Aplicații ale Echilibrului Nash

Cuprins

Lista figurilor 2

Lista tabelelor 3

INTRODUCERE 4

Capitolul I 5

1.1 Privire de ansamblu 5

1.2 Conceptul matematic de joc. Tipuri de jocuri 6

1.2.1 Dilema prizonierului 12

Capitolul II 14

Teoria jocurilor în negociere 14

2.1 Aspecte legate de pregătirea negocierilor 14

2.2 Metode de negociere și problema onestități 17

2.2.1 Problema Onestității 17

2.2.2 Procedura Bonus 22

CAPITOLUL III 28

Aplicații ale echilibrului Nash 28

3.1 Elemente descriptive ale echilibrului Nash 28

3.2 Algoritmul maximizării caștigurilor relative 31

3.3. Algoritmul determinării echilibrului în strategii mixte 32

3.4 Echilibre Nash multiple 35

3.5 Software pentru determinarea echilibrelor Nash în R: pachetul 'nopp' 36

Concluzii 48

Bibliografie 49

Lista figurilor

Fig nr. 1.1 – Matricea jocului Trompestitul și Pianistul

Fig nr. 1.2 – Matricea transformată a jocului Trompetistul și pianistul

Fig nr. 1.3 – Reprezentarea jocului Dilema Prizonierului

Fig nr. 2.1 – Strategiile de echilibru linear-simetrice în procedura Chatterjee -Samuelson

Fig nr 3.1 – Reprezentarea matriceală a jocului

Fig nr. 3.2 – Descrierea grafică a jocului

Fig nr. 3.3 – Graficul obținut în urma rezultatelor

Fig nr. 3.4 – Graficul Soluției Nash

Fig nr. 3.5 – Jocul prin determinarea maximizării câștigurilor relative

Fig nr. 3.6 – Jocul Bătălia sexelor

Fig nr. 3.7 – Reprezentarea sub forma matriceală a jocului Bătălia sexelor

Fig nr. 3.8 – Reprezentarea jocului prin matricea câștigurilor

Fig nr. 3.9 – Reprezentarea datelor

Fig nr 3.10 – Afișarea detaliilor despre datele rulate

Fig nr. 3.11 – Comparația voturile reale și a pozițiilor de partid

Fig nr. 3.12 – Echilibrul Nash

Fig nr. 3.13 – Comportamente de coaliție

Fig nr. 3.14 – Comportamente de coaliție

Fig nr. 3.15 – Separarea rivalilor

Fig nr. 3.16 – poziția fixă în medie cu soluția de echilibru Nash

Fig nr. 3.17 – Separarea rivalilor în raport cu poziția fixă în medie cu soluția de echilibru Nash

Fig nr. 3.18 – Coaliția și poziția fixă în medie cu soluție de echilibru Nash

Fig nr. 3.19 – Analiza Bootsrap

Fig nr. 3.20 – Simulare Monte Carlo

Fig nr. 3.21– Reprezentarea pătratică ideologică a pachetului de date italy2006

Fig nr. 3.22 – Reprezentarea liniara între respondent și candidat folosind pachetul de date italy2006.lin

Fig nr. 3.23 – Reprezentarea între respondent și candidat folosind pachetul de date italy2006.wide

Lista tabelelor

Tabelul nr. 2.1 – Negocierea discrete în conformitate cu procedura bonus

Tabelul nr. 1.1 – Jocuri cu sumă nenulă

INTRODUCERE

Teoria jocurilor, ramură a matematicii aplicate, reprezintă comportamentul optim în cadrul jocurilor cu două sau mai multe persoane, în care sunt stabilite un set de reguli ce stabilesc posibilitățile de acțiune ale fiecărui jucător. Teoria jocurilor este utilizată în multe domenii precum economia, știinte sociale, biologie, inginerie și informatică.

Într-un joc, jucătorii au interese opuse, iar din acest motiv se caută strategii în abordarea jocului. Strategiile reprezintă modul de acțiune ales de către jucător sau de către toți jucătorii, prin care la final sunt recompensați cu un anumit câștig.

Un joc este caracterizat prin reguli care stipulează ordinea în care jucătorii intervin în joc, atunci când jocul este format din mai multe runde. Regulile jocului precizează pentru fiecare situație recompensa (câștigul) pe care o primește fiecare jucător, ce depinde de întreaga desfășurare a jocului, deci de ansamblul acțiunilor tuturor jucătorilor. Jucătorii sunt capabili să analizeze acțiunile lor și acționează în scopul obținerii unui câștig cât mai mare posibil.

Pentru a obține soluții apropiate de realitate au fost dezvoltate mai multe concept de echilibre, cel mai renumit fiind echilibrul Nash.

Echilibrul Nash reprezintă un termen central al teoriei matematice a jocului. Potrivit acestuia, strategiile ce sunt jucate au proprietatea că este maximizat produsul matematic al câștigurilor nete pe care le obține fiecare jucător în raport cu situația inițială.

Obiectivul principal în lucrarea de față este de a detecta toate echilibrele din cadrul unui joc, și de a găsi si alte tipuri de echilibre ce modeleaza comportamentul unor jucători reali.

Vom prezenta jocuri cu forma normală, cu strategii pure, în scopul de a simplifica opțiunile jucătorilor.

Ca și program de evidențiere a echilibrului Nash vom folosi programul R. Pachetul 'nopp' din limbajul de programare R se foloseste pentru a estima punctele de echilibru Nash într-un spațiu unu-dimensional. Pachetul a fost conceput pentru a analiza și estima pozițiile ideologice ale unui partid / candidat ce corespund unui echilibru Nash. 'Nopp' ( Nash Optimal Party Positions) a apărut în anul 2014 , având ca autori Luigi Curuni, Stefano M. Iacus, fiind publicat pe 21-08-2015.

Capitolul I

Elemente de teoria jocurilor

1.1 Privire de ansamblu

Teoria jocurilor a apărut odata cu publicarea lucrării “The Theory of Games and Economic Behaviour” de către John von Neumann și Oscar Morgenstern, publicată în 1943. Aceștia au definit jocul ca fiind “orice interacțiune între diverși agenți, guvernată de un set de reguli specific care stabilesc mutările posibile fiecărui participant și câștigurile pentru fiecare combinație de mutări.

Teoria jocurilor reprezintă știința care studiază jocurile într-un sens mult mai larg decât jocurile obișnuite. Teoria jocurilor utilizează trei ipoteze fundamentale:jucătorii se comportă rațional, fiecare stie că ceilalți jucători sunt raționali, toți jucătorii cunosc regulile jocului.

Conceptele teoriei jocurilor pot fi utilizate pentru a construi modele și teorii diferite ale interacțiunii sociale. Teoria jocurilor nu oferă decât un cadru conceptual, un set de instrumente de analiză ce sunt foarte intuitive si folosite de mulți cercetători ai fenomenelor sociale.

Teoria jocurilor aparține unei familii de teorii ce sunt însumate sub termenul general de Teoria Alegerilor Raționale. Toate aceste teorii – teoriile deciziei, a jocurilor si a alegerilor sociale, pun in discuție condițiile în care se poate spune despre acțiunile agenților implicați că ar fi raționale. Teoria Alegerilor Raționale poate contribuii la anticiparea si explicarea comportamentului agentului sau la sfătuirea agenților în privința a ceea ce trebuie să facă.

Teoria jocurilor răaspunde la o serie de întrebări esențiale, cum ar fi: ,,Ce înseamnă să alegi strategii raționale atunci când finalitatea lor depinde de strategiile alese de ceilalți, iar informațiile sunt incomplete”. În jocurile ce permit pierderi și câștiguri comune, este rațională cooperarea pentru a realiza un câștig comun pentru a se evita o pierdere comună, sau este rațională abordarea agresivă în căutarea câștigului individual, indiferent de câștigurile sau pierderile comune? Dacă răspunsul la a doua întrebare este „uneori”, atunci în ce circumstanțe este agresivitatea rațională și în ce circumstanțe este cooperarea rațională? În acest contect, există diferențe între relațiile de durată fața de cele trecătoare? Interacțiunea unor egoiști raționali poate duce la crearea spontană a unor reguli morale de cooperare. În ce fel corespunde comportamentul uman real cu comportamentul ,,rațional” din aceste cazuri? Daca diferă prin ce diferă ? Sunt oamenii mai cooperativi decât sunt raționali? Mai agresivi? Ambele? Această descriere se poate aplica aproape oricărui fenomen social. Oamenii realizează astfel că rezultatul acțiunilor lor depinde nu numai de acestea, dar și de acțiunile celorlalți participant la acea intercațiune.

Teoria jocurilor este bazată pe ideea că jucătorii iau numai decizii rationale. Insă, exista o problemă, ceea ce poate fi numită comportament irațional de majoritatea societăților (acumularea unui stoc de arme nucleare uriaș de exemplu) este considerat rational, conform standardelor teoriei jocurilor. Chiar și atunci când analiza teoriei jocurilor produse rezultate contra-intuitive, tot reușește să ne prezinte fațete surprinzătoare ale naturii umane.

1.2 Conceptul matematic de joc. Tipuri de jocuri

Să formalizăm conceptul matematic de joc. În general, în teoria jocurilor, întrucât este esențială interacțiunea jucătorilor, trebuie să presupunem un număr finit de jucători. Prin joc se înțelege o situație în care acționează o multime de N={1,2…n} elemente raționale denumite jucători, care în mod succesiv și independent, într-o ordine și în conditii specificate printr-un anasmblu de reguli, ales câte o decizie dintr-o mulțime dată de alternative strategice.

Pentru teoria jocurilor, o situație poate fi considerată ca un joc dacă ea comportă urmatoarele elemente :

O lista de indivizi denumiți jucători;

Un ansamblu de alegeri posibile, denumite strategii, pentru fiecare jucător;

Rezultatele asociate fiecărei alegeri a jucătorilor denumite soluțiile jocului ;

Un joc este caracterizat prin reguli care stipulează ordinea în care jucătorii intervin în joc, atunci când jocul este format din mai multe runde. Regulile jocului precizează pentru fiecare situație recompensa (câștigul) pe care o primește fiecare jucător, ce depinde de întreaga desfășurare a jocului, deci de ansamblul acțiunilor tuturor jucătorilor. Jucătorii sunt capabili să analizeze acțiunile lor și acționează în scopul obținerii unui câștig cât mai mare posibil. Regulile de joc sunt definite în mod implicit în momentul în care lista de jucători este stabilită și mulțimea alegerilor este precisă.

Jocul este compus dintr-un șir de mutări sau acțiuni succesive efectuate de doi sau mai mulți jucători sau parteneri. De cele mai multe ori, interesele jucătorilor sunt diferite sau chiar contradictorii.Orice acțiune a uneia dintre părți depinde de modul de acțiune a celorlalți jucători, un șir de mutări realizate de către fiecare jucător, constituie o partidă, iar fiecărei partide i se atașează o anumită valoare, reprezentând câștigul partidei pentru fiecare jucător.În teoria jocurilor, derularea jocurilor se realizează pornind de la câteva ipoteze de bază.

Prima ipoteză se referă la faptul că fiecare jucător caută să-și maximizeze câștigurile sale. Din acest motiv informația de care dispun jucatorii în momentul alegerii este esențială.

O a doua ipoteză este cea a cunoștințelor (informațiilor) comune. Fiecare jucător știe că ceilalți caută să maximizeze câștigurile lor, dar știe de asemenea că ceilalți cunosc faptul că el este informat și tot așa mai departe. În situația în care informația este completă, singura incertitudine la care trebuie să facă față un jucător este aceea de a răspunde la intrebarea : ce vor face ceilalți jucători? Interesele jucătorilor sunt în general contradictorii : adică cea mai bună soluție pentru unul nu este neaparat cea mai bună soluție pentru celălalt jucător.

Rezultatul jocului (denumit căștig sau utilitate) nu are întotdeauna o expresie cantitativă, el poate fi exprimat și valoric. Se pot utiliza sisteme de valori care să permită exprimarea rezultatului printr-un număr. Matricea de câștiguri (matricea plăților) permite o reprezentare completă a jocului. Ea realizează o descriere a jocului precizând numărul de jucători, strategiile pe care le au ei la dispoziție și câștigurile în funcție de combinațiile strategice.

Mutările jucătorilor pot să fie libere (alegerea conștientă a unei mutări dintre toate mutările posibile într-o situație dată) sau întâmplătoare (alegerea mutărilor cu un mecanism aleator).

Strategia este o descriere completă a comportamentului jucătorului în fiecare circumstanță posibilă.

Jocul se derulează sub formă normală atunci când întregul șir de decizii care trebuie să fie luate în decursul jocului se reduce la o singură decizie și anume alegerea unei strategii.

Din punct de vedere practic, jocul se joacă sub formă extinsă ceea ce înseamnă că mutările se realizează pe rând la fiecare moment al jocului, în funcție de situație.

Jocurile se pot clasifica după mai multe criterii, astfel:

După informația disponibilă participanților putem deosebi jocuri cu informație completă și jocuri cu informație incompletă.

Jocul cu informație completă este acel joc în care toți jucătorii cunosc numărul celorlalți jucători, strategiile fiecăruia, funcțiile de câștig ale fiecăruia, precum și regulile jocului.

Jocul cu informație incompletă este jocul în care cel puțin unul dintre jucători nu cunoaște una sau mai multe funcții de câștig ale celorlalți jucători, restul elementelor fiind cunoscute.

În cazul jocurilor dinamice, în raport cu tipul informației jocurile pot fi: jocuri cu informație perfectă și jocuri cu informație imperfectă.

Jocul dinamic cu informație perfectă este jocul dinamic în care fiecare dintre jucători cunoaște regulile, numărul jucătorilor, strategiile acestora, precum și evoluția în timp a jocului.

Jocul dinamic cu informație imperfectă este jocul dinamic în care măcar unul dintre jucători nu cunoaște istoria jocului, cunoscând celelalte elemente.

După strategiile adoptate (tipul de interacțiune presupus de acesta) putem distinge jocuri noncooperative (care pot fi statice – mișcările se fac simultan- sau secvențiale-dinamice) și jocuri cooperative (coaliționale).

Jocurile cooperative sunt acele jocuri în care jucătorii comunica liber între ei înainte de a lua deciziile și pot face promisiuni înainte de alegerea strategiilor.

Jocurile necooperative sunt jocurile în care jucătorii nu comunica între ei înainte de luareaza deciziilor.

În raport cu desfășurarea în timp a jocurilor, jocurile pot fi :jocuri statice și jocuri dinamince.

Jocurile statice sunt acelea în care deciziile jucătorilor se iau simultan după ce jocul ia sfârșit.

Jocurile dinamice se definesc prin caracterul secvențial al deciziilor luate de jucători, urmărindu-se evoluția în timp a acestora.

Jocurile cu sumă nulă (win-lose) se numesc astfel deoarece câștigurile și pierderile din joc se anulează (au suma egală cu zero). Într-un astfel de joc, fiecare jucător alege soluția care maximizează câștigul său minim (maxmin) sau minimizează pierderea sa maximă (minimax). Numită și punct de echilibru sau punct șa, această soluție poate fi recunoscută în modelul matriceal al jocului prin faptul că reprezintă cel mai mic număr (câștig) de pe linie și cel mai mare de pe coloană. Gama jocurilor cu suma nulă este limitată (poker, pariu la curse). Realitățile economice nu pot fi, în general modelate sub forma jocurilor cu suma nulă.

Jocurile cu suma nenulă sau mai precis nonconstantă sunt acelea în care suma câștigurilor/pierderilor părților pentru o strategie dată nu este zero; adică ambii parteneri pot câștiga/pierde. Aceste jocuri pot fi împărțite în jocuri: negociabile (cooperative) și jocuri nenegociabile (conflictuale).

Jocurile cooperative (win-win) sunt acelea în care participanții își pot asuma angajamente în timpul coordonării strategiei lor, astfel încât să determine cele mai bune strategii pentru ca participanții să obțină cel mai bun rezultat. Există însă două probleme: realizarea împreună a intereselor comune și apoi împărțirea mizei. Soluția jocului presupune o împărțire a câștigului total (imputație) cu proprietatea că împreună jucătorii vor obține un câștig mai mare decât dacă ar fi acționat izolat; totodată niciunul nu va accepta cooperarea dacă prin imputație nu va dobândi câștigul pe care îl poate obține în mod individual.

Jocurile necooperative se caracterizează prin faptul că participanții nu își pot coordona strategiile, fiecare jucător trebuind să determine propria sa strategie, iar ceilalți jucători vor încerca să aleagă cele mai bune răspunsuri la aceasta strategie. Jocurile cu suma nulă sunt prin definiție noncooperative. Mulțimea tututor punctelor de echilibru a unui joc necooperativ se numește soluția jocului. Abordând subiectul din diferite unghiuri– Aumann ca matematician și Schelling ca economist –Schelling a demonstrat că multe interacțiuni social-familiare ar putea fi percepute ca jocuri non-cooperative, care implică atât interese comune, cât și conflictuale, iar Aumann a demonstrat că interacțiunile sociale pe termen lung ar putea fi analizate sub toate aspectele folosind teoria formală a jocurilor non-cooperative.

Principiul de optimalitate pentru jocurile necooperative este principiul stabilității- exprimat de noțiunea de punct de echilibru: niciun jucător nu are interesul să se abată unilateral de la stategia sa corespunzătoare.

În acest caz este nevoie de un nou concept mai larg de echilibru și acesta este echilibrul Nash. Un echilibru Nash este un ansamblu de strategii- una pentru fiecare jucator- astfel încât nici un jucător nu poate obține un câștig suplimentar dacă își schimbă strategia în mod unilateral.Jocurile negociabile sau cooperative se caracterizează prin faptul că pot fi încheiate acorduri care creează obligații reciproce între părți; ele permit corelarea strategiilor precum și transferul de utilitate de la un jucător la altul (nu neapărat în mod liniar).

Exemplul cel mai concludent îl constituie jocul trompetistul și pianistul. Jocul se referă la doi muzicieni amatori, un pianist și un trompetist de jazz, vecini de bloc, care au o singură oră de cântat seara. Datorită proastei izolări fonice, ei nu pot exersa simultan– zgomotul ar fi prea mare și s-ar încurca reciproc. Ca atare, ei trebuie să stabilească o strategie pe baza căreia să poată câștiga cât mai mult din intervalul comun pe care îl au la dispoziție.

Fig nr.1.1Matricea jocului Trompestitul și Pianistul

Matricea prezintă cele două strategii de care dispune fiecare: a cânta sau a nu cânta. Utilitățile folosite măsoară gradul de confort și discomfort alocat fiecărei situații. Pianistul este mai generos și găsește o utilitate mai mare în situația în care trompetistul cânta și el tace. Tendința este să se aleagă strategiile care conduc la cea mai mare utilitate realizată de ambii jucători împreună(situația în care pianistul nu cânta, iar trompetistul cânta), întrucât suma acestor utilități este maximă.

Rațional nu exista un motiv pentru care pianistul să cedeze în favoarea trompetistului. Punctul (4,10), numit și optimul Pareto,care e presupus drept soluție are și o altă propietate datorită căreia devine punct de echilibru prin schimbarea strategiei. Plecând de la acest punct fiecare jucător pierde:pianistul trece de la utilitatea 4 la utilitatea 1, iar trompetistul trece de la utilitatea 10 la 1. Dacă muzicienii își fac raționamentele fără să comunice între ei,cântând deodată sau pe rând, abținându-se în același timp sau câte unul, jucând deci jocul prin încercări succesive,jocul este nenegociabil. Să presupunem că cei doi muzicieni vecini hotărăsc să-și vorbească.Lucrurile se schimbă și jocul intra în categoria negociabilă .

În cazul în care matricea ar fi simetrică, cei doi muzicieni, simțind aceeași repulsie sau același grad de satisfacție în situațiile simetrice în care sunt puși, ar fi conduși la soluția împărțirii timpului pe din două, cu rezultat perfect rațional și echitabil. Însă în cazul prezentat matricea nu e simetrică, iar dificultatea începe cu împărțirea intereselor realizate în comun, în mod corespunzător poziției fiecărui jucător în joc, poziție indicată de utilități.

Fig nr.1.2Matricea transformată a jocului Trompetistul și pianistul

Braithwaite, căruia i se datorează exemplul muzicienilor, considera că trebuie să facem o astfel de schimbare de unități în utilitățile matricei (transformarea liniară este permisă), astfel încât ambii jucători să câștige la fel prin trecerea unuia de la o strategie prudentă la una neprudenta,în timp ce celălalt rămâne la o strategie prudentă. Prin strategie prudentă se înțelege strategia care asigură plafonul minmax al câștigului sigur,pe când cea neprudentă asigură că celălalt jucător nu va depăși plafonul maxim.Spre deosebire de jocurile de suma nulă,în cazul jocurilor de suma nenulă plafonul maxmin e diferit de plafonul minmax.Aplicată în cazul muzicienilor,soluția lui Braithwaite acordă din 43 de seri – pianistului 17,iar trompetistului 26.

Raiffa considera că matricea jocului trebuie transformată astfel: cel mai prost rezultat și cel mai bun se notează cu 0,respectiv 1 pentru fiecare jucător,iar apoi prin aceeași transformare liniară sunt înlocuite celelalte utilități. Se fac apoi diferențele dintre utilitățilefiecarei poziții si jocul e jucat ca un joc de suma nulă. Raiffa acordă din 46 de seri-17 pianistului si 29 trompetistului.

Iată deci cum negocierile s-au apropiat de un model aplicabil, însă teoria matematică a acestuia este insuficient organizată. În cautarea unui raspuns obiectiv, negociatorul descopera ca solutiile matematice sunt in disputa pe tema generozitatii, a altruismului etc.

Exista patru solutii mai cunoscute in cazul jocului de suma nenula:

Tabelul nr 1.1- Jocuri cu sumă nenulă

Jocurile de suma nenula impun un raționament egoist. Nici un jucător nu se întreabă, în absența unor interese comune, ce întreprinde împreună cu celălalt partener.

1.2.1 Dilema prizonierului

Numele jocului dilemei prizonierului i se datoreaza lui Albert Tucker, care a încercat să îl facă mai accesibil în cadrul unor prelegeri în fața unui grup de psihologi de la Universitatea Stanford. În varianta sa populară, jocul este formulat astfel: două persoane – jucătorul 1 si jucătorul 2 au fost arestați sub învinuirea unui delict major. Aceștia au fost puși în celule separate. Presupunem că fiecare dintre cei doi jucatori este rațional și doreste să obțină cel mai bun rezultat pentru el și este indiferent în ceea ce îl privește pe celălalt jucător.

De asemenea, vom presupune că fiecare jucător preferă să fie liber decât să stea în închisoare. Un procuror expune fiecărui jucător situația: nu există destule probe pentru a fi condamnați pentru un delict major, insă există probe destule pentru a fi condamnați pentru mai multe delicte mărunte (port ilegal de armă, accident de circulație). Jucătorii au două opțiuni-să tacă sau să mărturisească delictul major. Dacă unul dintre jucători mărturisește, insă celălalt tace, atunci cel care a mărturisit este liber, iar celălalt primește o pedeapsă foarte mare. Dacă vor mărturisii ambii, fiecare va primi o pedeapsă moderată, iar dacă amândoi tac, vor primi o pedeapsă mică, pentru delicte minore.

Jocul poate fi reprezentat sub următoarea formă matriceală :

Fig nr. 1.3-Reprezentarea jocului Dilema Prizonierului

Numerele din fiecare casetă descriu mărimea pedepsei – în ani de închisoare . Fiecare dintre cei doi jucători preferă libertatea, anii de închisoare fiind cei cu număr negativ.

Jucătorul 1 va reacționa în felul următor : dacă mărturisește, atunci în funcție de ceea ce va face jucătorul 2, cel mai prost rezultat pe care îl poate obține este de 5 ani de închisoare. Dacă nu va mărturisi, atunci, în funcție de ceea ce va face jucătorul 2, cel mai prost rezultat este de 8 ani de închisoare. Cel mai convenabil pentru jucătorul 1 este să primeasca cei 5 ani de închisoare, asa că va mărturisi.

Pentru jucătorul 2, strategia cea mai bună este de a mărturisi. Ca urmare, rezultatul jocului va fi descris de căsuța din stânga-sus: fiecare dintre cei doi jucători va primi câte 5 ani de închisoare.

În concluzie, pentru fiecare jucător, cea mai bună alegere este să mărturiseasca, decât să tacă. Această concluzie este ușor de observat, întrucât jucătorii nu ar fi putut obține un rezultat mai bun, deci rezultatul nu e Pareto-optim.

Dacă ambii jucători ar fi tăcut, fiecare ar fi primit doar un an de închisoare.Interpretarea standard a problemei puse de dilema prizonierului este aceea că ilustrează un conflict între raționalitatea individuală și cea de grup. Dacă membrii unui grup acționează rațional, ei vor ajunge la un rezultat mai prost decât cel la care s-ar ajunge dacă nu s-ar comporta rațional. Dacă membrii unui grup acționează rațional, ei vor ajunge la un rezultat mai prost decât cel la care s-ar ajunge dacă nu s-ar comporta rațional.

În general dacă membrii unui grup urmărec anumite scopuri atunci ne putem aștepta ca ei să reușeasca să le atingă mai degrabă dacă nu și le-ar urmări individual în mod rațional.

Capitolul II

Teoria jocurilor în negociere

2.1 Aspecte legate de pregătirea negocierilor

Negocierea poartă amprenta distinctă a comportamentului uman, deoarece este un proces realizat chiar de oameni. Rolul determinant al comportamentului este dat de faptul că scopul principal al negocierilor constă în satisfacerea unor nevoi, necesităti umane, relația dintre scop și mijloace fiind elocventă în cazul negocierilor. Astfel, negocierea ajunge să fie înțeleasă ca metodă de intercomunicare umană.

Negocierea joacă un rol central în tranzacțiile comerciale internaționale. Dacă în relațiile dintre parteneri tradiționali sau atunci când este vorba de afaceri de valoare redusă contractele se încheie frecvent la distanță (“între absenți”), prin intermediul scrisorilor comerciale, în afacerile de valoare ridicată, precum și atunci când se lucrează pe piețe noi sau cu produse noi, întâlnirea partenerilor și negocierea contractului reprezintă regula în afaceri.

Față de negocierile care se desfășoară în alte domenii- politic, social, diplomatic etc., negocierea comercială internațională prezintă o serie de trăsături specifice, atât în ceea ce privește conținutul și modul de derulare, cât și în privința strategiilor și tacticilor utilizate. În același timp, ea se înscrie în cadrul teoretic și experiența practică a negocierii, în general, ca formă de comunicare umană.

Pentru a stabili obiectivele negocierii, negociatorul trebuie să iși cunoască și să țină cont de intențiile și obiectivele ceileilalte părți. În cadrul negocierii, empatia dar și capacitatea de a privi situația din perspectiva celeilalte părți, dețin o importanța atât în pregătirea, cât și în derularea negocierii.

Negocierea reprezintă o modalitate de comunicare, ce posedă capacitatea de a produce modificări radicale asupra comportamentului, mentalității și asupra așteptărilor participanților la negociere, în raport cu forma și amplitudinea problemelor abordate și posibilile rezolvări ale acestora.

Pentru orice negociere este necesară asigurarea unei anumite atmosfere. Atmosfera sau climatul negocieri poate fi dificil, încordat, impulsi, sau poate fi cald, prietenos, inventiv, ori poate fi rece, formal, precis. Perioada critică de formare a climatului, la începutul fiecărei negocieri, poate fi foarte scurtă – la nivelul secundelor, sau poate dura câteva minute, uneori imposibil de îmbunătățit ulterior.

Atmosfera optimă în cadrul unei negocieri ar trebui să fie una cordială, de colaborare, propice afacerilor.Această atmosfera se obține în timp și cu anumite tactici. Cele două părți trebuie să aibă suficient timp pentru a ajunge la un comun acord. Tocmai de aceea, la începutul întâlnirii, subiectele abordate dintre cele două părți trebuie să fie neutre, și nu legate de afacerile propriu-zise.

Climatul este influențat de asemenea si de aspectul fizic , ce poate conduce la încredere sau la nesiguranță, relaxare sau tensiune, discuții constructive sau letargice. Impresia inițiala datorată ținutei, va fi înlocuită cu alte impresii ce țin de contactul vizual – privire pot insipira încredere sau suspiciune. Un alt aspect ce poate influența atmosfera în începutul unei negocieri, poate fi reprezentat de expresia feței si a gesturilor.

În momentul de deschidere a negocierii, putem descoperi două aspecte ale negociatorului ce țin de experiența și metodele negociatorului și stilul acestuia de negociere.

Experiența și metodele negociatorului sunt reprezentate de aspectele non-verbale, atitudinea, expresie. Dacă se observa că aceste aspecte vor fi evitate în timpul de deschidere al negocierii, și ca se grăbeste discuția despre afaceri, atunci putem spune ca avem de a face cu un negociator fara experiență. Stilul este reprezentat de modul în care se discută în perioada de deschidere a negocierii.

Cele trei elemente esențiale ale negocierii sunt reprezentate de :

Conținutul ce va evidenția subiectele ce vor fi abordate.

Procedura ce constă în planificarea si controlul întâlnirii, pregătirea mediului în care se desfășoară negocierea și subiectele ce urmează a fi discutate.

Interacțiunile personale vor reda modul în care persoanele implicate în negociere interacționează una cu cealaltă.

Cele 4 subiecte ce vor fi acoperite pe parcursul unei negocieri sunt :

Scopul reprezintă motivul pentru care pățile s-au întâlnit.

Planul reprezintă în care cele două părți vor aborda subiectele.

Durata reprezintă timpul estimat negocierii.

Personalitățile sunt date de structura internă a persoanelor din fiecare echipă.

După etapele formării climatului și a deschiderii, vom aborda modul de desfășurare ale unei negocieri. Negocierea este formată din patru aspecte esențiale.

Fazele Negocierii

În faza exploratorie , negociatorii iși fac o idee prinvind cerințele celorlalți, se stabilește direcția în care se va merge în cursul negocierilor, se stabilește atitudinea.

În faza prezentării ofertelor, părțile vor expune ofertele ce doresc a fi negociate.

În faza negocierii ofertelor, se dorește obținerea avantajului maxim de către ambele părți.

Ratificarea înțelegerii , ce este de obicei în scris și conține detalii legale.

Modalitățile de abordare a negocierilor

Negocierile pot avea o abordare generală sau abordarea pe orizontală – în care se stabilește modul de discuție , se discută fiecare aspect al negocierii, se intră în discutarea detaliată a aspectelor particulare.

În cazul abordării directe sau abordarea pe verticală – se va începe cu o anumită problemă, care se va defini și apoi se vor lămuri toate aspectele legate de aceasta, se atacă următoarea problemă care se aprofundează, se trece apoi la a treia problemă și se continuă astfel până când este stabilit fiecare aspect în detaliu.

Forma confruntării

În orice negociere, există diferențe între viziunile păților cu privire la desfășurarea acesteia. Cele mai des întâlnite sunt modul „lider” – în care una dintre părți face oferta iar ceilalți o analizează și văd dacă sunt de acord sau nu cu ea , și modul „independent” – în care una dintre părți face oferta, iar cealaltă cere lămuriri cu privire la aceasta, sau caută motivele pentru care a fost făcută.

Structura concentrării

Atâta timp cât există comunicare între negociatori se dezvoltă o puternică energie și concentrare din partea acestora. Inițial nivelul de concentrare este ridicat, după care scade treptat, până la etapa finală când va reveni la cote înalte.

Negocierile reprezintă o modalitate de comunicare, ce are capacitatea de a produce schimbări asupra comportamentului, mentalității și aspirărilor participantilor la negociere, în raport cu forma și amplitudinea problemelor abordate și cu orizontul posibilelor rezolvări ale acestora.

2.2 Metode de negociere și problema onestități

2.2.1 Problema Onestității

Luând în considerare un cumpărător notat cu , și un vânzător pe care îl notăm cu S, ale căror prețuri sunt notate cu si , într-o situație de negociere , presupunem că oferă și oferă . Dacă avem , este dispus să plătească cel puțin prețul pe care S îl cere pentru vanzare. Presupunem că prețul de schimb este egal cu media ofertelor vom avea:

,

dar dacă , atunci nu există niciun schimb.

Întrebarea pe care o putem pune este sub ce circumstanțe sunt dispuși atât cât și , să dezvăluie prețurile de rezervare? Mai exact, există oare reguli de negociere astfel încat pentru B să avem , iar pentru să avem ? În situația de negociere deja descrisă, profitul al lui este :

,

iar profitul al lui este :

.

Astfel, în cazul în care un schimb este realizabil, profitul este diferența dintre prețul de rezervare al fiecărui jucător și prețul de schimb. Profitul fiecărui jucător va fi pozitiv dacă ofertele jucătorilor se suprapun sau coincid (), în caz contrar va fi zero, pentru că nu există nici un schimb.

Presupunem că într-un joc noncooperativ cu informații incomplete, ofertele jucătorilor sunt simultane și independente una de cealaltă. Chatterjee si Samuelson (1983) arată că o pereche de strategii Nash ale jucători nu este corectă.

O pereche de strategii reprezintă un echilibru Nash dacă unul dintre jucători, prin îndepărtarea în mod unilateral de la alegerea aceasta, nu îsi poate îmbunătăți plata sa și va fi, în general, mai rău. Prin urmare, nici un jucător nu va avea un stimulent pentru care să devieze de la un astfel de rezultat, dat fiind faptul că adversarul său, de asemenea, nu se abate, făcându-l un punct stabil sau punct de echilibru.

Pentru a vedea ce nivel de încredere este stabil, să presupunem că atât B, cât și S cred că prețul de rezervare al celuilalt jucător este uniform distribuit în intervalul [0,1], iar funcțiile de densitate sunt . Acest lucru înseamnă că crede că , și crede că se vor încadra cu probabilitati egale în intervalul între 0 si 1 – fiecare număr din acest interval fiind echiprobabil. În plus, presupunem ca fiecare jucător consideră că știe ceea ce gândește celălalt, ceea ce reprezintă ipoteza obișnuită de “cunoștințe commune”, o situație destul de controversată. Cu toate aceste presupuneri, Chatterjee si Samuelson arată că există un echilibru Nash “simetric linear”, prin care fiecare jucător poate exagera în mod semnificativ prețul de rezervare: va anunța : ;

iar va anunta:

Fig nr. 2.1 – Strategiile de echilibru linear-simetrice în procedura Chatterjee -Samuelson

Toate aceste strategii demonstrează printre altele că dacă sau , nu se va ajunge la nicio intelegere, deoarece . Mai general, implică . Ca urmare, in acest Echilibrul Nash, nu se va realiza niciun schimb dacă prețul de rezervare al lui B, crește față de S cu cel puțin .

Probabilitatea acordului lor se va reduce de la dacă jucătorii ar fi fost cinstiți și , la aproximativ prin supraestimarea prețului de vanzare de catre S și prin plata prețuluide catre .

Împărțind acestă ultima probabilite prin cea anterioara arată că procedura Chatterjee-Samuelson este doar % efectiva in realizarea acordurilor posibile. Subliniem faptul că valorile numerice sunt specifice acestui exemplu, prețurile de rezervare ale jucătorilor fiind independente și distribuite uniform pe intervalul [0,1]. Dacă ceea ce înseamnă că propune un preț cu 25 % mai mic decat prețul sau de rezervare.

În mod curios, jucătorii sunt cinstiți doar atunci când știu că, desi ei sunt cinstiti, nu vor reuși, deoarece oferă prea puțin ( ) sau cere prea mult . În realitate, in cazul destul de rar cand ambii jucatori sunt cinstiti, ofertele ambilor jucători vor fi departe una de cealaltă, separate de o distanță de cel puțin , așa că nicio intelegere nu este posibila.

La echilibrul Nash în acest exemplu, profitul combinat așteptat al lui și este de . Acest aspect se află prin calcularea profitului așteptat de către fiecare jucător. Ca urmare, profitul așteptat de către

.

deci suma profitului inmultit cu probabilitatea că pentru fiecare valoare a lui cuprinsă în intervalul de la 0 la 1. In caz de echilibru, probabilitatea că este zero, dacă .

Pe de altă parte, profitul potențial combinat așteptat de jucători – în cazul în care aceștia ar fi dezvăluit prețurile lor de rezervare- este de , cu probabilitatea de intelegere zero, numai atunci când . Astfel, procedura Chatterjee-Samuelson are 84.4% eficientă in atingerea profitului potențial așteptat de jucători.

Cele 16 procente pierdute ale profitului așteptat în cazul procedurii Chatterjee-Samuelson, sunt mult mai mici decât reținerea a 44 % din acordurile fezabile. Atunci când prețurile de rezervare ale jucătorilor se suprapun cu mai puțin de , profitul lor este relativ scăzut, și prin urmare nu se sacrifică prea mult în profitul așteptat în urma aplicării procedurii Chatterjee-Samuelson. În cazul procedurii Chatterjee-Samuelson, jucătorii pierd mai puțin in profiturile așteptate (cam 16 procente) atunci când nu reușesc să se se inteleaga în aproape jumătate (44 procente) din cazurile în care . S-a demonstrat că nu există o procedură de negociere mai superioară decât Chatterjee-Samuelson în maximizarea profitului așteptat de jucători. Pe scurt, onestitatea nu plătește. Este rațional pentru B și S să sacrifice unele acorduri fezabile în cazul în care doresc să maximizeze profitul așteptat de echilibrul lor.

În cazul în care distribuțiile jucatorilor sunt discrete, astfel încât prețurile lor de rezervare pot lua doar o multime finita de valori, dezvaluirea adevărului poate maximiza profiturile așteptate ale jucătorului în cadrul unei proceduri de oferta simultana.

Vom considera o situație în care prețurile de rezervare ale lui S ar fi 1 sau 2, și ale lui B ar fi 2 și 3. Cu alte cuvinte, fiecare jucător are un preț de rezervare ridicat sau scăzut, în care prețul ridicat al lui S, coincide cu prețul scăzut al lui B. Știind că jucătorii preferă un acord cu profitul zero, atunci este ușor să vedem că fiecare jucator va alege 2, în urma aplicării procedurii Chatterjee-Samuelson.

Vom considera urmatoarele situații ce au loc în cazul care prețurile de rezervare ale jucătorilor cresc sau scad:

Presupunem că 3 (pentru B ) și 1 (pentru S) apar cu certitudine . Atunci această analiză spune că mințind prin a anunța 2, B și S vor iesi întotdeauna mai bine. În acest caz, minciuna lor nu va face rău pentru că întotdeauna va exista un acord la 2.

Să presupunem, că B are un preț de rezervare egal cu al lui S, de (1 sau 2) și S are un pret de rezervare ca al lui B (2 sau 3), iar acestea sunt cunoștințe comune. Atunci este rațional ca jucătorii mereu să fie sinceri: pentru B se anunța 1 sau 2, precum și pentru S 2 sau 3, în funcție de prețurile lor de rezervare. Motivul este că numai atunci când jucătorii anunță simultan 2 vor profita de această oportunitate.

Să presupunem că prețurile de rezervare ale jucătorilor în cazul anterior nu sunt discrete, dar variază în mod continuu între 1 și 2 (B) si 2 si 3 (S). Cu toate că sinceritatea lor este încă raționala, nu este cu adevărat benefică, deoarece numai cu o probabilitate infimă fiecare preț de rezervare va fi in capatul 2; pentru toate scopurile practice, jucătorii nu vor fi niciodată de acord.

Veridicitatea este păstrată atunci când probabilitațile sunt răspândite (cazul 3), dar nu și în avanatajul reciproc al jucătorilor în acest caz. Din perspectiva lor, este de preferat să existe puncte discrete care se suprapun, ce apar cu o probabilitate pozitivă, chiar și în cazurile în care nu există acorduri.

Aceste exemple ilustrează faptul că exista stimulente în negociere pentru a fi onest numai în situații speciale. In acele situații modelate de distribuțiile continue ale prețurilor de rezervare, care se suprapun parțial sau total, procedura Chatterjee-Samuelson oferă jucătorilor cel mai mare profit așteptat în echilibru. Pe de altă parte, procedurile secvențiale, cum ar fi cele propuse de Brams (1990) pentru care trebuiesc găsite strategii de echilibru Nash, permit jucătorilor să actualizeze informațiile lor incomplete despre poziția unui adversar, chiar dacă acestea sunt mai puțin eficiente în maximizarea profitul așteptat .

2.2.2 Procedura Bonus

În conformitate cu procedura bonus, funcțiile de plată ale jucătorilor sunt modificate, astfel încât fiecare jucător primește un bonus numai atunci când se ajunge la un acord. Având în vedere faptul că un schimb are loc la un anumit preț, bonusul schimbă selectarea unei intelegeri dintr-un joc cu suma constanta de divizare a profitului – care se presupune a fi fixat sau constant, astfel încât ceea ce un jucător câștigă celălalt pierde – intr-un joc cu suma neconstanta, in care fiecare jucator primeste o valoare adaugata, in functie de intelegerea finala.

Surse posibile ale acestei valoari adăugate, care va varia în funcție de opțiunile de strategie de ale jucătorilor, vor fi luate în considerare mai târziu. Faptul că bonusurile depind de ofertele jucătorilor, , și nu pe informații private, cum ar fi prețurile de rezervare , ne asigură că procedura poate fi pusă în aplicare.

Vom nota bonusul lui prin functia . Întrucât un bonus este plătit doar atunci când are un schimb loc, această funcție este definită numai atunci când . În cazul în care prețul de schimb este , atunci plata lui B în jocul de negociere rezultat este:

, (4.1)

Funcția lui S, , se va obtine în mod analog.

Să presupunem, ca în cadrul procedurii Chatterjee-Samuelson, că nu cunoaște prețul de rezervare al lui , dar știe că este distribuit conform funcției de densitate . Atunci, într-un calcul analog celui , se poate calcula profitul așteptat de ,, conform procedurii bonus și să se demonstreze că strategia dominantă a lui este de a oferi , indiferent de funcția de distribuție, în cazul în care :

. (4.2)

Cu alte cuvinte, având în vedere acest bonus special, strategia optimă lui în cadrul procedurii Bonus este onestitatea. Mai mult decât atât, acest rezultat nu presupune că S este neaparat cinstit. Există un rezultat paralel pentru , ceea ce înseamnă că revelația adevărului este o strategie dominantă a echilibrului Nash atunci când :

. (4.3)

Dacă vom înlocui relația (4.2) în relația (4.1), plata lui , va deveni funcția:

. (4.4)

Aceasta relație nu influențeaza alegerea lui pentru , întrucât valoarea lui arata daca este mai mare sau egal fața de . Având în vedere că , prețul lui dat de către relația (4.4), nu depinde de . Datorită independenței, poate fi onest in procedura bonus.

Bonusuri sub formă de ” plăți de stimulare” sunt, de asemenea, propuse în Chatterjee, Pratt și Zeckhauser (1978). Cu toate acestea, ele sunt plătite în mod independent de faptul dacă se ajunge la o înțelegere. De asemenea, acestea conduc la strategii dominante pentru jucători numai în cazul în care ofertele sunt succesive, nu simultane.

Funcția de plată pentru în relația (4.4), și analog funcția de plata pentru ,

,

definesc procedura bonus, în care dezvaluirea adevărului este o strategie dominantă pentru ambii jucători. Trebuie subliniat faptul că bonusul lui de este egal cu profitul în procedura Chatterjee și Samuelson atunci când jucătorii aleg propriile strategii de onestitate și . Strategiile domininate ale jucătorilor în procedura bonus, dublează profiturile realizate în urma aplicării procedurii Chatterjee și Samuelson în cazul în care și-au anuntat prețurile de rezervare. Această dublare se întâmplă deoarece, în loc de a diviza diferența la media , fiecare jucător primește ca profit întregul interval de suprapunere, .

„Principiul revelației” implică faptul că pentru orice model de negociere, se poate gasi o procedură echivalentă în care există dezvaluirea adevărului si care este un echilibru Nash. Procedura de bonus face mai mult decât mecanismul direct – aceasta oferă un mecanism de negociere eficient simplu pentru care dezvaluirea adevărului de către ambii jucători nu este doar un echilibru Nash, ci și o strategie dominantă pentru fiecare.

La procedura de bonus ilustrata in continuare vom lua în considerare exemplul utilizat în problema onsetității, în care sunt uniforme peste [0,1]. În cazul în care jucătorii aleg strategiile dominante ale revelației adevărului, atunci nu este greu a arăta că profiturile lor așteptate sunt:

. (4.5)

Profitul așteptat apriori de B, este :

,

Suma asupra tuturor valorilor din intervalul [0,1], ceea ce rezultă in castigul mediu lui . Adică, , și pentru , similar.

În conformitate cu procedura de negociere fara bonus, plățile așteptate de B și S rin dezvăluirea prețurilor lor de rezervare sunt fiecare 1/12. Deci procedura bonus face din strategia dominanta o strategie onestă dand fiecărui jucător , astfel confirmând dublarea profituluifiecărui jucător onest rezultata prin procedura Chatterjee-Samuelson (1983).

Myerson și Satterthwaite au demonstrat în acest exemplu că orice procedură de negociere stimulent-comptabilă necesită o subvenție minimă așteptata de ambii jucători egala cu 1/6. Acest lucru înseamnă că procedura bonus induce onestitatea la un cost minim. De asemenea, aceasta determină o strategie dominantă de echilibru Nash, fără costuri suplimentare.

Din păcate, procedura Bonus are un dezavantaj major -este vulnerabilă la înțelegeri secrete. În special, jucătorii își dau seama că pot obține un profit mai mare de la o a treia parte (cum ar fi, de la guvern) decat unul față de celălalt. În mod specific, fiecare jucător, fiind la fel de generos ca adversarul, nu numai că poate recupera costul în bonus, dar, de asemenea, ar iesi mai bine decat fiind onest. Astfel, în cazul în care jucătorii ar conspira, adică ei pot realiza un „echilibru de complot” :

De observat că procedura Bonus, în general, face mai bine în cazul în care se complotează, deoarece ceea ce este o egaliate dacă .

Faptul ca acest echilibru de înțelegeri secrete poate fi superior echilibrului strategiei dominante a adevărului poate părea bizar. Logica situației, probabil, poate fi mai ușor de înțeles prin luarea în considerare a unui exemplu, în care numai ofertele discrete sunt disponibile în conformitate cu procedura de bonus. Dacă , atunci reprezintă cea mai bună strategie dominantă . Aunci când ambele părți folosesc strategiile lor dominante, plata lui , poate fi mai scăzută decat prin înțelegerea secretă,

Pentru a ilustra acest fapt, presupunem că este distribuită uniform, anume fiecare având probabilitatea de si S alege strategia dominantă Dacă atunci așteptările lui B în legătura cu plata sunt :

.

Comparativ, plata sereta a lui B, , nu este afectata de oferta sa, . Pentru S, plata sa nu depinde de .

Această caracteristică a echilibrului de complot, prin care se plătește mai mult decât la echilibrul strategiei dominante, îl împovărează cu o instabilitate gravă. Faptul că oferta lui B este , iar oferta lui S este afectează rezulatele celuilalt jucător. Fiecare jucător nu are stimulent pentru a juca propria sa strategie de complot, dat fiind faptul că adversarul său a jucat strategia sa de înțelegeri secrete. Numai dacă există “onestitate printre hoți “ este posibil să se rămână la acordul lor de complot. Această onestitate nu poate fi suficientă în cazul în care guvernul sau o altă parte care plătește bonusul suspecteaza înțelegerea secretă și ia măsuri pentru a contracara astfel de strategii. Să presupunem că, sub amenințarea unei astfel de contracarării, S alege să joace strategia , în timp ce B selectează strategia de înțelegere secretă .

Tabelul nr. 2.1 Negocierea discrete în conformitate cu procedura bonus

În mod evident, va exista un stimulent pentru a conspira numai dacă ajutorul pe care un jucător il oferă altuia pare probabil să favorizeze o relație de reciprocitate, prin care ambii jucători pot, în jocuri repetate, să se bucure de beneficiile comploturilor lor.

Un esec in stabilirea unui acord va submina aproape sigur înțelegerile secrete în orice viitor joc. Pe de altă parte, complotul va fi posibil în cazul în care negociatorii se văd ca într-o relație continuă și sunt capabili de a maximiza bonusul fără teama de pedeapsă din partea guvernului. In acest model, guvernul nu este un jucător cu preferințe, ci mai degrabă o sursă care furnizează bonusul necesar pentru a induce dezvaluirea adevăraului in prețurile de rezervare. În ciuda inerției guvernului, jucatorii ar fi naivi să presupună că guvernul va sta cu mâinile în sân să predea bonusurile, mai ales în cazul în care există o înțelegere secretă.

Poate guvernul taxa negociatorii, astfel încât să recupereze valoarea de bază și forta jucătorii sa rămână onești? În exemplul anterior, negociatorii, ar fi trebuit să fie evaluați de fiecare data la valoarea 1/12 prin utilizarea procedurii bonus. Modelul de negociere ar ramâne profitabil, deoarece fiecare ar avea un profit de 1/6 chir si după taxare.

De reținut că taxa trebuie percepută, chiar dacă nu există nici o intelegere. De fapt, taxa trebuie percepută înainte ca negociatorii să învețe prețurile lor de rezervare, b si s, pentru că în caz contrar vor exista unele ocazii, atunci când B și S vor fi siguri că profitul lor la echilibrul in caz de onestitate va fi mai mic decât taxa. Prin urmare, nu vor mai avea motivație să plătească taxa. Din acest motiv, Procedura Bonus cu taxa nu satisface conditiile lui Myerson și Satterthwaites.

Nu este greu de a generaliza calculul bonusului pentru alte tipuri de repartitii decât uniforma. Cu o taxă corespunzătoare, guvernul poate interveni întotdeauna, chiar si pe termen lung, pentru a se asigura ca nu există nici o înțelegere secretă.

Ajustări ale taxei pot fi făcute din timp în timp, mai ales în cazul în care există o înțelegere secretă între B și S. Având în vedere o anumită experiență cu o serie de intelegeri, de exemplu, guvernul ar putea decide să ridice taxele pe viitor. Negociatorii știind ca această posibilitate ar putea apărea si ca ar putea primi sancțiuni severe, ar avea mai puține stimulente să inducă în eroare guvernul, cel putin ca principiu.

CAPITOLUL III

Aplicații ale echilibrului Nash

3.1 Elemente descriptive ale echilibrului Nash

În 1994 John Harsanui, John Nash și Reinhard Selton au primit premiul Nobel în economie pentru contribuția lor la dezvoltarea teoriei jocului, iar în 2005 Robert J. Aumann, cetățean israelian și american, și Thomas Schelling american, pentru analiza lor în teoria jocului.

Echilibrul Nash reprezintă un termen central al teoriei matematice a jocului. Potrivit acestuia, strategiile ce sunt jucate au proprietatea că este maximizat produsul matematic al câștigurilor nete pe care le obține fiecare jucător în raport cu situația inițială.

Echilibrul Nash reprezintă mulțimea de strategii () care respecta următoarea condiție:

sau

≥ , unde

Având jocul cu forma normală , și strategiile pure ), echilibrul Nash există dacă pentru fiecare jucător , reprezintă cea mai bună alegere la strategiile celorlalți I-1 jucători (). Adică, vom avea:

≥

sau va reprezenta soluția finală:

.

O strategie profil mixt reprezintă un echilibru Nash al unui joc dacă oricare ar fi jucătorul vom avea .

Maximizarea câștigului jucătorului în raport cu strategiile jucate de ceilalți jucători reprezintă cea mai bună strategie a jucătorului la strategiile alese de catre ceilalți jucători:

.

Un echilibru Nash este puternic (strict) dacă fiecare jucător deține cel mai bun răspuns unic la strategiile oponenților. Un echilibru Nash este slab (nestrict) dacă el nu este unic.

Nash formulat următoarele condiții:

Soluția este independentă de alegerea funcției de utilitate a celor doi jucători.

Soluția are proprietatea că este Pareto-optimă, ceea ce înseamnă că nu este posibil ca ambii jucători să câștige mai mult într-un alt rezultat al jocului.

Soluția nu se schimbă dacă sunt eliminate strategiile irelevante.

Soluția este simetrică (chiar dacă își inversează rolurile, soluția va rămâne aceeași).

În continuare vom prezenta o problemă simplă în care vom aplica echilibrul Nash. Fie următorul joc :

Fig nr 3.1 Reprezentarea matriceală a jocului

Prin aplicarea procedurii de alegere maximin, vom observa că soluția rațională va fi aceea în care jucătorul 1 va alege strategia II, iar jucătorul 2 va alege strategia I, adică fiecare dintre cei doi jucători va obține 5 unități de utilitate.

Putem da jocului și urmtoarea descriere grafică :

Fig nr. 3.2 – Descrierea grafică a jocului

Ce va obține fiecare jucător dacă va adopta o strategie mixtă? Pentru jucătorul I vom nota cu probabilitatea de a juca strategia I si cu 1- ,probabilitatea de a juca strategia II. Vom presupune utilitățile vor fi egale, indiferent de ceea ce ar juca cei doi:

de unde , ca urmare jucatorul 1 va obține utilitatea :

Pentru jucatorul 2 vom avea:

de unde ca urmare jucatorul 2 va obține utilitatea :

În cazul în care cei doi jucători folosesc strategii mixte , rezultatul obținut va fi : (4,1;3,4). Graficul obținut în urma rezultatelor va fi:

Fig nr. 3.3- Graficul obținut în urma rezultatelor

Se poate observa că cei doi jucători pot obține un rezultat mai bun decât rezultatul inițial. Acesta va fi situat pe linia care unește punctul (5,5) cu punctul (8,4). Acea linie are ecuația:

Deoarece trece prin cele două puncte vom avea urmatorul sistem ;

De unde , . Ca urmare, ecuația liniei este:

.

Rezultatul optim este dat de soluția Nash atunci când se maximizeaza produsul:

.

Avem de maximizat produsul : echivalent cu .

Maximul acestei funcții este dat în cazul în care derivata va fi egală cu 0.

= , de unde .

Soluția Nash este (5,8;4,7).

Fig nr. 3.4 Graficul Soluției Nash

3.2 Algoritmul maximizării caștigurilor relative

În următoarea problemă vom determina echilibrul Nash al jocului prin algoritmul maximizării câștigurilor relative.

Jucătorul 2

Fig nr. 3.5 Jocul prin determinarea maximizării câștigurilor relative

Pentru fiecare jucător , vom căuta cel mai bun răspuns pe care îl poate da în raport cu alegerile celorlalți jucători. În matricea jocului (fig nr. 3.5) am subliniat câștigurile jucătorului în urma alegerii celui mai bun răspuns. Combinarea de strategii care maximizează câștigurile tuturor jucătorilor, constituie echilibrul Nash al jocului determinat prin algoritmul celui mai bun răspuns.

Vom aplica algoritmul maximizării caștigurilor relative jocului din figura nr. 3.5:

Dacă jucatorul 1 ar juca strategia S, atunci strategia cea mai bună pentru jucatorul 2 este de a juca St, pentru că 3>1 si 3>2; deci vom sublinia caștigul corespunzător 3, ce corespunde strategiei St.

Daca jucătorul 1 ar juca strategia M, atunci strategia cea mai bună pentru jucătorul 2 va fi M (3>1;3>2); deci vom sublinia caștigul 3, ce corespunde strategiei M.

Daca jucătorul 1 ar juca strategia J, atunci cea mai bună strategie pentru jucătorul 2 este de a juca D, obținand caștigul 4, pe care îl vom sublinia.

Analog, se va proceda și pentru jucătorul 2. Dacă jucătorul 2 va juca strategia St atunci cea mai bună strategie pentru jucătorul 1 este de a juca strategia M cu caștigul 3, pe care îl subliniem. Daca jucătorul 2 va juca strategia M, atunci jucătorul 1 va juca strategia S, cu câștigul 3 , pe care îl subliniem. Daca jucătorul 2 va juca strategia D, atunci jucătorul 1, va juca strategia J, cu câștigul 4, pe care îl subliniem.

Putem observa faptul că cele mai bune raspunsuri ale jucătorilor au un punct comun- jucătorul 1 poate alege să joace strategia J iar jucătorul 2 poate alege să joace strategia D. Această situație corespunde situației în care în casuta (J,D), a matricei caștigurilor sunt subliniate ambele caștiguri, (4,4) – ceea ce reprezintă unicul echilibru Nash strict.

3.3. Algoritmul determinării echilibrului în strategii mixte

În continuare vom prezenta un alt joc renumit – „bătalia sexelor”. Jocul presupune o familie în care soțul si soția trebuie să decidă unde iși vor petrece concediul – dacă la munte sau la mare. Dintre aceste două opțiuni soțul preferă să meargă la munte, iar soția preferă să meargă la mare. Daca unul dintre cei doi va ceda, atunci cel care cedează va avea caștigul 2, iar cel care nu va ceda va avea caștigul 4. În cazul în care nici unul dintre cei doi nu cedează atunci vor ramane acasă, iar caștigul fiecăruia va fi 0.

Jocul este reprezentat de următoarea matrice:

Fig nr. 3.6 – Jocul Bătălia sexelor

Vom determina echilibrul Nash prin algoritmul maximizării caștigurilor relative:

Daca soțul alege să meargă la munte, atunci cea mai bună alegere a soției este de a ceda , deoarece daca nu ar ceda ar avea caștigul 0, iar dacă va ceda, caștigul va fi 2.

Daca soțul alege să meargă la mare, pentru soție va fi optimă aceeași alegere.

In cazul acestui joc, putem observa că avem doua echilibre Nash în strategii pure, adică (F,F), respectiv (T,T), cu câștigurile (4,2), respectiv (2,4). Intrebarea care se poate pune în continuare este dacă nu mai sunt și alte echilibre. Pentru aceasta, vom căuta echilibre în strategii mixte.

În continuare vom folosi algoritmul determinării în strategii mixte:

Fiecărei strategii pure a jucătorului vom asocia o anumită probabilitate;

Pentru fiecare jucător, mulțimea strategiilor formează un câmp complet de evenimente, deci suma probabilităților asociate va fi unitară.

Pentru fiecare strategie vom determina caștigul asteptat.

Vom elimina din calcule strategiile dominante , sau le vom asocia probabilitatea nulă (0), de a fi jucate , si vom determina probabilitățile pentru care câștigurile aduse de strategiile nedominante sunt egale.

În cazul problemei prezentate, putem presupune ca soția va crede ca soțul va merge la munte cu probabilitatea și la mare cu probabilitatea , iar soțul va crede ca soția va merge la munte cu probabilitatea , respectiv la mare cu probabilitatea .

Fig nr. 3.7- Reprezentarea sub forma matriceală a jocului Bătălia sexelor

Câștigul asociat strategiei mixte () reprezintă câștigul așteptat de soție dacă va alege să meargă la mare, respectiv la munte. Utilitatea așteptată a soției va fi :

.

La echilibru, = si

Din rezolvarea sistemului vom avea

Întrucat, soția va crede că soțul dorește să meargă la munte cu o probabilitate de , atunci soția va alege să meargă la munte adica iar daca atunci soția va alege sa meargă la mare ().

În cazul în care am avea , atunci ii este indiferent ceea ce va alege, întrucat caștigul ramane același. Cu alte cuvinte, dacă atunci cazul favorabil al soției este să meargă la munte iar dacă , cazul cel mai favorabil pentru sotie este sa meargă la mare.

În mod analog pentru soț vom obține probabilitatea , adică soțul va alege să meargă la munte dacă el crede că soția iși dorește să meargă la munte cu o probabilitate și să meargă la mare , daca , fiind indiferent unde va merge dacă .

Ca urmare, mai există un echilibru Nash al jocului, echilibru în strategii mixte pentru care avem următoarele strategii mixte:

()=((.

3.4 Echilibre Nash multiple

La multe dintre jocuri, echilibrul Nash nu este unul unic, ci pot exista echilibre Nash multiple. Un exemplu concret, este cel prezentat în problema din sectiunea 3.3 în care există trei echilibre Nash- două în strategii pure și unul în strategii mixte, după cum urmează (F,F),(T,T), respectiv ((.

Următoarea problemă o reprezintă jocul „uliul și porumbelul”, cunoscută și sub denumirea de „povestea celor doi berbeci”. Problema este formulată în felul urmator: cei doi berbeci se întalnesc de o parte și de alta a unei punți înguste peste o prăpastie. Ei au la dispoziție două strategii : de a încerca să treacă (T), sau de a aștepta (A). Dacă încearca să treacă în același timp atunci vor juca T și se vor întalni în mijlocul punții și se vor lupta, utilitatea fiecăruia fiind -2. Dacă vor alege să aștepte, atunci funcțiile de câștig vor avea valoarea 0. Dacă unul dintre cei doi jucători se va hotarî să treacă iar celălalt să aștepte, atunci cel care va trece câștigă 2, iar cel care așteapta câștigă 1.

Fig nr. 3.8- Reprezentarea jocului prin matricea câștigurilor

În acest caz avem trei echilibre- două în strategii pure (T,A) si (A,T) și unul în strategii mixte ().

Dacă jucătorul 1 joacă cu probabilitatea strategia T, iar jucătorul 2 joacă strategia T cu probabilitatea , atunci pentru ca jucatorul 1 sa fie indiferent între a trece sau a aștepta , câștigurile estimate medii trebuie sa fie aceleași, adică:

(-1) + 2 () = 1 + 0)

Pentru jucătorul 2 obținem același rezultat, așadar echilibrul în strategii mixte este dat de credința ambilor jucători că celălalt trece puntea cu probabilitatea de 0,5.

În anul 1960, s-a elaborat o „teorie a punctelor focale”, în care în situațiile particulare de „viață reală”, jucătorii își pot coordona acțiunile pentru atingerea unui echilibru particular utilizând numai informațiile din jocul descris. Ca și exemplu putem spune că dacă doi jucători stabilesc o oră de întâlnire simultan, atunci este foarte probabil să aleagă ora 11. Această oră poate fi un punct focal, în timp ce ora 13:47 nu poate fi.

O altă problemă la care trebuie să răspundem este următoarea: care este legătura dintre echilibrele de tip Nash și optimul Pareto? Optimul Pareto reprezintă acea situație în care jucătorii sunt maxim posibil satisfăcuți, sau situația în care nu există o altă posibilitate în care măcar unul dintre jucători să fie mai bine satisfăcut, fără să se reducă satisfacția măcar a unuia dintre ceilalalti jucători. În cazul unui joc , echilibrul Nash existent nu este în mod necesar și optimul Pareto al acestuia. Unele echilibre „par ” mai probabile decât altele în cazul unui joc, iar acestea sunt numite „puncte focale”.

3.5 Software pentru determinarea echilibrelor Nash în R: pachetul 'nopp'

Pachetul 'nopp' din limbajul de programare R se foloseste pentru a estima punctele de echilibru Nash într-un spațiu unu-dimensional. Pachetul a fost conceput pentru a analiza și estima pozițiile ideologice ale unui partid / candidat ce corespund unui echilibru Nash. 'Nopp' ( Nash Optimal Party Positions) a apărut în anul 2014 , având ca autori Luigi Curuni, Stefano M. Iacus, fiind publicat pe 21-08-2015.

Acest pachet a fost construit pentru a introduce motivații alternative în strategia de partid, permițând în același timp să se estimeze incertitudinea în jurul pozițiilor lor optime prin intermediul a două proceduri diferite : bootsrap si Monte Carlo.

Poziții de partid optime Nash

Functie specifica : equilibrium

Equilibrium (start, model, data , tolerance=1e-05, max.inter=100, coal=0, alpha=0, margin=Null, fixed=Null, gamma=0, position=Null, votes=Null, quadratic=True)

Argumente

Start – Poziția inițiala a candidatului. Vector Numeric. Optim

Model – Analiza modelului mlogit

Data – Setul de date

Tolerance – toleranța în convergența echilibrului Nash. 1e-5 implicit

Max.inter – numărul maxim de iterații în convergența echilibrului Nash. Valoarea implicită=100.

Coal – o listă de coaliții electorale

Alpha – ponderea cotei de vot a coaliției în funcție de utilitatea candidatului .Implicit=0

Margin – o listă specificând marja de vot a unui partid / coaliție împotriva altor coaliții partid ce urmează să fie maximizată.

Fixed – lista pozițiilor candidaților fixați.

Gamma – greutatea dintre nash si poziția fixată. Implicit=0

Boot –numărul de replicare bootsrap.

MC – numarul de replare Monte Carlo.

Self.var – caracter- numele auto-plasării respondentului.

Prox.var – caracter- numele variabilei candidatului.

Position – o listă a poziției- persoanele numite de partide.

Votes – o listă cu numele – cota de vot reală la alegere.

Quadratic – valoarea logică – dacă este FALS funcția de utilitate liniară este utilizată pentru a calcula proximitatea.

Exemplu nr. 1 :

## Not run:

data(italy2006)

str(italy2006)

italy2006[1:2,1:14]

Fig nr. 3.9 Reprezentarea datelor

election < – mlogit.data(italy2006 , shape="wide", choice="vote", varying=c(5:14), sep="_")

str(election)

Fig nr 3.10 – Afișarea detaliilor despre datele rulate

m < – mlogit(vote~prox+partyID | gov_perf+sex+age+education, election, reflevel = "UL")

summary(m)

##estimarea variabilelor ale coeficienților prin intermediul funției mlogit

true.pos < – list(FI=7.59, UL=3.50, RC=1.95, AN=8.08, UDC=5.66) true.votes < – list(FI=.24, UL=.40, RC=.10, AN=.18, UDC=.08)

# model 1: comparația voturile reale și a pozițiilor de partid

nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, pos=true.pos,votes=true.votes)

nash.eq

Fig nr. 3.11 Comparația voturile reale și a pozițiilor de partid

par(mfrow=c(3,1))

plot(nash.eq)

par(mfrow=c(1,1))

Fig nr. 3.12 Echilibrul Nash

# model 2: comportamente de coaliție

coal1 < – list(FI=1, UL=2, RC=2, AN=1, UDC=1)

alpha1 < – list(FI=0.5, UL=0.5, RC=0.5, AN=0.5, UDC=0.5)

nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, coal=coal1, alpha=alpha1)

nash.eq

Fig nr. 3.13 – Comportamente de coaliție

# model 3: comportamente de coaliție

coal1 < – list(FI=1, UL=2, RC=2, AN=1, UDC=1)

alpha1 < – list(FI=0.7, UL=0.8, RC=0.1, AN=0.5, UDC=0.9) nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, coal=coal1, alpha=alpha1)

nash.eq

Fig nr. 3.14 – Comportamente de coaliție

italy2006

# model 4: separarea rivalilor

nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, margin=list(FI="UL", UL="FI"))

nash.eq

Fig nr. 3.15 – Separarea rivalilor

# model 5: poziția fixă în medie cu soluția de echilibru Nash

nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, fixed=list(RC=1), gamma=0.2)

nash.eq

Fig nr. 3.16- poziția fixă în medie cu soluția de echilibru Nash

# model 6: rivalii tind să se separe reciproc cu poziția fixă în medie cu soluția de echilibru Nash

nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, margin=list(FI="UL", UL="FI"), fixed=list(RC=1), gamma=0.2)

nash.eq

Fig nr. 3.17- Separarea rivalilor în raport cu poziția fixă în medie cu soluția de echilibru Nash

# model 7: coaliția și poziția fixă în medie cu soluție de echilibru Nash

coal1 < – list(FI=1, UL=2, RC=2, AN=1, UDC=1)

alpha1 < – list(FI=0.7, UL=0.8, RC=0.5, AN=0.5, UDC=0.5)

nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, coal=coal1,

alpha=alpha1, fixed=list(RC=1), gamma=0.2)

nash.eq

Fig nr. 3.18 – Coaliția și poziția fixă în medie cu soluție de echilibru Nash

# model 8: Analiza Bootstrap

nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, boot=10)

nash.eq

Fig nr. 3.19 – Analiza Bootsrap

# model 9: Simularea Monte Carlo

nash.eq < – equilibrium(model=m, data=election, MC=10)

nash.eq

## End (Not run)

Fig nr. 3.20 – Simulare Monte Carlo

Sondajul italian de alegeri generale 2006 , bazat pe proximitatea ideologică pătratică, foloseste pachetul de date italy2006.

Pachetul contine 438 de observații privind următoarele 18 variabile: numele țării, id-ul respondentului, votul – factor cu indicii FI UL AN UDC RC pentru fiecare candidat votat, auto- plasarea respondentului pe o scară de la 0 la 10, prox_FI, prox_UL, prox_AN, prox_ UDC, prox_RC, partyID_FI, partyID_UL, partyID_AN, partyID_UDC, partyID_RC, variabila sex in care feminin =1, vârsta, educația, gov_perf. În acest studiu respondenții au fost rugați să indice ce partid au votat la alegerile electorale din 2006 . Partidele sunt : UL (Ulivo), RC (Partidul Comunist Reînființat), FI ( Forța Italia), AN (Alianta Națională) si UDC ( Uniunea Creștinilor Democrați).

Prox_* distanța patratica ideologică între respondent si candidat.

partyID_* variabila binară egală cu 1 , dacă respondentul declară că ține cu un anumit partid.

age : 1 = "18-24 years", 2 = "25-34", 3 = "35-44", 4 = "45-54", 5 = "55-64", 6 = "65 +" education : 0 = "up to primary school", 1 = "incomplete secondary", 2 = "secondary completed", 3= "post-secondary trade", 4 = "university undergraduate degree inc", 5 = "university undergraduate degree comp" gov_perf : 1 = "very good job", 2 = "good job", 3 = "bad job", 4 = "very bad job"

Fig nr. 3.21- Reprezentarea pătratică ideologică a pachetului de date italy2006

Exemplu nr.2- Sondajul italian de alegeri generale 2006, cu proximitatea ideologică liniară, folosind pachetul de date italy2006.lin.

Vom folosi un cadru de date cu 438 de observații privind următoarele 18 variabile: numele țării, id-ul respondentului, votul – factor cu indicii FI UL AN UDC RC pentru fiecare candidat votat, auto- plasarea respondentului pe o scară de la 0 la 10, proxlin_FI, proxlin_UL, proxlin_AN, proxlin_ UDC, proxlin_RC, partyID_FI, partyID_UL, partyID_AN, partyID_UDC, partyID_RC, variabila sexului feminin =1, vârsta, educația, gov_perf.

În acest studiu respondenții au fost rugați să indice ce partid au votat la alegerile electorale din 2006 . Partidele sunt : UL (Ulivo), RC ( Partidul Comunist Reînființat), FI ( Forța Italia), AN (Alianta Națională) si UDC ( Uniunea Creștinilor Democrați).

Prox_* distanța ideologica liniară între respondent si candidat.

partyID_* variabila binară egală cu 1 , dacă respondentul declară că ține cu un anumit candidat.

age : 1 = "18-24 years", 2 = "25-34", 3 = "35-44", 4 = "45-54", 5 = "55-64", 6 = "65 +" education : 0 = "up to primary school", 1 = "incomplete secondary", 2 = "secondary completed", 3 = "post-secondary trade", 4 = "university undergraduate degree inc", 5 = "university undergraduate degree comp" gov_perf : 1 = "very good job", 2 = "good job", 3 = "bad job", 4 = "very bad job".

Fig nr. 3.22- Reprezentarea liniara între respondent și candidat folosind pachetul de date italy2006.lin

Exemplul nr 3. Sondajul italian de alegeri generale 2006 în format larg la care vom folosi setul de date italy2006.wide.

Vom folosi 524 de observații ale celor 15 variabile: numele țării, id-ul respondentului, votul – factor cu indicii FI, UL, AN, UDC, RC pentru fiecare candidat votat, auto-plasarea respondentului de la 0 la 10, FI, DS, AN, DL, UDC, RC, pID, ,varibila sexului feminin =1, vârsta, educatia, gov_perf. În acest studiu respondenții au fost rugați să indice ce partid au votat la alegerile electorale din 2006 . Partidele sunt : UL (Ulivo), RC ( Partidul Comunist Reînființat), FI ( Forța Italia), AN (Alianta Națională) si UDC ( Uniunea Creștinilor Democrați). Setul de date este în format larg.

Variabilele de la FI până la RC identifică plasarea candidaților, pe o scară de la 0 la 10,așa cum este perceput de către respondent.

pID este variabila ce identifică apartenența respondentului la un partid unde 0 nu reprezintă id-ul niciunui partid, 1 reprezintă id-ul partidului FI, 2 reprezintă id-ul partidului UL, 3 reprezintă id-ul partidului AN, 4 reprezintă id-ul partidului UDC, 6 reprezintă id-ul partidului RC.

age : 1 = "18-24 years", 2 = "25-34", 3 = "35-44", 4 = "45-54", 5 = "55-64", 6 = "65 +" education : 0 = "up to primary school", 1 = "incomplete secondary", 2 = "secondary completed", 3 = "post-secondary trade", 4 = "university undergraduate degree inc", 5 = "university undergraduate degree comp" gov_perf : 1 = "very good job", 2 = "good job", 3 = "bad job", 4 = "very bad job".

Fig nr. 3.23- Reprezentarea între respondent și candidat folosind pachetul de date italy2006.wide

Concluzii

În concluzie, teoria jocurilor utilizeaza trei ipoteze fundamentale : jucătorii se comportă rațional, fiecare dintre jucători știu faptul că ceilalți jucători sunt raționali, toți jucătorii cunosc regulile jocului.

Pentru a înțelege un joc este necesar să cunoaștem regulile acestuia pentru a se afla ce acțiuni sunt premise la un anumit moment. Jocul reprezintă o succesiune de decizii și evenimente aleatoare simultane sau nu, ce respectă structura câștigului data de anumite reguli de funcționare.

Pentru orice negociere este necesară asigurarea unei anumite atmosfere. Atmosfera sau climatul negocieri poate fi dificil, încordat, impulsi, sau poate fi cald, prietenos, inventiv, ori poate fi rece, formal, precis. Perioada critică de formare a climatului, la începutul fiecărei negocieri, poate fi foarte scurtă – la nivelul secundelor, sau poate dura câteva minute, uneori imposibil de îmbunătățit ulterior.

Negocierile reprezintă o modalitate de comunicare, ce are capacitatea de a produce schimbări asupra comportamentului, mentalității și aspirărilor participantilor la negociere, în raport cu forma și amplitudinea problemelor abordate și cu orizontul posibilelor rezolvări ale acestora.

Optimul Pareto reprezintă acea situație în care jucătorii sunt maxim posibil satisfăcuți, sau situația în care nu există o altă posibilitate în care măcar unul dintre jucători să fie mai bine satisfăcut, fără să se reducă satisfacția măcar a unuia dintre ceilalalti jucători. În cazul unui joc , echilibrul Nash existent nu este în mod necesar și optimul Pareto al acestuia. Unele echilibre „par ” mai probabile decât altele în cazul unui joc, iar acestea sunt numite „puncte focale”.

În viitor, vom încerca abordarea mai multor tipuri de echilibre cu ajutorul unor limbaje de programare de specialitate.

Bibliografie

[1] Chiriacescu, Adriana -,, Comunicarea interumană – Comunicare în afaceri – negociere,’’ Editura ASE, București 2003

[2] Malița, M. (1998)- ,,Teoria și practica negocierilor.’’ București: Editura Politică

[3] Braithwaite, R. B. (1955). “Theory of Games as a Tool for the Moral Philosopher”. An Inaugural Lecture Delivered in Cambridge on 2 December 1954.

[4] Raiffa, H. (1982). „The Art and Science of Negotiation”. Harvard Univ. Press, Cambridge, MA

[5] Adrian Miroiu- Fundamentele Politicii, Volumul al II-lea – Raționalitate și acțiune colectivă, Editura Polirom 2007

[6] Pruteanu Șf.-,,Manual de comunicare și negociere în afaceri,’’ Editura Polirom, Iași, vol.I, Comunicarea 2000

[7] Brams, S. J. (2003). Negotiation Games: Applying game theory to bargaining and arbitration (Vol. 2). Psychology Press.

[8] CSES – COMPARATIVE Study of Electoral Systems

[9] Curs ASE – Jocuri si negocieri -Conf. Univ. Dr. Mihai Roman

[10] http://www.asecib.ase.ro

[11] https://cran.r-project.org