dimensiuni, după care vor decupa triunghiul desenat. Elevii vor compara triunghiurile obținute și vor observa că se suprapun.

Este recomandat ca în rezolvarea problemelor să se realizeze un desen cât mai corect (în care sunt respectate datele problemei), măsurarea (pe desen) a mărimilor cerute în problemă și compararea valorilor obținute prin măsurare și prin calcul.

4.4. UTILIZAREA INTERPOLĂRII ÎN REZOLVAREA UNOR PROBLEME

Interpolarea funcțiilor nu face parte din programa din învățământul preuniversitar, dar unele aplicații ale interpolării funcțiilor pot fi utilizate la clasă (mai ales la cercurile pentru elevi sau la pregătirea pentru Olimpiada de matematică). În programa de olimpiadă de matematică pentru clasa a X – a sunt trecute la conținuturi și polinoame de interpolare. În manualul de matematică de clasa a XII-a sunt folosite noțiunile de interpolare în capitolul: Calculul aproximativ al integralei definite .

4.4.1. Exercițiu : Folosind formula de interpolare ascendentă a lui Newton, să se determine suma puterilor primelor n numere naturale:

Sn1 = 1+2+3+4+……………+n

Sn2 = 12 + 22 + 32 + ………+ n2

Sn3 = 13 + 23 + 33 + ………+ n3

Rezolvare : Notăm S1(n) = 1+2+3+4+……………+n ;

S2(n) = 12 + 22 + 32 + ………+ n2 ;

S3(n) = 13 + 23 + 33 + ………+ n3 .

Folosind formula de interpolare ascendentă a lui Newton (1.15)

Sn

α(α− 1)(α− 2) (…. α− n + 1) n

………. ………. … + ∆ S0

n!

x − x0 x −1= n −1. dacă x0 = 1 , h = 1 , xn = n , α= = h

Atunci :

Sn

………. ………. …+ (n −1)(n − 2)(n − 3)….1∆nS0

n!

Pentru suma S1(n) = 1+2+3+4+……………+n avem tabelul următor :

Atunci :

Sn

Pentru suma S2(n) = 12 + 22 + 32 + ………+ n2 avem tabelul următor :

Atunci :

Sn

2 = 12 + 22 + 32 + ………+ n2 = n(n+1)(2n+1) . Deci Sn

6

d) Pentru suma S3(n) = 13 + 23 + 33 + ………+ n3 avem tabelul următor :

Atunci :

Sn3 =1+(n−1)8+6

=

n2(n2 +2n+1) n2(n+1)2

= =

4 4

n2 (n +1)2 Deci Sn = 13 + 23 + 33 + ………+ n3 = .

3

4

1 4.4.2. Exercițiu : Fie f : [-5; 5] → R , definită prin : f (x) = x2 +1 .

Aproximați funcția prin polinoame Lagrange, respectiv funcții spline utilizând noduri echidistante, respectiv noduri Cebâșev.

Datorită complexității calculelor creăm în Maple o procedură de calcul a polinomului de interpolare Lagrange :

1 (introducem funcția f (x) = x2 +1 )

I. În cazul nodurilor echidistante avem :

1) n=3 ;

n=9 ;

n=18 ;

Observație : Se constată o aproximare din ce în ce mai bună în centrul intervalului, o dată cu cresterea numărului de noduri și apariția efectului de bord

II. În cazul nodurilor Cebâșev avem :

1) pentru n=3

Observație: În cazul interpolării cu noduri Cabâșev se constată o aproximare mai bună , o dată cu creșterea numărului de noduri , precum și dispariția efectului de bord.

III. În cazul interpolării cu funcții spline cubice naturale avem : 1) n=3;

n = 9 ;

n=18 ;

>

Funcția spline afișată de program este prea complicată și prea lungă pentru a fi introdusă în lucrare.

Graficul funcției f(x) și a funcției spline atașată funcției f(x) este următorul:

Concluzie : Se observă că cea mai bună aproximare se obține la interpolarea cu funcții spline și cu un număr de noduri cât mai mare.

BIBLIOGRAFIE

Ghe Babescu, A. Kovacs, I. Stan, Ghe. Tudor, R. Anghelescu, A.

Filipescu – Analiză Numerică , Ed. Politehnică Timișoara – 2000

Ș. Balint, L. Brăescu, N. Bonchiș – Metode Numerice – Timișoara

2007

C. Berbente, S. Miron, S.Zancu – Metode Numerice – Ed. Tehnică 1998

T.A. Beu – Calcul Numeric în C – Ed. Albastră – Cluj Napoca 2000

O.A.. Blăjină – MAPLE în matematica asistată de calculator –

Grupul Microinformatica Cluj Napoca 2001

N. Boboc, I. Colojoară – Elemente de analiză matematică –manual pentru clasa a XII-a – Ed. Didactică și Pedagogică 1990 7. D. Brânzei, R. Brânzei – Metodica predării matematicii – Ed.

Paralela 45 – 2005

M. R. Buneci – Metode Numerice – Ed. Academica Brâncuși –

Târgu Jiu 2003

A. Hadăr, C. Marin, C. Petre, A. Voicu – Metode Numerice în inginerie – Ed. Politehnica Press 2004

S. Mariș, L. Brăescu – Metode Numerice – Probleme de seminar și lucrări de laborator – Timișoara 2007

Ghe. Micula – Funcții Spline și aplicații – Ed. Tehnică , București 1978

Module pentru dezvoltarea profesională a personalului didactic –

Ed. Educația 2000+ , 2005

C.V. Muraru – Matlab – Ghid de studiu – Ed. EduSoft, 2006

C.P. Nicolescu – Analiză Matematică – Ed. Albatros, 1987 15. I. Radomir, A. Fulga – Analiză Matematică – Culegere de probleme, Ed. Albastră, 2005

Gh. Sirețchi – Calcul diferențial și integral – Ed. Științifică și enciclopedică, 1985

R.T. Trâmbițaș – Analiză numerică- o introducere bazată pe

Matlab – Cluj Napoca, 2005

R.T. Trânbițaș – Culegere de probleme de analiză numerică – Cluj

Napoca, 2008

http://www.wolfram.com

BIBLIOGRAFIE

Ghe Babescu, A. Kovacs, I. Stan, Ghe. Tudor, R. Anghelescu, A.

Filipescu – Analiză Numerică , Ed. Politehnică Timișoara – 2000

Ș. Balint, L. Brăescu, N. Bonchiș – Metode Numerice – Timișoara

2007

C. Berbente, S. Miron, S.Zancu – Metode Numerice – Ed. Tehnică 1998

T.A. Beu – Calcul Numeric în C – Ed. Albastră – Cluj Napoca 2000

O.A.. Blăjină – MAPLE în matematica asistată de calculator –

Grupul Microinformatica Cluj Napoca 2001

N. Boboc, I. Colojoară – Elemente de analiză matematică –manual pentru clasa a XII-a – Ed. Didactică și Pedagogică 1990 7. D. Brânzei, R. Brânzei – Metodica predării matematicii – Ed.

Paralela 45 – 2005

M. R. Buneci – Metode Numerice – Ed. Academica Brâncuși –

Târgu Jiu 2003

A. Hadăr, C. Marin, C. Petre, A. Voicu – Metode Numerice în inginerie – Ed. Politehnica Press 2004

S. Mariș, L. Brăescu – Metode Numerice – Probleme de seminar și lucrări de laborator – Timișoara 2007

Ghe. Micula – Funcții Spline și aplicații – Ed. Tehnică , București 1978

Module pentru dezvoltarea profesională a personalului didactic –

Ed. Educația 2000+ , 2005

C.V. Muraru – Matlab – Ghid de studiu – Ed. EduSoft, 2006

C.P. Nicolescu – Analiză Matematică – Ed. Albatros, 1987 15. I. Radomir, A. Fulga – Analiză Matematică – Culegere de probleme, Ed. Albastră, 2005

Gh. Sirețchi – Calcul diferențial și integral – Ed. Științifică și enciclopedică, 1985

R.T. Trâmbițaș – Analiză numerică- o introducere bazată pe

Matlab – Cluj Napoca, 2005

R.T. Trânbițaș – Culegere de probleme de analiză numerică – Cluj

Napoca, 2008

http://www.wolfram.com