Aplicatii ale Functiilor Continue de O Variabila Reala

CUPRINS

INTRODUCERE …………………………………………………………………………………………………………4

CAPITOLUL I

FUNCȚII CONTINUE………………………………………………………………………………………..7

Definiția unei funcții continue într-un punct………………………………………………………7

Prelungirea prin continuitate a unei funcții într-un punct…………………………………..7

Continuitatea lateral…………………………………………………………………8

Puncta de discontinuitate. Discontinuități de prima și a doua speță………………10

Monotonie și discontinuitate………….…………………………………………….11

Continuitatea pe o mulțime…………………………………………………………….14

Operații cu funcții continue……………………………………………………………15

Continuitate punctuală, continuitate pe o mulțime…………………………………15

Continuitatea funcțiilor compuse………………………………………………….16

CAPITOLUL II

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚIILOR CONTINUE…………………………………………….18

Proprietăți locale………………………………………………………………………..18

Proprietăți pe interval………………………..………………………………………18

Proprietatea lui Darboux…………………………………………………………..18

Cauchy-Weierstrass-Bolzano………………………………………………………21

Teorema lui Knaster………………………………………………………………..24

Proprietăți de mărginire ale funcțiilor continue……………………………………..27

Teorema lui Weierstrass……………………………………………………………27

Teorema intervalului……………………………………………………………….29

CAPITOLUL III

APLICAȚII ALE FUNCȚIILOR CONTINUE DE O VARIABILĂ REALĂ……………..32

Criteriul lui Heine……………………………………………………………………….32

Teorema valorii intermediare……………………………………………………………33

Existența radicalului de ordinal ………………………………………………34

Metoda înjumătățirii intervalului……………………………………………………34

Ecuații de forma f(x)=0……………………………………………………………35

Funcții cu proprietatea lui Darboux……………………………………………………35

Funcții continue………………………………………………………………………..44

Prelungirea prin continuitate a unei funcții într-un punct………………………………45

Funcții continue pe o mulțime…………………………………………………………46

Funcții continue pe un interval închis………………………………………………….50

Rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor…………………………………………………….50

Funcții uniform continue………………………………………………………………56

Punct fix. ……………………………………………………………………………….59

Principiul contracției…………………………………………………………59

Ecuația lui Cauchy………………………………………………………………61

Ecuația lui Kepler………………………………………………………………..64

Ecuația lui Pexider……………………………………………………………65

Ecuația lui D’Alembert…………………………………………………………………………….66

CAPITOLUL IV

ASPECTE METODOLOGICE………………………………………………………………………………..70

Aspecte generale…………………………………………………………………………………………70

Metode tradiționale – Prezentare analitică……………………………………………..71

Metode modern – Metode de ultimă generație………………………………………….84

Metode de rezolvare a problemelor……………………………………………………..91

CONCLUZII……………………………………………………………………………………93

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………………94

INTRODUCERE

Noțiunea matematică de continuitate a funcțiilor reprezintă o transpunere riguroasă a unei proprietăți pe care în limbaj current o întâlnim frecvent. Astfel folosim des expresii de tipul: funcții continue, creștere continuă, studio continua. Ceea ce, în general înțelegem din aceste exprimări uzuale este este idea unei activități permanente, fără întreruperi. Intuitive, noțiunea de continuitate se poate introduce în matematică prin lectura graficului unei funcții.

Astfel, în situația în care graficul unei funcții definite pe un interval nu prezintă întreruperi (salturi) în puncta ale domeniului său de definiție, intuim că proprietatea de continuitate a funcției are loc, iar în punctele în care apar salturi nu avem această proprietate. Desigur că trebuie să formulăm în termini matematici această idee de salt al graficului.

În cele ce urmează vom studia comportarea unei funcții f în jurul punctului a cât și de valoarea ei în punctual a, f: E->R, deci .

Comparăm valorile funcției în jurul lui a cu valoarea funcției în punctual a, adică când x “se apropie” de a sa vedem dacă f(x) “se apropie” de f(a). Dacă răspunsul este afirmativ, atunci spunem că f este continuă în x=a. Matematic putem formula afirmația de mai sus cu ajutorul șirurilor astfel: pentru orice șir (xn), xn->a, xnE (xn nu neapărat diferit de a), șirul valorilor funcției (f(xn)) converge la f(a). Altfel spus comparăm (dacă există) cu valoarea funcției în x=a, adică cu f(a).

Evident această ultimă formulare are sens dacă a din E este și punct de acumulare pentru E. Dar ea rămâne valabilă și pentru , punct izolat, pentru că nu avem decât să luăm șirul (xn), xn=a, pentru care, evident, xn->a, când avem si .

Deci, observăm că în puncte izolate din E problema pusă în discuție este verificată. Astfel de puncte prezintă un interes scăzut, deoarece ele nu au legătură cu procesul de trecere la limită. De aceea, vom considera în cele ce urmează doar puncte , care sunt punte de acumulare pentru E, adică .

O funcție este continua în x=a, dacă exită o vecinătate a punctului (a, f(a)) pe care graficul, trecând prin acest punct, se desenează continuu. Extinzând, f este continuă pe un interval E (dacă este continuă în fiecare punct din E) dacă graficul funcției este o curbă continuă.

Analiza unui exemplu

Să considerăm funcția definite prin al cărui grafic este cel din figura 1.

Fig.1.

După cum se poate observa este format din trei părți, graficul fiind intrerupt în dreptul absciselor 1 și 2. Punctul marcat printr-un cerc plin aparține graficului. Ne propunem să comparăm (în cazul în care există) cu valoarea funcției în punctul (a, f(a)).

Analizăm cazurile:

Dacă , adică limita funcției f în x=a este egală cu valoarea funcției f în x=a, f(a). Constatăm că în acest punct, (a,f(a)), graficul funcției nu este întrerupt. Chiar mai mult, pe o vecinătate a lui a, suficient de mică, graficul care trece prin (a, f(a)) se poate desena fără a se ridica vârful creionului de pe hârtie, deci este continuu.

Deci, dacă într-un punct de abscisă a, graficul nu se întrerupe, atunci limita funcției în a se obține înlocuind direct în funcție pe x cu a.

Dacă a=1, atunci ,

, ceea ce arată că f nu are limită în punctul a=1.

În acest punct graficul se întrerupe (este discontinuu).

. Avem , adică și graficul funcției este continuu.

Pentru a=2, avem

,

, dar f(2)=3.

În acest caz există limita funcției f în x=2, , dar este diferită de valoarea funcției f în a=2, . Se observă că și în acest caz graficul este discontinuu în a=2.

Dacă , atunci și graficul funcției este continuu.

După aceste comentarii putem formula următoarele

CAPITOLUL I. FUNCȚII CONTINUE

Definiția unei funcții continue într-un punct

Definiții:

1) Fie si . Se spune că funcția f este continuă în punctul a, dacă există și .

Punctul a se numește punct de continuitate pentru funcția f.

2) O funcție este discontinua în punctul , dacă nu este continua în acest punct. Punctul a se numește punct de discontinuitate pentru funcția f.

Observații:

Definiția continuității într-un punct reclamă trei lucruri:

Există și este finită ;

Are sens f(a);

.

Definiția continuității unei funcții într-un punct este similară definiției limitei unei funcții într-un punct, cu deosebire ca în definiția limitei se impune condiția , în timp ce în definiția continuității această condiție dispare.

În punctul în care funcția nu este definită nu are sens să se pună problema continuității sau a discontinuității.

Egalitatea din definiția 1), se poate scrie

, și se traduce prin “o funcție continuă comuta cu limita” (proprietate ce va fi extinsă și la alte funcții decât cea identică).

Prelungirea prin continuitate a unei funcții într-un punct

Fie , a punct de acumulare pentru E. Dacă există și este finită , atunci are loc următoarea:

Definiție.

Funcția definită prin

se numește prelungirea prin continuitate a funcției f în punctul a.

Din rezultă continuitatea funcției în punctul x=a. În plus, este unica funcție cu această proprietate, în sensul că dacă înlocuim pe l cu , în x=a, funcția obținută nu mai este continuă în x=a.

Continuitatea laterală

Pentru și , am definit continuitatea lui f în x=a prin egalitatea dacă există . Este posibil să avem doar sau . În aceste cazuri vorbim de continuitate laterală în x=a.

Mai precis au loc următoarele:

Definiții:

1) Fie punct de acumulare pentru . Se spune că este continuă la stânga în a dacă există și .

2) Fie punct de acumulare pentru . Se spune că este continuă la stânga în a dacă există și .

Următoarea teoremă implică cele două tipuri de continuitate.

Teoremă. Funcția este continuă în dacă și numai dacă f este continuă la stânga și la dreapta în a.

Deci, f este continuă în a.

Observații.

Dacă , atunci în x=a se pune problema continuității la dreapta, iar în x=b se pune problema continuității la stânga.

Acest criteriu se aplică funcțiilor multiforme f, care pentru au o exprimare, iar pentru x>a au altăa exprimare.

Ținând seama de definiția limitei unei funcții într-un punct cu ajutorul șirurilor, precum și de caracterizările limitei cu , cu vecinătăți sau limitele laterale, continuitatea unei funcții într-un punct se poate reformula echivalent:

Teorema(de caracterizare a continuității). Fie si . Următoarele afirmații sunt echivalente pentru continuitatea lui f în x=a.

(Continuitatea prin șiruri) Pentru orice șir (xn), să rezulte .

(Criteriul ) Pentru orice , există un număr real , astfel încât pentru să rezulte (Fig. 2).

Observație. În general nu depinde de a și .

(Criteriul vecinătății) Pentru orice vecinătate V a lui f(a), există o vecinătate U a lui a astfel încât să rezulte , adică (Fig. 3).

(Continuitatea bilaterală) Dacă există și .

Observații.

Dacă f este continuă în x=a, atunci din criteriul graficul lui f, pe o vecinătate a lui a, se află între două paralele cu axa Ox, y=f(a)- , y=f(a)+ (Fig. 2).

Fig.2

Fig.3

Dacă E este finită, atunci f este continuă în fiecare punct din E.

O funcție f care are proprietatea, , se numește funcție Lipschitz. Pentru f se numeste contracție de coeficient cu , iar pentru , f se numeste dilatare de coeficient .

Daca este o funcție lipschitziană și monotonă, iar (xn) este un șir definit recurent , atunci șirul (xn) este convergent, iar limita sa este soluția ecuației f(x)=x.

1.3 Puncte de discontinuitate. Discontinuități de prima și a doua speță.

Am văzut că o funcție , care nu este continuă într-un punct x=a se spune că este discontinuă în acel punct sau că punctul x=a este punct de discontinuitate pentru f. Pe de altă parte f este continuă în orice punct izolat din E, ceea ce, înseamnă că orice punct de discontinuitate trebuie să fie punct de acumulare al lui E, caz în care se poate vorbi de existența limitelor laterale.

Cerința de continuitate în punctul x=a se exprimă prin

(1).

Formulăm următoarele:

Definiții.

Fie punct de discontinuitate pentru f.

Punctul x=a se numește punct de discontinuitate de prima speță pentru funcția f, dacă are limite laterale, finite în a.

Deci x=a este punct de discontinuitate de prima speță există ls(a) și ld(a) și

1)ls(a)=ld(a) sau

2) ls(a)=ld(a)f(a).

Punctul se numește punct de discontinuitate de a doua speță pentru funcția f, dacă nu este punct de discontinuitate de prima speță a lui f.

Deci, x=a este punct de discontinuitate de a doua speță cel puțin una din limitele laterale ls(a), ld(a) nu există sau nu este infinită.

1.4 Monotonie și discontinuitate

Funțiile monotone (crescătoare sau descrescătoare) pe un interval formează o clasă importantă și posedă multe proprietăți specifice. Vom arata în continuare ca o funcție e monotonă este fie continuă, fie prezintă o discontinuitate de prima speță, în fiecare punct x0. În plus, vom vedea, mai târziu, că pentru funcțiile monotone, continuitatea este echivalentă cu proprietatea de a nu sări peste valori (Proprietatea lui Darboux).

Are loc următoarea

Teoremă. Fie funcția monotonă , I interval. Presupunem că x0 nu este capăt al intervalului. Atunci f admite în fiecare punct x0 limite laterale ) și în plus , dacă f este crescătoare sau dacă f este descrescătoare.

Demonstrație.

Pentru a fixa ideile, presupunem că f este crescătoare pe I.

Considerăm mulțimea care este nevidă deoarece x0 nu este capăt al intervalului și este majorată de f(x0) (din x<x0 rezultă din ). Deci există marginea superioară M a acestei mulțimi , . Este clar că

Să arătăm că . Pentru aceasta folosim criteriul .

Fie dat arbitrar. Atunci nu mai este marginea superioară a mulțimii considerate. Deci există (Fig.4) astfel încât .

Deoarece f este crescătoare, deducem că dacă și dacă , atunci și avem .

Deci, , când .

Deoarece , a fost ales arbitrar rezultă

Analog se procedează pentru , când .

Fig. 4

Fig. 5

Obsevații.

Dacă nu este capăt al intervalului, atunci se definește saltul funcției f în x0 prin formula sf(x0)=ld(x0)-ls(x0) fig.5. Dacă I=[a,b], atunci sf(a)=ld(a)-f(a), iar sf(b)=f(b)-ls(b). Dacă f este crescătoare pe I, atunci f este continuă în .

Dacă este monotonă, iar este punct de discontinuitate, atunci x0 este punct de discontinuitate de prima speță.

Să reținem deci: o funcție monotonă pe un interval nu are puncte de discontinuitate de speța a doua.

Dacă , I interval, este monotonă, atunci mulțimea punctelor de discontinuitate este o mulțime numărabilă (adică se poate pune în corespondență bijectivă cu ).

Continuitatea pe o mulțime

Fie . Am văzut ce înseamnă continuitatea funcției într-un punct fixat . Acest concept se numește continuitate punctuală. Totuși problema se poate extinde la mai multe puncte din E.

Mai precis au loc următoarele:

Definiții.

Fie si . Se spune că f este continuă pe mulțimea A dacă este continuă în fiecare punct din A.

Dacă f este continuă pe tot domeniul de definiție, atunci se spune că f este continuă, fără a mai indica mulțimea pe care f are această proprietate.

Observație.

Dacă E=[a,b], atunci x=a vorbim de continuitate la dreapta, iar în x=b despre continuitate la stânga.

Suntem interesați în a studia continuitatea funcțiilor pe domeniul lor de definiție. Următorul rezultat este deosebit de important. Are loc următoarea :

Teoremă. Funcțiile elementare sunt funcții continue.

Demonstrație.

Pentru funcțiile elementare (polinomiale, raționale, funcția radical, funcția putere, funcția exponențială, funcția logaritmică, funcțiile trigonometrice directe, funcțiile trigonometrice inverse) limita într-un punct a din domeniul de definiție, se obține înlocuind x cu a, adică , ceea ce exprimă faptul că o astfel de funcție este continuă într-un punct arbitrar din domeniul de definiție.

Observații.

1) Evident că dacă este continuă, atunci f rămâne continuă pe B.

2)Atunci când ni se cere să studiem continuitatea unei funcții, dacă domeniul de definiție nu este dat, atunci trebuie să-l precizăm. Dacă domeniul are puncte izolate, atunci în aceste puncte funcția este continuă. Dacă f este multiformă, atunci studiem continuitatea pe fiecare ramură precum și în punctele de trecere de la o formă la alta. Dacă f nu este dată explicit, atunci mai întâi explicităm funcția. În final precizăm mulțimea punctelor de continuitate pentru f, adică domeniul de continuitate al funcției.

Operații cu funcții continue

3.1 Continuitate punctuală, continuitate pe o mulțime

Deoarece definiția continuității se exprimă prin intermediul limitei de funcție sau de șiruri, operațiile cu limite de funcții sau șiruri și proprietățile lor se regăsesc la funcții continue. Operațiile algebrice și compunerea conservă continuitatea punctuală sau pe o mulțime, altfel spus, efectuând operații algebrice sau compunere cu funcții continue într-un punct sau pe o mulțime se obțin tot funcții continue în acel punct sau pe acea mulțime.

Mai precis are loc următoarea

Teoremă. Fie , două funcții continue în . Atunci:

Funcția f+g este continuă în a (pe A).

Suma a două funcții continue este o funcție continuă.

Funcția este continuă în a (pe A).

Produsul dintre o constantă și o funcție continuă este o funcție continuă.

Funcția fg este continuă în a (pe A).

Produsul a două funcții continue este o funcție continuă.

Câtul este o funcție continuă în a (pe A), dacă

Câtul a două funcții continue este o funcție continuă.

Funcția fg este continuă în a (pe A), dacă .

Funcția | f | este continuă în a (pe A).

Modulul unei funcții continue este o funcție continuă.

Max (f,g), min (f,g) sunt continue în a (pe A).

Demonstrație.

Rezultatele enunțate mai sus se deduc din rezultatele obținute pentru limite de funcții. De exemplu, pentru 1) trebuie probat că

,

unde în penultima egalitate am folosit continuitatea funcțiilor f,g în puntul a.

Pentru 7) precizăm că și

Se stabilește ușor că: și

, ,

iar acum din 1) și 6) rezultă 7).

Pentru continuitatea pe A se utilizează definiția continuității pe o mulțime și într-un punct.

Obsevații.

1) Proprietățile 1) și 2) se pot grupa în exprimarea: Dacă f,g sunt continue în a (pe A), , atunci este continuă în a (pe A). Dacă atunci f-g, adică diferența a două funcții continue este o funcție continuă.

2)Proprietățile 1) și 3) rămân valabile pentru un număr finit de funcții continue în a (pe A), . Atunci sunt, de asemenea, funcții continue în a (pe A).

3)Dacă în 1), 3), 5) o funcție este continuă, iar cealaltă discontinue în a, atunci sunt discontinue în a.

3.2 Continuitatea funcțiilor compuse

Un alt mod de a genera funcții continue îl constituie compunerea funcțiilor continue. Mai precis are loc următoarea

Teoremă. Fie .

Dacă f este continuă în , iar g este continua în f(a)=b, atunci funcția este continuă în a.

Dacă f este continuă pe , iar g este continuă pe f(A), atunci este continuă pe A.

Compunerea a două funcții continue este o funcție continuă.

Demonstrație.

Fie șirul .

Deoarece f este continuă în a, rezultă că .

Fie șirul imagine .

Cum g este continuă în b, rezultă , adică .

Recapitulând avem : pentru care , ceea ce arată că este continuă în a.

Se obține din definiția unei funcții continue pe o mulțime și 1).

Fig.6

Observații.

Dacă și , atunci teorema exprimă proprietatea funcțiilor continue de a comuta cu limitele:

În general, compunerea unui număr finit de funcții continue este o funcție continuă.

BIBLIOGRAFIE

V. Rădulescu, T.L. Rădulescu, Problems în Real Analysis. Advanced calculus on the Real Axis, Springer, New York, 2009;

J. Aezel, Lectures on funcțional ecuation and their application, Academie Press, New York and London,1966;

M. Kuczma, An introduction to the theory of funcțional equations an inecualities, Univ, Slaski, Warszawa, 1985;

Analiză matematică pe dreapta reală, Ed. Universitaria, Craiova,2002;

M. Ganga, Matematică-Manual pentru clasa a XI-a, Ed. Mathpress,Ploiești 2006;

V. POP, Ecuații funcționale, A.D.Mediamira, Cluj-Napoca, 2002;

M. Olteanu, Analiza matematică-Noțiuni teoretice și probleme rezolvate;

A. Niță, T. Stănășilă, 1000 probleme rezolvate și exerciții fundamentale, Ed. ALL, 1997;

I. Colojoară, Analiză matematică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983;

C. Cucoș, Psihopedagogie – pentru examenele de definitivare și grade didactice, Iași, Polirom, 2009;

M. Anastasiei, Metodica predarii matematicii, Ed. Univ. AL. I. Cuza, Iasi, 1985;

H. Banea, Metodica predarii matematicii, Ed. Paralela 45, Pitesti, 1998;

I. Rus, D. Varna, , Metodica predarii matematicii, E. D. P., Bucuresti, 1983;

D. Branzei, , Metodica predarii matematicii, Ed. Paralela 45, Pitesti, 2007;

GeoPetty, Profesorul azi, Metode moderne de predare, Ed. Atelier Didactic, Bucuresti, 2007;

Webografie

http://docslide.net/documents/funcții-continue-55b089e6af938.html

http://docslide.net/documents/12s807158-suport curs-metode-interactive.html

Declarație de autenticitate

Subsemnatul(a)…………………………………………………………………având funcția didactică…………………………..la unitatea școlară…………………………………………………………….declar pe propria răspundere că lucrarea cu titlul ………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………………. având coordonator științific……………………………………………………………………….a fost elaborată personal pe baza studierii bibliografiei de specialitate, a experienței personale și îmi aparține în întregime. De asemenea nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie, nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări, fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale candidatului.

Data Semnătura candidatului