Aplicarea Teoriei Jocurilor In Economie

Cea de a treia parte a lucrarii se referă la încorporarea considerentelor teoretice descriese in capitolele 1 si 2 sub forma de modele de situații interactive, în principal jocuri. În timp ce Teoria Jcourilor este, fără îndoială considerata stiinta, nu există un mod simplu si automat prin care se poate realiza utilizarea practica a acesteia. Trei factori cheie fac posibila utilizarea acestia si anume : experiența , intuiția și intenția jucătorilor . În acest capitol voi prezenta mai multe exemple de situații de afaceri care pot fi prezentate sub forma jocurilor.

Teoria jocurilor a fost prima data intampinata ca un fenomen interdisciplinar revoluționar reunind psihologia , matematica , filozofia și un mix amplu de alte domenii academice . Opt premii Nobel au fost acordate celor care au progresat aceasta disciplina; dar dincolo de nivelul academic, Teoria Jocurilor are aplicabilitate in viata noastra de zi cu zi

Exemplul clasic al teoriei jocului în lumea afacerilor apare atunci când se analizează un mediu economic caracterizat de un oligopol, atunci cand firmele concurente se confruntă cu o matrice decizie.. În ciuda faptul că este în interesul comun cooperarea cu concurenții, după un proces de gândire logic determină firmele să nu doreasca sa coopereze intre ele.

Teoria jocului s-a extins pentru a cuprinde multe alte discipline de afaceri . De la strategii optime in campania de marketing , la deciziile de război , tactici ideale pentru licitație și stiluri de vot , teoria jocurilor oferă un cadru ipotetic cu implicații semnificative .

De exemplu , companiile farmaceutice se confrunta in mod constant decizii privind dacă să comercializeze imediat un produs și pentru a obține un avantaj competitiv pe firme rivale , sau prelungi perioada de testare a medicamentului ; dacă o companie în stare de faliment este lichidată și activele sale scoase la licitație , ceea ce este abordarea ideal pentru licitație ; ceea ce este cel mai bun mod de a structura programele de vot proxy ? Deoarece aceste decizii implică numeroase partide , teoria jocului oferă baza pentru luarea deciziilor raționale .

Un alt concept important , jocurile cu sumă nulă , de asemenea, derivate din ideile originale prezentate în teoria jocurilor și echilibrul Nas. În esență , orice câștiguri măsurabile de o parte sunt egale cu pierderile de altă parte . Swap-uri , forward , opțiuni și alte instrumente financiare sunt adesea descrise ca instrumente " cu sumă nulă "..

Acestea fiind spuse, in jocul de mare anvergura numit economie, jucatorii sunt producatorii si consumatorii. Fiecare producator depinde de un set de circumstante care-i prescrie ce fel de marfuri poate produce si costurile pe care le presupune fiecare. Acestea sunt, de fapt, strategiile pure pentru fiecare producator: bunurile pe care le poate produce. Majoritatea producatorilor nu isi folosesc intreaga capacitate pentru un singur produs, adica aplica strategii mixte. Rezultatul obtinut printr-o strategie mixta depinde pe de-o parte de costurile pe care le implica, pe de alta parte de pretul primit la produse. Daca se cunosc preturile tuturor marfurilor (inclusiv al fortei de munca), atunci se poate calcula exact rezultatul obtinut de un producator printr-o strategie mixta data.

In acelasi timp, jucatorii care joaca rolul de consumatori au si eu preferintele lor individuale. Stiu cati bani au la dispozitie si cat de multumiti ar fi cumparand din acesti bani o anumita cantitate dintr-un anumit produs. Unele produse pot fi inlocuite, mai mult sau mai putin ,cu altele. Nici cumparatorii nu-si cheltuie banii pe un singur produs, deci si ei joaca o strategie mixta. Bineinteles, producatorii sunt in acelasi timp si consumatori, deoarece cumpara materii prime si servicii. Astfel, se poate spune ca fiecare producator joaca simultan rolul a doi jucatori: un consumator si un producator.

Daca fiecare produs ar fi disponibil pe piata la un pret fix si la o cantitate nelimitata, atunci s-ar putea intocmi deja matricea jocului, dar situatia din economie este ceva mai complicata. Consumatorii pot cumpara dintr-un produs doar atat cat se produce, iar preturile depind si ele de evolutia cererii si a ofertei. De aceea, tabelul jocului trebuie modificat in consecinta. Cunoscand strategia tuturor jucatorilor, se va putea spune in cazul caror marfuri se constata supraproductia sau supraconsumul. Dar pana la calculul acestora, piata a reactionat deja in doua moduri. Pe de-o parte, pretul produselor foarte cautate va creste, iar pretul celor oferite in exces va scadea. Pe de alta parte, vazdand situatia, atat producatorii, cat si consumatorii isi vor modifica strategiile mixte: Producatorii se straduiesc sa produca mai mult din bunurile cautate, iar consumatorii vor incerca sa le inlocuiasca pe cele care lipsesc. Dupa ce toate acestea au avut loc, procesul se reia de la capat.

Ceea ce se incearca prin Teoria Jocurilor este intelegerea comportamentului startegic de pe piata si al elementelor acestia, cum ar fi structura, competitia, licitatiile, publicitatea, influenta asupra mediului inconjurator, politele aumitor companii, si relatiile interpersoanele, atat in cadrul companiei, cat si in afara acestia. Pentru a arata toate aceste relatii dintre jucatori intr-un singur joc, modelul insusi ar devein prea complicat sau imposibil de construit.

În teoria economică , un decident rațional este un agent care alege o alternativă după un proces de deliberare in care el răspunde la trei întrebări:

• " Ce este fezabil ? "

• " Ce se doreste ? "

• " Care este cea mai bună alternativă în conformitate cu noțiunea de dezirabilitate ,

având în vedere constrângerile de fezabilitate ? "

In aplicarea teoriei jocurilor in ceea ce priveste comportamentul firmelor, se poate afirma faptul că firmele se confruntă cu o serie de opțiuni strategice care guvernează capacitatea de a realiza un anumit castig. Optinile strategii pot include: decizii cu privire la pret si productie, adica scaderea pretului, cresterea pretului sau mentinerea aceluiasi nivel. De asemenea, deciziile pot fi luate cu privire la produse, pentru a dezvolta noi produse sau pentru a le pastra pe cele existente. Deciziilecu pivire la publicitate se refera la investirea unor sume mai mare in publicitate, restrangerea cheltuielilor cu publicitatea sau mentinerea unor cheltuieli constante cu aceasta.

Firmele pot obtine o serie de castiguri posibile rezultate in urma strategiilor alese, incluzand: profituri mai mari pentru actionari, cota de piata mai mare, imbunatatirea sanselor de “supravieturie” pe piata si chiar eliminarea unor concurenti.

In decursul acestui capitol, am sa ma refer la diferitele interpretari ale solutiilor teoretice ale unor jocuri. In primul rand un jucator este considerat un agent care opereaza intr-un mediu determinat de comportamentul celorlalti agenti si care foloseste comportamemntul celorlalti agenti ca o contributie la propria problema de decizie.

Pentru a evidenția caracteristicile pieței de oligopol, am ales sa prezint piața telefoniei mobile din Romania.

Telefonia mobila a devenit cea mai folosita metoda de comunicare din Romania si aproape din toata lumea. Ne este aproape imposibil astazi sa ne imaginam viata fara telefoane mobile. Au trecut mai bine de două decenii de la primul telefon din anii ‘90, atunci când un telefon mobil era considerat un lux, iar lansarea unui serviciu de telefonie mobilă părea o idee destul de îndrăzneață.

Începuturile telefoniei mobile în România datează din 1992 ,an în care Telefonica Spania si-a deschis subsidiara in tara noastra, urmata de o altă tentativă de a intra pe piata din partea firmei Romtelecom. Momentul care marchează practic începutul telefoniei mobile în România a fost acela cand brandul Connex si-a început activitatea drept primul operator GSM din România în data de 15 aprilie 1997. La scurt timp dupa aceasta s-a realizat primul apel în rețeaua Dialog, fiind operațional în toate orașele în care s-a lansat Connex. In anul 2002, acesta din urma, a făcut trecerea de la denumirea de Dialog la Orange.

In prezent, in România,exista trei jucători de talie mondială în telefonia mobilă: Orange, Vodafone și Telekom (în această ordine în ceea ce privește numărul de clienți), plus Digi Mobil al companiei RCS-RDS.

Limbajul jocurilor

In prima parte a lucrarii am analizat piata telefoniei mobile din Romania cu ajutorul modelelor de oligopol cu ajutorul carora a studiat si inteles mai bine dinamica cantitatii și prețului.

Duopolul Bertrand

Cu ajutorul duopolului Bertrand voi evidentia felul in care firmele concureaza intre ele in conditiile concurentei imperfecte. Astfel, am presupus existenta unui duopol pe piata telefoniei mobile din Romania, format din companiile Orange si Vodafone, care produc doua smartphone-uri cu dotari tehnice asemanatoare. Primul poarta denumirea de Smartphone Orange Hiro, iar al doilea poarte denumirea de Vodafone Smart. Am presupus faptul ca telefoanele, desi productie proprie a celor doua companii, nu sunt blocate in reteaua proprie, astfel clientii pot fi indiferenti din acest punct de vedere. In acest caz, spre deosebire de duopolul Cornout in care firmele stabileau cantitatile pe care doreau sa le vanda si lasau preturile sa se autoregleze, aici firmele vor stabili preturile si vor lasa cantitatile vandute sa se autoregleze. Presupunem ca, costurile sunt costuri marginale constante.

Am notat cu p1 pretul telefonul Orange Hiro, iar cu p2 pretul telefonului Vodafone Smart, iar cu Q(p) – cantitatea totala ceruta pe piata

Strategia folosita consta in stabilirea pretului produsului fiecarei companii in parte in intervalul [0, 1], adica S : 0 ≤ p ≤ 1.

Cererea companiei Orange este reprezentata dupa cum urmeaza: (analog pentru firma Vodafone)

Daca pretul telefonului Orange Hiro este in suma de RON iar pretul telefonului Vodafone Smart este de 350 RON , atunci Orange va acapara piata.

Daca pretul telefonului Orange Hiro este in suma de RON iar pretul telefonului Vodafone Smart este de 320 RON , atunci Orange nu va inregistra nicio vanzare.

Daca pretul ambelor telefoane este in suma de 335 RON, atunci piata va fi impartita intre cele doua firme.

Pentru a gasi echilibrul Nash mai intai trebuiesc gasite cele mai bune raspunsuri ale unui jucator in functie de alegerile oponentului:.

Cele mai bune raspunsuri ale firmei 1. (analog pentru Vodafone)

Daca Vodafone isi stabileste pretul sub cost, atunci singururl mod prin care Orange va evita pierderile va fi prin stabilirea pretului peste pretul companiei Vodafone.

Daca Vodafone isi stabileste preturile deasupra costurilor, atunci cel mai bun raspuns al firmei Orange ar fi sa isi stabileasca preturile sub pretul companiei Vodafone, pentru a acapara piata cu o cantitate cat de mica posibil.

Daca Vodafone isi stabileste pretul la egalitate cu costul marginal, atunci Orange ar trebui sa isi stabileasca pretul mai mare sau egal cu costul marginal. Daca Orange stabileste si ea pretul egal cu costul marginal va obtine un profit egal cu zero.

Rezulta ca in acest joc exista doar un echilibru Nash atunci cand ambele firme isi stabilesc preturile egale cu costul marginal. Deci, daca Orange va stabili preturile sale egale cu costul marginal, atunci Vodafone va raspunde aplicand aceeasi startegie si invers.

In acest joc, in care firmele au concurat intre ele prin stabilirea preturilor, chiar daca au existat doar doua firme pe piata, rezultatele au fost foarte diferite fata de modelul Cournut. Astfel, s-a ajuns la concluzia ca preturile sunt egale cu costurile marginale, profiturile sunt egale cu zero. Rezultatele sunt exact ca in cazul competitei perfecte doar ca in acest caz concureaza doua firme.

In prima parte am analizat jocurile in forma normala si elementele acestora. Astfel, pornind de la modelul dilemei prizonierului, pentru inceput am considerat un joc simplu,cu 2 jucatori. intre compania Orange si compania Vodafone. La sfarsitul lunii octombrie 2014 era lansat pe piata romaneasca iPhone-ul 6, respectiv iPhone-ul 6 plus. Astfel, acesti doi operator romani, parteneri cu Apple, si-au construit oferte cat mai atragatoare pentru clienti. De asemenea, pe langa ofertele care includeau si abonamente, telefoanele au fost comerciaziate si la liber. Ofertele celor doua companii aratau in felul urmator:

Fig. Comparatie pret iPhone 6 la liber

In jocul urmator, voi presupune ca ne aflam in momentul dinaintea lansarii. Astfel, aceste 2 companii trebuie sa stabileasca pretul la care vor vinde telefoanele. Fiecare firma dispune de urmatoarele variante:

stabilirea unor preturi joase – e adevarat ca firma cu un pret mai mic ar castiga mai putin la fiecare iPhone achizitionat, dar vanzarile aproape s-ar dubla si acest lucru ar fi mai mult decat rentabil. Daca fiecare din acesti doi concurenti ar incepe o serie de calcule financiare ar ajunge la concluzia ca, daca ar scadea pretul si ar atrage macar jumate din clientela celuilalt. La un moment dat insa apar indoieli: ce s-ar intampla daca si celalalt concurent ar gandi la fel si ar stabili un pret scazut? In acest caz, vanzarile lui nu ar creste cu nimic.

Stabilirea unor preturi mai ridicate.

Situatia poate fi cuprinsa in urmatorul tabel:

Vodafone

Orange

Fig. Matricea castigurilor in urma vanzarii iPhone-urilor.

*Preturile sunt exprimate in RON si reprezinta incasarile celor doua firme in functie de preturile practicate.

Din tabel rezulta ca logica acestei situatii este identica cu cea a dilemei prizonierului: indiferent cum decide concurenta, firma care reduce pretul este avantajata in ambele situatii posibile. Daca si Vodafone reduce pretul, Orange poate evita pierderea; daca Vodafone stabileste un pret mai mare, atunci Orange poate sa isi mareasca profitul. La acest pas, teama de a iesi in pierdere ii obliga pe ambii operatori sa stabileasca preturi scazute. Dar daca ambii gandesc astfel, ambele companii vor incasa profituri mai mici.

In concluzie, jocul prezentat arata ca a coopera inseamna, de cele mai multe ori, renuntarea la ceva. Asa ca foarte usor doi sau mai multi concurenti se pot trezi in situatia dilemei prizonierului.

Singurul mod in care firmele isi pot creste castigurile ar fi sa coopereze si sa creasca preturile impreuna. Desigur, acest lucru solicita un acord si cooperare din partea firmelor. De asemenea, se creeaza doua riscuri viitoare: primul consta in faptul ca o firma poate sa nu reaspecte regulile acestui acord, si al doilea, autoritatile ar putea investiga aceste practice , si sa le impuna sanctiuni.

In continuare am analizat echilibrul Nash cu ajutorul strategiilor dominate si a miscarii iterative despre care amvorbit in capitolul doi allucrarii. Pentru aceasta am luat ca exemplu o situatie ipotetica intre companiile Orange si Vodafone, pe care am modelat-o sub forma unui joc simplu, in forma normala, cu doi jucatori.

Am presupus ca cele doua companii de telefonie mobila doresc deschiderea unui nou magazin avand la dispozitie 3 zone diferite. Astfel, cele doua companii dispun fiecare de 3 strategii pure: deschiderea unui nou magazin in zona A, zona B sau zona C. Castigurile celor doi jucatori nu sunt aleatoare, ci sunt influentate de o serie de factori: preferintele populatiei cu privire la cele doua companii, veniturile clientelei din zona respectiva, preturile practicate, gama de produse existenta, ceilalti concurenti din zona respectiva etc, si de aceea, matricea castigurilor prezinta mai multe variatii ale utilitatiilor.

Castigurile sunt exprimate in RON si reprezinta incasarile realizate de cele doua compani intr-o zi lucratoare in functie de zona aleasa.

Vodafone

Orange

Fig. Matricea castigurilor

Pentru compania Vodafone se observa ca zona A este strict dominata de zona B, deoarece castigurile pe care le realizeaza in zona B sunt strict mai mari fata de celalata zona. Prin urmare aceasta va fi eliminata si nu va mai fi luata in considerare.

Pentru compania Orange zona B si Zona C sunt usor dominate de zona A, Orange considerand eliminarea acestor strategii.

Vodafone are acum de ales intre Zona B si Zona C. Dupa compararea profiturilor rezultate, aceasta elimina posibilitatea alegerii zonei C, deoarece aceasta este usor dominata de zona B.

In urma acestei miscari iterative, singurul echilibru Nash rezultat este atunci cand compania Orange alege zona A, iar compania Vodafone alege zona B, la care se atribuie castigurile: 5000 RON/zi pentru Orange si 3000 RON/zi pentru Vodafone. Desi castigurile nu sunt egale, niciun jucator nu doreste sa devieze de la acest echilibru, pentru ca nicio alta varianta nu le va aduce ambelor firme un castig mai bun.

Jocuri in forma extensiva. Echilibru Nash. Inductia inversa.

Cosmote a intrat pe piața din Romania intr-o maniera destul de agresiva, la sfarsitul anului 2005. Pentru a rezista pe piata, aceasta a trebuit sa „fure” din clientii concurentei. Acesta a introdus oferte de 2000 de minute in retea si 2000 de SMS-uri, oferte care, la acea vreme, înca erau necunoscute. Cu oferta de 2000 de minute în retea și 2000 de SMS-uri, piața telefoniei mobile a cunoscut practic o nouă etapă, etapa sutelor și/sau miilor de minute în reteaua proprie.

Pentru jocul urmator am considerat momentul anterior intrarii pe piata romaneasca a companiei Cosmote. Asftel, managerii companiei considera posibilitatea intratii pe o noua piata, piata romaneasca a telefoniei, unde operau Orange si Vodafone. Acestea din urma am sa le consider ca un singur agent, reprezentand piata romaneasca. Decizia managerilor se va baza pe profitabilitatea pietei, care de asemenea depinde de cum vor reactioa celelalte firme. Acestea se pot acomoda si sa lase aceasta firma sa acapareze o anumita cota de piata sau ar putea raspunde agresiv, primindu-l pe noul intrat cu un “razboi al preturilor”. Alt factor care influenteaza fluxul de venituri al companiei Cosmote este nivelul investitiei. Compania poate intra pe piata cu tehnologia existenta (costuri mai joase) sau poate opta pentru o tehnologie avansata ( costuri mai ridicate). Managerul companiei Cosmote estimeaza ca daca propria companie intra pe piata iar celelalte companii vor reactiona agresiv, pierderile sale se vor situa la un nivel de XXX euro in cazul unor costuri joase si XXx euro in cazul unor costuri ridicate. Daca celelalte firme se vor acomoda cu compania nou intrata, totusi, firma va inregistra profituri de xxx euro in cazul cosurilor joase si XXX euro in cazul costurilor ridicare.

Un mod posibil de abordare al acestei probleme consta in “analizarea deciziei”, care implica distributii de probabilitati asupra reactiei celorlalte companii. In acest caz, voi presupune ca managerii companiei Cosmote cred ca exista sanse egale in infruntarea unui comportament agresiv, cat si in infruntarea unui comportament acomodant. Avand in vedere aceste probabilitati estimative, se poate elabora jocul in forma extensiva:

Nu intra pe ppiata

o RON

Intra cu costuri Agresiv

ridicate – xxx RON

Cooperant

Intra cu preturi Agresiv

joase

Cooperant

Figura 1. Reprezentarea jocului in forma extensiva

GT overview

Atunci cand se analizeaza profiturile, este usor de observant ca atunci cand managerul va alege sa intre pe piata acesta ar trebui sa investeasca in tehnologie de ultima generatie. Dar totusi, cu o simpla analiza, se observa faptul ca nu are sens sa se intre pe o noua piata, daca se asteapta la pierderi de xxx euro. Cu toate acestea, nu se poate afirma faptul ca firma nu ar trebui sa intre pe piata deoarece distrubtiile de probabilitate nu sunt exacte. Deci, dezicia managerului va fi dependenta de probabilitatile pe care acestea le-a atribuit comportamentului firmelor autohtone.

In continuare voi prezenta alta abordare a acestei probleme. Dupa cum reiese si din figura 1, sectiunea 5, cel mai bun rezultat al firmelor autohtone este acela cand se afla doar ele activeaza pe aceasta piata. In acest caz ele ar obtine profituri in valoare de xxx. Daca acestea decid ca se acomodeze , profiturile lor vor scadea la xxx daca compania nou intrata va intra cu tehnologia existenta, si xxx daca aceasta va intra cu o tehnologie de ultima generatie. Daca acestea decid sa adopte un comportament agresiv, profiturile sale vor fi de xxx, repectiv xxx. Utilizand noua informatie, se poate construi un nou joc.

Acest joc poate fi rezolvat prin intoarcerea inversa a acestuia. Daca firma intra pe piata, cea mai buna strategie a firmelor este sa se acomodeze dupa cum reiese din figura 2. Cunoscand acest lucru, intrarea pe aceasta piata se va dovedi profitabila pentru Cosmote.

Ideea este simpla: se considera ca firmele autohtone sunt rationale si interesate de maximizarea profiturilor

Notice that in the original game when it is the incumbent’s turn to move, she is able to observe

the entrant’s moves. In the modified game, however, this is not the case; the incumbent cannot

observe the investment level of the entrant. The extensive form of the game is very similar to

that of the original game (Figure 1) except that we have drawn dashed lines around incumbent’s

decision nodes to indicate that these nodes are in a single information set. This means that

when it is the incumbent’s turn to play, she cannot tell which of these nodes she is at because

she has not observed the entrant’s investment level. Due to the definition of information sets, at

every node within a given information set, a player must have the same set of possible actions.

Note that a game is one of perfect information if each information set contains a single decision

node.

It is easy to see that the outcome of the original entry-exit game is for the entrant to enter the

market with the latest technology (low cost case) and the incumbent to accommodate, i.e., (Enter

with low cost, Accommodate). However, this game has another pure strategy Nash equilibrium:

(Do not enter, Aggressive). This profile is a Nash equilibrium because given that the entrant does

not enter, the incumbent’s information set is not reached and she loses nothing by being aggressive.

But this equilibrium is not “credible” because it is an “empty threat” by the incumbent to play

aggressive. (We know that if the entrant chooses to enter, the best response of the incumbent is

to accommodate.)

Calculul echilibrului Nash folosind strategii mixte in joc in forma normala

Pentru a exemplifica calculul echilibrului Nash folosind startegiile mixte am luat ca exemplu o situatie ipotetica intre companiile Orange si Vodafone, pe care am modelat-o sub forma unui joc simplu, in forma normala, cu doi jucatori.

Am presupus ca jucatorul Vodafone dispune de informatii in legatura cu deschiderea unui nou magazin Orange. Totusi, Vodafone nu dispune de informatii exacte, acesta nestiind cu precizie zona in care Orange isi va deschide noul magazin. Orage este, la randul sau, constient de informatiile de care dispune Vodafone si va dori sa induca compania in eroare pentru ca aceasta sa nu deschida si ea un magazin in apropiere si astfel sa imparta clientela. Castigurile celor doi jucatori nu sunt aleatoare, ci sunt influentate de o serie de factori: vadul commercial din zona, preferintele populatiei cu privire la cele doua companii, veniturile clientelei din zona respectiva, preturile practicate, gama de produse existenta, ceilalti concurenti din zona respectiva etc, si de aceea, matricea castigurilor prezinta mai multe variatii ale utilitatiilor.

Astfel, cele doua companii vor dispune de doua strategii pure: deschiderea unui magazin in zona A sau deschiderea unui magazin in zona B. Fiecare firma va aloca strategiilor sale pure anumite probabilitati. Asadar, Vodafone joaca prima stategie cu o probabilitate p si a doua strategie cu o probabilitate 1-p. Daca Orange va incerca sa dea cel mai bun raspuns la aceasta strategie mixta intreprinsa de Vodafone, folosind tot o strategie mixta, atunci Vodafone ar trebui sa isi stabileasca probabilitatiile in asa fel incat sa faca compania Orange sa fie indiferenta in alegerea propriilor sale actiuni. Motivul pentru care Orange ar trebui sa fie indiferenta in alegerea unei zone, este faptul ca ea insusi joaca o strategie mixta.

Vodafone

p 1-p

q

Orange

1-q

Fig. Reprezentarea jocului in forma normala

Sumele inscrie in matricea castigurilor sunt exprimate in RON si reprezinta incasarile zilnice ale magazinelor in functie de zona aleasa.

Probabilitatile magazinului Vodafone pot fi scrise sub forma matematica, dupa cum urmeaza:

(Zona A; p, (1-p) = (Zona B; p, (1-p)

(Zona A) = (Zona B)

3000 p + 1000 (1-p) = 2000 p+ 4000 (1-p)

p=3/4

Cu alte cuvinte, utilitatea companiei Orange, alegand zona A, in conditiile in care compania Vodafone joaca cu probabilitatile p si 1-p este egala cu utilitatea resimtita alegand zona B in conditiile in care compania Vodafone foloseste aceleasi perechi de probabilitati

Concluzionand, singurul mod in care Orange poate fi indiferent intre cele doua zone, este daca p=3/4.

In acelasi mod Orange trebuie sa joace la intamplare pentru a-l face pe Vodafone indiferent in alegerea zonei..

In acest caz, Orange atribuie probabilitati strategiilor sale. Astfel, zonei A ii atribuie probabilitatea q si zonei B ii atribuie probabilitatea 1-q.

De asemenea, si acestea pot fi scrise sub forma matematica dupa cum urmeaza

(Zona A; q, (1-q) = (Zona B; q, (1-q)

(Zona A) = (Zona B)

4000 q + 2000 (1-q) = 1000 q+ 3000 (1-q)

q=1/4

Cu alte cuvinte, utilitatea jucatorului Vodafone alegand zona A in conditiile in care Orange joaca cu probabilitatile q si 1-q este egala cu utilitatea sa alegand zona B in conditiile in care Orange foloseste aceleasi probabilitati.

Deci, singurul mod in care Vodafone poate fi indiferent intre cele doua strategii este daca q=1/4.

Acestea fiind spuse, atat Orange, cat si Vodafone au vrut sa joace la intamplare si au obtinut doua probabilitati diferite cuprinse in intervalul (0,1). Concluzionand, strategiile mixte sunt ( , ) si ( , ).