Aplicatii Statistica Model Varianta 3 Aprilie 2020 [311271]
1. Reprezentarea grafică a [anonimizat] a datelor, fiind cu atât mai sugestive și mai utile cu cât numarul de date colectate crește. Există mai multe tipuri de reprezentare grafică adecvate statisticii descriptive: [anonimizat] "placintă" [anonimizat].
Reprezentarea grafică a seriilor cronologice
Comparația în timp constituie o coordonată importantă a analizei economice.
[anonimizat]. [anonimizat], [anonimizat]..
1.Cronogramele constituie reprezentări biaxiale care redau dinamica unuia sau mai multor indicatori interdependenți aferenți unui anumit proces sau fenomen cercetat.
2. Graficul cu bare sau histogramele
Sunt reprezentări simple și sugestive menite să permită compararea valorilor pe care le poate lua o [anonimizat].
[anonimizat]. Pentru ca proporționalitatea să se transmită la nivelul dimensiunii verticale a respectivelor dreptunghiuri se iau egale laturile mici ale dreptunghiurilor.
Graficele cu bare:
alăturate sau adiacente;
distanțate (distanțele sunt egale);
parțial suprapuse.
1.1. GRAFICUL CU BARE SAU HISTOGRAMELE
Sunt reprezentări simple și sugestive menite să permită compararea valorilor pe care le poate lua o [anonimizat].
[anonimizat].
Pentru ca proporționalitatea să se transmită la nivelul dimensiunii verticale a respectivelor dreptunghiuri se iau egale laturile mici ale dreptunghiurilor.
Graficele cu bare:
alăturate sau adiacente;
distanțate (distanțele sunt egale);
parțial suprapuse.
Histogramele- acest tip de grafic poate fi utilizat pentru variabile exprimate atât cantitativ cât si calitativ.
[anonimizat].
[anonimizat]
1-[anonimizat] 10 clase ;
2-[anonimizat].
Fig.9Histogramele caracteristicilor produselor
:
Fig.9.3. Graficul "placintă"
Poligonul frecvențelor
Fig.1. Poligonul frecvențelor
APLICATIA 1
Pe parcursul a [anonimizat] X, numărul de locuințe construite a înregistrat valorile prezentate în tabelul1.
Se cere să se întocmească diagramele cu bare distanțate care să evidențieze dinamica acestui indicator.
Tabelul 1- Dinamica numărului de locuințe construite în perimetrul orașului X.
Fig.1.1. Dinamica variației numărului de locuințe
1.2. DIAGRAMELE CIRCULARE
Constituie repezentări în cadrul cărora valorile indicatorului pentru perioadele diferite luate în considerare se redau prin intermediul unor sectoare circulare.
Astfel sectorului circular aferent fiecărei perioade sau fiecărui moment este proporțională cu valoarea înregistrată a indicatorului în perioada sau momentul respectiv.
Elementul definitoriu din punct de vedere constructiv pentru fiecare sector de cerc este unghiul la centru al acestuia, exprimat în grade sexazecimale.
Calculul valorii acestuia se face corespunzător diferitelor momente sau perioade se face cu regula de trei simplă considerând că întregul cerc corespunde sumei valorilor de reprezentat.
[grade]
unde
-unghiul la centru corespunzător valorii aferente momentului sau intervalului i,
Vi- valoarea indicatorului i, corespunzătoare momentului sau intervalului i,
n- numărul de intervale de timp sau momente analizate,
3600 –valoarea unghiului la centru corespunzător unui cerc, care se asimilează cu suma valorilor de reprezentat.
APLICATIA 2
Pe parcursul a cinci ani, în perimetrul orașului X, numărul de locuințe construite a înregistrat valorile prezentate în tabelul 2.
Se cere să se întocmească diagramele circulară și circulară cu expandarea primei perioade, care să evidențieze dinamica acetui indicator.
Tabelul 2- Dinamica numărului de locuințe construite în perimetrul orașului X.
Fig.1.2. Dinamica locuințelor
1.3. DIAGRAMELE POLARE SAU RADIALE
Cu segmente și cu arii sau reprezentări circulare pentru a căror întocmire cercul se împarte în atâtea părți egale câte valori urmează să se reprezinte.
Diagrama polară cu segmente
Una dintre razele cercului se gradează astfel încât gradația maximă să fie cel puțin egală cu cea mai mare dintre valorile de reprezentat.
Pe fiecare dintre razele astfel obținute se va reprezenta una dintre valorile șirului care face obiectul analizei.
Unind punctele astfel obținute se obține diagrama polară deschisă cu segmente a seriei de reprezentat.
Diagrama se poate reprezenta în varianta:
deschisă- când numărul razelor de referință este egal cu cel al valorilor de reprezentat;
închisă- când numărul acestor raze este mai mic cu unu decât cel al valorilor de reprezentat.
3.Diagramele polare sau radiale
Diagramele polare sau radiale, numite și diagrame în spirală, se utilizează pentru reprezentarea seriilor cronologice ce prezintă oscilații sau variații sezoniere ciclice, iar în cadrul unui ciclu sunt diferențe mari de la o unitate de timp la alta
Diagramele polare se pot construi astfel:
se consideră un cerc a cărui rază este proporțională cu mărimea medie a indicatorului reprezentat.
cercul se împarte într-un număr de părți egal cu numărul indicatorilor seriei cuprinși într-un ciclu de variație și prin aceste diviziuni se trasează razele cercului, ce împart suprafața lui în sectoare de cerc egale.
scara graficului se construiește pe raza orizontală din dreapta sau pe cea verticală de sus.
Originea pe scara ordonatelor se poate stabili în centrul cercului sau la intersecția razei cu circumferința cercului, iar mărimea indicatorilor se măsoară fie de la circumferință pe prelungirea razelor în exteriorul cercului, fie de la circumferință spre centrul cercului.
după determinarea segmentelor de pe raze, se unesc capetele acestora fie prin segmente de dreaptă, fie prin arce de cerc.
Cu segmente și cu arii sau reprezentări circulare pentru a căror întocmire cercul se împarte în atâtea părți egale câte valori urmează să se reprezinte.
4. Diagrama polară cu segmente
Una dintre razele cercului se gradează astfel încât gradația maximă să fie cel puțin egală cu cea mai mare dintre valorile de reprezentat.
Pe fiecare dintre razele astfel obținute se va reprezenta una dintre valorile șirului care face obiectul analizei.
Unind punctele astfel obținute se obține diagrama polară deschisă cu segmente a seriei de reprezentat.
Diagrama se poate reprezenta în varianta
deschisă- când numărul razelor de referință este egal cu cel al valorilor de reprezentat,
închisă- când numărul acestor raze este mai mic cu unu decât cel al valorilor de reprezentat.
APLICATIA 3
Pentru seria cronologică redată în tabelul 3 să se întocmească diagramele polare cu segmente în variantele închisă și deschisă.
Tabelul 3. Dinamica numărului de locuințe
Fig. 3. Reprezentarea polară a dinamicii numărului de locuințe
APLICATIA 4- Pentru seria cronologică redată în tabelul 3 să se întocmească diagramele polare cu segmente în variantele închisă și deschisă.
Tabelul 3. Dinamica vînzărilor
Figura.3. Reprezentarea polară a dinamicii vânzărilor
5.Diagramele cu figuri geometrice regulate constituie o altă modalitate de reprezentare sugestivă pe cale grafică valorilor seriilor dinamice.
6. Pictograme
= 100 studenti de gen masculin =100 studenti de gen feminin
2. Sistemul de indicatori ai seriilor cronologice
În raport cu modalitatea de obținere și exprimare se deosebesc următoarele tipuri de indicatori ai seriilor cronologice :
indicatori absoluți;
indicatori relativi;
indicatori medii.
a) Indicatorii absoluți sunt:
nivelurile absolute ale termenilor, (yi);
modificarea absolută, ();
b) Indicatorii relativi sunt:
indicele de dinamică, (I);
ritmul de creștere sau scădere (R);
valoarea absolută a unui procent de creștere (scădere) (A);
c) Indicatorii medii sunt:
nivelul mediu (y );
sporul mediu ( );
indicele mediu (I );
ritmul mediu (R ).
Nivelul absolut (y) exprimă cuantumul, mărimea fenomenului analizat în unitatea de timp t și se identifică cu fiecare termen al seriei.
Se exprimă în unități fizice sau valorice și se notează cu y0, y1, …, yi, …, yn .
Modificările absolute ( ) se pot determina cu bază fixă și cu bază mobilă și se calculează ca diferență între două niveluri absolute diferite sau succesive ale aceluiași fenomen.
Se exprimă în unitatea de măsură a nivelurilor absolute și arată cu cât a crescut sau a scăzut nivelul.
Modificarea absolută cu bază fixă (i/o) se obține ca diferență între fiecare termen al seriei și termenul considerat de bază care rămâne același pentru întreaga serie.
Formula de calcul a modificării cu bază fixă este :
yi/o = yi – y0 = (2.1)
Modificarea absolută sau sporul absolut cu bază mobilă (i/i-1) se calculează ca diferență între doi termeni consecutivi ai seriei, baza de comparație se schimbă în mod continuu, considerându-se de fiecare dată drept bază, nivelul perioadei precedente.
Formula de calcul este:
yi/i-1 = yi – yi-1 = (2.2)
Între sporurile cu bază fixă și cele cu bază mobilă există anumite relații bine determinate, ce permit trecerea de la o categorie de sporuri la cealaltă:
suma sporurilor cu bază mobilă este egală cu sporul cu bază fixă al întregii perioade, adică:
(2.3)
diferența dintre două sporuri absolute cu bază fixă consecutive este egală cu sporul cu bază mobilă corespunzător:
i/0 – i-1/0 = i/i-1 (2.4)
Indicele de dinamică (I) se determină ca raport între doi termeni ai seriei și arată de câte ori (sau cu cât la sută) a crescut sau a scăzut, nivelul unui anumit fenomen în decursul unei perioade de timp față de un nivel anterior.
Indicele de dinamică se poate determina cu bază fixă și cu bază mobilă.
Formulele de calcul sunt:
– cu bază fixă
(2.5)
– cu bază mobilă.
(2.6)
Relațiile dintre indicii cu bază fixă și cei cu bază mobilă, prezentate în capitolul precedent, pot fi aplicate și în cazul seriilor cronologice.
Ritmul de creștere sau scădere (R), denumit spor sau scădere relativă, arată cu cât la sută a crescut sau a scăzut procentual nivelul fenomenului dintr-o unitate de timp față de alta și se poate determina cu bază fixă și cu bază mobilă.
Ritmul cu bază fixă (Ri/0) se determină prin raportarea sporului absolut cu bază fixă, la nivelul absolut din perioada considerată ca bază de comparație, după formula:
(2.7)
Ritmul cu bază mobilă (Ri/i-1) se calculează raportând sporul absolut cu bază mobilă, la nivelul absolut din perioada luată drept bază de raportare, folosind formula de calcul:
(2.8)
Valoarea absolută a unui procent din ritmul de creștere sau scădere (A),
arată câte unități fizice sau valorice revin la 1 procent de creștere sau scădere din ritm și se calculează atât cu bază fixă cât și cu bază mobilă, ca raport între modificarea absolută și ritm:
– cu bază fixă; (2.9)
– cu bază mobilă.
(2.10)
Indicatorii medii se prezintă sub formă de indcatori calculați din :
mărimi absolute:
nivelul mediu (y )
sporul mediu ( )
mărimi relative:
indice mediu (I )
ritmul mediu (R )
Nivelul mediu (y ) se poate determina, în funcție de natura seriei cronologice, ca:
a-medie aritmetică simplă pentru seriile dinamice de intervale, deoarece termenii sunt însumabili.
Formula de calcul în acest caz este:
y = yi / n (2.11)
b-medie cronologică simplă sau ponderată pentru seriile de momente, pe baza următoarelor relații de calcul:
– media cronologică simplă
(2.12)
-media cronologică ponderată
(2.13)
Sporul mediu sau scăderea medie ( ) este media aritmetică simplă a modificărilor absolute cu bază mobilă și se determină cu formula:
(2.14)
Sporul mediu, arată cu câte unități a crescut sau a scăzut în medie nivelul absolut de la o perioadă la alta și are o valoare semnificativă numai dacă modificările absolute cu bază în lanț au valori apropiate între ele.
Indicele mediu arată de câte ori s-a modificat în medie fenomenul analizat pe întreaga perioadă și se determină ca medie geometrică simplă a indicilor cu bază mobilă, după formula:
(2.15)
Ritmul mediu (indicele de creștere sau descreștere) evidențiază cu câte procente se modifică în medie fenomenul analizat în perioada luată în calcul.
Formula de calcul este:
R = I 100 – 100 (2.16)
Indicatorii prezentați permit o analiză primară a unei serii cronologice, însă pentru o cunoaștere mai profundă a fenomenului sau colectivității supuse cercetării sunt necesare metode mai complexe și aplicarea unor sisteme de indicatori, care vor fi tratați în continuare.
2.1. Indicatorii statici ai seriilor cronologice
Indicatorii statici reprezintă expresia numerică a manifestărilor unor fenomene care se desfașoară în timp, spațiu și structură organizatorică.
Sunt două tipuri: a) – indicatori absoluți,
b) – indicatori derivați.
Indicatorii absoluți
– reprezintă mărimile absolute obținute fie prin înregistrarea datelor, fie prin sistematizarea și gruparea acestora.
Ei se întâlnesc la nivelul colectivității și se numesc indicatori generalizați sau la nivelul grupei.
Se exprimă în unități concrete de măsură care pot fi de tipul celor:
fizice (tone, bucăți, kg. etc),
valorice (unități monetare).
Indicatorii derivați
– sunt obținuți cu ajutorul indicatorilor absoluți.
Ei sunt utilizați pentru a caracteriza:
1. raportul cantitativ dintre caracteristicile statice, părți ale colectivității sau dintre fenomenele studiate. .
2. . valori tipice formate obiectiv în cadrul aceleiași perioade de timp sau în dinamică,
3. gradul și forma variației a fenomenelor cercetate,
4. legături de interdependență dintre fenomenele economico-sociale.
Principalele tipuri de indicatori derivați sunt:
a. mărimile relative,
b. mărimile medii,
c. indicatorii variației,
d. indicatorii corelației,
e. indicii.
Mărimile relative reprezintă cei mai simpli indicatori statici.
Ele presupun compararea sub formă de raport a indicatorilor absoluți cu condiția respectării comparabiliții datelor în timp și spațiu.
Comparabilitatea presupune ca datele să fie obținute în funcție de aceeași metodologie de culegere și centralizare a lor, precum și a se face referire la același interval de timp.
Principalele tipuri de mărimi relative sunt :
a. de structură,
b. de coordonare,
c. de intensitate,
d. de dinamică
e. ale planului.
2.2. Indicatorii seriilor cronologice
În raport cu modalitatea de obținere și exprimare se deosebesc următoarele tipuri de indicatori ai seriilor cronologice :
indicatori absoluți;
indicatori relativi;
indicatori medii.
Exemplu: Evoluția vânzărilor de telefoane mobile la firma X.
Timp (t) 0 ….. 1 . t …… T
y0 …….. y0 …….. y1 …. …yt
a) Indicatorii absoluți sunt:
nivelurile absolute ale termenilor, (yi);
modificarea absolută, ();
b) Indicatorii relativi sunt:
valoarea absolută a unui procent de creștere (scădere) (A);
indicele de dinamică, (I);
ritmul de creștere sau scădere (R);
c) Indicatorii medii sunt:
nivelul mediu (y );
sporul mediu ( );
indicele mediu (I );
ritmul mediu (R ).
a- INDICATORII ABSOLUȚI
Sporul absolut arată cu cât s-a modificat nivelul unui indicator într-o perioadă față de o perioadă luată ca bază de comparație.
Se exprimă în unități de măsură ale lui y și se poate calcula în două variante:
spor absolut cu baza fixă Δ n/0 = yn – y0
spor absolut cu baza în lanț Δ n/n-1 = yn- yn-1
Acești indici sunt folosiți pentru a exprima modul cum evoluează în timp.
Considerăm evoluția numărului de turiști în perioada 2015-2019 în stațiunea X.
Δ 1/0=y5- y4= 48-40 = 8,
Δ 2/0=y6 – y4= 50-48 = 2,
……..
Δ 4/0=y8- y4= 60-40 = 20
b- INDICATORII RELATIVI
Indicele arată de câte ori s-a modificat nivelul unui indice într-o perioadă față de perioada luată ca bază de comparație.
Se calculează în două variante:
indice cu baza fixă
indice cu baza în lanț
Exemplu
a- cu baza fixă
..
b- cu baza în lanț
RITMUL (RATA) DE CREȘTERE arată cu cât se modifică nivelul unui indicator într-o perioadă față de perioada luată ca bază de comparație.
Se exprimă de obicei în procente și se calculează în două moduri cu baza fixă și cu baza în lanț.
ritmul cu baza fixă:
ritmul cu baza în lanț:
Avem 3 forme fundamentale de exprimare a evoluției în timp:
Δ- sporul (cu cât),
I- indicele (de câte ori),
R- ritmul (cu cât (%)).
d- INDICATORII MEDII
nivelul mediu absolut,
sporul mediu absolut,
indicele mediu,
ritmul mediu.
Nivelul absolut mediu se calculează ca medie aritmetică a lui xt (numai în cazul indicatorului de flux).
,
= 251/5 = 50.2 mii turiști ,
în concluzie am calculat nivelul absolut mediu de turiști care au venit în stațiune în medie în fiecare an al perioadei analizate 50,2 mii turiști.
Sporul absolut mediu se calculează ca medie aritmetică a sporului cu baza în lanț și arată cu cât s-a modificat în medie indicatorul de la o perioadă la alta.
Se exprimă în unitațile de măsură ale indicelui.
= 20/4 = 5mii turiști,
în medie numărul de turiști a crescut cu 5 mii de persoane de la o perioadă la alta.
Indicele mediu se calculează ca medie geometrică a indicelui cu baza în lanț și arată de câte ori s-a modificat în medie un indice de la o perioadă la alta.
, în medie a crescut de 1,1 ori de la un an la altul.
Ritmul mediu R arată în procente de obicei cu cât s-a modificat în medie un indicator de la o perioadă la alta .
R2008/2004 = 20% => I2008/2004 = 120% => y2008 / y2004 = 1,2
ΣΔt/t-1 = Δ2008/2004 = 18
y 2008– y2004 = 18
y2008 /y2004 = 1,2
R (%) = 110,6-100 = 10,6%,
numărul de turiști a crescut cu un ritm mediu anual de 10,6%
INDICATORII ABSOLUȚI AI SERIILOR CRONOLOGICE
APLICATIA 5
Producția de cherestea în anii 2000-2008 a fost cea prezentată în tabelul 8. Să se calculeze indicatorii absoluți.
Tabel 8. Producția de cherestea
Notăm cu t variabila de timp și cu X producția de cherestea pe unități de timp- seria va lua valori de la X0 perioada de bază a seriei la Xn, ultimul termen al seriei adică seria este formată din n+1 termeni.
Dinamica producției în România între anii 2011-2019
Sporul absolut se calculează față de nivelul unei singure perioade considerată ca bază fixă sau de la o perioadă de timp la alta.
În primul caz se obține sporul cu bază fixă, în cel de al doilea caz se obține sporul cu baza în lanț.
Sporul cu baza fixă se notează cu Δn/0 și se obține ca o diferență între nivelul fiecărei perioade Xn, și nivelul perioadei considerate de referință X0, adică:
Sporul cu bază fixă se notează cu Δn/n-1 și se obține ca o diferență între nivelul fiecărui an Xn, și nivelul anului precedent Xn-1 adică:
Dinamica producției în România între anii 2011-2019
Corelația: suma sporurilor cu baza în lanț este egală cu sporul cu baza fixă pe întreaga perioadă:
Plecând de la această relație de bază în mod corespunzător se poate trece de la sporurile cu baza fixă la cele cu baza în lanț:
Cu ajutorul acestor relații se poate verifica exactitatea calculelor.
Se observă că producția de cherestea a scăzut pe parcursul anilor din 2011 -2019 nu avem o creștere a producției ci o descreștere.
INDICATORII RELATIVI AI SERIILOR CRONOLOGICE
APLICATIA 6
Producția de cherestea în anii 2011-2019 a fost cea prezentată în tabelul 9 Să se calculeze indicatorii relativi.
Tabel 9.
Acești indicatori sunt folosiți pentru stabilirea proporțiilor și corelațiilor pentru diferite ramuri și sectoare ale economiei naționale, respectiv ritmuri înalte și diferențiate pe ramuri, județe sectoare ale economiei naționale.
Indicele este o mărime relativă care arată de câte ori s-a modificat un fenomen în timp și se poate calcula cu bază fixă și cu bază în lanț.
Indicele de bază fixă se notează cu In/0 și se calculează ca raport între nivelul fiecărui an și nivelul anului ales ca bază, se exprimă de regulă sub formă de procente.
Indicele cu baza lanț In/n-1 reprezintă raportul între nivelul fiecărui an și nivelul anului precedent, astfel:
Corelația: Produsele indicilor cu baza în lanț este egală cu indicele cu baza fixă al întregii perioade
Trecerea de la indicii de dinamică cu baza fixă la cei cu bază în lanț se va face conform relației
……
RITMUL DE CREȘTERE
APLICATIA 7
Producția de cherestea în anii 2011-2019 a fost cea prezentată în tabelul 10.
Să se calculeze ritmul de creștere a producției.
Tabel 10
Ritmul de creștere se calculează cu baza fixă și baza în lanț
Se calculează ca și raport între sporul cu bază al fiecărei perioade și nivelul anului de bază.
Se notează cu Rn/0 și se exprimă
Ritmul de creștere cu baza în lanț Rn/n-1 se calculează ca raport între sporul cu baza în lanț al fiecărui an și nivelul anului precedent și se exprimă de regulă tot sub formă de procente
INDICATORII MEDII AI SERIILOR CRONOLOGICE
APLICATIA 8
Producția de cherestea în anii 2011-2019 a fost cea prezentată în tabelul 11. Să se calculeze indicatorii medii.
Tabel 11
a-Nivelul mediu al unei serii cronologice se calculează după relația:
Dinamica producției în România între anii 2011-2019
Pentru n+1=9+1=10
m3/an
b-Sporul mediu anual se obține din sporurile anuale cu baza în lanț, după formula
m3/an
Pe baza valorii calculate înseamnă că în medie dacă producția crește sub forma liniară, pe seama unor cauze cu influență constantă pe toată perioada 2000-2008, atunci an de an producția de cherestea trebuie să crească cu 303, 55 mil. m3 calculată față de nivelul anului precedent.
Sporul mediu anual :
m3/an
c-Indicele mediu de creștere
Arată de câte ori trebuie să crească an de an nivelul fenomenului cercetat și se calculează ca medie geometrică
=0,8948 m3/an
DETERMINAREA VOLUMELOR VIITOARE ALE PRODUCTIEI
3.1. metoda mediilor simple- presupune determinarea valorilor viitoare ale parametrior unui fenomen sau proces economic pe seama valorilor medii înregistrate în decursul unei perioade cronologice prestabilite. Se aplică pentru perioade de 3, 6, 12 luni.
Rațiunea generală a acestei metode rezidă din faptul că valoarea previzionată pentru intervalul temporal următor se consideră egală cu media aritmetică, geometrică sau armonică a valorilor înregistrate în perioadele anterioare.
Media artimetică simplă, pentru un intervalul temporal următor este dată de relația:
;
unde:
reprezintă valoarea previzionată în intervalul de timp t pentru intervalul t+1
yt- valoarea parametrului previzionat în intervalul de timp i, i=1,2, …, t
t- numărul de perioade luate în considerare în cadrul analizei.
Rezultatele trebuie privite cu reținere, mai ales în situațiile în care datele referitoare la consumuri prezintă un trend bine conturat de evoluție.
APLICATIA 9
O firmă înregistrează în decursul unui an consumurile lunare de materie primă redate în tabelul 4. Se cere să se prognozeze valoarea consumului de materie primă pentru luna ianuarie a anului următor utilizând metoda mediei aritmetice simple.
Tabelul 4. Valorile consumurilor lunare
Valoarea prognozată a consumurilor pentru luna ianuarie a anului următor este dată de relația:
,
Înlocuind valorile din tabel vom obține:
Fig.2.1. Dinamica valorilor consumurilor prognozate pentru luna ianuarie
2.2. Metoda mediilor mobile -evenimentele viitoare sunt determinate de cele trecute, dar influența elementelor cu o vechime mare în raport cu cele din trecutul imediat este mult mai redusă, ele putând fi eliminate din calculele de prognoză pe măsura trecerii timpului.
Aceasta este esența metodei mediilor mobile, care se caracterizează prin luarea
în considerare a celor mai recente date de istoric din structura seriilor dinamice.
Ea presupune determinarea unor valori medii pe baza luării în considerare a unui anumit număr de valori anterioare ale seriei dinamice analizate.
Pe măsura obținerii unor date mai recente, se renunță la cele mai vechi date din componenta seriei, considerându-se că aceasta au posibilitățile cele mai reduse de repetare în viitor.
unde reprezintă valoarea previzionată în perioada t pentru perioada t+1;
– valoarea observată pentru timpul t;
n-numărul valorilor observate în momentul calculării mediei mobile.
Valoarea n se stabilește de către autorul previziunii, cu cât numărul perioadelor este mai mare cu atât datele sunt mai recente.
APLICATIA 10
O firmă înregistrează în decursul unui an consumurile lunare de materie primă redate în tabel,
Se cere să se prognozeze valoarea consumului de materie primă pentru luna ianuarie a anului următor utilizând metoda mediilor mobile în variantele pe 3, 6, 12 luni.
Pornind de la formula:
previziunea cu medii mobile pe 3 luni
……..
previziunea cu medii mobile pe 6 luni
………
previziunea cu medii mobile pe 12 luni
Fig.2.2. Dinamica vânzărilor previzionate pe 3 luni, 6 luni si 12 luni
2.3. Metoda mediilor mobile duble
Se utilizează în special în cazul seriilor dinamice care prezintă în configurația evoluției lor o tendință liniară. Determinarea valorilor previzionale are la bază calculul diferențelor dintre mediile mobile determinate în cele două etape Acestor diferențe le este adaugăt un factor de ajustare analog cu exprimarea tendinței printr-o funcție liniară.
Pașii de urmat:
1-se determină valoarea coeficienților P't și P"t cu relațiile:
2- se calculează valorile a și b cu relațiile:
3- se realizează previziunea pentru perioada t+m cu relația:
unde: n- reprezintă numărul de perioade folosite în calculul mediei mobile,
t- numărul de perioade ale seriei dinamice inițiale,
m-numărul de perioade viitoare pentru care se realizează previziunea.
Metoda celor mai mici pătrate
În vederea aplicării metodei se parcurg următoarele etape:
reprezentarea grafică a perechilor ordonate constituite din valorile variabilei independente și valorile variabilei a cărei evoluție dinamică se analizează,
unirea punctelor discrete determinate la pasul anterior prin intermediul unei linii frânte închise,
încadrarea punctelor obținute la pasul doi într-o bandă cât mai îngustă care să sugereze forma unei funcții continue,
reprezentarea formei potențiale a funcției de regresie prin intermediul unei curbe continue, care să aibă de o parte și de alta a ei un număr aproximativ egal de puncte experimentale,
precizarea relației analitice generale a funcției de regresie identificate la pasul anterior,
calculul valorilor coeficienților funcției identificate la pasul anterior prin intermediul metodei celor mai mici pătrate,
determinarea abaterii etalon a seriei cronologice,
stabilirea limitei superioare și inferioare a intervalului de încredere a valorilor previzionate.
APLICATIA 11
Pentru o firmă se cunosc valorile dintr-o materie primă înregistrate în decursul a 7 ani. Se cere să se realizeze prognoza pentru anul al 8-lea utilizând în acest scop metoda celor mai mici pătrate.
REZOLVARE
Pașii 1-4 duc la obținerea tabelului, se poate remarca faptul că valorile experimentale pot fi aproximate prin intermediul unei drepte.
Pasul 5- precizarea relației matematice generale y=a+bt și a funcției de regresie identificate la pasul următor ca fiind ecuația de forma
Pasul 6 – calculul valorilor coeficienților funcției identificate la pasul anterior prin intermediul metodei celor mai mici pătrate.
Pentru determinarea valorilor coeficienților a și b se recurge la rezolvarea sistemului de ecuații:
→ → → 52=28b
Pasul- 7
Ecuația de regresie este de forma: ,
pentru calculul valorilor anului al 8-lea vom avea:
Pasul 8- calculul valorilor teoretice ale seriei dinamice cu ajutorul
Pentru t, 1,2, …7
Pasul 9-determinarea abaterii etalon a seriei cronologice
Pasul 10- stabilirea limitei superioare și inferioare ale intervalului de încredere al previziunii.
Se determină abaterea efectivă în fiecare punct cu ajutorul relației:
Notând radicalul cu A, A= se obțin următoarele valori
Prin înlocuirea valorilor și calculul abaterilor efective cu care se modifică valorile previzionate, rezultă limitele superioare și inferioare ale intervalului de previziune în fiecare dintre punctele analizate.
În acest scop se utilizează relațiile:
,
Limitele intevalului de previziune
APLICATIA 12
Să presupunem următorul exemplu: Zece cumpărători sunt testați în ceea ce privește nivelul de creativitate (Y) și de prezentare (X) al unui produs prin acordarea de note pe o scară de la 10 la 19. Au fost obținute următoarele rezultate:
Se cere să se realizeze o predicție pentru produsul care va fi găsit de cumpărători pe rafturile magazinelor.
Aplicând metoda celor mai mici pătrate vom parcurge
Pasul 1- realizarea tabelului luând în considerare perechile de variabile, x,y.
Pasul 2-calcularea perechilor xi yi și x2
Pasul 3- ecuația de regresie de forma yi = a+bxi
Pasul 4-găsirea variabilelor a,b prin formarea sistemului
Obținem astfel:
a = 27,08
b = -0,91
Pasul 5- În urma calculului va rezulta ecuația de regresie : y*i = 27,08 – 0,91xi
Vom face în continuare predicții ale nivelului de creativitate pornind de la această ecuație în situațiile în care produsul ar obține nota 11, respectiv nota 19 la proba de prezentare pe raftul magazinului.
y 1 = 27,08 – 0,91×11 = 17,07
y 2 = 27,08 – 0,91×15 = 13,43
y 3 = 27,08 – 0,91x 14= 14,34
y 4 = 27,08 – 0,91×18 = 10,7
y 5 = 27,08 – 0,91×10 = 17,98
y 6 = 27,08 – 0,91×19 = 9,79
y 7 = 27,08 – 0,91×16 = 12,52
y 8 = 27,08 – 0,91×15 = 13,43
y 9 = 27,08 – 0,91×15 = 13,43
y 10 = 27,08 – 0,91×14 = 14,34
Putem observa că între valorile estimate și valorile efective obținute sunt câteva diferențe
17,98 estimată față de 17 obținută,
respectiv 9,79 estimată față de 10 obținută .
Aceste diferențe între valorile reale și cele estimate reprezintă erorile de estimare sau valorile reziduale.
Dacă am calcula toate valorile reziduale și media lor, am obține media zero și abaterea standard ar fi eroarea standard a estimării.
Aceasta se interpretează asemănător cu abaterea standard în situația unei distribuții normale a datelor.
Formula de calcul prescurtată a acestei erori standard este:
unde sy- reprezintă abaterea standard a variabilei y, r- valoarea coeficientului de corelație
Pasul 6- Reprezentarea grafică constă în reprezentarea graficului valorilor reale și a graficului valorilor estimate.
Fig.8.1. Reprezentările grafice ale variabilei xi
Fig.8.2. Reprezentările grafice ale variabilei xi
ANALIZA SERIILOR CRONOLOGICE
TENDINȚA ȘI VARIAȚIILE SEZONIERE
4.1. Determinarea trendului în serii de timp
Trendul exprimă evoluția de lungă durată crescătoare sau descrescătoare înregistrată de un indicator, evoluția reală este oscilatorie dar în general indicatorul poate crește.
Obs: Evoluția în timp a unui indicator poate fi explicată prin patru componente:
a. trendul;
b. sezonalitatea – exprimă evoluția ciclică pe perioade mai mici de 1 an și evoluția
care se repetă an de an;
c. ciclicitatea – exprimă evoluția unui indicator în legătură cu fazele ciclului economic;
d. componenta aleatoare.
Pentru a determina trendul putem folosi următoarele metode:
A. Metoda grafică – se prezintă grafic evoluția în timp a unui indicator și în funcție de forma graficului putem decide dacă trendul există și tipul de funcție care îl exprimă.
Crescător Descrescător Nu are trend (constant)
B. Metoda mediilor mobile – se folosește pentru a nivela termenii unei serii, punând astfel în evidență existența unui eventual trend.
Exemplu: o serie y1, …, yt ; (y1+y2+y3)/3; (y2+y3+y4)/3; …
medii mobile dintr-un număr impar de termeni – în acest caz media calculată va fi plasată pe locul unei valori reale pe care o înlocuiește.
Exemplu:
(4+11+3+7)/4=6.25
(11+3+7+18)/4=9.75 => (6.25+9.75)/2=8
medii mobile dintr-un număr par de termeni – în acest caz media se va găsi plasată între două valori reale și este necesar să calculăm mediile mobile centrate din două medii mobile inițiale. Numărul de termeni din care se calculează media mobilă se stabilește în funcție de periodicitatea oscilației indicelui.
4.1.Analiza componentei sezoniere
SEZONALITATEA reprezintă o componentă a seriei cronologice, ce se manifestă sub formă de oscilații periodice la intervale mai mici de un an, schimbarea anotimpurilor, începerea școlilor, plata salariilor, tradiții în consum.
Seria cronologică alcătuită din termeni pentru perioade subanuale (trimestre, luni, decade, săptămâni), oferă posibilitatea cunoașterii intensității valului sezonier.
Măsurarea sezonalității se face prin calculul indicatorilor absoluți și relativi corespunzători pentru serii:
staționare, care nu prezintă trend evolutiv;
nestaționare, pentru care trendul este prezent.
Seria cronologică staționară este formată din valorile (yti), care oscilează în jurul unui nivel constant, fără a prezenta o tendință generală de creștere sau scădere.
Aceste valori sunt rezultatul înregistrării unui fenomen staționar sau al calculelor de eliminare a trendului.
Determinarea sezonalității în cazul seriei cronologice staționare, presupune calculul indicilor de sezonalitate pe baza comparării mediei specifice fiecărei perioade subanuale cu media generală a termenilor seriei.
APLICAȚIA 13
Valorile vânzărilor trimestriale ale unei firme exprimate în mii de unități, pe parcursul a patru ani sunt redate în tabel.
Se cere să se realizeze prognoza vânzărilor pentru trimestrele anului 5, cu luarea în considerare a efectelor factorilor trend și sezonalitate asupra valorilor prognozate.
Pasul 1-având cele două variabile independentă trimestrele xi și cea dinamică vânzările firmei yi putem să formăm perechile (xiyi).
Obținem tabelul:
Tabel 7
Pasul 2- a- Calculul tendinței generale de evoluție a fenomenului analizat prin intermediul metodei celor mai mici pătrate.
Se recurge la ajustarea valorilor prin intermediul unei drepte de ecuație:
După stabilirea tipului de ecuație, cu o singură variabilă dinamică respectiv pentru datele problemei –vânzările, trecem la determinarea coeficienților a, b prin intermediul sistemului de ecuații:
b- Elementele de calcul pentru determinarea trendului de evoluție a seriei dinamice aferente.
Înlocuind valorile de pe ultima linie a tabelului 7 în sistem se obține:
Pasul 3
c- Se estimează vânzările prognozate cu ajutorul relației:
Dreapta aferentă trendului va fi:
Pasul 4
d- Determinarea expresiei procentuale a vânzărilor reale față de cele estimate cu relația:
Pasul 5
e- Calculul mediilor variațiilor procentuale pe tipuri de trimestre, pentru a determina variațiile medii sezoniere.
Pentru fiecare tip de trimestru se calculează o variație sezonieră dată de media variațiilor înregistrate pe trimestrele de acel tip în decursul anilor luați în considerare în cadrul analizei.
Suma variațiilor medii pentru cazul nostru va fi 400%
Pasul 5
f- Valorile previzionate a vânzărilor cu luarea în considerare a factorului sezonalitate
pentru anul 5 cantitățile previzionate pe trimestrele aferente acestuia sunt respectiv pentru x=17, 18, 19, 20.
-pentru ‚trimestrul I, , cantitatea previzionată pentru semestrul I al anului 5 va fi egală cu
-pentru
-pentru ……
-pentru ……..
Pasul 7
Reprezentarea grafică, vom avea trei reprezentări grafice și anume, graficele pentru
–1- vânzările reale,
-2- vânzările estimate cu sezonalitate,
-3- vânzările estimate fără sezonalitate,
Vom considera pe axa X cele 20 trimestre iar pe axa Y- din tabel vom identifica
valorile maxime și minime. Observăm că avem un maxim valoarea 108,29 max. și un minim pentru fiecare tip de vânzare .
Fig.3.1. Dinamica vânzărilor reale în raport cu cele previzionate trimestrial
APLICATIA 14
Presupunem că se efectuează o cercetare statistică privind activitatea economică la societatea SC DANA SRL cu un număr de 20 de angajați, în luna septembrie 2019.
Ca urmare, se efectuează observarea statistică asupra celor 20 de salariați, înregistrându-se pentru fiecare salariat diferite caracteristici care sunt organizate într-un tabel descriptiv, fișier sau bază de date conform tabelului 1.1.
Tabelul 1.1 .Date statistice primare privind activitatea economică în luna septembrie 2009
Sursa: Evidențele primare ale societății comerciale X.
Dacă efectuăm gruparea celor 20 de salariați în funcție de gen (bărbați, femei) putem calcula frecvențele absolute de apariție a numărul salariaților din fiecare grupă notând cu fi frecvența precum și valorile centralizate pentru caracteristicile cifra de afaceri și fondul de salarii, valori înregistrate conform tabelului 1.2.
Presupunem că se dorește gruparea celor 20 de salariați după câștigul salarial net realizat în septembrie 2019, în acest scop se parcurg următoarele etape:
1- Se calculează amplitudinea absolută a variației ca diferență între nivelul maxim și nivelul minim înregistrate:
lei
Tabelul 1. 2. Repartiția salariaților după sex la societatea comercială X în luna septembrie 2009
Sursa: Calculat pe baza datelor din Tabelul nr. 2.1
Se determină numărul de intervale (r) de grupare:
a- fie acest număr este prestabilit sau impus de conducere de exemplu r = 6 interval,
b- dacă nu se specifică valoarea stabilirea numărului de intervale se realizează pe baza formulei lui Sturges:
intervale
unde n = numărul unităților de observare (în cazul nostru numărul salariaților).
2- Se determină mărimea intervalului de variație (h), prin raportarea amplitudinii absolute a variației la numărul de intervale stabilit la punctul 2:
Se stabilesc cele r intervale de variație pornind de la Xmin (sau de la o valoare apropiată, mai semnificativă, de exemplu în cazul nostru am ales 600), adăugându-se succesiv mărimea intervalului de variație.
primul interval (600- 800)
al doilea interval (800-1000)
al treilea interval (1000-1200
al patrulea interval (1200-1400)
al cincelea interval (1400-1600)
al șaselea interval (1600-1800)
Procedând astfel și grupând datele primare din tabelul 1.3. se obțin următoarele frecvențe absolute de apariție (fi) și valorile centralizate ale caracteristicilor cifră de afaceri și fondul de salarii.
Dacă se dorește gruparea pe intervale de variație neegale sau gruparea tipologică în scopul obținerii tipurilor calitative ale fenomenului respectiv (mic, mijlociu, mare), în acest scop se iau în considerare datele din tabelul 1.3.
Tabel 1..3 Repartiția salariaților după câștigul salarial net la societatea comercială în luna septembrie 2009
Notă: Limita inferioară este inclusă în interval.
Etape:
1- Se calculează câștigul salarial mediu net al celor 20 de salariați:
2- Se stabilesc grupele neegale, prin regruparea intervalelor de variație egale, evidențiind tipurile calitative:
tipul „ mijlociu ” va include salariații din intervalul ce conține media, plus cei din intervalele învecinate:
salariați considerați ca având un câștig salarial mediu aparțin grupei (800-1400)
tipul „ mic ” va include salariații din intervalele de grupare anterioare tipului mijlociu.
salariații considerați ca având un câștig salarial mic aparțin grupei (600-800)
tipul „ mare ” va include salariații din intervalele următoare tipului mijlociu.
salariații considerați ca având un câștig salarial mare aparțin grupei (1400- 1600).
Pentru gruparea combinată se realizează simultan după două sau mai multe caracteristici, fiind apreciată ca o modalitate mai evoluată de grupare a datelor primare.
Etapele elaborării unei grupări combinate sunt următoarele:
1- Se aleg cele două caracteristici după care se va efectua gruparea combinată; de regulă, între cele două caracteristici trebuie să existe o anumită legătură.
De exemplu, urmărim să grupăm cei 20 de salariați după:
X = sexul;
Y= câștigul salarial net.
Se realizează grupările după cele 2 caracteristici (vezi tabelul 1.2. și tabelul 1.4.).
Se cuplează cele două grupări într-o grupare combinată utilizând: fie tabelul combinat; fie tabelul de corelație
Tabelul 1.4. Repartiția salariaților după câștigul salarial net (pe tipuri calitative) în luna septembrie 2009
Notă: Limita inferioară este inclusă în interval.
Metoda centralizării datelor primare presupune calcularea indicatorilor totalizatori sub formă de mărimi absolute care se obțin printr-o simplă însumare a nivelurilor caracteristicii studiate se obțin astfel indicatorii primari.
Centralizarea poate fi:
centralizare simplă, efectuată pentru întreaga colectivitate, la care totalul general reprezintă suma totalurilor grupelor tabelul 1.2, 1.3., 1.4.
centralizare pe grupe, la care în prima etapă se obțin totalurile fiecărei grupe ca sumă a totalurilor subgrupelor componente, iar în a doua etapă totalul general se calculează ca sumă a totalurilor grupelor tabelul 1.5.:
Pe baza indicatorilor primari se calculează în continuare indicatorii derivați
Tabelul 1.5. Repartiția salariaților în funcție de sex și câștigul salarial net în luna septembrie 2009
APLICATIA 15
In urma unei analize de sondaj s-au inregistrat datele din tabel.
Se cere:
Sa se grupeze pe 3 intervale;
A=xmax-xmin= 20-1=19
Deoarece valoarea maxima nu este cuprinsa in ultimul interval este necesar sa majoram intervalul h
A=xmax-xmin= 2000-700=1300
APLICATIA 16
Se cunoaste profitul reinvestit pentru 75 de firme care activeaza in trei domenii de activitate. Sa se calculeze media si dispersia profitului reinvestit pentru cele trei grupe de activitate.
Energie, gaz si apa σ2= =506.124mil
Constructii σ2= =459mil
Comert cu ridicata σ2= =462.4 mil
Indicatori simpli ai variației
Amplitudinea absolută – se calculează ca diferență între limita superioară a ultimului interval și limita inferioară a primului interval.
A=xmax-xmin
Amplitudinea relativă (A%) se determină ca raport între amplitudinea absolută (A) și media elementelor seriei.
A(%)=
Indicatori sintetici ai variației :
Abaterea medie liniară
Pentru o serie cu frecvențe absolute:
Dispersia
Pentru o serie cu frecvențe absolute:
Abaterea medie pătratică
Pentru o serie cu frecvențe absolute:
Coeficientul de variație
Se apreciază că producția medie calculată are o valoare reprezentativă și că seria de date este omogenă deoarece coeficientul de variațiee are valori sub 35%.
3. 6. APLICATIA INDICATORI STATISTICI
A- INDICATORI DE VARIAȚIE
Se cunosc următoarele date cu privire la producția realizată de societățile comerciale:
Să se determine indicatorii de variație simpli și sintetici.
ALGORITM
1 – Indicatori simpli ai variației :
Indicatorii simpli ai variației sunt: amplitudinea și abaterile elementelor seriei față de media lor.
Amplitudinea
Amplitudinea absolută – se calculează ca diferență între limita superioară a ultimului interval și limita inferioară a primului interval.
A=xmax-xmin = 70-30 = 40
Amplitudinea relativă (A%) se determină ca raport între amplitudinea absolută (A) și media elementelor seriei.
A(%)=
Unde media este:
=53,5354
Amax(%)=
Amin(%)=
Abaterea elementelor seriei față de media lor se obține în cifre absolute, ca diferență între fiecare element al seriei (xi) și media acestora (), astfe în tabel coloana 6:
di = (xi – ) ni
Abateri maxime: dmax = xmax – = 70- 53,53 =16,47
Abateri minime: dmin = xmin – = 30 – 53,53 = – 23,53
INDICATORI DE POZIȚIE -COEFICIENTUL DE ASIMETIRE
Se consideră următoarele informații cu privire la vechimea a 20 muncitori.
1. Să se determine vechimea medie folosind media armonică, media geometrică și media pătratică.
2. Să se calculeze valoarea medianei.
3. Să se determine modulul pentru datele din tabelul de mai sus.
4. Sa se studieze asimetria pentru distributia data.
ALGORITM
1. Vechimea medie folosind media armonică, media geometrică și media pătratică. Vechimea medie calculată cu ajutorul mediei armonice ponderate.
Vechimea medie calculată cu ajutorul mediei armonice ponderate este:
ani
Vechimea medie calculată cu ajutorul mediei geometrice:
ani
Vechimea medie calculată cu ajutorul mediei pătratice:
ani
2. Valoarea medianei
Pentru a calcula valoarea medianei se parcurg următoarele etape:
I. Se determină frecvența cumulată crescător
Poz.Me = =
Se observă că
II. Se determină intervalul median Me (14,19)
III. Se calculează valoarea medianei
unde:
x0 este limita inferioară a intervalului median; x0=14
h este mărimea intervalului median; h=19-14=5
nm este indicele intervalului median;nm=6
3. Modulul
Frecvența absolută cea mai mare este 6 => Mo (14-19)
în care: x0 este limita inferioară a intervalului modul; x0=14
h este mărimea intervalului modul; h=19-14=5
4. – Coeficientul de asimetrie
Calculăm asimetria în funcție de modul este:
Media aritmetică este:
=16,2
Abaterea medie patratică este:
APLICATIE
Analiza statistică a unei serii cronologice de intervale
Un agent economic a fabricat în anul 2009 în lunile ianuarie -septembrie următoarele cantități de produse
Se cere
Să se caracterizeze evoluția producției agentului economic folosind indicatorii absoluți, relativi și medii,
să se determine trendul de evoluție pe baza metodelor mecanice și analitice,
să se extrapoleze seria pentru lunile octombrie și noiembrie
ALGORITM
Să se caracterizeze evoluția producției agentului economic folosind indicatorii absoluți, relativi și medii
Calculul indicatorilor absoluți modificarea absolută
cu bază fixă ,
cu baza în lanț
Calculul valoarii absolute a unui procent din ritm
cu baza fixă ,
cu baza în lanț
Calculul indicatorilor relativi Indicele
cu bază fixă
cu baza în lanț
Procentul de modificare
cu bază fixă
cu bază în lanț
Calculul indcatorilor medii
nivelul mediu
Avem o serie cronologică de intervale, deci nivelul medu se calculează aplicând formula mediei artimetice
Producția medie lunară a aegntului economic analizat a fost de 148,89 mii bucăți
a- modificarea absolută medie
mii bucăți /lună
în perioada ianuarie –septembrie a anului 2009, producția agentului economic analizat a crescut în medie cu 7,25 mii buncăți /lună .
b- indicele mediu
=1,0505
în perioada ianuarie –septembrie a anului 2009, producția agentului economic analizat a crescut în medie de 1,0505 ori de la lună la alta
c-ritmul mediu
în perioada ianuarie –septembrie a anului 2009, producția agentului economic analizat a crescut cu 5, 05 % de la o lună .la alta.
Derminarea trendului sau a tendinței generale
prin metoda modificărilor absolute medii pentru ajustarea termenilor se utilizează relația
prin metoda indicelui mediu
Rezultatele obținute în urma ajustării termenilor prin aceste două metode mecanice sunt prezentate în tabelul de mai jos
Prin metode analitice pentru ajustarea seriei cronologice utilizăm funcția liniară
Pentru calculul parametrilor a și b trebuie să rezolvăm sistemull de ecuații
Pentru =0, sistemul de ecuații devine
Sistemul din problemă devine 9a=1340, 60b= 538
deci a= 148,89 iar b= 8,96
Valorile ajustate sunt prezentate în tabelul de mai jos
3. Extrapolarea seriei pentru lunile octombrie și noiembrie
prin metoda modificării absolute medii
pentru luna octombrie Y10 =120 +7,25×9 =185,25
pentru luna noiembrie Y11 =120 +7,25.×10 =192,5
prin metoda indicelui mediu
pentru luna octombrie Y10 =120 . 1,0505 9
pentru luna noiembrie Y11 =120 . 1,0505 10
prin metode analitice
pentru luna octombrie Y5 =148,89 +8,96.x 5 =193,69
pentru luna noiembrie Y6 =148,89 +8,96x 6 =202,65
9.4. Organizarea datelor
Datele variabilelor pot fi prezentate fie simplu, fie grupat. Primul tip de organizare constă în stabilirea frecvenței de apariție a fiecărei valori. Pentru aceasta este necesară o ierarhizare inițială a valorilor în funcție de mărimea lor.
Să presupunem că au fost obținute următoarele date ale variabilei studiate:
X = (7, 5, 7, 8, 4, 9, 8, 10, 5 3, 8, 10, 8, 7, 9, 6, 4, 7, 6, 1, 8, 6, 8, 7, 5, 7, 4, 7, 1, 9, 5, 8, 6, 7, 7).
în total sunt 35 de date strânse, pentru a organiza datele utilizând o distribuție simplă a frecvenței sunt necesari următorii pași:
se caută valorile extreme din șirul de date (valoarea cea mai mare și cea mai mică);
se scriu toate valorile cuprinse între cele două extreme într-o ordine descendentă pe o coloană;
se numară de câte ori apare fiecare valoare în șirul de date;
se trece apoi în tabel, frecvența de apariție a fiecărui număr.
În cazul de față vom avea:
N=35
Tabelul distribuției caracteristicilor produsului:
N=20
În vederea grupărilor pe intervale vom ține cont de distribuția grupată a datelor, fiind necesară împărțirea valorilor în clase de intervale egale.
9.4.1. Metode principale de împărțire a datelor pe intervale.
Există două metode principale de împărțire a datelor pe intervale.
metoda propusă de Spatz,
metoda propusă de Sturges.
1. Metoda propusă de Spatz (1997) are în vedere patru pași de urmat:
a- numărul de intervale trebuie să fie între 10 și 20, această condiție are rolul de a maximiza grafic conceptul de distribuție normală a datelor.
-un număr mai mic de clase (intervale) conduce la o estompare grafică a distribuției normale a datelor.
-un număr mai mare de 20 de intervale ne apropie de distribuția grafică simplă, eliminând câstigul realizat de gruparea datelor.
b-stabilirea mărimii intervalului (notat cu i), trei sau cinci constitue mărimea cel mai des întâlnită a intervalelor,
-dacă un i de 5 produce mai mult de 20 de clase, atunci se trece la o mărime a intervalului superioară, de obicei 10 sau un multiplu de 10,
-există și cazuri în care este nevoie de un interval i=2 pentru a păstra minimul de 10 intervale, primul interval începe cu o valoare multiplu de i ales.
De exemplu- dacă 22 este cel mai mic rezultat, iar mărimea intervalului este 3, atunci vom începe cu valoarea 21 deoarece este multiplu de trei.
O situație diferită apare dacă luăm un i=5.
În acest caz se obișnuiește să se utilizeze o valoare de start astfel încât mijlocul intervalului să fie un multiplu de 5. În cazul amintit, în care 22 este cel mai mic rezultat, ar fi indicat să se pornească de la 18 (intervalul ar fi 18-22), iar mijlocul sau 20 (multiplu de cinci).
Desi, se pornește de la valorile mici în stabilirea intervalelor, în tabel acestea sunt trecute într-o ordine descrescătoare.
2. Metoda lui Sturges
O a doua posibilitate de a grupa datele pe intervale pleacă de la o formula matematică propusă de Sturges:
unde: h- este lungimea recomandată a intervalului;
xmax, xmin – sunt extremele valorilor șirului de date ordonate în ordine
descrescătoare,
lg n – este logaritm zecimal din numărul de date a șirului (volumul eșantionului).
După cum se observă în acest caz mărimea intervalulelor nu depinde numai de A, amplitudine (xmax-xmin) ci și de numărul de subiecți.
APLICATIA
Vom ordona în continuare, rezultatele a 48 de subiecți.
X = (17, 12, 8, 5, 10, 12, 23, 21, 22, 11, 14, 20, 18, 17, 15, 14, 21, 7, 10, 14, 18, 23, 25, 18, 17, 16, 29, 14, 19, 6, 27, 15, 17, 19, 14, 16, 10, 24, 17, 19, 15, 16, 12, 4, 22, 31, 19, 18).
Metoda lui Spatz
1- notăm valorile extreme (4 și 31), calculăm diferența dintre cele două valori = 27,
2- stabilim mărimea intervalului astfel încât să obținem între 10 si 20 de intervale,
– dacă împărțim 27 la 5 vom obține 5,4 intervale, fapt de nedorit deoarece este prea
depărtat de numărul intervalelor dorite (10-20).
-dacă împărțim 27 la o altă mărime (i=3) vom obține 9 intervale, deoarece patru (cea mai mică valoare) nu este multiplul lui trei va trebui să începem de la valoarea trei (chiar dacă aceasta nu există), ca urmare distanța dintre valorile extreme se va mări cu o unitate și va deveni 28.
-împărțind din nou 28 la trei vom obține 9,33, o valoarea care ne lasă nouă posibilitatea de a alege între o distribuție cu 9 clase sau una cu 10.
3- vom alege distribuția cu 10 intervale, ținând cont ca minimul intervalelor să fie 10,
-se începe de la capătul de jos al tabelului (de la valorile mai mici).
În cazul de față vom porni de la trei, ca multiplu al mărimii intervalului i=3) și vom scrie intervalele găsite.
În coloana a doua a tabelului vor fi trecute valorile centrale ale intervalelor.
Toate intervalele sunt egale în mărime însă pot diferi în ceea ce privește frecvența. Fiecare interval începe cu o valoare divizibilă cu mărimea intervalului (i=3).
4- se calculează frecvența de apariție a tuturor valorilor cuprinse într-un interval și le
trecem în tabel în coloana trei.
Metoda lui Sturges
În cazul problemei date vom avea:
În această situație este recomandabilă utilizarea unui interval cu o lungime de 4 sau 5 unități (i = 4 sau 5).
Se obișnuiește utilizarea intervalelor a căror lungime are o valoare impară pentru a ușura găsirea centrului intervalului.
Ca urmare, utilizând formula lui Sturges la același exemplu, vom obține în loc de zece intervale, doar șase, deoarce am ales un interval i=5.
Mijlocul intervalului este astfel ales încât să păstreze propietatea de a fi multiplu al mărimii intervalului (în cazul dat multiplu de cinci).
Distribuția frecvențelor datelor grupate în acest caz este:
N= 48
Indiferent de modalitatea pe care o alegem pentru împărțirea datelor pe intervale, putem calcula și frecvența cumulată. Frecvența cumulată a unei clase este egală cu suma frecvențelor din clasa respectivă și frecvențele din toate clasele cu valori inferioare.
Astfel, pentru cazul de față în cea de a doua situație vom avea:
D- Gruparea muncitorilor pe intervale neegale
Un criteriu de repartizare pe grupe neegale îl constituie nivelul mediu al variabilei
vechimea medie pe muncitor în muncă,
producția medie pe muncitor.
Vom avea trei grupe calificative de tipul, mic, mijlociu și mare.
În grupa a doua sunt cuprinse grupa, intervalul care conține nivelul mediu al variabilei și intervalele învecinate cu acesta.
În prima și ultima grupă sunt cuprinse intervalele care preced sau succed cele trei intervale care compun grupa a doua.
Repartiția muncitorilor după vechime
Se calculează vechimea medie pe un muncitor ca medie aritmetică
Repartiția muncitorilor după vechime pe cele trei intervale neegale și valorile centralizate sunt înscrise în tabelul 15.
Reprezentarea grafică a repartițiilor inegale se poate face prin histogramă, poligonul frecvențelor și curba cumulativă a frecvențelor
E-Indicatorii tendinței centrale, indicatorii variației și ai asimetriei
1-Calculul medie aritmetice
cu frecvențe absolute
,
unde xi- sunt centrele intervalelor de grupare calculate ca medie artimetică simplă a limitei inferioare și superioare a fiecărei grupe.
cu frecvențe relative
2-Calculul modulului Mo-locul M0 este intervalul cu frecvența maximă (14-20), valoarea modulului
3- Calculul medianei Me-locul medianei Me, este cuprinsă în primul interval a cărui frecvență cumulată este mai mare decât locul medianei.
F-Calculul indicatorilor sintetici ai variabilei
Abaterea medie liniară
Dispersia
Abaterea medie pătratică
Coeficientul de variație ,
Aplicația 25
Se dau datele privind activitatea unei societăți:
Se cere:
să se reconstituie seria, știind că valoarea cifrei de afaceri în 1999 era de 200 mil.lei;
indicatorii absoluți, relativi și medii;
să se ajusteze și extrapoleze datele pentru următorii trei ani, folosind un procedeu mecanic și unul analitic.
1-Reconstituirea seriei
Știind din tabel că cifra de afaceri s-a modificat cu 7,6%, în 2000 față de 1999, rezultă:
mil lei
mil lei
2. Indicatorii absoluți
2.1. Modificările absolute
cu bază fixă(t/1):
t/1=yt – y1 unde,
2/1 = 2000/1999 = y2000 – y1999 = 215, 2 – 200 = 15,2 mil lei
… … …
8/1 = 2006/1999 = y2006 – y1999 = 707,6 – 200 = 507,6 mil lei
cu bază în lanț (bază mobilă sau variabilă) (t/t-1):
t/t-1=yt – yt-1 unde,
2/1 = 2000/1999 = y2000 – y1999 = 215, 2 – 200 = 15,2 mil lei
… … …
8/7 = 2006/1999 = y2006 – y1999 = 707,6 – 543,5 = 164,1 mil lei
2.1. Indicatorii relativi
a. Indice de dinamică
cu bază fixă (It/1):
… … …
cu bază în lanț (It/t-1) :
… … …
b. Ritmul de dinamică
cu bază fixă (Rt/1) :
,
… … …
cu bază în lanț (Rt/t-1) :
,
… … …
c. Valoarea absolută a unui procent de dinamică
cu bază fixă (At/1) :
mil lei
… … …
mil lei
cu bază în lanț (At/t-1) :
mil lei
… … …
mil lei
2.3. Indicatorii medii
a. Nivelul mediu
mil lei
b. Modificarea medie absolută:
mil lei sau
mil lei
c. Indicele mediu de dinamică:
sau
d. Ritmul mediu de dinamică
3. Ajustare și extrapolare
3.1. Metode mecanice
a. Metoda modificării medii absolute
3.2. Metoda analitică
rezultă
Extrapolare
1-Media:
2- Mediana Me
Determinarea medianei presupune:
I Stabilirea locului medianei, calcularea valorii mediane. L.Me =
II. Se determină intervalul median Me (x,y)
Se calculează valoarea medianei
=
unde: x0 – este limita inferioară a intervalului median; h – este mărimea intervalului median; nMe – este indicele intervalului median. -suma valorilor până la intervalul median
3). Modulul Mo
D1– diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența intervalului precedent celui modal;
D2 – diferența dintre frecvența intervalului modal și a celui următor celui modal.
în care: x0 este limita inferioară a intervalului modal;
h este mărimea intervalului modal
APLICATIA 19
Pentru firmele din orașul Baia Mare s-au stabilit următoarele valori pentru cifrele de afaceri conform tabelului de mai jos, se cer indicatorii tendinței centrale.
O serie de repartiție se caracterizează prin următorii indicatori și anume:
1). Media aritmetică este acea valoare care înlocuind toate valorile individuale (xi), nu modifică suma acestora (Σ xi).
Media aritmetică poate fi calculată ca o medie simplă și ca o medie ponderată.
unde: xi' este centrul fiecărui interval iar ni numărul firmelor din clasa i.
Centrul fiecărui interval (x’i)=
x’1=,
x’2;
x’3=;
x’4= ;
x’5=
Media aritmetică se calculează sub forma mediei aritmetice ponderate, după formula :
=
2). Mediana (Me) unei serii este acea valoare a variabilei cifrei de afaceri care împarte șirul valorilor ordonate crescător în două părți egale.
Mediana presupune că formele de manifestare ale caracteristicilor pot fi măsurate printr-o scală ordinală.
Indiferent de tipul seriei (simplă sau de frecvențe), determinarea medianei presupune:
stabilirea locului medianei;
calcularea valorii mediane.
Locul medianei se află prin relația:
=
Se urmăresc frecvențelele cumulate până când se identifică prima care îndeplinește inegalitatea nc.
Mediana se localizează în grupa (566-1052) pentru că suma frecvențelor este 2+2+12 =16 >10,5
566 < Me < 1052
3). Modulul Mo
Modulul unei distribuții statistice este acea valoare a variabilei cifrei de afaceri care are frecvența cea mai mare de apariție. Modulul este singurul indicator al tendinței centrale care are sens în cazul unei repartiții după o variabilă nominală ale cărei variante au fost măsurate printr-o scală nominală.
Modul
=
Interpretare:
xo – reprezintă limita inferioară a intervalului modal;
h – mărimea intervalului modal;
Δ1– diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența intervalului
precedent celui modal;
Δ2 – diferența dintre frecvența intervalului modal și a celui următor celui modal.
Deoarece mil RON
,
și
, înseamnă că distribuția prezintă o asimetrie de stânga.
APLICATIA 12
Din cele 800 familii ale unei localități s-a format un eșantion aleator nerepetat de 90 familii în scopul cunoașterii consumului principalelor produse alimentare, pentru o mai bună aprovizionare.
Distribuirea familiilor selectate după numărul de membrii și consumul de lapte într-o lună se prezintă astfel:
Se cere: să se determine consumul de lapte mediu, mediana și modulul pentru o familie în luna cercetată
a–consumul mediu al unei familii în luna cercetată
x : 2 3 4 5
10 25 40 15
y: [10-20] [20-30] [30-40] [40-50]
10 20 35 25
Se mai poate calcula
S=5
b–consumul median Me al unei familii în luna cercetată
Determinarea medianei presupune:
I Stabilirea locului medianei, calcularea valorii mediane.
L.Me =
II. Se determină intervalul median Me (x,y)
III. Se calculează valoarea medianei
unde: x0 – este limita inferioară a intervalului median;
h – este mărimea intervalului median;
nMe – este indicele intervalului median.
Locul medianei se află prin relația:
=
Se observă că valoarea aparține
Calculăm intervalul median cumulând frecvența absolută sau relativă care reprezintă rangul. Se urmăresc frecvențelele cumulate până când se identifică prima care îndeplinește inegalitatea
nc.
n1=10 10 < rMe
n1+n2 10+20 = 30 < nMe
n1+n2+n3 10+20+35 = 65 nME= 35
Mediana se localizează în grupa intervalului (30-40) pentru că suma frecvențelor este >45
30 < Me < 40
Se calculează valoarea medianei
unde: limita inferioară a intervalului median; x0=30
mărimea intervalului median; h=40-30=10
indicele intervalului median; nm= 10+20=30
3. Modulul
Frecvența absolută cea mai mare este 35 => Mo (30-40)
în care: x0 este limita inferioară a intervalului modal; x0=30
h este mărimea intervalului modal; h=40-30=10
APLICATIA 13
Volumul serviciilor comerciale prestate populației din hoteluri și restaurante și numărul de salariați în această ramură se prezintă astfel:
Se cere:
Volumul mediu anual al serviciilor în 2008 față de 2004 și numărul mediu anual de salariați în perioada 2005-2008;
Variația absolută și relativă a productivității muncii în 2008 față de 2004 și
2008-2005.
Volumul mediu anual al serviciilor în 2008 față de 2004 :
Numărul mediu de salariați în 2008 față de 2005
Variația absolută și relativă a productivității muncii în 2008 față de 2005
În anul 2008 variația absolută a productivității a crescut cu 587 față de 2005
Variația relativă a productivității a crescut cu 938,57% față de 2005
APLICATIA 14
Repartiția cumpărătorilor după cantitatea de cartofi cumpărată de fiecare de pe piață este următoarea:
cumpărătorii de pe piață, n-150 cumpărători
Se cere cantitatea medie cumpărată de cumpărători
; ; ;
, oricare dintre cumpărători a cumpărat în medie 158,4kg. cartofi.
APLICATIE
Pentru 40 muncitori s-au înregistrat datele privind producția realizată în cadrul unui schimb: 40; 63; 59; 52; 62; 50; 45; 51; 54; 50; 48; 55; 59; 47; 57; 53; 46; 55; 64; 53; 42; 51; 53; 56; 52; 58; 49; 54; 60; 46; 41; 47; 42; 44; 63; 58; 49; 55; 50; 53.
Se cere:
să se grupeze cei 40 de muncitori pe 6 intervale de variație egale, după producția obținută;
să se reprezinte grafic repartiția obținută la punctul precedent;
să se calculeze indicatorii tendinței centrale;
să se verifice reprezentativitatea mediei;
precizați proporția muncitorilor cu o producție mai mare sau egală cu 52 de buc;
calculați structura muncitorilor pe grupe;
reprezentați grafic structura muncitorilor în funcție de producția obținută.
REZOLVARE:
Gruparea pe intervale egale implică următoarele etape:
calculul amplitudinii absolute a variației (A), care exprimă împrăștierea maximă a valorilor seriei, după formula:
Ax = xmax – xmin
unde xmin = 40, iar xmax = 64. deci, Ax = 64 – 40 = 24 buc.
determinarea mărimii intervalului de grupare (h), se calculează ca raport între amplitudinea absolută a variației și numărul de grupe:
h = = 4 buc.
În urma grupării a rezultat seria de distribuție cu frecvențe prezentată în tabel:
Notă: limita inferioară inclusă în interval
Reprezentarea grafică a seriei de distribuției de frecvențe se face prin histograma:
Indicatorii tendinței centrale sunt media aritmetica (), mediana (Me) și modulul (Mo); se calculează după formulele de mai jos, completând următorul tabel:
media aritmetică se calculează după formula:
=
= = 52,40 buc/munc.
pentru calculul medianei trebuie să parcurgem doi pași:
primul pas: stabilirea locului medianei (Me), după formula:
= = 20,50
deci locul Me este intervalul 56-56, primul interval care depășește frecvențele cumulate mai mari decit 20,50 buc/munc;
al doilea pas: calculul efectiv al Me, după formula:
pentru calculul modulului (Mo) trebuie să parcurgem tot doi pași:
1: stabilirea locului Mo, care se poate observa că este intervalul cu frecvența maximă, adică tot intervalul 52-56;
2: calculul efectiv al Mo, după formula:
4) Să se verifice reprezentativitatea mediei;
Pentru această verificare avem nevoie să calculăm coeficientul de variație (v), după formula:
care reprezintă abaterea medie pătratică care se calculează după formula:
reprezintă dispersia care se calculează după formula :
Calculele se regăsesc în coloana 6 din tabelul de mai sus.
Acum putem calcula abaterea medie pătratică:
Cu ajutorul abaterii medii pătratice putem verifica reprezentativitatea mediei, adică calculăm coeficientul de variație:
Valoarea coeficientului de variație vx este 11,30%, deci vx < 35%, ceea ce înseamnă că seria este omogenă, iar media 52,40 buc/munc. este reprezentativa seriei.
5) Să se stabilească proporția muncitorilor cu o producție mai mare decât 52 de bucăți
Analizând grupele de muncitori, după producția obținută, observăm că producția mai mare de 52 bucăți este realizată de ultimele trei grupe, adică de 11, 6 si 5 muncitori.
Calculând proporția rezultă ca fiind:
6) Calculați structura muncitorilor pe grupe:
7) Reprezentați grafic structura muncitorilor în funcție de producție
Seriile de timp cronologice exprimă evoluția în timp a unui indicator. Cunoașterea evoluției unui indicator într-o perioadă de timp fundamentează previziuni.
APLICATIA 24
Pentru un eșantion de 40 de muncitori, selectat întâmplător și repetat/nerepetat, din cei 400 de muncitori ai unui agent economic cu profil industrial s-au înregistrat datele privind vechimea în muncă (ani) și producția (bucăți) în luna aprilie 2008 în tabel.
În vederea desprinderii unor concluzii privind eșantionul se cere
să se grupeze muncitorii după variația fiecărei caracteristici pe șase intervale egale folosind metoda grupărilor simple,
gruparea muncitorilor peintervale neegale,
să se centralizeze valorile pe grupele obținute și să se prezinte grafic,
să se calculeze indicatorii tendinței centrale, indicatorii variației și ai asimetriei,
REZOLVARE
Gruparea muncitorilor după variabila vechime X
Amplitudinea absolută :
A0=xmax – xmin= 37-2=35 ani
Numarul de grupe este dat de k=6. Mărimea intervalului
rezultatul se rotunjește în plus
sau
Pentru stabilrea intervalelor de variație se pleacă de la o valoare egală sau mai mică decât valoarea minimă a caracteristicii și se adaugă succesiv mărimea intervalului calculat.
In cazul nostru limita inferioară este egală cu xmin.
Pentu centralizarea valorilor caracteristicilor aditive se întocmește câte un tabel pentru fiecare grupă de vechime în muncă, respectiv grupa I, II, III, IV, V, VI.
Tabel 1. Grupa I (2-8ani)
Tabel 2 Grupa II (8-14ani)
Tabel 3 Grupa III (14-20ani)
Tabel 5 Grupa V (26-32ani)
Tabel 4. Grupa IV (20-26ani)
Tabel 6 Grupa VI (32-38 ani)
Pentru a realiza gruparea muncitorilor după variabila producție Y vom ține cont de următoarele date :
a-amplitudinea absolută :
A0=ymax – ymin= 79-41=38 bucăți
b-numărul de grupe este dat de k=6
c-mărimea intervalului
rezultatul se rotunjește în plus
Pentru stabilirea intervalelor de variație se pleacă de la o valoare egală sau mai mică decât valoarea minimă a caracteristicii și se adaugă succesiv mărimea intervalului calculat. În cazul nostru limita inferioară este egală cu xmin.
B-Repartizarea muncitorilor după vechime și după producție și valorile centralizate pe grupe prezentate în tabele 7.8.
Repartiția muncitorilor după vechime și centralizarea pe grupe a valorilor variabilelor
*Valorile centralizate se obțin din tabelele 1…6
Pentru centralizarea valorilor caracteristicilor aditive se întocmește câte un tabel pentru fiecare grupă de producție grupa I, II, III, IV, V, VI.
Tabel 8. Grupa I (41-48)
Tabel 11 Grupa IV (62-69)
Tabel 9 Grupa II (48-55)
Tabel 132 Grupa V 69-73)
Tabel 10. Grupa III (55-62)
Tabel 13 Grupa VI (76-83)
Tabel 14 Repartiția muncitorilor după producție și centralizarea pe grupe a variabilelor
*Valorile centralizate se obțin din tabelele 1…6, limita inferioară este inclusă în interval
C- Reprezentarea grafică a celor două repartiții
Reprezentarea grafică a celor două repartiții se face prin:
histogramă, (Fig.1), (Fig.4),
poligonul frecvențelor (Fig.2), (Fig.5),
curba cumulativă a frecvențelor ( Fig.3), (Fig.6).
1- Histograma, se obține construind deptunghiuri cu bazele egale cu mărimea intervalelor fixate pe OX și înălțimea proportională cu frecvențele sau numărul de unități ce corespund grupelor.
Fig.1.Repartiția muncitorilor după vechime
Fig.2. Poligonul frecvențelor pentru repartiția muncitorilor după vechime
Tabel 15.
Frecvențele cumulate pentru muncitorii centralizați după vechimea în muncă
Frecvența cumulată crescător ………. descrescător
f1=n1=4, f6=n6=3
f2=n1+n2=4+4=8, f5= n5+n6=9
f3=n1=n2+n3=8+12=20, ……. f4=n6+n5+n4=3+6+11=20………
Fig.3. Curba cumulativă a frecvențelor pentru repartiția muncitorilor după vechime
Pentru variabila producție reprezentările grafice ale seriei de repartiție sunt
Fig.4. Repartiția muncitorilor după producție
Fig.5. Poligonul frecvențelor pentru repartiția muncitorilor după producție
Tabel 16.
Frecvențele cumulate pentru muncitori centralizați după producție
Fig.6. Curba frecvențelor pentru repartiția muncitorilor după producție
Media cronologică simplă se calculează când momentele sunt egal distanțate între ele.
Pentru seria , .
Prin transformare, această relație devine: .
Media cronologică ponderată se calculează atunci când intervalele de timp dintre termenii seriilor de momente sunt inegale.
În acest caz, mediile parțiale, din care se calculează media întregii perioade, sunt ponderate cu durata perioadelor parțiale dintre termenii seriei, notate cu ti.
MEDIA CRONOLOGICĂ SIMPLĂ
APLICATIA 15
Se consideră stocurile de mărfuri într-o unitate comercială, în cursul trimestrului I, al unui an oarecare:
1 august 1.000.000
1 septembrie 1.160.000
1 octombrie 1.240.000
1 noiembrie 1.280.000
Pentru a calcula media trimestrială se vor calcula mai întâi mediile pe fiecare lună în parte:
August
Septembrie
Octombrie
Dacă se generalizează și se notează valoarea medie cu:
Se iau n-1 termeni la numitor, deoarece față de numărul termenilor seriei se pot calcula n-1, medii parțiale pe fiecare interval.
Dacă în formula mediei se efectuează sumele de la numărător, se va obține
Această formulă, aplicându-se numai la seriile cronologice de momente, se numește medie cronologică, având același conținut ca media generală calculată din medii parțiale.
Aplicată direct, fără a calcula în prealabil mediile pe fiecare interval, va fi:
Deci am ajuns la valoarea numerică ca și în cazul în care s-a calculat ca și o medie a celor trei medii parțiale lunare.
5.2. MEDIA CRONOLOGICĂ PONDERATĂ
Termenii sunt distribuiți la intervale neegal, se vor considera ca ponderi pentru fiecare termen câte o jumătate din mărimea intervalelor alăturate, folosindu-se astfel o medie cronologică ponderată.
Aici primul și ultimul termen se ponderează cu jumătate din primul interval de timp, respectiv ultimul interval, iar termenii intermediari cu câte o jumătate din intervalele alăturate.
APLICATIA 16
Pentru stocurile de mărfuri (mil.lei) se cunosc datele din tabel.
Se cere:
să se reprezinte grafic cele două serii;
să se calculeze stocul mediu din cei doi ani;
să se determine indicatorii absoluți și relativi pentru una dintre serii.
1) .Reprezentarea grafică a stocului de mărfuri pe anul 2005 și pentru anul 2006 (Fig.16.1).
Fig.5.1. Reprezentarea grafică a variației stocului de mărfuri pentru anii 2005, 2006
2) . Prima serie este o serie de momente cu intervale egale între momente, astfel se va folosi media cronologică simplă și anume:
Cea de-a doua serie este o serie de momente cu intervale neegale între momente, astfel se va folosi media cronologică ponderată și anume:
=
d1 = 31 + 28 + 25 = 84
d2 = 6 + 30 + 31 + 30 + 31 = 128
d3 = 31 + 30 + 31 + 25 = 117
d4 = 5 + 31 = 36
3) .să se determine indicatorii absoluți și relativi pentru una dintre serii.
Se aplică pentru anul 2005 și se utilizează formulele considerând perioada de bază stocul din luna ianuarie a anului 2005.
indicatorii relativi ,
indicatorii absoluți,
,,
, ,,
APLICATIA 17
Pentru 40 muncitori s-au înregistrat datele privind producția realizată în cadrul unui schimb:
40; 63; 59; 52; 62; 50; 45; 51; 54; 50; 48; 55; 59; 47; 57; 53; 46; 55; 63; 53; 42; 51; 53; 56; 52; 58; 49; 54; 60; 46; 41; 47; 42; 44; 63; 58; 49; 55; 50; 53.
Se cere:
să se grupeze cei 40 de muncitori pe 6 intervale de variație egale, după producția obținută;
să se reprezinte grafic repartiția obținută la punctul precedent;
să se calculeze indicatorii tendinței centrale;
să se verifice reprezentativitatea mediei;
precizați proporția muncitorilor cu o producție mai mare sau egală cu 52 de buc;
calculați structura muncitorilor pe grupe;
reprezentați grafic structura muncitorilor în funcție de producția obținută.
REZOLVARE:
Gruparea pe intervale egale implică următoarele etape:
calculul amplitudinii absolute a variației (A), care exprimă împrăștierea maximă a valorilor seriei, după formula:
Ax = xmax – xmin
unde xmin = 40, iar xmax = 64. deci, Ax = 64 – 40 = 24 buc.
determinarea mărimii intervalului de grupare (h), se calculează ca raport între amplitudinea absolută a variației și numărul de grupe:
h = = 4 buc.
În urma grupării a rezultat seria de distribuție cu frecvențe prezentată în tabel:
Notă: limita inferioară inclusă în interval
2) Reprezentarea grafică a seriei de distribuției de frecvențe se face prin histograma:
3) Indicatorii tendinței centrale sunt media aritmetica (), mediana (Me) și modulul (Mo); se calculează după formulele de mai jos, completând următorul tabel:
media aritmetică se calculează după formula:
=
= = 52,40 buc/munc.
pentru calculul medianei trebuie să parcurgem doi pași:
primul pas: stabilirea locului medianei (Me), după formula:
= = 20,50
deci locul Me este intervalul (52-56), primul interval care depășește frecvențele cumulate mai mari decât 20,50 buc/muncitor;
al doilea pas: calculul efectiv a medianei Me, după formula:
pentru calculul modulului (Mo) trebuie să parcurgem tot doi pași:
1: stabilirea locului Mo, care se poate observa că este intervalul cu frecvența
maximă, adică tot intervalul 52-56;
2: calculul efectiv al Mo, după formula:
4) Să se verifice reprezentativitatea mediei;
Pentru această verificare avem nevoie să calculăm coeficientul de variație (v), după formula:
care reprezintă abaterea medie pătratică care se calculează după formula:
reprezintă dispersia care se calculează după formula :
Calculele se regăsesc în coloana 6 din tabelul de mai sus.
Acum putem calcula abaterea medie pătratică:
Cu ajutorul abaterii medii pătratice putem verifica reprezentativitatea mediei, adică calculăm coeficientul de variație:
Valoarea coeficientului de variație vx este 11,30%, deci vx < 35%, ceea ce înseamnă că seria este omogenă, iar media 52,40 buc/munc. este reprezentativa seriei.
5) Să se stabilească proporția muncitorilor cu o producție mai mare decât 52 de bucăți
Analizând grupele de muncitori, după producția obținută, observăm că producția mai mare de 52 bucăți este realizată de ultimele trei grupe, adică de 11, 6 si 5 muncitori.
Calculând proporția rezultă ca fiind egală cu:
6) Calculați structura muncitorilor pe grupe:
7) Reprezentați grafic structura muncitorilor în funcție de producție
Etapele de rezolvare
1- Se calculează amplitudinea absolută a variației ca diferență între nivelul maxim și nivelul minim înregistrate:
2- Se determină mărimea intervalului de variație (h), prin raportarea amplitudinii absolute a variației la numărul de intervale stabilit la punctul 2:
Se determină numărul de intervale (r) de grupare:
a- fie acest număr este prestabilit sau impus de conducere de exemplu r = 6 interval,
b- dacă nu se specifică valoarea stabilirea numărului de intervale se realizează pe baza formulei lui Sturges:
intervale
unde n = numărul unităților de observare (în cazul nostru numărul salariaților).
APLICATIA 18
Pentru 156 de firme care activează în același domeniu de activitate s-au înregistrat datele privind cifra de afaceri și numărul de angajați.
Eșantionul cuprinde firmele de la pozițiile 58 –77 respectiv:
REZOLVARE
gruparea firmelor după cifra de afaceri (CA)
Mărimea intervalului (h ) =
(h )
Cele 5 grupe vor fi : 80 – 566; 566 – 1052; 1052 –1538; 1538 – 2024; 2024 – 2510;
Limita inferioară se cuprinde în interval
– gruparea după numărul angajaților (NA)
h=
Repartizarea firmelor pe clase și centralizarea valorilor individuale poate fi făcută astfel :
Rezultatele grupării și centralizării se prezintă într-un tabel de repartiție:
b)- gruparea firmelor după numărul de angajați (NA)
Deoarece numărul angajaților poate fi numai un număr întreg; se consideră este o variabilă discretă. Gruparea după numărul de angajați va fi realizată astfel: 2- 11; 11 -20; 20 – 29; 29 -38; 38 – 46.
Repartiția firmelor în funcție de variabila număr de angajați poate fi făcută astfel:
Rezultatele se prezintă într-un tabel de repartiție:
Reprezentarea repartiției după cifra de afacere histograma (Fig.18.1) și histograma după numărul de angajați (Fig.18.2).
Fig.18.1. Repartiția după cifra de afaceri
Fig.18.2 Repartiția după numărul de angajați
c) Gruparea pe trei clase pe intervale neegale; de exemplu firme mici, firme mijlocii, firme mari.
Se poate proceda astfel:
dacă se împarte suma cifrei de afaceri la numărul firmelor se obține mărimea medie a unei firme :
Această cifră se localizează în clasa a doua (566 –1052 ).
Toate firmele din această clasă sunt firme medii.
Cele precedente sunt firme mici, iar cele care urmează sunt firme mari.
a-gruparea firmelor după cifra de afacere (CA):
În același mod se poate proceda și în funcție de numărul de angajați (NA) dacă împărțim suma numărului de angajați la numărul firmelor vom obține mărimea medie a numărului de angajați dintr-o firmă:
Această cifră se localizează în grupa a doua (11-19).
Deci toate firmele din această grupă sunt firme medii.
Precedentele sunt firme mici iar succesoarele firmelor medii sunt firme mari.
b- gruparea firmelor în funcție de numărul de angajați:
c-repartiția după două variabile: numărul angajaților (Xi) și cifra de afaceri (Yi).
Variabilele sunt corelate direct deoarece firmele tind să se ordoneze în tabel în jurul diagonalei principale.
d) Repartiția după cifra de afacere
Cifra de afacere este variabila care intersectează (X); valorile acesteia (clasele) reprezintă (Xi).
Numărul care precizează de câte ori apare o clasă este frecvența absolută (ni).
Frecvența relativă ni* = , i = grupe:
n1* = ,
n2* = ,
n3* = ,
n4* = ,
n5* = ,
Interpretare:
nc*=80% -înseamnă că 80% din firme au o cifră de afaceri de cel mult
1052 mil.Ron ;
nc*=90% înseamnă că 90% din firme au o cifră de afaceri de cel mult 1538 mil.RON;
nc*=90% înseamnă că 95% din firme au o cifră de afaceri de cel mult 2024 mil.RON.
Indicatorii simpli ai variației servesc pentru a caracteriza gradul de împrăștiere a unităților purtătoare a caracteristicilor înregistrate. Acești indicatori se pot exprima atât în mărimi absolute, folosind aceleași unități de măsură ca și caracteristica studiată, cât și în mărimi relative, calculate în raport cu valoarea medie.
Indicatori simpli ai variației:
amplitudinea absolută a variației;
amplitudinea relativă a variației;
abaterile individuale absolute
abaterile individuale relative.
Indicatori sintetici ai variației:
abaterea medie liniară;
abaterea medie pătratică;
dispersia;
coeficientul de variație.
INDICATORI AI VARIAȚIEI ( ÎMPRĂȘTIERII)
Indicatori sintetici ai variației:
abaterea medie liniară;
abaterea medie pătratică;
dispersia;
coeficientul de variație.
Abaterea medie liniară
APLICATIA 20
Pentru firmele din orașul Baia Mare s-au stabilit următoarele valori pentru cifra de afaceri conform tabelului de mai jos. Se cer indicatorii sintetici.
1) Abaterea medie liniară
=,
Cifra de afaceri realizată de fiecare firmă se abate în medie de la 881,9 mil RON cu 311,04 mil RON.
2.) Dispersia se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor seriei de media lor.
– pentru o serie de frecvențe:
2)Abaterea medie pătratică sau abaterea standard este o medie pătratică a abaterilor individuale. .
Cifra de afaceri realizată de fiecare firmă se abate în medie de la 881,9 mil RON cu 468,05 mil.RON.
3) Coeficientul de variație
Cu cât se depășește pragul de 35% cu atât intensitatea variației crește, iar media devine mai nereprezentativă.
Aceasta înseamnă că variația nu mai poate fi pusă pe seama întâmplării, deci cel puțin un factor considerat întâmplător are o influență semnificativă.
firmele se diferențiază semnificativ prin prisma cifrei de afaceri pentru că
V >35 %.
O repartiție este simetrică dacă se verifică egalitatea:
.
In cazul repartiției după cifra de afaceri această egalitate nu se verifică, deci repartiția este asimetrică.
Pentru a vedea cât de pronunțată este asimetria, se calculează coeficientul de asimetrie (kas).
kas
O repartiție este moderat asimetrică dacă
-0,3 ;
deoarece kas în această situație este egal cu 0,21 repartiția tinde spre una simetrică pentru că
.
In cazul repartiției bidimensionale se pot calcula pentru variabila „cifra de afaceri” (y), media și dispersia pentru repartiția pe total și pentru fiecare repartiție condiționată de numărul de angajați.
1) Media generală ( pe total, ) și dispersia generală pe total
2) Medii condiționate (,unde i=1,2,3,4,5)
Deoarece – între cele două variabile există o corelație.
De asemenea se pot calcula dispersii condiționate sau de grupă.
(), unde i=1,2,3,4,5.
3)Media dispersiilor de grupa ();
Dispersia dintre grupe
4) Deosebirile privind cifra de afaceri se datorează numărului de angajați.
Funcția care poate descrie legătura dintre variabile este o dreaptă.
129×129+(6490-8a)=141360×129
-5991a=-124770;
a=20,8;
;
a=20,8 ; b=49,02
Funcția care descrie legătura este:
INDICATORI SIMPLI AI VARIATIEI :
amplitudinea absolută a variației;
amplitudinea relativă a variației;
abaterile individuale absolute
abaterile individuale relative.
a) Amplitudinea absolută a variației – A- se calculează ca diferență între limita superioară a ultimului interval și limita inferioară a primului interval.
A=xmax-xmin
b) Amplitudinea relativă a variației (A%) se determină ca raport între amplitudinea absolută (A) și media elementelor seriei.
A(%)=
Amax(%)=
Amin(%)=
c)Abaterea individuală absolută d a elementelor seriei față de media lor se obține în
cifre absolute, ca diferență între fiecare element al seriei (xi) și media acestora (),
astfel:
Abateri maxime:
Abateri minime:
d) Abaterea individuală relativă
APLICATIA 21
Se cunosc următoarele date cu privire la producția realizată de societățile comerciale:
Să se determine indicatorii simpli și sintetici ai variației.
REZOLVARE :
1 – Indicatori simpli ai variației
Indicatorii simpli ai variației sunt: amplitudinea și abaterile elementelor seriei față de media lor.
a) Amplitudinea absolută a variației – A- se calculează ca diferență între limita superioară a ultimului interval și limita inferioară a primului interval.
A=xmax-xmin = 70-30 = 40
b) Amplitudinea relativă a variației (A%) se determină ca raport între amplitudinea absolută (A) și media elementelor seriei.
A(%)=
unde media este:
=53,5354
Amax(%)=
Amin(%)=
Abaterea individuală absolută d a elementelor seriei față de media lor se obține în
cifre absolute, ca diferență între fiecare element al seriei (xi) și media acestora (),
astfel:
Abateri maxime: = 70- 53,53 =16,47
Abateri minime: = 30 – 53,53 = – 23,53
Abaterea individuală relativă
2 Indicatori sintetici ai variației :
Abaterea medie liniară di = (xi – ) ni = vezi datele in tabel col.6
Pentru o serie cu frecvențe absolute:
b) Abaterea medie pătratică
Pentru o serie cu frecvențe absolute:
c) Dispersia
Pentru o serie cu frecvențe absolute:
d) Coeficientul de variație
Se apreciază că producția medie calculată are o valoare reprezentativă și că seria de date este omogenă deoarece coeficientul de variație are valori sub 35%.
APLICATIA 22
Se consideră următoarele informații cu privire la vechimea a 20 de muncitori.
1. Să se determine vechimea medie folosind media armonică, media geometrică și media pătratică
2. Să se calculeze valoarea medianei.
3. Să se determine modulul pentru datele din tabelul de mai sus.
4. Sa se studieze asimetria pentru distribuția dată.
1. Vechimea medie – folosind media armonică, media geometrică și media pătratică
Vechimea medie calculată cu ajutorul mediei armonice ponderate.
Vechimea medie calculată cu ajutorul mediei armonice ponderate este:
ani
Vechimea medie calculată cu ajutorul mediei geometrice:
ani, log 14,15=1,150
Vechimea medie calculată cu ajutorul mediei pătratice:
ani
2. Valoarea medianei
Pentru a calcula valoarea medianei se parcurg următoarele etape:
I-Se determină frecvența cumulată crescător:
LMe = =
Se observă că
II. Se determină intervalul median Me(14,19)
III. Se calculează valoarea medianei
unde: x0 -este limita inferioară a intervalului median; x0=14
h -este mărimea intervalului median; h=19-14=5
nm- este indicele intervalului median; nm=6
3. Modulul
Frecvența absolută cea mai mare este 6 => Mo (14-19)
în care: x0 -reprezintă limita inferioară a intervalului modul; x0=14
h -este mărimea intervalului modul;
h=19-14=5
4. – Coeficientul de asimetrie
Calculăm asimetria în funcție de modul este:
Media aritmetică este: =16,2
Abaterea medie patratică este:
Prin indicatori vom înțelege acele valori atașate variabilelor cantitative care exprimă, sub formă sintetică informația conținută în distribuția variabilei respective.
Există trei tipuri de indicatori
indicatori de poziție sau a tendinței centrale de grupare,
indicatori de dispersie sau de împrăștiere
indicatori ai formei distribuției.
9.Media armonică simplă:
10.Media armonică ponderată:
11,Media geometrică simplă:
12.Media geometrică ponderată:
13.Media pătratică simplă:
14.Media pătratică ponderată:
INDICATORI DE POZIȚIE A TENDINȚEI CENTRALE
1. MEDIA
Valorilor individuale ale unei variabile caracteristici statistice este expresia sintetizării într-un singur nivel reprezentativ a tot ceea ce este esențial, tipic și obiectiv în apariția, manifestarea și dezvoltarea acesteia.
Prin medie înțelegem un număr susceptibil de a rezuma ansamblul valorilor observate ale unei variabile statistice, reprezentat de o funcție de aceste valori.
Media se află în interirul intervalului datelor respective, ordonate în funcție de mărimea lor, fapt pentru care se numește indicator de poziție.
MEDIA ARITMETICĂ
Media aritmetică se folosește când fenomenul supus cercetării înregistrează modificări în progresie aritmetică.
Media aritmetică simplă-se folosește pentru seriile simple, adică în cazul în care numărul variantelor caracteristicilor studiate este egal cu numărul unităților.
Media aritmetică ponderată – se folosește petru determinarea nivelului mediu al seriilor de distribuție, specific fiind faptul că variantele caracteristicilor x1, x2, x3…xn se ponderează cu frecvențele corespunzătoare f1, f2. f3,…., fn.
Aplicații 1.
Să se determine media aritmetică a numerelor 8, 10, 7, 6, 3,2.
Să se determine media aritmetică ponderată pentru următoarea distribuție de frecvențe.
MEDIA ARMONICĂ
Se folosește când nu se cunosc frecvențele f1, f2. f3,…., fn. și nici volumul general al acestora.
Media armonică simplă se folosește pentru seriile simple
Media armonică ponderată se determină pornind de la media aritmetică ținând cont de frecvențele fi.
Aplicatii 2.
Media armonică a numărului de salariați în cazul a 3 firme este 20,25,30 este
Să se determine media armonică pentru distribuția din tabel
=
1.3.MEDIA PĂTRATICĂ
Media pătratică se folosește când nivelul variabilei prezintă creșteri din ce în ce mai mari, modificându-se aproximativ după o funcție exponențială.
Media pătratică simplă:
Media pătratică ponderată:
Aplicatii 3.
Să se determine media pătratică a productivității a trei firme A-70 lei/min, B-50lei/min, C-60lei/min.
=
Să se determine media pătratică ponderată pentru următoarea distribuție.
=
1.4 MEDIA GEOMETRICĂ
Acest tip de medie se utilizează pentru calculul indicelui mediu, ținând cont de fenomenele socio-economice, a căror evoluție se caracterizează în general printr-o încetinire de ritm chiar dacă volumul absolut al creșterii este din ce în ce mai mare.
Media geometrică simplă: ,
Logaritmând expresia obținem
ln=ln=ln=, =
Media geometrică ponderată: =
2. MEDIANA
Este acea valoare a caracteristicii care ocupă locul central în cadrul variantelor seriei ordonate crescător sau descrescător, deci mediana împarte seria în două părți egale.
În cazul seriilor simple putem avea două situații
dacă seria are un număr impar de termeni, mediana este acea variantă a caracteristicii cu rangul , după ce în prealabil seria a fost ordonată.
Exemplul1- O serie este formată din cifra de afaceri respectiv 100, 140, 80, 90 și
120 în mil.de lei. Ordonarea este 80, 90, 100, 120, 140 rangul va fi
==3, Me =100
dacă seria are un număr par de termeni, mediana este dată de semisuma termenilor centrali, după ce în prealabil seria a fost ordonată.
Exemplul 2 – O serie este formată din cifrele de afaceri respectiv 100, 140, 80, 90,
60, 130, 160 și 120 în mil.de lei.
Ordonarea va fi 60, 80, 90, 100, 120, 130, 140, 160. Rangul este
Me ==110
În cazul seriilor de distribuție mediana se determină cu formula
, număr par
sau
, număr impar
Unde xMe – limita inferioară a intervalului median ,
fi- frecvențele caracteristicii xi,
fcm-1- frecvențele cumulate până la intervalul median
k- mărimea intervalului,
fMe- frecvența intervalului median.
3. MODULUL
Modulul sau dominanta reprezintă valorile caracteristicii cu frecvența cea mai mare
în care Me-reprezintă limita inferioară a intervalului modal
– diferența dintre intervalul modal și frecvența intervalului premodal
– diferența dintre intervalul modal și frecvența intervalului postmodal
k – mărimea intervalului modal.
Aplicație 4. Se dă distribuția de frecvențe. Intervalul modal cu frecveța cea mai mare este 700-800, deci și modulul va fi în acest interval.
k=800-700=100
– diferența dintre intervalul modal și frecvența intervalului premodal = 30-15
– diferența dintre intervalul modal și frecvența intervalului postmodal = 30-20
==760
5. CUANTILE
Sunt valori ale variabilei aleatoare al cărei argument x, este definit în intervalul [a, b] și care separă repartiția ordonată în n părți, cuprinzând același efectiv egal cu 1/n din efectivul total.
S-a văzut că pentru determinarea medianei Me, trebuie rezolvată ecuația , unde < X,
este funcția de repartiție a variabilei X.
, i ‚1,2,…., n-1
Cuartilele sunt valori ale caracteristicii care împart seria în n părți egale.
Pentru n =2 – se obține mediana
Pentru n= 4 – vom obține cuartielele
Pentru n=10 – soluțiile se numesc decile
Pentru n=100 – soluțiile se numesc centile.
În cazul cuartilelor n= 4,
Q2 a doua cuartilă este egală cu mediana
Q1- se mai numește cuartila mică sau inferioară,
iar Q3- cuartila mare sau superioară.
Diferența se numește abaterea intercuartilă sau abaterea cuartilă.
Valoarea se numește abaterea semiintercuartilică.
Valoarea relativă standardizată sau abaterea intercuartilă relativă va fi
Aplicație
Fie o variabilă cantitativă continuă, de exemplu dimensiunile unor piese, care au fost observate ca variind între 60 mm și 168 mm.
Acest interval a fost împărțit din motive practice în intervale de 6mm, obținându-se discretizarea variabilei.
Frecvența maximă se obține pentru x =105, adică 41, modulul este 95.
Valorile celor trei indicatori ai tendinței centrale sunt folosite pentru construirea parametrilor care redau forma distribuției
Aplicatie 6.
Să se determine numărul familiilor dintr-o firmă după dimensiunea acestora, respectiv numărul de persoane care alcătuiesc famila respectivă.
Se constată că numărul total este
Aplicație 7.
Se consideră rezultatele obținute de studenți în sesiunea de iarnă, pe un lot de 1000 studenți, rezultatele sunt valori ale notelor de la 1 la 10.
Amplitudinea
A =10-1 =19
Q1- cuartila mică sau inferioară, se obține prin eliminarea primelor 250 de indivizi este 4 sub 5 sunt 250 de studenți,
Q2- a doua cuartilă este egală cu mediana, mediana este 6 sub 6 sunt 450 de studenți și sub 7 sunt 670 de studenți,
Q3- cuartila mare sau superioară este 7, valoare până la care se plasează 670 de studenți.
Diferența =7-4=3
Irel == = 0,5
Indicatorii tendinței centrale de grupare
Din seria indicatorilor de poziție sau a tendinței centrale de grupare vom menționa
media sau media aritmetică
Dacă x1, x2,…, xn sunt cele n vaori pe care le poate lua o variabilă cantitativă atunci valoarea medie va fi
mediana unei variabile cantitative x, este acea valoare totală Me a lui x pentru care are loc egalitatea
modul sau valoarea dominantă este același în timp și valoarea cea mai probabilă pe care o poate lua variabila x, se notează cu Mo
INDICATORII DE DISPERSIE
Indicatorii de dispersie caracterizează o populație statistică din punctul de vedere al omogenității în raport cu o variabilă cantitativă dată.
În anumite situații, indicatorii de dispersie pot reflecta gradul de inegalitate între indivizii statostici, în raport cu o anumită caracteristică.
În modelele explicative indicatorii de dispersie pot expilca gradul de nedeterminare, de variabilitate a unui fenomen.
1.AMPLITUDINEA
Este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare
Quantile
Este o variabilă aleatoare al cărei argument x, este definit în intervalul [a, b].
S-a văzut că pentru determinarea medianei Me, trebuie rezolvată ecuația , unde < X,
este funcția de repartiție a variabilei X.
, i ‚1,2,…., n-1
Pentru n =2 – se obține mediana
Pentru n= 4 – vom obține cuartielele
Pentru n=10 – soluțiile se numesc decile
Pentru n=100 – soluțiile se numesc centile.
În cazul cuartilelor n= 4,
Q2 a doua cuartilă este egală cu mediana
Q1- se mai numește cuartila mică sau inferioară,
iar Q3- cuartila mare sau superioară.
Diferența se numește abaterea intercuartilă sau abaterea cuartilă.
Valoarea se numește abaterea semiintercuartilică.
Valoarea relativă standardizată sau abaterea intercuartilă relativă va fi
Aplicație
Fie o variabilă cantitativă continuă, de exemplu dimensiunile unor piese, care au fost observate ca variind între 60 mm și 168 mm.
Acest interval a fost împărțit din motive practice în intervale de 6mm, obținându-se discretizarea variabilei.
Frecvența maximă se obține pentru x =105, adică 41, modulul este 95.
Valorile celor trei indicatori ai tendinței centrale sunt folosite pentru construirea parametrilor care redau forma distribuției
Aplicatie
Să se determine numărul familiilor dintr-o firmă după dimensiunea acestora, respectiv numărul de persoane care alcătuiesc famila respectivă.
Se constată că numărul total este
Aplicație
Se consideră rezultatele obținute de studenți în sesiunea de iarnă, pe un lot de 1000 studenți –persoane, rezultatele sunt valori ale notelor de la 1 la 10.
Amplitudinea
A =10-1 =19
Q1- cuartila mică sau inferioară, se obține prin eliminarea primelor 250 de indivizi este 4 sub 5 sunt 250 de studenți,
INDICATORI AI VARIAȚIEI ( ÎMPRĂȘTIERII)
INDICATORI SINTETICI ai variației:
abaterea medie liniară;
abaterea medie pătratică;
dispersia;
coeficientul de variație.
1) Abaterea medie liniară
2.) Dispersia se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor seriei de media lor.
3)Abaterea medie pătratică sau abaterea standard este o medie pătratică a abaterilor individuale.
.
Coeficientul de variație
Cu cât se depășește pragul de 35% cu atât intensitatea variației crește, iar media devine mai nereprezentativă. O repartiție este simetrică dacă se verifică egalitatea:
.
Pentru a vedea cât de pronunțată este asimetria, se calculează coeficientul de asimetrie (kas).
kas
O repartiție este moderat asimetrică dacă -0,3 ;
Aplicația 1.
Se dau datele privind activitatea unei societăți:
Se cere:
să se reconstituie seria, știind că valoarea cifrei de afaceri în 2002 era de 200 mil lei;
indicatorii absoluți, relativi și medii;
să se ajusteze și extrapoleze datele pentru următorii trei ani, folosind un procedeu mecanic și unul analitic.
1.Reconstituirea seriei
Știind din tabel că cifra de afaceri s-a modificat cu 7,6%, în 2003 față de 2002, rezultă:
mil lei
mil lei
…
2. Indicatorii absoluți
2.1. Modificările absolute
cu bază fixă(t/1): t/1=yt – y1 unde,
2/1 = 2003/2002 = y2003 – y2002 = 215, 2 – 200 = 15,2 mil lei
… … …
8/1 = 2009/2002 = y2009 – y2002 = 707,6 – 200 = 507,6 mil lei
cu bază în lanț (bază mobilă sau variabilă) (t/t-1):
t/t-1=yt – yt-1 unde,
2/1 = 2003/2002 = y2003 – y2002 = 215, 2 – 200 = 15,2 mil lei
… … …
8/7 = 2009/2002 = y2009 – y2008 = 707,6 – 543,5 = 164,1 mil lei
2.1. Indicatorii relativi
a. Indice de dinamică
cu bază fixă (It/1):
… … …
cu bază în lanț (It/t-1) :
… … …
b. Ritmul de dinamică
cu bază fixă (Rt/1) :
… … …
cu bază în lanț (Rt/t-1) :
… … …
c. Valoarea absolută a unui procent de dinamică
cu bază fixă (At/1) :
mil lei
… … …
mil lei
cu bază în lanț (At/t-1) :
mil lei
… … …
mil lei
2.3. Indicatorii medii
a. Nivelului mediu
mil lei
b. Modificarea medie absolută:
mil lei
sau
mil lei
c. Indicele mediu de dinamică:
sau
d. Ritmul mediu de dinamică
3. Ajustare și extrapolare
3.1. Metode mecanice
a. Metoda modificării medii absolute
3.2. Metoda analitică
rezultă
Extrapolare
5.4.6. Aplicația 2.
Pentru stocurile de mărfuri (mil lei) se cunosc datele:
Se cere:
să se reprezinte grafic cele două serii;
să se calculeze stocul mediu din cei doi ani;
să se determine indicatorii absoluți și relativi pentru una dintre serii.
Prima serie este o serie de momente cu intervale egale între momente, astfel se va folosi media cronologică simplă și anume:
Cea de-a doua serie este o serie de momente cu intervale neegale între momente, astfel se va folosi media cronologică ponderată și anume:
d1 = 31 + 28 + 25 = 84
d2 = 6 + 30 + 31 + 30 + 31 = 128
d3 = 31 + 30 + 31 + 25 = 117
d4 = 5 + 31 = 36
Punctul 3 se rezolvă la fel ca punctul 2 de la aplicația precedentă.
5.4.7. APLICATIA 3. INDICI STATISTICI
Într-o unitate comercială s-au înregistrat urmîtoarele date cu privire la trei mărfuri A,B,C, în două luni consecutive
Să se calculeze
1.indicii individuali ai valorii, volumului fizic și prețurilor pentru cele trei mărfuri,
2.să se calculeze indicii de grup ai valorii volumului fizic și prețurilor și să se verifice relația dintre ei,
3.să se calculeze pe total modificările absolute pentru valoare, prețuri și volum fizic, specificându-se care este ponderea factorilor determinanți
ALGORITM
a) Calculul indicilor individuali ai valorii , volumului fizic și prețurilor pentru cele trei mărfuri,
, ,
b) Indicii de grupp se calculează în această problemă ca indici agregați
Relația dintre cei trei indici
1,748 = 1,66 x1,049
modificările absolute ale valorii volumui fizic și ale prețurilor
Relația dintre modificările absolute
Ponderea celor trei factori
Se poate observa că modificarea absolută a prețurilor a contribuit în proporție de 93,46% la modificarea absolută a valorii totale, în timp ce modificarea absolută a volumui fizic a contribuit doar în proporție de 6,54 %
5.5.1. APLICATIE 1
Despre o firmă care dispune de mai multe complexe hoteliere conform datelor din tabelul 1, se cere
durata medie a sejurului pe fiecare complex și pe total firmă,
indicii duratei medii a sejurului cu structura variabilă, structură fixă și de variație a structurii ,
modificarea absolută și relativă a duratei medii a sejurului pe seama celor doi factori durata sejurului și numărul de turițti pe fiecare complex,
indicii numărului de zile-turist, modificarea relativă și absolută a numărului de zile turist și descompunerea pe factori de influență numărul de turiști și numărul zile de cazare,
Tabel 1
ALGORITM
Vom nota cu
0- perioada de bază iunie,
1- perioada curentă august
t- numărul de turiști,
z- numărul de zile cazare,
tz- numărul de zile turist cazare,
-numărul mediu de turiști,
-numărul mediu de zile de cazare
1- Durata medie a sejurului
→
→
Algoritmul de calcul necesar determinării duratei medii a sejurului și a numărului mediu de turiști.
Pe baza datelor din tabelul 1 aplicând formulele de calcul se obțin noile date confrom tabelului 2.
Tabel 2.
2- indicii duratei medii a sejurului cu structura variabilă, structură fixă și de variație a structurii ,
3-modificarea absolută și relativă a duratei medii a sejurului pe seama celor doi factori durata sejurului și numărul de turițti pe fiecare complex,
Modificările relative
R=I-100
Modificările absolute
Durata medie a sejurului din august comparativ cu iunie a crescut în medie cu 5,42 zile pe seama celor doi factori.
Durata sejurului a influențat preponderent 5,19 zile comparativ cu numărul de turiști o,23
4- indicii numărului de zile-turist, modificarea relativă și absolută a numărului de zile- turist și descompunerea pe factori de influență numărul de turiști și numărul zile de cazare,
Dacă se folosește metoda substituirilor în lanț vom avea
Modificările relative R=I-100
Modificările absolute
Numărul de zile turist cazare în august față de iunie a crescut cu 2173
pe seama duratei sejurului 1500
pe seama numărului de turiști 673
Durata sejurului reprezintă
factorul calitativ care a influențat numărul de zile turist și deține o pierdere de 69%
în timp ce factorul cantitativ numărul de turițti are o pondere de 31%.
Pentru 156 de firme care activează în același domeniu de activitate s-au înregistrat datele privind cifra de afaceri și numărul de angajați.
Eșantionul cuprinde firmele de la pozițiile 58 – 77 din tabelul 1, respectiv:
Tabel 1
ALGORITM
gruparea firmelor după cifra de afaceri:
Mărimea intervalului
(h ) =
(h )
Cele 5 grupe vor fi : 80 – 566 ; 566 – 1052 ; 1052 – 1538 ; 1538 – 2024 ; 2024 – 2510 ;
Repartizarea firmelor pe clase și centralizarea valorilor individuale poate fi făcută astfel :
Rezultatele grupării și centralizării se prezintă într-un tabel de repartiție( tabelul 2) :
Tabel 2
Limita inferioară se cuprinde în interval
– gruparea dup[ numărul angajaților ( NA ) se aproximează deoarece NA poate fi numai un număr întreg, este o variabilă discretă.
h=
h= persoane
Grupele vor fi: 2- 10 ; 11 -19 ; 20 – 28 ; 29 -37 ; 38 – 46 ;
Repartiția firmelor în funcție de variabila număr de angajați poate fi făcută astfel:
Rezultatele se prezintă în tabelul de repartiție (tabelul 3) :
Tabel 3
c) Reprezentarea grafică
Histograma – prezintă pe baza datelor din tabelul 3, repartizarea firmelor în funcție de cifra de afaceri CA
Nr.firme
0 80 566 1052 1538 2024 2510 CA
Ox: 1 cm = 486 mil RON
Oy: 1 cm = 2 firme
b) Gruparea pe trei clase pe intervale neegale de exemplu firme mici , firme mijlocii , firme mari.
Se poate proceda astfel: dacă se împarte suma cifrei de afaceri la numărul firmelor se obține mărimea medie a unei firme :
Această cifră se localizează în clasa a doua ( 566 – 1052 ), toate firmele din această clasă sunt firme medii, cele precedente sunt firme mici iar cele care urmează sunt firme mari.
– gruparea firmelor dupa cifră de afacere (C A ):
Tabel 4
În același mod se poate proceda și în funcție de numărul de angajați (NA )
dacă împărțim suma numărului de angajați la numărul firmelor vom obține mărimea medie a numărului de angajați dintr-o firmă:
Această cifră se localizează în grupa a doua (11- 19 ), deci toate firmele din aceasta grupă sunt firme medii.
Precedentele sunt firme mici iar succesoarele firmelor medii sunt firme mari.
– gruparea firmelor în funcție de numărul de angajați:
În tabelul 5 apare o repartiție după două variabile:
numărul angajatilor (Xi)
cifra de afaceri (Yi).
Tabelul 5
Variabilele sunt corelate direct deoarece firmele tind să se ordoneze în tabel în jurul diagonalei principale.
c)- Repartiția după cifra de afacere
– Cifra de afacere este variabilă iar valorile acesteia reprezintă ( Xi ).
Numărul care precizează de câte ori apare o clasă este frecvența absolută (ni ).
Cifra de afacere este variabilă iar valorile acesteia reprezintă ( Xi ).
Numărul care precizează de câte ori apare o clasă este frecvența absolută (ni ).
Frecvența relativă
ni* = , i = grupe:
n1* = ,
n2* = ,
n3* = ,
n4* = ,
n5* = ,
Interpretarea rezultatelor
– nc*=80% înseamnă că 80% din firme au o cifră de afaceri de cel mult 1052 mil.Ron ;
– nc*=90% înseamnă că 90% din firme au o cifră de afaceri de cel mult 1538 mil.RON;
– nc*=90% înseamnă că 95% din firme au o cifră de afaceri de cel mult 2024 mil.RON;
c) Indicatorii tendinței centrale
O serie de repartiție se caracterizează sintetic prin următorii indicatori medii și anume:
1).Media aritmetică este acea valoare care înlocuind toate valorile individuale (xi), nu modifică suma acestora (Σ xi).
Media aritmetică poate fi calculată ca o medie simplă și ca o medie ponderată.
unde x’i este centrul fiecărui interval iar ni numărul firmelor din clasa i.
Centrul fiecărui interval
(x’i) =
x’1=,
x’2;
x’3=;
x’4= ;
x’5=
Media aritmetică se calculează sub forma mediei aritmetice ponderate, după formula :
=
2).Modulul (Mo) unei distribuții statistice este aceea valoare a variabilei cifrei de afaceri care are frecvența cea mai mare de apariție.
Modulul este singurul indicator ai tendinței centrale care are sens în cazul unei repartiții după o variabilă nominală, ale cărei variante au fost măsurate printr-o scală nominală.
=
Interpretare:
xo – limita inferioară a intervalului modal ;
h – mărimea intervalului modal ;
Δ1– diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența
intervalului precedent ;
Δ2 – diferența dintre frecvența intervalului modal și a celui
următor.
3).Mediana (Me) unei serii este acea valoare a variabilei cifrei de afaceri care împarte șirul valorilor ordonate crescător în două părți egale.
Mediana presupune că formele de manifestare ale caracteristicilor pot fi măsurate printr-o scală ordinală.
Indiferent de tipul seriei (simplă sau de frecvențe), determinarea medianei presupune:
stabilirea locului medianei;
calcularea valorii mediane
Locul medianei se află prin relația:
= respectiv 10,11
Se urmăresc frecventele cumulate până când se identifică prima care îndeplinește inegalitatea
nc.
Mediana se localizeaza in grupa (566-1052) pentru ca suma frecventelor este
4+6 =16 >10,5
566 < Me < 1052
Deoarece ,
,
si ,
ceea ce înseamnă că distribuția prezintă o asimetrie de stânga.
d)Indicatorii sintetici ai variatiei:
1)Abaterea medie liniară
=,
cifra de afaceri realizată de fiecare firmă se abate în medie de la 881,9 mil RON cu 311,04 mil RON.
2.) Dispersia se calculează ca o medie aritmetică simplă sau ponderată a pătratelor abaterilor termenilor seriei de media lor.
– pentru o serie de frecvențe:
3)Abaterea medie patratica sau abaterea standard este o medie pătratică
– abaterilor individuale. .
cifra de afaceri realizată de fiecare firmă se abate în medie de la 881,9 mil RON cu 468,05 mil RON.
4)Coeficientul de variatie
Cu cât se depășește pragul de 35% cu atât intensitatea variației crește, iar media devine mai nereprezentativă.
Aceasta înseamnă că variația nu mai poate fi pusă pe seama întâmplării, deci cel puțin un factor considerat intâmplător are o influență semnificativă.
Firmele se diferențiează semnificativ prin prisma cifrei de afaceri pentru că
V >35 %.
i) repartitie este simetrica dacă se verifică egalitatea:
.
In cazul repartiției după cifra de afaceri această egalitate nu se verifică deci repartiția este asimetrică.
Pentru a vedea cât de pronunțată este asimetria, se calculează coeficientul de asimetrie (kas).
Kas
O repartiție este moderat asimetrică dacă
-0,3 ;
deoarece Kas în această situație este egal cu 0,21; repartiția tinde spre una simetrică pentru că .
f) In cazul repartitiei bidimensionale de la punctul anterior se pot calcula pentru variabila „cifra de afaceri” (y), media și dispersia pentru repartitia pe total și pentru fiecare repartiție condiționată de numărul de angajați.
1) Media generală ( pe total, ) și dispersia generală (pe total ).
2)Medii condiționate (,unde i=1,2,3,4,5.
Deoarece -între cele două variabile există o corelație.
De asemenea se pot calcula dispersii condiționate sau de grupă.
(), unde i=1,2,3,4,5.
3)Media dispersiilor de grupă ();
Dispersia dintre grupe
deosebirile privind cifra de afaceri se datorează numărului de angajați.
g) Verificati printr-o metodă simplă dacă între CA și NA corespunzătoare primelor 8 firme din eșantion există o corelație:
REZOLVARE
Funcția care poate descrie legătura dintre variabile este o dreaptă.
129*129+(6490-8a)=141360*129
-5991a=-124770;
a=20,8 ;
;
a=20,8 ;b=49,02
Funcția care descrie legătura este:
h) Intensitatea corelațiilor dintre variabile se poate măsura prin indicatorul coeficientul de corelație r care măsoară intensitatea corelațiilor lineare.
Acesta poate lua valori
– dacă r > 0 – corelația este directă,
r < 0 – corelația este inversă, cu cât r cu atat corelația este
mai puternică.
– dacă r=0 cele doua variabile sunt independente
.
r=0,975corelația este foarte puternică între cele două variabile.
i-Poligonul frecvențelor
Nr.firme
0 80 566 1052 1538 2024 2510 C A
Ox: 1 cm = 486 mil RON
Oy : 1 cm = 2 firme
APLICATIA 24
Pentru un eșantion de 40 de muncitori, selectat întâmplător și repetat/nerepetat, din cei 400 de muncitori ai unui agent economic cu profil industrial s-au înregistrat datele privind vechimea în muncă (ani) și producția (bucăți) în luna aprilie 2008 în tabel.
În vederea desprinderii unor concluzii privind eșantionul se cere
să se grupeze muncitorii după variația fiecărei caracteristici pe șase intervale egale folosind metoda grupărilor simple,
gruparea muncitorilor peintervale neegale,
să se centralizeze valorile pe grupele obținute și să se prezinte grafic,
să se calculeze indicatorii tendinței centrale, indicatorii variației și ai asimetriei,
să se calculeze indicatorii sintetici.
REZOLVARE
Sistematizarea datelor înregistrate
Gruparea pe intervale de variație egale
-pentru gruparea variabilei cantitative pe intervale de variaie este necesară parcurgerea următoarelor etape
calculul amplitudinii absolute a variației A0,
determinarea mărimii intervalului de variație
-dacă numărul de grupe este stabilit apriori h=A0/k, k /repezintă numărul de grupe k=6
-dacă numărul grupelor nu este cunoscut mărimea intervalului se stabilește pe baza relației lui H.A.Sturges,
stabilirea celor k intervale de variație,
distribuirea repartizarea valorilor caracteristici pe grupe stabilite în etapa anterioară
Gruparea muncitorilor după variabila vechime X
Amplitudinea absolută :
A0=xmax – xmin= 37-2=35 ani
Numarul de grupe este dat de k=6. Mărimea intervalului
rezultatul se rotunjește în plus
sau
Pentru stabilrea intervalelor de variație se pleacă de la o valoare egală sau mai mică decât valoarea minimă a caracteristicii și se adaugă succesiv mărimea intervalului calculat.
In cazul nostru limita inferioară este egală cu xmin.
Pentu centralizarea valorilor caracteristicilor aditive se întocmește câte un tabel pentru fiecare grupă de vechime în muncă, respectiv grupa I, II, III, IV, V, VI.
Tabel 1. Grupa I (2-8ani)
Tabel 2 Grupa II (8-14ani)
Tabel 3 Grupa III (14-20ani)
Tabel 5 Grupa V (26-32ani)
Tabel 4. Grupa IV (20-26ani)
Tabel 6 Grupa VI (32-38 ani)
Pentru a realiza gruparea muncitorilor după variabila producție Y vom ține cont de următoarele date :
a-amplitudinea absolută :
A0=ymax – ymin= 79-41=38 bucăți
b-numărul de grupe este dat de k=6
c-mărimea intervalului
rezultatul se rotunjește în plus
Pentru stabilirea intervalelor de variație se pleacă de la o valoare egală sau mai mică decât valoarea minimă a caracteristicii și se adaugă succesiv mărimea intervalului calculat. În cazul nostru limita inferioară este egală cu xmin.
B-Repartizarea muncitorilor după vechime și după producție și valorile centralizate pe grupe prezentate în tabele 7.8.
Repartiția muncitorilor după vechime și centralizarea pe grupe a valorilor variabilelor
*Valorile centralizate se obțin din tabelele 1…6
Pentru centralizarea valorilor caracteristicilor aditive se întocmește câte un tabel pentru fiecare grupă de producție grupa I, II, III, IV, V, VI.
Tabel 8. Grupa I (41-48)
Tabel 9 Grupa II (48-55)
Tabel 10. Grupa III (55-62)
Tabel 12 Grupa V (69-76)
Tabel 11 Grupa IV (62-69)
Tabel 13 Grupa VI (76-83)
Tabel 14 Repartiția muncitorilor după producție și centralizarea pe grupe a variabilelor
*Valorile centralizate se obțin din tabelele 1…6, limita inferioară este inclusă în interval
C- Reprezentarea grafică a celor două repartiții
Reprezentarea grafică a celor două repartiții se face prin:
histogramă, (Fig.1), (Fig.4),
poligonul frecvențelor (Fig.2), (Fig.5),
curba cumulativă a frecvențelor ( Fig.3), (Fig.6).
1- Histograma, se obține construind deptunghiuri cu bazele egale cu mărimea intervalelor fixate pe OX și înălțimea proportională cu frecvențele sau numărul de unități ce corespund grupelor.
Fig.1.Repartiția muncitorilor după vechime
Fig.2. Poligonul frecvențelor pentru repartiția muncitorilor după vechime
Tabel 15.
Frecvențele cumulate pentru muncitorii centralizați după vechimea în muncă
Frecvența cumulată crescător ………. descrescător
f1=n1=4, f6=n6=3
f2=n1+n2=4+4=8, f5= n5+n6=9
f3=n1=n2+n3=8+12=20, ……. f4=n6+n5+n4=3+6+11=20………
Fig.3. Curba cumulativă a frecvențelor pentru repartiția muncitorilor după vechime
Pentru variabila producție reprezentările grafice ale seriei de repartiție sunt
Fig.4. Repartiția muncitorilor după producție
Fig.5. Poligonul frecvențelor pentru repartiția muncitorilor după producție
Tabel 16.
Frecvențele cumulate pentru muncitori centralizați după producție
Fig.6. Curba frecvențelor pentru repartiția muncitorilor după producție
D- Gruparea muncitorilor pe intervale neegale
Un criteriu de repartizare pe grupe neegale îl constituie nivelul mediu al variabilei
vechimea medie pe muncitor în muncă,
producția medie pe muncitor.
Vom avea trei grupe calificative de tipul, mic, mijlociu și mare.
În grupa a doua sunt cuprinse grupa, intervalul care conține nivelul mediu al variabilei și intervalele învecinate cu acesta.
În prima și ultima grupă sunt cuprinse intervalele care preced sau succed cele trei intervale care compun grupa a doua.
Repartiția muncitorilor după vechime
Se calculează vechimea medie pe un muncitor ca medie aritmetică
Repartiția muncitorilor după vechime pe cele trei intervale neegale și valorile centralizate sunt înscrise în tabelul 15.
Reprezentarea grafică a repartițiilor inegale se poate face prin histogramă, poligonul frecvențelor și curba cumulativă a frecvențelor
E-Indicatorii tendinței centrale, indicatorii variației și ai asimetriei
1-Calculul medie aritmetice
cu frecvențe absolute
,
unde xi- sunt centrele intervalelor de grupare calculate ca medie artimetică simplă a limitei inferioare și superioare a fiecărei grupe.
cu frecvențe relative
2-Calculul modulului Mo-locul M0 este intervalul cu frecvența maximă (14-20), valoarea modulului
3- Calculul medianei Me-locul medianei Me, este cuprinsă în primul interval a cărui frecvență cumulată este mai mare decât locul medianei.
F-Calculul indicatorilor sintetici ai variabilei
Abaterea medie liniară
Dispersia
Abaterea medie pătratică
Coeficientul de variație ,
Aplicația 25
Se dau datele privind activitatea unei societăți:
Se cere:
să se reconstituie seria, știind că valoarea cifrei de afaceri în 1999 era de 200 mil.lei;
indicatorii absoluți, relativi și medii;
să se ajusteze și extrapoleze datele pentru următorii trei ani, folosind un procedeu mecanic și unul analitic.
1-Reconstituirea seriei
Știind din tabel că cifra de afaceri s-a modificat cu 7,6%, în 2000 față de 1999, rezultă:
mil lei
mil lei
2. Indicatorii absoluți
2.1. Modificările absolute
cu bază fixă(t/1):
t/1=yt – y1 unde,
2/1 = 2000/1999 = y2000 – y1999 = 215, 2 – 200 = 15,2 mil lei
… … …
8/1 = 2006/1999 = y2006 – y1999 = 707,6 – 200 = 507,6 mil lei
cu bază în lanț (bază mobilă sau variabilă) (t/t-1):
t/t-1=yt – yt-1 unde,
2/1 = 2000/1999 = y2000 – y1999 = 215, 2 – 200 = 15,2 mil lei
… … …
8/7 = 2006/1999 = y2006 – y1999 = 707,6 – 543,5 = 164,1 mil lei
2.1. Indicatorii relativi
a. Indice de dinamică
cu bază fixă (It/1):
… … …
cu bază în lanț (It/t-1) :
… … …
b. Ritmul de dinamică
cu bază fixă (Rt/1) :
,
… … …
cu bază în lanț (Rt/t-1) :
,
… … …
c. Valoarea absolută a unui procent de dinamică
cu bază fixă (At/1) :
mil lei
… … …
mil lei
cu bază în lanț (At/t-1) :
mil lei
… … …
mil lei
2.3. Indicatorii medii
a. Nivelul mediu
mil lei
b. Modificarea medie absolută:
mil lei sau
mil lei
c. Indicele mediu de dinamică:
sau
d. Ritmul mediu de dinamică
3. Ajustare și extrapolare
3.1. Metode mecanice
a. Metoda modificării medii absolute
3.2. Metoda analitică
rezultă
Extrapolare
FORMULE UTILIZATE ÎN STATISTICĂ
1.frecvența relativă
2.ponderea sau greutatea specifică a unui element (xi) în totalul colectivității () se obține pe baza relației:
3.media aritmetică simplă se folosește pentru seriile în care fiecare nivel al caracteristicii este purtat de o singură unitate statistică.
sau , , n=volumul colectivității
4.media aritmetică ponderată se folosește în cazul seriilor cu frecvențe
sau
formule de calcul simplificat a mediei aritmetice:
-pentru . serii simple:
-pentru serii ponderate:
a-dacă se micșorează fiecare variantă a caracteristicii de un anumit număr de ori ”k”, atunci media seriei se micșorează de același număr de ori.
Se obțin următoarele relații:
-pt. serii simple:
-pt. serii ponderate:
b-dacă frecvențele seriei se micșorează de un număr „c” de ori, atunci media aritmetică rămâne neschimbată.
Această proprietate se aplică numai seriilor cu frecvențe.
c-suma algebrică a abaterilor nivelurilor individuale ale caracteristicii de la media lor este egală cu zero.
formule de calcul simplificat al mediei aritmetice:
-pt. serii simple:
-pt. serii ponderate:
5.Modulul aplicarea relației de calcul a modului:
, unde:
x0 = limita inferioară a intervalului modal,
d = mărimea intervalului modal,
= diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența intervalului anterior celui modal,
= diferența dintre frecvența intervalului modal și frecvența intervalului următor celui modal.
Pe cale grafică, modul se determină pe baza histogramei
6.Mediana Metodologia de calcul a medianei este diferită după natura seriei luate în calcul.
Pentru serii simple se întâlnesc două situații:
-seria are un număr impar de termeni, când mediana este acea variantă a caracteristicii cu rangul , după ce în prealabil seria a fost ordonată crescător, unde n = nr. termenilor.
: ;
, unde:
x0 = limita inferioară a intervalului median;
d = mărimea intervalului median;
Na = frecvența cumulată anterioară intervalului median;
nMe = frecvența reală a intervalului median.
Pe cale grafică mediana se determină ca și în situația precedentă cu ajutorul curbei frecvențelor cumulate.
Indicatorii simpli ai dispersiei
Amplitudinea variației
în mărime absolută
în mărime relativă ,
unde: = nivelul maxim, respectiv minim al variabilei X; = nivelul mediu al variabilei X.
Indicatorii sintetici ai dispersiei
1. Abaterea medie liniară
-pentru serii simple: , când ,
-pentru serii cu frecvențe: , când
2. Varianța (dispersia)
-pentru serii simple: ,
-pentru serii cu frecvențe: .
3. Abaterea medie pătratică (deviația standard)
pentru serii simple:
-pentru serii cu frecvențe:
Intervalul mediu de variație
, respectiv
. Coeficientul mediu de variație
, respectiv
Proprietățile dispersiei sunt:
Dispersia unei distribuții este egală cu diferența dintre media pătratelor tuturor variantelor caracteristicii și pătratul mediei.
Dispersia unui șir de valori constante este egală cu zero,
Dispersia calculată din abaterile variantelor caracteristicii față de constanta „a” este mai mare decât dispersia calculată din aceleași variante față de media lor cu pătratul diferenței dintre medie și constanta „a”.
-pentru serii simple: ,
-pentru serii cu frecvențe: .
Dacă fiecare nivel al caracteristicii se micșorează de „k” ori, atunci dispersia se micșorează de „k2” ori.
-pentru serii simple: ,
-pentru serii cu frecvențe: .
Dacă se împarte fiecare nivel al frecvențelor printr-o constantă „c”, atunci dispersia rămâne neschimbată.
Aceste proprietăți sunt folosite pentru calculul simplificat al dispersiei. Din combinarea lor se ajunge la formulele care conduc la cea mai mare simplificare a calculelor.
-pentru serii simple: ,
-pentru serii cu frecvențe: .
Indicatorii de asimetrie
O primă imagine asupra gradului de asimetrie (As) al unei distribuții o putem face comparând media ei asimetrică cu modul.
, asimetrie negativă, cu extinderea frecvențelor spre stânga.
, asimetrie pozitivă, cu extinderea frecvențelor spre dreapta.
În mărimi relative se utilizează coeficientul de asimetrie a lui Pearson (kas).
Dacă kas =0, , distribuție simetrică
Dacă kas >0, , distribuție asimetrică spre dreapta
Dacă kas <0, , distribuție asimetrică spre stânga.
Pentru seriile moderat asimetrice, coef. de asimetrie trebuie să ia valori cuprinse în intervalul (-0,3 ; 0,3). Pentru valori în afara acestui interval se consideră că distribuțiile respective sunt puternic asimetrice.
coeficientul de asimetrie Yule (Cay).
, unde: q2 = Q3 – Me
q1 = Me – Q1.
Dacă valorile Cay se apropie de , atunci distribuția este moderat asimetrică, iar dcaă depășesc , atunci distribuția este pronunțat asimetrică.
Indicatorii de boltire.
. de boltire Pearson () și coef. de boltire Fisher ().
, unde: este dispersia.
, iar se determină după relația:
Pentru o distribuție normală (curba Gauss-Laplace), coeficientul de boltire ia valoarea 3. Dacă , atunci distribuția este leptocurtică, iar dacă , atunci distribuția este platicurtică.
Coef. de boltire Fisher ()
, cu interpretarea:
dacă , , distribuție normală;
, , distribuție leptocurtică;
, , distribuție platicurtică.
Indicii simpli
Indicele simplu al cantităților sau al volumului fizic care este determinat după relația: ,
q1 = volumul fizic în perioada curentă
q0 = volumul fizic în perioada de bază
Indicele simplu al prețurilor stabilit astfel:
p1 = prețul în perioada curentă
p0 = prețul în perioada de bază
Indicele simplu valoric stabilit astfel:
, dar v1=q1p1
v0=q0p0
Între acești indici se verifică relația:
Indicii de grup
Indicele agregat
Indicele agregat simplu al producției se determină astfel:
indicele agregat ponderat, calculat astfel:
sisteme de ponderare
E. Laspeyres
H. Paasche
variației valorice
Între acești indici se verifică relația:
În teoria indicilor se mai întâlnesc și unele sisteme de ponderare care țin seama de ponderile din ambele perioade. Întâlnim astfel:
-indicele prețurilor calculat de Edgeworth
-indicele ideal al lui Fisher.
-indicelui de grup al volumului fizic
modificarea absolută va fi
Pentru indicele de grup al prețurilor, modificarea absolută va fi:
În cazul indicelui de grup valoric, modificarea este:
În cazul influenței factorilor exprimată în mărimi absolute se verifică relația:
Indicele mediu aritmetic ponderat
Indicele mediu armonic ponderat
Sistemul indicilor calculați din mărimi medii
indicele de variație bifactorială;
indicele cu structură fixă;
indicele schimbării structurii.
indicele de variație bifactorială
indicele cu structură fixă (Is.f)
de Laspeyres
indicele variației structurii (Iv.s.).
Laspeyres,
Între aceste trei categorii de indici se stabilește relația:
Gruparea indicilor dinamicii după felul bazei
Indici cu bază fixă
, , …. , ,
Indici cu bază fixă
, , …. , ,
produsul indicilor cu bază mobilă
împărțind doi indici cu bază fixă
Ritmul variației și al sporului
indicatori absoluți
indicatori relativi
indicatori medii.
A-Indicatorii absoluți
Cuprind sporul absolut, care, după modul de alegere a bazei, este:
spor absolut cu bază fixă () – se obține ca diferență între fiecare termen al sumei și termenul ales drept bază de raportare. Considerând seria: x0, x1, x2, … , xn, sporul absolut cu bază fixă se va calcula astfel:
; ; …..; sau generalizând:
spor absolut cu bază mobilă () – este diferența dintre fiecare termen al seriei și termenul anterior. În aceeași serie vom avea:
; ; …..; sau generalizând:
Între sporurile absolute cu baza fixă și cele cu baza mobilă se verifică relațiile:
-suma sporurilor cu baza mobilă este sporul cu bază fixă al ultimului an:
-diferența dintre două sporuri absolute cu baza fixă consecutive este egală cu sporul cu bază mobilă corespunzător:
B-Indicatorii relativi
Ritmul variației (Rx) – exprimă viteză de variație exprimată în mărimi relative. După modul de calcul, rimul variației este de două feluri:
Ritmul variației cu bază fixă () – arată de câte ori a crescut sau scăzut nivelul unui fenomen în decursul unei perioade de timp și se calculează astfel:
,
Ritmul variației cu bază mobilă () – arată de câte ori a crescut sau scăzut nivelul unui fenomen într-un moment față de momentul anterior.
Între ritmul variației cu bază fixă și cel cu bază mobilă se verifică relațiile:
-produsul ritmurilor cu bază mobilă este ritmul cu bază fixă al întregii perioade:
-raportul a două ritmuri ale variabilei cu bază fixă este egal cu ritmul cu bază mobilă corespunzător:
2 Ritmul sporului (rx) – exprimă mărimea creșterii sau scăderii în decursul unei anumite perioade de timp față de perioada de bază a unui indicator. Se calculează:
Ritmul sporului cu bază fixă () – se calculează ca raport între sporul cu bază fixă și nivelul fenomenului considerat din perioada de bază, astfel:
Ritmul sporului cu bază mobilă () – se calculează ca raport între sporul cu bază mobilă și nivelul fenomenului considerat din perioada anterioară, astfel:
Relații între aceste ritmuri:
C-Indicatorii medii
1. Sporul mediu ()
, unde:
xn = ultimul termen al seriei,
x0 = primul termen al seriei,
n = nr. termenilor seriei.
2. Ritmul mediu al variației ()
Ritmul mediu al sporului ()
sau în procente:
Andrei T., Stancu S., Pele D.T.,Statistica. Teorie și aplicații,Ed. Economică, București, 2002
Baron T., Biji E., Statistică teoretică și economică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1996
Baron T., Anghelache C., Țițan E., Statistică, Ed. Economică, București, 1996
Biji E., Antonescu C-tin.- Statistică Economică vol.I, Editura Universității,Pitești, 1998
Biji, E., Baron, T.- Statistică teoretică și economică, Editura Didactică și Pedagogică, 1996
Boca, G. Statistica. Aplicatii practice, Universitatea de Nord Baia Mare, 2009
Boca, G. Ghidul studentului. Microeconomia prin diagrame, Universitatea de Nord Baia Mare, 2010
Bădiță M., Baron T., Korka M., Statistică pentru afaceri, Ed. Eficient, București, 1998
Bădiță M., Cristache, S.- Statistică. Aplicații practice, Editura Mondan, București, 1998
Capanu I., Wagner P. Secăreanu C. –Statistică macroeconomică, Editura Economică, București 1997
Florea I.– Statistică, Facultatea de Științe Economice, Universitatea Cluj Napoca, 1986
Florea I, Parpucea I, Buiga A.- Statistică descriptivă. Teorie și aplicații, Editura AISTEDA Alba Iulia, 1989
Fourastie S.L., Statistiques appliquees a l’economie, Mason, Paris, 1993
Hartley A., Bazele statisticii, Ed. Niculescu, București, 1999
Isaic-Maniu Al., Mitruț C-tin, Voineagu V., Statistica pentru managementul afacerilor, Ed. Economică, București, 1996
Jaba E., Statistica, Ed. Sedcom Libris, Iași, 1996
Negoescu Gh., Statistica ramurilor, Ed. Zigotto, Galați, 1995
Negoescu Gh., Ciobanu R., Bontaș A.C., Bazele statisticii pentru afaceri, Ed. ALL BECK, București, 1999
Simionescu A., Schvab M. ș.a. -Managementul aprovizionării, Editura Economică, 2004
Rusu V.- Statistică economică . Note de curs, Editura Risoprint, Cluj Napoca, 2002
Rusu V.- Bazele statisticii .Note de curs, Editura Risoprint Cluj Napoca, 2002
Rusu V.- Statistica afacerilor, Editura Risoprint Cluj Napoca, 2004
Rusu V.- Statistica afacerilor, Editura Universiății de Nord Baia Mare, 2008
Boca, G. Statistica. Aplicatii practice, Universitatea de Nord Baia Mare, 2009
Boca, G. Ghidul studentului. Microeconomia prin diagrame, Universitatea de Nord Baia Mare, 2010
Fourastie S.L., Statistiques appliquees a l’economie, Mason, Paris, 1993
Hartley A., Bazele statisticii, Ed. Niculescu, București, 1999
Isaic-Maniu Al., Mitruț C-tin, Voineagu V., Statistica pentru managementul afacerilor, Ed. Economică, București, 1996
Jaba E., Statistica, Ed. Sedcom Libris, Iași, 1996
Negoescu Gh., Statistica ramurilor, Ed. Zigotto, Galați, 1995
Negoescu Gh., Ciobanu R., Bontaș A.C., Bazele statisticii pentru afaceri, Ed. ALL BECK, București, 1999
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Aplicatii Statistica Model Varianta 3 Aprilie 2020 [311271] (ID: 311271)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.