Aplicatiile Intrare Iesire ale Sistemelor Liniare

Aplicațiile intrare-ieșire

ale sistemelor liniare

Cuprins

INTRODUCERE

Capitolul I

ASPECTE TEORETICE PRIVIND APLICAȚIILE INTRARE-IEȘIRE ALE SISTEMELOR LINIARE

1.1. Noțiunea de sistem și principalele caracteristici

1.2. Definirea și clasificarea sistemelor dinamice

1.3. Modelul structural

1.4. Răspunsul sistemelor liniare la intrări standard

1.5. Legătura cu modele intrare-ieșire

Capitolul II

APLICAȚII INTRARE – IEȘIRE PENTRU SISTEME DINAMICE

2.1. Aplicații intrare-iesire pentru sisteme dinamice liniare continue

2.2. Sisteme izomorfe

2.3. Sisteme discrete

2.4. Aplicații în Matlab

Capitolul III

SISTEME LINIARE. CALCULUL FUNCȚIILOR DE MATRICE

3.1. Funcții de matrice

3.2. Calculul exponențialei matriceale

3.3. Proprietãțile matricei exponențiale

3.4. Calculul matricei exponențiale folosind transformãrile Laplace

3.5. Importanța polinomului caracteristic

3.6. Teoria Dunford-Taylor pentru matricea f(A

Capitolul IV

METODE DE CALCUL PENTRU DETERMINAREA COMPORTÃRII DINAMICE A SISTEMELOR LINIARE

4.1. Metode de calcul al matricei de tranziție

4.1.1. Metode bazate pe cunoașterea valorilor proprii

4.1.2. Metode bazate pe integrarea ecuației diferențiale

4.1.3. Observații privind calculul numeric al matricei de tranziție

4.1.5. Exemple de calcul

Concluzii

Bibliografie

INTRODUCERE

Lucrarea de fațã cuprinde patru capitole dupã cum urmeazã: Aspecte teoretice privind aplicațiile intrare-ieșire ale sistemelor liniare, Aplicații intrare-ieșire pentru sisteme dinamice, Sisteme liniare. Calculul funcțiilor de matrice, Metode de calcul pentru determinarea comportãrii dinamice ale sistemelor liniare. Lucrarea este însoțitã de o bibliografie de bazã, utilã pentru abordarea tuturor temelor propuse.

Un sistem este o entitate cu una sau mai multe intrãri și una sau mai multe ieșiri. El se folosește atât pentru studiul comportamentului unui obiect, sau ansamblu de obiecte ce sunt studiate din punct de vedere newtonian, cât și pentru modelarea unei economii. Un sistem se poate caracteriza printr-un tabel uriaș în care se trec pentru fiecare stimul, rãspunsul corespunzãtor. Dar acest lucru este ineficient atât din punctul de vedere al timpului necesar construirii aceastuia, cât și din punctul de vedere al cãutãrii unui rãspuns. Se dorește ca fãcând un numãr finit (ideal mic) de mãsurãtori sã putem deduce modul în care putem caracteriza mulțimea foarte mare, a tuturor rãspunsurilor posibile. Astfel, un sistem liniar este o idealizare matematicã introdusã pentru a modela comportamentul unei entitãți, și se bazeazã pe folosirea unui operator liniar (ce posedã proprietãțile de superpoziție și invariantã). Studiul sistemelor liniare este utilizat în controlul automat al proceselor (de exemplu centrale nucleare), procesarea semnalelor și telecomunicații.

Lucrarea noastrã va face o prezentare a principalelor proprietãți ale sistemelor liniare și va exemplifica modul în care se folosește Matlab pentru a extrage informații esențiale despre sistemele liniare.

În primul capitol (Aspecte teoretice privind aplicațiile intrare-ieșire ale sistemelor liniare) vom prezenta principalele caracteristici ale unui sistem liniar, pe scurt, și apoi vom trece la studiul sistemelor dinamice: introducem modul de definire al sistemelor dinamice și apoi ajungem la a studia legãtura dintre modelele intrare – ieșire. Astfel ne vom folosi de semnalul Dirac unitar, de funcția treaptã și de transformata Laplace. Capitolul îl vom încheia cu studiul reprezentãrii structurale și al funcției de transfer.

În al doilea capitol (Aplicații intrare-ieșire pentru sisteme dinamice) ne ocupãm de aplicațiile intrare – ieșire ale sistemelor dinamice. Cu ajutorul transformãrii Liapunov extragem proprietãțile sistemelor izomorfe, exemplificând pe cinci situații de sisteme staționare și pe un sistem dinamic continuu. Utimul paragraf al capitolului este constituit de aplicațiile în Matlab.

Capitolul al treilea (Sisteme liniare. Calculul funcțiilor de matrice) va arãta modul în care calculãm funcțiile de matrice ale sistemelor liniare, folosindu-ne de metode numerice (metoda Liou, Fath, Pade și Putzer), vom prezenta unele metode generale de calcul pentru funcțiile de matrice și metodele specifice cele mai apreciate de calcul, pentru funcția exponențialã de argument matriceal, precum și proprietãțile cele mai importante ale matricei exponențiale. Se va folosi transformarea matricealã pentru calculul matricei exponențiale și se va lua în discuție importanța polinomului caracteristic al matricei A, precum și discutarea teoremei Dunford-Taylor pentru matricea f(A) și cãteva exemple. Calculul funcțiilor de matrice este necesar în foarte multe aplicații.

Cel de-al patrulea capitol (Metode de calcul pentru determinarea comportãrii dinamice ale sistemelor liniare) prezintã modul în care putem organiza conceptele teoretice pentru a putea extrage cât mai multe informații despre sistemele liniare. În particular, aici este vorba despre metodele de calcul, de la matricea de tranziție (valori proprii, integrarea ecuației diferențiale), iar pentru cele mai importante metode se dau explicații complete asupra algoritmilor de calcul, așa încât pe baza acestora, se pot scrie cu ușurințã programe de calcul efective.

La sfãrșitul lucrãrii vom extrage concluziile și vom da și bibliografia ce am folosit-o pentru realizarea acestei lucrãri.

Capitolul I

ASPECTE TEORETICE PRIVIND APLICAȚIILE INTRARE IEȘIRE ALE SISTEMELOR LINIARE

Noțiunea de sistem și principalele caracteristici

În general noțiunea de sistem este utilizată în multe domenii de activitate. Prin această noțiune se dorește să se facă o delimitare a unei forme de existență într-un spațiu bine definit. Pentru a pune în evidență aspectele care se regăsesc la un sistem dinamic se dau următoarele exemple: sistemul democratic, sistemul de învățământ, sistemul nervos, sistemul automat de reglare a temperaturii etc. Se observă faptul că noțiunea de sistem ne ajută, într-o primă fază, să delimităm: un mecanism de conducere a unui stat, un mod de educație la nivel național, o parte din componentele care contribuie la integrarea organismului uman în mediul înconjurător, respectiv elementele necesare obținerii unei temperaturi constante într-o incintă, etc.

De regulă un sistem dinamic este bine structurat având conexiuni multiple între părțile sale componente. O altă caracteristică este aceea că elementele sale sunt structurate după aceleași criterii sau în vederea realizării aceluiași scop. În multe situații un sistem poate conține subsisteme care la rândul lor pot fi privite ca sisteme de sine stătătoare.

În general, ieșirea unui sistem dinamic depinde, atât de evoluția intrărilor pe un interval de timp, cât și de relațiile structurale din interiorul sistemului. Un rol hotărâtor îl au de asemenea și perturbațiile externe care pot acționa o perioadă de timp mai mare sau mai mică.

În ceea ce privește reprezentarea proceselor se utilizează modelul matematic care are următoarea formă generală

unde:

fiind mulțimea momentelor de timp;

reprezintă spațiul comenzilor;

este spațiul mărimilor de ieșire;

reprezintă spațiul mărimilor de stare;

f, g sunt funcții vectoriale de dimensiuni adecvate.

Dacă funcția f satisface anumite condiții, atunci ecuația

(1.1)

admite o soluție unică dată prin relația

(1.2)

unde reprezintă valoarea inițială a vectorului de stare, iar reprezintă intrarea pentru

Se observă faptul că vectorul de stare la momentul depinde atât de evoluția intrării pentru , cât și de starea inițială x0.

Funcția se numește funcția de tranziție a stărilor și satisface următoarele proprietăți:

consistența

;

Compozabilitate

;

cauzalitate

pentru și pentrucu

Având în vedere faptul că prin ecuația

(1.3)

se pune în evidență evoluția mărimilor de stare, aceasta se numește ecuația de stare a sistemului, iar ecuația:

(1.4)

se numește ecuația de ieșire a sistemului.

Ecuațiile (1.3) și (1.4) pun în evidență atât structura internă a unui sistem cât și conexiunile intrare-stare, respectiv stare-ieșire ale sistemului. Reprezentarea intrare-stare-ieșire a deschis noi direcții de cercetare, atât în ceea ce privește analiza stabilității sistemelor dinamice cât și în ceea ce privește sinteza structurilor de reglare care utilizează reacția după stare.

1.2. Definirea și clasificarea sistemelor dinamice

Definiția 2.1. (sistem liniar neted). Cvartetul matriceal (A, B, C, D) care satisface ecuațiile

, (2. 1)

unde continuă pe porțiuni, , se numește sistem liniar neted și invariant. Pentru , sistemul capătă și atributul de multivariabil intrare-ieșire (MIMO).

Pentru cazul SISO, (2. 1) se particularizează în

, (2.2)

unde .

Definiția 2.2. (sistem liniar variant). Sistemul liniar descris de ecuațiile

, (2.3)

unde matricele reprezentării structurale sunt dependente de timp, se numește variant.

Generalizarea sistemului (2.1) la cazul neliniar se face prin schimbarea membrului drept cu funcții de timp și de vectorul de stare.

Definiția 2.3. (sistem neliniar neted). Se numește sistem neliniar neted dinamica care satisface ecuațiile

, (2.4)

unde f și g sunt funcții vectoriale de n, respectiv p componente (, ).

Sistemul neliniar se numește invariant dacă este asociat reprezentării

. (2.5)

Definiția 2.4. (sistem liniar discret). Cvartetul matriceal (A, B, C, D), asociat reprezentării

, (2.6)

se numește sistem liniar discret. Dimensiunile vectorului de stare și ale matricelor sunt aceleași. Și în acest caz, dacă matricele reprezentării sunt dependente de timp (), sistemul se definește ca liniar variant discret.

Definiția 2.5. (sistem neliniar discret). Se numește sistem neliniar discret dinamica care satisface ecuațiile

, (2.7)

unde f și g sunt funcții vectoriale de n, respectiv p componente (, ) și comanda.

Definiția 2.6. (traiectorie de stare). La sistemul neliniar neted (2.4), pentru o inițializare și o comandă (problema Cauchy), se numește traiectorie de stare soluția unică a ecuației diferențiale și se notează cu

. (2.8)

Pentru sistemul neliniar discret (2.7), cu o inițializare, , și cu o secvență de k pași de comandă, , se definește traiectoria de stare mulțimea de stări obținută prin înlocuirea succesivă în prima ecuație din relația (2.7).

Pentru sisteme liniare netede, traiectoria de stare se obține ca soluția unică

, (2.9)

a ecuației diferențiale din (2.1), pentru o inițializare dată.

În cele ce urmează, se va face presupunerea că, , ce nu afectează generalitatea.

Pentru sisteme liniare discrete, în urma aplicării unei secvențe de comandă, , expresia traiectoriei de stare este

. (2.10)

Răspunsul sistemului liniar neted, presupunând că matricea D este nulă, se obține introducând traiectoria de stare în a doua ecuație din (2.1)

, (2.11)

iar al sistemului discret

. (2.12)

Se poate lesne observa că răspunsul sistemului neted sau discret se obține din însumarea a două componente: prima, numită componenta liberă, indusă de condiția inițială, a doua, numită componenta forțată, indusă de intrare.

Definiția 2.7. (Matricea de tranziție a stărilor). Se numește matrice fundamentală, sau matricea de tranziție a stărilor funcția

. (2.13)

Deci în cazul sistemelor continue matricea de tranziție este matricea exponențială iar în cazul sistemelor discrete este matricea putere a matricei A.

Cu matricea de tranziisteme liniare netede, traiectoria de stare se obține ca soluția unică

, (2.9)

a ecuației diferențiale din (2.1), pentru o inițializare dată.

În cele ce urmează, se va face presupunerea că, , ce nu afectează generalitatea.

Pentru sisteme liniare discrete, în urma aplicării unei secvențe de comandă, , expresia traiectoriei de stare este

. (2.10)

Răspunsul sistemului liniar neted, presupunând că matricea D este nulă, se obține introducând traiectoria de stare în a doua ecuație din (2.1)

, (2.11)

iar al sistemului discret

. (2.12)

Se poate lesne observa că răspunsul sistemului neted sau discret se obține din însumarea a două componente: prima, numită componenta liberă, indusă de condiția inițială, a doua, numită componenta forțată, indusă de intrare.

Definiția 2.7. (Matricea de tranziție a stărilor). Se numește matrice fundamentală, sau matricea de tranziție a stărilor funcția

. (2.13)

Deci în cazul sistemelor continue matricea de tranziție este matricea exponențială iar în cazul sistemelor discrete este matricea putere a matricei A.

Cu matricea de tranziție a stărilor traiectoria sistemului liniar neted se scrie ca

, (2.14)

iar al aceluia discret

. (2.15)

Se impune să facem în acest punct o observație importantă privind proprietatea de reversibilitate a sistemelor liniare netede și discrete. Reversibilitatea semnifică posibilitatea recuperării condiției inițiale, oricare ar fi punctul din spațiul de stare în care s-ar afla sistemul. Acest lucru se scrie matematic pornind de la expresia traiectoriei sistemului în punctul inițial

, (2.16)

pentru sisteme netede, și

, (2.17)

pentru sisteme discrete. Cum matricea de tranziție a stărilor la sisteme netede este nesingulară, deoarece este exprimabilă printr-o exponențială de matrice, atunci

. (2.18)

Astfel se poate concluziona că sistemele netede sunt întotdeauna reversibile.

Pentru că la sistemele liniare discrete

, (2.19)

matricea fundamentală este inversabilă numai dacă matricea A este nesingulară. Se poate afirma că sistemele discrete sunt reversibile numai dacă A este nesingulară.

1.3. Modelul structural

Acest subcapitol introductiv este consacrat obținerii modelului structural, numit și pe stare, sau intern al unui proces. Pe baza acestui model se furnizează cadrul definitoriu și clasificator al sistemelor dinamice, liniare și neliniare, variante și invariante, netede și discrete, mono și multivariabile, prin prisma operațiunilor de analiză și sinteză a sistemelor automate. Legătura cu alte tipuri de modele: intrare-ieșire, parametrice și neparametrice, reprezintă unul din obiectivele vizate. Întreaga abordare structurală a sistemelor automate este fundamentată pe cazul multivariabil, referit în lucrare ca MIMO (multi inputs-multi outputs), cu particularizări la cazurile SISO (single input-single output), MISO (multi inputs-single output) și SIMO (single input-multi outputs).

În general, un proces este caracterizat în regim staționar de o ecuație de bilanț sau de masă ce se poate exprima ca o egalitate între fluxurile de intrare, , și de ieșire,

. (3.1)

Ecuația (3.1) caracterizează un regim de echilibru al procesului. Fluxul de intrare, , exprimă o intrare energetică sau de masă menită a satisface cererea consumatorului. Cum cererea consumatorului este variabilă, ecuația de bilanț (3.1) devine

, (3.2)

ilustrând o stare de dezechilibru în interiorul procesului care generează un regim dinamic. În regim dinamic restabilirea bilanțului se face de către o serie de mărimi interne procesului care descriu fenomenele de acumulare, sau dezacumulare după cum . Se consideră aceste mărimi (numite mărimi de stare) grupate într-un vector și care satisface ecuația diferențială

, (3.3)

cu soluția

. (3.4)

Cum cvasitotalitatea proceselor sunt cu autoechilibrare (aceasta definește proprietatea de stabilitate), ecuația diferențială (3.3) trebuie să conțină, în membrul drept, un termen suplimentar

, (3.5)

unde și are soluția

. (3.6)

Primul termen corespunde regimului staționar, iar al doilea, celui tranzitoriu, acesta din urmă se anulează asimptotic. Spre exemplificare se poate oferi un circuit serie, al cărui curent la aplicarea unei tensiuni la borne satisface ecuația diferențială

, (3.7)

pentru care . Prin generalizare la un vector de mărimi de stare, în (2. 5), avem o matrice

, (3.8)

iar proprietatea de autoechilibrare se manifestă prin apartenența valorilor proprii la semiplanul stâng al planului complex ().

1.4. Răspunsul sistemelor liniare la intrări standard

Se consideră, pentru început, sisteme monovariabile intrare-ieșire, având modelul de stare tripletul .

Definiția 4.1. (funcția pondere). Expresia

(4.1)

se definește ca fiind funcția pondere a sistemului neted, iar

, (4.2)

funcția pondere a sistemului discret.

Dacă la intrarea sistemului se aplică un semnal impuls Dirac unitar

, (4.3)

atunci răspunsul sistemului neted, în condiții inițiale nule, se poate exprima ca

, (4.4)

iar a sistemului discret

. (4.5)

Răspunsul sistemului liniar neted, sau discret, la intrare impuls Dirac unitar, se mai numește și răspunsul pondere.

Definiția 4.2. (funcția pondere cauzală). Expresia

(4.6)

se definește ca funcția pondere cauzală a sistemului neted, dacă , sau a sistemului discret dacă .

Dacă la intrarea sistemului se aplică un impuls Dirac unitar, atunci răspunsul cauzal al sistemului neted se poate exprima în forma

, (4.7)

iar al sistemului discret

. (4.8)

Se numește răspuns indicial, răspunsul sistemului liniar, neted sau discret, la intrare treaptă unitară (funcția lui Heaviside)

. (4.9)

Funcția treaptă se utilizează și la definirea unei mulțimi de funcții original, funcții care admit transformata Laplace. Tratarea amănunțită a răspunsului indicial nu face obiectul acestui paragraf.

În cazul sistemelor liniare netede sau discrete multivariabile, răspunsul pondere sau indicial se consideră a fi răspunsul ieșirilor atunci când se aplică un impuls Dirac unitar, respectiv treaptă unitară, numai pe una din intrări. În Control Systems Toolbox din MATLAB, există funcțiile care calculează răspunsul pondere al sistemului neted (impulse), respectiv discret (dimpulse), cât și răspunsul indicial al sistemului neted (step), respectiv discret (dstep).

1.5. Legătura cu modele intrare-ieșire

Fie modelul structural (A, B, C) al unui sistem liniar neted, unde se notează cu

, (5.1)

mulțimea valorilor proprii ale matricei A, cu

, (5.2)

partea reală cea mai mare a unei valori proprii și cu

, (5.3)

raza spectrală.

Norma matricei fundamentale verifică inegalitatea

. (5.4)

Prin urmare, este o matrice de funcții original și admite transformata Laplace

. (5.5)

Ținând cont de proprietățile de liniaritate ale transformatei Laplace, aplicând această transformată funcției pondere cauzale, rezultă

. (5.6)

Definiția 5.1. (matrice de transfer sistem liniar neted). Se definește matricea de transfer a sistemului liniar neted multivariabil expresia

, (5.7)

care este o matrice de fracții raționale cu coeficienți reali

. (5.8)

Din procedura de calcul a inversei matricei , rezultă că toate fracțiile din matricea de transfer au același numitor și sunt strict proprii . Dacă sistemul are și un transfer proporțional intrare-ieșire, (matricea D este nenulă), atunci elementele matricei de transfer sunt fracții raționale cu coeficienți reali, cel mult proprii .

Particularizarea la sisteme liniare netede monovariabile este imediată. Se obține o funcție de transfer, fracție rațională strict proprie,

, (5.9)

dacă , și proprie

, (5.10)

dacă

La sistemele discrete se introduce seria

, (5.11)

care este convergentă în exteriorul cercului de rază R (convergența pentru). Se definește transformata Z a funcției original ca fiind suma seriei (5.11)

. (5.12)

Transformata Z se bucură de aceleași proprietăți de liniaritate ca și transformata Laplace. Prin urmare, se poate obține matricea de transfer în z a sistemului liniar discret multivariabil aplicând această transformată funcției pondere cauzale

(5.13)

Definiția 5.2. (matrice de transfer a unui sistem liniar discret). Se definește matricea de transfer a sistemului liniar discret multivariabil expresia

, (5.14)

care este o matrice de fracții raționale cu coeficienți reali

. (5.15)

Din procedura de calcul a inversei matricei , rezultă că toate fracțiile din matricea de transfer au același numitor și sunt strict proprii Dacă sistemul are și un transfer proporțional intrare-ieșire (matricea D este nenulă) atunci elementele matricei de transfer sunt fracții raționale cu coeficienți reali, cel mult proprii

Particularizarea la sistemele liniare discrete monovariabile este imediată. Se obține o funcție de transfer, fracție rațională, cu coeficienți reali, strict proprie

, (5.16)

dacă și proprie

, (5.17)

dacă .

În mod evident pentru sisteme MISO avem un vector de transfer (vector linie), de fracții raționale cu coeficienți reali, , iar pentru sisteme SIMO un vector coloană de transfer, .

Relațiile (5.7), (5.10), în cazul sistemelor netede, și (5.14), (5.17) în cazul sistemelor discrete, exprimă legătura dintre reprezentarea structurală (modelul de stare) și o reprezentare intrare-ieșire (modelul în matrice sau funcție de transfer). Ambele reprezentări sunt modele parametrice. În Control Systems Toolbox există funcțiile ss2tf și tf2ss care fac conversia parametric-parametric, de la reprezentarea structurală la reprezentarea intrare-ieșire, respectiv invers. De precizat aici, este faptul că reprezentarea structurală nu este unică, nici în ceea ce privește cvartetul (A, B, C, D), nici din punct de vedere dimensional. Există anumite forme, cu proprietăți speciale, numite forme canonice, și reprezentări de dimensiune minimă.

Capitolul II

APLICAȚII INTRARE – IEȘIRE PENTRU SISTEME DINAMICE

2.1. Aplicații intrare-iesire pentru sisteme dinamice liniare continue

Fie sistemul liniar descris de

(2.1)

(2.2)

unde , momentul inițial.

Fie matricea fundamentalã pentru .este matricea care are coloanele , unde este soluția problemei Cauchy (0…0 0…0)’.

Matricea fundamentalã are urmãtoarele proprietãți:

i)

ii) ;

iii) este soluția problemei Cauchy

iv)

v) .

Soluția sistemului de ecuații diferențiale (2.1) este datã de formula variației constantelor:

Folosind formula aceasta pentru obținem formule pentru sistemul intrãrii u și stãrii inițiale

(2.3)

Utilizând formula , se obține aplicația intrare-ieșire a sistemului ca fiind datã de

(2.4)

Pentru sistemele staționare, matricea fundamentalã este obținutã cu ajutorul matricei exponențiale a matricii A:

și in acest caz relația devine:

(2.5)

Dacã ieșirea este

și se numește rãspunsul la intrare nulã al sistemului.

Dacã se obține rãspunsul la starea nulã:

Dacã se aplicã un impuls de tip Dirac întrucât pentru orice ieșirea corespunzãtoare este coloana i a matricei:

matrice care se numește rãspunsul la impuls al sistemului. Cu ajutorul acestei matrice rãspunsul la starea nulã se scrie:

Pentru un sistem staționar rãspunsul la impuls este:

,

iar aplicația intrare-ieșire are expresia

Exemplul 2.1

Se considerã circuitul electric:

Fig.2.1

Intensitatea curentului i(t) și tensiunea v(t) verificã ecuația diferențialã:

Considerând drept stare, dar și ieșire și drept intrare obținem reprezentarea în spațiul stãrilor a acestui circuit:

Aplicația intrare-ieșire pentru sistemul cu o singurã intrare și o singura ieșire (SISO) este descris în acest exemplu, conform formulei (2.5)

Exemplul 2.2

Aplicația de intrare-ieșire a sistemului

este, pentru

și continuând calculele rezultatul va fi urmãtorul

2.2. Sisteme izomorfe

În continuare voi arãta efectul pe care îl are asupra unui sistem staționar o schimbare de bazã în spațiul stãrilor.

Se va considera o transformare de forma unde T este o matrice n x n nesingularã (inversabilã). Prin înlocuirea lui x în (2.1) și (2.2) obținem un sistem izomorf, și anume:

Sistemele și sunt izomorfe dacã și numai dacã existã o matrice nesingularã T astfel încât sã fie îndeplinite relațiile:

(2.6)

Deoarece , aplicația intrare-ieșire a sistemului (calculatã conform (2.5)) este:

.

Aplicațiile intrare-ieșire pentru douã sisteme izomorfe sunt egale (același lucru este valabil și pentru rãspunsurile la impuls). Relația intrare-ieșire este independentã de alegerea stãrilor (interne).

Se va considera sistemul staționar (2.1), (2.2) și schimbarea de coordonate (unde ia ca valori matrice nesingulare, este diferențiabilã și în plus, T, T-1, sunt mãrginite pe fiecare interval mãrginit de numere reale (T se mai numește transformare Liapunov).

Înlocuind și efectuând calculele se va obține:

de unde, mai departe

Rezultã cã se poate considera sistemele nestaționare și ca fiind izomorfe dacã existã o transformare Liapunov T(t) astfel încât

(2.7)

.

Dacã alegem pe post de transformare Liapunov matricea fundamentalã atunci avem:

adicã sistemul izomorf obținut aratã astfel

Considerarea unui sistem izomorf poate duce de multe ori la simplificarea rețelei interne a unui sistem dat (eliminarea unui numãr important de conexiuni între componentele primare, precum și între aceste intrãri/ieșiri, cu pãstrarea aplicației intrare-ieșire) dupã cum urmeazã în urmãtoarele exemple.

Exemplul 2.3

Se va simplifica urmãtoarea diagramã:

Fig. 2.2

Matricele sistemului sunt:

,

valorile proprii ale matricei A sunt

Calculând doi vectori proprii corespunzãtori se va obține , (noua bazã a spațiului X=2).

Matricea schimbãrii de bazã este T=[v1 v2] = și calculând matricea inversã se obține

Un sistem izomorf este , unde

Diagrama sistemului este data de urmãtoarea figurã 2.3 și se va observa reducerea numãrului de conexiuni:

Fig. 2.3

2.3. Sisteme discrete

Se considerã un sistem nestaționar

(unde K este un corp), cu reprezentarea în spațiul stãrilor

(2.8)

t=0,1,2,… (2.9)

dacã , avem de-a face cu un sistem omogen

(2.10)

Obținem

(2.11)

Matricea fundamentalã a sistemului discret (2.10) este matricea

(2.12)

unde,

.

Se poate observa ca și de asemenea cã

Atunci (2.11) devine

Principalele proprietãți ale matricei fundamentale discrete sunt:

,

, (2.13)

Dacã matricele sunt inversabile pentru orice , atunci poate fi definitã și pentru prin urmãtoarea formulã:

și în acest caz, poate sã rãmânã adevãratã pentru orice și avem și

Putem sã calculãm starea și ieșirea sistemului . Din (2.8) rezultã

………………………

Deci conform formulei (2.8)

Formula pentru poate fi rescrisã astfel:

deci aplicația de intrare-ieșire este datã de

(2.15)

Ca și în cazul sistemelor continue, aceastã formulã generalã de rãspuns are douã componente: componenta liberã (rãspunsul la intrare nulã)

și componenta forțatã (rãspunsul perturbat)

unde matricea de rãspuns la impuls R este definitã prin

(2.16)

Dacã sistemul este staționar, atunci pentru orice (existã și pentru doar dacã A este ireversibilã), iar (2.14) , (2.15), (2.16) devin

(2.17)

(2.18)

(2.19)

Exemplul 2.4

Se va da sistemul liniar

Fig.2.4

și are reprezentarea de stare:

iar șirul stãrilor este

iar aplicația intrare-ieșire este

.

Exemplul 2.5

Fie sistemul unde

, , C=[1 -1], D=7.

Polinomul caracteristic al matricii A este

, deci valorile proprii ale lui A sunt 1=2, 2=-1.

Folosind teorema Hamilton-Cayley (A2=A-2I, A3=A2-2A=-A-2I,…) obținem matricea fundamentalã:

deci valorile proprii verificã relațiile

adicã .

Se obține

deci

Starea sistemului și ieșirea acestuia sunt:

Se poate sã se calculeze aplicația intrare-ieșire folosind sistemul izomorf dat de matricea T=[v1 v2] (v1, v2 vectori proprii).

De multe ori unele sisteme discrete se obțin din modele continue, de exemplu atunci când este folositã procesarea digitalã a semnalelor. În acest caz, atât pentru intrãri cât și pentru ieșiri se considerã „eșantioane” obținute cu un pas fix h (de exemplu secunde).

Fig. 2.5

Se va considera o intrare constantã pe porțiuni u(t)=un, , unde este un șir dat (Fig.2.5).

Notãm și

, (2.20)

Starea sistemului staționar

pentru t=(n+1)h și t0=nh este

,

deci sistemul discretizat este

(2.21)

Exemplul 2.6

Fie sistemul dinamic continuu

Atunci

Sistemul discret(izat) corespunzãtor are ecuația de stare

în timp ce ecuația de ieșire rãmâne neschimbatã.

2.4. Aplicații în Matlab

lsim

Syntax: lsim(sys,u,t); lsim(A,B,C,D,u,t)

Aceste comenzi simuleazã și acționeazã forțele de rãspuns la LTI (continuu și discret SISO sau MIMO) modelul sys și intrarea arbitrarã u. Vectorul t specificã exemple de timp pentru simulare t = 0:dt:T final.

Matricea u trebuie sã aibã la fel de multe coloane sau rânduri precum mostre de timp (lungimea t) și la fel de multe coloane/rânduri precum intrãrile în sistem. Fiecare rând coloanã u(i,:)/u(:,i) specificã valoarea intrãrii s pentru mostra de timp t(i). Dacã sys este în modul discret atunci u trebuie sã fie indicat la aceeși ratã (valoare) ca sistemul (t este atunci reduntant și poate fi omis sau pus pe o matrice goalã). În cazul timpului continuu mostra de timp dt=t(i+1)-t(i) folositã ca sã discretizeze (sã compromitã modelul continuu).

lsim(sys,u,t,x0) sau lsim (A,B,C,D,u,t,x0) comutatorul de rãspuns produs de starea inițiala x0 și intrarea u.

Exemplul 1:

A=[-2 0;0 -3]; B=[1 0;0 1]; C=[1 2]; D=[1 1]; sys=ss(A,B,C,D); x0=[1 0];t=0:0.2:2;

u=ones(length(t),2);

lsim(sys,u,t,x0) (or lsim(sys,u,t))

Fig.1

Funcția lsim poate fi folositã cu argumentele din stânga.

[y,t] =lsim(sys,u,t)

[y,t,x] = lsim(sys,u,t) \% doar pentru modelele tipice poziție spațiu.

[y,t,x] = lsim(sys,u,t,x0) \% cu poziție inițialã x0.

Exemplul 2:

În acest caz comutarea nu este automat indicatã (desenatã) pe ecran, dar valorile ieșirii y de rãspuns, vectorul timp t, folosit pentru simulare și traiectoriile de stare (poziție) sunt furnizate. Matricea x și y au lungimea t pe rânduri și respectiv n și p pe coloane.

Fig.2.1 (a)

A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1]; C=[1 1]; D=0;

x0=[1 0.5]; t=0:.05:4;u=t; %generates a vector u

[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);

plot(t,x,t,y)

Fig.2.1(a)

Fig.2.1 (b)

A=[0 1;-2 -3]; B=[0;1]; C=[1 1]; D=0;

x0=[1 0.5]; t=0:.05:4;u=t; % generates a vector u

[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);

plot(t,x,t,y)

text(0.1,1.45,'y'),text(0.05,0.9,'x1'),text(0.05,0.5,'x2')

Fig.2.1(b)

Fig. 2.2 (a)

A=[-2 0;0 -3];B=[1 0;0 1];C=[1 2];D=[1 -1];

x0=[1 0];t=0:0.2:2;u=[t;t];

[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);

plot(t,x,t,y) % (variant plot(t,u,t,x,t,y) text(0.05,1.05,'u'),)

Fig.2.2 (a)

Fig. 2.2 (b)

A=[-2 0;0 -3];B=[1 0;0 1];C=[1 2];D=[1 -1];

x0=[1 0]; t=0:0.2:2;u=[t;t];

[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);

plot(t,x,t,y) % (variant plot(t,u,t,x,t,y) text(0.05,1.05,'u'),)

text(0.05,1.05,'y'),text(0.02,0.8,'x1'),text(0.05,0.05,'x2')

Fig.2.2 (b)

Fig. 2.2.2(a)

A=[-2 0;0 -3];B=[1 0;0 1];C=[1 2];D=[1 -1]; x0=[1 0]; t=0:0.2:2; u=[t;sign(t-1)];

[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0); plot(t,x,t,y)

Fig.2.2.2 (a)

Fig. 2.2.2(b)

A=[-2 0;0 -3]; B=[1 0;0 1]; C=[1 2]; D=[1 -1]; x0=[1 0]; t=0:0.2:2; u=[t;sign(t-1)];

[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0); plot(t,x,t,y)

text(0.05,2.05,'y'),text(0.02,0.8,'x1'),text(0.05,0.05,'x2')

Fig.2.2.2 (b)

Fig. 2.2.3(a)

A=[-2 0;0 -3];B=[1 0;0 1];C=[1 2];D=[1 -1];

x0=[1 0];t=0:0.2:2;u=[t; ones(1, length(t))];

[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);

plot(t,x,t,y)

Fig. 2.2.3(a)

Fig. 2.2.3(b)

A=[-2 0;0 -3];B=[1 0;0 1];C=[1 2];D=[1 -1];

x0=[1 0];t=0:0.2:2;u=[t; ones(1, length(t))];

[y,x]=lsim(A,B,C,D,u,t,x0);

plot(t,x,t,y)

text(0.05,0.15,'y'),text(0.02,0.8,'x1'),text(0.1,0.05,'x2')

Fig. 2.2.3(b)

Fig.2.2.3(c)

A=[0 1;-2 -3];

B=[0;1];

C=[1 1];

D=0;

x0=[1 0.5];

t=0:.05:4;

u=0*t;

sys=ss(A,B,C,D);

lsim(sys,u,t,x0) (or lsim(sys,u,t))

Fig.2.2.3(c)

Fig.2.2.3(d)

A=[0 1;-2 -3];

B=[0;1];

C=[1 1];

D=0;

t=0:.05:4;

u=(1/2)*ones(1, length(t));

sys=ss(A,B,C,D);

lsim(sys,u,t)

Fig.2.2.3(d)

Fig.2.2.3(e)

A=[0 1;-2 -3];

B=[0;1];

C=[1 1];

D=0;

t=0:.05:4;

u=sign(t-1);

sys=ss(A,B,C,D);

lsim(sys,u,t)

Fig.2.2.3(e)

Fig.2.2.3(f)

A=[0 1;-2 -3];

B=[0;1];

C=[1 1];

D=0;

x0=[0 0];

t=0:.05:4;

u=(1/2)*sign(t-2);

sys=ss(A,B,C,D);

lsim(sys,u,t,x0)

Fig.2.2.3(f)

Fig.2.2.3(g)

A=[0 1;-2 -3];

B=[0;1];

C=[1 1];

D=0;

x0=[0 0];

t=0:.05:4;

u=t/3;

sys=ss(A,B,C,D);

lsim(sys,u,t,x0)

Fig.2.2.3(g)

Fig.2.3.3(h)

A=[0 1;-2 -3];

B=[0;1];

C=[1 1];

D=0;

x0=[1 -1];

t=0:.05:4;

u=t/3;

sys=ss(A,B,C,D);

lsim(sys,u,t,x0)

Fig.2.3.3(h)

Fig.2.3.3(i)

A=[0 1;-2 -3];

B=[0;1];

C=[1 1];

D=0;

x0=[0 0];

t=0:.05:4;

u=t/3;

sys=ss(A,B,C,D);

lsim(sys,u,t,x0)

Fig.2.3.3(i)

Fig.2.3.3(j)

A=[0 1;-2 -3];

B=[0;1];

C=[1 1];

D=0;

x0=[2 -1];

t=0:.05:4;

u=t/4;

sys=ss(A,B,C,D);

lsim(sys,u,t,x0)

Fig.2.3.3(j)

Fig. 2.3

A=[2 -1 3;1 0 1;-1 2 0];

B=[0 0;1 -2;0 1];

C=[1 -1 1;1 0 2];

D=0;

Ts=0.05;

sys=ss(A,B,C,D,Ts);

x0=[1 -1 0]; t=0:.05:4;

u=[t/2;sign(t-1)];

lsim(sys,u,t,x0)

Fig. 2.3

Fig. 2.4

A=[0 1;-2 -2];

B=[0 1;1 -2];

C=[1 -1;0 2];

D=0;

sys=ss(A,B,C,D);

t=0:.05:4;

step(sys,t) % or step(sys)

Fig. 2.4

Exemplul 3:

Sisteme izomorfe

A=[-7 -4 4;10 6 -8;4 3 -5];

B=[1 -1;0 2;3 -1];

C=[-8 -5 5;3 3 -4];

D=[3 -4;1 0];

[T,A1]=eig(A,'nobalance')

T =[-0.5000 -0.5000 -0.0000;1.0000 1.0000 1.0000;0.5000 0.2500 1.0000];

A1 =[-3.0000 0 0; 0 -1.0000 0; 0 0 -2.0000]

sys1=ss(A1,inv(T)*B,C*T,D)

Capitolul III

SISTEME LINIARE. CALCULUL FUNCȚIILOR DE MATRICE.

Calculul funcțiilor de matrice este necesar în multe aplicații. Analiza comportãrii dinamice a sistemelor liniare continue face apel la exponențiala matricealã, pentru calculul cãreia a fost elaboratã o întreagã serie de tehnici numerice. În acest capitol se vor prezenta câteva metode generale de calcul pentru funcțiile de matrice, precum și metodele specifice, cele mai apreciate, de calcul pentru funcția exponențialã de argument matriceal.

3.1. Funcții de matrice

Considerãm o funcție definitã pe o mulțime D din planul complex și fie o matrice datã. Vom defini noțiunea de matrice adicã semnificația expresiei

. (3.1)

Dacã f este o funcție polinomialã

(3.2)

atunci matricea

(3.3)

este bine definitã și poate fi numitã valoarea polinomului f în punctul (sau pe matricea) A.

Fie acum (z) polinomul minimal al matricei A și i=1:l, zerourile acestuia, zeroul având ordinul de multiplicitate . Avem

(3.4)

unde

(3.5)

Conform teoremei împãrțirii cu rest, existã unic douã polinoame q, r cu grad(r)<m astfel încât

(3.6)

Polinomul minimal fiind un polinom anulator pentru matricea A, i.e , din (3.6) rezultã

(3.7)

Valoarea polinomului f în punctul A este aceeași cu cea a polinomului r și același lucru se poate spune și despre orice alt polinom al cãrui rest la împãrțirea prin este r. Polinomul r poate fi determinat prin aplicarea algoritmului de împãrțire cu rest a polinoamelor.

O altã modalitate de calcul a polinomului r se bazeazã pe faptul cã din (3.4) rezultã

, k=0 : mi-1, (3.8)

și în consecințã, cei m coeficienți ai polinomului r se pot determina, conform (3.6), prin rezolvarea sistemului de m ecuații liniare

, i=1 : l, k=0 : mi-1 (3.9)

unde indicele superior indicã ordinul derivatei.

Relațiile (3.7) și (3.9) servesc ca bazã pentru definirea valorii în punctul A a oricãrei funcții f care admite derivatele cerute în (3.9).

Exemplul 3.1

Fie f(z)=ez și

Avem și {(1, 1), (2, 1)}. Dacã , sistemul (3.9) se poate scrie asfel

,

de aici rezultã

și

Teorema 3.1 Fie spectrul matricei și un domeniu cu frontiera suficient de netedã asfel încât . Dacã f este o funcție analiticã pe atunci

(3.10)

Expresia (3.10) poate servi ca definiție pentru funcțiile analitice, iar calculul integralei Cauchy

(3.11)

poate fi efectuat cu ajutorul teoremei reziduurilor de mai jos.

Teorema 3.2 (teorema rezidurilor). Fie f olomorfã în domeniul D exceptând singularitãțile izolate z1, z2,…, zn și fie C un contur simplu inclus în D care conține la interior punctele z1,…, zn.

Atunci

(3.12)

Demonstrația de bazeazã pe egalitatea

(3.13)

unde yj este contur simplu care conține la interior un singur punct zj, j=1,…,n.

Exemplul 3.2

Considerãm funcția f și matricea A din exemplul 3.1

Avem {1, 2, 2} și

.

Alegem un domeniu simplu conex oarecare ce satisface Se obține

celelalte elemente ale matricei F=eA, sunt nule.

În continuare se va prezenta cazul funcțiilor analitice , unde se va utilize relația (3.10) ca o relație definitorie a funcțiilor de matrice.

Posibilitatea exprimãrii funcțiilor de matrice prin serii matriceale de puteri dupã mãtoarea teoremã:

Teorema 3.2 Dacã funcția f(z) se poate dezvolta în serie de puteri în jurul punctului z=z0

(3.14)

și seria este convergentã în discul |z-z0|<r atunci aceastã dezvoltare rãmâne valabilã dacã argumentul scalar este înlocuit cu argumentul matriceal A

(3.15)

oricare ar fi matricea A al cãrei spectru se aflã în interiorul discului de convergențã.

Din aceastã teoremã rezultã, cã dezvoltãrile

sunt valabile oricare ar fi matricea

Exemplul 3.3

Considerãm funcția f și matricea A din exemplul 3.1. Prin ucție rezultã

deci,

.

3.2. Calculul exponențialei matriceale

În acest paragraf prezentãm principalele metode pentru calculul exponențialei matriceale

(3.16)

unde t>0 este un parametru scalar. Funcția este matrice de tranziție a stãrilor sistemului liniar , adicã satisface ecuația diferențialã matricealã cu condiția inițialã

Având în vedere importanța unui calcul fiabil al exponențialei matriceale pentru studiul sistemelor liniare, o discuție prealabilã a condiționãrii numerice a problemei calculului lui , adicã a sensibilitãții lui în raport cu variațiile lui A, este necesarã, întrucât erorile de calcul ale lui se traduc, prin mecanismul de propagare inversã, în perturbații la nivelul datelor de intrare, adicã al matricei A.

Notând cu exponențiala asociatã matricei perturbate A+E avem cu Punând , se obține

unde deci Pentru simplitate, neglijãm termenul și, prin integrare, deducem,

Utilizând norma matricealã putem scrie

relație din care rezultã

(3.17)

unde,

(3.18)

este numãrul de condiție al lui A relativ la calculul lui

Obținem o evaluare grosierã a lui observând cã

unde

De asemenea, avem

deci

(3.19)

În concluzie, pentru a limita sensibilitatea lui în raport cu variațiile lui A e necesar sã limitãm , de exemplu astfel încât

, (3.20)

fie alegând t suficient de mic, fie (în cazul în care t este impus) utilizând proprietatea

(3.21)

Într-adevãr, oricare ar fi existã m astfel încât , iar dacã e cunoscut atunci, conform (3.21), etA poate fi calculat printr-un proces de ridicare succesivã la pãtrat. O evaluare a lui m rezultã observând cã dacã atunci trebuie sã avem log2(t, deci

M=1+[log2(t (3.22)

unde este partea întreagã a argumentului.

Aproximația polinomialã (Taylor) de ordin p este de forma

(3.23)

unde coeficienții ck se determinã din condițiile

k=0 : p. (3.24)

Obținem

(3.25)

adicã cea mai bunã aproximare polinomialã localã de ordin p coincide cu polinomul Taylor corespunzãtor.

Exemplul 3.4

Pentru din (3.23) obținem iar aproximația a lui corespunde integrãrii numerice a ecuației diferențiale prin metoda Eucler explicitã de ordin 1. În mod similar se poate arãta ca metoda Runge-Kutta de ordin 4 corespunde alegerii p=4 în (3.23).

Putem evalua eroarea de trunchiere comisã prin utilizarea aproximației polinomiale (3.23) observând cã

unde paranteza dreaptã e majoratã prin

sau (dacã |z|<p+2) prin

Punând și utilizând prima evaluare, obținem eroarea relativã de trunchiere sub forma

(3.26)

Asfel spus, avem

(3.27)

unde tol este precizia de calcul impusã, dacã alegem p astfel încât

(3.28)

Pentru oricare, menționãm cã dacã și tol este de ordinul 10-5, atunci condiția (3.28) impune

Evaluare apolinomului matriceal are loc dupã schema

(3.29)

Unde între doi termeni succesivi Xk și Xk-1 are loc relația

(3.30)

iar inițializãrile sunt, și

II. Aproximația raționalã (Padé) de grade (p, q) și de ordin p+q este de forma

, (3.31)

unde coeficienții ck, dk se determinã din condițiile

k=0 : p+q (3.32)

Echivalent, se poate utiliza metoda coeficienților nedeterminți, scriind formal

și egalând coeficienții gradelor egale din cei membri pânã la gradul p+q necesar. Rezultã

(3.33)

Exemplul 3.5

Pentru q=0 obține, aproximația polinomialã (). Printre aproximații raționale “diagonale”, cu p=q, sunt

cu polul z=2, respectiv

cu polii z1,2 =3 având Re z1,2 =3, plasați pe cercul de razã

Prin urmare, trecând la cazul matriceal, se constatã cã în general existența aproximației raționale Rpq(tA) nu este asiguratã necondiționat, întrucât matricea Dq(tA) poate fi singularã; de exemplu,

Este singularã dacã t = 1 și A are o valoare proprie În general, se poate arãta cã toate zerourile lui Dq(z) sunt situate în Re z > 0 și se acumuleazã la pentru q astfel încât Dq(tA) rezultã sigur nesingularã dacã este satisfãcutã cel puțin una din urmãtoarele condiții

i) Re, i.e. matricea A este stabilã;

ii) q este suficient de mare;

iii)

În consecințã, condiția de limitare a normei lui tA este utilã pentru a asigura nu numai buna condiționare a problemei calculului lui etA ci și existența aproximației raționale considerate mai sus, independent de caracteristicile de stabilitate ale matricei date A sau de ordinal q adoptat în calcule.

Pentru a conecta exemplele (3.4) și (3.5) se poate observa cã aproximația raționalã R11(tA) corespunde integrãrii numerice a ecuației diferențiale prin metoda Euler implicate de ordin 1.

Eroarea de trunchiere poate fi limitatã alegând convenabil gradele p, q ale aproximãrii (3.30). Se poate arãta ca dacã atunci

(3.34)

unde AE=EA, iar

(3.35)

Deoarece AE=EA implicã , eroarea relativã de trunchiere comisã prin utilizarea aproximației Padé Rpq(tA) poate fi evaluatã prin

. (3.36)

și aceastã inegalitate poate fi utilizatã în locul lui (3.26). Evaluarea (3.35) valabilã în cazul general , este simetricã în raport cu p și q deci nu permite alegerea lor univocal.

3.3. Proprietãțile matricei exponențiale

Proprietãțile urmãtoare, sunt proprietãți ale matricei de tranziție ce variazã în sisteme de timp variat:

Proprietatea 1. Funcția are ca soluție unicã

Proprietatea 2. Coloana i a funcției are ca soluție unicã

unde ei al vectorului i are baza canonicã din

Proprietatea 3. Pentru orice t,

Proprietatea 4. Pentru orice este nonsingular și

Pentru sistemele LTI, matricea de tranziție are proprietăți importante, care derivă din teorema Cayley-Hamilton. Se va da în continuare un polinom

și matricea A definitã pe

care este de asemenea o matrice.

Teorema Cayley-Hamilton. Pentru matricea A , are loc egalitatea

unde,

este polinomul caracteristic al matricei A.

Urmãtoarele proprietãți ale matricei exponențiale sunt consecințe ale teoremei Cayley-Hamilton și sunt specifice cazului de timp invariat.

Proprietatea 5. Pentru fiecare matrice A, existã n al funcțiilor scalare pentru relația

(3.37)

unde ai sunt coeficienții polinomului caracteristic al matricei A. Atunci

Folosind aceste relații, se poate ajunge la

Prin urmare An+1 poate fi scrisã ca o combinație liniarã de forma An-1, An-2,…, A, I. Aplicând proceduri identice pentru creșterea puterii matricei A, pentru fiecare k 0, unde Ak poate fi scris asfel

(3.38)

pentru coeficienții adecvați . Înlocuind aceastã relație , avem ca rezultat

Relația (3.37) este definitã de

Proprietatea 6. Pentru fiecare a matricii A

Aceasta este o consecințã a proprietãții 5.

3.4. Calculul matricei exponențiale folosind transformarea Laplace

Am observat în proprietatea (P.1) cã este definitã unic asftel

Luând transformata Laplace de fiecare parte a ecuației diferențiale, ajungem la concluzia urmãtoare

L L

Prin urmare, putem folosi inversa Laplace, transformãrii tabelare pentru a calcula

L

Notã: Din moment ce folosim transformarea Laplace unilateral, aceastã metodã dã valori pentru

3.5. Importanța polinomului caracteristic

Folosind relația

unde

este polinomul caracteristic al matricei A, ale cãror rãdãcini are valori proprii ale lui A, iar este adjunctul matricei , ale cãror intrãri sunt polinoame în s la puterea n-1 sau mai mici.

Pentru a calcula inversa transformãrii Laplace , avem nevoie sã efectuãm fracția parțialã a fiecãrei intrãri a lui .

Acestea sunt de forma

Inversa transformãrii Laplace va fi

L-1

Astfel, atunci când toate valorile proprii ale lui A, au părți reale strict negative, toate intrările converg cãtre 0 ca , ceea ce înseamnă că rezultã

converg la rãspunsul forțat

Notație. Matricea este numitã Hurwitz sau matrice stabilã dacã toate valorile proprii au părțile reale strict negative.

3.5. Teoria Dunford-Taylor pentru matricea f(A)

Fie o funcție f:olomorfã în domeniul Dse poate scrie sub forma unei integrale cu parametru

(3.39)

dacã este un contur simplu.

Fie acum și A o matrice pãtratã oarecare, A=[ajk], j, k=1, 2,…,ajk Pentru aceastã matrice se vor defini puterile naturale Am, punând

A0=I, Am=A (3.40)

și matricea p(A), unde este o funcție polinomialã, astfel încât dacã p(z)=a0+a1z+…+amzm, a0, …, am, și vom scrie

(3.41)

unde I este matricea unitate, I= , sunt numerele lui Kronecker. Se poate defini și matricea inversã A- matricii A dar numai dacã proprietatea de definiție fiind AA-1=A-1A=I, iar în acest caz au sens și puterile negative ale lui A-m=(A-1)m, m=1,2,… .

Definiția 1. Matricea rezolventã a matricii A, notatã Rz(A) este matricea inversã a matricii (zI-A), adicã

(3.42)

(dacã aceastã matrice are sens) consideratã cu aplicație

Observația 1. Matricea rezolventã va avea sens numai pentru acei pentru care ; este o funcție polinom de grad n în z, numitã polinomul caracteristic al matricei A, se deduce, notând prin polinomul caracteristic

(3.43)

cã matricea va exista pentru orice

Definiția 2. Numerele complexe definite mai sus vor constitui valorile (numerele) proprii matricii A, iar mulțimea lor va forma spectrul matricii A.

Definiția 3. (Dunford-Taylor). Matricea f(A) se definește prin relația

(3.44)

unde f este olomorfã și este un contur simplu din C care conține la interior spectrul matricii A, dar nu conține singularitãti ale lui f.

Exemplul 3.6

Fie A o matrice pãtratã de ordinul doi

atunci ,

Formula Dunford-Taylor se va scrie asfel:

(3.45)

Pentru calculul matricii (3.45) se va considera douã cazuri:

i) Spectrul matricii A este format din puncte distincte: P(z1)=0, P(z2)=0, .

Rezultã

= (3.46)

ii) Spectrul matricii A este dublu: z1=z2.

Rezultã =

(3.47)

Se observã cã în cazul i se mai poate scrie

j=1, 2, ()

unde z1, z2, sunt matrici pãtrate de același ordin ca și A, care nu depind de f ci numai de matricea A. Matricele z1, z2, se pot determina particularizând funcțiile f.

De exemplu, luând f(z)=1 și f(z)=z se deduce sistemul matriceal z1+z2=I, z1Z1+z2Z2=A, de unde rezultã Z1 și Z2. Se observã ca nu putem avea Z1=0 sau Z2=0. f(A) se va defini prin (3.47) numai dacã f este definitã pe spectrul matricii A.

Aceleași observații sunt valabile și în cazul z1=z2, când f(A) este determinatã prin (3.47) și avem

()

matricele Z1 și Z2 depinzând doar de matricea A (nu depinde de f) și de accea pot fi obținute direct particularizând f în (3.47)’ (se poate lua iarãși f(z)=1 respectiv f(z)=z), iar f(A) poate fi definitã prin (3.47)’ numai dacã este diferențiabilã în vecinãtatea punctului z1 (f putând fi și valori reale, dacã Dacã z1=z2, se poate întâmpla ca matricea Z2 sã fie nulã, iar în acest caz avem

, iar .

Exemplul 3.7

Fie A o matrice pãtratã de ordinul trei,

;

,

(3.48)

iar,

Pentru matricea f(A) se obține egalitatea

(3.49)

unde polinomul caracteristic P este definit prin (3.48)’, iar polinoamele pjk sunt determinate prin elementele matricii rezolvente Rz(A) definitã prin (3.48).

Calculând o sã avem

()

integralele din (3.49) calculându-se cu ajutorul teoremei reziduurilor (f nu are singularitãți in interiorul lui unde se vor afla punctele spectrului lui A).

Calculul matricei din (3.49)’ se realizeazã în trei cazuri:

Spectrul matricii A este format din trei puncte distincte z1, z2, z3, , Conform teoremei reziduurilor, se deduce

(3.50)

unde matricele de ordinul al treilea Z1, Z2, Z3 nu depind decât de matricea A:

, j=1, 2, 3 … ()

O valoare proprie a matricii A este dublã: z1=z2, iar . Teorema reziduurilor conduce la formula

(3.51)

termenii notați prin * din ultima matrice fiind asemãnãtori celor scriși, dar cu schimbarea indicilor polinoamelor pjk. Din (3.51) se deduce posibilitatea scrierii matricii sub forma

()

în care matricile Z10, Z11 și Z2 sunt de aceleași ordin cu matricea A și nu depind decât de aceastã matrice (nu depinde de f).

Spectrul matricii A este triplu, adicã polinomul caracteristic () se scrie P(z)=(z-z1)3.

Matricea f(A) va avea forma simplã

(3.52)

unde matricele de ordinul trei Z10, Z11, Z12 nu vor depinde decât de matricea A, nu și de f, iar din (3.48) se poate observa cã

deoarece deg pjj=2, deg dacã j, k=1, 2, 3.

Exemplul 3.8

Fie

atunci , iar spectrul matricii A este {2, 3, 6}.

Se deduce

Se scrie polinomul caracteristic și matricea B sub forma

(3.53)

()

Mn), ; deoarece va avea loc egalitatea din care, prin înmulțirea la stânga cu se obține

.

Înlocuind P și B prin (3.53) și () și egalând coeficienții acelorași puteri ale lui z se deduc egalitãțile

j=2, 3,…, n,

din care rezultã

Aceste egalitãți permit determinarea matricii Rz(A) cu ajutorul coeficienților polinomului caracteristic și al puterilor succesive ale matricii A. Înlocuind matricile B1, B2,… se gãsește o nouã matrice de formã a matricii B:

(3.53’’)

unde sunt funcții polinomiale de grad cel mult

Ca o concluzie, pentru orice funcție f definitã pe spectrul matricii A (dacã polinomul minimal al matricii A are numai zerouri simple) sau pentru orice funcție f care admite derivate în numãr convenabil, se poate construi matricea .

Capitolul IV

METODE DE CALCUL PENTRU DETERMINAREA COMPORTÃRII DINAMICE A SISTEMELOR LINIARE

Capitolul de față este rezervat prezentării unor metode moderne de calcul a comportării dinamice a sistemelor liniare, netede și invariante în timp. Subiectul tratat produce un interes distinct în numeroase aplicații tehnice și științifice ce apelează la modele matematice descrise de ecuații diferențiale liniare.

După cum se va putea vedea, metodele de calcul propuse acoperă și domeniul clasic al determinării răspunsului unui sistem liniar invariant în timp la impuls Dirac sau la o intrare treaptă, din teoria sistemelor automate.

4.1. Metode de calcul a matricei de tranziție

În acest paragraf se vor prezenta principalele metode de calcul numeric a matricei de tranziție, accentul punându-se pe calculul matricei de tranziție asociată sistemelor liniare, invariante în timp.

Fie sistemul liniar descris de

(4.1)

unde A(t) este o matrice de forma , cu toate elementele continue pentru orice t, iar este un vector n-dimensional. Matricea de tranziție asociată sistemului liniar (4.1), este definită prin relațiile

(4.2)

unde I este matricea unitate de forma . Soluția ecuației diferențiale vectoriale (4.1) este dată de

(4.3)

Principalele metode pentru calculul matricei de tranziție în cazul sistemelor liniare variabile în timp sînt următoarele:

-metode bazate pe integrarea numerică a ecuației diferențiale (4.1), de exemplu aplicarea metodei Runge-Kutta;

-metodă bazată pe dezvoltarea Peano-Baker (4.1). Secvența matricelor converge uniform către , unde

(4.4)

Blair (4.2) a stabilit următoarea dezvoltare în serie a matricei de tranziție

(4.5)

unde este operatorul d/dt, I este matricea unitate de forma și (k) semnifică un număr de k operații consecutive ale operatorului [A(t)-DI]. Din nefericire, formula (4.5) este nepotrivită pentru calculul numeric al matricei de tranziție

În concluzie, pentru calculul numeric al matricei se recomandă utilizarea metodelor bazate pe integrarea numerică a ecuațiilor diferențiale.

În cele ce urmează se va trata numai cazul matricei A constante, adică vom considera sistemul liniar

()

(4.6 b)

Matricea de tranziție asociată sistemului liniar (4.6), notată, poate fi definită prin seria

(4.7)

iar soluția sistemului (4.6) este

(4.8)

Metodele de calcul ale matricei de tranziție (4.7) pot fi clasificate astfel:

(a) metode ce utilizează valorile proprii ale matricei A,

(b) metode ce nu utilizează valorile proprii ale matricei A,

(b1) metode bazate pe integrarea ecuației diferențiale (4.6) ,

(b2) alte metode.

După prezentarea acestor metode, în încheierea paragrafului, se vor face unele observații generale privind calculul numeric al matricei de tranziție.

Metode bazate pe cunoașterea valorilor proprii

În cele ce urmează se vor prezenta principalele metode ce utilizează direct sau indirect valorile proprii ale matricei A pentru calculul matricei de tranziție.

Trebuie subliniat că determinarea matricei de tranziție poate fi redusă la calculul matricei de tranziție prin utilizarea relației

unde,

,

iar matricea transformării U este nesingulară. Evident, utilizarea acestei metode se recomandă când se cunoaște matricea transformării U și, în același timp, calculul matricei este, în raport cu calculul direct al matricei de tranziție , mai ușor de efectuat (de exemplu, matricea este forma Jordan sau forma companion matriceal).

Dificultatea determinării valorilor proprii ale unei matrice de ordin superior face ca aceste metode să aibă un domeniu restrâns de aplicare în calculele numerice.

După cum se știe pentru orice matrice A de forma , avem

în care,

este forma canonică Jordan a matricei A, iar

.

Mărimile sunt valorile proprii de multiplicitate , ale matricei A, iar matricele , sunt de forma . Evident avem

unde

,

iar

.

În cazul matricei A cu valori proprii distincte (sau, mai general, în cazul matricei A diagonalizabile), coloanele matricei P sunt tocmai vectorii proprii (liniar independenți) ai matricei A. Din acest punct de vedere calculul efectiv al matricei de tranziție se reduce la determinarea valorilor și vectorilor proprii ale matricei A, ceea ce echivalează cu aducerea matricei A la forma Jordan.

Putzer (4.10) a demonstrat o formulă explicită pentru calculul matricei de tranziție în funcție de valorile proprii ale matricei A. Avem relația

, (4.9)

unde

k=1, 2, …, n-1

(4.10)

și

– matrice constante de forma

-valorile proprii ale matricei A, care pot să fie și confundate.

Funcțiile scalare satisfac următoarele ecuații diferențiale

()

și

i=2, 3, …,n

(4.11 b)

Kirchaner (4.11) a obținut o formulã pentru calculul matricei de tranziție în funcție de valorile proprii distincte ale matricei A; în același timp este necesarã cunoașterea ordinului de multiplicitate a fiecãrei valori proprii a matricei A. Dacã sunt valorile proprii distincte ale matricei A, de multiplicitate s1, s2,…,sk, atunci considerãm notațiile

si , ()

, (4.12 b)

, (4.12 c)

. (4.12 d)

Avem formula

. (4.13)

Pentru calculul matricei de tranziție cu ajutorul relației (4.13), utilizând Cayley-Hamilton, se poate exprima ca un polinom matriceal în și apoi ca un polinom matriceal în A. Când toate valorile proprii ale matricei A sunt egale sau când toate valorile proprii ale matricei A sunt distincte, formula (4.13) se poate scrie astfel

(4.14)

și

, (4.15)

unde cij sunt elementele matricei C, unde

. (4.16)

În cazul matricei A cu toate valorile proprii disticte, formula (4.13) se transformã în formula cunoscutã (4.9)

(4.17)

care este tocmai formula de interpolare Lagrange-Sylvester.

4.1.2. Metode bazate pe integrarea ecuației diferențiale

Fie matricea de tranziție

. (4.18)

Punând la t0=0

, (4.19)

atunci la , devine

. (4.20)

Dacã k=1, 2, …., n atunci se pot determina toate elementele matricei dacã se cunosc valorile vectorului , considerând condiții inițiale de tipul (4.8). Valoarea vectorului , pentru o anumitã valoare a indicelui k din relația (4.19), se poate evalua prin orice metodã standard de integrare numericã a ecuațiilor diferențiale.

Dacã se aplicã metoda Runge-Kutta de ordinul 4 pentru integrarea ecuației diferențiale atunci avem relatiile

(4.21)

unde,

(4.22 )

(4.23)

(4.24) (4.25)

pentru i=1, 2, …, n. Numãrul de operații aritmetice elementare ce trebuie efectuate la calculul mãrimii cunoscând este (4.5)

înmulțiri

adunãri.

4.1.3. Observații privind calculul numeric al matricei de tranziție

Mai sus s-au prezentat metode numerice pentru calculul matricei de tranziție, metode ce pot fi împãrțite în douã mari categorii: metode ce folosesc sau nu folosesc valorile proprii ale matricei A.

Se recomandã utilizarea unei metode ce aparține celei de a doua categorii. În continuare se vor evidenția câteva aspecte importante ce trebuie luate în considerație pentru realizarea unui calcul cât mai eficient a matricei de tranziție.

Pentru calculul matricei de tranziție numeroși autori au propus utilizarea inițialã a unei descompuneri de forma

, (4.26)

unde s este un numãr întreg pozitiv, asfel încât se va obține

, (4.27)

urmând ca matricea sã fie calculatã într-una din metodele menționate anterior. În acest caz numãrul minim de înmulțiri a douã matrice pentru calculul matricei de tranziție când matricea este cunoscutã, este dat de numãrul N

(4.28)

unde

(4.29)

, – numere întregi pozitive

.

Numãrul de operații aritmetice ce trebuie efectuate pentru calculul matricei , cunoscând matricea , este dat de

înmulțiri,

adunãri.

În cazul particular al descompunerii (4.26) se obține dacã se pune

(4.30)

unde p este un numãr întreg pozitiv. Avem relația

(4.31)

unde s-a notat

. (4.32)

Pentru calculul matricei de tranziție este necesar calculul matricei pentru ca apoi sã se aplice de p ori consecutiv relația (4.32); dacã se cunoaște matricea mai sunt necesare pn3 operații de înmulțire și pn3 operații de adunare.

4.1.4. Exemple de calcul

Exemplul 1:

Fie și t=0,1.

a) Prin metoda propusã de Liou și prin metoda Fath, luând în considerare 8 termeni pentru , s-a obținut

b) Prin metoda aproximației Padé de ordinul 2 s-a obținut

c) Prin metoda Putzer modificatã, luând în considerare, s-a obținut

Exemplul 2:

Fie t=0,1.

Prin metoda propusã de Liou și metoda propusã de Fath, luând în considerare 9 termeni pentru , a obținut

b) Prin metoda aproximației Padé de ordinul 2 s-a obținut

c) Prin metoda Putzer modificatã, luând în considerare 13 termeni, s-a obținut

Concluzii

Teoria sistemelor liniare reprezintã cheia de boltã a domeniilor de teorie a controlului și a automatizãrii. Din punct de vedere matematic, ea se axeazã pe studiul ecuațiilor diferențiale, din perspectiva controlului și a estimãrii. Cunoștintele necesare pentru parcurgerea acestei lucrãri se referã la cele de algebrã liniarã și de studiu al ecuațiilor diferențiale. Nu este obligatoriu, dar este recomandat ca cititorul sã aibã și câteva cunoștințe de teorie clasicã a controlului.

Aceastã lucrare realizeazã prezentarea modelelor de intrare-ieșire, discutând despre caracteristicile de reprezentare, stabilitate, controlabilitate, estimare și feedback ale sistemelor liniare în general, și ale celor dinamice în particular. În partea a doua a lucrãrii (Capitolele 3 si 4), am folosit unele dintre cele mai cunoscute metode privind calculul funcțiilor de matrice și determinarea comportãrii sistemelor liniare (matricea exponențialã, transformãrile Laplace, metoda Dunford Taylor, studiul valorilor proprii și al matricei de tranziție).

Lucrarea se încadreazã astfel în domeniul general al Sistemelor dinamice comandate și dorește sã expunã într-o manierã ușor asimilabilã și pentru necunoscãtori a principalelor concepte teoretice de sisteme liniare și sã ofere multe exemple de utilizare a rezultatelor din teoria generalã în Matlab, pentru a aplica facil aceste metode la problemele de sisteme liniare din diferite domenii, de la cele strict tehnice, la cele economice și sociale. Este prezentã o continuitate naturalã, de la teorie, la utilizarea practicã a acesteia, computaționalã, deoarece se oferã posibilitatea de a întelege și folosi conceptele teoretice fãrã a fi nevoie de detaliile necesare realizãrii numerice a calculelor.

Am cãutat sã evit pe cât posibil o prezentare clasicã, ce constã în enunțarea unor teoreme și apoi oferirea unor demonstrații lungi și tehnice (ce se pot gãsi în tratatele privind studiul sistemelor liniare) și am preferat prezentarea succintã a rezultatelor și teoremelor de matematicã necesarã, urmate fiind de exemple de folosire a lor, cât și într-o mãsurã semnificativ mai mare decât a altor lucrãri, de multe exemple în Matlab. Astfel, nota de noutate a lucrãrii este adusã de modul în care este prezentã proporția de teorie / exemple / simulãri în Matlab, organizarea lucrãrii și abordarea dintr-o perspectivã preponderent computaționalã.

În încheiere țin sã aduc mulțumire profesorului meu, domnul Valeriu Prepelițã, ce a reușit sã mã atragã în studiul sistemelor liniare și sã mã îndrume pentru realizarea unei aprofundãri a acestui domeniu și a orelor de laborator care m-au ajutat la derularea simulãrilor în Matlab, și nu în ultimul rând Facultãții de Științe Aplicate, din cadrul Universitãții Politehnice București, ce ne-a pus la dispoziție cadrul propice de cercetare.

Bibliografie

1. Belea C., Vartolomei M., Metode algebrice și algoritmi de sinteză optimală pentru sistemele dinamice, Editura Academiei, 1985.

2. Canureci G., Vinătorul M., Maican C., Detectia și localizarea defectelor în sistemele dinamice, Editura Sitech, 2012.

3. Corâci I.C., Popescu O., Popescu C.D., Teoria sistemelor. Culegere de probleme, MATRIX ROM, 1997.

4. Dragan V., Halanay A., Stabilizarea Sistemelor Liniare, Editura All, 1994.

5. Dragomir O.E., Dragomir F, Minca E, Dumitrache C., Teoria sistemelor automate. Fundamente teoretice si aplicații MATLAB, Editura Matrix Rom, 2010.

6. Filipescu A, Stămătescu S., Teoria sistemelor. Analiza și sinteza sistemelor liniare în abordarea structurală, Editura Matrixrom, 2005.

7. Hespahna J.P., Linear Systems Theory, Press, 2009.

8. Ionescu V., Lupaș L., Tehnici de calcul în teoria sistemelor. I. Sisteme liniare, Editura Tehnică, 1974.

9. Ionescu V., Varga A., Teoria sistemelor. Sinteza robusta. Metode numerice de calcul, Editura All, 1994.

10. Jora B., Popeea C., Barbulea S., Metode de calcul numeric în Automatică. Sisteme liniare. Ed. Enciclopedică, 1996.

11. Moler C. B., Van Loan C. F. Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Review, vol. 20, 1978.

12. Olariu V., Prepelita V., Teoria distributiilor, functii complexe si aplicatii, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, 1986.

13. Parlett B. N. A Recurrence among the Elements of Functions of Triangular Matrices, Lin. and Its Applic., vol. 14, 1976.

14. Prepelita V., Vasilache T., Doroftei Mona, Control Theory, UPB Department of  Engineering  Sciences, 1997.

15. Stănescu N.D., Munteanu L., Chiroiu V, Sisteme dinamice: teorie și aplicații Vol II, Editura Academiei Române, 2011.

16. Van Loan C. F. A Note on the Evaluation of Matrix Polynomials, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-24, 1978.

17. Van Loan C. F. Computing Integrals Involving the Matrix Exponential, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-24, 1978.

18. Van Loan C. F. The Sensitivity of the Matrix Exponential, J. Numer. Anal., vol. 6, 1977.

19. Voicu M., Teoria sistemelor Editura Academiei Române, 2008.

20. Ward R. C. Numerical Computation of the Matrix Exponential with Accuracy J. Numer. Anal., vol. 14, 1977.

Bibliografie

1. Belea C., Vartolomei M., Metode algebrice și algoritmi de sinteză optimală pentru sistemele dinamice, Editura Academiei, 1985.

2. Canureci G., Vinătorul M., Maican C., Detectia și localizarea defectelor în sistemele dinamice, Editura Sitech, 2012.

3. Corâci I.C., Popescu O., Popescu C.D., Teoria sistemelor. Culegere de probleme, MATRIX ROM, 1997.

4. Dragan V., Halanay A., Stabilizarea Sistemelor Liniare, Editura All, 1994.

5. Dragomir O.E., Dragomir F, Minca E, Dumitrache C., Teoria sistemelor automate. Fundamente teoretice si aplicații MATLAB, Editura Matrix Rom, 2010.

6. Filipescu A, Stămătescu S., Teoria sistemelor. Analiza și sinteza sistemelor liniare în abordarea structurală, Editura Matrixrom, 2005.

7. Hespahna J.P., Linear Systems Theory, Press, 2009.

8. Ionescu V., Lupaș L., Tehnici de calcul în teoria sistemelor. I. Sisteme liniare, Editura Tehnică, 1974.

9. Ionescu V., Varga A., Teoria sistemelor. Sinteza robusta. Metode numerice de calcul, Editura All, 1994.

10. Jora B., Popeea C., Barbulea S., Metode de calcul numeric în Automatică. Sisteme liniare. Ed. Enciclopedică, 1996.

11. Moler C. B., Van Loan C. F. Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Review, vol. 20, 1978.

12. Olariu V., Prepelita V., Teoria distributiilor, functii complexe si aplicatii, Ed. Stiintifica si Enciclopedica, 1986.

13. Parlett B. N. A Recurrence among the Elements of Functions of Triangular Matrices, Lin. and Its Applic., vol. 14, 1976.

14. Prepelita V., Vasilache T., Doroftei Mona, Control Theory, UPB Department of  Engineering  Sciences, 1997.

15. Stănescu N.D., Munteanu L., Chiroiu V, Sisteme dinamice: teorie și aplicații Vol II, Editura Academiei Române, 2011.

16. Van Loan C. F. A Note on the Evaluation of Matrix Polynomials, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-24, 1978.

17. Van Loan C. F. Computing Integrals Involving the Matrix Exponential, IEEE Trans. Automat. Contr., vol. AC-24, 1978.

18. Van Loan C. F. The Sensitivity of the Matrix Exponential, J. Numer. Anal., vol. 6, 1977.

19. Voicu M., Teoria sistemelor Editura Academiei Române, 2008.

20. Ward R. C. Numerical Computation of the Matrix Exponential with Accuracy J. Numer. Anal., vol. 14, 1977.