Analogie Triunghi Tetraedru

Analogie triunghi – tetraedru

CUPRINS

b#%l!^+a?

INTRODUCERE

Grecii secolului VII-VI î.e.n. au numit geometrie, știința egipteană a "măsurării pământului", ei au și depășit acest conținut practic-calitativ, astfel încât dezvoltarea geometriei la greci de-a lungul întregii istorii europene, până la actuala ei definiție de a fi "studiul formelor și relațiilor spațiale" ilustrează complexitatea originară a unui mod de cunoaștere și reprezentare a naturii.

Geometria nu s-a născut numai din "măsurarea pământului", cum o arată numele, ci și odată cu orice creație tehnică sau artistică a omului; și nici direct, pentru că măsurarea oricărui obiect nu este posibilă fără precizarea formei lui.

Geometria s-a născut, deci, din nevoia de schematizare a fenomenelor naturii, ale percepției umane și ale societății: mai întâi în vederea însușirii transformării și comunicării lor, apoi în vederea număr¸ arii și măsurării lor.

Așadar, din dominant utilitară la egipteni și babilonieni, deși marile creații tehnice și artistice reflectă și o latură secret-teoretică, geometria devine la greci, în sec. VI î.e.n., o știință pură și liberă, adică teoretică fundamentală, deschis discutată și larg difuzată.

Devenind și un mod de gândire, diferențiat, dar mereu conex sau implicat filozofiei, tehnicii și artei, geometria și-a extins puterea de esențializare, dar și de aplicație asupra tuturor formelor și fenomenelor naturii (mișcare, materie, creștere, lumină, cosmos) și asupra însăși percepției și creației umane (vedere-arte plastice, auz-muzică, tactil-greutate, etc.).

Complexitatea originară a modului de însușire a "formelor și relațiilor spațiale" se conturează într-o bipolaritate greacă a geometriei, deplin conștientă și continuu creatoare, teoretic și practic, de-a lungul a două linii de dezvoltare, nu fără contacte între ele: geometria ordinei (Thales, Apollonius, Ptolemeu, Pappus) și geometria măsurării (Pitagora, Euclide, Arhimede).

Geometria ordinei, originea matematicii grecești, începe cu Thales (624-543 î.e.n.), primul care aduce din Egipt cunoștințe de geometrie și care înființează "Școala din Milet". Se dau definiții și se stabilesc proprietăți fundamentale ale figurilor, independente de măsura lor: egalități, divizori, paralelismul dreptelor, suma unghiurilor unui triunghi, asemănarea, proporționalitatea.

Se enunță chiar și "două figuri asemenea cu o a treia sunt asemenea între ele", ceea ce constituie un prim enunț de teoria grupurilor, iar teorema Thales, a diviziunilor proporționale, determinate pe două drepte de o serie de drepte paralele, stă la baza geometriei afine. Cu ajutorul asemănării, Thales măsura, prin vizări, distanțele punctelor inaccesibile.

Geometria măsurării începe cu Pitagora (580-500 î.e.n.) a cărui școala din Sicilia se bazează pe o continuă îmbinare între aritmetică și geometrie. Astfel, cu "numerele figuratice" a stabilit geometric sumele unor șiruri de numere, iar cu numerele "rectilinii", "plane" și "corporale" a făcut studiul numerelor prime.

Pitagora a demonstrat formule de arii și volume, inclusiv teorema ce-i poartă numele, cunoscute încă de la babilonieni. Definind cele cinci poliedre regulate, pitagoricienii au studiat în vederea construirii lor, și poligoanele regulate. Lucrând însă numai cu numere întregi, acestea, prin însăși teorema lui Pitagora i-au condus la descoperirea numerelor iraționale și incluse respectiv în construcția pătratului, triunghiului echilateral și pentagonului regulat.

În secolul V și IV î.e.n., odată cu înflorirea Atenei și dezvoltarea filozofiei, tehnicii și artei, cele două școli externe încep să se completeze reciproc, fără a pierde însă propriul fir conducător.

Intervin filozofiile lui Democrit privind concepția automistă și crepusculară (deci discretul și discontinuul), a lui Ptolemeu ce definește locurile geometrice (insistă asupra geometriei spațiului și a formelor regulate) și a lui Aristotel ce stabilește principiile construirii unui sistem deductiv pe bază de definiții, axiome, ipoteze și demonstrații (rezolvă contradicțiile ivite la limita dintre filozofie și matematică, dintre infinit și finit, dintre continuitate și discontinuitate, dintre comensurabil și incomensurabil).

Cele două geometrii, a măsurării și a ordinii, își găsesc sudura în lucrările lui Arhimede. El definește secțiunile conice ale lui Apollonius ca locuri geometrice și apoi ca traiectorii de puncte. Calculând suprafețe, volume și centre de greutate, aplicând metoda exhuațiunii, Arhimede este și un precursor al calculului diferențial și integral. Introduce pe cale mecanică și prin construcții de aparate, numeroase curbe și suprafețe. Definește cele 13 poliedre semiregulate, iar prin lucrarea "Numărătoarea grăunțelor de nisip" anticipează o structură a Universului și prefigurează "alefurile" lui G.Cantor din secolul b#%l!^+a?XIX.

Bipolaritatea greacă ordine-măsură conține în germen actuale bipolaritatea geometrie-topologie, inclusă de fapt în actuala definiție a geometriei de a fi "studiul formelor și relațiilor spațiale ".

O posibilă definiție pentru cuvântul ”analogie” poate fi considerată asemănarea sau izomorfismul.

Două sisteme sunt analoge dacă ele concordă sub aspectul unor relații clar definite ale părților lor corespunzătoare.

Această lucrare exploatează intens și eficace analogia plan – spațiu. Această analogie apare implicată atât în linia generală de abordare a fiecărui element în parte – triunghi și tetraedru, dar și teoreme și probleme rezolvate precum și abordări metodologice.

Trecerea de la triunghi la tetraedru marchează și un remarcabil salt al particularizărilor posibile, din punct de vedere numeric, al interesului special și al interferențelor între criteriile de particularizare. Cele mai importante tipuri de tetraedre particulare vor fi studiate separat în capitolul al II-lea.

În lucrare este definit mai întâi triunghiul în capitolul „Geometria triunghiului” – noțiuni și teoreme generale, dar și teoreme remarcabile pentru triunghi, multe dintre acestea având și demonstrație.

În capitolul următor „Geometria tetraedrului” se prezintă noțiunile generale legate de tetraedru. Tot aici sunt descrise tetraedrele particulare: tetraedre Crelle (tetraedrele cu proprietatea că există o sferă hexatangentă muchiilor), tetraedre echifaciale (tetraedrul cu toate cele patru fețe triunghiuri congruente), și tetraedre ortocenetrice (tetraedrul al cărui muchii opuse sunt perpendiculare).

În capitolul trei „Analogie triunghi – tetraedru” se analizează proprietățile triunghiului ce au analogie în aceleași sau alte proprietăți ale tetraedrului. Astfel se face analogia între aria unui triunghi oarecare sau a unui triunghi particular cu volumul unui tetraedru particular. Apoi în următorul subcapitol se face analogia între centrele de greutate ale triunghiului și tetraedrului. O atenție deosebită se acordă cercurilor și sferelor cu proprietăți speciale pentru triunghi si tetraedru: cercul înscris în triunghi și sferă înscrisă în tetraedru, cercul circumscris unui triunghi și sfera circumscrisă unui tetraedru. Analogia dintre lungimea unei bisectoare în triunghi și planul bisector în tetraedru este de asemenea descrisă și demonstrată în acest capitol. În subcapitolul 3.6 se tratează analogia dintre cele 9 puncte conciclice ce formează cercul lui Euler și cele 12 puncte cosferice ce formează sfera lui Euler. Capitolul se încheie cu analizarea relației lui Steiner în plan și spațiu.

Capitolul patru intitulat “Matematica aplicată – teoreme analoage triunghi – tetraedru” descrie în detaliu analogia între teoremele cunoscute ale triunghiului și modalitatea cum acestea folosesc la demonstrarea unor teoreme definitorii pentru tetraedru. Se regăsesc aici teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic, teorema catetei în triunghiul dreptunghic, teorema medianei și teorema lui Pitagora. Toate acestea au corespondent în geometria tetraedrului.

Capitolul cinci conține metode de rezolvare a problemelor din geometria triunghiului și tetraedrului împărțite în două categorii. Prima categorie, metode generale, conține detalieri pentru metoda sintezei, metoda analizei, metoda analitico-sintactică și metoda reducerii la absurd. A doua categorie, metode specifice, tratează metode cu transformări geometrice, metode vectoriale, metode algebrice, metode metrice, metode trigonometrice, metode analitice, metoda cu numere complexe și probleme de locuri geometrice.

Capitolul al șaselea conține aspecte metodice prin prezentarea unor proiecte de tehnologie didactică precum și aplicații/probleme rezolvate folosind noțiunile descrise în capitolele anterioare și analogia triunghi – tetraedru.

Ultimul capitol, ”Considerații finale”, este constituit din concluziile ce reies din studiul acestei simple analogii precum și impresii din experiența la catedră.

Lucrarea se încheie cu o bibliografie și un capitol de anexe.

b#%l!^+a?

CAPITOLUL 1.

Geometria triunghiului

1.1. Elemente de bază privind triunghiul

Geometria este o ramură importantă a matematicii care studiază formele și proprietățile corpurilor, precum și raporturile sale spațiale. Una dintre formele cele mai reprezentative ale geometriei este triunghiul.

Definiția 1.1. Figura geometrică obținută prin reuniunea a trei segmente [AB], [BC], [CA] unde A, B, C sunt puncte necoliniare, se numește triunghi.

Între determinarea triunghiului și definirea sa există o deosebire destul de însemnată. Determinarea este asigurată de cele trei puncte necoliniare A, B, C, definirea sa însă nu.

Pentru definire, fie trei puncte necoliniare A, B, C. Linia poligonală simplu închisă ABC se numește triunghi. Este necesar, apoi definirea elementele triunghiului: vârfuri, unghiuri și laturi.

În figura următoare este desenat triunghiul notat .

Figura 1.1. Triunghiul ABC (GeoGebra)

Elementele triunghiului sunt:

laturile triunghiului care sunt segmentele [AB], [BC], [CA];

unghiurile triunghiului: ∢ABC, ∢ACB, ∢BAC sau ∢B, ∢C și ∢A;

vârfurile triunghiului care sunt .

Suma laturilor unui triunghi se numește perimetrul triunghiului și se notează cu P cu formula

Pentru lungimile laturilor triunghiului se mai folosesc notațiile: și semiperimetrul se notează cu .

Se poate defini ca fiind punct interior unui triunghi un punct interior fiecăruia din unghiurile triunghiului. De asemenea se poate defini punct exterior unui triunghi punctul din planul triunghiului care nu este nici în interior și nici pe laturile triunghiului. Interiorul unui triunghi reprezintă mulțimea tuturor punctelor interioare lui, iar exteriorul triunghiului este mulțimea tuturor punctelor exterioare lui.

Triunghiurile se pot clasifica după laturi astfel:

triunghiul oarecare sau triunghiul scalen este un triunghi care are laturile diferite;

triunghiul isoscel este triunghiul care are două laturi congruente. Cea de-a treia latură se numește baza triunghiului.

triunghiul echilateral este triunghiul care are toate laturile congruente. Particular acest triunghi are și toate unghiurile de .

Triunghiurile se pot clasifica după unghiuri astfel:

triunghiul ascuțitunghic este triunghiul care are toate unghiurile ascuțite;

triunghiul dreptunghic este triunghiul care are un unghi drept. Latura care se opune unghiului dreptunghic se numește ipotenuză, iar celelalte, care formează unghiul drept, se numesc catete. Caz particular: un triunghi dreptunghic cu două laturi egale se numește triunghi dreptunghic isoscel.

triunghiul obtuzunghic este triunghiul care are un unghi obtuz (măsura unui unghi trebuie să aibă măsura mai mare de ).

Prin aria unui triunghi se înțelege aria suprafeței din interiorul triunghiului și se notează cu .

Definiție 1.2. Aria unui triunghi este semiprodusul dintre lungimii unei laturi și lungimea înălțimii corespunzătoare ei. , unde sunt înălțimile triunghiului duse din vârfurile pe laturile de lungimi . Această b#%l!^+a?definiție este cunoscută neacademic ca fiind “baza ori înălțimea pe doi”.

O altă definiție pentru aria unui triunghi este următoarea:

Definiție 1.3. Aria unui triunghi este egală cu jumătatea produsului lungimilor a două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele

.

Definiție 1.4. Formula lui Heron: folosind semiperimetrul putem defini aria triunghiului ca fiind

În mod particular aria unui triunghi echilateral cu lungimea laturii este , iar aria unui triunghi dreptunghic este (semiprodusul lungimilor catetelor).

Definiție 1.5. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare. , unde k este raportul de asemănare.

1.2. Teoreme uzuale și teoreme remarcabile

1.2.1. Teoreme uzuale

Teorema 1.6. Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este de .

Definiția 1.7. Unghiul care este adiacent și suplementar cu un unghi al unui triunghi, se numește unghi exterior acelui triunghi.

Teorema 1.8. Măsura unui unghi exterior al unui triunghi este egală cu suma măsurilor celor două unghiuri ale triunghiului , neadiacente cu el.

Definiția 1.9. Două triunghiuri se numesc congruente dacă au laturile și unghiurile respectiv congruente.

Definiția 1.10. Bisectoarea unui unghi al unui triunghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, situată în interiorul acestuia și care formează cu laturile unghiului două unghiuri congruente.

Teorema 1.11. Un punct aparține bisectoarei unui unghi dacă și numai dacă distanțele de la punct la laturile unghiului sunt egale.

Teorema 1.12. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de concurență este centrul cercului înscris în triunghi și este notat cu I. Raza cercului înscris în triunghi este notată cu , unde este aria triunghiului.

Definiția 1.13. Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment în mijlocul segmentului.

Teorema 1.14. Un punct aparține mediatoarei unui segment dacă și numai dacă este egal depărtat de capetele segmentului.

Teorema 1.15. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente. Punctul de concurență este centrul cercului circumscris triunghiului și este notat cu . Raza cercului circumscris unui triunghi este .

Definiția 1.16. O înălțime a unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu piciorul perpendicularei dusă din acel vârf pe dreapta suport a laturii opuse.

Teorema 1.17. Dreptele care conțin înălțimile unui triunghi sunt concurente în punctul numit ortocentrul triunghiului.

Definiția 1.18. Într-un triunghi, segmentul care unește un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse se numește mediană.

Teorema 1.19. Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului și situat pe fiecare mediană la 1/3 de bază și 2/3 de vârf.

Definiția 1.20. Într-un triunghi, segmentul care unește mijloacele a două laturii ale triunghiului se numește linie mijlocie.

Teorema 1.21. Segmentul care unește mijloacele a două laturii ale triunghiului este paralel cu cea de-a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acestei laturi.

Teorema 1.22. Dacă într-un triunghi dreptunghic măsura unui unghi este de atunci lungimea catetei opuse acestuia este jumătate din lungimea ipotenuzei.

Teorema 1.23. Într-un triunghi dreptunghic, lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din lungimea ipotenuzei.

Teorema 1.24. (Teorema catetei) Lungime catetei unui triunghi dreptunghic este medie proporțională între lungimea ipotenuzei și a proiecției catetei pe ipotenuză.

Teorema 1.25. (Teorema înălțimii) Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii duse prin vârful unghiului drept este medie proporțională între lungimile proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Teorema 1.26. (Teorema lui Pitagora) Într-un triunghi dreptunghic pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. Aceasta poate fi b#%l!^+a?reprezentată în triunghiul dreptunghic ABC, BC fiind ipotenuza, iar A unghiul drept. Teorema lui Pitagora spune că: .

Teorema 1.27. (Teorema lui Pitagora generalizată) Dacă în triunghiul ∢C este un unghi ascuțit și , atunci .

1.2.2. Teoreme remarcabile

Formula lui Heron stabilește legătura dintre aria unui triunghi și lungimea laturilor sale.

Aria unui triunghi ABC este dată de formula , unde , iar S reprezintă aria triunghiului ABC.

Figura 1.2. Formula lui Heron în triunghi (GeoGebra)

Demonstrație: Fie ABC un triunghi și fie punctul D proiecția punctului A pe latura BC notat D = pr BC A. Se notează înălțimea din punctul A cu ha, unde ha = AD.

Din teorema lui Pitagora generalizată, se obține :

Din triunghiul dreptunghic ADC se obține : AD2 = AC2 – DC2 sau

Rezultă .

Din ultima relație se obține .

Folosind ultima egalitate și formula .

Teorema 1.28. Teorema lui Stewart Fie M un punct pe latura [BC] a triunghiului ABC. Atunci este adevărată relația lui Stewart :

Figura 1.3. Teorema lui Stewart (GeoGebra)

Demonstrație: Din triunghiurile ABM și ABC rezultă :

(1)

(2)

Înmulțind relația (1) cu BC, și (2) cu BM, apoi adunând relațiile obținute, rezultă :

,

adică tocmai relația din Teorema lui Stewart.

Teorema 1.29. Teorema medianei

Într-un triunghi ABC avem : , unde a = BC, b = AC, c = AB, ma = AA’ (A’ este mijlocul segmentului [BC] ).

b#%l!^+a?

Figura 1.4. Teorema medianei (GeoGebra)

Demonstrație: Se scrie relația lui Stewart în cazul în care M este mijlocul A’ al segmentului [BC].

Teorema 1.30. Teorema cosinusului

Se consideră triunghiul de laturi . Să se arate că:

Figura 1.5. Teorema cosinusului (GeoGebra)

Demonstrație: În triunghiul avem (figura 1.5.). Ridicăm la pătrat această relație și obținem :sau folosind notațiile a, b și c avem relația .

Teorema 1.31. Teorema 1 a lui Euler

Fie C(I, r) și C(O,R) cercul înscris și respectiv circumscris triunghiului ABC. Atunci există relația lui Euler :

Figura 1.6. Teorema 1 a lui Euler (GeoGebra)

Demonstrație: Fie D punctul în care bisectoarea [AI intersectează cercul circumscris triunghiului și fie punctele E, F astfel încât {E, F} = C(O,R)OI. Din triunghiul ABD , iar din triunghiul dreptunghic AI’I avem:

Deoarece semidreptele [AI și [BI sunt bisectoare ale unghiurilor ∢BAC și ∢ABC, se obține ușor egalitatea BD = ID. Folosind puterea punctului I față de cercul C(O,R), din ultimele relații rezultă

Teorema 1.32. Teorema a doua a lui Euler

Mijloacele laturilor unui triunghi, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor ce unesc fiecare vârf cu ortocentrul triunghiului sunt situate pe un același cerc numit cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte.

b#%l!^+a?

Figura 1.7. Teorema a doua a lui Euler (GeoGebra)

Demonstrație: Se analizează cazul unui triunghi ascuțitunghic.

Fie A’, B’, C’ mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB] și fie , , .

Se arată că punctul A1 aparține cercului care trece prin A’, B’, C’. Deoarece B’C’ || A1A’ patrulaterul A’B’C’A1 este trapez. Din faptul că [A’B’] este linie mijlocie în triunghiul ABC .

În triunghiul dreptunghic AA1B, A1C’ este mediană, deci A1C’ = A’B’, adică A’B’C’A1 este trapez isoscel. Prin urmare A1 aparține cercului determinat de A’, B’, C’ . Analog se arată că punctele B1 și C1 aparțin cercului ce trece prin punctele A’, B’, C’ .

Se demonstrează în continuare că punctul A’1, mijlocul segmentului [AH], aparține cercului determinat de punctele A’, B’, C’. Pentru aceasta se demonstrează că patrulaterul A’1C’A’B’ este inscriptibil. Este suficient să se arate că m(∢A’1C’A’) = 900, analog dovedindu-se că m(∢A’1B’A’) = 90 0. Este ușor de văzut că [C’A’1] este linie mijlocie în triunghiul ABH, deci C’A’1 || BH. Cum BH AC și A’C’ || AC C’A’1 A’C’. Prin urmare patrulaterul A’1C’A’B’ este inscriptibil, adică A’1 se află pe cercul ce trece prin punctele A’, B’, C’ .

Analog se arată că mijloacele B’1 și C’1 ale segmentele [BH] și [CH] se află pe cercul determinat de punctele A’, B’, C’.

Teorema 1.33. A treia teorema a lui Euler

În orice triunghi ABC ortocentrul, centrul de greutate și centrul de greutate și centrul cercului circumscris sunt situate pe o aceeași dreaptă, numită dreapta lui Euler, și HG = 2 GO.

Figura 1.8. Teorema a treia a lui Euler (GeoGebra)

Demonstrație: Fie A’ mijlocul segmentului [BC] și A” punctul diametral opus lui A, iar O centrul cercului circumscris.

Deoarece BH || CA” și CH || BA” patrulaterul BHCA” este paralelogram. A’ este mijlocul segmentului [HA”], deci OA” || AH și OA’ = .

Fie {G} = .

Este evident că triunghiurile AHG și A’OG sunt asemenea, raportul de asemănare fiind AG = 2GA’, ceea ce arată că G este centrul de greutate al triunghiuluiABC. Prin urmare punctele H, G și O sunt coliniare și HG = 2 GO.

Teorema 1.34. Teorema lui Menelaos

Fie ABC un triunghi și fie A’, B’, C’ trei puncte astfel încât . Dacă punctele A’, B’, C’ sunt coliniare, atunci are loc egalitatea :

b#%l!^+a?

Figura 1.9. Teorema lui Menelaos (GeoGebra)

Demonstrație: Proiectăm vârfurile triunghiului ABC pe dreapta determinată de cele trei puncte coliniare A’, B’, C’. Se obțin astfel trei puncte A1, B1, C1, unde A1=prA’C’A, B1=prA’C’B, C1=prA’C’C).

Este ușor de observat că:

, ,

Din triunghiurile asemenea formate

, , .

Prin înmulțirea acestor trei egalități, obținem: .

Teorema 1.35. Reciproca teoremei lui Menelaos

Considerăm un triunghi ABC și fie punctele . Se presupune că două dintre punctele A’, B’, C’ sunt situate pe două laturi ale triunghiului, iar al treilea punct este situat pe prelungirea celei de-a treia sau că toate punctele A’, B’, C’ sunt pe prelungirile laturilor triunghiului. Dacă are loc egalitatea:

(1) , atunci punctele A’, B’, C sunt coliniare.

Demonstrație: Se presupune că. Dreapta A’B’ intersectează latura [AB] în punctul C”. Se aplică teorema lui Menelaos pentru punctele coliniare A’, B’, C” (2) . Din relațiile (1) și (2) .

Deoarece există un singur punct interior unui segment care împarte segmentul într-un raport dat C” = C’ și deci punctele A’, B’, C’ sunt coliniare.

Teorema 1.36. Teorema lui Ceva

Se consideră un triunghi ABC și punctele . Dacă dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente, atunci :

Figura 1.10. Teorema lui Ceva (GeoGebra)

Demonstrație: Fie {P} = .Aplicăm teorema lui Menelaos pentru triunghiul AA’B și punctele coliniare C, P, C’ (1).

Aplicăm acum teorema lui Menelaos pentru triunghiul AA’C și punctele coliniare B, P, B’ rezultă că

(2).

Înmulțind cele două relații (1) și (2) se obține: .

Teorema 1.37. Reciproca teoremei lui Ceva

Fie ABC un triunghi și punctele . Dacă: , atunci dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente.

Figura 1.11. Reciproca teoremei lui Ceva (GeoGebra)

Demonstrație: Fie {P} = BB’CC’ și fie {A”} = PABC. Se aplică teorema lui Ceva pentru triunghiul ABC și dreptele concurente AA”, BB’ și CC’. Rezultă că . Din ultima egalitate și din relația dată în enunț, se obține: b#%l!^+a?. Deoarece A’ și A” sunt puncte interioare segmentului (BC), se obține A’ = A”.

Teorema 1.38. Teorema lui Simson

Proiecțiile ortogonale ale unui punct M de pe cercul circumscris triunghiului ABC pe laturile acestuia sunt coliniare.

Demonstrație: Fie A’ = prBCM, B’ = prACM, C’ = prABM. Patrulaterele AB’MC’, MB’A’C, ABCM sunt inscriptibile. Se unesc A’ cu B’ și separat B’ cu C’.

Atunci:

m(∢A’B’C) = m(∢A’MC) = 900 – m(∢A’CM) = 900 – m(∢C’AM) =

= m(∢C’MA) = m(∢C’B’A).

Figura 1.12. Teoremei lui Simson (GeoGebra)

Prin urmare s-a obținut ∢C’B’A ∢A’B’C, ceea ce arată că punctele A’, B’, C’ sunt situate pe o aceeași dreaptă, numită dreapta lui Simson, a punctului M în raport cu triunghiul ABC.

Teorema 1.39. Teorema Gergonne

Pe laturile unui triunghi ABC se consideră punctele A’, B’, C’ astfel încât dreptele AA’, BB’, CC’ sunt concurente. Fie . Atunci este adevărată relația lui Gergonne : .

Figura 1.13. Teoremei lui Gergonne (GeoGebra)

Demonstrație: Din egalitatea [PAB] +[PAC] + [PBC] = [ABC], se obține :

sau ,

unde h1, h2 , h3 sunt înălțimile triunghiului, iar d1, d2 , d3 sunt distanțele punctului P la laturile corespunzătoare h1=AA1, d1 = PP1.

Deoarece , și

Definiția 1.40. Fie unghiul AOB și M, N două puncte ce aparțin interiorului său. Dreptele OM și ON se numesc izogonale dacă formează același unghi cu laturile unghiului dat.

Figura 1.14. Izogonale în unghi (GeoGebra)

Definiția 1.41. Dreapta care unește un vârf al unui triunghi cu un punct oarecare al laturii opuse se numește ceviană.

b#%l!^+a?

Figura 1.15. Ceviană în triunghi (GeoGebra)

Definiția 1.42. Spunem că într-un triunghi ABC două ceviene AA1 și AA2, cu A1, A2 BC, sunt ceviene izogonale dacă BAA1 CAA2.

Figura 1.16. Ceviene izogonale (GeoGebra)

Definiția 1.43. Dacă în triunghiul ABC, dreapta DE taie dreptele AB în D și AC în E și ADE ≡ ACB, respectiv AED ≡ ABC atunci dreptele DE și BC se numesc drepte antiparalele.

Figura 1.17. Drepte antiparalele (GeoGebra)

Propoziția 1.44. Fie unghiul AOB, izogonalele OM și ON, proiecția ortogonală a punctului M pe latura OA, respectiv OB este punctul MA, respectiv MB iar proiecția ortogonală a punctului N pe latura OA, respectiv OB este punctul NA, respectiv NB. Următoarele propoziții sunt adevărate:

Triunghiurile MMAMB și NNB NA sunt asemenea.

MMB · NNB = MMA· NNA.

Dreptele MAMB și NB NA sunt antiparalele.

Patrulaterul MANA MB NB este inscriptibil.

Dreapta MAMB este perpendiculară pe izogonala ON, respectiv dreapta NB NA este perpendiculară pe izogonala OM .

Figura 1.18. Reprezentarea Propoziției 1.44. (GeoGebra)

Demonstrație:

Din MMA OA și MMB OB OMAMMB patrulater inscriptibil (1)

NNA OA și NNB OB ONANNB patrulater inscriptibil (2)

Patrulaterele fiind inscriptibile, OM și ON izogonale avem:

(3)

Asemănător se demonstrează că MMAMB ≡ NNB NA (4)

Din (3) și (4) MMAMB NNB NA.

Din asemănarea triunghiurilor rezultă relația MMB · NNB = MMA· NNA.

Știind că MA = Pr(OA) M și MB = Pr(OB) M, relația (4) devine

90° m( MMAMB ) = 90° ( NNB NA )

OMAMB ONBNA (5)

rezultă că dreptele MAMB și NB NA sunt antiparalele.

Din relația (5) rezultă că patrulaterul MANA MB NB este inscriptibil.

m ( OMA E) = 90° – m (MBOM)

= 90° – [ m (MBOE) + m (EOM) ]

= 90° – [ m (MBOE) + m (MOMA) ] (OM, ON izogonale)

= 90° – m (EOMA)

m ( OMA E) + m (EOMA) = 90° (sunt unghiuri complementare în triunghiul OEMA).

Prin urmare m(OEMA) = 90° ceea ce implică MAMB ON. b#%l!^+a?

Analog se demonstrează NANB OM.

Teorema 1.45. (Steiner) Dacă în triunghiul ABC, AA1 și AA2 sunt ceviene izogonale cu A1, A2 BC atunci are loc relația

.

Demonstrație:

În triunghiul ABC, deoarece AA1 și AA2 sunt ceviene izogonale atunci = și deci =.

Figura 1.19. Teorema lui Steiner (GeoGebra)

Se vede că și , respectiv și sunt suplementare ceea ce implică

sin() = sin()

sin() = sin()

Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiurile . Deci

Analog demonstrăm că

Prin înmulțirea celor două relații, în urma simplificărilor, obținem

Teorema 1.46. Izogonalele a trei ceviene concurente sunt concurente.

Figura 1.20. Ceviene izogonale concurente (GeoGebra)

Demonstrație: În triunghiul ABC, AA1, BB1 și CC1 sunt trei ceviene concurente și AA2, BB2 și CC2 sunt izogonalele lor. Din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că

(6)

Știind că AA1 și AA2 sunt izogonale, din teorema lui Steiner rezultă că

(7)

În mod analog avem

și (8)

Din (6), (7) și (8) obținem

Din reciproca teoremei lui Ceva rezultă că AA2, BB2 și CC2 sunt concurente.

Definiția 1.47. Izogonala unei mediane se numește simediană.

b#%l!^+a?

Figura 1.21. Simediana în triunghi (GeoGebra)

Un triunghi are trei simediane, fiecare trecând prin câte un vârf. Acestea sunt concurente, iar punctul lor de intersecție se numește punctul simedian al triunghiului și se notează, de regulă, cu litera K.

Din Definiția 1.47. și Teorema 1.44. rezultă că simedianele unui triunghi sunt concurente.

Definiția 1.48. Punctul de concurență al simedianelor unui triunghi se numește punctul lui Lemoine (după matematicianul francez Emile Lemoine) și se notează de regulă cu K.

Figura 1.22. Punctul lui Lemoine (GeoGebra)

Teorema 1.49. (Carnot) Fie ABC un triunghi oarecare. Tangentele duse în vârfuri la cercul circumscris intersectează laturile opuse în trei puncte coliniare A1, B1, C1. Dreapta pe care sunt situate aceste puncte se numește dreapta lui Lemoine a triunghiului.

Figura 1.23. Dreapta lui Lemoine (GeoGebra)

Demonstrație: Fie punctele A1∈BC, B1∈AC și C1∈AB, astfel încât dreptele A1A, B1B și C1C să fie tangente cercului circumscris triunghiului ∆ABC. Trebuie să demonstrăm că punctele A1, B1 și C1 sunt coliniare. Dorim să folosim teorema reciprocă a teoremei lui Menelau. De aceea, vom arăta că:

de unde rezultă că:

Din proporția obținem

Dar și prin urmare

În mod asemănător se obțin relațiile:

Atunci

Din teorema reciprocă a teoremei lui Menelau rezultă că punctele A1, B1 și C1 sunt coliniare.

CAPITOLUL 2.

Geometria tetraedrului

b#%l!^+a?

2.1 Noțiuni de bază privind tetraedrul

Figura din spațiu cu proprietăți asemănătoare cu cele ale triunghiului este tetraedrul. Denumirea tetraedrului provine de la cuvintele grecești tetra=patru, hedra=față.

Definiția 2.1. Dacă punctele A,B,C,D, nu sunt coplanare, mulțimea se numește tetraedru.

Figura 2.1. Tetraedul ABCD (GeoGebra 3D)

Punctele A,B,C,D, sunt vârfurile, segmentele închise [AB], [AC], [AD], [BD], [CD], sunt muchiile, iar suprafețele triunghiulare [ABC], [ABD], [ACD], [BCD] sunt suprafețele tetraedrului.

Pentru desenarea tetraedrului, prin convenție, se consideră că fețele sunt plăci semitransparente și atunci unele muchii, presupuse în spatele unor fețe, se trasează cu linii întrerupte. Interiorul tetraedrului ABCD, se notează cu Int(ABCD) și este intersecția semispațiilor deschise determinate de planele fețelor și vârful opus respectiv, interiorul tetraedrului este o mulțime convexă, fiind o intersecție de mulțimi convexe.

Tetraedrul este poliedrul cu cel mai mic număr de laturi.

Definiția 2.2. Într-un tetraedru numim bimediană segmentul ce unește mijloacele a două muchii opuse.

Orice tetaedru are șase muchii, deci există trei bimediane.

Definiție 2.3. Într-un tetraedru oarecare cele trei bimediane sunt concurente.

Punctul de concurență al bimedianelor este notat cu G și se numește centru de greutate, sau centrul distanțelor medii sau baricentrul tetraedrului.

Definiție 2.4. Într-un tetraedru ABCD, dreptele care unesc punctele A, B, C, D cu centrele de greutate ale fețelor opuse se numesc medianele tetraedrului ABCD.

Cele patru mediane sunt concurente.

Centrul de greutate al unui tetraedru împarte o mediană în două segmente, dintre care cel care conține vârful tetraedrului este triplul celuilalt.

Orice tetraedru poate fi înscris într-o sferă, care are centrul în punctul de intersecție al planelor mediatoare ale muchiilor tetraedrului și care este în același timp și punctul de intersecție aș perpendicularelor ridicate pe fețele tetraedrului în centrele cercurilor circumscrise acestora.

Definiție 2.5. Volumul tetraedrului ABCD este produsul dintre aria unei fete si o treime din lungimea înălțimii perpendiculare pe ea.

Volumul tetraedrului ABCD se va nota prin VABCD sau |ABCD|; când nu vor fi posibile confuzii se va nota doar V.

Lema 2.6. Într-un tetraedru, produsul dintre aria unei fețe și înălțimea corespunzătoare nu depinde de alegerea feței.

2.2 Tetraedre particulare

Tetraedrele pot fi clasificate după mai multe criterii. Punând condiții asupra fețelor tetraedrului se remarcă:

tetraedrul izofacial sau piramida triunghiulară regulată: o față triunghi echilateral, celelalte trei isoscele.

tetraedrul echifacial: având fețele triunghiuri echivalente, sau, ceea ce revine la același lucru, de perimetre egale.

tetraedrul regulat: toate fețele sunt triunghiuri echilaterale.

tetraedre tridreptunghice: având trei fețe triunghiuri dreptunghice, cu unghiuri drepte în același vârf, etc.

Prin condiții asupra lungimilor muchiilor se disting tetraedrele:

tetraedre echifaciale (muchii opuse egale);

tetraedre regulate;

tetraedre izodinamice (produsele muchiilor opuse egale);

tetraedre ”Crelle” (sumele muchiilor opuse egale);

tetraedre ortocentrice (sumele pătratelor muchiilor opuse egale).

Există și alte criterii de particularizare:

după unghiuri diedre;

după unghiuri triedre;

după distante între muchiile opuse; b#%l!^+a?

după unghiuri formate de muchiile opuse;

după lungimile sau pozițiile reciproce ale unor linii importante din tetraedru. Având în vedere largile posibilități de individualizare a unor tetraedre particulare, se impune fixarea atenției doar asupra unor particularizări ce asigură suficiente proprietăți geometrice suplimentare.

2.2.1. Tetraedre Crelle

În general nu există o sferă care să fie tangentă la toate muchiile unui tetraedru. Cu toate acestea, pentru unele tetraedre particulare o astfel de sferă există.

Teorema 2.7. Teorema lui Crelle Fiind dat un tetraedru ABCD există o sferă tangentă celor șase muchii ale tetraedrului, dacă și numai dacă are loc condiția:

AB + CD = AC + BD = AD + BC

unde AB, CD, AC, BD, AD și BC sunt muchiile tetraedrului.

Demonstrație:

” ⇒ ” Implicația este evidentă datorită proprietății de congruență a tangentelor¸ dintr-un punct exterior.

” ⇐ ” Presupunem că este îndeplinită condiția:

AB + CD = AC + BD = AD + BC.

Rezultă: AC + AB − BC = AD + AB − BD si AB + BC − AC = BD + BC − CD.

Prima relație arată că cercul înscris în triunghiul ABC are punctul de contact cu AB identic cu punctul de contact al lui AB cu cercul înscris în triunghiul ABD. Deci există o sferă ce conține cele două cercuri (înscris în ABC și înscris în ABD). Există deci punctele M, N, O, P, Q în sfera care este tangentă segmentelor [BC], [AC], [AD], [BD], [AB]. Se consideră planul (BDC) și cercul de intersecție determinat de plan și sfera considerată. Relația a doua dovedește că punctul de contact cu BC al cercului înscris în triunghiul BDC și punctul de contact cu BC al cercului înscris în triunghiul ABC coincid. Cum, cercul de intersecție dintre planul BDC și sferă este tangent muchiilor tetraedrului în P și M, iar pe de alta parte prin P și M trece cercul înscris în triunghiul BDC, rezultă că cercul de intersecție dintre planul (BDC) și sferă si cercul înscris în triunghiul BDC coincid. Deci sfera este tangentă și muchiei [CD], ceea ce demonstrează teorema.

Definiție 2.8. Tetraedrele cu proprietatea că există o sferă hexatangentă muchiilor se numesc tetraedre Crelle.

Teorema 2.9. Teorema lui Brianchon în spațiu Într-un tetraedru Crelle cele trei segmente ce unesc punctele de contact de pe muchiile opuse ale sferei hexatangente sunt concurente.

Figura 2.2. Teorema lui Brianchon în spațiu (GeoGebra 3D)

Demonstrație: Se folosește Teorema lui Menelaus în spațiu pentru patrulaterul¸ ABCD și rezultă că dreptele RC și SM sunt coplanare, deci RM ∩ SP ∅. Analog se arată că NQ ∩ SP ∅ si RM ∩ NQ ∅.

Cum dreptele RM, SP, NQ nu pot fi coplanare rezultă că sunt concurente deoarece dacă în spațiu trei drepte se intersectează două câte două, atunci ele sunt sau coplanare sau concurente. Să demonstrăm această proprietate.

Fie dreptele a, b și c și să presupunem că nu sunt concurente. Fie P planul determinat de dreptele a si b. Cum dreapta c intersectează atât pe a cât și pe b și cele trei puncte de intersecție sunt două câte două diferite, rezultă că dreapta c are două puncte diferite în planul P, deci este în întregime conținută în acest plan. S-a demonstrat astfel că dreptele a, b și c sunt coplanare.

Propoziția 2.10. Într-un tetraedru Crelle ABCD, unde

, volumul V și raza ρ a sferei hexatangente satisfac egalitatea:

.

2.2.2. Tetraedre echifaciale

Tetraedrul cu cele patru fețe triunghiuri congruente se numește isoscel sau b#%l!^+a?echifacial.

Tetraedul echifacial are următoarele proprietăți remarcabile:

perechile de muchii opuse sunt egale;

bimedianele sunt ortogonale două câte două: adică ele determină un triedru tridreptunghic având originea în G, și întâlnesc dreptele suport ale muchiilor tetraedrului sub unghiuri drepte;

fiecare muchie este egal înclinată față de fețele neadiacente cu ea;

bisectoarele unghiurilor sub care se văd din centrul de greutate două muchii opuse tetraedrului sunt bimedianele;

patru puncte remarcabile coincid, mai precis: centrul de greutate, punctul lui Monge, centrul sferei circumscrise și centrul sferei înscrise;

suma algebrică a distanțelor unui punct arbitrar din spațiu la fețele tetraedrului este constantă;

volumul tetraedrului este egal cu a treia parte din produsul segmentelor bimediane

unde a, b, c sunt lungimile laturilor triunghiului;

cele patru triedre ale tetraedrului sunt congruente, din această cauză suma diedrelor triedrelor este constantă;

fețele sunt întotdeauna triunghiuri ascuțitunghice;

cele patru înălțimi ale tetraedrului echifacial sunt egale;

punctele de contact ale sferei înscrisă, în tetraedrul echifacial, cu fețele sunt centrele cercurilor circumscrise acestora, iar punctele de contact interne ale fețelor cu sferele exînscrise sunt ortocentrele acestor fețe;

există cinci sfere tangente la fețele tetraedrului și anume sfera înscrisă și cele patru sfere exînscrise;

există patru sfere exîncrise la muchiile unui tetraedru echifacial.

Alte clase de tetraedre particulare sunt cele în care doar două fețe sunt egale, ori trei fețe egale, sau care au fețele egale două câte două. În acest din urmă caz, există două bimediane care sunt în același timp și perpendicularele comune ale muchiilor opuse corespunzătoare.

Un tetraedru echifacial care are o pereche de muchii opuse perpendiculare, este regulat.

2.3.3. Tetraedre ortocentrice

Se știe că, în general, înălțimile unui tetraedru nu sunt două câte două secante, deci nici concurente.

Definiție 2.11. Un tetraedru se numește tetraedru ortocentric dacă muchiile sale opuse sunt perpendiculare.

Teorema 2.12. Un tetraedru ABCD este ortocentric dacă și numai dacă înălțimile sale sunt concurente.

Punctul H de intersecție al înălțimilor unui tetraedru se numește ortocentrul tetraedrului.

Teorema 2.13. Înălțimile din A și D ale unui tetraedru ABCD sunt secante dacă și numai dacă are loc următoarea egalitate: AB2 + CD2 = DB2 + AC2

Teorema 2.14. Fie ABCD un tetraedru

AD = BC dacă și numai dacă înălțimile din A și D sunt concurente.

Dacă înălțimile din A și D sunt concurente, atunci și celelalte două înălțimi din B și C sunt concurente.

În general o muchie a unui tetraedru ABCD nu este perpendiculară pe muchia opusă, însă dacă una dintre muchii, de exemplu AB este perpendiculară pe CD, atunci înălțimile duse din vârfurile A și B sunt coplanare și sunt de asemenea coplanare înălțimile coborâte din vârfurile C și D reciproc. Un tetraedru care are perechile de muchii opuse ortogonale se numește tetraedru ortocentric.

Teorema 2.15. Tetraedru ABCD este ortocentric dacă și numai dacă proiecția ortogonală a unui vârf pe planul feței opuse coincide cu ortocentrul acelei fețe.

Teorema 2.16. Înălțimile unui tetraedru sunt concurente într-un punct H dacă și numai dacă tetraedrul este ortocentric.

b#%l!^+a?

Figura 2.3. Tetraedru ortocentric (GeoGebra 3D)

Un tetraedru ortocentric are următoarele proprietăți:

picioarele înălțimilor sunt ortocentrele fețelor corespunzătoare;

centrele de greutate ale fețelor sunt vârfurile unui tetraedru ortocentric, care este omotetic cu tetraedrul inițial față de G, din această cauză perpendicularele ridicate pe fețele unui tetraedru ortocentric în centrele de greutate ale acestor fețe sunt concurente într-un punct H, care se găsește pe dreapta GH;

suma pătratelor a două muchii opuse este egală cu de patru ori pătratul distanței dintre mijloacele a două muchii opuse. Din aceasta cauză, într-un tetraedru ortocentric suma pătratelor muchiilor opuse este constantă.

perpendiculara comună a perechilor de muchii opuse (axele tetraedrului) trec prin H și punctele lor de sprijin pe aceste muchii sunt picioarele înălțimilor fețelor tetraedrului;

ortocentrul împarte fiecare dintre aceste drepte, cele patru înălțimi și cele trei axe, în două segmente al căror produs este constant;

într-un tetraedru ortocentric produsul cosinusurilor a două diedre opuse este constant;

vârfurile unui tetraedru ortocentric și ortocentrul său determină un pentagon. Fiecare vârf al acestui pentagon este ortocentrul tetraedrului determinat de celelalte patru vârfuri (pentagon ortocentric)

într-un tetraedru ortocentric, mijloacele muchiilor și picioarele înălțimilor fețelor sunt douăsprezece puncte care se găsesc pe aceeași sferă (prima sferă a celor douăsprezece puncte) având centrul în centrul de greutate al tetraedrului și raza egală cu jumătatea din lungimea unei bimediane;

centrul de greutate al unui tetraedru ortocentric și ortocentrele fețelor acestuia aparțin aceleiași sfere, a cărei rază este egală cu a treia parte a razei sferei circumscrise tetraedrului. Această sferă împarte segmentele înălțimilor cuprinse între vârfuri și ortocentru în raportul 2 : 1 (cea de-a două sferă a celor douăsprezece puncte);

într-un tetraedru ortocentric mijloacele segmentelor înălțimilor cuprinse între vârfuri și ortocentru aparțin unei sfere cu centrul în G a cărei rază este egală cu jumătatea razei sferei circumscrise.

CAPITOLUL 3.

Analogie triunghi – tetraedru

Se știe că tetraedrul este corespondentul triunghiului în spațiul cu trei dimensiuni. Dintre toate tetraedrele singurul care permite evidențierea unei multitudini de relații între elementele sale, urmărind cu fidelitate relațiile din geometria triunghiului este tetraedrul echifacial.

3.1. Aria triunghiului și volumul unui tetraedru

Aria unui triunghi este semiprodusul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare ei.

Teorema 3.1. Dacă AM, BN, CP sunt înălțimile triunghiului atunci le notăm cu iar laturile le notăm cu a, b,c și vom avea .

O alta formula de baza este si .

Definiția 3.2. Aria triunghiului echilateral este , unde l reprezintă latura triunghiului.

Definiția 3.3. Aria unui triunghi dreptunghic este

Se poate face analogia cu următoarea teoremă:

Teorema 3.4. În orice tetraedru produsul dintre aria unei fețe și înălțimea corespunzătoare ei este același oricare ar fi fața și înălțimea corespunzătoare ei. Doar că în cazul tetraedrului vor fi mai multe arii decât în cazul triunghiului.

Calculul volumului tetraedrului este analog cu calculul ariei unui triunghi egală cu semiprodusul dintre lungimea unei laturi și înălțimea corespunzătoare (semiprodus constant indiferent de latura aleasă). Așadar volumul unui tetraedru este o treime din aria bazei (care este un triunghi) și înălțimea: , formula este valabilă doar pentru un tetraedru regulat cu latura a.

Pentru un tetraedru echifacial volumul este

.

Într-un tetraedru Crelle ABCD unde AB = c, AC = b, BC = a, AD+BC = s, volumul V și raza r a sferei hexatangente satisfac egalitatea . Se observa analogia cu formula lui Heron pentru aria triunghiului.

Definiție 3.5. Volumul tetraedrului echifacial este egal cu a treia parte a produsului segmentele bimediane.

Teorema 3.6. Proprietatea de aditivitate pentru arii într-un triunghi.

În triunghiul ABC fie M[BC]. Atunci : SABC = SABM + SACM .

Figura 3.1. Aditivitatea pentru arii într-un triunghi (GeoGebra)

Această proprietate este foarte ușor de demonstrat, având în vedere că ambele triunghiuri au aceeași înălțime CE, dar este importantă în aplicații practice, când vrem să calculam aria unei figuri geometrice pentru care nu avem o formulă specifică pentru calculul ariei.

Teorema 3.7. Proprietatea de aditivitate pentru volume într-un tetraedru.

Fie tetraedrul [ABCD] și un plan prin dreapta AD care taie muchia [BC] într-un punct interior M. Atunci: VABCD = VDAMC + VDAMB.

Figura 3.2. Aditivitatea pentru volume într-un tetraedru (GeoGebra 3D)

Dacă M este un punct interior triunghiului ABC, atunci are loc: b#%l!^+a?

VABCD = VABMD+ VAMCD + VMBCD

Așadar, analogia triunghi – tetraedru se continuă în corespondența arie – volum și se corelează cu trecerea de la 2 la 3. Se face observația că două tetraedre congruente au același volum și că două tetraedre cu ariile a două fețe respectiv egale și înălțimile corespunzătoare egale au același volum.

3.2. Centre de greutate pentru triunghi și tetraedru

Teorema 3.8. Medianele unui triunghi sunt concurente într-un punct notat cu G și denumit centru de greutate al triunghiului care se află pe fiecare mediană la 2/3 de vârf.

Linia mijlocie este segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale triunghiului. Lungimea acesteia este egală cu jumătate din lungimea laturii cu care este paralelă.

Definiție 3.9. Într-un tetraedru numim bimediană segmentul care unește mijloacele a două muchii opuse. Orice tetraedru are șase muchii, deci există trei bimediane.

Teorema 3.10. Punctul de concurență al bimedianelor, notat cu G se numește centrul de greutate, sau centrul distanțelor medii, sau baricentrul tetraedrului.

Figura 3.3. Centrul de greutate pentru tetraedru (GeoGebra 3D)

Și cele patru mediane ale unui tetraedru sunt concurente în baricentrul sau centrul de greutate G al tetraedrului la distanța de 3/4 de vârf și 1/4 de bază, pe fiecare mediană.

Propoziția 3.11. Analogia dintre plan și spațiu a unui raport important:

a) Fie (T)=A1A2A3 un triunghi și G centrul său de greutate. O dreaptă care trece prin G intersectează perimetrul triunghiului în punctele P și Q. Atunci are loc relația:

b) Fie (T)=A1A2A3A4 un tetraedru și G centrul său de greutate. O dreaptă care trece prin G intersectează suprafața tetraedrului în punctele P și Q. Atunci are loc relația:

Demonstrație: a): Presupunem că și . Notăm cu mijloacele laturilor , cu M și S punctele de intersecție ale dreptei A1G1 și cu N și T punctele de intersecție ale dreptei A1A3 cu paralelele duse prin punctul A la dreptele PQ și respectivA3G3.

Figura 3.3. Reprezentare pentru propoziția 3.11. (1) (GeoGebra)

Considerând triunghiul A2TN tăiat de transversala A1-M-S, obținem:

Pe de altă parte, întrucât: b#%l!^+a?

și

Ținând acum seama de relațiile (1), (2) și (3), obținem că:

Avem însă:

În fine, din relațiile (4) și (5), rezultă că:

b) Notăm cu mijlocul muchiei și să presupunem că și

Deosebim două cazuri:

Cazul I: Dacă: , atunci:

Figura 3.4. Reprezentare pentru propoziția 3.11. (2) (GeoGebra 3D)

Notăm cu M și N punctele de intersecție ale paralelei duse prin vârful A1 la dreapta PQ cu dreptele M12M34 și A2M34, iar cu S și T punctele de intersecție ale acestor două drepte cu paralela dusă prin vârful A1 la dreapta A2G2.

Avem:

Considerând în triunghiul A1TN transversala S-M-M34, obținem relația:

Așa că, din relațiile (1) și (2), obținem că:

Figura 3.5. Reprezentare pentru propoziția 3.11. (3) (GeoGebra)

Întrucât:

avem:

b#%l!^+a?

Figura 3.6. Reprezentare pentru propoziția 3.11. (4) (GeoGebra 3D)

Cazul II:

1). Notând cu și cu , potrivit analoagei plane a problemei, avem atunci:

Considerăm punctele astfel încât să avem: și să observăm acum, că în virtutea inegalităților (4) avem: .

Figura 3.7. Reprezentare pentru propoziția 3.11. (5) (GeoGebra)

Să considerăm acum punctul pentru care avem: În triunghiul A1X1Z1 punctul G joacă același rol cu punctul G din triunghiul A1A2M34, așa că notând cu și ținând seama de cele demonstrate în cazul 1, avem:

2). Considerând acum punctele și cu (v. Fig.4), rolurile punctelor P și Q în triunghiurile A1X1Y1, A2X2Y2 se inversează; așa că făcând același raționament în triunghiul A2X2Y2, ca și în cazul triunghiului A1X1Y1, ajungem la inegalitatea:

3.3. Cerc înscris în triunghi si sferă înscrisă în tetraedru

Definiție 3.12. Bisectoarele unghiurilor unui triunghi sunt concurente într-un punct notat cu I și numit centrul cercului înscris triunghiului. Este suficient să trasăm două bisectoare pentru a găsi centrul acestui cerc.

Triunghiul care are laturile tangente la un cerc se numește triunghi circumscris acelui cerc. Cercul tangent la laturile unui triunghi se numește cerc înscris în triunghi.

Figura 3.8. Concurența bisectoarelor unghiurilor unui triunghi (GeoGebra)

Centrul cercului înscris în triunghi I este punctul de intersecție al bisectoarelor unghiurilor triunghiului. Raza cercului înscris verifică relația , unde este aria triunghiului ABC, iar P = AB + AC + BC, iar aria triunghiului ABC este suma ariilor triunghiurilor AIB, BIC, CIA.

b#%l!^+a?

Figura 3.9. Concurența planurilor bisectoare pentru tetraedru (GeoGebra 3D)

Tot așa cum un cerc poate fi înscris într-un triunghi, și o sferă poate fi înscrisă într-un tetraedru. Centrul sferei înscrise în tetraedru se află la intersecția planelor bisectoare ale unghiurilor diedre ale tetraedrului. Sunt suficiente trei plane bisectoare pentru a determina centrul acestei sfere.

Planele bisectoare ale diedrelor unui tetraedru sunt concurente într-un punct notat cu I și numit centrul sferei înscrise tetraedrului (deci, orice tetraedru admite o singură sferă înscrisă lui).

3.4. Cerc circumscris unui triunghi și sferă circumscrisă unui tetraedru

Definiția 3.13. Centrul cercului circumscris triunghiului reprezintă intersecția celor trei mediatoare (perpendiculare pe mijlocul fiecărei laturi) ale triunghiului.

Figura 3.10. Cerc circumscris unui triunghi (GeoGebra)

Fie C(0;R) cercul circumscris de raza R, atunci avem OA = 0B = 0C = R, iar

R =, unde a, b, c sunt laturile triunghiului, iar aria triunghiului ABC.

Simetricele ortocentrului triunghiului față de mijloacele laturilor triunghiului aparțin cercului circumscris triunghiului. Asemenea, simetricele ortocentrului triunghiului față de laturile triunghiului aparțin cercului circumscris triunghiului.

Legătura între raza cercului înscris și raza cercului circumscris unui triunghi este dată de relația lui Euler , unde d este distanța dintre centrul cercului circumscris și centrul cercului înscris în triunghi, R raza cercului circumscris și r raza cercului înscris în triunghi.

Un tetraedru regulat este și el înscris într-o sferă. Pentru a defini un tetraedru regulat sunt necesare următoarele: coordonatele centrului sferei și lungimea raze.  

Figura 3.11. Sferă circumscrisă unui tetraedru cu centrul în intersecția planelor mediatoare ale muchiilor tetraedrului (GeoGebra 3D)

Sfera circumscrisă trece prin toate vârfurile tetraedrului. Perpendicularele ridicate în centrul fețelor trec prin centrul poliedrului sau al sferei circumscrise.

Orice tetraedru poate fi înscris într-o sferă care are centrul în punctul de intersecție al planelor mediatoare ale muchiilor tetraedrului și care este în același timp și punctul de intersecție al perpendicularelor ridicate pe fetele tetraedrului în centrele cercurilor circumscrise acestora.

3.5. Bisectoare în triunghi și planul bisector în tetraedru

Teorema 3.14. Fie triunghiul ABC și (AD bisectoarea unghiului BAC, D(BC). Atunci : .

b#%l!^+a?

Figura 3.12. Bisectoarele unui triunghi (GeoGebra)

Teorema 3.15. (Lungimea bisectoarei) În orice triunghi cu laturile de lungimi a,b,c avem , unde la este lungimea bisectoarei din unghiul A.

Într-un triunghi, bisectoarele sunt concurente, conform reciprocei teoremei lui Ceva, în centrul cercului înscris triunghiului.

Planul bisector al unui diedru al tetraedrului [ABCD] împarte muchia opusă într-un raport egal cu raportul ariilor fețelor care formează acel diedru. : Fie {E} =BC(ADE), (ADE) planul bisector diedrului , h = dist(E; (DAB)) = dist(E; (DAB)): .

Figura 3.13. Plan bisector pentru tetraedru (GeoGebra 3D)

Prin planul bisector un triedru este împărțit în două triedre identice; în figura de mai sus, triedrul cu vârful în A are un plan bisector pe (OAM). Planul bisector al triedrului în D3 este echivalentul bisectoarei unghiului din D2.

Planul bisector al unui diedru propriu este locul geometric al punctelor din interiorul diedrului egal depărtate de fețele diedrului.

Cele patru bisectoare ale triedrelor unui tetraedru sunt concurente.

3.6. Cercul lui Euler și sfera lui Euler

Teorema 3.16. În orice triunghi mijloacele laturilor, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor care unesc ortocentrul cu vârfurile triunghiului sunt situate pe același cerc. Aceste 9 puncte sunt conciclice și formează cercul lui Euler.

Considerăm triunghiul și notăm cu C cercul circumscris triunghiului. Fie punctele din enunțul propoziției.

Notăm cu punctul diametral opus lui și arătăm că este simetricul lui față de .

b#%l!^+a?

Figura 3.14. Cercul Euler (GeoGebra)

Pentru aceasta observăm că (din poziția lui față de și ). Dacă atunci este linie mijlocie în triunghiul , adică ceea ce înseamnă că coincide cu și .

Fie C. Arătăm că este simetricul lui față de . Pentru aceasta fie proiecția lui pe . Atunci și

, adică .

În concluzie, punctele Q, S, T, V, U se găsesc pe cercul C îndeplinind următoarele relații:

Pe de altă parte folosindu-ne de omotetia avem , , , , , ,

, , ,

ceea ce înseamnă că punctele sunt situate pe omoteticul cercului C prin omotetia , care este un cerc cu centrul în mijlocul segmentului și de rază .

Analogul cercului lui Euler pentru triunghi avem sfera lui Euler.

Teorema 3.17. Într-un tetraedru oarecare, centrele de greutate ale fețelor, punctele care împart segmentele ce unesc anticentrul cu vârfurile în raportul 1/2 și proiecțiile acestor puncte pe fața opusă sunt 12 puncte cosferice (sfera lui Euler a tetraedrului).

Figura 3.15. Centrul sferei lui Euler (GeoGebra 3D)

Demonstrație: Fie O centrul sferei circumscrise, G centrul de greutate, K anticentrul tetraedrului ABCD. Fie astfel încât centrul de greutate al acestei fețe. Fie astfel încât .

În triunghiul AKG, din reciproca teoremei lui Menelaus, rezultă că sunt coliniare.

În triunghiul se poate scrie relația

Deci adică .

Triunghiul este dreptunghic în și atunci .

cu raportul .

Deci prin centrele de greutate ale fețelor, , prin punctele și prin proiecțiile lor pe fețele opuse, trece o sferă de rază .

3.7. Relația lui Steiner în plan și spațiu

Teorema 3.18. Se consideră triunghiul și punctele doua ceviene izogonale și ( atunci:

. b#%l!^+a?

Demonstrație: Fie inversiunea și

.

m și m și (la arce congruente corespund coarde congruente). Prin urmare avem următoarele relații:

.

Figura 3.16. Demonstrație relația lui Steiner în spațiu (GeoGebra 3D)

Teorema 3.19. Fie tetraedrul [ABCD], iar E; F (AD). Planele (BCE) și (BCF) sunt izogonale (simetrice față de planul bisector al diedrului A(BC)D) dacă și numai dacă: EA·FA·S2A = ED·FD· S2D .

Demonstrație: Fie Fd = pr(ABC)F, Ed = pr(ABC)E, D’ = pr(ABC)D Ed, Fd, D’ coliniare.

Aplicând teorema fundamentală a asemănării obținem:

(1) și (2)

Fie A’ = pr(BCD)A, Ea = pr(BCD)E, Fa = pr(BCD)F A’, Ea, Fa coliniare. Aplicând teorema fundamentală a asemănării obținem: (3) și (4).

Din cele patru egalități (1), (2), (3), (4) obținute deducem că:

EEa · FFa ·(SD · DD’)2 = EEd · FFd · (SA ·AA’)2

și cum SD · DD’= SA ·AA’ EEa · FFa = EEd · FFd (*)

Observăm că este constant atâta timp cât este fixat planul (BCE). Egalitatea (*) obținută prin ignorarea orientărilor este echivalentă cu asemănarea triunghiurilor EEdEa și FFaFd

EEaEd FFdFa.

Cum EOYEEaEd și FOX FFdFa din patrulaterele inscriptibile OEdEEa respectiv OFdFFa rezultă conform (*) D(BC)F E(BC)A.

CAPITOLUL 4.

Matematica aplicată – teoreme analoage triunghi – tetraedru

4.1. Teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic și teorema analoagă teoremei înălțimii în tetraedru

Teorema 4.1. (Teorema înălțimii) În orice triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii dusă din vârful unghiului drept este media proporțională sau geometrică între lungimile segmentelor determinate de înălțime pe ipotenuza.

Figura 4.1. Teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic (GeoGebra)

Fie dreptunghic în A și AD, DBC .

Demonstrație: ~ ( fiind unghiuri cu laturi perpendiculare). De aici rezultă că .

Teorema 4.2. Reciprocele teoremei înălțimii:

Dacă în Δ ABC, BAC=90 si AD=BD∙DC atunci ADBC

Dacă în Δ ABC, ADBC si AD= BD∙DC, atunci BAC=90

Teorema 4.3. În tetraedrul dreptunghic [ABCD] în A cu avem

, , b#%l!^+a?

Figura 4.2. Teorema înălțimii în tetraedru (GeoGebra 3D)

Demonstrație: În triunghiul , M fiind ortocentrul său avem și exprimând

.

Și cum în dreptunghic în A avem conform teoremei înălțimii . Analog se pot demonstra și celelalte relații.

4.2. Teorema catetei în triunghiul dreptunghic și teorema analoagă teoremei catetei pentru tetraedru

Teorema 4.4. (Teorema catetei) În orice triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică (proporțională) între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.

Fie dreptunghic în A și: AD, DBC și

Demonstrație: Pentru înțelegerea demonstrației se folosește figura 4.1.

~ în contextul în care este un unghi comun. De aici rezultă că .

Teorema 4.5. (Reciproca 1 a teoremei catetei) Dacă într-un triunghi ABC, ADBC și AB= BD∙BC →BAC = 90

Teorema 4.6. (Reciproca 2 a teoremei catetei) Dacă într-un triunghi ABC

BAC=90 și AB=BD∙BC → ADBC

Teorema 4.7. În tetraedrul dreptunghic [ABCD] în A cu avem , , .

4.3. Teorema medianei și teorema analoagă medianei pentru tetraedru

În geometria plană, teorema medianei stabilește o relație între lungimea unei mediane dintr-un triunghi și lungimile laturilor triunghiului. Teorema medianei este un caz particular al teoremei lui Stewart.

Teorema 4.8. (Teorema medianei) Într-un triunghi oarecare ABC, cu AM mediana pe latura BC și unde AB = c, AC = b, BC = a este .

Demonstrație: Putem obține o legătură între laturile triunghiului ducând o înălțime pe latura BC, AD = x și folosind Teorema lui Pitagora. Se va nota BD = y, MD = z, CD = w

și ) (3).

Dacă scădem între ultimele două relații obținem:

.

Notam ultima relație cu (4). Daca scădem relațiile (1) și (2) vom obține

.

Se va înlocui în relația (4) și vom avea:

b#%l!^+a?

.

Înmulțind ultima relație cu 2 se obține expresia dorită

Propoziția 4.9. Într-un triunghi dreptunghic lungimea medianei corespunzătoare unghiului drept este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Demonstrație: Dacă se consideră triunghiul dreptunghic și cercul circumscris lui atunci triunghiul este înscris într-un semicerc. În acest context ipotenuza este diametrul cercului circumscris și deci, măsoară cât două raze. Mediana AO este rază a cercului circumscris. Propoziția este demonstrată.

Figura 4.3. Reprezentarea propoziției 4.9. (Geogebra)

Lungimea unei mediane este teorema analoaga pentru tetraedru.

Propoziția 4.10. Fie tetraedrul ABCD, AG o mediana a tetraedrului, unde G este centrul de greutate al fetei BCD. Atunci

.

Demonstrație: Fie M mijlocul laturii CD. Se va aplica relația lui Stewart în triunghiul ABM, . În această relație se vor folosi expresiile date de teorema medianei aplicată în triunghiul ACD pentru mediana AM și în triunghiul BCD pentru mediana BM. Se obține astfel lungimea medianei tetraedrului.

Propoziția 4.11. Lungimea bimedianei: Fie tetraedrul oarecare ABCD, M mijlocul muchiei AB si mijlocul muchiei opuse CD. Atunci

.

4.4. Teorema lui Pitagora și analoaga teoremei lui Pitagora

Teorema 4.12. (Teorema lui Pitagora) În orice triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma pătratelor lungimilor catetelor. În dreptunghic în A are loc relația BC=AB+ AC.

Demonstrație: În aplicăm de două ori teorema catetei:

și .

Adunând aceste două relații avem

.

Teorema 4.13. (Reciproca teoremei lui Pitagora): Dacă într-un triunghi pătratul lungimii unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, atunci triunghiul este dreptunghic.

Pentru tetraedrul avem următoarea teoremă analoagă:

Teorema 4.14. În tetraedrul dreptunghic [ABCD] în A cu avem

.

Demonstrație: Folosind teorema într-un tetraedru tridreptunghic proiecția vârfului celor trei unghiuri drepte pe planul feței opuse acestuia, este ortocentrul acestei fețe. Așa dar va rezulta

.

CAPITOLUL 5.

Metode de rezolvare a problemelor din geometria triunghiului și tetraedrului

5.1. Metode generale

5.1.1. Metoda sintezei

Problemele de demonstrație sunt probleme prin rezolvarea cărora se urmărește stabilirea sau verificarea unei relații, găsirea unor proprietăți noi ale figurilor date sau, în general, să se justifice dacă o afirmație pe care am formulat-o mai înainte referitoare la o b#%l!^+a?proprietate a unei figuri geometrice este adevărată sau nu.

Rezolvarea problemelor de demonstrație ajută la însușirea temeinică a cunoștințelor de geometrie, la dezvoltarea gândirii logice, constituind în același timp primii pași spre o muncă creatoare în acest domeniu.

Aplicația 1. Într-un triunghi, punctul de concurență al bisectoarelor interioare este ortocentrul triunghiului care se obține unind punctele de intersecție ale acestor bisectoare cu cercul circumscris triunghiului dat.

Rezolvare :

Fie ABC triunghiul înscris în cercul O, iar D punctul de concurență al bisectoarelor interioare ale triunghiului ABC. M, N, P sunt punctele unde bisectoarele (AD, (CD și (BD intersectează cercul O (fig. 1) . Problema cere să se arate că punctul D este ortocentrul triunghiului MNP.

Figura 5.1. Reprezentarea aplicației 1. (GeoGebra)

Din enunțul problemei se vede clar că pentru a demonstra este suficient să arătăm că bisectoarele interioare ale triunghiului ABC sunt, respectiv, înălțimile în triunghiul MPN. Pentru aceasta putem să ne folosim de suma unghiurilor interioare unui triunghi și de măsura unghiurilor înscrise în cerc.

Într-adevăr, fie E punctul de intersecție al bisectoarei A cu latura NP. În triunghiul DEN aplicăm teorema privitoare la suma unghiurilor interioare unui triunghi :

= 1800

Observăm că DNE este egal cu DBC pentru că au aceleași măsuri, adică :

DNE = DBC =

Pe de altă parte, ținând seama că prin ipoteză (BD este bisectoarea unghiului ABC, egalitatea 2 se mai poate scrie :

DNE = DBC =

Unghiul NDE fiind un unghi cu vîrful în interiorul unui cerc, măsura lui este egală cu semisuma arcelor cuprinse între laturile sale, deci:

NDE =

Observând că:

= și =

Atunci egalitatea 4 se mai poate scrie:

DNE =

Înlocuind în prima egalitate primele două unghiuri cu valorile lor găsite în relațiile a treia și a șasea, obținem:

++ NED = 1800

sau:

+ NED = 1800

Însă, ținând seama că în triunghiul ABC , avem :

A + B + C = 1800,

iar:

= 900.

relația a opta se mai poate scrie:

900 + NED = 1800

sau: NED = 900

Acest rezultat ne spune că bisectoarea (AD a unghiului A din triunghiul BAC este înălțime în triunghiul NMP, dusă din vârful M pe latura NP.

În mod asemănător , se poate arăta că bisectarele (BD și (CD sunt perpendiculare, b#%l!^+a?respectiv pe MN și MP. De aici rezultă că cele trei bisectoare interioare ale triunghiului ABC se intersectează, fiind înălțimi în triunghiul MNP, punctul de concurență al bisectoarele este ortocentru în triunghiul MNP.

5.1.2. Metoda analizei

La rezolvarea unei probleme prin analiză se pornește de la concluzia B și se caută o propoziție C care s-o implice pe B.

Căutăm o altă propoziție D din care s-o deducem pe C, apoi o propoziție E din care s-o deducem pe D și așa mai departe, până când reușim să găsim o propoziție A din care să putem deduce propoziția precedentă.

Practic se procedează astfel:

a) se presupune că propoziția de demonstrat este adevărată .

b) se pune următoarea întrebare :

De unde reiese imediat concluzia teoremei? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei propoziții mai puțin necunoscută decât cea dată de teoremă. Să numim această propoziție, de exemplu, C.

c) O întrebare asemănătoare se pune și pentru propoziția C.

De unde reiese imediat concluzia propoziției C? Răspunsul la această întrebare duce la formularea unei noi propoziții, mai puțin necunoscută decât C. Să numim această nouă propoziție, de exemplu, D.

d) Acest proces se repetă până când se obține o propoziție cunoscută, stabilită mai înainte.

e) O dată ajuns la acest adevăr, raționamentul decurge mai departe după metoda sintezei.

Din felul cum se aplică metoda analizei se poate vedea clar că fiecare etapă nu se desfășoară prin încercări, ci este legată de propozițiile precedente, așadar raționamentele sunt motivate.

Aplicația 2. Proiecțiile ortogonale pe laturile unui triunghi ale unui punct de pe cercul circumscris lui, sunt coliniare.

Rezolvare: Fie O cercul circumscris triunghiului ABC și M un punct de pe acest cerc. Punctele D, F, E sunt picioarele perpendicularelor duse din punctul M pe laturile triunghiului ABC. Teorema afirmă că punctele D, F, E sunt coliniare.

Figura 5.2. Reprezentarea aplicației 2. (GeoGebra)

Presupunem că punctele D, F, E sunt coliniare ; să vedem ce consecințe decurg din această presupunere.

Dacă punctele D, F, E se află pe aceeași dreaptă, de aici se poate deduce că unghiurile AFD și EFC sunt egale și opuse la vârf, adică :

1. AFD = EFC

Pe de altă parte, patrulaterul ADMF fiind inscriptibil, deoarece unghiurile ADM și AFM sunt suplimentare, amândouă fiind drepte (prin construcție), urmează că :

2. AFD = AMD

De asemenea, și patrulaterul MFEC este inscriptibil, deoarece unghiul MFC este egal cu unghiul MEC, ca unghiuri drepte (prin construcție). De aici putem deduce:

3. EFC = EMC

Comparând egalitățile 1, 2 și 3 deducem că:

4. AMD = EMC

Observăm că în triunghiul dreptunghic ADM , unghiul AMD este complementul lui MAD, iar în triunghiul dreptunghic MEC, unghiul EMC este complementul BCM. Ținând seama de faptul că dacă două unghiuri sunt egale și complementele lor sunt egale, urmează că:

5. MAD = BCM

Egalitatea 5 ne spune că am dat peste un adevăr care se poate pune în evidență direct.

Într-adevăr, unghiul MAD are ca suplement unghiul BAM. Pe de altă parte, din b#%l!^+a?patrulaterul inscriptibil ABCM , unghiul BCM are ca suplement tot unghiul BAM, prin urmare, unghiurile MAD și BCM sunt egale.

Plecând de la egalitatea 5 și făcând un raționament pe cale inversă , putem pune în evidență că punctele D, F, E aparțin aceleiași drepte.

Schematic, demonstrația decurge astfel:

6. MAD = BCM pentru că au același suplement, BAM

7. AMD = EMC, fiind complementele unghiurilor egale, conform egalității 6.

8. AFD = AMD din patrulaterul inscriptibil ADMF

9. EMC = EFC din patrulaterul inscriptibil MFEC

10. AFD = EFC din compararea egalităților 7, 8 și 9

Potrivit teoremei care ne spune că dacă două semidrepte (FD și (FE formează cu aceeași dreaptă AFC , de o parte și alta a ei, unghiurile AFD și EFC egale între ele, atunci aceste două semidrepte sunt în prelungire; urmează că punctele D, F, E sunt coliniare.

Aplicația 3. Produsul a două laturi ale unui triunghi este egal cu produsul diametrului cercului circumscris și înălțimea corespunzătoare laturii a treia.

Figura 5.3. Reprezentarea aplicației 3. (GeoGebra)

Rezolvare: Fie ABC triunghiul înscris în cercul O ; BD înălțimea dusă din vârful B pe latura AC și BOE diametrul dus prin vârful B. Trebuie arătat că =

Presupunem că cele afirmate de teoremă în concluzie sunt adevărate. Să vedem ce consecințe decurg din aceasta. Din relația :

1. = rezultă imediat egalitatea a două rapoarte :

2. .

Examinând proporția de la punctul 2, observăm că segmentele care o formează sunt laturile a două triunghiuri ABE și BCD.

Pentru a putea avea proporția 2, ar fi suficient ca triunghiurile ABE și BCD să fie asemenea, adică :

3.

Propoziția pe care o exprimă punctul 3 este un adevăr incontestabil, care poate fi pus imediat în evidență. Într-adevăr, triunghiurile dreptunghice BCD și ABE au câte un unghi ascuțit egal :

4. ambele având ca măsură jumătate din măsura aceluiași arc(AMB).

Pentru a stabili relația din concluzie, se face un raționament pe cale inversă :

5. Scriind proporționalitatea laturilor, avem :

6. . Aplicând proprietatea fundamentală a proporțiilor în proporția :

7. , avem:

8. = .

5.1.3. Metoda analitico – sintetică

A) Metoda analitico-sintetică în rezolvarea problemelor de calcul

În practică rar se întâmplă ca o problemă să se rezolve numai prin metoda sintezei sau numai prin cea a analizei. Ele au fost tratate separat numai pentru a le învăța. În realitate se aplică ambele metode pentru rezolvarea unei probleme.

În acest caz se pune întrebarea: Cum procedăm? – Răspuns: De obicei se încearcă rezolvarea problemei prin sinteză și folosim această cale cât reușim, după care se recurge la analiză. Dacă nu putem începe cu metoda sintezei, atunci apelăm la analiză până găsim două date care pot determina o mărime, iar pentru a afla necunoscuta, mai departe, calculele decurg în ordine sintetică.

Aplicația 4. Laturile unui triunghi ABC sunt : AB = c , BC = a, AC = b. O paralelă la latura BC a triunghiului intersectează laturile AB și AC, respectiv, în M și N. Se cere:

10 să se afle lungimea segmentului MN în așa fel încât perimetrul triunghiului AMN să fie egal cu cel al trapezului BMNC.

20 să se afle aria triunghiului AMN.

Rezolvare : 10 La început aplicăm metoda analizei. Plecăm de la ceea ce cere problema la prima chestiune. Presupunem că [MN] este segmentul paralel cu [BC], care determină triunghiul AMN și trapezul BMNC ce au perimetrele egale. Să vedem ce consecință se poate deduce din această presupunere.

Figura 5.4. Reprezentarea aplicației 4. (GeoGebra)

1. AM + MN + AN = BM + MN + CN + BC

Observăm că segmentul [MN] este comun celor doi membri ai egalității 1, deci se poate reduce.

2. AM + AN = BM + BC + CN

Analizând egalitatea 2, se poate vedea că în membrul al doilea, dacă s-ar mai aduna cantitatea AM + AN, atunci s-ar obține perimetrul triunghiului dat. Ca să nu se schimbe egalitatea 2 va trebui ca aceeași sumă să fie adunată și în membrul întâi, deci:

3. (AM + AN) + (AM + AN) = (BM + BC + CN) + (AM + AN) sau

4. 2(AM + AN) = ( BM + MA) + BC + (CN + NA)

5. 2(AM + AN) = AB + BC + CA.

6. AM + AN =

Dacă ținem seama că : a + b + c = 2p, atunci egalitatea 6 devine:

7. AM + AN = p

În urma presupunerii făcute am găsit un adevăr indiscutabil, care se poate deduce direct dacă ținem seama că segmentul [MN] intră în componența celor două perimetre.

În cele ce urmează vom avea nevoie de rezultatul găsit la punctul 7.

De aici mai departe aplicăm metoda sintezei.

Plecăm de la ceea ce se cunoaște în problemă. MN fiind paralelă cu BC, înseamnă că triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea, adică:

8. .Din asemănarea lor putem scrie proporționalitatea laturilor, deci:

9. .

Dacă în proporția formată din primele două rapoarte de la punctul 9 aplicăm următoarea proprietate de la proporțiile derivate; într-o proporție, suma numărătorilor pe suma numitorilor formează un raport egal cu fiecare din rapoartele date, atunci obținem :

10.

Alegem proporția formată din primele două rapoarte egale, deoarece aici intră segmentul [MN] pe care trebuie să-l calculăm, iar ceilalți trei termeni sunt cunoscuți.

11. Înlocuind în egalitatea 11 segmentele cunoscute, avem:

12.

13.

20 Trecând la chestiunea a doua, începem tot cu metoda analizei. Aplicând formula cunoscută pentru aflarea ariei unui triunghi, obținem pentru cazul nostru:

14.

În membrul al doilea observăm că pe MN îl cunoaștem, însă nu și pe AF .De aici se vede că am redus problema aflării ariei triunghiului AMN la aflarea lungimii segmentului AF, care este înălțime în acest triunghi .

Mai departe lucrările se desfășoară pe calea sintezei. Cunoscând laturile triunghiului b#%l!^+a?ABC, înălțimea AE se poate calcula cu ajutorul formulei:

15. Pentru simplificare notăm pe AE = h. Din triunghiurile asemenea AMN și ABC găsim:

16. . Din triunghiurile asemenea AMF și ABE avem :

17.

Din compararea șirurilor de rapoarte egale de la punctele 16 si 17 deducem că toate aceste rapoarte sunt egale. Din ele alegem două rapoarte în care să avem trei termeni cunoscuți și segmentul AF.

18.

19. ; . Înlocuind în egalitatea 14, obținem :

20.

B) Metoda analitico-sintetică în rezolvarea problemelor de demonstrație

Când rezolvăm o problemă prin sinteză, plecăm de la anumite date sau de la unele cunoștințe învățate mai înainte, însă avem mereu în minte întrebarea problemei la care trebuie să răspundem.

De asemenea, când rezolvăm o problemă prin analiză, plecăm de la întrebarea problemei , însă trebuie să ținem seama și de ceea ce cunoaștem în problemă și de multe ori acestea ne sugerează întrebarea pe care trebuie să o punem problemei noi pe care o formulăm.

Practic se procedează astfel: folosim calea sintezei atât cât reușim , după care , mai departe, folosim metoda de raționament a analizei.

În unele probleme sau teoreme putem începe demonstrarea lor prin metoda analizei până găsim elementele de care trebuie să ne folosim în demonstrație, după care , apoi, se aplică calea sintezei.

Se pot ivi cazuri când în demonstrarea unei probleme suntem nevoiți să trecem de mai multe ori când la aplicarea analizei când la cea a sintezei.

Aplicația 5. (Teorema lui Desargues) Dacă cele trei drepte care unesc vârfurile corespunzătoare a două triunghiuri se intersectează în același punct, atunci punctele de intersecție ale laturilor opuse sunt în linie dreaptă.

Rezolvare: Fie ABC și A’B’C’ două triunghiuri în așa fel încât AA’, BB’ și CC’ se intersectează în punctul O.

Figura 5.5. Reprezentarea aplicației 5. (GeoGebra)

Punctele M, N și P sunt intersecțiile, respectiv, ale laturilor : BC și B’C’ ; AC și A’C’ ; AB și A’B’ . Teorema cere să se demonstreze că punctele M, N și P sunt coliniare.

Presupunem că cele afirmate de teoremă în concluzie sunt adevărate, adică punctele M, N și P sunt coliniare. De aici rezultă că dreapta PMN intersectează prelungirile laturilor triunghiurilor ABC și A’B’C’ și , potrivit teoremei lui Menelaus, avem:

1. (considerând că toate segmentele care intervin în această demonstrație sunt orientate).

Însă adevărul exprimat de relația 1 trebuie să-l punem direct în evidență. De aici se vede că forma de raționament a analizei ne-a arătat precis ce avem de făcut mai departe.

Pentru stabilirea directă a egalității 1 vom folosi metoda sintezei.

Triunghiul ABO și transversala B’A’P ne dau următoarea relație, conform teoremei lui Menelaus :

2. b#%l!^+a?

Considerând triunghiul BOC și transversala B’C’M, și aplicând aceeași teoremă, obținem:

3.

Triunghiul AOC și transversala A’C’N ne dau conform teoremei lui Menelaus :

4.

c) Înmulțind membru cu membru egalitățile 2, 3 și 4 obținem :

5.

Făcând simplificările posibile, deducem că :

6.

De aici, rezultă că, potrivit teoremei reciproce a lui Menelaus, punctele P, M și N sunt coliniare.

5.1.4. Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd este o metodă veche, folosită și în geometrie, încă din antichitate, pentru demonstrarea unor teoreme sau a unor probleme care au un caracter teoretic.

La baza acestei metode stă legea terțului exclus, una din legile fundamentale ale logicii clasice, care se enunță astfel:

„Din două propoziții contradictorii una este adevărată, cealaltă falsă, iar a treia posibilitate nu poate exista”.

De aici se vede că legea terțului exclus ne spune că din două propoziții contradictorii una este adevărată, dar nu ne precizează care din cele două propoziții este adevărată și care este falsă.

Când la două propoziții contradictorii aplicăm legea terțului exclus, este suficient să stabilim că una din ele este falsă pentru a deduce că cealaltă este adevărată.

În geometrie întâlnim adeseori teoreme și probleme la care nu dispunem de suficiente elemente pentru a putea pune în evidență, în mod direct, adevărul enunțat la fiecare în parte.

În asemenea cazuri se caută dovezi care să arate că propoziția contradictorie a unei teoreme este falsă. Dacă acest lucru sa arătat, atunci, pe baza legii terțului exclus urmează că propoziția dată este demonstrată.

Acest procedeu de demonstrație se numește demonstrație indirectă.

Metoda reducerii la absurd constă în a admite în mod provizoriu, ca adevărată, propoziția contradictorie a teoremei date, apoi în baza unei asemenea presupuneri se deduc o serie de consecințe, care duc la un rezultat absurd, deoarece ele se contrazic sau ipoteza problemei date sau adevăr stabilit mai înainte.

Practic, această metodă se aplică astfel: se presupune că ceea ce trebuie să demonstrăm nu este adevărat, cu alte cuvinte se neagă concluzia teoremei date. Apoi, pe baza presupunerii făcute, se fac o serie de deducții logice, care scot în evidență faptul că presupunerea făcută duce la o absurditate. Aceasta duce concluzia că presupunerea făcută nu este posibilă și rămâne ca adevărată concluzia teoremei date.

Metoda reducerii la absurd se întrebuințează de multe ori în demonstrarea teoremelor reciproce.

Aplicația 6. Dacă laturile egale AB, AC ale unui triunghi isoscel ABC sunt intersectate de un segment de dreaptă EF în așa fel încât să satisfacă relația : EF = EB + FC, atunci un cerc tangent la laturile egale în punctele B,C este tangent și la segmentul de dreaptă EF.

Rezolvare: Fie ABC triunghiul isoscel dat. Segmentul de dreaptă EF are extremitățile pe laturile egale ale triunghiului isoscel AB = AC. Între segmentele EF, EB și FC are loc relația: EF = EB + FC

Teorema cere să se arate că cercul O tangent la laturile egale ale triunghiului în B, C este tangent și la segmentul EF.

b#%l!^+a?

Figura 5.6. Reprezentarea aplicației 6. (GeoGebra)

Presupunem că segmentul EF nu este tangent la cercul O; atunci există un alt segment, paralel cu EF, care să fie tangent la cercul O de exemplu, segmentul MN, care are o poziție mai apropiată de vârful A decât segmentul EF sau segmentul GH, care este mai depărtat de vârful A decât EF.

În cazul segmentului MN, acesta este mai mic decât EF, adică:

MN < EF, fapt ce se vede imediat ducând din N o paralelă la AB; însă între segmentele MB, EB și NC, FC avem următoarele relații :

MB > EB;

NC > FC, Adunând inegalitățile 2 și 3 membru cu membru, avem :

MB + NC > EB + FC Din inegalitatea 4

MB + NC > EF. Comparând inegalitățile 1 și 5 obținem :

MN < MB + NC, rezultat ce nu poate fi admis, deoarece inegalitatea 6 contrazice relația:

MN = MB + NC

În cazul segmentului GH, acesta este mai mare decât EF, adică :

GH > EF, fapt ce poate fi pus în evidență ducând din F o paralelă la AB; între segmentele GB, EB și HC, FC există următoarele relații:

GB < EB ,

CH < CF. Adunând inegalitățile 9 și 10 membru cu membru, obținem:

GB + CH < EB + CF sau

GB + CH < EF Comparând inegalitățile 8 și 12, rezultă că:

GB + CH < GH sau

GH > GB + CH. De aici se vede că și inegalitatea 14 contrazice relația:

GH = GB + HC

Din cele arătate mai sus rezultă că , în urma presupunerii făcute s-au ivit două cazuri posibile. Prin inegalitățile 6 și 14 s-a demonstrat că fiecare din aceste cazuri conduc la contraindicații, deci nu poate rămâne valabilă decât concluzia teoremei date.

5.2. Metode specifice

5.2.1. Metode de transformări geometrice

Aplicația 7. Fie triunghiul oarecare , înscris în cercul și H ortocentrul său. Arătați că punctele simetrice cu H în raport cu în raport cu dreptele AB, BC, AC sunt situate pe cercul .

Figura 5.7. Reprezentarea aplicației 7. (GeoGebra)

Rezolvare: Fie punctele de intersecție a înălțimilor cu cercul . Observăm că și

de unde rezultă că și deci dreptele și sunt simetrice în raport cu dreapta .

Dreapta coincide cu simetrica ei în raport cu dreapta Rezultă că simetricul punctului H în raport cu dreapta BC este punctul .

Analog, punctele simetrice cu punctul H în raport cu dreptele AC și AB sunt respectiv punctele și . b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a?

5.2.2. Metode vectoriale

Aplicația 8. (Teorema cosinusului) Se consideră triunghiul de laturi .Să se arate că:

Figura 5.8. Reprezentarea aplicației 8. (GeoGebra)

Rezolvare: În triunghiul avem . Ridicăm la pătrat această relație și obținem :

sau .

Aplicația 9. (lungimea medianei unui triunghi) Se consideră triunghiul de laturi .Dacă este lungimea medianei dusă din vârful A, atunci .

Figura 4.9. Reprezentarea aplicației 9. (GeoGebra)

Rezolvare: Fie mijlocul laturii . Atunci din și , prin adunare rezultă: ().

Ridicăm această relație la pătrat și obținem:

sau

Din teorema cosinusului și deci :

.

5.2.3. Metode algebrice

Aplicația 10. Dacă lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic sunt numere naturale ,iar lungimea ipotenuzei este un număr natural prim, atunci unghiurile ascuțite nu pot fi multipli raționali de .

Rezolvare: Se va rezolva o problemă a cărei particularizare este tocmai problema precedentă.

„Dacă , atunci ”

Se presupune prin absurd că .

Rezultă și .

Se notează și .

Notând , se obține că , de unde rezultă că polinomul se divide cu pentru că este o rădăcină a sa; dar este de asemenea o rădăcină de unde rezultă .

Dar . S-a obținut că: . Se notează .

Cum .Se presupune că:

(1)

Prin identificare .

Dar . Se demonstrează prin inducție că , unde este un polinom unitar de grad . Verificarea a fost făcută. Se presupune adevărat pentru și și se demonstrează pentru , deci și .

Se identifică coeficienții lui din membrul stâng și membrul drept în relația (1):

.b#%l!^+a?

Rezultă:deci , deci este polinom unitar de grad .În particular,.Dar direct , deci ; este deci rădăcină a unui polinom unitar de grad și în plus .Rezultă , contradicție.

5.2.4. Metode metrice

Aplicația 11. (Leibnitz) Fie G punctul de intersecție al medianelor unui triunghi oarecare și M un punct oarecare din planul său. Să se demonstreze că:

MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2.

Figura 5.10. Reprezentarea aplicației 11. (GeoGebra)

Rezolvare: Fie D,E,F mijloacele laturilor [BC],[CA],[AB].Aplicând relația lui Stewart pentru punctele coliniare A,G,D și punctul exterior M, obținem:

(1)

Analog pentru punctele B,G,E coliniare și M exterior, avem:

(2)

iar pentru C,G,F coliniare și M exterior, rezultă: (3)

Adunând relațiile (1),(2) și (3), obținem:

(4)

Scriind relația lui Steward pentru punctele coliniare B,D,C și M exterior ,avem că:

(5) (Relația medianei)

Analog pentru medianele :

(6)

(7)

Adunând relațiile (5),(6) și (7) , obținem :

(8)

Ținând seama că , precum și de relația (8), după înlocuire în (4), obținem:

(9).

Cum după înlocuirea în (9), se obține relația cerută.

5.2.5. Metode trigonometrice

Aplicația 12. (Lungimea bisectoarei) În orice triunghi cu laturile de lungimi a,b,c avem ,unde la este lungimea bisectoarei din unghiul A.

Demonstrație: Fie (AD) bisectoarea unghiului A. Din teorema bisectoarei avem:sau , iar de aici sau încă .

Deci iar .

Teorema sinusului aplicata în triunghiul ABD ne dă: și deci

; Dar și deci .

Înlocuind obținem : . b#%l!^+a?

5.2.6. Metoda analitică

Aplicația 13. (Teorema sinusurilor): În orice triunghi avem:

, unde .

Demonstrație: În planul triunghiului alegem un sistem de axe de coordonate cu originea în punctul A, dreapta AB, axa absciselor și dreapta perpendiculară în A pe AB, axa ordonatelor. Sistemul a fost ales în așa fel încât abscisa lui B și ordonata lui C să fie numere strict pozitive.

Utilizând coordonatele polare punctul C are coordonatele C(bcosA,bsinA).

Dacă rezultă că , deoarece distanța de la C la D este ordonata punctului C.

Dar , deci . Egalând cele două rezultate se obține . Înseamnă că .

Analog se calculează și .

5.2.7. Metode cu numere complexe

Aplicația 14. (Teorema lui Pompei) Fie un triunghi echilateral și M un punct nesituat pe cercul circumscris. Să se arate că se poate forma un triunghi cu laturile segmentele [MA],[MB],[MC].

Demonstrație: Fie cele patru puncte în planul complex. Are loc egalitatea:

(z-z1)(z2-z3)+(z-z2)(z3-z1)+(z-z3)(z1-z2)=0, (1) (prin calcul direct).

De aici rezultă: (z-z1)(z2-z3)= -(z-z2)(z3-z1)-(z-z3)(z1-z2).

Luând modulul aici avem:

.

Din AB = BC = AC rezultă .

Împărțind inegalitatea de mai sus prin rezultă: .

În această inegalitate avem egalitate dacă M aparține cercului circumscris triunghiului (), caz în care patrulaterul ABMC este inscriptibil și are loc teorema lui Ptolemeu: , adică .

Cum nu aparține cercului că nu avem egalitate. Din simetria relației (1) se deduc inegalitățile: și , ceea ce arată că segmentele determină un triunghi.

5.2.8. Probleme de locuri geometrice

Aplicația 15. Pe laturile ale unui triunghi se iau lungimile , proporționale cu două lungimi date. Să se arate că mijlocul segmentului descrie o dreaptă.

Rezolvare: Ducem segmentul egal și paralel cu . Patrulateruleste paralelogram.

Figura 5.11. Reprezentarea aplicației 15. (GeoGebra)

Ținând seama de enunț avem:constant, unde cu p și q am notat cele două lungimi date.

Dacă se amplifică raportul cu un parametru , rezultă că dreapta se deplasează rămânând paralelă cu ea însăși, iar mijlocul segmentului , punctul N , descrie o dreaptă d1 care trece prin punctul B. Atunci când variază , segmentul rămâne mereu paralel și egal cu segmentul .

Fie M mijlocul segmentului [C’B], [MN] este linie mijlocie în triunghiul , deci este paralel și egal cu [BC], deci are o lungime constantă. b#%l!^+a?

Rezultă că locul geometric al punctului M este o dreaptă d2 , care trece prin mijlocul E al laturii [BC], și este paralelă cu dreapta d1.

Aplicația 16. Pe laturile triunghiului se iau punctele variabile . Să se afle locul geometric al punctului M, mijlocul segmentului [DE], atunci când punctele D și E parcurg cele două laturi, astfel încât și să aibă aceeași arie.

Rezolvare: Se observă că dacă punctul D tinde către B, atunci E tinde către C, iar M tinde către A’, mijlocul laturii [BC].

Figura 5.12. Reprezentarea aplicației 16. (GeoGebra)

Dacă însă D tinde către C , atunci E tinde către A ,iar M tinde către B’, mijlocul laturii[AC].De aceea intuim că locul geometric al punctului M este linia mijlocie [A’B’].

Din , rezultă :, de unde , adică .

Utilizând proporții derivate , avem :, adică . Atunci: și conform reciprocei teoremei lui Menelaus , rezultă că punctele sunt coliniare.

Deci locul geometric al punctului M este linia mijlocie [A’B’].

CAPITOLUL 6.

Aspecte metodice

6.1. Proiectarea unităților de învățare

Unitatea de învățare: Piramida regulată

Matematică – Geometrie

Nr. ore alocate: 8

Clasa a VIII-a

Proiectul unității de învățare

6.2. Proiecte de tehnologie didactică

6.2.1. Proiect didactic: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

Clasa: a VI-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Tipul lecției: Însușire de noi cunoștințe

Tema: Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

Obiectivul fundamental: Enunțarea teoremei referitoare la suma măsurilor unghiurilor unui triunghi și utilizarea acesteia în rezolvarea unor probleme

Obiective operaționale:

A: Cognitive

OC1: Să enunțe corect teorema referitoare la suma măsurilor unghiurilor unui b#%l!^+a?triunghi.

OC2: Să enunțe corect consecințele imediate ale acestei teoreme.

OC3: Să aplice această teoremă și consecințele ei în rezolvarea unor probleme.

B: Psiho-motorii

OP1: Să manifeste interes pentru lecție.

OP2: Să așeze corect în pagină.

OP3: Să scrie lizibil pe caiete.

OP4: Să utilizeze corect trusa de geometrie.

C: Afective

OA1: Să participe activ la lecție.

OA2: Să-și dezvolte interesul pentru studiul matematicii.

Metode și procedee didactice: Conversația euristică, demonstrația, învățarea prin descoperire, explicația, exercițiul, lucrul cu manualul.

Mijloace de învățământ: Manualul, creta colorată, trusa de geometrie, Colecția Mate 2000+, Testare Naționala 2015

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Fișă de lucru:

Să se determine măsura unghiului sau a unghiurilor, în fiecare din situațiile următoare:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

b#%l!^+a?

6.2.2. Proiect didactic: Tetraedrul regulat

Clasa: a VIII-a

Disciplina: Matematică – Geometrie

Unitatea de învățare: Piramida regulată

Tipul lecției: Lecție mixtă

Durata: 50 min

Competente specifice:

C1. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea prin desen, in plan, a corpurilor geometrice

C2. Calcularea ariilor și volumelor corpurilor geometrice studiate

C3. Clasificarea corpurilor geometrice după anumite criterii date sau alese

C4. Utilizarea și interpretarea condițiilor necesare pentru ca o configurație geometrică să verifice anumite cerințe

Obiective operaționale:

O1. Să descrie configurația geometrica într-o problemă dată

O2. Să determine elementele prismei regulate

O3. Să explice Al, At si V tetraedrul regulat

O4. Să identifice elementele unei tetraedru regulat

O5. Să utilizeze Al, At si V tetraedru regulat

O6. Să rezolve probleme utilizând formulele învățate

Strategii didactice:

– Metode și procedee: explicația conversația, observarea sistematică, exercițiul

– Forme de organizare: frontal, 2-2 , individual

– Resurse materiale: tabla, linie, laptop, material Power Point

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

Temă pentru acasă:

I. Tema obligatorie:

1) Completați tabelul (l – latura tetraedrului, h – înălțimea tetraedrului, ap – apotema tetraedrului, At – aria totală a tetraedrului, V – volumul tetraedrului)

2) Tetraedrul regulat ABCD, cu BC = 24 cm, M(BC), BMMC și d[A,(BCD)] = 12 b#%l!^+a?

cm are:

AB = ………………………………….,

d(A, BC) = ………………………….,

Ab ………………………………………,

Al = …………………………………….,

At = …………………………………….,

V = ……………………………………..,

D (M, (ACD)) = ……………………..,

m (<(AB, (AMD))) = ……….…,

sin(<((AMD),(ACD))) = ….……

3) Tetraedrul regulat ABCD are suma muchiilor de 54 cm. Aflați:

a) Aria și volumul tetraedrului

b) Sinusul unghiului format de o față laterală cu planul bazei

c) Dacă DO (ABC) aflați distanța de la punctul O la o față laterală.

4) Fie ABCD este un tetraedru regulat.

a) Dacă latura tetraedrului este de 6 cm atunci aria laterală este ……………… cm2

b) Măsura unghiului format de două muchii ale unui tetraedru este de ……..o

c) Sinusul unghiului dintre 2 fețe ale unui tetraedru regulat este …………………

d) Dacă aria totală a unui tetraedru regulat este 64 cm2, volumul tetraedrului

este………………….cm3 .

e) Dacă volumul unui tetraedru regulat este 16cm3, aria totală a tetraedrului este

de ……………….cm2 .

f) Un tetraedru regulat are volumul și aria totală exprimate prin același număr. Aflați

muchia, înălțimea și aria laterală.

g) Dacă segmentul determinat de centrele de greutate a două fețe ale unui tetraedru

este de 18 cm, aflați muchia, înălțimea și aria laterală.

h) Dacă înălțimea unui tetraedru regulat este 3 cm, aflați aria totală si volumul

tetraedrului

II. Tema suplimentara – opțională

5) Fie ABCD un tetraedru regulat, iar M mijlocul lui AD. Dacă aria triunghiului BCM

este de 9 cm2, aflați aria totală a tetraedrului.

6) Aflați aria laterală a unui tetraedru regulat, dacă prin desfășurare se obține un triunghi

echilateral cu aria de 16 cm2.

7) Fie un tetraedru regulat cu muchia de 6 cm. Aflați

a) Aria totală și volumul tetraedrului

b) Distanța de la centrul unei fețe la planul altei fețe

c) Arătați că două muchii opuse sunt perpendiculare

d) Distanța de la mijlocul unei muchii la muchia opusă ei.

8) Fie VABC un tetraedru regulat și M un punct în interiorul lui astfel încât distanțele

de la M la punctele A, B, C, să fie egale cu 12 cm, iar VM = 12 cm. Se cere:

a) Aria totală și volumul tetraedrului ;

b) tangenta unghiului format de muchia laterală cu planul bazei ;

c) distanța de la centrul bazei la o față laterală.

9) Fie SABC un tetraedru regulat și M mijlocul muchiei SC .

a) Arătați că SC (MAB)

b) Arătați că ariile totale ale piramidelor SAMB și MABC sunt egale

c) Aflați raportul volumelor piramidelor SAMB și MABC

d) Determinați poziție unui punctul M pe SC, pentru ca aria triunghiului AMB să fie minim?

10) Fie VABC un tetraedru regulat cu înălțimea de 2 cm.

a) Aflați aria totală și volumul tetraedrului

b) Dacă P este mijlocul lui VA, iar înălțimea VO intersectează planul (PBC) în Q, determinați valoarea raportului .

11) Fie VABC un tetraedru regulat Și un punct M în interiorul lui astfel încât distanțele

de la M la laturile triunghiului ABC sunt egale cu 3 cm iar VM = cm. Se cere:

a) Aria laterală, aria totală și volumul tetraedrului

b) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală opusă

c) unghiul dintre fața laterală și planul bazei

12) În tetraedrul regulat SABC cu AB = 15 cm, O si Q sunt centrele de greutate ale

fețelor ABC și SBC.

a) Calculați aria și volumul tetraedrului.

b) Demonstrați ca OQ║(SAC) și calculați lungimea segmentului OQ.

c) Calculați aria și perimetrul triunghiului SAQ.

13) Fie VABC un tetraedru regulat cu AB = 10 cm. Dacă P este un punct pe VB astfel

încât , să se calculeze b#%l!^+a?

a) Distanța de la P la AB

b) Aria triunghiului PAC

c) Aria și volumul tetraedrului.

13) Tetraedrul regulat SABC are suma muchiilor de 36 cm. Fie punctul M se află pe

(AB) și N pe (BC) astfel încât suma SM + SN să fie minimă.

a) Calculați aria si volumul tetraedrului.

b) Calculați aria triunghiului SMN.

c) Calculați sinusul unghiului dintre planele (SMN) și (SAB).

d) Calculați distanța de la punctul B la planul (SMN).

14) Fie VABC un tetraedru regulat. Paralelele duse prin A la BC, prin B la AC și prin C

la AB, se intersectează două câte două formând triunghiul MNP. Demonstrați că

VM, VN, VP sunt perpendiculare două câte două.

15) Fie ABCD un tetraedru regulat și punctele M, N, P, Q situate pe A, BC, CD, DA

astfel încât AM BN CP DQ. Dacă O este mijlocul lui NQ, demonstrați că NQ este

perpendiculară pe planul (MOP):

16) Fie VABC un tetraedru regulat și P un punct în interiorul lui astfel încât distanțele

de la P la punctele A, B, C, să fie egale cu 3 cm, iar VP=cm. Se cere:

a) Volumul tetraedrului

b) sinusul unghiului format de muchia laterală cu planul bazei

c) distanța de la centrul bazei la o față laterală

d) sinusul unghiului dintre doua fețe ale tetraedrului.

17) Un tetraedru regulat SABC are volumul 144 cm3. Se cere:

a) Aria laterală și aria totală a tetraedrului

b) Distanța de la centrul bazei la o muchie laterală

c) Cosinusul unghiului dintre înălțimea tetraedrului și o față laterală

d) Poziția unui punct M pe muchia SC astfel încât aria triunghiului ABM să fie minimă.

18) Fie VABC un tetraedru regulat cu muchia a. Dacă O este centrul triunghiului VBC, iar M mijlocul lui AO, se cere:

a) Aria laterală și aria totală a tetraedrului

b) Arătați că VM este perpendiculară pe planul (MBC)

c) Sinusul unghiului dintre AB și planul (VBC)

d) Cosinusul unghiului dintre planele (ABC) și (VBC).

6.3. Aplicații rezolvate

Problema 1. Fie [ABCD] un tetraedru. În planele (ABC), (ADC), (ADB) consideram tangentele în A la cercurile circumscrise triunghiurilor ABC, ADC respectiv ADB, care intersectează dreptele BC, CD, DB in M, N respectiv P. Notăm .

Sa se arate ca .

Demonstrație: În planul (ABC) observăm că este asemenea cu , deci .

Atunci , deci . Analog deducem că si . Observăm că . De asemenea folosind aceste rapoarte rezultă că , iar inegalitatea de demonstrat se reduce la care se poate obține prin calcul direct.

Problema 2. Fie ABC un triunghi și astfel încât . Atunci AM <

Demonstrație. Fie astfel încât || AC. Din teorema fundamentala a asemănării obținem si .

Figura 6.1. Vizualizarea problemei 2 (GeoGebra) b#%l!^+a?

Aplicând în triunghiul AMN inegalitatea triunghiului avem AM <MN + AN. Folosind cele două relații de mai avem AM < kAC + (1 – k )AB

Problema 3. Fie ABCD un tetraedru și punctele și . Daca și atunci

AM <

Demonstrație: Fie . În baza teoremei lui van Aubel,

, de unde (1).

Figura 6.2. Vizualizarea problemei 3 (GeoGebra 3D)

Folosind relația (1) și Lema demonstrată la problema 2 , în avem

AM < (2). Din teorema lui Ceva, aplicata în , obținem adică . Aplicând iarăși lema demonstrată anterior pentru avem

AQ < (3).

Din relațiile numerotate (2) si (3) conduc la

AM <

și anume AM <

Problema 4. (Teorema Lungimea bisectoarei) În orice triunghi cu laturile de lungimi a,b,c avem ,unde la este lungimea bisectoarei din unghiul A.

Demonstrație: Fie (AD) bisectoarea unghiului A. Din teorema bisectoarei avem:sau , iar de aici sau încă .

Deci iar .

Teorema sinusului aplicata în triunghiul ABD ne dă : și deci

Dar și deci .

Înlocuind obținem : .

Problema 5. Se considera ABCD un tetraedru și unghiul format de dreptele AC și BD. Să se arate ca are loc relația

Demonstrație: Se consideră punctul astfel încât ACBE paralelogram și . În și se aplică teorema medianei pentru DO și se egalează.

b#%l!^+a?

Figura 6.3. Vizualizarea problemei 5 (GeoGebra 3D)

Așadar rezulta .

Teorema cosinusului aplicata in cu relația de mai sus rezultă

Problema 6. Fie ABCD un tetraedru și G centrul sau de greutate, iar M un punct oarecare din spațiu. Atunci are loc relația:

Figura 6.4. Vizualizarea problemei 6 (GeoGebra 3D)

Demonstrație: Notam cu G1 centrul de greutate al feței BCD. Aplicam relația lui Stewart în triunghiul MAG1

(1)

Se aplica următoarea Propoziție:

Fie BCD un triunghi și M un punct oarecare în spațiu, iar G1 centrul de greutate al triunghiului BCD. Atunci are loc relația lui Leiniz

(2)

Folosind (1) și (2) se obține

.

Dacă înlocuim în (2) M = G se obține

(3)

Ținând seama ca , relația (3) devine

.

Folosind ultima relație se obține că suma pătratelor distanțelor lui G la cele patru vârfuri este minimă.

CAPITOLUL 7.

Concluzii

Matematica are particularitățile sale de aplicare a analogiei. Aceste particularități diferă de la un compartiment la altul. Geometria oferă un c\mp de activitate vast în care, prin analogie, pot fi obținute afirmații noi. Un exemplu simplu: analogia dintre geometria triunghiului și geometria tetraedrului.

Un mecanism simplu de compunere prin analogie a afirmațiilor geometrice (planimetrie stereometrie) poate fi redus la următoarele:

se selectează o afirmație din planimetrie;

în afirmația selectată se face un schimb de noțiuni după o schemă bine determinată:unghi dintre două drepte – unghi diedru dintre două plane, lungimea segmentului;

aria suprafeței poligonale, aria suprafeței poligonale – volumul tetraedrului etc.;

se stabilește structura afirmației din stereometrie analoagă afirmației selectate;

ipoteza obținută se confirmă sau se infirmă prin raționament;

în caz de posibilitate ipoteza obținută se completează până devine o afirmație justă

Triunghiul este determinat de trei puncte necoliniare în plan.

Tetraedrul este determinat de patru puncte necoplanare în spațiu.

Definiția tetraedrului, prin analogie cu triunghiul din plan, este accesibilă elevilor, ei mai având unele reprezentări despre aceste mulțimi de puncte din spațiu. În definirea b#%l!^+a?tetraedrului, am prezentat acele elemente care definesc tetraedrul ca o mulțime de puncte ale spațiului geometric tridimensional (și criteriile după care o mulțime de puncte din spațiu o vom numi tetraedru).

Existența a trei puncte necoliniare și patru puncte necoplanare în spațiu este asigurată de axiomele lui G.D. Birkhoff, fără de care nu este posibilă extinderea geometriei plane la cea în spațiu

După câte s-a văzut în ultimele capitole tetraedrul preia o multitudine de proprietăți de la triunghi și prelucrează o mulțime de teoreme. Însă nu orice proprietate a triunghiului este valabilă și pentru analogul său: tetraedrul. De exemplu: nu în orice tetraedru înălțimile sunt concurente.

Așadar s-a prezentat într-un capitol anterior teorema înălțimii în triunghi și teorema analoagă teoremei înălțimii apoi teorema catetei și teorema analoagă catetei în tetraedru. Se observă în demonstrațiile acestor teoreme folosirea unor rapoarte asemănătoare atât la triunghi cat și la tetraedru. Mai mult în demonstrațiile teoremelor tetraedrului se folosesc ca un adevăr bine știut teoremele triunghiului. Spre finalul capitolului se face analogia între Teorema lui Pitagora în triunghi și teorema lui Pitagora în tetraedru.

BIBLIOGRAFIE

Andrica D., Văcărețu D., Varga C., Teme și probleme alese de geometrie, Editura Plus, București, 2002

Albu A.C., și colaboratori, Geometrie pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Barbu, C., Teoreme fundamentale din Geometria triunghiului, Editura Unique, Bacău, 2008

Brânzei D., Anița S., Cocea C., Planul și spațiul euclidian, Editura Academiei R.S.R., București, 1986

Câmpan Florica, Probleme celebre, Editura Albatros, 1972

Cojocaru Camelia, Tetraedre tridreptunghice, Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Aprilie 2011
Gerard G. Thierce, Geometria în spațiu și geometria descriptivă, EDP București,1973

Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.), Tratat de didactică modernă, Editura Paralela 45, Pitești, 2009

Lalescu T., Geometria triunghiului, Editura Tineretului, 1958

Mihăileanu N., Istoria matematicii, Editura Enciclopedică Română București,1974.

Miculiță M., Brânzei D., Analogii Triunghi – Tetraedru, Editura Paralela 45, 2000

Nicolescu I. și colaboratori, Metode de rezolvarea a problemelor de geometrie, Ed. Universității din București, 1998

Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, 1990

Polya G., Descoperirea în matematică, Editura Științifică București, 1971

Popescu Olimpia, Valeria Radu, Metodica predării geometriei în gimnaziu, EDP București, 1983

Radu, M. Brânzei, D., Fundamentele aritmeticii si geometriei, Ed. Academiei, București, 1983

Rusu E., Problematizare și probleme în matematica școlară, EDP București,1978

Rus Ileana, Doina Varna, Metodica predării matematicii, EDP București,1983

Tițeica GH., Probleme de geometrie, Editura Tehnică, 1974

ANEXE

Anexa 1. Culegere de probleme: piramida triunghiulară regulată

1) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată ABCD.

Piramida are toate muchiile de lungime a cm, unde a este număr real pozitiv, iar M este mijlocul laturii AC. b#%l!^+a?

b) Arătați că dreapta AC este perpendiculară pe planul (MBD).

c) Calculați aria triunghiului MBD.

d) Calculați distanța de la punctul M la planul (BCD).

2) O piramidă triunghiulară regulată are latura bazei de 2 cm și înălțimea de 6 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală;

c) Tangenta unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

3) O piramidă triunghiulară regulată are muchia laterală de 9 cm și înălțimea de 3 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Distanța de la centrul bazei la o față laterală;

c) Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

4) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Dacă piramida are baza triunghiul ABC, cu AB = 8 cm și VA = 5 cm, iar punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv VA, calculați.

b) Aria totală a piramidei VABC.

c) Sinusul unghiului format de dreptele MN și VC.

d) Lungimea proiecției segmentului MN pe planul (VBC).

5) O piramidă triunghiulară regulată VABC are muchia laterală de 12 cm și latura bazei de 18 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei;

c) Determinați poziția punctului M pe VA, astfel încât aria triunghiului MBC să fie minimă și să se calculeze acest minim.

6) Într-o piramidă triunghiulară regulată latura bazei este de 18 cm și înălțimea de 9 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

c) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală;

d) Se duce un plan ce conține o latură a bazei, perpendicular pe o muchie laterală

opusă. Aflați aria determinată de acest plan în piramidă.

7) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Dacă piramida are baza triunghiul ABC, cu AB = 6 cm și VA = 6 cm, arătați că

b) Muchiile VA și BC sunt perpendiculare.

c) Calculați volumul piramidei VABC.

d) Calculați distanța de la centrul de greutate al triunghiului VAB la planul (ABC).

8) Piramida triunghiulară regulată are aria bazei 9cm2 și unghiul dintre o muchie laterală și planul bazei de 60°. Se cere:

a) Aria laterală, aria totală și volumul piramidei

b) Distanța de la un vârf al bazei la fața laterală opusă vârfului

c) Sinusul unghiului dintre două fețe laterale.

9) Într-o piramidă triunghiulară regulată apotema bazei este de 4 cm iar apotema piramidei este de 16 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Tangenta unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei;

c) Cosinusul unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

d) Distanța de la centrul bazei la o față laterală.

10) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Piramida are toate muchiile congruente și AB = 12 cm iar M este un punct situat pe VA cu VA = 4∙VM și N mijlocul lui BC.

b) Arătați ca triunghiul MAN este isoscel.

c) Calculați volumul piramidei VABC.

d) Aflați valoarea sinusului unghiului dintre planele (MBC) și (ABC).

11) Într-o piramidă triunghiulară regulată aria laterală este de 648 cm2 iar apotema piramidei este de 12 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramide;i

b) Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

c) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală și de la centrul bazei la o față

laterală.

12) Într-o piramidă triunghiulară regulată muchia laterală este de 25 cm iar apotema piramidei este de 20 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Cosinusul unghiului format de două fețe laterale;

c) Tangenta unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

d) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală și de la centrul bazei la o față b#%l!^+a?laterală.

13) O piramidă triunghiulară regulată are raza cercului circumscris bazei de 4cm și muchia laterală 8cm. Se cere

a) Aria laterală, aria totală și volumul piramidei

b) Unghiul format de o muchie laterală cu planul bazei

c) Distanța de la centrul bazei la o față laterală

d) Distanța de la centrul bazei la centrul de greutate al unei fețe laterale

e) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală opusă

14) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată ABCD.

Piramida are toate cele șase muchii congruente iar înălțimea piramidei este DO și punctul M proiecția punctului O pe muchia DB cu MC = 2cm.

b) Arătați că AB = 6 cm.

c) Calculați volumul piramidei ABCD.

d) Aflați valoarea sinusului unghiului format de dreapta MC și planul (BOD).

15) O piramidă triunghiulară regulată VABC are muchia laterală de 8 cm și latura bazei de 12 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei;

c) Fie M un punct pe muchia VA. Determinați poziția acestui punct, astfel încât aria triunghiului MBC să fie minimă și să se calculeze acest minim.

16) Într-o piramidă triunghiulară regulată latura bazei este de 8 cm iar înălțimea piramidei este de 8 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei;

17) Într-o piramidă triunghiulară regulată latura bazei este de 24 cm iar înălțimea piramidei este de 12 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Cosinusul unghiului format de două fețe laterale;

c) Distanța de la centrul bazei la o față laterală;

d) Dacă M este un punct pe muchia VA, determinați cosinusul unghiului format de planele (MBC) și (ABC) astfel încât aria triunghiului MBC să fie minimă.

18) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Piramida are baza triunghiul ABC, cu AB = 6 cm și VA = 6 cm.

b) Calculați volumul piramidei VABC.

c) Demonstrați că muchiile VA și BC sunt perpendiculare.

d) Dacă punctul P este pe VO la distanță egală de toate fețele piramidei, aflați lungimea segmentului PO.

19) Într-o piramidă triunghiulară regulată latura bazei este de 12 cm iar înălțimea piramidei este de 6 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei.

20) O piramidă triunghiulară regulată are înălțimea de 4 cm și apotema bazei de 2 cm.

Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei;

c) Tangenta unghiului format de o față laterală cu planul bazei

d) Distanța de la centrul bazei la o muchie laterală.

21) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Piramida are baza triunghiul ABC, cu raza cercului circumscris de lungime 4 cm și VA = 10 cm.

b) Arătați că AB = 12 cm.

c) Fie punctul E mijlocul laturii AB. Calculați valoarea sinusului unghiului determinat de dreptele VE și BC.

d) Calculați perimetrul minim al triunghiului MBC, unde M aparține muchiei VA.

22) O piramidă triunghiulară regulată are muchia laterală de 10 cm și apotema piramidei de 8 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Tangenta unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

c) Distanța de la centrul bazei la o față laterală.

23) O piramidă triunghiulară regulată are înălțimea de 5 cm și latura bazei de 10 cm. Aflați:

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

c) Distanța de la centrul bazei la o față laterală.

d) Tangenta unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei

24) O piramidă triunghiulară regulată are muchia laterală de 10 cm și latura bazei de b#%l!^+a?15 cm. Aflați:

a) Măsura unghiului format de o muchie laterală cu planul bazei;

b) Distanța de la centrul bazei la o față laterală.

c) Determinați poziția punctului M pe VA, astfel încât aria triunghiului MBC să fie minimă și calculați acest minim.

25) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Piramida are baza triunghiul ABC, cu AB = 24 cm și VA = 12 cm iar punctul M este mijlocul lui BC.

b) Calculați volumul piramidei VABC.

c) Calculați distanța de la punctul M la muchia VA.

d) Calculați tangenta unghiului format de planele (AVM) și AVB).

26) O piramidă triunghiulară regulată cu înălțimea de 12 cm, are raportul dintre aria totală și volumul piramidei egal cu 3/4. Aflați

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

c) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală.

27) O piramidă triunghiulară regulată cu înălțimea de 18 cm, are raportul dintre aria bazei și aria totală egal cu 1/3. Aflați

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

c) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală.

28) O piramidă triunghiulară regulată cu înălțimea de 12 cm, are raportul dintre aria laterală și volumul piramidei egal cu /4. Aflați

a) Aria totală și volumul piramidei;

b) Cosinusul unghiului format de două fețe laterale ale piramidei;

c) Distanța de la un vârf al bazei la o față laterală.

d) Măsura unghiului format de o față laterală cu planul bazei;

e) Determinați poziția punctului M pe VA, astfel încât aria triunghiului MBC să fie minimă.

29) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată ABCD.

Dacă piramida are baza triunghiul ABC și vârful D, cu BC = AD = 6 cm, iar punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB, respectiv DA, calculați

b) Volumul piramidei ABCD.

c) Distanța de la punctul C la planul (ABN).

d) Măsura unghiului format de dreptele MN și AC.

30) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Piramida are baza triunghiul ABC, înălțimea VO = 12 cm, iar distanța de la O la planul (VBC) este de 7,2 cm.

b) Arătați că AB = 18 cm.

c) Calculați aria laterală a piramidei VABC.

d) Dacă G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale fețelor VAB, VAC, respectiv VBC, calculați volumul piramidei V G1 G2G3.

31) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Piramida are baza triunghiul ABC cu AB = 12 și înălțimea VO = 6 cm. Notăm cu D și E mijloacele muchiilor VA și respectiv VB.

b) Calculați aria laterală a piramidei.

c) Demonstrați că dreapta DE este paralelă cu planul (ABC).

d) Măsura unghiului format de planele (DOE) și (ABC).

32) a) Desenați o piramidă triunghiulară regulată VABC.

Piramida are baza triunghiul ABC cu AB = 12 și muchia VA = 12 cm. Notăm cu M și N mijloacele muchiilor BC și respectiv VA.

b) Calculați volumul piramidei..

c) Măsura unghiului format de dreptele MN și AC.

d) Fie O centrul de greutate al bazei și MN VO = G. Arătați că G se află la egală distanță de cele patru fețe ale piramidei.

Răspuns 1) c) . d) . 2) a) 243/4. 81(+1)/4. b) 9/5. c) 2. 3) a) 108, 72. b)3. c) 60o. 4) b) 4(9+4). c) 24/25. d) 2,5. 5) a) 81(+1), 486. b) 60o. c) 27/2, 243/2. 6) a) 729, 2187. b) 60o. c) 27/2.d) 729/7. 7) c) 18. d) 2/3 8) a) 9, 9+ 9, 18. b) 18/13. c) 8/39. 9) a) 144(4+), 192. b) /6. c) /4. d) . 10) c) 144. d) /3. 11) a) 972, 1944. b) 60o. c) 27; 9. 12) a) 225(4+), 375. b)7/32. c) /3. d) 15/4, 5/4. 13) a) 36, 36(+), 48. b) 30o. c) 436/7. d) /3. e) 24/4 14) c) 18. d) 3/14. 15) a) 36(+1), 144. b) 60o. c) A=54. 16) a) 48(+1), 128. b) 45o. 17) a) 1296, 5184. b) 1/2. c) 6. d) 36/, cos<=/7. 18) b)36. d) 3-. 19) a) 324, 648. b) 60o. 20) a) 12(+1), 16. b) 45o. c) 2. d) 2 b#%l!^+a?. 22) a) 36(+4), 24.b) /3. c) /2. 23) a) 225, 375. b) 60o. c) 5/2. d) /2. 24) a) 60o. b) 15/13. c) 675/8. 25) b) 576. c) 12/5. d) /11. 26) a) 432, 576. b) 60o. c) 18. 27) a) 972, 1944. b) 60o. c) 27 28) a) 432(+1), 1728. b) ¼. c) 18. d) 45o. e) 36/5. 29) b) 18. c) 3. d) 45o. 30) c) 405. d) 77. 31) b) 77. d) 60o. 32) b) 144. c) 45o.

Anexa 2. Prezentare PowerPoint: desenarea piramidei triunghiulare regulate

b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a?

b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a? b#%l!^+a?

BIBLIOGRAFIE

Andrica D., Văcărețu D., Varga C., Teme și probleme alese de geometrie, Editura Plus, București, 2002

Albu A.C., și colaboratori, Geometrie pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983

Barbu, C., Teoreme fundamentale din Geometria triunghiului, Editura Unique, Bacău, 2008

Brânzei D., Anița S., Cocea C., Planul și spațiul euclidian, Editura Academiei R.S.R., București, 1986

Câmpan Florica, Probleme celebre, Editura Albatros, 1972

Cojocaru Camelia, Tetraedre tridreptunghice, Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Aprilie 2011
Gerard G. Thierce, Geometria în spațiu și geometria descriptivă, EDP București,1973

Ionescu, M., Bocoș, M. (coord.), Tratat de didactică modernă, Editura Paralela 45, Pitești, 2009

Lalescu T., Geometria triunghiului, Editura Tineretului, 1958

Mihăileanu N., Istoria matematicii, Editura Enciclopedică Română București,1974.

Miculiță M., Brânzei D., Analogii Triunghi – Tetraedru, Editura Paralela 45, 2000

Nicolescu I. și colaboratori, Metode de rezolvarea a problemelor de geometrie, Ed. Universității din București, 1998

Nicolescu L., Boskoff V., Probleme practice de geometrie, Editura Tehnică, 1990

Polya G., Descoperirea în matematică, Editura Științifică București, 1971

Popescu Olimpia, Valeria Radu, Metodica predării geometriei în gimnaziu, EDP București, 1983

Radu, M. Brânzei, D., Fundamentele aritmeticii si geometriei, Ed. Academiei, București, 1983

Rusu E., Problematizare și probleme în matematica școlară, EDP București,1978

Rus Ileana, Doina Varna, Metodica predării matematicii, EDP București,1983

Tițeica GH., Probleme de geometrie, Editura Tehnică, 1974

=== ϹUPRIΝЅ ===

CUPRINS