Anatomia Si Fiziologia Tubului Digestiv

PRINCIPII DE REZOLVARE A
PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ

Cuprins

Introducere

I Fundamente teoretice si aplicatii

1 Elemente de logica și rationament matematic

1.1 Logica propozițiilor

1.2 Operatori logici

1.3 Legile calculului propozrtional

1.4 Elemente de calculul predicatelor

1.5 Teorema

2 Cîteva principii de rezolvare a problemelor de matematica

2.1 Principiul parității

2.2 Principiul lui Dirichlet

2.3 Principiul invariantului

2.4 Principiul inducției matematice

2.5 Principiul includerii și excluderii

3 Aplicații ale principiilor de rezolvare a problemelor de matematică

II Considerații metodice

4 Proiect de opțional

4.1 Cercetarea pedagogică

4.2 Strategii didactice activ-participative

4.3 Proiectare didactică

4.4 Programa de opțional

Concluzii flnale

Bibliografle

Introducere

Rezolvarea unei probleme de matematică este o adevărată provocare care vine să pună la încercare mintea rezolvitorului. În acelasi timp, ea poate fi considerată drept un antrenament al creierului. De cele mai multe ori soluțiile nu apar în mod magic, ele bazându-se pe anumite principii si metode pe care rezolvitorul de probleme împătimit le cunoaste. Cineva asemuia procesul de rezolvare a unei probleme cu deschiderea unei usi, principiile și metodele folosite fiind cheile cu care încercăm să desfacem ușa. "Un pumn de chei" nu este un impediment, ci în mod contrar, un avantaj, totul reducându-se acum la un procedeu cât mai rapid de selecție a celei potrivite. Dar ce ne facem dacă printre cheile pe care le avem nu este niciuna potrivită?

Lucrarea de față are în centru o descriere etapizată a câtorva principii de rezolvare a problemelor de matematică plecând de la izvorul lor aflat, în cele mai multe situatii, direct în logica matematică si mergând pe calea exemplificării cu aplicații complet rezolvate. În încheiere sunt descrise câteva metode moderne de învământ care aplicate ar putea îmbunătăți calitatea rezultatelor învătării la lectiile de matematică.

Avem de-a face cu două părti: Fundamente teoretice și aplicații si respectiv Considerații metodice, care, în esentă, nu sunt disjuncte. Primul capitol al primei părti, Elemente de logica și raționament matematic, urmărește descrierea principalelor fundamente ale logicii matematice la un nivel elementar, asa cum am spus, el fiind o bază pentru capitolul ce-l succede, intitulat chiar Principii de rezolvare a problemelor de matematica. Aici avem o împărțire pe secțiuni, fiecare fiind de fapt o tratare elementară a unui principiu matematic celebru: Principiul inducției matematice, Reducerea la absurd, Principiul Paritații, Principiul lui Dirichlet, Principiul includerii ți excluderii, Principiul dublei incluziuni, Principiul invariantului. În funcție de alte particularități, fiecare dintre aceste secțiuni a fost structurată pe subsecțiuni. Partea a doua a lucrării are drept finalitate capitolul Un mic experiment pedagogic unde, după cum spune si numele, am descris o experientă didactică prin care am testat eficienta unor inovatii pedagogice. Acest capitol este precedat de un altul

intitulat, Metode de învățământ activ-participative – o trecere în revistă a câtorva dintre aceste metode.

Doresc sa aduc multumiri doamnei conf. univ. dr. Dana Piciu pentru întreg sprijinul acordat la întocmirea acestei lucrari, materialele si observatiile facute fiindu-mi de un real folos.

Prof. Gabriela Drînceanu

Capitolul I

Elemente de logică și raționament matematic

1.1 Logica propozițiilor

În logică, prin propoziție înțelegem un enunț care poate fi ori adevărat ori fals. Oricărei propoziții i se asociază o valoare de adevăr: este sau adevărată – și atunci spunem că are valoarea de adevăr 1 – sau este falsă – și atunci spunem că are valoarea de adevăr 0. Nici o propoziție nu este în același timp și adevărată și falsă.

Exemple de propoziții:

“2 + 3 = 6”

“București este capitala României”

“5 este număr prim”

Prima din aceste propoziții are valoarea de adevăr 0, celelalte două au valoarea de adevăr 1.

Propozițiile interogative sau exclamative ale limbii nu sunt propoziții în logică. De asemenea, definițiile nu sunt propoziții. De exemplu, enunțul "un număr întreg divizibil cu 2 se numește număr par" nu este o propoziție. Însă enunțul “orice număr par este divizibil cu 2” este propoziție și are valoarea de adevăr 1.

1.2 Operatori logici

Cu ajutorul operatorilor logici, din una sau două propoziții date se pot forma noi propoziții a căror valoare de adevăr depinde numai de valoarea de adevăr a propozițiilor date. Vom indica această valoare de adevăr cu ajutorul unor tabele: în partea stângă a tabelului apar toate valorile de adevăr posibile ale propozițiilor date iar în partea dreapta, valoarea de adevăr a propoziției nou formate.

Operatorii logici sunt: (negația),  (disjuncția)  (conjuncția),  (implicația),  (echivalența).

Negația

Exemplu

Propoziția b = "nu este adevărat că 7 este număr par" care coincide cu "7 nu este număr par" este negația propoziției

a = "7 este număr par"

Propoziția a este falsă și propoziția b = a este adevărată.

Disjuncția propozițiilor

Exemplu

Propoziția: "5 este număr prim sau 8 este număr impar" este adevărată. fiind disjuncția a două propoziții dintre care una este adevărată.

Conjuncția propozițiilor

Exemplu

Propoziția: "5 este număr prim și 8 este număr impar" este o propoziție falsă fiind conjuncția a propozițiilor: "5 este număr prim" și "8 este număr impar”, prima fiind adevărată iar a doua falsă.

Implicația propozițiilor

Exemple

Propoziția: "dacă 5 este număr prim, atunci 6 + 2 = 4" este o propoziție falsă fiind o implicație a cărei sursă este o propoziție adevărată.

Propoziția "dacă 2 + 2 = 5, atunci 6 este număr impar" este adevărată fiind o implicație a cărei sursă este o propoziție falsă.

Dacă propoziția a  b este adevărată, scriem a  b și spunem. că, b este o consecință logică a lui a.

De exemplu avem:

"2 + 2 = 5”  "6 este număr impar"

dar nu avem (nu este adevărat că) "5 este număr prim"  "6 + 2 = 4".

Echivalența propozițiilor

Exemplu

Propoziția: "4 > 5 dacă și numai dacă 1 + 1 = 3" este o propoziție adevărată, fiind echivalența a două propoziții ambele false.

Dacă propoziția a  b este adevărată, scriem a  b și spunem că propozițiile a și b sunt echivalente logic.

1.3 Legile calculului propozițional

Calculul propozițional studiază din punct de vedere logic expresiile obținute din literele p, q, r, …, cu ajutorul operatorilor logici: ,,,, după anumite reguli. Literele p, q, r, …, se numesc variabile propoziționale sau formule elementare iar expresiile obținute din ele cu ajutorul operatorilor logici se numesc formule, regulile de formare a formulelor fiind următoarele:

variabilele propoziționale p, q, r, …, sunt formule;

dacă A și B sunt formule, atunci A, A  B. A  B, A  B și A  B sunt formule.

Exemple

Expresiile:

p, (p). ((r  s)  (p)), (r  (s  (p)), ((p  (q)  (p  q))

sunt formule ale calculului propozițional.

Deoarece abundența parantezelor în unele formule devine greoaie, perechea de paranteze exterioare nu se mai scrie, iar ordinea în care se aplică operatorii logici este următoarea: , , , , . Astfel, expresiile date ca exemple mai sus se scriu astfel:

p, p. r  s p, r  (s p), p q  (p  q)

Dacă într-o formulă în scrierea căreia intră variabilele propoziționale p, q, r, … înlocuim aceste variabile cu diverse propoziții, obținem o nouă propoziție a cărei valoare de adevăr depinde numai de valoarea de adevăr atribuită variabilelor propoziționale componente. O formulă a calculului propozițional se numește lege, tautologie sau formulă identic adevărată dacă orice valoare de adevăr ar avea variabilele propoziționale care intră în compunerea sa, valoarea de adevăr a propoziției obținute este 1.

Pentru a demonstra că o anumită formulă a calculului propozițional este o tautologie, atribuim variabilelor propoziționale care intră în compunerea ei valori de adevăr în toate modurile posibile și calculăm de fiecare dată, pe baza tabelelor de adevăr ale operatorilor logici, valoarea de adevăr a formulei; dacă de fiecare dată valoarea de adevăr obținută este 1, înseamnă că formula respectivă este o tautologie.

Exemple:

Legea terțului exclus

 Legea negării implicației:

 Legea silogismului:

În virtutea acestor tautologii putem scrie:

(p  q)  p q

(p  q)  (q  r)  (p  r)

Alte exemple de tautologii, ale căror demonstrații se pot realiza în mod analog, sunt:

Legile calculului propozițional și în special cele date mai sus ca exemple sunt importante deoarece pe baza lor se fac raționamentele logice și deci demonstrațiile în matematică.

1.4 ELEMENTE DE CALCULUL predicatelor

Noțiunea de predicat are o importantă deosebită în matematică. Fără a exagera, aproape orice teoremă din matematică este un enunț ce conține unul sau mai multe predicate.

Un enunț care depinde de una sau mai multe variabile și are proprietatea că pentru orice “valori” date variabilei corespunde o propoziție adevărată sau falsă se numește predicat sau propoziție cu variabile. Predicatele sunt unare, binare, ternare etc., după cum depind respectiv de 1, 2, 3 variabile. Ori de câte ori definim un predicat trebuie să indicăm și mulțimile în care variabilele iau valori.

Cuantificatorul existențial (Ǝ) și cuantificatorul universal (∀)

Strâns legată de noțiunea de predicat apare noțiunea de cuantificator. Fie predicatul unar p(x) unde x desemnează un element oarecare din multimea E. Putem formula enunțul: există cel puțin un x din E astfel încât p(x), care se notează (Ǝ x)p(x). Acest enunț este o propoziție care este adevărată când există cel puțin un element x0 din E astfel încât propozitia p(x0) este adevaratasi este falsa cand nu exista nici un x0 din E astfel incat p(x0) să fie adevărată. Cu predicatul p(x) putem forma și enunțul : oricare ar fi x din E are loc p(x) care se notează (∀x) p(x). Acest enunț este o propoziție care este adevarată dacă pentru orice element x0 din E p(x0) este adevărată, fiind falsă în cazul în care există cel puțin un x0 din E pentru care E p(x0) este falsă.

Echivalența predicatelor. Două predicate p( x, y, z), q(x, y, z) se zic echivalente și scriem p( x, y, z)⇔ q(x, y, z) dacă oricum am alege valorile variabilelor x0 , y0, z0 pentru care propoziția p(x0 , y0, z0 ) și q(x0 , y0, z0 ) au aceeași valoare de adevăr. Dacă oricum am alege valorile variabilelor x0 , y0, z0 pentru care propoziția p(x0 , y0, z0 ) este adevărată rezultă că și propoziția q(x0 , y0, z0 ) este adevărată, vom scrie p( x, y, z)⇒ q(x, y, z). Se vede că p( x, y, z)⇔ q(x, y, z) atunci și numai atunci când p( x, y, z)⇒ q(x, y, z) și q( x, y, z)⇒ p(x, y, z)

Reguli de negatie. Fie p(x) un predicat unar, unde x desemneaza un element din multimea E. Atunci :

1)    ((Ǝ) p(x)) ≡(∀x) p(x)

2)    ((∀x) p(x) ≡( Ǝx) p(x)

(aici semnul ≡ desemnează faptul că cele două prop. au aceeși valoare de adevăr)

1.5 TEOREMA

1.Structura unei teoreme. O clasă foarte largă de propoziții adevărate o constituie teoremele din matematică.

Exemple : a) În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor sale este egală cu 180o .

b) În orice triunghi, lungimea oricărei laturi este mai mică decât suma lungimilor celorlalte două și mai mare ca diferența lor

c) În orice triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor.

Fiecare teoremă stabilește că un obiect matematic sau un ansamblu de obiecte matematice posedă o anumită proprietate. Cum se obțin teormele? Studiind matematica elementară se poate constata că toate teoremele ei se deduc prin demonstrații, adică printr-un șir de raționamente logice, sau cum se mai spune, prin silogisme, din câteva propoziții fundamentale numite axiome, care se acceptă a fi adevărate fără demonstrație.

Aproape orice teoremă se poate enunța sub forma ,,dacă…, atunci…’’. Partea întâi, care începe cu cuvântul dacă se numește ipoteza teoremei, partea a doua, cea care începe cu cuvântul atunci se numește concluzia teoremei.

Să luăm de exemplu teorema : ,, într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor’’. Această teoremă se poate pune sub forma : ,,dacă ABC este un triunghi dreptunghic, atunci pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor’’. Aici ipoteza este ,, ABC este un triunghi dreptunghic’’ iar concluzia este ,,pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor’’.

Teoremele se pot pune sub forma implicației: (1) p(x, y, z…)⇒ q(x, y, z) care reprezintă notația prescurtată a propoziției (1’) (∀x)( ∀y)( ∀z).. p(x, y, z…)→ q(x, y, z) În implicatia (1) predicatul p(x, y, z…) constituie ipoteza teoremei, iar q(x, y, z) constituie concluzia teoremei.

2.Teorema contrară. Să considerăm următoarea teoremă: ,,dacă un patrulater este pararelogram, atunci diagonalele sale se taie în părți egale’’. Din această teoremă formăm următorul enunț : dacă un patrulater nu este paralelogram, atunci diagonalele sale nu se taie în părți egale. Acest enunț este o propoziție adevărată, deci o teoremă. Cum am obținut acestă nouă teoremă? Se observă că ea s-a obținut din prima, înlocuind ipoteza și concluzia prin negațiile lor.

Fiind dată o teoremă, propoziția care se obține din teorema dată înlocuind ipoteza și concluzia ei prin negațiile lor se numește contrara teoremei date . În cazul că această propoziție este adevărată ea se numește teorema contrara teoremei date.

Observație. Pentru a enunța corect contrara teoremei, este foarte important să știm să negăm corect.

În termeni ai calculului cu predicate dacă

(1)     p(x, y, z…)⇒ q(x, y, z) este teorema dată, atunci contrara teoremi este propoziția (2) (∀x)( ∀y)( ∀z)..( p(x, y, z…)→ q(x, y, z))

În cazul că (2) este o propoziție adevărată atunci (2) se scrie sub forma

(2)     p(x, y, z…)⇒ q(x, y, z)

și constituie teorema contrară a teoremei (1).

Capitolul II

CÂTEVA PRINCIPII DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE

MATEMATICĂ

2.1 Principiul parității

În matematica elementară întâlnim multe probleme care folosesc noțiunea de paritate. Principiul parității constă în separarea cazurilor pare și impare

dintr-o situație. Regulile parității:

– suma a două numere pare este un număr par

– suma a două numere impare este un număr par

– suma dintre un număr par și altul impar este un număr impar

– produsul a dou numere pare este un număr par

– produsul a dou numere impare este un număr impar

– produsul dintre un număr par și un număr impar este un număr par.

Prezint în continuare câteva probleme rezolvate ce folosesc principiul parității.

1. Demonstrați că dacă suma a două numere întregi este un număr impar, produsul lor este un număr par.

Soluție. Fie a și b numerele. Din ipoteză a + b = 2n + 1, n ϵ N. Deci unul din numerele a sau b este par. Fie a = 2k, atunci b = 2n + 1 – a = 2n + 1 – 2k = 2(n – k) + 1, adică b este impar. Atunci a∙b esre produsul dintre un număr par și altul impar, deci va fi impar.

2. Demonstrați că 2n (n ≥2, n ϵ N ) se poate scrie ca o sumă de două

numere naturale impare consecutive, iar 3n se poate scrie ca o sumă de trei numere naturale consecutive și ca sumă a trei numere impare consecutive.

Soluție. Pentru orice n ≥2 , n ϵ N, 2n este număr par. Avem: 2n = 2∙2n-1=

2n-1 + 2n-1 = (2n-1 – 1) + (2n-1 + 1). Pentru n ≥2, n ϵ N, 2n-1 – 1 și 2n-1 + 1 sunt impare consecutive.

Pentru orice n ≥ 2, n ϵ N, 3n ϵ N și 3n = 3∙3n-1 = 3n-1 + 3n-1 + 3n-1= (3n-1-1) + 3n + (3n-1+1). Numerele 3n-1-1, 3n și 3n-1+1 sunt consecutive pentru n ≥2. Mai avem că 3n = 3∙3n-1 = 3n-1 + 3n-1 + 3n-1 = (3n-1 – 2) + 3n-1 + (3n-1 + 2), unde 3n-1 – 2, 3n-1,

3n-1+2 sunt impare consecutive.

3. Se consideră șirul numerelor naturale de la 1 la 1979 adică:

1,2,3,4,..,1977,1978,1979. Luați la întâmplare oricare două numere din acest șir și înlocuiți-le cu modulul diferenței lor. La fiecare operație de acest fel numărul numerelor din șir scade cu unu (fiindcă am înlocuit două numere cu unul) și vom obține, în final, un singur număr. Arătați că acest număr este par.

Soluție. La fiecare etapă a operației descrise, numărul numerelor impare din șir rămâne neschimbat sau descrește cu doi, deoarece dacă, în primul caz, luăm un număr par și unul impar, modulul diferenței lor este impar, deci numărul impar l-am înlocuit cu altul impar, iar în al doilea caz dacă luăm două numere impare, modulul diferenței lor este un număr par, deci numărul numerelor impare scade cu doi. În șirul 1,2,3,..,1979 avem (1+1979):2 numere impare, adică 990.

La fiecare pas rămâne un număr par de numere impare și atunci ultimul număr va fi cu siguranță par.

4. Se consideră numerele impare k,n1,n2,…,nk. Să se demonstreze că

printre numerele: , … , , există un număr impar de

numere impare.

Soluție. Suma a două numere impare este un număr par, deci numerele

, … , sunt naturale. Sa presupunem ca printre acestea se află un număr par de numere impare. Atunci suma lor + … = n1+n2+…+nk este un număr par. Dar aceeași sumă este suma unui număr impar de numere impare, deci este un număr impar. Contradicție. Deci presupunerea făcută a fost falsă, deci printre numerele considerate în ipoteză există un număr impar de numere impare.

2.2 Principiul lui Dirichlet

Matematicianul german Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) a elaborat un principiu extrem de simplu cu aplicații neașteptate în variate domenii, principiu care-i poartă numele și pe care-1 enunțăm mai jos, fiind o metodă de demonstrație de tipul următor.

"Dacă repartizăm n +1 obiecte în n cutii, atunci cel puțin două obiecte vor fi în aceeași cutie."

Justificare: Considerăm cazul cel mai nefavorabil așezând în fiecare cutie câte un obiect. Deci am folosit n cutii și n obiecte. Obiectul cu numărul

n +1 trebuie pus și el într-o cutie oarecare. Dar în acea cutie există deja un obiect. Așadar în acea cutie există deja un obiect pus anterior. In acea cutie vor fi două obiecte.

Forma generală a principiului lui Dirichlet este următoarea:

"Dacă așezăm kn +1 obiecte în n cutii, atunci cel puțin k +1 obiecte, k ϵ N, vor fi în aceeași cutie."

Teorema 2.2.1. (Principiul lui Dirichlet) Fie A o mulțime nevidă iar A1, A2,…, An o partiție a lui A (adică =A iar AiAj= , pentru i j).

Dacă avem n+1 elemente a1,a2,…, an, an+1 din A, atunci există o submulțime Ai a partiției care să conțină cel puțin două elemente ale mulțimii {a1, a2,…, an, an+1 }.

În literatura matematică principiul lui Dirichlet este întâlnit și sub denumirea de "principiul cutiei", cu precizarea că denumirea de "cutie" desemnează "grupe de obiecte", stabilite după anumite criterii, iar "obiectele" desemnează lucruri, numere, figuri geometrice, etc. Prezint în continuare câteva probleme ale căror soluții se bazează pe principiul de mai sus.

Aplicații.

Fie a1, a2,…, an, an+1 un șir de n+1 numere întregi diferite două câte două. Atunci există doi indici i, j l, 2, …,n+l} astfel încât aiaj (mod n).

Soluție. Împărțim mulțimea în cele n clase de resturi modulo n. Cum acestea formează o partiție a lui , totul rezultă din principiul lui Dirichlet.

Fie M o mulțime formată din n numere întregi (nu neapărat distincte). Să se demonstreze că M are cel puțin o parte nevidă cu proprietatea că suma elementelor sale se divide cu n.(Gh. Szlsy)

Soluție. Fie M = {a1, a2,…, an} cu aiZ, pentru orice i{l, 2, …, n}. Să considerăm submulțimile lui M: M1 = {a1}, M2 = {a1, a2}, …, Mn = { a1, a2,…, an } și să formăm sumele: S1 = a1, S2 = a1 + a2,…, Sn = a1 + a2 +…+ an. Dacă unul din numerele S1, S2,…, Sn se divide cu n, problema este rezolvată. Dacă S1, S2, …. Sn nu se divid la n, atunci conform aplicației anterioare există p, k N, k<pn, astfel încât Sp Sk(mod n). Atunci mulțimea căutată va fi {ak+1, ak+2 , …,ap}.

Se dă un cub cu latura 1. Să se arate că oricum am alege 28 de puncte interioare, cel puțin două dintre ele au distanța mai mică sau egală cu .

Soluție. Să împărțim fiecare muchie a cubului în câte trei părți egale și ducând prin ele paralele la muchii obținem pe fiecare față a cubului 9 pătrate egale. Ducând plane paralele cu fețele cubului prin punctele de diviziune, cubul este astfel împărțit în 27 de cubulețe, fiecare având latura . Cum sunt 28 de puncte interioare, conform pricipiului lui Dirichlet, cel puțin două se vor afla în interiorul aceluiași cubuleț de latură . Distanța maximă dintre cele două puncte nu poate depăși diagonala unui astfel de cubuleț, care este.

Fiind date 9 puncte în interiorul pătratului unitate, să se demonstreze că există printre ele trei puncte, care să fie vârfurile unui triunghi, de arie mai mică sau egală cu .

Soluție. Unind două câte două mijloacele laturilor opuse în pătratul dat obținem o împărțire a acestuia în patru pătrate de arie . Conform principiului lui Dirichlet cel puțin unul dintre acestea va conține trei sau mai multe puncte din cele 9 considerate în enunț. Notăm EFGH acest pătrat și fie A, B, C trei dintre aceste puncte conținute în pătratul EFGH de latură obținut ca mai înainte (vezi Fig. 1); va fi suficient să probăm că Sabc SEFGH . Ducând prin A, B, C paralele la EH, una din ele se va afla între celelalte două, deci va tăia în interior latura opusă prin care aceasta trece. Fie AA' aceasta, cu A'BC; construim BB'AA' cu B' AA' și CC' AA' cu C' AA'.

Avem Sabc = Saba’ + Saca’ = AA' BB' + AA' CC' =

= AA’ (BB' + CC') EH HG = SEFGH

Fig. 1

Observație. în cazul în care punctele A, B, C sunt coliniare, demonstrația nu poate fi făcută în acest mod, însă atunci SABC = 0.

2.3 Principiul invariantului

Invariantul este o mărime, o relație, sau o proprietate care rămâne neschimbată în urma aplicării sau intervenției unei transformări.

Deci o situație inițială este supusă în mod repetat unor transformări. De obicei se cere să se demonstreze că în urma acestor transformări nu se poate ajunge la o anumită formă. Aceasta se poate face alegând caracteristica obiectului care a fost supus transformării, adică "invariantul" transformării. Dacă în final obiectul nu posedă "invariantul" atunci el nu poate fi obținut în urma transformărilor descrise.

Probleme

1. Considerăm un număr natural căruia îi schimbăm în mod arbitrar ordinea cifrelor. Este posibil ca diferența dintre numărul inițial și cel final să fie 2003?

Soluție. Restul împărțirii numărului la 9 este același cu restul împărțirii sumei cifrelor sale la 9. Suma cifrelor este aceeași, rezultă că restul împărțirii numărului la 9 este un invariant.

2. Pe o tablă sunt scrise semne de "+" și "-". Ștergem două semne și le înlocuim cu un semn, după următoarea regulă: dacă cele două semne șterse sunt identice le înlocuim cu "+", iar dacă ștergem două semne diferite le înlocuim cu "-". Arătați că ultimul semn care rămâne după un număr de pași nu depinde de ordinea alegerii perechilor.

Soluție. În acest caz paritatea numărului de minusuri va fi invariantul. Dacă la început numărul de minusuri este impar, ultimul semn care va rămâne este minus, iar dacă la început numărul de minusuri este par, la sfârșit va rămâne plus.

3. Trei greieri se găsesc pe o dreaptă în ordinea: A, B, C. Ei încep să sară capra, adică să sară unul peste altul (dar nu peste doi odată). Pot fi în aceeași ordine după 2003 sărituri?

Soluție. În urma unei sărituri de acest fel numărul perechilor de greieri inversați crește sau se micșorează cu 1 (proprietatea invariantă). După un număr impar de sărituri (2003) va exista un număr impar de perechi de greieri inversați. Deci nu se poate obține ordinea inițială (ce nu conține o astfel de pereche).

4. O cameră are dimensiunile podelei de 7m și 10m. În cele patru colțuri ale camerei se așează câte un dulap având baza pătrat cu latura de l m. Să se arate că ce rămâne din suprafața podelei nu poate fi acoperită cu plăci dreptunghiulare de dimensiuni 3 m x l m.

Soluție. Se împarte camera într-o rețea de pătrate cu latura l m pe care le vopsim în trei culori: roșu, alb, negru ca mai jos:

RANRANRANR

ANRANRANRA

NRANRANRAN

RANRANRANR

ANRANRANRA

NRANRANRAN

RANRANRANR

Obținem 24 de R, 23 de A, 23 de N. Eliminând colțurile rămân 20 de pătrățele roșii, 23 de pătrățele albe, 23 de pătrățele negre. Dar oricum am așeza o placă de 3×1 ea acoperă un pătrățel roșu, unul alb și unul negru. Dacă s-ar putea acoperi suprafața cu un număr întreg de plăci ar trebui să existe același număr de pătrățele pentru fiecare culoare.

2.4 Principiul inducției matematice

Procesul prin care din propoziții generale se obțin propoziții particulare se numește deducție. Un alt raționament logic este inducția matematică. Acest raționament conduce de la propoziții particulare la propoziții generale.Inducția matematică poate fi completă și incompletă. În continuare vom vedea în ce constă inducția matematică completă, unde este aplicată ea ca metodă.

Raționamentul logic prin care din propoziții particulare se obțin propoziții generale se numește inducție.

Deosebim inducție incompletă, pentru care propoziția generală se formulează în baza examinării unor cazuri particulare posibile, și inducție completă, pentru care propoziția generală se formulează în baza examinării tuturor cazurilor particulare posibile.

În baza exemplelor din manual împreună cu elevii am observat că prin inducție incompletă nu întotdeauna din propoziții particulare se obțin propoziții generale adevărate.

În multe exerciții și probleme se cere să se demonstreze anumite proprietăți ce depind de un număr natural n.

Asemenea probleme se soluționează în majoritatea cazurilor cu ajutorul principiului inducției matematice complete care are la bază următoarea teoremă:

Teorema 2.4.1. Dacă o proprietate P(n) (depinzând de un număr natural n) este adevărată pentru n=0 și pentru orice n este adevărată implicația logică:

„ P(n) adevărată P(n+1) adevărată”, atunci P(n) este adevărată pentru orice n.

Principiul inducției matematice se mai enunță și sub următoarele forme generalizate:

Teorema 2.4.2. Dacă o proprietate P(n) (depinzând de un număr natural n) este adevărată pentru o valoare particulară k a lui n (deci P(k) adevărată) și dacă

pentru orice număr arbitrar n k este adevărată implicația logică: „P(n) P(n+1)”, atunci P(n) este adevărată pentru orice n k.

Teorema 2.4.3. Dacă P(n) este o proprietate ce depinde de numărul natural n iar P(n) este adevărată pentru o valoare particulară k a lui n și dacă pentru orice număr natural n k este adevărată implicația logică: ,,P(m) adevărată, pentru orice m = k, k+1,…,n-l P(n) adevărată”, atunci P(n) este adevărată pentru orice n k.

Teorema 2.4.4. Dacă o proprietate P(n) este adevărată pentru p valori consecutive particulare ale lui n: n = k, k+1,…, k+p-1, (k, p N) și dacă pentru orice număr arbitrar n k este adevărată implicația logică: ,,P(n) P(n+p)”, atunci P(n) este adevărată pentru orice n k.

Aplicații.

Să se demonstreze că dacă m și n sunt numere naturale nenule (m n), atunci numărul soluțiilor naturale de componente nenule ale ecuației x1 + x2 +… + xn =m este

Soluție. Vom demonstra prin inducție matematică relativ la n.

Fie Nn(m) numărul căutat. Evident N1(m) = 1 =

Să presupunem că Nk(m) = , pentru k = 1, 2, …, n-l și să demonstrăm că Nn(m) = . Evident Nn(m) = Nn-1(m-1) + Nn-1(m-2) +…+ Nn-1(n-l) = + + … + .Conform principiului inducției matematice, Nn(m) = , pentru orice nN.

Să se demonstreze că orice orice număr natural n se poate scrie sub forma n = =m+3q cu m, q N.

Soluție. Pentru n natural să notăm cu P(n) proprietatea din enunț.

Vom proba că P(4), P(5) și P(6) sunt adevărate.

Într-adevăr, 4 = l + 3 – l (m=l,q=l)

5 = 2 + 3- l ( m = 2,q=l)

6 = 0 + 3- 2 (m = 0, q = 2) .

Să arătăm acum că este adevărată implicația logică: ,,P(n) P(n+3)”, și

atunci P(n) va fi adevărată pentru orice n 4, ținând cont de varianta generalizată a inducției matematice.

Într-adevăr, din n = m+3q rezultă n+3 = m+3(q+l).

Observație. Problema se mai poate soluționa și ținând cont de teorema împărțirii

cu rest.

Să se demonstreze că orice număr natural n 1 admite o reprezentare de forma

n = a1l2 + a2 22 +…+ann12, unde ai{-l, +1} pentru orice i = 1, 2, …, n1 (n1N, nu depinde de n).

Soluție. Să demonstrăm la început că dacă notăm prin P(n) proprietatea cerută de enunțul problemei, atunci P(l), P(2), P(3) și P(4) sunt adevărate.

Într-adevăr, pentru n = 1 avem 1=1 l2, cu a1 = 1;

pentru n = 2 avem 2 = (-l)12 +(-l)22 +(-l)32 +142 cu a1 = -l, a2 = -l, a3 =-l, a4 = 1;

pentru n = 3 avem 3 =(-l)12 +1 22 cu a1 = -1, a2 = 1;

pentru n = 4 avem 4 = (-1) l2 +(-l) 22 +1 32 cu a1= -l, a2 = -l, a3 = 1

Să presupunem acum că P(n) este adevărată pentru o valoare oarecare a lui n și să demonstrăm că este adevărată și P(n+4).

Pentru aceasta vom ține cont de identitatea:

(n+1)2 – (n+2)2 – (n+3)2 + (n+4)2 = 4.

Astfel, dacă n= , cu ai {-l, +1}, atunci

n + 4 = + (n1+1)2 – (n1+2)2 – (n1+3)2 + (n1+4)2 = ,

cu a=1, a=-1, a=-1, a=1.

Conform principiului inducției matematice generalizate, P(n) va fi adevărată pentru orice număr natural n 1.

Să se arate că pentru orice număr natural n, numărul En= (n+l)(n+2)…(n+n) se divide prin 2n dar nu se divide prin 2n+1.

Soluție. Fie P(n) proprietatea din enunțul exercițiului.

Vom demonstra că P(l) și P(2) sunt adevărate și că pentru orice număr natural n este adevărată implicația logică:,,P(n) P(n+2)’’

Avem E1=2 și evident 2 | E1 , dar 22 = 4 | E1 ; E2=12 și evident 22 = 4 | E2 dar 23= 8 | E2. Să presupunem acum că pentru un număr natural n, P(n) este adevărată, adică 2n |En dar 2n+1 | En. Deci En = 2n ∙ p, cu p impar. Atunci

En+2=(n+3)(n+4)…(2n)(2n+l)(2n+2)(2n+3)(2n+4)=

=4(n+l)(n+2)(n+3)… (2n)(2n+l )(2n+3)=

=22En(2n+l )(2n+3)=22 ∙2n ∙ p ∙ (2n+l)(2n+3)=2n+2∙p∙ (2n+l)(2n+3)=2n+2 ∙ p', unde p’= p(2n+l)(2n+3). Cum p' este impar rezultă că 2n+2 | En+2 și 2n+3 | En+2, adică P(n+2) este adevărată.

Conform principiului inducției matematice, P(n) este adevărată pentru orice nN.

Să se demonstreze că dacă a1,…,an sunt numere reale pozitive, atunci:

(cu egalitate când numerele sunt egale).

Se cunosc mai multe soluții pentru această inegalitate cunoscută sub numele de inegalitatea mediilor.

În cele ce urmează vom prezenta două soluții folosind principiul inducției matematice.

Soluția 1. Pentru n = 1,2 inegalitatea se verifică.

Presupunem că inegalitatea este adevărată pentru ni numere pozitive (i = 1, 2, …, n-l) și să demonstrăm că ea rămâne adevărată și pentru n numere pozitive a1,…,an.

Conform ipotezei de inducție putem scrie ≥(n-1)și

an+ ≥ (n-1)

Adunând cele două inegalități membru cu membru obținem:

+ (n-2) ≥ (n-1)[ +]

Însă

+≥ 2=

2,

astfel că + (n-2) ≥ 2∙(n-1)∙ ≥ n ∙

Soluția 2. Se demonstrează destul de ușor că inegalitatea este adevărată pentru un număr n de forma 2k (kN), folosind inducția matematică după k .

Fie acum nN iar k cel mai mic număr natural pentru care n 2k .

Numerele a1,a2,…an, , unde g = sunt pozitive și în număr de 2k.

Putem scrie deci

Însă = gn ∙ g2- n = g2

Obținem deci inegalitatea g, care este echivalenta în

final cu a1 + a2 +… + an n ∙ g = n ∙ .

2.5. Principiul includerii și excuderii

Voi prezenta în continuare un rezultat cunoscut sub numele de principiul includerii și excluderii:

Teorema 2.5.1. Fie M o mulțime finită iar M1, M2,…, Mn submulțimi ale lui M. Dacă pentru o mulțime M notăm prin |M| cardinalul său, atunci:

= – + – … +(-1)n-1

Demonstrație. Facem inducție matematică după n. Pentru n=l egalitatea din enunț

se reduce la |M1|=|M1|, ceea ce este evident. Pentru n=2 trebuie demonstrată egalitatea :

(1) |M1 M2|=|M1|+|M2|-|M1 M2|

care de asemenea este adevărată, deoarece elementele din M1 M2 apar atât la M1 cât și la M2.

Presupunem egalitatea din enunț adevărată pentru oricare m submulțimi ale lui M cu m<n și o să o demonstrăm pentru n submulțimi M1, M2,…. Mn.

Dacă notăm N = , atunci conform relației (1) putem scrie:

(2) = = + – .

Însă =() Mn = , deci aplicând ipoteza de inducție

pentru și ținând seama de faptul că ()()=()Mn , ()()()=(Mk)Mn etc, obținem:

(3) == – +- … +(-1)n-2.

Aplicând ipoteza de inducție și pentru |N| obținem:

(4) |N| = =- +- … +(-1)n-2 și ținând cont de (3) și (4) relația (2) devine:

= + – = () – () +

(+) – … +(-1)n-2 – (-1)n-3 + (-1)n-2= – +- … +(-1)n-1.

Conform principiului inducției matematice, egalitatea din enunț este adevărată pentru orice număr natural n nenul.

Aplicație

Câte numere naturale nenule mai mici sau egale cu 1000 sunt divizibile sau cu 2 cu 3 sau cu 5?

Soluție. Fie A = {2n : nN, 2n 1000}, B = {3n : nN, 3n 1000} și C = {5n : nN, 5n 1000} .

Se observă că AB = {6n : nN, 6n 1000},

AC = {10n: nN, 10n1000},

BC = {15n: nN, 15n1000},

ABC = {30n : nN, 30n 1000}.

Evident numărul căutat este |A B C|. Aplicând principiul includerii și excluderii pentru n = 3, avem |A B C|= |A| + |B| + |C|-|AB|-|AC|-|BC| + | ABC | =

++–+=

500+333+200-166-100-66+33=734.

2.6. Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd este o metodă specifică de demonstrație în matematică . La baza acestei metode stă una din legile fundamentale ale logicii clasice:legea terțului exclus, ce are următorul enunț : “Din două propoziții contradictorii una este adevărat , cealaltă falsă , iar a treia posibilitate nu există” .

Legea terțului exclus nu ne precizează care din cele două propoziții este adevărată și care este falsă .

Când la două propoziții contradictorii aplicăm legea terțului exclus este suficient să stabilim că una dintre ele este falsă pentru a deduce că cealaltă este adevărată .

Metoda reducerii la absurd constă în a admite, în mod provizoriu, ca adevărată propoziția contradictorie propoziției de demonstrat, apoi pe baza acestei presupuneri se deduc o serie de consecințe care duc la un rezultat absurd, deoarece ele contrazic sau ipoteza problemei date sau un adevăr stabilit mai înainte. Mai departe raționăm astfel:dacă presupunerea ar fi fost adevărată, atunci în urma raționamentelor logice corecte ar fi trebuit să ajungem la o concluzie adevărată, deoarece am ajuns la o concluzie falsă, înseamnă că presupunerea noastră a fost falsă. Aceasta duce la concluzia că presupunerea făcută nu este posibilă și rămâne ca adevărată concluzia propoziției date.

Metoda reducerii la absurd nu se reduce la propoziția că "a demonstra o propoziție este același lucru cu a demonstra contrara reciprocei ei", deoarece pot apărea și situații în care nu se contrazice ipoteza ci o altă propoziție (un rezultat cunoscut, o axiomă , o teoremă ). Metoda reducerii la absurd se folosește atât în rezolvarea problemelor de calcul (de aflat) cât și la rezolvarea problemelor de "demonstrat".

Metoda este des utilizată în demonstrarea teoremelor reciproce, precum și în demonstrarea teoremelor de unicitate.

Exemple:

1.Suma a trei numere naturale este 166. Demonstrați că cel puțin unul dintre ele este mai mare sau egal cu 56.

Soluție

Ipoteza este: x + y + z = 166.

Concluzia este: x ≥ 56 sau y ≥ 56 sau z ≥ 56.

Presupunem prin metoda reducerii la absurd că este falsă concluzia, adică nici unul dintre numerele x, y, z nu este mai mare sau egal cu 56. În acest caz, avem că fiecare dintre ele este mai mic strict decât 56. Sau x ≤ 55, y ≤ 55, z ≤ 55, de unde x + y + z ≤ 165.

Dar, suntem în ipoteza că x + y + z = 166. Deci urmează că 166 ≤ 165, ceea ce este absurd.

Așadar, presupunerea făcută este falsă și, deci concluzia este adevărată.

2.Există patru numere care să îndeplinească simultan condițiile a < b, b < c, c < d, d < a?

Soluție

Presupunem că există patru numere cu proprietatea dată.

Din a < b, b < c avem a < c.

Din c < d, d < a avem c < a.

Cele două relații obținute mai sus nu pot avea loc simultan.

Așadar, nu există patru numere care să îndeplinească simultan cele patru condiții.

3.Arătați că nu există nici un număr natural care împărțit la 8 dă restul 6 și împărțit la 4 dă restul 3.

Soluție

Prin metoda reducerii la absurd presupunem că există un număr natural n astfel încât

n = 8q + 6 și n = 4q + 3, cu p și q numere naturale.

Vom avea că 8q + 6 = 4q + 3, relație care reprezintă egalitatea unui număr natural par cu unul impar. Absurd. Deci nu există nici un număr natural care împărțit la 8 dă restul 6 și împărțit la 4 dă restul 3.

Capitolul III

Aplicații ale principiilor de rezolvare a problemelor de matematică

Să se arate că orice număr natural n admite multiplii la a căror scriere în sistemul zecimal apar numai cifrele 0 și 1.

Să se afle mulțimea numerelor naturale n cu proprietatea: mulțimea {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} poate fi împărțită în două submulțimi disjuncte astfel încât produsul tuturor elementelor uneia din ele să fie egal cu produsul elementelor celeilalte submulțimi.

Fie ABCD un pătrat de latură 1 în interiorul căruia se trasează cercuri astfel încât suma perimetrelor lor să fie egală cu 10. Să se arate că există o infinitate de drepte cu proprietatea că fiecare intersectează cel puțin patru cercuri.

Fie P un pătrat de latură a și A, B două mulțimi în plan astfel încât PAB. Atunci A sau B au diametrul mai mare sau egal cu și este cel mai mic număr cu această proprietate.

Pe o sferă de rază 1 se iau la întâmplare 9 puncte. Demonstrați că există două puncte a căror distanță în linie dreaptă nu depășește .

O placă în formă de pătrat cu latura 1 este colorată cu trei culori. Să se arate că există două puncte la fel colorate a căror distanță este cel puțin .

Fie un pătrat cu latura de 38 cm și în interiorul său 100 de poligoane convexe de arie cel mult π cm2 și perimetru cel mult de 2 π cm. Să se arate că se poate trasa în interiorul pătratului un cerc de rază 1 cm care să nu taie nici unul dintre aceste poligoane.

Fie în plan un cerc de rază n (cu nN). Pe el se consideră m coarde cu proprietatea că orice punct din interiorul cercului este la distanță mai mică sau egală cu 1 de una din coarde. Să se arate că m n.

Dacă un determinant de ordinul n are n2 – n + 2 elemente egale, atunci determinantul este nul.

Se dau n numere naturale nenule distincte, toate mai mici decât 2n. Să se demonstreze că printre ele există unul egal cu n sau două a căror sumă este 2n.

(D. Miheț)

Se consideră un sistem de p ecuații cu q = 2p necunoscute:

în care fíecare coefícient aij{-l,0,l}.

Să se arate că există o soluție (x1,…,xq) a sistemului astfel încât:

toți xj (j = 1,2,…. q) sunt întregi;

Pentru cel puțin un j se găsește xj 0;

|xj|< p, pentru toți j = 1,2,…, q.

Fie aR* astfel încât a + Z. Atunci pentru orice nN, an+Z.

(L. Tuțescu)

Să se arate că dacă x1 a1 1, x2 a2 1,…, xn an 1, atunci

(V. Postolică)

Se consideră 2n numere reale x1 x2 …. xn și y1 y2 …. yn , nN. Fie z1 ,z2,.., zn o permutare a numerelor y1, y2,.., yn.

Să se demonstreze că

(OIM-1975)

3.15. Fie a1, a2, .., an numere reale astfel încât a1 cosx + a2 cos2x+… + an cosnx0, pentru orice xR. Atunci a1 cosx + a2 cos2x+… + an cosnx=0, pentru orice xR

(D. Bușneag)

Să se arate că orice polinom de grad n de o variabilă cu coeficienți strict pozitivi poate fi scris ca sumă de +1 polinoame cu coeficienți strict pozitivi și rădăcini strict negative.

(D. Ștefănescu)

Fie a > 0, a1 = a și an+1 = (an + ), pentru orice n 1.

Să se demonstreze că 2, pentru orice n 1

Să se demonstreze că pentru orice număr natural n 4 există un poligon convex cu n laturi, nu toate egale, astfel încât suma distanțelor de Ia orice punct interior la laturi să fie aceeași.

(D. Schwartz)

3.19 Se consideră pe o dreaptă n intervale cu proprietatea că oricare două au intersecția nevidă. Să se arate că toate intervalele au un punct comun.

Fie în plan două mulțimi de puncte finite și disjuncte. Să se arate că există o linie frântă închisă care nu se autointersectează, cu segmentele consecutive perpendiculare, care separă punctele celor două mulțimi.

(S.Popa)

3.21 Să se demonstreze că pentru orice număr natural m, există o mulțime E finită nevidă de puncte în plan cu proprietatea: Dacă AE, există în E, m și numai m puncte situate la distanța 1 de A.

(OIM)

Fie p un număr prim, p>2, iar x1, x2,.., xp-1_numere întregi, niciunul dintre ele nefiind divizibil prin p. Să se arate că cel puțin unul dintre numerele

e1x1 + e2x2 +…+ ep-1xp-1 (ei =±1) se divide cu p.

Să se demonstreze că dacă este un număr real astfel încât

cos =, atunci este irațional (unghiul ).

Câte numere naturale mai mici sau egale cu 1000 nu se divid nici cu 2 nici cu 3 nici cu 5?

Să se afle în câte moduri se pot împărți 5 obiecte distincte la 3 persoane, cu condiția ca fiecare persoană să primească cel puțin un obiect.

Fiind date n puncte în plan care se unesc între ele prin segmente, sâ se demonstreze că dacă nu există nici un triunghi cu vârfurile în cele n puncte, atunci există cel puțin un punct care este extremitatea a cel mult segmente.

Să se demonstreze că n puncte situate în plan pot fi unite prin cel mult segmente de dreaptă, astfel încât să nu se formeze nici un triunghi cu vârfurile în aceste puncte.

Fie n un număr natural. Folosind principiul includerii și excluderii să se găsească o formulă pentru determinarea lui (n), fiind indicatorul lui Euler.

Fie n un număr natural iar o permutare a mulțimii {1, 2, .., n}. Spunem că permutarea admite o coincidență în i dacă (i) = i.

Să se găsească numărul P(n) al permutărilor de n obiecte fără coincidențe.

Câtul și restul împărțirii numerelor naturale a și b sunt 19, respectiv 99. Dacă

a-b < 1917, aflați numerele a și b.

3.31 Aflați suma tuturor numerelor naturale cuprinse între 1000 și 2000 care împărțite la 49 dau câtul și restul numere egale.

Determinați cel mai mare număr natural a care, împărțit la 1985 dă câtul mai mic decât restul.

Determinați toate numerele naturale care împărțite la 36 dau ca rest pătratul câtului.

3.34 Arătați că nu există nici un număr natural a care împărțit la 15 dă restul 7 și împărțit la 12 dă restul 3.

Suma a zece numere naturale nenule distincte este 103. Demonstrați că printre ele există cel puțin două numere impare.

Cercetați dacă există numere naturale m și n astfel încât(m – n)(m + n + 1) = 1999.

Soluții

3.1. Considerăm numerele ak = cu 1 k n+1, adică a1 = 1,

a2 = 11, a3 =111, … Conform principiului lui Dirichlet, există 1 k < t n+1, astfel încât at = ak (mod n) , adică at – ak =pn, cu p N.

Astfel multiplul lui at – ak = are în scrierea sa numai cifrele 0 și 1.

(i) Printre cele șase numere ale mulțimii {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} există cel puțin un multiplu de 5. Dacă ar exista numai unul, partiția cerută nu se poate face, căci unul din produse ar avea pe 5 ca factor, iar celălalt nu. Deci trebuie să existe doi multipli de 5, ceea ce este posibil doar pentru n și n+5, care trebuie deci să facă parte din produse diferite și n = M5.

Avem n(n+l)(n+2)(n+3)(n+4)>(n+5), deci cu atât mai mult și (n+l)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)>5,

Avem n(n+l)(n+2)(n+3)>(n+4)(n+5) pentru n = 5, 10, 15, și cu atât mai mult alte combinații, cu n+4 la stânga.

Avem n(n+3)(n+4)<(n+l)(n+2)(n+5) și cu atât mai mult pentru alte combinații, cu n+1 sau n+2 la stânga.

În concluzie, pentru toate posibilitătile de partiție, produsele nu pot fî egale, oricare ar fi n N.

Fie C1, C2,…, Cn cele n cercuri înscrise în ABCD cu Ck de diametru dk (evident dk 1).

Prin ipoteză, = 10 deci = < n și deci n 4.

Să proiectăm C1, C2, …, Cn pe aceiași latură a pătratului, spre exemplu pe AB. Proiecția lui Ck pe AB este un interval Ik de lungime dk. Cum >3 și

0 < dk <1, rezultă imediat că cel puțin patru dintre intervalele I1,I2, …, In, de exemplu, I1,I2,I3,I4, se intersectează după un interval I de lungime pozitivă.

Atunci fiecare dreaptă paralelă cu latura AD care trece printr-un punct de pe I intersectează cel puțin cercurile C1, C2, C3 și C4 . Evident există o infinitate de astfel de drepte.

Evident una dintre cele două mulțimi, spre exemplu A, conține cel puțin două vârfuri consecutive ale lui P. Dacă A conține trei vârfuri ale lui P, atunci diam(A) diam(P) = a . Dacă A conține numai două vârfuri consecutive ale lui P, fie ele V1 și V2, atunci B conține celelalte două vârfuri V3 și V4 (vezi Fig.3). Cum M, mijlocul segmentului V1V4, aparține lui A sau lui B, rezultă că diam(A) sau diam(B) .

. Se împarte sfera în opt regiuni egale prin trei plane perpendiculare două câte două trecând prin centru. Conform principiului lui Dirichlet există cel puțin două puncte în aceeași regiune.

Evident, distanța dintre ele nu poate depăși .

Dacă două vârfuri opuse ale pătratului sunt la fel colorate, problema este rezolvată. Fie a, b, c cele trei culori.

În cazul în care două vârfuri ale pătratului nu sunt colorate la fel, se analizează cazurile:

(i) Nici un vârf nu este colorat cu culoarea c;

(ii) Două vârfuri alăturate sunt colorate cu culoarea a, unul cu b și unul cu c;

(i) Fie A, B, C, D vârfurile pătratului.

Să presupunem că vârfurile A și D sunt colorate cu culoarea a iar vârfurile B și C sunt colorate cu culoarea b (vezi Fig.4).

Fig.4

Alegem în acest caz punctele M și N pe DC și respectiv AB, astfel încât AN =, DM = (pătratul are latura egală cu unitatea).

Dacă M este colorat cu a avem: AM = >

Dacă M este colorat cu b avem: BM =>

Dacă N este colorat cu a avem: DN =>

Dacă N este colorat cu b avem: CN = >

Dacă M și N sunt colorate cu c avem: MN = >

(ii) Să presupunem că vârfurile A și D sunt colorate cu culoarea a, vârful B cu culoarea b iar vârful C cu culoarea c.

Fie N AB, M BC, N' CD astfel încât AN = , BM = , DN' .

Dacă M este colorat cu a avem: AM = >.

Dacă M este colorat cu b se analizează situațiile în care poate fi colorat N.

Dacă N este colorat cu a avem: DN=.

Dacă N este colorat cu b avem : MN=

Dacă N este colorat cu c avem: CN=.

Dacă M este colorat cu c se înlocuiește N cu N’(vezi Fig.5).

3.7 Se observă faptul că locul geometric al punctelor situate la o distanță mai mică de 1 cm de un poligon convex este un poligon cu laturile paralele poligonului dat și la distanța 1 cm de acestea, cu vârfurile rotunjite ca în Fig.6

Dacă notăm cu Pi poligoanele din figură și cu Qi locurile geometrice asociate, ca mai sus, i = 1, 2,…, 100, avem:

SQ= SP+(perimetrul lui Pi) + ,

deoarece coroanele se completează la un cerc cu raza 1 cm. Deci, SQ + 2 + = 4.

Deci poligoanele rotunjite Qi, nu pot, conform principiului lui Dirichlet, să acopere pătratul de latură 36 cm, dus în interiorul pătratului dat, cu laturile paralele cu ale acestuia și la distanță de 1 cm față de ele. Oricare dintre punctele neacoperite poate fi ales ca centrul cercului cerut.

3.8 Se observă că problema revine la a arăta că dacă benzile de lățime 2 constituite pe coardele respective acoperă cercul dat, atunci m n. Din păcate nu putem face o apreciere a ariei unei astfel de benzi pentru a aplica direct principiul lui Dirichlet.

Vom face următoarea construcție auxiliară: ducem sfera de rază n cu același centru O ca și cercul.

Tăiem sfera prin două plane perpendiculare pe planul cercului și paralele la una dintre coarde AkBk și la distanța 1 de aceasta (vezi Fig.8).

Fig.8

Aria din sferă cuprinsă între cele două plane va fl Sk 2 2n 4n. Repetând construcția pentru k = 1, 2,…, m și aplicând principiul lui Dirichlet,

42 4m.

Orice determinant de ordinul n are n2 elemente așezate astfel: n elemente pe diagonala pricipală și elemente așezate de fiecare parte a diagonalei principale.

Dacă n2 – n + 2 elemente sunt egale, atunci n-2 elemente diferă de valoarea comună a celor egale. Aceste n-2 elemente pot fi repartizate în cel mult n-2 linii sau coloane. Deci rămân două linii sau coloane identice, ceea ce implică faptul că determinantul este nul.

Fie x1,x2,…,xn numerele din enunț.

Evident și 2n – x1, 2n – x2,…, 2n – xn au aceleași proprietăți.

Numerele x1,x2,…,xn ,2n – x1, 2n – x2,…, 2n – xn, nu pot fi toate distincte deoarece în intervalul (0, 2n) există numai 2n-1 numere naturale distincte. Deci există i,j {1,2,…, n} astfel încât ai = 2n – aj, de unde deducem că ai=n dacă i=j, sau ai + aj = 2n dacă i j.

Se consideră q-uplurile (x1, x2, …, xq) în care xj Z, j = 1,..,q, cu

proprietatea p este ales în 2p+l moduri.

Avem inegalitatea qp pentru un astfel de sistem de q numere. Deci numărul sistemelor posibile (a11xI+…+a1qxq, …,

ap1 x1+…+apqxq) care corespund q-uplurilor (x1, x2, …, xq) considerate nu depășește 2pq+l.

Cum (2pq+l)p < (2p+l)q, deducem că există două sisteme distincte (, ,…,), (, ,…, ) de numere cu proprietățile amintite astfel încât

ai1…+ aiq = ai1…+ aiq pentru i = 1,2, …,p.

Notând xi=, i = 1,…, q, găsim soluția sistemului pe care o căutăm.

Scriind că (a + )(+ ) = (+ )+(+ )

și totul rezultă făcând inducție matematică după nN.

Dacă n = – m Z , cu mN avem că + = +Z conform celor

demonstrate anterior.

Pentru n = 1 inegalitatea devine =1, adică a1 1, ceea ce este adevărat. Presupunând inegalitatea adevărată pentru n, vom demonstra că ea este adevărată și pentru n+1; aceasta revine la a arăta că

Din ipoteză avem că

înmulțind ambii membrii ai acestei inegalității cu l+an+1 obținem

Este suficient să demonstrăm că

Din enunț avem că x1 a1 1, x2 a2 1,…, xn an 1 , ceea ce implică >0,…,>0.

Prin urmare inegalitatea anterioară este echivalentă cu

+ +

()

Această ultimă inegalitate este echivalentă, pentru > 1, cu

Din x1 a1 1, x2 a2 1,…, xn an 1 obținem

Conform principiului inducției matematice inegalitatea cerută este adevărată pentru orice nN.

Tratăm la început cazul n = 2 care revine la x1y1 +x2y2 x1y2 + x2y1 (x1-x2) (y1-y2), ceea ce este adevărat.

Să presupunem inegalitatea adevărată pentru n-1.

Dacă y1=z1 atunci ea se reduce la , care este adevărată conform ipotezei de inducție, deoarece z2, …, zn reprezintă în acest caz o permutare a lui y2,…,yn.

Dacă y1=zj cu j 1; atunci conform cazului n = 2 avem

= (x1 – z1)2 +(xj – zj)2 + (x1 – y1)2 +(xj – z1)2 +

Pe baza ipotezei de inducție și a faptului că z2,…,zj-1,z1,zj+1,…,zn este o permutare a lui y2,.., yn deducem că (xj – z1)2 + . ceea ce încheie trecerea de la n-1 la n. Conform principiului inducției matematice inegalitatea este adevărată pentru orice nN.

Soluția 1. Fie P(n) propoziția din enunț.

Dacă n = 1 și a1 cos x 0, pentru orice x R, atunci cu necesitate a1 = 0 și deci a1 cos x = 0, pentru orice x R. Deci P(1) este adevărată.

Să presupunem acum că P(k) este adevărată pentru orice k n-1, kN, și să demonstrăm că în această ipoteză rezultă și P(n) adevărată.

Avem deci a1cosx + a2cos2x+…+ancosnx 0, pentru orice x R.

Dacă în (1) facem substituția x x+ atunci (1) devine,

–a1 cosx + a2 cos2x – a3 cos3x+… + (-l)nancosnx0, pentru orice x R.

Să presupunem că n este par (analog se tratează și cazul n impar).

Din (1) și (2), prin sumare rezultă

2a2 cos2x+2a4 cos4x+…+2an cosnx 0, pentru orice x R, deci

a2 cos2x+ a4 cos4x+…+ an cosnx 0, pentru orice x R.

Dacă în (3) substituim 2x = y, obținem că

a2 cosy+ a4 cos2y+…+ an cos(y) 0, pentru orice y R.

Aplicând ipoteza de inducție (k=) rezultă că

a2 cosy+ a4 cos2y+…+ an cos(y) = 0,pentru orice y R

a2 cos2x+ a4 cos4x+…+ an cosnx 0, pentru orice x R.

Astfel (1) devine

a1 cosx+ a3 cos3x+…+ an-1 cos(n-1)x, pentru orice x R.

Dacă în (5) înlocuim pe x cu x+ obținem

-a1 cosx – a3 cos3x-…- an-1 cos(n-1)x, pentru orice x R

a1 cosx+ a3 cos3x+…+ an-1 cos(n-1)x 0, pentru orice x R .

Ținând cont de (5) și (6) deducem că

(7) a1 cosx+ a3 cos3x+…+ an-1 cos(n-1)x 0, pentru orice x R.

Ținând cont de (4) și (7) deducem că a1 cosx + a2 cos2x+… + an cosnx=0, pentru orice xR, adică P(n) este adevărată pentru orice n N.

Soluția 2. Considerăm funcțiile f, F : R R

f(x)= a1 cosx + a2 cos2x+… + an cosnx și F(x)= a1 sinx + sin 2x +…+ sin nx

Evident F este o primitivă a funcției f și F(k) = 0, pentru orice kZ.

Cum F'(x) = f(x) 0, pentru orice x R deducem că F crescătoare. Deoarece F este și periodică rezultă că F este constantă. Ținând cont că F(k) = 0, pentru orice kZ deducem F(x) = 0, pentru orice x R. Atunci și F'(x) = 0, adică f(x) = 0 pentru orice x R.

Pentru n = 1,2 problema rezultă imediat.

Dacă P(x) este un polinom de grad n natunci există două numere a și b pozitive, convenabil alese, astfel încât P(x)=(x+a)n-1(x+b)+Q(x), unde Q(x) este un polinom de grad n – 2 și are coeficienți pozitivi. Ținând cont de acestea, realizăm trecerea de la n la n+2. Cum pentru n =1,2 afirmația este adevărată, ea va fi adevărată pentru orice valoare a lui n.

Pentru n = 1 relația este evident adevărată.

Să presupunem că (1) = ( )

Atunci (2) = = = ( )

Ținând cont de (1), (2) devine = [( )] 2 = ( )

Conform principiuhn inducției matematice relația (1) este adevărată pentru orice n

Să considerăm la început un poligon convex cu n laturi care satisface condiția din enunț.

Considerăm în plan o direcție neparalelă cu nici una din laturi și tăiem după această

direcție două vârfuri ale poligonului astfel încât nici un alt vârf să nu fie îndepărtat în afara celor două (vezi Fig.9).

Obținem astfel un poligon convex cu n+2 laturi, nu toate egale (putem face tăieturile în acest fel). În plus, suma distanțelor unui punct interior la laturile vechiului poligon (care este constantă) plus suma distanțelor la cele două laturi nou apărute, care însă sunt paralele, iar punctul este situate între ele, deci și această sumă este constantă (egală cu distanța dintre cele două laturi). Am arătat deci cum se face trecerea de la n la n+2.

Trecerea la 5 se face pornind de la un triunghi ehilateral, iar pentru 4 dispunem de dreptunghi (triunghiul echilateral și dreptunghiul au proprietatea cerută – vezi Fig. 10, 11).

Pentru n = 2, totul este evident. Fie acum n intervale cu proprietatea din enunț și să notăm cu T intersecția a n-1 intervale (T este un interval) și conform pasului de inducție T. Să notăm cu Tn al n-lea interval și să presupunem că T Tn= .

Fie A0Tn punctul cel mai apropiat de T.

Deoarece A0T, există ITn un interval din mulțimea considerată astfel încât A0 I . Pe de altă parte IT și ITn. Fie A1 IT și A2 ITn. Atunci segmentul A1 A2 I, dar A0 A1 A2 (căci în caz contrar A2 ar fi mai aproape de T decât A0), ceea ce este contradictoriu (căci ar rezulta A0 I).

Pentru n = 1, 2 totul este clar. Trecerea de la n la n+1 se face unind convenabil cel de-al n+1 lea punct cu unul din vârfurile liniei frânte construită pentru mulțimea cu n puncte, urmând ca apoi să se realizeze în jurul drumului considerat, linia frântă cerută.

Propoziția din enunț este adevărată pentru n = 1, luând două puncte din plan la distanța 1.

Să presupunem că există o mulțime E, având de exemplu k elemente și care satisfac condițiile problemei pentru un m oarecare.

Considerăm o mulțime E' definită prin translația lui E într-o anumită direcție cu modulul 1. Există cel mult km direcții de translație pentru care două puncte din E și E' pot coincide; putem alege deci o direcție pentru care punctele lui E și E' să fie toate distincte.

Orice punct din E se află la distanța 1 de omologul său din E'; există atunci cel mult 2(k-l) direcții de translație prin care un punct din E ar putea ajunge la distanța 1 de un punct neomolog (căci cercurile de rază 1 cu centrele în cele două puncte au cel mult două puncte de intersecție). În total putem avea 2k(k-l) astfel de direcții; putem alege din infinitatea de direcții de translație, una pentru care acest lucru să nu se întâmple.

În acest caz reuniunea lui E cu E' are proprietatea că orice punct are exact m+1 puncte din mulțime (m din ipoteza inducției și un punct analog) la distanța 1.

Am arătat deci că P(m) P(m+l) și cum P(1) este adevărată atunci P(m) este adevărată pentru orice m N.

1) Să demonstrăm mai întâi că dacă x1, x2, .., xp-1 sunt numere întregi nedivizibile prin p (p prim, p> 2), iar S1, S2,.., Sm sunt sumele elementelor grupărilor ce se pot forma cu aceste numere în toate modurile posibile, atunci oricare ar fi r {1,2,…, p-1} există i {1,2,…, m} astfel încât S1 r(mod p) .

(i). Pentru a dovedi afirmația de mai înainte, demonstrăm prin inducție completă că dacă x1, x2,.., xk sunt numere întregi nedivizibile cu p, atunci dintre numerele S1,S2, .., Sr putem extrage k numere care prin împărțire la p, să dea k resturi diferite și diferite de 0, unde 0<kp-l.

Pentru k = 1 verificarea este imediată.

Presupunem afirmația adevărată pentru k, 0 < k < p-1 și o probăm pentru k+1.

Aceasta înseamnă că din numerele x1, x2, .., xk, xk+1 putem forma k grupări astfel încât sumele elementelor lor să dea k resturi diferite și diferite de 0 la împărțirea prin p; fie acestea y1, y2,…, yk.

Presupunem că nu mai există un alt grup astfel încât suma elementelor sale să dea la împărțirea prin p un rest diferit de y1, y2, .., yk și diferit de 0. Se știe însă că dacă p este prim, și xN nu este divizibil prin p, atunci numerele 1, x, 2x, …, (p-1)x dau la împărțirea prin p resturile 1, 2, ,,., p-1 (nu neapărat în această ordine). Din acest motiv există numerele a1,a2,..,ak{l,2,…,p-l} astfel încât ai xk+i =yi (mod p) .

Dar xk+1 dă la împărțirea prin p unul din resturile y1, y2, .., yk (în caz contrar s-ar contrazice ipoteza); fie acesta y1, deci xk+1=y1 (mod p), adică a1=l.

Putem presupune a1 < a2 <… <ak și vom arăta că ai + 1= ai+1.

Într-adevăr, dacă ai + 1 ai+1, considerând grupul format din xk+1 și grupul al cărui rest rezultat prin împărțirea la p a sumei elementelor sale este yi, atunci suma elementelor sale va da la împărțirea prin p același rest ca și numărul (ai + l)xk+1 și cum a1< a2 <…< ai-1 < ai + 1< ai+1 rezultă că restul obținut va fi diferit de y1, y2,.., yk și diferit de 0; absurd. Dar cum a1 = 1, a2 = 2, …, ak = k, considerând grupul format din xk+1 și grupul a cărui sumă a elementelor dă restul yk la împărțirea prin p, restul dat la împărțirea prin p de suma elementelor iui va fi același cu restul dat la împărțirea prin p de numărul (ak + l)xk+1, deci de numărul (k+ l)xk+1, care va fi diferit de y1, y2,.., yk și diferit de 0 (k+l<p), contradicție.

Deci, cu numerele x1, x2,.., xk, xk+1 se pot forma k+1 grupări, k < p-1, astfel încât sumele elementelor lor la împărțirea prin p să dea k+1 resturi diferite de 0, adică tocmai ceea ce trebuia probat.

Proprietatea de la punctual 1) decurge din cele arătate la punctul 2).

3) Vom distinge două situații:

dacă x1 + x2 +…+ xp-1 este divizibil prin p exercițiul este rezolvat.

dacă x1+ x2 +…+ xp-1 r (mod p), 0 < r p-1 atunci conform proprietății 1) cu numerele 2×1, 2×2, .., 2xp-1 putem forma o grupare (2x, 2x ,…, 2x ), astfel încât 2x+ 2x + …+ 2x r (mod p). Atunci numărul = x1 + x2 + …+ xp-1 – (2x+ 2x + …+ 2x) va fi divizibil prin p, și cum x este de forma e1x1 + e2x2 +… + ep-1xp-i (ei =±1), problema este rezolvată.

Funcția cos(k), cu = Q, dat, (m, n Z și n > 0) ia cel mult 2n valori distincte când k Z . Pentru a ne convinge de acest lucru este suficient să ne amintim că rădăcinile ecuației x2n -1 = 0, care sunt exact în număr de 2n, sunt date de relația xk =cos + i sin, k = 0, 1, 2, …, 2n-l, și că pentru orice valoare a lui k, în afară de cele arătate mai sus, nu obținem numere xk distincte de rădăcinile ecuației.

Vom arăta prin inducție că cos(t), atunci când, t = 2k, k = 1, 2, … ia o infinitate de valori distincte și de aici rezultă iraționalitatea lui .

În acest scop folosim identitatea cos2x = 2cos2 x-1. Cu x = , avem

cos(2) = 2 – 1 = -1, cu 2 care nu se divide în mod evident cu 3. În continuare scriem cos(22)=2cos2(2) – 1= 2( -1 )2 – 1 = – 1, cu 98 care nu se divide la 3. Să presupunem acum că cos(2k)=, cu r nedivizibil la 3 și să arătăm că cos(2k+1)= -1, cu s nedivizibil la 3.

Într- adevăr cos(2k+1) = 2 cos2 (2 k ) -1 = 2 – 1 = = – 1, unde s = .

Evident dacă r nu se divide la 3, nici s nu se divide la 3, căci r2 nu se divide la 3. Rezultă deci că relația cos(2k ) =- 1, cu r3p, pZ, este adevărată pentru orice kN și astfel cos(2k ) nu ia un număr finit de valori (anume 2n valori ca în cazul = Q), ci o mulțime infinită de valori distincte două câte două.

Deci Q , de unde rezultă că \Q

Cum 734 de numere se divid fie cu 2, fie cu 3, fie cu 5 (conform aplicației 1 de la Capitolul 6, paragraful 6.3), 1000-734=266 nu se divid nici cu 2, nici cu 3, nici cu 5.

Numărul căutat este egal cu numărul funcțiilor surjective definite pe o mulțime cu 5 elemente cu valori într-o mulțime cu 3 elemente, deci este egal cu S5,3 = 35 -C 25 + C = 150 (vezi Propoziția 7.1.11, (iv)) .

Într-adevăr, pentru un punct notat x, fie Ax mulțimea punctelor legate cu x

printr-un segment și să presupunem prin absurd că +1, pentru orice x X, unde cu X am notat mulțimea celor n puncte din plan.

Să alegem un punct x1 X și în mulțimea A să alegem un punct y1.

Avem = |A | +|A | – 2+ 2 – n, deoarece |X| = n. Dar 2+ 2 – n = 2 +1 – n +1 1, deci există z1 , această mulțime conținând cel puțin un element. Am ajuns însă la o contradicție, deoarece x1, y1, z1 sunt vârfurile unui triunghi iar noi am presupus că nu există nici un triunghi cu vârfurile în punctele din X.

Deci există un punct x X astfel încât |Ax | ≤ .

Vom demonstra problema prin inducție după n.

Pentru n = 1 sau n = 2 rezultatul este imediat, deoarece în primul caz numărul segmentelor este egal cu zero, iar în al doilea caz este egal cu 1.

Să presupunem problema adevărată pentru n puncte și să o demonstrăm pentru n+1puncte.

Știm că există un punct x X cu |X|= n+1 care este extremitatea a cel mult segmente, conform exercițiului 6.26. Dar mulțimea de puncte X \ {x} poate fi unită prin cel mult segmente astfel încât să nu se formeze nici un triunghi cu vârfurile în aceste puncte, deci numărul total de segmente care unesc punctele din mulțimea X (cu n+1 puncte) este majorat de +.

Vom demonstra că acest număr este egal cu .

Într-adevăr fie n=2k, cu k N.

Atunci +=k + k2=, deoarece

= = =k(k+1).

Dacă n=2k+1, cu kN, atunci += k+1 + = k+1+k(k+1) = (k+1)2 = .

Deci, am arătat că +=și cu aceasta demonstrația este încheiată.

Observație. Pentru a obține exact segmente de dreaptă între cele n puncte astfel încât să nu se formeze nici un triunghi cu vârfurile în aceste puncte, se poate proceda astfel : se grupează cele n puncte în două clase care conțin respectiv și n – puncte și se unește fiecare punct cu toate punctele care nu aparțin aceleiași clase cu el.

3.28 Să scriem descompunerea lui n în factori primi n = p p… pși să notăm cu Ai mulțimea numerelor naturale mai mici sau egale cu n care sunt multipli de pi (i = 1,2, … ,q, q N).

Avem = , = , ș.a.m.d.

Pentru a obține numărul numerelor naturale mai mici sau egale cu n și care sunt prime cu n, trebuie să scădem din numărul numerelor naturale mai mici sau egale cu n , numărul numerelor mai mici sau egale cu n care nu sunt prime cu n, adică aparțin mulțimii A1 A2 … Aq.

Deci = n –

= n –

Dând factor comun pe n, obținem

= n.

3.29 Să notăm cu A mulțimea celor (n-l)! permutări care admit o coincidență în i șj să aplicăm principiul includerii și excluderii pentru a găsi numărul permutărilor care admit cel puțin o coincidență.

Acest număr este egal cu =- (-1)n-1.

Dar = (n-k)! . Pe de altă parte, k poziții i1, i2, …, ik pot fi alese din mulțimea celor n poziții în C moduri.

Deoi = C (n- 1)! – C (n- 2)!+… + (-1)n-1 C.

Numărul permutărilor de n obieete fără coincidențe se obține scăzând din numărul tuturor permutărilor, care este egal cu n!, numărul permutărilor care admit măcar o coincidență. Deci P(n) = n! – C (n- 1)! + C (n- 2)!-… + (-1)n-1 C.

3.30. Fie a și b numere naturale, cu b diferit de zero, astfel încât a = 19b + 99, 0 ≤ 99 < b.

Dar a-b < 1917. Rezultă că 19b + 99 – b < 1917, de unde b < 101.Urmează că b = 100.

3.31. Fie x astfel de numere naturale.

x = 49c + c, 0 ≤ c < 49; 1000 < 50c < 2000, de unde, c fiind număr natural, rezultă că c poate fi 21, 22, …, 39. În acest caz, numerele x căutate sunt 50∙21, 50∙22, …, 50∙30, a căror sumă este:

S = 50(21 + 22 + … + 39) = 50(60∙9 + 30) = 50∙570 = 28500.

3.32. a = 1985∙c + r, c < r < 1985.

Dar a este maxim. Rezultă că c și r sunt maxime, adică c = 1984 și r = 1983.

Deci a = 1985∙1983 + 1984.

3.33. Fie n numerele naturale cerute în enunț. Avem că n = 36q + q2, 0 ≤ q2 < 36. De unde q poate fi 0, 1, 2, 3, 4, sau 5, deci n este 0, 37, 76, 117, 160 sau 205.

3.34. Presupunem prin metoda reducerii la absurd că există un număr natural a astfel încât

a = 15c1 + 7 (0 ≤ 7 < 15)

a = 12c2 + 3 (0 ≤ 3 < 12).

Din cea de-a doua relație avem că a este multiplu de 3. Folosind acest lucru în prima relație, rezultă că M3 = M3 + 7, de unde rezultă că 7 este multiplu de 3. Absurd.

Deci, concluzia problemei este adevărată.

3.35. Presupunem prin reducere la absurd că cele 10 numere sunt pare. Rezultă că 2 + 4 + 6 + … + 20 = 110. Absurd (suma din ipoteză este 103). Deci, cel puțin unul este impar.

Dar, dacă unul singur ar fi impar, atunci suma ar fi impară. Dar suma este pară. Rezultă că cel puțin doi termeni sunt impari.

3.36 Prin reducere la absurd presupunem că există două numere naturale m și n astfel încât

(m – n)(m + n + 1) = 1999.

I. Dacă m și n au aceeași paritate (ambele pare sau ambele impare), rezultă că m – n este par, deci (m – – n)(m + n + 1) este par.

II. Dacă m și n au parități diferite, m + n + 1este un număr par, deci (m – n)(m + n + 1) este par.

Contradicție cu (m – n)(m + n + 1) = 1999 . Deci nu există astfel de numere.

Capitolul IV

CONSIDERAȚII METODICE

4.1 CERCETAREA PEDAGOGICĂ

Cercetarea pedagogică reprezintă o strategie desfășurată în vederea surprinderii unor relații noi între componentele acțiunii educaționale și elaborării pe această cale a unor soluții optime ale problemelor pe care le ridică procesul educațional în conformitate cu exigențele sociale și cu logica internă a desfășurării lui. Cercetarea pedagogică este o acțiune de observare și investigare, pe baza căreia cunoaștem, ameliorăm sau inovăm fenomenul educațional.

Perfecționarea și autoperfecționarea sistemului de învățământ presupune o atentă și permanentă cercetare pedagogică, în cazul nostru didactică.

Ea este chemată să răspundă unor întrebări pe care practica educativă le ridică neîncetat. Răspunsurile obținute în urma cercetării sunt concomitent explicații ale acestor întrebări și sugestii pentru îmbunătățirea și ameliorarea procesului instructiv-educativ.

Metodele folosite în cercetarea pedagogică sunt diverse și pot fi delimitate după criterii.

Metoda observației

Această metodă constă în urmărirea faptelor de educație așa cum se desfășoară ele în condiții obiective. Avantajul observației constă în aceea că permite observarea diferitelor aspecte în desfășurare naturală a fenomenului. Se folosește în toate etapele cercetării și însoțește de obicei toate celelalte metode de cercetare oferind date suplimentare asupra fenomenului investigat.

Sursele observației sunt nelimitate, ele concentrându-se în jurul activităților elevilor în diferite situații la lecții, la activitățile extrașcolare.

Atunci când se referă la activitatea elevilor este important ca aceștia să nu-și dea seama că sunt observați.

Ca metodă de cercetare se deosebește de observarea spontană prin aceea că presupune elaborarea prealabilă a unui plan de observare cu precizarea obiectivelor ce vor fi urmărite, a cadrului în care se desfășoară și a eventualelor instrumente ce pot fi folosite pentru înregistrarea celor observate.

Fără observarea provocată nu este posibilă utilizarea nici unei alte metode de colectare a datelor unei cercetări. În orice cercetare observația este prezentă, și deci, de regulă, termenii “observare și experiment” sunt prezentați ca termeni diferiți, chiar când este vorba de “experiment”, adică de intervenții ale cercetătorului în desfășurarea fenomenului studiat.

Un autentic observator este educatorul însuși, cel integrat în desfășurarea fenomenului propriu-zis.

Metoda convorbirii, a anchetei

Această metodă constă într-un dialog între cercetător și subiecții supuși investigației în vederea acumulării unor date, opinii în legătură cu anumite fenomene și manifestări. Atunci când se desfășoară în scris pe baza unui chestionar îmbracă forma anchetei.

Discuția purtată cu elevii nu trebuie să aibă aerul unui interogatoriu, deși trebuie să fie dirijată, ci să decurgă familiar, liber. De asemenea, discuția trebuie să se desfășoare într-o atmosferă plină de încredere și într-o ambianță naturală, obișnuită. Situația artificială produce suspiciuni și inhibiții în relatările elevilor.

Convorbirea se desfășoară pe baza unui plan și a unor întrebări dinainte elaborate, ceea ce nu înseamnă că pe parcurs profesorul nu se poate abate de la întrebările fixate în funcție de situațiile neprevăzute ce pot apărea.

Dialogul trebuie să fie cât mai natural, profesorul să manifeste multă elasticitate, evitându-se întrebările care angajează, incomodează personalitatea copilului, dar apelând la întrebări colaterale menite a-l stimula pe acesta în a-și expune gândurile și opiniile.

Când se folosește chestionarul, o atenție deosebită trebuie acordată întocmirii acestuia. Astfel: întrebările să fie cât mai clare, să fie adecvate situației și să se refere la un aspect concret fără însă ca obiectivul general al anchetei să fie formulat în mod explicit, acesta trebuind să rezulte din totalitatea întrebărilor luate la un loc.

Respectarea unei logici interne a întrebărilor îl obligă pe cel care răspunde să fie consecvent cu el însuși și să nu se contrazică de la o întrebare la alta. De aceea este recomandabil ca întrebările să nu fie citite în prealabil și în același timp cu completarea răspunsului; după regulă se citește întrebarea și se răspunde trecându-se apoi mai departe. Referitor la felurile întrebărilor se pot deosebi: întrebări închise, întrebări deschise și întrebări cu răspunsurile formulate dinainte.

Întrebările închise sunt acelea care oferă 2-3 posibilități de răspuns: „da”, „nu”, „nu știu”.

Întrebările deschise sunt acelea care oferă libertatea deplină a copilului pentru a formula răspunsuri conform gândurilor și opiniilor sale.

În cadrul celei de-a treia categorii de întrebări copilul urmează să aleagă răspunsul din mai multe răspunsuri date.

Metoda experimentului pedagogic

Experimentul pedagogic este metoda cea mai complexă, cu acțiuni educative ameliorative de amploare, cu rol dominant în verificarea ipotezei, în construirea de noi ipoteze parțiale, pe parcurs. Se deosebește de experiența curentă, prin existența explicită a ipotezei, definirea variabilelor, a timpului de verificare, a planificării acțiunilor de intervenție, a modului de consemnare și interpretare a datelor specifice.

Experimentul pedagogic presupune crearea unei situații noi prin introducerea unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale cu scopul verificării ipotezei care a declanșat aceste inovații.

Înseamnă deci că experimentul pedagogic presupune intervenție și modificare în desfășurarea fenomenului pentru că pe baza rezultatelor înregistrate și a măsurilor efectuate să se aprecieze veridicitatea intervențiilor ce s-au aplicat.

Orice experiment pedagogic presupune 3 categorii de variabile: variabile independente, variabile dependente și variabile intermediare.

Variabilele independente sunt modificările ce s-au introdus și care vor in fluența desfășurarea experimentului.

Variabilele dependente sunt alcătuite din totalitatea modificărilor ce s-au produs și care urmează să fie măsurate și aplicate.

Variabilele intermediare sau exclamatorii sunt acelea care mijlocesc relațiile dintre variabilele independente și variabilele dependente constituite din factori sociali și psihici.

Experimentul pedagogic constă în evidențierea unor relații cauzale, funcționale sau de dependență dintre variabilele dependente și cele independente, în vederea ameliorării și perfecționării acțiunii educaționale. De aici rezultă și cele două funcții ale experimentului: una cneosiologică, de cunoaștere a unor relații și aspecte noi privitoare la acțiune a educațională și alta pracsiologică care constă în modificarea acțiunii educaționale, în perfecționarea educativă nemijlocită. În desfășurarea lui experimentul pedagogic trece prin 3 faze:

a) Faza prealabilă intervenției factorului experimental, când se selectează eșantioanele, se testează situația și trăsăturile; altfel spus se înregistrează date privitoare la variabilele implicate înaintea experimentului, ea precizează factorul experimental și se stabilește strategia desfășurării experimentului;

b) Faza administrării factorilor experimentali când eșantionul experimental este supus unei acțiuni deosebite de ceea ce se petrece în eșantionul de control. Este cea mai lungă fază avându-se în vedere că factorul experimental nu poate fi aplicat instantaneu, iar apariția rezultatelor nu este imediată;

c) Faza înregistrării rezultatelor sau a testării variabilelor dependente după intervenția factorului experimental. Pe această bază se stabilesc diferențele dintre cele două eșantioane după ce în prealabil s-au stabilit diferențele în cadrul fiecărui eșantion între cele înregistrate în faza inițială și cele înregistrate după intervenția factorului experimental.

Experimentul se utilizează sub două forme principale: experimentul de laborator și experimentul natural. Consider că cel mai util este experimentul natural care se desfășoară într-o ambianță naturală de viață și activitate.

Metode statistice – metoda testelor

Un loc important în scopul colectării datelor îl ocupă testele.

Testul este constituit dintr-o probă sau o serie de probe elaborate în vederea înregistrării prezenței sau absenței unui fenomen psihic, a unui comportament sau reacție la un stimul dat. Pentru ca aceste probe să răspundă cerințelor unui test trebuie standardizate și etalonate.

Standardizarea constă în precizarea unor reguli și cerințe privitoare la administrarea testului, înregistrarea și evaluare lui cum ar fi: instructajul înainte de administrare, stabilirea modalităților de răspuns și a felului în care se face evaluarea rezultatelor.

Etalonarea constă în elaborarea unei scări considerată ca etalon, la care vor fi apoi raportate rezultatele individuale și în funcție de care se va face măsurarea și evaluarea acestora.

După ce testul a fost elaborat și se aplică unui eșantion cât mai reprezentativ selectat dintre elevii pentru care s-a întocmit testul, pentru ca pe baza lui și a rezultatelor obținute și prelucrate statistic să se întocmească scara etalon.

Standardizarea și etalonarea contribuie la înlăturarea subiectivismelor, în măsurarea și interpretarea rezultatelor individuale, conferind testului calitatea de a fi un instrument de evaluare și pe această bază un instrument de diagnosticare și prognosticare.

Metoda analizei produselor activității școlare

Produsele activității școlare sunt rezultate ale muncii școlarilor desfășurate în cadrul școlii și în afara ei, dar sub îndrumarea pedagogică a profesorului. Cum este firesc toate acestea se caracterizează printr-un randament obiectivat sub diferite forme comportamentale, care oferă prilejul cunoașterii elevilor.

Datele culese cu ajutorul acestei metode sunt supuse analizei pentru desprinderea unor aprecieri și exprimări asupra individualității copilului, a comportamentului său, a preocupărilor și înclinațiilor sale.

De cele mai multe ori datele consemnate sunt corelate cu constatările desprinse în urma aplicării altor metode de cercetare. Sunt introduse în aceste produse ale cercetării tot ceea ce poate reda un rezultat al muncii elevilor.

Cunoașterea tuturor aspectelor de educare prin și pentru matematică constituie principalul sistem de referință în perfecționarea continuă a muncii cu copilul pentru îndeplinirea sarcinilor prevăzute în programa școlară.

Analiza produselor activității se poate efectua prin organizarea unui colț în care sunt expuse lucrările, prin participarea la concursurile școlare a celor mai buni elevi, prin trimiterea de rezolvări de probleme la revistele școlare.

Produsele activității elevilor ne permit să facem previziuni în legătură cu dezvoltarea personalității lor pentru a depista cauzele unor manifestări comportamentale pozitive sau negative și a interveni acolo unde este necesar, cu mult tact pentru a nu leza personalitatea lor.

6.2 STRATEGII DIDACTICE ACTIV-PARTICIPATIVE UTILIZATE ÎN CADRUL ORELOR DE MATEMATICĂ

Reconsiderarea metodelor tradiționale în paralel cu metodele moderne reprezintă o problemă controversată ce alimentează noi discuții și experimentări. În plus, numărul metodelor de învățământ este mare și acest număr sporește atât prin elaborarea unor metode cât și prin importanța pe care o dobândesc unele procedee de predare a anumitor teme, transformându-le astfel în metode.

Metodele de învățământ au anumite caracteristici, între care un rol determinant îl ocupă demersurile teoretico-acționale. Acestea sunt forme exclusive de predare-învățare care asigură desfășurarea și finalizarea cu eficiență a procesului de învățământ îndeplinind funcții normative de genul: ce și cât predăm și învățăm, ce, cât, cum și când să evaluăm cunoștințele contribuind la îndeplinirea obiectivelor didactice. Alte caracteristici ale metodelor de învățământ sunt legate de demersurile de cunoaștere științifică, de documentare și experimental-aplicative, contribuind la dezvoltarea teoriei și practicii pedagogice, îmbinându-se în acest scop cu formele cunoașterii și cu operații logice.

Metodele nu sunt simple practici didactice de aplicare a teoriei pedagogice, ci ele cuprind și dinamizează elemente pedagogice teoretice care asigură fundamentarea științifică a acțiunilor de predare-învățare, contribuind la evoluția teoriei pedagogice.

Metodele de învățământ se elaborează și se aplică în strânsă legătură cu specificul disciplinei de învățământ, cu felul activității didactice, cu nivelul de pregătire al elevilor. Au caracter dinamic în sensul că mențin ceea ce este valoros și elimină ceea ce este uzat moral, fiind astfel deschise înnoirilor și perfecționărilor în pas cu societatea informațională. Totodată ele au un caracter sistemic în sensul că, fără a-și pierde specificitatea, se îmbină, alcătuind un ansamblu metodologic coerent.

Metodele se clasifică în:

Metode care stau sub incidența muncii profesorului: predarea, conversația.

Metode care servesc mai ales munca elevului: învățarea, exercițiul.

Este necesar ca toate metodele, separat sau îmbinat să contribuie la realizarea cu succes atât a predării cât și a învățării. În cadrul orelor de curs, pentru obținerea unor rezultate pozitive în actul predării-învățării, profesorii au obligația să îmbine și să folosească adecvat și creator metodele didactice.

Clasificarea metodelor didactice după profesorul Constantin Cucoș:

din punct de vedere istoric: metode tradiționale clasice (expunerea, conversația, exercițiul), metode moderne (algoritmizarea, problematizarea, instruirea programată);

în funcție de sfera de specialitate: metode generale (expunerea, prelegerea, conversația), metode particulare (exercițiul, exemplul);

după gradul de angajare al elevilor la lecție: metode expozitive sau pasive, centrate pe memoria reproductivă și pe ascultarea pasivă și metode active, care se bazează pe angajarea directă a elevului;

după forma de organizare a muncii: metode individuale, metode de predare-învățare în grupuri, metode frontale, metode combinate;

în funcție de axa de învățare prin receptare (mecanică) – prin descoperire (conștientă): metode de învățare mecanică (expunerea, demonstrația), metode de învățare prin descoperire dirijată (conversația euristică, observația dirijată, instruirea programată, studiul de caz), metode de învățare prin descoperirea propriu-zisă (observația, exercițiul, rezolvarea de probleme).

Pe lângă accentuarea caracterului activ și creator al metodelor moderne se impune ca utilizarea acestora în predarea-învățarea matematicii să asigure o îmbinare judicioasă a muncii independente a elevilor cu activitatea colectivă, metodele și procedeele nu se folosesc izolat ci întotdeauna integrate într-un sistem metodic.

Specific metodelor interactive de grup este faptul că ele promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente.

Metodele și tehnicile interactive de grup se clasifică, după funcția principală didactică în:

a) Metode de predare –învățare interactivă în grup: metoda predării / învățării reciproce (Reciprocal teaching –Palinscar); metoda “mozaicului” (Jigsaw); metoda “Cascadei”(Cascade); metoda învățării pe grupe mici(“STAD-[anonimizat] Division”); metoda “turnirului între echipe”(“TGT-Teams/Games/Tournaments”); metoda schimbării perechii(“Share-Pair Circles”); metoda “Piramidei”.

b) Metode de fixare și sistematizare a cunoștințelor și de verificare: harta cognitivă/ conceptual; matricile; ”Lanțurile cognitive”; ”Scheletul de pește”; diagrama cauzelor si a efectului; ”Pânza de păianjen”; ”Tehnica florii de nufăr”; ”Cartonașe luminoase”.

c) Metode de rezolvare de probleme prin stimularea creativității: ”Brainstorming”; ”Explozia stelara”; ”Metoda palariilor ganditoare”; ”Caruselul”; ”Multi-voting”; ”Masa rotunda”; interviul de grup; studiul de caz; ”Incidentul critic”; ”Phillips 6/6”; ”Tehnica 6/3/5”; ”Controversa creativa”; ”Tehnica acvariului”; ”Tehnica focus-grup”; ”Patru colțuri”; ”Metoda Frisco”; Sinectica; ”Buzz-groups”; ”Metoda Delphi”

d) Metode de cercetare în grup: tema / proiectul de cercetare în grup; experimentul pe echipe; portofoliul de grup.

Exemple de metode interactive de grup

Metoda “Turul galeriei”

Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.

1. În grupuri de trei sau patru, elevii lucrează întâi la o problemă care se poate materializa într-un produs (o diagramă, de exemplu), pe cât posibil pretându-se la abordări variate.

2. Produsele sunt expuse pe pereții clasei.

3. La semnalul profesorului, grupurile se rotesc prin clasă, pentru a examina și a discuta fiecare produs. Își iau notițe și pot face comentarii pe hârtiile expuse.

4. După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin comparație cu celelalte și citesc comentariile făcute pe produsul lor.

Aplicarea acestei metode are următoarele avantaje: elevii oferă și primesc feed-back referitor la munca lor; șansa de a compara produsul muncii cu al altor echipe și de a lucra în mod organizat și productiv.

Metoda “Schimbă perechea”

Este o metodă interactiva de lucru în perechi. Elevii au posibilitatea de a lucra cu fiecare dintre membrii colectivului. Stimulează cooperarea în echipă, ajutorul reciproc, înțelegerea și toleranța față de opinia celuilalt.

Etape: Se împarte clasa în două grupe egale ca număr de participanți. Se formează două cercuri concentrice, copiii fiind față în față pe perechi. Profesorul dă o sarcină de lucru. Fiecare pereche discută și apoi comunică ideile. Cercul din exterior se rotește în sensul acelor de ceasornic, realizându-se astfel schimbarea partenerilor în pereche.

Copiii au posibilitatea de a lucra cu fiecare membru al grupei. Fiecare se implică în activitate și își aduce contribuția la rezolvarea sarcinii.

Metoda mozaicului

Metoda mozaicul presupune învățarea prin cooperare la nivelul unui grup și predarea achizițiilor dobândite de către fiecare membru al grupului unui alt grup. Are avantajul că implică toți elevii în activitate și că fiecare dintre ei devine responsabil atât pentru propria învățare, cât și pentru învățarea celorlalți. De aceea, metoda este foarte utilă în motivarea elevilor cu rămâneri în urmă: faptul că se transformă pentru scurt timp, în ‚,profesori” le conferă un ascendent moral asupra colegilor.

Etape: Se împarte clasa în grupe eterogene de 4 elevi, fiecare primind câte o fișă numerotate de la 1 la 4, ce conține părți ale unui material ce urmează a fi înțeles și discutat de către elevi. Elevii sunt regrupați în funcție de numărul fișei primite și încearcă să înțeleagă conținutul informativ de pe fișe și stabilesc modul în care pot preda ceea ce au înțeles colegilor din grupul lor original. Se revine în gruparea inițială și are loc predarea secțiunii pregătite celorlalți membri.

Și în final are loc trecerea în revistă a materialului dat prin predarea orală cu toată clasa, cu toți participanții.

Metoda Brainstorming

Metoda Brainstorming înseamnă formularea a cât mai multe idei oricât de fanteziste ar părea ca răspuns la o situație enunțată, după principiul cantitatea generează calitatea. Obiectivul fundamental constă în exprimarea liberă a opiniilor elevilor așa cum vin ele în mintea lor, indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei.

Etape: Se alege sarcina de lucru, solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid a tuturor ideilor legate de rezolvarea problemei. Se înregistrează pe tablă răspunsurile și se regrupează pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, etc. În final are loc selectarea și ordonarea ideilor care conduc la rezolvarea problemei.

Metoda cubului

Este o metodă folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații din mai multe perspective.

Etape:

1. Se realizează un cub pe ale cărei fețe se notează: descrie, compară, analizează, asociază, aplică, argumentează;

2. Se anunță tema / subiectul pus în discuție;

3. Se împarte grupul în șase subgrupuri, fiecare subgrup rezolvând una dintre cerințele înscrise pe fețele cubului;

4. Se comunică forma finală a scrierii, întregului grup (se pot afișa/ nota pe caiet).

Această metodă are următoarele avantaje: permite diferențierea sarcinilor de învățare, stimulează gândirea logică, sporește eficiența învățării (elevii învață unii de la alții).

Metoda “Ciorchinele”

Ciorchinele este o metodă de brainstorming neliniară care stimulează găsirea conexiunilor dintre idei și care presupune următoarele etape:

1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a foii de hârtie;

2. Se notează toate ideile, sintagmele sau cunoștințele care vă vin în minte în legătură cu tema respectivă în jurul acestuia, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial;

3. Pe măsură ce se scriu cuvinte, idei noi, se trag linii între toate ideile care par a fi conectate;

4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita de timp acordată;

Etapele pot fi precedate de brainstorming în grupuri mici sau în perechi. În acest fel se îmbogățesc și se sintetizează cunoștințele. Rezultatele grupurilor se comunică profesorului care le notează la tablă într-un ciorchine fără a le comenta sau judeca. În etapa finală a lecției, ciorchinele poate fi reorganizat utilizându-se anumite concepte supraordonate găsite de elevi sau de profesor.

Aplicarea acestei metode are următoarele avantaje: nu se critică ideile propuse; poate fi utilizată ca metodă liberă sau cu indicare prealabilă a categoriilor de informații așteptate de la elevi.

Metoda “Știu/ Vreau să știu/ Am învățat”

Prin această metodă se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anumită temă și apoi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsului în lecție.

Se constuiește pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu/ Vreau să știu/ Am învățat (Ogle 1986). În prima rubrică se trec ideile pe care elevii consideră că le dețin despre tema investigată, în cea de-a doua notează ideile despre care au îndoieli, iar în ultima rubrică, după învățarea noilor cunoștințe, inventariază noile idei.

În încheierea lecției elevii revin la schema S/V/I și decid ce au învățat din lecție. Unele dintre întrebările lor s-ar putea să rămână fără răspuns și s-ar putea să apară întrebări noi. În acest caz întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații ulterioare.

Metoda “Jocul matematic”

Jocul matematic poate fi sub formă de rebus, probleme cu conținut haios, dezlegarea unor puzzle-uri, etc.

Cunoscând locul pe care jocul îl ocupă în viața copilului se înțelege eficiența folosirii lui în procesul instructiv-educativ.

Folosind jocul matematic elevul devine interesat de activitatea pe care o desfășoară, învață de plăcere cu un minim de efort, își reglementează comportamentul, iese din egocentrismul său și învață să colaboreze, elevii timizi devin mai volubili.

6.3 PROGRAMA DE OPȚIONAL PENTRU CLASA A VII-A

Proiect de curs opțional

Programa disciplinei opționale “Principii de rezolvare a problemelor de matematică”

Aria curriculară: Matematică și științe

Profesor: Catană Paul-Cristian

Clasa a VII-a

Argument

În viața de toate zilele ,omului îi sunt necesare deprinderea de a judeca logic,intuiția,spiritul de observație,perspicacitatea, calități ce pot fi foarte bine dezvoltate prin rezolvări de probleme matematice interesante, recreative ,cu conținut practic.

Studiul matematicii în gimnaziu urmărește să contribuie la formarea și dezvoltarea capacității elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme, precum și la înzestrarea cu un set de competențe menite să asigure o integrare profesională optimă.

Prin studierea acestui opțional se urmărește formarea unui bagaj de cunoștințe și abilități care să îi ajute pe elevi în ciclul următor de învățământ și în viața de zi cu zi.

Obișnuirea elevilor cu responsabilități, cu răspunderea privind finalizarea propriei munci și asigurarea înlănțuirii unor elemente realizate în paralel, îi va pregăti în mod cât se poate de clar pentru o activitate pe care cu siguranță o vor întâlni în viitor.

Cu toții știm că nu se poate înțelege, învăța și consolida matematica numai prin însușirea unor cunoștințe teoretice, fără aplicații ale acestora. Teoria se fixează și se aprofundează numai prin rezolvarea unui număr cât mai mare de exerciții și probleme, iar aprofundarea cunoștințelor de matematică presupune și demonstrații, folosirea teoremelor învățate în soluționarea unor probleme cu caracter practic.

Deoarece spațiul acordat studierii acestora în gimnaziu este insuficient pentru abordarea multitudinii de tipuri de exerciții și probleme se justifică propunerea acestui opțional.

Conținuturile opționalului cuprind teme din capitolele 1, 2 și 3, urmărind să susțină interesul și motivația elevilor pentru un studiu aprofundat al acestora, stimulând competiția și activitatea pe echipe.

Marile succese ale tehnicii, adânc pătrunse în viața oamenilor, sub toate formele ei, au contribuit la recunoașterea rolului fundamental al matematicii.

Competențe generale

1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice.

3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.

4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.

5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.

6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.

Competențe specifice

1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice.

3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.

4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.

5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.

6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.

Conținuturi

Elemente de logică matematică

Principiul parității

Principiul lui Dirichlet

Principiul invariantului

Principiul inducției matematice

Principiul includerii și al excluderii

Metoda reducerii la absurd

Valori și atitudini

Manifestarea curiozității și a imaginației în crearea și rezolvarea de probleme

Manifestarea tenacității, a perseverenței și a capacității de concentrare

Dezvoltarea unei gândiri deschise, creative și a unui spirit de obiectivitate și imparțialitate

Dezvoltarea independenței în gândire și acțiune

Manifestarea inițiativei și a disponibilității de a aborda sarcini variate

Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii

Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice

Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională.

Sugestii metodologice

Opționalul „Principii de rezolvare a problemelor de matematică” își propune abordarea unor principii de rezolvarea a problemelor prin înțelegerea și asimilarea noțiunilor, a conceptelor și algoritmilor specifici .

Strategiile didactice ce vor fi folosite au ca scop orientarea elevilor spre activități de investigare, problematizare, punându-se accent pe învățarea prin cooperare și muncă în echipă.

Strategii didactice de predare-învățare-evaluare folosite:

Învățarea prin descoperire se bazează pe cunoștințele anterioare ale elevilor și are ca rezultat achiziții temeinice de concepte noi.

Problematizarea pune elevii în situația de a soluționa prin activități proprii de cercetare, anumite probleme care le stimulează curiozitatea, dezvoltând scheme operatorii ale gândirii divergente.

Proiectul îmbină munca de cercetare cu activitatea practică.

Învățarea prin cooperare –determină o bună comunicare între elevi, se realizează un transfer de informații care conduce la maximizarea propriei învățări.

Exercițiul – se fixează cunoștințe și se formează deprinderi de calcul rapid.

Prelegerea – pentru evocarea unor personalităti din istoria matematicii.

Programa are drept obiectiv formarea și dezvoltarea competențelor elevilor, competențele specifice fiind realizate în cadrul fiecărei ore prin activități de învățare, selectate potrivit conținuturilor tematice.

Modalități de evaluare

Integrată în procesul didactic ca o necesitate obiectivă a acestuia, evaluarea poate fi concludentă, riguroasă și în același timp personalizată. Ea se impune ca o etapă a proiectării didactice căreia îi este necesar să i se acorde o atenție deosebita.

Ca modalități de evaluare mi-am propus :

evaluarea prin joc colectiv, pe grupe sau individual;

portofoliu cu – probleme rezolvate

– probleme culese pe o temă dată;

– probleme propuse;

– teste tip grilă;

– evaluarea lucrărilor practice;

– observarea sistematică de către profesor și întocmirea fișelor personale pentru fiecare elev.

Bibliografie

1. Bușneag, D., Piciu, D.(coord.), Algebră liniară, Craiova, Editura Universitaria, 2001

2. Bușneag, D., Chirteș, F., Piciu, D. (coord.), Probleme de algebră liniară, Craiova, Editura Universitaria, 2002

3.Dăncilă, Ion Matematica gimnaziului între profesor și elev Ed. Corint

Bucuresti,1996

4. Guran,Eugen Matematica recreativa ED. Junimea 1985

5.Rădulescu , Valentin – Cutezanța minții Ed. Militară ,București , 1988

6.Singer, Mihaela – Învățarea geometriei prin exerciții Ed. Sigma

Bucuresti,1991

7. Vodă,Claudiu;Predescu, Nicolae – Amuzamente științifice;Ed. Ceres

București,1975

8. Site-uri internet: www.tmmate.ro; www.epsilon.ro; www.didactic.ro

PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ

Date generale

Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială Siliștea Crucii

Clasa: a VII- a

Disciplina : Matematică

Tema: Tipuri de raționamente logice

Tipul lectiei : Lectie de dobândire de noi cunoștiințe

Profesor : Catană Paul-Cristian

Competențe specifice :

C1 – să facă diferența dintre raționament inductiv și deductiv

C2 – să aplice pașii inducției matematice pe problemele date

C3 – să rezolve probleme de egalitate și inegalitate cu ajutorul inducției complete

Resurse :

Spațiale : sala de clasă

Temporale : durata unei ore de curs – 50 minute

Cognitive : cunoștințe de logică matematică

Procedurale : exercițiul, problematizarea , învățarea prin descopreire, expunerea, conversația euristică.

Materiale :

Fișa de lucru

Cretă , tablă

IV. Bibliografie :

Manual de matematica , Editura Carminis autor: Marius Burtea

V. Desfășurarea lecției

FIȘĂ DE LUCRU LA CLASĂ

Folosind metoda inducției matematice să se demonstreze că pentru orice au loc egalitățile și inegalitățile :

1+2+3+…+n =

1+3+5+…+(2n-1)=n2

3.

4.

5. 13+23+33+…+n3=

6.

7.

8.

Test – metoda inducției matematice

1.Să se demonstreze că .

2. Arătați că pentru orice număr natural există numerele naturale astfel încât.

3.Demonstrați că .

4. Demonstrați că .

5.Arătați că .

Barem de corectare

1.(1p)

:

(1p)

2. (1p) . Atunci .

:

(1p) Dacă , atunci au loc cazurile

i)

ii)

3. (1p) . Deci

:

(1p)

4. (0,5p)Vom arăta că

, ceea ce este adevărat

:

(0,5p)Avem

.

5. (0,5p) , iar

:

(0,5p) . Dar de la se știe că

Deci

CONCLUZII

Prin lucrarea de față am urmărit să perfecționez, să valorific experiența mea la catedră, considerând că misiunea mea ca profesor de matematică este de a trezi interesul elevilor pentru studiul matematicii, a elementelor de algebră , prin alegerea celor mai potrivite metode și mijloace de învățământ.

Folosind datele relatate în lucrare se pot rezolva numeroase probleme fără a implica cunoștințe deosebite față de programă, solicitând doar ingeniozitate și creativitate din partea elevilor.

Am tratat în lucrare probleme de algebră liniară cu aplicabilitate directă la nivel gimnazial, considerând că acestea sunt semnificative și stimulative pentru elevi, dar și probleme cu grad mai ridicat de dificultate ce pot fi folosite pentru pregătirea examenelor și a concursurilor școlare.

Testul sumativ pe care l-am administrat elevilor din clasa a VII- a în cadrul orei de matematică a urmărit realizarea unor deprinderi comportamentale specifice vârstei și activităților matematice precum:

Fixarea și consolidrea metodelor de rezolvare a problemelor cu inducție matematică

Verificarea unor egalități folosind metoda inducției matematice

Verificarea unei inegalități folosind metoda inducției matematice

Rezultatele testului sunt prezentate în tabelul următor:

Elevii clasei a VII- a și-au însușit metodele de rezolvarea a inducției matematice.

Rostul școlii nu este acela de a însuma niște cunoștințe , ci acela de a forma capacități de gândire creatoare, lipsită de prejudecăți.

În demersul didactic, centrul acțiunii devine elevul și nu predarea noțiunilor matematice ca atare. Accentul trece de la "ce să se învețe, la "în ce scop și "cu ce rezultate. Evaluarea se face în termeni calitativi; capată semnificație dimensiuni ale cunoștințelor dobândite, cum ar fi: esențialitate, profunzime, funcționalitate, durabilitate, stabilitate, mobilitate, diversificare, amplificare treptată.

BIBLIOGRAFIE

Bușneag, D., Piciu, D.(coord.), Algebră liniară, Craiova, Editura Universitaria, 2001

Bușneag, D., Piciu, D. (coord.), Lecții de algebră, Craiova, Editura Universitaria, 2002

Bușneag, D., Chirteș, F., Piciu, D. (coord.), Probleme de algebră liniară, Craiova, Editura Universitaria, 2002

Brânzei, D., Brânzei, R., Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45, 2007

Chiriac, V., Chiriac, M., Probleme de algebră, București, Editura Tehnică, 1977

Chiriță, S., Probleme de matematici superioare, București, Editura Didactică și Pedagogică, 1989

Joița, E., Ilie, V., Vlad, M., Frăsineanu, E., Pedagogie și elemente de psihologie școlară, Craiova, Editura Arves, 2003

Năstăsescu, C., Niță, C., Vraciu, C., Aritmetică și algebră, București, Editura Didactică și Pedagogică S.A, 1993

Stamate, I., Turcu, V., Vraciu, C., Boldescu, P., Matematici superioare, București, Editura Didactică și Pedagogică , 1967

Stoica, M., Pedagogie și psihologie, Editura Gheorghe Alexandru, 2001

Vladimirescu, I., Popescu, M., Algebră liniară și geometrie analitică, Craiova, Editura Universitaria, 1993

http://www.referate-scolare.ro/matematica/Operatori-Logici-Exemple-De-Propozitii-Logica-Propozitiilor-Matematice/

https://dreptmd.wordpress.com/cursuri-universitare/logica-juridica/inferenta/

https://dreptmd.wordpress.com/cursuri-universitare/logica-juridica/inferenta/

https://www.activetextbook.com/active_textbooks/6825

https://www.activetextbook.com/active_textbooks/6825

http://www.acuz.net/html/Elemente_de_logica_matematica.html

http://www.acuz.net/html/Elemente_de_logica_matematica.html

http://www.referatele.com/referate/matematica/online6/Operatori-logici-Exemple-de-propozitii-Logica-propozitiilor-matematice-referatele-com.php

http://www.referatele.com/referate/matematica/online6/Operatori-logici-Exemple-de-propozitii-Logica-propozitiilor-matematice-referatele-com.php

http://str.calificativ.ro/referate/txt/referat.clopotel.ro-9771.txt

http://str.calificativ.ro/referate/txt/referat.clopotel.ro-9771.txt

http://str.calificativ.ro/referate/txt/referat.clopotel.ro-10161.txt

http://str.calificativ.ro/referate/txt/referat.clopotel.ro-10161.txt

http://www.referatele.com/referate/matematica/online5/ELEMENTE-DE-CALCULUL-PROPOZITIILOR-SI-PREDICATELOR–TEOREMA-CONTRARA-referatele-com.php

http://www.referatele.com/referate/matematica/online5/ELEMENTE-DE-CALCULUL-PROPOZITIILOR-SI-PREDICATELOR–TEOREMA-CONTRARA-referatele-com.php

http://biblionline.md/uploads//news/id1361/Un%20elev%20nu%20este%20un%20vas….docx

http://biblionline.md/uploads//news/id1361/Un%20elev%20nu%20este%20un%20vas….docx

http://forum.portal.edu.ro/index.php?act=Attach&type=post&id=1197988

http://forum.portal.edu.ro/index.php?act=Attach&type=post&id=1197988

http://docslide.net/documents/matematica5-8.html

http://docslide.net/documents/matematica5-8.html

http://cs.upm.ro/_users/cursuri_on_line/Alte_documentatii/Carte_algoritmi_partea1_20_12_04.doc

http://cs.upm.ro/_users/cursuri_on_line/Alte_documentatii/Carte_algoritmi_partea1_20_12_04.doc

http://www.slideshare.net/ralucamarianaciudin7/pl-capacitate

http://www.slideshare.net/ralucamarianaciudin7/pl-capacitate

https://ro.scribd.com/doc/26425809/Metode-Interactive

https://ro.scribd.com/doc/26425809/Metode-Interactive

https://www.yumpu.com/ro/document/view/39626753/programa-matematica-10/5

https://www.yumpu.com/ro/document/view/39626753/programa-matematica-10/5

https://www.activetextbook.com/active_textbooks/4554

https://www.activetextbook.com/active_textbooks/4554

http://www.fluxbotosani.ro/2014/01/metode-activ-participative-folosite-in.html

http://www.fluxbotosani.ro/2014/01/metode-activ-participative-folosite-in.html

http://www.youblisher.com/p/961099-Mini-ghid-de-metode-utilizate-in-receptarea-textelor-lirice-descriptive-la-gimnaziu/

http://www.youblisher.com/p/961099-Mini-ghid-de-metode-utilizate-in-receptarea-textelor-lirice-descriptive-la-gimnaziu/

http://www.learn-math.info/ps/ro/mate11.doc

http://www.learn-math.info/ps/ro/mate11.doc

http://adelasirbu.wikispaces.com/file/view/matematica10_liceu_omec.doc

http://adelasirbu.wikispaces.com/file/view/matematica10_liceu_omec.doc

http://orizontdidactic.net/2013/11/18/metode-de-demonstrare-a-teoremelor/

http://orizontdidactic.net/2013/11/18/metode-de-demonstrare-a-teoremelor/

http://qedu.ro/system/files/PROGRAMA%20X.doc

http://qedu.ro/system/files/PROGRAMA%20X.doc

http://www.slideshare.net/mickysima/metodicapredarii-istoriei

http://www.slideshare.net/mickysima/metodicapredarii-istoriei

http://www.asociatia-profesorilor.ro/principiul-lui-dirichlet-principiul-cutiei.html

http://www.asociatia-profesorilor.ro/principiul-lui-dirichlet-principiul-cutiei.html

http://forum.portal.edu.ro/index.php?act=Attach&type=post&id=2166011

http://forum.portal.edu.ro/index.php?act=Attach&type=post&id=2166011

http://matematica-economica-logica.blogspot.com/2014/06/logica-matematica-aspecte-teoretice.html

http://matematica-economica-logica.blogspot.com/2014/06/logica-matematica-aspecte-teoretice.html

http://matematica-economica-logica.blogspot.com/

http://matematica-economica-logica.blogspot.com/