Annals of the Constantin Brâncu și University o f Târgu Jiu, Letter and Social Science Series , Supplement 3 2017 [619102]

Annals of the „Constantin Brâncu și” University o f Târgu Jiu, Letter and Social Science Series , Supplement 3 /2017

176
METODE SPECIFICE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE
ARITMETICĂ

Novac -Claudiu CHIRIAC
PhD Lecturer
“Constantin Brâncuși” University of Târgu -Jiu

ABSTRACT . IN THIS PAPPER WE WILL PRESENT THE MOST IMPORTANT SPECIFIC
METHODS FOR SOLVING ARITHMETIC PROBLEMS. ALSO, FOR EACH METHOD, WE
WILL PRESENT SIGNIFICANT EXAMPLES OF HOW TO APPLY IT.

1. INTRODUCERE
Rezolvarea problemelor de matematică este una din cele mai sigure că i ce duce l a
dezvoltarea gândirii, imaginației, atenției ș i spiritului de ob servație al elevilor. Această activitate
pune la încercare în cel mai înalt grad capacităț ile intele ctuale ale elevilor, le solicită acestora toate
disponibilităț ile psihi ce, în special inteligenț a, motiv pen tru care, programa de matematică din
ciclul prim ar acordă rezolvării problemelor o importanță deosebită . Nu este vorba de a parcurge
cât mai multe tipuri de probleme sau metode de rezolvare, ci despre a -i crea elevului situații noi
de învățare, la care să răspundă cât mai adecvat, în urma unui demers de explorare și investigaț ie.
Prin r ezolvarea de probleme, elevii își formează priceperi și deprinderi de a analiza situația
dată de problemă, de a intui ș i descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă .
Rezolvarea problemelor c ontribuie astfel la cultivarea și dezvoltarea capacităț ilor creatoare ale
gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităț ilor anticipativ -imaginative, la educarea
perspica cități i și spiritului de inițiativă , la dezvoltarea încrederii în forț ele proprii.
Metodele aritmetice de rezolvare a problemelor se clasifică în două categorii: metode
aritmet ice fundamentale sau generale și metode aritmetice specifice sau particulare.
Metode le aritmetice generale se aplică într -o măsura mai mare sau mai mică în rezolvarea
tuturor problemelor .
Metodele aritmetice specifice sunt mai variate și diferă de la o categorie de probleme la
alta, adoptându -se specificului acestora. Cele mai impor tante s i mai frecvente sunt următoarele:
metoda figurativă sau grafica, metoda comparaț iei, metoda falsei ipoteze, metoda mersului invers,
regula de trei simplă sau compusă. Asupra acestor metode ne vom opri și noi în continuare arătând
specificul fiecăreia și dâ nd exemple semnificative pentru fiecare.
În rezolvarea problemelor nu este înto tdeauna eficientă aplicarea une i singure metode, fiind
necesară combinarea metodelor, în anumite etape ale rezolvarii, predominând una dintre ele.
Alteori orientarea se face dup a felul cum au fost rezolvate problemele în rudite, procedând
similar, adică aplicând metoda analogiei.

Annals of the „Constantin Brâncu și” University of Târgu Jiu, Letter and Social Science Series , Supplement 3 /2017

„ACADEMICA BRÂNCUȘI” PUBLISHER

177 De asemenea, în afara de met odele mentionate mai sus, există și alte metode specifice
aplicabile în rezolvarea unor anumite categorii de p robleme, cum sunt: problemele de împărțire în
părți proporț ionale, problemel e cu procente, problemele de miș care, problemele nonstandard, etc.

2. METODA FIGURATIVĂ SAU METODA GRAFICĂ
Metoda artitmetică, care pentru reprezentarea mărimilor din problemă și a relaț iilor dintre
ele utilizeaz ă elemente grafice sau desene și scheme se numește metoda figurativă sau metoda
grafică .
În aplicarea acestei metode se poate face apel la orice categorie de elemente grafice sau
combinații ale acestora cu condiția ca ele să fie adec vate naturii datelor problemei ș i specificului
lor. Astfel, se pot întâlni:
-desene care reprezintă acțiunea problemei și părț ile ei componente (pentru clasele mici);
-figuri geometric e diferite: segmentul de dreaptă, triunghiul, dreptunghiul, pă tratul, cercu l;
-figurarea schematică a relaț iilor matematice dintre datele problemei;
-diverse semne convenț ionale, unele obisnuite, altele stabilite de comun acord cu elevii;
-elemente grafice simple: puncte, linii, ovale, cerculete, etc.
Metoda figurativă ajută la formarea schemei problemei, la co ncentrarea asupra tuturor
condiț iilor problemei. În rezolvarea unei pr obleme care face apel la această metodă, sprijinul se
face pe raț ionament, folosind întelesul concret al operatiilor.
Metoda figurativă este situată pe pr imul loc în ceea ca privește utilitatea ei, datorită
avantajelor pe care le prezintă . Astfel:
-are caracter general, utilizându -se la orice categorii de probleme în care se preteaza figurarea ș i
pe diferite trepte ale scolariză rii;
-are caracter intuitiv, înțelegerea relațiilor dintre datele problemei fă cându -se pe baza imaginilor
vizuale, u neori intervenind acțiunea directă, mișcarea ș i transpunerea acesteia pe plan mintal;
-prin dimen siunile elementelor figurative și prin proporțiile dintre ele se creează variate modalități
de stabilire a relaț iilor cantitative dintre diferitele valori ale mărimilor, se sugerează aceste relații,
se pun în evidență .
Pașii urmați în rezolvarea unei probleme prin această metodă sunt :
– se reprezintă fiecare necunoscută printr -o figură (segment , dreptunghi, cerc etc.);
– fiecare relație din textul problemei se schematizează utilizând figurile alese, obținând modelul
grafic al problemei;
– se fac legături pe schemă între necunoscute și datele problemei și se identifică raționam entul de
rezolvare;
– se fac calculele și se determină necunoscutele;
Problemele rezolvabile prin metoda figurativă se pot împărți în două mari caregorii
1. Cu date sau mărimi ”discrete” – înțelegând prin aceasta că mărimile pot fi numărate una câte
una sa u pot fi puse în corespondență după anumite criterii transfigurate simbolic.
2. Cu date sau mărimi ”continui” – în acest caz mărimile le configurăm de obicei prin segmente
Exemplul 1 . Daca se așează câte un elev într -o bancă rămân 14 elevi î n picioare. Dacă așezăm
căte 2 elevi într -o bancă rămân 3 bănci libere. Câți elevi și câte bănci sunt?
Rezolvare . Din analiza primei părți a enunțului desprindem că mulțimea elevilor și mulțimea
băncilor pot fi în așa fel “privite” încât elementele lor să fie organizat e astfel : fiecărui elev îi
corespunde o bancă , situație în care 14 elevi rămân î n picioare, deci nu au loc. Figurăm această
situație convenind să reprezentă m banca printr -un dreptungh i și elevul printr -un cerc.

Annals of the „Constantin Brâncu și” University o f Târgu Jiu, Letter and Social Science Series , Supplement 3 /2017

178

Analizând a doua parte a enunțului proce dăm în felul următor: distribuim câte unul dintre cei 14
elevi rămași în picioare în câte o bancă. Se observă că aceștia vor ocupa 14 bă nci, deci se vor
completa cu ei 14 bănci cu câte 2 elevi, dar pentru că trebuie să rămână trei bănci libere înseamnă
că din băncile cu un copil s -au ridicat încă trei elevi care au completat ca și ceilalți colegi ai lor
trei bă nci cu 2 elevi. Recapitul ând , avem 14 bănci cu câ te 2 elevi comp letate de cei 14 elevi ce
erau în picioare și încă trei bănci cu 2 elevi completate prin ridicare a câte unui elev din 3 banci
care trebuiau sa ramana libere.

Deci erau în clasă:
14 + 3 + 3 = 20 bănci și 20 + 14 = 34 elevi.
Exemplul 2 . Suma a două numere este 35 iar diferența lor este cât a treia parte din numă rul mai
mic. Aflati cele două numere.
Rezolvare. Punem în evidență “informația” care ne spune că diferența numerelor este 1/3 din
numărul mai mic, adică cel mic are 3 părți iar cel mare 4 părți.

b
a-b a
Din desen rezultă c ă 7 părți, fiecare egală cu a trei a parte din b, reprezinta 35 . O parte reprezintă
atunci 35 : 7 = 5 . Atunci b = 3 ∙ 5 = 15 și a = 35 – 15 = 20 .

3. METODA COMPARAȚIEI SAU METODA ADUCERII LA ACELAȘI TERMEN
DE COMPARAȚIE
Metoda comparației se folosește la problemele în care se dau mai multe mărimi între care se
pot stabili mai multe relații și se cere să aflăm valorile acestor mărimi .
Etapele urmate în rezolvarea unei probleme prin această metodă sunt următoarele :
– se compară relațiile date între mărimi;
– se transformă relațiile (prin înmulțiri, adunări etc.) pentru a obține același termen de comparație
(aceleași mărimi pentru două sau mai multe necunoscute);
– prin reducere sau înlocuire se elimină una sau mai multe mărimile necunoscute în așa fel încât s ă
rămână o singură necunoscută;
– se determină necunoscuta rămasă;
– se determină celelalte necunoscute.

Annals of the „Constantin Brâncu și” University of Târgu Jiu, Letter and Social Science Series , Supplement 3 /2017

„ACADEMICA BRÂNCUȘI” PUBLISHER

179 Exemplu. Un elev cumpără 7 pixuri și 3 stilouri plătind 141 lei. Un alt elev cumpără 2
pixuri și 6 stilouri, de același fel, plătind 246 lei. Câți lei costă un pix? Dar un stilou?
Rezolvare . Scriem în mod convenabil datele din enunț.
7 pixuri……………….3 s tilouri…………141 lei
2 pixuri……………….6 stilouri…………246 lei
Înmulțim prima relație cu 2 pentru a avea același număr de stilouri. Noile relații sunt
14 pixuri……………….6 stilouri…………..282 lei
2 pixuri……………. ….6 stilouri……………246 lei
În ambele cazuri avem același număr de stilouri de unde rezultă că diferența 282 -246=36 lei
provine din diferența numărului de pixuri cumpărate și anume 14 -2=12 pixuri. Deci un pix a costat
36:12=3 lei. Pentru a afla câ t a costat un stilou înlocuim valoarea unui pix în una din cele două
relații. Înlocuind în a doua relație vom obține succesiv 2×3=6 lei, 246 -6=240 lei, 240:6=40 lei
costă un stilou.

4. METODA FALSEI IPOTEZE SAU METODA PRESUPUNERII
Problemele care se pot rezo lva prin această metodă sunt foart e numeroase. Prin aceasta metodă
poate fi rezolvată orice problemă ale cărei date sunt mărimi proporț ionale.
Metoda false i ipoteze este metoda aritmetică prin care rezolvarea unei probleme are loc pe
baza unei presupuneri, a unei ipoteze, confruntând apoi situația reală cu cea creată prin
introducerea datelor ipotet ice. Numele metodei se justifică prin faptul că ipoteza care se face nu
corespunde decât întâmplator cu rezult atul problemei. Ea se utilizează în toate cazurile în care,
prin ipotezele care se fac, se poate ajunge la stabilirea relațiilor dintre datele problemei ș i deci la
rezolvarea ei.
De regulă, se pleacă de la în trebarea problemei, în sensul că asupra mărimii care se caută se
face o presupunere comple t arbitra ră. Se reface apoi problema pe baza presupunerii facute.
Deoarece mărimile sunt proporționale, rezultatele obț inute pe b aza presupunerii se translatează
în plus sau în minus, după cum presupunerea făcută este mai mica, respectiv mai mare decât
rezultatul real. Refacând, aș adar, problema, se ajunge la un rezultat care nu concordă cu cel real
din problema. El este fie mai mare, fie mai mic decât ac esta. În acest moment se compară rezultatul
pe baza presupunerii, cu cel real din punct de vedere al enunțului ș i se observă de câte ori s -a greșit
când s -a făcut presupunerea. Se obține, așadar, un număr cu ajutorul că ruia se corecteaza
presupunerea făcută, în sensul că se micșorează sau se mareș te de acest numar de ori.
Metoda are ș i unele variante de aplicare, da r, în p rincipiu, ea ramâne cea descrisă mai sus.
Problemele care se rezolvă prin aceasta metodă se pot clasi fica în doua categorii, în funcție de
numă rul ipotezelor care sunt necesare, pentru orientarea raționamentului ș i determinarea
rezultatelor:
1) Prob leme de categoria I pentru rezolvarea cărora este suficientă o singură ipoteză ;
2) Probleme de catego ria a II -a, pentru rezolvarea cărora sunt necesare două sau mai multe ipoteze
succesive.
Exemplu . Într -o curte sunt găini și purcei, în total 40 de capete și 100 de picioare. Câte
găini și câți purcei sunt.
Rezolvare . Presupunem că avem în curte numai găini. Deci am avea 40 de capete și 80 de
picioare. Diferența 100 -80=20 picioare provine din presupunerea noastră și din diferența dintre
numărul de picioare a l găinilor și al purceilor 4 -2=2 picioare. Deci în curte trebuie să avem și
20:2=10 purcei restul de 30 fiind găini.

Annals of the „Constantin Brâncu și” University o f Târgu Jiu, Letter and Social Science Series , Supplement 3 /2017

180
5. METODA MERSULUI INVERS
Prin m etoda mersului invers se rezolvă aritmetic anumite probleme în care elementul
necunos cut apare în faza de înc eput a ș irului d e calcule care se impun. Această metodă de rezol vare
a problemelor de aritmetică se numeș te a mersului invers, deoarece operațiile se reconstituie în
sens invers acț iunii problemei, adică de la sfârșit spre început, fiecărei operaț ii coresp unzându -i
inversa ei. Metoda mersului invers se aplică atât în rezolvarea exercițiilor numerice care conțin
necunoscută, cât ș i în rezolvarea problemelor care se încadreaza în tipul respectiv, adic ă în care
datele depind une le de altele succesiv, iar enunț ul respectivei probleme trebuie urmărit de la sfârsit
spre început și în fiecare etapă se face operația inversă celei apărute în problemă . Deci, n u numai
mersul este invers, ci și operaț iile care se fac pentru rezolvare sunt inverse celor din problema.
Proba se face aplicând asupra numărului găsit operațiile indicate în enunț ul problemei.
Exemplu . Mă gândesc la un număr. Acest număr îl împart la 7, câtului obținut îi adaug 4, suma
o înmulțesc cu 8 iar din produs scad 12 și obțin 60. La ce număr m -am gândit?
Rezolvare. Pecăm de la rezultatul final, în cazul nostru 60, și efectuăm de la sfărșit spre început
operațiile inverse celor din enunț. Obținem 60+12=72, 72:8=9, 9 -4=5, 5*7=35.Deci numărul inițial
este 35.

6. REGULA DE TREI SIMPLĂ
Regula de trei simplă reprezintă o schemă de așezare a datelor ș i de utilizar e a acestor date în
orientarea și desfăș urarea procesului de gândire care intervine în examinarea și rezolvarea unor
probleme cu mărimi proporț ionale.
În problemele care se rezolvă prin regula de trei simplă intervin doua mărimi direct sau invers
proporționale, fiecare mă rime cu câte o pereche de valori, una din aceste valori fiind necunosc ută.
Prin urmare, în aceasta categorie de probleme s e dau trei valori cu ajutorul cărora se găseș te cea
de-a patra valoare, fapt care justifică numele pe care îl poartă : regula de trei.
Pentru rezolvarea proble melor prin regula de trei simplă este suficient să se aș eze datele
conform ac estei reguli, iar în rezolvare și calcul să se utilizeze m etoda proporț iilor (aflare a celui
de-al patrulea proportional).
Se poate utiliza, de asemenea, în rezolvarea proble melor prin regula de trei simplă și metoda
reducerii la unitate.
Pentru a rezolva corect o problemă prin această metodă trebuie stabilit mai întâi dacă mărimile
sunt direct sau invers proporționale.
Exemplu . Un număr de 26 de muncitori sapă un șanț în 17 zile. În căte zile vor săpa același
șanț 34 de muncitori.
Rezolvare 1 (metoda proporțiilor) . Observăm că mărimile sunt invers proporționale deoarece
un număr mai mare de muncitori va săpa șanțul într -un număr mai mic de zile.
Scriem datele problemei
26 muncitori………………………..17 zile
34 muncitori………………………. x zile
Utilizănd metoda proporțiilor obținem 26/34=x/17 de unde rezultă x=26*17:3 4=13 zile
Rezolvare 2 ( metoda reducerii la unitate) . Prin folosirea metofei reducerii la unitate vom
determina mai întâi în cât timp va săpa șanțul un muncitor. Dacă 26 muncitori sapă șanțul în 17
zile atunci un muncitor va săpa șanțul în 26*17=442 zile. Deci 34 de muncitori vor săpa șanțul în
442:34=13 zile.

Annals of the „Constantin Brâncu și” University of Târgu Jiu, Letter and Social Science Series , Supplement 3 /2017

„ACADEMICA BRÂNCUȘI” PUBLISHER

181 7. REGULA DE TREI COMPUSĂ
Problemele care se rezolvă prin regula de trei compusă exprimă dependenț a direct sau invers
proportională a unei mărimi față de alte două sau mai multe mă rimi. Ele au în general caracter
pract ic aplicativ întrucât ilustrează prin eleme nte matematice o serie de situații reale, întâlnite în
viața de toate zilele sau în diferitele a specte ale procesului de producț ie.
Rezolvarea unei probl eme prin regula de trei compusă presup une aplicarea succesivă a regulii
de trei simplă, asociind mărimii care conț ine necunoscuta p e rând câte una din celelalte mărimi și
exprimând valoarea necunoscută în funcț ie de acestea.

BIBLIOGRAFIE

1. Ana, D., Ana, M.L., Logel, D., Logel -Stroescu , E., : Metodica pred arii matematicii la
clasele I -IV. Editura CARMINIS, Pitesti, 2005.
2. Magdaș, I., Didactica matematicii în învățământul primar și preșcolar – actualitate și
perspective , Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj -Napoca, 2010.
3. Neacsu, I .: Metodica pred arii matematicii la clasele I -IV. Editura Didactica si Pedagogica,
Bucuresti, 1988.
4. Purcaru, M.A.P ., Metodica activităților matematice și a aritmeticii pentru
institutori/profesori din învățământul primar și preșcolar , Editura Universității
Transilvania Brașov, 2008.
5. Vălcan, D., Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică , Editura Casa Cărții de
Știință, Cluj -Napoca, 2005.
6. ***Manualele scolare (în vigoare) de matematic a pentru clasele 0 -IV.